Calculo Diferencial e IntegralDescripción completa
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Descripción: Apostila calculo diferencial e integral 2, KLS
CalculoFull description
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Libro que explica a detalle el Calculo IntegralDescripción completa
calculo integral QUiz 2
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Ejercicios de calculo integral, integrales multiplesDescripción completa
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ejercicios
Ejercicios de calculo integral, integrales multiplesFull description
CUARTA EDICÔN w
ALC ULO DIFERENCIAL EINTEGRAL
EDWARDS Y PENNEY
ÁLGEBRA
Fórmula binomial (x + y)2 = x 2 + 2xy + y2
Fórmula cuadrática
(x + y)3
=
Las soluciones de la ecuación cuadrática 2 ax + bx + e = Oestán dadas por
(x + y)4
=
x=
-b
2a
Para cada entero positivo n, n! = n(n - l)(n - 2) .. , 3·2·1 ;
n.¡;;;,
= (
Exponentes = a'b' (a')S = a rs
donde el coeficiente binomial
= l.
Radicales
V;
~ aS
r
=
=
Si n es
llil
Si n es
llil
x m /n
ar - s
GEOMETRÍA
Área del
Fórmulas para la distancIa
A
Distancia en la recta munérica real: d=
(n)m
(n: ¡)x yn -
1
+ yn,
I( n~ )1' m. n m.
es el entero
Factorlzaclón
araS=ar+~'
(ab)'
(~)xn-ly + G)x n - 2/
n +.oo + G)x - kyk +oo. +
Notacion factorial
por definición, O!
x 4 + 4x3y + 6x 2y 2 + 4xy3 + y4
En general, (x+ yt =x n +
~b2 - 4ac
+
x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
entero positivo, entonces x n _ yn = (x _ y)(x n - 1 + x n - 2y + xn - 3y 2 + oo. +xn - k - 1yk + .. , + xyn - 2 + yn - 1). entero positivo impar, entonces x n + yn = (x + y)(x n - I _ x n - 2y + xn - 3y 2 _ .. , ±xn-k-1yk:¡:oo. _ xy n-2+ y n-I),
triángUJ~ .• ' .",:~.. b
= l-bh 2
...•...
Ár~ ~~~·ectáng1¡Jo: ¡:·, uu(:!u )1h b
f+----d--l
la - bl
I
I
a
b
Distancia en el piano cooidenado:
d= (x1 x2)2 +(y -Yz)2
(x2, Y2)
Ecuaciones de rectas y cIrculos Ecuación pendiente-ordenada pend iente-ordenada al origen: origen: al yy == mx + b
Área del círculo: A = rrr 2 Circunferencia: e = 2rrr
. b2 Area del t:nlpecio:~
A=b l ;b2h
~ b,
y
~
~
Pendiente: ,n
(O,b)
Vohunen de la esfera: x
V = }rrr
Volumen del cilindro: V = rrr 2 h
3
Área de la superficie lateral: A = 2rrrh
- r Área de la superficie:
Ecuación punto-pendiente:
A = 4rrr 2
y - YI = m(x - xl)
e: in
h
(x1, Yi)
Volumen del cono: Circulo con centro (h,k) y radio r:
V=.jJr?h Área de la superficie lateral:
(x-h)2+(y-k?=r 2 x
TRIGONOMETRíA: 2
2
sen A + cos A = 1 tan 2A + 1 = sec 2A 2
(la identidadjimdalllental)
2
cos 2A = cos A - sen A = 1 - 2 sen 2 A = 2 cos 2 A - 1 sen 2A = 2 sen A cos A Vé;¡se los apéndices p;¡ra más fór111ubs de referencia.
A = rrr ~ r 2 + h 2
cosCA + B) = cos A cos B - sen A cosCA - B) = cos A cos B + sen A sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen(A - B) = sen A cos B - cos A cos 2A = 1 + cos 2A
2
sen2A
=
sen B
sen B sen B sen B
1 - cos 2A
2
Lección01
5/19/05
10:15 PM
Page 2
PROYECTOS Los siguientes proyectos usan varias tecnologIas y son la base para el estudio individual o para las tareas en laboratorio.
