Mi Nuevo Libro Sunrise Matematicas 5 Alumno CR

MATEMÁTICAS

5

Verónica Ruiz Molina Abelardo López Trujillo

MATEMÁTICAS Verónica Ruiz Molina Abelardo López Trujillo

5

Datos de catalogación Autores: Verónica Ruiz Molina Abelardo López Trujillo Mi nuevo libro Sunrise. Matemáticas 5 Primera edición, educación básica. Pearson Educación de México, S.A. de C.V., 2016 ISBN: 978-607-32-3717-8 Área: Primaria Formato: 21 × 27 cm

Páginas: 216

Mi nuevo libro Sunrise. Matemáticas 5 Texto del estudiante El proyecto didáctico Mi nuevo libro Sunrise. Matemáticas 5 es una obra colectiva creada por un equipo de profesionales mexicanos quienes cuidaron el nivel y pertinencia de los contenidos, lineamientos y estructuras establecidos por el departamento pedagógico de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Dirección general: Sergio Fonseca ■ Dirección de contenidos y servicios digitales: Alan Palau ■ Gerencia de contenidos: Jorge Luis Íñiguez ■ Especialista en contenidos de aprendizaje: Ángeles Toledo Olmos ■ Gerencia de arte y diseño: Asbel Ramírez ■ Coordinación de arte y diseño: Mónica Galván ■ Supervisión de arte y diseño: Enrique Trejo ■ Edición de desarrollo: Rubén García Madero, Karina Islas Ríos, Mario Aburto Castellanos, Milosh Trnka ■ Corrección de estilo: Mario Aburto Castellano, Patricia Martínez ■ Lecturas: Rubén García Madero, César Jiménez ■ Diseño de interiores: Daniel Moreno ■ Diseño de portada: equipo de arte y diseño Pearson ■ Composición y diagramación: La Caja servicios editoriales ■ Ilustración: Carlos Augusto Gutiérrez Mora Mónica Alejandra Cahue Morales, Víctor Eduardo Sandoval Ibanez, Jesús Enrique Gil de María y Campos, Rodrigo Azael Hernández Brindis, Jonathan Rosas Castro.

Especialista en contenidos de aprendizaje: Ángeles Toledo Olmos e-mail: [email protected]

ISBN LIBRO IMPRES0: 978-607-32-3717-8

D.R. © 2016 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Avenida Antonio Dovalí Jaime #70 Torre B, Piso 6, Colonia Zedec Ed Plaza Santa Fe Delegación Álvaro Obregón, Ciudad de México, C.P. 01210 Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, reg. núm. 1031

Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 19 18 17 16

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. www.pearsonenespañol.com

Presentación ¡Bienvenidos! Te presentamos tu libro Mi nuevo libro Sunrise. Matemáticas 5. Con él desarrollarás y fortalecerás tus habilidades matemáticas de forma práctica y significativa. Cada página contiene explicaciones sencillas, imágenes, preguntas y actividades que te ayudarán a reflexionar, razonar y construir conceptos matemáticos. Con este libro aprenderás a comunicar lo que piensas, a formular argumentos, a establecer relaciones, a proponer soluciones para resolver problemas y mucho más. En cada lección encontrarás actividades que te permitirán poner en práctica tu pensamiento matemático de manera autónoma y colaborativa. Al resolver las actividades, aprenderás a utilizar el lenguaje matemático como un lenguaje cotidiano para expresar conceptos, procedimientos y resultados. Así, Mi nuevo libro Sunrise. Matemáticas 5. busca contribuir a que el estudio de las matemáticas sea un reto que ponga en práctica tus capacidades y habilidades mentales, para que continúes descubriendo el interesante mundo de los números, dentro y fuera del aula, de una manera ágil y sólida. Este libro pertenece a (Escribe tu nombre).

3

Conozco mi libro

Inicio del bimestre Tu libro se organiza en cinco bimestres. En cada uno encontrarás una bienvenida como ésta, con las secciones siguientes.

Reto de números Con este juego pondrás en práctica tus habilidades matemáticas, ya que te enfrentarás a desafíos y acertijos relacionados con los contenidos del bimestre.

4

Recupera y avanza Te invitará a practicar lo que ya sabes, mediante ejercicios de cálculo mental y otros.

Lección Cada bimestre tiene varias lecciones que se desarrollan en tres o cuatro páginas.

Puente de aprendizaje visual Mediante una secuencia de ejemplos, imágenes y preguntas, te explicamos el tema y los conceptos que aprenderás. El puente completo se desarrolla durante la lección.

El título es una pregunta que resolverás al estudiar la lección.

Lección

4

Práctica guiada El aprendizaje necesita guía; por ello en “¿Lo entiendes?” y en “¿Cómo hacerlo?” te orientamos sobre cómo realizar el procedimiento matemático que necesitas para resolver los ejercicios.

Práctica autónoma Una vez que aprendiste a realizar un procedimiento matemático, debes demostrar que puedes hacerlo tú solo.

Tip

Pregunta detonadora Te ayudará a reflexionar sobre lo que estás aprendiendo en la lección.

Te ofrecemos algunos consejos para que puedas resolver las actividades.

Resolución de problemas Aquí pondrás en práctica lo aprendido aplicándolo en la resolución de diferentes situaciones. Deberás utilizar tu razonamiento lógico-matemático.

Recortables Encontrarás figuras útiles para llevar a cabo algunas de las actividades.

5

Mediante una serie de iconos se resalta la relación que tiene el contenido de la lección con otras asignaturas del grado. Ciencias Educación Artística Educación Física Geografía Historia Español

Referencias de internet En este espacio proponemos que consultes algunas páginas electrónicas para realizar algunas actividades con las que pondrás en practica tus habilidades digitales.

Portafolios Esta actividad se integrará a tu portafolios de evidencias, el cual servirá para demostrar el progreso de tu pensamiento matemático durante el ciclo escolar.

6

En casa... Con esta actividad aplicarás en tu vida diaria lo que aprendiste en la lección.

Cierre de bimestre Cada bimestre incluye secciones que integran lo que aprendiste.

a+b

Enlaces con el álgebra Mediante ejemplos y ejercicios, relacionarás con el álgebra algunos temas aprendidos en cada bimestre.

Mis palabras matemáticas Utilizarás el vocabulario matemático que aprendiste para formar oraciones y resolver las actividades de esta sección. Al final del libro encontrarás la definición de estas palabras en el Glosario.

Convivo y reflexiono Encontrarás una pequeña historia para que reflexiones sobre la importancia de los valores que fortalecen la convivencia escolar.

Ponte a prueba Con esta actividad podrás integrar todo lo que aprendiste durante el bimestre y lo aplicarás para resolver la situación o el problema matemático que se te presenta.

7

Contenidos Presentación3 Conozco mi libro

4

Bimestre 1

Reto de números: ¡El camino de las fracciones! 12 Recupera y avanza Lección

1

¿Cómo sumas y restas fracciones?

14

Lección

2

¿Cuántas cifras tiene el cociente?

17

Lección

3

¿Cuántos grupos se forman?

20

Lección

4

¿Qué tipo de rectas son?

23

Lección

5

¿Qué tipo de ángulos conoces?

26

Lección

6

¿Cómo llegas a tu destino?

29

Lección

7

¿Cómo se mide la capacidad de un recipiente?

32

Lección

8

¿Sabes cuánto pesas?

35

Lección

9

¿Cómo mides el tiempo?

38

Lección

10

¿Cuánto tardas en llegar?

41

Lección

11

¿Qué número falta?

44

Lección

12

¿Qué valor falta?

47

8

13

Enlaces con el álgebra

50

Mis palabras matemáticas

52

Convivo y reflexiono

53

Ponte a prueba

54

Bimestre 2 Reto de números: Juguetes proporcionales Recupera y avanza

56 57

Lección

13

¿Qué parte representa?

58

Lección

14

¿Cuál es el valor de la parte decimal?

61

Lección

15

¿Cómo obtener un cociente decimal?

64

Lección

16

¿Cuál es la altura de un triángulo?

67

Lección

17

¿Cómo puedo reproducir una figura?

70

Lección

18

¿Cómo obtienes el área de un paralelogramo?

73

Lección

19

¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

76

Lección

20

¿Qué es la proporcionalidad?

79


82


84


85

Ponte a prueba

86

Bimestre 3

Reto de números: Cadena geométrica88 Recupera y avanza Lección

21

¿Cómo comparas fracciones?

Lección

22

¿Cómo comparo fracciones con diferente

denominador?

89 90 93

Lección

23

¿Cómo resuelvo operaciones mentalmente?

96

Lección

24

¿Cómo se relacionan los elementos de la división?

99

Lección

25

¿Qué nombre reciben los cuerpos geométricos?

102

26 28 27

¿Cómo describes una ruta en un mapa?

105

¿Cómo calculas el área de un triángulo?

108

Lección Lección

9

Lección

28

¿Cómo calculas el área de un trapecio?

111

Lección

29

¿Qué son las medidas agrarias?

114

Lección

30

¿Cómo se calculan los valores faltantes?

117


120


122


123

Ponte a prueba

124

Bimestre 4 Reto de números: Sucesión de serpientes y escaleras126 Recupera y avanza Lección

31

¿Cómo se leen los números romanos?

128

Lección

32

¿Cómo se leen los números egipcios?

131

Lección

33

¿Qué número sigue?

134

Lección

34

¿Cómo sumas o restas fracciones con distinto denominador?

137

Lección

35

¿Qué son las operaciones inversas?

140

Lección

36

¿En dónde están los objetos?

143

Lección

37

¿Cómo se obtiene el perímetro de polígonos?

146

Lección

38

¿Cómo se hace la conversión entre múltiplos

y submúltiplos?

Lección

10

127

39

¿Cómo se construye una gráfica de barras?

149 152


155


156


157

Ponte a prueba

158

Bimestre 5 Reto de números: Números nuevos y viejos160 Recupera y avanza

161

Lección

40

¿Cómo se escriben los números mayas?

162

Lección

41

¿Cómo reparto entre un número natural?

165

Lección

42

¿Qué es una sucesión geométrica?

168

Lección

43

¿Cómo multiplico un número natural por uno decimal? 171

Lección

44

¿Círculo o circunferencia?

174

Lección

45

¿Cómo se calcula el perímetro de un círculo?

177

Lección

46

¿Qué es un sistema de referencia?

180

Lección

47

¿Qué es el porcentaje?

183

Lección

48

¿Qué fracción representa un porcentaje?

186

Lección

49

¿Cómo se calcula el promedio?

189


192


194


195

Ponte a prueba

196

Glosario198 Recortables203

11

BIMESTRE

1

¡El camino de las fracciones!

Reto de números Así se juega l Reúnete con un compañero para jugar. l Cada uno copie en su cuaderno la “Hoja de puntuación” para registrar sus tiros. l Coloquen su ficha sobre el carro rojo y cada uno lance el dado, quien obtenga el número mayor iniciará el juego. l Por turnos, lancen el dado y avancen la

12

cantidad de casillas que éste indique. A continuación anoten sus puntos en la “Hoja de puntuación”. A partir del segundo tiro empezarán a sumar conforme la fracción de la casilla a la que lleguen. La casilla 21 es la única en la que deben restar.

Necesitas:

La “Hoja de puntuación” Un lápiz

El tablero Un dado Una ficha

Recupera y avanza Completa las fracciones equivalentes.

Tip

2 Recuerda lo que viste en cuarto grado sobre las fracciones equivalentes:

1 2 1 4 4 8

= = =

=

9 5

2

18

4

42

2

12

8

= =

12

4

6

18

12

25

3

9

90

6

18

7

1

2

3

=

24

4

=

12

Anota los valores que faltan.

1 2

45 ÷ 5 = 9

16 ÷ 8 = 2

81 ÷ 9 = 9

49 ÷ 7 = 7

Resuelve las divisiones. 41 8 328 08 0

Hoja de puntuación Turno

Casilla

Operación Puntuación

1

35

21 14

296 16 2

19 685

24 27 648

335

108

20

0

2 3

l En el tablero hay casillas con premios y castigos, si caen en una de ellas deberán hacer lo que allí se indica. l Quien llegue primero a la “Meta” recibirá 1 punto extra. No es necesario llegar de 2 manera exacta.

l Al final deberán mostrar su “Hoja de puntuación” a su compañero para validar sus resultados. l Ganará quien acumule más puntos al final del juego y el maestro lo premiará con un llavero.

13

1

Lección

¿Cómo sumas y restas fracciones? ¿Cuánto listón tengo para decorar las tarjetas que regalaré a mis amigas?

¿Y cómo puede sumar si son fracciones con distinto denominador?

3 4

5 8

de m

de m

Para saberlo Paola tiene que sumar.

Práctica guiada ¿Lo entiendes?

2 Responde con base en las operaciones del inciso 1.

1 Completa la suma y resta de

fracciones. Observa el ejemplo. •

•

2

+

3

1

4 6

=

6

3× 2

= 6

9

2

15

–

5 × 3 = 15

1 6

2

×

=

2

5 6 =

4

• ¿Qué hiciste para resolverla? Se convierten los tercios en sextos multiplicando por 2.

3 9 6 – = 15 15 15

• ¿Qué debes hacer para resolver este tipo de Convertir las fracciones en operaciones?

2 × 3 = 6

fracciones equivalentes con denominador común.

=

5

+

• En la suma, ¿qué relación hay entre los denominadores? El 6 es múltiplo de 3.

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo encuentras fracciones con un denominador común?

3 Convierte a fracciones con igual denominador y resuelve las operaciones.

•

14

1 9

+

5 18

=

2 5 7 + = 18 18 18

1× 2 = 2

9 × 2 = 18

•

Sumo y resto fracciones con denominadores múltiplos uno de otro.

7 3

–

5 6

7 × 2 = 14

=

14 5 9 – = 6 6 6 3×2=6

Primero conviertes las fracciones en fracciones con denominador común.

1

1

1

4

4

4

1

1

1

1

1

8

8

8

8

8

1 4

Entonces conviertes octavos.

3 4

en ×2

Y ahora sumas: 3 4

+

5 8

6

=

8

5

+

8

=

11 8

3 4

6 8

.

×2

Como puedes ver:

2 ; 8

Observa que = como 8 es múltiplo de 4, para convertir cuartos en octavos multiplicas el numerador y 1 denominador de 4 por 2.

Práctica autónoma

1

1

1

1

1

1

8

8

8

8

8

8

1

1

1

1

1

8

8

8

8

8

¿Cómo sumas fracciones con denominadores múltiplos?

1 Resuelve las operaciones y colorea el dibujo según la clave. Convierte los resultados en fracción mixta cuando sea necesario.

1

• • • • •

2

1

+

9 3

3 2

–

4 2

5

1

6

+

2 7 12

10 –

6 4

2 6

= =

5 10 7 12

9 8

+

6

3 2

–

8

=

6

+

9

=

8

+

3

2

=

5 6 + –

= = = 6 10 4 12

5 9

•3

3 4 1 3

+2

–1

4 12 4 6

=

=

21

+

12 20 6

–

1 2

4 8 9 6

=1

= =

11 10

1

3 1 1 2

6 =1

1

28 12 10 6

5 9

4

10

3 12

2 Convierte en fracciones impropias y resuelve. •1

2

1 1 10

=

=

49 12 10 6

=4

=1

1 12 4 6

Tip Para convertir las fracciones mixtas en impropias, multiplica los enteros por el denominador y suma el resultado al numerador.

15

1

Como 811 es mayor que la unidad, se convierte en fracción mixta.

Si usé 2 m de listón amarillo, ¿cuánto me sobró? 5

Para saberlo, restas: 1

Conviertes

8

11

Y restas:

3

= 1, por lo tanto, =1 8 8 8 3 m de listón. Paola tiene 1 8

5

–

8

2

a octavos:

2

2×4=8 8

1

–

1

=

2

1

A Paola le sobró

8

5 8

1×4=4 –

4

=

8

1 8

de m de listón amarillo.

Resolución de problemas 1 Reúnete con un compañero y resuelvan juntos los problemas.

Investiga el precio del kilogramo de jamón, queso y tortillas. Calcula cuánto pagarías por ½ kg de tortillas, ¾ de jamón y ¼ de queso. Si pones todo en una bolsa, ¿cuánto pesará la bolsa?

¿El ser humano tiene 206 huesos, de los cuales 27 están en la 1 mano, lo que representa, aproximadamente, de los huesos de 8 1 su cuerpo. En el tronco y el cuello hay 51 huesos, es decir, casi 4 de todos los huesos. ¿Qué fracción de los huesos del ser humano está en las partes mencionadas del cuerpo? 3/8 1 4

×

2 2

=

2 8

1 8

+

2 8

=

3 8

El agua es el principal componente del cuerpo humano. En los 12 3 niños hasta partes son agua y en los adultos, hasta . 20 4 ¿Cuánta agua le falta a un adulto para tener tanta como un niño? 3/20 3 4 15 20

× –

5 5

=

12 20

15 20 =

3 20

2 Ingresa a http://goo.gl/43s373 y haz cilc en la opción “Ejercicios para imprimir”, 16

luego imprime los ejercicio, resuélvelos y guarda la hoja en tu portafolios. En este sitio también puedes practicar con los interactivos.

Lección

2

¿Cuántas cifras tiene el cociente?

Karen debe repartir 372 chocolates en bolsas con 3 chocolatess.

Para saberlo necesitas hacer una división. Recuerda que cociente es el resultado de una división.

¿Cuántas cifras tendrá el número de bolsas que se necesitan?

Para anticipar la cantidad de cifras del cociente multiplicas el divisor por 10, 100, 1 000

¿Cómo saber cuántas bolsas necesito?


1 Completa las expresiones y anticipa el

2 Observa los ejemplos anteriores y

número de cifras del cociente. • 444 ÷ 8 =

8

×

10

=

80

Tiene:

8

• 5 200 ÷ 42 =

×

Tiene:

responde.

2 cifras 100 = 800

• ¿Qué debes hacer para anticipar cuántas cifras tendrá cociente? Multiplicar el dividisor por 10, 100 o 1 000 y comparar el resultado con el dividendo.

3 cifras

42 × 100 = 4 200 42 × 1 000 = 42 000

• ¿Cómo supiste cuántas cifras tendría el cociente del inciso c? Porque 747 es menor que 830.

1 cifra • 747 ÷ 83 = Tiene: 83 × 100 = 830 83 × 100 = 8 300

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo redondeas para estimar el cociente de una división?

3 Estima el cociente de cada división. Redondea tu estimación a decenas. División

Procedimiento

398 ÷ 5 = 79 616 ÷ 22 = 28 686 ÷ 7 = 98

Redondeo a 400

912 ÷ 38 = 24 663 ÷ 51 = 13

Redondeo a 910 Redondeo a 660

Redondeo a 620 Redondeo a 690

Anticipo el número de cifras del cociente de una división.

Estimación 400 ÷ 5 620 ÷ 22

80

690 ÷ 7 910 ÷ 38

90

660 ÷ 51

10

30 20

17

Después comparas los resultados con el dividendo. Por ejemplo: 387 ÷ 3 3 × 10 = 30; 3 × 100 = 300; 3 × 1 000 = 3 000

¿Cómo podemos obtener una mejor estimación?

Ahora sabemos que el número de bolsas tiene 3 cifras

Para ello redondea el dividendo a la decena o centena más cercana, en este caso 387 a 390 y se descompone en 300 + 90:

El dividendo 387 está entre 300 y 3 000, por lo que el cociente es mayor que 100 y menor que 1 000.

Práctica autónoma

300 ÷ 3 = 100; 90 ÷ 3 = 30 100 + 30 = 130

¿Cómo estimas el cociente de una división?

1 Relaciona cada división con su cociente aproximado. Tip Redondea el dividendo y el divisor a la decena o centena más cercana, divide sin considerar los ceros de ambos valores y agrégalos al resultado.

798 ÷ 42

820

4 716 ÷ 6

20

1 392 ÷ 27

780

1 092 ÷ 91

10

2 468 ÷ 3

120

1 488 ÷ 12

50

2 Completa la tabla.

18

Dividendo

Divisor

1 098

Cociente Estimado

Exacto

9

120

122

9 150

50

180

183

522

29

20

18

4 536

84

50

54

Hay otra forma de estimar el resultado, ¡mediante redondeo!

Así, 130 chocolates es una aproximación por exceso, porque redondeaste 287 a la decena mayor más cercana. Cuando se redondea a la decena menor, el redondeo es por defecto. ¡Ahora ya sabes aproximadamente cuántas bolsas necesita Karen!

Para 390 ÷ 3, eliminas el cero y divides 39 ÷ 3, el resultado es 13. Al resultado le agregas el cero de 390 y obtienes 130.

Resolución de problemas 1 Reúnete con dos compañeros y resuelvan los problemas. Un auditorio tiene capacidad para 1 736 personas y está dividido en 14 secciones con la misma cantidad de butacas. Estima cuántas cifras tiene el número de butacas de cada sección. Procedimiento 14 × 100 = 1 400; 14 × 1 000 = 14 000 • El número de butacas tiene:

3 cifras

En una colonia hay 4 460 habitantes y se estima que hay un árbol por cada 9 personas. • Aproximadamente, ¿cuántos árboles hay en la colonia?

500 árboles.

Procedimiento Redondeo 4 460 a 4 500 4 500 ÷ 9 = 500

Busca en periódicos o revistas algunos artículos que se vendan a meses sin intereses. Estima, sin hacer operaciones escritas, cuánto se tendría que pagar mensualmente.

2 La densidad de población es la cantidad de habitantes que hay por cada kilómetro cuadrado y se obtiene dividiendo la cantidad de personas entre los kilómetros cuadrados en que viven. Investiga cuántos kilómetros cuadrados tiene tu estado y qué cantidad de habitantes, redondea las cifras y estima su densidad de población. Guarda tu trabajo en tu portafolios.

19

Lección

3

¿Cuántos grupos se forman?

En la pastelería de Elena se hornean galletas que luego se venden en bolsitas de 6 galletas cada una.

Para saber cuántas bolsitas llenaré y cuántas galletas sobrarán elaboro una tabla.

Galletas elaboradas

Cantidad de bolsitas

Galletas que sobran

39

6

3

44

7

2

52

8

4


1 Analiza la información y responde. • Para la fiesta de XV años 19 de Susana se prepararon 8 154 mesas en las que caben 8 invitados. Si asistieron 74 154 personas, ¿cuántas 2 mesas llenaron? 19 mesas completas y una con 2 personas. • ¿Cuántas personas faltan para llenar otra mesa?

6.

2 Contesta las preguntas. • ¿Qué representa el cociente de la división? Las mesas llenas. ¿Y el residuo? La cantidad de personas en la mesa que no se llenó. • ¿Cómo puedes comprobar que la división es correcta? Multiplicando el cociente por el divisor y sumando el residuo: 19 × 8 + 2 = 152 + 2 = 154.

¿Cómo hacerlo?

¿Cuántas cuentas tiene?

3 Completa la tabla. • Paola quiere hacer pulseras con 9 cuentas cada una. ¿Cuántas pulseras puede hacer en cada caso? ¿Cuántas cuentas verdes y rojas tiene? Cuentas

20

División

Cantidad de pulseras

Cuentas que sobran

2 17

7 5

25 azules

25 ÷ 9

158 rojas 245 verdes

158 ÷ 9 245 ÷ 9

27

2

350 amarillas

350 ÷ 9

38

8

Reconozco la relación entre los elementos de la división.

Para conocer la cantidad de bolsas que llenó y las galletas que sobraron Elena hizo una división.

Divisor

6

Cociente

6 39

Dividendo

3

Ahora, comprobemos lo anterior...

Residuo Para ello se multiplica el cociente por el divisor y se suma el residuo, el resultado debe ser igual al dividendo: 6 × 6 + 3 = 36 + 3 = 39

Así sabemos que si repartimos 39 galletas en bolsas con 6, se llenan 6 bolsas y sobran 3 galletas.

Práctica autónoma

¿Cómo puedo repartir?

1 Lee los problemas y resuélvelos. • En el colegio de Andrea recaudaron 4 106 pesos mediante una campaña de recolección de periódico y luego usaron el dinero en la compra de algunos libros para la biblioteca. Si cada libro costó 108 pesos, ¿cuántos libros compraron? Operación Compraron 38 libros y sobraron

2 pesos.

38 108

• Para la fiesta de Ana Luisa se repartieron 7 pizzas con cierta cantidad de rebanadas. Había 18 invitados y cada uno se comió 3 rebanadas. Si sobraron 2 rebanadas, ¿cuántas rebanadas se repartieron? 56 rebanadas.

4106 866 2

Operación

Tip 18 × 3 + 2 = 54 + 2 = 56 El procedimiento para comprobar una división sirve para calcular el dividendo.

• ¿Cuántas rebanadas tenía cada pizza? 8 rebanadas.

2 Completa los datos que faltan en cada una de las divisiones. 80 4 321

123 8 987

76 6 456

17 7 123

13 34 462

1

3

0

4

20

21

Para ello, multiplicas las galletas que hay en cada bolsa por la cantidad de bolsas y sumas las galletas sueltas:

¿Cómo puedes saber cuántas galletas hay en total?

6 × 8 + 4 = 48 + 4 = 52 Así puedes saber que hay 52 galletas.

8 Entonces para llenar la tabla necesitas dividir la cantidad de galletas entre las galletas por bolsa.

Y lo demuestras con la siguiente división.

6

52

4

Resolución de problemas 1 En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

Pregunta a tus papás cuánto pagaron de luz en el último bimestre y divídelo entre dos para saber cuánto pagan al mes.

El maestro de Educación Física quiere formar equipos para diferentes deportes. Si en la escuela hay 288 alumnos, ¿cuántos equipos formará en cada deporte? Completen la tabla. Deporte

Jugadores por equipo

Futbol

22

Cantidad de equipos

2

Voleibol

10

28

8

Basquetbol

8

36

0

El grupo de 5º B tiene 34 alumnos, el profesor formó con ellos 4 equipos y sobraron 2 alumnos. ¿En qué deporte se formaron los equipos? Basquetbol

Si el maestro formó 7 filas de 5 personas con los alumnos de 5º A y quedaron 2 niños en otra fila, ¿cuántos alumnos hay en el grupo de 37 5º A?

133 ÷ 8 = 16 y sobran 5, y determina el valor del dividendo. Comparte tus resultados con tus compañeros y después guarda el problema en tu portafolios.

2 Plantea un problema que se resuelva con esta operación: 22

13

Alumnos sin equipo

Lección

4

¿Qué tipo de rectas son? ¿Qué tipo de rectas hay en la estructura del puente?

Punto: ubicación o lugar exacto en el espacio. Su símbolo es • y se indica con una letra, como la C. Recta: grupo de puntos alineados en dos direcciones. Su símbolo es

B

C

se representa así BC y se lee “la recta que va de B a C ”. Plano: conjunto de rectas que determinan una superficie de dos dimensiones. Una hoja de papel puede representar a un plano.

Antes de responder, lee la definición de algunos conceptos básicos en geometría.


2 Responde conforme la actividad 1.

1 Observa las rectas y completa las expresiones.

paralela a TC • PS es

P

perpendicular • TC es a PT .

T

A K

S C

secantes. • TC y SC son rectas

• ¿Por qué sabes que PS y TC son paralelas? Porque siempre están a la misma distancia. . • ¿Cómo son los ángulos que se forman . entre TC y PT ? Son iguales. • ¿Qué otro par de rectas son secantes? Las rectas PS y AK. .

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo puedes saber qué tipo de rectas son?

3 Observa el diagrama de la derecha y realiza lo que se

A

te pide. • Remarca con verde las rectas paralelas y llámalas AB y CD. • Remarca con café las rectas perpendiculares y nómbralas MN y LK.

L N

C

B

Q M O

P

D R

• Remarca con morado las rectas secantes y nómbralas OP y QR. Identifico rectas paralelas, secantes y perpendiculares.

K

23

Segmento de recta: parte de una recta que tiene dos extremos, se dibuja así R

¿Cómo son las rectas paralelas?

¿Cómo son las rectas secantes y perpendiculares?

P

C

Q

E

S

y se representa así RS . Existen diferentes tipos de rectas: Dos rectas paralelas nunca se cruzan y siempre se mantienen a la misma distancia. Se representan con el símbolo :

AD  VW .

R

F A

D

H

S RS ⊥ FH

V

W

Práctica autónoma

Las rectas secantes son aquellas que se cruzan en un punto. Entre ellas se forman dos parejas de ángulos iguales: PE interseca QC . Las rectas perpendiculares tienen un punto de intersección y entre ellas se forman 4 ángulos iguales. Se representan con el símbolo ⊥.

¿Cómo trazas diferentes parejas de rectas?

1 Observa el diagrama siguiente y realiza lo que se te pide. • Traza una recta paralela a PN que pase por el punto Y.

X P

N • Traza una recta paralela a XR que pase por el punto N.

R

• Identifica dos rectas secantes que no sean perpendiculares. YN y XY .

S Y

2 Analiza el diagrama y resuelve lo que se te pide. Utiliza los símbolos correspondientes. H

J

• Identifica dos parejas de rectas paralelas.

K

N

Tip Recuerda que todas las rectas perpendiculares son secantes, pero no todas las secantes son perpendiculares

24

HJ ∣ ∣ KN y HK ∣ ∣ JN

.

• ¿Qué parejas son rectas perpendiculares?

HK ⊥ HJ y KN ⊥ NJ

3 Traza un par de rectas paralelas, uno de rectas perpendiculares y uno de secantes.

.

0 10 10 20 30

10 10 20 30

cómo se trazan este tipo de rectas

0 10 10 20

0

Para las paralelas, mantén fija la regla y coloca la escuadra en ella para trazar la primera recta, luego mueve la escuadra sobre la regla como se muestra en la imagen para trazar la segunda recta. Para las perpendiculares traza una línea recta con la regla y, sin moverla, coloca sobre ella la escuadra y traza una recta perpendicular.

0

En el puente, al principio de la lección, puedes ver que las rectas paralelas están remarcadas con azul, las perpendiculares con verde y las secantes con rojo. Ahora veamos

30

10

Con la regla y escuadra puedes trazar rectas paralelas y perpendiculares.

10 20 30

Resolución de problemas 1 Resuelve de manera individual.

Observa la fotografía de la derecha y realiza lo que se pide. • Remarca con azul un par de rectas perpendiculares y llámalas AF y DH . D

• Traza con rojo dos pares de rectas paralelas.

Responde falso o verdadero y explica por qué.

A

H

F

• ¿Todas las rectas perpendiculares también son rectas secantes? Verdadero, porque se intersecan en un punto. . • ¿Todas las rectas que son secantes, son rectas

Identifica en tu casa objetos que en su estructura tengan líneas paralelas, perpendiculares y secantes, y reprodúcelos

perpendiculares? Falso, porque existen rectas secantes que no tienen cuatro ángulos iguales. . En el planisferio del recortable 1 de la página 204, marca con rojo las líneas que corresponden a los paralelos y con verde las de los meridianos. • ¿Qué tipo de rectas se forman? Paralelas y perpendiculares.

.

2 Con regla y escuadra dibuja un croquis de tu cuarto, luego remarca con rojo las líneas paralelas y con azul las perpendiculares que hayas trazado. Guarda tus trabajos en tu portafolios.

25

5

Lección

¿Qué tipo de ángulos conoces? Un ángulo es la abertura entre dos semirrectas (lados) que tienen un mismo extremo, llamado vértice. En el ejemplo de abajo el ángulo se simboliza como ∠ABC, como ∠CBA o simplemente ∠B, que es la letra con que se indica al vértice.

¿Qué es un ángulo?

A Lados B

C

vértice


2 Analiza las rectas anteriores y contesta.

1 Marca todos los ángulos que se

forman entre las siguientes parejas de rectas.

• ¿Qué tipo de rectas representan? Perpendiculares y secantes.

90°º

.

• ¿Qué tipo de ángulos son? En las perpendiculares todos son rectos y en las secantes son 2 agudos y 2 obtusos

¿Cómo hacerlo?

.

¿Cómo clasificas los ángulos?

3 En los siguientes ejercicios mide y clasifica los ángulos.

Obtuso

Agudo

Recto

Agudo

4 Anota qué tipo de ángulos se forman en cada figura y sus medidas.

26

Agudos de 60º

Rectos de 90º

Mido e identifico ángulos rectos, agudos y obtusos.

2 agudos de 75º y 2 obtusos de105º

No, se clasifican de acuerdo con su medida.

¿Todos los ángulos son iguales?

Los ángulos se miden en grados y se clasifican en: Ángulos rectos, cuando miden 90°.

Ángulos agudos, cuando miden menos de 90°. Ángulos obtusos, cuando miden más de90° y menos de 180°.

Práctica autónoma

¿Cómo mides los ángulos?

1 Identifica con letras los ángulos dentro de la figura de la derecha y, con números, los ángulos marcados fuera de ella. Luego clasifícalos y obtén su medida. Ángulo interno

Medida

Tipo de ángulo

A

100°

Obtuso

B

40°

Agudo

C

90°

Recto

D

90°

Recto

E

40°

Agudo

Ángulo externo

Medida

Tipo de ángulo

1

140°

Obtuso

2

80°

Agudo

3

140°

Obtuso

2

A 1

E

B

D

3

C

2 Traza con regla, transportador y escuadra los ángulos que se indican a continuación. • Un ángulo obtuso que mida 125°.

• Un ángulo agudo que mida 35°.

• Un ángulo recto.

Tip Recuerda que para trazar un ángulo debes colocar correctamente el transportador en el vértice.

27

¿Y cómo puedo saber la medida de un ángulo? Para conocer la medida de un ángulo necesitas un transportador. 0

110

100

90

80

12 0

14

0 15 160

46º

50

Para trazar un ángulo, se traza un punto, luego se coloca el transportador sobre éste, se hace una marca en 0°, otra en la medida del ángulo a trazar y se unen los puntos.

20

10

170

60

30

0

180

70

40

0

13

La medida del ángulo corresponde al valor que se encuentra sobre el otro lado del ángulo, como se muestra en la imagen de la izquierda.

Primero colocas el centro del transportador en el vértice del ángulo y 0º (cero grados) debe coincidir con uno de los lados del ángulo.

Resolución de problemas 1 Resuelve los siguientes problemas con un compañero.

Observen los ángulos señalados en la imagen y completen las oraciones. recto porque mide 90° • El ∠A es . obtuso porque mide 98° • El ∠B es . agudo porque mide 25° • El ∠C es .

Observen la siguiente retícula e identifiquen ángulos agudos, obtusos y rectos, luego márquenlos con un color diferente. Busca en los muebles de tu casa objetos que formen ángulos y coméntale a tu mamá que tipo de ángulos se forman.

obtuso

recto

agudo

2 Desprende el recortable 2 de la página 206 y colorea de rojo los ángulos agudos

28

que se formen con las calles, de azul los ángulos rectos, de verde los ángulos obtusos. Recuerda marcar los vértices para que puedas determinar los ángulos. Utiliza letras mayúsculas para determinar los ángulos. Luego guarda el recortable en tu portafolios.

6

Lección

¿Cómo llegas a tu destino?

La profesora del grupo de Juan les pidió realizar una visita al Museo Nacional de Historia, que está dentro del bosque de Chapultepec, en la Ciudad de México. Paseo de

¿Cómo puedo llegar al museo?

la Reforma

Paseo de

la Reforma Paseo de

Los planos, croquis o mapas son muy útiles para localizar lugares y para saber cómo desplazarnos de un lugar a otro. En ellos se usan símbolos para ubicar lugares (museos, restaurantes, hospitales, etc.) que sirven como referencias.

la Reforma

go La u ap Ch

Av Ac u

c pe lte

ario

rutas Av G

de

Museo

Casa del Lago

Calzada de los poetas

cuari Av A

Carrusel

o

Castillo de Chapultepec Museo Nacional de Historia

Museo del Caracol

Quijote en las Nubes

Av A c

uari

o

Ahuehuete

ilitar

go tia an pec eS ulte lip Chap de Fe illo nl. ceso al Cast r C ac Av Rampa de

tas Gru Av

Av H. Colegio Militar

Tirolesa

gio M Cole

. Av H

lR

de

ey

Fuente de la Templanza

Quinta Colorada del Rey

Baños de Moctezuma

Calz

aG

hatm

Ma

hi

and


2 Analiza el croquis y responde.

1 Traza dos distintos caminos para ir de casa de Luis al cine. Calle 1 Farmacia

Tienda

Casa de Luis

Cruz Roja

Calle 3

Cine

Calle 12

Calle 10

Calle 8

Calle 6

Escuela Primaria

Parque

Calle 2

Calle 5 Central de autobuses

Correo

• ¿En qué calle vive Luis? En la calle 1.

