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Universidad de Playa Ancha profesores Jean Pierre Vargas Bastias y Luis Ruiz
Métrica Hiperbólica Sea H el plano medio superior de Poincaré y los puntos
y
dos puntos en el.
Sabemos que la distancia más corta entre A y B es la geodésica formada por la circunferencia de centro y radio r. Para calcular la distancia hiperbólica tenemos que:
Donde
denota la distancia hiperbólica y
la distancia Euclideana.
Además sabemos que la longitud de arco Euclideana es:
Luego tenemos que:
Sea la circunferencia de centro
Despejando
Derivando obtenemos
Entonces
y radio r, qu tiene como puntos A y B entonces:
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sea
Entonces
Luego tenemos que
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Pero
Entonces
Pero si
Se tiene que
entonces
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Pero
Entonces
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Por lo tanto si
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entonces
Ahora en el caso de que
Pero
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Como
Se tiene que
Luego
por lo tanto si
se tiene que
Por c onsiguiente la métrica hiperbolica queda definida de la siguiente forma:
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Donde el centro de la circunferencia es
y el radio es r.
