METODA NUMERIK UNTUK SOLUSI RANGKAIAN LISTRIK MENGGUNAKAN MATLAB 7
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan. Dalam suatu perhitungan dengan data numerik membutuhkan ketelitian dan akurasi yang cukup baik.
Pada saat teknologi informasi belum maju pesat, para praktisi dan profesional di bidang rekayasa teknik dan sains menganalisa dengan perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa.
Sering kali permodelan matematika muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution).
Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan yang dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya.
Berdasarkan uraian di atas, maka penulis tertarik untuk membuat makalah mengenai Metoda Numerik untuk Solusi Rangkaian Listrik. Program yang digunakan nantinya adalah MATLAB 7.
B.
Tujuan Penulisan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut :
1.
Untuk mencari solusi rangkaian listrik secara numerik.
2.
Merupakan tugas akhir dari mata kuliah Fisika Komputasi.
BAB II
KAJIAN TEORI
A.
Rangkaian Listrik
Rangkaian listrik merupakan suatu kumpulan elemen atau komponen listrik yang saling dihubungkan dengan cara-cara tertentu dan paling sedikit mempunyai satu lintasan tertutup. Yang dimaksud dengan satu lintasan tertutup adalah satu lintasan saat kita mulai dari titik yang dimaksud akan kembali lagi ketitik tersebut tanpa terputus dan tidak memandang seberapa jauh atau dekat lintasan yang kita tempuh.
Pembatasan elemen atau komponen listrik dikelompokkan kedalam elemen atau komponen aktif dan pasif. Elemen aktif adalah elemen yang menghasilkan energi dalam hal ini adalah sumber tegangan dan sumber arus. Elemen lain adalah elemen pasif dimana elemen ini tidak dapat menghasilkan energi, dapat dikelompokkan menjadi elemen yang hanya dapat menyerap energi dalam hal ini hanya terdapat pada komponen resistor atau banyak juga yang menyebutkan tahanan atau hambatan dengan simbol R, dan komponen pasif yang dapat menyimpan energi juga diklasifikasikan menjadi dua yaitu komponen atau lemen yang menyerap energi dalam bentuk medan magnet dalam hal ini induktor atau sering juga disebut sebagai lilitan, belitan atau kumparan dengan simbol L, dan kompone pasif yang menyerap energi dalam bentuk medan magnet dalam hal ini adalah kapasitor atau sering juga dikatakan dengan kondensator dengan simbol C.
Menurut Hamdhani (2005), rangkaian adalah interkoneksi dari sekumpulan elemen atau komponen penyusunnya ditambah dengan rangkaian penghubungnya dimana disusun dengan cara-cara tertentu dan minimal memiliki satu lintasan tertutup. Dengan kata lain hanya dengan satu lintasan tertutup saja kita dapat menganalisis suatu rangkaian.
B.
Arus Listrik
Arus merupakan perubahan kecepatan muatan terhadap waktu atau muatan yang mengalir dalam satuan waktu dengan simbol i (dari kata Perancis : intensite), dengan kata lain arus adalah muatan yang bergerak. Selama muatan tersebut bergerak maka akan muncul arus
tetapi ketika muatan tersebut diam maka arus pun akan hilang. Muatan akan bergerak jika ada energi luar yang memepengaruhinya.
Muatan adalah satuan terkecil dari atom atau sub bagian dari atom. Dimana dalam teori atom modern menyatakan atom terdiri dari partikel inti (proton bermuatan + dan neutron bersifat netral) yang dikelilingi oleh muatan elektron (-), normalnya atom bermuatan netral. Muatan terdiri dari dua jenis yaitu muatan positif dan muatan negatif. Arah arus searah dengan arah muatan positif (arah arus listrik) atau berlawanan dengan arah aliran elektron. Suatu partikel dapat menjadi muatan positif apabila kehilangan elektron dan menjadi muatan negatif apabila menerima elektron dari partikel lain.
Coulomb adalah unit dasar dari International System of Units (SI) yang digunakan untuk mengukur muatan listrik. Simbol :
Q = muatan konstan
q = muatan tergantung satuan waktu
muatan
:
1 elektron = -1,6021 x 10-19 Coulomb
1 Coulomb = -6,24 x 1018 elektron
Secara matematis arus didefinisikan :
Satuannya : Ampere (A)
Dalam teori rangkaian arus merupakan pergerakan muatan positif. Ketika terjadi beda potensial disuatu elemen atau komponen maka akan muncul arus dimaan arah arus positif mengalir dari potensial tinggi ke potensial rendah dan arah arus negatif mengalir sebaliknya.
Macam-macam arus :
1.
Arus searah (Direct Current/DC)
Arus DC adalah arus yang mempunyai nilai tetap atau konstan terhadap satuan waktu, artinya diaman pun kita meninjau arus tersebut pada wakttu berbeda akan mendapatkan nilai yang sama.
2.
Arus bolak-balik (Alternating Current/AC)
Arus AC adalah arus yang mempunyai nilai yang berubah terhadap satuan waktu dengan karakteristik akan selalu berulang untuk perioda waktu tertentu (mempunyai perida waktu : T).
Gambar 1. Macam Arus Lisrik
(a) Arus Searah, (b) Arus Bolak-Balik
C.
Tegangan
Tegangan atau seringkali orang menyebut dengan beda potensial dalam bahasa Inggris voltage adalah kerja yang dilakukan untuk menggerakkan satu muatan (sebesar satu coulomb) pada elemen atau komponen dari satu terminal/kutub ke terminal/kutub lainnya, atau
pada
kedua
terminal/kutub
akan
mempunyai
beda
potensial
jika
kita
menggerakkan/memindahkan muatan sebesar satu coulomb dari satu terminal ke terminal lainnya. Keterkaitan antara kerja yang dilakukan sebenarnya adalah energi yang dikeluarkan, sehingga pengertian diatas dapat dipersingkat bahwa tegangan adalah energi per satuan muatan.
Secara matematis :
Satuannya : Volt (V)
Gambar 2. Lambang Tegangan
Pada Gambar 2, jika terminal/kutub A mempunyai potensial lebih tinggi daripada potensial di terminal/kutub B. Maka ada dua istilah yang seringkali dipakai, yaitu :
1.
Tegangan turun/ voltage drop
Jika dipandang dari potensial lebih tinggi ke potensial lebih rendah dalam hal ini dari terminal A ke terminal B.
2.
Tegangan naik/ voltage rise
Jika dipandang dari potensial lebih rendah ke potensial lebih tinggi dalam hal ini dari terminal B ke terminal A.
Pada makalah ini istilah yang akan dipakai adalah pengertian pada item nomor 1 yaitu tegangan turun. Maka jika beda potensial antara kedua titik tersebut adalah sebesar 5 Volt, maka VAB = 5 Volt dan VBA = -5 Volt.
D.
Resistor (R)
Sering juga disebut dengan tahanan, hambatan, penghantar, atau resistansi dimana resistor mempunyai fungsi sebagai penghambat arus, pembagi arus, dan pembagi tegangan.
Nilai resistor tergantung dari hambatan jenis bahan resistor itu sendiri (tergantung dari bahan pembuatnya), panjang dari resistor itu sendiri dan luas penampang dari resistor itu sendiri.
Secara matematis :
dimana : ρ = hambatan jenis
l = panjang dari resistor A = luas penampang Satuan dari resistor : Ohm (Ω)
Jika suatu resistor dilewati oleh sebuah arus maka pada kedua ujung dari resistor tersebut akan menimbulkan beda potensial atau tegangan. Hukum yang didapat dari percobaan ini adalah: Hukum Ohm.
1. Hubungan seri resistor
Gambar 3. Rangkaian Seri Resistor
KVL :
Pembagi tegangan :
Dimana :
Sehingga :
2. Hubungan paralel resistor
Gambar 4. Rangkaian Paralel Resistor
KCL :
Pembagi arus :
Dimana :
Sehingga :
E.
Metoda Numerik
Ada enam tahapan yang harus dilakukan dalam menyelesaikan persoalan dengan metode numerik, yaitu :
1.
Pemodelan, semua parameter dalam persoalan dimodelkan dalam bentuk persamaan
matematika. Penyederhanaan model, model matematika yang diperoleh pada tahap pertama bisa saja masih kompleks. Untuk memudahkan dan mempecepat kinerja komputer, model tersebut disederhanakan dengan membuang parameter yang dapat diabaikan.
2.
Formulasi numerik, setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap
selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik.
3.
Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.
4.
Pemrograman, algoritma yang telah disusun diterjemahkan dalam program komputer,
dengan terlebih dahulu membuat flowchart-nya kemudian dituliskan dalam bentuk program, misalnya MATLAB.
5.
Operasional, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum menggunakan
data sebenarnya.
6.
Evaluasi, bila program sudah selesai dijalankan dengan menggunakan data
sesungguhnya, hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil perhitungan dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empiric untuk menentukan kualitas solusi numerik.
F.
MATLAB
Dengan bantuan komputer, langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi suatu program. Perkembangan teknologi yang antara lain mencakup bahasa pemrograman telah melalui
beberapa
tahap.
Pada
awalnya
bersifat
Low
Level
Language
dengan
diperkenalkannya bahasa assembly. Disusul perkembangan bahasa dengan tingkat Middle dan High Level Language seperti FORTRAN, C++, BASIC / Visual Basic, Pascal, COBOL dan lain-lain.
Akhir-akhir ini bahasa script pemrograman dijadikan alternatif bagi praktisi karena kemudahannya dalam membuat suatu aplikasi program. Dalam membuat suatu program dapat dilakukan dengan cara yang sangat mudah dengan waktu yang relatif lebih singkat dibandingkan dengan menggunakan bahasa Middle dan High Level Language. Makalah ini ditulis dengan menggunakan perintah yang sangat sederhana, namun dapat mencakup tuntutan untuk menyelesaikan persoalan menganalisis data.
Sekarang ini MATLAB adalah salah satu bahasa pemrograman yang banyak digunakan. MATLAB mampu menangani perhitungan sederhana seperti penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. MATLAB juga mampu menyelesaikan perhitungan rumit, yang meliputi bilangan kompleks, akar dan pangkat, logaritma dan fungi trigonometri. Seperti kalkulator yang dapat diprogram, MATLAB dapat digunakan untuk menyimpan dan mengambil data.
Dalam MATLAB juga dapat dibuat sekumpulan perintah untuk mengotomatisasi suatu persamaan yang rumit, dan masih banyak lagi kemampuan lain dari MATLAB. Dalam lingkungan MATLAB, kita dapat mengembangkan dan melaksanakan program atau naskah, yang berisi perintah MATLAB. Kita juga dapat melaksanakan perintah MATLAB, mengamati hasilnya, dan kemudian melaksanakan sebuah perintah MATLAB lainnya yang berinteraksi dengan data dalam memori, mengamati hasilnya.
Dalam menyelesaikan data numerik diperlukan beberapa metode dan dari metode-metode tersebut nantinya kita dapat menggunakan sarana komputer untuk membantu menyelesaikan perhitungannya. Di sini akan dikemukakan 4 metode saja yang berhubungan dengan tugas akhir penulis. Metode yang akan penulis gunakan adalah :
1.
Metode Langsung
Metode langsung ini artinya penyelesaian persoalan matematika diselesaikan dengan cara menggunakan alat bantu yang sudah bisa menyelesaikan persoalan tersebut. Metode langsung ini akan menggunakan bahasa pemrograman MATLAB. Bahasa pemrograman matlab sudah memiliki berbagai fasilitas untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang ada dan sering muncul. Jadi perintah yang dipakai adalah dengan perintah yang sudah disediakan oleh matlab.
Algoritma Metode Langsung : a) Program dimulai b) Sebagai persiapan membersihkan layar command window dan menghapus isi variabel sebelumnya yang tidak berfungsi c) Menginput elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks A d) Menginput elemen matriks berordo 3×1 ke dalam variabel matriks C e) Menentukan variabel matriks B yang diisi dari hasil perhitungan matriks A dibagi matriks B (perintah ini khusus bahasa program matlab) f) Menampilkan hasil elemen matriks B g) Program selesai
Flowchart Metode Langsung :
2.
Metode Biasa
Metode biasa ini maksudnya adalah bahwa persoalan matematika diselesaikan dengan metode matematika biasa, yang memiliki cara-cara yang sudah lazim digunakan. Dalam persoalan tugas nanti penulis memperoleh persoalan yang merupakan matriks. Jadi berkaitan dengan cara biasa ini nantinya penulis akan menggunakan cara penyelesaian matematika operasi matriks, seperti penggunaan determinan dan lain-lain.
Algoritma Metode Biasa : a.
b.
Program dimulai
Sebagai persiapan membersihkan layar command
window dan menghapus isi variabel sebelumnya yang tidak
berfungsi
c.
Menginput elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks Z
d.
Menginput elemen matriks berordo 3×1 ke dalam variabel matriks C
e.
Mengatur agar vcariabel angka hanya 5 digit atau dengan format eksponen
f.
Menentukan variabel matriks akhir yang diisi dari hasil perhitungan invers matriks Z
dikali matriks C
g.
Menampilkan hasil elemen matriks Iakhir
h.
Program selesai
Flowchart Metode Biasa :
3.
Metode Gauss Seidel
Metode Gauss Seidel adalah suatu cara penyelesaian dengan menggunakan iterasi. Kemudian dengan mengubah elemen matriks diagonalnya nol. Untuk memulai perhitungan biasanya akan menggunakan tebakan awal.
Algoritma Metode Gauss Seidel : a.
b.
Program dimulai
Sebagai persiapan membersihkan layar command window dan menghapus isi variabel
sebelumnya yang tidak
berfungsi
c.
Menentukan variabel epsilon dengan nilai 0,0001 dan variabel x dengan nilai 0
d.
Menginput elemen-elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks A
e.
Menginput elemen matriks berordo 3×1 ke dalam variabel matriks C
f.
Menentukan variabel I2, It3 dan iter serta memberikan masing-masing nilai awal 0
g.
Menentukan implikasi dengan syarat x lebih besar atau sama dengan epsilon
h.
Jika Implikasi nomor 7 benar langkah berikutnya mengerjakan nomor 9
i.
Menghitung proses dengan rumusan iter = iter + 1 ; I1=(C1-A(1,2).I2-
(1,3).It3)/A(1,1) ; I2=(C2-A(2,1).I1-
A(2,3).It3)/A(2,2) ; I3=(C3-A(3,1).I1-(3,2).I2)/A(3,3) ; Iakhir1 = mutlak dari I1; Iakhir2 = mutlak dari I2; Iakhir3 =
mutlak dari I3; x = mutlak dari I3-It3; dan It3 = I3;
j.
Menampilkan hasil iter; Iakhir1; Iakhir2; dan Iakhir3
k.
Jika implikasi salah program selesai dan jika implikasi benar mengulangi proses
nomor 9
Flowchart Metode Gauss Seidel :
4.
Metode Cramer
Metode adalah metode yang menggunakan dasar perhitungan dengan cara matriks juga, seperti misalnya matriks maka persamaannya dapat dinyatakan sebagai .
Algoritma Metode Cramer : a.
b.
Program dimulai
Sebagai persiapan membersihkan layar command
window dan menghapus isi variabel sebelumnya yang tidak
berfungsi
c.
Menginput elemen-elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks Z
d.
Menginput elemen matriks berordo 3×1 ke dalam variabel matriks C
e.
Mengatur agar variabel angka hanya 5 digit atau dengan format eksponen
f.
Menginput elemen-elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks A1 dengan
elemen samadengan elemen Z
kecuali A1(1,1) = C1, elemen A1(2,1) = C2 dan elemen A1(3,1) = C3
g.
Menginput elemen-elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks A2 dengan
elemen samadengan elemen Z
kecuali A3(1,3) = C1, elemen A3(2,3) = C2 dan elemen A3(3,3) = C3
h.
Menginput elemen-elemen matriks berordo 3×3 ke dalam variabel matriks A3 dengan
elemen samadengan elemen Z
kecuali A3(1,1) = C1, elemen A1(2,1) = C2 dan elemen A1(3,1) = C3
i.
Menentukan variabel matriks B1 dengan nilai determinan dari A1 dibagi determinan Z
j.
Menentukan variabel matriks B2 dengan nilai determinan dari A2 dibagi determinan Z
k.
Menentukan variabel matriks B3 dengan nilai determinan dari A3 dibagi determinan Z
l.
Memasukkan nilai nilai mutlak dari B1, B2 dan B3 masing-masing ke dalam varibel
Ba1, Ba2 dan Ba3
m.
Menampilkan hasil Ba1, Ba2 dan Ba3
n.
Program selesai
Flowchart Metode Cramer :
BAB III
APLIKASI DAN PEMBAHASAN
A.
Aplikasi
Apabila diketahui suatu rangkaian listrik seperti Gambar 5, maka besar arus untuk masing-masing hambatan dapat dicari menggunakan metoda numerik.
Gambar 5. Rangkaian Listrik untuk Tiga Resistor dan Dua Tegangan
Untuk memperoleh tiga buah persamaan tersebut, kita gunakan hukum tegangan Kirchoff pada tiap lup arus.
Persamaannya adalah :
Apabila kita susun kembali, maka :
Dari tiga persamaan di atas dapat kita buat ke dalam bentuk operator matrik menjadi :
Berdasarkan data soal yang ada, maka dapat kita inputkan nilai resistor dan tegangan masingmasing, sehingga :
Dari persamaan matrik ini, maka dapat diselesaikan persoalan tersebut dengan menggunakan beberapa metoda numerik. Diantaranya :
1.
Metode Eliminasi Gauss
Karena diagonal A baris pertama 0, maka ditukar letaknya dengan baris lain. Maka :
Matrik augmentasinya menjadi :
Langkah selanjutnya menjadikan matrik triangularisasi dengan cara menjadikan baris ketiga kolom kedua bernilai 0.
Matrik triangularisasinya menjadi :
Maka arus masing-masing hambatan :
2.
Metode Cramer
Matrik yang digunakan :
Determinan matrik A adalah :
Solusi numeriknya adalah :
B.
Pembahasan
Berdasarkan metoda numerik yang sudah diselesaikan pada bagian aplikasi, maka hasilnya dapat diuji ke dalam program yang telah dirancang algoritma dan diagram alirnya. Program yang dibuat adalah :
1.
Metoda Langsung (perintahnya sudah ada pada fasilitas program MATLAB)
Setelah menginputkan matrik A dan matrik C, perintah selanjutnya yang diketikkan hanya :
B=A\C;
Maka elemen matrik B merupakan penyelesaian dari permasalahannya. Seperti pada contoh berikut ini :
Apabila program ini kita Run, maka hasilnya adalah :
Pada bagian hasil jelas terlihat nilai arus masing-masing resistor yang nilainya mendekati atau hampir sama dengan hasil pencarian pada bagian aplikasi tadi.
2.
Metoda Biasa (perintahnya sudah ada pada fasilitas program MATLAB)
Setelah menginputkan matrik Z dan matrik C, perintah selanjutnya yang diketikkan hanya :
format short g ;
i 1akhir= abs(i(1));
i 2akhir= abs(i(2));
i 3akhir= abs(i(3));
Maka elemen matrik B merupakan penyelesaian dari permasalahannya. Seperti pada contoh berikut ini :
Apabila program ini kita Run, kita harus menginput nilai persamaannya dalam bentuk matrik terlebih dahulu.
Maka hasilnya adalah :
Pada bagian hasil juga jelas terlihat nilai arus masing-masing resistor yang nilainya mendekati atau hampir sama dengan hasil pencarian pada bagian aplikasi tadi.
3.
Metoda Gauss Siedel
Setelah menginputkan matrik Z dan matrik C, maka hasil iterasi akhir merupakan penyelesaian dari permasalahannya. Seperti pada contoh berikut ini :
Hasil program Gauss Siedel jika di Run adalah :
Pada iterasi bagian terakhir terlihat bahwa nilai arus masing-masing resistor mendekati atau hampir sama dengan hasil pencarian pada bagian aplikasi tadi dan sama dengan program lainnya.
4.
Metoda Cramer
Setelah menginputkan matrik Z dan matrik C, maka hasil I1, I2, dan I3 merupakan penyelesaian dari permasalahannya. Seperti pada contoh berikut ini :
Maka hasilnya adalah :
Pada bagian terakhir terlihat bahwa nilai arus masing-masing resistor mendekati atau hampir sama dengan hasil pencarian pada bagian aplikasi tadi dan sama dengan program lainnya.
5.
Metoda Eliminasi Gauss
Hasil I1, I2, dan I3 merupakan penyelesaian dari permasalahannya. Seperti pada contoh berikut ini :
Hasil Metoda Eliminasi Gauss
Pada bagian terakhir terlihat bahwa nilai arus masing-masing resistor mendekati atau hampir sama dengan hasil pencarian pada bagian aplikasi tadi dan sama dengan program lainnya.
BAB IV
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Berdasarkan uraian materi yang telah dibahas pada makalah ini, maka dapat disimpulkan bahwa permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan dapat diselesaikan secara numerik. Hal ini dikarenakan oleh suatu perhitungan dengan data numerik membutuhkan ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Serta untuk menghindari kesulitan dalam analisa.
Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan dapat dipecahkan. Tetapi metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya.
Dalam memecahkan permasalahan rangkaian listrik ini diperlukan suatu persamaan yang dapat diubah ke dalam bentuk matrik. Apabila programnya dialankan maka akan memperoleh hasil yang cukup memuaskan dengan selisih kesalahan yang cukup kecil.
B.
Saran
Saran penulis adalah jangan mudah putus asa dan lakukan pengembangan program ini secara terus menerus sehingga nantinya didapatkan suatu solusi permasalahan yang memiliki nilai keakuratan yang lebih tinggi lagi.
DAFTAR PUSTAKA
Cekmas Cekdin. 2005. Teori dan Contoh Soal Teknik Elektro. Andi ; Yogyakarta. Duane Hanselman & Bruce Littlefield. 2000. MATLAB Bahasa Komputasi Teknis. Andi ; Yogyakarta. Hamdhani, Mohamad. 2005. Rangkaian Listrik. STTTELKOM ; Bandung. http://www.google.com Share this:
