Bab 2
Elektrostatik 2.1 Medan Listrik 2.1.1 Pendahuluan Permasalahan dasar teori elektromagnetik yang diharapkan dapat dipecahkan adalah (Gambar 2.1): Kita memiliki beberapa muatan listrik, q1, q2, q3,…. (sebut (sebut saja muatan sumber ); gaya apakah yang menyebabkan muatan-muatan tersebut saling
mendesak muatan lain, Q (sebut hal ini dengan muatan uji)? Posisi dari muatan sumber telah ditentukan (sebagai fungsi dari waktu); lintasan d ari partikel uji haruslah dihitung. Pada umumnya, muatan sumber dan muatan uji sedang bergerak. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan dengan prinsip superposisi , dengan syarat bahwa interaksi antara kedua muatan tersebut tidak terpengaruh oleh keberadaan muatan lainnya. Hal ini berarti bahwa untuk menentukan gaya yang bekerja pada muatan uji Q, pertama kita dapat menghitung F1 akibat muatan sumber q1 (dengan mengabaikan muatan sumber lainnya), kemudian kita hitung F2 akibat muatan sumber q2 dan seterusnya. Akhirnya, kita gunakan penjumlahan vector dari masing-masing gaya : F=F1 +F2 +F3 +…… Dengan demikian, demikian, jika kita mendapatkan gaya yang bekerja pada muatan uji Q terhadap muatan sumber tunggal q pada prinsipnya telah terselesaikan. (sisanya hanya soal mengulangi operasi yang sama 1
berulang-ulang, dan menambahkan semua itu).
1
prinsip dari dari superposisi mungkin terlihat ―jelas‖ bagi an da, tapi hal ini tidak sesederhana kelihatannya: jika gaya elektromagnetik sebanding dengan kuadrat dari jumlah total muatan sumber, misalnya, prinsip superposisi tidak berlaku ketika (q (q1 + q2)2 ≠ q12 + q12 . superposisi bukanlah cara logis tapi berdasarkan eksperimen.
Dari penjelasan di atas sepertinya terlihat mudah: Mengapa saya tidak menuliskan rumusan untuk gaya yang bekerja pada muatan Q oleh muatan sumber q sumber q, dan semua dapat terselesaikan olehnya? Saya bisa, bahkan pada Bab 10 saya akan, tapi anda akan terkejut melihatnya pada bagian ini, bukan hanya untuk gaya yang bekerja pada Q yang bergantung pada jarak r antara dua muatan (Gambar 2.2), selain itu juga bergantung pada kecepatan kedua muatan dan akselerasi dari q. Lebih lanjut, hal ini bukanlah mengenai posisi, kecepatan dan akselerasi dari q yang menjadi masalah saat masalah saat ini: ini: ―Surat K abar‖ abar‖ elektromagnetik bergerak dengan kecepatan cahaya, sehingga apa yang menyangkut tentang Q adalah posisi, kecepatan dan percepatan q sudah lebih awal, ketika pesan tersebut tertinggal.
Q
Q q1 q2
r
Muatan uji
qi
q
Muatan sumber
Gambar 2.1
Gambar 2.2
Oleh karena itu, meskipun faktanya bahwa pertanyaan dasar dasar (―berapa gaya yang bekerja pada Q oleh q?‖) mudah mudah untuk diselesaikan, ini bukan berarti tanpa ada kesulitan sama sekali; sebaiknya kita menyelesaikannya secara bertahap. Dalam pada itu, teori yang akan kita kembangkan akan menghasilkan solusi yang lebih bagus untuk masalah elektromagnetik dalam bentuk yang agak sederhana. Untuk memulainya, kita seharusnya memperhatikan keadaan khusus dari elektrostatik yang mana kesemua muatan sumber diam (anggaplah bahwa muatan uji dapat bergerak).
2.1.2 Hukum Coloumb Berapakah besar gaya yang bekerja pada muatan uji Q terhadap sebuah mutan titik tunggal q yang mana terpisah sejauh r? Jawabannya dapat diberikan oleh persamaan hukum Coloumb:
(2.1)
Konstanta menyatakan permitivitas ruang hampa . Dalam satuan SI, dimana gaya dinyatakan dalam Newton (N), jarak dalam meter (m), dan muatan dalam couloumb (C),
Dikatakan bahwa gaya yang bekerja sebanding dengan hasil perkalian dari kedua muatan dan berbanding terbalik terhadap kuadrat dari jarak pisah kedua muatan. Sebagaimana (Bagian 1.1.4) r adalah vektor jarak dari r’ (letak muatan q) hingga r (letak muatan Q): (2.2) r=
r – r – rr’
r
adalah besar nilainya, dan adalah arahnya. Gaya yang berada disepanjang garis dari q hingga Q berupa gaya tolak-menolak, jika q dan Q memiliki tanda (+/-) yang sama, dan tarik-menarik jika tanda keduanya berbeda. Hukum Coloumb dan prinsip superposisi merupakan masukan fisis dari elektrostatistika – elektrostatistika – sisanya, sisanya, kecuali beberapa sifat khusus dari materi, adalah elaborasi matematis dari aturan-aturan mendasar.
Soal 2.1
(a) 12 buah muatan identik, q, diletakan pada setiap sudut dari segi-12 beraturan (misalnya, bayangkan setiap angka yang tertera pada sebuah jam dinding terdapat satu muatan q). Berapakah gaya yang bekerja pada muatan uji Q yang terletak di pusat? (b) Bila satu dari ke-12 muatan q dihilangkan (yang terletak pada angka 6 pada jam dinding). Berapakah gaya yang bekerja pada Q? Jelaskan alasan anda dengan baik. (c) Sekarang jika 13 muatan, q, diletakkan pada setiap sudut dari segi-13 beraturan. Berapakah gaya yang bekerja pada Q yang terletak tepat ditengah? (d) Jika satu dari ke-13 muatan q dihilangkan, berapakah gaya yang bekerja pada Q? Jelaskan alasan anda.
2.1.3 Medan Listrik Jika kita memiliki beberapa titik muatan q1 ,q2,...,q ,...,qn , pada jarak r1, r2, ...., rn dari Q, gaya total yang bekerja pada Q adalah
atau (2.3)
F = QE,
Dimana
∑
(2.4)
E disebut dengan medan listrik dari muatan sumber. Perhatikan bahwa E merupakan fungsi posisi (r), karena jarak vektor ( ri) bergantung pada lokasi dari medan titik P P (Gambar 2.3). Tapi bukan terhadap muatan uji Q. medan listrik adalah jumlah vektor yang berubah-ubah dari satu titik ke titik yang lain dan ditentukan oleh konfigurasi muatan-muatan sumber; secara fisis. E(r) adalah gaya persatuan muatan yang bekerja pada sebuahmuatan uji Q, jika anda meletakannya pada titik P P .
Gambar 2.3 Apakah sebenarnya medan listrik? Saya telah sengaja memulai dengan apa yang mungkin anda kenal denga interpretasi minimal dari E, sebagai sebuah tahap menengah dalam perhitungan perhitungan medan listrik. Namun saya menyarankan anda untuk menganggap bahwa medan merupakan suatu bentuk fisis yang ―nyata‖ nyata‖, mengisi ruang di sekitar muatan listrik. Maxwell sendiri percaya bahwa medan listrik dan medan magnet gambaran aktual dari stress dari stress dan strain dan strain dalam sebuah jelly purba yang tidak tidak tampak seperti ―ether‖. Relativitas khusus telah mendorong kita meninggalkan gagasan mengenai ether, dan dalam hal ini dengan interpretasi mekanis Maxwell tentang medan elektromagnetik. (Ini bahkan mungkin, berpikir kurang praktis, untuk merumuskan merumuskan elektrodinamik klasik sebagai sebuah teori ―aksi pada pada suatu jarak‖, dan melepasnya dengan konsep medan secara keseluruhan). Saya tidak dapat menjelaskan kepada anda tentang apa itu medan – medan – hanya hanya menjelaskan bagaimana menghitungnya dan apa yang dapat anda lakukan ketika anda mendapatkannya.
Soal 2.2
(a) Tentukan medan listrik (besar dan arah) pada jarak z jarak z diatas diatas titik tengah antara dua muatan yang sama, q, yang terpisak sejauh d (Gambar d (Gambar 2.4). Periksa bahwa hasil yang anda peroleh sesuai dengan yang anda perkirakan ketika z >> z >> d. (b) Ulangi bagian (a), hanya saja buat bagian kanan menjadi muatan – q dan bagian kirinya muatan +q +q.
Gambar 2.1
Gambar 2.5
2.1.4 Distribusi Muatan Kontinyu Definisi kita mengenai medan listrik (Persamaan 2.4), mengasumsikan bahwa sumber dari medan adalah sebuah kumpulan dari muatan titik diskrit qi. Jika muatan didistribusikan secara kontinyu pada suatu area, bentuk penjumlahan menjadi sebuah integral (Gambar 2.5a):
(2.5)
Jika muatan tersebar di sepanjang garis (Gambar 2.5b), dengan muatan persatuan panjang λ panjang λ,, maka dq= dq= λ dl λ dl ‘ (dimana dl ‘ adalah a dalah sebuah elemen dari panjang sepanjang garis); jika muatan tersebar pada sebuah luasan permukaan (Gambar 2.5c), dengan muatan persatuan luas σ , maka dq= dq= ζ da‘ da‘ (dimana da‘ da‘ merupakan sebuah elemen luas pada sebuah permukaan); dan jika muatan mengisi sebuah ruang (Gambar 2.5d), dengan muatan persatuan volum ρ, ρ, maka dq = ρ dτ’ (dimana dτ’ adalah sebuah elemen volume): dq → λ dl dl ‘ ~ ζ da’ ~ da’ ~ ρ dτ’ Maka medan listrik dari muatan garis adalah
∫ ( )
(2.6)
Untuk muatan luas
∫
(2.7)
∫
(2.8)
Dan untuk muatan volum adalah
Persamaan 2.8 sendiri sering ditunjukkan sebagai ―H ―Hukum Coloumb‖, karean persamaan itu sendiri merupakan langkah cepat dari aslinya (2.1), dan karena sebuah volume muatan adalah dalam pengertian paling umum dan kasus realistis. Perhatikan dengan seksama pengertian dari r pada rumusan ini. i ni. Aslinya, pada p ada persamaan 2.4, ri menyatakan vektor dari muatan sumber qi terhadap titik medan r. dengan selalu
berhubungan, r adalah vektor dari dq (sehingga merpakan vektor dari dl ‘, ‘, da‘, da‘, atau dτ ‘) ‘) terhadap terhadap titik medan r.2
Contoh 2.1 Tentukan medan listrik pada jarak z jarak z diatas diatas titik tengah dari sebuah segmen garis lurus dengan panjang 2 L, L, yang mana membawa muatan garis yang seragam λ (Gambar 2.6) Solusi : Hal ini menguntungkan untuk memotong garis menjadi dua dan menempatkannya secara simetris (pada ± x) ± x),, untuk itu medan pada komponen horizontal akan saling menghilangkan, sehingga medan listrik dari pasangan garis tersebut adalah
Gambar 2.6 Dimana cos θ = z/r ; r =
2
√
, dan x dan x bergerak bergerak dari 0 hingga hingga L L::
Peringatan: Satuan vektor ŕ tidak konstan; arahnya bergantung pada titik sumber R’, dan karena itu tidak dapat dikeluarkan dari integral 2.5-2.8. Pada prakteknya anda harus bekerja dengan komponen kartesian (x, y, z konstan tidak dapat keluar dari integrasi), bahkan jika anda menggunakan koordinat curvilinier untuk melakukan integrasi.
[ ] √ √ Dan medan menuju arah sumbu z sumbu z Untuk titik yang jauh dari garis ( z ( z >> >> L L), ), medan listriknya menjadi
yang masuk akal: pada jarak yang sangat jauh muatan garis terlihat seperti muatan titik q = 2λL, 2λL, maka medan menguranginya dari muatan titik . Pada lilim L lilim L→∞, →∞, di sisi lain, kita peroleh medan dari kawat dengan panjang tak hingga :
atau secara umum,
dimana s adalah jarak titik medan dari kawat.
Soal 2.3 Tentukan medan listrik yang berada pada jarak z diatas salah satu ujung kawat dengan panjang L (Gambar (Gambar 2.7), yang membawa muatan garis seragam λ. Periksa apakah formula yang anda peroleh konsisten dengan apa yang anda perkirakan untuk z >> z >> L L..
Gambar 2.7
Gambar 2.8
Gambar 2.9
Soal 2.4 Tentukan medan listrik pada jarak z diatas titik tengah sebuah kawat persegi dengan sisi a yang membawa muatan garis seragam λ (Gambar 2.8). [petunjuk: gunakan hasil dari contoh 2.1]
Soal 2.5 Tentukan medan listrik pada jarak z diatas titik tengah kawat yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari r (gambar 2.9), yang mana membawa muatan garis seragam λ seragam λ.. Soal 2.6 Tentukan medan listrik pada jarak z diatas sebuah piringan tipis dengan jari jari R (Gambar 2.10), yang membawa muatan luas seragam σ . Bagaimanakah persamaannya persamaannya untuk limit R limit R→∞ →∞ ? Periksa untuk z >> z >> R R.. Soal 2.7 Tentukan medan listrik pada jarak z jarak z diatas diatas permukaan bola denga jari-jari R (Gambar 2.11), yang mana membawa rapat muatan seragam σ . Gunakan z < R (di dalam bola) serta z serta z > > R (di luar bola). Tunjukkan jawaban anda dalam bentuk muatan total q pada bola. [petunjuk: gunakan hukum cosinus untuk menuliskan nilai r dalam bentuk R dan θ . Pastikan untuk nilai positif dari akar pangkat kuadrat :
√
jika R jika R > z , dan ( z – R – R) jika R jika R < z.] z.]
Soal 2.8 Gunakan jawaban dari soal 2.7 untuk menentukan medan listrik di dalam dan luar bola dengan radius R, R, yang mana membawa rapat muatan volum ρ. ρ. Tunjukkan jawaban anda dalam bentuk muatan total dari bola, q. Gambarkan grafik dari sebagai fungsi jarak dari pusat bola.
||
Gambar 2.10
Gambar 2.11
2.2 Divergen dan Curl dari Medan elektrostatik 2.2.1 Garis Medan, Flux, dan Hukum Gauss
Prinsipnya,
kita
telah
menyelesaikan masalah
elektrostatik.