.

• ¿Qué símbolo se usa para representar la casa de Luis? Un cuadrado rojo.

.

• Cuando lees un mapa, ¿hacia dónde se ubica el norte? Hacia arriba.

.

• ¿Qué lugar se ubica al sur del parque? El correo.

.

Calle 7

¿Cómo hacerlo?

¿A qué lugar llegó?

3 Observa nuevamente el croquis anterior y responde. • ¿Qué hay al sur de la escuela primaria? La central de autobuses.

.

• Luis salió de su casa y caminó dos calles al este, tres al sur y una más al este, ¿a qué calle llegó y qué lugar visitó? Llegó a la Calle 5 y fue al correo. . • Si Luis quiere ir de su casa al parque sin pasar por la escuela, ¿qué ruta debe seguir? Caminar tres calles al este y dos al sur. . Identifico y describo trayectos en planos y mapas.

29

Pero, ¿cuál es la diferencia entre un mapa, un croquis y un plano?

Un mapa representa gráficamente la superficie terrestre o una parte de ella. Por ejemplo, el mapa de la República Mexicana. Un plano es una representación gráfica de un lugar en el que se indican divisiones estructurales de edificios o terrenos más pequeños que los representados en un mapa.

Un croquis, como el anterior, es un dibujo sencillo en el que sólo se expresan las líneas principales y no tiene muchos detalles ni grandes precisiones.

Práctica autónoma

¿Cómo localizas un lugar en un plano?

1 Recorta los elementos del recortable 3 que aparece en la página 208 y pégalos en el siguiente croquis conforme se indica en las instrucciones.

Jardín

Cine

Tip Minisuper

Parque

Av. Hidalgo

Restaurante

Ángela Peralta

Casa de Juan

Josefa Ortiz de Domínguez

Escuela

Independencia

Recuerda que debes orientarte en el lugar donde te encuentras y utilizar los puntos cardinales para orientarte correctamente.

Av. Juárez Panadería

Av. Revolución Zapatería

30

Feria

• Coloca el jardín al norte, entre Independencia y Josefa Ortiz de Domínguez. • Ubica al cine dos cuadras al este del jardín. • Coloca la escuela, el minisúper, el parque y la panadería, una en cada manzana de oeste a este, entre la Av. Juárez y la Av. Hidalgo. • Ubica la casa de Juan al sur de la escuela y el restaurante chino una cuadra al sur y una al oeste del parque. • La zapatería, dos cuadras al sur del parque. • Del jardín se caminan dos calles al este y tres al sur para ir a la feria.

Guadalupe Victoria

Juan Aldama

Nicolás Bravo

Miguel Hidalgo y Costilla

Vicente Guerrero

José Ma. Morelos y Pavón

Mariano Jiménez

Ignacio Allende

Mariano Matamoros

Para describir una ruta que te lleve de un lugar a otro puedes utilizar los puntos cardinales o las direcciones (derecha, izquierda, etc.), también puedes mencionar puntos de referencia Entonces, para saber cómo llegar al museo puedo trazar una ruta desde un punto de referencia.

Francisco Javier Mina

La Rosa de los vientos muestra los puntos cardinales, con el norte siempre Rosa de los vientos hacia arriba.

Resolución de problemas 1 Observa el plano y, junto con un compañero, realicen lo que se les pide. ESCOBEDO

HIDALGO

Hospital Jardín Guerrero

MADERO

E

E OCAMPO

IGNACIO PÉREZ

16 DE SEPTIEMBRE

BALVANERA

PINO SUÁREZ

E ARTEAGA

JUÁREZ

E

ALLENDE

GUERRERO

AV. DEL 57

MORELOS

En compañia de un adulto ve desde tu casa hasta un lugar cercano de tu interés y describe la ruta que seguiste para llegar al lugar. No olvides mencionar los puntos cardinales. Al salir de tu casa ubica hacia dónde está el norte.

AV. ZARAGOZA

• Si Julio está en la avenida Zaragoza, entre Juárez y Allende, ¿cuál es la manera más fácil sobre la calle Allende y avanzar cuatro calles hacia el norte y de llegar al hospital? Caminar una al oeste. • ¿En qué calle está el estacionamiento más cercano al hospital? En la calle Madero, entre Juárez y Allende. . • Julio vive en el punto señalado con rojo y quiere llevar en automóvil a sus hijos al Jardín Guerrero. ¿Qué ruta debe seguir? Avanzar una calle hacia el este sobre Escobedo, dar vuelta a la derecha en Ocampo, avanzar cuatro calles, dar vuelta a la izquierda en Madero y avanzar una calle. .

2 Elabora un croquis para que tus amigos puedan llegar a tu casa. Incluye un punto en que se reunirán antes de llegar y otros puntos de referencia como la farmacia, tienda, etcétera. Ingresa a www.google.com.mx/maps/ para apoyar tu trabajo. Guarda tu trabajo en el portafolios.

31

Lección

7

¿Cómo se mide la capacidad de un recipiente? ¿Qué es la capacidad?

Karla debe preparar limonada pero necesita saber cuánto le cabe a su jarra para ver la cantidad de agua y jugo de limón que debe usar. Su mamá le dijo que viera la capacidad. La capacidad es el espacio vacío de un recipiente que puede cubrirse o llenarse. Una jarra, un vaso y un tinaco tienen cierta capacidad.

¿Y cómo se mide la capacidad de un recipiente?


1 Rodea con azul el envase de mayor

2 Observa nuevamente los envases y

capacidad y con verde el de menor.

responde las siguientes preguntas. • ¿Cuál envase tiene más líquido, el de leche o el de refresco? El de refresco. • ¿Cómo supiste qué envase tiene mayor capacidad? Porque 4 l es mayor que las otras medidas. 1 • ¿Qué es mayor, 200 ml o de litro? 4 Explica por qué. 1/4 l, porque es igual a 250 ml.

¿Cómo hacerlo?

¿Cuál es la unidad de medida adecuada?

3 Rodea la capacidad que es más razonable para los siguientes recipientes.

32

•

Taza de sopa

• Cucharada de sopa

•

Termo

•

Tinaco de agua

200 ml o 2 l

1.5 l o 15 l

170 ml o 170 l

1 l o 10 ml

Identifico las unidades estandar de capacidad: litro y mililitro.

Una jeringa puede tener capacidad de 5 ml.

Y una pecera puede tener capacidad de 80 l.

El litro (l) y el mililitro (ml) son unidades para medir la capacidad.

¿Cuántos mililitros de agua cabrán en la pecera?

Un litro equivale a 1 000 ml.

Para saberlo se multiplica: 80 × 1 000 = 80 000 ml.

1 l = 1 000 ml; 1 ml = 0.001 l

Práctica autónoma

¿Cómo encontrar equivalencias?

1 Convierte la capacidad de cada envase en mililitros o litros, según sea el caso.

1.5 l 1 500

15 ml mililitros

0.015

3.78 l litros

3 780

mililitros 150.

• ¿Cuántas jeringas se llenarán con la botella de 1.5 l? • ¿Cuántas botellas de 1.5 l caben en el garrafón?

10 ml

Dos.

2 Escribe la equivalencia en litros o mililitros de cada medida. 600 ml =

0.6 l

250 ml =

500 ml =

1/2 l

4 500 ml =

1/4 l

4.5 l

2.5 l =

0.010

2 500 ml

litro

Tip Multiplica la cantidad de litros por mil para saber su equivalencia en mililitros.

90 l = 90 000 ml

3 Manuel abre una botella de un litro y medio de leche y llena 4 vasos de 250 ml cada uno. ¿Qué cantidad de leche quedó en la botella? 500 ml o 1/2 litro.

4 ¿Cuántos vasos de 200 ml se pueden llenar con tres botellas de jugo de 3 litros? 45 vasos.

33

La jarra de Karla tiene capacidad para 2 l. ¿Cuántos mililitros de agua le caben? 2 × 1 000 = 2 000 ml

Si ½ l es la mitad de 1 000 ml = 500 ml, entonces ¼ l es igual a 250 ml. Ahora ya sé qué es la capacidad y que necesito 250 ml de jugo de limón.

La receta dice que Karla necesita ¼ de litro de jugo de limón. ¿Cuántos mililitros de jugo necesita?

Resolución de problemas 1 Reúnete con dos compañeros y resuelvan los problemas. Refrescos, agua de sabor Jugo 100% de frutas, leche entera, bebidas deportivas o bebidas alcohólicas

Bebidas no calóricas con edulcorantes artificiales

Café y té sin azúcar

Nivel 6

0 – Vasos

Nivel 5

0 – ½ Vaso

Nivel 4

0 – 2 Vasos

Nivel 3

Leche semidescremada y bebidas de soya sin azúcar adicionada

Agua potable

Nivel 2

Nivel 1

0 – 4 Tazas

0 – 2 Vasos

6 – 8 Vasos

• En la Jarra del buen beber, como la que se muestra, se recomiendan las cantidades y tipos de bebidas para una dieta saludable. Cada nivel representa la proporción que debemos tomar de cada líquido. Consideren que un vaso o una taza equivalen a 250 ml y respondan. • ¿Cuántos litros de agua se recomienda tomar diariamente? Entre 1 1/2 y 2 litros.

Pídele a tu mamá una jarra con medida y un vaso. Llena el vaso con agua y viértelo en la jarra las veces que sean necesarias para llenarla. Determina la capacidad aproximada del vaso.

• ¿Qué parte de un litro podemos tomar como máximo de 1/2 litro. leche descremada? • ¿De qué bebidas se recomienda tomar máximo un litro? De café o té. • ¿Cuántos mililitros de jugo se recomiendan?

125 ml

2 Pide a tu mamá 10 diferentes envases en tu casa (del refrigerador, de la alacena, 34

de la cocina para lavar, etcétera). Dibújalos en una hoja y anota su capacidad en litros y mililitros, ordenados de mayor a menor capacidad. Guarda tu trabajo en el portafolios como evidencia de tu aprendizaje.

8

Lección

¿Sabes cuánto pesas?

El biólogo marino René es el encargado de hacer un acuario y está acondicionando algunas peceras, para lo que solicitó el siguiente material:

¿Por qué René usó diferentes unidades de medida?

¿Cuál es la equivalencia entre las unidades de peso?


2 Responde con base en los ejemplos

1 Observa los ejemplos y completa la tabla.

Toneladas Kilogramos

anteriores. • ¿Cuál es la unidad que sirve para medir cosas más pesadas? La tonelada.

Gramos

8

8 000

8 000 000

2

2 000

2 000 000

5.5

5 500

5 500 000

• ¿Cuál unidad utilizas para medir tu peso? El kilogramo. • ¿Cómo pueden convertirse kilogramos a gramos? Multiplicando por 1 000.

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo conviertes gramos a kilogramos?

3 Convierte a la unidad que se te pide. • 6 t = 6 × 1 000 = 6 000

kg

• 50 kg = 50 ×

• 6 500 kg = 6 500 ÷ 1 000

= 6.5 t

• 54 200 g = 54 200

1 000

÷

= 1 000

50 000

=

g

54.2

kg

4 Anota en la tabla cuántos kg o g hay de cada fruta. Fruta

Peso en kg

Peso en gramos

Naranja

2.5

2 500

Plátano

3

Manzana

1.25 2.4

3 000 1 250

Piña

2 400

Identifico las unidades estandar de peso. gramo, kilogramo y tonelada.

35

La masa de un objeto se mide a través de su peso. Por eso no preguntamos cuánta masa tiene un objeto, sino cuál es su peso.

La unidad principal para medir el peso es el gramo (g). Un kilogramo es otra unidad para medir el peso:

El peso refleja la cantidad de masa de un objeto.

1 kg

1000 g

Por ello la cantidad de sal que necesita René es menor que 1 kg.

Práctica autónoma

¿Qué unidad es más conveniente usar?

1 Escribe qué unidad es más conveniente usar para medir el peso de los animales.

Kilogramo

Tonelada

Miligramo

Kilogramo

2 En una bodega empacaron una tonelada de frijol en bolsas con

1 2

• ¿Cuántas bolsas de • Si han vendido

1 4

2

kg.

500 g

• ¿Cuántos gramos pesa cada bolsa? • Si Julia compró 2

1

5 bolsas

kg de frijol, ¿cuántas bolsas le dieron? 1 2

2 000 bolsas

kg hicieron?

de tonelada, ¿cuántos kg de frijol quedan?

750 kg

3 En la tienda también compraron otros artículos. Completa los datos de la tabla. Tip

36

Recuerda que para convertir kg en g y t en kg, sólo tienes que multiplicar el valor de la unidad correspondiente por 1 000, y si es a la inversa, tienes que dividir entre 1 000.

Artículo

Peso en t

Peso en kg

Harina

3.2

3 200

Arroz

0.8

800

Azúcar

3 4

750

Para medir el peso se utilizan las básculas, y las hay para pesar objetos cuyo peso va desde los miligramos hasta los que pueden pesar toneladas.

¿Sabes qué es la tonelada?

La tonelada (t) es la unidad de medida que se usa para medir pesos muy grandes. 1 t = 1 000 kg Un pez luna puede pesar hasta 2 000 kg = 2 t.

Pez Luna

Resolución de problemas 1 Resuelve los siguientes problemas junto con un compañero.

Gustavo tiene una pequeña huerta y obtuvo la siguiente cosecha: 8.3 t de manzanas, 12 t de peras y 25 t de guayabas. • ¿De qué fruta hubo una producción de 25 000 kg? De guayabas. • ¿Cuántas cajas de 50 kg pudo formar con la cosecha de manzanas? 166 cajas. • Del total de la producción se vendieron 7 200 kg de peras, ¿cuántos kilogramos quedaron? 4 800 kg. • Si entregó a un cliente ¾ t de manzanas, 1 500 kg de pera y 3 t de guayabas, ¿cuántos kilogramos de los productos le vendió? 5 750 kg.

Alicia fue al supermercado y compró los artículos que se muestran en las básculas.

• ¿De qué producto compró

3 4

Pregunta a los miembros de tu familia su peso en kilogramos y realiza la conversión a gramos. ¿Cuánto pesan en toneladas todos juntos?

de kg? De jamón.

• ¿Cuántos kilos pesa todo lo que compró? 2 kg 450 gramos.

2 Investiga el peso aproximado de 10 animales que te gusten. En una hoja dibújalos o pega sus imágenes y anota su peso en kg y toneladas o kg y g. Ordénalos de menor a mayor peso. Guarda tu trabajo en el portafolios.

37

Lección

9

¿Cómo mides el tiempo? ¿Sabes qué es el tiempo? ¿Cómo se divide?

Tiempo es la diferencia que hay entre dos momentos. La historia geológica de la Tierra se divide en grandes espacios de tiempo llamados eones, que corresponden a grandes eventos biológicos y geológicos.

Los tres primeros eones se reúnen bajo el nombre de Precámbrico; el cuarto eón se conoce como Fanerozoico y abarca desde hace 542 millones de años (que se abrevian ma) hasta la fecha. Este eón está dividido en tres eras geológicas: paleozoica, mesozoica y cenozoica, y cada una de las eras se divide en periodos.


1 Calcula la diferencia entre los valores

de cada época y colorea la era que duró más tiempo y la que duró menos.

2 Con la información anterior responde a las siguientes preguntas.

Paleozoica

De 542 ma a 251 ma

• Cuántos millosnde años duró la era Paleozoica? 291 millones.

Mesozoica

De 251 ma a 65.5 ma

• Si los dinosaurios aparecieron hace 250

Cenozoica

De 65.5 ma a la actualidad

Era

Duración (en ma)

¿Cómo hacerlo?

millones de años, ¿en qué era aparecieron? En la Mesozoica. ¿Cuál es tu edad en meses y días?

3 Realiza las conversiones entre unidades de tiempo y calcula las edades en años. • Tamara tiene 3 lustros; su mamá 4 décadas, un lustro y 2 años, y su abuela 7 décadas y 3 años. ¿Cuántos años tiene cada una? • Tamara: 3 ×

Realizo equivalencias entre las unidades de tiempo.

= 15 años

• Mamá: 40

+

5

+

70

+

3

= 73 años

• Abuela:

38

5

2

= 47 años

Los siglos se representan con números romanos: siglo I, siglo II, etcétera. Te preguntarás, ¿qué centena de años corresponde a cada siglo? Pues basta con sumarle 1 a las primeras dos cifras del año o a la primera cifra si no llega a un milenio. Por ejemplo, el año 1492 se encuentra en el siglo XV: 14 + 1 = 15.

Actualmente usamos otras unidades para medir el tiempo.

Milenio = 1 000 años Siglo o centenar = 100 años Década o decenio = 10 años Lustro o quinquenio = 5 años Año = 365 días y 366 días cada 4 años

Práctica autónoma

Descubrí América en el siglo XV.

¿Cómo realizo conversiones entre unidades de tiempo?

Tip

1 Escribe en los espacios las equivalencias que se te piden. 5 milenios = 5 000 años 4 décadas = 40 años 5 lustros = 25 años 6 siglos = 600 años siglos 3 milenios = 30

50 años = 5 décadas 2 siglos 200 años = siglo 10 décadas = 1 milenios 20 siglos = 2 8 lustros 4 décadas =

Para convertir una unidad mayor en una menor, se multiplica la cantidad específica por su equivalente en la unidad correspondiente.

2 Completa la siguiente tabla con el siglo al que pertenece cada acontecimiento. Año

Acontecimiento

Siglo

1325

Fundación de México-Tenochtitlan

XIV

1521

Caída de México-Tenochtitlan

XVI

1810

Inicio de la Independencia

XIX

1910

Inicio de la Revolución Mexicana

XX

2012

Sismo en Guerrero y Oaxaca

XXI

3 Ubica cada acontecimiento de la tabla anterior en una línea del tiempo. 1400

1325 Fundación de MéxicoTenochtitlan

1500

1600

1521 Caída de MéxicoTenochtitlan

1700

1800

1810 Inicio de la Independencia

1900

2000

1910 Inicio de la Revolución Mexicana

2012 Sismo en Guerrero y Oaxaca

39

Una línea del tiempo es un instrumento muy útil para presentar en orden cronológico diferentes acontecimientos históricos. Para representar la información correctamente, se pone en los extremos el periodo que se quiere representar y se divide la línea en periodos de tiempo iguales, pueden ser años, décadas, siglos, etcétera. Cristóbal Colón y el Descubrimiento de América 12 de Octubre de 1942

Primera constitución Mexicana

16 de Septiembre de 1810

4 de Octubre de 1824

Grito de Independencia

Expropiación petrolera 20 de Noviembre de 1910

18 de Marzo de 1937

Revolución mexicana

Movimiento Estudiantil 1968

Juegos Olímpicos en México

2 de Octubre de 1968

19 de Septiembre de 1985

Terremoto de 8.1 Richter azota la Ciudad de México

Resolución de problemas 1 Formen equipos y resuelvan los siguientes problemas. • La Catedral Metropolitana de la Ciudad de México es considerada patrimonio de la humanidad. Su primera piedra fue colocada por Hernán Cortes en 1524 y se terminó de construir en 1813. ¿Cuánto tiempo tardó en construirse la catedral? Expresen el resultado en siglos, décadas y años. 289 años = 2 siglos, 8 décadas y 9 años.

Busca en Internet en qué siglo se construyó un edificio emblemático de tu comunidad o estado y calcula cuánto tiempo tiene.

La época de la Colonia española en México comenzó en 1521 y terminó en 1821: • ¿Qué siglos abarcó esta época? Del siglo XVI al XIX. • ¿Cuántos siglos duró la época? 3 siglos.

José María Morelos y Pavón nació en 1765. A la muerte de Miguel Hidalgo tomó el mando de la rebelión en la lucha por la independencia de México, pero fue capturado y fusilado en 1815. • ¿En qué siglo nació José María Morelos y Pavón? Siglo XVIII. • ¿Cuántos años tenía Morelos cuando murió? 50 años. • ¿Cuántos siglos de su muerte se cumplieron en 2015? 2 siglos.

2 Elabora una línea del tiempo con los acontecimientos más importantes de la 40

lucha de Independencia. Comparte tu trabajo con tus compañeros y guárdalo en tu portafolios.

Lección

10

¿Cuánto tardas en llegar?

¿Sabes cómo se mide el tiempo? ¿Cuánto tiempo pasas en la escuela?

La unidad principal para medir el tiempo es el segundo. 60 segundos = 1 minuto 60 minutos = 1 hora 24 horas = 1 día

En la lección 9 analizaste los grandes periodos de tiempo, ahora vas a ver las distintas unidades para medir periodos cortos de tiempo.

Cada día se divide en antes meridiano (a. m.), de las 12 de la noche a las 11:59 de la mañana y pasado meridiano (p. m.), de las 12 del día a las 11:59 de la noche.


2 Analiza el problema anterior y responde.

1 Resuelve el problema. Un avión llegó a las 7:10 p. m. a su destino. Si el tiempo de vuelo fue de una hora y 25 minutos, ¿a qué hora despegó? Se resta: 7 h 10 min – 1 h 25 min Transformas: 7 h 10 min = 6 h 70 min Y resuelves: 6 h 70 min – 1 h 25 min 5 h 45 min 5:45 p. m. El avión despegó a las

¿Cómo hacerlo?

• ¿Por qué se transformó una hora a Porque no se pueden restar minutos? 25 min a 10 min. • ¿Qué operación se realiza para calcular el tiempo transcurrido entre dos horas? Una resta. • ¿Qué haces para convertir días en horas? Multiplicar los días por 24.

¿Cuánto tiempo ha transcurrido?

3 Calcula el tiempo transcurrido en cada caso. Observa el ejemplo. • 3:00 a. m. a 11:24 a. m.

• 3:46 a. m. a 8:59 p. m.

• 2:34 a. m. a 6:15 a. m.

11 h 24 min – 3 h 00 min 8 h 24 min

20 h 59 min – 3 h 36 min 17 h 13 min

5 h 75 min – 2 h 34 min 3 h 41 min

Realizo equivalencias entre las unidades de tiempo.

41

También puedes usar la notación de 24 horas para medir el tiempo, como se muestra en los relojes de la imagen:

Un avión despegó a las 10:35 a. m. y llegó a su destino a la 1:20 p. m.

¿Cómo calculo cuánto tiempo duró el vuelo? Otra forma que seguro empleas para medir el tiempo es mediante el uso de fracciones de hora: “son las tres y cuarto”, “es la una y media”.

Práctica autónoma

Una forma de calcular el tiempo de vuelo es representarlo en una recta numérica…

¿Cómo calculas la hora en que termina una actividad con el tiempo transcurrido?

1 La central de autobuses tiene un pizarrón que indica la hora en la que salió cada camión, el tiempo de su recorrido y la hora de llegada a la terminal. Completa la tabla.

Tip Para saber cuándo termina un evento se suma el tiempo que dura a la hora en que inicia.

Hora de salida

Duración del viaje

Hora de llegada

7:36 a. m.

3 h y 10 min

10:46 a. m.

1:45 p. m.

3 h y 53 min

5:38 p. m.

11:45 p. m.

6 h y 15 min

6:00 a. m.

10:00 a. m.

4 h y 35 min

2:35 p. m.

2 Completa el horario de actividades con la información proporcionada. Emilio quiere realizar diferentes actividades el fin de semana, piensa iniciar sus actividades a las 9:00 a. m. y tomar 30 minutos libres entre las actividades. Actividad Andar en bicicleta Tiempo libre Volar papalotes Tiempo libre

42

Duración

Inicio

Término

1 h 10 min

9:00 a. m.

10:10 a. m.

30 min

10:10 a. m.

10:40 a. m.

1 h 30 min

10:40 a. m.

12:10 a. m.

30 min

12:10 a. m.

12:40 a. m.

13 h 20 min – 10 h 35 min

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

Como no puedes restar 35 a 20 es necesario transformar en 60 minutos una hora de las otras 13: 13 h 20 min = 12 h 80 min

1 h + 1 h + 45 min = 2 h y 45 min Entonces el vuelo duró 2 horas y 45 minutos. Otra forma de hacerlo es mediante una resta.

12 h 80 min – 10 h 35 min 2 h 45 min

¡Ahora ya sabes cómo calcular el tiempo que pasas en la escuela!

Resolución de problemas 1 Reúnanse en equipo para resolver los problemas.

El calendario de los mexicas estaba organizado en semanas de 13 días. • ¿A cuántas semanas de nuestro calendario equivalen 14 semanas del calendario mexica? Equivalen a 26 semanas.

En el palacio de Westminster, conocido como el edificio del Parlamento Inglés, hay una torre con un reloj conocido como “Big Ben”. Cuando inicia una sesión del Parlamento se enciende una luz en el reloj. • Si un día la luz se encendió a las 9:00 a. m. y el Parlamento estuvo en sesión 10 horas y media, ¿a qué hora terminó la sesión? A las 7:30 p. m.

Marcela entra a trabajar a las 8:45 a. m. y sale a las 5:30 p. m. Si tiene una hora de comida, ¿cuánto tiempo trabaja? 7 h 45 min.

Pregunta a tu papá cuánto tiempo tarda, generalmente, en llegar a su trabajo y calcula la hora en que llega.

2 Copia en una hoja tu horario escolar. Escribe cuántas horas tienes de descanso a la semana, cuántas horas pasas en la escuela. ¿Cuál es tu clase favorita? ¿Cuántas horas a la semana tienes esa clase? Comparte las respuestas con tus compañeros y guarda el trabajo en tu portafolios como evidencia de aprendizaje.

43

Lección

11

¿Qué número falta?

A la librería de Daniel llegaron 10 cajas con la misma cantidad de libros en cada una. Después de que desempacaron 5 cajas, Daniel contó 60 libros.

Para resolver el problema Daniel hizo la siguiente tabla: Cajas

Libros

1

16

2

32

4

48

5

60

10

120

¿Cuántos libros había en cada caja? ¿Cuántos libros habrá en 10 cajas?

¿Cómo llenó la tabla Daniel?


1 Anota los datos faltantes en la tabla. Karen prepara vasos con fruta que vende en 20 pesos. Vasos

Precio

1 4

$20 $80

8

$160

10

$200

2 Utiliza los datos de la tabla anterior para responder. • ¿Cuál es el valor unitario de los vasos de fruta? $20. • ¿Cuántos vasos necesita vender para obtener $80? 4 vasos. • ¿Cómo se puede saber cuánto obtiene Karen por la venta de 15 vasos de fruta? Multiplicando 15 por 20, que es el valor unitario.

¿Cómo hacerlo?

¿Cuál es el valor unitario?

3 Obtén el valor unitario y completa las siguientes tablas. Para hacer 2 quesos se necesitan 4 litros de leche.

44

Para hacer 3 pasteles se utilizan 750 gramos de mantequilla.

Quesos

Leche (l)

Pasteles

Mantequilla (g)

1

2

1

250

7

14

2

500

9

18

6

1 500

Resuelvo problemas de proporcionalidad directa.

El valor unitario es el que corresponde a una unidad o pieza, en este caso la cantidad de libros en una caja.

El problema de Daniel representa una situación de variación proporcional, porque muestra la relación que hay entre dos magnitudes (números de cajas y libros).

Para calcular el valor unitario se divide la cantidad de libros conocida (60) entre las cajas correspondientes (5): 60 ÷ 5 = 12.

Además, este caso es directamente proporcional, porque si aumenta un valor, el otro también aumenta en la misma proporción.

Así sabemos que la cantidad de libros por caja es 12.

Práctica autónoma

¿Cuál es el valor faltante?

Tip

1 En la escuela de inglés a la que asiste Miriam todos los

grupos tienen la misma cantidad de alumnos. En el nivel al que acude Miriam hay 12 grupos y en total son 144 alumnos. • ¿Cuántos alumnos hay por grupo? 12 alumnos.

Hay casos en que se necesita dividir entre el valor unitario para obtener el valor faltante.

• Elabora la tabla de variación correspondiente. Grupos Alumnos

1 12

3 36

5 60

6 72

8 96

10 120

11 132

• Si en otro nivel hay 126 alumnos en grupos con 9 estudiantes cada uno, 14. ¿cuántos grupos son?

2 Julián tiene una flotilla de camionetas de transporte escolar, todas tienen la misma capacidad y tres de ellas transportan a 33 estudiantes. 11 alumnos.

• ¿Cuántos alumnos transporta cada camioneta?

• Con la información anterior completa los datos de la tabla. Camionetas Estudiantes

1 11

2 22

4 44

6 66

8 88

• Si transportaron a 110 estudiantes, ¿cuántas camionetas utilizaron?

10.

45

Ya que conoces el valor unitario, para encontrar los datos que faltan en la tabla debes multiplicar el valor unitario por la cantidad de cajas:

A este tipo de problemas se les llama de valor faltante, porque conoces tres datos y tienes que encontrar un cuarto dato.

12 × 2 = 24 12 × 4 = 48 12 × 5 = 60 12 × 10 = 120 Así, puedes afirmar que en 10 cajas hay 120 libros.

Ahora ya sabes lo que hice para completar la tabla.

Resolución de problemas 1 Lee con un compañero los siguientes problemas y resuélvanlos juntos.

Las tortugas marinas verdes acuden anualmente, entre julio y octubre, a las playas de Surinam para desovar. Se calcula que cada tortuga pone en promedio 142 huevos. • Completen la tabla de variación proporcional para saber cuántos huevos pondrían 3, 6 y 12 tortugas.

Pregunta a tu papá cuánto gasta al día en gasolina o en pasajes y calcula cuánto gasta en 3, 5, 7 y 15 días.

Tortugas

Huevos

1

142

3

426

6

852

12

1 704

Se estima que en las Islas Galápagos 12 tortugas ponen 960 huevos. • Supongan que todas las tortugas ponen la misma cantidad de 80 huevos. huevos, ¿cuántos huevos pone cada tortuga? • Si se contaron 1 200 huevos, ¿cuántas tortugas desovaron? 15. 240 huevos. • ¿Cuántos huevos pondrán 3 tortugas? • ¿Cuántos huevos pondrán 8 tortugas?

640 huevos.

2 Investiga el precio de dos productos de consumo diario (un jugo de litro, un kilo de 46

manzanas, un cuaderno, etcétera) y elabora las tablas de variación proporcional correspondientes al precio de 1 a 12 productos. Guarda el trabajo en tu portafolios.

Lección

12

¿Qué valor falta?

Ema fue al puesto de dulces a comprar algunas golosinas para compartir con sus compañeros.

Hay relaciones de proporcionalidad en las que no necesitas conocer el valor unitario para resolverlas.

¿Cuántos chocolates puedo comprar con 16 pesos?

La pregunta de Ema puede representarse así: Chocolates

Precio

3

$4

¿?

$16


1 Lee el problema y resuélvelo. Damián vende 4 separadores por $60.00. Si le pagaron $240, ¿cuántos separadores entregó? Separadores

Costo

4

$60

16

$240

cuatro Como 240 es 4 = 16 entonces, 4 × por $240.

veces 60, separadores

¿Cómo hacerlo?

2 Analiza el problema anterior y responde. • ¿Cuál es el factor interno? veces o el cuádruple.

Cuatro

• ¿Qué relación hay entre el 4 y el número

que encontraste? La misma, 16 es el cuádruple de 4.

• ¿Cuánto hay que pagar por 8 separadores? ¿Por qué? $120, porque 8 es el doble de 4, entonces 60 × 2 = 120. ¿Cuál es la relación que existe entre los datos?

3 Encuentra el factor interno en cada caso y resuelve. Don Pepe tiene un puesto de dulces y distintas promociones, como se muestra en la ilustración. • ¿Cuántos dulces pueden comprarse por $10? 15 dulces. cinco veces 2, entonces 3 × 5 = 15 10 es • ¿Cuántos mazapanes debe darte por $20? 8 mazapanes. 20 es cuatro veces 5 , entonces 2 × 4 = 8 Resuelvo problemas de proporcionalidad directa.

47

Luego debes identificar la relación que hay entre el 4 y el 16.

Ahora busca un número que sea cuatro veces 3 para mantener la misma relación:

A esa relación se le conoce como factor interno:

3 × 4 = 12

16 es cuatro veces 4

Con 16 pesos puedo comprarme 12 chocolates.

factor interno

A esta relación se le llama la razón interna.

Práctica autónoma

¿Cuál es el factor interno?

1 Matías vende cuatro bolsas de cacahuates en 18 pesos. Con ese dato completa la siguiente tabla.

Tip Identifica primero la relación que existe entre los términos conocidos.

Bolsas de cacahuates 2

Precio $9

6

$27

10

$45

12

$56

16

$72

2 Los autos que se muestran a continuación recorrieron distintas distancias en carretera, son de cuatro cilindros y consumen 2 litros cada 15 kilómetros recorridos. Anota el dato que falta para cada automóvil: consumo de gasolina o kilómetros que recorrió.

Tip La relación entre el consumo y los kilómetros recorridos de los autos puede ayudarte a encontrar los valores faltantes.

48

Auto 1 Consumo de gasolina: 12 l Kilómetros recorridos: 90 km

Auto 2 18 l Consumo de gasolina: Kilómetros recorridos: 135 km

Auto 3 Consumo de gasolina: 8 l Kilómetros recorridos: 60 km

Auto 4 24 l Consumo de gasolina: Kilómetros recorridos: 180 km

También existen relaciones de proporcionalidad en las que un valor se relaciona con varios valores, como en la siguiente tabla:

¿Y cuánto tengo que pagar si quiero 15 chocolates?

Como 15 chocolates es 5 veces 3, entonces multiplicas 4 × 5 = 20

Cantidad de costales

Cemento (kg)

Cal (kg)

1

45

21

3

135

63

5

225

105

15 chocolates cuestan $20.

Resolución de problemas 1 Lee con un compañero los siguientes problemas y resuélvanlos. • En una huerta se obtuvieron diferentes frutas y se colocaron en cajas para su venta. Completen los datos que faltan en la siguiente tabla. Cantidad de cajas 2 4 8

kg de manzanas 20

kg de peras 60

40 80

120

240

kg de naranjas 35

70 140

• ¿Qué relación hay entre los kilogramos de manzanas y peras de cada caja? Hay el triple de kilos de peras. • Si se tiene la misma cantidad de cajas de manzanas y peras, y en total hay 150 kg de peras, ¿cuántos kilogramos de manzanas hay? 50 kg. • ¿Cuántas cajas hay de cada fruta? ¿Cómo lo supiste? 5 cajas, calculando el valor unitario.

Pide a un adulto que te lleve al mercado para ver algunas ofertas como 3 melones por $25. Calcula cuánto se pagaría por el triple y el quíntuple del producto.

2 Copia la siguiente tabla y completa los datos que faltan,

luego guarda el trabajo en tu portafolios como prueba de aprendizaje. Cantidad de costales

kg arroz

kg lentejas

kg frijol

1

52

20

25

3

156

60

75

10

520

600

250

49

a+b


El valor faltante Una forma de mostrar las relaciones entre números y determinar el valor faltante es el uso de tablas, que permiten mostrar cómo varía una cantidad en relación con otra. Ejemplo: Cantidad de docenas

1

2

3

4

Piezas de huevo

12

24

36

48

1 docena = 12 elementos Por lo tanto, para saber cuántos elementos hay en 3 docenas multiplicas: 3 × 12 = 36 elementos, como se muestra en la tabla. Por el contrario, si necesitas saber la cantidad de docenas que formas con varias unidades utilizas la división; por ejemplo, si tienes 72 elementos: 72 ÷ 12 = 6 docenas.

1

Calcula los números que faltan y llena los espacios vacíos. Cantidad de días

1

2

3

4

Cantidad de horas

24

48

72

96

5

10

120 240

• ¿Cómo se relacionan las horas con la cantidad de días? Un día es igual a 24 horas. • ¿Cómo se calcula la cantidad de días?

Se divide la cantidad de horas entre 24

5 120 horas = 5 120 ÷ 24 = ; por lo tanto días.

2 50

Encuentra la regla y completa los valores que faltan Monedas de $20

5

10

15

20

25

30

Billetes de $100

1

2

3

4

5

6

Regla: Dividir la cantidad de monedas de $20 entre 5. Multiplicar la cantidad de billetes de $100 por 5.