CAPITULO
1
1.1
1.3
1.4
Solución de ecuaciones por medio del método de tabulación (pág. 13) Solución de ecuaciones por medio del método de aproximaciones sucesivas (pág. 31) Más acerca de la solución de ecuaciones mediante aproximaciones (pág. 42)
2
2.1
3
3.1
3.5 3.6 3.9
Estudio grafico del crecimiento de poblaciones (pág. 106) Extremos mediante aproximación a los ceros de derivadas (pág. 139) Solución gráfica de problemas de aplicación de máximos y mInimos (pág. 154) Implantación en calculadoralcomputadora del método de Newton (pág. 183)
4
4.4 4.5 4.6
Solución gráfica de problemas de cajas no estándar (pág. 218) Gráficas y soluciones de ecuaciones polinomiales (pág. 226) Básqueda de puntos criticos y puntos de inflexión en gráficas exóticas (pág. 241)
5
5.4 5.8 5.9
Cálculo numérico de sumas de Riemann (pág. 287) Cálculo automático de areas (pág. 322) Básqueda de In 2 y jr mediante integración numérica (pág. 335)
6
6.2 6.3 6.4
Aproximación numérica de vokimenes de revolución (pág. 359) Integrales de volumen yjoyerIa de diseñado personalizado (pág. 367) Aproximación numérica de Ia longitud de arco (pág. 375)
7
7.1
7.2 7.3 7.4
Aproximación del nñmero e mediante el cálculo de pendientes (pág. 407) Aproximación del nuimero e mediante integración numénca (pág. 417) Aproximación del niimero e mediante cuadrados sucesivos (pág. 424) Paseo gráfico por donde nadie ha paseado (pág. 430)
8
8.3 8.5
Estudio gráfico de los IImites de formas indeterminadas (pág. 463) Matemáticas del arco de San Luis (pag. 477)
9
9.2 9.5 9.8
4Cuándo son equivalentes dos respuestas (integrales)? (pág. 484) Crecimiento acotado de poblaciones y Ia ecuación IogIstica (pág. 507) Aproximación numérica de integrales impropias (pág. 527)
2.2 2.4
Aproximación gráfica de pendientes de curvas (pág. 59) Estudio numérico de los limites (pág. 70) Aplicaciones de las ecuaciones cübicas y cuárticas (pág. 91)
Cálculo D iferencial e Integral
Qilculo D iferencial e
Integral
Cuarta Edición
C. H. EDWARDS, Jr. The University of Georgia, Athens
DAVID E. PENNEY The University of Georgia, Athens
Traducción:
OSCAR ALFREDO PALMAS VELASCO Facultad de Ciencias, UNAM
Revisión técnica:
VICTOR HUGO IBARRA MERCADO Licenciado en FIsica y Matemáticas ESFM, IPN Escuela de Actuarla, Universidad Anáhuac
Pearson Ediicación
MEXICO ARGENTINA BRAS[L COLOMBIA. COSTA RICA CHILE ESPAJA GUATEMALA. PERU . PUERTO RICO . VENEZUELA
EDIClON EN INGL~S: Acquisiúons Editor: George Lobell Edilor in ChieF. Tim Bozik Developmenr Editor: Karen Kadin Produclion Editor: Edward Thomas Markeling Manager: Melissa Acuña SupplemenlS EdiIOr: Mary Hornby Producl Manager: T rudy Pisciolli Design Direclor: F10rence Dara Silverman Texr Designer: Andrew ZUlis Page LaYOUI: Andrew Zutis, Karen Noferi Cover Designer: Patricia McGowan Cover PhOIO: Michael Portland PhOIO EdiIOr: Lorinda Morris-Nanrz PhOlO Research: Mira Schachne Edilorial Assislance: Joanne Wendelken Texl Composilion: Inreraclive Composiúon Corporalion Art Sludio: Necwork Graphiés Copy EdiIOr: !Jnda Thompson
EDWARDS: cALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. 4a. Ed. Traducido del inglés de la obra: CALCULUS WITH ANALYI1C GEOMETRY (Brief edition) , FOURTH EDITION.
A11 righlS reserved. AUlhorized lranslaúon from English language edition published by Prenrice-Hall. Inc. Todos los derechos reservados. Traducción autorizada de la edición en inglés publicada por Prenrice-Hall, Inc.
Funciones y números reales 2 PROYECTOS 13 1.2 El plano coordenado y las líneas rectas 14 1.3 Gráficas de ecuaciones y funciones 23 PROYECTOS 31 1.4 Un breve catálogo de funciones 33 PROYECTOS 42 1.5 Una vista preliminar: ¿Qué es el cálculo? 42 1.1
I(x)
REPASO: DEFINICIONES, CONCEPTOS, RESULTADOS 46
+
z
z
CAPÍTULO 2
Preludio al cálculo
49
2.3 2.4
Más acerca de los límites 71 El concepto de continuidad 81
:i:
r.
