“AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMÁTICO”
FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL “TITULO” MODELOS HIDRAULICOS
ASIGNATURA: ASIGNATURA: MECANICA DE FLU F LUIDOS IDOS
AUTORES: Salvador Zevallo E!"er
1
ASESOR: I"#$ G%ove"e Pere& Ca'(o'a"e
NUEVO CHIM)OTE * PER+ ,-./
INDICE
introducción modelos hidráulicos el modelo parte de los diseños hidráulicos confiabilidad de un modelo ob"eti#os de un modelo hidráulico #enta"as de un modelo hidráulico importancia de un modelo hidráulico en las construcciones conclusiones
…………………………… . . ……………………….......
3
. ……………………….......
5
. ………………………....... . ……………………………
! 3
…………………………… .
3
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4
4
2
recomendaciones referencias biblio$ráficas
.
5
…………………………… . …………………………… .
5 %
INTRODUCCIÓN
En la actualidad con mucha frecuencia, el ingeniero civil debe realizar soluciones factibles,
a problemas ingenieriles.
Debe decidir entre, técnicas o métodos más
convenientes e idóneas para resolver cada caso en particular. En algunas ocasiones,
estas
soluciones
pueden
ser
muy sencillas y practicas,
debido a que están bien definidas tanto la parte técnica como la parte económica, por lo que sólo basta aplicarlas. En otros casos, los problemas resultan complejos o desconocidos como es el de conocer el comportamiento hidráulico del flujo de agua al pasar por una presa y al ser captada por una toma. En estos casos, se evaluará que tipo de investigación se va a adoptar para darle solución al problema. a
investigación aprobada se iniciará
conceptualizando y esquematizando el problema, después se seleccionará la técnica f!sica o matemática para estudiar el problema. " este proceso de abstracción se le conoce como modelación. 3
En definitiva, la modelación implica simular un fenómeno real, conceptualizándolo y simplificándolo en mayor o menor medida, para luego, por #ltimo describirlo y cuantificarlo.
MODELOS HIDRÁULICOS os modelos se ha desarrollado notablemente en el campo de la hidráulica, e$isten evidencias de estudios de dise%os hidráulicos realizados desde tiempos antiguos, mediante
peque%as representaciones de estructuras y máquinas, por los
cuales se ha llegado a enunciar principios fundamentales en la hidráulica& sin embargo hasta hace poco tiempo la
e$perimentación hidráulica se llevaba a cabo
habitualmente a escala real ya sea en vertederos, canales, tuber!as y presas construidas sobre el terreno. Es durante el #ltimo medio siglo, cuando se han desarrollado métodos por los cuales, como resultado de e$perimentos realizados en modelos a escala reducida, es posible predecir la conducta de una estructura o prototipo. El sistema semejante reducido o simplificado es lo que llamamos modelo, frente a la realidad que llamamos prototipo. os principios en que se basa este procedimiento incluyen las teor!as de similitud hidráulica.
El análisis de las relaciones básicas de las diversas cantidades f!sicas
incluidas en el movimiento y
la
acción dinámica del fluido denominada análisis
dimensional. En la actualidad, se dise%an y construyen pocas o ninguna estructura hidráulica importante, sin estudios preliminares de modelos, más o menos e$tensos. 4
recientemente con el transporte de sedimentos. as principales caracter!sticas de cada uno de estos grupos son indicadas por sus nombres. os modelos de estructuras son usados para resolver problemas hidráulicos en cone$ión con una variedad de estructuras hidráulicas o ciertas partes de ellas como por ejemplo determinar la capacidad hidráulica, reducir las pérdidas de carga en entradas a canales o tuber!as o en secciones de transición& desarrollar métodos eficaces de disipación de energ!a en la corriente, al pie de las presas de sobre flujo o en el e$tremo de salida de las atarjeas, reduciendo de ese modo la erosión del lecho de los cauces de r!os& determinar coeficientes de descarga para presas de sobre flujo& desarrollar
el
mejor dise%o de vertederos de presas, de sifones y pozos y de estructuras de salida de los embalses& dise%ar puertos, incluyendo determinar la mejor sección transversal, altura y ubicación de los rompeolas, as! como la posición y ubicación de la entrada& dise%ar esclusas, incluyendo los efectos sobre los barcos de las corrientes establecidas debido al funcionamiento de las esclusas etc. El grupo de modelos de infiltración es creado para el estudio de fenómenos de infiltración en suelos y en medios granulares en general.
