METODOS DE DERIVACION
METODOS DE DERIVACION
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SÍNTESIS SOBRE MÉTODOS DE DERIVACIÓN REGLA DE LA CADENA En calculo Diferencial, la regla de la cadena no es más que la resultante de la derivada de la composición de 2 funciones, a esto también se le conoce como composición de funciones y se ve más a fondo en el calculo algebraico. Si y = ƒ(u) es una función derivable de u Si u = g(x) es una función derivable de x Entonces podemos decir que:
y = ƒ(g(x)) es una función derivable de x Y por tal podemos decir que: dy/dx= (dy/du)(du/dx) o su equivalente: d/dx[ ƒ(g(x))] = ƒ´(g(x))g´(x)
DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Es decir, e x es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior: La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto. La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x . La función es solución de la ecuación diferencial 2 Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como una función holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras.3 Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z :
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS Como los logaritmos pueden ser base de cualquier número, habría un número infinito de diferentes logaritmos, por lo que en algún momento los matemáticos acordaron emplear solamente dos tipos de logaritmos: a) los logaritmos base diez (por tratarse de un sistema decimal), llamados logaritmos vulgares o logaritmos decimales, representados simplemente por el símbolo log sin especificar la base,
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que se sobreentiende que es 10. b) los logaritmos naturales, representados por el símbolo ln y cuya base es el número irracional 2.718281828,. De manera semejante a como con se representa el número de veces que el diámetro cabe en su propia circunferencia (3.1416), la base de los logaritmos naturales se simboliza con la letra e, o sea que . PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Los logaritmos, no importa cuál sea su base, todos tienen las siguientes tres propiedades: 1ª: log A+ log B = log AB 2ª: A log − A log B = log B /A 3ª: A log= B log B^A DERIVADAS DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS Completamos en este tema la derivación de las principales funciones reales de variable real que venimos manejando, estudiando la Derivabilidad de las funciones trigonométricas y sus inversas. Ello nos permitirá, como una nueva aplicación del Teorema del Valor Medio, probar las identidades trigonométricas más usuales y, en general, mejorar sustancialmente el conocimiento de las funciones trigonométricas y sus inversas. Encontraremos también nuevas aplicaciones de las reglas de l’Hôpital, así como el ejemplo, varias veces prometid o, de una función derivable en un intervalo cuya derivada no es continua. Derivadas del seno y el coseno Estudiada la Derivabilidad de la función arco coseno, para lo que ha sido esencial el Teorema del Valor Medio, la derivación de las funciones trigonométricas y sus inversas se deduce ya casi mecánicamente de las reglas de derivación. Sólo en un punto concreto necesitaremos el mismo corolario de la primera regla de l’Hôpital que acabamos de usar
Una derivada que no es continua Podemos ya presentar un ejemplo de una función derivable en un intervalo, cuya derivada no es continua en dicho intervalo. Construir tal ejemplo sin usar las funciones trigonométricas hubiera sido más laborioso. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES INVERSAS
Si f y g son funciones inversas, es decir Entonces
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En la práctica, para derivar una función y=f(x) a partir de su función inversa, podemos seguir los siguientes pasos: Buscamos la función inversa de y = f(x), que escribiremos de la forma x = g(y). Hacemos x' = g'(y). Usando lo anterior, y'=1/x' . Sustituimos x' por g'(y) y operamos. Por último sustituimos x por g(y) y habremos acabado. DERIVADAS INPLICITAS Funciones implícitas Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Derivadas de funciones implícitas Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1. 10
En general y'≠1 .
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'
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