MESIN TURING DAN OTOMATA (AUTOMATA)

1. PENGERTIAN MESIN TURING DAN CONTOH-CONTOH MESIN TURING Mesin Turing adalah model yang sangat sederhana dari komputer. Secara esensial, mesin Turing adalah sebuah finite automaton yang automaton yang miliki sebuah tape tunggal tape tunggal dengan panjang tak terhingga yang dapat membaca dan menulis data. Mesin Turing menggunakan notasi seperti ID-ID pada PDA untuk menyatakan konigurasi dari komputasinya. Stack pada pada PDA memiliki keterbatasan akses. !lemen yang dapat diakses diakses hanya elemen yang yang ada pada top stack . Pada Mesin Turing, memori akan berupa suatu tape yang tape yang pada dasarnya merupakan array dari selsel penyimpanan. "isualisasi dari sebuah mesin Turing diberikan oleh gambar berikut#

Mesin terdiri dari sebuah finite control , yang dapat berada dalam sebuah himpunan berhingga dari state. state. Terdapat sebuah tape yang tape yang dibagi dibagi ke dalam kotak-kotak atau sel-sel. sel-sel. Setiap sel dapat menampung sebuah dari sejumlah sejumlah berhingga dari simbol. Pada a$alnya, input yang merupakan string dari simbol dengan panjang berhingga dipilih dari input alphabet , ditempatkan pada tape. tape. Sel-sel tape yang tape yang lain, perluasan secara infinite ke infinite ke kiri dan ke kanan, pada a$alnya menampung simbol khusus yang dinamakan blank . Blank bukan bukan sebuah input symbol , dan mungkin terdapat simbol tape yang tape yang lain disamping input symbol dan dan blank . Terdapat sebuah tape head yang yang selalu ditempatkan pada salah satu dari sel-sel tape. tape. Mesin turing dikatakan men-scan men-scan sel sel tersebut. Pada a$alnya, tape head berada berada pada sel paling kiri yang menampung input. Sebuah pergerakan mesin Turing adalah sebuah ungsi dari state dari state dari finite control dan tape symbol yang yang di-scan di-scan.. Dalam satu pergerakan, mesin Turing akan# • Merubah state. state. Next state Next state dapat dapat sama dengan current state current state.. • Menulis sebuah tape symbol dalam sel yang di-scan di-scan.. Tape symbol Tape symbol ini mengganti symbol apapun yang ada dalam sel tersebut. Secara opsional, simbol yang yang dituliskan dapat sama dengan simbol yang sekarang ada dalam tape. tape. • Memindahkan tape head ke ke kiri atau ke kanan. Notasi formal Mesin Turin Mesin Turing dijelaskan oleh %-tuple %-tuple## M & '(, S, ), d, * +, ,  /omponen-komponennya adalah# • (# 0impunan berhingga dari state dari state dari finite control . • S# himpunan berhingga dari simbol-simbol input. • )# 0impunan dari tape symbol . S merupakan subset dari ). d# ungsi transisi. Argumen d'*, 1 adalah sebuah state * state * dan sebuah tape symbol 1. symbol 1. 2ilai dari d'*, 1, jika nilai tersebut dideinisikan, adalah triple 'p, 3, D, dimana# • p adalah next state next state dalam dalam ( • 3 adalah simbol, dalam ), ditulis dalam sel yang sedang di-scan di- scan,, menggantikan simbol apapun yang ada dalam sel tersebut. • D adalah arah, berupa 4 atau 5, berturut-turut menyatakan left atau atau right , dan menyatakan arah dimana head bergerak. bergerak. *+# start state, state, sebuah anggota dari (, dimana pada saat a$al finite control ditemukan. ditemukan. # simbol blank . Simbol ini ada dalam ) tapi tidak dalam S, yaitu  bukan sebuah simbol input. # himpunan dari inal state, state, subset dari (. Des!ri"si Instantaneous #ID$ untu! Mesin Turin

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.









