Alessandro Murtas, A.A. 2012/2013
21/03/2013
Misura della densità di un materiale sconosciuto Riassunto L’esperimento si proponeva di calcolare, mediante l’uso del picnometro, la densità di cluster metallici forniti al gruppo di laboratorio dai docenti. Dopo le misurazioni della temperatura dell’acqua distillata usata per il picnometro, della temperatura della stanza, del volume del picnometro e del peso dei cluster, abbiamo trovato una densità di 7,75+0,35kg/m3, che è in buona approssimazione la gravità specifica a 20°C e a 1atm del ferro.
Rimandi alla teoria Propagazione degli errori Una grandezza fisica derivata G, che dipende dalle variabili indipendenti x, y, z,..., è soggetta agli errori di tutte le variabili che la compongono. L’errore sarà dunque calcolato nella seguente maniera: (1.1) √(
)
(
)
(
)
√
√(
)
(
)
(
)
dove σG è la deviazione standard della grandezza derivata, ∂G è la derivata parziale della grandezza derivata e N è il numero di misure eseguite per ogni variabile indipendente.
Densità di un materiale La densità di un materiale (o massa volumica) è indicata con la lettera greca “rho” e si definisce come il rapporto tra la massa e il volume: (1.2)
dove ρ è la densità, m è la massa inerziale e V è il volume. L’unità di misura nel sistema internazionale è il kg su m3.
Calcolo della densità col picnometro Per calcolare la densità di un materiale col picnometro (di cui più avanti seguirà una breve descrivione) l’algoritmo applicativo da usare è il seguente: - Si pesa il picnometro, riempito precedentemente con acqua distillata, con una bilancia di precisione; - Si pesa il picnometro, riempito precedentemente con acqua distillata, e ci pone a fianco il campione del quale si vuole misurare la densità; - Si pesa il picnometro, riempito con acqua distillata e col campione del quale si vuole misurare la densità. Dopo aver raccolto i dati sperimentali, si usa la formula sottostante per calcolare la densità del campione. (1.3)
dove ρ è la densità del materiale sotto esame, ρacqua è la densità dell’acqua nel picnometro, m1 è la massa del picnometro riempito con acqua distillata, m2 è la massa del picnometro riempito con acqua distillata più il campione a secco ed m3 è la massa del picnometro reimpito con acqua distillata e il campione da misurare.
Spinta idrostatica La spinta idrostatica (conosciuta anche come spinta o principio di Archimede) è una legge scoperta dal fisico e matematico greco Archimede di Siracusa nel V secolo a.C. Tale legge afferma che “un corpo immerso (totalmente o parzialmente) in un fluido riceve una spinta verticale dal basso verso l'alto di intensità pari al peso della massa del fluido spostato”. La situazione è ben descritta dal diagramma sottostante. Fig (1.1)
Nel diagramma FA è la spinta di Archimede, Fp è la forza peso e Vi è il volume del corpo in questione. Matematicamente parlando, di ha che
(1.4)
e (1.5) dove, nella (1.4), FA è la spinta di Archimede, ρfluido è la densità del fluido nel quale il corpo è immerso, g è l’accelerazione di gravità e V è il volume della massa di fluido spostata. Nella (1.5) Fp è la forza peso, ρcorpo è la densità del corpo immerso nel fluido, g è l’accelerazione di gravità e V è il volume del corpo che sposta la massa di fluido. Fisicamente parlando si avranno tre possibili comportamenti del corpo: - Il corpo cade verso il fondo se FAFp; - Il corpo, sommerso completamente dal fluido, resta sospeso se FA=Fp.
Architettura dell’esperimento e procedura sperimentale Elenco e descrizione degli strumenti utilizzati - Picnometro; - Termometro ambientale (risoluzione 1°C); - Bilancia elettronica di precisione (risoluzione 0,0001g); - Becher graduato (risoluzione 0,01 litri); - Becher non graduato; - Cluster metallici; - Acqua distillata.
