INTRODUCCIÓN Los métodos para calcular máximos y mínimos de las funciones, se pueden aplicar a la resolución de problemas prácticos. Para resorberlos hay que transformar sus enunciados en funciones y ecuaciones. Es fundamental leer con atención la letra de los problemas. Para identificar, por un lado la función maximizar o minimizar y por otro los restantes del problema que relacionan las ariables.
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS !on cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la me"or forma de hacer al#o. En muchas ocasiones a traés de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución. Entre los alores q puede tener una función $%& puede haber uno que sea el más #ran #randde y otro que se seaa el más peq equue' e'oo. ( esto stos alor alorees se les les llam lama respectiamente punto máximo y punto mínimo absolutos. )i una función continua es ascendente en un interalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relatio, aunque com*nmente se le llama solo máximo. Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto interalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto critico mínimo relatio, o simplemente mínimo. +na función puede tener uno, nin#uno o arios puntos críticos. !ura sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos
unción con un máximo un mínimo
cura con un máximo y
!ura con un mínimo mínimos y máximos
cura
La pendiente de la recta $deriada& en los puntos mínimos relatios es una recta horizontal.
tan#ente a una cura críticos máximos y cero, ya que se trata de
con
arios
En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un alor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el alor de la función es menor que en su entorno. En un punto crítico máximo relatio, al pasar la función de creciente a decreciente, su deriada pasa de positia a ne#atia. En un punto crítico mínimo relatio, la función de"a de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su deriada pasa de ne#atia a positia.
METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relatios en una función, analizaremos dos mecanismos-
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.
/btener la primera deriada. 0#ualar la primera deriada a cero y resoler la ecuación. El alor o alores obtenidos para la ariable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.
)e asi#nan alores próximos $menores y mayores respectiamente& a la ariable independiente y se sustituyen en la deriada. )e obseran los resultados1 cuando estos pasan de positios a ne#atios, se trata de un punto máximo1 si pasa de ne#atio a positio el punto crítico es mínimo.
!uando existen dos o más resultados para la ariable independiente, debe tener la precaución de utilizar alores cercanos a cada uno y a la ez distante de los demás, a fin de eitar errores al interpretar los resultados.
sustituir en la función ori#inal $%& el o los alores de la ariable independiente $2& para los cuales hubo cambio de si#no. !ada una de las pare"as de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. )e basa en que en un máximo relatio, la concaidad de una cura es hacia aba"o y en consecuencia, su deriada será ne#atia1 mientras que en un punto mínimo relatio, la concaidad es hacia arriba y la se#unda deriada es positia. Este proce!"!e#to co#s!ste e#$
!alcular la primera y se#unda deriadas 0#ualar la primera deriada a cero y resoler la ecuación. )ustituir las raíces $el alor o alores de 2& de la primera deriada en la se#unda deriada. )i el resultado es positio, hay mínimo. )i la se#unda deriada resulta ne#atia, hay un máximo. )i el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo. )ustituir los alores de las raíces de la primera deriada en la función ori#inal, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.
APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS Existen muchos campos del conocimiento $aritmética, #eometría, economía, física, biolo#ía, industria, etc.& donde se presentan problemas que se resuelen aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial. Para resoler los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lu#ar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos alores máximos o mínimos se desean obtener. )i la expresión matemática contiene arias ariables, deberá plantearse en función de una sola1 las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las ariables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola ariable independiente. +na ez que se ten#a la función en la forma %3f$2&, se aplican las normas ya estudiadas. En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales alores críticos dan máximos o mínimos1 y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo. Es coneniente construir la #ráfica que represente la función en cuestión, a fin de erificar los resultados obtenidos.
C%LCULO$ M%XIMO Y M&NIMO La determinación de los alores máximos y mínimos de una función, es uno de los lo#ros de la #ran potencia que tiene el !álculo. 4omemos f$x& como una función de
x. El alor de x para el cual la deriada de f$x& con respecto a x es i#ual a cero, corresponden a los puntos de inflexión de la función f$x& donde sus alores son máximo y mínimo. Por e"emplo, la altura de un proyectil que se dispara en línea recta, está dada por las ecuaciones del moimiento (ba"o se muestra la #ráfica de la altura y$t&, tomando y 5 3 5.