J t., .3_
II II II II
2.2
Rectas tangentes y la derivada: Un primer vistazo PROYECTO 59 El concepto de límite 59
La derivada y las razones de cambio 95 PROYECTO 106 Reglas básicas de derivación 107 La regla de la cadena 118 Derivadas de funciones algebraicas 125 Máximos y minimos de funciones en intervalos cerrados PROYECTO 139 Problemas de aplicación de máximos y mInimos 140 PROYECTOS 154 Derivadas de las funciones trigonométricas 155 Derivación implIcita y razones relacionadas 164 Aproximaciones sucesivas y el método de Newton 173 PROYECTOS 183
94
13 1
REPASO: FORMuLAs, CONCEPTOS, DEFII'ilCIONES 185
CAPITULO 4 Aplicaciones adicionales de la derivada 4.1 (0, 1)
Máximo local, intersección con eL ejey
/"
/
4.2 4.3 4.4
(2. 5) Minimo local
I = I: asjntota vertical x
4.5
4.6
4.7
190
Introduccjón 191 Incrementos, diferenciales y aproximación lineal 191 Funciones crecientes y decrecientes y el teorema del valor medio El criterio de la primera derivada 209 PROYECTO 218 Graficación sencilla de curvas 219 PROYECTOS 226 Derivadas de orden superior y concavidad 227 PROYECTOS 241 Trazo de curvas y asIntotas 242
198
REPASO: DEFINICIONES,CONCEPTOS, RESULTADOS 250
CAPITULO S
La integral
254
Introducción 255 Antiderivadas o primitivas y problemas con condiciones iniciales Cálculo de areas elementales 268 Sumas de Riemann y la integral 279 PROYECTOS 287 5.5 Evaluación de integrales 289 5.6 Valores promedio y el teorema fundamental del cãlculo 296 5.7 Integración por sustitución 306 5.8 Areas de regiOnes planas 3 13 PROYECTOS 322 5.9 Integración numérica 323 PROYECTOS 335 REPASO: DEFINICIoNEs, CONCEPTOS, RESULTADOS 336 5.1
5.2 5.3 5.4
255
Contenido
CAPITULO 6 6.1
6.2 6.3 6.4
6.5 6.6
Apilcaciones de Ia integral
340
Construcción de formulas integrales 341 Volñmenes por el método de secciones transversales 348 PROYECTO 359 VolOmenes por el método de capas cilIndricas 360 PROYECTO 367 Longitud de arco y area de superficies de revoluciOn 367 PROYECTO 375 Ecuaciones diferenciales separables 376 Fuerza y trabajo 383
REPASO: DEFrN1CIONES, CONCEPTOS, RESULTADOS 393
CAPITIJLO 7
e + e'
7.1
7.2 7.3 7.4 7.5 *7.6
Funciones exponenciales y logarItmicas
397
Exponenciales, logaritmos y funciones inversas 398 PROYECTO 407 El logaritmo natural 408 PROYECTO 417 La funciOn exponencial 418 PROYECTO 424 Funciones exponenciales y logarItmicas generales 425 PROYECTO 430 Crecimiento y decaimiento naturales 431 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones 439
REPASO: DEFrN1CI0NEs, CONCEPTOS, RESULTADOS 445
2
CAPITULO 8 (0, 1) y)
.J y
(Sen
8.1 8.2 8.3
\\
-2
-10
-5
0 x
Contenido
5
10
Más acerca del cálculo de Las funciones trascendentes
448
IntroducciOn 449
Funciones trigonométricas inversas 449 Formas indeterminadas y regla de l'Hôpital 458 PROYECTO 463 8.4 Formas indeterminadas adicionales 464 8.5 Funciones hiperbólicas y funciones hiperbOlicas inversas PROYECTO 477 REPASO: DEFINICIONES Y F6RMuLps 478
468
ix
CAP1TULO 9
9.1 9.2
9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8
Técnicas de integración
480
Introducción 481 Tablas de integrales y sustituciones simples 481 484 PROYECTO 485 Integrales trigonométricas Integración por partes 492 Funciones racionales y fracciones parciales 499 507 PROYECTO Sustitución trigonométrica 508 Integrales que contienen polinomios cuadráticos 514 Integrales impropias 519 PROYECTO 527
RESUMEN 528
A-i
Apéndices A B
C D
E F G H I
J K
Respuestas a los problemas impares
A-35
Bibliografla para estudio posterior
A-57
Indice
x
Repaso de trigonometria A-i Demostraciones de las propiedades del lImite A-7 La completitud del sistema de nuimeros reales A-12 Demostraciones de la regla de Ia cadena A-17 Existencia de la integral A- 18 Aproximaciones y sumas de Riemann A-24 Regla de 1'Hôpital y teorema del valor medio de Cauchy A-28 Demostración de la formula de Taylor A-30 Unidades de medida y factores de conversion A-3 1 FOrmulas de algebra, geometrIa y trigonometrIa A-32 El alfabeto griego A-34
1-59
Contenido
Sobre los autores
C. Henry Edwards, University of Georgia, recibió su Ph. D. de la University of Tennessee en 1960. Después impartió clases en la University of Wisconsin por tres años y un aflo en el Institut for Advanced Studies (Princeton), como Alfred P. Sloan Research Fellow. El profesor Edwards acaba de cumplir su año 35 en la enseflanza (incluyendo la enseñanza del cálculo casi todos los años) y ha recibido
premios de enseñanza de numerosas universidades. Su carrera ha ido de la investigación y dirección de tesis en topologla e historia de las matemáticas a las matemáticas aplicadas, a las computadoras y la tecnologIa en matemáticas (su punto de atención en los illtimos años). Además de sus textos de cálculo, cálculo
avanzado, algebra lineal y ecuaciones diferenciales, es bien conocido por los maestros de cálculo como el autor de The Historical Development of the Calculus (Springer-Verlag, 1979). Ha trabaj ado como investigador principal en tres proyectos recientes apoyados por la NSF: (1) Un proyecto para introducir tecnologIa en todo el curriculum de matemáticas en dos sistemas de escuelas pñblicas del noreste de Georgia (incluyendo Maple para estudiantes de los primeros cursos de algebra); (2) un programa piloto Calculus with Mathematica en la University of Georgia; y (3) un proyecto de laboratorio de computación basado en MATLAB para estudiantes de ültimos niveles de análisis numérico y matemáticas aplicadas.
