MEKANİZMALARDA KONUM ANALİZİ

MEKANĠZMALARDA KONUM ANALĠZĠ Mekanizmalarda konum analizi, mekanizma için serbestlik derecesine eşit sayıda parametre tanımlandığında: a) Bir uzuv üzerindeki her hangi bir noktanın sabit uzuv veya hareketli başka bir uzuv üzerinde bulunan referans eksene göre bağıl konumunun bulunmasını, b) Bağımsız parametre değerlerinin değişimine göre bir uzvun açısının değişimi veya bir uzuv üzerindeki herhangi bir noktanın çizdiği yörüngenin bulunmasını içerir. Serbestlik derecesi tanımında vurgulandığı gibi, uzuvların konumlarını belirlemek için serbestlik derecesi kadar parametre önceden bilinmelidir. Genellikle bu parametreler bir uzvun konumunu belirlemek için kullanılan mafsal serbestlik dereceleridir. Bu mafsallara tahrik mafsalları denir. BĠR NOKTANIN KĠNEMATĠĞĠ Her hangi bir cismin veya noktanın konumu mutlaka bir referans sistemine göre belirlenir. y P

yp

 r

r

θ xp

P θ ref

x

 Kartezyen gösterimi: r  x P iˆ  y P ˆj Burada x p  r cos  ve y p  r sin 

 Kutupsal gösterim: r  r

KARMAġIK SAYILARLA GÖSTERĠM

Im

r sin 

 r  re j  r

Burada

P

θ r cos 

Re

Euler denklemi: e j  cos   j sin   Dolayısıyla konum vektörü: r  re j  r cos   jr sin 

Bu arada e j ‟nın yön gösterdiğine dikkat ediniz! Im

jR 2

j R=-R R 3

j R=-jR

r: modül θ: argüman

Re

 Bir karmaşık sayıyı e j ile çarpmak (döndürme işlemcisi): z  re j ze j  re j e j  re j (  ) ise e j  e j  1 : 1800 döndürür   





2



z θ

e j  e j / 2  i : 900 döndürür

ise

ze j

Bir karmaşık sayıyı reel bir sayı ile çarpmak (uzatma işlemcisi) Az

z  re j Az  Are j



z θ

Bir karmaşık sayının eşleniği

z  a  ib z  a  ib

z  re j z  re  j

Burada

r  a2  b2 b   tan 1 a

Im z

b θ -θ -b

a

Re

z

MEKANĠZMALARDA VEKTÖR DEVRELERĠ Birbirlerine mafsallar ile bağlı uzuvlar kapalı çokgenler oluşturacaklardır. Bu çokgenlerin her birine devre denir. Hareket analizinde temel yaklaşım, bu devreleri matematiksel olarak ifade etmektir. Kinematik analize başlarken her bir uzuvla ilgili tüm boyutları bilindiği kabul edilir. Mekanizmalarda devre denklemleri elde edilirken, mekanizmada hiçbir kapalı devre kalmayacak şekilde bazı mafsallar sökülerek mekanizma açık zincir haline getirilir. y

Örnek 1: Dört çubuk mekanizması için Devre kapalılık denklemi (Vektör devre denklemi): 





B

a3 A



θ13

a4

a2

A0 A AB  A0 B0  B0 B (1)

A0

θ14

θ12 a1

B0

x

θ12, θ13, θ14 konum değişkenleri olmak üzere 

A0 A  a2 cos 12  ja 2 sin 12  a2 e j12

(2)



AB  a3 e j13

(3)



B0 B  a 4 e j14

(4)

(2)-(4) denklemleri (1)‟de yerine yazılırak devre denklemi karmaşık sayılarla ifade edilmiş olur: (5) a2 e j12  a3 e j13  a1  a4 e j14 Bileşenlerine ayrılarak skaler denklemler elde edilir: a2 cos 12  a3 cos 13  a1  a4 cos 14 a2 sin 12  a3 sin 13  a4 sin 14

(6) (7)

Bu denklemlerin doğrusal olmadıklarını (nonlineer) not ediniz. y

Örnek 2: Krank-biyel mekanizması için

θ13

Devre kapalılık denklemi (Vektör devre denklemi): 



A



A0 A AB  A0 B

a3

a2

(1)

A0

B

4

θ12

x

Karmaşık sayılarla:

s14

a2 e j12  a3 e j13  s14  jc

(2)

Bileşenlerine ayrılarak nonlineer skaler denklemler elde edilir: a2 cos 12  a3 cos 13  s1 4 a2 sin 12  a3 sin 13  c

(3) (4)

Örnek 3:Kol-kızak mekanizması için

y

Devre kapalılık denklemi (Vektör devre denklemi): 





A

s43 α4

3



A0 A  A0 B0  B0 C  CA

c

(1)

C

a2 a4 A0

θ14

θ12 a1

B0

x

Karmaşık sayılarla: a2 e j12  a1  a4 e j14  s43e j (14  4 )

(2)

Bileşenlerine ayrılarak nonlineer skaler denklemler elde edilir: a2 cos 12  a1  a4 cos 14  s43 cos(14   4 ) a2 sin 12  a4 sin 14  s43 sin(14   4 )

(3) (4)

Not: Mekanizmalarda çok sayıda devre bulunabilir ve her bir devre için bir devre kapalılık denklemi yazılabilir. y a5

Devre denklemleri: 









5



(1) b2



4

(2) a3 3 2

Devre denklemleri karmaşık sayılarla ifade edilebilirler: 



β a 2 A0

a2 e j12  a3e j13  a1  a4 e j (14 ) 





A a4

α θ14

a1

1

(3)



A0C  CD DE  A0 B 0  B0 E b2 e j (12 )  a5e j15  a6e j16  a1  b4e j14

(4)

Skaler denklemler: a2 cos 12  a3 cos 13  a1  a4 cos(14   ) a2 sin 12  a3 sin 13  a4 sin(14   ) b2 cos(12   )  a5 cos 15  a6 cos 16  a1  b4 cos 14 b2 sin(12   )  a5 sin 15  a6 sin 16  b4 sin 14

(5) (6) (7) (8)

Sabitler: a2, a3, a4, a5, a6, b2, b4, α, β Değişkenler: θ12, θ13, θ14, θ15, θ16

b4

B

θ13

θ12



A0 A AB  A0 B0  B0 B



E



A0C  CD DE  A0 B 0  B0 E



a6

6

θ15

C

A0 A AB  A0 B0  B0 B 

θ16

D

Örnek:

B0

x

Bir girdi (input) deişkeni (F=1), örneğin θ12 verilirse diğer dört bilinmeyen dört denklem kullanılarak çözülebilir. Not: Yanda görülen mekanizma üzerinde 



y



A0 A AB  A0 B

A

denklemi yazılabilir. Vektörel olarak doğru fakat “vektör devre” denklemi değildir.

B

a3 θ13 a4

a2

Bu tarz denklemlerin “vektör denklem”lerinden en önemli farkı, değişken parametrelerinin mafsal serbestlik derecesine bağlı olmamasıdır.

A0

θ14

θ12 a1

B0

x

BAĞIMSIZ DEVRE SAYISININ TESPĠTĠ uzuv sayısı mafsal sayısı devre sayısı (sökülmesi gerekli mafsal sayısı)

: j: L:

j7

j6

9

j5

10 j11

j8 3

4

5

j5 j3

j8 3

j4 6

4

j2

j9

j3 1 j1

5

j7

j10

j9 2

8

10 j4 6

j12

j6

9

8

7

2

1

j2

j1

Kapalı   10 j  12 L3

Açık   10 j  9  j   1

j = Açık kinematik zincirde mafsal sayısı

+ sökülen mafsal sayısı

j  (  1)  L Dolayısıyla bağımsız devre sayısı:

7

L  j   1

s16 Q

Örnek:

6

C

θ12 1 A0

A0A = a2 B0B = a5 BC = a4 B0P = c1 A0P = a1 A0Q = b1

4

2 3

A θ14

s43

B   6 ve

j7

5

Bağımsız devre sayısı: 





L=2



A0 A  A0 B0  B0 B BA 



θ15 B0

P

(1)

1



A0 C  A0 A AC

(2) 







„veya‟ (1)+(2) denklemlerinden A0 C  A0 B0  B0 B BC , fakat bağımsız değil. DEVRE KAPALILIK DENKLEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ Devre kapalılık denklemlerinin bir çözümü, yeterli sayıda parametresi verilmiş olan bir üçgenin diğer bilinmeyen parametrelerinin belirlenmesidir. Örnek: Krank-biyel mekanizması y

Devre kapalılık denklemi (Vektör devre denklemi): 



θ13



A0 A AB  A0 B

A

(1) a2 A0

Karmaşık sayılarla: a2 e j12  a3 e j13  s14 (2)

a3

θ12

B 4

x

s14

Bileşenlerine ayrılarak nonlineer skaler denklemler elde edilir: a2 cos 12  a3 cos 13  s1 4 a2 sin 12  a3 sin 13  0

(3) (4)

θ12 verilip θ13 ve s14 isteniyorsa, (4) denkleminden θ13 bulunur daha sonra (3) denleminden de s14 bulunabilir:

13  sin 1 (

a2 sin 12 ) a3

(5)

s1 4  a2 cos 12  a3 cos 13

(3)

Not: Burada (5) nolu denklemle ilgili bir problem, sin 13  sin(  13 ) olmasıdır. Bunun için önerilebilecek bir çözüm şu olabilir:

sin 13  

a2 sin 12 olduğundan cos θ13 yerine doğrudan a3

cos 13  1  sin 2 13  1 

a 22 sin 2 12 yazılabilir. 2 a3

KARMAġIK SAYILAR KULLANARAK KONUM ANALĠZĠ Devre denklemlerinin ifade edilmesindeki kolaylık çözümünde de var. Örnek olarak daha önce dört çubuk mekanizması için elde ettiğimiz devre denklemini yeniden inceleyelim: (1) a2 e j12  a3 e j13  a1  a4 e j14 Burada, θ12 krank açısının verilip θ14 çıktı uzvu açısınının istenildiği durumda çözüm analitik olarak bulunabilir. Öncelikle devre kapalılık denkleminin eşleniği yazılır. a2 e  j12  a3 e  j13  a1  a4 e  j14

(2)

Sonra (1) ve (2) denklemlerinde θ13‟lü terim yok edelim. Bunun için yok edilecek terimi denklemlerin aynı tarafına toplayalım: a3 e j13  a1  a4 e j14  a2 e j12 a3 e

 j13

 a1  a4 e

 j14

 a2 e

 j12

(3) (4)

Denklemler taraf tarafa çarpılırsa a32  a12  a42  a22  a1a4 (e j14  e  j14 )  a1a2 (e j12  e  j12 )  a2 a4 (e j (14 12 )  e  j (14 12 )

bulunur. cos  

e j  e  j olduğu hatırlanırsa 2

K1 cos 14  K 2 cos 12  K 3  cos(14  12 )

(6)

Freudenstein denklemi elde edilir. Burada a 2  a 22  a32  a 42 a a K1  1 , K2  1 , K3  1 a2 a4 2a 2 a 4 Bu denklemle her ne kadar θ12 krank açısıyla θ14 çıktı uzvu açısı arasında analitik bir ifade bulunmuş olsa da çözüm kolay değil. İfadedeki iki açının farkının kosünüsü açıkça yazılır K1 cos 14  K 2 cos 12  K 3  cos 14 cos 12  sin 14 sin 12

(7)

