INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ACAYUCAN MANUAL DE PRÁCTICAS DE METODOS NUMERICOS CLAVE: ICC – 1027
Nombre del alumno: ______________________________________________________________ Grupo: _____408A________
DOCENTE: MTI. ULISES GIRON JIMENEZ ACAYUCAN, VER. A FEBRERO 2016
INGENIERÍA CIVIL
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Contenido Objetivo Objetivo .......................... ........................................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ................. ... 4 Introducci Introducción ón ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ...................... ........ 4 Competencia a desarrollar ...................................................................................................................................... 7 Práctica 1: Tipos de errores .................................................................................................................................... 8 Práctica 2: Software de cómputo numérico .................................................................................................. 10 Práctica 3: Método de bisección y regla falsa ............................................................................................... 12 Práctica 4: Método de Newton Raphson y secante ..................................................................................... 15 Práctica 5: Aplicación de la solución de ecuaciones no lineales ............................................................ 17 Práctica 6: Interpolación lineal .......................................................................................................................... 19 Práctica 7: Interpolación de Lagrange ............................................................................................................. 22 Práctica 8: Aplicaciones de interpolación ...................................................................................................... 25 Práctica 9: Integración numérica ...................................................................................................................... 27 Práctica 10: Aplicación de la integración numérica ................................................................................... 30 Práctica 11: Método de Gauss Jordán .............................................................................................................. 33 Práctica 12: Método de Gauss Seidel ................................................................................................................ 36 Práctica 13: Métodos de Jacobi........................................................................................................................... 38 Práctica 14: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales ........................................................ 40 Práctica 15: Método de Newton Raphson para sistemas de ecuaciones e cuaciones no lineales ..................... ........... .......... 42 Práctica 16: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones no lineales .................................................. 45
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Objetivo Seleccionar y aplicar métodos (algoritmos) numéricos para resolver problemas matemáticos referentes a diferentes áreas de a ingeniería, probabilidad, análisis estadístico, entre otras, de acuerdo al tipo de problema en particular.
Evaluar los temas vistos en cursos tradicionales de cálculo, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales, diferenciales, etc. desde el punto de vista numérico, numérico, concretando en el análisis de una serie de métodos o algoritmos, y su aplicación mediante el uso de computadoras y el software apropiado.
Introducción Caracterización de la asignatura
Esta
asignatura
aporta
al
perfil
del
Ingeniero
en
nuevas
estrategias para resolver problemas de aplicación matemática a la ingeniería civil adecuadamente.
Para
integrarla se
matemáticas
ha
hecho un análisis
referente a
las
aplicadas, identificando los temas más importantes de
mayor aplicación en el quehacer profesional del ingeniero.
Puesto que esta materia dará soporte a otras, más directamente vinculadas con desempeños profesionales; se inserta al inicio escolar; antes de cursar aquéllas a las que da soporte. De manera particular, lo trabajado en esta asignatura se aplica en el estudio de los temas.
Deberá aplicar los conocimientos de las ciencias básicas y ciencias de la Ingeniería, para planear, proyectar, diseñar, construir y conservar
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obras hidráulicas y sanitarias, sistemas estructurales, vías terrestres, edificación y obras de infraestructura urbana e industrial. De igual forma esta herramienta es muy importante en el ámbito laboral para ser competitivo, y saber manejar software de dibujo asistido por computadora.
Intención didáctica
Comprenderá y aplicará los algoritmos numéricos en la solución de problemas de Ingeniería civil, mediante el uso de computadoras y el software apropiado.
Se organiza el temario con 6 unidades y la primera con un software de aplicación.
La idea es abordar reiteradamente los conceptos fundamentales hasta conseguir su comprensión. Se propone abordar los procesos de un software
desde un punto de vista conceptual, partiendo de la
identificación de cada uno de dichos procesos en el entorno cotidiano o el de desempeño profesional.
El enfoque sugerido para la materia requiere que las actividades prácticas promuevan el desarrollo de habilidades y estrategias para su entorno laboral, tales como: identificación del software en la resolución de los problemas y saber utilizar las aplicaciones adecuado con lo que se requiere, en las actividades prácticas sugeridas, es conveniente que el profesor guie a sus alumnos para que ellos realicen las actividades y aprendan a identificar cada uno de los elementos.
La lista de actividades de aprendizaje no es exhaustiva, se sugieren
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sobre todo las Necesarias para hacer más significativo y efectivo el aprendizaje. Algunas de las actividades sugeridas pueden hacerse como actividad extra clase y comenzar el tratamiento en clase a partir de la discusión de los resultados de las observaciones. Se busca partir de experiencias concretas, cotidianas, para que el estudiante se acostumbre al ámbito ingenieril. Es importante ofrecer escenarios distintos, ya sean construidos, artificiales, virtuales o naturales.
En las actividades de aprendizaje sugeridas, generalmente se propone la formalización de los conceptos a partir de experiencias concretas; se busca que el alumno tenga el primer contacto con el concepto en forma concreta. Pero se sugiere que se diseñen nuevas estrategias para que el alumno sepa tomar decisiones en el momento de resolver un problema real.
En el transcurso de las actividades programadas es muy importante que el estudiante aprenda a valorar las actividades que lleva a cabo y entienda que está construyendo su futuro y en consecuencia actúe de una manera profesional; de igual manera, valore la importancia del conocimiento y los hábitos de trabajo; desarrolle la precisión, la puntualidad, el entusiasmo, el interés, la tenacidad, la flexibilidad y el trabajo colectivo. Es necesario que el profesor preste atención y cuidado en el desarrollo de las actividades de aprendizaje de esta asignatura.
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Competencia a desarrollar Competencias específicas: Resolver problemas relacionados con la ingeniería de procesos mediante la aplicación de algoritmos numéricos y el uso de computadoras digitales.
Competencias genéricas Competencias
Capacidad de análisis y síntesis
instrumentales
Capacidad de organizar y planificar
Conocimientos básicos de la carrera
Comunicación oral y escrita
Habilidades básicas de manejo de la Computadora
Habilidad para buscar y analizar información proveniente de fuentes diversas
Solución de problemas
Toma de decisiones.
Competencias
Capacidad crítica y autocrítica
interpersonales
Trabajo en equipo
Habilidades interpersonales
Competencias
Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica
sistémicas
Habilidades de investigación
Capacidad de aprender
Capacidad de generar nuevas ideas (creatividad)
Habilidad para trabajar en forma autónoma
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Práctica 1: Tipos de errores Objetivo
Realizar cálculos de errores numéricos, usando el error por redondeo o truncamiento.
Unidad 1
Introducción a los métodos numéricos
Subtemas
1.4 Errores inherentes de redondeo y por truncamiento.
Introducción
Error. Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida. Si p * es una aproximación a p , el error se define como
E p p * Error por redondeo. Este error es el resultado de representar aproximadamente
números exactos. Es decir, se debe a la omisión de algunas de las cifras significativas de algún valor específico. Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si solo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar
como =
3.141592, omitiendo
los términos restantes y generando un error de redondeo.
Errores de truncamiento. Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una sucesión finita o infinita de pasos en el cual se realizan cálculos para producir un resultado exacto, se trunca prematuramente después de un cierto número de pasos. Truncar la siguiente cifra hasta centésimos, o hasta que sean dos las cifras significativas:
7
2 . 645751311
7
2.64
Como podemos ver, en este tipo de error, lo que se hace es omitir algunas de las cifras de una cantidad, debido a que esta contiene muchos decimales, entonces se trunca o corta el número, por lo que también cae en un error.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Estos errores se regresan a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma polinomial.
Herramienta de apoyo
Apuntes, hojas blancas, calculadora.
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Desarrollo de la practica Instrucción I
Resolver los siguientes ejercicios usando las reglas de redondeo.
Problema 1
Aplique el método de redondeo para las siguientes cantidades según se indique el número de cifras significativas y a la vez escriba el número de digito que tenga el número inicial. Numero
Cifras significativas
5.6723
3
10.406
4
7.3500
2
88.21650
5
1.25001
2
Redondeo
Dígitos significativos
Conclusión
Referencia
Chapra , S., & Canale, R. . Métodos Númericos para ingenieros (Quinta ed.). Mexico: Mc Graw
bibliográfica
Hill.
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Práctica 2: Software de cómputo numérico Objetivo
Realizar una lista del software de cómputo numérico tanto comercial como libres.
Unidad 1
Introducción a los métodos numéricos
Subtemas
1.6 Uso de herramientas computacionales
Introducción
Para que un computador (hardware) funcione es necesario utilizar programas (software), los cuales le indican cuál es la tarea que se tiene que hacer. Un lenguaje de programación es el que se utiliza para escribir dichos programas. Posteriormente estos se introducirán en la memoria del computador y éste último ejecutará todas las operaciones que se incluyen.
Como ya sabemos, las computadoras fueron diseñadas o ideadas como una herramienta mediante la cual podemos realizar operaciones de cálculo complicadas en un lapso de mínimo tiempo. Pero la mayoría de las aplicaciones de este fantástico invento del hombre, son las de almacenamiento y acceso de grandes cantidades de información.
La información que se procesa en la com putadora es un conjunto de datos, que pueden ser simples o estructurados. Los datos simples son aquellos que ocupan sólo una localidad de memoria, mientras que los estructurados son un conjunto de casillas de memoria a las cuales hacemos referencia mediante un identificador único.
Herramienta de
Apuntes, hojas blancas
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Investigue acerca de los software de computo numérico
Problema 1
Realice una lista de los software de computo numérico comercial y libres
Respuesta:
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Instrucción II
Elabore una línea de Tiempo
Actividad 1
Realice una investigación acerca de los lenguajes de programación y con esa información elabore una línea de tiempo.
Respuesta
Conclusión
Referencia bibliográfica
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Práctica 3: Método de bisección y regla falsa Objetivo
Realizar cálculos de raíces de ecuaciones usando el método de Bisección, Regla falsa, Secante y Newton Raphson
Unidad 2
Solución de ecuaciones no lineales de una variable
Subtemas
2.2 Métodos cerrados y sus interpretaciones geométricas (bisección y regla falsa)
Introducción
El método de bisección El método de bisección conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre en dos. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalos dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
xr
x1 xu 2
Método de falsa posición Aunque el método de bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su enfoque es relativamente ineficiente. Una alternativa mejorada es la de del método de la regla falsa (falsa posición) está basada en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la raíz. Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo x1 a xu en mitades iguales, no se toma en consideración la magnitud de
de
f ( xu ) . xr xu
Herramienta de
f ( x1 ) y
f xu x1 xu f x1 f xu
Apuntes, hojas blancas, calculadora
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Resolver el siguiente ejercicio utilizando el método indicado, apóyese con Excel para encontrar la solución.
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La ecuación de estado de Van der Walls para un gas real es:
a P 2 V b RT V Dónde:
P Presión en atm; T temperatura en K; R constante universal de los gases en atm – L / (gmol K) = 0.08205;
V volumen molar del gas en L / gmol; a, b constantes
particulares para cada gas
Calcule V a 80 º C (353.2 ºK) para una presión de 10 atm Gas
A
b
He
0.03412
0.02370
Realice los cálculos necesarios para resolver esta ecuación usando los métodos indicados: a)
Método de bisección con
V 1 0.8v , V u
b) Método de falsa posición con
Respuesta (a)
1.2v ,
V 1 0.8v , V u
1.2v
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Respuesta (b)
Conclusión
Referencia
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Métodos Númericos para ingenieros (Quinta ed.). Mexico:
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Mc Graw Hill.
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Práctica 4: Método de Newton Raphson y secante Objetivo
Realizar cálculos de raíces de ecuaciones usando los métodos abiertos
Unidad 2
Solución de ecuaciones no lineales de una variable
Subtemas
2.3 Métodos abiertos y sus interpretaciones geométricas asi como criterios de convergencia (Newton Raphson y Método de la Secante)
Introducción
Método de Newton Raphson Es una de las fórmulas más ampliamente usadas para localizar raíces, si el valor inicial de la raíz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [X i, f (Xi) ]. El punto donde esta tangente cruza el eje X, representa una aproximación mejorada de la raíz. El método de Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretación geométrica, la primera derivada en X es equivalente a la pendiente
xi 1
xi
f xi f xi
La cual es conocida como fórmula de Newton - Raphson.
Método de la Secante Un problema fuerte en la implementación del método de newton Raphson es la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas otras funciones, existen algunas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difíciles de evaluar.
Por lo tanto el método de la secante
xi 1 xi Herramienta de
xi xi1 f xi f xi f xi 1
xi 1 xi
Apuntes, hojas blancas, software (Excel)
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Resolver los siguientes ejercicios de acuerdo al método indicado.
Problema 1
Aplicando el Método de Newton Raphson, encontrar una raíz próxima a x0 la ecuación f ( x) 3x sen( x) e
x
0 para
0 . Redondear los cálculos de las aproximaciones
a cinco cifras significativas e iterar hasta que se cumpla
xi 1 xi 0.001
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Respuesta
Problema 2
Use el método de la secante para aproximar la raíz de Comenzando en el intervalo [0.5,1] y hasta que
f ( x)
x2 1 tan( x) .
EA 1%
Respuesta
Conclusión
Referencia
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Práctica 5: Aplicación de la solución de ecuaciones no lineales Objetivo
Calcular raíces de ecuaciones para problemas reales
Unidad 2
Solución de ecuaciones no lineales
Subtemas
2.4 aplicaciones de la solución de ecuaciones no lineales
Introducción
Para hacer uso del cálculo de raíces de ecuaciones no lineales se puede hacer uso de los métodos de bisección, falsa posición o regla falsa, Newton Raphson y método de la Secante.
Herramienta de
Apuntes, calculadora, software, hojas blancas.
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Resolver el siguiente ejercicio utilizando el método de bisección, falsa posición, y secante para comparar la solución.
Problema 1
Para obtener la temperatura de burbuja de una mezcla de CCl4 y CF 4 en equilibrio con su vapor, se llegó a la ecuación: 376.71 6.195 6.898T1221.8 T 241.2 227.4 f (T ) 0.75 10 0.25 10 760 Encuentre la temperatura de burbuja con una aproximación de 10-2 aplicado a f(T).
105, 100 Respuesta
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Conclusión
Referencia
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Práctica 6: Interpolación lineal Objetivo
Encontrar el polinomio de interpolación por diferencias divididas de Newton
Unidad 3
Interpolación
Subtemas
3.1 Interpolación lineal
Introducción
Diferencias divididas de Newton El polinomio de interpolación con di ferencias divididas de Newton, entre otros es la forma más popular además de las más útil. Antes de presentar la ecuación general, se examinan las versiones de primero y segundo orden debido a su fácil interpretación visual.
Interpolación lineal. La forma más simple de interpolar es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado interpolación lineal, se muestra en la figura
Usando triángulos semejantes, se tiene:
f 1( x) f ( x0 ) x x0
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
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que se puede reordenar como :
f 1( x) f ( x0 )
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
( x x0 )
f 1( x) f ( x0 ) f x0 , x1 ( x x0 ) La cual es una fórmula de interpolación lineal. La notación f 1(x) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la linera que conecta los dos puntos, el termino
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0 Es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre más pequeño sea el intervalo entre dos puntos, más exacta será la aproximación.
Interpolación cuadrática. Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura en la línea q ue conecta a los puntos. Si se dispone de tr es datos, lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:
f 2( x) f ( x0 ) f x0 , x1 ( x x0 ) f x0 , x1 , x2 ( x x0 )( x x1 ) Herramienta de
Apuntes, Computadora, proyector, software (Excel)
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Resolver los siguientes ejercicios con el método indicado.
Problema 1
Calcular ln 9.2 a partir de ln 9.0, ln 9.5, ln 11.0 por interpolación cuadrática de Lagrange y determinar el error a partir de ln 9.2 = 2.2192 (4D)
Respuesta
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El calor específico Cp(cal / kgmol ) del Mn3O4 varía con la temperatura de acuerdo a la siguiente tabla: Punto
1
2
3
4
5
6
T (K)
280
650
1000
1200
1500
1700
Cp
32.7
45.4
52.15
53.7
52.9
50.3
Aproxime esta información usando la interpolación cuadrática de dif erencias divididas de Newton, con una estimación de la Temperatura de 700°K
Respuesta
Conclusión
Referencia
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Métodos Númericos para ingenieros (Quinta ed.). Mexico:
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Práctica 7: Interpolación de Lagrange Objetivo
Encontrar el polinomio de interpolación de Lagrange.
Unidad 3
Interpolación
Subtemas
3.2 Fórmula de interpolación de Lagrange
Introducción
Polinomio de interpolación de Lagrange. El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una reformulación del método de interpolación de diferencias divididas de Newton que evita los cálculos de las diferencias divididas. Este se puede representar como:
Polinomio lineal
f 1 ( x)
x x1 x0 x1
f x0
x x1 x1 x0
f x1
Polinomio de segundo orden es :
f 2 x Herramienta de
x x0 x x2 x x0 x x1 x x1 x x2 f x0 f x1 f x x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 2
Apuntes, Computadora, proyector, software (Excel)
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Resolver los siguientes ejercicios con el método indicado.
Problema 1
Calcular ln 9.2 a partir de ln 9.0, ln 9.5, ln 11.0 por interpolación cuadrática de Lagrange y determinar el error a partir de ln 9.2 = 2.2192
Respuesta
Problema 2
Use la interpolación de Lagrange, para las densidades de las soluciones acuosas del ácido sulfúrico varían con la temperatura y la concentración de acuerdo con la tabla :
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T (º C)
a)
C (%)
10
30
60
100
5
1.0344
1.0281
1.0140
0.9888
20
1.1453
1.1335
1.1153
1.0885
40
1.3103
1.2953
1.2732
1.2446
70
1.6923
1.6014
1.5753
1.5417
Calcule la densidad a una concentración de 40% y una temperatura de 15 ºC.
b) Calcule la densidad a 30 ºC y concentración de 50% c) Calcule la densidad a 50 ºC y 60% de concentración Respuesta (a)
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Respuesta (b)
Respuesta (c)
Conclusión
Referencia
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Métodos Númericos para ingenieros (Quinta ed.). Mexico:
bibliográfica
Mc Graw Hill
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Práctica 8: Aplicaciones de interpolación Objetivo
Calcular la interpolación de Newton para casos reales
Unidad 3
Interpolación
Subtemas
3.4 Aplicaciones de la interpolación
Introducción
Se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.
Herramienta de
Apuntes, computadora, proyector, software (Excel)
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I Problema 1
Respuesta
Determine la interpolación polinomial de Newton.
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Problema 2
Respuesta
Conclusión
Referencia
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Metodos Numericos para ingenieros (Tercera ed.). México:
bibliográfica
Mc Graw Hill.
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Práctica 9: Integración numérica Objetivo
Calcular la integración numérica usando el método del trapecio para los problemas reales
Unidad 4
Integración numérica
Subtemas
4.2 Regla trapecial
Introducción
Método del Trapecio. La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas de integración cerrada de Newton-Cotes.
/
b
a
f ( x)dx
b
f ( x)dx a
1
El resultado de la integración es :
I b a
f (a) f (b) 2
La cual se denomina regla trapezoidal simple
La regla del trapecio utilizando segmentos múltiples Una mejor manera de mejorar la actitud de la regla trapezoidal es la de dividir el intervalo de integración de a a b en un conjunto de segmentos y aplicar el método a cada uno de los segmentos.
Figura: ilustración de la regla trapezoidal múltiple a) dos segmentos, b) tres segmentos; c) cuatro segmentos; d) cinco segmentos
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o mediante agrupación de términos : n 1 h I f x0 2 f xi f xn 2 i 1
en formato general es:
f ( x ) f ( x )
f ( x0 ) 2 I (b a) Herramienta de
n 1
i
n
i 1
2n
Apuntes, Computadora, proyector, software (Excel)
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Resolver los siguientes ejercicios usando el método del trapecio. Utilice Excel para resolverlos.
Problema 1
Calculo de una longitud de arco. Un círculo de radio 1 rueda alrededor de otro mayor, de radio 4. La epicicloide descrita por un punto de la circunferencia del círculo más pequeño viene dada por:
x 5Cos (t ) Cos (5t ) y 5Sen (t ) Sen (5t ) usando :
s
b
a
2
2
dy dx dt dt dt
Hallar la distancia recorrida por el punto en una vuelta completa alrededor de círculo mayor. Use el método de trapecio de segmento múltiple con n = 10
Respuesta
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Conclusión
Referencia bibliográfica
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Métodos Númericos para ingenieros (Quinta ed.). Mexico: Mc Graw Hill. Larson , R., & Hostetler, R. (2000). Calculo (Sexta ed., Vol. 2). Madrid: Mc Graw Hill. Nieves, A., & Federico, C. (2010). Metodos Numericos para ingenieros (Tercera ed.). México: Mc Graw Hill.
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Práctica 10: Aplicación de la integración numérica Objetivo
Calcular la integración numérica para problemas de aplicación usando los métodos vistos
Unidad 4
Integración numérica
Subtemas
4.3 aplicación de la integración numérica
Introducción
Cualquiera de las técnicas de integración vistas en esta unidad es modificable, de modo que se puede aplicar en la aproximación de integrales simples, dobles o triples. Para cualquier problema de aplicación o casos prácticos.
Herramienta de
Apuntes, computadora, proyector, software (Excel)
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Resuelva el siguiente ejercicio usando el método de trapecio múltiple, use Excel para solucionarlo.
Problema 1
En ingeniería química y en bioingeniería se emplean cálculos de la cantidad de calor en forma rutinaria, así como en muchos otros campos de la ingeniería. La determinación de la cantidad requerido para elevar la temperatura de un material es un problema con que a menudo nos enfrentamos. La característica necesaria para llevar a cabo este cálculo es la capacidad calorífica c. Este parámetro representa la cantidad requerido para elevar una unidad de temperatura en una unidad de masa. Si c es una constante en el intervalo de temperaturas que se examinan, el calor requerido H (en calorías) se calcula mediante
H mcT Donde c esta en cal/g°C, masa (g) y T es pequeño. La capacidad calorífica de un material podría aumentar podría aumentar con la temperatura de acuerdos con una relación tal y como:
c(T ) 0.132 1.56x104 T 2.64x107 T 2 En este caso se pide por ejemplo el calcular el calor necesario para elevar la temperatura de 1000 gramos de este material desde -100 hasta 200° C
c (T )
T 2
T 1
c(T )dT
T2 T 1
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Que se sustituye en la ecuación:
T c(T )dT T T m T c(T ) dT H mcT m T T2 T 1 2
2
1
1
Utilice el método con n = 10 intervalos.
Respuesta
Encuentre el centro de masa de una lámina cuya forma se encuentra en la figura adjunta, suponiendo que la densidad en un punto p(x,y) de la lámina está dada por:
p( x, y ) xsen( y )
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Respuesta
Conclusión
Referencia
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Metodos Numericos para ingenieros (Tercera ed.). México:
bibliográfica
Mc Graw Hill.
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Práctica 11: Método de Gauss Jordán Objetivo
Calcular la solución de los sistemas de ecuaciones lineales usando el método de Gauss Jordán
Unidad 5
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Subtemas
5.2 Método de Gauss Jordán
Introducción
El Método de Gauss – Jordán o también llamado eliminación de Gauss – Jordán, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Herramienta de
Apuntes, hojas blancas, calculadora, Mathcad
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Use el método de Gauss Jordán para encontrar la solución de los siguientes problemas.
Problema 1
Determine las concentraciones molares de una mezcla de cinco componentes en solución a partir de los siguientes datos espectrofotométricos
Asúmase que la longitud de la trayectoria óptica es unitaria y que el solvente no absorbe a estas longitudes de onda.
Respuesta
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INGENIERÍA CIVIL Problema 2
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En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente de gas V, con un aceite L que circ ula a contracorriente del gas. C onsidérese que el benceno transferido no altera sustancialmente el número de moles de V y L, fluyendo a contracorriente, que la relación de equilibrio está dada por la ley de henry ( y = mx ) y que la columna opera a régimen permanente. Calcule la composición del benceno en cada plato, usando el método de Gauss Jordán Datos: V = 100 moles / min; L = 500 moles / min.
x0
y0
0.09 Fracción molar de benceno en V.
0.0 Fracción molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno).
m = 0.12. Realice un balance de materia para el benceno en cada plato son con E = 0.0001
Respuesta
INGENIERÍA CIVIL Problema 3
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Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras. Se requiere cuatro clases de recursos – horas-hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos
–
en la producción. En el cuadro siguiente se resumen las cantidades
necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadora. Si se dispone diariamente de 504 horas-hombre, 1970 Kg. de metal, 970 Kg. de plástico y 601 componentes electrónicos, ¿Cuántas computadoras de cada tipo se puede construir por día?. Use el método de Gauss Jordán computadoras
1 2 3 4 Totales
Horas – hombre, kg / computadora 3 4 7 20
Metales kg / computadora
Plásticos kg / computadora
20 25 40 50
10 15 20 22
Componentes, unidades / computadora 10 8 10 15
504
1970
970
601
Respuesta
Conclusión
Referencia
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Metodos Numericos para ingenieros (Tercera ed.). México:
bibliográfica
Mc Graw Hill.
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Práctica 12: Método de Gauss Seidel Objetivo
Resolver problemas donde se encuentren sistemas de ecuaciones lineales.
Unidad 5
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Subtemas
5.3 Método de Gauss Seidel
Introducción
Método de Gauss Seidel Los métodos iterativos o aproximados proveen una alternativa en los métodos de eliminación. El método de Gauss-Seidel es el método iterativo más comúnmente usado. Suponga que se da un conjunto de n ecuaciones:
Ax B
a ,i
xik xik 1 xik
*100 s
Para toda la i, donde j y j-1 son las iteraciones actuales y previas.
Como cada nuevo valor de x se calcula con el método de Gauss-Seidel, este se usa inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar otro valor de x. De esta manera, si la solución es convergente, se empleara la mejor estimación posible.
Herramienta de
Apuntes, hojas blancas, calculadora, Excel
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Use el método de Gauss Seidel para encontrar las soluciones al sistema de ecuaciones lineales, apóyese de Excel para resolver.
Problema 1
En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corrie nte de gas V, con un aceite L que circ ula a contracorriente del gas. Considérese que el benceno transferido no altera sustancialmente el número de moles de V y L, fluyendo a contracorriente, que la relación de equilibrio está dada por la ley de henry ( y = mx ) y que la columna opera a régimen permanente. Calcule la composición del benceno en cada plato. Datos: V = 100 moles / min; L = 500 moles / min.
y0
0.09 Fracción molar de benceno en V.
x0 0.0 Fracción molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno).
m
= 0.12. Realice un balance de materia para el benceno en cada plato son con E = 0.0001
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Respuesta
Conclusión
Referencia
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Métodos Númericos para ingenieros (Quinta ed.). Mexico:
bibliográfica
Mc Graw Hill.
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Práctica 13: Métodos de Jacobi Objetivo
Resolver problemas donde se encuentren sistemas de ecuaciones lineales.
Unidad 5
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Subtemas
Método de Jacobi
Introducción
Método de Jacobi El método de Jacobi es un proceso simple de iteraciones de punto fijo en la solución de raíces de una ecuación. La iteración de punto fijo tiene dos problemas fundamentales:
Algunas veces no converge
Cuando lo hace, es a menudo, muy lento.
El método Jacobi también puede tener esas fallas. Esquema grafico que muestra el método de iteración de Jacobi, en la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas.
Herramienta de
a ,i
xik xik 1 xik
*100 s
Apuntes, hojas blancas, calculadora, Excel
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Use el método de Jacobi para encontrar las soluciones al sistema de ecuaciones lineales, apóyese de Excel para resolver.
Actividad 1
En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente de gas V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considérese que el benceno transferido no altera sustancialmente el número de moles de V y L, fluyendo a contracorri ente, que la relación de equilibrio está dada por la ley de henry ( y = mx ) y que la columna opera a régimen permanente. Calcule la composición del benceno en cada plato. Datos: V = 100 moles / min; L = 500 moles / min.
x0
y0
0.09 Fracción molar de benceno en V.
0.0 Fracción molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno). m =
0.12. Realice un balance de materia para el benceno en cada plato son con E = 0.0001
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Respuesta
Conclusión
Bibliografía
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Métodos Númericos para ingenieros (Quinta ed.). Mexico: Mc Graw Hill.
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Práctica 14: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales Objetivo
Calcular la solución a los sistemas de ecuaciones lineales a problemas reales.
Unidad 5
Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Subtemas
5.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
Para resolver los sistemas de ecuaciones lineales se pueden lograr usando el método de Gauss Jordán, o usar el método de Gauss Seidel.
Herramienta de
Apuntes, computadora, proyector, software Mathcad
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Resuelva el siguiente ejercicio usando el método de Gauss Jordán puede utilizar el software de mathcad.
Problema
Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las maquinas estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatros productos está dado por:
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Producto 4
Maquina 1
1
2
1
2
Maquina 2
2
0
1
1
Maquina 3
1
2
3
0
Por ejemplo, en la producción de una unidad del producto la máquina 1 se usa 1 hora, la maquina 2 se usa 2 horas y la maquina 3 se usa 1 hora. Encuentre el número de unidades que se deben producir de cada uno de los 4 productos un día de 8 horas completas.
Respuesta
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Conclusión
Referencia
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Metodos Numericos para ingenieros (Tercera ed.). México:
bibliográfica
Mc Graw Hill.
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Práctica 15: Método de Newton Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales Objetivo
Resolver ejercicios donde use sistemas de ecuaciones no lineales.
Unidad 6
Solución de sistemas de ecuaciones no lineales
Subtemas
6.3 Método de Newton Raphson
Introducción
Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales con varias incógnitas, se destacarán algunas de las dificultades que se presentan al aplicar métodos.
Es imposible graficar las superficies multidimensionales definidas por las ecuaciones de los sistemas para n > 2
No es fácil encontrar “buenos” valores iniciales.
Interpretación geométrica del método de Newton – Raphson. Desarrollemos en etapas esta interpretación para un sistema de dos ecuaciones. Sea el sistema
f 1 ( x, y) x 2 y 2 1 f 2 ( x, y) x 2 y 2 1 La grafica de
Herramienta de
f 1 ( x, y) x 2 y 2 1 se muestra en la figura
Apuntes, computadora, proyector, software (matemáticas de Microsoft)
apoyo Desarrollo de la practica Instrucción I
Encontrar una solución del sistema de ecuación no lineal , use matemáticas de Microsoft para graficar
Problema 1
f ( x, y) x 2 y 2 4 f ( x, y) y x 2
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Respuesta
Problema 2
f ( x, y ) 10( y x 2 ) f ( x, y ) 1 x
Respuesta
Código: Revisión: 0 Página 43
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INGENIERÍA CIVIL Problema 3
f ( x , y)
Código: Revisión: 0 Página 44
sin( y)
f ( x , y) cos( x) Respuesta
Conclusión
Referencia
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Métodos Numéricos para ingenieros (Tercera ed.).
bibliográfica
México: Mc Graw Hill.
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Práctica 16: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones no lineales Objetivo
Resolver ejercicios donde use sistemas de ecuaciones no lineales.
Unidad 6
Solución de sistemas de ecuaciones no lineales
Subtemas
6.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones no lineales.
Introducción
Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales con varias incógnitas, se destaran algunas dificultades que se presentan al aplicar estos métodos. Es imposible graficar las superficies multidimensionales definidas por las ecuaciones de los sistemas para n > 2. No es fácil encontrar “buenos” valores iniciales. Apuntes, computadora, proyector, software (Excel)
Herramienta de apoyo
Desarrollo de la practica Instrucción I Problema 1
Respuesta
Resolver el siguiente ejercicio usando el método de Newton Raphson.
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Código: Revisión: 0 Página 46
Conclusión
Referencia
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Métodos Numéricos para ingenieros (Tercera ed.).
bibliográfica
México: Mc Graw Hill.