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JAIME ERNESTO DÍAZ ORTIZ
Mecánica de los fluidos e hidráulica HjeVssa X4* ífcw'ilo
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Programa^ipditorial Uní fe -¡dad del Valle
TABLA DE CONTENIDO
introducción ............................................................................................................. 7 Universidad del Valle Programa Editorial Título: Mecánica de Fluidos e Hidráulica Autor: Jaime Ernesto Díaz Ortiz ISBN: 958-670-493-9 Primera edición Rector da la Universidad del Valle: Iván E. Ramos C. Director del Programa Editorial: Víctor Hugo Dueñas R. Diseño de carátula: U.V. Media © Universidad del Valle © Jaime Ernesto Díaz Ortiz Impreso en Artes Gráficas del Valle Ltda. Universidad del Valle Ciudad Universitaria, Meléndez AA. 025360 Cali, Colombia Teléfono: 321 2227 - Telefax: 339 2470 E-mail:
[email protected] Este libro, o parte de él, no puede ser reproducido por ningún medio sin autorización escrita de la Universidad del Valle. Cali, Colombia Abril de 2006
Capítulo I Propiedades de los fluidos ........................................... ........................................... 9 Capítulo II Estática de fluidos ................................................................................................. 17 Capítulo IH Fuerzas hidrostáticas sobre superficies .................................................................... 29 Capítulo IV •Empuje y flotación ..................... ...................................................... : .................. 55 Capítulo V Translación y rotación de masas liquidas ................................................................ 65 Capítulo VI Análisis dimensional y semejanza hidráulica ........................................................... 73 Capítulo VII Fundamentos del flujo de fluidos ........................................................................... 89 Capítulo VIII Flujo de fluidos en tuberías ............................. ..... ............................................... 123
i
Capítulo IX Sistemas complejos de tuberías
153
Capítulo X Medidas en flujo de fluidos .................. . ..................... ................................... 187 Capítulo XI Flujo en canales abiertos ................................................................................... 215 Capítulo XII Fuerzas desarrolladas por los fluidos en movimiento ......................................... 251 Capítulo XIII Maquinaria hidráulica ....................................................................................... 273 Tablas ............................................................................................................... 283 Bibliografía.................................................................................... ................. 291
INTRODUCCIÓN
Algunas obras de carácter científico - técnico, intentan presentar un contenido amplio de los temas, con el fin de imprimirle la universalidad del conocimiento necesaria para introducir a los interesados, en los aspectos necesarios que permitan su comprensión y profundización. El principa! esfuerzo de éste libro esta enfocado a apoyar y reforzar los conocimientos de los estudiantes en las áreas de la mecánica de los fluidos y de la hidráulica, utilizando soluciones explicadas de numerosos problemas o situaciones que abarcan de manera muy amplia, la mayor parte de los conceptos teóricos necesarios para la cabal comprensión de dichos temas. Para apoyar este esfuerzo se presenta en cada uno de los capítulos que componen el texto, una introducción teórica breve que precisa y recuerda los conocimientos básicos necesarios para la compresión de las soluciones a los problemas presentados. Los ejercicios se encuentran propuestos en la segunda y tercera edición del libro MECÁNICA DE LOS FLUIDOS E HIDRÁULICA, cuyo autor es RANALD GILES Y OTROS, en un libro que ha sido publicado por la editorial Me Graw Hill. El presente texto de estudio pretende servir de apoyo y complemento a los estudiantes de ingeniería, para el estudio y la comprensión de los conocimientos adquiridos en los cursos de Mecánica de los Fluidos. Por lo tanto, el texto de por si no constituye ni pretende convertirse en un libro clásico de Mecánica de los fluidos, sino en una herramienta auxiliar que facilite el estudio de dicha ciencia. El libro hace énfasis en el manejo y presentación adecuada de las dimensiones, con el fin de preparar a los estudiantes en la manipulación de los diferentes sistemas dimensionales con los cuales trabaja la ingeniería. Algunos de los problemas del capítulo II correspondientes a las fuerzas aplicadas sobre superficies planas y curvas, han sido desarrollados aplicando diferentes métodos. La intención de esto, es familiarizar a los estudiantes con distintas formas de análisis, de tal manera que la solución a dichos problemas utilice métodos presentados en cursos
correspondientes a la física clásica en las áreas de la estática y la mecánica de los fluidos. De esta manera se busca complementar y comparar diferentes soluciones propuestas por la Física en la solución de problemas, con el fin de mejorar el aporte didáctico del libro y facilitar la compresión y el aprendizaje de los diferentes temas planteados en los cursos de Mecánica de Fluidos. C APÍTULO I
En total se presenta una solución didáctica y secuencial de 345 problemas, que abarcan todos los conocimientos teóricos expuestos en un curso tradicional de Mecánica de Fluidos. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
Con relación a la bibliografía, es conveniente aclarar que se utilizó como punto de referencia para ayudar a mejorar la comprensión de algunos de los problemas solucionados. Finalmente el autor agradece a las personas que han intervenido en la revisión de este libro y en los aportes realizados para mejorarlo.
La mecánica de los fluidos como una de las ciencias básicas en la ingeniería, es una rama de la mecánica que se aplica al estudio del comportamiento de los fluidos, ya s que éstos se encuentren en reposo o en movimiento. Para su debida comprensión, SI) estudio debe iniciarse con el conocimiento de las propiedades físicas de los fluidos, en tu las cuales las más destacadas son la densidad y la viscosidad, ya que estas se emplean comúnmente en los cálculos de los escurrimientos en distintos tipos de conductos. D ENSIDAD
La densidad de un cuerpo es la relación que existe entre la masa del mismo dividid» por su unidad de volumen.
j j j/ \ masa
densidad (p) = -----------volumen En el sistema internacional de unidades la densidad del agua es de 1000 kg/m 3 a un» temperatura de 4°C. La densidad relativa de un cuerpo es un número adimensional establecido por lll relación entre el peso de un cuerpo y el peso de un volumen igual de una sustancia (|ii> se toma como referencia. Los sólidos y líquidos toman como referencia al agua a un» temperatura de 20°C, mientras que los gases se refieren al aire a una temperatura di' 0°C y una atmósfera de presión, como condiciones normales o estándar. Peso ESPECÍFICO
El peso específico de una sustancia se puede definir como la relación entre el poH de la sustancia por su unidad de volumen.
= I- = — -0336kg/- = 1.1642 kg/m3
lí- = =* P. = 1.033kg/m2 x^^— £ 176 kPa y 2 P, .1.09446
peso específico(y) = f>LS0 — volumen Problema
V ISCOSIDAD
Si la densidad de un líquido es de 835 kg/m 3, determinar su peso específico y su densidad relativa. y=pxg = 835 kg/m3 x9.81m/s2 s8.2kN Tstisiancia _
D.R., =
— 0.835
•V 1000 ¡ agua
Problema TR 303° Kx 29.3 m/°K 2 3 Comprobar la 1186 densidad y del del airega9.81 30°Ctn/s dados p = — = los valores de= o. kg.seg /mpeso ,m =específico 0.1186 UTM/m
en la Tabla 1(B).
Problema Comprobar los valores de los pesos específicos del anhídrido carbónico y del nitrógeno dados en la Tabla 1 (A). _ P _ latmósfera
_ 1.033kg/cm2xlO* cm2/m2
~R?T ~ 19.2m/°K(273.33'K + C) ” 19.2x193.33 = 1.83525 kg/m3 1.033kg/cm2xl04cm2/tn2 , j 7= = 1.1630kg/nr 30.3x293.33 r
La viscosidad de un fluido indica el movimiento relativo entre sus moléculas, debido a la fricción o rozamiento entre las mismas y se puede definir como la propiedad que determina la cantidad de resistencia opuesta alas fuerzas cortantes. Esta propiedad es la responsable por la resistencia a la deformación de los fluidos. En los gases disueltos, esta propiedad es importante cuando se trabaja con grandes presiones. Algunos líquidos presentan esta propiedad con mayor intensidad que otros, por ejemplo ciertos aceites pesados, las melazas y el alquitrán fluyen más lentamente que el agua y el alcohol. Newton formuló una ley que explica el comportamiento de la viscosidad en los fluidos que se que se mueven en trayectorias rectas o paralelas. Esta ley indica que el esfuerzo de corte de un fluido, es proporcional a la viscosidad para una rapidez de deformación angular dada. . Es importante destacar la influencia de la temperatura en la diferencia de comportamiento entre la viscosidad de un gas y un líquido. El aumento de temperatura incrementa la viscosidad de un gas y la disminuye en un líquido. Esto se debe a que en un líquido, predominan las fuerzas de cohesión que existen entre las moléculas, las cuales son mayores que en un gas y por tanto la cohesión parece ser la causa predominante de la viscosidad. Por el contrario en un gas el efecto dominante para determinar la resi.s tencia al corte, corresponde a la transferencia en la cantidad de movimiento, la cual se incrementa directamente con la temperatura. Para presionas comunes, la viscosidad es independiente de la presión, La viscosidad así definida, se conoce como viscosidad absoluta o dinámica.' Existe otra manera de expresar la viscosidad de una sustancia y es la llamada viscosidad cinemática que relaciona la viscosidad absoluta con la densidad.
... . . , . , , . viscosidad absoluta(u) Viscosidad cinematica(v) =-----------------------------densidad (p)
Problema A qué presión tendrá el aire un peso especifico de 18.7 IcN/m 3 si la temperatura
Problema Determinar la viscosidad absoluta del mercurio en kg-s/m2 si en poises es igual a 0.0158?
es de 49 °C? ll
f*H¡ =0-0158 pota*
1 Poise == —j- ig-s/m2 H
F
T— —
¡¡g = 16.1 xlO'4 kg-slm*
Problema Si la viscosidad absoluta de un aceite es de 510 poises. ¿Cuál es la viscosidad en
A
Por producirse dos esfuerzos cortantes, se necesitan dos fuerzas para mover la placa. ft=f, + f5
el sistema kg-m-s? Mácete ^ poiw» 2 2 = 510^2!lü-xJ--kg-s/m =5.210kg-s/m raceite 1 ____ no I 1Poi ses"98 .1
F, = 0.10 kg - s/m2x 0.4 m2 x ^2ras = 0.75 kg 1 0.017m F, = 0.10kg-s/m2 x0.4 m2 x
n^S
= 1.6 kg 0.008m
2
5
FT =0.75 + 1.6 = 2.35kg
|i = 0.2 kg/m x —= 3.3xl0~‟ kg-s/m2 0.03 m/s 2
Problema Qué valores tiene la viscosidad absoluta y cinemática en el sistema técnico de unidades (kg-m-s) de un aceite que tiene una viscosidad Saybolt de 155 segundos y una densidad relativa de 0.932?
I SOTERMÍA
E I SENTROPÍA
Para 1 > 100 => /¿(Poises) = f0.0022t - ^ j » 0.932 H = 0.309Poises = 3.156 xlO'3 kg-s/m: 1 35 Para 1 > 100 => v(stoke)= 0.0022 x 155 —2— 155
v = 0.332 stokes = 0.332m2/sxlmJ/104cm2 v = 33.2x10‟6 m2/s Problema Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas 25 mm y el espacio entre ellas está lleno con un líquido cuya viscosidad absoluta es 0.10 kg. seg/nr. Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal, ¿Qué fuerza se requiere para arrastrar una placa de muy poco espesor y 40 dm J de área a la velocidad constante de 32 cm/s si la plaza dista 8 mm de una de las superficies?
En el estudio del comportamiento de los fluidos, especialmente gases, en alguna» ocasiones se producen condiciones de trabajo en las cuales, se mantiene constante la temperatura (isotérmica) y en otras no existe intercambio de calor entre el gas y su entorno (adiabáticas o isentrópicas). En el caso de condiciones isotérmicas, la aplicación de la ley de los gases ideales, es adecuada para explicar las relaciones que se producen entre volumen y presión. Para condiciones adiabáticas, se introduce en la ecuación de los gases una constante k, que relaciona los calores específicos de las sustancias a presión y volumen constante. Esta constante se conoce con el nombre del exponente adiabático. Problema Dos metros cúbicos de aire, inicialmente a la presión atmosférica, se comprimen hasta ocupar 0.500 m\ Para una comprensión isotérmica, ¿Cuál será la presión final? P,V, =P2V, =>P, = ¿¡-^L = 1.033kg/cm2x-^—=4.132kg/cm2 Vj 0,5m
En el problema anterior, ¿Cuál será la presión final si no Imy pínlidnn de calor durante la compresión? P,Vf =P2VÍ K = 1.4 de tabla 1(A.) Mecánica - Hidráulica de Muidos R. Giles P2 = P,
( 2 V"
= 7.20 kg/cm2
T ENSIÓN S UPERFICIAL
Otra propiedad que se destaca en el estudio de ¡os fluidos es la tensión superficial, que indica la cantidad de trabajo que debe realizarse para llevar una molécula del interior de un líquido hasta )a superficie. La propiedad se produce debido a la acción de las diferentes fuerzas a que se encuentra sometida una molécula colocada en la superficie de un I íquido. Problema ¿Qué fuerza será necesaria para separar de la superficie del agua a 20°C, un aro de alambre fino de 45 mm de diámetro? El peso del alambre es despreciable. La tensión superficial (T) es de 7.42*10'5 kg/m Perímetro del aro = 2n r~2n
=
2
0.14137/»
¿Qué diámetro mínimo tendré un tubo de vidrio para que el agua a 20°C no supere 0.9 mm? ParaT = 20°C => r= 7.42*10 3 kg/m 2r coso" h = --- y*r y =998 kg/m 2tcosct r = ----- —— rh 2*0.007 T 42* ~ 998*0.0009 3 r = l.65*10~ »i d =2r=2*1.65*1 0'37M=33.1m w M ÓDULO
DE
E LASTICIDAD V OLUMÉTRICA
La compresibilidad en un fluido se encuentra expresada por un modulo, llamado de elasticidad volumétrica. Expresa la relación entre la variación de la presión con respecto a la variación de volumen por unidad de volumen. Problema Determinar la variación de volumen de 0.28317 m 3 de agua a 26.7°C cuando se somete a una presión de 35.0 kg/cm 2. El módulo volumétrico de elasticidad a esa temperatura es igual, aproximadamente, a 22.750 kg/cm 2.
F = 2* Ténsión sup erflcial * Perímetro F = 2*7.42*10“3Ag/m*0.I4137w F = 2.098*10-3*g*9.81m/í2 F =0.0206 N
■*,_ 35kg/cm 2 *0.28317m1 ~ 22750% W C APILARIDAD
Cuando se trabaja en medios porosos con diámetros menores de 10 mm, es importante considerar una propiedad llamada capilaridad, que consiste en la capacidad que tiene una columna de un líquido para ascender y descender en un medio poroso. La capilaridad está influenciada por la tensión superficial y depende de las magnitudes relativas entre las fuerzas de cohesión del líquido y las fuerza ; de adhesión del líquido y las paredes del medio.
35%/CT;*104cw2/w*0-2S317m3
22750kg/cm 2 *10*cm 1 /m 1 c/v=0.436*10'Jm3
Problema
¿Qué presión se ha de aplicar, aproximadamente, al agua para reducir
volumen
\
í en un 1.25% si su módulo volumétrico de elasticidad es 2.19 Gpa? dp dv/v -E^
C APÍT ULO
II
V
V Presión inicial = 2.19 GPa *1 = 2.19 GPa Presión final =
ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.19 GPa * (l - 0.0125)= 2.1626 GPa Presión aplicada = Presión inicial - Presión final Presión aplicada = 2.19 GPa -2.1626 GPa = 0.0274 GPa
C ONCEPTO
DE
P RESIÓN
De manera particular la presión puede expresarse como presión manométrica » presión absoluta. Estos conceptos de la presión se encuentran referidos a un nivel ■ presión determinado(nivel de referencia de la presión), que en el caso de la presidí) absoluta es cero, que es la mínima presión alcanzable cuando se tiene el vació absolulii Las presiones manométricas se encuentran referidas a la presión atmosférica. M ANÓMETROS
Los manómetros son dispositivos que se utilizan para medir la presión. Existen dil* rentes dispositivos para medir la presión entre los cuales es conveniente mencionai «I medidor de Bourdon y los manómetros de columna de líquido. El medidor de Bourdon es un dispositivo mecánico, de tipo metálico, que en genenl se encuentra comercialmente y que basa su principio de funcionamiento en la capnft dad para medirla diferencia de presión entre el exterior y el interior de un tubo elíptiíd conectado a una aguja por medio de un resorte, encargándose la aguja de señal;» m una carátula la presión registrada para cada situación particular. Los manómetros de columna líquida, miden diferencias de presión más pequeña» referidas a la presión atmosférica, al determinar la longitud de una qolumna de líquido Generalmente el dispositivo más sencillo para medir la presión atmosférica es el liit» piezométrico, el cual debe tener por lo menos 10 mm de diámetro con el fin de dismimili los efectos debidos a la capilaridad. En algunas ocasiones el tubo piezométrico ado|ii* una forma de U, con el objeto de facilitar la determinación de la presión y en oti ;i I instalación de un tubo piezométrico entre dos recipientes, permite determinar la diI. rencia de presión entre los fluidos que ocupan los recipientes. Cuando se requiM)
ni.-n !■ se utilizan manómetrosde tubo inclinado, el cual petmi medir presiones muy pciiui IVIS, ■' uun/.a. te una escala amplia de Icetiiin. Problema En la figura se muestra un tubo de vidrio en U abierto a la atmósfera por los dos extremos. Si el tubo contiene aecite y agua, tal como se muestra, determinar la densidad relativa del aceite. rnn■ Tomando en el piezómetro un nivel de referencia aa' pa =P.¡re+r x0.23m P1 =P a atmosférica
Awí«! i/í-v
P =P„ aa
P +v
aire ¡ sustancia
x0=P
x
atmosférica
Tomando como nivel de referencia la presión atmosférica <&.+ Y «Bmh* 0.23 = 0 PtiK =-3121.1 kg/m2 P A(Manonietrica) Pains ^ Y aceite X ~ ^
= Presión por peso específico de la columna de aceite p „0.35 p •“*“ y a C,i U >! y««/« «su. - Presión por peso específico de la columna de agua p p p
-y.
PA =-3121.1kg/m? +750kg/m3x3m = -8.711xl0 3 kg/cm2
*h= 1000*0.3 m
Problema Un depósito cerrado contiene 60 cm de mercurio, 150 cm de agua y 240 cm de un aceite de densidad relativa 0.750, conteniendo aire el espacio sobre el aceite. Si la presión manométrica en e! fondo del depósito es de 3.00 kg/cm 2, ¿cuál será la lectura manométrica en la parte superior del depósito?
=p
aceite <•§»««
r* Y.
*0.35= 1000*0.3 1000*
= 857%/m3
0.3
P
857 0.35 Densidad relativa = = 0.86
A =PB + Y aceite x 8 Pies + YaSua x5pies + YHg x 2 pies PB =PA ”
( Y aceite) X8pies + Tagua x 5 pies+ 7^ x 2 pies Pn =23,5PSI PA = Presión abajo PB = Presión arriba Problema
El depósito de la figura contiene un uc eiu- de densidad relativa 0.750. Determinar la lectura del manómetro A en kg/cnf
IH
Peso A si el mercurio asciende 34.30 cm en el tubo.
pistón en
O
■ / r dmanómetro ^ Presión aceite = Presión + Presión columna 4
Presión aceite = 70000 N/m2 + 860kg/m3 *l/n*9.81 m¡s 1 Presión aceite = 70000 N/m2 + 8437/V/m2 =78436. 6N/m 2 Presión pistón = Presión aceite CiV Peso pistón = 78.4 KN/m2 * n = 61.6 KN
Problema Despreciando el rozamiento entre el pistón A y el cilindro que contiene el gas, deloi minar la presión manométrica en B, en cm de agua. Suponer que el gas y el aire tien™ pesos específicos constantes e iguales, respectivamente, a 0560. P = P + 7 x0.53m rA * a • s Pi-P.' + T^*0-343 P = P f Va “ 0 ¡¡jQ jtnio&KnCü P' =p =i>P' =-46545 kg/m2 3 k Q, -t ao P = Pi
p =.46545kg/m2 +662.5kg/m2 2-0.4kg/cm2
Problema ■á, calcular el peso del pistónai la lectura de presión raancuiétrica es de 7° En la
P a=P A+ y t x90m pA =
figura,
4xl600000kg=565 8kg/m2 *l D j
K.pa.
'T
Pa =565.8 kg/m2+ 50.4 kg/m2 =616.2kg/m2 P>Pa7^x20m=>P3=PPB = 612.2kg/m2 -7 x20m = 605 kg/m2 = 0.605m(columnaagua) Problema Los recipientes A y B que contienen aceite y glicerina de densidades relativas 0.780 y 1.250, respectivamente, están conectados mediante un manómetro diferencia!, f I mercurio del manómetro está a una elevación de 50 cm en el lado de A y a una eleva
j
Para un nivel de referencia AA‟ en el tubo piezométrico P Á =0.20kg/cm2 +y Hiü {33.5-32)+r Hl0 *h
ción de 35 cm en el la
ui.i . 1.1 I > .u|u i ln ir lihi -• ™ + a
7b (6.05m) ■ 10336 kg/m' t I250kg/m x6.05m = 17898,5 kg/m ó 3
2 p
(1)
=
El aire del recipiente de la izquierda está a -23 cm de mercurio. 76 cm de mercurio equivalen a 10336 kg/m 2 - 23 cm de mercurio equivalen a -3128 kg/m2
P.m 7a * ' + 7Ml x 0.15 m 10.536 kg/m 2 + 780h„+I3590kg/m 3x0.15m P 0 = +
x 1
123745 kg/m2 + 780h P„ = P 0 => h = 7.08m = h‟ + 0.5m = 7.58m
P\ =-3128kg/nt
Esta es la altura de la superficie libre en el tanque A, y la distancia h será la superficie libre del aceite.
GtCé&C ■ !
Problema Un depósito A, a una elevación de 2.50 m contiene agua a una presión de 1.05 kg/ cm2. o depósito B, a una elevación de 3.70 m contiene un líquido a una presión de 0.70 kg/seg2. Si la lectura de un manómetro diferencial es de 30 cm de mercurio, estando la parte más baja en el lado de A y a una costa de 30 cm, determinar la densidad relativa del líquido contenido en B. Pa = Y** (2>5m -0.3m) +10500kg/m2 = 12700 kg/m2 P a = 7000 kg/m2 +13600x0.3 + ^(3.7-0.6)» P'=P^r*Wo= 522.58 kg/m3 D.R. = 0.525
(2)
Igualando (1) = (2) 2000 kg/m2 +7 H;0 X 1.5m + Y H¡0 h = 3128kg/m2 +7^,.4+ 7 i i
q u i
d o
h
2000 +1500 + 3128 - 3200 = ( 1600 -1000)h h = 5.7Im Cota del punto a = 32 m - 5.71 m = 26.3 m Problema
i
Los compartimentos B y C de la siguiente figura están cerrados y llenos de aire. La lectura barométrica en 1.020 Kg/cm 2. Cuándo los manómetros A y D marcan las lecturas indicadas, ¿Qué valor tendrá X en el manómetro E de mercurio?
Problema El aire del recipiente de la izquierda de la figura está a una presión de - 23 cm de mercurio. Determinar la cota del líquido manométrico en la parte derecha en A.
Se toman dos niveles de referencia. El primero (1-1') en el piezómetro exterior y el segundo (3-3') en el piezómetro interior.
P3 =2.1 kg/cm
1
Determinar la presión diferencial entre las tuberías A y B para la lectura del mano metro diferencial que se muestra en la figura.
Pj = Pc+7„,X P3=Pi • P=P
l atmosfcric a p
i = pc + 7Hg x °-25
P, = P,’ Pe = p, -7h8 x 0.25 -
Pc = -7„g x 0.25
Pj = 7 HS 0-25 + 7 HS^ 2.1 kg/cm 2 X
= -7Hgx0.25 + 7h¡, x X = 1.80 m Problema El cilindro y el tubo mostrados en la figura contienen aceite de densidad relativa 0,902. Para una lectura manométrica de 2,20 kg/cm 2. ¿Cuál es el peso total'del pistón y la placa W?
P A =P B -y *1.3 +y *0.5 +y *1.2-y *1.5 + y *1.0 / agua
/ Hg
/ agua
' t¡g
• agua
P A -P B =-y *1.0 +y *0.9 / tíg
i agua
P A - P B =- 23600* 1.0+10000.9 PA-PB = -13600Ag lm2 + 900kg / m2
P A -P B --\2A00kglm 1*9.S\mlseg=l24.6kPa Problema En la figura se muestra un depósito cerrado que contiene aceite bajo presión de un colchón de aire. Determinar la elevación de la superficie libre del aceite en el piezóme- tro conectado.
Presión del aire » 35 kf*a
Pa =P A+Y Pies Peso(pistón + w) ‘~A cilindro
P ~P1 aa
Peso (pistón + W) = 136405 Ib
Presión columna de aceite = Presión .ili > P,=35 kPa+y *2 i aceite
P¡ =35£Pa + 830*2*9.81 P, =51284.6 Pa P' =y *X / aceite P,=P‘ 51284.6 =y *X / aceite
Problema Para levantar una plataforma de 10 toneladas se utiliza un gato hidráulico. Si en el pistón actúa una presión de 12 kg/cm2 y es transmitida por un aceite de densidad relativa 0.810, -qué diámetro se requiere? P
" = peso
pistón
area
51284.6
Á. - --- ------
y/ aceue
„ 51284.6 iV /m1X =——
12 kg/cm* = 1000°2kg TT D"
— s 6.30 m
830^9.81 N/m Problema Con referencia a la siguiente figura, ¿qué presión manométrica de A hará que la glicerina suba hasta el nivel B? Los pesos específicos del aceite y glícerina son 832 y 1250 kg/m3, respectivamente.
~~4~
Despejando el diámetro D= 32.57 cm Problema Si el peso específico de la glicerina es 1260 kg/m 3, qué presión de succión se requerirá para elevar la glicerina 22 cm en un tubo de 12,50 mm de diámetro? Presión = yll Presión = 1260 kg /m 3(- 0.22m)= -277.2 kg /m2 El resultado negativo indica que se presenta una succión En una gota de agua, actúa la tensión superficial, dando lugar a una presión en el interior de la gota, superior a la presión del exterior. Para el análisis de esta situación se realiza un balance de las fuerzas que están actuando sobre la superficie de una gota de agua, descomponiendo las fuerzas en los componentes en los tres ejes, lo cual permite relacionar la fuerza que actúa sobre la gota de agua, considerando una proyección sobre una superficie plana, con la fuerza de tensión superficial que actúa sobre el perímetro de la gota Problema ¿Cuál es el valor de la presión interior en una gota de lluvia de 1,50 mm de diámetro si la temperatura es de 2l°C?
P e = Pp t = (90 - 3.6).rl250 kg/m' =■ 6750 kg/m 2 2 Po = c x h) » 6750-(75 3.6)^832kg/m = 3505.2kg/m 2 = 0.35kg/cm 2
a = -pd 4 p = 1 19.6664kg! m
C APÍTULO III
Interpolando para T - 21°C T
a
20 21 25
0.007380 0.007374 0.007350
FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES La acción de una fuerza ejercida sobre una superficie plana, da como resultado una presión, que en el caso de un líquido, determina la existencia de numerosas fuerzan distribuidas normalmente sobre la superficie que se encuentra en contacto con el líquido. Sin embargo desde el punto de vista de análisis estático, es conveniente reemplaza! éstas fuerzas, por una fuerza resultante única equivalente. En el caso de una superficie horizontal, ésta se encuentra expuesta a una presión constante. Cuando la superficie es inclinada con relación a la superficie del fluido en reposo, la línea de acción de la fuerza resultante, se localizará no en el centro ilc gravedad déla superficie, sino en punto llamado el centro de presión, el cual se encucn tra localizado en la superficie, a una distancia mayor desde la superficie libre, que ln distancia a! centro de gravedad de la placa. La determinación del centro de presión de una superficie sumergida puede ser determinada, aplicando el teorema de loas momentos, en el cual el momento de la fuerza resultante con relación a un punto de referencia, debe ser igual a los momentos de las fuerzas elementales que ejercen su acción sobre la superficie. Cuando un líquido en reposo actúa sobre una superficie curva, la fuerza resultante producida por el efecto del líquido sobre la placa, está conformada por dos componentes. Una componente de tipo horizontal que se calcula como la fuerza ejercida sobre ln proyección vertical de la superficie, actuando esta componente sobre el centro de prisión de la proyección vertical y otra componente de tipo vertical, que corresponde a la fuerza hidrostáiiea o peso <íel líquido ejercida por el cuerpo, que actúa sobre el centro de gravedad del volumen. En las presas, las fuerzas hidrostáticas tienden a producir deslizamientos horizontal les y volcamientos que en las presas de gravedad deben ser contrarrestados por uno adecuada distribución de cargas volumétricas. En estos casos es conveniente conside -
rar laestabiln !a*l [ > . i ; n i I. > n,iM< l n n ilrtcrminarse coeficientes de seguridad contra el volramu-nin \ < I .1, l¡ I,i presión sobre la base de la presa Problema Encontrar para la i iimpin-ita. Alt de 2.5 ni de longitud, la fuerza de comprensión sobre el apoyo O), por ln |>i■ ■ non del agua. (U, C y D son puntos articulados)
t El peso (w), se encuentra aplicado a 0.36 m del punto B WT= YV, + W, = 3103.7 Kilogramos fuerza. Componente Empuje Rectángulo Triángulo 2
Area (m2 )
y (m)
y a(m
0.94
0.78
0.73
1.22
0.52
0.63
2.16
y£A=2yA
ig
1.36
- 136 y=
= 0.63 m
2.16
El empuje (E) se encuentra aplicado a 0.63 m del punto B E T=E, + E2 = 5375.8 kg Solución al problema por la metodología formulada en el estudio de la estática: La fuerza total ejercida por el agua sobre la compuerta AB se puede aplicar en un solo punto. Ese punto es llamado el centro de gravedad del sistema.
Solución al problema por métodos planteados en mecánica de fluidos: Sen 60°=^- Y
EMy = x £ A = Ex A Area(trr)
Rectángulo 1
0.54
Triángulo 1
0.70
£
1.24
- WT (0.36) - ET(0.63) + R (0.64) = 0
0.64 FR =V(3104)2 +(5378)2 *6210kg
E Mx =* yS W = lyW £Mx=x£W = EyW
Componente de peso
=0
p_(3103.7)(0.36)+(5375.8)(0.63)
W1 = (1000) (0.6) (0.9) (2.5) = 1350 kilogramos W2 = (1000) (0.5) (0.9) • (1.56) (2.5)= 1753.7 kilogramos
EMx=y£A=2yA
Realizando simetría de momentos con respecto al punto B + TI MB
x(m) 0.45 0.30
X
A(
0.24
hcg = Ycg Sen 60° = 0.9 Sen 60° = 0.78 m h ,= 0.60+ 0.78 = 1.38 m „‟S loial
Y
--w"-59”’
0.21 0.45
x£A=£xA x
= ^ X ,Ak- = 0,36 m £ A
3I
F = r hc610ül A = 1000* 1.38*(l.8*2.5) 6210kg , bhl.Hfiít “ 12 12 K e , ™ , 1.215
Y^Y-'+^
T^M^)=1-76m
=L59+
Longitud total 00' Sen 60°=^Y cS Y
c=—^-7 = 0.69 01 C8 Sen 60° longitud Total 0B = 0.69 +1.8 = 2.49 m Longitud brazo B B = 0 1 B - YcgT = 2.49 -1.76 = 0.73 m
Y - YT - YC|, (> ■ >1
Tomando momentos con respecto al eje de giro F, X = F * 1.65 „ _ 22680 x 0.11 F =
■— = 1473 kg 1.65 Segundo método
E, =2.4 y *3.6 *1.5 = 12960 kg , b, = 0.15m 3 6 r *36*15 E¡= 0.45 m b3 = 1.65 m
r
* "9720kg , bj =
+ T Z M eje giro = 0 -E1*b,+E2*b2-F*b3 = 0 F = 1473 kg
Cos 45 0 = — F, Fx =F, Cos 45° Tomando momentos con respecto del punto B F.0.73 = F, Cos45°,0.9 F, = 7140 kg Problema Una compuerta rectangular AB de 3.6 m de alto y 1.5 m de ancho, está colocada verticalmente y puesta a 0.15 m abajo del centro de gravedad de la compuerta. La profundidad total es de 6 m. ¿Cuál es la fuerza F horizontal que debe ser aplicada en la base de la compuerta para encontrar el equilibrio? F,-y [{6- 3.6)+ 1.8]* (3.6 *1.5) F, = 22680 Kg Yc =2.4+—=4.2m 8 2 Y
cp
, u M m M.2 ,
Problema Encontrar la dimensión Z para que la tensión en la barra 8D, no supere por 8000 kg, cuando el ancho de la compuerta es de 1.2m y considerando que los puntos B y D están articulados.
4 4 6 m
4.2 (3.6 *1.5)
3.1
= 0.1 Y T
12 12 Peso (W) = y * Area ♦ h = y * Area * L base = 2 + Z altura = 2 + Z Peso (W) = y * í2 / ) * 1.2 = 0.6 y (2 + Z)2 ,
bw =
Empuje(E) = ^ y*L = y
1.2 =*0.6 (2 + Z)2, bE=^¿¿-^
+ f SMA = 0 F *2 brazo - Peso * brazo - 2Empuje * brazo = 0 8000*—=—r-0.6y (2 + V Z) * ^ - 03 . 6 y (2 + Z) *^—^ = 0 Sen 45 ' 3 1 K ’ 3 226270.4/ (2 + Z) = 0 Z = 1.84m
o.iy3 yt y=o=-^^+~;=0.67Y1 T Y* 2 1.2y ? 2 = Yt - Ycp = Yt - 0.67 Yt = 0.33 YT Cos 45°=- b h = 2 Cos 45° = 2.83m +t£MA=0 F*ybmO+Fh = 0 y * Cos 45° * 1.2 Yx * 0.33Yt = 8000 * 2.83 Yt = 5.45m hT =3.85m Z = hT - 2 = 1.85 m
Solución al problema por métodos planteados en mecánica de fluidos Cos 45° =-^- hcg=ycgCos45° Cos45
c
=¿^
Yt hT = Yt Cos 45° yT=2Ycí F = y *hcg*A F = r Ycg Cos 45° (l.2 yT) YT=Ycp+ybra20 Problema Un aceite de densidad relativa 0.3 actúa sobre un área triangular cuyo vértice está ni la superficie del aceite. El área del triángulo es de 3. m de base por ?. 7 ni de altura. I n área rectangular de 3.6 m de base y 2.4 m de altura se une al área triangular y eslá sumergida en agua* Encontrar el módulo y posición de la Rierza resultante para el área entera. Fuerza sobre el aceite
F = 800 * ^~ * 2-7
73 j ^‟ j *
~ 6998.4 kg
Fuerza sobre el agua F = PA F = (r ^ÍK*K s+r as»a*hcg)A 2A (3.6*2.4)= 29030.4 kg F-( 2.7*800+ — *1000 22 / Fuerza Total = 6998.4 + 29030.4 = 3602S.S k2
H
Punto de aplicación del empuje ejercido por el aceite Y
=Ís_ + Y
cp y
cg
Pero Ycs=heg .a 36 36 Y„ = j—-8- + i .8=2.025 m 2.7*3.6
Rectángulo Punto de aplicación del empuje ejercido por el agua Tomando un nivel imaginario del aceite y convirtiendo éste a un nivel equivalente de agua.
h =2.16 + —= 3.36 m cs 2
Y *
„^ + yii,MMX +3.36=3.5m Y A “ 3.36(2.4X3.6)
Realizando una diferencia entre la superficie original del aceite y la columna equivalente del agua: 2.7 m - 2.16 m = 0.54 m El punt) de aplicación de Ta fuerza Y se toma con respecto del original Y =3.5 m + 0.54 m = 4.04 m Por suma de momentos 6998.4 * 2.025 + 29030.4 * 4.04 = 36028.8 * y y = 3.63 m Problema La compuerta AB está fija en B y tiene 1.2 m de ancho. ¿Qué fuerza vertical, aplicada en su centro de gravedad, será necesaria para mantener la compuerta en equilibrio, si pesa 200 kg?