(5)

ve yarım tanjant ifadeleri

sin 14 

2 tan 1  tan

14 2 2

ve

14

cos 14 

2 yerlerine yazılırlarsa A tan 2

14 2

 B tan

14 2

1  tan 2

14

1  tan

14

2

2

(8)

2

C  0

(9)

bulunur. Burada A  K 3  K1  (1  K 2 ) cos 12 , B  2 sin 12 , C  K1  K 3  (1  K 2 ) cos 12 Dolayısıyla (9) denkleminden

tan

14 2



 B  B 2  4 AC 2A

veya

14  2 tan 1

 B  B 2  4 AC 2A

bulunur.

DEVRE KAPALILIK DENKLEMLERĠNĠN SAYISAL ÇÖZÜMÜ Bir önceki konuda, bir dört çubuk mekanizması için analitik çözüm bulundu. Kullanılan metot, çok basit mekanizmalar için bir miktar uğraşıdan sonra bir çözüm verebilir. Fakat kompleks yapıdaki bir çok mekanizma için ya analitik çözüm bulmak çok zordur. Bu maksatla, MATLAB kullanarak sayısal çözüm yapılabilir. Örnek: Yine dört çubuk mekanizmasının skaler denklemlerini gözönüne alalım. a2 cos 12  a3 cos 13  a1  a4 cos 14

(1)

a 2 sin 12  a3 sin 13  a 4 sin 14

(2)

Bu iki denklemi f1 (13 ,14 )  a2 cos 12  a3 cos 13  a1  a4 cos 14  0 f 2 (13 ,14 )  a2 sin 12  a3 sin 13  a4 sin 14  0

şeklinde yeniden yazalım. Daha sonra da mekanizma boyutlarının ve krank açısının (300) verildiği bir durum için bu denklemleri MATLAB fonksiyonu şeklinde yazalım. function F=dortcubuk(x) % Boyutları tanımlayalım [cm] cinsinden a1=12; a2=4; a3=10; a4=7; % Krank açısı [derece] teta12=30; % teta13=x(1) ve teta14=x(2) olmak üzere F=[a2*cosd(teta12)+a3*cosd(x(1))-a1-a4*cosd(x(2)) a2*sind(teta12)+a3*sind(x(1))-a4*sind(x(2))];

Bu programı MATLAB‟da koşturmak için, MATLAB komut penceresinde >> x=fsolve(@dortcubuk,[50,100]) Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun. x= 29.9926 88.9768 yazılabilir. Buradan da θ13 =300 ve θ14 = 890 bulunduğu anlaşılır. Burada dikkat edilirse, krank açısının bir değeri için çözüm bulundu. Krank kolunun tam bir dönüşü için program değitirilerek kullanılabilir. function F=dortcubuk(x,teta12) % Boyutları tanımlayalım [cm] cinsinden a1=12; a2=4; a3=10; a4=7; % teta13=x(1) ve teta14=x(2) olmak üzere F=[a2*cosd(teta12)+a3*cosd(x(1))-a1-a4*cosd(x(2)) a2*sind(teta12)+a3*sind(x(1))-a4*sind(x(2))];

Daha sonra θ12 açısı sıfır ila 360 derece arasında belirli aralıklarda değiştirilerek çözümler bulunup krank açısına karşı çizdirilebilir. clear all % teta12 açısını oluşturup teker teker programa gönderelim teta12=[0:5:360]'; for i=1:73 x(i,:)=fsolve(@(x) dortcubuk(x,teta12(i)),[50,100]) end subplot(211) plot(teta12,x(:,1)) xlabel('\theta_1_2') ylabel('\theta_1_3') grid subplot(212) plot(teta12,x(:,2)) xlabel('\theta_1_2') ylabel('\theta_1_4') grid

60

13

40

20

0

0

50

100

150

200

250

300

350

400

250

300

350

400

12 160

14

140 120 100 80

0

50

100

150

200

12