MEKANĠZMALARDA KONUM ANALĠZĠ Mekanizmalarda konum analizi, mekanizma için serbestlik derecesine eşit sayıda parametre tanımlandığında: a) Bir uzuv üzerindeki her hangi bir noktanın sabit uzuv veya hareketli başka bir uzuv üzerinde bulunan referans eksene göre bağıl konumunun bulunmasını, b) Bağımsız parametre değerlerinin değişimine göre bir uzvun açısının değişimi veya bir uzuv üzerindeki herhangi bir noktanın çizdiği yörüngenin bulunmasını içerir. Serbestlik derecesi tanımında vurgulandığı gibi, uzuvların konumlarını belirlemek için serbestlik derecesi kadar parametre önceden bilinmelidir. Genellikle bu parametreler bir uzvun konumunu belirlemek için kullanılan mafsal serbestlik dereceleridir. Bu mafsallara tahrik mafsalları denir. BĠR NOKTANIN KĠNEMATĠĞĠ Her hangi bir cismin veya noktanın konumu mutlaka bir referans sistemine göre belirlenir. y P
yp
r
r
θ xp
P θ ref
x
Kartezyen gösterimi: r x P iˆ y P ˆj Burada x p r cos ve y p r sin
Kutupsal gösterim: r r
KARMAġIK SAYILARLA GÖSTERĠM
Im
r sin
r re j r
Burada
P
θ r cos
Re
Euler denklemi: e j cos j sin Dolayısıyla konum vektörü: r re j r cos jr sin
Bu arada e j ‟nın yön gösterdiğine dikkat ediniz! Im
jR 2
j R=-R R 3
j R=-jR
r: modül θ: argüman
Re
Bir karmaşık sayıyı e j ile çarpmak (döndürme işlemcisi): z re j ze j re j e j re j ( ) ise e j e j 1 : 1800 döndürür
2
z θ
e j e j / 2 i : 900 döndürür
ise
ze j
Bir karmaşık sayıyı reel bir sayı ile çarpmak (uzatma işlemcisi) Az
z re j Az Are j
z θ
Bir karmaşık sayının eşleniği
z a ib z a ib
z re j z re j
Burada
r a2 b2 b tan 1 a
Im z
b θ -θ -b
a
Re
z
MEKANĠZMALARDA VEKTÖR DEVRELERĠ Birbirlerine mafsallar ile bağlı uzuvlar kapalı çokgenler oluşturacaklardır. Bu çokgenlerin her birine devre denir. Hareket analizinde temel yaklaşım, bu devreleri matematiksel olarak ifade etmektir. Kinematik analize başlarken her bir uzuvla ilgili tüm boyutları bilindiği kabul edilir. Mekanizmalarda devre denklemleri elde edilirken, mekanizmada hiçbir kapalı devre kalmayacak şekilde bazı mafsallar sökülerek mekanizma açık zincir haline getirilir. y
Örnek 1: Dört çubuk mekanizması için Devre kapalılık denklemi (Vektör devre denklemi):
B
a3 A
θ13
a4
a2
A0 A AB A0 B0 B0 B (1)
A0
θ14
θ12 a1
B0
x
θ12, θ13, θ14 konum değişkenleri olmak üzere
A0 A a2 cos 12 ja 2 sin 12 a2 e j12
(2)
AB a3 e j13
(3)
B0 B a 4 e j14
(4)
(2)-(4) denklemleri (1)‟de yerine yazılırak devre denklemi karmaşık sayılarla ifade edilmiş olur: (5) a2 e j12 a3 e j13 a1 a4 e j14 Bileşenlerine ayrılarak skaler denklemler elde edilir: a2 cos 12 a3 cos 13 a1 a4 cos 14 a2 sin 12 a3 sin 13 a4 sin 14
(6) (7)
Bu denklemlerin doğrusal olmadıklarını (nonlineer) not ediniz. y
Örnek 2: Krank-biyel mekanizması için
θ13
Devre kapalılık denklemi (Vektör devre denklemi):
A
A0 A AB A0 B
a3
a2
(1)
A0
B
4
θ12
x
Karmaşık sayılarla:
s14
a2 e j12 a3 e j13 s14 jc
(2)
Bileşenlerine ayrılarak nonlineer skaler denklemler elde edilir: a2 cos 12 a3 cos 13 s1 4 a2 sin 12 a3 sin 13 c
(3) (4)
Örnek 3:Kol-kızak mekanizması için
y
Devre kapalılık denklemi (Vektör devre denklemi):
A
s43 α4
3
A0 A A0 B0 B0 C CA
c
(1)
C
a2 a4 A0
θ14
θ12 a1
B0
x
Karmaşık sayılarla: a2 e j12 a1 a4 e j14 s43e j (14 4 )
(2)
Bileşenlerine ayrılarak nonlineer skaler denklemler elde edilir: a2 cos 12 a1 a4 cos 14 s43 cos(14 4 ) a2 sin 12 a4 sin 14 s43 sin(14 4 )