David E. Penney, University of Georgia, terminó su Ph. D. en Tulane University en 1965, a la vez que impartla clases en la University of New Orleans. Anteriormente habla trabajado en biofisica experimental en Tulane University y en el Veteran's Administration Hospital de Nueva Orleans. En realidad, comenzó a impartir clases de cálculo en 1957 y desde entonces ha impartido dicho curso cada periodo. Se unio al departamento de matemáticas en Georgia en 1966 y desde entonces ha recibido premios de enseñanza en varias universidades. El es autor de varios artIculos de investigacion en teorla de nimeros y topologla y es autor o coautor de libros de algebra lineal, ecuaciones cliferenciales y cálculo.
Prefacio
El papel y la práctica de las matemáticas a nivel global y mundial está sufriendo una revolución, con la influencia principal de la tecnología de cómputo. Las calculadoras y los sistemas de cómputo proporcionan a estudiantes y maestros la fuerza matemática que ninguna generación anterior podría haber imaginado. Incluso leemos en los periódicos eventos impresionantes, como el reciente anuncio de la demostración del último teorema de Fermat. En términos de las matemáticas, ¡seguramente ésta es la época más excitante en toda la historia! Así, al preparar esta nueva edición de CALCULO diferencial e integral, deseamos llevar a los estudiantes que lo utilicen algo de esta excitación. También notamos que el curso de cálculo es la puerta principal para las carreras técnicas y profesionales para un número cada vez mayor de estudiantes en un rango cada vez mayor de curricula. Adonde volteemos (en las empresas, el gobierno, la ciencia y la tecnología), casi todo aspecto del trabajo profesional está relacionado con las matemáticas. Por tanto, hemos repensado el objetivo de proporcionar a los estudiantes de cálculo la base sólida para su trabajo posterior que deben obtener de su texto de cálculo. Por primera vez desde que la versión original de este libro se publicó en 1982, esta cuarta edición ha sido revisada desde el principio hasta el fin. Los análisis y explicaciones han sido reescritos en un lenguaje que los estudiantes verán más vivo y accesible. Los temas que rara vez se tocan han sido recortados, para adecuarlos a un curso de cálculo más accesible. Hemos agregado notas históricas y biográficas para mostrar a los estudiantes el lado humano del cálculo, así como proyectos con calculadoras gráficas y laboratorios de cómputo (con opciones para Derive. Maple y Mathematica) para las secciones fundamentales del texto. De hecho, en esta edición se percibe un espíritu y un enfoque nuevos que reflejan el interés prevaleciente en las calculadoras gráficas y los sistemas de cómputo. En forma consistente con el énfasis gráfico del movimiento actual de reforma del cálculo, hemos casi duplicado el número de figuras en el texto, donde gran parte del nuevo material gráfico es generado por computadora. Muchas de estas figuras adicionales sirven para ilustrar un enfoque de más deliberación y exploración a la solución de problemas. Nuestra propia experiencia en la enseñanza sugiere que el uso de la tecnología contemporánea puede hacer que el cálculo sea más concreto y accesible a los estudiantes.
Características de la cuarta edición
Al preparar esta edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comentarios y sugerencias de los usuarios de las primeras tres ediciones. Esta revisión ha sido tan completa que las modificaciones son demasiadas como para enumerarse aquí. Sin embargo, los párrafos siguientes resumen las modificaciones de mayor interés. xüi
Problemas adicionales El nimero de problemas ha crecido poco a poco desde la primera edición y ahora suman casi 6000. En la tercera y cuarta ediciones hemos insertado muchos ejercicios de práctica adicionales al principio de los conjuntos de problemas, para garantizar que los estudiantes obtengan la confian.za y habilidad de cómputo suficiente antes de pasar a los problemas más conceptuales que constituyen el objetivo real del cálculo. En esta edición hemos agregado también problemas basados en gráficos que enfaticen Ia comprensión conceptual y acostumbren a los estudiantes a utilizar las calculadoras gráficas.
Nuevos ejemplos y detalles de cômputo En muchas de las secciones de esta edición, hemos insertado un primer ejemplo más sencillo o reemplazado ejemplos ya existentes por otros cuyo cómputo es más sencillo. Además, insertado una lInea o dos más de detalles de cómputo en muchos de los ejemplos resueltos para facilitar su seguimiento al estudiante. Realizamos estos cambios de modo que los cómputos no sean una barrera contra la comprensión conceptual.
Material proyecto Hemos insertado proyectos complementarios (un total de 48) en todo el libro. Cada proyecto utiliza algiin aspecto de la tecnologIa actual de cómputo para ilustrar las ideas principales de la sección que lo precede, y cada uno contiene por lo general problemas adicionales cuya solución pretende usar una calculadora gráfica o una computadora. Las figuras y los datos ilustran el uso de calculadoras gráficas y sistemas de cómputo como Derive, Maple y Mathematica. Este material proyecto es adecuado para su uso en un laboratorio de computadoras o calculadoras conducido en relación con un curso estándar de cálculo, tal vez con una reunion a la semana. También se puede utilizar como base para las tareas con calculadoras gráficas o computadoras que los estudiantes deben real izar fuera de clase o para su estudio individual.
Gráficospor coinputadora Ahora que las calculadoras gráficas y las computadoras han llegado para quedarse, es posible y recomendable el creciente énfasis en la visualización grafica, junto con el trabajo numérico y simbólico. Cerca de 250 figuras nuevas generadas con MATLAB ilustran el tipo de figuras que los estudiantes pueden producir por si mismos con las calculadoras graficas. Muchas de éstas se incluyen con material nuevo para problemas gráficos. Incluimos cerca
de 100 gráficos a color generados con Mathematica para resaltar todas las secciones relacionadas con el material tridimensional.
Material históricoy biografico Hemos insertado material histórico y biográfico al pnncipio de cada capItulo para dar a los estudiantes una idea del desarrollo de nuestra materia por seres humanos reales, vivos. Ambos autores se basan en la historia de las mismas y creen que puede influir de manera favorable en la enseñanza de las matemáticas. Por esta razón, también aparecen en el texto varios comentarios históricos. CapItulos introductorios Hemos insertado los capItulos 1 y2 para un inicio más claro y rapido del cálculo. El capItulo 1 se centra en las funciones y las graficas. Incluye ahora una sección que cataloga las funciones elementales del cálculo y proporciona una base para un énfasis temprano en las funciones trascendentes. El capItulo 1 concluye ahora con una sección dedicada a la pregunta "LQue es el cálculo?" El capItulo 2, de lImites, comienza con una sección relativa a las rectas tangentes para motivar la introducción oficial de los lImites en Ia sección 2.2. En xiv
Prefacio
contraste con la tercera edición, esta edición trata los ilmites trigonométricos en todo el cap Itulo 2, para apoyar una introducciOn más rica y más visual del concepto de ilmite.
CapItulos de derivaciôn La secuencia de los temas en los capItulos 3 y 4 varIa un poco con respecto del orden tradicional. Intentamos dar confianza al estudiante presentando los temas en orden creciente de dificultad. La regla de Ia cadena aparece un poco temprano (en la sección 3.3) y tratamos las técnicas básicas de derivación de funciones algebraicas antes de analizar los máximos y mInimos en las secciones 3.5 y 3.6. La aparición de las funciones inversas se difiere ahora hasta el capItulo 7. La sección 3.7 trata ahora de las derivadas de las seis funciones trigonométricas. La derivación implIcita y las razones relacionadas con ésta se combinan en una sola sección (Sección 3.8). El teorema del valor medio y sus aplicaciones se difieren hasta el capItulo 4. Las secciones 4.4 acerca del criterio
de la primera derivada y 4.6 acerca de las derivadas de orden superior y la concavidad se han simplificado y adecuado al flujo del texto. Se ha agregado gran
cantidad de material gráfico en las secciones de trazo de curvas con las que concluye el capItulo 4.
CapItulos de infegración Se han insertado nuevos ejemplos más sencillos en los capItulos 5 y 6. Las primitivas (anteriormente al final del capItulo 4) abren ahora el capItulo 5. La sección 5.4 (sumas de Riemann) se ha simplificado en gran medida, eliminando las sumas superiores e inferiores, enfatizado en vez de ellas las sumas con puntos medios o con extremos. Muchos maestros piensan ahora que las primeras aplicaciones de la integral no deben confinarse al estándar de cálculo de areas y voliimenes; la sección 6.5 es una sección opcional que presenta las ecuaciones diferenciales separables. Para eliminar la redundancia, el material de centroides y el teorema de Pappus se pasa al capItulo 15 (Integrales multiples), donde se puede estudiar en un contexto más natural.
Opciones tempranas para las funciones trascendentes Se dispone de dos versiones "tempranas de funciones trascendentes": una que incluye el cálculo de varias variables y una que solo trata el cálculo de una variable. En la version "regular", la flexible organización del capItulo 7 comienza con el "enfoque del bachillerato" de las funciones exponenciales, seguido de la idea de un logaritmo como la potencia a la que debemos elevar la base a para obtener el nümero x. Sobre esta base, 13 secciOn 7.1 hace un repaso sencillo de las leyes de los exponentes y de los logaritmos e investiga de manera informal la derivación de las funciones exponencial y logarItmica. Esta sección acerca del cálculo diferencial elemental de las exponenciales y los logaritmos se puede estudiar en cualquier momento, después de la sección 3.3 (regla de la cadena). Si esto se hace, entonces se puede estudiar la sección 7.2 (basada en la definición del logaritmo como una integral) en cualquier momento, después de definir la integral en el capItulo 5 (junto con gran parte del resto del capItulo 7, como desee el maestro). De esta forma, el texto se puede adecuar a un curso más sencillo que incluya de manera temprana las funciones exponenciales en el cálculo diferencial yb de manera temprana las funciones logarItmicas en el cálculo integral.