3

Para la fiesta de cumpleaños de Luis, su mamá quiere preparar tortas, bolsas con dulces, botellas de agua y un pastel de chocolate. Para las bolsas de dulces, la mamá de Luis compró 3 paquetes de tamarindos con 15 piezas cada uno; 2 cajas de chocolates con 12 piezas cada una; 4 paquetes de bombones con 18 piezas y 4 paquetes de paletas de malvavisco con 8 paletas cada uno a) ¿Cuántas piezas de dulces tiene en total la mamá de Luis? Dulces

Paquetes

Piezas por paquete

Total de piezas

Tamarindos

3

15

45

Chocolates

2

12

24

Bombones

4

16

64

Paletas

4

8

32

b) ¿Cuántos dulces puso en cada bolsa y cómo se fueron acumulando en las 10 bolsas? Bolsas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tamarindos

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

Chocolates

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Bombones

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Paletas

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

c) ¿Cuántos dulces puso en cada bolsa y cómo se fueron acumulando en las 10 bolsas? Dulces

Piezas

Cantidad de bolsas

Dulces en las 10 bolsas

Sobrantes

Tamarindos

45

10

40

5

Chocolates

24

10

20

4

Bombones

64

10

50

14

Paletas

32

10

30

2

51

Mis palabras matemáticas Éstas son las palabras matemáticas que aprendiste durante el bimestre. Denominador común Fracción mixta Redondeo Cociente Divisor Dividendo Residuo Recta Segmento de recta Semirrecta Rectas paralelas

1

Rectas perpendiculares Rectas secantes Ángulo recto Ángulo agudo Ángulo obtuso Plano Croquis Mapa Capacidad Litro Mililitro

Gramo Kilogramo Tonelada Tiempo Siglo Década Lustro Variación proporcional Valor unitario Valor faltante

Escribe la palabra matemática que falta para completar la frase. A. Manuel quiere repartir 19 dulces entre sus tres amigos, por eso tiene que hacer una

división

. El

cociente

representa la cantidad de dulces

que le toca a cada amigo. B. Entre dos rectas iguales, llamados C. Esther sabe que la

perpendiculares rectos

.

capacidad

de una botella es de un

D. El camión de Jesús es capaz de cargar tres

2

toneladas

litro

.

de maíz.

Relaciona con líneas las situaciones correspondientes de ambas columnas. Pedro lo consultó para saber cómo llegar a casa de su amigo.

Mil miligramos forman un kilogramo.

Las tortillas se venden en kilogramos.

Es un periodo de tiempo mayor a 30 años.

En México las olimpiadas fueron hace más de tres décadas. Si multiplico el divisor por el cociente y le sumo el residuo, obtengo el dividendo.

52

ángulos

se forman cuatro

Relación entre los elementos de la división. Croquis.

Convivo y reflexiono Mi Equipo Favorito Julián y sus amigos tienen la costumbre reunirse en casa de uno de ellos cada vez que juega su equipo favorito de futbol. Cada quien lleva alguna botana para compartir y se organizan de tal manera que alguna de sus mamás los lleve a la casa en donde verán el partido. Un día, cuando parecía que todo iba conforme a lo planeado, Julián les comentó a sus amigos:

Comenta y reflexiona con el grupo las siguientes preguntas. Para ti, ¿qué es la amistad? ¿Qué actitudes pueden ayudar a conservar una amistad? ¿Cómo le haces para tener amigos?

53

Bimestre

1

Ponte a prueba

Orlando, Elisa y sus padres llegaron a Jerez, una ciudad que no conocían. Compraron el mapa que se muestra a continuación y quieren recorrer varios lugares importantes.

Obtuso

Obtuso

ión 19

nd

19

All e

de

Museo de las máscaras

e

agudo agudo

Palacio de Parque Gobierno de las artes agudo agudo Fco. Javier Mina

R. M. Museo de las máscaras Catedral Palacio de Gobierno Tienda de artesanías Parque de las armas

2 Escribe las calles que son paralelas a Av. Ferrocarril Hidalgo:

54

agudo

Escuela Héroes de la Independencia

Tienda de artesanías

1 Escribe cinco lugares de interés que aparecen en el mapa.

Revolución, y Fco. Javier Mina.

Catedral

agudo Fco. Javier Mina

Av. Ferrocarril Hidalgo

Farmacia la salud

tuc

sti

Papelería de goma

All e

nd

e

Parque de las armas

agudo

Casas

Aldama

Restaurante la bonita

Av. Revolución

n Co

Oficinas del Ayuntamiento

Hidalgo

Cafetería los portales

Josefa Ortíz

Abarrotes la Morena

Casas

3 Relaciona la figura que se forma entre las calles con el lugar que le corresponde. Figura que no tiene ángulos rectos

Parque de las armas

Cuadrado

Farmacia la salud

Trapecio isósceles

Palacio de Gobierno

5 Marca en el mapa dos ángulos obtusos. 6 Marca en el mapa dos ángulos agudos. 7 La familia de Orlando está a la mitad de la Avenida Revolución, ¿qué lugares hay ahí? Cafetería los portales y el Restaurante La bonita

8 La familia comió en el Restaurante La bonita y en total se gastó 580 pesos, ¿cuánto se gastó por cada uno? $145 por persona

9 Para la visita a la ciudad, la familia lleva 8 veces lo que se gastó en la comida, ¿cuánto llevan en total? 4 640 pesos

10 En su visita a la Tienda de artesanías compraron lo siguiente (escribe la unidad de

medida que corresponda para cada caso: gramo, litro, metro): • • • •

litro Elisa compró un de jarabe de pera. gramos El papá compró 750 de café de la región. gramos Orlando compró 200 de pinole. metros La mamá de Elisa compró 2 de tela.

55

BIMESTRE

2

2 carritos por $50

s 4 pieza 0 por $20

Juguetes proporcionales

Diferentes m odelos: 3 por $66

1 Por $15

2 teléfonos por $70

Camión de madera. $120

Luchadores. 6 piezas por $72

6 piezas por $120

3 bolsas por $135

5 pelotas por $45

Gus de mad ano era $3

2

Cubo de m ade 4 por $32 ra 0

Reto de números Así se juega l Todos los jugadores lanzan el dado para ver quién inicia el juego. l Por turnos, cada jugador lanza una moneda o ficha sobre el tablero: el lanzamiento debe ser a una distancia aproximada de 2 metros del libro.

56

l Después lanza el dado y según el número que salga, debe calcular el costo de esa cantidad de juguetes, según la casilla donde haya caído su ficha. l Si lo hacen correctamente ganan los puntos que indica el dado.

Necesitas: El tablero que se muestra Una ficha o moneda por jugador Un dado Tabla de notas.

Recupera y avanza Tip

Relaciona cada fracción con el número decimal correspondiente.

Recuerda que para obtener el valor unitario en una relación de proporcionalidad tienes que hacer una división.

1 10 1 2

Tabla de notas Juguete

Número de piezas

Total a pagar

3 4

Puntos

1

1 2

0.5

0.75

1.5

0.1

Rodea las divisiones que tienen un resultado exacto. 86 ÷ 8 = 10 y sobran 6 45 ÷ 9 = 5 72 ÷ 4 = 18 97 ÷ 3 = 32 y sobra 1 82 ÷ 6 = 13 y sobran 4 84 ÷ 7 = 12 Completa las expresiones de proporcionalidad: 1 pieza por 15 pesos, 5 por 75 pesos 3 piezas por 42 pesos , 6 por 84 pesos.

l Anoten su resultado en la “Tabla de notas” que se muestra. Copia la tabla en una hoja para que puedas usarla varias veces. l Si el número de dado coincide con el número de piezas del juguete, pierdes el turno.

l Gana el juego quien más puntos acumule después de cinco turnos y recibe un premio de parte del profesor. l Recuerda que en todos los casos los precios muestran una relación de proporcionalidad.

57

13

Lección

¿Qué parte representa? 4

Fernando corrió

de la pista de 5 100 m de su escuela en 50 segundos y

Puedes representar tus resultados de diferentes maneras. Por ejemplo, con la cifra de 80 m en una recta numérica de 100 m donde se muestre tu avance.

al hacerlo se preguntó:

¿De qué otras formas puedo representar el recorrido que hice?

0

20

40

60

80

100


2 Luego responde.

1 Marca los números en la recta

numérica y represéntalos en las siguientes figuras:

• ¿Dónde está

2 4 5 5 8

2/5 4/8

4/5

5

, a la derecha o

izquierda del 1? A la izquierda

4

0

4

• Entonces, ¿

4

es mayor o menor que un 5 entero? Menor.

1

• ¿Qué fracción tiene más área iluminada? 4/5 • ¿Qué fracción es más grande? 4/5

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo ubico en la recta numéria?

3 Marca los siguientes puntos en la recta: 0

5 8

,

3/8

3 8

y

2 4

y responde.

2/4

1

5/8

• ¿En cuántas partes dividiste la recta? En 8 y en 4. • ¿Qué fracción está más cerca del 1? 5/8 • Si la recta mide 16 cm, ¿a cuántos centímetros del cero está ubicada cada fracción? 5

58

8

=

10

cm

3 8

=

6

cm

2 4

=

8

cm

Reconozco distintas representaciones de una fracción.

También puedes representarlos en una gráfica como la siguiente:

20 m

20 m

20 m

20 m

La distancia puede representarse en una recta o una gráfica.

Tardé 50 segundos en recorrer los 80 m, ¿eso también se puede representar?

Práctica autónoma

Sí, puedes representar el tiempo que tardaste en recorrer esos 80 m. Antes pensaste en metros, ahora debes pensar en minutos.

Un minuto = 60 segundos Cuando cambias de metros a segundos estás cambiando tu unidad de referencia.

¿Cómo ubico fracciones en un problema?

Javier realizará un viaje en automóvil de Toluca a una fábrica 4 del camino cerca de Guadalajara y debe recorrer 245 km, a 5 3 un restaurante. La está el hotel donde se hospedará y a 25 del camino. estación de servicio se encuentra a 5

Tip

1 Ubica los puntos en la carretera que se presenta y dibuja el hotel.

Observa cuál es la unidad de referencia que se te pide en cada problema, es decir, por la que deberás dividir tus datos.

Hotel

245 km

2 Responde a las preguntas. • ¿Qué sitio es el más cercano a Guadalajara? El hotel. • ¿Qué sitio está más cercano a Toluca? La gasolinería. • ¿A cuántos kilómetros está el restaurante?

A 147 km.

• ¿El hotel está a 300 km de Toluca? Justifica tu respuesta. No, porque se encuentra en el km 196.

59

Para graficar el tiempo cambia tu unidad de referencia por el minuto. Divide el minuto en cinco partes iguales para que cada una equivalga a 10 segundos. Luego represéntalo mediante una gráfica como la siguiente:

Otro tipo de representación para el tiempo en que se recorrieron los 80 m es:

0

20

40

60

80

100

Ésta es la recta de la distancia que recorriste: Y ésta, la recta del tiempo que tardaste en recorrerla:

0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 Recuerda que al representarlo debes tomar en cuenta tu unidad de referencia.

5 6

1

Resolución de problemas 1 Resuelve de manera individual los problemas. Claudio y José Luis participaron en una carrera de 10 000 m. En el minuto 35 Claudio llevaba

5

del recorrido y José

4

. 7 5 • Escribe los datos que faltan en la recta y el punto donde iban Claudio y José Luis. Claudio 1 430 m

2 860 m

4 290 m

5 720 m

7 150 m

José 8 580 m

10000 m =

7 7

• ¿Quién estaba más cerca de la meta? José Luis. • ¿Cuántos kilómetros le faltaban a José para terminar la carrera? 2 000 metros. • ¿Cuántos metros le faltaban a Claudio para terminar la 2 857 metros. carrera? • Representa en los círculos el tiempo que tardaron en recorrer esa distancia.

Investiga cuántos metros cuadrados tiene tu casa y cuántos tu habitación, luego representa cuánto mide tu habitación en relación con tu casa.

Claudio

José

2 En una hoja dibuja una recta numérica y con diferentes colores marca en ella los 60

2

,

1

,

3

,

8

, también represéntalos en una gráfica. Compara tu 4 8 5 10 trabajo con tus compañeros y si es necesario corrige. Guarda la hoja en tu portafolio. siguientes puntos:

Lección

14

¿Cuál es el valor de la parte decimal?

Emiliano, Joan, Abraham y Martín participaron en la competencia de salto de longitud de los Juegos Interescolares. La diferencia está en la parte decimal o los números que están a la derecha del punto.

Éstos fueron los resultados: Competidor

Resultado

Emiliano

2.05 m

Abraham

2.12 m

Joan

2.055 m

Martín

2.090 m

¿Quién saltó más si todos superaron los 2 metros? 2.12 m

Cuando un entero se divide en 10 partes y se toma una de ellas, tenemos un décimo. 2.12


1 El escarabajo Titán gigante es uno de los más grandes del mundo.

• ¿A qué unidades representa el 16 en la longitud del escarabajo? A los centímetros. • ¿Qué significa el 0.7 cm? 7 milímetros.

16.7 cm

• ¿Cuánto le falta al escarabajo para medir 17 cm? 3 mm. • ¿Será lo mismo 16.7 centímetros que 16.7 horas? Justifica tu respuesta. No,

porque la unidad de medida es diferente,

una es para tiempo y otra, para longitud.

¿Cómo hacerlo?

¿Es lo mismo 1.3 horas que 1.3 kilómetros?

2 Completa la siguiente tabla: Medida

Se lee

¿Qué se está midiendo?

1.3 m

Un metro con 3 décimos

Metros

1.3 kg

Un kilo con 3 décimos

Kilogramo

1.3 h

Una hora con 18 minutos

Horas

Doy significado a la parte decimal de una medida.

61

Cuando el entero se divide en 100 partes y se toma una, tenemos un centésimo; en este caso tomamos 2 de ellas. 2.12

Entre más dividimos el entero, las partes son cada vez más pequeñas.

Si podemos dividir el metro, ¿podremos dividir otras unidades de medidas? Claro que sí, los decimales se usan para medir distancias, pesos, etcétera. Como con las horas, cada décima parte equivale a 6 minutos.

Abraham ganó porque saltó 2 metros con 12 centésimos.

1 hora = 6 minutos × 10 = 60 minutos

Práctica autónoma

¿Cuánto es un décimo?

1 Completa la tabla para saber cuántos minutos equivalen a cada décimo de hora.

Tip En la lectura de números decimales primero se mencionan los enteros y luego la fracción de la unidad que se está midiendo (kilogramos, horas, etc.).

Horas

Minutos

1 0.1

60

0.2 0.3 0.4 0.5

6 12 18 24 30

2 Responde las preguntas. Todos los días Orlando dedica 2.5 horas a leer un libro, 1.3 horas a estudiar y 3.2 horas a jugar. • ¿Cuántas horas y minutos dedica a la lectura? • ¿Cuántas horas y minutos dedica a estudiar? • ¿Cuántas horas y minutos dedica a jugar?

2 horas y 30 minutos. 1 hora y 18 minutos. 3 horas y 12 minutos.

3 Responde las preguntas.

62

Como parte de su entrenamiento, Orlando corre 1.3 km diarios para mantenerse en forma y pesar 43.5 kg. • ¿Cómo se lee el recorrido que hace Orlando? Un kilómetro con tres décimos. • ¿Cómo se lee el peso de Orlando? Cuarenta y tres kilogramos con cinco décimos.

Como puedes ver, eso significa que tu clase durará 2 horas con 30 minutos.

Una de mis maestras dice que la clase durará 2.5 horas, ¿qué significa eso?

Los números decimales pueden ayudarnos a medir diferentes cosas, pero debes poner atención a la unidad de medida que utilices porque 2.5 m y 2.5 h no tienen el mismo significado.

2 horas con 5 décimos

(1 décimo = 6 minutos) 5 décimos × 6 minutos = 30 minutos

2.5 m se lee: dos metros con cinco décimos, es decir, 2 m con 50 cm.

2.5 h se lee: dos horas con 30 minutos.

Resolución de problemas 1 Resuelvan en parejas los problemas. Completa la información. Después, responde.

Morsa Tamaño 3.5 m = 350 Peso 1.5 t = 1 500 kg

cm

León marino m = 240 cm Tamaño 2.4 Peso 0.27 t = 270 kg

Elefante marino Tamaño 4.5 m = 450 cm Peso 1.8 t = 1 800 kg

• ¿Cuántos kilogramos más que el león marino pesa la morsa? 1 230 kg • ¿Cuántos centímetros menos que el elefante marino mide el león marino? 210 cm Un barco que transporta turistas inicia su recorrido a las 8:45 am y lo termina a las 10:27 am. • ¿Cuánto tiempo transcurrió durante el recorrido? hora con 42 minutos.

Una

• ¿El recorrido fue de 1.42 horas? Justifica tu respuesta. No, el recorrido es de 1.7 h pues 7 décimos de hora equivalen a

42 minutos.

Pide a un adulto que te ayude a tomar el tiempo que dura un programa de televisión y el que duran dos comerciales, anótalos en forma decimal.

2 Investiga en Internet las mejores marcas registradas en las carreras de 100 metros, el nombre de los atletas, su nacionalidad y el tiempo en que terminaron la carrera (con decimales). Regístralas en una hoja y junto pega o dibuja sus banderas, luego guarda tu hoja en el portafolios.

63

15

Lección

¿Cómo obtener un cociente decimal? Les regalo 17 pesos antiguos, sólo si me dicen qué cantidad les toca a cada quien

El abuelo de Toño, Juan, Lupe y Yola tiene muchas monedas antiguas. A ellos les gusta jugar al banco con las monedas.

De inmediato empezaron a dividir 17 pesos entre los 4.

4

Los cuatro nietos le piden unas cuantas para llevarse a casa, y el abuelo decide darles algunas si resuelven el problema que ideó.

4

Les tocó a cada uno

17

Les regalarían

-16 1

Se repartieron Sobró


1 Completa las siguientes divisiones. 5

5.2 26

8

10 0

8

4.5 36 40 0

4

1.75 14 60 40 0 4.25 17 10 20 0

2 Responde las siguientes preguntas. • ¿Para qué se utiliza el punto decimal en Para seguir dividiendo y la división?

obtener un resultado exacto, sin residuo.

• ¿Cinco unidades en cuántos décimos se convierten? En 50 décimos. • ¿Tres décimos a cuántos centésimos equivalen? A 30 centésimos.

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo se reparte?

3 Acomoda las divisiones verticalmente y resuélvelas. 58 ÷ 10 = 5.8 5.8 10 58 80 0

64

87 ÷ 12 = 7.25 7.25 12 87 30 60 0

282 ÷ 12 = 23.5 23.5 12 282 42 60 0

Resuelvo divisiones de números naturales con cociente decimal.

261 ÷ 18 = 14.5 14.5 18 261 81 90 0

¿Qué hacemos si nos queda una sola moneda? Les cambio la moneda de a peso que sobró por 10 monedas de 10 centavos

Toño comenzó a repartir las monedas de 10 centavos entre los cuatro; les tocó de a 2 monedas a cada uno y les sobraron otras 2.

4.2 4

17 -16

Cambiaron la moneda de $1

10

por 10 monedas de ¢10

-8

Repartieron 8 monedas

2

Práctica autónoma

Sobraron 2 monedas de ¢10

¿Cómo resolver divisiones con punto decimal sin resta?

1 Completa las siguientes divisiones. 4

170.5 170 682 28 020 0

6

27. 27.5 165 45 30 0

4

32 32.75 131 11 30 20 0

2 Resuelve los siguientes problemas. • Si hay 10 litros de detergente ecológico y se quiere repartir entre 16 familias. ¿Cuánto detergente ecológico le tocaría a cada familia? 0.625 litros por familia. 0.625 16 100 40 80 0

8

29.75 238 78 60 40 0

Tip Observa que si el dividendo es menor que el divisor, el cociente será menor que un entero.

• El contenido de 8 botellas de loción es igual a 500 mililitros. Si todas las botellas tienen la misma cantidad, ¿cuál es el contenido de loción por botella? 62.5 ml por botella. 62.5 8 500 20 40 0

65

Abuelo, ¿nos cambias las dos monedas de 10 centavos por 20 de un centavo?

4.25 4

17 -16 10

¡Aquí tienen las 20 monedas de un centavo! Denme las dos de 10 centavos

08

Cambiaron las 8 monedas de 10¢

020

Por 20 monedas de 1¢

020

Repartieron las 20 monedas

0 Éstas son las operaciones para el reparto de las monedas de un centavo.

Y no sobró nada

Como imaginarás, los cuatro niños y el abuelo están felices porque lograron resolver el problema: les tocaron 4 pesos y 25 centavos a cada uno.

Resolución de problemas 1 Resuelve los siguientes problemas con un compañero. Marco y cinco compañeros formaron un equipo para hacer adornos conmemorativos de la Revolución Mexicana. Van comprar 3 rollos de listón de diferente color; cada uno cuesta 37 pesos y tiene 21 metros de listón.

• ¿Cuántos metros de listón de cada color le tocará a cada uno? 3.5 metros • ¿Cuánto tendrá que pagar cada niño? $18.50 En el edificio donde vive Pedro entre todos los vecinos tienen que Pregunta en una papelería cuánto cuesta una caja de 12 colores y una de 24, luego calcula el costo de cada uno de los 12 y 24 colores (el reparto del precio de cada uno) y anota tus resultados.

pagar, en partes iguales, el recibo de la luz y el del agua de los espacios comunes. El recibo de la luz llegó de $1 287 y el del agua de $894. En el edificio hay 12 departamentos.

• ¿Cuánto tiene que aportar cada departamento para pagar la luz? $107.25 • ¿Cuánto tienen que aportar para el agua? $74.50

2 La señora López compró 8 libros en 858 pesos. Elabora una tabla en donde 66

indiques qué cantidad debe pagar por: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 libros. Luego integra la tabla a tu portafolios.

Lección

16

¿Cuál es la altura de un triángulo?

Mariana tiene tarea y necesita saber la altura de un triángulo.

Recuerda que un triángulo es un polígono con tres lados y tres ángulos.

¿Cómo sé cuál es la altura de un triángulo?


1 Traza con ayuda de tu escuadra la altura de los siguientes triángulos.

2 Responde a las preguntas. • ¿Qué tipos de triángulos hay en el ejercicio anterior? Escaleno e isósceles. • En un triángulo equilátero, ¿la altura mide lo mismo que uno de sus lados? No. • ¿Qué debe hacerse para encontrar las alturas de un triángulo escaleno? Prolongar sus lados.

¿Cómo hacerlo?

¿Cuál es la altura?

3 Analiza los trazos en cada uno de los siguientes triángulos y rodea con un círculo rojo los que tengan todas sus alturas correctamente trazadas.

Identifico y trazo las alturas de un triángulo.

67

Por la relación de la medida de sus lados y ángulos se clasifican de la siguiente forma

Mi maestro dijo que la altura de un triángulo es el segmento perpendicular que une uno de sus lados con el vértice opuesto y forma un ángulo recto con ese lado.

Por sus lados:

Por sus ángulos:

Práctica autónoma

¿Cómo trazo la altura?

1 Traza la altura de los triángulos de color verde, mídela con tu regla y completa la información que falta. La base está pintada de azul.

Base: Altura:

4.8 2.6

cm Base:

2.4

cm

cm Altura: 3.8

cm

Tip Base: Altura:

68

1.9 2.5

cm

Base:

cm

Altura:

1.6 3.2

cm cm

La base te sirve para trazar la altura desde el vértice opuesto a ella. Recuerda que la altura es perpendicular a la base.

En un polígono, el vértice es el punto en común de dos lados consecutivos.

En algunos casos es necesario prolongar un lado para trazar la altura.

Todo triángulo tiene 3 vértices y una altura por cada vértice.

Entonces, ¿la altura de un triángulo es el segmento de recta que va de un vértice al lado opuesto, llamado base?

Resolución de problemas 1 En la escuela habrá una fiesta y para decorarla se colgarán banderines triangulares de

papel de dos colores diferentes, como el que se muestra. Traza una sola línea en la altura del triángulo y contesta.

• Si cada cm representa un metro, ¿cuál es la altura de los triángulos? 2.6 m • ¿Qué relación hay entre las alturas de los triángulos? Las dos miden lo mismo.

Triángulo

Altura

Localiza en tu casa cosas con forma triangular y mide su altura, luego prepara una tabla como la de la izquierda con tus resultados e indica las unidades que usaste para medirlas.

2 Elabora en papel un triángulo equilátero con lados de 15 cm y un triángulo rectángulo con el lado mayor de su ángulo recto de 20 cm. Al equilátero hazle tres dobleces a la mitad de sus lados, anota cuánto midió cada altura y comprueba con tus compañeros que es la misma. Al triángulo rectángulo dóblalo de tal forma que la orilla del lado corto y el lado largo del ángulo recto queden juntas, luego mide la distancia del doblez, que será su altura. Guarda tus triángulos en el portafolios de evidencias.

69

Lección

17

¿Cómo puedo reproducir una figura? Puedes hacerlo con una retícula.

Arturo quiere reproducir una figura en la pared de su cuarto y sabe que para hacerlo fácilmente puede auxiliarse de retículas y segmentos de líneas.

Primero debes elegir el tipo de retícula: cuadriculada, triangular o hexagonal.

¿Cómo puedo hacer para dibujar esta misma imagen, más grande, en la pared?

¿En qué retícula crees que sea más fácil copiar tu dibujo?


1 Completa la figura en la cuadrícula

2 Ahora responde.

de la derecha.

• ¿Qué estrategia utilizaste para reproducir las figuras?

¿Cómo hacerlo?

3 Reproduce la figura al doble y triple del

Me fijé en la cantidad

de cuadritos que debía continuar mi

trazo en diagonal y línea recta para ir

formando la figura.

¿Qué debo hacer para ampliar la figura?

4 Ahora responde las siguientes preguntas.

tamaño en una hoja de cuadro chico. • ¿Cuántos cuadros mide de altura la figura de la izquierda? 7 cuadros. • ¿Cuántos cuadros mide de altura la figura que dibujaste al doble de tamaño? 14 cuadros.

70

• ¿Cuántos cuadros mide de altura la figura que dibujaste al triple de tamaño? 21 cuadros. Reproduzco figuras usando un cuadrícula como referencia.

Después deberás decidir el tamaño y la orientación que tendrá la figura que reproducirás

Identifica cada segmento de la línea que vas a copiar. Fíjate dónde están los puntos de inicio y final, su posición y orientación, para copiar el trazo en la pared sin fallos.

Recuerda que para cambiar el tamaño de una figura es necesario cambiar la longitud de los cuadros de su retícula.

Práctica autónoma

¿Cómo se reproducen imágenes con una retícula?

Tip

1 Reproduce la letra E en la retícula vacía pero de tal forma que quede volteada hacia la izquierda.

Una retícula con mayor densidad de líneas e intersecciones permitirá aumentar la fidelidad o exactitud de la reproducción.

2 En la siguiente retícula reproduce dos veces la figura con diferente orientación.

3 Ahora responde. • ¿Qué es lo que no cambió en la figura reflejada del inciso 1? El tamaño, los colores y

la forma.

• ¿Qué fue lo que no cambio en las figuras del inciso 2? El tamaño. • Explica con tus palabras lo que significa este efecto de rotación. La rotación es el

cambio de orientación pero no de tamaño, color o forma de la figura.

71

Recuerda que para hacer una reproducción mediante retículas debes tomar en cuenta: • El tipo de retícula a utilizar. • El tamaño o la escala en que quieres que quede. • La orientación que quieres para la figura. • La posición, el tamaño, la orientación y los puntos de inicio y final de las líneas de la figura.

Resolución de problemas 1 Reproduce la figura en la retícula de la derecha, girada 90º a la derecha.

• Después de hacer la figura girada, ¿cómo se ve en comparación con la original? Pregunta a dos adultos en tu casa si alguna vez han utilizado la técnica de copiado por retícula, pídeles que te platiquen sobre su experiencia.

Se ve igual que la original.

• Para que la figura mida 70 cm por lado, ¿cuánto debe medir el lado de cada cuadro de la retícula? 5 cm. • ¿Qué diferencias encontrarías entre la orientación actual de 3 la figura y si la giras de vuelta a la derecha? 4 Ninguna.

2 En equipos de tres diseñen un dibujo que pueda reproducirse en hojas de 72

cuadro chico y construirse pegando tres partes. Junten los tres dibujos del equipo para hacer una sola tira. Guarden su modelo y dibujo en el portafolios.

18

Lección

¿Cómo obtienes el área de un paralelogramo? Seguro que hace mucho conoces dos paralelogramos: el cuadrado y el rectángulo

Ayer me dijeron que dibujara un paralelogramo, pero nunca había escuchado esa palabra ni visto alguno ni sé medir su área

Cuadrado

Estoy seguro que has visto muchos y puedo explicarte cómo obtener su área

Rombo

Rectángulo

Ahora conocerás otros dos paralelogramos: el rombo y el romboide

Romboide


2 Responde a las siguientes preguntas.

1 Calcula el área de los paralelogramos.

• ¿Qué diferencia hay entre el área del rectángulo y el rombo?

Fórmula: A 8 cm

=b×h

El área del rombo es la mitad del área

Área del romboide

del rectángulo. • ¿Cómo explicarías la diferencia entre la fórmula del área del rombo y del romboide?

2 24 cm

Fórmula del rombo:

A=

b×h

2

Área del rombo 36 cm²

12 cm

¿Cómo hacerlo?

El área del rombo es la mitad del área

del rectángulo y la del romboide es igual

a la del rectángulo.

¿Cómo calculas el área de los siguientes rombos y romboides?

3 Con la infomación, calcula el área de cada paralelogramo. 22 cm

30 cm 3 cm

3 cm

2 A = 9 cm

7 cm

9 cm

2 A = 63 cm

14 cm

4 cm

14 cm

2 cm 2 A = 210 cm

2 A = 154 cm

2 A = 8 cm

Utilizo la fórmula para calcular el área de rombos y romboides.

73

Existe una fórmula básica para calcular el área de las figuras geométricas, incluidos los paralelogramos.

A=b×h

b = 4 cm El cuadrado, rectángulo, rombo y romboide son cuadriláteros, y son paralelogramos porque tienen cuatro lados formados por dos pares de líneas paralelas

h = 8 cm A = 4 cm × 8 cm A = 32 cm2

Práctica autónoma

¿Qué formula debo usar?

1 Calcula el área de las siguientes figuras.

5 cm

4 cm

25 cm

8 cm

14 cm

3 cm

18 cm

40 cm 20 cm2

1000 cm2

6 cm2

252 cm2

2 Toma las medidas necesarias y calcula el área de los siguientes cuadriláteros.

Tip La letra h significa altura (del vocablo inglés height, pues la letra a se utiliza para el apotema), la letra A significa área y la b, base.

5 cm2

74

8 cm2

9 cm2

La fórmula del área del romboide es exactamente igual a la del rectángulo:

Las dimensiones de un rombo son la diagonal menor (d) y la diagonal mayor (D), de las que también puede obtenerse el área de un rectángulo que se forma a su alrededor con un área dos veces mayor que la del rombo. Por eso para obtener el área del rombo se divide entre 2.

A=

D d

A=

A=b×h

d×D

2

Si se corta un triángulo de un lado del romboide y se pasa al otro lado, se forma un rectángulo con las mismas dimensiones

Al procedimiento para convertir un romboide en rectángulo se le conoce como traslado.

4 cm × 8 cm

2

A =16 cm2

Resolución de problemas 1 Resuelvan en equipo los siguientes problemas. En la escuela de Antonio van a dibujar doce rombos en el patio. Cada uno tendrá de diagonal menor 3 metros y de diagonal mayor 9 metros. • ¿Cuántos metros cuadrados de pintura deben calcular por cada rombo? 13.5 m2 • ¿Cuántos metros cuadrados del patio cubrirán los doce rombos? 162 m2. Carlos tiene 3 calcomanías en forma de rombo y 9 en forma de romboide, con las medidas que se muestran en las figuras, y quiere saber con qué tipo de figuras podría adornar más área de la ventana de su cuarto.

D = 42 cm

d = 28 cm

h = 7 cm

b = 28 cm

• ¿Con qué figura cubre más ventana, con los romboides o con los rombos? Con ambas figuras geométricas cubre

exactamente la misma área 1 764 cm2.

Busca en tu casa cosas que tengan forma de rombo y cosas que tengan forma de romboide, y elabora una lista con ellas.

2 Elabora un pequeño papalote con una hoja de color. Escribe en él cuánto mide su diagonal mayor, cuánto su diagonal menor y cuánto su área total. Guarda tu papalote en el portafolios.

75

Lección

19

¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

Lalo quiere reproducir algunas figuras en un muro y desea ampliar cada una para hacer un collage.

¿Cómo puedo saber de qué tamaño será cada lado?

Debes identificar un factor de equivalencia entre las figuras de la cartulina y las del muro


1 Completa el barco de la izquierda

de manera que sea proporcional al original.

2 Con base en lo que acabas de hacer responde. • ¿Cuál es la relación que hay entre las medidas de los dos barcos? Las medidas del barco 2 son el doble que las del barco 1. • ¿Cuál es el factor de proporcionalidad? 2. •

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo pudiste identificarla? Porque en la base del barco todas las medidas se multiplicaron por 2.

¿Cómo identificar el factor constante de proporcionalidad?

3 Observa la figura y calcula su perímetro. ¿Cuánto mide? Mide 20 unidades. • El rectángulo fue reproducido proporcionalmente. Si en la reproducción la altura mide 4 unidades, ¿cuál es la medida del la base? 16 unidades. • Calcula el perímetro del segundo rectángulo. Mide 40 unidades.

76

• ¿Por cuánto se ha multiplicado en relación con el perímetro del rectángulo original? Por 2. Identifico y aplico el factor constante de proporcionalidad.

¿Cuál es el factor por el que debo multiplicar la medida de cada lado?

El factor que buscas se llama constante de proporcionalidad Para analizar las medidas del triángulo, haz una tabla como la siguiente

Con las operaciones veo que ese factor es 3

Medidas del triángulo Original

Copia

Base

12

36

Altura

9

27

Diagonal

15

?

Práctica autónoma

Así es, y te servirá para las otras figuras

¿Cómo identificar la constante de proporcionalidad en otros contextos?

1 Completa la siguiente tabla. Número

Valor constante 4

Operación 55 × 4

Producto 220

55 18

3

18 × 3

54

20

5

20 × 5

100

2 Identifica para cada tabla el factor constante de proporcionalidad y escríbelo en el lugar correspondiente. Completa los valores faltantes. Precio

Total

Jarras

5

15 30

4 6

90

18

10 30

• Factor constante: 3

Litros 6

Piezas

Precio 25

9

10 20

27

30

• Factor constante: 1.5

50 75

• Factor constante:

Medidas de los lados de un cuadrado

Medidas de la reproducción

8

28 31.5

9 10 11 3.5 • Factor constante:

25

35 38.5

77

Ahora calcularé las medidas del cuadrado y rectángulo con mi constante de proporcionalidad, que es 3

¡Perfecto Lalo, lograste reproducir las tres figuras creciendo su tamaño proporcionalmente!

39 cm

13 x 3 =

22 x 3 =

17 x 3 =

51 cm

66 cm

Resolución de problemas 1 Resuelvan en parejas los siguientes problemas. Los tapetes con aserrín y flores que se hacen en “La noche en que nadie duerme”, son una tradición del estado de Tlaxcala, patrimonio de la humanidad. Fernando hará un tapete y quiere reproducir un rombo a escala, para saber sus medidas hizo la siguiente tabla: Completa los datos de la tabla. Rombo original

Medidas de la reproducción

Diagonal menor

Diagonal mayor

Diagonal menor

8

14 16

40 45

20

50 55

9 10 11 Toma las medidas de la mesa de tu casa e imagina que fue reproducida de un modelo con un factor de proporcionalidad 4. Calcula las medidas del modelo.

25

•

Diagonal mayor 70 80 100 125

5. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

Fernando vio un tapete en una fotografía y quiere reproducirlo a escala. Si la base del rectángulo mide 16 cm, ¿por qué factor debe multiplicar para que la base del tapete mida 144 cm? Por 9.

2 Busca en tu casa un objeto con la forma de figura geométrica y toma sus medidas. 78

Elige tres distintos factores de proporcionalidad y dibuja el objeto en tu cuaderno usando dichos factores. Muestra el trabajo a tus compañeros y coméntalo con ellos, luego guárdalo en el portafolios.

Lección

20

¿Qué es la proporcionalidad?

Cinthya ayudará a su mamá a empacar los mazapanes que hizo para vender.

Primero empaca un pedido de 90 mazapanes y después otro de 24 mazapanes

Usa 5 bolsas para empacar 30 mazapanes

¿Cómo puedo saber cuántas bolsas necesitaré?

¡Ya sé! Haré una tabla de proporcionalidad!