Empuje = Presión * Area Empuje,=3^ (l.5* 1.2)= 5400 kg,
be, = ^ = ^-=0.15 m
Empuje2 =1.5y (l.5*1.2)= 2700kg,
be2 = | = y = 0.50m
Peso = 2000 kg,
bw = ^ = 0.75m
que es la fuerza aplicada para mantener la compuerta cerrada tomando momentos alrededor del punto B + t£Mb = 0 5400 * 0.75 + 2700 * 0.5 = 2000 * 0.75 + F * 0.75 F = 5200kg
Problema En un tanque de 6 m de longitud y una sección transversal, el agua está en el nivel AE, encuentre: a) La fuerza total que actúa en el lado BC b) la fuerza total que actúa sobre el área ABCDE en magnitud y posición.
Fr = // N N = Fh = / *h C8 * A = 1000* (1.5+0.6) *(1.2*1)= 2520 kg Fr = 0.1 * 2520 = 252 kg
P =1000* — * (3.6* 3.6) = 23328 kg
2
1
= _6" (3--6) I}1 + ] g cs
Y =-^l- + Yl cp ' AY ^ Cg
=
2.4
(3.6 *3.6) *1.8
m
Fv = Peso V oluraen desalojado = y V = y AL = y
K
rJ
~2~ F, = 1000*! 3.6 +^~1* — ~ I
Y... = —
3.6 * (2.4)3/36
=
19008k‟g
+ 1 3.6 + — 1 = 4.47 m 2.4 ^ l 3
(3.6 * 2.4) * i 3.6 +-j
Fv = ^°,6) * 1 = 565.5 kg 2 + t 2 Fy = 0 Fv + P-W-Fr = 0 P = 500 + 252 - 565.5 = 186.5 kg Problema
p = F,+F ,= 42.336 kg total 1
Tomando momentos con respecto a! punto 0 23328 * 2.4 + 19008 * 4.47 = 42336 * Y cp Y = 3.33 m
Un depósito de paredes laterales contiene un 1 m de mercurio y 5.5 m de agua. Determinar la fuerza total sobre una porción cuadrada de 0.5 m por 0.5 m, la mitad de la cual se encuentra sumergida en el mercurio: Los lados del cuadrado están situados vertical y horizontales respectivamente. E, = Presión * Área = y h * (base * altura) rectángulo E,
Fuerza total sobre la superficie ABCDE F = 1000 * (3.6 + 1.2) * (3.6) = 86400 kg Problema En la figura por encima de la compuerta en semicírculo de 1.2 m de diámetro, hay una al tura de agua de 90 cm. La profundidad del cilindro es de 1.0 m. Si el coeficiente de fricción entre la compuerta y las guías es de 0.1 determine la fuerza P requerida para elevar la compuerta que pesa 500 kg.4-
EEGJ ||
=5.25y * (0.250.5)= 656.25kg E2 =0.25 y * (°' 25* °,5) = 15.63¿g E3 =5.5/ * (0.25*0.5)=687.5kg E4=0.25rhB*(0'25*—5) =212.5kg ET =E, +E2 +E3 +E4 = 1572 kg 0 25 Y, =5.25+— = 5.375 m Ci, 2 Ycg>=5.5+^ = 5.625m Haciendosumatoriade momentos + t EM = 0 1572*YCS =671.875*5.375+900*5.625 Ycs=5.52m
Problema Un triángulo isósceles que tiene (> rn de base y ¡¡ m de altura está sumergido vertical- mente en un aceite de D.R. = 0.8. con su eje de simetría horizontal. Si la altara del aceite sobre el eje horizontal es de 4.3 m, determine la fuerza total sobre una de las caras del triángulo y localice verticnlmente el centro de presión. F = yh A = 800*|l.3+^Vf^] = 82560kg
= 8.54m Cos0 = — 8.54 0 =20.44“ Sen0 = — h h = 3.72 m = Ycg Y0p = ~—~ +Ycg = —— + 3.72 = 4.68 m p A Ycg 08 24*3.72
^ cg toni 1-33 + 4 — 5.33 m
h = 5.33 - 2 = 3.33 m F = 1000 *5.33 *16 = 85333 kg Problema En la figura el cilindro de radio = 1 ni y 2 mde longitud está sumn i-i. I... izquierda y a la derecha en un aceite de densidad relativa 0.8. ('ali ulai i normal en el punto B si el cilindro pesa 6000 kg. b) la fuerza horizontal > li Iml y al agua si el nivel del aceite desciende 0.5m
a) Fuerza normal (N) en el punto B Peso del volumen del líquido desalojado
Problema Qué tan abajo de la superficie del agua puede ser sumergido un cubo de 4 m de lado, para que el centro de presión este 0.25 m por debajo de! centro de -i -----gravedad. será la ¿Cuál fuerza-total sobre el cuadrado? Y -Y = 0.25 m tp c Y =0.25 +Y (1) 8
cp
cg ' '
Y^+Y“ (2) —— + Yc| = 0.25 + Ycg AYCE
JL 2*(2) /12 = C8 0.25 A 0.25(2*2)
m2
»(mz)*2m =3142 kg
Empuje del aceite =800 * K ^ * (m 2) * 2m = 2513 kg m 2 +1 Z Fy = 0 -W+N+W + W ^ =0 N = W ^ -W -W N = 6000 -3142 -2513 =345 kg —i-> Z F4 (Agua)
Igualando (1) y (2)
Y
Empuje del agua =1000
33
0 = 1.84(3.6)(0.33)'' 1.26
CmlQu. = 7^-1000
vl260
=
m>
/s
Cota D = Cota B - S20 = 15?n
1050
=
5.4
9.6m C = CuxCc = 0.968x0.620 = 0.6
= -^-*2.400 =13.2 m ®
Q = CA 0y¡2gh Q h= C A„V2Í h = 4.44 ni
C130; QLOO = *1260 = 970 ^ S„ = ———*2400 = 50.4 m 40 1000
0.044 x 4 0.6 x?r(0.l)Vl 9.62
= 13.2 + 50.4 = 63,6/n Problema
H,
En la figura la elevación de la línea de altura piezométricas en B es 15 m y las tuberías BC y BD están dispuestas de modo que ei caudal se divida por igual apartir de B. ¿Cuál es la elevación de la extremidad de la tubería en D y cuál es la altura de carga que habrá sobre el orificio E de 10 cm de diámetro?
Problema Para el depósito representado en la figura empleando un coeficiente medio de descarga de 0.65 para el orificio de 5 cm de diámetro, ¿cuánto tiempo tardará en bajar el nivel del líquido 1.2 m?
[El. 82.0
A, = 1.8 m h¡ = 1.2 m C = 0.65 _;r(0.05)3 Pérdida AB = (24.6-15) = 9.6 m.
1200
A r = 3.29 m2 por integración este valor de At
1000 m
-*1000 5"=- ¿ yD ==-3°Cm; Q = 88^ 9 6
8m
e,»=44£/ ™*44=31.5140 s Q = 31.51/, D = 20 cm. SJ0 = -^-*600 = 5 Am 1000
20
212
213
1
2
Fv = y ? l
= r hcgA=lOOO 1 +
T
SFx (aceite) h,„ A = 800
1+ÍU(2*2)
HOOnkr.
L=9V
Fv = 1000 *
j * 4 = 28274.3 kg
+ T2M0=0
*f '~ j ♦ (l .5 * 2) 1800kg 5
M0 -18000 * 1 + 28274.3 * 1.27 = 0 + !m, = 17908 Kg-m
F, = r hc g ñ ' o u u \ 2 P . =8000-1800 - 6200 kg ” neta Horizontal
balanceado Problema ^ Para una longitud de 3 m de la compuerta, determine el momento
Problema Un tanque cuya sección transversal se muestra en la figura tiene 2 m de longitud y se encuentra en un tanque Heno de agua sometido a presión. Encuentre los componentes de la fuerza requerida para mantener el cilindro en posición despreciando el peso del cilindro.
no para la bisagra o debido a la posición del agua en el nivel A
ia vertical a la cual actúa la fuerza horizontal Y = distancia Y = -^2. + 1 = — +1 = 2 m del punto C 2 2 Y
=1 m del punto 0 X = distancia horizontal a la que actúa la fuerza vertical 4r 4*3 X = —- = ——- = 1.27 m 3 1000*1.5*(3*4)=18000kg
n F„=r hcgAcb Fh =
; K r , 1 7t r Area = H =1,047 = FAI=y = 2250kg Fra =+P * A = 1500 * 1.5 * 2.0 = 4500 m„ 4 *0.75 3 4*(1.5*2) ^total vertical 2610 2094 = 4704 kg kg F1(T=6750kg Sen 60°=- 1 x = l* Sen60° = 0.87m Fv, =PA = 1500 *(0.87 *2) = 2610 kg Fvj = y V = y * Area * Profundidad = 1500 * 1.047 * 2 = 2094 kg
= h * tt r
n r
Problema Determinar por metro de longitud, los componentes horizontales y verticales del agua a presión que actúa sobre la compuerta tipo Tainter.
P=yh h
= P.6000tg/^=3 23 75m y 1600 kg/m Fuerza Vertical (F v ) = Empuje - Peso Fv =
(Presión • Área) V„ = (3.75*;r ( 0- Peso . 3 semicilindro 6 ) * 0.216j = 3.79 m 3 F = 1600 *3.79 = 6064 kg Fv=(r h.D.L)-r *2r -~L Problema Fb =1000 *1.5 «3 = 4500 kg Fv = y V = y • A • L Área Neta = Área sector circular - Área triangular * r2 { nL n (6 ) 2 UA Área Sector Circular -n r2 6 = -------------- L-L = ---------------- = 9.43m 2n 2n Cos 30° = - x = 6 Cos 30° = 5.20 m 6 5 20*3 -Área Triangulo = ^^— = 7.80m2 Área Neta = 9.43 - 7.80 = 1.63 m3
Determinar la fuerza ejercida (r 71 por 6el 2agua sobre la sección AB de 0.6 m de F v =(1600«3.75»1.2»2)^°- * ) diámetro y la fuerza total en el plano C. Fv = 12590 kg Problema Si la bóveda del problema anterior es ahora hemisférica y el diámetro es de 1.2 m ¿Cual es el valor de la fuerza vertical sobre la misma? F\=y v
Fv =1000*1.63*1 = 1630 kg
Volumen neto (Vn) = Volumen cilindro circular - Volumen media esfera w i.
Problema Determinar la fuerza vertical que actúa sobre la bóveda semicilíndrica, cuando la presión manométrica leída en A es de 0.6 kg/cm 2. La bóveda tiene 2 m de longitud
2143
(o.lm*0.013m*1200-^*104^-) = 12-^r*104 ~ * 1 m * (y) (m) ^
cm m J cm m
y=0,36m + t£Fy = 0 Peso + Fuerza Fricción - Empuje = 0 Problema Peso = Empuje-Fuerza fricciónde sección parabólica, que momento en el punto A Para un dique de .contención Fuerza horizontal 1000 * 1.2se* 2.4 * 3 =por 8640 kg por m de longitud=del mismo origina la exclusiva acción de los 3 metros de profundidad del agua? Fuerza Fricción = pi * Fuerza horizontal = 0.15* 8640=1296 kg Empuje —y V = 1000* —— * 3 = 6786 kg 8 Peso = 6786-1296 = 5490 kg
^ r* 1000*5* 7C *0.36 =IAI4kg Fuerza sobre AB = 1000*5*—— 4
Fuerza total sobre C y F total sobre C = 21.21 kg
Problema El cilindro mostrado en la figura es de 3 m de longitud. Asumiendo una condición hermética en el punto A y que el cilindro no rota, cual será el peso requerido del cil indro, para impedir el movimiento ascendente?
Problema Un tubo de madera de 1 m de diámetro interior es sujetado por bandas de acero de 10 cm de ancho y 1.5 cm de espesor. Para una tensión permitida de 1200 kg/cm 2 del acero y presión interna de 1.2 kg/cm 5. Determinar el espaciamiento de las bandas. Dos veces la tensión total - sumatoria de todas las componentes horizontales de las fuerzas = 0 2 ( Area Acero • Tensión del Acero)=p' • Proyección Z del semicilindro
El peso específico del agua del mar es 1025 kg/m 3. Fh =r hC! A = 1025^f*1.5m*[ — | = 2306.25kg rn 22Y — *3 = 2m 2
a-2.5 Sen 30° =1.25 m v2
Cos 30° =— 2.5 b = 2.5 Cos 30° = 2.17 in
=—h = 3 2
Area parabola = — * (2.5) (3) = 5 m
,
Área rectángulo (W, ) = 1000 * 2.17 m * 1. 8 m * 3 m = 11691 ke m& 2 17 brazo = ——=1.09m
2
Peso agua (W, ) = y *~V~y * A * L = 1025 —* 5 m2 * 1 m = 5125 kg m 3a 3*2.5 X = — = -----------------------= 0.94 m
Peso triángulo = 1000 kg _ 2.17*1.25 , ~ m * 3m = 4069 kg mJ l
X = 5 - 0.94 = 4.06 m a la izquierda del punto A + t2M A
b 2.17 brazo = — =
=0 -MA -5125*4.06 + 2306.25*2 = 0
= 0.72 m
3 3 Empuje = Presión * Area — y h * altura * longitud Empuje = 13600 * h(m) * — (m) * 3m = 20400 h2 kg m 2 brazo =
h
MA = 16200 kg
+ ÍZMC =0
Problema
11691 * 1.09+ 4069 *0.72-20400 h 3 * —= 14000 3
El tanque de la figura tiene 3 metros de longitud y el fondo indicado tiene 2.5 m de ancho. ¿Cuál es la profundidad de mercurio que causa el momento resultante en el punto C debido al líquido de 14000 kg-m en el sentido contrario a las manecillas del reloj?
h = 0.63 m Problema
La compuerta de la figura tiene 6 m de longitud ¿Qué valores tienen las reacciones en el eje 0 debidas a la acción del agua? Comprobar que el par respecto de 0 es nulo.
Cosa =
ÍC2
^j = 70°32-
Empuje Aceite = y v - y hA = 800 —^-*2.35 m* (2 *l)m2 =3760 kg
m Empuje Agua = 1000 -N- * 2.35 m * (2 * 1) m2 = 4700 kg nr‟ ko f4 07* 2 35 ^, Peso Agua = 1000—y *1—'——— j ni *lm = 4782.25 kg
a/2 = 35° 16' b = V3 2 -l2 =2.83 m ■ Área = h*L = 2*6=12m2
- 2.35
F4=xhC8 A = 1000-^y*^jm*12m2 =12000kg Área del sector circular = — * * (3)2 = 5.55 m2 2 180 2
Fv =y V = a * A*L = 1000kg*5.55m *6m = 33300kg Problema
Brazo del empuje = x = —— = 0.78 m
brazoc = 1.0 m - 0.78 m = 0.22 m brazo del peso = y = - 1.36 m brazoc = 2.34 -1.36 = 0.983 m + t£Mc = 0
Una placa plana con un eje de giro en C tiene una forma exterior dada por la siguiente ecuación x2 + 0.5y = 1 ¿Cual es la fuerza del aceite sobre la placa y cual es el momento respecto a C debido a la acción del agua? - 4700 * 0.22 - 4782.25 * 0.983 + Me = 0
Me = 5735 kg - m Problema La compuerta ABC de forma parabólica puede girar alrededor de A y está sometida a la acción de un aceite de peso específico 800 kg/m 3. Si el centro de gravedad de l;i compuerta está en B ¿Qué peso debe tener la compuerta por metro de longitud (perpendicular al dibujo) para que esté en equilibrio? El vértice de la parábola es A-
Y = 4.7 Sen 30° = 2.35 m X = 4.7 Cos 30° = 4.07 m
*-
x=3
Empuje del agua = 1.8?' *1.8*1 = 3240 kg
a4
18
x = — = — * 0.6 = 0.45 m 3 4 -31 3 y = — = — *1.2 = 0.36 m
brazo del empuje = — — 0.6 m a partir de la base ka Peso Compuerta = 3300 — m +1 £Ma = 0
10 10
EmpujéH = 800 — * 1.2 m * 1 * 1 (m3) = 960 kg m Empuje v = 800 =
—■ * 1 (m ) = 192 kg m2 06
3
+ t£Ma = 0
x* WB + y*EH-Ev *x = 0
- 0.45 WB + 960 * 0.36 -192 * 0.45 = 0
WB= 576 kg/m Problema La compuerta automática ABC pesa 3300 kg/m de longitud y su centro de gravedad está situado a 180 cm a la derecha del eje de giro A ¿se abrirá la compuerta con la profundidad que se muestra en la figura?
Ma - W * 1.8 + 3240 *0.6 = 0 Ma = 3240 *0.6 + W *1.8 = -1944 kg-m+ 5940 kg-m Ma = 3996 kg - de longitud La compuerta si se abre.
C APÍT ULO IV
EMPUJE Y FLOTACION
E ST ABILIDAD
DE
C UERPOS S UMERGIDOS
Y
F LOT ANTES
Para que un cuerpo sumergido tenga estabilidad El centro de gravedad del mismo debe estar directamente debajo del centro del empuje o centro de gravedad del líquido desplazado. Cuando los dos puntos coinciden, el cuerpo se encuentra en un equilibrio neutro. En la estabilidad de cilindros y esferas flotantes el centro de gravedad del cuerpo debe estar por debajo del centro de empuje. En otros cuerpos flotantes como en el caso de embarcaciones la estabilidad depende de la capacidad de la nave para mantener alineado el centro de gravedad y el centro de empuje. Problema Un objeto pesa 30 kg. en el aire y 19 kg. en el agua; determinar su volumen y su densidad relativa. Peso objeto Peso de un volumen agua
lfy = 0
Dr
19-30 + PV = 0
Dr =
PV= 11 kg.
Dr= 2.73
=
30 kg. 11
Empuje = Peso líquido desplazado 11 kg. = 1000 kg/m 3 x V Volumen = 1.1 x 10'! m5 ss
kg
= 0.01 m3 PV(H20) =14.14 kg. PV(AQ =10.60 kg. W(ESF)=2700 kg/m3 x 0.01 m3 W = 38.17 kg 400 -V x 11200 + 785,4 + 1000 x V=0 W= 0.037 m3 x 11200 kg/m3 3^5.4 = V( 10200) ' W=423.18kg
Problema Un cuerpo pesa 30 kg en el aire y 19 kg sumergido en un aceite con una densidad relativa (Dr) igual 0.750, determinar su volumen y densidad relativa. £fy = o -30 + 19 + PV = 0 PV = 11 kg. 3 11 kg = 750 kg./m x V 3 V = 0.0147 m Dr= —30kg— 11.25 kg Dr = 2.72
Problema XFy=0 EFy=0 3 Si el peso específico aluminio10.60 es 2700 . ¿Cuánto pesará una esfera de 14.14 kg. -38.17 kg. +del T=0 kg. kg/m - 38.17 kg. + T=0 30(icol cm=de24.03 diámetro está sumergido en un aceite de •T kg. sumergida en agua? ,T(a0Cuánto = 27.57sikg. densidad relativa (Dr = 0.750)? Problema V=4/3 x jidex aluminio r3 0.01 en agua. ¿Qué Un cubo de 15 cm. DePV=1000*0.01 arista pesa 5.5PV=750* kg sumergido peso aparente tendrá al sumergirlo en un líquido de densidad relativa = 1.25? £ Fy = 0 W=(0.15m)3 x 2700 kg/m3 55 Kg -9.11 kg + PV = 0 W = 9.11 kg P. V= 3.61 kg P. V = V x y ZFy=0 P. V=3.37 x 10'3 x 1,25 T-9.11 kg.+ 4.21 kg = 0 P. V = 4.21 kg T = 4.89 kg
3 Un bloquemde piedra pesa 60 kg y al introducirlo en un depósito cuadrado de 60 V=0.037 ci n de lado, lleno de agua, el bloque pesa 33 kg. ¿Qué altura se elevará el agua en > ¡ depósito? a) . 3 P.V == 601000 kg. -kg/m 33 kg. P *V x 0.7854 3 P.V = 27 kg m P* V = 785.4 kg. 3 27 Kg. £Fy = 0= 1000 kg/m x V V (bloque) = 0.027 400 - W + 785.4 kg. J m30 V, = W == 0.16 386.4mkg. (cubo)
VT = 0.027 + 0.216 VT = 0.243 m3=AxL 0.243 m3 = (0.6 m+h) x 0.6m x 0.6m 0.243 m3 = (0.6+h) x 0.36 0.243 =0.216 +0.36 h h = 0.075m= 7.5 cm. Problema Un cilindro hueco de Imde diámetro y 1.5 de altura pesa 400 kg. a). Cuántos kg diplomo de peso específico = 11200 kg/m3', deben unirse al fondo por su parte exterior para que el cilindro flote verticalmente con 1 m del mismo sumergido? b). Cuántos kg se necesitan si se colocan en el interior del cilindro?
a)
P.V(pB)=1000 x V ZFy=0
W=Vxy
h ? Y ——
—
Problema Un hidrómetro |>. ..i 11 ¡ i.... . , .1 .m-.i di' la sección recta de su vástago es 0.16 cm1. ¿Cuál es l;i dili-n-iii iii dr MIIHI.I!. 'inmergidas en dos líquidos de densidad relativa 1.25 y 0.90 respectivuiiinite? 0.011 kg= 1250x V 8.8 x 10 * m3 = V Peso hidrómetro peso líquido desplazado 0.011 kg = 900 kg/m‟x [8.8 x 10 6mJ+(1.6xl0-sh)]' 0.011 =7.92 x 10'3 + 1.44 x 10 2h h = 0.214m= 21.39 cm. Problema ¿Qué longitud debe tener un tablón de 7.5 cm por 30 cm de sección y densidad relativa 0.5 en agua salada para soportar un niño que pesa 45 kg.? W= 500 x (0,3 x 0,075 xL) W= 11,25 L(kg.) P * V = 1025 x 0,02 x L lFy = 0 P * V = 23.06 kg. 23.06L-11.25 L = 45 L(11.81) = 45 L = 381 m. Problema Un cuerpo que tiene un volumen de 170 dm 3 requiere una fuerza de 27 kg para mantenerlo sumergido en agua, si para mantenerlo sumergido en otro líquido se necesita una fuerza de 16 kg. ¿Cuál es la densidad relativa de este último líquido? 170 dm3= 0,17 m5 XFy = 0 P* V = 1000 kg/m3 x 0.17 m3 0.17y + 27 - 170 = 0 W = 841.18 kg/m 3 x 0.17 m3 P * V = 170 kg y = 841.18 kg. W=143kg. £Fy = 0 P*V = Drx 1000x0.17 Dr=
P.V - 143- 16 kg = 0 P.V= 159 kg.
[
Jl^L
=
0.935 176 kg
Un barco de carga de 3m de profundidad tiene una sección recta trapezoidal >1. base superior e inferior de 9m y 6m. La gabarra tiene 15 m de longitud \ l.i-. i ,u.i..I. proay popa son verticales. Determinar: a). Su peso srla altura sumergida en .r ■ i n a). .• , I, 1.8 m y b). La profundidad del calado si la gabarra transporta 86 tonelada ; de 3 pirdi 3 i al -=—-+X=0.9m 1-5 X 1-5 X x- 0.9 m + (0.9X2^)]1'8 x , 5 W _ V V J6 2 V= 186,3 m5 W = 186300 kg W= 186,3 m3x 1000 kj^m3
3 relative (Dr) de una piedra = 2.25 La densidad yb)=2250kg/m 1.5 X~* ‘
w
Vxy
v=
x h = 2X (base mayor) = 2X f 6 B(base mayor) = 2X + 6
_86000Kg 2250 Kg/m3 3 8 2 2
V
B
^
3 m
v,+v2
VT= 186,3 m3 + 38,22 m3 VT = 224.52 m3 V = AxL 224 ^m3 = M2X + 6)]2X.a. 29.94= 12X + 4X2+12X 4XJ + 24X- 29.94 = 0 h = 2X h = 2(1.06) h = 2.12 m.
Problema Una esfera de 120 cm de diámetro flota en agua salada (W =1025 kg/m 5), la mitad de ella sumergida. ¿Qué peso mínimo de cemento (W = 2400 kg/m 3), utilizado como anclaje, será necesario para sumergir completamente la esfera? P * V = 1025 Kg/m 5 x 0.45 P * V = 462,7 kg P4V =W , , , (esfera)
IFy = 0 927.4 + 025V = 463.7 + 2400 V 1375V = 463.7 V = 0.337 m5 W=Vxy W = 0.337 m5x 2400 kg/m5 W= 810 kg Problema Un iceberg de peso específico 912 kg/m 3 flota en el océano (1025 kg/m 5) emergiendo del agua un volumen de 600m 5. ¿Cuál es el volumen total del iceberg? W=VxY W = 600m5 x 912 kg/m5 W = 547200 kg P * V = 1025 kg/m5 x V XFy = 0 PV - W + 547200 kg = 0 PV = V x 912 + 547200 1025 x V = Vx912 + 547200 V(1025-912) = 547000 V(113) = 547200 V = 4842.5 m 5 VT = 600 m5 +4842.5 m5 VT= 5442.5 m5 Problema Un globo vacío y su equipo pesa 50 kg, al inflarlo con un gas de peso específico 0.553 kg/m5, el globo adopta esfera de 6m de diámetro. ¿Cuál es la máxima carga que puede elevar el globo si el W= 1.230 kg/m 5 del aire?
W = Vx Y W = 4/3 x n x (3)5 x 0.553 kg/m5 W = 62.54 kg P*V= 113.09 m5 x 1.230 kg/m5 P*V= 139.1 kg IFy=0 -W-62.54-50+139.1 =0 W = 26.56 kg Problema Un flotador cúbico de 120 cm de lado pesa 180 kg y se ancla por medio de un bloque de cemento que pesa 680 kg en e¡ aire, la baja está sumergida 23 cm, cuando la cadena que la une al bloque de cemento está tensa. ¿Qué subida del nivel de agua hará sepu rarse del fondo del bloque de cemento (W = 2400 kg/m5) P*V = 0,23x 1,2x1,2x 1025 P*V= 339.48 kg W = Vx Y P *V= 0.28 x 1025 = 287 kg y_
680 kg
2400kg/m5 V
=
0,28 m3 P * V(T) = 287 Kg + 339.48 kg = 626.28 kg lFy=0 -180 - 680 + 287 + (1025 + 1,44 x (0,23+h)) = 0 1476 (0,23+h) = 573 337.5+ 1476h = 573 h - 0.158 m = 16 cm. Problema Un barco de carga de forma paralelepípedo de dimensiones 6 m de ancho, 18 m dr longitud y 3m de altura, peso 160000 kg, flota en agua salada (1025 kg/m 5) y el centro de gravedad cargado está 1.35 m por debajo de la parte superior de la barca, a). Sitúa el centro de empuje cuando flota horizontalmente en agua tranquila, b). Cuando hu girado 10° alrededor del eje longitudinal y c). Determinar el metacentro para la inclina ción de 10'.
Problema
a). W=P*V 160000 kg = P * V W = V XY 160000kg _ 49383 kg. m3
W V x Y 160000 = V x 1025
160000 = 1 5 6 m 3
V=A x L
Un cubo de aluminio de 15 cm. De lado está suspendido de un ir.oiv l i mitad dcubo está sumergido en el aceite de densidad relativa de 0.K y la otra milad en • ii.i Determinar la fuerza de tracción en el resorte si el peso específico del aluminio es de 2640 kg/m3 P *V(H20)= 1000x 1.68 x 10'3 P*V(H20)= 1.68 kg P * Vfin = 800 x 1.68 x'10-! (AC)
1025
P*V(AC)=1.35kg P * (TOTAL) = 3.038 kg Xfy = 0 Tr + PV -W = 0 Tr = W PV Tr- 891 -3.038 Tr= 5.872 kg. V
156m3=l 8m x6mxh h = 1.445 ni P * V = 1025 (156 m !) = 160000 kg C alp = (l,445m)/2 = 0 >723 m. b). Sen 10° Sen 80° X ~ 6 X = 1.06 m GR = 3-(1.35 + 0.53) GR = l.I2m P * V = V xY
1,6 63
X
■ X = 0,53m
6x1.06 .„ 1(V), P * V = —-— x 18 x 102.5 P* V = 58671 kg A =AR + R Ao = 3.046 + 0.3527 Sen 10° = 3.222 m AF - AR + RF AF = 3.046 + 1.12 Sen 10“ = 3.606 m F c = AFAC = 0.384 m c) MG = GR - RM MG =1.12-0.0612 x Sen 10° 1.109 m.
Problema Si el cubo del problema anterior estuviera sumergido la mitad en aceite y la otra mitad en el aire. ¿Qué valor tendría la fuerza de tracción sobre el resorte? PVdte)= 800 x 1.68 xl°-3 PVr U5 ksPV(Airc)= 1.23 x 1.68 x 10-3 PV(A.re)= 0.00207 kg PV(T¡= 1.35207 kg. Xfy = 0 Tr + PV - W = 0 Tr = W PV Tr= 8.91 -1.3507 kg Tr = 7.56kg.
C APÍT ULO V
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS
En algunas situaciones un fluido puede estar sometido a una aceleración constante, es decir sin movimiento relativo entre sus partículas, como en algunos casos cuando esta expuesto a movimientos de traslación y rotación. Cuando esto sucede específicamente en el caso de movimientos horizontales, la superficie libre del líquido adopta una posición inclinada y en este caso la pendiente de la superficie libre se determina con la relac ion entre la aceleración linea! del recipiente y la aceleración de la gravedad. Cuando el movimiento es vertical, se producen variaciones dentro del volumen del líquido, de tal forma que la presión en cualquierpunto del mtsmo, se determina considerando el producto de la presión hidrostática por la relación entre la aceleración del recipiente y la aceleración de la gravedad, incrementada o disminuida en una unidad, dependiendo si la aceleración se produce en sentido ascendente o descendente. Cuando una masa de un fluido rota en un recipiente abierto, la forma de la superficie líbre del líquido, que gira con el recipiente que lo contiene, adopta la forma de un paralelepípedo de revolución, de tai manera que cualquierplano vertical quepasaporel eje de revolución corta a la superficie líbre según una parábola. En los recipientes cerrados como las bombas y las turbinas, la rotación de una masa de un fluido, genera un incremento en la presión entre un punto situado en el eje y otro a una distancia x del eje, en el plano horizontal. Problema Un recipiente parcialmente lleno de agua está sometido horizontalmente a una aceleración constante. La inclinación de la superficie libre es de 30“. ¿A qué aceleración está sometido el recipiente?
_
Tangente.O =
Acoli'iinMóii Iiik'.iIdel n'oipiente,mi s 1 ---- -----2 Airlniiciiin dr la gravedad, m/ s
Despejando la fórmula; Tangente 30" x 9.81 m/s ' » 5.66 m/s 2 Problema Un depósito abierto de sección cuadrada de i .80 m de lado, pesa 350 kg y contiene 90 cm de agua. Está sometido a la acción de una fuerza no equilibrada de 1060 kg, paralela a uno de los lados. ¿Cuál debe ser la altura de las paredes del depósito para que no se derrame el agua? ¿Qué valor tiene la fuerza que actúa sobre la pared donde la profundidad es mayor? F = m.a fl= £
= !™)=3.034 m 350 s 3.03 m/ 2 Tan 6 = ------- ' 0 = 17.18° 9.8^ s ¿ = 0.9-7 = 0.9 -0.9 Tan 17.18“ = 0.62m a) . 1.8-0.62 = 1.18 m. b)
.
Un depósito rectangular abierto de 1.50 m de ancho, 3.0 m de longitud y 1.80 m de profundidad, que contiene 1.20 ni de agua, se acelera horizontalmente, paralelo a su longitud a 4.90 m/s2. ¿Qué volumen de agua se derrama? - a 4.9 . , Tan.0 = — ~ --- = 0.5 g 9.8 La diferencia de niveles entre los extremos de la superficie = 3 Tan.0, es decir que 3(0.5)=1.5m. Por lo tanto Y = y = 0.75 m d = 1.2 - Y = 1.2 - 0.75 = 0.45 m. Como la profundidad aumenta en 1.95 - 1.8 = 0,15 entonces el volumen derramado A5*
1..5
~(3Xl-5-1.2)1 = 0.675 ;/z3
Problema ¿A qué aceleración debe someterse el depósito del problema anterior para que sea nula la profundidad en la arista anterior? ~ a 1-8 a Tan.6 = — 3 g
PAB =r**¿ = 1000Í^J(U8xl.8)=1253fe
a = y g = y(?.8) Problema Un depósito abierto de 9 m de longitud, 1.20 m de ancbo y Í.20 m de profundidad está lleno con 1.00 m de aceite de densidad relativa de 0.822, se acelera en la dirección de su longirud uniformemente desde el reposo hasta una velocidad de 14 m/s. ¿Cuál es el intervalo de tiempo mínimo para acelerar el depósito hasta dicha velocidad sin que se derrame el liquido? Av v a). a= —= gt 4.5 g(0.2) (9.8)(0.2) Ai t t—32.1 s „ - a v 0.2 . . v(4.S) (14X45) Tan.#* — = — = --------
a = 5.88 m/s2 Problema Un depósito abierto que contiene agua, está sometido a una aceleración de 4.90 m/ s2 hacia abajo sobre un plano inclinado 15°. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la superficie libre?
17 W F = —a
Coi.O - tan .a + ---- - ---- hacia arriba a x cosa Cot.0 = Tan 15“ + ----- — ----- = 0.2679 + 2.07 = 2.3385 4.9 Cos. 15° 1 - = 2.3385; Tan. 0 = —-— = 0.42762 Tan.0
30Kg = -**** a2 ,. 9.8 m/s a = 6,53m/s 2 V = Ah 45 x 10_3m3 = A (90 x 10„2m) A = 0.05 m2
2.3385
0=Arc. Tan. 0.427624
0 = 23.15»
Cot. 9--Tan. a + --------5----- hacia abajo aA Cos. a
Para el movimiento vertical la presión en el fondo
(9 = 29.019°
es: P = Wh\ 1 + — La fuerza es F1 = PA F'=Wh Íl + -U
Problema Un recipiente que contiene aceite de densidad relativa 0.762 se mueve verticalmente hacia arriba con una aceleración de + 2.45 m/s 2. ¿Qué presión existe en una profundidad de 180 cm? g P = y h\\± a m/s 2 P = 762™-*1.8/71 '12.45 + ------------ — - 1715%/m2 m 9.8 m/s’
Problema - Si en el problema 7 la aceleración es de -2.45 m/s2. ¿Cuál es la presión a una
F' = 75 kg Problema Un depósito abierto cilindrico de 120 cm de diámetro y 180 cm de profundidad se llena de agua y se le hace girar a 60 ipm. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la profundidad en el eje? Área del fondo del cilindro = A ~ rcr2
■—cr*
profundidad de 180 cm? P = y h\ 1 ---- |; P = 762kg/m xl.8m| 1
F =1000(90xlO-2)^ + ~J(0.05/?r)
2,45m/si
9.fm7s
= 1029 kg/ m2
A = í-D2 4 W = 60 rpm
w =60-^1.2^ Problema Una fuerza vertical no equilibrada y dirigida hacia arriba de módulo 30 kg, acelera un volumen de 45 litros de agua. Si el agua ocupa una profundidad de 90 cm en un depósito cilindrico, cuál es la fuerza que actúa sobre el fondo del depósito? El peso del agua es W = V g = (4.5 x 10 Jm3)1000 kg/m3 W = 45 kg
60 seg
s
Y=^x2=lBr(60x10
Por lo tanto, S está a 1.8 m- 0.725m 1.0748 m El volumen del líquido derramado es: f(l-2)2 (0.725) -~D7 Y =- 4 2
= 0.4100/n 3
Problema ¿A qué velocidad debe girar el depósito del problema 10 para que en el centro del fondo del depósito la profundidad del agua sea nula? El origen S ahora coincide con el punto C, entonces: 2g r = ■> i.8 1.8 = — W~ —C°-6) 2(9.8)
W = 9.899
(2).