La deriada de una función puede ser interpretada #eométricamente como la pendiente de la cura de la función matemática y$t&, representada la deriada en función de t. La deriada es positia cuando una función es creciente hacia un máximo, cero $horizontal& en el máximo, y ne#atia "usto después del máximo. La se#unda deriada es la tasa de cambio de la primera deriada y es ne#atia en el proceso que se acaba de describir, puesto que la primera deriada $la pendiente&, siempre es cada ez mas peque'a. La se#unda deriada es siempre ne#atia en la 6"oroba6 de una función, que corresponde a un máximo de la función. En la función simple que se ha mostrado en el e"emplo solo hay un máximo. Las funciones mas comple"as pueden tener m*ltiples máximos y mínimos y la se#unda deriada, nos proporciona la manera de distin#uirlos
M%XIMOS Y MINIMOS
FUNCIÓN CRECIENTE Y'O DECRECIENTE( CRECIENTE en xo si para x 7 xo
$x& 8 $xo& 9 : $xo& 8 5
ya queF)*+ F)*o+ F-)*o+ .
L!"
01 ////////
* 2 *o
* *o
+na función $x& se dice que es !reciente en un punto, x o, si su deriada, en ese punto, xo, es positia1 :$xo& 8 5. En la #ráfica se puede er que esto ocurre desde ; hasta a y desde b hasta <;. En esos interalos la deriada $pendiente& está por encima del e"es 2 $es positia&. DECRECIENTE en xo si para x 7 xo
$x& = $xo& 9 : $xo& = 5
+na función $x& se dice que es >ecreciente en un punto, x o, si su deriada, en ese punto, x o, es ne#atia1 :$xo& = 5. En la #ráfica se obsera que esto ocurre para alores de x comprendidos entre a y b. En este interalo la deriada está por deba"o del e"e 2 $es ne#atia&.
F)*+ F)* o+ F-)*o+ .
L!"
///////
* 2 *o
* *o
31
$x& 3 ?@$xA < ?& )e obsera que para x B $ ;, 5C es creciente, es decir, al aumentar la x, aumenta $x&. )u deriada es positia en ese interalo. Para x B $5 , < ;C, es decreciente, al aumentar la x disminuye $x&. )u deriada es ne#atia. )u deriada es- : $x& 3 ADx@$x A
M%XIMOS Y M&NIMOS RELATIVOS( PUNTOS SINGULARES( M4*!"os e 5#6 F5#c!7#(
En un punto en el que la deriada se anule y antes sea positia y después del punto ne#atio, se dice que la función tiene un máximo relatio. Es decir, que :$x o&
3 5 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x 3 a la función tiene un máximo relatio y se obsera que su deriada se anula en ese punto, pasando de positia a ne#atia. $)e anula y cambia de si#no&. Fáx. en $ a,f$a&&
M8#!"os e 5#6 F5#c!7#(
En un punto en el que la deriada se anule y antes sea ne#atia y después del punto positia, se dice que la función tiene un mínimo relatio. Es decir, que :$x o& 3 5 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x 3 b la función tiene un mínimo relatio y se obsera que su deriada se anula en ese punto, pasando de ne#atia a positia. Fín. en $ b,f$b&. Para que una función ten#a máximo o mínimo no es suficiente con que su deriada se anule $debe, además, cambiar de si#no&.
PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN( M%XIMOS Y M&NIMOS DE LA DERIVADA( +n punto de inflexión es aquel donde la función deriada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto sin#ular. )e dice que la función tiene un cambio en la concaidad. Para calcular los puntos de inflexión hay que i#ualar a cero la deriada se#unda y comprobar que ésta cambia de si#no. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera deriada, para ello se deria la primera deriada $se#unda deriada& y se anula. En los puntos donde la se#unda deriada se anule y cambie de si#no, la función tendrá un punto de inflexión y su deriada un máx. o un mín. En la #ráfica, en x 3 5 la función tiene un punto de inflexión y en él su deriada tiene un mínimo en $ 0 ,c &. >onde la deriada se#unda sea positia se dice que la función es cóncaa positia y donde es ne#atia concaidad ne#atia. +n punto de inflexión es donde la función cambia de concaidad. En $x& 3 xG GDxA 3 xAD$xA ?& puede obserarse que su deriada:$x& 3 GDxH IDx 3 GDxD$x A A& presenta un máximo y un mínimo en x 3 J K$A@H&. Es aquí donde la función presenta puntos de inflexión.
ALUMNOS
CARNET
n#el (nthony (r#ueta lores
AMG5G5A5?M
(ndrea Nuadalupe !arillo Oamos
AM?AAA5?M
Fa#aly Pamela FQller Riscarra
AMHMA5?M
Salter (lfonso )oriano Narcía
AMHA5MA5?M
Doce#te$ 0n#. Nenaro (ntonio Ternández Lemus M6ter!6$ Fatemáticas 00 Te"6$ Fodelos Fatemáticos >onde )e (pliquen Fáximos y Fínimos. Secc!7#$ 5M A9o$ A5?M