1 Completa la tabla de proporcionalidad directa que hizo Carlos.

2 Con los datos anteriores responde las preguntas.

Horas

Kilómetros recorridos

• ¿Qué distancia recorrió en 6 horas? 570 kilómetros.

1

95

• ¿Cuál es el valor unitario (por hora)? 95 kilómetros.

2

190

3

285

4

380

5

475

¿Cómo hacerlo?

3 En una fábrica de ropa están pegando botones. Para 3 camisas utilizaron 21 botones.

• ¿Cómo calcularías el tiempo si la última fila de tabla aumenta 285 km? Dividiría 285 ÷ 95 = 3 horas.

¿Cómo se obtiene el valor unitario?

4 Con los datos anteriores completa la siguiente tabla.

• ¿Cuántos botones se necesitan para cada camisa? 7 botones.

Camisas 1

Botones 7

2

14

• ¿Cuál es el valor unitario? 7.

3 5

21

12

84

35

Identifico y aplico el factor constante de proporcionalidad.

79

Cinthya puede usar la multiplicación para hacer una tabla que aumente de 30 en 30 mazapanes.

Cinthya también puede dividir 30 ÷ 5 para calcular el valor unitario y hacer una tabla que muestre el resultado de colocar 6 mazapanes en cada bolsa.

Bolsas

Mazapanes

5

30

10

60

Bolsas

Mazapanes

15

90

1

6

20

120

2

12

3

18

4

24

5

30

Cuando dos cantidades aumentan o disminuyen de igual manera, se dice que guardan la misma proporción, es decir, son directamente proporcionales.

Práctica autónoma

¿Cómo se emplea el valor unitario?

1 Elena forma parte de una cooperativa que fabrica jabones con diferentes aromas y los vende en el mercado orgánico. Por cada 3 jabones se pagan 36 pesos. Completa la siguiente tabla de variación proporcional. Jabones

Precio

1

12

2

24

3

36

4

48

5

60

6

72

• ¿Qué operación debe hacer Elena para conocer el valor unitario? 36 ÷ 3 = 12

Tip

2 En la cooperativa también hacen velas aromáticas y las venden a 5 por 75 pesos. Completa la siguiente tabla de variación proporcional.

Los valores de una tabla de proporcionalidad pueden encontrarse multiplicando por el factor constante de proporcionalidad.

Paquetes

Velas

Precio

1

5

75

2

10

150

3

15

225

4

20

300

3 En la semana se vendieron 675 pesos en velas. 80

• ¿Cuántas velas se vendieron?

45.

• ¿Cuántos paquetes de velas pudieron formarse con las velas que se vendieron?

9.

Recuerda que para obtener el valor de un número en una relación de proporcionalidad necesitas el factor constante de proporcionalidad

Como en cada bolsa debe haber 6 mazapanes, entonces 90 mazapanes entre 6 es igual a 15 bolsas

Con el valor unitario ya sabes cuántas bolsas necesitas hija

Otra forma de encontrar el factor constante de proporcionalidad es hallar el valor unitario

Resolución de problemas 1 En equipos respondan las preguntas del problema. La selva amazónica crece alrededor del río Amazonas y se conoce como “El pulmón del planeta”; sin embargo, los científicos ambientalistas informan que gracias a los taladores se están perdiendo 20 árboles por minuto.

Pregunta a tu mamá cuánto cuesta el kilogramo de jitomate y en tu cuaderno calcula cuánto costarán 2, 3, 4 y 5 kilogramos.

• ¿Cuántos árboles se pierden en una hora? 1 200 árboles. • ¿Cuántos árboles se pierden en un día? 28 800 árboles. • ¿Cuántos árboles se pierden en un año? 10 512 000 árboles. • ¿Cuántos árboles al mes deben sembrarse para compensar los que se talan? 864 000 árboles.

2 Investiga el precio de 3 dulces que te gusten y elabora una tabla de variación proporcional con el precio de 2, 4, 6, 10 y 15 dulces. Comparte tu tabla con tus compañeros y luego guárdala en tu portafolios.

81

a+b


Fracciones y oraciones numéricas En una expresión numérica se usa el signo igual (=) para indicar que dos expresiones tienen el mismo valor, a esto se le conoce como igualdad. Estas expresiones numéricas o igualdades también se pueden representar con fracciones, en estos casos puedes utilizar fracciones equivalentes para determinar las igualdades, como en el siguiente caso: 3 5

+

2 5

=

5 5

y el resultado también se puede expresar como 1.

De la misma forma la expresión

16 4

–

8 2

representa una igualdad.

Ejemplo: En la balanza de la derecha podemos ver que las monedas del lado izquierdo suman 9 al igual que las monedas del lado derecho, aunque estén distribuidas de diferente forma; es decir, se cumple la igualdad: 9 + 9 + 9 = 6 + 6 + 6 +3 + 3 + 3 Estas igualdades también se aplican a las fracciones, por ejemplo:

1

5

+

2 5

=

3 5

Escribe el valor o los valores que faltan para que se cumpla la igualdad. 3 2 5 = + 8 8 8

82

1

3 1 2 + = 4 4 4

4 3 7 + = 9 9 9

15

8 3 5 – = 10 10 10

5 6 11 + = 16 16 16

2

–

1 1 = 15 15

9 18

+

4 18

+

5 18

=

10 2 1 7 – – = 6 6 6 6

1 3 4 + – =0 2 2 2

18 18

2

En los siguientes ejercicios usa la siguiente recta numérica para descubrir la fracción que falta en cada caso. 0

A

B

C

D

E

F

G

H

I

1

La distancia entre cada par de números es la misma. A+A=

F–B=

I–

2 10 4 10

I–A=

H + A =

8 10

B+D=

I–C=

9 10

6 3 = A = F G – 10 10

B+B+B=

3

6 10

I–A–

6 10 6 10

C–C=0

4 11 2 2 G + = +B= 10 10 5 10

La mamá de Luis preparó 2 pizzas y las quiere repartir entre él y sus 5 amigos. Si corta las pizzas en 8 rebanadas cada una y las reparte en partes iguales, ¿cuántas rebanadas le tocarán a cada niño?

Al sumar las rebanas de las dos, se tiene: 8/8 + 8/8 = 16/8 y como son 6 niños a cada uno le tocan 2 rebanadas, es decir, 2/8

a) ¿Qué parte de pizza sobra? Escribe la igualdad que representa la situación. Sobran 4/8 = 1/2 16/8 – 12/8 = 4/8 b) Qué tendría que hacer para que le tocaran más rebanas a cada niño? Cortar las pizzas en doce pedazos así a cada niño le tocarían 4 rebanadas.

4

Martha y su amiga toman diariamente la misma bebida hidratante, Martha se tomó por 1 5 la mañana de una botella y por la tarde, . Su amiga se tomó la misma cantidad 8 3 8 durante el día. Si en la mañana se tomó , ¿Qué cantidad tomó por la tarde? 8 a) Escribe la expresión que representa la igualdad anterior y resuelve. 1 8

+

5 8

=

3 8

+

3 8

=

b) ¿Qué parte de la bebida se tomó cada una? 6/8

83

Mis palabras matemáticas Éstas son las palabras matemáticas que aprendiste durante el bimestre. Parte decimal Décimos Centésimos Triángulo Altura de un triángulo Vértice Retícula

1

Paralelogramo Rombo Romboide Área del rombo Área del romboide Constante de proporcionalidad Proporcionalidad directa

Escribe la palabra matemática que falta para completar la frase. A. En el número 4.567 el 4 representa la parte parte decimal. B. En el número 0.254, el dígito 2 representa a los centésimos. los

entera

y .567 representa la

décimos

y el 5 a

7

representa una fracción impropia que se puede convertir 4 3 , es decir, 1 . en un número mixto 4 son cuadriláeros que tienen sus lados opuestos D. Los paralelogramos C. La fracción

paralelos. área de un rombo E. El

se calcula multiplicando su diagonal mayor

por su diagonal menor y el resultado se divide entre 2.

2

Elige el término adecuado para completar cada expresión. altura

vértice

factor de proporcionalidad

directamente proporcionales

a) En las siguiente figuras los puntos señalados representan los

vértices.

altura b) La de un triángulo es el segmento perpendicular a uno de sus lados que va al vértice opuesto.

c) Cuando dos cantidades aumentan o disminuyen en la misma proporción se dice que son directamente proporcionales.

84

constante de proporcionalidad es el valor por el que se multiplican d) La o dividen las cantidades involuccradas en una relación de proporcionalidad directa.

Convivo y reflexiono ¡Que Alguien Me Escuche! Anoche tuve un sueño tan extraño que quise compartirlo con todos. –Imagínate mamá, estaba solo en una cueva cuando… –¿Qué te parece si me lo cuentas en la noche?, ya se nos hace tarde –respondió. –Está bien mamá. En la escuela quise contárselo a mis amigos, pero cada que llegaba alguien debía empezar otra vez. En mi último intento sonó la campana y entramos a clases. Mi necesidad de contar lo que soñé iba creciendo, en verdad quería que alguien me escuchara. A la hora del recreo todos votaron por jugar futbol y pensé que si también jugaba se me olvidaría, pero no fue así. Me sentía como una olla de presión a punto de explotar. Creí que a la salida sería un buen momento: –¡Oigan, déjenme que les cuente el sueño tan extraño que tuve anoche! –Sí, sólo déjame enseñarles mis estampas nuevas –dijo Juan. –A ver, a ver –dijeron todos. –Oigan qué tal el partido, estuvo genial, ¿no? –comentó Luis. –¿Ya puedo contarles mi sueño? –Yo ya me voy, nos vemos mañana –dijeron. Todos hablaban a la vez y de cosas distintas, y mi deseo de hablar crecía y crecía, además ya estaba triste y decepcionado. En casa, cuando terminé de comer sonó el teléfono y era Juan, me dio mucho gusto porque hablaba ¡para que le contara mi sueño! Más gusto me dio por la noche: ¡mi mamá llegó a mi cuarto lista para escucharme también!

Comenta y reflexiona con el grupo las siguientes preguntas. Preguntas para reflexionar. ¿Por qué crees que es importante escuchar a los demás? ¿Tú sabes escuchar a tus amigos? ¿Cómo te sientes cuando alguien te escucha?

85

Bimestre

2

Ponte a prueba

Juan es dueño de la veterinaria “El perro feliz”. La imagen muestra las mascotas que atiende en este momento y el tratamiento que le hacen a cada una.

1 Del total de animales, ¿Qué fracción representan los gatos? 1/3

2 ¿Qué fracción del total de animales representan los perros?

8/12 o 2/13

3 Juan repartió una botella de 12 ml de Ambrocan en 8 porciones con la misma cantidad. ¿Qué cantidad de medicamento tiene cada porción? A. 0.75 ml

B. 1.5 ml

C. 1.8 ml

D. 2 ml

4 De acuerdo con la respuesta anterior, ¿para cuántas tomas de 0.15 ml y de 0.25 ml de Ambrocan alcanza cada porción? Para 10 y para 6, respectivamente.

5 En una toma, ¿cuántas pastillas de Curticol hay que dar en total a todos los animales que lo necesitan? A. 1

86

1 2

B. 2

1 4

C.

3 4

D. 4

Juan tiene que cambiar algunas de las micas acrílicas con forma de rombo que protegen las puertas de las jaulas.

6 Si cada jaula chica mide 50 cm de alto y las grandes 65 cm y ambas miden 40 cm de ancho, ¿cuánta mica se necesita en cada caso? 1000 cm2 para las jaulas chicas y 1300 cm2, para las jaulas grandes.

7 En el tapete para perros

Accesorios

con forma de triángulo, ¿de que color es el adorno que representa su altura? A. Verde

B. Azul

C. Ninguno

D. Los dos

8 Si un cliente compró cuatro juguetes con forma de hueso y pagó 114 pesos, ¿cuánto costó cada juguete? 28.50 pesos

9 De los perros que tiene en este momento, ¿cuánto debe cobrar Juan por los perros que bañará? $580.

10 La tabla muestra el registro de los baños que Juan ha realizado durante la semana. Completa los datos que faltan.

Tipo de perro

Número de baños

Total

Chico

6

$720

Mediano

5

$900

Grande

3

$690

87

BIMESTRE

3

Cadena geométrica

Reto de números Así se juega

88

l Jueguen en equipo de 3 integrantes. l Un jugador reparte cinco tarjetas a cada jugador y coloca el resto en el “Pozo” con la cara hacia abajo. l El jugador que repartió, toma un tarjeta del pozo y lee la frase ¿Quién…?, por ejemplo, en una tarjeta se lee: “¿Quién tiene dos parejas de lados iguales y paralelos y ángulos rectos?”

l Todos los jugadores observan sus tarjetas y el jugador que tenga la tarjeta con la respuesta dice la frase, en este caso, ¡Yo soy rectángulo! y la coloca en un eslabón de la cadena. l Si al inicio del juego nadie tiene la tarjeta con la respuesta, regresan la tarjeta leída al “Pozo” y toman otra tarjeta.

Necesitas: El tablero de “Cadena geométrica”

Juego de tarjetas del recortable 4 Tres jugadores

Recupera y avanza Completa las frases, escribe el término correspondiente. Proporcionales Centésimos Triángulo Porcentaje Décimos • Cuando dividimos un entero en 100 partes cada una es un centésimo . • El polígono con tres lados y tres . ángulos es el triángulo • Cuando dividimos un entero en 10 partes, cada parte es un décimo . • Cuando dos cantidades aumentan o disminuyen en la misma proporción, son directamente proporcionales . Completa las tablas de proporcionalidad.

Tip El secreto para ganar el juego es estar atento a la pregunta que se lee y recordar los conceptos geométricos que conoces.

l El jugador que colocó la tarjeta en el tablero lee la pregunta correspondiente a la tarjeta y todos buscan la respuesta, así sucesivamente. l Si alguno se equivoca o tiene la respuesta y no contesta, como castigo tendrá que tomar una tarjeta del “Pozo” y puede hacer la pregunta correspondiente.

1h

2h

3h

4h

60 km

120 km

180 km

240 km

1

3

6

8

$14

$42

$84

$112

l Si nadie tiene la tarjeta con la respuesta, el jugador de la derecha de quien hizo la pregunta toma tarjetas del “Pozo” hasta encontrar la respuesta. l El juego se termina cuando un jugador se queda sin tarjetas o cuando sale la pregunta cuya respuesta está en la tarjeta de inicio del juego. El profesor entregará un premio al ganador.

89

21

Lección

¿Cómo comparas fracciones? Al comparar fracciones tienes que averiguar cuál de ellas representa una mayor parte del entero y así saber cuál es mayor o si son fracciones equivalentes.

Elías y Jessica caminaron por dos caminos diferentes en el parque de Las 5 truchas. Jessica caminó de kilómetro 6 3 de kilómetro. y Elías 4

Se pueden comparar gráficamente.

¿Quién caminó más? Para saberlo tenemos que comparar fracciones.


2 Responde.

1 Anota la fracción representada en cada caso y compáralas gráficamente.

5 9

2 3

<

4 5

>

7 10

• ¿Qué fracción con denominador 9 es 2 ? 6/9 equivalente a 3 4 a décimos, ¿qué • Si conviertes 5 fracción obtienes? 8/10 • Gráficamente, ¿cómo sabes qué fracción es mayor? Es la fracción que

¿Cómo hacerlo?

ocupe un mayor espacio del entero. ¿Qué fracción es mayor?

3 Compara las fracciones. Utiliza las figuras como apoyo. Escribe los signos > o <. •

•

90

•

1 4 4 7 2 3

<

>

<

2 5 1 2 5 6 Comparo fracciones con distinto denominador.

Si tienen el mismo denominador, la mayor es la que tiene el numerador mayor:

3

>

5

Para comparar fracciones como las de Elías y Jessica las representamos de la siguiente manera:

2

Si tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene el denominador menor:

2

<

6

5

Jessica caminó

5

Elías caminó

6

3 4

2 4

Práctica autónoma

¿Cómo comparas fracciones para ordenarlas?

1 Representa en cada figura la fracción que se indica y ordénalas de menor a mayor.

8

2

1

3

12

6

2

4

2

1

<

6

8

<

2

2 Ubica las fracciones en la recta numérica y responde.

0

3

<

12

1

5

1

3

7

8

16

2

4

8

4

7

1

3

5

1

8

8

4

16

2

Tip

1

Cuando una fracción tiene enteros o cuando son impropias, primero se comparan los enteros y después las fracciones.

7/8

• ¿Qué fracción es mayor?

• ¿Cuál de las fracciones es menor? 1/8

3 Anota los signos >, < o = según corresponda. 1

1 4

>

6 5

4 6

<

5 7

2

6 10

>

5 2

12 9

= 1

1 3

91

También se pueden comparar en una recta numérica.

0

5

Comparar fracciones gráficamente puede ser muy sencillo.

Sólo recuerda que las figuras a comparar deben ser del mismo tamaño.

1

6 0

3

1

4

Resolución de problemas 1 Reúnete con un compañero y representen gráficamente cada problema para resolverlo. En la celebración del día del niño a todos los grupos de 3 quinto año les regalaron un pastel igual. En 5º A sobraron 8 1 1 de pastel, en 5º B sobró de pastel y en 5º C, de pastel. 4 3 • ¿En qué grupo sobró más pastel?

En 5º A

• ¿En qué grupo sobró menos pastel? 2

En el grupo de Rafael

En 5º B

de los estudiantes toman clase de

5 3

toman clases de música. ¿Qué 9 clase toman más estudiantes? Pintura pintura por las tardes y

Pide a un adulto que te ayude a cortar una manzana en cuatro partes y otra en seis partes. ¿Qué fracción es mayor: 1 o 2 4

6

En la cafetería vendieron pastel de chocolate y

7 9

8 12

del pastel de fresa,

8

del

del pastel de vainilla.

• ¿De qué sabor se vendió más pastel? De vainilla • Miguel compró

5 8

de vainilla y

2 5

de chocolate, ¿de qué

sabor compró más? De vainilla

2 Recorta cuatro tiras de papel del mismo largo. Compara diferentes parejas de 92

6

fracciones con denominadores 4, 5, 6 y 10, con el apoyo de las tiras. Guarda tu trabajo en tu portafolios.

22

Lección

¿Cómo comparo fracciones con diferente denominador?

Juan le ayuda a su papá en el taller y vio en dos llaves su medida: 5

pulgada y

9 16

En la lección anterior viste que dos fracciones con diferente denominador se pueden comparar gráficamente.

de

de pulgada.

8

Otra forma de comparar las fracciones con distinto denominador es convertirlas a fracciones equivalentes con igual denominador.

¿Cuál de las medidas de las llaves es mayor?


3 Responde con base en la actividad

1 Completa las equivalencias de fracciones. 1 2 3 5

=

=

2 4

=

3 6

=

4 8

• ¿Cómo se convierte

15

=

3

4

>

4 6

3

15

6

=

4

8

en

2

denominador por 2.

10

• ¿Cómo se pueden comparar

3

4 Se convierten a ¿Cuál es mayor?

2 Compara las fracciones. 3

1

? 2 4 Multiplicando el numerador y el

2

9

anterior.

2 6

<

3

4

¿Cómo hacerlo?

y

2 3

?

fracciones con denominador 12, 2/3 es mayor.

¿Cómo comparas las fracciones?

4 Comparar las fracciones. Sigue los procedimientos que se muestran. 3 4 4 6

<

>

4×7 6×7

7 8 3 7 =

28

3 4 28 42

=

3×2 4×2 >

3×6

42 7 × 6

=

6 8

2 3 2

18

42 5

=

>

<

18

2×8

42

5×8

Comparo fracciones con distinto denominador.

5 9 4 8 =

16

2 3 16 40

=

2×3 3×3 <

4×5

40 8 × 5

=

6 9

20 40

=

20 40

93

¿Cómo las convierto a fracciones con igual denominador?

En el caso de las llaves, 16 es múltiplo de 8, por lo tanto: 5

=

8

5×2 8×2

=

10 16

Así ya puedes compararlas: 5 8 Cuando el denominador de una fracción es múltiplo del denominador de otra, sólo conviertes la fracción con el denominador menor.

Práctica autónoma

=

10 16

Entonces la llave de

>

9 16

5

es más 8 grande que la llave de 9 . 16

¿Qué fracción es mayor?

1 Anota el signo >, < o = que corresponda en cada caso. 3 4 5 12

<

>

4

9

5

10

12

3

36

6

=

>

18

7

20

8

2

4

5

7

<

>

4

1

3

4

3

1

9

2

<

=

2 3 3 6

2 El dueño de una ferretería tiene tuercas de diferentes tamaños y para identificarlas más rápidamente les colocó una etiqueta azul a las cinco medidas más grandes y una etiqueta roja a las cinco más pequeñas. Colorea los recuadros según el color de la clave de las tuercas.

1

Tip Cuando el denominador es menor y el numerador mayor, la fracción correspondiente es mayor.

2

Azul 1 pulgada

1 4 11 16

94

pulgada

3 16

Rojo de pulgada

de pulgada Rojo de pulgada

3 4 5 16 15 16 9 16 7 8

Azul de pulgada

1

Rojo de pulgada

13

Azul de pulgada

7

de pulgada Azul de pulgada

8 16 16 3 8 5 8

Rojo de pulgada Azul de pulgada

de pulgada Rojo de pulgada

de pulgada

5 6 Cuando los denominadores no tienen relación, multiplicas el numerador y el denominador de cada fracción por el denominador de la otra.

3 4

Por ejemplo, para comparar 5 3 y , realizas lo siguiente: 6 4

5×4

=

6×4

3×6

=

20 24

4×6

>

=

=

20 24

18 24

18 24

Como se muestra gráficamente. 5 3 > . Por lo tanto, 6 4

Resolución de problemas 1 Reúnanse en equipo para resolver los problemas. El estado de Aguascalientes es un gran productor de guayaba. Este año hubo una lluvia de granizo que propició que algunos agricultores perdieran parte de su cosecha. A Rosendo se le 3 2 4 estropearon de la cosecha, a Jaime y a Fabián . 5 8 9 • ¿Quién de los tres sufrió menor pérdida? Jaime • ¿Quién tuvo mayor perdida? Rosendo En Guanajuato se cosechó este año nacional de fresa, en Michoacán

3 6

1 3

de la producción

y Baja California

2 12

.

• ¿Qué estado produjo menos fresa? Baja California • ¿Qué estado produjo más fresa? Michoacán Ana utilizó

1

de kg de fresa para preparar un pastel y

3

de 4 8 kg para preparar fresas con crema. ¿En que platillo uso más fresas? En las fresas con crema

2 Entra en la siguiente página http://goo.gl/DLwsUW imprime y resuelve los ejercicios que ahí se proponen. Guarda tu trabajo en tu portafolios.

Pregunta a tu papá medidas de tubos o de herramientas, dadas en fracción, compáralas y determina cuál es mayor.

95

23

Lección

¿Cómo resuelvo operaciones mentalmente?

La mamá de Diana le dio una lista para que fuera a la tienda a hacer las siguientes compras: ¿Cuánto tengo que pedir de queso manchego?

Por ejemplo, para calcular el doble de una fracción mentalmente, basta con sumarla otra vez, es decir, dos veces el mismo número: 1 4

+

1 4

=

2 4

Como puedes ver, sólo tienes que multiplicar el numerador por 2 y dejar el mismo denominador: 1

doble

4

mismo denominador

=

2 1×2 = 4 4


1 Realiza lo que se pide. • El doble de

• La mitad de

•

1 2

+

2 6

=

3 6

2 6

5 4 +

=

= 2 6

2 6

=

2 6

=

3 Responde.

4 6

• ¿De qué otra forma puedes obtener el 2 doble de ? Multiplicando por 2 el 6 numerador. 5 • ¿Cómo obtuviste la mitad de ? 4 Multiplicando el denominador por 2. • ¿Cuál es el resultado de 50 + 25?75

5 8

=

5 6

• ¿Qué relación tiene con el resultado de 0.50 + 0.25? Tienen las mismas cifras sólo

2 Calcula mentalmente los resultados. 1 – 0.5 =

0.5

0.5 + 0.25 =

se agrega el punto decimal.

0.75

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo resuelves mentalmente?

4 Realiza lo que se pide en cada caso, sigue los procedimientos que se muestran. 2

triple

6 2×3 = 5 5

4

mitad

4÷2

5

Mismo denominador mismo

8


8

3

doble

3×2

4


4

5

mismo Mismo numerador

5

doble mitad

6×2

=

6 4

6

=

=

2 8 5 12

96 Resuelvo mentalmente problemas aditivos con fracciones y decimales.

¿Cómo puedo calcular la mitad de una fracción?

O puedes multiplicar el denominador por 2 y dejar el mismo numerador. Mismo numerador doble

Por ejemplo, para obtener la mitad de la 1 fracción , lo dividimos entre dos. 4 Como 1 no tiene mitad entera se debe 1 obtener una fracción equivalente a y 4 luego divides el numerador entre 2: 1 2 = 4 8 mitad Mismo denominador

=

2÷2 8

=

1

=

4×2

=

1 8

Para resolver operaciones de fracciones mentalmente es importante recordar las equivalencias para obtener fracciones con igual denominador y así sumar o restar sólo los numeradores: 1 4

1

+

3 8

=

2 8

3

+

5

=

8

8

8

Práctica autónoma

¿Cómo resuelvo mentalmente?

1 Calcula mentalmente los resultados y anótalos. 1 2

+

2

=

4

1

4 4

3

+

3 6

=

3

5 6

4

–

3 8

=

3

1–

8

5 9

=

4 9

2 Une con una línea los números decimales que sumen 1. 0.25

0.37

0.60

0.55

0.10

0.75

0.45

0.40

0.63

0.90

Tip Recuerda la equivalencia entre fracciones con distinto denominador y entre la unidad y los décimos, centésimos y milésimos.

3 Encuentra el número que falta. Resuelve mentalmente. 4 2 =1 + 6 6

4 9

+

1 3

=

7 9

1 3

+

1–

3 6 2 5

=

=

5 6

1–

3

5

5

8

8.05 + 0.95 = 9 2 – 0.25 = 1.75 0.45 + 0.55 = 1 0.75 –

–

0.5

3 5 = 8 8

3 1 = 8 4 = 0.25

97

En la tienda sólo hay botellas de 0.750 l de jarabe de jamaica. ¿Cuánto jarabe falta para completar un litro?

Para restar a la unidad o entero un número decimal, o para sumar dos números decimales que resulten la unidad, debes pensar en ellos como números naturales.

Por ejemplo, como 1 litro es igual a 10 décimos, 100 centésimos y 1 000 milésimos, piensa qué parte le falta a 750 para llegar 1 000. 1 000 – 750 = 250, porque 750 + 250 = 1 000 Por tanto: 0.750 + 0.250 = 1 Para hacer cálculos mentalmente con decimales, debes pensar en ellos u operar como si fueran números naturales y agregar el punto decimal.

Resolución de problemas 1 Reúnanse en parejas para resolver mentalmente los problemas. Cada uno proponga una estrategia para cada caso. Ana fue al súper a comprar lo necesario para preparar el desayuno para sus hijos. Ella compró tres bolillos de $1.70 cada uno, también 1 3 compró la mitad de kg de jamón y de kg de queso panela. 2 8 • ¿Cuánto pagó por los tres bolillos? $5.10 • ¿Qué cantidad de jamón compró? 1/4 de kg • ¿Cuánto compró de jamón y queso? 5/8 de kg Manuel fue a correr al parque, primero corrió 1.35 km y se detuvo a descansar un poco. Después corrió 2.15 km.

Registra tu estatura y la de tu mamá y calcula mentalmente cuál es el doble y la mitad de ambas.

• ¿Qué distancia corrió en total? 3.5 km. • Si su objetivo era correr 6 km, ¿qué distancia le faltó? 2.5 km.

2 Escribe un método que conozcas para hacer operaciones con fracciones o 98

decimales de forma mental. Presenta tu trabajo al profesor. Después guárdalo en tu portafolios.

Lección

24


Para su fiesta, Alma quiere repartir en partes iguales 230 dulces en 25 bolsas para sus invitados.

La operación que nos permite resolver problemas de reparto es la división.

¿Cuántos dulces hay en cada bolsa? ¿Cuántos sobraron?

Para saber cuántos dulces le sobraron a Alma resuelves la división: 9 Cociente (c) Divisor (d) 25 230 Dividendo (D) 5 Residuo (r) En cada bolsa puso 9 dulces y sobraron 5.


1 Escribe el cociente y residuo de cada

2 Responde con base en lo anterior.

división.

• 17 ÷ 6 =

2

y sobran

5

• 48 ÷ 9 =

5

y sobran

3

• 68 ÷ 3 =

22

y sobran

2

• 125 ÷ 15 =

8

y sobran

• ¿Cómo obtuviste el residuo en la Resté a 48 el resultado segunda división? de multiplicar 9 × 5. • ¿Cómo puedes comprobar el resultado de la última división? Multiplicando 15 × 8 y sumando al resultado 5. 5

• ¿Qué ventajas tiene conocer la relación entre los elementos de la división? Respuesta libre.

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo obtienes el residuo?

3 Realiza las divisiones con la calculadora y completa la tabla. Operación

Resultado en la calculadora

452 ÷ 25

18.08

616 ÷ 32

19.25

584 ÷ 16

36.5

Obtención del residuo 25 ×

18

= 450

452 –

450

=

2

32 ×

19

=

608

616 –

608

=

8

16 × 36 = 576 584 – 576 = 8

Residuo 2 8 8

99 Obtengo el residuo de una división al hacer la operación en calculadora.

Si hago la operación en la calculadora, ¿cómo sé cuántos dulces sobran?

Para calcular el residuo multiplicas la parte entera del cociente por el divisor y el producto se resta al dividendo.

25 × 9 = 225 230 – 225 = 5 El residuo es 5, como lo pudiste ver al resolver la división.

Si realizas la operación en la calculadora el resultado que obtienes es 9.2.

Práctica autónoma


1 Completa la tabla. En la panadería “La Gloria” hacen panquecitos y los guardan en cajas de 12 piezas. La tabla muestra la producción diaria durante una semana.

Tip Recuerda que el residuo siempre debe ser menor que el divisor.

Panquecitos

Cajas

246

20

Panquecitos que sobran 6

267

22

3

282

23

6

291

24

3

306

25

6

309

25

9

2 Escribe los datos que faltan en la tabla. Después responde.

100

Dividendo

Divisor

Residuo

6

Cociente en la calculadora 94.5

567

Parte decimal × divisor

3

0.5 × 6 = 3

489

5

97.8

4

0.8 × 5 = 4

365

25

14.6

15

0.6 × 25 = 15

• ¿Qué relación encuentras entre los datos de las últimas dos columnas? Que al multiplicar la parte decimal por el divisor se obtiene el residuo.

En todas las divisiones, el residuo es igual al dividendo menos el producto del divisor por el cociente:

Los elementos de la división se relacionan de manera que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el residuo:

r = D – (d × c)

D=d×c+r

¡Es muy fácil! ¿Y cómo compruebo el resultado de una división?

Para comprobar el resultado del reparto de Alma realizamos lo siguiente: 25 d

×

9 c

+

5 r

= 230 D

Resolución de problemas 1 Reúnanse en equipo para resolver los problemas. La Procuraduría Federal de Protección al Ambiente (Profepa) decomisó algunos animales atrapados de manera ilegal. Ahora los van a regresar a su hábitat natural y quieren saber cuántos animales colocar en cada jaula. Completen la siguiente tabla. Especie

Total de animales

Jaulas

Animales en cada jaula

Animales que sobran

Teporingo

69

6

11

3

Iguana espinosa

115

14

8

3

En un depósito de gas tienen 411 kg de gas LP. El encargado debe decidir si llena tanques de 20 kg o de 45 kg, de manera que sobre la menor cantidad de gas. • ¿Cuántos tanques podría llenar en cada caso? 20 de 20 kg o 9 de 45 kg. • ¿Qué tamaño de tanques le conviene llenar? Explica por qué Cuenta tus juguetes Tanques de 45 kg, porque así sobrarían 6 kg y si llena tanques de 20, sobrarían 11 kg. Memo hizo 30 juegos de hojas con 15 hojas cada uno y le sobraron 5 hojas. ¿Cuántas hojas tenía el paquete? 455 hojas.

e imagina que los vas a guardar en 3, 5 y 8 cajas y calcula cuántos caben en cada caso y cuántos sobran.

2 Inventa dos problemas en los que debas averiguar el residuo de una división. También inventa tres divisiones cuyo residuo sea 15. Escríbelos en una hoja y guárdalos en tu portafolios.

101

Lección

25


Valentina tiene que describir geométricamente las características que tienen las construcciones que se muestran en las fotografías.

Esta figura se parece a un edificio, pero, ¿qué características tiene?

Los cuerpos geométricos tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto, ocupan un lugar en el espacio y se clasifican en poliedros y cuerpos redondos.


1 Remarca una cara, un vértice y un arista en el cuerpo geométrico.

2 Analiza el cuerpo anterior y contesta. 8 caras • ¿Cuántas caras tiene?. • ¿Cuántos aristas tiene? 18 aristas

• ¿Cuántos vértices tiene? 12 vértices • ¿Qué nombre recibe un poliedro con • ¿Cómo se llama el cuerpo geométrico? Prisma hexagonal

¿Cómo hacerlo?

dos bases con forma de triángulo? Prisma triangular


3 Observa la forma de la base de los cuerpos geométricos y relaciónalos con sus nombres.

Pirámide pentagonal

Prisma octagonal

Pirámide triangular

Prisma triangular

102 Analizo y describo las características de cuerpos geométricos.

Las pirámides y los prismas son poliedros. Los prismas tienen dos bases con forma de polígono y las pirámides sólo tienen una. Ambos reciben su nombre de acuerdo con la forma de su base.

Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos con caras curvas y son éstos:

Esfera

Prisma rectangular

Cilindro

Entonces yo tengo una pirámide cuadrangular.

Prisma Pirámide pentagonal Cuadrangular

Práctica autónoma

Cono

¿Cuántas caras, vértices y aristas tienen?

1 Desprende las figuras del material recortable 5, de la página 212 y construye los cuerpos geométricos. Después completa la tabla.

Pirámide pentagonal 6 • Número de caras 10 • ¿Cuántas aristas tienen? 6 • ¿Cuántos vértices tienen?

Cubo 6 12 8

2 Completa la siguiente tabla.

Tip Considera que los cuerpos redondos tienen aristas curvas y pueden tener vértices o no tener.

Nombre

Número y forma de las caras

Número de aristas

Número de vértices

Cono

2 caras curvas

1 arista

1 vértice

Prisma pentagonal

2 pentágonos 5 rectángulos

15 aristas

10 vértices

Pirámide hexagonal

1 hexágono 6 triángulos

12 aristas

7 vértices

Cilindro

3 caras curvas

2 aristas

No tiene vértices

103

Entonces para identificar los cuerpos geométricos que se representan en los edificios, observa la forma de su base para establecer su nombre y cuenta sus caras, vértices y aristas para completar su descripción.

En un cuerpo geométrico también se identifican los siguientes elementos: Caras: cada una de las superficies o figuras que lo forman. Aristas: son las líneas de intersección de dos superficies o caras.

Mi pirámide tiene 5 caras, 5 vértices y 8 aristas.

Vértice

Vértices: son los puntos en donde dos o más aristas se encuentran.

Cara

Arista

Resolución de problemas 1 Reúnanse en equipo para resolver los problemas. Luis y sus amigos construyeron los siguientes cuerpos geométricos con plastilina y popotes para una exposición en su escuela.

Busca en tu casa un objeto que tenga forma de cuerpo geométrico y anota su nombre, número de caras, vértices y aristas.

Nombre

Pirámide octagonal

Prisma octagonal

Prisma cuadrangular

Caras

9

10

6

Aristas

16

24

12

Vértices

9

16

8

Analicen los distintos cuerpos geométricos trabajados y respondan. • ¿Qué forma tienen las caras laterales, que no son las bases, de un De rectángulo prisma? • ¿Qué forma tienen las caras laterales de una pirámide? De triángulo • ¿Qué relación hay entre el número de caras laterales de un Tienen tantas prisma o pirámide y la forma de la base? caras laterales como lados tiene la figura de la base.

2 Utiliza bolitas de plastilina y palillos para construir tres poliedros. Describe en una 104

hoja sus características. Presenta tu trabajo ante el grupo, tómale una fotografía y consérvala junto con las características de los cuerpos geométricos en tu portafolios.

¿Cómo describes una ruta en un mapa? ¿Qué camino seguí?

