MÉT MÉTODOS DOS DE CENTR ENTROS OS INST NSTANTÁ NTÁNEOS NEOS PARA EL CÁLC CÁLCUL ULO O DE VELOCIDADES EN MECANISMOS. Tal como sugirió Reuleaux a mediados del siglo XIX, los eslabones se pueden considerar que en cada instante realizan un giro alrededor de un centro. Dicho centro se llama centro instantáneo de rotación o polo de velocidades. uando un esla eslabó bón n está está e!ec e!ectu tuan ando do una una tras trasla laci ción ón en un mome moment nto o dado dado,, su cent centro ro instantáneo de rotación se encuentra en el in!inito " en una dirección perpendicular al movimiento del eslabón. #sto se denota !ácilmente porque las velocidades de todos sus puntos son iguales " sus vectores paralelos. #l centro instantáneo de rotación, re!erido al movimiento plano de un cuerpo, se de!ine como el punto del cuerpo o de su prolongación en el que la velocidad instantánea del cuerpo es nula. •
•
$i el cuerpo realiza una rotación pura alrededor de un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación.
$i el cuerpo realiza una traslación pura el centro instantáneo de rotación se encuentra en el in!inito en dirección normal a la velocidad de traslación.
•
$i el cuerpo realiza un movimiento general el centro instantáneo de rotación se mueve respecto al cuerpo de un instante a otro %de ah& que se llame centro instantáneo de rotación'. $u posición se puede conocer en cada instante por intersección de las direcciones perpendiculares a la velocidad de dos de sus puntos.
$i se conoce la posición del centro instantáneo de rotación I de un sólido, las direcciones de las velocidades de todos los puntos del sólido son conocidas automáticamente. (a velocidad de un punto tiene una dirección perpendicular a la recta que lo une con su centro instantáneo de rotación I. Inversamente, si se conocen las direcciones de las velocidades en dos puntos del sólido, es posible determinar la posición de I. #l centro instantáneo de rotación se encontrará en el punto de corte de las perpendiculares a ambas direcciones.
(a !igura muestra un mecanismo e de cuatro barras articuladas en
A , B , I 1 e 13 .
(os centros I 1 e I 3 son evidentemente los centros de giro de las manivelas ) " *. V A
V 1 A " su módulo vale
tiene dirección perpendicular a
I 3 .
rotación del elemento *, que es evidentemente A y B
⋅
V B es conocida "a que se conoce el centro instantáneo de
(a dirección de
omo
V A =ω1 I 1 A .
pertenecen tambi+n al elemento , la posición de
determina trazando las perpendiculares a
V A y V B
I 2
se
, esta -ltima de módulo
desconocido. #l punto de corte de ambas perpendiculares determina na vez conocido
I 2 , la velocidad angular
I 2 congruente con la dirección de V B tiene sentido congruente con
na vez conocida la posición de
ω2
tiene sentido de giro en torno a
V A es decir el plano de movimiento. ω2 " un módulo
V B =ω2 I 2 B .
D y C .
ω3 tendrá sentido congruente con
de movimiento, " módulo
⋅
I 2 y ω2 se puede conocer la velocidad en
cualquier otro punto del elemento , por e/emplo (a velocidad angular
I 2 .
V B , saliente al plano
V B ω3 = I 3 B .
Centro instantáneo de rotación reati!o. #l centro instantáneo de rotación relativa o polo com-n entre dos sólidos r&gidos, re!erido al movimiento plano de ambos sólidos, se de!ine como el punto de los dos sólidos o de su prolongación en el que la velocidad instantánea es igual para los dos sólidos. #s decir, es el punto en el que no existe velocidad relativa entre ambos sólidos.
#l centro instantáneo de rotación de un sólido r&gido es un caso particular de centro instantáneo de rotación relativo en el que uno de los dos sólidos es el eslabón !i/o %suelo'. $i los dos sólidos r&gidos están articulados en un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación relativo entre dichos sólidos. 0s&, por e/emplo, en la siguiente !igura el punto 0 es el centro instantáneo de rotación relativo entre las barras " *, 1, el correspondiente a las barras * " 2, " 3 el del eslabón !i/o %suelo' " la barra . #n este caso, 3 es el centro instantáneo de rotación de la barra . #s decir, la barra tiene un movimiento de rotación pura alrededor del punto de unión de dicha barra con el eslabón !i/o.
uando existe un par prismático entre dos sólidos r&gidos, el centro instantáneo de rotación relativo entre ambos sólidos se encuentra sobre la perpendicular com-n a la dirección de deslizamiento relativo entre ambos sólidos, pero localizado in!initamente le/os en la dirección de!inida por dicha perpendicular. #n la siguiente !igura se muestra un e/emplo de par prismático %entre la deslizadera " el eslabón !i/o del mecanismo biela4manivela'. 0 los pares cinemáticos de rotación " a los pares prismáticos se les denomina centros de rotación instantáneos directos por ser rápidamente identi!icables. #n cambio, cuando el movimiento relativo entre eslabones es más comple/o, por e/emplo el que se produce entre los eslabones * " ) del anterior mecanismo, la determinación del centro de rotación instantáneo entre ambos no es directa " es necesario utilizar el teorema de los tres centros %o de 5enned"'.
Teore"a de os tres centros #l teorema de los tres centros %o de 5enned"' es -til para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa %obvios'. $u enunciado es el siguiente6 7$i tenemos tres eslabones %sólidos r&gidos' animados de movimiento relativo entre ellos %"a sea que est+n o no conectados entre s&' los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados7 $e puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente !igura. $uponemos que uno de los eslabones es !i/o %suelo'. #n ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones " * no puede estar en el punto 8 de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendr&a la misma velocidad como perteneciente al eslabón % V P 2 ', que la que tendr&a como perteneciente al eslabón * % V P 3 '. #stas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto
Q
que est+ alineado con los centros
instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón !i/o. 9a V Q 2 y V Q 3 que esta es la -nica !orma de que las direcciones %" sentidos' de coincidan.
(a posición de
Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones "
* %tanto de su módulo, como de su sentido'. #n el e/emplo mostrado, es claro que : ha de ser ma"or que : *. #ste teorema tambi+n puede demostrarse planteando el cálculo de la velocidad del punto ; %centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones " *' como perteneciente al sólido " como perteneciente al sólido *6
⃗ V ⃗ V
Q2 Q3
¿
⃗
¿
⃗
⃗
ω 2 X O2 Q ω 3 X O3 Q ⃗
#sta -ltima igualdad sólo es posible si los dos vectores de posición del punto ; %respecto a los centros de rotación O2 y O3 ' tienen la misma dirección. 9, por lo tanto, los tres centros instantáneos de rotación relativos %
O 2 , O3 , y Q ' han de
estar alineados.
Anáisis de a Veocidad #n esta sección se realizará un análisis del vector velocidad observando las propiedades de sus componentes. $ea un cuadrilátero articulado 01D %
" que será perpendicular al eslabón AB. #sta velocidad puede descomponerse en V ' BC y V ' ' BC , de modo que tales componentes sean respectivamente de la dirección del acoplador
BC %eslabón
' " normal a +ste. #s decir6
V B =V ' BC + V ' ' BC
omo el punto 1 pertenece tambi+n al eslabón , que al igual que los restantes es r&gido, todos los puntos del segmento BC de esta barra tendrán la misma componente de la velocidad seg-n la dirección 1. #n particular, el punto C gozará de tal propiedad. 0hora bien, el punto C tambi+n pertenece al eslabón * " ha de girar en torno al punto D, con velocidad absoluta normal a CD. 8or tanto, llevando V ' CB=V ' BC " trazando por el extremo de V ' CB una perpendicular a BC ,
se obtiene
V C .
(a determinación de la velocidad del punto # del acoplador puede hallarse de !orma parecida. Descompóngase V B en dos componentes6 una de la dirección V BE " la otra normal a ella. (a componente V ' EB =V ' BE , por ser
punto,
se traslada a
E , "a que
V BE inde!ormable %el mismo eslabón '.
De igual manera, de la velocidad paralela a la dirección
V ' BE
V C
se encuentra la componente
CE " se traslada al punto
V ' CE
E . (a velocidad absoluta del
V E , se encontrará en la intersección de las dos perpendiculares por los
extremos de los vectores
V ' EC "
V ' EB , respectivamente a
práctica podemos intentar averiguar la a velocidad del punto
EC y EB . omo
E %!igura *.'.
$eg-n las construcciones realizadas en los diversos eslabones, se llegará a la conclusión que en una misma barra la velocidad de un punto cualquiera %por e/emplo, el C ' relativa a otro punto de su propio eslabones %por e/emplo, el B ' es siempre perpendicular al segmento que une dichos puntos %en este caso,
normal a
BC '.
islando el eslabón
BC con las velocidades obtenidas anteriormente
%!igura *.*' se transporta a
C el vector
V B y V C
V B . omo la pro"ección sobre
BC
de ambas velocidades ha de ser la misma, se llega al resultado que la di!erencia de estos dos vectores ha de ser normal a la recta que une los dos puntos. $i se denomina velocidad de B respecto a C mediante la notación V BC , se tiene6 V BC =V B−V C
#sta velocidad relativa, como se ve en la
BC . #l giro de la
BC está originado por la existencia de velocidad relativa no nula de un
punto con relación a otro del mismo eslabón. $i se hubiese hallado la velocidad relativa V CB , +sta ser&a de sentido opuesto a la encontrada V BC .
(a velocidad angular : , con que el eslabón está girando con relación al !i/o 2, se obtiene siempre dividiendo el módulo de la velocidad relativa de un punto extremo de la barra con relación al del otro extremo, por las distancia entre ambos puntos.
Tal como se observa en la !igura *.*, : es del sentido de la agu/as del relo/ tal como se desprende de los sentidos de las velocidades relativas V BC ó V CB .
Deter"inación de centros instantáneos. 8ara localizar los IR seguimos el siguiente m+todo6 )' =allar el n-mero de centros
( N =
( −1 )
4 4
2
=6 ) .
' Determinar los inmediatos por simple inspección. *' (ocalizar el resto mediante la le" de los tres centros. 3tro mecanismo de corredera está representado en la !igura *.>, que dispone tambi+n de cuatro eslabones con un par prismático entre los elementos ) " . (a construcción auxiliar de los eslabones está realizada, en la parte derecha de la !igura " se muestra que inicialmente son inmediatos la localización de los polos P14 , P 34 " P23 ? restando encontrar otros tres polos más. #l polo P12 , al ser el elemento prismático que se desplaza por el eslabón ), se encontrará en el in!inito en la dirección ortogonal a la barra ). #l centro instantáneo de rotación P13 se encuentra como la intersección de las l&neas de!inidas por los polos #l centro que resta,
P12 " P23 , de un lado "
P14 con P 34 , de otro.
P24 , se encuentra en la recta
BC " en la perpendicular
por A al eslabón ). De esta !orma quedan establecidas las posiciones de todos los centros instantáneos de rotación, " a partir de ellos cabe encontrar velocidades en todo el mecanismo.
(a !igura *.@ representa una cadena cinemática de A eslabonamientos " con n −1 ¿
n ¿ centros instantáneos de rotación, los cuales quedan representados. N =¿
Anáisis de a !eocidad "ediante os CIR. uando se conocen los centros instantáneos de rotación de un mecanismo resulta inmediato determinar la velocidad de cualquier punto del mismo, sin necesidad de calcular primero las velocidades de otros puntos. on el m+todo de los IR, no es necesario calcular la velocidad de un punto que una !&sicamente dos barras, sino que calculando la velocidad del IR relativo de dos eslabones podemos considerar que conocemos la velocidad de un punto que pertenece indistintamente a cualquiera de los dos eslabones. #s importante resaltar que el IR se comporta como si perteneciera simultáneamente a ambos eslabones, por tanto su velocidad debe ser la misma si la obtenemos en base a uno u otro eslabón. 8ara calcular las velocidades por IR seguiremos los pasos siguientes6 )' Identi!icar los eslabones a los que pertenecen6 a' #l punto de velocidad conocida. b' #l punto de velocidad desconocida. c' #l eslabón de re!erencia o barra !i/a. ' $e hallan los tres IR relativos correspondientes a las barras, que estarán en l&nea recta seg-n nos indica el Teorema de 5enned". *' $e calcula la velocidad del IR relativo de los dos eslabones no !i/os, considerándolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida. 2' $e considera la velocidad hallada como la de un punto del eslabón cu"a velocidad queremos hallar. onociendo la velocidad de un punto del eslabón %IR' " su centro de giro podemos encontrar la de cualquier otro punto del mismo. 0plicación de los IR a un mecanismo de cuatro barras. 0plicación de los IR a un mecanismo de biela 4 manivela. • •
C#r!as $oares. na curva polar es el lugar geom+trico de todas las posiciones alcanzadas por el centro instantáneo de rotación, o polo de velocidades, de un eslabón con respecto a otro. (a !igura *.B Camuestra la curva polar correspondiente a diversas posiciones del mecanismo de 2 barras " generada por el punto P24 . omo tal punto tiene la misma velocidad, tanto si se considera del eslabón como si se hace del 2, se desprende que tal punto no tiene velocidad. 8or tal razón a esta curva polar se denomina curva polar !i/a, o base.
Debe tenerse especial cuidado en no con!undir la curva polar con la tra"ectoria de ning-n punto cuando evoluciona el mecanismo. 8i+nsese que el punto P24 es centro instantáneo solo para una posición? al moverse el cuadrilátero articulado, otros puntos irán sucedi+ndose como centros instantáneos " con!igurarán la curva polar. uando se realiza la inversión del mecanismo, tal como re!le/a la !igura *.B Cb, se obtiene otra curva polar que se denomina móvil, o ruleta " que se ha generado por el mismo punto P24 . 0mbas curvas, seg-n se va moviendo el cuadrilátero, se mantienen tangentes en todo momento. 8ara una posición cualquiera el punto de tangencia es el polo de velocidades actual a tal posición.
Po%&ono de !eocidades. no de los medios más e!icaces " rápidos para el análisis de las velocidades de un mecanismo lo o!rece el pol&gono de velocidades. 0demás, como se verá en el siguiente cap&tulo, este m+todo proporciona datos !undamentales para el análisis de la aceleración, como son las velocidades relativas. (a construcción de velocidades de !orma grá!ica realmente se !unda en la ecuación vectorial6 V X =V A + V XA
donde
V X
es la velocidad, en general desconocida, de un punto
cualquiera del mecanismo?
V A , es la velocidad conocida de otro punto del
mismo eslabón al que pertenece de
X
con respecto a
X
X " por -ltimo,
V XA es la velocidad relativa
A . como quiera que la velocidad relativa
V XA
es
normal a la recta
XA , el trazado de los pol&gonos de velocidades se realizará
por aplicación de las propiedades descritas. E
#n la !igura *.)E puede verse un mecanismo de 2 barras con un punto C "
acoplador " se pretende encontrar las velocidades de los puntos como las velocidades relativas de los puntos velocidad
B ,
C
"
de
E , as&
E , partiendo de la
V B .
a' álculo de
V C ,V CB , : " : . (a ecuación se escribirá para este caso *
mediante6 V C =V B + V CB
8or un punto
O cualquiera se lleva el vector
una perpendicular a normal a
BC %dirección del vector
CD %dirección de
V B " por su extremo se traza V CB ' " por
O una recta
V C '. #stas rectas se cortan cerrando el triángulo
de los vectores implicados en la ecuación, determinándose
V C
(a velocidad angular : se obtiene por aplicación de la expresión
ω2 =V CB=V BC
" la velocidad angular : *, se hallar&a directamente por medio de
"
V CB .
ω3 =V C =V CD
b' álculo de
V E , V EB y V CE . #n esta ocasión la ecuación se desdobla en las
dos siguientes6 V E =V B + V EB V E =V C + V EC
de las cuales son vectores conocidos F1 " F " de los vectores F#1 " F# son tambi+n datos sus direcciones %por ser ortogonales respectivamente a las #1 " #'. Del vector F# no se conoce ni dirección ni módulo. 8or el extremo del vector V EB
V B se traza una perpendicular a
V C se constru"e una recta normal a
CE
V EC '. Donde ambas rectas se encuentran %punto
E '
' " por el extremo del vector
%soporte de la velocidad
BE %dirección de
' se obtiene el extremo del vector
V E
buscando. (os restantes vectores,
V EB y V EC , !orman los triángulos correspondientes en los pol&gonos de
velocidades para que se veri!iquen las relaciones % V E =V B + V EB ' " % V E =V C + V EC
#l triángulo
', como puede comprobar el lector. E ' B ' C '
es seme/ante al
EBC
del acoplador, tal como se
evidencia de !orma inmediata, "a que ambas !iguras tienen sus lados respectivos perpendiculares entre s&. #sta propiedad general tiene interesantes aplicaciones en el análisis grá!ico de velocidades.
