Modelo molecular de un gas ideal Iniciamos con el desarrollo de un modelo microscópico de un gas ideal, llamado llamado teoría cinética. cinética. Al desarro desarrollar llar este modelo, modelo, se hacen hacen las siguientes siguientes suposiciones: 1. En los gases las moléculas son numerosas y la separación promedio entre ellas es grande en comparación con sus dimensiones. En otras palabras, las molécu moléculas las ocupan ocupan un volume volumen n despr despreci eciabl able e en el conten contenedo edorr. Esto Esto es consistente con el modelo de gas ideal, en el que las moléculas se modelan como partículas. . !as moléculas obedecen las leyes de movimiento de "e#ton, pero como un todo tienen un movimiento movimiento aleatorio. aleatorio. $or %aleatorio %aleatorio& & se entiende que cualquier molécula se puede trasladar en cualquier dirección a cualquier rapide'. (. !as !as molé molécu culas las inte interac ract) t)an an sólo sólo medi median ante te *uer *uer'a 'as s de corto corto alcan alcance ce durante colisiones el+sticas. Esto es consistente con el modelo de gas ideal, en el que las moléculas no eercen *uer'as de largo alcance unas sobre otra. -. !as !as molé molécu culas las tien tienen en colis colisio ione nes s el+s el+sti tica cas s cont contra ra las las pare parede des. s. Esta Estas s coli colisi sion ones es cond conduc ucen en a la pres presió ión n macr macros oscó cópi pica ca sobr sobre e las las pare parede des s del del contenedor. . El gas gas en cons conside iderac ració ión n es una una sust sustan anci cia a pura pura// es deci decir, r, todas todas las moléculas son idénticas. Aunque Aunque con *recu *recuen encia cia se ilustr ilustra a un gas ideal que consis consiste te en +tomos +tomos simples, el comportamiento de los gases moleculares se apro0ima al de los gase gases s idea ideale les, s, mas mas a pres presio ione nes s baas baas.. $or lo gene genera ral, l, las rota rotaci cion ones es mole molecu cula larres o vibr vibrac acio ione nes s no tien tienen en e*ec e*ecto to sobr sobre e los los movi movimi mien ento tos s considerados en este caso.
Colisiones y presión de gas urante los choques, las moléculas eercen *uer'as sobre las paredes del recip ecipie ient nte/ e/ éste éste es el orig origen en de la pres presió ión n del del gas. gas. En un choq choque ue la componente de velocidad paralela a la pared no cambia, y la componente perpendicular a la pared invierte su dirección sin cambiar de magnitud. $rimero determinaremos el n)mero de choques por unidad de tiempo para cier cierta ta +rea +rea de pare pared d A. !u !ueg ego o calc calcula ulare remo mos s el camb cambio io de cant cantida idad d de movimiento total asociado con estos choques y la *uer'a necesaria para provocar ese cambio. Así podremos determinar la presión, que es la *uer'a por unidad de +rea, y comparar el resultado con la ecuación del gas ideal. Encont Encontrar raremo emos s una cone0 cone0ión ión direct directa a entre entre la temper temperatu atura ra del gas y la energía cinética de sus moléculas. $ara comen'ar, supondremos que todas las moléculas del gas tienen la misma magnitud de la componente 0 de velocidad 2v0 2. espués demostraremos demostraremos que este supuesto no es realmente necesario. En cada choque la componente 0 de velocidad cambia de 3 2v0 2 a 2v0 2, así que la componente 0 de la cantidad de movimiento cambia de a y el cambio de la componente 0 de la cantidad de movimiento es 3mv0. 4i una molécula va a chocar con cierta +rea de pared A durante un breve intervalo de tiempo dt, al comen'ar dt deber+ estar cuando mucho a una distancia de la pared pared y dirigida hacia la pared. pared. Así, el n)mero n)mero de moléculas moléculas
