Métodos Cuantitativos y Macroeconomía Avanzada

Notas de Clase Métodos Cuantitativos y Macroeconomía Avanzada Andrés González Gómez Universida Universida de los Andes

Índice general Parte 1. 1. Solución de modelos de Equilibrio General Dinámico

7

Capítulo 1. Modelo de Solow

9

Capítulo 2. Un modelo de equilibrio general competitivo en dos períodos 2.1. Ambiente 2.2. Hogares 2.3. Las firmas 2.4. Equilibrio.

13 13 13 15 17

Capítulo 3. Programación no lineal 3.1. Teorema de Khun-Tucker 3.2. Modelo de Ramsey con trabajo fijo 3.2.1. Métodos numéricos de solución. 3.3. Horizonte infinito 3.3.1. Utilidad recursiva. 3.3.2. Problema de Ramsey en horizonte infinito 3.3.3. Métodos de numéricos de solución. 3.4. Modelo de Ramsey con trabajo variable 3.4.1. Solución 3.5. Modelo de Ramsey con trabajo variable solucionado por el Mercado 3.5.1. Hogares 3.5.2. Firmas 3.5.3. Equlibrio 3.6. Modelo de Ramsey con distorciones 3.7. Programación no lineal con incertidumbre 3.8. Modelo de Ramsey con incertidumbre 3.9. Métodos de solución numéricos:

19 19 19 22 23 23 24 25 25 27 30 30 32 33 33 34 34 35

Capítulo 4. Programación dinámica 4.1. Utilidad indirecta 4.2. Introducción a la Programación dinámica Una versión más general 4.3. Ejemplos del método de programación dinámica 4.3.1. El problema de la torta 4.3.2. El problema de Ramsey con trabajo fijo 4.3.3. El problema de Ramsey con trabajo variable 4.3.4. Un Un caso en el que falla la programación dinámica (Canova) 4.4. Solución para horizonte infinito iterando la función valor. 4.4.1. Problema de Ramsey 4.4.2. Problema de la torta 4.5. Iteración de la función valor con horizonte finito 4.5.1. Problema de la torta 4.5.2. Problema de Ramsey 4.6. Solución numérica del problema de la función valor 4.7. Programación dinámica estocástica

39 39 40 41 43 43 44 45 45 46 46 49 51 51 54 55 57

3

4

Índice general

Capítulo 5. Métodos aproximados de solución 5.1. Linearización y log linerización de las condiciones de primer orden 5.1.1. Log-linearización en la práctica 5.2. Métodos de Solución 5.2.1. Conceptos básicos 5.2.2. Método de Blanchard y Kahn 5.2.3. Método de Klein 5.2.4. Conceptos básicos: 5.2.5. La solución de Klein 5.3. Solución de un DSGE con política óptima

63 63 65 68 69 71 75 75 77 84

Parte 2. Ejemplos de modelos con expectativas racionales

85

Capítulo 6. Modelo básico 6.1. Hogares 6.1.1. Firmas 6.1.2. Equilibrio 6.1.3. Solución 6.1.4. Estado estacionario 6.2. Modelo con competencia monopolística sin precios rígidos 6.2.1. Hogares 6.2.2. Firmas 6.2.3. Agregación del problema de las firmas. APENDICE: Derivanción del costo marginal y las demandas relativas de factores para las firmas productoras de bienes intermedios. 6.2.4. Formas funcionales 6.2.5. Estado estacionario 6.3. Modelo con rigideces reales, precios flexibles y competencia perfecta 6.3.1. Problema de los hogares 6.3.2. Problema de las firmas en competencia perfecta 6.3.3. Condiciones de primer orden 6.3.4. Estado estacionario 6.4. Modelo con rigideces de precios 6.4.1. Problema de los hogares 6.4.2. El problema de las firmas productoras del bien final 6.4.3. Firmas productoras de bienes intermedios 6.4.4. Agregación 6.4.5. Regla de política 6.4.6. Equilibrio del modelo y estado estacionario

87 87 88 89 90 91 93 93 93 95 98 99 99 101 101 101 102 103 105 105 106 107 116 120 121

Parte 3. Metodos empíricos

131

Capítulo 7. Análisis de la solución 7.1. Introducción 7.2. Representación de Media Movil 7.3. Pronóstico 7.4. Descomposición histórica de los choques 7.5. Impulso respuesta 7.6. Segundos Momentos

133 133 134 134 136 137 137

Capítulo 8. Estimación de un DSGE por métodos de verosimilitud 8.1. Representación Estado-Espacio 8.2. Filtro de Kalman 8.3. Función de verosimilitud y la estimación por máxima verosimilitud 8.4. Problemas numéricos en la maximización de la función de verosimilitud

139 139 140 142 143

Índice general

8.5. Algunas consideraciones sobre la función de verosimilitud para los modelos DSGE 8.6. Propiedades de maxima verosimilitud

5

148 151

Capítulo 9. Métodos Bayesianos 9.1. Teorema de Bayes

153 153

Apéndice A. Introducción a métodos numéricos para encontrar raíces.

155

Apéndice B. Backward iteration: B.1. Teorma de Euler:

159 161

Apéndice C. Derivanción del costo marginal y las demandas relativas de factores para las firmas productoras de bienes intermedios.

163

Bibliografía

165

Apéndice. Bibliografía

165

Parte 1

Solución de modelos de Equilibrio General Dinámico

Capítulo 1

Modelo de Solow El modelo de Solow es muy simple: Hay una tecnología de producción que se caracteriza por tener retornos constantes a escala, una ecuación que describe la evolución del capital y una tasa de ahorro constante y proporcional al ingreso. La producción esta dada por yt = At F (K t , H t )

siendo K t es el capital utilizado para producir y H t es el trabajo. La función de producción es homogenea de grado uno y tiene la propiedades estandard. La tecnología está dada por At = (1 + α )t A0 siendoα la tasa de crecimento de la tecnología y A0 el nivel de tecnología inicial. Asi mismo, se asume que la población crece a una tasa constante n lo que implica que H t = (1 + n) H t −1 . La ecuación de evolución del capital es K t +1 = (1

− δ ) K + I t

t

siendo δ la tasa de depreciación e I t la inversión en el período t . Por último, se asume que el ahorro está dado por S t = σ Yt

o que es una fracción constante del ingreso. Para encontrar la solución del modelo es necesario expresar todo el sistema en términos percápita. Esto es, dividiendo por el número de trabajadores. La función de producción percápita se optiene como Y t Y t H t

= At F (K t , H t ) = At F

  K t H t

,

H t H t

que finalmente implica que yt = At f (k t ) . El paso clave en esta derivación es el anterior y la igualdad se cumple pues la función de producción se asume tiene retornos constantes a escala. La ecuación de acumulación del capital se puede escribir en términos percápita así: K t +1 K t +1 H t +1

= (1 =

− δ ) K + I K I (1 − δ ) + H +1 H +1 t

t

t

t

t

t

sin embargo, el término K t / H t +1 no es estacionario y por tanto es necesario multiplicar este por H t / H t y obtener la ecuación k t +1

I H − δ ) H K +1 H + H H +1 H (1 − δ ) k + i . t

= (1

t

t

=

t

t

t

t

t t

t

(1 + n)

Finalmente, el ahorro se define como una fracción constante del ingreso y en términos percápita esto sería st = σ yt

siendo σ una fracción de producto por trabajador que se ahorra. 9

10

1. MODELO DE SOLOW

F IGURA 1.0.1 . Equilibrio modelo de Slow 1.5 k(t+1)

1.0

0.5

0.0 0.0

0.5

1.0

1.5 k(t)

El equilibrio de esta economía se da cuando el ahorro es igual a la inversion (st = it ). De esta condición encontramos el equilibrio así: (1 − δ ) k t + it k t +1 = (1 + n) (1 − δ ) k t + σ yt = (1 + n) (1 − δ ) k t + σ At f (k t ) = ( 1 + n) o (1 + n) k t +1 = (1

− δ ) k + σ (1 + α ) A0 f (k ). t

t

que es la ecuación que describe el equlibrio. Si se supone que α = 0 entonces esta relación se puede simplificar a (1 + n) k t +1 = (1

− δ ) k + σ A0 f (k ). t

t

La figura 1 presenta esta relación. La linea recta esta dada por k t = k t +1 mientras que la linea curva representa ((1−δ )k (t1 ++σ n A) 0 f (k t )) . Como se puede ver, ambas lineas son iguales en dos puntos. a saber, en k 0 = 0 y en un k t > 0. De hecho estos dos puntos respresentan equilibrios posibles del modelo de Solow. En ambos ¯ que implica im nivel de estado estacionario del capital que se casos, el equilibrio se da cuando k t +1 = k t = k define por la ecuación (1 + n) k = (1

  

− δ ) k + σ f

k

(δ + n) k = σ Ao f k

El primero equlibrio, se tiene cuando k 0 = 0. En este punto no puede haber producción y por tanto no se tiene ni ingreso ni ahorro. El otro equilibrio es el único equilibrio cuando k o es mayor a cero. Como se puede ver en la Figura 1 para valores mayores a cero pero inferiores a k ¯ tenemos que (1−δ )k (t1 ++σ n A) 0 f (k t ) > k t y por tanto hay una acumulación de capital. Cuando k es mayor que k ¯ entonces lo que se tiene es una contracción del capital. Existen varios equilibrios en esta economia. Equilibrio, es una situacion en la cual Implicaciones del modelo de Solow:

1. MODELO DE SOLOW

11

Las economias pobres, definidas como aquellas con menor capital inicial crecen mas rápido que las economías ricas. Esto se puede ver comparando la tasa de crecimiento del capital. Dado que el creciento de la economía es proporcional a el crecimiento del capital percápita entonces es suficiente con calcular la tasa de crecimiento del capital percapita. Esta está dada por la ecuación k t +1

γ k =

k t

(1

=

− δ ) k + σ A0 f (k ) t

t

(1 + n) k t

La hipótesis es que esta tasa de crecimiento depende del nivel de capital para lo cual es posible analizar el comportamiento de la primera derivada con respecto al nivel de capital la cual esta dada por ∂ γ k ∂ k t

− δ ) k + σ A0 f (k ))((1 + n) k )−1 (1 − δ ) + σ A0 f  (k ) ((1 + n) k )−1 − ((1 − δ ) k + σ A0 f (k ))((1 + n) k )−2 (1 + n) (1 − δ ) k + σ A0 f  (k ) k (1 − δ ) k + σ A0 f (k ) − (1 + n) k 2 (1 + n) k 2

= ((1 = = =

 

t

t

t

t

σ A0 (1 + n) k t 2

t



t

t



t

t

t

t

t

t

t

t

f  (k t ) k t



− f (k ) t

que es negativo pues la función f (k )es concava. (TAREA : Muestre xq este es el caso). Que sea negativa implica que a medida que hay mas capital la tasa de crecimiento del capital percápita es menor que se explica fundamentalmente por una menor productividad marginal del capital a niveles altos de capital. Las economias convergen a lo que se conoce como el balance growth path. Esta es la tasa de crecimiento a la cual el capital y el producto crecen a la misma tasa constante. Suponga que la función de producción esta dada por una Cobb-Douglas. Esto es, f (k ) = θ k siendo θ la fracción del producto que se va a capital. Bajo esta forma funcional es fácil encontrar la tasa de crecimiento balanceado. Que es una tasa de crecimiento constante de las variables percápita. γ k =

= γ k =

k t

k t

=

=

(1

− δ ) k + σ A k θ t

t t

(1 + n) k t (1 δ ) k t + σ A0 (1 + α )t k t θ (1 + n) k t (1 δ ) σ A0 (1 + α )t + (1 + n) (1 + n) k t 1−θ

− −

  − −   1

(1 + n)

γ k

(1 δ ) (1 + n)

σ (1 + α )t γ k (1 + n) (1 δ )

−1



σ A0 (1 + α )t

1 1−θ

1 1−θ

− −

este es el valor de capital consistente con una tasa constante de crecimiente. Ahora, la tasa de crecimiento estaría dada por γ k =

k t +1 k t

=

 

 

1

1−θ σ (1+α )t +1 γ k (1+n) (1 δ )

− −

1

1−θ σ (1+α )t γ k (1+n) (1 δ )

1

= (1 + α ) 1−θ

− −

12

1. MODELO DE SOLOW

que sería la tasa de crecimiento del capital percápita. Ahora, la tasa de crecimiento del producto percápita se puede calcular como yt +1

=

yt

At +1 k t θ +1 At k t θ

= (1 + α )

 

 

θ

1−θ σ (1+α )t +1 γ k (1+n) (1 δ )

− −

θ

1−θ σ (1+α )t γ k (1+n) (1 δ )

− − θ

= (1 + α ) (1 + α ) 1−θ θ

= (1 + α ) 1−θ +1 1

= (1 + α ) 1−θ

que es igual a la del capital percápita. Existe una tasa de ahorro optima (que maximiza el bienestar en estado estacionario) que se llama el la regla de oro (golden rule). Dado que el bienestar es sólo función del consumo entonces es posible encontrar el máximo bienestar maximizando el consumo. Para alcanzar este nivel de bienestar es necesario determinar un nivel de ahorro que permita optener este nivel de consumo. c = (1

− σ ) y = (1 − σ ) A0 f

 k

sabemos además que el nivel de capital de estado estacionario está definido en la siguiente ecuación

   −   −  − 


que se puede sustituir en la ecuación de consumo c

= A0 f k

σ A0 f k

c

= A0 f k

(δ + n) k

de la cual podemos derivar el nivel de capital que maximiza el consumo mediante la condición de primer orden la cual a su vez define el capital óptimo de bienestar k ∗

∗

0 = A0 f  k

(δ + n).

Dado este capital, se puede sustituir en la ecuación del estado estacionario y derivar de ella la tasa de ahorro óptima. Esto es, de la ecuación

∗

∗


se deriva

σ =

∗

(δ + n) k

 ∗

Ao f k

que es la tasa de ahorro óptima.

Capítulo 2

Un modelo de equilibrio general competitivo en dos períodos En esta sección se presenta una versión simplificada de un modelo completo.

2.1. Ambiente Se trata de un modelo de dos períodos con un hogar representativo que consume, ofrece trabajo, ahorra y recibe dividendos de las firmas de las que es dueño. Hay una firma que produce usando como insumos capital y trabajo y por tanto demanda trabajo, invierte en nuevo capital y paga dividendos a los hogares que son los dueños de las firmas. Tanto la firma como el hogar maximizan beneficios y toman los precios como dados.

2.2. Hogares Los hogares de esta economía viven dos períodos y la idea es maximizar su utilidad dada una restricción de presupuesto. La función de utilidad de los hogares esta dada por u (C 1 ) + β u (C 2 )

− ν ( N )

siendo u (C i ) la utilidad que derivan de consumir en los períodos uno y dos y ν ( N ) la utilidad derivada del trabajo (Se supone que trabaja sólo durante el primer período). El signo menos antes de ν (.) expresa la desutilidad que genera el trabajo. Las propiedades de estas funciones son las siguientes: 1. u (0) = 0, u (.) > 0, u (.) < 0, u (0) = ∞, u (∞) = 0 Una unidad de consumo genera un aumento en la utilidad pero a medida que aumenta el consumo esta ganancia por unidades adicionales de consumo genera menos utilidad en el margen. De otra forma, si el consumo es cero la utilidad marginal de una unidad de consumo es infinita y si por el contrario, el consumo es muy grande (infinito) la utilidad adicional que una unidad adicional de consumo es cero. 2. ν (0) = 0, ν  (.) > 0, ν  (.) > 0, ν  (0) = 0, ν  (∞) = ∞ De forma similar, la función de utilidad del trabajo refleja lo siguiente: La desutilidad de trabajar es cero si no se trabaja, una unidad de trabajo produce una des-utilidad creciente de tal forma que cuando el trabajo es infinito una unidad adicional de trabajo genera una des-utilidad cada vez mayor. Esto es, si el trabajo ofrecido es cero y el hogar lo aumenta en una unidad la des-utilidad aumenta muy poco . 3. β ∈ (0, 1) es el factor de descuento. Este parámetro refleja cuanto pesa el consumo futuro en términos del consumo presente. El problema que el consumidor debe resolver se puede espresar como:

   −

máx u C 1d + β u C 2d

ν ( N s )

C 1d = W N s + Π1

s.t

− S

C 2d = Π2 + RS

donde W es el salario por unidad de trabajo, Πi son los beneficios de las firmas, S es el ahorro y R la tasa bruta de interés (1 + r ). Esto es, dados W , R,Π1 ,Π2 el hogar debe decidir cuanto trabajar y consumir (ahorrar). Como en el segundo período no hay trabajo el hogar recibe lo que ahorra junto con su retorno y los beneficios de la firma en este período. S puede ser positivo o negativo. Cuando S es negativo el hogar 13

14

2. U N MODE LO DE EQUIL IBRIO GE NER AL COMPE TIT IVO EN DOS PER ÍODOS

esta pidiendo prestado y cuando es positivo esta prestando. Suponemos que esto lo puede hacer a la misma tasa (mercado de capitales es perfecto). Combinando la restricción de presupuesto tenemos la restricción intertemporal. Veamos: S C 1d

C 2d

Π2 − R R

= C d

+ R2 = W N s + Π1 +

Π2

R

que muestra varias cosas: El plan de consumo de la vida de los hogares debe satisfacer su restricción intertemporal. Esto es, el valor presente del consumo debe ser igual al valor presente de sus ingresos. Por lo tanto, el consumo no depende sólo del ingreso corriente sino del ingreso futuro descontado. Esta restricción sin embargo sólo es posible cuando los mercados de capitales son perfectos y la tasa de interés para ahorros y préstamos es la misma. Notece que esta restricción es necesaria para generar una restricción intertemporal. Suponiendo que no hay ingreso desperdiciado entonces es posible escribir el problema del hogar como máx u (W N s + Π1 − S ) + β u (Π2 + RS ) − ν ( N s ) . siendo N s y S las variables de decisión. Las condiciones de primer orden del problema de los hogares son:

y

−u (C 1) + β RU  (C 2) = 0 Wu  (C 1 )

− ν  ( N ) = 0.

u (C 1 )

=

W

=

o que se pueden reescribir como:

s

β Ru (C 2 ) ν  ( N s ) u (C 1 )

La primera ecuación es la condición de Euler. Que dice que el agente está dispuesto a sacrificar una unidad de consumo presente, que tiene un costo en términos de utilidad igual a u (C 1 ), y ahorrar esta unidad para ser consumida el período siguiente lo cual le significa R unidades de consumo adicionales en el segundo período que aumenta la ulidad en Ru (C 2 ). Sin embargo, como la valoración del consumo en el segundo período es menor en una tasa β por unidad de utilidad estas unidades adicionales el período dos significan β Ru (C 2 ) unidades de utilidad en el período siguiente. El consumidor posterga consumo hasta que los beneficios son iguales a sus costos. Hay tres sendas de consumo distintas dependiendo del valor de β R. Si 1 = β R entonces u (C 1 ) = u (C 2 )

y por lo tanto es óptimo consumir lo mismo en ambos períodos C 1 = C 2 . Esta es la suavización del consumo. Si por el contrario β R < 1 entonces lo óptimo sería C 1 < C 2 . Por último, si β R > 1entonces tendríamos que lo óptimo sería que C 1 > C 2 . La ecuación de Euler se puede escribir como 1 R

=

β u (C 2 ) . u (C 1 )

En esta expresión el lado izquierdo es el valor en unidades del consumo presente de comprar una unidad de consumo futuro. Esto es, para consumir una unidad adicional en el siguiente período el hogar debe ahorrar 1/ R unidades de consumo en el primer período. El lado derecho es la tasa marginal de sustitución entre consumo presente y consumo futuro. El valor que un hogar le da a una unidad adicional de consumo en el período siguiente en unidades del consumo presente.

2.3. LAS FIRMAS

15

Esta condición se puede usar para derivar una curva de oferta de ahorro. Definida como el lugar geográfico entre S y R tal que la condición de Euler se cumple. La curva de oferta de ahorro esta dada por: R =

u (W N s + Π1

− S ) .

β u (Π2 + RS )

Para determinar la pendiente de esta curva tenemos que considerar los efectos sustitución y riqueza que tengan cambios en la tasa de interés. Suponga que la tasa de interés aumenta. En este caso tenemos dos efectos: El aumento de la tasa de interés aumenta el costo de oportunidad de ahorrar (consumir en el primer período). Lo cual implica un aumento en el ahorro y una disminución en el consumo C 1 . Puesto de otra forma, el precio del consumo futuro en términos de consumo presente cae, ↓ ↑1 R lo cual es un incentivo para ahorrar más hoy. De otra forma, el aumento de la tasa de interés implica un mayor retorno por el ahorro y por tanto un mayor C 2 que implicarían una caída de la utilidad marginal en el período dos lo que contrarresta las ventajas de ahorrar. El primer efecto es un efecto sustitución y el segundo un efecto ingreso. Para tener una curva oferta ahorro con pendiente positiva se necesita que el efecto sustitución domine sobre el efecto ingreso. Y por tanto

 



s

↑ R = ↑ u↓ (β WuN (Π+2+Π↑1− RS ↑)S ) .

La condición de primer orden con respecto al trabajo esta dada por Wu  (C 1 )

− ν  ( N ) = 0. s

El término Wu  (C 1 ) mide los beneficios en términos de utilidad por unidad de trabajo y el término ν  ( N s ) mide los costos. Esto es, por unidad de trabajo adicional yo recibo W unidades adicionales de consumo que implican Wu  (C 1 ) unidades de utilidad. Pero me cuestan ν  ( N s ) unidades de utilidad. Esta condición de equilibrio implica que el hogar trabaja hasta el punto en el cual los beneficios sean iguales a los costos. La condición anterior se puede escribir como W =

ν  ( N s ) u (C 1 )

donde el lado izquierdo es el beneficio marginal de trabajar en términos de unidades de consumo y el lado derecho es la relación marginal de sustitución entre trabajo y consumo que mide el costo del trabajo en términos de utilidad marginal del consumo. De esta forma, el beneficio de trabajar una unidad adicional en términos del consumo es el salario real. Mientras que el costo en términos de beneficios de consumo está dado por la relación marginal de sustitución. Esta condición de primer orden es la oferta de trabajo. Cuando aumenta el salario tenemos dos efectos. El efecto sustitución: Por unidad adicional de trabajo tengo un mayor beneficio en términos de consumo puesto que, dado C 1 , Wu  (C 1 ) aumenta. Sin embargo, C 1 no es constante sino que aumenta por el efecto ingreso lo cual tumba el beneficio marginal de consumir y reduce Wu  (C 1 ) lo cual reduce el incentivo para trabajar. Necesitamos que el efecto sustitución sea mayor que el ingreso para que la curva de oferta de trabajo tenga pendiente positiva. En resumen, del problema de los hogares tenemos una curva de oferta de ahorro y una oferta de trabajo. Dados, W , R, Π1 y Π2 .

2.3. Las firmas Al igual que los hogares las firmas son tomadores de precios. Esto es, la idea es maximizar los beneficios esperados sujetos a la siguiente tecnología. La firma demanda capital y trabajo. En la tecnología de este ejemplo suponemos que en el primer período la firma produce con trabajo y que en el siguiente período sólo produce con el capital, el cual depende de la cantidad de inversión determinada en el primer período. Esto es, la función de producción se define como: Y 1 Y 2

= θ 1 f ( N ) = θ 2 g( I )

16

2. U N MODE LO DE EQUIL IBRIO GE NER AL COMPE TIT IVO EN DOS PER ÍODOS

la función de producción satisface los siguientes supuestos 1. f (0) = 0, f  (.) > 0, f  (.) < 0, f  (0) = ∞, f  (∞) = 0 2. g (0) = 0, g (.) > 0, g (.) < 0, g (0) = ∞, g (∞) = 0 siendo θ 1 y θ 2 parámetros de tecnología. Esta tecnología se puede ver como Y 1 Y 2

= θ 1 F ( N , K 1 ) = θ 2 F (0, K 2 )

donde K 2 = I + (1

− δ ) K 1.

Esto es, en t = 1 las firmas toman como dado el capital y demandan trabajo. En el período dos las firmas no demandan trabajo y sólo usan capital para trabajar. En este caso, usan el capital disponible para producir en el segundo período que sería igual a la inversión más lo que queda después de depreciación del capital disponible en el primer período. La tecnología anterior se puede derivar así: Y 1 Y 2

= θ 1 F ( N , K 1 ) = θ 1 f ( N ) = θ 2 F (0, K 2 ) = θ 2 F (0, I + (1 = θ 2 f (0, I ) = θ 2 g ( I )

− δ ) K 1)

puesto que (1 − δ ) K 1 es una constante. El problema de la firma es entonces máx

Π1 +

Π2

R s.t s

Π1 = θ 1 f ( N )

− W N Π2 = θ 2 g ( I ) − RI

esto es, la firma pide prestado I a una tasa R en el período uno para financiar los gastos de inversión. Mientras que paga un salario W en el primer período por el trabajo demandado. La solución al problema de la firma se puede obtener así: máx θ 1 f ( N ) − W N s +

que tiene las siguientes condiciones de primer orden:

θ 1 f  ( N d ) θ 2 g ( I )

θ 2 g ( I ) R

− I

= W = R

La primera condición es una demanda de trabajo. Las firmas demandan trabajo hasta el punto en el cual, el beneficio marginal de contratar una unidad adicional de trabajo iguala su costo dado por el salario real. Esto es, la productividad marginal del trabajo iguala el salario. Y demanda inversión hasta el punto en el cual el costo marginal dado por la tasa de interés iguala el beneficio marginal dada por la productividad marginal del capital. Estas son curvas de demanda pues aumentos del salario implican (dado el capital) que es necesario para mantener el óptimo disminuir el nivel de empleo y así aumentar la productividad marginal del trabajo. Lo que implica una relación inversa entre salario y demanda de trabajo. Por otro lado, aumentos en la tasa de interés implican que una serie de proyectos de inversión no son rentables y por tanto la inversión disminuye. O en otros términos, dada una tasa de interés alta es necesario que la productividad marginal del capital sea alta. (Sólo los proyectos de inversin que son rentables se llevan a cabo) lo que disminuye el capital disponible en el período dos y por tanto un aumento en la productividad marginal. De esta forma, existe una relación negativa entre la inversión y la tasa de interés.

2.4. EQUILIBRIO.

17

F IGURA 2.4.1. Equilibrio General

2.4. Equilibrio. Necesitamos que el mercado de ahorro se equilibre con el de la inversión. Y que la oferta y la demanda de trabajo se equilibren. De igual menera se necesita que se cumpla la restricción agregada de recursos. Esto es, Y 1 Y 2

= C 1 + I 1 = C 2

recuerde que este es un modelo de dos períodos. Las otras condiciones de equilibrio están dadas por Trabajo:: θ 1 f  ( N ) = W =

Oferta

Y 1

Activos::

S )

     −  Demanda

Recursos::

ν  ( N ) u (W N + Π1

Y 2

= C 1 + I = C 2

θ 2 g ( I ) = R =

Tecnología: Y 1 Y 2

u (W N + Π1

− S )

β N (Π2 + RS )

= θ 1 f ( N ) = θ 2 g( I )

Este sistema tiene solución. Las variables a determinar en la solución ( N , I , W , R, Π1 , Π2 , C 1 , C 2 , Y 1 , Y 2 ).

Capítulo 3

Programación no lineal El capitulo presenta el método de programación dinámica y se usa como ejemplo el modelo de Ramsey. Este se resuelve tanto por el planeador central como por el mercado. Se verá las condiciones de primer orden son iguales. Adicionalmente, se muestra el mismo modelo de Ramsey con algunas distorciones y se comparan las ecuaciones de primer orden del problema solucionado por el mercado y el planificador central. En este caso, no las condiciones de primer orden llegan a distintos resultados y es una clara muestra de lo que pasa cuando no se cumplen las condiciones del Segundo Teorema de Bienestar. El capitulo comienza por el Teorema de Khun-Tucker y posteriormente se introduce el modelo de Ramsey.

3.1. Teorema de Khun-Tucker Uno de los métodos más comunes para solucionar problemas de optimización no lineal se basa en el teorema de Kuhn-Tucker. T HEOREM 1. Teorema de Khun-Tucker : Sea f una función cóncava con primeras derivas continuas definida de U ∈ Rn a R, siendo U un conjunto abierto y convexo. Para i = 1, . . . , l sean hi : U → R funciones cóncavas y con primeras derivadas continuas. Suponga que existe un x¯ ∈ U tal que hi (x) > 0 para i = 1, . . . , l . Entonces x∗ maximiza f sobre D = {x ∈ U |hi (x) ≥ 0, i = 1, . . . , l } si y solo si existe λ ∗ ∈ Rl tal que las condiciones de primer orden Kunh-Tucker se satisfacen: l ∂ f (x∗ ) ∂ hi (x∗ ) + ∑ λ i∗ = 0, ∂ x j ∂ x j i=1

λ i∗

≥ 0,

j = 1, . . . , n

i = 1, . . . , l

λ ∗ hi (x∗ ) = 0,

i = 1, . . . , l

i

3.2. Modelo de Ramsey con trabajo fijo La solución al problema de Ramsey la encontramos usando el planeador central. La presentación actual de Ramsey no incluye variación de trabajo. En la sección siguiente presentamos el modelo de Ramsey cuando el trabajo es variable. En esa sección solucionamos el modelo de Ramsey tanto por el planeador central como por el mercado. El problem de Ramsey se puede presentar así: máx U (c0 , . . . , cT ) c1 ,...cT

s.t C t + K t +1

≤ f (K ) 0 ≤ C 0 ≤ K +1 t

t

t

t = 0, . . . , T t = 0, . . . , T t = 0, . . . , T

siendo K 0 dado. La idea es maximizar la utilidad U (c0 , . . . , cT ) en T períodos sugeto a la restricción de recursos y al hecho de que ni el capital ni el consumo pueden ser negativos. La utilidad depende sólo de C y no del ocio pues esta se asume constante. La restricción de recursos esta dada por la siguiente ecuación ct + k t +1 19

≤ y

t

20

3. PROGRAMACIÓN NO LINEAL

en la cual es claro que el consumidor debe decidir cuanto consumir y cuanto guardar como semilla para el período siguiente. El productor usa capital (semillas) y trabajo el cual se asume constante e igual a uno para producir siguiendo la tecnología definida como: yt = F (K t , N t = 1)

y F se supone tiene las siguientes propiedades: (I) No se puede producir sin insumos F (0, 0) = 0, (II) F es estrictamente creciente en ambos argumentos, (III) Cóncava (no hay rendimientos crecientes a escala) y (IV) con primera y segundas derivas definidas y continuas. yt puede definirce neto de la depreciacion del capital asi: 1. Depreciación completa: En este caso, si se usa el producto como semilla esta no se puede usar en el futuro ni como semilla ni como consumo. En este caso la restricción de presupuesto estaría dada por C t + K t +1

≤ y = f (K ) t

t

siendo f (k t ) = F (K t , N ). 2. Depreciación incompleta: En este caso, la cantidad disponible de semilla para consumir o volver sembrar está dada por F (K t , N ) + (1 − δ )K t (lo que se produce mas lo que se guarda como semilla pero que se puede consumir o sembrar en períodos posteriores). La restricción de presupuesto en este caso está dada por: C t + K t +1

≤ y + (1 − δ )K = f (K ) t

t

t

siendo f (k t ) = F (K t , N ) + (1 − δ )K t El problema de Ramsey se puede resolver utilizando el teorema de KT si se supone que U (.) cumple con las condiciones necesarias en el Teorema de KT y si las restricciones si cumplen con las condiciones del teorema. Luego las condiciones de primer orden para el problema de Ramsey serían: ∂ U (c0 , . . . , cT ) λ t + µ t , t = 1, . . . , T ∂ Ct λ t + λ t +1 f  (K t +1 ) + ω t +1 , t = 1, . . . , T 1

(3.2.1)

0=

(3.2.2) (3.2.3) (3.2.4) (3.2.5) (3.2.6)

0=−

−

0 = −λ T + ω T +1

−

0 = λ t ( f (K t ) − C t − K t +1 ), t = 1, . . . , T 0 = µ t C t , t = 1, . . . , T 0 = ω t +1 K t +1 , t = 1, . . . , T

siendo λ t el multiplicador de la restricción de presupuesto, µ t y ω t +1 los multiplicadores de la restricción de positividad del consumo y del capital. Las condiciones de primer orden se pueden cumplir en soluciones de esquina. Esto es, C t = 0 o K t = 0. Sin embargo, esto no pasa por las propiedades de la función de utilidad. En particular se tiene que ∂ U (c0 , . . . , cT ) ct →0 ∂ Ct

l´ım

→∞

para todo t . Esto es, el granjero pierde mucha utilidad si en algún período su consumo es cero. Teniendo esto en cuenta entonces de (6.3.20) sabemos que C t > 0 y por tanto que µ t = 0 para todo t . Se sabe que f (0) = 0 luego cantidades positivas de C t requieren de un nivel positivo de producto y por tanto K t > 0 lo que implica que ω t +1 = 0 para t = 1, . . . , T − 1. Entonces de (6.3.16) y (6.3.19) tenemos ∂ U (c0 , . . . , cT ) , t = 0, . . . , T ∂ Ct λ t = λ t +1 f  (K t +1 ), t = 0, . . . , T 1 λ t =

f (K t ) = C t + K t +1 ,

− t = 0, . . . , T − 1

ω T +1 K T +1 = 0

3.2. MODELO DE RAMSEY CON TRABAJO FIJO

21

siendo ω T +1 = λ T . Esta última condición se conoce como la condición de transversalidad. Lo que dice es que en todo t incluyendo el último período el agente tiene que consumir y por tanto necesita dejar unidades de semilla K T para ser consumidas en el último período. Puesto de otra forma, ω T +1 K T +1 = λ T K T +1 con λ T > 0 luego K T +1 = 0. Lo que esta condición dice es que en T el consumidor se consume todo lo que queda de capital y que no deja capital (semillas) para T + 1. Si esta condición no se cumple el programa de consumo no puede ser óptimo pues cuando granjero muere deja maíz (capital) que no fue consumido y que de haberlo consumido pudo haber alcanzado una utilidad mayor. Combinando las condiciones de primer orden se llega a la ecuación de Euler. λ t =λ t +1 f  (K t +1 ) ∂ U (c0 , . . . , cT ) ∂ U (c0 , . . . , cT )  f (K t +1 ) = ∂ Ct ∂ Ct +1 ∂ U (c0 , . . . , cT ) ∂ U (c0 , . . . , cT ) / = f  (K t +1 ) ∂ Ct ∂ Ct +1

esta última es la Ecuación de Euler y da la razón a la cual el granjero esta dispuesto a sustituir consumo presente por consumo futuro. Si el granjero posterga su consumo y lo usa como semilla entonces el recibe ∂ U (c0 ,...,cT )  f  (K t +1 ) unidades de producto en t + 1 por unidad de semilla. Lo cual equivale a f (K t +1 ) uni∂ Ct +1 cT ) dades de consumo. Postergar su consumo en t le cuesta ∂ U (c∂ 0C,..., unidades de consumo en t . Luego si los t costos marginales son iguales a los beneficios marginales el granjero es indiferente entre consumo presente y futuro. Esta es la lectura de la ecuación de Euler. Para encontrar una solución analítica del problema es necesario especificar para-métricamente las función de utilidad y de producción. Suponga que la función de utilidad esta dada por T

U (c1 , . . . , cT ) =

∑ β t lnC t

t =1

∂ U (c1 , . . . , cT ) β t = ∂ Ct C t

y

∂ U (c0 , . . . , cT ) ∂ U (c0 , . . . , cT ) / = ∂ Ct ∂ Ct +1

=

C t +1

β Ct

β t C t

β t +1 C t +1

.

De igual forma si f (K t ) = K t α

entonces f  (K t ) = α Kt α −1 .

Bajo esta formas funcionales las condiciones de primer orden están dadas por K t +1 + C t = K t α

α Kt α −1 =

C t +1

β Ct

t = 0, . . . , T t = 0, . . . , T

−1

Una solución al problema de optimización debe cumplir con estas condiciones y con la condición de transversalidad ( K T +1 = 0). Sin embargo, el sistema no tiene solución analítica por lo que se necesita usar un computador. Una posible solución aproximada es suponer que el consumo es constante (ct = ct +1 = c) en este caso se tiene que 1

K ∗ = (αβ ) 1−α

22


que es constante. Lo cual implica que 1 1 α

α

C t ∗ = (αβ ) 1−α

− (αβ ) −

sin embargo esta solución no es óptima por dos razones: 1. El K o no necesariamente es igual a K t ∗ y la senda de consumo constante no se posible. 2. K T +1 puede no ser igual a cero. En general la solución de este problema implica que tanto C t como K t deben cambiar en el tiempo.

3.2.1. Métodos numéricos de solución. Ambos problemas se pueden resolver usando un optimizador no lineal. Sin embargo, el numero de variables a determinar incrementa con el tiempo. Una primera posibilidad para resolver el problema es escribir la función objetivo y las restricciones en el computador y usar un algoritmo de optimización no lineal restringida. El espacio de solución seria entonces de tamaño 2(T + 1) que corresponde a las secuencias de consumo C 0 , . . . ,C T y de capital o torta K 1 , . . . , K T +1 .En ambos caso se supone que el capital en cero esta dado. Otra posibilidad es usar las condiciones de primer orden como función objetivo y encontrar {C t }t T =0 y {K t }t T =1 tal que las condiciones de primer orden se cumplan “aproximadamente”. La segunda posibilidad es reducir el sistema. En el caso de nuestros ejemplos una vez tomada la decisión sobre el capital disponible para mañana sabemos cuanto vale el consumo óptimo. De esta forma el espacio de búsqueda se reduce sustancialmente. El problema de Ramsey se puede resolver numéricamente a partir de las condiciones de primer orden las cuales se pueden expresar en términos sólo del capital así: C t = K t α

− K +1

t = 0, . . . , T

t

K t α +1

t

β (K α

t

− K +2 − K +1) α K +1 − K +2 − α K α +−11 0= β (K α − K +1 ) α Kt α −1 =

t

t

t

t

t

t

Este conjunto de ecuaciones es el que se debe escribir en el computador. Para el caso de T = 3 tendríamos el siguiente conjunto de ecuaciones: K 2α

− K 3 − α K α −1 = 0 2 β K 1α − K 2 K α − K Para t = 2 tendriamos 3 α 4 − α K3 α −1 = 0 β K 2 − K 3 K 4α − α K4 α −1 = 0 Para t = 3 tendriamos β K α − K Para t = 1 tendriamos

  

4

3

  

que son un conjunto de tres ecuaciones para tres incógnitas K 2 , K 3 , K 4 . Para solucionar el sistema se sabe que K 5 = 0 y se conoce K 1 . Un conjunto de valores iniciales bueno para este problema se encuentra suponiendo que los agentes suavizan consumo. Esto es, C t = C t +1 lo cual implica que K ∗ = (α )1/1−α . Recuerde que esta no es una solución del problema pues K ∗ puede ser distinto de K 0 y el puede que K T +1  = 0. El problema de Ramsey se resolvió usando métodos numéricos. Las sendas de consumo y capital se presentan en la Gráfica 3.2.1. Se supuso que K 0 = 0,13 , α = 0,3 con T = 60. Las distintas gráficas corresponden a valores diferentes de β = ( 0,7, 0,9, 1,0). Como se puede ver los agentes no pueden suavizar consumo totalmente puesto que el capital inicial es inferior al de estado estacionario y deben acumular el capital faltante mediante una disminución de consumo. De igual forma, al finalizar el período los agentes deben aumentar su consumo. Tarea Resolver el problema de Ramsey con la siguiente función de utilidad T

U (c1 , . . . , cT ) =

1−σ

t C t

∑ β 1 − σ

t =1

3.3. HORIZONTE INFINITO

23

F IGURA 3.2.1. El problema de Ramsey con horizonte finito 55.05 55.00 54.95 54.90 54.85 54.80 54.75 54.70 54.65

Capital

0

50

100

150

100

150

100

150

Consumo

3.520 3.515 3.510 3.505 3.500

0

50 Choque de productividad

1.000 0.999 0.998 0.997 0.996 0.995 0.994 0.993 0.992 0.991 0.990

0

50

Respuesta 0=

1 β



− K +2 σ − α K α −1 K α − K +1

K t α +1 t

t

t



t

3.3. Horizonte infinito En general el problema de Ramsey se plantea en horizonte infinito (T → ∞). La razón es que no hay un T natural para el horizonte de una economía. Existen consecuencias grandes de suponer T como por ejemplo que los problemas fiscales no pueden ser analizados en toda su extensión.

3.3.1. Utilidad recursiva. Se dice que un problema es recursivo si las decisiones presentes y futuras de los agentes son independientes de las decisiones pasadas. Por ejemplo, en los ejemplos anteriores las decisiones de consumo de los agentes en t dependen del capital en t y del consumo en t + 1 y no del consumo anterior en t . De otra forma, la información relevante del flujo pasado de consumos está contenida en el stock de capital t . Esto es, esta variable contiene toda la información relevante para las decisiones de t en adelante. A este tipo de variable se les llama variables de estado. La separabilidad de las decisiones depende de la forma de la función de utilidad. Este es el caso de la CES y la suma de log’s usados hasta el momento. Existe una familia de funciones de utilidad que cumplen con esta propiedad que se llamada TAS (Time additive separable). Las funciones de utilidad TAS se pueden expresar recursivamente como (3.3.1)

U t = u(C t ) + β Ut +1

β es el factor de descuento u u : [0, ∞]

las siguientes propiedades: 1. 2. 3.

β

∈ (0, 1).

→ R se le conoce como la función de utilidad instantánea. u(C ) tiene

u(C t ) > 0 t = 1, . . . , T u (C t ) > 0 t = 1, . . . , T con l´ımct →0 u (ct ) u (C t ) < 0 t = 1, . . . , T .

t

→∞

24


Iterando la ecuación 3.3.1 se tiene U t =u(C t ) + β Ut +1

=u(C t ) + β u(C t +1 ) + β 2U t +2

.. . T

= ∑ β s u(C t +s ) + β T U t +T s=0

y cuando T → ∞ entonces ∞

U t =

∑ β su(C t +s).

s=0

Para que U t represente una medición que permita ordenar diferente sendas de consumo se necesita que U t sea acotada, esto es que U t < ∞ para cualquier senda de consumo.

