metodos numericos itesco

CÁLCULO NUMÉRICO Libro de Cátedra

R. RIVEROS

ISBN 978978-99953 -9995399953-2 -22-262 -262262-5 -5 Cálculo Numérico. Libro de Cátedra

© Roberto Riveros Escurra Pilar, marzo de 2010 Pilar - Paraguay

CÁLCULO NUMÉRICO Libro de Cátedra

ROBERTO RIVEROS ESCURRA, Lic. Matemáticas Prof. Facultad de Ciencias Aplicadas Universidad Nacional de Pilar

233 Ejemplos 367 Ejercicios con respuestas 61 Teoremas 177 Gráficos

Año 2010

Prólogo La elaboración de este libro de Calculo Numérico, surgió de la necesidad de contar con un material que incluya todos los contenidos exigidos por la cátedra del mismo nombre, considerando que los los tratados sobre Análisis numérico, Calculo Numérico o Métodos numéricos, no son de uso corriente, es más, su estudio y escritos se limitan a pocos autores. Este libro de Cálculo Numérico está dividido en diez capítulos bien diferenciados, para facilitar su estudio en forma organizada y didáctica, presentando algunas características que facilitan el estudio y aprendizaje de cada contenido. Entre estas características se tienen que: a) Cada contenido cuenta con los teoremas que sustentan matemáticamente y definen los contenidos desarrollados. Si bien la mayoría de los teoremas se presentan sin demostración, en cada caso se citan las fuentes, para acceder a tales demostraciones. b) Cada contenido cuenta con definiciones matemáticas que orientan el proceso de aprendizaje. c) Cada tema presentado cuenta con ejemplos desarrollados didácticamente, abundando y hasta abusando a veces de los desarrollos matemáticos, de manera a facilitar el aprendizaje y no dejar vacíos de comprensión entre un paso y otro de cada ejercicio. d) Al final de cada capítulo se presentan abundantes ejercicios de fijación, con las soluciones incluidas, que serán de utilidad a la hora de realizar la verificación de los ejercicios de fijación después de resolverlos. Que este libro de Cálculo Numérico (Libro de Cátedra 1), sea de verdadera utilidad para cada estudiante o docente, en la tarea de estudiar, comprender y aprender el Cálculo Numérico.

Lic., Roberto Riveros E.

Pilar – Paraguay Febrero - 2010

1 Materia particular que enseña un

catedrático

CONTENIDO CAPITULO 0 GENERALIDADES Algunos conceptos fundamentales………………………………….……………………………………….…………..8 Análisis numérico……………………………………………..…………………………………………………….…………..9 Métodos numéricos……………………………………………………………………………………… n uméricos…………………………………………………………………………………………………………….9 …………………….9 Graph………………………………………………………….…………………………………………………………..………..10 CAPITULO 1 FUNCIONES y ECUACIONES Introducción………………………………….………………………………………………….………………………………11 Funciones…………………………………………………………...……………………………….……………………………11 Funciones algebraicas…………………………………………………………………………………….…………………12 Funciones trascendentes…………………………………………………..……..……………………….……………….19 Función exponencial……………………………………………………………………………………………...………….21 Función logaritmo…………………………………………………………………………………………….……………….22 Ecuación………………………………………………………………………………………………………….………………..24 División Divisi ón sintética. sintétic a. Regla de Ruffini…………………………………………...………………….…………………..24 Raíces enteras de polinomios enteros…………………………………………………………….…………………..26 Raíces racionales de polinomios enteros………………………………………..……………..……………………31 Ecuaciones de primer grado…………………………………………………………...………….………………………32 Forma sencilla de evaluar polinomios……………………………………………...…………….………..…………35 Polinomios que no tienen raíces racionales……………………………………...………….……………………..35 Cotas para las raíces de polinomios…………………………………………………………….…….………………..35 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………………………….……………………..39 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………………..………………..44 Gráfica de los ejercicios de fijación………………………………………………………...……..……………………50 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE ERRORES Introducción…………………………………………………………………………………….……………………………….53 Aproximación numérica………………………………………………………………………….....……………..……….53 Modelos matemáticos……………………………………………………………………………….……….………………54 Errores………………………………………………………………………………………………….…...……………………..54 Redondeo de un número…………………………………………………………………………..…..…..……………….58 Cifras significativas……………………………………………………………………………….……...…..……………….61 Números en la computadora……………………………………………………………………..…....…………………62 Propagación de errores…………………………………………………………………………………..…………………63 Criterio de convergencia…………………………………………………………………………...……...……………….64 Orden de convergencia……………………………………………………………………………..……………………….65 Ejercicios de fijación……………………………………………………………………………….….……………………..66 CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Introducción……………………………………………………………………………………………………….…………….69

Vectores……………………………………………………………………………………….……………..……………………69 Matrices……………………………………………………………………………………………...……...…………………….70 Operaciones con matrices…………………………………………………………………….……………………………75 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………………………………….78 Determinantes…………………………………………………………………………………….……………………………80 Resolución de un determinante de 2° orden…………………………………………..………...…………………82 Determinante de 3er orden………………………………………………………………….…………...………………..82 Ejercicios de fijación…………………………………………………………………………….………….....……………..83 Sistemas lineales………………………………………………………………………………….…..……………………….84 Clasificación de un sistema lineal………………………………………………………….…………..……………….85 Transformaciones elementales…………………………………………………………….…………..………………..86 Mal condicionamiento………………………………………………………………………….…..………………………..87 Sistema bien condicionado……………………………………………………………………….………………………..87 Método de determinantes………………………………………………………………………….……...……………….87 Ejercicios de fijación…………………………………………………………………………………………..……………..89 Métodos Iterativos………………………………………………………………………………….…………..……………91 Método de Jacobi…………………………………………………………………………………….….……………………..91 Método de Gauss – Seidel………………………………………………………………………….………...……………..92 Sistemas triangulares………………………………………………………………………………...………...……………93 Método de eliminación de Gauss………………………………………………………………...………...……………95 Descomposición LU……………………………………………………………………………………………...……………99 Ejercicios de fijación…………………………………………………………………………………………….………….102 CAPÍTULO 4 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Introducción……………………………………………….………………………………………..…………………………105 Representación de un número entero……………………………………………………….…….………………..106 Representación de un número real………………………………………………………….……………...………..106 Punto fijo……………………………………………………………………… fijo………………………………………………………………………………………………………..………………106 ………………………………..………………106 Punto flotante……………………………………………………… flo tante…………………………………………………………………………………………..…………….……….106 …………………………………..…………….……….106 Representación de un número en el sistema (B,t,m,M )….…………………………………….…...…..……108 )….…………………………………….…...…..……108 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………………………..……………..………110 Cambio de base…………………………………………………………………………..…………….……………………..111 Sistema binario de numeración………………………………………………………………….…………………….111 Conversión del sistema binario al decimal………………………………………………………………………..112 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………………………..……………………..112 Conversión del sistema decimal al binario…………………………………………..……………………………113 Ejercicios resueltos………………………………………………………………………..………………………………..114 Sistema hexadecimal………………………………………………………………...……………………….…………….117 Conversión binaria a hexadecimal……………………………………………...………..…………….…………….118 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………..………………….…………..119 CAPÍTULO 5 ECUACIONES ECUACIONES NO LINEALES Introducción……………………………………………..………………………………….…………………………………123 Resolución de ecuaciones no lineales……………………………………………………...………………………..125 Orden de convergencia…………………………………………………………………...….……………………………125

Gráfica de funciones………………………………………………………………….……....…………………………….126 Métodos cerrados……………………………………………………………………………..……….……………………127 Método de bisección………………………………………………………………………………………………………..127 Método de Regula Falsi, Regla Falsa o Falsa Posición……………………………..…..……..………………130 Métodos abiertos……………………………………………………………..………………………………….…………..134 Método de punto fijo……………………………………………………………………..……………………….………..134 Método de Newton – Rapson………………………………………………………..…………………………….……138 Método de Newton modificado………………………………………………….……………...…..…………………141 Método de la secante…………………………………………………………….…………………...……..……………..143 Método de Muller………………………………………………………………………………………………..…………..145 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………….…………….………152 Gráfica de las funciones de los ejercicios del 5.1. al 5.15……………………………..…….………..……154 CAPÍTULO 6 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Introducción……………………………………………………………………..……………………….……………………159 Método gráfico……………………………………………………………………………………………………………….160 Métodos directos……………………………………………………………………………..…….………………………..161 Punto fijo………………………………………………………………………….…………………….………………………162 Método de Newton……………………………………………………………………………..……….…………………..166 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………………….…………….170 CAPÍTULO 7 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS Introducción…………………………………………………………………………….……………………………………..175 Interpolación polinomial……………………………………………………………..……………………….………….175 Polinomios de interpolación…………………………………………………………………….…………...…………176 Interpolación de Lagrange…………………………………………………………………….……..………...………..178 Error en la interpolación………………………………………………………………………….…..………………….185 Puntos igualmente espaciados…………………………………………………………….…….……………………..187 Diferencias Divididas……………………………………………………………………….……….……………………..190 Fórmula de Newton…………………………………………………………………………..……….……………………192 Diferencias ordinarias…………………………………………………………………………………….……………….195 Tabla de diferencia ordinaria…………………………………………………………………………….…………….196 Formula de Newton-Gregory……………………………………………………………....……………….…………..197 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………..…………….………..198 Grafica de los Ejercicios de Fijación…………………………………………………………….……………………201 CAPITULO 8 INTEGRACION NUMERICA Introducción………………………………………………………………………….………………………………………..203 Método de Serie de Potencias………………………………………….……………………..………………………..205 Método Gráfico……………….……………………………………………………..………………………………………..205 Métodos Numéricos………………………………………………………………………………..……………………….205 Cuadratura interpolatoria……………………………………………………..…………………………………………206 Regla del rectángulo ……………………………………………………………………………………………………….207 Regla del punto medio……………………………………………………………….…….………………………………209

Formulas de Newton – Cotes…………………………………………………………..…………...…………………..210 Método del trapecio………………………………………………………………………..………………………………212 Regla del Trapecio generalizado………………………………………………………….…..……………………….212 Regla (1/3) de Simpson …………………...…..……………...………………………………………………………….226 Regla (1/3) de Simpson generalizada…...………………………………………..………………...………………227 Regla se Simpson (3/8)……….……………………….……………..……………..…………………………………….234 Regla 3/8 de Simpson Generalizada o compuesta……….………..……………………………...….………..236 Método de Boole…………………………………….…………………………………………………..……...……………237 Ejercicios de fijación………………………………………………………………………………………….…………….239 CAPÍTULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA Introducción……………………………………………………………………………….…………………………………..245 Método de Diferencias Finitas…………………………………………………………....………………..…………..247 Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante………………………………..…………………….………….248 Fórmulas de diferencias finitas hacia atrás……………………………………..……………………..…………249 Inestabilidad numérica de las fórmulas de diferencias finitas……………..…………………..…………250 Fórmulas de diferencias centrales…………………………………………………………………………...……….251 Derivación numérica por diferencia centrada de orden O(h 2) ..…………………………………..….….251 Derivación numérica por diferencia centrada de orden O(h 4) …………….……….……………...….…252 Fórmulas de los tres puntos……………………………………………………….…….………………………...……254 Fórmula de los cinco puntos………………………………………………………….......…………………………….258 Errores de truncamiento y de redondeo…………………………………………….....……..…………………..260 Derivadas de orden superior………………………………………………………..……...…..………………………260 Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante……………………………………..……..……………………260 Fórmulas de diferencias finitas hacia atrás…………………………………………..………..…………………262 Fórmulas de diferencias finitas centrales………………………………………….…...…………..……………..264 Resumen de fórmulas de derivación numérica………………………………………..……………..…………266 Ejercicios de fijación…………………………………………………………….………………….………………………267 Gráficas de los ejercicios de fijación……………………………………………..…………………………….…….271 CAPÍTULO 10 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Introducción……………………………………………………………..…………………………………….………………273 Condiciones iniciales……………………………………………………………………………………………………….274 Convergencia……………………………………………………………………..…………………..…...…………………..275 Método de Euler………………………………………………………………………………………….…………………..276 Método de Euler mejorado…………………………………………………………………………...….………………279 Método de Runge – Kutta……………………………………………………..………………………………………….282 Ejercicios de fijación…………………………………………………………………………………….………………….285 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA CONSULTADA……………………………………………………………………….……….…………288

CAPÍTULO 0

GENERALIDADES

8

CAPÍTULO 0

GENERALIDADES Algunos conceptos fundamentales El Cálculo Numérico o Análisis Numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las calculadoras y computadoras, programas informáticos, etc.) que ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo. El análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real. El análisis numérico es el desarrollo y el estudio de procedimientos para resolver problemas con ayuda de una computadora. La ventaja fundamental del análisis numérico es que puede obtenerse una respuesta numérica, aun cuando un problema no tenga solución analítica. La solución obtenida con análisis numérico siempre es numérica. Los resultados numéricos pueden trazarse en forma de grafica para mostrar el comportamiento de la solución. El resultado del análisis numérico es una aproximación, aunque los resultados pueden hacerse tan exactos como se quiera. A fin de obtener la máxima exactitud es necesario efectuar una cantidad enorme de operaciones por separado. Las aplicaciones del cálculo numérico son muy amplias, y entre las operaciones que se pueden realizar con ella se citan algunas: 1. 2. 3. 4. 5.

Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales. Obtención de soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales. Interpolación para encontrar valores intermedios en una tabla de datos. Encontrar aproximaciones eficientes y eficaces de funciones. Aproximación de derivadas de cualquier orden para funciones, incluso cuando la función se conoce solo como una tabla de valores. 6. Integración de cualquier función, aun cuando solo se conozca como una tabla de valores. 7. Obtención de integrales múltiples. 8. Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de valores iniciales de las variables pudiendo ser de cualquier orden y complejidad. 9. Resolución de problemas con valor en la frontera y determinación de valores característicos y vectores característicos. 10. Obtención de soluciones numéricas para todos los tipos de ecuaciones diferenciales parciales. 11. Ajuste de curvas a datos mediante la aplicación de métodos numéricos variados.

CAPÍTULO 0

GENERALIDADES

9

Los métodos numéricos requieren operaciones aritméticas tan tediosas y repetitivas, que solo cuando se cuenta con una computadora que realice tantas operaciones por separado es práctico resolver problemas de esta forma. Para que una computadora pueda realizar el análisis numérico debe escribirse un programa. La iteración es un procedimiento que consiste en elaborar una sucesión de operaciones, cada una de las cuales aplica los resultados de la operación precedente. Muchos procedimientos de análisis numérico son iterativos. Para resolver un problema científico o de ingeniería hay que seguir cuatro pasos generales: 1. 2. 3. 4.

Plantear claramente el problema. Obtener un planteamiento matemático del problema. Resolver la ecuación o ecuaciones que resulten del paso 2. Interpretar el resultado numérico para llegar a una decisión. Es la parte más difícil en la resolución de problemas.

Análisis numérico. Es el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función. El estudio del análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su variación. El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, teniendo en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo, como las calculadoras o las computadoras, que facilitan enormemente la ejecución de las instrucciones del algoritmo. El estudio del análisis numérico facilita la comprensión de los conceptos matemáticos puros, sobre todo teniendo en cuenta que observando cómo algunos de ellos deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales. Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real. Métodos numéricos. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales se posibilitan formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: Son iterativas, o sea, invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos. Un buen conocimiento de los métodos numéricos permite diseñar programas propios aplicables a utilidades específicas.

CAPÍTULO 0

GENERALIDADES

10

Con los métodos numéricos se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala. Las situaciones que se verán con bastante frecuencia en el estudio del cálculo numérico son las aproximaciones y los errores, sean estos pequeños o importantes, por lo tanto, el análisis de una situación problemática y los márgenes necesarios de precisión deben delimitar los criterios a ser utilizados en cada situación, sean estos referidos a los errores tolerables o las precisiones necesarias para la obtención de resultados resultados confiables. Graph Entre los varios programas que se ofrecen comercialmente en la web o de los que se consiguen en forma gratuita (freeware, software libre, de evaluación, etc), el programa GRAPH posee todos los atributos necesarios para ser un apoyo importante y hasta fundamental para el estudiante de matemáticas e ingeniería. Graph es un programa generosamente ofrecido en la web, que se puede bajar sin ningún tipo de inconvenientes y que posee, las mejores herramientas para su uso en la materia de Cálculo numérico, de entre las de adquisición gratuita. Con Graph se puede graficar cualquier tipo de función, sean estas algebraicas (lineales, cuadráticas, cúbicas, cuarticas, etc), o trascendentes (exponenciales, logarítmicas, trigonométricas). Graph permite verificar y hallar valores a cualquier tipo de ecuaciones lineales y no lineales, permitiendo evaluar funciones en cualquier punto de la misma. Además con graph es posible realizar interpolaciones de funciones, o sea, a partir de pares de puntos, obtener una función que los contengan, sean estas polinómicas o trascendentes. Con graph es fácil obtener derivadas de cualquier orden y sus correspondientes gráficos, así como las integrales definidas en cualquier intervalo. Esta breve descripción permite tener una idea de lo importante que es este programa de adquisición libre y gratuita, por su aplicación matemática versátil y variada. En el desarrollo de cada capítulo de este libro, seguramente habrá necesidad de usar este programa, cuyo uso se describirá en cada aplicación específica.

,   Ejemplo de apl aplicac icacióiónn:    3 10,38125 y

1

0.5

x

-1.5

-1

-0.5

0.5

-0.5

-1

Fig. 0.1.

1

1.5

CÁPITULO 1

FUNCIONES Y ECUACIONES

11

CAPITULO 1 FUNCIONES y ECUACIONES Introducción Introducción En este capítulo se describen, se presentan y se definen situaciones algebraicas elementales, que servirán de herramienta herramienta en el proceso de estudio de esta materia. Para el estudio fácil y amplio del cálculo numérico es de fundamental importancia poseer conocimientos básicos del algebra, y son esos contenidos elementales los que se presentan en este capítulo. La presentación de ejercicios y problemas en forma de ejemplos facilita el proceso de aprendizaje, por lo que se abunda abunda en ello, hasta el punto que que las resoluciones se vuelven casi exageradas, con el solo fin de brindar a cada lector la posibilidad de cubrir, rememorar y repasar todas las áreas en el proceso resolutivo abocado. abocado. Funciones Funciones



La definición general de función hace referencia a la relación entre la variable independiente y la variable dependiente . Una variable se dice que es función de otra variable , cuando entre ambas existe una correspondencia tal que a cada valor de corresponde un valor definido de , y solo uno. Se expresa simbólicamente de la forma: . A la variable se le llama variable vari able independiente, pues puede asumir cualquier valor, el valor de la variable y resulta de los valores que se atribuyen a , razón por la cual se le denomina variable dependiente, pues su valor depende de los valores atribuidos a la . La dependencia entre una y otra viene dada por leyes matemáticas.









 







Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí; generalmente cuando se tienen la asociación de dos conjuntos, la función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con otro llamado codominio, al codominio se le llama también imagen o rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos o más elementos del codominio.

 

Una función, por definición garantiza que un elemento en no puede tener asociado más de un elemento en . Es frecuente que se utilicen diferentes notaciones para una función ; la más común es .

  : Se dice que : (  es una función de A en B, o  es una función que toma elementos del

dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B). El dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que esta sobre el eje de las abscisas (x) y que genera una asociación en el eje de las ordenadas (y). El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio, imagen o rango de la función, este conjunto imagen posee una gama de valores que puede tomar la función, sujeta a su dominio.

CÁPITULO 1


12

Intersecciones

 , ,   

  ,0 , 0  

Las intersecciones con el eje y de la ecuación se obtienen al hacer y resolver . Análogamente, Análogamente, las intersecciones i ntersecciones con el eje se obtienen al hacer y resolver .

 0, 0,   





Extensión Es la región del plano cartesiano donde la grafica de la ecuación está confinada. El dominio e imagen de la relación permite delimitar dicha región. Variable dependiente. Variable dependiente Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras  variables Por ejemplo: es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que van asumiendo la x . La variable dependiente se representa indistintamente por la letra , o sea: .

    ,  



   

Variable Variable independiente Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior  es la variable independiente ya que la es la que depende de los valores de . Dicho de otra manera, por cada valor que asume la , la va tomando valores únicos y bien definidos que dependen única y exclusivamente de los valores de .

    , 

  





Constante Constante Es aquella que no está en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor. Un ejemplo de una función constante es:

   5

División de Funciones Funciones El estudio de las funciones es parte importante de las matemáticas, para su estudio se divide en tres partes bien diferenciadas. Esta división se realiza en base a las características particulares que presentan cada una de ellas. a) funciones algebraicas. b) funciones trascendentes. c) Funciones no elementales. elementales. Funciones Funciones algebraicas Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación).



El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales .



Si es el conjunto de números algebraicos en algebraica sí .



, una función real de variable real se llama

Función algebraica explicita



Una función algebraica explícita es aquella cuya variable se obtiene combinando un número finito de veces la variable y las constantes reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces.



CÁPITULO 1


13

   2   √     7

Son funciones algebraicas explicitas:   2 3, Función Func ión algebraica implícita

Una función algebraica implícita es aquella cuya variable dependiente no está despejada. Ejemplo Ejemplos jemplos: s:

 3 ,

  23   3.

Función por intervalo Se tiene una función por intervalo cuando la funciones solo están definidas en ciertos valores del dominio. Funciones racionales Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. Una función racional se representa de la siguiente forma

 ,  y  son polinomios    

El dominio de la función racional consiste de todos los números reales, a excepción de aquellos para para los cuales Q .

   0

Una forma mejor explicitada de expresar una función racional se presenta a continuación: continuación:

                              ,

para para   

Funciones irracionales Las funciones irracionales se obtienen cuando algún exponente del polinomio no es un número entero.

        ,       

para para algun algun   

Función Función Polinomial Las funciones polinomiales polinomiales se enmarcan dentro dentro de las funciones funciones algebraicas y son aquellas funciones cuya regla de correspondencia es un polinomio. El grado de un polinomio viene dado por el exponente mayor de la variable, nombrándose normalmente una función polinomial de grado n . Ejemplo de una función polinomial de grado n , generalizada.

        ,  0





Todas las funciones polinomiales tienen como dominio al conjunto de números reales , pero su codominio varía dependiendo del tipo de función que sea. Una función polinomial puede considerarse como una suma de funciones cuyos valores son del tipo  , donde es un número real y es un entero no negativo.







Algunos casos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de primer grado o de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado o de grado dos), función cúbica (función polinomial de tercer grado o de grado tres).

CÁPITULO 1


14

La aplicación de las funciones polinomiales son muy variadas, que van desde la elaboración de modelos que describen fenómenos reales, como la distancia recorrida por un móvil, la compra de cierta cantidad de objetos a un precio unitario, el salario de un jornalero más su comisión, la variación de la altura de un proyectil, la fuerza aplicada a un punto, la concentración de ciertos elementos químicos en una sustancia entre otros.

Función Identidad

   

La función identidad se define mediante la expresión: La propiedad de la función identidad es que a cada argumento del dominio le hace corresponder el mismo valor en el codominio , por lo tanto, pertenece a los números reales . La gráfica de la función identidad es la recta que pasa por el origen y tiene un ángulo de inclinación de 45°.







El dominio y el codominio de la función identidad i dentidad es el conjunto de los números reales. La función identidad biseca (divide en dos partes iguales) los cuadrantes I y III del plano cartesiano Ejemplo 1.1. Representación gráfica de la función identidad:

     1 2  1 2

    y

4 3 2 1 x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4

Fig. 1.1. Función Constante

   , en donde k es un número La propiedad de la función constante es que a cada argumento  del dominio le hace corresponder la misma imagen  . La gráfica de la función constante es una recta horizontal que dista  unidades del eje  , por arriba si   0, o por abajo si   0. El grado de la función constante es 0, su codominio es en conjunto unitario  y no tiene raíces. Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace   0.

La función constante se define mediante la expresión real diferente de cero.

El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el codominio es k . La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x , y corta al eje y en y = k .

CÁPITULO 1


Ejemplo 1. 1.2 2. Representación gráfica

15

y

5

3

4

3

2

1 x

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 1.2. Función Lineal. La función lineal (función polinomial de primer grado) se define como una expresión de la forma con números reales y m .

 ,

,

0

La función lineal es un polinomio de primer grado en el que su codominio coincide con el dominio, es decir, con , y cuya gráfica es una línea recta, donde m representa la pendiente de la recta, y representa el punto donde la recta se interseca con el eje .





  La función lineal sólo tiene una raíz en el punto   ,0, pues si   0 ,      0, de  donde, despejando , se tiene finalmente     . La  representa la pendiente de la recta y , el intercepto con el eje ; solo basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal.

Por dos puntos diferentes en el plano cartesiano, se puede trazar una sola línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean los interceptos con los ejes del plano.

 es 



El intercepto con el eje ; para hallar el intercepto con el eje (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para .



Para representar gráficamente una función lineal o de primer grado, existen operaciones algebraicas elementales o procedimientos básicos que permitan tal operación, y son: a) Se extrae de la ecuación de primer grado dos pares ordenados, que son suficientes para graficar una recta. b) Se ubican dichos puntos en el plano cartesiano. c) Se unen los puntos por una línea recta, prolongándolo a ambos lados de los puntos. Ejemplo 1. 1.3 3. Representación gráfica

y

21  1 2  3 5

5

4

3

2

1 x

-0.5

0.5

Fig. 1. 1.3 3.

1

1.5

2

2.5

CÁPITULO 1


Ejemplo 1.4. 1.4. Representación gráfica

16

y

5

35  0 1  5 2

4

3

2

1 x

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 1. 1.4 4. Función Cuadrática. Cuadrática Una función polinomial de segundo grado es llamada función cuadrática, su representación  matemática es:

     

Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones; hay casos en que una solución se repite y coincide con la otra en valor absoluto. También sucede que el resultado obtenido en algunos casos no corresponde al conjunto de los números reales, sino al conjunto de los números complejos. La grafica de una función cuadrática es una parábola.





La parábola se abre hacia arriba si es positiva y se abre hacia abajo si es negativa. La representa el intercepto con el eje .







Para hallar los interceptos con el eje , si los hay, se iguala la ecuación a cero y se calculan las raíces por factorización o aplicando la formula general de la ecuación de segundo grado

  √2 4 Esta ecuación permite hallar los valores de , en base a los coeficientes de   0.  La abscisa del vértice se halla mediante la fórmula:    La ordenada se obtiene sustituyendo el valor numérico de  obtenido previamente, en la ecuación      , con   0 . Tres puntos no alineados ya definen una ecuación de segundo grado, o una parábola, por lo tanto, para trazar las grafica de una función cuadrática es recomendable construir una tabla de valores, con por lo menos tres pares ordenados.

Por razones prácticas se usan cuatro pares ordenados, uno para el vértice, dos para los interceptos con el eje y un cuarto para el intercepto con el eje .





La ecuación de segundo grado es muy especial y bastante utilizada, razón por la cual las explicaciones y características de esta función se extenderán un poco más que las otras en este apartado.

La expresión general de una ecuación de segundo grado es:     √   De esta expresión se puede obtener dos raíces reales, una raíz real, o ninguna raíz real dependiendo del discriminante  bajo las siguientes condiciones:

 

 4 0 Genera dos raíces reales distintas.  4 0 Genera dos raíces reales iguales.  4 0 No genera ninguna raíz real, pero sí raíces complejas.

CÁPITULO 1


17

La gráfica de la función cuadrática es una parábola que abre hacia arriba si hacia abajo si .

 0

  0, o abre

El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El codominio de esta función es el conjunto de números tales que , si , si , donde es la ordenada del vértice de la parábola.

  0





El vértice de la parábola se determina por la expresión:

 

 ,

Ejemplo 1. 1.5 5. Graficar la función cuadrática dada por la siguiente expresión:

   3 9 2 4 1 1 0 0 1 1 2 4 3 9

 9 4 1 0 1 4 9

 

y

6

5

4

3

2

1 x

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Fig. 1. 1.5 5.

Ejemplo 1. 1.6 6. Graficar la función cuadrática dada por la siguiente expresión:

 3 2 1 0 1 2 3

  0, o bien

    y

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

   

x

0.5

1

1.5

2

-1

-2

-3

-4

-5

Fig. 1.6 1.6.

Ejemplo 1.7. 1.7. Graficar la función cuadrática dada por la siguiente expresión: 3

 0 1 2 3  1 2 1 2

  21

y

2

1 x

-1

-0.5

0.5 -1

Fig. 1.7

-2

1

1.5

2

2.5

3

CÁPITULO 1


18

Función cúbica: cúbica Una función polinomial de tercer grado con una incógnita es llamada función cúbica, y se   puede representar bajo la forma canónica: , donde son números que pertenecen al conjunto de los números reales ( ) o al conjunto de los números complejos ( ), con .



   0 

0

,,,

Las raíces de una ecuación son los lugares donde la curva corta al eje de las “x”, o sea cuando .

0

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de tercer grado, o de grado tres, tiene tres raíces.



El cuerpo de los números reales ( ) no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales de una ecuación de grado tres, no es siempre tres. Las que faltan se encuentran en en conjunto de los números complejos ( ). Una ecuación de grado tres tiene por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en ∞ ∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.



 y

Ejemplo 11..8. Graficar la función cubica dada por la siguiente expresión:

    3  1   1 3 0 1 1 1 2 3 3 1 4 17

y

1

x

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-1

-2

-3

Fig. 1. 1.8 8.

Ejemplo 1. 1.9 9. Graficar la función cubica dada por la siguiente expresión:

    3  1   1 5 0 1 1 3 2 5 3 1 4 15

    3  1

    3  1

y x

-1.5

-1

-0.5

0.5 -1

-2

-3

-4

-5

Fig. 1.9 1.9.

1

1.5

2

2.5

3

3.5

CÁPITULO 1


19

Ejemplo 1. 1.10 10. 10. Sea la función: ecuación.

 0,25 0,75 1,52, verificar la cantidad de raíces reales de la

Solución: Se grafica la función y se observa que ésta corta al eje de las en tres partes, lo que indica que esta ecuación tiene tres raíces reales, de los cuales dos son negativas y una raíz positiva.



 0,25 0,75 1,52   4 0,0 3 2,5 2 2,0 1 0,0 0 2,0 1 2,5 2 0,0 3 7,0 -5

y

3

2

1 x

-4

-3

-2

-1

1

2

-1

-2

-3

Fig. 1.10.

A simple vista se observa por el gráfico que las raíces de la ecuación son:

4,1 y 2.

Funciones trascendentes Una función trascendente es una función que no puede ser representada por una ecuación polinómica, es decir una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable. En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o exponencial o de funciones trigonométricas. Las funciones trascendentes engloban a todas aquellas funciones que no son algebraicas, o sea, las funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, y trigonométricas inversas, entre otras. En las funciones trascendentes, raros son los casos en que es posible obtener las raíces exactas de , esto sucede cuando un polinomio es factorable, y se tiene valores exactos de .

  0   0

Por medio de métodos numéricos es posible obtener soluciones aproximadas a funciones polinómicas o funciones trascendentes; en algunos casos tan próximas como se desee de la solución exacta. La mayoría de los procedimientos numéricos producen una secuencia de aproximaciones, Algunos ejemplos de funciones trascendentes:

      ,

  5,

 ln2

CÁPITULO 1


20

Función seno Es una función periódica, de periodo , es decir, del intervalo de el valor de la función no se repite, pero después de este valor se vuelve a repetir la gráfica periódicamente en forma infinita.

2

Ejemplo 1. 1.11 11. 11. Representación de la función seno:

0, 2

   

y

1

.5

x

π /2

3π

π

/2

π2

5π

/2

π3

.5

-1

Fig. 1. 1.1 11. Función coseno Al igual que la función seno la función coseno tiene periodo la función seno en .

/2

Ejemplo 1.12 1.12. 12. Representación de la función coseno

   

2π, esta función esta desfasada de

y

1

.5

x

/2

π

3π/2

π

2π

5π/2

3π

.5

Fig. 1.12 1.12.

-1

Función Tangente La función tangente es una función periódica con periodo , cuya imagen es el conjunto de los reales , es discontinua a los , no presenta máximos ni mínimos relativos y es una función que nunca decrece.





90º

Ejemplo 1. 1.13 13. 13. Representación de la función tangente

   

y

3

2

1 x

-3

-2

-1

1 -1

-2

Fig. 1.13 1.13..

-3

2

3

4

5

6

7

8

CÁPITULO 1


21

Estas tres funciones presentadas, son simplemente referenciales, pues existen otras funciones trigonométricas como la cotangente, la secante y la cosecante, además existen las funciones hiperbólicas y las funciones inversas de éstas. Función periódica Se dice que una función es periódica cuando la función se "repite" o se reproduce los mismos valores con un patrón bien definidos. Es decir: .

   

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas. Función exponencial





Sea un número real positivo. La función que a cada número real le hace corresponder la potencia  se llama función exponencial de base y exponente . . Como  para todo , la función exponencial es una función de  La función exponencial es del tipo:



 0









  

Entre las propiedades de la función exponencial se pueden citar: a) El dominio está en . b) La función exponencial es continua. c) Es inyectiva, pues para todo , ninguna imagen tiene más de un original. d) La función es creciente si . e) La función es decreciente si .



f)

1 1   1  Las curvas     y    son simétricas respecto al eje Y.

Ejemplo 1.14 1.14. Sea la función exponencial:

  3   2 0,11111 1 0,33333 0 1 1 3 2 9

  3, graficar en el plano cartesiano. y

5 4 3 2 1 x

F ig. ig . 1.14 1.1 4.

-2.5

Ejemplo 1.1 1.15 5. Sea la función exponencial:

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

  , graficar en el plano cartesiano. y

  2 9 1 3 0 1 1 0,33333 2 0,11111

5

4

3

2

1 x

-2.5

F ig. 1.1 1.15 5.

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

CÁPITULO 1


22

Función exponencial de base e e Cuando , donde es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es A la función exponencial  , se le llama función . exponencial de base y, se denota frecuentemente por



 2,7182818284…      La función exponencial de base  es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural, donde es la base de los logaritmos naturales.



Entre las propiedades de la función exponencial de base a) Es una función real b) El dominio está en , delimitado por . c) El codominio está en , delimitado por . d) La función exponencial es continua e) La función es estrictamente creciente.



∞,∞ ∞,∞



Ejemplo 1.16 1.16. La grafica de la función exponencial

      2 0,13534 1 0,36788 0 1 1 2,71828 2 7,38905

 se tienen:

    es

y

7 6 5 4 3 2 1 x

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 1.16 6. Fi g. 1.1

Función logaritmo



  log      Se lee: "el logaritmo en base  del número  es ", o también: "el número  se llama logaritmo del número  respecto de la base  ”. Se llama logaritmo en base del número al exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial.

Algunas de las propiedades de la función logarítmica: a) La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. b) Los números negativos y el cero no tienen logaritmo c) La función logarítmica de base es la recíproca de la función exponencial de base . d) Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281... e) La constante es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. f) para cualquier valor real de solo tiene sentido si . g) La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales.









0

CÁPITULO 1


23

h) La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre

 del logaritmo como el número 

posible en el campo real cuando tanto la base positivos, (siendo, además, distinto de 1).



son

Entre los logaritmos de mayor uso se citan los logaritmos decimales y los logaritmos neperianos. Logarit Logaritmos decimales tmos Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales su uso, es frecuente no escribir la base.

Log log

Logaritmos neperianos Se llaman logaritmos neperianos o naturales a los logaritmos que tienen por base el número e .

log ln

Ejemplo 1.17 1.17. Graficar la función logaritmo:

   0 No existe 1 0 2 0,30103 3 0,47712 4 0,60206

   y

0.8 0.6 0.4 0.2 x

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-0.2 -0.4 -0.6

Fig. 1.1 1.17 7.

-0.8

Ejemplo 1.18 1.18. Graficar la función logaritmo:

   0 No existe 1 0 2 0,69315 3 1,09861 4 1,38629

  y

1.5

1

0.5 x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

-0.5

Fig. 1.18 1.18. Funciones no elementales Existen otros tipos de funciones interesantes, que son las funciones no elementales tales como: la función delta, función parte entera, la función valor absolutos entre otras. Estas funciones solo se citan a modo de ejemplo, pues no forman parte de este material.

CÁPITULO 1


24

Ecuación Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y valores desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos de una ecuación pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por las ultimas letras del alfabeto (x, y, z, w), constituyen los valores que se pretenden hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

247

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 2 y los números 4 y 7 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dicha ecuación. Se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

3

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan. La expresión se llama identidad en el caso que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, esta desigualdad se denomina inecuación. Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial. Ecuación polinómica Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es aquella que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero. Ejemplo 1.19 1.19.

22 Para igualar a cero, se suma a ambos lados de la ecuación el termino ( Luego, se tiene la ecuación polinómica:   20 Sea la expresión:

División sintética. Regla de Ruffini Ruffini Al resolver ecuaciones polinomiales y al factorizar polinomios es frecuente dividir un polinomio entre un monomio de la forma , donde es un numero real cualquiera.





Existe una regla para realizar la división sintética, debida al italiano Paolo Ruffini , que permite, justamente, dividir un polinomio entre un binomio.

CÁPITULO 1


25

Esta forma sintética de dividir conocida como la Regla de Ruffini, también permite localizar raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma .



La Regla de Ruffini establece un método para división de polinomios Ejemplo 1. 1.20 20. 20. Hallar la división:

3  121 2

Solución

      2, transponiendo:       2, simpliicando:    2,   2 Paso 11: Se escriben los coeficientes en orden, de mayor a menor. Paso 22. Se completan los lugares de una ecuación incompleta con 0 si fuere necesario.

3  12 1 2 6  12 3 6 11 Paso 3: se baja el primer coeficiente 3 Paso 44: Se multiplica el 3 por el 2 y el resultado se ubica debajo de 12 Paso 55: Se suman 1266 Paso 66: Se multiplica 6 por el 2 y el resultado se coloca debajo del 1 Paso 77: Se suman 1 12 11 Los primeros números obtenidos en la tercera fila corresponden a los coeficientes del cociente 3, 6 y el último número 11 es el residuo. Finalmente, para verificar se tiene:

3 121  236 11 3 1212113  121 En este primer ejemplo se detalla paso a paso las operaciones realizadas para la resolución de una división por el método de Ruffini. Los siguientes ejemplos que se presentan a continuación, se realizaran en forma más resumida, sintética y práctica. Ejemplo 1. 1.21 21. 21. Resolver la división

4  15 620 4

Solución

4, asi que: 4

4 15 6 20 4  16  4  8 4 1 2 12 El cociente es: 4     2 y el residuo es 12 Comprobando: 4  15  620   44     2 124  15  620

CÁPITULO 1

Ejemplo 1. 1.22 22. 22. Resolver la división


26

    2 1

Solución

1, asi que: 1

1 0 0 1 2 1  1 1 1 2 1  1 1 2 0 El cociente es:        2 y el residuo es 0, por lo tanto 1 es una raíz de la ecuación. Comprobando:      2    1       2       2 Teorema 1.1. 1.1. Raíces de un polinomio

   0







Un número es una raíz del polinomio si el valor numérico de para es cero, es decir, . Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Raíces enteras de polinomios enteros Una de las razones principales para factorizar polinomios es la de encontrar sus raíces, o sea, los valores de la variable para las cuales el polinomio asume el valor 0.

Estos son algunos ejemplos de expresiones algebraicas:

    5  3 7  0, 1  3  5 ,  26 1 2

    32  3  √ 2 1

 

    0

Estos polinomios son denominados ecuaciones en o ecuaciones con variable . Dada cualquier ecuación en , si al sustituir a con un número se obtiene un enunciado verdadero, entonces se llama solución o raíz de la ecuación .



Comúnmente se dice que



 satisface la ecuación.

Ejemplo 1.24. 24. Verificar si 3 es una solución de la ecuación:

Px  5x23x2 143

Solución: Para verificar si

  3 es raíz de la ecuación, se sustituye en la ecuación y se obtiene   5232 143   52321430   5  3  23  3  21430   1529 2 1430   13 11 1430  1431430 Por lo tanto,   3 es raíz o solución del sistema, pues verifica la función   0 Se verifica que la situación planteada es una proposición verdadera. Resolver una ecuación significa hallar todas sus raíces o soluciones.

CÁPITULO 1


Identidad Definición: Si todo número en el dominio de la variable dada, a esta ecuación se le llama identidad.



27

es una solución de una ecuación

Ejemplo 1.25 1.25. Verificar si la expresión

7 4   95 es una identidad.

Solución



Se elige cualquier valor para la variable y se evalúa en la ecuación presentada.

3 7  4    9  5 37 4  3  93 5 4  4  62 16412 1212 a) Sea

2 7 4   95 27  4  2925 9  4  117 81477 7777

b) Sea

La expresión (x – 7) 2 – 4 = (x – 9) (x – 5) es una identidad, puesto que se convierte en una proposición verdadera para todos los números del dominio de ,, en este caso ℜ.



Una ecuación puede tener o no solución, esto depende del sistema de números que se considera para la variable .



Ejemplo 1.26. 26. Halla la raíz de la ecuación Solución:

31 en Z (conjunto de los números enteros).

31   13

31

Bajo estas condiciones la ecuación no tiene solución, ya que no existe ningún número entero igual a 1/3. Sin embargo, existe solución a esta ecuación, pero en Q (conjunto de los números racionales), ya que 1/3 pertenece a los números racionales. Ecuaciones equivalentes Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. El método más usado para resolver ecuaciones consiste en generar una sucesión de ecuaciones equivalentes, cada una de las cuales es más sencilla que la anterior, hasta llegar a una ecuación cuyas soluciones son obvias. Por lo general, esta sucesión de ecuaciones equivalentes se logra usando propiedades de los números reales, tales como: sumar o restar la misma expresión a ambos lados de la ecuación, multiplicar o dividir a ambos lados de la ecuación por una expresión diferente de cero, elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación, etc. El siguiente ejemplo ilustra este proceso.

CÁPITULO 1


Ejemplo 1. 1.27 27. 27. Sea la expresión:

28

5321, resolver la ecuación.

Solución

5321 533213 524 52242 524 34 3  3 3 4   34

Se suman (+3) a ambos lados de la ecuación Se suman (

2) a ambos lados de la ecuación

Se divide por (3) a ambos lados de la ecuación

Se simpliica Es el resultado

Durante el proceso de reducción se puede multiplicar los dos miembros de la ecuación por una expresión que se anula para algún valor de , o tomar el cuadrado a ambos lados de la ecuación, estas operaciones pueden producir ecuaciones que no son equivalentes.



Ejemplo 1.28. 28. Resolver la ecuación:

23 √   6

Solución

23 √   6  23  √  6 4  1296 4 1330 De donde se obtiene que:   3     Al sustituir   3 en la ecuación 23 √   6, éste se verifica, o sea, hace la proposición  verdadera. Sin embargo, al sustituir    en la ecuación 23 √  6, esta no se verifica, 

por lo tanto  no es solución de la ecuación original.

Cualquier solución de la nueva ecuación que no es solución de la ecuación original se llama  es una solución extraña de la ecuación solución extraña extraña. Así, . 



23 √   6

Lo que sucedió, en este caso, es que al tomar el cuadrado a ambos lados de la ecuación se obtiene una ecuación que no es equivalente con la anterior, pues la ecuación original es de primer grado y como tal tiene una sola solución; por lo tanto, algunas soluciones de la última ecuación podrían no serlo de la ecuación original. Ecuación polinomial

          0, donde cada      0 Si   0, entonces se dice que  es un cero del polinomio , o bien,  es una solución o raíz de la ecuación   0. Una ecuación de la forma:     ; se llama ecuación polinomial.

CÁPITULO 1


29

A excepción de casos especiales, resulta muy difícil encontrar las raíces de una ecuación polinomial. Por ejemplo, no son evidentes las raíces de la ecuación polinomial

    6 12   2 5 850

No existe una fórmula que pueda usarse para encontrar las raíces de este tipo de ecuación, o sea de ecuaciones con grado mayor a tres.

  0, no es tarea fácil y la situación se complica A excepción de los casos triviales, podría decirse que las únicas ecuaciones   0 que se pueden resolver de forma exacta, son aquellas para las cuales  es un polinomio de grado Buscar las soluciones de una ecuación cuando se involucra funciones trascendentes.

menor o igual a 3, después del proceso de reducción.

Por esta razón, se necesitan métodos que permitan por lo menos, aproximar las soluciones de una ecuación dada. Este tipo de métodos cae dentro de un área de la matemática que se conoce como Análisis Numérico o Cálculo Numérico. Teorema 1. 1.2 2. Teorema del residuo: residuo: El valor de

 es el residuo obtenido al dividir  entre .

Demostración: Al dividir entre



 se obtiene la descomposición:        Donde  es el cociente y R es el residuo. Como el divisor de  es de grado 1, el residuo es constante. Si se evalúa en , se obtiene.                  0   0      Ejemplo 1. 1.29 29. 29. Calcular el valor del residuo de la división, sin efectuar la división: Solución

  5  72 Según el teorema del residuo, el residuo de la división    5   7 2 es el valor del polinomio      5   7 cuando   2. 2  2  5  2  7 82075 El residuo es 5. Ejemplo 1.3 1.30. Sin efectuar la división, calcular el residuo de la división

 2  1 8 Solución El residuo de la división

  2   1 8 es el valor del polinomio      2  1 cuando   8 8  8 28 15121281385 El residuo de la división planteada es 385

CÁPITULO 1


Ejemplo 1. 1.3 31. Calcular el residuo de la siguiente división sin efectuarlo: Solución

30

 3  63

  3   6 3 es el valor del polinomio      3   6 cuando   3 3 3 33 68127648 El residuo de la división

El residuo de la división planteada es 48 Teorema 1. 1.3 3. Teorema del factor:

          Demostración:    es factor de ,entonces:    De donde:       0    es factor de ,entonces:     es raiz de la ecuacion   0   es raiz de la ecuacion  0,entonces:   0 Según el teorema del residuo se tiene que:          Entonces   es factor de .

Dados un polinomio y un número real , si es un factor de , entonces es una raíz de y recíprocamente, si un numero , es raíz de un polinomio , entonces es un factor de .

Ejemplo 1.32 1.32. Determinar si

  1 es factor de     2  5 31

Solución

  1 es factor de  si y solo si 1  0     2  5  3 1 1  1  2  1 51  3  1  1 1  1  2  5  3  1  6  6  0 Por lo tanto  1 es factor de la ecuación dada:    2  5  31. De acuerdo al teorema del factor

Ejemplo 1.33 1.33. Determinar si

  2 es factor de     2  3  4

Solución

  2 es factor de  si y solo si 2  0 2 2 22 32 432161240 Por lo tanto   2 es factor de la ecuación dada:    2  3   4. De acuerdo al teorema del factor

Teorema 1. 1.4 4. Número de raíces de un polinomio





Un polinomio de grado puede tener cuando mas Este teorema se presenta sin demostración.2 2

 raices.

Oteyza de Oteyza, elena. (1998). Temas Selectos de Matemáticas. Prentice Hall. Mexico. Pag. 316

CÁPITULO 1


31

Raíces racionales de polinomios enteros

            de    0.  recibe el nombre de coeficiente principal.   Si  es una raíz racional de   0, con la fracción  en su mínima expresión, entonces:          0,multiplicado por  se tiene:       0 Luego:      Factorizando  del lado izquierdo de la ecuación:    Se tiene que p es un divisor del primer miembro de la ecuación, por consiguiente también lo  es del lado derecho, pero si p es divisor de    , como  está en su mínima expresión, p no puede dividir a q y entonces debe ser divisor de . Por lo tanto p es divisor de  . De la misma forma, de:             0, se tiene      Considerando el polinomio: grado con coeficientes enteros y

Procediendo como la demostración anterior se obtiene que q es divisor de an.  De esto se concluye que las raíces racionales de  de un polinomio con coeficientes enteros

            , con 0 son tales que  es divisor de  y  es divisor de  . Si el polinomio tiene la forma                      , buscar las raíces racionales equivale a encontrar las raíces enteras del polinomio, o sea, se debe analizar en los divisores de . Ejemplo 1.34 1.34: Encontrar las raíces racionales del polinomio:

2   3 910

Solución: Los divisores del término independiente (10) son: Los divisores del coeficiente principal (2) son:  Considerando todos los posibles cocientes de la forma 

1,2,5,10 1,2  :1,  ,2,5,  , 10

Para decidir cuál de los valores es raíz del polinomio se puede utilizar la división sintética. Normalmente se comienza analizando con los enteros más pequeños. Se toma (x – 1) y se aplica la división sintética: 1 Entonces:

2 –3 –9 10 2 – 1 – 10 2 – 1 – 10 0

2  3 910   12 10.

CÁPITULO 1


32

2 10

 Para encontrar las raíces racionales de , se observa que los posibles cocientes son los mismos que en el caso del polinomio original, por lo tanto, puede utilizarse el mismo método, sin embargo, al ser este polinomio de segundo grado, es más sencillo aplicar la formula general para polinomios de segundo grado, o algún caso de factoreo, que igualmente puede permitir hallar las raíces buscadas de la ecuación.

2 10    225. Luego: 2   3  910  1225.  Se observa que 250, resolviendo se tiene que   .  Las raíces racionales del polinomio 2   3  910, son:1,2 y . De esta manera se tiene que:

Ecuación condicional Una ecuación condicional es aquella para la cual un solo valor de la variable satisface la ecuación y la convierte en igualdad. Cuando en algebra se habla de resolución de ecuaciones se hace referencia a ecuaciones condicionales. La solución de una ecuación condicional puede verificarse sustituyendo la variable por su valor determinado en la ecuación. Una ecuación es inconsistente cuando la ecuación es falsa para todo valor posible de la variable. Ejemplo 1. 1.35 35. 35. Verificar si la ecuación Solución

2610 es una ecuación condicional. 2610 2106  162 8   8 es el único valor que satisface la ecuación, por lo tanto, 2610

es una ecuación

condicional.

Ejemplo 1. 1.36 36. 36. Verificar si la ecuación 3 Solución

32

2 es una ecuación condicional.

22

220

00

Ecuaciones de primer grado Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable de grado uno. En el plano cartesiano, una ecuación de primer grado se representa por una recta, de ahí el nombre de ecuación lineal dado a una ecuación de primer grado. La forma más común de representar una ecuación lineal es:





 determina la ordenada al origen, es el punto  Las ecuaciones en las que aparece el término . no son consideradas lineales. Donde representa la pendiente, el valor de donde la recta corta al eje de las (ordenada)

CÁPITULO 1


33

Ejemplo 1.37 37. Ejemplo 1. 37. Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

2315 57243 52322

Teorema 1.5 1.5. Teorema de Bolzano Si una función continua asume valores de signos opuestos en los puntos extremos del intervalo , esto es, si , entonces existe por lo menos un punto  ,  . tal que

,    0

 0

  ,

Este teorema se presenta sin demostración.3 Teorema 1.6. 1.6. Teorema de Bolzano Sean ( tienen signos opuestos). Entonces tiene en un número impar de raíces. Si , entonces tiene un numero par de raíces en (y en particular puede tener cero). Cada raíz se cuenta tantas veces como indica su orden de multiplicidad.

 y sea 0    , 0 ,





Este teorema se presenta sin demostración.4 Se presentan dos versiones diferentes del teorema de Bolzano (1,5. y 1.6.), pero referidos a una misma situación matemática. Tal presentación se realiza para que el lector pueda considerar que un mismo teorema se presenta de manera diferente por autores diferentes, pero que el concepto estricto de la esencia matemática permanece inalterable. Ejemplo 1.7 1.7. Verificar en qué intervalo se encuentra una raíz real de la ecuación

 2

Solución Se intenta aleatoriamente aplicar el teorema de Bolzano y verificar que:  . Se parte de

0

    2 Evaluar:   1  1  2  1  1  2   1. Evaluar:   2  2 2216412. Aplicando: 0 1120 Se tiene que 1  2 tienen signos opuestos, por lo tanto según el teorema de Bolzano en el intervalo [1, 2] existe una raíz real.

3- La demostración de este teorema en: Velázquez Zapateiro, Jorge y Obeso Fernández, B. 2007. Análisis Numérico, Notas de clase. Colombia. Pág. 28 4. La demostración de este teorema

en: Bernis, Francisco. Malet, Antonio. Molinas, Cesar. 1983. Matemáticas. Editorial Noger S.A. Madrid, España. Pág. 469.

