Media aritmética ponderada Definición:
La media ponderada es una medida de tendencia central, la cual es calculada dando distintas ponderaciones ponderaciones a algunos de los valores individuales. En En un promedio promedio simple se aplica una ponderación igual para cada valor, mientras que en la media m edia o promedio ponderado podría aplicarse una ponderación distinta para cada valor. que es apropiada en el caso cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa o peso respecto de los demás datos, y se obtiene del cociente entre la suma de los productos de cada dato por su peso o ponderación y la suma de los pesos. En ocasiones no todos los valores de la variable tienen el mismo peso. Esta importancia que asignamos a cada variable, es independiente de la frecuencia absoluta que tenga. Será como un aumento del valor de esa variable, en tantas veces como consideremos su peso. Es la media aritmética que se utiliza cuando a cada valor de la variable (x i) se le otorga una ponderación o peso distinto de la frecuencia o repetición. Para poder calcularla se tendrá que tener en cuenta las ponderaciones de cada uno de los valores que tenga la variable Para la realización de la media aritmética ponderada aplicaremos la siguiente formula general
Para una serie de datos
a la que corresponden los pesos
Formula para la determinación de la media aritmética ponderada
Donde:
Xw = símbolo para la media aritmética Xi = valores de las observaciones Wi = peso asignado a cada observación
La importancia de la media aritmética ponderada:
Hace que el resultado sea mucho más preciso, ya que le asigna una determinada ponderación a cada valor obtenido. En el ámbito educativo, ayuda a obtener de una manera más eficaz las calificaciones de los alumnos.
Ejemplos de la media aritmética ponderada
Ejemplo 1 Se emplea tres tipos de obreros: no calificados, semicalificados y calificados; para elaborar dos productos, supongamos que la compañía desea conocer el costo promedio de mano de obra por día por cada producto. MANO DE OBRA EN EL PROCESO DE MANUFACTURA
tipos de obreros
dias de trab. Por unidad de prod.
Salario por día xi (en $)
producto A no calificados semicalificados Calificados
30 60 90
producto B
2 3 5
Para la realización correcta se puede determinar por dos formas: Primera forma Para el producto A, el costo total del salario por unidad es:
30*2+60*3+90*5 = 690
Y como hay 2+3+5 = 10 días de trabajo, el costo promedio del salario es
690 10
69 por
día
Para el producto B, el costo total del salario por unidad es:
30*4+60*3+90*5 = 750
4 3 5
Y como hay 4+3+5 = 12 días de trabajo, el costo promedio del salario es :
750 12
62.5 por
día
Segunda forma Es tomar el promedio ponderado del costo de los tres tipos de salarios. Para hacer esto, se pondera el salario por día para cada tipo por la proporción del salario total del requerido para producir el producto. Para el producto A: una unidad requiere 10 días de trabajo. Loas obreros no calificados utilizan 2/10 de este tiempo. Los semicalificados utilizan 3/10 de este tiempo y los calificados 5/10 de este y tiempo. Utilizando estas fracciones como las ponderaciones o pesos, entonces un día de trabajo para el producto A cuesta un promedio de :
2/10*30+3/10*60+5/10*90 = 69 por dia
La unidad del producto B, requiere de 12 días de trabajo, de las cuales 4/12 son utilizados para el obrero no calificado, 3/12 por el semicalificado y 5/12 por el calificado, usando estas fracciones como ponderación, un día de trabajo para el producto B cuesta un promedio de
4/12*30+3/12*60+5/12*90 = 62.5 por día
Los promedios ponderados dan valores correctos para el costo promedio del salario por día los dos productos porque toman en cuenta el hecho de que se emplean diferentes cantidades de cada tipo de trabajo en los productos.
Ahora aplicaremos la ecuación (1) Para el producto A
=
(2 / 10) * 30 (3 / 10) * 60 (5 / 10) * 90 2 / 10 3 / 10 5 / 10
69 1
69 por día
Para el producto B
=
(4 / 12) * 30 (3 / 12) * 60 (5 / 12) * 90 4 / 12 3 / 12 5 / 12
62.5 1
62.5 por día
Esto quiere decir que ya sea por la primera forma, la segunda forma y la formula para la media ponderada son correctos dando resultados factibles, interpretando la pregunta que en el producto A tiene un promedio de mano de obra por dia a 69 $, y en el producto B un promedio de 62.5 $ por dia. Ejemplo 2 Se compraron 90 kgs de carne a 10 Bs por kg, 70 kgs a 8 Bs por kg, 50 kgs a 6.5 Bs por kg, 30 kgs a 5 Bs por kg finalmente 10 kgs a 3.5 Bs por kg.
Precio por kg Xi
Cantidad en kgs comprados
Wi
Xi*Wi
Xi*ni
ni 10
90
90
900
900
8
70
70
560
560
6.5
50
50
325
325
5
30
30
150
150
3.5
10
10
35
35
Total
250
250
1970
1970
Realizando el ejercicio por la primera forma
X
Xi * ni 10 * 90 8 * 70 6.5 * 50 5 * 30 3.5 *10 1970 7.88 250
N
250
Bs por kg
Aplicando la ecuación 1
10 * 90 / 250 8 * 70 / 250 6.5 * 50 / 250 5 * 30 / 250 3.5 *10 / 250 90 / 250 70 / 250 50 / 250 30 / 250 10 / 250
3.6 2.24 1.3 0.6 0.14 1
7.88
Bs por kg
Ejemplo3
Un estudiante realiza 3 exámenes de complejidad creciente, obteniendo los siguientes resultados: 5, 8 y 7. El primer examen lo hizo en ½ hora, el segundo en 1 hora y el tercero en hora y media, por lo que se les atribuye una ponderación de 1, 2 y 3 respectivamente. Se pide calcular la nota media. Xi
ni
Wi
xi wi
5
1
1
5
8
1
2
16
7
1
3
21
3
N=6
42
Realizaremos por la primera forma
X
Xi * ni 5 *1 8 * 2 7 * 3 42 7 N
6
6
Ahora aplicaremos la ecuación (1)
5 *1/ 6 8 * 2 / 6 7 * 3 / 6 1/ 6 2 / 6 3 / 6
0.83 2.67 3.5 1
7
Diferencia entre la media aritmética y la media ponderada
Ejemplo 1 En este caso la variable es ley por T.M. luego llevaremos los datos a una tabla Zonas (Xi) % I II III IV Total
ley(Xi) % 1.8 2.5 2.0 3.0
Reserva (ni) T.M. 3 5 7 8
Xi*ni 5.4 12.5 14.0 24.0
Empleando la primera forma
X
Xi * ni 1.8 * 3 2.5 * 5 2.0 * 7 3.0 * 8 55.9 2.43 N
23
23
% por T.M.
Empleando la ecuación (1)
1.8 * 3 / 23 2.5 * 5 / 23 2.0 * 7 / 23 3.0 * 8 / 23 3 / 23 5 / 23 7 / 23 8 / 23
0.23 0.54 0.61 1.04 1
2.43 %
por
T.M.
Ahora veremos la media aritmética
X
Xi 1.8 2.5 2.0 3.0 2.32 N
4
% por T.M.
Donde este indica al realizar la media aritmética no es lo correcto en este ejemplo ya identificado se observa que existe una diferencia de : Media ponderada =2.43 % por T.M. Media aritmética = 2.32 % por T.M.
Ejemplo 2 A continuación se mencionan las materias que Luis Pérez llevó en el primer semestre de Ingeniería Química, el número de créditos y la calificación obtenida; Determine la calificación promedio que obtuvo Luis Pérez en su primer semestre.
MATERIA Metodología investigación Matemáticas I
de
NUMERO CREDITOS CALIFICACIÓN (ni) (Xi) la 8 90.5 10
100.0
Programación Química Dibujo Economía
8 10 4 8
X
81.0 78.0 100.0 84.0
Xi
*
ni
N
Nota: Sí comparamos este promedio con el que se obtiene usando simplemente la media aritmética, que es un 88.91, nos damos cuenta de que este último es mayor, por no tomar en cuenta el peso o número de créditos que aporta cada materia a la carrera que se estudia, el promedio de esta persona es menor al de la media aritmética debido a que obtiene una calificación baja es Química que es una de las materias que aporta más créditos.
Ejemplo 3 Un estudiante de ingeniería mecánica se le asigna 4 evaluación donde obtiene notas de 60, a un % del 25%, 40 a un 25%, 53 a un 40%, 50 a un 10%, para esto realizamos nuestra tabla: Nº 1 2 3 4 total
Xi 60 40 53 50
Ni 25 25 40 10 100
Remplazando en la ecuación (1)
60 * 25 / 100 40 * 25 / 100 53 * 40 / 100 50 *10 / 100 25 / 100 25 / 100 40 / 100 10 / 100
51.2
1
51.2
Usando la media aritmética
X
Xi 60 40 53 50 50.75 N
4
Conclusiones •
•
La estadística trata en primer lugar, de acumular la masa de datos numéricos provenientes de la observación de multitud de fenómenos, procesándolos de forma razonable. La diferencia que existe entre la media aritmética y la ponderada es MINIMA, en el ejemplo anterior es de
LA MEDIA ARITMETICA = 50,75 LA MEDIA PONDERADA= 51,2 •
La media ponderada nos permite obtener un promedio que tiene en cuenta la importancia de cada valor dentro del valor total.
Bibliografía
Estadística Descriptiva Rufino Moya Calderón http://es.wikipedia.org/wiki/Media_ponderada Estadística de Schaum http://www.monografias.com/trabajos85/media-aritmetica/mediaaritmetica.shtml
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