Descrizione degli strumenti Per ovvie ragioni, benchè sia comunque interessante, non si procederà con la descrizione dettagliata di tutta la strumentazione. La strumentazione non descritta sarà la bilancia, i becher, i cluster metallici fornitici e l’acqua distillata.
Termometro Fig (1.2)
Il termometro è uno strumento di misura utile per stabilire quantitativamente la palesazione dell’energia cinetica dell’insieme delle particelle che compongono un corpo, detta temperatura. Lo strumento è costituito da una scala graduata più o meno precisa per la lettura dello strumento, un capillare di materiale trasparente in cui scorre il liquido che, in base alla taratura, si ferma a una certa quota del termometro (che, in base alla scala graduata, dice all’utilizzatore il valore della misura) e un bulbo, posto all’estremità metallica del termometro, che contiene il liquido inespanso. Più lo scambio di calore tra corpo e parte metallica è consistente, più il liquido si dilata; dunque, più la quota del liquido nel capillare sale.
Picnometro Fig (1.3)
Il picnometro è uno strumento utile alla misura di peso specifico e densità di un corpo. È di solito in vetro e il modello a disposizione per l’esperienza di laboratorio è costituito da un serbatoio, un termometro posto sulla sommità principale e un tubo capillare sormontato da un tappo per far uscire le eventuali bolle d’aria che si formano naturalmente qualora il picnometro sia riempito d’acqua. Essendo lo strumento non graduato, il gruppo di laboratorio ha pensato di fare riferimento alla quota massima del fluido del capillare.
Descrizione della procedura sperimentale Abbiamo deciso che, per misurare la densità dei cluster metallici, dovessimo procedere in questo modo. Abbiamo riempito il picnometro con acqua distillata e poi abbiamo proceduto a eseguire un bagno termostatico allo strumento per non far subire all’acqua e al vetro dello stesso variazioni rilevanti della temperatura che avrebbero compromesso la densità dell’acqua distillata, del campione e dello strumento e, logicamente, tutto l’esperimento. Il bagno termostatico è stato eseguito in un becher da laboratorio non graduato riempito d’acqua della rete idrica. Abbiamo misurato costantemente la temperatura dell’acqua con un termometro chimico e il risultato è stato che l’acqua della rete idrica aveva una temperatura di 19+1°C. Dopo aver atteso per circa 15 minuti che la temperatura del sistema becher+picnometro avesse raggiunto l’equilibrio termico abbiamo prelevato il picnometro dal becher e abbiamo eseguito tre pesate con la bilancia elettronica, misurando il peso del picnometro, il peso del picnometro con i cluster metallici fuori dal serbatoio dello strumento e, infine, il peso del picnometro con i cluster metallici dentro il serbatoio dello strumento.La pesata del campione fuori e dentro è data dal fatto che il peso dei cluster metallici fornitici cambiava, a seconda del fluido nel quale erano immersi. Abbiamo eseguito una pesata di prova e due effettive, e i risultati sono stati i seguenti. Tab (1.1) 1° pesata 2° pesata Picnometro 92,93g 92,91g Picnometro e cluster metallici 103,29g 103,27g Picnometro con cluster metallici 101,99g 101,89g N.B. Ho approssimato i valori delle misure da 4 a 2 per una notazione più leggera. Dopo aver eseguito le pesate, abbiamo misurato la spinta idrostatica del fluido aria per essere certi che non influisse in modo decisivo sul risultato dell’esperimento. Per far ciò abbiamo cercato in rete il valore della densità dell’aria alla temperatura del laboratorio, misurata una sola volta con il termometro chimico. Il risultato di tale misura è stato di 20°C e, nella pagina web http://it.wikipedia.org/wiki/Densità, abbiamo scoperto che l’aria a 20°C ha una densità pari a 1,204 kg/m3 a 1 atm. Non avendo a disposizione un barometro non ci è stato possibile misurare con precisione la pressione atmosferica ma, considerato che il territorio del comune di Monserrato è a un’altezza sopra il livello del mare media di 2m e che a 0m sopra il livello del mare la pressione è pari a 1atm, abbiamo considerato trascurabile la differenza di pressione che intercorre fra due luoghi a 2m di dislivello. Abbiamo poi misurato il volume del picnometro immergendolo in un becher graduato con risoluzione 0,01litri, in modo da valutare il volume dello strumento in base a quanto il livello dell’acqua si alzasse. Abbiamo eseguito questa misura una sola volta. Il volume risultante ci è poi servito per calcolare la forza con cui l’aria spinge verso l’alto i corpi immersi in essa.