Gonzalo vive en la esquina de Nicolás San Juan y Matías Romero, en el punto señalado en el mapa. Gonzalo va todos los días al parque de los venados a jugar basquetbol con sus amigos.

Matías Ro

Cuah u

ve rs id ad

Sánc hez A

Pilares

Miguel Laurent

rte l No

de ión

Juan

Divis

Para llegar al parque, Gonzalo siempre toma distintos caminos, el día de hoy siguió el camino que se muestra en el mapa.

témo c

zcon a

mero

ni

26

Av .U

Lección

Parque de los Venados


1 Traza otra ruta para ir del Hemiciclo a Juárez a la Fuente de Venus.

• ¿Cuál ruta es más corta? La que tracé. • Describe el trayecto que marcaste.

4 2

7 5

8

el primer crucero tomar hacia el norte. Av. Juárez 6 Hemiciclo a Juárez 7 Fuente de Venus 8 Monumento a Beethoven

¿Cómo hacerlo?

3 Observa el mapa y verifica si las afirmaciones son correctas:

• ¿Qué ruta es paralela a la Avenida Juárez? La ruta que pasa por la Fuente de Mercurio, Fuente Central y Monumento a Beethoven. ¿Cómo lees un mapa?

Acuario El Reino de Neptuno

ue Pe

staloz

ii

• Pitágoras y Juan Enrique Pestalozzi son

Enriq

calles paralelas. Correcta. • Av. Eugenia y Av. Cuauhtémoc son

Metro Eu

genia

paralelas. Incorrecta. • La estación del metro Eugenia y el Acuario El Reino de Neptuno son dos lugares que se pueden usar como puntos de referencia. Correcta.

s

6

Av. Cuah utemoc

3

1Fuente de Mercurio 2 Fuente de las Náyades 3 Fuente de Neptuno 4 Kiosco 5 Fuente Central

Tomar la diagonal hacia el punto 8 y en

Pitág ora

1

2 Responde.

Av. Euge ni

a

105 Describo rutas para ir de un lugar a otro.

Pero Gonzalo siempre toma distintas rutas, a veces camina por Pilares, Cuauhtémoc y Miguel Laurent; en otras camina por Matías Romero y luego por División del norte.

Antes de describir la ruta tienes que ubicar la posición del norte en el mapa, así puedes ver que Gonzalo caminó hacia el este por Matías Romero, después dio vuelta a la derecha en Juan Sánchez Azcona y caminó hacia el sur. Luego tomó Miguel Laurent y caminó hacia el este hasta llegar al parque.

¿Cuál de las rutas es más corta?

Práctica autónoma

¿Qué ruta es más corta?

1 Considera la escala del mapa carretero de la República Mexicana y resuelve. Nogales

Cd. Juárez El Porvenir

Hermosillo

• ¿Por qué ciudades pasa la ruta

Piedras Negras

Ciudad de México-Piedras

Nuevo Laredo Torreón

Mty.

Tepic

Qro CDMX

0

280

0

1 cm

560

840 km

Lázaro Cardenas

TVui lxlap hae nrm

os

SLP

Mérida

Cancún

Vei llra hcre urm z os Vi a lla he rm os a

Mazatlán

a

Saltillo

Negras? Querétaro, San Luis Potosí y

Matamoros

• ¿Cuál es la ruta más corta de la Ciudad de México a Matamoros? Tuxpan-Matamoros

Acapulco

• Si Martín tiene que viajar por carretera de la Ciudad de México a Cancún, ¿qué ruta debe seguir? Existen dos rutas: 1. México, Veracruz, Villahermosa, Mérida y

Cancún. 2. México, Veracruz , Villahermosa y Cancún.

• Mide y calcula la distancia real en línea recta, aproximada, entre las siguientes ciudades:

106

Saltillo

Mérida-Cancún: 290 km Tepic-Mazatlán: 250 km

Hermosillo-Torreón: 850 km Saltillo-Tuxpan: 620 km

Tip Multiplica la medida por la equivalencia mostrada en la escala.

Las respuestas deben ser aproximadas a estas medidas.

Si Gonzalo camina por la diagonal Av. Universidad se va alejando del parque, pero si camina por División del norte, su recorrido resulta más corto que por cualquier otra ruta. Las calles en diagonal nos ayudan a recorrer menos distancia

Con tu regla puedes comprobar lo anterior, pero si quieres conocer la distancia real tienes que usar la escala, que representa la relación entre las dimensiones reales y las del plano o mapa que lo representa. Se representa con el siguiente símbolo, cada segmento de color debe medir 1 cm. 0

100

0

1 cm

200

300 km

En este ejemplo, la escala quiere decir que 1 cm en el dibujo es igual a 100 km reales.

Resolución de problemas 1 Observa con un compañero una parte

del mapa de las estaciones del metro de la Ciudad de México y resuelvan. • Juan Carlos se encuentra en la estación Colegio Militar y necesita ir a la estación Insurgentes Sur. ¿Qué ruta le resulta más corta? Ir por la línea 2 hasta Tacuba y de ahí a Mixcoac y después a Insurgentes Sur.

• ¿Por qué ruta recorre menos estaciones para ir del metro Eugenia a la estación Doctores?

Tomar hacia Centro médico, después transbordar hacia Chabacano y ahí transbordar otra vez hasta llegar a la estación Doctores (6 estaciones).

Ingresa a www.google. com.mx/maps y busca diferentes rutas para ir de tu casa a algún lugar cercano y determina la ruta más corta.

2 Consulta en internet un mapa completo del metro y describe distintas rutas para realizar los siguientes recorridos: Nativitas-Aculco; Constituyentes-Valle Gómez y Deportivo Oceanía-Velódromo. Imprime el mapa y presenta tu trabajo al grupo y consérvalo en tu portafolios.

107

Lección

27

¿Cómo calculas el área de un triángulo?

Edith y Manuel quieren colocar pasto en la mitad del patio de su casa. Manuel propuso las siguientes formas de dividir el jardín para colocar el pasto: 6m

Ambos casos representan la mitad del jardín.

¿Cómo podemos calcular cuánto pasto tenemos que comprar?

4m


1 Calcula el área coloreada en cada

2 Responde.

rectángulo.

• ¿Cuánto mide el área del primer rectángulo? 32 u2 • ¿Cómo calculaste el área del triángulo azul? Respuesta libre. • Explica mediante la fórmula cómo obtener el área del triángulo anaranjado

16 u2

Se multiplican 6 × 7 y el resultado se

21 u 2

¿Cómo hacerlo?

divide entre 2. ¿Cómo son los triángulos que se obtienen?

3 Calcula el área de los rectángulos. Después, traza una diagonal en cada uno y determina el área de cada triángulo que se forma.

18 cm 25 cm

108

2 Área del rectángulo: 450 cm 225 cm2 Área del triángulo:

12 cm 22 cm Área de cada rectángulo: 264 cm 2 Área de cada triángulo: 132 cm 2

Utilizo la fórmula para calcular el área de triángulos.

Antes de calcular el área que quieren empastar, observa que al trazar una diagonal en la primera figura del rectángulo se obtienen dos triángulos iguales, en diferente posición:

En el segundo caso, si recortas los triángulos que no llevan pasto y formas uno, éste es igual al triángulo con pasto:

En ambos casos, observa que la base y la altura de los triángulos es igual a la base y altura del rectángulo.

Práctica autónoma

¿Cómo se obtiene el área de un triángulo?

16 cm

32 cm

10 cm

A=

9 cm

19 cm

27 cm

1 Calcula el área de los triángulos.

95 cm

A=

2

432 cm

2

72 cm2

A=

2 Mide con tu regla y calcula el área de cada triángulo. Tip Recuerda que la altura de un triángulo es perpendicular a la base.

A=

6 cm2

A=

10 cm2

3 El maestro Josué dividió una cartulina que mide 60 cm de largo y 20 cm de ancho como se muestra en la imagen • Pinta del mismo color los triángulos que tienen la misma superficie. • ¿Cuál es el área de cada triángulo pequeño? 200 cm2

• ¿Cuánto mide cada triángulo grande? 400 cm2

40 cm

109

Recuerda que área de un rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura (b × h), por lo tanto el área de todo el patio es 6 × 4 = 24 m2.

Pero, ¿cuál es la fórmula para obtener el área de un triángulo?

Entonces tenemos que comprar 12 m 2 de pasto.

Como el área de un triángulo es igual a la mitad del área de un rectángulo con la misma base y altura, entonces la fórmula para el área de un triángulo es igual a la base por la altura entre 2.

A = (b × h) 2 Resolución de problemas 1 Reúnanse en parejas para resolver los problemas. Un módulo lunar tiene ventanas triangulares, como se muestra en la imagen. Con el área de dos ventanillas se forma un rectángulo de 3 600 cm2. • Si los triángulos miden 80 cm de base, ¿cuál es al medida de su altura? 45 cm 2 • ¿Cuál es el área de cada ventanilla? 1 800 cm

Leonel trazó en su cuaderno un triángulo isósceles de 12 cm de base y 7 cm de altura y uno escaleno con las mismas medidas. • ¿Cuál es el área de cada triángulo? 42 cm2, cada uno • El cálculo del área de un triángulo, ¿depende del tipo de triángulo? Explica tu respuesta. No. si se conoce la medida de la base y la altura, no importa qué tipo de triángulo sea.

2 Calcula el área coloreada en el siguiente triángulo. 22 cm

Busca en tu casa una superficie con forma triangular, toma las medidas necesarias y calcula su área.

2 A = 253 cm

46 cm

110

3 Dibuja en una hoja de color un rectángulo y un rombo y divide en dos triángulos a cada uno. Usa tus figuras para explicar la fórmula para calcular el área de un triángulo. Presenta tu trabajo a tus compañeros y guárdalo en tu portafolios.

Lección

28

¿Cómo calculas el área de un trapecio?

La maestra les proporcionó a sus alumnos algunas figuras geométricas para que calcularan su área.

¿Cómo se calcula el área de un trapecio?

A Caleb y Zoraya les tocó un trapecio con las medidas que se muestran. 9 cm

12 cm

Para calcular el área de un trapecio necesitas las medidas de la base mayor (B) y base menor (b), que en este caso miden 17 cm y 9 cm, respectivamente, y la medida de la altura (h), que es perpendicular a las bases y en la figura mide 12 cm.

17 cm


1 Divide al trapecio en dos triángulos

por su diagonal y calcula el área de cada uno. 25 cm

2 Responde. • ¿ Cuál es la fórmula para calcular el área del triángulo? Base por altura

20 cm

entre dos: (b × h)/2 • ¿Cuál es la suma del área de ambos triángulos? 670 cm

2

42 cm

• ¿Cómo obtienes el área del trapecio?

420 cm2

Triángulo 1 = 2 Triángulo 2 = 250 cm

Sumando el área de los dos triángulos.

¿Cómo hacerlo?

¿Cuál es el área de los trapecios?

3 Calcula el área de los trapecios. Observa el ejemplo. B = 35 cm

b = 45 dm 1 h = 52 dm

1

2

h = 24 cm

2 B = 63 dm 2 Triángulo 1 = 45 × 52 ÷ 2 = 1 170 cm cm2 Triángulo 2 = 63 × 52 ÷ 2 = 1 638

b = 21 cm Triángulo 1 = 35 × 24 ÷ 2

= 420 cm

Triángulo 2 = 21 × 24 ÷

2

= 252 cm2

Trapecio = 1 170

Trapecio = 420 + 252 =

672 cm2

+ 1 638 =

2 808 cm2

Utilizo la fórmula para calcular el área de trapecios.

2

111

La fórmula para calcular su área es igual a la suma de sus bases por la altura y el resultado se divide entre dos, es decir:

Divides el trapecio en dos triángulos por una de sus diagonales, como se muestra. 9 cm 12 cm

(B + b) × h 2

¿Cómo se puede demostrar la fórmula anterior?

17 cm La base de un triángulo es la base mayor del trapecio y del otro la base menor, y ambos tienen la misma altura.

Práctica autónoma

¿Qué relación hay entre los trapecios y el romboide?

1 Observa la figura y responde.

Tip

9 cm 9 cm

Recuerda que el área del romboide se obtiene multiplicando la base por la altura.

12 cm

• ¿Qué figura se forma con los dos trapecios? Un romboide. • ¿Qué relación hay entre las bases de un trapecio y la base del romboide? La base del romboide es igual a la base mayor más la base menor del trapecio. • ¿Cuánto mide la base del romboide? 12 + 7 = 19 cm • ¿Cuánto mide la altura del romboide? 9 cm • ¿Cuál es el área del romboide? 171 cm2 • ¿Cómo puedes obtener el área del trapecio verde? Dividiendo el área del romboide entre dos. Explica por qué. Porque cada trapecio es la mitad del área del romboide. • ¿Cuánto mide el área de cada trapecio? 85.5 cm2

2 Calcula el área de los siguientes trapecios.

15 cm

14 cm 10 cm

8 cm

21 cm2

12 cm2

112 A =

76 cm2

12 cm

7 cm

A=

175 cm2

18 cm2

A=

198 cm2

Entonces el área del trapecio es la suma de las áreas de los dos triángulos. Y puede representarse así:

A=

B×h 2

+

Entonces el área del trapecio de Caleb y Zoraya es: A=

b×h

(17 + 9) × 12

2 A=

Esto lo podemos escribir de la siguiente manera: A=

2 26 × 12 2

= 156 cm2 ¡Es fácil calcular el área de un trapecio!

(B + b) × h 2

Así queda demostrada la fórmula.

Resolución de problemas 1 Resuelve con un compañero los siguientes problemas. El Parque Nacional Isla Contoy es el Área Natural Protegida más antigua de Quintana Roo. Los investigadores quieren hacer un santuario en forma de trapecio para que sea una zona de anidación para una gran diversidad de aves. El santuario quedaría de la siguiente manera: 72 m

98 m

54 m

• Si el área formada por el triángulo inferior será destinada a las guacamayas y pelícanos, ¿qué área será destinada para el resto de las aves? 3 528 m2 • ¿Cuál sería el área de todo el Santuario? 5 472 m2 Pablo dibujó un trapecio de 40 cm2 de área. Si la suma de sus 5 cm bases es de 16 cm, ¿cuánto mide su altura?

Comenta con tus papás la fórmula para calcular el área de un trapecio y traza uno para demostrarla.

2 Traza en dos hojas de colores dos trapecios iguales y calcula su área de dos maneras distintas: dividiéndolos en triángulos o formando un trapecio con ellos. Explica cómo obtuviste el área en ambos casos y presenta tu trabajo al grupo Luego guárdalo en tu portafolios.

113

Lección

29

¿Qué son las medidas agrarias?

Francisco visitó a su tío en su rancho, lo acompañó a ver el lugar en que siembra y le preguntó: ¿cuánto mide su parcela?

La hectárea (ha) es una unidad de medida agraria que se usa para medir terrenos o superficies muy grandes, generalmente se emplea en el campo. El área (a) y la centiárea (ca) son otras unidades de medida agraria. Ambas unidades de medida tienen su equivalente en metros cuadrados.

Mide tres hectáreas

¿Y cuánto es eso?


1 En la siguiente figura cada cuadradrado

2 Responde.

mide 1 cm de lado. Responde.

• ¿Cuántos centímetros equivalen a un decímetro? 10 centímetros • ¿Cómo puedes convertir un decímetro cuadrado en centímetros cuadrados? Multiplicando por 100 • ¿A cuántos metros cuadrados equivale 2 una hectárea? 10 000 m

Centímetros por lado: 10 Decímetros por lado: 1 2 Medida en cm2: 100 cm

Medida en dm2: 1 dm2

¿Cómo hacerlo?

¿Qué unidad de medida es más adecuada?

3 Relaciona la unidad de medida más adecuada para medir las siguientes superficies. Una parcela

Un hoja de papel

km2

hm2

La superficie de un país cm2

Un mantel

m2

4 Completa las equivalencias.

114

3.5 m2 = 3.5 × 10 000 = 35 000 cm2 84 dm2 = 84 ÷ 100 = 0.84 m2 6.7 km2 = 6.7 × 10 000 = 67 000 dam2

= 0.04 km2 0.9 dam2 = 0.9 × 10 000 = 9 000 dm2 7.3 a 730 m2 = 730 ÷ 100 = 4 ha = 4 ÷

100

Resuelvo problemas de conversión entre unidades de superficie.

Para medir superficies pequeñas se utilizan los submúltiplos del metro cuadrado.

¿Cuántos metros cuadrados equivalen a una hectárea?

Submúltiplo Equivalencia Símbolo

1m Recuerda que el metro cuadrado es una unidad principal para medir superficies.

1m

Decímetro cuadrado

0.01 m2

dm2

Centímetro cuadrado

0.0001 m2

cm2

Milímetro cuadrado

0.000001 m2

mm2

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2

1 m2

Práctica autónoma

¿Cuál es su medida equivalente?

Tip

1 Determina las equivalencias • 5 ha equivalen a

50 000

• 4.5 km es igual a

4 500 000

2

• 300 dm2 es igual a

3

m2.

Recuerda que el punto decimal se debe mover a la derecha si buscas submúltiplos.

m. 2

m2.

2 Expresa en hectáreas la extensión territorial de los estados que se muestran. Entidad federativa

Superficie en km2

Superficie en ha

Aguascalientes

5 589

558 900 ha2

Baja California

70 113

7 011 300 ha2

Baja California Sur

73 677

7 367 700 ha2

Campeche

51 833

5 183 300 ha2

23 cm

3 Calcula el área de las siguientes figuras y después exprésalas en metros cuadrados.

22 cm 50 cm Área en cm2 Área en m2

1 100 0.11

48 cm Área en cm2 Área en m2

552 0.0552

115

También existen los múltiplos del metro cuadrado que se usan para medir superficies más grandes: Múltiplo

Equivalencia Símbolo

Decámetro cuadrado

100 m2

dam2

Hectómetro cuadrado

10 000 m2

hm2

1 000 000 m2

km2

Kilómetro cuadrado

Retomando la duda de Francisco, las unidades agrarias tienen su equivalencia en un múltiplo del metro cuadrado:

1 ha = 1 hm2 1 a = 1 dam2 1 ca = 1 m2 Ahora ya sé lo que son las medidas agrarias.

Resolución de problemas 1 Reúnanse en equipo para resolver los problemas.

Ernesto compró un terreno rectangular que mide 350 m de largo y 150 m de ancho para cultivar sus hortalizas. Quiere dedicar 25 áreas para zanahoria, 15 000 m2 para la cebolla, 5 000 m2 para el rábano y el resto para cilantro. • ¿Cuántas hectáreas mide en total el terreno de Ernesto? 5.25 ha • ¿Cuántos metros cuadrados destina a las zanahorias? 2 500 m2 • ¿Cuántas hectáreas destina para cada cultivo? 0.25 ha para la zanahoria, 1.5 ha para la cebolla 0.5 ha para el rábano y 3 ha para el cilantro.

Karina necesita cubrir con pasto artificial un campo deportivo que mide 100 m de largo y 60 de ancho. • ¿Cuántas hectáreas mide el campo? Investiga con tu papá en Internet cuánto mide un campo de fútbol y exprésalo en hectáreas.

0.6 ha

• ¿Cuántos decámetros cuadrados de pasto necesita para cubrir todo el campo? 60 dam2 • Si compra los rollos de pasto de 2.5 m2, ¿cuántos rollos tiene que comprar?

2 400 rollos

2 Une dos pliegos de papel bond para formar un metro cuadrado. En colaboración 116

con tus compañeros midan con sus metros cuadrados el salón de clases. Después realicen la conversión a dam2, dm2 y hectáreas. Conserva tu trabajo en tu portafolios.

Lección

30

¿Cómo se calculan los valores faltantes?

Para festejar el día del amor y la amistad Rosalía quiere comprar 9 malvaviscos en forma de corazón. Si una bolsa con seis malvaviscos cuesta $28.00, ¿cuánto cuestan 9 malvaviscos?

La cantidad de malvaviscos y lo que se paga por ellos se encuentran en una relación de proporcionalidad directa. Esto lo estudiaste en el bimestre anterior.

¿Cómo puedo calcularlo?

Malvaviscos

Precio ($)

6

28

12

56

18

84

Para obtener el costo de nueve malvaviscos podemos apoyarnos en un valor intermedio.


1 Uriel quiere comprar 6 carritos de

2 Responde.

carreras a escala. Completa los datos de la tabla para saber cuánto tiene que pagar. Carros a escala

Costo

4

$86

6

$129

8

$172

10

215

• ¿Cómo se obtuvo el costo de 8 carros? Se multiplica por 2 el costo de 4 carros. • ¿Cómo determinaste el costo de 6 carros? Calculando el valor intermedio o el valor unitario. • ¿Por qué no se necesita el valor unitario para responder lo anterior? Respuesta libre.

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo obtienes el valor intermedio y el unitario?

3 Completa la información que falta en las tablas y responde. • Si una máquina elabora 180 latas en 12 minutos. ¿Cuántas fabrica en tres minutos?

Tiempo

Latas

12 min 180 45 latas. 12 ÷ 4 = 3 min 180 ÷ 4 = 45

• En la misma fábrica se producen 32 remaches en 8 minutos. ¿Cuántos remaches se 12 remaches producen por en 3 minutos?

Tiempo 1 min

Remaches 32 ÷ 8 = 4

3 min

3×

8 min

4

= 12 32

117 Resuelvo problemas de proporcionalidad del tipo valor faltante.

Entonces sumas el costo de 6 malvaviscos y el costo de 3 malvaviscos.

Analiza lo siguiente. Como 9 = 6 + 3, y 3 es la mitad de 6, busquemos un valor intermedio. Para ello necesitas obtener el costo de 3 malvaviscos:

Operación

Malvaviscos

Costo

Suma

6+3

28 + 14

Total

9

$42

Nueve malvaviscos cuestan $42

Mitad de 6 malvaviscos: 3 Mitad de $28 es igual a $14

Práctica autónoma

¿Qué ruta es más corta?

1 Completa la tabla y contesta las preguntas.

Daniel recibe $50 a la semana para gastar en la escuela, pero decide gastar $30 y ahorrar $20 para comprar un juguete.

Tip

Semana

Gastó

Ahorró

1

30

20

2

60

40

3

90

60

4

120

80

5

150

100

Esta relación involucra dos reglas sucesivas: lo que gasta en el tiempo y lo que ahorra en el tiempo.

• Si el juguete que quiere cuesta $300, ¿cuántas semanas tendrá que ahorrar para poder comprarlo?

15 semanas. $450

• ¿Cuánto dinero habrá gastado hasta ese momento?

2 Elena vende gelatinas, y por tres gelatinas cobra $36. • ¿Cuánto le pagarán por 10 gelatinas? • ¿Y por 12 gelatinas?

$144

$120

¿Cuánto cuesta cada gelatina?

$12

3 El señor López ahorra dinero para diferentes rubros. Por cada $10 que ahorra, destina $4 para sus vacaciones del año.

118

• Si ahorra $500, ¿cuánto será para vacaciones?

$200

Observa que el valor obtenido es proporcional a los valores iniciales. Malvaviscos

Precio ($)

3

14

6

28

9

42

12

56

Los valores intermedios en muchos casos ayudan a resolverlas. Al doble o la mitad de un valor involucrado le corresponde el doble o la mitad del otro valor.

Hay relaciones de porporcionalidad en las que no es necesario encontrar el valor unitario para resolverlas.

Resolución de problemas 1 Resuelve los problemas junto con un compañero.

La pastelería El panqué va a entregar un pedido de 200 bocadillos por los cuales recibirá $850.00. Si se hacen varias entregas el mismo día, ¿cuánto dinero se recibirá por cada una, si el precio por bocadillo es el mismo en todos los casos? Completen la tabla. Bocadillos

Costo

150

$637.50

200

$850.00

300

$1275.00

400

$1700.00

Revisa con ayuda de tu mamá qué productos de la despensa compra por paquete y calcula el valor unitario de los productos.

• ¿Cuánto se pagará por 500 bocadillos? $2 125.00 • ¿Cuánto se pagará por 600 bocadillos? $2 550.00 • Explica qué procedimiento utilizaste para calcular el precio de 150 bocadillos. Respuesta libre.

2 Revisa la página http://goo.gl/yMwZ5Z da clic en Sexto grado, Bloque 5, actividades 44. A y 44. B, contesta los ejercicios de variación proporcional que se presentan. Copia algunos ejercicios en una hoja. Guarda tu trabajo en tu portafolios.

119

a+b


Sucesiones numéricas y con figuras Se le llama sucesiones numéricas a la secuencia de números ordenados que siguen una regla. A los números que forman una sucesión se les llama términos. También es posible formar sucesiones de figuras, en éstas también se necesitan reglas para establecer el patrón que siguen. Ejemplo: Encontrar la diferencia entre términos consecutivos nos permite determinar la regla. Si tenemos la siguiente secuencia 3, 7, 11, 15, 19…, ¿cuál es la regla que sigue? Identificamos la diferencia entre términos consecutivos: 3, 7, +4

11, +4

15, +4

19,… +4

En este caso la diferencia entre términos consecutivos es 4, por tanto, la regla establece que para obtener un término hay que sumar 4 al anterior. Podemos encontrar sucesiones más complejas en las que se utilizan varias operaciones o características para determinar la regla. ¿Cuáles son los dos siguientes términos de la sucesión 24, 29, 28, 33, 32, 37, 36,…? Buscamos la diferencia entre términos consecutivos: 29, 28, 33, 32, 37, 24, +5 –1 +5 –1 +5 –1

36,

La regla que se observa indica que primero se suman 5 y al siguiente término se le resta 1 y así sucesivamente. Por tanto, los dos números siguientes son 41 y 40. Observa las figuras y determina la regla

La regla o secuencia es 1 rectángulo, 1 círculo, 1 cuadrado y 1 círculo

1 120

Escribe los siguientes dos términos de cada sucesión y anota la regla. 54, 63,… a) 9, 18, 27, 36, 45, Regla: Sumar 9 a cada término o

402, 502,… b) 2, 102, 202, 302, 100 a cada término. Regla: Sumar

multiplicar 9 por el número de término.

2

75, 86,… c) 20, 31, 42, 53, 64, Regla: Sumar 11 a cada término.

81, 243,… d) 1, 3, 9, 27, Regla: Cada término se multiplica por 3

para obtener el siguiente.

En las siguientes sucesiones determina la figura que se pide. a) ¿Cuál es la figura 11? La figura 11 es un cuadrado

b) ¿Cuál es la figura 28? La figura 28 es un triángulo.

3

4

Traza las siguientes dos figuras de las sucesiones.

Rafael y Marisol tienen que pagar 5 pesos y sólo tienen monedas de 1 peso y de 2 pesos. ¿De cuántas formas pueden pagar $5? Es importante que tomes en cuenta el orden en que dan las monedas, es decir, no es lo mismo dar primero una moneda de $2 y luego una de $1 (2 + 1), que dar primero una de $1 y luego una de $2 (1 + 2). Completa la sucesión para ver todas las formas en que pueden pagar. Para pagar:

Sucesión

1 peso

$1

Cuántas formas tiene Una

2 pesos

($1 + $1) = ($2)

Dos formas

3 pesos

($1 + $1 + $1) = ($1 + $2) = ($2 + $1)

Tres formas

4 pesos

($1 + $1 + $1 + $1) = ($2 + $2) = ($1 + $1 + $2) = ($2 + $1 + $1) = ($1 + $2 + $1)

Cinco formas

5 pesos

($1 + $1 + $1 + $1 + $1) = ($1 + $1 + $1 + $2) = ($2 + $2 + $1) = ($2 + $1 + $1 + $1) = ($1 + Siete formas $2 + $2 )= ($2 + $1 + $2) = ($1 + $1 + $2 + $1)

121

Mis palabras matemáticas Éstas son las palabras matemáticas que aprendiste durante el bimestre. Comparar fracciones Doble de una fracción Mitad de una fracción Calcular el residuo Cuerpo geométrico Cara

1 2

Metro cuadrado Submúltiplos del metro Múltiplos del metro Medidas agrarias Hectárea Valor intermedio

Arista Vértice Escala Área del rectángulo Área del triángulo Área del trapecio

1. Escribe la palabra matemática que falta para completar la frase. A. La fracción

8 doble de la fracción 4 . representa el 10 10

hectáreas B. El abuelo de Luis tiene un terreno de 80 000 m2, es decir, 8 cubo caras C. El es un cuerpo geométrico con 6 iguales.

Señala en el siguiente cubo sus elementos. Arista

Vértice

Cara

3

122

Une las frases de ambas columnas que se relacionan.

Área del triángulo.

Escala

Patricia mide la superficie del piso de su recámara.

Es la mitad del área de un paralelogramo con la misma base y la misma altura.

Juan utilizó un mapa que está reducido proporcionalmente para orientarse.

Cecilia necesita medir la superficie de una hoja de papel.

El centímetro cuadrado es un submúltiplo del metro.

Metro cuadrado

Convivo y reflexiono Una lección de vida Ana es una niña especial, se describe a sí misma en forma poco modesta: –Hola, soy Ana y me considero muy linda y, según mis padres y amigos, muy agraciada. Creo que tengo un excelente sentido de la moda y por eso elijo muy bien dónde comprar mi ropa. Sé que todos en la escuela quieren ser mis amigos y venir a mis fiestas, por desgracia no todos están a mi altura. Sí, sé elegir muy bien con quien juntarme, o sea, no cualquiera puede sentarse conmigo a tomar el lunch. Lo que Ana no sabía es que su familia tenía serios problemas económicos aunque su papá se esforzaba por darle todo lo que le pedía, y un día sucedió lo inevitable: tuvieron que mudarse y cambiar de estilo de vida. –¡No papá, esto no es posible, debes hacer algo!, yo no merezco vivir esta vida tan simple –comentó Ana. –Lo siento hija, pero la que debe hacer algo eres tú –respondió su papá. En su nueva escuela Ana buscaba compañeros que estuvieran a su altura, un grupo al que pertenecer, pero nadie cubría sus expectativas. Cada vez se sentía más sola y de lejos veía cómo los demás se divertían: a ella le parecía increíble que fueran felices con esa vida simple, pero también se daba cuenta de que la creían rara. Un día una compañera se sentó a conversar con ella sin prejuicios y por primera vez Ana conoció la verdadera amistad.

Preguntas para reflexionar. ¿Crees que las personas valen por lo que tienen? ¿Qué es lo que más valoras de tus amigos? ¿Recuerdas alguna lección de humildad que hayas tenido?

123

Bimestre

3

Ponte a prueba

Paola y Natalia ingresaron a la página de internet del Inegi para buscar información sobre la densidad de población en su estado. La densidad de población es la relación entre un espacio determinado y el número de personas que lo habitan. Esta información se obtiene dividiendo el número de personas que viven en un lugar específico entre el número de kilómetros cuadrados que mide ese territorio. La gráfica muestra la densidad de población, es decir, el número de habitantes por kilómetro cuadrado de cada estado de la República Mexicana en 2010, según datos del Inegi. Densidad de población = Núm. de personas x Kilómetro cuadrado

1 ¿Cuál es la densidad de población de la entidad donde vives? R. P.

2 Escribe las cinco entidades que mayor densidad de población tienen. Ciudad de México, Estado de México, Morelos, Tlaxcala y Aguascalientes.

3 La entidad con menor número de habitantes es: Baja California Sur.

124

Paola y Natalia también investigaron la superficie de todos los estados de la República Mexicana. Entidad

Superficie (km2)

Entidad

Superficie (km2)

Aguascalientes

5 589

Morelos

4 941

Baja California

70 113

Nayarit

27 621

Baja California Sur

73 677

Nuevo León

64 555

Campeche

51 833

Oaxaca

95 364

151 571

Puebla

33 919

Querétaro

11 769

73 887

Quintana Roo

50 350

247 087

Coahuila Colima

5 455

Chiapas Chihuahua

San Luis Potosí

62 848

1 499

Sinaloa

58 092

Durango

73 677

Sonora

184 934

Guanajuato

30 589

Tabasco

24 661

Guerrero

63 794

Tamaulipas

79 829

Hidalgo

20 987

Tlaxcala

3 914

Jalisco

80 137

Veracruz

72 815

Estado de México

21 461

Yucatán

39 340

Michoacán

59 864

Zacatecas

75 040

Ciudad de México

4 De acuerdo con su densidad y su superficie, ¿cuál es la población aproximada del de la Ciudad de México? 8 874 080 habitantes.

habitantes. 5 ¿Cuál será la población de Campeche? 725 662

6 ¿Cuál es la entidad con mayor extensión territorial? Chihuahua con 247 087 km2. 7 ¿La diferencia territorial entre el estado más grande y el más pequeño? 2 245 588 km .

8 Completa la siguiente tabla. km

Hectáreas

Densidad de población (hab/ km2)

Sonora

184 934

18 493 400

15

2 774 010

Oaxaca

95 364

9 536 400

41

3 909 924

Jalisco

80 137

8 013 700

94

7 532 878

Tamaulipas

79 829

7 982 900

41

3 272 989

73 677

7 367 700

13

957 801

72 815

7 281 500

106

7 718 390

Entidad

Durango Veracruz

2

Población total

125

BIMESTRE

Sucesión de serpientes y escaleras

4

56

2

4

0.7

12 1.5

2.7

36

104

12 3.94

7

INICIO 5 >

0.8

60

Reto de números Así se juega l Reúnete con dos compañeros, consigan un dado y decidan quién tirará primero, quién segundo y quién tercero. l Por turnos, lancen el dado, avancen tantas casillas como el número que obtuvieron y sigan estas reglas: l Deben resolver la operación de la casilla en que cayeron o escribir los símbolos <, > o =, según corresponda. Validen

126

entre los tres cada respuesta: si ésta es correcta, permanecen en esa casilla hasta el siguiente turno; de lo contrario, retroceden tantas casillas como indique el dado. l Si caen en la casilla de una escalera y responden correctamente, suben la escalera y deben responder de nuevo: si contestan correctamente, permanecen

Necesitas: 25 fichas del mismo color por jugador

Lápiz Hojas de papel

Dos dados

Recupera y avanza Escribe los números que faltan en las siguientes sucesiones. 14 20, 26, , 32 38, ,... 44 • 8, ,

2.5

68 51, , 34 17,... • 102, 85, ,

3.2

48 96, ,... 192 24 , • 3, 6, 12, ,

1.2

5 30

16 , 8 , 4 2,... • 128, 64, 32, , Completa las siguientes operaciones. 10 = 120 • 12 × 12 = 10 • 120 ÷ 8 • 240 ÷ 30 =

2.5

107 = 749 • 7 × Encierra la figura en la que el perímetro está remarcado.

= 3

Subraya la unidad de medida que permite calcular cuánto líquido hay en un recipiente. al final de la escalera; de lo contrario, regresan al inicio de ésta. l Si caen en la cola de una serpiente y responden correctamente, avanzan una casilla más. De lo contrario, bajan a la cabeza de la serpiente. l Si regresan o caen en una casilla en la que ya está resuelta la operación, continúan normalmente el juego. l Gana quien llegue primero a la meta. El ganador solicite su premio al profesor.

A) Litro B) Gramo C) Metro

127

Lección

31

¿Cómo se leen los números romanos?

Claudio encontró en la biblioteca algunos libros marcados con símbolos que no conoce.

La bibliotecaria le dijo que son números romanos.

¿Cómo se usan los números romanos?


2 Observa el ejemplo de la izquierda y

1 Expresa cada número romano en el sistema decimal. Observa los ejemplos.

contesta. • ¿El valor de cada símbolo cambia de acuerdo con la posición que ocupa? No

13 461

CDLXI

10 + 1+ 1+ 1 (500 – 100) + 50 + 10 + 1

LXVI

50 + 10 + 5 + 1

66

XCIII

(100 − 10) + 1 + 1 +1

93

permite saber el valor de CD? ¿Por qué?

XIX

10 + (10 − 1)

19

500 − 100 = 400, porque 100 es menor que

XIII

• ¿Qué debes hacer para saber el valor de XIII? Sumar el valor de cada símbolo. • En el número CDLXI, ¿qué operación

500, es decir, C es menor que D.

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo escribes cantidades con números romanos?

3 Escribe cada número romano en el sistema decimal. 8 • VIII =

355 • CCCLV =

88 • LXXXVIII =

1 501 • MDI =

• 87 = LXXXVII

• 2 975 = MMCMLXXV

4 Escribe las cantidades con números romanos. • 341 = CCCXLI

128

• 596 = DXCVI

Convierto números del sistema romano al decimal y viceversa.