CÁPITULO 1


34

Teorema 1. 1.7 7. Teorema de Descartes El numero de raíces positivas de una ecuación es menor o igual que el numero de variaciones de signo en . El numero de raíces negativas es menor o igual que el numero de variaciones de signo en . (Cada raíz se cuenta tantas veces como indica su orden de multiplicidad).

  0

 



Si es un polinomio, escrito en orden descendente y con término independiente distinto de cero:

 El numero de raíces negativas de  es igual al número de cambios de signo de los coeficientes del polinomio , o bien, el numero de cambios de signo de , menos

1. El numero de raíces positivas de es igual al número de cambios de signo de los coeficientes del polinomio, o bien, el numero de cambios de signo menos un entero par. 2.

un entero par.

Este teorema se presenta sin demostración.5 Ejemplo 1. 1.39 39. 39. Determinar el número de raíces positivas y negativas del polinomio:

    7  5  6 125

Solución El polinomio es de grado cinco (5º grado), por lo tanto puede tener como máximo cinco raíces. La grafica de la ecuación se presenta en la fig. 1.19.

   7  5  6 125

    Según la ecuación Los cambios de signos del polinomio son 3 (tres), esto indica que el polinomio puede tener tres raíces positivas o solo una.

   7  5 6 125

    Según la ecuación Los cambios de signos de este polinomio son dos (dos), indicando que el polinomio puede tener dos raíces negativas o ninguna. Resolviendo la ecuación, se comprueba que tiene dos raíces negativas y una raíz positiva, estas raíces son:   

 5,923…;  2,217…;  0,454…;

Como la ecuación es de grado cinco, las otras dos raíces son complejas conjugadas. Ejemplo 1. 1.40 40. 40. Determinar el número de raíces positivas y negativas del polinomio:

    3  1

Solución El polinomio es de grado cuatro (4º grado), por lo tanto puede tener como máximo cuatro raíces. La grafica de la función se presenta en la fig. 1.20. Para contar los cambios de signos, no es necesario completar la ecuación, en este caso faltan los términos en  , solo hay que ordenarlos de mayor a menor.

 y

    3  1    3  1

  Prueba de raíces positivas. Sea la ecuación: Solo existe un cambio de signo, esto indica que el polinomio tiene una raíz positiva.   Prueba de raíces negativas. Sea la ecuación:

La demostración de este teorema en: Bernis, Francisco. Malet, Antonio. Molinas, Cesar. 1983. Matemáticas. Editorial Noger S.A. Madrid, España. Pág. 468. 5.

CÁPITULO 1


35

En este caso también existe solamente un cambio de signo, indicando que el polinomio tiene una raíz negativa. Resolviendo la ecuación, se comprueba que tiene una raíz positiva y una raíz negativa, estas raíces son:  

 1,817…;  1,817…

Como la ecuación es de grado cuatro, solamente tiene una raíz positiva y una raíz negativa, las otras dos raíces son complejas conjugadas. y

y

x

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

1

3 x

-5 -2

-1.5

-10

-1

- 0.5

0.5

1

1.5

2

-1

-15

-2

-20 -3

-25

Fig. 1.19.

Fig.1.20

Forma sencilla de evaluar polinomios: La tecnología actualmente permite contar con máquinas que pueden realizar cálculos precisos, con errores mínimos y con una extraordinaria rapidez. La aplicación de las calculadoras electrónica a las matemáticas facilita enormemente este proceso, al evaluar en forma directa un polinomio cualquiera, que luego de encontrar las raíces, se procede a realizar las demostraciones u ordenamientos correspondientes respecto de cada polinomio evaluado. Polinomios que no tienen raíces racionales Una sencilla regla para verificar si un polinomio con coeficientes enteros tiene o no raíces racionales es la siguiente. Considerando el polinomio:

        , con 0, de grado mayor o igual a 2 y cuyos coeficientes son números enteros. Si  ,  1 son impares, entonces  no tiene raíces racionales.

Ejemplo 1.4 1.41. Encontrar las raíces racionales del polinomio:

 27  8 16 11  3  5 1825 Solución:  es 27, el término independiente es El coeficiente del término de grado mayor ,y al evaluar el polinomio en , el resultado obtenido es . Los tres números son impares, se concluye que el polinomio no tiene raíces racionales según la regla precedente. Si no es posible contar con el criterio de los enteros impares, se debe proceder de otra forma

27,25,21

1

27 

21

25

Cotas para las raíces de polinomios En la búsqueda de raíces de polinomios, saber que ellas se encuentran en un intervalo determinado, reduce el número de posibilidades facilitando enormemente los cálculos, ahorrando tiempo de trabajo y operaciones a realizar. Se debe buscar dos números A y B de

CÁPITULO 1


36

tal manera que pueda asegurarse que las raíces del polinomio se encuentran en el intervalo [A, B], donde A es una cota inferior y B es una cota superior de las raíces del polinomio. Teorema: Sea un polinomio. Si es un número positivo tal que al efectuar la división sintética de entre , los números obtenidos, es decir, los coeficientes del cociente y el residuo, son todos positivos o cero, entonces es una cota superior para las raíces de .





1













Si es un numero negativo y al efectuarse la división de entre , los números obtenidos, es decir, los coeficientes del cociente y el residuo tienen signos; uno positivo o cero y el siguiente negativo o cero alternadamente, o viceversa, entonces es una cota inferior de las raíces de .





Ejemplo 1.42 1.42. 42.

1 y 2 son cotas inferior y superior respectivamente para las raíces   6  11  10 114, y encontrar todas las raíces reales.

Mostrar que del polinomio

Solución: Efectuando el cociente –1

 entre 1, usando división sintética:

6 – 11 10 – 11 4 – 6 17 – 27 38 6 – 17

27 – 38 42

Los coeficientes tienen signos alternados, entonces A = – 1 es una cota inferior para las raíces del polinomio. Efectuando el cociente 2

 entre 2, usando división sintética:

6 – 11 10 – 11 4 12 2 24 26 6

1

12

13 30

Puesto que los signos de los coeficientes son todos positivos, B = 2 es una cota superior para las raíces del polinomio. Por lo tanto, todas las raíces reales se encuentran en el intervalo [– 1, 2]

   Sea la ecuación , analizando se tiene que el polinomio es de grado cuatro y por lo tanto posee como máximo cuatro raíces.

  6 11 10 114



Usando la regla de los signos de Descartes, la ecuación tiene cuatro cambios de signos, lo que indica que habrá cuatro, dos o ninguna raíz real positiva.

  Evaluando la ecuación en se tiene: nota que no existe cambio de signo, o sea, no hay raíces negativas.



  6 11 10  114, donde se

En estas condiciones, todas las raíces reales se encuentran en el intervalo (0, 2) y puede ser a los más dos. Buscando las raíces racionales del polinomio, se tiene que los divisores de 4 (término independiente) y 6 (coeficiente principal) son: .

1,2,4,  1,2,3,6

CÁPITULO 1


Los cocientes de los divisores de 4 y 6 son:

37

1,   ,   ,   , 2,   , 4,  

Pero como las raíces buscadas se encuentran en el intervalo [0, 2], solo se consideran

1, 12 , 13 , 16 , 23 , 43 Evaluando el polinomio se encuentra que

1 2

y

4 3

son raíces del polinomio, entonces:

  6  11  10  114 12 43  1 En la figura 1.21. se presenta la grafica del polinomio.

y

1.5 1 0.5 x

-0.2

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2 1.4 1.6 1.8

2

2.2

-0.5 -1 -1.5

Fig. 1. 1.2 21.

-2

Teorema 1. 1.8 8. Teorema fundamental del algebra Cualquier polinomio con coeficientes complejos y de grado mayor o igual que uno tiene al menos una raíz ya sea real o compleja. Teorema 1.9. 1.9. Teorema de los pares conjugados



 es una raíz de , entonces  también es una raíz de .

Si es un polinomio con coeficientes reales y si el numero complejo conjugado de , es decir



Ejemplo 1.43 1.43. 43.

2

Si es una raíz del polinomio compleja del polinomio.

      11  3120,

encontrar otra raíz

Solución: Las raíces complejas de los polinomios con coeficientes reales aparecen por pares conjugados, entonces como el conjugado de (2 + i) es (2 – i) éste debe ser raíz del polinomio. Se realiza la división por el método de Ruffini.

2  

1 1

1  11 31  20 2   13 234 20 1   103 84 0

2  2   y 2 

Entonces es raíz del polinomio. Resolviendo el polinomio por otros métodos se concluye que además de las raíces complejas posee dos raíces reales que son .

4 y 1

CÁPITULO 1


La figura 1.22 representa gráficamente la ecuación:

38

      11  3120 y

1.5

1

0.5 x

-4

-3

-2

-1

1

2

-0.5

-1

Fig. 1.22.

-1.5

Ejemplo 1. 1.44 44. 44. Encontrar un polinomio con coeficientes enteros de grado , si tres de sus raíces son:

3, , Solución: Como

 y  

5

12 2

son raíces del polinomio, sus conjugados deben serlo también, entonces, las

raíces del polinomio son:

3,,,

 ,   

son todas las raíces del polinomio.

12 Entonces:     3  1   12  2 2 Entonces:     3 1     54

Si se multiplica el polinomio obtenido por cualquier constante, se obtiene otro polinomio que tiene las mismas raíces. Para obtener un polinomio con coeficiente enteros, se multiplica por 4 el polinomio obtenido.

    3  1     544  8 11  7 715

Ejemplo 1. 1.45 45. 45. Encontrar las raíces reales del polinomio ( 8x5 – 12x4 + 89x3 – 23x2 + 228x – 290), se sabe que dos de sus raíces son 1 y

− 3 + 7i

4

Solución: Como

− 3 + 7i

4

es raíz del polinomio, su conjugado

− 3 − 7i

también lo es. Entonces se calcula

4

1 2  − 3 + 7i   − 3 − 7i  el producto: (x – 1)  x −   x −  = x3 + x 2 4   4  

Dividiendo: (8x5 – 12x4 + 89x3 – 23x2 + 228x – 290) ÷ (x3 +

1

+

17

x−

8 2

x +

2

29 8

17 8

x−

29 8

)

Se obtiene: (8x2 – 16x + 80). De donde: (8x5 – 12x4 + 89x3 – 23x2 + 228x – 290) = (x 3 +

1 2

2

x +

17 8

x−

29 8

) (8x2 – 16x + 80)

CÁPITULO 1


39

Se resuelve: (8x2 – 16x + 80), sacando factor común (8) queda: 8(x 2 – 2x + 10). Hallando las raíces de (x 2 – 2x + 10), se obtiene: (1 ± 3i). Las raíces del polinomio son: 1, 1 + 3i, 1 – 3i,

− 3 + 7i

4

,

− 3 − 7i

4

EJERCICIOS RESUELTOS Observación: En la mayoría de los casos se omiten las tablas de valores Ejercicio Ejercicio resuelto Nº 1 Graficar la función y halla la raíz

32  0 2  -2 4 320   23

y

4 3 2 1 x

-3

-2

-1

1

2

3

-1 -2 -3 -4

 La raíz de la función es 

Fig. 1. 1.2 23. 23.

Ejercicio resuelto Nº 2 Halla el dominio y el codominio de la siguiente función y grafique.     21 Solución: La función es cuadrática, por lo tanto polinomial, y el dominio de toda función polinomial es el conjunto de los reales , por lo tanto el dominio de la función es y la parábola habre hacia arriba, pues el coeficiente de  .

∞,∞



  1, 1  0    21; 1, 2, 1 De:   Las coordenadas vértices se halla por:    2  2       2 21 2    1  1  2.11121 El vértice está en

1,2

y 4

3

2

1 x -2

2,∞

El codominio de la función es , pues la grafica abre hacia arriba y la ordenada del vértice es . Las raíces de la ecuación se pueden hallar por la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado.

- 1 .5

-1

- 0 .5

0 .5

1

1.5

2

-1

-2

2

Fig. 1.24 4. 1.24.

2.5

3

3.5

4

CÁPITULO 1


40

Ejercicio resuelto Nº 3 Halla el dominio y el codominio de la siguiente función y grafique.   2  3 1.5

Solución: El dominio de la función es La parábola abre hacia abajo, pues el coeficiente de  ,y .

y

1

∞,∞

0.5

 2 20

x

-0.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

Las coordenadas vértices:

-1

3  3  3     2 22 4 4  3 3    42.4 3.34   98  94    El vértice está en  ,   Fig. 1.25 1.25  El codominio de la función es] ∞, , pues la grafica abre hacia abajo y la ordenada del -1.5

-2



vértice es .

Ejercicio resuelto Nº 4      3 Sea la función 

y

4

Halla el dominio, el codominio, una raíz y grafica.

3

Solución: El dominio de la función es: El codominio de la función es: La gráfica corta al eje en 3 (termino independiente)  El valor de esta dado por:

∞,∞ ∞,∞      3  0   3    √ 3 1,442249…

2 1 x

-2

-1.5

-1

-0.5

2

2.5

y x

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5 -0.5

∞,∞ ∞,0,785  1 

1.5

-2

Ejercicio resuelto Nº 5 De la funcion           1. Halla: Solución: El dominio de la función es: El codominio de la función es: La gráfica corta al eje en (termino independiente) La grafica no corta al eje de las , por lo tanto la ecuación no no tiene ninguna raíz real, y como la ecuación es de cuarto grado, debe tener cuatro raíces; en este caso, todas son complejas.

1

-1

Fig. 1.2 1.26 6

El dominio, el codominio y grafica.

0.5

-1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4

Fig. 1.27 1.27

1

1.5

2

CÁPITULO 1


41

Ejercicio resuelto Nº 6 De la funcion    √ 42 4 2. Halla:

y

3 2.5

El dominio, el codominio y grafica.

2

Solución: El dominio de la función es: El codominio de la función es: La gráfica corta al eje en La única raíz de la función es

1.5

∞,2 0, ∞  2 2

1 0.5 x

-2.5

-2

- 1.5

-1

- 0.5

1

1.5

2

2.5

-1

Fig. 1.28 1.28

Ejercicio resuelto Nº 7

y

   √ 9    . Halla: De la funcion  El dominio, el codominio, las raices y grafica.

3

2

Solución: El dominio de la función es: 3,3 El codominio de la función es:  La gráfica corta al eje en  3 Las raíces son

 3

1

0, 3 

x

-3 -2 -2.5 -2 -2 -1 -1.5 -1 -1 -0 -0.5

3 Ejercicio resuelto Nº 8

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-1

Fig. 1.2 1.29 9. 9.

-2

y

8

   √   3   4. Halla: De la funcion  El dominio, el codominio, las raices y grafica.

6

Solución: ∞,1  4, ∞ El dominio de la función es: ∞,1 El codominio de la función es:  La gráfica corta al eje en  4 Las raíces son

1

0.5

-0.5

 2

4

0, ∞

2

x

-5

-4

-3

-2

Fig. 1.30. 1.30.

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

-2

Ejercicio resuelto Nº 9

  2      5   3, verificar la cantidad de raíces reales de la ecuación. Sea la función:  Solución: Se grafica la función y se observa que ésta corta al eje de las  en un solo punto, lo que indica que esta ecuación tiene una raíz real. La función es cúbica, por lo tanto las otras dos raíces son complejas (las raíces complejas están siempre en pares conjugados).

   2      5   3 y

 1 2

0

1 2

 7 1 3 1 13

7 6 5 4 3 2 1 x

-2.5

-2

-1 - 1.5

-1 -1

-0 - 0.5

0.5 -1

Fig. 1. 1.3 31. 31.

1

1.5

2

2.5

CÁPITULO 1


42

Ejercicio resuelto Nº 10 Halla todas las raíces del polinomio y sabiendo que una de las raíces es 3.

   5   1721 aplicando la regla de Ruffini

ó

1 5  17  21 3 3  24  21 1 8 7 0   5 1721 1721   3   87

Para resolver la ecuación de segundo grado se puede aplicar la formula general, o simplemente un caso de factoreo de trinomios. Factorizando se tiene:   Luego:  Por lo tanto las raíces son:

 87   71   5 17213 17213  71 3,7,1

Ejercicio resuelto Nº 11 Verificar si 2 es una solución de la ecuación: Solución: Para verificar si

Px  x 5x6

  2 es raíz de la ecuación, se sustituye en la ecuación y se obtiene

   56  2  2 526161060 Al hallar

 2  0, indica que 2 es una raíz de la ecuacion

Ejercicio resuelto Nº 12 Halla la raíz de la ecuación

24 en N (conjunto de los números naturales). naturales).

Solución:

24   42  2 Bajo estas condiciones la ecuación 24 no tiene solución, ya que no existe ningún número natural igual a 2. Sin embargo, existe solución a esta ecuación, pero en Z (conjunto de los números enteros), ya que 21 pertenece a los números enteros. Ejercicio resuelto Nº 13 Resolver la ecuación:

  1  √ 5  

Solución

  1  √ 3      1  √ 3    213  20 De dond dondee se obti obtien enee que: que:   2    1 Al sustituir   2 en la ecuación   1  √ 3  , éste se verifica, verifica, o sea, hace la proposición proposición verdadera. Sin embargo, al sustituir 1 en la ecuación   1  √ 3  , esta no se verifica, por lo tanto 1 no es solución de la ecuación original, luego, 1 es una solución extraña de la ecuación.

CÁPITULO 1


43

Ejercicio resuelto Nº 14 Calcular el valor del residuo de la división, div isión, sin efectuar la división:

  3   2 1

Solución Según el teorema del residuo, el residuo de la división   polinomio cuando .

  3  2 1 es el valor del

    3  2 1 1 1  1 31  2 1322 El residuo es 2. Ejercicio resuelto Nº 15 Determinar si es factor de

  2 

    2   3  546

Solución De acuerdo al teorema del factor

  2 es factor de  si y solo si 2  0

    2  3  546 2  2  2  2  3  2 5246

2 32161210460 Luego   2 es factor de la ecuación dada:    2   3  546 . Ejercicio resuelto Nº 16 Verificar en qué intervalo se encuentra una raíz real de la ecuación

5   3  1

Solución La más fácil y simple manera de verificar en que intervalos se encuentran las raíces de un polinomio es graficándolo (fig. 1.32). y

Claramente se nota que una raíz real se Encuentra en Otra raíz real en Se verifica por el teorema de Bolzano

1,0.8

0.8, 1

0.5 x

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2

-0.5

0    5  3  1   0.8 50.8 30.8  1  0.8 2,0481,9210,872  1 51 31  1 Fig. 1.32.  1  5  3  1  1 0.8  1 tienen signos opuestos, y por el teorema de Bolzano existe una raíz real Luego  en el intervalo 0.8, 1 La misma verificación puede hacerse con el otro intervalo 1,0.8 -1

-1.5

-2

Ejercicio resuelto Nº 17 Determinar el número de raíces positivas y negativas del polinomio:

    2  3  2 61

Solución Solución El polinomio es de grado cinco (5º grado), por lo tanto puede tener como máximo cinco raíces.

CÁPITULO 1


44

    Según la ecuación Los cambios de signos del polinomio son 3 (tres), esto indica que el polinomio puede tener tres raíces positivas o solo una.

    2  3  2 61

    Según la ecuación Los cambios de signos de este polinomio son dos (dos), indicando que el polinomio puede tener dos raíces negativas o ninguna.

    2  3  2 61

y

La grafica (fig. 1.33) evidencia que existe una sola raíz real en el polinomio considerado.

4

2 x

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2 1.4

-2

-4

Fig. 1.33.

-6

Ejercicio resuelto Nº 18 Encontrar las raíces racionales del polinomio:

  9   2   4  75 Solución:

  9  2 4 75 1  9  2  4  7  5  5 El coeficiente del término de grado mayor 9   es 9, el término independiente es 5, y al evaluar el polinomio en 1, el resultado obtenido es 5. Los tres números 9,5,5 son impares, se concluye que el polinomio no tiene raíces racionales, por lo tanto se debe proceder de otra manera para concluir con precisión.

EJERCICIOS DE FIJACIÓN6 Cada ejercicio y problema va acompañado de sus respectivos resultados. Los distintos gráficos de cada ejercicio aparecen en la parte final de este capítulo Ejercicio 1.1. 1.1 Grafica la función y halla la raíz del polinomio:

25

Ejercicio 1.2. 2) Halla el dominio, el codominio, las raíces y grafica la siguiente función:

ó: 6

Raíz:

  2.5

2  31

d mini  ∞,∞ c d mini  14 , ∞  0.25,∞ raices1,0,5

Oteyza de Oteyza, Emma Lam Osnaya. Hernández Garciadiego, Carlos. Carrillo Hoyo, Ángel Manuel. Temas Selectos de Matemáticas. Prentice Hall. México 1998. Extraídos de:

CÁPITULO 1


45

 53  ó:do mini  ∞,∞ c d mini 9.25,∞ raices1,0.5  5  ó:do mini  ∞,∞ c d mini ∞,∞ raiz 1,71  3 23  ó:dominio: ∞,∞ c d mini 3.32, ∞ 8 3 √ ó: d mini : ∞, 2.67 c d mini 0, ∞ raiz 2,67  √162 ó:dominio: 2.8284,2.8284 c d mini 0, 4 raices2.828 y 2.828  25 3  √ ó:dominio: ∞,∞ c d mini 2.2,∞ raicesc mplejas Ejercicio Ejercicio 1.3. Halla el dominio, el codominio, las raíces y grafica la siguiente función:

Ejercicio 1.4. Halla el dominio, el codominio, una raíz real y grafica la siguiente función:

Ejercicio 1. 1.5 5. Halla el dominio, el codominio y grafica la siguiente función:

Ejercicio 1.6. 1.6. Halla el dominio, el codominio, la raíz y grafica la siguiente función:

Ejercicio 1.7. 1.7. Halla el dominio, el codominio, las raíces y grafica la siguiente función:

Ejercicio 1.8. 1.8. Halla el dominio, el codominio, la raíz y grafica la siguiente función:

Efectúa las siguientes divisiones utilizando la Regla de Ruffini

4 6 82 1 1 1   1 1 2 7 43 3  81 3 2 8 1710 6 Ejercicio 1. 1.9 9.

Ejercicio 1.1 1.10 0.


Ejercicio 1.12 1.12..

Ejercicio 1. 1.1 13.

Ejercicio 1.14. 1.14.

ó: 4 102 ó: 1     ó:   1 ó:2 1 ó: 3 927 ó:2 47 632

CÁPITULO 1


46

4 9 11 8 2 ó:4 8 7 36 24    1 1 ó:  2 2 33 14    3 1 ó:   2 2 2 3 33 Ejercicio 1.1 1.15 5.



De las siguientes divisiones divisiones,, calcula calcularr el valor del residuo sin efectuar la división

 256 9  9 1231 7   2 2 2  8 215 8   5 312, 7  6 7 5 68, 4 2 4 3 5 710, 2

Ejercicio 1. 1.18 18. 18.

Ejercicio 1. 1.19 19. 19.



691 213 4 1

Determina si es factor de los siguientes polinomios. En cada caso se da el valor de a. Ejercicio 1.2 1.22 2.



ó: 7no es fact r ó: 4 es fact r ó: 2 es fact r

CÁPITULO 1


 12 32 1715,  56 24 10 72,  14 9  72981,  19

47

Verificar si el valor de es raíz de la ecuación dada. Ejercicio 1.25 1.25..


Ejercicio 1. 1.27 27. 27.

ó:12 4218 ó:24 48 ó:9 729

Encuentre las raíces racionales de los polinomios Ejercicio 1. 1.2 28.

24 22 56, 27 63 57 76, 40 202 3 345, 3 4 2, 36 12 95 50 2 64 56 242 223 564

Ejercicio 1. 1.29 29. 29.





:  12 , 23 , 34 :  13 , 23 , 3 : 14 , 15 ,  12 , 5 : no tiene : 1,2, 12 ,  13 , 16 : 2,2, 2,12 , 13 , 16

De los siguientes polinomios, polinomios, determine el número de raíces positivas y negativas.

3 3 7 124 10  1525



ó: 1 raizy 3 raices  ó:4 raicesy 1 raiz 

CÁPITULO 1


48

7 23 5 4 6 23 ó: 1 raiz  4 2 15 10 128 ó: 3 raicesy 2 raices  3 5 11 28 16 3216 ó:3 raicesy 3 raices 



Ejercicio 1. 1.38 38. 38.

De cada polinomio dado, encontrar un número entero que sea cota superior e inferior.

 6 6 64 2790 ó: 4  7  9 21 21 2012 ó: 1  9 2 25 22 113 5652 ó: 3  14

Ejercicio 1. 1.39 39. 39.



Mostrar que A es una cota inferior y B es una cota superior para las raíces del polinomio dado y encontrar todas las raíces reales. Ejercicio 1.4 1.42 2.

3 10 27 8224 3 22 22 16 256 4 56 259396  10 19 26 178

Ejercicio 1. 1.43 43. 43.

Ejercicio 1. 1.44 44. 44.

Ejercicio 1. 1.45 45. 45.

ó: 4, 6 ó: 2, 8 ó: 1, 14 ó: 10, 2

CÁPITULO 1


49

Encontrar en cada caso un polinomio con coeficientes enteros que satisfaga las condiciones dadas. Ejercicio 1. 1.46 46. 46.

Polinomio de grado 3,  2,   3  ó:     8 2220 Ejercicio 1. 1.47 47. 47.

Polinomio de grado 4,  ,   2  √ 2 ó:     4 7 46

Ejercicio 1. 1.48 48. 48.

Polinomio de grado 3,  ,   73 ó:  35  7 357

Ejercicio 1. 1.49 49. 49.

Polinomio de grado 4,  √5,   √5,   6 ó:  36 179  5

Ejercicio 1. 1.50 50. 50.

Polinomio de grado 5,   63,     7,   12 ó:    38 575 4386 1701027000

Encontrar las raíces del polinomio utilizando la raíz dada, en cada caso. Ejercicio 1. 1.5 51.

    2  1,    

ó: ,

Ejercicio 1. 1.5 52.

    4 15  80  100,    2  ó: 2 ,2 ; √ 20,√ 20

Ejercicio 1. 1.53 53. 53.

  8 49 87   105,     78

Ejercicio 1. 1.54 54. 54.

ó:  78 ,3,2  ,2 

54     2 24  50 25,    5 ó: 5,5,1√ 2 ,1 √ 2

CÁPITULO 1


50

GRÁFICA DE LOS EJERICIOS DE FIJACIÓN Ejercicio Nº 1

Ejercicio Nº 2

y

Ejercicio Nº 3 y

y

2

5

5

4

4

x

-2

-1

1

3

3

2

3

4

5

6

-2

2

2

-4 1

1

-6 x

x

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

1.5

-8

-1

-1

Ejercicio Nº 4

Ejercicio Nº 5

y x

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

Ejercicio Nº 6 y

y

0.5

1

1.5

3.5

1

2 3

0.5 -1

x

-1

-0.5

-2

0.5

1

2.5

1.5

-0.5

2

-1

1.5

-3

-4

-1.5

1

-2

0.5 x

-2.5

-1

-5

-6

Ejercicio Nº 7

-0.5

0.5

-3

-0.5

-3.5

-1

Ejercicio Nº 8

1

1.5

2.5

3

Ejercicio Nº 9

y

y

2

y

10 4

8

3

6

8

2

6

4

4

2

1

2

x

-4

x

-3

- 2.5

-2

- 1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

- 3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0.5

1

1.5

2

-2

5

-1

-4

-2

Ejercicio Nº 10

Ejercicio Nº 11

Ejercicio Nº 12

y

y

y

1.5 1 1

1

x

-2.5

0.5

0.5 -1

-0.5

0.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

-1

x

-1.5

-2

1

x

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2

-2

-0.5

-0.5 -1

-1

-3

1

CÁPITULO 1


Ejercicio Nº 13

Ejercicio Nº 14

Ejercicio Nº 15

y

y

3

51

y x

2

-3

15

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-2 x

-3

-2

-1

1

2

10

3

-4

-1

5

-2

-6

-3 x

-8

-4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

-5

-10

Ejercicio Nº 16

Ejercicio Nº 17

y

Ejercicio Nº 22

y

y

2.5

x

-1.5

-1

-0.5

2

0.5

1

1

-0.5 0.5

-1

1.5

x

-1.5

1

-2

- 1. 8

-1 .6

-1 .4

- 1. 2

-1

- 0. 8

-0 .6

- 0. 4

-0 .2

-2

0 .2

-0.5

0.5 -2.5 x

-1.2

-1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

-1

-3

1

-3.5

-0.5

Ejercicio Nº 23

-1.5

Ejercicio Nº 24

Ejercicio Nº 25 y

y

y

3

3

2

2

1.5 1 0.5

1

1

x

-3

-3.5

-3

-2.5

-2

- 1.5

-1

- 0.5

0.5

-2

-1.5

-1

-0.5

x

x

-4

-2.5

-1

1

-0.5

0.5

1

1.5

2

0.5

1

-0.5

2.5

-1 -1

-1

-1.5 -2

-2

-2 -3

Ejercicio Nº 26

-2.5

Ejercicio Nº 27

y

Ejercicio Nº 39

y

y

0.2

2.5

4

2

3

0.1

2

1.5

x

-0.1

-0.05

0.05

0.1

1

0.15

1

x

-0.1

0.5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

-4

-3

-2

-1

1 -1

x

-1

-5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2

-2 -3

-0.5 -0.3

-4

-1

2

3

CÁPITULO 1


Ejercicio Nº 40

52

Ejercicio Nº 41 3

y

2

Ejercicio Nº 51

y

2.5

y

1.5 2

2 1

1

1.5

0.5 x

- 6 - 5 .5

- 5 - 4 .5

-4

- 3. 5 - 3

- 2. 5 - 2

- 1. 5

- 1 - 0 .5

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

1

-0.5

-1

-1

0.5

-2 -1.5 -3

-1

-0.5

-2.5

-4

Ejercicio Nº 52 3

x

-1.5

-2

1

-0.5

Ejercicio Nº 53

y

0.5

Ejercicio Nº 54

y

1

y

2 0.5

2 1

x

1 -0.5

-4

-3

-2

-1

1 -1

2

3

4

5

0.5

x

x

-1

-0.5

0.5

-1

-2 -2

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-0.5

-1

-1.5

-3 -2

-3 -4

1

1.5

2

2.5

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

CAPÍTULO 2. TEORÍA DE ERRORES

53

IEnnnttrloducci ó n a act i v i d ad mat e mát i c a, l a i n geni e rí a , l a i n f o rmát i c a y muchas ot r as ci e nci a s, exi s t e n fmatenómenos muy vari a dos que necesari a ment e deben ser represent a dos por model o s e mát i c os. Est o s model o s, por su compl e j i d ad o por caract e rí s t i c as part i c ul a res no present a n sol u ci o nes exact a s y l a s más de l a s veces no son f á ci l e s de hal l a rl a s, y es aquí , donde lsiotsumétacioonesdosmuchas numériveces cos proporci o nan sol u ci o nes aproxi m adas a l o s probl e mas que surgen de no sol u ci o nabl e s por mét o dos mat e mát i c os t r adi c i o nal e s. Elaproxicálcmulano numéri c os es aquel que apl i c ando mét o dos obt i e ne resul t a dos numéri c os que se a l o s resul t a dos exact o s que se obt e ndrí a n apl i c ando l a sol u ci ó n anal í t i c a de un probl e ma; est o s resul t a dos pueden ser hal l a dos con l a preci s i ó n que se desee y preci s ando conresulanttadoserioesperados. ridad los márgenes de errores de acuerdo a la rigurosidad y precisión de los Loshallamétr solodosucionuméri c os se ut i l i z an para resol v er probl e mas que present a n di f i c ul t a d para nes por medi o de l o s mét o dos anal í t i c os t r adi c i o nal e s, o si t u aci o nes probl e mát i c as que no sean senci l o s de resol v erl o s. Est o s mét o dos proporci o nan una sucesi ó n deAl valresoloresverqueunseproblaproxiemamapora lamétsoloudosciónnuméri del problcosema.se tendrán siempre presente los errores, siAlendoaplicéstarouns demétdistoidontosnuméri tipos. co a cualquier situación problemática, se debe emplear un cridetprobl erio deemaconvergenci a , ci t a ndo con ant e l a ci ó n l a preci s i ó n que se necesi t e de acuerdo al t i p o a sol u ci o nar. Alcomplfinalej,oels objutileiztiando vo deoperaci los Métoonesdos matNumériemátcosicasessisimmplplees,mentconeelresolfin vdeer desarrol problemaslarnuméri c os y eval u ar métdenomiodosnándose para alcalgoricultamr osresula esttaodoss métnuméri c os a part i r de l o s dat o s proporci o nados, odos de cálculo. Aproxi m aci ó n numéri c a Entodola enpráctla icica,encilosacály lcaulionsgenirealeirízados y l o s resul t a dos esperados no si e mpre son exact o s, sobre a , y muchas veces se debe est a r conf o rme con l o s resul t a dos obtnumérienidcosos.que son aproximaciones bastantes precisas y validas, brindadas por los métodos Porsea válla diidfaicpara ultadlqueo quepresent a muchas veces el a borar un model o mat e mát i c o que se acerca o se desea, l o s resul t a dos obt e ni d os de t a l e s model o s son casi si e mpre aproxi m ados; debi d o a si m pl i f i c aci o nes en l a el a boraci ó n de l o s model o s y muchas veces por nofísictaomarseriatolodosrefleoris dfaoctaoprobl res queemasafedectancaíaduna lidetbre,ermidondenadosefedespreci nómeno.a elUnrozami ejempleontsiomdelpleaidere conimportel cuerpo en caí d a l i b re, si n embargo, en ci e rt a s condi c i o nes, est a si t u aci ó n puede ser muy ante y muy relevante en la solución real del problema.

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

54

Model o s mat e mát i c os: Unmatmodel o mat e mát i c o es uno de l o s t i p os de model o s ci e nt í f i c os que empl e a f o rmul a ci o nes e mát i c as para expresar rel a ci o nes, proposi c i o nes, vari a bl e s, parámet r os, ent i d ades y l a s relde asicisotenesmasentcompl re variejoasblantes,eoperaci o nes o ent i d ades, para anal i z ar y est u di a r comport a mi e nt o s si t u aci o nes di f í c i l m ent e observabl e s en l a real i d ad. Enconmatmodelemátosicasformalel siegs.nifUnicadomodelde model o mat e mát i c o, es un poco di f e rent e , pues se t r abaj a o f o rmal para una det e rmi n ada t e orí a mat e mát i c a es un conjproposiuntociosobre el que se han def i n i d o un conj u nt o de rel a ci o nes, que sat i s f a ce l a s nes deri v adas del conj u nt o de axi o mas de l a t e orí a . La t e orí a de model o s es l a encargada de est u di a r si s t e mát i c ament e l a s propi e dades de l o s model o s mat e mát i c os. Losde medimodelciooness matexperi emátmicentos requi e ren de parámet r os, que en l a mayorí a de l o s casos provi e nen a l e s y, por l o t a nt o , t i e nen una preci s i ó n l i m i t a da, que depende de fLosactomodel res extoesrnosmatecomo l o s i n st r ument o s de medi c i ó n, el cl i m a o l o s mét o dos apl i c ados. mát i c os resul t a nt e s de una model i z aci ó n normal m ent e son i m posi b l e s de resol v er por mét o dos anal í t i c os conoci d os y l a sol u ci ó n deseada sol a ment e es posi b l e aproximar por métodos numéricos. Por ejemplo una ecuación de quinto grado. Errores Lossituacimétónodoscomonuméri c os present a n errores i n evi t a bl e s, por l o t a nt o se debe consi d erar t a l algo inherente al cálculo numérico. Error absol u t o : Definición 1.1. Si    , es una|aproxi maci|ón a , se define el error absoluto como: Enestofoesrmaporpráctel excesi ica puedevo usorepresent a rse el val o r verdadero con  y el val o r aproxi m ado con  ,   de l a  en est e mat e ri a l , por l o t a nt o , el error absol u t o t a mbi é n puede def i n i r se como l a di f e renci a ent r e el val o r verdadero y el val o r aproxi m ado y se representarse por: | | Teorema 2. 1 . Eltérmierrornosabsol u t o de una suma es i g ual a l a suma al g ebrai c a de l o s errores absol u t o s de l o s que part i c i p an en di c ha operaci ó n. Enmenorvariqueos números aproxi m ados en el mi s mo sent i d o, el error absol u t o de l a di f e renci a es el mayor de l o s errores absol u t o s de sus t é rmi n os. Elsustsentraendo, ido dely deerrordistinesto delsentmiidosmoen casosentcontido rsiarielo.error del minuendo es mayor que el del EjSeaemplla canto 2.1i.dad exacta 5 y el número aproximado 5,3. Sea la cantidad exacta 2 y el número aproximado 2,1. Verifica si se cumple el teorema 2.1. SolSeaulciaócantn idad exacta 5 y el número aproximado 5,3. El error absoluto es: 0,3. SeaLuego:la cant5id–ad2 exact a 2 y el número aproxi m ado 2, 1 . El error absol u t o es: 0, 1  3; diferencia entre las cantidades exactas.

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

55

5,0,33 –– 2,0,11  3,0,22;; didiffeerenci a ent r e l a s cant i d ades aproxi m adas. renci a ent r e l o s errores absol u t o s. Eltérmierrornos;absolpor luototantdeo:la0,2dife0,renci3, cumpl a es e0,l2a,condi y 0,3cióesn.el mayor error absoluto de uno de sus Elsusterrorraendo.es del mismo sentido ya que el error del minuendo es mayor que el error del EjSean:empl8,o 22.y2.10 los números exactos y su suma: 8 +2 + 10  20 Sean: 8, 2 ; 2, 1 y 10, 2 l o s números aproxi m ados y su suma: 8, 2 + 2, 1 + 10, 2  20, 5 . Hallar el error absoluto. S|olución||2020,5|0,5 La suma algebraica de los errores absolutos es: 0,2 + 0,2 + 0,2  0,5 EjSeaemplel resul o 2.3t.ado de una operación en donde se comprueba que el valor exacto es 8 y El valor aproximado hallado es 8,2. Calcular el error absoluto. Sol|ución ||8 8, 2|0,2   Exiconsftreecuenci n variasamaneras de represent a r el error absol u t o , una de l a s f o rmas t a mbi é n ut i l i z ada es. | | Error rel a t i v o: Definición 1.2. Si    , es una| aproxi| mación a , se define el error relativo como:   || 0 Envaloforrmaverdadero, prácticsea, represent el error rela por:ativo se define como el cociente entre en error absoluto y el   ||| |  ||  0 Teorema 2. 2 . Elmayorerrorderellaotsiverrores o de unarelsumaativosdedevariloosssumandos, números aproxi m ados est á si t u ado ent r e el menor y el mi e nt r as t a l e s números present e n errores relativos del mismo sentido. EjSean:empl2,o 2.104. y 5 los números exactos y sean: 2,1; 10,2 y 5,3 los números aproximados respectivamente. Demostrar el cumplimiento del teorema 2.2. SolSean:ució2,n 10 y 5 los números exactos y su suma: 2 +10 + 5 17 Sean: 2,1; 10,2 y 5,3 los números aproximados y su suma: 2,1 + 10,2 + 5,3 17,6 <

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

56

El error absoluto de la suma es: 17,6 – 17  0,6 El error relativo de la suma es:  0,035294117.. . ElLuego:error0,rel02ativ0,o0de352.cada. . sumando es: 0, 0 5; 0, 0 2 y 0, 0 6 0, 0 6 Por lo tanto cumple la condición. Teorema 2. 3 . Elrelerror rel a t i v o del product o de dos números t i e ne el mi s mo val o r que l a suma de l o s errores ativos de los factores más el producto de esos mismos errores. EjSean:empl5oy2.105. los números exactos y sean 5,3 y 10,2 los números aproximados, respectivamente. Realiza las operaciones para demostrar el teorema 2.3. SolSean:ució5ny 10 los números exactos y su producto: 5 10  50 Sean 5, 3 y 10, 2 l o s números aproxi m ados y su product o : 5, 3 10, 2  54, 0 6 El error absoluto del producto es: 54,06 – 50  4,06 El error relativo es:  0,0812 ElEl error rel a t i v o ent r e 5 y 5, 3 es 0, 0 6 error rel a t i v o ent r e 10 y 10, 2 es 0, 0 2 Luego: 0, 0 6 + 0, 0 2 + 0, 0 6 0, 0 2  0, 0 6 + 0, 0 2 + 0, 0 012  0, 0 812 Por lo tanto cumple la condición al tener la igualdad: 0.0812  0,0812 Teorema 2. 4 . Elerrores errorrelrelaattivivoso delde lococis datentos,e didevidosdid anúmeros dados es i g ual a l a suma o l a di f e renci a de l o s por el menor más uno. EjSean:empl8oy2.26.los números exactos, y cuyos números aproximados respectivamente sean: 8,2 y 2,. Verificar el teorema 2.4. SolSoSean:lució8ny 2 los números exactos y su cociente: 8 2  4 Sean: 8,2 y 2,1 los números aproximados y su cociente: 8,2 2,1  3,904.. El error absoluto es: 3,904 – 4  – 0,096.. El error relativo es:  – 0,024 El error relativo entre 8 y 8,2 es 0,025.25 El error relativo entre 2 y 2,1 es 0,05 Luego:   – 0,024 0,6 17

<

<

×

×

4,06 50

×

÷

÷

− 0,096

4

0,025 − 0,05

− 0,025

0,025 + 1

1,025

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

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Errores i n herent e s Estcorresponden os errores sea lodeben pri n ci p al m ent e a aquel l o s dat o s obt e ni d os experi m ent a l m ent e y que s dat o s de ent r ada de un probl e ma, debi d o pri n ci p al m ent e al i n st r ument o de medición empleado, como a las condiciones de realización del experimento. Errores de t r uncami e nt o Estprobloseerrores son ori g i n ados por aproxi m aci ó n de sol u ci o nes anal í t i c as de un det e rmi n ado ma por medio de métodos numéricos.       1 2!  3!  4!  ! Porseriemediinfionideta. lSia seriendoe deimTaylposiobrlesetoevalmarúatoladosfuncilosóntéexponenci a l , que di c ho sea de paso, es una rmi n os de l a seri e , se requi e re cort a r o tqueruncares dielchaerrorserie después de ci e rt o número de t é rmi n os. Est a si t u aci ó n i n t r oduce a un error, de t r uncami e nt o , que depende del mét o do numéri c o empl e ado e independiente de la manera de realizar los cálculos. Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta).

Error numérico total El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo). Entonces, ¿qué criterio utilizar? ...lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento. En la práctica se debe considerar que actualmente las computadoras tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar de considerar su aporte al error total.

Errores de redondeo Estrequioseerrores se present a n al real i z ar l o s cál c ul o s que t o do mét o do numéri c o o anal í t i c o ren y se deben a l a i m posi b i l i d ad de t o mar t o das l a s ci f r as que resul t a n de operaci o nes aricifrtasmétqueicaspermi comotaproduct o s y coci e nt e s, t e ni e ndo que ret e ner en cada operaci ó n el número de el i n st r ument o de cál c ul o , normal m ent e , una cal c ul a dora. Enoperaciesteóntipyoson:de error existen dos situaciones que pueden perjudicar la precisión de la a- Cuando se suman una sucesión de números, especialmente si estos decrecen en

val o r absol u t o . b- Cuando se hal l a l a di f e renci a ent r e dos números casi i d ént i c os, ya que se cancelan los dígitos principales.

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

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Cuando las cantidades estudiadas pertenecen a los números irracionales las calculadoras y

los computadores cortan los números decimales introduciendo así un error de redondeo. Para ilustrar, un ejemplo; el valor de "e" se conoce como 2.718281828... hasta el infinito. Si se corta el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) se está obteniendo u error de E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008... Sin embargo, considerando que el número que seguía al corte era mayor que 5, entonces conviene dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error sería solo de E = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002.. , que en términos absolutos es mucho menor que el anterior. En general, el error de corte producido por las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas. Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja, el error de redondeo puede tener incidencia importante en el cálculo final. Redondeo de un número Con el redondeo de un número lo que se pretende es escribir un numero con menor cantidad de dígitos significativos, representando dicha cantidad con el menor error posible. Para redondear un número se fija a que cifra significativa se va a redondear dicho número. Si el número a la derecha de la cifra fijada es mayor o igual a 5 , se suma uno en el lugar donde se quiere redondear, si es menor a 5, se deja el número donde se quiere redondear sin agregarle nada. Ejemplo 2.7. Redondea los siguientes números a tres dígitos significativos: a) 27,0670 b) 37,23 c) 7,415 Solución a) 27,0670 = 27,1

b) 37,23 = 37,2

c) 7,415 = 7,42

Ejemplo 2. 2.8 8. Redondea las siguientes cantidades a números enteros: a) 23,617 b) 237,21 c) 7,5 Solución a) 23,617 = 24

b) 237,21 = 237

c) 7,5 = 8

Ejemplo 2. 2.9 9. Redondea las siguientes cantidades a dos cifras decimales: a) 57,2367 b) 0,789 c) 92,3341 Solución a) 57,2367 = 57,24

b) 0,789 = 0,79

c) 92,3341 = 92,33

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

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Redondeo t r uncado Elsigredondeo t r uncado consi s t e en t r uncar el resul t a do de una operaci ó n al número de ci f r as  ni f i c at i v as que se est é n ut i l i z ando. Por ej e mpl o sí se redondea a cuat r o ci f r as  significativas se tiene 0.4285. Redondeo si m ét r i c o Eldescart redondeo si m ét r i c o consi s t e en aument a r en uno l a úl t i m a ci f r a ret e ni d a sí l a pri m era ci f r a a da est á ent r e 5 y 9, o dej a rl a i g ual sí l a pri m era ci f r a descart a da est á ent r e 0 y 4. Por  a 4 cifras significativas tenemos 0.4286. ejParaemplverio síficsearredondea estos dos tipos de errores, se3real4iza la siguiente operación:  1 7 7 Empl e ando úni c ament e 4 ci f r as si g ni f i c at i v as y usando l o s dos t i p os de redondeo. Se obt i e ne: 0.0.44285+0. 0. 9 999 Redondeo t r uncado 286+0. 0000 Redondeo simétrico Se concluye que por lo general el redondeo simétrico l eva a resultados más precisos. Error porcent u al Estexpresa e tipomatdeeerror consi s t e si m pl e ment e en el error rel a t i v o expresado en por ci e nt o %. Se máticamente por: %  EjCalemplculaor 2.la10función  , para  2 por métodos numéricos y halla su error absoluto, el 5714  5714  1.

100% 

|   |  100%  100% | | | |

error relativo y el error porcentual. Considera el cálculo de   con  . SolCaluculcióanr el valor de la función  (2) mediante su serie de Taylor. La serie de Taylor de la función seno es:           3!  5!  7! (1)  21 Como es i m posi b l e real i z ar l a suma total de l a seri e , se debe truncarl a en al g ún punto, así se obtienela sucesión:     , 3! , 3!  5! , 3!  5!  7! ,… Si se denota como:          ,   3! ,   3!  5!   3!  5!  7! ,… Se obtiene la sucesión: SeEl lobti e ne l a sucesi o n:  , , , ,…,,… ímite serà: lim     

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

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Calculo de  con part iendo de la seriede Taylor para la función seno:  21   3!  5!  7! 1     2 2 2   2 3!  5!  7! El valor221. 3 33330. 2 66660. 0 25400. 9 0793 verdadero de sen 2 0.909297426

Calculo de error  = |  | = |0.9092974260.90793| =0.001367426 0.001367426 =0.001503826978  = || || = | | = |0.909297426| % = 100% =0.001503826978100%=.% Ejemplo 2.11. Ejemplo 2.11. Calcular la función  , para  = 2 por métodos numéricos y halla el error absoluto, el error relativo y el error porcentual. Considera el cálculo de   con . Solución

Calculo de   con  partiendo de la serie de Taylor para la función seno:

          =   3!  5!  7! =1 21   2 2 2 2   = 2  3!  5!  7!  9!  2 =21.3333330.2666670.0253970.001411=0.909348 El valor verdadero de sen 2== 0.909297426 Calculo de error  = |  | = |0.9092974260.909348| =0.000050574 0.000050574 =0.0000556188  = || || = | | = |0.909297426| % = 100% =0.0000556188100%=0.00556% Conclusión: Conclusión al comparar los resultados hallados en los ejemplos 2.3 y 2.4, se verifica que la precisión del valor hallado es consistente con el valor real o verdadero, sin embargo se nota que con una sola iteración mas, la precisión aumentó enormemente, pasando de un error porcentual de 0.15% de  a 0.00556% de , que puede considerarse valor totalmente apropiado para la función buscada. Cada caso presenta situaciones particulares, puede suceder que, como en este caso, con muy pocas iteraciones se pueda conseguir un resultado óptimo; sin embargo hay otros casos similares en que no sucede tal cosa.

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

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Exipropisteons sidetuacitodaonesoperaci en queóndebinuméri do aclaa crece gran canttantidoadendevalcálorculabsol os realutoiz, ados,que llooss redondeos resul t a dos obtno epresent nidos aavecesestabinilisidad.quieraMiteientnenrassentmásido,operaci el erroronescrecese enrealfoirmazan exponenci a l y el mét o do l a posi b i l i d ad de error aumenta. Cifras significativas Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. 1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. 2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Elconfnúmero de ci f r as si g ni f i c at i v as es el número de dí g i t o s que se puede usar con pl e na i a nza. Las ci f r as si g ni f i c at i v as se han desarrol l a do para desi g nar f o rmal m ent e l a confiabilidad de un valor numérico.

Muchos de los cálculos contenidos en los problemas de la vida real tratan con valores aproximados, entendiéndose que en toda medición existen errores, que la precisión en las mediciones y en los cálculos es casi imposible. Los dígitos significativos se encuentran contando los números de izquierda a derecha, partiendo del primer dígito no cero y terminando en el último dígito presente. Es conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas. El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal. Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas, mientras que los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras significativas. Ejemplo 2.12. 1- Longitud = 26 mm = 0,026 m = 0,000026 km (dos cifras significativas) 2- Estatura = 1,72 m = 17,2 dec. = 172 cm (tres cifras significativas) 3- 40072 ( cinco cifras significativas) 4- 3.001 ( cuatro cifras significativas) 5- 0,000203 ( tres cifras significativas) Exactitud y Precisión. Precisión La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

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0,5100,5%

Así, si se desea que el cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, se deben obtener números que correspondan o sean menor a: Esto servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado. Ejemplo 2. 2.13 13. 13. Subraya los dígitos significativos de cada cantidad. Solución Los dígitos significativos en los siguientes números están subrayados. a) 621,39

b) 7,400

c) 0,000230

d) 0,003

Preci s i ó n En el cálculo numérico, la precisión se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad. Exact i t u d La exactitud se refiere al grado de aproximación que se tiene de un número o de una medida

alPorvalejoermplverod,adersí seo quelee lsaevelsuponeocidadredelpresvelentoací, mo setera,oquede untanautceroc,aesestatátdelienevalunaor busprecciado.sión de 3 cifras significativas y una exactitud de 5kph. NLaúmercomputos enadorla caoesmputunadidorspaositivo de cálculo, ésta trabaja con un conjunto de números, que no esEl conjpreciusntamento de leoselnúmer de losonúmer o s r e al e s . s r e al e s , pr e s e nt a al g unas car a ct e r í s t i c as como: a)b) EsEs icontnfiniintouo.en ambos extremos. c)d) CadaLos númer númerosopueden puede tesnerer taunan pequeños cantidadcomoilimitsaedadesdeecie.fras. Elcarconjacteuríntstoicasde: los números que se manejan en una computadora presenta las siguientes a)b) EsNofesinicontto eninambos ext r e mos . uo. c)d) CadaLos númer númerosonotienepuedenuna ciseerrttaacantn pequeños idad máxicomoma desecidesfraese.. Unade bytcomput a dor a al m acena l o s númer o s en s i s t e ma bi n ar i o , us a ndo un númer o det e r m i n ado e s , dependi e ndo del t i p o de dat o y de l a comput a dor a que s e empl e e, pr e s e nt a ndo l a s siguia)enteExis carsteactunerlísímticiaste:al intervalo de valores que se puede manejar.

b)c) SeEl lconjimituantlaocantde inúmer dad deocis fnoras esquecontse emplinuoesaninopardiascrreeprtoe. sOentseaa,r unexinúmer o . s t e n huecos ent r e un númer o y ot r o . d) Producen errores de redondeo

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

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AlCuando convertelirresullos números al si s t e ma bi n ari o . t a do es muy pequeño y l a capaci d ad de represent a rl o es superada, se redondea comúnment e a 0. Cuando el resul t a do es muy grande y puede ocasi o nar un error al aproxi m arse al mayor val o r que se pueda represent a r. La computadora funciona o trabaja con lo que se conoce como aritmética de dígitos finitos, -

causando que ci e rt o s hechos que se t o man como ci e rt o s, no l o sean en un moment o dado, generando cál c ul o s ari t m ét i c os que ocasi o nan más error Latienearisustmétcasosica deprobldígietmátos fiicnositoys lloesvamása resul t a dos acept a bl e s. Cual q ui e r operaci ó n numéri c a comunes son:

ab DiMulvitsiipólnicentacióren números cercanos a 0. por números grandes. cd Suma de cant i d ades de di s t i n t o orden de magni t u d. Resta de números casi iguales.