Las demás funciones trascendentes (funciones trigonométricas inversas e hiperbOlicas) se estudian ahora en el capItulo 8. Este capItulo recién reorganizado incluye ahora las formas indeterminadas y la regla del'Hôpital (más temprano que en la tercera ediciOn). Prefacio
xv
Técnicas de integraciôn modernizadas El capItulo 9 está organizado para adecuarse a los maestros que piensan que los métodos de integración formal necesitan
ahora un menor énfasis, en vista de las téçnicas modernas para la integración numérica y simbólica. Es de suponer que todosdeseen tratar las primeras cuatro secciones del cap Itulo (hasta la integración por partes en la sección 9.4). El método de fracciones parciales aparece en la sección 9.5 ylas sustituciones trigonométricas y las integrales con polinomios cuadráticos aparecen después, en las secciones 9.6 y 9.7. Las integrales impropias aparecen ahora en la sección 9.8 y las sustituciones
de racionalización más particulares han sido desplazadas a los problemas del capItulo 9. Este reordenamiento del capItulo 9 lo hace más conveniente para detenerse cuando el maestro lo desee.
Ecuaciones diferenciales Muchos maestros de cálculo piensan ahora que las ecuaciones diferenciales deben estudiarse de la forma más temprana y frecuente posible. Las ecuaciones diferenciales más sencillas, de la formay' =f(x), aparecen en una subsección al final de la sección 5.2. La sección 6.5 ilustra las aplicaciones de la integral a la solución de ecuaciones diferenciales separables. La sección 9.5 incluye aplicaciones del método de fracciones parciales a problemas de población y a la ecuación logistica. De esta forma, hemos distribuido algo del espIritu y el
sabor de las ecuaciones diferenciales en el texto, de modo que parecIa claro eliminar el iltimo capItulo de nuestra tercera ediciOn, dedicado exclusivamente a las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, los que asI lo deseen pueden comunicarse con Prentice Hall para solicitar las secciones adecuadas para el uso complementario de Edwards y Penney, Ecuaciones dferenciales elementalesyproblemas con condiciones en lafrontera, tercera edición.
Mantenimiento de la fuerza tradicional
Aunque se han agregado muchas caracterIsticas nuevas, siguen presentes cinco objetivos relacionados entre si: concretez, legibiidad, motivación, aplicabilidad y precision.
Concretez La fuerza del cálculo es impresionante por sus respuestas precisas a preguntas y problemas reales. En el necesano desarrollo conceptual del cálculo, mantenemos siempre la pregunta central: j,Cómo calcularlo realmente? Enfatizamos de manera particular los ejemplos, aplicaciones y problemas concretos que sirven para resaltar el desarrollo de la teorla y demostrar la admirable versatilidad del cálculo en el estudio de importantes cuestiones cientIficas. Legibilidad Las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas se complican con frecuencia por las dificultades en el lenguaje. Nuestro estilo de escritura parte de la creencia de que la exposición liana, intuitiva y precisa, hace más accesibles las matemáticas (y por tanto más fáciles de aprender) sin pérdida de rigor. En esta edición hemos intentado hacer que nuestro lenguaje sea claro y atractivo para los estudiantes, de modo que ellos puedan y quieran leerlo, permitiendo entonces a los maestros concentrar el tiempo de la clase en los aspectos menos rutinarios de la enseñanza del cálculo. Motivación Nuestra exposición se centra en los ejemplos del empleo del cálculo para resolver problemas reales de interés para las personas reales. Al seleccionar tales problemas para los ejemplos y ejercicios, hemos utilizado el punto de vista de que el interés estimulante y el estudio eficaz motivante van de xvi
Prefacio
la mano. Intentamos aclarar a los estudiantes Ia forma en que el conocimiento obtenido con cada concepto o técnica valdrá el esfuerzo. En los análisis teóricos, en particular, intentamos proporcionar una imagen intuitiva del objetivo antes de perseguirlo.