(3) (4)
Not: Mekanizmalarda çok sayıda devre bulunabilir ve her bir devre için bir devre kapalılık denklemi yazılabilir. y a5
Devre denklemleri:
5
(1) b2
4
(2) a3 3 2
Devre denklemleri karmaşık sayılarla ifade edilebilirler:
β a 2 A0
a2 e j12 a3e j13 a1 a4 e j (14 )
A a4
α θ14
a1
1
(3)
A0C CD DE A0 B 0 B0 E b2 e j (12 ) a5e j15 a6e j16 a1 b4e j14
(4)
Skaler denklemler: a2 cos 12 a3 cos 13 a1 a4 cos(14 ) a2 sin 12 a3 sin 13 a4 sin(14 ) b2 cos(12 ) a5 cos 15 a6 cos 16 a1 b4 cos 14 b2 sin(12 ) a5 sin 15 a6 sin 16 b4 sin 14
(5) (6) (7) (8)
Sabitler: a2, a3, a4, a5, a6, b2, b4, α, β Değişkenler: θ12, θ13, θ14, θ15, θ16
b4
B
θ13
θ12
A0 A AB A0 B0 B0 B
E
A0C CD DE A0 B 0 B0 E
a6
6
θ15
C
A0 A AB A0 B0 B0 B
θ16
D
Örnek:
B0
x
Bir girdi (input) deişkeni (F=1), örneğin θ12 verilirse diğer dört bilinmeyen dört denklem kullanılarak çözülebilir. Not: Yanda görülen mekanizma üzerinde
y
A0 A AB A0 B
A
denklemi yazılabilir. Vektörel olarak doğru fakat “vektör devre” denklemi değildir.
B
a3 θ13 a4
a2
Bu tarz denklemlerin “vektör denklem”lerinden en önemli farkı, değişken parametrelerinin mafsal serbestlik derecesine bağlı olmamasıdır.
A0
θ14
θ12 a1
B0
x
BAĞIMSIZ DEVRE SAYISININ TESPĠTĠ uzuv sayısı mafsal sayısı devre sayısı (sökülmesi gerekli mafsal sayısı)
: j: L:
j7
j6
9
j5
10 j11
j8 3
4
5
j5 j3
j8 3
j4 6
4
j2
j9
j3 1 j1
5
j7
j10
j9 2
8
10 j4 6
j12
j6
9
8
7
2
1
j2
j1
Kapalı 10 j 12 L3
Açık 10 j 9 j 1
j = Açık kinematik zincirde mafsal sayısı
+ sökülen mafsal sayısı
j ( 1) L Dolayısıyla bağımsız devre sayısı:
7
L j 1
s16 Q
Örnek:
6
C
θ12 1 A0
A0A = a2 B0B = a5 BC = a4 B0P = c1 A0P = a1 A0Q = b1
4
2 3
A θ14
s43
B 6 ve
j7
5
Bağımsız devre sayısı:
L=2
A0 A A0 B0 B0 B BA
θ15 B0
P
(1)
1
A0 C A0 A AC
(2)
„veya‟ (1)+(2) denklemlerinden A0 C A0 B0 B0 B BC , fakat bağımsız değil. DEVRE KAPALILIK DENKLEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ Devre kapalılık denklemlerinin bir çözümü, yeterli sayıda parametresi verilmiş olan bir üçgenin diğer bilinmeyen parametrelerinin belirlenmesidir. Örnek: Krank-biyel mekanizması y
Devre kapalılık denklemi (Vektör devre denklemi):
θ13
A0 A AB A0 B
A
(1) a2 A0
Karmaşık sayılarla: a2 e j12 a3 e j13 s14 (2)
a3
θ12
B 4
x
s14
Bileşenlerine ayrılarak nonlineer skaler denklemler elde edilir: a2 cos 12 a3 cos 13 s1 4 a2 sin 12 a3 sin 13 0
(3) (4)
θ12 verilip θ13 ve s14 isteniyorsa, (4) denkleminden θ13 bulunur daha sonra (3) denleminden de s14 bulunabilir:
13 sin 1 (
a2 sin 12 ) a3
(5)
s1 4 a2 cos 12 a3 cos 13
(3)
Not: Burada (5) nolu denklemle ilgili bir problem, sin 13 sin( 13 ) olmasıdır. Bunun için önerilebilecek bir çözüm şu olabilir:
sin 13
a2 sin 12 olduğundan cos θ13 yerine doğrudan a3
cos 13 1 sin 2 13 1
a 22 sin 2 12 yazılabilir. 2 a3
KARMAġIK SAYILAR KULLANARAK KONUM ANALĠZĠ Devre denklemlerinin ifade edilmesindeki kolaylık çözümünde de var. Örnek olarak daha önce dört çubuk mekanizması için elde ettiğimiz devre denklemini yeniden inceleyelim: (1) a2 e j12 a3 e j13 a1 a4 e j14 Burada, θ12 krank açısının verilip θ14 çıktı uzvu açısınının istenildiği durumda çözüm analitik olarak bulunabilir. Öncelikle devre kapalılık denkleminin eşleniği yazılır. a2 e j12 a3 e j13 a1 a4 e j14
(2)
