Coordenadas independientes
θ3
θ2
G=1
θ2
G=2
θ4
θ2
θ2
G=1
G=3
θ3
El número de grados de libertad define el número el número de elementos de entrada. entrada Es decir, el número de motores y/o actuadores que deben colocarse en el mecanismo para proporcionar movimiento.
Coordenadas independientes Coordenadas independie independientes: ntes: son aquellas que coinciden con el número de grados de libertad lib ertad del mecanismo, y por tanto son el mínimo número de coordenada coordenadas s necesarias para definir completamente la posición. q i = [θ 2 θ 3 θ 4 ] T
Las coordenadas independientes dependen directamente de la variable tiempo tiempo. Son las entradas en el mecanismo y el analista establece como varían con el tiempo.
θ4
θ2
θ3
G=3
θ 1 = θ 1 ( t ) θ 2 = θ 2 ( t )
Φ ( t ) = 0
θ 3 = θ 3 ( t )
Restricciones temporal temporales es
Coordenadas dependientes dependientes
Coord Coordenad enadas as dependien depen dientes: tes: puede emplear emplear un número número Coordenadas d dependientes: dependiente ependientes: s: se puede mayor de coordenadas que el número de grados de libertad. De esta forma se consigue una descripción mucho más sencilla del sistema pero deben de incluirse unas ecuaciones ecuaciones de restricci restricció ón restricci ón que las relacione. θ6
T qi
= [θ 2 θ 3 θ 4 ]
q d = [θ 5 θ 6 ] T
θ5
q
T
θ4
= q iT q Td θ2
θ3
G=3
Coordenadas dependientes dependientes El número de coordenadas dependientes puede ser seleccionado por el analista en función de los resultados que quiera obtener y por tanto t anto no existe una regla fija. Sin embargo, cuando se emplean coordenadas dependientes es necesario ligarlas con las coordenadas independientes independientes a través t ravés de lo que se conoce como ecuaciones de restricci restricció ón. Est ón. Estas as ecu ecuaci acion ones es de restricción deben ser introducidas en la formulación del problema cinemático.
C
Ecuaciones de restricción: T qi T
θ5
θ6
D
L5
E
B
= [θ 2 θ 3 θ 4 ]
q d = [θ 5 θ 6 ]
L3
L4
Φ 1 (q i , q d ) = Φ (q ) = 0 Φ ( q q ) 2 i d
L2 A
L6 θ2
F
θ3
θ4
Ecuaciones de restricci restricció ón ón Por tanto, el número de ecuaciones de restricci restricció ón en un pr ón prob oble lema ma cinemático es igual al número de coordenadas dependientes empleadas. empleada s. Estas Est as restricciones dan lugar a un sistema de ecuaciones e cuaciones no lineal, más difícil de resolver cuantas más ecuacione ecuaciones s contenga. Las ecuaciones de restricción pueden clasificarse en 2 tipos: •Restricciones Restricciones en los los elementos: elementos: En elementos elementos rígidos se establecen establecen normalmente como condición de longitud constante. •Restricciones Restricciones en los pares cinem cinemá átic áticos: ticos: os: So Son n ecuac ecuacion iones es que que permiten el movimiento relativo en los grados de libertad del par cinemático y restringen el resto de movimientos.
Ecuaciones de restricci restricció ón ón Ecuaciones de restricción en los elementos
Plano 2
( x i − x j ) + ( y i − y j )
2
− L2ij
i =0
Lij
Espacio ( x i − x j ) 2 + ( y i − y j ) 2 + ( z i − z j ) 2 − L2ij = 0
Otra forma de representarlo (producto escalar): r ij ⋅ r ij − L2ij = 0
j
i
r ij
Lij j
Ecuaciones de restricci restricció ón ón Ecuaciones de restricción en los elementos
Elemento con tres puntos (pares cinemáticos) no alineados: r ij ⋅ r ij − L2ij = 0;
( x i − x j ) 2 + ( y i − y j ) 2 − L2ij = 0
r ik ⋅ r ik − L2ik = 0;
( x i − x k ) 2 + ( y i − y k ) 2 − L2ik = 0
r kj ⋅ r kj − L2kj = 0;
( x k − x j ) 2 + ( y k − y j ) 2 − L2kj = 0
i k
j Se puede seguir aumentando el número de puntos (pares cinemáticos) en el elemento incluyendo nuevas ecuaciones de restricción.
Ecuaciones de restricci restricció ón ón Ecuaciones de restricción en los pares cinemáticos Ecuaciones de restricción del par esf esfé érrico érico ico (S): (S) (S) (S) x i − x j = 0
i
z i − z j = 0 Ecuaciones de restricción del par de revoluci revolució ón (R): ón (R) (R)
j
Z
y i − y j = 0
Y O
X
(R) x i − x j = 0 y i − y j = 0
i
j
Ecuaciones de restricci restricció ón ón Ecuaciones de restricción en los pares cinemáticos Ecuaciones de restricción del par cil cilííndrico ín drico (C): (C) ndrico (C) j
r ij × r ik = 0
k i
r × r = 0 kl
l
kj
i
k
En el par cilíndrico es necesario garantizar que existe un eje común en los dos elementos. elementos. La primera ecuación implica que que los los puntos i,j,k están alineados y la segunda ecuación implica que también lo están k,l,j.
Ecuaciones de restricci restricció ón ón Ecuaciones de restricción en los pares cinemáticos Ecuaciones de restricción del par prism prismá áttico ático ico (P): (P): r ij × r ik = 0
+ kl kj r × r = 0 Cilíndrico
+
r im ir jn − α 1 = 0 r
im
kn r − α 2 = 0
i
r im ir kn − α 3 = 0 m
prismático
α 1 ,α 2 ,α 3 : constantes del producto producto escalar
j
l n
i
k
En el par prismático las restricciones son las mismas que en el cilíndrico pero además es necesario garantizar que el ángulo relativo entre los elementos no se modifica.
Ecuaciones de restricci restricció ón ón Ecuaciones de restricción en los pares cinemáticos
Ecuaciones de restricción de la Jun Ju nta Cardan Carda Ca dan n o Universal: Uniive Un vers rsa al Junta Universal
2 gdl um
x1 j − x 2 j = 0 y1 j − y 2 j = 0
j m
n
+ u −u = 0
z1 j − z 2 j = 0
i
1
k
Δθ2
2
2 un
ψ
1 Esférico
+
cardan
Si además fuese necesario mantene mant enerr el ángu ángulo lo Ψ cons constante tante:: ij
r ir
jk
− Lij L jk cosψ = 0
Δθ1
Tipos de coordenadas coordenadas Los tipos de coordenadas que se pueden emplear son las siguientes: 1. Coo Coorde rdena nadas das rela relativ tivas as.. 2. Pun Puntos tos de ref refere erenci ncia. a. 3. Coo Coorde rdena nadas das cartesi cartesiana anas. s. 4. Co Comb mbin inac ació ión. n. La selección e unas u otras tiene una gran importancia ya que, dependiendo del caso, conducen a una formulación más sencilla o complicada del problema. En algunos casos se seleccionan aquellas aquellas coordenadas que coinciden con el elemento motriz de entrada. Ejemplo: Motor -> ángulo girado.
Tipos de coordenadas coordenadas Coordenadas relativas Las coordenadas relativas definen la posición de cada elemento relativa con respecto al elemento anterior. 1 gdl 2 coord. dependientes = 2 ecuaciones de restricción 3
ψ 2
B
ψ 3
A
A
4
2
ψ 2
3
ψ 3
2
ψ 1
B
4
ψ 1
O
D
O
D
q i = [ψ i ]
qi = [ψ i ]
q Td = [ψ 2 ψ 3 ]
q Td = [ψ 2 ψ 3 ]
T
= 0 L1 cosψ 1 + L2 cos (ψ 1 +ψ 2 ) + L3 cos (ψ 1 +ψ 2 +ψ 3 ) − OD
T
L1 cosψ 1 +ψ 3 cos (ψ 1 +ψ 2 ) + L3 cos (ψ 1 +ψ 2 − π 2 ) − OD = 0
Tipos de coordenadas coordenadas Puntos de referencia Las coordenadas basadas en puntos de referencia consideran las coordenadas de un punto en cada elemento y un ángulo. 1 gdl 8 coord. dependientes = 8 ecuaciones de restricción B 3
B
ψ 2
3
A
A
(x1,y1)
ψ 1
(x2,y2)
ψ 3
(x2,y2) 2
ψ 2
ψ 1
2
(x3,y3)
(x1,y1)
4
ψ 3 (x3,y3) 4
O O
D
D
( x1 − x0 ) − L 2 cosψ 1 L − − y y sin ψ ( ) 2 1 0 1 x − x − L cosψ − L cosψ 2 1 2 ( 2 1 ) 2 L L ( y − y ) − 2 sinψ − 2 sinψ 1 2 2 1 Φ(q) = L L ( x3 − x2 ) − 2 cosψ 2 − 2 cosψ 3 ( y − y ) − L sinψ − L sinψ 2 2 2 3 3 2 1
1
1
2
1
2
2
2
3
3
( x1 − x0 ) − L 2 cosψ 1 L ( y1 − y0 ) − 2 sinψ 1 x − x − L cosψ − L cosψ 2 1 2 ( 2 1 ) 2 L L ( y − y ) − 2 sinψ − 2 sinψ 2 1 1 2 Φ(q) = π ψ 2 −ψ 3 − 2 ( y − y ) cosψ + ( x − x ) sinψ − L 2 3 2 2 3 2 1
1
1
1
2
2
3
2
3
ψ 2 y2-y3
ψ 2 x3-x2
4
ψ 3
Tipos de coordenadas Coordenadas cartesianas La posición del mecanismo se define a través t ravés de coordenadas cartesianas de ciertos puntos de interés. 1 gdl 3 coord. dependientes = 3 ecuaciones de restricción B 3
(x A,y A)
(xB,yB)
A
( xO − xA ) 2 + ( yO − yA ) 2 − L22 = 0 2 2 2 Φ(q) = ( x A − xB ) + ( y A − yB ) − L3 = 0 ( x − x ) 2 + ( y − y ) 2 − L2 = 0 B D 4 B D
2 4
O
D
1 gdl 5 coord. dependientes = 5 ecuaciones de restricción (xB,yB) 3
A (x A,y A) 2
A
C B
Φ (q ) = (xC,yC)
( xO − xA ) 2 + ( yO − y A ) 2 − L22 = 0 ( x A − xB ) 2 + ( y A − yB ) 2 − L23 = 0 ( x B − xD ) 2 + ( yB − yD ) 2 − L24 = 0 ( x B − xA )( yC − y A ) − ( xC − xA )( yB − yA )
Longitud constante
Puntos alineados
Tipos de coordenadas Combinación
1 gdl 7 coord. dependientes = 7 ecuaciones de restricción
C (xB,yB)
ψ 2
A
B (xC,yC)
3
(x A,y A) s 2
4
ψ 1 O
D
( xO − xA ) 2 + ( yO − y A ) 2 − L22 = 0 ( x A − xB ) 2 + ( y A − yB ) 2 − L23 = 0 2 2 2 ( x B − xD ) + ( yB − yD ) − L4 = 0 Φ(q) = ( x B − xA ) 2 + ( yB − y A ) 2 − s 2 = 0 ( x B − xA )( yC − y A ) − ( xC − xA )( yB − yA ) ( xC − xA )( xB − xD ) + ( xC − xA )( xB − xD ) − L3 L4 cos φ ( x A − xO )( xC − xA ) + ( y A − yO )( yC − y A ) − L2 L3 cosψ
Tipos de coordenadas
1 gdl = 1 coord. coord. Independiente Independiente = ecuación ecuación temporal. temporal.
B
ψ 2
A
3
Φ1 ( t ) = ψ 1 −
t =0
2 coord. dependientes = ecuaciones de restricción
ψ 3
2
4
L1 cosψ 1 + ψ 3 cos (ψ 1 + ψ 2 ) + L3 cos (ψ 1 + ψ 2 − π 2 ) − OD = 0 Φ 2 (q ) = π L1 sinψ 1 +ψ 3 sin (ψ 1 + ψ 2 ) + L3 sin (ψ 1 + ψ 2 − 2 ) = 0
ψ 1 O
D Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: Ψ 1, Ψ2, Ψ3.
Φ1 ( t ) Φ ( q, t ) = =0 Φ 2 ( q )
Determinació ón de la posició ón inicial Determinación posición El análisis de la posición en los métodos numéricos se basa en resolver un sistema de ecuaciones llamadas ecuacione ecuaciones s de restricción . Las cuales pueden ser expresadas de la siguiente manera,
Φ(q, t ) = 0
(1)
donde t representa la variable tiempo y qq es el el vect vector or de de coor coorde dena nada das s que puede ser expresado como, T q = [q1 q2 ...qn ]
(2)
Este es el vector de inc ógnitas. Entonces, el problema de obtener la posición del mecanismo consiste en resolver el sistema de ecuaciones (1) y obtener obtener el valor de (2). Sin Sin embargo, embargo, el sistema (1) puede ser un sistema
Determinació ón de la posici posició ón inicial ón Determinación 1 gdl = 1 coord. coord. Independiente Independiente = ecuación ecuación temporal. temporal.
B
ψ 2
A
3
Φ1 ( t ) = ψ 1 −
t=0
2 coord. dependientes = ecuaciones de restricción
ψ 3
2
4
L1 cosψ 1 +ψ 3 cos (ψ 1 +ψ 2 ) + L3 cos (ψ 1 +ψ 2 − π 2 ) − OD = 0 Φ 2 (q) = L1 sinψ 1 +ψ 3 sin (ψ 1 +ψ 2 ) + L3 sin (ψ 1 +ψ 2 − π 2 ) = 0
ψ 1 O
D Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: Ψ 1, Ψ2, Ψ3.
Φ1 ( t ) Φ ( q, t ) = =0 Φ q 2 ( )
Determinació ón de la posici posició ón inicial ón Determinación Resolver el sistema presentado en (1) supone recurrir a m étodos numéricos para la resoluci ón de sistemas de ecuaciones como puede ser Newton-Raphson. Este m étodo se basa en la linealizaci ón del sistema (1) consistente en remplazar el sistema de ecuaciones por otro aproximado obtenido de aplicar el desarrollo desarrollo en serie de de Taylor. Dicho desarrollo se realiza alrededor de un vector de variables dependientes, qi, cuyo valor esta cerca de la solución. Es decir, tomando los dos primeros términos del desarrollo se obtiene,
Φ ( q, t ) = Φ ( qi ) + Φq ( qi ) ( q i − q ) = 0 (3) donde la variable tiempo no se considera ya que en este caso se considera constante. La matriz Φq es el Jacobiano del vector Φ.
Determinació ón de la posici posició ón inicial ón Determinación En otras palabras, es la matriz de derivadas parciales de las ecuaciones de restricción respecto de las coordenadas dependientes. Esta matriz desarrollada tiene la siguiente forma,
∂φ 1 ∂q 1 ∂φ 2 Φ q = ∂q1 ... ∂φ m ∂q1
∂φ 1 ∂q2 ∂φ 2 ∂q2 ... ∂φ m
∂q2
... ... ... ∂φ m ... ∂qn ...
∂φ 1 ∂qn ∂φ 2 ∂qn
(4)
donde m es el número de ecuaciones de restricción y n el número de coordenadas generalizadas generalizadas.. Si las ecuaciones de restricción son
Determinació ón de la posici posició ón inicial ón Determinación Por tanto, el sistema de ecuaciones presentado en (3) es un sistema lineal aproximado al sistema original pero no idéntico, la mayor o menor aproximac apro ximación ión depen dependerá derá del mayo mayorr o meno menorr grado grado de line linealida alidad d del del sistema siste ma (1). (1). Enton Entonces, ces, el valor de las coord coordenad enadas as depe dependie ndientes, ntes, q q,, obtenida obte nidas s de (3) será será tambi también én aproxima aproximado. do.
Φ(q, t ) = 0
(1)
Φ ( q, t ) = Φ ( qi ) + Φq ( qi ) ( q i − q ) = 0 (3)
Solución aproximada
Sistema original (ecuaciones algebraicas NO linea eale les) s)
Sistema aproximado (ecuaciones (ecuacione s algebraicas lineales)
+Φ (
)
−1
Φ(
)
Determinació ón de la posici posició ón inicial ón Determinación Si denominamos a esta solución q i podemos emplear la siguiente fórmula recursiva para mejorar la solución, −1
q i +1 = q i + Φ q (q i ) Φ (q i )
(5)
obteniendo q i+1 repetidamente hasta que el error del sistema de ecuaciones (1) sea insignificante, o hasta que la diferencia entre dos iteraciones sucesivas sea tan pequeña como un valor predefinido de tolerancia.
Determinació ón de la posici posició ón inicial ón Determinación La figura se observa la representación geométrica del método de Newton-Rap Newto n-Raphson hson en el caso caso de una ecuac ecuación ión no lineal lineal.. La función función Φ(q q) q) es linealizada sucesivamente partiendo del valor q 0 obtenido del sistema lineal (3) y obteniendo sucesivos valores q 2, q3, etc. hasta que se alcance la convergencia. Φ
Φ(q, t ) = 0 Φ(q i ) + Φ q (q i ) (q − q i ) = 0
q q q4
q3
q
q
Determinació ón de la posició ón inicial Determinación posición Es impor importante tante resa resaltar ltar que el méto método do de Newto Newton-Rap n-Raphson hson pued puede e no no alcanzar la convergencia. Esto ocurre por ejemplo cuando el valor inicial de las coordenadas dependientes, q1 q1, esta lejos de la solución o cuando dicho valor no representa una solución física posible del problema. Φ
Φ(q, t ) = 0
Φ(q i ) + Φ q (q i ) (q − q i ) = 0
q q
Desplazamientos finitos Este problema consiste en una vez determinada la posición inicial determinar la posición siguiente del mecanismo cuando sufre un incremento en la posición del elemento de entrada. entrada. Es decir, se debe calcular la nueva posición del mecanismo partiendo de la posición anterior. −1
q 1 = q o + Φ q (q o ) Φ (q o ) −1
q 2 = q1 + Φ q (q1 ) Φ (q1 )
q1 q2
qo
Aquí se cuenta con una ayuda fundamental que consiste en conocer el valor de las coordenadas dependientes de una posición cercana, y por tanto, el valor de inicio de iteración presentara una elevada precisión. Evidentemente, esto sólo ocurre si el incremento de posición en el elemento de entrada es lo suficientemente suficientemen te pequeño.
Desplazamientos finitos
Si el problema de desplazamientos finitos se repite para distintos incrementos de posición del elemento de entrada se puede conocer el movimiento del mecanismo en un determinado rango, obteniendo de forma directa las trayectorias de los puntos cuyas coordenadas sean variables dependientes, y de forma indirecta las trayectorias de los otros puntos.
Aná álisis de velocidades Análisis En este apartado se estudia como obtener las velocidades relacionadas con las coordenadas generalizadas seleccionada seleccionadas. s. Es decir como obtener la derivada temporal de las coordenadas generalizadas,, generalizadas
q Como se ha visto en el problema de posici ón el valor de las coordenadas generalizadas q se obti obtien ene e en en insta instante ntes s discre discretos tos de de tiempo y por tanto no se conoce una expresi ón matemática explicita que permita obtener las derivadas temporales de forma anal ítica.
Aná álisis de velocidades Análisis Como se ha visto anteriormente, estas coordenadas se han introducido en una serie de ecuaciones denominadas de restricción con la siguiente forma,
Φ(q, t ) = 0 Se puede plantear como alternativa para el cálculo de las derivadas temporales un procedimiento de diferenciación en cadena partiendo del vector de ecuaciones de restricción. Esto es, Φ = Φ q q + Φ t = 0
Donde,
q(t )
donde Φt es la derivada del vector restricciones respecto del tiempo.. tiempo..
Aná álisis de velocidades Análisis Reordenando,
Φ q q + Φ t = 0
Se obtiene,
Φ q q = −Φ t = υ Si la matriz Φq es no singular esta ecuación representa un sistema de ecuaciones ecuacione s lineales que puede ser resuelta mediante procedimientos bien conocidos en análisis numérico. Una vez resuelta se obtienen las velocidades velocidade s para valores discretos de tiempo. Es decir, −1
q = −Φ q Φ t Expresión que nos ofrece las velocidades de las coordenadas generalizadas.. generalizadas
Aná álisis de aceleraciones Análisis Para obtener los valores de aceleración el procedimiento seguido es similar al procedimiento de las velocidades. Se toma el vector de ecuaciones de restricción y se deriva dos veces respecto del tiempo según la regla de derivación en cadena,
Φ(q, t ) = 0 Derivada 1a Derivada 2a
considerando,
q(t )
Φ = Φ q q + Φ t = 0
d dt
) = (Φ
d dt
(Φ q q + Φ t ) = 0
(Φq q + Φ t ) q q +
∂ (Φ q q + Φ t ) = 0 ∂t
(Φ q ) q + Φ q + Φ q + Φ q =0 + Φ
Aná álisis de aceleraciones Análisis = Φ q q + (Φ q q ) q q + Φ qt q + Φ tq q + Φ tt = 0 Φ
Reordenando, Donde,
Φ q q = −(Φ q q ) q q − 2Φ qt q − Φ tt = γ
= −(Φ q q ) q q − 2Φ qt q − Φ tt
Es un valor completamente conocido una vez resuelto el problema de velocidades. velocidade s. Entonces,
Φ q q = γ Resulta ser un sistema de ecuaciones lineal que puede ser resuelto fácilmente mediante procedimientos habituales.