'ertenece a este grupo
también el estudio en modelo de infiltraciones en el subsuelo de una variedad de diques y de terraplenes, en la vecindad de los huecos e$cavados para la construcción en suelos granulares, bajo o alrededor de estructuras fundadas en tales suelos. os estudios en modelos de r!os son usados para resolver problemas de regulación de r!os o desarrollos hidroenergéticos, determinar el tiempo de desplazamiento de ondas de inundación por los cauces de los r!os, métodos para el mejoramiento de canales para la transmisión de inundaciones con menos riesgo de desbordamiento sobre las orillas, los efectos de los acortamientos de los r!os, efecto de diques, paredes de contención sobre la erosión de los lechos, altura de los remansos provocados por estructuras permanentes o temporales, construidas en medio de un cauce& dirección y fuerzas de corriente en r!os y puertos y sus efectos sobre la navegación etc.
El modelo como parte de los diseños hidrálicos (ay varios temas que preocupan los ingenieros dise%adores y a los jefes de proyecto con relación a los modelos hidráulicos. Entre ellos están los siguientes) 5
a! sa"er si como parte de # determi#ado diseño es #ecesario o #o hacer #a i#$esti%aci e# modelo' "! cal ser(a el costo de dicha i#$esti%aci' c! s )sti*icaci t+c#ica , d! s oport#idade! Sece#cia Modelo .Diseño.Co#strcci./#cio#amie#to
" continuación se e$amina cada uno de estos temas y se complementa con un análisis de la secuencia modelo*dise%o*construcción*funcionamiento de la estructura.
a! Necesidad de # modelo +En qué casos es realmente necesario realizar una investigación en modelo -n punto a tenerse en cuenta para tomar una decisión es la importancia de la estructura que se está estudiando. i se trata de una estructura de gran costo y
complejidad,
cuya falla acarrear!a graves consecuencias debemos pensar necesariamente en una investigación en modelo. 'ero, si se tratase de una estructura peque%a, fácilmente reparable y cuya destrucción o colapso no tuviese consecuencias graves, podr!a no requerirse un estudio en modelo hidráulico. /tra circunstancia en la que debe recurrirse a una investigación en modelo presenta cuando
se
la teor!a requerida para el dise%o es incompleta, inaplicable o
ine$istente. Este es un caso muy frecuente. 0omo se ha se%alado anteriormente las fórmulas de la (idráulica corresponden en su mayor parte a situaciones idealizadas en un mundo bidimensional. 'ero, hay también consideraciones de otro tipo como la posibilidad de introducir un ahorro importante en el costo de las obras. a e$periencia demuestra que determinadas estructuras pueden ser igualmente eficientes y seguras, a un menor costo. El modelo permite la comprobación, o, a veces, el descubrimiento de este hecho. a #ltima, pero no por eso menos importante, razón para hacer una investigación en
modelo,
es
la
de
elevar
el
grado
de
seguridad
de
la estructura. a 6
investigación en modelo f!sico, es decir, la visualización del comportamiento de la estructura en tres dimensiones permite observar y, a veces, intuir problemas que no hab!an sido imaginados durante el dise%o en el gabinete. Estas cuatro razones son independientes entre s!, y cualquiera de ellas pudiera justificar la realización de una investigación en modelo.
"! El costo de # modelo /tro tema que preocupa a los jefes de proyecto es saber cuanto cuesta un modelo. a respuesta es sencilla) muy poco si lo comparamos con el costo del dise%o, casi nada si se le compara con el costo total de la obra, algo interesante si se piensa en el ahorro probable y prácticamente nada si se le compara con la seguridad adicional obtenida. " veces se presentan problemas cuando se trata de determinar el costo de un modelo. a investigación en modelo se encarga a un laboratorio de hidráulica
mediante un
contrato. 1eneralmente se ha venido tratando de asimilar el contrato de una investigación en modelo a la modalidad de los contratos de estudios o de obras. a dificultad se presenta cuando el desarrollo de los trabajos en el modelo abre la posibilidad de mayor estudio o profundización de determinados aspectos del dise%o, o aun, la investigación
de alternativas no previstas. -na investigación por su propia
naturaleza consiste en descubrir posibilidades no conocidas de antemano. 'or lo tanto, en sentido estricto no deber!a ser posible fijar de antemano el costo y el plazo de una investigación. Esta forma de contrato que se viene usando en nuestro medio es sumamente perjudicial e inconveniente para ambas partes. Es por eso que en otros pa!ses los laboratorios tienen modalidades contractuales diferentes. e pacta la construcción del modelo, la instalación de los equipos de medición y control y la puesta en marcha. uego se cobra una determinada cantidad por cada semana de investigación. De esta manera se cuenta con la gran ventaja de poder n#mero de pruebas que el
realizar el
comportamiento de lo observado en el modelo
vaya
aconsejando con miras a obtener el dise%o más eficiente y más económico.
