Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 1
1
MEHANIKA
Mehanika je nauka koja proučava opšte zakone mehaničkih kretanja i ravnoteže mehaničkih objekata.
Pod mehaničkim kretanjem podrazumeva se promena položaja (pomeranje) jednog mehaničkog objekta (telo, tačka) u odnosu na drugi (osnovni, referentni) u toku vremena. Teorijska mehanika se obično deli na statiku, kinematiku i dinamiku. Osnovni pojmovi pojmovi u mehanici su: tačka, prava, ravan (prostor preuzet iz geometrije), vreme, vreme, masa masa i sila. sila. Kinematika Kinematika je deo klasične klasične (njutnovs (njutnovske) ke) mehanike mehanike koja proučava proučava kretanja kretanja mehaničkih objekata, ne uzimajući u obzir njihovu materijalnost, kao ni uzroke koji uslovljavaju ta kretanja. Za razliku od statike, u kinematici se pojam sile ne koristi, a uvodi uvodi se pojam vremena. vremena. Sa matematičke matematičke tačke gledišta, gledišta, vreme je parametar parametar i može uzimati vrednosti u intervalu od do + . Sa stanovišta teorijske mehanike, vreme t ima konkretan fizički smisao i može uzimati vrednosti u intervalu 0 t . Trenutak od koga počinje da se meri vreme naziva naziva se početni trenutak t o . Vreme koje protekne od početnog trenutka t renutka definiše određeni trenutak t trenutak t . Ako su sa t 1 i t 2 označeni određeni trenuci, pri čemu je t 2 t 1 , tada se interval interval vremena vremena T definiše T definiše kao T t 2 t 1 . Osnovna Osnovna jedinic jedinicaa za merenje merenje dužine, dužine, je metar (m) (m).. Osnovna jedinica za merenje vremena vremena je sekunda sekunda ( s). s). Dinamika proučava kretanje mehaničkih objekata uzimajući u obzir njihovu materijalnost kao i uzroke koji izazivaju to kretanje. Pored svih navedenih pojmova u statici i kinematici, u dinamici se uvodi i novi pojam mase. Umesto razmatranja realnih tela, u mehanici se najčešće proučavaju uprošćeni modeli stvarnih objekata. Najčešće korišćeni modeli su: materijalna tačka i kruto telo. Geometrijska tačka koja može da se smatra zastupnikom celog tela, zadržavajući bitna svojstva tela koje zastupa, naziva se materijalna tačka. Ili kratko, materijalna tačka je geometrijska tačka kojoj se pridodaje masa. Kruto telo je materijalno telo koje ne menja svoj geometrijski oblik i zapreminu (ne deformiše se) pri dejstvu drugih tela.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 1
2
Koordinatni sistemi ili sistemi referencije su geometrijski objekti u odnosu na koje se određuju položaji objekata objekata u prostoru. Kretanje tela u odnosu na apsolutno nepokretni nepokretni koordinatni koordinatni sistem sistem naziva naziva se apsolutno apsolutno kretanje. kretanje. Kretanje Kretanje tela u odnosu odnosu na pokretan pokretan koordinatni koordinatni sistem naziva naziva se relativno relativno kretanje. kretanje.
Osnovni zadaci kinematike kinematike -
određivanje određivanje kretanja kretanja posmatra posmatranog nog objekta objekta u odnosu odnosu na na izabrano izabrano osnovno osnovno telo, odnosno određivanje jednačina kretanja; polazeć polazećii od jedna jednačin činaa kretanj kretanjaa posmatr posmatrano anog g objekt objekta, a, koje koje su ili ili zadate zadate ili određene, cilj drugog (osnovnog) zadatka kinematike je određivanje karakteristika posmatranog kretanja, kao što su: trajektorija, brzina, ubrzanje itd.
Kinematika tačke Načini određivanja kretanja tačke -
vektorski, anal analit itič ičk ki (ko (koord ordinat inatni ni)) prirodni
Vektorski način određivanja kretanja tačke
r r ( t ) - zakon kretanja tačke u vektorskom vektorskom obliku obliku
Analitički (koordinatni) način određivanja kretanja tačke a. Dekartove pravougle koordinate Uređeni skup koordinata posmatrane tačke ( x , y , z ) koje su jednoznačne, neprekidne i najman najmanje je dva puta puta difere diferenci ncijab jabiln ilnee funkci funkcije je vremena x x( t ) , y y( t ) , z z ( t ) , su - kona konačn čnee jedn jednač ačin inee kret kretan anja ja tačk tačke; e; - kine kinema matič tičke ke jedna jednačin činee kret kretan anja ja tačke tačke;; - para parame metar tarsk skee jedn jednač ačin inee kre kreta tanj njaa tačk tačke; e; - para parame metar tarsk skee jedna jednačin činee linij linijee puta putanj njee tačke tačke.. x x f ( z ) , y y f ( z ) - linija putanje putanje tačke tačke Deo Deo lini linije je puta putanj njee koji koji odg odgovar ovaraa uslo uslovu vu t 0 naziva se trajektorija. trajektorija.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 1
3
b. Polarno Polarno – cilindar cilindarske ske koordinate koordinate Položaj tačke M , u odnosu na polarno-cilindarski koordinatni sistem određen je skupom koordinata r , , z , koje se nazivaju polarni poteg, polarni ugao i aplikata, respektivno. r r ( t ) ,
( t ) ,
z z ( t )
Ove tri funkc funkcion ionaln alnee zavisnos zavisnosti ti nazivaj nazivaju u se konačne jednačine kretanja tačke u polarno– cilindarskim koordinatama. Dekartove koordinate tačke preko polarno-cilindarskih koordinata iste iste tačke tačke izražene izražene su kao y rsin , x rcos , z z . Korišćenjem ovih relacija moguće je izraziti polarno–cilindarske koordinate tačke preko Dekartovih pravouglih koordinata iste tačke, tj. y r x 2 y 2 , arctg , z z . x - Polarne koordinate konačne jednačine jednačine kretanja kretanja tačke tačke r r ( t ) , ( t ) - konačne u polarnim koordinatama Veze između Dekartovih i polarnih koordinata tačke su x rcos , y rsin . Polarne koordinate tačke mogu se izraziti preko Dekartovih koordinata iste tačke kao r x 2 y 2 ,
y arctg . x
Prirodni način određivanja kretanja tačke Neka je putanja uočene tačke M kriva ab. ab. Da bi se odredio položaj tačke M u prostoru, usvaja se putanja tačke ab za krivolinijsku koordinatnu liniju, bira koordinatni početak O odakle se meri odgovarajuća krivolinijska (lučna) koordinata s i vrši orijentacija te lučne koordinate. Položaj tačke M tada je jednoznačno jednoznačno određen određen lučnom koordinatom
s O M . tj. s f ( t ) . Ova jednačina jednačina predstavlj predstavljaa zakon kretanj kretanjaa tačke po putanji. putanji. Za prirodni način određivanja kretanja potrebno imati sledeće podatke: - putanju, - koor koordi dina natn tnii poče početa tak k na na puta putanj nji, i, - orijen orijentac taciju iju krivol krivolinij inijske ske (lučne (lučne)) koordi koordinat natee i - zako zakon n kre kreta tanj njaa tač tačke ke po puta putanj nji. i.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 1
4
Pri izračunavanju pređenog puta tačke u nekom intervalu vremena od t 1 do t 2 , ceo interval vremena se rastavlja na manje intervale t i u kojima tačka ne menja smer kretanja. Neka su u tom slučaju odgovarajuće promene lučne koordinate u vremenskim intervalima t i označene sa si . Ukupan pređeni put S tačke je uvek pozitivan i određuje se kao S
n
s
i
.
i 1
Primenom graničnog procesa, kod koga svi priraštaji si teže nuli, dobija se S lim
n
t 2
n
s i 1
i
ds . t 1
Kako je ds f ( t )dt . sledi da je pređeni put tačke monotono rastuća funkcija vremena, tj. t 2
S
f ( t ) dt . t 1
Veze između različitih načina određivanja kretanja tačke Neka je zakon kretanja tačke dat u vektorskom obliku obliku r r ( t ) . U odnosu na Dekartov koordinatni sistem, vektor položaja r može se razložiti na sledeći način
r r x ( t )i r y ( t ) j r z ( t )k , odnosno
r x( t )i y( t ) j z ( t )k . Na osnovu koordinatnih transformacija poznato je i kretanje tačke u odnosu na polarno – cilindarski koordinatni sistem. Ako su zadate jednačine kretanja tačke u Dekartovim koordinatama, tada je poznata i trajektorija ab. ab. Pokazuje se da je tada moguće odrediti i zakon kretanja tačke po trajektoriji čime se uspostavlja veza između prirodnog i koordinatnog načina zadavanja kretanja. U tom cilju bira se koordinatni početak na putanji i orijentiše se krivolinijska (lučna) koordinata s. Neka se uočena tačka M M u u izabranom početnom trenutku t o nalazi u položaju
x o x( t o ) ,
y o y( t o ) ,
z o z ( t o ) ,
odnosno M o ( x o , y o , z o ) . Uočavaju se zatim, dva trenutka vremena koja se razlikuju za elementarni (veoma mali) priraštaj vremena dt : trenutak t , kada se uočena tačka našla u položaju M koji je određen vektorom položaja r , kao i lučnom koordinatom s OM i trenutak vremena t 1 t dt , kada se tačka našla u
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 1
položaju M 1 , koji je određen vektorom položaja koordinatom s1 O M 1 s ds . Tada je
5
r 1 r d r kao i lučnom
ds 2 dr 2 d r d r ,
d r dx i dy j dz k , ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 , ds dx 2 dy 2 dz 2 , dx
dx dt
dt xdt ,
dy y dt ,
dt , dz z
2 dt , ds x 2 y 2 z t
s so
2 dt . x 2 y 2 z
t o
Prethodne Prethodne relacije relacije pokazuju pokazuju kako kako se se može može ostvariti ostvariti prelazak prelazak sa koordin koordinatnog atnog na prirodni način zadavanja kretanja tačke i omogućavaju dobijanje veze između prirodnog i bilo kog drugog koordinatnog načina zadavanja kretanja tačke. t ačke. Na primer, korišćenjem veze između Dekartovih i polarnih koordinata dobija se cos rsin , x r
sin rcos y r
Tada Tada je t
s so
2 2 2 r dt . r
t o
Brzina tačke Vektorski način određivanja brzine tačke Neka je kretanje posmatrane tačke M dato u vektorskom obliku i neka je putanja tačke kriva ab. ab. Uočavaju se dva bliska položaja posmatrane tačke: položaj tačke M određen vektorom r ( t ) u kome se tačka nađe u trenutku t i t i položaj tačke koji je određen vektorom položaja r ( t 1 ) r ( t ) r u kome se tačka nađe u trenutku t 1 t t . Odnos priraštaja vektora položaja (vektora pomeranja) r i njemu odgovarajućeg priraštaja vremena (intervala vremena) t naziva naziva se srednj srednjaa brzin brzinaa tačke tačke za posmatrani interval vremena t , tj. r r ( t 1 ) r ( t ) V sr . t 1 t t
Graničnim prelazom, kada se t smanjuje i teži nuli, vektor V sr teži nekoj konačnoj vrednosti, koja je takođe vektor, i naziva se brzina tačke u datom trenutku (trenutna brzina), odnosno r d r r . V lim V sr lim t o t o t dt
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 1
6
Vektor brzine tačke u datom trenutku jednak je prvom izvodu vektora položaja te
tačke po vremenu. Vektor brzine V je pravca tangente na putanju u posmatranoj tački M , a smer je onaj u kome se tačka kreće. Jedinica, kojom se izražava intenzitet brzine tačke je odnos jedinice dužine i vremenske jedinice, tj. ms 1 .
Analitički (koordinatni) način određivanja brzine tačke a. Određivanje brzine tačke u Dekartovim koordinatama
V
d r dt
k , x i y j z
V V x V y V z ,
V V x i V y j V z k , V x x ,
V y y ,
, V z z
2 . V x 2 y 2 z
cos
x V
cos
,
y V
cos
,
z
V
.
Određivanje brzine tačke u polarno–cilindarskim koordinatama
r o r
r r
r 1 r r o z k ,
V
d r 1 dt
o
z k .
Za određivanje izvoda po vremenu jediničnih vektora r o i po , oni se mogu izraziti preko konstantnih
vektora i i j kao
r o r o cos i r o sin j ,
p o p o sin i p o cos j .
,
Uzimajući u obzir da važi r o po 1 , iz izraza izvodi po vremenu jediničnih vektora su d r o , r ( sin i cos j ) o d p
o
d p o d
( cos i sin j ) .
po , r o
r o . p o
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 1
r r po z k , V r o
7
V V r V p V z V r r o V p po V z k , , V V r r p r , V z z ,
- V r -radijalna, V p -poprečna (cirkularna, transverzalna) i V z -aksijalna brzina tačke.
Intenzitet vektora brzine tačke V tada je određen sa 2
2
2
2 2 2 2 r z V V r V p V y r
dok su pravac pravac i smer smer brzine brzine tačke u odnosu odnosu na na ose polarno polarno – cilindarskog cilindarskog
koordinatnog sistema, koje su određene jediničnim vektorima r o , po i k , dati sa cos r
r
, cos p
V Kada se tačka M M kreće kreće u ravni ravni tada je V V r V p 2
2
r
V
, cos z
2 2 2 r , tg r
z
V
V p V r
.
r r
.
Prirodni način određivanja brzine tačke Posmatra se kretanje tačke M po poznatoj trajektoriji ab. ab. Neka je na njoj izabran koordinatni početak O1 i neka je izvršena orijentacija lučne koordinate s. Pored ovih elemenata, neka je poznat i zakon kretanja tačke po trajektoriji s s( t ) . Uočavaju se dva bliska položaja posmatrane tačke M : položaj u kome se tačka nađe u trenutku t , a koji je
određen sa s s( t ) O1 M i položaj u kome se tačka tačka nađe nađe u trenut trenutku ku t 1 koji je određen kao
svakoj tački putanje putanje odgovara odgovara određen određenaa lučna lučna s1 s( t 1 ) O1 M 1 s s . Kako svakoj koordinata s i određeni vektor položaja r , tada se može pisati da je r r ( s ) r s( t ) . Na osnovu definicije brzine sledi d r d r ds d r V s . dt ds dt ds r d r lim . ds s 0 s d r Intenzitet vektora određen je sa ds
d r ds
Pravac vektora
d r ds
MM 1 1 . M 1 M M M 1
lim
, određe određen n je granič graničnim nim pravce pravcem m vekto vektora ra r . U posmatranom
graničnom procesu, kada tačka M 1 teži tački M , sečica MM 1 prelazi u tangentu na
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 1
8
putanju u tački M . Iz toga sledi da je vektor
d r ds
pravca tangente na putanju u datoj
tački.