Persamaan
2.8
menjelaskan kepada kita bagaimana menghitung medan dari distribusi muatan, dan Persamaan 2.3 menjelaskan kepada kita bagaimana gaya pada muatan Q akan dipindahkan pada medan tersebut. Sayangnya, sebagaimana yang mungkin akan anda temukan pada Soal 2.7, integral yang terlibat dalam perhitungan E sulit ditentukan, meskipun untuk distribusi muatan yang sederhana. Banyak elektrostatik khusus diberikan untuk merangkai sebuah kantung peralatan dan cara-cara untuk menghindari integral ini. Semua itu bermula dengan divergensi dan curl dari E. Saya akan menghitung divergensi dari E secara langsung dari Persamaan 2.8, pada Bagian 2.2.2, namun pertama-tama saya ingin menunjukkan kepada anda dengan lebih kualitatif, dan mungkin lebih jelas, pendekatan intuitif. Mari kita mulai dengan kasus kemungkinan yang paling sederhana: titik tunggal muatan q, yang terletak pada sumber:
E (r) =
(2.10)
Untuk mendapatkan ―rasa‖ dalam medan ini, saya mungkin menggambar sedikit 2
vektor representatif, sebagaimana pada Gambar. 2.12a. karena medan turun 1/r , vektor dapat menjadi lebih pendek sebagaimana anda pergi menjauh dari sumber; titik itu akan menjauh secara radial. Namun terdapat langkah yang lebih baik untuk menjelaskan medan tersebut, dan hal tersebut menghubungkan tanda panah tersebut, untuk membentuk garis medan (Gambar. 2.12b). Anda mungkin berpikir bahwa saya memberikan informasi tentang daya dari medan, yang mana terkandung dalam panjang panah. Tapi sebenarnya tidak. Magnitudo dari medan ditunjukkan dengan densitas dari garis medan: yang kuat di dekat pusat dimana garis medan tersebut tertutup semua, dan melemah saat jauh keluar, dimana garis medan tersebut terpisah relatif jauh. Sebenarnya, diagram garis medan itu tidak dapat dipercaya, ketika saya menggambarnya pada permukaaan dua dimensi, untuk densitas dari garis melewati lingkaran dengan jari-jari r adalah angka total yang terbagi oleh lingkaran (n/2π r),
2
sebagaimana (1/r), bukan (1/r ). Namun jika anda membayangkan model dari tiga dimensi (sebuah bantal peniti dengan jarum pelekat luar pada semua arah), kemudian 2
densitas dari garis adalah total nilai yang dipisahkan dengan daerah bola (n/4πr ). 2
Sebagaimana (1/r ).
Gambar 2.12
Sama namun berbeda muatan Gambar 2.13 Diagram tersebut mudah untuk menjelaskan medan yang lebih rumit. Tentu saja, nilai dari garis yang anda gambar tergantung pada seberapa enerjik anda (dan
seberapa lancip pensil anda), meskipun anda seharusnya cukup memasukkan untuk mendapatkan perasa akurasi medan, dan anda harus konsisten: Jika muatan q diisi 8 garis, maka 2q 2q diisi 16. Dan anda harus meletakkannya dengan benar- muatan muncul dari titik sumber muatan secara simetris di semua arah. Garis medan dimulai pada muatan positif dan berakhir pada muatan negatif; hal tersebut tidak dapat selesai, walaupun hal itu mungkin diperpanjang tak hingga. Selain itu, garis medan tidak melewati pada perpotongan, medan akan memiliki dua arah pada satu medan! Dengan semuanya itu dalam pikiran, hal itu mudah untuk menggambar medan dengan titik muatan yang komfigurasinya sederhana: dimulai dengan menggambar baris pada muatan lainnya, dan kemudian memperpanjangnya hingga tak hingga (Gambar. 2.13 dan 2.14).
Muatan yang sama Gambar 2.14
Gambar 2.15 Pada model ini fluks E melewati permukaan S,
∫
(2.11)
adalah besar ―nilai garis muatan‖ yang melewati S . Saya mengambil rumusan ini karena tentu saya hanya dapat menggambar contoh contoh representatif dari garis medan – total nilai akan menjadi tak hingga. Namun untuk pemberian samping rate contoh fluks itu proporsional untuk nilai garis yang ditarik, karena kuat medan, ingat, proporsional untuk densitas garis medan (nilai per satuan luas) dan karenanya E.d a proporsional untuk nilai dari garis yang menembus melewati daerah tak hingga d a . (Hasil dot dari komponen dari d a sepanjang arah E , seperti pada Gambar 2.15. itu hanyalah daerah dalam bidang tegak lurus pada E yang kita pikirkan ketika kita mengatakan bahwa densitas garis medan adalah nilai per satuan luas). Ini menjelaskan bahwa fluks melewati semua permukaan tertutup adalah nilai dari total muatan. Untuk garis medan yang sumbernya pada muatan positif harus salah satu melewati permukaan atau yang lainnya berakhir pada muatan negatif (Gambar. 2.16a). Di sisi lain, sebuah muatan pada muatan pada bagian luar permukaan luar permukaan akan tidak berkontribusi pada total fluks, dari garis medannya melewati satu sisi d an keluar pada bagian lainnya (Gambar. 2.16b). Inilah inti dari Hukum Gauss. Sekarang kita buat kuantitatifnya.
Gambar 2.16 Dalam kasus titik muatan q pada sumber, fluks E melewati bola dengan jari jari r adalah:
∮ ∫
(2.12) 2
Perhatikan bahwa jari-jari bola diabaikan, untuk permukaan luas naik r , medan turun 2
1/r , dan sehingga hasilnya konstan. Pada gambar garis medan, hal ini membuat ―perasaan‖ yang baik, dari nilai garis medan yang sama menembus melewati seluruh pusat bola sebagai sumbernya, tergantung ukurannya. Faktanya, hal itu bukanlah bola-beberapa permukaa tertutp, apapun bentuknya, akan menunjukkan nilai garis medan yang sama. Jelasnya fluks Jelasnya fluks melewati permukaan muatannya adalah q/ε0. Sekarang misalkan muatan tunggal pada sumber, kita memiliki kumpulan muatan yang menyebar. Berdasarkan prinsip superposisi, total medan adalah vektor jumlah dari semua muatan tunggal: E=
∑
Fluks melewati permukaan yang menutupi seluruhnya, selanjutnya adalah
Untuk semua permukaan tertutup
dimana Qenc adalah total muatan tertutup di dalam permukaan. Ini adalah pernyataan kuantitatif dari Hukun Gauss. Walaupun tidak berisi informasi yang tidak dijelaskan pada Hukum Coulomb dan prinsip superposisi, hal tersebut merupakan kekuatan yang ajaib, seperti yang anda lihat pada Bagian 2.2.3. Perhatikanlah bahwa semua 2
engsel pada 1/ r karakter Hukum Coulomb; tanpa hal tersebut pembatalan krusial dari r‘s pada Persamaan 2.12 tidak akan terjadi, dan total fluks E akan tergantung 2
pada permukaan yang dipilih, tidak hanya pada total t otal muatan tertutup. Gaya lain 1/ r
(saya berpikir secara rinci gravitasi umum Hukum Newton) akan memenuhi ―Hukum Gauss‖ Gauss‖, dan praktiknya kami mengembangkannya secara langsung. Seperti bentuknya, Hukum Gauss adalah persamaan integral, tapi kita dapat dengan segera dengan segera mengintegralkan: mengintegralkan: dengan menerapkan teorema divergensi:
Tulis kembali Qenc dalam persamaan densitas muatan ρ, kita mendapat:
Sehingga Hukum Gauss menjadi:
Dan karena hal ini untuk volume, integran dapat dirumuskan:
(2.14)
Rumus 2.14 memiliki maksud yang sama seperti 2.13; ini adalah Hukum Gauss untuk persamaan differensial . Versi differensial lebih ringkas, tapi persamaan
integral memiliki memiliki keuntungan mencakup titik, garis, dan muatan permukaan lebih natural.
3
Soal 2.9 Misalkan medan listrik suatu bidang dinyatakan E = k r , pada koordinat bola
(k merupakan k merupakan konstanta) (a) Tentukan rapat muatan ρ muatan ρ
(b) Tentukan total muatan pada bola dengan jari-jari R, R, terpudat pada sumber. (lakukan dengan dua langkah yang berbeda) Soal 2.10 Suatu muatan q berada pada sudut belakang dari kubus, sebagaimana yang
ditunjukkan pada Gambar 2.17. apakah fluks E melewati daerah bayangan ?
Gambar 2.17
2.2.2 Divergensi E Mari kita kembali, sekarang, dan hitung dive rgensi dari E langsung dari Persamaan 2.8:
∫
(Mula-mula
integrasi
volume
terisi
oleh
muatan,
(2.15)
tapi
saya
mungkin
memperpanjangnya ke semua ruang, karena ρ karena ρ = 0 pada permukaan luar). Tidak ada r – tergantung – tergantung yang termuat dalam r = r = r – r‘, kita dapat
Hal ini akurat dengan divergensi yang kita hitung pada persamaan 1.100:
Jadi
∫
(2.16)
yang mana Hukum Gauss pada persamaan differensial (2.14). untuk mendapat kembali persamaan integral (2.13), kita jalankan pernyataan sebelumnya dalam kebalikan-integral dari volume dan menerapkan teorema divergen.
∮ ∫ ∫
.
2.2.3 Aplikasi Hukum Gauss Saya harus menunda perkembangan pada titik ini untuk menunjukkan anda keluarbiasaan
dari
hukum
Gauss,
dalam
bentuk
integral.
memungkinkan, hai ini menghasilkan cara yang paling cepat dan
Ketika
simetri
paling mudah
untuk menghitung medan listrik. Saya akan mengilustrasikan metode tersebut dengan beberapa contoh. Contoh 2.2 Tentukan medan listrik diluar sebuah bola bermuatan seragam dengan jari-jari R muatan total q. Solusi: Gambarlah sebuah permukaan bola pada r > R (Gambar 2.18); hal ini
disebut dengan ‖permukaan Gaussian‖. Hukum Gauss mengatakan bahwa untuk permukaan permukaan ini (sebagimanaya (sebagimanayang ng lain)
dan
. Sepintas hal ini tampaknya tidak membuat kita terlalu jauh, karena
kuantitas yang kita inginkan ( E) dibumikan dalam integral permukaan. Untunglah, simetris mengijinkan kita untuk mengutip E dari bawah tanda integral: E secara 3
pasti titik radial keluar, keluar, seperti halnya d a, a, sehingga kta dapat meletakkan hasil dot.
||
Gambar 2.18 dan besarnya magnitudo E adalah konstan di atas permukaan Gaussian, sehingga magnitudo Edatang di di luar integral:
|| || || Sehingga
5
Jika anda ragu bahwa E itu radial, pikirkanlah alternatifnya. Anggaplah, katakan, bahwa titik tersebut menuju
ke timur, pada ―katulistiwa‖. Namun orientasi dari katulistiwa benar-benars embarang — tidak tidak ada perputaran di sini, jadi tidak ada sumbu ―utara―utara-selatan‖ alami — — setiap setiap penjelasan mempunyai inti untuk menunjukkan bahwa titik-titik timur E dapat digunakan dengan baik untuk menunjukkan titik-titik baratnya, atau utara, atau arah lainnya. Arah yang unik pada unik pada bola hanyalah radial .
|| atau
Perhatikan keistimewaan yang luar biasadari hasil ini: Medan listrik di luar bola sama dengan hal tersebut tersebut akan terjadi terjadi jika jika semua muatan muatan berkonsentrasi berkonsentrasi di pusat .
Hukum Gauss selalu benar, namun tidak selalu berguna. Jika
tidak seragam
(atau, pada setiap suku, tidak simetris berbentuk bola), atau jika saya telah memilih beberapa bentuk lain untuk permukaan Gaussian saya, hal tersebut akan tetap benar bahwa fluks dari E adalah
⁄
, namun saya tidak yakin bahwa E dalam arah
yang sama seperti d a dan konstan dalam magnitudo melebihi permukaan, dan tanpa hal tersebut saya tidak dapat menarik
||
keluar dari integral. Kesimetrisan penting
untuk dalam penerapan hukum Gauss ini. Sebagaimana yang saya ketahui, hanya terdapat tiga macam simetri yang bekerja: 1. Simetris bola. bola. Membuat permukaan Gaussian anda menjadi sebuah bola konsentris. 2. Simetris silindris. silindris . Membuat permukaan Gaussian anda menjadi silindris dengan sumbu yang sama (Gambar 2.19). 3. Simetris bidang . Gunakanlah sebuah Gaussian ―pillbox‖, yang terangkat permukaannya (Gambar 2.20). Meskipun (2) dan (3) secara teknis membutuhkan panjang silindris tak berhingga, dan perpanjangan bidang tak berhingga ke segala arah, arah , kita akan sering menggunakan mengg unakan hal tersebut untuk memperoleh jawaban yang mendekati pada silindris ― panjang‖ panjang‖ atau permukaan bidang yang ―luas‖ luas‖ pada titik-titik yang jauh dari tepinya.
Gambar 2.19
Gambar 2.20
Contoh 2.3 Sebuah silindris panjang (Gambar 2.21) membawa sebuah rapat muatan yang yang sebanding dengan jarak dari sumbunya: Tentukan medan listrik di dalam silindris.
, untuk beberapa konstanta
Solusi: Gambarkan silindris Gaussian dengan panjang
permukaan permukaan ini, hukum Gaussnya, yaitu:
dan jari-jari
.
. Untuk
Muatan yang tercakupi adalah
(Saya gunakan elemen volume yang cocok untuk koordinat silindris, persamaan 1.78, dan integralkan
dari 0 sampai
terbaik pada variabel intergrasi Gauss.)