Aplicaciones Las diversas aplicaciones del cálculo son lo que atrae a muchos estudiantes hacia la materia, y las aplicaciones realistas proporcionan una valiosa motivación y refuerzo para todos ellos. Nuestro libro es bien conocido por el amplio rango de aplicaciones incluidas, pero no es necesario ni recomendable que cada curso abarque todas las aplicaciones en el mismo. Cada sección o subsección que se pueda omitir sin pérdida de continuidad se marca con un asterisco. Esto proporciona flexibilidad para que un maestro determine su propio énfasis. Precision Nuestro tratamiento del cálculo es completo (aunque esperamos que sea menos que enciclopédico). Más que sus antecesores, esta edición fue sujeta a un proceso amplio de revision para ayudar a garantizar su precisiOn. Por ejemplo, esencialmente todas las respuestas a problemas en la secciOn de respuestas a! final de esta edición ha sido verificada con Mathematica. Con respecto a la selección y secuencia de los temas matemáticos, nuestro enfoque es tradicional. Sin embargo, un examen cercano del tratamiento de los temas estándar puede delatar nuestra
propia participación en el movimiento actual por revitalizar la enseñanza del cálculo. Continuamos en favor de un enfoque intuitivo que enfatice la comprensiOn conceptual y el cuidado en la formulación de las definiciones y conceptos funda-
mentales del cálculo. Algunas de las demostraciones que se pueden omitir a criterio del maestro aparecen a! final de las secciones, mientras que otras se difieren
a los apéndices. De esta forma, damos amplio margen para la variación en la büsqueda del equilibrio adecuado entre el rigor y la intuición.
Ag radecimientos
Todos los autores experimentados conocen el valor de la revision crItica durante la preparaciOn y revision de un manuscrito. En nuestro trabajo con varias ediciones
de este libro, nos hemos beneficiado en gran medida con el consejo de los siguientes revisores, excepcionalmente hábiles: Leon E. Arnold, Delaware County Community College H. L. Bentley, University of Toledo Michael L. Berry, West Virginia Wesleyan College William Blair, Northern Illinois University George Cain, Georgia Institute of Technology Wil Clarke, Atlantic Union College Peter Colwell, Iowa State University William B. Francis, Michigan Technological University Dianne H. Haber, Westfield State College John C. Higgins, Brigham Young University
Prefacio
xvii
W. Cary Huffrnan, Loyola University of Chicago Calvin Jongsma, Dordt College Morris Kalka, Tulane University Louise E. Knouse, Le Tourneau College Catherine Lilly, Westfield State College Joyce Longman, Villanova University E. D. McCune, Stephen F. Austin State University Arthur L. Moser, Illinois Central College Barbara Moses, Bowling Green University Barbara L. Osofsky, Rutgers University at New Brunswick John Petro, Western Michigan University James P. Qualey, Jr., University of Colorado Thomas Roe, South Dakota State University Lawrence Runyan, Shoreline Community College William L. Siegmann, Rensselaer Polytechnic Institute John Spellman, Southwest Texas State University Virginia Taylor, University of Lowell Samuel A. Truitt, Jr., Middle Tennessee State University Robert Urbanski, Middlesex County College Robert Whiting, Villanova University Cathleen M. Zucco, Le Moyne College
Muchas de las mejoras realizadas a esta obra deben acreditarse a nuestros colegas y los usuarios de las primeras tres ediciones en Estados Unidos, Canada y otros palses. Estamos agradecidos con aquellos que nos han escrito, particularmente los estudiantes, y esperamos que continüen haciéndolo. Agradecemos a Betty Miller de West Virginia University su diligente resolución de los problemas
y a Tern Bittner, quien junto con su equipo en Laurel Tutoring (San Carlos, California) verificaron la precision de toda solución a los ejemplos y los ejercicios impares. También pensamos que la calidad del libro terminado es un testimonio
adecuado de la capacidad, diligencia y talento de un equipo excepcional en Prentice Hall. Damos las gracias particularmente a George Lobell y Priscilla McGeehon, editores de matemáticas; Karen Karlin, editor de desarrollo, Ed Thomas, editor de producción; y Andy Zutis, diseñador. Por ültimo, no podemos agradecer lo suficiente a Alice Fitzgerald Edwards y Carol Wilson Penney su apoyo, ánimo y paciencia continuos. C. H. E., Jr
Es posible que el erudito francés del siglo XVII René Descartes sea más recordado hoy en día como filósofo que como matemático. Pero muchos de nosotros estamos fami1iarizados con el "plano cartesiano", en donde la posición de un punto P queda determinada por sus coordenadas (x, y).
o
Durante su época de estudiante, con frecuencia Descartes tenía permiso de levantarse tarde, debido a su supuesta salud quebrantada. Él afirmaba que pensaba más claramente acerca de la filosofia, la ciencia y las matemáticas cuando estaba cómodamente acostado en las frías mañanas. Después de graduarse en derecho (lo que estudió aparentemente con poco entusiasmo), Descartes viajó con varios ejércitos por algunos años, pero más como un caballero que como un militar profesional.
metría. Su principal idea (establecida casi en forma simultánea por su coterráneo Pierre de Fermat) fue la correspondencia entre una ecuación y su gráfica, que era por 10 general una curva en el plano. La ecuación se podía utilizar para estudiar la curva, o viceversa.
o
Supongamos que queremos resolver la ecuaciónf(x) = O. Sus soluciones son los puntos de intersección de la gráfica y = f(x) con el eje x, de modo que una imagen precisa de la curva muestra el número y posiciones aproximadas de las soluciones de la ecuación. Por ejemplo, la gráfica de
tiene tres intersecciones con el ejex, 10 que muestra que la ecuación
tiene tres soluciones reales (una entre-1 yO,otraentreOy 1,yunamás entre 2 y 3). Una calculadora gráfica moderna o un programa de graficación para computadora pueden aproximar estas soluciones de manera más precisa, amplificando las regiones donde se localizan. Por ejemplo, la región central agrandada muestra que la solución correspondiente es x "" 0.65.
