3. Mekanika Fluida

PT PLN (Persero) JASDIK UNIT PENDIDIKAN DAN PELATIHAN SURALAYA

Mekanika Fluida

BAB 1 SIFAT-SIFAT FLUIDA 1.1 Pendahuluan

Definisi dari fluida adalah suatu zat yang akan berubah (berdeformasi) secara terus menerus apabila mengalami suatu tegangan geser, walaupun kecil sekali. Mekanika fluida adalah subdisiplin dari mekanika kontinum yang mempelajari fluida (yang dapat berupa cairan dan gas). Mekanika fluida dapat dibagi menjadi fluida statik dan fluida dinamik. Fluida statis mempelajari fluida pada keadaan diam sementara fluida dinamis mempelajari mempelajari fluida yang bergerak. bergerak. Sedangkan pengertian dari dari mekanika fluida itu sendiri adalah kajian mengenai fluida yang bergerak ataupun diam dan akibat yang ditimbulkan oleh fluida tersebut pada batasnya. Batas itu dapat berupa permukaan yang padat atau fluida lain. Karena aliran fluida merupakan cabang dari mekanika, maka ia memenuhi seperangkat asas kekekalan yang telah dikenal dengan baik sehingga penelaahan teoritisnya pun telah banyak dilakukan. Dua hal yang merupakan penghalang utama bagi pembangunan teori yang berlaku dalam praktek ialah geometri dan kekentalan. 1.2 Konsep Fluida

Dari balik kacamata mekanika fluida, semua bahan tampak terdiri atas dua keadaan saja, yakni fluida dan zat padat. Secara teknis perbedaan antara fluida dan zat padat terletak pada reaksi kedua zat itu terhadap tegangan geser atau tegangan singgung yang dialaminya. Zat padat dapat menahan tegangan geser dengan deformasi statik, sedangkan fluida adalah sebaliknya. Setiap tegangan geser yang dikenakan pada fluida betapa pun kecilnya, akan menyebabkan fluida itu bergerak. Fluida bergerak dan berubah bentuk secara terus-menerus selama tegangan tersebut bekerja. Maka fluida yang diam berada dalam kondisi tegangan geser nol. Dalam analisis struktur keadaan ini sering disebut kondisi tegangan berubah menjadi titik, dan tak ada tegangan geser pada sembarang bidang irisan dari bagian yang mengalami tegangan itu. Terdapat dua macam fluida yaitu zat cair dan gas. Perbedaan antara keduanya bersifat teknik, yaitu berhubungan dengan gaya kohesif. Karena terdiri dari atas molekul-molekul tetap rapat dengan gaya kohesif yang relatif kuat, zat cair cenderung mempertahankan volumenya dan akan membentuk permukaan bebas dalam medan gravitasi, jika tertutup dari atas. Pada gas, antara molekul-molekulnya besar dan gaya UNJ/16/04/2010

1


Mekanika Fluida

kohesifnya terabaikan dan akan memuai dengan bebas sampai tertahan oleh dinding yang mengungkungnya. 1.3 Fluida Sebagai Sebagai Suatu Suatu Kontinum Kontinum

Mekanika fluida biasanya dianggap subdisiplin dari mekanika kontinum, seperti yang diilustrasikan pada tabel berikut: Elastisitas: menjelaskan material yang kembali ke bentuk Elastisitas: awal setelah diberi tegangan tegangan..

Mekanika solid: solid: studi fisika Plastisitas: menjelaskan material Plastisitas: dari material kontinu Reologi: studi material Reologi: Mekanika yang secara permanen dengan bentuk tertentu. yang memiliki kontinum:: studi kontinum ter deformasi deformasi setelah diberi fisika dari material tegangan dengan besar tertentu. karakteristik solid dan fluida. kontinu Fluida non-Newtonian Mekanika fluida: studi fisika dari material kontinu yang bentuknya mengikuti Fluida Newtonian bentuk wadahnya.

Fluida disusun oleh molekul molekul-molekul -molekul yang bertabrakan satu sama lain. Namun demikian, asumsi kontinum menganggap fluida bersifat kontinu kontinu.. Dengan kata lain, properti seperti densitas densitas,, tekanan tekanan,, temperatur temperatur,, dan kecepatan dianggap terdefinisi pada titik-titik yang sangat kecil yang mendefinisikan REV (‘’Reference Element of Volume’’) pada orde geometris jarak antara molekul-molekul yang berlawanan di fluida. Properti tiap titik diasumsikan berbeda dan dirata-ratakan dalam REV. Dengan cara ini, kenyataan bahwa fluida terdiri t erdiri dari molekul diskrit diabaikan. Hipotesis kontinum pada dasarnya hanyalah pendekatan. Sebagai akibatnya, asumsi hipotesis kontinum dapat memberikan hasil dengan tingkat akurasi yang tidak diinginkan. Namun demikian, bila kondisi benar, hipotesis kontinum menghasilkan hasil yang sangat akurat. Masalah akurasi ini biasa dipecahkan menggunakan mekanika statistik . Untuk menentukan perlu menggunakan dinamika fluida konvensial atau mekanika statistik, angka Knudsen permasalahan harus dievaluasi. Angka Knudsen didefinisikan sebagai rasio dari rata-rata panjang jalur bebas molekular terhadap suatu skala panjang fisik representatif tertentu. Skala panjang ini dapat berupa radius suatu benda dalam suatu fluida. Secara sederhana, angka Knudsen adalah berapa kali panjang diameter suatu partikel akan bergerak sebelum menabrak partikel lain.

UNJ/16/04/2010

2


Mekanika Fluida

1.4 Dimensi dan Satuan

Dimensi adalah ukuran untuk menyatakan peubah fisika secara kuantitatif. Satuan ialah suatu cara khusus untuk mengaitkan sebuah bilangan dengan dimensi kuantitatif. Sistem satuan senantiasa berbeda-beda dari satu negara ke negara lain, walaupun kesepakatan Internasional telah tercapai. Pada tahun 1872 suatu pertemuan Internasional di Perancis mengusulkan suatu perjanjian yang disebut Konvensi Metrik, yang ditandatangani oleh 17 negara termasuk Amerika Serikat. Konferensi Umum tentang Timbangan dan Ukuran yang dihadiri oleh 40 negara pada tahun 1960 mengusulkan Sistem Satuan Internasional (SI). 1.5 Besaran-Besaran Medan Kecepatan Kecepatan

Dalam suatu keadaan aliran, penentuan besaran-besarannya sebagai fungsi tempat dan waktu, baik secara eksperimental ataupun secara teoritis, dianggap sebagai penyelesaian soal aliran fluida tersebut. Dalam hampir semua kasus, distribusi ruang waktu besaran-besaran fluida itulah yang ditekankan. Lintasan sesungguhnya dari partikel fluida tertentu jarang ditelusuri. Pemberlakuan sifat atau besaran sebagai fungsi medan kontinum inilah yang membedakan mekanika fluida dari mekanika zat padat. Dalam mekanika zat padat kita biasanya lebih tertarik kepada lintasan partikelpartikel, baik sendiri-sendiri atau sebagai suatu sistem.

UNJ/16/04/2010

3


Mekanika Fluida

BAB 2 STATIKA FLUIDA 2.1 Pendahuluan

Pengetahuan tentang statika fluida mencakup studi mengenai tekanan dan variasinya pada seluruh bagian fluida dan studi tentang gaya-gaya pada permukaanpermukaan yang terbatas besarnya. Studi tentang variasi tekanan memungkinkan perhitungan perbedaan tekanan yang diukur dengan manometer, gaya-gaya pada bendungan, gaya-gaya pengapungan pada benda-benda yang direndam, dan variasi tekanan, massa jenis dan temperatur atmosfir akibat perubahan ketinggian. Perlu diingat bahwa tekanan adalah besaran skalar, karena itu pada tiap titik tekanan bekerja ke segala arah dan sama besarnya. Luas dan gaya adalah besaran-besaran vektor. Arah vektor luas adalah tegak lurus bidang yang bersangkutan, dan besarnya sama dengan harga luasnya. Jadi gaya tekanan adalah suatu vektor yang besarnya sama dengan produk antara intensitas tekanan dengan besarnya luas dan arahnya tegak lurus keluar dari bidang yang bersangkutan. Dalam statika fluida tidak ada gerakan antara lapisan fluida yang satu terhadap yang lain, karena itu tidak gaya geser di dalam fluida. Jadi semua benda bebas dalam statika fluida hanya mengalami gaya-gaya normal (tegak lurus pada bidang).

2.2 Hidrostatika & Hidrodinamika 2.2.1 Hidrostatika

Hidrostatika adalah ilmu yang membahas perihal fluida atau zat alir baik itu zat cair atau gas yang diam (tidak bergerak). Namun pada pembahasannya, zat cair dan gas dipisahkan secara eksplisit karena menyangkut sifat air yang tidak termampatkan (incompressible ) dan sifat gas yang termampatkan (compressible ). ). Dalam membahas fluida dalam konteks hidrostatika, maka tak lepas pada pembahasan mengenai massa jenis (kerapatan), berat jenis, berat jenis relatif, tekanan dalam fluida, prinsip Pascal dan azas Archimedes.

UNJ/16/04/2010

4


Mekanika Fluida

a. Massa Jenis

Massa jenis atau kerapatan suatu zat khususnya fluida didefinisikan sebagai perbandingan massa fluida dengan volume fluida tersebut. ρ=

Massa Volume

=

M

............................................. (1)

V

b. Volume jenis

Volume jenis didefinisikan sebagai perbandingan antara volume fluida dengan massa fluida tersebut. v=

V M

=

1

ρ

(m3 /kg) ........................................... (2)

c. Berat Jenis

Berat jenis didefinisikan sebagai perbandingan berat fluida dengan volume fluida tersebut. γ=

Berat Volume

=

W V

=

mg V

= ρ g ........................................ ....................... ................. (3) (3)

Dengan g adalah percepatan gravitasi. Hubungan antara ρ dan γ adalah: γ = ρ g (N/m3) .......................................................... (4) d. Berat Jenis Relatif

Berat jenis relatif didefinisikan sebagai perbandingan berat jenis suatu fluida dengan berat jenis air murni pada suhu 4 0C. γrelatif = berat jenis benda/berat jenis air pada suhu 4 0C = γ benda / γ air murni pada 4 0C ....(5) e. Gravitasi Jenis

s = ρcairan,T/ρH2O, 600F = ρcairan,T/62,37 ...................................... (6) Agar praktis, dalam industri minyak, hidrometer ditera dengan skala gravitasi yang khusus. The American Petroleum Institue (API) mendefinisikan: APIgravity (0) = 141,5/sp.gr.60/60 0F – 131,5 ............................. .................... ......... (7) (7) Dimana sg.gr.60/60 0F adalah perbandingan massa jenis fluida pada 60 0F dengan massa jenis air pada 60 0F

UNJ/16/04/2010

5


Mekanika Fluida

f. Tekanan Fluida

Pada tekanan di dalam zat cair yang dikenakan pada suatu benda didefinisikan sebagai fungsi dari posisinya terhadap permukaan fluida dengan konstanta massa jenis fluida dan percepatan gravitasi ditambah dengan tekanan atmosfir, atau secara matematis dapat ditulis sebagai berikut: Pbenda = Patm + Pfluida cair .......................................................... (8) Karena tekanan fluida: Pfluida cair = ρ g (y2 – y1) = ρ g h, maka persamaan tekanan di dalam fluida dapat ditulis: Pbenda = Patm + ρ g h .............................................. .................. ............................................. ................. (9) Sedangkan tekanan pada gas jika diasumsikan gas merupakan gas ideal, maka persamaan tekanannya diberikan oleh persamaan gas ideal yaitu: P V = R T ................................................ ...................... .................................................. ............................... ....... (10) (10) Dimana: P = tekanan gas V = volume gas R = konstanta gas ideal yaitu 8.314 Joule kg-1 K -1 T = temperatur gas g. Prinsip Pascal