W
XIV-
W
D .Pcosí?=
vW = J—Tan.9 = J—Tan.40° = 9.068— IX V 0.1 5 iW = 9.07 rad
rad s rad
Problema Un recipiente cerrado, de 60 cm de diámetro está totalmente lleno de agua. Si el recipiente está girando a 1200 rpm, ¿qué incremento sufrirá la presión en la circunferencia de la parte superior del depósito? W = 1200rpm = 1200 = 40* — 60 s
2^2gh n 2 2 2x9.8x0.48 W = VV: -V) lM='(0.08) 2
= 15.65Tad/s
d
X - — = ----- = 30cm = 0.3m 22
P-W ^X '
2 7
d Problema Un i tubo en U con codos en ángulo recto tiene 32 cm. de anchura y contiene mercurio que asciende 24 cm. en cada rama cuando el tubo está en reposo. ¿A qué velocidad debe girar ei tubo alrededor de un eje vertical que dista 8 cm de uno de e los brazos, para que el tubo del brazo más próximo al eje quede sin mercurio?
s
,,,
D 60cm.
2g lf 1000 (40ff)_ 3 P = 2(9.8)
P sen¿? =
i
W = 9.90
„
Un recipiente abierto de 46 cm de diámetro y lleno de agua está girando alrededor de su eje vertical a tal velocidad que la superior del agua a 10 cm del eje forma un ángulo.de 40“ con la horizontal. Calcular la velocidad de rotación. De la segunda Ley de Newton F = m.a
Problema o Un tubo de 2m de longitud y 5 cm de diámetro tiene sus extremos cerrados y está lleno de agua a una presión de 0.88 kg/cm„. Situado en posición horizontal se le hacc girar alrededor de un eje vertical que pasa por uno de sus extremos a una velocidad de 3 rad/s. ¿Cuál será la presión en el extremo más alejado del eje de ( giro?
25 kí’lcin 104 1 )
p o r
( 2 )
W = 3-
C APÍT ULO VI 4 cm.
ANÁLISIS DIMENSIONAL. Y SEMEJANZA HIDRÁULICA
----------------- 2 m. --------------------
P = P 0+WW 2 !2gX* P = mOkglm 2 +1000^|^y(2) 2 = 10634.9 ¿g/m2 2n rad rad W = 1500 rpm = 1500-------- = 50TT ---v 60 s i Y= (5Mlx2= Í50í)(o.75)
29 2(9.8)
2
=708.1m
El estudio de la teoría adimensional permite aplicar resultados experimentales obtc nidos en condiciones limitadas a situaciones de diferentes condiciones geométrica , ■ en muchos casos con propiedades diferentes de ios fluidos a las que se tuvieron en l.n condiciones iniciales. De esta manera se pueden generalizar resultados experimento les, permitiendo describir y verificar fenómenos que de otra manera seria imposible predecir. Un ejemplo destacado de las muchas aplicaciones que permite la teoría, son los modelos físicos que se pueden desarrollar sobre presas de almacenamiento de- agua, para analizar las consecuencias geodinámicas, hidráulicas y estructurales qur conlleva la construcción de una obra de ingeniería como esta. De esta manera se pueden conocer y predecir los posibles problemas que pueden generarse, adoptar opor tunamente los correctivos necesarios, disminuyendo asi los riesgos de la construcción y minimizar los costos. El estudio de la teoría adimensional, relaciona matemáticamente las dimensiones dr magnitudes físicas fundamentales, de tal forma que se puedan establecer relacione-, para la construcción de modelos físicos que intenten representar fielmente el compor tamiento de un prototipo, reproduciendo a escala, las características geométricas y las restricciones de semejanza cinemática y dinámica. De esta forma la teoría del análisis dimensional, establece semejanzas geométricas, cinemáticas y dinámicas entre dimensiones correspondientes, que reflejen adecuada mente los distintas variables en cada situación en particular. Igualmente permite establecer relaciones entre las fuerzas de inercia debidas a la presión, las fuerzas viscosas, las gravitatorias, las elásticas y las de tensión superficial, determinando una serie de parámetros adimensionales que describen el comportamiento de los fluidos, como los números de Euler, Reynolds, Weber. Match y Fronde.
Problema Demostrar mediante los métodos del análisis dimensional que la energía cinética (Ec) de un cuerpo es igual a K.M.V. Ec a F(M.V.) MV2 = KMV dondeKes coeficiente adimensional, determinado generalmente por experimentos, o por experimentos físicos. M1 {LT-l f = K M „ V b M1 Lf! = KM„Ll T-„
Reemplazando en Fe Fe = KA-IVV => Fe = ~ - r Problema Un cuerpo cae libremente una distancia X partiendo del reposo. Desarrollar ecuación para la velocidad. Aquí: a = g Area bajo la curva ~ distancia recorrida _ base x altura 2
c —(t-Q)ÍF-O) 2
Igualando los exponentes de M, L, T,: a= 1 b=2 Y-b = -2 donde b = 2 Sustituyendo los valores Ec = KM (L2 T2) Ec = KM(LT-') Ec = KMV2 Problema Mediante los métodos del análisis dimensional probar que la fuerza centrífuga viene dada por K.M.VVr. Fe = fl[MV2r) => La fuerza centrífuga (Fe) viene dada por MLT'2
2
Además: £=
& V _ V - 0 y_ At ~ t-0 ~7
donde: a Remplazando 2a
MLT'2 = KMW MLT^Km1 (LT'1)2kLc MLT2 = Km* L2‟™ F -2b
2aS = VJ Igualando las ecuaciones: a = 1 1 =2b+c - 2 = - 2b b=! 1 = 2+c c = -1
-J2as = V Pero a = g yflgS = V V2 4ss=V como
=
cae. = K
una
Problema Un cuerpo cae libremente durante un tiempo T partiendo del reposo. Desarrollar
mg F = —li —— Se puede llamara —como constante. 2;r i m 2K
una ecuación para la velocidad. II
II ln
V 2 KgT 1/ ^ vl V=K
fl
Elevando al cuadrado: K = J2 , y^ST 2
II £
II
5=— 2 „ 1 VT
Problema Desarrollar una expresión que dé la frecuencia de un péndulo simple, suponiendo que es función de la longitud, de la masa del péndulo y de la aceleración de la gravedad.
Problema Suponiendo que el caudal Q sobre un vertedero rectangular varia directamente con la longitud L, y es función de la altura de carga total H y de la aceleración de la gravedad g, establecer la fórmula del vertedero. Q = LF (H\ gb) L3T-“ = (L) (L')(Lb t -2b) Para T: -1 = - 2b 2 Para L: 3 = 1 + a + b 1 3-l-- = a a = 3/2 Q = KL H^g-^
F ®- mg 0 « -(mg/L) s K = mg/L
1*1*
t~2n
Problema
Establecer la fórmula que da la distancia recorrida S por un cuerpo que cae libremente, suponiendo que dicha distancia depende de la velocidad inicial V, el tiempo T y la aceleración de la gravedad g. S = F (V.T.g) = K. (V*. Tb, g°) S = K(L„T'-¡1 (Tb) (L° T 2c) F°L' T° = (L1 T*) (Tb) (Lc T2°) 1 =a + c 0 = - a + b -2c 1 - c = a l+c+b-2c “ 0 -1 - c + b = 0 c = b-l 1 -(b-1)= a 2-b=a
Problema Establecer la expresión del número de Fraude al ser éste función de la velocidad, la aceleración de la gravedad y de la longitud. NF = f (V,g,L) NF = K (V*, gb, Lc) b b Fo L° T° = (L* T'*) (L T - 2 ) (L°) 0= a + b +c0=a -2b a = - 2b 2b+b+c = 0 -b + c= 0 -b = -c b= c a + c + a = 0 a + 2a = 0 a = - 2c NF = K (V-V L„) V2
NF = K
Lg
Problema Establecer si la expresión del número de Weber, es función de la velocidad, la densidad, de la longitud y de la tensión superficial. Nw ~ f (V,P,L,CT) P L° T° = (LT ')„ (FI 'T!)b (L)e (FL-')d F° L° T° = (F'lr,t) (T-^b) b+d = 0 b = - d - a + 2b = 0 a = - 2d a-4b + c- d = 0-^c = -d F° L° T° = (LT „) 2J (Fl„4T2) d (L)d (FL ')d J N « V'1' V* cH r :=V w ' PLV2 N
Establecer un número adimensional que sea función de la aceleración de la gravedad g, la tensión superficial, la viscosidad absoluta J A y la densidad p. Densidad: S = FT2L„' Viscosidad: Absoluta u = FTL'2 Tensión superficial: T = FL‟1 Gravedad g = LT2 FLT = K (gVnp) FLT = K(LT2) (FL-1) (FL„2 T) (FT2LJ) FLT = (L* T-2*) (FbL„b) (FT^L*) (FdT2d L'4J) ^a-b-2c-4d rp-2a+c+2d pb+c^d
0 = b+c+d 0 = a-b2c-4d 0 - 2a +c+2d N o = Kg' rb+2c+4d ,,-2a+2d N=K 4 1 (CT^/gjx )*
2 at e
-i 2
Problema Suponiendo que la fuerza de arrastre o resistencia de un barco es función de la viscosidad absoluta ji y de densidad p del fluido, de la velocidad V, la aceleración de la gravedad g y del tamaño (longitudinal L) del barco. Establecer la fórmula que da la resistencia. FL-2 = (F'T'L-2*) (FbT2bL 4b) (LeTc) (Ld T M) (L-) F=FL2 H = F T L-! p = FT2 a = -b, d = -b c = - b, L'4 VL KE = K V- j V = LT1 F = Kp3 Mb g = LT2 LCV
En el número de fronde interviene la gravedad. V V NF = — =>NF=-r== g-L
= F = (2KRe)í>L2^2g F = k(ré„ NFd PV2 £2) Si F = 2K PV L Problema Problema Resolver el problema anterior incluyendo los efectos de la compresibilidad mediante la magnitud celeridad c, velocidad de propagación del sonido. F = (p, M, L, V, W) F = K1 (p“, M b, L% W') F1 L° T° -> (Fa T2a L-4a) ( Fb Tb L a) (Ld TJ) (L' T")LC y l=a+b ; 0—4a - 2b + c + d+e ;0 = 2a + b- d- e a = 1 - b; d=2-b c=2-b; c=l-b Luego: F = K1 R* pA W2 Problema Demostrar que para orificios geométricamente semejantes, la relación de velocidades es esencialmente igual a la raíz cuadrada de la relación de alturas de carga.
_
V.\
_ L,
~W7
' t
ÍÉT
Ls. = EfiiAaL = Es. = Í12. = Ll. = p l3 _Ll. {inercia} Fp E p Ap p p L/ T r Tr 2 Igualando las fuerzas obtenidas
T" r
T= V2g Vh7
yv =
y /p, Zsl = = = E L2, {elasticidad} E p A p EpL/
Er ^ir “
r=V2¡H
F = V2^Vh
V,
Demostrar que las relaciones de tiempos y velocidades cuando los efectos predomi nantes son los elásticos, vienen dadas por:
=>T -
rx.
Dividiendo porTr 2: K _ - V, - v 2 Jíf 2 v 2 Problema Demostrar que las relaciones de tiempo y de velocidades, cuando la magnitud predominante es la tensión superficial, vienen dadas por:
Tr2 7tLr2 .. 2 Lr2 p .,, , Er ,, ÍE~ ------- —r =>como Tr2 ErTr'2-------------------------- Vr = ~ -2
Vr
V;
E =—^entonces— -V,=>Vr„= =• vr = — => Vr = ^ nr» 2 t* .- ¿
Problema El modelo de un aliviadero se construye a una escala 1:36. Si en el modelo la velo cidad y caudal desaguado son respectivamente 0.40 m/seg. y 62 1/seg. Cuáles son los valores correspondientes en el prototipo?
so
-ll
s 30cm 5.65 xl0's m2/s
Longitud del modelo f , ------ - ---- -------------- — = Long.Real I i Longitud del prototipo
Igualmente en los números de Reynolds para el modelo y prototipo se utilizan unidades iguales para la velocidad y la longitud
=> Le = — 36 ^ . Qm QP - y Lr/2 62
VmJLm = Vp.Lp Vp.Lp 150Kjn/hx90cm. Vm = = --------------------------------Lin 15 cm
Qp = _ 36.
K T 3
Qp = 482112 L/s. ---------
1000L Qp = 482.im^/
Problema A través de una tubería de 15 cm de diámetro fluye un aceite (r =5.65 x lO'6 mVs) a una velocidad de 4 m/s. A qué velocidad debe circular agua a 15" C a través de una tubería de 30 cm de diámetro para que los números de Reynolds sean iguales? V D
i ¡
V2D2
Vp ,, 0.40m/s Vp
“7¡ir
Vp = 2,40m/s
V2 =VA
y_r
v
-^ D2 y, 1.10 x lO'6 m" /s = 0.41 nt/s
Problema
A qué velocidad debe ensayarse en un túnel aerodinámico un modelo de ala de don de 15 cm..de cuerda para que el número de Reynolds sea el mismo que en el ototipo de 90 cm de cuerda y que se mueve a una velocidad de 150 km/h? En el túnel aire está a la presión atmosférica. Por semejanza geométrica entre el modelo y el prototipo Lmodelo _ ^rel L prototipo Entre el modelo y prototipo exislc semejanza cinemática Luego la relación será: Vmodelo ------- = V real V prototipo
Problema A 15° C fluye gasolina a 4 m/s por una tubería de 10 cm. Qué diámetro debe tener una tubería para transportar agua a 15° C a una velocidad de 2 m/s para que los números de Reynolds sean los mismos? Gasolina: (T>= 15°C) v= 0.683 x 106m2/s v = 4 m/s d = 10 cm. = 0.1 m. 4 m / *0.1 m/s.x 1.142 x 106 m2 /s .i = ---------- = 0.33 cm. 2m/ x0.683x l 0 6 m 2 / j / s
=
x—*4 = 5.79 m/s.
Problema Agua a 15° C fluye a 4 m/s a través de una tubería de 15 cm. Para que exista semejanza dinámica, (a) ¿A qué velocidad debe fluir un fuel-oil medio a 27“C por una tubería de 30 cm? (b). Qué diámetro de tubería utilizada si la velocidad del fueloil fuera de 20 m/s? _TV2IO
v
J 2
l < 1.142 30 JÍ D_2Z v, J
Agua v ^ 2 J
LV
Fuel-oil
=5.24 m/s.
2
Problema n _ — -^-D. =7.86cm.
n D2 Un modelo es ensayado en atmósfera de aire normal a 20°C y a una velocidad 3.308 15 . . de 30.0 m/s. ¿A qué velocidad debe ensayarse sumergido totalmente en el agua a 15°C de un canal hidrodinámico para que se satisfagan las condiciones de semejanza dinámica? Número Re para aire = Re para agua Entonces por semejanza dinámica
VD VD1 _ VL = VL1 v v' ' V De la tabla 1-B De la tabla 2.A V
= 30 0 /
' A1HE - J V . V
V V
= V'' r AGUA
como L = L' (por tratarse del mismo modelo)
7I
%" _ 1
-J9.8 x 155 m >/9.8x2.5m
v /lirea 20°C = 1.488 x 10 m
v»Agua a 15°C = 1.142 x 10'* m/ s
m
Problema Un navio de superficie de 155 m de longitud ha de moverse a 7 m/s. A qué velocidwl ha de ensayarse un modelo geométricamente semejante de 2.50 m de longitud? V \ N AVIO=\ V MODELO K'Igí)
r = 7J— =0.89 W V155 /s y Problema ¿Qué fuerza por metro de longitud se ejercerá sobre un muro de contención 1! 1 agua de mar, si un modelo a escala 1:36 de una longitud de lm experimenta una fun/n de las olas de 12 kg?
^ = WrLr‟
Fp
donde Fm = Fuerza modelo Fp = Fuerza prototipo W = Peso especifico
h H
Lr = Long. de1.i i 1 -íl.i Fm l'P= . 3=>PP WpLp
Fp = 15.550 k^/
i■¡|
í
^ pinar J v'111,11 1
V
36
Problema Un cuerpo anclado está sumergido en agua dulce a 15.5°C, que fluye aúna velocidad de 2.5 m/s. La resistencia medida sobre un modelo de escala 1:5 en un túnel aerodinámico en condiciones normales es de 2 kg. ¿Qué fuerza actúa sobre el prototipo si se dan las condiciones de semejanza dinámica? Vm Lm _ Vp Lp
Vm = V p ^ x ^ Lm vasua _m 1 14.29 .rlCr6 Km = 2.5 — x.—x ............... 6s ” 5 1.1555x10" Fm _ Lm2 x Vm2 Fp Lp 2 x Vp2 Fp = Fmxí^-l [ V£Fp = 2*g (5)2 (2'5) , = 8.2 kg 1 (6.18) Problema Determinarlas expresiones de las relaciones o escalas de velocidades y pérdidas de carga entre modelo y prototipo para un flujo en que las fuerzas dominantes son tas viscosas m y du las debidasLa la presión. 2 PL1 dv . V Tl PL A M —L ^ { f * u--modelo v' J = UL PL | prototipo
Problema Obtener una expresión que dé el coeficiente de fricción f, si se sabe que depende del diámetro de la tubería d, de la velocidad media V, de la densidad del fluido p, de la viscosidad del fluido (i y de la rugosidad absoluta de la tubería s. Utilizar el teorema de Pi de Buckingham.
H F =Y(d,v,p,fJ,e) = 0 Existen 5 magnitudes físicas, 3 dimensiones fundamentales (5-3) = 2 números^ D=L V = Lr1 p = Ft2 L" H. = Ft LJ e = l,l2 Escogidas p, e, como magnitudes físicas proporcionan las 3 dimensiones F, L, T te' = (I1 X¿4 T~* XF 2 ,T2Z' L~* z' XFTL‟1) 7t" = K = de donde los números n son : /r' = = No, de Reynolds n n = / = — = rugosidad relativa / h d
F*(RE,e/d ) C APÍT ULO VII
F~<¡>{7T,X F ~<¡>{R e>E ! d) 2)
FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS
i
La hidrodinámica es el componente de la mecánica de los fluidos encargado del estadio de los fluidos en movimiento. El estudio del escurrimiento de los fluidos es complejo y debido a que su descripción no puede realizarse totalmente desde el punto de vista teórico basado en el análisis matemático, hay necesidad de recurrir a la experimentación con el fin de poder describir de manera más precisa su comportamiento. El movimiento de un fluido puede ser descrito totalmente, cuando se conoce l.i velocidad en el espacio de cada una de sus partículas en todo momento. Teóricamente desde el punto de vista matemático se han ideado dos procedimientos para explicar rl comportamiento de la velocidad de las partículas de un fluido en cada instante. Los métodos usados se conocen con los nombres de Lagrange y de Euler, éste último conocido también con el nombre del Teorema del Transporte. El método de Lagrange, intenta explicar el movimiento de una partícula de fluido, estudiando las variaciones en su trayectoria a lo largo de una linea de corriente. Por el contrario el método de Eulet, pretende conocer el comportamiento de una región del flujo de un fluido describiendo el comportamiento de una parte de éste a través del tiempo, cuando atraviesa una zonu predeterminada conocida como un volumen de control. Ambos métodos permiten formular una serie de expresiones matemáticas, que ex plican el comportamiento de un fluido y las cuales para casos particulares pueden sti apoyadas experimentalmente con factores de corrección, a tal punto que las aplicacio nes de la mecánica de los fluidos en la hidráulica han llevado a esta última a ser cono cida como la ciencia de los coeficientes. Las ecuaciones deducidas a partir de los métodos expuestos son: la ecuación de la continuidad, la ecuación de la energía, la ecuación de !a cantidad de movimiento lineal y la ecuación de la cantidad de movimiento angular.
■
1 II E CUACIÓN
DE CONTINUIO AD
I a et i iación de continuidad determina que la masa dentro de un sistema permanece i instante a través del tiempo.
Cabeza de velocidad: F2 _ (6.22)2 _ 38.7 2 g 2x9.81 2.r9.8l
= 1.97tn
Problema
i iiál es la velocidad media en una tubería de 15 cmsi el caudal de agua transporta- I
de 1X00 m-'/día?
.1800 m1 1 día lh 0.0440 m3 nA \ / 0
¿-„m t « e l . 0 . 0 1 7 7 « . ■ 4 4
Problema Una tubería de 15 cm. de diámetro transporta 80 L/s. La tubería se ramifica en otras dos, una de 5 cm y otra de 10 cm de diámetro. Si la velocidad en la tubería de 5 cm es de 12 m/s. ¿Cuál es la velocidad en tubería de 10 cm? Q = V.A q .(°.-Q5.) x!2m/s = 0.0236m/s = 23.6Lis 4
0.044 m3/
O Y.A. v = / ---------------i = 2.49 m/ s v /A 2 0.0177 m
1„mblrtmi ¿Qué diámetro debe de tener una tubería para transportar 2 mVs a una velocidad mulín des .1 m/s?
<10 = QT-Q5 = & 0 L I S - 2 3 . 6 L / S = 5 6 A L / S 56.4 v = 5í“. = 7.18 m / s 10 4a L/s >02 Problema Una tubería de 30 cm de diámetro transporta aceite, viniendo dada la distribución de velocidades por V = 3o(r 02 — r1). Determinar la velocidad media y el valor del coeficiente de correcciones de la energía cinética.
OVxA V4
v - Q J Vd* Í30(^-F;](2 xvdv) Í4y
/)
Í4.v24r
V/r( V*r3 2 ,
60 |T yl ¡°
w i'i iilili'iiui 3 i /) miü.„)2ff( lubni.i di- >0 cm de diámetro que transporta 110 L/s, está conectada a una liiln ii.i de IS cm Determinar la altura de velocidad en la tubería de 15 cm. ,r
V=
media
= 0.34W
2
A n -(0.15)* =00177 m 4 4 IL
'O 60F; 60(0.15)2
v
n o.i i «y s r = 6.22 m/s 4 0.0177 m'
V media /
nV„
3q(F02-F2) 60V:
X 2}wdv
a =2.0
VÜ
L
Problema
a).
Demostrar que la ecuación de continuidad puede escribirse en la forma
u=3xy2
+2
x+y 2 v = x2 -2 y-y3
I
„,
du +2
La energia cinética en función de la velocidad media en una sección transversa] es:
f
2
|V3 =2
V A
dy
*ü+*l= 0 dx
^ S
fA(vdA)V> V
v
Flujo permanente e incomprensible
dy
Aplicando un coeficiente de corrección a=l e igualando el resultado a la energía cinética reai. 2g 2g
£-23-3,*
dA
\ media
Reemplazando 3y2 + 2 - 2 - 3y3 = 0 El flujo es permanente e incompresible.
b).
u = 3x2 + 2/ v = -3xy du — = 3jc
F LUJO PERMANENTE Y NO P ERMANENTE
dx dv T
El flujo permanente tiene lugar cuando, en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan un punto en el espacio, es la misma en los distintos instantes de tiempo. El flujo no permanente ocurre cuando la velocidad de las partículas varía en el tiempo. F LUJO
COMPRESIBLE E INCOMPRESIBLE
El flujo compresible se presenta cuando la densidad de un fluido es prácticamente constante a través del espacio, independientemente de las variaciones producidas por la temperatura y la presión. El flujo incompresible se presenta cuando no se cumplen las condiciones anteriores. Problema Determinar si las expresiones siguientes de las componentes de la velocidad satisfacen las condiciones de flujo permanente e incomprensible, a). u=3xy2+2x+y2 b). u = 2x2+3yí ! 3 v=x - 2y - y v= -3xy
= 3x
'
dy *l+*L.o
dx dy
Reemplazando 4x - 3x = x * 0 El flujo no satisface la condición de permanente e incomprensible. Problema Cuántos kg/s de anhídrido carbónico fluyen a través de una tubería de 15 cm de diámetro si la presión manométrica es de 1,75 kg/cm :, la temperatura de 27°C y la velocidad media de 2.50 m/s?
Q = 2.50
= O.O44m'y/
P í103°k§/ j +l,75ks/ X l O * ™ 1 / , - absoluta V . -
Lrn
/ ClTl')
RT
/ ttl'
19*2 x (27+ 273)
p = 27800 s 4.83 V, 5760
/ m3
A través de una tubería de 10 cm está fluyendo aire a una velocidad de 5.00 m/s. La presión manométrica medida es de 2.00 kg/cm 3 y la temperatura 15°C. En otro punto, aguas abajo, la presión manométrica es 1.40 kg/cnr y la temperatura 27-°C. Para una lectura barométrica correspondiente a la presión atmosférica normal, calcular la velocidad en el punto aguas abajo y los caudales en volumen en ambas secciones. (2.00 + 1.030)^/^, *104 cm2 ■ 36 A 29.3™/^ +(15 + 273)°K
Se suma la presión del aire por ser un manómetro.
(l40 +1.030) k/^m2*104 cm
Q = 0044 mj/x 4.83 ^ = 0 2B k^/ A= Problema Una tubería de 20 cm de diám etro transporta aire a 24 m/s, 1.51 kg/cm 1 de presión soluta y 27 0 C. Cuál es el caudy aire en peso que fluye? La tubería de 20 cm. se duce a 10 cm de diámetro y la pj resión y temperatura en esta última son 1.33 kg/cm2 bsolutay 11°.C, respectivamente Determinar la velocidad en la tubería de 10 cm. y s caudales en m 3/s en ambas tub er {as. P*—*.
Q=V x A= 24{l)(r2)“ 24 x it-(o.l)2 = 0.754mV. p 1.51x10" ks/, =-^wr=-^r = 1.72 V 3
RT 29.3(27+273) Qmsi» = Q xp=1.72 k|/3 x l 0.754 m ^/ =1.30
= 2,76V3 a 29. ■3yó K + (27 + 273) K
Aplicando continuidad A¡ VL p L — A 2 V 2 pv. w2 z 5m/*3.6ks/ —— V, w,----------4^- = 6.52 W 2.76 kg/m : V,
Q = AV /g
0= A.V, 5n
/s
£>, =0.0393w3/i*^^ = 39.3 V m f_ 1.33x10' P#« RT 29.3(11+273) /m v A A i i =Pi VI A2 1.72 'W, ^=— ^(2)^24^1,03.2™ 1A% • ^ • 02=F34 =103.2^ xtfM* o.Ht
a=a21v21 Q,
=£Í^L* 6 .52m/
4
/s 3
g3 =0.0513 m /j*^^ = 51.3V
Problema Anhídrido sulfuroso fluye a través de una tubería de 30 cm de diámetro, que se reduce a 10 cm de diámetro al desaguar en el interior de una chimenea. Las presiones en la tubería y en el chorro que desagua son, respectivamente: 1,40 kg/cm(absoluta) y la presión atmosférica (1,033 kg/cm 2). La velocidad en la tubería es de 15.0 m/s. y la temperatura 27°C. Determinar la velocidad en la corriente de desagüe si la temperatura del gas es allí de -5°C.
P 1-4X104 Pn
2
2x9.81
1. ___ 4kg/cm -4.2kg/cm
2
2
-xlO4 cm /m‘ 2
____ 1000 kg/cm nD\ /7iD? ''2 -1
-1
2 19 62«/, l=2-8*10 kg/cm ) / s 1000 kg/cm3 1
KJ = 0.075 y 0.75
J
-1
V 2 =24.21 m/s Q = AV
RT 13(27 + 273)
1.033x10RT 13(-5 + 268) /r
Q = -(0.075)2 m2x24.21r ^/ 2
= 1071/
A V, A, = p 2 V2 A 2 2 2.96x(0.l) p, V, O? - A V-, D¡ _ 3.59x15^0.3J =163? m Problema A través de una tubería de 15 cm de diámetro fluye agua a una presión de 4.20 kg/ cm2. Suponiendo que no hay pérdidas, cuál es el caudal si en una reducción de 7.5 cm de diámetro la presión es de 1.40/ kg/cm 2? r/
Problema Si en el problema anterior fluye un aceite de densidad relativa 0.752, calcular el caudal. 2x9.81 x V}
1.4-4.2 IxlO4 752
- = 729.5-
0.07 5 0.75
Q=V 2 A 2 = 119.3 V
Problema Si lo que fluye en el problema 13) es tetracloruro de carbono (densidad relativ.i 1. 594). Determinar Q,
Q= V.A (oA\ m V)
'H = 1.56m/
v= A 7t(0.30)2 m
2
4
y sustancia = D.R. x y agua y aceite = 0.812 x 1000 E CUACIÓN
kg/m3
DE LA ENERGÍA
energía se define como la capacidad para realizar un trabajo. La ecuación de la a, se deduce de la primera ley de la termodinámica, que establece para un siste- le los estados iniciales y finales de energía dependen del calor inicial agregado y .bajo desarrollado. , ausencia de efectos nucleares, eléctricos, magnéticos y de tensión superficial, la ía interna de una sustancia pura o de los fluidos en movimiento es la suma de las ías potencial, cinética e intrínseca ésta última debida a la intensidad molecular que ide de la presión, y de la densidad o la temperatura. T EOREMA DE B ERNQULU
I teorema de Bemoulli es una aplicación directa de la ecuación de la energía y su ación se basa en tres supuestos. El primero que el movimiento se produce a lo i de una línea de corriente, el segundo que el fluido no presenta fricción y el tercero ;l flujo es permanente. L ÍNEA DE
y aceite = 812^®/, /m p vi
200k^/ 2 h=—+—+z-— /m-. 812
r8 2
# = 4.34
V,
+ 1.80»i 2x9.81^2
kgm/ La energía en A 7 kg
Problema A través de una tubería vertical de 30 cm de diámetro fluyen hacia arriba 220 L/s de agua. En el punto A de la tubería la presión es 2.20 kg/cm 2. En el punto B 4.60 m por encima de A, el diámetro es de 60 cm y la pérdida de carga entre A y B es igual a 1.80 m. Determinar la presión en B en kg/cm 2.
Q = G,22 m Y s Q = va/fa
Q = VA X J 4
Q = vBa x^i 4
CORRIENTE
Jiia línea de corriente es una curva imaginaria dibujada a través de un flujo en 'ímíento, de tal forma que en un instante de tiempo dado, las partículas que se lentren sobre ésta línea tengan vectores de velocidad tangentes a la misma, indi- io la dirección del flujo en los diversos puntos de un fluido. Problema Una tubería de 30 cm de diámetro transporta 110 L/s de un aceite de densidad itiva 0,812 y la presión manométrica en A es de 0.20 kg/cm :. Si el punto A está tado 1,80m por encima del plano de referencia, calcular la energía en A en kgm/kg.
3 0.22 ray/ = F/ij f(0-30m) }
0.22^ = V A ( 0.071/w2) 0.22 m3/ y — .. / s A
0,07 lm2
^=3.10
0.22 =
0.22 = V B 0 ')'> m 3 / y _ ' /s B
0,283 m2
VB = 0.78 n y^
j(0.60m)!j
+—
as 54.7TM
^ = 2.20V l X ^f^ 22 m y
/ cm I m P V
2
P V
2
Z, +^-+^ = zs +f± + -±+kf{A-B)
y 2g y 2g /, yte P 0.78 ra/2) w (3.10) /f = 4.60?/¡ + —+ -/ ------------ ^-A + 1.80m /5 22 m + ■ r 2^9.81«/ 1)
9.61 m„/3 0.608 ™/2 22 m+ ■'"-V = 4.60 + — + ------------------- ¿f- +1.80™ 19.62 -- ^/3 ------------------------------ r 19.62 p
22 m + 0.49 m = 4.60 m + — + 0.03 +1.80 m Y 22.49m = 6.43 rn + “
k
PB =1-61
2g 2g \ke/
Y
Sy
J P. A =54700
/m* , 54.700-52.500 h=-, ------------------ T -0.175/h (13.570-1000) Problema Una tubería de 30 cm de diámelro transporta aceite de densidad relativa 0.811a una velocidad de 24 m/s. En los puntos A y B las medidas de ía presión y elevación fueron respectivamente, 3.70 kg/cm 2 y 2.96 kg/cm2 y 30m y 33m Para un flujo permanent . determinar la pérdida de carga entre Ay B.
P,=37oV cm*
/cin
Problema Una tubería de 30 cm de diámetro tiene un corto tramo en el que el diámetro se reduce gradualmente hasta 15 cm y de nuevo aumenta a 30 cm. La sección de 15 cm está 60 cm por debajo de la sección A ? situada en la tubería de 30 cm donde la presión es de 5 25 kg/fcm 2. Si entre las dos secciones anteriores se conecta un manómetro diferencial de mercurio, ¿cuál es la lectura del manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120 L/s? Supóngase que no existen pérdidas.
= 3700V k 8n g/.
= 45.62»,
^ imt J /m Y ,., q . y /cm í -100 tx
V2 — = 2S
cm V l lm2 J
gilkg/ . / P 2 9 6 0 0Yu, 2
p
» v¡
+ _» +Y72g 22 V
= 29600 , => -i- = --------------- -USL = 36.50/»
2g 2g V 30m + 45.62m H—— =f 33mg+ 36.50m+— + h, 2g 2 g r 2j
J
2
/m
g
2
g
y\ ., Vs (24 m)2
1
h f = ~33m-36.50m +30 m+45.62m h f = 75.62m-69.50m h f =6.12m Z Á ^YL =Z + IJ-L
y 2g Y 2g
Q=
V
A
Á
A
-JL= 4*°-12/s
y - A A *(o.3y v=
4*0-12 6,79 m/
_t 70m/
3-(0.15)2
/S
Problema Un chorro de agua, de 7.5 cm de diámetro, descarga en la atmósfera a una veíoci dad de 24 m/s. Calcular la potencia del chorro, en caballos de vapor, utilizando como plano de referencia el horizontal que pasa por el eje del chorro.
A=#»”y,4 42t|
Q,in.
18.600 y , n 1000
P = mO / , x 0.10608 /m m p=
/™
Un aceite de densidad relativa 0,750 es bombeado desde un depósito por encima de una colina a través de una tubería de 60 cm de diámetro, manteniendo una presión en el punto más elevado de la línea de 1.80 kg/cnr. La parte superior de la tubería está 75 ni sobre la superficie libre de] depósito y el caudal de aceite bombeado de 620 L/s. Si l:i pérdida de carga desde el depósito hasta la cima es de 4,70 xn qué potencia debe suministrar la bomba al liquido?