Analisi dei dati Calcolo della deviazione standard della media delle misure Utilizzando la formula per il calcolo della deviazione standard di una media di misure, otteniamo che: (2.1) √ per la deviazione standard della misura della massa dell’acqua distillata a 19°C nel picnometro, (2.2) √ per la deviazione standard della misura della massa dell’acqua distillata a 19°C nel picnometro e i cluster metallici fuori dallo strumento. Infine, si ha che (2.3) √ per la deviazione standard della misura della massa dell’acqua distillata a 19°C nel picnometro e i cluster metallici dentro allo strumento. Riducendo le cifre significative a 2, si ottiene che: - σ picnometro e acqua = σx = 0,0105 ≈ 0,011 ≈ +0,01; - σ picnometro, acqua e cluster fuori = σy≈ 0,0054 ≈ 0,005 ≈ +0,01; - σ picnometro, acqua e cluster dentro = σz≈ 0,0500 ≈ 0,071 ≈ +0,05. Si ricordi che, nella (2.1), (2.2) e (2.3) l’ultimo segno di eguaglianza è “circa uguale a”. Questo è esplicito perchè ho ridotto la media a 4 cifre decimali. Ho inoltre deciso di approssimare a 2 cifre decimali dopo il calcolo della deviazione standard, in modo da avere valori più accurati. Il valore di σz è relativamente alto perché il campione, a causa del contatto con l’acqua, ha man mano perso limatura durante il processo di pesata e la misura è stata un poco compromessa.
Calcolo della densità Usando la formula (1.3) si ha che: (2.4)
Ho deciso di misurare la media delle masse poiché le varie misure sono state eseguite a condizioni di temperatura e pressione pressocchè uguali.
Calcolo della propagazione degli errori nella deviazione standard della densità Usando la formula (1.1) si ha che: (2.5) √
√(
)
(
)
(
)
Calcolo della spinta idrostatica sul picnometro immerso nell’aria Utilizzando le formule (1.4) si ha che: (2.6)
Discussione dei risultati Le rispettive deviazioni standard della pesata col picnometro e della pesata del picnometro più il campione fuori dall’acqua sono abbastanza accurate. Suppongo che il problema della deviazione standard un po’ elevata rispetto alle altre due (ovvero la deviazione standard della pesata del picnometro col campione dentro) sia dovuto al fatto che il materiale, durante le operazioni di pesata in acqua e, soprattutto, durante le operazioni di asciugatura, abbia perso abbastanza limatura da compromettere la deviazione. Nella propagazione dell’errore si nota vistosamente. Sebbene non sia molto accurata, il calcolo della misura della densità è stato abbastanza preciso da mostrare che, con ampia probabilità, il materiale fornitoci dai docenti è ferro. Infine, la misura della spinta idrostatica del picnometro immerso in aria è risultata essere superflua perché la spinta è talmente debole che non intacca in modo significativo le pesate nella bilancia di precisione presente in laboratorio.
Conclusioni Riassunto dei risultati Tab (1.2) σx +0,01g
σy +0,01g
σz +0,05g
σG +0,35kg/m3
ρ 7,75+0,35kg/m3
FA 8,24∙10-5N
