Mecanismo de Reloj en Madera

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERIA CAMPUS GUANAJUATO

“Construcción de un mecanismo de Reloj en madera”

Arturo Ruiz Vargas Gilberto Ruiz Jiménez Esteban Hernández Lara Benjamín Ramírez Ojeda José Leonardo Medina Pegueros

1AM1 Física Clásica Dr. Juan Carlos Mixteco Sánchez M.C. Irene Hernández Rangel

Silao de la Victoria, Guanajuato. 14 de octubre de 2013.

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Índice 1. Introducción y Justificación Justificación .............................................................................................................. 3 2. Formulación del problema ............................................................................................................... 4 3. Delimitación ......................................................................................................................................... 5 4. Marco teórico ...................................................................................................................................... 6 4.1Relojería Mecánica .............................................................................................................. 6 4.2 Mecanismos de escape .................................................................................................... 7 4.2.1 Mecanismo de corona y borde ....................................................................... 8 4.2.2 Escape de ancla de retroceso ........................................................................ 9 4.2.3 Mecanismo de escape de Graham ............................................................. 10 4.3 Engranes .............................................................................................................................. 11 4.3.1 Tipos de Engranes ............................................................................................. 11 4.3.2 Diseño de Engranajes ...................................................................................... 12 4.4 Péndulo ................................................................................................................................ 13 4.4.1 Isocronismo ........................................................................................................ 14 5. Hipótesis .............................................................................................................................................. 15 6. Metodología....................................................................................................................................... 15 6.1 Diseño y construcción del reloj ...................................................................................... 15 6.1.1 Proporciones entre los engranajes ................................................................ 17 6.1.2 El mecanismo de escape ............................................................................... 18 6.1.3 Polea y pesos ..................................................................................................... 20 6.1.4 Construcción Construcción ...................................................................................................... 20 6.1.5 Ajustes ................................................................................................................. 22 6.2 Análisis experimental del prototipo ............................................................................... 23 6.2.1 Péndulo ............................................................................................................... 23 6.2.2 Dinámica rotacional de los engranes .......................................................... 23 6.2.3 Contrapeso ........................................................................................................ 25 7. Conclusiones...................................................................................................................................... 26 Bibliografía .............................................................................................................................................. 27













Resumen A lo largo de este trabajo se investigaron y aplicaron principios de mecánica clásica para la construcción de un reloj en madera con escape tipo ancla. Se tuvo como propósito la aplicación de conceptos de física clásica para entender el funcionamiento de los mecanismos utilizados, maximizar su eficiencia y precisión, entre otros. Se utilizaron también conceptos sobre el funcionamiento de máquinas simples y se hizo una descripción del funcionamiento del producto obtenido a través de herramientas de física clásica y matemáticas. Una vez obtenido el mecanismo, se realizaron pruebas experimentales para determinar su precisión y eficiencia en su funcionamiento. Se descubrió que diversos factores inherentes al material del que se fabricó, la construcción del mismo y las simplificaciones que hicimos a los cálculos provocan que el modelo funcione de forma errática y falle en su propósito de medición de tiempo. Sin embargo, el objetivo principal de aplicación de conceptos logró cumplirse por completo y la experiencia fue enriquecedora para todos los integrantes del equipo.

Abstract Abstract During the development of this work, basic principles of classic mechanics were investigated and applied to the construction of a wooden clock with anchor escapement. The main purposes were the application of classic physics concepts to understand how the used mechanisms work, maximize their efficiency and precision, among others. Simple machine concepts were also used and a description about the function of the product was made using physical and mathematical tools. Once the mechanism was built, a series of experimental tests were made to determine is precision and function efficiency. It was discovered that a variety of factors inherent to the material we used on its fabrication, the construction process and the simplification on our calculus caused the model to work in an erratic way and fail on its measuring time purpose. However, the application of physics concepts, our main goal, was completely achieved and it was an enriching experience for each member of our team.

1. Introducción y justificación. Desde que el hombre tiene consciencia, ha buscado formas de interpretar el cambio. Y la base principal de cualquier cambio es el tiempo. Ahora bien, para el













calendarios solares, lunares o estelares, basados cada uno en la importancia que cada cultura le daba a los distintos astros. Con el paso de los siglos, se volvió imperativo uniformizar la manera de medir el tiempo. De este modo, en occidente se adoptó un sistema sexagesimal (basado en el 60) para la medición del tiempo. Esto es claro si consideramos que cada hora tiene 60 minutos, cada minuto a su vez tiene 60 segundos. Se entiende entonces que la medición del tiempo no es un concepto trivial, menos una disciplina que estudia el cambio de forma metódica como la física. Para la medición del tiempo contamos ahora con sistemas exactísimos como los relojes atómicos o los recientemente surgidos relojes de lógica cuántica, que únicamente pierden un segundo cada 3,400 millones de años. Pero esto no siempre fue así, si nos remontamos a los primeros intentos de crear mecanismos para medir el tiempo sin necesidad de aparatos enormes e imprácticos debemos llegar a los talleres suizos donde los artesanos, sin saberlo, aplicaban principios físicos para la creación de relojes. En el curso de física clásica que se desarrolló, se trataron sobre todo principios básicos de mecánica., cinemática y estática que permiten explicar la manera en que estos primeros relojes funcionaban. Al no existir electricidad, los relojes obtenían su movimiento a través de energía potencial que, mediante un mecanismo de escape, se liberaba gradualmente convirtiéndose en energía cinética en ciclos determinados. Sabiendo esto, nos pareció interesante desarrollar un reloj con un mecanismo tradicional que no requiera energía el éctrica sino únicamente que se le “de cuerda” para funcionar. Todo ello utilizando principios de estática y mecánica para obtener mayor precisión y funcionalidad. El proyecto busca tener el doble propósito de entender más a fondo el funcionamiento de engranes y máquinas simples, a la vez que nos permite utilizar principios de mecánica clásica para lograr un correcto funcionamiento en la medición del tiempo.

2. Formulación del problema ¿Qué es lo que queremos conocer al finalizar este proyecto? Lo que queremos conocer al finalizar el proyecto es identificar las ventajas y usos que nos pueden brindar los componentes de este mecanismo que son los engranes y el péndulo, conocer los principios por los que se rigen sus movimientos para hacerle mejoras y aprovecharlos al máximo, conocer las posibles aplicaciones que podríamos darle a estas máquinas en la aeronáutica, buscamos













3. Delimitación El objetivo de nuestro equipo al desarrollar el reloj compuesto es poder explicar teóricamente el funcionamiento interno de este cuerpo mecánico por los diversos efectos de las fuerzas actuantes sobre los engranajes y demás componentes del reloj. Con esto se demostraría la importancia de los conocimientos teóricos adquiridos en clase. Para conseguirlo se estudiaran diversos temas relacionados con la mecánica para poder determinar la coordinación perfecta del movimiento de los engranajes basándonos en su tamaño, posición y las fuerzas que actúan sobre ellos, así como estimar la capacidad de conservación del movimiento de estos. Para desarrollar nuestro proyecto tendremos que considerar un periodo de desarrollo de máximo un mes y medio antes de la fecha de entrega del proyecto, tiempo en el que tendremos que maximizar nuestro entendimiento de los diversos temas a tratar, y familiarizarnos con el correcto uso de diversas herramientas con el fin de ensamblar el reloj de la mejor manera y con el menor desperdicio de material posible. Tendremos que desarrollar nuestro proyecto en León Gto, ya que es la ciudad en la que se hospedan o vivimos los miembros del equipo y no hay que gastar mucho dinero en transporte, sin embargo, puede provocar dificultades el tener que transportar herramientas y materiales a una casa o locación en específico. Para ensamblar el reloj necesitaremos madera, por lo que no tendremos muchos gastos económicos en materia prima, sin embargo tendremos que considerar las herramientas necesarias para trabajarla, habría que conseguir cortadoras, lijadoras o lijas sueltas (aunque tomaría más tiempo) y demás, lo que tal vez requiera de más dinero u nos retrase en el desarrollo en caso de tener que contactar a alguien que nos preste esas herramientas. Un factor importante para conseguir realizar el proyecto con éxito será el hecho de que todas y cada una de las piezas tenga la forma y medida necesaria para que el prototipo funcione correctamente y por lo tanto nuestros cálculos también sean correctos, puesto que mientras más diferencia exista entre los datos reales con los que nosotros consideremos o mientras incluso despreciemos ciertos factores importantes nuestros cálculos tendrán un porcentaje de error mayor.













4. Marco Teórico Para el desarrollo de este proyecto decidimos dividir el marco teórico en dos partes: la primera concerniente a los mecanismos e historia de los relojes mecánicos y la segunda dedicada a los principios mecánicos necesarios para el desarrollo de nuestro modelo.

4.1 Relojería Mecánica La historia de la relojería mecánica inicia cerca del siglo XVIII, aunque no se tiene una certeza clara de su origen debido a que en un principio los cronistas de la época no consideraban importante el desarrollo de relojes mecánicos y se centraban en la descripción de sus antecesores: los relojes de agua. Estos sistemas se caracterizaban por lo complejo de su operación aunado a su poca precisión (tenían un margen de error de cerca de 15 minutos). En la ilustración 1 se puede observar un reloj de agua colocado en una plaza pública. Pasó mucho tiempo hasta que artesanos e inventores idearan una forma mecánica de medir el tiempo. Los registros más antiguos de uso de pesas y engranes en relojes nos llevan a la era pre-cristiana, este desarrollo estuvo ampliamente ligado a la invención de molinos de viento. (H. Lienhard, 2000) Ahora bien, el uso de engranes y pesas hubiese sido imposible sin algún mecanismo de escape. La caída de una pesa no podría medir el tiempo porque se movería de forma acelerada y estaría en el piso en poco tiempo. Queda claro entonces que la parte central en el diseño de relojes mecánicos es el llamado sistema o mecanismo de escape. Sin éste el reloj simplemente no funciona. Uno de los más antiguos sistemas de escape de los que se tiene registro aparece en el “Album of Villard de Honnecourt”. La idea es

Ilustración 1 Fachada de reloj de Agua en Gazari (Stoimenov, Popkonstantinovi, Miladinovi, & Petrovic, 2012)

bastante primitiva y no se utilizó primordialmente para medir el tiempo de forma precisa, puesto que únicamente permitía saber si era de día o de noche (Abbott Payson, 1929). En la ilustración 2















que tiene inscrito el año antes mencionado y que no presenta signos de haber sido actualizado en fechas posteriores (Abbott Payson, 1929). Se dice que el trabajo es de artesanos Suizos. Como muchos relojes primerizos, únicamente presenta la manecilla de la hora, contiene un conjunto de engranes arreglados de tal forma que cuando el engrane de escape gira una vez (tomándole 4 minutos hacerlo) provoca que el engrane más grande se mueva una vez cada 55 minutos. Este es un claro avance puesto que se reduce el error en el reloj a únicamente 5 minutos. (H. Lienhard, 2000) A partir de entonces comienzan a aparecer registros más precisos de relojes mecánicos, muchos de ellos comienzan a construirse en iglesias, alcaldías y castillos, sin llegar a influir mucho en la vida cotidiana de la gente puesto que no se fabricaban relojes domésticos. Tuvieron que pasar cerca de 5 siglos para que finalmente los relojes fueran parte de la vida diaria de las personas y su uso se intensificara. Todo ello es posible únicamente debido al desarrollo de mecanismos de escape más modernos, fiables y económicos, que se describirán más adelante. A partir de entonces, se calcula que la precisión de los relojes mecánicos fue duplicándose cada treinta años aproximadamente hasta llegar a nuestros días. Ilustración 2 Mecanismo de escape de Villard (Stoimenov, Popkonstantinovi, Miladinovi, & Petrovic, 2012)













basará únicamente en principios mecánicos y obtendrá la energía para su funcionamiento del potencial con respecto al suelo de un juego de pesas. Mostraremos 3 diseños distintos, a saber: Corona y borde Anclaje de retroceso Escape de Graham (Deadbeat escapement)   

En todos ellos describiremos un poco de su historia y nos detendremos en su funcionamiento, que es la parte medular de interés para el proyecto que buscamos llevar a cabo.

4.2.1 Mecanismo de Corona y Borde El mecanismo de corona, es un regulador de velocidad de los más antiguos, presente en viejos relojes que surgieron en la segunda mitad del siglo XIII en Europa. El dispositivo se cree que data de 1273 y se atribuye al constructor francés Villard de Honnecourt. Para entender el principio de su operación, se debe tener en cuenta que los primeros

Ilustración 3 Mecanismo de escape tipo Corona (H. Lienhard, 2000)













Cuando la corona (5) rota, ro ta, empuja las paletas (4) del foliot (1), de tal forma que las pesas rotan en un sentido mientras que en el lado opuesto la inercia generada empuja los dientes de la corona para que den otra vuelta. De nuevo, la corona empuja las paletas y el proceso comienza de nuevo. Dado que el foliot no es exactamente un oscilador, la velocidad de los relojes medievales era susceptible de muy variadas afectaciones. No fue sino hasta 1658 que se introdujo un sistema de pivote y péndulo al diseño original, lo que permitió reducir el error del mecanismo de varias horas al día a un par de decenas de minuto diarias. (Stoimenov, Popkonstantinovi, Miladinovi, & Petrovic, 2012)

4.2.2 Escape de ancla de retroceso ,El diseño de este sistema se le debe a dos ingleses: el maestro relojero William Clement y el científico Robert Hooke, que presentaron su idea en 1670. En ese mismo año se construyó el primer reloj basado en este principio de escape. La ilustración 4 muestra la geometría básica y sistema de operación del ancla de retroceso. El sistema funciona de la siguiente manera: Se conecta una pesa al eje del engrane principal (4), posteriormente se da un impulso ligero inicial al péndulo (6) conectado al ancla (1) de tal suerte que ésta comience un movimiento primero elevando la parte derecha, permitiendo que el engrane avance para luego por efecto del regreso del péndulo bajar el lado opuesto, deteniendo el engrane hasta que el proceso se reinicie. Al estar controlado por un péndulo, este proceso es mucho más exacto que los intentos













4.2.3 Mecanismo de escape de Graham. El diseño de la solución para separar el impulso del péndulo del detenimiento que generaba la corona principal, probablemente la parte más importante en toda la historia de la ciencia y arte de hacer relojes, fue obra de Thomas Tampion en 1675. Por ello se le considera el padre de la relojería moderna, pero fue su discípulo y amigo George Graham quien adaptó su sistema en 1715 para permitir su uso masivo y a gran escala. El modelo básico de funcionamiento para el diseño de Graham se muestra en la ilustración 5, el lector se dará cuenta de que en gran medida se trata de un mecanismo muy parecido al de ancla de retroceso antes revisado, pero las ligeras diferencias generan un gran cambio en la precisión del reloj que utiliza la idea mejorada. El escape de Graham se compone de dos partes: la rueda de escape, lo que es una rueda vertical con dientes puntiagudos (1) y el ancla (6) , con forma vagamente como el ancla de un barco que se balancea hacia atrás y adelante en un pivote justo por encima de la fuga rueda. En los dos brazos del ancla (5) forman ángulo caras planas (3) que los dientes de la rueda de escape contra el empuje, llamadas paletas. El eje central del ancla está unido al péndulo, por lo que el ancla se balancea hacia atrás y adelante, con las paletas alternativamente la captura y la liberación de un diente de rueda de escape en cada lado. Cada vez que una paleta se aleja de la













Miladinovi, & Petrovic, 2012) Con las adecuaciones antes mencionadas, el mecanismo de Graham termina siendo una de las mejores opciones por la precisión que puede otorgar. Es por eso que decidimos utilizar este principio en nuestro diseño. Como se puede observar, es completamente mecánico y por ello puede ser descrito y modelado con los principios que aprendimos en la clase de física. Al diagrama presentado hace falta agregarle las pesas que dan energía al sistema y el resto del sistema de engranes para poder obtener un reloj completamente funcional que es el propósito de este proyecto.

4.3 Engranes Se denomina engranaje o ruedas dentadas al mecanismo utilizado para transmitir potencia de un componente a otro dentro de una máquina. máquina. Los engranajes están formados por dos ruedas dentadas, de las cuales la mayor se denomina corona' denomina corona' y y la menor 'piñón'. 'piñón'. Un engranaje sirve para transmitir movimiento circular mediante contacto de ruedas dentadas. (Enciclopedia Salvat de Ciencia y Tecnología, 1984) Una de las aplicaciones más importantes de Ilustración 6 Detalle de los dientes en un engrane. (Dudley, los engranajes es la transmisión del 1983) movimiento desde el eje de una fuente de energía, como puede ser un motor de combustión interna o un motor eléctrico, hasta eléctrico, hasta otro eje situado a cierta distancia y que ha de realizar un trabajo. De manera que una de las ruedas está conectada por la fuente de energía y es conocida como engranaje motor y la otra está conectada al eje que debe recibir el















Ejes paralelos: En esta distribución todos los engranes se encuentran girando a distancias variadas pero en el mismo ángulo, siendo paralelos. En esta clasificación se incluyen los engranajes cilíndricos rectos, que son el tipo de engranaje más simple y corriente que existe. Se utilizan generalmente para velocidades pequeñas y medias.

o

4.3.2 Diseño de engranajes. El diseño de engranajes es un área muy vasta en el campo de la ingeniería mecánica. No es el objetivo de este proyecto ahondar en técnicas de diseño manuales o complejas puesto que al nivel en el que estamos resultaría impráctico. Sin embargo, dado que sí requerimos utilizar engranajes para el reloj, decidimos utilizar un sistema computarizado que simplifica la tarea de crear engranes. Este software, llamado “ Gear Template G enerator” permite crear sistemas de engranajes por pares, el usuario únicamente requiere ingresar el número de dientes, el tipo de engrane que requiere, además de otras especificaciones generales. El software genera una animación y planos que pueden imprimirse fácilmente y utilizarse para los propósitos que se requiera. En la siguiente ilustración se muestra una captura de pantalla del programa, que nos permite agilizar al máximo el diseño y con ello la fabricación posterior de los engranes.













4.4 Péndulo Un péndulo es un cuerpo grave que puede oscilar suspendido de un punto por un hilo o varilla. (Real Academia Española de la Lengua, 2001). En este caso, se utilizó un péndulo de madera para controlar los ciclos del reloj. Es importante hacer notar que la mecánica de un péndulo no es nada sencilla, aunque aparente serlo. Diversos factores pueden alterar la uniformidad de su periodo, desde la gravedad a la temperatura. Es por ello que nosotros realizamos una serie de simplificaciones en nuestros cálculos teóricos para hacer más comprensible el desarrollo de éstos y menos complejo el análisis. Así pues, el péndulo que utilizamos se trató al momento de hacer cálculos como el llamado “péndulo ideal” o “péndulo simple” que cumple con las siguientes

suposiciones: (Baker, G. L., & Blackburn, J. A., 2005) 

 



La barra que une la masa masa inferior con el el punto superior tiene masa despreciable, es completamente rígida e inflexible. La masa inferior es una masa puntual. El movimiento movimiento ocurre en dos dimensiones únicamente, únicamente, formando formando un arco y no una elipse. El movimiento movimiento no pierde energía por fricción fricción o resistencia del del aire.

Habiendo considerado estas condiciones previas, se pueden obtener las













Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula. La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso ( mg ) y la tensión del hilo ( N ), ), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. del peso. Aplicando Aplicando la segunda la segunda ley de Newton de Newton obtenemos:

siendo at, la aceleración la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora). recuperadora). Al tratarse de un movimiento un movimiento circular, podemos circular, podemos poner:

  Siendo α la aceleración angular del sistema, de modo que la ecuación queda

como:

    

Esta ecuación no corresponde a un movimiento un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a













sea aceptable. Esta última propiedad, conocida como isocronismo de las pequeñas oscilaciones, fue descubierta por Galileo (1564-1642), hacia el año 1581, en la catedral de Pisa. Puesto que las pequeñas oscilaciones del péndulo son isócronas, resulta útil para la medida del tiempo, que es el propósito que tenemos pensado darle al péndulo en nuestro mecanismo. Se utilizará un ángulo pequeño para lograr la aproximación necesaria y tener así un regulador isócrono del movimiento de los engranes, y en última instancia, de la energía liberada.

5. Hipótesis Previo a la construcción del mecanismo, tenemos una serie de hipótesis previas que verificaremos posteriormente, indicando con evidencia experimental la veracidad o falsedad de éstas. 

  

El mecanismo de escape del reloj será capaz medir medir el tiempo tiempo con un retraso menor a una hora diaria. A menor menor longitud del péndulo el periodo será será menor menor y viceversa. A menor menor peso del péndulo el periodo será será menor menor y viceversa. Es posible controlar la liberación de energía potencial en periodos













Saltó a la vista que uno de los aspectos que más complicaba los engranajes era que las manecillas de hora, minuto y segundo debían moverse de forma independiente y sobre un plano de fondo que debía permanecer estático. Todo esto por el arquetipo de reloj que todos conocemos. Ante este panorama, una de las primeras ideas fue separarnos un poco del diseño tradicional y generar un Ilustración 9 Reloj “estándar” de péndulo con 49 piezas diferentes. (Law, 2000) sistema en el que fueran los engranes los que se movieran en el fondo, marcando la hora, y que únicamente una serie de manecillas estáticas sirvieran como referencia para















obtener los planos puesto que éstos eran de pago y nuestro financiamiento fue limitado. Resolvimos entonces observar diversos videos e imágenes del reloj en funcionamiento, con lo que pudimos determinar la relación entre os dientes de cada engrane (parte más importante para el diseño) y utilizar estos datos para, con ayuda de software para diseño de engranes antes mencionado, obtener nuestros propios planos aproximados. 6.1.1 Proporciones entre los engranes Existe un total de 7 engranes en nuestro prototipo, mismos que guardan una proporción entre sus dientes que finalmente sirve a nuestro propósito de que cada













            

El resultado coincide con lo esperado, así que continuamos con el engrane de las horas: Engrane de horas Para el correcto funcionamiento del reloj, este engrane debe dar una vuelta completa cada 12 horas, lo que equivale a . Si se utiliza de nuevo la regla de proporción antes mencionada, tomando en cuenta el piñón en la parte superior del engrane de horas: 

  

               













La ecuación de interés es la primera de ellas donde, si el el ángulo es lo suficientemente pequeño, los valores de su seno y su tangente son prácticamente iguales. Además, es posible calcular el valor de esta tangente en el triángulo definido por el hilo y la vertical, tal y como se muestra en la ilustración 11, que resulta ser

.

Realizando la aproximación y sustituyendo este valor en la ecuación del movimiento:

Ilustración 11 Diagrama del péndulo













libertad se asignar valores arbitrarios de masa, que se ajustarán según sea necesario para que el reloj funcione de la mejor manera posible. Finalmente, el ancla de retroceso se fabricará también en madera. Esta pieza es la que, a través del movimiento del péndulo, restringe el movimiento de los engranes, de tal suerte que el reloj funcione a la velocidad debida. Para esta pieza sólo tuvimos como directriz inicial la forma que se observa en los videos de relojes ya fabricados, por lo que se realizará una primera aproximación que se irá puliendo según se desarrolle el proyecto. 6.1.3 Polea y pesos La polea es la parte del sistema en la que se ejerce la fuerza de los pesos para













cortarlos según fuese necesario. El siguiente paso fue pulir las hendiduras y los dientes en los engranes obtenidos con el fin de que encajaran de la mejor manera posible, evitando así que el mecanismo final llegara a trabarse o detenerse. Este proceso se realizó con lijas o bien con una pulidora de alta velocidad y de punta pequeña, con la que Ilustración 13 Se cortan los dientes con caladora eléctrica



























barra hasta lograr un periodo aproximado de 2 segundos, el necesario para el funcionamiento de nuestro reloj.

6.2 Análisis experimental del prototipo.













          √   √   =2.548













                 [  (  ) ]     -Cálculos para el engrane de minutos













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Mecanismo de Reloj en Madera

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