4
2
>o -0.1
o
Después de establecerse por fin (en Holanda), Descartes publicó en 1637 su famoso tratado filosófico Discurso del método (Del buen razonamiento y la búsqueda de la verdad en las ciencias). Uno de los tres apéndices de su obra establecía su nuevo enfoque "analítico" de la geo-
y=.0- 3r+ 1
-0.2
-'4
-4
-7
0
2
4
0.4
La gráfica de y = ~ - 3x2 + 1
0.8
1.1 / Funciones y nUmeros reales
El cálculo es uno de los logros supremos del intelecto humano. Esta disciplina matemática surge principalmente de los estudios realizados en el siglo XVII por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716). Sin embargo, algunas de sus ideas datan de la época de ArquImedes (287-212 a.C.) y tuvieron
su origen en culturas tan diversas como la de Grecia, Egipto, Babilonia, India, China y Japón. Muchos de los descubrimientos cientIficos que han formado nuestra civilización durante los ültimos tres siglos hubieran sido imposibles sin el uso del cálculo. El principal objetivo del cálculo es el análisis de problemas de cambio y movimiento. Estos problemas son fundamentales, pues vivimos en un mundo de cambios constantes, pleno de cuerpos en movimiento y con fenómenos de flujo y reflujo. En consecuencia, el cálculo sigue siendo an tema de gran trascendencia; en la actualidad, este cuerpo de técnicas de cómputo continua sirviendo como el lenguaje cuantitativo principal de la ciencia y la tecnologIa. Gran parte del cálculo implica el empleo de los nümeros reales o de variables para describir las cantidades cambiantes y el uso de flinciones pam describir las relaciones entre las diversas variables. En esta sección inicial haremos en primer lugar an repaso de la notación y terminologIa de los nómeros reales y después anal izaremos las funciones con más detalle.
NUMEROS REALES Los nümeros reales son familiares al lector. Son los nimeros que se usan en forma comün en Ia mayor parte de las mediciones. La masa, la velocidad, la temperatura
y Ia carga de an cuerpo se miden mediante nümeros reales. Estos se pueden representar por desarrollos decimales finitos o infinitos; de hecho, todo nümero real tiene un desarrollo decimal infinito, pues un desarrollo finito puede seguir con una infinidad de ceros:
= 0.375 = 0.375000000. Cualquier decimal periódico, como
= 0.31818 181818 . representa un niimero racional, dado como el cociente de dos enteros. RecIprocamente, todo nümero racional se representa mediante un desarrollo decimal periódico, como los que se muestran aqul. El desarrollo decimal de an nñmero irracional (an nümero que no es racional), como
1.414213562.
.
.
o
rr = 3.1415926535 89793
es infinito y no periOdico. La interpretación geométrica de los nümeros reales como puntos en la recta
3
2
I
I
i
I
1
0
1
2
Figura 1.1.1
2
La recta real R
i
real (o recta numérica real) R también debe serle familiar. Cada nimero real es representado precisamente por an punto de R, y cada punto de R representa precisamente an nümero real. Por convención, los nümeros positivos estn a Ia derecha de cero y los niimeros negativos ala izquierda, como en Ia figura 1.1.1.
Las siguientes propiedades de las desigualdades de nümeros reales son fundamentales y se usan con frecuencia: Capitulo 1/ Funciones y gráficas
Si a
(1)
Si a 0, entonces ac
Si a bc. Las iltimas dos proposiciones significan que una desigualdad se preserva cuando sus miembros se multipiican por un nñmero posilivo, pero se invierte cuando se multiplican por un nimero negativo.
VALOR ABSOLUTO La distancia (no negativa) en Ia recta real entre cero y el nümero real a es el valor absoluto de a, que se escribe I a I. En forma equivalente,
a
I
al
-a
sia0;
(2)
si a <0.
La notación a 0 significa que a es mayor que cero o igual a cero. La ecuación (2) implicaque a1 0paratodornimero reala y que a1 = 0 si y sólosi a = 0.
EJEMPLO 1 Como lo muestra la figura 1.1.2, 1-31=3 FI
141=4
141=4 I
I
-3
I
J
I
I
I
4
0
Figura 1.1.2 El valor absoluto de un niirnero real es simplemente su distancia a! cero (Ejemplo 1)
=3
y
Adernás, lo =0 y Hh-2 I =2-V,dondeestouiltimoescierto,pues2> Asi, 'f -2 <0 y entonces
Hi-21 =-(-2)=2-i. Las propiedades siguientes de los valores absolutos se usan con frecuencia:
