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METODOS NUMERICOS APLICADOS A ECUACIONES DIFERENCIALES Y EN DERIVADAS PARCIALES Primera Parte
Ec#acion del Oscilado de D#$$in% & Resol#cion !o el metodo N#meico de R#n%e&'#tta de oden () En la primer parte del trabajo resolveremos la ecuación diferencial del oscilador de Duffing por métodos numéricos. Un sistema dinámico es un sistema que sufre cambios a lo largo del tiempo que vienen definidos generalment generalmente e en términos de ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales (sistemas (sistemas continuos) ó ecuaciones en diferencias (sistemas (sistemas discretos). En nuestro caso concreto estudiamos un sistema continuo que viene v iene modelizado por una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. A su vez estos sistemas sistemas din!micos din!micos pueden ser ser lineales o no lineales. "a diferencia diferencia radica en la respuesta del sistema a la presencia de est#mulos e$ternos. Un sistema lineal responder! siempre de forma proporcional al est#mulo e$terno mientras que los sistemas no lineales son muc%os m!s dif#ciles de analizar &a que su comportamiento comportamiento ante dic%o est#mulo no guarda relación lineal con la causa que lo produce. El sistema de Duffing es un sistema no lineal. lineal . En términos f#sico' matem!ticos los sistemas no lineales son aquellos que quedan definidos por ecuaciones no lineales & que necesitan métodos matem!ticos que utilizan la integración de las ecuaciones que definen el comportamiento de dic%o sistema. Ejemplo de estos métodos son el método de Euler de Euler o o el método de Runge-Kutta de Runge-Kutta.. "os sistemas no lineales pueden presentar comportamiento caótico (impredecible). e entiende que un sistema es caótico cuando es sensible a las condiciones in#ciales es decir que pequeos cambios en ellas producen grandes diferencias de comportamiento comportamiento del sistema en el futuro. En este sentido puede decirse que los sistemas caóticos son deterministas &a que se conoce de forma precisa la secuencia que les da origen es decir la le& que rige su evolución pero sin embargo son impredecibles impredecibles para periodos largos de tiempo debido a su alta sensibilidad a las condiciones iniciales. "a diferencia entre valores que inicialmente est!n mu& pró$imos unos de otros crece e$ponencialmente con el paso del tiempo produciendo as# un comportamiento comportamiento en el sistema imposible imposible de conocer de antemano. Desci!ción del Po"lema "a ecuación de movimiento del *scilador de Duffing viene representada por la siguiente e$presión matem!tica+ matem!tica+
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y (t ) + 2 μ y ( t ) + ω y ( t )− λ y ( t ) =f ( t ) ''
'
2
3
¿
¿ con : +¿ ¿ ' y ( 0 )= y 0 / y 0 ϵ R τ ; y ( 0 ) =u0 / u0 ϵ R τ ; μ , ω , λ ϵ R0 2 f ϵ C ( R τ ) ⟶con⟶μ = 0,61 ; ω =7,8 ; λ =0,2 ¿ f =sin ( t 2 ) ⟶t ; 0 s ≤ t ≤ 10 s ; y ( 0 )=1 ; y ' ( 0 )=1 ¿ ¿ ,ara la solución del problema En nuestro caso tratamos de utilizar dos métodos. ,rimero recurrimos al -étodo de Euler que no es demasiado complejo & debido a su sencillez nos permite obtener un punto de referencia para poder comparar con los resultados obtenidos por el método de unge'/utta de orden cuatro. M*todo de E#le El presente método fue ideado por el gran matem!tico "eon%ard 0auss %ace m!s de doscientos aos este resulta ser el m!s f!cil de entender & aplicar & adem!s es mu& adecuado para la programación r!pida debido a su sencillez claro est! que no es tan preciso como otros métodos m!s refinados (como 1eun unge'/utta de 2to *rden etc...) El método de Euler simple basa su esquema de desarrollo en el siguiente juego de ecuaciones+
{
'
Dadoel PVI y = f ( x , y ) ¿ y ( x 0 )= y 0
{
yi +1= y i + hf ( x i ; y i ) x − x ¿ con⟶h = n 0 n
M*todo de R#n%e&'#tta Es el método que utilizamos para dar solución a nuestro problema. Al igual que los anteriores es un método genérico enfocado a la resolución de ecuaciones diferenciales & que cuenta con una e$actitud mu& alta. Esta metodolog#a data de principios del siglo 33 & fue desarrollada por los matem!ticos 4arl unge & -artin 5il%elm /utta. ealizar los c!lculos manualmente es mu& complicado pero cuenta con la ventaja de que su programación para ordenadores es sencilla. ,odr#amos decir que a su vez se divide en cuatro submétodos. e elige una anc%ura de paso h & se calculan cuatro valores. El primero de ellos encontrar#a un punto inicial
( y n )
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posteriormente se llegar#a a dos puntos medios (67) & luego al que podr#a ser un posible punto final (2). Después de esto & a partir de estas derivadas se calcula el
( y n+ )
valor de la función a la que querr#amos llegar
1
.
eg8n este procedimiento a partir de un valor inicial de y
en el instante x se
obtiene un valor de y en un instante x + h . "os valores intermedios calculados se corresponder#an en las siguientes ecuaciones con
{
{
'
Dadoel PVI y = f ( x , y ) ¿ y ( x 0 )= y 0
K 1 , K 2 , K 3 , K 4
.
K 1=hf ( x 0 ; y 0 )
( (
h
K 1
2
2
h
K 2
2
2
¿ K 2=hf x 0 + ; y 0 + ¿ K 3=hf x 0 + ; y 0 +
) )
¿ K 4 =hf ( x 0+ h; y 0+ K 3 )
1 ¿ y i +1= y i + ( K 1 + 2 K 2+ 2 K 3 + K 4 ) 6
¿ con⟶h=
x n− x 0 n
Ec#aciones Di$eenciales Odinaias de Oden S#!eio "os métodos numéricos considerados+ Euler & unge'/utta. on propicios para emprender la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. in embargo el oscilador de Duffing es un problema de segundo orden aprovec%ando que estos métodos pueden ser elevados para trabajar con ecuaciones diferenciales de grados m!s altos9 siendo esto posible escribiendo la e$presión e$plicita como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con un conjunto completo de condiciones in#ciales podemos e$plicar esto considerando la siguiente ecuación+
(
2
n
dy dy d y d y =f x , y , , 2 , , n dx dx dx dx
) 2
Donde en
x = x 0
n
dy d y d y x , y , , , , 2 n son conocidos los valores de dx dx dx .
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A%ora bien si se procede a realizar un cambio de variable %aciendo+
{
x0 = y dy ¿ x1= dx 2 d y ¿ x 2= 2 dx ¿ n− 1 d y x n−1= n −1 dx
Entonces se puede e$presar esto como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden.
{
'
x 0 = x1
¿ x ' 1= x 2 ¿ x ' 2= x 3
x = x n−1 ¿❑n−1 =f ( x , x 0 , x 1 , x 2 , , xn−2 ) ' n −2
Este cambio de variables permite partir de una ecuación diferencial ordinaria de orden n en un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con n condiciones in#ciales. Entonces una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden por lo que si en nuestro problema realizamos convenientemente el siguiente cambio de variable
{
'
'
'
x1 = y ⟶ x 1= y ⟶ x 1= x 2 ①
!ace"os :
¿ x 2= y' ¿ x ' 2= y ' '
eemplazando estas sustituciones en la ecuación de Duffing tendremos que+
P á g i n a | 5 x 2+ 2 μ x 2+ ω x 1− λ x 1 = f ( t ) ⟶ Des#e$o : x2 '
2
'
3
x 2= λ x 1 −ω x 1−2 μ x 2 + f ( t ) ② '
3
2
"as ecuaciones ① & ② las uso para %allar la solución de la ecuación por Euler primero & después por unge'/utta de orden 2: quedando el problema definido por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales+
{
'
x 1= x 2 ① '
3
2
x 2= 0,2 x 1 −7,8 x 1−1,22 x 2 + sin ( t ) ②
,ara ello considero las condiciones in#ciales & de borde el tiempo inicial & el paso9
{
y ( 0 )= x 1 ( 0 ) =1
CondicionesIniciales y de%o&de ¿ y ( 0 ) = x2 ( 0 ) =1 ¿ t 0= 0 s ¿ h= 0,02 s '
,lanteamos la solución mediante Euler primeramente debido a que este método es m!s sencillo de utilizar & de esa forma también pod#amos obtener una referencia con la cual comparar los resultados que obtengamos posteriormente con el método de unge'/utta de esa forma apo&!ndonos en el uso del programa -icrosoft E$cel obtuvimos los siguientes gr!ficos para nuestros valores propuestos+
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Por Euler 1.5 1 0.5 0 0.00
u1=y 2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
-0.5 -1 -1.5
Por Runge-Kutta X1=y 0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
"os resultados obtenidos con ambos métodos fueron a simple vista mu& cercanos sin embargo sabemos que estos métodos difieren siendo el de unge' /utta mas preciso por lo que a fin de obtener una medida de la discrepancia que %a& entre un método & otro recurrimos a realizar el c!lculo del error obteniendo+ + Eo A"s, 6;<=>76?6
Iteacione s ?;;
Pomedio 2@>
i bien en realidad este c!lculo no marca el BerrorC del método debido a que para marcarlo %abr#a que obtener la solución e$acta del oscilador de Duffing lo cual ser#a muc%o m!s laborioso que %acerlo numéricamente por lo que el 8nico objetivo de dic%o c!lculo es mostrar las discrepancias que e$isten entre el método de Euler & el método de unge'/utta en nuestro caso en particular la diferencia fue del 2@> & recordando que el método de unge'/utta es m!s preciso que el método de Euler ese 2@> es a favor del método unge'/utta.
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Segunda Parte
Ec#acion de la Vi%a .eno#lli&E#le & EDP/s & Resol#cion !o metodos n#meicos
En la segunda parte del trabajo se procedió a resolver una ED, por métodos numéricos la ecuación considerada es la de la iga Fernoulli'Euler el problema en forma general est! dado por+ ( ( x, t ) 2
2
{
t
( ( x , t ) 4
+a
4
x
4
+ K 2 ( ( x ,t )= f ( x , t )
¿ ( ( x , 0 ) =(0 / (0 ∈ ! ' 0 ( Dτ ) ; +¿
( ( x, 0 ) = ) 0 / ) 0 ∈ R2 t
( ( 0, t ) =0 ⟶ *"#ot&ado; a , + ∈ R¿0 x 2 3 ( ( l , t ) ( ( l ,t ) = =0 ⟶ i%&e ; f ∈ C 4 ( Rτ ) 2 3 x x n K 4 a % ¿ a= ; f ( x , t )= . ( x − x i )−. ( x − x i ) * - I i ¿ Pi ( t ) / Pi ( t )=sin ( xi - t i )
¿ ( ( 0, t )=
√
∑[
]
,rocedimos a discretizar la ecuación Disc&eti/acionde la de&i)adase0unda con &es#ecto altie"#o : n+ 1
2
⟹
( ( x , t ) 2
t
=
n
n− 1
( i −2 ( i + (i 2
1 t
Disc&eti/acionde la de&i)adacua&tacon &es#ecto al es#acio :
( ( x , t )
n
4
⟹
x
4
=
n
n
n
n
( i+2− 4 ( i+1 + 6 ( i − 4 ( i−1 + (i−2 1x
4
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Disc&eti/acionde la funcion :
⟹
( ( x , t )=( i
n
eemplazando en la ecuación inicial n +1
n− 1
n
(i −2 ( i + ( i 2
1t
n+1
Despejo ( i
(
n +1 i
[
n
4
+a
n
1x
(
n
n
4
+ K 2 ( ni = f ( x , t )
⟹
n
2
n i
4
= f ( x , t )− K ( −a
n
n
n
n
( i + 2− 4 (i +1+ 6 (i −4 (i−1 + ( i−2 1x
4
]
2
1t n n n n n n n−1 ( i+2− 4 ( i+1 + 6 ( i − 4 (i −1 + (i−2 + 2 (i − (i = 1 t f ( x , t )− K 1 t ( −a 4 1x 2
2
{
n i
2
4
[
]
2
2 = 1 t ¿ 3= K 2 1 t 2 2 la"ando 4 1 t ¿ C = a 4 1x ¿ 4 sacando 5 -C = (ni
"a ecuación finalmente queda+ n +1
n− 1
n
2
1 t + 2 ( i − (i
⟹
Aplicando distributiva n +1 i
n
( i+2 −4 (i+1 + 6 (i − 4 ( i−1+ (i−2
[
]
n− 1
( i = (i ( 2− 3 ) + 2 f ( x ,t )−C (i + 2−4 ( i +1+ 6 (i − 4 (i−1+ (i−2 − (i n
n
n
n
n
n
Esta 8ltima e$presión define una malla de c!lculo dada por+
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n +1
(i
,ara obtener el valor de
& los sucesivos siguientes debemos realizar ciertas
consideraciones que nos permitan resolver el problema. 4onsideraremos una condición inicial conocida en el tiempo calcular los sucesivos
n+1
(i
"a cual ser! definida como+
t 0−1
&
t 0
para poder
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Adem!s consideraremos que en el empotramiento se cumple una condición de simetr#a en la distribución inicial esto lo %acemos para poder obtener los valores de los nodos que nos faltan en la malla cuando estamos evaluando el empotramiento es decir ocurrir! que+
-ientras que en el e$tremo libre propio de la viga en voladizo supondremos que la distribución es a partir del valor conocido continua con los valores anteriores de una forma lineal & proporcional con los crecimientos o descensos en los valores inmediatamente anteriores es decir ocurrir! que+
Adem!s adoptaremos los siguientes valores+
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{
2
1 t =0,2 s ⟹ 2 =1 t ⟹ 2 =0,04 ¿ 1 x = 0,2 " ¿ K =3 ⟹ 3 = K 2 1 t 2 ⟹ 3 =0,36 2 2 4 1 t 4 0,2 ⟹ C = 0,2025 ¿ a=0,3 ⟹ C =a =0,3 4 4 1x 0,2
*bteniéndose la Ecuación final considerada para el c!lculo de los nodos la cual est! dada por+ n +1
[
]
n−1
( i =1,64 (i + 0,04 sin ( x i -t i )− 0,2025 (i+ 2−4 (i + 1+ 6 (i − 4 ( i−1+ ( i−2 − (i n
n
n
n
n
n
Desaollo de la sim#lación ,ara la simulación de la ecuación procedimos a obtener los gr!ficos en E$cel de la ecuación anterior %asta los >? seg. Esto nos arrojó 76? gr!ficos distintos cada uno de los gr!ficos los copiamos & los pegamos en el programa de 5indoGs B,aintC & de esa forma los convertimos en im!genes. Esto fue realizado con el objeto de llevar las im!genes a otro programa de 5indoGs conocido como 5indoGs -ovie -aHer. En dic%o programa podr#amos darle el movimiento a la simulación al reproducir las im!genes con una velocidad r!pida. I también mostrar#a el desarrollo de la ecuación desde la condición inicial al tiempo elegido de duración de la simulación. iendo este método de simulación sencillo al no tener que requerir de alg8n softGare complejo de simulación que requieren de conocimientos m!s avanzados propios de la programación como podr#a ser -atlab. iendo el método usado m!s bien practico e ingenioso.
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