,
dari 0 sampai . Diuraikan yang
, untuk membedakannya dari jari-jari
permukaan
Gambar 2.21 Sekarang, simetris mendektekan bahwa E harus titik keluar secara radial, sehingga untuk bagian garis dari Gaussian silindris kita memiliki:
| || || || ketika keduanya berhenti medistribusikan ketidakadaan ( E tegak lurus terhadap d a). Sehingga,
|| Atau akhirnya
Contoh 2.4 Sebuah bidang tak berhingga membawa muatan permukaan seragam medan magnetnya.
. Tentukan
pillbox‖, perluasan sama dengan jarak di atas Solusi: Gambarkan sebuah ―Gaussian pillbox‖, dan dibawah bidang (Gambar 2.22). Terapkan hukum Gauss untuk permukaan ini:
Dalam ha lini
, dimana A adalah luas penutup dari pillbox. pillbox. Karena
simetris, titik-titik E menjauh dari bidang (ke arah atas untuk titik-titik di bagian atas, ke arah bawah untuk titik-titik yang berada di bagian bawah). Sehingga, pemukaan atas dan bawah menghasilkan
| ||
Gambar 2.22 dimana seperti sisi-sisinya tidak berkonstribusi, sehingga
| || atau
Dimana
(2.17)
adalah sebuah vektor pointing satuan yang jauh dari permukaan. Pada Soal
2.6 anda memperoleh hasil yang sama dengan metode yang jauh lebih sulit. Tampaknya mengejutkan, pada awalnya, medan listrik dari suatu bidang tak terbatas tergantung terhadap seberapa jauh anda berada. berada . Bagaimana dengan
⁄
pada hukum Coulomb? Intinya adalah bahwa ketika anda bergerak lebih jauh dan lebih jauh dari bidang, muatan semakin banyak data ng kedalam ―bidang pandang‖
anda (bentuk kerucut memanjang keluar dari mata anda), dan ini mengimbangi untuk mengurangi pengaruh dari setiap bagian tertentu. Medan listrik sebuah bola terjatuh dari
⁄
; medan sebuah garis tak terbatas terjatuh pada
sebuah bidang tak terbatas tidak jatuh sama sekali.
⁄
; dan medan listrik dari
Meskipun penggunaan langsung dari hukum Gauss untuk menghitung medan listrik terbatas pada kasus simetri bola, silinder, dan planar, kita bisa menyatukan kombinasi obyek memiliki simetri seperti itu, meskipun pengaturan secara keseluruhan tidak simetris. Sebagai contoh, menerapkan prinsip superposisi, kita bisa menemukan medan listrik di sekitar dua silindris paralel bermuatan seragam, atau bola di dekat bidang dengan muatan tak terbatas. Contoh 2.5 Dua bidang sejajar tak berhingga membawa rapat muatan seragam yang sama namun berlawanan berlawanan
(Gambar 2.23). Tentukan medan listrik di tiga tempat: (i) di sebelah
kiri keduanya, (ii) di antara keduanya, (iii) di sebelah kanan keduanya. Solusi: Pelat kiri menghasilkan medan
yang titik-tiknya jauh dari itu
(Gambar2.24) – (Gambar2.24) – kekiri kekiri di daerah(i) dan ke kanan di daerah (ii) dan (iii). Pelat kanan, yang bermuatan negatif, menghasilkan medan
, yang titik-titiknya kearah
itu – kekanan kekanan didaerah (i) dan (ii) dan ke kiri didaerah (iii). Dua medan listrik membatalkan pada daerah yaitu (i) dan (iii), kedua medan tersebut bergerak bersamaan bersamaan pada daerah (ii). Kesimpulan: Kesimpulan: Medan listriknya listriknya adalah
menunju ke kanan, antara bidang-bidangnya; dimana pun sama dengan nol.
Gambar 2.23
Gambar 2.24
, dan
Soal 2.11 Gunakan hukum Gauss untuk mencari medan listrik di dalam dan diluar
kulit bola dari jari-jari R , yang membawa rapat muatan permukaan seragam. Bandingkan jawaban Anda dengan Soal 2.7. Soal 2.12 Gunakan hukum Gauss untuk mencari medan listrik dalam bola muatan
seragam (rapat muatan ). Bandingkan jawaban anda untuk Soal 2.8. Soal 2.13 Cari medan listrik suatu jarak s jarak s dari kawat panjang lurus tak berhingga,
yang membawa muatan garis seragam . Bandingkan Persamaan 2.9. Soal 2.14 Tentukan medan listrik di dalam bola yang membawa rapat muatan
sebanding dengan jarak dari asal,
, untuk beberapa konstanta k. [ Petunjuk [ Petunjuk :
Rapat muatan ini tidak seragam, dan anda harus mengintegrasikan untuk mendapatkan muatan yang terlingkupi.] Soal 2.15 Sebuah kulit bola berongga membawa rapat muatan
di daerah , (ii)
(Gambar2.25). Tentukan medan listrik di tiga tempat: (i)
, (iii)
. Gambarkan
||
sebagai fungsi dari r.
Soal 2.16 Sebuah kabel koaksial panjang (Gambar 2.26) membawa rapat muatan
volume seragam
pada silindris bagian dalamnya (jari-jari a), dan rapat muatan
permukaan permukaan seragam pada kulit silindris luar (jari-jari b). Muatan permukaan permukaan ini negatif dan hanya besaran kanannya sehingga sepanjang kabelnya netral. Tentukan medan listrik di setiap tempat dari tiga itu: (i) di dalam silinder ( s ( s < a), (ii) di antara silinder (a < s < s < b), (iii) di luar kabel ( s s > b). Gambarkan
| |
sebagai fungsi s fungsi s..
Soal 2.17 Sebuah lempengan bidang tak berhingga, dengan ketebalan 2 d , mebmbawa
rapat muatan volume
(Gambar 2.27). Tentukan medan listrik, sebagai fungsi y, y,
dimana y = 0 di pusatnya. Gambarkan E terhadap y, E positif ketika titik-titiknya berada pada pada arah +y dan negatif ketika titik-titiknya berada pada arah – y. y.
Soal 2.18 Dua bola, masing-masing dengan jari-jari R dan membawa rapat muatan
–
seragam + dan
, ditempatkan sehingga mereka sebagian tumpang tindih (Gambar
2.28). Anggaplah vektor dari pusat positif kepusat negatif dengan d . Tunjukkan bahwa medan di daerah yang saling melingkupi melingkupi adalah konstan, dan tentukan tentukan nilainya. [ Petunjuk : gunakanjawabandarisoal 2.12.]
Gambar 2.25
Gambar 2.27
Gambar 2.26
Gambar 2.28
2.2.4 Curl dari E
Kita akan menentukan curl dari E, seperti divergensi padabagian 2.2.1, dengan terlebih dahulu mempelajari konfigurasi yang paling sederhana mungkin: sebuah muatan titik pada titik asal. Padabentuk ini
Sekarang, perhatikan Gambar 2.12 yang menunjukkan bahwa curl dari medannya harus nol, tetapi saya pikir kita harus memunculkan sesuatu yang lebih teliti daripada itu. Bagaimana jika kita menghitung integral garis dari medan ini dari beberapa titik a titik a ke beberapa titik b titik b lainnya (Gambar 2.29):
Pada koordinat bola,
, jadi
Oleh karena itu,
Di mana
∫ ∫ ∮ adalah jarak dari titik asal ke titik a titik a dan
lintasan tertutup terbukti adalah nol (kemudian untuk
Gambar 2.29 Dan oleh karena itu, terapkan teorema stokes,
(2.18)
, adalah ke b. Integral sekitar ):
(2.19)
(2.20)
Sekarang, terbukti bahwa Persamaan 2.19 dan 2.20 hanya untuk medan dari muatan titik tunggal pada titik asal, tetapi hasil ini membuat tidak ada acuan untuk digunakan, bagaimanapun juga, sebuah pilihan sembarang yang benar dari koordinat; tidak masalah juga dimana pun muatan itu berada.Selain itu, jika terdapat banyak muatan,
prinsip
superposisi
menyatakan
bahwa
jumlah
medan
merupakan
penjumlahan vektor dari masing-masing medannya:
Jadi,
Dengan demikian, persamaan 2.19 dan 2.20 berlaku untuk setiap setiap distribusi muatan statis apapun.
Soal 2.19 Tentukan
langsung dari Persamaan 2.8 dengan metode bagian
2.2.2. Lihat Soal 1.62 jika mengalami kesulitan.
2.3 Potensial Listrik 2.3.1 Pendahuluan untuk Potensial
Medan listrik (E) tidak hanya beberapa fungsi vektor saja, namun juga merupakan jenis fungsi vektor yang khusus, khusus, salah satunya yang mana curl selalu nol. Sebagai contoh,
muatan,
tidak
tidak mungkin dapat menjadi medan listrik: jika tidak mengandung memperhitungkan
ukuran
dan
posisi,
dengan
begitu
dapat
menghasilkan sebuah medan. Pada bagian ini, kita akan memanfaatkan properti khusus dari medan listrik untuk mereduksi sebuah persoalan vektor (menentukan E) menjadi persoalan skalar yang lebih sederhana. Teorema pertama pada bagian 1.6.2
menerangkan bahwa pada vektor yang mana curl adalah nol sama dengan gradien dari sejumlah skalar.
Gambar 2.30 Karena
, integral garis E yang mendekati disekitar loop adalah nol
(mengikuti teorema Stoke). Karena
∮
, integral garis E dari titik a ke titik b
adalah sama untuk semua lintasan garis (dengan kata lain anda dapat keluar batas garis (i) dan kembali ke garis semula (ii)-Gambar 2.30-dan memperoleh
∮
).
karena integral garis tersebut terlepas dari garis, kita dapat menjelaskan sebuah 4
fungsi
∫
(2.21)
Dimana 0 adalah titik penunjuk standar dimana sebelumnya sudah kita setujui; V hanya bergantung pada titik r saja.Ini disebut potensial listrik. Dengan jelas, perbedaan potensial diantara dua titik a dan b adalah
= -∫ ∫ ∫
(2.22)
4
Untuk menghindari setiap ambiguitas yang mungkin saya mungkin akan meletakkan sebuah pokok variabel integral:
Namun hal ini untuk membuat notasi tidak praktis, dan saya menyukai apapun yang memungkinkan untuk menjadi pokok dari titik sumber. Bagaimanapun, ketika (seperti pada contoh 2.6) kita menghitungbeberapa integral secara terpisa, saya akan meletakkan intinya
Dasar teorema untuk menyatakan gradien yakni
Menjadi
Karena, akhirnya hasilnya sesuai untuk setiap untuk setiap titik a dan b, integral harus sama dengan :
(2.23)
Persamaan 2.23 bentuk turunan dari Persamaan 2.21, menyatakan bahwa medan listrik merupakan gradien dari potesial skalar, dimana kita bermaksud untuk membuktikan. Perhatikan yang disamarkan namun yang berperan penting dengan garis bebas (dengan sama,
pada pembuktian ini. Apabila integral garis E bergantung
pada garis yang diambil, kemudian ―pengertian‖ dari V , Persamaan 2.21 tidak akan berarti apa-apa. Persamaan tersebut tidak akan menjelaskan sebuah fungsi dengan sederahana, karena merubah garis itu akan merubah nilai V ( V (r). Jangan biarkan tanda minus membuat anda bingung pada Persamaan 2.23; hal ini membawa dari 2.21 dan sebagian besar masalah pembicaraan. Soal 2.20 Salah satu dari ini merupakan medan elektrostatis yang tak mungkin. Yang
manakah itu? a) b)
Dimana k merupakan konstanta dengan unit yang sesuai. Untuk salah satu kemungkinannnya, tentukan potensial, gunakan titik referensi anda. Periksakan jawaban anda dengan menghitung menghitung
[Petunjuk : anda harus memilih garis khusus
untuk sepanjang integral. Tidak masalah dengan garis apa yang anda pilih, karena itu jawabannya jawabannya adalah garis bebas, bebas, tetapi dengan dengan mudah mudah anda tidak tidak dapat mengintegralk mengintegralkan an walaupun anda mempunyai garis istimewa di pikiran anda.]
2.3.2 Ulasan mengenai Potensial (i) Penamaan . Kata potensial merupakan penamaan yang salah karena dapat
mengingatkan anda pada energi potensial. Ini memusingkan, karena ada hubungan antara potensial dan energi potensial, seperti yang akan anda lihat pada Bagian 2.4. hal terbaik yang dapat saya lakukan adalah menyatakan dengan tegas sekali lagi dan potensial serta energi potensial sebenarnya berbeda dan seharusn ya dengan kebenaran yang ada, keduanya memiliki nama yang berbeda. Secara kebetulan, seluruh permukaan
dimana
potensialnya
konstan
dinamakan
sebuah
potensial
keseimbangan . (ii) Keuntungan dari rumus potensial . Jika anda mengetahui V , maka
dengan mudah anda akan mendapatkan E-hanya dengan menggunakan gradien:
. Untuk E merupakan jumlah vektor (tiga komponen), tetap V adalah
skalar (satu komponen). Bagaimana mungkin sebuah fungsi dapat menbawa tiga fungsi bebas? Jawabannya adalah tiga komponen dari E tidak benar-benar bebas; kenyataannya dengan jelas dikaitkan dengan keadaan dimana bentuk komponennya,
dalam
Ini membawa kita kembali pada bagian 2.3.1: E merupakan vektor khusus. khusus. Apa yang rumusan potensial berikan adalah untuk memanfaatkan bentuk ini ke keuntungan maksimal, mengurangi sebuah masalah vektor ke arah sebuah skalar, dimana disana tidak diperlukan untuk mepermasalahkankan komponennya. ambigu dalam definisi (iii) Titik 0 referensi . Ada beberapa dasar-dasar yang ambigu potensial, karena pemilihan titik 0 referensi berubah-ubah. Perubahan titik referensi sama dengan menambahkan konstanta K konstanta K pada pada potensial :
dimana K adalah integral garis E dari titik 0 referensi yang sebelumnya ke 0 yang sekarang. Menambahkan konstanta V tidak V tidak akan mempengaruhi perbedaan potensial antara dua titik :
karena K tidak jadi dikeluarkan. (Sebenarnya sudah dijelaskan dari Persamaan 2.22 bahwa perbedaan potensial adalah 0 bebas, karena itu dapat dituliskan sebagai integral garis E dari a ke b, tidak ada referensi ke 0.) Juga tidak mempengaruhi gradient dari V : V :
Karena konstanta derivatif adalah nol. Oleh karena itu, V berbeda pada pilihan titik referensi, cocok untuk medan E yang sama. Dengan jelas, potensial sebagai pembawa tiada nilai fisik yang signifikan, untuk setiap titik yang diberikan, kita dapat menyesuaikan nilai yang akan diperoleh dengan mencocokan penempatan kembali dari 0. Hal ini lebih seperti suatu ketinggian : Jika saya bertanya kepada anda mengenai tinggi Denver, anda tentu saja akan menjelaskan kepada saya pada diatas ketinggian laut, karena itu merupakan suatu titik referensi yang sesuai. Namun kita dapat menghitung ketinggian diatas
Washington DC, Greenwich atau dimana pun itu. Hanya dengan menambahkan jumlah dari semua ketinggian laut. Tetapi hal ini tidak akan mengubah apapun mengenai kata sebenarnya. Jumlah dari daya tarik intrinsik ini berbeda pada ketinggian diantara dua titik, dan hal ini akan berlaku sama bagaimana pun tingkat referensi anda. Dengan mengatakan hal ini, walaupun titik ― titik ―natural‖ natural‖ digunakan untuk O dalam elektrostatis-analogi ke untuk ketinggian level laut-dan ini merupakan sebuah titik dengan jauhnya tidak terbatas dari muatan. Seperti biasa, kita ―susun potensial nol di tak terhingga‖ terhingga‖.(karena V (O) (O) = 0, memilih sebuah titik referensi sebanding dengan memilih kedudukan dimana V menjadi nol.) tetapi saya harus mengingatkan anda, bahwa terdapat sebuah dasar khusus dimana jika dasar ini gagal : jika muatan terdistribusi meluas sendiri ke tak terhingga. Permasalahan gejala, dalam sejumlah kasus, apakah potensial meledak? Untuk singkatnya, sebuah medan secara seragam dimuati bidang datar sebesar
. Seperti yang kita temukan pada Contoh 2.4;
jika dengan sederhana kita masukkan O =
, maka potensial saat tinggi z diatas
bidang menjadi
∫
.