Pri odre određiv đivanj anju u smera smera vekto vektora ra
d r
zapaža se da je ds posmatrano kretanje tačke M u smeru porasta lučne r koordinate ( s 0 ) i tada je vektor imao smer s vektora r . Ako se posmatra kretanje tačke M kod r koga je s 0 zapaža se da tada vektor ima s r suprotan smer od vektora r . To znači da je smer vektora onaj u kome raste s prirodna (lučna) koordinata. Iz prethodnih razmatranja sledi da se radi o vektoru jediničnog intenziteta, pravca tangente na putanju u datoj tački, koji je usmeren u smeru rasta lučne koordinate,
zbog čega je očigledno da je reč o jediničnom vektoru tangente T u posmatranoj tački, tj. d r T , ds pa je
V sT . Iz (2.82) se zaključuje da je projekcija brzine tačke na pravac tangente jednaka prvom izvodu lučne koordinate po vremenu, tj. V T s . Pri rešavanju konkretnih problema javlja se potreba da se izračuna pređeni put tačke koja u toku kretan tanja menja smer. U tom sluč lučaju aju je potre trebno iz uslo slova V T ( t ) 0 odrediti sve trenutke ( t 1 ,t 2 ,...,t n ) kada tačka menja smer kretanja. Ako su sa ( s o , s1 , s 2 ,..., s n , s ) označene vrednosti lučne koordinate koje odgovaraju trenucima ( t o ,t 1 , t 2 ,...,t n ,t ) , pređeni put S tačke S tačke u intervalu vremena (0, t ) određen je tada sa S s1 s o s 2 s1 ... s s n .
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 2
1
Sektorska brzina tačke Neka je kretanje tačke M M zadato zadato vektorom položaja. Pri kretanju tačke vektor položaja
r OM opisuje konusnu površinu sa vrhom u tački O. Kao i pri definisanju brzine tačke u prethodnim razmatranjima, uočavaju se dva bliska položaja tačke M : položaj u kome se tačka nađe u trenutku t , a koji je određen vektorom položaja r ( t ) i položaj
u kome se tačka nađe u trenutku t 1
t t
i koji je određen sa r ( t 1 ) r r .
1
A
Veličina
S sr
2
A
( r r )
1
r
( r ) 2 t naziva se srednja srednja sektorska sektorska brzina. brzina. Graničnim Graničnim prelazom prelazom kada kada sektorska brzina tačke u datom trenutku, tj. 1 r 1 d A A r S lim ) ( r lim ) , tj. S lim ( r t 0 t t 0 2 t 0 t dt t 2
t
t
1 2
0 dobija se
( r V ) .
Ako je kretanje tačke M M zadato zadato jednačinama kretanja u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem jednačinama, tada je 1 z S S y ), i ( y z x 2 i j k 1 1 ), S x y z , tj. S y S j ( z x x z 2 2 x y z 1 S z S k ( x y y x ). 2 S y S S 2 2 2 cos x , cos , cos z . S S x S y S z , S S S Zapaža se da je sektorska brzina upravna na ravan kretanja u slučaju kada se tačka kreće u ravni, npr. Oxy , ona je tada
S
1
( x y y x )k .
2 Ako je kretanje tačke u ravni zadato u odnosu na polarni koordinatni sistem jednačinama (2.12) sektorska brzina tačke određena je sa
S
1 2
r o po
k
r
0
0 ,
r r 0
S
1 2
k S z k . r 2
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 2
2
2.2.4. Hodograf brzine tačke Trajektorija tačke predstavlja geometrijsko mesto krajeva vektora položaja tačke nanetih iz istog nepokretnog pola . Ako se isti postupak ponovi sa vektorima brzine tačke, dobija se kriva AB, AB, koja se naziva hodograf hodograf brzine. brzine. Dakle, Dakle, geometrijsko geometrijsko mesto svih krajeva vektora brzine tačke, nanetih iz istog nepokretnog pola, naziva se hodograf brzine. Geometrijsko mesto krajeva vektora brzine tačke nanetih u odgovarajućim položajima tačke na putanji putanji naziva se velocida. Koristeći istu terminologiju, trajektorija tačke se može nazvati hodograf hodograf vektora vektora položaja tačke.
Parametarske jednačine hodografa hodografa brzine predstavljaće koordinate tačke N hodografa N hodografa
brzine čiji je položaj određen vektorom V i biće jednake projekcijama vektora brzine na ose izabranog koordinatnog sistema, tj. z ( t ) . x x( t ) , y y ( t ) , z može se dobiti iz Neposredna zavisnost između projekcija brzina x , y i z prethodnih jednačina eliminacijom parametra t . Npr., Npr., jednači jednačine ne ˆ ( z )], x x [ f
y
ˆ ( z [ f )], y
predstavljaju jednačine dveju površi u čijem se preseku nalazi hodograf brzine tačke.
Ubrzanje tačke Kinematička veličina koja karakteriše promenu vektora brzine tačke naziva se ubrzanje tačke.
Vektorski način određivanja ubrzanja tačke Neka se uočena tačka M kreće po putanji ab. ab. Uočavaju se dva bliska položaja posmatrane tačke: položaj tačke M M određen određen vektorom položaja r ( t ) u kome se tačka
nađe u trenutku t i t i kada ima brzinu V i položaj tačke u kome se ona nađe u trenutku
t 1
t t ,
kada ima brzinu V 1
V ( t 1 ) V V .
Odnos priraštaja vektora brzine
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 2
3
V
i njemu odgovarajućeg priraštaja vremena t naziva se srednje srednje ubrzanje ubrzanje tačke za interval interval vremena vremena t , odnosno
a sr
V
t
V 1 V t 1 t
.
Graničnim prelazom, kada se t smanjuje i teži nuli, vektor srednjeg ubrzanja a sr teži nekoj graničnoj vrednosti, sti, koja se naziv ziva ubrzan zanje ta tačke u da datom tom trenutku trenutku (ubrzanje (ubrzanje tačke) i određeno određeno je sa
a
V
lim a sr lim
t 0
t 0
. V r
d V
t
dt
Dimenzija kojom se izražava intenzitet ubrzanja je odnos dužine i kvadrata vremena [ a ] [ LT 2 ] , a jedinice za merenje su: ms 2 , cms 2 , kmh2 , itd.
Analitički (koordinatni) način određivanja ubrzanja tačke tačke Određivanje ubrzanja tačke u Dekartovim pravouglim koordinatama
a
a a x a
a x
2
a y
2
2
a z
, cos
Ako se tačka tačka kreće kreće u ravni, tada je a x
x
a
2 2 y , a x
a x i
, V x x
,
, x
r x i y j z k ,
a y
cos
a y
cos
a y j
y
a
,
a z k ,
V y y
cos
, V a z z z
,
z
a
.
y , x
, cos
y
, a a a u slučaju slučaju pravolinijsk pravolinijskog og kretanja kretanja tačke je je i , a a x x . a a x i xi V x Odre Određi điva vanj njee ubrz ubrzan anja ja tačk tačkee cilindarskim koordinatama
a
d V dt
2
r ( r
a
) r o
u
pol polar arno no
2r ) p o z k , ( r
ar r o a p po
a z k ,
–
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 2
2 r , a p ar r
4
2r , a z z , r
- a r -radijalno, a p -poprečno (cirkularno, transverzalno) i a z -aksijalno ubrzanje tačke. 2
a ar
a p
2
2
a z ,
cos r
a r a
cos p
,
Kada se tačka tačka kreće u ravni , tada je 2 , a r r r 2 2 r ) a ( r 2r , a p r
( r
ap a
,
cos z
2 ) , cos r 2r
a z a
ar a
,
.
(2.117)
cos p
ap a
.
Izraz za poprečno ubrzanje može pisati i u obliku 1 d 2 1 d ) , a p a p ( r ( 2S z ) , r dt r dt gde je sa S z označena projekcija sektorske brzine tačke na osu Oz , odakle sledi da kada je sektorska brzina konstantna, važi a p 0 .
Prirodni način određivanja ubrzanja tačke Prirodni trijedar u tački prostorne krive Neka se posmatra kretanje tačke M po poznatoj putanji ab. ab. Uočavaju se dva bliska položaja tačke M na putanji: položaj u kome je
jedinični vektor tangente na putanju T i položaj u kome je jedinični vektor tangente na putanju
T 1
T T .Granični
položaj ravni koju formiraju
ova dva vektora, kada tačka M 1 teži tački M , naziva se se oskulatorn oskulatornaa ravan prirodn prirodnog og trijedra trijedra u tački M prostorne krive koja predstavlja trajektoriju posmatrane tačke.
Upravno na jedinični vektor tangente T nalazi se normalna ravan prirodnog trijedra u tački M. Presek oskulatorne i normalne ravni određuje
pravac glavne normale čiji je jedinični vektor N i koji je usmeren na konkavnu stranu krive. Upravno Upravno na ove dve ravni ravni nalazi se tangencijal tangencijalna na (rektifikaciona) ravan prirodnog trijedra u tački M krive. Presek normalne i tangencijalne ravni određuje pravac binormale čiji je jedinični vektor
B upravan na ostala dva jedinična vektora prirodnog trijedra, a orijentisan je tako da
vektori T , N i B obrazuju desni trijedar. Vektor krivine krive Pri kretanju tačke M M po po poznatoj putanji ab mogu se uočiti dva bliska položaja tačke M : položaj u kome se tačka nađe u trenutku t , koji je određen lučnom koordinatom s s( t ) O1 M , kada je jedinični vektor tangente na putanju T i položaj u kome se
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 2
5
tačka nađe u trenutku t 1 , koji je određen lučnom
koordinatom s1 s( t ) O1 M 1 s s , i kada je jedinični vektor tangente na putanju
T 1 T T . Promenom lučne koordinate
s s1
s menja
se i jedinični vektor tangente T zbog čega se može pisati da je
T T ( s ) Vektor
K sr
T s
,
naziva se srednja srednja krivina krivina krive na delu delu M M 1 . Graničnim Graničnim prelazom, prelazom, kada kada tačka M M teži teži tački M 1 , dobija se vektor krivine krive u tački M T
K lim
s 0
s
d T ds
.
Za određivanje intenziteta vektora krivine K koristi se jednakokraki trougao MAB iz koga sledi da je T , AB 2 sin 2
jer je T T 1
1.
Ugao koji zaklapaju jedinični vektori tangente T i T 1 u tački M
naziva se ugao zakrivljenja (kontigencije) krive na delu M M 1 . 2 sin sin T 2 , 2 lim , lim lim K lim s 0 s 0 0 s 0 s s s
sin lim
0
2 K lim
s 0
s
2
1,
2 d ds
.
Iz diferencijalne geometrije je poznato da važi 1 lim , s 0 s R K gde je R K - poluprečnik krivine krive o datoj tački, ds R K d , tako tako da da je K
d ds
1
R K
, K
1 R K
.
Graničnim postupkom kada tačka M 1 teži tački M , dolazi dolazi do obrtanja obrtanja ravni MABD
oko vektora T i kao granični položaj dobija se oskulatorna ravan. Pri tome , vektor
srednje krivine K sr sve vreme ostaje u ravni MABD i graničnim postupkom prelazi u
vektor krivine K . Dakle, Dakle, vektor vektor krivine krivine krive K pripada oskulatornoj ravni. Ugao
koji vektor K sr zaklapa sa jediničnim vektorom tangente T određen sa ,
2
,
2
2
,
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 2
( s 0, 0) lim
2 vektor tangente T u tački M .
0
6
, što znači znači da je vektor vektor krivine krivine K upravan na jedinični
U slučaju kada je
s
vektora
T
0 , priraštaj jediničnog
usmeren usmeren je na na "unutrašnju "unutrašnju"" stranu stranu
krive, a u slučaju kada je s 0 , vektor T orijentisan je na "spoljašnju" stranu krive.
T
Međutim, vektor
koji je jednak K sr
s
usmere usmeren n je na "unutr "unutrašnj ašnju" u" stran stranu u krive krive zbog zbog znaka skalara s . Iz svega prethodnog proizilazi da vektor krivine krive ima pravac i
smer jediničnog vektora normale N u tački M M krive, krive, zbog čega se može pisati da je 1 K K N N . R K Tangencijalno i normalno ubrzanje tačke U slučaju kada se tačka kreće po poznatoj putanji, i kada je njeno kretanje zadato zakonom kretanja tačke po putanji s s (t ) , tada na osnovu osnovu definicije definicije ubrzanja ubrzanja sledi d d a V ( V T T ) ( sT ) , dt dt T sT , s
T
d T s , ds
a
T s K
s R K
N , a sT
Kako je
a
s2
N .
R K
aT T a N N a B B ,
sledi da je aT gde je
, V s T
a N
s2
R K
aT -tangencijalno,
V 2
,
R K
a B
0,
a N -normalno i
a B -
binormalno ubrzanje tačke. a
2
aT
2
a N
, cos T
aT a
,
cos N
aN a
.
Određivanje poluprečnika krivine putanje tačke
aT a T , aT
a V V T
, a N a
2
2 T
a
, R K
V 2 a N
.
Konkretno, kada je kretanje tačke zadato u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem, diferenciranjem izraza za intenzitet brzine tačke, dolazi se do 2 y y 2 z z , iz koje relacije 2VaT 2 x x koje sledi izraz izraz za intenzitet intenzitet tangencijalno tangencijalnog g i normalnog normalnog ubrzanja ubrzanja tačke
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 2
aT
z z x x y y
x
2
2
2
z y
, a N
2 y x ) ( x y
7
2
z ) ( y z ) z x z y ( x
x
2
y
2
2
2
,
z
pa je R K
V 2 a
2
2 T
.
a
Kinematika tela Osnovni pojmovi kinematike tela Položaj tela u prostoru je određen ako je određen položaj svake njegove tačke. Za određivanje položaja tačaka tela koristi se izabrani koordinatni sistem. Koordinate svih tačaka tela nisu nezavisne. Veze između njih su, u ovom slučaju, nepromenljivo rastojanje. Umesto određivanja položaja svih tačaka tela, moguće je odrediti i položaj tela u odnosu na izabrani koordinatni sistem. Nezavisni parametari koji jednoznačno određuju položaj posmatranog tela u odnosu na izabrani koordinatni sistem nazivaju se gene genera ralis lisan anee koord koordin inat ate. e. Najm Najman anji ji bro brojj nezav nezavisn isnih ih gene genera ralis lisan anih ih koo koord rdin inat ataa predstavlja broj stepeni slobode kretanja. ( x M x1 ) 2
( y M y1 ) ( z M z 1 )
2
( x M x 2 ) 2
( y M y 2 ) ( z M z 2 )
( x M x3 ) 2
( y M y 3 ) ( z M z 3 )
2
2
A1 M , 2
2
2
A2 M ,
2
2
A3 M
2
.
Iz ovih jednačina mogu se odrediti koordinate x M , y M i z M , proizvoljno izabrane tačke M , zbog čega se kaže da je položaj tela u prostoru određen ako je poznat položaj bilo koje tri njegove nekolinearne tačke. Međutim, svih devet koordinata uočenih nekolinearnih tačaka A1 , A2 i A3 nisu međusobno nezavisne jer se između njih mogu uspostaviti relacije koje govore o nepromenljivosti uzajamnog rastojanja, tj. A1 A2 A2 A3 A3 A1
2
2
2
2
2
( x 2 x1 ) ( y 2 y1 ) ( z 2 z 1 ) 2
2
2
,
( x 3 x 2 ) ( y 3 y 2 ) ( z 3 z 2 ) 2
2
( x1 x 3 ) ( y1 y 3 ) ( z 1 z 3 )
2
2
,
(3.1)
.