El sistema de numeración romano utiliza siete símbolos: III = 1 + 1 +1 = 3 XXX = 10 + 10 + 10 = 30 CCC = 100 + 100 + 100 = 300 MMM = 1 000 + 1 000 + 1 000 = 3 000

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1 000 El valor de cada símbolo no depende de su posición, entonces se trata de un sistema no posicional.

Cuando esos símbolos se colocan a la derecha de uno de mayor o igual valor, se suman (principio aditivo):

Para escribir en el sistema de numeración romano se utilizan las siguientes reglas:

VII = 5 + 1 + 1 = 7 LXV = 50 + 10 + 5 = 65 MMCI = 1 000 + 1 000 + 100 + 1 = 2 101

Los símbolos I, X, C y M se pueden repetir hasta tres veces seguidas.

Práctica autónoma

¿Cuáles son las características del sistema de numeración romano?

1 Relaciona las columnas. 16

MMMDCCCXCVII

749

XCL

953

CMLIII

3 897

CMLIII

10 150

XVI

Tip Sí un símbolo tiene uno menor a su izquierda, recuerda que se resta.

2 Completa las sucesiones con números romanos. • Suma de 5 en 5 XXVII

XXII

XXXII

XXXVII

XLII

CDXCV

DV

DXV

DXXIX

DCXXIX

DCCXXIX

• Suma de 10 en 10 CDLXXXV

CDLXXV

• Suma de 100 en 100 CDXXIX

CCCXXIX

3 Escribe las características del sistema de numeración decimal y del romano en la tabla. Decimal

Romano

Posicional.

No es posicional. Utiliza siete símbolos.

Utiliza diez símbolos.

El valor de cada cifra no depende de su posición.

El valor de cada cifra depende de su posición.

Emplea el principio aditivo, de sustracción y multiplicativo.

129

Pero si uno de esos símbolos está a la izquierda de otro de mayor valor, entonces se resta el menor al mayor (principio de sustracción):

Para formar números mayores que 3 999, se agrega una línea horizontal sobre el símbolo, lo que significa que su valor se multiplica por 1 000 (principio multiplicativo).

IV = 5 − 1 = 4 XL = 50 − 10 = 40 XC = 100 − 10 = 90

V = 5 × 1 000 = 5 000 XXD = 20 × 1 000 + 500 = 20 500

Los símbolos V, L y D sólo pueden aparecer una vez y no pueden estar a la izquierda de un símbolo de mayor valor.

¡Muy bien! Ya sé que el sistema de numeración romano no es posicional, se forma de siete símbolos y utiliza la suma, la resta y la multiplicación para formar cantidades.

Resolución de problemas 1 Investiga en internet quién fue el creador de cada invento y completa la tabla. Anota el año de cada invento en el sistema decimal y el romano.

Invento Imprenta moderna Johannes Gutenberg

Microscopio Zacharias Janssen

Telescopio Galileo Galilei

Automóvil con motor de combustión interna Karl Friedrich Benz

Fecha de invención (sistema decimal)

1446

1590

1610

1885

1957

Fecha de invención (sistema romano)

MCDXLVI

MDXC

MDCIX

MDCCCLXXXV

MCMLVII

Inventor

130

Busca en la calle, en publicaciones y en tu casa en qué situaciones se utilizan los números romanos.

Satélite artificial Serguéi Koroliov

2 Entra a la página http://goo.gl/tyFrcy y juega a identificar números romanos. Imprime y resuelve el ejercicio de la página http://goo.gl/8pNo7n Guarda la hoja que imprimiste en tu portafolios.

Lección

32

¿Cómo se leen los números egipcios?

Pilar recibió un libro del antiguo Egipto y leyó que fueron una cultura agrícola que inventó un sistema de numeración. Pero, ¿cómo escribían los números en el antiguo Egipto?

El egipcio es uno de los sistemas de numeración más antiguos, sus cifras se representaban con figuras de personas, animales u objetos. Utilizaba siete símbolos:

1

10 000

10

100

100 000

1 000

1 000 000


1 Escribe los siguientes números

egipcios en el sistema numérico decimal.

2 Observa la tabla de la izquierda y contesta. • ¿Qué debes hacer para saber qué cantidad representan varios signos

101 202 1 221 101 202

sus valores. juntos? Sumar

• ¿Por qué dos números representan la misma cantidad?

R. M. Usan los mismos

con distinto acomodo. símbolos

• ¿Qué característica del sistema de numeración egipcio permite que no es posicional. suceda lo anterior? Que

¿Cómo hacerlo?

3 Escribe con números egipcios las siguientes cantidades. 911

¿Cómo lees los números egipcios?

4 Escribe los siguientes números egipcios en el sistema numérico decimal.

1 102 202

1 521 50 102

101 038 Convierto números del sistema egipcio al decimal y viceversa.

131

Entonces un mismo número se puede escribir de diferentes maneras.

El sistema de numeración egipcio no es posicional, es decir, el valor de cada símbolo siempre es el mismo sin importar el lugar que ocupe. Y la cantidad representada se obtiene al sumar el valor de todos los símbolos (principio aditivo).

= Práctica autónoma

= 311

¿Cómo escribes cantidades con números egipcios?

1 Une los números egipcios con su representación en el sistema decimal.

•

9 009

•

2 531

•

320 415

•

69

•

460

Tip Es más fácil leer y escribir números egipcios si localizas primero los símbolos de mayor valor.

132

El sistema de numeración egipcio fue el primer sistema decimal. Esto significa que tenían como base el número 10 y cada símbolo podía aparecer hasta nueve veces.

Ahora ya sé que el sistema de numeración egipcio era decimal, tenía siete símbolos y no era posicional.

9=

10 =

50 =

Resolución de problemas 1 Lee la situación, haz lo que se pide y contesta las preguntas Un geógrafo encontró en una pirámide un número egipcio, que tenía nueve veces cada uno de los siete símbolos. • Escribe ese número con símbolos egipcios.

9 999 999 • ¿Qué número se formó?

• ¿Por qué sólo se pueden escribir nueve veces cada símbolo?

Porque como es sistema decimal a la décima vez se cambia de símbolo.

2 Escribe en la tabla las características del sistema de

Investiga más sobre la cultura egipcia y anota en una hoja para qué se usan los números egipcios.

numeración decimal y del egipcio. Decimal

Egipcio

Utiliza base 10

Utilizaba base 10

Utiliza diez símbolos.

Utiliza siete símbolos.

Es posicional.

No es posicional.

El valor de cada cifra depende de su posición.

El valor de cada cifra no depende de su posición. Usa el principio aditivo.

3 Escribe en una hoja los números 50 125, 2 001 450, 982 853 y 3 452 005 con números egipcios. Guarda la hoja en tu portafolios.

133

33

Lección

¿Qué número sigue?

Se colocarán luminarias entre dos pueblos. La primera se colocará a 200 metros del inicio del camino y las siguientes a 215 m, 230 m, 245 m, etcétera.

En este caso las luminarias forman una sucesión numérica.

¿Sabes qué es una sucesión numérica?

¿Dónde debo colocar cada luminaria?


2 Observa las sucesiones de la izquierda y

1 Continúa las sucesiones.

contesta.

48 ,… 32 , 40 , • 8, 16, 24,

• 1, 1

1 4

,1

1 2

, 1

3 4

2 , 2 ,

1 4

• ¿Cómo se obtienen los términos de la segunda sucesión? Cada vez se suma 1/4

,…

• ¿Cuál es la diferencia entre términos consecutivos de la tercera sucesión?

25 ,… 19 , 22 , • 7, 10, 13, 16,

3 • En la última sucesión, ¿cuál será el

•

1 8

,

1 4

,

3 8

,

1 2

,

5 8

,

3 4

séptimo término? 1

, ...

¿Cómo hacerlo?

¿Cuál es la diferencia en una sucesión?

3 Calcula la diferencia entre términos consecutivos de cada sucesión y anota si cada término se obtiene al sumar o restar al anterior esa cantidad.

134

Sucesión

Diferencia

¿Se suma o se resta?

115, 111, 107, 103,…

4

Se resta

9, 12, 15, 18,…

3

Se suma

75, 81, 87, 93,…

6

Se suma

62, 70, 78, 86,…

8

Se suma

102, 95, 88, 81,…

7

Se resta

Encuentro la regularidad en sucesiones aritméticas de fracciones y decimales.

Una sucesión numérica es una secuencia ordenada de números que cumple una regla o patrón. Cada uno de los números se denomina término.

Si la sucesión continúa de manera indeterminada, es una sucesión infinita. Por ejemplo:

1er término

22, 25, 28, 31, 34,…

3er término

Si la sucesión no continúa, es una sucesión finita.

3, 6, 9, 12, 15,…

Por ejemplo: 2do término

Los tres puntos indican que la sucesión continúa.

Práctica autónoma

12, 10, 8, 6, 4, 2

¿Cómo encuentras el término siguiente?

1 Completa cada sucesión, anota cuál es la diferencia entre términos consecutivos en cada caso y contesta las preguntas.

1 2

, 1,

3 2

, 2,

5 2

, 3,

7 2

2

• ¿Cuál será el noveno término? 23 11

,

21 11

,

19 11

• Diferencia:

,

17 11

,

15 11

• ¿Cuál será el octavo término? 1

9 2

,…

11

3 4

2

• ¿Cuál será el séptimo término?

11 , 9, 7 , 5 ,… 15, 13,

• Diferencia: 2

1

• Diferencia:

,…

, 2,

13 4

,

18 4

• Diferencia: 11 11

14 , 17 , 20, 23 ,… 5, 8, 11,

o 1

,

23 4

,…

5 4

• ¿Cuál sería el sexto término?

28 4

o 7

77 , 66, 55, 44 88, , 33 ,…

• Diferencia: 3

• Diferencia: 11

• ¿Cuál será el décimo término? 32

• ¿Cuál sería el octavo término? 11

Tip Para completar las sucesiones, primero calcula la diferencia entre dos términos consecutivos y después determina si ese valor se debe sumar o restar para obtener los demás términos.

135

Para determinar la regla o patrón que sigue una sucesión es necesario calcular la diferencia entre dos términos consecutivos, restando al mayor el menor.

Por tanto, para encontrar los siguientes términos cada vez hay que sumar esa cantidad: Ahora ya sabes que es una sucesión y cómo encontrar su regla

245 + 15 = 260 260 + 15 = 275

Por ejemplo, en el caso de las luminarias se tiene la sucesión 200, 215, 230, 245,…, entonces calculamos algunas diferencias:

215 − 200 = 15 230 – 215 = 15

Entonces, la diferencia de la sucesión es 15.

Resolución de problemas 1 Lean en equipo los siguientes problemas y realicen lo que se pide. Josué y Angélica juegan a escribir números para formar sucesiones numéricas. Josué escribió 118, 114, 110,… y Angélica debe anotar los números que siguen la sucesión de Josué. 2 4 8 10 Después Angélica anotó la sucesión , , 1, , ,… y Josué debe escribir los números 6 6 6 6 que continúan la sucesión. • Subrayen los números que pertenecen a la sucesión de Josué. 102 99 106 108 98 • Josué dice que el décimo término de la sucesión de Angélica es qué? No tiene razón, porque el décimo término es 20/6.

Juega con tus papás u otros adultos a formar secuencias numéricas: uno escribe los primeros tres términos de una sucesión y el otro debe determinar los tres siguientes.

18 6

. ¿Tiene razón? ¿Por

2 Anoten los siguientes siete términos de las sucesiones. 642 630 618 606 594 582 570 • 678, 666, 654, , , , , , , ,...

• 7, 7

1 3

,7

2 3

, 8 ,8

1 3

, 8

2 3

,9 , 9

1 3

, 9

2 3

, 10,...

3 Anota en una hoja reciclada si la sucesión 167, 154, 141, 126, 113, 100,... es correcta 136

y explica tu respuesta. Si es correcta, escribe los siguientes términos, si es incorrecta. corrígela. Guarda la hoja en tu portafolios.

34

Lección

¿Cómo sumas o restas fracciones con distinto denominador? Adrián recorrió

1 2

de kilómetro para ir de su casa al parque

en su motoneta. Más tarde recorrió

1

de kilómetro para ir

3

del parque al campo de futbol.

¿Qué distancia recorrí en total?


2 Observa los ejemplos de la izquierda y

1 Obtén fracciones equivalentes para resolver las operaciones.

•

•

•

2 5 3 10 1 2

+

3 10

−

=

1

+

5

=

−

10

=

10

+

30 5

3 10

+

9

=

3 1

4 10

30

2 10

=

=

contesta.

7 10

• ¿Por qué en la primera operación sólo se 2 convirtió a una fracción equivalente? 5 Al multiplicar por 2 se obtiene una fracción

19

con denominador 10.

30

• ¿Qué denominador se utilizó para resolver la segunda suma? 30

3

• ¿Cómo resolviste la resta? Convertí a

10

con el mismo denominador y se fracciones los numeradores. restan

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo resuelves una resta de fracciones?

3 Encuentra las fracciones equivalentes, resuelve las restas y, si es posible, simplifica el resultado. Observa el ejemplo. •

•

•

6 9 10 6 4 3

− − −

1 4 3 4 2 2

= = =

24 36 40 24 8 6

−

− − 6 6

9 36 18 24 =

15 36

= = 2 6

22 24 =

1 3

=

=

5 12

11 12

•

•

•

2 3 9 10 4 5

1

−

=

4 −

−

2 3 1 15

8 12 =

=

−

27 30 12 15

3

=

12 −

−

20 30 1 15

5 12 =

=

7 30 11 15

Resuelvo sumas y restas de fracciones con distinto denominador.

137

Para saber qué distancia recorrió Adrián, 1 1 hay que sumar + 2 3

Para saber qué fracciones utilizar, es decir, para encontrar fracciones equivalentes, recuerda que debes multiplicar en numerador y el denominador por el mismo número.

Observa que los denominadores son distintos, así que primero hay que obtener fracciones equivalentes a las anteriores, que tengan el mismo denominador.

En este caso, si multiplicas 2 × 3, puedes obtener una fracción equivalente a ambas fracciones,entonces las fracciones equivalentes tendrán denominador 6.

¡Ya sé qué denominador debo utilizar!

Práctica autónoma

¿Qué denominador deben tener las fracciones equivalentes?

1 Lee la siguiente situación y realiza lo que se pide para resolverla. Andrea todos los días entrena en una pista de carreras. 1 1 Primero trota del total de la pista, después corre y 3 2 1 por último camina . ¿Qué fracción de la pista recorre en 8 total? 1 1 + + 3 2 8 • Obtén las fracciones equivalentes que te permiten resolver la suma. Escríbelas a continuación y calcula el resultado:

• Escribe la operación que debes realizar:

Tip Recuerda que para sumar las fracciones equivalentes con el mismo denominador, sólo debes sumar los numeradores.

8

12

3

23

+ + = 24 24 24 24

• Andrea en total recorrió

2 Resuelve el siguiente problema. Anota tus operaciones. Raquel tiene un trozo de tela que mide de costura, ¿cuánta tela le sobró?

138

1

5 3

de metro. Si usó

23 24

1 2

del total de la pista.

de metro para un proyecto

Le sobran 7/6 de metro pues 5/3 − 1/2 = 10/6 − 3/6 = 7/6 = 1 1/6 m.

Obtén las fracciones equivalentes: ×3 1

×2

=

2

1

3

1

6

3

2

=

×3

6

1

1

2

3

1

1

1

1

1

6

6

6

6

6

×2

En total recorrí kilómetro.

5 6

de

Y después realiza la suma. Recuerda que sólo debes sumar los numeradores. 1 2

+

1 3

=

3 6

+

2 6

=

5 6

Resolución de problemas 1 Lee la siguiente situación y contesta lo que se pide. Anota tus operaciones. Ignacio aprendió en su clase de Ciencias Naturales que los componentes de algunas mezclas se pueden distinguir a simple vista, y 3 de ahora él quiere formar una mezcla con 4 1 de litro de aceite. litro de agua y 5 • ¿Cuánto líquido habrá en total?

Habrá 19/20 de litro porque 3/4 + 1/5 = 15/20 + 4/20 = 19/20 • Hará la mezcla en una botella de dos litros. ¿Cuánto líquido faltará para llenarla o cuánto líquido no cabrá en la botella?

Faltarán 1 1/20 de litro para llenarla porque dos litros es igual a 40/20 y 40/20 − 19/20 = 21/20 = 1 1/20 • ¿Cuánto líquido tendrá en total si además agrega de litro de agua?

Tendrá 33/20 de litro porque 19/20 + 7/10 =

7

10

Revisa una receta para hacer un pastel y suma todas las fracciones que encuentres.

19/20 + 14/20 = 33/20 2 Entra en la página http://goo.gl/qTDuC7 y realiza en una hoja reciclada las operaciones que ahí aparecen. Verifica tus respuestas y guarda la hoja en tu portafolios.

139

Lección

35

¿Qué son las operaciones inversas? Proceso

Toño, ¿tú sabes cuál es y cómo se obtiene la operación inversa de una multiplicación?

Entrada 8

Multiplicado por 3

Salida 24

Basta con imaginarte la multiplicación como una máquina que procesa números. Mira este dibujo de 8 × 3 =24.

Sí, y es muy simple saberlo


1 Determina en cada caso la operación

2 Observa el ejemplo de la izquierda y

inversa.

contesta.

• 11 × 7 = 77

• ¿Cuál es la operación inversa de la

Operación inversa: Dividir 77 entre 7

multiplicación? La división • ¿Cómo compruebas el resultado de una

• 35 ÷ 7 = 5 Operación inversa: Multiplicar 5 por 7 • 12 × 4 = 48 Operación inversa: Dividir 48 entre 4

¿Cómo hacerlo?

división? Multiplicando el cociente por el

divisor, el resultado es igual al dividendo. ¿Cómo utilizas las operaciones inversas?

3 Resuelve los siguientes ejercicios de operaciones inversas.

140

8 • 2 × 4 =

2 8 ÷ 4 =

9 • 216 ÷ 24 =

9 × 24 = 216

90 • 30 × 3 =

30 90 ÷ 3 =

121 • 11 × 11 =

121 ÷ 11 = 11

72 • 12 × 6 =

72 ÷ 6 = 12

16 • 96 ÷ 6 =

16 × 6 = 96

9 • 36 ÷ 4 =

9 × 4 = 36

124 31 31 ÷ 4 = • 124 ÷ 4 =

Identifico a la multiplicación y a la división como operaciones inversas.

¡Así es! La operación inversa es la que permite obtener el número inicial, en este caso, dividir entre 3. Observa cómo funcionaría la máquina con el proceso inverso.

¿Crees que la máquina haría el mismo proceso si la pusiéramos a funcionar en reversa?

Proceso

No, sería un proceso contrario: al 24 lo tendría que dividir entre 3 para que regresara el 8.

Multiplicado por 3

Entrada 8

Salida 24

Dividido entre 3

Proceso inverso

Práctica autónoma

¿Cómo encuentras el número que falta?

1 Completa las máquinas de proceso y proceso inverso de las siguientes operaciones. Proceso

64 • 16 × 4 =

Multiplica por 4

Entrada 16

Salida

64

Divide entre 4

Tip

Proceso inverso

Proceso 6 • 72 ÷ 12 =

Divide entre

12

Entrada

72

Multiplica por 12

Salida

6

Proceso inverso

Imagina las operaciones como si fueran máquinas: determina “el número de entrada”, “la operación efectuada” y “el número de salida”. Así podrás determinar la operación inversa que se obtiene con el proceso inverso de la máquina.

Proceso 15 Entrada • 195 ÷ 13 = 195

Divide entre 13

Multiplica por 13

Proceso inverso

Salida 15

141

De la misma manera podemos saber que la resta es la operación inversa de la suma.

Gracias por la explicación, Toño. Cada vez que requiera saber las operaciones inversas utilizaré máquinas como éstas.

Proceso Entrada 12

Suma 4

Salida 16

Resta 4

Proceso inverso

Resolución de problemas 1 Resuelve con un compañero los siguientes problemas. Cuatro estudiantes compraron gises pastel y se los repartieron. Al final cada uno se quedó con 23 gises. • ¿Qué operación se utiliza para representar un reparto?

La división.

• ¿Cuántas gises tenían en total antes del reparto? 92 gises • ¿Con qué operación obtuviste la respuesta anterior?

Con una multiplicación: 23 × 4.

Andrés tenía $75 en monedas de $5 en una bolsa de su pantalón y se subió a un árbol a jugar. Al bajar se percató de que ya sólo tenía $25. • ¿Qué operación permita saber cuántas monedas se le cayeron? Primero se resta 75 – 25 = 50 y se divide entre 5. • Cuántas monedas se le cayeron?

10 monedas.

• ¿Con qué operación puedes comprobar lo anterior? Multiplicando 10 × 5 = 50 pesos.

142

Anota en tu cuaderno para qué sirven las operaciones inversas cuando compras varios productos en la tienda y quieres verificar que tu cambio sea el correcto.

2 Dibuja en una hoja reciclada una máquina que tenga un proceso de multiplicar por 23 y otra cuyo proceso sea dividir entre 6. Determina los procesos inversos en cada caso y guarda la hoja en tu portafolios.

Lección

36

¿En dónde están los objetos?

Esta semana Sergio y sus compañeros de clase decidieron organizar el salón. Para hacerlo pidieron el consejo de su maestra, quien sugirió que lo hicieran por áreas y rincones, así que elaboraron letreros para cada sección. Rinc

ón d e jueg os

Almacén de materiales

Área de

Cuando Sergio le dijo a Julio que el rincón de lectura debería quedar a la derecha, los dos señalaron direcciones contrarias.

de cón n i R tura lec

Área de trabajo útiles


1 Observa la imagen y responde las preguntas, haciendo referencia al niño, no a ti.

2 Observa el ejemplo de la izquierda y contesta. • Para ubicar objetos en la habitación, ¿por qué es importante saber hacia dónde observa el niño? R. L. Para utilizarlo punto de referencia y usar palabras como

• ¿En qué parte de la habitación está

“detrás”, “enfrente”, etcétera. como

• ¿Dónde está la pelota? Detrás del avión,

el niño? En el centro de la habitación.

• ¿Dónde está la mochila del niño?

Enfrente de él.

¿Cómo hacerlo?

en la repisa del librero que está detrás y a la derecha del niño. ¿Cómo ubicas un objeto?

3 Contesta las siguientes preguntas. • ¿Cuáles son los puntos de referencia que utilizarías para describir dónde están tus hombros? A la derecha e izquierda de mi cabeza. • ¿Y cuáles son los puntos de referencia que utilizarías para describir la ubicación de tu cabeza y de tus rodillas estando de pie? Arriba y abajo de mí. • ¿Cuáles son los puntos de referencia que utilizarías para describir la ubicación de tu nuca y tu nariz? Detrás de mí y delante de mí. Ubico objetos a partir de uno o varios puntos de referencia.

143

Julio sugirió considerar puntos de referencia para que todos hicieran descripciones parecidas. Acordaron que, parados frente al pizarrón, utilizarían puntos de referencia como “delante”, “detrás”, “derecha” o “izquierda”.

Práctica autónoma

También utilizarían “arriba”, “dentro” y “abajo”, y así podrían localizar todo fácilmente.

¿Cómo ubicas algo respecto de un punto de referencia?

1 Anota sobre las líneas los principales puntos de referencia que tienes con respecto a tu cuerpo y realiza lo que se pide.

arriba Pájaro atrás

manzana

izquierda

carro

derecha Mochila

enfrente

pelota abajo

Tip

144

Recuerda indicar en relación con quién o con qué consideras los puntos de referencia. Por ejemplo, “delante de mí”, “a la izquierda de él” o “a la derecha del librero”.

• • • • •

Dibuja un balón a la derecha del niño. Traza un carrito atrás del niño. Delante del niño dibuja una mochila. A la izquierda del niño abajo del árbol, dibuja una manzana. A la derecha del niño, arriba del árbol dibuja un pájaro.

Finalmente Sergio y sus compañeros lograron organizar el salón y pudieron describir la ubicación de cada cosa. Ellos descubrieron que utilizar dos o más puntos de referencia es la mejor manera para describir cualquier ubicación.

Resolución de problemas 1 Realiza la siguiente actividad con un compañero. Jueguen a describir dónde están las cartas: por turnos, uno anota en su cuaderno el número y el color de alguna carta que elija, y describe su localización con al menos 3 referencias, para que el otro la ubique. Pierde quien dé mal las indicaciones. Por ejemplo, si alguien elige el 2 rojo puede describir “en el mazo de cartas que está en la fila de arriba, de la columna izquierda, detrás del 4 amarillo”.

Pregunta a tus papás cómo encuentran sus asientos cuando viajan en camión o en avión y determinan cuáles son los puntos de referencia en esos casos.

2 Busca una fotografía o una postal de un paisaje y pégala en una hoja reciclada. Describe la ubicación de al menos 5 objetos. Guarda la hoja en tu portafolios.

145

Lección

37

¿Cómo se obtiene el perímetro de polígonos? Segmentos de recta

¿Qué sabes de los polígonos? Vértice

Un polígono es una figura formada por segmentos de recta, llamados lados, y vértices, que son los puntos donde esos lados se intersecan. Hay polígonos de muchas formas.

Estrellados

Simple,cóncavo e irregular

Complejo,cóncavo e irregular

Convexo y regular


1 Anota una “R” dentro de los polígonos regulares y una “I” dentro de los irregulares.

I

R

I

2 Observa el ejemplo de la izquierda y contesta. • ¿Por qué el polígono azul es irregular?

Porque sus lados y ángulos no miden lo mismo.

• ¿Cómo son entre sí los lados del polígono café?

R

I

R

Son iguales.

• ¿Cómo calculas el perímetro de un polígono regular? Multiplicando el

número de lados por su medida. ¿Cómo hacerlo?

¿Cómo calculas el perímetro de un polígono?

15 m

15 m

m

12

m

22

m

3 Calcula el perímetro de ambos polígonos. Anota tus operaciones.

20 m

146

Perímetro = 20 m + 22 m + 15 m + 12 m = 69 m Calculo el perímetro de polígonos regulares e irregulares.

Perímetro = 8 × 15 mm = 120 mm

En los polígonos regulares todos los lados y ángulos son, respectivamente, iguales, mientras que en los polígonos irregulares eso no sucede.

Además siempre puedes calcular el perímetro de un polígono. Para ello, debes sumar la medida de todos sus lados.

o Lad

Lad

o4

3

P = lado 1 + lado 2 + lado 3 + lado 4 + lado 5

o2

Regulares

Lado 1

Lad

El perímetro usualmente se abrevia con la letra P:

Lado 5

Hay polígonos regulares y polígonos irregulares.

Irregulares

Práctica autónoma

¿Cuál es el perímetro de polígonos regulares?

1 Calcula el perímetro o la medida del lado de cada polígono.

125 cm P =

P = 222 cm

300 m P =

Medida de lado = 25 cm

37 cm Medida de lado =

Medida de lado = 30 m

Tip

220 m P =

P = 216 mm

Medida de lado = 55 m

72 mm Medida de lado =

Recuerda que puedes utilizar operaciones inversas para resolver problemas.

2 Respondan en grupo la siguiente pregunta. • Si el número de lados de un polígono aumenta y la medida de sus lados es la misma, ¿qué pasará con su perímetro? Su perímetro también aumentará.

147

Y como en los polígonos regulares cada lado mide lo mismo, también puedes calcular su perímetro si multiplicas la medida de un lado por la cantidad de lados.

cm

5 × 2 cm = 10 cm

2 cm

2 cm

2

2

cm

¡Así es! En este caso el polígono tiene cinco lados de 2 cm, entonces su perímetro mide 10 cm.

Cantidad de lados

2 cm

Madida de cada lado

Perímetro

Resolución de problemas 1 Resuelvan en equipo los siguientes problemas.

En la escuela van a elaborar banderines para un carnaval y quieren decorar con un listón el borde de cada uno. • Anoten cuántos centímetros de listón necesitan para cada banderín. 55 cm 42 cm

cm 22

42 cm

22

42 cm

55 cm

cm

194 cm P =

65 c

m

m

65 c

196 cm P= 172 cm P =

• ¿Cuántos centímetros de listón se necesitarán en total?562 cm Busca en tu casa dos objetos con forma de polígono regular y dos con forma de polígono irregular. Haz en tu cuaderno un dibujo de cada uno y calcula sus perímetros.

148

2 Contesten lo siguiente. • Cuál es el perímetro de un polígono regular de cinco lados de 2.5 cm cada uno, y el de uno regular de siete lados de 2 cm cada uno? 12.5 cm y 14 cm, respectivamente.

3 En una hoja reciclada dibuja 3 polígonos regulares y 3 polígonos irregulares, calcula el perímetro de cada uno y explica por qué son regulares o irregulares. Guarda la hoja en tu portafolios.

Lección

38

¿Cómo se hace la conversión entre múltiplos y submúltiplos?

Le pregunté a varias personas cuánta leche consumen a la semana y obtuve estas respuestas. Pero, ¿cómo sé quién consume más leche?

Observa que las respuestas se dieron en mililitros (ml) y en litros (L). Para compararlas necesitas expresar las cantidades en la misma unidad de medida.

Carmen: 750 ml Rodrigo: 600 ml Pedro: 0.9 l


1 Expresa las medidas en las unidades que se indican. • 80 mm = • 5 L = •

8

5 000

3 000

•

0.06

entre 10 centímetros? Dividiendo

ml

1.40

y la tabla de la página 151 y contesta. • ¿Cómo conviertes milímetros a

cm

• ¿Cómo conviertes litros a mililitros?

g = 3 kg

• 140 cm =

2 Observa las conversiones de la izquierda

m

Multiplicando por 1 000

• ¿Y cómo conviertes centímetros a entre 100 metros? Dividiendo

g = 60 mg

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo haces conversiones de unidades?

3 Completa las equivalencias. Observa los ejemplos y apóyate de la tabla de la página 151. • 45 m =

45

×

100

= 4 500 cm

1 000 = 1 450 mg • 1.45 g = 1.45 ×

• 12 000 mg = 12 000 ÷ 1 000 = 12 g

18 ÷ • 18 ml =

780 ÷ 100 = 78 cm • 780 mm =

62.9 ÷ • 62.9 m =

1 000 = 65 000 ml • 650 L = 650 ×

522 ÷ 1 000 = 0.522 g • 522 mg =

• 3.9 kg = 3 × 1 000 =

1 320 ÷ 1 000 = 1.320 L • 1 320 ml =

3 900 g

1 000 1 000

=

0.018 L

= 0.0629 km

Realizo conversiones entre múltiplos y submúltiplos del metro, del litro y del gramo.

149

Las unidades de medida permiten, como su nombre lo indica, medir longitudes, pesos, cantidad de un algún líquido, etcétera. En casi todo el mundo se utilizan las del Sistema Internacional de Unidades. Las hay base y múltiplos y submúltiplos de ellas. Éstas son algunas unidades base.

¿Qué mides?

Unidad base

Símbolo

Longitud

metro

m

Cantidad de algún líquido

litro

L

Peso

gramo

g

Los múltiplos son unidades mayores que la unidad base, y los submúltiplos son unidades menores que la unidad. Para referirse a ellos se agregan ciertas palabras, llamadas prefijos, antes de la unidad base. Por ejemplo, “centi” en “centímetro”.

Práctica autónoma

¿Qué unidad de medida se debe usar?

1 Anota los signos >, < o = según corresponda. • 2 000 gramos < • 0.50 metros <

3 kilogramos 5 000 milímetros

• 12.5 kilogramos = • 14 centilitros <

12 500 gramos

152 mililitros

• 7.24 metros • 3.2 metros

< 7 240 centímetros < 32 kilómetros

• 0.42 hectolitros • 100 mm

> 2.3 L

< 12 cm

2 Une las columnas de acuerdo con la unidad de medida más adecuada para realizar cada medición.

Tip Los múltiplos se utilizan para medir cosas grandes y los submúltiplos para medir cosas pequeñas.

El largo de un cuaderno

Kilogramo

La distancia entre Toluca y Guadalajara

Litro

La capacidad de una jeringa

Centímetro

El peso de una pastilla

Miligramo

La capacidad de un tinaco El peso de una persona

150

Mililitro Kilómetro

Observa esta tabla. Para obtener el múltiplo inmediato debes dividir entre 10 y para obtener el submúltiplo debes multiplicar por 10.

Submúltiplos

Prefijo

Símbolo

La unidad base se

mili

m

multiplica por 1 000

centi

c

multiplica por 100

deci

d

multiplica por 10

deca

da

divide entre 10

hecto

h

divide entre 100

kilo

k

divide entre 1 000

Unidad base Múltiplos

¡Ya entendí! Entonces Carmen consumió 0.75 L porque 750 ÷ 1 000 = 0.75 y Rodrigo 0.6 L, pues 600 ml ÷ 1 000 = 0.6. Eso quiere decir que Pedro es quien consume más leche.

Resolución de problemas 1 Lee la siguiente situación y contesta lo que se pide. Al laboratorio de Ciencias llegaron dos paquetes: uno de 0.350 kilogramos de bicarbonato de sodio y otro de 280 gramos de ácido cítrico, y quieren hacer paquetes de 100 miligramos. Para ello escribieron las siguientes anotaciones. Como 0.350 kg es igual a 350 mg se pueden formar 3 paquetes de bicarbonato de sodio y sobraron 50 mg. Con 280 g se pueden formar 2 paquetes de ácido cítrico y sobran 80 mg. • ¿Sus anotaciones son correctas? ¿Por qué? Son incorrectas porque

0.350 kg = 350 g = 350 000 mg y no convirtieron la cantidad de ácido cítrico a miligramos: 280 g = 280 000 mg. • Determina cuántos paquetes pueden formar en total. Pueden formar 350 000 ÷ 100 = Anota tus operaciones.

3 500 paquetes de bicarbonato de sodio y 280 000 ÷ 100 = 2 800 paquetes de ácido cítrico.

Mide con una cinta métrica el largo de tu recámara y exprésalo en centímetros.

2 Obtén dos múltiplos y dos submúltiplos de las siguientes cantidades: 25.60 litros, 45.2 decímetros y 67.82 decagramos. Anota las conversiones en una hoja reciclada y guárdala en tu portafolios.

151

Lección

39

¿Cómo se construye una gráfica de barras?

Éstos son algunos resultados de un torneo de futbol que se llevó a cabo entre varias escuelas. ¿De qué otra manera puedo representar esa información? Escuela

Partidos ganados

Partidos perdidos

M. Hidalgo

9

4

B. Juárez

6

3

V. Guerrero

5

5

¡Puedes construir una gráfica de barras!


2 Observa la gráfica de la izquierda y

1 La información en gráficas de

barras también puede presentarse horizontalmente, como el siguiente caso.

Sabores de helados

Helados preferidos

Napolitano

• ¿Qué información se representa en la

Los gráfica?

sabores preferidos de helado de dos grupos. • ¿Cuál es el sabor preferido en el grupo B?

Vainilla Quinto B Quinto A

Fresa

El sabor napolitano. • ¿Y cuál es el sabor preferido en el grupo

Chocolate

0

contesta.

5

A? El sabor vainilla.

10 15 20 25

Número de niños

¿Cómo hacerlo?

¿Qué se representa en cada eje? 25

3 Completa los datos de la tabla a partir de

152

Sabor

Grupo A

Grupo B

Chocolate

15

10

Fresa

18

15

Vainilla

22

20

Napolitano

13

23

Interpreto y represento información en gráficas de barras.

20

Alumnos

la gráfica anterior y elabora una gráfica de barras.

15 10 5 0

Chocolate

Fresa

Vainilla

Napolitano

Sabores de helado

Quinto A

Quinto B

Una gráfica de barras consiste de dos ejes y de columnas, y permite representar información de manera práctica. Para construir una gráfica de barras haz lo siguiente. Puedes utilizar una hoja cuadriculada para apoyarte. • Traza dos ejes, un horizontal y otro vertical. • Anota en uno de ellos el nombre de las escuelas, separándolos entre sí. • En el otro eje marca números separados a la misma distancia entre sí. Debes iniciar en 0 y verificar que se considere el mayor número que aparece en los datos. Esa es la escala de la gráfica y la separación entre números consecutivos son los intervalos. • Agrega títulos a ambos ejes y a la gráfica. • Traza las barras. Cada una debe ser tan alta como el valor que le corresponde. Puedes utilizar colores para representar diferentes valores, pero debes indicar qué representa cada color.

Práctica autónoma

¿Qué tan alta debe ser cada barra?