PLosropagaci ó n de errores mét o dos numéri c os general m ent e consi s t e n en l a real i z aci ó n de muchos cál c ul o s, y est a siacumul tuacióanennocadapermioperaci te predeci r qué ef e ct o produci r á al resul t a do el error de redondeo que se ó n. Para est i m ar el ef e ct o del error de redondeo que se acumul a y de laas posiUsobdeilidlades de correcci ó n, se apl i c an l a s si g ui e nt e s si t u aci o nes: a ari t m ét i c a de preci s i ó n dobl e , que consi s t e en resol v er el probl e ma dos veces, unasoluciconón searittommaéticonsi ca dederando precisiósoln osilmasplciefryasotquera noconhayanaritmcambi ética adedo.preci s i ó n dobl e . La El i n conveni e nt e es quede resollos cálverculdosos devecesprecielsmiiónsmodoblproble tomanema.más tiempo que los de precisión simple, además b Usopequeñode lay arimástmgrande ética dequeintpuede ervalot,oquemarconsi s t e en ret e ner en cada paso el val o r más el val o r buscado, para que al f i n al se obt e nga un iquentervalno osequesabecontconengaexactel valitourdrealen . quéEl inconveni e nt e que present a est e procedi m i e nt o es part e del i n t e rval o est a rá l a sol u ci ó n, aunque comúnment e se supone que a l a mi t a d; est a si t u aci ó n consume el dobl e de t i e mpo y memori a al al m acenar l o s l í m i t e s superi o r e i n f e ri o r en l o s que puede est a r l a sol u ci ó n. c Usocifrasdequearitsemétpiiecnsaa desondígsiitognis sificgatniifvicas.atiLavos,desvent que consiaja sestequeen retse epinererdeenincadaformacietapaónsoly noo lseas t i e ne cert e za de que t a n si g ni f i c at i v a es una ci f r a. d Enfdistorqueibucióestn deadíprobabi stico, consi s t e en suponer un comport a mi e nt o al e at o ri o con una l i d ad conoci d a.De t o das l a s apl i c aci o nes posi b l e s para mej o rar y preci s ar l o s resul t a dos numéri c os es el que ha dado mayor éxi t o . Losestuditiparosladeformaerroresde propagaci mencionados ant e ri o rment e se propagan de di s t i n t a manera. Para ó n de l o s errores en conj u nt o , hay que def i n i r dos concept o s nuevos, la estabilidad y la convergencia. LaTodoestaprobl bilidadema requiere datos de entrada, que origina por lo menos una salida. Sí cambios pequeños en los datos de entrada producen cambios pequeños en la salida, se dice que el

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

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alesgiorinesttmaoblese oestproblableemao problmalecondi ma biceionnado. condicionado, en caso contrario se dice que el algoritmo  Siesellinerror después de n operaci o nes se puede represent a r por  , se di c e que el error , para  1, el crecimiento del eal . En cambi o si el error se represent a por  error se di c e que es exponenci a l .  es una const a nt e i n dependi e nt e de . Elresulcrecitadosmientsono delacepterrorablels.inElealcrecies pormielontgeneral i n evi t a bl e , y cuando  y  son pequeños, l o s o del error exponenci a l debe ser evi t a do, ya que el tcreciérmimnioento delseráerrorgrande,es linauneal elparamétvalodooreses estrelaabltievament e pequeños de . Por l o t a nt o sí el y si es exponencial es inestable. LaLosconvergenci a mét o dos numéri c os obt i e nen  t é rmi n os de una sucesi ó n de val o res. Comenzando con un valnumérior incicoiasel queobtseaieneunaotraproxi m aci ó n de l a sol u ci ó n de un probl e ma  . Apl i c ando un mét o do  a aproxi m aci ó n  . El procedi m i e nt o se repi t e para obt e ner  y así   sucesi v ament e , es deci r , se generar l a sucesi ó n  ,  ,  , … ,  ; donde t o dos l o s t é rmi n os son     aproxi m aci o nes a l a sol u ci ó n del probl e ma. Sí l a sucesi ó n obt e ni d a al cabo de  i t e raci o nes tdiievndeergenta une. límite se dice que el método es convergente, en caso contrario el método es CPorritedefrioindeiciconvergenci . a ó n de convergenci a se t i e ne que si un mét o do numéri c o es convergent e , ent o nces debe ocurrir que: lim    Encritelariopráctqueicpermi a estotaesdeciimdposiir sibexile sdete oconsegui r , razón por l a cual se debe opt a r por al g ún no l a convergenci a . Est e cri t e ri o se denomi n a cri t e ri o decuantconvergenci a . El cri t e ri o de convergenci a puede i m pl e ment a rse usando l o s parámet r os de i f i c aci ó n del error. , que son: el error absol u t o , error rel a t i v o y error porcent u al : La convergencia existe cuando: Error absoluto: lim  lim   0

Error relativos: lim  li m   0 Error porcentuial: lim % li m 100  0 Estponerlos ocris teneriopráct s sonica,simporque plementnoe esteóriposicos,bleporque no present a pract i c i d ad a l a hora de t o mar l i m i t e s con mét o dos numéri c os, no se y no es pos i b l e l o gr a r el 0. conoce el val o r real de  Buscando practicidad se deben modificar criterios. Al no conocer el valor real de  se emplea ella ulquetimesta iétemásraciócerca, o por l o menos el que se cree es el val o r más cercano, o sea, el val o r de n. Como tampoco es posible lograr el 0, se elige un criterio de convergencia en base a una

tolerror.eranciFinaalpredetermi n ada, empl e ando val o res absol u tos para tomar en cuenta el si g no del mente se obtiene:

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

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| | tolerancia lim  li m    tolerancia % 100|| tolerancia , de los criterios anteriores, por lo tanto no se conoce de antemano el número de iteraciones a Error absoluto: Errorrelativos: Errorporcentuial:

Como es imposible tomar el límite el método numérico se aplica hasta que se cumpla alguno

realizar. Para fijar la tolerancia se debe tener en cuenta que:

a) Debe de ser un número pequeño, no negativo, distinto a 0. b) La tolerancia más pequeña posible se obtiene tomando en cuenta el número de cifras significativas, que maneje el instrumento de cálculo que se utilice. Si se usa una calculadora, no es posible lograr más de 8 cifras significativas. c) No debe fijarse una tolerancia que sobrepase la precisión que pueda alcanzarse en un laboratorio, ya que el valor calculado no podría verificarse con la precisión obtenida. d) Se fija la tolerancia dependiendo de para que se quieran los resultados. Si se requiere una estimación burda de la solución la tolerancia puede ser baja, una o dos cifras significativas. Pero si se desea precisión, la tolerancia debe de ser la mayor que se pueda alcanzar. Un valor típico de precisión es de cuatro cifras.

El criterio de convergencia debe ser fijado considerando la importancia del resultado buscado, teniendo en cuenta que puede ocurrir que algunos problemas no presentan convergencias. El criterio de convergencia basado en el error, da una idea de los decimales que se han alcanzado. El número de ceros después del punto decimal, indica cuantos decimales correctos se tiene, lo que no define es cuantas cifras significativas se tienen. El criterio de convergencia basado en el error relativo permite conocer el número de cifras significativas alcanzado. Este criterio es más útil que el anterior. Dado que el teorema es válido solo con el error relativo real. El problema que presenta es que no es aplicable si la solución del problema es 0. El criterio del error porcentual es esencialmente equivalente al caso anterior. Orden de convergencia En la práctica interesa mucho que tan rápido converge un algoritmo para llegar a la solución buscada. Mientras menor sea el número de iteraciones requerido para alcanzar la precisión deseada, mayor será la velocidad de convergencia y viceversa. El orden de convergencia se define por la siguiente ecuación: ||   lim  || donde:  , error en la iteración n1  , error en la iteración n : constante de error asintótico.

:

orden de convergencia.

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

66

Laprobl eesma,unaseconst a nt e que depende del mét o do numéri c o empl e ado y de l a sol u ci ó n del supone que es di s t i n t a de 0. El exponent e  es una const a nt e dependi e nt e normalmente solo del método numérico.|Esta|| ecuació|npuede escribirse de otra manera:   Estpotaenciecuacia delónerrordicedequela ielteracierrorón deantunaerior.iteSuponi raciónendoes aproxi m adament e proporci o nal a una que exi s t a convergenci a , ent o nces l o s errores deben de t e nder a 0. En est a ecuaci ó n es más i m port a nt e el exponent e . Dado que l o s errores t i e nden a 0, mi e nt r as mayor sea el val o r de , menor será el número de i t e raci o nes queviceversa. se requieren. A mayor orden de convergencia mayor velocidad de convergencia y Elmétorden de convergenci a normal m ent e es un val o r const a nt e . Un val o r t í p i c o es 1, ent o nces el o do numéri c o t i e ne convergenci a l i n eal . Ot r o val o r f r ecuent e es 2, en est e caso se di c e que eletcmét., peroodo atiemedi ne convergenci a cuadrát i c a. Exi s t e n mét o dos de convergenci a cubi c a, cuart i c a, d a que aument e el orden de convergenci a t a mbi é n el mét o do es más compl i c ado. El orden de convergenci a no necesari a ment e es un ent e ro, aunque, normal m ent e lo es. EJERCICIOS DE FIJACIÓN EjComplerciceitoa 2.el1si.guiente cuadro con el valor de los errores absolutos, relativos y porcentuales.

Valorexact o Val o r aproxi m ado Error absol u t o Error rel a t i v o Error porcent u al % 82,87   82 2 2 221105 219, 106,37 53

51,93

Ejercicio 2.2. Sean los valores exactos: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y 10 y los valores aproximados respectivos: 1,1; 2,1; 3,2; 3,9; 5,2; 6,3; 6,8; 8,1; 9,2; 10,3. Halla los errores absolutos, los errores relativos y los errores porcentuales de cada una de las cantidades presentadas respectos a sus cantidades aproximadas. Para la realización de este ejercicio es importante construir una tabla de valores. Ejercicio 2.3. Demuestra en las siguientes operaciones que el error absoluto de una suma es igual a la suma algebraica de los errores absolutos de los términos que participan en dicha operación. a) 2 + 5 + 7 = 14

y

2,1 + 5,2 + 7,2 = 14,5

b) 3 + 6 + 2 = 11

y

3,2 + 6,3 + 2,1 = 11,6

c) 9 + 10 + 4 = 23 23

y

9,2 + 10,3 + 4,1 = 23,6

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

67

Ejercicio 2.4. En la diferencia de dos números demuestra que el error absoluto de la diferencia es menor que el mayor de los errores absolutos de sus términos. a) 9 – 2 = 7

y

9,2 – 2,1 = 7,1

b) 5 – 1 = 4

y

5,2 – 1,1 = 4,1

c) 10 – 3 = 7

y

10,3 – 3,2 = 7,1

Ejercicio 2.5. 4- En las siguientes sumas demuestra que el error relativo de la suma de varios números aproximados está situado entre el menor y el mayor de los errores relativos de los sumandos. a) 3 + 5 + 7 = 15

y

3,2 + 5,2 + 7,2 = 15,6

b) 2 + 6 + 9 = 17

y

2,1 + 6,3 + 9,2 = 17,6

c) 9 + 10 = 19

y

9,2 + 10,3 = 19,5

Ejercicio 2. 2.6 6. Demuestra que el error relativo del producto de dos números tiene el mismo valor que la suma de los errores relativos de los factores más el producto de esos mismos errores. a) 3

×

7 = 21

y

3,2

×

7,2 = 23,04

b) 2

×

10 = 20

y

2,1

×

10,3 = 21,63

c) 5

×

9 = 45

y

5,2

×

9,2 = 47,84

Ejercicio 2. 2.7 7. Demuestra que el error relativo del cociente de dos números dados es igual a la suma o la diferencia de los errores relativos de los datos, dividida por el menor más uno. a) 7

÷

b) 9 c) 10

3 = 2,333

y

7,2

÷

3,2 = 2,25

2 = 4,5

y

9,2

÷

2,1 = 4,38

4 = 2,5

y

10,3

÷ ÷

÷

4,1 = 2,512

Ejercicio 2. 2.8 8. Subraya los dígitos significativos de cada expresión: a) 21,33

b) 310,56

c) 0,0021

d) 0,30100

Ejercicio 2.9 2.9. Redondea cada número presentado a continuación a tres dígitos significativos: a) 3,2495 =

b) 0,00414 =

c) 23,540 =

d) 2,4315 =

e) 47,0217 =

f) 5,00791 =

CÁPITULO 2

TEORÍA DE ERRORES

68

Ejercicio 2.10 2.10. 10. Redondea a unidades las siguientes cifras a) 2,37 =

b) 37,88 =

c) 7,49 =

d) 0,86 =

e) 21,37 =

f) 82,52 =

Ejercicio 2. 2.1 11. Redondea a dos cifras decimales las siguientes cantidades: a) 7,397 =

b) 53,7219 =

c) 0,5611 =

d) 32,7777 =

e) 41,05321 =

f) 3,22631 =

CÁPITULO 3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

69

CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Introducción La necesidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales es muy frecuente en las ciencias aplicadas, en particular la ingeniería. Los sistemas lineales son aplicados en la búsqueda de solución a diversas situaciones prácticas, ya sea como la solución completa de un problema ó alguna parte de ella. Entre las aplicaciones prácticas de los sistemas lineales pueden citarse como ejemplos: a) Determinación del potencial en redes eléctricas. b) Calculo de tensión en una estructura metálica de construcción civil. c) Calculo de razón de drenaje en un sistema hidráulico con derivaciones. Los problemas matemáticos en todos estos casos se reduce al problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Cuando un sistema lineal es de gran porte, se debe escoger adecuadamente el método numérico a utilizar para preservar la precisión máxima del sistema. Vectores Definición 3.1 3.1.. Un vector en es una n-upla de la forma:



, , , … , )

 , , , … , )  , , , … , )      1, 2,3 ,…,   , , , … , ) ,, ,, …,,…, ) ).    , , , ,… ,,…,).    , , ,…,    , , , … , )   ·  ·   ·   · ∑  ·

Definición 3.2 3.2.. Sean: la igualdad de vectores como: , si y solo si

, vectores renglones en

, para todo , con

Definición Definición 3.3. Sean: de vectores como: Definición Definición 3.4. Sea: como:

Definición Definición 3.5. Sean: producto de vectores

. Se define

, vectores en

vector de

,

. Se define la suma

, se define el producto de vector por escalar

, vectores en

como:

,

. Se define el

CÁPITULO 3


 , ,, … , )

70

             ,,       0    , 0  0  ,, ,   ,  ,        

Definición Definición 3.6. Sea: representa con

vector de y se denota como:

,

, se define la norma de un vector , que se

Teorema 3. 3.1 1. Propiedad de vectores Sean: vectores en , entonces, se tiene: 1)

=

2) ( 3) 4) 5) 6) 7)

Conmutativa

=

Asociativa

, tal que ,

elemento neutro

tal que

Elemento simétrico Distributiva Distributiva Asociativa

Matrices Definición 3. 3.7 7. En general, una matriz es una tabla de números, un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque normalmente las matrices están formadas por números reales. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos dependientes de varios parámetros. Las matrices pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas diferentes, su aplicación también se da en el campo del álgebra lineal. Normalmente las matrices se designan con letras mayúsculas.



Definición3.8 Definición3.8. Se llama matriz de orden a cualquier tabla de números que conste de columnas. Una matriz es un arreglo rectangular de números de la forma



  finas y

    ……        …            , 1, 2,3,…,; 1, 2,3, la cual tiene

filas y columnas.

Si los elementos de una matriz son números reales y ducha matriz tiene columnas se dice que , y qe su tamaño es . La notación comúnmente utilizada para representar a la matriz

es:

filas y

CÁPITULO 3


Definición 3. 3.9. 9.

             ,  , . Sean:

dos matrices tamaño



71

, entonces,

 

si y solo si


      1,    0,   ,       0 ,  0, ,                     Una matriz escribe

es cuadrada si tiene el mismo número de filas y de columnas y en este caso se ,


Sea , una matriz cuadrada si matriz idéntica (identidad) y se nota .

se dice que

es la

Definición 3. 3.12 12. 12. La matriz

tal que

es la matriz nula.

Definición 3. 3.1 13. Sean:

dos matrices tamaño

, se define

como la matriz

dada por

Definición 3. 3.1 14.

   

Sean: dada por

una matriz tamaño

  ,y

un numero, se define



como la matriz




                         ∑  ,  1, 2, 3, … ,  ; 1, 2, 3, … ,    , ,,  ,   0  0        Sea:

una matriz tamaño

, se define

.

Definición 3. 3.1 16. Sea:

se define el producto

, donde

Teorema 3. 3.2 2. Propiedad Propiedades es de matrices Sean 1) 2) 3) 4)

5) ( 6) 7)

, entonces:

como la matriz .

CÁPITULO 3


72

 , ,,  

Teorema 3.3 3. Teorema 3. Sean

 , ,,      , ,,   

Teorema 3. 3.4 4. Sean Teorema 3. 3.5 5. Sean

Notación de matrices:

||

Las matrices se denotan con letras mayúsculas. Los elementos o números que conforman la matriz se denotan con letras minúsculas colocadas dentro de: barras verticales ; doble barras verticales ; corchete o paréntesis .







Es importante tener en cuenta que una matriz no se resuelve (esto la diferencia de los determinantes), sino que con una matriz se efectúan diversas operaciones. A cada elemento que forma parte de una matriz, se lo identifica con dos subíndices: el primero señala la fila que ocupa ese elemento, y el segundo indica la columna donde se encuentra.

Orden de una matriz La matriz presentada a continuación tiene tres filas y cuatro columnas y por ello se le denomina matriz de orden 3 x 4. El número que se nombra primero representa la cantidad de filas; y el segundo, número de columnas.

71 28 95 38 4769

Elementos de la primera fila:

7,2,9,3 2,8,7

Elementos de la segunda columna:

Una matriz A de 3 filas y 3 columnas, se escribe de esta forma:

A=

a11

a12

a13

1a.Fila

a 21

a 22

a 23

2a.Fila

a31

a32

a33

3a.Fila

1ª. 2ª. 3ª. Columnas Tipo de matrices Matriz cuadrada: Matriz cuadrada: Se llama matriz cuadrada a la que tiene igual cantidad de filas y columnas;

CÁPITULO 3

Ejemplo 3.1.

 13 57 


73

1 3 5  22; 36 42 91  33

Matriz diagonal: Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos fuera de la diagonal principal: Ejemplo 3. 3.2 2.

3 0 0 00 20 90 

Matriz nula: Se llama matriz nula a la que está formada únicamente por ceros. Ejemplo 3. 3.3 3.

000 000 000

Matriz identidad: Se llama matriz identidad a la que tiene a la unidad como único elementos en la diagonal principal, y ceros en los lugares restantes. Ejemplo 3. 3.4 4.

1 0 0  00 10 01

De acuerdo con esta definición, se deduce que la matriz identidad siempre debe ser cuadrada. Matriz fila ff ila o vector fila: Es toda matriz que posee una única fila. Ejemplo 3. 3.5 5.

|2  3 7|

Matriz columna columna o vector columna: Es toda matriz que posee una única columna. Ejemplo 3. 3.6 6.

36 1

CÁPITULO 3


74

Matriz transpuesta: t ranspuesta: Es la matriz B que se obtiene de A, cambiándose ordenadamente, las filas por las columnas.

1 7 Dada la matriz  17 23 56 48     258 463

Ejemplo 3.7.

Matriz triangular Es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos. Ejemplo 3.8 L=matriz triangular inferior (del inglés Low = bajo) U=matriz triangular superior (del inglés Up = encima de)

5 4 8 2 000 700 920 131 

Matriz simétrica: Una matriz cuadra A es simétrica si A = AT. Ejemplo 3.9.

4 0 0 0 372 728 025 006

 325 241 513, 

Matriz aantisimétrica: ntisimétrica: Una matriz cuadrada A es antisimétrica si su transpuesta coincide con su opuesta, o sea .

 

Ejemplo 3.10.

0 2 5  25 10 01,  0   27 54, 27 54

Todos elementos de la diagonal principal son necesariamente ceros Matriz opuesta: Dada la matriz A, se denomina opuesta de A a la matriz Ejemplo 3.11.

.

.

CÁPITULO 3


75

Matriz ortogonal Es la matriz cuadrada cuyo producto por su transpuesta da la matriz unidad.

cos cos  es ortogonal

Ejemplo 3.12.

Matriz singular Es la matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero. Una matriz singular no tiene matriz inversa. Ejemplo 3.13.

24 36, det12120,   77 77, det  4949  0

Definición 3.1 3.17 7.



 se dice invertible o no singular sí y solo sí Una matriz . , en este caso se dice que

  es la inversa de  Si  es no singular, su inversa que es única, se denota 

,   


 los elementos de  se llaman elementos diagonales.

Una matriz

Definición 3. 3.1 19.  Sea la matriz



∑||,

 se dice estrictamente diagonal dominante sí y solo sí ||  1,2,3,…,;

Operaciones con con matrices Adición de matrices Para sumar matrices, es condición necesaria que sean de igual orden, pues se suman los elementos que tienen la misma ubicación. Propiedades de la adición de matrices:

   

a) Propiedad conmutativa: b) Propiedad asociativa: c) Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es la matriz nula, de igual orden que las que se suman. d) Inverso aditivo: Dada una matriz , existe otra matriz inverso aditivo de : , tal que se verifica que:

 0



 

CÁPITULO 3


76

Ejemplo 3.14. Dadas las matrices A y B, halla la suma:

+ 1 3 2

 13 22 54   9 7 2 Solución

 3 42  13 22 5491 37 22  3191 2     27  52  410 15 76 Sustracción de matrices

La sustracción de matrices se define como la adición, restando los elementos de igual ubicación. Las propiedades de la sustracción de matrices son semejantes a las de la adición, con la diferencia de que no cumple la propiedad conmutativa.

 y    2  1  3  4 5  1  3 2 73 45 53 04 51    Ejemplo 3.15. Dada las matrices

, Calcular

    

Solución La operación , denota la diferencia entre las matrices , así porque la resta entre matrices se transforma en la suma de la matriz minuendo (A) con la matriz opuesto aditivo del sustraendo (B). Matriz minuendo

Matriz sustraendo

Multiplicación por (-1)

2  1  3 2 1 3  4 5  1  3 2 73 45;  53 04 51 ;  53 40 15  2 1 3  6 6 2  4 5  1 Matriz diferencia: 3 2 73  4553 40 15  25 33 30         1  5   15 32  27,  23 72  Transposición de matrices Dada una matriz de orden , se llama matriz transpuesta de , a la matriz n , que resulta de convertir las filas en columnas, y sus columnas en filas. Ejemplo 3. 3.16 16. 16. Dada la matriz , halla la transpuesta de , o sea

de orden

CÁPITULO 3


77

Producto de una matriz por un escalar En general se llama escalar a cualquier número real, y se emplea esta denominación cuando se definen operaciones entre números y otros elementos algebraicos, como lo son las matrices y los vectores. Cuando se multiplica una matriz por un numero real , se obtiene otra matriz del mismo orden que la dada, y cuyos elementos resultan ser veces los de la matriz original.

 ""

. 34 3 0 1 2  13 06 41, 33331 30  36 31 9 1 8 3  Ejemplo 3.17. Sea la matriz , halla el producto



3

Producto de matrices El producto entre dos matrices es otra matriz, donde cada elemento resulta de multiplicar cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz, sumando los productos parciales. Propiedades del producto de matrices: a) El número de columnas de la primera matriz debe ser idéntico al número de filas de la segunda matriz. b) El producto de matrices no es conmutativo. c) El elemento neutro del producto entre matrices es la matriz identidad. Las matrices representan verdaderos cuadros de valores, que no dan ningún resultado ya que esto carece de sentido; ya se ha dicho que las matrices no se resuelven, sino que con ellas se efectúan operaciones.

 y  3 1  56 24 , 4 1 32 12 01          3 1  56 244 1 32 12 01      3 411 3 312 3 2 1 1 3 011    5 322 5 2 2 1 5 021  56 421  441 6 342 6 24 1 6 041 Ejemplo 3.18. Sean las matrices

Efectúa:

a)

b)

Solución Para efectuar el producto , se multiplica la primera fila de por cada columna de , y así se van obteniendo todos los elementos que forman la primera fila del resultado; luego se sigue con la segunda fila de , y así sucesivamente.

CÁPITULO 3


11 11 7 1  1820 1926 1216 24  3 1 4 3 2 0   1 2 1 1 56 24    

78

El producto es irrealizable.



El producto no se puede resolver, porque hay que multiplicar cada fila de por cada columna de , sobran elementos de , ya que esta matriz tiene 4 elementos por fila, mientras que tiene 3 en cada columna; al quedar elementos sin multiplicar, el producto es irrealizable.

EJERCICIOS DE FIJACIÓN

Realizar las siguientes operaciones con matrices Ejercicio 3.1. 3.1 Sean las matrices A y B, hallar su suma:

 21 60  47 92

Ejercicio 3. 3.2. 2. Sean las matrices M y N, hallar su suma:

ó: 55 98

14  32 74 36 80 24  ó: 71 5 2 58 Ejercicio 3. 3.3. 3. Halla la suma de las matrices A y B

 21 53  74 52 

Ejercicio 3. 3.3. 3. Sean las matrices A y M, hallar su suma:

ó: 95 32

 14  32 54 27 59  ó: No s n del mismo rden       1162 513 147 1922 :  129 276 ; 219 276  Ejercicio 3.4. 3.4. Sean las matrices

, halla la matriz

y la matriz

CÁPITULO 3


  7 6 11 6 13 1 13 7 10 49 132  82 54 48 129  :  139 14 141  13 7 10 :  139 14 141       2, 7 1 0, 3 6 1, 1 8 0, 0 8 1, 1 8 0, 0 8 1, 5 3 0, 4 4  1,2,2921 3,2,4463 2,1.8926 3,2,2271 :  1,0,956 0,0,2129   0,1,695 0,0,1292 Ejercicio 3. 3.5. 5. Sean las matrices



Ejercicio 3. 3.6. 6. Sean las matrices

, halla la matriz P

, halla la matriz C

y la matriz

y la matriz

Ejercicio 3. 3.7. 7. Halla la transpuesta de las matrices

 20 17  |1  3 5| 22 11  1713 2314   51 23,

     

Dadas las siguientes matrices

Ejercicio 3.8. Hallar:

 1132 36 1411  2.  5.  3. 1,5 2.   

Ejercicio 3.9. Resolver:

Ejercicio 3. 3.10. 10. Resolver

Ejercicio 3. 3.1 11. Resolver Ejercicio 3. 3.12. 12. Resolver Ejercicio 3. 3.13. 13. Resolver

Ejercicio 3. 3.14. 14. Resolver: Ejercicio 3. 3.15. 15. Resolver:

0, 5 0 1, 2 5 2,0,5705 1,2,7050

79

CÁPITULO 3


80

   

Ejercicio 3. 3.16. 16. Resolver:

Ejercicio 3. 3.17. 17. Resolver: C Ejercicio 3. 3.18. 18. Resolver: Ejercicio 3. 3.19. 19. Resolver:

Determinantes Definición 3.20 3.20. 20. Un determinante es siempre cuadrado (igual cantidad de filas y columnas), y está formado por números, como una matriz; la diferencia fundamental es que, una matriz representa un conjunto de valores que no se resuelve, un determinante sí se resuelve, porque representa un número. Un determinante se representa con la letra griega ∆ (delta mayúscula) o usando barras. 1

4

6 = diagonal principal

2

7

0

3

5

9

= diagonal secundaria

Determinante de segundo orden es el que tiene 2 filas y 2 columnas. Determinante de tercer orden es el que tiene 3 filas y 3 columnas. Propiedades de los determinantes: a) El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su transpuesta, Ejemplo 3.19.

ac bdba dc 53 2426 35 24 26 31 00 910 703

A |A|

b) Si se intercambian entre sí dos filas paralelas, el determinante cambia de signo. Ejemplo 3.20.

c) Un determinante es nulo si una de sus filas o columnas está formada íntegramente por ceros. Ejemplo 3.21.

d) Un determinante es nulo si tiene dos filas o dos columnas iguales.

CÁPITULO 3

Ejemplo Ejemplo 3.22.


81

31 54 71843515843515  0 357 31 54 71168703016870300 61014    1531 1045 30155313 245 615

e) Un determinante es nulo si tiene dos filas o dos columnas proporcionales. Ejemplo 3.23.

f) Si los elementos de una fila se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Ejemplo 3.24.

g) Si una fila de un determinante la forma términos que son suma de dos sumandos, el determinante es igual a la suma de los determinantes obtenidos sustituyendo dicha fina por los primeros y segundos sumandos respectivamente. Ejemplo 3.25.

     1  1 1 1 1 11 1 1000 1 1 1 1 1 1   

h) Si una fila es combinación lineal (suma o resta de múltiplos) de otras paralelas, el determinante es cero (0). Ejemplo 3.26.

                           0         es ila Por ser

   

i) Si a una fila se le suma una combinación lineal de otras filas paralelas a ella, el determinante no cambia. Ejemplo 3.27.

                                                  0  

CÁPITULO 3


82

| · || |·||  40 31  20 53  ·40 31·20 5380 293  y su determinante es|  ·|24 Como 40 314; 20 536; |  ·|| |·||, |4 ·6||4|·|6|24

j) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices. De otra manera: Ejemplo 3.28. Sean:

Solución

Resolución de un determinante de 2° orden: Resolver un determinante de segundo orden es hallar el número que representa, para lo cual se multiplican los elementos de la diagonal principal, y a ellos se les resta el producto de la diagonal secundaria, es decir que se resuelve por la resta de los productos cruzados:

42 73  ∆42 73  4 3  2 7 121426 Ejemplo 3.29.

Resolver el determinante: Solución

Determinante de 3er orden El procedimiento de resolución de un determinante de tercer orden es un poco más largo que el de segundo orden, utilizándose para su resolución varios métodos; las más conocidas son la de Sarrus y Laplace. Aquí se presenta el método de Sarrus. Regla de Sarrus: Consiste en escribir debajo de la última fila, las dos primeras (conservando el orden); entonces se suman los tres primeros productos de las diagonales principales, y se restan los otros tres productos de las diagonales secundarias. Ejemplo 3.30 3.30. 30.

2 1 6  13 45  32

Resolver el determinante:

CÁPITULO 3


83

Solución

21 41 26  321 451 236   2 ·4·31 ·5·63 · 1·2 3 ·4·62 ·5·21 ·1· 3 21 41 26  321 451 236  24306 72203  7 Luego: det =

=


  .. 23 54  .. 10 46  .. 25 31  . . 59 74    3 2 6  .. 14 52 40 2 2 7  .. 54 14 43  . . 954 287 4103  Resolver los determinantes

 : 7  : 6  : 17  : 71 ó

ó

ó

ó

Resolver los determinantes

 : 62  : 67  : 511 ó

ó

ó

CÁPITULO 3


3 4 11  . . 51 28 07   5 6  3  ..  24 70 18 

84

 : 226  : 316 ó

ó

Sistemas lineales Definición 3.21 3.21. Una ecuación es lineal si cada término contiene no más de una variable y cada variable es de primer grado (elevada a la primera potencia).

53 72 26 9 2 3 1

Ejemplo 3. 3.31 31. 31. a) b) c)

, es lineal.

, no es lineal, pues el segundo término contiene dos variables.

, no es lineal, pues la variable del primer término está elevada a una potencia distinta de uno.

La solución de un sistema lineal de orden n, consiste en hallar los valores de cada una de las variables, que al ser sustituidas en el sistema, todas ellas son satisfechas. Ejemplo 3.32. De un sistema de tres ecuaciones lineales:

2532 3  4 3    2 2,1, 3 21 35 31   24  311  2                           

Este sistema tiene la solución: Para verificar la validez de las soluciones se reemplazan las variables en el sistema, y todas deben ser satisfechas. Este mismo ejemplo puede escribirse en forma matricial:

De un modo general, un sistema de ecuaciones lineales se escribe como:

CÁPITULO 3


  ……    …     

85

La representación en forma matricial se da como:

 

La forma más simple de representación matricial es: Donde es la matriz de los coeficientes, es el vector solución y independientes.



es el vector de términos

Clasificación de un sistema lineal a) Sistema compatible, posible o consistente. - Determinado: si admite una única solución. - Indeterminado: si admite más de una solución. b) Sistema incompatible, imposible o inconsistente - Es todo sistema que no admite solución Ejemplo 3. 3.33 33. 33. Sea el siguiente sistema:

5 21

Solución La solución del sistema es:

5

y

4

3

2

1

2,3

x

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-1

2

2.5

3

3.5

4

Fig. 3.1.

El sistema es compatible y determinado, pues ningún par de valores distintos a 2 y 3 podrán satisfacer la ecuación dada, o sea, el sistema posee una única solución. Ejemplo 3. 3.34 34. 34. Sea el siguiente sistema:

 1 333

y

2

1 x

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

-1

-2

Fig. 3.2 Solución Geométricamente las dos rectas son coincidentes, y como el resultado del sistema está dado por la intersección de las rectas, en este caso, todos los puntos de las rectas son soluciones del sistema. El sistema es compatible e indeterminado, pues admite infinitas soluciones

CÁPITULO 3


Ejemplo 3. 3.35 35. 35. Sea el siguiente sistema:

86

y

4

3

13

2

1 x

-1

Solución

Fig. 3.3.

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

-1

-2

Geométricamente las dos rectas son paralelas, no existe la posibilidad de intersección entre ellas, por lo tanto el sistema es incompatible, pues no admite ninguna solución. Métodos exactos Son aquellos métodos que aplicados a un sistema producen soluciones exactas, no generan errores de redondeo al operar con un numero finito de operaciones. Métodos iterativos Son aquellos métodos que permiten obtener soluciones de un sistema con una determinada precisión a través de un proceso infinito convergente. Este método requiere en principio de un número infinito de operaciones aritméticas para producir la solución exacta, pues el método iterativo necesariamente posee error de truncamiento. Sistemas equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando admiten la misma solución. Operaciones elementales La solución de un sistema de ecuaciones lineales frecuentemente requiere usar las operaciones elementales de una matriz. Estas son: a) Intercambio de dos filas o renglones cualquiera de una matriz. b) Multiplicación de una fila o renglón de una matriz por una constante . c) Sumar un renglón a otro, multiplicando el primero por una constante .

00

Transformaciones elementales 1) Dado un sistema de ecuaciones lineales, si a una cualquiera de sus ecuaciones se multiplica por un escalar distinto de cero ( , resulta un sistema equivalente al sistema dado. 2) Dado un sistema de ecuaciones lineales, si dos cualquiera de sus ecuaciones se intercambian, resulta un sistema equivalente al sistema dado. 3) Dado un sistema de ecuaciones lineales, si a una cualquiera de sus ecuaciones se le suma un múltiplo de otra ecuación cualquiera, resulta un sistema equivalente al sistema dado.

0

CÁPITULO 3


87

Mal condicionamiento Se tiene este fenómeno cuando la solución de las ecuaciones es muy sensible a pequeñas variaciones de los coeficientes, debido a que la matriz de los coeficientes en las ecuaciones lineales está próxima de ser singular. Ejemplo 3. 3.36 36. 36. Sean los siguientes sistemas lineales:

 10,2 051021 La solucion del sistema es: 20; 18  10,2 101021 La solucion del sistema es: 10; 8    

Un cambio relativo de 5% en el coeficiente de produce un cambio relativo de 50% en el valor de y 56% en el valor de , observándose que un pequeño cambio en uno de los coeficientes, produce grandes cambios en la solución del sistema. La solución del sistema perturbado es muy diferente de la solución del sistema original. Sistema bien condicionado Un problema se dice bien condicionado si pequeños cambios en los datos introducen, correspondientemente, un pequeño cambio en la solución. El buen condicionamiento o mal condicionamiento de un sistema lineal es inherente al problema y no depende del algoritmo empleado para resolverlo.

 0     1,  2, … , 

, para 1,  2, … , 

Definición 3. 3.2 22. El elemento , usado para eliminar los elementos define como el elemento pivote y la fila se define como la fila pivote. Definición 3. 3.2 23. Los números con



se

, por el cual se multiplica la fila pivote para luego restársela a la fila r se llaman multiplicadores.

Las operaciones elementales junto con los elementos pivotes y los multiplicadores permiten transformar la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones, cuando esto sea posible, en una matriz triangular superior o inferior y resolver el sistema equivalente, ya sea por sustitución regresiva o progresiva respectivamente. Método de determinantes Existen diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas de primer grado o sistemas de ecuaciones lineales; una forma sencilla de hacerlo es, aplicando los determinantes para resolver ecuaciones lineales. Es importante hacer notar que este sistema su usa para resolver sistemas lineales de hasta tres incógnitas.

CÁPITULO 3




88



Regla de Cramer: Esta regla establece que, dado un sistema de ecuaciones con incógnitas, se verifica:

  ∆∆ ,  ∆∆ ,  ∆∆ ,, 

representan a las incógnitas del sistema.

∆

∆

∆

Para hallar el valor de se divide el determinante por el determinante , siendo el determinante en el que se ha reemplazado la columna de la incógnita, por la de términos independientes, y es el determinante original del sistema.

∆

Ejemplo 3.37.

212 3 1 Se hallan los determinantes: ∆; ∆; ∆ y se aplican loscocientes  ∆∆ ,  ∆∆, ∆21 31 617 ∆112 31 36135 ∆21 121 21214  ∆∆  735 5,  ∆∆  714 2 5, 2 Resuelve el sistema lineal: Solución

Luego la solución del sistema es:

La resolución de ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de determinante es como en el caso anterior; lo primero que se debe hacer es calcular los determinantes, para ello puede aplicarse cualquiera de los métodos, siendo el más usado el método de Sarrus, para determinantes de tercer orden.

2355    4 34710 Se hallan determinantes: ∆, ∆, ∆, ∆ y se aplican loscocientes:  ∆∆ ,   ∆∆ ,   ∆∆ 1 1 1 ∆23 4 3 7523 4 1 1 ∆105 4 3 5769 Ejemplo 3. 3.38 38. 38. Resuelve el sistema lineal:

Solución

CÁPITULO 3


89

1 4 1 ∆ 23 510 75 46 1 1 4 ∆ 23 34 105 23   ∆∆  6923  3,  ∆∆  4623 2  ∆∆  2323 1 3, 2, 1 Luego la solución del sistema es:

EJERCICIOS DE FIJACIÓN Ejercicio 3. 3.29 29. 29. Resuelve el sistema lineal por el método de determinante

5336 4761 751137 837 3413 855 1331326 2537 146 9 8 12 246029

ó: 3, 7 ó: 3, 2 ó: 5, 7 ó: 6, 8 ó:  23 ,  34

Ejercicio 3.30 3.30.. Resuelve el sistema lineal por el método de determinante

Ejercicio 3. 3.3 31. Resuelve el sistema lineal por el método de determinante

Ejercicio 3. 3.32 32. 32. Resuelve el sistema lineal por el método de determinante



15446 32271

ó:  172 ,  173

CÁPITULO 3


90


890 236 2214 35 31 322 2 57 2312 5473 1034  313  11 22 7

ó: 9, 8 ó: 27, 10 ó: 4, 9 ó: 109 ;  359 ;  319





ó: 2; 4; 5


  6 2236  1 35222 2 6 32 83533

ó: 1; 2; 3

Ejercicio 3. 3.4 41. Resuelve el sistema lineal por el método de determinante

ó: 2; 6; 7


238 2   3 2  21 53749 351632

ó: 2; 3; 4


CÁPITULO 3

  3  5 24 758 53 241 461156 134763 115687 187878


91

ó: 4; 12; 1 ó: 12; 5; 2



ó: 5; 4; 2

Métodos Iterativos Los métodos iterativos son preferibles a los métodos directos cuando la matriz de coeficientes es poco densa, o sea, con muchos ceros. Entre los métodos iterativos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales las mas conocidas son: el método de Jacobi y el método de Gauss – Seidel Método de Jacobi El método de Jacobi es un método iterativo utilizado para hallar la solución de un sistema cuadrado de ecuaciones lineales. Este método se ilustra mejor con un ejemplo. Ejemplo 3. 3.39 39. 39. Utilizando el método de Jacobi, resolver el siguiente sistema lineal

73215 52  9 236 19 De la primera ecuaci n: De la segunda ecuacio n: De la tercera ecuaci n:   1537 2 ,

Solución Realizando transposiciones de términos adecuados se tiene:

 1532 7  92 5  1923 6   952 ,   1926 3

La iteración de Jacobi para este sistema es:

El método iterativo se inicia a partir del punto (0, 0, 0)

CÁPITULO 3


92

Los resultados del proceso iterativo se muestran en la siguiente tabla Iteración 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

   2,142857 1,800000 3,166666 0

0

0

2,276190 1,970068 2,056689 2,002189 2,009943 2,002037 2,001956 2,000672 2,000431

2,638095 2,685714 2,896780 2,929796 2,971360 2,983679 2,992539 2,996073 2,998113

3,352381 3,726984 3,852834 3,929494 3,964168 3,982366 3,991160 3,995618 3,998833

  2,   3,   4

Según la tabla, los resultados tienden a: Este proceso no es el más recomendable, pues se realizan demasiadas iteraciones para hallar el resultado, la situación repetitiva tiende a producir errores en las operaciones. Para que el método de Jacobi sea aplicable es absolutamente necesario que los coeficientes de la matriz del sistema sea una matriz estrictamente diagonal dominante, esto es, en este caso: , condición que se cumple y el método converge hacia un numero. En caso de que la matriz no sea estrictamente diagonal dominante, el método de Jacobi diverge.

7|3||2|, 5|1||2|, 6|2||3|

Método de Gauss - Seidel Seidel El método de Gauss – Seidel es también un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método es una variación del método de Jacobi, presenta mayor eficiencia para generar el nuevo punto de proceso iterativo, esto se debe a que el método de Gauss – Seidel va usando los resultados a medida que se van generando. Es posible aclarar este método con el mismo ejemplo anterior. Ejemplo 3. 3.40 40. 40. Utilizando el método de Gauss – Seidel, resuelve el siguiente sistema lineal

73215 52  9 23619

Solución Realizando transposiciones de términos adecuados se tiene:

De la primera ecuacion: De la segunda ecuacion:

 1532 7  92 5

CÁPITULO 3


93

De la tercera ecuacion:  1923 6   1537 2, ,   95 2   1926 3

La iteración del método de Gauss – Seidel para este sistema es:

El método iterativo se inicia a partir del punto (0, 0, 0) Los resultados del proceso iterativo se muestran en la siguiente tabla

Iteración 0 1 2 3 4 5 6 7

   2,142857 1,371429 3,138096 0

0

0

2,451701 2,081296 2,038973 2,010955 2,004000 2,001274

2,564898 2,836494 2,948665 2,982346 2,994208 2,998053

3,631882 3,891148 3,961342 3,987521 3,995771 3,998602

Según la tabla, los resultados tienden hacia:

  2,   3,   4

Este método de Gauss – Seidel necesita menor iteración para llegar al mismo resultado, pues el resultado logrado por el método de Jacobi en 10 iteraciones, éste método de Gauss – Seidel lo hizo en solo 7 iteraciones, presentando mayor rapidez en la convergencia. Tanto el método de Jacobi como el Gauss Seidel solo convergen a la solución si la matriz de coeficientes del sistema es estrictamente diagonal dominante.

SISTEMAS TRIANGULARES

                       ……     

Un sistema lineal de orden es triangular inferior (Low) si tiene la siguiente forma

CÁPITULO 3


94

  0, 1, 2 , 3 , … ,                                           …   0, 1,2 , 3 ,… ,               0   0 ,  1,2,3 ,…,  0,        0,  1, 2 ,3 , …,    , , … ,  2 7 32  61 3  9 De la ultima ecuacion se tiene:  993 3

Donde . Así dispuesto, la solución de un sistema triangular inferior se obtiene por sustitución directa, esto es, determinado el valor de en la primera ecuación, se sustituye este valor en la segunda ecuación y se obtiene ; luego, se sustituyen en la siguiente ecuación, se determina , y así sucesivamente. Un sistema linean de orden es triangular superior (Up) si tiene la forma:

Donde . Así dispuesto, la solución de un sistema triangular inferior se obtiene por retro-sustitución, esto es, determinado el valor de en la ultima ecuación, se sustituye este valor en la penúltima ecuación y se obtiene ; luego, se sustituyen en la siguiente ecuación, se determina , y así sucesivamente. Definición 3. 3.2 24. Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada Del mismo modo, si

para

tal que

para

.

es una matriz triangular superior.

Teorema 3.6. Teorema de sustitución regresiva. Si es un sistema tyriangular superior de ecuaciones lineales y , entonces el sistema tiene solución única. La unicidad de la solución se garantiza por inducción sobre .

Teorema 3. 3.7 7. Teorema de sustitución progresiva progresiva.. Si es un sistema triangular inferior de ecuaciones lineales y entonces el sistema tiene solución única. La unicidad de la solución existe porque en la primera ecuación de

y, por inducción finita, los valores de

, 

,

es el único valor posible

son únicos.

Ejemplo 3.41 3.41. 41. Resolver el siguiente sistema utilizando sustitución regresiva

Solución

Reemplazando el valor hallado

en la penúltima ecuación se obtiene:

CÁPITULO 3


95

  127   12·7 3   77 1  1   3 3  619 4   6 2 3  613·   2 2 2 2  2,  1,  3   

Conocido los valores de

se reemplazan en la primera ecuación:

Luego, la solución es:

Método de eliminación de Gauss

Sea el sistema lineal , donde tiene todas las submatrices principales no singulares. El método de eliminación de Gauss, o método de Gauss simple o eliminación gaussiana con sustitución regresiva, consiste en transformar el sistema dado en un sistema triangular equivalente a través de una secuencia de operaciones elementales sobre las filas del sistema original, esto es, el sistema equivalente se obtiene a través de la aplicación repetida de operaciones. La eliminación gaussiana es uno de los tantos métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 3. 3.42 42. 42. Resolver el siguiente sistema lineal aplicando el método de eliminación gaussiana con sustitución regresiva.

23 32 5  13  3 5 7 2  11

Solución Para ubicar mejor cada término de cada ecuación lineal, se presenta la forma genérica de representación de un sistema lineal.

     23 32 5  13  3     5 7 2  11 23 32 51  134 5 7 2  11  2           32      52 La matriz ampliada del sistema es:

El elemento pivote de la primera fila es

y los multiplicadores son:

CÁPITULO 3


  32  2 3  , 32  3  2  , La segunda ila: 0, 52,  132 ,  Para obtener un cero en

Para obtener un cero en

96

se modifica la segunda fila de la siguiente manera:



32 51 , 32 134  47

2

se modifica la tercera fila de la siguiente manera:

52 25, 52 37 , 52 52 , 52 1311 

La tercera ila: 0, 292,  292 ,  872 20 53 513  1347 La matriz queda de la siguiente manera: 0 292  292   872  2 2 2  29    multiplicador es:     252  295 Luego: 295  52  292 , 295  132 292 , 295  472 872  La tercera ila: 0, 295,  1165 ,  4645 2 3 5  13 5 13 47  0   Porultimo se tiene la matriz: 2 2 2 Para obtener un cero en

, el elemento pivote de la segunda fila es

0 0  1165   4645

Representando en su forma lineal se tiene:

253135 1347 2   1162    4642  5    5

y el

CÁPITULO 3


97

Resolviendo regresivamente:

   4645  1165 4   472  132 25 472  132 425 472 2625 52  25  13320 4   1332  5  133 154   2 2 2   2,  1,  4 La solución del sistema es:







Pivoteo trivial

 0 1,  2, … ,   0



En el proceso de pivoteo, puede suceder que en algún paso del proceso de eliminación gaussiana, se tenga , esto implica que este elemento ( ), no se pueda tomar como elemento pivote, en este caso se usa el pivoteo trivial, que consiste en escoger de una fila , en la que , esta fila se intercambia con la fila q-ésima, con lo cual se obtiene un pivote no nulo.



Operaciones entre filas de un sistema Existe otra manera de realizar las transformaciones de un sistema de ecuaciones lineales, con el objeto de modificar dicho sistema a uno equivalente. La esencia de realizar las transformaciones en un sistema lineal es la misma, siempre trata sobre operaciones entre filas del sistema. Una variante del método anterior se presenta a continuación, con el mismo ejemplo. Ejemplo 3. 3.43 43. 43. Resolver el siguiente sistema lineal aplicando el método de eliminación gaussiana con sustitución regresiva.

23 32 5  13  4 5 7 2  11

Solución Sea la ecuación a resolver:

23235  134 5 7 2  11

La matriz ampliada del sistema es:

23 32 51  134 5 7 2  11

CÁPITULO 3


98

  1ª ila,  2ª ila,  3ª ila 3 2 3 ·22 ·30, 3 2 3 ·32 ·25 3 2 3·5 2·1 13, 3 2 3·13 2 ·447

a) Para obtener un cero (0) en la segunda fila primera columna se procede de la siguiente manera, notando

13 2 3 5  El sistema queda como: 05 75 132  4711 5 2 5 ·22 ·50, 5 2 5 ·32·7 29  2 5·132 ·1187 5 2 5·5 22 ·229, 5 13  3 5 El sistema queda como: 00 295 2913  4787

b) Para obtener un cero (0) en la tercera fila primera columna se realizan las siguientes operaciones

Ahora solo queda obtener un cero en la tercera fila segunda columna, para el efecto se operan con las 2ª y 3ª filas.

 3 29·13 5 ·  29232 2929 55 229·9·5 5 ·290, 29   47 5·87 928 13  2 3 5 El sistema queda como: 00 50 23213  928 47  25 3  135  1347 232  928   928 232 4 4713· 4 4752 5    4713    1 3 5 5 5 13320 4   1332  5  133 154   2 2 2   2,  1,  4 Representando en su forma lineal se tiene:

Resolviendo regresivamente:

La solución del sistema es:

CÁPITULO 3


99

Descomposición LU

     1,2,3,…1,1. det   …

 

      0 par a    ,               

Teorema 3.9. Teorema LU Sea una matriz cuadrada de orden , y el menor principal, constituido de las primeras líneas y primeras columnas de . Asimismo que Entonces existe una única matriz triangular inferior , y una única matriz triangular superior . Además de eso, .7

Menor principal



 

  primeras

Sea A una matriz cuadrada de orden , se dice que es un menor principal de A si es el determinante que se obtiene a partir de una submatriz de formada con las filas y sus columnas o lo que es lo mismo, eliminando las últimas filas y columnas.

primeras

Ejemplo 3.44. Calcular los menores principales de la matriz

Solución Se calculan los siguientes determinantes.

356 214 073

 |||3|3   35 213 ·15 ·23107  ,pues corresponde al determinante del sistema Esquema practico para la descomposición LU La ventaja de este método es que es computacionalmente eficiente, porque se puede elegir el vector b que sea conveniente y no volver a realizar la eliminación de Gauss cada vez. Los determinantes de matrices triangulares son simplemente el producto de los elementos de sus diagonales. En particular, si L es una matriz triangular en cuya diagonal todos los elementos son uno, entonces:



En la práctica se puede calcular L y U simplemente aplicando la definición de producto y de igualdad de matrices, esto es, imponiendo que . Seas esto:

7

La demostración de este teorema en Franco, Neide. Calculo Numérico. Pag. 113 (en Portugues)

CÁPITULO 3


100

1 10 00 00 00 0        …1 0 0 0 0 …       1  0 0 0    33    1 0 0    0    1 10 0 0 

Ejemplo de una matriz triangular

de

Para la obtención de los elementos de la matriz L y de la matriz U se puede aplicar cualquiera de los métodos de transformaciones presentados anteriormente: a) operaciones entre filas de un sistema b) Método de eliminación gaussiana para sistemas triangulares

                 Sea el sistema descomposición

de orden determinado, donde satisface las condiciones de . Entonces el sistema puede escribirse como .

