Métodos Numericos: Tema 6 - Transparencias

Métodos Numéricos Grado en Informática Tema 6: Análisis Numérico Matricial II Luis Alvarez León

Univ. de Las Palmas de G.C.

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Contenido 1

Nociones básicas sobre matrices y vecto vectores res

2

Método de Jacobi para calcular calcular autovalores autovalores de matrices matrices simétricas

3

Método Métod o de la potencia potencia para calcular calcular el autova autovalor lor máximo

4

Métodos iterativ iterativos os de resolución de sistemas de ecuaciones ecuaciones

5

Método de Newton-Raphson Newton-Raphson para sistemas no-lineales

6

Condicionamiento de una matriz ULPGCLogo

Contenido 1

Nociones básicas sobre matrices y vecto vectores res

2

Método de Jacobi para calcular calcular autovalores autovalores de matrices matrices simétricas

3

Método Métod o de la potencia potencia para calcular calcular el autova autovalor lor máximo

4

Métodos iterativ iterativos os de resolución de sistemas de ecuaciones ecuaciones

5

Método de Newton-Raphson Newton-Raphson para sistemas no-lineales

6


Contenido 1

Nociones básicas sobre matrices y vecto vectores res distancia entre 2 puntos en el plano Norma de vectores Norma de una matriz Producto Escalar Base ortonormal de vectores autovalores de una matriz

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Análisis Numérico Matricial II Distancia entre 2 puntos en el plano

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Análisis Numérico Matricial II Distancia entre 2 puntos en el plano. La distancia Euclídea

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Análisis Numérico Matricial II Distancia entre 2 puntos en el plano. La distancia L 1

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Análisis Numérico Matricial II Distancia entre 2 puntos en el plano. La distancia L

∞

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Consideremos los puntos (1 2) y ( 3 7) ,

,

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Distancia Euclídea =

,

?

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Distancia Euclídea =

 − (3

,

1)2 + (7

− 2)2

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Distancia Euclídea = Distancia L1 = ?

 − (3

,

1)2 + (7

− 2)2

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Distancia Euclídea = Distancia L1 = 3

 − (3

,

1)2 + (7

− 2)2

| −1|+|7−2|

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 − (3

,

1)2 + (7

− 2)2

| −1|+|7−2|

Distancia L∞ = ?

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 − (3

,

1)2 + (7

− 2)2

| −1|+|7−2| Distancia L∞ = | 7 − 2 |

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 − (3

,

1)2 + (7

− 2)2

| −1|+|7−2| Distancia L∞ = | 7 − 2 | Orden entre las distancias

?

≤

?

≤

? ULPGCLogo




 − (3

,

1)2 + (7

− 2)2

| −1|+|7−2| Distancia L∞ = | 7 − 2 | Orden entre las distancias

≤ distancia Euclídea ≤ distancia L1

distancia L∞

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Contenido 1

Nociones básicas sobre matrices y vectores distancia entre 2 puntos en el plano Norma de vectores Norma de una matriz Producto Escalar Base ortonormal de vectores autovalores de una matriz

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Análisis Numérico Matricial II Distancia y norma L p

distancia Lp entre 2 puntos ( x 1 x 2 ) y ( x 1 x 2 ) ,

p

distancia L =

|

,



x 1 − x  |p + | x 2 − x  |p 1

2

1/p

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p

distancia L =

|

,

1

2

Norma Lp de un vector x = (x 1 x 2 ,

 x p =

 | |  N i =1



x 1 − x  |p + | x 2 − x  |p

x i

p

1/p

x N ) y sus propiedades

, .....

1/p

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p

distancia L =

|

,

1

2


 x p =

 | |  N i =1



x 1 − x  |p + | x 2 − x  |p

x i

p

1/p


, .....

1/p

Propiedades 1

 x p = 0

si y sólo si x = 0 ULPGCLogo



p

distancia L =

|

,

1

2


 x p =

 | |  N i =1



x 1 − x  |p + | x 2 − x  |p

x i

p

1/p


, .....

1/p

Propiedades 1 2

 x p = 0 si y sólo si x = 0  λx p =| λ | x p para todo λ y x

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p

distancia L =

|

,

1

2


 x p =

 | |  N i =1



x 1 − x  |p + | x 2 − x  |p

x i

p

1/p


, .....

