Curso: Análisis Estructural Tema: Método DVI
Profesor: Pedro Morales L.
Método de Deformaciones Angulares (Slope Deflection) Introducción El método que se verá a continuación, se enmarca dentro de los métodos clásicos de solución de una estructura hiperestática plana, en la cual la principal deformación de la estructura es por flexión. Hipótesis o condiciones Se exige que los elementos que forman la estructura sean: •
Rectos.
•
Inercia constante entre tramos.
•
Deformaciones pequeñas (giros y desplazamientos).
•
Módulo de elasticidad constante entre tramos.
Metodología El método de deformaciones angulares se basa en expresar los momentos de extremo de los miembros de estructuras hiperestáticas en función de los giros y deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que si bien los nudos pueden girar o reflectarse, los ángulos entre los elementos quw convergen al nudo se mantienen constantes. Se enfatiza que este método sólo considera el efecto de la flexión sobre los elementos y omite el efecto del corte y axial. Las etapas del método son las siguientes: 1. Identificar los grados de libertad de la estructura, que se definen como los giros (θ i )
o
desplazamientos (∆ i ) a nivel de nudos que puedan producirse. 2. Una vez definidos los grados de libertad, que serán las variables incógnitas del problema, se plantean los momentos de extremo para cada elemento de la estructura, usando la siguiente fórmula general:
M AB =
2 EI AB L AB
3∆ 2θ A + θ B − L AB
+ M AE
M BA =
2 EI AB L AB
3∆ 2θ B + θ A − L AB
+ M BE
Donde:
θ A : Giro incógnita en extremo A, en sentido antihorario
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Profesor: Pedro Morales L.
θ B : Giro incógnita en extremo B, en sentido antihorario ∆ : Desplazamiento relativo entre los nudos A y B. Será positivo si la cuerda AB gira en sentido
antihorario, de lo contario será negativo. M AE : Momento de empotramiento perfecto en extremo A debido a cargas de tramo (se determina mediante tablas) M BE : Momento de empotramiento perfecto en extremo B debido a cargas de tramo (se determina mediante tablas) 3. Una vez que se han planteado los momentos de extremo para cada elemento de la estructura, se plantean las ecuaciones de: • Equilibrio rotacional en cada nudo de la estructura. • Condiciones de borde, en caso de extremos rotulados. • Equilibrio horizontal o vertical, en el caso que la estructura tenga desplazamientos laterales. Esto genera un sistema lineal de ecuaciones. Resolviendo se obtienen los valores de los giros y desplazamientos de los nudos. 4. Finalmente, se evalúan los momentos de extremo, lo cual permite calcular las reacciones de la estructura.
Ejemplo 1 Para la viga que se indica, determinar las reacciones mediante método DVI. Considerar EI = cte.
Solución: 1. La viga continua posee cuatro grados de libertad: θ A , θ B , θ C y θ D . No hay desplazamientos laterales de nudos. 2. Momentos de extremo M AB =
2 2 EI (2θ A + θ B ) + 200 ⋅ 5 5 12
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M BA =
2 2 EI (2θ B + θ A ) − 200 ⋅ 5 5 12
M BC =
2 EI (2θ B + θ C ) 4
M CB =
2 EI (2θ C + θ B ) 4
M CD =
2 2 EI (2θ C + θ D ) + 300 ⋅ 4 + 400 ⋅ 4 4 12 8
M DC =
2 2 EI (2θ D + θ C ) − 300 ⋅ 4 − 400 ⋅ 4 4 12 8
3. Equilibrio rotacional en cada nudo de la estructura • Nudo B: M BA + M BC = 0 ⇒
2 2 EI (2θ B + θ A ) − 200 ⋅ 5 + 2 EI (2θ B + θ C ) = 0 5 12 4
4θ A + 18θ B + 5θ C = • Nudo C: M CB + M CD = 0 ⇒
Condición de borde en A: M AB = 0 ⇒
Condición de borde en D: M DC = 0 ⇒
1200 EI
(2)
2 2 EI (2θ A + θ B ) + 200 ⋅ 5 = 0 5 12
2θ A + θ B = − •
(1)
2 2 EI (2θ C + θ B ) + 2 EI (2θ C + θ D ) + 300 ⋅ 4 + 400 ⋅ 4 = 0 4 4 12 8
θ B + 4θ C + θ D = − •
12500 3EI
3125 3EI
(3)
2 2 EI (2θ D + θ C ) − 300 ⋅ 4 − 400 ⋅ 4 = 0 4 12 8
θ C + 2θ D =
1200 EI
(4)
5. Resolviendo simultáneamente (1), (2), (3) y (4) se tiene: θ A =
θC =
− 687.26 943.63 y θD = EI EI
6. Evaluando los momentos:
− 823.54 605.41 , θB = , EI EI
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Profesor: Pedro Morales L.
M AB = 0 , M BA = −261.76 kg − m , M BC = 261.78 kg − m , M CB = −384.56 kg − m , M CD = 384.56 kg − m , M DC = 0
6. Cálculo de reacciones: En viga AB:
∑ M B = 0 ⇒ − 5R A + V
= 0 ⇒ R A + RB _ i − 200 ⋅ 5 = 0 ⇒ RB _ i = 552.4 [kg ] (↑ )
C
= 0 ⇒ 4 RB _ d + 261.8 − 384.6 = 0 ⇒ RB _ d = 30.7 [kg ] (↓ )
V
= 0 ⇒ RB _ d + RC _ i = 0 ⇒ RC _ i = 30.7 [kg ] (↑ )
∑F En viga BC: ∑ M ∑F En viga CD:
200 ⋅ 5 2 − 261.8 = 0 ⇒ R A = 447.6 [kg ] (↑ ) 2
∑ M C = 0 ⇒ 384.6 + 4RD − ∑F
V
300 ⋅ 4 2 − 400 ⋅ 2 = 0 ⇒ RD = 703.9 [kg ] (↑ ) 2
= 0 ⇒ RC _ d + RD − 300 ⋅ 4 − 400 = 0 ⇒ RC _ d = 896.1 [kg ] (↑ )
Finalmente: R A = 447.1 [kg ] (↑ ) ; RB = 521.7 [kg ] (↑ ); RC = 926.8 [kg ] (↑ ); RD = 703.9 [kg ] (↑ )