ID digunakan untuk mengetahui apa yang mesin Turing kerjakan. ID direpresentasikan oleh string 1617189 1i-6*1i1i:6 9 1n, dimana# ; * adalah state dari state dari TM ; Tape head men-scan men-scan simbol simbol ke-i dari kiri. ; 1617 91n adalah bagian dari tape di tape di antara nonblank pada pada sel paling kiri dan paling kanan. Pergerakan TM M & '(, S, ), d, *+, ,  dinyatakan oleh notasi ├ atau atau ├ . ├ 3 D, dimana 1 dan 3 adalah tape symbol, tape symbol, dan D adalah arah, kiri '4 atau kanan '5. ah$a bila d'*, 1 & 'p, 3, D diperoleh label 1>3 D pada arc dari * ke p. Dalam diagram arah D dinyatakan dengan tanda ? untuk @left @left  dan B untuk @right @right . . Start state ditandai state ditandai dengan kata @start dan sebuah panah yang masuk ke dalam state tersebut. state tersebut. Final state Final state ditandai ditandai dengan putaran ganda. Contoh: Mesin Turing Turing berikut menghitungan ungsi , yang dinamakan monus atau proper atau proper substraction substraction.. ungsi ini dideinisikan dideinisikan oleh oleh m n & maC'm ; n, +. ah$a, m n & m ; n jika jika m  n dan + jika jika m E n. Mesin Turing yang yang melakukan operasi ini adalah M & 'F*+, *6, 9 , *GH, F+, 6H, F+, 6, H, d, *+,  Aturan untuk ungsi transisi d#









Diagram transisi dari mesin Turing M#

Daftar Pustaka =ohn !. 0opcrot, 5ajee Mot$ani, =erey D. Jllman. 7++6. ntroduction to !utomata Theory" #anguange" and Computation. Computation. !disi ke-7. Addison-Kesley CONTOH-CONTOH MESIN TURING  Stack 'tumpukan yang terdapat pada PDA memiliki keterbatasan kemampuan akses, yaitu hanya mengakses data yang terdapat pada top > puncak dari stack.  Jntuk melakukan akses pada bagian yang lebih rendah dari puncak stack, harus memindahkan bagian di atasnya 'pop, yang mana akan menyebabkan bagian tersebut hilang.  Pada mesin Turing, memori berupa suatu pita yang pada dasarnya berupa array 'deretan sel-sel penyimpanan. Setiap sel mampu menyimpan sebuah simbol tunggal.  Pita tersebut tidak mempunyai sel pertama dan sel terakhir. Pita dapat memuat inormasi dalam jumlah tak terbatas, dan dapat diakses bagian manapun dari pita dengan urutan bagaimanapun.  Terdapat sebuah head yang menunjukkan posisi yang diakses pada pita. 0ead dapat bergerak ke kanan atau ke kiri untuk membaca input dari pita dan sekaligus juga bisa melakukan penulisan pada pita>mengubah isi pita.  Mesin Turing bisa dianalogikan seperti komputer sederhana, dengan sejumlah state sebagai memori, pita sebagai secondary storage, ungsi transisi sebagai program.  Sebuah mesin Turing secara ormal dinyatakan dalam % tupel, yaitu M & '(, L, , N, S, , b dimana # ( & himpunan state L & himpunan simbol input  & simbol pada pita 'meliputi pula blank









 Oontoh #

Misal terdapat mesin Turing # ( & F*6,*7H L & Fa,bH  & Fa,b, b  & F*7H S & F*6H ungsi transisinya # Pergerakan mesin Turing # 5 & right'kanan, 4 & let 'kiri N '*6,a & '*6,a,5 �� pada state *6, head menunjuk karakter aQ pada pita, menjadi state *6, head bergerak ke kanan N '*6,b & '*6,a,5 �� pada state *6, head menunjuk karakter bQ pada pita, menjadi state *6, head menulis karakter aQ lalu bergerak ke kanan N '*6, b  & '*7, b ,4 �� pada state *6, head menunjuk karakter  b Q pada pita menjadi state *7, head bergerak ke kiri Perhatian # pada mesin Turing N '*,C & '*,y,) bila C ER y, maka head akan menulis simbol y 'menimpa C sebelum bergerak sesuai ) 'kiri > kanan =adi berdasarkan ungsi transisi diatas, maka mesin Turing beroperasi seperti berikut # 0ead ditunjukkan dengan 6. Misal Misal pita pita yang yang akan akan dibaca dibaca # abbaa abbaaQQ a b b a a state *6 ungsi transisi N '*6,a & '*6,a,5 menyebabkan head bergerak ke kanan 7. a b b a a state *6 ungsi transisi N '*6,b & '*6,a,5 menyebabkan head menulis aQ lalu bergerak ke kanan 8.