1/p

Propiedades 1 2 3

 x p = 0 si y sólo si x = 0  λx p =| λ | x p para todo λ y x  x + y p ≤ x p +  y p para todo x , y

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Análisis Numérico Matricial II Lugar geométrico de los puntos que verifican  x 2 ≤ 1

Cual es el lugar geométrico de los puntos que verifican

 x 2=



x 12 + x 22

≤ 1

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 x 2=



x 12 + x 22

≤ 1

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 x 1=| x 1 | + | x 2 |≤ 1

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 x 1=| x 1 | + | x 2 |≤ 1

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Análisis Numérico Matricial II Lugar geométrico de los puntos que verifican  x  ≤ 1 ∞


 x 1= max {| x 1 |, | x 2 |} ≤ 1

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Análisis Numérico Matricial II Lugar geométrico de los puntos que verifican  x  ≤ 1 ∞


 x 1= max {| x 1 |, | x 2 |} ≤ 1

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Análisis Numérico Matricial II Creación de métodos en la clase Array1D para calcular la norma Euclídea

template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . ....

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_euclidea(){ . ...... . . }

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_euclidea(){ .

?

.

for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }

.

?

. .

} ULPGCLogo


template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_euclidea(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }

?

. .

} ULPGCLogo


template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_euclidea(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= ? }

?

. .

} ULPGCLogo


template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_euclidea(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= data_[k]*data_[k]; }

?

. .

} ULPGCLogo


template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_euclidea(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= data_[k]*data_[k]; } return sqrt(norma); . . } ULPGCLogo


template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_euclidea(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= data_[k]*data_[k]; } return sqrt(norma); . . } Si x es una instancia de la clase Array1D llamamos al método haciendo ?

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_euclidea(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= data_[k]*data_[k]; } return sqrt(norma); . . } Si x es una instancia de la clase Array1D llamamos al método haciendo double norma=x.norma_euclidea();

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Análisis Numérico Matricial II Creación de métodos en la clase Array1D para calcular la norma 1


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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_1(){ . ...... . . }

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_1(){ .

?

.

for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }

.

?

. .

} ULPGCLogo


template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_1(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }

?

. .

} ULPGCLogo


template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_1(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= ? }

?

. .

} ULPGCLogo


template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_1(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= mn_abs(data_[k]); }

?

. .

} ULPGCLogo


template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_1(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= mn_abs(data_[k]); } return norma; . . } ULPGCLogo


template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_1(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= mn_abs(data_[k]); } return norma; . . } Si x es una instancia de la clase Array1D llamamos al método haciendo ?

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_1(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= mn_abs(data_[k]); } return norma; . . } Si x es una instancia de la clase Array1D llamamos al método haciendo double norma=x.norma_1();

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Análisis Numérico Matricial II Creación de métodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito


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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_inf(){ . ...... . . }

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_inf(){ .

?

.

for(int k=0;k< ? ;k++){ ? }

. .

?

. .

}

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_inf(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< ? ;k++){ ? } .

?

. .

}

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_inf(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ ? } .

?

. .

}

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: . template double Array1D::norma_inf(){ . double norma=0.; . . for(int k=0;k< n_;k++){ if(norma
?

. .

}

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Análisis Numérico Matricial II Uso de la norma para calcular distancias

Sopongamos que tenemos 2 instancias x1 y x2 de la clase Array1D, es decir Array1D x1; Array1D x2; Para calcular la distancia Euclídea entre x1 y x2 usando el método para calcular la norma Euclídea que hemos creado podemos hacer : real distancia_euclidea =

?;

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Análisis Numérico Matricial II Uso de la norma para calcular distancias

Sopongamos que tenemos 2 instancias x1 y x2 de la clase Array1D, es decir Array1D x1; Array1D x2; Para calcular la distancia Euclídea entre x1 y x2 usando el método para calcular la norma Euclídea que hemos creado podemos hacer : real distancia_euclidea = (x1-x2).norma_euclidea();

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Contenido 1


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Análisis Numérico Matricial II Norma de una matriz

Sea A una matriz y sea . una norma vectorial. Se define la norma de A, subordinada a la norma vectorial . como

 

 

 A = supx =0 Ax x 

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Sea A una matriz y sea . una norma vectorial. Se define la norma de A, subordinada a la norma vectorial . como

 

 

 A = supx =0 Ax x  Vamos, en primer lugar, a diseñar un código en C++ básico para aproximar la norma Euclídea de una matriz a partir de esta definición. Para ello necesitamos un procedimiento para crear vectores aleatorios, lo cual haremos creando un constructor especial de la clase Array1D y después implementaremos un procedimiento para aproximar la norma de la matriz.