575 m / V” .t -----------------™ = 3114.3kg V / seg/se,S0 «19.62 m/ nj/, A
311A3=41.52C.V 75
Problema Un recipiente suministra agua a través de una tubería horizontal de 15 cm de diámetro y 300 m de longitud. El flujo es a tubería llena y desagua en la atmósfera un caudal de 65 L/s. ¿Cuál es la presión en la mitad de la longitud de la tubería al suponer que la única pérdida de caiga es de 6.20 m cada 100 m de tubería? 1). Presión en el punto 1, aplicando Bemoulli entre 1 y 3
Y AOU = D R - x Yv.fi y— = 0750 * 1000 % = 750 k^/ 3 m Q = 620 I /x-^— = 0.62 Z /s 1000L
/s
0 = Fx A=>V = ^/ 4 A-0.62 m3/ V, = ----- 7 ----- = 2,194 m/ ?r(0.6«) ,
's
k // P t = L,80ks/ 2 /.]-9P-—I =18000 5 2 2
PV P F1 z +n. + lL. = Zf +Ü + Ü + A, 1 r 2g y 2g 2
/cm- l lm J
/m
3
5- = h f => f¡ = h f (total)xy = 18.6 m x 1000 k^/3 = 18.600 r P,2jV'■? ~ y 2g PV bernoulli entre 1 y 2 :Z¡ + — + = Z + — h5. f = 5- + hf para 300 ->18.6 2
1
+
+
Carga dinámica total de la bomba PV H + íl. Y 2 g 1
rr X = 9.3m
,, ‘/m
Problema
s 111
2
kg/ y
/im2 P, = 9.300 V».v -i- = 0.93 k°/ , /tn 10 cm
7
S
kg
r^- - —+9-3m. P, = (l 8.6w -9.3í«)l000 ,
I
4 Q-24~x4,42x10'-‟ m2 0.10608 m'‟
18000 k &/ 2 (2.194V) ______ / m , v , /sK >(9.Sl^/2)
£
H = 15m + 24 m + 0.25 m + 4.70 m
"Y 2g
H = 103.95 m Potencia teórica = ‘ ^
(c.v)
m
' 750 0.62 )/xl0395m Potencia teórica =
^
—
7 5 Potencia teórica 7548336.75 Potencia teórica = 644.5 C.V. ;
Problema Una bomba aspira agua de un pozo mediante una tubería vertical de 15 cm. La bomba desagua a través de tubería horizontal de 10 cm de diámetro, situada 3.20 m sobre el nivel del agua del pozo. Cuando se bombea 35 L/s las lecturas de ios manómetros colocados a la entrada y a la salida de la bomba son -0.32 kg/cm y 1.80 kg/cm 2, respectivamente. El manómetro de descarga está situado 1.0 m por encima del manómetro de succión. Calcular la potencia de salida de la bomba y la pérdida de carga en la tubería de succión de 15 cm.
7 2g
V3 — — = °-035 = 1.98m / ;^i = 0.2m A3 1(0.15)2' /S 2§ 0 = 2.2m-3.2m + 0.2m + h f => hf=0.80m Problema Calcular la pérdida de carga en una tubería de 15 cm de diámetro si es necesai ii> mantener una presión dekg' ,cm2 en un punto aguas arriba y situado 1.80 m por debajo de la sección de la tubería por la que desagua la atmósfera 55 L/s de agua.
A + H ~ F‟2
y
2g
Z, =0(N.R)
P\
2 . 3 5 V " 2 x2l0 4 ^/era m
O 0.035
2
1000
Q = A í V t =*V 1 =f = - ------A
> — (o.i)
= 23.5 m
kg/
2 V V V, = F2 => — = — (sección constante) 2g2g p_p_o 1
V 2 = 4.46
P/y =\&m E, =Z, + — + ^-=>E, = 3.2 m + 18m +1.01 = 22.21 m r 2g 2 1
2 atmosférica
23.5 = 1.8 + h f =>hr =23.5-1.8 = 21.7 m
1000 k=/3 *0.035™‟/ 22.21 m
P
= ___ ¿al -------- ¿i --------- ZZpi = 10.36c.v. 75
P =10.4 C.V
Aplicando Bemoulli entre 1 y 3
777 35
75
Problema Un depósito cerrado de grandes dimensiones está parcialmente lleno de agua y ti espacio superior con aire y presión. Una manguera de 5 cm de diámetro conectada ■! depósito, desagua sobre la azotea de un edificio un caudal de 12 L/s. Bemoulli entre (1) y (2)
2g 2g
y 2g
11 = 39'V h, =0(N.R.) V, = O (condiciones iniciales) h k k f¡ = 22.4 = 22.4 m x 1000 ^/, = 22400 s/2 2 =15.0 m. xPy2 =o (presión atmosférica) h f =5.5m
V = 2
2
A n(Dj n (0.057 Problema ^=Z2 + ^- + ft/ y 2 2 g f Mediante una bomba se bombea agua desde un recipiente A, a una elevación ^=15m + ^-^otro + 5.5depósito = 22.4ma una elevación de 240m, a través de una tubería de de 225 m hasta 30 cm de diámetro. La presión en la tubería de 3 0 cm en el punto D, a una elevación de 195 m, es de 5.6 kg/cm 2. Las pérdidas de carga son: de A, a la enttada de la bomba B = 0.6 m.; de la salida de la bomba C hasta D = 38 W2g y desde D hasta E = 40 V 2/ 2g. Determinar el caudal Q y la potencia en CV'suministrada por la bomba BC. Bernoulli D-E 2
2g lx2g 39
V rr HX,x9.81 2 39 /s
=, = 2.35 W
0.6 + 38— Bernoulli entre VA -y EHyb = N.RenA + 40— = 22.6m 2 g 2 g PV PV Z A +-t + ^- + HB = Z E +-Z-+-Z-+h f (A-É) Q= 2.35 x ^ =166 V 2
1
2
2
/S
4
P
.r YQHB ^ 1000x0.166x22.6 75 ' 75
Problema Un venturímetro horizontal tiene diámetros de 60 y 45 cm en la entrada y garganta, respectivamente. La lectura de un manómetro diferencial de agua es de 10 cm cuando está conectado entre la entrada y la garganta y fluye aire a través del aparato. Considerando constante e igual a 1.28 kg/m 3, el peso específico del aire y despreciando la fricción, determinar el caudal en mVs. P*~Pi Pl=PiY»,o*^ Pi = Ya¡o * h P | ~ Pz _ Y H , O * h y aire
2g
y 2g y
Yaire
= -0.45V y
/ cm
r 2s)„^ \ r 2g)a
f
P V V 0 = 1.5 + -—
—+ 1.5— +—+ 1.5— 2g2g
Problema Una tubería horizontal de 60 cm de diámetro transporta 440 L/s de un aceite de densidad relativa 0.825. Las cuatro bombas instaladas a lo largo de la línea son igualo:., es decir, las presiones a la entrada y a la salida son respectivamente 0.56 kg/cm-' y 24'.50 kg/cm 2. Si la pérdida de carga, en las condiciones en que se desagua, es 6.00 m cada 1000 m de tubería, ¿Con qué separación deben colocarse las F bombas? Á =24.50 %=>,„ ,24.50%*Jí=1.24.50% P,- 5600% P V
Z Á +-±
+
2
P V
2
-f- = Z E+ -°- + ^- + hf{A-B)
r 2g r 2g
z A —z d = o Problema Desde un depósito hay que transvasar un caudal de agua de 89 L/s mediante un sifón. El extremo por el que desagua el sifón ha de estar 4.20 m por debajo de la superficie libre del agua en el depósito. Los términos de medida de carga son: 1.50V2/ 2g desde el depósito hasta la parte más elevada del sifón y 1.00W2g desde este "desagüe. La parte superior del sifón está 1.50 m por encima de la superficie del agua. Determinar el diámetro de la tubería necesaria y la presión en la parte superior del sifón.
V A = VB por tanto se cancelan hr =:6m
6m-> 1000 m
lOOOm A/-> X 245000 % 5600% ^ 825kg/3 825k«/. iOOO m
-+-
oo/co , -7 6X 303.6 mx 1000 296.9 m + 6.7 m = ----------------------------- = -------------------- = X 1000 6 X = 50600/» Las bombas deben colocarse a 50600 m cada una.
3 x (l8 + 273)° K
/m
Problema Un depósito de grandes diriiniNiniif ■1 i•* II' d<- aur ;i un;i presión manométrica de 0.40 kg/cm 2 y una temperatura di- I S‟ í ' I I .un :.c1li'.' k ¡írj‟ít en la atmósfera (1.030 kg/cm3) a través de un pequeño tu 11i' io iibiritu • n uno de los lados del depósito. Despreciando las pérdidas por fricción, ealeuliir la velocidad de salida del aire al poner a). Densidad constante del aire, b). Condiciones de flujo adiabático, a) . Aplicando Bernoulli entre el depósito y la atmósfera. , P. V. P, v 2 z, + — + — = — + — + z,
3.5 x8511.9 [l - (0.72)°
2 (9.81X29.791,65)[l - 0,9l] = V¡ K = 7^84512,17)¡0.09] K, =t/52606,09 V 2 = 229^ Problema En el problema anterior cuando la presión sea de 0.70 kg/cm 2 (manométrica) ¿Cuáles serán las velocidades en los casos (a) y (b)? Presión del depósito
y 2g r 2 s
p = 07k®/ 2 / cm P2=103k^/ 2 / cm t° =18“C=273 + 18 = 29r^'
RT (O^O + IOSO)^'
7
2
4
cm
xlO cm ,, r = , -/ r = 1.68 %>/ 2
3
/;/ = 0 ? L2J-L
y
g
y>=pg\
a) . Aplicando Bernoulli, entre el depósito y la atmósfera: p, /
^~ = ^- + Z. = ^- + Z, +h r R del aire = 29.3 m /, „ Y, 2g y '
y K
2
donde ■
0.40 kg/ 2(9.81) m
y
V =2.161i%
Reemplazando en la ecuación
2
0.7 x 104 k®/ y3 -------- —¿-2!- +0 + 0 = 0+ -¿- 2+ 0 + 0 2,03^3 S /m V2 = / V2 = 260 m / /s 2g 2
b). Para V,=0 y 7. = Z, para procesos adiabáticos P,
(K-\) y
4k p (0.7 + 1.031x1o ^/ 2 , , = _L_ = _______ /m _ 2 Q3 kg/ RT 29.3 ^A,x 290 °K ' ^
í-
2g P,
K - Exponente adiabático K - para el aire 1.40 1.40 (0.4 + 1.03 )*10 4 (l.40jrl) 1.68
1.030x10* ) (¡.«-i) (0.4 M.03)ccl0 4
J /'-40_
X
2g
L
vi -Íj- = 0 ’ 2g
„ ,, mJ 1 min
0 = 1140 x— -------- min 60 s 1
= 19m , 1000 (-0.05 m) m
p A =rh
P,~50% Por consiguiente, la velocidad del aire en adiabáticas es: V2 = 284 m/s.
condiciones
P B =yh B = 1000 kS/ 2 x 0.075 m PB =75 V2 /m
Problema Desde una tubería de 30 mm, donde la presión manométrica es de 4.20 kg/cm : y la temperatura de 4"C está fluyendo anhídrido carbónico al interior de una tubería de 15 mmun caudal en peso de 0.040 Kg/s. Despreciando el rozamiento y suponiendo el flujo isotérmico, determinar la presión en la tubería de 15 mm. 4
2
„ , P
7
B
— + H
= ■ = 5 75 m/ 7 A 9.84x^(0.03)2 /s
Q. = 2
B
3
= 0.237 m 0.169^
V = = J>^37x4 = 1 339 m / A2 tt(0.015)"
2g
A
0 04 x 4
0.04k g /
y
P
(4.2 + 1.03)x10 ^981 ' 19.2 x (273+ 4) 0
s
s
p = y RT = 0.169 k %/ 3 *19.2 x (273 + 4) = 900
Problema Un soplador de aire ha de proporcionar 1140 mVmin. Dos manómetros de tubo en U miden las presiones de succión y de descarga. La lectura del manómetro de succión es negativa de 5 cm de agua. El manómetro de la carga, colocado 1.0 m por encima del orificio manométrico de succión, da una lectura de +7,5 cm de agua. Los conductos de descarga y de succión son del mismo diámetro. ¿Qué potencia debe de tener el motor que mueve el soplador si el rendimiento global es del 68% (W = 1.20 kg/m 3 para el aire)?
= H1 „ + = Í 1 0
r
_l + (75 + 50)k^/2 1000k s/-
m
y
l + fe-'P*) 5 HB PJ = 48= C.V .
xl9 m / s x 105.17 m 75*68
Problema 1 Se 7 está ensayando una tubería de 30 cm para evaluar las pérdidas de carga. Cuando el caudal de agua es 180 L/s, la presión en el punto A de la tubería es de / 2.80 kg/cm‟. Entre el punto Ay el punto B, aguas abajo y 3.0 m más elevado que A, sen conecta un manómetro diferencial. La lectura manométrica es de 1.0 rn, - el líquido mercurio e indicando mayor presión en A ¿cuál es la pérdida de siendo cargap entre Ay B? t-
Y * * x
Q x
H b
7 5 x 6 8
^ = P.< + r H l 0 * h i \ i i o o i ) , i i -
v =
Q = \odA A A flr
=5
2 J ni
(r'tf vY — 2jtrdrr = r0 - Y, dr = dY
Aiioo()V2
$=P,+r llg+1 = 'J. <■ 13570 xl l*„ I 13570 %
nr^y = 2 nrmax % (r„ - yJiZ- j dy
^ +/ , H 2(5 xi=P !) +r J, i xi 28000 k8/2+100°k8/; -13570k^j = Pa Pa = 15430% ^=2
%
r/7
1, lm kg/ kpOOcm'2 P,,= 28000 S/2 V P V P Z A ^- + ^- = Z B + ^- + -fI - + h r 2 g y 2g y 1
1
wl=tnU m
A
Z f AX
ÍL-^L + A/ ry p, ps . —
¿=j2( r r 28000 15430
12.57m 1000 1000 h, = 12.57 m pérdida.
2 o r r 49 2 /zr0 r = 2/TL/iTiax —r 120 49 v=-U1TO=>v = 0.817I/ ¡ „
ÍT 9 Í Y 15 Jí v /_
7
2
8
1
7 ■ C ---- 1 5
*
105-56^2‟ 120
Problema Prandtl ha sugerido que la distribución de velocidades, para flujo turbulento en conductos, viene representado muy aproximadamente por la expresión: v = v„, jj¡/) , donde ro es el radio de la tubería e y la distancia medida a partir de la pared. Determinar ¡a expresión de la velocidad media en función de la velocidad en el eje
v- 491 r
Problema Cuál es el coeficiente de corrección de la energía cinética para la distribución de velocidades del problema anterior?
Para los puntos B y C
k k 1 yia
' roro y rl k + 2
PV V 1.5 + — + —= 1.5 +0+— £ -72g2g 2
1
"
ri.5gy (¿o
-1 => fc r.^y
fc + l
*+1
2 2g 2 g 2 fc g 2 P„ -9.x ------3.88 — = - 0.15 x 0.30485 m / m■/ =A nA C -2- =2.25 ---------0.046m y 2n x 32.2 /Pie 7
remplazando
Ar + 1 £ + 2 f= 2V_Í_1
__________ 1_V U + l k + 2)
■V = 2V m
(k +
2 )-(k
+ \) (k + llk + 2 )
Problema
V
= 2K.
(Ar+lX* + 2)
Demostrar que la velocidad media V en una tubería circular de radio r o es igual a -~ [(jr + l)(jr+2) Para una distr>buc‟ón de velocidades que venga expresada por
2,
V-V~(,-XÍ'
U=
Av¡ U A [7
Q ¡vctA . r v - v - J------------- =¡ V 1 — J
"—
,
roax
Q____ r^í _ v ít.l.T
1
^M kfr,+ l l k+2 f[ l - r /r ■ ) 2srífr
\ V ™h-y\ / r °ySimplifica ndo V = 2 nV m % £•
/
3* + l r?*~ ~ 3& +4
2(¿ + l)3(¿ + 2)}
{r - y{^~\ dy int egrando
5
0
kk
w
2(i + l)3(i + 2)3 k 3 .» 3iJ r, <* = - ---- 4 ------ Jor » V -y dy-l^^—dy K _ 2(¿ + l) i (¿ + 2) 3 (3H3) r0n*' r, j ^,3^+4 rl :
v-v-h-yjfi)
=
=
24 k+\f(k+ 2 y !t U «= — ------ j ------ (r.-X
Como r = ia -y->V=V m
y
Problema Encontrar el coeficiente de corrección de la energía cinética a para el problema anterior.
_ vk
fc h^-^rdy^ í-±—dy - Y; — dy r„ ^ r o
r
V k+ l
ü
a =3 2(A + l)3(jt + 2) 6 (k+lf{k 3
+ 2) ¡
(lk +1) (5k + 4)
1 1 (3fe+l) (3*+ 4)
(3k +1) (3¿ + 4)
2 ^ r0 ^
J
o 4o 3* Jo J 3* w/
Capítulo VIH
FLUJO OE FLUIDOS EN TUBERÍAS
En el caso de flujos reales existen dos tipos de flujos permanentes, éstos reciben los nombres de flujo laminar y flujo turbulento. F LUJO
LAMINAR
En flujo laminar las partículas fluidas se mueven según trayectorias paralelas, simulando láminas que se desplazan unas junto a otras. El flujo laminar se rige por la ley que relaciona el esfuerzo cortante con la velocidad de deformación angular o rapidez de deformación. F LUJO
TURBULENTO
El flujo turbulento se caracteriza por un movimiento desordenado en todas las direcciones de las partículas que componen el fluido. - En este caso es imposible conocer la trayectoria de una partícula individualmente. N ÚMERO
DE
R EYNOLDS
El número de Reynolds (Re) es un grupo adimensional de variables, que relaciona las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad. Este número permite determinar la característica laminar o turbulenta del flujo de un fluido. P ÉRDIDAS
DE ENERGÍA
Existen muchas expresiones de carácter experimental que permiten calcular la pérdida de energía de un fluido, bien sea que tenga un comportamiento laminar o turbulen-
to. Entre las aplicadas ¡i flujo laminar una de las más utilizadas es la de Hagen Pouseille y para flujo turbulento, las de Darcy - Weisbach y la Hazen - Williams. En un conjunto de tuberías existen otras series de pérdidas de energía llamadas menores, que se producen básicamente debido a los accesorios necesarios para conformar una red de flujo. La evaluación de este tipo de pérdidas también se realiza experimentalmente, aunque comúnmente se expresan en función de la carga de velocidad del conducto, afectando este resultado por un coeficiente experimental que se obtiene de tablas.
5 / *> / ry&xe ' /m 2 x8x9.81™/ 2 V = = ------- L ------- ■' s ------------ = 14 01 m*, ■^tW (0.040 x 700 ^ 3 =3.13 / m y = 3,744 m./ 2
Problema ¿Cuáles son las velocidades de corte en el problema precedente?
Problema Si la tensión constante en la pared de una tubería de 30 cm es de 5.0 kg/m 2 y f = 0.040. ¿Cuál es la velocidad media (a) si fluye agua a 21°C, (b). si fluye un líquido de densidad relativa 0.70?
1000' vkg/ W 'm Velocidad de corte: p = — => p = S 9.81 m/s2
^ = 10194^^- m hL = -^^- = í^;porDarcy:h f = fx — —
W*ro Wxd
D 2g
a)
Vc
Igualando las ecuaciones:
= 4*Jg = --------- g kg/m ^ = 0.221— 1101.94 kg. — ■
Wxd d g Velocidad de corte para un líquido con densidad relativa 0.70: Ve =y
-r— = 9.S m 0.040 x 1000 kg/ A2
T
V = 3.13 /
Densidad relativa = 0.70
=
2.67— S
Problema A través de una tubería de 15 cm y 60 m de longitud está fluyendo agua y la tensión cortante en las paredes es 4.60 kg/m 2. Determinar la pérdida de carga.
m
b)
V 0.70
h ,
(f>Wr_ 4.60 ^s/ =
Ti
1
} --------------- ¿k m x 2 x 6 0 m
1000 ®/, *0.075 m
= ? 36 m
=
= 0.0172 m/ = 1.72 x 10-2 m /
Qué radio ha de tener unit tubn 1.1 pju.1 que la tensión cortante en la pared sea de 3.12kg/m:, cuando al filtrar agua a lo largo do 100 m de tubería produce unapérdida de carga de2 6m? L Y h, r L r. =TJ — a 2 L _ 3.l2kg/m x 2 x 100 m = 0.104»; = 10.40 cm y h¡ I OOOkg/ Jn x 6 m
P V2 ‘ ‘ ~ ■ A + h+ Z„ — + ~r~A J+ Z A - h f =-t +r -^ 2g Y 2g
(ü.075%)
2
3
/s D O.lm • /s Problema Calcular la velocidad critica (inferior) para una tubería de 10 cm que transporta Problema agua a 27°C. Calcular la velocidad critica (inferior) para una tubería de 10 cm que transporta Para que el flujo sea laminar, el máximo número de Reynolds es (2000) de la un fuel-oil pesado a 43 “C. tabla 2 del apéndice de viscosidad cinemática a 27”C r°c V.D 44.6 xlO'6— *2000 K= i^= ---------------------0 R97 1--------- = 0.892 — D O.lm s Por interpelación 27 X Problema 29 0.804 ¿Cuál será la caída de la altura de presión en 100 ni de una tubería nueva de 6 fundición, horizontal, 10 cm de diámetro que transporta un fuel-oil medio a X = V = 0.89598 x 10 de m/s 10°C, si la velocidad es de 7.5 cm/s?
Rs = V D/u R xu
D 2g 0.1 m 2(9.81 )m¡s
DV
O.lOm. 0.075 m/
R,= 0
= 1.453.49 => fiujolaminar
5.16.v10"6/íi m.
, . 6 4 64 f para flujo laminar = J = — • ví? ITJ JT7
h = 0.044
= 0.044
lOOm 56 x 10 m /' -------------- 4-= 0.012 m O.lm 1.9 x 62 m/
P - P Pa - P Reemplazando en el valor del h-= ~ -------------------------------------------- - = 0.012<5m O --------- = 1.26x10 m (
y
y
2000 x 0.8598 xlO' 61»2/ Problema Cuál será la caída de la altura de presión en el problema anterior si la velocidad del fuel-oil es de 1.20 m/s. nv O.lm x 1.20 11/ K= — = ------------------- 1 ? — 2.3 x 10 4 «2xl0„l v 5.16.X10-6 m2/ E 0.024 cm D 10 cm
- 0.024 cm. E = Tubería nueva de fundición = 0.024 cm
=
^
=> F = 4.67jd0~4 m /
E_ _ (K024_£m_ 0.OOO8 D 30 cm yr) 3.11 m /
Usando el diagrama de Moody / = 0.031 o.03,
01m
2.2ta
19.62 — s
Por Bernoulli PV2 PV2 Z. + ±-4- + —* --- 2.28 = ZB +-S- + —S7 2g 7 2g ?A
n
Re =i^-=---------------- /sxO.3 m i u
5 g;tl0<
58 .84 ilO /
f = 0.029 En el diagrama de Moody
= 2.28 m.
! /s , _ f L P2000 1000 m. (3-H^) li , = I -------D 2g- => H = 0.029 -V-------------JC 0.3m 2*9.81- ---«j/, n / AT Problema h f = 47.65 m Al considerar las pérdidas en la tubería únicamente, qué diferencia en la Problema elevación de dos depósitos, que dista 250m, dará un caudal de 30 L/s de un aceite o En el problema quéde valor mínimodede15lacm viscosidad cinemática del lubricante medio a 10anterior, C, a través una tubería de diámetro? fuel-oil flujo—densidad laminar? = 0.861—viscosidad cinemática m 2/s T = I0°Cproducirá —aceite un medio
Problema Considerando únicamente las pérdidas en la tubería, ¿qué altura de carga se necesita para transportar 220 L/s de un fuel-oil pesado a 38”C, a través de 1000 m de una tubería nueva de fundición de 30 cm de diámetro interior? Q = 220 L/ => Q = 220 L/= Q = 0-22 mV ^/s
/s
IOOZ
Re < 2000 => Flujo Laminar E= Acero comercial soldado K=-0.03x4 =1_69m/s VD VD Re = — => u = -------Re 3Al^/x0.3m
2/
/s
Q = r.A.=>v = y A A = nd'Y^
0.22 y
=
m
]/ '$
• x((0.3m )
2
4 4x0.22 m V 0.88 y ________________
m
= 3.11«/
V
/S_ _ ____________ /S
= 38 °C
*(0.3m)2 0.2827 m2 v = 58.84 x 10
6
;r(0.15)2 Re^Vd =
Lggff.15 =49i28 v 5.16x10
T
De acuerdo con el diagrama A -1 entonces f = 0.068 Aplicando Bernoulli
0+2+ 0-1001 I ().()(>H 2g J 0.15 2g 2g Tubería corriente de l;i labia A 5 V 1000—(m) pérdida de carga en m. 1
2
0.112 xd
-o + iL + o
Suponiendo un flujo laminar : Re ~ ——------------------------------------------------—~ v 1.86x10* Re = 602.15 d ' - T -£ í r„ »“ , 0,16.0,106*3°°,!‟^
8
(1.695 > + 0.068Í256l Í-Í ; Z = 100^—--^ + 0.068 - — = 0.15+ 16.49 = 16.63 m 2g 1015J UsJ
d 19,62 0.16 = —77- => rf = 0.597 m d
Problema Un aceite de densidad relativa 0,802 y viscosidad cinemática 1.86 x 10“* m2/s fluye desde el depósito B a través de 300 m de tubería nueva, siendo el caudal de 88 L/s. La altura disponible es de 16 cm, qué tamaño de tubería deberá utilizarse? ,3 m q 0.088 /s Q.112 Q^V.A=>V = — = A D
Problema Mediante una bomba se transporta fuel-oil pesado, a 15°C, a través de 1000 m de tubería de 5 cm de diámetro hasta un depósito 10 m más elevado que el depósito de alimentación. Despreciando las pérdidas menores, determinar la potencia de la bomba en CV si su rendimiento es del 80% para un caudal de 3.5 L/s. ü(15°C) = 201x10 -6 r
Aplicando Bemoulli
H ü = h e +hj =10 + hj o -46 =4x0.00_35_/ TtD 40.005)2 /s
p.v , r + S +Á d 2g Y 2 g 1
2
2
K A B> J
d lg L V2 0.16m =f D 2s
= 912ks/3 / ni
_ 1.78x0.05 Re = ----------- - = 443.4
201x10
. 32 DLV 32x20 lxl O-6 xlOOOxl .78 h f = ------- — = ----------------------- -------- = 46i gd 9.81x(0.05) H a = 10 + 466.8 = 476.8m 75.r0.8 75x0.8 2
+ ~ = Z*+ — + — +hr
7 2g
y 2g n r
Problema Agua a 38°C está fluyendo entre A y B a través de 250 m de tubería de fundición (e = 0.06 cm) de 30 cm de diámetro interior. El punto B está 10 cm por encima de A y la presión en B debe mantenerse a 1.4 kg/cm 2. Si por la tubería circulan 220 L/s ¿qué presión ha de existir en A?
P
P
A= B
+
Y hVf P
R 5
P V
2
jP = 1.4k%/ 2+912-^x22m m
' cm" —3
Q = V.A Q (0.220X4) „ A 1
2
(030)2 (n) = ^ = 0.003 D 30
P A = 34064-^-» 3.41—~~ cm cm
_ (3.11X0.3)
0.687;d0 6
Por interpolación V = 0.687 x lO -6 m/s Considerando el diagrama de Moody ? f = 0.024 h, = 0.024*—x ^ = 9.86m f 0.3 19.62
Problema Una tubería vieja de 60 cm de diámetro interiory 1200 m de longitud, transporta 1111 fuel-oil medio a 27°C desde A hasta B. Las presiones en Ay B son, respectivamente, 4.0 kg/cm 2 y 1.4 kg/cm2, y el punto B está situado 20 m por encima de A. Calcular el caudal en m'/s utilizando e = 0,048 cm.
,
_____ kg/ kg - =4000 / ' cm" /m Y del aceite a 27° C = 850 , / m' P. = 40X
, A ----- ~
Bernoulli entre A y B
2
Viscocidad cinemática aceite = 3.3 LdO6 m / Z, + ——h "4. + fi= Z B +LÍ- + LÍf 2 g r * r 2g D.R. = 0.991 — = 10 + -!-^^+ 9.86 7
P A = 3.38
A
991
kg/
Problema Una tubería comercial usada de 100 cm de diámetro interior y 2500 m de longitud, situada horizontalmente, transporta 1.20 m 3/s de fuel-oil pesado, de densidad relativa 0.912, con una pérdida de carga de 22 m. ¿Qué presión debe mantenerse en la sección de entrada A para que la presión en B sea de 1.4 kg/cm2? Utilizar e = 1.37 cm.
P V íi PV, —+ - -+Z. = — + ——+ZS + /, y Ig * y 2g 1
hj
= L Z Í L _ 20 = Y
= / -¿.*I1 => k=
Asumiendo
8n
f
40000 14
- -°H - 20 = 10,59. 850
\ h f x Dx 2g = I 1 0-59x0.6x2(9.81) D* 2g = > \ fxL "V 0.05x1200
IV
J \ f¡V V 2 V L1
2
2
A» 2g A V
5
10= 0.0008 —
2
V 2 lír/2 , * 3 0 ! . , 0 , 7—-— 5
g 2g
+ 0.75 x _o 75fk 2gr 2g
/s P K2 PV TV V V Z = £ L +L U = 2 +£k+2*L+/JL-Ík + I20. + Íj0, y 2g y 2g Z>3n 2g 2g 2g 2
■Diagrama A-1 ->/ = 0.02 V = j 1Q59x°j6x 19-62 = v = 2.28 0.02*1.200
2
2
2
2 9=í + P 1 1+ 5 t30 I ;V*31 /—+1+1
D
Q = VxA-
g
i 0
=1.32 y
= 0.0008
D 60 Re = 2.61 x
2
x
— + f— f-^r-*16 +1-+ ¡1 +1-6 + 0:75x16. - 0.75 I & 7.0 = Ar"'+ V ÁO Ai
3.31*10'* m
E 0.048
“, í J 2 g 2g
4
=
0.65™/ ^^
Problema Desde un depósito A, cuya superficie libre está a una cota de 25 m, fluye agua hacia otro depósito B, cuya superficie está a una cota de 18 m. Los depósitos están conectados por una tubería de 30 cm de diámetro y 30 m de longitud (f = 0.020) seguida por otros 30 mde tubería de 15 cm (f= 0.015). Existen dos codos de 90“ en cada tubería (K = 0.50 para cada uno de ellos), K para la contracción es igual a 0,75 y la tubería de 30 cm es entrante en el depósito A. Si la cota de la contracción brusca es de 16 m, determinar la altura de presión en la tubería de 30 y 15 cm en el cambio de sección.
r 2g p M0 | '31 9 = +-“.(1 + 2 + l + l) = Lk+A* po r 2g r 2^
— Y
= 9-5* — — ■ =8.56OT 2g 2
Z
A + — + — = i5 Z
Y 2g
2
2
2
2
p y p v v v (v -y 2 )
+ — + — + hf3a +^2-+2*0.5-22-+ 0.75^ ---------------------------- ^
r 2g
2g
2g
2g
— = 7 - 31.25 ^2. = 4.22m 2 Y g
Problema En la figura el punto B dista lüOm del recipiente. Si circulan 15 L/s de agua, calcular (a) la pérdida de carga debido a la obstrucción parcial C y (b) la presión absoluta en B.
4
/ s
/ s
I y dos codos en la línea producen una pérdida de carga igual a dos veces la altura de velocidad. ¿Cuál es el caudal que tiene lugar? Utilizar e = 0.0135 cm.
a) Bemoulli entre A-D
z + £a_ + üL = z 0 +£ ¡ -+? J ! -+h f +f~x^eA r 2g _ r Y
Q_ _ 0
015
*. 4
D
2g
z,+ ¿*£.zi+£+Ü_+/A^_2fV r 2 s
= 0.849 m /'
;r(0.15 )3
l Vr
-+/ 2g ' D 2g
Z, = h = 6...
(0.849 Y
n
19.62
f
As
1
7.o=y\ 0.025 *
700 OT (0.849 ) 0.15 m "* 19.62
V- 7x2x9-81 .,i34«y 0.02,^ %
/D
1.5 _ VD Re =
- Z „ 4- -f ■
+
g
2
y
Z A = 0.6m V B = 0.849 ™/ s ^ = a + ^, í L í ZI..ZL A J Y D 2g 2g r P, 18.Om (O-849)2 m/^2 (0.849)2^2 Y = 0,6m + 30.34/w - 0.025 x1
Q /s
/
O.lSm 19.62 «y
2.34*0.15
Problema u 1.1714^10~6 =2.49jtl05J Un conducto de acero de sección rectangular de 5 cm x 10 cm transporta 18 L/s vde agua = a una Viscosidad cinemática comercial temperatura media de ¡5“C y adel presióndisolvente constante al hacer que la línea de alturas piezométricas sea paralela al eje del conducto. ¿Qué altura ha a2i°C=1.17xlO"^¡^ ls de descender el conducto en 100 m al suponer la rugosidad absoluta de la 5 Re = 3xl0 superficie del conducto igual a 0.025 cm? Utilizar v = 1.132 x 10' ( mVs. Observando en el diagrama de Moody, se encuentra que el valor de f está bien supuesto, entonces con V = 2.34 m/s.
h,
2g — = P .Atmosféríc a—10.34 m
2
+f kvy
As
;
Presión absoluta A-B
n
D
+ h¡
= 1,68m n/ b) Bemoulli entre A-B
p
- vy
Z A -Z*
r 2 g d 2g /2g
19.62"»/
— = 9.Sm,P s = 9.8m* 1000 kg/m 3 = 9.800 ks/2 = 0.98%/cm2
Problema Un disolvente comercial a 21“C fluye desde un depósito A a otro B a través de 150 m de una tubería nueva de fundición asfaltada de 15 cm de diámetro. La diferencia de elevación entre las superficies libres es de 7 m. La tubería es entrante en el depósito A
= V.A = V ^
=
gjSfeflP-lS)1 ,Q Q4135 w.
4 1A y
P PV = Z a + ^ + -Z- + h, (A - B) 7 Y 2g 1
P A =r{z B +^-+h. f (A-B)j P, =(857 k^,)*(98.84m)= 84706 k^/2 =8.47 k§/m.
Problema 4Vr 4x3.6% *0.025* Re
= Z_¿?,= -------------------- /i ------------------- = 3.18*10
u 1. 6 m / & =318021.20 1.132XÍ0‟ - ------------------------------- = 0.025 E _ 0,025cm u
a) . Determinar el caudal de agua que circula a través de las tuberías nuevas de fundición mostradas en la figura b) . Cuál es la presión en B si está a 30 m. del depósito A? (Utilizar tabla 3).