To znači da je broj nezavisnih koordinata koje određuju položaj posmatranog tela dat sa 9-3=6 . Osnovni zadaci kinematike tela su: 1.) određi određivan vanje je kreta kretanja nja tela tela u odnosu odnosu na izabr izabrani ani koor koordin dinatni atni siste sistem; m; 2.) prou prouča čava vanj njee kinem kinemat atičk ičkih ih kara karakt kteri eristi stika ka tela tela i 3.) određi određivan vanje je kretanj kretanjaa i proučava proučavanje nje karak karakteri teristik stikaa kretanj kretanjaa pojedin pojedinih ih tačaka tačaka tela. U kinematici tela posebno će biti razmatrane sledeće vrste kretanja: translatorno, obrtanje oko nepokretn retnee ose, ravno, obrt obrtan anje je oko oko nepo nepokr kret etne ne tačk tačkee (sfe (sfern rno) o) i opšte kretanje.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 2
8
Translatorno kretanje tela Telo Telo vrši vrši tran transl slat ator orno no kret kretan anje je ako ako proizvoljno izabrana duž, koja spaja dve tačke tela, u svakom trenutku ostaje paralelna sama sebi. Razlikuju se: a) pravolinijska translacija i b) krivolinijska translacija..
Određivanje Određivanje kretanja i karakteristika karakteristika kretanja kretanja pojedinih pojedinih tačaka tela koje vrši translatorno kretanje Neka su uočene dve proizvoljne tačke A i B posmatranog tela koje vrši translatorno kretanje. Njihovi položaji, u odnosu na nepokretni koordinatni sistem Oxyz , određeni su vektorima položaja
y A ( t ) j z A ( t )k , x B ( t )i y B ( t ) j z B ( t )k ,
r A ( t ) x A ( t )i
r B ( t ) Položaj tačke B u odnosu na translatorno pokretni koordinatni sistem A , koji je kruto vezan za telo u proizvoljnoj tački A izabranoj za pol,
određen je vektorom AB B i
r B
B j B k ,
pa je
r A AB ,
x B x A ( t ) B y B
y A ( t ) B
z B
z A ( t ) B
.
Iz prethodnog proizilazi da su jednačine kretanja tela koje vrši translatorno kretanje u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem Oxyz date Oxyz date sa x A x A ( t ) ,
y A
y A ( t ) ,
z A z A ( t ) .
(3.5)
Kinematičke karakteristike pojedinih tačaka tela koje vrši translatorno kretanje su
, r A V B V A , r B
V B
a B
V A ,
a A .
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 3
1
Obrtanje tela oko nepokretne ose Telo vrši obrtanje (rotaciju) oko nepokretne ose ako su mu bar dve tačke nepomične tokom kretanja. Takođe, sve tačke tela koje se nalaze na orijentisanoj pravoj kroz te dve nepomične tačke ostaju nepomične u toku kretanja. Ta orijentisana prava naziva se osa obrt obrtanj anjaa ili osa rotac rotacije. ije. Položaj pokretnog koordinatnog sistema O u bilo kom trenutku vremena određen je uglom koji grade, na primer, nepokretna ravan Oxz i pokretna ravan O . To znači da telo koje se obrće oko nepokretne ose ima jedan stepen slobode kretanja, pod uslovom uslovom da je osa obrtanja određena. Ovaj ugao se naziva ugao obrtanja. Ugao obrtanja može da se izrazi i preko preko broja obrtaja N , tj. 2 N . Funkcionalna zavisnost ( t ) , naziva se jednačina obrtanja tela oko nepokretne ose.
Ugaona brzina tela koje se obrće oko nepokretne ose. Ugaona brzina tela koje se obrće oko nepokretne ose karakteriše promenu ugla obrtanja. Uočavaju se dva položaja tela koji se razlikuju za konačan konačan priraštaj ugla . Neka se telo iz položaja koji je određen uglom u trenutku t , pomeri za vreme Srednja ugaona ugaona brzina tela tela koje se obrće oko oko t u položaj određen uglom . Srednja nepokretne ose Oz za Oz za posmatrani interval vremena t određena je sa ( z ) sr . t Ugaona Ugaona brzina tela u datom trenutku trenutku predstavlja predstavlja graničnu graničnu vrednost vrednost srednje ugaone ugaone brzine kada posmatrani interval vremena t teži nuli d . z lim , z t 0 t dt Ugaonoj brzini tela može se dati i vektorski smisao. Uočava se tačka M M čiji čiji je položaj
r M M M M , Koristeći definiciju brzine tačke dobija se
V M r M M M .
mogu se jedinični U cilju određivanja izvoda i
vektori i
pokretnog koordinatnog sistema
O izraziti preko jediničnih vektora i nepokretnog koordinatnog sistema Oxyz
i
j
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 3
2
cos i sin j ,
sin i cos j . Diferenciranjem po vremenu, sledi
cos j ), (cos i sin j ). , .
( sin i
S druge strane, jedinični vektori i mogu se korišćenjem definicije vektorskog proizvoda izraziti u obliku
,
,
( ),
( )
( M M M ) V predstavlja Vektor predstavlja vektor ugaone ugaone brzine, brzine, tj. , tako da se dobija dobija Ojlerova Ojlerova formu formula la za određi određivanje vanje brzine tačke tela koje se obrće obrće oko nepokretne ose u obliku
V M r M . Izvodi jediničnih vektora mogu se napisati u obliku
.
,
Brzina tačke tela koje se obrće oko nepokretne ose Brzina tačke tela koje se obrće oko nepokretne ose može de se odredi i na sledeći nači način: n: neka eka je u počet očetn nom tren trenu utku tku ( t o 0 ) o 0 , tj. pokretan koordinatni sistem O i nepokretan koordinatni sistem Oxyz u Oxyz u početnom trenutku se poklapaju. poklapaju . Ako je O1 početak lučne koordinate s na toj poznatoj putanji tako da se porast lučne koordinate (pozitivan smer u tom koordinatnom sistemu) poklapa sa pozitivnim smerom računanja ugla , , tada važi
s O1 M R ( t ) , V T s
d
, V T R z . ( R ) R dt
Ugaono ubrzanje tela koje se obrće oko nepokretne ose Neka se s e telo iz položaja koji je određen uglom u trenutku t pomeri t pomeri za vreme t u položaj određen uglom . Srednje Srednje ugaono ugaono ubrzanje ubrzanje tela tela koje se obrće oko nepokretne ose Oz za Oz za posmatrani interval vremena t određeno je sa z ( z ) sr , t a ugaono ubrzanje tela u datom trenutku d z d 2 z . , z z lim t 0 t dt dt 2 Vektor ugaonog ubrzanja tela koje se obrće oko nepokretne ose je
z z k .
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 3
3
Ubrzanje tačke tela koje se obrće oko nepokretne ose Ubrzanje tačke M tela koje se obrće oko nepokretne ose može se odrediti na više načina. Ako je poznat zakon promene lučne koordinate, tangencijal– no ubrzanje tačke M tela može se odredi odrediti ti kao d aT V ( R z ) R z , aT R . T dt Normalno ubrzanje tačke M tela može se odred odrediti iti kao a N
V 2 R
2
R
,
a ukupno ubrzanje tačke M M tada tada je određeno sa a M
aT
2
a N
2
R 2
4
aT r M ,
a N
,
tg
aT
z
. 2 z Ubrzanje tačke M M tela tela koje koje se obrće oko nepokre nepokretne tne ose može može se dobiti dobiti i kao d r a M V M ( r M ) , a M M r M dt a M r V a M r M M , M ( r M ) .
a N
V r ( M M
a M aT a N .
),
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 5
1
Ravno kretanje tela Pod ravnim kretanjem tela podrazumeva se takvo kretanje tela kod koga se sve njegove tačke kreću samo u ravnima paralelnim nekoj nepokretnoj ravni. Presek S Presek S naziv nazivaa se ravan presek ili samo presek. presek. Kako Kako taj taj presek presek ne mora da bude i najveći presek tela, odnosno postoje tačke tela čije ortogonalne projekcije ne sadrže presek S to se za razmatranje ravnog ravnog kretanja koristi koristi ravna figura figura – ravan neograničenih dimenzija koje je stalno paralelna sa . Položaj ravne figure u ravni xOy biće jednoznačno određen položajem dveju proizvoljno izabranih tačaka A( x A , y A ) i B( x B , y B ) . S obzirom da je rastojanje između ovih dveju tačaka nepromenljivo, između koordinata ovih tačaka postoji veza ( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2 AB Telo koje vrši ravno kretanje kretanje ima tri stepena slobode kretanja.
2
const .
Razlaganje ravnog kretanja na translatorno i obrtno Promena položaja ravne figure može se ostvariti kombinacijom translatornog i obrtnog kretanja. Neka se posmatra kretanje ravne figure koja se u trenutku t nađe u položaju I . Za konačni interval vremena t figura se premesti u položaj II . Zapaža se da se taj položaj može dostići na više načina. Jedan je onaj kojim se novi položaj dostiže jednom translacijom kojom uočena duž iz položaja položaja AB prelazi u položaj A1 B , a zatim obrtanjem za ugao 1 u položaj A1 B1 . Isti položaj može se dostići i na sledeći nači način: n: 1 ) rotacija ( A B 1 ( AB A B
A1 B1
rav ravno
kre kreta tanj njee
( AB A1 B1 ) translacija
).
Jednačine kretanja ravne figure x A x A ( t ) ,
y A
y A ( t ) ,
(t )
Ove jednačine nazivaju se jednačine kretanja ravne ravne figure.
Određivanje Određivanje kretanja kretanja proizvoljne proizvoljne tačke ravne figure
, r M r A x M x A cos( ), y M y A sin( ), x M x A M cos M sin , y M y A M cos M sin , - jednačine kretanja proizvoljne proizvoljne tačke tačke M ravne M ravne figure.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 5
2
Određivanje brzine tačke tela pri ravnom kretanju razlaganjem kretanja
r A
r A ( t ) ,
V M r M
o ,
( t ) ,
. r A
o .
( o ) , A
AM V M ,
A V M V A V M V A . Dakle, Dakle, brzina brzina proizvoljne proizvoljne tačke tačke M ravne figure jednaka je zbiru brzine proizvoljno izabranog pola translacije A i obrtne komponente brzine tačke M u M u odnosu na pol A.
Nezavisnost vektora ugaone brzine i ugaonog ubrzanja tela koje vrši ravno kretanje od izbora pola translacije
k k z Teorema: Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja tela koje vrši ravno kretanje ne zavise od izbora pola translacije. translacije. Dokaz : Neka je pretpostavljeno suprotno, odnosno da vektor ugaone brzine i vektor ugaonog ubrzanja zavise od izbora pola translacije. Tada je
V A A AB ,
V A
V B B BA ,
( A
V B
B )
AB
0.
Kako su vektori A i B upravni na ravnu figuru, odnosno na vektor AB 0 , iz prethodne relacije sledi da mora biti ispunjeno A B . Diferenciranjem prethodne relacije dobija se A B , čime je teorema i dokazana.
Teorema o projekcijama vektora brzina tačaka ravne figure Teorema: Projekcije brzina tačaka figure koja vrši ravno kretanje, na osu koja prolazi kroz te tačke, međusobno su jednake. Dokaz: Neka su uočene tačke A i B ravne figure koje se nalaze na osi Ox, Ox, i neka je poznata brzina tačke A ( V A ), kao i intenzitet i smer
ugaone brzine ravne figure. Ako se tačka A usvoji za pol translacije, tada sledi A V B V A V B , V Bx V Ax (V B A ) x .
Kako je ( V B A ) x
0,
tada je V Bx
V Ax .
S obzirom da su tačke A i B proizvoljno izabrane, teorema važi za bilo koje dve tačke na toj osi. Time je teorema teorema dokazana.
Trenutni pol brzina ravne figure Ako je pri kretanju ravne figure njena ugaona brzina u posmatranom trenutku različita od nule, tada postoji jedna i samo jedna njena tačka čija je brzina u tom trenutku jednaka nuli. n uli. Ta tačka se naziva trenutni pol brzina ravne figure i obeležava se sa P . Iz
V P V A
A
V P
i uslova da je brzina tačke P ravne P ravne figure takva da za nju važi V P 0 sledi V P A
. V A
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 5
a) pravci brzina V A i V P A moraju da budu paralelni. Kako je i V P A
3
AP , sledi da su vektori V A i
V P A upravni na pravac koji prolazi kroz tačke A i P . Iz toga proizilazi da se
tačka P nalazi P nalazi na pravoj kroz tačku A upravnoj na V A ;
b) intenziteti b rzina
A
V A i V P moraju da budu jednaki. Iz toga proizilazi na
kom rastojanju od tačke A sa nalazi tačka P . Kako je V V A AP , AP A ; c) tačka P mora P mora se nalaziti na onoj polupravoj iz tačke A, upravnoj na V A , tako
da je zadovoljena relacija V P A V A . Trenutni Trenutni pol brzina je jedna jedna i samo jedna tačka tačka koja u tom trenutku trenutku ima svojstvo da joj je brzina jednaka nuli. Ovo se može pokazati polazeći od suprotne pretpostavke da postoji još jedna tačka, npr. P , čija je brzina takođe jednaka nuli. Tada bi, birajući pol brzina P za P za pol 1 translacije, sledilo da je
. PP V P P 1 0 1
Kako je upravno na PP i kako je 0 sledi da mora biti PP 1 0 , čime je pokazano da u jednom 1 trenutku ne može da postoji više od jednog trenutnog pola brzina brzina ravne figure.
Određivanje brzina tačaka ravne figure pomoću trenutnog pola brzina Ako je poznata brzina jedne tačke ravne figure, kao i njen trenutni pol brzina, tada je moguće odrediti ugaonu brzinu i brzinu bilo koje tačke ravne figure. U tom cilju bira se pol brzina P za P za pol translacije, tako da za proizvoljnu tačku M ravne M ravne figure važi P V M V M PM .
jer je V P 0 . Slični izrazi mogu se pisati i za druge tačke ravne figure, tako da je ... V A AP , V B BP , V M MP ,
V A
V B
AP BP
V M . MP
Različiti slučajevi određivanja položaja trenutnog pola brzina ravne figure Na osnovu prethodnih razmatranja može se odrediti položaj trenutnog pola brzina brzina ravne figure. Neka se u tom cilju posmatra kretanje ravne figure kod koje je poznata brzina jedne njene tačke, npr. V A i pravac brzine neke druge tačke, npr bb1 koji nije
paralelan sa pravcem brzine V A . Pokazuje se da se trenutni pol brzina ravne figure nalazi u preseku normala na pravce tih brzina. Pri određivanju trenutnog pola brzina ravne figure mogući su različiti slučajevi. I) Brzi Brzine ne dve dveju ju tač tačak akaa ravn ravnee figu figure re,, koje koje prip pripad adaj aju u jedn jednoj oj pra pravo voj, j, međusobno su paralelne i upravne na tu pravu. Zavisno od smerova tih brzina razlikuju se dva slučaja. slučaja . Povlačenjem prave koja prolazi kroz krajeve vektora brzina V A i V B do preseka sa pravom koja prolazi kroz tačke A i B dobija se tačka P . Na taj način dobijena su dva slična trougla PAC i PBD . Iz sličnosti tih trouglova sledi V A V B ,
AP BP odakle sledi da je tačka P trenutni pol brzina ravne figure. a) Ako su su brzine tačaka A i B ravne figure istog smera, a različitih intenziteta, intenzitet ugaone brzine i položaj trenutnog pola brzina ravne figure može se odrediti na sledeći način
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 5
4
P
V A
, V A ( AB x )
V B
V B x .
P
V A V B , AB
x BP
V B V A
V B
AB .
b) Ako su brzine tačaka A i B ravne figure različitih smerova i intenziteta, na analogan način se nalazi V A ( AB x ) , V B x ,
II)
V A V B , AB
x
V B V A V B
AB .
Brzine Brzine dveju dveju tača tačaka ka ravn ravnee figur figuree međus međusobn obno o su parale paralelne lne,, istih istih smerov smerovaa i jednak jednakih ih inte intenzi nzitet teta. a. Pri tome prava kroz te dve tačke A i B u opštem slučaju može da zauzima proizvoljan ugao u odnosu na pravce brzina V A i
V B , ili da bude upravna na njih. Tada je
Kako je AB 0 i
III)
AB 0 .
( , AB ) 90
o
, iz prethodnog izraza sledi
da je 0 . Dakle, u ovom slučaju reč je o trenutnom translatornom rasporedu brzina tačaka ravne figure. Ako se telo telo kreće kreće po po površi površini ni drug drugog og tela tela,, pri čemu čemu oba oba tela tela u tački tački dodi dodira ra imaju imaju zajedn zajedničk ičku u tangentu, tangentu, a brzine dodirnih dodirnih tačaka tačaka su jednake, jednake, kaže se da se telo kotrlja kotrlja bez klizanja. Poseban je slučaj kada se posmatrano telo kreće po površini nepokretnog tela. U tom slučaju i brzina tačke tela koja je u dodiru sa nepokretnim telom ima brzinu koja je jednaka nuli. To znači da je u slučaju kotrljanja bez klizanja tela po nepokretnom telu trenutni pol brzina na mestu dodira ta dva tela.
Određivanje ubrzanja tačke tela pri ravnom kretanju
Posmatra se kretanje ravne figure kod koga je poznato ubrzanje jedne tačke, npr. a A , kao i intenziteti i smerovi ugaone brzine i ugaonog ubrzanja ravne figure . U cilju određivanja ubrzanja proizvoljne tačke ravne figure diferencira diferencira se po vremenu vremenu izraz za brzinu, brzinu, tako tako da se dobija
Pri tome je sa V A
A
. V M V A V M
a M
a A označeno ubrzanje proizvoljno
A A izabranog pola translacije A i gde je sa V M a M naznačeno da je reč o komponenti ubrzanja tačke M u odnosu na tačku A, odnosno da je reč o komponenti ubrzanja tačke M usled M usled obrtanja ravne figure oko ose A upravne na ravnu figuru. Ova komponenta ubrzanja naziva se obrtna komponenta ubrzanja ubrzanja tačke M .
AM V A i V Tada, koristeći izraze M M postaje
a M
a A
А a М
а A
A
V A V M V A
, prethodna relacija
A
. V M
- Kompon Komponent entaa upravna je na vektore i , odnosno ima pravac obrtne komponente brzine V M A . Intenzitet ove komponente određen je sa . Ova komponen komponenta ta obrtnog obrtnog ubrzanja ubrzanja tačke tačke M
A naziva se obrtno tangencijalno tangencijalno ubrzanje tačke M u M u odnosu na tačku A i označava se sa a MT .
- Kompon Komponent entaa V M A obrtnog ubrzanja tačke M upravna M upravna je na vektore i V M A , tj. ima pravac vektora i uvek je usmerena od tačke M ka tački A. Intenzitet ove komponente ubrzanja tačke M je
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 5
V M A
2
5
. Ova komponenta komponenta obrtnog obrtnog ubrzanja tačke tačke M naziva M naziva se obrtno normalno ubrzanje tačke
A M u M u odnosu na tačku A i označava se sa a MN
a M A a M
A
, V M
A tj. koristeći koristeći (3.66) (3.66) važi važi a MN
A A A a MT , a M a A a MN
AM 2 4
( ) .
A A a MN . a MT
a A A A , ( a M , a MN ) , tg MT A
a MN
. 2
Trenutni pol ubrzanja ravne figure Ako ugaona brzina i ugaono ubrzanje ravne figure u posmatranom trenutku nisu jednaki nuli tada postoji jedna i samo jedna tačka ravne figure čije je ubrzanje j ednako nuli. Ta tačka se naziva trenutni pol ubrzanja ravne figure i obeležava obeležava se sa Q. Neka se posmatra kretanje ravne figure tako da je u posmatranom trenutku poznato ubrzanje a A jedne njene tačke A, kao i vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja . Ako se tačka A izabere za pol translacije, tada iz izraza za ubrzanje aQ trenutnog pola ubrzanja Q, tj.
aQ
A
a A
aQ
,
i uslova da je ubrzanje tačke Q ravne figure jednako nuli, sledi A aQ a A . Ova relacija može poslužiti za određivanje položaja tačke Q. a) Pravci vektora a A i aQA su paralelni. Tome treba dodati da je, na A
komponenta ubrzanja a Q
osnovu poznatih intenziteta i , moguće odrediti ugao , koji obrtna zaklapa sa pravom koja prolazi kroz tačke Q i A, tj. arctg (
a A QT
) arctg 2 .
A QN
a
Određivanjem ovog ugla određena je i poluprava AL na kojoj se nalazi tačka Q čije je ubrzanje jednako nuli. Naime, poluprava AL dobija se tako što se vektor ubrzanja a A tačke A zaokrene oko tačke A za
ugao u smeru koji je određen smerom vektora ugaonog ubrzanja . b) Intenziteti vektora a A i aQA su jednaki, odakle sledi da je a A
aQA
AQ 2 4 , AQ
aA 2
. 4
Iz prethodnog proizilazi da se u razmatranom trenutku može jednoznačno odrediti položaj tačke Q tako što se ubrzanje proizvoljno izabrane tačke A zaokrene za ugao , u smeru ugaonog ubrzanja ravne figure i na tako dobijenoj polupravoj nanese duž AQ . Određivanje ubrzanja tačaka ravne figure pomoću trenutnog pola ubrzanja Ako je u posmatranom trenutku poznat trenutni pol ubrzanja Q, i ako su poznati ugaona brzina i ugaono ubrzanje ravne figure, moguće je odrediti ubrzanje bilo koje njene tačke. U tom cilju može se usvojiti trenutni pol ubrzanja za pol translacije. Tada je Q , a M a M jer je aQ 0 . Slični izrazi mogu se pisati i za druge tačke ravne figure tako da je 2
a A
AQ
a B
BQ
2
4
,
4
,
2 4
a M MQ 2
4
.
a A AQ
a B BQ
a M . MQ
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 5
6
Različiti slučajevi određivanja položaja trenutnog pola ubrzanja ravne figure Zavisno od kinematičkih karaktertistika i karaktera kretanja, pri određivanju trenutnog pola ubrzanja mogu nastupiti sledeći slučajevi. I) Neka je u nekom nekom intervalu vremena brzina neke tačke ravne ravne figure konstantna. Kao ilustracija ovog slučaja može se navesti primer kotrljanja bez klizanja, po nepokretnoj podlozi, točka poluprečnika R, pri čemu je brzina središta V C const . . Kako je trenutni pol brzina točka na mestu dodira točka sa podlogom, sledi da je intenzitet brzine centra C točka C točka određen sa V C CP R , odnosno V C const . R Dakle, ako je u nekom intervalu vremena intenzitet brzine središta točka, koji se kotrlja po nepokretnoj podlozi, konstantan ( V C const . ) u tom intervalu vremena je const . i 0 . Takođe, u tom intervalu vremena je trenutni pol ubrzanja u središtu točka, tj. C Q . Birajući trenutni pol ubrzanja C za pol translacije sledi da se za proizvoljnu tačku M točka M točka može pisati C , a M a MN
C jer je aC 0 i a MT MC 0 .
II) Neka je u datom trenutku poznato ubrzanje jedne tačke ravne figure, npr. npr. a A , kao i vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja ravne figure, figure, tj. i . a) Ako je 0 i 0 , trenutni pol ubrzanja nalazi se na sledeći način: potraži se najpre ugao koji određuje pravac na kome se nalazi trenutni pol ubrzanja, tj. arctg 2 , i nanosi se, u odnosu na a A , u smeru ugaonog ubrzanja . Zatim se na taj pravac nanosi veličina AQ određena relacijom aA . AQ 2 4 Time je određen položaj trenutnog pola ubrzanja Q ravne figure. b) Ako je 0 i 0 , sledi tg 2 0 , tj. 0 , što znači da se pravci AQ i pravac vektora a A poklapaju. poklapaju. Tada je položaj trenutnog pola ubrzanja određen sa AQ
a A . 2
c) Ako je 0 i 0 , sledi tg
2
,
90 o .
U ovom slučaju je pravac AQ upravan na pravac vektora a A , a rastojanje AQ određeno je relacijom a AQ A . d) Ako je 0 i 0 , tada sledi
V A
, V B V M V
a A
a B
a M a .
Dakle, ako su ugaona brzina i ugaono ubrzanje ravne figure istovremeno jednaki nuli, sve tačke ravne figure imaju brzine i ubrzanja kao i pol translacije A. Ako je u posmatranom trenutku a A 0 , sledi da je trenutni pol ubrzanja ravne figure u beskonačnosti.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 5
7
III) Neka su u datom trenutku poznata ubrzanja ubrzanja dveju tačaka ravne ravne figure, npr. a A i a B . a) Neka su pravci vektora a A i a B određeni uglovima i u odnosu na osu A koja prolazi kroz tačke A i B. Birajuć Birajućii tačku tačku A za pol translacije može se pisati A A a B a A a BN a BT . Projektovanjem prethodne relacije na upravne ose A i A dobija se A a B cos a A cos a BN , A a B sin a A sin a BT ,
A A pri čemu je smer vektora a BT pretpostavljen. Kako je a BN A i a BT
AB
AB
2
sledi da je a A cos a B cos , AB a sin a A sin . B AB b) Neka su u datom trenutku ubrzanja dveju tačaka ravne figure međusobno paralelna i neka zaklapaju proizvoljan ugao sa pravom koja prolazi kroz te tačke. Zavisno od smerova ovih ubrzanja razlikuju se dva slučaja . Ako se kroz krajeve vektora a A i a B povuče prava i potraži
2
presek te prave sa pravom kroz tačke A i B, dobiće se tačka Q koja je zajedničko teme sličnih trouglova QAC i QBD . Iz sličnosti tih trouglova sledi a A a B ,
AQ BQ odakle sledi da je tačka Q trenutni pol ubrzanja ravne figure. c) Ako su ubrzanja dveju tačaka ravne figur figuree kol kolin inea earn rnii vek vekto tori ri istih istih ili suprotnih smerova može se pokazati da se problem određivanja trenutnog pola ubrzanja svodi na prethodni slučaj, tj. rotacijom vektora ubrzanja u istom smeru za / 2 ovaj problem se svodi na prethodni, III)b).
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 6
1
Sferno kretanje kretanje tela (Obrtanje (Obrtanje tela oko nepokretne nepokretne tačke) Sferno kretanje tela ili obrtanje tela oko nepokretne tačke je takvo kretanje tela koje ima jednu nepokretnu tačku. Položaj tela u prostoru može biti jednoznačno određen položajem triju njegovih njegovih tačaka koje ne pripadaju istoj pravoj. Kada je u pitanju telo koje vrši sferno kretanje, treba zapaziti da su od šest koordinata tačaka A i B nezavisne samo tri zbog postojanja tri relacije koje se mogu uspostaviti između koordinata tih tačaka, a koje govore o nepromenljivosti dužina OA , OB i AB . Dakle, telo koje vrši sferno kretanje ima 6-3 nezavi nezavisnih snih koordinata, koordinata, tj. tri stepen stepenaa slobode slobode kretanja. kretanja. Jedan od postupaka za analizu sfernog kretanja kretanja tela je Ojlerov postupak. Ojlerov postupak podrazumeva korišćenje dva Dekartova pravougla koordinatna sistema: Oxyz –nepokretan Oxyz –nepokretan i O - pokretan sistem, kruto vezan za posmatrano telo. Kretanje tela tada je u potpunosti opisano kretanjem pokretnog u odnosu na nepokretni koordinatni sistem. Neka se u početnom trenutku oba koordinatna sistema poklapaju ( Ox O o , Oy O o i Oz O o ). Polazeći od tog početnog položaja, do proizvoljnog položaja pokretnog koordinatnog sistema dolazi se ako se izvrše tri nezavisna obrtanja. 1) Prvo Prvo se izvr izvrši ši obr obrta tanj njee koo koord rdin inat atno nog g sis siste tema ma O oko ose Oz O o za ugao - ugao precesi precesije. je. Na taj taj način, pokretni koordinatni sistem O o o o prelazi u položaj O 1 1 1 .
iz
položaja
2)
3)
Sled Sledeć ećee obrt obrtan anje je koor koordi dina natn tnog og sist sistem emaa O vrši se oko ose O 1 O 2 ON , kao nepokretne, za ugao - ugao nutacije. nutacije. Na taj taj način, način, pokretni pokretni koordinatni koordinatni sistem prelazi u položaj O 2 2 2 . Osa ON oko koje je izvršena ova rotacija naziva se čvorna osa. Posl Posleednje dnje obrta brtan nje vrši rši se se oko oko ose ose O 2 O za ugao - ugao sopstven sopstvenee rotacije. rotacije.
Na taj način dobija se proizvoljni položaj pokretnog koordinatnog sistema O . Smatraće se da su Ojlerovi uglovi pozitivni ako se uočena obrtanja posmatrana sa pozitivnih krajeva osa Oz , ON i ON i O vide kao kao matematički matematički pozitivna. U toku obrtanja tela oko nepokretne tačke menjaju se Ojlerovi uglovi , i . Jednačine
( t ) , ( t ) , nazivaju se konačne jednačine jednačine sfernog kretanja kretanja tela.
( t )
Brzina tačke tela pri sfernom kretanju. Vektor trenutne ugaone brzine. Jednačina trenutne ose obrtanja
Vektor brzine V tačke M tela M tela koje vrši sferno kretanje može se odrediti korišćenjem vektora položaja r uočene tačke, koji je izražen preko komponenata paralelnih jediničnim vektorima , i pokretnog koordinatnog sistema O , tj.
r ,
. V r
Osim toga, vektor brzine V tačke M tela M tela može se izraziti i u obliku V V V V ,
V (V ) (V ) (V ) ,
) V ( ) ( ) . (
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 6
1 ,
0.
0 ,
0 ,
1 ,
0 ,
0 ,
1 ,
0 ,
,
,
2
.
V ( )
Ako se uvedu oznake
) (
) . (
, , ,
tada je
V ( )
( )
( ) ,
V r
Ako se pođe od uslova
V r
,
, V r .
0
, 0 , 0 , 0 ,
,
-trenutna osa obrtanja i obeležava sa O . Vodeći računa o kolinearnosti vektora i trenutne ose obrtanja, zaključuje se da je trenutni raspored brzina tačaka tela koje vrši sferno kretanje isti kao da se telo obrće oko, u tom trenutku nepokretne trenutne ose. Ovo zapažanje može se uzeti kao osnova za uvođenje naziva za vektor - vektor trenutne trenutne ugaone ugaone brzine. Ojlerove kinematičke jednačine Za određivanje trenutne ugaone brzine tela koje vrši sferno kretanje polazi se od toga da se položaj tela može odrediti pomoću tri Ojlerova ugla. Tada je položaj tela poznat u svakom trenutku ako su poznate konačne jednačine sfernog kretanja tela ( t ) , uočena dva ( t ) . Neka su uočena ( t ) , položaja tela koje vrši sferno kretanje, koji odgovaraju trenucima trenucima t i t i t t na sledeći način: t : t t :
Odgovarajuće srednje ugaone brzine brzine za dati interval vremena određene su izrazima izrazima
t
,
t
,
.
t
Granične vrednosti ovih srednjih ugaonih brzina predstavljaju odgovarajuće trenutne ugaone brzine: - lim d brzina precesije, precesije, - ugaona brzina t 0 t dt - lim d - ugaona brzina nutacije, t 0 t dt d - lim - ugaona brzina sopstvene rotacije. t 0 t dt
Vektori ugaonih brzina precesije p
k ,
nutacije n
n
i sopstvene rotacije sr
usmereni
su duž osa Oz , ON i ON i O , čiji su jedinični vektori k , n i , respektivno. Imajući u vidu da se ove ose seku u jednoj tački, vektor trenutne ugaone brzine , tela koje vrši sferno kretanje, može se pisati u obliku n k . p n sr
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 6 Kako je
3
k sin sin sin cos cos ,
n cos sin 0 . dobija se
cos ) sin sin (
sin ) sin cos ( cos ) . ( cos , sin sin sin , sin cos
cos .
2 2 2
cos ( , )
2 2 2 2 cos ,
, cos ( , )
cos ( , )
n
0
k ,
sin sin i sin cos j
sin sin )i ( cos
,
.
cos i sin j
cos k .
x
sin sin cos ) j ( cos )k . ( cos sin sin sin , y j sin cos , i
x2 y2 z 2
cos ( , i )
cos . z k
2 2 2 2 cos ,
y x . , cos ( , k ) z . cos ( , j )
Trenutno ugaono ubrzanje tela koje vrši sferno kretanje
Neka je poznat vektor trenutne ugaone brzine tela koje vrši sferno kretanje. Vektor trenutnog ugaonog ubrzanja tela koje vrši sferno kretanje određen je kao d . lim t 0 t dt Ako se sa o označi jedinični vektor trenutne ose obrtanja O , tada se može pisati da je
o ,
gde je sa označen intenzitet vektora . Tada sledi d ( , o ) o o dt 1 2 .
Pri tome je 1 o - komponenta trenutnog ugaonog ubrzanja koja govori o promeni intenziteta vektora trenutne ugaone brzine i pravca je ose O . Pri analizi komponente 2 treba zapaziti da je vektor o konstantnog intenziteta i da je kraj ovog vektora, tačka A, na trenutnoj osi obrtanja O . Njegov izvod po vremenu predstavlja brzinu u A , tačke A koja je određena sa
u A
d 0
0
.
dt Ako je sa 1 označena ugaona brzina obrtanja vektora o , brzina kraja vektora o može se odrediti
kao 0
1 0 ,
tj.
2
( 1 o ) 1 .
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 6
4
Projekcije vektora trenutnog ugaonog ubrzanja tela koje vrši sferno kretanje na ose pokretnog i nepokretnog Dekartovog koordinatnog sistema
,
,
,
,
,
( ) ( ) ( ) ,
( ) ,
,
.
y j z k , x i y j z k , x i y j z k .
x i
Projekcije brzine tačke tela koje vrši sferno kretanje na ose pokretnog i nepokretnog Dekartovog koordinatnog sistema Polazeći od izraza za brzinu tačke tela koje vrši sferno kretanje može se intenzitet brzine V , proizvoljne tačke M tela, M tela, odrediti u obliku V r sin ( , r ) r sin h , gde je h MK r sin rastojanje tačke M od trenutne ose obrtanja. Pravac
vektora V normalan je na i r (a time i na h ), a orijentisan je na onu stranu
odakle se obrtanje vektora , najkraćim putem, do poklapanja sa vektorom r vidi kao matematički pozitivno. Ako se vektor brzine V određuje preko njegovih projekcija V , V i V , na ose pokretnog koordinatnog sistema O , tj.
V V V V , tada sledi da je V V V V V 2 V 2 V 2
, V V , V .
V V , cos ( V , ) V , cos ( V , , cos ( V , ) . )
V V V Na isti način može se odrediti intenzitet, pravac i smer vektora brzine V , tačke tela koje vrši sferno kretanje, preko projekcija V x , V y i V z na ose nepokretnog koordinatnog sistema Oxyz ,
V V x i
, j V k V y z
V V x2 V y2 V z 2
i
j
k
V r x
y
z
x
y
z
V x
,
, cos ( V , i ) V x ,
V y V z
cos ( V , j )
V y
,
V i y z z y , , V j z x x z V k x y y x .
cos ( V , k )
V z .
V V V Jednačina trenutne ose obrtanja, tela koje vrši sferno kretanje, u odnosu na ose nepokretnog koordinatnog sistema Oxyz je je
i
j
k
V r x
y
z
x
y
z
0 , y z z y x x
y y
0 ,
z . z
Ubrzanje tačke tela koje vrši sferno kretanje Ubrzanje proizvoljne tačke M tela M tela koje vrši sferno kretanje je
z x x z 0 ,
x y y x 0 ,
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 6
a
V
d
5
r r , ( r ) dt
a r ( r ) .
a gde je h
r sin ( , r ) r sin h ,
r sin rastojanje tačke M od pravca vektora
trenutnog ugaonog ubrzanja. Ova komponenta ubrzanja tačke tela koje vrši sferno kretanje naziva se obrtno ubrzanje. a ( 1 2 ) r 1 r 2 r ,
o r ( 1 ) r a a 1
Pri tome je a 1
1r sin ( 1 , r ) .
a
2
.
Pravac Pravac vektora vektora a normalan 1
je na ravan koju obrazuju vektori 1 i r , a smer je određen datim vektorskim vektorskim proizvodom. proizvodom. Intenzitet Intenzitet vektora a dat je sa
2
a 2 2 r sin ( 2 , r ) ,pravac je normalan na ravan koju obrazuju vektori 2 i r , a smer neposredno sledi iz datog vektorskog proizvoda. Intenzitet druge komponente ubrzanja ( r ) tačke tela koje vrši sferno kretanje, koja će biti označena sa a , određen je izrazom
a V sin ( ,V ) V sin 90 o
2
h
,
gde je h MK r sin rastojanje tačke M od trenutne ose obrtanja O . Pravac vektora a
normalan je na ravan koju obrazuju i V i upravan je na trenutnu trenutnu osu obrtanja obrtanja O . Smer vektora a
je onaj odakle se rotacija vektora najkraćim putem do poklapanja sa vektorom V vidi kao matematički pozitivna, tj. uvek je usmeren ka osi obrtanja. Ova komponenta ubrzanja tačke tela koje vrši sferno kretanje naziva naziva se aksipetalno ubrzanje. Kada Kada su poznate komponente a i a , intenzitet vektora ubrzanja ubrzanja proizvoljne tačke tela koje vrši sferno kretanje određen je npr. na osnovu kosinusne teoreme sa
a a 2 a 2 2a a cos ( a , a ) .
Opšte kretanje tela Jednačine opšteg kretanja slobodnog tela Opšte kretanje slobodnog tela je takvo kretanje pri kome telo može da zauzme proizvoljan položaj u prostoru. Slobodno telo koje vrši opšte kretanje ima šest stepeni slobode kretanja, odnosno njegov položaj određen je sa šest generalisanih koordinata. Konačne jednačine opšteg kretanja slobodnog krutog krutog tela date su u obliku xO f 1( t ) , yO f 2 ( t ) , z O f 3 ( t ) , 1
1
f 4 ( t ) ,
1
f 5 ( t ) ,
f 6 ( t ) .
Pretpostavlja se da su funkcije f i (i=1,2,3, …, 6) neprekidne, jednoznačne i najmanje dva puta diferencijabilne. Brzina tačke tela koje vrši opšte kretanje Za proizvoljnu tačku M tela M tela važi , r M r O M 1
gde je sa r O određen položaj proizvoljno izabranog pola translacije O1 i gde je sa M određen položaj 1 tačke M u M u odnosu na pol O1 . Tada je
V M
, r r M O M 1
V M
O1 , V O V M 1
O
V M 1
M O1 M ,
Ubrzanje tačke tela koje vrši opšte kretanje Ubrzanje proizvoljne tačke M posma M posmatranog tranog tela je
a M V O1
. M M
V M
V O M . 1
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 6
6
-
V O1
-
M
-
M
aO1 - ubrzanje pola translacije,
ubrzanjee tačke M , M a - obrtno ubrzanj O1 - aksipetalno aksipetalno ubrzanje ubrzanje V M ( M ) a O a M aO a a aO a M 1 . 1
tačke tačke M ,
1
Složeno kretanje tačke Relativno, prenosno i apsolutno kretanje tačke Za proučavanje složenog kretanja tačke potrebno je neko pokretno telo I i tačka M koja se kreće po njemu. Kretanje tačke M u odnosu na nepokretan koordinatni sistem Oxyz naziva naziva se apsolutno apsolutno kretanje kretanje i određeno je parametarski parametarskim m jednačinama kretanja kretanja x x( t ) , y y( t ) , z z ( t ) ,
ili r xi y j z k . Brzina i ubrzanje tačke M u odnosu na koordinatni sistem Oxyz naziva Oxyz naziva se apsolutna brzina, odnosno apsolutno apsolutno ubrzanje ubrzanje tačke tačke M . Kretanje tačke M u odnosu na pokretni koordinatni sistem O1 , naziva se relativno kretanje i određeno je sledećim parametarskim jednačinama ( t ) , ( t ) , ( t ) , što se može izraziti u sledećem vektorskom obliku . Kretanje tačke tela I , sa kojom se u datom trenutku poklapa tačka M , naziv nazivaa se prenosno prenosno kretan kretanje. je. Prenosn Prenosnaa brzina brzina i prenosno ubrzanje tačke su brzina i ubrzanje one tačke tela I sa kojom se posmatrana tačka poklapa u datom trenutku. Brzina tačke pri složenom kretanju (apsolutna brzina tačke) Položaj tačke M u M u odnosu na nepokretni koordinatni sistem Oxyz određen Oxyz određen je sa r r o r o ,
gde je r o 1
OO1
1
1
a O1M . Tada je
r V r o1
,
. Prva tri člana na desnoj strani prethodnog izraza karakterišu brzinu promene vektora u odnosu na
predstavlja lokalni (relativni) izvod pokretni koordinatni sistem O1 . Taj deo izvoda po vremenu
, odnosno relativnu brzinu tačke M , tako da važi po vremenu vektora
V r
d r
.
dt Preostala tri člana u izrazu za karakterišu promenu vektora koja je posledica kretanja koordinatnog sistema O1 u odnosu na koordinatni sistem Oxyz . Izvodi po vremenu jediničnih
vektora , i određeni su na sledeći način
,
, , gde je vektor trenutne ugaone brzine obrtanja tela I oko uslovno nepokretne tačke O1 . Zamenom ovih ovih relaci relacija ja dobija dobija se se V ( V , ) , ) ( ) ( ) ( r r
d r
V r .
dt Apsolutna brzina tačke M može M može se sada izraziti kao V V o 1
V r .
Ako se tačk tačkaa M ne M ne kreće po
telu I , tada je V r 0 i prethodni izraz svodi se tada na prenosnu brzinu tačke M
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 6
7
V o .
V p
1
Prethodnim izrazom određena je brzina one tačke tela I , koje vrši opšte kretanje, sa kojom se u datom trenutku poklapa tačka M . Iz svega prethodn prethodnog og proizilazi proizilazi da je apsolutna apsolutna brzina brzina tačke M jednaka M jednaka zbiru prenosne i relativne brzine, tj. V V p V r . Intenzitet, pravac i smer apsolutne brzine određen je, npr. projekcijama na na ose Dekartovog pravouglog pravouglog koordinatnog sistema Oxyz , tj. V x V px V rx , V y V py V ry , V z V pz V rz . V V x2
2
, cos ( V ,i ) V x ,
2
V y V z
cos ( V , j )
V
V y
,
cos ( V , k )
V
V z . V
Ubrzanje tačke pri složenom kretanju (apsolutno ubrzanje tačke ) Izraz za apsolutno ubrzanje tačke M koja M koja se kreće po telu I nalazi I nalazi se određivanjem izvoda po vremenu izraza za apsolutnu brzinu tačke M , tj.
a
pri čemu je V o 1
V , V V o r 1
- prenosno ugaono ubrzanje tj. ugaono ubrzanje ao1 - ubrzanje pola translacije,
tela I . Analogno Analogno izrazu izrazu za brzinu brzinu može se se pisati pisati
d r V r
V r
d r V r
V r ar V r , ar
d r 2
.
dt dt dt 2 Relativno ubrzanje ar tačke M govori o promeni relativne brzine V r usled relativnog kretanja. Kada koordinatni sistem O1 miruje, tj. kada se telo I ne I ne kreće, sledi da je
a ar . Na osnovu prethodno rečenog, izraz za apsolutno apsolutno ubrzanje tačke M moguće M moguće je napisati u obliku
a
a o1
Kada tačka
( V r ) a r V r , a a o ( ) a r 2 V r . 1 M ne vrši relativno kretanje, tj. V r 0 i ar 0 , prethodni izraz svodi se na prenosno
ubrzanje tačke M
a p
ao1
( ) ,
a p
ao1
O1 V M
.
Izraz 2 V r naziva se Koriolisovo ubrzanje ubrzanje tačke tačke M , obeležava se sa a cor , tj.
a cor
2 V r .
Intenzitet vektora a cor određen je sa a cor 2 V r sin ( ,V r ) . Očigledno je da je Koriolisovo Koriolisovo ubrzanje
a cor jednako nuli u sledećim slučajevima: 1) 0 , tj. kada se telo po kome se kreće tačka, kreće translatorno; 2) V r 0 , tj. kada se tačka ne
kreće relativno; 3) V r , tj. kada su vektori trenutne ugaone brzine tela po kome kome se kreće tačka i relativne brzine tačke paralelni. Pravac vektora Koriolisovog ubrzanja a cor upravan je na ravan koju obrazuju
vektori trenutne ugaone brzine tela po kome se kreće tačka p i relativne
brzine tačke V r , a smer je takav da se posmatrano sa kraja vektora a cor obrtanje
vektora najkraćim putem do poklapanja sa vektorom V r , vidi kao matematički pozitivno. Na osnovu prethodnog proizilazi da je apsolutno ubrzanje tačke M jednako zbiru prenosnog, relativnog i Koriolisovog ubrzanja, ubrzanja, tj. a a p ar acor . Intenzitet, pravac i smer vektora apsolutnog ubrzanja tačke M može se odrediti pomoću projekcija na ose nepokretnog Dekartovog Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema Oxyz , tj. a x a px a rx a corx , a y a py a ry a cory , a z a pz a rz acorz . a a x2
a y2
a z 2 ,
cos ( a ,i )
ax , a
cos ( a , j )
ay a
,
cos ( a , k )
az . a
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 9
1
DINAMIKA Dinamika je deo teorijske mehanike koji proučava mehanička kretanja materijalnih objekata uspostavljajući vezu između kretanja i uzroka koji iz azivaju to kretanje. Najjednostavniji model realnog tela jeste materijalna tačka. Materijalno telo čije se dimenzije pri proučavanju kretanja mogu zanemariti, odnosno geometrijska tačka kojoj se pripisuje celokupna masa tela koje zastupa, naziva se materijalna tačka. Međutim, materijalnom tačkom se ne smatraju uvek tela malih dimenzija. Materijalnom tačkom mogu se smatrati i tela proizvoljne veličine, pod sledećim uslovima: ako se kreću translatorno, ako se kreću translatorno, a istovremeno se i obrću, tako da se obrtno kretanje može zanemariti u odnosu na translatorno, ako poseduju dimenzije koje su male u odnosu na rastojanja od drugih tela sa kojima sadejstvuju i ako poseduju dimenzije koje su male u odnosu na dimenzije drugih tela sa kojima sadejstvuju. Materijalna tačka koja može da zauzme bilo koji položaj u prostoru i može da ima bilo koju brzinu naziva se slobodna materijalna tačka. Deo dinamike koji se bavi proučavanjem kretanja materijalne tačke naziva se dinamika materijalne tačke. Materijalni sistem je skup proizvoljnog broja materijalnih tačaka u kome postoji uzajamna uzajamna zavisnost između između položaja položaja i kretanja kretanja bilo koje tačke i svih ostalih tačaka tačaka koje čine čine sistem. Sistem materijaln materijalnih ih tačaka može može biti neizmenljiv neizmenljiv i izmenljiv. izmenljiv. Neizmenljiv sistem materijalnih tačaka je onaj kod koga se pod dejstvom sila ne menjaju rastojanja između bilo koje dve materijalne tačke, koje čine sistem. Izmenljiv sistem materijalnih tačaka je onaj kod koga je moguće međusobno kretanje tačaka sistema jednih u odnosu na druge. Postoji i podela sistema materijalnih tačaka na diskretne i neprekidne. neprekidne. Za materijalni sistem se kaže da je diskretan ako su rastojanja između svih njegovih tačaka konačna. Materijalno telo je neprekidna sredina konačnih dimenzija. Materijalno telo kod koga se rastojanje između bilo koje dve njegove tačke ne menja u toku vremena (ne deformiše se), pri dejstvu drugih tela, naziva se kruto telo. Deo dinamike koji se bavi proučavanjem kretanja meterijalnog sistema i krutog tela često se izučava kao zaseban deo mehanike i naziva se dinamika materijalnog sistema i krutog tela.
Osnovni zakoni dinamike Prvi Njutnov zakon (Zakon inercije) glasi: Izolovana materijalna tačka nalazi se u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja. Za materijalnu tačku se kaže da je izolovana ako je slobodna i ako na nju ne deluju drugi mehanički objekti ili je dejstvo tih objekata na materijalnu tačku ekvivalentno nuli. Tendencija takve tačke je da zadrži stanje u kome se nalazi. Ova osobina tačke naziva se inertnost, a prvi Njutnov zakon – zakon inercije. inercije. Za jednoliko pravolinijsko kretanje tačke kaže se da je to kretanje po inerciji. Treba napomenuti da je u slučaju kretanja tačke po inerciji, njeno ubrzanje jednako nuli.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 9
2
Koordinatni sistem u kome važi prvi Njutnov zakon (Zakon inercije) naziva se inercijalni koordinatni sistem. Ako je koordinatni sistem asolutno nepokretan ili se kreće translatorno, jednoliko i pravolinijski on je takođe inercijalni. Približno takav je heliocentrični koordinatni sistem čiji je centar u Suncu, a ose u pravcima nepokretnih zvezda. Koordinatni sistemi koji miruju, ili se kreću translatorno, jednoliko i pravolinijski u odnosu na inercijalni koordinatni s istem, takođe su inercijalni. inercijal ni. Tako se i koordinatni sistem vezan za Zemlju može smatrati inercijalnim ako se zanemari dnevno obrtanje i godišnje krivolinijsko kretanje središta Zemlje oko Sunca. U neinercijalnim koordinatnim sistemima ne važe Njutnovi zakoni mehanike. Koristeći definiciju inercijalnih koordinatnih sistema, prvi Njutnov zakon može se formulisati i na sledeći način: Izolovana materijalna tačka kreće se u inercijalnim koordinatnim sistemima jednoliko i pravolinijski. Takođe, važi i obrnuto tvrđenje: Materijalna tačka koja se u inercijalnim koordinatnim sistemima kreće jednoliko i pravolinijski je izolovana. izolovana.
Drugi Njutnov zakon (Osnovni zakon dinamike)
Neka se posmatra materijalna tačka M tačka M na koju deluje sila F i koja se u odnosu na inercijalni Dekartov koordinatni sistem Oxyz kreće ubrzanjem a . Tada se drugi Njutnov zakon ili osnovni osnovni zakon dinamike može izraziti kao
ma F , pri čemu pozitivan koeficijent proporcionalnosti m govori o materijalnim materijalnim svojstvi svojstvima ma tačke i naziva naziva se masa materijalne materijalne tačke. Dakle, drugi Njutnov zakon može se iskazati u obliku: Ubrzanje materijalne tačke proporcionalno je sili koja deluje na tačku i ima pravac i smer te sile. Kada je u pitanju sila kojom Zemlja privlači materijalna tela koja se nalaze na njenoj površi, reč je o težini materijalnih tela. Eksperimentalno je utvrđeno da sva tela padaju na Zemlju, sa visine koja je mala u odnosu na poluprečnik Zemlje, pod dejstvom teže istim ubrzanjem koje se naziva ubrzanje Zemljine teže i obeležava se sa g . Ubrzanje Zemljine teže zavisi od nadmorske visine i geografske širine, a u našim uslovima može se uzeti da je g 9,81 m / s 2 .
Treći Njutnov zakon (Zakon o dejstvu i protivdejstvu) glasi: Sile kojima dve tačke deluju jedna na drugu imaju istu napadnu liniju, jednakog su intenziteta, a suprotnih smerova.
Četvrti Njutnov zakon (Zakon nezavisnog dejstva sila) glasi: Ako na materijalnu tačku istovremeno deluje više sila, tada ubrzanje saopšteno od svake sile posebno ne zavisi od ostalih sila koje deluju na materijalnu tačku. Polazeći od II i IV Njutnovog zakona može se pokazati da je sila vektorska veličina. Neka na materijalnu tačku mase
m deluje sistem od n sila ( F 1 , F 2 ,..., F i ,..., F n ) . Svaka sila
saopštava toj tački određeno ubrzanje ai i ono ne zavisi od ostalih sila koje deluju na
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 9
3
posmatranu tačku, a saglasno IV Njutnovom zakonu. Tada, na osnovu II Njutnovog
zakona, za i-tu silu važi F i mai . Sabira Sabiranje njem m svih svih jednak jednakost ostii dobi dobija ja se
F i m ai , ma F i , gde je a ai - ubrzanje materijalne tačke (iz i
i
i
i
kinematike je poznato da se ubrzanje tačke dobija kao vektorski zbir njenih komponentalnih ubrzanja).
Diferencijalne jednačine kretanja i osnovni zadaci dinamike slobodne tačke Diferencijalne jednačine kretanja slobodne tačke Posmatra se slobodna tačka M tačka M , mase m , čiji je položaj određen vektorom položaja r u odnosu na inercijalni Dekartov
koordinatni sistem Oxyz . Neka je sa F označena rezultanta svih sila koje koje deluju deluju na posmatranu posmatranu tačku. tačku. Diferencijaln Diferencijalnaa jednačina kretanja posmatrane tačke, na osnovu osnovnog zakona dinamike, ima oblik
mr F ,
a - ubrzanje tačke M . U opštem gde je r opštem sluča slučaju ju kada kada sila sila koja deluje na tačku istovremeno zavisi od vremena, njenog položaja u prostoru i njene brzine, diferencijalna jednačina kretanja slobodne tačke ima oblik
mr f ( t ,r ,V ) .
Diferencijalne jednačine kretanja tačke u Dekartovim koordinatama Ako je za razmatranje problema izabran Dekartov pravougli koordinatni sistem Oxyz dobijaju se tri skalarne diferencijalne jednačine kretanja tačke M tačke M u u obliku X (t , x , y , z , x , y , z ), m x Y (t , x, y , z , x , y , z ), m y , y , z Z (t , x, y , z , x ), m z , - projek gde su: x, x, y, y, z – z – koordinate posmatrane tačke; x , y , z projekcij cijee brzina brzina tačk tačke; e;
, y , z , - projekcije x projekcije ubrzanj ubrzanjaa tačke, a X, Y i Z su projekcije rezultujuće sile F na ose izabranog koordinatnog sistema. Ove jednačine nazivaju se diferencijalne jednačine kretanja tačke u Dekartovim koordinatama. Diferencijalne jednačine kretanja tačke u ravni, u Dekartovim koordinatama su X ( t m x , x , y ,0 , x , y ,0 ) X ( t , x , y , x , y ), Y ( t m y , x , y ,0 , x , y ,0 ) Y ( t , x , y , x , y ). Diferencijalna jednačina pravolinijskog kretanja tačke je X ( t m x , x ,0 ,0 , x ,0 ,0 ) X ( t , x , x ) .
Diferen Diferencija cijalne lne jedna jednačine čine kreta kretanja nja tačke tačke u polarn polarnoo – cilindarskim i polarnim koordinatama 2 r ) F r ( t , , z ), ma r m( r , r , , z , r
2r ) F p ( t , , z ), ma p m( r , r , , z , r , , z F ). ma z m z , r , , z , r z ( t Ove jednačine jednačine predstavljaj predstavljaju u diferencijaln diferencijalnee jednačine jednačine kretanja kretanja tačke u polarno polarno – cilindarskim koordinatama. Pri tome su sa F r , F p i F z označene projekcije rezultante,
svih sila koje deluju na tačku, na ose posmatranog koordinatnog koordinatnog sistema.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 9
4
Diferencijalne jednačine kretanja tačke u polarnim koordinatama glase 2 ) F r ( t , ), m( r r , r , , r
2r ) F p ( t , ). m( r , r , , r
Ojlerove (prirodne) diferencijalne jednačine kretanja tačke Ako se za razmatranje problema kretanja tačke izabere prirodni trijedar, projektovanjem leve i desne strane jednačine osnovne jednačine dinamike na tangentnu, normalnu i binormalnu osu, koje su određene jediničnim vektorima t , n i
b , respektivno, respektivno, dobijaju dobijaju se Ojlerove Ojlerove (prirodne) (prirodne) diferencijalne diferencijalne jednačine kretanja tačke mat m s F t , mat m s F t ( s , s ,t ), s 2
s 2
ma n m F n , Rk
ma n m
mab 0 F b .
mab 0 F b ( s , s ,t ).
Rk
F n ( s , s ,t ),
Pri tome je sa s sa s označena lučna koordinata, F t , F n i F b su projekcije rezultante svih sila koje deluju na tačku na ose prirodnog trijedra, a Rk je poluprečnik krivine trajektorije tačke, u datoj tački.
Osnovni zadaci dinamike tačke Dinamički problemi kretanja tačke mogu se globalno podeliti u dva osnovna zadatka. a) Prvi (direktni) zadatak dinamike tačke glasi: Odrediti silu koja deluje na tačku ako je poznato njeno kretanje i njena masa.
Neka je kretanje tačke zadato u vektorskom obliku r f ( t ) . Prvi zadatak dinamike dinamike tačke svodi se na određivanje drugog izvoda po vremenu poznate vektorske funkcije
vremena, tj. r f ( t ) a . Tada, s obzirom da je masa tačke poznata, sledi da je sila koja deluje na tačku određena sa
, F mr čime je rešen prvi zadatak dinamike tačke. b) Drugi (indirektni) zadatak dinamike tačke glasi: Odrediti kretanje tačke ako je poznata masa tačke, njen početni položaj i početna brzina kao i sila koja deluje na tu tačku. Drugi zadatak zadatak dinamike dinamike tačke tačke svodi svodi se na integraciju integraciju diferenci diferencijalnih jalnih jednači jednačina na kretanja tačke. Polazi se od vektorske diferencijalne jednačine kretanja tačke. Integracijom ove jednačine dobija se njeno opšte rešenje kojim se vektor položaja
tačke izražava kao funkcija vremena i dve integracione i ntegracione konstante, C 1 i C 2 , tj.
r f ( t , C 1 , C 2 ) .
Konstante C 1 i C 2 ukazuju na to da je pod dejstvom datih sila putanja tačke jedna od
krivih iz familije krivih. Za određivanje integracionih konstanti C 1 i C 2 koriste se podaci o položaju tačke i njenoj brzini brzi ni u trenutku kada počinje da se s e posmatra njeno kretanje. Ovi podaci nazivaju se početni uslovi kretanja tačke, tj. ovi uslovi određeni su početnim trenutkom t 0 , početnim položajem tačke r 0 r ( t 0 ) i njenom početnom
( t ) . U cilju određivanja integracionih konstanti, pored brzinom V 0 V ( t 0 ) r 0
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 9
početnih uslova kretanja tačke t t 0 ,
r ( t 0 ) r 0 ,
5
V ( t 0 ) V 0 , i opšteg opšteg rešenja rešenja,,
potreban je i prvi izvod po vremenu tog opšteg rešenja, tj.
r f ( t ,C 1 ,C 2 ) . Na taj
način, mogu odrediti dve vektorske integracione konstante, tj. C i g i ( t 0 , r 0 ,V 0 ) ,
( i 1 ,2 ) , gde je f ( t 0 , r 0 ,V 0 ) r 0 i f ( t 0 , r 0 ,V 0 ) V 0 . Koristeći ovako određene integracione konstante, u opštem rešenju, dobija se vektorska jednačina kretanja tačke u obliku
r f 1 ( t , t 0 , r 0 ,V 0 ) . Na ovaj način rešen je drugi zadatak dinamike tačke u vektorskom vektorskom obliku.
Pravolinijsko kretanje tačke Tačka će se kretati pravolinijski ako su ispunjeni određeni uslovi. Potrebni i dovoljni uslovi da bi se tačka kretala pravolinijski jesu da sila koja deluje na tačku ima konstantan pravac i da je početna brzina tačke jednaka nuli i li ima pravac te sile.
Krivolinijsko kretanje tačke Kretanje tačke u prostoru, u opštem slučaju, je krivolinijsko. Krivolinijsko kretanje tačke odvijaće se u ravni samo ako su ispunjeni posebni uslovi. Potrebni i dovoljni uslovi da bi tačka kretala krivolinijski u ravni jesu da napadna linija rezultante svih sila koje deluju na tačku sve vreme pripada ravni kretanja tačke i da početna brzina tačke bude jednaka nuli, ili da pripada ravni kretanja tačke.
Centralna sila Pod centralnom silom podrazumeva se ona sila koja deluje na tačku tako da njena napadna linija stalno prolazi kroz jednu nepokretnu tačku prostora. Ta nepokretna tačka naziva se centar sile. Centralna sila može biti odbojna i privlačna, Usvajajući centar sile O
za početak polarnog koordinatnog sistema, centralna sila F , koja deluje na tačku M tačku M , mase m, može se izraziti na sledeći način r F F r r 0 , F F r . r Centralna sila F je odbojna ako ima isti smer kao i vektor položaja
tačke r i tada je F r 0 . Centralna sila F sila F je privlačna ako ima suprotan smer od
smera vektora položaja tačke r i tada je F r 0 . Poseb Posebno no su su intere interesan santne tne one one centralne sile čije projekcije F r zavise samo od položaja tačke na poseban način, odnosno od rastojanja r OM tačke od centra O, tj, F r F r ( r ) .
Veze Materijalni sistem (tačka, telo) može biti slobodan i neslobodan. Slobodan materijalni sistem je onaj koji može da zauzme proizvoljan položaj u prostoru i da ima proizvoljnu brzinu, nezavisno od sila koje deluju na njega. Neslobodan materijalni sistem je onaj čije je kretanje ograničeno postojanjem uslova koji se nazivaju veze. Između tačke (tela) i veze koja deluje na nju dolazi do međusobnog dejstva. Mehanička mera tog dejstva je sila, a sila kojom tačka (telo) deluje na vezu naziva se pritisak na vezu. Sila kojom veza deluje na tačku (telo) naziva se reakcija veze. Neslobodna tačka (telo) izložena je pri svom kretanju dejstvu aktivnih sila i reakcija
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 9
6
veza. Pridodajući reakcije veza aktivnim silama, osnovni zakon dinamike neslobodne tačke zadržava isti oblik kao i u slučaju slobodne tačke. Iz toga proizilazi da se pri analizi kretanja neslobodne tačke može koristiti princip oslobađanja od veza formulisan u obliku: Kretanje neslobodne tačke može se posmatrati kao kretanje slobodne tačke ako se veze uklone a dejstvo veza na tačku zameni reakcijama veza. Veze su uslovi koji ograničavaju pomeranje tačaka, odnosno tela materijalnog sistema. Postoji više podela veza. Po jednoj od njih veze se dele na - geometrijske (konačne, holonomne), holonomne), - kinematičke (diferencijalne, neholonomne). neholonomne). Veze su geometrijske ako ograničavaju samo koordinate neslobodnog sistema. Veze su kinematičke ako osim koordinata ograničavaju i kinematičke karakteristike sistema. U opštem slučaju, ovakve veze u odnosu na Dekartov koordinatni sis em Oxyz ) 0 . Prethodna relacija, u opštem slučaju, mogu se izraziti u obliku f ( x , y , z , x , y , z nije integrabilna zbog čega se ove veze nazivaju i neintegrabilne ili neholonomne. Veze se mogu podeliti i na: - stacionarne (skleronomne), - nestacionarne (reonomne). (reonomne). Veza je stacionarna ako je nepromenljiva u toku vremena, tj. ako analitički oblik te veze ne zavisi eksplicitno od vremena t . Ako analitički izrazi za veze zavise eksplicitno eksplicitno od od vremena, vremena, takve takve veze nazivaju nazivaju se nestaciona nestacionarne. rne. Nestacionarn Nestacionarnee holonomne veze mogu se izraziti, u odnosu na Dekartov koordinatni sisem Oxyz , u obliku f ( x , y , z ,t ) 0 . Veze se još mogu podeliti i na: - zadržavajuće (dvostrane, bilateralne), bilateralne), - nezadržavajuće (jednostrane, unilateralne). unilateralne). Zadržavajuće veze su one veze koje primoravaju tačku (telo) da se sve vreme kretanja nalazi na nekoj nekoj površi ili liniji. liniji. Ovakve Ovakve veze veze izražavaju izražavaju se jednakos jednakostima. tima. Nezadržavajuće veze su one veze koje tačka (telo) može da napusti u toku kretanja i da nastavi da se kreće slobodno u ograničenom delu prostora. Ovakve veze izražavaju se nejednakostima. Veze se mogu podeliti na još jedan način, tj. na idealne (glatke), realne (hrapave). Veza je idealna ako je njena reakcija upravna na pravac beskonačno malog, vezom dopuštenog pomeranja u posmatranom trenutku. Veza je realna realna ako njena reakcija
veze R osim komponente N u pravcu normale ima i komponentu F T u pravcu
jediničnog vektora tangente na putanju, tj. R N F T . Pri Pri tome tome je N N n n , gde je
N n – projekcija normalne komponente reakcije veze na normalnu osu, a F T - sila trenja.
Ako Ako se se za sve sve vre vreme me kret kretan anja ja tač tačke ke (tel (tela) a) po vezi vezi,, rek rekci cija ja veze veze jed jedna naka ka nuli nuli ( R 0 ) kaže se se da su takve takve veze veze neaktiv neaktivne, ne, trivi trivijaln jalne. e. Pri kret kretanj anju u tačke tačke (tela) (tela) po vezi vezi podrazumeva se da početni geometrijski i kinematički uslovi kretanja ne mogu biti izabrani proizvoljno, već moraju biti saglasni sa jednačinama veza. Ako je materijalni materijalni sistem izložen dejstvu dejstvu p p- neholonomnih i q- holonomnih veza, kretanje materijalnog sistema je moguće ako je 3n>p 3 n>p+ +q. Tada je položaj materijalnog sistema određen sa s koordinata, tj. s = 3n-p-q odnosno, materijalni sistem ima s stepeni slobode kretanja.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 9
7
Podela sila koje deluju na materijalni sistem Postoji više podela sila u mehanici. Kada su u pitanju sile koje deluju na materijalni sistem podela podela se može izvršiti izvršiti na više načina: načina: - spoljašnje i unutrašnje. Spoljašnje sile su one kojima materijalne tačke ili tela koja ne ulaze u sastav materijalnog sistema deluju na materijalne tačke ili tela koja su u sastavu materijalnog sistema. Unutrašnje sile su sile uzajamnog dejstva između pojedinih materijalnih tačaka ili tela koja su u sastavu materijalnog sistema. Unutrašnje sile materijalnog sistema imaju dve osobine: 1) glavni glavni vektor vektor svih unutrašn unutrašnjih jih sila materijaln materijalnog og sistema sistema jednak jednak je nuli,
n
F Ru F i u 0 . i 1
2) glavni glavni moment moment svih unutrašn unutrašnjih jih sila materijaln materijalnog og sistema, sistema, u odnosu odnosu na
n
n
proizvoljno izabrani pol O jednak je nuli M M o ( F i ) r i F i u 0 . u O
u
i 1
i 1
Dokaz: Dokaz: Neka Neka su tačke tačke A i B proizvoljne tačke materijalnog sistema. Po III Njutnovom
zakonu
n
u u F AB F BA ,
je
pa
odatle
sledi
da
je
F Ru F i u 0 , kao i i 1
u u u u r B F BA M O ( F AB ) M O ( F BA ) r A F AB
u
u
u
, r A F AB r B F AB ( r A r B ) F AB
r A r B BA , r A r B BA ,
u u u 0. M O ( F AB ) M O ( F BA ) BA F AB
Još jedna od mogućnosti podele sila koje deluju na materijalni sistem je na: aktivne i pasivne. Aktivne sile su one koje mogu izvršiti pomeranja, promenu položaja tačaka ili tela materijalnog sistema. Pasivne sile (reakcije veza) ne mogu izvršiti promenu položaja tačaka ili tela materijalnog sistema i pojavljuju se kao posledica dejstva aktivnih sila, odnosno zavise od njih. Materijalni sistem je slobodan ako je izložen dejstvu samo unutrašnjih veza. Materijalni sistem je neslobodan ako na njega deluju i spoljašnje i unutrašnje veze.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 10
1
Lagranžove jednačine prve vrste Kretanje tačke po zadatoj idealnoj nepokretnoj površi Posmatra se kretanje tačke M , mase m, pod dejsvom aktivnih sila čija je rezultanta
F a , po zadatoj idealnoj, stacionarnoj, holonomnoj, zadržavajućoj vezi čija je jednačina u odnosu na Dekartov koordinatni sistem Oxyz f ( x , y , z ) 0 .
Koristeći princip osobađanja od veza, dejstvo veze može se zameniti silom R koja, s obzirom na to da je veza idealna, ima pravac normale na
površ, tj. tj . R N . Imajući na umu da je gradijent funkcije f ( x , y , z ) vektor koji ima pravac i smer spoljašnje normale n na površ, tj. f f f grad f grad f n i j k , x y z
reakcija R idealne veze može da se izrazi u obliku
R N grad f . Pri tome je sa označen Lagranžov Lagranžov množitelj množitelj veze, veze, koji u opštem opštem slučaju slučaju nije konstantna veličina. Osnovna jednačina dinamike posmatrane tačke, koja se kreće po površi, glasi
mr F a grad f , pri čemu je
N
f f f i j k . x y z
Za izabrani Dekartov koordinatni sistem Oxyz , dobijaju se skalarne diferencijalne jednačine kretanja posmatrane tačke u obliku f f f a a a X Y Z m x , m y , m z , x y z
gde su X a , Y a i Z a projekcije rezultante F a svih aktivnih sila na odgovarajuće ose izabranog koordinatnog koordinatnog sistema. Ove diferencijalne jednačine nazivaju se Lagranžove jednačine I vrste. Ovaj sistem od tri jednačine, zajedno sa algebarskom jednačinom veze, obrazuje sistem od četiri jednačine sa četiri nepoznate x, y, z i z i . . Pri rešavanju ovog sistema jednačina najpre se može odrediti nepoznati množitelj . jednačine veze, pa . Da bi se to uradilo, odredi se drugi izvod po vremenu jednačine , y i z . Iz tako dobijene relacije može se se u tako dobijenoj relaciji iskoriste izvodi x odrediti množitelj . . Za određivanje konačnih jednačina kretanja potrebno je već određeni množitelj iskoristiti, vodeći računa o tome da je u početnom trenutku tačka na površi i da je njena početna brzina tangenta na površ.
Koristeći određeni množitelj , , intenzitet nepoznate reakcije veze N dobija se kao N grad f , 2
2
2
f f f N N N N . x y z 2 x
2 y
2 z
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 10
2
Prethodno opisani postupak za određivanje Lagranžovog množitelja veze može se prikazati prikazati i na sledeći način. način. U tom cilju cilju koristi koristi se uslov da je brzina tačke tačke upravna na reakciju veze, odnosno
V grad f 0 . Diferenciranjem po vremenu ovog uslova dobija se uslov za ubrzanje tačke, tj. d a grad f V ( grad f ) 0 . dt Skalarnim množenjem leve i desne strane osnovne jednačine dinamike neslobodne tačke sa grad f i koristeći tako dobijenu relaciju, sledi da je množitelj veze
d a ( grad f ) . F grad f m V 2 grad f dt
1
Kretanje tačke po zadatoj realnoj nepokretnoj površi Neka se posmatra kretanje tačke M , mase m, po zadatoj realnoj, stacionarnoj, holonomnoj, zadržavajućoj vezi. Tačka se kreće pod dejsvom aktivnih sila čija je
rezultanta F a . Na tačku deluje i reakcija veze R koja, s obzirom da je veza realna,
ima dve komponente N i F T . Normalna komponenta N ima pravac normale na površ i određena je sa
N grad f . Ako otpor kretanju tačke po površi potiče od suvog trenja, na osnovu Kulonovog
zakona, sledi da se intenzitet sile F T može pisati u obliku F T N , gde je - koeficijent trenja klizanja pri kretanju. Vodeći računa o tome da je sila
trenja F T kolinearna sa vektorom brzine V tačke, pri čemu su im smerovi suprotni, važi V V F T F T N . V V Tada, na osnovu jednačine kretanja neslobodne tačke, vektorska diferencijalna jednačina kretanja posmatrane tačke glasi V F a grad f N . mr V Projektovan Projektovanjem jem leve i desne strane strane ove diferencijalne diferencijalne jednačin jednačinee kretanja, na ose izabranog Dekartovog koordinatnog sistema Oxyz , dobijaju se skalarne diferencijalne jednačine kretanja posmatrane neslobodne tačke u obliku x y f f a X m x grad f , m y Y a grad f , V V x y a Z m z
z f grad f . V z
Kako je koeficijent trenja klizanja poznat, tri skalarne diferencijalne jednačine kretanja posmatrane tačke, zajedno sa jednačinom veze, predstavljaju sistem jednačina sa četiri nepoznate veličine x , y , z i . .
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 10
3
Kretanje tačke po zadatoj idealnoj nepokretnoj krivoj Neka se tačka M , mase m, kreće po zadatoj, idealnoj, nepokretnoj krivoj ab, ab, koja je određena presekom površi f 1( x , y , z ) 0 , f 2 ( x , y , z ) 0 .
Na tačku deluju aktivne sile čija je rezultanta F a i reakcija
veze R , čije su komponente N 1 i N 2 pravca normala na odgovarajuće površi, i stoga pripada ravni normalnoj na putanju ab, ab, tj.
R N N 1 N 2 . Kako važi
N 1 1 grad f 1 ,
N 2 2 grad f 2 ,
gde su 1 i 2 Lagranžovi množitelji veza, tada je
R 1 grad f 1 2 grad f 2 , Polazeći Polazeći od osnovne osnovne jednačine jednačine kretanja neslobodne neslobodne tačke, vektorska vektorska diferencijalna diferencijalna jednačina kretanja posmatrane tačke dobija oblik
ma F a 1 grad f 1 2 grad f 2 . Projektovan Projektovanjem jem leve i desne strane strane ove jednačine, jednačine, na ose ose nepokretno nepokretnog, g, Dekartovo Dekartovog g koordinatnog sistema Oxyz , dobijaju se skalarne diferencijalne jednačine kretanja posmatrane tačke u obliku f 1 f f f f 1 f a a X 1 Z 1 m x 2 2 , m y Y a 1 1 2 2 , m z 2 2 . x x y y z z Ove tri Lagranžove jednačine prve vrste, zajedno sa jednačinama veza, predstavljaju sistem od pet jednačina sa pet nepoznatih x , y , z , 1 i 2 . Analogno određivanju množitelja veze u slučaju kretanja tačke po idealnoj stacionarnoj površi, mogu se i u ovom slučaju odrediti množitelji 1 i 2 . Sa određenim Lagranžovim množiteljima veza 1 i 2 , moguće je odrediti intenzitete komponenti reakcije veze, N 1 i N 2 , u obliku 2
2
N i i grad f i ,
i ( 1 ,2 ) ,
N i i
2
f i f i f i . i ( 1 ,2 ) x y z
Kretanje tačke po zadatoj realnoj nepokretnoj krivoj Neka se posmatra kretanje tačke M , mase m, koja se kreće pod dejstvom aktivnih sila
čija je rezultanta F a po zadatoj, realnoj, nepokretnoj krivoj definisanoj presekom površi f 1 ( x , y , z ) 0 , f 2 ( x , y , z ) 0 .
Na tačku deluje i reakcija veze
R
koja ima dve
komponente: normalnu komponentu N , koja pripada ravni
normalnoj na putanju i komponentu F T koja predstavlja silu trenja klizanja. Tada važi
R N F T .
Za normalnu komponentu N važi
N 1 grad f 1 2 grad f 2 ,
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 10
4
a intenzitet sile trenja klizanja F T , saglasno Kulonovim zakonima trenja, određen je kao F T N .
Vodeći računa da je vektor F T usmeren suprotno od vektora brzine V tačke, važi
V F T N . V Tada, polazeći od osnovne jednačine kretanja neslobodne tačke, dobija se diferencijalna jednačina kretanja tačke po zadatoj nepokretnoj hrapavoj krivoj u obliku V ma F a 1 grad f 1 2 grad f 2 N . V Iz ove jednačine mogu se dobiti skalarne diferencijalne jednačine kretanja tačke u odnosu na Dekartov koordinatni sistem Oxyz , tj. f 1 f x a X 1 m x 2 2 1 grad f 1 2 grad f 2 , V x x f 1 f y a Y 1 m y 2 2 1 grad f 1 2 grad f 2 , V y y a Z 1 m z
f 1 f z 2 2 1 grad f 1 2 grad f 2 . V z z
Ako je poznat koeficijenat trenja klizanja , , tri skalarne diferencijalne jednačine kretanja posmatrane tačke, zajedno sa jednačinama veza, predstavljaju sistem od pet jednačina sa pet nepoznatih veličina x , y , z , 1 i 2 .
Ojlerove jednačine kretanja neslobodne tačke Kretanje tačke po zadatoj idealnoj nepokretnoj krivoj
Pri kretanju tačke po zadatoj idealnoj nepokretnoj krivoj, reakcija veze R nalazi se u normalnoj ravni, pa se u opštem slučaju može razložiti
na komponentu N n u pravcu normale i komponentu N b u pravcu binormale, tj.
R N N n N b . Osnovna diferencijalna jednačina kretanja neslobodne tačk tačkee je
ma F a N n N b . Projektovan Projektovanjem jem leve i desne strane strane prethodne prethodne jednačine, jednačine, na ose prirodn prirodnog og trijedra, trijedra, u tački krive koja predstavlja trajektoriju tačke, dobijaju se skalarne diferencijalne jednačine kretanja posmatrane tačke m s F ( s, s, t ), a t
s 2
m F na ( s, s, t ) N n , R K
0 F ba ( s, s, t ) N b,
gde su F t a , F na i F ba - projekcije rezultante aktivnih sila koje deluju na tačku na ose tangente, glavne normale i binormale, s – lučna koordinata, a R K - poluprečnik krivine krive u datoj tački.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 10
5
Ove jednačin jednačinee nazivaju nazivaju se Ojlerove Ojlerove jednačine jednačine kretanja kretanja neslobodne neslobodne tačke ili ili diferencijalne jednačine kretanja tačke t ačke po zadatoj krivoj u prirodnom obliku. Iz ove tri jednačine mogu se odrediti tri nepoznate veličine s , N n i N b . Intenzitet reakcije takve idealne veze određen je sa N N n2 N b2 . Kretanje tačke po zadatoj realnoj nepokretnoj krivoj
Kada se tačka M M kreće kreće po realnoj krivoj, reakcija veze R može se razložiti na
tri komponente: komponente: dve komponent komponentee u normalnoj ravni ravni - N n u pravcu glavne normale i
N b u pravcu binormale, i komponentu F T u pravcu tangente, tj.
R N F T N n N b F T , odnosno
R N n n N b b F T
V V
.
Pri tome je intenzitet sile trenja klizanja F T određe određen n kao F T N N n2 N b2 . Sada je
ma F a N n N b F T . Projektovan Projektovanjem jem leve leve i desne strane strane prethodne prethodne jednačine, jednačine, na ose prirodnog prirodnog trijedra, trijedra,
koristeći činjenicu da je V s t , dobijaju se skalarne diferencijalne jednačine kretanja posmatrane tačke s 2 a 2 2 s m s F t N n N b , m 0 F ba N b . F na N n , s R K Ove tri jednačine predstavljaju sistem jednačina odakle je moguće odrediti tri nepoznate: s s( t ) - zakon kretanja tačke po zadatoj putanji i projekcije reakcije veze N n i N b .
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 13
1
Geometrija masa Masa Materijalnost materijalnog sistema, odnosno tela, karakteriše se u Njutnovskoj mehanici samo jednim skalarnim parametrom koji se zove masa. Osobine mase su: 1) Masa je pozitivna veličina, m 0 , 2) Masa je apsolutna veličina, tj ista je za sve posmatrače nezavisno od njihovog kretanja, m m , n
3) Masa je aditivna veličina, tj. m mi , i 1
4) za masu važi zakon konzervacije, tj. m 0 . Kada je reč o telu, masa tela koje je zamišljeno podeljeno na N ( N ) delića je m
N
lim mi dm .
N
i 1
V
Gustina mase Ako je oblast prostora konačne zapremine V ispunjena masom m , tada je srednja gustina mase određena sa sr m V . Gustina mase u datoj tački je
m dm ( x, y , z ) V 0 V dV
lim
Ako je const . , kaže se da je telo homogeno. Masa tela zapremine V određena je sada kao m dV . Ako je masa tela površinski raspoređena, tada je m 1dA , V
A
dok u slučaju linijskog rasporeda mase je m 2 dL . L
Statički moment masa n
Statički moment masa ili linearni polarni moment masa je s mi r i , a u slučaju
i 1
neprekidno raspoređenih masa je s r dm . Linearni polarni momenti masa u odnosu V
na koordinatne ravni Oyz, Oxz i Oxy, respektivno, su s x
n
1 m x i
i
i
n
n
i 1
i 1
, s y mi yi , s z mi z i , s x xdm , s y ydm , s z zdm . V
V
V
Centar masa Centar masa ili centar inercije materijalnog sistema je tačka tačka čiji vektor položaja položaja je kolinearan statičkom polarnom momentu masa sa koeficijentom proporcionalnosti 1 m , t j. 1 1 1 n r C s r i mi , r C r dm . m
m
m V
i 1
Osobine centra masa 1) Polo Položa žajj cen centr traa mas masaa ne ne zav zavis isii od od izb izbor oraa koordinatnog sistema već samo od rasporeda masa. 1 n 1 n r C r i mi , r C r i mi m
r i OO r i , r C
1 m
n
(OO r i)mi i 1
1 m
n
OOmi i 1
m
i 1
1
n
r m m 1 i
i
i 1
i
OO r C .
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 13
2
Kako je r C OO r C C C , sledi da je C C 0 . 2) Linear Linearni ni pola polarni rni moment moment mas masaa u odno odnosu su na na centa centarr masa masa jed jednak nak je nuli nuli.. n 1 1 Položaj centra masa, u odnosu na centar masa je C i mi s . Kako je
m
m
i 1
C 0 , sledi da je s m C 0 .
Momenti inercije - Polarni moment inercije ili kvadratni kvadratni polarni polarni moment masa, definiše se kao J O
n
1 m r 2 , i i
J O r 2 dm
i
V
- Ak Aksi sija jaln lnii mome moment nt ine inerc rcije ije ili mome moment nt ine inerc rcije ije materijalnog sistema u odnosu na osu Ol , definiše se kao J l
n
n
2
1 m (l r ) 1 m d 2 , i
i
i
i
J l d 2 dm
i
i
V
- Kvadratni planarni planarni moment masa ili moment moment inercije materijalnog sistema u odnosu na ravan , definisan je sa J
n
1 m p 2 , i
J p 2 dm
i
i
V
Ako se u tački (polu) O postavi Dekartov koordinatni sistem Oxyz , prethodni momenti inercije postaju J O
n
1 m ( x 2 y 2 z 2 ) , J ( x 2 y 2 z 2 )dm , i
i
i
O
i
i
J x
n
1 m r 1 m ( y 2
i xi
i
J z
n
V
n
i
i
2 i
n
n
z i ) , J y mi r y mi ( xi2 z i2 ) , 2
2 i
i 1
i 1
n
1 m r 2 1 m ( x 2 y 2 ) , J ( y 2 z 2 )dm , J ( x 2 z 2 )dm , J ( x i
i z i
i
i
x
i
i
y
V
z
V
2
y 2 )dm
V
Sabiranjem izraza za aksijalne momente inercije i upoređivanjem sa izrazima za polarne momente momente inercije, dobija se J x J y J z 2 J O , J x J y J z , J y J z J x , J x J z J y . Momenti inercije u odnosu na koordinatne ravni su J Oxy
n
1 i
mi z i2 , J Oyz
n
1 i
mi xi2 , J Oxz
n
1 m y 2 , i
V
V
V
i
i
J Oxy z 2 dm , J Oyz x 2 dm , J Oxz y 2 dm .
Važi sledeće tvrđenje: J O J Oxy J Oyz J Oxz . Momenti inercije za pol u centru masa, masa, odnosno, za osu ili ravan koje prolaze kroz centar masa nazivaju se sopstveni momenti inercije. Svi prethodno definisani momenti inercije pozitivne su vceličine i mogu se izraziti u obliku J mi 2 , gde je i- poluprečnik inercije u odnosu na tačku, osu ili ravan. Dimenzija momenta inercije je [ J ] ML2 .
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 13
3
Proizvodi inercije Pod proizvodom inercije podrazumevaju se momenti inercije u odnosu na dve ose. n
Proizvod inercije za ose Ou i Ov određen je sa uv mi (u r i )(v r i ) . Kada su ose i 1
i Ov međusobno upravne, proizvod inercije zove se devijacioni moment inercije. Ako su to ose Dekartovog koordinatnog sistema Oxyz , devijacioni momenti inercije su:
Ou
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
xy mi (i r i )( j r i ) mi xi yi , yz mi y i z i , zx mi z i xi . i 1
Devijacioni momenti inercije, sa promenjenim znakom, nazivaju se centrifugalni momenti inercije J xy
n
1 m x y i
i
i
i
n
n
i 1
i 1
, J yz mi y i z i , J zx mi z i xi ,
yzdm , J
V
V
J xy xydm , J yz
zx
zxdm . V
Centrifugalni momenti momenti inercije zavise od izbora koordinatnog koordinatnog sistema, sistema, mogu biti biti i pozitivni i negativni i jednaki jednaki nuli, a važi J xy J yx , J yz J zy , J zx J xz . Ako su, npr. J xz 0 i J yz 0 , tada je osa Oz glavna osa inercije u tački O. U slučaju da se centar masa C nalazi na glavnoj osi inercije, tada je ta osa glavna centralna osa inercije. Upoređivanjem aksijalnih i centrifugalnih momenata inercije dobija se J x ( y 2 z 2 )dm ( y z ) 2 dm 2 yzdm , V
V
V
i kako je ( y z ) 2 dm 0 , sledi da je J x 2 yzdm 0 , odnosno J x 2 J yz . Na isti V
V
način se pokazuje da važi: J y 2 J zx i J z 2 J xy . Matrica oblika J x J yx J zx
J xz J yz J z
J xy J y
J zy
naziva se tenzor tenzor inercije u datoj tački. Od 9 momenata momenata inercije, vidi se da je samo samo 6 međusobno nezavisno. Ako materijalni sistem ima ravan materijalne simetrije tada je osa, koja je upravna na ravan simetrije, glavna osa inercije. U slučaju kada materijalni sistem ima osu simetrije (osa dinamičke simetrije), tada ta osa predstavlja glavnu centralnu osu inercije. Hajgens Hajgens – Štajnerova Štajnerova teorema teorema J O z
n
1 m r i i
i
2
n
, J Cz mi r i 2 , i 1
r i 2 (d y i ) 2 xi2 d 2 2dy i r i 2 J O z
n
1 i
Kako je
n
1 m y i
i
n
1
mi d 2 2d
i
mi y i
n
1 m r 2 . i i
i
my C 0 , sledi da je J O z J Cz md 2 , što što izraža izražava va Hajge Hajgensns-
i
Štajnerovu teoremu: moment inercije materijalnog sistema (tela) za neku osu jednak je zbiru sopstvenog sopstvenog momenta inercije inercije za paralelnu paralelnu osu i položajnog momenta inercije. inercije.
Mašinski fakultet, fakultet, Beograd - Mehanika Mehanika 2 – Predavanje Predavanje 13
4
Moment inercije u odnosu na proizvoljnu osu kroz datu tačku Pretpostavimo da su poznati uglovi , i koji određuju položaj ose Ou, u odnosu na koordinatni sistem Oxyz , kao i da su poznati momenti inercije J x , J y , J z , J xy , J yz i J xz . J u
n
2
1 m (u r ) i
i
i
J u J u
n
1 m z cos y i
i
i
i
i
i
j
k
2
mi cos cos cos . i 1
xi
y i
z i 2
i
cos i x i cos z i cos j y i cos xi cos k ,
i
cos 2 xi cos z i cos 2 y i cos xi cos 2 ,
n
1 m z cos y
n
i
J u J x cos 2 J y cos 2 J z cos 2
2 J xy cos cos 2 J yz cos cos 2 J xz cos cos .
Položaj ose Ou može biti određen i poznavanjem tačke kroz koju prolazi osa. Neka je to tačka K čiji položaj je određen sa OK xi y j z k , tako da je cos
x
, cos
y
, cos
z
,
pa je J u 2 J x x 2 J y y 2 J z z 2 2 J xy xy 2 J yz yz 2 J zx zx .
Elipsoid inercije Izaberimo tačku K , na 1 OK . Tada je
osi
Ou,
tako
da
je
J u
1 J x x 2 J y y 2 J z z 2 2 J xy xy 2 J yz yz 2 J zx zx , odnosno f ( x, y, z ) J x x 2 J y y 2 J z z 2 2 J xy xy 2 J yz yz 2 J zx zx 1 0 Ako su ose O , O i O , glavne ose inercije u tački O, tada je elipsoid inercije dat sa J 2 J 2 J 2 1 . Ako se tačka O poklapa sa centrom masa, elipsoid inercije se tada naziva centralni elipsoid inercije, a njegove ose simetrije nazivaju se glavne centralne ose inercije. i nercije. Elipsoid inercije može biti prikazan i u kanonskom obliku 2 a2
2 b2
2 c2
gde su poluose elipsoida inercije date sa 1 1 a , b , J
J
1, c
1 J
,
odakle se vidi da većim poluosama odgovaraju manji glavni momenti inercije, i obrnuto.