Transformado el sistema obtenida fácilmente.

en un sistema equivalente

cuya solución es

Haciendo , la ecuación se reduce a . Resolviendo el sistema triangular inferior , se obtiene el vector . Sustituyendo el valor de en el sistema se obtiene un sistema triangular superior cuya solución es el vector buscado. La aplicación de la descomposición sistemas triangulares.

en la resolución de sistemas lineales requiere de dos

Ejemplo 3. 3.45 45. 45. Sea el siguiente sistema lineal

53 2  4  70    3  5 5 2 1 El determinante del sistema: 31 11 43        0 y  0. a) b) c) d)



Verifique si satisface las condiciones de la descomposición Descomponer en A través de la descomposición , calcular el determinante de A Resolver el sistema , usando la descomposición .

Solución a) Para que



ssatisfaga las condiciones de la descomposición



se debe tener

 

CÁPITULO 3


101

 |5| 5  53 21 56 1     1 0 0 5 2 1 3 1 0  1 17  155 3 1; 00  05 135 det    5· 15· 1 313       3115 310 001 750  5 Para hallar : 3 0 Para hallar : 5   7  35 0  7    Para hallar : 15  3  5  15 ·03·7 5 21 5   521 26     0,7,26  50  125 1715 70  0 0 13  26 Resolviendo menor principal Resolviendo menor principal

Luego, satisface las condiciones del teorema para la descomposición

.

b) Descomposición de la matriz en Aplicando el método de eliminación de Gauss o el método de operaciones entre filas y columnas se obtiene las matrices triangulares superior e inferior:

c) El determinante de un sistema triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, en este caso:

d) Para obtener la solución del sistema 1) Para

, se tiene:

Operando se obtiene:

Luego, la solución del sistema 2) Para

, se tiene:

, se debe resolver dos sistemas triangulares:

CÁPITULO 3


102

Para hallar : 13 26    2613 2    Para hallar  :  15   175  7   15   175 27    Para hallar : 5 2  0  5 2·120      0, 1,2   53 21 1470   01 1 1 3  5 2 Operando se obtiene:

Luego, la solución del sistema Así, la solución del sistema

es:

EJERCICIOS DE FIJACIÓN Ejercicio 3.46. Considerando el sistema de ecuaciones lineales, verifica si la matriz de coeficientes del sistema es estrictamente diagonal dominante, si es así, resolver por el método de Jacobi y de Gauss-Seidel.

64 39 23 35 12  3 5  28

Solución: Solución

  6,  3,  5

Ejercicio 3.47. Considerando el sistema de ecuaciones lineales, verifica si es posible resolver por el método de Jacobi y Gauss-Seidel; si es así resolver por los métodos iterativos citados (Jacobi y Gauss-Seidel).

52 27 3   2632 34 2 9  48  5347 5242 12 20  2 3 10 3


  3,  7,  5;  2

Ejercicio 3.48 3.48. 48. Considerando el sistema de ecuaciones lineales:

   4,   3,  2 det253

 

a) Resolver usando el método de descomposición b) Calcular el determinante de , usando descomposición


.

CÁPITULO 3


     1 0 2  4    20 33 11; ; 32 ó:   12,   54,   74 24 310 24 4 48 32 24 54 27 4 1 ó:  1,  0,  1,  1 43 3 22  4 25 24 22 3 63 31 ó:   115,  2,   35,   25 24 33 5  46 46 32 5 223432 ó:   117,   37,   17,   167 34 23 85 55 30 70 59 94 2254 39  43 ó:  3,  9,  4,  7 Ejercicio 3.49 3.49. 49. Resolver el sistema

Usando descomposición LU

Ejercicio 3.50 3.50. 50. Resolver el sistema:

Ejercicio 3. 3.51 51. 51. Resolver el sistema

Ejercicio 3.52 3.52. 52. Resolver el sistema

Ejercicio 3.53. Resolver el sistema

, donde:

103

CÁPITULO 3


Ejercicio 3.5 3.54 4. Resolver el sistema

9 8  9376  8952 56 44 25 2  15 46 ó:  8,  2,  4,  5 62 79 33 89 77  49 49 82 32 64 87  11 ó:  1,  8,  5,  2 85 86 52 37 23  23 29 44 36 42 30  26 ó:  8,  2,  6,  9 7934392 4269 4259 329 23 34 ó:  7,  4,  5,  4 53 94 3  25 10137 54 23 37 8   10059 ó:  9,  8,  6,  2 Ejercicio 3.55. Resolver el sistema

Ejercicio 3.56. Resolver el sistema



104

CÁPITULO 4

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

105

CAPÍTULO 4 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Introducción La necesidad de contar siempre existió en la vida del hombre y cuando la acción de contar se produjo en la historia del hombre, estos utilizaron los dedos de las manos, piedritas, marcas en árboles o varillas, nudos en una cuerda y cualquier otras formas para ir pasando de un número al siguiente y registrar lo que sea se esté contando. Con el tiempo y a medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación que presente mayor practicidad y posibilidad para contar grandes cantidades. El sistema de numeración posicional es el modo de escritura que al parecer presenta mayor practicidad, en el cual cada digito posee un valor diferente dependiendo de la posición que ocupa dentro del grupo de números que representa alguna cantidad, o sea, su valor depende de la posición relativa ocupada. El sistema de numeración que se usa habitualmente es el sistema posicional decimal, cuya base es 10. Este sistema de numeración utiliza para su representación diez dígitos diferentes, cada uno de ellos representando cantidades diferentes, y son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9. A modo de referencia se cita la numeración babilónica que usaba numeración con base 10 y base 60, y la numeración maya cuyo sistema de numeración utilizaba las bases 20 y 5. La aparición de las computadoras ha dado un gran avance al desarrollo y perfeccionamiento de los sistemas de numeración, entre los cuales se puede citar el sistema binario o de base dos. Si bien George Boole estudio el sistema binario como aplicación práctica para emplear a la posición y cambios de rieles de trenes, luego éste procedimiento se hizo muy útil y se profundizó en sus características para dar origen al sistema utilizado universalmente por las computadoras. Si bien los resultados generados por un procesador computarizado están siempre afectados por la aritmética finita, siempre será de gran ayuda las operaciones computarizadas a la hora de realizar cálculos, tanto por su rapidez como por la precisión (casi exactas) de las operaciones. El sistema de numeración decimal es el que maneja y utiliza la gran mayoría de las personas y la que se aplica como base internacional de números. El sistema binario o de base dos es la que usa universalmente las computadoras. Además de estos dos sistemas de numeración existen otros utilizados en los sistemas digitales, como el sistema octal (base ocho) y el sistema hexadecimal (base dieciséis), también sistemas posicionales. Los sistemas octal y hexadecimal se utilizan más bien como apoyo y simplificación de circuitos digitales en los diseños de chips, pues la base de origen siempre es el sistema decimal, Ya que el sistema octal y el hexadecimal .

8  2

16  2

CÁPITULO 4


106

Representación de un número entero

 2   0       0,…1,2,…         , 0    0 10    510 5876610 710810   

La representación de un número entero en el computador no presenta ninguna dificultad. Cualquier computador funciona internamente con una base fija , donde , y se escoge como una potencia de 2. Bajo estas condiciones, un número entero Donde los

, posee una única representación.

son enteros que satisfacen

Ejemplo 4.1. El número 5876 en la base

está representado por:

Es almacenado como:

Representación de un número real La representación de un número real en el computador puede ser hecha de dos maneras, la representación en punto fijo y la representación en punto flotante. Punto fijo La representación en punto fijo fue el sistema utilizado por los primeros computadores. Así, dado un número real , este número real será representado en punto fijo por.

0

   

   

0  10   5876, 43     810 710 610 410 310 5876, 4 3510 5876, 4 35100081007106140, 1 30. 0 1 5876,43 5000  800  70  6  0,4 0,03 Donde son enteros que satisfacen la condición son enteros que sarisfacen . Ejemplo 4.2. El número 5876,43 en la base

y usualmente

0 y 0

y los

está representado por:

Punto flotante La representación en punto flotante es más flexible que la representación en punto fijo, actualmente esta representación es utilizada universalmente.



0







Dado un numero real , éste será representado en punto flotante por , donde es la base del sistema de numeración, es la mantisa y es el exponente. La mantisa es un número en punto fijo, está dada por:

CÁPITULO 4


  0;0,1 y1,  2, 3,… , 

    

107

1

0

Donde, frecuentemente, en los grandes computadores, , tan que si , entonces indica la cantidad de dígitos significativo o precisión del sistema, .

 0

0 

a) caracteriza el sistema de números en punto flotante normalizado. b) El número cero pertenece a cualquier sistema y es representado con mantisa igual a cero y .

 

Definición 44.1. .1. Los números en punto flotante son números reales de la forma: , donde tiene un numero de dígitos limitados, es la base y es el exponente que hace cambiar de posición al punto decimal.





 , con 1 ||1 0, , , …0,   ,, 1,0,2 , 3 , … , 0,

Definición 4.2. Un número real tiene una representación punto flotante normalizada si:

En el caso en que tenga representación punto flotante normalizada, entonces

Definición 4.3. Al conjunto de los números en punto flotante se le llama conjunto de números de máquina.

10 0,535 10 31010 0,5310 0,53 10  310 910 710 31010 4397, 3  4 10 4397,30,4397310 4397,3 5,972 10 5,972 10 910 710 21010 0,597210 Ejemplo 4.3. Escribe en número 0,53 de base

en punto flotante normalizada.

Solución

Ejemplo 4.4. Escribe en número4397,3 de base

en punto flotante normalizado.

Solución

Ejemplo 4.5. Escribe en número Solución:

de base


CÁPITULO 4


Representación de números en el sistema

108

, , , 

.

Es sabido que los números reales pueden ser representados por una recta continua. Si los puntos son fluctuantes solo es posible representarlos como puntos discretos en la recta real. Ejemplo 4.6. ¿Cuantos y cuales números pueden ser representados en el sistema

 1 2 2

Solución: Como son

12 0, 10

3

2,3,1,2

?

, indica que la base del sistema considerado es 2, y los límites exponenciales , indicando que . Así, la expresión para este ejemplo queda:



2122432   2,3,1,2 33

 32133 0 0. 1 00; 0. 1 01; 0. 1 10  0. 1 11  2, 2, 2, 2  0.25  0.3125 2 2 0.100 222 102...050 0.101 222 012.6.2.5255        2  0 . 3 75 2  0 . 4 375       0.110 222 013.7..505 0.111 222 013...875755     

Se tiene: dos posibilidades para los signos, una posibilidad para , dos posibilidades para , dos para y cuatro para . Realizando el producto de ; este resultado indica la cantidad a ser representada, entonces: puede representar números pues el cero forma parte de cualquier sistema de numeración. Los números que pueden ser representados por este sistema son: Las formas de la mantisa son: Las formas de son:

Aquí se tienen 16 números positivos en base 10, los otros 16 números son los mismos, pero negativos, ahí se tiene 32 números, completa el cero (0) para tener los 33.

10 0.00077 1010 0,710 ,,,   ,  ,  ,    0. …   0   Ejemplo 44.7. .7. Escribe en número 0,0007 de base


Solución



La representación de un sistema de números en punto flotante normalizado, en la base , con dígitos significativos y con límites de exponentes , la notación utilizada será . Un numero en el sistema de punto flotante será representado por , donde

CÁPITULO 4


 10, 3 , 2 , 2  0,53; 4397,3; 5,972 y 0,0007 Ejemplo 4.8. Considerando el sistema

109

. Representar en este sistema los números:

Solución En el sistema de punto flotante normalizado planteado por el problema, un numero será representado por . Se presenta los siguientes números en punto flotante:

0. 10,   22  0,4397,530, 5 3010  3 0, 4 397310  5,0.00070, 9720,710597210  0,530,5310 05, 19725,97210 22  4397,34397,310  0,00070,4 000710 3 22  4397, 3 4397, 3 10 0,00070,000710 2  0  1 

Los números sistema, pues las potencias de 10

pueden ser representados en este están comprendidas en el intervalo .

Sin embargo los números representados en este sistema fijado, pues las potencias de 10 pertenecen al intervalo . El número número

no pueden ser de estos números no

tiene un exponente mayor que 2, causando overflow y el posee exponente menor que produciendo underflow.

Definición 4.4. Sea la base del sistema de números en punto flotante. Los dígitos significativos de un numero , son todos los algoritmos de , donde está representado en la forma normalizada.

,  ,  0  0   0 3  0 10  10   0,144224957110   0,1044224957010  ,1442249570100,19110 0, 0,144224957010 0,144224957110 4 3210   0,144224957110   0 Ejemplo 4.9. Sea una fujncion continua real definida en el intervalo , . De acuerdo con el teorema de valor intermedio, existe . Sea . Determinar tal que Solución: Para la función dada se considera Haciendo

y sean , tal que

.

y

y resolviendo:

Entre y , no existen ningún numero que pueda ser representado en el sistema dado y que la función cambie de signo en los extremos del intervalo. Así, esta máquina no contiene el número tal que y por lo tanto la ecuación dada no posee solución.

CÁPITULO 4


110

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 4.1. Escribir el número

7361.3


 310 610  110 31010 5391. 3 710 7361.3.  

Solución:

Ejercicio 4.2 4.2. Escribir el número

0.42


0.424 10 21010 .

Solución:


5.172


0.0004


 110 710  210 10 5.5.1172 5 10 72.

Solución:


0.00044 1010 .  

Solución:


27.56


27.562 10 710 510  610 10 .  

Solución:

Ejercicio 4.6 4.6. Considerando el sistema

10,3,2,2

, representar el número

7361.3

0. … 10  4

Solución: Solución En punto flotante un número de base 10 se representa por , donde , Bajo estas condiciones el número no puede ser representado, pues está fuera del rango considerado, y el exponente de la potencia de 10 es , y el valor máximo permitido es .

22

7361, 3   7361.3.2

CÁPITULO 4


10,3,2,2 0.42  0.4210

Ejercicio 4.7 4.7.

Considerando el sistema


111

0.42

Solución: Solución El número sí puede ser representado bajo las condiciones consideradas en este ejercicio, pues el valor de está en el rango considerado, y el exponente de la potencia de 10 es , y el valor está comprendido entre los limites considerados de .

   0 0.42  .    1 y 2 10,3,2,2 5.172. 5.172.  5.172. 1 1 y 2

Ejercicio 4.8 4.8.

Considerando el sistema


Solución: Solución El número sí puede ser representado bajo las condiciones consideradas en este ejercicio, el valor de está en el rango considerado, y el exponente de la potencia de 10 es , y el valor está comprendido entre los limites considerados de .

Cambio de base

 

2

La mayoría de los computadores funciona en la base , donde es un entero ; que es normalmente escogida como una potencia de 2. Así, un mismo número puede ser representado en más de una base. Además de eso se sabe que, a través de un cambio de base, es siempre posible determinar la representación en una nueva base.

Sistema binario de numeración La importancia de este sistema de numeración radica en la sencillez de sus reglas aritméticas, que hacen es éste un sistema totalmente idóneo para uso en sistemas digitales y computadoras, pues posee solamente dos estados posibles, encendido o apagado o 0 y 1. Para representar la cantidad cero, se utiliza el símbolo 0, para representar la cantidad uno se utiliza el símbolo 1 y para representar la cantidad dos, se usa la combinación de los dos primero, o sea, la cantidad dos es 10, pero en base dos. Los números en el sistema binario se representan como: Los números en el sistema decimal se representan como:

1101  375

o simplemente 375.

Haciendo una comparación del sistema binario y del sistema decimal, se tiene la tabla 4-1 Decimal Binario

0 0

1 1

2 10

3 11 Tabla 44--1

4 100

5 101

6 110

375

7 111

375

Desde ahora en este material y en todos los casos se omite el sub-índice que indica la base de numeración para los números del sistema decimal, por lo tanto, se usará en vez de . La tabla 4-2 presenta las primeras potencias de 2 para su aplicación en conversiones

CÁPITULO 4


112

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

2

4

8

16

32

64

128 256 512 1024 2048 4096 8192

Tabla Nº 4-2

La tabla 4-3presenta las potencias negativas de 2

2 2 2 2 2 2 2

0.5

0.25 0.125

0.625 0.03125

0.015625 0.0078125 Tabla Nº 4-3

2

0.00390625

2

0.001953125

Análisis del sistema posicional decimal

 710 510 375 310 375 310071051 375 3007051375 10

10

En este ejemplo se nota que el digito menos significativo (5) multiplica y el digito más significativo (3) multiplica a y la suma de estos resultados representa el numero, en este caso 375. Conversión del sistema binario al decim decimal al La forma más sencilla de comprender e interpretar planteamientos problemáticos de este tipo y buscar solución es con un ejemplo directo.

111011 11011  12 12 12 02 12 12  11011 13211618041211 11011 3216802127 

Ejemplo 4.10. Se desea convertir el número

al sistema decimal.

Solución Tanto el sistema binario como el decimal son posicionales, se procede así:

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 4.9.

11011  12 02 12 12  11011 12  11011 11618041211  11011 16802127 

Se desea convertir el número

al sistema decimal.

Solución

Tanto el sistema binario como el decimal son posicionales, se procede así:

CÁPITULO 4


113


101001  02 12 02 02 12  101001 12  101001 13201618  04  02 11  101001  32  0  8  0  0  1 41 

Convierte el número

al sistema decimal.

Solución

Ejercicio 4.11.

10101110  02 12 02 12 12 12 02  10101110  12  10101110 1128064132  016  18 141210  10101110  128  0  32  0  8  4  2  0 174  Convierte el número

al sistema decimal.

Solución

Ejercicio 4.12.

111.001  12 12 02  02  12  111.111.000101 12  14  12  11  00. 5  00. 2 510. 1 25 111.001  4  2  1  0  0 0.1257.125 .

Convertir el número

al sistema decimal.

Solución

Ejercicio 4.13.

11.101  12 12  02  12  11.11.110101 12  12  11 10. 5  00. 2 510. 1 25 11.101  2  1  0.5  0  0.125 3.625 . 

Convertir el número

al sistema decimal.

Solución

Conversión del sistema decimal al binario Ahora se realizará la operación inversa a la anterior, pues se convertirá números del sistema decimal al sistema binario. De la misma forma como se procedió con la conversión del apartado anterior, se hará aquí, o sea, se hará la conversión a partir de ejercicios resueltos directamente. Los números enteros de cualquier sistema tendrán siempre otro número entero como resultado de la conversión de sistemas.

CÁPITULO 4


114

Ejemplo 4.11. Se desea convertir el número 13 al sistema binario. Solución Primer método método: Una de las formas más simples utilizadas para convertir un número del sistema decimal al binario es la presentada a continuación, donde la conversión se da después de una serie de divisiones (por el número dos) y cuyo resultado binario es el último cociente seguidos de todos los restos.

13  1101

13 2 (1) 6 2 (0) 3 2 (1) (1)

La interpretación práctica de la conversión de un numero del sistema decimal al binario se muestra con la flecha que acompaña a la división por 2 del numero 13. Segundo método método: Esencialmente consiste en el mismo método anterior, con la diferencia en la forma de representar la operación y la solución de la conversión. Se divide por 2 el número que se desea convertir, en este caso

163⁄⁄22 632201 3⁄2  21 

Se vuelve a dividir el nuevo cociente (6) entre dos, o sea:

De nuevo se divide el último cociente (3) entre dos, quedando:

Después de la última división, queda el último divisor (en negrita): El resultado se interpreta como indica la flecha, Entonces::

 

Tercer método: Otra forma de presentar la resolución del ejercicio es por medio del siguiente cuadro, interpretándose la tabla de la misma forma que el anterior y siguiendo el sentido de la flecha para ordenas los números en sus respectivos lugares.

(6

132 62 32 21 20 21 (3

1

Luego:

 

1

(1

0

1

1

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 4.14. Se desea convertir el número 8 al sistema binario. Solución Tanto el sistema binario como el decimal son posicionales, se procede así:

CÁPITULO 4


115

48⁄⁄222420 20 2⁄2 20

Se divide por 2 el número que se desea convertir, en este caso Se vuelve a dividir el nuevo cociente (13) entre dos, o sea: De nuevo se divide el último cociente entre dos, quedando:

Con esta última división el resultado es exacto, queda el último cociente: El resultado se interpreta como indica la flecha, Entonces::





Otra forma de presentar la resolución del ejercicio es por medio del siguiente cuadro, interpretándose la tabla de la misma forma que el anterior y siguiendo el sentido de la flecha para ordenas los números en sus respectivos lugares.

(4 0

82 42 22 20 20 20 (2 0

Luego:

(1 1 0

1 1



Ejercicio 4.15. Se desea convertir el número 27 al sistema binario. Solución Tanto el sistema binario como el decimal son posicionales, se procede así:

1237⁄⁄2216321 21 36⁄⁄22 132 201 

Se divide por 2 el número que se desea convertir, en este caso Se vuelve a dividir el nuevo cociente (13) entre dos, o sea: De nuevo se divide el último cociente entre dos, quedando: Otra vez se realiza la división por dos del cociente hallado:

Con esta última división el resultado es exacto, queda el último cociente: El resultado se interpreta como indica la flecha,

  27 13



6 3 2321 21 2 20 2 21 2

Entonces::

(1 1

(6 1

(3 0

(1 1

Ejercicio 4.16. Se desea convertir el número 46 al sistema binario. Solución Para convertir 46 al sistema binario, se aplica directamente la tabla:

CÁPITULO 4


116

462 232 112 52 22 3 2  0  2  1 2 1 2 1  2  0

(2 0 Luego,

(11 1

(5 1

(2 1

( 0

46  

1

1

Ejercicio 4.17. Se desea convertir el número 13,25 al sistema binario. Solución Para realizar la conversión de un sistema decimal fraccionario al sistema binario, s e procederá también de forma práctica, partiendo de la premisa de que un número fraccionario es la suma de una parte real y otra parte fraccionaria. Para la conversión se procede a realizar las dos partes por separada, primero, la parte entera y luego la parte fraccionaria, solo por dar un orden, pues esto no afecta al resultado. En la conversión de la parte fraccionaria, la operación para cuando los números después el punto son todos ceros.

13.25130.25

Se procede a convertir el número 13

Se convierte la parte fraccionaria

132 62 32 0.252 0..50200 21 20 21 1

(6 1

(3 0

Luego:

(1 1 1

1

0.50 0

0.25

1

13,25.

Ejercicio 4.18. Se desea convertir el número 8,375 al sistema binario.

8.37580.375 Solución

Se procede a convertir el número 8


82 42 22 0.3752 0..75250 0..50200 20 20 20  1

(4 0

0.25

Luego:

(2 0

8,375.

(1 1 0

1

0.75 0

1

CÁPITULO 4


117

Ejercicio 4.19. Convertir el número 5.8 al sistema binario.

5.8  50.8 Solución

Se procede a convertir el número

(2 1

52 22 2 1 2 0 (1 0

1

5

1


0.8

0.82 0.1.622 0..224 0.42 0.82  1.6 1

1

0

0,8 0, 0

5.8  .…

1.6 1.

0.8

Luego: Observación: Al resolver la parte fraccionaria volvió a aparecer el número , lo que indica que al continuar con la operación se tendrá la misma secuencia, esto indica que la conversión no es exacta y la parte fraccionaria tiene infinitas cifras. Sistema hexadecimal El sistema hexadecimal es otro sistema de numeración altamente ligado a las computadoras y a los ordenadores. Esta vez, no por ser el método de numeración de las máquinas, sino de ser una forma más sencilla de expresar ese lenguaje del ordenador. El sistema hexadecimal es un sistema en base 16 y está compuesto por los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. La forma de contar sería:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,,,,,,  del 0 al 15 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,1,1,1,1,1,1 del 15 al 31 20,21,22,23,… 10; 11; 12; 13; 14;  15

Recordar que:

La conversión a decimal, es análoga al paso de binario a decimal, utilizando el teorema fundamental de numeración.

75 75716 1016 516 179216051957 Ejemplo 4.12. Convertir el número Solución

del sistema hexadecimal al sistema decimal

CÁPITULO 4


118

Ejemplo 4.13. Convertir el número decimal 1957 al sistema hexadecimal. Solución El paso contrario, de decimal a hexadecimal, también es análogo a la conversión binaria, pero teniendo en cuenta que la base es 16 y, por tanto, se debe dividir por este número. 1957 16 (5) 122 16 (10) (7)

Luego: 1957 7105 75 Conversión binaria a hexadecimal En oposición a estas conversiones, el paso de binario a hexadecimal y de hexadecimal a binario es directo. En el primer caso, se agrupan los bits de 4 en 4 desde la derecha y se pasa cada grupo a su equivalente a hexadecimal. En el segundo caso, se pasa cada dígito hexadecimal a su equivalente en binario. Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal

Hexadecimal Decimal Octal binario 0 0 0 0000 1 1 1 0001 2 2 2 0010 3 3 3 0011 4 4 4 0100 5 5 5 0101 6 6 6 0110 7 7 7 0111 8 8 10 1000 9 9 11 1001 A 10 12 1010 B 11 13 1011 C 12 14 1100 D 13 15 1101 E 14 16 1110 F 15 17 1111 Como el único factor primo de 16 es 2, todas las fracciones que no tengan una potencia de 2 en el denominador, tendrán un desarrollo hexadecimal periódico.

CÁPITULO 4


12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 110 1 111 1 112 1 113 1 114 1 115 1 116 101

119

Fracción Hexadecimal Resultado en Hexadecimal 0,8 0,5

periódico

0,4 0,3

periódico

0,2A

periódico

0,249

periódico

0,2 0,1C7

periódico

0,19

periódico

0,1745D periódico 0,15

periódico

0,13B

periódico

0,1249

periódico

0,1

periódico

0,1

Existe un sistema para convertir números fraccionarios a hexadecimal de una forma más mecánica. Se trata de convertir la parte entera con el procedimiento habitual y convertir la parte decimal aplicando sucesivas multiplicaciones por 16 hasta convertir el resultado en un número entero. EJERCICIOS DE FIJACIÓN Ejercicio 4.1. Convertir el número Ejercicio 4.2. Convertir el número Ejercicio 4.3. Convertir el número

100100 111101 1111

al sistema decimal.

Solución: 36

al sistema decimal.

Solución: 61

al sistema decimal.

Solución: 15

CÁPITULO 4

Ejercicio 4.4. Convertir el número Ejercicio 4.5. Convertir el número Ejercicio 4.6. Convertir el número Ejercicio 4.7. Convertir el número Ejercicio 4.8. Convertir el número Ejercicio 4.9. Convertir el número Ejercicio 4.10. Convertir el número Ejercicio 4.11. Convertir el número Ejercicio 4.12. Convertir el número Ejercicio 4.13. Convertir el número Ejercicio 4.14. Convertir el número Ejercicio 4.15. Convertir el número Ejercicio 4.16. Convertir el número Ejercicio 4.17. Convertir el número Ejercicio 4.18. Convertir el número Ejercicio 4.19. Convertir el número


1110001 10011001 1101101 1011.1111 1001.11 1111.11 1001.001 1100.111 10011.01 1111.1101 10101.11 11010.111 11,01 10,10 11,11 100,10

al sistema decimal.

al sistema decimal.

al sistema decimal.

al sistema decimal.

120

Solución: 113

Solución: 153

Solución: 109

Solución: 11,875

al sistema decimal.

Solución: 9,75

al sistema decimal.

Solución: 15,75

al sistema decimal.

Solución: 9,125

al sistema decimal.

Solución: 12,875

al sistema decimal.

Solución: 19,25

al sistema decimal.

al sistema decimal.

al sistema decimal.

Solución: Solución: 15,8125

Solución: 21,75

Solución: 26,875

al sistema decimal.

Solución: 3,25

al sistema decimal.

Solución: 2,5

al sistema decimal.

Solución: 3,75

al sistema decimal.

Solución: 4.75

CÁPITULO 4

Ejercicio 4.20. Convertir el número Ejercicio 4.21. Convertir el número Ejercicio 4.22. Convertir el número Ejercicio 423. Convertir el número Ejercicio 4.24. Convertir el número Ejercicio 4.25 4.25.. Convertir el número Ejercicio 4.26. Convertir el número Ejercicio 4.27. Convertir el número Ejercicio 4.28. Convertir el número Ejercicio 4.29. Convertir el número Ejercicio 4.30. Convertir el número Ejercicio 4.31. Convertir el número Ejercicio 4.32. Convertir el número Ejercicio 4.33. Convertir el número Ejercicio 4.34. Convertir el número Ejercicio 4.35. Convertir el número


101,11 111,01 1001,01 1110,001 1001,10 1101,101 111011,111 100001,01 10101011,101 10111011,11 10101111,11 11111111,101 87 33 43 102

121

al sistema decimal.

Solución: Solución: 5,75

al sistema decimal.

Solución: 7,25

al sistema decimal.

al sistema decimal.

al sistema decimal.

al sistema decimal.

al sistema decimal.

al sistema decimal.

al sistema decimal.

Solución: 9,25

Solución: 14,125

Solución: 9,625

Solución: 29,25

Solución: 59,875

Solución: 33,25

Solución: 171,625

al sistema decimal.

Solución: 187,75

al sistema decimal.

Solución: 175,75

al sistema decimal.

Solución: 255,625

al sistema binario.

Solución: 1010111 2

al sistema binario.

Solución: 1000012

al sistema binario.

Solución: 1010112

al sistema binario.

Solución: 1100110 2

CÁPITULO 4


19 4,3 57,5 27,40 9,125 7,7 0,92 11,11 101,1 ,,,  2143,24  0,00523  512,46  48157,32  0,00085  167,71  0,0044  821,96  26783,19  0,00035

122

Ejercicio 4.36. Convertir el número

al sistema binario.

Solución: 100112


al sistema binario.

Solución: 100,0100110…2


al sistema binario.

Solución: 111001,12


al sistema binario.

Solución: 11011,01100110… 2


al sistema binario.

Solución: R = 1001,001 2

Ejercicio 4.41. Convertir el número Ejercicio 4.42. Convertir el número

al sistema binario.

al sistema binario.

Solución: 111,101100110… 2

Solución: 0,1110101110…2


al sistema binario.

Solución: 1011,0001110…2


al sistema binario.

Solución: 1100101,000110… 2

Considerar el sistema Ejercicio 4.45. Ejercicio 4.46. Ejercicio 4.47. Ejercicio 4.48. Ejercicio 4.49. Ejercicio 4.50. Ejercicio 4.51. Ejercicio 4.52. Ejercicio 4.53. Ejercicio 4.54.

. Representar en este sistema los números:

CÁPITULO 5

ECUACIONES NO LINEALES

123

CAPÍTULO 5

ECUACIONES NO LINEALES Introducción Introducción Uno de los problemas que frecuentemente se presenta y requiere de solución en algún tipo de trabajo científico, es el de calcular las raíces de una determinada ecuación de la forma . Donde puede ser un polinomio en o una función trascendente.

 0 

  0

Es posible hallar la raíz exacta de , cuando los polinomios son factorables, sin embargo, no siempre sucede así, pues en la mayoría de los casos, las raíces de las ecuaciones buscadas pertenecen al conjunto de los números racionales o al conjunto de los números complejos, pudiendo ocurrir que en una misma ecuación se den resultados con números reales y complejos. Por medio de métodos numéricos es posible obtener una solución aproximada al valor exacto, tan próxima como se desee, dependiente de la precisión deseada prefijada. La mayoría de los procedimientos numéricos generan una secuencia de aproximaciones, algunas con mayor precisión que otras, algunas aproximándose con mayor rapidez a la solución buscada, de tal forma que la repetición de procedimientos produce una aproximación al valor verdadero con una precisión definida por una tolerancia prefijada. La búsqueda de raíces por medio del análisis numérico es similar al de límite del análisis matemático, pues normalmente el resultado obtenido de una operación por medio de métodos numéricos se acerca tanto como se desee al valor verdadero, sin llegar casi nunca al valor exacto. La característica principal de los métodos numéricos es que casi nunca arrojan resultados exactos, por lo tanto, en la mayoría de los casos, si no en todos, se obtienen resultados aproximados, que siempre dependerán de la precisión que se desee.

Teorema 5.1. Teorema de Fermat

,    Si

  0

es un punto extremo de una función y existe, entonces .

en un intervalo

,   ,

está en el interior de

Este teorema se presenta sin demostración analítica.8

8. La demostración de este teorema

en: Velázquez Zapateiro, Jorge y Obeso Fernández, B. 2007. Análisis Numérico, Notas de clase. Colombia. Pág. 28.

CÁPITULO 5


124

Demostración gráfica del Teorema de Fermat

 3 1

Ejemplo 5.1. Sea la función: La figura 5.1 presenta la grafica de la función:

 3 1

y

3 2.5 2 1.5 1 0.5 x

-2

- 1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-0.5 -1

Fig. 5.1

  1  01 3  31 131 3 330 3,   3 3,  1 31 3 330  1   1 Los máximos y mínimos locales se tienen en Según el teorema de Fermat, en estos dos valores de ,

Al evaluar la derivada de la función con los valores de , se verifica que las derivadas se anulan en los máximos y mínimos locales, por lo que la tangente es horizontal y comprueba el teorema de Fermat.

  ,

, ;

entonces existe un punto

 , 

para el

  ,

, ;

entonces existe un punto

 , 

para el

Teorema 5. 5.2 2. Si es continua en un intervalo cerrado cual . Teorema 5. 5.3 3. Si es continua en un intervalo cerrado cual . Teorema 5. 5.4 4. Teorema de Rolle

 Si

,, ; 0

es continua en un intervalo cerrado , entonces existe un número

diferenciable en el intervalo abierto , tal que

,

y

Este teorema se presenta sin demostración.9

9. La demostración de este teorema


CÁPITULO 5


Teorema 5. 5.5 5.. Teorema de Rolle 5

125

   0

 

Entre dos raíces consecutivas consecutivas de una ecuación algebraica , existe un numnero impar de ceros de la derivada , contando cada uno de ellos tantas veces como indique su orden de multiplicidad.

   ,

Corolario del teorema 5. 5.55 5.. Entre dos raíces consecutivas de la derivada no pueden existir dos raíces distintas de , porque si existieran, existieran, tendría una raíz intermedia.

0

    ,,    ,         

 

Teorema 5. 5.6 6.. Teorema del Valor Medio 6 Si es continua en un intervalo cerrado existe un número , tal que

y diferenciable en el intervalo abierto

Este teorema se presenta sin demostración. demostración.10 Teorema 5. 5.7 7.. Teorema del valor Intermedio 7

,,,       y  

   y  Si

es continua en un intervalo cerrado , entonces existe un numero

,

un numero cualquiera entre

, tal que

Este teorema se presenta sin demostración. demostración.11

Resolución de ecuaciones no lineales



Para resolver ecuaciones no lineales se deben tener en cuenta varias situaciones, sin embargo la más importante es encontrar el intervalo o un punto en para comenzar las iteraciones en busca de un cero de la función, procurando procurando que este valor se encuentre lo bastante próximo de un cero, así se evitará realizar demasiadas operaciones. Se aclara de nuevo aquí, que se usa indistintamente la como (,) o el punto (.) para indicar decimales. Ejemplos:

2,52.5

Esta situación se debe a que en Paraguay se usa normalmente la como (,) como separador de la parte entera y su decimal, mientras que en otros países se usa el punto (.). Se aclara esta situación, pues las calculadoras también usan el punto como separador decimal. Orden de convergencia El orden de convergencia de un método mide la velocidad con que las iteraciones producidas por el método se aproximan a la solución exacta. Así, cuando mayor fuere el orden de convergencia mejor será el método numérico, pues será posible obtener más rápidamente la solución buscada.

10.

La demostración de este teorema en: Velázquez Zapateiro, Jorge y Obeso Fernández, B. 2007. Análisis

Numérico, Notas de clase. Colombia. Pág. 29. 11.

La demostración de este teorema en: Velázquez Zapateiro, Jorge y Obeso Fernández, B. 2007. Análisis Numérico, Notas de clase. Colombia. Pág. 30.

CÁPITULO 5




126

Definición 5.1. Sean el resultado de la aplicación de un método numérico en la iteración su error. Si existiere un número y una constante tal que:

  1 ||   0 lim ||

 :,

      

,

Entonces, es el orden de convergencia del método. Gráfica de funciones

 ,

Definición 5. 5.2 2.. 2 Si es una función dada, un punto

   0

es un cero (o raíz) de si

Grafica de funciones, un método para hallar intervalos. Las graficas ayudan enormemente en la búsqueda de los ceros o raíces de una función, pues si no se conoce el intervalo que contiene la raíz de dicha función, función, es difícil iniciar cualquier proceso en búsqueda de solución. Seguidamente se presentan algunas graficas y las explicaciones necesarias para iniciar la búsqueda de solución de ecuaciones no lineales. li neales.

    cos

Ejemplo 5. 5.2 2.. 2 Hallar el intervalo que contiene una raíz de la función

    cos

Solución 1 Se grafica la función

y

1.5

1

0.5

x

-1

-0 -0 .5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-0.5

-1

Fig. 5. 5.2 2.. 2

 1 ; 1. 5  cos   cos  0   cos  0          coscosy 0,0,    cos, si     1; 1.5 Según la grafica de la función, se tiene una raíz en el intervalo

Observación: Observación Al ser Solución 2 Sea la función

y otra raíz en

4.5; 5

.

una función periódica, esta ecuación tiene infinitas i nfinitas soluciones.

, implica que

,

Si

. Se grafican en un mismo plano, plano, se tiene la fig. 5.3.

La intersección de las dos curvas es un cero de la función sobre , lo cual indica que una raíz se encuentra en el intervalo , como en el caso anterior.

CÁPITULO 5


127

y

1.5

  

1

0.5

 

.

x

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1. 6

1 .8

2

-0.5

Fig. Fig. 5.3. Comentarios

1.2; 1.4

Si se realiza la grafica a escala y ésta está bien definida (una grafica muy bien hecha), se puede estimar un intervalo más reducido como , con esto se aceleraría notablemente el proceso de aproximación a una raíz de la función (ecuación), pues se usaría menos iteraciones, por lo tanto, se resolvería el ejercicio en menos pasos. Gráficamente, los ceros de una función son los puntos de intersección de la grafica



con el eje de las .

    

Métodos cerrados Los métodos numéricos que en cada paso dan un intervalo i ntervalo cerrado donde se encuentra la raíz buscada, son llamados métodos cerrados. Entre los más conocidos se encuentran el método de bisección y el método de la falsa posición o Regula Falsi. Método de bisección

,,  0,    0 

Definición 5. 5.3 3.. 3 Sea f una función continua en un intervalo y . Entonces, por el teorema del valor intermedio para funciones continuas, existe al menos un tal que .

, 

El método de la bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que aplicando la función para aproximar la raíz consiste en dividir sucesivamente al intervalo a la mitad y seleccionando el sub-intervalo que tiene la raíz. Es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del sub-intervalo donde exista cambio de signo, basándose en el teorema de Bolzano. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.

     0     y         ,  y  o  y 

Supóngase que se desea resolver la ecuación , donde es una función continua. Dados dos puntos tal que tengan signos distintos, dice el Teorema de Bolzano que debe tener, al menos, una raíz en el intervalo .

  

El método de bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto . En este momento, existen dos posibilidades: tienen distinto signo. El algoritmo de bisección se aplica al sub-intervalo donde el cambio de signo ocurre.

CÁPITULO 5


128

El método de bisección no es muy eficiente, pero es mucho más seguro que otros métodos de aproximación de raíces, pues siempre converge hacia el valor buscado.



Si

es una función continua en el intervalo

    con   

,,     ||0 | y

, entonces este

método converge a la raíz de . De hecho, una cota del error absoluto es:



En este método se plantea una situación práctica, esquematizando el procedimiento del método de bisección, se pueden considerar los siguientes puntos. 1) Encontrar dos números: cuyos signos son distintos. 2) Considerando que:

3) Si :

      0  ,

en los cuales el polinomio:

   ,,       0 ,,   , 

es el punto medio del intervalo

es la raíz buscada, si



toma valores

.

entonces:

a) Se elige uno de los intervalos o de tal manera que los extremos del intervalo del polinomio tome valores cuyos signos sean distintos.

4) Se repite el procedimiento en el intervalo elegido. Observaciones: 





La longitud del intervalo es una estimación del error cometido al aproximar la raíz.

y

  

La única restricción para elegir es que los valores tengan signos distintos, en general, entre más pequeña sea la longitud del intervalo, en menor número de pasos se encontrará la aproximación deseada. Este método se aplica en la busca de raíces tanto racionales como irracionales.

Teorema 5. 5.8 8.. Teorema de Weierstrass 8 Una sucesión creciente y acotada superiormente tiende a un límite, y una sucesión decreciente y acotada inferiormente tiende a un límite. Teorema 5. 5.9 9.. Teorema de convergencia 9

  ,,      0    ,, ,tal que   0 |  |  2  , en particular  coverge a 

Sea . Sea la sucesión de puntos medios generada por el método de búsqueda binaria (método de bisección). Existe y además: Este teorema se presenta sin demostración. demostración.12

Orden de convergencia El orden de convergencia de un método mide la velocidad con que las iteraciones producidas por el método se aproximan a la solución exacta. Cuando mayor es el orden de convergencia mejor será el método numérico pues se obtiene la solución con mayor rapidez. 12. La demostración de este teorema


CÁPITULO 5


129

Ejemplo 5. 5.3 3.. 3 Aproximar con al menos una cifra exacta la raíz del polinomio

  6    6

.

Solución Para encontrar el intervalo que contiene una raíz de la función, la forma más simple es graficando dicha función. Fig. 5.4. y

2 1 x

-2

- 1.5

-1

- 0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 -2 -3 -4 -5

Fig. 5.4. 5.4.

-6

Según la grafica, una raíz de la ecuación se encuentra en el intervalo [– 2, – 1]. Se inicia la búsqueda de la la raíz de este polinomio en el intervalo [– 2, – 1].

22 62  6 622 6400 11 61  11 610 22 11 1,1,5 61,5221,1,51,620, 2 51, 5 612, 7 50    1, 5  1  1 1,5 1   11,50,5

Sea el polinomio Evaluando en

Así:

+

El punto medio del intervalo [– 2, – 1] es Evaluando en

La raíz se encuentra en el intervalo [

x1 =

;

El punto medio del nuevo intervalo es: x2

− 2 −1

=−

2

3 2

= – 1,5

]. La longitud del intervalo es:

=

− 1,5 − 1

2

=−

2,5 2

= – 1,25

Evaluando en P(–1,25) = – 6 (– 1,25) 3 + (–1,25) – 6 = 11,719 – 1,25 – 6 = 4,469

>0

  

P(– 1,5) P(– 1,25) P(– 1) La raíz se encuentra en [– 1,25; – 1]. La longitud del intervalo es: – 1 + 1,25 = 0,25 Se repite el procedimiento: procedimiento: x3

=

− 1,25 − 1

2

=−

2,25 2

= – 1,125

Evaluando en P(–1,125) = – 6 (– 1,125) 3 + (–1,125) – 6 = 8,543 – 1,125 – 6 = 1,418



 

P(– 1,25) P(– 1,125) P(– 1)

>0

CÁPITULO 5


130

La raíz se encuentra en el intervalo [– 1,125; – 1]. La longitud del intervalo es: 0,125 De manera análoga

x4 =

− 1,125 − 1

=−

2

2,125 2

= – 1,0625

Evaluando P(–1,0625) = – 6(– 1,0625) 3 + (–1,0625) – 6 = 7,1968 – 1,0625 – 6 = 0,1343



>0

 

P(– 1,025) P(– 1,0625) P(– 1) La raíz se encuentra en el intervalo [– 1,0625; – 1]. La longitud del intervalo es: 0,0625 Repitiendo un paso más el mismo procedimiento, se obtiene la siguiente tabla: Intervalo [– 2; – 1]. [– 1,5; – 1]. [– 1,25; – 1]. [– 1,125; – 1]. [– 1,0625; – 1]. [– 1,0625; – 1,0313].

Punto medio xn – 1,5 – 1,25 – 1,125 – 1,0625 – 1,0313 – 1,0468

1,0625 y 1,0313

  

P(xn) signo Error 12,75 1 4,46 0,5 1,418 0,25 0,134 0,125 – 0,45008 0,0625 – 0,16436 0,03125

Como tienen un 0 en la primera cifra decimal, cualquier punto intermedio lo tiene, es decir, la primera cifra decimal de la raíz buscada es cero, lo cual asegura que la aproximación obtenida tiene una cifra decimal exacta. Comentario Una desventaja es que en general la convergencia es muy lenta, la bisección necesita, para obtener una buena aproximación, muchos más pasos que cualquiera de los otros métodos que veremos después. Pero estos métodos, para converger, necesitan que la primera aproximación que se toma, c1, esté cerca de la solución exacta de la ecuación. En consecuencia, el procedimiento usual es éste: se usan unos pocos pasos de la bisección para acercarse a c y a partir de allí se usa cualquiera de los otros métodos de convergencia rápida. Método de Regula Falsi, alsi, Regla Falsa o Falsa Falsa Posición

   ,       ,    , ; ,   0         





Este método de aproximación de raíces es similar al método de bisección en el sentido de que se generan sub-intervalos que encierran a la raíz , pero esta vez, no es el punto medio de , sino el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos con el eje . Al reemplazar la curva por una recta se obtiene una posición falsa de la raíz, de ahí el nombre el método. Este método también se conoce como método de interpolación lineal inversa. En la figura 5.5 se grafica el método. Sea y considerando la recta que une los puntos ( ), (b ) cuya 

pendiente es también







, luego:

, ,

, pero si (c, 0) es el punto de intersección de la recta X, entonces

CÁPITULO 5


131

(b

x 1 =c

a=a1

x 2



,

)

   b=b 1

Fig. 5. 5.5. 5.

,     0          , o sea  ,         , :     :   0 0,  0, 0  (

)

Así como el método de bisección, este método de falsa posición, también tienen tres posibilidades:

 0  0

a) Si b) Si c) Si

 ,,

, entonces c es un cero de . , entonces existe un cero de en , entonces existe un cero de en

. .

De todo esto se desprende un proceso iterativo que se concreta generalizándolo en la siguiente expresión matemática.

  , 0,1,2,3,…     , ,    , 0,1,2,3,…     ,      ln   0.5; 1 ln

Es frecuente encontrar esta ecuación representativa del método de regula falsi expresada de otra manera. A fin de ampliar la terminología matemática al respecto, solamente se hacen estas sustituciones: Por lo tanto, la ecuación precedente puede representarse así:

Ejemplo 5. 5.4 4.

Aplicar el método de falsa posición para encontrar un cero de

Solución Sea la función

,

, en el intervalo

CÁPITULO 5


132

Inicio: Se construye una tabla por mejor organización de los datos.

   0.5 0. 1931472                1 1

1 931472 0. 5 0. 1 931472 0. 6 931472   0.5110.   10.1931472 1.1931472 1.1931472 0.58094 Iteración 1: Reorganizando los datos en una segunda tabla se tiene:

     0.5 0. 1931472  , 0 1

1

0.58 0.0352728

Para esta siguiente operación, se toma el intervalo cerrado contrarios uno respecto del otro y se cumple el teorema de Bolzano

, pues poseen signos

5 8  0. 1 931472       0.50.0.003527280. 3527280.1931472 1 12025 0. 1 310225   0.01899750.  0.22842 0.22842 0.5736 5 8         0.57360, 0.5736 0.011158, % 1,1158%

Iteración 2: Una nueva reorganización de los datos obtenidos permite la siguiente tabla:

     0.5 0. 1931472    ,      0 5 736  0. 1 931472       0.50.00.177770. 0177770.1931472

0.58 0.0352728 0.5736 0.017777

Se toma el intervalo

, pues se tiene que

1 10789 0. 1 196775   0.00888850.  0. 5 6746088 0. 2 109 0. 2 109 5 736         0.56740, 0.5674 0.01093 % 1,093% Iteración 3: Se construye de nuevo la tabla y se tiene:

0.5 0. 1931472     

0.5736 0.017777 0.5674608 0.00087498

Realizando un análisis del error del ejercicio se tiene: El valor exacto de

 para   , es: 0.56714329

CÁPITULO 5


133

     0.567143290.5674608  0.0003175  3.17510 003175  0.00055984  5.598410         0.0.506714329 %  100  % 100    % 1005.598410% 0.05598% 

Este último resultado tiene una precisión de tres decimales, o sea los primeros tres decimales corresponden al valor exacto o valor verdadero. Ejemplo 5. 5.5 5.

1,2  4 4 4  21 y 2

  2 4 4 4

Usar el método de falsa posición para encontrar un cero de en el intervalo

,

Solución Sean:

Inicio: Se construye la tabla con los datos correspondientes.

1 3  4  2

          3 46 10   142·   43 7 7 1,42857

Iteración 1: Reorganizando los datos en una segunda tabla se tiene:

1 3  4  0, 11494 2

1,42857

  ,       0 4 28573 0, 1 14944, 2 8571       10,10,14941,  114943 3,11494    4,3,410065 1494 1,4127 4 2857         1,41271, 1,4127 ., % ,% Para

esta

Bolzano

siguiente operación, se toma el intervalo cerrado , pues poseen signos contrarios uno respecto del otro y se cumple el teorema de

CÁPITULO 5


134

Iteración 2:

                1, 3     0      1,428570.01211,41270.11494 1,42857 -0,11494 1,4127 0.0121

Se toma el intervalo

, pues poseen signos opuestos, o sea,

    0.01210.11494 1 62376 0. 1 79662   0.01728570.  0.12704 0.12704  , 4 127         1,4142161, ,414216 . % ,%

Este último resultado puede considerarse apropiado para la raíz buscada, pues el error relativo es muy pequeño, y porcentualmente es apenas 0,1%. Este resultado tiene una precisión de cinco decimales, pues el valor verdadero del polinomio es 1,414213.

Métodos abiertos A diferencia de los métodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raíz buscada, los métodos abiertos que se verán a continuación requieren de un solo valor o dos valores iniciales o valores de arranque, que no necesariamente encierran a la raíz, esto hace que algunas veces las sucesiones generadas por estos métodos sean divergentes o se alejen de la raíz de interés, pero tiene la ventaja que cuando convergen lo hacen más rápidamente que las sucesiones generadas por los métodos cerrados. Método de punto fijo Este método, iteración de punto fijo, es conocido también como método El método de punto fijo es una forma muy útil para obtener una raíz de también constituye la base de algunos principios teóricos importantes.

    

 0

. . Este método

  0          par  t o do    ,      ,  a ,     |   | ,      ,   1 , ,     , 1,,2,3,…

Para usar el método, se reordena en una forma equivalente, lo que puede , se lograrse de varias formas. Obsérvese que si , donde r es una raíz de concluye que . Siempre que se tiene se dice que r es un punto fijo de la función . La forma iterativa converge en el punto fijo , una raíz de

.

Teorema 5.10. 5.10. Si es una función continua en y , entonces lo menos un punto fijo en . Si además existe para todo para todo , entonces tiene un único punto fijo sucesión definida mediante la fórmula de iteración

tiene por y la

CÁPITULO 5


135

   6  0

Ejemplo 5. 5.6 6. Aplicar el método de punto fijo para hallar las raíces de ecuación:

Solución Por un método simple de factores, incluso un análisis intuitivo puede dar el valor de las raíces de esta ecuación, que son . Por razones prácticas y de mejor entendimiento se ejemplifica el método con una ecuación de forma simple y de resultado conocido. Como primer paso siempre es importante graficar la función, para tener una idea del valor inicial a tomar para la primera iteración, cuando más cerca está este valor de la intersección de la función con el eje de la abscisa (eje x) será menor el número de iteraciones y se llegará con mayor rapidez a la mejor aproximación.

2  3

y 2

1

x -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Fig. 5.6.