1) ~ 4(7.5)m En el gráfico f-0.042 l/
d 2g 4«2g 100m (3.6m/s)2
i Afín
h f = 0.042* --------- *- ----------- -r = 21.1Am = 27.80m ’---------------------- O.lm 19.62 m/s Problema Cuando circulan 40 L/s de un fuel-oil medio a 15°C entre A y B a través de 1000 m de una tubería nueva de fundición de 15 cm de diámetro, la pérdida de carga es de 40 cm Las secciones A y B tienen cotas de 0,0 m y 18,0 m, respectivamente, siendo la presión en B de 3.50 kg/cm 2. ¿Qué presión debe mantenerse en Apara que tenga lugar el caudal establecido? De tablas se obtiene la densidad relativa del Fuel-oil medio a 15"C. Es de 0.857, luego y =857 kg/m3 PV2 PV Z i + ! - ± + ^- = Z B +^+-*- + hAA-B) r 2g r 2g ' ZA = 0 se encuentra en el nivel de referencia (N.R.). V = VB permanecer constantes el caudal y el diámetro de la tubería
a) . Altura de presión = pérdidas totales
7.5 = pérdidas de ( E .T )+perdidas (T .D )+ h
+0.15
15
=
W + E£ + fA x ± + f^vJ _
1
Por continuidad:
+Ql5
f 30
+ hf[_
2 g 2g D, 2 g D, 2g
^ * v 2 => ^¡z)2 = i^¿>2
Ay, = a2v2 =>
V,
Problema A través del sistema mostrado en la figura fluye agua a 38°C. Las tuberías son nuevas de fundición asfaltada y sus longitudes 50 m la de 7.5 cm. y 30 m. la de 15 cm Los coeficientes depérdida de los accesorios y válvulas son: codos de 7.5 cm, K = 0.40 cada uno: codo de 15 cm, K = 0.60 y válvula de 15 cm, K = 3.0.
K = 0.5] j-,í>eg;í« Tabla 3 *2 = 1 J
7 5 = ^YÍ + -^L- + É^.XJ±-+ f
x30xV
-L + 0A5m
19.62 0.30 19.62 0.15x19.62
19.62
7.5 = 0.025F, 2 + 0.825F, 2 + fc 16.2F,2 + /xl63.1F, 2 +0.15
7.5 = 0.84F2 + 174.3 /F¡2 +0.15
Determinar el caudal. PV PV Z, + - ++ - + ^ + A/(-* > + *e / 2g y 2g 2
Utilizando la Tabla 3 e interpolando o utilizando una calculadora programable K,=1.3^/
2
f = 203.33 xlO"*
X = 7.5 6m ParaV l =L3™/ s Q = A.V =
* 1.3— = 0.092 — =
92
PA= PB porque ambos tanques se encuentran abiertos a la atmósfera V A= VB no se consideran Z„ = 7.5
P.2 V , 2_ P3 F /, „ rr -^- + -i- + Z. =-^- + —- + Z„+H r sr g 2
2
ZB=0
LVl
l
h r = ------ ; he = K— dlg' 2g
H
= h f»
+
P érdÍda S d e ( D.T ) = f
~
# = 203.33xl0' 4^-—^ -x^- + 05 = 0.218m. 0.30 m. 19.62 P (i 3 Y —0.218 = 0.696 m y =
19.62B P B = 30.696 m x 1000 = 6.96 m m2
IV
2
IV
2
V
2
V
2
7.5 = / [ —3 — + f ±^^- + 2K l ^ + K^ + K 3 ^-
~2g 2g
Por continuidad Q - V(A = A2V, v - JÍ Í * v 1”A 41 2
V, 1 = í^l Vi =\6V?
J,
V
2
D,2g D 2g 2g 2
„if D,
D, (0.075Y o ~i
/s
= 23.86m
[ V I V J = 0.0136">^/ =V0.0136 V Q = Vt4 =(3,08)í^™¿] 7.5 = 16/.^--*-+/.y " l 32A' fA'A Z>, 2g - O, 2 /¡ 2g ’ 2g 1
1
1
2
= Q = 13.6^
1
7.5
= 16/i _2_,J¿_ + /i J!> ,t JV. + 3^0.m vS^0.6JV_ +3J!L v
0.075 19.63 0.15 19.62 '19.62 19.62 19.62 J 2 .66 f// + 10.19 * f,K* +1.30 P¡ + 0.03 K2 + 0,15 K/ -> /, = /., = / —> suponiendo un f ** 0.020 Reemplazo : -*■ V = 0.597 m/s Re = = (0.597)» (0.L5) = 13Q333 g Re - L3j[0 > O 0.6S74 *10 E 0.012 D 15em 7.5 = 643
Reemplazando
Situando un nivel de referencia en B Aplicando Bemoulli enireAy D
7.5 = (543.66)(0.021) V,2 + (10.19)(0.021) V 2 + 1.30V2 + 0.03V2 + 0.15V*2 Z
7.5=11.41V2 +0.21V| 4-1.30‟Vj + 0.03V| + 0.15V 2 = 13.1V2 V =0.76m/s Re = = Re _ <0-76X0.15) = ,55042.3 a ^ V 0,6874*10
PV A +~^-
+
PV ~~ = Z D +~ + +h f (1 er. tramo) + h f (2do.tramo) - H B 1
2
2
E
— ~ 0.008 —> f calculado — 0.0205 diferente al f supuesto
7 — 7 Z
+ -lü. + t ^ ’ 3° , f .^ LJjs TJ ‘ Z” + 2 e + f DU f D^- H ’
7.5 = (543.6ó)(0.025) V? + (10.19X0.205) V 32 +1.30V,J + 0.03Vj +0.15V2 7.5 = 11.14Vj +0.20Vj +1.30Vj +0.03V 2 + 0.15V* =I2.82V; =0.77 m/s £ — =¡ 0.008 -+ f calculado = 0.0205 semejante al f supuesto
Q = vi
A
2
=>Q = (0.77^--(^-)Z-j = 0.0136®%
V, = —=-^^-20.77 = 3.08 V
O 0.22 mV Kc = -s- = --- --------3 = 3 11 m/ A 3< ¡ (0.30) m ' /s
Hs = energía de la bomba cv
V-Q-H»
rII
_
75
CVX75
Y
Q
„ 10X15 1000X0.22
Problema Si !a bombaB de lu figura transfiere al (luido 70 CV cuando el caudal de agua es de 220 L/s. ¿A qué elevación puede situarse el depósito D?
Reemplazando y despejando Z R
V2
/ v1 i y 2 ay 1 ° J D 2g D 2g 2g
— = 8m
g V2 120 m 0.30 m
Z D =3m- (0.020)
(3,-11 m/s)2
1
-(0.030)
6m
— 2
g
2
= 0.5m
0.045m 38
(3 ll)2 -(5)^. +23.86?»
%) .
°K% 2(9.8 Z = 3 - 3.94 - 0.0388 - 2.46 + 23.86 = 20.42 m 1) m ) Z £ 21 m => Elevación máxima a la que puede situarse el depósito D
Pérdida en la contracció n
h f -0.1 í y » - F » )
D
«3 4)
V2 P
2g r
V
0.45^1 2g
Pérdida de energía entre 3 y 4 h a3-45 = 0.02,tÍ^-;c0.5 = 5 m
D
Problema Una bomba situada a una cota topográfica de 3 m mueve 210 L/s de agua a través de un sistema de tuberías horizontales hasta un depósito cerrado, cuya superficie libre está a una cota de 6.0 m. La altura de presión en la sección de succión, de 30 cm de diámetro, de la bomba es de - 1.20 m y en la sección de descarga, de 15 cm de diámetro, de 58.0 m. La tubería de 15 cm (f= 0.030) tiene 30 m de longitud, sufre un ensanchamiento brusco hasta 30 cm, continuando con una tubería de este diámetro (f= 0.020) y una longitud de 180 m hasta el depósito. Una válvula de 30 cm K“ 1.0 estiL situada a 30 m del depósito. Determinar la presión sobre la superficie libre del agua del depósito. Dibujar las líneas de alturas totales y piezométricas, El + Ht = E j
=
Q 3
Pérdida en la válvula h r = K - — = 0,5m
2
g
Pérdida de energía entre 4 y 5 30 hf,,.,. = 0.02* -------- *0.5 = lm ( 5) 0.3 Pr esión en la superficie libre del depósito Ps = 66.7 - 48 - 0.45 - 5 - 0.5 -1 - 3 = 8.75m = 0.875 kg/ ?
Problema Qué diámetro debe de tener una tubería medio nueva de fundición para transportar 30 L/s de agua a 21°C a través de 1200 m con una pérdida de altura piezométrica de 20 m? Utilizar la tabla 3). El miembro entre corchetes representa la caída de la línea de altura piezométrica S = 20m
l + ñ^
H B = 66.7 m Pérdida de energia entre 2 y 3 LV hf„ v, = /— ----------- = 0.03 x m-3) J D 2 g
/m
30
V
2
0.15 2 g Pj
+^ + Z t \-\±JL+U. + Z ,
r 2g J [ y 2g ........V122 00 0 V" _ Q . 20 = /• ------ ------ >V = 2g
12000V2 d 2g
„„ ,12000
20 - J --------------x
(y* *)
i
20 = /-
. 12000
h B +~± + ^- + S5-f~- ---------- 6 = h E +^+-S-
7 2g
í 40.33/ , /
¡K >¿
•
4.4(i.rl0~3.i0.02 d
y 2g
h B +~ = 29in. h s -i—- = 9.9m. r r
a 446^0 3/ (l5
D2g
Co/wo no se conoce f ni V, se supone f - 0.02
■ I5 4oti
iv
2
29 + 85-f— --- ---- 6 = 99m D 2g L V 9 = /— D 2g 1
2(9. 81}
d =0.154m d5 = 4.46*10~3 ffi \InterpolandoTab\Ví'i f = 0.027 K = 1.59 *0.027 d sl6.5m
V mag 9*0.6,19.62
=
JL V 0.02.t600 Problema La bomba BC transporta agua hasta el depósito F y en la figura se muestra la línea de alturas piezométricas. Determinar (a) la potencia suministrada al agua por la bomba BC, (b), la potencia extraída por la turbina DE y (c) la cota de la superficie libre mantenida en el depósito F_
0-VA = 2.97 x
4
= 0.840 m V /s
0.„.£^ = 952Cv
tL 114.0
La cota de la superficie libre mantenida en el depósito F. V-/Af. 0.020, £> 2g
0.6 19.62
Mve/ del tanque F = 99-.9 = 90m Problema A través de una tubería de 5 cm de diámetro circulan 68 kg/s de aire a la temperatura constante de 20°C. La tubería es usada y el material de fundición. En la sección A la presión absoluta es de 3.80 kg/cm 2. ¿Cuál será la presión absoluta 150m aguas abajo de A si la tubería es horizontal? Utilizar e = 0.0249 cm.
SISTEMAS COMPLEJOS DE TUBERÍAS
Generalmente los sistemas de conducción de un flujo, involucran situaciones más complicadas que la conducción en una tubería simple. Esto puede apreciarse en las conducciones que suministran agua a una población, las instalaciones de un complejo industrial o el suministro de agua a los cultivos bajo sistemas de aplicación agua localizada. Ésta capítulo se encuentra enfocado al conocimiento y análisis de diferentes formulas, expresiones y métodos que permitan determinar diferentes condiciones hidráulicas en instalaciones de diferente configuración geométrica. T UBERÍAS
EQUIVALENTES
Una tubería es equivalente a otra u otras, cuando se presenta una pérdida de energía similar, cuando circula a través de ellas el mismo caudal. T UBERÍAS
EN SERIE
Son aquellas tuberías que se conectan una a continuación de otra, sin que exista ningún ramal intermedio y en las cuales, la pérdida de energía se puede determinar como la suma de las pérdidas en cada uno de los tramos, cuando el caudal conducido es el mismo a lo largo de todo el sistema. T UBERÍAS
EN PARALELO
Existen situaciones que ameritan la conexión de distintas tuberías de manera paralela y son aquellas cuando el flujo se ramifica, volviendo a unirse de nuevo en un punto que se localiza hacia aguas abajo.
153
. El número de tuberías para D = 40 cm. = 9,12
En la resolución de :;itu¡u inm-i ....... la interiormente planteada se aplican tres importantes principie:, el prini .n >lu ■.pn- el raudal total en un punto inmediatamente antes de la separación (mido), debe sei i^uul al caudal en un punto inmediatamente posterior a la unión (nudo); el segundo indica que la pérdida de energía que se produce en los ramales colocados entre los nudos inicial y final dei sistema paralelo, debe ser ía misma y el tercero que el porcentaje del caudal total que circula por cada una de los ramales del sistema paralelo se mantendrá constante, independientemente de la pérdida de carga que exista entre el nudo inicial y final del sistema, T UBERÍAS
RAMIFICADAS
Estos sistemas se encuentran constituidos por diferentes tuberías que se separan o dividen en más de dos tuberías o que se reducen aúna sola y que no vuelven a juntarse de nuevo hacia aguas abajo. En esta caso la dirección del flujo esta determinada por la presión a que se encuentren ios distintos puntos en un sistema, el cual a su vez estará influenciado por la disposición topográfica del área en que se encuentren instaladas las tuberías. RED DE TUBERÍAS
En la práctica muchos de los sistemas de tuberías que se encuentran en la vida diaria, están constituidos por muchas tuberías conectadas de forma compleja, en la cual existen muchos puntos con caudales entrantes y salientes, en u complejo conjunto de tuberías instaladas en forma paralela. El análisis numérico de estos sistemas es extremadamente complejo, pero pueden obtenerse soluciones mediante métodos estandarizados para lo cual existen soluciones computacionales', como las propuestas por el método de Hardy-Cross. Problema En el ensayo de una tubería de fundición de 50 cm, el caudal en flujo permanente fue de 175 L/s y la línea de alturas piezométricas cayó 1.20 men un tramo de tubería de 600 m. ¿Cuál es el valor de C? 0,63 V = 0.8494 * C, R * S °JS R=d/4 S =h/2 C = _______ ___ i
R
0,63
x
g
0.54
y
x a 84 4
!L __ —
Problema Qué diámetro debe de tener una temperatura nueva de fundición para transportar, en régimen permanente, 550 L/s de agua a través de una longitud de 1800 m, y una pérdida de carga de 9 metros. C = para tubería de función nueva y lisa = 130 Tabla 6 Q = 550 L/s agua L 1800m _ h f h. 100 Longitud =1800m 5 = — = = -— n — Q = 100 = v S = 0.005 Q =— *550V no
100,
130 ‟
/s
=
Q IO O 423 L/s Con los valores de Q 100 y 5 en el diagrama B,ziL/ Ct=100 Diagrama B es igual a <52 cm Problema Se quiere transportar un caudal de 520 L/s a través de una tubería de fundición vieja (C,=l 00) con una pendiente de la línea de altura piezométricas de 1.0 m/1 OOOm. Teóricamente qué número de 40 cm serán necesarias. ¿ de 50 cm.?¿ de 60 cm.? ¿ de 90 cm? Considerando la expresión de Hazen - Williams. 520 y
02 , 600 | (V,(0.4)2/(0.3)2y3000 | (k, (0.4)^/(O^^OO' 2x9.81 ! 0.4 ^
0.3
0.2
520 y 2) . -------------------------------------------------------- El número de tuberías para D
= 50 cm. => ---------------------------------------------- = 5.05 103# 520 y 3) . -------------------------------------------------------- El número de tuberías para D = 60 cm, =5. --------------------------------------------- — = 3.06 170 y s s
Problema Qué pérdida de carga producirá en una tubería nueva de fundición de 40 cm un caudal que, en una tubería de fundición de 50 cm, también nueva, da lugar a una caída de la línea de alturas piezométricas de 1.0 m/1000 m? s=yL
s=i.o%00m
7
R=
y R = 50 c r y 4 = 12.5 cm.= 0.125 m
/4 4). El número de tuberías para D ™ 90 cm.
t i#
520 y
520 y
De la tabla 6 del Apéndice: C, = 130 Q--AV = iff(0,5 ) [o,8494 * 130(0,125) 063 (0.001)** ]= 0.14033 n^/ 2
Problema Comprobar que las relaciones del problema anterior cuando se transportan 520 L/s para una pendiente cualquiera de la línea de alturas piezométricas. D, = 40 cm. D2 = 50'cm. D3 = 60 cm. Da = 90 cm. Tomando diferentes líneas de alturas piezométricas (s) para cada diámetro. S¡ = 0.10 m/100 m. S2~5m/100m. S, = 40 m/100 m. Con los datos de (a) y (b) en el diagrama (B), expresión de Hazen - Williams con C| - 1000, y dividiendo el caudal 520 L/s en el caudal obtenido se determina el número de tuberías para cada diámetro. Dj = 40 cm. —> S, = 010 m/1000 m se obtiene Q s= 16,5 L/s
V
1
O 520 = Jí£_ = -------- ¿A. =¡31.52
Q* 16.5 ys
Dj = 50 cm. —» S2 = 5 m/1000 m, se obtiene Q 2 *= ! 240
la fónnula de Hazen - Williams: V = 0.8494 C, R
520 V n= ---------- ^7 = 0.24
2200
ys
=
140
.33
L/ Por
54
S°
J
40 cm, = 0.14033= ^(0-4) [o.8494 *130 (°-%V,w S0M ] Para la tubería de
s = 2.96X10
3.2523 Pérdida de carga = 2.96 m/1000 m.
1000
/I000 m
Problema La tubería compuesta (sistema de tuberías en serie) ABCD está constituida por 6000 m de tubería de 40 cm, 3000 m de 30 cm y 1500 m de 20 cm (C^lOO): a). Calcular el caudal cuando la pérdida de carga entre A y B es de 60 m, b). Qué diámetro ha de tener una tubería de 1500 m de longitud, colocada en paralelo con la existente de 20 cm. y con nudos en C y D, para que la nueva sección C~D sea equivalente a la sección ABC (utilizar C, =100), c). Si entre los puntos C y D se pone en paralelo con la tubería de 20 cm otra de 30 cm. y 2400 m de longitud. Cuál será la pérdida de carga tota! entre A y D para Q=80 L/s?
240 L/s 520 y Ys
D. = 60 cm. 53 = 40 m/1000 m, se obtiene Q 4 = 2200 L/s
063
29 i, d i d j
V
- 60
2
Suponer un f= 0.02
Vj- 0,594 nVs V2- 1.056 m/s V3 = 2.376 m/s S-5.4%0m=9xl0„
HA-13 = f, 0 = 34 44 F,= 0.451 m/s ;r(0.4)2
En ese caudal de Q = 100 L/s. Se calculó la pérdida al tramo equivalente. S= 3.5 ni/ lOOOm PE = 3.5 m/1000 m x 4900 m= 17.15 m Se igualan y se despeja L 6.87+7.9 L= 17.15 L ~ 130m
1
Q = 0.451 x:
0.
057'”^/= 57 L/s
. Conociendo el caudal y ¡as pérdidas y con el diagrama B; (nomograma de caudales; formula de Hazen - Williams,( c^lOOjpara hallar el diámetro d= 16.5 cm c) . Por el mismo diagrama se hallan las pérdidas —> h. - 0.428 m. b)
Problema Un sistema de tuberías en serie ABCD está formado por una tubería de 50 cm y 3000 m de longitud, una de 40 cm y 2400 m y otra de 30 cm y L m (Cj = 120). Qué longitud L, hará que el sistema ABCD sea equivalente a una tubería de 37,5 c. de diámetro, 4900 m de longitud y C, = 100? si la longitud de la tubería de 30 cm que va de C a D fuera de 900 m qué caudal circulará para una pérdida de carga entre A y D de 40 m? a)Tramo AB, con diámetro de 50 cm y longitud de 3500 tn; C ; = 120 Tramo BC con diámetro de 40 cm y longitud de 2400 m Tramo CD con diámetro de 30 cm y longitud L m Inicialmente se supone un caudal de 150 L C( = 120, entonces se convierte a C=10C Q = (100/120)100 = 83.3 L. Con este caudal y el diámetro se lee la pendiente (S) convergente a cada tramo Sso=0.69 m/lOOOm S4I1=2.0m/1000m S30=7.9 m/1000 Se calculan las pérdidas P50 = 0.69 m/lOOOm * 3000 m - 2.07 m P40 = 2.0 m/lOOOm * 2400m 4.80 m PM = 7.9 m/1000 * Lm-7.9 m Pérdida total = (6.87 + 7.') L)m
b) . Este numeral se realiza por sucesivas interacciones suponiendo un caudal hasta determinar el correcto para las condiciones dadas. P50 = (1.9 m/1000 m )* 3000 m = 5.70 m = (5.7 m/1000 m )* 2400m = 13.68 m P30 = (23 m/1000 in) * 900m = 20.78 m P,= 40.08 m El caudal es Q1M 180 L/s.
Problema Hallar la longitud equivalente a una tubería de 20 cm equivalente a! sistema de tuberías es constituido por una tubería de 25 cm y 900 m de longitud, una de 20 cm y 450 m, y otra de 15 cm y 150 m de longitud (para todas las tuberías C =120) Qi‟o = 60 L. ->QIM=50L. P2J = 7m/1000mx900m= í6.3m P2* = 22.5 m/1000 mx 450 m= 10.125 P IS = 90m/1000mx 150 m = 13.50 ?= 29.925 m Con el mismo Q|M> y el diámetrode la tubería equivalente se determina el St, que es igual. SE = 22.66 m/1000 m. PE=SExLE LB.ll,:= -- 2 9 ' 92 5m „132(),6m S„ 22'66%00m Problema Los depósitos A y D están conectados por el siguiente sistema de tuberías en serie: la tubería (A-B) de 50 cm y 2400 m de longitud, la (B-C) de 40 cm y 1800 m y la (C-D) de diámetro desconocido y 600 tn de longitud. La diferencia de elevación entre las superficies libres de los depósitos es de 25 m (a). Determinar el diámetro de la tubería
CDpara que el caudal que circula entre Ay D sea de 180 l/s si C t = 120 para todas las tuberías, b). Qué caudal circulará entre A y D si la tubería CD es de 35 cm de diámetro y si, además, conectada entre B y D existe otra tubería en paralelo con BCD de C, =100 2700 m de longitud y 30 cm de diámetro? a) S-—-—-— 120^1 3 CD_ ' L ~ 600 ~ 100 --- xl Q.“ xQ =>QC 80; El caudal corregido 100 ) \) Aplicando la Ecuación de Hazen Williams Q = 0.27855 C, D2
>Q = 216L/s=>Q = 0.216r
S7s= 1.06 m/1000 m; pérdida de carga = 1.06x3 = 3.18m S., = 3 m/1 OOOm; pérdida de carga = 3 x 2,4 = 60
10.38
Por cada una de las tuberías de C-D, circulan 1 S40 = 6 m/1000 m; pérdida de carga = 6 x 1.8 = 10.8 m Pérdidas totales 3 10.38 m+10.8 = 21.18 m b) . Si se cierra una de las tuberías de 40 cm. de cf>
S75 = 1.06 m/1000 m; pérdida de carga =1.06x3=3.18 m Sw = 3m/100Ü; . pérdida de carga =■ 3 x 2.4 = 7.2 m. S40 = 22.5 m/1000 m; pérdida de carga = 22.5 x 1.8 = 40.5 m Pérdidas totales = 50.88 m Variación = 29.7 m
r«_r
1.1000 )
, '4.6:
0.216
O -O = í — [360 = 300¿/.s ’ V,20 ^100 1^120 J a)
> D = 0.302m = 30 cm
í— b). Para un C, = 100 su 1 caudal corregido sería: 0.27855 x 100 x
Problema En la siguiente figura, para una altura de presión en D igual a 30 m (a). Calcular la potencia comunicada a la tubería D.E. (b). Si se instala la tubería dibujada a trazos en la figura (60 cm y 900 m de longitud), ¿Qué potencia podrá comunicarse a la turbina si el caudal es de 540 L/s? (C =120)
Q calculado = por Hazen - Williams liooo
j W Q = í—1x216 =QC =259.2 “ UooJ
/s
Problema Un sistema de tuberías (C =120) está constituido por una tubería de 75 cm y 3000 m (AB), otra de 60 cm y 2400 m (BC) y de C a D 2 tuberías en paralelo de 40 cm y 1800 m de longitud cada una: a). Para un caudal entre A y D de 360 L/s. ¿Cuál es la pérdida de carga? b). Si se cierra la llave en una de las tuberías de 40 cm, qué variación se producirá en la pérdida de carga para el mismo caudal anterior? C1 = 120;Q = 360 L/s Tramo AB, con diámetro de 75 cm y longitud de 3000 m. Tramo BC, con diámetro de 60 cm y longitud de 2400 m Tramo CD con diámetro menor de 40 cm y longitud de 1800 m.
C = 120 Energía disponible entre el punto A y el D = 40 - pérdidas = 30 -> pérdidas = 10 m Suponiendo un Q = 90 L/s -> Q|00 = ^Ytq‟)90 = 75 /'s
Con el diagrama “B”: S„ = 0.23 m/lOOOm -> 11. O ti , ^‟ I II 207 m => 28.63% I I (I 71 í 1000 SJ0= 0.58 m/1000 m -> H, ™
„
0
S;o = 0.08 m/1000 m H
L
0 348
=*
- 20 cm D
CU. IS03 m — 15 o® O
4!i l3%
^ J300 m _
c\ =
Pero como las pérdidas son 10 111 P=
Pendiente real y ^
(CY)
= 305
■Q= =>Q = 0.0862 m V 1000*87 /f
m,
7.5
Q = 86.21^
HLjc = 4.813m S50 = 4.813 (~) => S 50 = 8.02 o = 305 ¡0
flOOO'l c , ,, Hl„ = 2.324m S„ = 2.324 ;J =* S75 = 1.11 (?„ = 305 ¿/
12 0 —' }
Hn = 90 m - 3m = 87 m
Con el diagrama B se tiene “D”
Hlí0= 2.863m Sw = 2,863 (~) => S„ = 3.18
1 rm />
í.
(2100 A 0.168 23.24% 0 . 0 8 ^ ]000 J~ q 723 ^ i0o %
fe*),* = 86.21 L/ => (Q2;)100 = ^ * S6.21 ,/
7L 84
(Qu),00 = Y
a) Q100= 305 L/s 305
'120 = > &’-°= 3 6 6
De la tabla B, se obtiene una pérdida en función del caudal y del diámetro: S = 13.2 m/1000 m
Ys
100 m
m c ,. I00°(m«»0 - ■, 141.52
01a» 75
a
, , 142C.V
75
hf — => h L S=
13.2
1000
*1200
hf = 15.84?»
b) Q120 = 540 L/s.
Debido a que la pérdida en el tramo B-C es igual a la pérdida en el paralelo al mismo plano, entonces la pérdida total va a ser igual a la anterior, lo que varia es el caudal. 1000(0.540»» —1) 75
Son las pérdidas producidas en el tramo BC Se suponen unas pérdidas para las tuberías en paralelo de 20 15 m. 1500 ■ S„ =1000 13.3 Del diagrama B (Q¡¡ ) m = 18.0 L/
Problema Cuando las alturas de presión en A y B son de 3.0 m y 90.0 m respectivamente, la bomba AB está comunicando al sistema una potencia de 100 CV. Qué elevación puede mantenerse en el depósito D?
^20 = Tsoo^ S20 = íoóo^ ^100 = 34 Ys Como la tubería en paralelo el Q r = Q, + Q 2 QT= 18.0+34.0-52.0 L/s. S, ->100% =>18->34.62%y34->65.38%
If.2
Como el caudal verdadero es de 71.84 L/s. Luego:
P
71.84%-»100%=> -s-24.87 (34.62%)
1000 Tramo A-
46.97 71.841/ /seg
A
=P
D =10m
P A -P B . St L T D L = 3600m
(65.38%)
^50cm.
(S15 )[00 = 24.87 L/ g ¿ai pérdidas reales son de S = -24'%)00
——- = —^ = 5^ = 2.78 -> = 50 cm -»Q. = 180 V= 27.07% 1 3600 1000 /í
24.9 x1500 lüeeo :h f = -----------------f 1000 h j, = 37.35in Como la tubería es en paralelo las pérdidas son iguales
Tramo A-B L = 1500m ^45cm =s ab = 556 -> 0 = 50 cm -» Q2 = 260 V= 39.1% 1800 1000 2 /■*
Q T = 180 + 22.5 Y s + 260 L/ = 665 Q T =
Líneapiezométrica Elevación del punto D (Nivel del tanque) 36.81m +■ 10.33 (presión Atmosférica) = 47.14m.
Caudal total supuesto
Problema En el sistema de tuberías mostrado en la siguiente figura es necesario transportar 600 l/s hasta D, con una presión en este punto de 2.80 kg/cm 2. Determinar la presión en A en Kg/tm2. C( = 120
Ipan todas lai tuberías)
Conociendo los porcentajes de cada caudal y siendo estos constante para todo DP se tiene: Para QT = 600 L/s Q, = 600 x 0.2707 = 162.42 L./s Q, = 600 x 0.3383 = 202.98 L/s Q3 = 600x0.3910 = 234.60 L/s QF = 162.42 L/s + 202.98 L/s + 234.60 L/s = 600 L/s
Pérdidas reales Tramo A-D Q, = 162.42 L/s Tramo A-C
qt = q, + q 2 + q 3 Se supone una pérdida de carga entre A y D, para calcular los caudales en cada tramo de tubería.
<¡> 50cnwHr =— -m-x 3600 m = 7.92 m ' lOOOm 045 cm. Hf x 1500 mf!= 7.95 m lOOOm
Q2 = 202.98 L/s Tramo
A-B-C-
Q3 = 234.60 L/s Q, = 234.60 L/s
<£50cm.->-Hr _ _líELx 1800r m = 8.10 ‟ lOOOm <£40cm.-»Hf _ x l 5 0 0 m = 1 9 f . 5 0 m . * lOOOm
Tramo C-D Q4 = Qj + Qj 2Q2.9X 1234.60 437.58 L/s 6.5m
Q4= 437.58 L/s tf>60cm.
lOO Om
xl800 m = 11.70 m.
H T - h f x + h, f i + h f ¡ + h f t + h f ¡ H T = 7 .92 + 7.95 m + 8 . lm + 19 .5 m + 11 .70 m
V 2
r Pn
PV +=Z
D
g
Z A — + hj Y 55 .17 m
r ^ = 28 m - 55 .17 - lm
k
™=fe)Q ,2°=O250 ^=2o8-3 l/s
Pérdidas de carga entre la tubería
Y
P, = 3.417
Q
QA= 250 L/s = 571 mgd QB = 208.3 L/s = 4.76 mgd
+ ^- + -2-- hAA - D) 2 g
h / (A-D)-Z Í
= 34170 kg/m 2 r
Balance Energía Vr P VP Z A+^f~+ — = Z D +^-+^-+h T 2g Y 2g Y
H
~*Q A = 5.1\mgd 016"—> — *3000 = 37.5 m. H T = H f( A -B) + ti f[B-C) H T = 9.6»¡ + 37.5m = 47.1 m
1m
(l 000 cm
/(A-B) ->Sí = 4.76mgd cj>24" -> * 8000 = 9.6 m. H/( B - C )
)2
Como:
S, cm
Problema En la siguiente figura la presión en D es de 2.10 kg/cm 2, cuando el caudal suministrado desde el depósito A es de 250 l/s. Las válvulas B y C están cerradas. Determinar (a) la elevación de la superficie libre del depósito A. (b). B caudal y la presión dados en (a) no se cambian, pero la válvula C está totalmente abierta y la B solo parcialmente abierta. Si la nueva elevación del depósito A es de 64 m cuál es la pérdida de carga a través de la válvula B?
100.0
Z A = P °/ m H r =21m +47.1 = 68.1/71 . Se supone una pérdida de presión (P D-PB) para calcular las pérdidas de carga del tubo. b)
-
= 4303 .33 Lb/ , , cm / p lg „
* D -P A _ Sr
Utilizando
Determinar el caudal que circula a través de cada una de las tuberías del sistema mostrado en la siguiente figura.
para cada trama
L r 1000 L = 8000 3
Trama A -B
24"
4303. => ST(A.B) - 548 .95 -> 19.38% 3 8000 100 Trama B 0-D L = 3000 3 16" 4303. Sr ST(B.C) 1411 .75 -> 49.84% 3 3000 100 Trama B 0-c L = 5000 3 244303. Sr — .. o -mi in_i 3 ^T(B.C) 5000 100 0 HT - Ht // (j-D) u~c) = 548 .95 + 1411 .75 + 871 .3 = 28 .32.57 /i ->■ 100 %
B-
21.0 m
total — 31.0 2\.0m - 9m\h f (1 - 4)J entre los tramos 2 - 3 del sistema en paralelo hr (2 — 3) = h f (B - C) = h { {BWC) A su vez h f (BWC) = h f (.BW),h f (W - C) [por ser BW y W - C tuberías en serie |
Haciendo el balance de energía en los puntos A y 0: PV Pv Z.+ — + — + 6r = Z , => — + — ' y 2g y 2g2
1
hT = P ± + Z A = 4303.27pies - 209.97pías r hT = 4093.3./>¿es Este h,. es la pérdida real del sistema (100%) Tramo A-B
QBWC =Qbw - Qwc [p° r ser tuberías en serie]
4093.3/ne.s * 19.38 _ „ . - 793.28pies
1) 2) 3) 4)
. . . .
QM=QM«QM Q 2-3 = Q B-C + Q BWC h f (1 - 4) = 9m hf(l-4) = h f(l-2) + hr (2-3) + ht(3-4)
Suponiendo Q = 500 L/s. hr (1 - 2) = 21.6m L - 1200m del diagrama B D = 50cm C, =100
S = 18m/ _ 21,6/ /lOOOm “ /1200m
4093.3 pies *49.84 , . Tramo BD ---------------------- — ---------- = 2032.1/was h f { 3-4) = 6.51 m 4093.3pies*30.76 . Tramo B-C -------------------- —^ -------------- = 1259.1 pies
L = 900¡ti del diagrama B
La pérdida de la carga tras la válvula B es: HB =Tramo AB + Tramo BC - Tramo BD H = -2032 + 793.28 + 1259.7 pies = + 20.88 pies = 6.36m
C, =100
D = 60em
M2-3) = ?
S = 7.3m/ _ 6.57/ /lOOOm /900m
= 2400 JU
S = ^ = 1.65%00m “ /IQOOm
Convirtiendo la tubería irqim ¡llalli .... ...... . (l.u LIILK I I, I WC) V dejando BWC en tubería de 40 cm. D y (', 120 Suponiendo Q = 300 L/s. Para los tramos BW y W ( r l 111 .i ■ ,111111 lí, la longitud de las tuberías es de 1800m _ 40.5»! - 162m D = 40 cm: D IoOO/h " 30Cm; S = T000m~ 1 ft) ----- - 4.0 => 4 tuberías de 40 cm de diámetro = 1 tubería de 30 cm de diámetro 40.5 Suponiendo h f (2-3) = 2m , / 0 83 m u / x 0.83m L Para BC L = 2400m s-y ——- Para BC L = 2400m S = T¿777— 1000 m L ' lOOOm
D = 50 cm C=1000 Del diagrama B Q = 93.0 L/s Q, = 145.9 L/s
D = 40 cm C=120 Q10() = 26 L/s Q1J0 = 31.2 L/s
= fi3 74í/ Porcentaje Q K = - " Porcentaje Q* c ”= 36-26% Con los porcentajes de Q (supuesto) se busca el valor de la pérdida de energía hr (2-3). QBC=500 (0.6374) = 318.7 L/s D=50 cm, C =100 ; L=2400 -» h f(l2)=21.6m
QBW =500 (0.3626) = 181.3 L/s S = ^000 = ^ Los productos calculados con Q = 500 L/s son: h f {\ - 2) = 21.6m 43.4% /¡;.(2-3) = 21.6m 43.4% A f (3 - 4) = 6.6m
13.2%
h f (1 - 4) = 49.8m 100% hf (1 - 4) = 9m hf (1-2)= 0.434 x 9 = 3.95m h f {2 -3)= 0.434 x 9 = 3.95m ^(3-4) = 0.132 x9 = i.l0m
Para el tramo A-B L hf (y - W) D =- 1800rn 50 cm del diagrama B = 4.32 m L =1200 m S = ^=3.29% = La1=altura La 00m C 100 en Y = 27+6 QB=-33 C m 140£/ j £> = 50 cm del=diagrama enm W = 33 -4.32 28.7tn B haltura =3.95 C,=100 Qb-c = 190¿/.v Para el tramo BWC (Q B h - 3,95 m Para 1 tramo= B-C ) (0.3626) 51 L/s C Problema La bomba XY, a una elevación de 6,0 m hace circular 120 L/s a través de una tubería nueva de fundición YW de 40 cm y 1800 m de longitud. La presión de descarga en y es de 2.70 kg/crn 2, En el extremo W de la tubería de 40 cm están conectadas dos tuberías, una de 30 cm y 750 m de longitud (C,=100), que termina en el depósito A, a una elevación de B y el caudal que llega o sale de cada uno de los depósitos. P. = 2.70**/ j *— = 27m cm 1000 2
y
/
a) . Para y -W
Q = 120 L/s D - 40 cm C =130
Q100 =92.31 L/s del Diagrama B. S - 2.4m/
y2g
f(A - W) = 30«i -28.7 = O'^jqxIOOO = 1.7 S 30 =
h7
% 00 m
Por diferencia de alturas se tiene H de AD ==12,6 m
con S3D = ' ^'YoOOm ^ 30cm del Diagrama B Q = 35 L/s
entonces: S = — => S = — — = 1.4 x 10'2 L
era =Q>w+Qw, =120 + 35 = 155 US
diámetro = 60 cm. Buscando en el Nomograma. Q AD = 700 L/s.