c! 0sti*icaci t+c#ica de # modelo +0ómo se justifica técnicamente la investigación en un modelo hidráulico on varias las razones. -na de las más importantes es la tridimensionalidad. En un modelo el flujo 7
es tridimensional. Esta es una gran diferencia con respecto a la mayor parte de las fórmulas que se emplea en la (idráulica, las que
corresponden
bidimensionales. "dicionalmente, el modelo permite apreciar
a
modelos
el funcionamiento de la
estructura en tres dimensiones. -n modelo permite también el estudio de diversas condiciones de dise%o y operación. e puede variar los caudales, la cantidad de sólidos y otras caracter!sticas del escurrimiento con gran facilidad. 'or ejemplo, si se trata de un desarenador es posible estudiar el comportamiento de la transición, la distribución del flujo en las naves y la eficiencia de decantación para granulometr!as
y diversas formas de
diferentes
caudales,
diferentes
operación. obre este tema es conveniente
recordar que muchos de los fenómenos que ocurren en un desarenador son esencialmente tridimensionales y que ninguna fórmula matemática de la hidráulica los describe totalmente. El modelo permite también el estudio y análisis de varias alternativas de dise%o. El modelo es también muy #til para ensayar las 2eglas de /peración. abemos que la determinación de la mejor forma de operación de una estructura es un proceso de apro$imaciones sucesivas. a primera versión la ofrece el proyectista. a investigación en modelo debe permitir la obtención de una
segunda
versión que
recoja
lo
observado en el modelo y es la que se usará al ponerse en funcionamiento la obra. a e$periencia y la observación de la estructura
permitirán
mejorar continuamente
las reglas de operación. 0ualquiera de estas cinco razones podr!a ser suficiente para justificar técnicamente un modelo hidráulico.
d! Oport#idad de # modelo /tra pregunta que debe ser respondida es la siguiente, +en qué momento del Estudio debe realizarse la investigación en modelo
" veces se piensa erróneamente
que la investigación en modelo es un ensayo adicional, complementario, perfeccionar
algunos
para
detalles y que puede hacerse a la finalización del dise%o
definitivo. in embargo, nuestra opinión es diferente. 0uando la investigación en modelo
es
necesaria debe formar parte
del estudio definitivo y realizarse
simultáneamente con él. 8
En algunos casos el estudio en modelo debe formar parte del estudio de alternativas. os dise%os definitivos de estructuras que requieran de una investigación en modelo hidráulico deber!an considerar el estudio en modelo dentro del contrato del estudio definitivo. in una verificación en modelo no es posible presentar el dise%o definitivo de una estructura con las caracter!sticas antes se%aladas. 'or #ltimo, la necesidad de un modelo hidráulico, su costo, su justificación
y su
oportunidad como parte del dise%o, pueden surgir de la consideración de dos criterios diferentes. -no de ellos es el de buscar, con la ayuda del modelo, un dise%o que sea lo más seguro posible. /tro aspecto es el de buscar, con la ayuda del modelo, un dise%o que con un grado satisfactorio
de seguridad sea lo más económico posible. El
modelo puede ayudar a disminuir márgenes y coeficientes de seguridad e$cesivos. 3uchas veces ha ocurrido que
el costo del modelo se paga ampliamente con la
econom!a que se pueda hacer en el costo la obra y, por supuesto, por el mayor grado de seguridad obtenido.
e! Sece#cia Modelo .Diseño.Co#strcci./#cio#amie#to Es interesante observar lo que ha ocurrido con diversas estructuras hidráulicas cuyo dise%o estuvo, o podr!a haber estado, vinculado a la necesidad de un modelo hidráulico. 4enemos as!, que se podr!a hacer la siguiente clasificación de la secuencia se%alada) 5.