Sonra (1) ve (2) denklemlerinde θ13‟lü terim yok edelim. Bunun için yok edilecek terimi denklemlerin aynı tarafına toplayalım: a3 e j13 a1 a4 e j14 a2 e j12 a3 e
j13
a1 a4 e
j14
a2 e
j12
(3) (4)
Denklemler taraf tarafa çarpılırsa a32 a12 a42 a22 a1a4 (e j14 e j14 ) a1a2 (e j12 e j12 ) a2 a4 (e j (14 12 ) e j (14 12 )
bulunur. cos
e j e j olduğu hatırlanırsa 2
K1 cos 14 K 2 cos 12 K 3 cos(14 12 )
(6)
Freudenstein denklemi elde edilir. Burada a 2 a 22 a32 a 42 a a K1 1 , K2 1 , K3 1 a2 a4 2a 2 a 4 Bu denklemle her ne kadar θ12 krank açısıyla θ14 çıktı uzvu açısı arasında analitik bir ifade bulunmuş olsa da çözüm kolay değil. İfadedeki iki açının farkının kosünüsü açıkça yazılır K1 cos 14 K 2 cos 12 K 3 cos 14 cos 12 sin 14 sin 12
(7)
(5)
ve yarım tanjant ifadeleri
sin 14
2 tan 1 tan
14 2 2
ve
14
cos 14
2 yerlerine yazılırlarsa A tan 2
14 2
B tan
14 2
1 tan 2
14
1 tan
14
2
2
(8)
2
C 0
(9)
bulunur. Burada A K 3 K1 (1 K 2 ) cos 12 , B 2 sin 12 , C K1 K 3 (1 K 2 ) cos 12 Dolayısıyla (9) denkleminden
tan
14 2
B B 2 4 AC 2A
veya
14 2 tan 1
B B 2 4 AC 2A
bulunur.
DEVRE KAPALILIK DENKLEMLERĠNĠN SAYISAL ÇÖZÜMÜ Bir önceki konuda, bir dört çubuk mekanizması için analitik çözüm bulundu. Kullanılan metot, çok basit mekanizmalar için bir miktar uğraşıdan sonra bir çözüm verebilir. Fakat kompleks yapıdaki bir çok mekanizma için ya analitik çözüm bulmak çok zordur. Bu maksatla, MATLAB kullanarak sayısal çözüm yapılabilir. Örnek: Yine dört çubuk mekanizmasının skaler denklemlerini gözönüne alalım. a2 cos 12 a3 cos 13 a1 a4 cos 14
(1)
a 2 sin 12 a3 sin 13 a 4 sin 14
(2)
Bu iki denklemi f1 (13 ,14 ) a2 cos 12 a3 cos 13 a1 a4 cos 14 0 f 2 (13 ,14 ) a2 sin 12 a3 sin 13 a4 sin 14 0
şeklinde yeniden yazalım. Daha sonra da mekanizma boyutlarının ve krank açısının (300) verildiği bir durum için bu denklemleri MATLAB fonksiyonu şeklinde yazalım. function F=dortcubuk(x) % Boyutları tanımlayalım [cm] cinsinden a1=12; a2=4; a3=10; a4=7; % Krank açısı [derece] teta12=30; % teta13=x(1) ve teta14=x(2) olmak üzere F=[a2*cosd(teta12)+a3*cosd(x(1))-a1-a4*cosd(x(2)) a2*sind(teta12)+a3*sind(x(1))-a4*sind(x(2))];
Bu programı MATLAB‟da koşturmak için, MATLAB komut penceresinde >> x=fsolve(@dortcubuk,[50,100]) Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun. x= 29.9926 88.9768 yazılabilir. Buradan da θ13 =300 ve θ14 = 890 bulunduğu anlaşılır. Burada dikkat edilirse, krank açısının bir değeri için çözüm bulundu. Krank kolunun tam bir dönüşü için program değitirilerek kullanılabilir. function F=dortcubuk(x,teta12) % Boyutları tanımlayalım [cm] cinsinden a1=12; a2=4; a3=10; a4=7; % teta13=x(1) ve teta14=x(2) olmak üzere F=[a2*cosd(teta12)+a3*cosd(x(1))-a1-a4*cosd(x(2)) a2*sind(teta12)+a3*sind(x(1))-a4*sind(x(2))];
Daha sonra θ12 açısı sıfır ila 360 derece arasında belirli aralıklarda değiştirilerek çözümler bulunup krank açısına karşı çizdirilebilir. clear all % teta12 açısını oluşturup teker teker programa gönderelim teta12=[0:5:360]'; for i=1:73 x(i,:)=fsolve(@(x) dortcubuk(x,teta12(i)),[50,100]) end subplot(211) plot(teta12,x(:,1)) xlabel('\theta_1_2') ylabel('\theta_1_3') grid subplot(212) plot(teta12,x(:,2)) xlabel('\theta_1_2') ylabel('\theta_1_4') grid
60
13
40
20
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
250
300
350
400
12 160
14
140 120 100 80
0
50
100
150
200
12