Método de Fibonacci y Búsqueda de La Sección Dorada

Tarea Tarea de Programación Programación No Lineal José Alberto Silva Palacios Palacios 201105722

Método de Fibonacci Éste método determina el valor mnimo de !na "!nción en !n intervalo cerrado #c1$c2%& 'n la (r)ctica se enc!entran "!nciones con !n dominio am(lio$ sin embargo (ara éste método el intervalo de b*s+!eda debe ser es(eci,cado& La (ro(iedad +!e se as!me +!e debe tener !na "!nción (ara este método es +!e debe ser -!nimodal. esto es/

Para desarrollar a(ro(iadamente el método de ibonacci$ debemos encontrar s!cesivamente los (!ntos N de manera +!e sin conocer e(lcitamente a la "!nción -". (odamos determinar la región de incertid!mbre donde el mnimo est)& est)& N!estra N!estra región región de incer incertid tid!m !mbr bre e la encontra encontramo moss (or los N (!ntos (!ntos  también con los s!(!estos de +!e " es !nimodal& Por tanto estos (!ntos son/ s on/

3onde n!estra región de incertid!mbre est) en el intervalo # 41$461%  4 es n!estro (!nto mnimo entre N$  aora de,nimos 08c1  N618c2$ el mnimo de " debe estar en esta región de la ,g!ra 9&1& Éste (roceso se debe re(etir m!cas veces (ara (oder obtener n!estra región de incertid!mbre: denotando n!estras variables como las sig!ientes/ Siendo d1 el anco inicial de incertid!mbre d k k8

'l anco des(!és de 4 mediciones

3es(!es de 4 mediciones tenemos la sig!iente "orm!la/ "orm!la/

3ond 3onde e los los ente entero ross 4 dan dan como como res! res!lt ltad ado o miem miembr bros os de la s!ce s!cesi sión ón de ibonacci$ generada (or la sig!iente relación/

Tarea de Programación No Lineal José Alberto Silva Palacios 201105722 La sec!encia a nos es "amiliar  es 1$1$ 2$ ;$ 5$ 9$ 1;< =)sicamente el (rocedimiento (ara red!cir el anco de incertid!mbre es el sig!iente/

'n general$ cada (!nto de medición s!cesiva se coloca en el intervalo act!al de incertid!mbre simétricamente con el (!nto +!e a eista en ese intervalo&

Búsqueda por la sección dorada. Si acemos las N mediciones (ermitidas en el método de ibonacci con !n en"o+!e in,nito$ vamos a dar (a!ta al método de la sección dorada& 'ste método (rod!ce !na sec!encia de intervalos de incertid!mbre c!os ancos tienden a cero m)s r)(ido +!e el +!e se obtendra (or otros métodos&

>emos +!e la sol!ción a la ec!ación de ibonacci la (odemos ver como 3onde



son entradas de la ec!ación caracterstica tales +!e

? ambas tienen valor res(ectivamente

Para !n N m! grande el lado dereco de la ec!ación de ibonacci domina res(ecto al seg!ndo  (or lo tanto tenemos +!e eval!ando el lmite c!ando N tiende a in,nito&

Tarea de Programación No Lineal José Alberto Silva Palacios 201105722

Se tiene +!e el intervalo de incertid!mbre en c!al+!ier (!nto en el (roceso tiene !n anco

Lo c!al da consec!encia esto/ @omo !na concl!sión breve$ res(ecto al anco de intervalo de incertid!mbre el método de la sección dorada converge linealmente$ al mnimo general de la "!nción " con radio de convergencia 0&19&

Método de Newton Ésta técnica (ermite lograr !na convergencia m)s r)(ida +!e la +!e o"recen otros ti(os de iteración "!ncional& Sea " !na "!nción +!e est) en las "!nciones +!e tienen seg!nda derivada en !n intervalo cerrado a$ b& Sea también  4 en ése mismo intervalo$ !na a(roimación de  tal +!e la (rimera derivada eval!ada en  0 sea distinto de cero$ adem)s de +!e B  0Bsea (e+!eCa& @onsideremos el (rimer (olinomio de Talor (ara "DE  e(andido alrededor de 0&

'ntonces (odemos calc!lar !na estimación  461 del (!nto mnimo de " (ara encontrar el (!nto donde la derivada de -+. se desvanece& Si vemos gr),camente lo +!e ace éste método&

'l método de NeFton se obtiene s!(oniendo +!e$ como B  0B es tan (e+!eCo$ el termino +!e contiene D  0E2 es m!co menor  +!e a(roimadamente se acercara a cero& 'ntonces des(eGando a  de esto$ vemos +!e a(roimadamente n!estra  es 0& ? as encontramos&


Si s!stit!imos

aora tendramos la e(resión sig!iente

Método de la Regula Falsa. 'l método de NeFton (ara la minimiHación se basa en el aG!ste de !n (olinomio sobre la base de la in"ormación en !n solo (!nto: mediante el !so de m)s (!ntos$ se re+!iere menos in"ormación en cada !no de ellos& Por tanto s!stit!endo neFton tenemos el (olinomio +&

en la ec!ación del método de

3onde !na estimación de  461 (!ede ser encontrada mediante

@om(arando con el método anterior vemos +!e la "!nción "D 4E no entra en este (olinomio&

Ina veH m)s$ a +!e este método no de(ende de los valores de " directamente$ (!ede ser considerado como !n método (ara resolver "DE K gDE 8 0& >isto de esta manera el método$ +!e se il!stra en la ,g& 9&$ toma la "orma


@oncl!endo +!e el orden de convergencia del étodo de la reg!la alsa es &

Cubic Fit. 3ados los (!ntos  4  41 G!nto con los valores "D 4E$ "D4E$ "D41E$ "D41E es (osible constr!ir !na ec!ación c!bica& 'l (!nto  461 (!ede ser determinado como el (!nto mnimo relativo  se de,ne as/

3onde/

Quadratic Fit. Éste método es el m)s !sado  el +!e no necesita derivadas (ara s! (roceso$ se necesitan tan solo ; (!ntos& Sean esos (!ntos  1$ 2  ; con s!s corres(ondiente valores "D1E$ "D2E$ "D;E: aora constr!imos el (aso de seg!ndo grado a través de estos (!ntos&


? de,nimos !n n!evo (!nto +M +!e es donde la derivada de + se desvanece&

3onde

&

Adem)s de,namos los errores como +!e/

(ara !n eM tenemos

3onde  de(ende de los valores de la seg!nda  tercer derivada de " en & Si decimos +!e e4 tiende a cero$ entonces (ara !n 4 grande

Oaciendo

tenemos +!e

@on la ec!ación caracterstica La raH m)s grande de esta ec!ación es +!e de este modo determina la tasa de crecimiento de  4  es el orden de convergencia del método de aG!ste c!adr)tico&

Método de Fibonacci y Búsqueda de La Sección Dorada

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