que chocan con A durante dt es igual al n)mero de moléculas que est+n dentro de un cilindro con +rea de la base A y longitud 2v0 2 cuya velocidad 0 est+ dirigida hacia la pared. El volumen de tal cilindro es A2v0 2dt. 4uponiendo que el n)mero de moléculas por unidad de volumen 5"678 es uni*orme, el n)mero de moléculas en este cilindro es en promedio, la mitad de estas moléculas se est+n acercando a la pared y la mitad se est+ aleando, así que el n)mero de choques con A durante dt es: 95"78 A2v0 2dt $ara el sistema de todas las moléculas del gas, el cambio total de cantidad de movimiento d$0 durante dt es el n)mero de choques multiplicado por5 m2v0 28:; d$0< 95"78 A2v0 2dt5 m2v0 28<5"Amv0;dt87 !a tasa de cambio de la componente de cantidad de movimiento $0 es
d$0dt<5"Amv0;87
e acuerdo con la segunda ley de "e#ton, esta tasa de cambio de la cantidad de movimiento es igual a la *uer'a eercida por el +rea de pared A sobre las moléculas del gas. $or la tercera ley de "e#ton, ésta es igual y opuesta a la *uer'a eercida sobre la pared por las moléculas. !a presión p es la magnitud de la *uer'a eercida sobre la pared por unidad de +rea, y obtenemos:
p<=A<5"Amv0;87
!a presión eercida por el gas depende del n)mero de moléculas por volumen 5"678, la masa m por molécula y la rapide' de las moléculas.
Presión y energías cinéticas moleculares >encionamos que 2v0 2 no es realmente igual para todas las moléculas, pero podríamos haber organi'ado las moléculas en grupos con la 2v0 2 misma dentro de cada grupo, y luego sumado las contribuciones resultantes a la presión. El e*ecto neto de esto es simplemente sustituir v0; en la ecuación de presión en *unción de la rapide' obtenida por el valor medio de v0; , que denotamos con 5v0; 8med. Adem+s, 5v0; 8med tiene una relación sencilla con la rapide' de las moléculas. !a rapide' v de cualquier molécula est+ relacionada con las componentes de velocidad v0, vy y v' por
v;
4in embargo, en nuestro modelo no hay una di*erencia real entre las direcciones 0, y, y '. 5!as rapideces moleculares son muy altas en un gas típico, así que los e*ectos de la gravedad son
[email protected] 4e deduce que v0;, vy;, v'; deben ser iguales. $or lo tanto, 5v;8 es igual a (5v0;8 y
v0;<1(v;
Así que la ecuación de presión en *unción de la rapide' se convierte en
p7<1("mv;<(5"851mv;8
bservamos que 51mv;8 es la energía cinética de traslación media de una sola molécula. El producto de esto por el n)mero de moléculas " es igual a la energía cinética aleatoria total Btr del movimiento de traslación de todas las moléculas. 5!a notación Btr nos recuerda que esta energía est+ asociada al movimiento de traslación. $odría haber energías adicionales relacionadas con la rotación y la vibración de las moléculas.8 El producto p7 es igual a dos tercios de la energía cinética de traslación total: p7<(Btr
Ahora comparamos esto con la ecuación del gas ideal,
p7
que se basa en estudios e0perimentales del comportamiento de los gases. $ara que las dos ecuaciones concuerden, debemos tener:
Btr<(nCD
Este resultado tan sencillo indica que Btr es directamente proporcional a la temperatura absoluta D
Interpretación molecular de la temperatura Es posible obtener cierta comprensión del signi@cado de la temperatura al comparar ecuaciones obtenidas anteriormente. p7<(5"851mv;8
y
p7<"CD Al igualar los lados derechos de estas e0presiones se obtiene:
D<(5C851mv;8
Este resultado muestra que la temperatura es una medida directa de la energía cinética molecular promedio. Al reordenar esta ecuación, es posible relacionar la energía cinética molecular traslacional con la temperatura:
51mv;8<(CD
