6.7 6.7
Tetapk tapkan an besarn besarnya ya kond konduk ukti tivi vitas tas germ german aniu ium m tipe tipe n pada pada suhu suhu kama kamar, r, den denga gan n meng mengan angg ggap ap adan adanya ya satu satu atom atom dono donorr per per 108 108 atom atom germ german aniu ium. m. Rapa Rapatt germanium adalah 5,3 ! 103 dan beratnya atomnya 7,6 kg"kmol. #da
1 ( 5.3 x10 3 ) = $.$1x10 8 atom"m3 7 . 6
N = ( 6.0 x10 6 )
%an ini memberikan N e
= 10 −8 ( $.$1 x 10 8 ) = $.$1x10 8 ele&tron "m3
'onsentrasi intrinsi& ni untuk germanium pada 300 ' adalah ,5 ! 10 1( per m3. )ukum tindan*m tindan*massa assa , N e N h
= ni kemudian memberikan kerapatan +umlah
lubang sebagai N h
.5 x 101( = 1.$ x1018 lubang"m3 = 0 $.$1 x 10
'emudian, menggunakan mobilitas dari soal 6.6 σ
= N e e µ e + N h eµ h = ( $.$1 x 10 0 )(1.6 x 10 −1( ) ( 0.38) + (1.$ x 1018 )(1.6 x 10 −1( ) ( 0.18) 6.8 - 0.0$1 6.8 "m
/ada germanium tipe n ini +umlah ele&tron dalam setiap meter kubik adalah $,$1
!
10 0,
dibandingkang
lubang
seb sebanyak
1,$
!
10 18.
maka
konduktiv konduktivitasny itasnyaa dikontrol dikontrol oleh ele&tron*elek ele&tron*elektron tron yang diberikan oleh at penambah yang bervalensi lima itu 6.8 6.8
/ada /ada suat suatu u pengh penghan anta tarr yang yang pan+ pan+an angn gnya ya 150 150 m dan dan berpe berpena namp mpan ang g terda terdapa patt penurunan potensial 1,3 dan rapat arus $,65 ! 10 5 #"m. 2era 2erapa pa konduktivitas bahan penhantar itu 'arena E = V " dan J $.65 x 105
6.( 6.(
=
σσ
1.3 = σ 150
atau
σ = 5.37 ! 10 7 "m
uatu uatu da4 da4tar tar rest restiv ivit itas as membe memberik rikan an harg hargaa 10,$ 10,$ ohm &ir &ir&u &ula larr mils mils untuk untuk seti setiap ap 4t tembaga annealed. 2erapa konduktivitasnya dalam siemens per meter uatu &ir&ular mil adalah luas dari suatu lengkaran dengan diameter 1 mil
(10 −3 in&i )
10 − 3 in m 1 &ir mil π 0.05$ = 5.07 x10 −10 m in
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB AJAR-UMB
Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTRMAGNETIK
1
'onduktivitas adalah kebalikan dari resistivitas. σ
1 4t 1 &ir mil 1 in 0.05$ m = in 5.07 ! 10 −10 m 10.$ ⋅ &ir mil 4t
7 = 5.78 x 10
"m 6.10
'aat aluminium #9: # 0 mempunyai hambatan 16.7 ohm setiap 1000 4t. 2erapakah konduktivitas aluminium menurut data ini %ari da4tar daai*daai, daai # 0 mempunyai diameter 3 mil.
3 x 10 −3 A = π ( 0.05$) = 5.1( x 10 −7 m
= 1000 4t 1 in"4t0.05$ m"in 3.05 ! 10 m " σ A,
#khirnya dari R
σ
6.11
=
3.05 x 10
(16.7 ) ( 5.1( x 10 −7 )
3. ;"m
%alam penghantar silindris dengan radius mm, rapat arus berubah dengan +arak dari sumbunya mengikuti J = 10 e 3
−$00 r
#"m
Tentukan arus total I .
∫
∫
I = J ⋅ dS = J dS =
π
0.00
∫ ∫ 0
0
r
10 3 e − $00 r dr d φ 0.00
= π (10 6.1
3
− $00r r ( ) $00 1 − − ) e −$00 0
= 7.51 m#
Tentukan arus yang melalui bagian dari bidang y 0 yang ditentukan oleh
− 0,1 ≤ ! ≤ 0,1m
− 0.00 ≤ z ≤ 0,00 m, kalau
dan
J = 10 x a y #"m
∫
I = J ⋅ dS =
6.13
∫
0.00
0.1
∫
10 x a y ⋅ dx dz ay
− 0.00 − 0.1
= $ m#
Tentukan arus listrik yang melalui bagian dari bidang ! 0 yang ditentukan
oleh < − π " $ ≤ y ≤ π " $π dan − 0,01 ≤ z ≤ 0,01 m +ika = 100 &os y a! #"m
∫
I = J ⋅ dS =
6.13
0.01
π " $
∫ ∫
− 0.01 −π " $
100 &os ya x ⋅ dy dz a x
= .0 A
%iberikan = 103 sin θ ar #"m dalam koordinat bola, tetapkan arus yang melalui permukaan bol> 0,0 m 'arena
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTRMAGNETIK
dS = r sin ? d? dφ a r
#dalah radial π
6.15
π
∫ ∫
I =
0
3 10 ( 0.0) sin θ d θ d φ = 3.(5#
0
Tun+ukan baha hambatan bagi penghantar yang pan+angnya
I
dan
berpenampang serbasama seluas # adalah R l " σ A , +ika distribusi arusnya dianggap serbasama /enampang yang serbasama sepan+ang l itu mengakibatkan konstannya @, dan penurunan potensial di sana adalah V
= ∫ E ⋅ dl = E
'alau arus terbagi rat pada luas #
∫
I = J ⋅ dS = JA = σ EA
%i mana σ adalah konduktivitasnya. ;aka karena R " I , R
6.16
σ A
Tetapkan hambatan dari isolasi kabel koaksial sepan+ang I , seperti tampak di gambar 6*1$. 'ita anggap ada arus total
I
dari penghantar di dalam ke
penghantar luar. ;aka pada +arak radius r . J =
1 A
=
1 π r
ehingga E =
1 πσ r
2eda potensial di antara ke dua penghantar itu adalah V ab
a
1
a
= − ∫ b E ⋅ dl → V ab = − ∫ b
πσ r
dr =
1 πσ
An
b a
)ingga hambatan yang dinyatakan adalah R
6.17
=
V I
=
1
In
πσ
b a
uatu lembaran arus selebar $ m berada pada bidang 0 dan men&akup arus total 10 # dalam arah langsung dari titik asal ke 1, 3, 0m. /eroleh bentuk ungkapan bagi '. /ada setiap titik dari lembaran itu arah ' adalah ve&tor satuan a x
+ 3a y 10
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTRMAGNETIK
3
%an besarnya ' adalah 10"$ #."m. sebab itu 10 a x
K =
6.18
$
+ 3a y A " m 10
#rus sebesar I T mengalir ke baah melalui 4ilament sepan+ang sumbu ! dan kemudian suatu lembaran konduktor titpis di 0, seperti pada. nyatakan ' pada lembaran tersebut. /andangan suatu lingkaran pada bidang 0. #rus I T menyebar se&ara serbasama melalui keliling lingkaran itu yang pan+angnya πr. #rah ' adalah a r . =adi K =
6.1(
I T π r
a r
Bntuk arus pada soal 6.18 tetapkan besarnya arus yang masuk se&tor sebesar 30C dari bidang itu
∫
I = K n d =
π " 6
I T
0
π r
∫
r d φ =
I T 1
ebenarnya di sini tak perlu integrasi karena pada arus yang tersebar merata, suatu segmen sebesar 30C akan mengandung 30 C"360C atau 1"1 dari arus total. 6.0
uatu arus A memasuki satuan silender penghantar tipis pada permukaan atasnya, seperti ditun+ukan. Dyatakan ' kalau +ari*+ari silender &m. /ada permukaan atas, arus itu tersebar rata pada keliling π r sehingga K =
/ada
selubung
I
0.0$π
( − a r ) #"m
silender,
arus
itu
terbagi
rata
sepan+ang
keliling
E( 0,0m ) sehingga
K =
6.1
I ( − a z ) 0.0$π
/ada suatu titik di permukaan suatu penghantar @ 0,70 a ! F 0.35 a y F 1.00 a "m. 2erapakah rapat muatan permukaan di titik itu %alam keadaan statis di permukaan penghantar komponen tangensial @t adalah nol. ebab itu ve&tor @ yang diberikan itu mestilah normal terhadap permukaan konduktor tadi. %engan menganggap ruang bebas di permukaan itu.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTRMAGNETIK
$
ρ s
= Dn = ε 0 = E n = ±ε 0 E = ±
10 −(
( 0.70) + ( 0.35) + (1.00) = ±11. pG"m
36π
Tanda ( ± ) digunakan kalau diketahui @ tersebut mengarah ke luar dari permukaan itu. 6.