3.3.2. Problema de Ramsey en horizonte infinito. ∞

β s u(C t +s ) ∑ {ct }T 1 ,{W t }T 2 −1 s=0

máx

s.t

K t +1 + C t

≤ f (K ) 0 ≤ C 0 ≤ K +1 t

t

t

siendo K 0 el capital inicial y f (K t ) la función de producción que se asume tiene los siguientes supuestos: 1. f (K t ) > 0 para todo T 2. f  (K t ) > 0 para todo T con l´ımK t →0 f  (K ) → ∞ 3. f  (K t ) < 0 para todo T . Solución del problema de optimización con KT. El teorema de KT se puede aplicar aun cuando T → ∞ y en particular se puede usar la ecuación auxiliar dada por ∞

L =

∑ β t [u(C t ) + λ t ( f (K t ) − C t − K t +1 ) + µ t C t + ω t +1 K t +1]

t =0

que se conoce como el Lagrangeano en valor corriente. Las condiciones de primer orden serían: β t u (C t ) t

t

t +1

−β λ + β ω +1 + β t

t

t

t

− β λ − β µ =0 t

t

λ t +1 f  (K t +1 ) =0

λ t ( f (K t )

− C − K +1) =0 t

t

µ t C t =0

ω t +1 K t +1 =0

los multiplicadores ω t +1 , λ t , µ t se refieren a los valores en t y los multiplicadores β t ω t +1 , β t λ t , β t µ t a sus valores descontados al tiempo inicial 0. Las restricciones de positividad se cumplen al igual que en el problema de horizonte finito luego ω t +1 y µ t son iguales a cero. Las F.O.C se reducen a u (C t ) =λ t

− β λ +1 f  (K +1) =0 f (K ) − C − K +1 =0.

λ t

t

t

t

t

t

3.4. MODELO DE RAMSEY CON TRABAJO VARIABLE

25

Al igual que en problema de horizonte finitos tenemos una condición de transversalidad que en ese caso está dada por ω T +1 K T +1 = λ T K T +1 . En el caso de T → ∞ la condición es simplemente el limite de la de horizonte finito dada por l´ım β t λ t K t +1 = 0. t ∞

→

Una senda óptima de consumo y capital tiene como condiciones necesarias las condiciones de primer orden junto con la condición de transversalidad. Las condiciones de primer orden se pueden escribir como: u (C t ) = β u (C t +1 ) f  (K t +1 ) f (K t ) = C t + K t +1

la primera de las cuales el la ecuación de Euler que relaciona la tasa marginal de sustitución de consumo presente con futuro con la productividad marginal del capital u (C t ) u (C t +1 )

= β f  (K t +1 ).

Suponga que el agente disminuye en una unidad su consumo hoy (t ) lo cual le cuesta en términos de su utilidad u (ct ) unidades y que por tanto guarda esta unidad como capital para el período siguiente. Lo cual le produce f  (K t +1 ) unidades en t + 1. Estas unidades en términos de utilidad en t + 1equivalen a f  (K t +1 )u (C t +1 ) que puestas en utilidades del tiempo t son β f  (K t +1 )u (C t +1 ). De esta forma el consumidor estaría dispuesto a postergar consumo presente hasta el punto en el cual el costo marginal sea igual al beneficio marginal.

3.3.3. Métodos de numéricos de solución. En muchos caso no tenemos solución analítica de un problema de optimización. Sin embargo, si es posible aproximar la solución del problema usando métodos numéricos. Los métodos más comunes para esto son el la iteración Backward y la iteración Foreward. En el primer caso, el algorithmo se comienza usando el estado estacionario y itera hacia atrás. Esto es, empezando en K ∗ hacia K 0 . En el segundo caso, se itera de K o hacia K T donde T es un valor grande de T en el cual sea crea que K T ≈ K ∗ . Una descripción del método Backward se encuentra en el Apéndice. El método Foreward es muy simple y es un caso general del método de solución para el caso de horizonte finito. La mayor diferencia es que no se impone un condición de K T = 0 para ningún K y que el problema se resuelve primero para un T dada la solución este se resuelve para un T  > T y se compara la solución. Si esta no cambia mucho entonces se asume que se tienen las sendas óptimas de capital y consumo para el caso de horizonte infinito. La solución al problema de Ramsey de horizonte infinito calculada usando la iteracion hacia adelante se puede ver en la Gráfica 3.3.1 3.4. Modelo de Ramsey con trabajo variable El modelo de Ramsey con trabajo variable se resume en el siguiente problema de maximización ∞

máx

∑ β t u(C t , 1 − Lt )

t =0

s.t

K t +1 + C t

≤ f (K , L ) t

t

0 ≤ C t 0 ≤ K t +1 0 ≤ Lt ≤ 1 siendo Lt las horas de trabajo y (1 − Lt ) el ocio el cual. Notece que el ocio se valora positivamente en la función de utilidad. En el presente modelo no tenemos crecimiento de la población ni crecimiento de la productividad. En caso de tener alguna fuente de crecimiento es necesario estandarizar el sistema antes de encontrar las condiciones de primer orden. Resulta que cuando tenemos en trabajo en el modelo esta estandarización no es trivial. Al final del esta sección veremos unos casos particulares de estadarización. Por el momento, supongamos que no tenemos fuentes de crecimiento. Escribiendo el sistema en términos

26


F IGURA 3.3 .1. Solucion Forward Ramsey Infinito Capital 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

90

100

Consumo 0.390 0.385 0.380 0.375 0.370 0.365 0.360 0.355 0.350 0.345 0.340 0

10

20

30

40

50

60

70

80

∞

L =

∑ β t [u(C t , ht ) + λ t ( f (K t , ht ) − C t − K t +1 ) + µ t C t + ω t +1 K t +1 + ϕ t ht ]

t =0

podemos encontrar las condiciones de primer orden asi:



β t uc (ct , ht ) β t



t

= 0

uh (ct , 1 Lt ) + λ t f h (K t , ht ) + ϕ t

= 0

−

−

− λ + µ t

β t ( λ t + ω t +1 ) + β t +1 λ t +1 f h (K t +1 , ht +1 )

−

0

=

Si se eliminan las condiciones de esquina tenemos uc (ct , 1 Lt +1 )

−

−u L (ct , 1 − Lt ) + uc(ct , ht ) f h (K t , Lt ) β u (ct +1 , 1 − Lt +1 ) f  (K t +1 , Lt +1 ) c

k

= λ t = 0 = uc (ct , 1 Lt +1 )

−

junto con las siguientes restricciones

λ t ( f (K t , Lt )

− C − K +1) t

t

µ t C t

ω t +1 K t +1 ϕ t ht

= = = =

0 0 0 0

Esto es, las condiciones de primer orden se simplifican así: u L (C t , 1 Lt )

−

uc (C t , 1 − Lt ) uc (ct , ht )

β uc (ct +1 , 1 Lt +1 )

−

f (K t , Lt )

= f L (K t , Lt )

 (K t +1, Lt +1 ) = f K

− C − K +1 = 0 t

t


27

Estas son, la condición de equilibrio para el trabajo, que dice que la tasa marginal de sustitucion entre consumo y ocio debe ser igual a la productividad marginal del trabajo. La ecuación de Euler y la restricción de recursos de la economía. Además sabemos que se debe cumplir la condición de transversalidad dada por l´ım β t uc (C t , 1 − Lt )K t +1 = 0.

t ∞

→

Como vimos en el modelo de equilibrio general de dos períodos incluir trabajo en la función de utilidad implica que se deben tener en cuenta los efectos sustitución e ingreso de movimientos en la productividad marginal del trabajo (salario). Esto es, si el agente observa un aumento transitorio en la productividad marginal del trabajo tenemos dos efectos contrarios: el efecto sustitución y el efecto ingreso. Ambos efectos son tanto intratemporales como intertemporales. Esto es, un aumento en la productividad marginal del trabajo implica que a un nivel dado de trabajo el agente produce mas (mas cosecha). Al mismo tiempo, sin embargo, el aumento en la productividad marginal del trabajo aumenta el costo relativo de aumentar una unidad de ocio que lo insentiva a ofrecer mas trabajo. Esto es, por efecto ingreso tendriamos que u L ( C t , 1

↑

− ↓ L ) =↑ f  (K , ↓ L ) t

L

uc (↑ C t , 1− ↓ Lt )

t

t

mientras que por el efecto sustitución se tiene que u L ( C t , 1

↓ − ↑ Lt ) =↑ f  (K t , ↑ Lt ). L  uc (↓ C t , 1− ↑ Lt )

La temporalidad de choque tambien tiene implicaciones significativas sobre el resultado final. Dado que el aumento es temporal, el agente tiene un insentivo a sustituir consumo de hoy por ocio aumentando la cantidad ofrecida de trabajo hoy lo que le permite un mayor ingreso salarial hoy frente al futuro. Parte de este ingreso adicional lo puede ahorrar (invertir) y asi consumirlo en el futuro cuando su ingreso salarial este mas bajo. Momento en el cual, tendra una oferta laboral inferior. Como en el modelo de dos períodos necesitamos que el efecto suistitución domine sobre el efecto ingreso para que la curva de oferta de trabajo tenga pendiente positiva. Una familia de funciones de utilidad muy usadas en macroeconomía son las que tienen elasticidad constante de sustitución con respecto al consumo: U (C , 1 L) =

−



C (1−η ) ν (1 L)

si η  =0 si η = 0

− ln C + ν (1 − L)

siendo η la elasticidad de la utilidad marginal del consumo y ν (1 − L) una función tal que U (C , 1 − L) sea cóncava. Ejemplos de esta función son:

U (C , 1 L) =

−

 

1−η (C t Lt θ ) 1−η 1−η C (1− N t )θ (1−η ) t

siendo θ < 0 siendo η < (1−θ θ )

1−η

ln C t + B ln (1 − ht ) en esta última la elasticidad de sustitución entre consumo y ocio es constante e igual a uno.

3.4.1. Solución. Paraencontrar la solución se necesita dar formas funcionales explicitas. Supongamos que la función de subutilidad es u (ct , (1 Lt )) =

−

1−η

C t

(1 Lt )θ (1−η ) 1 η

y que la funcion de produccion esta dada por (1 α ) α

yt = K t

−

Lt + (1

− −

− δ ) K . t

Usando el multiplicador de Lagrange es facil obtener las condiciones de primer orden:

28


∞

L =

∑ β t

t =0



1−η

C t

(1 Lt )θ (1−η ) + λ t K t 1−α Lt α + (1 1 η

− −



luego las condiciones de primer orden estan dadas por

− δ ) K − C − K +1 t

t

t



λ t = C t −η (1 Lt )θ (1−η ) β λ t +1 (1

λ t = θ (1 Lt )

−

(θ (1 η ) 1)

− −

1−η

= λ t α

C t

− −    α )



α

Lt +1

+ (1

K t +1

− δ )

1−α

K t

Lt

junto con la restricción de recursos. Estas condiciones se pueden simplificar mas asi: (θ (1 η ) 1)

− −

θ (1 Lt )

−

θ Ct

−

t

t

=

− β C η (1 − L

t +1 )

t +1

Lt

α C −η (1 − L )θ (1−η ) t

t

= α

(1 Lt )

−η θ (1−η ) C (1 − L )

K t

= λ t α

C t

=

y la ecuación de Euler sería

1−α



1−η

1−α

 K t

1−α

 K t

Lt

Lt

θ (1 η )

−

−   −  −   − (1

Lt +1

α )

α

+ (1

K t +1

δ )

α Lt +1 1 Lt +1 θ (1−η ) 1 = β (1 α ) + (1 δ ) . C t +1 K t +1 1 − Lt En resumen, las condiciones de primer orden para el modelo de Ramsey con capital y trabajo serían:

 − η

C t

1 = β θ Ct

= (1

(1 Lt )

−

=

C t

θ (1 η )

 −   −   −   − η

C t

C t +1

K t

α )

−

(1

α )

Lt +1

K t +1

α

α

+ (1



− δ )

Lt

K 1−α Lα + (1 t

1 Lt +1 1 Lt

t

− δ ) K − K +1. t

t

Al igual que en el modelo anterior, una posible solución al modelo de Ramsey es su estado estacionario. El cual está dado por:

−    −

1 = β (1 α ) θ C

(1 L)

−

= (1

C =

α )

1 β (1 − δ ) β (1 − α )

siendo G =



1−β (1−δ ) β (1−α )



1

α

.

α

K

+ (1

α

L

K (1−α ) Lα

La solución analítica esta dada por

−

K

L

− δ K



1

α

K =

L

GK =

L

− δ )




  

  

θ K 1−α (GK )α δ K (1 GK )

= α

θ K 1−α (GK )α δ K (1 GK )

= α

−

−

−

−

θ K 1−α (GK )α

(1

− GK )

[θ (Gα

−

K

L

1−α

K

GK

1−α

1

= α

− δ ) K

= α (1

θ (G

1−α

   

− δ K

α

29

G

− GK ) G−(1−α ) α G−(1−α ) − α G1−(1−α ) K α G−(1−α ) − α Gα K

= = δ ) + α Gα ] K = α G−(1−α ) K =

α [θ (Gα

− δ ) + α Gα ]−1 G−(1−α ).

Una vez encontrado el valor de K es fácil determinar los valores de estado estacionario para L, C , Y , I . Por ejemplo el consumo de estado estacionario sería, C =

K 1−α Lα

− δ K − δ K

α K 1−α (GK )

= = KG α δ K C = [Gα δ ] K

− −

A pesar de que el sistema de ecuaciones de estado estacionario tiene una solución analítica, es posible usar el computador para encontrar la solución numerica. Para hacerlo lo que se necesita es escribir las condiciones de primer orden de largo plazo. Esto es, tenemos tres ecuaciones para determinar el valor de (C , K , L) las cuales se deben escribir como ceros en el computador. Esto es,

−   −

0 = β (1 α ) 0 = α 0 =

K

L

α

+ (1

K

1−α

− δ )

θ C

−

1

(1 L)

− K (1−α ) Lα − δ K − C L

El problema numérico se puede simplificar si podemos disminuir este sistema de ecuaciones y esto es posible pues tenemos una expresión del consumo en términos del capital y del trabajo

−   −

0 = β (1 α ) 0 = α

K

L

1−α

L

K

α

+ (1

 − − −  δ )

1

θ K 1−α Lα δ K . (1 L)

−

Este sistema tiene dos ecuaciones para dos incognitas (K , L). Otra cosa que puede ayudar es que sabemos que el capital es positivo y que el trabajo esta entre 0 y 1. Luego es posible escribir el problema de optimización en términos de = (1 + exp ( x1))−1 K = exp ( x2)

L

−

siendo ( x1, x2)las variables sobre las cuales se hace la optimización. El programa RamseyLR.sci para los dos métodos de solución.

30


F IGURA 3.4.1. Solución modelo de Ramsey con trabajo variable Capital

2.50

0.18

2.45

0.17

2.40

0.16

2.35

0.15

2.30

0.14

2.25 2.20 0

0.13 5

10

15

20

25

Consumo

.265 .260 .255 .250 .245 .240 0

Trabajo

0.19

5

10

15

20

25

20

25

0.12 0 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0

5

10

15

20

25

Inversion

0.36 0.35 0.34 0.33 0.32 0.31 0.30 0.29 0.28 0

Producto

5

10

15

20

25

20

25

pmg Capital

0.044 0.042 0.040 0.038 0.036 0.034 0.032

5

10

15

20

25

0.030 0

5

10

15

pmg Trabajo 1.62 1.60 1.58 1.56 1.54 1.52 1.50 1.48 1.46 1.44 1.42 0

5

10

15

Si estamos interesados en encontrar la solución del modelo podemos usar una algoritmo similar al que empleamos en el modelo sin trabajo. En este caso particular necesitamos usar el siguiente conjunto de ecuaciones

0 = β

θ (1 η )

 −  −     − − − − 

0 = α

C t

η

C t +1 K t

Lt

1−α

1 Lt +1 1 Lt

−

1 α

θ K t 1−α Lt α + (1 δ ) K t (1 Lt )

Lt +1

K t +1

α

+ (1

− δ )

−

1

K t +1

−

las cuales se cumplen para t = 1, . . . , T . La gráfico 3.4.1 muestra la solución del modelo de Ramsey con trabajo variable. El supuesto es que el capital inicial esta por debajo del de estado estacionario y lo que las gráficas muetran es la convergencia del sistema al nivel de estado estacionario. Como se puede ver, a ese nivel de capital, el producto marginal es alto lo que implica una renta esperada alta para la inversion o que el consumo de hoy es costoso por lo tanto, los hogares tienen un incentivo a aumentar la inversion y disminuir el consumo. La caída del consumo implica la relación marginal de sustitución de consumo y ocio cae lo que implica un aumento en la oferta de trabajo. Esto es, los hogares estan dispuestos a ofrecer un mayor nivel de trabajo a un salario dado.

3.5. Modelo de Ramsey con trabajo variable solucionado por el Mercado En esta sección retomamos el modelo de Ramsey pero lo solucionamos a traves del mercado. Esto es, en esta seccion asumimos que hay un continuo de hogares que trabajan en competencia perfecta y toman desiciones de consumo y trabajo dada la tasa de interes y el salario. Asi mismo, las firmas contratan el trabajo y el capital dada una renta de capital y el salario.

3.5.1. Hogares. Existe un continuo de hogares identicos indexados en el intervalo (0, 1). Se supone que cada hogar puede proveer hasta una unidad de trabajo al mercado laboral. Como los hogares son identicos se puede tomar uno representativo (todos toman las mismas decisiones) y luego integrar en el intervalo (0, 1) para obtener la solución agregada.

3.5. MODELO DE RAMSEY CON TRABAJO VARIABLE SOLUCIONADO POR EL MERCADO

31

 

Se supone que los individuos derivan su utilidad de consumo y ocio u ct i , 1 − lt i . Suponemos que la utilidad tiene las mismas propiedades que el modelo caso anterior. Esto es, la función de sub-utilidad pertenece U (C , 1 L) =

−



C (1−η ) ν (1 L)

si η  =0 . si η = 0

− ln C + ν (1 − L)

Por comparación usamos la misma función de utilidad del ejercicio anterior. La hogares reciben ingreso por trabajo y la renta de capital, y deben decidir cuanto consumir y cuanto invertir. El problema general del i-esimo hogar representativo es: ∞

máx

  −  ct i ,

∑u

t =0

s.t

1 lt i

= wt lt i + r r k t i I t i

ct i

= (1

k t i+1

−

−

δ ) k t i + I t i

siendo wt y r t el salario por hora y la renta del capital. El problema del hogar se puede expresar usando el Lagrangeano ∞

L =

∑ β t

t =0

   −  ct i

1−η

1 lt i 1−η

θ (1 η )

−



− −  

+ λ 1t wt lt i + r r k t i I t i

y las condiciones de primer orden son: Consumo:

−η 1

 − −   −  ct i

Trabajo:

θ ct i

Inversion:

1−η

lt i

θ (1 η )

−

− λ

it =

θ (1 η ) 1

1 lt i

ct i + λ t 2 (1

− −

0

+ λ 1t wt = 0

−λ 1 + λ 2 = 0 t

t

Capital

−λ 2 + β [λ 1 +1r +1 + λ 2 +1 (1 − δ )] = 0 t

t

t

t

Restricciones: ct i = wt lt i + r r k t i I t i

−

k t i+1 = (1

i t

i t

− δ ) k + I

Estas condiciones de primer orden se pueden simplificar asi:

−η 1

θ (1 η )

−

 −  − −   −  ct i

θ ct i

1−η

1 lt i

θ (1 η ) 1

− −

lt i

+ ct i

= λ it

−η 1

lt i

θ (1 η )

−

i t

i t

i t

− δ ) k + I − k +1

wt = 0



32


−λ 1 + β λ 1 +1 [r +1 + (1 − δ )] t

t

= 0 = β λ 1t +1 [r t +1 + (1

t

λ 1t

−η 1

i θ (1 η )

 − ct i

lt

−

  

= β ct i+1

−η 1 −η 1

β ct i+1

1 =

1 = β

lt i+1

−η 1

−η

ct i

[r t +1 + (1 t

θ (1 η )

− θ (1−η )

[r t +1 + (1

− δ )]

θ (1 η )

1 lt i 1 − lt i+1 θ

lt i

1 lt i+1 1 − lt i

ct i

  −  η

−

i t

ct i

ct i+1

θ (1 η )

− δ )] θ (1−η ) l +1 [r +1 + (1 − δ )]

Resumiendo, las condiciones de primer orden son: ct i+1

δ )]

  −−  −   −  − 

−

= β [r t +1 + (1

ct i

= wt

− 1 lt i

k t i+1 = (1

− δ )]

i t

i t

− δ ) k + I

ct i = wt lt i + r r k t i I t i

−

En cada momento el agente debe decidir sobre , , y I t i para lo cual tenemos cuatro ecuaciones que se cumplen en cada t . Este conjunto de condiciones de primer orden son las condiciones individuales. Como todos los agentes son iguales entonces todos deben tomas las mismas desciones y por lo tanto se pueden reescribir para el conjunto agregrado. La agregacion consiste en sumar las cantidades de ct i ,lt i ,k t i+1 y I t i para todo i ct i lt i k t i+1

1

1

C t = 0 ct i di 1 Lt = 0 lt i di

K t = 0 k t i di 1 I t = 0 I t i di

´ ´

Tomemos el caso del consumo

´ ´

1

C t

ˆ ˆ

=

0

C t

ct i di

0

1

=

ˆ 0

1

C t di

di = C t (1).

Esto es, la suma del consumo percapita es igual al consumo agregado percapita. Lo mismo tenemos para las demas variables de los hogares. Esto es, el capital y el trabajo disponible para las firmas es igual a: 1

´

Lt = lt 0 di

K t = K t

1

´ t

di

que corresponde al total de capital y trabajo ofrecido por los hogares.

3.5.2. Firmas. Suponemos que hay una firma agregada que produce en competencia perfecta y que tiene rendimientos constantes a escala en la produccion. El problema de la firma es maximizar beneficios dados los salarios y la tasa de renta del capital. Esto es, máx s.t

yt

− w L − r K t t

r t

yt = F (K t , Lt )

El problema es estandar y se puede resolver usando como un problema de optimizacion no restringida reemplazando la restriccion en la funcion objetivo. Esto es,

3.6. MODELO DE RAMSEY CON DISTORCIONES

máx

F (K t , Lt )

( Lt ,K t )

33

− w L − r K . t t

r t

Las condiciones de primer orden son: F K (K t , Lt )

− r F (K , L ) − w L

t

t

t

t

= 0 = 0.

Luego las condiciones son las estandar de la firma e implican que el salario es igual al produto marginal del trabajo y que la renta del capital es igual a la productividad marginal del capital.

3.5.3. Equlibrio. La siguientes ecuaciones entonces caracterizan el equilibrio. Por el lado de los hogares tenemos:

  η

C t +1 C t

1 − Lt 1 − Lt +1 θ

θ (1 η )



−

= β [r t +1 + (1

C t

− δ )]

= wt

(1 Lt )

−

K t +1 C t

= (1 δ ) K t + I t = wt Lt + r r K t I t

−

−

y por el lado de las firmas tenemos: F K (K t , Lt )

= r t F L (K t , Lt ) = wt

Lo interesante de estan condiciones de primer orden es que se pueden expresar como las codiciones de primer orden derivadas para el mismo problema pero resuelto por el planificador central. Veamos:

  C t +1 C t

η

1 − Lt 1 − Lt +1 θ

θ (1 η )



−

C t

(1 Lt )

−

K t +1 C t

= β [F K (K t , Lt ) + (1

− δ )]

= F L (K t , Lt ) = (1 δ ) K t + I t = F L (K t , Lt ) Lt + F K (K t , Lt ) K t I t

−

−

Ahora, sabemos que las firmas operan en competencia perfecta y que por tanto sus beneficios son cero. Luego F L (K t , Lt ) Lt + F K (K t , Lt ) K t = F (K t , Lt )

y por tanto la ultima ecuacion se puede escribir como C t = F (K t , Lt ) I t

−

y reemplazando la ecuacion de evolucion del capital tendriamos que C t = F (K t , Lt ) + (1

− δ ) K − K +1 t

t

que es la ecuacion de la solucion por el lado del planificado central. Como las condiciones de primer orden son iguales pues la solucion tiene que ser igual.

3.6. Modelo de Ramsey con distorciones Este queda de tarea.

34


3.7. Programación no lineal con incertidumbre En este modulo consideramos la solución del problema de Ramsey cuando hay incertidumbre y asumimos que la función de producción esta sujeta a choques de productividad. De esta forma el producto en el período t no sólo depende del capital en t pero también de la realización del choque de productividad. El ejemplo típico sería el de un granjero el cual al sembrar tiene en cuenta el nivel de lluvia. Si hay mucha o poca lluvia la cosecha es mala. Por el contrario, cuando el nivel de lluvia es bueno la cosecha también lo es. Bajo incertidumbre, el granjero determina su nivel de consumo una vez observado el nivel de lluvia y no determina cuanto consumir en el futuro puesto que no sabe cuanto es el choque de lluvias o productividad en el futuro. A diferencia del caso determinístico, en el problema estocástico se tiene más información a media que el tiempo corre.

3.8. Modelo de Ramsey con incertidumbre Como el consumo futuro es un variable aleatoria la función objetivo esta dada por ∞

E0 ∑ β t u(C t ) t =0

siendo Eo [] la expectativa condicionada en la información en t = 0 de las variables aleatorias C t t ∞=1 . Esto es, el objetivo del agente es maximizar la función de utilidad esperada. Dado todo lo anterior el problema de maximización se puede escribir de la forma: ∞

máx C 0

E0 ∑ β t u(C t ) t =0

s.t

K t +1 + C t

0 ≤ C t 0 ≤ K t +1

≤ Z f (K ) + (1 − δ )K t

t

t

Nótese que en este caso dada la información en cero el granjero determina C 0 y por lo tanto K 1 dada K 0 y Z 0 . En el período 1 el granjero determina C 1 y K 2 asumiendo como dada K 1 , Z 1 . Sin embargo, C 1 es estocástica dada la información disponible en 0 pues no conocemos Z 1 . Basados en el anterior argumento se puede ver que el problema de optimización se resuelve de manera secuencial así: Primero se revuelve el problema para C 0 y K 1 dados Z 0 y K 0 luego se revuelve el problema para C 1 dados K 1 y Z 1 donde K 1 es el valor óptimo del capital dada la información hasta cero. Esto es, L = E0



∞

∑ β t [u(C t ) + λ t ( Z t f (K t ) + (1 − δ )K t − K t +1 − C t ) + µ t C t + ω t +1 K t +1]

t =0



que tiene como condiciones de primer orden

 

E0 u (c0 )

E0





− λ 0 + µ 0  −λ 0 + ω 1 + β λ 1 Z 1 f (K 1) + (1 − δ ) E0 [ Z 0 f (K 0 ) + (1 − δ )K 0 − K 1 − C 0 ] ω 1 K 1 µ 0C 0

= 0 = = = =

0 0 0 0.

De igual forma para t = 1 tenemos L = E1



∞



− ∑ β t 1 [u(C t ) + λ t ( Z t f (K t ) + (1 − δ )K t − K t +1 − C t ) + µ t C t + ω t +1K t +1 ]

t =1

y las condiciones de primer orden estarían dadas por

3.9. MÉTODOS DE SOLUCIÓN NUMÉRICOS:

 



E1 u (c1 )

E1

− λ 1 + µ 1  −λ 1 + ω 2 + β λ 2 Z 2 f (K 2) + (1 − δ ) E1 [ Z 1 f (K 1 ) + (1 − δ )K 1 − K 2 − C 1 ]



ω 2 K 2 µ 1C 1

35

= 0 = = = =

0 0 0 0.

y así para t = t tendríamos L = Et



∞

− ∑ β

s t

[u(C s ) + λ s ( Z s f (K s ) + (1

s=t

− δ )K − K +1 − C ) + µ C + ω +1K +1] s

s

s

s s



= 0

s

s

junto con las condiciones de primer orden

 

Et u (ct )

Et



− λ + µ −λ + ω +1 + β λ +1 Z +1 f  (K +1) + (1 − δ ) E [ Z f (K ) + (1 − δ )K − K − C ] t

t

t

t

t

t



t

t

t

t

t

t

t

ω t +1 K t +1

µ t C t

= 0 = 0 = 0 = 0.

Si se consideran solo soluciones interiores entonces µ t = ω t +1 = 0 lo cual implica que para t tendríamos las siguientes condiciones de primer orden u (ct )

 



Z t +1 f  (K t +1 ) + (1 − δ )

β Et λ t +1 Z t f (K t ) + (1

− δ )K − K +1 − C t

t

t

= λ t = λ t = 0

y combinando las condiciones uno y dos tenemos





β Et u (C t +1 ) Z t +1 f  (K t +1 ) + (1



− δ ) Z f (K ) + (1 − δ )K − K +1 t

t

t

t

= u (C t ) = C t

La primera ecuación es la versión estocástica de la condición de Euler y la segunda es la restricción de presupuesto. Para la solución numérica del problema de optimización es más conveniente reescribir todas las ecuaciones en función del capital. Puesto que el número de ecuaciones de reduce en la mitad. De esta forma, la ecuación de Euler también se puede escribir como: β Et [u (C t +1 )( Z t +1 f  (K t +1 ) + (1 δ ))] u (C t ) u ( Z t +1 f (K t +1 ) + (1 δ )K t +1 K t +2 ) Et β Z t +1 f  (K t +1 ) + (1 δ ) u ( Z t f (K t ) + (1 δ )K t K t +1 )

−

− −

−

−



3.9. Métodos de solución numéricos:

−



= 1 = 1

En esta sección veremos uno de los posibles métodos de solución para este sistema de ecuaciones. Existen otros que se basan en aproximaciones de Taylor de las condiciones de primer orden. El método que veremos en esta sección se conoce como Extended Deterministic Path. La idea del algorithmo es la siguiente: Suponga que en el período t el agente observa el choque Z t . Si además, Z t +s = Z para s = 1, . . . ,entonces la solución debería ser igual a la solución del modelo determinístico en el cual K T con T suficientemente grande debe ser igual a K ∗ . De esta forma, el valor de K t +1 de la senda convergente corresponde al valor de capital para t + 1 bajo los supuestos de previsión perfecta y de que no hay choques adicionales. Una vez determinado el valor de K t +1 se puede encontrar K t +2 si se le un choque Z t +1 al modelo.

36


F IGURA 3.9.1. Respuesta a un choque de productividad en el modelo de Ramsey. 55.05 55.00 54.95 54.90 54.85 54.80 54.75 54.70 54.65

Capital

0

50

100

150

100

150

100

150

Consumo 3.520 3.515 3.510 3.505 3.500

1.000 0.999 0.998 0.997 0.996 0.995 0.994 0.993 0.992 0.991 0.990

0

50 Choque de productividad

0

50

( A) Impulso respuesta

Deterministic Extended Path. La mejor manera de ver como funciona el algorithmo es mediante un ejemplo. Suponga que ∞

máx

{ct }

E0 [ ∑ β t t =0

s.t

1−η

C t

1−η

K t +1 + C t

0 ≤ C t 0 ≤ K t

] η > 0, β

∈ (0, 1)

≤ Z f (K ) + (1 − δ )K t

t

t

ρ

Z t = Z t −1 expε t

En este ejemplo suponemos que Z t sigue un proceso autorregresivo estacionario y que su media es 1. De esta forma, los agentes conocen que un choque en t = 0 se mantiene por un número largo de períodos. Las condiciones de primer orden para este problema son las siguientes. Si se supone que hay un choque solo en t = 0 entonces tendríamos las siguientes F.O.C. Para t = 0 ρ

β

u ( Z 0 f (K 1 ) + (1

− δ )K 1 − K 2) Z ρ f  (K ) + (1 − δ ) 1 u ( Z 0 f (K 0 ) + (1 − δ )K 0 − K 1 ) 0



Para t = 1 con un choque en t = 0 tendríamos ρ2

u ( Z 0 f (K 2 ) + (1

− δ )K 2 − K 3) β  ρ u ( Z 0 f (K 1 ) + (1 − δ )K 1 − K 2 )





ρ2

Z 0



f  (K 2 ) + (1 − δ )

y así para t = T − 1con T suficientemente largo se tendría ρ T −1

1 β

=

.

1 β

− δ )K −1 − K ∗) Z ρ f  (K − ) + (1 − δ ) = 1 . 2 ρ 0 β u ( Z 0 f (K −2 ) + (1 − δ )K −1 − K −2 ) Este es un conjunto de T − 1 ecuaciones para encontrar T − 1 capitales K 1 , K 2 , . . . , K −1 . El K β

u ( Z 0

=

f (K T −1 ) + (1 T

T

T

T

igual al de estado estacionario. Véase la última ecuación.



2

T



T

T

se supone

La figura 3.9.1 muestra las trayectorias del consumo, el capital y el choque de productividad en el modelo de Ramsey. El choque negativo de productividad reduce el ingreso de los agentes (menos cosecha) y como consecuencia de esto el agente disminuye su consumo pero en una proporción menor a la caída del

3.9. MÉTODOS DE SOLUCIÓN NUMÉRICOS:

37

ingreso. La razón de esto es que dada la utilidad marginal decreciente de los agentes el agente esta mejor cuando distribuye la pérdida de consumo en el tiempo. El comportamiento del capital se puede explicar por dos efectos. Primero, la productividad marginal del capital es baja y segundo el comportamiento del consumo implica que tiene menos recursos para invertir. Los dos efectos sumados entonces explican la evolución del capital el cual permanece por debajo de su nivel de estado estacionario por un período largo de tiempo. El mismo algorithmo se puede utilizar generar realizaciones del modelo. En este caso, se tiene que tener en cuenta dos cosas: Primero, en cada t el modelo recibe un choque y por tanto para cada t se debe resolver el sistema de T − 1 ecuaciones. Segundo, de la solución para cada t solo se usa el capital del período siguiente, el cual se toma como dado en t + 1.

Capítulo 4

Programación dinámica En este capítulo veremos otro método de solución de los problemas de optimización. Que se basa en la función valor un concepto muy similar al de la función indirecta de utilidad en el problema de maximización de utilidad en la microeconomía.

4.1. Utilidad indirecta Considere el siguiente problema de maximización de utilidad u(c1 , c2 )

max

y = p1 c1 + p2 c2

st

en este problema se conocen ( p1 , p2 , y) y se busca encontrar la combinación de c1 y c2 que maximizan la utilidad. La función indirecta de utilidad es la función de utilidad evaluada en las decisiones óptimas y por tanto es función de los precios y del ingreso. Por el teorema de K-T tenemos las siguientes condiciones de primero orden: uc1 (c1 , c2 )

− λ p1 = 0

uc2 (c1 , c2 )

− λ p2 = 0

λ ( y p1 c1

−

− p2c2) = 0

De estas condiciones de primer orden se tiene que:

uc1 (c1 , c2 )

(4.1.1)

λ =

(4.1.2)

λ =

(4.1.3)

y = pc1 + p2 c2

p1 uc2 (c1 , c2 ) p2

u (c ,c )

u

(c ,c )

Combinando las ecuaciones 4.1.1 y 4.1.2 se tiene c1 p11 2 = c2 p21 2 que es la conocida condición de optimalidad. A su vez de 4.1.1 o 4.1.2 se sabe que λ > 0 puesto que uc j (c1 , c2 ) > 0 por lo cual 4.1.3 se cumple. Además, dado que l´ımc→0 uc j (c1 , c2 ) → ∞ para j = 1, 2 se tiene que los agentes gastan su ingreso en cantidades positivas de (c1 , c2 ). En resumen, la restricción de presupuesto y las condiciones de optimalidad nos dan la información para establecer los consumos óptimos de c1 y c2 dados los precios y el ingreso. Estos a su vez se pueden reemplazar en la función de utilidad y tendríamos la utilidad indirecta. Supongamos que, u(c1 , c2 ) = log c1 + log c2 entonces: p1 c1 = p2 c2 .

Dado que y = p1 c1 + p2 c2 y que c2 =

p1 c p2 1

entonces c1 =

y

2 p1

39

40

4. PROGRAMACIÓN DINÁMICA

c2 =

La función indirecta de utilidad sería:

y

2 p2

V ( p1 , p2 , y) = 2log y

.

− log2 p2 − log2 p1

La función indirecta de utilidad predice cual es el nivel de utilidad máximo de un agente que maximiza dados los precios y el ingreso. De esta forma esta función se puede usar para saber cual es el efecto de un aumento en el ingreso y/o los precios sobre la utilidad total sólo sabiendo que los agentes maximizan. En el caso del ejemplo podemos ver que pasa a la utilidad máxima ante un aumento el ingreso en un unidad V y ( p1 , p2 , y)

2

=

y

luego el aumento del ingreso en una unidad genera un aumento equivalente a 2 / y unidades de utilidad. El efecto de un aumento en el ingreso sobre la utilidad máxima debe ser igual al multiplicador de la restricción de ingreso λ . Esto se puede ver usando las condiciones de primer orden λ =

uc1 (c1 , c2 ) p1

luego 1

λ =

= =

c1 p1 2 p1 yp 1

2 y

.

En general necesitamos saber que V y ( p1 , p2 , y) =

uc1 (c1 , c2 ) p1

=

uc2 (c1 , c2 ) p2

El mismo ejercicio se puede hacer para un firma que maximiza beneficios dados los salarios y el nivel de capital. De esta forma, la derivada de la función de máximo beneficio daría el valor de una variación del capital dentro de la firma. Nótese que lo único que se necesita saber es que los agentes están maximizando para calcular el efecto sobre la utilidad total. Esto es, la forma en que los agentes distribuyen el ingreso adicional no es importante para determinar el efecto sobre la utilidad o beneficios.

4.2. Introducción a la Programación dinámica Suponga que un agente tiene T períodos para comerse un torta de tamaño W 0 . Además se sabe que el torta no pierde tamaño o calidad en el tiempo. La idea de la programación dinámica es encontrar la secuencia de consumo óptima de torta dados unas preferencias de los consumidores. Suponga que la utilidad que el consumidor deriva de comer el torta esta dada por T

∑ β t u(C t )

t =0

donde u(.) mide el flujo de utilidad del consumo en t y que esta función tiene las caracteristicas que se mensionaron antes. La programación dinámica convierte un problema de T períodos en uno de dos así: Como se vio, la solución de un problema de optimización se puede condensar en la función indirecta de utilidad. En el caso de la programación dinámica esta se llama la función valor y mide el valor de la utilidad máxima que se puede alcanzar dado un estado. Para el caso de la utilidad antes mencionado el estado estaba dado por los precios y el ingreso, en el caso de la torta el estado está resumido en el tamaño de ponque W t disponible en el período t .

4.2. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA

41

Teniendo en cuenta esta definición es posible entonces re-escribir el problema de optimización de T períodos como uno de dos períodos así: Suponga que en t = 0 la torta es de tamaño W 0 y denote W ∗ el tamaño óptimo de la torta en t = 1. Sea V (W ∗ ) la función valor o la utilidad máxima que se obtendría si W = W ∗ desde t = 1. Por la naturaleza de problema es usual diferenciar sólo entre el estado de hoy y el de mañana los cuales se denotan de manera estándar como W y W  . De manera intuitiva se puede partir el problema de optimización de T períodos en uno de dos así: T

T

t =0

t =1

∑ β t u(ct ∗) =u(c∗0 ) + ∑ β t u(ct ∗ ) T

=u(c∗ ) + β ∑ β t −1 u(c∗ ) 0

t =1

t

=u(c∗0 ) + β V (W 1 ).

donde V (W 1 ) denota la máxima utilidad que se puede alcanzar si se llega a t = 1 con W 1 unidades de torta. De manera más exacta es posible escribir el problema de optimización como máx

V (W ∗ ) =

c0

s.t

u(c0 ) + β V (W 1 ) W 1 = W 0

− c0

con W o dado. Es usual escribir el problema sólo en función de lasvariables de estado en cuyo caso tendríamos el siguiente problema equivalente pero donde la variable de elección no es el consumo sino W . V (W ∗ ) = máx u(W 0

(4.2.1)

W 1

V (W ∗ ) = máx c0

− W 1) + β V (W 1) u(W − W  ) + β V (W  )

Esto es, el nivel óptimo de torta W ∗ en t = 1 debe ser tal que se cumple la ecuación 4.2.1 lo que implica que W  satisface la siguiente condición u (W

− W ∗) = β V  (W ∗)

que es la condición de primer orden del problema en 4.2.1 evaluada en el óptimo nivel de la variable de estado en t + 1. Ahora el problema con ésta condición es que no conocemos el valor de V  (W ∗ ). De conocer V  (W ∗ ) podríamos encontrar una función g() tal que W ∗ = g(W ) que relaciona el tamaño de la torta de hoy con el tamaño óptimo para el período siguiente. Esta función se conoce como la función de política o función de reacción.

Una versión más general. Sea xt un vector con variables de estado en el periodo t y sea yt un vector de variables de control. Sea F ( xt , yt ) la función que se quiere maximizar. El problema de optimización dinámica se puede representar como má∞x V (W ∗ ) = { yt }t =0 s.t

∞

∑t =0 β t F ( xt , yt )

xt +1 = G ( xt , yt )

siendo G ( xt , yt ) la ecuación de evolución de los estados. La ecuación de Bellman para este problema se puede encontrar con las siguientes recursiones

42


∞

V ( xt )

= máx ∑ β i F ( xt +i , yt +i ) yt

i=0

  

∞



= máx F ( xt , yt ) + máx ∑ β i F ( xt +i , yt +i ) yt

i=1 ∞

 

= máx F ( xt , yt ) + máx ∑ β i+1 F ( xt +1+i , yt +1+i ) yt

i=0

∞

= máx F ( xt , yt ) + β máx ∑ β i F ( xt +1+i , yt +1+i ) yt

(4.2.2)

V ( xt )

i=0

= máx [F ( xt , yt ) + β V ( xt +1 )] . yt

Este resultado permite escribir un problema de maximización de infinitos períodos como uno de dos períodos: hoy y mañana. Este problema se puede escribir como máx yt s.t

V ( xt ) =

[F ( xt , yt ) + β V ( xt +1 )] xt +1 = G ( xt , yt )

o sólo en términos de los estados como (4.2.3)

V ( xt ) = máx [F ( xt , yt ) + β V (G ( xt , yt ))]. yt

La ecuación 4.2.1 o 4.2.3 se conoce como la ecuación de Bellman y es una ecuación funcional en la cual lo desconocido es una función. En este, caso la función valor V (.). La teoría de la programación dinámica estudia las condiciones en las cuales se pueden encontrar V y H y cuales serían sus propiedades. En general se sabe que: Si ambas funciones F ( xt , yt ) y G ( xt , yt ) son estrictamente crecientes, estrictamente cóncavas y doblemente diferenciables en sus argumentos entonces: 1. La función V () existe, es diferenciable, estrictamente creciente y estrictamente cóncava. 2. La función de política H () es creciente y diferenciable. 3. La función V () es el límite de la siguiente secuencia de pasos para s = 0, 1, . . . ,: V s+1 ( xt ) =

máx

0< xt +1 ≤G( xt , yt )

F ( xt , yt ) + β V s ( xt +1 )

con V 0 = 0. El resultado anterior nos dice que bajo ciertas condiciones existen las funciones de política y valor. Sin embargo, es posible usar los métodos de programación dinámica para encontrar las condiciones de primer orden. Para encontrar estas condiciones de primer orden usamos el teorema de la envolvente. Las condiciones de primer orden para el problema de optimización V ( xt ) = máx [F ( xt , yt ) + β V (G ( xt , yt ))] yt

están dadas por F y ( xt , yt ) + β V x (G ( xt , yt ))G y ( xt , yt ) = 0.

Sin embargo, estas condiciones de primer orden no son de mucha utilidad pues no conocemos el valor de la derivada de V y ( xt +1 ). Sin embargo, es posible usar el teorema de la envolvente para determinar su valor. Suponiendo que existe la función de política yt = H ( xt ) es posible escribir el máximo de la función objetivo asi: V ( xt ) = F ( xt , H ( xt )) + β V (G ( xt , H ( xt )))

y que por lo tanto se tiene que cumplir que

4.3. EJEMPLOS DEL MÉTODO DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

V x ( xt )

=

43

F x ( xt , H ( xt )) + F y ( xt , H ( xt )) H x ( xt ) +

β V x (G ( xt , H ( xt )))[G x ( xt , H ( xt )) + G y ( xt , H ( xt )) H x ( xt )]

que se puede simplificar como V x ( xt )

= [F y ( xt , H ( xt )) + β V x (G ( xt , H ( xt ))) G y ( xt , H ( xt ))] H x ( xt ) + F x ( xt , H ( xt )) + β V x (G ( xt , H ( xt ))) G x ( xt , H ( xt )) = F x ( xt , H ( xt )) + β V x (G ( xt , H ( xt ))) G x ( xt , H ( xt )) .

Si es el caso que G x ( xt , H ( xt )) = 0 entonces tenemos V x ( xt ) = F x ( xt , H ( xt ))

y que por tanto las condiciones de primer orden son: = 0

F y ( xt , yt ) + β F x ( xt +1 , yt +1 ) G y ( xt , yt )

o reemplazando la ecuacion de evolucion de los estados F y ( xt , yt ) + β F x (G ( xt , yt ) , yt +1 ) G y ( xt , yt ) = 0.

Si G x ( xt , H ( xt ))  = 0 entonces no es posible encontrar una solución analítica. En este caso tenemos que usar el computador para encontrar las funciones de política y valor. Esto se puede hacer siguiendo las iteraciones de presentadas arriba. Ejemplos de este método se veran al final de este capítulo.

4.3. Ejemplos del método de programación dinámica En esta sección mostramos distintos ejemplos del uso de la programación dinámica y cómo ésta se puede usar para las condiciones de primer orden que caracterizan la solución óptima. La siguiente sección la dedicamos a encontrar la función de política ya sea analíticamente o usando el computador.

4.3.1. El problema de la torta. El primer ejemplo es el de la torta. Suponga que un consumidor recibe una torta de tamaño W 0 y que tiene T períodos para consumirla. La fución de sub-utilidad esta dada por u(ct ) = ln ct . Ademas por la naturaleza del problema sabemos que la torta evoluciona W t +1 = W t − C t . Esto es, el tamaño al comienzo del período menos el consumo en ese período. El problema de manera formal se puede escribir como máx ln(ct ) + β V (W t +1 ) ct W t +1 = W t − ct . s.t o en términos sólo del estado (tamaño de la torta) entonces V (W t ) =

V (W t ) = máx [ln(W t W t +1

− W +1) + β V (W +1)] . t

t

Las condiciones de primer orden estan dadas por

− W −1W +1 + β V (W +1) = 0 w

t

t

t

pero no conocemos V w (W t +1 ). Sabemos que existe una función de política W t +1 = H (W t ) la cual no conozco. Sin embargo, se que se cumple que V (W t ) = [ ln(W t H (W t )) + β V ( H (W t ))]

−

y que por lo tanto: V w (W t )

=

− W − H 1 (W ) H (W ) + W − H 1 (W ) + w

t

t

t

β Vw ( H (W t )) H w (W t )

t

t

44


que se puede simplificar usando la condición de primer orden V w (W t )

−

=



1

+ β Vw ( H (W t )) H w (W t ) +

W t H (W t )

−

1

W t H (W t )

−

V w (W t )

=

1

W t H (W t )

−

.

Reemplazando esta ecuación en la condición de primer orden tenemos:

o que

− W −1W +1 + β W +1 −1 W +2 = 0 t

t

t

1 W t

− W +1

= β

t

t

1

W t +1

− W +2 . t

Este sistema de ecuaciones se resuelve usando W 0 y W T +1 = 0 y caracteriza la solución óptima del consumo de la torta.

4.3.2. El problema de Ramsey con trabajo fijo. Las condiciones de primer orden para el problema de Ramsey con trabajo fijo tambien se pueden encontrar. De manera más explicita considere el problema de Ramsey: ∞

∑ β t u (C t )

máx

∈ ( 0, 1 ) =0 K +1 + C ≤ f (K ) + (1 − δ )K

ct

β

t

s.t t t t el cual se puede escribir usando la ecuación de Bellman como V (K t ) =

máx s.t

t

u (C t ) + β V (K t +1 ) f (K t ) = C t + K t +1

o en términos sólo del capital tendríamos V (K t ) = máx

u ( f (K t )

K t +1

− K +1) + β V (K +1) . t

t

Las condiciones de primer orden son:



u f (K t )

− K ∗+1

  

= β V  K t ∗+1 . Por otro lado sabemos que existe una función H ( xt ) tal que K t +1 = H (K t ) y que se debe cumplir que t

u ( f (K t ) H (K t )) + β V ( H (K t ))

−

= V (K t )

del cual podemos encontrar la derivada de la función valor V  (K t ) = u (C t ) f  (K t ).

Esta función la podemos adelantar un período y tendríamos que V  (K t +1 ) = u (C t +1 ) f  (K t +1 ) .

Finalmente, reemplazando en la condición de primer orden tenemos u ( f (K t )

− K +1) t

= β V  (K t +1 ) = β u (C t +1 ) f  (K t +1 )

que es la condición de Euler del problema de Ramsey. En conclusión para el problema de Ramsey, la programación dinámica se puede usar para encontrar las condiciones de optimalidad que encontramos usando los métodos de programación no lineal. Sin embargo,

4.3. EJEMPLOS DEL MÉTODO DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

45

esta no es la solución al problema pues sabemos que la senda de consumo óptimo debe satisfacer la ecuación de Euler pero no sabemos como encontrar esta secuencia. El método de programación dinámica no permite encontrar tanto la función valor como la función de reacción o política. La solución a este problema se puede encontrar usando tanto métodos analíticos como numéricos. Estando la solución analítica disponible para casos muy específicos. Veremos dos ejemplos en el cual es posible encontrar la función de política explícitamente. El primero es el problema de Ramsey sin depreciación y el segundo es el problema del ponque.

4.3.3. El problema de Ramsey con trabajo variable. ∞

∑ β t u (C t , 1 − Lt )

máx

∈ (0, 1) K +1 + C ≤ F (K , L ) + (1 − δ )K

ct

β

t =0

s.t

t

t

t

t

t

La ecuacion de Bellman para este problema seria: máxct , Lt s.t y en terminos de de la variable de estado

u (C t , (1 Lt )) + β V (K t +1 ) C t = F (K t , Lt ) + (1 δ )K t K t +1

−

V (K t ) =

V (K t ) = máx

u [F (K t , Lt ) + (1

ct , Lt

−

−

− δ )K − K +1, (1 − L )] + β V (K +1) t

t

t

t

las condiciones de primer orden serian:

−u (C , 1 − L ) + β V (K +1) = 0 c

t

t

t

k

1 − Lt ) + U c (C t , 1 − Lt ) F L (K t , Lt ) = 0. Necesitamos saber cuanto vale V k (K t +1 ) para poder usar estas condiciones de primer orden. Para lo cual usamos de nuevo el teorema de la envolvente. Suponemos que existe un función de política tal que K t +1 = H (K t ) y la reemplazamos en nuestro problema de optimización que queda L (C t ,

−u

V (K t ) = u [F (K t , Lt ) + (1

y que por lo tanto sabemos que

− δ )K − H (K ) , (1 − L )] + β V ( H (K )) t

t

t

= U c (C t , K t ) [F k (K t , Lt ) + (1 β Vk ( H (K t )) H k (K t )

V k (K t )

t

− δ ) − H (K )] + k

t

que se puede agrupar como V k (K t )

= U c (C t , K t ) [F k (K t , Lt ) + (1 δ )] + [β Vk ( H (K t )) U c (C t , K t )] H k (K t )

−

−

luego V k (K t )

= U c (C t , K t )[F k (K t , Lt ) + (1

Reemplazando en las condiciones de primer orden: L (C t ,

−u

− δ )] .

1 − Lt ) + U c (C t , 1 − Lt ) F L (K t , Lt ) = 0

−u (C , 1 − L ) + β U (C +1, K +1) [F (K +1, L +1) + (1 − δ )] = 0 c

t

t

c

t

t

k

t

t

que son la condiciones de primer orden que teniamos cuando resolvimos el problema de optimización usando los métodos de programación no lineal.

4.3.4. Un caso en el que falla la programación dinámica (Canova). Poner en un futuro....

46


4.4. Solución para horizonte infinito iterando la función valor. 4.4.1. Problema de Ramsey. Sean u (C t ) = ln C t y f (K t ) = K t α entonces la ecuación de Bellman se puede escribir como V (K ) =



 

m´ax α ln K α − K  + β V K 

0≤K ≤K

recuerde que lo que necesitamos encontrar son las funciones de valor y política. Esto es, cuanto debe ser el capital de mañana dado el capital de hoy y cuanto sería el máximo de utilidad futura si el capital de mañana es el óptimo. Para resolver este problema tenemos el siguiente resultado de la teoría de programación dinámica: La función V () es el límite de la siguiente secuencia de pasos para s = 0, 1, . . . ,: V s+1 (K ) =

m´  ax

0
u( f (K )

− K ) + β V (K  ) s

con V 0 = 0. Lo que este resultado nos dice es que la función valor es el límite de estas iteraciones las cuales se comienzan desde V 0 = 0. En principio se podrían comenzar desde cualquier otro punto y el resultado debe ser igual. Aplicando este resultado al problema de Ramsey la siguiente secuencia de iteraciones. V 1 (K ) =



    

m´ax α ln K α − K  + β V 0 K 

0≤K ≤K

=0

y si este es la función valor entonces el capital óptimo sería K  = 0 puesto que dejar capital para el período siguiente no produce ninguna utilidad. Luego la solución de este primera iteración está dada por V 1 (K ) = ln K α

K  = 0.

Ahora dada esta función valor es posible resolver el problema para s = 2 así: V 2 (K )

= =

 

  

m´ax α ln K α − K  + β V 1 K 

0≤K ≤K

ln K α − K  + αβ ln K  .

máx

0≤K  ≤K α

El capital que resuelve este problema debe cumplir con la siguiente condición de primer orden ∂ ln (K α

− K ) + αβ ln K  = 0 ∂ K 

lo cual implica

− (K α 1− K ) + αβ K 1 = 0

luego

αβ

1

K  (K α − K  ) αβ K  α αβ K − αβ K 





=

1 (K α

− K  )

= 1 = K 

αβ K α =

αβ K α = αβ K α = (1 + αβ )

K  + αβ K  K  (1 + αβ ) K  .

Reemplazando este valor del capital en la función valor tendríamos la siguiente función valor

4.4. SOLUCIÓN PARA HORIZONTE INFINITO ITERANDO LA FUNCIÓN VALOR.



α

ln K

− K 



+ αβ ln K 

  −  −  − 

47

αβ αβ K α + αβ ln (1 + αβ ) (1 + αβ ) αβ αβ α ln K + ln 1 + α 2 β ln K + αβ ln (1 + αβ ) (1 + αβ ) αβ αβ α (1 + αβ ) ln K + ln 1 + αβ ln (1 + αβ ) (1 + αβ ) α (1 + αβ ) ln K ln (1 + αβ ) + αβ ln αβ ln (1 + αβ ) αβ 1 α (1 + αβ ) ln K + ln + αβ ln (1 + αβ ) (1 + αβ ) α (1 + αβ ) ln K + A1

= ln K α 1 = = =

−

= =

−

siendo A1 = ln (1+1αβ ) + αβ ln (1+αβ αβ ) . De manera equivalente es posible resolver el problema para s = 3 usando la solución de s = 2. En este caso, la función valor esta dada por V 3 (K )

 

  

m´ax α ln K α − K  + β V 2 K 

=

0≤K ≤K

m´ax α ln K α − K  + αβ (1 + αβ ) ln K  + β A1

=

0≤K ≤K

y las condiciones de primer orden para K  serían: ∂ ln (K α

− K ) + αβ (1 + αβ ) ln K  + β A1

= 0

∂ K 

− K α 1− K  + αβ (1 + αβ ) K 1 αβ (1 + αβ ) K α − K 



= 0



= K 

αβ (1 + αβ ) K α = αβ (1 + αβ ) K α = 1 + αβ (1 + αβ ) αβ + (αβ )2

α

2 K

1 + αβ + (αβ )

K  + αβ (1 + αβ ) K  K 

= K 

y la función valor está dada por V (K )



= ln K α

αβ + (αβ )2



− 1 + αβ + (αβ )2 K α



+ αβ (1 + αβ ) ln



= α ln K + α 2 β + α 3 β 2 ln K + αβ (1 + αβ ) ln

 

 

= α 1 + αβ + (αβ )2 ln K + αβ (1 + αβ ) ln

αβ + (αβ )2

1 + αβ + (αβ )

αβ + (αβ )2

1 + αβ + (αβ )2



1

+ ln

2

αβ + (αβ )

2

1 + αβ + (αβ )

= α 1 + αβ + (αβ )2 ln K + A2 αβ +(αβ )2 1+αβ +(αβ )2



siendo A2 = αβ (1 + αβ ) ln + ln + β A1 . 1+αβ +(αβ )2 En general podemos ver que la función de política está dada por s

i

s

i

∑ (αβ ) α K  = i=1 K ∑i=0 (αβ )

α

2 K

+ ln





+ β A1

1 1 + αβ + (αβ )2 1

1 + αβ + (αβ )2





+ β A1

+ β A1

48


y para s → ∞ tenemos que

S

l´ım ∑ (αβ )

S ∞

→

i

 

2

l´ım αβ 1 + αβ + (αβ ) + ··· + (αβ )

=

S ∞

→

i=1

= αβ l´ım 1 + αβ + (αβ )2 + S ∞

→

··· + (αβ )

 

S

S

1 − (αβ )S S →∞ 1 − αβ

= αβ l´ım

αβ 1 αβ

=

−

y de manera similar

S

1

i=0

1 − αβ

l´ım ∑ (αβ )i =

S ∞

→

luego K 

l´ım

=

S ∞

→

s

∑i=1 (αβ )

i

i s ∑i=0 (αβ )

K α

αβ (1

− αβ ) K α 1 − αβ

=

= αβ K α

K 

esto es la función de política sería K ∗ = g(K ) = αβ K α .

Para encontrar la función valor entonces necesitamos calcular el límite de V s (K ) cuando S → ∞. Lo cual de manera directa es muy complicado. Una posibilidad es usar un “guess” y luego verificarlo. Del resultado de s = 1 y s = 2 podemos inferir que la función valor es lineal en ln K y que es de la forma v = a + b ln K

luego usando este “guess” podemos resolver la ecuación de Bellman así:





má x ln K α − K  + β [a + b ln K ] K

y tenemos las siguiente condición de primer orden ∂ ln K α  ∂ K





− K  + β [a + b ln K ] − K α 1− K  + β b K 1 β b

β b



=

− K α 1− K  + β b K 1

= 0

1

=

K  K α − K 



1 K α

= K 

β b K α = 1 + β b

− K 

K 

y la función valor sería v (k )

=



α

ln K

  −    

= α ln K + ln

1

1 + β b

= (α + β α b) ln K + ln

luego si el “guess” es correcto tendríamos



β b β b K α + β a + b ln K α 1 + β b 1 + β b

β b 1 + β b β b + β a + β b ln 1 + β b

+ β a + β α b ln K + β b ln

1

1 + β b

4.4. SOLUCIÓN PARA HORIZONTE INFINITO ITERANDO LA FUNCIÓN VALOR.

  1

a

= ln

b

= (α + β α b)

1 + β b

+ β a + β b ln

49

β b 1 + β b

que es un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas a, b para resolverlo podemos usar la segunda ecuación b

− β α b

= α α 1 β α

=

b

−

y reemplazando en la primera ecuación tendríamos

a

a

a

= ln

= =

 

1 1 + 1−β βα α

1

1 − β 1 1 − β

 

β α

α − + β a + β ln 1 ββα α 1 β α 1 +

     − ln

1

β α 1 β α

1+ −

ln (1 αβ ) +

−

+ β

1−β α

α ln 1 β α

−

β α 1 β α 1 + 1 β βα α

−



αβ ln αβ 1 αβ

−

−

 

luego ya tenemos tanto la función de política como la función valor.

4.4.2. Problema de la torta. Sean u (C t ) = ln C t y f (W t ) = W t . El problema de la torta se resuelve de manera similar. La ecuación de Bellman sería V (W ) =

  

ln W − W  + β V W  .

máx

0≤W 
Suponiendo que V 0 = 0 tenemos la siguiente ecuación de Bellman V 1 (W ) =

máx

0≤W 
que tiene máximo cuando W  = W . Luego

 

ln W − W 

v1 (W ) = ln W .

W  = W

Para s = 2 tenemos V (W ) =

 

ln W − W  + β ln W 

máx

0≤W 
que tiene como condición de primer orden ∂ ln W W  + β ln W  ∂ W 

−  −−  1

W β W

W  W 

1

1 + β

W

=

− W −1 W  + β W 1  = 0

= β =

1

W  W 

= W 

50


y la función valor sería

 −   −    

= ln W W  + β ln W 

v

1

= ln W

1 + β

W + β ln

1

1 + β

W

β 1 + β ln W + β ln 1 + β 1 + β β 1 (1 + β ) ln W + ln + β ln 1 + β 1 + β (1 + β ) ln W + A1

= ln W + ln = =

 

siendo A1 = ln 1+β β + β ln 1+1 β . Para s = 2 tenemos que v2 =

luego las C.P.O serían

máx

0≤W 
 

ln W − W  + β (1 + β ) ln W + β A1

− W −1 W  + β (1 + β ) W 1  = 0

de lo que tenemos

− W −1 W  + β (1 + β ) W 1  β (1 + β )

1

W  W 

= 0 =

−

=

W 

=

β (1 + β ) W

1 W W 

− W 

β (1 + β ) W = W  1 + β (1 + β ) β + β 2 W 1 + β + β 2

y la función valor sería v2

− −

= ln W W  + β (1 + β ) ln W  + β A1 = ln W



β + β 2 β + β 2 β β 1 ln W + ( + ) W + β A1 1 + β + β 2 1 + β + β 2

= ln W + β (1 + β ) ln W + ln =

siendo A2 = ln



1 + β + β 2 ln W + A2

  1



1+β +β 2



1 1 + β + β 2



+ β (1 + β ) ln

β + β 2 + β A1 1 + β + β 2

2

+β + β (1 + β ) ln 1+β β + β A1 . Así para s = S tendremos +β 2 S

∑ β i W  = i=1 W S

∑i=0 β i

y para S → ∞ tendremos

W  = β W

que es igual al resultado en encontrado para T → ∞. De manera similar podemos calcular la función valor la cual es una función linea de ln W . Sea v = a + b ln W entonces v = máx

y las condiciones de primer orden serían

  

ln W − W  + β a + b ln W  β b − W −1 W  + W  =0



4.5. ITERACIÓN DE LA FUNCIÓN VALOR CON HORIZONTE FINITO

por tanto

1

W  =

1 + β b

51

W

y la función valor sería



1

v

= ln W

v

= (1 + β b) ln W + ln

      

− 1 + β b W

+ β a + b ln

1

1

1 + β b

W

1

+ β b ln

1 + β b 1 + β b de donde tenemos el sistema de ecuaciones en a y b dado por b = (1 + β b) 1 1 a = ln + β b ln + β a 1 + β b 1 + β b y cuya solución está dada por b = (1 + β b) 1 b = 1 − β y la de a

+ β a

   

a

          −   − −   −− 1

= ln = =

1 + β b

1 1

+ β b ln

β 1 β

1+ −

ln (1 β )

1 β 1 a = 1 − β

1 + β b

1

ln

1 β

1

+ β b ln

1

+ β a

1 1 + 1−β β

 

1 β

2

ln (1 β )

4.5. Iteración de la función valor con horizonte finito El método de iterar la función valor también se puede aplicar en el caso de horizonte finito. Lo más importante es tener en cuenta que hay una condición terminal del capital o de la variable de estado el cual debe ser cero al finalizar el horizonte de solución. La solución se encuentra recursivamente empezando por el problema de T = 1 y siguiendo por el de T = 2 y así sucesivamente.

4.5.1. Problema de la torta. V 1 (W ) =

que tiene como solución

máx

0≤W 
W  = 0

 

ln W − W 

v = ln W

la solución implica que hay que consumir todo el ponque en el período corriente. Para T = 2 tendríamos la siguiente ecuación de Bellman V 1 (W ) =

máx

0≤W 
  

ln W − W  + β V2 W 

de lo cual podemos construir la ecuación de Euler así: Sabemos que W  debe satisfacer la siguiente C.P.O 1  



β V2 W =

W

− W 

sin embargo no conocemos V 2 (W ). Para lo cual usamos la siguiente definición W ∗ = g(W ) := argmax

  

ln W − W  + β V2 W 

52


valor en el cual sabemos que V 2 (W ) = ln (W

− g (W )) + β V2 (g (W ))

y por tanto la primera derivada de ésta ecuación sería 1 V 2 (W ) = 1 − g (W ) + β V2  (g (W )) g (W ) W

luego V 2 (W )

− g (W ) 1

=

W

− g (W ) 1





− 

1 g (W ) + β V2  (g (W )) g (W )

1 g (W ) + β V2  (g (W )) g (W ) − W − g (W ) W − g (W )

=

y reemplazando el valor de β V2  (g (W )) con lo encontrado antes tendríamos V 2 (W )

= = =

V 2 (W )

=

1 W

− g (W ) 1

W

− g (W ) 1

W

− g (W ) 1

W

Luego la condición de Euler sería

1 g (W ) + β V2  (g (W )) g (W ) 1 g (W ) + 1 g (W ) +

1

W



− W  g (W ) 1

W



− g (W ) g (W )

− g (W ) β

1

W 

o en términos del consumo

−  −  − 

− W  β

1 C 2

=

1 1

=

− W 

W

C 1

.

Teniendo esta condición de optimalidad y la restricción de prepuesto tendríamos la solución para el problema de dos períodos así: W 3 = W 2

pero W 2 = W 1 − C 1 y W 3 = 0 luego W 3

0

= W 2 = W 1

y por tanto

− C 2

− C 2 − C 1 − C 2

W 1 = C 1 + C 2

con β C1 = C 2 por lo que sabemos que C 1 debe ser W 1

= β C1 + C 1 = (1 + β ) C 1

C 1

=

1

W

1 + β 1 y que por tanto C 2 = β / (1 + β ) W 1 . Dada la solución para la senda de consumo es fácil encontrar la función valor sustituyendo V 2 (W 1 )

ln C 1 + β ln C 2 β 1 W 1 + β ln W = ln 1 + β 1 + β 1 β 1 = (1 + β ) ln W 1 + ln + β ln 1 + β 1 + β = a1 ln W 1 + b1

=

4.5. ITERACIÓN DE LA FUNCIÓN VALOR CON HORIZONTE FINITO

53

siendo a1 = (1 + β ) y b1 = ln (1/1 + β ) + β ln (β /1 + β ) . El problema con T = 3 tiene una solución similar V 3 (W 1 ) = ln C 1 + β V2 (W 2 )

donde W 2 debe ser el óptimo de W para comenzar la optimización en t = 2. Lo primero es escribir la ecuación de Bellman en términos sólo de la variable de estado (W ) así: V 3 (W 1 ) = ln (W 1

− W 2) + β V2 (W 2)

y sabemos que el W 2 óptimo debe satisfacer la siguiente C.P.O 1 W 1

− W 2

= β V2  (W 2 )

pero no conocemos V 2 (W 2 ). Sin embargo, ahora tenemos la función valor V 2 () la cual encontramos en el problema de T = 2. La cual se puede evaluar en W 2 así V 2 (W 2 ) = a1 ln W 2 + b1

y que tiene su derivada (1 + β )

V 2 (W 2 ) =

W 2

Por lo cual tenemos β

(1 + β ) W 2

=

1 W 1

de lo cual podemos deducir C 1 así: β

(1 + β )

W 2 (1 + β ) β (W 1 W 2 )

− W 2 =

1 W 1 W 2

= (1 + β ) β (W 1 W 1 + C 1 ) = W 1 (1 + β ) β C1 = W 1

−

−





1 + β + β 2 C 1 = W 1 C 1

=

− W 2 − C 1 − C 1 W 1

1 + β + β 2

Adicionalmente por la condición de Euler sabemos que β

1

C 2

β

1

C 3

= =

1 C 1

1

C 2

luego C 2

=

β W1 1 + β + β 2

C 3

=

β 2W 1 1 + β + β 2

Dados los consumos para los tres períodos es fácil encontrar la función valor reemplazando en v = ln C 1 + β ln C 2 + β 2 ln C 3

la cual debe quedar lineal en ln W .

54


4.5.2. Problema de Ramsey. El problema de Ramsey en horizonte finito también se puede resolver usando programación dinámica. Veamos para T = 1 tenemos V 1 (K 1 ) =

luego



m´ax α ln K 1α − K 

0≤K ≤K

K  = K 1α



V 1 (K 1 ) = α ln K 1 .

Para T = 2 tenemos V 2 (K 1 ) =

m´ax α ln (K 1α − K 2 ) + β V2 (K 2 )

0≤K ≤K

luego K 2 debe cumplir con la siguiente C.P.O

1



= β V2 (K 2 ) 1 − K 2

K α

y para encontrar V 2 (K 2 ) usamos la siguiente ecuación K 2

= g(K 1 ) := armaxln C 1 + β V2 (K 2 ) = g(K 1 ) := argmax ln (K 1α K 2 ) + β V2 (K 2 )

−

que en óptimo debe cumplirse que V 2 (K 1 ) = ln (K 1α

− g (K 1)) + β V2 (g (K 1))

y que tiene primera derivada V 2 (K 1 )

=

1

  

K α

1 − g (K 1 )

α K1 α −1

  

− g (K 1)

+ β V2  (g (K 1 )) g (K 1 )

que se puede reescribir usando el resultado anterior como 1 V 2 (K 1 ) = α K1 α −1 − g (K 1 ) + β V2  (g (K 1 )) g (K 1 ) α

− g (K 1)

K 1

= =

1

α K1 α −1

K α

1 − g (K 1 )

− g (K 1)

α K1 α −1 . K 1α g (K 1 )

+

1



g (K 1 ) 1 − g (K 1 )

K α

−

La condición de Euler se puede encontrar combinando estas ecuaciones 1 K 1α

o en términos del consumo

− K 2

1 C 1

= β

= αβ

α K2 α −1

K 2α

1

C 2

− K 3

K 2α −1 .

Luego para T = 2, tenemos la Ecuación de Euler y la restricción de presupuesto K 2 K 3

= K 1α C 1 = K 2α C 2

− −

siendo K 3 = 0. Luego solucionando el siguiente sistema de ecuaciones tenemos C 1 y C 2 1 K α

del cual se puede despejar K 2

1 − K 2

K 2

(1 + αβ ) K 2 K 2

= αβ

1

K α −1 K 2α 2

= αβ (K 1α K 2 ) = αβ K 1α αβ K α = 1 + αβ 1

−

4.6. SOLUCIÓN NUMÉRICA DEL PROBLEMA DE LA FUNCIÓN VALOR

55

F IGURA 4.6 .1. Interpolacion lineal

Luego de K 2 = K 1α

tenemos el consumo en C 1 C 1

= K 1α

=

− K 2 αβ K 1α − K α 1 + αβ 1 1 + αβ − αβ α K

=

K

=

C 1

− C 1

1

1 + αβ 1 α

1 + αβ 1 y C 2 sería el necesario para que se cumpla la condición de transversalidad K 3 = 0 0 = K 2α − C 2 C 2

=

  αβ 1 + αβ

α

K 12α

teniendo C 1 y C 2 podemos construir la función valor para T = 2 la cual puede ser usada para el problema de T = 3.

4.6. Solución numérica del problema de la función valor Esta sección necesita ser reescrita.... Mejor explicación del algoritmo. Mostrar las gráficas de McCandless. Como generar las sendas de capital y consumo cuando se usa la iteración de la función valor. (Impulso respuesta). Como se puede ver en el problema de Ramsey la solución analítica de un problema de optimización dinámico puede ser bastante complicada y en muchos casos no ser posible. En estas situaciones es necesario usar métodos computacionales para encontrar la solución. En esta sección veremos el más sencillo de ellos.

56


F IGURA 4.6.2. Interpolación lineal varios puntos

6.0

5.5

5.0

4.5

4.0

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Algorithm 1 Algoritmo de iteracion de la funcion valor 1. Inicialice la función valor en algun punto, cero puede ser un valor, y encuentre el nivel de consumo. Esto es, má x u f (K ) − K  + β 0 K





el cual tiene como solución K  = 0 luego a nivel de capital inicial tenemos que la función valor está dada por V i0 = u(F (K i )), i = 1, . . . , n. 2. Al siguiente paso simplemente se toma como estado un nivel de capital K i y se trata cada K j j = 1, . . . , n como posible valor futuro para el capital. Esto es, para cada i = 1, . . . , n se calcula w j = u( f (K i ) − K j ) + β V j 0 j = 1, . . . , n 3. En este paso se calcula el capital K  para cada valor de K i que fundamentalmente es una aproximación a la función de política así: Encuentre el índice j∗ (o K j∗ ) que maximiza la función valor dado cada valor posible del estado K i esto es w j∗ ≥ w j j = 1, . . . , n y haga g1i = j∗ y V i1 = w j∗ . Este procedimiento se hace para cada i. 4. Repita los pasos (b) a (c) hasta que V s a V ∗ . Donde V ∗ es la solución estacionaria. En la práctica esto sucede cuando V s − V s+1 ∞ < ε con ε > 0 y pequeño.





Existen sinembargo, métodos que usan tecnicas numericas más avanzados que implican menores costos computacionales. El mecanismo de solución consiste fundamentalmente en iterar la función valor hasta que esta converja siguiendo algún criterio. El algorithmo comienza por dividir el rango de posible valores de la variable estado en N partes iguales. Si K es la variable de estado entonces el grid sería C = [ K 1 , . . . , K n ] con K i < K j para i < j con i = 1, . . . , n. Estos son los posibles valores del capital. La función de política que se esta buscando es K  = g(K ) que es una función de C → C tal que la función valor sea máxima dado cualquiera de los posibles valor del capital. El cuadro 1 presenta el código en Matlab para obtener las funciones de política y valor del problema de Ramsey. El Gráfico ??muestra la salida del programa. En este caso tenemos, la función de política, capital de hoy contra capital de mañana, la función de reacción, consumo de hoy contra capital de hoy, y por último

4.7. PROGRAMACIÓN DINÁMICA ESTOCÁSTICA

57

F IGURA 4.6.3. Problema de Ramsey: Iteración de la función valor 12.5

0.15

12

0.1

0.05

11.5

l a t i p a C

n o i s r e v n I

11

0

−0.05

10.5 −0.1

10

−0.15

Funcion Politica Capital Actual 9.5 9.5

10

10.5

11 Capital actual

11.5

12

−0.2 9.5

12.5

10

10.5

11 Capital actual

11.5

12

La gráfica del consumo esta mal. la inversión. En el programa se hace uso del hecho de que el capital debe estar en el intervalo (0, K ) donde 1 K = ( 1 − δ ) α −1 es el máximo nivel posible de capital y del hecho de que el capital de estado estacionario dado por K ∗ = α 1 β 1 − (1 − δ ) . De hecho, la solución al problema se haya alrededor de la solución de estado estacionario.





4.7. Programación dinámica estocástica La programación dinámica tiene a ventaja de ser fácilmente generalizable al caso estocástico. Cuando los problema son estocásticos hay un estado adicional en el modelo (los choques exógenos) y se supone que los agentes conocen ese estado antes de tomar la decisión sobre su nivel de consumo o capital futuro. Tomemmor como ejemplo el modelo de Ramsey de horizonte finito con T = 1. La función de utilidad es la misma de antes. La función de producción sin embargo está dada por f (K t ) = zt K t α

siendo zt una variable aleatoria que toma valor z con probabilidadπ y z < z con probabilidad 1 − π . El nivel de producción en t = 0 es conocido e igual a f (K 0 ) = K 0α

basado en esto el consumidor debe decidir el nivel de K 1 con lo cual sabemos que el nivel de consumo en el período uno sería C 1 = Z 1 f (K 1 )

el cual es una variable aleatoria con realizaciones C 1 = z f (K 1 ) y C 1 = z f (K 1 ). Luego la utilidad esperada el consumidor sería E0 [u (C 0 ) + β u (C 1 )] =u ( f (K 0 )

− K 1)

+ β [π u ( z f (K 1 ))+(1

− π ) u (z f (K 1))]

de la cual podemos derivar la ecuación de Euler derivando con respecto a K 1 u (C 0 )

= β π u (C 1 ) z f  (K 1 ) + (1 = β E0 u (C 1 ) z1 f  (K 1 )



−

π )u (C 1 ) z f  (K 1 )

que es la versión estocástica de la ecuación de Euler. Esta dice que la pérdida de utilidad en el período t = 0 debe ser compensado por la mayor utilidad en el período uno.

12.5

58


C UADRO 1. Iteración de la Función Valor archivo RamseyVF.m function RamseyVF(alpha, delta, beta, nsteps) %Definición de la funcion de utilidad %y de la funcion de produccion function u = Utility(C) u = log(C); end function y = Prodution(K, alpha, delta) y = K.âlpha + (1 - delta)*K; end %Capital de estado estacionario Kstar=(((1/(alpha*beta))-((1-delta)/alpha)))^(1/(alpha-1)); disp(Kstar); %Definicion del grid para la variable de estado (K) Kmin=Kstar*0.9; Kmax=Kstar*1.1; step=(Kmax-Kmin)/nsteps; disp(Kstar); %return K = Kmin:step:Kmax; %Vector de posible capitales n=length(K); %Produccion total para cada valor del capital ytot = Prodution(K, alpha, delta); %Valor inicial de la funcion valor Vold = Utility(ytot); g = 1:n; epsi = 1; for iter=1:100 w = zeros(1,n); V = Vold; for i=1:n for j=1:n C = Prodution(K(i), alpha, delta)-K(j); w(j) = Utility(C) +beta*Vold(j); end [Vnew,gnew] = max(w); g(i) = gnew; Vold(i) = Vnew; end epsi = norm(V-Vold,inf); disp(epsi); if (epsi <= 10e-6) break; end end


59

C UADRO 2. Continuación... figure(1) plot(K,K(g),’r-’); hold on; plot(K,K,’k:’);% so now we have a nice 45 degree line xlabel(’current capital’) ylabel(’capital’) legend(’policy function’,’current capital’,0) title(’Hola’); figure(2) plot(K,K(g)-K); xlabel(’current capital’); ylabel(’net investment’); figure(3) C = Prodution(K(i), alpha, delta)-K(g); plot(K,C); xlabel(’current capital’) ylabel(’Consumption’) end archivo main.m alpha=0.75; delta=0.3; beta=0.9; nsteps=100; RamseyVF(alpha, delta, beta, nsteps);

La generalización del problema de optimización al caso general T  = 1 y zt discreta o continua. La función valor V (K , Z ) es ahora función de los dos estados K , z y se define como la solución de la siguiente ecuación funcional estocástica V (K , Z ) = u Z f (K ) + (1 − δ ) K − K   máx

   | 



0≤K ≤ ZF (K )+(1−δ )K

+ β E V K  , Z  Z

con las expectativas condicionadas en una realización de Z . En el caso en que Z sea un proceso de Markov con realizaciones [ z1 , . . . , zn ] y matriz de transición P = ( pi j ) la expresión E [V (K  , Z  ) | Z ] sería

  | 

E V

K  , Z 

n

zi =

∑ pi jV

j =1

  K  , z j

y en el caso de proceso de Markov continuo con matriz de probabilidades condicionadas π ( z, Z  ) esta expresión sería

   |  ˆ    

E V K  , Z  z =

V K  , z j π z, Z  dZ  .

En ambos casos, las expectativas son condicionadas en una realización particular de Z . Al igual que en caso determinístico, es posible encontrar tanto la ecuación de Euler como la función de política. La mayor diferencia es que ahora la función de política es función tanto de K como de Z esto es, K  = g(K , Z ). Dado que Z es una variable aleatoria K  es también una variable aleatoria y por tanto a diferencia del caso determinístico la solución al problema de programación dinámico está dada por el proceso estocástico para K {K t }t ∞=0 . En términos prácticos es posible usar los mismos pasos tanto para encontrar la ecuación de Euler como para determinar la función de política y la función valor. Vemos:

60


Determinación de la ecuación de Euler. 1. Debe ser que K  debe cumplir con V (K ∗ , Z ) =

máx

0≤K  ≤ ZF (K )+(1−δ )K



u Z f (K ) + (1

− δ ) K − K 

   |  + β E V K  , Z  Z

luego la condición de primer orden con respecto a K  y evaluada en el óptimo K ∗ está dada por

  |   − −    |    |  − −   − − − − |    − − |   − − −       −    − | 

u ( Z f (K ) + (1

− δ ) K − K ∗) = β E V 

K ∗ , Z  Z

2. Tenemos además que K  = g(K , Z ) que se define como K  = g(K , Z ) = argmax

u Z f (K ) + (1

δ ) K K  + β E V K  , Z  Z

y por tanto tendríamos la siguiente igualdad V (K , Z )

= u ( Z f (K ) + (1

δ ) K g (K , Z )) + β E V g (K , Z ) , Z  Z

dada ésta ecuación entonces podemos encontrar la derivada de la función valor con respeto a K así: V  (K , Z ) =u ( Z f (K ) + (1

   

δ ) K g (K , Z )) Z f  (K ) + (1

δ )

g (K , Z )

β E V  g (K , Z ) , Z  g (K , Z ) Z

=u (C ) Z f  (K ) + (1

g (K , Z ) +

δ )

β g (K , Z ) E V  g (K , Z ) , Z  Z

=u (C ) Z f  (K ) + (1

g (K , Z ) +

δ )

u (C ) g (K , Z )

=u (C ) Z f  (K ) + (1

δ )

3. Luego la condición de Euler está dada por

u (C ) = β E u C 

Z  f  K  + (1

δ )

o en términos del t y t + 1tendríamos u (C t )

= =

β E u (C t +1 ) Z t +1 f  (K t +1 ) + (1 δ ) Z t β Et u (C t +1 ) Z t +1 f  (K t +1 ) + (1 δ )

−

Una forma de solucionar el problema estocástico es primero resolver el problema deterministico y verificar si esta solución o una cercana resuelve el problema de optimización. Esto es, usar el guess and verify. Un ejemplo de este procedimiento es la solución del problema de Ramsey. Suponga que u (C t ) = ln C t

F (K t ) = K t α

en el caso determinística sabemos que K  = g(K ) = αβ K α esto es, la función de política es proporcional a K t α . Una posible solución al problema de optimización estocástico es suponer que la solución es de la misma forma. Suponga entonces que la g (K , Z ) = AZ t K t α donde A es la constante de proporcionalidad que necesitamos encontrar. Si este guess es correcto entonces se deben cumplir las condiciones de primer orden. Siguiendo los pasos antes descritos se puede encontrar que la condición de primer orden para este problema está dada por 1 C t

= β Et

  1

C t +1

α Z t +1 K t α +1




61

que en términos sólo del capital sería: 1 = β Et = β Et = β Et = β Et = β Et = β Et =

β α

     

Z t t K t α



− K +1 α Z +1K α +1 α Z +1 K +1 − K +2 Z K α − AZ K α α Z +1 K α +1 α Z +1 K α AZ K − +1 +1 +1 α (1 − A) Z K α Z +1 K α +1 (1 − A) Z +1 K α +1 (1 − A) Z K α α −1 α Z Z +1 ( AZ K α ) (1 − A) Z +1 ( AZ K α )α t t

t t

t

t t t

t t



t t

t t

t

t t t

t t

t

t t t

t t



t t

t t t

1

α 1 Aα ( Z K α )

−

t t t

1 ( Z t t K t α )α −1 A



t



t t t

t

Z t t +1

t t



t t

t



t



t t



t t t

 

α −1 α Z Z t t +1 Aα −1 ( Z t t K t α ) α α 1

α ( Z t t K t )

−



A

luego para que el guess sea correcto necesitamos que A = α β luego K t t +1 = g (K t t , Z t t ) = α β Z Z t t K t α

es un solución al problema. Es posible solucionar este tipo de modelos usando métodos computacionales que se paracen al procedimiento de iteración de la función valor con discretización discretización del estado. Estos métodos no seran cubirto pero pueden ser leídos en H&M.

Capítulo 5

Métodos aproximados de solución En esta capítulo nos concentramos en la presentación de métodos alternativos de solución para los problemas de dinámicos. Estos métodos se basan en la linerización de las condiciones de primer orden del problema de optimización dinámica. Estas condiciones de primer orden se pueden encontrar ya sea los métodos de programación no lineal o de programación dinámica. Cambiar el orden: BK Klein Uligh

5.1. Linearización y log linerización de las condiciones de primer orden La ecuaciones de primer orden se pueden escribir como: ϒ (W t t , W t t +1 ; θ ) = 0.

siendo W t t el vector de variables endógenas y exógenas del modelo y θ el vector de parámetros. Para fijar la notación, consideremos el siguiente modelo de Ramsey con depreciación en el cual tenemos escribimos la inversión explícitamente ∞

máx ax

Eo ∑ β t =0

s.t

1−η

t C t

1−η

Y t t  C t t + I t t

K t t +1 = I t t + (1 α

Y t t = Z t t K t

− δ ) K

t t

ρ

Z t t = Z t −1 eε t t

explicar mejor xq los choques se escriben asi.McCandless. siendo ε t t i.i.d normal con varianza σ ε 2 . Las condiciones de primer orden las podemos encontrar usando

el Lagrangeano



∞

L = Eo

1−η

C t

∑ β t 1 − η + λ t t ( Z t t K t α − C t t − I t t ) + γ t t ( I t t + (1 − δ ) K t t − K t t +1 ) t =0



los demás multiplicadores los eliminamos porque sólo estamos interesados en soluciones internas. Las condiciones de primer orden serían

−η − λ = 0

C t

−γ + β E t t

t



t t

− γ = 0 −1 λ +1 α Z Z +1 K α +1 + β E [γ +1 (1 − δ )] = 0 Y − C − I = 0 I + (1 − δ ) K − K +1 = 0. t t

t t



t

t t

t

λ t t

t t

t t

t t

t t

t t

t t

t t

Estas condiciones de primer orden se pueden simplificar puesto que el valor de la inversión en términos del consumo es igual a uno. Esto es, λ γ t tt t = 1. Este no se cumple cuando existen costos de transformar los bienes de inversión a capital en cuyo caso, λ γ t tt t = qt siendo qt la Q de Tobin. 63

64

5. MÉTODOS APROXIMADOS DE SOLUCIÓN

Reescribiendo las condiciones de primer orden tendríamos Et Et

−





 

−η C − λ

t

t

λ t + β λ t +1 α Z t +1 K t α +−11 + (1

=0

− δ ) = 0 E [Y − C − I ] = 0 E [ I + (1 − δ ) K − K +1 ] = 0 t

t

t t

siendo

t

t

t

t

Y t = Z t K t α ρ Z t = Z eε t

que podemos escribir como Et ϒ (W t , W t +1 ; θ ) = 0

siendo W t = (C t , λ t , I t , K t , Z t ) y θ = (β , η , α , δ ) .

La idea de la linearización o log-linearización es aproximarel sistema de ecuaciones no-lineales ϒ (W t , W t +1 ; θ ) = 0 con un sistema lineal. Para esto, se usa la expansión de Taylor alrededor del estado estacionario. La expansión de Taylor alrededor del estado estacionario nos lleva a un sistema lineal de la forma ˜ t +1 = BW ˜ t AEt W ˜ t = W t − W y W es el valor de estado estacionario de W t donde A y B se pueden definir así: donde W De la expansión de Taylor de primer orden de ϒ tenemos Et ϒ (W t , W t +1 ; θ )

≈

∂ ϒ W Et ϒ W , W ; θ + ∂ Wt

0 = Et

 

Pero ϒ W , W ; θ = 0 entonces

        −          − −    − ∂ ϒ W ∂ Wt

W t

∂ ϒ W ˜ t +1 Et W ∂ Wt +1 ˜ t +1 AEt W

de donde tenemos que



∂ ϒ W A = ∂ Wt +1

W +

W t

∂ ϒ W ∂ Wt +1

∂ ϒ W W + ∂ Wt +1 W t +1

W t +1



− W

W

∂ ϒ W ˜ t W ∂ Wt

=

˜ t = BW B =

−



∂ ϒ W . ∂ Wt

Es muy usual log-linearizar el sistema en lugar de linearizar. La razón de esto es que las variables quedan expresadas en desviaciones porcentuales con respecto al estado estacionario y los parámetros quedan con interpretación de elasticidades. Veamos suponga que Z t +1 = f ( Z t )

para log-linearizar esta ecuación necesitamos realizar los siguientes pasos: 1. Calcular el estado estacionario. Este es, resolver Z

− f ( Z ) = 0

con respecto a Z . Esto, se puede hacer bien sea analíticamente o numéricamente usando un root finder .

2. Sacar logaritmos a ambos lados de la ecuación ln Z t +1 = ln f ( Z t ) 3. Usar la igualdad Z t = expln Z t ln Z t +1 = ln f (expln Z t )

5.1. LINEARIZACIÓN Y LOG LINERIZACIÓN DE LAS CONDICIONES DE PRIMER ORDEN

65

4. Calcular la expansión de Taylor alrededor de ln z a ambos lados de la ecuación z f  ( z)

ln zt +1 = ln f ( z) +

f ( z) z f  ( z)

= ln f ( z) +

ln zt +1 = ln z +

ln 

  zt +1 z

(ln zt

z f  ( z)

=

(ln zt

f ( z)

f ( z)

ln

f ( z)

(ln zt

f ( z)

z f  ( z)

z f  ( z)

ln zt +1 − ln z =

expln Z t (ln zt − ln z)

− ln z)

− ln z)

− ln z)

 zt z

.



Ahora, el coeficiente z f f ( z( z)) es una elasticidad puesto que z f f ( z( z)) = (∂ f /∂ z)/ ( f / z). Además, ln interpretar como una tasa de crecimiento así: Calculando la expansión de Taylor ln zt al rededor de z tenemos 1 ln zt = ln z + ( zt − z)

 zt z

se puede

z

ln

zt z

−

zt z

≈

z

que es la tasa de crecimiento.

5.1.1. Log-linearización en la práctica. En esta sección “log-linearizaremos” las ecuaciones de primer orden del modelo de Ramsey presentado anteriormente. Empecemos con la ecuación Et [Y t − C t − I t ] = 0. 0 = eln Y t − eln C t − eln I t 0 ≈ Y Y ˜t − C C ˜t − I I ˜t ˜t = C C ˜t + I I ˜t Y Y ˜t Y

=

C ˜t + I I ˜t C Y Y

Nótese que el valor esperado se evalúa luego de log-linearizar la ecuación. Ahora loglinearicemos la expresión C t −η − λ t = 0.

−η

pero tenemos que λ = C luego

0 = C t −η − λ t 0 = e−η ln C t − eln λ t −η 0 ≈ −η C C ˜t − λ λ ˜t 0

luego tiene que ser que

≈ −ηC −ηC ˜ − λ λ ˜ ˜ + λ ˜ = −λ ηC



t



t

t

t

˜ t = 0 ˜t + λ η C

puesto que C > 0. Una forma más fácil de log-linearizar esta ecuación es primero sacar logaritmos así:

−η

C t

−η lnC

t

= λ t = ln λ t

y hacer la expansión de Taylor en ln X t a ambos lados de la ecuación así −η ln C t ≈ −η lnC − η 1 ln C t − lnC ˜t ≈ −η ln C − η C





66


el número uno en la primera aproximación corresponde a la derivada de ln C t con respecto a ella misma evaluada en ln C . Podemos hacer lo mismo con el otro lado de la ecuación y tendríamos ln λ t





ln λ + 1 ln λ t − ln λ

≈

˜ t = ln λ + λ e igualando ambas aproximaciones tendríamos t

˜ t = ln λ + λ

t

˜ t = λ

−η lnC − ηC ˜ −ηC ˜

puesto que−η ln C = ln λ . Para log-linearizar la expresión

Et [ I t + (1

− δ ) K − K +1] = 0 t

t

entonces tenemos que hacer Taylor sobre (ln I t , ln K t , ln K t +1 ) . Sin embargo, de las linerizaciones anteriores tenemos algunas reglas que nos sirven para tal fin ˜t aX t ≈ aX X

≈

X t

X t a

≈

X x˜t

˜t . a X

Usando estas reglas es fácil ver que I t + (1

− δ ) K − K +1 = − δ ) eln − eln = ˜ − K K ˜ +1 ≈ I I ˜ + (1 − δ ) K K I ˜ = I ˜ + (1 − δ ) K K Nos queda por log-linearizar la siguiente ecuación −γ + β γ +1 t

eln I t + (1 t

t

t

t

t

t

t

α Z t +1 K t α +−11 + (1

 

   − 

−eln λ + β eln λ −eln λ + β eln λ t

t +1

t

t +1

t

α eln Z t +1 e(α −1) ln K t +1 α eln Z t +1 e(α −1) ln K t +1

−λ λ ˜ + β λ α ZK α −1 + (1 t



˜t +1 . K

t

es fácil de log-linearizar usando las reglas antes descritas:

−λ + β λ +1

0 0 0

t K t +1

K t

− δ ) + (1 − δ ) + (1 − δ )

˜ t +1 + β λ α ZK α −1 Z ˜t +1 δ ) λ



α Z t +1 K t α +−11 + (1

− δ )



= 0 que también

=

0

=

0

=

0

˜t +1 +α (α 1) β λ ZK α −1 K

−

≈

0

Lo único que hay que tener en cuenta en la linearización anterior es que estamos haciendo Taylor y que por tanto tenemos que usar las reglas de derivación correctas. Teniendo en cuenta que λ = Y K



β λ α ZK α −1 + (1

= ZK α −1



− δ )

entonces

−λ λ ˜ + λ λ ˜ +1 + β λ α ZK α −1 Z ˜ +1 + α (α − 1) β λ ZK α −1K ˜ +1 ≈ −λ ˜ + λ ˜ +1 + αβ Y K Z ˜ +1 + α (α − 1) β Y K K ˜ +1 ≈ t

t

t

t

t

t

t

0

t

0

Para determinar completamente los parámetros del modelo linearizado necesitamos los valores de estado estacionario que estan dados por la solución al siguiente sistema de ecuaciones

5.1. LINEARIZACIÓN Y LOG LINERIZACIÓN DE LAS CONDICIONES DE PRIMER ORDEN

67

C −η

− λ = 0 −λ + β λ α ZK α −1 + (1 − δ ) = 0 Y − C − I = 0 I + (1 − δ ) K − K = 0





Y = ZK α

K =

  − −    − −  1

1

(1

α Z β

1

Y = Z

1

δ )

(1

α Z β

C = ZK α

1

α 1

δ )

−

α α 1

−

− δ K

λ = C −η I = δ K

Con estas ecuaciones ya se puede encontrar los valores estacionarios de K , C , I , Y que son importantes I Y Y K para determinar los coeficientes de la forma linearizada. Al igual, estas razones tambien son de mucha utilidad para la calibrarción del modelo. Las condiciones de primer orden linearizadas se pueden escribir como

−λ λ ˜ + β λ t



α

Y K

+ (1



− δ )

−ηC ˜ − λ ˜ ≈ ˜ +1 + β λ α Y Z ˜ +1 + α (α − 1) β λ Y K ˜ +1 ≈ λ K K

0

− C Y C ˜ − Y I I ˜ ≈ ˜ +1 − I I ˜ + (1 − δ ) K ˜ ≈ K K ˜ − α K ˜ − Z ˜ ≈ Y + (1 − δ ) , θ = β λ α , θ = α (α − 1) β λ t

0

t

0

t

0

t

t

t

t

˜t Y

t

t

t

t





o si se definen θ c1 = −ηλ , θ c2 = −ηβ λ α Y K z I δ I = K , δ k = (1 − δ ) entonces el sistema sería equivalente a



Y K

k

  

˜t + θ c2 C ˜t +1 + θ z Z ˜t +1 + θ k K ˜t +1 = 0 Et θ c1 C

  −−  −

˜t γ cC

˜t Et Y

˜t +1 Et K

− γ I ˜

I t

˜t Z ˜t Et Y

y expandiendo las expectativas entonces

=0

˜t = 0 δ I I ˜t + δ k K

Et

t

− α K ˜ ˜ +1 − ρ Z ˜ Z t

t

=0

t

=0

˜t + θ c2 Et C ˜t +1 + θ z Et Z ˜t +1 + θ k Et K ˜t +1 = 0 θ c1 C

− γ C ˜ − γ I ˜ = 0 ˜ +1 − δ I ˜ + δ K ˜ =0 E K ˜ − Z ˜ − α K ˜ =0 Y ˜ +1 − ρ Z ˜ = 0 E Z ˜t Y

c t

t t

I t

I t

k t

t

t

t

t t

t

t

Y K

0

, γ c = C , γ = Y I , Y I

68


˜t +1 = δ I I ˜t − δ k K ˜t entonces podemos ver que Et K ˜t +1 = K ˜t +1 puesto que el valor del teniendo en cuenta que Et K capital de hoy está determinada el período anterior. Esta es una variable endógena predeterminada. Ademas ˜t y por tanto esta variable es una exógena predeterminada. Pero tenemos que tenemos que Et Z ˜t +1 = ρ Z ˜t +1 + ε t lo que la hace una variable endógena no predeterminada. Usando estos resultados en el C t +1 =Et C sistema de ecuaciones anteriores tendríamos ˜t + θ c2 Et C ˜t +1 + θ z ρ Z ˜t + θ k K ˜t +1 = 0 θ c1 C

− γ C ˜ − γ I ˜ = 0 ˜ +1 − δ I ˜ + δ K ˜ =0 K ˜ − Z ˜ − α K ˜ =0 Y ˜ +1 − ρ Z ˜ = 0 E Z ˜t Y

c t

t

I t

I t

k t

t

t

t

t t

t

El cual se puede escribir en forma matricial como ˜t +1 = θ c2 Et C

−θ ρ Z ˜ − θ K ˜ +1 − θ C ˜ 0 = Y ˜ − γ C ˜ − γ I ˜ ˜ +1 = δ I ˜ − δ K ˜ K ˜ − α K ˜ 0 = Y ˜ − Z z

t

k t t

c1 t

c t

t

I t

I t

k t

t

t

t

˜t +1 = ρ Z ˜t Et Z

A =

  

θ c2

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

siendo wt = (C t , Y t , I t , K t , Z t ).

  

−  − 

θ c1 γ c

B =

˜t +1 = θ c2 Et C

0 0 0

0 1 0 1 0

0

−θ −θ ρ 0 0 −δ 0 −α −1 k

−γ

I

δ I

z

k

0 0

0

ρ

  

−θ ρ Z ˜ − θ K ˜ +1 − θ C ˜ ˜ − γ C ˜ − γ K ˜ +1 + α − γ δ K ˜ 0 = Z δ δ t

c t

z

I

I

t

k t



t

k

I

I

c1

t



t

˜t +1 = ρ Z ˜t Et Z

 

θ c2 γ I δ I

θ k 0

  −   −   − −  θ c1

0

γ I δ δ k I

0 0 B= γ c α 0 0 1 0 0 esta A tiene inversa y es posible resolver el problema usando BK. A =

θ z ρ

1

ρ

5.2. Métodos de Solución Intuición de la solución:

Suponga que el modelo se define por las siguientes ecuaciones xt = aEt xt +1 + zt zt +1 = ρ zt + ε t +1

siendo xt una variable endógena y zt la variable exógena. Sabemos que la solución a este sistema de ecucaiones debe ser de la forma: xt = γ zt

Para encontrar esta solución es posible iterar la ecuación hacia adelante de la siguiente forma: xt = aEt xt +1 + zt

5.2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN

69

y xt +1 = aEt +1 xt +2 + zt +1

luego xt

= aEt xt +1 + zt = a2 Et xt +2 + aEt zt +1 + zt = a2 Et xt +2 + aρ zt + zt xt +2 = aEt +2 xt +3 + zt +2

xt = a3 Et xt +3 + a2 ρ 2 zt + aρ zt + zt xt = ak Et xt +k + γ k z t

siendo k

γ k = ∑ (ρ a)i i=0

si |ρ a| < 1 entonces tenemos que γ k

y la solución no existe si ρ a = 1 y es única si

→ γ = (1 −1ρ a)

l´ım ak Et xt +k = 0

k ∞

→

junto con |ρ a| < 1. La segunda condición elimina la posibilidad de tener burbujas y la implica la condición de transversalidad del modelo. Esta es una propiedad de un modelo bien definido. La otra característica importante es que esta solución de expectativas implica que las variables endógenas de hoy dependen del flujo esperado y del comportamiento de las fuerzas exógenas en este caso de zt .

5.2.1. Conceptos básicos. Como vimos linearizando las condiciones de primer orden es posible escribir las condiciones de primer orden como ˜ t +1 = BW ˜ t AEt W el cual se puede solucionar usando distintos métodos. Veremos dos el método de Blanchard y Kahn y el método de Klein. Valor propio. Sea A una matriz cuadrada n la ecuación característica

× n. Los valores propios de A se definen como las raíces de |λ I − A| = 0. n

La ecuación característica sale de considerar la solución al siguiente sistema Ax = λ x siendo x los vectores característicos y λ las raíces características o valores propios. Si x es una solución entonces κ x es también solución. Esta indeterminación de los vectores propios se elimina asumiendo que x x = 1. La solución a este problema consiste de λ y n 1elementos desconocidos de x. El sistema de ecuaciones Ax = λ x implica que

−

Ax = λ I n x o que

( A

− λ I ) x = 0 n

70


que suponiendo conocido λ es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales. Este sistema no tiene una solución trivial x = 0 como su única solución si ( A λ I n ) es singular (no se puede invertir) o lo que es lo mismo que su determinante es cero A λ I n = 0.

−

| − |

Los λ  s que solucionan esta ecuación son los valores propios. Una vez conocidos el conjunto de valores propios entonces es posible encontrar las vectores características asociados a cada valor propio resolviendo el sistema de ecuaciones

( A para x = 0. Ejemplo:



− λ I ) x = 0 n

A = la ecuación característica está dada por

| A − λ I |

5 1 2 4

  −   −  − 

λ 0 5 1 2 4 0 λ 5 λ 1 2 4 λ (5 − λ ) (4 − λ ) − 2(1) λ 2 − 9λ + 18

=

n

 

= = =

 

el cual tiene dos raíces λ 1 = 6 y λ 2 = 3. Para encontrar los vectores propios entonces se deben resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

 

y

5 − λ 1 1 2 4 − λ 1 5 − λ 2 1 2 4 − λ 2

        x11 x21

=

0 0

x12 x22

=

0 0

Para el primer sistema de ecuaciones tenemos que

 −     1 2

1 −2

x11 x21

− x11 + x21

0 0

=

= 0





luego x11 = x21 = x˜. Esto es, el vector propio asociado a λ 1 = 6 tiene la forma ( x11 , x21 ) = ( x˜, x˜) para x˜ = 0. Por su parte, el vector propio asociado a λ 2 = 3 saldría de resolver



     2 1 2 1

x12 x22

=

0 0

que implica la solución a

2 x12 + x22 = 0

  o que un vector de la forma ( x12 , x22 ) = ( x˜, −2 x˜) para x˜  = 0. Ahora si imponemos la condición x  x = 1 entonces podríamos encontrar un único vector propio. Para el caso en que λ 1 = 6 entonces tendríamos


2 x˜2 = 1



luego x˜ = 1 y el vector propio sería ( x11 , x21 ) =

   1, 2

x˜2 + (2 x˜)

2

1 2



71

. De igual forma para λ 2 = 3 tendríamos que

= 1

3 x˜2 = 1 x˜

=

 1 3

 Esto es, el vector propio normalizado asociado a λ 2 es ( x12 , x22 ) = Descomposición de Jordan .

 −   1, 3

2

1 3



.

× n y sea J (λ )una matriz de k × k de la forma λ 1 0 ··· 0 0 λ 1 ··· 0 .. .. .. . J (λ ) = . . . ··· .. 0 0 0 ··· 1 0 0 0 ··· λ con J 1 (λ ) = λ . Entonces existe una matriz no singular n × n Λ tal que J (λ 1 ) ··· 0 0 J (λ 2 ) ··· 0 0 = J Λ−1 AΛ = .. .. ··· ... . . ··· J (λ 2) 0 0 con k 1 + k 2 + ··· + k = n. Los λ son los eigenvalues (valores propios) de A y no son Sea A una matriz n

k

  

k

r

  

  

k1

k 2

k 2

i

  

necesariamente distintos.

5.2.2. Método de Blanchard y Kahn. El algoritmo de B-K se puede aplicar a modelos que se pueden representar de la siguiente manera A0 E t W t +1 = A1W t + B0 Z t

siedo W t +1 = ( X t +1 , Pt +1 ) con X t variables endógenas predeterminadas y

Pt variables endógenas no predeterminadas. Esto es, X t +1 = Et X t +1 mientras que Pt +1 = Et X t +1 + ηt +1 siendo ηt +1 un error de expectativas. Esta variables se llaman en Blanchard-Khan así: X t es el vector de variables predetermindas o backwardlooking y Pt es el vector de variables de control o forward-looking. El método de B-K comienza por escribir el modelo como



X t +1 Et Pt +1



−1 1 = A− 0 A1W t + A0 B0 Z t =



X t +1 Et Pt +1



   

A−1 A1 0

= A

X t Pt

X t Pt

1 + A− 0 B0 Z t

+ BZ t

en el cual se supone que A0 tiene inversa. Si este supuesto no se verifica es necesario usar otro método de solución. El método de B-K usa la descomposición de Jordan sobre la matriz A. Esto es, sabemos que existe una matrix no singular n × n C tal que Λ−1 AΛ = J = CAC −1

o que

A = C −1 JC −1 .

72


Suponiendo que los valores propios han sido ordenados de menor a mayor según el valor absoluto de los valores propios. Entonces la matrix J se puede escribir como J =





0

J 1

0 J 2 en la cual los valores propios de J 1 son menores que uno y los valores propios de J 2 tienen modulo mayor que uno. De esta forma, J 2 se dice inestable puesto que J 2n diverge cuando n → ∞. Mientras que J 1n → 0 en la medida en que n → ∞. Si el número de valores propios explosivos es igual al número de variables nopredeterminadas, el sistema tiene una única solución estable. Por el contrario, si el número de valores propios explosivos es mayor que el número de variables no predeterminadas (forward looking variables) entonces el sistema no tiene solución. Por último, si el número de valores propios mayores que uno es mayor que el número de forward looking variables entonces el sistema tiene infinitas soluciones.



X t +1 Et Pt +1

   X t Pt

=A

+ γ Z t

moviendo esta ecuación i períodos adelante y usando la ley de la expectativas iteradas tendríamos

Et

 

X t +1+i Et +i Pt +1+i X t +1+i Et +i Pt +1+i



Et X t +1+i Et Pt +1+i

  

= A

      X t +i Pt +i

X t +i Pt +i

+ γ Et Z t +i

Et X t +i Et Pt +i

+ γ Et Z t +i

= AEt = A

usando el hecho de que Et [Et +1 xt +2 ] = Et xt +2 . Ahora usando el Teorema de Jordan tenemos

+ γ Z t +i

A = C −1 JC

y que por lo tanto podemos escribir el sistema de ecuaciones



Et X t +1+i Et Pt +1+i





que a su vez es equivalente a





Et X t +i = A + γ Et Z t +i Et Pt +i Et X t +i = C −1 JC + γ Et Z t +i Et Pt +i





           

Et X t +1+i C Et Pt +1+i

= JC

Et X t +i Et Pt +i

+ C γ Et Z t +i .

Definiendo el conjunto de nuevas variables como Y t Qt

y el sistema se puede escribir como



Et Y t +1+i Et Qt +1+i

=

=

J 1

0

C 11 C 21

0

J 2

C 12 C 22

X t Pt

Et Y t +i Et Qt +i

+ Λγ Et Z t +i

Et Y t +1+i = J 1 Et Y t +i + (C 11 γ 1 + C 12 γ 2 ) Et Z t +i que son dos sistema de ecuaciones uno estable y otro inestable. Et Qt +1+i = J 2 Et Qt +i + (C 21 γ 1 + C 22 γ 2 ) Et Z t +i para i = 0 tenemos


73

Et Qt +1 = J 2 Qt + (C 21 γ 1 + C 22 γ 2 ) Z t Qt = J 2−1 Et Qt +1 − J 2−1 (C 21 γ 1 + C 22 γ 2 ) Z t . Esta expresión se puede iterar hacia adelante de la siguiente forma Qt +1 = J 2−1 Et +1 Qt +2

− J 2−1 (C 21γ 1 + C 22γ 2) Z +1 t

que se puede reemplazar en la ecuación original Qt

= J 2−1 Et Qt +1 J 2−1 (C 21 γ 1 + C 22 γ 2 ) Z t =

.. .

−

J −2 Et Qt +2 − J −2 (C 21 γ 1 + C 22 γ 2 ) Et Z t +1 − J −1 (C 21 γ 1 + C 22 γ 2 ) Z t 2

2

= J 2−n Et Qt +n

2

n

− ∑ J 2−( +1) (C 21γ 1 + C 22γ 2) E Z + i

t t i

i=0

luego cuando n → ∞ tenemos que ∞

Qt =

− ∑ J 2−( +1) (C 21γ 1 + C 22γ 2) E Z + i

t t i

i=0

puesto que l´ımn→∞ J 2−n = 0.

  Y t Qt

=

C 11 C 21

C 12 C 22

  X t Pt

.

Luego Qt C 22 Pt Pt

= C 21 X t + C 22 Pt = Qt C 21 X t −1C 21 X t + C −1 Qt C 22 = 22

−

−

y por tanto ∞

Pt =

−C 22−1C 21 X − C 22−1 ∑ J 2−( +1) (C 21γ 1 + C 22γ 2) E Z + . i

t

t t i

i=0

Sabemos que

 

X t +1 Et Pt +1

   

C 11 C 21

B12 B22

−1

          C 12 C 22

0

B11 B21

B12 B22

C 11 C 21

C 12 C 22

X t Pt

X t Pt

+ γ Z t

=

B11 B21

=

B11 J 1 B21 J 1

=

( B11 J 1C 11 + B12 J 2C 21 ) ( B11 J 1C 12 + B12 J 2C 22 ) ( B21 J 1C 11 + B22 J 2C 21 ) ( B22 J 2C 12 + B22 J 2C 22 )

B12 J 2 B22 J 2

J 1

=

0

J 2

C 11 C 21

C 12 C 22

+ γ Z t

  X t Pt

+ γ Z t

74


X t +1

= ( B11 J 1C 11 + B12 J 2C 21 ) X t + ( B11 J 1C 12 + B12 J 2C 22 ) Pt + γ 1 Z t =

− ( B11 J 1C 12 + B12 J 2C 22) C 22−1C 21 X

t

∞

−

−(i+1) (C

−1 ∑ J ( B11 J 1C 12 + B12 J 2C 22 ) C 22 2

21 γ 1 + C 22 γ 2 ) Et Z t +i

i=0

+ ( B11 J 1C 11 + B12 J 2C 21 ) X t −1C 21 X t = ( B11 J 1C 11 + B12 J 2C 21 ) ( B11 J 1C 12 + B12 J 2C 22 ) C 22

− X t +1



−

∞



−(i+1) (C

−1 ∑ J ( B11 J 1C 12 + B12 J 2C 22 ) C 22 2

21 γ 1 + C 22 γ 2 ) Et Z t +i

i=0

1 = B11 J 1 B− 11 X t + γ 1 Z t

∞

− ( B11 J 1C 12 + B12 J 2C 22) C 22−1 ∑ J 2−( +1) (C 21γ 1 + C 22γ 2) E Z + i

t t i

i=0

El último paso se puede probar usando propiedades de las inversas por bloques. Esto es, la inversa de una matriz particionada está dada por

 

C 11 C 21

C 12 C 22

  =

1 siendo F 2 = B22 − B21 B− 11 B12

B11 B21

B12 B22

−1

   =

−1 1 B− 11 I + B12 F 2 B21 B11 1 F 2 B21 B− 11

−

−1 . Usando estas propiedades tenemos que

( B11 J 1C 11 + B12 J 2C 21 )

− ( B11 J 1C 12 + B12 J 2C 22) C −1C 21 22



− B−111B12F 2 −F 2



−1C 21 = B11 J 1C 11 B11 J 1C 12C 22

−



−1 1 = B11 J 1 B− 11 I + B12 F 2 B21 B11 1 = B11 J 1 B− 11

−

−1 1 B11 J 1 B− 11 B12 F 2 B21 B11

Por último si tenemos que los choques siguen el proceso Z t +1 = Θ Z t + ε t +1

entonces = Θ Z t +1 + ε t +2 = Θ2 Z t + Θε t +1 + ε t +1

Z t +2

.. . i

= Θi Z t + ∑ Θ(s) ε t +s

Z t +i

s=1

y por tanto Et Z t +i = Θi Z t .

La solucion de BK se puede escribir de la forma X t +1

1 = B11 J 1 B− 11 X t

∞

− ( B11 J 1C 12 + B12 J 2C 21) C 22−1 ∑ J 2−( +1) (C 21γ 1 + C 22γ 2) Θ Z

=

i

i=0

∞

Pt

i

−C 22−1C 21 X − C 22−1 ∑ J 2−( +1) (C 21γ 1 + C 22γ 2) Θ Z i

t

i

i=0

de forma compacta X t +1 Pt

= F 1 X t + F 2 Z t = F 3 X t + F 4 Z t

t

t


75

En resumen, tenemos que la solución de BK se puede usar cuando es posible reescribir las condiciones de primer orden en términos de variables predeterminadas y no predeterminadas. Mas aun para que exista una única solución necesitamos que se cumpla la condición de BK. Condición de BK: Si el número de valores propios de A menores a uno es igual al número de variables no prodeterminadas entonces existe una única solución.

Usando X t = B11Y t + B12 Qt adelantada un periodo y Et X t +1 = B11 Et Y t +1 + B12 Et Qt +1

entonces la primera diferencias entre estas dos ecuaciones esta dada por

− E X +1 = B11 (Y +1 − E Y +1) + B12 (Q +1 − E Q +1) . Como X es predeterminada luego tenemos X +1 − E X +1 = 0 0 = B11 (Y +1 − E Y +1 ) + B12 (Q +1 − E Q +1 ) X t +1

t t

t

t

t t

t

t

t

t t

t t

t t

t

t t

luego si el B11 es no singular es posible resolver Y t en términos de Qt que ya vimos tiene una única solución. La solución de BK es forward looking. En el sentido en que las variables no predeterminadas sólo las afecta el pasada a traves del efecto que tiene en valor corriente de las variables predeterminadas.

5.2.3. Método de Klein. Cuando la matrix A no se puede invertir o es muy dificil reducir el sistema, el método de Klein (2000) resulta ser de utilidad. La idea es similar a la de Blanchard - Khan y consiste en transformar el sistema en dos sub-sistemas: uno estable y el otro inestable. Sin embargo, no es posible usar la descomposición de Jorda pues el la matrix A no se puede invertir. Por esto, Klein usa la transformación de Schur. De esta forma, el método de Klein es mas general que el de BK. 5.2.4. Conceptos básicos: Complex matrix: Una matriz cuyos elementos pueden ser números complejos.

Representación matricial de un número complejo: Un número complejo se puede escribir en forma matricial como a + bi =



a b

−b a



y por tanto una matrix de números complejos de tamaño (m × n) se puede escribir como una matrix de reales de tamaño (2m × 2n) . Multiplicación (a + bi)( x + yi) = ax + bxi + ayi by = (ax by) + (bx + ay) i (ax by) (bx + ay) = (bx + ay) (ax by)

−



a b

−b a

 −− −  −  −   − − −   − −−  x y

y x

=

ax by bx + ay

=

ax by bx + ay

= (ax

Adición



a b

−b a

 +

x y

− y x

(ay + bx)

−by + ax

− by) + (ay + bx) i

  =

ay bx by + ax

a + x b + y

− (b + y) a + x

= (a + x) + (b + y) i



76


Matrix Pencil: La matrix-valued function definida en los números complejos dada por A siendo λ

− λ B

∈ C (or R) siendo A y B matrices complejas o reales

Valores propios generalizados.

Sea P ( z) = Az B, entonces el conjunto de sus valores propios generalizados λ ( A, B) se define como λ ( A, B) = z C : P ( z) = 0 . Al igual que para el caso de los valores propios normales el valor propio generalizado sale de solucionar el siguiente problema de ecuaciones

−

{∈ |

| }

= λ Ax ( Aλ B) x = 0 Bx

− que tendría solución trivial x = 0 si | Aλ − B|  = 0. Luego el conjunto de λ para los cuales el sistema Bx = λ Ax no tiene solución trivial es el conjunto de valores propios generalizados.

Regular Matrix Pencil: A matrix pencil is called regular if there is at least one value of λ such that det( A 0.

− λ B) =

Matriz triangular: Una matrix triangular superior es de la forma

U =

Hermitian transpose: A H .

  

u11

u12 u22

u13 u23

... ...

.

.

..

.. ..

0

u1n u2n

.. .

. un−1n unn

  

The Hermitian transpose of an m nmatrix A with complex entries is the n mmatrix A H obtained from A by taking the transpose and then taking the complex conjugate of each entry. That is, a matrix A with complex entries can be written as

×

A =



a + bi e+ fi

c + di h + gi

      =

A H

=

×

a b e f

−b a − f

c d h g

−d c −g

a b e f

−b a − f

c d h g

−d c −g

e

e

   

h

h

and its Hermitian transpose will be A H =

Unitary matrix: A unitary matrix is an (n



a c

− bi e − f i − di h − gi



T

=

  − −

a b c d

.

× n) complex matrix U satisfying the condition U H U = UU H = I n

b a d c

e f h g

− −

 

f e g h


77

where I n is the identity matrix and U H , is the the Hermitian transpose of U . Note this condition says that a matrix U is unitary if and only if it has an inverse which is equal to its Hermitian transpose, i.e U −1 = U H .

Descomposición de Schur . Sean A y B matrices de tamaño n n de números complejos tales que P ( z) = Az una matriz pencil regular (no singular). Entonces existen unas matrices unitarias n números complejos Q y Z tal que 1. QAZ = S con S una matriz triangular superior, 2. QBZ = T con T una matrix triangular superior, 3. Para cada i, sii y t ii son distintos de cero,

×

− B es × n de



4. λ ( A, B) = st iiii : sii  =0 5. Los pares (sii , t ii ) , i = 1, . . . , n se pueden ordenar en cualquier orden.

5.2.5. La solución de Klein. El sistema linearizado de condiciones de primer orden se puede escribir como (5.2.1)

AE [ xt +1 F t ] = Bxt + Czt

| siendo A, B y C matrices de tamaño (n × n), (n × n) y (n × n ) respectivamente. El objetivo del método de z

Klein es resolver el sistema de ecuaciones 5.2.1 para el vector xt cuando cuando A es singular (no tiene inversa). Exitencia de la solución. Como es de esperar la existencia de la solución del la ecuación en diferencias presentado en 5.2.1 depende de las propiedades de la matrices A y B y no de la C puestas son A y B las que determinan la dinámica del sistema. Siguiendo a King y Watson (1995) la existencia de una solución (no  0. Esto es, no puede ser necesariamente estable) esta garantizada si no existe un z ∈ C tal que | Az − B| = el caso que para todo z se tenga| Az − B| = 0. Suponga que esto último es el caso y defina el operador de expectativas como E [ xt +1

|F ] := Fx t

t

entonces el sistema 5.2.1 se puede escribir de la forma AFxt

( AF B) xt

−

= Bxt + Czt = Czt

Como Az − B es singular (| Az − B| = 0 para todo z) entonces sus columnas son linealmente dependiente y por tanto existe un vector a( z) tal que a( z) ( Az − B) = 0. Como Az − B es singular para todo z entonces tambien lo es para z = F luego que



= a (F ) Czt

a (F ) ( AF B) xt

−

0 = a (F ) Czt

lo cual no necesariamente se cumple para todo C y zt . Es claro que para que exista una solución la matrix Az − B no puede ser singular para todo z. Solución. La idea de Klein al igual que la de Blanchard-Khan es descomponer el sistema 5.2.1 en dos subsistemas: uno estable y el otro inestable. Para lograr la descomposición del sistema 5.2.1 Klein usar la descomposición de generalizada de Shur. El método de Klein es más general que el de BK puesto que A puede ser singular. La solución de Klein empieza por ordenar las variables en xt asi: xt =

×1

n

  k t

×1

nk

d t

siendo k t variables backward-looking o predeterminadas y d t variables forward-looking. Las variables backwardlooking se definen como aquellas variables que cumplen con la siguiente condición:

78


(5.2.2)

k t +1

− E [k +1|F ] = ζ +1 t

t

t

siendo ε t el error exógeno de expectativas y para las cuales se tiene k 0 exogenamente dado. La definición de backward-lookiness de Klein implica que los errores de pronóstico de los agentes son en promedio cero y que la correlación serial (memoria) entre los errores es acotada. Esta misma definición en BK implicaba que no existían error de expectativas. Esto es, k t +1 − E [k t +1 |F t ] = 0. Se requieren dos supestos adicionales para lograr que el sistema definido en (5.2.1) satisfaga las condiciones del Teorema de la descomposión generalizada de Shur. Supuesto 1: Existe un z ∈ C tal que | Az − B| =  0. Supuesto 2: No existe un z ∈ C con | z| = 1tal que | Az − B| = 0 Como se vió antes, el supuesto 1 garantiza que el sistema tenga una solución. Mientras que el supuesto 2 hace que sea posible organizar los valores propios generalizados entre aquellos mayores que uno y los menores que uno en módulo, esto es que |λ | > 1 o que |λ | < 1. En general por el Teorema de Shur sabemos que los valores propios generalizados son de la forma λ ( A, B) = t ii /sii con sii  = 0. Luego existen las siguientes posibilidades para λ

λ ( A, B) =

 

>1 =1 <1

|t | > |s | |t | = |s | |t | < |s | ii

ii

ii

ii

ii

ii

el caso |t ii | = |sii |no se puede dar por el supuesto 2. Ahora, dado que A es singular, es posible que para algún |sii| = 0. En cuyo caso, uno de los valores λ ( A, B) no estaría definido. Sin embargo, en estos casos, Klein asume que |λ | = ∞. Mas aun, por el Teorema de Shur sabemos que como Az − B es regular entonces no es posible |sii | = |t ii | = 0. Dados esos supuestos sabemos por el Teorema de Shur que existen las matrices Q, Z , S , T . Ademas sabemos que el supuesto 2 nos permite organizar la matrices S y T de tal forma que los valores propios con modulo menor que uno (estables) aparecen primero, esto es, aquellos valores propios para los cuales |sii| > |t ii|. Esta reoganización de los valores propios implica una organización equivalente en∗la matriz Z ∗ ∗ pero no implica que las variables en xt se reorganicen. Puesto que, se sigue cumpliendo que Q AZ = S y que Q∗ BZ ∗ = T ∗ donde las matrices con asteriscos son las matrices reordenadas. La matriz Z se puede expresar como una matriz particionada asi: Z =

(n n)

×

 

Z 11

Z 12

(ns nk )

×

(ns nd )

Z 21

(nu nk )

Z 22

(nu nd )

×

×

×

 

siendo n = nk + nd y n = ns + nu . Notece que para que esta partición sea consistente con la partición del vector necesitamos que el número de variables backward-looking sea igual al número de valores propios generalizados con módulo menor que uno. Luego ns = nk y nd = nu . Como veremos más adelante, para que exista una única solución estable se necesita que Z 11 sea inverible. Entonces tenemos un tercer supuesto Supuesto 3: Z 11 es cuadrada e invertible.

Teorema: Dados todos los anteriores supuestos existe una solución estable y única.

Prueba: Lo primero es definir un sistema triangular para lo cual usamos la descomposición de Shur. Para esto, se trabaja en una nuevo conjunto de variables definidas mediante la transformación xt = Zy t .

Dada esta transformación es posible re-escribir el sistema (5.2.1) en términos de yt


(5.2.3)

79

AE [ Zyt +1 F t ] = BZyt + Czt

|

ahora sabemos que existen las matrices Q tales que QAZ = S y QBZ = T entonces premultiplicando (5.2.3) por Q tenemos QAZ E [ yt +1 F t ]

| S E [ y +1 |F ]

= QBZyt + QCzt = Tyt + QCzt

E [ yt +1



T 11

T 12 T 22

  

   |  

T 11

T 12 T 22

   

t

t

el cual se puede escribir en forma extendida como



(5.2.4)

S 11

S 12 S 22



|F ] =

Q1 Q2

yt +

Cz

t 0 0 ahora las variables en el vector yt se pueden renombrar como variables estables e instables. Esto es, yt = (st , ut ) y por tanto (5.2.4) se puede re-escribir como



S 11

S 12 S 22

t

st +1 ut +1

E

F

=

st ut

Q1 Q2

+

Cz .

t 0 0 De esta forma tenemos que (5.2.4) ya esta dividido en dos subsistemas uno estable y el otro insetable. Siendo el sistema inestable

S 22 E [ut +1 F t ] = T 22 ut + Q2Czt

|

y el estable

S 11 E [st +1 F t ] + S 12 E [ut +1 F t ] = T 11 st + T 12 ut + Q1Czt .

|

|

La idea del algoritmo de solución es primero resolver el sistema inestable y luego resolver el sistema estable. Solución del sistema inestable. S 22 E [ut +1 F t ] = T 22 ut + Q2Czt

|

Sabemos por el ordenamiento de los valores propios generalizados que los valores propios de la matriz pencil λ S 22 − T 22 son todos inestables, i.e , o lo que es lo mismo que |sii| < |t ii |. La solución de esta sistema se encuentra iterando hacia adelante. La iteración es de la siguiente forma S 22 E [ut +1 F t ]

|

T 22 ut ut

= T 22 ut + Q2Czt = S 22 E [ut +1 F t ]

| − Q2Cz −1 S 22 E [u +1 |F ] − T −1 Q2Cz T 22 22

=

t

y por lo tanto se que

−1 S 22 E [ut +2 F t +1 ] ut +1 = T 22

|

que puedo reemplzar en la ecuación para ut así: ut

−1 S 22 E [ut +1 = T 22 = =

t

t

t

− T 22−1Q2Cz +1 t

|F ] − T 22−1Q2Cz −1 S 22 T −1 S 22 E [E [u +2|F +1 ] |F ] − T −1 S 22 Q2C E [ z +1 |F ] − T −1 Q2Cz +1 T 22 22 22 22 2 − − − 1 1 1 T 22 S 22 E [u +2 |F ] − T 22 S 22 Q2C E [ z +1 |F ] − T 22 Q2Cz +1 t

t

t

 

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

de igual forma puedo reemplazar el valor de ut +2 , etc

−1 S 22 E [ut +3 F t +2 ] ut +2 = T 22

|

 

−1 S 22 ut = T 22

3

E [ut +3

|F ] − t

  −1S 22 T 22

y por tanto para k iteraciones adelante tendríamos

2

− T 22−1Q2Cz +2 t

−1 Q2C E [ zt +2 F t ] T 22

| − T 22−1Q2Cz +2 t

80


=

ut

  −1S 22 T 22

k

k

| −∑

E [ut +k F t ]

s=0

y tomando el limite cuando k → ∞tendríamos ∞

(5.2.5)

ut =

−∑

s=0

 

s

−1 S 22 T 22

  −1 S 22 T 22

s

−1 Q2C E [ zt +s F t ] T 22

|

−1 Q2C E [ zt +s F t ] . T 22

|

Lo que resta es encontrar la solución para st . Para lo cual podemos contar con la solución para ut . La solución para st parte del subsistema de 5.2.3 estable dado por S 11 E [st +1 F t ] + S 12 E [ut +1 F t ] = T 11 st + T 12 ut + Q1Czt

|

|

este subsistema lo podemos re-escribir como

−1 −1 −1 1 (5.2.6) E [st +1 |F t ] = S − 11 T 11 st + S 11 T 12 ut + S 11 Q1Czt − S 11 S 12 E [ut +1 |F t ] pero sabemos ademas que ut = Mzt si zt +1 = Θ Z t + ε t +1 (FALTA PONER PORQUE). Falta sin embargo, una ecuación para E [st +1 |F t ] la cual podemos encontrar usando la definición de backward-lookiness. Esto es, k t +1

y el hecho de que

− E [k +1|F ] = ζ +1

  k t d t

de lo cual sabemos que

=

t

t

t

Z 11 Z 21

Z 12 Z 22

  st ut

k t = Z 11 st + Z 12 ut

y que por lo tanto = ζ t +1 = ζ t +1 = ζ t +1 .

− E [k +1|F ] Z 11 s +1 + Z 12 u +1 − Z 11 E [s +1 |F ] − Z 12 E [u +1 |F ] Z 11 (s +1 − E [s +1 |F ]) + Z 12 (u +1 − E [u +1 |F ]) k t +1

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

Bajo el supuesto de que Z 11 sea invertible tenemos (st +1

y por tanto

− E [s +1|F ]) + Z 11−1Z 12 (u +1 − E [u +1|F ]) t

t

t

−1ζ t +1 st +1 = E [st +1 F t ] + Z 11

|

y sabemos por 5.2.6 que st +1

t

t

−1 ζ t +1 = Z 11

− Z 11−1Z 12 (u +1 − E [u +1|F ]) t

t

t

−1 T 11 st + S −1 T 12 ut + S −1 Q1Czt = S 11 11 11

− S 11−1S 12E [u +1|F ] −1 ζ +1 − Z −1 Z 12 (u +1 − E [u +1 |F ]) + Z 11 11 − − −1 Q1Cz − S −1 S 12 M Θ z 1 1 S 11 T 11 s + S 11 T 12 Mz + S 11 11 − − 1 1 + Z 11 ζ +1 − Z 11 Z 12 ( M Θ z + M ε +1 − M Θ z ) −1 T 11 s + S −1 T 12 Mz + S −1 Q1Cz − S −1 S 12 M Θ z S 11 11 11 11 − − 1 1 + Z 11 ζ +1 − Z 11 Z 12 M ε +1 −1 T 11 s + S −1 (T 12 M + Q1C − S 12 M Θ) z S 11 11 − 1 − Z 11 Z 12 M ε +1 + Z 11−1ζ +1 t

=

t

t

t

t

t

t

=

t

t

t

=

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t


81

que es la única solución estable para st . Hasta el momento tenemos la solución para yt sin embargo, queremos la solución para xt . Esta se puede encontrar usando xt = Zyt de lo que sabemos que k t +1 d t

= Z 11 st +1 + Z 12 ut +1 = Z 21 st + Z 22 ut ,

adelantado la ecuación del capital un período. Para encontrar la solución para xt tenemos las siguientes ecuaciones (5.2.7) (5.2.8) (5.2.9) (5.2.10)

st

H = Z H 11 k t + Z 12 d t

ut

H = Z H 21 k t + Z 22 d t

k t +1 d t

= Z 11 st +1 + Z 12 ut +1 = Z 21 st + Z 22 ut

y la solución para st y ut definidas en (??) y (5.2.5). Reemplazando ?? en 5.2.9 tenemos k t +1

= Z 11 st +1 + Z 12 ut +1





−1 T 11 st + S −1 (T 12 M + Q1C S 12 M Θ) zt Z −1 Z 12 M εt +1 + Z −1 ζ t +1 + = Z 11 S 11 11 11 11

−

Z 12 ut +1

=

 

−1 T 11 st + Z 11 S −1 (T 12 M + Q1C S 12 M Θ) zt Z 11 Z −1Z 12 M εt +1 + Z 11 Z −1 ζ t +1 Z 11 S 11 11 11 11

−

+ Z 12 ut +1 =

−

−

−1 T 11 st + Z 11 S −1 (T 12 M + Q1C S 12 M Θ) zt Z 12 M εt +1 + ζ t +1 Z 11 S 11 11

−

+ Z 12 ut +1

−





y reemplazando 5.2.7 en la expresión anterior tenemos k t +1 k t +1





−1 H H 1 = Z 11 S − 11 T 11 Z 11 k t + Z 12 d t + Z 11 S 11 (T 12 M + Q1C S 12 M Θ) zt + Z 12 ut +1 Z 12 M εt +1 + ζ t +1

−

−

−1 H −1 1 H = Z 11 S − 11 T 11 Z 11 k t + Z 11 S 11 T 11 Z 12 d t + Z 11 S 11 (T 12 M + Q1C S 12 M Θ) zt + Z 12 ut +1 Z 12 M εt +1 + ζ t +1

−

−

k t +1

−1 H −1 H 1 = Z 11 S − 11 T 11 Z 11 k t + Z 11 S 11 T 11 Z 12 d t + Z 11 S 11 (T 12 M + Q1C S 12 M Θ) zt + Z 12 ( M Θ zt + M εt +1 ) Z 12 M εt +1 + ζ t +1

k t +1

Z 11 S −1 T 11 Z H k t + Z 11 S −1 T 11 Z H d t + Z 11 S −1 (T 12 M + Q1C − S 12 M Θ) zt

=

−

−

11

11

11

12

11

+ Z 12 M Θ zt + ζ t +1 k t +1

−1 H 1 H = Z 11 S − 11 T 11 Z 11 k t + Z 11 S 11 T 11 Z 12 d t +





−1 (T 12 M + Q1C S 12 M Θ) + Z 12 M Θ zt + ζ t +1 Z 11 S 11

−

este última expresión queda en función de k t , zt y d t pero debe quedar sólo en función de k y zque son los estados. Para lograr esto se necesita encontrar la solución para d t en términos de k t y zt . Reeemplazando (5.2.7) y (5.2.8) en (5.2.10) tenemos d t

− 

I Z 21 Z H 12 d t d t

= Z 21 st + Z 22 ut H = Z 21 Z H 11 k t + Z 21 Z 12 d t + Z 22 ut = Z 21 Z H 11 k t + Z 22 ut =

−1

−   I Z 21 Z H 12



Z 21 Z H 11 k t + Z 22 Mzt

82


esta expresión de d t la puedo reemplazar en la expresión para k t +1 y tenemos

k t +1

−1

 −   −  



−1 T 11 Z H k t + Z 11 S −1 T 11 Z H I Z 21 Z H Z 21 Z H k t + Z 22 Mzt = Z 11 S 11 11 12 12 11 11 − 1 + Z 11 S 11 (T 12 M + Q1C S 12 M Θ) + Z 12 M Θ zt + ζ t +1 =

 

−

−1 Z

−1 H H H 1 Z 11 S − 11 T 11 Z 11 + Z 11 S 11 T 11 Z 12 I Z 21 Z 12

+

Z 11 S −1 T 11 Z H

−  H

12 I Z 21 Z 12

11

+ζ t +1 = Pk t + Fzt + ζ t +1

H 21 Z 11 k t

−1 Z



−1 22 M + Z 11 S (T 12 M + Q1C − S 12 M Θ) + Z 12 M Θ 11

zt

siedo

P F

= =

 

− 

−1 T 11 Z H + Z 11 S −1 T 11 Z H I Z 21 Z H Z 11 S 11 11 12 12 11 Z 11 S −1 T 11 Z H

−  H

12 I Z 21 Z 12

11

−1 Z

−1 Z

H 21 Z 11



−1 22 M + Z 11 S (T 12 M + Q1C − S 12 M Θ) + Z 12 M Θ 11



que ya es una de la forma que buscamos. El único problema es que todavía tenemos términos como Z H i j los H H cuales queremos eliminar. Falta entonces saber cuanto es Z 12 y Z 11 en términos de los elementos de Z . Se sabe que Z es unitaria y que por lo tanto la siguiente igualdad se cumple



Z 11 Z 21



Z 12 Z 22

Z 11 Z 21

 

Z 11 Z 21

Z 12 Z 22



Z H 11 Z H 21

    

H

Z 12 Z 22

Z H 12 Z H 22

I 0 0 I I 0 0 I

= =

siendo Z H i j los elemento de la matriz Hermitan transpuesta. Esta igualdad nos permite encontrar los elementos H de Z con función de los elementos de Z resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

H Z 11 Z H 11 + Z 12 Z 21 H

= I

H

Z 21 Z 11 + Z 22 Z 21

= 0

H Z 11 Z H 12 + Z 12 Z 22

= 0

H

H

Z 21 Z 12 + Z 22 Z 22

= I .

Entonces,

Z H 11 H

Z 21



−1 + Z −1 Z 12 Z 22 Z 21 Z −1 Z 12 = Z 11 11 11 =

H

Z 12

=

Z H 22

=

−1 Z Z −1 Z 21 Z −1 Z 12 21

− − −  − Z 22

−



11

−1 Z 12 Z H Z 11 22 −1 Z 22 Z 21 Z −1 Z 12 11

Usando estos resultados es posible mostrar que P



11

−1 Z Z −1 21



11


P

− −          −

1 = Z 11 S − 11 T 11 1 = Z 11 S − 11 T 11

H

H

H

H

H

H

H

H

−1 H H 1 H = Z 11 S − 11 T 11 Z 11 + Z 11 Z 12 Z 22 Z 22

H

−1 Z H

21

H −1 H 1 = Z 11 S − 11 T 11 Z 11 + Z 11 Z 12 Z 21

= = =

Z 11 S −1 T 11

H

21 Z 11

−1 Z Z − 22 21 −1 Z Z Z 11 − Z 12 Z 22 Z 22 22 21 −1 Z −1 Z Z Z 11 − Z 12 Z 22 22 22 21

H H H 1 = Z 11 S − 11 T 11 Z 11 Z 12 I Z 21 Z 12

P

−1 Z

     

−1 H H H 1 = Z 11 S − 11 T 11 Z 11 + Z 11 S 11 T 11 Z 12 I Z 21 Z 12

     

83

−1 Z Z −1 + Z −1Z Z H Z 21 Z −1 Z 12 21 12

Z −1 + Z −1 Z 12

11 11 −1 1 Z 11 S − 11 T 11 Z 11 −1 1 Z 11 S − 11 T 11 Z 11

Z 22 11 11 −1 Z 12 Z H + Z −1 Z 12 Z H Z 11 21 21 11

−

11

21

11



y que F es F

= = = =

F

=

    

−1 Z

−        −

H H 1 Z 11 S − 11 T 11 Z 12 I Z 21 Z 12

1 H H Z 11 S − 11 T 11 Z 12 Z 22 Z 22

−

−1 Z

 

−1 22 M + Z 11 S 11 (T 12 M + Q1C

− S 12 M Θ) + Z 12 M Θ −1 Z −1Z M + Z S −1 (T M + Q C − S M Θ) + Z M Θ 1 Z 11 S − 11 11 12 1 12 12 11 T 11 Z 12 Z 22 22 22 −1 M + Z S −1 (T M + Q C − S M Θ) + Z M Θ −1 1 Z 11 S − 11 11 12 1 12 12 11 T 11 Z 11 Z 12 Z 22 Z 22 −1 T 11 − Z −1Z 12 M + Z 11 S −1 (T 12 M + Q1C − S 12 M Θ) + Z 12 M Θ Z 11 S 11 11 11 H

H

H



−1 22 M + Z 11 S 11 (T 12 M + Q1C S 12 M Θ) + Z 12 M Θ

H





Con lo anterior, las matrices P y F quedan completamente definidas; sin embargo, aún falta encontrar expresiones para las matrices en la solución de las variables no predeterminadas. Sabemos que d t

=

d t

=

−1 Z Z H k + Z Mz t 21 11 t 22 −1 Z Z H k + I Z Z H −1 Z

−    −  −    −    −  ×   −      × − I Z 21 Z H 12 I Z 21 Z H 12

21 11 t

22 Mzt

21 12

De la expresión anterior, y usando las identidades definidas arriba

−1 Z

−  I Z 21 Z H 12

H

21 Z 11

−1 Z 12 Z 22 I + Z 21 Z 11

=

−1 −1

−1 Z Z −1 Z 21 Z −1 Z 12 21

Z 21 Z −1 + Z 21 Z −1 Z 12

Z 22

−1 Z 12 Z 22 I + Z 21 Z 11

−1 Z 12 Z 21 Z 11

−1 −1

−1 Z 12 Z 22 I + Z 21 Z 11

−1 Z 12 Z 21 Z 11

−1

11

=

−1 Z 12 Z 21 Z 11

11

11

−1 = Z 21 Z 11

Además,

−1 Z

−  I Z 21 Z H 12

22

= = = =

     −  − Z 22 Z H 22 Z H 22

22

−1 Z −1 Z 22

Z 22

Z 22

−1 Z 22

−1 Z 12 Z 21 Z 11

−1Z 12 Z 21 Z 11



−1 −1



−1 Z 21 Z 11

11



84


Luego la solución de Klein se puede escribir como k t +1 d t

= Pk t + Fzt + ζ t +1



siendo P

−1 1 = Z 11 S − 11 T 11 Z 11

F

=



−1 T 11 Z 11 S 11



−1 k t + Z 22 Z 21 Z −1 Z 12 Mzt = Z 21 Z 11 11

−

− Z 11−1Z 12 M + Z 11S 11−1 (T 12 M + Q1C − S 12 M Θ) + Z 12 M Θ

5.3. Solución de un DSGE con política óptima



Parte 2

Ejemplos de modelos con expectativas racionales

Capítulo 6

Modelo básico 6.1. Hogares Los hogares resulven el siguiente problema ∞

máx

Et ∑ β t u (ct , mt , lt ) t =0

s.t

wt lt + r t k t −1 + τ t + k t = (1

mt (1 + it ) bt −1 + = ct + xt + mt + bt (1 + π t ) (1 + π t )

− δ ) k −1 + x t

t

Condiciones de primer orden.

   ∞

L

= Et ∑ β t u (ct , mt , lt ) + t =0

mt −1 (1 + it −1 ) bt −1 + +λ t wt lt + r t k t −1 + τ t + (1 + π t ) (1 + π t )

+µ t (k t

− c − x − m t

t



t

 −

− (1 − δ ) k −1 − x ) t

t

Las condiciones de primer orden serían Et [uc (ct , mt , lt ) − λ t ] = 0 Et [ul (ct , mt , lt ) − λ t wt ] = 0 Et [−λ t + µ t ] = 0 Et [λ t +1 β r t +1 + µ t − µ t +1 β (1 − δ )] = 0



λ β Et um (ct , mt , lt ) λ t + t +1 1 + π t +1 (1 + it ) β Et λ t + λ t +1 (1 + π t +1 )

−

−



mt −1 (1 + it −1 ) Et wt lt + r t k t −1 + τ t + bt −1 + (1 + π t ) (1 + π t )

 

= 0

− c − x − m

Et [k t − (1 − δ ) k t −1 − xt ] = 0 Estas condiciones de primer orden se pueden simplificar como: 87

= 0

t

t

t

 −

bt = 0

bt

88

6. MODELO BÁSICO

Et [uc (ct , mt , lt ) − λ t ] = 0 Et [ul (ct , mt , lt ) − λ t wt ] = 0 Et [λ t + β λ t +1 (r t +1 − (1 − δ ))] = 0



λ β Et um (ct , mt , lt ) λ t + t +1 1 + π t +1 (1 + it ) Et λ t + λ t +1 β (1 + π t +1 )

−

−

 

= 0 = 0

lo que implica que la q de tobín sería: qt = µ t /λ t = 1 en este modelo. Luego tenemos siete ecuaciones para (bt , k t , mt , ct , xt , λ t , lt ) .

6.1.1. Firmas. El objetivo de la firma se alcanza escogiendo demandas de factores (y por tanto un nivel de producción) que minimicen sus costos y maximicen sus beneficios. El problema de minimización de costos es el siguiente: wt lt + r t k t −1

Min

lt ,k t −1

s.t

0 = yt − zt k t α −1 lt (1−α ) El problema anterior se representa en el lagrangiano propuesto a continuación:

−

L = wt lt + r t k t 1 + ϕ t yt

−

Las condiciones de primer orden son: wt

= ϕ t (1

r t

=

yt

=

(1 α )

k α

zt

−1 lt

t

−



− α ) z k α −1l −α t t

t

α 1 1 α

ϕ t α zt k t −−1 lt − (1−α ) zt k t α −1 lt

De las dos primeras condiciones se obtiene: lt

=

k t −1

=

ϕ t wt

ϕ t r t

(1

− α ) y

t

α yt

Planteando la función de costos mínimos se obtiene:

CostosM ıńimos

= wt



ϕ t (1 ϕ t y t

ϕ t wt

(1

− α ) y

  

t

+ r t

ϕ t r t

α yt

− α ) y + ϕ α y t

t

t

Se concluye que ϕ t es igual al costo marginal real de la firma, esto es, la derivada de la funcion de costos mínimos respecto a la cantidad producida. De las condiciones de primer orden es posible llegar a una expresión para ϕ t al reemplazar las dos primeras expresiones en la definición de la función de producción:

6.1. HOGARES

ϕ t r t

α

wt

(1

α ) yt

1 α 1−α

α

α r t

1 r t

ϕ t =

ϕ t

α yt

= zt ϕ t y t

yt

1−α

  −   −    

= zt

yt

89

wt

α

1−α

wt

1 − α No obstante y dado que las firmas se encuentran en competencia perfecta puede mostrarse que siendo ϕ t el costo marginal real de las firmas este debe ser igual a 1 en el óptimo. Siendo Pt yt los ingresos de la firma, para máximizar sus beneficios (proceso que se muestra en detalle y en términos reales más abajo) se debe igualar el ingreso marginal al costo marginal (condición de equilibrio ampliamente conocida), así, Cmg Pt = Cmgt de donde se obtiene que el costo marginal de la firma debe ser igual a 1, pues P t = ϕ t = 1. t Las firmas pueden a su vez solucionar el problema de demanda de factores a través de la maximización de beneficios, el resultado es igual al que se presenta en la minimización de costos; se comienza entonces definiendo los beneficios: α

zt

M ax ´

yt

lt ,k t −1

− w l − r k −1 t t

t t

(1 α )

yt = zt k t α −1 lt (1 α )

= zt k t α −1 lt

Bene f icios

−

−

− w l − r k −1 t t

t t

Las condiciones de primer orden que maximizan los beneficios de la firma son: Et

− 

wt + (1

Et

  −

− α ) z k α −1l−α t t

= 0

t

−r + α z k α −−11l1−α t



t t

= 0

t

Et zt k t α −1 lt (1−α ) yt

= 0

Del problema de las firmas tenemos las siguientes ecuaciones simplificadas: = (1

wt r t

=

yt

=

− α ) z k α −1l−α = (1 − α ) yl t t

α 1 1 α

α zt k t −−1 lt − (1−α ) zt k t α −1 lt

t

t

t

yt

= α

k t

6.1.2. Equilibrio. Et [uc (ct , mt , lt ) − λ t ] = 0 Et [ul (ct , mt , lt ) − λ t wt ] = 0 Et [−λ t + β λ t +1 (r t +1 − (1 − δ ))] = 0



Et um (ct , mt , lt ) − Et

−



λ t +1 β λ t + =0 1 + π t +1



(1 + it ) λ t + λ t +1 β =0 (1 + π t +1 )



Et wt − (1 − α )

yt lt



=0

90

6. MODELO BÁSICO

−  yt

Et r t α

−

k t

=0

(1 α )

α

Et yt zt k t −1 lt

−



=0

Et [k t − (1 − δ ) k t −1 − xt ] = 0 y la restricción de presupuesto de los hogares pero agregada, en la cual tenemos que los bonos deben ser cero.



mt −1

Et wt lt + r t k t −1 + τ t +

− c − x − m t

(1 + π t )

t



t

= 0.

Esta última ecuación se simplifica en el agregado pues, los cambios en la cantidad de dinero nominales expresados en términos reales ( M t − M t −1 )/Pt deben ser iguales a las transferencias de suma fija del gobierno a los hogares. Esto es, τ t =

−

M t M t −1 = mt Pt

− (1m+−π 1 ) t

t

luego, la restricción de recursos se reduce a: Et [wt lt + r t k t −1 − ct − xt ] = 0. Hasta el momento tenemos diez ecuaciones para determinar el vector (ct , lt , mt , xt , k t , λ t , yt , wt , r t , it , π t , zt ) que tiene doce elementos. Falta una ecuacion que determine la inflación y una que diga cual es la evolución del choque de productividad. La inflación la podemos relacionar con el crecimiento del dinero en términos nominales. Esto es, M t M t −1

 

= 1 + zt θ

siendo zt θ la tasa de crecimiento del dinero en términos nominales. Si expresamos esta ecuación en términos del crecimiento de los agregados reales tenemos mt Pt −1

mt −1 Pt

mt

mt −1

    1 + zt θ

=

1 + zt θ

(1 + π t ) =

que es una ecuación que relaciona, el crecimiento de la cantidad nominal de dinero con la tasa de inflación. Suponemos además que ln zt θ +1 = (1 − ρθ ) ln zθ + ρθ ln zt θ + ε t θ . con lo cual cerramos el modelo.

ln zt +1 = (1 − ρ ) ln z + ρ ln zt + ε t p .

6.1.3. Solución. Para encontrar la solución necesitamos la forma funcional para la utilidad. Siguiendo a Walsh tomamos



u (ct , mt , lt ) = act 1−b + (1

luego tenemos que

uc (ct , mt , lt ) =





− a) m1−

ac1−b + (1 t

um (ct , mt , lt ) = act 1−b + (1

t

−

b



1 1−b

+Ψ



− l ) 1−η 1−η

(1

t

b

1−b a) mt 1−b act −b



b

1 b

− a) m1− − (1 − a) m− −η u (c , m , l ) = Ψ (1 − l ) . l

t

t t

b

t

t

t

b

6.1. HOGARES

91

6.1.4. Estado estacionario. En el estado estacionario las variables del modelo cumplen:



ac1−b + (1

b

−

 −

1−b a) m1−b ac−b

−Ψ (1

− λ

−η + λ w

l)

k

−λ + β λ r + (1 − δ )



ac1−b + (1

−



b

1−b a) m1−b

(1



− a) m− − λ + β 1 +λ π b

−λ + β λ ((11++π i)) −w + (1 − α ) yl −r + α yk − y + zk α l 1−α x + (1 − δ ) k − k wl + r k − c − x 1 + zθ m− m 1 + π ln zθ − (1 − ρθ ) ln z¯θ − ρθ ln zθ ln z − (1 − ρ ) ln z¯ − ρ ln z k

k

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0

Algunas de estas ecuaciones pueden ser simplificadas y dan por si mismas relaciones de estado estacionario en términos de parámetros, estas son: z zθ r k

= z¯ = z¯θ =

1

β

+ δ 1

−

π = z¯θ 1 + z¯θ i = β

−1

Para encontrar los niveles de las demás variables en el estado estacionario es necesario realizar más pasos, a continuación se muestran las variables en términos de otras variables que en últimas serán encontradas en términos de parámetros: y l

= zk α l 1−α =

  r k

1 1−α

α z

w

= (1

x

= δ k

− α ) z

k

  r k

−α

1−α

α z

A partir de las condiciones de primer orden para las tenencias de saldos monetarios reales y para el consumo se puede obtener la demanda de saldos monetarios reales de estado estacionario.:

92

6. MODELO BÁSICO



ac1−b + (1



−

ac1−b + (1



b

1−b a) m1−b

− a) m1−

 

b



ac1−b + (1 ac1−b + (1

(1

− a) m− − λ + β 1 +λ π

= 0

− a) m− − λ + 1 λ + i

= 0

b

b

1−b

− −

(1

b

 

b

1−b a) m1−b

(1

− a) m−

b

i

=

1+i

b

1−b a) m1−b

(1 − a) m−b (1

i

=

− a) m−

b

i

1+i

i

1−a 1+i



=

−



a

b

1−b a) m1−b ac−b

ac−b

a

=

m



ac1−b + (1

1+i

=

m−b

λ

c−b

i

1−a 1+i



−1 b

c

Utilizando el resultado anterior es posible llegar a los siguientes resultados:

λ = c

a



a + (1

− a)

−

−   1−b

1 a 1+i a

b

b

1−b

i

= wl + r k δ k

Reemplazando lo anterior en la restricción presupuestal se puede despejar al capital en términos de parámetros, ya que las variables que aún no se conocen dependen del capital de estado estacionario directa o indirectamente al encontrar su nivel se solucionará el modelo en estado estacionario: λ w

    a

a

a + (1

a + (1

− a) − a)

 −      −       1 a 1+i a

b

b

1−b

−1 = 1

Ψ

1−b b

b

1−b

η

Ψ

k

r

α z

−l

−1

w

i

− l)−η

η

w

i

1 a 1+i a

1−b

= Ψ (1

1−α

r k

= 1

1

k =

α z

1

a

k

k =

1 1−α

−     −      −  −          −  −  −       r

α z

k

a + (1

−1 1−α

1

a)

a

1 a 1+i a

a + (1

1−b b

−1

b

η

1−b

w

Ψ

i

a)

1 a 1+i a

1−b b

i

Conociendo el nivel de capital se conocen los valores de todas las variables en el estado estacionario.

−1

b

1−b

η

w

Ψ

6.2. MODEL O CON COMPE TE NCIA MONOPOLÍSTIC A SIN PR ECIO S RÍGID OS

93

6.2. Modelo con competencia monopolística sin precios rígidos 6.2.1. Hogares. Los hogares resuelven el siguiente problema de maximización ∞

Et ∑ β t u (ct , lt )

máx

t =0

W t

s.t

Pt

Rt

lt +

Pt

k t = (1

k t −1 +

Prt

+ τ t +

Pt

(1 + it ) bt −1 = ct + xt + bt (1 + π t )

− δ ) k −1 + x t

t

siendo Prt los beneficios nominales de las firmas productoras de bienes intermedios. Las cuales se supone son de propiedad de los hogares. Condiciones de primer orden.

   ∞

L

= Et

∑ β t

u (ct , lt )

t =0

+λ t

(1 + it −1 ) lt + k t −1 + bt −1 + τ t + Pt Pt Pt (1 + π t )

W t

+µ t (k t

Prt

Rt

− c − x t



t

 − bt

− (1 − δ ) k −1 − x ) t

t

Las condiciones de primer orden serían1 Et [uc (ct , lt ) − λ t ] = 0 Et [ul (ct , lt ) − λ t wt ] = 0 Et [−λ t + β λ t +1 (r t +1 + (1 − δ ))] = 0 Et Et



−



(1 + it ) λ t + λ t +1 β =0 (1 + π t +1 )

(1 + it −1 ) lt + k t −1 + bt −1 + τ t + Pt Pt Pt (1 + π t )

W t

Prt

Rt

− c − x t

t

 −

bt = 0

Et [k t − (1 − δ ) k t −1 − xt ] = 0.

6.2.2. Firmas. Hay dos tipos de firmas. Las productoras del bien final y las productoras de bienes intermedios. Las primeras se supone operan en competencia perfecta y maximizan beneficios. Por su lado, las firmas productoras de bienes intermedios venden variedades diferenciadas de bienes y se suponen operan en competencia monopolística y toman como dado el precio de los insumos. Productoras del bien final. Las firmas productoras de bien final deben seleccionar las cantidades de insumos que maximizan sus beneficios dados los precios de cada insumo. Esto es, máx

1

pt yt

ˆ − ˆ 0

yit pit

1

s.t

1Recordando que la q del modelo es igual a 1.

yt =

0

1 1+µ yit

1+µ



94

6. MODELO BÁSICO

Condiciones de primer orden. 1+µ

1

máx

pt

yit

luego

ˆ  1 1+µ yit di

0

µ

ˆ  ˆ   1

pt (1 + µ )

0

1

0

1 1+µ yit di

1

1+µ

yit

−

0

−1

=

1 1+µ

−1

=

1 + µ

pit

µ

di

yit µ

1+µ

yt

1−1− µ 1+µ

1+µ yit

− 1+µ µ

 pit pt

pit pt pit

=

yit

−µ

yit =

yit pit di

1 1+µ

yit

1+µ 1+µ

1

1

ˆ

pt

 pit

=

pt

−µ

1+µ yt

yt

El primer problema que la i-ésima firma debe resolver es la mini-

Productoras de bienes intermedios.

mización de costos m´ın

r t k it −1 + wt lit

(1 α )

α yit = zt k it −1lit

−

El segundo problema que la firma resuelve es la maximización de beneficios mediante la selección del precio óptimo. Estos es, máx

( pit ϕ t ) yit

s.t



−

yit =

−µ

pit

yt .

pt

ϕ t son los costos marginales nominales y yit la demanda relativa del bien i.

Costos marginales: Se pueden encontrar resolviendo este problema de optimización. m´ın

r t k it −1 + wt lit

(1 α )

α yit = zt k it −1lit

−

Usando el teorema de la envolvente se sabe que ϕ t es el multiplicador de lagrange en este problema.



L = r t k it 1 + wt lit + ϕ t yit

y las condiciones de primer orden serian:

−

r t

α

− z k −1l t it

(1 α ) it

− ϕ α k y−1 = 0 it

t

it

wt

y por tanto tenemos que:

− ϕ (1 − α ) yl

it

t

(1 α )

α yit zt k it −1 lit

−

−

=0

  

1 − α lit = z−1 t

=0

it

α

α

r t

wt

α

yit

−




1 − α α −1 k it −1 = zt −1 α ϕ t = z−1 t

α 1

      1−α

1

r t

−

wt

α

1

95

yit

r t α wt 1−α .

α 1 − α El álgebra de este resultado esta en el apéndice. Maximización de beneficios (precio óptimo). El segundo problema que la firma resuelve es la maximización de beneficios mediante la selección del precio óptimo. Estos es,

máx

( pit ϕ t n ) yit

s.t



−

yit =

− 1+µ µ

pit pt

yt

Donde ϕ t n es el costo marginal nominal de la firma. El problema de minimización sería,

máx

( pit

pit

−

ϕ t n )

y las condiciones de primer orden

0 = 0 = 0 = 0 = 0 = pit

1+µ 1 − µ

 −   − − −1 µ

1

µ

pt

1+µ 1 − µ

pt

( pit )

− 1+µ ) µ y

n t + ϕ t

( pit

1 1

+ ϕ t n (

1 1 + µ ) p−1

it

it

it

1 + µ µ µ

1+µ 1 − µ

µ pt

− 1+µ µ

pit

µ pt

yt

1+µ 1 − µ

  pt

1 + µ

 

1 1 + µ ) p−1

−1 + ϕ (1 + µ ) p−1

= (1

pt

yt + ϕ t n

+ ϕ t n (

n t

pit

−1 −1 µ

− 1+µ µ



1+µ 1 − µ

pt

( pit )−

1+µ µ

−1 y

t

− 1+µ µ −1 y

( pit )

t

− 1+µ µ y

( pit )

t

yt

+ µ ) ϕ t n

Luego el precio óptimo que cobra la firma es un mark-up sobre le costo marginal nominal. El precio óptimo que cobran las firmas no depende de i pues los costos marginales son iguales para las distintas firmas. También se concluye que el costo marginal real puede ser expresao como: ϕ t = 1+1 µ

6.2.3. Agregación del problema de las firmas. De las condiciones de primer orden sabemos que r t wt

=

α lit (1 α ) k it −1

−

lo cual implica que la relacion capital trabajo debe ser igual para todas las firmas. Esto es, lit

siendo k t 1 Ahora

1 0 k it −1 di

´ − =

y lt

1 0 lit di .

´ =

k it −1

=

lt k t −1

96

6. MODELO BÁSICO

ˆ 0

1

ˆ ˆ

=

yit di

luego

−

   ˆ 1

lit

lt

0

(1 α )

−

yt = zt k t α −1 lt

lit di

1

α

k t

di

α

k it

zt

0

= zt

(1 α )

α zt k it −1lit

0

=

yt

1

lit di

.

Para obtener el equilibrio en el mercado de bienes sabemos que pit

=

yit

pt

pt

Luego en el agregado tenemos que

1

ˆ 

=

yt

− 1+µ µ

pit

=

yt

− 1+µ µ

  0

pit pt

= (ct + xt ) = ct + xt

(ct + xt )

− 1+µ µ



1

ˆ  0

(ct + xt ) di

pit pt

− 1+µ µ



di

pues sabemos que pit = pt para todo i ya que los precios son flexibles y todas las firmas ajustan al mismo

´  precio y por lo tanto,

1 pit 0 pt



− 1+µ µ

di = 1.

De igual forma, debe ser que wt

− ϕ (1 − α ) yl

t

t

= 0

t

y que r t

− ϕ α k y−1 = 0 t

t

t

pues todas las firmas deben tener la misma relación capital trabajo. Por último, se puede mostrar, que los beneficios de las firmas productoras de bienes intermedios están dados por prt =

1

ˆ ( ˆ

pit yit

0

1

=

( pt

0

= ((1

prt pt

= =

n t it

− ϕ y ) di n t

− ϕ ) y di

+ µ ) ϕ t n

−

µϕ t n yt µ y 1 + µ t

donde la última identidad se cumple pues

pit

pt

1+µ = 1+µ

it

ϕ t n )

ˆ  1

0

= ϕ t n .

pit pt

− 1+µ µ



yt di


prt

=

pt

µ y 1 + µ t

Lo que implica que W t Pt

lt +

Rt Pt

k t −1 +

Prt Pt

1

=

yt +

µ y 1 + µ t

1 + µ 1 y (1 + µ ) = 1 + µ t = yt

Relaciones de Equilibrio. Del problema de los hogares. Et [uc (ct , lt ) − λ t ] = 0 (1) Et [ul (ct , lt ) − λ t wt ] = 0 (2) Et [−λ t + β λ t +1 (r t +1 + (1 − δ ))] = 0 (3) Et

−



(1 + it ) λ t + λ t +1 β = 0 (4) (1 + π t +1 )

Et [ yt − ct − xt ] = 0 (5) Et [k t − (1 − δ ) k t −1 − xt ] = 0 (6) Del problema de las firmas. r t

wt

− α 1 +1 µ k y−1 = 0 t

(7)

t

− (1 − α ) 1 +1 µ yl

t

= 0 (8)

t

yt = zt k t α −1 lt 1−α (9)

Prt =

µ y (10) 1 + µ t

Del gobierno. (1 + it ) =

   1+i

1+π t ¯ 1+π

ρπ

eε t

(11)

que es una ecuación que relaciona el crecimiento de la cantidad nominal de dinero con la tasa de inflación. Choques exógenos. ln z pt +1 = (1 − ρ ) ln z¯ p + ρ ln z pt + ε t p (12). En total tenemos: 12 ecuaciones para 12 variables. p zt , k t , ct , λ t , lt , xt , yt , wt , r t , it , π t , Prt

97

98

6. MODELO BÁSICO

APENDICE: Derivanción del costo marginal y las demandas relativas de factores para las firmas productoras de bienes intermedios. De las condiciones de primer orden tenemos que: r t

ϕ t α k y−it 1 it

=

wt r t

ϕ t (1

  α 1 α

=

wt

−

Luego k it −1 =

yit lit

− α )

lit k it −1

   α 1 α

wt

−

r t

lit

el cual se puede reemplazar en la función de producción

(1 α )

   − −  

y por tanto tenemos

1 lit = z−1 t

y la demanda por capital

α

α 1 α

p zt

=

lit

r t

α

α α

α

wt

α

r t

yit

wt

   − −   α 1 α

=

k it −1

−

α = zt k it −1 lit

yit

wt

α 1

−

1 α

= zt −1

lit

r t

α 1

r t

α

−

wt

yit

Por último, el costo marginal se puede calcular derivando la función de costos respecto a la producción de la firma. Esto es, r t k it −1 + wt lit = z−1 t

y por lo tanto, ϕ t =

z−1 t

= zt −1 =

z−1 t

= zt −1

−    α 1

−

1 α

r t

α 1

r t

α

−

+ wt

wt

 −   α

1 α α

r t

α

yit

wt

  −     −    −     −      −   −    −     r t

1 α

α 1

−

α

1 α

α 1

−

= zt −1 (1

α

α 1

−

1

wt

α 1

−

α

1 α

−

wt

α

1 α

α 1

r t

α

+

1 α α

+ wt

r t α + α

1 α

α

r t

α

1 α α

α

wt

α

1

wt

α 1

−

r t α

r t α wt 1−α

α + 1 r t α wt 1−α 1 α

−

− α )α −1 α −α r α w1−α . t

t

Puede notarse en el último resultado que el costo marginal es el mismo para todas las firmas productoras de bienes intermedios y que disminuye conforme aumenta la productividad. También puede mostrarse que los costos de la firma serán iguales a ϕ t y it . *** FIN DE APENDICE.

6.2. MODEL O CON COMPE TE TE NC NCIA MONOPOLÍSTIC A SIN PR EC ECIO S RÍGID OS OS

99

6.2.4. Formas Formas funcionales funcionales.. Para encontrar la solución necesitamos la forma funcional para la utilidad. Siguiendo a Walsh tomamos

  p

zt ct

u (ct , lt ) =

1−η

1−η

 −   p

ul (ct , lt ) =

donde z pt sigue el siguiente proceso:

− l )θ (1−η) t

1−η

luego tenemos que uc (ct , lt ) = zt

(1

θ z pt ct

−η (1 − l )θ (1−η )

ct

t

1−η

(1

− l )θ (1−η)−1 t

ln z p = ρ p ln z p + (1 − ρ p ) ln z¯ p

6.2.5. Estado estacionar estacionario. io. Las variables en estado estacionario deben cumplir con las condiciones ya mostradas en el equilibrio. A partir de dichas ecuaciones se obtienen los siguientes resultados: z p zθ

= z¯ p = z¯θ

r =

π =

1

β ¯ π

+ δ 1

−

= i¯ y = zk α l 1−α i

l

=



r (1 + µ )

α z





1 1−α

1 − α p r (1 + µ ) w = z α z 1 + µ = δ k µ y Pr = 1 + µ x

k



−α

1−α

Utilizando el resultado anterior es posible llegar a los siguientes resultados: λ =

( z p )1−η c−η (1

− l)θ (1−η )

De la condición de primer orden de los hogares respecto al trabajo se obtiene: θ ( z p c)1−η (1

− l)θ (1−η)−1 θ ( z c)1−η (1 − l )θ (1−η )−1 p

ct

= λ w = ( z p )1−η c−η (1 =

w

θ

(1

− l)θ (1−η ) w

− l)

Reemplazando lo anterior en la restricción presupuestal se puede despejar al capital en términos de parámetros, ya que las variables que aún no se conocen dependen del capital de estado estacionario directa

100

6. MODELO BÁSICO

o indirectamente al encontrar su nivel se solucionará el modelo en estado estacionario:

yt zk α l 1−α

  θ

r (1 + µ )

w

α

   −

  −  

r (1 + µ )

α

θ

r (1 + µ )

w

α

δ +

r (1 + µ )

α z z

= c + x =

k =

δ k =

1 1−α

w

θ

(1

    − − 

w

θ

1

− l) + δ k

1

r (1 + µ )

α z z

r (1 + µ )

α z

k =

1

k =



1 1−α

θ

r (1 + µ )

w

α

1 1−α

k + δ k

k

  − δ +

r (1 + µ )

α z

  1 1−α

−1

Conociendo el nivel de capital se conocen los valores de todas las variables en el estado estacionario.