Prinsip Pascal menyatakan bahwa tekanan yang dikerjakan pada suatu fluida akan menyebabkan kenaikan tekanan seragam ke segala arah. Dengan prinsip ini, sebuah gaya yang kecil dapat digunakan untuk menghasilkan gaya yang besar dengan membuat luas penampang keluaran lebih besar daripada luas penampang p enampang masukan. Secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut: Pin = Pout Fin Ain

=

Aout Ain

Fout Aout

=

Fout Fin

......................................................................... (11)

Dimana: Fin = gaya yang diberikan pada fluida Fout = gaya yang diberikan oleh fluida A inin = luas penampang masukan A out out = luas penampang keluaran

UNJ/16/04/2010

6


Mekanika Fluida

h. Azas Archimedes

Azas Archimedes menyatakan bahwa gaya apung suatu benda yang dicelupkan ke dalam suatu fluida sama dengan berat fluida yang dipindahkan oleh benda tersebut. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut: Fapung benda = Wfluida Mbenda g = Mfluida g Ρbenda Vbenda g = Ρfluida Vfluida g .......................................... ................... ................................. .......... (12) i. Kompresibilitas

β= -

1  ∆v 



 .................................................................. (13)

 ∆ p  v  

Volume cairan hanya dapat diubah dengan tekanan yang sangat tinggi. Untuk hampir semua situasi aliran yang dijumpai dalam teknik volume cairan dianggap konstan, sehingga dengan demikian cairan disebut inkompresibel, yang secara harfiah dapat diterjemahkan sebagai hampir tidak ada perubahan volume oleh tekanan, atau massa jenis cairan dapat dianggap konstan. Berbeda halnya untuk gas; gas disebut kompresibel karena massa jenis gas selalu berubah dengan perubahan temperatur (suhu). 2.2.2 Hidrodinamika

Hidrodinamika adalah tentang fluida (zat cair) yang bergerak. Dalam pembahasan awal, fluida diidealisasikan sebagai fluida sempurna, yaitu fluida yang tidak termampatkan (incompressible ) dan tidak mempunyai gesekan dakhil atau kekentalan(viskositas). Dalam pembahasan awal ini, gas pun dianggap sebagai fluida yang tidak termampatkan asal saja mengalir sedemikian rupa sehingga perbedaan tekanan di semua titik tidak terlalu t erlalu besar (kecil). Lintasan yang ditempuh sebuah fluida yang sedang bergerak disebut garis alir. Pada umunya kecepatan fluida itu berubah besar dan arahnya sepanjang garis alirnya terutama pada awal, dimana fluida mengalami kondisi tidak tenang tetapi dalam banyak kejadian selang waktu tertentu, fluida kemudian menjadi tenang. Pada saat aliran menjadi tenang, kecepatan di semua titik ruang lama kelamaan menjadi konstan. Aliran fluida dimana kecepatan di semua titik ruang yang konstan ini disebut aliran stasioner.

UNJ/16/04/2010

7


Mekanika Fluida

Sedang garis arus (stream line ) didefinisikan sebagai sebuah kurva yang garis singgungnya di setiap titik merupakan arah kecepatan fluida yang bersangkutan. Pada aliran yang tenang (aliran stasioner) garis arus berhimpit dengan garis alir (arah kecepatan). Untuk hidrodinamika khususnya pada aliran fluida yang stasioner dan tidak termampatkan (incompressible ), ), ada beberapa acuan yang sering digunakan dalam proses perekayasaannya, yaitu antara lain: A. Persamaan Kontinuitas

Persamaan kontinuitas merupakan ungkapan matematis mengenai pembahasan jumlah netto massa yang mengalir ke dalam sebuah permukaan terbatas (sebuah pipa) sama dengan pertambahan massa di dalam permukaan tersebut. Untuk fluida yang tak termampatkan dengan aliran yang tenang (stasioner), persamaan kontinuitasnya berbentuk sebagai berikut: ρ A 1 v1 dt = ρ A 2 v2 dt .................... . ........................................... ............................................. ..................... (14) Dimana: ρ = massa massa jenis fluida dt = selang waktu pada saat fluida mengalir A 1 = luas penampang pipa masuk fluida v1 = kecepatan fluida masuk A 2 = luas penampang pipa keluar fluida v2 = kecepatan fluida keluar Atau dapat ditulis kembali dengan d engan bentuk sebagai berikut: A 1 v1 = A 2 v2 .............................................................................. (15) B. Persamaan Bernoulli

Bila fluida yang tidak dimampatkan mengalir sepanjang pembuluh aliran yang penampangnya tidak sama besar, maka kecepatannya dan tekanannya akan berubah yaitu dapat bertambah atau berkurang yang secara berurutan merupakan faktor dari energi kinetik dan kerja fluida apabila diterapkan pada penggunaan mekanis. Di sisi lain elevasi antara penampang masuk (fluida masuk) dan penampang keluar (fluida keluar) juga mempengaruhi energi potensial fluida yang merupakan hal penting pengkajiannya pada penggunaan pompa.

UNJ/16/04/2010

8


Mekanika Fluida

Secara matematis persamaan Bernoulli dapat ditulis: di tulis: P1 V1 + m1 g y1 + ½ m1 v12 = P2 V2 + m2 g y2 + ½ m2 v22 ........... (16) Dimana: m1 = massa fluida pada penampang masuk fluida V1 = volume fluida pada penampang masuk fluida y1 = elevasi penampang masuk fluida m2 = massa fluida pada penampang keluar fluida V2 = volume fluida pada penampang keluar fluida y2 = elevasi penampang keluar fluida Karena m = ρ V dan fluida bersifat tidak termampatkan (incompressible) dimana V1 = V2 sehingga m1 = m2, maka persamaan Bernoulli dapat ditulis kembali, yaitu: P1 + ρ g y1 + ½ ρ v12 = P2 + ρ g y2 + ½ ρ v22 ................................. (17) 2.3 Manometer

Bentuk yang paling sederhana dari manometer adalah barometer, Gbr.1 Yang digunakan untuk menentukan tekanan atmosfer absolut. Untuk barometer ini Pv + ρb g hb = Pa

Gbr.1 Barometer

UNJ/16/04/2010

9


Mekanika Fluida

Umumnya sebagai fluida digunakan merkuri (air raksa), karena massa jenisnya yang besar dan tekanan uapnya yang sangat kecil (dapat diabaikan). Manometer diferensial digunakan untuk mengukur perbedaan tekanan antara suatu titik dengan atmosfer, atau antara dua titik yang masing-masing tidak pada tekanan atmosfer. Contoh 1:

Berapa besarnya tekanan isap pada suatu pompa sentrifugal yang diukur dengan manometer merkuri seperti terlihat pada Gbr.2

Gbr.2 Pompa Sentrifugal

Jawaban: Dengan menggunakan persamaan hidrostatik antara ujung manometer yang terbuka dengan pipa masuk, diperoleh: P1 – pi = ρm g hm + ρ g yi P2 = Pa , sedangkan P2 = P1, karena terletak pada satu bidang datar di dalam fluida Jadi: pi = pa - ρm g hm - ρ g yi

UNJ/16/04/2010

10


Mekanika Fluida

2.4 Kesetimbangan Relatif

Dalam statika fluida, variasi tekanan mudah dihitung karena tidak adanya tegangan geser. Untuk gerak fluida dimana tidak ada gerakan antara lapisan fluida yang satu relatif terhadap yang lain, tegangan gesernya juga nol pada seluruh fluida. Fluida yang mengalami translasi pada kecepatan tetap dan seragam masih memenuhi hukum tekanan yang bervariasi statis. Bila sejumlah massa fluida mengalami gerakan percepatan tetapi tanpa gerakan relatif antara partikel yang bila fluida bergerak seperti bila ia bersifat padat, tidak terjadi tegangan geser dan variasi tekanan dapat ditentukan dengan menuliskan persamaan gerak untuk benda bebas yang sesuai. Suatu analisa statik dapat dibuat bila gaya inersia diperhitungkan. Ada dua kasus yang akan dibahas, yaitu percepatan linier seragam dan gerak rotasi dengan kecepatan sudut seragam terhadap poros yang vertikal. Dalam gerakan ini fluida dikatakan ada pada keadaan kesetimbangan relatif. 2.5 Gaya-gaya Pada Bidang Datar

Bila ada permukaan benda padat di dalam fluida, maka pada tiap elemen luas pada permukaan tersebut terdapat gaya akibat tekanan yang bekerja tegak lurus pada permukaan. Pada Gbr.3 di bawah ini menunjukkan permukaan yang demikian CD dengan proyeksi C’D’ pada bidang yz. Gaya total F pada permukaan sama dengan Σ∆F, dimana ∆F adalah hasil kali tekanan p akibat kolom fluida h, dengan elemen luas ∆A. Jadi: F = Σ∆F = Σp ∆A = Σρ g/gc h ∆A .................................................. ............................ .............................. ........ (18)

UNJ/16/04/2010

11


Mekanika Fluida

Gbr.3 Gaya Pada Bidang Datar

2.6 Gaya-gaya Pada Permukaan Lengkung

Pada bidang lengkung, seperti pada Gbr.4a analisa di atas tidak dapat langsung digunakan karena gaya pada elemen bidang tidak sejajar. Akan tetapi, komponen resultan yang horisonatal dan vertikal dapat ditentukan, dengan titik lengkapnya, jadi momennya juga dapat ditentukan.

Gbr.4 Gaya Pada Permukaan Lengkung

UNJ/16/04/2010

12


Mekanika Fluida

Perhatikan suatu elemen luas infinitesimal dA pada suatu titik, yang membentuk sudut θ dengan bidang horisontal. Luas bidang dapat dinyatakan dengan komponen normal yang menjauhi bidang tersebut. Jadi dAx = -dA dan dAz = dA.k. Gaya pada permukaan yang disebabkan oleh tekanan dan arahnya menuju permukaan. Jadi dF = -pdA. Karena itu: dFx = -p(-dA.i) = p dAx = p dA sin sin θ ...................... (19) dFz = -p dA.k = -p dAz = -p dA cos cos θ ...................... (20) Gaya total dalam arah x dan z adalah: Fx = ∫ p dAx ............................................ .................. ........................................... ................. (21) Fz = -∫ p dAz .............................................. ................... ......................................... .............. (22) Proses ini sama dengan penjumlahan terpisah dari gaya pada permukaan infinitesimal dAx dan dAz, yang diperlihatkan pada Gbr. 4c. Tekanan pada tiap titik disebabkan oleh tinggi fluida h yang diukur dari permukaan bebas yaitu p = ρ g h/gc. Jadi: Fx = ρ g/gc ∫ h dAx ................................................ ..................... ............................. (23) Fz = - ρ g/gc ∫ h dAz ............................................... ...................... ......................... (24) Disini h dAz = V, volume fluida di atas bidang lengkung yang bersangkutan. Jadi fz sama dengan berat fluida yang terletak di antara permukaan bebas dengan bidang lengkung. Garis kerjanya harus melalui centroid dari volume tersebut. 2.7 Pengapungan Dan Gaya Apung

Tinjau suatu benda yang seluruhnya terendam di dalam cairan yang massa jenisnya tetap yaitu ρf seperti terlihat pada Gbr.5. Kita telah pernah mendengar tentang hukum Archimedes yang mengatakan bahwa suatu benda yang terendam mengalami gaya apung yang arahnya vertikal ke atas dan besarnya sama dengan berat fluida yang dipindahkan oleh benda tersebut. Hal ini dapat dibuktikan dengan hukum statika fluida.