Estructuras hidráulicas que fueron
estudiadas en modelo en su oportunidad,
como parte del dise%o definitivo, pero la estructura no se ha construido porque 55.
el 'royecto 5ntegral no se ha realizado todav!a. Estructuras hidráulicas que fueron estudiadas
en
modelo
en
su
oportunidad, pero luego, al ejecutarse el 'royecto 5ntegral del que formaban parte , se
cambió
de
opinión
con
respecto
a
la
concepción, ubicación, o dise%o de la estructura particular que hab!a sido 555.
estudiada en modelo. Estructuras hidráulicas que se construyeron sin haberse realizado un estudio en modelo y al ponerse en funcionamiento no dieron resultados satisfactorios. 'osteriormente se realizó una investigación en modelo para estudiar las mejoras necesarias. 9
56.
Estructuras que se construyeron sin haberse realizado un estudio en modelo y al ponerse en funcionamiento no dieron resultados satisfactorios. El problema no se
6.
ha corregido y siguen funcionando mal. Estructuras que se construyeron luego de un estudio en modelo hidráulico y funcionan razonablemente bien. 4rabajo conjunto con el dise%ador
a investigación en modelo de una obra hidráulica es un intento de conocer anticipadamente
la interacción estructura*naturaleza. "s! por ejemplo, cuando se
construye una obra en un r!o hay un impacto de la obra sobre el r!o y otro impacto del r!o sobre la obra. El conocimiento de las caracter!sticas de esa interacción es fundamental para el é$ito del proyecto. a investigación en modelo debe ser un diálogo entre el dise%ador y la naturaleza. En este diálogo el ingeniero investigador sirve como médium, cuya tarea es la de facilitar la comunicación entre aquel que tuvo que hacer un conjunto de suposiciones, y la probable reacción de la obra y de la naturaleza vistas a través del modelo. on varios
los puntos que deben e$aminarse con relación al trabajo conjunto del
investigador y del dise%ador. Entre ellos están) los 4érminos de 2eferencia, el suministro de la información básica, el desarrollo de la investigación, la interpretación
de los
resultados y la conservación del modelo. a primera l!nea de contacto entre el dise%ador y el ingeniero investigador se encuentra en los 4érminos de 2eferencia de la investigación, los que constituyen el planteamiento del problema por resolver. os 4érminos de 2eferencia deber!an constituir un trabajo conjunto entre el dise%ador y el ingeniero investigador. El primero sabe que es lo que quiere preguntarle al modelo. El segundo sabe como hay que hacer las preguntas y como interpretar las respuestas. os 4érminos de 2eferencia deben se%alar claramente los objetivos buscados, pero de acuerdo a su propio nombre no deben ser r!gidos, puesto que tienen que alimentarse de lo que se vaya descubriendo a lo largo de la
investigación. iempre
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debemos tener presente que una investigación es un proceso de apro$imaciones sucesivas. os 4érminos de 2eferencia deben tener en cuenta las limitaciones que todo laboratorio puede tener, como por ejemplo, el espacio disponible, la capacidad de bombas o el instrumental.
os 4érminos de 2eferencia deben reflejar la compatibilidad entre
los objetivos de la investigación, el tiempo y los recursos disponibles. a vinculación del modelo con el dise%ador está relacionada, entre otros aspectos, al suministro de la más amplia información disponible. os buenos resultados de un modelo dependen en gran medida de la cantidad y la calidad de la información que se suministre al modelo. 0omo parte de esta vinculación con el dise%ador, el ingeniero investigador entrará en contacto con los cálculos en los que reposa el dise%o, as! como con los planos y la memoria descriptiva de la obra. o deseable es que el dise%ador haga un seguimiento del desarrollo de la investigación en el modelo, una apreciación de los resultados obtenidos y, en estrecha comunicación con el ingeniero investigador, estudie las soluciones alternativas que lo observado en el modelo pueda sugerir. El trabajo coordinado es fundamental,
puesto que son muchos los aspectos que
intervienen en el dise%o de una estructura. El modelo nos da información acerca del funcionamiento
hidráulico,
pero
hay
otros aspectos que escapan al campo de
actividad del ingeniero investigador y que son manejados por el ingeniero proyectista, que es quien tiene la información completa cimentación, aspectos
constructivos,
sobre problemas
tales como)
estructurales, operación
y
mantenimiento,
costos y muchos otros más. 7inalizada la investigación en modelo se deben interpretar los resultados y obtener las conclusiones y recomendaciones correspondientes. Esta es una etapa muy delicada en la que es necesario tener en
cuenta
las limitaciones originadas en la ley de
similitud adoptada y en las escalas escogidas. e debe prestar atención a los efectos de escala que pudieran e$istir.
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-na vez terminada la investigación quedan dos posibilidades con respecto al modelo mismo. -na de ellas, que es la más frecuente, es destruirlo. a otra, es la de conservarlo.
En muchos proyectos es recomendable la conservación del
modelo, de modo que puesta en funcionamiento la obra se pueda comparar y correlacionar el comportamiento modelo* estructura. i alg#n aspecto de la obra no funcionase correctamente
podr!a buscarse su perfeccionamiento
con la ayuda del
modelo. Dicha correlación y el estudio de variantes constituyen temas importantes de investigación. " veces el modelo sigue siendo #til para el perfeccionamiento de las 2eglas de /peración.
CON/I12ILID1D DE UN MODELO /tro tema que suele preocupar a los ingenieros dise%adores y a los jefes de proyecto es saber el grado de confiabilidad de un modelo hidráulico. El jefe de dise%ador pueden preguntarse +es
confiable
un modelo,
proyecto
+qué
o el
error puedo
cometer al aplicar los resultados del modelo al dise%o que estoy realizando 'ara el tema de la confiabilidad no hay una respuesta #nica. 8o todos los modelos tienen el mismo grado de confiabilidad. En tal sentido podr!amos hablar de modelos de alta confiabilidad y modelos de baja confiabilidad. "#n más, no todas las partes de una investigación en modelo tienen igual confiabilidad.
(ay algunos
cuyos resultados son altamente confiables. En cambio, hay
tipos de modelos
otros modelos, como
los sedimentológicos, en los cuales el grado de confiabilidad es menor. 'or ejemplo, en hidráulica fluvial los modelos de fondo móvil tienen un grado de confiabilidad menor en lo que respecta a la predicción cuantitativa de los
fenómenos
de
a gradación
y
degradación. 'or el contrario, en el modelo de una conducción de concreto en la que se produce un cambio de sección, se
instala un vertedero o se produce un salto
hidráulico, la calidad de la información obtenida es en general mucho más alta. 8o siempre un modelo tiene que dar información cuantitativa. " veces, por diversas circunstancias, sólo es posible obtener información cualitativa. Esto puede ocurrir, por 12
ejemplo, en algunos aspectos de problemas vinculados a la hidráulica fluvial o mar!tima.
'ero,
e$isten problemas
de
dise%o
tan
complejos en
los
que
la
obtención de información, aunque sólo sea cualitativa, resulta muy valiosa. a confiabilidad de los modelos hidráulicos es un tema que corresponde a la 4eor!a de 3odelos. Depende de varios factores) tipo de estructura, escalas escogidas, técnicas de laboratorio y, ciertamente, de la calidad de la información básica. a interpretación de los resultados obtenidos, a la que nos hemos referido anteriormente, requiere e$periencia e imaginación y es el fundamento de la confiabilidad de la investigación.
O20ETI3OS DE LOS MODELOS HIDRÁULICOS os modelos hidráulicos por su amplia aplicabilidad integran todas las áreas de conocimientos de la 5ngenier!a 0ivil*(idráulica, son una herramienta que nos permiten desarrollar un trabajo multidisciplinario, es decir llevar a cabo investigaciones. 'ero a su vez forma a nosotros los estudiantes un carácter cr!tico y anal!tico, tomando un esp!ritu investigativo, que a lo largo de nuestra vida nos permitirán llenar vac!os de nuestra formación y poder desarrollarnos como profesionales con toda plenitud. Entonces se puede decir que los modelos hidráulicos llevan consigo fines de integración y formación tanto profesional como cr!tica.