1 Analicen en grupo los datos de la tabla y represéntenlos en una gráfica de barras.

Recuerden tener en cuenta qué se representa en cada eje y agregar un título a cada uno. Luego contesten las preguntas de manera individual. Televisores vendidos

2005

115

2006

286

2007

150

2008

275

2009

200

2010

250

2011

235

2012

275

2013

285

2014

315

Tip Recuerda que debes establecer una escala adecuada para que traces la gráfica correctamente.

Televisores vendidas entre 2005 y 2014 350

Piezas vendidas

Año

300 250 200 150 100 50 0

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

Años

• ¿En qué año se vendieron más televisores? En 2014 • ¿Y en qué año se vendieron menos: en 2006 o en 2011? En 2011 • ¿Por qué crees que las ventas de 2005 fueron las más bajas? R.L.

• ¿Én qué año las ventas fueron las más bajas? En 2005

153

La gráfica de barras no sólo es una manera distinta de representar datos también permite obtener información rápidamente. Eje del número de partidos

10 9

Resultados del torneo de futbol

Título del gráfico

Intervalo

Escalas

Número de partidos

8 7

Colores del gráfico

6 5 4 3

Por ejemplo, la escuela B. Juárez es la que menos partidos perdió.

2 1 0

M. Hidalgo

B. Juárez

Eje de las escuelas

V. Guerrero

Escuelas Partidos ganados

Partidos ganados

Resolución de problemas 1 Observa los datos de la tabla y la gráfica y complétalas. No olvides agregar el título de la gráfica y los títulos de los ejes.

Visita de parques nacionales (millones de personas) Parque

2005

2010

El divertido

1.8

2.9

Las ferias

2.3

3.8

Las banderas

2.9

3.1

Nautilius

2.5

3.2

Visitantes de parques nacionales (2005 y 2010)

Busca una gráfica de barras en un periódico o revista y describe en tu cuaderno la información que se representa.

Visitantes (millones)

4 3.5 3 2.5

2005 2010

2 1.5 1 0.5 0

El divertido

Las ferias

Las banderas

Parques

Nautillus

2 Pregunta a 10 compañeros cuántas horas de televisión ven al día y 154

construye en una hoja reciclada una gráfica de barras con la información obtenida. Guarda la hoja en tu portafolios.

a+b


Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es un enunciado formado por números y símbolos relacionados entre sí con signos de operaciones. Usualmente los símbolos usados son letras que representan muchos números. Evaluar una expresión significa sustituir esas letras por algún valor determinado. Por ejemplo: Evaluar x + 8 cuando x = 4:

Evaluar z ÷ 5 cuando z = 15:

x+8

z÷5

4 + 8 = 12

1

15 ÷ 5 = 3

Evalúa cada expresión cuando n = 5 y resuelve la operación. Haz lo mismo cuando n = 7. Observa los ejemplos. 35 ÷ n

4.5 + n

35 ÷ 5 = 7

4.5 + 5 = 9.5

35 ÷ 7 = 5

4.5 + 7 = 11.5

105 ÷ n

8.6 + n

n × 16 80 5 × 16 =

50 – n 50 – 5 = 45

= 112 43 50 – 7 = 7 × 16

3×n

36 – n

12 × n 60 12 × 5 = 84 12 × 7 =

2×n

105 ÷ 5 = 21

8.6 13.6 3 × 36 – 5 31 2 × 5 = 15 5 = 10 + 5 = =

105 ÷ 7 = 15

8.6 15.6 3 × 36 – 7 29 2 × 7 = 21 7 = 14 + 7 = =

n + 3.3

n+6

9×n

7.2 – n

8×n

3.3 = 8.3 6 = 11 5 = 45 7.2 – 5 2.2 8 5 = 40 5 + 5 + 9 × = × =10.3 6 = 13 7 = 63 7.2 – 7 0.2 8 7 = 56 7 + 9 × = × 7 + 3.3

155

Mis palabras matemáticas Éstas son las palabras matemáticas que aprendiste durante el bimestre. Escala

Principio aditivo

Sucesión finita

Gráfica de barras

Puntos de referencia

Intervalo

Sucesión infinita

Sistema de numeración egipcio

Sucesión numérica

Polígono regular Polígono irregular

1

Operación inversa

Sistema de numeración romano

Perímetro

Submúltiplo

Término Metro Múltiplo

Completa las oraciones con las palabras que faltan. A. El sistema de numeración romano utiliza los principios aditivo, de sustracción y multiplicativo para representar números. B. En la

sucesión numérica

7, 10, 13,… la diferencia es 3.

C. Cada número de una sucesión numérica recibe el nombre de D. La unidad base para medir longitudes es el

2

E. La división es la

operación inversa

metro.

de la multiplicación.

Relaciona cada enunciado con el término correspondiente.

Es el resultado de sumar la medida de los lados de un rectángulo.

156

término.

Gráfica de barras

“Izquierda”, “derecha” y “arriba” son ejemplos.

Operaciones inversas

Estas unidades sirven para medir el tamaño de una hoja de papel.

Perímetro

La suma y la resta, la multiplicación y la división son ejemplos.

Submúltiplo del metro

Es una manera de representar información gráficamente.

Puntos de referencia

Convivo y reflexiono Los caminantes En un pueblo nadie “daba su brazo a torcer”, todos “eran cuadrados” y pensaban que “más valía malo por conocido que bueno por conocer”. Siempre peleaban y discutían por imponer su voluntad. Caminaban encorvados, enojados y a la defensiva. Un día llegaron unos extranjeros, a quienes miraron desde las ventanas de sus casas con desconfianza. –Hola, venimos de muy lejos y estamos cansados, ¿podrían ayudarnos? –dijeron los caminantes. –Váyanse por donde vinieron, aquí no van a encontrar nada –les respondieron. –Necesitamos un poco de agua y dónde pasar la noche, después nos iremos – dijeron los extranjeros. –Aquí no son bienvenidos, váyanse –respondieron de nuevo. Los caminantes acamparon fuera del pueblo, hicieron un refugio y consiguieron comida y agua. Los habitantes del pueblo miraban asombrados su organización y lo bien que la pasaban en el refugio, en contraste con el pueblo; se preguntaban cómo podían convivir así y compartir pertenencias y comida. Al ver a los lugareños acercarse al campamento, los extranjeros los llamaron amablemente para conversar. Los habitantes del pueblo reconocieron asombrados que había otras formas de pensar, que era bueno cambiar de opinión y que lo nuevo podía traer grandes sorpresas.

Preguntas para reflexionar. ¿Por qué crees que es importante aceptar las diferencias? ¿Crees que la tolerancia puede ayudar a una mejor convivencia? ¿Qué crees que pasaría en tu salón si todos quisieran imponer su voluntad?

157

Bimestre

4

Ponte a prueba

Joaquín y sus amigos asistieron a una kermés donde había varias temáticas. La zona de comida estaba decorada como la Antigua Roma y la de los juegos, como el Antiguo Egipto y los precios de esas zonas estaban escritos con los respectivos sistemas de numeración.

1 Escribe las cantidades

XV = $ 15

X = $ 10

XXX = $ 20

XII = $ 12

IX = $ 9

XXV = $ 25

XXXV = $ 35

L = $ 50

escritas con números romanos y egipcios en el sistema de numeración decimal.

2 ¿Cuánto cuestan el alimento más barato y el

más caro juntos? Cuestan $9 + $50 = $59

3 ¿Cuál es el precio de los dos juegos más caros juntos? $30 + $25 = $55

4 ¿Cuánto se pagaría por un refresco, unas palomitas y jugar a la ruleta? 42 pesos

5 Subraya el número romano que representa la cantidad anterior. A. LXII

B. LII

C. XLII

D. XLXII

6 Subraya el número egipcio que se obtiene si a la cantidad anterior se le suma un 1.

158

A.

B.

C.

D.

7 El precio de las palomitas, el del café y el del helado, en ese orden, forman una sucesión numérica. ¿Qué número continúa esa sucesión y al precio de qué alimento o juego corresponde? El número 25 continúa esa sucesión y corresponde a la lotería y el hot dog. = $ 25

= $ 20

8 ¿Cuál sería el séptimo término de la sucesión anterior? El número 40.

= $ 13

= $ 10

o servicios que puedas comprar con $80, pero que juntos cuesten más de $60.

R. L.

= $ 10

= $ 30

9 Escribe tres alimentos

10 Donde venden los refrescos usan una tabla como la siguiente, complétala. Cantidad de refrescos

2

4

6

8

10

12

14

Total a pagar ($)

24

48

72

96

120

144

168

Total a pagar en número romano

XXIV

XLVIII

LXXII

XCVI

CXX

CXLIV

CLXVIII

159

BIMESTRE

5

Números nuevos y viejos

5 050

3 020

1 009

2 400

1 900

55

3 002

505

1 800

1 090

18

7 200

24

2 004

320

190

702

49

5 005

108

Reto de números Así se juega l Recorta las tarjetas del recortable 6 de la página 214. l Reúnete con un compañero. Observen que las casillas del tablero tienen números egipcios o romanos y que sus tarjetas tienen números del sistema decimal. l El juego consiste en que cada uno acomode sus tarjetas sobre las casillas del tablero, de modo que la tarjeta indique el número que está representado en la casilla. l Antes de iniciar el juego, revuelvan sus tarjetas y colóquenlas sobre la mesa. l Por turnos lanzan el dado, toman al azar las tarjetas que indica el número que salió y las colocan en la casilla correspondiente. l Gana quien coloque primero todas sus tarjetas. El ganador puede solicitar su premio al profesor.

160

Necesitas: El recortable 6 de tarjetas.

Un dado

Recupera y avanza Usa las palabras para completar las oraciones.

7 020

72

Romano Posicional No posicional

• El sistema de numeración decimal posicional

es

.

romano • El sistema de numeración

1 080

550

usa siete símbolos. • Los egipcios usaban un sistema de numeración

720

7 002

no posicional

.

Analiza la sucesión y escribe el número que sigue. 32 1, 2, 4, 8, 16, Resuelve la multiplicación.

2 040

180

125 × 14 500 + 125 1750

3 200

302

Remarca el perímetro del círculo.

Calcula la moda del conjunto de datos.

Tip Si quieres recordar el sistema de numeración romano, revisa la lección 31. Si no recuerdas los símbolos egipcios repasa la lección 32 del bimestre anterior.

14, 9, 14, 3, 14, 14, 3, 7 14 Moda:

161

Lección

40

¿Cómo se escriben los números mayas? En Chichen Itzá me dieron esta tarjeta con símbolos. ¿Los habías visto?

Cada símbolo representa un número en el sistema de numeración decimal: Símbolo maya

Número decimal 0 1 5

Los mayas sólo usaban , y para formar números. ¡Sí! Son números mayas.

En el sistema de numeración decimal se usan los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.


1 Anota el número decimal que

representa cada número maya.

2 Observa los números de la izquierda y contesta. • ¿Cuánto vale un punto en el primer 1 nivel?

50

202

20 • ¿Y en el segundo nivel?

• ¿Cuánto valen dos líneas en el primer 10 nivel? 20

¿Cómo hacerlo?

21

200 • ¿Y cuánto en el segundo nivel? ¿Cuánto vale un punto en el tercer nivel?

3 Completa las operaciones para saber qué número decimal representa el número maya. 3 × 400 = 1 200 9 × 20 = 180 5 × 1 = 5 1 200 + 180 + 5 = 1 385

162

Convierto números del sistema mayas al sistema decimal y viceversa.

Ya sabes que en la numeración decimal cada posición tiene un valor.

El sistema de numeración que usamos es decimal porque la base es 10.

s s s na res na ade li la ente ece d i m d c un

1 000 10 × 10 × 10

100 10 × 10

10

1

En la numeración maya ocurre lo mismo, pero de manera vertical. Nivel 4

8 000 = 20 × 20 × 20

Nivel 3

400 = 20 × 20

Nivel 2

20

Nivel 1

1

Práctica autónoma

¡Sí! Y el sistema de numeración maya es vigesimal porque la base es 20. Entonces, el sistema de numeración maya es posicional porque cada nivel tiene un valor diferente y la base del sistema es 20.

¿Cuánto vale la raya del sistema maya en el cuarto nivel?

1 Obtén el número decimal que representa cada número maya.

5 0 5 5

40 000 × 8 000 = × 400 = 0

16 000 2 × 8 000 = 400 1 × 400 = 0 × 20 = 0

100 × 20 = × 1 = 5

40 000 + 0 + 100 + 5 = 40 105

14 × 1 = 14 16 000 + 400 + 0 + 14 = 16 414

2 Dibuja los símbolos que faltan para representar en la numeración maya cada número decimal. 481

3 703

24 300

Tip Con un nivel puedes escribir los números decimales del 0 al 19, con dos niveles los del 20 al 399, con tres niveles los del 400 al 7 999 y con cuatro niveles los del 8 000 al 159 999.

163

Ten en mente que en cada nivel sólo puedes llegar hasta 19 unidades. Las unidades del 0 al 19 en maya son:

Entonces estos símbolos forman el número 18 903.

0

5

1

6

2 × 8 000 = 16 000 7 × 400 = 2 800

10

11

5 × 20 = 100

2

3

4

7

8

9

12

13

14

17

18

19

3 × 1 = 3

16 000 + 2 800 + 100 + 3 = 18 903

15

16

Resolución de problemas 1 Resuelve con un compañero las siguientes actibidades.

Escriban debajo de cada número maya el número decimal que representa.

99

106

120

200

Dibujen el resultado de las sumas.

164

Escribe en tu cuaderno el número maya que representa al año en que naciste.

+

=

+

=

+

2 Elabora en una hoja reciclada el calendario del mes actual con los números mayas y guárdala en tu portafolios.

Lección

41

¿Cómo reparto entre un número natural?

Lucas horneó 3 panes de amaranto para repartirlos entre los 8 amigos que llegarán a su casa.

Partí cada pan en 8 partes porque son 8 amigos.

1 8

Al repartir 1 pan, a cada amigo le toca

1 8

.

Este reparto es equitativo porque a todos les toca lo mismo.


1 Indica con una fracción que le tocó a

2 Analiza la fracción de la izquierda y contesta.

cada niño en cada reparto. • 3 melones entre 5 niños.

• 4 melones entre 6 niños.

• 3 melones entre 2 niños.

3 5

• ¿La cantidad repartida es el numerador o el denominador de cada fracción? El numerador.

4

• ¿Y qué representa al número de niños? El denominador.

6

• ¿En qué casos un reparto es mayor a la unidad? Cuando el numerador es mayor que el denominador.

3 2

¿Cómo hacerlo?

¿Qué fracción le toca a cada quién?

3 Observa los repartos que se hicieron, completa la tabla y contesta. Cartulinas

Cantidad

Niños

Rojas

6

7

Verdes

4

7

Amarillas

2

7

Parte que le toca a cada niño 6 7

¿Por qué el denominador de las fracciones es el mismo? Porque se reparte entre el mismo número de niños.

4 7 2 7

Represento el cociente de una división por medio de una fracción.

165

De cada pan a cada 1 amigo le tocó y 8 eran 3 panes.

1 8 primer pan

+

1 8

+

Entonces si quieres repartir 3 panes entre 8 personas a cada una 3 debes darle de un pan. 8 1 8

=

segundo pan

3 8 tercer pan

A cada amigo le toca

3 8

de un pan.

Observa que el numerador indica la cantidad de panes repartidos y el denominador corresponde al número de personas entre las que se hizo el reparto.

Al juntar lo que les toca de 3 cada pan se forma de 8 un pan.

Práctica autónoma

¿Cómo represento un reparto como fracción?

1 Observa cuántas escenografías hizo cada equipo con los metros de pellón que recibieron. Calcula cuántos metros mide cada escenografía. Equipo

Metros de pellón

Escenografías

1

11

4

2

11

3

Medida de cada escenografía 11 4 11 3

de metro de metro

2 Completa la tabla con los datos del siguiente párrafo. Después contesta.

Con 8 m de listón rojo hice 10 moños iguales, con 5 m de listón morado elaboré 4 moños iguales y con 4 m de listón verde hice 6 moños iguales. No sobró listón de ningún color.

Tip Si el denominador es menor que el numerador, entonces la fracción es mayor que 1.

166

Color de listón

Metros

Moños

Rojo

8

10

Morado

5

4

Verde

4

6

Cantidad de listón por moño 8 10 5 4 4 6

de metro de metro de metro

• ¿De qué color son los moños más pequeños? Verde • ¿Qué moños se hicieron con más de 1 m de listón? Los morados

Observa que si 3 panes se dividen entre 6 personas la parte que le toca a cada una es más grande que si divides entre 8 personas.

Para la próxima reunión haré otra vez 3 panes, aunque sólo vendrán 6 amigos.

3 panes entre 8 personas

1 6

+

1 6

+

1 6

=

3

panes

6

personas A cada uno le 3 toca de un pan. 8

Al juntar lo que les toca de 3 de un pan. cada pan se forma 6

3 panes entre 6 personas

A cada uno le 3 toca de un pan. 6

Resolución de problemas 1 Resuelve las siguientes actividades con un compañero. Observen qué comprará cada equipo para el convivio de fin de año y completen las fracciones de la tabla. Consideren que los intengrantes de cada equipo pondrán la misma cantidad de dinero. Equipo

Integrantes

Les tocó comprar

A

7

3 pasteles

B

6

4 pizzas

C

5

2 gelatinas

Cada integrante pondrá… 3 7 4 6 2 5

del precio de un pastel del precio de una pizza del precio de una gelatina

En una fiesta repartieron 6 tartas en porciones del mismo tamaño. Si a cada invitado le tocó

6

8 invitados había en la fiesta? Pregunta a un adulto que viva contigo qué procedimiento usa para repartir un pastel o una gelatina.

de un tarta, ¿cuántos Ocho.

2 Inventa una situación de reparto en la que el resultado sea una fracción y escríbela en una hoja reciclada. Usa para representar la fracción. Guarda la hoja en tu portafolios.

167

Lección

42

¿Qué es una sucesión geométrica?

En un partido de futbol regalarán playeras a los aficionados que tengan boletos con alguno de los números de la siguiente sucesión.

Para saber si ganaste debes revisar si 1 701 es un número de la sucesión.

7, 21, 63, 189 …

Observa que cada término de esta sucesión se obtiene multiplicando por 3 al término anterior.

Mi boleto es el 1 701. ¿Gané una playera?

7, 21, 63, 189 … × 3 ×3 × 3


1 Completa cada una de las

2 Observa las sucesiones de la izquierda y

sucesiones geométricas.

contesta.

32 , 64, 128, 256 ,… • 8, 16,

• ¿Cómo puedes calcular la razón de la primera sucesión? Dividiendo 16 entre 8. • ¿Qué número debes multiplicar por 16 para obtener el siguiente término? 2

12 , 48, 192, 768, 3 072 ,… • 3,

• ¿Cuál es la razón de la segunda 4 sucesión?

¿Cómo hacerlo?

¿Qué cumple una sucesión geométrica?

3 Escribe la razón de cada sucesión geométrica. • 9, 18, 36, 72,…

• 4, 12, 36, 108,…

2 Razón de la sucesión:

3 Razón de la sucesión:

4 Observa la sucesión geométrica y responde. 4, 20, 100, 500, 2 500,... 5 • ¿Cuál es la razón de la sucesión? 4 • ¿Cuál es el primer término de la sucesión? 2 500 • ¿Cuál es el sexto término de la sucesión?

168

Identifico la regla de sucesiones geométricas para continuarlas.

En una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando el término anterior por el mismo número. A este número se le llama razón.

¡Entonces el siguiente número de la sucesión es 567!

7, 21, 63, 189, … × 3 ×3 × 3

7, 21, 63, 189, 567… La razón de esta sucesión es 3 y sus elementos son 7, 21, 63 y 189.

Práctica autónoma

× 3 El número 567 se obtuvo multiplicando el último término que era 189 por la razón que es 3.

¿Cómo se obtiene la razón de una progresión geométrica?

Tip

1 Completa cada sucesión e indica cuál es la razón. 150 , 750, • 6, 30,

• 7 , 28, 112,

3 750 , 18 750,…

5 Razón:

7 168 ,… Razón: 4 448 , 1 792,

Para conocer la razón de la sucesión del inciso b) divide 112 entre 28.

2 Escribe los siguientes cinco términos de cada sucesión. En ambas sucesiones la razón debe ser 6. Puedes usar tu calculadora. • 4,

144 , 864, 5 184 , 31 104 ,… 24 ,

• 3,

108, 648, 3 888 , 23 328 ,… 18 ,

3 Identificas la razón de la siguiente sucesión geométrica y dibuja el cuarto término.

4 Contesta las preguntas acerca de la siguiente sucesión de figuras.

5 • ¿Cuál es la razón de la sucesión? 625 • ¿Cuántos cuadrados formarán el quinto término de la sucesión?

169

¡Sí gané una playera! Mi boleto 1 707 sí pertenece a la sucesión!

7, 21, 63, 189, 567, 1 707 … × 3 La regularidad de esta sucesión es: el primer término es 7 y los siguientes términos se obtienen multiplicando por 3.

Observa que los boletos ganadores hubieran sido otros si en lugar de comenzar en 7 la sucesión iniciara en 5. 5, 15, 45, 135, 405, 1 215…

En esta sucesión la razón también es 3, pero el primer término es 5.

Resolución de problemas 1 Lee la situación y haz lo que te indican.

En el festival se rifará primero una patineta y luego una bicicleta. Cuando se obtenga el número ganador de la patineta se formará una sucesión geométrica que empiece en ese número y con una razón de 3. Los tres elementos de la sucesión que van después del número ganador serán los boletos que participen en la rifa de la bicicleta.

• Escribe la sucesión que harán si el boleto ganador de la patineta es 006: Pide a un adulto que te ayude a determinar el número de picos siguiente figura de esta sucesión.

018 , 054 , 162 ,… 006,

• Anota cuál sería la sucesión si el boleto ganador también es 006 pero la razón 5: 030 , 150 , 750 ,… 006,

• Supón que en la segunda sucesión el quinto término recibe un 3 750 premio, ¿a qué número le corresponde?

2 Inventa una sucesión geométrica de figuras en una hoja reciclada; sólo dibuja 170

los cuatro primeros elementos de la sucesión. Anota cuál es la razón de la sucesión y rodea el primer elemento. Guarda la hoja en tu portafolios.

Lección

43

¿Cómo multiplico un número natural por uno decimal?

Andrés compró para una fiesta 7 botellas de jugo con 1.75 litros cada una. Si vació todas las botellas en un contenedor, ¿qué cantidad de jugo hay en el contenedor?

Para saber qué cantidad de jugo hay en el contenedor debo sumar lo que había en las botellas.

1.75 1.75 1.75 + 1.75 1.75 1.75 1.75

Cuando los sumandos se repiten se dice que es una suma iterada.


2 Observa la multiplicación de la izquierda y

1 Resuelve la multiplicación que

resuelve el siguiente problema.

contesta.

En cada capa el sastre usó 1.12 m de listón. Si hizo 12 capas, ¿cuántos metros de listón usó en total?

• ¿Cuántas cifras decimales tiene el

1.12 13.44 metros. Usó × 12

224 + 1120 13.44

resultado de la multiplicación?

2

• ¿Cuántas cifras decimales debe tener el 2 resultado de 3.12 × 15? • ¿Cómo multiplicas un número natural por uno decimal? Se opera de manera normal, sólo se agrega el punto al resultado.

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo convierto la suma en multiplicación?

3 Escribe cada suma como una multiplicación y resuélvela. 3.7 3.7 + 3.7 3.7 14. 8

3.7 4 × 00 1 4 .8

25.6 25.6 25.6 + 25.6 25.6 25.6 1 5 3 .6

89.16 + 89.16 89.16 25.6 6 × 00 153.6

267.48

Resuelvo multiplicaciones de un número natural por uno decimal.

89.16 × 00 3 267.48

171

Para multiplicar un número decimal por uno natural haz la operación como si el punto decimal no estuviera.

Recuerda que una suma iterada se representa con una multiplicación.

1.75 × 7

1.75 × 7 1225

1.75 1.75 1.75 + 1.75 1.75 1.75 1.75

esta suma es lo mismo que

Luego coloca el punto decimal en el resultado. La cantidad de cifras decimales es igual en el resultado que en el número decimal.

1.75 × 7

Práctica autónoma

1.75 × 7

2 cifras

12.25

2 cifras

¿Cuándo puedes simplificar una suma?

1 Observa la tabla y completa la multiplicación que sirve para calcular cuánto dinero se obtendría si se venden todas las piezas de cada prenda. Anota el resultado de cada multiplicación y súmalos. Producto

Cantidad

Costo

Multiplicación

Camisetas

5

$98.70

98.70 ×

5

493.50

249.40 ×

4

997.60

80.55

10

805.50

Blusas

4

$249.40

Pañoletas

10

$80.55

×

Resultado

Total: $2 296.60

2 Calcula cuántos centímetros de cinta brillante se necesitan para decorar el contorno de cada figura. 35.8 cm

45.8 cm

12.3 cm

35.8 107.4 cm × 3 =

45.8 183.2 cm × 4 =

12.3 × 12 147.6 cm =

Tip

3 Resuelve las multiplicaciones.

172

26.45 × 10

5.7 × 10

3.78 × 100

14.08 × 100

264. 5

5 7 .0

378.0

1408.0

Si multiplicas por 10 puedes recorrer el punto un lugar hacia la derecha para obtener el resultado. Al multiplicar por 100 recorres el punto dos lugares.

Entonces con 25 botellas de 1.75 litros cada una, se juntan 43.75 litros de jugo.

Multiplica 25 por 1.75 para calcular la cantidad de jugo que hay en 25 botellas. 1.75 × 25

1.75 × 25

2 cifras

875

43.75

2 cifras

+ 3500 4375

Resolución de problemas 1 Lee con un compañero cada situación y resuelvan los problemas. En cada caso deben anotar todas tus operaciones

e ha observado que la planta Hesperoyucca Whipplei puede S crecer hasta 26.43 cm por día. • ¿Cuántos centímetros puede crecer esta planta en 7 días? 185.01 cm 26.43 × 7 185.01 • ¿Cuántos centímetros puede crecer esta planta en 25 días? 660.75 cm 26.43 × 25 13215 + 52860

660.75 En una aerolínea cada pasajero tiene permitido 3 maletas que juntas pesen 45 kg y si se pasa del peso hay que pagar $170 por cada kg extra. Arturo acaba de pesar las tres maletas que llevará, cada una marcó 13.5 kg. • ¿Arturo tendrá que pagar extra? ¿Por qué? No, porque las tres maletas juntas pesan 40.5 kg.

13.5 × 3

Investiga en internet cuántos litros hay en un galón y calcula en tu cuaderno cuántos litros hay en 3, 5 y 10 galones.

40.5

2 Inventa en una hoja reciclada un problema que se resuelva

multiplicando 7.8 por 5 y resuélvelo. Guarda la hoja en tu portafolios.

173

Lección

44

¿Círculo o circunferencia? Observa que primero debes trazar la circunferencia amarilla.

Jugaré stop con mis amigos, pero no sé cómo trazar las curvas amarilla y azul.

Gr ec

Pe

ia

rú

Cuba

a añ p Es

Fra n

M éx ic o

cia

Stop

Una circunferencia es una línea curva formada por puntos que están a la misma distancia del centro.

El punto negro es el centro.


1 Traza el diámetro y el radio de la circunferencia.

2 Contesta las preguntas a partir de los trazos que hiciste. • ¿Cuánto mide el diámetro? • ¿Cuánto mide el radio?

4 cm 2 cm

• ¿Con cuántos radios se forma un 2 radios diámetro? • ¿Qué nombre recibe la línea verde? Cuerda

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo se traza una circunferencia?

3 Usa tu compás para trazar una circunferencia a partir de cada punto azul, cuyos radios sean las líneas rojas. Anota la medida de cada diámetro.

174

4 cm • Diámetro: Indentifico y trazo algunos de los elementos de una circunferencia.

3 cm • Diámetro:

Un radio es cualquier línea recta que une un punto de la circunferencia con su centro.

Además del centro hay otros elementos que debes conocer de una circunferencia. Cuerda

Diámetro

Un diámetro es cualquier línea recta que une dos puntos de la circunferencia. Esta línea debe pasar por el centro.

Centro Circunferencia o perímetro

Una cuerda es cualquier línea recta que une dos puntos de la circunferencia. Esta línea puede o no pasar por el centro.

Radio Círculo

Un círculo es la superficie que queda delimitada por una circunferencia. Así que el perímetro de un círculo es la medida de la circunferencia.

¡Observa que círculo y circunferencia no son lo mismo!

Práctica autónoma

¿Todas las cuerdas son diámetros?

1 Traza las circunferencias que pasen por los puntos rojos y todas las cuerdas uniendo los

puntos rojos de cada caso. Escribe el total de cuerdas que trazaste y cuántas son diámetros.

16 Cuerdas: 3 Diámetros:

10 Cuerdas: 0 Diámetros:

2 Observa los puntos de la figura y completa las oraciones. M y • El segmento que une los puntos es un diámetro.

K

• El segmento que es cuerda y no es diámetro el segmento GB . es • Para formar un radio se unió el punto M con A . el punto A se formó un radio. • Al unir los puntos V y

M

G

Tip

B V

A

La medida del diámetro siempre es el doble que la medida del radio.

K

175

Para trazar la circunferencia azul del stop puedes usar un hilo que mida 100 cm. Entonces puedo trazar una circunferencia de 25 cm de radio y otra de 100 cm.

100 cm

Uno de tus amigos puede sujetar un extremo del hilo mientras tú giras alrededor estirando el hilo y trazando la circunferencia.

25 cm

Resolución de problemas 1 Lee cada situación y contesta la preguntas. n un jardín se sembaron 6 pinos pequeños alrededor de un árbol muy E viejo. Cada pino está a 4 m del árbol viejo. • Imagina la circuferencia que pasa por los 6 pinos y con centro en el 4m árbol viejo. ¿Cuánto mide el radio? 8m • ¿Cuánto mide su diámetro?

ara colocar la cerradura de una puerta, el carpintero quitó un trozo de P madera circular que tiene 6 cm de diámetro. • ¿Cuál es el radio del hoyo que se formó al quitar el trozo de madera? 3 cm • ¿El trozo de madera es un círculo o una circunferencia? Es un círculo

Busca en casa cinco objetos circulares en los que aparezca marcado el centro, radio o diámetro. Anota el nombre de los objetos en tu cuaderno.

176

2 Traza en una hoja reciclada una circunferencia. Luego traza con azul un radio y con verde una cuerda. Escribe el nombre de cada una de las líneas que trazaste y guarda la hoja en tu portafolios.

Lección

45

¿Cómo se calcula el perímetro de un círculo? Cada mantel es un círculo y su contorno es una circunfencia.

Manuel tiene que decorar con encaje el contorno de cinco manteles circulares. El diámetro de cada uno es de 120 cm. ¿El mantel es un círculo o una ¿Cuánto encaje circunferencia? necesito para un

Observa que el perímetro de cada mantel es igual a la longitud de la circunferencia.

mantel?

Como el encaje va en el contorno de cada mantel, entonces la cantidad de encaje que Manuel necesita es igual al perímetro del mantel.


1 Calcula la longitud de cada

2 Contesta las preguntas a partir de las

circunferencia.

diámetro: 8 cm

radio: 2.5 cm

circunferencias de la izquierda. • ¿Qué fórmula usaste para calcular la longitud de la circunferencia verde? perímetro = d × π • ¿Cuál es el diámetro de la segunda 5 cm circunferencia?

longitud:

25.12 cm

longitud: 15.7 cm

¿Cómo hacerlo?

¿Qué fórmula se usa para calcular el perímetro?

3 Traza en el espacio de la derecha una circunferencia de 2 cm de radio y coloréalo de azul.

4 Calcula el diámetro y el perímetro del círculo. 4 cm • Diámetro: 12.56 cm • Perímetro: Utilizo la fórmula para calcular la longitud de una circunferencia.

177

Para calcular el perímetro de un círculo se usa la siguiente fórmula. perímetro = d × π

Es importante que sepas que π es el número de veces que cabe el diámetro en la circunferencia. Diámetro

Diámetro uno

Donde d es la medida del diámetro y π es el número Pi.

=

El valor de π es un número con muchas cifras decimales. Observa algunas de esas cifras: π = 3.1415926535897932… Pero se considera π = 3.14 para facilitar los cálculos.

Práctica autónoma

Diámetro dos Diámetro tres Fracción de diámetro

¡El diámetro cabe 3.1416 veces en la circunferencia!

¿Qué significa el número Pi?

1 Completa la siguiente tabla a partir de la medida del radio de cada círculo. Radio Diámetro

4 cm 8 cm

7.5 cm 15 cm

10 cm 20 cm

12.5 cm 25 cm

15 cm 30 cm

Perímetro

25.12 cm

47.1 cm

62.8 cm

78.5 cm

94.2 cm

2 Traza en el espacio un segmento que mida 15.7 cm.

3 Traza una circunferencia con longitud igual a 15.7 cm y que su centro sea el punto negro de abajo. Anota el radio y el diámetro.

Tip La longitud de la circunferencia se obtiene multiplicando el diámetro por Pi. Entonces el diámetro se obtiene dividiendo la longitud de la circunferencia entre π.

178

5 cm Diámetro: 2.5 cm Radio:

Como Manuel tiene que decorar cinco manteles, entonces sólo debes multiplicar por 5 para saber cuánto encaje necesita en total.

Entonces la cantidad de encaje que Manuel necesita en un mantel se calcula así: perímetro = d × π

5 × 376.8 = 1 884 perímetro = 120 × 3.14 Para cinco manteles necesitaré 1 884 cm de encaje.

perímetro = 376.8 Entonces necesito 376.8 cm de encaje para decorar el contorno de un mantel de 120 cm de diámetro.

También puedes expresar esta cantidad de encaje en metros: 18.84 m de encaje

Resolución de problemas 1 Lee la siguiente situación y usa tu calculadora para calcular las respuestas de las preguntas.

Alrededor de una glorieta se colocará una cerca para evitar el paso de personas mientras se hacen algunas remodelaciones. Uno de los trabajadores tomó la medida desde el centro hasta la orilla de la glorieta y obtuvo 15 m. • ¿Cuánto mide el radio de la glorieta? 15 m • ¿Y cuánto mide su diámetro?

30 m

• ¿Cuántos metros de cerca se usarán para 94.2 m rodear la glorieta? • Si en otra glorieta se usaron 109.9 m de cerca para rodearla, ¿cuál es el radio de 17.5 m esa glorieta?

2 Ingresa a www.vitutor.com/geo/eso/ac_2e.html y haz los ejercicios que ahí aparecen. Da clic en el botón de corregir para saber tu puntuación y luego oprime el ícono de la impresora para poder imprimir una copia de tu trabajo. Guarda la hoja en tu portafolios.

Busca en tu casa tres objetos circulares como platos, mesas o las llantas de una bicicleta. Anota en tu cuaderno sus nombres y calcula sus perímetros.

179

Lección

46

¿Qué es un sistema de referencia? Un sistema de referencia sirve para determinar la posición de un punto u objeto en el espacio.

Para que mis alumnos supieran dónde deben ubicarse en la presentación, dibujé un sistema de referencia en el suelo.

A

B

C

D

1 2 3

Esta cuadrícula es un sistema de referencia formado por filas y columnas.

4 Para nombrar las columnas se usaron letras y para referirse a las filas se usaron números.


1 Dibuja un círculo en la posición B2 y un cuadrado en A4. A

B

C

1

2 Observa la cuadrícula de la izquierda y contesta. • ¿Qué figura está en la columna C y Una estrella fila 1? • ¿Qué figuras están en la columna A?

2

El cuadrado y el triángulo

• Si el triángulo se recorre dos lugares a la derecha, ¿en qué posición queda? C3

3

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo ubico una figura en una cuadrícula?

3 Completa las oraciones a partir de la ubicación de los objetos en la cuadrícula. 4

C 4 . • Las maracas están en la columna y la fila

3

• En la posición B2 se encuentra la

pelota

.

2

• La posición de la raqueta es

C1

.

1

A • El tambor está en la columna y la fila

A

180

B

C

1

.

patineta • En la posición B3 se encuentra la .

Identifico la posición de un objeto usando un sistema de referencia.

La ubicación de los otros alumnos es:

En la posición D2 se ubicará Karla con el hula-hula.

A2 – Sara saltando la cuerda B1 – Raúl dominando un balón de futbol C4 – Omar girando un balón de basquetbol A

A

B

C

1

D

1

2 aro

2

D2 indica: columna D y fila 2.