900
ahora procediendo para el caudal DB .QIJO=155 L/s
b)
a» = (1%o)55=199L/s D = 25 cm
QDB - QAD ■ Q ED . QDC
del Diagrama B o _ 36mt/ AOOOm
Í25 _
h f (W-B) = 2l.6m La altura de B es 28.7 - 21.6 = 7.10 m.
Problema En la figura cuando Q ED= QDC= 280 L/s, determinar la presión manométrica en E, en kg/cm2, y la elevación del depósito B.
QDB = 700 L/s - 280 L/s - 280 L/s QDB = 140 L/s Con el caudal DB y el diámetro = 50 cm. Se halla S por el Nomograma S — —— 1000 H = SxL =>H =-i^-x 300 = 0.51 m 1000 que es la distancia vertical tomada a partir del punto D la cota del punto B = 53.4 + 0.51 =53.91 m tomando como referencia el punto B y haciendo balance de energía entre el punto E y el punto B. se tiene:
P +V
2
P V
— Ík + z + h B = —+~ L + 2
Se hallan las velocidades en los tramos DE y DB por medio de la expresión de Hazen- Williams. V
Se halla la altura del punto D: H = S x L. QEO = 2S0 L/s y el diámetro = 40 cm. Buscando en el nomograma: S
1000 h = SxL = -^-*1200 = 23.4m 1000
Se obtiene que la cota de D = 53.4m Se halla el caudal en el tramo AD
= 0.8494 C|R0S'3 S°' H donde R = radio hidráulico = ~
Para el tramo Vrr ,
CU
0,4 V'6Y 23,4
" 2.38 m/s Para el tramo VDB V
=0.8494(120)^1 Í^Mll =7.02m/j
300 Teniendo las velocidades se procede a reemplazar en el balance de energía:
2(9.8)
2(9.8) y P £ = 4.95 kg/cm Problema 2
áEn + w.2.<.9, * el sistema mostrado en la figura,K)a• través dejkla+tubería de 90 cm circulan y02 2(9.8) 17-1 +23.4 23.91 ('!',K) la =>potencia ^ = 49.54m 900 l/s. Determinar en CV de la bomba XA (rendimiento iguai a 78.5%) que da lugar a los caudales y elevaciones mostrados en la figura si la altura de presión en X es nula. (Dibujar las líneas de alturas piezométricas).
s
= %oo=l-8/100 °
De tablas Qiw ~ 280 L/s Q u o = (120/100)*280 = 336 L/s Para el tramo BC se tiene D = 50 cm
L= 1800 m
ir _ o £7 c _8.67/ -4.8/ ±1 bc-°-d/ so /1800 - /1000 De tablas Q l m = 283 L/s Q = (120/100)*283 = 285¿/s l20
Los caudales que llegan a C son iguales a los que salen:
El «,0 m B
m
Q AC
+
Qse = Q CD + Q CE Q AC + Q CD
+
Q CE + Q BC
Q A C =336 + 900-285 = 951^/ H A C = 33.3-6 = 27.3//!
El. Ki.O m
P = £M± x C
P, = Para el tramo CE se tiene: D = 90 cm. L = 1500 m
020
=9001/5 Q =(100/120) *900 = 750 L/s ¡00
2.2 CE
*78.5%
75 P„ = 271.7 CV Problema Qué caudal debe suministrar la bomba cuando el caudal a través de la tubería de 90 cm es de 1200 L/s y cuál es la altura de presión en A?
De tablas: „ 90 ~ióoo H C E =S*L= * 1500 = 3.3m Hlc =3.3 + 30 = 33.3 ni
75 1000 x 0.951 a: 27.3
1000 HLc = HCe + H L . B
Para el tramo CD se tiene D 60 na y I. 2100 m
S.» = 2n ) / \000m’
cotl
^a ta^!a B>
pero para
^”100, Para C,=130.
Para el tramo BE, Q = 120 L/s, coa na 0^120, para un C^lOO, se tiene: Q = 110.5 Z./j = se ^= £Únde la agua tabla la B, bomba SM = 3.5 m/1000 una Como se ve el tramo BE, loí llena y el tanquem,Dloy que a suda vez la bomba suministra al tanque C r Haciendo 2400 /un balance: pérdida de energía entre B y E de: 3.5, jqqq — /2400m entonces Ia elevación de Q i a =1200 + 110.5 - 325 = 985.5 j/ la línea piezométrica en B - 8.4 m.+ 6 m = 14.4m. Para hallar deque presión en por la tabla B con caudal y que: con el diámetro de Ahora hallarlaelaltura caudal circula el tramo DB,el sabiendo la tubería 4 14 _ / n = 5.3 5y^S=60(2 g00 00m üüom ; = 18/^%, , la }( pérdida
W cu»
Problema La altura de presión en A, sección de descarga de la bomba A8, es 36.0 m debido a la acción de dicha bomba, de una potencia de 140 CV. La pérdida de carga en la válvula Z es de 3.0. Determinar todos los caudales y la elevación del depósito T. Dibujar las líneas de alturas piezométricas.
D
C, 120 Ucdfti Us fóbcrii s) £1.
1 0 f 2400 _ 43 2 m / con la tabla B..esQla[^1000 250^ de carga total ~ ' /2400 m
(130*250) paraC=100-* Esto corresponde a la diferencia de jry nivel entre la altura piezométrica de la C=130: ----------------------------------- 100-^-325% bomba y la altyra piezométrica en el punto B. H = 43.2m +14.4 =57.6 m. Así mismo se halla el caudal que circula por el tramo BC: ^}\20Q A
EL 39,0 ni
El. 30,0 m
11.4 m
Con la parte izquierda del gráfico se tiene la mayor información: Se halla la caída de la pendiente de las alturas piezométricas. S^, = con la tabla B:
39 - 3
%)00 = 3l/'l000m ‟
Q = 300#, pero para C=100, paraC=130, £? = 360Z/j Para hallar QsB B, así: < m 7g ¿L > AH = 29.2 m. Áfí = B,-fí s -fí g =/í 4 AH,H B =39-29.2 = 9.8m ^rr
\000 k s/i *036 m V *.AH r=~¿ 40 CV =
Para hallar el caudal de succión de la bomba se debe tener en cuenta la siguiente consideración El diámetro de la tubería de succión de la bomba es el mismo diámetro de la tubería de descarga y como el caudal es función del diámetro, entonces el caudal de succión es el mismo caudal de descarga, solo que con una energía mayor Q s s =360 Lis Con este dato y el diámetro se obtiene de la tabla B SM = 3tn/l OOOm, convirtiendo el valor de Q de Cj=130 a C (=100; la pérdida de carga es: í1200 ) 1 11000 ~ J> entonces la elevación déla línea piezométrica enS=9.8+3.6= 13.4m. Ahora, la pérdida de carga entre R y S es: 5-03.4-11.4)/ 3 ^m/ 29 /600 flOOOrn.
Con la tabla B g = 54¿/,í pito piitu i ! 100. para C, “120, QRS= 64.8 L/s Entre los puntos T y S ¡uU-nuis de la pérdida de carga normal hay otra de 3m por efecto de la válvula X Hay qui- anotar lo siguiente, con las alturaspiezométricas obtenidas se puede deducir que el tanque T abastece de agua tanto a la bomba como al depósito R, por ello haciendo un balance en S, el caudal que sale por el tramo TS es Q Ts = 360+64.8 = 424.8 L/s. El dato de caudal obtenido es con ^=120, se pasa a C,=100. Q TS= 354¿/ j > c°n este dato y el diámetro se lee en la tabla B y S 60=4.5m/lOOOm, y la caída es: 4 5 f rf-Ül i + 30 = 13 S m entonces la altura a la que se encuentra el tanque T es
Uoooj
Ht= 13.4 m + 27.2 m.
e.c.-ioo-^p.
2 4 ^ / j ~ ^'3^1 qOÜ;/( H
L
- 7.95ín
a) . Entonces la elevación de B es 26.05 m porque, 34 - 7.95 = 26.05 m.
Después se puede comprobar que la pérdida de altura H. entre A y C, es de 2m porque 36 m - 34 m = 2 tn. S - 2m/ =i i m/ AC75cm /iSOOm /1000m Con SAC 75 cm se calcula el caudal que pasa por la tubería de 75 cm de diámetro. 2^C75cm.
=
Entonces el caudal que pasa por la tubería de 60 cm es:
Problema El caudal total que sale de A, es de 380 L/s. Y el caudal que llega a B es de 295 U s. Determinar: a), la elevación de B y b). la longitud de la tubería de 60 cm.
Qac
SO ™.
= 380- 300 = 80 L/; también se conoce que H L =20m.
HL “ S x L con el diámetro y el Q. Hallo S 0.26 m/lOOOm HL 2m.x\000m „„„A L = —— = ——— --- = 7700 m. S b)
0.26 m
.La longitud de la tubería de 60 cm. es de 7700 m.
Problema ¿Cuáles son los caudales que llegan o parten de cada uno de los depósitos de la figura? El caudal que pasa por C es igual al caudal total que sale de A. Por ello: Q D =Q C - Q ,
fioC,
= 100 = 85 x [Mj = 106.3 L/s - 5 = 6%00m - ML = 27m
Con este cálculo la altura piezométrica del punto C es de 34 metros. Ahora: La solución se puede hallar suponiendo una altura piezométrica en E de 84 m así:
=142
«=b-%wh°w=5»m/mom y Q
s
= [MXsoo)]*
54
1000
=
100
-
%00M Q
K
= 60
%
( = /mom y 2 70
mo=5 6m
s,4^ y6oool
y
Si la altura de presión en f es de 45.Om, determinar los caudales que circulan a través del sistema
%
Con estos resultados el caudal que llega a E es 142 L/s y el caudal que parte de E es 130 L/s. ' También de los valores anteriores se puede inferir que la altura del punto E debe ser mayor, d modo que disminuye el caudal que sale de A, para que el caudal sea similar al caudal que sale desde el punto E. Suponiendo ahora una elevación de 84.5 m.
*«.=b - %0o )J*
S t s = (84-5 “
69
)( 5
= 10.3
i o o °= 4 5 8
q=
735
ys
Q = 60 Y
S30 = ( S 4 - 5 ~ 5 0 - % = 5 . 7 52ü = (84.5 - 84}/0.6 = 0.8
Q = 70/{ Q = 8 L/s
Con estos nuevos resultados el caudal que llega a E es 135 L/s y el que parte de E es 138 L/s. Graficando los valores obtenidos anteriormente contra el caudal que llega menos caudal que sale, se determina el caudal más aproximado correspondiente a cero. Como los valores no varían linealmente se puede tomar un caudal mayor para el caso S
2«=140^
«=48%00m
Hl - 5 je 1200/^00 = 5.8tj¡; La altura piozometri ca en (Q hacia - Q desde) E es 84,20 m Si S20 = (0.20^1000 = 0.3% 00m j Q = 4.5 %
s
- = (33-%oo>'°00 =5-6
m
Amm y^ = 65Ys S25 =
(15'X50o)*1000 = 10,1/íooo myQ = 7S//s Los caudales se encuentran corregidos por cada C t
Se supone que el caudal Q Ar; sea de 104 L/s. Con este caudal y el diámetro de la tubería (40 cm.) del diagrama B se obtiene que S = 2.9 m/1 OOOm. Por consiguiente la pérdida de carga en esta tubería H yA D, = 12 m. Luego, la elevación de la linea de alturas piezométricas en D = 72 -12 » 60m. Con esta información se infiere que la línea de alturas piezométricas cae 3.5 mde B a D y 15 m. de F y D. (La altura de presión en F = 45m). De aquí Sn
> = ^0002 =9 Z 7l000m’ = 98/{
S so
5
= 3
'X2OO
=
' %00m ;
4
Q bd = 8 V
En el diagrama para determinar la dirección de los flujos se observa que el caudal QAD es igua a la sumatoria de los restantes 3 caudales, entonces Q DC = 250 L/s. Problema Si en el sistema de tuberías en paralelo Q = 200 L/s, ¿qué caudal circula por cada rama y cuál es la pérdida de carga? Utilizar el método de Hardy Cross. C, = 100 para todas las tuberías Se supone que las tuberías están en un plano horizontal. Para aplicar el método de Hardy Cross se sigue el siguiente procedimiento: 1. Se supone una serie de caudales iniciales, procediendo circuito por circuito. En este caso los lazos o circuitos son el 1 y el H. Hay que cuidar que el caudal que llega a cada nudo sea igual en valor a la suma de los caudales salientes del mismo.
2. Para cada lazo se calcula la pérdida de carga encada una de las tuberías
mediante el diagrama B en este caso. 3. Se suman las pérdidas de carga en cada circuito en el sentido de las agujas de un reloj, teniendo en cuenta la colocación correcta de los signos (si la suma de las pérdidas fiiera nula, los caudales Q, supuestos serian los correctos). 4. Se suman los valores de H L/Q, calculando a continuación el término de
En este último cálculo los valores de D para todas las tuberías son inferiores a 3.0 L/ s. Por lo tanto los caudales (Q 2) correspondientes son los correctos. =84.4^/
Qa, =51.9 L/s
Q,5=63.7L/s
La pérdida de carga del sistema (desde A hasta E) por cualquiera de las rutas que une A con E. (sumando las pérdidas en la dirección del flujo). Utilizando los caminos: ABE -> H... =29.16 m L(A-E)
corrección de los caudales en cada lazo A = LHL/1.85E(HL/Q,) . 5. Se corrige e! caudal en cada una de las tuberías en A, con lo que se aumenta o disminuye la cantidad de caudal. Q I supuesto' en esta medida. Para los casos en que una tubería pertenece a dos circuitos, debe aplicarse como corrección al caudal supuesto en esta tubería la diferencia entre los dos A. 6. Se continúa de forma análoga hasta que los valores de A sean despreciab les (los valores de A pueden llegar hasta 3.0 L/seg. Ya que en el diagrama B no puede conseguirse mayor precisión. Teóricamente la £H l debería ser igual a Laz cero, Tramo L(m) QiL/s S raramente). HL(m) Hi/Qi A Q* pero Dlcm un resultado así, obtiene o
I
II
I
11
l
Supuesto nVlOOO m
ABE
30
3600
85
8
28.80
0.3388
0.7
85.7
ACE
20
1200
-55
-25
-30.00
0.5455
C.7-(-34) = 41
50.9
S-1.20
0.8843
ACE
20
1200
55
25
30.00
0.5455
-3.4 -0.7- -4.1
50.9
ADE
25
2400
-60
-10 .
-24.00
0.4000
-3.4
-63.4
1=6.00
0.9455
ABE
30
3600
85.7
8.1
29.16
0.3403
-1.3
84.4
ACE
20
1200
-50.9
-22.5
-27.00
0.5305
-l.3-(-0.3)=-l .0
-51.9
X=2.16
0.8708
ACE
20
1200
50.0
22.5
27.00
0.5305
-0.3-(-1.3)=1.0
51.9
ADE
25
2400
-63.4
-11.0
-26.40
0.4164
-0.3
-63.7
1=0.60
0.9469
ACE -> H, = 27.0 m ADE
H =26.4m
L(A-E)
Promediando estos valores el valor aproximado de la pérdida de carga es H UA E) = 27.5 m Problema En el sistema de tuberías mostrado es necesario transportar 600 L/s hasta D, con una presión en este punto de 2.8 kg/cm 2. Determinar la presión en A. 0. 1500 m - 45 cm D 1. 1800m-60cm. D 2. 3600 m - 50 cm. D 3. 1800m-50cm. D 4. 1500 m - 40 cm. D C, = 120 para todas las tuberías Se convierten todos los sistemas en sus equivalentes. Para el tramo ABC se supone Q = 150 L/s LT = LAB+ LBC= 1800+ 1500 = 3300m ~ Con caudal (Q) supuesto constante y para cada diámetro del diagrama B. Tram o AB Bbc H 5= — L
Caud L (m) 1800 1500 D (cm) al 50 40 -150 -150 -8.97 = 2 72 m / L IL ' /lOOOm 3300
S(m)/1000m -1,4 -4.3
con el diagrama B se halla el diámetro (D = 44 cm) L = [l 500-' +3300-,J'1 => L = 1031,25cm
H,(m) -2,52 -6.45 -8.97
Suponiendo H = 8m 5 33
Tramo (1)
=
^ = fcoO = - "XoOoK" Qi 234 L/s Q = 379.20 L/s S
X =12.96 + 21 =33.96 x 1000—x3 ------- m . , =3.40^/ , m lOOOOcra
= !>3300 =2‟42”X'oQo!44cm Q ~ 145.2 L/s
__ 1Q31.2?IH - 51 cm, __
t
D
b ^
Suponiendo un caudal Q = 150 L/s en el total de longitud de la tubería.
CD
Caudal 150 150
2
lS00m-60cm. ,
C
Tramo
/ cm
Problema Se están estudiando tres sistemas de tuberías A, B y C. cuál es el sistema de mayor capacidad? Utilizar C^lOO para todas las tuberías del dibujo.
t=%)3 1,25 = 773/Í000;« =*■ Diagrama B D = 51cm. Q =379.20 L/s S
A
0 L Q S HL 50 3600 231.42 3.6 12.96
Sm/lOOOm HL(m) 1.31 1.35 0.54 0.97 2.32
D(cm)
L(m) AC 51 1031.25 60 1800.00 2831.25
D = 55 cm
—— — o 82 5nvfnrin Diagrama B 2831.25 /lOOOm
jW
1
12CO a — 25 ere .D
W
a - «cía J> wí-i - « era D
(C) •
(B) + SCO m — 45 cm 600 m - 35 cm D
IgCO ri - 30 c
El sistema que presente menor pérdida de carga, será el de mayor capacidad. Para el sistema A, Se supone un caudal Q = 100 L/s. C = 199; D =0.4m = 40 cm. Con el caudal supuesto y el diámetro de la tubería, se usa el Diagrama “B”: S = 2.75 m/1000 m de aquí H, = 2.75 í j - 4.95m L 40
uooo;
Que es la pérdida de energía del sistema Q = 600 L/s Suponiendo H = 6 m
S
=
* ~ 3000 283?
= L67
= 212
/1000m
Para el sistema B, Se supone el caudal Q = 100 L/s y se calcula con la ayuda del diagrama “B”
Ss6
Q (diag. B)
%Q
162
38.5 7
^•Dad o 231.42
11.41 -
3Q?,? 8
100
600.00
__ 420
/^000m Hl=
por el tramo (1): Altura piezométrica en D = 23 +
23000^/ , _____ /m \m k s / 1
%
= 51;«
S
25 y S30-
S25= 1.55 m/lOOOm H L = 1.55
600 ^ 5.4 m/lOOOm H,total = 5.4esrrrr = 3.24 m 4.635 m La pérdida de energía Para el sistema C, necesito calcular el caudal que circula por cada una de las ramas. Suponiendo una pérdida de carga = 10 m. entonces: c -10m/ -a-i-im/ /1200m ~ /lOOOm
/ ni
Altura piezométrica en A = 30 + X H = 30 + X - 51 m. X = H, + 2L
= 1.395 m
cü = 10m/ _ í 3o /1800 ni
/lOOOm
Con el diámetro y ln pemliuntr, en el diagrama “B” se encuemra Q2S = 56 L/s -> 44.8% Q-o = 69 Us -> 55.2% 5.8Í^^l = 6.96m /lOOOm IjOOOj Promediando 6.81 m El sistema A presenta una pérdida de energía = 4.95 m. El sistema B presenta una pérdida de energía = 4.635 m. El sistema C presenta una pérdida de energía = 6.81 m. El sistema B es el que presenta menor perdida de energía, por esta razón es el de mayor capacidad. Problema En el problema precedente, ¿qué diámetro debe tener una tubería de 900 m de longitud para que puesta en paralelo entre M y N, en el sistema A (de manera que forme un lazo o circuito de M a N), hago que el sistema Amodificado.tenga el 50% más de capacidad que el sistema C? Para una pérdida de carga igual en todos los sistemas se puede calcular el Q de cada uno de ellos. Teniendo la pérdida de carga para un caudal = 100 L/s en el sistema C, se toma esa pérdida de carga para hallar el diámetro de la tubería. El caudal = Q. X 1.5 = 199 L/s. X 1.5 = 150 Us. Para Q = 150 L/s. La pérdida de energía es de 6.81 tn S = 6,8(^) = 7-56%00m Teniendo Q y S, por medio del Diagrama “B” se determina el diámetro de la tubería. Para Q = 150^/ y S = 7.56^QOQm corresponde un Diámetro de 38 cm.
C APÍTULO X
MEDIDAS EN FLUJO DE FLUIDOS
En un conducto, independiente de su forma es necesario realizar determinaciones de distintos parámetros como presión, velocidad, caudal y en ocasiones puntuales o más específicas gradientes de densidad, fuerza de las ondas de choque, variaciones en la turbulencia o en la viscosidad. Se han desarrollado numerosos métodos de tipo directo e indirecto para efectuar esas mediciones. Los dispositivos utilizados, aplican principios gravimétricos, volumétricos, electrónicos, electromagnéticos y ópticos. M EDIOCRES DE
PRESIÓN
Los medidores de presión más simples, realizan determinaciones de presión estática en un fluido en movimiento, para establecer la relación que existe entre la presión y la velocidad expresada en la ecuación de la energía. Para esta determinación la dirección del flujo debe ser paralela a los contornos de las paredes del conducto y en ese 'caso se utilizan piezómetros, debido a que se produce una variación de la presión normal a las líneas de corriente de tipo hidrostático. Por tanto, al medir la presión en la pared se puede determinar la presión en cualquier punto de la misma sección transversal. La abertura piezométrica debe ser pequeña, con su longitud igual a por lo menos el doble del diámetro y debe ser perpendicular a la superficie, evitando bordes sobresa lientes en la orilla del orificio, para evitar turbulencias que afecten la medición. Pequeñas fallas de alineación del orificio o rugosidades en la superficie ocasionan errores en algunos casos apreciables en las medidas, por lo que se aconseja utilizar varias aberturas piezométricas alrededor del conducto y conectar todas a un anillo piezométrico. Para evitar estos inconvenientes se puede utilizar un tubo de tipo estático. Este consiste en un tubo cerrado en un extremo y dirigido contra la corriente, en donde posee pequeños agujeros colocados alrededor del tubo. Éste dispositivo debe calibrarse, ya
Densidad Trementina 20“C = 67.75 kg/mJ 10.34 --------------- 10340 kg/m3 0.1 m --------------- 100 kgte?
que puede dar lecturas muy altas o bajas. Existen medidores de presión más elaborados como los de Bourdon, los micromanómetros o los transductores electrónicos. M EDIDORES
Un dispositivo muy difundido para medir la velocidad de manera indirecta aunque bastante precisa, es el tubo de Pitot, el cual mide una presión Barriada de estancamiento o de presión total, la cual se compone de dos partes; la presión estática y la presión dinámica, ésta última relacionada con ¡a carga de velocidad, mediante la ecuación de Bernoulli. El tubo de Pitot y el tubo estático se pueden combinar en un solo dispositivo, llamado el tubo de Pitot estático, una de cuyas formas particulares es el llamado tubo de Prandtl. En un flujo compresible, las velocidades se pueden medir con un anemómetro de hilo. Este dispositivo establece una relación entre la capacidad de enfriamiento de un alambre muy fino de platino y la resistencia eléctrica del mismo, debido al flujo de gas alrededor de el. M EDIDORES
-5.22™/
DE VELOCSDAD
Problema Por un tubo de Pitot estático circula aire a 49„‟C, a la velocidad de 18 m/s. Si el coeficiente del tubo es 0.95, calcular la diferencia de lecturas en el manómetro diferencial de agua, suponiendo que el peso específico del aire a la presión atmosférica es constante. y 49°=10961%/, ' Aire
/m
r=cMP*4-P/r 2 g_
VOLUMÉTRICOS
Se utilizan en los sistemas domésticos de distribución de aguas y gas domiciliario y consisten en un disco colocado dentro de una cámara, de manera que un volumen conocido de fluido circula a través del medidor por cada oscilación del disco. Estos medidores en buenas condiciones tienes precisiones de hasta el 1 %, sin embargo con el tiempo, su desgaste puede producir errores muy grandes, sobre todo si el gasto es pequeño, M EDIDORES
DE CAUDAL
Éstos medidores permiten obtener por medio de una sola medición, el peso o el volumen que por unidad de tiempo pasa a través de determinada sección transversa!. En este tipo de medidores, se pueden incluir los orificios, boquillas, tubos de Venturí, rotámetros y vertedores. Problema A través de una tubería en la que está centrado un tubo de Pitot estático, que tiene un coeficiente de 0.97 circula trementina a 20°C. El manómetro diferencial de mercurio indica una diferencia de lecturas de 10 cm. ¿Cuál es !a velocidad en el centro?
y (P B -P a ) =—— = 20kg/m - 2cm 0.90(2g) (P5 - PD) 7" ■ = 2 cm. PESO ESPECIFICÓ AIRE (kg/m 5) T 1.1270 ( 1.0961 Valor encontrado por 4 interpolación 9 1.0927 ° Problema C ) La pérdida de carga a través de un orificio de 5 cm de diámetro bajo una cierta 4 de carga es 0.162 m y la velocidad del agua en el chorro es 6.75 m/s. Si el altura 0 coeficiente de descarga es 0.61, determinar la carga que produce el flujo, ei 49 del chorro y el coeficiente de velocidad. diámetro 50
V
1
V
r!, 2g
(6.75)J ~> 2.32/» 2-g
0.16 2 C= C
X’,?£.y v>wy»«« V = 5.66 g 2(0.924) /s n £> A=------ = 4.9 x 10 m C = Cv x Ce C = 0.60 4 2
lj - 2.32 despejando: Ce = — fv
z xC v
Cv = 0.97 Ce = 0.63
„ Área Chorro „ Ach , ,,,3 ? Ce = — ------------ 0.63 = -------------- r- Aj, =1.23x10 m Area Orificio 1.96x10' 1.23*10~! = n x r r 2
2
JC
-
r = 1.97 era
Vch = Cx h Despejando h , Vch! 45.56 „ h = ----- ; --- = ¿Alan CV .2g 0.94x2g
Problema ¿Qué diámetro de orificio normal se requiere para evacuar 0.0151 m‟/s de agua bajo una altura de carga de 8.55 metros? Q = CAj2¿H Suponiendo C = 06 • j 0 0151 , fñ—rr Despejando: --------- = A^2g.M 0.6
Velocidad Real = Cv^2gH í | = 2gH 0.98 H 33'35 17
H = ------- = 1.7m 2g Q = CAy¡2gH - 0.6(4.9x10-‟\¡2g{\.7) =0.00171
Problema A través de un orificio de 7,5 cm de diámetro circula, desde un depósito cerrado, aceite de densidad relativa 0.800 a razón de 0.025 mVs. El diámetro del chorro es 5.76 cm. El nivel del aceite es 7.35 m por encima del orificio y la presión de aire es equivalente a -15 cm de mercurio. Determinar los tres coeficientes del orificio. 0.025 Vch = ■ = 9.59 ny 2 TT(0.0576)
Aplicando ecuación de Bemoulli
A= °;0151 ~ «1.94X10-9 0.6^25*8.55 7.35 -
CV
Reemplazan
4A D=. V ir D = 0.05 m
do Problema Un orificio aguzado tiene un diámetro de 2.5 cm y unos coeficientes de velocidad y contracción de 0.98 y 0.62, respectivamente. Si el chorro cae 0.924 m en una distancia horizontal de 2.457m, determinar el caudal en mVs.yla altura de carga sobre el orificio.
4.6 8 CV
(9.592) _ (9.59)2 2040
1
-1 2
2g
800
= -4.8 = 4.68 + 2.55-7.35 = 4.6
Cv = 0.975 -»CV =0.987
2
Q - = CA^jlgH 4.6 0.025 = C^-~ff'°/^-jV2gx4.31 -+C = 0.61 C = ! CV Cvx Ce 2 0.61 = 0.987xC„ ->Cc = 0.618
2 g
I Problema Con referencia a la siguiente figura, el orificio de 7.5 cm de diámetro tiene coeficientes de velocidad y confracción de 9.950 y 0.632, respectivamente. Determinar (a) el caudal para la lectura manométrica de mercurio indicada y (b) la potencia del chorro.
Enelpiezómetro P
A
I
=7m xh H c = 13570.T0.5 = kg/ 6785 ' Yh^Ahio = p o +1-2X1000 = P +1200kg/ 0
1
P =P ' r A ra P =6785-1200 = 5585 kS/,
I
/m V V |-L-iK 5.585 + 0.0625 +—¡— 1 g 2 g L 0.95 J2g 1
2
— + 0.108 x—5.92 = —(l0.0625 Q5.585 = 0.95=^--0.0625 x )-Wl9.62 = 0.0452 —+0.108) 28 2g V2g7 2g 4 Í V p = 1000 X 0.0452 x 5.92 = 3 75 -¡- = 5.34 m 1 g 2
P V h„=— + 0.0625 — = 5.585 + 0.0625 x5.34 = 5.92 m 1
0: Antes de! orificio I: Después del orificio
Problema Con referencia a la siguiente figura, fuel-oil pesado a 15.5" C circula a través de un orificio de 7.5 cm al final de la tubería, originando la diferencia de nivel de mercurio en el tubo manométrico. Determinar la potencia del chorro.
I
i
g lJO.95) J 2g
2g
VJ V2 4,29-0.4 = 1.045—í- -> -2- = 3.72m 2g 2^ ={Y HG h*h = {y MA *hAC)+P, HO)+0(P.Atmosf.)->PA altura de AC^ -HG-*jP^ Di? l C {y f !C *Ko)=Y.< *^AC + P¡ h, =4.29 + 0.0625 *(3.72m) = 4.52m P
y x Q x h 1). Pch => 75 .
2)
B
13570-^- * 0.47 m = 912.3 * 2.70 + P, m m 0.47m.* 13.57 = 2 /jQ m + P/ 0.9123 /r
Q = Cdx x Jlgh Q =
C v xC c xA r r Xy¡2gh CV = Coef. de 0
velocidad = 0.95 Ce = Coef. de = 4,29/j!
contracción = 1,0 Cd = Coef. de
0.0625 V,2 f 1 ,^V2 V 22 4,29 H—— ---- — ------ —-1 —=-= 0-4m + —*-
descarga Aplicando Bernoulli en la entrada del orificio: z
\ +--+^rr~h / {i- 2)= z 2 + £ l +P, - VJ_ y. r 2g
donde
r» r
- 1|£
hf =
(Cv)2 J 2g
1
P V1/ « -1 — = 0.4m + 0 + ^
oy 2=g ^(Cv) J 2 g —+ —
Q=V* A VA=V A 2
V} 2g Q = 0.95 * üfo'0^). x ^/2g (4.52) = 0.04 m* g
2
^—Q-V, = 0.25F, 2'
V, =
4 D, V V -i- = 0.0625 22g 2g P, 0.0625 V,2 1 — + --------------- —- UCv) 3 2
Vi
1
y
De! manómetro PA = P B
2). Reemplazando en 1 912.3*0.04™/ *(4.52 + 0.4) 75
> 1^2 I/2 -2- = 0.4m + — 2g 2g
2.4 CV
Problema En algunos casos las locomotoras de vapor toman agua por medio de una cuchara que se sumerge en un largo y estrecho canal situado entre los raíles. Si la elevación sobre el canal es de 2.7 m, calcular la velocidad en km/h a que debe marchar el tren. (Despreciando el rozamiento). V = Jl^h = = i/l9.62x2.7 = 7.28 — = 26.2 —
s
h
Problema Circula aire a 15.5°C a través de un amplio conducto y de ahí a través de un orificio de 7.5 cm de diámetro practicado en capa fina (C = 0.62). Un tubo manométrico
= 0.061^1.224^ = 4.47^- s 7/
mi min
min
conteniendo agua da una lectura de 3.1 cm. Considerando que el peso específico del aire se mantiene constante, ¿Cuál es el caudal enkg/min a través del orificio? Q -C Aj2gH Problema 0 07 0 = 0.62 x ^Cde - 5-'')cm x 9.81 x 25.41 Una boquilla diámetro en 4la sección de salida, se conecta en la x ^2de Y me (T = 15.5° C) tubería = 1.22horizontal kg/m3 extremidad de una de 20 cm de diámetro. Los coeficientes de p = Y agua AGUA= l-°0° x 0.031 kg/m 2 velocidad y contracción son,= 31 respectivamente 0.976 y 0.909. Un manómetro _ 31kg/m2en la base mayor de la boquilla y situado a 2.15 m sobre su línea nconectado 3 1.22 ^ kg/ cm 2. Determinar el caudal de agua enmVs. central de kg/m una lectura de 2.25 xh
Q=(c c A ¡ y c t Vch = Cv^2g.H2 =25 0.976.Vl9.6(22.5 +163.27Q 2 ) = 20.50+ 55.21Q 1Q000 Í*-igl- = 22.5 + 163.27 Q2 H = I-).Z!ll = f - *
2). ÍL-Z-^-{Z-X)+ 13.57X YY
P P v2 v2 De la ecuación (1): — ----- — = — ------ 52- + o 218 7 7 2g 2g PP Dé la ecuación (2): —¿ ---- S- = 12.57X 77 = 0.0176 m2 ; 0.07 m! Igualando (1) y (2) 2.11 = 12.57X
V|5 = 6.30 m/s. V = 1.58 m/s. X = 0.1678 m= 16,78 cm.