UNJ/16/04/2010

13


Mekanika Fluida

Gbr.5 Benda Yang Terendam

Pada suatu elemen prisma tegak dengan penampang dA, bekerja gaya ke atas sebesar dFz, akibat tekanan (p2 – p1), jadi: dFz = (p2 – p1) dA ................................... ..................... .............. (25) Bila p = ρf g h/gc, maka: dFz = ρf g/gc (h2 – h1) dA ........................ .................... .... (26) Penjumlahan semua elemen prisma yang membentuk seluruh benda menghasilkan: Fz = ρf g/gc ∫ (h2 – h1) dA = ρf g/gc ∫ dV = ρf g/gc V ................... (27) Dimana V adalah volume benda. Suku ρf g/gc V menyatakan berat dari fluida yang dipindahkan oleh benda. Jadi:

Fz = Wf

Yang merupakan hukum Archimedes. Dengan elemen prisma tegak, tekanan pada sisinya sama, jadi tidak ada gaya g aya resultan horisontal. Jadi Fz = Fb, gaya apung. Titik tangkap gaya apung disebut titik pusat apung. Untuk menentukan letak titik ini, dihitung momen sekitar sumbu x dan y. Bila suatu benda ada dalam keadaan setimbang pada suatu permukaan fluida, atau muka antara fluida, jadi sebagian saja yang terendam dalam fluida yang satu sedang sebagian yang lainnya terendam dalam fluida yang lainnya, gaya apung resultan untuk tiap fluida harus dihitung. Garis kerja gaya resultan harus ditentukan dari momen gaya

UNJ/16/04/2010

14


Mekanika Fluida

yang bekerja. Contoh yang umum adalah benda yang berada pada muka antara air dan udara, dan dikatakan terapung. Gaya apung akibat udara dapat diabaikan dibandingkan dengan gaya apung akibat air. Disini timbul persoalan stabilitas benda yang terapung. Suatu benda yang terendam sempurna akan stabil bila titik pusat gravitasinya (titik berat) terletak di bawah titik pusat apung. Gbr.6a menunjukkan bahwa tiap perpindahan sudut akan menghasilkan momen (kopel) yang berusaha untuk mengembalikan sistem ke kedudukan semula yang setimbang stabil. Sebailknya Gbr.6b menunjukkan bahwa walaupun sistem memiliki kesetimbangan, sistem tidak

stabil karena perubahan sudut yang sedikit saja akan menghasilkan kopel yang akan membalikkan kedudukannya.

Gbr.6 Stabilitas Benda Benda Terendam

UNJ/16/04/2010

15


Mekanika Fluida

BAB 3 DINAMIKA FLUIDA 3.1 Ciri-ciri Jenis Aliran Fluida

Bila fluida mengalir maka berbagai sifat-sifat ( properties properties ) fluida menjadi cukup penting. Sebagaimana diketahui, aliran fluida di alam nyata begitu rumit dan permasalahan yang ingin diketahui dari aliran fluida ini tidak selalu dapat diselesaikan secara pasti dengan hanya mengandalkan analisa matematika belaka, sehingga sering diambil jalan lain yaitu dengan mengadakan eksperimen secara langsung. Meski demikian, beberapa masalah yang ingin diketahui dalam suatu aliran fluida dapat diselesaikan secara analisa matematika dengan membuat asumsi-asumsi untuk menyederhanakan permasalahan yang ada. Suatu fluida tidak seperti benda padat (solid ), ), fluida adalah kumpulan berbagai macam partikel yang bergerak dengan berbagai kecepatan dan juga berbagai macam percepatan. Kecepatan dan percepatan fluida ini dapat berubah-ubah menurut ruang dan waktu, karena itu mempelajari aliran suatu fluida membutuhkan pengamatan terhadap gerakan partikel fluida pada berbagai titik dalam ruang dalam waktu sesaat. Dikenal dua macam metoda untuk menguraikan gerakan aliran suatu fluida, yaitu dengan metoda Langrangian dan Eulerian. Pada metoda langrangian, setiap partikel fluida dipilih selanjutnya semua gerak alir partikel ini diikuti dan kelakuannya selama bergerak dalam ruang diamati. Sedangkan pada metoda Eulerian, suatu titik dalam ruang aliran fluida diambil lalu fluida ditempatkan dalam titik ini serta diamati mengenai perubahan kecepatan, density dan tekanan di titik ini. Aliran fluida dapat digolongkan d igolongkan sebagai berikut: 1. Aliran steady dan unsteady 2. Aliran uniform dan non uniform 3. Aliran satu, dua dan tiga dimensi 4. Aliran laminar dan turbulen

UNJ/16/04/2010

16


Mekanika Fluida

3.1.1 Aliran steady dan unsteady 3.1.1.1 Aliran steady

Suatu aliran dikatakan steady, jika berbagai karakter seperti kecepatan, tekanan, kerapatan, temperatur dan lain sebagainya pada tiap titik alirannya tidak berubah dengan perubahan waktu, meskipun karakternya boleh jadi berbeda-beda besarnya pada berbagai titik sepanjang aliran. Secara matematis setiap titik pada aliran steady dapat ditulis sebagai berikut:

(

δ u δ v δ w δ p δ ρ ) =0; ( ) =0; ( )=0; ( )=0;( )=0 δ t δ t δ t δ t δ t

3.1.1.2 Aliran Unsteady

Jika salah satu atau seluruh karakter fluida dalam gerakannya berubah dengan perubahan waktu pada tiap titik dalam fluida atau secara matematika dapat dinyatakan sebagai:

(

δ v δ p ) ≠ 0 dan atau ( ) ≠ 0 ; dan karakteristik lainnya. δ t δ t

Jelas bahwa aliran steady lebih mudah dianalisa daripada aliran unsteady, dan umumnya secara praktek persoalan-persoalan engineering melibatkan kondisi aliran steady sehingga perhatian utama dibatasi pada aliran steady. 3.2 Aliran Uniform

Jika kecepatan fluida baik arah maupun besarnya, tidak berubah dari titik ke titik sepanjang alirannya dalam waktu singkat, sehingga bentuk persamaan suatu aliran uniform dinyatakan sebagai:

(

δ v )=0 δ s

UNJ/16/04/2010

17


Mekanika Fluida

3.3 Aliran Non Uniform

jika kecepatan fluida berubah dari titik ke titik sepanjang alirannya dalam waktu singkat, maka bentuk persamaan aliran non uniform dinyatakan sebagai: (

δ v )≠0 δ s

3.4 Aliran Satu, Dua dan Tiga Dimensi

Berbagai karakteristik aliran massa fluida seperti kecepatan, tekanan, kerapatan, temperatur dan sebagainya pada umumnya adalah merupakan fungsi ruang dan waktu dimana hal ini dapat berubah-ubah sesuai arah koordinat pada setiap titik x, y dan z serta waktu dan kondisi ini dikatakan berada pada aliran tiga dimensi. Bila setiap karakteristik dari aliran fluida tidak berubah menurut perubahan waktu saja, maka kondisi ini menjadi aliran steady tiga dimensi. Suatu aliran fluida dikatakan dua dimensi bila merupakan fungsi dari dua koordinat saja dan waktu t, sedang karakteristiknya pada salah satu koordinat tidak berubah. Dan bila kondisi aliran tidak berubah menurut waktu t, maka aliran dikatakan aliran steady dua dimensi, dan jika karakteristik aliran massa fluida merupakan fungsi dari satu arah koordinat saja serta waktu, maka aliran berada pada kondisi satu dimensi dan bila tidak berubah menurut perubahan waktu, maka dikatakan aliran steady satu dimensi. Sebagai contoh, bila kita ambil salah satu karakteristik aliran massa fluida misalnya V, maka dapat dibuat pernyataan sebagai berikut: Jenis aliran

Unsteady

Steady

Tiga dimensi

V = f (X, Y, Z)

Dua dimensi

V = f (X, Y, t)

V = f (X, Y)

Satu dimensi

V = f (X, t)

V = f (X )

V = f (X, Y, Z, t)

3.5 Aliran laminar

Jika berbagai partikel fluida mengalir bergerak berlapis-lapis seperti bentuk lembaran-lembaran tipis, dimana antara lapisan-lapisan partikel fluida ini saling menggelincir satu sama lian, maka aliran seperti ini dikatakan aliran laminar.

UNJ/16/04/2010

18


Mekanika Fluida

Pada aliran laminar partikel fluida bergerak sepanjang alirannya berupa garis lurus yang sejajar dalam lapisan-lapisan fluida, sebab itu garis-garis laluannya tidak akan bersilangan satu dengan lainnya dan ini terjadi pada kecepatan alir yang rendah dan menyebabkan gaya yang timbul akibat kekentalan (viscosity ) fluida ini menjadi sangat menonjol. Kekentalan suatu fluida menyebabkan terjadinya gerakan relatif pada alirannya antara lapisan-lapisan fluida yang bergerak dengan kecepatan masingmasing dan secara bergantian memberikan kenaikan tegangan geser yang timbul. Besar tegangan geser yang terjadi bervariasi dari titik ke titik pada penampang aliran dan menjadi maksimum pada batasan fluida dan perlahan-lahan menurun dengan naiknya jarak lapisan dari boundary layer . Tegangan geser menyebabkan hambatan pada aliran suatu fluida, sehingga menyebabkan terjadinya penurunan tekanan sepanjang penampang aliran (Pressure Drop ) sehingga terdapat gradien tekanan. 3.6 Aliran Turbulen

Suatu aliran massa fluida dikatakan turbulen, bila partikel fluida bergejolak sedemikian, sehingga kecepatannya berfluktuasi tak menentu dengan aliran yang bergulung-gulung yang mengembang dengan cepat. 3.7 Fluida Newtonian Newtonian dan Non Non Newtonian Newtonian

Sebagaimana diketahui, fluida digolongkan atas aliran fluida yang mengikuti hukum Newton tentang aliran fluida dan yang tidak patuh pada hukum ini. τ = µ

Dimana: τ

du dy

= Tegangan geser pada fluida du dy

µ

= Gradien kecepatan fluida = Kekentalan fluida

Banyak jenis fluida mengikuti hukum ini seperti air, beberapa jenis minyak, berbagai jenis gas, dimana kekentalannya tidak berubah seiring perubahan waktu. Namun kebanyakan fluida yang terdapat di alam tidak tunduk kepada hukum Newton ini, misalnya cat, tinta, minyak pelumas, lumpur, bubur kayu, sejumlah produk makanan cair, maupun obat-obatan cair dan sebagainya. Sebagai contoh pada cairan UNJ/16/04/2010

19


Mekanika Fluida

cat, bila diaduk atau dicatkan pada suatu permukaan, dengan segera cat ini akan menurun kekentalannya. Dari segi tegangan geser, aliran fluida digolongkan atas beberapa golongan, diantaranya : 1. Aliran fluida yg tegangan gesernya tidak tergantung waktu, seperti a. Newtonian Fluida b. Bingham Plastics c. Pseudo Plastics d. Dilatant

τ = µ

du dy

τ = τ y + µ o

τ = τ =

du dy

k

  

k

   du  dy 

du dy

 

n , n

< 1

n , n > 1

2 . Aliran fluida yang yang tegangan gesernya tergantung tergantung waktu a. Thixo tropics b. Rheopectic c. Viscoelastic

menurun dengan perubahan waktu naik dengan perubahan waktu  du   µ o  d τ µ o  = τ +   Dimana λ = rigidity modulus dy dt λ    

Type aliran fluida dapat diilustrasikan menurut gambar berikut ini.

Visco

plastic Pseudoplastics Newtoniann

Dilatant

∂u ∂ y

Thyxotropic Rheopectic Viscoelastic

∂u ∂ y

Gambar 7 . Tipe aliran fluida UNJ/16/04/2010

20


Mekanika Fluida

Kurva aliran suatu fluida fluida adalah kurva kurva hubungan antara antara Shear stress Vs Shear rate fluida yg menunjukkan menunjukkan kelakuan fluida selama mengalir mengalir . Sebelum membentuk kurva aliran ini , terlebih dahulu diperhitungkan besar Pressure drop ( p)

yg terjadi terjadi dalam pipa kapiler ; Tegangan Tegangan geser τw sepanjang aliran

(sebagai fungsi massa hasil pengukuran yg selanjutnya dapat dibentuk kurva yang menghubungkan persamaan :

τ

W

= k .

 8 v    D  

n

.

................................................ (28)

Pada kondisi steady ,Shear rate suatu aliran fluida dapat diperhitungkan berdasarkan hubungan persamaan Rabyno – Mooney sebagai berikut ini .

− (

dU dr

) W =

3 .n + 1 8 v ( ) D 4n

................................. (29)

Dengan mensubsitusi nilai Power law index ( n ) yg diperoleh dr kurva τw Vs 8v/D kedalam persamaan ( 29 ) , maka nilai shear rate (du/dy)w dapat dihitung dihitung pd nilai 8v/D yg bervariasi yg selanjutnya dapat diplot kurva τw Vs

(

dU dy

)

.

Aliran fluida yang tergantung pada perubahan waktu, tegangan gesernya berubah menurut waktu pada

δ u yang konstan. δ v

Fluida Bingham plastics merupakan fluida yang gardien velocitynya tidak ada, sampai tercapai tegangan geser yang besarnya tertentu (τy), setelah itu aliran akan terjadi dimana tegangan geser merupakan fungsi linear dari gradien kecepatan

δ u . δ y

Banyak jenis fluida yang berkelakuan seperti ini, misalnya lumpur, cairan plastik, dan lain sebagainya. Pada fluida Thyxotropic, tegangan gesernya berkurang sejalan dengan perubahan waktu sedangkan fluida Rheopectic, menunjukkan terjadi pemadatan setelah stressing dalam waktu 2400 detik bila tidak ada gangguan dan hanya dalam waktu 20 detik fluida jenis ini akan memadat bila dialirkan secara perlahan-lahan.

UNJ/16/04/2010

21


Mekanika Fluida

Fluida Viscoelastic adalah jenis fluida non Newtonian yang menunjukkan sifatsifat

elastis,

seperti

sifat-sifat

kekentalan.

Salah

satu

demonstrasi

untuk

mengetahuinya adalah bila jenis fluida ini disemburkan dari sebuah tube (pipa), maka fluida ini tidak menunjukkan penciutan penampang sebagaimana akan terjadi pada fluida Newtonian, tetapi mengembang oleh tegangan normalnya. 3.8 Persamaan Gerak; Persamaan Gerak Euler Untuk Fluida Invisid

Kelakuan dinamis dari gerak fluida diatur oleh satu kelompok persamaan yang disebut persamaan gerak. Persamaan ini diperoleh dengan menggunakan hukum Newton dengan cara yang sesuai untuk aliran fluida. Untuk menurunkan persamaan gerak tersebut dapat ditempuh dengan dua cara yaitu cara diferensial yang merupakan peninjauan elemen massa fluida infinitesimal, dan cara peninjauan integral dengan menggunakan volume atur yang besarnya terbatas, masing-masing dengan selanjutnya menerapkan persamaan mekanika yang sesuai. Dalam mekanika, persamaan gerak Newton dinyatakan sebagai: F=ma Dengan komponen:

Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az

Atau:

F = D/Dt (m v)

Dimana F adalah gaya yang dialami oleh benda, m massa benda, a percepatannya dan v kecepatannya. Kita tinjau suatu keadaan di mana efek gesekan dapat diabaikan. Gaya yang bekerja pada elemen massa terdiri dari gaya badan dan gaya permukaan. Gaya badan misalnya gaya gravitasi, gaya magnetik, gaya Lorentz dan sebagainya. Sedangkan gaya permukaan misal diakibatkan oleh tekanan pd permukaan elemen massa fluida. Gaya badan besarnya sebanding dengan massa dari elemen massa fluida. Komponen gaya badan per satuan massa dalam arah x, y, dan z adalah f x, f y dan f z. Gaya yang bekerja pada suatu elemen massa yang berbentuk kubus diperlihatkan pada Gbr.8 dengan elemen kubus yang berdimensi dx, dy, dz.

UNJ/16/04/2010

22


Mekanika Fluida

Gbr.8 Gaya Pada Elemen Fluida Berbentuk Berbentuk Kubus Kubus Tanpa Gesekan

Dengan menggunakan persamaan gerak Newton, diperoleh dalam arah x: M ax = ρ dx dy dz Du/Dt = Fx = - δp/δx dx dy dz + ρ fx dx dz dz Atau: Du/Dt = - 1/ρ δp/δx + fx ............................................... ......................... ............................................ ...................... (30) Dalam arah y: Dv/Dt Dv/Dt = - 1/ρ 1/ρ δp/δy + fy ............................................. ...................... ..................................... .............. (31) Dalam arah z: Dw/Dt = - 1/ρ 1/ρ δp/δz δp/δz + fz ............................................ ....................... ....................................(32) ...............(32) Persamaan (30), (31), (32) menyatakan gerakan suatu fluida sempurna di dalam suatu sistem koordinat inersial. Tidak ada pemisalan apapun mengenai massa jenisnya, sehingga persamaan di atas berlaku baik untuk fluida inkompresibel maupun kompresibel. Persamaan di atas pertama kali diturunkan oleh Euler, oleh karena itu disebut persamaan Euler.

UNJ/16/04/2010

23


Mekanika Fluida

BAB 4 KINEMATIKA FLUIDA 4.1 Metoda Langrange Dan Metoda Euler

Disini akan diuraikan hubungan antara kedudukan berbagai partikel fluida dengan waktu, dimana fluida dianggap sebagai kontinuum. Hal ini berlaku selama ukuran dari partikel yang kita perhatikan jauh lebih besar dari jarak lintasan bebas rata-rata dari molekul. Ada dua cara dalam menerangkan gerak fluida atau bentuk persamaan medan dalam fluida, yaitu metoda Lagrange dan metoda Euler. Perbedaannya terletak pada cara penentuan kedudukan dalam medan. Yang satu bersangkutan dengan apa yang terjadi pada partikel fluida dengan identitas tetap selama waktu yang tertentu, bagaimana lintasannya, berapa besar kecepatan dan percepatannya dan sebagainya. Metoda yang lain mencoba mengetahui apa yang terjadi pada suatu titik di dalam ruang yang diisi fluida dan berapa kecepatan, percepatannya dan seterusnya, pada titik yang berbeda tempat dalam ruang. Dalam metoda Lagrange, variabel seperti lintasan, kecepatan, percepatan dan variabel fisika lainnya dituliskan untuk partikel fluida dengan identitas tetap. Cara demikian biasa dipergunakan pada dinamika partikel dan dinamika benda padat. Koordinat (x, y, z) adalah koordinat dari elemen fluida, dan karena elemen fluida yang ditinjau identitasnya tetap dan bergerak pada lintasannya, maka koordinat tersebut merupakan fungsi dari waktu. Koordinat (x, y, z) dengan demikian merupakan variabel dependen dalam bentuk Lagrange. Metoda Lagrange jarang dipergunakan dalam mekanika fluida karena jenis informasi yang diinginkan bukanlah harga variabel fluida yang dialami oleh suatu partikel fluida sepanjang lintasannya, tetapi hanya variabel fluida pada suatu titik tetap di dalam ruang. Metoda Euler membrikan harga variabel fluida pada suatu titik pada suatu waktu. Dalam bentuk fungsionil, medan kecepatan dapat dituliskan sebagai: v = v (x, (x, y, z, t) ................................................... ....................... ............................................. ................. (33) Dimana x, y, z dan t semuanya merupakan variabel beban. Untuk suatu titik tertentu (x1, y1, z1) dan waktu t1, persamaan (33) menyatakan kecepatan fluida pada kedudukan (x1, y1, z1) pada saat t1. Metoda Lagrange dapat dihubungkan dengan metoda analisa berdasarkan sistem (sistem adalah sekumpulan partikel yang mempunyai identitas tetap yang

UNJ/16/04/2010

24


Mekanika Fluida

dibatasi oleh suatu permukaan batas sistem, yang dapat berubah bentuk; partikel dalam sistem tidak dapat menembus batas sistem),sedangkan metoda Euler dapat dihubungkan dengan metoda analisa dengan volume atur. 4.2 Medan Kecepatan Dan Percepatan Dalam Fluida

Bila r (x, y, z) menyatakan koordinat partikel fluida, maka medan kecepatan dinyatakan sebagai: V = v (u, v, w) = dr (x, y, z, t)/dt Atau: u = dx/dt

v = dy/dt

w = dz/dt

Selanjutnya percepatan dalam arah x diturunkan sebagai berikut: du = δu/δx dx + δu/δy dy + δu/δt dt ax = du/dt = du/dx .dx/dt + du/dy.dy/dt + dudz/dzdt d udz/dzdt + du/dt ax = δu/δt δu/δt = du/dt du/dt + u δu/δx + v δu/δy + W δu/δz δu/δz + δu/δt ........... (34) Demikian pula: ay = Dv/Dt = dv/dt = u δv/δx + v δv/δy + w δv/δt + δv/δt ............ (35) az = Dw/Dt = dw/dt = u δw/δx + v δw/δy δw/δy + w δw/δz + δw/δt ....... (36)

Gbr.9 Koordinat Partikel fluida

UNJ/16/04/2010

25


Mekanika Fluida

4.3 Sistim Referensi Referensi Dalam Menginterpretasikan Menginterpretasikan Bentuk Bentuk Gerakan

Pemilihan sistem koordinat sebagai referensi terhadap gerakan fluida mempunyai kegunaan besar. Hal ini akan kita lukiskan dengan contoh. Misalnya kita perhatikan aliran melalui tiang jembatan dengan sistem referensi (atau pengamat) diam, atau kita perhatikan aliran melalui hidung pesawat terbang yang terbang dengan kecepatan tetap seperti dilihat oleh seorang pengamat dalam pesawat terbang. Keduaduanya merupakan contoh gerakan stasioner.

Gbr.10 Garis Arus Pada Aliran Stasioner

Gbr.10 menunjukkan garis lintasan yang dalam hal ini berimpitan dengan garis

gores dan garis arus. Benda K dianggap sangat panjang sehingga pengaruh aliran di bagian belakang benda pada aliran di bagian depan dapat diabaikan. Bila pada titik A diteteskan suatu cairan berwarna, maka tetesan berwarna tersebut akan terletak pada garis arus. Bila aliran tidak stasioner, keadaan berbeda. Ini terjadi misalnya bila kita memperhatikan aliran fluida melalui suatu pesawat terbang dari d ari suatu kedudukan yang diam terhadap fluida yang masih belum terganggu. 4.4 Aliran Satu, Dua Dan Tiga Dimensi

Suatu garis arus yang merupakan garis matematik mempunyai satu dimensi. Jadi aliran sepanjang satu garis, walaupun melengkung, merupakan aliran satu dimensi. Dalam aliran yang demikian, variasi kecepatan, tekanan dan sebagainya, hanya mungkin sepanjang garis arus karena dimensi yang melintang terhadap garis arus tidak didefinisikan. Beberapa aliran dua dan tiga dimensi dapat diperlakukan sebagai aliran satu dimensi untuk keperluan praktis, bila garis arusnya hampir lurus dan sejajar

UNJ/16/04/2010

26


Mekanika Fluida

satu sama lain. Aliran dua dan tiga dimensi menggambarkan medan aliran, masingmasing dalam bidang dan ruang. Contoh aliran dua dimensi adalah aliran melalui sayap pesawat dan tiang jembatan.

Gbr.11 Aliran Dua Dimensi

Disini kecepatan, tekanan dan sifat-sifat lainnya tidak berubah dalam arah tegak lurus ke atas dari satu titik ke titik lainnya dalam medan aliran. Perlu diperhatikan pula bahwa aliran dua dimensi demikian sebenarnya juga merupakan pendekatan dari keadaan yang sebenarnya, selama pengaruh panjang dari sayap atau tiang jembatan cukup kecil, yang dijumpai pada sayap-sayap dan tiang jembatan yang cukup panjang. Aliran simetris tiga dimensi dilukiskan dalam Gbr.12 berikut:

Gbr.12 Aliran Simetris Simetris Tiga Dimensi

Disini garis arus membentuk permukaan arus atau tabung arus yang berpenampang cincin. Pada bidang yang melalui sumbu aliran demikian, garis arus dapat digambarkan menyerupai aliran dua dimensi, tetapi tidak menyatakan bahwa aliran bersifat dua dimensi. Aliran tiga dimensi yang tidak simetrik, seperti aliran pada rongga masuk dari mesin jet, merupakan medan aliran tiga dimensi yang bersifat umum.

UNJ/16/04/2010

27


Mekanika Fluida

4.5 Sistem Dan Volume Atur

Suatu sistem yang kadang-kadang juga disebut benda bebas atau benda terisolasi, didefinisikan sebagai kumpulan zat sebarang yang mempunyai identitas tetap. Segala sesuatu yang ada di luar sistem disebut lingkungan. Batas dari sistem didefinisikan sebagai suatu permukaan, yang dapat berbentuk riil atau imaginer yang memisahkan sistem dari lingkungannya. li ngkungannya. Melalui penggunaan gagasan sistem kita memusatkan perhatian kita pada benda atau zat dan mengamati interaksi antara sistem dan lingkungannya. Sebagai contoh kita perhatikan hukum Newton yang kedua: F = m a. Dalam definisi ini F adalah gaya resultan yang diadakan oleh lingkungan pada sistem, m adalah massa sistem dan a adalah vektor percepatan yang dialami oleh titik pusat massa sistem. Langkah yang pertama dalam menetapkan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan hukum termodinamika yang kedua dalam bentuknya yang elementer adalah dengan mendefinisikan suatu sistem. Tanpa langkah ini apa yang dinamakan gaya, massa, panas, kerja, dan sebagainya akan kabur artinya sampai apa yang dinamakan sistem didefinisikan dengan jelas. Fluida sangat mudah bergerak, dan karena itu agak sukar untuk menganalisa batas dan sistem fluida untuk waktu yang agak lama. Hal yang demikian demikian kita jumpai dalam mesin turbo, dimana proses yang rumit berlangsung dan dimana partikel fluida yang berbeda yang melalui mesin mengalami sejarah yang berbeda. Karena itu, untuk fluida yang bergerak lebih mudah bila kita menggunakan suatu konsep lain, dimana yang kita perhatikan adalah suatu volume dalam ruang yang tertentu, yang dilalui oleh aliran fluida, dan bukan b ukan fluida yang mempunyai partikel dengan identitas tetap. Volume Atur

Dengan pemikiran di atas kita definisikan volume atur sebagai volume yang sebarang, yang kedudukannya tetap di dalam ruang dan fluida mengalir di dalamnya. Identitas dari fluida yang memenuhi volume atur berubah dengan waktu. Permukaan yang mengelilingi volume atur disebut permukaan atur, yang berhubungan tunggal (singly connected) atau berhubungan majemuk (multiply connected). Kadang-kadang kita gunakan volume yang ukurannya infinitesimal (kecil sekali), kadang-kadang volume yang ukurannya tertentu, pemilihan ini didasarkan atas hasil yang diinginkan.

UNJ/16/04/2010

28


Mekanika Fluida

4.6 Garis Arus Dan Fungsi Arus

Suatu garis yang pada tiap saat menyinggung vektor kecepatan pada tiap titiknya disebut garis arus. Karena vektor kecepatan pada suatu titik tertentu menyatakan arah gerak partikel fluida yang melaluinya, suatu garis arus juga menyinggung lintasan fluida yang terletak padanya. Akan tetapi lintasan suatu partikel fluida, merupakan tempat kedudukan dari gerakan partikel tersebut selama suatu waktu tertentu, sedangkan garis arus adalah gambaran sesaat dari gerakan partikel fluida pada berbagai titik.

Gbr.13 Garis Arus

Walaupun kedua garis akan berimpitan pada kedudukan partikel yang bersangkutan, pada tempat lain keduanya pada umumnya akan terpisah, karena kecepatan berubah dengan ruang dan waktu. Hanya bila garis arus tidak berubah bentuk dan kedudukan, garis tersebut juga merupakan garis lintasan. Selain garis arus dan garis lintasan, masih ada garis gores yaitu suatu garis yang menghubungkan semua partikel yang segera berurutan pada suatu waktu melalui suatu titik tertentu yang kedudukannya dalam ruang tetap. Definisi matematik dari garis arus (untuk aliran stasioner dan tidak stasioner) dapat dinyatakan sebagai: dx/u = dy/v = dz/w ............................................................ (37) dimana dx, dy, dz adalah elemen dari potongan garis di dalam sistem koordinat Cartesian dan u, v, w adalah komponen kecepatan. Persamaan (37) ini menyatakan bahwa titik pada garis arus menyinggung vektor kecepatan pada titik tersebut. Untuk aliran dua dimensi, persamaan (37) menjadi: dy/dx = v/u .............................................. .................... ................................................. ............................ ..... (38) Perlu diingat bahwa batas dari permukaan benda padat selalu merupakan garis arus karena fluida tidak dapat menembus permukaan tersebut. tersebut. UNJ/16/04/2010

29


Mekanika Fluida

BAB 5 ANALISA DIMENSIONAL & KESERUPAAN 5.1 Pendahuluan

Beberapa persoalan yang dijumpai dalam mekanika fluida telah dipecahkan dengan menganalisa persoalan yang sudah diformulasikan secara matematis. Dalam soal yang demikian, baik variabel yang berpengaruh maupun hubungan antara variabel tersebut telah diketahui. Seringkali formulasi demikian diperoleh dengan menggunakan anggapan penyederhanaan. Untuk memperhitungkan efek yang diabaikan, dalam pendekatan selanjutnya digunakan koefisien yang ditentukan secara eksperimental. Cara lain yang dapat digunakan sebgai penyelesaian pendekatan diperoleh dengan cara mencoba menentukan secara umum bagaiamana koefisien yang dapat ditetapkan

secara

eksperimental

tersebut

bergantung

pada

variabel

yang

mempengaruhi persoalan. Dengan analisa dimensional, gejala fisik dapat diformulasikan sebagai hubungan antara variabel yang berpengaruh, yang telah dikelompokkan dalam serangkaian kelompok bilangan yang tak berdimensi. Jumlah kelompok bilangan tak berdimensi ini jauh lebih sedikit dari jumlah variabel yang semula. Cara ini sangat berguna dalam metoda analisa persoalan secara eksperimental terutama karena jumlah eksperimen yang harus dilakukan dapat diperkecil, dan eksperimennya sendiri dapat lebih disederhanakan. 5.2 Kelompok Tanpa Dimensi

Variabel atau besaran fisik dinyatakan dengan dimensi yang dapat dituliskan dalam beberapa dimensi dasar. Sebagai contoh, kecepatan secara dimensional dinyatakan oleh hubungan dimensi (V) = (L)/(t). Beberapa variabel dapat dikelompokkan sedemikian sehingga tidak berdimensi, dan kelompok tanpa dimensi. Sebagai contoh, besaran ρVd/µ tidak berdimensi, karena: (ρVd/µ) = (M/L3) (L/t) (L)

= 1 ............................................... ..................... .............................. .... (39)

(M/Lt) yang berarti bahwa ρVd/µ tidak berdimensi. Besaran ini kita kenal sebagai bilangan Reynolds, salah satu kelompok tanpa dimensi yang pebting dalam mekanika fluida. UNJ/16/04/2010

30


Mekanika Fluida

5.3 Hukum Keseragaman Dimensi

Suatu persamaan dikatakan memiliki keseragaman dimensi bila bentuk persamaan tersebut tidak bergantung pada satuan pengukuran dasar. Sebagai contoh, persamaan untuk perioda ayunan suatu bandul sederhana, yaitu T = 2π √L/g, berlaku untuk tiap sistem satuan, misalnya apakah L diukur dalam feet, meter, atau mil, dan t diukur dalam menit, hari atau detik. Jadi persamaan tersebut memiliki keseragaman dimensi dan dapat dikatakan menyatakan gejala fisik. Hukum tersebut dapat diselami mengingat bahwa gejala alami berlangsung tanpa dipengaruhi oleh satuan yang dibuat secara sebarang oleh manusia, dan karena itu persamaan yang menjelaskan gejala demikian harus berlaku untuk segala sistem satuan, jadi harus memiliki keseragaman dimensi. Dari azas keseragaman dimensi ini dapat disimpulkan bahwa suatu persamaan yang berbentuk: x = a + b + c ..... akan seragam secara dimensional hanya bila x, a, b, c ....... memiliki dimensi yang sama. Hukum ini sangat bermanfaat untuk memeriksa, apakah suatu persamaan yang menyatakan gejala fisik dan yang diturunkan secara analitik, sudah benar dan lengkap. 5.4 Teorema Pi Dari Buckingham

Bila persamaan yang berlaku untuk suatu soal tidak diketahui, diperlukan suatu cara lain dalam penggunaan analisa dimensional. Pada awalnya, perlu diketahui atau diduga, variabel bebas yang menentukan kelakuan dari variabel dependen yang ingin kita ketahui. Rayleigh pertama kali menggunakan metoda ini dan hukum aljabar untuk menggabungkan variabel yang banyak dalam suatu soal di dalam suatu kelompok yang tak berdimensi. Untuk menentukan kelompok tak berdimensi ini, Buckingham mengusulkan suatu teorema yang dikenal sebagai teorema yang dikenal sebagai teorema pi, yang secara formil dinyatakan sebagai berikut: Bila ada n besaran fisik yang penting dan m dimensi dasar, maka terdapat suatu bilangan n maksimum (r) yang menyatakan jumlah besaran ini yang diantara mereka sendiri tidak dapat membentuk kelompok tak berdimensi, dimana r ≤ n 2 2. Maka dengan menggabungkan secara berturut-turut satu dari besaran yang selebihnya dengan r besaran tadi, dapat dibentuk i kelompok tak berdimensi, dimana i = n-r. Kelompok tak berdimensi yang dibentuk ini disebut suku-suku π dan dikenali dengan simbol π 1 , π 2 1 2 ...... . π n n.

UNJ/16/04/2010

31


Mekanika Fluida

5.5 Keserupaan (Similitude )

Keserupaan dalam pengertian yang umum berarti indikasi adanya hubungan tertentu yang diketahui antara dua fenomena. Dalam mekanika fluida hubungan ini merupakan hubungan antara aliran sesungguhnya dengan aliran yang menyangkut model yang batas-batasnya serupa secara geometris tetapi lebih kecil ukurannya. Walaupun demikian perlu dijelaskan, bahwa dalam mekanika fluida berlaku pula hukum keserupaan untuk aliran dengan batas yang tidak serupa. Misalnya, ada hubungan keserupaan antara aliran subsonik kompresibel (M < 1) sekitar suatu benda dengan aliran inkompresibel sekitar benda yang kedua yang bentuknya serupa dengan benda pertama yang dideformasikan menurut cara tertentu, dan ini dikenal sebagai aturan keserupaan Gothert. Dua aliran yang mempunyai garis arus yang serupa disebut aliran yang serupa secara kinematis. Karena batas benda merupakan garis arus, tentunya aliran yang serupa kinematis harus pula serupa secara geometris. Akan tetapi hal sebaliknya belum tentu benar, seperti ditunjukkan dalam Gbr.14. Disini digambarkan garis arus sekitar benda yang berbentuk belah ketupat dalam aliran dua dimensi. Gbr.14a menunjukkan aliran subsonik M < 1, 1, sedangkan Gbr.14b aliran supersonik M > 1. Dapat dilihat bahwa garis arusnya tidak serupa.

Gbr.14 (a) Aliran Subsonik

UNJ/16/04/2010

(b) Aliran Supersonik

32


Mekanika Fluida

Selanjutnya dua aliran dikatakan serupa secara dinamis, bila distribusi gaya pada kedua aliran adalah sedemikian sehingga pada titik yang berkorespondensi, gaya yang sejenis (misalnya gaya geser, tekanan dan sebagainya) saling sejajar, dan mempunyai

perbandingan

yang

sama

dengan

pada

pasangan

titik

yang

berkorespondensi lainnya. Akan ditunjukkan bahwa keserupaan dinamis mensyaratkan dipenuhinya keserupaan kinematik, dan syarat bahwa distribusi massa adalah sedemikian sehingga perbandingan massa jenis pada titik dalam aliran yang berkorespondensi mempunyai harga yang sama untuk setiap pasang titik. Aliran yang memenuhi syarat terakhir ini disebut aliran dengan distribusi massa yang serupa. Syarat keserupaan kinematis bahwa kecepatan dan percepatan pada titik yang berkorespondensi adalah sejajar dan perbandingan besar harga mutlaknya adalah konstan. Aliran yang serupa secara kinematis dan mempunyai distribusi massa yang serupa, dari hukum Newton, juga mempunyai gaya resultan yang perbandingan harga mutlaknya sama untuk titik yang saling berkorespondensi. Selain itu pada titik yang berkorespondensi juga sejajar. Jadi aliran yang serupa secara kinematis dan distribusi massanya serupa memenuhi syarat keserupaan dinamik.

UNJ/16/04/2010

33


Mekanika Fluida

BAB 6 ALIRAN FLUIDA DI DALAM PIPA

6.1 Pendahuluan

Pada umumnya aliran dapat dibedakan atas (1) aliran dalam saluran, yaitu aliran yang dibatasi oleh permukaan-permukaan keras, dan (2) aliran sekitar benda yang dikelilingi oleh fluida yang selanjutnya tidak terbatas. Perbedaan demikian hanyalah untuk memudahkan peninjauan saja, karena gejala dasar dari kelakuan fluida berlaku pada kedua keadaan tersebut. Selanjutnya pengertian kita tentang kelakuan fluida riil memerlukan pembedaan antara lapisan batas, dimana efek-efek tegangan geser terkonsentrasikan, dan daerah aliran potensial, dimana hipotesa aliran ideal dipenuhi. d ipenuhi. Pengertian lain yang akan dibahas adalah tentang dua macam aliran yaitu aliran laminar dan aliran turbulen. Karena aliran-aliran yang umum sifatnya akan lebih rumit untuk diuraikan, kita akan membatasi tinjauan pada geometri yang sederhana, terutama tentang aliran-aliran melalui pipa berpenampang lingkaran dan selanjutnya aliran melalui pelat-pelat datar sejajar arah aliran. 6.2 Aliran laminer dan aliran Turbulen

Koefisien gesek untuk pipa silindris merupakan fungsi dari Re (bilangan Reynolds). Kenyataan ini ditunjang oleh hasil-hasil eksperimen. Diagram f terhadap Re untuk pipa-pipa silinder ini menunjukkan karakter yang demikian (Gbr.15):

Gbr.15 Diagram f Terhadap Terhadap Re Untuk Untuk Pipa Silinder UNJ/16/04/2010

34


Mekanika Fluida

Pada bilangan Reynolds yang rendah f berkurang dengan bertambahnya Re sebagai kebalikan harganya. Sedangkan di sekitar harga Re yang tertentu (sekitar 3000) terdapat perubahan harga f, yaitu yang menunjukkan ketergantungan f pada Re yang lebih kecil. Untuk menyelidiki sebab perubahan tersebut perlu kita periksa alirannya secara langsung. Untuk tujuan ini kita rencanakan suatu eksperimen dengan mengalirkan air melalui suatu pipa yang transparan. Bilangan Reynoldsnya dapat diubah-ubah dengan mengubah laju aliran massa. Untuk membuat aliran terlihat, kita dapat menyuntikkan cairan warna sepanjang tengah-tengah pipa seperti terlihat pada Gbr.16 .

Gbr.16 Penyuntikan Zat Zat Warna Ke Dalam Pipa Untuk Menentukan Menentukan Apakah Aliran Laminar Atau Turbulen

Untuk mudahnya akan kita anggap bahwa aliran diamati pada suatu kedudukan yang cukup jauh dari penampang masuk pipa sedemikian sehingga profil kecepatan tidak berubah dengan jarak. Aliran demikian dikatakan telah mencapai kesetimbangan, atau sudah berkembang penuh (fully developed flow ). ). Bila kita mulai dengan laju aliran mssa yang kecil, maka terlihat bahwa aliran zat warna akan mengikuti suatu garis lurus yang jelas yang sejajar dengan sumbu pipa. Goresan zat warna tetap lurus pada waktu laju aliran secara perlahan-lahan diperbesar. Akan tetapi, setelah laju aliran massa melebihi suatu harga tertentu, secara tiba-tiba garis warna yang di atas akan bergelombang, dan bila laju aliran massa diperbesar lebih lanjut, garis yang tegas akan hilang dan zat warna akan menyebar secara seragam pada seluruh pipa. Dalam modus yang pertama partikel-partikel fluida (air) mengikuti garis lurus yang sejajar pipa, akan tetapi dalam modus yang kedua tiap

UNJ/16/04/2010

35


Mekanika Fluida

partikel fluida rupanya mengikuti suatu lintasan yang sebarang di seluruh pipa, hanya gerakan rata-ratanya yang mengikuti sumbu pipa. Modus pertama disebut aliran laminar, sedangkan modus yang kedua disebut aliran turbulen. 6.3 Distribusi Tegangan Geser Dalam Pipa Berpenampang Lingkaran

Kita akan menganalisa aliran dalam pipa bulat (berpenampang lingkaran) dan pertama-tama akan menurunkan persamaan yang umum yang menghubungkan tegangan geser, penurunan tekanan dan jari-jari, dan tidak menggunakan persamaan Navier-Stokes secara langsung. Untuk ini kita perhatikan suatu bagian dari pipa bulat dengan penampang tetap, yang mengalirkan fluida dengan massa jenis yang tetap. Akan kita anggap bahwa aliran telah mencapai kesetimbangan (fully developed flow ) dan karena itu gradien tekanannya telah mencapai harga yang konstan. Panjang pipa l dan jari-jari pipa r, sedangkan beda tekanan sepanjang l besarnya ∆p Tekanan pada tiap penampang bersifat seragam karena pipanya lurus dan karena itu aliran rata-rata arahnya mengikuti garis-garis sejajar sumbu pipa. Untuk silinder kecil yang tergambar dengan garis putus-putus, syarat kesetimbangan gayagaya menghasilkan: ∆p. πr2 = 2 π r τ l .......................................................................... (40) Dimana τ tegangan geser pada kulit silinder yang bersangkutan. Bila ro jari-jari pipa, maka ( 1) menjadi: ∆p. πro2 = 2 π ro τo l ..................................................................... (41) Dapat dilihat bahwa dari (40) dan (41) bahwa: τ = τo r/ro ...................................................................................... (42) yang menyatakan bahwa tegangan geser harus berubah secara linier dengan jari-jari. Tegangan geser dinding τo tentu ada hubungannya dengan koefisien gesek f. Koefisien gesek didefinisikan sebagai: ∆p = f. ½ .ρ v2. l/d ......................................................................... (43) Jadi, dari (41) dan (43): 2 τo.l/ro = f. ½ . ρ v2. l/d ..................................................................... (44) atau τo = ¼. f. ½. ρ v2 ................................................................................ (45)

UNJ/16/04/2010

36


Mekanika Fluida

6.4 Jari-Jari Hidrolik

Untuk saluran dengan penampang yang bukan lingkaran, hubungan antara tekanan dengan tegangan geser dapat dinyatakan d inyatakan sebagai: p A – (p + dp)A + τo s d x = 0 ....................................... (46) Dimana s adalah parameter (keliling penampang), sehingga diperoleh: τo = A/s ∆p/l ................................................................ (47) dimana l panjang pipa Untuk pipa berpenampang lingkaran, dari persamaan (41)&(43)dapat digabungkan menjadi: τo = ∆p ro /2 l ............................................ .................... ..................................... ............. (48) = f/4 .l/2 ρ v2 atau f = 4 τo /1/2 .ρ v2 l ......................................... ................. ................................. ......... (49) Jadi bila harga eksperimental τo atau f diketahui, maka besaran yang lain dapat dihitung. Dengan cara yang serupa, untuk saluran berpenampang bukan lingkaran dapat diturunkan. ∆p = f. s l / 4A . ρ v2 /2 .................................................. (50) Untuk empat persegi panjang dengan sisi-sisi a dan b, de = 4 ab/2(a+b) = 2ab/(a+b). Untuk annulus dengan diameter dalam d1 dan diameter luar d2, de = π (d22 – d12)/ π (d2 + d1) = d2 – d1 6.5 Aliran Laminer Stasioner Dalam Pipa

Untuk aliran laminar, eksperimen Reynolds menunjukkan bahwa tiap partikel bergerak sepanjang garis lurus yang sejajar dengan sumbu pipa. Persamaan geraknya dapat disederhanakan sekali, dan dapat ditunjukkan bahwa tegangan gesernya sama dengan: τ = µ du/dr .......................................................................... (51) Dari persamaan ini yang menyatakan hubungan antara gaya-gaya geser dengan profil kecepatan untuk aliran laminar dalam pipa dan dari persamaan (51) diperoleh: du/dr = ∆p r/2 .l. µ ............................................................ (52)

UNJ/16/04/2010

37


Mekanika Fluida

Persamaan ini berlaku terbatas pada aliran laminar karena mencakup anggapan bahwa aliran bersifat stasioner dan bahwa garis-garis arusnya merupakan garis-garis lurus yang sejajar dengan sumbu. Setelah integrasi diperoleh: u = ∆p/2.l. µ . r2 /2 + konst .............................................. ..................... ........................... .. (53) Kecepatan fluida pada batas, yaitu dinding pipa (r = ro) sama dengan kecepatan dinding yaitu nol, karena syarat tidak adanya pergeseran (no slip). Konstanta integrasinya dengan demikian dapat dihitung sehingga: u = - ∆p/4.l. µ (ro2 – r2) ................................................... (54) Tanda negatip di depan ∆p menunjukkan bahwa hanya bila tekanan pada daerah hulu (kiri) lebih besar dari hilir (kanan), fluida mengalir ke arah hilir (kanan). Persamaan di atas menyatakan pula bahwa untuk aliran laminar dalam pipa, distribusi kecepatannya bersifat parabolik. Dengan menggunakan persamaan (55)laju aliran massa melalui pipa dapat dihitung yaitu: Q = - ∆p.π. ro4 /8.l. µ .......................................................... (56) Sedangkan kecepatan rata-ratanya: v = Q/π. ro2 = - ∆p ro2 / 8.l.µ ............................................. .................... ......................... (57) Persamaan yang terakhir ini dapat dibandingkan dengan persamaan untuk kerugian gesekan di dalam pipa. Untuk kasus aliran laminar: f = 64/Re ........................................................................... (58) yang menunjukkan bahwa f merupakan fungsi sederhana dari bilangan Reynolds. Eksperimen menunjukkan persamaan dengan hasil di atas. Aliran laminar dengan profil kecepatan parabolik dalam tabung silindrik ini dikenal sebagai aliran Poiseuille atau aliran Hagen-Poiseuille. 6.6 Aliran Turbulen Melalui Pipa Licin

Untuk menentukan profil kecepatan turbulen di dalam pipa, kelihatannya sangat logis bila kita melakukan analisa yang serupa dengan aliran laminar. Tetapi analisa yang demikian tidak akan berhasil karena aliran tidak lagi stasioner dan lintasan partikel-partikel fluida sangat sebarang, yang mengakibatkan tidak mungkinnya peramalan garis-garis arus. Bentuk umum dari profil kecepatan ditunjukkan pada Gbr.17 .

UNJ/16/04/2010

38


Mekanika Fluida

Gbr.17 Bnetuk Umum Umum dari Profil Profil Kecepatan Kecepatan

Eksperimen Reynolds menunjukkan bahwa dalam aliran turbulen, elemenelemen fluida bergerak sepanjang pipa secara sebarang. Bila suatu partikel fluida bergerak tegak lurus pada arah kecepatan rata-rata (misalnya dari A ke B dalam Gbr.17 ), ia bergerak dari daerah yang momentum rata-ratanya dalam arah x yang

lebih rendah ke daerah yang momentum (dalam arah x) rata-ratanya lebih tinggi. Oleh karena itu partikel tersebut akan mengadakan gaya tahanan pada fluida di sekitar B. Demikian pula, bila suatu partikel bergerak menjauhi sumbu pipa, ia akan mempercepat fluida di sekitar tempat baru yang didudukinya. Gaya-gaya ini merupakan hasil dari gerak lintang turbulen dari partikel-partikel fluida dan merupakan sebab dari gaya-gaya geser dalam fluida. Yang dimaksudkan dengan pipa licin adalah pipa-pipa dengan permukaan seperti gelas, plastik atau logam yang dihaluskan. Pipa-pipa kasar mencakup pipa-pipa lain seperti pipa-pipa baja, pipa-pipa besi b esi dan pipa-pipa beton. Korelasi tentang koefisien gesek dalam aliran turbulen pertama-tama diajukan oleh Blasius (1911), dengan melakukan survei secara kritis pada data dan memformulasikan memformulasikan persamaan empirik sebagai berikut: f = 0,316/Re1/4 ...................................................................... (59) yang berlaku untuk pipa licin sampai bilangan Reynolds sebesar 103. Dapat dilihat bahwa faktor gesek dalam aliran turbulen berubah pelan dengan bilangan Reynolds dibandingkan dengan pada aliran laminar. l aminar.

UNJ/16/04/2010

39


Mekanika Fluida

Bila dianggap bahwa pada Re = 2300 baik aliran laminar maupun turbulen dapat terjadi, maka untuk aliran laminar, f ~ 64/Re~0,0278, sedangkan untuk yang terakhir, f = 0,0447. Dalam kenyataannya, dalam aliran turbulen Re harus sama dengan 17.000 supaya faktor geseknya sama sama kecil dengan faktor faktor gesek aliran laminar pada Re = 2300. Jadi aliran turbulen menghasilkan kerugian-kerugian yang lebih besar daripada aliran laminar pada bilangan Reynolds yang ekivalen. Untuk bilangan Reynolds lebih besar dari 103, persamaan Blasius tidak lagi sesuai, karena faktor gesek yang diramalkannya lebih rendah. Selain faktor gesek, distribusi kecepatan pada penampang pipa mempunyai arti yang penting. Eksperimen menunjukkan bahwa distribusi kecepatan untuk aliran turbulen lebih datar daripada untuk aliran laminar, akan tetapi gradien kecepatannya lebih curam daripada aliran laminar.

UNJ/16/04/2010

40


Mekanika Fluida

BAB 7 LAPISAN BATAS 7.1 Teori Lapisan Batas (Boundary Layer )

Konsep lapisan batas pertama kali dikemukakan pada tahun 1904 oleh Ludwig Prandtl, seorang ahli aerodinamika Jerman. Sebelumnya, analisa aliran fluida terbagi menjadi dua konsep dasar yaitu aliran tanpa pengaruh gesekan yang dikemukakan oleh Leonhard Euler seorang ahli hidrodinamika pada tahu 1755. Analisa aliran tanpa gesekan dinyatakan dalam persamaan Euler. Dengan banyaknya kontradiksi pada hasil eksperimen aliran fluida, persamaan Euler dijabarkan lebih rinci untuk kondisi aliran bergesekan oleh Navier pada tahun 1827 dan oleh Stokes pada tahun 1845, yaitu persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navier-Stokes ini adalah persamaan matematis yang amat sulit dicari penyelesaiannya. Dengan konsep yang diungkapkan Prandtl ini analisa gerak aliran fluida umumnya dapat dibagi menjadi dua bagian yang pengaruh gesekannya besar yaitu di daerah lapisan batas dan di luarnya adalah aliran yang tanpa pengaruh gesekan. Pada aliran fluida bergesekan, pengaruh gesekan akan menimbulkan lapisan batas. Lapisan Batas adalah daerah yang melingkupi permukaan aliran, dimana tepat di bawah lapisan batas terdapat hambatan akibat pengaruh gesekan fluida dan tepat di atas lapisan batas aliran fluida adalah tanpa hambatan, sehingga untuk menganalisa pengaruh gesekan fluida, penting untuk diketahui konsep tentang lapisan batas tersebut. Lapisan batas pada aliran internal akan berkembang terbatas sampai dapat meliputi seluruh penampang aliran fluida dan hanya terjadi pada daerah di sekitar lubang masuk aliran sehingga pada umumnya dapat diabaikan dan aliran dianggap seragam. Namun pada aliran eksternal pertumbuhan lapisan batas tidak terbatas sehingga umumnya pembahasan perkembangan lapisan batas menjadi sangat penting. Pada Gbr.18 ditampilkan perkembangan lapisan batas pada aliran internal dan aliran eksternal. Pada gambar tersebut skala sumbu y jauh lebih besar dari sumbu x untuk memperoleh gambar yang lebih jelas, karena lapisan tersebut sangat tipis. ti pis. Dari gambar terlihat bahwa untuk aliran internal, fluida pada saat bergesekan dengan permukaan solid, akan mulai membentuk lapisan batas. Lapisan batas ini akan

UNJ/16/04/2010

41


Mekanika Fluida

berkembang terus sampai suatu panjang tertentu yang disebut sebagai panjang masukan (entrance length ) kemudian lapisan batas tidak dapat berkembang lagi (Fully developed flow ). ). Untuk aliran internal dan laminar yaitu dengan Re< 2300 maka

panjang masukan, LE adalah fungsi angka Reynold yaitu: LE/D ≈ 0,06 ρ v D/µ LE ≈ 0,06 x Re x D ≈138D Sedangkan untuk aliran internal turbulen, dari hasil percobaan, panjang masukannya adalah antara 25D atau 40D. Pada aliran eksternal, angka Reynold dihitung tidak dari diameter penampang namun dari panjang karakteristik masukan atau tebal lapisan batasnya. Kondisi aliran laminar, transisi dari laminar ke turbulen dan d an aliran turbulen pada aliran eksternal tidak sejelas pada aliran internal. Untuk aliran diatas plat datar seperti pada lambung kapal atau kapal selam, pada sayap pesawat udara ataupun pada dataran, kondisi transisi aliran tercapai pada angka Reynold Re = 5 x 105. Untuk kondisi udara bakuangka Re ini tercapai pada kecepatan 30 m/s berkorelasi dengan jarak x ≈ 0,24 m. Sedangkan perkembangan tebal lapisan batasnya, pada aliran laminar lebih lambat dibandingkan dengan perkembangan tebal lapisan batas pada aliran turbulen. Ketebalan lapisan batas pada aliran laminar: δ = 5x/√Rex ................................................. ....................... ................................................. ............................ ..... (60) dimana:

δ = tebal lapisan batas x = jarak dari masukan ke lokasi tebal lapisan batas

Beberapa parameter lapisan batas yang penting adalah: 

Tebal lapisan batas, δ yang didefinisikan sebagai jarak dari permukaan solid solid ke lapisan di daerah yang mengalami hambatan karena gesekan. Namun kenyataannya karena pengaruh gesekan terjadi terus menerus, pada perhitungan, dipergunakan definisi tebal lapisan batas adalah jarak dari permukaan penampang ke titik yang u = 0,99 U.



Tebal perpindahan δ* didefinisikan sebagai tebal aliran tanpa gesekan yang laju massa alirannya sama dengan pengurangan laju massa aliran fluida bergesekan. Sehingga perhitungan tebal perpindahan ini didasarkan pada laju massa aliran sebelum bergesekan dengan permukaan solid dikurangi laju aliran setelah bergesekan.

UNJ/16/04/2010

42


Mekanika Fluida

Tebal perpindahan ini dinyatakan dalam: 1

δ* =

U

∂

∫ 0

∂

(U − u ) dy =

(1 −

∫

u U

)dy

......................................................... (61)

0

Tebal momentum θ, didefinisikan sebagai ketebalan dari lapisan batas dengan kecepatan µ yang laju perubahan momentumnya sama dengan kekurangan laju momentum aliran bergesekan yang melalui lapisan batas. Tebal momentum dinyatakan dalam: ∂

ρθ U = ∫ ρ (U − u )udy ....................................................................... (62) 0

∂

θ=

u

u

∫ (1 − U ) U dy

........................................................................... (63)

0

7.2 Lapisan Batas – Konsep-konsep Umum

Kalau pada bab sebelumnya ditinjau aliran pada bagian pipa dimana telah diperoleh profil kecepatan yang tidak berubah dengan jarak, maka pada bab ini kita akan meninjau bagian pipa dekat penampang masuk, dimana profil kecepatannya masih berkembang dengan jarak dari penampang masuk. Disini pola alirannya bukan merupakan pola aliran yang setimbang atau terkembang penuh. Sebagai contoh, bila lubang masuk pipa terletak pada suatu tangki atau reservoir, profil kecepatan awal pada penampang pipa akan terbentuk seragam, dan fluida mengalir ke arah hilir dan mengalami

perubahan

profil

kecepatan

sampai

gaya-gaya

gesekan

telah

memperlambat fluida di dekat dinding dan profil kecepatan akhir (yang terkembang penuh) dicapai.

Gbr.19 Pola Aliran Terkembang Terkembang Penuh Di dalam Pipa

UNJ/16/04/2010

43


Mekanika Fluida

Pada daerah masuk, fluida dekat tengah-tengah pipa tampaknya tidak dipengaruhi oleh gesekan, sedangkan fluida dekat dinding telah dipengaruhi oleh gesekan. Daerah dimana efek gesekan terlihat dengan jelas disebut lapisan batas. Sewaktu fluida ke hilir, lapisan batas ini tumbuh dan akhirnya memenuhi seluruh pipa. Yang akan kita perhatikan selanjutnya adalah lapisan batas yang tumbuh, yang belum terkembang sempurna. Pada ujung depan (leading edge) dari pelat profil kecepatan fluida masih seragam, akan tetapi mengalami perubahan dalam arah hilir. Mula-mula waktu lapisan batas masih tipis, aliran di dalam lapisan ini bersifat laminar. Tetapi waktu lapisan batas ini telah tumbuh dan mencapai suatu tebal tertentu, maka aliran dapat bersifat turbulen. Kriteria transisi adalah bilangan Reynolds yang disini didasarkan atas jarak dari ujung depan pelat dan kecepatan aliran bebas uo. Setelah transisi berlangsung, aliran pada sebagian besar lapisan batas bersifat turbulen, akan tetapi harus ada sesuatu sub lapisan laminar dekat dinding. Analisa lapisan batas pada dasarnyadapat berhasil bila lapisan tersebut tipis dibandingkan dengan dimensi-dimensi yang penting seperti misalnya jarak dari ujung depan pelat. Syarat ini umumnya dipenuhi bila bilangan Reynolds melebihi angka 104. Di luar lapisan batas, aliran dapat dianggap tidak viskos dan dapat dianalisa berdasarkan anggapan tersebut.

Gbr.20 Pembentukan Lapisan Batas Batas

UNJ/16/04/2010

44


Mekanika Fluida

7.3 Lapisan Batas Laminar – Penyelesaian Eksak Untuk Aliran Dua Dimensi

Suatu kontribusi pada ilmu pengetahuan tentang gerak fluida dilakukan oleh Ludwig Prandtl dalam tahun 1904, sewaktu ia menjelaskan tentang pengaruh viskositas yang penting pada bilangan Reynolds yang tinggi dan menunjukkan bahwa persamaan Navier-Stokes dapat disederhanakan untuk memperoleh penyelesaian pendekatan. Lebih dahulu kita tinjau aliran dua dimensi dari fluida dengan viskositas rendah melalui suatu benda silindris yang langsing, seperti tergambar (Gbr.21)

Gbr.21 Aliran Lapisan Batas Batas Sepanjang Suatu Suatu Dinding

Dengan mengecualikan daerah yang sangat dekat dengan permukaan, kecepatan fluida mempunyai derajat kecepatan yang sama dengan kecepatan aliran bebas Uo, dan pola dari garis-garis arus dan distribusi kecepatan hanya berbeda sedikit dengan aliran potensial (tak bergesekan). Perubahan dari kecepatan nol pada dinding hingga kecepatan yang penuh pada suatu jarak tertentu dari dinding terjadi pada suatu lapisan tipis yang di atas telah disebut lapisan batas. Karena pada batas antara lapisan dan aliran potensial gaya-gaya gesekan ini harus mempunyai orde yang sama dengan gaya-gaya inersia, maka: µ.U/δ2 ~ ρ U2 /l atau: δ ~ √ µl/ ρU atau: δ/l ~ √v/U.l √v/U.l = √1/Re ............................................ .................. ................................................... ................................. ........ (64)

UNJ/16/04/2010

45


Mekanika Fluida

7.4 Pemecahan Pendekatan Untuk Lapisan Batas

Untuk mempelajari metoda pendekatan untuk menghitung pertumbuhan lapisan batas melalui pelat datar dan tegangan gesernya pada permukaan, digunakan suatu model sederhana, yaitu dimana kita anggap bahwa kecepatan mencapai harga aliran bebas yang tepat pada jarak δ dari pelat. Tebal lapisan batas δ ini berubah sepanjang pelat, jadi δ = δ (x).

