Menghitung Luas dan Keliling Segi Lima Beraturan Singgih Satrio Wibowo 22 April 2011
Segi n Beraturan
3
Sebuah segi‐ beraturan ( ) dapat dibuat dari segitiga sama kaki yang kongruen sebanyak karenanya, luas segi‐ beraturan adalah kali luas segitiga sama kaki, yaitu:
.
· ∆ Sementara keliling segi‐n beraturan adalah
Dimana
·
adalah panjang sisi segi‐n beraturan.
Sifat segi‐ beraturan
° 90° ° 2 180° °
(a)
Besar sudut pusat pada tiap segitiga,
(b)
Besar sudut pada kaki tiap segitiga,
(c)
Besar sudut tiap sisi,
Segi Lima Beraturan Berdasarkan sifat‐sifat segi‐n beraturan, maka sebuah segi lima beraturan memiliki:
° ° 72° 90°90° ° 90° ° 54° 180° ° 180° ° 108°
(a)
Sudut pusat,
(b)
Sudut kaki,
(c)
Sudut sisi,
Perhitungan Luas dan Keliling Segi Lima Sama Sisi, Singgih Satrio Wibowo
Halaman 1
Untuk menghitung luas segilima beraturan, gunakan rumus:
· ∆ 5 · ∆
Misalnya kita tinjau segitiga ABC (lihat gambar). Luas segitiga ABC dapat dihitung dengan berbagai rumus, misalnya (1)
(2)
(3)
(4)
∆ 12 ∆ 12 sin ∆ 12 si sin ∆ ; dimana ana 12 2 tantan 2 tan 2cos 2cos
Apabila segilima tersebut hanya diketahui memiliki panjang sisi =
, maka sisi‐sisi segitiga dapat
dinyatakan dalam bentuk: (5) (6)
(7)
Sehingga rumus luas segitiga ABC di atas (rumus 1 dan 2, untuk rumus 3 dan 4 silahkan dicoba sendiri), dapat dinyatakan dalam bentuk berikut di bawah:
∆ 14 tan
(8)
Selanjutnya luas segilima beraturan dapat dihitung dengan rumus (9)
5 · ∆ 54 tantan 54 tan54°
Dengan memasukkan nilai‐nilai yang diketahui, maka luas segilima beraturan dapat dihitung. Persoalan selanjutnya adalah bagaimana menentukan nilai baca dan pelajari bab selanjutnya.
tan tan tan54 tan 54°°
Perhitungan Luas dan Keliling Segi Lima Sama Sisi, Singgih Satrio Wibowo
? Untuk menjawab ini,
Halaman 2
Perhitungan Sinus, Cosinus dan Tangent Tangent Sudut Sudut 36, 36, 54 dan 72 Derajat Nilai tersebut muncul berkaitan dengan segitiga sama kaki dengan sudut puncak 36 derajat. Untuk mendapatkan nilai tersebut, berikut ini disajikan langkah‐langkah yang dilakukan oleh ahli‐ahli Geometri Yunani kuno. Pertama buatlah segisepuluh beraturan dalam sebuah lingkaran berjari‐ jari satu. Kemudian ambil segitiga AOB. Pada segitiga AOB, buat garis bagi BD yang membagi sudut ABO menjadi dua sama besar. Sudut DBO sama dengan sudut BOD=36 derajat, dengan demikian segitiga BOD adalah sama kaki. Misalkan sisi
1 maka sisi
. Selanjutnya dengan melihat segitiga
ABD, dapat dihitung sudut BAD=72 derajat. Dengan demikian segitiga ABD juga sama kaki. Karena
, maka
. Dalam segitiga ABD,
.
Untuk menghitung berapa nilai x, maka gunakan aturan sinus untuk segitiga BOD dan ABD, berikut ini: Pada segitiga BOD:
1 sin si n 36° 1 sin si n 36° 1 sin72° sin36° 1 sisinn72°36°
(*)
Pada segitiga ABD:
Perhitungan Luas dan Keliling Segi Lima Sama Sisi, Singgih Satrio Wibowo
Halaman 3
1 sin72° sin36° 1 sisinn72°36°
(**)
Dari persamaan (*) dan (**) atas diperoleh hubungan
1 1 1 10 √ √ √ √ √ √
Solusi dari persamaan kuadrat di atas adalah sisi, maka
atau
haruslah positif, karena itu, nilai yang diambil adalah
. Karena
adalah panjang
.
Dari hasil di atas, dapat pula dihitung nilai sinus, cosinus dan tangen sudut 36, 54 dan 72 derajat. Caranya adalah dengan membuat garis tinggi DE pada segitiga BOD dan garis tinggi BF pada segitiga ABD, seperti gambar di bawah.
1/2 12 5 2√ 5 cos36° cos 36° 1 4√ 5 sin 36° 1010 4 2√ 2√ 5 1 √ 54 1010 2√ 2√ 5 tantan 36°36° 5 2√ 5 1√ cos54° cos 54° 10 4 2√ 5 sin 54° 1 4√ 5 tan54 tan 54°° 5 12√ 5 Perhitungan Luas dan Keliling Segi Lima Sama Sisi, Singgih Satrio Wibowo
Halaman 4
1 2 12 5 2√ 5 1 4 √ 5 cos72° cos 72° 1 sin 72° 1010 4 2√ 2√ 5 1 √ 5 41010 2√ 2√ 5 tantan 72°72° 5 2√ 5 1
Hasil Akhir Hasil Akhir Dengan menggunakan nilai‐nilai hasil perhitungan di atas, maka luas sebuah segilima beraturan, dengan sisi (rusuk) 8 cm adalah sebagai berikut:
54 tantan 54°54° 54 8 5 12√ 5 5 802√ 5 cm2
Referensi: [1] Singgih Satrio Wibowo, Menyongsong OSN Matematika SMP, Pustaka Pelajar, 2010. [2] Singgih Satrio Wibowo, Matematika Klasik: Soal dan Pembahasan Ujian Akhir MULO 1907 – 1957. 2011 (koleksi pribadi)
Perhitungan Luas dan Keliling Segi Lima Sama Sisi, Singgih Satrio Wibowo
Halaman 5
