Mecánica Para Ingenieros Prácticas y Problemas Resueltos - Ramón Peral Orts

MECÁNICA PARA INGENIEROS. PRÁCTICAS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Mecánica para ingenieros. Prácticas y problemas resueltos © Ramón Peral Orts Abel R. Navarro Arcas José M. Marín López ISBN: 978–84–9948–289–7 e-book v.1.0

ISBN edición en Papel: 978-84-9948-113-5

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33 C/. Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Maqueta y diseño: Gamma. Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 25 – San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánic mecánico, o, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o siste ma de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

ÍNDICE PREFACIO PREF ACIO ............................................................................ .................................................................................................... ........................ 5 BLOQUE I. ESTÁTICA....................................................................... ................................................................................ ......... 7 Práctica 1. Cables bajo la acción de cargas cargas concentradas ........................ 7 1.1.1. Introducción ..................................................................... .............................................................................. ......... 7 1.1.2. Objetivo ......................................................................... .................................................................................... ........... 8 1.1.3. Fundamentos.................................................................. ............................................................................. ........... 8 1.1.4. Procedimiento .................................................................. ......................................................................... ....... 13 1.1.5. Se pide ........................................................................... .................................................................................... ......... 14 Práctica 2.V 2.Viga iga biapoyada ..................................................................... ................................................. .................... 15 1.2.1. Introducción ..................................................................... ............................................................................ ....... 15 1.2.2. Objetivo ......................................................................... .................................................................................. ......... 15 1.2.3. Fundamentos.................................................................. ........................................................................... ......... 15 1.2.4. Procedimiento .................................................................. ......................................................................... ....... 16 1.2.5. Se pide ........................................................................... .................................................................................... ......... 17 Práctica 3. Análisis experimental de una cercha ................................... 21 1.3.1. Introducción................................................................... ............................................................................ ......... 21 1.3.2. Objetivo ........................................................................ .................................................................................. .......... 21 1.3.3. Fundamentos teóricos ............................................................. 21 1.3.4. Procedimiento ......................................................................... 24 1.3.5. Se pide .......................................................................... .................................................................................... .......... 26 Problema 1....................................................................... 1.............................................................................................. ....................... 27 Problema 2..................................................................... 2.............................................................................................. ......................... 29 Problema 3.................................................................... 3.............................................................................................. .......................... 32 BLOQUE II. CINEMÁTICA....................................................................... 35 Prácticas 1, 2, 3. Mecanismo de 4 barras, mecanismo biela-manivela, mecanismo doble deslizadera ................................................................. 35 2.1.1. Objetivo. .................................................................... ................................................................................. ............. 35 2.1.2. Fundamentos........................................................................... 35 2.1.3. Procedimiento ......................................................................... 38 2.1.4. Se pide ....................................................................... .................................................................................... ............. 42 Problema 1.................................................................... 1.............................................................................................. .......................... 46 Problema 2.................................................................. 2.............................................................................................. ............................ 48 Problema 3.............................................................................. 3.............................................................................................. ................ 50

BLOQUE III. CINÉTICA ................................................................... ........................................................................... ........ 53 Práctica 1A y 1B. Péndulo de Maxwell y suspensión bilar ...... ............. ........... .... 53 3.1A.1. Objetivo ..................................................................... ............................................................................... .......... 53 3.1A.2. Fundamentos. ....................................................................... 53 3.1A.3. Procedimiento ...................................................................... 56 3.1A.4. Se pide ....................................................................... ................................................................................. .......... 57 3.1B.1. Objetivo........................................................... Objetivo................................................................................ ..................... 58 3.1B.2. Fundamentos ........................................................................ 58 3.1B.3. Procedimiento ...................................................................... 62 3.1B.4. Se pide........................................................................ .................................................................................. .......... 63 ............ ............. ............. ............. ........... 64 Práctica 2. Cálculo del coeciente de rozamiento ...... 3.2.1. Objetivo ........................................................................ .................................................................................. .......... 64 3.2.2. Fundamentos........................................................................... 64 3.2.3. Procedimiento ......................................................................... 66 3.2.4. Se pide ......................................................................... .................................................................................... ........... 68 Práctica 3. Vibraciones con sistemas con 1 GDL ................................... 70 3.3A.1. Objetivos................................................................... .............................................................................. ........... 71 3.3A.2. Fundamentos ........................................................................ 71 3.3A.3. Procedimiento ...................................................................... 73 3.3A.4. Se pide ...................................................................... ................................................................................. ........... 73 3.3B.1. Objetivos ................................................................... .............................................................................. ........... 74 3.3B.2. Fundamentos ........................................................................ 74 3.3B.3. Se pide....................................................................... .................................................................................. ........... 77 Problema 1...................................................................... 1.............................................................................................. ........................ 78 Problema 2.................................................................... 2.............................................................................................. .......................... 81 Problema 3................................................................... 3.............................................................................................. ........................... 83

PREFACIO No cabe duda de que el adecuado adecuad o diseño y construcció constr ucciónn de los cimientos cimiento s de un edicio asegura indiscutiblemente la estabilidad y seguridad del mismo

a lo largo de su vida útil. De igual forma, la solidez de los fundamentos teórico prácticos práct icos de d e un Ingenie In geniero/a ro/a garant g arantiza iza una un a base sólida só lida de d e conocimie conoc imientos ntos que qu e le permitirán plantearse y resolver problemas de toda índole a lo largo de su trayectoria profesional. La asignatura de “Mecánica”, en el 1.er curso de la titulación de Ingeniería Técnica Industrial, especialidad Mecánica, forma parte de la base de fund fundament amentos os a los que el prof profesiona esionall en form formación ación deberá deber á recurrir para la correcta ejecución de sus labores profesionales. Se entiende por “mecánica”, la parte de la física que trata del equilibrio y del movimiento de los cuerpos sometidos a cualquier tipo de fuerza. En función del estado de equilibrio estático o dinámico de los elementos a estudiar, la mecánica será entendida como “Estática” o “Dinámica”. Durante este curso, el temario se encuentra dividido en tres bloques de conocimiento perfectamente diferenciados, pero íntimamente relacionados. La estática es la parte de la mecánica que se encarga de estudiar el equilibrio estático de un cuerpo o conjunto de cuerpos sometidos someti dos a una serie de fuerzas. La cinemática se preocupa de la posición, velocidad y aceleración de los elementos a estudiar, sin tener en cuenta las fuerzas que provocan este estado de movimiento. Por último, la cinética analiza las fuerzas encargadas de generar y/o mantener un sistema dinámico en movimiento. Durante el curso, el alumno deberá adquirir las habilidades para poder estudiar, plantear, analizar y resolver distintos problemas ligados a cada uno de estos bloques, siendo capaz de relacionarlos entre sí. Para ello, la asignatura se compone de clases magistrales o teóricas, donde el profesor se encargará de exponer los conceptos teóricos más importantes de cada uno de los temas que componen la asignatura, así como el planteamiento y resolución de los problemas relacionados con los mismos. A su vez, el alumno dispone de sesiones prácticas donde rearma la metodología y

resolución de problemas de forma semiatendida y en grupo, a la vez que manipula montajes experimentales experimental es relacionados con cada uno de los bloques de conocimiento.

5

Tal y como sucede con la asignatura, la presente publicación publ icación será dividida en tres bloques fundamentales de conocimiento, constando cada uno de ellos de un guión de montajes de laboratorio y una sección práctica de problemas. Los autores

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BLOQUE I. ESTÁTICA Práctica 1. CABLES BAJO LA ACCIÓN DE CARGAS CONCENTRADAS 1.1.1. INTRODUCCIÓN Los cables son ampliamente utilizados por sus características particulares de peso, resistencia y exibilidad. En realidad los cables no son perfectamente exibles, ya que ofrecen resistencia a ser doblados, pero esta fuerza es

tan pequeña en comparación con la fuerza que pueden resistir que puede despreciarse. Cuando un cable se somete a fuerzas longitudinales, la forma que adquiere es una recta.

Figura 1. Forma de cable sometido a fuerzas longitudinales.

En cambio, cuando sobre el cable actúan fuerzas en dirección transversal al mismo, la forma que adquiere deja de ser recta y se curva, ver gura 2.

Figura 2. Forma de cable sometido a fuerzas transversales.

7

Estática

Los cables pueden estar sometidos a:   

Cargas concentradas. Carga uniformemente distribuida según una dirección, puente colgante. Carga uniformemente distribuida según su longitud, catenaria. Algunas aplicaciones habituales dadas a los cables son:

Líneas de distribución de energía eléctrica, teleféricos, cables de ascensores, grúas, suspensión de puentes, en automóviles tenemos aplicación de los cables para el el accionamie accionamiento nto del del acelerado acelerador, r, el embrague embrague,, el freno freno de de mano, mano, etc. etc. 1.1.2. OBJETIVO El objetivo de la presente práctica consiste en comprobar la forma form a adquirida por un cable sometido a una serie de cargas concentradas en algunos puntos del mismo. Así como establecer la tensión del mismo en cada uno de sus tramos de forma teórica y experimental.

Figura 3. Montaje práctica 1.

1.1.3. FUNDAMENTOS En la gura se representa un cable jado a los apoyos A y D, sometido a

cargas concentradas P1 y P2 en los puntos B y C respectivamente.

8

Mecánica para ingenieros. Prácticas y problemas resueltos

Figura 4. Dimensiones necesarias para el cálculo.

Se desea obtener el valor de las distancias y 1 e y2, en función del valor de las cargas P1, P2 y el punto donde estén situadas en el cable, x1 y x2. Del diagrama de sólido libre del cable, se obtienen las siguientes expresiones.

Figura 5. Diagrama del sólido libre.

9

Estática

Figura 6. Consideración de un punto E.

Se tienen 3 ecuaciones con cuatro incógnitas (TBx, TAx, TAy, TBy). Para poder resolver el sistema hay que buscar otra ecuación, considerando el equilibrio de una parte del cable. Esto es posible si se conoce la distancia vertical desde un punto cualquiera hasta un apoyo. Consideremos un punto cualquiera del cable E según muestran las guras 6 y 7.

Figura 7. Diagrama del cuerpo libre entre A y E. 10


Representando el diagrama de cuerpo libre de la parte del cable entre los puntos punt os A y E se tien tiene, e, toman tomando do momen momentos tos resp respecto ecto al punto punto E, la la expres expresión ión 1.4.

De este modo se consigue un sistema con cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas que puede resolverse.

Conocida TAx y TAy, puede calcularse fácilmente la distancia vertical desde el apoyo A hasta cualquier punto del cable P. Basta tomar momento respecto al punto considerado P y resolver la ecuación. Por ejemplo para determinar la distancia y2, se representa el diagrama de sólido libre del tramo del cable A-B-C y se toman momentos respecto al punto C.

Figura 8. Diagrama del cuerpo libre tramo A-B-C.

11

Estática

Si se desprecia el peso del cable (mucho menor que las cargas aplicadas), se obtiene el siguiente diagrama de fuerzas internas.

Figura 9. Diagrama de fuerzas internas.

Para cada uno de los nudos se sabe que: Nudo:

Se puede observar de estas ecuaciones, que la componente horizontal de la tensión es igual en todos los puntos del cable, e igual al valor de la componente en x de las reacciones. 12


Puesto que la componente horizontal de la tensión en todo punto del cable es constante, la máxima tensión corresponderá al tramo tr amo que tenga mayor ángulo (α), ya que al aumento de α le corresponde un aumento de la componente de la tensión vertical. El tramo de mayor ángulo siempre corresponde a uno de los segmentos unido a los puntos de anclaje. 1.1.4. PROCEDIMIENTO Para la realización de la práctica se utiliza el marco de laboratorio (1), graduado según un sistema de referencia con origen en el vértice inferior izquierdo, una cadena de longitud L y 2 pesas con pesos P1 y P2.

Figura 10. Detalle del marco graduado y ejemplos de pesas a utilizar utilizar..

1. Fijar los soportes A y D del cable en el marco, a una cierta altura yA e yB respectivamente. 2. Colgar las pesas en dos puntos cualesquiera del cable. 3. Tomar los datos del montaje que se solicitan en el apartado siguiente.

Figura 11. 11. Esquema con cotas necesarias.

13

Estática

SE PIDE 

Valores medidos:



Valores calculados:

Por último, el alumno deberá comentar y establecer el error coexistente entre los valores calculados y los valores medidos, indicando la posible procedencia del mismo. 14


Práctica 2. VIGA BIAPOYADA 1.2.1. INTRODUCCIÓN Uno de los problemas más comunes de la estática básica es la barra biapoyada. Este tipo de elementos se caracterizan por contar con una unión que permite el deslizamiento en uno de sus extremos y otra ja articulada, tal y como se puede ver en la gura 13.

Figura 12. Ejemplo de montaje viga biapoyada.

1.2.2. OBJETIVO El objetivo de la presente práctica consiste en comprobar compr obar el comportamiento de los apoyos de una viga con una masa determinada, cambiando las condiciones de su cargada. 1.2.3. FUNDAMENTOS Para el siguiente ejemplo, planteando el Diagrama del Sólido Libre, DSL, se supondrá que el apoyo libre sólo presenta una reacción R 1y, en la dirección perpendicular a la viga, y el articulado dos reacciones R 2x y R 2y, una perpendicular y otra paralela a la viga (ver (ver gura 14). 14).

Figura 13. Montaje viga biapoyada. 15

Estática

El resto de fuerzas que aparecen en el DSL dependerán de los elementos que sustentan la viga y el propio peso de la misma.

Figura 14. Diagrama del sólido libre viga biapoyada.

Como el sistema se encuentra en equilibrio estable debemos aplicar las ecuaciones de fuerzas y momentos para poder pod er obtener el valor de las reacciones en los apoyos:

∑ F = 0

(2.1)

∑ M

(2.2)

0

= 0

Como resultado de estas dos ecuaciones vectoriales y puesto que se trata de un problema plano, tendremos las siguientes ecuaciones escalares:

∑ F = F

+ F 2 x ... + R2 x = 0

(2.3)

∑ F = F

+ F 2 y ... + R2 y + R1 y = 0

(2.4)

1 x

x

1 y

y

∑ M

0

= d 1F 1 x + d 2 F 2 x ... = 0

(2.5)

Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se podrán obtener las reacciones en los apoyos. 1.2.4. PROCEDIMIENTO Para la realización de la práctica se utiliza el montaje 2, que consiste en una viga de aluminio de perl constante que se encuentra apoyada sobre sobre unas

balanzas. Los pasos a seguir son:

16


1. Plantear 3 situaciones de carga diferentes, con varias pesas/piezas, localizando perfectamente la posición de la misma, calculando centroides en caso necesario.

2. Croquizar el sistema y plantear el DSL. 3. Realizar tres medidas con las balanzas en cada caso para obtener la reacción en y en cada uno de los apoyos.

Figura 15. Ejemplos de carga de la viga biapoyada.

Nota: El peso de la viga se puede tomar como carga uniformemente repartida.

1.2.5. SE PIDE 



Comentar y establecer el error coexistente entre los valores calculados y los valores medidos, indicando la posible procedencia del mismo. ¿Qué sucedería con la reacción en x? Analiza esta circunstancia y propón algún sistema experimental para obtener esta carga si fuera necesario.

17

Estática

18


19

Estática

20


Práctica 3. ANÁLISIS EXPERIMENTAL DE UNA CERCHA 1.3.1. INTRODUCCIÓN En esta práctica se estudiarán las características tensionales de una cercha en equilibrio estático, es decir, una estructura cuyos miembros están conectados entre sí a través de pernos. Este tipo t ipo de estructuras se utilizan con frecuencia para soportar techos y puentes. En este caso concreto estudiaremos una estructura que cumplirá las siguientes características:

• Plana. • Formada por barras cuyo peso es despreciable frente a las cargas exteriores. • En la que las fuerzas exteriores actúan sólo sobre los nudos. 1.3.2. OBJETIVO El objetivo de la presente práctica consiste en obtener experimentalmente las fuerzas que actúan sobre los diferentes elementos de una cercha y posteriormente compararlas con los resultados teóricos.

Figura 16. Esquema de la cercha a estudiar estudi ar..

1.3.3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Se llama estructura articulada, armadura, cercha o viga en celosía, a una estructura rígida compuesta por barras rectilíneas unidas mediante 21

Estática

articulaciones, capaz de recibir cargas exteriores y transmitirlas a los apoyos. Los puntos de unión de las barras con las articulaciones se llaman nudos. El análisis se basará en el principio de que si una estructura se encuentra en equilibrio, entonces cada uno de sus miembros también lo estará. Teniendo en cuenta esto y aplicando las ecuaciones de equilibrio a las diferentes partes de la estructura se estará en disposición de determinar todas las fuerzas que actúan en cada una de las conexiones. Para ello existen diferentes métodos de cálculo, siendo los más conocidos el método de los nudos y el método de las secciones.

a) Método de los nudos El siguiente procedimiento proporciona una forma típica de analizar una estructura mediante el método de los nudos. En primer lugar se debe dibujar un diagrama de sólido libre de la unión a estudiar. Ésta debe tener al menos una fuerza conocida y como máximo dos desconocidas1. Se debe recordar que la línea de acción de cada fuerza que actúa en la unión está orientada según la dirección de la barra que la transmite. Una vez obtenido el DSL, se deberán plantear las ecuaciones de equilibrio, para despejar de ellas las fuerzas desconocidas.

∑ F

x

=0

∑ F

y

=0

Posteriormente se seguirán analizando del mismo modo las demás uniones. De nuevo será necesario escoger una unión que tenga un máximo de dos incógnitas y al menos una fuerza conocida. En las siguientes guras se muestra un ejemplo ejempl o

de aplicación del método:

Figura 16. Ejemplo de aplicación del método de los nudos.

Los apoyos constituyen un caso especial puesto que se deberán calcular previamente las reacciones aplicando las ecuaciones de equilibrio a la estructura completa. 1

22


Se van a calcular las fuerzas que ejercen las dos barras que convergen en el punto B (2 incógnitas), conocida la fuerza exterior aplicada sobre el mismo. Aplicando las ecuaciones de equilibrio y despejando las fuerzas desconocidas se obtiene:

b) Método de las secciones El siguiente procedimiento proporciona una forma típica de analizar una estructura mediante el método de las secciones para determinar las fuerzas en los miembros de una estructura. En este caso no es necesario resolver la estructura completa, pudiendo obtener únicamente las fuerzas sobre determinados grupos de elementos. En primer lugar se deben calcular las reacciones externas. Posteriormente se debe decidir cómo cortar la estructura de forma que se corten las barras cuyas fuerzas se desea determinar. Puesto que sólo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio,

∑ F

x

=0

∑ F

y

=0

∑ M

z

=0

Se podrán incluir como máximo tres incógnitas, es decir, se podrán cortar como máximo tres barras cuyas fuerzas se desconozcan. Aplicando el método a la gura 17 se tiene:

Figura 17. Ejemplo de aplicación del método de las secciones. 23

Estática

Tomando momentos con respecto r especto a E es posible calcular la fuerza ejercida por la barra CF:

1.3.4. PROCEDIMIENTO Para la realización de la práctica se utilizará la maqueta presente en el laboratorio y una serie de pesas. p esas. La práctica consistirá en cargar la estructura en los diferentes puntos disponibles y posteriormente medir la tensión generada en dos de las barras que componen la cercha.

Figura 18. Ejemplo de montaje de práctica con carga.

La tensión es un concepto denido y no es mensurable de forma directa.

Debido a esto, para la determinación de d e esfuerzos en un punto de una estructura compleja sometida a un determinado estado de cargas, se procede a la medida de las deformaciones en ese ese punto y a partir de ellas se obtienen las tensiones aplicando la ley de Hooke. Para un estado de carga uniaxial, como el que se presenta en esta práctica, la ley de Hooke se simplica y queda: σ

24

= E ε


Donde: σ: Tensión (N/mm2) E: Módulo de Young Young (N/mm2) ε: Deformación (adimensional)

El equipo de medida P-3500 disponible en el laboratorio permite obtener deformaciones. Conguración Conguració n del equipo:

1. Ajustar el factor de galga según el tipo de galga usada utilizando el procedimiento siguiente: i. Resistencia de la galga usada 120 ohmios. ii. Estimación de resistencias de conexionado 1 ohmio. iii. GAGE FACTOR, GF, GF, de la galga usada 2,085. iv.. Ajustar GF hasta lectura: iv

Figura 18. Equipo de adquisición de datos.

Figura 18. Detalle de galga extensométrica. 25

Estática

2. RUN: ajustar con el balance hasta lectura “0000”. 3. Deformar colocando las cargas (discos) de 1 kg colgados de las barras verticales de la parte inferior de la cercha. 4. El display muestra deformaciones unitarias “ε” en micras/metro. 5. Realizar el cálculo teórico t eórico de la echa teniendo en cuenta:

a. Características del material: pletina de aluminio de E=7,25 x 105 Kgf/cm2. b. Dimensiones de la sección de la pletina: b= 30 mm; a= 4 mm. El dato que se obtiene del indicador es deformación longitudinal unitaria adimensional. ε = 10-6 m/m

Así, una vez determinadas las deformaciones y haciendo uso de la ley de Hooke será inmediato conocer la tensión a la que se encuentran sometidas las dos barras instrumentadas. Conocida la tensión, el cálculo de la fuerza es muy sencillo: la relación entre fuerza fuer za y tensión depende del área de la sección estudiada (A): σ

=

F A

1.3.5. SE PIDE Para cada estado de carga se debe rellenar una tabla como la siguiente:

Cargas aplicadas

(describir las diferentes cargas aplicadas a la estructura) 26

Solución TEÓRICA

Solución EXPERIMENTAL

Fuerza calculada en las barras

Deformación medida en las

barras

Tensión calculada

en las barras

Fuerza calculada en las barras

ERROR (%)


PROBLEMA 1 Determinar las fuerzas de reacción en los cilindros mostrados en la gura.

27

Estática

El diagrama del sólido libre de cada uno de los cuerpos muestra las reacciones entre los mismos y el elemento de apoyo, así como el peso aplicado en su centro de gravedad (Fuerzas concurrentes = Estática del punto). El ángulo γ se obtiene por trigonometría (triángulo entre los centros de A y B, un tramo de longitud r A-r B y una paralela al plano de ángulo β). ECUACIONES BÁSICAS Aplicando la segunda ley de Newton para elementos puntuales en equilibrio estático se obtienen las ecuaciones para cada uno de los diagramas representados.

Las ecuaciones se resuelven empezando por la ecuación 5, continuando por el sistema formado por las ecuaciones 3 y 4. Conocidas las reacciones de los cuerpos B y C, se resuelven las ecuaciones 1 y 2. RESULTADOS:

28

γ

R A1

R A2

83,2° (trigonometría)

16,34

13,17

R AB

R B1

R BC

5,12N

19,66N

9,81N


PROBLEMA 2 La barra AC está apoyada en A mediante una rótula y anclada por dos cables BDC y CE . El cable BDC pasa a través de una polea sin fricción en D. Sabiendo que del extremo de la barra cuelga una caja cuya masa es M. Calcular: A- La tensión en los cables. B- Todas las componentes de la reacción en A.

29

Estática

ECUACIONES BÁSICAS Antes de plantear las ecuaciones propias de un cuerpo en equilibrio estático, se deberán denir los vectores tensión, reacción y posición determinados en

el diagrama del sólido libre, diferenciando entre el módulo y el vector director en cada un de ellos.

Las ecuaciones vectoriales propias de un cuerpo en equilibrio estático se plantean como el sumatorio de fuerzas en las direcciones x, y, y, z y el sumatorio vectorial de momentos con respecto a un punto del sólido. Ambas se igualan a cero dado el equilibrio estático del cuerpo: Ecuación de Fuerzas

Ecuación de Momentos

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RESULTADOS TENSIONES TEC

TDC

TDB

3.314 N

1.681 N

1.681 N

R AY 4.773 N

R AZ -694 N

REACCIONES R AX 428 N

COMENTARIOS: Es fundamental denir perfectamente los vectores fuerza, tensión y posi -

ción antes de plantear las ecuaciones básicas de la estática en 3D y resolver los determinantes del sumatorio de momentos.

31

Estática

PROBLEMA 3 Del entramado en equilibrio estático mostrado en la siguiente gura (ele-

mentos de masa despreciables y pasadores en los nudos) se pide: a) Determinar los esfuerzos en los apoyos externos del entramado. b) Aplicando el método de las secciones, determinar las reacciones en las barras FE y DG.

Conociendo las reacciones propias de los apoyos existentes en A y B, se plantea el diagrama del sólido libre del conjunto, así como los sumatorios de fuerzas en las direcciones xy, así como los momentos, igualándolos a cero dado que el sistema se encuentra en equilibrio estático.

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ECUACIONES CONJUNTO:

Del sistema de ecuaciones se despejan las reacciones. Para calcular las tensiones en los elementos FE y DG, se aplica el método de las secciones en el entramado, seleccionando un plano de corte que seccione, al menos, los elementos en cuestión. Una vez determinado el plano, se plantea el diagrama del sólido libre de las dos partes de la estructura y se plantean las ecuaciones.

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Estática

ECUACIONES SECCIÓN 1:

RESULTADOS REACCIONES R AX 70,5 N

R AY -345 N

TENSIONES TFE 2.944,9 N 34

TDG -804 N

R BY 788 N

BLOQUE II. CINEMÁTICA Prácticas 1, 2, 3. MECANISMO DE 4 BARRAS, MECANISMO BIELAMANIVELA, MECANISMO DOBLE DESLIZADERA Las sesiones prácticas que se describen a continuación tienen un procedimiento metodológico idéntico, si bien en cada una de ellas se analiza el com portamiento portam iento cinemá cinemático tico de un mecan mecanismo ismo de carac característ terísticas icas difere diferentes. ntes. Por ello, se propone un único guión con los aspectos a tener en cuenta para ejecutarlas y tres apartados en los que el alumno deberá registrar los resultados obtenidos para cada cada uno uno de los los montajes montajes.. 2.1.1. OBJETIVO El objetivo de este grupo de prácticas es proporcionar al alumno alum no las herramientas necesarias para poder obtener de forma experimental experi mental las características cinemáticas de un mecanismo básico. Para ello el alumno deberá estar familiarizado con los fundamentos de cinemática de un sólido rígido (desplazamiento, velocidad y aceleración). 2.1.2. FUNDAMENTOS La cinemática se encarga de estudiar la posición, velocidad y aceleración de los elementos mecánicos pertenecientes a un mecanismo. Para ello, se emplean una serie de relaciones propias entre las diferentes magnitudes. A continuación se describen las ecuaciones empleadas para la obtención de la velocidad y aceleración de un sólido rígido, con puntos A y B:

35

Cinemática

Cuando existe un desplazamiento relativo entre los puntos A y B, las ecuaciones quedan de la siguiente forma. 

v A

= v B +



= a B + ω x(ω xr ) + (α xr ) + acor + a rel

a A



  ω xr







+ v rel  

(4.3)  





(4.4)

Los mecanismos propuestos para estas prácticas se conocen como “mecanismo de 4 barras”, “mecanismo biela-manivela” y “mecanismo doble deslizadera”. Sus características cinemáticas dependerán de la relación entre la longitud de sus elementos, la distancia entre los puntos de apoyo y la velocidad y aceleración angular de la barra motora. La siguiente gura

muestra el esquema de estos mecanismos.

Figura 1. Esquema de mecanismo de 4 barras.

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Figura 2. Mecanismo biela-manivela.

Figura 3. Mecanismo doble deslizadera.

Para un instante determinado, la velocidad de cada uno de los elementos (velocidad angular para las barras y lineal para los puntos) deberá ser obtenida empleando la ecuación básica de velocidades (4.1) y la relación física entre los elementos del mecanismo (barras).

37

Cinemática

2.1.3. PROCEDIMIENTO A continuación se detallan los pasos a seguir en cada una de las prácticas para establecer las características cinemáticas de cada sistema en un u n instante determinado. Estos pasos serán realizados para dos condiciones de velocidad del mecanismo (la velocidad será establecida a través del variador de frecuencias). 1. Colocar las barreras fotoeléctricas en los puntos seleccionados para establecer valores de posición en los puntos donde queramos conocer la velocidad. 2. Determinar la variación angular o lineales entre el paso 1 y el paso 2 de contacto con la fotocélula (Δα o Δβ).

3. Poner en funcionamiento el mecanismo, a una velocidad de giro constante ω 1 (r. p. m.). 4. Determinar la velocidad angular de la barra motora, empleando para ello el tacómetro. 5. Poner el cronómetro a cero mediante el reset . 6. Guardar los datos proporcionados por el cronómetro y que serán necesarios para establecer la velocidad media entre los puntos medidos. 7. Repetir la operación para otros puntos de medida en A. 8. Trasladar las fotocélulas al punto B y realizar la misma operación para varios puntos. 9. Desde 3, repetir todo el procedimiento para otra velocidad ω 2 (r. p. m.).

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Mecanismo de 4 barras

Figura 4. Foto montaje 1. Mecanismo de 4 barras.

39

Cinemática

Mecanismo de biela-manivela

Figura 5. Foto montaje 2. Mecanismo biela-manivela.

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Mecanismo doble deslizadera

Figura 6. Foto montaje 3. Mecanismo doble deslizadera.

41

Cinemática

2.1.4. SE PIDE -

Obtener el valor de velocidad media para los puntos A y B del mecanismo 1 (práctica 1), A y D del mecanismo 2 (práctica 2), así como de los puntos A y B del mecanismo 3 (práctica 3).

-

Comentar los valores experimentales obtenidos y los resultados cinemáticos derivados de los mismos.

-

Realizar los problemas teóricos de los mecanismos, teniendo en cuenta las ecuaciones básicas de velocidad y tomando como datos de partida la velocidad angular de d e la barra motora y el instante en el que se miden las velocidades.

-

Comparar y justicar resultados, así como el posible error en los

mismos.

42


Práctica 1: mecanismo de 4 barras

43

Cinemática

Práctica 2: mecanismo de biela-manivela

44


Práctica 3: mecanismo doble deslizadera

45

Cinemática

PROBLEMA 1 Cuestión A.- Un

punto material se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramétricas en función del tiempo t , expresadas en el SI son:

Determinar la posición del punto y el módulo de su velocidad en t = 2s . Cuestión B.- El movimiento de un punto material está denido en el SI por

las ecuaciones:

Siendo para . Calcular las componentes del desplazamiento, de la velocidad y de la aceleración cuando t = 2s . Cuestión C.- La aceleración de un punto material está denida por la

ecuación: 

a = 2i



+ 6 j (m/s2) 

Siendo en el instante inicial el vector de posición r = 5i y su velocidad v = 0 . Determinar el vector de posición en función del tiempo y su trayectoria Cuestión D.- Un punto material describe una trayectoria circular de 0,4 m de

radio. Calcular el módulo de su aceleración si: a) La velocidad es constante y vale 0,6 m/s. b) La velocidad vale 0,6 m/s pero aumenta a razón r azón de 1,2 m/s cada segundo. Cuestión E.- El plato de un tocadiscos alcanza su celeridad de funcionamiento

de 331/3 r. p. m. al cabo de cinco revoluciones a partir del momento de ponerlo en marcha. Determinar la aceleración angular inicial de α0 del plato si: a) La aceleración angular es constante, α0 = α = constante. b) La aceleración angular disminuye linealmente con la velocidad angular desde α0 cuando ω = 0 hasta α0 /4 cuando ω = 33 1/3 r. p. m. 46

Mecánica para ingenieros. Prácticas y problemas resueltos Cuestión A.-

Partiendo de la posición y derivando para obtener la velocidad en el instante 2 s.

Cuestión B.-

Derivando dos veces la posición se obtiene la aceleración lineal en función funci ón del tiempo.

Cuestión C.

r = (t 2





+ 5)i + 2t 2 j

Despejando el tiempo e igualando se obtiene la trayectoria. t 2

= −5 + x;

t 2

= y / 2 → −5 + x = y / 2

Cuestión D.-

La aceleración tangencial es la derivada de la velocidad lineal del punto y la normal viene denida por el giro, velocidad lineal al cuadrado dividido

por el radio de giro. at = 0m / s; an

at

= v 2 / ρ = 0,9m / s 2 →

a = 0,9m / s

2

= 1,2m / s; an = v 2 / ρ = 0,9m / s 2 → a = 1,5m / s 2

Cuestión E.-

Velocidad angular, Angulo girado, θ=5, revoluciones= revoluciones=10 10π

47

Cinemática

PROBLEMA 2

θ = 45°, la barra OB del sistema articulado gira en sentido horario a 10 rad/s. Se pide hallar la velocidad de A, la velocidad de D y la velocidad angular de la barra AB en el instante representado. Para la posición indicada en la gura, donde

ECUACIONES BÁSICAS La barra motora y de la cual se conoce la velocidad angular OB será el primer elemento del que se plantea la ecuación de velocidad para un movimiento plano.

Despejada la velocidad del punto B, y dado que se encuentra conectado al punto A a través de la barra AB, se plantea la ecuación para este elemento.

48


Conocida la velocidad de A y la velocidad angular de la barra AB, en la que se encuentra el punto D, se procede a calcular la velocidad de este punto, pudiendo pudien do emplear emplear para para ello ello como como origen origen de refere referencia ncia el punto punto A o el punto B

49

Cinemática

PROBLEMA 3 El sistema mostrado en la gura se acciona impulsado por el movimiento circular del Disco en torno al punto jo B. La velocidad angular del disco

es constante en el tiempo y tiene un valor de 12 rad/s y sentido antihorario. Determinar: a) La velocidad lineal absoluta del punto D. b) La aceleración lineal del punto D.

ECUACIONES BÁSICAS

Velocidades: Conocida la velocidad angular del disco, se podrá determinar la velocidad lineal del punto C, conectado rígidamente al mismo. Para ello se emplea la ecuación del movimiento general plano.

El punto C se se encuentra unido a través de un pasado a una ranura lineal de la barra AD, por lo que entre ambos elementos existirá un movimiento 50


relativo, quedando la ecuación para relacionar los puntos C y y A de la siguiente manera.

De la ecuación anterior se despeja y ecuación vectorial de dos dimensiones).

vrel (dos valores escalares en una

Conocida la velocidad angular de la barra AD, se plantea la ecuación de velocidades entre los puntos A y D, pudiéndose obtener la velocidad de este último. 

v D

k   i j   =  0 0 − 0,9 = 1,5i + 0,644 j  − 1,3 0,3 0 

RESULTADOS 



1,5i

v D



+ 0,644 j

51

Cinemática

Aceleraciones: De forma análoga se plantean las ecuaciones de las aceleraciones entre los diferentes puntos que componen el sistema, partiendo de la aceleración angular del disco cuyo valor es nulo.

52

BLOQUE III. CINÉTICA Práctica 1A y 1B. PÉNDULO DE MAXWELL Y SUSPENSIÓN BIFILAR Práctica 1A. PÉNDULO DE MAXWELL 3.1A.1. OBJETIVO El objetivo de esta práctica es desarrollar los conceptos teóricos de cinemática y dinámica, para determinar la aceleración de diferentes sistemas en movimiento. 3.1A.2. FUNDAMENTOS Se llama péndulo de Maxwell a un disco circular de masa m y radio R que pende de dos cables inextensibles arrollados arrollados en eje horizontal, de radio r,r, que pasa por el centro del disco.

Figura 1. Fundamento del péndulo de Maxwell.

Con los hilos arrollados sobre el eje y sometido el sistema a la fuerza de la gravedad, el disco desciende hacia abajo hasta que los hilos se desenrollan. Al seguir girando el disco en el mismo sentido que en el descenso, los hilos 53

Cinética

se arrollan y el disco asciende hacia arriba. Terminado el ascenso, los hilos comienzan nuevamente a desenrollarse y el disco vuelve a descender descender..

Figura 2. Fotografías del montaje. Péndulo en descenso y comienzo del ascenso.

Sobre el sistema actúan las siguientes fuerzas:  

Peso (del disco más el eje). Tensiones en los hilos T.

Figura 3. Fuerzas sobre el sistema. 54


Planteando las ecuaciones diferenciales del movimiento tenemos:

∑ F = m ⋅ a z

∑ M

y

2 ⋅ T − m ⋅ g

z

(7.1)

2 ⋅ T ⋅ r = I G ⋅ θ

= I G ⋅ θ

Teniendo en cuenta que 2 ⋅ T − m ⋅ g

= m ⋅ a z

a z

(7.2)

= r ⋅ θ , sustituyendo en (I) queda:

= m ⋅ r ⋅ θ

(7.3)

Dividiendo (7.3) entre (7.2): 2 ⋅ T − m ⋅ g 2 ⋅ T ⋅ r

=

m ⋅ r ⋅ θ I G ⋅ θ

Como el momento de inercia del disco es: I G

=

m ⋅ R

2

2 ⋅ T − m ⋅ g 2 ⋅ T ⋅ r

2

=

m ⋅ r m ⋅ R

2

2 ⋅ T − m ⋅ g

=

2 ⋅ T ⋅ r

2 ⋅ r R

(7.4)

2

2

De la expresión (7.4) puede deducirse la tensión de los cables: 2 ⋅ T ⋅ R 2

(

2 ⋅ T ⋅ R

2

− m ⋅ g ⋅ R 2 = 4 ⋅ T ⋅ r 2 − 2 ⋅ r )= m ⋅ g ⋅ R 2

2 ⋅ T ⋅ R 2 T =

2

− 4 ⋅ T ⋅ r 2 = m ⋅ g ⋅ R 2

m ⋅ g ⋅ R 2

(

2

2

2 ⋅ R − 2 ⋅ r

(7.5)

Sustituyendo (7.5) en (7.1), obtenemos el valor de la aceleración az. 2⋅

m ⋅ g ⋅ R 2

(

2 ⋅ R 2

− 2 ⋅ r 2

)− m ⋅ g = m ⋅ a

a z

 R 2   1 = g ⋅  2 − 2  R − 2 ⋅ r 

a z

 r 2   = 2 ⋅ g ⋅  2 2  2 − ⋅ R r  

z

g ⋅ R 2

)− g = a

( R

2

a z

 R 2 − R 2 + 2 ⋅ r 2   = g ⋅  2 2  R − 2 ⋅ r 

− 2 ⋅ r 2

z

(7.6) 55

Cinética

3.1A.3. PROCEDIMIENTO 1. Colocar el soporte de las barreras fotoeléctricas de forma que al pasar el disco corte el haz luminoso sin rozar con estas. 2. Poner el cronómetro a cero mediante el botón reset . 3. Nivelar el eje de rotación horizontalmente y enrollar cuidadosamente cui dadosamente los cables sobre el eje. 4. Soltar el disco y anotar los tiempos indicados en el cronómetro. 5. Efectuar 6 medidas y hallar la medida media.

Figura 4. Esquema de montaje.

56


Por las expresiones (7.2), (7.3) y (7.4) de la experiencia 1: a=

2 ⋅ ∆ x1 t 2

2

− t 12

a=

2 ⋅ ∆ x2 t 3

2

− t 2 2

a=

2 ⋅ ∆ x3 t 4

2

− t 32

3.1A.4. SE PIDE -

Obtener el valor de la aceleración de traslación y rotación.

-

Comentar los valores experimentales obtenidos y los resultados cinemáticos derivados de los mismos.

-

Comparar y justicar resultados, así como las simplicaciones reali -

zadas en cada uno de los montajes.

57

Cinética

Práctica 1B. SUSPENSIÓN BIFILAR 3.1B.1. OBJETIVO El objetivo de la práctica consiste en determinar el periodo de oscilación de un cuerpo rígido, en este caso será una varilla na maciza suspendida de dos cables exibles e inextensibles.

3.1B.2. FUNDAMENTOS Una suspensión bilar consiste en un sólido rígido suspendido de dos puntos, equidistantes del centro de gravedad, por medio de dos cables exibles e inextensibles según muestra la gura.

Figura 5. Fotografía del montaje.

58


Figura 6. Ejes de referencia y longitud de la barra.

Si se gira un pequeño ángulo alrededor del eje z que pasa por el centro de gravedad del sólido suspendido y se libera, este comienza a oscilar alrededor de su posición de equilibrio estable.

Figura 7. Ejes de referencia y longitud de la barra.

Planteando las ecuaciones diferenciales del movimiento se obtienen las siguientes ecuaciones.

∑ F = m ⋅ a z

∑ M

z

z

= I G ⋅ θ

2 ⋅ T ⋅ cos α

− m ⋅ g = m ⋅ a z L

− 2 ⋅ T ⋅ sin α ⋅ = I G ⋅ θ 2

(7.7) (7.8) 59

Cinética

Figura 8. Fuerzas que actúan.

Figura 9. Fotografías del montaje con la varilla en movimiento.

Si suponemos que la aceleración de traslación es despreciable se cumplirá: 2 ⋅ T ⋅ cos α

− m ⋅ g = m ⋅ az = 0

2 ⋅ T =

m⋅ g

cos α

Sustituyendo en (7.8) queda:

−

60

m⋅ g

cos α

L

⋅ sin α ⋅ = I G ⋅ θ 2

−

m ⋅ g ⋅ L

2

⋅ tg α = I G ⋅ θ

(7.9)


Figura 10. Ángulos Ángulos infuyentes. infuyentes. A A ' = l ⋅ sin α

l ⋅ sin α

L

= ⋅ sin θ 2

A A '=

L

sin α

=

2

L

2⋅l

⋅ sin θ L

tg α

=

sin α cos α

sin α

=

1 − sin

2

igualando ambas expresiones:

⋅ sin θ

2⋅l 2 L

= α

⋅ sin θ

1−

4⋅l

2

⋅ sin 2 θ

Para pequeñas oscilaciones se puede aproximar que:

sin θ

≅ θ quedando así

L ⋅ θ tg α

=

2⋅l 2 2 L ⋅ θ

1−

4⋅l2

Sustituyendo en (7.9) quedará:

−

m ⋅ g ⋅ L

2

L ⋅ θ

⋅

2⋅l L2 ⋅ θ 2

1−

4 ⋅ l2

= I G ⋅

θ

−

m ⋅ g ⋅ L2

4⋅l

1

⋅ 1−

L ⋅ θ 2

2

⋅ θ = I G ⋅ θ

4 ⋅ l2

61

Cinética

Despreciando

I G ⋅ θ +

L2 ⋅ θ 2

4⋅l

m ⋅ g ⋅ L

θ + ω 2 ⋅ θ

2

4⋅l

2

frente a la unidad (θ muy pequeño), queda nalmente:

θ

⋅θ = 0

+

m ⋅ g ⋅ L2

4 ⋅ l ⋅ I G

⋅θ = 0

= 0

(7.10)

Que es la ecuación de un movimiento armónico simple con frecuencia angular igual a: ω=

m ⋅ g ⋅ L

2

4 ⋅ l ⋅ I G

La frecuencia (en hertzios) del movimiento 0 vale: ω

= 2 ⋅ π ⋅ f

f

=

1 2 ⋅π

m ⋅ g ⋅ L2

⋅

4 ⋅ l ⋅ I G

El periodo, esto es, el tiempo (en segundos) segund os) invertido en realizar un ciclo, es igual a la inversa de la frecuencia: T =

1 f

3.1B.3. PROCEDIMIENTO 1. Determinar las características de la barra que va a suspenderse de los cables. Longitud

masa (kg)

sección transversal

IG (kg m2)

2. Suspender la barra con los cables C 1 y C2 de tal forma que queden equidistantes del centro de gravedad de la barra.

62


Figura 11. 11. Medidas a tener en cuenta.

3. Hacer oscilar la barra y obtener el periodo de oscilación con el cronómetro.


3.1B.4. SE PIDE Obtener el periodo de oscilación de la barra B variando la distancia entre los cables L y la longitud de los mismos l. Barra

l (m)

L (m)

Tmedido (s (s)

TCalculado (s)

Error (%)

63

Cinética

Práctica 2. CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO 3.2.1. OBJETIVO El objetivo de esta sesión es determinar los coecientes de rozamiento

estático y dinámico de diferentes materiales empleados en la práctica. 3.2.2. FUNDAMENTOS Consideremos una correa sobre una polea como indica la siguiente gura:

Figura 13. Fuerzas que actúan.

Sea Tc la tensión en el ramal cargado y Td la tensión en el ramal descargado cuando la correa está a punto de deslizar d eslizar.. Considerando un elemento de correa cor rea innitesimal de anchura, unidad y longitud ds=R.d α , las fuerzas a las que está sometido son:

Figura 14. Detalle del punto de contacto.

64


-

Las tensiones de los extremos, en el lado descargado T y en el lado cargado T+dT. La reacción normal de la polea N. La fuerza de rozamiento Fr Fr..

Descomponiendo estas fuerzas en sus componentes horizontal y vertical y planteando las ecuaciones de equilibrio se tiene:

como dα es muy pequeño, se puede considerar que:  d α  ≅ 1  2  

cos

 d α  ≅ d α  2   2

sin 

sustituyendo y despreciando los innitésimos de segundo orden queda:

Como la fuerza de rodamiento cumple

resulta nalmente:

Sustituyendo en (8.4) y reordenando:

65

Cinética

Integrando:

La relación entre las tensiones en los ramales cargado y descargado es una constante “C” que depende del coeciente de rozamiento entre la correa

y la polea “µ” y del ángulo (en radianes) que abarca el contacto polea-correa “α”. 3.2.3. PROCEDIMIENTO La experiencia se realiza sobre una polea horizontal. La polea puede hacerse girar mediante un motor eléctrico, de velocidad angular variable mediante un variador de frecuencia. En la guras se muestran una fotografía y un esquema del aparato utili -

zado.


66


Figura 16. Esquema del montaje.

Sobre la polea se coloca la correa. El extremo derecho de la correa se une a un dinamómetro que indicará el valor de la tensión del ramal cargado. Del otro extremo se suspenden unas masas que son las que proporcionan la tensión del ramal descargado. En estas condiciones, se pone en marcha el motor y se aumenta la velocidad muy lentamente. Al principio, la correa es arrastrada por la polea y la tensión del dinamómetro aumenta hasta que comienza el deslizamiento. En este instante en que se rompe el equilibrio, se cumple:

El ángulo α puede variarse al deslizarse el soporte del dinamómetro sobre el bastidor principal del equipo de ensayo.

Figura 17. Esquema de montaje con el dinamómetro en la parte inferior. inferior. 67

Cinética

Figura 18. Esquema de montaje con el dinamómetro en la parte superior. superior.

Si se invierte el sentido de giro de la polea, el peso de la masa suspendida pasa a ser el valor de la tensión del ramal cargado y el valor indicado por el dinamómetro, la tensión en el ramal descargado. 3.2.4. SE PIDE -

Croquizar el sistema empleado en la práctica. Establecer el sistema de fuerzas que actúa en el montaje, para las diferentes posiciones de medición.

-

Calcular el coeciente de rozamiento medio para cada uno de los

materiales ensayados.

68


-

Comentar y justicar los resultados obtenidos.

69

Cinética

Práctica 3. VIBRACIONES CON SISTEMAS CON 1 GDL Introducción

Se llama vibración mecánica de un sistema al movimiento que se repite cada intervalo de tiempo. La teoría de vibraciones trata con el estudio de movimientos oscilatorios y las fuerzas asociadas con estos movimientos. Un sistema en vibración tiene, en general, un medio que almacena energía potencial potenc ial (resor (resorte te o elast elastómero) ómero),, un medio que almace almacena na ener energía gía cinéti cinética ca (masa o inercia) y un medio por el cual la energía se pierde gradualmente (amortiguador). La vibración de un sistema implica la transferencia de su energía potencial a energía cinética y la de su energía cinética a energía potencial, alternadamente. Si el sistema está amortiguado, la energía se irá disipando en cada ciclo de vibración. Los grados de libertad (GDL) de un sistema son el mínimo número de coordenadas independientes necesarias para determinar completamente las posiciones posici ones de todas todas las las partes partes de un sistema sistema en cualquie cualquierr instante. instante. Clasicación de las vibraciones Vibración libre

Si un sistema que es perturbado inicialmente, se deja vibrando por sí mismo, se dice que está en vibración libre. No existe una fuerza externa actuando en el sistema. La oscilación de un péndulo simple es un ejemplo de vibración libre. Vibración forzada

Si un sistema se sujeta a una fuerza externa, la vibración resultante se conoce como vibración forzada. Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, el sistema entrará en resonancia. Vibración no-amortiguada

Si durante un movimiento oscilatorio no se pierde o se disipa energía en fricción o en cualquier otro tipo de resistencia, la vibración se conoce como vibración no-amortiguada. 70

Mecánica para ingenieros. Prácticas y problemas resueltos Vibración amortiguada

Si existe pérdida de energía durante un movimiento oscilatorio, la vibración presente se conoce como vibración amortiguada. En muchos sistemas físicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que puede despreciarse para nes ingenieriles. Sin embargo embargo,, el considerar el amortiguamiento es

sumamente importante cuando se analizan sistemas en vibración cercanos a resonancia. Vibración lineal

Si todos los componentes esenciales de un sistema en vibración –el resorte, la masa y el amortiguador– se comportan dentro de su rango lineal, la vibración resultante se conoce como vibración lineal. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento del sistema son lineales. El principio de superposición puede ser empleado, además existen fundamentos matemáticos para su análisis completamente desarrollados. Vibración no-lineal

Si uno de los componentes esenciales en un sistema en vibración se comporta de manera no lineal, la vibración resultante se conoce como vibración no-lineal. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento del sistema son no lineales. El principio de superposición no es válido, y las técnicas para su análisis no son muy conocidas. PRÁCTICA 3A. DETERMINACIÓN DETERMINACI ÓN DE LA CONSTANTE CONSTANTE DE RESOR RESORTE TE 3.3A.1. OBJETIVOS El objetivo de esta práctica es obtener experimentalmente la constante del d el resorte en un sistema masa-resorte con un movimiento armónico simple. 3.3A.2. FUNDAMENTOS En 1660, Hooke encontró que la relación entre el esfuerzo y la deformación ejercida a un cuerpo está dada por una constante constant e “ E ”, ”, dicha relación es llamada la ley de Hooke.

71

Cinética E =

σ ε

Esta constante es conocida como módulo de elasticidad. Esta ley es solamente aplicada a cuerpos dentro del límite elástico. Si un cuerpo se sale de estos límites, podemos decir que se encuentra en deformación plástica. Un buen ejemplo que involucra deformaciones elásticas es el de los resortes sujetos a una fuerza externa. La fuerza causa una extensión en la longitud del resorte la cual es proporcional a la fuerza aplicada. F

= − kx

(9.1)

Esta relación es análoga a la ley de Hooke, donde dond e el módulo de elasticidad puede ser llamado la constante del resorte “k”. La constante del resorte r esorte varía dependiendo de la composición del mismo, su longitud, diámetro y el número de anillos. Es interesante notar que si tenemos un sistema donde los resortes están conectados en serie, podemos decir que:

Figura 19. Muelles en serie.

(9.2)

Para el caso de un sistema conectado en paralelo, se tiene una ecuación similar, la cual está dada por:

72


Figura 20. Muelles en paralelo.

(9.3)

3.3A.3. PROCEDIMIENTO Para obtener los valores se pueden usar dos métodos: a) Poner a vibrar libremente el resorte con una masa, obtener su frecuencia natural, y posteriormente despejar k de la fórmula. f =

1 T

=

1 2π

k m

(9.4)

Donde k se se mide en N/m y m en kg. b) Fijar un extremo extrem o del resorte y colocarle una serie de d e masas conocidas en el extremo libre. Comenzar con una masa de manera que la deexión sea mínima, luego incrementar la masa ( ∆m) e ir midiendo las deexiones (∆l) en el resorte. Despejar k de la fórmula. k =

g∆m

∆l

(9.5)

Este segundo método ha sido el empleado en el laboratorio, para los cuatro resortes presentados. 3.3A.4. SE PIDE 1. Obtener el valor de las constantes de los diferentes resortes de forma individual. 73

Cinética

2. Calcular la frecuencia natural de cada uno de los resortes para una masa de 200 gramos, o aumentar la masa si fuera necesario. 3. Realizar los dibujos y cálculos correspondientes para cada sistema. Práctica 3B. VIBRACIONES DE SISTEMAS CON 1 GDL 3.3B.1. OBJETIVOS El alumno denirá, identicará y analizará un sistema de un grado de

libertad, tanto en forma teórica como experimental. 3.3B.2. FUNDAMENTOS Una gran cantidad de sistemas mecánicos y estructurales pueden ser considerados como sistemas de un grado de libertad. En muchos sistemas prácticos, la masa está distribuida, pero para simplicar su análisis se puede

aproximar a través de una masa puntual. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO. MOVIMIENTO. SEGUNDA LEY DE NEWTON Sistema masa-resorte Este es un sistema básico para el estudio de las vibraciones en donde el resorte nos determina la energía potencial y la masa, la energía cinética. Existen esencialmente dos posiciones básicas para este sistema: horizontal y vertical.

Figura 21. Comportamiento sistema masa-muelle. 74

Mecánica para ingenieros. Prácticas y problemas resueltos Posición vertical

Considere el sistema de la gura 21. Una masa se suspende de un resorte

que se encuentra atado a un soporte rígido en su parte superior. Inicialmente la masa se encuentra en una posición llamada llamad a posición de equilibrio, en donde la fuerza resultante del resorte hacia arriba es exactamente igual a la fuerza gravitacional que la masa ejerce.

Figura 22. Procedimiento para el cálculo de la constante de rigidez.

En esta posición, la longitud del resorte es, donde es la deformación estática (elongación debido al peso W de de la masa m).

Figura 23. Distribución lineal de la fuerza (ley de Hooke).

En equilibrio tenemos:

W

= mg = kδ st

75

Cinética

Si desplazamos la masa una distancia x (+) de su posición de equilibrio estático, la fuerza del resorte será ahora − k (x + δ st . Aplicando la 2.a ley de Newton para la masa m tenemos: mx =

−k

(x + δ st )+ W

Debido a que

k δ st = W

Entonces,

m x + kx

=0

Por lo tanto la frecuencia natural del sistema sería:

(9.6) (9.7)  + x

ωn

2

k m

=

⋅x =0

(9.8)

k

(9.9)

m

En el caso concreto estudiado en la práctica, se dispone de un sistema formado por una barra, una masa y un muelle de K conocida. Dadas las características de este sistema puede ser considerado equivalente a un sistema masa-resorte.

Figura 24. Equivalencia del sistema barra-masa-muelle.

Basándonos en el hecho de que la energía de un sistema equivalente puede ser la misma que la del original se deduce que: (9.10)

E c1 = E c1eq

Sabemos que: 76

v1

= (a / b)veq

(9.11)


Por lo tanto nos queda que:

(9.12)

Por lo tanto sustituyendo la masa equivalente en las ecuaciones obtenidas del sistema masa-resorte podremos obtener la frecuencia del sistema: Recuerda que:

(9.13)

T =

2π ω

Figura 25. Imagen del montaje durante el ensayo. Nota: todos estos cálculos son suponiendo el peso de la barra despreciable, m = m cilindro , o suponer el peso de la barra en el el punto de aplicación del cilindro, m = m cilindro + m barra . La fricción también será despreciada. despreciada.

3.3B.3. SE PIDE 1. Determinar la frecuencia natural del sistema para cada una de sus tres posiciones, poniéndolo a oscilar libremente y midiendo el periodo (manualmente y con el cronómetro), así como para cada muelle empleado. 2. Determinar la frecuencia natural para cada una de las tres posiciones mediante las fórmulas del sistema equivalente masa-resorte, determinar uno de los dos supuestos de la “nota” para cada caso justicándolo. 3. Obtener el error entre ambos valores y justicarlo. 77

Cinética

PROBLEMA 1 Ejercicio A.- Un bloque de 1 kg está suspendido de una cuerda de 1,5 m. Se dispara contra él una bala de 20g que queda incrustada. Si la velocidad de la bala es de 200m/s:

a) ¿Qué velocidad tendrá el conjunto tras el impacto? b) ¿Hasta qué altura subirá el conjunto bala-bloque? c) ¿Qué velocidad mínima debe llevar la bala para que el bloque, tras el impacto, dé una vuelta en el plano vertical? ECUACIONES BÁSICAS a) Conservación cantidad de movimiento G Bala

+ G Bloque = GConjunto

m Bala v Bala

+ m Boclev Bocle = mConjuntovConjunto

Se despeja la velocidad del conjunto b) Conservación de energía E C 1 + E P1

= E C 2 + E P 2

Se despeja la altura alcanzada por el conjunto c) Conservación de energía E C 1

+ E P1 = E C 2 + E P 2

Siendo hmax dos veces la longitud de la cuerda, se despeja la velocidad mínima. 78


RESULTADOS: VConjunto 3,92 m/s

Altura 0,783 m

Vmin 390,66 m/s

Ejercicio B.- Desde el punto más alto de la esfera de radio R se desliza libremente sin rozamiento ni velocidad inicial, un cuerpo de masa M. Se pide:

a) Punto en el que el cuerpo abandona la supercie esférica. b) Velocidad con la que llega al suelo. ECUACIONES BÁSICAS a) La segunda ley de Newton aplicada en la dirección normal del movimiento permitirá obtener la velocidad del cuerpo en función del ángulo de caída.

Aplicando el principio de conservación de la energía donde

79

Cinética

b) Aplicando el principio de conservación de energía desde desde que el cuerpo comienza a descender hasta que llega al suelo. E C 1 + E P1

= E C 2 + E P 2

Despejando la velocidad RESULTADOS: α 48,18°

80

v2


PROBLEMA 2 Se acciona una polea A (R=0.2 y r=0.1) con una fuerza F desconocida para izar una puerta que se desplaza a través de dos carriles (C y D). La polea pesa 15 kg y tiene un radio de giro de 0,425 metros. Sabiendo que la masa de la puerta es de 200 kg y que el rozamiento en los apoyos C y y D tiene un coeciente de 0,35, determinar el valor de F para que la puerta se desplace

con una aceleración de 0,05 m/s.

ECUACIONES BÁSICAS Para cada uno de los sólidos libres se plantean las ecuaciones de fuerza en dirección x e y, así como el sumatorio de momentos respecto al centro de masas de cada uno de los cuerpos.

81

Cinética

POLEA A

PUERTA CD

CINEMÁTICA Para poder resolver las ecuaciones, es preciso establecer las relaciones cinemáticas entre los diferentes cuerpos. Para el caso que nos ocupa, la cuerda es el elemento que permitirá conocer la relación existente entre las aceleraciones en dirección x’ de los puntos p y p’.

RESULTADOS: FUERZA F 788,82 N

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PROBLEMA 3 Un cilindro macizo homogéneo, de masa 100 kg y radio 0,4 m, descansa sobre un plano inclinado según se indica en la siguiente gura. El coeciente

de rozamiento entre cilindro y plano es de 0,35. Un cable arrollado alrededor de una leve muesca practicada en el cilindro lo conecta a una polea de radio 0,2 m, un peso de 10 kg y radio de giro 0,125 m. Suponiendo que el bloque gira sin deslizar sobre la supercie inclinada por la acción de una fuerza F de 600 N, determinar la aceleración del centro de masa G del cilindro y la

tensión del cable.

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Cinética

ECUACIONES BÁSICAS DISCO G

POLEA O

CINEMÁTICA

RESULTADOS ACELERACIÓN 1,266 m/s 84

TENSIÓN 610 N

Mecánica Para Ingenieros Prácticas y Problemas Resueltos - Ramón Peral Orts

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