Pembenarannya sederhana untuk memilih beberapa titik referensi (pada persoalan ini, anda sebaiknya menggunakan sumbernya). Perhatikan bahwa kesulitanbterjadi hanya pada problem textbook ; pada ―real life‖ disini tidak ada sebuah penyaluran sebuah penyaluran muatan yang berlangsung terus menerus, dan kita selalu dapat menggunakan tak hingga sebagai titik referensi kita. (iv) Potensial mengikuti prinsip superposisi . Sumber prinsip superposisi pada
elektrodinamis berhubungan pada sebuah muatan uji Q. Menyatakan bahwa total gaya pada Q merupakan jumlah vektor gaya sebagai akibat dari sumber muatan secara individu:
Sepanjang membagi dengan Q, kita juga tentukan medan listrik, ikuti prinsip superposisi :
Integralkan dari titik referensi yang sesuai ke r, ini akan mengikuti potensial dan memenuhi prinsip:
Oleh karena itu, potensial pada setiap titik yang diberikan merupakan jumlah dari potensial yang sesuai pada semua sumber muatan secara terpisah. Hanya Han ya pada waktu ini, hal tersebut merupakan penjumlahan biasa, biasa, bukan sebuah penjumlahan vektor, yang membuat hal tersebut lebih mudah untuk dikerjakan. (v) Satuan potensial. Dalam satuan yang kita miliki, gaya merupakan
perhitungan dalam newton dan muatan dalam coulombs, sehingga medan listrik adalah newton per coulomb. Oleh sebab itu, potensial merupakan perhitungan dalam newton-meter per coulomb atau joule per coulomb.Satu joule per coulomb disebut satu volt. Contoh 2.6 Tentukan potensial di dalam dan di luar sebuah bola berongga dengan jari-jari R (Gambar 2.31), yang membawa muatan permukaan seragam. Pasangkanlah titik referensi pada tak hingga.
Gambar 2.31
Penyelesaian: Untuk hukum Gauss, medan diluar bola berongga
Dimana q adalah muatan total didalam bola. Medan di dalam bola adalah nol. Untuk titik di luar bola ( r > R), R),
Untuk menentukan potensial didalam bola ( r > R), R), kita harus memecah integral menjadi dua bagian, dengan menggunakan disetiap wilayahnya nilai medan yang tersebar:
∫ ∫ =
Ingatlah bahwa potensial tidak sama dengan nol di dalam rongga, walaupum itu merupakan medan. V adalah konstan dalam daerah ini, pastinya, sehingga
-
itulah masalahnya. Pada jenis masalah ini anda dapat selalu mengerjakannya dengan cara anda dari titik referensi; referensi ; itu dimana potensial potensial ‗dipakukan‘. Hal ini ini mencoba untuk menduga bahwa anda dapat menggambarkan potensial di dalam bola dalam basis medan tersendiri, tetapi ini salah: Potensial di dalam bola adalah sensitif dengan apa yang terjadi di luar bola semestinya. Jika saya tempatkan muatan muatan seragam kedua bola diluar jari-jari R’ > R, potensial di dalam R akan berubah, walaupun medannya tetap nol. Hukum Gauss menunjuk muatan luar ke titik yang diberikan (lebih besar r) tidak menghasilkan jaringan medan pada titik tersebut, asalkan berbentuk bola atau silinder simetris, tetapi disini tidak terdapat aturan untuk potensial untuk potensial , jika tak hingga digunakan sebagai titik referensi. r eferensi.
Soal 2.21 Tentukanlah potensial di dalam dan di luar sebuah bola pejal yang
muatannya terdistribusi secara seragam dimana jari-jarinya adalah R dan total muatannya adalah q. Gunakanlah tak hingga sebagai titik referensi anda. Hitunglah
gradient dari V di setiap daerah, dan periksalah apakah menghasilkan medan yang benar. Gambar Gambar V(r). Soal 2.22 Tentukan jarak potensial s dari dari sebuah garis lurus yang tidak terbatas
yang membawa muatan garis seragam
. Hitunglah gradien potensialnya dan
periksalah apakah menghasilka menghasilkan n medan yang benar. Soal 2.23 Untuk konfigurasi muatan Soal 2.15, tentukan potensial di bagian tengah,
gunakanlah tak hingga sebagai titik referensi anda. Soal 2.24 Untuk konfigurasi Soal 2.16, tentukanlah perbedaan potensial antara sebuah
titik porosnya dan sebuah titik di luar silinder. Catatan : yakinkan diri anda bahwa hal ini tidak perlu untuk sebuah titik referensi istimewa jika anda menggunakan Persamaan 2.22.
2.3.3 Poisson’s Equaation and Laplace’s Equation
Kita temukan pada Bagian 2.3.1 bahwa medan listrik dapat dituliskan sebagai gradien dari sebuah potensial skalar.
.
Petanyaan muncul : Apakah persamaan dasar untuk E,
dan
terlihat seperti V ?
, sehingga bagian yang mulai dari tanda
minus, divergensi E merupakan laplasian dari V. Hukum Gauss menyatakan bahwa
(2.24)
Ini dikenal sebagai persamaan Poisson . Di daerah dimana tidak ada muatan, maka
, persamaan Poisson mereduksi ke persamaan Laplace ,
(2.25)
Kita akan meneliti persamaan ini dengan lebih lengkap pada bab 3. Lebih banyak tentang hukum Gauss. Bagaimana dengan hukum curl? Hal ini mengatakan bahwa
harus sama dengan nol. Namun hal tersebut bukan pada kondisi V -curl -curl pada gradien selalu nol. Tentu saja, kami sudah menggunakan hukum curl untuk membuktikan bahwa E dapat dinyatakan sebagai gradien dari sebuah skalar, sehigga hal ini tidak terlalu mengejutkan jika ini dapat dipecahkan: kembali ke
menjamin
mengizinkan
;
. Ini hanya menggunakan satu persamaan
diferensial (milik Poisson) untuk menentukan V , karena V adalah sebuah skalar; untuk E kita membutuhkan dua, dua, yakni divergensi dan curl.
2.3.4 Potensial Sebuah Distribusi Muatan Lokal
Saya mendefinisikan V dalam bentuk E (Persamaan 2.21). Biasanya, kita mencari E (jika kita sudah mengetahui E tidak perlu menghitung V ), ), akan lebih mudah mendapatkan V pertama, V pertama, dan dari menghitung E dengan mengambil gradien. Biasanya, jika diketahui di mana muatan adalah (yaitu, kita tahu ρ tahu ρ), ), dan kita ingin mencari V . Sekarang, persamaan Poisson yang berhubungan V dan ρ, ρ, namun sayangnya itu "cara yang salah: itu akan memberi kita ρ, ρ, jika kita mengetahui V , dimana seperti yang kita inginkan V , ρ diketahui. Yang harus kita lakukan, persamaan poisson ―dibalik ‖. Itu program untuk bagian ini, meskipun saya akan melakukannya dengan sekelilingnya berarti, awal, seperti biasa, dengan muatan titik asal.
Gambar 2.32
Mengatur titik acuan di tak terhingga, potensial dari titik asal muatan q adalah
(Anda lihat disini keutamaan khusus penggunaan tak terbatas untuk titik acuan: memotong batas bawah pada integral). Perhatikan tanda dari V ; mungkin tanda minus konvensional dalam definisi dari V (Persamaan 2.21) dipilih justru untuk membuat potensi dari muatan positif keluar positif. Hal ini berguna untuk diingat bahwa daerah muatan positif adalah potensial "bukit", daerah muatan negatif yang potensial "lembah",
dan
titik
medan
listrik
"menurun",
dari
plus
ke
minus. minus.
Secara umum potensial muatan titik q titik q adalah
dimana r adalah jarak dari muatan ke r (Gambar.2.32). Meminjam prinsip superposisi, potensial dari kumpulan muatan adalah
∑
∫
atau, untuk distribusi yang kontinu,
Secara khusus, untuk muatan volume
∫ ( )
Ini merupakan persamaan yang kita cari, memberitahu kita bagaimana untuk menghitung V ketika kita tahu ρ: ρ: itu jika anda suka, "solusi" untuk persamaan Poisson,
5
karena
distribusi
muatan
lokal.
5
Saya
mengundang
Anda
untuk
Persamaan 2.29 merupakan sebuah contoh dari theorema Helmholtz (Lampiran B), dalam konteks elektrostatistik, dimana curl dari E adalah nol dan divergensinya adalah ρ/ε0
membandingkan Persamaan 2.29 dengan formula yang sesuai untuk medan listrik dengan nilai ρ nilai ρ (Persamaan 2.8):
Titik utama yang perlu diperhatikan adalah bahwa vektor satuan
̂
sekarang
menghilang, jadi tidak perlu khawatir tentang komponen. Kebetulan, potensial garis dan muatan-muatan permukaan:
∫ ()
∫ ( )
Saya harus mengingatkan Anda bahwa segala sesuatu di bagian ini didasarkan pada asumsi bahwa titik referensi di tak terhingga. Ini tidak jelas dalam Persamaan 2.29, tapi ingatlah bahwa kita mempunyai persamaan dari potensial
muatan titik asal, (1/4 π ) (q/ ( q/ r), yang berlaku hanya jika 0 = ∞. Jika Anda mencoba menerapkan formula ini ke salah satu masalah buatan di mana muatan itu sendiri meluas hingga tak terbatas, integral akan menyimpang. Contoh 2.7 Cari potensial kulit bola bermuatan seragam dengan jari-jari R (gambar 2.33).
Solusi: Ini merupakan masalah yang sama dalam Contoh 2.6, tapi kali ini kita akan
melakukannya dengan menggunakan Persamaan 2.30:
Mari kita tetapkan titik r pada sumbu z dan menggunakan hukum cosinus untuk mengekspresikan r dengan r dengan nilai sudut polar θ:
Gambar 2.33 Sebuah luas permukaan elemen pada bidang ini adalah R2 sin θ ’ dθ ’ dυ’ , sehingga
∫ (√ √ √ ) )
Pada tahap ini kita harus hati-hati untuk mengambil akar positif. Daya titik di luar bola, z lebih besar dari R, dari R, dan karenanya
, karena titik di dalam bola,
. Dengan demikian,
Dalam hal jumlah yang dibebankan pada lapisan luar, q = 4π R 4π R2 σ, V (z) = (1/4π ) (q /
z) (atau, secara umum, V ( r ) = (1/4π ) (q / r ) ) untuk titik-titik di luar bola, dan
(1/4π ) (q / R) untuk titik di dalam. Tentu saja, dalam kasus khusus ini, lebih mudah untuk mendapatkan V dengan menggunakan Persamaan 2.21 daripada 2.30, karena hukum Gauss yang memberi E dengan usaha sedikit. Tetapi jika Anda membandingkan Contoh 2.7 dengan Masalah 2,7, anda akan menghargai kekuatan dari potensial formulasi.
Soal 2.25 Menggunakan Persamaan 2.27 dan 2.30, tentukan potensial pada jarak z jarak z di
atas pusat distribusi muatan pada Gambar 2.34. Dalam setiap kasus, menghitung E =
V, dan bandingkan jawaban Anda dengan Soal 2.2a, Contoh 2.1, dan Soal 2.6,
masing-masing. Misalkan kita mengubah muatan sebelah kanan pada gambar 2.34a ke – q; berapa potensial di P ? medan apa yang ditunjukan? Bandingkan jawaban Anda dengan Soal 2.2b dan jelaskan dengan hati-hati kejanggalannya.
Gambar 2.34 Soal 2.26 Sebuah permukaan kerucut (sebuah kerucut es krim kosong) membawa
muatan permukaan seragam ζ. Tinggi kerucut adalah h, seperti jari-jari bagian atas. Tentukan beda potensial antara titik a (puncak) dan b (tengah atas). Soal 2.27 Tentukan potensial pada sumbu dari silinder padat seragam bermuatan,
sebuah jarak z dari z dari pusat. Panjang silinder adalah L adalah L,, jari-jari R jari-jari R,, dan kerapatan muatan adalah ρ. ρ. Gunakan hasil Anda untuk menghitung medan listrik pada saat ini. (Menganggap bahwa z bahwa z > > L/2.) L/2.)