Según la gráfica, se puede tomar como primera aproximación de una de las raíces,

 60 1ª √ 6, 2ª  16 , 3ª  6  √  6  ,   √  6 

2, 5

.

De la ecuación original: , transponiendo, reordenando o cambiando su forma, se pueden obtener las siguientes ecuaciones equivalentes:

Primera ecuación equivalente (primera raíz)

. De esta ecuación se tiene: . , es una recta de 45º que atraviesa el primero y el tercer cuadrante del plano cartesiano, ésta recta hace de punto fijo. Es sabido que el punto de intersección de dos curvas (o rectas) presenta un cero de la función sobre , lo cual indica el valor próximo a tomar par las iteraciones, en este caso, ronda en torno a 3. y

4

3

2

1

x -0.5

0.5

1

-1

Fig. 5.7.

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

CÁPITULO 5


136

  √  6

 2,5  √  6  2,  2 , 5 5 62, 9 1548 22,,9915482, 9 154862, 9 8588 85882, 9 858862, 9 9765 22,,9997652, 9 976562, 9 9961 9961 2 , 9 996162, 9 9993 2,99993 2,9999362, 9 9999    6  33 36990  16 , igualmente, que la formaanterior,   ,   16 Las aproximaciones sucesivas se realizaran en base a Para

Se nota que los valores convergen a verificar la aproximación obtenida.

, que sería una de las raíces, luego se evalúa, para

Segunda ecuación equi equivalente valente (Segunda raíz) y

6

4

2

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2

-4

ximaci5onessucesivas se realizan en base a:   16 Las apro1,  16 6 1,5 1,651 2,4 2,4 2,416 1,76471 1,76471 1,764711 2, 1 7021 6 1,89262 2,17021 2,170211 6 2,07424 1,89262 1,892621 6 1,95170 2,07424 2,074241 6 2,03273 1,95170 1,951701 Fig. 5.8.

Para

-6

6

CÁPITULO 5


137

      6  2 2 26 426 0  6   y   6

En este caso se nota que la convergencia es oscilatoria y que los valores obtenidos convergen a , que sería la otra raíz de la ecuación presentada. Para verificar la aproximación obtenida se tiene:

Tercera Tercera ecuación equivalente

y

4

. De esta ecuación se tiene:

2

-3

-2

-1

1

2

x 3

4

-2

-4

Fig. 5. 5.9 9.

-6

 6     2,5  6 0,22,50, 52,25566 5, 0,259375   29,5,93755, 9 375 629, 2 54  6 23,254 2 5429, 2 54 23,25423,254 6 534,748   3, sino hacia 2 Las aproximaciones sucesivas se realizan en base a Para

En este caso, se evidencia que las iteraciones son divergentes, por lo tanto, no pueden generar ningún cero de la función analizada. En el caso de la segunda ecuación ; al realizar las iteraciones iniciando con , se verifica que las iteraciones en principio parecen divergentes, sin embargo, después de 15 iteraciones aproximadamente, va tomando una dirección de convergencia, pero no hacia . En todos los casos, es importante desarrollar cierta intuición para tomar el camino preciso y ahorrar tiempo en las iteraciones realizadas.



, 

 1 1 ||1, ,

Teorema Teorema 5.11 5.11. 11. Orden de convergencia método iterativo lineal Si g es diferenciable en y es un punto fijo de de orden de punto fijo tiene orden de convergencia y si método converge linealmente. Este teorema se presenta sin demostración.13

Teorema 5. 5.12 12. 12. Orden de convergencia método iterativo lineal El orden de convergencia del método iterativo lineal es lineal, o sea,

13- La demostración de este

2, 5

, entonces la iteración , entonces el

1

teorema en: Velázquez Zapateiro, Jorge y Obeso Fernández, B. 2007. Análisis Numérico, Notas de clase. Colombia. Pág. 39.

CÁPITULO 5


138

Comentarios El comportamiento de los tres reordenamientos es interesante y merece la pena siempre analizarlas. Sin embargo, primeramente se consideraran las graficas de los tres casos. El punto fijo de es la intersección de la recta y la curva trazada contra .

       



  



Con este método siempre se obtienen iteraciones sucesivas, partiendo de un punto inicial elegido. Este proceso iterativo continúa hasta que los puntos en la curva convergen en un punto fijo o bien divergen. Los diferentes comportamientos dependen de que la pendiente de la curva sea mayor, menor o de signo opuesto a la pendiente de la recta.

Método de Newton - Rapson Uno de los métodos más atractivos y populares para la búsqueda de los ceros de una función no lineal es el método de Newton, debido a la rápida convergencia del método, ya que en general es q-cuadrático. Existe varias maneras de deducir el método de Newton, el método a ser presentado se base en el método de iteración lineal.



                      , 0,1,2,3,… 0  0 0      ,    0   0   0

Éste es, sin duda, uno de los métodos más importantes y útiles para el cálculo de raíces. Dada una aproximación inicial de la raíz , se busca, a partir de , una aproximación mejor de la raíz, de la siguiente forma: Se sustituye la función por el valor de su desarrollo de Taylor centrado en hasta el orden 1, es decir: que corresponde a un polinomio de grado 1, y a continuación se calcula como el cero de este polinomio, es decir:

y por tanto, de forma general, se obtiene, a partir de aproximando la raíz, definidos por

Definición 5.5. 5.5. Dada una ecuación positivo) de la ecuación

. Un número , si

una secuencia

de valores que van

se dice una raíz de multiplicidad m (m un entero . Si m = 1, la raíz se dice simple.

Teorema 5.13. Sea que una función tiene sus dos primeras derivadas continuas en un intervalo que contiene a un número . Entonces es una raíz simple de la ecuación si y solo si  . Este teorema se presenta sin demostración.14 14. La demostración de este teorema


CÁPITULO 5


139

    1  , 0  ,,   ,   ,               2!  3!   0    ;  Teorema 5.14. Sea que la función tiene sus primeras derivadas continuas en un intervalo contiene a un número . Entonces es una raíz de multiplicidad m de la ecuación y solo si Sea

que si

, una función diferenciable en y sea , entonces para todo , se sabe por el Teorema de Taylor que se puede escribir de la forma: 

Sea una ecuación y un primer valor aproximado a una raíz de una ecuación. Este método consiste en obtener una aproximación a calculando el punto en que la tangente de la curva en corta al eje x. Gráficamente se ve en la fig. 5.10. y

2

1. 5

1

0. 5

x 0 .5

1

1 .5

2

2 .5

3

3 .5

-0.5

-1

Fig. 5. 5.10. 10.

-1.5

Ejemplo 5. 5.7 7 Hallar la menor raíz positiva de la siguiente ecuación con error inferior a método de Newton.

4 cos   0 04 cos   0 4 cos  , :  4 cos,    

10

, usando el

Solución Para obtener el valor inicia, el proceso más simple y eficaz es el método gráfico, para el efecto se reordena la ecuación inicial en otras dos ecuaciones más simples; . Reordenando la ecuación original: , se tiene la siguiente igualdad:

 

También se pudo haber realizado la transposición en la ecuación de otra forma y se hubiera tenido:



, igualmente valido.

y

4

3

2

1 x

-1.5

-1

-0.5

0.5 -1

Fig. 5. 5.11 11. 11.

1

1.5

2

2.5

3

CÁPITULO 5




    4se 4cosn 

140

  1

Los puntos de intersección de las dos curvas en es la solución buscada. Analizando la figura 5.1, se nota que está en la vecindad de 1, por lo tanto se tomará

10  411 4400,,8541472, 114 4032,77182818283,  2,3165882, 6122,718280, 5 5708 718286,08416     1 0,6,505708 8416 10,0915620,908437 0 , 0 91562    0,90,084371  0, 1 007910 908437 0,908437 ,  2,45992,4804  0,0205 00,,9908444 0844 400,,990844 0844, 3,154182,48045,63458

Las operaciones a ser realizadas involucran funciones trigonométricas, recordar posicionar la calculadora en radianes. Como el error debe ser menor a , deben efectuarse los cálculos como mínimo con tres cifras decimales. Es recomendable para resolver ecuaciones no lineales en cualquier método utilizar en promedio 5 o 6 cifras decimales.

En base a estos primeros datos se aplica la formula de Newton:

Se calcula el error relativo:

Se debe hacer una nueva iteración, pues el error relativo es mayor que el indicado.

Se aplica nuevamente la formula de Newton:

    0,90844 5,0,603458205 0,908440,0036380,9048  9 084 0 , 0 036   0,90480,  0,003910 0, 9 048 0, 9 048 0,9048  10 Luego,  0,9048 para la función 4 cos   0  ,   ,   02  0 Se calcula el error relativo para

:

El valor puede considerarse un valor aceptable para la raíz buscada, pues cumple la condición de tolerancia, en este caso, menor a .

Teorema 5. 5.1 15. Orden de convergencia del método de Newton

Si son continuas e un intervalo cuyo centro es solución de y si entonces el orden de convergencia del método de Newton es cuadrática, o sea, . Este teorema se presenta sin demostración.15

15 La demostración de este teorema en: Franco, Neide. Cálculo

Numérico. Pág. 70.

CÁPITULO 5


141

La ventaja del método de Newton es que su convergencia es cuadrática, lo que significa que la cantidad de dígitos significativos correctos duplica a medida que los valores de la secuencia se aproxima a . Esta situación no sucede en las primeras iteraciones realizadas.



La desventaja del método de Newton es que se tiene que calcular la derivada de la función y en cada iteración calcular su valor numérico, lo que puede ser muy costoso computacionalmente. Además de eso la función puede no ser diferenciable en algún punto del dominio. Método de Newton modificado El método de Newton en general, converge cuadráticamente, sin embargo cuando la raíz no es simple solo se garantiza la convergencia lineal.

,



Teorema 5.1 5.16 6. Sea una función diferenciable en un intervalo que contiene a y supongamos que un cero de multiplicidad , entonces el método de Newton converge q-linealmente.

1



es

Este teorema se presenta sin demostración. 16

1

Con el propósito de mejorar la convergencia del método, éste puede ser modificado, cuando el cero buscado sea de multiplicidad . El método de Newton modificado queda de la siguiente manera:

              

Ejemplo 5. 5.8 8.

 1,5

Aplicar el método modificado de Newton para encontrar un cero de partiendo de Solución

y

 4 4

,

1.5 1

 20;  2

Se grafica la función. Las raíces serian:

0.5 x

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 -1 -1.5

Fig. 5. 5.12 12. 12.

Como la función es cubica, supone que tiene tres raíces, y como las raíces complejas se presentan en pares conjugados, ésta función no tiene raíces complejas, sino, tres raíces reales.

16

La demostración de este teorema en: Velázquez Zapateiro, Jorge y Obeso Fernández, B. 2007. Análisis Numérico, Notas de clase. Colombia. Pág. 52.

CÁPITULO 5


142

  4 4;  3 84;  68 54 41, 45 41,53,375960,375 1,51,  84  13 ,531,5 81,546,75 124 1,25  168 ,561,58981 Aplicando la expresión:          ,3750,1,375251 1, 5  0,1,148756875          1, 5  1,50625  1,50,3947368421,894736842  4 4;  3 84;  68 1,89471,8947 41,8947 41,89476,801814,367,57880,0206  1,894731,8947 81,8947410,7696615,157624 0,387954  1,894761,8947811,368283,3682 Aplicando la expresión:          0,02060,0206 0,387954 0, 0 07992  1,8947 0,1505 1, 8 947 3,3682 0,081115 1,89470,098527  1,99323  4 4;  3 84;  68  41,99323 41,993237,91915,891867,97292 11,,9993231, 9 9323 9323 0,00006  1,9932331,99323 81,99323411,918915,9464 0,0271  2,01861,99323811,959483,9594 Sea:

























Realizando una segunda iteración: Sea:















Realizando una tercera iteración: Sea:









CÁPITULO 5


143

      Aplicando la expresión:       007344 0,000060,00006 0,02713,9594 1,99323 0,0,0000496836 00001626  1,993231,0,9093230, 0 0327271  1,9965 Los cálculos se resumen en la siguiente tabla

  r1,ai5z 0, 375 4 4  1,1,989323947 0,0206  1,9965 0 1 2 3

Luego se considera que

0,00006 0,000024457

 4 4  1,9965  2

Es evidente que la raíz tiende a 2, según se demuestra analíticamente en estas tres iteraciones del método modificado de Newton.

Método de la secante Una de las desventajas presentadas por el método de Newton es la necesidad de obtener la derivada de la función en cuestión, además de realizarse los cálculos para cada iteración. Existen varias formas de modificar el método de Newton a fin de eliminar algunas de las desventajas; una de las modificaciones consiste en sustituir la derivada por el cociente de las diferencias, o sea:

Donde

 y 

     



son dos aproximaciones cualesquiera para la raíz .

El método de la secante es una modificación del método de Newton y es similar a la de Regula Falsi. Este método (secante) emplea también una línea recta para aproximarse a la raíz. En vez de usar un intervalo que cumpla el teorema de cambio de signos, usa un intervalo que no necesariamente lo cumpla, es decir, no se requiere que exista un cambio de signo, es más, no se requiere que la raíz este en ese intervalo. El método de Newton modificado que da origen al método de la secante se genera asi:

                

De esta manera se obtiene una expresión más simple para el método de la secante:

CÁPITULO 5


144

Para aplicar este método se debe contar con dos aproximaciones iniciales antes de aplicar la formula correspondiente al método. La siguiente grafica ilustra cómo puede obtenerse una nueva aproximación y

  

x

Fig. 5. 5.13 13. 13.

Ejemplo 5. 5.9 9.

10

Determinar la raíz positiva de la ecuación error menor a

√  5 0

por el método de la secante, con un

Solución Para evitar tanteos, malgastar tiempo y esfuerzo, la forma más práctica de obtener los valores iniciales es el método gráfico, para ello se divide la ecuación original en dos y se grafica.

  √ ,  5

y

2

1.5

1

0.5

0.2 -0.5

0.4

0.6

Fig. 5.14 5.14. 14.

0.8

1



1.2

x

1.4

1.6

1.8

2



  √   5

2.2

1, 4  1, 4 y  1, 5   √  5  ,     55  11,,541, 1,5455, 1,1,21247451, 832161,1215650. 329850,109095049769 Se tienen:  1,4;  1,5; 0,049769 0,109095

El punto de intersección de las dos rectas es la solución buscada . Analizando la grafica se ve que una raíz positiva de la ecuación se encuentra en la vecindad del punto , asi que se toman dos puntos próximos,

 

CÁPITULO 5


145

Ahora es posible aplicar la fórmula:       1,4·00,,11090951, 5 ·  0, 0 49769 0, 2 273865      090950,049769 0,158964 1,430428 5   0, 0 486372 10   1,41,304281,  4 30428  , 1,196001,1960333,3·10 Setienen: 51,5;   11,,4304285   430428; 0,109095 3, 3 · 1 0 Ahora es posible aplicar la fórmula:             1, 5 ·  3, 3 · 1 0 0,109095  0,0,1156024         3,3·101,0,430428·109095 09062  1,43059911 4 30428   0, 0 00196 10   1,430599111,  1, 4 3059911 La raiz positiva de la ecuacion √  5 0,  10,   1,43059911 Calculo del error relativo:

El error relativo demuestra que aun no cumple la condición de precisión requerida de la ecuación, por lo tanto se debe realizar otra iteración.

Se calcula el error relativo:



El valor exacto de una raíz positiva de la ecuación es: 1,430445089 Teorema 5. 5.17 17. 17. Orden de convergencia del método de la secante El orden de convergencia del método de la secante es:

 √   1,618

El orden de convergencia del método de la secante es inferior al del método de Newton, sin embargo, el método de la secante es una alternativa válida, ya que requiere solamente el cálculo de la función , mientras que el método de Newton, además de la función debe también calcular la derivada.



Método de Muller La mayoría de los métodos para hallar una raíz, o por lo menos lograr una buena aproximación, se basan en aproximaciones de la función en la vecindad de la raíz por medio de una recta. Es sabido que una función no es lineal, pues, si fuera así, no habría necesidad de realizar ningún tipo de esfuerzo para hallarla por métodos numéricos.

CÁPITULO 5


146

El método de Muller se basa en aproximar la función en la vecindad de la raíz por medio de un polinomio cuadrático, así se obtiene una mejor correspondencia con la curva real. Se construye un polinomio de segundo grado para ajustar tres puntos cerca de una raíz, estos puntos son . El cero propio de esta cuadrática. Usando la formula general de ecuaciones de segundo grado, se tiene la estimación mejorada de la raíz. Se repite el procedimiento usando el mismo conjunto de tres puntos más próximos a la raíz que está evaluándose.

,; ,; ,

  

El procedimiento de este método se desarrolla al escribir una ecuación cuadrática que se ajuste a través de tres puntos en la vecindad de una raíz, en la forma . El desarrollo se simplifica si los ejes se transforman de modo que pasen por el punto medio, haciendo .

         0; 0 0  ;   ;                    1                 1   ,   ,  ,     0   √2 4 0 0 0   ,     ,  Sean puntos:

. Se evalúan los coeficientes al evaluar

A partir de la primera ecuación, Haciendo

 

en los tres

.

, es posible resolver las otras dos ecuaciones para

por medio de las

siguientes ecuaciones.

Después de calcular , la raíz de cuadrática, eligiendo la raíz más próxima al punto medio

se encuentra aplicando la fórmula . Este valor está dada por:

El signo en el denominador se toma a fin de proporcionar el mayor valor absoluto del denominador, o sea, si , se eligen el signo positivo; si , se elige el signo negativo, si , se elige cualquiera de los dos. La justificación del uso algo extraño de la formula cuadrática es hacer que la siguiente iteración esté más próxima de la raíz. Para la siguiente aproximación se toma la raíz del polinomio como uno de los puntos de un conjunto de tres puntos, tomando los tres puntos cuya separación entre sí sea la más pequeña. Si la raíz está a la derecha de , se toman , y la raíz. Si la raíz está a la izquierda, se toman , y la raíz.

Ejemplo 5. 5.10. 10. Aplicando el método de Muller, encontrar el único cero de



CÁPITULO 5


  


1.5

147

y

, 1

0.5

x

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-0.5

Fig. 5.15. 5.15.

0,6; 1   1,0,08;; 0, 8 0, 8  0, 1 0329    10,8  0,2   cos 110, 4 597    0, 8 0, 6 0, 2  0,6;  cos0,6 0,6  0,22534     0,0,22 1,0 A partir de la grafica se elige el intervalo que contiene la raíz. Se toma

Se construye una tabla para mejor organización de los datos.

 0,  0,0,180329 0, 4 597   2 2534 1    0,2  0,04  0,2

,  ,    11, 1 10, 2 2534 0, 4 5970, 2 06580, 2 2534  10,459710,0,010329  411 10, 0 42  0,0,0027788 ,    3 47250, 0 4  0,4597 0,103290, 0, 2 0 1389 0, 3 4252  0,45970,10,03290,  ,  2 0, 2  0,10329 A continuación se aplican las formulas para hallar

.

Se reorganizan los datos en una segunda tabla y se tiene:

 0,8 0,34725 1,7126  2,933  0,10329

CÁPITULO 5


148

     √2 4 2 0,1032934725 0,10329   0,8  1,7126 2,93340,  0, 2 0658  0,8 1,7126√ 0,22,0658 0, 8  1, 7 1261, 6 7019 9 330, 1 4347 0,2065867019 0, 8  3,0,3282790658 0,80.06106790,738932  0,8 1,71261,  0,738932        cos 0,7389320,7389320, 000256277 0 0,0002562770  10 Se aplica la siguiente fórmula para aproximar la raíz:

. Es la primera aproximación a un cero de la función.

Para la siguiente iteración se considera

y se evalúa la función en este punto:

Como el valor exacto de la función se tiene cuando , por lo tanto, una forma de medir el grado de aproximación de la función hallada es evaluando la función, y a partir del resultado estimar si se sigue o no realizando otras iteraciones. En este caso, como , puede considerarse una aproximación aceptable, pues se tiene tres ceros después de la coma decimal, indicando una precisión de por lo menos tres cifras, o sea . Calculo de error El cálculo de error presentado a continuación solo es posible realizarlo si se conoce el valor exacto de la raíz buscada.

0      : 0, 7 39085133   0,7390851330,7389320.0001531331.53110         0.0.0700153133 0.00020722.07210 39085133 % 100  %100    %1002.07210%0.02% 0

La mejor forma de evaluar el error en una aproximación de raíz en una función o polinomio, es evaluando la función en . Esta evaluación da una medida intuitiva del margen de error y funciona para cualquiera de los métodos descritos. El valor verdadero de la única raíz real de la función



El error relativo es muy aproximado a la evaluación de la función en el punto

.

Este ejercicio tiene una precisión de dos decimales, o sea los primeros dos decimales corresponden al valor exacto o valor verdadero, por lo tanto no hace falta realizar la siguiente iteración para aproximar mejor el resultado, pues el valor obtenido puede considerarse apropiado, salvo que expresamente se indique lo contrario.

CÁPITULO 5


149

Ejemplo 5. 5.11. 11.

 3  

Hallar una raíz en el intervalo [0, 1] de la función trascendente aplicando el método de Muller.

3 


,

y

,

1.5

1

0.5

x 0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5

-1

Fig. 5. 5.16. 16. Se puede tomar un intervalo más reducido que contenga la raíz, pero a modo de ejemplo se tomará lo indicado en este problema, o sea, el intervalo [0, 1].

0,1323189  1,0,05;; 1, 30704     10, 5  0, 5      0, 5 00, 5  0,0; 1     0,0,55 1 Se construye una tabla por mejor organización de los datos.

    0,0,330704   1, 1 23189   1   5  0,5  0,25

1  0, 5 

,  ,    11, 307041 11  1,1231890, 6 614081  11,12318910,02,3511 10, 2 52  0,50,38219 1,07644 5    1, 0 7644  0 , 2 5 1, 1 231890, 3 307040, 2 6911  1,1231890,330704  0, 5 0, 5  1,061595 2,12319 0, 5 0,330704 A continuación se aplican las formulas para hallar

.

CÁPITULO 5


150

Se reorganizan los datos en una segunda tabla y se tiene:

  0,5   1,07644 2,12319  4,5079358 0,330704

   √2 4 20,33071,076440,3307  0,5 2,12319 4,507944 614 423914 0, 5  2,123195, 0,661493186  0,5 2,123194,0,5607941, 0,661443554 0, 5  2,123192, 0,661443554  0,5 2,123192,  0,5 4,0,565873614 0,50,145080,35492  0,35492.    3    3    , 30,354920,35492 1,064760,347521,42607 0,01379       0,0,355492;   0,01379    0,14508  ; 0,3307    0,35492  0; 1     0,0,315492 4508 2,44637 Se aplica la siguiente fórmula para aproximar la raíz:

Es la primera aproximación a la raíz buscada

Se evalúa la función:

, en



Como se tiene solamente un 0 después de la coma decimal, la raíz encontrada en esta primera iteración puede ser mejorada en una siguiente. Para la siguiente iteración se considera y se elige los tres puntos a usar en esta nueva iteración, para ello se debe tomar como punto central y los dos puntos más próximos a él. Con estos nuevos datos, se tiene:

Se construye una tabla por mejor organización de los datos.

 0, 1 0, 0 1379   3 307    2,44637    0,35492  0,14508  0,02105  0,35492 ,,   11

A continuación se aplican las formulas para hallar

.

CÁPITULO 5


151

  0, 0 1379 1 2, 4 46371   2,4463702,,34307  4637  0, 0 2105 1 2, 4 4637 809010, 0 475251 0, 1 43465   2,40,4637   0,80837  0 , 0 2105  3 , 4 4637 0, 1 77475     0, 8 0837 0 , 0 2105 0, 3 3070, 0 13790, 0 17016  0,3307 –0,01379  0, 1 4508 0, 1 4508  0,0,3161506 2,49177 4508 0,01379 Se reorganizan los datos en una segunda tabla y se tiene:

 0,35492 0,80837 2,49177  6,20891 0,01379

   √2 4 20,013790,808370,01379  0,35492 2,49177 6,208914 2758 04459 0,35492 2,49177 0,02758√ 6,16432  0,35492 2,491776,0,2008910, 0,027584828 0,35492 0,4,9074552758 0,354920,0055442  0,35492 2,491772,  ,    3  3  , 30,3604640,360464 1,0813920,352711,433995 0,0,360464000107  0,0001070   3      0,36042170,360464,0.00004234,2310 Se aplica la siguiente fórmula para aproximar la raíz:

. Es la primera aproximación a la raíz buscada

Se evalúa la función:

, en

, puede considerarse una aproximación aceptable a la raíz buscada, pues al evaluar con la función se tiene que Calculo de error El valor verdadero de una de las raíces reales de

es: 0,3604217

CÁPITULO 5


152

        0.0,03000423 604217 0.00011736  1,173610 %  100  % 100  % 1001,173610% 0.012% 

Este ejercicio tiene una precisión de cuatro decimales, o sea los primeros cuatro dígitos después de la coma decimal son iguales, por lo tanto no hace falta realizar la siguiente iteración para aproximar mejor el resultado, pues el obtenido es bastante preciso.

EJERCICIOS D DE E FIJACIÓN En los siguientes ejercicios encuentre un cero real de las siguientes funciones, procediendo de la siguiente manera.

a) Grafica la función para encontrar un intervalo próximo a una raíz. b) Usar la expresión para obtener u punto de inicio para el método de Newton.



De los ejercicios presentados, resolverlos usando los métodos de: punto fijo, bisección, regula falsi, Newton, secante y Muller. De los 15 ejercicios presentados a continuación, resuelve tres funciones con cada método, la elección es personal.

 3 2  3  2 52  2  2 3  5 74   21 Ejercicio 5.1.

Ejercicio 5. 5.2 2.

Ejercicio 5. 5.3 3.

Ejercicio 5. 5.4 4.

Ejercicio 5. 5.5 5.

Ejercicio 5. 5.6 6.

Ejercicio 5. 5.7 7.

ó: 0.8164965809 ó: 1.4422495711 ó: 0.4668231807 ó: 1.189207115 ó: 1 ó: 3.2055694304 ó: 2.1478990357

CÁPITULO 5


153

   3  3 ó:  0.1.144276979 7298008449 3  12 5  1.9476961218;0;ó:  2.0.0348839889 4205212004, 7 5 36 ó: 0.6508225542 2   ó: 3.7230640752  3 ó: 0.5664945703 co s 3 ó: 1.3390556456  2 ln3 ó: 1.6641089046 3ln  2 ó: 1.2180039049 5  0 ó: 0.3714177525, 0.6052671213; 4.7079379181  2 110 10 ó: 3.1258136628     220  10 ó: 1.7692923542 Ejercicio 5. 5.8 8.

Ejercicio 5. 5.9 9.


Ejercicio 5.11 5.11.





Ejercicio 5.1 5.16 6. Halar todas las raíces de la ecuación:

Ejercicio 5.1 5.17 7. Verifica si el polinomio , tiene raíces reales, si es así, halla su mejor aproximación aplicando el método de bisección con una precisión mayor a .

Ejercicio 5.1 5.18 8. Halla la única raíz positiva del polinomio bisección con un error menor a .

, aplicando el método de

CÁPITULO 5


154

Gráfica Gráfica de las funciones de los ejercicios del 5.1. al 5.15.

 3  2

   3 y

y

x x

-1

4

1

0.5

y

6

2

1

-1.5

8

3

1.5

-2

   2 5  2

-0.5

0.5

1

1.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

2

1

1.5

2

2

x

-1

-0.5

-2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

-2

-1

-3 -4

-1.5

-4

-2

-5

-6

-6

-8

  2

   2 3    5 7  4

y

y

4

y

1

3

1 x

2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

1

0.5

1

1.5

2

x

-0.5

0.5

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-1

-2

-3

     2 1      3    3  3    12  5 4

y

y

y

2

1.5

x

1

3

-2

0.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

2

-1

-0.5

0.5

1

-2

1.5

-0.5 1

-4

-1 x

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-1.5 -6

1.5

-2 -1

-2.5

-8

-3 -2

 7  5  3 6    2   7

 3

y

y

7

6

6

y

6 4 5

5

2

4

4 x

3

1

2

-2

1

-4 x

-1.2

-1

-0.8

-0 .6

-0.4

-0.2

0 .2

0 .4

0.6

0.8

1

-6

2

3

4

5

6

7

8

3

9

2 1 x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1

-1

-8

2

CÁPITULO 5


 cos  3

y

y

2 1

155

 3ln   2

 2  ln   3

10 8

1

6

x

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

y

x

2 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

4

6 2

-1

x

-1 -2

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

-2

-2

-4

-3 -3

-6 -4

-8

-4

Ejercicio 5. 5.19 19. 19. Usando el método iterativo de punto fijo, encontrar la menor raíz positiva de la ecuación:

2 0 ó: 1.1655611852; 1.1655611852; 0

Son las raíces en torno a cero, pues tiene infinitas soluciones, pues la tangente es una función trigonométrica periódica. Ejercicio 5.20 5.20.. Demuestre que el punto fijo para encontrarlo.

ó: no tiene raiz real.

0,4 0,2

existe, y use la iteración de punto fijo

Ejercicio 5. 5.2 21. Usar la iteración de punto fijo para encontrar el punto fijo de

ó: 0.4807498568  0 4,  3 ó: 3.2665004368 cos  0 0.5 ; 1 ó: 0.7390851332 Ejercicio 5. 5.22 22. 22. Sea la función exactas, en el intervalo

Ejercicio 5. 5.23 23. 23. Sea la función en el intervalo

0,9 0,1

. Hallar una raíz negativa con tres cifras decimales usando el método de regula falsi.

. Hallar una raíz positiva con tres cifras decimales exactas, usando el método de regula falsi.

CÁPITULO 5


156

 2   0 1.8; 2.0 ó: 1.895494267  0, 5 0,  0 . 5 ; 1  10 ó: 0.793700526  2 3 710 ó: 1.7649698602; 0.1357251263;  5 3 8130 ó: 5.3654057477; 1.7502397209 0,5 4 62 ó: 0.4745724392; 1.3691023862; 6.1563251747  c s 11 ó: 1.9446084251  2 53  4 ó: 3.6134702676 Ejercicio 5. 5.24 24. 24. La ecuación posee una raíz en el intervalo aproximado por el método de regula falsi con dos decimales correctos.

Ejercicio 5. 5.25 25. 25. La ecuación posee una raíz en el intervalo regula falsi. Determinar la raíz con una precisión de .

, Halla el valor

usando el método

Ejercicio 5. 5.26 26. 26. Aplicar el método de Newton–Rapson para encontrar todas las raíces reales de la ecuación polinómica:

Ejercicio 5. 5.27 27. 27. Aplicar el método de Newton–Rapson para encontrar todas las raíces reales de la ecuación polinómica:

Ejercicio 5. 5.28 28. 28. Determinar la raíz de valores iniciales de a) 0,5 y b) 1,5

, usando el método de Newton usando

Ejercicio 5. 5.29 29. 29. Localice la primera raíz positiva de con el método de Newton con valores iniciales de: a) 1 y b) 1,5

Ejercicio 5. 5.30 30. 30. Sea la función

. Usar cuatro iteraciones

. Hallar una raíz real partiendo de

a) El método normal de Newton. b) El método modificado de Newton

y usar:

CÁPITULO 5


10  √  

Ejercicio 5. 5.3 31. Use cualquier método para encontrar la raíz de , hasta logar una precisión menor que

 0,5 ó: 0.8767262154  0,5 ó: 0.5773502692

157

, usando como valor inicial

.

3 7 2

Ejercicio 5. 5.32 32. 32. Usar el método de Newton para hallar un cero de la función partiendo de en caso de que el método falle explicar porqué.

,

 53     0,5; 1,5

Ejercicio 5. 5.33 33. 33. Usar el método de Newton para hallar dos ceros de la función considerando que las raíces se encuentran en el intervalo método falle explicar porqué.

, en caso de que el

ó: 0.6318846098; 1.4252374945   5    9 2 1,5; 1,5 ó: 1.2410932373; 0.5095955026; 0.5095955026; 1.2410932373 ;  ó: 1.8571838602 2;  ó: 0.766664696; 2; 4  5; 1ln ó: 1.8928210042  3; 5ln ó: 2.1719795877 Ejercicio 5. 5.34 34. 34. Usar el método de Newton para hallar todas las raíces reales de la función , considerando que las raíces se encuentran en el intervalo que el método falle explicar porqué.

Ejercicio 5. 5.35 35. 35. Encuentre la intersección de


Ejercicio 5. 37.. 5.37 Encuentre la intersección de


en caso de

CÁPITULO 5


158

Ejercicio 5. 5.39 39. 39. Aplicando el método de la secante, determina una raíz positiva de la ecuación

ó: 1.3949612729 c s  ó: 1.2926957194 10 ó: 1; 1, 5  2 20 ó: 1

   0

Ejercicio 5. 5.40 40. 40. Aplicando el método de la secante, determina una raíz distinta de cero de la ecuación

 5 50

Ejercicio 5. 5.4 41. Determinar todas las raíces del polinomio , usando el método de Newton para el cálculo de la primera raíz.

, con precisión de

Ejercicio 5. 5.42 42. 42. Usar el método de la secante para determinar la única raíz negativa de la ecuación , con precisión de .

10

CÁPITULO 6

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

159

CAPÍTULO 6 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Introducción En distintas áreas del conocimiento, muchas veces existe la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones no lineales, pero, hallar las soluciones o raíces reales de un sistema de ecuaciones no lineales presenta mayor dificultad que hallar las raíces de una ecuación no lineal con una variable. La solución de sistemas de ecuaciones no lineales esencialmente consiste en ampliar los métodos de solución de una sola ecuación no lineal a sistemas de ecuaciones no lineales, sin embargo, esto presenta mayor dificultad al momento de resolver cada sistema. No existe un criterio general para conocer cuantas soluciones tiene un sistema no lineal de ecuaciones dadas, incluso, es posible que el sistema no tenga solución. Un sistema de ecuaciones no lineales es de la forma:

 ,, ,, ,, …… ,,  00  , , , … ,  0 , , , … ,  0 ,   1, 2, 3, …,    0 

Donde cada

es una función real de variables reales.

En forma más compacta se indica:

Existen principalmente dos formas de resolver un sistema no lineal: a) Métodos directos: usados cuando hay solución analítica (arrojan resultados exactos). b) Métodos iterativos: se usan cuando no hay solución analítica (arrojan soluciones aproximadas). Los métodos numéricos usados para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son extensiones de métodos más simples, como los aplicados para resolver ecuaciones no lineales. Son extensibles los métodos de Newton, punto fijo y secante. Los métodos de bisección y regula falsi no se pueden extender fácilmente, pues para su aplicación usan el teorema de cambio de signo, que en el caso de sistemas no lineales no existen teoremas que definan esta situación. El método de iteración de punto fijo se usa cuando el sistema cumple las condiciones para ser resuelto por este método. El método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales requiere calcular derivadas parciales y resolver un sistema de ecuaciones lineales en cada iteración. Además de estos dos métodos, es también útil el método gráfico cuando es posible realizarlo, pues existen ecuaciones de muy difícil graficación. Su uso se aplica a situaciones en donde se

CÁPITULO 6


160

; ;…

buscan aproximaciones no muy precisas, o para tomar los puntos de partidas aplicarlas a métodos que presentan mayor precisión como los de punto fijo o de Newton.

y

Resumiendo los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales se tienen: 1. Método Gráfico. 2. Métodos Directos. 3. Métodos Iterativos. Método gráfico

Este método consiste en trazar la gráfica de cada ecuación del sistema y hallar los puntos de intersección entre las curvas, dichos puntos indican la solución del sistema. La desventaja de este método es la imprecisión, y sólo es aplicable cuando se tiene dos o a lo sumo tres ecuaciones como parte del sistema. Además, considerando que son ecuaciones no lineales, puede suceder que las ecuaciones no sean fáciles de graficar. Cuando se desea precisión en los resultados de un sistema de ecuaciones no lineales, éste método no es el más apropiado. Para lograr mayor precisión en los resultados obtenidos de los métodos gráficos, es importante demarcar la ubicación de los puntos en un intervalo reducido, esto permitirá graficar con mayor precisión y obtener “intersecciones” más nitiditas. Ejemplo 6.1. Sea el sistema de ecuaciones no lineales presentado a continuación, halla la solución del sistema aplicando el método gráfico.

 17 6.6.21..

Solución Se inicia la solución del sistema, cambiando su forma para facilitar la construcción de una tabla que permita la construcción de la gráfica.

 6.6.12.. √7  1  3  7√ 2  1 

21 01 23 √ 2

1,73205 2,44949 2,64575 2,44949 1,73205

0,95021 0,86466 0,63212 0,00000 -1,7183 -6,3891 -19,086

y

2

1 x

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

-1

-2

Fig. 6.1

Los puntos de intersección de las dos ecuaciones dadas por la circunferencia de la ecuación (6.1.) y la curva de la ecuación (6.2.), presentan como resultados aproximados del sistema los siguientes puntos: .

.;  .; , 

CÁPITULO 6


161

Ejemplo 6.2. Sea el sistema de ecuaciones no lineales presentado a continuación, halla la solución del sistema aplicando el método gráfico.

  0 6.6.43. 3 cos2 2310  cos 2 6.3 .  3  2 6.4.  31   3 cos  2 2  1

Solución Se inicia la solución del sistema, cambiando su forma para facilitar la construcción de una tabla que permita la construcción de la gráfica. y

1

0.8

3 21 0,0,8901234368 01 3,2,5031310000 2 10,07493

2,33333 0,33333 -0,33333 0,33333 2,33333

0.6 0.4 0.2

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.2 -0.4 -0.6

Fig. 6.2

Los puntos de intersección de las dos ecuaciones dadas por la curva de la ecuación (6.3.) y la parábola de la ecuación (6.4.), presentan como resultados aproximados del sistema el punto: . Otro resultado aproximado estaría alrededor del punto , que no aparece en la grafica.

. ; . 

; 

Métodos directos

Los métodos directos son aquellos que determinan la solución en un número determinado de pasos. Los métodos directos no son los más usuales pero cuando sea posible son los más recomendables, porque dan la solución analítica, es decir, la solución teórica del problema. Salvo casos muy raros estos métodos no son siempre aplicables, ya que dependen que el sistema permita el despeje y simplificación del mismo mediante operaciones algebraicas.

Métodos iterativos

Los métodos iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella en un número finito, pero no definido de pasos. Estos métodos son propiamente métodos numéricos, los cuales obtienen la solución mediante una sucesión que se aproxima a la solución del problema. Los métodos numéricos requieren de un criterio de convergencia para determinar cuándo parar. El criterio de convergencia basado en el error relativo es el aplicado normalmente, por su confiabilidad en este tipo de operación. El criterio de convergencia será:

  | | | | 510

CÁPITULO 6

:   


162

Donde: Numero de iteración. : Vector de la iteración k+1. : Vector de la iteración k. : Numero de cifras significativas deseadas.

 y 

Geométricamente, las raíces de este sistema son los puntos del plano (x , y), donde las curvas definidas por se interceptan.

Punto fijo El método de punto fijo es uno de los que se citan entre los métodos directos. Es siempre conveniente resolver un sistema de ecuaciones no lineal por un proceso iterativo, sobre todo cuando no requiera evaluar las derivadas parciales en dicho proceso, como es el caso del método de Newton. Esta ventaja presenta la iteración de punto fijo. La resolución de sistemas no lineales a través del método de punto fijo es muy semejante al método iterativo lineal estudiado anteriormente para resolver ecuaciones no lineales. Así, un primer paso en la aplicación de iteración lineal es resolver el sistema de la forma:

   ,, 0    ,    6 . 5 .  0   ,  6.6.  ,       ,     ,     ,  ,     ,,  6.7



de forma que cualquier solución de (6.5.) sea, también solución de (6.6.). Sean una solución del sistema y una aproximación para . Se obtienen las aproximaciones sucesivas para la solución deseada , usando el proceso iterativo definido por:

Este proceso se llama método de punto fijo o método iterativo Lineal para sistemas no Lineales. Para que sea posible debe cumplir las siguientes condiciones suficientes, pero no necesarias: a) F, G y sus derivadas parciales de primer orden sean continuas en una vecindad V de la raíz . b) Las siguientes desigualdades sean satisfechas:

 ,  ||||    11   ,      ,   , ….    ,   , ….  ,  Para todo punto

perteneciente a una vecindad V de

c) La aproximación inicial

 ,   , 

pertenezca a la vecindad V de

, donde:

.

Para obtener una solución con una determinada precisión ε se debe, durante el proceso iterativo, calcular el error relativo para todos los componentes del vector solución.

CÁPITULO 6


163

Ejemplo 6.3.: 6.3.: Considerar el siguiente sistema no lineal.

,, 0,  0,24 0,  0,12 0, 6 0  0,5 0 10  0,0,240,  0,120,0,65  ,,

Aplicar el método iterativo lineal para resolver el sistema no lineal dado con una precisión menor a . Solución a) Reescribiendo el sistema dado, se obtiene:

Se verifica la condición de suficiencia para garantizar que la convergencia sea satisfecha. a) Que cada ecuación pueda ser despejada respecto de una de sus variables. b) Que las derivadas parciales del sistema sean continuas en la vecindad de las posibles raíces. c) Que al evaluar las derivadas parciales arrojen resultados de valor pequeño, normalmente menor que uno. La condición (a) se cumple, pues es posible despejar las variables del sistema. La condición (b) se cumple, pues las ecuaciones del sistema son polinomios, por lo tanto continuas. Es muy difícil conocer a priori la solución del sistema, sin embargo hay casos en que se puede intuir un posible resultado, debido a la simplicidad del problema. Siempre será importante partir de una grafica toda vez que sea posible, al final, es la manera más fácil de acceder a los valores iniciales de una iteración.

Fig. 6.3. En este caso, como es un ejemplo ilustrativo para verificar las condiciones suficientes de convergencia, como aplicación del método iterativo lineal, se considerará inicialmente

 , 0.9; 1.1.

Para verificar la condición (c), condición suficiente, se calcula inicialmente, las derivas parciales de F y G en los puntos iniciales de la iteración.

 0,0,440,  2  , 0, 2 ,    0,1  ,  0,2  ,

CÁPITULO 6


164

  ,      ,  ||||   ||00,,440,90|,11,1|0,||2 10,,12||0,90,21,1|0, 0,9|7190,716 1  ,   ,  

Si se escribe que = (0,9; 1,1,) se ve que F, G y sus derivadas parciales son continuas en . Además de eso, se verifica que las desigualdades que figuran como condiciones para que la convergencia sea satisfecha, se tienen:

Esto demuestra que iterativo se obtiene:

 

esta en la vecindad de

= (0,9; 1,1,) y usando el proceso

Primera iteración iteración:

   ,,    0,0,240,  0,120,0,65   ,,    ,, 00,,2400,9,9  00,1,200,9,911,1,1  0,0,65     0.90.60.96 9  00..0966 0.0625  0.062510 1  0. 1 311   0.90.6891.  9689 0.9689 0.1353  0.135310 ⇒ ⇒

= 0,96 = 0,9689

Calculo del error relativo:

La precisión deseada aun no es alcanzada, por lo tanto se procede a otra iteración. Segunda iteración:

   ,, 00,,2400,9,966 00,1,200,9,96600,9,9689689  0,0,65  9 6 0 . 0 103   0. 0 106  0. 0 10610    0.97030.    0. 9 703 0. 9 703 9 689 0 . 0 102    0.97910.  0. 0 104  0. 0 10410 0.9791 0.9791 ⇒ ⇒

= 0,9703 = 0,9791


Con los últimos valores obtenidos aun no se logra la precisión deseada. Tercera iteración

   ,, 00,,2400,9,9703703  00,1,200,9,970370300,9,9791791  0,0,65  9 703 0. 0 06   0. 0 0615  0. 0 0615 10    0.97630.    0. 9 763 0. 9 763 9 791 0 . 0 011   0.98020.  0.9802 0.98020.0012  0.0012 10 ⇒ ⇒


= 0,9763 = 0,9802

CÁPITULO 6


 , 0.9763; 0.9802

Se puede considerar resultado aproximado a condición especificada inicialmente en el problema. Se nota que la secuencia

   ,   ||

solución

 , 

165

, pues cumple con la

converge para (1 , 1). Además de eso, se puede decir que la

, con error relativo inferior a 10 -2 , es (0,9773 , 0,982), aplicando

| |

≅ 0,007

 0,001. Si una de las componentes cumpliera con la condición prefijada y la otra no, el proceso debe seguir hasta que todas cumplan con la precisión deseada. y

≅

Ejemplo 6. 6.4 4. Buscar la solución del sistema aplicando el método de punto fijo, iniciando en (1, 1, 1) el proceso, con una precisión de tres decimales.

 1030 ,,,,   102 5 0 ,,102  50 Solución Este sistema puede escribirse de la forma:

 0, :  



Existen muchas posibilidades para convertir este sistema como una iteración de punto fijo, pero su convergencia depende de que la magnitud de la derivada parcial de sea suficientemente pequeña, para eso, el sistema se reescribe de la siguiente forma:

 0.0.11 0. 0.120.0.15 0.3     0.1 0.1 0.2   0.5 ,,  1,  ,  ,  1 , 1     ,  .  ·  0,0.11 0, 0.120. 0,50,3 0,11·1·10,0,21· 1· 10.0,510,0,63 0,4     0.1 0.1 0.2   0.50,1·10,1·10,16830,50,868294

Para lograr este nuevo sistema equivalente al sistema inicial, se despejan cada una de las variables , en todos los casos esto se logra dividiendo por el numero 10 todas las ecuaciones. Esta situación no siempre se presenta de esta manera, pues cada ecuación se debe despejar separadamente. Se realiza la primera iteración con los valores de: Se usa indistintamente la coma o el punto para separar las cifras y presentar sin confusión cada expresión. Para la multiplicación se usa el punto . Notar que el punto de multiplicación se ubica en el medio entre los elementos de un término.

Esta evaluación en las ecuaciones dista mucho de ser cero, indica que debe hacerse otras iteraciones, los cuales no se incluyen en este ejercicio por ser repetitivos (iterativos), sin embargo se presenta seguidamente un cuadro con los valores de las iteraciones sucesivas.

CÁPITULO 6


Iteración 0 1 2 3 4 5 6 7

 

1 0.4 0.279571 0.282761 0.28406 0,284734 0,285058 0,285081

166



1 1 0.6 0.868294 0.5584 0.752646 0.538503 0.720512 0.540936 0.7140803 0,540984 0,713484 0,541114 0,713466 0,541168 0,713609

Los resultados logrados en la iteración 7 cumplen las condiciones del problema, pues comparando la iteraciones 6 y 7, se tienen los tres decimales después de la coma son iguales. A modo de verificación, a continuación se presenta los errores relativos de la última iteración, mostrando la precisión lograda en la resolución de este sistema.

2 85058 0 . 0 00023   0.2850810.   0.00008  0.00008 10 0. 2 85081 0. 2 85081 0 . 0 00054 0, 5 41114    0 00099  0. 0 00099 10    0.541168 0. 0. 5 41168 0. 5 41168 7 13466 0, 0 00143    0 002  0. 0 002 10    0,7136090, 0. 0,713609 0,713609 Método de Newton:



Teorema 6.1. Sea una función real diferenciable definida en un conjunto cerrado acotado convexo D, y tal que cualquiera de las normas inducidas del jacobiano de en todos los puntos de D sea menor que la unidad, o el radio espectral del jacobiano de g sea menor que la unidad para todos los puntos de D, entonces existe una única raíz de que se obtiene como límite de la sucesión donde es un punto cualquiera de D.



          ,    ,    y  , ,  ,   ,,  ,,   , , …… 6.8.   ,,   ,   ,    ,     ,   , 0       6.9.

Para adaptar el método de Newton a los sistemas no lineales, se procede como sigue: Sea una aproximación para la solución de . Admitiendo que sean suficientemente diferenciables, expandiendo y , usando la serie de Taylor para funciones de dos variables, en torno de . Así.

Admitiendo que esté suficientemente próximo de la solución al punto de evitar la operación con los términos de más alto orden, se puede determinar una nueva aproximación para la raíz haciendo . Se obtiene el sistema:

CÁPITULO 6


167

Vale la aclaración respecto a la notación utilizada

Lasflas derunciivasonespardelcialessistdelema:sistema: , ; , , ;  ,     ,  6.8. ,   6. 8 .          ,   ,    ,       ,  6.9.                  ,  , 6.10.                     ,  , 6.11.  ,         ,,   ,     ,        , , 6.12.       ,  ,  ,      

Está entendido que todas las funciones y derivadas parciales deben ser calculadas en . Se observa que es ahora una ecuación lineal. Además de eso, si no fueran despreciados los términos de más alto orden en el desarrollo de Taylor, entonces sería la solución exacta del sistema no lineal. La resolución de producirá una solución que se llamará . Entonces, se debe esperar que esté mas próxima de que de . Resolviendo por la regla de Kramer se obtiene:

≠ 0 en Donde = . La función es denominada Jacobiano de las funciones y . La solución de este sistema, produce ahora una nueva aproximación para . La repetición de este proceso conduce al Método de Newton para sistemas no lineales. El método de Newton para sistemas no lineales está definida por:

Con

=

Observaciones para el método de Newton: 1) Cuando la iteración converge, la convergencia es cuadrática. 2) El método de Newton converge según las siguientes condiciones siguientes: a)

 ,       ,  El JacobianoJ ,   ,   ,   

y sus derivadas parciales hasta de segundo orden sean continuas y limitadas en una vecindad V conteniendo . b) no se anula en la vecindad V. c) La aproximación inicial sea elegida suficientemente próxima de la raíz . 3) El método de Newton puede ser aplicado a un sistema de ecuaciones de incógnitas. La solución de un sistema de ecuaciones, siendo aun para el uso de las computadoras.



un valor elevado, seria muy difícil,

CÁPITULO 6


168

Método practico para resolver un sistema no lineal por el método de Newton 1) Acotar una zona donde exista al menos una raíz. Si se puede asegurar que será solo una, mucho mejor, para esto, graficar el sistema. 2) Reformular el problema como uno de punto fijo, y lanzar el esquema para ver si converge a la raíz buscada. 3) Aplicar el método Orden de convergencia El uso de métodos de iteración funcional con sistemas de ecuaciones es completamente diferente de aquellos para ecuaciones simples. Se observa que es útil frecuentemente una información a priori sobre la localización de la raíz; cuando esto no es posible se puede usar un método siempre convergente para obtener una buena aproximación de esta. Por lo tanto, en todos los casos se debe optar por la eficiencia del método. Un método a ser aplicado, solo es posible cuando el sistema converge para dicho método. Frecuentemente, si la aproximación lineal no está completamente cercana a la solución, la Ejemplo 6.5.

   21 10 ,  , 20  ,    10

Determinar una raíz del sistema: Con precisión de

, usando el método de Newton.

Solución Sean las ecuaciones:

Para obtener el valor inicial



, se traza en un solo gráfico las dos ecuaciones dadas. y

1.5

1 0.5 x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-0.5 -1 -1.5

Fig. 6.4.

-2

Del grafico se observa que el sistema admite 4 soluciones, una en cada cuadrante. En este caso solo se buscará la solución correspondiente al primer cuadrante.

 ,    ,   1. 2 ; 0. 7    , 1. 2; 0.7 1,.2;0.71. 22  0.7 21.440.4920.07    1  1,.2;0.71. 2  0.7 11.440.4910.05 El punto de soluciones de las ecuaciones es la solución buscada. Analizando la grafica se nota que está en la vecindad del punto toma .

, entonces, se

CÁPITULO 6


169

  2;  2;  2;  2   2. ,,  1 . 2 , 0 . 7   2 2 1 . 2 4    1.2,0.7   2 20.71. 4   2. ,,  1 . 2 , 0 . 7    2 2 1 . 2 4   1.2,0.7   2 20.71.4        , ,          .; . 1. 2  0.20.741.1.441.40.052.41.4 0 7 0. 1 68  1.2 0.3.0980. 1. 2   363.36 6.72 1.20.025.      ,  ,      ,  .; . 0. 7  0.2.04521..4410..4072.42.4 1 68 0. 0 48  0. 7  0.3.1320.  0. 7  63.36 6.72 0. 7 0.0071430.707143 Se hallan las derivadas parciales de las ecuaciones del sistema

Se aplica la fórmula 6.12.