Problema Cuando el caudal de agua que pasa a través de un venturimetro de 30 cm por 15 cm es de 0.115 mVs, el manómetro diferencia! indica una diferencia de lecturas de 2.20 m. ¿Cuál es el coeficiente de descarga del venturimetro? 2g| — J 116 0.115 = 0.017 C y 2g { 1000 J x(0.2fg Q = (0.909 x 0.002X20.50 + 55.21Q) = 0.037 + Oil 10 Q Q - 0.110Q = 0.037
0.115 = 0.017C(6.77) 0.115 = 0.12C'
= = o.04 m Y 0.890 Problema Cuando el caudal de agua que atraviesa un venturimetro horizontal (C = 0.95) de 30 cm por 15 cm es de 0.111 m 3/s. Hallar la diferencia de lecturas en el manómetro diferencial de mercurio conectado al medidor. Balance Energía A-B
19.6(2.20) 0.94
Q x
c = —= 0.96
0.12
Problema La pérdida de carga a la entrada de la garganta de un venturimetro de 25 cm por 12.5 cm es 1/16 la altura de velocidad de la garganta. Cuando el manómetro diferencial de mercurio señala una diferencia de lecturas de 10 cm, cuál es el caudal?
Balance C-C
PP
— -Z = —- (/ i V) i 13.57(0.1)
77
yy
____ x + r
=
PA PB
X = O.lm, -» —¡2- = 13.57 — 0.1 = 1.257/w ry Balance A-B p. •+i^i 1 y
2g
A
V
y
y
2
i) .
( 1 ____ A 8Q 2 _ P B | 8g2
P, ,
y
8(0.0547 )V 7 7 ~ x (0A5) g ^(0.3) g ' U (0.15) g,
17
V 12,! 2
16
2
2
2
2
8
4
4
2
4
= 0.488 - 0,030 - 0.03(0.488) = 0.44m
yy 0.44 = -0.63 + y
2
-
( 0 63)
7 x D<,g l. 0.9852 J^D^g 7 P A P a 8(0.0547)2 8(0.0547 ) Y
+
- V 1.25 = 25
“0-63 + J'Liq.iramimoro
£ L+ .
1
8
~ ~ ~
Balance de energía
V 12.5 2_g " 2
16‟
”
Liq. Manómclro (o,63)
. 17V 12i52
2g
16
2g
,5 =a25v3í
De la ecuación (1) , 1 7 (4.08 V2J 2g 16 2g V 1.25 = 16.68 2 g
D.
R. = 1.70 Problema
A través de un venturimetro de 30 cm por 15 cm circula metano a 15.5°C a razón de 7.5 kg/s. La presión a la entrada del medidor es 3.5 kg/cm 2 absolutos. Empleando K = 1.31, R = 52.8, V = 1,8 x I0' 5m2/s, a una atmósfera y W = 0.666 kg/m3 a 20°C y 1 atmósfera, calcular la diferencia de lecturas en el manómetro diferencial de mercurio.
1.25
P^=h\y + P„
2
P C = P.
-
v !5 =1. 21 y %
P A =hx
Q = ¿aj^is = 1 -21 x 0.049 = 0.059
P B =hx y+P t = K y
yP c
2
Problema as
Por el venturimetro de 30 cm por 15 cm (C = 0.985) pasan 0.547 nrVs de agua, siendo la diferencia de lecturas del manómetro diferencial 0.63 m. Cuál es la densidad relativa del líquido del manómetro?
P D ~P Í (S )
p
c
+P D
Pe =hyy 2 +p } => p^p'c-K y,
Pn=hyt
■ * 0.988 * 2g(%- %
0.045— =
+Pc+Pi-h,y2
P.=h r¡
T S'
+p l-(0.5) 2?
-hr2
P B =h y+P'+Pl P.-P B
PA-PS =hy+Pc-hyrPc-P'c+h
x
yt
p*-p B =hyr p '
2
4
4 * 0.045 2 K * (0.075) * 0.988
5
pp s-—— = 4.06 ni rY 13.6 0.99 6
Ahora : 4.06 m.= h
Problema Circula agua por una tubería de 15 cm en la que se ha instalado una boquilla de aforo a 27°C a razón de 0.045 mVs. ¿Cuál será la diferencia de lecturas en el manómetro diferencial? (Emplear Diagrama D). /\ bO
lv%)
Q = A.C *
UJ
mi2 w(0.15)z j Area = ---- = —1---- ¿— = 1.767*10 m 44 0.045 m3,7 _ Q ~ ~ ~ /s _ 2.5467 W Velocidad A 1.767 *10‟3m 2.546 m / s * (0.15 m) V.D Reynolds = ----- = ¡u 0,859 *10 n y ¡ Re = 444.709 Flujo totalmente turbulento P = 15 0.5 7.5 del diagrama D de boquilla de aforo se encuentra el valor de C = 0.988
A .A w w1
h =4^-m = 0.32m. 12.65 Problema Por una tubería de 15 cm en ¡a que se ha instado una boquilla de aforo, circula un aceite impermeable al polvo a 27°C a razón de 0.045 m 3/‟s. ¿Cuál será la diferencia de lecturas en el manómetro diferencial de mercurio (emplear diagrama D). Aplicando la ecuación de Bernoulli. entre la sección de la tubería y la sección del chorro: lD*> = Diámetro boquilla D t = Diámetro Q = AV = AC del tubo
Diagrama D indica que C varía con el número de Reynolds. V _ Q _
QM5m
Z
J 2 A J/j7r(0.075) m V = 10,19 h/ /s
R
VDb _ 10.19m.x 0.075m y
21.26.rl0'6 m Y variable 27‟ C = 21.26x10'6 ni 2 /s R. =35933.38
= se asume £ = 0.5 — = 0.5 => Db = 7.5cm D is b 15
Ei diagrama D i»dw;i <|in ■ .n u rnu <*l numero de R... R - 35933 la curva dr \\ <> \ r 0.960; entonces 19 62¿ c x ^20.93 M’/, ' % 2g ---- —LL = o.04d — *(0.075)' x 0.960 x Q = AxC.. 1 — (0.5) s Q = 0.0042 0.045 V = 20.93 0.0042 J 112-58 r
AP
20.93 Empleando Dr del aceite para 27"C — 0.902. Tomada del apéndice. Aplicando principios de manómetro diferencial: 13.6-1 0.902
5.38 n - 0 . h = ------- = 0.382 m 14.08
Si circula aire a 20° C por la misma tubería y boquilla del problema anterior, cuántos kilogramos por segundo circularán si las presiones absolutas en la tubería y en el chorro son 2.10 kg/cm 2 y_ 1.75 kg /cm3, respectivamente?
r, = 7i
- °- = 29.3x297 m 1.76x10" 29.3 x 297
Qrn = 1.662 /i
2.41% / .kg/
/ s
/j
7r(0.15)
V2=™2L± = 1S7™ 7z-(0.075) S Y^V í A [ = 71 V 2 A 1 = constante 0.152 2.41 x 39 XTT x------- = 1.662 4 2..01 x 187 x Tr
= 1.662— s
4
Problema Qué profundidad de agua debe existir aguas arriba de un vertedero sin contracciones de cresta viva de 1.5 m de largo 1.2 m de alto, cuando pasa a través de un canal de 0.17 m 3/s? 0 = 1.84 b
Problema
2 lxl 4
1
--- = 5.38m de aceite impermeabl e al polvo 7
AP
y,-*
QK2=^ = 0.827 7i 2v; =M. _ Jt69x4_ _ 39 „/
n H
H+
K l
2 ‟ 7í 1.84(l.5Í/ H% + 0.001 -0.001 g 0.27 = 1 n-0
1
0.27 = 2.760
0
bV 2 =0.098 = 0.213 m H = Total de la superficie del nivel del liquido por encima de la cresta. H, , = 12+ 0.213 = 1.413 m toiul
Problema Un caudal de 0.85 m-Vs, circula en un canal rectangular de 1.20 m de profundidad y 1.8 de anchura. Hallar la altura a la que debería colocarse la cresta de un vertedero sin contracciones de cresta viva para que el agua no rebose los bordes del canal.
H %-
m de largo y 0.80 m de alto, se instala en un canal rectangular. La pérdida de carga :i través del orificio es de 0.60 my el Ce = 0.65. Determinar: La altura de carga a la cual asciende el agua en el depósito. El coeficiente de velocidad para el orificio.
°'85
(1.84)(1.8) H% = 0.26 H = 0.41 wí H Tolal =1.20 -0.41 = 0.79 m.
Q = mbH "V2 2= 1.84x0.60 mx (010)^ = 0.035 m Y Problema Un caudal de 10.5 tn 3/s pasa a través de un vertedero sin contracciones cuya longitud es de 4.8 m. La profundidad total aguas arriba dei vertedero no debe exceder de 2.4 cm. Determinar la altura a que debería situarse la cresta del vertedero para transportar este caudal (m = 1.84). Z = Profundidad total aguas arriba del vertedero H donde Z = Altura de la cresta del vertedero para transportar un caudal h " Carga sobre el vertedero en metros de altura de la superficie del nivel dei liquido por encima de la cresta. Para calcular H: Q-
QQ — chorro
, ‟ ' '•*v7
A orificio
= Ce x AotWc¡o = 0.65 x O Vral = -f=¿- = --------------- = 12.2m/s 2.87 x 10 m
= 2.87 x 10° m. 2 0035ra'/
I.(■ 12.20 W )2 H = ------- -j- +0.60 = 8.19m. 2x9.8 y 7 / seg¿
Vt=1/2 * g*H =-j2 *9.81*8.19 = 12.68m/s mbHP'2 =>H = 3
Q _ mb
Donde: Q = caudal (en mVs) m = Factor experimental tomado generalmente de estudios sobre modelos b = Altura de la cresta del vertedero en metros
i
105
H = í ------------ ^ ----- =>H = 1.0594 m | (1.84)* (4.8 m) Reemplazan do el valor de H en Z.
12.20 n/
CV = ------- = 0.96 12.68 y
Problema Un vertedero con contracciones de 1.2 m de largo está situado en un canal rectangular de 2.7 m de ancho. La altura de la cresta del vertedero es 1.10 m y la altura de la carga 37.5 cm. Determinar el caudal, empleando m - 1.87. Q = CH" (b ” Yo2H)H^ = 1 • 87 ( 12 m'^ °-275) * 0-375'^ = 0.483 m 1 /s 1 C La fórmula para Q empleada es para vertederos con contracciones Lv = 1.2 m Ac = 2.7 m; he = 1.10 m Q=m
Z = 2.4 m. -1.0594 m. => Z = 1.34 m.
Problema Un vertedero sin contracciones (m = 1.84) bajo una carga constante de 010 m, alimenta un depósito que tiene un orificio de 7.5 cm de diámetro. El vertedero de 0.60
Ar (h | — h,) }'■2 (p1. V^T + CA^Zgh, ) ______________ (3.6 x l.zXl.2-0.3) ____________ ' 1^0.6. „M. Vm + 0.6 *<0-°475>*. Jm]" X (°-01286 +“) 3.S
Un vertedero triangula' lirnc un ángulo de 90". Qué altura de carga producirá 4800 L/min? Un vertedero en V corriente es el que tiene una abertura de 90", en donde las alturas de carga son superiores a 0,3 m y un valor medio de C es 0.6. 0 = 90” — = 45" 2 Q = 4800 L/s j: Im 1000 L 60 s
= 0.08m'y
Q = -fjCj2g(ran^&)H%
15 (0.08) 8* O.6O1/2 *9.8! tan 45
15Q
H=.
8C -J2g tang
:
0.37 xn.
2 Este problema también se puede trabajar con la formula siguiente Q = 2.36CH%
= 403.09 s " 0.0096 Problema Un depósito rectangular de 4.8 ni por 1.2 m de aceite de 0.75 dé deasidad relativa. Si tarda 10 minutos y 5 segundos en vaciarse el depósito a través de un orificio de 10 carg cm de diámetroAT(h situado en el _______ fondo, determinar el valor medio del coeficiente de | - h-¿) a. des^(CA„V2Íh7)+CA„V2^h; t= Despejando c_
c_
ZATxh, tA 0 ^2gh
1
2(12x48X1-2) 6051
Problema Circula agua a través de un vertedero sin contracciones (m = 1.84) de 3.6 m de largo y 0.6 m de alto. Para una carga de 0.360m, bailar el caudal en mVs. Q = mbH^ Q
=
%
(1.84)(3.6)(0.360) ¡2 = 1.43 m 3 1 s Problema Un depósito de 3.6 m de largo y 1.2 m de ancho contiene 1.2 m de agua. Cuánto tiempo tardará en bajar el agua a 0.3 m de profundidad, si en el fondo del depósito se abre un orificio (c = 0.60) de 7.5 cm de diámetro?
3.888 ____
13.824 23.056
j (VÍ9^L2 )
:
0.6
Problema En el problema precedente, para un coeficiente de descarga de 0.60, a qué altura quedará el aceite en el depósito, después de estar fluyendo por el orificio durante 5 minutos? 2A T CA»V2g Despejand o 0. 1.2 ~
2AT
te>
)*300
= l.2-(0.54)2 =0.90m
2(4.8.vl.2)
(altura desde el fondo) h TOTAL =1.2-0.90 = 0.3 r
I
Problema Un depósito de sección rcctu trapezoidal tiene una longitud constante e igual a 1.5 m. Cuando el agua está a una altura de 2.4 m por encima de un orificio (c = 0.65) de 5 cm de diámetro, la anchura de la superficie de agua es 1.8 m y a - 0.9 m de altura, la anchura de la superficie de agua es i .2 m ¿Cuánto tiempo tardará en bajar el nivel del agua de 2.4 m a 0.9 m? CA0i/2ghdt = iix2dh L5 = 09 4.5 *(0.05 W19.62 dt = -al I h'-^dh 0.60.65 a x )2 0.08 a = 0.36m 5\ x 2.1 +4.41h^ h 0.36 +4. ,2h^ + ----= --------X =dh (2.1 + h)x ---dt = 0.36 4.5 4.5 0.0000115
3x3xH = 3,6 3.6 H=-
:
0.4
0.6-0.4 = 0.2
2(3x3) r 1 ________ 1_ 1.84x3^702 V(X6 t = 3.26x0.945 = 3.08 s
t+
mL
2A r
*H:
YI )
mL
___ L mL „ )2A r 1
71.72 x 0.0511 :
VH 7 __ 1 3.66 5
: 0.0744 m.
Problema Dos orificios situados en lapared de un depósito están situados a 1.8 m verticalmente uno de otro. La profundidad total del agua en el depósito es de 4.2 m y la altura dr carga sobre el orificio superior es de 1.2 m. Para los mismos valores de C demostr;» que los chorros chocan en el mismo punto del plano horizontal sobre el que reposa rl depósito. Q Á = C J A * J2g *1.2 = 4.85 CA Q„ =C A b * J2g * 30 = 7.67 CA c QB
mLH'^dt = -AjdH H¡ =
t
mL
2.1 X= + h 0.0 8
Problema Al final de un depósito de sección cuadrada de 3m de lado está situado un vertedero sin contracciones. Si la altura de carga sobre el vertedero es 0.6 m, cuánto tiempo tantarán en salir 3 £ m 3 de agua del depósito? (m=l,84) Qdt = -A T dH
Problema Un canal rectangular de 18m de largo por 3 m de ancho desagua su flujo a través ti. un vertedero sin contracciones de 3m de largo, bajo una altura de carga de 0.3 m. Si l¡\ alimentación se corta instantáneamente, cuál será la altura de carga sobre el vertedero a los 36 segundos? (m = 1.84).
= CA 7.67 Luego : qa - 4.85 . ¡; de QB 7.67 vB = 4.85 vA = 7.67 y.
4.85
CA
Balance de energíi. p V2 P V2 ZB + —£ + -—i= Z + —^ + — - 7 2S 7 2g V 2V ! o Zs +—+ —= ~ 2 7 g 2g V„2 „ Pn Vi —s- = 3 + —S--t—S_ 2g 7 2g
Puesto que la altura de sarga varía con el tiempo se calcula el tiempo de vaciado. Qdt = -A r dh C A0,/2gh dt = A- t dh Cm 2 ^¡2gdt ~ ■ dh (ti/ 2 cj2gdt = h%dh
cjlg \dt = ¡h^dh Para el orificio A: P V2 P V2 Z A + £i. + J^ =2O +£«. + 2». 7 2g 7 2g V2 P V2 ^«1.2+-^- + ^- 2g 7 2g
Igualando 1 y 2
Cy ¡2g
t=2
El espacio es función de V. y t. Luego X = ^2Ag + 2g
*
X = J47.0665 +2g^- * ■ -2v'^.r y 7 cVí9.62 X= 2^47.0665 + 2g^- ‟h%29C Problema Un orificio de 15 cm de diámetro evacúa 0.34 mVs de agua bajo una altura de carga de 44m. Este caudal pasa a un canal rectangular de 3.6 m de ancho alcanzando una altura de 0.9 m y de ahí a un vertedero con contracciones. La altura de carga sobre el vertedero es 0.3 m. ¿Cuál es la longitud del vertedero y el coeficiente del orificio? Fórmula simplificada de Francis. Velocidad es despreciable
OI t=
v'"
1
2(3.29 (0.65)(1.9635 m) x 10 „ m‟)^19.82 m/ 2
f = 660 segundos
FLUJO EN CANALES ABIERTOS
Los diferentes tipos da flujo que se presentan en un canal son: F LUJO PERMANENTE
La velocidad en un punto cualquiera de la sección es constante; es decir, que la variación de ¡a velocidad con respecto al tiempo es cero. F LUJO PERMANENTE Y UNIFORME
Cumple con la condición de flujo permanente y además tiene en cuenta que la variación de la velocidad con respecto al espacio es igual a cero. F LUJO PERMANENTE Y VARIADO
Será aquel en el cual existirá una variación de la velocidad con respecto al espacio. F LUJO GRADUALMENTE VARIADO
La variación de ia velocidad se debe únicamente a la fricción provocada por las paredes del canal. F LUJO RÁPIDAMENTE VARIADO
La variación de la velocidad en el flujo se debe a cambios bruscos en la sección geométrica del canal.
= V.A. V = %
/
-\ = 2.4 9mls
/A
2
0.0177 mdetermina que la masa dentro de un sistema a ecuación ds continuidad permanece 'roblema Qué de tener una tubería para transportar 2 mVs a una tante adiámetro través deldebe tiempo. velocidad roblema ;ia de 3 m/s? uál es la velocidad media en una tubería de 15 cm si el caudal de agua Q=VxA transporta- 2; de 3800 m-Vdía? Q _KD A, “ _ 3800 m3 I **“ día lh _ 0.0440 m? ^ T / ^ díaV *24h‟X 43600s s /s Í4Q _ ¡4x2 «Dl = ;r (ai5)L = 0.0177mV 4 nxb 4 D = 0.92 m
V 2 (6.22) 2 38.7 , „ m 2g 2*9.81 ~ 2.r9.81 "
Problema Una tubería de 15 cm. de diámetro transporta 80 L/s. La tubería se ramifica en otras dos, una de 5 cm y otra de 10 cm de diámetro. Si la velocidad en la tubería de 5 cm es de 12 m/s. ¿Cuál es la velocidad en tubería de 10 cm? Q = V.A
(0.05 )2 Qs = x y ’-x\2 m/s = 0.0236 m/s = 23.6L /s Q10=QT-Q5 =80I/í-23.6¿/5 = 56.4¿/j „ _ Q„) _ 56.4 L/s , V10 ---------------------= lAómí s A,I>
n/0.044®y
Problema Una tubería de 30 cm de diámetro transporta aceite, viniendo dada la distribución de velocidades por V = 2 O ( TQ — r 2). Determinar la velocidad media y el valor del coeficiente de correcciones de la energía cinética.
Problema Una tubería de 30 cm de diámetro que transporta 110 L/s, está conectada a una eria de 15 cm. Determinar la altura de velocidad en la tubería de 15 cm.
F LUJO
NO PI RMANENTE
de velocidad media en una vertical, se obtiene promediando las velocidades obtenidas al hacer observaciones a los 0.2 y 0.8 de la profundidad.
Es aquel en el cual la velocidad en un punto varía para un tiempo t mínimo. • C OEFICIENTES N ÚME RO
DE
Otra forma de definir el tipo de flujo en un canal, es utilizando el parámetro adimen- sional conocido como el número de Froude, que se expresa como la relación entre las fuerzas de inercia y de gravedad. Las siguientes relaciones del número de Froude expresan la condición del flujo. F = 1; V = JgD (Flujo crítico) F < 1; V < JgD
(Flujo subcrítico)
En el fluj o subcrítico, son mayores las fuerzas de gravedad, por tanto la velocidad es baja y el flujo tranquilo. F > 1; V > yfgD (Flujo supercrítico) En el flujo supercrítico predominan las fuerzas de inercia, en este caso la velocidad es alta y el flujo rápido. D IST RIBUCIÓN
DE VE LOC IDADES EN UN CANAL
Las velocidades en un canal no se encuentran uniformemente distribuidas, debido a los siguientes factores: la superficie libre del agua, la fricción a través de las paredes del canal, la forma de la sección, la presencia de.curvas en el canal y los cambios en la pendiente del canal. En un canal la máxima velocidad aproximadamente ocurre a una distancia de la superficie libre de (0.05 - 0.25)m de la profundidad. P ERFIL
DE DIST RIBUCIÓN DE VELOCIDADES
F ROUDE
DE VE LOCIDADES DE UN CANAL
El perfil de velocidades que se presenta en un canal, se debe a que no todas las partículas tienen igual velocidad en la sección transversal; debido al rozamiento con el fondo, con las paredes del canal y en menor grado con la atmósfera. La velocidad media en canales poco profundos se puede estimar aproximadamente a 0.6 de la profundidad contando a partir de la superficie libre y es más o menos el 80% al 90% de la velocidad superficial. Para canales más profundos, un valor aproximado
Debido a que la velocidad en un canal, no está distribuida de forma uniforme, la carga de velocidad real es menor que el valor teórico, calculando este último de acuer- V 2 do con la expresión —, en donde V es la velocidad media. Esta expresión debe corregirse de la siguiente forma: aW2g donde á es conocjdo como coeficiente de energía o coeficiente de Coriolis. La distribución no uniforme de velocidades, también afecta el cálculo de la cantidad de movimiento de la siguiente forma: P(yQV/g). Donde p es conocido como coeficiente de cantidad de movimiento o coeficiente de Boussinesq y y es el peso específico. En canales de sección transversal de tamaño regular y alineamientos casi rectos, el efecto de la distribución no uniforme de la velocidad sobre el cálculo de la carga de velocidad y la cantidad de movimiento es pequeño; por lo tanto es frecuente que para efectos de cálculo dichos coeficientes sean considerados como iguales a la unidad. D IST RIBUCIÓN
DE PRE SIÓN EN UN CANAL
Para canales con pendientes pequeñas, la presión en un punto corresponde a la presión hidrostática. Esta presión es directamente proporcional a la profundidad del punto debajo de la superficie libre. En flujos curvilíneos la distribución de la presión varia dependiendo de si el flujo es cóncavo o convexo. E NE RGÍA
ESPECÍFICA
Es la energía en cualquier punto de un canal, tomando como nivel de referencia la base del mismo. Cuando se considera; un flujo paralelo (uniforme o gradualmente variado), de un tramo L en un canal con un ángulo de inclinación de fondo menor a 6° con sección transversal y pendiente de fondo constante, entonces el coeficiente de Coriolis es igual a 1. Al representar gráficamente la energía específica se encuentra que existen dos profundidades posibles para cada valor de caudal y energia y reciben el nombre de profundidades alternas. Es posible determinar cualitativamente la energia mínima necesaria y el caudal máximo, valores que corresponden a un valor de profundidad crítica. La velocidad
Ledia en condiciones de lltij . li< u .e llama velocidad critica: Se destaca que para un lico valor de energia. se Nairn dns valí nos de profundidad. Igualmente que solamente dste un punto de energía (mínima), al mal le corresponde una profundidad (critica). Los valores de profundidad mayores, que el valor de profundidad crítica-(Y > Yc), Drresponden al flujo subcrítico. Los valores de profundidad, menores que el valor de rofundidad critica (Y < Y ), corresponden al flujo supercrítico. Cuando la energía es constante, se observa que para un valor de caudal, se pueden btener dos valores de profundidad y que solamente existe un único punto de caudal náximo), el cual corresponde a la profundidad crítica. Es importante anotar que la profundidad critica se presenta solamente para un punto e energía (mínima) y un punto de caudal (máximo). Es con base en este principio que e diseñan los aforadores, estructuras que garantizan un sólo punto de profundidad crítica), para un caudal máximo y un requerimiento de energía mínimo.
Designando por YN la profundidad en la figura, deducir una expresión para el flujo laminar a !o largo de una placa plana de anchura infinita, considerando el volumen libre, con achura unidad.
Para flujo laminar en canales abiertos amplios de ancho unitario, la distribución de velocidades se expresa como: V = ^ ÍYn J - - Yn: v l 3
F UE RZA
ESPECÍFICA
Es la sumatoria de fuerzas hidrostáticas e hidrodinámicas ejercidas sobre un ele- nento fluido, contenido entre dos secciones: la superficie y el contomo sólido. Al representar gráficamente la fuerza específica se encuentra que existen dos pro- úndidades posibles para cada valor de cauda! y fuerza que reciben el nombre de pro- ündidades secuentes. Es posible determinar analíticamente la fuerza específica minina, ya que esta corresponde a un valor de profundidad critica. La aplicación de la fuerza específica en un canal permite determinar la ecuación del fenómeno conocido :omo resalto hidráulico para un canal rectangular, horizontal y sin obstáculos. El resalto hidráulico es un fenómeno inestable, que se desplaza alternativamente aguas arriba y aguas abajo, por ío tanto cuando éste fenómeno se presenta es aconsejable construir estructuras en forma de dientes o escalones con el fin de disipar la energía en un punto exacto que pueda ser protegido contra la erosión. En general, la ecuación del resalto hidráulico contiene tres cantidades independientes por lo que se hace necesario conocer previamente dos de ellas para el cálculo de la tercera. A PLICACIÓN
DEL CONCE PTO DE FLUJO CRÍT ICO
Se utiliza fundamentalmente para establecer una relación única entre profundidad, caudal y energía. De esta forma se puede diseñar una sección que garantice un caudal determinado a una profundidad conocida; a estas se les conoce con el nombre de secciones de control o medidores de flujo.
Despejando Yn> = UlX
Problema El factor de fricción de Darcy / se asocia generalmente a tuberías. Sin embargo, para e! problema precedente evaluar el factor de Darcy /, empleando la solución dada para dicho problema Para una tubería llena Yn = —
Para la solución del problema 1
16 Yn2 —- (2) gS
Igualando (1) y (2) D 2 _ 3 v V 16
gS 48 vV 48 i/ VL D— f 96 v 96 VD Re
= —R'^6
de la igualdad
8*9.81 1 n y. /6 -------- = — R /n
n
,., despejando n
= R^ /_L
8.86
n = 1.13R-^ f Vl Problema Calcularla velocidad media en el canal rectangular sumando el área que se encuentra bajo la curva profundidad - velócidad Problema Demostrar que la velocidad media V puede expresarse de la forma 0.32 Ví^R^/n
V-zf.Vl + Ytet |* AH = 2.087 m/s
V = iR%
n v, = -y/gRs -> v . JgR s'®"2
i^ = s ^ Vi
Primer cálculo — 2.261 + 2.243 1
2
2.7132 m/s
AH = 0.1 m
reemplazan do en (1) V = IR% n
'
y_
VsR^
v* R^R'^ y. _ R^ v* n Jg R^ nV 9.81 3.19n
Problema Demostrar que los factores de rugosidad n de Manning y / de Darcy se relacionan entre si por la expresión n = 0.113 / la R1'6
Problema ¿Con qué pendiente se trazaría el canal presentado en la figura para transportar un caudal de 14.80 mVs? C = 55
I
Area = (2.4*1.2) +
p 2j **'
S- 0.00016 -> 2 tuberías de hormigón ín = 0.012) S = —— = o 0025
= 3.96m2
1000
Ph =1.2 + 33 = 7.2 3.9 6 7.2
^ canal ^tub
A R2'3 S' n 2ARM Sla
= 0.55 m
Q=V*A
„
Q 14.8m3/s „„„„ , V = —= ---------— = 3.737 m/s A 3.96 m 2
6*1.2-
reemplazando
.2 + 1.2
S
1.2 + 6+1.697 3.4371
Por chezy. V = c Vrs S =
H
7.92
n _2n d£ d
“ | *4.166
1.7848 = d 2 *d^ =d^
0.00839%
(0.0025^
3
y 33
2
7.92*(0.89)^ (0.00016)^ d 0.020 2~
c r 55 (0.55)
/2y 2
4 n d
d = (1.7848)^ = 1.24 m Problema El canal representado en la figura se traza con una pendiente de 0.00016. Cuando llega a un desnivel, el flujo se transporta mediante dos tuberías de hormigón (n = 0.012) trazadas con una pendiente de 2.5 rn sobre 1000 m. ¿Qué dimensión deberán tener las tuberías?
Problema Por un canal semicuadrado circula un caudal de 2.20 m 3/s. El canal tiene 1200 m de largo y un desnivel de 0.6 m en esa longitud. Aplicando la fórmula de Manning y n = 0.012, determinarlas dimensiones.
Rh^ Manning
n V'
A = b * —= ¿- 2 2 S,0 m
Rh-
n - 0.020
a
2 2b i/
Pm = —+ b +—=2b 2 2 /3Ks>í Q= A R S n b (o.ooosfi
b/3 =5.95
b = 5.95^ 0.012 5.95= b2 *
b = 1.952 ni
2 1.95
y—2
Q.5^_ mI,« + 2Cm) + 6-
Problema Circula agua a una profundidad de 1.90 m en un canal rectangular de 2.45 m de ancho. La velocidad media es de 0.58 m/s. ¿Con qué pendiente probable estará trazado el canal si C = 55? Rh-A. Pm 2.45+ (2 *1.9) Por chezy V = c>/rs V i— — Vrs c
-Q.,4»
A
S = —i^— = 0.00015 55 (0.74)
Cuál es el caudal de agua en una tubería de alcantarillado vitrificado nueva de 60 cm dtf diámetro, estando la tubería llena a la mitad y teniendo una pendiente de 0.0025? El coeficiente de rugosidad de manning n = 0.013 y el valor de m0.29 n d„ Área R= — 7C d2 R = — d = 0.15m 4 Por manning Q= AÍ-1R ^S^
Q=—í— Jt *0.6 2 2 4 Problema V 0.75 m/s 2 2 Un labrado roca = 0.030) es de sección trapezoidal con una anchura 7.2 canal = ——— * y =en6y + y(n de solera de 6 m y una pendiente de los lados de 1 sobre 1. La velocidad media se cumple cuando y = 1.025 3 permitida es de z 0.75 m/s. ¿Qué pendiente del canal producirá 5.40 m /s? P = b + 2yV2 +l V = 60.75j/ S = ?i/l -»+Ql 2==8.9m 5.40m3/s Q P= +2(1.025)
= VA 3 = Rh^ =^J í^7~j^=0'8682 V = cVRs
(0.15^3 (0.0025)^ =0.154 m 3/s 0.013
Problema Un canal n = 0.017 tiene una pendiente de 0.0004 y una longitud de 3000 m. Suponiendo que el radio hidráulico es 1.44 m ¿qué corrección debe realizarse en la pendiente para producir el mismo caudal, si el factor de rugosidad cambia an = 0.020? y¡ oK AR7! S AR/3 S: *c _ n1 n.
2-
S% * n 2 2 "i
(0.0004)^.* 0.02 0.017
► S = 0.000554
Problema ¿Qué profundidad tendrá el flujo de agua en una acequia en V con ángulo de 90:) n = 0.013), trazada con una pendiente de 0.00040m, si transporta 2.43 m 3/s? La sección triangular más eficiente corresponde a la mitad de un cuadrado Qn _AR^.
2
5.40*0.03 V sv7.2*
J
0.8682
=—
^
m = Tg0 = ¿7=-„‟h >2 h Si - = 45° 2 Tg 45° = 1 = — b = 2h b
L ^*íLr*(o.oo°# 0.013 7.96 = L 2 * L% -+ 7.96 = -» L = (7.96)^! = 2.1769 m
Cos 45° = — P Y = L cos 45° Y
= 2.1769 Cos 45° =1.54 m
Q =
&
r
2hJ ’j
K
, 2hJ _ S- 1/2 f h \
n v2V4h2+h2 J 2 n tVsJ v. 2 58 Q=— *0.58 *h ° ~-- ---*h% n n Cuando 0 ( 45°, Q sera menor
* h2
Problema Para construir una acequia de sección triangular se emplea madera aserrada. ¿Cuál deberá ser el ángulo en el vértice para poder transportar el máximo caudal con una pendiente dada?
Problema Por un canal rectangular de 6 m de ancho, n = 0.013 y S = 0.0144, circula agua con una profundidad de 0.9 m. ¿Qué profundidad tendría para poder transportar el mismo cauda! con una pendiente de 0.00144? Q = -AR^ n A = 5.4 m R = ------ -4 ------ = 0.69 m (6 + 2(0.9))
Q = — 5 . 4 (0.69)^ (0.0144)^ =38.92 m 3/s 0.013 Q = -AR^S^ n
««-SSüKi^jfW 2.22 = y f ——— U + 2y y = 1.98m
Problema Una acequia desagua 1.20 mVs con una pendiente de 0.50 m. La sección es rectangular y el factor de rugosidad n = 0.012. Determinar las dimensiones óptimas, o sea, las dimensiones que dan el menor perímetro mojado.
Problema Aplicando la fórmula de Manning, demostrar que ia profundidad teórica para una velocidad máxima en un conducto circular es 0.81 veces el diámetro. Perímetro húmedo = Perímetro círculo - L = 2m-2r0 = 2itr-2r are cos (( y - r )/r) Area Húmeda - Area Total - Área sector circular
S = -^- = 0.0005 1000 AR^ b = 2y Rh =2—
QQn SX
AR
K. 1.2*0.012 = 0.644 (0.0005 Yi
Área Húmeda = n r2 -r 1 (áreas (y - r)/r) - (y - r) -Jr 2 -(y-r)2
AR^= 0.644 by by
b + 2y
b\ 2
Problema Hallar la tensión cortante media sobre el perímetro mojado, en el problema anterior, y - 5 RS - 1000 kg/m3 * 0.634 * 0.002 - 1.268 kg/m2
Área Húmeda = TÍ I2 - r 2 (áreas (y - r)/r) - (y - i) ^]2ry-y2
% = 0.644
2n r - 2r áreas ((y - r)/r)
b = 2y
-|K
x x 2 -t 2 (áreas (y - r)/r) - (y - r) (2yr *
= 0.644
dr^ _ dy
b% =3.245
b =1.556m
y = 0.77 m
Problema Un canal rectangular revestido, de 5 m de anchura, transporta un caudal de 11.50 m3/s con .una profundidad de 0.85 m. Hallar, n si la pendiente del canal es de 1.0 m sobre 500 m (aplicar la formula de Manning) A = 4.25 m2 Q = A— R^ n 4 25 Rh = =: 0.634 m 6.7 AR^S^_ 4.25(0.634)^(0.002)^ _ QQ12
y2)' -»y = 0.81d
Problema Diseñar el canal trapezoidal óptimo para transportar 17 m J/s a una velocidad máxima de 1.0 m/s. Emplear n = 0,025 y como pendiente de las paredes 1 vertical sobre 2 horizontal. Calcular S.