Soal 2.28 Gunakan Persamaan 2.29 untuk menghitung potensial dalam bola padat
seragam bermuatan dengan jari-jari R dan muatan total q. Bandingkan jawaban Anda untuk Masalah 2.21. Soal 2.29 Buktikan Persamaan 2.29 memenuhi persamaan Poisson, dengan
menerapkan Laplacian dan menggunakan Persamaan 1.102.
2.3.5 Ringkasan; Kondisi Batas elektrostatik
Dalam masalah elektrostatik anda diberi sumber muatan distribusi ρ distribusi ρ,, dan anda ingin mencari medan listrik E yang dihasilkan. Kecuali simetrisitas dari masalah memberikan solusi oleh hukum Gauss, biasanya ini merupakan keuntungan anda untuk menghitung potensial pertama, sebagai langkah menengah. Ini adalah tiga jumlah dasar elektrostatika; ρ, E, dan V . Kita, dalam diskusi kita, berasal keenam formula yang saling berhubungan dengan mereka. Persamaan-persamaan ini rapi diringkas pada Gambar. 2.35. Kami mulai dengan hanya dua pengamatan eksperimen: (1) prinsip superposisi - aturan umum yang luas berlaku untuk semua gaya elektromagnetik, dan (2) hukum Coulomb - hukum dasar elektrostatika. Dari ini, semuanya diikuti.
Gambar 2.35
Gambar 2.36 Anda mungkin telah menyadari, dalam mempelajari Contoh 2.4 dan 2.5, atau penyelesaian soal seperti 2.7, 2.11 dan 2.16, bahwa medan listrik selalu mengalami diskontinuitas ketika melintasi permukaan muatan ζ. Bahkan, itu adalah masalah sederhana untuk menemukan jumlah dimana perubahan pada seperti batas E. Misalkan kita menggambar kotak obat Gaussian sangat tipis, memperluas hanya nyaris di tepi di setiap arah (Gambar 2.36). Hukum Gauss menyatakan bahwa
di mana A adalah luas pada tutup kotak obat. (Jika σ bervariasi dari titik atau permukaan melengkung, kita harus memilih A memilih A menjadi sangat kecil). Sekarang, sisisisi kotak obat itu tidak memberi kontribusi apapun untuk fluks, dalam batas sebagai ketebalan
ke nol, jadi:
dimana
di atas, dan
(2.31)
menunjukkan komponen dari E yang tegak lurus ke permukaan tepat adalah sama, hanya saja di bawah permukaan. Untuk
konsistensi, kita membiarkan "ke atas" menjadi arah positif untuk keduanya.
Kesimpulan: komponen normal E adalah diskontinu oleh setiap banyaknya σ/ batas apapun. apapun. Secara khusus, di mana tidak ada permukaan muatan, seperti misalnya pada permukaan sebuah bola padat muatan seragam.
pada
kontinu, kontinu,
Komponen tangensial dari E, sebaliknya, selalu kontinu. kontinu. Sebab jika kita menerapkan Persamaan. 2.19,
∮
E.dl = 0,
untuk loop persegi panjang tipis pada Gambar 2.37, 0 , dan sisi memberikan
( )
, sehingga
(2.32)
Gambar 2.37 dimana
singkatan komponen E paralel ke permukaan. Kondisi batas di E
(Persamaan 2.31 dan 2.32) dapat dikombinasikan menjadi sebuah rumus tunggal:
dimana 6
(2.33)
adalah vektor satuan tegak lurus ke permukaan, menunjuk dari "bawah" ke
"atas".
Potensial, sementara itu, kontinu di setiap batas (Gambar 2.38), k arena
Panjang jalur menyusut ke nol, demikian d emikian juga integral:
6
Catatan Catatan bahwa hal ini tidaklah bermasalah dimana sisi yang anda sebut ―atas‖ dan yang ―bawah‖ karena kebalikan akan menukar arah dari . Secara kebetulan, jika anda hanya tertarik pada medan yang dikarenakan (sangat esensial datar) potongan lokal dari muatan permukaan itu sendiri , jawabannya adalah ( σ / 2ε0) secara langsung berada diatas permukaan, dan - ( σ / 2ε0) secara langsung berada dibawah. Hal ini mengikuti Persamaan 2.4, jika kamu terlalau dekat dengan potongan tersebut maka ―terlihat‖ seperti sebuah bidang tak hingga. Dengan jelas keseluruhan diskonuitas dalam E adalah dikaitkan pada potongan lokal dari muatan.
(2.34)
Gambar 2.38 Namun demikian, gradien demikian, gradien dari V mewarisi V mewarisi diskontinuitas dalam E; karena E = -
V,
Persamaan. 2.33 menunjukkan bahwa
(2.35)
(2.36)
(2.37)
atau, lebih nyaman,
dimana
menandakan turunan normal dari V (yaitu, V (yaitu, tingkat perubahan dalam arah tegak lurus ke permukaan). Harap dicatat bahwa kondisi batas hubungan medan dan potensial tepat di atas dan di bawah permukaan. Sebagai contoh, turunan dalam Persamaan 2.36 adalah nilai batas seperti kita mendekati permukaan dari kedua sisi.
Soal 2.30
a) Buktikan hasil Contoh 2.4 dan 2.5, dan Masalah 2.11, konsisten dengan Persamaan. 2.33.
b) Gunakan hukum Gauss untuk mencari medan di dalam dan di luar tabung silinder panjang berongga, yang pembawa muatan permukaan ζ seragam. Buktikan hasil anda konsisten dengan Persamaan 2.33. c) Buktikan apakah hasil dari Contoh 2.7 konsisten dengan kondisi batas 2.34 dan 2.36.
2.4 Kerja Dan Energi Di Elektrostatik 2.4.1 Kerja Yang Dilakukan untuk Memindahkan Muatan
Misalkan anda memiliki konfigurasi stasioner sumber muatan, dan anda ingin memindahkan muatan tes q dari titik a ke titik b (Gambar 2.39). Pertanyaan 2.39). Pertanyaan:: Berapa banyak pekerjaan yang harus anda lakukan? Pada setiap titik sepanjang jalur, gaya listrik yang bekerja pada Q adalah F = QE; gaya yang anda harus kerahkan, bertentangan dengan gaya listrik ini, adalah -QE. (Jika tanda mengganggu anda, pikirkanlah bagaimana mengangkat sebuah bata: Gravitasi memberikan gaya mg ke bawah, bawah, tapi anda mengerahkan gaya mg ke atas. atas. Tentu saja, anda dapat menerapkan dapat menerapkan lebih besar gaya — gaya — kemudian kemudian bata tersebut akan mempercepat, dan bagian
Gambar2.39 dari usaha anda akan ―terbuang ― menghasilkan energi kinetik . Apa yang menarik disini adalah minimumnya minimumnya gaya yang harus anada kerahkan untuk melakukan tugas tersebut.) Pekerjaan tersebut yakni
W
b
a
F d l Q
b
a
E d l Q[V ( b) V (a)]
Perhatikan bahwa jawabannya berdiri sendiri dari jalur anda mengambil dari a ke b; dalam mekanika, kemudian, kita dapat menyebut gaya elektrostatik elektrostatik ―konservatif‖. ―konservatif‖. Terbagi melalui Q, kita memiliki V (b) V (b) – – V V (a) (a) =
W Q
(2.38)
Dalam kalimat, perbedaan kalimat, perbedaan potensial antara titik a dan b sama dengan pekerjaan per satuan biaya yang diperlukan d iperlukan untuk membawa partikel p artikel dari a sampai b. Khususnya, jika anda ingin membawa muatan Q dari jauh dan memasukkannya pada titik r , pekerjaan yang harus kamu lakukan adalah W = W = Q [V ( V (r) – V – V (∞)] (∞)] Jadi, jika anda telah menetapkan titik acuan pada tak hingga W = W = QV (r) QV (r)
(2.39)
Dalam hal ini potensial adalah energi potensial (kerja yang dibutuhkan untuk menciptakan sistem) per satuan muatan (sama seperti medan adalah kekuatan per satuan muatan). 2.4.2 Energi Distribusi Muatan Titik
Berapa banyak pekerjaan yang akan terambil untuk merakit seluruh kumpulan titik muatan? Bayangkan bagaimana membawa muatan, satu per satu, dari jauh (Gambar 2,40). Muatan pertama, q1, ambillah tiada kerja, karena tidak ada medan yang bekerja. Sekarang bawalah q2. Menurut Persamaan 2.39, ini akan memberikan anda q2V 1 (r2), dimana V 1 adalah potensial yang dikarenakan q1, dan r2 adalah tempat menempatkan q2:
W 2 =
1 4 0
q1 12
q 2
Gambar 2.40 (r 12 12 adalah jarak antara q1 dan q2 setelah mereka berada dalam posisi). Sekarang bawalah q3; hal ini memerlukan kerja q3V 1, 1,
2
(r3), dimana V1,2 adalah potensi yang
dikarenakan muatan q1 dan q2, bernama, (1/40)(q )(q1/r 13 13 + q2/r 23 23). Dengan demikian
W 3 =
q1
1 4 0
q 3
r 13
q 2
r 23
Dengan cara yang sama, kerja tambahan untuk membawa q4 akan menjadi
W 4 =
q1
1 4 0
q 4
r 14
q2 r 24
q 3
r 34
Total kerja yang diperlukan untuk mengumpulkan muatan empat yang pertama, kemudian, adalah
W = W =
q1 q 2 q1 q 3 q1 q 4 q 2 q 3 q 2 q 4 q 3 q 4 4 0 r 12 r 13 r 14 r 23 r 24 r 34 1
Anda melihat aturan umum: Ambillah hasil dari masing-masing pasangan muatan, bagilah dengan pemisahan jarak mereka, dan tambahkanlah kesemuan ya:
W = W =
1 4 0
n
n
i 1 j 1 j i
q i q j r ij
(2.40)
Ketentuan j > i
akan mengingatkan anda untuk tidak menghitung pasangan
yang sama dua kali. Cara yang lebih baik untuk mencapai tujuan yang sama akan secara intuisi menghitung setiap pasangan dua kali, dan kemudian membagi dengan 2:
W = W =
n
1
n
8 0
q i q j r ij
i 1 j 1 j i
(2.41)
(kita masih harus menghindari i = j, tentu saja). Perhatikan bahwa dalam bentuk ini jawabannya jelas tidak tergantung pada urutan dimana anda mengumpulkan muatan, karena setiap pasangan terjadi dalam jumlah. Biarkanlah saya keluarkan berikutnya faktor q faktor qi:
n 1 q j W = W = q i 2 i 1 j 1 4 0 r ij j i 1
n
Istilah dalam tanda kurung adalah potensi pada saat ri (posisi dari qi) dikarenakan kesemua muatan lainnya — lainnya — kesemuanya , sekarang , bukan hanya yang hadir pada suatu tahap dalam proses pembuatan. Dengan demikian :
W = W =
1 2
n
q V (r ) i
i
(2.42)
i 1
Itulah berapa banyak kerja yang diperlukan untuk mengumpulan konfigurasi titik muatan; itu juga merupakan jumlah pekerjaan yang anda dapatkan kembali jika anda membongkar sistem. Sementara itu, hal ini mewakili energi yang tersimpan dalam konfigurasi konfigurasi (―potensial‖ energi, jika anda anda suka, walaupun untuk alasan yang jelas saya lebih suka untuk menghindari kata tersebut dalam konteks ini).
Soal 2.31 (a) Tiga buah muatan terletak pada sudut-sudut segi empat (sisi a), seperti ditampilkan dalam Gambar 2.41. Berapa banyak kerja yang dibutuhkan untuk membawa muatan lain, +q +q, dari jauh dan meletakkannya di keempat sudut? (b) Berapa banyak kerja yang dibutuhkan untuk mengumpulkan konfigurasi seluruh empat muatan?
Gambar 2.41
2.4.3 Energi dari sebuah Distribusi Muatan Kontinyu
Untuk sebuah muatan volume berat jenis jenis , Persamaan 2.42 menjadi
W = W =
1 2
V d
(2.43)
(Integral yang sesuai untuk baris dan muatan permukaan akan menjadi V dl V dl dan dan
V da, da, berturut-turut.) Ada cara yang baik untuk menulis ulang hasil ini, dimana dan v dihilangkan karena E. Pertama menggunakan hukum Gauss untuk menunjukkan ρ menunjukkan ρ dalam bentuk E: = = 0
E, sehingga W = W =
0 2
(
E) V d
Sekarang gunakanlah integrasi oleh bagian (Persamaan 1.59) untuk memeindahkan turunan dari E ke V :
W = W =
Namun
0 2
E (V )d VE d a
V = - E,sehingga :
W = W =
0 2 E d V E d a 2 S
(2.44)
Namun volum apa yang kita integrasikan? Marilah kembali ke rumus yang kita mulai, Persamaan 2.43. Dari turunannya, jelaslah bahwa kita harus mengintegralkan wilayah di mana muatan berada. Namun sebenarnya , setiap volume yang lebih besar akan melakukan hal yang sama: Tambahan area kita berikan akan menghasilkan apapun pada integral, karena ρ karena ρ = 0 disana. Karena hal tersebut, marilah kembali pada Persamaan 2.44 . Apa yang terjadi disini, disini, sebagaimana kita memperluas volume dibawah minimum yang diperlukan untuk menjerat kesemua muatan? Baiklah, 2
integral dari E dari E hanya dapat bertambah (integran akan menjadi positif) , dengan jelas integral permukaan harus berkurang secara secara berhubungan untuk membiarkan penjumlahan utuh. Pada kenyataannya, pada jarak yang jauh dari muatan, mu atan, E E menjadi menjadi 2
2
seperti 1/ r dan V seperti V seperti 1/r, sementara area permukaan tumbuh menjadi r . Secara kasar dapat dikatakan kemudian, integral permukaan turun seperti 1/r. Harap mengerti bahwa Persamaan 2.44 memberikan anda energi W yang tepat, volume a papun yang anda gunakan (selama itu memnutup kesemua muatan), namun kontribusi dari integral volume naik, dan bahwa integral permukaan turun, saat anda mengambil volume yang lebih besar dan lebih besar. Secara khusus, mengapa tidak mengintegrasi kesemua ruang? Kemudian integral permukaan menjadi nol, dan kita dihadapkan dengan
W = W =
0 2
E 2 d
all Space
(2.45)
Contoh 2.8 Carilah energi dari sebuah kulit bola bermuatan seragam dari muatan total q dan jari jari R jari R.. Solusi 1: Gunakanlah Persamaan 2.43, dalam versi yang sesuai untuk muatan
permukaan: permukaan:
W = W =
1 2
V da
Sekarang, potensial di permukaan bola ini adalah (1/4 0)q/R (konstan), jadi
W = W =
1
q
8 0 R
q2
1
da 8
0
R
Solusi 2: Gunakanlah persamaan 2.45. Di dalam bola E = 0; di luar
E=
1
q
4 0 r 2
r
sehingga
ˆ
q2
2
E =
(4 0 ) 2 r 4
oleh karena itu
0 W tot tot = 2(4 0 ) 2 =
1 32 2 0
q 2 2 4 (r sin dr d d ) r outside 2
q 4
R
1 r 2
dr
1
q2
8 0 R
Soal 2.32 Carilah energi yang tersimpan dalam bola padat bermuatan seragam dengan
jari-jari R jari-jari R dan muatan q. Lakukanlah dengan tiga cara yang berbeda: (a) Gunakanlah Persamaan 2.43. Anda temukan potensial dalam Soal 2.21. (b) Gunakanlah Persamaan 2.45. Jangan lupa untuk mengintegrasikan kesemua ruang.