Se calcula el error relativo en los dos casos:

2 0 . 2 5   0. 0 25  0. 0 2510    1.2251.    1. 2 5 1. 2 5 7 0 . 0 07143   0.70.071430.  0.0101…  0.010110 7 07143 0. 7 07143 Amboscálculos de errorson ma yores que 10,por lo t nto,debe re liz rse otra iter cion.

Segunda iteración

,     2  1.225; 0.70714 1.225  0.70714 20.000672 ,     1  1.225; 0.70714 1.225  0.70714 10.000578 Se halla las derivadas parciales de las ecuaciones del sistema  2;  2;  2;  2 ,   1.225,0.70714   2 21.225 2.45 ,   1.2; 0.7   2 20.70714 1.41428

CÁPITULO 6


170

,,   1.1.2225,25,00..770714    2  21.225 2.45 0714    2  20.7 1.41428 Se aplica la fórmula 6.12.

       ,  ,            .; .   414280.0005781.41428  1.225 0.006721. 2.451.414281.414282.45 000817 1.2250.008683 1.2250.001253  1.225 0.3.00950. 4653.465 6.93  1.2237      ,,     ,.; . 0006722.45   0.70714 0.0005782.450. 6.93 001646 0.707140.00023 0.70711  0.70714 0.0014160. 6.93 6.93  0.707140.000033190.70711 Se calcula el error relativo en los dos casos:

225  0.0013  0.001  0.00106  10     1.22371. 1.2237 1.2237 70714  0.00003 0.000042  0.00004210     0.707110. 0.70711 0.70711 Si uno de los errores relativos cumple la condición de precisión deseada, se considera válido el resultado obtenido y termina las iteraciones. En este caso, se considera muy próximo los valores hallados

1.2237; 0.70711

EJERCICIOS DE FIJACIÓN Ejercicio 6.1. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (1.5; 2)

 53 32  5

CÁPITULO 6


171

Ejercicio 6.2. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (1; 1.5)

5 3  9 4 5  3 Ejercicio 6.3. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (-0.5; -1.5)

    2 ln 1 Ejercicio 6.4. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (0.5; 1.5)

3    0 4cos  0 Ejercicio 6.5. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (-2; 2.5)

2     0 3cos  0 Ejercicio 6.6. Resuelve el siguiente sistema por el método gráfico, probar en el intervalo (2; 3)

   6   1 Solución 6.1.

Solución 6.2.

y

Solución 6.3.

y

y

3

3

2

2 2 1

1 x

-2

-1

1

2

3

4

1

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

-1

1

1.5

2

-2.5

-1

-2

- 1.5

-1

-0.5

0.5

-2

1

1.5

2

2.5

-1 -2

-3

-2 -3

-4

-3

Solución 6.4.

Solución 6.5.

y

Solución 6.6. 5

y

3

3 2

y

4 3

2

2 1

1 1 x

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

-1

1

1.5

2

2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5 -1

1

1.5

2

2.5

x -5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2

-2

-2 -3

-3 -4

-3 -5

2

3

4

5

CÁPITULO 6


172

Ejercicio 6. 6.7 7. Aplicando el método de punto fijo y el método de Newton-Rapson para resolver el sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de , iniciando las iteraciones en el punto .

1. ; 1.8     2      1

10

Solución:

1.0716; 1.7296; 2.51178; 3.72

Ejercicio 6. 6.8 8. Aplicando el método de punto fijo y el método de Newton-Rapson para resolver el sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de , iniciando las iteraciones en el punto .

1.; 1.8 4   0 4    1

10

Solución:

0.449; 0.8982; 0.449; 0.8982

Ejercicio 6. 6.9 9. El estado estacionario de concentración de dos especies químicas en un sistema químico oscilatorio está dado por el sistema no lineal, iniciar la operación en el punto .

530 2    0

0.9, 2.1

Solución:

1, 2

Ejercicio 6.1 6.10 0. Usando el método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de , iniciando las iteraciones en .

10 1.2; 1.8 3   4     9 Solución: Solución: 1.3364; 1.7542; 0.9132; 2.1135; 3; 0.24987; 2.9695; 0.0914265



Ejercicio 6.11 6.11.. Usando el método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de , iniciando las iteraciones en .

10 2; 1     50  3 30 Solución: Solución: 1.9587; 1.0786;1.9587; 1.0786; 0.2045; 2.2267;0.2045; 2.2267



Ejercicio 6.12 6.12.. Usando el método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de , iniciando las iteraciones en .

10 .0.7; 2     7 1   1  9 Solución: Solución: 0.87083; 1.8708; 2.8708; 1.8708;

CÁPITULO 6


173

Ejercicio 6.1 6.13 3. Dado el siguiente sistema no lineal, hallar una solución con dos dígitos significativos correctos, iniciando la iteración en

  ,   1; 1.5   30   2 3  0

Solución: Solución:

0.84343; 1.4609; 0.84344; 1.4609;

Ejercicio 6.1 6.14 4. Determinar una solución con dos dígitos significativo correctos, el sistema no lineal dado, iniciando con en

,   0.5; 0.85  30   3  0 Solución: Solución: 1.1447; 1.9827; 1.1447; 1.9827;



Ejercicio 6.1 6.15 5. Demostrar que el siguiente sistema no lineal posee exactamente cuatro raíces. Determinar esas raíces usando el método de Newton, con dos dígitos significativos correctos, iniciando en

1; 1; 1; 1; 4; 1 y 4; 1 3   912  36  36 Solución: Solución: 1; 0. 9 86; 0.86511; 0.98955; 4.0127; 0.74346; 3.9094; 0.75859.



Ejercicio 6.1 6.16 6. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales.

,,   2350 ,,   5221 0 ,, 4  20 Solución: 2,08348; 0.6489; 0.1754  0.86834; 1.002; 1.64005 Ejercicio 6. 6.17 17. 17. Usando el método iteración de punto fijo y el método de Newton para resolver el sistema no lineal con precisión de , iniciando las iteraciones en .

2; 0.6; 0.1  0.8; 1; 1.6 10 ,,   2350 ,,   5221 0 ,, 4  20 Solución: 2,08348; 0.6489; 0.1754  0.86834; 1.002; 1.64005

CÁPITULO 6


174

Ejercicio 6.1 6.18 8. Para el siguiente sistemas de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de , iniciando las iteraciones en .

10    8  0  30 30

2.5;0.5; 4.0,  3.2; 2.5;1.2

Solución ( -2.736109959; 0.5137022874;

4.222407672)

( 3.240063567; -2.498011923;

1.257948355)

( 2.383237204;

-2.703417629)

2.320180425;

( -2.887190812; -0.3358707894;

5.223061602)

Ejercicio 6.19 9. Ejercicio 6.1 Para el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de , para el punto de iteración usar el método gráfico.

10  23 3 9 1.9507; 1.48711 Solución 1.727254; 1.037569;

Ejercicio 6.20 6.20.. Para el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, determinar una raíz con precisión de , para el punto de iteración usar el método gráfico.

10 3     1  3 1.04161; 2.254854 Solución 1.04161; 2.254854;

CÁPITULO 7

INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS

175

CAPÍTULO 7 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS

ILantraproxi oduccimónación de funciones es una de las ideas más antiguas del análisis numérico, siendo ahora l a más usada. Es f á ci l ent e nder por qué razón se present a esa si t u aci ó n. Los pol i n omi o s sonraícesfápueden cilmentesercomput a bl e s, sus deri v adas e i n t e gral e s son nuevament e pol i n omi o s, sus hal l a das con rel a t i v a f a ci l i d ad. Lavarisiams plmaneras, icidad deentlorsepollasincualomioess permi t e que l a aproxi m aci ó n pol i n omi a l sea obt e ni d a de se pueden ci t a r; i n t e rpol a ci ó n, mét o do de l o s mí n i m os cuadrados, mí n i m os y máxi m os, et c . , por t a nt o es vent a j o so sust i t u i r una f u nci ó n compl i c ada por un polinomio que la represente. Definición 7.1. Teorema 7. 1 . Teorema de W ei r st r ass Toda función continua pude ser arbitrariamente aproximada por un polinomio. IPornterpolel téarmiciónnopolininteomirpolaal ción se entiende estimar el valor desconocido de una función en un punt o , t o mando una medi d a ponderada de sus val o res conoci d os en punt o s cercanos al punt o dado. Losfuncimétón , odospridenciaproxi m aci ó n pol i n omi a l son usados como una aproxi m aci ó n para una p al m ent e , en l a s si g ui e nt e s si t u aci o nes. a Noalgunosse conoce l a expresi ó n anal í t i c a de , se conoce sus val o res sol a ment e en punt o s  ,  ,  , … . Est a si t u aci ó n ocurre con f r ecuenci a en l a práct i c a cuando    secaltcrulabajar sua convalodatr enosunexperipuntmoentdetaelrmies ynesado,necesari o mani p ul a r , como por ej e mpl o , o su i n t e gral en un i n t e rval o dado. b , es ext r emadament e compl i c ada y de di f í c i l manej o . Ent o nces, a veces, es interesante sacrificar la precisión en beneficio de la simplificación de los cálculos. Lavariclaablsee dereallosdepollainfomiorma:os algebrai c os son una de l a más usada cl a se de f u nci o nes real e s de            , donde n es un ent e ro no     negat i v o y  … son const a nt e s real e s. La razón de su i m port a nci a es que aproxi m an   uniintefrvalormement e f u nci o nes cont i n uas; est o es, da una f u nci ó n def i n i d a y cont i n ua en un o cerrado, existe un polinomio que está tan cerca de la función dada como se desee. El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales.

CÁPITULO 7


176

 W Teorema 7. 3 . Teorema de aproxi m aci ó n de ei e rst r ass Sicon lesta prá odefpieindadidadey esquecontinua en , , dado  0, existe un polinomio , definido en , ,   |  )) |   ,   ,  Elfaciaslidpadectoparimapordettearntmeinquear laprdereseintvadaa loys polla iinntomiegroals ienndeflainapridaodeximcualacióqnuideer fpolunciinoominesoesy lela rparesualtapradooxiesmotarrafuveznciounnespolqueinomise sou.ponen Esta escontla rainzónuaspor. la frecuencia de uso de los polinomios PolEl iprnomiobleomas degener interpaoll adecióninterpolación por medio de polinomios consiste en, dado 1 númer o s o punt o s di s t i n t o s , s e an és t o s r e al e s o compl e j o s  ,  ,  , … ,   1 punt o s o     númer o s r e al e s o compl e j o s  ,  ,  , … ,  , numer o s que en gener a l , son 1 val o r e s de una     ftaulncique:ón))en; ,,), …,;…,; determ)inándos e un polinomio ) de grado máximo  Los ,po,linomios de interpolación existen y son únicos, en la hipótesis de que los puntos ,…, sean distintos. Teorema 7 . 4 . 1 ,  ,  , … ,  1 Dados + punt o s di s t i n t o s  real e s o compl e j o s y + val o res     , , , … ,  existe uno y solo un polinomio de grado menor o igual a  tal que:   con  0,1,2,…,. .. DefSe linaimaciónpol7.7.7.2in. omio de interpolación de una función  sobre un conjunto de puntos m o  que coi n ci d e con   ) en dis,tint,os, …, ,.,Tal, …pol, inomi, alopolseriánomidesiognadode grporadomáxi   ;  ) y, si e mpr e que no cause conf u si ó n simplemente por ). EjDadosemplol7.1.os pares de puntos 1, 15; 0, 8; 3, 1, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. SolDeuacuerdo ción a los datos del problema se tiene:  01   158    3  1   Teorema 7.2. El problema de interpolación general tiene solución única si las linealmente independientes.

  

formas lineales son



17

17 La demostración de este teorema se

encuentra en: Franco, Neide M. V. 2008. Calculo Numérico (formato digital en Portugués) pág. 281.

CÁPITULO 7


177

Se tiene tres pares de punt os, por lo tanto  2, y se debe determinar .     , tal que:  ,  0, 1, 2, esto es:

                        Sustituyendo  e  , se tiene:       15   8   8,   6    1   3   9   9 Resolviendo la ecuación simultánea se tiene la solución y el polinomio de interpolación de 1,15;0,8;3,1, es:  86 , o lo que es lo mismo     68, Completando el ejemplo se presenta la gráfica de los puntos citados en un plano y la grafica de la función en el mismo plano

, con  0.1, 2

y

16 14 12 10 8 6 4 2 x

Fig. 7.1. 7.1.

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

-2

Ejemplo 7.2. 7.2. Dados los pares de puntos 1, 1;2,4;3, 2;1,2, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. Solución De acuerdo a los datos del problema se tiene:   1     1   2     4   3     2   1     2 Se tiene cuatro pares de puntos, por lo tanto   3, y se debe determinar .         , tal que:     , 0,1,2,3, esto es:                                            

CÁPITULO 7


178

Sustituyendo  e , con  0.1, 2, 3, se tiene:  ++ ·· 12 ++  ··41 ++  ··81  14 9 +  · 271  22  ++· 31 + · ·1

Reescribiendo el sistema y ordenando variables se tiene.        = 1   2  4  8 = 4   3  9 27 = 2        = 2 Esta ecuación presenta un sistema de ecuaciones lineales que puede ser resuelta por cualquier

método, se presenta la forma mat1 ric1ial del1 siste1ma  1  111 123 914 2278  242  Resolvie5ndo el sistema se obt9 iene la solución:   2  2.5;   4  2.25;   2;   34  0.75 El polinomio de interpolación dado por los puntos1, 1; 2, 4; 3, 2; 1, 2 es:  20,,5752 ,2+522 + 2,025,725 ,5  Para mejor interpretación del problema, se presenta la grafica correspondiente 5

y

4 3 2 1 x

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2 -3

Fig. 7.2. Interpolación de La Laggrange

-4

Para l a i n t e rpol a ci ó n l i n eal se ut i l i z a un segment o de rect a que pasa por dos punt o s conoci d os, sean est os punt os ,  , dichos puntos, luego la pendiente del segmento es:             

CÁPITULO 7


179

Aplicando propi edad distributiva:                 +          +       Al inal:     +   . . deest ya forma:  EsOtrela fpolormainomideoencont de gradorar estmenore poloiniomigualoafu1,equepropuest satisfaaceporqueLagrange                      +     Luego      . .       + 1    Hallando mcm altérmino entre parént es is y multiplicando por (-1) ()    +    ,     ,    , los cuales son lineales Como: ,+ , , 1, , 0, , 0, ,1, entonces Porlotanto,+pasapor,los  y  ,+, puntos,  ,   DefLosintéicrmiiónn7os.2.         se deinen como polinomios ,    ,    . coeDe laicdefientineiscideónLagrange anterior se tiene:     .. Cuando    , el proceso de utilizar  para aproximar a en ,  se conoce como i n t e rpol a ci ó n l i n eal ,  ,  reciben el nombre de nodos.   Si    al proceso se le llama extrapolación. 





CÁPITULO 7


180

EjConsiempldoerando 7.33.3.3.. la función    0.2; 1. Usar los nodos   0.2 y   1 para construir un polinomio de interpolación lineal  y calcular (0.6). SolLa gruciáófinca de la función se visualiza en la figura 6.1  1.0.02   9866933  1.0.02 0. 0.814147098

Se aplica la fórmula para hallar              0.84147098 1.00.20.2  0. 0518387250.2 0.2483366621.0 Evaluando en 0.6 se tiene: 0.6 1.0518387250.60.2 0.2483366620.61.0 0.6 1.0518387250.4 0.2483366620.4 0.420735490.099334664 0.6 0.520070154 Calculo de error El valor verdadero de   en 0.6  0.564642473       0.5646424730.520070154  0.07893, %  | 100%|  .% 0.564642473

 1.

19866933 0.2 1.10.0



Ejemplo 7.4. Considerando la función        0.4, 0.8. Usar los nodos  0.4 y  0.8 para construir un polinomio de interpolación lineal  y calcular 0.6. La gráfica de la función se visualiza en la figura 7.4. Solución  0.4    0.4  0.389418342  0.8    0.8  0.71735609 Se aplica la fórmula para hallar             0.71735609 0.80.40.4 0.389418342 0.40.80.8  1.7933902250.4 0.9735458550.8

CÁPITULO 7


181

0. 6  Eval u ando en  se t i e ne:   93390225 0. 0 . 6 0. 4 0. 9 735458550. 6 0. 8  0.0.66  1.1.7793390225     93390225 93390225 0. 0 . 2 0. 9 73545855 73545855 0.  0. 2  0. 3 586780 58 678045 45  0. 1 9470 9 4709171 9171 0.6  0.553387216 CalEl valculoordeverdadero error de   en 0.6  0.564642473 5 53387216 100%|  .%%       0.5646424730. 0.564642473   0.0199, %  | 100%| y

y

1

1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

x x 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0. 7

0. 8

0.9

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.1

Fig. 7.4. Fig. 7.3. Conclusión: Analizando los dos ejemplos anteriores, se nota que el error se reduce al tomar dos puntos o nodos más próximos al punto a ser evaluado, en este caso 0.6. De ahí que, tomando los nodos entre 0.2, 1.0 el error es del 7,80%; al reducir el intervalo a 0.4; 0.8 el error producido disminuyo a 1,99%. De hecho, el error generado por este método es aún muy grande, se nota la diferencia al acercar los nodos al punto que se desea evaluar. Esto indica que este método no es el mejor a ser aplicado para construir un polinomio de interpolación. i nterpolación. En general general si se tiene los   1 puntos puntos , , ,…, , y si   =  para = 0,1, 0, 1,2,2,3,3,…… ,  elel polino polinomio mio que pasa pasa por por esos esos   1 puntos puntos es: -0.2

-0.2





  =   , . .      …        … donde: , =       …              Notación mas compacta: , =  ..      Ejemplo 7.5. 7.5. 7.5 Sea = = =   en el intervalo intervalo 0.2,1. Usando los nodos   =0.2;  = 0.5;  = 1 construir el polinomio interpolador  y calcular 6. Solución  =0.2  =   0.2 = 0.1986 198669 69  =0.5  =   0.5 = 0.4794 479426 26  =1.0  =   1.0 = 0.8414 841471 71

∏∏



CÁPITULO 7


182

Se aplica la fórmula para hallar , teniendo en cuent a quese tienen tres nodos 

               

  0.198669 0.0.2  0.0.550.0.2111  0.479426 0.0.5  0.0.220.0.5111  0.841471 1 0.0.0.0. 221  0.0.0.55

  0.198669   0.0.524  1  0.479426  0.0. 0.215  1  0.841471   0.20.4  0.5  0.5  1 3.19617           0.0.882779 9617   0. 2   1  2. 1 0368 0368  0.0.  2   0. 5   1.1.2  0.2  2.10368   0.7  0.1   9617  0368   2779   1,55  0.5  3.19617   0.82779 1.41.72576 241685 0.20.10368413895  3.19617   3.835404  0.639234  2.10368  0.0.6 0.0.264726470.61.11.21143 21143121143   0.00.14971 14971  6 0. 0 14971 0.0.6  0.0.09529529292 0.67268 72685858 0.014971 14971  . CalEl valculoordeverdadero error de   en 0.6  0.564642473 5 62423 100%|  .. %       0.564642470. 0.564642473   3.3.9393  10, %  | 100%|  7 . 5  Observaci ó n: en l a f i g ura se t i e nen l a s dos f u nci o nes superpuest a s en el i n t e rval o estudiado, la función   y el polinomio de interpolación  y

1.5



1

0.5

0.5

-0.5

1

1.5

2

  2.5

x

3

Fig. 7.5.

Ejemplo 7.6. Sea = = =   en el intervalo intervalo 0.2 . Usando los nodos   =0.2

 1 ; 0. 5 ; 1 ,       construir el polinomio interpolador  y calcular 6. SolEn uestcióenproblema la solución se planteará de manera diferente, pero igualmente utilizando la formula de Lagrange. Los nodos a ser utilizados son:  =0.2  =  =   0.2 = 0.1986 198669 69  =0.5  =  =   0.5 = 0.4794 479426 26  =1.0  =  =   1.0 = 0.8414 841471 71

CÁPITULO 7


183

                0.0.  5  1.1.  0            0.0.20.50.0.211   1.1.0.5524  0.0.5          0. 2  1.1.  0                    0.0.50.20.0.511  0.1.1.2215 0.0.2          0. 2  0.0.  5                    1.1.00.21.1.00.5   0.0.0.774  0.0.1 Luego:       

     1. 1 . 5   0. 5   1. 2   0. 2    0.198669  0.24   0.479426  0.15   0.841471   0.0.74  0.1

Resolviendo se tiene:

    0.26 0.2647 47  1.1211 1.121143 43   0.0149 0.014971 71

Observación: Este procedimiento plantea la resolución por parte, que a veces resulta práctico por lo que se hacen resoluciones más cortas y la posibilidad de error en el proceso de resolución disminuye. Ejemplo 7.7. 7.7. Sea         en el intervalo intervalo 0.2; 1. Usando los nodos   0.2; 0.2;   0.4;   0.8;   1 construir el polinomio polinomio interpol interpolador ador    y calcular 6. Solución    

 0.2  0.4  0.8  1.0

   

   0.2 0.2  0.19 0.1986 8669 69    0.4 0.4  0.38 0.3894 9418 18    0.8 0.8  0.71 0.7173 7356 56    1.0 1.0  0.84 0.8414 1471 71

Se aplica la fórmula para hallar   , teniendo en cuenta que se tienen cuatro nodos      

     

                                               

0.2 0.2  0.8 0 . 2  1 0.2  0.40 0.80 1   0.2   0.4   1 0.8  0.2 0.8 0 . 8  1 0.20. 8  0.40 1

           

 

0.096   0.2   0.4   1 0.048

           

 

  0.4   0.8   1

0.717356

           

 

  0.4   0 . 8 8   1

    0.198 0.198669 669

           

 

  0.2   0.8   1 0.4  0.2 0 . 4  1 .20. 0.4 4  0.80 1   0.2   0 . 4 4   0 . 8 8 1  0 . 2 21 1  0 . 4 41 1  0 . 8 8

 0.389 0.38941 418 8

  0.2   0.8   1

 0.8414 0.841471 71

0.048   0.2   0.4   0.8 0.096

CÁPITULO 7


184

             2.14.9044917 69469 69469  0.0.  4  0.0.  8   1 8. 1 12875 12875  0.0.  2  0.0.  8   1 44917 0.0. 2 0.0. 4  1 8.765323 65323 0.0. 2 0.0. 4 0.0. 8  2.2  1.1.52   2  2.2.66  1.1.6     14.2.9044917 69469 69469  5 2  0.0.  32 3 2 8. 1 12875 12875  44917 1.6  0.0.6868 0.0. 0808 8.765323 65323 1.4  0.0.5656 0.0. 064064 Resol v i e ndo  0.032504   1.01138 Evaluando 0.la1f36188 113 8 0.0.  00121 0 01 217 7 unción en  6 se tiene:    0.0.1036188 0 . 6  0. 0 32504 0 . 6  1. 0 11380. 6 0. 0 01217 2941 29416666 0.011701 117014444 0.606828 06828 0.001217 01217  0.564493 64493 CalEl valculoordeverdadero error de   en 0.6  0.564642473 5 64493 100%|  .. %       0.564642470. 0.56464247   0.00027, %  | 100%| Ejemplo 7.8.8. Determinar el polinomio de interpolación usando la formula de interpolación de Lagrange y calcular una aproximación para 2 según la siguiente tabla:

 1 0 2  8 3 1

Solución A partir de la tabla se tiene que las siguientes expresiones:  =1  =  = 8  = 0  =  = 3  = 2  =  = 1 El polinom polinomioio de interpola interpolación ción será será de grado grado  = 2. El polinomio de interpolación de la formula de Lagrange está dada por: 

 =   

Se determinan los polinomios polinomios ,   2                 0   2     =       = 10 1012 12 = 3 2              1 1   2     =       = 01 0100  2 = 2               1 1   0     =       = 21 2122  0 = 6

CÁPITULO 7


185

Luego se aplica        8  3 2  3  2  2 1  6  Se multiplica la ecuaci ón por 6 y se resuelve 

66    161616 3222999 9  218   6  24 1 18   6Una aproxi   6  24 1 18      4 3 3 mación de  2 está dada por 2. Usando el algoritmo de Ruffini se tiene: 1 4 3  2 1  22  4 Luego 2  2   La forma usada comúnment e para eval u ar f u nci o nes es l a sust i t u ci ó n di r ect a . Igualmentese obt4 i3ene3 elmismo2resul 2tado, 4o· sea:2  3 24823   y

8 7 6 5 4 3 2 1 x

-1

1

2

3

4

5

Fig. 7.6. 7.6. Error en la interpolación El polinomio de interpolación  para para una una fun funcición ón    sobre un conjunto de puntos distintos , , ,…, cumple la propiedad    , 0,1,2,…, En los los pun puntotoss    -1

           no si e mpre es verdadero que .      0 1 2   Para eval u ar    en l o s puntos    ,   , , , … ,  se consi d era como una     aproxi m aci ó n para l a f u nci ó n    en un ci e rt o i n t e rval o que cont a ngan l o s punt o s , , , … ,  y se calcula  a través de . Lema 5 5. . Teorema de Rol l e 7.   Seaexisteun contpuntionua en,, es dife, renci a bl e en cada punt o de ,  . Si   , ent o nces tal que   0.1818 18 Franco, Neide. Cálculo Numérico (formato Digital). Pág. 288

CÁPITULO 7


186

Lema 6 . Teorema general i z ado de Rol l e 7.  exista en cada punto   ,  y Seade , 2. Suponi . Suponiendoendoquequesea cont i n ua en  que    0 para    .       Entonces existe un punto ,     , tal que   0. Teorema 7 . Teorema Teo rema del t é rmi n o de 7. error  exista en cada punto de , . Si y  ,  Seacont i n ua en  suponi e ndo que     . Entonces  …   ;   ;  1! , . . Donde min , , , … , . El punto  depende de . 19

Esaprteoxitemoraremael valesomásr de tunaeórifcuonciqueón prenáuncticpunto. Eno porla prsáuctpolica,inparomiaoesdetiimntarerpeloleraciroórn,comet i d o al s e ut i l i z a el siguiente corolario:  ;)) ;). Si ) y sus derivadas hasta| deorden  1 son continuas en , , entonces:  ;) )1))…!  )| max)) ..) EjSeaemplla toabl7.a9:.  01 1.30499.1 1.80221.2 2.40596.3 3.30201.4 4.40817.5

Calcular un límite superior para el error de truncamiento cuando se evalúa en 0.25 Usando polinomio de interpolación de segundo grado. Solución

   | max |  |. 7.5.  ;  |  3! 

, se tiene:  )  331 33 ,   13   6 +9  ,     18  9  + 27    27 1,

Con          

Elsegundo problemagrado,deseaparesta esimoar, seeldebevalortodemarla fturncies ópuntn  osconseneelcutpuntivosoen0.2l5a usando pol i n omi o de veci n dad de 0. 2 5 . Se toman lospuntos  0.2;   0.3; .  0.4, y se obtiene: max | ()| 27  1  27  1 0.4 125.4998 19

La demostración de este teorema se encuentra en: Franco, Neide M. V. 2008. Calculo Numérico (formato digital en Portugués) pág. 288.

CÁPITULO 7


187

Consuperiestoroparas cálelculerroros realde itzrados previ a ment e , exi s t e n condi c i o nes para cal c ul a r un l í m i t e uncami e nt o . Apl i c ando 7. 5 .  se t i e ne:  ;  | 3! | max|| | 4  4998  0.  10  ;  |0. 6 0 Alresultomartado unconpoldosinciomifraso decide segundo grado para eval u ar l a f u nci ó n en  . , se obt i e ne el m al e s exact a s. Lacifrcantas deciidadmaldeesceros después del punt o deci m al en el cál c ul o de error, genera el numero de correctas que se tendrá en la aproximación. Sise ;hubi eran0.0054tomado 5·lo10s punt, loosque im0pl.1ic;aque  se0.2si; gue te0ni.3e,ndose hubilas edosra obtcifreasniddecio elmvalaleosr correct a s en l a aproxi m aci ó n. Así , t o mando val o res haci a l a i z qui e rda o haci a l a derecha del punt o a eval u ar, i g ual m ent e el error será del mi s mo orden de magni t u d. Grafgrado.ica en el mismo plano de la función   y su polinomio de interpolación de segundo 25  0.2)(0.25  0.3)(0.25  0.

0078

125.

8·

25)

y

3.5

 11.15  0.8  1.22

3 2.5 2 1.5

 -1

-0.8

1 0.5 x

-0.6 -0.4 -0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.5

Fig. 7.7. Punt o s i g ual m ent e espaci a dos 0  Cuando l o s punt o s  , son i g ual m ent e espaci a dos de  , est o es:  1  polinomiodei,nterpol0, 1aci,…, , donde es un número f i j o . Se det e rmi n a una f o rma del ón y de error, en térmi nos de una variable , definida así:   .. En función de la variable , se tienen los siguientes teoremas. 8 Teorema 7. . Para  enteros, no negativos,  . 20 20 La demostración de este teorema se


CÁPITULO 7


188

Teorema 9 . 7. Para  y  enteros, no negativos,   . 21 Usando los teoremas 7.8. y 7.9. se obtiene   1…1+1… ..    1…1+1… Que es la fórmula de Lagrange de polinomio de interpolación igualmente espaciados de   0. Estinteagraciformaón numéri de polcianomide fuonciinotenes.rpolación es particularmente útil en la determinación de sustituye   en  ;  ;  … 1!  , se obtiene:      1…     +  +1! , Donde: min,  ,…,     max(,,…,) 1   ,  ,  , … ,  se escri b e en Eltérmipolninosomideo de interpol a ci ó n para ()        , como: Se







       

 ..

 ..



1…1+1… 1…1+1…

     Ejemplo 7.10 Dada la siguiente tabla:

  

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.3499 1.8221 2.4596 3.3201 4.4817

a) Calcular )     en el punto   0.25 usando polinomio de interpolación sobre tres puntos. b) Hallar un límite superior para el error de truncamiento. Solución

Inicialmente se escogen tres puntos apropiados en la tabla dada y a continuación se construye la tabla de  )     . Sean entonces:   0.2,   0.3,   0.4. a)

 )    


0.2 0.3 0.4 0.3644 0.7379 1.3280


CÁPITULO 7


189

   1  …    Aplicandola fórmula:   1…1  1…  1+ 1 …  ..  32 12    0102  2  2 2    112  1   1    221  2 Usando     ∑    ..         ..   32  2         0.3644 2 0.7379 1 1.3280 2





 

Agrupando términos y resolviendo se tiene:



      0.1083   0.2652  0.3644 Se desea calcular 0.25   





0.25  0.2



 0.5

0.1

Usando el algoritmo de Ruffini 0.1083

 0.2652 0.0542

0.3644 0.1597

0.1083

0.3194

0.5241

0.5

Entonces  0.5  0.5241  0.25



De            1 …         1  2 De:   ; 







!

  , se tiene:





 ,

3!

   max     





|  … | !

max



  





   |  1  2|



Donde   0.5,



 0.1

   27   1   

3!

|  |.

.



.

.



 0.001 y por el ejemplo 7.7.  se tiene que: |  |  125.4988

.

Por tanto:    |0.5||0 . 5  1||0 . 5  2|

0.001 6

 5.066  0.0078



10

CÁPITULO 7


190

Observaciones 0. 2 5 a Siresultado se compara el val o r obt e ni d o para  con el val o r exact o se veri f i c ará que el está con dos cifras decimales correctas.

b El polinomio de interpolación obtenido en este ejemplo está en función de la variable . Por lo tanto no es posible verificar si el valor del polinomio en los puntos tabulados coincide con el valor de la función en esos puntos. Como la función es creciente en el intervalo 0.2

; 0. 4  0. 2 5 0. 3 644; 0. 7 379 . , el val o r para  debe est a r ent r e  Cuando se conoce la expresión analítica de la función, el termino del resto genera una

estaproximación. imación sobreLa aplicación el numerodedelaciformula fras decidemaltermino es correctdelaresto s queesseútilpuedecuandoobtesenerdeseaen lela resultado con una precisión prefijada. Diferencias Divididas Hay dos desventajas al usar el polinomio de Lagrange para interpolación. a Implican más operaciones aritméticas que el método de diferencias divididas método a ser analizada a continuación. b almente debe iniciarse de nuevo el proceso. El método de diferencias divididas es económico en cuanto a los cálculos aritméticos realizados en el proceso.

Siesencise desea sumar o restar un punto del conjunto usado para obtener el polinomio, Esdiviimdiportdas noantsee notconsiar que,guentaresulnto tporadoseldimétferentodoedes, solLagrange como por el mét o do de di f e renci a s amente en la economía de los procesos de cálculo.

Definición 7.3 7.3. 22 Sean   

. . 1 . . ,  , ,  , … ,  ,  + punt o s di s t i n t o s en el i n t e r b val o   ,  y sean  ,  , ,  ,  +     1 valores de una función  ,   0, 1, … , . Se define:  ,  0, 1, 2, … ,    ,  , … ,     , , … ,   , , … ,  ..    es   ,  , … ,  l a di f e renci a di v i d i d a de orden  de l a f u nci ó n  sobre l o s Donde    punt o s  , , , … , . Usando la definición de diferencia dividida se tiene:    ,      , ,   ,  ,  , , ,   , ,  , ,  22 La demostración de este teorema se

en Portugués) pág. 297.

encuentra en: Franco, Neide. Calculo Numérico (formato digital

CÁPITULO 7


191

Aldesegundo mi e mbro de cada ecuaci ó n precedent e se debe apl i c ar sucesi v ament e l a def i n i c i ó n di f e renci a di v i d i d a hast a que l o s cál c ul o s i n vol u cren sol a ment e el val o r de l a f u nci ó n en l o s puntos, o sea:

                , ,    ,  ,         ..

Exifuncisteón,unaesfconst ormarmásuyendosimplunae ytablaorganidezadadiferencias para caldivididas. cular las diferencias divididas de una

,      ,                ,         ,       ,     .  ..   

. . .

.



.

, ,  , ,  ,,  …   ,    , ,  ,    … , ,  ,   ,  … .

..

a La primera columna está constituida por los puntos ,  0, 1, 2, … , ; b La segunda columna contiene los valores de  en los puntos ,  0, 1, 2, … , ; c

La siguientes columnas 3, 4, 5, …, están las diferencias divididas de orden 1, 2, 3, … cada una de estas diferencias es una función cuyo numerados es siempre la diferencia entre dos diferencias consecutivas y de orden inmediatamente inferior y cu yo denominador es la diferencia entre los dos extremos de los puntos considerados.

Ejemplo 7.11. Construir la tabla de diferencia dividida de la siguiente función presentada en la tabla.

 2 1 0 ) 2 29 30 Solución Usando la tabla de diferencia divida se tiene:

1 31

2 62

CÁPITULO 7


192

  ,  , ,  , … ,  , … ,  2 2 202  31 12 131  15 1 29 3029 02 015  1  5 01 1 2 0 30 11 5 5  0  0 11 22 3130 150  1  5 1 0 2 1 1 31 311  15 2 0 6231  31 2 1 2 62 Fórmula de Newton Para obtener la formula de Newton de polinomio de interpolaciones necesario definir algunas funciones. En principio la función debe ser continua y que tenga derivada continua en el intervalo [a, b], además de eso, que los puntos x0, x1, …, xn sean distintos en [a, b]. Las funciones se definen de la siguiente manera.



1 ,     , deinidaen , ,para  0 2 , ,  ,  ,  , deinidaen , ,para  y  + 1 , , … , ,   , , … , , , , … , , deinidaen , ,para ,  0,1,2,…,

En las funciones definidas precedentemente, se producen aumentos sucesivos, en la diferencia divida o el próximo punto de la tabla. En todos los casos se aplican el corolario de diferencias divididas.

 , , … ,    …   +   …  +   …  Corolario 7.10. Las diferencias divididas de orden k de una función

, satisfacen:

Este corolario afirma que se puede usar cualquier par de puntos para construir la diferencia dividida de una función, y no necesariamente el primero y el último.

CÁPITULO 7


193



A partir de este punto corresponde buscar una fórmula de recurrencia para De la formula (1) se obtiene:

    , 

.

De la formula (2) y usando la formula (1), se tiene:

,, ,,   , ,,       , ,, De forma parecida, de (n+1) se obtiene:

   , ,,  ,,,  …    

  ,  , … ,     …  , , … , ,      ,  …  , , … ,  …   ,  , … ,      , 0,1,…,    ,    , ,    …  , , …   …     …  , , … , ,   …  De esta manera se tiene una formula de recurrencia para f(x).

Es el polinomio de interpolación de la función y = f(x) sobre los puntos Luego:

Esta es la fórmula de Newton de polinomios de interpolación. La expresión:

Corresponde a la fórmula del término del resto o error de truncamiento. Este error de truncamiento es la misma de la formula de Lagrange. Ejemplo 7.12.

1

a) Hallar el polinomio de interpolación de Newton. b) Calcular usando el polinomio de interpolación. x f(x)

-1 15

0 8

3 -1

, esto es

CÁPITULO 7

Solución:


194

  10

     15    8   3     1 a) Teniéndose tres pares de puntos, en el polinomio de interpolación de Newton,    ,  ,, Se construye la tabla de diferencias divididas:  , ,,   0

-1

n=2

15

-7 1 2

0

8

1 -3

3

-1

   ,  ,, Se tiene:   15  1 710 1 Agrupando términos semejantes y resolviendo:      68 b) Aplicando directamente 1 al polinomio  , se tiene:    68  1  1 6.183 El polinomio de interpolación es único, debe recordarse que este resultado es aproximado, o sea 1  3, si se resolviera por la formula de Lagrange se puede obtener el mismo resultado. O sea, 1  3 Por lo tanto, de:

Ejemplo 7.13: 7.13 1) Hallar: a) el polinomio de interpolación de Newton. b) Calcular usando el polinomio de interpolación.

3

x f(x)

0 -1

0,5 1

1 4

Solución:

 0,5  0      1     1   1     4 b) Teniéndose tres pares de puntos, en el polinomio de interpolación de Newton     ,  ,, Se construye la tabla de diferencias divididas:

0 1 2

x 0

 , ,, f(x)

-1 4

0,5

1

2 6

1

4

n=2

CÁPITULO 7


Por lo tanto, de:

195

    ,     , , 

  1 0 4  00,52   1  4 2  Agrupando términos semejantes y resolviendo:    2  31 Aplicando directamente 3 al polinomio  , se tiene:   2 31  3 2.3 3.3126 Se tiene:

Diferencias ordinarias

0 ,,...,,…,,  1 , 0,1,...,1 ,,...,, 1

Existen formulas más simples para polinomios de interpolación cuando los valores de igualmente espaciados con . Definición 7.4. Sean

 son

,    sobre ,

puntos distintos en el intervalo tales que y sean valores de una función Se define:

0,1,…,. ∆    ∆   ∆    ∆  .. Donde ∆   es la diferencia ordinaria de  de orden  en    Usando la definición de diferencia ordinaria se tiene: ∆    ∆   ∆    ∆      ∆   ∆    ∆    ∆  2 ∆    ∆    ∆   22   ∆    33 23    ∆   0 1 11 Por lo tanto

∆

    1   

,

! donde:   !!

Estas expresiones permiten calcular las diferencias ordinarias de una función de una manera más simple.

CÁPITULO 7

     


196

Tabla de diferencia ordinaria

               





Δ

Δ

                                                                  

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

, 0,1,2,…, , 0,1,2,…,

a) La primera columna está constituida por los puntos b) La segunda columna contiene los valores de en los puntos c) Las siguientes columnas (3, 4, 5,…) contienen las diferencias ordinarias de orden . Cada una de estas diferencias es simplemente la diferencia entre dos diferencias ordinarias consecutivas y de orden inmediatamente inferior.



1,2,3,…,

Ejemplo 7.14. Construir la tabla de diferencias ordinarias de la siguiente función tabulada.

 2 1 0 1 2  2 29 30 31 62

Solución Usando la tabla de diferencia ordinaria se tiene:

  2 2 1 29 0 30 1 31 2 62

  

Δ

  

Δ

  

Δ

  

Δ

292  31 30291 31301 623131

131  31 110 31130

030  30 31130

30300

CÁPITULO 7


   ; 0,1,2,..,,

Teorema 7.11. Sea

197

23

entonces

  ,,…,   ·!                 . 2!  . ! …   Δ

Formula de Newton Newton--Gregory Para puntos igualmente espaciado se puede usar una variante de la formula de Newton, conocida como fórmula de Newton – Gregory.

..

Ejemplo 7.15. Determinar el polinomio de interpolación de Newton – Gregory dada en la siguiente tabla.

 1 0  3 3 Solución Partiendo de la tabla se tiene que   3 Se construye la tabla de diferencias ordinarias:   1 3 2 0 1 2 1 1 1 2 0

1 2 1 0

0 3

3

Luego se aplica la formula de Newton – Gregory

            .2! … .3!   31210 02 101 36  5 1   322  2  2  2 10.5 2.51  0.5 2.51 23

La demostración de este teorema se encuentra en: Franco, Neide M. V. 2008. Calculo Numérico (formato digital en Portugués) pág. 309.

CÁPITULO 7


198

La fig. 7.8. representa la grafica de la función estudiada. 3.5

y

3 2.5 2 1.5 1 0.5 x

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5

Fig. 7.8.

-1 -1.5

EJERCICIOS DE FIJACIÓN Ejercicio Ejercicio 7.1. Halla el polinomio de interpolación de los siguientes puntos: . Evaluarlo en .

     1 , 2 ; 0 , 4 ; 2 , 6  1 . 5  :   6 114; 1.5  1

Ejercicio 7.2. Halla el polinomio de interpolación de los siguientes puntos: . Evaluarlo en .

1, 2;0, 4;1, 5 1 :   2.5 3.54; 1  5

Ejercicio 7.3. Halla el polinomio de interpolación de los siguientes puntos: . Evaluarlo en .

1,3;2,1;0,1;1,0 1.5 :   1.833 2.5 3.3331; 1.5 5.8125

Ejercicio 7.4. Halla el polinomio de interpolación de los siguientes puntos: . (0, 2); (1, 2); (2, 8); (-1, 0). Evaluarlo en

1.5 :   43    13 2  1.5 3.75

Ejercicio 7.5. Halla el polinomio de interpolación de los siguientes puntos: . (0, 1); (1, 0); (2, 5); (3, 10). Evaluarlo en

4 :    6 61  4  9

Ejercicio 7.6. Halla el polinomio de interpolación de los siguientes puntos: (0, 3); (1, 2); 3, 6). Evaluarlo en

1 :    23  1  6 .

CÁPITULO 7


199

2

Ejercicio 7. 7.7. 7. Los siguientes pares de puntos: (0, 3); (-1, 3); (2, 6). Evaluar en

:

.

     2  2 3,  2  4 Ejercicio 7.8. Los siguientes pares de puntos: 0,3; 2, 4; 2,2; 4, 1. Evaluar en 3 :  0.125  3,  3 0.375

.

Ejercicio 7.9. Los siguientes pares de puntos:

:

2, 0; 0, 6; 2,2; 4, 8. Evaluar en 1  0.4167 1.25 1.16676,  1 5.5

.

Ejercicio 7.10. Dados los pares de puntos , determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos.

2,2;1, 2;0,2

Solución

  4 82 Ejercicio 7.11. Dados los pares de puntos , determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos.

2,2;1, 2;0,2

Solución

  4 82 Ejercicio 7.12 7.12..

Dados los pares de puntos 1, 3;2, 3;3, 6;4, 3, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos.

Solució1.5 n  10.5 2115 Ejercicio 7. 7.13 13. 13.

Dados los pares de puntos 2, 2;3, 5;5,

8; 7, 4, determinar el polinomio de

interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos.

Solució0.075 n  0.25 3.1754.75 Ejercicio 7. 7.14 14. 14.

Dados los pares de puntos 2, 1;1, 5;0, 1;1, 5, determinar el polinomio de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos.

Solución 8 

  3  4  83  1

CÁPITULO 7


200

   2, 2 ;  1, 4 ; 0 , 2 ; 1 , 4 ;  2, 2 , det e r m i n ar el pol i n omi o de Dados l o s pares de punt o s interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. Ejercicio 7. 7.15 15. 15.

Sol uc)ión 2   8   2

3 3



    0, 1 ; 1 , 5 ; 2 , 2 ; 3 ,  1 ;  4, 0 , det e r m i n ar el pol i n omi o de Dados l o s pares de punt o s interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. Ejercicio 7. 7.16 16. 16.

Soluc)ió0.n 125  1.917  8.375  10.583 1     2,  2 ;  1, 2 ; 0 , 4 ; 1 , 0 ;  2, 6 , det e r m i n ar el pol i n omi o Dados l o s pares de punt o s deSoluinctieórnpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos.  )  5    23   2  4 Ejercicio 7. 7.17 17. 17.

6



6

   2,  2 ;  1, 2 ; 0 ,  2 ; 1 , 0 ;  2, 6 , det e r m i n ar el pol i n omi o Dados l o s pares de punt o s de interpolación para la función definida por este conjunto de pares de puntos. Ejercicio 7. 7.18 18. 18.

Sol uc)ión 2     11   2  2

3



Ejercicio 7. 7.19 19. 19.

3

  10 33 124 305 2  0.475  1.2  0.175  1.5, 2 0.15 Sea la siguiente tabla:

Determinar el polinomio de interpolación con la formula de Lagrange, sobre todos los puntos y calcular Solución:

Ejercicio 7. 7.20 20. 20. Sea la siguiente tabla:

4

  10 13 39 52

Determinar el polinomio de interpolación con la formula de Lagrange, sobre todos los puntos y calcular

CÁPITULO 7


 0.258  0.7  3.558  1, Solución:

201

4 7.9

Ejercicio 7. 7.2 21. Sea

  7 3 1  en los puntos   0;   1;   2;   3;  ,

a) Calcular algoritmo de Briot-Ruffini y construir la tabla según los valores de .

b) Construir el polinomio de interpolación para la función sobre los puntos

usando el

2,1, 0, 1

.

c) Aplicando la formula (7.5.) determinar un límite superior para el error de truncamiento en

  0.5    0.5

Solución: a)

 0 1 2 3 1 2 3  1 3 211 1673 11 237 1729  35 3 281 b)

Grafica de los Ejercicios de Fijación

Solución 7.1.

Solución 7.2.

Solución 7.3. y

y

y

5

3

3 4

2 3

2

1

2

x

1

1

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

x

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

1.5

0.5

1

-1

1.5

-1

-2 -2

-1

-3

-2

Solución 7.4.

Solución 7.5.

y

Solución 7.6. y

y

8

7 7

10

6

6

8

5

5 4

4

6

3

3 4

2

2 1

2

1

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5 -1

1

1.5

2

2.5

x

x

-1

1

2

3

4

5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

CÁPITULO 7


Solución 7.7.

y

5

5 4

202

Solución 7.8.

Solución 7.9. y

y

8 7

4

3

3

6

2

5

2

4

1 1

x

-2

x

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-1

1

5

2

3

4

5

6

3

7

2

-1

1

-1 -2

x

-2

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 -3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-1

-3 -4

Solución 7.10.

y

y

6

2

Solución 7.11.1111.

7


y

6

1.5

5

5

1 4

0.5

4 x

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

3

0.5

3

-0.5 2

2

1

1

-1 -1.5

x -2

x

- 0. 4 - 0. 2

0 .2 0 .4 0 .6 0 .8

1

1 .2 1 .4 1 .6 1 .8

2

0.5

2 .2

-2.5

8

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-1


y

1

Solución 7.144.. 6

Solución 7.15.1515. 5

y

y

4

5 3

6

4 2

4

3 1

2

2

x

-2

2

3

4

5

6

7

8

- 1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

1

x

1

- 1.5

-1

9

x

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-2 -1

-4

6


y

5

Soluciónón 7.117.177.


y

y

6

4

6

5

5

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1 x

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

1

x

5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

-1

0.5

1

1.5

2

2.5

x

-2

-1

- 1.5

-1

- 0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-1

-2

-2



y

Solución 7.21.2121. y

y

30

10

25

8

20

6

6 4 2

x

-2

4

15

-1.5

-1

-0.5

0.5 -2

2

10

-4 x

-4

5 x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-3

-2

-1

1 -2

2

3

4

5

6

7

-6 -8 -10

6 -4

1

1.5

CÁPITULO 8

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

203

CAPITULO 8

INTEGRACION NUMERICA Introducción Introducción La integración numérica es una herramienta de las matemáticas que proporciona fórmulas y técnicas para calcular aproximaciones de integrales definidas. Gracias a ella se pueden calcular, aunque sea de forma aproximada, valores de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente y, sobre todo, se puede realizar ese cálculo en un ordenador.

, 



     

Realizar una integración numérica es integrar numéricamente una función en un intervalo dado , es integrar un polinomio que aproxime al intervalo dado.



En el campo de la ingeniería y ciencias, es frecuente que la solución de un problema se exprese como una integral de la forma ; esta integral se resolvería usando el Teorema Fundamental del Cálculo, sin embargo, existen casos donde es imposible hallar una anti . Sin embargo, la integral existe y debe de evaluarse. Estas situaciones son del derivada de área de estudio de la integración numérica.



        ,   ,  , ; , ;,  ;…;           ,,, 0 ,  0       Si la función

 , 

está indicada en una tabla por un conjunto de pares ordenados , donde los están ordenados en forma creciente y donde , el polígono de interpolación para la función en el intervalo , es un polinomio de aproximación para en cualquier intervalo ; del intervalo . Se puede usar el polinomio para integrar en cualquiera de los sub-intervalos.







Las ventajas de integrar numéricamente un polinomio son las siguientes:

1) Si es un polinomio de difícil integración o si es prácticamente imposible de integrar, sin embargo, un polinomio es de integración inmediata. 2) Si se conoce la solución analítica de los resultados de la integral, y su cálculo solo puede arrojar aproximaciones. 3) La función es representada a través de una tabla de conjunto de pares ordenados, obtenidos como resultados de experimentaciones o cálculos previos.

 

Las fórmulas de integración son de manejo fácil y práctico y permite, cuando la función es conocida, tener una idea del error cometido en la integración numérica.

Conceptos básicos Una integral definida se define geométricamente como el área bajo la curva en el . La forma teórica de hallar este valor es mediante el teorema fundamental del intervalo cálculo.

,

CÁPITULO 8




,  ,     

Teorema 8.1. Teorema de valor medio para integrales Sea continua sobre el intervalo . Así, existe en

204

tal que


Teorema 8.2. Teorema fundamental del cálculo

Sea  continua en, , y sea    ,es decir,  es unaantiderivada  . Entonces      Este teorema se presenta sin demostración.25

Teorema 8.3. Segundo teorema fundamental del cálculo

 ,        ,                    , 

Dada una función continua en el intervalo decir para todo pertenece a







y sea cualquier función primitiva de , es , entonces




, es decir es una función tal que es una antiderivada de . Sin embargo en muchos casos prácticos es muy difícil y a veces imposible hallar una antiderivada de . En estos casos el valor de la integral debe aproximarse con el menor error posible, Esto puede lograrse por medio de serie de potencias, método gráfico o métodos numéricos.

El problema en la práctica, se presenta cuando es necesario encontrar la antiderivada  lo cual resulta simplemente requerida de expresiones integrales tan sencillas como imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo. Teorema 8.4: Si una función , continua en el intervalo [a, b], entonces



 es integrable en [a, b].

No obstante que las condiciones del teorema son sumamente generales, no se tiene garantía de que, al aplicar los métodos usualmente conocidos para resolver integrales, se pueda encontrar la antiderivada de una función cualquiera, necesaria para obtener la integral definida.



Las notaciones utilizadas varían de un texto a otro, para evitar confusiones o aclarar notaciones, se presentan las más comunes.

;              

       

24 Demostración: Ayres, JR Frank.(2001). Calculo. 4ª Edic. McGraw Hill. Bogotá. Colombia. Pág. 218. 25 Demostración: Ayres, JR Frank.(2001). Calculo. 4ª Edic. McGraw Hill. Bogotá. Colombia. Pag. 219. 26 http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema

fundamental del cálculo integral

CÁPITULO 8


205

          1     1         2! 3!      !         2!   3!              1 1 1  1! ||   3   52!  73!   1 3  52!  73!   1 

Método de Serie de Potencias Consiste en desarrollar en serie de Taylor la función e integrar término a término.  , es posible Intentando hallar la antiderivada de la siguiente integral definida hacerlo desarrollando la serie.