ungsi transisi N '*6,b & '*6,a,5 menyebabkan head menulis aQ lalu bergerak ke kanan . a a a a a state *6 ungsi transisi N '*6,a & '*6,a,5 menyebabkan head bergerak ke kanan . a a a a a state *6 ungsi transisi N '*6,a & '*6,a,5 menyebabkan head bergerak ke kanan G. a a a a a b state *6 0ead menunjuk b, karena bagian pita yang belum ditulisi dianggap berisi b ungsi transisi N '*6, b  & '*7, b ,4 menyebabkan head bergerak ke kiri %. a a a a a b state *7 Tidak ada transisi lagi dari state *7, mesin Turing akan berhenti 'halt state /arena state *7 termasuk state akhir berarti input tersebut diterima  Oontoh # Misal konigurasi mesin Turing # ( & F*+,*6,*7,*8,*H L & F+,6H  & F+,6,1,3, b  & F*H









1 3 b *+ '*6,1,5 '*8,3,5 *6 '*6,+,5 '*7,3,4 '*6,3,5 *7 '*7,+,4 '*+,1,5 '*7,3,4 *8 '*8,3,5 '*, b ,4 * 6. Misal pita yang akan dibaca # ++66Q + + 6 6 state *+

%. 1 + 6 6 state *6











6 state *6

'. 1 + 3 6 state *7 (. 1 + 3 6 state *7 ). 1 + 3 6 state *+ *. 1 1 3 6 state *6 +. 1 1 3 6









11. 1 1 3 3 state *+ 1%. 1 1 3 3 state *8

1&. 1 1 3 3 state *8 1'. 1 1 3 3 b state * Tidak ada transisi lagi dari state *, mesin Turing berhenti dan karena state * termasuk state akhir, maka input tersebut diterima. D!S/5IPSI S!/!TI/A PADA M!SI2 TJ5I2)  Tahapan transisi nomor '6 sampai '6 pada contoh diatas dapat dinyatakan dalam









%. OTOMATA # AUTOMATA AUTOMATA$ Wtomata ' !utomata !utomata • Wtomata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali 'recogni$e 'recogni$e, , menerima 'accept 'accept , , atau membangkitkan 'generate 'generate sebuah kalimat dalam bahasa tertentu.

eberapa Pengertian Dasar #

• • • •

Simbol Simbol adalah adalah sebuah sebuah entitas entitas abstrak abstrak 'seperti 'seperti halnya halnya penger pengertia tian n titi titik k dalam geometri. geometri. Sebuah huru atau sebuah angka adalah contoh simbol. String adalah deretan terbatas 'finite 'finite simbol-simbol. Sebagai contoh, jika a, b, dan c adalah tiga tiga buah buah simb simbol ol maka maka abcb adalah adalah sebuah sebuah string string yang yang dibang dibangun un dari dari ketiga ketiga simbol simbol tersebut. =ika % adalah sebuah string maka panjang string dinyatakan sebagai %  dan dideinisikan sebagai cacahan 'banyaknya simbol yang menyusun string tersebut. Sebagai contoh, jika % & abcb maka abcb maka % & . String String hampa hampa adalah adalah sebuah sebuah string string dengan dengan nol buah buah simbol simbol.. String String hampa hampa dinya dinyataka takan n dengan simbol ε 'atau X sehingga ε& +. String hampa dapat dipandang sebagai simbol









• • • •

•

• • • • • •

ProperPostiC 'atau PoperSuiC string % adalah adalah string yang dihasilkan dari string % dengan dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dari string % tersebut. tersebut. Oontoh # bc, bc, c, dan ε adalah semua ProperPostiC' x x  0ead string % adalah simbol paling depan dari string % . Oontoh # a adalah 0ead' x x  Tail Tail string string % adalah adalah string string yang dihasi dihasilka lkan n dari string string % dengan menghilangkan menghilangkan simbol paling depan dari string % tersebut. Oontoh # bc adalah bc adalah Tail' x x  Substring Substring string % adalah adalah string yang dihasilkan dihasilkan dari string % dengan menghilangkan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dan>atau simbol-simbol paling belakang dari string % tersebut. Oontoh # abc, abc, ab, ab, bc, bc, a, b, c, c, dan ε adalah semua Substring' x x  ProperSubstring string % adalah adalah string yang dihasilkan dari string % dengan dengan menghilangkan satu satu atau lebih simbol-simbol paling depan dan>atau simbol-simbol paling belakang dari string % tersebut. tersebut. Oontoh # ab, ab, bc, bc, a, b, c, c, dan ε adalah semua Substring' x x  Subse*uence Subse*uence string % adalah adalah string yang dihasilkan dihasilkan dari string string % dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string % tersebut. tersebut. Oontoh # abc, abc, ab, ab, bc, bc, ac, ac, a, b, c, c, dan ε adalah semua Subse*uence' x x  Prop ProperS erSub ubse se*u *uen ence ce stri string ng % adal adalah ah stri string ng yang yang diha dihasi silk lkan an dari dari stri string ng % dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari string % tersebut. tersebut. Oontoh # ab, ab, bc, bc, ac, ac, a, b, c, c, dan ε adalah semua Subse*uence' x x  Ooncat Ooncatena enatio tion n adalah adalah penyamb penyambung ungan an dua buah buah string string.. Wperato Wperatorr concate concatenat nation ion adalah adalah concate atau tanpa lambang apapun. Oontoh # concate' xy xy  & xy & xy & abc&'( Alterna Alternatio tion n adalah adalah piliha pilihan n satu satu di antara antara dua buah buah string string.. Wperato Wperatorr alterna alternatio tion n adalah adalah alternate atau . Oontoh # alternate' xy xy  & x & x  y & abc atau &'( atau &'( /leene Olosure # x # x < & ε x  xx  xxx 9 & ε x  x 2  x 3 9

Positie Olosure # x # x + & x & x  xx  xxx 9 & x & x  x 2  x 3 9 eberapa Siat Wperasi • Tidak selalu berlaku # x # x & & PreiC' x x PostiC' PostiC' x x 









♦ • •

!lemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri # x # x  x & x & x Siat distributi concatenation terhadap alternation # x # x ' ' y y  $ $ & xy & xy  x$ eberapa kesamaan # ♦ /esamaan ke-6 # ' x x << << & x & x < + ♦ /esamaan ke-7 # ε x & x & x + ε & x & x < ♦ /esamaan ke-8 # ' x x  y < < & ε x  y  xx  yy  xy  yx 9 & semua string yang merupakan concatenation dari nol atau lebih x lebih x , y , atau keduanya.

GRAMMAR DAN AHASA /onsep Dasar

•

Anggota alabet dinamakan simbol terminal.

•

/alimat adalah deretan hingga simbol-simbol terminal.

•

ahasa adalah himpunan kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga kalimat.

•

Simbol-simbol berikut adalah simbol terminal #  huru kecil, misalnya # a, b, c, +, 6, ..  simbol operator, misalnya # :, −, dan ×  simbol tanda baca, misalnya # ', ', , dan Y  string yang tercetak tebal, misalnya # if, t/en, dan else.

•

Simbol-simbol berikut adalah simbol non terminal >"ariabel #  huru besar, misalnya # A, , O  huru S sebagai sim0ol aal  string yang tercetak miring, misalnya 2 expr

•

0uru yunani melambangkan melambangkan string string yang tersusun atas simbol-simb simbol-simbol ol terminal terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya, misalnya # α, β, dan γ .

•

Sebuah produksi dilambangkan dilambangkan sebagai

α → β, artinya # dalam sebuah deriasi dapat











"T

# himpunan simbol-simbol terminal 'alabet kamus

" N

# himpunan simbol-simbol non terminal

S∈" N P

# simbol a$al 'atau simbol start # himpunan produksi

Oontoh # 6. )6 # "T & FI3 4o5e3 Miss3 6ou H, " N & FS,A,,OH, P & FS → AO, A→ I, → 4o5e 7 Miss , O→ 6ouH S ⇒ AO ⇒ Ilo5e6ou

4#G1$89Ilo5e6ou3 IMiss6ou: 7. . )7 # "T & FaH, " N & FSH, P & FS S ⇒ aS ⇒ aaS ⇒ aaa

→ aSaH

4')7 &Fan  n Z 6H

4')7&Fa, aa, aaa, aaaa,9H









/lasiikasi Ohomsky erdasarkan komposisi bentuk ruas kiri dan ruas kanan produksinya ' α Ohomsky mengklasiikasikan  tipe grammar #

→ β, 2oam

6. )ramma )rammarr tipe ke-+ ke-+ # Jnrestr Jnrestrict icted ed )ramm )rammar ar 'J) 'J) Oiri # α, β ∈ '" T  " N <, αR + 7. )rammar )rammar tipe tipe ke-6 ke-6 # OonteCt OonteCt Sensitie Sensitie )rammar )rammar 'OS) 'OS) Oiri # α, β ∈ '" T  " N  <, + E α ≤ β 8. )ramma )rammarr tipe ke-7 ke-7 # Oonte OonteCt Ct ree ree )ramma )rammarr 'O) 'O) Oiri # α ∈ " N , β ∈ '" T  " N < . )ramma )rammarr tipe tipe ke-8 ke-8 # 5egula 5egularr )rammar )rammar '5) '5) Oiri # α ∈ " N , β ∈ F" T , " T " N H atau α ∈ " N , β ∈ F" T , " N " T H Tipe sebuah grammar 'atau bahasa ditentukan dengan aturan sebagai berikut #

A lanuae is sai; to 0e t<"e-i #i 8 3 13 %3 &$ lanuae if it =an 0e s"e=ifie; 0< a t<"e-i rammar 0ut =an>t 0e s"e=ifie; an< t<"e-#i?1$ rammar. Oontoh Analisa Penentuan Type )rammar 6. )rammar ) 1 dengan P 1 & FS → a,  → b,  → bH.









5uas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah " N maka ) 4 kemungkinan tipe O) atau 5). Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string yang panjangnya lebih dari 7 'yaitu aAb maka ) 4 bukan 5), dengan kata lain ) 4 adalah O). . )rammar ) 5 dengan P 5 & FS → aA, S → a, aAb → aObH.

5uas 5uas kiri kiriny nya a meng mengan andu dung ng stri string ng yang yang panj panjan angny gnya a lebi lebih h dari dari 6 'yait 'yaitu u aAb aAb maka maka ) 5 kemungkinan tipe OS) atau J). Selanjutnya karena semua ruas kirinya lebih pendek atau sama dengan ruas kananya maka ) 5 adalah OS).

G. )rammar ) 6 dengan P 6 & FaS → ab, SAc → bcH.

5uas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 6 maka ) 6 kemungkinan tipe OS) atau J). Selanjutnya karena terdapat ruas kirinya yang lebih panjang daripada ruas kananya 'yaitu SAc maka ) 6 adalah J). Deriasi /alimat dan Penentuan ahasa Tentukan bahasa dari masing-masing gramar berikut #









⇒ a n  ⇒ a n bO ⇒ a n baO ' … ⇒ a n ba m-1 O ⇒ a n ba m '

' 7 ' 8

' 

Dari pola kedua kalimat disimpulkan # 4 2 ') 2 &Fa n ba m n ≥6, m≥6H

8. ) 3 dengan P 3 & F6. S

→ aSO,

7. S → abO, 8. b → bb, . bO → bc, . O → O, G. cO → ccH.

=a$ab # Deriasi kalimat terpendek 6# S ⇒ abO '7 ⇒ ab abc ' Deriasi kalimat terpendek 7 # S ⇒ aSO ' 6 ⇒ aa a abOO ' 7 ⇒ aa aabOO '  aabcO ' ⇒ aa a abbOO ' 8

Deriasi kalimat terpendek 8 S ⇒ aSO '6 ⇒ aa aaSOO ⇒ aa a aabOOO ' 7 ⇒ aa a aabOOO ⇒ aa a aabOOO ⇒ aa a aabOOO '  ⇒ aa aaabbOOO

# ' 6 '  '  ' 8









"t&F+,6,7,..[H "n &FS, ),=H P&FS0TU=TU=Y T)TU=TU=Y 07UUGU\Y )+U7UUGU\Y=6U8UU%U[H P&FS)SU=SU=Y )+U7UUGU\Y=6U8UU%U[H

uat dua buah himpunan bilangan terpisah # genap ') dan ganjil '= P 2 '4 2  & FS → =)S=S, ) → +7G\, = → 68%[H

8. Tentukan Tentukan sebuah sebuah gramar gramar bebas bebas konteks konteks untuk bahasa # A. 4 3 8 /im"unan semua i;entifier










. Tentukan Tentukan sebuah sebuah gramar gramar bebas bebas konteks konteks untuk bahasa # 4 5 & bilangan bulat non negati genap. =ika bilangan tersebut terdiri dari dua digit atau lebih maka nol tidak boleh muncul sebagai digit pertama. =a$ab # 4angkah kunci # Digit terakhir bilangan harus genap. Digit pertama tidak boleh nol. uat tiga himpunan terpisah # bilangan genap tanpa nol '), bilangan genap dengan nol '2, serta bilangan ganjil '=. P 5 '4 5  & FS → 2)A=A, A → 22A=A, )→ 7G\, 2→ +7G\, = → 68%[H









)jl

)jl

)np

S & )np,  & F)jlH

•

Ada dua jenis SA #

• • -

Deterministic finite automata 'DA Non deterministik finite automata.'2A automata .'2A

DA # transisi state SA akibat pembacaan sebuah simbol bersiat tertentu. δ :Q ∑ Q









Baa0 2 i

N '* '*+,abababaa ⇒ N '*+,bababaa ⇒ N '*6,ababaa ⇒ N '*+,babaa ⇒ N '*6,abaa ⇒ N '*+,baa ⇒ N '*6,aa ⇒ N '*+,a ⇒ *+ Tracing berakhir di *+ 'state A/0I5 ⇒ kalimat abababaa diterima

ii

N '* '*+, aa aaaabab ⇒N '*+,aaabab ⇒N '*+,aabab ⇒ N '*+,abab ⇒ N '*+,bab ⇒ N '*6,ab ⇒ N '*+,b ⇒ *6 Tra=in 0era!/ir ;i 1 #state AHIR$ !alimat aaaa0a0a ;iterima

iii ii

N '*+ '*+,, aaa aaabb bbab aba a ⇒ N '*+, aabbaba ⇒ N '*+, abbaba ⇒ N '*+, bbaba ⇒ N '*6,baba ⇒ N '*7,aba ⇒ N '*7,ba ⇒ N '*7,a ⇒*7 Tra=in 0era!/ir ;i % #0u!an state AHIR$ !alimat aaa00a0a ;itola!









c kalimat yang diterima 2A di atas # aa, bb, cc, aaa, abb, bcc, cbb kalimat yang tidak diterima 2A di atas # a, b, c, ab, ba, ac, bc

Sebuah kalimat di terima 2A jika #

• •

salah satu tracing-nya berakhir di state A/0I5, atau himpunan state setelah membaca string tersebut mengandung state A/0I5

Conto/ 2

MESIN TURING DAN OTOMATA (AUTOMATA)

Recommend Documents