6.3. 6.3. MODE MODELO LO CON RIGI RIGIDEC DECES ES REALE REALES, S, PRECI PRECIOS OS FLEXI FLEXIBLE BLES S Y COMP COMPETE ETENC NCIA IA PERF PERFECT ECTA A

101 101

6.3. Modelo con con rigideces rigideces reales, reales, precios precios flexibles y competencia competencia perfecta perfecta 6.3.1. Problema Problema de los hogares. hogares. Hay un conjunto de hogares indexados por guiente problema de optimización optimización ∞

1−η

p

zt ct

t

∑ β

=

L

   −    −  − −   − −

+ λ t t z I t xt W t t

+ ω t t

siendo

pt

lt +

Rt

pt

− 2

xt z I t 1 Ψ k t t 2

δ (ut )

ut k t t

k t t + (1

− δ (u )) k − k +1 t

t t

Las condiciones de primer orden de los hogares son

ut 1+Φ

1+Φ

   −  −  −    −      − − −  −  −  − −  −  −       − − − −

0 = Et 0 = Et

1−η

θ z pt

−η 1

zt h lt

ct

(1 η ) 1 η h

−

ct

−

0 = Et z I t xt

Ψ

−

ω t t

θ (1 η ) 1

− −

1 zt h lt

δ (ut +1 )

k t t +1

+ ω t t wt

xt +1 z I t +1

λ t t +1 β

k t t +1

δ (ut +1 )) + β ω t t +1 r t t +1 ut +1

0 = Et λ t t z I t λ t t Ψ 0 = Et λ t t

θ (1 η )

xt +1 z I t +1

λ t t + β λ t t +1 Ψ

+β λ t t +1 (1

zt

xt z I t k t t

xt z I t k t t

δ (ut ) z I t

ω t t

δ (ut ) δ 2 ut Φ k t t

xt z I t 1 Ψ k t t 2

δ 2 ut Φ K t t + ω t t r t t k t t

2

δ (ut )

k t t + (1

δ (ut )) k t t

k t t +1

0 = Et [wt lt + r t t ut k t t − ct − xt ]

6.3.2. Problema Problema de las firmas firmas en compet competencia encia perfec perfecta. ta. α 1−α l jt − wt l jt − r t t K jt máx ax Πt = z yt K jt jt

y las condiciones de primer orden para la firma j son

 



α −α 0 = Et (1 − α ) z yt K jt l jt − wt



α −1 1−α l jt − r t t . 0 = Et α z yt K jt

Agregación Agregación del problema de la firmas.

y que

t t



ct xt

δ (ut ) = δ 1 + δ 2

0 = Et z pt

que resuelven el si-

θ (1 η )

1 zt h lt 1 η

t =0

j

En el agregado tenemos que

ˆ 0

1

l jt d j = lt

1

ˆ 0

K jt jt d j = k t t ut

Ψ

xt +1 z I t +1

2

k t t +1

2



− δ (u +1) t

102

6. MODELO BÁSICO

y por lo tanto las condiciones de primer orden de las firmas en el agregado serían (1

−

1

ˆ 

α ) z yt

K jt l jt

0



α

dj

− w = 0. t

Como todas las firmas son iguales, la relación capital trabajo debe ser igual para todas las firmas e igual a la del conjunto de la economía. Esto es,

ˆ  1

K jt l jt

0

Luego la condición agregada sería (1

   α

ut k t

dj =

lt

− α ) z (u K )α l−α − w y t

t t

α

t

t

= 0

De igual manera, la condición agregada para el capital sería α z yt

1

ˆ  − ˆ 



α 1 1 α

L −

− r

= 0

− r α z (u k )α −1 l α −1 − r

t

= 0

t

= 0

K jt

0

jt

1 K α −1 jt

α z yt

l jt

0

y t



t t

dj dj

t

t

6.3.3. Condiciones de primer orden. En resumen, las condiciones de primer orden son

   −  −  −    −      − − −  −  −  − −  −  −    −   − −   −     − − − −

(6.3.1)0 = Et z pt (6.3.2)0 = Et (6.3.3)0 = Et (6.3.4)

1−η

θ z pt

−η 1

(1 η ) 1 η h

−

ct

−

Ψ

zt

1 zt h lt

ω t

θ (1 η ) 1

− −

δ (ut +1 )

k t +1

+ ω t wt

xt +1 z I t +1

λ t +1 β

k t +1

Ψ

xt +1 z I t +1

2

k t +1

δ (ut +1 )) + β ω t +1 r t +1 ut +1 xt z I t

(6.3.5)0 = Et λ t z I t λ t Ψ (6.3.6)0 = Et λ t

−

xt +1 z I t +1

λ t + β λ t +1 Ψ

+β λ t +1 (1

θ (1 η )

zt h lt

ct

k t

xt z I t k t

δ (ut ) z I t

δ (ut ) δ 2 ut Φ k t

ω t

δ 2 ut Φ k t + ω t r t k t

(6.3.7)0 = Et z yt (ut k t )α lt 1−α yt (6.3.8)0 = Et (1 α ) z yt (ut k t )α lt −α wt (6.3.9)0 = Et α z yt (ut k t )α −1 lt α −1 r t I t zt xt

(6.3.10) 0 = E

1 xt z I t Ψ k t 2

2

δ (ut )

k t + (1

δ (ut )) k t

k t +1

(6.3.11) 0 = Et [ yt − ct − xt ]

  

  

(6.3.12) (6.3.13)

0 = Et ρ y ln z yt + (1 − ρ y ) ln z¯ y + ε y − ln z yt +1 0 = Et ρ p ln z pt + (1 − ρ p ) ln z¯ p + ε p − ln z pt +1

(6.3.14)

0 = Et ρh ln zt h + (1 − ρh ) ln z¯h + ε h − ln zt h+1

(6.3.15)

0 = Et ρ I ln z I t + (1 − ρ I ) ln z¯ I + ε I − ln z I t +1

2

− δ (u +1) t



6.3. MODELO CON RIGIDECES REALES, PRECIOS FLEXIBLES Y COMPETENCIA PERFECTA

La variables son: ct , lt , xt , yt , k t , ut , wt , r t , λ t , ω t , z pt , z yt , zt h , z I t

6.3.4. Estado estacionario. En el estado estacionariolas variables deben cumplir lo siguiente: (6.3.16)

0 = ( z )

(6.3.17)

0 = 0 =

(6.3.18) (6.3.19)

θ (1 η )

  − −  −    − − − −  − − −  −  −  p

1−η

c−η 1 − zh l

−

xz I

λ + β λ Ψ

+β λ (1

δ (u)

k

− −

0 = λ z I λ Ψ

xz I

Ψ

xz I

2

k

2

− δ (u)



ω

δ (u) δ 2 uΦ k δ 2 uΦ k + ω rk

(6.3.21) (6.3.22) (6.3.23)

0 = z (uk ) l − − y 0 = (1 − α ) z y (uk )α l −α − w 0 = α z y (uk )α −1 l α −1 − r y

λ β

k

δ (u) z I

k

xz I

Ψ

xz I

+ ω w

δ (u)) + β ω ru

0 = λ

(6.3.25) (6.3.26) (6.3.27) (6.3.28) (6.3.29)

θ (1 η ) 1

θ ( z p )(1−η ) c1−η zh 1 zh l

(6.3.20)

(6.3.24)

ω

k

α 1 α

2 1 xz I − δ (u) k + (1 − δ (u)) k − k 0 = z x − Ψ 2 k 0 = yt − ct − xt 0 = ρ y ln z y + (1 − ρ y ) ln z¯ y − ln z y 0 = ρ p ln z p + (1 − ρ p ) ln z¯ p − ln z p 0 = ρh ln zh + (1 − ρh ) ln z¯h − ln zh 0 = ρ I ln z I + (1 − ρ I ) ln z¯ I − ln z I



I



A partir de lo anterior puede establecerse que en estado estacionario z y

= z p = zh = z I = u =

z¯ y z¯ y z¯h z¯ I

1

De la ecuación de acumulación del capital se pude obtener el siguiente resultado:



1 xz I − δ (u) 0 = z x − Ψ 2 k I

2



k + (1

− δ (u)) k − k

2 1 xz I − δ (u) − 2 Ψ k − δ (u) 0 = k xz I xz I 1 δ (u) − − δ (u) 0 = 1− Ψ k k 2 Así una de estas dos opciones debe darse en el estado estacionario:

xz I





 

x x

= =

 





δ 2 k δ 1 + 1 + Φ z I δ 2 2 k + δ 1 + 1 + Φ z I Ψ





103

104

6. MODELO BÁSICO

Puede mostrarse que la primera opoción es la única compatible con las condiciones de primer orden. Con el anterior resultado puede verse en 6.3.19 que ω = λ z I

Usando esto en 6.3.20 se llega a: r = zδ I 2

De 6.3.18 se obtiene: r =

1 +δ + δ 2 1 1+Φ

β

z I

−1

Los dos resultados anteriores se cumplen dados los valores de los parámetros, sin embargo de usarse la opción dos para solucionar 6.3.24se llega a una contradicción en este punto, asi la opción uno es la única válida. De la ecuación6.3.23 se puede obtener al trabajo en función del capital como sigue:

 

l = α zr y

1 1−α

k

Con el resultado anterior y reemplazando en 6.3.22 se llega al salario real en términos de parámetros del modelo: −α w = (1 − α ) z y α zr y 1−α También puede verse que de forma inmediata se cuenta con los siguientes dos resultados: ( z p )1−η c−η 1 zh l

ω = y

  − 

= z y k α l 1−α

θ (1 η )

−

Utlizando lo encontrado hasta ahora en 6.3.17 se obtiene lo siguiente: p (1 η )

θ ( z )

−

c1−η zh

−  1 zh l

θ (1 η ) 1

− −

= ω w

θ czh

−      −

= w 1 zh l =

c

w

1 z

θ zh

1 1−α

r

h

α z y

k

Por último reemplazando los resultados conocidos en la ecuacion presupuestal se obtiene: y z k l 1−α y α

     y

z

r

α z y

r

α

   r

α

+

w

r

θ

α z y

1

1−α

− z1

I

δ 1 +

δ 2 1+Φ

= c + x =

k = k = k =

k =

w

θ zh w

θ zh w

θ zh

     −     −     − 1 z w

1 1−α

r

h

α z y

z θ zh

h

k + δ 1 +

1 1−α

r

α z y

w

r

θ

α z y

1 1−α

k + δ 1 +

k + δ 1 +

δ 2 k 1 + Φ z I

δ 2 k 1 + Φ z I

δ 2 k 1 + Φ z I

w

θ zh w

θ zh

   r

α

+

w

r

θ

α z y

1 1−α

1

− z

I



δ 2 δ 1 + 1+Φ



−1

Conociendo el nivel de estado estacionario de capital se tienen todas las variables faltantes en el estado estacionario.

6.4. MODELO CON RIGIDECES DE PRECIOS

105

6.4. Modelo con rigideces de precios En esta sección modificamos el modelo de la sección anterior para incluir rigideces de precios. La rigidez de precios en sí misma implica la existencia de inflación. Incluir inflación tambien tiene implicaciones en el problema de los hogares. Consecuentemente, en esta sección modificamos el modelo anterior de dos formas: El problema de los hogares se aumenta con bonos que rentan una tasa de interés nominal y segundo, las firmas productoras de bienes intermedios tienen rigideces de precios. La fijación de precios sigue a Calvo, esto es, en un momento dado, algunas firmas reciben la señal de ajustar precios mientras que otras permanecen con el precio fijo. Las firmas que ajustan precios tienen en cuenta que este nuevo precio debe estar vigente por un número de periodos.

6.4.1. Problema de los hogares. Los hogares maximizan la utilidad esperada sujetos a una restricción de presupuesto. Al igual que en el caso anterior, los hogares determinan el consumo, la inversión, la utilización del capital y la oferta laboral mas la demanda de bonos. Esto es, máx

t

E t ∑ β t =0

s. t

k t = W t pt

zt ct

Rt k pt

1 zt h lt 1 η

xt z I t 1 Ψ k t −1 2

z I t xt

lt +

1−η

θ (1 η )

−

  −  −   − − p

∞

ut k t −1 +

2

k t −1 + (1

δ (ut )

Bt −1 pt −1

− δ (u )) k −1 t

t

(1 + it −1 ) + Πt = ct + xt +

pt −1 pt

Bt pt

siendo Bt −1 la cantidad de bonos (nominales) adquiridos en el período t − 1 al precio Pt −1 . Luego, bt = pBt t , al tiempo que Πt representa los beneficios de las firmas productorasde bienes intermedios.

   −   −  − − 

L

1−η

p

∞

zt ct

t

= E t ∑ β t =0

1 zt h lt 1 η

−

2

xt z I t 1 Ψ k t −1 2

+ω t z I t xt

θ (1 η )

δ (ut )

k t −1 + (1

− δ (u )) k −1 − k t



t

t



1 + it −1 lt + ut k t −1 + bt −1 +λ t + Πt − ct − xt − bt pt pt 1 + π t Rt k

W t

Las condiciones de primer orden de los hogares son

   −  −  −    −     −  −  − 

0 = Et z pt 0 = Et

1−η

1−η

θ zt h z pt ct

0 = Et ω t z I t



0 = Et

−η 1

Ψ

k t

θ (1 η )

−

zt h lt

ct

1 zt h lt

xt z I t

θ (1 η ) 1

− −

λ t

+ λ t

δ (ut ) z I t

k t −1

W t pt

λ t

−ω + β λ +1 R p ++11 u +1 t

t

  Ψ

−β ω +1 2 t

+β ω t +1 Ψ

t

t

xt +1 z I t +1 k t

2

− δ (u +1)

xt +1 z I t +1 k t

 

t

− δ (u +1) t

xt +1 z I t +1 k t

+ (1



− δ (u +1)) t

106

6. MODELO BÁSICO



0 = Et ω t

Ψ

xt z I t k t −1

− δ (u ) t

0 = Et





δ 2 ut Φ

−

λ t + β λ t +1



1 + it

 

Rt k

k t −1 + λ t

pt

k t −1



1 + π t +1

2



x z I 1 0 = Et z I t xt − Ψ t t − δ (ut ) k t −1 2



−

δ 2 ut Φ

k t −1 + (1

− δ (u )) k −1 − k t

t



t



1 + it −1 lt + ut k t −1 + bt −1 0 = Et + Πt − ct − xt − bt pt pt 1 + π t Rt k

W t

6.4.2. El problema de las firmas productoras del bien final. La tecnología de producción del bien final Y t es

ˆ

1

Y t =

θ 1 θ

−

yt j

0

dj

θ θ 1



−

siendo y jt el j-ésimo insumo de producción. El problema de optimización de las firmas productoras del bien final esta dado por 1

ˆ

m´ın y jt

0

p jt y jt d j 1

s.t

ˆ

Y t =

0

θ 1 θ

−

yt j

dj



θ θ 1

−

siendo Pt el precio del bien final, que se toma como dado, y p jt el precio del bien intermedio y jt . L =

ˆ

1

p jt y jt d j

− ϕ

t

y las condiciones de primer orden serían: p jt

−

θ θ 1 ϕ t θ 1 θ

−

p jt

−

− ϕ

t

ˆ 0

ˆ

1

0

1

−

y jt d j

0

θ 1 θ

−

y jt d j

θ 1 θ



1

θ 1 θ

−

y jt d j



−

ϕ t

p jt

ϕ t

−θ

=

−θ

0

− −1

y jt d j

ϕ t

y jt =

−θ

=

p jt

ϕ t

1

y jt Y t

−θ

θ 1

− −1

y jt θ

−1

− θ −θ 1

1

1 1 θ − θ y 0 jt d j

p jt

Y t

y jt θ = 0

−

=

−

θ θ 1

1

θ 1

 −  θ θ 1

θ 1 θ

  ˆ    ´      p jt

Falta tener un valor para ϕ t .

ˆ 

Y t

θ θ 1

−

y jt

y jt

=0


1

Y t

Y t

= =

1 = ϕ t −θ

θ 1 θ

y jt d j 1−θ

1

1

ϕ t

0

1

1 −θ

ϕ t

1−θ

( p jt )

0

0

p1−θ d j

θ θ 1

−

jt

Y t

θ θ 1

p1−θ d j

−

jt

0

1

ϕ t =

−

−

1

=

θ θ 1

ˆ    ˆ    ˆ  ˆ  ˆ  0

107

θ θ 1

−

dj

1−θ d j p jt

1 1−θ

= Pt

Luego, el multiplicador de Lagrange de este problema es el precio agregado de la canasta o el índice de precios del productor, en este caso. Este precio, es el que se usa para deflactar la restricción de presupuesto de los hogares.

6.4.3. Firmas productoras de bienes intermedios. Al igual que en la sección dos el problema de las firmas productoras de bienes intermedios se puede partir en dos: Primero, las firmas minimizan costos, y segundo, seleccionan los precios óptimos maximizado beneficios. La diferencia fundamental esta en el segundo problema pues ahora este es un problema dinámico dado que las firmas no pueden cambiar sus precios en todos los períodos.

1. Minimización de costos

 

α

1−α . Se supone que la tenologíade producción de los de bienesintermedios está dada por y jt = z yt ut k jt −1 l jt Como es usual, las condiciones de primer del problema de minimización de costos se pueden encontrar usando el Lagrangiano dado por L =

−      − 

y r t ut k jt 1 + wt l jt + λ t

−

y

y jt zt ut k jt −1

α 1 α

l jt −

.

Las siguientes condiciones de primer orden para el capital y el trabajo son y

y

r t = λ t α zt ut k jt −1 y

wt = λ t (1

α 1 1 α

− l− jt

α

α ) z yt ut k jt −1

−α l jt

que junto con la restricción tecnológica permiten encontrar la función de mínimo costo. Esto es, de las condiciones de primer orden tenemos r t wt

=

de lo cual se obtienen

(1

−

ut k jt −1 =

α l jt α ) ut k jt −1

α wt l jt (1 α ) r t

−

que junto con la restricción tecnológica implican las siguientes demandas de insumos y jt

=

l jt

=

y zt

   −− 

1 (1 α ) r t y

zt

α

α wt l jt (1 α ) r t α wt

1−α l jt

α

y jt

108

6. MODELO BÁSICO

ut k jt jt −1

=

ut k jt jt −1

=

α wt l jt (1 α ) r t t

− − 

α 1

1 (1 α ) r t t y

zt

−

y jt .

α wt

Para determinar el valor de λ t t podemos usar el teorema de la envolvente envolvente y tenemos entonces que λ t y

= c(wt , r t t ).

2. Maximización de beneficios firmas intermedias Cuando la firma tiene la oportunidad de fijar precios esta lo hara maximizando el valor presente descontado de esta decisión. Esto es, ∞

max a´ x s.t

β τ λ t t +τ [ p jt +τ λ t t τ =0

Et ∑

y j ,t +τ =

2

 

− ϕ ] y t t

jt +τ

−θ

p jt +τ

yt +τ

Pt +τ

Si ponemos sólo los términos de la suma para los cuales el precio fijado en t se mantiene, que no se han ajustado, entonces el problema sería sólo, ∞

max a´ x

λ t t +τ [ p jt +τ λ t t

Et ∑ (Ωβ )τ τ =0

s.t

y j ,t +τ =

 

− ϕ ] y t t

jt +τ

−θ

p jt +τ

yt +τ

Pt +τ

y sujeto a una regla de fijación que esta activa cuando los precios no se ajustan óptimamente. Se expondrán tres reglas de fijación de precios, que se notarán como A, B y C, esas son las siguientes: A: p jt +τ = pt ∗

B:

τ

∗ ∏ (1 + π t t +1−s) p jt +τ = p jt s=1

C: p j ,t +τ = p jt (1 + π )

τ (1 γ )

−

γ

τ

∏s=1 (1 + π t t +s−1 )

De esta forma, cuando la regla es dejar el precio fijo entonces en la expresión anterior necesitamos cambiar Regla de fijación de precios precios A.

p jt +τ = pt ∗

y en este caso, el problema de maximización sería ∞

máx ax

Et ∑ (Ωβ )

τ λ t t +τ

λ t t

τ =0

s.t

y j,t +τ =

  pt ∗

Pt +τ



pt ∗ Pt +τ

−θ

ϕ t t +τ

− P +τ t



y jt +τ

Y t t +τ

2De ahora en adelante ϕ es el costo marginal nominal de la firma productora de bienes intermedios, equivalente al λ y de la t t t

sección anterior multiplicado por el nivel genera de precios.


109

El problema puede ser reexpresado para eliminar la restricción de la siguiente forma:

 

máx a∗x Et ∑τ ∞=0 pt

1−θ

pt ∗

λ t t +τ (Ωβ )τ λ t t

Pt +τ

ϕ t t +τ

− P +τ

  −θ

pt ∗

Pt +τ

t

Y t t +τ

La condición de primer orden que soluciona el problema de maximización de beneficios que escoge el precio óptimo es:

   −

∞

λ Et ∑ (Ωβ )τ t t +τ (1 λ t t τ =0

−θ 1

pt ∗

θ )

Pt +τ

Pt +τ

+ θ

ϕ t t +τ Pt +τ

−θ −1 1

  pt ∗

Pt +τ

Pt +τ



Y t t +τ = 0

que se pueden reescribir como ∞

   

0 = (1 − θ ) Et ∑ (Ωβ )

λ t t

τ =0

∞

+ θ Et ∑ (Ωβ )τ τ =0

λ t t +τ ϕ t t +τ λ t t Pt +τ

−θ 1

pt ∗

τ λ t t +τ

Pt +τ

Pt +τ

Y t t +τ

−θ −1 1

pt ∗

Pt +τ

Pt +τ

Y t t +τ

( pt ∗ )−θ ∞ 1 1−θ τ Et ∑ (Ωβ ) λ t t +τ Y t t +τ (θ 1) λ t t Pt +τ τ =0

   

−

= θ

∞ ϕ ( pt ∗ )(−θ −1) Et ∑ (Ωβ )τ λ t t +τ t t +τ λ t t Pt +τ τ =0

−θ

1

Pt +τ

Y t t +τ

( pt ∗ )−θ ( pt ∗ )−(−θ −1) = ∞

θ

τ =0

(θ 1)

−

∞

Et ∑ (Ωβ )τ λ t t +τ τ =0

∞

p∗ = t

θ

τ

Pt

(θ 1)

=

1

−

θ

(θ 1)

−

Pt +τ

pt +τ

∞


∞


Y t t +τ

−θ

1

Pt +τ

1−θ

1

Pt +τ

Et ∑ (Ωβ )τ λ t t +τ ϕ Pt t t+ +τ τ τ =0

Y t t +τ

       

ϕ t t +τ

τ =0

−θ

1−θ

1

Et ∑ (Ωβ ) λ t t +τ pt +τ

∞

pt ∗

   

Et ∑ (Ωβ )τ λ t t +τ pϕ t t t ++τ τ

Pt +τ Pt

Pt +τ Pt

Y t t +τ

θ

θ 1

−

Y t t +τ

Y t t +τ

Y t t +τ

El numerador y el denominador de la anterior expresión pueden ser reexpresados recursivamente para facilitar su uso: Se define entonces a Λt como el numerador en un momento del tiempo y a Θt como el numerador, numerador, así:

110

6. MODELO BÁSICO

∞

Λt

τ

= Et ∑ (Ωβ ) λ t t +τ τ =0

Λt Λt Λt Λt

= λ t t = λ t t = λ t t = λ t t

ϕ t t Pt

ϕ t t Pt

ϕ t t Pt

ϕ t t Pt

ϕ t t

ϕ t t +τ Pt +τ

∞

 

Y t t +τ

Pt

τ

Y t t + Et ∑ (Ωβ ) λ t t +τ τ =1 ∞

θ

Pt +τ

τ +1

Y t t + Et ∑ (Ωβ )

ϕ t t +τ

ϕ t t +τ +1

Pt +τ +1

Pt +τ +1

Pt

Y t t + Et (Ωβ )

θ ∞

Pt +1

∑ (Ωβ )

Pt

τ

λ t t +τ +1

τ =0

Y t t + Et (Ωβ ) (1 + π t t +1 )

θ

Y t t +τ +1

ϕ t t +τ +1 Pt +τ +1

∞

θ

τ ∑ (Ωβ ) λ t t +τ +1

τ =0

    Pt +τ +1 Pt +1

ϕ t t +τ +1

Pt +τ +1

Pt +τ +1

Pt +1

θ

Y t t +τ +1 θ

Y t t +τ +1

θ

Y t t + Et (Ωβ ) (1 + π t t +1 ) Λt +1

Λt

= λ t t

Λt

= λ t t λ t yY t t + Et (Ωβ ) (1 + π t t +1 )θ Λt +1

Pt

Y t t +τ

Pt

τ =0

 

θ

Pt +τ

Pt +τ

λ t t +τ +1

   

Recordando la definición de ϕ t t se reexpresa el numerador en términos del costo marginal real de la firma. Y para el denominador por un proceso similar se obtiene: θ 1

−

Θt = λ t t Y t t + Et (Ωβ ) (1 + π t t +1 )

Θt +1

Con estos resultados se reexpresa el nivel óptimo de precios como: pt ∗ Pt

=

θ

Λt

(θ 1) Θt

−

Por ultimo, es posible encontrar una ecuación para el indice de precios agregado

Pt =

ˆ

1

0

1−θ d j p jt



1 1−θ

tenemos que una fraccion (1 − Ω) ajusta sus precios mientras una fracción nivel de precios del período anterior. anterior. 1

P1−θ

ˆ

=

t

Ω

P1−θ t

P1−θ t

ˆ

( p∗ )1−θ d j + t

Ω

0

  p jt −1 1

ˆ

=

(1 − Ω) ( p∗ )1−θ + Ω

=

(1 − Ω) ( pt ∗ )1−θ + ΩPt 1−−1θ

t

0

1−θ

Ω no los ajusta manteniendo su

dj

1−θ d j p jt −1

1−θ d j = P1−θ . pues 01 p jt −1 t −1 Reexpresando lo anterior en términos reales se obtiene:

´

Pt 1−θ

 Pt Pt

1−θ

− Ω) ( p∗)1−θ + ΩP1−−1θ 1−θ p∗ P −1 (1 − Ω) +Ω P P

= (1 =

t

t

  t

t

1 = (1 − Ω)

pt ∗ Pt

1−θ

1−θ

  t

t

+ Ω (1 + π t t )θ −1


Regla de fijación de precios B. Cuando la regla entonces p jt +τ en la expresión anterior cambia por 3

111

es ajustar precios de acuerdo a la inflación pasada

τ

p jt +i = p jt ∏ (1 + π t +s−1 ) s=1

y en este caso, el problema de maximización sería

má∗ x Et ∑∞τ =0 (Ωβ )τ p jt

s.t

λ t +τ λ t

y j,t +τ =

 

 

τ

p jt ∏ (1 + π t +s−1 ) s=1

Pt +τ

− ϕ P ++τ τ t

t

τ

p jt ∏ (1 + π t +s−1 ) s=1

Pt +τ

−θ

 

 

y jt +τ

Y t +τ

De nuevo el problema puede ser reexpresado elimando la restricción quedando como se muestra a continuación:

τ λ t +τ

∞

má∗x Et ∑τ =0 (Ωβ ) pt

λ t

  

τ

p jt ∏ (1 + π t +s−1 ) s=1

Pt +τ

1−θ

 

ϕ t +τ

− P +τ t

 

τ

p jt ∏ (1 + π t +s−1 ) s=1

Pt +τ

 

  

−θ

Y t +τ


∞

τ λ t +τ

Et ∑ (Ωβ ) τ =0

λ t

     −  (1

θ )

−θ

p jt



τ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

Pt +τ

Pt +τ

1−θ

+ θ

ϕ t +τ Pt +τ

   p jt

−θ −1

τ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

Pt +τ

que se pueden reescribir como

     

τ

∞

0 = (1 − θ ) Et ∑ (Ωβ ) τ =0

∞

+ θ Et ∑ (Ωβ )

τ λ t +τ

λ t

τ λ t +τ ϕ t +τ

λ t Pt +τ

τ =0

p jt

−θ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

Pt +τ

p jt

−θ −1

Pt +τ

Pt +τ τ

=

p jt (1 + π t )

p jt +2

=

p jt (1 + π t ) (1 + π t +1 )

Pt +τ

.. . p jt +τ

=

p jt (1 + π t ) . . . (1 + π t +τ −1 ) (1 + π t +τ −1 )

p jt +i

=

p jt ∏ (1 + π t +s−1 )

τ

s=1

1−θ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

3 p jt +1



Y t +τ



−θ Y t +τ

Pt +τ

   −θ

Y t +τ = 0

112

6. MODELO BÁSICO

(θ 1)

−

p−θ jt

λ t

( θ 1)

−− p

= θ

jt

∞

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ τ =0

∞

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ

λ t

   

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

Pt +τ τ

1−θ

   

1 ∏ (1 + π t +s−1 )

ϕ t +τ

τ =0

τ

Pt +τ

s=1

Pt +τ

Y t +τ

−θ Y t +τ

−(−θ −1) = −θ

−θ p p jt jt ∞

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ pϕ t t ++τ τ τ =0

θ

(θ 1)

−

∞

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ τ =0

 

  τ

∏ (1+π t +s−1 ) s=1 pt +τ

∞

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ pϕ tt ++τ τ τ =0

θ

∗= p jt

(θ 1)

−

∞

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ τ =0

∞

∗ p jt Pt

=

τ =0

(θ 1)

−

∞

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ τ =0

Y t +τ

1−θ

Y t +τ

τ

∏ (1+π t +s−1 ) s=1 Pt +τ

τ

θ

 

−θ Y t +τ

1−θ

 

Y t +τ

 

τ

−

−θ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

θ 1

Pt +τ Pt

 

 

∏ (1+π t +s−1 ) s=1 Pt +τ

Pt +τ Pt

Et ∑ (Ωβ ) λ t +τ Pt +τ

θ

 

 

    

ϕ t +τ

τ

τ

∏ (1+π t +s−1 ) s=1 Pt +τ

τ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

1−θ

Y t +τ

Y t +τ

El numerador y el denominador de la anterior expresión pueden ser reexpresados recursivamente para facilitar su uso: Se define entonces a Λt como el numerador en un momento del tiempo y a Θt como el numerador, así: ∞

Λt

τ

= Et ∑ (Ωβ ) λ t +τ τ =0

Λt

Λt

Λt

Λt

= λ t

= λ t

= λ t

= λ t

ϕ t Pt

ϕ t Pt

ϕ t Pt

ϕ t Pt

∞

               

ϕ t +τ

Pt +τ

Pt +τ

Pt

τ

Y t + Et ∑ (Ωβ ) λ t +τ τ =1 ∞

Y t + Et ∑ (Ωβ ) τ =0

τ +1

θ

∏ (1 + π t +s−1 )

ϕ t +τ

Pt +τ

Pt +τ

Pt

λ t +τ +1

θ

Y t + Et (Ωβ )

Pt

τ

∏ (1 + π t +s−1)

ϕ t +τ +1

Pt +τ +1

Pt +τ +1

Pt

∑ (Ωβ ) θ

Y t +τ

τ +1

λ t +τ +1

(1 + π t )−θ

−θ

Y t +τ

s=1

τ =0

Pt +1

−θ

s=1

∞

−θ Y t + Et (1 + π t )

τ

∞

θ

∏ (1 + π t +s−1 )

−θ

Y t +τ +1

s=1

ϕ t +τ +1

Pt +τ +1

Pt +τ +1

Pt

τ

∑ (Ωβ )

τ =0

τ +1

λ t +τ +1

θ

τ

∏ (1 + π t +1+s−1 )

−θ Y t +τ +1

s=1

ϕ t +τ +1

Pt +τ +1

Pt +τ +1

Pt +1

θ

τ

∏ (1 + π t +1+s−1)

s=1



−θ Y t +τ +1


Λt

Λt Λt

  

1 + π t +1 = λ t Y t + Et (Ωβ ) Pt 1 + π t ϕ t

1 + π t +1 Pt 1 + π t 1 + π t +1 = λ t λ t yY t + Et (Ωβ ) 1 + π t = λ t

ϕ t

Y t + Et (Ωβ )

  

θ ∞

τ

∑ (Ωβ )

λ t +τ +1

τ =0

ϕ t +τ +1 Pt +τ +1

113

  θ

Pt +τ +1 Pt +1

τ

∏ (1 + π t +1+s−1)

s=1



−θ Y t +τ +1

θ

Λt +1

θ

Λt +1

Recordando la definición de ϕ t se reexpresa el numerador en términos del costo marginal real de la firma. Y para el denominador por un proceso similar se obtiene: 1+π t +1 θ −1 Θt +1 1+π t

 

Θt = λ t Y t + Et (Ωβ )

Con estos resultados se reexpresa el nivel óptimo de precios como:

∗ p jt

θ

=

Pt

Λt

(θ 1) Θt

−

Por último, es posible encontrar una ecuación para el índice de precios agregado

ˆ

1

Pt =

p1−θ d j jt

0



1 1−θ

tenemos que una fracción (1 − Ω) ajusta sus precios mientras una fracción nivel de precios del período anterior. P1−θ t

=

ˆ

1

Ω

P1−θ t

P1−θ t

ˆ

p∗1−θ d j + jt

Ω

0



(1 + π t −1 ) p jt −1



1

ˆ

Ω

1−θ

=

(1 − Ω) p∗1−θ + Ω (1 + π t −1 )1−θ

=

∗1−θ + Ω (1 + π t −1 )1−θ P1−θ (1 − Ω) p jt t −1

jt

0

no los ajusta manteniendo su

dj

1−θ d j p jt −1

1−θ d j = P1−θ . pues 01 p jt −1 t −1 Reexpresando lo anterior en términos reales se obtiene lo siguiente:

´

Pt 1−θ 1−θ

 Pt Pt

− Ω) p∗1−θ + Ω (1 + π −1)1−θ P1−−1θ p∗ 1−θ (1 − Ω) + Ω (1 + π −1 )1−θ P

= (1 =

t

jt

    jt

t

t

1 = (1 − Ω)

t

1−θ

p∗

jt

Pt

+Ω



1 + π t −1 1 + π t

1−θ

  Pt −1 Pt

1−θ



Por último, si la regla de fijación de precios es el precio futuro es una mezcla entre la meta y la inflación pasada o p jt +1 = (1 + π t +1 )γ (1 + π )1−γ p jt , entonces Regla de fijación de precios C.

τ (1 γ )

p j,t +τ = p jt (1 + π )

−

τ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

y el problema de maximización sería

γ

114

6. MODELO BÁSICO

τ λ t +τ

∞

máx Et ∑τ =0 (Ωβ )

λ t

p jt

s.t

y j,t +τ =

 

 

τ

τ (1 γ )

−

p jt (1 + π )

∏ Π jt (1 + π t +s−1 )

γ

− ϕ P ++τ τ

s=1

t

Pt +i

p jt (1 + π )

τ (1 γ )

−

t

τ

γ ∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

Pt +τ

 

−θ

 

y j,t +τ

Y t +τ

De nuevo el problema puede ser reexpresado elimando la restricción quedando como se muestra a continuación:

má∗x Et ∑∞τ =0 pt

λ t +τ (Ωβ )τ λ t

  

τ

τ (1 γ )

−

p jt (1 + π )

∏ (1 + π t +s−1 )

γ

s=1

Pt +τ

 

1−θ

ϕ t +τ

− P +τ t

 

p jt (1 + π )

τ (1 γ )

−

τ

γ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

Pt +τ

  

−θ

 

Y


∞

Et ∑ (Ωβ )τ τ =0

  

λ t +τ (1 λ t

− θ ) p−θ jt

 

τ

τ (1 γ )

(1 + π )

−

∏ (1 + π t +s−1 )

1−θ

 

γ

s=1

Pt +τ

+ θ

ϕ t +τ Pt +τ

−θ −1 p jt

 

τ (1 γ )

(1 + π )

∞

0 = (1 − θ ) Et ∑ (Ωβ )τ τ =0

∞

+ θ Et ∑ (Ωβ )

τ λ t +τ ϕ t +τ

λ t Pt +τ

τ =0

(θ 1)

−

p−θ

−θ −1 p jt

= θ

λ t

jt

λ t

λ t +τ −θ p λ t jt

jt

∞

τ =0

∞

τ

Et ∑ (Ωβ ) λ t +τ τ =0

   

ϕ t +τ Pt +τ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

Pt +τ

(1 + π )

τ

τ (1 γ )

−

τ (1 γ )

−

∏ (1 + π t +s−1 )

γ

s=1

Pt +τ

(1 + π )

−

1−θ

   

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

τ

τ (1 γ )

γ

γ

Pt +τ

(1 + π )

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ

−

(1 + π )

p−θ −1

τ

τ (1 γ )

τ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

Pt +τ

γ

Y t +τ

−θ Y t +τ

1−θ

   

τ

Y t +τ

−θ Y t +τ

γ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

Pt +τ

que se pueden reescribir como

   

−

−θ

 


115

−(−θ −1) = −θ γ

−θ p p jt jt

 

∞

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ pϕ t t ++τ τ τ =0

θ

(θ 1)

−

 

∞

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ τ =0

τ =0

(θ 1)

−

∞

∞

∗ p jt Pt

=

τ

ϕ t +τ

τ =0

(θ 1)

−

∞

τ

Et ∑ (Ωβ ) λ t +τ τ =0

θ

θ 1

−

Pt +τ Pt

 

Y t +τ

1−θ

 

Y t +τ

τ

(1+π )τ (1−γ ) ∏ (1+π t +s−1 )γ s=1 Pt +τ

τ

(1+π )τ (1−γ ) ∏ (1+π t +s−1 )γ

Pt +τ Pt

Et ∑ (Ωβ ) λ t +τ Pt +τ

θ

 

      

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ τ =0

τ

s=1 Pt +τ

Et ∑ (Ωβ )τ λ t +τ pϕ t t ++τ τ

θ

s=1 Pt +τ

(1+π )τ (1−γ ) ∏ (1+π t +s−1 )γ

∞

∗= p jt

τ

(1+π )τ (1−γ ) ∏ (1+π t +s−1 )

s=1 Pt +τ

(1 + π )

(1 + π )

τ

τ (1 γ )

−

τ (1 γ )

−

−θ

 

Y t +τ

1−θ

 

Y t +τ

 

−θ

γ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

τ

γ

∏ (1 + π t +s−1 )

s=1

1−θ

Y t +τ

Y t +τ

El numerador y el denominador de la anterior expresión pueden ser reexpresados recursivamente para facilitar su uso: Se define entonces a Λt como el numerador en un momento del tiempo y a Θt como el numerador, siguiendo un procedimiento similar a los antes mostrados, el resultado es el siguiente: Λt

=

λ t λ t yY t +



1 + π t +1 Et (Ωβ )(1 + π )−θ (1−γ )



θ

(1 + π t )γ

Λt +1

Recordando la definición de ϕ t se reexpresa el numerador en términos del costo marginal real de la firma. Y para el denominador por un proceso similar se obtiene:

−(θ −1)(1−γ )

Θt = λ t Y t + Et (Ωβ ) (1 + π )

1+π t +1 θ 1 Θt +1 (1+π t )γ

 

−

Con estos resultados se reexpresa el nivel óptimo de precios como:

∗ p jt

θ

=

Pt

Λt

(θ 1) Θt

−

Por ultimo, es posible encontrar una ecuación para el indice de precios agregado 1

Pt =

ˆ 0

1−θ d j p jt



1 1−θ

tenemos que una fraccion (1 − Ω) ajusta sus precios mientras una fracción nivel de precios del período anterior. P1−θ t

1 1−θ 0 p jt −1 d j

´

=

Ω

P1−θ

=

Pt 1−θ

=

t

pues

1

= Pt 1−−1θ .

ˆ

p∗1−θ d j + jt

ˆ 0

Ω

  

Ω

no los ajusta manteniendo su

(1 + π )1−γ (1 + π t −1 )γ p jt −1



1−θ

dj

1 ∗1−θ + Ω (1 + π )1−γ (1 + π t −1 )γ 1−θ p1−θ d j (1 − Ω) p jt jt −1 0 ∗1−θ + Ω (1 + π )1−γ (1 + π t −1 )γ 1−θ P1−θ (1 − Ω) p jt t −1

 

ˆ

116

6. MODELO BÁSICO

Reexpresando lo anterior en términos reales se obtiene lo siguiente:

Pt 1−θ 1−θ

 Pt Pt

= (1 = (1

− Ω) p∗1−θ + Ω jt

− Ω)

1 = (1 − Ω)



∗ 1−θ p jt

    Pt

∗ 1−θ p jt Pt



(1 + π )1−γ (1 + π t −1 )γ

 

+ Ω (1 + π ) +Ω

1−γ

1−θ

(1 + π t −1 )

Pt 1−−1θ

1−θ

   

γ

(1 + π )1−γ (1 + π t −1 )γ 1 + π t

1−θ

Pt −1 Pt

1−θ

6.4.4. Agregación. Hogares. En el equilibrio el neto de los bonos debe ser igual a cero, así la restricción presupuestal agregada de los hogares es:



Rt k W t t pt lt + pt ut k t

E

−1 + Πt − ct

También se define para los hogares que: W t

 −

xt = 0

= wt

pt Rt k

= r t

pt

Por lo que se reexpresa la restrcción como: Et [wt lt + r t ut k t −1 + Πt − ct − xt ] = 0 Éste mismo cambio de notación se aplica a las demás condiciones de primer orden de los hogares. Del problema de las firmas productoras de bienes finales se sabe que la demanda por el bien inermedio j es la siguiente: Demanda por bienes intermedios.

y jt =

  p jt

−θ

Pt

Y t

p

Donde P jt t es el precio óptimo cobrado por la firma j productora de bienes intermedios, independiente de la regla de fijación de precios. La demanda agregada de los bienes intermedios se define como: 1

´

yt = 0 y jt d j

Desarrollando esta expresión se obtiene lo siguiente: yt yt

 ´ = ´  =

1 p jt 0 Pt 1 p jt 0 Pt

 

−θ −θ

Y t d j d jY t

p

yt = vt Y t

Donde v p es una medida de la distorsión de precios, cuyo valor depende del tipo de regla de fijación de precios utilizada, a continuación se soluciona para los tres tipos de regla trabajados.

Regla de fijación de precios A


1

p vt

ˆ  ˆ  ˆ  ˆ 

=

p jt

Ω

p vt

= =

0

Ω

p

=

vt

−θ

−θ

Pt

1

dj+

Ω

Pt −1

0

ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  1

=

p jt

0

Ω

p vt

= =

1

ˆ  0



− Ω)

p

= Ω

vt



−θ

pt ∗

− Ω)

Pt

−θ

pt ∗

Ω)

Pt

−θ

pt ∗

Ω)

Pt

Pt

dj

Pt



−θ

ˆ  1

dj+

∗ p jt

Ω

−θ

p jt −1 (1 + π t −1 ) Pt −1 Pt −1

p jt −1

−θ

1 + π t 1 + π t −1

θ

0

= Ω

   −   −

−θ p jt −1 d j + (1 Pt −1 −θ pt ∗

p jt −1 (1 + π t −1 )

0

=

p vt

−θ

dj

Pt

−θ



dj

−θ

∗ p jt

 −     −     ˆ   −     −   Ω

p

vt



0

Ω

p vt

Pt

−θ

(1 + π t )θ d j + (1

−θ

d j + (1

Regla de fijación de precios B p vt

Pt



p jt −1



−θ

= Ω (1 + π t )θ v pt −1 + (1

p

pt ∗



= Ω (1 + π t )

vt

ˆ 

p jt −1 Pt −1 Pt −1 Pt

θ

p vt

dj



p jt −1

0

Ω

p vt

Pt

0



117

Pt −1

1 + π t 1 + π t −1

Pt

0

θ

d j + (1

−θ

p jt −1 Pt −1

p

Ω)

vt −1 + (1

Ω)

(1 + π t −1 )γ



jt

Ω)

d j + (1

Pt

p∗ −θ

θ

1 + π t 1 + π t −1

1

d j + (1

Pt

−θ

∗ p jt

Ω)

Pt

p∗ −θ jt

Pt

Regla de fijación de precios C p vt

p vt

p vt

p vt

p vt

p vt

ˆ  ˆ  1

=

0

Ω

=

−θ

dj

¯) p jt −1 (1 + π

1−γ

Pt

−θ

ˆ  1

dj+

Ω

∗ p jt Pt

−θ



dj

    −    ˆ    −   ˆ     −     −   ˆ

¯) p jt −1 (1 + π

p jt −1 Pt −1

0

= Ω

= Ω

1−γ

Pt −1

0

Ω

=

Pt



0

Ω

=

p jt

−θ

(1 + π t −1 )γ Pt −1 Pt

1 + π t 1 ¯ ) −γ (1 + π t −1 )γ (1 + π

1 + π t 1 ¯ ) −γ (1 + π t −1 )γ (1 + π

θ

1 + π t

∗ p jt Pt

−θ

¯ )1−γ (1 + π t −1 )γ (1 + π

1

p jt −1 Pt −1

0

d j + (1

θ

d j + (1

−θ

d j + (1

θ

p vt

−1 + (1

Ω)

∗ p jt

Ω)

∗ p jt Pt

Ω)

Ω)

−θ

−θ

Pt

∗ p jt

−θ

Pt

∗ p jt Pt

−θ

118

6. MODELO BÁSICO

Demandas por factores y oferta agregada de bienes intermedios.

Las demandas agregada por trabajo y

por capital se definen como sigue:

lt k t

ˆ ˆ

=

1

l jt d j

0

=

1

k jt d j

0

De la minización de costos de las firmas productoras de bienes intermedios se sabe lo siguiente: r t

α l jt (1 α ) ut k jt −1 α wt l 1 α r t jt

=

wt ut k jt −1

=

ut k jt −1 d j

=

ut k t −1

=

−   −  ˆ − 

1

ˆ 0

1 α wt l dj 1 α r t 0 jt α wt l 1 α r t t

−

Importante destacar de lo anerior que: ut k t −1 lt

=

 

ut k jt −1 l jt

= 1−α α wr tt

También se sabe de la misma minimización que:

− l− jt − α 1 ut k jt −1

= λ t y α z yt ut k jt −1

r t

= λ t y α z yt

r t

= λ t y α z yt

wt

= λ yt (1

wt

=

wt

= λ yt (1

α 1 1 α

     

r t

l jt

ut k t −1

α 1

−

lt

y t

− α ) z λ (1 − α ) z y t

y t y t

− α ) z

      ut k jt −1

ut k jt −1

α

−α l jt α

l jt

ut k t −1

α

lt

Las anteriores son las demandas por factores en términos agregados. Por último se sabe que la oferta agregada de bienes intermedios es la siguiente: 1

´

yt = 0 y jt d j

Y que la oferta de la firma j es: y

 

y jt = zt ut k jt −1

Operando sobre esta última se encuentra:

α 1 α

l jt −


y jt y jt

=

y zt

=

y zt

=

y zt

1

ˆ 0

    

= z yt ut k jt −1

y jt

y jt d j

    ˆ 

α 1 α

l jt − α

ut k jt −1 l jt

l jt

ut k t −1

α

ut k t −1

α

lt lt

l jt

1

l jt d j

0

α

ut k t −1

yt

= z yt

yt

= z yt (ut k t −1 )α lt 1−α

lt

119

lt

Los beneficios agregados son iguales a la suma de los beneficios de cada firma productora de bienes intermedios, éstos últimos expresados en términos reales así: Beneficios de las firmas productoras de bienes intermedios.

1

Πt

=

ˆ ˆ  ˆ 

Π jt d j

0

1

Πt

=

p jt y jt Pt

0

=

p jt

p jt

Pt

Pt

0

1

Πt

=

Πt

=

Πt

=

−

dj

  −      ˆ   − ˆ   ˆ    − −  1

Πt



λ yt y jt

−θ

1−θ

p jt

1

1−θ

p jt Pt

0

p jt

p jt

−θ

Y t

λ t y

Pt

0

λ yt

Y t d j

Pt

d jY t

Pt

1

λ t y

dj

−θ

−θ

p jt Pt

0

d j Y t

λ t y v p Y t

vΠ

En la anterior expresión v p es la distorsión de precios ya definida y vΠ es una nueva distorsión de precios 1 p jt 1−θ dj 0 Pt

 ´ que se define como



y se soluciona de forma diferente para cada regla de fijación de precios

como se muestra a continuación:

Regla de fijación de precios A vt Π vt Π vt Π vt Π vt Π vt Π

1

=

ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  0

Ω

=

0

Ω

=

0

Ω

=

0

p jt Pt

1−θ



p jt −1 Pt

dj

1−θ



Pt

p jt −1 Pt −1

= Ω (1 + π t )

dj+

Ω

p jt −1 Pt −1 Pt −1

1

ˆ 

1−θ



1−θ



1

θ 1

0

Pt

d j + (1

(1 + π t )

ˆ  −

pt ∗

θ 1

−

1−θ



− Ω)

dj

d j + (1

pt ∗ Pt

= Ω (1 + π t )θ −1 vt Π−1 + (1

− Ω)

 t

Pt

1−θ

  −   −

1−θ p jt −1 d j + (1 Pt −1 1−θ p∗



1−θ

 Ω)

Ω)

pt ∗ Pt

pt ∗ Pt

1−θ

120

6. MODELO BÁSICO

Regla de fijación de precios B

vt Π vt Π vt Π vt Π vt Π

1

ˆ  ˆ  ˆ 

=

p jt

0

Ω

=

Pt

1−θ



p jt −1 (1 + π t −1 ) Pt

0

Ω

=

= Ω = Ω

1−θ



Pt −1

1 + π t 1 + π t −1 1 + π t 1 + π t −1

Pt

θ 1

 

−

θ 1

−

1

−

ˆ 

ˆ  1

dj+

∗ 1−θ p jt

Ω

p jt −1 (1 + π t −1 ) Pt −1

0

 

dj

1−θ



p jt −1 Pt −1

0

vt Π−1 + (1

Pt

d j + (1 1−θ



d j + (1 1−θ

p∗

jt

− Ω)

∗ 1−θ p jt

    −

− Ω)

  

dj

Pt

∗ 1−θ p jt

Ω)

Pt

Pt

Regla de fijación de precios C

vt Π vt Π vt Π vt Π vt Π vt Π

ˆ  ˆ  1

=

p jt

0

Ω

=

¯) p jt −1 (1 + π

1−γ

Pt

(1 + π t −1 )γ

1−θ



ˆ  1

dj+

Ω

1−θ

∗ 1−θ p jt Pt



dj

    −    ˆ    −   ˆ     −     − ¯) p jt −1 (1 + π

ˆ

1−γ

Pt −1

0

Ω

=

dj

0

Ω

=

Pt

1−θ



p jt −1 Pt −1

0

1−θ

(1 + π t −1 )γ Pt −1 Pt

1 + π t 1 ¯ ) −γ (1 + π t −1 )γ (1 + π

= Ω

1 + π t 1−γ ¯ ) (1 + π t −1 )γ (1 + π

= Ω

1 + π t 1−γ ¯ ) (1 + π t −1 )γ (1 + π

θ 1

−

1

0

θ 1

−

p jt −1

d j + (1

−1 + (1

Ω)

Pt

θ 1

−

d j + (1

1−θ

Pt −1

vt Π

∗ 1−θ p jt

Ω)

Ω)

d j + (1

Ω)

∗ 1−θ p jt Pt

∗ 1−θ p jt Pt

∗ 1−θ p jt Pt

6.4.5. Regla de política. Los responsables de la política económica siguen la siguiente regla de política:

  

(1 + it ) = 1 + i

Donde ε t ∼ iid (0, σ 2 )

1+π t 1+π ¯

ρπ

eε t


121

6.4.6. Equilibrio del modelo y estado estacionario. En el equilibrio los valores de las variables del modelo 4 deben cumplir con las siguientes condiciones: Regla de fijación de precios A.





4 c , l , k , x , u , y , Y , r , w , Π , i , π , λ , ω , λ y , pt ∗ , v p , vΠ , Λ , Θ , z p , z y , zh , z I t t t t t t t t t t t t t t t Pt t t t t t t t t

122

6. MODELO BÁSICO

   −  −  −    −     −  −  −     − − −    − −  −  −   −      − − − − Et

Et z pt

1−η

θ zt h z pt ct

1−η

Et ω t z I t

Et

ω t + β λ t +1 r t +1 ut +1

+β ω t +1 Ψ

Et ω t

xt +1 z I t +1

Ψ

xt z I t

xt z I t

β ω t +1

E

−

θ (1 η ) 1

− −

Ψ

xt +1 z I t +1

2

k t

xt +1 z I t +1

+ (1

k t

λ t

= 0

+ λ t wt

= 0

λ t

δ (ut +1 )

δ (ut +1 ))

λ t + β λ t +1

1 + it

1 + π t +1

+ = 0 = 0 = 0

2

1 xt z I t Ψ 2 k t −1

k t −1 + (1

δ (ut )

δ (ut )) k t −1

k t

= 0

Et [wt lt + r t ut k t −1 + Πt + −ct − xt ] = 0 y α yt − zt (ut k t −1 ) lt 1−α = 0

λ yt (

wt

1

p vt

− Ω)

Pt

− Ω (1 + π ) t

λ t y v p

Y t

θ

Λt

(θ 1) Θt

vt −1

(1

Ω)

Pt

1−θ

− Ω (1 + π ) v −1 (1 Ω) P θ Λ − λ λ Y − E (Ωβ )(1 + π +1 ) Λ +1 θ −1 Θ − λ Y − E (Ωβ ) (1 + π +1 ) Θ +1 ρ 1 + π eε (1 + i ) − 1 + i 1 + π ¯ E ρ ln z + (1 − ρ ) ln z¯ + ε − ln z +1 E ρ ln z + (1 − ρ ) ln z¯ + ε − ln z +1 E ρ ln z + (1 − ρ ) ln z¯ + ε − ln z +1 E ρ ln z + (1 − ρ ) ln z¯ + ε − ln z +1 t

t

y t t t

t

t t

  

t

t

t

p

y t p t

h

h t

y

I

I

= 0 = 0

= 0 = 0

t

t

t

t

t

t

t

= 0

1 = 0

−θ

pt ∗

pt ∗

θ 1 Π

−

p

vt Y t

+ Ω (1 + π t )θ −1

θ p

= 0

lt

vΠ

Pt

1−θ

α

ut k t −1

pt ∗

pt ∗

= 0

lt

α ) z yt

Πt

−

ut k t −1

yt

(1

α 1

  −   − − − − −  − −  −   − −   − − λ yt α z yt

r t

vt Π

= 0

2

δ 2 ut Φ k t −1 + λ t r t k t −1

Et

I t zt xt

θ (1 η )

δ (ut ) z I t

k t −1

δ (ut ) δ 2 ut Φ

k t −1

zt h lt

1 zt h lt

Ψ

δ (ut +1 )

k t

−η 1

ct

t

   t

y

p

h

I

t

= 0

t

= 0

π

y t p t

y

y

p

p

h

h

h t

I

I

I t

t

= 0

  

= 0 = 0 = 0 = 0


123

En el estad estacionario se encuentra:

z y

= p z = zh = z I = u = π = i = x

=

ω = r = p∗ j

P

=

Θ

=

λ y

=

v p

= vΠ = Π = Y =

w

c

z¯h z¯ I

1 ¯ π i¯





δ 2 k δ 1 + 1 + Φ z I λ

z I

δ 2 z I

λ λ yY 1 Ωβ λ Y 1 Ωβ θ 1 θ

−

− −

1 1 (1 − λ y ) Y y

= z y k α l 1−α

λ = l

z¯ y

= 1

Λ

y

z¯ y

p

1−η

( z )

=

 

=

λ yt (

=

k =

 

c−η 1 − zh l

r

1 1−α

α z y λ y

w

θ zh w

θ zh

θ (1 η )

−

k

−α

  −     −     −

1

α ) z yt

1 z

h

r

1−α

α z y λ y r

1 1−α

α z y λ y

θ + 1 r r + w θ α z y λ y

k

1 1−α

1

z I

δ 2 δ 1 + 1+Φ



−1

124

6. MODELO BÁSICO

Regla de fijación de precios B.

En el equilibrio los valores de las variables del modelo 5 deben cumplir

con las siguientes condiciones:





5 c , l , k , x , u , y , Y , r , w , Π , i , π , λ , ω , λ y , p jt , v p , vΠ , Λ , Θ , z p , z y , zh , z I t t t t t t t t t t t t t t t Pt t t t t t t t t


   −  −  −    −     −  −  −     − − −    − −  −  −   −      − − − − Et

Et z pt

1−η

θ zt h z pt ct

1−η

Et ω t z I t

Et

ω t + β λ t +1 r t +1 ut +1

+β ω t +1 Ψ

Et ω t

xt +1 z I t +1

Ψ

β ω t +1

xt z I t

xt z I t

k t −1

I t zt xt

λ t

= 0

+ λ t wt

= 0

δ (ut ) z I t

2

k t

k t

−

− −

xt +1 z I t +1

xt +1 z I t +1

θ (1 η )

θ (1 η ) 1

Ψ

δ (ut ) δ 2 ut Φ

k t −1

zt h lt

1 zt h lt

Ψ

δ (ut +1 )

k t

−η 1

ct

λ t

δ (ut +1 )

+ (1

δ (ut +1 ))

λ t + β λ t +1

1 + it

1 + π t +1

k t −1 + (1

δ (ut )

δ (ut )) k t −1

k t

= 0 = 0 = 0

α 1

  −   − − − − −  − −     − −     − −     − −   − −   − − −      − − −   −− −  −  − lt

lt

Πt

v

Π

∗ p jt

θ

Ω)

Ω

Pt

1 + π t 1 + π t −1

1 + π t 1 + π t −1

θ

+Ω

1 + π t −1 1 + π t

p vt

−1 + (1

Ω)

θ 1

−

vt Π

−1 + (1

Y t

Λt

(θ 1) Θt

Pt

(1

p

vt Y t

λ yt v p

Ω)

1−θ

∗ p jt

= 0

α

ut k t −1

α ) z yt

yt

∗ 1−θ p jt

−

ut k t −1

λ t y α z yt

λ t y (1

wt

Ω

= 0

Et [wt lt + r t ut k t −1 + Πt − ct − xt ] = 0 y α yt − zt (ut k t −1 ) lt 1−α = 0 r t

vt Π

+

2

xt z I t 1 Ψ k t −1 2

p vt

= 0

2

δ 2 ut Φ k t −1 + λ t r t k t −1

Et

E

125

= 0 = 0 = 0 = 0

1 = 0

−θ

Pt

∗ 1−θ p jt Pt

1 + π t +1 θ Et (Ωβ ) Λt Λt +1 1 + π t 1 + π t +1 θ −1 Θt λ t Y t Et (Ωβ ) Θt +1 1 + π t 1 + π t ρπ ε t e (1 + it ) 1 + i 1 + π ¯ Et ρ y ln z yt + (1 ρ y ) ln z¯ y + ε y ln z yt +1 Et ρ p ln z pt + (1 ρ p ) ln z¯ p + ε p ln z pt +1 λ t λ yt Y t

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0

Et ρh ln zt h + (1 ρh ) ln z¯h + ε h ln zt h+1

= 0

Et ρ I ln z I t + (1 ρ I ) ln z¯ I + ε I ln z I t +1

= 0

126

6. MODELO BÁSICO

En el estad estacionario se encuentra:

z y

= p z = zh = z I = u = π = i = x

=

ω = r = p∗ j

P

=

Θ

=

λ y

=

v p

= vΠ = Π = Y =

w

c

z¯h z¯ I

1 ¯ π i¯





δ 2 k δ 1 + 1 + Φ z I λ

z I

δ 2 z I


−

− −

1 1 (1 − λ y ) Y y

= z y k α l 1−α

λ = l

z¯ y

= 1

Λ

y

z¯ y

p

( z )

1−η

=

 

=

λ t y (

=

k =

 

c−η 1 − zh l

r

1 1−α

α z y λ y

θ zh w

θ zh

−

k

−α

  −     −     −

1

w

θ (1 η )

α ) z yt h

1 z

r

1−α

α z y λ y r

1 1−α

α z y λ y

θ + 1 r r + w θ α z y λ y

k

1 1−α

1

z I

δ 2 δ 1 + 1+Φ



−1


Regla de fijación de precios C.

En el equilibrio los valores de las variables del modelo 6 deben cumplir

con las siguientes condiciones:



127

6 c , l , k , x , u , y , Y , r , w , Π , i , π , λ , ω , λ y , t t t t t t t t t t t t t t t



p jt p Π , vt , vt , Λt , Θt , z pt , z yt , zt h , z I t Pt

128

6. MODELO BÁSICO

   −  −  −    −     −  −  −     − − −    − −  −  −   −      − − − − Et

Et z pt

1−η

θ zt h z pt ct

1−η

Et ω t z I t

Et

ω t + β λ t +1 r t +1 ut +1 xt +1 z I t +1

+β ω t +1 Ψ

k t

Et ω t

Ψ

xt z I t

k t −1

−η 1

xt z I t

k t −1

δ (ut +1 )

2

k t

δ (ut ) δ 2 ut Φ

xt z I t 1 Ψ k t −1 2

= 0

+ λ t wt

= 0

λ t

δ (ut +1 )

+ (1

δ (ut +1 ))

λ t + β λ t +1

1 + it

1 + π t +1

k t −1 + (1

δ (ut )) k t −1

k t

λ yt (1

−

ut k t −1 lt

p

v

θ

jt

p vt

vt Π

−Ω

−Ω





1 + π t 1 ¯ ) −γ (1 + π t −1 )γ (1 + π

Λt

−

λ t λ yt Y t

θ

p vt

−1 + (1

vt Π

−1 + (1

∗ p jt

Ω)

θ 1

−

Λt

1−θ

(1 + π )1−γ (1 + π t −1 )γ 1 + π t

1 + π t 1 ¯ ) −γ (1 + π t −1 )γ (1 + π

Y t

(θ 1) Θt

Pt

+Ω

vt Y t

λ t y v p

Π

Ω)

= 0 = 0

lt

p∗

Pt

= 0

α

ut k t −1

α ) z yt

Πt

− Ω)

= 0

α 1

  −   − − − − −  − −   −    −    −     −    λ yt α z yt

yt

(1

= 0

Et [wt lt + r t ut k t −1 + Πt − ct − xt ] = 0 y α yt − zt (ut k t −1 ) lt 1−α = 0

wt

∗ 1−θ p jt

= 0

2

δ (ut )

r t

 

= 0

2

δ 2 ut Φ k t −1 + λ t r t k t −1

Et

Et z I t xt

λ t

δ (ut ) z I t

xt +1 z I t +1

k t

−

− −

Ψ

xt +1 z I t +1

θ (1 η )

θ (1 η ) 1

1 zt h lt

Ψ

β ω t +1

zt h lt

ct

= 0 = 0 = 0

1 = 0

−θ

Pt

∗ 1−θ p jt Pt

= 0 = 0

θ

1 + π t +1 − Et (Ωβ ) (1 + π t )γ (1 + π )(1−γ )

Λt +1

= 0

Θt +1

= 0

θ 1

−

1 + π t +1 Θt − λ t Y t − Et (Ωβ ) (1 + π t )γ (1 + π )1−γ 1 + π t (1 + it ) 1+i 1 + π ¯

ρπ

eε t

= 0


  

  

Et ρ y ln z yt + (1 − ρ y ) ln z¯ y + ε y − ln z yt +1 Et ρ p ln z pt + (1 − ρ p ) ln z¯ p + ε p − ln z pt +1

= 0

Et ρh ln zt h + (1 − ρh ) ln z¯h + ε h − ln zt h+1

= 0

Et ρ I ln z I t + (1 − ρ I ) ln z¯ I + ε I − ln z I t +1 En el estad estacionario se encuentra: z y

= p z = h z = I z = u = π = i = x

=

ω = r = p∗ j

P

=

Θ

=

λ y

=

v p

= vΠ = Π = Y = y = λ =

w

c

= 0

= 0

z¯ y z¯ y z¯h z¯ I

1 ¯ π i¯





δ 2 k δ 1 + 1 + Φ z I λ

z I

δ 2 z I

= 1

Λ

l

129


−

− −

1 1 (1 − λ y ) Y y

z y k α l 1−α

=

 

=

λ yt (

=

k =

− 

( z p )1−η c−η 1 zh l r

1 1−α

α z y λ y

w

θ zh w

θ zh

θ (1 η )

−

k

−α

  −     −     −

1

α ) z yt

1 z

h

r

1−α

α z y λ y r

1 1−α

α z y λ y

θ + 1 r r + w y θ α z λ y

k

1 1−α

1

z I

δ 2 δ 1 + 1+Φ



−1

Parte 3

Metodos empíricos

Capítulo 7

Análisis de la solución 7.1. Introducción Como vimos en los capitulos anteriores al sistema de ecuaciones definido por las condiciones de primer orden, Et Ψ (wt , wt +1 ) = 0, se le puede encontrar una solucion alrededor de un estado estacionario. La solucion es de la forma ˜t + F 22 z˜t ct = F 21 k ˜t +1 = F 11 k ˜t + F 12 z˜t k z˜t +1

= P z˜t + ε t +1 .

Esta solucion se puede reescribir de la siguiente forma ct

˜t +1 k z˜t

˜t + F 22 P z˜t −1 + F 22 ε t = F 21 k ˜t + F 12 P z˜t −1 + F 12 ε t = F 11 k = P z˜t −1 + ε t

que si redefinimos el “timing” de las variables de estado como que k t sea el vector de estado definidos con información hasta t . Esto es, bajo la nueva formulación, k t = k t +1 y por tanto es posible reescribir el sistema anterior como uno equivalente dado por ct

˜t k z˜t

˜t −1 + F 12 P z˜t −1 + F 12 ε t = F 11 k ˜t −1 + F 22 P z˜t −1 + F 22 ε t = F 21 k = P z˜t −1 + ε t .

Es claro entonces que es posible escribir la solución de un modelo de espectativas racionales como un VAR(1). Esto es,

 

 siendo ut = Rε t , yt = c˜t  , k ˜t  , z˜t  ,

yt = Φ yt −1 + ut

Φ=

y por último

 

0 F 11 F 12 P 0 F 21 F 22 P P 0 0

ut = Rε t =

    F 12 F 22 I

 

ε t .

La representación VAR del modelo tiene grandes aplicaciones. Es posible, calcular impulso respuesta, momentos no condicionales , pronóstico , descomposición historica de choques, etc. Sin embargo, nos es posible usar esta representación para estimar el modelo (directamente) pues muchas de las variables no son observables. Este es el caso tanto para variables de control como estados. En general, la representación VAR arriba presentada tiene una representación VAR (∞) cuando sólo consideramos variables observables. 133

134

7. ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN

7.2. Representación de Media Movil Para el cálculo de algunas de los estadísticos de interés de un modelo VAR es conveniente trabajar con su representación MA (∞). En general, todo proceso AR estacionario yt = Φ yt −1 + ut se puede escribir como ( I Φ L) yt = ut Φ ( L) yt = ut

−

y por tanto yt = Φ ( L)

−1 ut = Ψ ( L) ut .

Ahora para encontrar los elemento de Ψ ( L) como funcion de los de Φ ( L) podemos usar su definición. Esto es, Φ ( L) Ψ ( L) = I . De donde, m I k



= ( I Φ L) I + Ψ1 L + Ψ2 L2 + . . .

−

= I k + Ψ1 L + Ψ2 L2 +

−Φ L −

de donde tenemos que

I k = I k + (Ψ1

y por lo tanto tiene que ser que

ΦΨ1 L2

··· +

− ΦΨ2 L3



− Φ) L + (Ψ2 − ΦΨ1) L2 + . . . Ψ1

Ψ2

−Φ

− ΦΨ1

= 0 = 0

.. .

y por lo tanto, Ψ1 = Φ, Ψ2 = Φ2 , etc. Esta representación se puede calcular tambien iterando hacia atras la el vector yt . Esto es, mediante las siguientes recursiones = Φ yt −1 + ut = Φ (Φ yt −2 + ut −1 ) + ut

yt

En general, si se itera k veces entonces

yt = Φk yt −k + Φk ut −k + Φk −1 ut −k +1 +

··· + Φ2u −2 + Φu −1 + u t

t

t

y por último si los valores propios de ( I − Φ L) estan fuera del circulo unitario, que es el caso en los modelos VAR(1) que representa la solución de un DSGE, entonces l´ımk →∞ Φk yt −k = 0 y por lo tanto ∞

yt

=

∞

∑ Φ j ut − j =

j =0

∑ Ψ j ut − j .

j =0

Luego para nuestro VAR (1), tenemos que Ψ j = Φ j . La representación MA (∞) implica que el valor de yt es simplemente la suma ponderada de distintos choques en el pasado y del presente.

7.3. Pronóstico En esta sección derivamos la función de pronóstico del VAR (1) que representa la solución del modelo DSGE. La función de pronótico es un valor esperado condicional. Puesto que esta función minimiza el error cuadratico medio. Ver Lutkepohl Cp 2. La función de pronóstico es entonces yt (h)

=

Et [ yt +h | yt , ut , ut −1 , . . .]

7.3. PRONÓSTICO

135

que para el modelo VAR (1) en consideración edquivale a yt (1)

= Et yt +1 = ΦEt yt

yt (2)

= Et yt +2 = ΦEt yt +1 = Φ2 yt

.. . yt (h)

= Et yt +h = ΦEt yt +h−1 = Φh yt

Es importante anotar que la información más importante para hacer un pronóstico con un modelo DSGE es el valor de los estados en le período cero del pronóstico ( yt ). Esta información la podemos obtener con el filtro del Kalman el cual estudiaremos en el siguiente capitulo. Si conocieramos, yt , entonces la función de pronóstico sería yt (h)

=

Et [ yt +h | I t ]

= Φh yt

para h = 1, . . . . Para juzgar la calidad de un pronóstico es usual calcular el error de pronóstico y su varianza. El error de pronóstico se puede calcular fácilmente usando yt +h = Φh yt + Φh−1 ut +1 + Φh−2 ut +2 +

h

··· + Φ u + −1 + u + t h

t h

que se encuentra iterando hacia adelante la ecuación yt = Φ yt −1 + ut . Esto es, yt +1 yt +2

yt +3

= Φ yt + ut +1 = Φ yt +1 + ut +2 = Φ2 yt + Φut +1 + ut +2

= Φ yt +2 + ut +3





= Φ Φ2 yt + Φut +1 + ut +2 + ut +3 = Φ3 yt + Φ2 ut +1 + Φut +2 + ut +3

y por lo tanto el error de pronóstico sería, et (h) = Φh−1 ut +1 + Φh−2 ut +2 +

h

··· + Φ u + −1 + u + t h

t h

siendo et (h) ≡ yt +h − Et [ yt +h ] y la varianza del error de pronóstico sería MSE (h) =

Σu + Ψh−1 Σu Ψh−1 + Ψh−2 Σu Ψh−2 + Ψh Σu Ψh

Los elementos de la diagonal de esta matriz miden la varianza del error de pronótico de cada variable en el horizonte h explicado por todos los choques. En general el error de pronóstico a los distintos horizontes se puede descomponer entre las distintas fuentes de error. Asi por ejemplo, es posible cuanto de la varianza del error de pronóstico de la variable k se explica pro los errores de pronóstico de las variable i. Como mostramos en el sección anterior, el error de pronóstico para el horizonte h sería et (h)

=

Ψh−1 ut +1 + Ψh−2 ut +2 +

−1 ∑ Ψiut +h−i

h

=

i=0

y para la variable j

··· + Ψ1u + −1 + Ψ0u + t h

t h

136


−1 ∑

h

e jt (h) =

i=0



Ψ j1,i u1,t +h−i + Ψ j2,i u2,t +h−i +

··· + Ψ

jk ,i uk ,t +h i

−



donde el sumando, es la contribución de todos los choques al errror pronóstico de la variable j en el horizonte h. Es más informativo calcular el mismo valor pero sumando las contribuciones de cada variable para los distintos horizontes. Esto es, el error de pronóstico se puede escribir como n

e jt (h) =

∑

k =1



Ψ jk ,0 uk ,t +h + Ψ jk ,1 uk ,t +h−1 +

··· + Ψ

jk ,h

−1 uk ,t +1



donde el sumando es la contribución de cada choque k para explicar el error de pronóstico en la variable j a horizonte h. Usando este último resultado podemos calcular la varianza de e jt (h) asi: MSE (t , j, h) ≡

 

2 (h) Et e jt

n

=

∑ σ k 2

k =1



2 + Ψ2 + Ψ jk ,0 jk ,1

··· + Ψ2 , −1 jk h



donde se supone que los choques ut son no correlacionados y que tienen varianza σ k 2 . Para el caso del VAR(1) que representa la solución del DSGE hay que reedefinir Ψ j = Ψ j R puesto que ut = Rε t . Despues de esta reedifinición tenemos que la varianza σ k 2 se puede calcular directamente la varianza Σε = diag σ ε 21 , . . . , σ ε 2n . Los sumandos de esta expresión son las contribuciones de la variable k sobre la varianza del error de pronóstico de la variable j para el horizonte de pronóstico h. Es posible calcular la contribución en términos porcentuales para lo cual podemos



w jk ,h =



2 + Ψ2 + σ k 2 Ψ jk ,0 jk ,1

···

+ Ψ2

−1

jk ,h





MSE (t , j, h) que es la proporción de la varianza de pronóstico a horizonte h de la variable j que es atribuible a las inovaciones de la variable k .

7.4. Descomposición histórica de los choques Un ejercicio similar se puede hacer para explicar cuales son los choques estructurales que explican el valor de la variable en un período de tiempo. Esto se le conoce como descomposición historica de los choques. Esta cuenta se puede hacer de la siguiente manera. Supongamos que estamos que han pasado s períodos desde algún valor t = 0. De esta forma, ys = Φs y0 + Φs−1 u1 + Φs−2 u2 +

··· + Φu −1 + u s

s

el valor de la variables ys sería explicado por algún valor inicial y los choques recibidos durante los s períodos. Para el caso del DSGE podemos reescribir ˜ s ε 0 + Ψ ˜ s−1 ε 1 + Ψ ˜ s−2 ε 2 + ys = Ψ

··· + Ψ˜ 1ε −1 + ε

s

s

˜ s = Ψs R = Φs R. La expresión anterior tambien se puede escribir en términos de contribuciones de siendo Ψ un chque particular al valor de la variable en el período s. En particular, la contribución de la inovación k para explicar el choque de la variable j sería s

y js

=

i=0 n

=

 

∑ Ψ˜ j1,s−i ε 1,i + Ψ˜ j2,s−i ε 2,i + ··· + Ψ˜ jk ,s−iε k ,i ∑ Ψ˜ jk ,0ε k ,0 + Ψ˜ jk ,1 ε k ,1 + ··· + Ψ˜ jk ,s ε k ,s

k =0









˜ jk ,0 ε k ,0 + Ψ ˜ jk ,1 ε k ,1 + ··· + Ψ ˜ jk ,s ε k ,s es la contribución del choque k al valor de la donde la expresión Ψ variable j s períodos luego de algún valor inicial.

7.6. SEGUNDOS MOMENTOS

137

7.5. Impulso respuesta Las funciones de impulso respuesta son de gran utilidad para analizar la dinámica del sistema alrededor del estado estacionario. En general, un impulso respuesta sirve para saber cual es el efecto de un choque no esperado de productividad en el período t en t + h períodos suponiendo que no hay mas choques. Un característica de los impulso respuesta en un modelo DSGE es que son estructurales por naturaleza. Un impulso respuesta se define como la diferencia de dos valores esperados. El primero de ellos es,E [ yt +s |ε t = d i ; X t ], que corresponde al pronóstico de yt s períodos adelante suponiendo que yti = d i y que las demas variables están en estado estacionario, esto es y jt = 0 para todo j  = i. El segundo valor esperado es E [ yt +s |ε t = 0; X t ] que sería el valor pronóstico de yt +s suponiendo que no ha habido choques. Esto es, IR (t , s, d i ) = E [ yt +s ε t = d i ] − E [ yt +s ε t = 0]

|

que para el caso del VAR (1) la función de impulso respuesta sería

|



IR (t , s, d i ) = Φs R (0, . . . , d i , . . . , 0) .

7.6. Segundos Momentos Los segundos momentos de un modelo DSGE constituten una herramienta adicional para el análisis de resultados de un modelo tipo DSGE. En general, el investigador quiere comparar la correlación de un par de variables observadas con respecto a la correlación que se genera con el modelo DSGE. De esta manera se puede decir si las varaibles son contraciclicas o ciclicas. Una vez se tiene la solución de DGSE el cálculo de los segundos moments es relativamente simple. Esto es, dada la solución yt = Φ yt −1 + ut . Se puede determinar por simple inspección que la media no condicional de yt es igual a cero, lo que es consistente con que la solución del modelo la encontramos para variables que son desviaciónes de estado estacionario. De esta forma, los segundo momentos se pueden calcular como E yt yt − j para j = −l , l . Esto es,

 

 

E yt yt 

= E (Φ yt −1 + ut ) (Φ yt −1 + ut )





= ΦE yt −1 yt −1 Φ + Σu .





Ahora, como el proceso de yt es estacionario tenemos que E [ yt yt  ] = E yt −1 yt  −1 = Σ y . Y por lo tanto, la expresión anterior sería Σ y = ΦΣ y Φ + Σu . Esta ecuación define implícitamente el valor de Σ y . El valor de Σ y exacto se puede encontrar usando el siguiente resultado de álgebra lineal que establece que vec( ABC ) =(C  ⊗ A) vec ( B). Usando esta propiedad tenemos vec (Σ y ) = vec = vec = (Φ

   ΦΣ y Φ + Σu

ΦΣ y Φ + vecΣu

⊗ Φ) vec (Σ ) + vec (Σ ) y

u

y por lo tanto vec (Σ y ) = ( I − (Φ ⊗ Φ))−1 vec (Σu ) . Que sería la varianza no condicional de yt . Para el cálculo de los otros momentos tenemos

 

E yt yt  −1



= E Φ yt −1 yt  −1 + ut yt −1 = ΦΣ y



puesto que E [ut yt −1 ] = 0 dado que yt −1 depende de todos los choques hasta el período t − 1 los cuales son independientes de ut . De la misma manera, y en general

     

E yt yt −2 = E Φ yt −1 yt −2 = Φ2 Σ y E yt yt  − j = Φ j Σ y

138


para todo j. El procedimiento anterior es posible calcular los momentos poblacionales del modelo. Sin embargo, hay quienes opinan que estos momentos no son comparables con los observados en tanto que estos últimos son calculados con muestras pequeñas. La práctica en estos casos es calcular por medio de simulaciones de Monte Carlo el valor de los momentos. El algoritmo para esto sería: 1. Genere un muestra del tamano de la observada usando la solución del modelo 2. Para esta muestra calcule 1n ∑ yt yt − j que sería el estimador de E yt yt  . 3. Si esta interesado en la distribución de estos estadísticos repita los pasos 1 a 3 mc veces.

Capítulo 8

Estimación de un DSGE por métodos de verosimilitud Existen muchas formas para estimar los modelos DSGE. Entre ellas se encuentran el Método de Momentos Generalizados, la Máxima Verosimilitud, el Método Simulado de Momentos entre otros. En este capítulo nos concentramos en el método de máxima verosimilitud pues este tiene la ventaje de ser eficiente en el uso de la información y se puede fácilmente complementar con información no muestral a traves de la regla de bayes. El método de máxima verosimilitud tiene otra ventaja y es que permite explotar directamente muchas de las propiedades del modelo. En particular, podemos reescribir la solución de de programación dinámica como un modelo de estado - espacio en el cual no es necesario tener observaciones sobre todas las variables del sistema para la estimación. En esta capítulo primero introducimos los modelos estados espacio de una forma general incluyendo los métodos de estimación, pronóstico y luego lo llevamos lo conectamos con la solución de un modelo DSGE.

8.1. Representación Estado-Espacio Los modelos estado espacio están compuestos por dos sustemas de ecuaciones: la ecuación de transición y la ecuación de medida. La ecuación de estados que es la regla con la cual se generan los estados xt dado el vector de estados en xt −1 . En principio esta ecuación resume la dinámica del sistema. La ecuación de medida refleja la relaciona las observaciones con los estados del modelo. Esto es, la ecuación de medida sería yt = At xt + Γ ut + ν t

siendo At una matriz de tamaño q × p, Γ una matrix de tamaño r × q, xt el vector de estados de tamaño × 1 y ut un vector de variables estrictamente exógenas de tamaño r × 1 y ν t el vector de errores de medida de tamaño q × 1 el cual se supone tiene distribución normal n (0, R) siendo R un matrix positiva definida de tamaño q × q. Como se puede ver, la ecuación de medida relaciona las variables observables yt con los estados del modelo a traves la matrix At . Esta relación puede cambiar en el tiempo o puede ser constane en cuyo caso At = A para todo t . Es usual que ut sea una constante igual a uno para todo t y Γ sería un vector de constantes. Otras posibilidad, es que ut incluya otras variables deterministicas como por ejemplo las variables dicótomas de estacionalidad. La ecuación de evolución de estados esta dada por

p

xt = Φ xt −1 + ϒut + ω t

donde Φ es una matriz de p × p, ϒ es un matriz de p × r y ω t son choques aleatorios que se suponen siguen una distribución normal con media cero y varianza Q. La lógica del sistema estado - espacio es que se recuperen los valores de xt (el estado del sistema) dad la información disponible yt . Suponga que quiere determinar la posición de un objeto en el espacio (el estado) y tiene distintas fuentes de información geográfica yt con lo cual quiere determinar la posición exacta (estado) del objeto. Existen muchos ejemplos de modelos estado espacio uno muy común en la literatura de series de tiempo es el local linear model que se usa para extrar el componente de tendencia de la serie. El local linear model se puede representar como yt xt

= xt + ε t = δ + xt −1 + ν xt

donde xt es el componente de largo plazo de la serie puesto que 139

140

8. ESTIMACIÓN DE UN DSGE POR MÉTODOS DE VEROSIMILITUD

t

xt = x0 + δ t + ∑ ν xi i=0

y los choques ν xt son choques permanentes al nivel de la serie. De esta forma, es posible escribir el proceso para yt como t

yt = x0 + δ t + ∑ ν xi + ε t i=0

donde se puede mostrar que ε t tiene sólo efectos transitorios sobre el nivel de yt . En términos de la representación estado espacio At = 1, Γ = 0, ϒ = δ , Q = σ ν 2 y R = σ ε 2 . La idea entonces es estimar la tendencia de xt , a partir de las observaciones de yt . La estimación se hace suponiendo como conocidos los valores de las varianzas de los choques transitorios y permanentes. Si estos parámetros no son conocidos pueden ser estimados usando máxima verosimilitud. Otro modelo usando es = µ t + ε t = β t + µ t −1 + ν t µ

yt

µ t

β

β t =

β t −1 + ν t

en este caso, la tasa de crecimiento de yt , δ en el modelo anterior, estaría a choques. En este caso, los choques a µ t y a β t tendrían efectos permanentes y los choques a ε t serían transitorios. Este modelo se podría representar en la forma canónica usando las siguientes definiciones: xt = (µ t , β t ) , A = [1, 0], R = σ ε 2 , Q = diag σ ν µ , σ ν β . Q puede ser no diagonal si esto es de interés. Es posible agreger más componentes a estos modelos y descomponer la serie entre los distintos componentes como es usual en el análisis de series de tiempo estructurales en las cuales se descomponen las series entre tendencia, ciclo y componentes determinísticos. Un modelos de este estilo sería





yt

µ t ct

= δ + ct + µ t µ = µ t −1 + ν t = ρ ct −1 + ν t c

En general, es posible casi todos los modelos lineales de series de tiempo como modelos estado espacio.

8.2. Filtro de Kalman Como se dijo en la sección anterior la idea del filtro de Kalman es estimar las variables xt dados los datos Y s = { y1 , . . . , ys } . Cuando s < t el problema se conoce como pronóstico, cuando t = s el problema se conoce como filtrado y cuando s > t el problema se llama suavizado. Como en cualquier problema de estimación es tambien de interés estimar la varianza del estimador. Para tener una notación consistente decimos que xt s = E ( xt |Y s ) y que



Pt s1 ,t 2 = E ( xt 1

− x ) ( x 1 − x ) s t

s t

t



cuando t 1 = t 2 = t entonces Pt s = Pt s1 ,t 2 es la matrix de covarianzas de xt . T HEOREM 2. El filtro de Kalman

Para el modelo estado espacio definido arriba y condiciones iniciales x 00 , P00 para t = 1, . . . , n el filtro de Kalman se define por las siguientes recursiones

(8.2.1)

−1 + ϒut xt t −1 = Φ xt t − 1

(8.2.2)

−1Φ + Q Pt t −1 = ΦPt t − 1

(8.2.3)

−

xt t = xt t −1 + K t yt At xt t −1

− Γ u



t

8.2. FILTRO DE KALMAN

Pt t = [ I

(8.2.4) siendo

141

− K A ] P −1 t t

t t



−1 .



K t = Pt t −1 At  At Pt t −1 At  + R

La predicción se encuentra iterando las ecuaciónes 8.2.1 y 8.2.2 usando como valor esperado x nn y Pnn .

D EMOSTRACIÓN . Las recursiones anteriores se pueden encontrar de la siguiente manera: La ecuación 8.2.1 se consigue calculando el valor esperado condicionado a la información hasta t − 1 de la ecuación de estados, xt = Φ xt −1 + ϒut + ω t , que sería xt t −1

= E [ xt Y t −1 ]

|

1 = Φ xt t − −1 + ϒut

que como se puede ver es un pronóstico del valor de xt dada la información hasta t − 1. Es posible calcular, tanto el error de pronóstico como la varianza de este error



  −  −  |    −    −   |  xt xt t −1 = Φ xt −1

−

y la variaza sería Pt t −1

= E xt xt t −1 xt xt t −1

Pt t −1

= E

Φ xt −1

= ΦPt t −−11 Φ + Q



− x −−11 t t

+ ω t

Y t 1

−

1 xt t − −1 + ω t

−1 + ω t xt t − 1

Φ xt −1



Y t 1

−

Otro pronóstico en el que se esta interesado es una vez tenemos un pronóstico de xt t −1 es el pronóstico de yt el cual sería E [ yt |Y t −1 ] = At xt t −1 + Γ ut . Dado este pronóstico es posible construir el error de pronóstico o la inovación como et et

− E [ y |Y −1] A x − x −1 + ν

= yt =

t

t



t

t



t t

t

luego es error de pronóstico de yt es función del error de pronóstico de los estados y del error de medida. La media de este error de pronóstico es cero y su varianza sería Σe = At Pt t −1 At  + R.

Podemos ademas construir la distribución conjunta de xt y et para lo cual necesitamos la covarianza condicionada entre xt y et que se puede cacular como

 

 

cov ( xt , et |Y t −1 ) = E At xt − xt t −1 + ν t xt − xt t −1 = At Pt t −1 .

|  

Y t 1

−

Luego dada la normalidad de las observaciones, la distribución conjunta de xt y et tiene la siguiente distribución multivariada

  ∼    xt et

N

xt t −1

,

Pt t −1 At Pt t −1

Pt t −1 At  At Pt t −1 At  + R



0 la cual se puede descomponer como el producto de la condicional por la marginal. En particular, la distribución de xt |et es normal con media





xt t = xt t −1 + Pt t −1 At  At Pt t −1 At  + R

y la varianza condicionada sería



t

−1 A Pt −1 .



Pt t = Pt t −1 + Pt t −1 At  At Pt t −1 At  + R

−1 e

t t



142


Esta dos últimas ecuaciones son las ecuaciones de acualización del pronóstico. Pues xt t es el pronóstico de xt con la información disponible hasta t que sería igual al pronóstico de xt con la información hasta t − 1 más un término que refleja el valor de la nueva información medido por et , el cual es una inovación. El teorema anterior nos dice como encontrar el estimador del vector de estados xt dada la información hasta el período t . La ecuación 8.2.3 muestra como la estimación recursiva del filtro de Kalman acumula la información. En particular, la ecuación dice que el estado en t es igual al estado estimado con la información rezagada más un peso que se le atribuye a la información que entra nueva (no esperada) en el período t . Si K t es igual a cero para todo t la información nueva no “mejora” a la estimación de xt que tenía con la información rezagada. Por el contrario, si K t es grande entonces la información nueva da mucha información sobre el valor de los estados. El tamaño de K t esta relacionado con la varianza del error de pronóstico a un paso. Si esta varianza es alta entonces K t es pequeño y la información nueva afecta en poca medida la estimación con información previa de los estados. K t se conoce como la matriz de aprendizaje.

8.3. Función de verosimilitud y la estimación por máxima verosimilitud La estimación de los parámetros que involucran el filtro de Kalman es una tarea difícil. Sea θ el vector de parámetros involucrados en la estimación del filtro. Esto es, θ = x00 , P00 , Φ, Q, R, Γ , ϒ . Bajo el supuesto de normalidad de ω t , ν t y la independencia entre ellos es usual trabajar con el principio de verosimilitud. Como en muchos modelos de series de tiempo, la función de verosimilitud se puede construir mediante el condicionamiento sequencial. Esto es, dada una muestra y1 , . . . , yT con función de distribuciónn conjunta p ( y1 , . . . , yT ) tenemos que



p ( y1 , . . . , yT )

= =



p ( yT yT −1, . . . , y1) p ( yT −1, . . . , y1) p ( yT

.. .

| | y −1, . . . , y1) p ( y −1| y −2, . . . , y1) P ( y −2, . . . , y1) T

T

T

T

T

p ( y1 ) ∏ p ( yt Y t −1 ) t =2

|

siendo Y t −1 = ( yt −1 , . . . , y1) y p ( y1 ) la distribución no condicionada de la primera observación. Algunos métodos de estimación en series de tiempo descartan esta función de densidad. Para el modelo estado espacio la anterior representación resulta ser fácil de utilizar pues: bajo el supuesto de normalidad de ω t y vt sabemos que yt |Y t −1 es normal y que tiene primer momento E [ yt |Y t −1 ] = At xt t −1 + Γ ut

y segundo momento

Σt = At Pt t −1 At  + R

luego el logaritmo de la función de densidad de yt dado θ sería ln P (Y T |θ ) = −

1 T ln2π − ∑ ln |Σt (θ )| + et  (θ ) Σt −1 (θ ) et (θ ) 2 2 t =1

Tp





que puede ser visto como una función de θ cuando se supone dada una muestra. En este caso, es la función de verosimilitud. La idea de los métdos de máxima verosimilitud es en encontrar el vector de parámetros tal que el modelo tenga la mayor probabilidad de haber generado la muestra. Esto es, θ ˆ ML = armaxln p (θ |Y T ). Los pasos para la estimación por máxima verosimilitud se pueden resumir en los siguientes pasos: 1. Selecciones unos valores iniciales para x00 y P00 y los demas elementos de θ (0) . 2. Ejecute las iteraciones del filtro de Kalman, usando el valor de los parámetros θ (0) como conocidos, para obtener las inovaciones et θ (0) para t = 1, . . . T junto con Σt θ (0) y calcule la función de verosimilitud. 3. Actualize el valor de θ (0) a θ (1) siguiendo algún método de optimización nolineal numerico. 4. Repita los pasos 1 a 3 hasta que el método de optimización indique que se ha convergido.

 

 

8.4. PROBLEMAS NUMÉRICOS EN LA MAXIMIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD

143

F IGURA 8.4.1. Verosimilitud de la distribución Cauchy

Fuente: Brooks and Morgan (1995). Existen varias consideraciones prácticas en la utilización del algoritmo. El primero de ellos esta relacionado con la asignación de los valores para x00 y Po0 . Existen dos alternativas dependiendo de si los estados son estacionarios o no estacionarios. En el primer caso, es posible usar la media y la varianza no condicional de los estados para inicilizar el filitro. Esto es, E [ xt ] = que bajo estacionariedad tendríamos que

ΦE [ xt −1 ] + ϒut

E [ x] = ( I − Φ)−1 ϒu si suponemos que u es alguna especie de constante. La idea es entonces comenzar el filtro reemplzando x00 con E [ x]. Falta la varianza que asignamos a esta “estimacion” de los estados que se puede calcular de la manera siguiente:



var ( xt ) ≡ E ( xt − E [ x]) ( xt − E [ x]) = E (Φ ( xt − E [ x]) + ω t ) (Φ ( xt − E [ x]) + ω t ) var ( x) = Φvar ( x) Φ + Q



luego vec [var ( x)] = ( I − (Φ ⊗ Φ))−1 vec (Q). Que se puede utilizar en lugar de Po0 . La ventaja de este método de inicialización es que tanto x00 como P00 quedarían siendo funciones de los parámetros a estimar. Cuando el filtro es no estacionario, entonces hay dos posibilidades. En la primera de ellas, se supone algún valor para x00 y le asignamos una varianza grande (infinita). En este caso, el filtro asigna poco peso a la información proveniente del la estimación del primer estado. En general, este procedimiento funciona bien cuando el número de estados es grande y disponemos de una muetra grande. Cuando el número de estados es pequeño es posible suponer una varianza pequeña Poo y estimar x00 incluyendolo dentro del vector de estados. Una vez se tiene una estimación para este valor procedemos a hacer la estimación tradicional utilizando como valor inicial x00 obtenido anteriormente pero esta vez suponiendo una varianza alta para P00 .

8.4. Problemas numéricos en la maximización de la función de verosimilitud La segunda consideración práctica en la estimación por máxima verosimilitud del modelo de un modelo estado espacio es que la función objetivo es “muy” no lineal con respecto a los parámetros. Esto es, su geografía puede estar llena de valles o regiones escarpadas en las cuales es muy posible que el algoritmo de optimización se pierda o quede atrapado en algún óptimo local. En este caso, es conveniente iniciar el algoritmo de maximización en distintos valores de los parámetros. Idealmente, este conjunto de valores iniciales debe ser seleccionado de tal manera que estas expoloren distintasregiones del espacio de parámetros y segundo que en principio esten serca del valor de los parámetros que maximiza la función de utilidad.

144


La Figura ?? muestra el caso de un función de verosimilitud para la distribución de Cauchy que define como f ( x) =

β



π β 2 + ( x

− α )2



para −∞ ≤ x ≤ ∞, β ≥ 0,−∞ ≤ α ≤ ∞. La función de verosimilitud para una muestra i.i.d de la distribución Cauchy sería l (α ) = n log β

− ∑ log



β 2 + ( x

i

2

− α )

−

n log π .

Figura ?? muestra la función −l (α ) para valores de α entre -6 y 6 asumiendo que β = 0,1 y que x = (−4,20, −2,85, −2,30, −1,02, 0,70, 0,98, 2,72, 350). Es conocido que dado β la maximización de la función de verosimilitud a traves de α es muy complicada y la razón resalta a la vista. Brooks y Morgan (1994) proponen un algoritmo mixto de optimización en el cual se combina Simulated Annealing con métodos tradicionales de maximización. La idea es usar Simulated Annealing para seleccionar el conjunto de valores inicialesy luego comenzar alguno de los algoritmos tradicionales de maximización de cada una de las semillas seleccionadas. Este algoritmo mixto de optimización se puede presentar en los siguientes pasos: 1. Ejecute el algoritmo de SA y detengalo prematuramente. Conserve el conjunto de valores aceptados en el último nivel de temperatura. Denote este conjunto como Θ = θ (1) , . . . , θ (s) , siendo θ ( j) el j-ésimo vector de parámetros aceptado en el último valor de la temperatura. 2. Use como semilla de algún método tradicional de optimización cada θ ( j) para j = 1, . . . s. Y guarde ˆ θ j y ln L θ ˆ θ j para j = 1, . . . , s θ 3. El vector de parámetros que maximiza la función objetivo sería θ ˆ θ j∗ tal que ln L θ ˆ θ j∗ es mayor que ln L θ ˆ θ j para todo j  = j ∗. El Simulated Annealing es de gran utilidad para construir el conjunto de semillas pues este algoritmo tiene varias ventajas frente a algoritmos clásicos de optimización: Primero, tiene la probabilidad de escapar mínimos locales y por tanto es factible “barrer” gran parte del espacio de parámetros. Segundo, tiende a identificar las regiones en las cuales es mas factible que se encentre el máximo de la función objetivo y por tanto, el conjunto de semillas puede contener una vecindad en la cual se encuentre el vector de parámetros óptimo. Suponga que su función objetivo es la que se presenta en la Gráfica 8.4.2. Como se puede ver esta función tiene una gran cantidad de optimos locales pero tiene un solo minimo en (0, 0). Sin embargo, los algoritmos de optimización tradicionales encuentran difícilmente el óptimo (minimo) global pues tienden a quiedar atrapados en los óptimos locales que se encuentran cerca de la semilla inicial. La figura 8.4.3 muestra las semillas seleccionadas (sujeridas) por SA para enpezar la optimización de la función objetivo. La figura del lado izquierdo es el resultado de una simulación corta de SA mietras que la de la derecha es de una larga. Como se puede ver en la medida en que se aumenta el número de iteraciones el algoritmo tiene a mejorar la region sobere la que da los valores inciales y por lo tanto a producir un conjunto más razonable de valores iniciales. De lo anterior se deduce que resulta adecuado usar SA tanto para maximizar (minimizar) una función objetivo como para determinar la region adecuada de valores iniciales. Simulated Annealing. El Simulated Annealing fue propuesto por Metropolis et. al (1953). La idea del algoritmo es que un problema de maximización dado por



       

 



  

máx h (θ ) θ Θ

∈

se puede plantear como un de busqueda de la moda de una distribución de probabilidad. Sin embargo, para que esto sea posible es necesario que la función h (θ ) cumpla con

ˆ

Θ

h (θ ) d θ < +∞


145

F IGURA 8.4.2. Verosimilitud de la distribución Cauchy

Fuente: Brooks and Morgan (1995).

F IGURA 8.4.3. Conjunto de semillas propuestas por SA

Fuente: Brooks and Morgan (1995). y de esta forma h (θ ) podría ser una función de densidad. A primera vista este supuesto resultaría restrictivo pues en general los problemas de optimización no involucran funciones de densidad. Sin embargo, Metropolis propone una transformación de la función h (θ ) de tal forma que se cumplan las propiedades de una funciones de densidad. La transformación propuesta por Metropilis et. al. (1953) es H (θ ) = exp (h (θ )/T )

la cual cumple con estas características deseadas. Por ende y en principio, es posible reescribir el problema de maximizar h (θ ) como uno equivalente en el cual se busca la moda de la distribución H (θ ). Esto último, se puede hacer tanto con métodos tradicionales de maximización como con simulación. Si es posible simular de H (θ ) directamente entonces el cálculo de la moda es relativamente sencillo pues la varianza de la distribución H (θ ) esta relacionado con T . Por ejemplo, suponga que la función objetivo es la maximización de la siguiente función:

146


− 12 ∑ ( x − µ )2 n

h (θ ) =

i

i=1

luego



1 n H (θ ) = exp − ( xi − µ )2 2T i∑ =1



que sería equivalente a H (θ )

= exp = exp = exp = exp

  − − −   − − − −   − − − − −   1 n ( xi x¯ + x¯ µ )2 ∑ 2T i=1

1 n [( xi x¯) ( x¯ µ )]2 2T i∑ =1

1 n ( xi x¯)2 2 ( x¯ µ ) ( xi x¯) + ( x¯ − µ )2 ∑ 2T i=1

− 21T ∑ ( x − x¯)2 − 2nT ( x¯ − µ )2 n



.

i

i=1

Nótese que la maximización de H (µ ) con respecto a µ sólo involucra el seguno término y por tanto H (µ ) ∝ exp

−

n

2



( µ − x¯) 2T que es la distribución normal con media x¯ y varianza T n . Por lo tanto, la varianza disminuye en la medida que disminuye T y la distribución se concentra alrededor de x¯ que en este caso es el valor que maximiza H (µ ) . El SA de Metropolis et. al. (1953) es un algoritmo para encontrar el máximo (minimo) de una función usando simulación. El algoritmo se puede describir de la siguiente forma: Suponga que tiene un vector de parámetros iniciales θ 0 y que genere otro vector θ en en la vencindad de θ o . Ahora, si H (θ o ) ≥ H (θ en ), y estamos buscando el máximo, entonces aceptamos esta realización. Pero si H (θ o ) < H (θ en ), entonces SA puede aceptar θ en con alguna probabilidad. Esto último es una ventaja de SA frente a métodos alternativos pues por construcción el algoritmo tiene la posibilidad de escapar míminos o máximos locales. La i-ésima iteración del algoritmo SA se puede describir mendiante los siguientes pasos: 1. Simule u de alguna distribución instrimental con desidad g (|u − θ i |); 2. Acepte θ i+1 = u con probabilidad pi

  

exp T 1 h (θ o ) = exp T 1 h (θ en ) 1 = exp [h (θ o ) − h (θ en )] T



o θ i+1 = θ i con probabilidad (1 − pi ) . 3. Ejecute los pasos 1 a 2 N veces y 4. Actualize T i a T i+1 . Como se puede ver existen dos parámetros fundamentales para la calidad de SA. El primero de ellos es la determinación de la función auxiliar g (|u − θ i |) y el segundo es decidir una regla para la evolución del parámetro T . Con respecto a primero de ellos, en la literatura sobre SA se sugiere usar una distribución uniforme en una vecindad de θ 0 , sin embargo, existen otras posibilidades que son naturalez en el análisis bayesiano. La determinación del comportamiento de T es crucial para la calidad del algortitmo y por esto ha recibido mucha atención. La regla más utilizada es T i+1 = ρ T i con ρ  1. Existen otras posibilidades dadas por


F IGURA 8.4.4.

147

El método de Newton para minimizar una función

i

T i

1 10i

1 log(1+i)

100 log(1+i)

1 10log(1+i)

En general, todas estas reglas implican que T (la temperatura) se debe reducir lentamente pues si esta es rápida es muy probable que el algoritmo se quede atrapado en un óptimo local. Una vez seleccionado el conjunto de semillas el algoritmo hibrido usa un algoritmo tradicional de optimización. Como el método de Gauss. La idea de este algoritmo es la siguiente: Suponga que estamos interesados en encontrar el mínimo de una función f ( x). Comenzando en algún valor inicial xo podemos escibir una expansión de Taylor de la función alrededor de este punto f ( x) = f ( xo ) +

∂ f ( xo ) 1 ∂ 2 f ( xo ) ( x xo ) + ( x xo )2 ∂ x 2 ∂ 2 x

−

−

si definimos ∆ x = x − xo entonces podemos reescribir la ecuación anterior como f ( xo + ∆ x) = f ( xo ) +

∂ f ( xo ) 1 ∂ 2 f ( xo ) 2 ∆ x + ∆ x ∂ x 2 ∂ 2 x

y estamos buscando el ∆ x que maximice (minimice) la función que tendría condiciones de primer orden f  ( x0 ) + f  ( xo ) ∆ x = 0

de la cual podemos despejar ∆ x ∆ x =

f  ( x0 )

− f  ( x0)

y por lo tanto tendríamos la siguiente iteración para x xi+1 = xi

f  ( xi )

− f  ( x ) . i

Como se puede ver en el Gráfico 8.4.4 este algoritmo sugiere pasos que siempre van hacia el óptimo y por lo tanto tienen la posibilidad de quedar atrapado en mínimos locales. Por otra parte, requiere del cálculo de derivadas las cuales no siempre estan disponibles analíticamente. Las derivadas se pueden reemplazar fácilmente por numéricas pero estas tienden a tener problemas de aproximación. Exiesten variaciones a estas iteraciones en las cuales no se usan las segundas derivadas o no se reemplazan por una iteración de matrices que tiene la inversa de la matriz de derivadas como su límite. Hay tambien modificaciones al tamaño del paso xi+1 = xi



− λ f f  (( x x )) i

i

i

mediante la introducción del parámetro λ i el cual además se puede determinar de manera óptima por el algoritmo. A pesar de la popularidad de los métodos de optimización basados en Newton, uno de los más robustos y talvez más usados aunque tambien de los más viejos, es el Nelder-Mead (simplex). Este algoritmo tiende a ser lento y a requerir un gran número de evaluaciones de la fución objetivo pues no usa información sobre la concavidad de la función dado que no usa ni las primeras ni las segundas derivadas de la función objetivo. Por el contrario, algoritmos más eficientes usan esta información y en situaciones en las cuales la función objetivo es regular son más eficientes. (ampliar)

148


8.5. Algunas consideraciones sobre la función de verosimilitud para los modelos DSGE Por definición, los estimadores de máxima verosimilitud tienden a ser eficientes en el uso de la información, en la medida en que estos alcanzan la mínima varianza o la cota de Crámer-Rao. Esta propiedad los ha hecho populares frente a métodos alternativos de estimación como GMM, los cuales tienen a tener tasas de convergencia muy lentas lo que implica que requieren de muestras muy grandes que en general no estan disponibles para la estimación de modelos macroeconómicos. Existen sin embargo problema con el uso de Máxima verosimilitud para estimar DSGE. El primero de ellos es la singularidad estocástica, ver Ruge - Murcia, 2007. La singularidad estocástica está asociada el hecho de que el número de observables puede ser mayor que el número de choques. Supongamos que tenemos un modelo con dos estados (uno endógeno y otro exógeno) y tres variables observables. Por la solución de programación dinámica sabemos que

    x1t x2t x3t

f 11 f 21 f 31

=

  

f 12 f 22 f 32

k t zt

y que k t es un vector de variables endógenas prederterminadas. En este caso, existen combinaciones lineales (exactas) entre los distintos elementos de xt pues toda la variabilidad de las tres variables en t está explicada por choques a la misma variable zt . Una forma de ver lo anterior es la siguiente.

      x1t x2t x3t

f 11 f 21 f 31

=

= = =

x1t x2t x3t

  

f 12 f 22 f 32

k t zt

f 11 k t + f 12 zt f 21 k t + f 22 zt f 31 k t + f 32 zt

− f 11k = f 12 z x2 − f 21 k = f 22 z x1 − f 11 k =z x1t

t

t

t

t

t

t

t

t

f 12

f 12 x2t

− f 22 x1 = − ( f 22 f 11 + f 12 f 21) k

− f 31k f 12 x3 − f 32 x1 f 12 ( f 12 f 31

t

t

x3t

t

t

t

= f 32 zt = ( f 12 f 31

− f 32 f 11) k

t

− f 32 f 11) x2 − f 22 ( f 12 f 31 − f 32 f 11) x1 + ( f 22 f 11 + f 12 f 21)( f 12 x3 − f 32 x1 ) = 0 t

t

t

t

La sigularidad estocástica pone una restricción al número de variables que el modelo puede explicar. En el caso anterior, sólo es posible estimar el modelo usando una variable pues al tener el modelo una fuente de fluctuación los sólo es capaz de expliacr una variable independientemente, las demás variables son combinaciones linales de esta. La consecuencia es que la matriz de varianzas F t es singular puesto que las inovaciones en las distintas ecuaciones son todas proporcionales y linealmente dependientes. Un ejemplo sencillo de lo que pasa con la singularidad estocástica en el filtro de Kalman es el siguiente: Suponga que tiene tres variables definidas así x1 x2 x3

∼ ∼

 

0, σ 12 n 0, σ 22 n

= x1 + x2

8.5. ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD PARA LOS MODELOS DSGE

149

donde la x3 es una combinación exacta de de x1 y x3 . La distribución conjunta de x1 , x2 y x3 está dada por

∼ N (0, Σ)

x

que siendo Σ=

 

σ 12

σ 11 σ 22 σ 22 + σ 21

0

σ 22 σ 22

0

σ 11

 

Como se puede calcular, la matriz Σ es singular. De hecho, su determinante sería1



det Σ = σ 12 σ 22 σ 22 + σ 21

− −  

= σ 12 σ 22 σ 22 + σ 12 σ 22 σ 21 = 0

σ 22 σ 22

−

σ 12 σ 22 σ 11 σ 12 σ 22 σ 22 σ 12 σ 22 σ 11

−

que es cero y por la tanto la matriz Σ no tiene inversa. Luego si existen combinaciones lineales exactas en la ecuación de estados temndremos que Pt t −1 es singular y que por lo tanto F t puede ser singular. De hecho, la singularidad de F t depende de la matriz At pues F t

≡

 −  −  

At E xt xt t −1 xt xt t −1

 A

t

= At Pt t −1 At 

De esta forma, en el ejemplo anterior si hacemos At = [1, 0, 0] entonces AΣ A = σ 12

y por lo tanto sería invertible. Si A =

entonces



AΣ A =



1 0 0 0 1 0



σ 12

0



0 σ 22 que tambien sería invertible. Si se incluyen todas las variables tendríamos de nuevo la singularidad. Existen varias soluciones a la singularidad estocástica. La primera de ellas es sólo incluir el número de variables iguales al número de choques. La otra posibilidad es incluir más choques estructurales que sean latentes pues así se ganan grados de libertad para incluir variables observables. La tercera posibilidad es incluir errores de medida ( tanto como sea necesario para incluir todas las variables observabales). Este tercer caso fuciona pues cuando tenermos errores de medida F t = At Pt t −1 At  + Q

y por tanto Q, que es p.d., puede ayudar a que F t sea no singular. Uno de los problemas más complejos en la estimación de un modelo DSGE es la identificación. Los problemas de identificación estan relacionados con el hecho de que un parámetro o un conjuto de ellos no se pueden estimar dados unos datos y un modelo. En algunos casos, la función de verosimilitud no tiene información sobre un parámetro en particular lo que implicaría que cambios de un parámetro no afectan la 1El determinante de una matriz de 3 por 3 se puede calcular como A =

 

a d g

b e h

c f i

 

det A = a (ei − h f ) − d (bi − hc) + g (b f − ec)

150


función de verosimilitud. Este parámetro a pesar de estar en el modelo estructural puede que luego de las transformaciones de log-linearización y solución no quede afectando la función de verosimilitud. Pueden existir situaciones más complejas en las cuales un conjunto de parámetros se pueden mover en una superficie y nunca afectar el valor de la función de verosimilitud. En este caso, los algoritmos numéricos de optimización no serían capaces de determinar el valor óptimo de los parámetros. Un ejemplo sencillo de esto es cuando un par de parámetros α y β entran en la función de verosimilitud sólo como un producto αβ en este caso es imposible saber cuanto debe valer α y β por separado. Sin embargo, cada uno de ellos afecta la función de verosimilitud. Por último, existe una tercera posibilidad que muestra problemas de indentificación y es que existan varios máximos locales con el mismo valor de la función objetivo. Este caso, se relaciona con el problema de idenficación anteriormente descrito pero es más general. Se han propuesto distintos alternativas para la solución de estos problemas de identificación. En general, todos ellos involucran algún grado de intervención en la estimación. Esto es, fijar el valor de algunos de los parámetros en algún valor razonable o usar fuentes alternativas de información que permitan determinar un valor razonable. Una alternativa es usar unformación prior sobre el valor de los parámetros y por tanto entrar en los métodos bayesianos de estimación. Algunas consideraciones adicionales sobre los problemas de identificación. Es posible que en la construcción de verosimilitud no se tenga en cuenta toda la información disponible en los datos y en el modelo. En particular, la información del estado estacionario usualmente no juega un papel muy importante en la estimación del modelo. Esto se debe a que en la log-linearización y posterior construcción de loas matrices A y B del Klein se usa sólo algunas de las relaciones de largo plazo que establece el modelo. Existe entonces una fuente adicional de información que no se incluye en la estimación tradicional por máxima verosimilitud. Existen varias alternativas para incluir esta información. La primera de ellas es dividir los parámetros del modelo entre aquellos que afectan el estado estacionario y aquellos que sólo afectan la dinámica de corte plazo. Es claro que el primer grupo de parámetros tambien podría tener un efecto sobre la dinámica del modelo. Una vez se tiene esta división es posible fijar los parámetros del estado estacionario usando sólo la información al respecto y estimar los demas parámetros suponiendo como dados estos parámetros. Este primera alternativa podría no ser del todo eficiente en la medida en que los parámetros de estado estacionario tambien podrían afectar la dinámica. Luego valdría la pena estimar conjuntamente tanto corto como largo plazo o usar distribuciones prior sobre los parámetros de largo plazo que de alguna manera reflejen la información de estado estacionario. Una alternativa es modificar la función de verosimilitud con un término de penalización que involucre las razones de largo plazo. En este caso, la función objetivo sería: ln L pen (θ ) = ln l (θ ) + λ  g (θ , x) siendo ln l (θ ) la función de verosimilitud tradicional y g (θ , x) un término que penaliza la función objetivo con λ un vector de lagrangenos. Un ejemplo de esto sería el siguiente: suponga que sabe que la relación consumo a producto c/ y = x1 y tiene otro conjunto de relaciones de largo plazo. Es este caso sería posible escribir la función g (.) como λ  g (θ , x) =

r



ob j ∑ λ j x j (θ ) x j

j=1

−



en la cual se hace claro que alguna función de los parámetros (relaciones de estado estacionario) deben ser iguales en promedio sus objetivos x job j . Este sería el caso para usar CML (Constraint Maximum Likelihood). Un segundo aspecto de la identificación de los modelos DSGE que puede afectar las estimaciones esta relacionado con la sellección de las variables que se dicen observables. A este respecto, es necesario recordar que un DSGE tiene un número máximo de variables que puede explicar por la singularidad estocastica y por tanto es necesario seleccionar el conjunto de variables observables. Se debe anotar que distintos conjuntos de variables observables llevan a distintos valores de los parámetros y en es este caso las funciones de verosimilitud no son comparables. Existen sin embargo algunos criterios para determinar las variables a incluir. El primero de ellos es incluir dentro del conjunto de variables observables las variables exógenas sobre las cuales se tiene información por ejemplo, tasas de interés externas, demanda externa, transferencias, etc. Esto resulta útil pues

8.6. PROPIEDADES DE MAXIMA VEROSIMILITUD

151

garantiza que el filtro de Kalman use esta información para determinar cuales son las otras fuentes de choques que afectan el ciclo económico. Las demas variables endógenas a incluir deben ser aquellas que se quieran explicar mejor con el modelo (inflación, consumo, producto, inversión, etc). No obstante, es conveniente tratar con distintos conjuntos de variables y comparar los resultados en términos de pronóstico, descomposición historica de los choques, correlaciones, etc. Un último punto a tener en cuenta es que la solución del modelo es sobre variables estacionarias. En general, los modelos se pueden escribir como estacionarios alrededor de una tendencia deterministica, tasa de crecimiento de la producción constante, o al rededor de una tendencia de crecimiento estocática (random walk en el choque de productividad). En ambos casos es necesario transformar las variables en .... Trasformación de los datos a estacionarios (tendencias lineales o estocásticas)

8.6. Propiedades de maxima verosimilitud Bajo algunas condiciones de regularidad (see Amemiya, 1985, ch. 3 y 4), el estimador ML es consistente √ −1 , siendo = −E ∂ 2 L (θ ) /∂ θ ∂ θ  que se conoce y tiene distribución nomal T θ ˆ − θ 0 → N 0, F F T como la matriz de información.

  





Capítulo 9

Métodos Bayesianos 9.1. Teorema de Bayes

153

Apéndice A

Introducción a métodos numéricos para encontrar raíces. El algoritmo de N-R se usa para encontrar las raíces de una función. La iteraciones de algoritmo se pueden derivar usando la expansión de Taylor así: f ( x)

≈ f ( x0) + ∂ f ∂ ( xx 0) ( x − x0)

si se supone que x es una raíz de la función entonces f ( x) = 0 entonces se puede despejar x en función de derivadas.

x0 y las

x = x0

− f f (( x x00))

Esta ecuación es la base de las iteraciones del algoritmo que están dadas por xn+1 = xn

− f f (( x x )) n

n

para n = 1, . . . , N . N puede seleccionarse de tal manera que el cambio entre xn+1 y xn sea muy pequeño. Cuando esto sucede se dice que el algoritmo convergió y que xn+1 es una raíz de la función f ( x). La interpretación geométrica del algoritmo se puede ver en la siguiente gráfica

F IGURA A.0.1. Geometría del algoritmo de NR

155

156

A. INT RODUCC IÓN A MÉ TODOS NUMÉRIC OS PARA EN CONTR AR RAÍC ES.

Para el caso multivariado se necesita modificar un poco las ecuaciones del algorithmo de Newton. Suponga que tiene dos ecuaciones definidas por f ( x, y) = 0 g( x, y) = 0 entonces usando el Teorema de Taylor tendríamos que f ( x, y)

≈ f ( x0, y0) + f ( x0, y0) ( x − x0) + f ( x0, y0) ( y − y0) g( x, y) ≈ g( x0 , y0 ) + g ( x0 , y0 )( x − x0 ) + g ( x0 , y0 ) ( y − y0 ) x

y

x

y

esta sistema se puede reescribir en forma matricial así:



f ( x, y) g( x, y)

 =

f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )

 +

f x g x

f y g y



− −

x x0 y y0



entonces usando los mismos argumentos que para el caso univariado tendríamos la siguiente iteración

−

f x g x

f y g y

  −      −1

0 0

=

f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )

=

f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )

=

x y

=

    −    −  − −  −  − −     f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )

+

f x g x

x x0 y y0

f y g y

f x g x

f y g y

x x0 y y0

x x0 y y0 x0 y0

f x g x

f y g y

−1

f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )

Ejemplo caso multivariado: Suponga que tiene las siguientes ecuaciones

− 1)2 + ( y − 2)2 − 3 g( x, y) = x2 /4 + y2 /3 − 1

f ( x, y) =( x

Este sistema tiene cuatro raíces que están dadas por:

[ x = 0,691, y = 1,625]

−

[ x = 1,906, y = 0,523] [ x = 14,990 i + 7,392, y = 6,356 i

− 13,074] [ x = 7,392 − 14,990 i, y = −6,356 i − 13,074]

El algoritmo de Newton aquí descrito encuentra una raíz a la vez y esta depende de cual es el valor inicial que se le da al algorithmo. function [f,df] = Cuadratic(x) #Función objetivo f(1,1)=(x(1)-1)^2+(x(2)-2)^2-3; f(2,1)=(x(1)^2)/4+(x(2)^2)/3-1; #Matriz de primeras derivadas. df(1,1) = 2*(x(1)-1); df(1,2) = 2*(x(2)-2); df(2,1) = 0.5*x(1); df(2,2) = (2/3)*x(2); endfunction function [root, storeX, storef] = NewtonRapson(fname, x0) #Este es el algorithmo de Newton para encontrar raices de #funciones. Este código es de caracter pedagógico y no debe

A. IN TRODU CCIÓN A MÉTO DOS NUMÉR ICOS PAR A E NCONT RAR R AÍCES.

157

F IGURA A.0.2. Salidas de N-R para el problema multivariado x1

x2 1.74

-0.7

1.72 -0.75

1.7 1.68

-0.8

1.66 -0.85

1.64 1.62 1

2

3

4

5

6

1

2

3

f1

4

5

6

5

6

f2 0.2

0.6

0.1 0.5 0 0.4

-0.1

0.3

-0.2 -0.3

0.2

-0.4 0.1

-0.5

0 1

2

3

4

5

6

1

2

#con problemas verdaderos. if (size(x0,2)!=1) x0 = x0’; endif maxit=6; xold = x0; storef(maxit,2)=0; storeX(maxit,2)=0; for i=1:maxit [f,df] = feval(fname,xold); xnew = xold - inv(df)*f; xold =xnew; storef(i,:)=f’; storeX(i,:)=xold’; endfor root=xold; endfunction x0 = [-0.6,1]; fname=’Cuadratic’; [root, StoreX, Storef]=NewtonRapson(fname, x0);

3

4

Apéndice B

Backward iteration: En este caso se comienza de K ∗ y se reconstruye la senda iterando primero de la solución de estado estacionario hacia K o y luego de K 0 hacia adelante. Si se comienza exactamente de K ∗ entonces la senda óptima sería K t = K t +1 y C t = C t +1 por definición. La solución está en comenzar en un valor cercano a (C ∗ , K ∗ ) pero no muy lejano. Pues en caso contrario nos saldríamos de la senda óptima y podríamos generar una senda que viole la condición de transversalidad o en la cual se tendría consumo igual a cero en algún momento finito. Adicionalmente, la dirección de salida es importe. Un opción es usar el eigenvector asociado al eigenvalor menor a uno del Jacobiano de las condiciones de primer orden evaluado en (C ∗ , K ∗ ). Este resultado se basa en un teorema de las ecuaciones en diferencias no lineales. El programa siguiente resuelve el problema de Ramsey suponiendo u(ct ) = ln ct y f (K t ) = K t α siendo α = 0,35, β = 0,95. Las condiciones de primer orden son: C t +1 K t +1

− = αβ Ct (K t α C t )α 1 = g2 (K t , C t ) = K t α C t = g1 (K t , C t )

−

−

y la solución de estado estacionario esta dada por K ∗ C ∗

1

= (αβ ) 1−α = K α K = K K α −1

 − −   − −  1 1

1

= (αβ ) 1−α

αβ

1

1 αβ

1

= (αβ ) 1−α

αβ

\theta^{en}la matriz Jacobiana que necesitamos construir está dada por

J (K t , C t ) =



∂ g1 ∂ K ∂ g2 ∂ K

∂ g1 ∂ C ∂ g2 ∂ C

siendo ∂ g1 ∂ K

α −1 = α (αβ ) 1−α

= β −1

∂ g1 ∂ C

= 159

−1



160

B. BACKWARD ITERATION:

∂ g2 ∂ C

= αβ (K t α C t )α −1 = = = = = =

∂ g2 ∂ K

|(

K ∗ ,C ∗ )

− (α − 1) αβ C (K α − C )α −2 αβ (K ∗ )α −1 − (α − 1) αβ C ∗ (K ∗ )α −2 − − αβ (αβ ) − − (α − 1) αβ C ∗ (αβ ) − − − 1 − αβ αβ (αβ ) − − (α − 1) αβ (αβ ) − (αβ ) − αβ − + 1 − (α − 1) (1 − αβ ) (αβ ) − − − 1 − (α − 1) (1 − αβ ) (αβ ) − (α − 1) (1 − αβ ) 1− αβ −

t

t

t

α 1 1 α

α 2 1 α

α 1 1 α

1 1 α

α 2 1 α

1 1 α

 

α 1 1 α

= (α 1) α 2 β Ct K α −2 K α −1 = = = = = =

− (α − 1) α 2 β C K 2(α −1) K −1 − − (α − 1) α 2 β C (αβ ) − (αβ ) − − 1 − αβ (α − 1) α (αβ ) − − − + − αβ − − − 1 − αβ − (α − 1) α (αβ ) t t

2(α 1) 1 α

1 1 α

       − −  −  − 

2(α 1) 1 α

αβ 1 αβ (α 1) α αβ α 1 1 αβ αβ β

1 1 α

1 1 α +1

2(1 α )+(1 α ) 1 α

1

αβ

clear all; a=0.35; b = 0.95; Kast = (1/(a*b))^(1/(a-1)); Cast = Kastâ - Kast; J = [1/b, -1.0; (a-1)*(1-a*b)/(a*b^2), 1-(a-1)*(1-a*b)/(a*b)]; [v,e] = eig(J); dK = Kast*(10e-13); Kini = Kast + v(1)*dK; Cini = Cast + v(2)*dK; N = 28; K(N) =0; K(1) = Kini; C(N) =0; C(1) = Cini; for j=2:N K(j)=(K(j-1)+(C(j-1)/(K(j-1)^(a-1)))*(1/(a*b)))^(1/a); C(j) = (1/(a*b))*(C(j-1)/(K(j-1)^(a-1))); end plot(K) Kini = K(N); Cini = C(N); K(1) = Kini; C(1) = Cini; Kan(N)=0;

α 2 1 α

B.1. TEORMA DE EULER:

161

Kan( Kan(1) 1) = Kini Kini; ; for for j =2:N =2:N K(j) K(j ) = K(j K(j-1) -1)â â -C( -C(j-1 j-1); ); Kan( Kan(j) j) = a*b*Kan(j-1)â; C(j) = a*b*C(j-1)*K(j)^(a-1); end figure; subplot(2,1,1) plot(K); subplot(2,1,2) plot(C); figure plot(K,Kan);

0.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06 X: 1 Y: 0.03472

0.04

0.02 0

5

10

15

20

25

30

B.1. Teorma de Euler: La funcion f es homogena de grado r esto es:

λ r f ( x, y)

=

f (λ x x, λ y y)

el teorema de Euler dice que

∂ f ∂ f x + y = r f ( x, y). ∂ x x ∂ y y En el caso en que r = 1 entonces la funcion de produccion es homogenea de grado uno y el teorema de Euler dice que si los factores factores son remunerados remunerados a su productividad productividad marginal entonces todo el producto producto se distribuye en a traves de los pagos de los insumos.

Proof:

162

B. BACKWARD ITERATION:

λ r f ( x, y)

=

r λ λ r −1 f ( x, y)

= =

f (λ x x, λ y y)

∂ f ∂ (λ x ∂ f ∂ (λ y x) y) + ∂ (λ x ∂ (λ x x) ∂ λ x) ∂ λ ∂ f ∂ f x + y ∂ (λ x x) ∂ (λ x x)

y evaluando esta expresion en λ = 1 tenemos: r f ( x, y)

=

∂ f ∂ f x + y. ∂ x x ∂ y y

f ( x, y)

=

∂ f ∂ f x + y. ∂ x x ∂ y y

Si r = 1entonces tenemos que

Apéndice C

Derivanción del costo marginal y las demandas relativas de factores para las firmas productoras de bienes intermedios. De las condiciones de primer orden tenemos que:

r t t

ϕ t t α k yit 1

wt r t t

ϕ t t (1

 −

α lit 1 α k it it −1

=

wt

− α ) yl it it it

=

−

Luego k it it −1 =

   α 1 α

wt

−

r t t

θ en lit

el cual se puede reemplazar en la función de producción

yit

(1 α )

α = z pt k it −1lit p zt

=

−

   α

α 1 α

wt

−

α

lit

r t t

y por tanto tenemos

 −   p

lit = zt

y la demanda por capital

k it it −1

= =

−1 1

α

α α

r t t

α

wt

yit

   −  −   α 1 α

p

zt

wt r t t

−1 1

α α

lit

α 1

−

r t t

wt

α 1

−

yit

Por último, el costo marginal se puede calcular derivando la función de costos respecto a la producción de la firma. Esto es,

r t t k it it −1 + wt lit =

 −   p zt

−1

r t t

1 α

α 1

−

α

r t t

wt

y por lo tanto, 163

α 1

−

+ wt

−   1 α α

α

r t t

wt

α

yit

C. DERIVANCIÓN DEL C OSTO MARGINAL Y LAS DE MANDAS RELATIVAS DE FACTORES PARA LAS FIRMAS PRODUCTORAS DE BIENES INTERMEDIOS. 164

ϕ t =

= = = =

p zt

−1

p zt

−1

p

−1

     zt

p

zt

p

zt

−    −    −     −      −   −    −     r t

−1 1

1 α

α 1

−

α

1 α

α 1

−

α 1

−

1

wt

α 1

−

α

α α

−

wt

α

1 α

α 1

r t

α

+

1 α α

en

+ θ wt

α

r t + α

1 α

1 α α

α

α

α

r t

α

wt

1

wt

α 1

−

r t α

r t α wt 1−α

α + 1 r t α wt 1−α 1 α

−

−1 (1 − α )α −1 α −α r α w1−α . t

t

Puede notarse en el último resultado que el costo marginal es el mismo para todas las firmas productoras de bienes intermedios y que disminuye conforme aumenta la productividad.

Métodos Cuantitativos y Macroeconomía Avanzada

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