B

C

Balón cuerda

aro

3

3

4

4

Práctica autónoma

D

Balón

¿Por qué se identifican de diferente manera las filas y las columnas?

1 Observa el boleto de cada niño para el teatro y escribe la inicial del nombre de cada niño en la butaca que le toca. Elías

Lorenzo

E5

C1

1

2

3

A

B3

4

5 R

6

Ángeles

E2

Rosalba

A5

Tip Observa que en este teatro primero se pone la fila y luego la columna.

J

B C

José

L

D E

A

E

Escenario

2 Contesta las preguntas. • ¿Quién está en la misma columna que Elías? Rosalba. • ¿Y quién está en la misma fila que Elías? Ángeles. • ¿Cuántos lugares debe moverse Ángeles para quedar junto a Elías? 2 lugares a la derecha.

181

Además, usaré un sistema de referencia para los boletos de entrada. Así las personas que asistan a la presentación sabrán dónde sentarse.

A B Observa que las sillas para la presentación se acomodarán en 7 columnas y se formarán filas desde la A hasta la F.

C D E F 1

2

3

4

5

6

7

El punto rojo es la ubicación del boleto.

Resolución de problemas 1 Lean en equipo la siguiente situación y contesten. Carolina y Ricardo están jugando batalla naval. Para hundir el barco azul, Ricardo dijo las posiciones D3 y E3 y para hundir el barco rojo dijo las casillas A2 y B2. Tablero de Carolina A

B

C

D

E

F

G

H

I

1 2 3 4 5 6 7 8 Pregunta a varios adultos en qué lugares han recibido boletos donde los asientos estén enumerados. Anota las respuestas en tu cuaderno.

9 No • ¿Ricardo logró hundir el barco azul? Sí • ¿Y logró hundir el barco rojo?

• ¿Qué casillas debe decir para hundir el barco anaranjado?

G8, H8 y I8

2 Ingresa a una hoja de cálculo en una computadora y da clic sobre una celda, identifica

182

en qué columna y en qué fila se encuentra. Explica en una hoja reciclada cómo funciona el sistema de referencia de este programa de computadora y guarda la hoja en tu portafolios.

Lección

47

¿Qué es el porcentaje? La arquitecta diseñó una tienda departamental. Observa que la zona de deportes es más pequeña que la zona de caballeros.

Toda la tienda departamental es 1 unidad, es decir, el cien por ciento: 100%. Cajas

Caballeros

Electrónica

Niños y niñas

Damas

Deportes


1 Escribe qué porcentaje de cada figura

2 Contesta las preguntas a partir de las

está coloreada.

figuras de la izquierda. • ¿Cuántos cuadritos de la figura café 37 están coloreados? • ¿Cuántos cuadritos de la figura azul 75 están coloreados?

37 %

• ¿Cuántos cuadritos se tendrían que

75 %

colorear para representar el 28%? 28

¿Cómo hacerlo?

¿Cómo se puede representar un porcentaje?

3 Colorea en cada figura los cuadritos necesarios para representar el porcentaje indicado. 25%

40%

Calculo porcentajes usando la expresión n de cada 100.

85%

183

El porcentaje o tanto por ciento son las unidades que se toman de cada cien. El símbolo de porcentaje es %. Cajas 10%

Caballeros 20%

Electrónica 9%

Niños y niñas 22%

Damas 25%

Deportes 14%

Al sumar los porcentajes de todas las zonas se obtiene el 100%.

Práctica autónoma

25 de 100 cuadritos son de la zona de damas, por eso es el 25%.

¿Cómo se escribe el tanto por ciento?

1 Completa la siguiente tabla. Porcentaje

Se lee…

Número decimal

58%

Cincuenta y ocho por ciento

0.58

23%

Veintitrés por ciento

0.23

19%

Diecinueve por ciento

0.19

Tip Para simplificar una fracción hay que dividir el numerador y el denominador entre el mismo número.

Fracción decimal 58 100 23 100 19 100

2 Escribe cada porcentaje como fracción y simplifícala. • 75% =

75

100

=

3

4

25% =

25

100

=

1

4

40 1 2 40% = = 5 100 5 100 50 1 4 80 80% = • 50% = = = 100 2 100 5

• 20% =

20

=

3 Completa las oraciones para calcular los porcentajes. 2.5 2.5 porque 50 × 0.05 = • 5% de 50 es 125 125 porque 500 × 0.25 = • 25% de 500 es

184

300 porque 1 000 × 0.30 = 300 • 30% de 1 000 es

El porcentaje puede representarse de diferentes maneras: 25 de cada 100 Porcentaje

25%

Fracción

Número decimal

¡Y mira cómo calcular el porcentaje de una cantidad!

25 100

0.25

Para calcular el 25% hay que multiplicar la cantidad por 0.25. 25% de 300 es 75 porque 300 × 0.25 = 75. 25% de 160 es 40 porque 160 × 0.25 = 40.

Resolución de problemas 1 Lee la siguiente información acerca de una biblioteca.

Llegaron 2 500 libros a la biblioteca de una escuela. Completa la tabla calculando cuántos libros llegaron de cada tema. Tema

Porcentaje

Libros

Cuentos

26%

650

Poesía

15%

375

Historia

18%

450

Enciclopedias

13%

325

Ciencias

28%

700

En otra escuela se entregó el mismo porcentaje de libros de cada tema pero en lugar 1 120 de 2 500 libros fueron 4 000. ¿Cuántos libros eran de Ciencias? Felipe hizo un dibujo en una cuadrícula de 300 cuadritos. Coloreó 20% de cuadritos de rojo, 30% de azul y 35% de amarillo. • ¿Cuántos cuadritos pintó de cada color? 60 rojos, 90 azules y 105 amarillos.

2 Escribe en una hoja reciclada qué porcentaje corresponde a la expresión “40 de cada 100” y cuál a la expresión “4 de cada 100”. Después expresa los porcentajes como número decimal y como fracción decimal. Cuando termines guarda la hoja en tu portafolios.

Pregunta a los adultos que viven contigo cuáles son los porcentajes de descuento más comunes en las tiendas y anótalos en tu cuaderno.

185

Lección

48

¿Qué fracción representa un porcentaje?

Ximena comprará varias cosas en la papelería Colopapel porque hay una promoción.

El doble de 100 es 200. Así que por $200 me darán el doble de $5.

Compras

Dinero electrónico

$100

$5

$200

$10

$400

$20

$500

$25


1 Completa las equivalencias. Sigue el ejemplo.

4 100

• 4 partes de 100 = • 8 partes de 100 =

8 100

• 16 partes de 100 =

= 4% = 8 %

16 100

= 16 %

¿Cómo hacerlo?

2 Observa las equivalencias de la izquierda y contesta lo siguiente. • ¿A qué porcentaje corresponde la frase 8% “16 partes de 200”? • ¿Con qué porcentaje se represena la 16% oración “8 partes de 50”? • ¿A qué porcentaje corresponde la frase 4% “16 partes de 400”? ¿Cuál es el porcentaje de cada fracción?

3 Observa qué parte está coloreada en cada círculo y calcula qué porcentaje representa.

Fracción coloreada: Fracción equivalente: 50% Porcentaje:

186

1 2

Fracción coloreada: 50

100

Fracción equivalente: 20% Porcentaje:

Represento porcentajes como fracción.

1 5

Fracción coloreada: 20 100

Fracción equivalente: 60% Porcentaje:

3 5

60 100

Entonces en la papelería Colopapel dan como dinero electrónico el 5% de la compra. Recuerda que 5 de 100 se expresa como 5% y para calcular el 5% de 200, 400 o 500 hay que multiplicar por 0.05.

Compras

Dinero electrónico

$100

$5

$200

$10

$400

$20

$500

$25

También puedes calcular 5% de 400: 400 × 0.05 = 20

Práctica autónoma

Por $400 te dan $20 porque 400 es 4 veces 100 y 20 es 4 veces 5.

¿Cómo calculas el porcentaje de una cantidad?

1 Observa el precio de cada accesorio y el descuento que se aplica al comprarlo. Luego completa la tabla. $950.00

$420.00

$510.00

$670.00

50% de descuento

10% de descuento

20% de descuento

40% de descuento

Bolsa

Precio original $950

Collar

$420

$42

$378

Lentes

$510

$102

$408

Tenis

$670

$268

$402

Accesorio

Cantidad de dinero Precio final que se descuenta $475 $475

Tip A cada porcentaje de descuento le corresponde un número decimal. Por ejemplo, 0.40 le corresponde a 40%.

2 Contesta las preguntas. • ¿Cómo calculaste las cantidades de dinero que se descuentan en los accesorios? Multipliqué el precio original por el número decimal que le corresponde a cada porcentaje.

• ¿Y cómo calculaste los precios finales? Resté la cantidad de descuento al precio original.

187

Después de ver varias cosas en la papelería, 1 decidí gastar de mi dinero en plumones y 4 3 de mi dinero en estampas. 4 1

Plumones Estampas

4 3 4

es equivalente a

es equivalente a

25 100 75 100

que es 25%.

que es 75%.

Entonces Ximena gastó el 25% de su dinero en plumones y el 75% en estampas.

Resolución de problemas 1 Resuelvan en parejas la siguiente actividad.

Observa la siguiente gráfica donde se indica cuáles son los tres tipos de energía más utilizados en el mundo. Completa la tabla a partir de la gráfica. petróleo gas natural carbón

Traza en tu cuaderno dos círculos. Divide el primero en décimos y 4 colorea . El segundo divídelo en 10 6 . Escribe debajo octavos y colorea 8 de cada círculo el porcentaje que está coloreado.

Tipo de energía

Fracción

Número decimal

Porcentaje

Petróleo

½

0.50

50%

Carbón

¼

0.25

25%

Gas natural

¼

0.25

25%

2 Ingresa a http://cuentame.inegi.org.mx/sabiasque/pequeno/ y lee todas las diapositivas

188

para que aprendas más sobre México. Usa la informacion de las dipositivas para calcular qué porcentaje de los habitantes son hombres, qué porcentaje son mujeres, qué porcetaje estudia y qué porcentaje trabaja. Anota estos porcentajes en una hoja reciclada y guárdala en tu portafolios.

Lección

49

¿Cómo se calcula el promedio?

Si Ignacio obtiene al menos 9.5 de promedio en sus calficiaciones de este año, entonces sus papás lo llevarán a su parque de diversiones favorito.

Estas son las calificaciones de Ignacio: Español: 9.4 Matemáticas: 9.5 Ciencias naturales: 9.4 Historia: 9.6 Geografía: 9.4 Educación Física: 10

¿Cómo se calcula el promedio de las calificaciones de Ignacio?


2 Analiza el promedio y la moda del

1 Observa el conjunto de datos y contesta las preguntas.

conjunto. Luego contesta.

5, 3, 3, 9, 7, 5, 3

4, 4, 20, 5, 5, 4, 4, 20

• ¿Cuántos datos tiene el conjunto? 7

35 • ¿Cuánto suman los datos?

Promedio: 8.25

Moda: 4

• ¿Qué valor representa mejor al conjunto, el promedio o la moda? ¿Por qué? La moda porque es más cercana a la mayoría de los datos.

5 • ¿Cuál es el promedio? 3 • ¿Cuál es la moda?

¿Cómo hacerlo?

¿Cuál es la diferencia entre moda y promedio?

3 Calcula el promedio y la moda de los los puntajes que Miriam obtuvo en su juego de minigolf. Juego

1

2

3

4

5

6

7

8

Puntos

52

56

49

51

54

52

60

58

• ¿Cuál es el promedio de los puntajes?

54 puntos

• Si hubiera anotado 50 puntos en el octavo juego, 53 puntos ¿cuál sería el promedio de sus puntajes? • ¿Cuál es la moda de los puntajes?

52 puntos

Calculo el promedio y determino si es representativo del conjunto de datos.

189

La media o promedio de un conjunto se obtiene sumando todos sus datos y dividiendo el resultado entre la cantidad de datos.

El promedio de Ignacio se calcula así:

Conjunto de calificaciones

Luego divides 57.3 ÷ 6 = 9.55

9.4 9.5 9.4 9.6 9.4 10

Primero sumas 9.4 + 9.5 + 9.4 + 9.6 + 9.4 + 10 = 57.3

Los datos son: 9.4, 9.5, 9.4, 9.6, 9.4 y 10.

¡Sí iré al parque¡ Mi promedio es 9.55.

La cantidad de datos es: 6

Práctica autónoma

¿Siempre el valor del promedio es igual a un número del conjunto?

1 Observa las temperaturas de los siete días más calurosos del verano pasado en una ciudad. Calcula el promedio y la moda de las temperaturas. Día

1

2

3

4

5

6

7

Temperatura

34 °C

37 °C

36 °C

35 °C

39 °C

34 °C

38 °C

36.1 °C Promedio:

34 °C Moda:

Tip 2 Calcula la moda y el promedio del siguiente conjunto de datos.

Recuerda que es importante contar el número de datos para poder calcular el promedio.

8, 8, 10, 17, 17, 17, 19, 26, 26, 28, 28, 28, 28 20 Promedio:

28 Moda:

barras indican cuántas veces se repiten los datos del conjunto anterior. Después contesta la pregunta. • ¿El dato que tiene la barra más alta es la moda o el promedio? La moda

190

Repeticiones

3 Observa la gráfica de la derecha, en las

4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

8

10

17

19

Número

26

28

El promedio y la moda se pueden usar como el valor que representa a un conjunto de datos.

¡Observa que la moda de mis calificaciones fue 9.4!

Conjunto de calificaciones 9.4 9.5 9.4 9.6 9.4 10

9.4, 9.5, 9.4, 9.6, 9.4, 10 Recuerda que la moda es el valor que más se repite en el conjunto de datos.

9.55 puede representar al conjunto.

La calificación que más veces aparece es 9.4.

9.4 también puede representar al conjunto.

Resolución de problemas 1 Analiza los datos de la tabla y contesta las preguntas. Población de entre 20 y 24 años en algunos estados de la República según el censo de Inegi del 2010 Estado

Población

Aguascalientes

106 305

Campeche

76 388

Colima

60 070

Chihuahua

285 872

Hidalgo

226 170

• ¿Cuál es el promedio de habitantes de entre 20 y 24 años en 150 961 habitantes esos cinco estados? • ¿Cuántos estados tienen menos habitantes que el promedio? Tres • ¿Cuál es la moda de la cantidad de habitantes? Todos los datos se repiten 1 vez, así que no hay moda.

Escoge cinco productos de la tienda más cercana de tu casa y calcula el promedio de los precios. Anota los datos y el promedio en tu cuaderno.

2 Ingresa a http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/ escolaridad.aspx y usa tu calculadora para calcular el promedio de grado de escolaridad en los estados que empiezan con letra C, es decir, suma los grados promedios de los estados que empiezan con C y divide el resultado entre el número de estados. Anota tus cálculos y el resultado en una hoja reciclada y guárdala en tu portafolios.

191

a+b


Expresiones con dos incógnitas Cuando se desconoce un dato puedes representar su valor con una letra. Este valor desconocido recibe el nombre de incógnita. Algunas veces en una expresión aparecen dos incógnitas, así que se usan letras distintas para representar a cada una. Cuando te pidan encontrar la solución de una expresión con dos incógnitas, lo que debes hacer es buscar los valores numéricos de las incógnitas que hacen que se cumpla la igualdad. Ejemplo: ¿Qué valores de a y b hacen cierta la igualdad?

a=4+b Aquí las incógnitas son a y b. Debes buscar un valor para a y un valor para b que hagan verdadera la igualdad.

1

Si a vale 9 y b vale 5…

Si a vale 15 y b vale 7…

a=4+b

a=4+b

9=4+5

15 = 4 + 7

9=9

15 = 11

La igualdad es verdadera.

La igualdad es falsa.

Entonces a = 9 y b = 5 son solución de la expresión.

Entonces a = 15 y b = 7 no son solución de la expresión.

Observa la tabla. En cada expresión reemplaza las incógnitas por su valor y marca sí en caso de que esos valores sean una solución o marca no en caso contrario. Valor de cada incógnita

192

a

30

b

45

c

18

x

12

y

8

z

2

a) y + z = 10 [Sí] [No] Sí

e) 40 – c = x No [Sí] [No]

i) 60 – y = b No [Sí] [No]

b) b = x + 15 [Sí] [No] No

f) c – x = 6 Sí [Sí] [No]

j) 63 = b – c No [Sí] [No]

c) b = a + 15 Sí [Sí] [No]

g) b – y = 43 No [Sí] [No]

k) a + b = 75 Sí [Sí] [No]

d) a + x = 40 No [Sí] [No]

h) b = 47 – z Sí [Sí] [No]

l) 10 – y = z [Sí] [No] Sí

a+b

2

Enlaces con el álgebra Analiza la siguiente información. El precio del boleto de adulto para el cine es $15 más caro que el de estudiante. Si a representa el precio del boleto de adulto y e corresponde al precio del boleto de estudiante, entonces puedes escribir la expresión… e + 15 = a

3

Completa la tabla de modo que la expresión anterior sea verdadera, es decir, para cada precio del boleto de adulto encuentra el valor del boleto de estudiante que le toca. Boleto adulto Boleto estudiante

4 5 6

55 40

58 43

70 55

80 65

85 70

Analiza los datos de la tabla de la derecha. Estos valores son las soluciones de una expresión. Es decir, n = 10 y m = 0 son soluciones de una expresión, así que cuando n vale 10 entonces m vale 0. Lo mismo pasa para n = 12 y m = 2.

n

m

10

0

12

2

15

5

19

9

Subraya la expresión a la que pertenecen las soluciones del ejercicio anterior. a) m =

n 10

b) m = 10 – n

c) m = n +10

d) m = n –10

Observa la siguiente expresión y encuentra cuatro soluciones, es decir, cuatro valores de q y de p que hagan verdadera la expresión. p = 2 × q Solución 1

Solución 2

Solución 3

Solución 4

R. L. p =

R. L. p =

R. L. p =

R. L. p =

R. L. q =

R. L. q =

R. L. q =

R. L. q =

193

Mis palabras matemáticas Éstas son las palabras matemáticas que aprendiste durante el bimestre.

Posicional Equitativo Sucesión Cuadrícula Promedio Suma iterada Círculo Circunferencia

1

Razón Radio Diámetro Pi Porcentaje Cuerda Sistema de referencia Moda

Escribe la palabra de arriba que completa las siguientes oraciones. A. La abuelita de Fernanda horneó tres panqués equitativa y los repartirá de manera entre sus ocho nietos. B. 5, 15, 45, 135… es una sucesión geométrica y el siguiente elemento se obtiene razón que es 3. multiplicando 135 por la C. La operación 6.1 + 6.1 + 6.1 + 6.1 = 24.4 es una porque los sumandos se repiten. D. En la circunferencia el segmento rojo es el

suma iterada

diámetro

E. El perímetro de un círculo tiene el mismo valor que la que rodea al círculo. F. El

porcentaje

circunferencia

que indica tomar 25 partes de 100 partes es el 25%.

G. Tito sumó todas sus calificaciones y dividió el resultado entre la cantidad de promedio calificaciones para obtener el H. El diámetro de un círculo cabe aproximadamente 3.14 veces en la Pi circunferencia. A esta medida se le conoce como

194

Convivo y reflexiono El círculo de Los sentimientos A medio día, en el salón de quinto grado podía escucharse: –Ay Fabiola, ya vas a quejarte de nuevo, ¿no sabes hacer otra cosa? –gritó Liz. –Tú no te metas, a ti nadie te habló –respondió Fabiola. –Ya van a empezar, ¿por qué no se callan? –dijo Rosa. –Ahí vas Rosa, para qué te metes donde no te llaman –comentó Liz. El ambiente se hacía cada vez más pesado, así que la maestra les pidió que se sentaran en círculo al centro del salón y cerraran los ojos un momento. Les dijo que recordaran cuánto tiempo hacía que se conocían, que pensaran cómo se sentirían si todo el tiempo las estuvieran ofendiendo, y que repitieran una y otra vez: “ya cállate”, “tú no te metas”, “a ti quien te habló” para que identificaran las emociones que expresaban. Cuando abrieron los ojos y miraron de frente a sus compañeros, se dieron cuenta que todos estaban cabizbajos y no podían sostener la mirada. Se hizo un gran silencio hasta que comenzó a escucharse: –Lo siento, no era mi intención ofender a nadie. –Trataré de cuidar lo que digo para no faltarle el respeto a nadie. –Me siento avergonzada de hacerlos sentir mal compañeros. Desde entonces el grupo fue cada vez más unido. Aprendió a resolver sus conflictos de manera positiva y se esforzó por demostrar en todo momento respeto por sí mismos y por los demás.

Preguntas para reflexionar. Para ti, ¿qué es el respeto? ¿Cómo puedes demostrar respeto a tus compañeros? ¿Por qué crees que existan faltas de respeto entre compañeros?

195

Bimestre

5

Ponte a prueba

La familia Ortiz comprará boletos para asistir a una obra de teatro en otra ciudad. El teatro ofrece el servicio de transporte desde el lugar donde vive la familia Ortiz hasta el teatro. Para contratarlo hay que pagar un costo extra. La señora Ortiz está muy contenta por el viaje ya que irá con sus esposo, sus dos hijas que son gemelas y tienen 10 años y su hijo de 8 años.

1 ¿Cuál es el valor del número maya que aparece en el 25 anuncio?

2 La familia Ortiz comprará 2 barras grandes de chocolate para comerlas mientras van en el camión hacia el teatro. Si las repartirán en partes iguales, ¿cuánto de una barra le tocará a cada uno?

2/5 de una barra

3 Al comprar un boleto por primera vez en este teatro, te dan una tarjeta con 50 puntos para gastar en la dulcería. Cada vez que una persona vaya al teatro, el puntaje de la tarjeta se duplica. Completa la sucesión que muestra los puntos que tiene una persona que ha ido 5 veces al teatro y que nunca ha gastado en la dulcería.

196

400 , 800 50, 100, 200,

4 Escribe como una multiplicación lo que va a pagar en total la familia Ortiz por el transporte y calcula el resultado. 77.50 15.50 5 × 77.50

5 ¿De qué color es la circunferencia que aparece en el logotipo? verde

6 Observa la circunferencia que

aparece en el logotipo. ¿Cuánto 3.8 cm mide su diámetro?

7 El boleto de la señora Ortiz indica el asiento C23 que corresponde a la fila C, número 23. Si una de las gemelas se sentará a la izquierda de la señora Ortiz y la otra a la derecha, ¿cuáles son sus asientos? C22 y C24

8 Si la señora Ortiz presenta las credenciales de estudiante de sus hijos, ¿cuál será el 320

costo final del boleto de un niño?

9 Si el señor Ortiz pagara su boleto en efectivo, ¿cuál sería el precio final de su boleto?

450

10 La familia Ortiz no obtuvo ningún descuento en el precio de las entradas, así que pagaron las tarifas normales de adulto y niño. ¿Cuánto pagaron en promedio por 440 cada boleto?

197

Glosario Lección

Página

16

67

Ángulo agudo: mide menos de 90°.

5

27

Ángulo obtuso: mide más de 90º y menos de 180º.

5

27

Ángulo recto: mide 90°,

5

27

Área del rectángulo: se calcula multiplicando la base por la altura.

27

110

Área del rombo: se calcula multiplicando sus diagonales y dividiendo el resultado entre 2.

18

75

Área del romboide: se calcula multiplicando la base por la altura.

18

75

Área del trapecio: se calcula multiplicando la suma de las dos bases por la altura y dividiendo el resultado entre 2.

28

111

Área del triángulo: se calcula multiplicando la base por la altura y dividiendo el resultado entre 2.

27

110

Arista: es la línea de intersección de dos superficies o caras de un cuerpo geométrico.

25

104

Calcular el residuo: se multiplica la parte entera del cociente por el divisor y se resta el producto al dividendo.

24

100

7

32

Cara: cada una de las superficies o figuras que forman un cuerpo geométrico.

25

104

Centésimos: es cada parte de un entero cuando se divide en 100 partes iguales..

14

62

Círculo: es la superficie que queda delimitada por una circunferencia.

44

175

Circunferencia: es una línea curva formada por puntos que están a la misma distancia del centro.

44

174

2

17

Comparar fracciones: es determinar cuál de ellas es mayor o si son iguales.

21

90

Constante de proporcionalidad: número constante que resulta de dividir dos magnitudes que se relacionan de manera directamente proporcional.

19

77

Altura de un triángulo: es el segmento perpendicular a uno de sus lados que lo une al vértice opuesto

Capacidad: es el espacio vacío de un recipiente que puede cubrirse o llenarse.

Cociente: es el resultado de una división.

198

Lección

Página

6

29

46

180

Cuerda: es cualquier línea recta que une dos puntos de la circunferencia.

44

175

Cuerpo geométrico: figura de tres dimensiones, largo, ancho y alto.

25

102

9

39

14

61

1

15

Diámetro: es una línea recta que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro.

44

175

Dividendo: es el número que se divide en una división.

2

18

Divisor: es el número que divide en una división.

2

17

Doble de una fracción: es el resultado de multiplicar una fracción por 2.

23

96

Equitativo: en un reparto es el que divide de manera proporcional la cantidad a repartir.

41

165

Escala de una gráfica: es la unidad que se adopta para representar medidas.

39

153

Escala: es la relación que existe entre las medidas de un mapa o plano y las medidas reales.

26

107

Fracción mixta: es el número formado por una fracción y un entero.

1

16

Gráfica de barras: consiste de dos ejes y de columnas que representan información de manera práctica.

39

153

8

36

Hectárea: unidad de medida agraria equivalente a 10 000 metros cuadrados.

29

114

Intervalo: en una gráfica, es la separación entre números consecutivos.

39

153

Croquis: es un dibujo sencillo en el que se representa una parte de una superficie sin muchos detalles ni grandes precisiones. Cuadrícula: es un sistema de referencia formado por filas y columnas.

Década: Periodo de tiempo equivalente a 10 años. Décimos: es cada parte de un entero cuando se divide en 10 partes iguales. Denominador común: es el denominador igual entre dos o más fracciones.

Gramo: es la unidad principal para medir la masa.

199

Lección

Página

Kilogramo: es una unidad para medir la masa que equivale a mil gramos.

8

36

Litro: es la unidad principal para medir la capacidad.

7

33

Lustro: Periodo de tiempo equivalente a 5 años.

9

39

Mapa: representa gráficamente la superficie terrestre o una parte de ella.

6

29

Medidas agrarias: unidades de medida de superficies usadas para medir terrenos o superficies muy grandes.

29

114

Metro: es la unidad principal para medir longitudes.

38

150

Metro cuadrado: es la superficie de un cuadrado que mide un metro por lado.

29

114

7

33

Mitad de una fracción: es el resultado de dividir una fracción entre 2.

23

97

Moda: es el valor que más se repite en el conjunto de datos.

49

191

Múltiplo: son las unidades derivadas de la unidad principal o base y que son mayores que ésta.

38

150

Múltiplos del metro cuadrado: son las unidades de medida de superficie derivadas del metro cuadrado y mayores que éste.

29

116

Operación inversa: es la operación que lleva al número con el que inició otra operación.

35

140

Paralelogramo: polígono de cuatro lados formado por dos pares de líneas paralelas.

18

73

Parte decimal: es la parte de un número que representa fracciones de un entero.

14

61

Perímetro: es la medida del contorno de una figura.

37

147

Pi: signo que vale aproximadamente 3.14 y representa el número de veces que cabe un diámetro en su circunferencia.

45

178

Plano: conjunto de rectas que determinan una superficie de dos dimensiones.

4

23

Polígono irregular: es el que no tiene todos sus ángulos y lados iguales.

37

147

Polígono regular: es el que tiene sus lados y ángulos iguales.

37

147

Porcentaje: indica las unidades que se toman de cada cien.

47

184

Mililitro: es la unidad para medir la capacidad que equivale a la milésima parte de un litro,

200

Lección

Página

Posicional: es el principio que indica que el valor de cada símbolo de una cantidad depende del lugar que ocupa.

40

163

Principio aditivo: en el sistema de numeración romano es la regla que indica sumar los valores colocados a la derecha.

31

129

Promedio: en un conjunto de datos es la suma todos los datos entre la cantidad de ellos.

49

189

Proporcionalidad directa: son dos cantidades que aumentan o disminuyen de igual manera.

20

80

Puntos de referencia: sirven como señal para ubicar otros puntos.

36

144

Radio: es cualquier línea recta que une un punto de la circunferencia con su centro.

44

175

Razón: en una sucesión geométrica, es el número por el que se multiplica cada término para obtener el siguiente.

42

169

Recta: grupo de puntos alineados en dos direcciones.

4

23

Rectas paralelas: rectas que nunca se cruzan y siempre se mantienen a la misma distancia.

4

24

Rectas perpendiculares: rectas que tienen un punto de intersección y entre ellas se forman 4 ángulos iguales.

4

24

Rectas secantes: son aquellas que se intersecan en un punto.

4

24

Redondeo: es el procedimiento para expresar la aproximación de un número con cierto número de decimales.

2

19

Residuo: es el número que indica lo que sobra en una división.

3

21

Retícula: conjunto de líneas o puntos que forman una plantilla.

17

70

Rombo: paralelogramo de cuatro lados iguales.

18

73

Romboide: paralelogramo con dos pares de lados paralelos.

18

73

Segmento de recta: parte de una recta que tiene dos extremos.

4

24

Semirrecta: es la parte de una recta que inicia en un punto.

5

26

Siglo: Periodo de tiempo equivalente a 100 años.

9

39

Sistema de numeración egipcio: es un sistema de numeración de base diez, no posicional que consta de siete símbolos.

32

132

Sistema de numeración romano: es el sistema que adoptaron los antiguos romanos para representar cantidades y que utiliza siete símbolos.

31

129

201

202

Lección

Página

Sistema de referencia: es el que sirve para determinar la posición de un punto u objeto en el plano.

46

180

Submúltiplo: son las unidades derivadas de la unidad principal o base y que son menores que ésta.

38

150

Submúltiplos del metro cuadrado: son las unidades de medida de superficie derivadas del metro cuadrado y menores que éste.

29

115

Sucesión: es una serie de números o figuras, llamados términos, ordenados de acuerdo con un patrón o regla.

42

168

Sucesión finita: es una sucesión con un número determinado de términos.

33

135

Sucesión infinita: es la sucesión que continúa indefinidamente.

33

135

Sucesión numérica: es una sucesión ordenada de números que cumplen una regla o patrón.

33

135

Suma iterada: es una suma de sumandos iguales.

43

171

Término: cada uno de los elementos de una sucesión.

33

135

Tiempo: es la diferencia que hay entre dos momentos,

9

38

Tonelada: es la unidad de medida que se usa para medir pesos muy grandes; equivale a 1 000 kg,

8

37

Triángulo: polígono con tres lados y tres ángulos.

16

67

Valor faltante: en dos parejas de valores que se relacionan de manera directamente proporcional, es el valor desconocido cuando se conocen los otros tres.

11

46

Valor intermedio: en una relación de variación directamente proporcional, es el valor que se busca para restarlo o sumarlo a otro valor y encontrar el desconocido..

30

117

Valor unitario: es el valor constante que se obtiene al dividir dos magnitudes que se relacionan de manera directamente proporcional.

11

46

Variación proporcional: es cuando dos magnitudes se relacionan de manera que su cociente o producto es constante.

11

45

Vértice: punto donde se unen dos lados de una figura.

16

67

Vértice de un cuerpo geométrico: son los puntos en donde dos o más aristas se encuentran.

25

104

Recortables

203

Recortable 1 1800

1600

1400

1200

1000

800

página 25

600

400

200

00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

ÓCEANO GLACIAL ÁRTICO 800

CÍRCULO POLAR ÁRTICO 60

0

400

20

0

TRÓPICO DE CANCER

ASÍA

ÓCEANO ATLÁNTICO AMÉRICA CENTRAL

00

ÓCEANO PACÍFICO

AFRÍCA

ECUADOR

200

AMÉRICA DEL SUR

ÓCEANO ÍNDICO OCEANÍA

TRÓPICO DE CAPRICORNIO 400 ÓCEANO GLACIAL ANTÁRTICO 60

0

CIRCULO POLAR ANTÁRTICO ANTÁRTIDA

204

LÍNEA INTERNACIONAL DÍA \ DATA

EUROPA AMÉRICA DEL NORTE

Recortables

205

Recortable 2

206

página 28

Recortables

207

Av. Hidalgo Av. Hidalgo Av. Revolución

Restaurante

Independencia Ángela Peralta

Independencia

Minisúper Av. Hidalgo Av. Hidalgo

Av. Hidalgo Av. Hidalgo

Av. Juárez

Ángela Peralta

Casa de Juan


Ángela Peralta

Av. Hidalgo

Av.Parque Hidalgo


Josefa Ortiz de Domínguez Ángela Peralta Ángela Peralta Ángela Peralta Josefa Ortiz de Domínguez Independencia

Independencia

Av. Juárez Av. Juárez Av. Hidalgo

Escuela

Josefa OrtizÁngela de Domínguez Peralta

Cine

Av. Juárez Av. Juárez

Av. Revolución Av. Revolución

Panadería Av. Revolución Av. Revolución

Av. Hidalgo

Av. Revolución Av. Revolución

Av. Revolución Feria Av. Revolución Av.Zapatería Revolución

Recortable 4

208

Independencia

Jardín

Independencia

Josefa Ortiz de Domínguez Independencia Josefa Ortiz de Domínguez Josefa Ortiz de Domínguez

Independencia Independencia Independencia

Av. Juárez

Ángela Peralta

Av. Juárez Av. Juárez

Av. Revolución Av. Juárez Av. Juárez

Ángela Peralta

página 30


Recortable 3

Ángela Peralta Josefa Ortiz de Domínguez

Av. Hidalgo

Ángela Peralta

Independencia


Av. Juárez

página 88

¡Yo soy un círculo!

¡Yo soy un rombo!

¡Yo soy un rectángulo!

¡Yo soy un triángulo isósceles!

¡Somos rectas perpendiculares!

¿Quién tiene cuatro lados iguales y no tiene ángulos rectos?

¿Quién tiene dos parejas de lados iguales y paralelos y ángulos rectos?

¿Quién tiene tres lados y dos de ellos iguales?

¿Quiénes son dos rectas que se cortan y forman ángulos rectos?

¿Quiénes son dos rectas que se cortan y forman ángulos rectos?

¡Yo soy un romboide!

¡Yo soy un triángulo equilátero!

¡Yo soy un ángulo!

¡Yo soy un ángulo agudo!

¡Somos rectas paralelas!

¿Quién es un triángulo con tres lados iguales?

¿Quién es una región entre dos semirrectas que parten de un mismo vértice?

¿Quién es un ángulo menor de 90 grados?

¿Quiénes son dos rectas que siempre están a la misma distancia?

¿Quién es un polígono de seis lados?

Recortables

209

Recortable 4

210

página 88

¡Yo soy un hexágono!

¡Somos rectas secantes!

¡Yo soy un triángulo escaleno!

¡Yo soy un octágono!

¡Yo soy un ángulo obtuso!

¿Quiénes son unas rectas que se cortan en un punto?

¿Quién es un triángulo que no tiene lados iguales?

¿Quién es un polígono con ocho lados?

¿Quién es un ángulo mayor de 90 grados?

¿Quién es el contorno de una superficie?

¡Yo soy el perímetro!

¡Yo soy una circunferencia!

¡Yo soy un segmento de recta!

¡Yo soy un ángulo recto!

¡Yo soy un cuadrilátero!

¿Quién es una línea curva cuyos puntos están a la misma distancia de su centro?

¿Quién es una parte de una recta con dos dos extremos?

¿Quién es un ángulo de 90 grados?

¿Quién es un polígono de cuatro lados?

¿Quién es un polígono de cinco lados?

¡Yo soy un pentágono!

¡Yo soy un diámetro!

¿Quién toca dos puntos de una circunferencia y pasa por su centro?

¿Quién es una superficie plana contenida dentro de una circunferencia?

Recortables

211

Recortable 5

212

página 103

Recortables

213

Recortable 6

214

página 160

24

550

1 008

1 900

55

3 200

320

5 500

5 050

108

2 004

18

1 800

190

32

2 400

505

3 002

109

240

7 200

1 009

302

702

720

5 005

180

2 040

49

1 080

3 020

72

204

7 002

1 090

7 020

Notas

215

Notas

216

ISBN 978-607-32-3717-8

Mi Nuevo Libro Sunrise Matematicas 5 Alumno CR

Recommend Documents