uatu penghantar silindris dengan +ari*+ari 0,05 m dengan porosnya pada sumbu ! mempunyai rapat muatan permukaan ρ ρ 0 " z G"m. Tuliskan s
suatu ungkapan untuk @ di permukaannya. 'arena Dn = ρ s , E n = ρ s " ε 0 di 0.05,φ,, E = E n a r
6.3
=
ρ 0
ar ε 0 z
uatu penghantar yang mengisi bagian ruangan x ≥ 5 mempunyai kerapatan muatan permukaan ρ s
ρ 0
=
y
+
z
Tuliskan ungkapan untuk @ dan % tepat di luar penghantar itu. − a x . ;aka
ektor normal dalam hal ini adalah
tepat diluar konduktor
itu D = Dn ( − a x )
= ρ s ( − a x ) =
ρ 0 y
+ z
( − a x )
%an ρ 0
E = ε 0
6.$
y
+
z
( − a x )
%ua penghantar silinder seporos, dengan +ari*+ari ra 0,01 m dan rb 0,08 m, mempunyai rapat*rapat muatan ρ sa
= $0 pG"m dan ρ sb ,
sedemikian hingga
medan*medan % dan @*nya hanya ada di dalam ruangan di antara kedua silinder itu. 'rena simetris, medan di antara kedua silinder mestilah radial dan merupakan 4ungsi r sa+a. ;aka untuk
∇ ⋅ D = Bntuk ρ sa
= di
menghitung r = r a
1 d
r a H r H r b
( rDr ) = 0 atau
r dr
konstanta
&,
r%r &
pergunakan
baha
%n
%r
+0 c + ( 0.01) ( $0 x 10 −1 )
= $ x 10 −13 G"m
;aka pula
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTRMAGNETIK
5
%
=
$ ! 10 −13 r
a r ( G"m
)
E =
dan
D ε 0
=
$ x 5 − 0.08
a r "m
'erapatan ρ kemudian kita peroleh dari sb
ρ sb = Dn =
= − Dr r = r b − 0
=−
$ x 10 −13
r = r b − 0
0.08
= − pG"m
Soal-soal Tambahan
6.5
Tetapkan mobilitas dari ele&tron konduksi dalam uluminium, +ika diberikan konduktivitas aluminium 38, ;"m dan rapat muatan konduksinya 1,70 ! 10( m
6.6
−3
=aab.
1,$0 ! 10 −3 m " ⋅ s
Blangi soal 6.5 a untuk tembaga, di mana σ = 58.0 ;"m dan N e 1,13 ! 10( m
−3
b untuk perak, di mana σ = 61.7. ;"m dan N e 7,$$ ! 10 8 m
−3
=aab. 6.7
a
3.1 ! 10
−3
Tetapkan konsentrasi lubang, Dh dalam germanium tipe p, di mana σ = 10 $ "m dan mobilitas lubang itu µ h =aab.
6.8
m " ⋅ sI b 5,18 ! 10 −3 m " ⋅ sI
= 0,18 m " ⋅ s
3,$7 ! 103 m −3
;emakai data pada soal 6.7, tetapkan konsentrasi ele&tron, De, kalau konsentrasi intrinsikny ni ,5 ! 10 1( m −3
6.(
Tetapkan konsentrasi lubang dan ele&tron dalam sili&on tipe n untuk mana σ
= 10,0 "m, µ e = 0,13m " ⋅ s dan n 1,5 ! 10 16 m
=aab. 6.30
=aa. 1,80 ! 1015 m −3
i
−3
$, 81 ! 10 0 m −3 , $,68 ! 10 11 m −3
Tetapkan +umlah ele&tron konduksi tungsten setiap meter kubuknya, kalau rapat massanya 18,8 ! 10 3 kg"m3 dan berat atomnya 18$,0. #nggaplah ada dua ele&tron konduksi bagi setiap atomnya.
6.31.
=aab.
1,3 ! 10 (
Tetapkan banyaknya ele&tron konduksi dalam satu meter kubik tembaga, +ika σ = 58 ;"m dan µ = 3, x 10 −3 m " ⋅ s
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
2erarti pukul rata berapa ele&tron
Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTRMAGNETIK
6
per atomkah ini 2erat atomnya 63,5$ dan rapat massanya 8,(6 ! 10 3 kg"m3. =aab 6.3
1,13 ! 10(, 1,33
epan+ang suatu batang tembaga dengan penampang persegi pan+ang 0,0 m ! 0,08 dan pan+ang ,0 m di+umpai penurunan potensi 50 m. Tetapkan hambatan, kuat arus, rapat arus, kuat medan listrik, dan ke&epatan hanyut ele&tron*elektron konduksi dalam hal ini. =aan.
6.33
1,6 µΩ, ,3 k#, 1,$5 ;#"m , 5 m"m, 0,08 mm"s
uatu batang aluminium dengan penampang 0,01 m ! 0,007 m dan pan+angnya 3 m dilalui arus 300 #. Tetapkan kuat medan listrik, rapat arus dan ke&epatan hanyut ele&tron*elektron konduksi di dalamnya. =aab.
6.3$
1,1 ! 10
−
"m, $,8 ! 105 #"m, 1,57 !
−5
m"s
uatu da4tar daai menyatakan hambatan dari daai tembaga #9: # 0 adalah 1,1 ! 10
−3
Ω"&m. berapakah konduktivitas dalam "m tembaga
artinya ini %iameter daai tersebut adalah 3 mils. =aab. 6.35
5,8 ! 107 "m
uatu da4tar daai menyatakan hambatan dari daai platina #9: # 18 adalah 1,1 ! 10 − 3Ω " cm . 2erapakah artinya ini bagi konduktivitas dalam "m untuk platina %iameter daai #9: # 18 adalah $0 mils. =aab.
6.36
1,00 ! 107 "m
2erapakah konduktivitas daai tungsten #9: # 3 dengan hambatan 0,017 Ω"&m %ia meter daai tersebut adalah 8,0 mils.
6.37
17( ;"m
Tetapkan hambatan per meter suatu pipa eluminium dengan diameter 3 mm dan tebal 6 mm.
6.38
=aab.
=aab.
53,$ µΩ"m
Tetapkan hambatan suatu lembaran eluminium setebal 0,1 mil dan berbentuk bu+ursangkar bersisi 5,0 &m a diantara dua sisinya yang berhadapan, b di antara kedua mukanya.
6.3(
=aab.
a. 1,03 mΩ,
b 66 pΩ
Tetapkan hambatan 100 4t daai #9: # $"0 dari tembaga dan dari aluminium. %iameter daai #9: # $"0 adalah $60 mil. =aab. $,(1 mΩ, 7,$6 mΩ
6.$0
Tetapkan hambatan dari suatu daai tembaga sepan+ang m berpenampang lingkaran dengan +ari*+ari 1mm di salah satu u+ung, yang bertambah besar se&ra linear hingga men+adi 5 mm pada u+ung yang lain.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Bambang Hutomo, Bc.
=aab. ,0 mΩ
MEDAN ELEKTRMAGNETIK
7
6.$1
Tetapkan hambatan daai tembaga sepan+ang 1 m dengan penampang bu+ursangkar dengan sisi 1 mm pada salah satu satu u+ung , dan bertambah besar se&ara linear men+adi 3 mm pada u+ung yang lain.
6.$
=aab. 5,75 mΩ
Turunkanlah ungkapan bagi hambatan suatu penghantar yang pan+angnya
+ika penampangnya mempunyai bentuk yang tetap tapi luasnya bertambah se&ra linear dari # sampai k# dalam +arak
An k σ A k − 1
=aab. 6.$3
tersebut.
Tetapkan rapat arus pada suatu daai #9: # 1 kalau ia dilalui 30 #. %aai # 1 itu mempunyai diameter 81 mil.