Este valor puede calcularse truncando la serie hasta un número determinado de términos. Este método está restringido a pocos casos prácticos y no es de aplicación general por las razones siguientes:

a) b) c) d)

Es posible que no exista la serie de potencias. La serie puede ser difícil de hallar. Puede ocurrir que la serie no sea convergente en el intervalo La serie puede converger muy lentamente.



Método Gráfico

, 

.

, 

a) Consiste en trazar la gráfica de en el intervalo y medir el área bajo la curva. Esto puede lograrse con unos instrumentos llamados planímetros27. Este método aunque muy general tiene algunos inconvenientes, pues solamente pueden ser utilizados para obtener aproximaciones; los inconvenientes son:

a) La gráfica puede ser difícil de elaborar. b) No es muy preciso ya que está sujeto a errores de medición. Métodos Numéricos Los métodos numéricos generan una sucesión de números de la forma:

,… , , cual acercaala integral,es decir:  

,,…, lo se        

El método numérico se detiene cuando se cumple algún criterio de convergencia preestablecidas con la precisión deseada.



a) Como no es posible integrar directamente , estos métodos aproximan la función por otra más simple que pueda integrarse.



27 El planímetro es un instrumento de medición utilizado para

el cálculo de áreas irregulares. Este modelo se obtiene en base la teoría de integrales de línea o de recorrido.

CÁPITULO 8


206

Las funciones más utilizadas para este fin son los polinomios. Éstos se emplean con bastante frecuencia en métodos numéricos, por sus propiedades, en este caso porque pueden integrar fácilmente. Existen varios métodos para la integración numérica basadas en polinomios, en este capítulo se estudiará algunos de estos métodos.

     ,  ,  , … ,  ,  1   ,     ,   ,   , … ,        ,1    sobre ,,,…, .  1      Cuadratura interpolatoria Sean puntos distintos en valores de una función

y sean

Sean el polinomio de interpolación de la función formula de Lagrange se tiene que:

sobre

puntos. Por la

Teorema 8. 8.5 5. La formula de cuadratura es interpolatoria si y solamente si el grado de precisión es por lo menos , o sea, si y solamente si la formula es exacta para todo polinomio de grado .



,   0, 2



    

  0;  1;   

Ejemplo 8.1. Sea y sean a) Determinar la formula de cuadratura que sea exacta pata todo polinomio de grado b) Usando la formula obtenida, calcular:

2

    2

Solución

a) Como la exigencia del problema es determinar la formula de cuadratura para polinomio de grado , y que sea exacta para . Se tiene:

2

 1;  2;   

          2       ·0 ·1 · 32  2       ·0 ·1 · 94  84  Los valores 2, 2,  son los resultados de la integral de 0

a2

1, , 

de , respectivamente. De esta manera se obtiene un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolviendo el sistema se obtiene:

  49 ,   23 ;   89

CÁPITULO 8


4  2

Se tiene la fórmula para integrar la función

en el intervalo

207

0, 2

    9  3  89   

Esta expresión es la fórmula de cuadratura interpolatoria.

b) Se tiene que:

   2,   0;  1;     2;  1;   14

Usando la formula de cuadratura interpolatoria

     49  23  89       49 2 23 1 89 14  89  23  368   43 Resolviendo la integral por método del Cálculo se tiene:



    2    2 3 2    3 2·2 0  83 4 43 Se verifica que la formula de cuadratura arroja resultado exacto respecto de la forma tradicional de hallar la integral definida de una función. Se pueden obtener una formula de cuadratura usando el método descrito, aunque sea algo trabajoso, pues si cambian los limites de integración y los puntos, todos los cálculos deben realizarse de nuevo. Esto limita grandemente la fórmula de cuadratura para su aplicación. Regla del rectángulo Las fórmulas que proporcionan una aproximación del valor de una integral definida se conocen con el nombre de fórmulas de cuadratura. En sus versiones más sencillas, estas fórmulas aproximan el área bajo la curva, por el área de un paralelogramo. Esto solo proporciona una buena aproximación si la base del paralelogramo es pequeña. Por ello, las fórmulas verdaderamente útiles aproximan la integral definida mediante una suma de áreas de paralelogramos de bases muy reducidas numéricamente.



El método del rectángulo consistente en dividir el área que se desea encontrar en sub-áreas en forma de rectángulos. Para el desarrollo del modelo se toman como referencia las siguientes variables:

: Número de sub-áreas en las cuales se divide el área a calcular   ∆: Ancho o base de cada sub-área



: Límite inferior definido para el cálculo del área : Límite superior definido para el cálculo del área.

y



La integral definida entre los puntos de una función continua y acotada , representa el área comprendida debajo de esa función. La integración numérica aplica cuando es necesario calcular áreas de integrales definidas, cuando se desconoce la integral explicita de la función .



CÁPITULO 8


208

     y altura 

Existen varios métodos para calcular áreas por integración numérica. Quizás el más sencillo sea sustituir el área por un conjunto de sub áreas donde cada sub área semeja un pequeño rectángulo elemental de base , El método del rectángulo para la integración numérica viene dado por las siguientes expresiones.

      2          2  

Ejemplo 8.2. Utilizar la regla rectangular para aproximar la integral, considerando

  

  5.

Solución Si se asume el área subdividas en cinco intervalos, aplicando la fórmula y los datos del problema se tiene:

  0;   1;      105  15  0.2       2  

      0.2 00.20.40.60.8       0.211.040811.173511.4333291.89648       0.26.544129 1.3088 El es:      1.4626517459

valorverdadero

3.5

El cálculo de error arroja los siguientes resultados:

    1.46265174591.30880.153851745 53851745 0.10518686 E  VE  V VV   1.0.41626517459 E%  E 100%0.10518686100%10.51%

y

3 2.5 2 1.5 1 0.5 x

-1

La gráfica (8.1.), presenta la función y el área de integración.

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2 0.4

-0.5

Fig. 8.1.

0.6 0.8

1

1.2

1.4

CÁPITULO 8


209

Regla del punto medio El método rectangular solo es estudiado a modo de referencia, pues no arroja resultados significativos en cuanto a la precisión de los resultados. El método del punto medio es una variante mejorada del método del rectángulo y presenta una mejor aproximación que el método del rectángulo, apenas con una pequeña modificación de de la fórmula del rectángulo, variando los puntos de los intervalos. La regla del punto medio aplica la siguiente fórmula:

        3   2 2 2 

Ejemplo 8.3. Utilizar la regla del punto medio para aproximar la integral. Considerar

   

5

.

Solución Subdividiendo la base en cinco intervalos, se tienen los siguientes datos.

  0;   1;      105  15  0.2         3   2 2 2  Aplicando la fórmula del punto medio se tiene:

   0.2  0  0.2 0 30.2 0 50.2 0  70.2 1  0.2 2 2 2 2 2 

   0.2  0.10.30.50.70.9     0.21.010051.0941741.2840251.63232.2479     0.27.268449  1.4536898  Calculando el error en este problema:

  1.46265174591. 4 536898  0. 0 08962 008962  0.0061272       1.40.626517459 E%  E 100%  0.0061272100%  0.613%

Observación Haciendo una comparación simple entre los dos métodos estudiados hasta ahora, se nota un gran aumento en la precisión de los resultados obtenidos por el método del punto medio respecto al método del rectángulo. En el mismo ejemplo

   , con la misma cantidad de intervalos (5) se obtienen los

siguientes márgenes de error, que miden las precisiones arrojadas por cada método

CÁPITULO 8


210

10.0.56%%

Error porcentual del método del rectángulo es Error porcentual del método del punto medio es

Se concluye que el método del punto medio arroja mejores resultados que el método del rectángulo. Algunos textos consideran, indistintamente al método del punto medio como el método del rectángulo, pues se basan en el mismo principio, variando solamente en la forma de operar con los intervalos.

 y     y          ,   0, 1, … ,  1     , ,…,                           y cuando    0       :              Haciendo:     . Obteniendose:      .

Fórmulas Fórmulas de Newton Newton - Cotes Las formulas de Newton-Cotes del tipo cerrado son aquellas en que son puntos de la formula de cuadratura, o sea, ; los argumentos , son igualmente espaciados , es de una cantidad fija , esto es, , la función peso, constante e igual a 1, y el intervalo de integración es finito. Sea una función cuyos valores son conocidos, ya sea por medio de tablas o por puntos de pares ordenados; de ahí se tiene que:

Suponiendo entonces se tiene que

igualmente espaciados de h y considerando

Donde los son los polinomios usados en la formula de Lagrange para intervalos igualmente espaciados:

Entre los métodos cerrados de Newton – Cotes se cuentan la regla del trapecio con un grado de exactitud uno, y los métodos de Simpson, tanto las de un tercio y las de tres octavos, tienen un grado de exactitud tres. Las fórmulas de cuadratura se dicen abiertas cuando no se utilizan los extremos del intervalo como abscisas de interpolación, son de la forma:

Con:

       ;     , 2 2       ;    2    ;   

Existen dos teoremas que se presentaran sin demostración, son las que permiten obtener las formulas cerradas y abiertas de Newton-Cotes. Teorema 8. 8.8 8. Supongamos que donde

  

    ,

∑ 

, sea la formula cerrada de Newton-Cotes, con

, entonces existe

, tal que:

      

,

CÁPITULO 8


211



Cuando es par:

          1 2      2!      ,          1 2           1!      , ;         ∑             ,          1 2           2!      ,          1 2…           , ;  1!  Si es par,

Cuando es impar:

Si es impar,

Teorema 8. 8.9 9. Supongamos que con

, sea la formula abierta de Newton-Cotes.

, donde

, entonces existe

, tal que:

Cuando es par:

Si es par y si

Si

Cuando es impar:

Si es impar,

,    1 ,                 1!   1…  ,    ,       ,  ,   0, 1,2,… ,      1 ,           2!     2 1…  , paraalgun   ,

Teorema 8.6. 8.6. Si los puntos dividen a en un numero impar de intervalos iguales y tiene derivadas de orden continua en , entonces la expresión de error para las formulas de Newton – Cotes del tipo cerrado, con impar, está dada por:

   ,0,1,2,…,



Teorema 8.7. Si los puntos dividen a en un número par de intervalos iguales y tiene derivadas de orden continua en , entonces la expresión de error para las formulas de Newton – Cotes del tipo cerrado, con par, está dada por:

CÁPITULO 8


212

Método del trapecio La figura geométrica del trapecio y de la fórmula de área de la misma dio nombre a este método.



  

Si se considera un polinomio de grado 1, es decir, una recta, y se desea obtener una fórmula para integrar entre dos puntos consecutivos , usando polinomio de primer grado, se tiene la fórmula del trapecio.

     

a, b



 2   12  

, 

Si el intervalo es pequeño la aproximación será razonable, entendiéndose que cuanto menor es el intervalo mayor será la precisión del resultado obtenido; mas si es grande, el error también puede ser grande, dependiendo de la pendiente de la función analizada.

  1      12 ,

En error en la fórmula del trapecio sobre el intervalo de Newton – Cotes, para es:

a, b

obtenida del teorema (8.1.)de error

     8.12



  

Fig. 8.2. 8.2.

  



a, b 

Regla del Trapecio generalizado Si el intervalo de la integral definida es grande, se puede dividir el intervalo en subintervalos de amplitud de tal forma que y en cada sub-intervalo .

  

   ;   

, , , ; 0,1,…,



Aplicando la regla del trapecio a cada sub-intervalo, el error será ahora la suma de las áreas entre la curva de la función y las rectas de la parte superior del trapecio, como se muestra en la figura (fig 8.3.)



Fig. 8.3.

  

   



CÁPITULO 8


213

0

Se observa ahora que , por lo tanto el resultado de la integral tiende a ser exacto, pues el error tiende a cero. Por lo tanto, cuando mayor cantidad de sub-intervalos se introduce entre los límites de integración considerados, más preciso será el resultado. Así, mejorando la precisión y disminuyendo el error, la fórmula del trapecio en su forma generalizada queda de la siguiente forma:

     222..2 , o  2    2  2   

El error en la fórmula del trapecio generalizado se obtiene adicionándose N ceros en la formula (8.12.) de error del trapecio, donde . La fórmula de error queda así:

                12 ,      8.12

 

Aun aplicando la formula de error, es imposible lograr el resultado exacto de la aproximación buscada, sin embargo, la fórmula de error es útil cuando se desea una precisión prefijada para la función a ser analizada. Ejemplo 8.4. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio, con un solo intervalo.

  2x1 dx

:       3

Solución: Se halla el valor de Donde: : Longitud de cada intervalo = 3. : Limite inferior de la integral, también se representa por : Limite superior de la integral, también se representa por : Numero de particiones, es decir, de intervalos = 1.

 

14 .

.

Recordar que las funciones trigonométricas deben estar expresadas en radianes.



Aplicando la fórmula del trapecio

 

       2   12       21  2 1 4 12      21   32 39  32 12  18



 

Para calcular el error se usa la formula de error correspondiente al método: Como la segunda derivada de la función

  21  0, se tiene

   

CÁPITULO 8


214

  21  18018  Por lo tanto el valor exacto de  21   18 Analizando el resultado de este ejemplo, se nota claramente que al ser la ecuación de primer grado y no existir discrepancia entre la línea del trapecio y la función integral, no existe error, por lo tanto, cualquiera sean los limites de integración el resultado arrojado siempre será exacto, no así para funciones no lineales. Ejemplo 8.5. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio.

.     2 

Solución: Las funciones trigonométricas deben estar expresadas en radianes. Se halla el valor de

,   

   .  1.2

Aplicando la fórmula del trapecio:

          2   12    1.22  01.2 0.6210.539844 0.612.539844  7.5239064     .     2 .     2

Para medir la magnitud de error cometido con este método y en este ejercicio, se puede observar la grafica (8.4.) y se nota claramente que entre la curva de la función evaluada y la recta superior del trapecio existe una diferencia de área muy grande, indicando el error cometido en la operación. Se calcula el error en base al valor verdadero que es 4.8775562331 Para verificar el grado de error en esta aproximación, se aplican las expresiones matemáticas correspondientes.

  | |  |4.87755623317.5239064| 2.64635 2.64635 0.542556533         4.8775562331 % 100% 100    % 1000.542556533% 54.2556533% Es muy notorio que el resultado obtenido presenta un error muy grande, en este caso más del 50%, que es un valor totalmente inconcebible en cálculo numérico, sin embargo el método es válido para funciones con intervalos muy pequeños y funciones lineales.

CÁPITULO 8


215

En la gráfica (8.4.) se nota la gran diferencia de área entre la función analizada y el trapecio formado sobre la función estudiada. y

10

8

6

4

2

x

-0.8 -0 .6 -0.4 -0 .2

0.2

0 .4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1 .6

1.8

Fig. 8.4. Ejemplo 8.6. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio.

   2  . 

Solución: Las funciones trigonométricas deben estar expresadas en radianes. Aplicando la fórmula del trapecio:



 

        2   12    .     2 0.22  00.2 0.122.24759 0.14.24759 .     2 0.424759

 

Observando esta grafica (fig. 8.5) de la función evaluada y el trapecio formado sobre ella, se nota que casi existe una coincidencia perfecta entre la función y la parte superior del trapecio. El valor verdadero es 0.4230360537 Para verificar el grado de error en esta aproximación, se aplican las expresiones matemáticas correspondientes.

    0.42303605370.424759 0.0017229463         0.0.04017229463 230360537 0.004072812 % 100% 100    % 1000.004072812% 0.4072812% En este ejemplo, el resultado obtenido presenta un error de 0.4%. Este valor puede ser considerado aceptable si no se es muy exigente, pues un valor bueno dependerá siempre de la precisión deseada en el cálculo.

CÁPITULO 8


216

y

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

-0.5

Fig. 8.5 8.5.. En este ejemplo y el anterior, las funciones analizadas son las mismas, la amplitud de intervalo también es la misma, pero con diferentes subdivisiones en sus respectivos intervalos; se demuestra que para intervalos de pequeña amplitud la integración por el método del trapecio es válida, sin embargo, para intervalos con mayor amplitud es recomendable aplicar otros métodos de integración numérica. Ejemplo 8.7. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio, dividiendo el intervalo en dos.

     1. 2 0 1. 2   Se halla el valor de :      2 2  0.6  . 

Solución:

Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración, usando el valor de hallado, con esto se tiene dos intervalos igualmente espaciados con tres pares de puntos:

       1 1.80.2216 332011.2  00 1.0.2646578 841 2.5722 8.53997

y

9 8 7

0

6 5 4 3 2 1 x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Fig. 8.6. En base a este cuadro se aplica la fórmula correspondiente al método. En este caso, la formula generalizada del trapecio, pues .

1     2  2     2  2,

 

 

formula reducidaa tres nodos.

CÁPITULO 8




 

217

formula reducidaa

     2  020.61.2, tres nodos.  .        0.26 021.246508.53997 0.302.4938.53997 .       0.311.03297 3.309891 Verificación de error La fórmula para calcular el error en la mayoría de los casos es bastante complicada, pues exige en todos los casos hallar las derivadas



,,,  .

Para calcular el error desde un punto de vista teórico, se parte del valor verdadero del área bajo la curva de la función analizada que es: 2.4775562331

    2.47763.3096810.832081         0.2.8432081 776 0.33584154 % 100% 100    % 1000.33584154% 33.58% Ejemplo 8.8. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio dividiéndolo en seis intervalos.

.    

:     .  .  0.2         01 1.20.2142 1.40.9184

Solución: Valor de Se construye una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración, usando el valor de hallado en el paso 1; con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:

    

  

0.6 0.8 1.0 1.2 1.0.86221841 2.1.20255296 2.1.75182574 3.2.35201722

0 0.2027 0.4228 0 0.24758 0.63073 1.24650 2.29137 4.23332 8.53997

Donde: : Longitud de cada intervalo.



: Limite inferior de la integral, también se representa por . : Limite superior de la integral, también se representa por . : Numero de particiones, es decir, de intervalos.

Recordar siempre que las funciones trigonométricas deben estar expresadas en radianes. Es más fácil trabajar con datos tabulados. Se muestran los datos en la tabla de abajo. Aplicando la formulada generalizada del trapecio:

CÁPITULO 8


218

   2  222..2  .  0.2  020.220.420.620.8211.2     2  .        0.1020.2475920.6307321.2465722.291524.23347 8.539844 .        0.100.495181.261462.493144.5838.466948.539844 .        0.125.839564 2.5839564

 



Para analizar el error se usa el valor verdadero que es: 2.4775562331 y

12

10

8

6

4

2 x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-2

Fig. 8.7 8.7.

 y una aproximación a este .

Por definición, error es la diferencia entre el valor verdadero valor verdadero, que es el valor aproximado y se representa por

    2.47762.5838970.10636 Por definición el error relativo es el cociente del error (E) entre el valor real   0         0.2.140636 776 0.04292864 El error porcentual se define como el error relativo expresado en tanto por ciento (%). % 100% 100    % 1000.04292864% 4.292864%

El ejemplo (8.7.), que evalúa la misma función que este ejercicio (8.8.), se compara y se notan conclusiones interesantes. En el ejemplo (8.7.) con dos intervalos se verificó un error mayor al 33%, mientras que al elevar el intervalo a seis en el ejemplo (8.8.) se redujo el error a solo 4.3%. De esta comparación, de nuevo se enfatiza que con reducidos valores de intervalos se consiguen mejorar la precisión del cálculo.

CÁPITULO 8


219

Ejemplo 8.9. Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio, dividiendo la función en seis intervalos.

   . 

Solución: Solución: Se halla el valor de h,

    . . 0.2

, es el valor del intervalo a tomar.

Se construye una tabla en base a la función, con el intervalo 0.2 hallado, con esto se tiene seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:

       

  0 1 1 1

0.2 1.2214 0.9801 1.19709



0.4 1.4918 0.9211 1.37409





0.6 1.8221 0.8253 1.50378

Se aplica la fórmula del rectángulo





0.8 2.2255 0.6967 1.55050

1.0 2.7182 0.5430 1.47598



1.2 3.3201 0.3624 1.2032

 

    2  2

.        0.22 121.197091.374091.503781.550501.475981.2032  .       . 127.101441.2032 0.1114.202881.2032  1.640608  



.       1.640608

1.5

y

1

0.5

x

-0.5

Verificación de error

0.5

1

1.5

2

-0.5

1.6406 1.6488 Fig. 8. 8.8 8.     1.64881.64060.0082         0.1.06082 0.0048 488  % 100% 100    % 1000.00497% 0.497% El valor aproximado hallado es: El valor verdadero es:

2.5

-1

Comparando el ejemplo (8.7.) con el ejemplo (8.8.), se nota que en el ejemplo (8.7.) el error es mucho mayor, eso se debe a que la función tangente crece muy rápidamente y el trapecio formado entre la función presenta área mayor; mientras que la función coseno presenta muy poca área entre sus trapecios formados y la curva de la función.

CÁPITULO 8


220

Ejemplo 8.10. Aproximar la integral aplicando la regla del trapecio, para mayor precisión subdividir en cinco intervalos, o sea, .

5

    

Solución: Se halla el valor de h, , es el valor del intervalo a tomar. Se construye la tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.

      0.2

 

  0 1









0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0408 1.1735 1.4333 1.8965 2.7183




 

    2  2   0.2     2 121.04081.17351.43331.89652.7183   0.2     2 125.54412.7183 0.114.8065 1.48065      1.48065 Calculo de error De la fórmula del trapecio generalizada para integración numérica:

 12   , ,  12   , ,,

                       0,1   10    5 0.2    ;   2   ; 4   2    4  2    17      ||  

 12 |   |  100.12 2 |17| 0.1204 17  0.056  0.5  5· 10 0, 1    1    17 1.48065

Lo que eventualmente podría garantizar por lo menos una cifra decimal exacta.

El valor de , por lo tanto, este valor puede estar comprendido en todo el rango del intervalo. Para intentar evaluar el posible error cometido, se toma el punto en que corresponda a la mayor altura, (esto se verifica con la grafica, en este caso ) y se aplica ese valor a la segunda derivada de la función y se tiene: El valor verdadero de la integral buscada es: 1.4626517459 El valor aproximado del área buscada es:

CÁPITULO 8


221

Comparando los resultados se verifica que, efectivamente, se tiene una cifra decimal exacta entre el valor exacto y el valor aproximado. Observación La fórmula para hallar el error rara vez se utiliza para tal motivo, pues dicho error no se puede obtener con exactitud, ya que para la evaluación de tal error se debe calcular en algún punto desconocido del intervalo de integración. La aplicación práctica que se le da a la formula de error es estimar la cantidad de intervalo posible a ser utilizado para lograr una precisión predeterminada deseada. El termino de error no debe restarse del resultado aproximado obtenido por la aplicación de la regla del trapecio, ya que nunca se conseguirá el resultado exacto, pues el punto que genera la igualdad, existe y es único, pero no hay forma de determinarlo.



La aplicación de la fórmula del término del resto es útil cuando se desea obtener un resultado con una precisión prefijada. Estos cálculos de error que se realizan son puramente teóricos, para demostrar que la precisión no existe en el cálculo de error, pero si se puede tomar una cierta estimación del error cometido. Al contar con el valor verdadero, se realizan los otros cálculos de error.

  1.46265174591. 4 8065  0. 0 17998255       0.017998255 1.4627  0.00123 %  100 % 100  % 1000.00123% 0.123% 



La siguiente grafica (fig. 8.9.) presenta la función y el área estudiada. y

3 2.5 2 1.5 1 0.5 x

-1

-0.8

-0.6

-0.4 -0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.5

Fig. 8. 8.9 9.

Ejemplo 8.11. Evaluar la siguiente integral para

  6 1   

por el método del trapecio.

CÁPITULO 8


222

     0.5

Solución: Se halla el valor de h: , es el valor del intervalo a tomar. Se construye la tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.5 hallado. y

       1 1 1.52 2.01 2.52 3.01 3.52 4.01 1 3 2 5 3 7 4

1.5

1

0.5

x

0.5

-0.5

Se aplica la fórmula del trapecio

 

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Fig. 8. 8.10 10. 10.

 

    2  2  7  1    2  12 1.522.533.54 1 1     0.25 12 23  12  25  13  27  14  14 12 153  70 4 1 1  1 787  787 1.4053     14 1 153  35 4 4 140 560 1    1.4053



 



  



Calculo de error Expresión de error para la forma del trapecio generalizada

 12   , ,  12   , ,,

                      1,4    41    6 0.5   1  x;   x;   2 x  x2  |2 x|  2, esto se tiene evaluando en   1, pues presenta el lado mayor.       ||  

 12 |   |  410.12 5 |2| 0.1275 2  0.125  0.5  5·10

Lo que no garantiza ninguna cifra decimal exacta.

El valor verdadero de la integral buscada es: 1.3862943611 El valor aproximado del área encontrado es:

1.4053

CÁPITULO 8


223

Comparando los resultados se verifica que, efectivamente, no existe ninguna cifra decimal exacta entre el valor exacto y el valor aproximado; sin embargo, el valor hallado presenta una buena aproximación al valor exacto.

    1.38631.4053|0.019| 0.019         0.1.03019 863 0.0137 % 100 % 100    % 1000.0137% 1.37% 

Ejemplo 8.12. Evaluar la siguiente integral por el método del trapecio para

 2   √ 1

4

    0.25

Solución: , es el valor del intervalo a tomar. Se tiene el valor de h: Construcción de la tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.25.



2

√ 1 

 

  

0

0.25

0.50

0.75 1.00

2

1.940285 1.7889 1.6

1.4142 y

2

1.5

1

0.5 x

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-0.5

Fig. 8. 8.11 11. 11. Se aplica la fórmula del trapecio

     2      2 12  2   0.25 2 2 0.  √ 1  2  250.50.75 1  √ 12    0.225 2  21.94  1.7889  1.60  1.4142  0.1252  25.3289 1.4142  2   1.759  √ 1

CÁPITULO 8


Calculo de error

  

224



100.25 |2|  0.0626 2 0.0104 0.055·10 12 12

Lo que supone por lo menos una cifra decimal exacta en el resultado encontrado. El valor verdadero de la integral buscada es: 1.762747174

1.759     1.7627471741.7590.003747 003747 0.0021257         1.70.62747174 % 100 % 100    % 1000.0021257% 0.212% El valor aproximado del área encontrada es:



Ejemplo 8.13. Hallar el área bajo la curva de la siguiente función, por el método del trapecio dividiendo los intervalos en ocho partes

     5 ,

8

Solución: Valor de h: . Tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.25.

        0.25

   



0 1.7 1



0.25 1.7170 7



0.50 1.73 8



0.75 1.771 8





1.00 1.817 1



1.25 1.872 2

1.50 1.935 4

y

2.5 2 1.5 1 0.5 x

-0.5

0.5 -0.5




1

1.5

2

2.5

Fig. 8. 8.12 12. 12.

 

    2  2



1.75 2.00 5



2.00 2.080 4

CÁPITULO 8


225

     5   0.225 1.7121.721.741.771.821.871.942.012.08      5   0.225 1.71212.846572.08 0.1251.7125.693142.08      5   0.12529.48354 3.6854425      5   3.6854425 Calculo de error

   

 12  ,   , ; 2 0.0627734487

 se obtiene evaluando en   2, pues presenta el lado mayor.  200. 2 5    12 |2|  0.12125 0.06277 0.0006538 0.0055·10 El valor de

Lo que supone por lo menos dos cifras decimales exactas en el resultado encontrado. El valor verdadero de la integral buscada es: 3.6863750398

3.6854425 En todo cálculo de aproximación, los valores de   siempre se truncan y se redondean, esa El valor aproximado del área encontrada es:

es la razón por la que los resultados obtenidos presentan a veces mayor error de lo estimado, y a veces, lo opuesto, esto reafirma una vez más la imposibilidad de obtener resultados exactos de funciones no lineales. El valor verdadero de la integral buscada es: 3.6863750398

    3.68637503983.68544250.00093254 0093254 0.00025297         3.0.60863750398 % 100 % 100    % 1000.00025297% 0.025297% 

El resultado obtenido en este ejercicio es una aproximación muy buena, con un error porcentual muy reducido. Si se analiza la grafica (fig. 8.12), se entenderá porque sucede esto. El área evaluada presenta un trapecio casi perfecto, pues la curva de la función en el intervalo evaluado presenta poca variación sobre el eje y, o sea, , en este caso, muy reducido.

  ∆

CÁPITULO 8


226

 

   Otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, además de la regla trapezoidal, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre    , entonces los tres puntos se pueden conectar

 

con un polinomio de grado mayor a uno.

A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson. Otra de las fórmulas de Newton-Cotes es la regla de Simpson de (1/3), que proporciona una aproximación más precisa que la regla del trapecio, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva.

,  

, ,    2

La regla de Simpson (1/3) para integración a lo largo de un intervalo cerrado , se realiza particionando el intervalo en número par de sub-intervalos de amplitud igual a de tal forma que . El número de subdivisiones debe ser múltiplo de 2, pues se necesita de dos sub-intervalos y por lo tanto de tres puntos. Para obtener la ecuación de una parábola se requieren tres puntos, lo cual se logra con dos particiones, por lo cual la debe de ser par.



 



      4    ,   , 3 90 

Ejemplo 8.14. Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la siguiente integral.

.    

Solución:

halla valor de  2  1.2·120  1.22  0.6

Se el

Construir de la tabla de pares ordenados de la función, con solo tres puntos.

         0 1 1 1

0.6 1.8221 0.8253 1.50378

y

1.2 3.3201 0.3624 1.2032

1.5

1

0.5

x

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Fig. 8. 8.13 13. 13. La función coseno debe hallarse en radianes, es una condición para las funciones trigonométricas.

CÁPITULO 8


227

Se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:



    3  4 .     = 0.36 141.503781.2032 .     = 0.36 16.01512 1.2032  0.36 8.21832 1.643664 Calculo de error Se realiza este cálculo de error apelando al valor exacto del área de integración buscada. El verdadero valor de la integral buscada es: 1.6487744273

    1.64877442731.6436640.00511 0.00511 0.00309927         1.6487744273 % 100 % 100    % 1000.00309927% 0.309927%     

La regla (1/3) de Simpson viene dada por la formula:

           Usando la regla (1/3) de Simpson a lo largo del intervalo tiene:





, ,   0,2,…,2 2, se

   ≅ 3  4 3  4  3      4 2 4 2 2        3 

 

 4

   4

Simplificando la expresión se tiene:

 





    2 4   3   3 

        3  

La siguiente expresión de la regla (1/3) de Simpson, o sea su generalización, es la que se utiliza en la práctica:

CÁPITULO 8


228

      42422 3  4 La expresión de error de la formula (1/3) de Simpson generalizada es dada por:

   

 180  ,

    

Ejemplo 8.15 8.15. Usando la regla (1/3) de Simpson generalizada, calcular la siguiente integral, con

.    

3

Solución: Valor de h, , es el valor del intervalo a tomar. Paso 2: construir una tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.

  ..   . 0.2

       

  0 1 1 1











0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7182 3.3201 0.9801 0.9211 0.8253 0.6967 0.5430 0.3624 1.19709 1.37409 1.50378 1.55050 1.47598 1.2032

La función coseno debe hallarse en radianes, es una condición para las funciones trigonométricas. y

1.5

1

0.5

x

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Fig. 8. 8.1 14. Se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson:

   2 4      3   3     3      4            2  3 3   3            3   Cuando

, la formula queda como sigue:

CÁPITULO 8


229

          2     4    3 3 3   0.2 11.2032 20.2 1.374091.55050    40.2 3 3 . 

=

 3 1.197091.503781.47598 .    = 151 2.2032 152 2.92459 154 4.17685 .     = 0.14688 0.3899453331.113826667 1.655092003 Calculo de error Se realiza este cálculo de error apelando al valor exacto del área de integración buscada. El verdadero valor de la integral buscada es: 1.6487744273

    1.64877442731.6550920030.006317576 06317576 0.00383168         1.0.60487744273 % 100 % 100    % 1000.00383168% 0.3832% 

Ejemplo 8.16 8.16. Usando la regla (1/3) de Simpson generalizada, calcular la integral:

.    

Solución Se usa la regla de (1/3) de Simpson generalizada con Valor de

:   

 .  0.2

3

Tabla de seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:

                0 1 0 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7182 3.3201 0.2027 0.4228 0.6841 1.0296 1.5574 2.5722 0.24758 0.63073 1.24650 2.29137 4.23332 8.53997

Se aplica la formula de la regla (1/3) de Simpson generalizada.

.      42422 3  4

CÁPITULO 8


230

     0.32

. 040.2475820. 6 307341. 2 465022. 2 9137  44.233328.53997 .     151 00.990321.261464.9864.5827416.933288.53997 .     151 37.29377 0.06666737.29377 2.48625 10

y

8

6

4

2 x

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Fig. 8. 8.1 15. El valor exacto de la función

   para los límites de integración considerados es: 2.4776

Calculo de error: Es usual emplear el valor absoluto en los cálculos de errores.

    2.47762.48625|0.00865| 0.00865         0.2.040865 776 0.00349 % 100 % 100    % 1000.00349% 0.349% 

Conclusión: Haciendo una comparación en cuanto a la resolución de este ejercicio por el método de Simpson (1/3) y el método anterior (método del trapecio), se nota que el error ha disminuido sustancialmente, pasando de un error muy grande arrojado en la resolución por el método del trapecio de 4.3% a solo un 0.35% producido por el método de Simpson (1/3), reduciendo el error 12,3 veces. Ejemplo 8.17 8.17. Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:

Solución: Valor de h,

√ 

. 

  ..   . 0.05, es el valor del intervalo a tomar.

CÁPITULO 8


231

Tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.

              √  1 1

1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.02470 1.04881 1.07238 1.09545 1.11803 1.14018 1.6

y

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x

0.2 -0.2 -0.4

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Fig. 8. 8.1 16.


. √   0.305 141.024721.048841.072421.095541.11801.1402 .  .  . 

√   0.016666 14.09882.09764.28962.19104.47201.1402 √   0.016666 19.2892 0.32148666… √  0.3214866…

El verdadero valor de la integral buscada es: 0.32150 Calculo de error:

    0.321500.3214866…0.0000133…         0.0.03000133 2150 0.0000415 % 100  % 100    % 1000.0000415% 0.00415% 

Conclusión: En este caso, el error presentado en el cálculo es tan ínfimo, que hasta podría considerarse el resultado hallado como exacto.

CÁPITULO 8


232

Ejemplo 8.18 8.18. Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:

  ..  . 0.2

  . 

Solución Valor de h, , es el valor del intervalo a tomar. Tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.

  

  0 1







0.2 0.4 0.6 0.8 0.98006 0.92106 0.82534 0.69671 y

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x

-0.1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

1.1 1.2

-0.2


.   = 0.32 140.9800620.9210640.825340.69671 .   = 0.066666 13.920241.842123.301360.69671 .   = 0.066666 10.76043 0.717362… .   = 0.717362 El verdadero valor de la integral buscada es: 0.7174 Calculo de error

    0.71740.7173620.000038         0.0.0700038 174 0.00005297 % 100 % 100    % 1000.00005297% 0.005297% 

Conclusión El error presentado en este problema es también pequeño, por lo que puede considerarse una buena aproximación al valor verdadero.

CÁPITULO 8


233

Ejemplo 8.19 8.19. Usando la regla (1/3) de Simpson, calcular la integral:



.    

  ..  . 0.2

Solución: Valor de h, , es el valor del intervalo a tomar. Tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.2 hallado.

  

  0 1 0







0.2 0.4 0.6 0.8 1.22140 1.48182 1.82212 2.22554 0.24428 0.59673 1.093271 1.78043 y

2

1.5

1

0.5

x

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


.  0.2     = 3 040.2442820.5967341.093271.78043 .      = 0.066666 00.977121.193464.373081.78043  0.32 8.32409 .      = 0.0666668.324090.5549393… .      = 0.5549393 El verdadero valor de la integral buscada es: 0.5548918… Calculo de error:

    0.55489180.55493930.0000475         0.0.05000475 548918 0.0000856 % 100 % 100    % 1000.0000856% 0.00856% 

CÁPITULO 8


234

Conclusión Conclusión El error presentado en este problema es bastante reducido, por lo que puede considerarse una buena aproximación al valor verdadero.



    

3

La regla de Simpson de (3/8) considera el valor de , con el proposito de obtener una formula para integrar entre cuatro puntos consecutivos , consistiendo en aproximar la función mediante una cubica. Partiendo de la formula de Lagrange:



,,,

                               De esta expresión inicial se tiene:

                                                   Tomando sustituciones:

   ,     , 1,2,3    3,    ,      0     ;     ,  3   ,  3   ,   ,          1,   2   2  2,   3   3  3,     



De esto:

         23  123        2  23 

CÁPITULO 8


235

           

      2      1 3        3 2     1  2  Luego:

            6   6 116  2    5 6         2   4 3         6  u 3 2 De esto resulta:  9   9   9    9      64 24 24 64     3 8  9 8  9 8  3 8 Al final se tiene:

   38  33 Esta formula se conoce como la Regla de Simpson (3/8) de la fórmula de Newton – Cotres. La formulade la regla de Simpson (3/8) con la menor particion de sus intervalos igualmente espaciados de mayor amplitud con , sin embargo, para mayor precision, normalmente

  

se realizan subdivisiones mayores de los intervalos de integracion, para lo cual la formula se generaliza de la siguiente forma:

    3   33 8     3    80  ,     

La formula de error para la regla de Simpson (3/8) es la siguiente:

CÁPITULO 8


    ,  ,  ,  , … ,           ,0,1,2,...,

236

  

Regla 3/8 de Simpson Simpson Generalizada o compuesta Considerando la partición del intervalo cerrado [a, b], para , con .; Aplicando a cada sub-intervalos la regla de Simpson 3/8, luego en cada sub-intervalo se tiene:

,

    38  33

    3  33 8      3  333 833333             3    6   8 9    8     9      83   8       9        3    3   9  8 4  8   8    De esto se tiene:

Simplificando:

Esta fórmula es la regla compuesta o generalizada de método de 3/8 de Simpson. La formula de error para la regla de Simpson (3/8) es la siguiente:

      80 , 

    

Ejemplo 8. 8.20 20. 20. Usando la regla (3/8) de Simpson, calcular la integral:

    .  . 0.4

.    

Solución Valor de h, es el valor del intervalo a tomar. Tabla de pares ordenados de la función, con el intervalo 0.4 hallado.

      

  1 1 0 0

1.4 2.744 0.33647 0.92327



1.8 5.832 0.58779 3.42799



2.2 10.648 0.78846 8.39552

CÁPITULO 8


237

y

2

1.5

1

0.5 x

-0.5

0.5 -0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 8. 8.1 19.


   30.8 4 030.9232733.427998.39552     30. 4 02.7698110.283978.39552  30. 4 21.4493  3.217395 8 8  El verdadero valor de la integral buscada es: 3.2159216852

    3.21592168523.2173950.0014733 0014733 0.000458         3.20.159216852 % 100 % 100    % 1000.000458% 0.0458% Método de Boole La regla de Boole utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de cuarto grado.

  4, es llamada la Regla      2 8    45 73212327  945   10 La formula cerrada de Newton-Cotes, en el caso particular en que de Boole, y se expresa por la siguiente fórmula:

Ejemplo 8.21 8.21. Utilizar las formulas cerradas de Newton – Cotes para aproximar la integral

.     a) b) c) d) e)

Usar el método tradicional de calculo Usar método del trapecio. Método de Simpson (1/3). Método de Simpson (3/8). Método de Boole.

CÁPITULO 8


238

Solución Se presenta la grafica de la función, para facilitar cualquier interpretación teórica. y

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0.2 0.4

Fig. 8. 8.20 20. 20.

a) Resolviendo por el método tradicional de cálculo se tiene:

.     3ln1.  0.1922593577 9  

El valor exacto de la integral con diez cifras decimales exacta es:

0.1922593577

b) Aplicando el método del trapecio se tiene:

.      0.25  11.5  14 1ln11.5 ln1.5 0.2280741233      |0.19225935770.2280741233| 0.0358147653.58%  c) Usando . Usando la regla de Simpson (1/3), con 

 

   .  

 1,     1.25;  1.5 .      3  4  121  141.251.5 .      121 1ln141.25 ln1.251.5 ln1.5 .      121 1.3946471950.9122964932 0.1922453074      |0.19225935770.1922453074| 0.00001405030.0014%  .  . d) Usando la regla de Simpson (3/8), con      1,   76 ;   43 ;  1.5 .      161  33 .      161 00.629448601.534304380.91229649  0.19225309

  

CÁPITULO 8


239

    |0.19225935770.19225309| 0.00000626770.000626%     .  .   0.125 . e) Usando la regla de Boole, Boole con

.



    245 73212327

 1,  1.125;  1.25;  1.375;  1.5 .     1801 04.770212944064.1839415871419.2664507327 …6.38607545270.192259337314      |0.19225935770.1922593373| 0.00000002040.000002% Comparando los resultados obtenidos en los métodos aplicados a la resolución de este problema, se nota que el método que presenta menor error es la Regla de Boole, y el que presenta mayor error es la del trapecio.




 

En todos los casos considerar el valor de tal que Los resultados se presentan como mínimo con cinco decimales. Utiliza el mejor criterio para la elección del valor de Ejercicio 8.1. Utiliza la regla del rectángulo para resolver la siguiente integral definida.

√ 

 

ó: 0.6666641

Ejercicio 8.2. Utiliza la regla del rectángulo para encontrar el área de la siguiente integral definida.

.     

: 0.37033352

Ejercicio 8.3. Utilizar la fórmula del punto medio para resolver la siguiente integral.

.      

: 1.6640234

Ejercicio 8.4. Utilizar la fórmula del punto medio para resolver la siguiente integral.

     1  

: 1.4823763

CÁPITULO 8


240

Regla del Trapecio Hallar las siguientes integrales por métodos numéricos aplicando la Regla del Trapecio. Recordar que los resultados se presentan como mínimo con cinco decimales, además de utilizar el mejor criterio para la elección del valor de



Ejercicio 8.5.

      

: 1.8921661

Ejercicio 8.6.

    

: 5.928007

Ejercicio 8.7.

     

: 1.3649290

Ejercicio 8.8.

     

: 5.8696044

Ejercicio 8.9.

      

: 4.7280117

Ejercicio 8.10.

 

   

√  1

: 1.8622957

Ejercicio 8.11.

      

: 0.5777350

Ejercicio 8.12.

.  .   

:1.1931572

Ejercicio Ejercicio 8.13.

   2  3  

: 0.5777350

CÁPITULO 8


241

Regla 1/3 de Simpson Hallar las siguientes integrales por métodos numéricos aplicando la Regla 1/3 de Simpson Al resolverlos recordar que los resultados se presentan como mínimo con cinco decimales, además de utilizar el mejor criterio para la elección del valor de



Ejercicio 8.14.

,    3

: 3,375

Ejercicio 8.15.

   2

: 0

Ejercicio 8.16.

   

: 1,0986

Ejercicio 8.17.

    

: 37,3541

Ejercicio 8.18.

    

: 1,2913

Ejercicio 8.19.

   2

: 0,6931

Ejercicio 8.20.

    

: 1,4627

Ejercicio 8.21.

    

: 14,6766

CÁPITULO 8


242


,    

: 13,7251

Ejercicio 8.23.

   32

: 0,3054

Regla 3/8 de Simpson Hallar las siguientes integrales por métodos numéricos aplicando la Regla 3/8 de Simpson Recordar que los resultados se presentan como mínimo con cinco decimales, además de utilizar el mejor criterio para la elección del valor de



Ejercicio 8.24.

   1  

: 0.8413048161

Ejercicio 8.25.

 1  1  

: 0.8883135727

Ejercicio 8.26.

 e  x dx 

: 3.0591165396

Ejercicio 8.27.

   e dx

: 0.1352572579

Ejercicio 8.28.

 lnx  x1 dx 

: 0.147220677

Ejercicio 8.29.

  x

tgx dx

: 6.1839743165

CÁPITULO 8


243

Ejercicio 8.30.

1  lnx dx 

: 1.1184248145

Ejercicio 8.31. π

 sen xdx

: 0.8281163288

Ejercicio 8.32. π

 cos xdx

: 0.8491394505

Ejercicio 8.33.

    1 x dx 

: 0.4166666667

Ejercicio 8.34. π

√ sen

 xdx

: 1.1981351805

Ejercicio 8.35.

    x x dx

: 0.8689194491

Ejercicio Ejercicio 8.36.

  9x  dx 

: 2.0538063925

Ejercicio 8.37.

tg

 x dx 

: 0.7272956821

Ejercicio 8.38.

 sen x  x dx 

: 0.9460830704

CÁPITULO 8


244


1  dx   1sen x π

: 0.8093528173

Regla de Boole Hallar las siguientes integrales por métodos numéricos aplicando la Regla de Boole. Al resolverlos recordar que los resultados se presentan como mínimo con seis decimales. Ejercicio 8.40.

    

: 6.3890560989

Ejercicio 8.41.

     1  

: 1.5159226962

Ejercicio 8.42.

/    2   π

: 9.8696044011

Ejercicio 8.43. π

 2  

: 0

Ejercicio 8.44. π

    5 

: 17.2787595947

Ejercicio 8.45.

  lnx 1 dx 

: 5.9844887036

CÁPITULO 9

DERIVACIÓN NUMÉRICA

245

CAPÍTULO 9 DERIVACIÓN NUMÉRICA

Introducción

La derivada es de uso común en la matemática y la ingeniería, sin embargo, en la práctica, existen situaciones en que no se conocen las expresiones analíticas de muchas funciones con las que se trabaja, y solamente se dispone de valores en un conjunto de puntos. En algunos casos es necesario proceder a calcular el valor de alguna derivada de algunas funciones en un punto concreto. En este tipo de situaciones no se puede utilizar el concepto riguroso de derivada por desconocimiento de la expresión de la función. De esta manera surge la necesidad de diseñar métodos numéricos que permitan aproximar el valor de las derivadas de una función en algún punto a partir del conocimiento de los valores de la función en un soporte dado. Los métodos de derivación numérica desarrollados con el fin de aproximar algún valor buscado, muestran un buen comportamiento en numerosos casos. Es por ello que algunas veces, aun disponiendo de la expresión analítica de las funciones a derivar, se opta por aproximar los valores de las derivadas mediante fórmulas numéricas suficientemente precisas. La diferenciación numérica es muy útil en casos en los cuales se tiene una función cuya derivada es difícil o complicada de hallar, o en casos en los cuales no se tiene una función explícita sino una serie de datos experimentales. El problema de la derivación numérica consiste en la evaluación de la derivada de la función en un punto, cuando únicamente se conocen los valores de la función en una colección de puntos .

, , , … , 

Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la Integración numérica; de hecho la derivación es más complicada ya que, en la integración los errores tienden a cancelarse, y, como se vio, no es necesario que la aproximación describa con fidelidad la función localmente. Sin embargo, la derivada es una propiedad esencialmente local, por lo cual se debe aproximar la función lo más fielmente posible en el entorno inmediato del punto en el que la queramos calcular. Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). En general, se puede obtener aproximaciones numéricas de la derivada en un punto derivando alguna función interpolante, por ejemplo un polinomio de Lagrange, algún trazador cúbico, etc. Sin embargo, en la práctica pequeños errores en los datos pueden producir malos resultados en las derivadas. Aquí se experimentará con fórmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante de Lagrange.







Una fórmula de diferenciación numérica es un procedimiento que permite aproximar la derivada de la función en un punto . Utilizando el valor de en otros puntos vecinos .

  Uno de los métodos de aproximar la derivada de una función  en un punto   consiste en usar el desarrollo de Taylor centrado en .

CÁPITULO 9


246

Definición 9.1. La derivación numérica es una técnica del análisis numérico que permite calcular una aproximación a la derivada de una determinada función en un punto, utilizando los valores y propiedades de la misma.

 Secante  + 



  +  Fig. 9.1. Por definición la derivada de una función  es:   lim     

Las posibles aproximaciones numéricas de la derivada en un punto que podrían calcularse tomando una sucesión  , Tal que    0, se tienen las siguientes expresiones. Diferencia hacia adelante:       Diferencia hacia atrás:       



La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de las dos diferencias ofrece la mejor aproximación numérica al problema dado. Definición 9.2. Sean , ,…,,  puntos distintos en el intervalo , y sean ,,…,,  1 valores de una función    sobre   , 0,1,2,…,. Se define:     , 0,1,2,…,; ,,…,  ,,…,,,…, Donde ,,…, es la diferencia dividida de orden  de la función  sobre los puntos ,,…,.

CÁPITULO 9


247

Usando esta definición se tiene que: ,      , ,  , ,  , , ,   , , , ,  Desucesila defvament inicióenlsea defobserva que del l a do derecho de cada una de l a s igual d ades se debe apl i c ar i n i c i ó n de di f e renci a di v i d i d a hast a que l o s cál c ul o s cont e ngan el val o r de la función en los puntos, o sea:   )   )            ,    ,                , ,         

Método de Diferencias Finitas

++

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma . Si una diferencia finita se divide por ( se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.



El método de diferencias finitas consiste en aproximar la función por polinomios. Las fórmulas resultantes pueden clasificarse de las siguientes maneras:

), tercer)a,,…et,c.) eniéndosser eprimera),,segunda, ab) EnEn basbasee alal ororddenen dede llaa diderfeirveada,ncia,obtpueden

c) antEnebass, dese apuéslos punto ambosos delaapoyo de l a f o r m ul a en l a t a bl a , es deci r , s i s e empl e an punt o s dos de al g ún punt o de i n t e r é s . Exi1 stDiferencias en tres tiposhaciay son:adelante, cuando se usan puntos anteriores del punto de interés.

hacia atrás, cuando se emplean puntos posteriores al punto de interés. 23 Diferencias Diferencias centrales. Cuando se usan puntos tanto antes como después del punto de

interés. Referencias para las fórmulas de diferencias finitas: : Indica el punto de interés, de estudio o de análisis. : Espaciamiento constante de la tabla. : Función evaluada en el punto de análisis.        

y      + y  

CÁPITULO 9


248

 e 1

Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos para estimar la derivada. Al término completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como primera diferencia dividida finita. Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.

Primera diferencia        

Segunda diferencia     3     2  4 2

Ejemplo 9.1. 9.1. Sea la función ln, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto   5, en base a la siguiente tabla, con   0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia adelante.

 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3  1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

Solución: Para    . El valor verdadero de  5 0.2         5.10.1 5  1.629241.60944 0.198 0.1        0.20.198 0.2  0.01, %  | 100%|  0.01 100%1% 

La grafica (9.1.) muestra la funcion y su derivada. y

4 3



 ln

2 1

x

1

2

3

4

5

6

-1 -2 -3

Fig. 9.9.22.

Ejemplo 9.2. 9.2. Sea la función ln, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto   5, en base a la siguiente tabla, con   0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia adelante.

 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3  1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

CÁPITULO 9


249

SolParauci ón:  . El valor verdadero de  5 .     + 2 42   3  5.2420.51.135 1 6 0944 1 6 48666 5 16964 8 2832 . . . .    1.6486641.6029243 2 0 2 . .   0.003998.2  .    0.2 00.2.1999 1 10, % |1 10 100%| 0.01% Coment CoLamentaproxiarimos:saci: ón lograda presenta errores muy elevados, pues 1% de error, en la primera disegunda ferenciadifhacierencia adela deantesteeesmipráct i c ament e i n t o l e rabl e en un cál c ul o de est e t i p o. En l a ci a adel a nt e ) , s i n embar g o, s mo mét o do di f e renci a s f i n i t a s ha prresulesetntadoa unadecuado. error basEsttaantsietureaciduciónddenot o, dela0.que01%,la segunda que puededifeeventrenciuaalhacimenta eadelconsantideerpresent arse una mejor precisión en la obtención de la derivada. 







 

Losinestraebisulildtadadosdelobtméteonido,dosquepores estottealmmétentoedocomprpuedenensiblleegarpor laa ssiemrplengaños o s , debi d o a l a i c i d ad de s u f o r m a y l o s parcierátmeta exactros riteuducid rdeosspectconso idelderadosvalorparraealel, cálestceulomét. Siodoel renosultesadoreprcomendabl ocurado necese, yaitaquede alpreoatducioriarmenterroreespuedefuera delpremarsentgaenr buena pr e ci s i ó n en al g unos cas o s , mi e nt r a s que en ot r o s deseado de precisión. FórLasmexpresi ulas deodinesf erenci erencimateamáts finiictasas haciqueadefatrinásen este método de diferencias finitas hacia atrás se

presentan a continuación. Primera diferencia Segunda diferencia        34 2  2  EjSeaemplla fou9.3.nción , calcular la derivada por métodos numéricos en el punto 5, en base a la siguiente tabla, con 0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finitahacia atrás. 









