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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
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Tema 5
5. Interpolación 5.1.
Introducción
En la practica de la ingeniería y ciencias, es frecuente que la información necesaria para reali un calculo ó los resultados del mismo, se encuentren en una tabla de la forma:
Tabla 1. Ejemplo de una tabla de ingeniería
X
Y
x0
y0
x1
y1
• • •
xm
ym
Esto ocurre al tomar los datos de un experimento, ó al evaluar una función matemát tabula complicada. También es frecuente que al requerir de la tabla algún valor, este no este Sign up to vote on this title 1 Al problema de hallar valores no tabulados se le conoce como interpolación.
5.2.
Tipos de interpolación
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Métodos Numéricos. Curso SAI © M en C Hugo Pablo Leyva 7/24/2004 9
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El primer caso es el mas común y se conoce propiamente como interpolación. El segundo ca se conoce como extrapolación. Cada punto de la tabla se le llama polo, de ahí los nombres.
Como veremos mas adelante, la interpolación es mas confiable que la extrapolación.
5.2.1. Enfoques para realizar la interpolación
Dado que en general la función f(x) no se conoce ó es difícil de evaluar, se busca aproximar curva por otra mas simple, que pueda determinarse de los puntos de la tabla. Hay 2 enfoques este sentido:
1. Curvas de colocación. 2. Ajuste de curvas.
En el primero la curva que se emplea pasa por 2 ó mas puntos de la tabla. En el segundo curva se aproxima, lo mas posible a todos los puntos de la tabla. En esta unidad considerarem solo el primer enfoque, el segundo lo trataremos en la siguiente unidad.
5.3.
Curvas de colocación
Para encontrar una curva de colocación, requerimos proponerla. Las curvas que mas se u para este fin son los polinomios. Esto es, por que los polinomios como se menciono en unidad anterior poseen propiedades que los hacen muy atractivos en los cálculos. Por ejem son eficientemente evaluados con la División Sintética.
5.3.1. Polinomios de colocación Sign up to vote on this title
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Un polinomio de colocación es aquel que coincide en 2 ó mas puntos de una curva, es decir coloca en los puntos de otra curva.
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Si usamos un polinomio de grado 2, es decir, una parábola, necesitamos 3 puntos: (x 0, y 0 y1) y (x 2, y2). La ecuación de la general de una parábola es:
y = a 0 + a1 x + a 2 x 2 Para hallar los coeficientes, sustituimos sustituimos cada uno de los puntos en la ecuación, obtenemos:
y 0 = a 0 + a1 x 0 + a 2 x 0
2
y1 = a 0 + a1 x1 + a 2 x1
2
y 2 = a 0 + a1 x 2 + a 2 x 2
2
Este es un sistema de ecuaciones lineales para los coeficientes. Resolviendo este sistema, p cualquiera de los métodos del capitulo anterior, se hallan los coeficientes, con los cuales puede realizar la interpolación.
Podemos seguir con una ecuación cúbica, cuartica ,etc. Para el caso general de un polinomio grado n tenemos que se requieren n+1 puntos.2 Sustituyendo, se obtiene el sistema lineal:
a0 a0
+ a1 x 0 + a1 x 1
••• •••
+ a n x0
n
= y0
+ a n x1
n
= y1
• • •
a0
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+ a1 x n
•••
n + aUseful =y nNot useful n xn
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Métodos Numéricos. Curso SAI © M en C Hugo Pablo Leyva 7/24/2004 9
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El cual se denomina Determinante de Van Der Monde. Como ya sabemos el sistema tie solución única si y solo si es ≠ 0. Como podemos apreciar, esto solo no ocurre si al meno x's son iguales. Dado que en una tabla las x's no se repiten, 3 el determinante es ≠ 0 y el siste tiene solución única.
Esta manera de realizar la interpolación tiene varias desventajas:
1. Hay que resolver un sistema lineal lineal cada vez. 2. Los cálculos realizados realizados para un grado, no sirven para el siguiente. siguiente. 3. Si se cambia un punto por otro, hay que realizar nuevamente los cálculos. 4. El sistema sistema lineal tiende a ser inestable. inestable.
El ultimo problema se debe al hecho de que si bien las x's son distintas y por ende determinante es ≠ 0 pueden estar tan juntas que el determinante sea cercano a 0. Como mencionó la unidad anterior si el determinante es cercano a 0, el numero de condición tamb lo será y por ende el sistema será inestable.
Por estos problemas este manera de interpolar no se recomienda. En vez de eso, se pued emplear algunos métodos que evitan plantear el sistema lineal y directamente obtienen el va buscado. Consideraremos 2 casos:
1. Tabla igualmente espaciada. 2. Tabla desigualmente espaciada.
5.4.
Tablas equiespaciadas Sign up to vote on this title
Estas se presentan frecuentemente al tabular funciones matemáticas complicadas. Se tiene q Useful Not useful el espaciamiento entre cada punto es constante, en toda la tabla. Para este caso se puede usar método de Diferencias Finitas de Newton, Diferencias Progresivas, Diferencias hacia adelan o también llamado Formula de Newton Gregory
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Donde:
•
n: grado del polinomio a usar.
•
y0: y del punto de apoyo para el calculo.
•
s: variable auxiliar
•
i: índice de la sumatoria.
•
( si ) : Coeficiente binomial
•
∆ : i-esima diferencia hacia adelante respeto al punto de apoyo.
i
s se define como:
s =
x − x0 H
donde:
•
x: punto de interés.
•
x0: x del punto de apoyo.
•
H: espaciamiento constante de la tabla.
El coeficiente binomial se define como:
( si ) =
s ! i !( s − i ) !
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la formula Dado que s es un numero real, no es común usar de arriba. 4 En vez de ello, coeficiente binomial se calcula como: Useful
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Métodos Numéricos. Curso SAI © M en C Hugo Pablo Leyva 7/24/2004 9
Sheet Music •
Π : productoría. NO la confundas con el n umero
•
k: índice de la productoría.
π
.
Las primeras diferencias hacia adelante se definen como
∆ y = y i
− y
i +1
i
Se pueden definir diferencias de orden superior. Las segundas diferencias son:
2
∆ yi = ∆(∆yi ) = ∆yi +1 − ∆yi =
yi 2 − yi 1 − (yi 1 − yi ) = +
+
+
yi +2 − 2 yi +1 + yi y en general
j
∆ y i = ∆ ( ∆
j − 1
yi )
Para calcularlas mas fácilmente se construye una tabla de diferencias, de la siguiente manera:
Tabla 2 Tabla de diferencias
X
Y
x0
y0
∆Y ∆ y 0
x1
2
∆ Y 0
y1
∆ y1
∆ Y 3
2
∆ Y
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∆ Y 3
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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
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Como podemos ver en cada columna se calcula una diferencia de orden mayor a la de columna anterior.
El punto de apoyo es comúnmente el punto inmediato al punto de interés.
Al realizar alguna interpolación, se requiere fijar el grado del polinomio. Este pue determinarse algunas veces con el siguiente teorema que no demostraremos. Si se tabula polinomio de grado n, entonces la diferencia n+1 es 0, es decir, si en la columna n+1 de tabla de diferencias se tiene solamente 0's, entonces la función de la cual se genero la tabla un polinomio de grado n. n . Este teorema es útil, ya que nos permite determinar el gra apropiado del polinomio, si la tabla de diferencias llega a 0. Luego discutiremos que pasa si tabla de diferencias no llega a 0.
5.5.1. Ejemplo del método método de diferencias diferencias finitas finitas hacia hacia adelante adelante de Newton Consideremos la función definida por la tabla 3
Tabla 3.
X
Y
0
0
1
1
2
8
3
27
4
32
5 6
125
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Useful216 Not useful
Deseamos hallar y(1.5). Primero calculemos la tabla de diferencias:
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Métodos Numéricos. Curso SAI © M en C Hugo Pablo Leyva 7/24/2004 9
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Tabla 4. Tabla de diferencias
X
Y
0
0
∆Y
2
∆ Y
3
∆ Y
4
∆ Y
5
∆ Y
∆
1 1
1
6 7
2
6
8
12
0
19 3
6
27
18
0
37 4
6
64
24
0 0
0
61 5
0
6
125
30 91
6
216
Podemos apreciar que la columna 4 es de ceros por lo cual el grado del polinomio es 3.
El espaciamiento constante es 1. El punto de apoyo es (1,1)
s vale:
s =
1.5−1 1
= 0.5 Sign up to vote on this title
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Para leer las diferencias necesarias se traza una horizontal en el punto de interés y después u diagonal hacia abajo, las diferencias arriba de la línea, son las que se emplean.
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Tabla 5 Tabla de diferencias con diagonal para leer diferencias
Realizando cálculos:
3
y (1.5) = y 0 + ∑ ( si ) ∆i y 0 i =1
y (1.5) = y 0 + ( 1s ) ∆y 0 + ( 2s ) ∆2 y 0 + ( 3s ) ∆3 y 0 1−1
2 −1
3−1
∏ ( s− k )
∏ ( s− k ) 2 ∏ ( s− k ) 3 k =0 k = 0 Sign up to vote 0 this∆title y (1.5) = y 0 + 1! ∆y 0 + 2 ! ∆ y 0 + k =on y 0 3! Useful −−Not useful − y (1.5) = y 0 + s1! ∆y 0 + s ( s2 !1) ∆2 y 0 + s( s 13)!( s 2) ∆3 y 0 0 5( 0 5 1)
0 5( 0 5 1 )( 0 5 2)
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Tabla 6 Tabla de diferencias con diagonal hacia abajo para leer diferencias
Es decir se nos terminan las diferencias. Este problema lo podemos arreglar si invertimos tabla y recalculamos las diferencias. Esto puede tomar tiempo. Si se realiza este procedimien es posible modificar la formula de Newton. Al invertir la tabla se puede demostrar que solo diferencias nones cambian de signo. Al modificar se obtiene la formula de diferencias fini hacia atrás ó formula regresiva:
n
y ( x ) = y 0 + ∑ ( si )∇ i y 0 i =1
donde:
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•
n: es el grado del polinomio.
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Las ∇ se llaman diferencia hacia atrás.
5.6.1. Ejemplo de diferencias finitas hacia atrás
Calculemos y(5.5). La diagonal ahora se traza en el punto siguiente al punto de interés y hac arriba. Tabla 7 Tabla de diferencias con diagonal hacia arriba
Realizando cálculos.
s =
5.5− 6 1
Sign up to vote on this title = −0.5 Useful Not useful 3
y (5.5) = y 0 + ∑ ( si ) ∇ i y 0
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Métodos Numéricos. Curso SAI © M en C Hugo Pablo Leyva 7/24/2004 9
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Como en el caso anterior, dado que la tabla viene de un polinomio, el resultado es correcto todas sus cifras.5
5.7.
¿ Que hacer si la tabla de diferencias no converge a 0 ?
Todavía queda el problema de que pasa si la tabla de diferencias no llega a 0. En la practic esto es lo que ocurre, en la mayoría de los casos, ya que las tablas no se obtienen polinomios, lo que nos genera un error de truncamiento, además de que puede existir er inherente y error de redondeo. Consideremos por ejemplo la siguiente tabla:
Tabla 8.
X
Y
1.00
1.0000
1.01
1.0050
1.02
1.0100
1.03
1.0149
1.04
1.0198
1.05
1.0247
1.06
1.0296
Calculemos y(1.015). Al calcular la tabla de diferencias
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Tabla 9. Tabla de diferencias
∆Y
X
Y
1.00
1.0000
2
∆ Y
3
∆ Y
4
∆ Y
5
∆ Y
∆
.005 1.01
1.0050
0 .005
1.02
1.0100
-.0001 -.0001
.0049 1.03
1.0149
.0001 0
1.0198
0 0
1.0247
.000 .0001
0
.0049 1.05
-.0003 -.0001
.0049 1.04
.0002
0 0
.0049 1.06
1.0296
Tenemos que no se llega a una columna de 0's, pero sin embargo la tabla tiene muchos 0's. punto de apoyo es 1.01
Calculemos s:
s =
1.01 015 −1.01 01 .01
= 0.5 Sign up to vote on this title
Tracemos la diagonal.
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Tabla 10 Tabla de diferencias
¿ Dónde nos paramos ?. Para contestar esto, calculemos cada termino de la formula p separado:
n
. ) = y 0 + ∑ ( si ) ∆i y 0 y (1015 i =1
y (1015 . ) = y 0 + ( 1s ) ∆y 0 + ( 2s ) ∆2 y 0 + ( 3s ) ∆3 y 0 + ( 4s ) ∆4 y 0 + ( s5 ) ∆5 y 0
1 −1
∏ ( s−k )
y (1015 . ) = y0 +
k =0
1! 4 1
Sign up to vote on this title 3 −1 s− k ) −k ) ∏ ∏ ( useful ( sUseful Not 2 3 k =0 k = 0 ∆y 0 + ∆ y0 + ∆ y 0 2! 3! 2 −1
5 1
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Sheet Music 0.5( 0.5−1 )( 0 .5 −2 )( 0 .5 −3 )( 0 .5 − 4 ) 5!
(.0001)
(1.015) = 1+.0025 - 0.00001 0.0000125 25 -0.00000625 -0.00000625 - 0.00000390625 0.00000390625 -0.000002734375
y (1.015) = 1.0025
0.0000125 25 es despreciable, respecto Dado que la tabla tiene 4 decimales, el termino - 0.00001 decimales de la tabla. Nuestra respuesta debe de darse a 4 decimales que son los que tiene tabla. Aunque consideraremos este termino, no afectaría el resultado, es más tampoco afec los otros términos. En este caso podemos decir que el grado es 1. El resultado tiene 5 cifr significativas.6 Resumiendo si el valor absoluto de un termino es despreciable respecto a decimales que tenga la tabla, lo consideramos 0 y podemos determinar el grado. Este prim termino despreciado es el error cometido por la aproximación. Para ver esto considera que: n
y n ( x ) = y 0 + ∑ ( si )∆i y 0 i =1 n −1
y n −1 ( x ) = y 0 + ∑ ( si )∆i y 0 i =1
El error esta dado por:
en = y n ( x ) − y n − 1 ( x ) n −1
n
en = y 0 + ∑ ( )∆ y 0 − y 0 − ∑ ( si )∆i y 0 s i
i
i =1
i =1
Sign n −1 up to vote on this title s i ( si )∆i y en = ∑ ( i )∆ y 0 − Not useful ∑Useful 0 n
i =1
i =1 n −1
n −1
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ccn =
y n ( x ) − yn − 1 ( x ) y n ( x )
=
en y n ( x )
=
( sn ) ∆n y 0
y n ( x )
≤ Tol
Por otro lado, si calculamos y(1.025), tenemos:
0.0024 245 5+0 y (1.025) = 1.0100 + 0.00
El grado es 1, porque llegamos a un 0, entonces la función localmente es un polinomio grado 1. En pocas palabras, es posible que la tabla de diferencias no llegue a cero, pero pue ocurrir que localmente si se tengan ceros, con lo cual la función localmente se comporta com un polinomio. Curiosamente la función de la cual viene la tabla anterior NO es un polinomio x .
También puede ocurrir que cuando la tabla de diferencia no llega a 0, es posible que no se lo la convergencia. Puede ocurrir que cada termino sea más pequeño que el anterior en va absoluto, pero puede ser que se nos termine la tabla, en cuyo caso, el ultimo termino tomamos para dar el grado. Esto lo veremos mejor con los ejemplos al final de la unidad.
5.8.
Ventajas y desventajas del método de Newton Este método tiene las siguiente ventajas:
1. Nos puede dar el grado del polinomio. 2. Los cálculos de un grado grado sirven para el siguiente. 3. Es bueno en los extremos extremos de la tabla. 4. Es fácil fácil para cálculos manuales. manuales.
Tiene las desventajas:
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Estas se hallan frecuentemente al tabular datos experimentales. No es posible aplicar el méto de Newton.7 Una formula comúnmente usada en este caso, es la de interpolación de Lagrange
5.10.
Formula de Interpolación de Lagrange Omitiendo el desarrollo es
n
n
( x − x )
y ( x) = ∑ y i ∏ ( xi − x jj ) i =0
j = 0 j ≠ i
Donde:
•
n: grado del polinomio.
•
∏ : Productoría
•
xi ,yi : Puntos de la tabla.
Esta formula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene q determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si cumple terminamos si no se repite el procediendo. Es decir, se tienen la sucesión
y1 ( x), y 2 ( x), y 3 ( x),• • •, y n ( x),• • •, y( x) El cc puede ser:
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y n ( x ) − yn −1 ( x )
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Métodos Numéricos. Curso SAI © M en C Hugo Pablo Leyva 7/24/2004 9
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Tabla 11.
X
Y
0
1.0000000
5.0000000E-03
9.9713854E-01
1.0000000E-02
9.9432585E-01
1.5000000E-02
9.9156129E-01
2.0000000E-02
9.8884420E-01
2.5000000E-02
9.8617396E-01
3.0000000E-02
9.8354995E-01
Deseamos y(2.6000000E-02). El criterio de convergencia será
cc n =
y n ( x ) − yn − 1 ( x ) y n ( x )
≤ 5x10
−9
Comenzamos con n=1. La formula desarrollada es
1
1
( x − x )
y ( x) = ∑ yi ∏ ( xi − x jj ) i =0
y ( x) = y 0
Los puntos empleados son:
j = 0 j ≠ i
( x − x1 ) ( x0 − x1 )
+ y1
( x − x0 ) ( x1 − x0 )
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(x0=2.5000000E-02, y0=9.8617396E-01)
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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
Sheet Music 2
2
( x − x )
y ( x) = ∑ yi ∏ ( xi − x jj ) i =0
y ( x) = y 0
( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x0 − x1 ) ( x0 − x2 )
+ y1
j = 0 j ≠ i ( x − x0 ) ( x − x2 ) ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 )
+ y2
( x − x0 ) ( x − x1 ) ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 )
Los puntos empleados son:
(x0=2.0000000E-02, y0=9.8884420E-01) (x1=2.5000000E-02, y1=9.8617396E-01) (x2=3.0000000E-02, y2=9.8354995E-01)
Sustituyendo valores:
Y2 ( 2.6000000E-02) = 9.8564550E-01
El criterio de convergencia es:
cc2 = 3.68 3.6888 8835 350E 0E - 06 Como no se cumple se realiza otra iteración. Los cálculos se resumen en la tabla 15
Tabla 12.
n
Y
ccn
1
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2
9.8564550E-01
3
9.8564550E-01
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4. Si te confundes al excluir un factor, no te preocupes, te te darás cuenta por que tendrías u división entre 0.
5.11.
Ventajas y desventajas del método de Lagrange Este método tiene las ventajas:
1. Se puede aplicar si la tabla tabla no esta igualmente espaciada. espaciada. 2. Se puede aplicar en toda la tabla. 3. No requiere requiere tabla tabla de diferencias. 4. Es fácil de programar. programar.
Sus desventajas son:
1. No da el grado del polinomio. polinomio. 2. Es complicado complicado para cálculos manuales. manuales.
5.12.
Interpolación Inversa
A veces en vez de buscar la y se desea la x, es decir, x(y). Si Por ejemplo si de la tabla 14, cual esta igualmente espaciada deseamos x(.98564455). Aunque la tabla esta igualme espaciada en x en y no lo esta, por lo cual usamos el método de Lagrange. El criterio convergencia es8
cc n =
Los cálculos se resumen en la tabla 13
y n ( x ) − yn − 1 ( x )Sign ≤ y n ( x )
4 to−vote on this title 5up x10
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Hay problemas adicionales al hacer interpolación inversa. Es posible que el grado polinomio NO sea el mismo que con la interpolación normal. Hay otros problemas pero es los veremos en los ejemplos al final de la unidad.
5.13.
Oscilación
El caso problemático en interpolación se denomina oscilación. Consideremos la siguie gráfica:
Fig. 1
Dado que los polinomios de colocación son: continuos, pasan por 2 ó más puntos de las cur tienen n-1 máximos y mínimos. El polinomio a forciori tiene sus máximos o mínimos en cada par de puntos de la curva. Esto puede provocar que si la curva es como la de la gráfica, error sea muy grande. Esto es mas probable a medida que el polinomio aumenta de grado. E fenómeno se conoce como Oscilación, por que el polinomio oscila9 entre cada punto de curva. Si la curva no se aproxima bien por polinomios, el error producido por la oscilac puede ser grande. Por esta razón conviene usar siempre el grado mas bajo posible.
5.14.
Extrapolación
La extrapolación es menos confiable que la interpolación, ya que si bien conocemos como Sign up to vote title asegurar na comporta la curva en el intervalo en que esta tabulada, fuera de elon nothis podemos Además si no oscila dentro del intervalo de la tabla, Useful si lo Not Solo usefulpodemos asegu afuera hará. que mientras mas lejos extrapolemos peor será el resultado. Para extrapolar, podemos u ambos métodos. Para el método de Newton si el punto de interés es mayor al ultimo punto de tabla, entonces usamos como punto de apoyo el ultimo y empleamos diferencias finitas ha
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A continuación mostramos algunos ejemplos de la interpolación.
5.15.1. ¿ Cuántos lectores potenciales tenía Superman cuando se publico por primera ? Consideremos los siguientes datos:
Tabla 14. Censo de USA
Año
Población
1930
123203000
1940
131669000
1950
150697000
1960
179323000
1970
203212000
1980
226505000
Son datos del censo de USA. En el año de 1938 salió la primera revista de Superman ¿ q población había entonces ? Dado que la tabla esta igualmente espaciada usemos el método de Newton. La tabla diferencias es: Tabla 15 Tabla de diferencias
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El punto de apoyo es 1930. s vale:
s =
1938 1938−1930 1930 10
= 0.8
Realizando cálculos
n
y(1938) = y 0 + ∑ ( si ) ∆i y 0 i =1
y (1938) = y 0 + ( 1s ) ∆y 0 + ( 2s ) ∆2 y 0 + ( 3s ) ∆3 y 0 + ( 4s ) ∆4 y 0 + ( s5 ) ∆5 y 0 1−1
2 −1
∏ ( s− k )
y (1938) = y 0 +
∆y 0 +
k =0
1!
2!
4 −1
5 −1
∏ ( s− k )
4
∆ y 0 +
4!
y (1938) = y 0 + s ( s −1)( s− 2 ) 3!
3
s 1!
∆ y 0 +
y (1938) = 123203000 + 0.8( 0.8 −1)( 0 .8 − 2 ) 3!
0. 8 1!
( -9.64E5) +
2
5!
∆y 0 +
3!
3
∆ y 0
5
s ( s −1) 2!
s( s−1)( s− 2 )( s− 3 ) 4!
2
∆ y 0 + 4
∆ y0 +
5
∆ y 0
(8.466E6) +
0.8( 0 . 8−1) 2!
0.8( 0.8−1 )( 0 .8 − 2 )( 0 .8 − 3 ) 4!
0.8( 0.8 −1 )( 0 .8 −2 )( 0 .8 − 3 )(0 .8− 4Sign ) 5!
k = 0
∆ y0
k = 0
s ( s −1)( s −2 )( s− 3 )( s− 4 ) 5!
∏ ( s− k )
∆ y0 +
k =0
∏ ( s− k ) k =0
3−1
∏ ( s− k )
(1.0562E7) +
( -1.3371E7) +
up to vote)on this title ( 3.1847E7 Useful
Not useful
(1938) = 123203000 + 67732 6773280 80 - 84496 844960. 0. -30848.+ 235329.6
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Por lo tanto había a lo mas 129100000 lectores potenciales de Superman.14
5.15.2. ¿ Cuántos lectores tuvo Superman en su Boda ?
En 1996, después de un noviazgo de mas de 50 años, Superman se caso con Lois Lan Calculemos la población en ese año en USA con los datos de la tabla 15. Con el método Lagrange tenemos los resultados en la tabla 16
Tabla 16.
n
Y
ccn
1
1.7907860E+08
-
2
3.7426430E+08
5.2151840E-01
3
3.4694860E+08
-7.8731290E-02
4
5.9566080E+06
-5.7246000E+01
Como podemos apreciar se tiene oscilación en grado 3 por lo cual nos quedamos con n=2 y error de -7.8731290E-02. Por lo anterior P(1996)=3E+08. 16
De acuerdo con estos datos hubo aproximadamente 3E+08 lectores potenciales de Superm en el año que se caso.
5.15.3. Determinación del volumen del H2O
Una de las propiedades que comúnmente se emplean en mecánica de fluidos es el volumen liquido. El volumen de un liquido es una función de la temperatura. El liquido mas utiliza por el hombre es el H2O. A continuación se muestra dethis un title gramo de H 20, en Signelupvolumen to vote on intervalo de 273.15 oK a 279.15 oK. Useful Not useful
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Tabla 17 Volumen de un 1 gr. de H2O
Temperatura (oK)
Volumen (cm3)
273.15
1.0001329
274.15
1.0000733
275.15
1.0000321
276.15
1.0000078
277.15
1.0000000
278.15
1.0000081
279.15
1.0000318
Deseamos determinar el volumen para las temperaturas de: 274, 275, 277, 278, 279, 280.1 281.15, 282.15, 283.15 oK . Nota que en los últimos puntos estamos extrapolando.
Considerando que son datos experimentales, el criterio de convergencia será:
ccn =
y n ( x ) − yn − 1 ( x ) yn ( x )
≤ 5x10
−8
Dada que la tabla esta igualmente espaciada usaremos el método de Newton. La tabla diferencias es:
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Tabla 18. Tabla de diferencias del volumen de 1 gr. de H2O Temp.
Y
273.15
1.0001329
∆Y
2
∆ Y
3
∆ Y
4
∆ Y
5
∆ Y
∆
-5.96E-05 274.15
1.0000733
1.84E-05 -4.12E-05
275.15
1.0000321
-1.5E-06 1.69E-05
-2.43E-05 276.15
1.0000078
-4.E-07 1.65E-05
-7.8E-06 277.15
1.0000000
-2.E-07
1.59E-05
1.0000081
-1.3E-06
-6.E-07
8.1E-06 278.15
1.1E-06
1.8E5.E-07
3.E-07 -3.E-07
1.56E-05 2.37E-05
279.15
1.0000318
Los cálculos se resumen en las siguientes tablas.
Tabla 19 y(274).
n
Y
ccn
1
1.0000820E+00
-
2
1.0000810E+00
-3.6653270E-08
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Tabla 20 y(275).
n
Y
cc
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Sheet Music
Tabla 22 y(278).
n
Y
ccn
1
1.0000280E+00
-
2
1.0000270E+00
2.3587360E-08
Tabla 23 y(279).
n
Y
ccn
1
1.0000070E+00
-
2
1.0000060E+00
1.1793430E-08
Tabla 24 y(280.15).
n
Y
ccn
1
1.0000560E+00
-
2
1.0000710E+00
-2.9997540E-07
3
1.0000710E+00
0
Tabla 25 y(281.15).
n
Y
ccn
1
1.0000790E+00
-
2
1.0001260E+00
-1.1998420E-06
3
1.0001250E+00
1.4997990E-06
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Tabla 26 y(282.15).
Useful
n
Y
1
1.0001030E+00
Not useful ccn -
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Sheet Music
Podemos observar que en los puntos donde interpolamos los resultados son confiables en cifras significativas y que el grado del polinomio fue de 1, en todos los puntos. Exceptuando el primer punto donde se extrapolo, en los demás se presentaron oscilaciones. Además resultados fueron menos confiables, ya que de acuerdo al criterio de convergencia solo obtuvieron 5 cifras significativas.
Moraleja: Es mas seguro interpolar que extrapolar.
Determinación de la temperatura del H2O
Comúnmente es fácil determinar el volumen de un liquido en función de la temperatura, p no viceversa. Esto se debe a que la dependencia del volumen con respecto a la temperatura por lo regular muy pequeña. Por esta razón se considera como una aproximación útil p cálculos de ingeniería que el volumen es casi constante. Si consideramos los datos de la tab 20, podemos intentar calcular la temperatura en función del volumen. Usaremos los volúmen de: 1.00012, 1.00071, 1.000031, 1.000008, 1.000045, 1.0001909, 1.0002719 cm3.
A pesar de que la tabla esta igualmente espaciada NO es posible usar el método de Newton. Usaremos el método de Lagrange.
El criterio de convergencia es de:
ccn =
xn ( y ) − xn − 1 ( y ) xn ( y )
≤ 5x10
−5
Los cálculos se resumen en las siguientes tablas:
Tabla 28 x(1.0001200E+00). Sign up to vote on this title
n
x Useful
1
2.7336570E+02
useful Notcc n -
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Tabla 30 x(1.0000310E+00).
n
x
ccn
1
2.7485980E+02
-
2
2.7518030E+02
1.1646750E-03
3
2.7518730E+02
2.5395520E-05
Tabla 31 x(1.0000080E+00).
n
x
ccn
1
2.7525190E+02
-
2
2.7586340E+02
2.2167170E-03
3
2.7615850E+02
1.0684970E-03
4
2.7616670E+02
2.9946630E-05
Tabla 32 x(1.0000450E+00).
n
x
ccn
1
2.7462580E+02
-
2
2.7481120E+02
6.7473520E-04
3
2.7476430E+02
1.7082290E-04
4
2.7505090E+02
1.0419550E-03
Tabla 33 x(1.0000450E+00).
n
x
ccn
1
2.7462580E+02
2
2.7481120E+02
6.7473520E-04
3
2.7476430E+02
1.7082290E-04
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Tabla 35 x(1.0002719E+00).
n
x
ccn
1
2.8928150E+02
-
2
1.2740430E+02
1.2705790E+00
3
-6.0377190E+05
1.0002110E+00
Podemos observar que el grado del polinomio vario a lo largo de la tabla. Además NO fue mismo que cuando interpolamos para hallar el volumen en función de la temperatura. En ca de la extrapolación obtuvimos valores sin sentido. Esto se debe a la oscilación.
Moraleja: La extrapolación a veces no es posible.
Determinación de la presión de saturación
Una de las propiedades de una sustancia pura que más comúnmente se utiliza en cálculos Termodinámica es la presión de vapor o presión de saturación. Esta se define como la presió la cual existen en equilibrio una fase líquida y una fase vapor. Si la presión de vapor iguala a presión atmosférica, el líquido entrará en ebullición. Solo depende de la temperatura. Exis diversas ecuaciones para calcular. Pero si están disponibles es mejor determinarla de tablas. siguiente tabla muestra la presión de saturación del H2O a diversas temperaturas
Tabla 36 Presión de vapor del H2O
Temperatura (oR)
Presión (Psia)
4.9168880E+02
8.8650000E-02
5.1899300E+02 5.3925600E+02
2.5000000E-01
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5.6141000E+02
1.0000000E+00
6.2191000E+02
5.0000000E+00
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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
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Tabla 37 y(500).
n
Y
ccn
1
1.3776380E-01
-
2
1.1643070E-01
1.8322550E-01
3
1.2585800E-01
7.4904320E-02
4
1.2219320E-01
2.9992150E-02
5
1.2320530E-01
8.2145800E-03
6
1.2329140E-01
6.9900120E-04
Tabla 38 y(530).
n
Y
ccn
1
3.8580170E-01
-
2
3.6122680E-01
6.8031880E-02
3
3.7010840E-01
2.3997370E-02
4
3.6624160E-01
1.0557950E-02
5
3.6695100E-01
1.9331050E-03
6
3.6701320E-01
1.6938800E-04
Tabla 39 y(555).
n
Y
ccn
1
8.5533080E-01
-
2
8.0216150E-01
6.6282550E-02
3
8.3278830E-01
3.6776250E-02
4
8.2211840E-01
5
8.2363200E-01
1.8377140E-03
6
8.2359830E-01
4.0962000E-05
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Métodos Numéricos. Curso SAI © M en C Hugo Pablo Leyva 7/24/2004 9
Sheet Music
Tabla 40 y(615).
n
Y
ccn
1
4.5431400E+00
-
2
4.1572040E+00
9.2835660E-02
3
4.2508120E+00
2.2021180E-02
4
4.2379780E+00
3.0281230E-03
5
4.2367960E+00
2.7911570E-04
6
4.2368660E+00
1.6656630E-05
Tabla 41 y(650).
n
Y
ccn
1
9.5350330E+00
-
2
9.3911940E+00
1.5316360E-02
3
9.4028930E+00
1.2441620E-03
4
9.4054000E+00
2.6657130E-04
5
9.4057380E+00
3.5893060E-05
Tabla 42 y(666).
n
Y
ccn
1
1.3278950E+01
-
2
1.3146690E+01
1.0060790E-02
3
1.3124800E+01
1.6676660E-03
4
1.3119260E+01
5
1.3118410E+01
6.5064190E-05
6
1.3118480E+01
5.8884560E-06
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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
Sheet Music
Tabla 44 y(672.7).
n
Y
ccn
1
1.4953420E+01
-
2
1.4989720E+01
2.4214490E-03
3
1.4996640E+01
4.6149100E-04
4
1.4998500E+01
1.2424440E-04
5
1.4998800E+01
1.9965180E-05
Tabla 45 y(687.63).
n
Y
ccn
1
1.8684730E+01
-
2
1.9670830E+01
5.0129940E-02
3
1.9914060E+01
1.2214310E-02
4
1.9988330E+01
3.7153950E-03
5
2.0001730E+01
6.7018430E-04
6
2.0000340E+01
6.9807790E-05
Podemos observar que en la mayoría de los casos casi se logra la convergencia. Esto impl que si tuviésemos mas puntos si se hubiese logrado. También podemos observar que esta ta se aproxima bien por un polinomio de colocación, ya que inclusive en el punto donde extrapoló se logro la convergencia.
Moraleja: A veces faltan puntos para lograr la convergencia.
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Métodos Numéricos. Curso SAI © M en C Hugo Pablo Leyva 7/24/2004 9
Sheet Music
Tabla 46 x(1E-1).
n
x
ccn
1
4.9360950E+02
-
2
4.9397450E+02
7.3882300E-04
3
4.9409800E+02
2.5002160E-04
4
4.9411950E+02
4.3603640E-05
5
4.9413000E+02
2.1122000E-05
6
4.9413690E+02
1.3957620E-05
Tabla 47 x(3E-1).
n
x
ccn
1
5.2304560E+02
-
2
5.2353560E+02
9.3592530E-04
3
5.2359810E+02
1.1948290E-04
4
5.2362650E+02
5.4084950E-05
5
5.2364460E+02
3.4617830E-05
6
5.2471390E+02
2.0378250E-03
Tabla 48 x(75E-2).
n
x
ccn
1
5.5033300E+02
-
2
5.5073830E+02
7.3598380E-04
3
5.5089190E+02
4
5.5098230E+02
1.6405800E-04
5
5.5293150E+02
3.5252440E-03
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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
Sheet Music
Tabla 50 x(7.5).
n
x
ccn
1
6.3739500E+02
-
2
6.3880840E+02
2.2125430E-03
3
6.4132450E+02
3.9232130E-03
4
6.0025850E+02
2.0847340E-02
Tabla 51 x(12).
n
x
ccn
1
6.6088260E+02
-
2
6.6210200E+02
1.8417430E-03
3
6.5999050E+02
3.1992130E-03
4
6.0025850E+02
2.0847340E-02
Tabla 52 x(20).
n
x
ccn
1
6.9289280E+02
-
2
6.8089770E+02
1.7616620E-02
3
7.2540550E+02
6.1355770E-02
4
6.0025850E+02
2.0847340E-02
Podemos observar que en este caso la tabla NO se aproxima bien por polinomios ya se prese Sign up to vote on this title el fenómeno de oscilación. Solo al principio existe un comportamiento aceptable.
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Moraleja: El que una función se aproxime bien por polinomios de colocación NO implica q la función inversa lo hará.
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Métodos Numéricos. Curso SAI © M en C Hugo Pablo Leyva 7/24/2004 9
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El método de diferencias de Newton tiene las siguiente ventajas:
Nos da el grado del polinomio. Los cálculos de un grado sirven para el siguiente. Es bueno en los extremos de la tabla. Es fácil para cálculos manuales.
Tiene las desventajas:
La tabla tiene que estar igualmente espaciada. No es bueno en el centro, al menos que el grado del polinomio sea bajo. No es fácil de programar.
La formula de Lagrange tiene las ventajas:
Se puede aplicar si la tabla no esta igualmente espaciada. Se puede aplicar en toda la tabla. No requiere tabla de diferencias. Es fácil de programar.
Sus desventajas son:
No da el grado del polinomio. Es complicado para cálculos manuales.
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La interpolación inversa consiste de intercambiar los papeles de x y se usa el método
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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.
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Al interpolar de manera inversa. Cuando los datos tienen mucho error.
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Métodos Numéricos. Curso SAI © M en C Hugo Pablo Leyva 7/24/2004 9
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5.17.
5.
Índice Interpolación
Interpolación ____________________________________________________________________
5.1.
Introducción ___________________________________ _____________________________________________________ _______________________ _____
5.2. 5.2.
Tipos de interpolación _________________________________ __________________________________________________ _________________
5.2.1.
5.3.
Enfoques Enfoques para realizar realizar la interpolac interpolación ión _____________ ____________________ ______________ _____________ _____________ _______
Curvas de colocación ___________________________________ ___________________________________________________ ________________
5.3.1.
Polinomi Polinomios os de colocación colocación _____________ ____________________ ______________ ______________ ______________ ______________ __________ ___
5.4.
Tablas equiespaciadas ____________________________________ __________________________________________________ ______________
5.5. 5.5.
Método de la diferencias diferencias finitas finitas hacia adelante de Newton ____________________ ____________________
5.5.1.
5.6. 5.6.
Ejemplo del método de diferencias diferencias finitas finitas hacia adelante adelante de Newton__________________
Diferencias finitas hacia atrás______________________ atrás_______________________________________ ______________________ _____
5.6.1.
Ejemplo Ejemplo de diferencia diferenciass finitas finitas hacia atrás _____________ ____________________ ______________ ______________ ___________ ____
5.7.
¿ Que hacer si la la tabla de diferenci diferencias as no converge converge a 0 ? _________ ______________ _________ _______ ___
5.8.
Ventajas Ventajas y desventaja desventajass del método método de Newton Newton _________ _____________ _________ __________ __________ _______
5.9.
Tablas Tablas no equiespacia equiespaciadas das __________ ______________ _________ _________ _________ __________ _________ _________ _________ ____
5.10. 5.10.1.
Formula de Interpolación de Lagrange ________________________________ __________________________________ Ejemplo Ejemplo del método método de interpolac interpolación ión de Lagrange Lagrange ______________ _____________________ _____________ __________ ____
5.11.
Ventajas y desventajas del método de Lagrange__________________________
5.12.
Interpolación Inversa___________________________ Inversa____________________________________________ _____________________ ____
5.13.
Oscilació Oscilaciónn __________ ______________ _________ _________ _________ __________ _________ _________ _________ _________ __________ _______
5.14.
Extrapolación _________________________________ __________________________________________________ _____________________ ____
5.15. 5.15.
Ejemplos prácticos __________________________________ __________________________________________________ ________________
5.15.1. 5.15.2. 5.15.3.
¿ Cuántos Cuántos lectores lectores potenciale potencialess tenía Superma Superman n cuando se publico publico por primera primera vez ? ____ ¿ Cuántos lectores lectores tuvo Superman Superman en su Boda ? _____________ ____________________ ______________ _____________ ______ Determinación del volumen del H2O________________ O_______________________ ______________ ____________ _____ Sign up to vote______________ on this title
5.16.
Useful Not _________ useful_________ Resumen Resumen _________ _____________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ ____ _________
5.17.
Índice Interpolación__________________ Interpolación ____________________________________ _______________________________ _____________
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