3ENT101S DE LOS MODELOS HIDRÁULICOS a (idráulica tiene la gran ventaja de poder representar f!sicamente, a escala, la mayor parte de sus modelos. 'ara lo cual se ha desarrollado una disciplina espec!fica que es la 4eor!a de 3odelos, la que consiste básicamente en aceptar el principio de similitud, llamado también de semejanza. El principio
de similitud
consiste
en
aceptar que las conclusiones obtenidas del análisis de un fenómeno son aplicables a otro fenómeno. 'or ejemplo, del estudio del salto hidráulico que ocurre en un modelo se pueden obtener conclusiones aplicables al salto hidráulico que ocurre en la naturaleza. 0uando esto es cierto se dice que entre ambos fenómenos hay similitud. 13
14LIC1CIÓN 5 14ORTE DE LOS MODELOS HIDRÁULICOS En hidráulica, la modelación se usa para la simulación de situaciones reales que se producen en el prototipo y cuyo comportamiento se desea conocer& puesto que modelo y prototipo están ligados el uno con el otro, las observaciones y estudio del modelo constituyen la información necesaria
para comprender la naturaleza del prototipo,
debiendo para ello, estar ambos relacionados. Debido a que las simulaciones se producen bajo condiciones controladas de laboratorio los modelos hidráulicos tienen m#ltiples aplicaciones. 4enemos que los modelos hidráulicos, se usan para la solución de problemas relacionados con las estructuras hidráulicas, fenómenos de infiltración o tramos de r!os y
IM4ORT1NCI1 DE LOS MODELOS HIDRÁULICOS EN L1S CONSTRUCCIONES os modelos hidráulicos basan su importancia en la complejidad que representa el tratar temas que abarquen a los fluidos reales. Dicha complejidad se presenta en la aplicación de problemas de hidromecánica, de los cuales para llegar a una solución se han tenido que introducir hipótesis simplificadoras, lo que conlleva a un grado de incertidumbre en el dise%o, es a#n más evidente la necesidad de los modelos hidráulicos cuando se hace uso indiscriminado de coeficientes, constantes y manuales de dise%o sin siquiera tener el respaldo teórico de dichas fórmulas. 'ero al aplicación de los modelos hidráulicos no se queda ah!, son también una herramienta de investigación, a la cual si se la brindara todos los recursos y el apoyo que necesita, podr!a llevar a las universidades y por ende al pa!s un desarrollo tecnológico propio.
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CONCLUSIONES En conclusión en esta monograf!a podr!amos decir que un modelo no resuelve todos los problemas que se presentan en el dise%o hidráulico de una estructura. En principio, el modelo sólo
responde lo que se le preguntó y
para lo que fue dise%ado
mediante la adopción de un apropiado 'arámetro 0aracter!stico de la 5nformación. Del análisis teórico de este parámetro surgen las limitaciones que todo modelo tiene. 7inalmente es recomendable que el ingeniero resuelva los problemas con la ayuda del modelo hidráulico estudiado.
RECOMEND1CIONES Es recomendable analizar muy bien los problemas hidráulicos en la naturaleza, de ello hacer un estudio detallado y proyectar muy bien los modelos hidráulicos aplicando todos los conocimientos teóricos de la matemática y la f!sica, para la construcción de estructuras modernas y de buena resistencia para los fluidos del agua y otros, para ello tendr!amos que poner en practica la secuencia del dise%o de un modelo hidráulico.
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RE/ERENCI1S 2I2LIO6RÁ/IC1S •
5ntroducción a la (idráulica 7luvial. 5ngenier!a 0ivil.
•
0ap!tulo 9: 3odelos 7luviales. 7acultad de
-niversidad 8acional de 5ngenier!a. ima,9;;<.
"rturo 0onsideraciones
1enerales
sobre
los
modelos hidráulicos. =olet!n
4écnico aboratorio 8acional de (idráulica, ima,9;>?. •
0oriolis en los modelos hidráulicos. =olet!n 4écnico aboratorio 8acional de (idráulica, ima, 9;>>.
•
os modelos y su importancia para el dise%o de estructuras hidráulicas. 2evista @El 5ngeniero 0ivilA. 8B C ima, 9;;9.
•
2amón Escurrimientos reales e imaginarios en canales) paradojas y falacias en el cálculo de la curva de remanso. "nales de la -niversidad de 0hile. Estudios en honor de 7rancisco avier Dom!nguez. Fuinta erie 8B <, "gosto 9;. antiago, 0hile
•
16