 



4. 8  4.7 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3  1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

CÁPITULO 9


250

SolParauci ón:  . El valor verdadero de  5 .  9  1 6 09441 5 8922 . . .   .        54 0 1 0 1 . .    0.2 00.2.2022 0.011, % | 100%|0.011100%  . % EjSeaemplla founci9.4.ón ln, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto 5, en base a la siguiente tabla, con 0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia atrás. 







4. 8  ) 1.54756 4.7 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

SolParauci ón:  . El valor verdadero de  5 .    3 4 2  2   354204..194.8     31.60944410.5.289221.56862  0.004006.2  .     0.2 0.2.  0.0015, % |0.0015100%| . % Coment CoLamentaproxiarimosación presentada por este método de diferencias finitas hacia atrás presenta resultados muy parecidos al método de diferencias finitas hacia adelante, la segunda diferencia hacia adelante presenta mejor precisión que la primera diferencia. La aplicación de este método presenta la ventaja de su simplicidad, por lo tanto solo será 

 









2003

0

oporcaracttuenorístusicaaderloessitelméta proedo.cisión deseada no es muy rigurosa, ya que la inestabilidad es Si se pretende precisión y exactitud, este método no es el más apropiado.

ILasnestafobirmullidadasnuméri c a de l a s f ó rmul a s de di f e renci a s f i n i t a s , las de diferencias finitas hacia adelante y hacia present a das ant e ri o rment e atrás, son inestables por naturaleza del método, debido a la operación de dividir entre números cercanos a 0, referido al valor de  que es normalmente de valor muy pequeño y cercano a cero. Estpreciassfióórmul a s no son recomendadas en l o s procesos en que se desean resul t a dos con mucha , pues como se dijo, presentan inestabilidad inherente en la formula, por lo tanto, su n uso no es recomendado, sin embargo, para fines didácticos son totalmente aceptables la presentación de estos métodos. s e empl e ando l a s f ó r m ul a s de i n t e r p ol a ci ó n, o Ladirededucci ó n de l a s f ó rmul a s puede hacer ctamente la serie de Taylor.

CÁPITULO 9


251

Fórmulas de diferencias diferencias centrales

Est+e métyodo de seaproxisitúanmacia ambos ón numériladoscadepresent a l a caract e rí s t i c a de que l o s val o res de , tanto a la derecha como a la izquierda de . Derivación numérica por diferencia cent rada de orden  Teorema9.1. Suponiendo que  ,,   ,  + , , entonces:      +  2  Además existen   (), ,tanque:    ,     +  9.5 2        ,  6 28 Este Teorema se presenta sin demostración: EjParaemplestou9.di5a. r un determinado fenómeno físico, se registran los cambios producidos en él en la (1.3 utilizando la formula de derivación sinuméri guientceatporabladi. Aproxi m a el val o r de l a deri v ada a  ferencia centrada de orden 

x  2.51 2.436851 1.1 2.372895 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.308785 2.245066 2.182179 2.120472

Solución      2   1.2  2.2450662.372895  0.127829 .   1.3  1.420.1 0.2 0.2 El valor exacto de 1.3 0.639962     0.6399620.639145 8.1710    ,         1.27710  0.639962 0.639962 %  | 100%|  |1.27710 100%| .%

28

La demostración de este teorema se encuentra en: Velázquez Zapateiro, Jorge. (2007). Análisis Numérico (pág. 162). Notas de clase. Edición Uninorte. Barranquilla. Colombia

CÁPITULO 9


252

EjSeaemplla founci9. 6.ón ln , calcular la derivada por métodos numéricos en el punto  5, en base a la sifingiuitaecentnte traadabla,deconorden  0.1, apl.icando la formula de la primera diferencia central, o diferencia

 ) 1.54756 4.7 1.56862 4.8 1.58922 4.9 1.60944 5.0 5.1 5.2 5.3 1.62924 1.64866 1.6677

Solución: Para    . El valor verdadero de 5 .  4.9  1.629241.58922  0.04002     2    5.120.1 0.2 0.2  0.2001  , %  | 100%| .%       0.20.2001 510  0.2 

Ejemplo 9.7. Si    , calcularla aproximación de  6, usando las fórmulas de las diferencias centradas de orden   con  0.1 Solución a Con La formula de diferencias centradas de orden       2   5.9  0.9832680.927478  0.005579 0.27895  6  6.120.1 0.2 0.2 El valor exacto de    , para 6 0.2794154982        0.2794150.27895 0.279415  1.664210 , %  | 100%| 0.166% Derivación numérica por diferencia centrada de orden  Teorema 9.9.2.2. Suponiendo que   ,,  2,  ,  ,  2,, entonces:      2  8  12  8     2 9.6 Además existe    ,, tal que      2  8  12  8     2    , ; 9.7      ,   30   Este Teorema se presenta sin demostración:29 














encuentra en: Velázquez Zapateiro, Jorge. (2007). Análisis Numérico (pág. 164). Notas de clase. Edición Uninorte. Barranquilla. Colombia

CÁPITULO 9


253

EjParaemplestou9.di8a. r un determinado fenómeno físico, se registran los cambios producidos en él en la 1.3 utilizando la formula de derivación sinuméri guientceatporabladi. Aproxi m a el val o r de l a deri v ada a  ferencia centrada de orden 

x () 2.15 2.436851 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2.372895 2.308785 2.245066 2.182179 2.120472

Solución      2  8  12  8     2  81.2 1.1    1.5  81.4 120.1    2.18217982.245066 1.282.372895 2.436851 0.76796 .     2.18217917.96052818.983162.436851  1.2 1.2 El valor exacto de 1.3 0.639962     0.6399620.639967 510            0.639962 7.81310, 0.639962 %  | 100%|  |1.81310 100%| .%

Ejemplo 9. 9. Sea la función ln, calcular la derivada por métodos numéricos en el punto   5, en base a la siguiente tabla, con   0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita central, o diferencia finita centrada de orden  .     812  8    84.9  4.8   5.2  85.1 120.1 0.24012 .   1.6486613.0339212.713761.56862  1.2 1.2  , %  |510 100%| .%       0.20.2001 510  0.2 Ejemplo 9.10. Si    , calcular la aproximación de  6, usando las fórmulas de las diferencias centradas de orden  con  0.1 Solución      2  8  12  8     2 



CÁPITULO 9


254

185.95.8 6  6.286.120. 1 9274780.885520 6  0.99654280.98326480. 1.2 4198240.885520  0.335266 . 6  0.9965427.8661127. 1.2 1.2

6 0.2794154982    0. 2 794150. 2 79388 2.710          0.279415    0.279415  9.66310, %  | 100%|  9.66310 100% .%

El valor exacto de    , para 

Comentarios

A primera vista parecería ser que estas formulas de diferencias centrales acercan bastante los

resultados obtenidos al valor verdadero de la derivada de la función buscada, ya que con las diferencias centradas de orden   el error producido en el ejemplo es de 0.166%, error que podría considerarse normal o por lo menos aceptable; sin embargo en error producido  con la formula de diferencias centradas de orden   es aun menor, tan solo de 0.0096%, arrojando una precisión mucho mayor. Entre todas las formulas de diferencias finitas, la que arroja mayor precisión es la fórmula de diferencias centradas de orden  , por lo menos para hallar la primera derivada de una función . Por lo tanto, a modo de conclusión general respecto a estas formulas de diferencias finitas, se debe tener muy en cuenta que cuando se desea precisión, estas formulas no son las recomendadas y se tomaran simplemente a modo didáctico. Fórmulas de los tres puntos Las formulas de los tres puntos corresponden a los métodos de tres puntos que obtienen las derivadas diferenciando un polinomio interpolante de Lagrange para una función . La siguientes corresponden a las fórmulas de los tres puntos     1     2         3! ,     ,   







                 

2 6   1      2 3 4   2  3 ,   

3 4     2   2 3

.

  ,   2 .

CÁPITULO 9


255

Lasson ecuaci o nes 9. 8  y 9. 9 , pri m era y segunda f ó rmul a de l o s t r es punt o s, respect i v ament e  l a s l a madas f ó rmul a s de l o s t r es punt o s de deri v aci ó n numéri c a, aun cuando l a f o rmul a 9.en 8la solecuaciamentón e9.ut8ilizesa dosaproxipuntmoadament s y no aparece en el l a el punt o cent r al  . El error present a do  e l a mi t a d que en l a ecuaci ó n 9. 9 , est a si t u aci ó n se debe a que en l a ecuaci ó n 9. 8  se usan dat o s que est á n a ambos l a dos de  , mi e nt r as que en  ldela ecuaci ó n 9. 9 .  se consi d era sol o un l a do y se desconoce el val o r del ot r o l a do que est á f u era iLa ventntervalaja queo. presenta la ecuación 9.8 es su simplicidad, ya que  solamente se evalúa en dos puntos, mientras que la ecuación 9.9 necesita tres puntos. EjAproxi emplmo 99.ar.1el1.valor de la función  3 si   , utilizando la fórmula 9.8 de los tres puntos, con   0.1 Solución:  Se parte de la fórmula:  +  2    30 3 2 3 3 2 2 . 1   . 1 . 9  l n . 1  . 1 l n . 9  . 9  3 3 0.12  0 0 0 .1 .2 .2 0.0470440.254731 3 1.1314020.0415811.0647120.239249  0.2 0.2  (3)  0.207687 0.2 . Estimación de error: El valor verdadero de la derivada de la función ()     es (3) .   |  |  |1.040578 –(1.038437)| 2.14110 0.002141 0.002141  2.057510 0.0020575       1.040578 %   100%0.0020575100%.% Comentarios Comentarios: mentarios: La aproximación lograda es bastante buena, pues el error porcentual es solamente del 0.2%, y este valor es aceptable para cualquier cálculo promedio. Además, debe tenerse siempre en cuenta el tipo de cálculo que se realiza y la precisión que se requiera para estimar el error.

Ejemplo 9.12. Aproximar el valor de la función  (3) si ()    , utilizando la fórmula (9.9) de los tres puntos, con  0.1 Solución: La solución inicia con la formula de los tres puntos (9.9)  ()  21 3()4(  )  (  2)

CÁPITULO 9


256

3 0.12 33430.13 2 0.1  0.12 3343.13.2 3 0.12 33343.13.13.23.2 3 0.12 31.098610.1411241.131400.041581.163150.05837 3 0.12 30.15503640.04704360.067893 3 0.12 0.4651080.18817440.067893  0.12 0.2090406  .  EstEl valimoacir verdadero ón de error:de la derivada de la función    es 3 1.040578 | ||1.040578–1.045203|  4.62510  0.004625  4.444610  0.0044446    1.0.0004625 40578 %   100%  0.0044446100%  . % Coment Comentarios:s:

En este caso, con la aplicación de la formula 9.9) de los tres puntos la aproximación lograda es de menor precisión que la de 9.8), aun así, sigue siendo bastante buena la aproximación lograda, pues el error porcentual

es de 0.44%. Comparando los dos ejercicios resueltos se nota claramente que la ecuación 9.8 presenta menor error, aproximadamente la mitad de error producido por 9.9), lo que se había ya indicado al definir las dos fórmulas de los tres puntos. Importante: Importante: Recodar siempre que el error puede ser pequeño o grande dependiendo siempre de la precisión que se desee al evaluar una determinada función.

9. 1 3. 3 si   , utilizando la fórmula de los tres Aproxi m ar el val o r de l a f u nci ó n  puntos, con   0.1 SolLa soluciuócin:ón inicia con la formula de los tres puntos  21        Se parte de la fó rmula:  +  2   130.1  0.12 3.  12.9 3 20.1 1 30. 3 0.12 3.13.1ln 2.92.9 Ejemplo

CÁPITULO 9


257

3 0.12 1.1314020.0416166 1.06471070.2464053 3 0.12 0.04708510.2623504 50.2152653 1.0763265 3 1.0763265 EstEl valimoacir verdadero ón de error:de la derivada de la función    es 3 1.0734200453 | ||1.073421.0763265| 2.9 10  0.0029 029  2.7 10  0.0027    1.0.007342 %   100%  0.0027100%  0.27% EjAproxi emplmo ar el valor de la función  5.7 si  2 , utilizando la fórmula de los tres puntos 9.9, con   0.1 Solución   4  3    2                3   2 9.14.

 5. 7 5. 8 5. 9   2 cos 9.515726 10.272026 10.944245

5. 5 . 8 9  3 9 . 5 157264 1 0. 2 7202610. 9 44245  5.7 35.74 2 0 . 1  2 0 . 1  5.7 , 28.54717841.0.028810410.944245  1.596681 0.2  .  EstEl valimoacir verdadero ón de error:de la derivada de la función  2  es 5.7 7.947241 9 83405    7.9472417. 7.947241  4.5510  0.00455 %   100%  0.00455100%  . %

CÁPITULO 9


258

Fórmul a de l o s ci n co punt o s Laslos tfroesrmulpuntasodes. Tambi los cinécon espuntposiosbsele pueden obt e ner de manera si m i l a r a l a de l a s f o rmul a s de empl e ar l a ext r apol a ci ó n para l o grar deri v adas de menor diLasficsiulgtuiadentparaes corresponden estas formulas.a las fórmulas de los cinco puntos    121 2548 36 216 33 4  

  5 , 18     121  3 10 6 2 3    5 ,     1          12   28  8   2  30 ,  2  121 4 3  6 8  343  34       30 ,  3  121   43 4 236  25       5 , Entre las di1stintas fórmulas de cinco puntos, las más utilizadas son: ) 12  2548   36 216 33 4       5 ,     1          8 8       2      2        12     30 , EjAproxi emplmo 9.ar1el5. valor de la función  3 si   , utilizando la fórmula de los cinco puntSoluciosó,n:con  0.1 Se inicia el1cálculo de la solución partiendo de la formula de los cinco puntos ) 12   28  8   2 3 1201 .1  3 0.283 0.183 0.13 0.2

CÁPITULO 9


259

3 1.12  2.882.983.13.2  3 1.12 2.8  2.8 82.91  2.9 83.1  3.1 3.2  3.2 0 . 3 349888 1 . 0 64710. 2 392498 1 . 1 3140. 0 4158 3 1.12 1.01.29619 1 63150. 0 58374 3 1.12 0.3449180.2547380.0470440.0678977 3 1.12 0.344912.037840.3763520.0678977 3 1.12 1.24868  1.0405669 EstEl valimoacir verdadero ón de error:de la derivada de la función    es 3 1.040578   0.0001111  1. 0 405669| 1. 1 1110 | ||1.040578–  1. 0 676810  0.000106768      1.0.0001111 0 40578 %   100%  0.000106768100%  0.0106% 

Ejemplo 9.16. 16. 16 Aproximar a 4.2 la función  = ln  

, utilizando la fórmula de los cinco puntos, con

 0.1 Solución     8 8    2      2              30 ,   12 











 

 4. 0 4. 1 4. 2 4. 3 4. 4 4. 5  4.081.605081 2. 0 08577 2. 5 51264 3. 3 34172 4. 5 87527 6. 9 74906 4.184.34.4 

 4.2 12 0 . 1   4.2 1.60508182.00857781.2 3.3341724.587527 6 733764. 5 87527 7. 6 22314   6.351928  4.2 1.60508116.06861626. 1. 2 1. 2 El valor verdadero de la derivada de la función   es  4.2 6.393951 3 51928  6. 5 72310  0.0065723     6.3939516. 6. 3 93951 %   100%  0.0065723100%  0.657% 







CÁPITULO 9


260

Coment a ri o s: : CoLament s aproxi m aci ó n l o grada con l a f o rmul a de l o s ci n co punt o s es excel e nt e , puede not a rse en estpuedee ejconsi ercicidoerarse que elunerrorvalorporcent u al es de apenas 0. 0 1%, y que l a aproxi m aci ó n l o grada t o t a l m ent e val i d o, demost r ando que est e mét o do es el mej o r que cualquiera de lo empleado anteriormente. Errores de truncamiento y de redondeo. Debido a la naturaleza discreta del computador los resultados numéricos no son exactos y que el error de redondeo está siempre presente en los cálculos. Por ello, cuando se calculan derivadas numéricamente el error en la solución es la suma del error de truncamiento, que proviene de la formula de aproximación, y el de redondeo, que es debido al computador. Ambos errores pueden ser importantes e interesa minimizarlos.





El error de truncamiento puede reducirse disminuyendo el valor de en las formulas, sin embargo, al disminuir se va restando valores de cada vez más próximos y esto se traduce en una mayor influencia del error de redondeo. Por ello, la mejor precisión no se consigue con el valor de más pequeño posible, sino con un valor que sin producir un gran error de redondeo disminuya lo suficiente el error de truncamiento.





Derivadas de orden superior El mismo procedimiento que se ha seguido al deducir fórmulas para calcular numéricamente las derivadas primeras puede usarse para construir derivadas de orden superior, partiendo del desarrollo de Taylor. Como ejemplo se presentan las siguientes expresiones:

  + +  +    

 

 

 2!   3!   4!        2!  3!  4!   2                 12   







Sumando las ecuaciones anteriores y despejando se tiene que:



Procediendo de la misma forma es posible encontrar aproximaciones que usen diferentes puntos y aproximaciones para derivadas de orden superior.

Sitantbiaesnvariexisatntenemuchas vari a nt e s de cada mét o do de i n t e graci ó n numéri c a, aquí se present a n s de f o rmul a s, pero más bi e n a modo i l u st r at i v o, para di m ensi o nar mej o r el alporcancelo tadelnto,cálescmejuloonuméri c os, pues al g unas de l a s f o rmul a s present a das no serán ut i l i z adas, r pecar por abundanci a de formul a s y no por def i c i e nci a de l a s mi s mas. A continuación se presentar algunas formulas de derivación numérica de orden superior. Fórmulas de diferencias finitas hacia adelante Recordar que:   + ,   + 2;   + 3;   + También que:  ;  ;  ;  

CÁPITULO 9


261

Primera diferencia   2  2          33   464 Segunda diferencia 2        + 45    314242 185  2112426143 EjSeaemplla función o 9.17. ln, calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto   5, en 















base a la siguiente tabla, con   0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia adelante.



   Solución:

4. 8 4. 9 5.0 5.1 5.2 5.3 4.7 1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

Para    . El valor verdadero de  5 . Calculo de la segunda derivada      5.2  25.1  5      2 0.1   1.6486621.62924 1.60944 3.810     0.01 . 0.01       0.040.038 0.04  0.05, %  | 100%|  0.05 100%5% 





Ejemplo 9.18. 9.18. Sea la función ln, calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto   5, en base a la siguiente tabla, con   0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia adelante.

 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3  1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

CÁPITULO 9


262

SolParauci ón:  . El valor verdadero de  5 .  Segunda derivada + 5 2     4    2  5 1 5 .   5.345.205   1 . 1 6 29242 1 6 0944 . .   1.667741.648665 0 0 1 .  1 6 6776 5 94648 1 4623 2 1888 3 8 10  . . . . .    0.01  .    0 0 1 . 0 38 .    0.040 0.04  0.05, % |0.05100%| % Coment CoLamentaproxiarimos:saci: ón lograda en los dos casos anteriores presenta errores muy elevados, prácticamente intolerables en un cálculo de este tipo. 



 





EsLostorseersurlotardoses elobtevadosenidospreporsentesadoste métsonodebido sodnosengaños a la inesotsa,biporlidadla deineslotsabimétlidoaddosqueemplpreesadosenta.n debiSi eldroesaullatasdoimplprioccuridadadodeneces su forimtaadey acileorstaparexactámetiturodsrreesducipectdoosdelconsvaliodrerraedosal, esparte amétel cálodoculnoo. escasroescomendabl e , ya que cas i al e at o r i a ment e puede pr e s e nt a r buena pr e ci s i ó n en al g unos , mientras que en otros producir errores muy grandes. FórPrimmeraulasdideferencidiferencia as finitas hacia atrás    2     33    46 4 Segunda diferencia         254    518242 143 11 2         3142624  



















CÁPITULO 9


263

EjSeaemplla founci9.1ó9.n ln , calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto  5, en  0 base a l a si g ui e nt e t a bl a , con  . 1 , apl i c ando l a f o rmul a de l a pri m era di f e renci a f i n i t a haci a atrás.

 ) 1.54756 4.7 1.56862 4.8 1.58922 4.9 1.60944 5.0 5.1 5.2 5.3 1.62924 1.64866 1.6677

Solución: Para    . El valor verdadero de 5 0.04

Diferencias finitas hacia atrás primera diferencia Segunda derivada2 +   +4.          5 24.0.19 8   1. 21.0.58922  1.56862  3.8.  0.038 0.05  %        0.040.038 0.04  0.05,   |  EjSeaemplla función o 9.20. ln, calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto   5, en base a la siguiente tabla, con  0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia atrás. 





01





10 0 01

6 0944 





%



100%|

100%



 ) 1.54756 4.7 1.56862 4.8 1.58922 4.9 1.60944 5.0 5.1 5.2 5.3 1.62924 1.64866 1.6677

Solución: Para    . El valor verdadero de  5 0.04  44.8  4.7   2  5 4    25  54.90.1   21.60944  51.58922 41.56862 1.54756 310      0.001 . 0.01       0.040.03 0.04  0.25, %  |0.25100%| % Co 





mentarios:s: Lamuyaproxi m aci ó n present a da por est e mét o do de di f e renci a s haci a at r ás present a resul t a dos pareci d os al mét o do de di f e renci a s haci a adel a nt e ; si n embargo para l a segunda deri v ada se nota que el error producido es del 25%, totalmente intolerable en un cálculo donde

normalmente se pretende precisión y exactitud. Los resultados obtenidos por este método son igualmente engañosos, debido también a la inestabilidad del método.

CÁPITULO 9


264

Fórmulas de diferencias finitas centrales Primera diferencia    2          22  2   464 Segunda diferencia   + 163012 16 8           + 812812  

















  12 39 566  39 12  

EjSeaemplla función o 9. 21.ln, calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto   5, en base a la siguiente tabla, con   0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita central.

 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3  1.54756 1.56862 1.58922 1.60944 1.62924 1.64866 1.6677

SolParauci ón:  . El valor verdadero de  5 .   4 9 .    2  5.120.15  5 8922 1 6 29243 2 18881 5 8922 . . . .      1.62924210.6.09441 01 0.01  .  0 42 .    0.040 0.04  0.05, % | 100%|0.05100%  % EjSeaemplla función o 9. 22.22.ln, calcular la segunda derivada por métodos numéricos en el punto   5, en 









base a la siguiente tabla, con   0.1, aplicando la formula de la segunda diferencia finita central.   16       16 30 12

CÁPITULO 9


265

16   5 4 . 9 4 . 8   5.2165.130  120. 1  1 . 5 8922 1 . 5 6862   1.64866161.629243010..61094416 2  1. 6 486626. 0 678448. 2 77225. 4 27521. 5 6862 8. 8 10   0.12  0.0073   0.12    0.00.40.040073 1.1825, % | 100%| . % b)reduciSe busendocardiá cdehanuevo l a der i v ada s e gunda, per o con un val o r de , menor que el ant e ri o r amplitud o peso de h a la mitad, o sea: de =0.1 a =0.05   

h





 4.85 4.90 4.95 5.00 5.05 5.10 5.15  1.578979 1.589235 1.599388 1.60944 1.619388 1.62924 1.638997

 16     =  16 30 12 164.95  4.90  = 5.1 165.05 305.00 120.05  161.599388  1.589235  = 1.62924161.619388  301.60944 0.03  = 1.6292425.910248.283225.59021.589235 = 0.03  1.27510  = 0.03 =0.0425  =    = 0.040.0425 0.04  =0.0625, % = | 100%| =6.%

Comentarios Comentarios La primera diferencia de estas diferencias finitas centrales presenta resultados parecidos a los anteriores, sin embargo, la segunda derivada de la segunda diferencia de diferencias centrales presenta un error mucho mayor que el 100% 118,25%, razón por la cual ni siquiera necesita ser estudiado, no es que la fórmula empleada sea errónea, sino que la inestabilidad que produce este grupo de formulas no presenta garantías de buen resultados en el cálculo de diferencias, agregándose a esto la amplitud de , que en este caso particular parece ser muy elevado, que en vez de converger hacia el resultado exacto, diverge; sin embargo, al reducir el valor de a la mitad, el resultado obtenido se acerca bastante al valor verdadero, pues el error porcentual producido es solamente del 6,25%, pero aun así, sigue siendo un error muy grande. Por lo tanto, a modo de conclusión general respecto a estas formulas de diferencias finitas, cuando se desea precisión, estas formulas de diferencias finitas no son las recomendadas y se tomaran simplemente a modo didáctico. h

h

CÁPITULO 9


Resumen de fórmulas de derivación numérica Fórmulas para calcular derivadas primeras            +  2    2      + 28  128   342   121 254836163  121  88 Formulas para calcular derivadas segundas   2     2   2         + 45   + 16301216   Formulas para calcular derivadas teerceras rceras           33            22 2  8             + 81212 8

266

CÁPITULO 9


267

Formulas pparaara calcular derivadas cuartas  464     464     + 12 39 566 39 12   4   314242 185  2112426143 





EJERCICIOS DE FIJACIÓN EjSeaerclaicifounci9.1ó. n   , calcular la derivada por métodos numéricos en el punto  1.2, con  0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia adelante. Solución: 3.5320140921 

Ejercicio 9.2. Sea la función   , calcular la derivada por métodos numéricos en el punto   0.5, con   0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia adelante. 0.6564499534 Ejercicio 9.3. Sea la función     , calcular la derivada por métodos numéricos en el punto   1, con   0.1, aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia atras. 6.0434045143 Sol

Solución:

ución:

CÁPITULO 9


268

EjCompl erciceiota9.r 4el. siguiente cuadro con las aproximaciones correspondientes, usar la formula de los tres puntos.

  1.-06.470320046 1.-08.2187307531 2.0.00 1.0.82187307531 

Solución: 0.670320046; 0.8187307531; 1; 1.2214027582 EjCompl erciceiota9.r 5el. siguiente cuadro con las aproximaciones correspondientes, usar la formula que mejor se ajuste al problema.

  --42 --31 -02 -11 02 13 

Solución: 1; 1 ; 1 ; 1; ;1; 1 EjSeaerci cio 9.6.   +  , para  0.2. Aproximar 0.65 y 0.65 usando la regla de los tres puntos. Solución: 11.7287680713; 58.5641254214 EjSeaercirci2 cio 9.7.   , para  0.2. Aproximar 1 y 1 usando la regla de los tres puntos. Solución: 4.446488551; 6.0053604166 EjSeaerci c3 io 9.8.  cos. Aproximar  0.8 usando los datos presentados en la tabla. 

  10.0 1.0.222089926 0.1.4429344427 0.1.659552399 0.1.867782630 1.1.062090692

Solución: 0.1157259406 EjSeaerci cio9.9.  2. Aproximar  0.7, usar 0.1 para resolver el problema. Solución: 2.3214516387 



CÁPITULO 9


269

EjSeaerci cio9.10.2  . Aproximar     , usar  0.05 para resolver el problema.  Solución:  3.    11.8430905524

8182062862;

Ejercicio 9.11. Sea la función 3     , calcular la primera y la segunda derivada por métodos numéricos en el punto   0.2, con  0.05, aplicando la formula de diferencias centrales.



Solución:



   1.6122516408;



   10.4063514995

Ejercicio 9.12. Sea la función 3     , calcular la primera y la segunda derivada por métodos numéricos en el punto   0.5, con  0.1, aplicando las formulas de los tres puntos y luego de los cinco puntos. Elaborar una conclusión comparativa entre los dos métodos.



Solución:





   6.1827047651;

   21.0211962014

Ejercicio 9.13. Sea la función    , calcular la derivada por métodos numéricos en el punto   1.3, con  0.1, aplicando las formulas de los tres puntos y los cinco puntos para hallar la primera y segunda derivada.



Solución:





   4.5171133993;

   1.9630651209

Ejercicio 9.14. 

Sea la función       , calcular la derivada por métodos numéricos en el punto   0.7, con  0.05, aplicando la formula de las formulas de diferencias centrales para hallar la primera y segunda derivada.



Solución:





   3.1833430922;

Ejercicio 9.15. 

Sea         , para los cinco puntos.





Solución:    2.9034781813 Ejercicio 9.16. Sea   3   , para diferencias centradas.





   15.7914841604





 0.1. Aproximar  0.5 y  0.5 usando la formula de



   7.5178097431





 0.1. Aproximar  0.8 y  0.8 usando la formula de

Solución:    4.7809861183;



   9.6151972606

CÁPITULO 9


270

EjSeaercilacifounci9.1ó7.n   . Usar el cuadro de abajo y una formula de derivación numérica   √ más apropiada para aproximar  1.2   1.2. 

1. 3 1. 4 1. 5 1. 6  2.43585 2.372895 2.308785 2.245066 2.182179 2.120472  1 1.1 2.5

1.2

Solución:  ()  0.6087168249; ()  0.1508082224 Ejercicio Ejercicio 9.18. Sea la función ()  2 cos . Usar el cuadro de abajo y una formula de derivación numérica más apropiada para aproximar  (5.7)  (5.7).

 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 () 6.854683 7.795368 8.686348 9.51573 10.27203 10.94425 11.52204 Solución:  ()  7.9472407553;  ()  7.3129835768 Ejercicio 9.19. Sea ()  (). Aproximar  (0.5)   (0.5) , usar problema, aplicando formula de derivación numérica. 



 0.1 para resolver el

Solución:  ()  2.4; ()  7.04 Ejercicio 9.20. Sea ()   . Aproximar  (2)   (2) , usar   0.2 para resolver el problema. 

Solución:  ()  7.3890560989; ()  7.3890560989. Ejercicio 9.21. Sea la función ()  √   2 . Usar el cuadro de abajo y una formula de derivación numérica más apropiada para aproximar  (2.6)  (2.6). Solución:  ()  1.5061601902; ()  4.8412291828

CÁPITULO 9


271

Gráfráficas de los ejercicios de fijación Lasrepresent siguieantcieosnesfiggráfurasiciaslustderanlas lfausncisolones,uciosusnesderide vloadass ejeprircimcierasos dey segundas. fijación, en cuanto a las Estunaaisdgrafea másicasclsearapresent a n a modo acl a rat o ri o , pues, al “mirar” la gráfica de la función se tiene del ejercicio analizado.

Ejercicio 9.1.

y

3.5

Ejercicio 9.2.

Ejercicio 9.3.

y

y

6

2

3 1.5

5

1

4

2.5 2 3

0.5

1.5

x

1 -1

-0.5

0.5

0.5

1

1.5

2

2

-0.5

1

x

-0. 4 -0 .2

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

1 .4

1 .6

1 .8

2

x

-1 -1

-0.5

-0.5

0.5

-1.5

Ejercicio 9.4. 3

Ejercircicio 9.6.

y

4

3

y

2.5

3

2

1.5

-1

Ejercicio 9.5.

y

1

2

2

1

1.5 x

-2

1

-1

1

2

3

4

1

5

-1

-1

-0.5

0.5

1

x

-2

x

-1.5

0.5

- 1. 2 - 1 - 0 .8 -0 .6 -0 .4 -0 .2

1.5

-3

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2 1 . 4

-0.5

-4

-1

0 .2

-1

-5 -1.5

Ejercicio 9.7.

Ejercicio 9.8.

Ejercicio 9.9.

y

y

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

y

6

4

1

2

1

0.5

x

0.5

-1

x

-0.6

-0 .4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 .2

1.4

- 0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

1.2

1.4

x

1.6

-0.6 -0.4 -0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

-2

-0.5

-0.5 -1

-4

-1

Ejercicio 9.10.

Ejercicio 9.11.

Ejercicio 9.12.

y

y

12

y

12

10

20

10

8

8

6

15

6

4

10

4 2

2

5

x

-0 .8

-0 .6

-0.4

-0 .2

0 .2

0. 4

0 .6

0.8

1

1 .2

1.4

x

1 .6

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

x

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

CÁPITULO 9


Ejercicio 9.13.

Ejercicio 9.14.

y

8

272

Ejercicio 9.15. y

y

16

8

14

6

6

12 4

10

4 8 2

6

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

2

4

x

4

x

2

-0.6 -2

-1.5

Ejercicio 9.16.

-1

y

y

12

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

6

7

x

2

-0.5

0.5

1

1.5

2

Ejercicio 9.17.

Ejercicio 9.18.

y

10

10

1.5 8

5

1

6

0.5 1

4

-0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3

4

5

-5

-1

x

- 0.5

2

1.8

-0.5

2

-1

0.2

-10

-1.5 -15

-2

Ejercicio 9.19.

Ejercicio 9.20.

y

y

y

8

8

6

6

6

4

4

Ejercicio 9.21.

4 2

2

2

x

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

-4

-3

-2

-1

1

-2

-2

-4

-4

2

3

4

x

-1

-0.5

0.5 -2

-6

-6 -8

-8

-4 -6

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

CÁPITULO 10

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE E.D.O.

273

CAPÍTULO 10 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Introducción

En esta unidad, se hará un breve estudio de los métodos numéricos básicos que se usan para aproximar soluciones de algunas ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que involucra una variable independiente, una variable dependiente y la derivada ó derivadas de esta variable dependiente. En una ecuación diferencial, la incógnita es la variable dependiente y se espera encontrarla como función de la variable independiente, de tal forma que si se sustituye dicha variable dependiente, así como las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial, la igualdad que resulta será verdadera. Existen una infinidad de funciones que resuelven una misma ecuación diferencial. Por ejemplo, la ecuación: , cuya solución general es: , donde c es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real.

  

    ,    , 

Las ecuaciones deferenciales del primer orden son del tipo es una función de dos variables.

, donde

Cuando se precisa que la curva solución pase por un punto específico, entonces se dice que se trata de una ecuación diferencial con condición inicial dada. La importancia de los métodos numéricos en las ecuaciones diferenciales, radica en la solución de ecuaciones diferenciales que no pueden resolverse por los métodos tradicionales, de ahí la aplicación práctica de los métodos de aproximación. Existen varios métodos de aproximación numérica de ecuaciones diferenciales: El método de Euler. El método de Euler mejorado. Método de Taylor El método de Runge-Kutta de orden 4. El método de Adams – Bashforth. El método de Adams – Moulton El método de Milne – Simpson, entre otros.













   Entlos rméte laosdosapliparacaciohalneslamásr explsiímcitplament es deelalassecuaci o nes di f e renci a l e s ordi n ari a s se pueden ci t a r sol u ci o nes de probl e mas de pri m er orden de val o r iondeiciainl,genien laerpríaáscte ipueden ca pocosredesollvoers prexactobleamasmentquee. se originan del estudio de fenómenos físicos



En todos estos métodos se busca aproximar el valor que corresponde a la condición inicial dada.

donde

es un valor cercano a

,

CÁPITULO 10


274

Condi c i o nes i n i c i a l e s La ecuación diferencial de primer orden con condiciones iniciales dado por:    2

10.1

  2   Integrando miembro a miembro: ln  2   2lnln Simpliicando lo anterior: ln  ln  La solucion de 10.1 está dada por:     10.2 La ecuación 10.2 se satisface para cualquier constante  escogido arbitrariamente. En la práctica, estas formulas explicitas, al ser traducidas como modelo matemático, resulta una ecuación diferencial que involucra la razón de cambio de una función desconocida. La figura 10.1 muestra la grafica de la ecuación diferencial para algunos valores de . 0 Separando variables se tiene:

y

8 6 4 2

x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2 -4 -6 -8

0

Fig. 10.1. Las siguientes definiciones se ajustan a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con condiciones iniciales. Definición 10.1. Un problema de primer orden con condiciones iniciales está definida como:   ,    Definición 10.2.  Sea    ,    un p`roblema de primer grado con condiciones iniciales, una solución del problema es una función  derivable en , tal que:   ,     ,.

CÁPITULO 10


275

DefUnainfuicnciiónó10.n 3: .  se dice Lipschitz continua con constante   , escribiéndose   si para toda  en una vecindad de  se cumple que: |  |  |  | Definición 10.4. Una función : 

 , una f u nci ó n  , ,     , se dice  es Lipschitz continua con constante  en , si se cumple que: 

| ,  ,|  |  |

Muchas ecuaciones diferenciales parciales y problemas variacionales son definidos en un dominio de Lipschitz. Un dominio de Lipschitz (o dominio con frontera de Lipschitz) es un dominio en el Espacio Euclidiano cuya frontera es "suficientemente regular" en el sentido que esta puede ser considerada como si fuera la gráfica de una función continua de Lipschitz. El término fue dado por el matemático Alemán Rudolf Lipschitz.

Convergencia

DefLa ifnuincicióónn10.:5.Condi t z  c i ó n de Lpschi , veri f i c a una condi c i ó n de Li p schi t z si exi s t e una const a nt e  no negativa tal que||  | |, para todo,, DefLa ifnuincicióónn10.:6.Apl,icacióesn contcontrractactiivvaa en , si verifica una condición de Lipschitz con constante 0  1, si existe una constante  no negativa tal que: | |  |  |, para todo ,  ,

Lema: 10.1. Si   1    0, entonces 0  1     Demostración: Demostración: Por el teorema de Taylor para  , alrededor de   0, con   1,     Se tiene que:   1    2! 

Como:  ,   Se tiene que:  1++ 2!  ,    Además: 01+1++ 2! DeComomodo: que: 0 01+ por ultimo: 01+ 

CÁPITULO 10


276

,    ,              0, 1 , 2 , 3 , … ,  :       

Lema 10.2. Sean



una sucesión tal que

y además suponiendo que:





Este lema se presenta sin demostración. 30

Método de Euler Este método no es el más exacto, pero sí el más sencillo, además este método se torna en base para el desarrollo de otros métodos de integración numérica. El método de Euler está basado en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado. Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial. El método de Euler se define por la siguiente ecuación:

 , ,      , ,

    

  1

Otra forma muy utilizada de la formula de Euler es la siguiente:







  2;

Esta fórmula de Euler se usa para aproximar el valor de desde  hasta  en pasos de longitud .





,2,3,…,



aplicando sucesivamente

Ejemplo 10.1. Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:

Aproximar

0.5

0  1

Solución Esta ecuación puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales, aplicando el método de separación de variables. Solución Analítica Analítica..

 2    2       2 

ln||   30

Demostración en Velázquez Zapateiro, Jorge (2007). Análisis Numérico. (pág. 244) Notas de clase. Edición Uninorte. Barranquilla. Colombia.

CÁPITULO 10


Sustituyendo la condición inicial:

277

  0 ln1 0 1 0 ln   y    y0.5  .  1.284025

Por lo tanto, la curva solución real está dada:



Luego, el valor real que se pide es:

Solución Numérica

  0   0.5  0.1   0;   1;  0.1; ,  2   0,   1  ,  2  0, 1 2· 0·1  0       ,  10.10  1

La distancia entre es bastante espaciada, para obtener una mejor  aproximación esta distancia debe ser fraccionada, se divide en cinco partes y se obtiene un valor de Con esta premisa se obtendrá la aproximación deseada en cinco pasos. Sean los datos:   Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, se tiene, en un primer paso:













Aplicando la formula de Euler en un segundo paso:

,   2

    0.1    0.1      

 , 1 2·0. 1 ·1  0, 2  ,   10.10.2 1.02      0.2  ,  2  0.2; 1.02  2 ·0.2 ·1.020,408       ,  1.020.10.408 1.0608

Aplicando la formula de Euler en un tercer paso:



 







Aplicando la formula de Euler en un cuarto paso:

,   2

    0.3    0.3 1.0608  2·0.3·1.06080      

; , 6 3648  ,   1.06080.10.63648  1.124448      0.4  ,  2  0.4; 1.124448  2·0.4·1.1244480,8995584       ,  1.1244480.10,8995584  1.2144038

Aplicando la formula de Euler en un quinto y último paso:



 







CÁPITULO 10


278

0 0  12 0.0.12 34 0.0.34 5 0.5

Resumiendo las operaciones anteriores, se tiene la siguiente tabla:

1 1 1.02 1.0608 1.12445 1.2144

01 0.5 1.2144 0.5  | ||1.2840251. 2 144| 0. 0 69625  0.054224     0.1.0269625 84025 %   100%  0.054224100%  5.4% 1.3    0.5 ; 1 2   2

Se concluye que por el método de Euler en cinco pasos, las ecuación diferencial bajo condición inicial , aproximando a Calculo de error

Ejemplo 10.2. Aplicar el método de Euler para aproximar

, dada la ecuación diferencial.

Solución Se divide en tres pasos para conseguir mejor aproximación. Así, se tiene el valor de Aplicamos el método de Euler con los siguientes datos, se tiene:



  1;   2;   0.1; ,   0.5   1;,   2 0.5   1; 2 1 0.52  3    +  ,  20.13 2.3  ,+  1.10.5   1.1;2.3 1.1 0.52.3  3.855    +  ,  2.3 0.13.855  2.6855   , +  1.20.5   1.2;2.6855 1.2 0.52.6855  5.045955    +  ,  2.68550.15.045955 3.1901

Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, se tiene:

Aplicando la formula de Euler en un segundo paso:

Aplicando la formula de Euler en un tercer paso:

 0.1

CÁPITULO 10


279

El resumen de los tres pasos se presenta en la siguiente tabla:

0 1  12 1.1.12 3 1.3

2 2.3 2.6855 3.1901

   0.5 

Se concluye que por el método de Euler, en este caso, en solo tres pasos, las ecuación , con condición inicial diferencial , aproximando a

1.3

1  2 1.3 3.1901

Método de Euler mejorado La idea básica es la misma que el método anterior, pero mejora la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La formula de este método es la siguiente:

, 2,       ,   0 . 5    2; 0  1      

Donde:

Ejemplo 10.3. Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar

si:

Solución Se aplica el valor de , encontrando la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler, en cada iteración se requiere de dos cálculos en vez de uno solo: el de   primero y posteriormente el de  . Se parte de los siguientes datos iniciales:

 0.1





; ,  2      00.10.1      · ,  10.1201  1  ,  2  0, 1 2·0·1 0  ,  2  0.1, ; 1 2·0.1·1 0.2   ,  ,     0 0. 2     10. 1        2 2   1.01     ; ;

  0   1  0.1

En la primera iteración se tiene:

 

 







 



Haciendo una comparación con el problema (10.1.), se nota que el valor de coincide con el valor de del primer método de Euler, y es el único valor que va a coincidir, pues para calcular se usará y no .

CÁPITULO 10


En la segunda iteración se tiene:

 ,   2  ,   2 

    0.10.10.2    0.1 1.01  2 ·0.1· 1.01 0.202   1  · 1 1    0.2           

;,    1.01  0.10.202  1.0302 ;1.0302 2·0.2·1.0302 0.41208 ,  2  ,    1.010.1 0.2020.2 41208  1.040704      0.20.10.3  ,  2  0.2; 1.040704  2· 0.2· 1.040704 0.416282      ·  , 2  1.040704  0.10.416282  1.0823322  ,  2  0.3;1.0823322 2·0.3·1.0823322 0.64939932   ,  ,              20.416282 0.64939932

En la tercera iteración se tiene:









2





2





 1.0407040.1

2

 1.093988

En la cuarta iteración se tiene:

     0.30.10.4    0.3 1.093988  2 ·0.3· 1.093988 0.6563928  1.1596273   3   · 3 3    0.4             1.0939880.10.6563928 2 0.927702 1.17319274

,   2 , ;   1.093988  0.10.6563928 ,   2 ;1.1596273 2·0.4·1.1596273 0.927702 ,  2  ,   

Por último, en la quinta iteración se tiene:

     0.40.10.5    0.4 1.17319274  2·0.4 · 1.17319274 0.9385542  1.2670482   4   · 4 4    0.5           

,   2 , ;   1.17319274  0.10.9385542 ,   2 ;1.2670482 2·0.5·1.2670482 1.2670482 ,  2  ,  

280

CÁPITULO 10


281

  1.173192740.10.93855421.2 2670482  1.28347286 Se resumen los resultados obtenidos en la siguiente tabla: n

0 1 2 3 4 5

 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 1.01 1.040704 1.093988 1.173192 1.28347286

Se concluye que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es:

0.5 1.28347286

Con fines de comparación, se calcula el error producido por este método de Euler mejorado, El valor verdadero de la función analizada es , según dato del ejemplo (10.1)

0.5 1.284025

Calculo de error

  |  |  |1.2840251.28347286 | 0.0005525.52·10        0.1.0200552 0.000434.3·10  84025 %   100%0.00043100%0.043% Se verifica, que con este método de Euler mejorado, se ha obtenido una mejor aproximación, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.043%. Ejemplo 10.4. Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar

1.3 si se tiene: 1  2

; co   1;   2;  0.1; ,    5      10.11.1  ,    5  1; 2 125  4      · ,  20.14  2.4  ,    5  0.1;2.4 1.1 2.4 5  3.7   ,  ,     4 3. 7     20. 1        2 2   2.385       5

Solución Se parte de los siguientes datos





En la primera iteración se tiene:







1













CÁPITULO 10


282

Las siguientes iteraciones son simplemente repeticiones de esta primera iteración, razón por la cual se omite en este problema, pues el ejemplo anterior describe claramente el proceso realizado en la resolución del ejemplo. La siguiente tabla arroja el resumen de de los datos obtenidos en este ejemplo: n

0 1 2 3

 

1 1.1 1.2 1.3

Se concluye que la aproximación buscada es:

2 2.385 2.742925 3.07635

1.3 3.07635

Método de Runge – Kutta Este método sigue una dirección diferente en comparación a los métodos de Euler. El método de Runge – Kutta está basado en una aplicación de los polinomios de Taylor.

     16  2 2  10.5    · ,      ·  12 ;   12      ·  12 ;   12      ·  ;      , ;     0.5  2; 0  1   0;   1;  0.1; ,  2    , ,  y     · ,  0.12 ·0·1  0    ·    121 ;   121    0.1· 0.05;1.50.1·2 ·0.051.5  0.015    ·  2 ;   2    0.1·0.05;1.00750.1·2 ·0.051.0075   0.010075 Las siguientes fórmulas expresan el método de Runge – Kutta:

Donde:

 

 

 

 













Estas formulas se conocen como las reglas o fórmulas de Runge-Kutta de orden cuatro para la ecuación diferencial:   Ejemplo 10.5 Usar el método de Runge-Kutta para aproximar diferencial:

dada la siguiente ecuación

Solución Este ejercicio es el mismo del ejemplo (10.1), su uso se debe a la facilidad de comparación que se logra entre los distintos métodos estudiados. Sean los datos iniciales: Para hallar el valor de









Se calculan los valores de los distintos















CÁPITULO 10


283

  0. 0·202015  ;     0.1 ·0.1;1.0100750.1·2 ·0.11.010075    116  2 2    1 6 020.01520.0100750.0202015 10.01172525  1.01172525      0.1;  1.0117 ;  0.1; ,  2  ,  ,  y       · ,  0.12 ·0.1· 1.0117  0.020234    ·  12 ;   12    0.1 ·0.15;1.0220.1·2 ·0.151.022  0.03066    ·  12 ;   12    0.1 ·0.15;1.0270.1·2 ·0.151.027  0.0308    ·  ;      0.1 ·0.2;1.04250.1·2 ·0.21.0425  0.0417 



Ahora se aplica la formula de Runge _ Kutta

Por razones prácticas, se redondean algunas cifras.

Una vez encontrado el valor de , se realiza el mismo procedimiento para hallar el valor de , se procede a la siguiente iteración. Sean los datos para esta iteración:



Para hallar el valor de

      

Se calculan los valores de los distintos

 



















Ahora se aplica la formula de Runge _ Kutta para hallar el valor de



    16  2 2    1.0117 16 0.02023420.0306620.03080.0417   1.01170.030811.042509

Hasta aquí se lograron obtener los valores de:

;

 1.01172525  1.042509



Este mismo proceso debe seguirse hasta obtener el valor de  . Resumiendo los cálculos posteriores, se tiene la siguiente tabla de resultados: n

0 1 2 3 4 5



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5



1 1.011725 1.042509 1.09417 1.17351 1.28403

CÁPITULO 10


284

De esta tabla se concluye que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es:

0.5 1.28403

Calculo de error

| 0.0000055·10  |  ||1.2840251. 2 8403 0.000005



       1.284025 0.000003893.89·10  %   100%0.0000039100%0.00039% Con este resultado se demuestra que el error se redujo muchísimo, obteniéndose cuatro cifras decimales correctas. Entre los métodos estudiados hasta ahora, el de Runge - Kutta es la que presenta mayor aproximación, pero en contrapartida, es el método más trabajoso. Ejemplo 10.6. Usando el método de Runge-Kutta, aproximar

    

;

2.2 dada la ecuación diferencial:

2  4

Solución En este ejercicio se realizaran cálculos un poco más directos, y por lo tanto, no muy detallados como el los ejemplos anteriores. Tomando , es posible llegar al resultado buscado en dos pasos. Se inicia el calculo con los siguientes datos del problema:

1

; ; ; ,   ; ,   0.12 4 0.6 ; ; ;

  2   4  0.1       2.1 Para hallar el valor de  Se calculan los valores de los distintos        ·     ·  12    12   0.1· 2.054.3 0.635    ·  12    12   0.1 ·2.054.3175 0.63675    ·       0.1· 2.14.63675 0.673675

, , y

Ahora se aplica la formula de Runge _ Kutta

    16   2  2    1  16 0.620.63520.636750.673675 40.6361958334.6362

Se procede a la segunda iteración:

Sean los datos para esta iteración:

;

; ; ,   ; , , y ,   0.12.14.6362  0.67362

 2.1  4.6362  0.1       2.2 Para hallar el valor de  Se calculan los valores de los distintos        · 

CÁPITULO 10


285

 ;  ;  ;

  ·  12   12   0.1 · 2.154.97301 0.7123   ·  12   12   0.1 · 2.154.99235 0.71424   ·      0.1 ·2.25.35044 0.75504 Ahora se aplica la formula de Runge _ Kutta para hallar el valor de      16  2 2    4.6362 16 0.6736220.712320.714240.75504  4.63620.7136235.34982333 Se concluye que el valor buscado es 2.2 5.34982333


;

Ejercicio 10.1. Dada la ecuación diferencial:

       bajo condiciones inciales 2 0.5 Usar el método de Euler para aproximar 2.3 tomando  0.1 en cada paso del proceso iterativo. Solución:

2.3 1.16647

Ejercicio 10. 10.2 2. Dada la ecuación diferencial:

 

ln ;1.3

Usar el método de Euler para aproximar iterativo. Solución:

bajo condiciones inciales tomando

1 1.5

 0.1 en cada paso del proceso

1.3 1.79679


;

 23

2  1 Usar el método de Euler mejorado para aproximar 2.3 tomando  0.1 en cada paso del bajo condiciones inciales

proceso iterativo. Solución:

2.3 1.79693

CÁPITULO 10



  1 ; con: 3 2.5

Usar el método de Euler mejorado para aproximar proceso iterativo. Solución:

286

3.3 tomando  0.1 en cada paso del

3.3 2.52417


 

ln  1 ; con: 4  5

Usar el método de Runge – Kutta para aproximar proceso iterativo. Solución:

4.3 tomando  0.1 en cada paso del

4.3 5.48415


  √    

; con:3.33 10


tomando

 0.1 en cada paso del

3.3 11.5158


; con:

2 1    0 0  1 Usar el método de Euler para aproximar 0.6 tomando  0.2 en cada paso del proceso iterativo. Solución:

0.6 0.7352941176


2 1    0

; 0.con:60  1  0.2

Usar el método de Euler mejorado para aproximar proceso iterativo. Solución:

0.6 0.7352941176

tomando

en cada paso del

CÁPITULO 10


287


2 1   0; 0.con:60  1  0.2


tomando

en cada paso del

0.6 0.7352941176

Ejercicio 10. 10.10 10. 10. Dada la ecuación diferencial:

; con:

  2    0 0  1 Usar el método de Euler para aproximar 0.4 tomando  0.1 en cada paso del proceso iterativo. Solución:

0.4 0.92

288

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