(c) Gunakanlah Persamaan 2.44. Ambillah sebuah volume bola dengan jari-jari a. Perhatikanlah apa yang terjadi bila a ∞. Soal 2.33 Disini terdapat keempat cara menghitung energi dari sebuah bola bermuatan
seragam: Rangkailah bola lapisan perlapisan, setiap kali membawa muatan sangat kecil dq dari jarak yang jauh dan menodainya secara seragam pada permukaan, sehingga meningkatkan jari-jarinya. Berapa banyak kerja
d W yang dibutuhkan untuk
membangun jari-jari oleh sebuah jumlah dr ? Ingrasikanlah hal ini untuk menemukan kerja yang diperlukan untuk membuat keseluruhan bola dengan jari-jari R dan muatan total q.
2.4.4 Ulasan mengenai Energi Elektrostatik (i)
“Inkonsistensitas
yang
membingungkan.”
Persamaan
2.45
jelas
menyisaratkan bahwa energi distribusi muatan stasioner selalu positif. Di sisi lain, Persamaan 2.42 (dari mana 2.45 telah diturunkan), dapat menjadi positif atau negatif. Misalnya, menurut 2.42, energi dari dua muatan yang sama dengan jarak r terpisah 2
akan menjadi — menjadi — (1/4 (1/40)(q )(q /r ) Apakah yang salah? Persamaan mana yang benar? Jawabannya adalah bahwa kedua persamaan benar, namun mereka berkaitan dengan situasi yang sedikit berbeda. Persamaan 2.42 tidak memperhitungkan kerja yang diperlukan untuk membuat muatan titik pada tempat pertama; Kami memulai dengan muatan titik dan secara mudah menemukan kerja yang dibutuhkan untuk membawa muatan-muatan tersebut bersama-sama. Ini merupakan hal yang bijaksana, karena Persamaan 2.44 mengindikasikan bahwa energi dari sebuah titik muatan pada kenyataannya merupakan tak hingga:
0 W = W = 2(4 0 ) 2
q 2 2 q2 r 4 (r sin dr d d ) 8 0
0
1 r 2
dr
Persamaan 2.45 lebih lengkap, dalam arti bahwa hal tersebut memberitahu anda total energi yang tersimpan dalam konfigurasi muatan, namun Persamaan 2.42 lebih tepat ketika anda berhadapan dengan muatan-muatan titik, karena kita lebih memilih (untuk alasan yang baik!) meninggalkannya sebagian dari total energi yang berkaitan dengan fabrikasi muatan titik itu sendiri. Dalam prakteknya, setelah semua, muatan titik (elektron, katakanlah) diberikan kepada kita yang telah siap pakai; kesemua yang kita lakukan adalah menggerakkannya. Karena kita tidak menempatkannya bersamasama, dan kita tidak bisa mengambilnya secara terpisah, hal tersebut tidaklah penting berapa banyak kerja yang akan melibatkan proses. (Namun, energi en ergi yang tak terbatas dari muatan titik adalah sumber dari keadaan yang memalukan untuk teori elektromagnetik, menimpa versi kuantum maupun klasik. Kita sebaiknya kembali ke soal dalam Bab 11.) Sekarang, anda mungkin bertanya-tanya di mana ketidaktetapan merambat kedalam sebuah turunan water-tight secara terpisah. ―Kekurangan‖ terletak diantara persamaan 2.42 dan 2.43: Pada sebelumnya, V (ri) mewakili potensial dikarenakan kesemua muatan yang lain namun bukan qi, qi, sedangkan lainnya, V (r) adalah potensial penuh. Untuk distribusi kontinyu ada tidak terdapat perbedaan, karena jumlah muatan tepat di titik r semakin kecil, dan kontribusinya terhadap potensial adalah nol. (ii) Dimana energi tersimpan? Persamaan 2.43 dan 2.45 menawarkan dua
cara berbeda untuk menghitung hal yang sama. Yang pertama adalah integral atas distribusi muatan; yang kedua adalah integral keseluruh medan. Ini dapat melibatkan secara sempurna daerah yang sama sekali berbeda. Sebagai contoh, dalam kasus dari kulit bulat (Contoh 2.8) muatan ini dibatasi pada permukaan, sedangkan medan listrik yang terdapat diseluruh permukaan luar . Di mana kemudian energi? Energi tersimpan dalam medan, sebagaimana Persamaan 2.45 menyarankan, atau energi tersimpan dalam muatan, sebagaimana Persamaan 2.43 menyiratkan? Pada tingkat saat ini, hal ini hanya merupakan sebuah pertanyaan yang tak terjawab: Saya dapat memberitahu anda apakah total energi tersebut, dan saya dapat membantu anda dengan beberapa
cara yang berbeda untuk menghitung, namun sangatlah tidak perlu untuk khawatir tentang dimana energi terletak. Dalam konteks teori radiasi (Bab 11) sangatlah berguna (dan dalam Relativitas Umum sangatlah penting) untuk menganggap energi tersimpan dalam, dengan kepadatan
0
E 2 = energi per satuan volume
2
(2,46)
Namun dalam elektrostatik salah satu dapat juga dikatakan bahwa energi tersimpan 1 2
dalam muatan, dengan kepadatan
V V. Perbedaannya adalah murni masalah
pembukuan. (iii) Prinsip Superposisi. Karena energi elektrostatik adalah bilangan kuadrat
didalam medan, tidak mematuhi prinsip superposisi . Energi dari senyawa sistem ini bukanlah jumlah dari energi-energi yang bagian-bagiannya dianggap terpisah — terdapat juga terdapat juga ― bentuk cross bentuk cross‖‖ :
W tot tot =
=
0
2
0 2
E 2 d
( E
2 1
0
(E 2
1
E 2 ) 2 d
E 22 2E1 E 2 ) d
= W 1 + W 2 + 0 E1 E2 d
(2.47)
Sebagai contoh, jika anda mendualipatkan muatan disegala penjuru, anda melipat empatkan total energi. Soal 2.34 Pertimbangkan dua kulit bola konsetris, dengan jari-jari a dan b Andaikan
salah inti membawa muatan q, dan luaran membawa satu muatan -q - q (keduanya didistribusikan seragam ke seluruh permukaan). Hitunglah energi dari konfigurasi ini, (a ) Gunakanlah Persamaan 2.45 , dan (b) Gunakanlah Persamaan 2.47 dan hasil dari Persamaan 2.8
2.5 Konduktor 2.5.1 Sifat-sifat Dasar Pada suatu insulator , seperti halnya kaca atau karet, setiap elektron terikat pada sebuah atom tertentu. Pada sebuah konduktor metalik, berbeda, satu elektron atau lebih per atom bebas bergerak di dalam materi. (Pada konduktor-konduktor cair seperti air garam
ion-ionlah ion-ionlah yang bergerak). Sebuah konduktor sempurna konduktor sempurna akan
menjadi sebuah materi yang terdiri dari pasokan tak terbatas dari muatan-muatan bebas. Pada kehidupan nyata tidak ada konduktor sempurna, namun banyak substansi-substansi yang secara menarik hampir menyerupainya. Dari definisi ini sifat-sifat dasar dari konduktor ideal mengikuti: (i) E=0 Didalam sebuah konduktor. Mengapa? Karena jika terdapat suatu
medan, muatan-muatan bebas tersebut akan bergerak. Dan itu tidak akan menjadi elektrostatik lagi. Baiklah… Baiklah… hal itu sangat sulit untuk sebuah penjelasan yang memuaskan. Kita memiliki penjelasan lebih baik tentang hal yang terjadi ketika anda meletakkan sebuah konduktor kedalam sebuah medan elektrik eksternal E0 (gambar 2.42). Pada awalnya, hal ini akan menuntun setiap muatan positif bebas ke arah kanan dan
yang
negatif
kearah
kiri.
(Pada
prakteknya
hanya
muatan-muatan
negatif(elektron-elektron) yang bergerak, namun ketika mereka bergerak, sisi kanan adalah sisi kiri dengan sebuah muatan net positif-inti tetap- jadi tidak bermasalah muatan mana yang bergerak, efeknya akan sama). Ketika mereka tibapada tepi materi, muatan akan tersusun : positif di kanan, negatif di kiri. Saat ini, muatan terinduksi ini menghasilkan sebuah medan dari mereka sendiri, E1, dimana, seperti
yang anda lihat pada gambar, adalah pada arah yang berlawanan dengan E0. Itulah titik kritis, hai ini berarti bahwa medan muatan yang terinduksi cenderung untuk meniadakan medan aslinya. aslinya. Muatan akan terus mengalir hingga peniadaaan ini
berakhir, dan
medan
resultan didalam konduktor
7
dipastikan bernilai nol.
Keseluruhan proses secara praktek berjalan seketika itu juga.
Gambar 2.42 (ii) ρ = 0 didalam konduktor . Hal ini mengikuti hukum gauss:
.
Jika E = 0 , begitu pula ρ. ρ. Didalamnya masih terdapat muatan, namun dapat dipastikan muatan positif sebanyak negatif, sehingga densitas muatan net padabagian net padabagian dalam adalah nol. (iii) Setiap muatan net terletak pada permukaan . Hanya disanalah tempat
yang mungkin. (iv) Sebuah konduktor adalah sebuah ekuipotensial . Untuk jika a dan b
adalah 2 titik didalam (atau pada permukaan dari) sebuah konduktor,
∫ 7
dan oleh sebab itu V ( V (a) = V ( V (b).
Diluar konduktor Diluar konduktor nilai medan tidak nol, tidak nol, untuk disini E0 dan E1 tidak ditiadakan.
Gambar 2.43 (v) E adalah tegak lurus dengan permukaan, hanya diluar sebuah konduktor . Sebaliknya, sebaimana pada (i), muatan akan secara seketika mengalir ke
sekitar permukaan hingga ia menghilangkan komponen tangensial (Gambar 2.43). ( Tegak lurus pada permukaan, muatan tidak dapat bergerak, tentu saja, karena ia terkurung pada obyek pengdaya hantar. Saya mengangap ini merupakan hal yang janggal bahwa muatan pada sebuah konduktor mengalir ke permukaan. Karena daya saling tolak mereka, muatan secara alami menyebar sebanyak mungkin, namun untuk kesemuanya ke permukaan seperti sebuah pemborosan pada ruang bagian dalam.. Secara pasti kita dapat melakukan lebih baik, dari pandangan untuk membuat setiap muatan sejauh mungkin dari tetangganya, untuk menghamburkan beberapa dari mereka melalui volume… Baiklah, hal ini mudah tapi tidak begitu juga. Anda dapat melakukan hal terbaik untuk meletakkan kesemua muatan pada permukaan, dan hal ini dibenarkan tanpa 8
menghiraukan ukuran maupun bentuk dari konduktor.
Masalah dapat juga berasal pada keadaan energi. Seperti halnya sistem dinamis bebas, muatan pada sebuah sebu ah konduktor akan mencari m encari konfigurasi yang meminimalkan potensial energinya. Apa yang sifat (iii) nyatakan adalah bahwa energi elektrostatistik dari sebuh obyek padat (dengan bentuk spesifik dan muatan total) adalah minimum 8
Bagaimanapun, analogi satu maupun dua dimensi sangatlah berbeda: Muatan pada piringan pengdaya hantar tidak kesemuanya mendekati pinggiran (R. Friedberg, Am. Am. J. of Phys. 61, 1084 (1993)), maupun yang terjadi pada muatan pada jarum pengdaya hantar berakhiir (D.J. Griffiths dan Y. Li, Am. J. Phys. Phys . 64, 706 (1996)). Lihat soal 2.52.
ketika muatan tersebut tersebar keseluruh permukaan. Misalnya, energi sebuah 2
bidang adalah (1/8π ε0) (q / R) jika muatan terdistribusi secara seragam keseluruh permukaan, seperti yang kita temukan pada persamaan 2.8, namun itu lebih besar, 2
(3/20πε0) (q (q /R), jika muatan terdistribusi seragam diseluruh volume. (Soal 2.32)
2.5.2 Muatan Induksi Jika anda memegang sebuah muatan +q +q dekat dengan sebuah konduktor tanpa muatan (gambar 2.44), keduanya akan menarik satu sama lain. Alasan dari hal ini yakni q akan mendorong muatan-muatan negatif ke sisi terdekat dan menolak muatan-muatan positif ke sisi terjauh. (Cara lain untuk memahami yakni bahwa muatan bergerak dalam suatu bentuk tertentu untuk meniadakan medan q pada titik di dalam konduktor, dimana medan total harus nol). Karena muatan induksi negatif medekati q, terdapatlah gaya tarikan net . (Pada Bab 3 kita akan menghitung gaya ini secara terpisah, untuk kasus pada sebuah konduktor bola.)
Gambar 2.44
Gambar 2.45
Bagaimanapun, ketika saya berbicara mengenai medan, muatan, ataupun potensial ―didalam‖ sebuah kond konduktor, yang saya maksud dalam ―isi‖ dari konduktor; jika terdapat beberapa rongga didalam konduktor, dan bersama rongga tersebut terdapat beberapa muatan, maka medan didalam rongga tidak akan menjadi nol.
Namun dalam cara yang baik rongga dan kontennya terkurung dengan listik dari dunia luar dengan konduktor disekelilingnya (Gambar 2.45). Tidak ada medan eksternal yang menekan konduktor: mereka ditiadakan pada permukaan terluar oleh muatan induksi yang berada disana. Dengan cara yang sama, medan dikarenakan muatan didalam rongga dihilangkan, untuk semua titik ekterior, oleh muatan induksi pada permukaan dalam. (Bagaimanapun, muatan kompensasi yang tersissa pada permukaan terluar konduktor secara efektif ―berhubungan‖ dengan kehadiran q dengan dunia luar, luar, sebagiamana kita akan lihat pada contoh 2.9.) Pada awalnya, muatan total induksi dalam dinding rongga adalah sama dan berlawanan dengan muatan dalam, jika kita mengelilingi rongga dengan sebuah permukaan Gaussian, kesemua titik yang didalam konduktor (Gambar 2.45),
∮
dan oleh sebab
itu (oleh hukum Gauss) muatan net terdekat harus bernilai 0. Namun Qenc = q + qinduksi, sehingga qinduksi = -q. -q. Contoh 2.9 Sebuah konduktor bola tanpa muatan berpusat pada awalnya memiliki sebuah rongga dengan bentuk tak beraturan tergores (Gambar 2.46). Disuatu tempat didalam rongga terdapat muatan q. Pertanyaan: q. Pertanyaan: Berapa medan di luar bola?
Gambar 2.46 Solusi: Pada pandangan pertama akan terlihat bahwa jawaban tergantung pada bentuk
rongga dan peletakkan muatan. Namun hal tersebut salah: Jawabannya adalah
Bagaiamanapun juga. juga . Konduktor menyembunyikan dari kita informasi mengenai sifat dasar rongga, hanya menunjukkan muatan total yang terkandung. Bagaimana itu dapat terjadi? Baiklah, muatan +q menginduksi sebuah muatan berlawanan – q pada dinding rongga, yang terdistribusi olehnya dengan cara tertentu kemudian medannya meniadakan q, untuk kesemua titik diluar rongga. Karena konduktor tidak membawa muatan net , hal ini meninggalkan +q terdistribusi sendiri secara beraturan kesemua permukaan bola. (Hal tersebut beraturan dikarenakan pengaruh assimetris dari titik muatan +q ditiadakan oleh muatan induksi – induksi – q pada permukaan dalam). Untuk titik diluar bola, kemudian, satu hal yang tersisa yakni medan yang ditinggalkan +q, +q, secara beraturan terdistribusi keseluruhan permukaan luar. Hal ini dapat terjadi pada anda bahwa dalam suatu hal argumen ini secara terbuka dapat diragukan: Sesungguhnya terdapat tiga medan yang bekerja disana, Eq, Einduksi, dan Esisa. Kesemua yang kita tahu untuk hal tertentu bahwa jumlah dari ketiga nya adalah nol didalam konduktor, meskipun saya mengklaim bahwa yang kedua yang pertama ditiadakan didalam konduktor, siapa yang mengatakan meraka tetap ditiadakan untuk titik diluar? Mereka tidak ditiadakan, pada akhirnya, peniadaan untuk titik didalam rongga. Saya tidak dapat memberikan anda sebuah jawaban lengkap yang memuaskan pada saat ini, namun hal ini setidaknya benar: Masih terdapat sebuah jalan untuk mendistribuskan – q keseluruh permukaan dalam sehingga untuk meniadakan medan q pada titik luar ruangan. Untuk rongga yang sama yang telah tergores sebuah konduktor bola yang besar dengan radius 27 mil tahun cahaya atau apapun. Pada kasus demikian sisa +q pada permukaan luar secara sederhana terlalu jauh untuk memproduksi sebuah medan signifikan, dan kedua medan lainnya akan telah berhasil meniadakan sendiri. Jadi kita tahu mereka bisa melakukannya… namun apakah kita yakin mereka yang terpilih? terpilih? Mungkin untuk bola kecil pada dasarnya memilih beberapa tiga cara peniadaan yang sukar. Tidak: seperti yang kita lihat dalam theorema keunikan pada Bab 3, elektrostatik sangat sedikit dengan pilihannya: selalu ada suatu cara yang tepat-tidak ada lagi-pendistribusian muatan pada sebuah konduktor seperti halnya membuat medan didalam bernilai nol. Menemukan sebuah cara yang mungkin, mungkin, kita dapat menjamin bahwa tidak ada alternatif tersisa bahkan dalam prinsip.
Jika sebuah rongga yang dikelilingi oleh materi yang berdaya hantar maka dengan sendirinya muatan akan kosong, kemudian medan didalam rongga menjadi nol. Untuk setiap garis medan akan berawal dan berakhir pada dinding rongga,
bergerak dari muatan positif ke sebuah muatan negatif (Gambar 2.47). Biarkanlah garis medan menjadi bagian dari sebuah loop tertutup, sisanya secara keseluruhan berada didalam konduktor (dimana E = 0), integral
∮
Gambar 2.47 dipastikan positif dipastikan positif , pada penyimpangan Persamaan 2.19. Hal ini sesuai bahwa E = 0 didalam sebuah rongga kosong, dan disana terbukti tidak ada muatan pada permukaan rongga. (Hal inilah mengapa anda secara relative aman berada didalam sebuah mobil metal selama badai petir-anda mungkin saja terpanggang , jika petir menyambar, namun anda tidak akan terlistriki. terlistriki. Prinsip yang sama berlaku pada penempatan apparatus sensitif didalam sebuah Faraday cage , untuk melindungi medan elektrik yang menyimpang keluar. Pada prakteknya, lingkupan tidak harus menjadi sebuah konduktor padat-sebuah kurungan akan mencukupi. Soal 2.35 Sebuah bola metal dengan radius R, R, membawa muatan q, yang dikelilingi dengan
sebuah kulit konsetrik metal tebal (radius dalam a, radius b, sebagaimana Gambar 2.48) kulitnya tidak membawa muatan net . (a) Carilah Carilah kepadatan muatan permukaan ζ pada r , pada a dan pada b. (b) Carilah potensial pada titik pusat, gunakanlah tak hingga sebagai titik rekomendasi (c) Saat ini permukaan terluar tersentuh dengan kabel grounding , yang menurunkan nilai potensial menjadi no (mendekati tak hingga). Bagaimana jawaban anda berubah pertanyaan (a) dan (b)?
pada
Soal 2.36 Dua rongga bola, dengan radius a dan b, melubangi ruang dalam a (netral)
mengdaya hantarkan bola dengan radius R (Gambar 2.49) pada pusat dari setiap rongga ditempatkan muatan-dinamakan muatan qa dan qb. (a) Carilah muatan permukaan σ a , σ b dan ζR . (b) Berapakah medan diluar konduktor? (c) Berapakah medan disetiap rongga? (d) Berapakah gaya pada qa dan qb? (e) Mana saja dari jawaban ini akan berubah jika sebuah muatan qc, dibawa mendekati konduktor?
Gambar 2.48
Gambar 2.49
2.5.3 Muatan Permukaan dan Gaya pada sebuah Konduktor
Dikarenakan medan didalam sebuah konduktor adalah nol, syarat batas 2.33 memerlukan bahwa medan yang seketika berada diluar adalah diluar adalah E=
ń.
(2.48)
konsisten dengan hasil sebelumnya bahwa medan adalah normal pada permukaan. Dalam bentuk potensial, Persamaan 2.36 menghasilkan
ζ = - ε0
(2.49)
Persamaan ini memungkinkan anda untuk menghitung muatan permukaan pada konduktor, jika anda dapat menentukan E atau V ; kita sebaiknya menggunakannya dalam bab selanjutnya. Dalam kehadiran medan elektrik, sebuah muatan permukaan akan, secara lami, menghasilkan sebuah gaya; gaya persatuan luas, f , adalah ζE. Namun terdapatlah sebuah permasalahan disini, medan elektrik adalah tidak kontinyu pada muatan permukaan, sehingga nilai mana yang sebaiknya digunakan: Eatas, E bawah, atau sesuatu diantaranya? Jawabannya adalah bahwa kita sebaiknya menggunakan rata-rata dari keduanya:
f = ζ Erata-rata = ζ (Eatas + E bawah).
(2.50)
Mengapa rata-rata? Alasannya sangatlah sederhana, meskipun memberitahunya membuatnya terasa rumit: Marilah perhatian kita fokus pada potongan kesil dari permukaan yang menyelimuti titik dalam pertanyaan (Gambar 2.50). buatlah hal tersebut sedikitnya cukup sehingga hal tersebut sangatlah datar dan muatan permukaan dalamnya sangatlah konstan. Medan total terdiri dari dua bagiandiakibatkan oleh potongannya sendiri, dan dikarenakan hal lainnya (area lain dari permukaan, sebagaimana setiap sumber eksternal yang mungkin ada): E = E potongan + Elainnya
Sekarang, potongan tidak dapat mendesak gaya padanya, lebih lagi anda dapat menaikkan diri anda dengan berdiri dalam sebuah keranjang dan mendorong pegangannya. Gaya dalam potongan, kemudian, secara ekslusif dikarenakan Elainnya, dan hal ini mengakibatkan tiadanya diskontinuitas (jika kita menghilangkan potongan, medan
dalam ―lubang‖ akan menjadi
halus dengan sempurna).
Diskpntinuitas dikarenakan secara keseluruhan oleh muatan dalam potongan,
Gambar 2.50 yang terletak diluar sebuah medan (ζ/2ε0) dalam sisi lainnya, menunjuk jauh dari permukaan (Gambar 2.50).Oleh karena itu,
ń ń
Eatas = Elainnya +
E bawah = Elainnya
dan sehingga Elainnya =
(E
atas
+ E bawah) = Erata-rata
Perata-rataan hanyalah sebuah alat untuk menghilangkan kontribusi dari potongan itu sendiri. Argumen tersebut menggunakan setiap muatan permukaan; pada kasus khusu dari sebuah konduktor, medannya nol didalam dan (ζ / ε0) ń diluar (Persamaan 2.48), sehingga rata-ratanya rata-ratanya adalah (ζ / ε0) ń dan gaya per satuan luasnya adalah f=
σ ń 2
(2.51)
Ini adalah jumlah dari sebuah tekanan elektrostatik kearah luar pada permukaan, lebih baik gambarlah konduktor kedalam medan, tanpa menghiraukan tanda dari σ . Menjelaskan tekanan dalam bentuk medan dilaur dari permukaan, P =
E . 2
(2.52)
Soal 2.37 Dua buah metal besar (dengan masing-masing luas A) A) memiliki jarak d . Misalkan kita letakkan sebuah muatan Q pada setiap piringan; berapakah tekanan elektrostatistik pada piringan? Soal 2.38 Sebuah bola metal dengan jari-jari R membawa total muatan Q. Berapakah gaya repulsi diantara belahan ―utara‖ dan ―selatan‖?
2.5.4 Kapasitor
Misalkan kita memiliki dua konduktor, dan kita letakkan muatan +Q +Q pada satu sisi dan – dan – Q pada sisi lainnya (Gambar 2.51). Karena V konstan V konstan pada sebuah konduktor, kita dapat katakan secara jelas perbedaan potensial diantaranya: V = V = V + - V - =
∫
Kita tidak tahu berapa dsitribusi muatan itu sendiri pada kedua konduktor, dan menghitung medan akan menjadi kacau, jika bentuknya rumit, namun ini sudah lebuh kita ketahui: E adalah proporsional adalah proporsional untuk untuk Q Q. Untuk E telah diberikan oleh Hukum Coulomb: E=
∫ ȓ d ȓ d τ τ
Gambar 2.51 Sehingga jika anda melipat duakan ρ, ρ, anda melipat duakan E. (Tunggu sebentar! Bagaiamana kita tahu jika melipat duakan Q (dan juga -Q -Q) secara sederhana melipat duakan ρ? ρ? Mnugkin muatan bergerak disekitar sehingga sebuah konfigurasi yang benar-benar berbeda, melipat empatkan ρ empatkan ρ dalam beberapa tempat dan membagi dua lainnya, jadi sehingga muatan total pada total pada setiap konduktor terlipat duakan. Faktanya duakan. Faktanya bahwa masalah ini adalah tidak menjamin-melipat duakan Q serta merta melipat duakan ρ duakan ρ dimanapun; hal tersebut tidaklah memperngaruhi muatan sekitar. Buktinya dari hal ini akan datang pada Bab 3; untuk saat ini anda akan mempercayai saya.) Karena E adalah proporsional pada Q, sama halnya dengan V. konstan dari proporsionalitas disebut kapasitansi dari susunan:
C
(2.53)
Kapasitansi adalah kuantitas geometri yang murni, ditentukan oleh ukuran, bentuk dan pemisahan dari kedua konduktornya. Dalam satuan SI, C dihitung dalam farad (F); satu farad adalah satu coulomb per volt. Sebenarnya, hal ini merubahnya menjadi 9
-6
sangatlah besar; lebih satuan praktik lagi yakni mikrofarad (10 -12
(10
F) dan pikofarad
F). Perhatikan bahwa V , oleh pengertiannya, potensial dari konduktor positif lebih positif lebih
kurang dari negatifnya: seperti halnya. Q adlah muatan dari konduktor positif. positif. Sesuai 9
Pada edisi kedua saya mengeklaim anda akan membutuhkan sebuah forklift untuk forklift untuk membawa sebauh kapasitor 1 F. Hal ini tidaklah lagi menjadi masalah-anda dapat membeli sebuah kapasitor 1 F secara nyaman dalam sendok sup.
dengan itu, kapasitansi adalah kuantitas positif secara intrinsik. (Lebih lanjut, anda akan adakalanya mendengar seseorang berbicara mengenai kapasitansi dari sebuah konduktor tunggal . Dalam kasus ini ―konduktor kedua‖, dengan muatan negatif, adalah sebuah kulit bola bayangan dari jari-jari tak hingga disekitar konduktor tersebut. Hal tersebut tidak menghasilkan apapun pada medan, sehinggaa kapasitansi yang diberikan Persamaan 2.53, dimana V adalah V adalah potensial dengan tak hingga sebagai titik referensinya,) Contoh 2.10 Temukan kapasitansi dari sebuah ―kapasitor piringan pararel‖ yang tediri atas dua buah permukaan permukaan metal dari dari luas A luas A dengan jarak d jarak d (Gambar (Gambar 2.52)
Gambar 2.52 Solusi: Jika kita meletakkan +Q + Q pada puncak dan – Q pada dasar, keduanya akan
menyebar secara seragam keseluruh kedua permukaannya, termasuk luasan yang meungkin luas dan pemisahan jarak yang kecil. 10 Rapat muatan permukaan, kemudian, σ = Q/A pada piringan puncak dan juga medan, menurut Persamaan 2,5 adalah (1/ε0) Q/ A. A. Perbedaan potensial diantara piringan adalah sebagai berikut V=
dan karena itu C=
10
(2.54)
Solusi yang tepat tidaklah mudah-bahkan untuk soal mudah dari piringan sirkuler. Lihatlah G.T Carlson dan B.L Illman, Am, Illman, Am, J. Phys. 6solusi2. 1099 (1994)
Jika, sebagai contoh, piringan adalah kotak dengan sisi sepanjang 1 cm, dan berjarak 1 mm satu sama lain, kemudian kapasitansinya adalah 9 x 10 -13 F.
Contoh 2.11 Temukanlah kapasitansi dari dua buah kulit bola metal konsentris, dengan jarak a dan b. + Q dalam sisi dalam bola, dan – Q dalam sisi luar bola. Solusi: Letakkan muatan +Q Medan anatara bola adalah E=
ȓ
sehingga perbedaan potensial diantaranya adalah V=-
∫
=-
∫ .
Sebagaiman telah ditentukan, V proporsional proporsional pada pada Q: kapasitansinya adalah
C=
=4
,
Untuk ―mengisi‖ sebuah kapasitor, anda harus menghilangkan menghilangkan elektron dari piringan positif dan membawanya ke piringan negatif. Dalam mengerjakan hal ini anada akan menghadapi medan elektrik, dimana mendorong mereka medekati konduktor positif dan menjauhkan mereka dari yang negatif. Berapa banyak kerja yang dibutuhkan, kemudian, untuk mengisi kapasitor pada jumlah akhir Q akhir Q? Misalkan bahwa beberapa tingkat menengah dalam proses, muatan dalam piringan positif adalah q, sehingga perbedaan potensial adalah q/C. Menurut persamaaan 2.38, kerja yang harus dilakukan untuk memindahkan potongan muatan selanjutnya,dq selanjutnya,dq,, adalah
dW =
dq.
Nilai kerja total yang dibuthkan, kemudian, untuk berpindah dari q = 0 ke q = Q, adalah
W=
∫ dq = ,
atau, karena Q = CV,
2
W = CV ,
(2.55)
Dimana V adalah V adalah potensial akhir dari kapasitor. Soal 2.39 Temukanlah kapasitansi per satuan panjang dari dau tabung silindris
koaksial metal, dengan radius a dan b (Gambar 2.53).
Gambar 2.53 Soal 2.40 Misalkan sebuah piringan dari kapasitor piringan-paralel mendekat secara
bersama-sama bersama-sama dengan jarak tak hingga desimal mutualnya.
, sebagian hasil dari daya tarik
(a) Gunakanlah Persamaan 2.52 untuk menyatakan total dari kerja yang telah dilakukan oleh gaya elektrostatik, dalam bentuk medan E, dan luasan dari piringan, A. A. (b) Gunakanlah Persamaan 2.46 untuk meyatakan energi yang hilang oleh medan saat proses. (Soal ini sangatlah mudah, namun soal ini mengandung awal dari turunan alternatif dari Persamaan 2.52, gunakanlah konservasi dari energi)
Lebih Banyak Soal pada Bab 2
z diatas pusat lembaran kotak (sisi Soal 2.41 Carilah medan elektrik pada ketinggian z diatas a) membawa muatan permukaan seragam σ . Ceklah hasil anda untuk membatasi
keadaan a → dan z dan z
a.
[ Jawaban: Jawaban: (ζ/2ε0){(4/π) tan-1 tan-1
- 1}]
Soal 2.42 Jika medan elektrik pada suatu area diberikan (pada koordinat dalam bola)
oleh pernyataan E(r) =
dimana A dimana A dan B dan B konstan, berapakah rapat muatannya? [ Jawaban [ Jawaban:: ε0( A – A – B B sin ɸ)/r2]
Soal 2.43 Carilah gaya bersih dari bagian selatan sebuah bola bermuatan seragam yang
mendesak pada bagian utaranya. Nyatakan jawaban anda dalam bentuk jari-jari R dan total muatan Q. [ Jawaban: Jawaban: (1/4πε0)(3Q )(3Q2/16 R2)]
Soal 2.44 Sebuah bagian mangkuk terbalik dengan radius R membawa sebuah rapat
muatan permukaan seragam σ . Carilah perbedaan potensial diantara ―kutub utara‖ dan
√
pusat. [ Jawaban: Jawaban: ( Rσ Rσ /2ε /2ε0)(
membawa rapat muatan ρ(r) = kr (dimana k Soal 2.45 Sebuah bola dengan jari- jari R membawa konstan). Carilah energi dari konfigurasi. Periksalah jawaban anda dengan 2
7
menghitungnya pada minimal dua cara yang berbeda. [ Jawaban [ Jawaban:: πk R /7ε0]
Soal 2.46 Potensial elektrik dari beberapa konfigurasi diberikan dengan pernyataan
V(r) = A = A
dimana A dan λ konstan. Carilah medan elektrik E(r), rapat muatan ρ( ρ(r), dan total muatan Q. [ Jawaban: Jawaban: ρ = ε0 A(4πδ A(4πδ3(r) – λ – λ 2e- λr /r)]
Soal 2.47 Dua buah kabel panjang tak hinggaberjalan secara pararel pada sumbu axis x
membawa rapat muatan seragam + λ dan – λ – λ (Gambar. 2.54).
(a) Carilah potensial pada setiap titik (x,y,z ) gunakanlah titik asal sebagai referensi anda. (b) Perlihatkan bahwa permukaan ekuipotensial silindris sirkular, dan berada pada sumbu axis dan radius silendris sesuai dengan potensial V 0 yang diberikan.
Soal 2.48 Dalam sebuah vakum dioda, elektron ―dipanaskan dengan sebuah katoda
panas, pada potensial nol, dan percepatan percepatan melintasi sebuah gap ke anoda, dimana hal tersebut berlangsung pada potensial positif V 0. Awan dari elektron bergerak bersama dengan gap (disebut muatan ruang) secara cepat membangun pada sebuah titik dimana hal tersebut mengurangi medan pada permukaan dari katoda ke nol. Kemudian pada sebuah sebuah keadaan keadaan stabil stabil saya mengalirkan mengalirkan nya diantara diantara piringan. Misalkan piringan yang lebih luas berhubungan dengan pemisahan ( A ( A
d 2 dalam
Gambar 2.55), sehingga efek tepi dapat dipantulkan. Kemudian V, ρ, ρ, dan v (kecepatan dari elektron-elektron) merupakan kesemua fungsi dari x dari x itu sendiri.
Gambar 2.54
Gambar 2.55
(a) Tulislah persamaan Poisson untuk daerah diantara piringan. (b) Asumsikan elektron bermula pada katoda, berapakah kecepatannya pada titik x, x, dimana potensial adalah V ( x)? x)? (c) Pada keadaan stabil, I berdiri sendiri terhadap x, x, Apakah, kemudian, hubungan antara ρ antara ρ dan v? (d) Gunakanlah ketiga hasil ini untuk meperoleh sebuah persamaan differensial untuk V, dengan mengeleminasi ρ mengeleminasi ρ dan v.
(e) Pecahkan persamaan ini untuk V sebagai V sebagai sebuah fungsi x, x, V 0, dan d. Plotlah V(x), V(x), dan bandingkanlah hasil tersebut pada potensial tanpa muatan-ruang. Juga, carilah ρ dan v sebagai fungsi dari x dari x.. (f) Tunjukkan bahwa I = K V 03/2,
(2.56)
dan carilah Konstan, (Persamaan 2.56 disebut hukum Child-Langmuir. Hal tersebut berada pada geometri geometri lainnya, lainnya, meskipun muatan-ruang membatasi membatasi arus. Perhatikan Perhatikan bahwa muatan-ruang muatan-ruang dibatasi dioda adalah nonlinier -hal -hal tersebut tidak mengikuti hukum Ohm.)
Soal 2.49 Bayangkanlah bahwa pengukuran baru dan yang luar biasa telah
mengungkapkan sebuah error dalam hukum Coulomb. Gaya aktual dari interaksi antara kedua muatan titik ditemukan menjadi F=
e
–r/λȓ
,
dimana λ adalah sebuah konstan baru yang alami (λ memiliki dimensi panjang, secara pasti, dan λ adalah angka yang besar -katakanlah -katakanlah setengah dari jari-jari dari seluruh bidang yang telah diketahui-sehingga diketahui-sehingga koreksi tersebut kecil, dimana mengapa mengapa tidak pernah diperhatikan diperhatikan ketidaksesuaian ketidaksesuaian sebelumnya). sebelumnya). Anda dibebankan dengan tugas untuk merumuskan kembali elektrotastik untuk mengakomodasi penemuan baru. Asumsikan hukum dari superposisi masih bertahan. (a) Apakah medan elektrik dari distribusi muatan ρ muatan ρ (gantilah Persamaan 2.8)? (b) Apakah medan elektrik ini merupakan sebuah potensial skalar? Jelaskan secara jelas bagaimana bagaimana anda meraih penjelasan penjelasan anda. (tidak dibutuhkan bukti yang formal-hanya sebuah penjelasan persuasif.) (c) Carilah potensial pada muatan titik q-analog ke Persamaan 2.26. (Jika jawaban anda (b) ―tidak‖, sebaiknya kembali dan gantilah!) Gunakanlah ∞ sebagai titk referensi anda. (d) Untuk sebuah titik muatan q pada sumber, perlihatkan bahwa
∮ ∫ +
=
q.
dimana S adalah S adalah permukaan, V volum, V volum, dari setiap bola berpusat dari q. (e) Perlihatkan bahwa hasil ini menyamaratakan:
(f)
∮ ∫ +
=
Q
enc.
untuk setiap setiap distribusi muatan. (Hal ini merupakan hal yang tebaik pada Hukum Gauss, dalam ―elektrostatik‖ baru.) (g) Gambarlah diagram segitiga (seperti Gambar 2.35) untuk dunia ini, meletakkan kesemua rumusan yang sesuai. (Pikirkanlah persamaan Poisson sebagai rumusan dari ρ dalam bentuk V , dan hukum Gauss (bentuk differensial) sebagai sebuah persamaan persamaan untuk ρ ρ dalam bentuk E.)
Soal 2.50 Misalkan sebuah medan elektrik E( x,y,z x,y,z ) memiliki bentuk
E x = ax, dimana
a
adalah
konstan.
E y = 0,
Berapakah
E z = 0
rapat
muatannya?
Bagaimana
anda
mempertanggungjawabkan sebagai bukti bahwa medan titik pada sebuah arah khusus, ketika rapat muatan seragam? [Hal ini lebih masalah tak kentara daripada yang terlihat, dan layak dipikirkab.] 2
Soal 2.51 Kesemua elektrostatik mengikuti dari karakter 1/r hukum Coulomb,
bersama dengan hukum superposisi. Sebuah teori dapat disamakan disamakan dapat selanjutnya selanjutnya terkonstruksi untuk hukum Newton dari gravitasi universal. Berapakah energi gravitasi dari sebuah bola, dari massa M dan jari-jari R, R, asumsikan densitas adalah seragam? Gunakan hasil anda untuk mengestimasi energi gravitasi dari matahari (lihatlah angka yang relevan). Radiasi matahari pada sebuah ukuran 3.86 x 10 26 W; jika kesemua ini datang dari energi gravitasi yang tersimpan, berapa lama matahari akan bertahan? [Matahari dalam kenyataan lebih tua dari hal tersebut, sehingga dengan jelas hal ini bukanlah merupakan sumber dari tenaganya.]
Soal 2.52 Kita ketahui bahwa muatan pada konduktor bergerak ke permukaan, namun bagaimana bagaimana muatan tersebut mendistribusikan mendistribusikan dirinya disana bukanlah hal yang mudah untuk ditentukan. Satu contoh yang terkenal bagaimana rapat muatan permukaan dapat dihitung secara terpisah adalah elipsoid:
+ +
=1,
Pada kasus ini 11
σ =
,
(2.57)
dimana Q adalah total muatan. Dengan memilih nilai-nilai yang tepat untuk a, b, dan c, mendapatkan (dari Persamaan 2.57); (a) rapat muatan permukaan bersih ζ( r)(kedua sisi) dalam sebuah piringan sirkular dari jari-jari R; R; (b) rapat muatan bersih ζ( x ζ( x)) pada sebuah ―pita‖ terkonduksi tak hingga pada bidang x bidang x y, y, yang mengikat sumbu axis y axis y dari x = -a ke x ke x = a (biarkan A menjadi muatan total per satuan panjang pita); (c) muatan bersih per satuan panjang λ panjang λ ( x) x) pada sebuah ―jarum‖ berkonduksi, bergerak dari x = -a ke x ke x = a. a. pada setiap kasus, sketsalah grafik dari hasil anda.
11
Untuk turunan (dimana sebuah perjalanan sebuah perjalanan gaya) gaya ) lihatlah W. R. Smythe, Static and Dynamic rd Electricity, 3 ed. (New York; Hemisphere, 1989), Sect, 5.02.