Para el canal rectangular by
2
(^J')(2y)
~~b + 2y7s~
2P A
+
= Q = IZEÍL = 17m2 = by + 2y'
lm X Igualando 1 y 2 V
b = 2y-Jl - 4y (l) b = (l7-2y3)y (2)
AR % 16.2*1.264*(%V2 Q = -n 0.015 10.8 + 6 .8 1 2 A = ----------- * 1.8 = 15.84 nr 2 P = 2y Vl + 2 3 +6 ConAyP se calcula
= 1576.3 mVs
RH
2yi /j.4y.lZ^
y
2y2V?-4y2 = 17-2y2
P=2(l.8)^l(%j +6 =12m
2y3 V? -4y2 + 2y2 =
'l5.8m^
17 y2 (2^5-2) = 17
. 12m J
R/ = 1.2m 17
= 2.622 m
15.84*1.2*í-l Q = ------ -----—ML = 3358.6 m5/s 0.010 Luego Q Trapezoidal > Q rectangular Conducirá mayor caudal el de sección trapezoidal
|2V5-2 Sustituyendo en b fí„ - feffl -1.24 2.62 (\ f\ Vn 1*0.25 S= t ,R . f 2.622'f 3 7 2
= 0.00043órn/m lineal
U 2 J J Problema Cuál de los dos canales representados en la figura considera el mayor caudal si ambos están trazados con la misma pendiente?
Problema Una alcantarilla de sección cuadrada tiene 2.4 m de lado y se instala según se ind ica en la figura. ¿Cuál es el radio hidráulico si la profundidad es 2.3m?
9 =45° Sen 45°= — X X = 0.85'm Pm = 2.4 (2) + 0.85 (2)=6.5m A
= M^M = 2.88m2 ■ 1 2
A2^0.6*1.1*2+Q'6*°'6*2 = 1.32m2 + 0.36m2 =-1.68m2 2 2 AT = Aj + A2 = 2.88 +1.68 = 4.56 m2 „ A 4.56 m2 „„ R„ = — = ----------- = 0.7 m H P 6.5 ra
hf, T, Q¡'8S _ 10.675 L; ¡ c U5 D_4.S7 T, =8.949
T2 =69.205
Tj =3.047
Si EA = 64 hfi =0 hfl =42.5 - 64 = 8.5m = T, Q, 1'85 ->Q, = 0.9726m3?s hf¡ = 64-36 = 2.8m = T3 Q3'S5 ->Q, =3.3166m3/s EA (64m 72.5-E, =8.949 Q,'si (1) 64 -E4= 69.205 Q2IS5 (2) E4 -36= 3.047 Q, 185 (3)
Problema Cuál es el radio de la acequia semicircular B, si la pendiente (S) es igual a 0.0200 y C = 50?
Q,+Qa=Q3 Combinando (1) y (2) 8.949 Qi'
as
(4)
-72.5 = 69.205 Q2LS5 -64(5)
Combinando (2) y (3) 69.205 Q2, SS -64 = 36-3.047 Q3US (6) (5)
69.205 Q21K - 64 = 36-3.047 (Q,+Q2)18S
(6)
69.205 Q,1'85 -72.5
69.205 Q,
185
-64+ 72.5
8.949
x.85
69.205 Qj135 s
8.5^' '' 69.205 Q.J1'85 -100 + 3.047
8.949 Q2 =0.9345 m3/í Q,
=
3.0295
m3/s
Q3
=
3
9.640 m /s f^
10.675 LQ'-85 Q |.85 jy.s?
+
s=
A = by+2^yj(y)
10.675 Q"" C1 « D4»;
DB,"
A = (2.4*1.17) + 2jj(l.l7)(l.l7)j = 4.
Oí..:
10.675 Ql8!
17
1.386 m
C‟8Í
E=
DEq=4Rh S i DEq _ 1.386
R» =
y + ± Q = 1.17 + ' 2g l,A
7 (2*9.81)1,4.177 m
= 0.3465 m
_ _ a R2/2 R R ¡i = --------- = — = 0.69 m H nR2
= 1.38m
Problema . Una tubería de alcantarillado de 1.8 de diámetro interior transporta un caudal de 2.18 m5/s cuando la profundidad es de 1.24 m. ¿Cuál es la energía específica? \ 2
Problema Calcular la energía específica con Q = 6 m 3/s por un canal rectangular de 3 m de ancho con una profundidad de 0.90 m. E = y + —=y + IÍ5. 2g 2U E = 0.90 +
1 (2*9.81)1,3*0.9
Otra solución Q = 6m3/s
y = 0.9 m
E=y +á <=%
Q 2g2 VA l"'
1 2 18 Í- V E = 1.2 + ---------- ------- =1.24m 2*9.811,2.54 J
= U52kgm/
b = 3m
E= y -
I !I1
2
= 2m /s
6 m3/s q_ 3m E = 0.9 + —(2m /5^— = 0.9 + 0.2519 ra = 1.152 m (!9.6)^(0.9)ra Problema Calcular la energía específica con Q - 8.4 m‟/s, on un canal trapezoidal cuya solera = 2.4 m ancho, las pendientes de las paredes I sobre 1, y = 1.17 m.
Problema En el problema anterior, con qué profundidades debe circular un caudal de 6 m'/s para que la energía específica sea de 1.5 m kg/kg? Cuál es la profundidad crítica? 2 ,p" (2m / 2 j) = 0.76m Ye = 2 ■ 98 hf % 6tn3/s , q = 2m /s/m 3m
=
Para las etapas alternativas de flujo Y 2 E = q + --> Ye = 0.762 m 2g Luego V - -y¡2% (F - y) Q = VA Q = A>/2g(F-y) =s> Q = V2g (E-y) con esta ecuación se gralica q contra y, cuando E es constante =1.5 Se gráfica la variación de q vs y, de y = 0 hasta y = E y(m) 0
q
0.2
0
2.90
1.0
1.4
1.96
0.4
1.85
0.5
0.6
2.52
1.8
0.8 1.0
2.93 3.13
2.0
0
A = 3.6m 2
y=\.2m
q=L2^~^j = 2.3867m3 /slm 1^1=0.8343. 9.81
q
y(m) 1.2
Como 0.6(>c => el flujo es supercrítico Para
q = ^2g (E-y) (y) según la gráfica se tiene que entre 3
0.4 y 0.5 => q = 2m /s y entre 1.2 y 1.4 ==>q = 2m 3/s
con valores sacados de la gráfica se tiene que y, =1.395 m aproximadamente q =1.345 719.6(1.5 -1.345) = 2.0012 * q-2m3/s y i = 0.435 =>q = 1.9879 las dos profundidades son y, =1.395 m y 2 =0.435 na
Problema En un canal rectangular de 3 m de ancho el caudal es de 7.16 nrVs. Con profundidades de 0.6 m 0.9 m y 1.2 m determinar si el flujo es subcrítico o supercrítico.
9=0.6(— j = 2.3867 m‟ /s
v { y c ~y flujo es subcrítico Problema En un canal rectangular de 3 m de ancho el caudal es de 7.16 m 3/s cuando ln velocidad es de 2.4 m/s. Determinar !a naturaleza del flujo, q = 2.386 triVs
yc 4(2'386) = 0-834 m B^=|(0.834m)=1.25m V2 E=y+— 7cr —o 2 .y !¿á*!*L 2g 1 5 +
y = 1.25- 0.294=0.957 m Luego si y c { y 0.834»i( 0.957 m entonces el flujo es subcrítico
Problema Para una profundidad crítica de 0.966 m en un canal rectangular de 3 m de ancho ¿Calcular el caudal? yc 3 =q2/7e q^VYc ! = yj(0.966) 3 (0.18) = 2.972 m^/
Luego Q-q.b Q = (2.972 m Y & ) (3m) 8.9166™/
Seobtieneel valorde Ycdesarrrolhndopor aproximacimessucesivas,la ecuación yc =1.005m Luego Q2 _ Ac J S b ' (20mVs)Z _ (4.8yc +yc2) 2
2 3
9.8 m/s 4.8 + 2yc F(y)=(4.8yc +yc ) - 40.8(4.8+ 2yt.)
Problema Determinar la pendiente critica de un canal rectangular de 6 m de ancho y n = 0.012, cuando el caudal es de 26.5 m3/s.
Seobtieneel valorde yc desarrollaido por aproximacbnes sucesivas,la ecuación yc sl.005m Luego Ac = 4.8(1.005)+l(1.005) 2 =5.835m! b1 =4.8 + 2(1.005)= 6.814m Entonces
yc;
9.8 Vc
s=
yc
258m
= V(9.8)(12.58) =3.51 ¡1 9.8(5.835) -2 897m/s =Vc=2.90m/s 6.814
3.511(0.012) S=
(1.258) (67)^
= 0.0020849 ni/ m lineal = 0.00208%
8.516
Problema Un canal trapezoidal, cuyas paredes tienen una pendiente de 1 sobre 1, transporta un caudal de 20 mVs. Para una anchura de solera de 4.8'm, calcular la velocidad critica. A = by + my2 Ac = 4.8(yc) + (l)(yc)J
Problema Un canal rectangular de 1800 m de longitud, 18 m de ancho y 3 m de profundidad transporta 54 m3/s de agua (C = 40). La limpieza del canal hace que aumente C a 55. Si la profundidad en el extremo superior pennanece en 3 m, hallar la profundidad en el extremo inferior para el mismo caudal (aplicando un solo tramo). M)(3) _ 2.25 m C = 55 P 18 + 2(3) =ÍR„^
b1 = 4.8 + (2) yd 2
— = —r
S b (20mJ/s) =2(4.8 y,. 1 y,1) 9.8 m/s 4.8+ 2 y'
n:
R Y*
_ (2.25)^
C
55
n = 0.0208
3
Q Ac Luego
Luego
(CA)2 R
I
i í Qn ‟
2
(54) (0.0208)
s=
,AR^;
V=
=>S = 0.000147m/ni lineal
(54)(2.25)
cVRS => V = 557(2.25)(0.000147 =>V = 1.375m/s t S-S„
(y,+V, ?/2g)-(y3+V22/2g) , E2-E, S-S„
s 0 -s
E, = 3m+(1,3—-=3.0965 m
Entonces E , = Y, + V 2 i 2 2rSg E j = 3.274 + (1.03323) 2 / 2(9.8) = 3.3285 m Vj = 1.0332 m/s Lueeo 1800 =- (3 3284- ~ 3'0965 > . 0.000147 -0.0002731) ( 1800 = 1839 ) m Es decir, se da una igualdad aproximada y entonces el valor supuesto es ■' *
correcto E2 -3.0965 1800 =
y2 = 3.274 m
0.000147-S
Problema Un canal rectangular (n = 0.016), trazado con una pendiente de 0,0064 transporta (C mVs) en condiciones de flujo critico. ¿Que anchura debe tener el canal?
Para S0 Se obtiene con C = 40 40 = —(R)^ =>n = 0.0286 (54) (0.0286) % (54)(2.255)
qmax = -jg yc3
Con estas ecuaciones, se suponen valores para b, y se desarrolla hasta hallar el valor de Q. El valor de Q más aproximado, indica que el valor de b es el correcto. Haciendo b = 2.5 m yc =ll — /9.8=1.61m
> S = 0.000278 m / m lineal
Problema Entonces de O se necesita calcular y, y S, para ello se suponen valores para y, y se calculan A2 y V2 y se obtienen con los valores de y, y V t, unos valores promedios de y, A y V, para el tramo del canal y se calcula S, teniendo el valor de S despejando en la ecuación O y si L arroja un valor igual o aproximado al dado en el problema, esta bien supuesto el y 2 y, =3.274 m
A2 = 58.932
A, = 54 m2 V2 = 1.0332 m/s
V,, =1.20410 m/s /2
V, = 1.375 m/s c _ v2 >/2 (1.20410)2 /> G2 R, =2.4m
(55)2 (2.3250)^
.A= (2.5*1.61)
.
=0 704m
yc Rh= — = -r-^~ ------T—= 0.704 m
P (2.5 + 2(1.61))
Q - AV = (2.5 * 1.6!)[—!— (0.704)'> (0.0064)^
Ky = 56.466 m2
ji,=3m y =3.137m
yc3
= 0.000273 lm/m lineal
6
L 0.0 i
= 15.92 m3/í
yc:
Problema En un canal rectangular de 3.6 m de ancho, C = 55, S = 0.0225, el caudal es de 13.5 m 3s. La pendiente del canal cambia a 0.00250. ¿A que distancia del punto de cambio de pendiente se tendrá la profundidad de 0.825 m? (Empléese un tramo).
m
„ A (2,54 *1.591) R = — ---------------- -- . 0.706 m P (2.5+2(1.591))
Q = AV = (2.54 *1.594) -i—„(0.706 (0:0064 yí 0.016
)&-
v7v
'
• t6.02"nr'/s
El resultado aceptable es Q = 16.02 m 3/s y el valor recomendad o de b, es 2.54
A = 3.6y
** = TtSly
P = 3.6 + 2y
Q = V*A = cVRS *3.6y = cVs i- ~
,6y
*3.6y
p.6 + 2y
_ I 3.6y
13.5
m Problema Un canal rectangular (n = 0.012) de 3 m de ancho y trazado con una pendiente de 0.0049 transporta 4.5 mVs de agua. Para producir un flujo crítico, el canal se contrae. ¿Qué anchura deberá tener la sección contraída para cumplir esta condición si se desprecian las pérdidas producidas en la reducción gradual de anchura? = y9.S yc5 (condición cíitica)
70.0225*3.6 p.6 + 2y
5.5-
0.455 =
3.6y 3.6 + 2y
0.207 = y 1 í 3'6y 13.6 + 2yj
0.207 (3.6+ 2y)=3.6y:l ~-y¡9.&Yc (O
0.744 + 0.4I3y = 3.6y3
Se le asignan valores a b y se halla el valor de y c y se calculan Ac', P, R y por último Q por la fórmula de manning n2 2 (9.S) Y,!=Con base en (1) Qc = AcR^ b(m) Ac(m2) yc (m ) 'ís m J n t/ 2 0.802 1.604 0.445 5.220 1.5 0.970 1.455 0.4229 4.583 el valor de b está 1.4250 0.4172 1.45 0.98270 4.447 entre (1.45 -1.5) m 1.0 1.2736 1.2736 0.359 3.597 puesQcsQd 1.3 1.223 1.589 0.4243 4.58 =45 3.86 0 1.335 10.505 1.4024 0.4084 4.44 4.31 3 b aprox = 1.45 m
3.6y3-0.413y - 0.744 = 0 y, = -^- = 5.72 m/s A i V2 —— = 1.668 m 2e
b
y¡ = 0.656 m
Yc = J— = 1.128 m Vc= — = 3.324 m/j y g2 Ac Vc ---- = 0.563 in A, =3.6*0.825 = 2.97 m 2 2g
V2 =-5-= 4.55 m/s V
2
2
—2— = 1.053 m 2g — + y2 - —+ y, 2 L, = 2g J l g Sj-S,
(1.053+ 0.825)-(1.668+ 0.656) 0.00250-0.0225
.878-2.324 ,
= 22.3 m
0.02 (l .128 + 0.563) - (l .053 + 0.825) --------------- i = 9.35 m 0.00250-0.0225
L,
Un vertedero de pared gruesa tiene una altura de 0.40 m sobre la solera de un canal rectangular de 3 m de ancho. La altura de carga medida por encima de la cresta del vertedero es de 0.60 m. Determinar el caudal aproximado en el canal.
Lr =L, + Lj = 22.3 + 9.35 = 31.65 m Problema Usando los datos del problema precedente, (a) calcular la profundidad crítica en el canal más plano, (b) calcular la profundidad requerida para tener flujo uniforme en. el canal más plano, © calcular la profundidad justamente antes dei resalto hidráulico. (Se observa que esta profundidad ocurre a 31.50 m del resalto hidráulico, según el problema anterior).
Como E = y+ —
2o O
Debido a que el valor de V 1 /2g es mínimo es difícil de calcular, se toma entonces E = y. Para estecaso es igual a altura de la cresta del vertedero (H) Ecuación general
I.l28m b) Para flujo uniforme v=cVrs R.-4-
q = CH" q = 1.67 (C) H'^ = 1.67 (0.92) (0.60)^ = 0.714 m 3/s/m Luego Q = 0.714 (3 m) = 2.14 m3/s Problema Demostrar que la profundidad critica en un canal rectangular es Wg
36y
P 2y+ 3.6
V -VR 55 N/S V _ I 3.6y 55 VO.0025 \2y+3.6 13.5 V_ 3.6y 3.6>>*2.75 ) 2y + 3.6 1.86 _ 3.6y yJ 2y + 3.6
3.72y + 6.69 = 3.6y3 3.6y3 -3.72y = 6.69 y=1.506m
V2 Se tiene que E = yH --- (1) 2 g SiQ=VA Luego (E-y)2g = V2
V = V(E - yfig
q=—. Luego q = y 72g(E-y) tiene una profundidad crítica para una b Energía mínima
11—- 2
---- = 1--S— al igualar a O se obtiene q 2=gy3 dy gy !
eLy3
Luego E = y + f-
oí J en
y critica-^
Área de la Sección de un canal parabólico A = 1
■>/
=
T = y+-y E mínima % y CRÍTICA 2gy 2 Volviendo2 a la Ecuación inicial V 3 V-2 E = yc+—— => reemplazando — Yc=ycH—— Luego y c ~ir^ 2g 2 2g §
,
!2 = (V(E-Y)2g)|B Y^ q=^- =>q = ^YV(E-Y)2g V¿
3 B' Se deriva para obtener (q max) donde y critico dy
Problema Demostrar que la profundidad crítica en un canal triangular puede expresarse como '5 de la energía específica mínima. Para canal triangular A = my 2 m = z A = Zy" dE La Energía Específica es mínima cuando —— = 0 dy
E =y y+ — —=yH y
2V£-y
=o
^2(V(E^))2 - 2/ V
E =(VCE7y))2 - jy=o 3 Luego yc =- Emin Problema
D = — y (Profundidad hidraúlica) V2 Q2 _ Q2
ViE^)-^
r- => E-y = -- r
2g 2g A 2g A Si se deriva Q = Zy2 -J2g (E-y) Q = A -Jlg (E - y) = Zy2 ^2g(E - y ) Se obtiene Vm y critico para un caudal máximo Luego
Para un canal rectangular demostrar que el caudal q por metro de anchura es igual 1.704E3'2 , Se sabe que yc
= 3 q
Igualando
(1)
2
q _f 2 4
3 min
E■
4E = y + 4y => y c =-E^„ Problema Demostrar que la profundidad critica en un canal parabólico es % de la energía específica mínima. Si las dimensiones del caitul son y c de profundidad y B [ de anchura de la superficie de agua.
= 2/E /
Entonces 4y (E - y) = y1 4E - 4y = y
(2)
q
= E3 * gj2 = ^ El * Vg = 0.5443 E& * V^8 = 1.704
Problema Para un cana] triangular demostrar que el cauda! Q = 0.6335fb'/yc)E5,:2nlill
Problema Para un canal parabólico, demostrar que el cauda! Q = l.lOóSb'E3- A = — B'y
E = y+—f—1
3
2gUJ
Derivando para obtener Y crítico ^ = l + Qlí.A»dAl = 1- -2-^ = 0 dy 2g A3 dy J A3 gdy ■
i-^=o A gdy S.A3=S^ |B-y.Í2l§:'X
s
Q 2 B'
^-^ = 0.125B'3E3miI e
QJ=g(0.125)B'2E^ Q = 1.1068 B'Enl¡n ^
= 0.50B‟Em¡n
FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO
Para determinar la magnitud de las fuerzas desarrolladas por un fluido en movimiento, es necesario comprender las propiedades de una sustancia o cantidades observables de la materia tales como e! color, forma, masa, temperatura, presión, velocidad y energía almacenada entre otras. La medida de algunas de estas propiedades depende primordialmente de la cantidad de masa presente, del volumen, la energía, la cantidad de movimiento lineal, propiedades que se conocen con el nombre de extensivas. Por el contrario aquellas propiedades que no dependen de la cantidad de materia presente, se conocen con el nombre dé intensivas, como la temperatura, la presión, la densidad y la velocidad. Cualquier propiedad extensiva se convierte en intensiva, al dividirla por la masa, en cuyo caso la propiedad recibe el nombre de específica tal como el volumen específico o la energía específica. A partir de la segunda ley de Newton y considerando un volumen de control, se puede establecer la expresión de la cantidad de movimiento, para determinar la magnitud de la fuerza producida en cualquier elemento que se encuentre expuesto a la acción de un fluido. En este sentido el principio dinámico de impulso-cantidad de movimiento generado por un fluido se determina por la relación (X F) = M (AF) En algunas ocasiones, dependiendo del tipo de flujo que se produzca en una situación determinada (laminar o turbulento), se hace necesario aplicar coeficientes de corrección a la ecuación de la cantidad de movimiento, expresados de la siguiente forma. Para flujo laminar p = 1.0 Para flujo turbulento p = 1.33
En el mismo sentido, se han determinado coeficientes para ajustar los resultados teóricos a los prácticos, considerando situaciones de arrastre o resistencia ejercida por un fluido sobre un cuerpo en dirección paralela al movimiento relativo del fluido y situaciones de sustentación ejercida por un fluido sobre el cuerpo en dirección peipen- dicular al movimiento relativo del fluido. Los coeficientes de resistencia dependen del número de Reynolds para las velocidades bajas e intermedias y se hacen independientes de dichos números para velocidades altas. Igualmente se han determinado coeficientes de sustentación teóricos para placas delgadas en posición perpendicular a la velocidad relativa del fluido. En condiciones de velocidades muy altas o supersónicas, se ha establecido el número de Match como una relación adimensional determinada por el cociente entre la velocidad del fluido y la velocidad del sonido conocida como celeridad. Un caso particular de aplicación en éste capítulo se refiere al fenómeno conocido como golpe de ariete, el cual describe el impacto producido sobre una estructura, por una súbita disminución en la velocidad del fluido. El fenómeno genera dentro de la estructura una onda de presión que se desplana alternativamente hacia aguas arriba y aguas abajo, en un tiempo determinado por el doble de la relación entre la longitud dei conducto y la velocidad de la onda de presión multiplicado por el incremento de la presión o variación de la presión producida por la detección brusca del fluido, que se calcula multiplicando la densidad del fluido por su velocidad y por la variación de la velocidad producida.
Problema En el problema anterior, s la placa se mueve en la misma dirección y sentido que el chorro a una velocidad de 9 m/s ¿Qué fuerza ejercerá el aceite sobre la placa? Si la velocidad de 9 m/s tiene senido opuesto a la del chorro, qué valor tendría la fuerza anterior? A) Se conoce la velocidaden ambos casos y la densidad del aceite en UTM/m 3
F = 86.66 * | J - * 0.05- j *(25-9) (25-9) =44kg Son los mismos datos anteriores y especifica que la velocidad tiene sentido opuesto al chorro. B)
= 86.66 * ^ * 0.05 : j * 25 + 9)(25 + 9)= 186.7
Problema Un chorro de agua de 5 cm ce diámetro ejerce una fuerza de 270 kg sobre una placa plana mantenida normalmente da trayectoria del chorro ¿Cuál es el caudal de desagüe del chorro? r _pAV
?
100 0 270 kg = -
í—*0.05 2,
U1
6
Problema Un chorro de aceite de 5 cm de diámetro choca contra una placa mantenida en posición normal al eje del chorro. Para una velocidad del chorro de 25 m/s, Calcular la fuerza ejercida sobre la placa por el aceite, de densidad relativa 0.85 F = pAV2 donde , s2 p = densidad del aceite expresada en kg —m A = Área del Chorro V = Velocidad del chorro F = 86.66 * í— * 0.05 “ j * 25 2 = 106 kg
V2
9.8
V = 36.72 m/s Q =
Área * Velocidad Q = * 0.05.2 j * (36.72 <%)» 1 o3 Q = 72 L/s Problema Un chorro de agua con un caudal de 35 L/s incide sobre una placa plana mantenida normalmente al eje del chorro. Sila fuerza ejercida sobre la placa es de 75 kg calcular el diámetro del chorro?
F-
P
Av
' 9,8 Se despeja hasta obtener el diámetro F*9.8 = 1000*
A /lOOOQf)
J
1000 Q ,, I 9.8 F ! : ----- =>d" =—^ --------------- L 9,8 *F ix ( 1000*
f—TI
Uooo 9.8*75 j
e x = Arc tang (-111-88) = 22.50 Fr = 290.3 kg Problema Si en el problema precedente el álabe se mueve en la misma dirección y sentido contrario al del chorro de agua a una velocidad de 6m/s, ¿cuál es la fuerza ejercida sobre el álabe y cuál la potencia requerida para mantener el movimiento? m ¡ v t -f t =m 1 v t m í v u -f„=m 2 v 2i F x =M X Vlx -M, V3x y NETA ~ 28 - 6 = 22 m/s F x = M*22-M *22 cosl35° í; = 22M +15.6 M = 37.6 M Fx=rAxVs37.6
ít .i!A Bl37i g 4 Fx
d = 0.046 ni — 4.60 cm
=165,6Kg -F y = MV t
Problema Un chorro de agua de 5 cm de diámetro incide sobre un alabe curvo en reposo que esvía el chorro 135° respecto de su dirección y sentido originales. Despreciando el 3zamiento a lo largo del álabe, determinar la fuerza resultante ejercida sobre el alabe i la velocidad del chorro es de 28 m/s
Sen 135° -F y =l5.6M F = ^**^22,15.6 = 68.5fe * 2
2
4
Fa
=V68.6 +68.5 F K =\19kg P . m x 22^,1^
s
76— S
MV, - Ft = MVj ParaX
P = 52.5 CV
MVIX - Fx = MV ;X MV[X Fx = MV, Cos 135°
Problema
M28 - Fx=M28 Cos 135"
Un álabe fijo desvía 180° un chorro de agua de 5 cm de diámetro y que se mueve a una velocidad de 35 m/s. Qué fuerza ejerce el álabe sobre el agua?
Fx = M (28-28 Cos 135°) Fx = 47.8M2> 1000^*0.05 ](28)
Fx = -
*47.8 = 268,2 kg
9.8 Para'Y'MV'IV-Fy = MVJV -Fy = MV, Sen 135° -Fy = M28 Sen 135° 1000* --•0.05* ? -Fy = M(l9.8)
S
~Fya
4
•I9.X -111.08 kg
-3— al igualar a O se obtiene q 2 = gy3
gy
Q = (V(E-y)2g )a
c ■ • ->./ Emínima = ^ yCRjTICA
é J. gy3 1 E = y + —r = y + -y ndo a la Ecuación inicial V2 -I—— => reemplazando 2g
3 V-2 Vi — Yc=yc-l—— Luego ye=—— 2 2g 2g
Área de la Sección de un canal parabólico A =
-1 3 B1 ^3 Se deriva para obtener (q max) donde y crítico 2,/ v
J
y
0
E=(VCE^))2 -|y-o Luego yc =—E^ Problema Para un canal rectangular demostrar que el caudal q por metro de anchura es igual a L704E3'2.,,.
;anal triangular A = my2 m = z A = Zy2 dE íergia Especifica es numma cuando — = 0 dy ^ y (Profundidad hidraúlica) Se sabe que yc V Q „Q t+— = y+ . => E-y = - ----------------- T 2 g 2gA 2 2g A deriva Q = Zy2 -
2
2
-3 1'
(1)
Igualando iW7 = 2/e
yc
(2)
V y g y 2/ min
¿-IB.
L, S0 2WE: ;
' '
‟ 'ijb onces 4y
2
(E - y) = y 4E-4y = y
q= -E ■ ~ I ^ min
4E = y + 4y => y^-jE^ iblema mostrar que la profundidad crítica en un canal parabólico es % de la energía fica mínima. Si las dimensiones del canal son y c de profundidad y B1 de anchura mperficie de agua.
Y
/
^=V(E-y)dy
ma ■trar que la profundidad crítica en un canal triangular puede expresarse como :nergía específica mínima.
c-i j m
critica =
E = y + ——2 — 2gA
*S= 27
■ Eü *Vs =0-5443 E& *V^8 = 1.704 E&
2
Q2
Problema Para un canal parabólico, demostrar que el caudal Q = 1.106Xb lE3ÍJ?m E = y+—[— I A = —B'y 2gUJ
E = y +y ---------- = y + -------------7 rProblema 2g triangular demostrar 2gA que el caudal Q = Para un canal 0.6335(b'/yc)Ei„rl
Derivando para obtener Y crítico
Q 2 * 4 2g
E=y+
2
*b y dE_
2
dE
2
gb2y
dy
= 1 + Qlf.4-*^l = i dy 2 g ^ A 3 dy l_Q^dy=0 A gdy
2Q 2Q
2q
gb y :
gy
Q2 dA
=0
A3 gdy
3
2q 2 = gy 5 y+
yc
r
2q
2
sy
2
y+
g y~
2y
g y:
2 Si A3 : Q i?
lv y J9lv} y í
dA _ dy 2 dE _ l 2Q 2 dy
2g
A
dA dy
dE Para --------- = 0 dy
Q
dA dy Q2 B‟
gA3 =Q2 *3
2 _ 2g A
b g
3 _ b3 y3
8
Q2=g(0.125)B'2EL 2gbV = 2gb2y3 = íg
0.554bE K 2?2
8b b^=b yc
b=^
= 0.125 B'3 E3^
y yc
0 = 0.554 ^E^ = 0.554 Yc
yc
2
yc
Q = 1.1068 B'E„^
= 0.50 B‟E„
FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO
Para determinar la magnitud de las fuerzas desarrolladas por un fluido en movimiento, es necesario comprender las propiedades de una sustancia o cantidades observables de la materia tales como el color, forma, masa, temperatura, presión, velocidad y energía almacenada entre otras. La medida de algunas de estas propiedades depende primordialmente de la cantidad de masa presente, del volumen, la energía, la cantidad de movimiento lineal, propiedades que se conocen con el nombre de extensivas. Por el contrario aquellas propiedades que no dependen de la cantidad de materia presente, se conocen con el nombre dé intensivas, como la temperatura, la presión, la densidad y la velocidad. Cualquier propiedad extensiva se convierte en intensiva, at dividirla por la masa, en cuyo caso [a propiedad recibe el nombre de específica tal como el volumen específico o la energía específica. A partir de la segunda ley de Newton y considerando un volumen de control, se puede establecer la expresión de la cantidad de movimiento, para determinar la magnitud de la fuerza producida en cualquier elemento que se encuentre expuesto a la acción de un fluido. En este sentido el principio dinámico de impulso-cantidad de movimiento generado por un fluido se determina por la relación (I F) = M (AF) En algunas ocasiones, dependiendo del tipo de flujo que se produzca ea una situación determinada (laminar o turbulento), se hace necesario aplicar coeficientes de corrección a la ecuación de la cantidad de movimiento, expresados de la siguiente forma. ^“(7) ^(7) dÁ dedonde Para flujo laminar (J = 1.0 Para flujo turbulento p = 1.33
En el mismo sentido, se han determinado coeficientes para ajustar los resultados teóricos a los prácticos, considerando situaciones de arrastre o resistencia ejercidapor un fluido sobre un cuerpo en dirección paralela al movimiento relativo del fluido y situaciones de sustentación ejercida por un fluido sobre el cuerpo en dirección perpendicular al movimiento relativo del fluido. Los coeficientes de resistencia dependen del número de Reynolds para las velocidades bajas e intermedias y se hacen independientes de dichos números para velocidades altas. Igualmente se han determinado coeficientes de sustentación teóricos para placas delgadas en posición perpendicular a la velocidad relativa del fluido. En condiciones de velocidades muy altas o supersónicas, se ha establecido el número de Match como una relación adimensional determinada por el cociente entre la velocidad del fluido y la velocidad de! sonido conocida como celeridad. Un caso particular de aplicación en éste capítulo se refiere al fenómeno conocido como golpe de ariete, el cual describe el impacto producido sobre una estructura, por una súbita disminución en la velocidad del fluido. El fenómeno genera dentro de la estructura una onda de presión que se desplaza alternativamente hacia aguas arriba y aguas abajo, en un tiempo determinado por el doble de la relación entre la longitud del conducto y la velocidad de la onda de presión multiplicado por el incremento de la presión o variación de la presión producida por la detección brusca del fluido, que se calcula multiplicando la densidad del fluido por su velocidad y por la variación de la velocidad producida.
Problema En el problema anterior, si la placa se mueve en la misma dirección y sentido que el chorro a una velocidad de 9 m/s ¿Qué fuerza ejercerá el aceite sobre la placa? Si la velocidad de 9 m/s tiene sentido opuesto a la del chorro, qué valor tendría la fuerza anterior?
Problema Un chorro de aceite de 5 cm de diámetro choca contra una placa mantenida en posición normal al eje de! chorro. Para una velocidad del chorro de 25 m/s. Calcular la fuerza ejercida sobre la placa por el aceite, de densidad relativa 0.85
V = 36.72 m/s Q =
A) Se conoce la velocidad en ambos casos y la densidad del aceite en UTM/m
3
F = 86.66*|^*0.05 2j*(25-9)(25-9) =44kg Son los mismos datos anteriores y especifica que la velocidad tiene sentido opuesto al chorro. B)
F = 86.66 * ^ * 0.05 2 j * (25 + 9)(25 + 9)= 186.7 Problema Un chorro de agua de 5 cm de diámetro ejerce una fuerza de 270 kg sobre una placa plana mantenida normalmente a la trayectoria del chorro ¿Cuál es el caudal de desagüe del chorro? 9.8 100 0
í—*0.05 21 U
V2
J.
Área * Velocidad Q = ^ * 0.05" j * (36.72 ^/)* 10 3 Q = 72 L/s
F = pAV! donde
, s2
p = densidad del aceite expresada en k g —m A = Área del Chorro V = Velocidad del chorro F = 86.66 * í j * 0 . 0 5 z j * 2 5 I = 1 0 6 k g
Problema Un chorro de agua con un caudal de 35 L/s incide sobre una placa plana mantenida normalmente al eje del chorro. Si la fuerza ejercida sobre la placa es de 75 kg calcular el diámetro del chorro?
*F
n
F-P
AV2 9,8
0 x = Are tang {-111.88)= - 22.50 Fr = 290.3 kg
Sedespeja hasta obtener el diámetro O 2 F * 9.8 = 1000* A *-—■
í 1000Q3 1000 Q3 ,, t 9.8 F =>d"=~ ------------
A- .
•f— f
Problema Si en el problema precedente el alabe se mueve en !a misma dirección y sentido contrario al del chorro de agua a una velocidad de 6m/s, ¿cuál es la fiierza ejercida sobre él alabe y cuál la. potencia requerida para mantener el movimiento? My T -F T =M 2 V T
1000*
Uoooj d — 0.046 m = 4 60 cm
.
-F„ -M,V. lx F r 9.8*75
rr
=M] Vu - Mj V3s V NETA - 28 - 6 = 22 m/s
Problema Un chorro de agua de 5 cm de diámetro incide sobre un alabe curvo en reposo que desvía el chorro 135° respecto de su dirección y sentido originales. Despreciando el rozamiento a lo largo del álabe, determinar la fuerza resultante ejercida sobre el alabe si ia velocidad del chorro es de 28 m/s MV, -Fí = MV, ParaX
F x = M*22-M*22 cos 135° F x — 22M+15.6 M = 37.6 M ^=rAxV,37.6 p 1000,-^1,22^.6 S 4 Fx = 165,6Kg -F y = MV, Sen 135° -F y = 15.6M „ lOOOx ?r(0.05)2 F = ------- .x—----—x22 15.6 = 68.5kg 4
MVIX -FM = MV a MV,* -
S
Fx ” MV, Cos 135°
F R =V68.62 + 68.52
M28 - Fx = M28 Cos 135°
F R =\19kg
Px = M (28-28 Cos 135”) Fx = 47.8 M
P=
179,22^1^ 5
1000^«0.05 ! j(28)
* 47.8 = 268.2 kg
Fx = -
Para *Y* MV lv-Fy = MVj, —Fy=MV, Sen 135" - