Metalurgia Mecânica Geor Ge orge ge E. Di Diet eter er Profes Prof esso sorr of En Engi gine neer ering ing Carnegie - Me Mell llon on Un Univ iver ersit sityy
Antonio Sergio de Sousa e Silva, M.Sc. M.Sc. Luiz Henrique Henrique de Almeid Almeida, a, M.Sc M.Sc.. Paulo Emílio Valadão de Miranda, M.Sc. Profe Pr ofesso ssore ress do Pro Progra grama ma de Enge Engenh nhar ar ia Me Meta talúr lúrgi gica ca e de Mater Materia iais is da Coorde Coordena naçã ção o do doss Pr Prog ogra rama mass de PósPós-Gr Grad adua uaçã ção o em Enge Engenh nhar aria ia e da Esco Escola la de Engenh Engenhar aria ia da Univ Univer erssida dade de Fe Fede dera rall do Rio de Janei Janeiro ro (COPPE / UFRJ UFRJ - EE/UFRJ) EE/UFRJ)..
GUANABARA DOIS
Prefácio
à
segunda edição
No"s doze anos que se sucederam à primeira edição de Mechanical Met allur gy foram publicados pelo menos 25 livros-texto versando sobre os principais tópicos abordados neste liyro. Ao menos dez livros relacionados com a mecânica dos processos de conf ormação entraram no prelo durante este período, por exemplo. Nenhum deles, entretanto, cobriu todo o espectro da metalurgia mecânica, desde a compreensão da descrição contí nua da tensão e da deformação através de mecanismos cristalinos e de falha de escoamento e fratura até considerações sobre os principais testes de propriedades mecânicas e os processos básicos de conformação mecânica. Neste período, desde a primeira edição, têm surgido processos importantes no que se refere à interpretação do comportamento mecânico dos sólidos. Excelentes verificações experimentais conduziram à comprovação de grande parte da teoria das discordâncias para a deformação plástica, o que proporciona um entendimento melhor dos mecanismos de endurecimento dos materiais cristalinos. Desenvolvimentos em áreas como a fratomecânica alcançaram elevados níveis de sofisticação técnica, revelando-se de grande utilidade para aplicações práticas na engenharia. Uma realização importante durante este período f oi o "movimento da ciência dos materiais", no qual sólidos cristalinos, metais, cêrâmicos e polí meros são considerados como um grupo cu jas propriedades são controladas por defeitos estruturais básicos, comuns a todas as classes de sólidos cristalinos. Nesta revisão mantiveram-se os objetivos que motivaram a primeira edição deste livro, preparado de forma a atender alunos já no iní cio dos cursos de pós-graduação. Foram feitas muitas modificações no sentido de atualizar, introduzir tópicos novos sobre áreas importantes que surgiram e elucidar algumas seções que se mostraram mais difíceis ao entendimento dos estudantes. Em algumas seções os assuntos de nível mais elevado foram impressos em tipo menor, dirigidos especialmente aos estudantes de pós-graduação. Os problemas f oram muito revisados e expandidos, tendo sido preparado um manual de soluções. Foram adicionados dois capítulos novos: um abrangendo propriedades mecânicas dos polí meros e outro sobre usinagem dos metais. Os capítulos sobre métodos estatísticos e tensões residuais foram eliminados. Na realidade, mais da metade do livro foi completamente reescrita.
Préfácio à primeira edição
A metalurgia mecânica é a área do conhecimento que lida com o comportamento e a resposta dos metais às f orças aplicadas. Como não é uma área definida precisamente, poderá ter signif icados diferentes para pessoas diferentes. Alguns podem entendê-Ia como as propriedades mecânicas dos metais ou testes mecânicos, outros podem considerá-Ia como o campo restrito ao trabalho plástico e conf ormação dos metais, enquanto outros podem ainda relacioná-Ia de acordo com seus interesses aos aspectos mais teóricos do campo, como a fí sica dos metais e a metalurgia fí sica. Outro grupo pode ainda considerar a metalurgia mecânica ligada à matemática e à mecânica aplicadas. Ao escrever este livro tentou-se cobrir de alguma forma esta grande diversidade de interesses. O objetivo foi o de incluir todo o escopo da metalurgia mecânica em um volume abrangente. O livro foi dividido em quatro partes. A Parte Um, Fundamentos de Mecânica, apresenta o tratamento matemático necessário à compreensão de muitos dos capítulos que se sucedem. Os conceitos de tensão e de deformação combinados foram revistos e expandidos à terceira dimensão. Foram também forneci das considerações detalhadas sobre a teoria do escoamento e sobre os conceitos de plasticidade. Não se pretendeu, porém, desenvolver os tópicos da Parte Um de forma completa, o que é necessário para a resolução de problemas originais. Em vez disto, o objetivo foi o de familiarizar pessoas de formação metalúrgica com a linguagem matemática encontrada em algumas áreas da metalurgia mecânica. A Parte Dois, Fundamentos de Metalurgia, lida com os aspectos estruturais da deformação plástica e da fratura. Dá-se ênf ase à atomí stica do escoamento e à fratura e à forma pela qual a estrutura metalúrgica afeta esses processos. O conceito de discordância é introduzido no início da Parte Dois e utilizado sempre a partir daí para fornecer explicações qualitativas para fenômenos tais como o encruamento, o ponto limite de escoamento, o endurecimento por fase dispersa e a fratura. Um tratamento mais matemático das propriedades das discordâncias é dado em um capítulo separado. Os tópicos abordados na Parte Dois ref erem-se mais à metalurgia física. Entretanto, a maioria deles é discutida em maior detalhe e com uma ênf ase diferente do que quando são apresentados pela primeira vez em um curso normal de graduação sobre essa disciplina física. Alguns tópicos que são mais sobre metalurgia fí sica do que mecânica são incluídos com o intuito de fornecer uma continuidade e a base necessária para leitores que não estudaram a metalurgia fí sica moderna. A Parte Três, Aplicações em Ensaios de Materiais, aborda os aspectos de engenharia das técnicas comuns de testes da falha mecânica dos metais. Alguns capí tulos ' são dirigidos aos ensaios de tração, torção, dureza, fadiga, fluência e impacto. Outros são compostos por assuntos importantes, tais como tensões residuais e análise estatística dos dados de propriedades mecânicas. Na Parte Três dá-se ênfase à interpretação
dos testes e ao efeito de variáveis metalúrgicas no comportamento mecânico, em vez dos procedimentos para conduzir os testes. Admite-se que o desenvolvimento destes testes será visto em um curso d e laboratório concomitante ou em separado. A Parte Quatro, Conformação Plástica dos Metais, aborda os processos mecânicos comuns para a produção de formas metálicas úteis. Dá-se pouca ênf ase aos aspectos descritivos desta matéria, uma vez que isto pode ser melhor visto através de visitas a instalações industriais e palestras ilustradas. Por outro lado, a atenção principal é dirigida aos fatores mecânicos e metalúrgicos que controlam cada processo, tal como forjamento, laminação, extrusão, estampagem e conformação de chapas metálicas f inas. Este livro é escrito para o estudante de pós-graduação em engenharia metalúrgica ou mecânica, assim como para engenheiros envolvidos com problemas práticos na indústria. Embora a maioria das universidades tenha adotado cursos de metalurgia mecânica ou propriedades mecânicas, há uma diversidade muito grande na matéria tratada e na formação básica dos alunos que fazem esses cursos. Assim, atualmente não se pode def inir algo como um livro-texto padrão em metalurgia mecânica. Esperase que a amplitude e o escopo deste livro forneçam material suficiente para estes requisitos tão diversos. Espera-se, ainda, que a existência de um tratamento detalhado do campo de metalurgia mecânica estimule o desenvolvimento de cursos que venham a cobrir toda a matéria. Como este livro é dirigido a alunos de pós-graduação e a engenheiros práticos das indústrias, espera-se que ele se torne parte de sua biblioteca profissional. Embora não se tenha ob jetivado fazer deste livro um manual, pensou-se em fornecer de forma abundante referências para a literatura em metalurgia mecânica. Assim, foram incluídas mais referências do que o normal em um livro-texto comum, todas apresentadas com o objetivo de ressaltar derivações ou análises além d o escopo do livro, para fornecer inf ormações adicionais a pontos detalhados ou em controvérsia, e para enfatizar trabalhos que mereçam ser mais estudados. Além disto, ao fim de cada capítulo encontra-se uma bibliograf ia de referências gerais. No fim do volume incluiu-se uma coleção de problemas, principalmente para o uso do leitor que está envolvido com a indústria e que deseja verificar sua compreensão da matéria. O trabalho envolvido na conf ecção deste livro foi mais o de examinar e classif icar fatos e informações da literatura e dos diversos excelentes livros-textos em aspectos especí ficos da matéria. Para cobrir a amplitude do material encontrado neste livro necessitar-se-ia de partes de mais de 15 livros-texto padrões e um sem-número de artigos de revisão e contribuições individuais. Foi f eito um esforço consciencioso para dar crédito às fontes originais. O autor se desculpa pelas omissões que ocasionalmente possam ter ocorrido e agradece aos diversos autores e editores que consentiram na reprodução de ilustrações, todos mencionados nas respectivas legendas. Finalmente, o autor gostaria de agradecer aos diversos amigos que o orientaram na confecção deste trabalho. Em especial ao Professor A. W. Grosvenor, do Drexel Institute of Technology, ao Dr. G. T. Horne, do Carnegie Institute of Technology, aos Drs. T. C. Chilton, J. H. Faupel, W . L. Phillips, W. I. Pallock e J. T. Ranson, da Companhia du Pont, e ao Dr. A. S. Nemy, da Thompson-Ramo-Wooldridge Corpo
Índice
. Parte I 1 2 3
Fundamentos de Mecânica Introdução, 2 Relações entre Tensão e Deformação para o Comportamento Elástico, 14 Princípios da Teoria da Plasticidade, 62
Parte n Fundamentos de Metalurgia 4 Deformação Plástica de Monocristais, 92 5 Teoria das Discordâncias, 130 6 Mecanismos de Endurecimento, 166 7 Fratura, 213 8 Comportamento Mecânico de Materiais Poliméricos, 251 Parte
Aplicações em Ensaios de Materiais Testes de Tração, 282 Testes de Torção, 322 Teste de Dureza, 332 Fadiga dos Metais, 344 Fluência, 385 Fratura Frágil e Ensaio de Impacto, 419
lU
9 10 11 12 13 14
Parte IV Conformação Plástica dos Metais 15 Fundamentos de Conformação, 452 16 Forjamento, 497 17 Laminação dos Metais, 518 18 Extrusão, 544 19 Trefilação de Vergalhões, Arames e Tubos, 561 20 Conformação de Chapas Metálicas Finas, 573 \ 21 Usinagem de Metais, 598 . Apêndices A O sistema Internacional de Unidades, 623 B Problemas, 626 Índice Alfabético, 646
Lista de sí mbolos
Área, amplitude a = Distância linear; comprimento de trinca interatômico ao = Espaçamento Constante; espessura do corpo de prova B= b = Largura ou amplitude b= Vetor de Burgers de uma discordância c= Constante geral; calor específico c = Coeficientes elásticos c = Comprimento da trinca de Griffith Diâmetro de grão D= Módulo de elasticidade para carregamento axial (módu]o de Young) E = e = Deformação linear convencional ou de engenharia exp = Base dos logaritmos neperianos (= 2,718) Força por unidade de comprimento em uma linha de discordância F = G= Módulo de elasticidade em cizalhamento (módulo de rigidez) C f}= Força de extensão da trinca H= Energia de ativação h = Distância, geralmente na direção da espessura Índices de Miller de um plano cristalográf ico (h,k,l)= I = Momento de inércia J = 1nvariante da tensão desvio; momento de inércia polar Coeficiente de resistência K = Fator de entalhe d e fa diga K f= K = Fator de concentração de tensôes teórico Tenacidade à fratura K 1c Tensão limite de escoamento em cizalhamento puro k Comprimento L Co-senos diretores da normal a um plano I , m , n ln = Logaritmo neperiano log = Logaritmo na base 10 Momento f 1etor M = Momento torsor, torque M r= Sensibilidade à taxa de deformação m= Número de ciclos de tensão ou vibração N = Coeficiente de encruamento M = M ' = Constante geral em termo exponencial p= Carga ou força externa A=
u
t
B
Energia de ativação Pressão Redução em área; fator de constrição plástica; índice de sensibilidade ao entalhe em f adiga Raio de curvatura; razão de tensão em f adiga; constante dos gases r = Distância radial S = Tensão total em um plano antes do rebatimento em componentes normal e cizalhante S ij = Compliância elástica s = Tensão de engenharia T= Temperatura T m = Ponto de f usão I = Tempo; espessura Ir = Tempo de ruptura u= Energia de deformação elástica u Energia de deformação elástica por unidade de volume U, V , Componentes de deslocamento nas direções x, y e z [uvw ] = Índices de Miller para uma direção cristalográfica Volume v = Velocidade v w = Trabalho z= Parâmetro de Zener-Halloman Coeficiente linear de expansão térmica; ângulo de f ase a= a , f3 , O , e p = Ângulos em geral f= Tensão de linha de uma discordância y= Deformação cizalhante . : l = Deformação volumétrica ou dilatação cúbica; variação f inita 0= Def ormação em elongação; def lecção; decremento logarí tmico; delta de Kromeckes def ormação natural ou verdadeira E = Sí mbolo geral para deformação; € = Deformação verdadeira signif icante ou ef etiva verdadeira E = Taxa de deformação € s = Taxa mínima de fluência 71 Ef iciência; coeficiente de viscosidade de Dorn 0= Parâmetro de tempo-temperatura Módulo volumétrico de elasticidade '11.= Constante de Lamé; espaço entre partí culas J L= Parâmetro de tensão de Lode; coeficiente de atrito Coeficiente de Poisson; parâmetro de def ormação de Lode p = Densidade (J"= Tensão normal; tensão verdadeira (J"o = Tensão limite de escoamento ou resistência ao escoamento = Tensão limite de escoamento em def ormação plana (J"= Tensão verdadeira significante ou efetiva (J"l, (J " 2, (J"3 = Tensões principais cr' Tensão desvio (T" Componente hidrostático da tensão ou variável (J"a = Tensão alternada ( J' m Tensão principal média; tensão média . (J"r = Faixa de tensões = Tensão de resistência à tração (J " w = Tensão de trabalho Tensão cizalhante; tempo de relaxação 1>= Função de tensão de Airy t / J = Capacidade de amortecimento específica o
lV
=
=
=
K =
v=
(J"~
=
=
=
a l i
T =
Parte I
Fundamentos de Mecânica
Introdução
é a área da metalurgia que trata principalmente da resposta dos metais a forças ou cargas, que podem se manifestar durante a utilização do metal como um componente ou parte de uma estrutura ou equipamento. Nestas condições, há necessidade de se conhecer os valores limites que podem ser suportados sem que ocorra um colapso. O objetivo pode ser também o de converter um lingote fundido em uma forma utilizável, tal como uma chapa plana, para o que devem ser determinadas as condições de temperatura e variação de cargas que minimizem as forças necessárias à realização do trabalho. A metalurgia mecânica nâo é uma matéria que pode ser estudada isoladamente. Na realidade, é uma combinação de diversas disciplinas e diferentes abordagens ao problema da interpretação da resposta dos metais a f orças. É, de outra forma, a iniciativa utilizada em resistência e plasticidade, onde um metal é considerado como um material homogêneo, cujo comportamento mecânico pode ser descrito de maneira precisa com base apenas em poucas constantes características de cada metal. Esta abordagem é a base para o projeto racional de componentes estruturais e peças de máquinas. Na Parte I deste livro, a resistência dos materiais, a elasticidade e a plasticidade são tratadas sob um ponto de vista mais generalizado do que o usualmente apresentado em um primeiro curso de resistência dos materiais. O assunto dos três primeiros capítulos pode ser considerado como o fundamento matemático do qual depende todo o resto do livro. Os estudantes de engenharia que já tiveram um curso avançado em resistência dos materiais ou projetos de máquinas poderão possivelmente transpor com facilidade estes capítulos. No entanto, para a maioria dos engenheiros metalúrgicos e engenheiros atuantes na indústria, é interessante despender o tempo necessário para se familiarizar com a matemática apresentada na Parte I. Quando a estrutura do metal se torna uma variável importante e não pode mais ser considerada um meio homogêneo, as teorias da resistência dos materiais, elasticidade e plasticidade perdem consideravelmente seu poder. O comportamento dos metais a altas temperaturas, onde a estrutura metalúrgica pode variar continuamente com o tempo, ou a transição dúctil-frágil que ocorre nos aços-carbono exemplificam tal fato. A principal incumbência do metalurgista mecânico consiste em determinar a relação entre o comportamento mecânico e a estrutura dos metais, sendo esta última revelada essencialmente por técnicas de microscopia e raios X. Geralmente as propriedades mecânicas podem ser melhoradas ou ao menos controladas quando o comportamento
A metalurgia
mecânica
mecânico é interpretado em termos da estrutura metalúrgica. A Parte 2 deste livro apresenta os f undamentos metalúrgicos do comportamento mecânico dos metais. Já que a metalurgia mecânica é parte do espectro mais amplo que compreende a metalurgia f ís ica, os estudantes de metalurgia. já tendo cursado esta matéria anteriormente, deverão ter um conhecimento bem sedimentado de alguns dos assuntos desenvolvidos na Parte 2. Entretanto. estes tópicos mostram-se bem mais detalhadamente do que num curso básico de metalurgia f í sica. Os estudantes de outras áreas, que não cursaram esta cadeira, são auxiliados por tópicos adicionais que se ref erem mais à metalurgia física do que à mecânica, introduzidos com o intuito de proporcionar também uma melhor continuidade. Os três últimos capítulos da Parte 2 abrangem principalmente os conceitos atomí sticos do escoamento e da f ratura dos metais. O trabalho conjunto de fí sicos do estado sólido e metalurgistas resulta em vários desenvolvimentos nesta área. que tem apresentado enorme progresso. Um fato de grande importância prática para a verificação da teoria e de uma análise direcionada f oi a introdução do microscópio eletrônico de transmissão. É feita uma apresentação do conteúdo básico da teoria das discordâncias. o que é indispensável ao entendimento do comportamento mecânico dos sólidos cristalinos. Os dados referentes à resistência dos metais e medidas para o controle rotineiro das propriedades mecânicas são obtidos de um número relativamente pequeno de testes mecânicos radronizados. A Parte 3 desta obra considera cada um dos ensaios mecânicos mais comuns. cu jo enfoque não é dirigido às técnicas exrerimentais como é usual. mas à consideração do que estes testes fornecem sobre o desempenho de metais em serviço e como variáveis metalLlrgicas afetam seus resultados. Grande parte do material apresentado nas Partes I e 2 é utilizada na Parte 3. Admite-se neste ponto que o leitor já possua um curso convencional sobre ensaios ,de materiais ou esteja paralelamente assistindo a aulas de laboratório. onde roderá familiarizar-se com as técnicas de realização de testes. A Parte 4 trata dos fatores metalúrgico.s e mecânicos envolvidos na conf ormação de metais em formas utilizáveis. Pretendia-se inicialmente apresentar as análises matemáticas dos principais processos de conf ormação dos metais; entretanto, em certos casos, isto não foi possí vel devido à necessidade de um tratamento muito detalhado ou por estarem estas análises fora dos ob jetivos reais deste livro. Não se procurou incluir a extensa tecnologia especializada associada com cada processo de conformação em particular, como laminadio ou extrusão, embora tenhamos nos esforçado no sentido de f ornecer uma impressão geral sobre os equipamentos mecânicos necessários e familiarizar o leitor com o vocabulário especializado desta área. Uma ênf ase maior foi dada na apresentação de ilustrações razoavelmente simplificadas das forças envolvidas em cada processo e como os f atores geométricos e metalúrgicos afetam as cargas de trabalho e o sucesso dos processos de conformação.
A resistência dos materiais é parte da ciência que lida com a relação entre as forças internas, a deformação e as cargas externas. O primeiro passo para o método de análise mais comum utilizado em resistência dos materiais consiste em se admitir que o elemento está em equilíbrio. As equações do equilí brio estático são aplicadas às forças que atuam em alguma parte do corpo para que se obtenha uma relação entre as forças externas atuando no elemento e as f orças internas que resistem à ação das externas. É necessário transf ormar as f orças internas resistentes em externas, uma vez que as equações de equilíbrio devem ser expi-essas em termos de forças atuando externamente ao corpo. Isto pode ser conseguido passando-se um plano através do corpo. pelo ponto de interesse. A parte do corpo situada em u m dos lados do plano secante é removida e substituí da pelas f orças que ela exercia sobre a região seccionada da outra
parte do corpo. Já que as f orças atuando no "corpo livre" o mantêm em equilíbrio, podem-se aplicar ao problema as equações de equilíbrio. As forças internas resistentes são geralmente expressas pela tensôo atuante sobre uma certa área, de maneira que a f orça interna é a integral da tensão vezes a área dif erencial sobre a qual ela atua. Para que se possa calcular esta integral deve·se conhecer a distribuição da tensão sobre a área do plano secante. A distribuição de tensão é obtida observando-se e medindo-se a distribuição de def ormação no elemento, visto que a tensão não pode ser fisicamente medida. Entretanto, já que para pequenas def ormações a tensão é proporcional às deformações envolvidas na maioria dos trabalhos, a determinação da distribuição de deformação f ornece a distribuição de tensão. Substitui-se, então. a expressão para tensão nas equações de equilí brio e resolve-se para tensão em termos das cargas e dimensões do elemento. As hipóteses importantes em resistência dos materiais são que o corpo que está sendo analisado é contí nuo, homogêneo e isotrópico. Um cor po cont ín uo é aquele que não possui cavidades ou espaços vazios de qualquer espécie. Um corpo é homogêneo se possui propriedades idênticas em todos os pontos. É considerado isotr ó pico com relação a alguma propriedade se esta não varia com a direção ou a orientação. Uma propriedade que varia com a orientação com relação a algum sistema d e eixos é denominada onisot ró pica. Enquanto materiais comuns na engenharia como aço, ferro fundido e alumínio satisfazem aparentemente estas condições se observados macroscopicamente, não apresentam qualquer homogeneidade ou caracterí sticas isotrópicas quando vistos através d e u m microscópio. A maioria dos metais comuns na engenharia é constituí da de mais de uma f a se com propriedades mecânicas variadas, apresentando-se heterogêneos numa microescala. Além disso, mesmo um metal monof ásico possuirá geralmente segregações químicas e, por conseguinte, as propriedades não serão idênticas a cada ponto. Os metais são constituí dos de um agregado de grãos cristalinos, possuindo propriedades variadas em direções cristalográf icas dif erentes. A razão pela qual as equações da resistência dos materiais descrevem o comportamento de metais reais é que geralmente os grãos cristalinos são de tamanho tão reduzido que em uma amostra. com um certo volume macroscópico, o material é estatisticamente homogêneo e isotrópico. As propriedades mecânicas podem, entretanto, tornar-se anisotrópicas em uma macroescala no caso de metais severamente def ormados numa certa direção, como na laminação ou no f orjamento. Os materiais compostos ref orçados com fibras e o s monocristais constituem outros exemplos de propriedades anisotrópicas. Uma descontinuidade (estrutural) pode ser encontrada em peças f undidas porosas ou naquelas produzidas por metalurgia do pó e, em nível atômico. em defeitos tais como vazios e discordâncias. I
A experiência mostra que todos os materiais sólidos podem ser def ormados quando submetidos a uma carga externa e que. além disto. até um certo limite de cargas. o sólido recuperará suas dimensões originais quando a carga for retirada. Esta recuperação das dimensões originais de um corpo def ormado quando se retira a carga aplicada I 'l ástico. Ao valor limite a partir do qual o material não é denominada com portalllent o se comporta mais elasticamente denomina-se limit e elástico. Se excedido o limite elástico, o corpo apresentará uma deformação permanente após a retirada da carga aplicada. Def ine-se, então, como d l' forllwçâo plást ica aquela presente em um corpo que está permanentemente deformado . .Para a maioria dos materiais a deformação é proporcional à carga. se esta não
â " é definida como força por unidade de área. A def ormação é def inida como a Para as nossas finalidades. [< 'l I s variação de comprimento por unidade de comprimento. Definições mais completas serão dadas posteriormente. I
excede o limite elástico. Esta relação, conhecida como Lei de Hooke, é mais f reqüentemente expressa em termos da t ensúo pr o por cional e def ine uma à d e formaçâo dependência linear entre a carga e a def ormação. Isto, no entanto, não implica que todos os materiais que se comportam elasticamente devem, necessariamente, possuir uma relação linear entre a tensão e a deformação. A borracha é um exemplo de um material que apesar de satisf azer as condições de um corpo elástico não apresenta comportamento linear entre a tensão e a def ormação. As deformações elásticas são bastante pequenas e requerem instrumentos altamente sensíveis para medi-Ias. A utilização de instrumentos u1tra-sensíveis tem revelado serem os limites elásticos dos metais bem menores que os valores geralmente medidos em ensaios de materiais na engenharia. À proporção que os equipamentos de medida se tornam mais sensíveis, o limite elástico apresenta-se mais reduzido, de maneira que para a maioria dos metais existe apenas um pequeno intervalo de cargas onde a Lei de Hook e é rigorosamente válida. Isto, porém, é um aspecto de importância mais acadêmica. e a lei de Hook e continua caracterizando uma relação de grande validade para pro jetos de engenharia.
Para a discussão da tensão e deformação considera-se inicialmente uma barra cilíndrica e unif orme que é submetida a uma carga de tração axial (Fig. 1.1) e que duas marcas são colocadas na superf í cie da barra antes de def ormada, sendo Lo o comprimento inicial entre estas marcas. Uma carga P é aplicada a uma das extremidades da barra cujo comprimento inicial sof re um pequeno aumento e o diâmetro um decréscimo. A distância entre marcas iniciais cresce de uma quantidade Ô, denominada elongação. A razão da variação de comprimento com o comprimento inicial def ine a d e f ormaçâo
lincar mé di a,
c.
Assim, 8
ó-L
L - Lo
e = = =
Lo
Lo
Lo
( 1 .1 )
A def ormação é uma quantidade adimensional já que tanto Ô quanto Lo são expressas em unidades de comprimento. A Fig. J.2 mostra o diagrama de corpo livre para a barra cilíndrica apresentada na Fig. I. J . A carga externa. P. é equilibrada pela f orça interna resistente, f ( J dA, onde (J é a tensão normal ao plano secante e A a área da seção reta da barra. A equação de equilíbrio é P
Fig. axial.
1.1
Barra
cilí ndrica
su jeita
a carga
Fig. 1.2 Diagrama Fig. I. \.
f
=
(j
d A
de corpo
( 1.2)
livre para a
P = (J
f d A
= ( J A
P
(J = -
A Geralmente, a lensào nào se distribui unif ormemente sobre a área A. e a Eq. (1.3) representa uma { i' I 1 f osse rigorosamente uniforme. todo Sc lO mé dia. Para que a tensào elemento longitudinal da barra teria que apresentar a mesma def ormaçào e o limite de proporcional idade entre a tensào e a def ormação deveria ser idêntico para cada elemento em particular. A possibilidade de se possuir uma uniformidade de tensão total em um corpo de dimensões macroscópicas é eliminada tanto pela anisotropia inerente entre grãos em um metal policristalino quanto pela presença de mais de uma f ase. se o material é analisado em escala microscópica. Se a barra não for reta ou se a carga não for aplicada em seu centro geométrico. as deformações não serào as mesmas para alguns elementos longitudinais e. conseqüentemente, a tensão não será unif orme. Uma variação brusca da área da seção reta do material determina um concentrado de tensões (ver Seção 2.16), o que implica na obtenção de uma distribuição de tensões não uniforme. Nos pro jetos de engenharia a carga é geralmente medidq em libras e a área em polegadas quadradas, logo, a tensão é expressa em libras por polegada quadrada (psi)+. Como é comum para os engenheiros lidarem com cargas na casa dos milhares, por simplificação, trabalha-se com unidades de 1.000 Ib, denominadas k i ps. Assim. a tensão pode também ser expressa em unidades de kips por polegada quadrada (k si). (I ksi = 1.000 psi). Em trabalhos cientí f icos a tensão é freqüentemente expressa em quilogramas por milí metro quadrado ou em dinas por centímetro quadrado (1 k g / mm2 = 9.81 x 7 2 10 dyn / cm ). Entretanto, no Sistema Internacional de Unidades (S I), que é uma versão moderna do sistema métrico, a unidade oficial de tensão é o newton por metro quadrado, N/ m2, que tem sido denominado pascal (Pa). Porém, a tensão em newtons por metro quaurauo representa valores mu ito pequenos (1 N/ m" = 0.000145 psi); assi m, a tensão é mais comumente exrressa em meganewtolls por melro quadrado. 2 I MN / m = lati N / m2 = 145 rsi.1 A lei de Hook e pode ser considerada válida abaixo do limite elástico, onde a tensão média é proporcional à def ormação média, ( J
- = E = constante
(1.4)
e
Os dados f undamentais à análise das propriedades mecãnicas de um metal dúctil são obtidos de um ensaio de tração, realizado com um corpo de prova com geometria adequada, ao qual aplica-se uma carga axial crescente até que o material se rompa. A carga e a elongação são registradas a cada pequeno intervalo de tempo durante o teste e podem ser expressas em termos de tensão e deformação médias, de acordo com as
+N. do T. Estas unidades são utilizadas apenas nos paí ses de lí ngua inglesa; entretanto, atualmente estão convergindo para O sistema métrico internacionaL Em outras partes do livro será utilizada a terminologia lbl pol' em vez de psi.
equações da seção anterior. (Maiores detalhes sobre o ensaio de tração são dados no Capo 9.) Os dados obtidos deste ensaio são geralmente apresentados em uma curva tensào-deformação. A Fig. 1.3 mostra uma curva tensão-deformação típica para materiais tais como alumínio e cobre. A porção linear inicial da curva , OA, é a região elástica na qual a lei d e Hooke é obedecida. O ponto A é o limite elástico, que é definido como a tensão máxima que o material pode suportar sem que apresente deformação permanente após a retirada da carga. A determinação do limite elástico não é um simples trabalho de rotina, sendo, na realidade, bastante laboriosa e dependendo grande mente do grau de sensibilidade do aparelho de medida. Sendo assim, ele é freqüentemente substituído pelo limite de proporcionalidade , ponto A', que é a tensão para a qual a curva tensão-deformação se desvia da linearidade. O módulo de elasticidade é o coeficiente angular à curva tensão-deformação nesta região . Em engenharia, o limite que descreve o comportamento elástico utilizável é o ponto B , definido como a tensão que produz uma /imite de I 'S ('O{//l1l' nto convencional, pequena quantidade de deformação permanente, geralmente igual a 0 ,002. Na Fig. 1,] esta deformação permanente é Quando o limite elástico é excedido, inicia-se a deformação plástica. À medida que esta aumenta o metal se torna mais resistente, (encruameuto) e a tensão necessária à eiongação do corpo de prova cresce com o aumento de deformação, Eventualmente a carga atinge um valor máximo , sendo o /imite de resistência à truçâo igual à carga máxima dividida pela área inicial do corpo de prova. Para um metal dúctil, o diâmetro do corpo de prova começa a decrescer rapidamente ao se ultrapassar a carga máxima; assim, a carga necessária para continuar a deformação diminui até que o material se r ompa. Como a tensão média se baseia na área inicial do corpo de prova , esta também decresce a partir da carga máxima até a fratura.
oe.
Os materiais submetidos a uma carga podem ser classificados quanto ao seu comportamento mecânico em dúcteis ou frágeis , dependendo da sua habilidade de suportar ou nào uma deformação plástica. A Fig. 1 .3 é uma ilustração da curva tensão-deformação de uni material dúctil. Um material completamente frágil se romperia próximo ao limite elástico (Fig. l.4a), ao passo que um llaterial frágil , como o ferro fundido branco, suportaria alguma deformação plástica (Fig. 1.4&). Uma ductilidade adequada é um fator de importância em engenharia, pois permite ao material redistribuir tensões localizadas. Se as tensões localizadas em entalhes ou outros concentradores de ten são acidentais não precisam ser considerados , pode-se projetar em termos de situações estáticas com base em tensões médias. Entretanto, as tensões localizadas em m ateriais frágeis continuam a aumentar se não exist e um escoamento localizado, até que e desenvolvam trincas em um ou mais pontos de concentraç ão de tensão. que se propa-
Deformação
(a)
Deformação (b)
Fig. 1.4 ( a ) Curva tensão-def ormação para material totalmente f rágil (comportamento ideal); ( b ) curva tensão-deformação para um metal com pequena ductilidade.
gam rapidamente por toda a seção. Em um material frágil, mesmo não havendo concentradores de tensão, ainda assim a fratura ocorrerá inesperadamente, visto que a tensão de escoamento e o limite de resistência à tração são praticamente idênticos. É importante ressaltar que a fragilidade não é uma propriedade absoluta de um metal. O tungstênio. por exemplo, é frágil à temperatura ambiente, porém se comporta de maneira dúctil a temperaturas elevadas. Um metal frágil em tração pode apresentarse dúctil em compressão hidrostática. Além disto. um metal que se ja dúctil em tração à temperatura ambiente poderá tornar-se frágil na eventualidade de possuir entalhes ou elementos fragilizantes tal como o hidrogênio ou Ser ensaiado a baixa temperatura ou a altas taxas de carregamento.
Existem três maneiras genéricas segundo as quais um componente estrutural, ou elemento de uma máquina. pode deixar de cumprir as f unções para as quais foi projetado: elástica excessiva I . Deformação 2. Escoamento ou deformação plástica excessiva 3. Fratura Para que se faça um bom pro jeto é importante ter-se conhecimento dos tipos mais comuns de falhas possí veis de ocorrer, porque é sempre necessário relacionar as cargas e dimensões do componente com alguns parâme~ros de signif icância para o material, que limita a capacidade do componente de suportar uma carga. A cada tipo de falha associam-se parâmetros específicos de expressiva importância. Em geral. dois tipos de deformação elástica excessiva podem ocorrer: I. detlexão demasiada sob condições de equilíbrio estável, como no caso de uma viga sendo gradualmente carregada; 2. detlexão o uf l al l lba ge ll l repentinas. sob condições de equilí brio estável. A deformação elástica excessiva de uma peça em um equipamento pode signif icar uma f alha como se esta peça fosse completamente fraturada. Como exemplo. pode-se citar o rápido desgaste de mancais causado por eixos muito tlexíveis ou a intefierência ou mesmo dano causado às peças pela excessiva detlexão de partes acopladas em contato íntimo entre si. O tipo de falha que ocorre como uma tlambagem repentina pode se manif estar em uma coluna delgada quando o carregamento axial excede a carga crítica de Euler ou quando a pressão externa atuando em uma cápsula de pare- . des f inas ultrapassa um valor crítico. As f alhas devido à deformação elástica excessiva são controladas nào pela resistência do material. mas pelo seu método de elasticidade. Geralmente. pouco controle metalúrgico pode ser exercido sobre este parâmetro. A maneira mais efetiva de se aumentar a rigidez de um componente é variando-se as dimensões da sua seção reta. O escoamento ou def ormação plástica de um metal ocorre quando seu limite elástico é ultrapassado. O escoamento causa uma mudança de forma permanente. fazendo com que o elemento não f uncione mais adequadamente. O escoamento de um metal dúctil sob condições de carregamento estático à temperatura ambiente raramente provoca fratura. porque à medida que o metal se deforma ele encrua. e uma tensão cada
vez maior é necessária para produzir posterior def ormação. Para condições de carregamento uniaxial, a falha devido à def ormação plástica excessiva pode ser controlada pelo -limite de escoamento convencional do metal. Este continua a ser o parâmetro importante em condições mais complexas de carregamento; entretanto, deve-se utilizar um critério de iní cio de escoamento adequado (Seção 3.4). Os metais nâo mais apresentam encruamento a temperaturas significantemente maiores que a temperatura ambiente. Em lugar disto, podem-se deformar continuamente à tensão constante, apresentando escoamento dependente do tempo conhecido como f luência. Sob condições de f luência, o critério de início de escoamento torna-se razoavelmente complicado pelo f ato da tensâo não ser proporcional à def ormação e também porque as propriedades mecânicas do material podem variar apreciavelmente quando em serviço. Este fenômeno complexo será tratado com maior detalhe no Capo 13. A formação de uma trinca que pode ocasionar o rompimento completo da continuidade do componente caracteriza a fratura. Uma peça feita com um metal dúctil, quando submetida a um carregamento estático, raramente se romperá por fratura como um corpo de prova, pois primeiramente f alhará por def ormação plástica excessiva. Entretanto, os metais f alham por fratura de três maneiras: (I) fratura f rágil repentina; (2) f adiga ou fratura progressiva; (3) fratura retardada. Na seção anterior mostrou-se que um material frágil sob carregamento estático rompe-se sem grande evidência externa de escoamento. Uma fratura f rágil repentina pode também ocorrer em metais dúcteis sob certas condições especí f icas. O aço-carbono estrutural é o e x emplo mais comum de um material que apresenta uma transição dúctil-frágil. A mudança do comportamento caracterí stico de fratura dúctil para o de f ratura frágil é favorecida pelo decréscimo de temperatura, aumento da taxa de carregamento e pela presença de um estado complexo de tensões causado por um entalhe. Este problema é considerado no Capo 14. A maioria das fraturas em componentes de máquinas é devida à fadiga . A fratura por fadiga ocorre em partes submetidas a tensôes alternadas ou flutuantes. O componente é levado à fratura quando uma trinca diminuta pontualmente localizada, geralmente em um entalhe ou concentrador de tensões, gradualmente se propaga pela seção reta do material. A falha por fadiga ocorre sem nenhum sinal visí vel de escoamento em tensões médias ou nominais bem abaixo da resistência à tração do metal. Esta falha é causada por uma tensão crítica locali zada de muito difí cil avaliação. Desta forma, os pro jetos que levam em conta a falha por fadiga baseiam-se principalmente em relaçôes empíricas que utilizam tensões nominais. A f adiga dos metais é discutida em maior detalhe no Capo 12. Um tipo comum de fratura retardada é a falha de m ptura soh tensâo , que ocorre quando um metal é submetido a um carregamento estático a uma temperatura elevada por um período de tempo longo. Dependendo da tensão e da temperatura pode não haver escoamento antes da f ratura. Um tipo similar de fratura retardada, na qual não existe uma advertência pelo escoamento antes da f r atura, ocorre à temperatura ambiente quando um aço é carregado estaticamente em presença de hidrogênio. Todos os materiais utilizados em engenharia apresentam uma certa variabilidade nas propriedades mecânicas que podem ser inf luenciadas pelos diversos tipos de tra- " tamentos técnicos ou processos de fabricação. Além disto, em geral existem incertezas quanto à magnitude das cargas aplicadas e necessitam-se usualmente de certas aproximações para o cálculo das tensões em todos os componentes, exceto os mais simples. Deve-se levar em conta a possibilidade de surgimento de cargas acidentais de alta magnitude. Assim, para que se tenha uma margem de segurança e se evitem falhas devido a causas imprevistas, é necessário que as tensões permitidas sejam menores do que aquelas que levarão a falhas. Denomina-se geralmente (T il " ' o tensâo d e trabalho , valor da t ensão para um determinado material utilizado sob certas condições consideradas de segurança. Para carregamentos estáticos. a tensão de trabalho de um metal dúctil é geralmente baseada na tensão de escoamento, metais frágeis na (To, e para resistência máxima à tração. ( T il' Os valores das tensões de trabalho são estabelecidos
por agências locais e f ederais e por organizações técnicas tais como a Sociedade Americana de Engenheiros Mecânicos (ASME). A tensão de trabalho pode ser considerada como a razão ntre a tensão de escoamento ou limite de resistência à tração e um . d I ' sl' gllr allÇ "a númerodenominadofálor 0"0
= -
O" W
No
onde a". = tensão de trabalho. k g / mm2 ao = tensão de escoamento, kg / mm2 2 a" = limite de resistência à tração, k g / mm N o =f ator de segurança baseado na tensão de escoamento N u = f ator de segurança baseado no limite de resistência à tração
o
valor conf erido ao f ator de segurança depende de uma estimativa de todos os f atores discutidos acima. Uma consideração especial deve ser dada às conseqüências resultantes de uma f alha. Para a s falhas que podem originar perigos de vida, utilizamse f atores de segurança maiores. O tipo de equipamento também inf luencia a determinação do fator de segurança. Em equipamentos militares, onde pouco peso é geralmente almejado, o fator de segurança pode ser menor que em equipamentos comerciais, e em qualquer caso dependerá do tipo de carregamento a que será submetido. Para um carregamento estático. como em um edif í cio, o f ator de segurança seria menor do que numa máquina que está submetida a vibrações e tensões f lutuantes.
A tensão é def inida como força por unidade de área. Na Seção 1.4, considerou-se que a tensão era unif ormemente distribuí da sobre a área da seção reta do componente, entretanto, em geral isto não ocorre. A Fig. 1.5a representa um corpo em equilíbrio , P " . Existem dois tipos de forças externas sob a ação das forças externas P" P 2 •... que podem atuar sobre um corpo: forças superficiais e f orças de corpo. As f orças distribuídas sobre a supelfície do corpo. tais como a força hidrostática ou a pressão exercida por um corpo sobre o outro, são denominadas fiJ rç as sl Ipl' r f iciais. As f orças distribuídas sobre o volume de um corpo, tais como f orças gravitacional, magnética ou de inércia (para um corpo em movimento). são denominadasforÇ"as d I ' cor po. Os dois tipos mais comuns de forças de corpo encontradas na engenharia são as f orças centrí-
Fig. 1.5 parte 2.
( a )
Corpo em equilíbrio sob a ação das forças externas
PI' .... P5:
( b)
f orças atuantes na
Fig.
1.6 Rebatimento
da f orça
total
em suas
componentes.
f ugas, devido a altas velocidades de rotação. e forças devido a gradientes de temperatura no material (tensão térmica). Na realidade. a força não se distribui uniformemente sobre qualquer seção reta do corpo ilustrado na Fig. 1.5 a. Para se obter a tensão atuante em um ponto O do plano I do corpo é removida e substituí da pelo sistema de forças externas atuan11111 I . a parte tes sobre 111/11. permanecendo cada ponto da parte 2 do corpo na mesma posição que ocupava antes da retirada da parte I. Esta situação é apresentada na Fig. 1.5b , onde podemos supor que uma fo rça t :: , p atua sobre uma área Li A em torno do ponto O. O valor limite da razão t : :,p / Li A. à medida que a área Li A tende continuamente para zero, é a tensão no ponto O do plano 111 11I da parte 2 do corpo.
.
I 1P
â A~ O
I1 A
ltm -
a
=
( 1 .6)
A tensão estará na direção da f orça resultante P . formando, em geral. um certo ângulo de inclinação com a área Li A. A mesma tensão atuante no ponto O do plano 11I11I seria obtida se o corpo livre fosse construído através da remoção da parte 2 do corpo sólido. Entretanto. esta tensão seria dif erente para qualquer outro plano passando pelo ponto O, como. por exemplo. o plano 1111. utilizar uma tensão que se ja inclinada a um ângulo arbitrário em É inconveniente relação à área sobre a qual ela atua. A tensão total pode ser resolvida em duas componentes, uma t el1sâo l10r mal (0' ), perpendicular à área Li A. e uma t el1sâo cisalhant e (7 ) , localizada no plano m ll 1 da área. A Fig. 1.6 ilustra o rebatimento da força P que forma um ângulo e com a normal z ao plano da área A. A linha trace jada que f az um ângulo 4 > com o eixo." é a interseção do plano que contém a normal e P com o plano A. A tensão normal é dada por
a
P = -
A
r
Esta tensão cisalhante x e." do plano.
pode ainda
ser resolvida
em componentes
A
=
P -sen8 A
=
paralelas
P
r
cos 8
sen e sen 4 >
( 1.7)
(1.8)
às direções
P T
=-
A
Desta forma, um plano pode ter. em geral, tes atuando sobre ele.
uma tensão
normal
sen ecos
e duas tensões
Na Seção 1.4, a def ormação linear média f oi definida como a razão entre comprimento de uma certa dimensão e o seu comprimento inicial. f J
4J
cisalhan-
a variação
de
t :..L L - Lo
e = = =
Lo onde
e = def ormação 8 = elongação
linear
Lo
Lo
média
Por analogia com a def inição de tensão em razão entre a elongação e o comprimento zero. Em vez de se referir a variação de costuma-se mais f reqüentemente def inir a linear dividida pelo valor instantâneo desta
u m ponto. a def ormação em um ponto é a inicial, à medida que este último tende a comprimento pelo comprimento original def ormação como a variação da dimensão dimensão.
/lall/m/ ou I 'e rdadeim. A equação acima def ine a d eJimllaçâo A def ormação verdadeira, que é útil na abordagem de problemas sobre plasticidade e conf ormação dos metais, será discutida mais detalhadamente no Capo 3 . Para o momento deve-se ressaltar que as pequenas def ormações. para as quais as equações de elasticidade são válidas, as duas def inições de deformação fornecem valores idênticos. A def ormação elástica de um corpo ocasiona não apenas uma variação de comprimento de um elemento linear do corpo, mas pode também resultar numa mudança do ângulo inicial entre duas linhas. A variação angular em um ângulo reto é conhecida como d e formaçâo A Fig. 1.7 ilustra a def ormação produzida por um cisacisa /ha /lle. Ihamento puro de uma das faces de um cubo. Com a aplicação da tensão cisalhante o ângulo em A , que era originalmente de 90°, decresce de uma pequena quantidade e . A def ormação cisalhante y é igual ao deslocamento a dividido pela distância h entre os planos. A razão a / h é também a tangente do ângulo através do qual o elemento sofreu rotação. A tangente do ângulo e o próprio ângulo (em radianos) são iguais. para os
f
f
B k -, I f
I
I
I I
pequenos ângulos geralmente envolvidos. Assim, as deformações ralmente expressas como ângulos de rotação.
cisalhantes
são ge-
a
') I
= - = tan ( J = ( J h
Crandall, S. H., and N. C. Dahl (eds.): "An Introduction to the Mechanics of Solids," McGraw-Hill Book Company, New York , 1959. Druck er, D. C.: "Introduction to Mechanics of Deformable Solids," McGraw-Hill Book Company, New York, 1967. Freudenthal, A.: "Mechanics of Solids," John Wiley & Sons, Inc., New York , 1966. Gillam, E.: "MateriaIs Under Stress," Butterworths & Co. (Publishers), Ltd., London, 1969. Housner, G. W., and T. Vreeland: "The Analysis of Stress and Def ormation," The Macmillan..Company, New York , 1966. Polakowski, N. H., and E. J. Ripling: "Strength and Structure of Engineering Materiais," Prentice-Hall, Inc., Englewood Clif fs , N.J., 1964.
Relações entre Tensão e Deformação para o Comportamento Elástico
intuito deste capítulo é apresentar as relações matemáticas que definem a tensão e a deformação em um ponto e as relações entre a tensão e a def ormação em um sólido que obedece à Lei de Hook e. Embora parte dos assuntos tratados neste capítulo se ja uma revisão das informações abordadas em resistência dos materiais, a matéria se estende além deste ponto, considerando a tensão e a def ormação em três dimensões e uma introdução à teoria da elasticidade. A matéria incluída neste capí tulo é importante para a compreensãQ da maioria dos aspectos fenomenológicos da metalurgia mecânica, merecendo especial atenção dos leitores não familiarizados com a disciplina. Devido às limitações de espaço não f oi possí vel desenvolver ". matéria até o ponto em que se pudessem resolver problemas mais amplamente. Este material, entretanto, proporciona uma base para melhor compreensão da literatura matemática da metalurgia mecânica. Ressalta-se o f ato de que as equações que descrevem o estado de tensões ou def ormações em u m corpo s ã o aplicáveis a qualquer material contínuo, se ja um sólido elástico ou plástico, seja um fluido viscoso. Na realidade esta parte da ciência é denominada mecânica d o contínuo. As equações que relacionam tensão e deformação denominam-se equações constitutivas porque dependem do comportamento do material. Neste capítulo só consideraremos as equações constitutivas para um sólido elástico. o
Como f o i descrito na Seção 1.8, em geral é mais conveniente resolver as tensões atuantes em um ponto em componentes normais e cisalhantes. Freqüentemente as componentes das tensões cisalhantes f ormam ângulos arbitrários com os eixos coordenados, sendo conveniente, então, rebatê-Ias novamente em duas outras componentes. O caso geral é mostrado na Fig. 2.1. As tensões atuando perpendicularmente às f aces do cubo elementar são identificadas pelo subíndice, que identifica também a direção na qual a tensão atua. Isto é, ( J é a tensão normal que atua na direção x. Por convenção, tensões normais de tração são aquelas cujos valores são maiores que zero, sendo compressivas as que possuem valores menores que zero. 1I0das as tensões normais da Fig. 2. 1 são trativas. x
ay
Fig. 2.1 Tensões atuantes em um cubo unitário elementar.
Para descrever as tensões cisalhantes são necessários dois subíndices. O primeiro indica o plano e o segundo a direção na qual a tensão atua. Como um plano é mais facilmente definido pela sua normal, o primeiro subíndice se refere a esta normal. Por exemplo, T yz é a tensão cisalhante no plano perpendicular ao eixo y, na direção do eixo Z, e T yX é a tensão cisalhante no plano perpendicular ao eixo y , na direção do eixo x. Uma tensão cisalhante é positiva se é dirigida para o s entido positivo na face positiva de um cubo unitário. (E também positiva se aponta para o sentido negativo na face negativa de um cubo unitário.) Todas as tensões cisalhantes na Fig. 2.2a são positivas independentemente do tipo de tensões normais presentes. Uma tensão cisalhante é negativa se é dirigida para o sentido negativo de uma face positiva de um cubo unitário, e vice-versa. As tensões cisalhantes mostradas na Fig. 2.2b são todas negativas. A notação para tensões acima apresentada é a utilizada por Timoshenk o' e a maioria dos autores americanos no campo da elasticidade. Entretanto várias outras notações têm sido utilizadas, algumas das quais estão relacionadas abaixo. ~
+y
(Jx
(J 11
(J y
(J 22
(J z
(J 33
Zz
'x y
(J 12
X y
'y z
(J 23
Yz
'zx
(J 31
Xx
Y y
Z x
XX
P xx
yy
P yy
zz
p z z
x y y z f i
P xy P y z p zx
+y
2.2 Convenção de sinais para a tensão cisalhante. (a) Positiva; ( b ) negativa;
Fig.
Pode ser visto, pela Fig. 2.1, que devem ser definidas nove quantidades para que se estabeleça o estado de tensões em um ponto. Elas são U' x, U'v , U'z, T X Y ' T xz , T vx , T y Z' podem-se fazer algumas simplificações. Se admitirmos que as T z x e T 11' Entretanto, áreas das faces do cubo unitário são pequenas o bastante para que a variação de tensões seja desprezada, pode-se então mostrar que, tomando-se a soma dos momentos das forças em relação ao eixo z , T X )) T v x. Z
=
Assim, o estado de tensões em um ponto é completamente nentes: três tensões normais e três tensões cisalhantes, U'x ,
descrito por seis compoU' v '
U'z,
Txv,
, Txz
Ty z '
Muitos problemas podem ser simplificados ao se considerar um estado de tensões bidimensional. Isto é feito freqüentemente na prática quando uma das dimensões do corpo é pequena em relação às demais. Por exemplo, ao se carregar uma chapa fina, no plano da chapa não existirá tensão atuando na direção perpendicular à superfície da. chapa. O sistema de tensões será constituído por duas tensões normais U'x e U'v e uma tensão cisalhante Tx v' Denomina-se t ensã o plana à condição de se possuir tensões nulas em uma das direções principais do material. A Fig. 2.3 mostra uma placa fina cuja espessura é normal ao plano do papel. Para que conheçamos o estado de tensões no ponto O da placa, devemos ser capazes de descrever as componentes de tensão em O para qualquer orientação dos eixos coordenados passando através daquele ponto. Para tal, considera-se um plano oblíquo, normal ao plano do papel, cuja normal faz um ângulo e com o eixo do x. Seja x ' a direção normal a este plano e y' uma direção pertencente ao plano oblíquo. Admite-se que o plano mostrado na Fig. 2.3 está a uma distância infinitesimal de O e que o elemento é tão pequeno que se desprezam as variações de tensões ao longo dos lados do clemento. As tensões atuantes no plano oblíquo são a tensão normal U' e a tensão cisalhante T. O S co-senos diretores entre x' e x e x' e y são, respectivamente, I em. Pela geometria da Fig. 2.3, I = cos e em = sen e . Se A é a área do plano oblíquo, as áreas dos lados do elemento perpendiculares a x e y são AI e Am.
Sejam S x e S j l as componente nas direções x e y da tensão total atuando na face inclinada. Tomando-se o somatório das for ças nas direções x e y, obtêm-se: S" A S y A
O x' "
=
()
(()
mas, sen (() + n / 2 )
+ n / 2 )
'x 'Y '
=
S y cos ()- S xsen
' x ' Y'
=
' xiCOS ()
+ O " y sen2
= cos () ecos
=
Sy
=
O "x cos () + 'x y sen ()
O"ysen() + 'x y cos ()
+ O"ysen2 () + 2, x y sen () cos ()
2
(()
-sen2
+ n / 2 ) (() + n / 2 )
(2.2)
() ()
A tensão ( J !J' pode ser encontrada substituindo-se que ( J ! J' é ortogonal a (J x' . 2
Sx
S x cos () + S y sen ()
O " x' = O "X cos2
O " y' = O " X cos
' rn + x yA = O "yA rn + 'xyA I
= O " xA 1
O
+
(O" y -
O"Jsen ()cos ()
+
71' /2 por
O
(2.3)
na Eq. (2.2), uma vez
+ 2 , x y sen (() + n / 2 )
cos (() + n / 2 )
= -sen ()
As Eqs. (2.2) a (2.4) são as transformadas das equações de tensão que f ornecem as tensões no sistema coordenado x' y' se são conhecidas as tensões no sistema coordenado xy e o ângulo O . Para auxiliar nos cálculos é conveniente expressar as equações de (2.2) a (2.4) em termos do ângulo duplo 20. Isto pode ser feito através das seguintes identidades: cos 2
= c_o_s_2_{)_+_1
()
2 sen
2 ()
1 - cos 2{)
= ------
2
2 sen ()cos () = sen 2{) cos2
() -
sen
2 ()
= cos 2{)
a , ,+a y
a . y
' t"".y.
= --- 2 =
a,,-a y
- --- 2
ay-a"
2 sen
28
cos 28 -
+ ' t" " y cos
't"
"y
sen 28
28
(2.6)
(2.7)
É importante notar-se que U x ' + uy • = U x + U y• Assim, a soma das tensões normais em dois planos perpendiculares é uma quantidade invariant e, isto é, ela é independente da orientação ou do ângulo (J . As Eqs. (2.2) e (2.3) e suas equivalentes, Eqs. (2.5) e (2.7), descrevem as tensões normal e cisalhante em qualquer plano através de um ponto em um corpo sujeito a um estado plano de tensões. A Fig. 2.4 apresenta a variação das tensões normal e cisaIhante com ( J para o estado plano de tensões biaxial mostrado no topo da figura. Os seguintes fatos importantes podem ser notados nesta f igura: I. Os valores máximo e mí nimo da tensão normal no plano oblíquo através do ponto O ocorrem quando a tensão cisalhante é nula. 2. Os valores máximo e mínimo para ambas as tensões normal e cisalhante ocorrem para ângulos defasados de 90°. 3. A tensão cisalhante máxima ocorre em um ângulo a meio caminho entre as tensões normais máxima e mí nima. 4 . A variação das tensões normal e cisalhante ocorre na f orma de uma onda senoidal, com perí odo (J = 180°. Estas relações são válidas para qualquer estado de tensões.
t T P ----!-
u ,
C 7j
1
2.000 Ib / pol'
~t
I~ "12.000
=
u,.: ~6000 Ib / poL' U " ;ru -
----r--
2 .000
Ib / poL'
tO)-
10.000
o .e -
8.000
f l
,:
6.000
" c.,
.t::
4.000
Oi
'"
"ü
" ..,o ~~ I -
2.000
Oi
E o c:
H io
O
o '~ c:
" ,o::l., o".
:
I -
0 ,
graus
I
:
45°----+-45°-- j r -
E o
( )
I_ -6.000 - 8.000
90°
·1
Para qualquer estado de tensões é sempre possível definir um novo sistema coordenado cujos eixos são perpendiculares aos planos nos quais as tensões normais máximas atuam e não existem tensões cisalhantes atuando. Estes planos são denominados planos principais, e suas tensões normais t ensões principais. Para a tensão plana bidimensional existirão duas tensões principais, (T, e ( T2, que ocorrem em ângulos defasados de 90° (Fig. 2.4). Para o caso mais geral de uma tensão tridimensional, existirão três tensões principais, ( T " (T 2 e ( T 3. Por convenção, ( T, é algebricamente a maior das tensões principais, enquanto que (T 3 é o valor algebricamente menor. As direções das tensões principais são os ei xos principais I, 2 e 3. Embora geralmente os eixos principais 1, 2 e 3 não coincidam com os eixos cartesianos, para diversas situações encontradas na prática esta coincidência pode existir, devido à simetria de carga e def ormação. A especif icação das tensões principais e suas direções proporciona uma maneira conveniente de se descrever o estado de tensões em u m ponto. Uma vez que, por definição, um plano principal não contém tensão cisalhante, suas relações angulares com respeito aos eixos coordenados x y podem ser determinadas encontrando-se os valores de 8 através da Eq. (2.3), fazendo-se T X 'y' =O. TxicoS2 T xy < J x -
< J y
8 -sen2
8)
+ (< J y
- o-x )s en
8 cos 8 = O
sen 8 cos 8 ·!(sen 28) 1 ----= --= - tan 28 cos 2 8 - sen 2 8 cos 28 2
tan28=~~ o-x-
Já que tan 28 tan (71" + 28 ), a Eq. (2.8) tem duas raízes; raízes definem dois planos mutuamente perpendiculares mento. A Eq. (2.5) fornecerá as tensões principais quando os (da Eq. (2.8)) forem nela substituídos. Estes valores de cos Eq. (2.8) através das relações de Pitágoras: =
8, e 8 2
8,
=
+
1171"/2. Estas
onde não ocorre cisalhavalores de cos 28 e sen 28 28 e sen 20 são obtidos da
Substituindo-se estes valores na Eq. (2.5), obtém-se a expressão para as tensões principais máxima e mínima, para um estado de tensões bidimensional (biaxial).
A direção dos planos principais é encontrada determinando-se o valor de 8 na Eq. (2.8). Deve-se tomar um cuidado especial para estabelecer se 28 está entre Oe 7T/2,7Te 37T/2,etc . A Fig. 2.5 mostra uma maneira simples de se estabelecer a direção da maior tensão principal, Esta tensão deverá localizar-se entre a tensão normal algebricamente maior e a diagonal de cisalhamento. Para perceber este fato intuitivamente con0" 1' Se somente sidere que, se não existissem tensões cisalhantes, então, O" x atuassem as tensões cisalhantes, uma tensão normal (a tensão principal) existiria ao longo da diagonal de cisalhamento. Se ambas as tensões, normal e cisalhante, atuam no elemento, então se localiza entre as influências destes dois efeitos. à Eq. (2.7), Para encontrar a tensão cisalhante máxima, retomamos dif erenciando-a em relação à 8 e igualando a zero. 0"1 '
=
0 " 1
Comparando com o ângulo para o qual ocorrem os planos principais, Eq. (2.8), ta1128 O" y), verificamos que a tan 28. é o recí proco da tan 28 n com sinal nega= 27 x j(O" x tivo. Isto significa que 28. e 28" são ortogonais e que 8. e 8 estâo separados no espaço por 45°. A magnitude da tensão cisalhante máxima é encontrada substituindo-se a Eq. (2.10) na Eq. (2.7).
n
n
Um método gráf ico muito útil para representar o estado de tensões em um ponto, num plano oblíquo através do ponto, f oi proposto por O. Mohr. As transformadas das equações de tensão, Eq. (2.5) e Eq. (2.7), podem sei" rearranjadas, f ornecendo (J x
'y' x'
+
=
2 -
(Jx
(
(Jx-( J y
=
+
sen
7 X 'y'
(J y)
2 -
2
cos
2 -
(J y-(J x
Podemos resolver para O" x' em termos de ao quadrado e somando-as,
(Jx ' -
(J y
2 -
(J x' -
+ 'x y 2 8
+ ' x ysen 2 8
cos
28
2 8
elevando-se cada uma destas equações
+
((J x -
2
'x ' y'
=
( J y)
2 -
2
+
2
'xy
A Eq. (2.12) é a equação de um círculo da forma (x - h)2 + y2 = r 2 . Assim, o cí rculo de Mohr é um círculo com coordenadas O" x' , 7 'y' com raio igual a 7 111ax e o c entro deslocado para a direita da origem de (O" x + O" y)/2. Para se trabalhar com o círculo de Mohr, existem apenas algumas poucas regras básicas que devem ser lembradas. Um ângulo 8 no elemento físico é representado por 28 no círculo de Mohr. O mesmo senso de rotação (a favor ou contra a dos ponteiros do relógio) deve ser usado em cada caso. Uma outra convenção para expressar a tensão cisalhante é utilizada ao se desenhar e interpretar o círculo de Mohr. Esta convenção diz que uma tensão cisalhante que causa uma rotação no sentido horário X
y
C T
t
~ jD r~ C T x
T yX = T XY
--
~t
Fig. 2.6 (a) Círculo de Mohr para um estado de tensões bidimensional; utilizando pólo das normais.
(b) círculo de Mohr
em relação a qualquer ponto no elemento físico é representada acima do eixo horizontal do círculo de Mohr. Um ponto no círculo de Mohr fornece a direção e magnitude das tensões normal e cisalhante em qualquer plano do elemento físico. A Fig. 2.60 ilustra o desenho e a utilização do círculo de Mohr para o estado de tensões específico mostrado acima, à esquerda. As tensões normais são representadas ao longo do eixo dos x e as tensões cisalhantes ao longo do eixo dos y. As tensões contidas nos planos normais aos eixos x e y são representadas como pontos A e B. A interseção da linha AB com o eixo dos U' determina o centro do círculo. Nos pontos D e E a tensão cisalhante é nula, assim, estes pontos representam os valores das tensões principais. O ângulo entre U' x e U'l no círculo de Mohr é 28. Já que este ângulo é medido no sentido contrário ao da rotação dos ponteiros do relógio, no elemento físico U ', atua segundo uma direção que faz com o eixo dos x um ângulo 8 também no sentido anti-horário (ver esquema superior à direita). As tensões em qualquer outro plano cuja normal f aça um ângulo 8 com o eixo dos x poderiam ser encontradas através do círculo de Mohr da mesma maneira. Um método' bastante simples de se determinar as tensões em qualquer plano através do círculo de Mohr consiste na determinação do ponto denominado pólo das
'D. C. Drucker, lnlr uduclion New York , 1967.
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M cchanics
of Dc fonnablc
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