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Análisis Numérico Matricial II Creación de métodos para hacer un constructor de un array de tamaño N y coordenadas aleatorias en el intervalo [a,b].


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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: template . . double Array1D::Array1D(int N,T a, T b){ ...... . . }

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: template . . double Array1D::Array1D(int N,T a, T b){

?

.

for(int k=0;k< ? ;k++){ data_[k]= ? }

. .

. .

}

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: template . . double Array1D::Array1D(int N,T a, T b){ Array1D aux(N); . . *this=aux; for(int k=0;k< ? ;k++){ . data_[k]= ? . . } } .

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: template . . double Array1D::Array1D(int N,T a, T b){ Array1D aux(N); . . *this=aux; for(int k=0;k< n_;k++){ . data_[k]= ? . . } } .

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template class Array1D{ . private: . T* data_; // puntero al comienzo del array int n_; //dimensión de array . . .... . public: template . . double Array1D::Array1D(int N,T a, T b){ Array1D aux(N); . . *this=aux; for(int k=0;k< n_;k++){ . data_[k]= a+ (b-a)*rand()/RAND_MAX; . . } } .

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Análisis Numérico Matricial II Código C++ Cálculo de la norma Euclídea de una matriz

 A = supx =0 Ax x 

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 A = supx =0 Ax x  real norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) { real norma=0.; . . for(int k=0;k ? ; . . real temp=? if(? ){ ? } . } . .

?

}

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 A = supx =0 Ax x  real norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) { real norma=0.; . . for(int k=0;k x(A.dim1(),(real) -1.,(real) 1.); . . real temp=? if(? ){ ? } . } . .

?

}

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 A = supx =0 Ax x  real norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) { real norma=0.; . . for(int k=0;k x(A.dim1(),(real) -1.,(real) 1.); . . real temp= (A*x).norma_euclidea()/x.norma_euclidea(); if(? ){ ? } . } . .

?

}

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 A = supx =0 Ax x  real norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) { real norma=0.; . . for(int k=0;k x(A.dim1(),(real) -1.,(real) 1.); . . real temp= (A*x).norma_euclidea()/x.norma_euclidea(); if( temp>norma){ ? } . } . .

?

}

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 A = supx =0 Ax x  real norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) { real norma=0.; . . for(int k=0;k x(A.dim1(),(real) -1.,(real) 1.); . . real temp= (A*x).norma_euclidea()/x.norma_euclidea(); if( temp>norma){ norma=temp; } . } . .

?

}

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 A = supx =0 Ax x  real norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) { real norma=0.; . . for(int k=0;k x(A.dim1(),(real) -1.,(real) 1.); . . real temp= (A*x).norma_euclidea()/x.norma_euclidea(); if( temp>norma){ norma=temp; } . } . . return norma; }

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 A = supx =0 Ax x  real norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) { real norma=0.; . . for(int k=0;k x(A.dim1(),(real) -1.,(real) 1.); . . real temp= (A*x).norma_euclidea()/x.norma_euclidea(); if( temp>norma){ norma=temp; } . } . . return norma; } Este procedimiento nos da una aproximación (no el valor exacto). Además, en la práctica, especialmente si la dimensión de la matriz es grande, habría que hacer un número de iteraciones gigantesco para ULPGCLogo estar seguros de que nos acercamos al valor real.


Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz matemáticamente sin necesidad de realizar un procedimiento aleatorio.

 A = supx =0 Ax x 

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 A = supx =0 Ax x  Ejemplos λ 0 0 λ

 

= sup λx x  = sup |λ|x x  = λ x =0



x =0



||

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 A = supx =0 Ax x  Ejemplos 2 0 0 1

 

2

√ (2x ) +x = sup √ x +x x =0



1 2 1

2 2

2

2 2

=?