Gbr.22 Volume atur Untuk Pendekatan Untuk Untuk Aliran Lapisan Batas

Di luar garis batas yang menyatakan tebal lapisan batas, kecepatan fluida dianggap sama dengan kecepatan aliran bebas Uo, dan dalam lapisan batas kecepatannya perlahan-lahan turun dari Uo pada y = δ sampai nol pada dinding. Selanjutnya kita tinjau suatu elemen volume atur yang dibatasi oleh pelat, garis batas dan dua garis vertikal sejajar dx. Lebar volume dapat diambil satu satuan. Hukum momentum untuk aliran stasioner menyatakan bahwa jumlah semua gaya yang bekerja pada volume atur pada arah tertentu harus sama dengan jumlah aljabar flux momentum keluar dari volume ini dalam arah yang sama. Jadi: δ/δx {ρ Uo2 δ 0 ∫1 (1 – u/Uo) u/Uo dy/δ} = τo .................................. (65)

UNJ/16/04/2010

46


Mekanika Fluida

7.5 Lapisan Batas Laminar

Untuk aliran laminar yang sejajar pelat, tegangan gesernya adalah: τ = µ δu/δy CD = D/1/2 ρ Uo2 .l = 2 √2 β α

............................................ .................. ............................ .. (66)

√Re.l Dengan memilih profil kecepatan yang sesuai maka persamaan di atas dapat diselesaikan dan hasilnya dapat dibandingkan dengan penyelesaian eksak. Hasil-hasil metoda pendekatan di atas untuk aliran laminar menunjukkan jawaban yang memenuhi persyaratan teknik. 7.6 Lapisan Batas Turbulen

Dalam menghitung karakteristik lapisan batas turbulen kita dapat menggunakan prosedur yang serupa untuk aliran laminar. Untuk aliran laminar, kita hitung tegangan geser fluida permukaan dan gradien kecepatan du/dy, dan untuk itu kita gunakan suatu profil kecepatan yang kita misalkan. Untuk aliran turbulen dijumpai kesukaran, salah satu sebabnya adalah karena adanya sub-lapisan laminar dan transisi CD = 0.118 (α/Re .l )1/5 ........................................................ (67) α = 0∫1 (1 – u/Uo) u/Uo d(y/δ) ..............................................(68)

UNJ/16/04/2010

47


Mekanika Fluida

BAB 8 ALIRAN MELALUI SALURAN TERBUKA 8.1 Persamaan Sederhana Sederhana Dalam Aliran Saluran Terbuka Terbuka Stasioner

Kita perhatikan suatu aliran stasioner di dalam suatu saluran terbuka, seperti terlihat pada Gbr.23

Gbr.23 Aliran Melalui Melalui saluran Terbuka

Distribusi tekanan sebagai fungsi kedalaman saluran memenuhi kondisi hidrostatik. Anggapan yang pertama menyatakan bahwa V merupakan suatu besaran rata-rata dari distribusi kecepatan. Dengan menerapkan dalil momentum pada volume atur yang dibatasi oleh dasar saluran, dinding-dinding samping , permukaan air dan kedua permukaan yang tegak lurus pada dasar saluran dan dipisahkan sejauh dx. Persamaan yang diperoleh dengan arah x positip seperti pada Gbr.23 : d(bh V2) = ghb dx sin θ – d(gbh2 /2) cos θ – τo P/ρ dx + gh2 /2 db cos θ ....(69) Suku pada ruas kiri merupakan flux momentum melalui permukaan volume atur, suku pertama pada ruas kanan merupakan komponen berat dalam arah x. Suku kedua merupakan komponen tekanan hidrostatik pada kedua dinding tegak melintang dari elemen volume. Besaran τo adalah tegangan geser dinding dan p adalah keliling basah. Suku ketiga menyatakan tegangan viskos yang melawan gerak. Dan suku terakhir menyatakan komponen tegangan hidrostatik pada permukaan-permukaan tegak dari volume atur dalam arah gerak. Persamaan momentum menjadi: dh( 1- Q2 /h3 b2 g) – V2 /g b db = - dx (τo P/g b h ρ + dz/dx) .................... (70)

UNJ/16/04/2010

48


Mekanika Fluida

Bila (1 - Q2 /h3 b2 g) positip, suatu kemiringan yang negatip akan menyebabkan tinggi h bertambah, sedangkan efek sebaliknya berlangsung bila suku tersebut bernilai negatip. 8.2 Suku Tegangan Geser

Lebih dahulu akan dibahas metoda-metoda untuk menghitung tegangan geser pada dinding τo. Karena gejala-gejala yang menyebabkan adanya tegangan geser ini sama seperti yang dijumpai dalam aliran dalam pipa, tegangan geser pada dinding dapat ditulis: τo = Cf ρ V2 /2 .................................................................................... (71) dimana koefisien Cf merupakan fungsi dari bilangan Reynolds dan kekasaran relatip (untuk aliran dalam pipa Cf = f/4). Pada waktu mempelajari aliran dalam pipa telah kita lihat bahwa faktor gesekan menjadi tidak tergantung pada bilangan Reynolds bila bilangan Reynolds cukup besar dan bila permukaan tidak licin sempurna. Karena syarat-syarat ini umumnya dipenuhi oleh aliran dalam saluran terbuka, pengaruh bilangan Reynolds pada tegangan geser umumnya diabaikan sedangkan pengaruh kekasaran dinyatakan secara empirik. Salah satu persamaan p ersamaan empirik adalah persamaan Manning (1890) yaitu: τo = Gn2 /R 1/3 (1.486)2 (ρV2 /2) = 29,14 n2 /R 1/3 ((ρV2 /2) ................... (72) R adalah hasil bagi antara luas penampang dengan keliling yang terbasahi P dari penampang saluran. 8.3 Aliran Seragam

Bila aliran di dalam saluran terbuka mempunyai kedalaman yang tetap, aliran disebut seragam. Dapat dilihat dari persamaan (73) bahwa syarat agar aliran bersifat seragam adalah: -dz/dx = τo P/ρ g A ................................................. ...................... ................................................... .......................... .. (74) dimana luas penampang bh dari saluran persegi telah diganti dengan A, luas penampang saluran dengan bentuk sebarang. Bila tidak ada gaya geser, kemiringan untuk aliran seragam sama dengan nol, seperti juga untuk aliran tanpa gesekan dalam saluran tertutup, penurunan tahanan sama dengan nol. Bila kemiringan ini sama dengan Su, maka: τo = ρg Su A/P = ρg Su R ................................................ ..................... ............................................. .................. (75)

UNJ/16/04/2010

49


Mekanika Fluida

8.4 Lompatan Hidraulik

Pada Gbr.24 di bawah ini dapat kita lihat fluida dalam suatu saluran dengan tinggi permukaan h dapat tiba-tiba melompat sehingga tinggi permukaan menjadi h2 dan mengalir selanjutnya dengan ketinggian permukaan ini.

Gbr.24 Lompatan Hidraulik

Dalam menganalisa gejala ini kita anggap bahwa saluran mendatar dan tak bergesekan. Laju aliran bersifat stasioner dan sifat-sifat aliran datang diketahui. Dari persamaan momentum diperoleh: ρV12h1 + ½ h12ρg = ρV22h2 + ½ h22ρg ........................................... ................... .............................. ...... (76) Dengan menggunakan persamaan kontinuitas Q = b h1 V1 = b h2 V2 Persamaan dapat diubah menjadi: (h1 – h2) [h1 + h2 – 2Q2 /g b2 h1h2] = 0 .......................................... ..................... ............................ ....... (77) Persamaan ini mempunyai dua jawaban, karena persamaan ini dapat dipenuhi bila suku-suku dalam kurung sama dengan nol atau suku-suku diantara kurung persegi sama dengan nol. Bila suku-suku dalam kurung sama dengan nol, hasilnya adalah suatu hal yang trivial, yaitu aliran berlangsung tanpa gangguan. Pemecahan yang kedua, menunjukkan kemungkinan adanya perubahan tinggi permukaan aliran, yaitu: h2 = -h1 /h2 + (h12 /4 + (Q2 /b2 g h13) 2h12)1/2 ................................. (78) Pemecahan yang lain yaitu h2 = -h1 /h2. Pola aliran inilah yang dikenal sebagai lompatan hidraulik.

UNJ/16/04/2010

50


Mekanika Fluida

DAFTAR ISI

1. SIFAT-SIFAT FLUIDA

1.1 Pendahuluan 1.2 Konsep Fluida 1.3 Fluida Sebagai Suatu Kontinum 1.4 Dimensi Dan Satuan 1.5 Besaran-besaran Medan Kecepatan 2. STATIKA FLUIDA

2.1 Pendahuluan 2.2 Hidrostatika Dan Hidrodinamika 2.2.1 Hidrostatika 2.2.2 Hidrodinamika 2.3 Manometer 2.4 Kesetimbangan Relatif 2.5 Gaya-gaya Pada Bidang datar 2.6 Gaya-gaya Pada Permukaan Lengkung 2.7 Pengapungan Dan Gaya Apung 3. DINAMIKA FLUIDA

3.1 Ciri-Ciri Jenis Aliran Fluida 3.1.1 Aliran Steady Dan Unsteady 3.2 Aliran Uniform 3.3 Aliran Non Uniform 3.4 Aliran Satu, Dua dan Tiga Dimensi 3.5 Aliran Laminar 3.6 Aliran Turbulen 3.7 Fluida Newtonian Dan Non Newtonian 3.8 Persamaan Gerak Euler; Persamaan Gerak Euler Untuk Fluida Invisid 4. KINEMATIKA FLUIDA

4.1 Metoda Lagrange Dan Metoda Euler 4.2 Medan Kecepatan Dan percepatan Dalam Fluida 4.3 Penggunaan Suatu Sistim Referensi Dalam Menginterpretasikan Bentuk Gerakan 4.4 Aliran Satu, Dua Dan Tiga Dimensi 4.5 Sistem Dan Volume Atur 4.6 Garis Arus Dan Fungsi Arus 5. ANALISA DIMENSIONAL & KESERUPAAN

5.1 Pendahuluan 5.2 Kelompok Tanpa Dimensi 5.3 Hukum Keseragaman K eseragaman Dimensi 5.4 Teorema Pi Dari Buckingham 5.5 Keserupaan (Similitude )

UNJ/16/04/2010

51


Mekanika Fluida

6. ALIRAN FLUIDA DI DALAM PIPA

6.1 Pendahuluan 6.2 Aliran laminer dan aliran Turbulen 6.3 Distribusi Tegangan Geser Dalam Pipa Berpenampang Lingkaran 6.4 Jari-Jari Hidrolik 6.5 Aliran Laminer Stasioner Dalam Pipa 6.6 Aliran Turbulen Melalui Pipa Licin 7. LAPISAN BATAS

7.1 Teori Lapisan Batas 7.2 Lapisan Batas – Konsep-konsep Umum 7.3 Lapisan Batas Laminar – Penyelesaian Eksak Untuk Aliran Dua Dimensi 7.4 Pemecahan Pendekatan Untuk Lapisan Batas 7.5 Lapisan Batas Laminar 7.6 Lapisan Batas Turbulen 8. ALIRAN MELALUI SALURAN TERBUKA

8.1 Persamaan-Persamaan Yang Disederhanakan Dalam Aliran Saluran Terbuka Yang Stasioner 8.2 Suku Tegangan Geser 8.3 Aliran Seragam 8.4 Lompatan Hidraulik

UNJ/16/04/2010

52

3. Mekanika Fluida

Recommend Documents