6.$$
(,0( ! 10 6 #"m
=aab.
Tentukan arus total dalam suatu daai penghantar berpenampang lingkran dengan +ari*+ari mm, kalau rapat arusnya berubah dengan r menurut = 10 3"r #"m.
6.$5
=aab.
%alam
koordinat
$π # silindris
=
10e
−100 r
a φ
#"m
untuk
daerah
0,01 ≤ r ≤ 0,0 m
0H
≤ 1 m. Tentukan arus total yang mellaui perpotongan daerah ini dengan
bidang φ konstan. 6.$6
=aab. ,33 ! 10
−
#
=ika diberikan rapat arus
103 J = &osθ aθ #"m r %alam θ
6.$7
koordinat
= π " $,
bola,
tentukan
0,001 ≤ r ≤ 0,080 m
arus
=aab.
yang
melalui
pita
keru&ut
1,38 ! 10 $ #
)itunglah arus total yang keluar dari kubus dengan pan+ang sisi 1 m, yang satu titik sudutnya di titik asal dan dengan sisi*sisinya se+a+ar dengan sumbu*sumbu koordinat, kalau = ! a! - !y3 ay - !ya #"m.
6.$8
=aab. 3,0#
uatu arus 4ilament I # turun melalui sumbu sampai 5 ! 10
−
m di
mana ia masuk ke dalam bagian 0 ≤ φ ≤ π " $ dari suatu kulit bola dengan +ari* +ari 5 ! 10 =aab. 6.$(
−
m. Tentukan rapat arus permukaan ' untuk hal ini
80 I π sin θ
aθ #"m
uatu lembaran arus dengan kerapatan ' 0a #"m berada pada bidang ! 0, dan rapat arus sebesar = 10 a #"m +uga terdapat di seluruh ruangan. a Tetapkan arus yang melalui permukaan yang dikelilingi lingkarn ber+ari*+ari
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTRMAGNETIK
8
0,5 m dengan pusatnya di titik asal pada bidang 0.
b Tetapkan arus
yang melalui bu+ursangkar
0
=aab. 6.50
x ≤
0, $ m,
y ≤
0, 5 m,
z =
a 7, ( # I b 1,5 #
uatu pipa penghantar berdinding tipis dengan penampang persegi pan+ang berukuran 0,1 m ! 0,0 m dilalui arus 10 # dalam arah !. Tentukan '. =aab.
6.51
167 a! #"m
uatu penghantar pe+al yang satu permukaannya dinyatakan oleh ! - y 3 m, men&akup titik asal. /ada permukaan tersebut kuat medan listriknya adalah 0,35 "m. Bngkapan @ dan % di permukaan itu, dan tentukan pula ρ
s
6.5
=aab.
± 0.$7 a x + a y
<
± 3.10 x 10 −1 G"m,
"m,
uatu penghantar yangb berada di daerah H 0 salah satu permukaanya pada ρ s
0,
di
mana
terdapat
= 5 x 10 −10 e −10r sin φ G"m
kerapatan
muatan
=aab.
sebesar
(,$5 a ! "m
uatu bola penghantar dengan +ari*+ari 3 dan berpusat di titik asal mempunyai muatan di permukaannya dengan kerapan muatan ρ s
dipermukaan bola itu. 6.5$
permukaan
dalam koordinat silindris. Tentukan kuat
medan listrik di 0,15 m, π"3,0 6.53
± .1( x 10 −1 ( a x + a y ) G"m,
=aab.
ρ 0 ε 0
=
ρ 0 &os θ . Tentukan @
&os θ ar
'uat medan listrik pada suatu titik di permukaan suatu penghantar adalah @ 0,a! F 0,3ay F 0,a "m. 2erapa besarnya rapat muatan permukaan di tempat itu
6.55
=aab.
3,65 pG"m
uatu bola penghantar yang berpusat di titik asal, di permukaannya terdapat medan listrik sebesar @ 0,53 sin φ ar "m dalam koordinat bola. 2erapa besarnya kerapatan muatan di titik potong bola dengan sumbu y =aab.
$,6( pG"m
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Bambang Hutomo, Bc.
MEDAN ELEKTRMAGNETIK
(