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Ejemplos 2 0 0 1

 

2

 A = supx =0 Ax x  √ (2x ) +x √ (2·1) +0 = sup √ = √ =2 x +x 1 +0 x =0



1 2 1

2 2

2

2 2

2

2

2

2

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Ejemplos 2 0 0 1

    2 0 0 1

2

1




1 2 1

2 2

2

2 2

2

2

2

2

1 |+|x 2 | ? = sup ||2x x 1 |+|x 2 | =

x =0



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Ejemplos 2 0 0 1

    2 0 0 1

2

1




1 2 1

2 2

2

2 2

1 |+|x 2 | = sup ||2x x 1 |+|x 2 | =

x =0



2

2

|2·1|+|0| |1|+|0|

2

2

=2

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Ejemplos 2 0 0 1

      2 0 0 1 2 0 0 1

2

1




1 2 1

2 2

2

2 2

1 |+|x 2 | = sup ||2x x 1 |+|x 2 | =

∞

x =0



2

2

|2·1|+|0| |1|+|0|

2

2

=2

{|2x 1 |,|x 2 |} = ? = sup max max {|x 1 |,|x 2 |} x =0



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Ejemplos 2 0 0 1

      2 0 0 1 2 0 0 1

2

1




1 2 1

2 2

2

2 2

1 |+|x 2 | = sup ||2x x 1 |+|x 2 | =

∞

x =0



2

2

|2·1|+|0| |1|+|0|

{|2x 1 |,|x 2 |} = = sup max max {|x 1 |,|x 2 |} x =0



2

2

=2

max 2 1 , 0 max 1 , 0

{| · | | |} {| | | |}

=2 ULPGCLogo



 A = supx =0 Ax x  Ejemplos 1 0 1 1

 

√ x +(x +x ) = sup √ x +x 2 1

2

x =0



1

2 1

2

2 2

2

=?

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Ejemplos 1 0 1 1

 

 A = supx =0 Ax x  √ x +(x +x ) √ (1+√ 5) +(1+√ 5+2) √ = sup √ = √ x +x (1+ 5) +(2) 2 1

2

x =0



1

2 1

2

2 2

2

2

2

2

2

= 1. 618

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Ejemplos 1 0 1 1

    1 0 1 1

2

 A = supx =0 Ax x  √ x +(x +x ) √ (1+√ 5) +(1+√ 5+2) √ = sup √ = √ x +x (1+ 5) +(2)

1

|x 1 +x 2 | = ? = sup |x 1|x |+ 1 |+|x 2 |

2 1

x =0



1

2 1

2

2

2 2

2

2

2

2

= 1. 618

x =0



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Ejemplos 1 0 1 1

    1 0 1 1

2


1

|x 1 +x 2 | = = sup |x 1|x |+ 1 |+|x 2 |

2 1

x =0



x =0



1

2 1

2

2

2

2 2

2

2

|1+|1+0| |1|+|0|

2

= 1. 618

=2

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Ejemplos 1 0 1 1

      1 0 1 1 1 0 1 1

2


1

|x 1 +x 2 | = = sup |x 1|x |+ 1 |+|x 2 |

2 1

x =0



∞

x =0



1

2 1

2

2

2

2 2

2

2

|1+|1+0| |1|+|0|

2

= 1. 618

=2

{|x 1 |,|x 1 +x 2 |} = ? = sup max max {|x 1 |,|x 2 |} x =0



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Ejemplos 1 0 1 1

      1 0 1 1 1 0 1 1

2


1

|x 1 +x 2 | = = sup |x 1|x |+ 1 |+|x 2 |

2 1

x =0



∞

x =0



1

2 1

2

2

2

2 2

2

|1+|1+0| |1|+|0|

{|x 1 |,|x 1 +x 2 |} = = sup max max {|x 1 |,|x 2 |} x =0



2

2

= 1. 618

=2

max 1 , 1+1 max 1 , 1

{| | | |} {| | | |}

=2 ULPGCLogo

Análisis Numérico Matricial II Cálculo de las normas de una matriz

Teorema Sea A una matriz cualquiera, entonces

 A 2 =



máximo de los autovalores de t AA

ULPGCLogo





 A 2= máximo de los  A 1= max j i | a ij |

autovalores de t AA

 

ULPGCLogo





 A 2= máximo de los  A 1= max j i | a ij |  A ∞= max i j | a ij |

autovalores de t AA

  

ULPGCLogo

Ejemplo cálculo normas matrices Ejemplo: Calcular las normas 2 , 1 e infinito de la matriz A =

  1 0 1 2

ULPGCLogo


Solución: para calcular A la matriz 1 1 0 2

  1 0 1 2

 2, calculamos primero los autovalores de

     1 0 1 2

=

2 2 2 4

que se calculan usando el polinomio característico

ULPGCLogo



  1 0 1 2


     1 0 1 2

=

2 2 2 4


 − √ 2

λ

2



= λ 2

− 6λ + 4 √ cuyas raíces son 3 ± 5. Por tanto  A 2 = 3 + 5. 2

4

−λ



ULPGCLogo



  1 0 1 2


     1 0 1 2

=

2 2 2 4


 − √ 2

λ

2



= λ 2

− 6λ + 4 √ cuyas raíces son 3 ± 5. Por tanto  A 2 = 3 + 5. Por otro lado 2

4

−λ



ULPGCLogo



  1 0 1 2


     1 0 1 2

=

2 2 2 4


 − − √ ±  | | 2

λ

 A 1= max j

i

= λ 2

− 6λ + 4 √ 5. Por tanto  A  = 3 + 5. Por otro lado 2

cuyas raíces son 3

2



a ij

4

λ

=?

2



ULPGCLogo



  1 0 1 2


     1 0 1 2

=

2 2 2 4


 − − √ ±  | | 2

λ

 A 1= max j

i

= λ 2


cuyas raíces son 3

2



a ij

4

= 2

λ

2



ULPGCLogo



  1 0 1 2


     1 0 1 2

=

2 2 2 4


 − − √ ±  | | | | 2

λ

 A 1= max j  A ∞= max i

= λ 2


cuyas raíces son 3

2



4

a ij

i

j

a ij

λ

= 2

2



=? ULPGCLogo



  1 0 1 2


     1 0 1 2

=

2 2 2 4


 − − √ ±  | | | | 2

λ

 A 1= max j  A ∞= max i

= λ 2


cuyas raíces son 3

2



4

a ij

i

j

a ij

λ

= 2

2



= 3 ULPGCLogo

Contenido 1


ULPGCLogo

Análisis Numérico Matricial II Producto escalar de 2 vectores

DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores N

(x i , x j ) =

  (x i )k x j

k

k =1

donde (x i )k indica la coordenada k -ésima del vector x i .

ULPGCLogo



(x i , x j ) =

  (x i )k x j

k

k =1

donde (x i )k indica la coordenada k -ésima del vector x i . Ejemplo: Sean x 1 = (1, 2, 3)T y x 2 = (9, 8, 5)T , entonces :

−

(x 1 , x 2 ) = ?

ULPGCLogo



(x i i , x j ) =

  (x i i )k x j

k

k =1

donde (x i i )k indica la coordenada k -ésima -ésima del vector x i i . Ejemplo: Sean x 1 = (1, 2, 3)T y x 2 = (9, 8, 5)T , entonces :

−

(x 1 , x 2 ) = 1 9 + 2 8

·

· − 3 · 5 = 10 ULPGCLogo



(x i i , x j ) =

  (x i i )k x j

k

k =1


−

(x 1 , x 2 ) = 1 9 + 2 8

·

Propiedad importante: importante:

 x  2= ?

· − 3 · 5 = 10 ULPGCLogo



(x i i , x j ) =

  (x i i )k x j

k

k =1


−

(x 1 , x 2 ) = 1 9 + 2 8

· − 3 · 5 = 10

·

Propiedad importante: importante:

 x  2=



(x , x )

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Análisis Numérico Matricial II Normalizar vectores

Normalizar vectores Dado un vector x vector x normalizarlo normalizarlo respecto a la norma el vector por su norma, es decir, hacer

 .  consiste consiste en dividir dividir

x x

   La norma de un vector normalizado es 1.

ULPGCLogo


Normalizar vectores Dado un vector x vector x normalizarlo normalizarlo respecto a la norma el vector por su norma, es decir, hacer

 .  consiste consiste en dividir dividir

x x

   La norma de un vector normalizado es 1. Ejemplo:Sea x Ejemplo:Sea x = (1, 2, 3)T , normalizar el vector depende de la norma considerada y consiste en hacer :

−

x x

  2

=?

x x

  1

=?

x =? x ∞

  

ULPGCLogo


Normalizar vectores Dado un vector x normalizarlo respecto a la norma el vector por su norma, es decir, hacer

 .  consiste en dividir

x x

  La norma de un vector normalizado es 1. Ejemplo:Sea x = (1, 2, 3)T , normalizar el vector depende de la norma considerada y consiste en hacer :

−

x x

 2

=

 √ √   − √  1/ 14 2/ 14 3/ 14

x x

 1

=?

x =? x ∞

 

ULPGCLogo




x x


−

x x

 2

=

 √ √   − √  1/ 14 2/ 14 3/ 14

x x

 1

=

  −  1/6 2/6 3/6

x =? x ∞

 

ULPGCLogo




x x


−

x x

 2 =

 √ √   − √  1/ 14 2/ 14 3/ 14

x x

 1 =

  −  1/6 2/6 3/6

x = x ∞

 

  −  1/3 2/3 3/3

ULPGCLogo

Contenido 1


ULPGCLogo

Análisis Numérico Matricial II Base ortonormal de vectores

DEFINICION: Base ortonormal de vectores Una base ortornormal de vectores de R N son N vectores x 1 ,....x N normalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir los vectores son ? entre sí).

ULPGCLogo


DEFINICION: Base ortonormal de vectores Una base ortornormal de vectores de R N son N vectores x 1 ,....x N normalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir los vectores son perpendiculares entre sí).

ULPGCLogo


DEFINICION: Base ortonormal de vectores Una base ortornormal de vectores de R N son N vectores x 1 ,....x N normalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir los vectores son perpendiculares entre sí). Ejemplo: los vectores columna de las siguientes matrices forman una base ortonormal de vectores

 

1 0 0 0 1 0 0 0 1

 

√ /

√ √ −1√ / 6 1 2 1/√ 3 0 √ 1/ √ 3 2/√ 6 1/ 2 −1/ 3 1/ 6

 −

cos(α) sin(α) 0 sin(α) cos(α) 0 0 0 1

  ULPGCLogo

Contenido 1


ULPGCLogo

Análisis Numérico Matricial II Autovalores de una matriz

Definición Un autovalor de A es un número real λ tal que existe un vector x, denominado autovector, tal que Ax = λx

ULPGCLogo


Definición Un autovalor de A es un número real λ tal que existe un vector x, denominado autovector, tal que Ax = λx

Definición Se denomina polinomio característico P (λ) de la matriz A, al polinomio dado por el determinante P (λ) = A

| − λI | ULPGCLogo


Problema Calcular los autovectores de la matriz

 

1 1 0 1 1 0 0 0 2

 

y determinar una base ortonormal de R 3 de autovectores de A.

ULPGCLogo



 

1 1 0 1 1 0 0 0 2

 


Solución: tenemos que calcular los ceros del polinomio característico ?

ULPGCLogo



 

1 1 0 1 1 0 0 0 2

 


Solución: tenemos que calcular los ceros del polinomio característico A λi Id = 0

| −

|

ULPGCLogo



 

1 1 0 1 1 0 0 0 2

 



| −

|

 

1

−λ 1 0

1 1

−λ 0

0 0 2

−λ

 

= ((1

− λ)2 − 1)(2 − λ) = 0 ULPGCLogo



 

1 1 0 1 1 0 0 0 2

 



| −

|

 

1

−λ 1 0

1 1

−λ 0

0 0 2

−λ

 

= ((1

− λ)2 − 1)(2 − λ) = 0

de donde obtenemos λ 1 = 0, λ 2 = 2 y λ 3 = 2

ULPGCLogo

Análisis Numérico Matricial II Autovalores de una matriz Calculamos los autovectores de A :

ULPGCLogo


λ1 = 0

 

1 1 0 1 1 0 0 0 2

          →  x 1 x 2 x 3

=

0 0 0

x 1 =

−x 2

x 3 = 0

→

x¯1 = ?

ULPGCLogo


λ1 = 0

 

1 1 0 1 1 0 0 0 2

          →  x 1 x 2 x 3

=

0 0 0

x 1 =

−x 2

x 3 = 0

→

x¯1 =

    √ 1 −√ 12 2 0

ULPGCLogo


λ1 = 0

            →   −      −     → 1 1 0 1 1 0 0 0 2

x 1 x 2 x 3

x 1 =

0 0 0

=

−x 2

x 3 = 0

λ2 , λ3 = 2 1 1 0

1 0 1 0 0 0

x 1 x 2 x 3

=

0 0 0

?

→

→

x¯1 =

    √ 1 −√ 12 2 0

x¯2 = ?, x¯3 = ?

ULPGCLogo


λ1 = 0

       −      →   −        −     →  1 1 0 1 1 0 0 0 2

x 1 x 2 x 3

x 1 =

0 0 0

=

x 2

x 3 = 0

→

x¯1 =

1 0 1 0 0 0

x 1 x 2 x 3

=

0 0 0

x 1 = x 2 x 3 libre

√ 1 −√ 12 2 0

λ2 , λ3 = 2 1 1 0

   

→

x¯2 = ?, x¯3 = ?

ULPGCLogo


λ1 = 0

      −     →   −        −     →   

1 1 0 1 1 0 0 0 2

x 1 x 2 x 3

x 1 =

0 0 0

=

x 2

x 3 = 0

→

x¯1 =

1 0 1 0 0 0

x 1 x 2 x 3

=

0 0 0

x 1 = x 2 x 3 libre

√ 1 −√ 12 2 0

λ2 , λ3 = 2 1 1 0

       

→

x¯2 =

√ 1 2 1 √ 2

, x¯3 = ?

0

ULPGCLogo


λ1 = 0

      −     →   −        −     →   

1 1 0 1 1 0 0 0 2

x 1 x 2 x 3

x 1 =

0 0 0

=

x 2

x 3 = 0

→

x¯1 =

1 0 1 0 0 0

x 1 x 2 x 3

=

0 0 0

x 1 = x 2 x 3 libre

√ 1 −√ 12 2 0

λ2 , λ3 = 2 1 1 0

       

→

x¯2 =

√ 1 2 1 √ 2 0

, x¯3 =

    0 0 1

ULPGCLogo


λ1 = 0

      −     →  →  −        −     →  →      

1 1 0 1 1 0 0 0 2

x 1 x 2 x 3

x 1 =

0 0 0

=

x 2

x¯1 =

x 3 = 0

λ2 , λ3 = 2 1 1 0

1 0 1 0 0 0

x 1 x 2 x 3

=

x 1 = x 2

0 0 0

x 3 libre

La matriz,

B =

√ 12 √ 12 −1 √ 1 √ 2

0

2

0

        √ 1 −√ 12 2 0

x¯2 =

√ 1 2 1 √ 2 0

, x¯3 =

    0 0 1

0

0 1

contiene los autovectores de A que forman una base ortonormal de R 3 .

ULPGCLogo

Análisis Numérico Matricial II Autovalores de matrices simétricas

Teorema Todas las matrices simétricas poseen una base ortonormal de autovectores. Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensión tenga la matriz (aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)

ULPGCLogo



No todas las matrices poseen una base de autovectores. A =

  1 0 1 1

tiene como autovalor λ =

?

ULPGCLogo



No todas las matrices poseen una base de autovectores. A=

  1 0 1 1

tiene como autovalor λ = 1

ULPGCLogo




  1 0 1 1

y tiene como autovector


? ULPGCLogo




  1 0 1 1


y tiene como autovector x = (0, 1)T ULPGCLogo

Contenido 1

Nociones básicas sobre matrices y vectores

2

Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas

3

Método de la potencia para calcular el autovalor máximo

4

Métodos iterativos de resolución de sistemas de ecuaciones

5

Método de Newton-Raphson para sistemas no-lineales

6


Análisis Numérico Matricial II Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas

Este método se basa en que, dadas dos matrices A y R , se verifica que los autovalores de A son los mismos que los autovalores de R −1 AR . : R −1 ARx = λx

⇒

ULPGCLogo



⇒ ARx = λRx ⇒

ULPGCLogo



⇒ ARx = λRx ⇒



λ es autovalor de A para el autovector Rx

ULPGCLogo



⇒ ARx = λRx ⇒




Las matrices R que se van a utilizar son matrices de rotación : R =



cos α sin α sin α cos α

−

⇒

R −1 =?

ULPGCLogo



⇒ ARx = λRx ⇒








−

⇒

R −1 =



cos α sin α

− sin α cos α

 ULPGCLogo



⇒ ARx = λRx ⇒








−

⇒

R −1 =

  

cos α sin α

− sin α cos α



En 3 variables las matrices de rotación respecto a cada eje son

 −

cos α sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1

  −

cos α 0 sin α 0 1 0 sin α 0 cos α

 

1 0 0 0 cos α sinULPGCLogo α 0 sin α cos α

−

Análisis Numérico Matricial II Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal.

ULPGCLogo

Análisis Numérico Matricial II Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas El objetivo del método es convertir A en una matriz diagonal. R −1 AR =



cos α sin α

− sin α cos α



a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−



ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=



1 1 a 0,0 cos2 α a 0,1 sin2α + a 1,1 sin2 α a 0,1 cos2α a 1 1 , 2 2 a 0,0 sin2α 2 1 1 2 a 0,1 cos2α a a sin2 a cos a sin2 a sin α α α + α 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 , , , , , 2 2

− −



−

− −

−



ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=




− −



−

lo que nos lleva a la condición :

− −

−



tan (2α) = ?

ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=




− −



−


− −

tan (2α) =

−



2a 0,1 a 1,1 a 0,0

−

ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=




− −



−


− −

tan (2α) =

−



2a 0,1 a 1,1 a 0,0

−

Ejemplo A =

  1 1 1 1

ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=




− −



−


− −

tan (2α) =

−



2a 0,1 a 1,1 a 0,0

−

Ejemplo A =

 ⇒ 1 1 1 1

tan(2α) = ?

ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=




− −



−


− −

tan (2α) =

−



2a 0,1 a 1,1 a 0,0

−

Ejemplo A =

 ⇒ 1 1 1 1

tan(2α) =

2 0

ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=




− −



−


− −

tan (2α) =

−



2a 0,1 a 1,1 a 0,0

−

Ejemplo A =

 ⇒ 1 1 1 1

tan(2α) =

2 0

⇒ α = ?

ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=




− −



−


− −

tan (2α) =

−



2a 0,1 a 1,1 a 0,0

−

Ejemplo A =

 ⇒ 1 1 1 1

tan(2α) =

2 0

⇒ α = π4

ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=




− −



−


− −

tan (2α) =

−



2a 0,1 a 1,1 a 0,0

−

Ejemplo A =

 ⇒ 1 1 1 1

tan(2α) =

2 0

⇒ α = π4 ⇒ R −1AR =

  0 0 0 2

ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=




− −



−


− −

tan (2α) =

−



2a 0,1 a 1,1 a 0,0

−

Ejemplo A =

 ⇒ 1 1 1 1

tan(2α) =

2 0

⇒ α = π4 ⇒ R −1AR =

  0 0 0 2

Por tanto los autovalores y autovectores de A son :

λ1 =

ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=




− −



−


− −

tan (2α) =

−



2a 0,1 a 1,1 a 0,0

−

Ejemplo A =

 ⇒ 1 1 1 1

tan(2α) =

2 0

⇒ α = π4 ⇒ R −1AR =

  0 0 0 2


λ1 = 0

⇒ x = R

   √ √  1 0

=

−

2/2 2/2

λ2 =

ULPGCLogo






cos α sin α

− sin α cos α

 

a 0,0 a 0,1 a 0,1 a 1,1




−





=




− −



−


− −

tan (2α) =

−



2a 0,1 a 1,1 a 0,0

−

Ejemplo A =

 ⇒ 1 1 1 1

tan(2α) =

2 0

⇒ α = π4 ⇒ R −1AR =

  0 0 0 2


λ1 = 0

⇒ x = R

   √ √  1 0

=

−

2/2 2/2

λ2 = 2

⇒ x = R

   √ √  0 1

=

2/2 2/2

ULPGCLogo

Análisis Numérico Matricial II Método de Jacobi para calcular autovalores de matrices simétricas Ejemplo

 −

1 1 2

−1 2 2 −1 −1 5

 

ULPGCLogo


?

 −

1 1 2

−1 2 2 −1 −1 5

 

?

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 

cos α 0 0 1 sin α 0

− sin α 0 cos α

  −

1 1 2

−1 2 2 −1 −1 5

  −


 

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 

cos α 0 0 1 sin α 0

− sin α 0 cos α

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1 1 2

−1 2 2 −1 −1 5

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tan(2α) =

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Métodos Numericos: Tema 6 - Transparencias

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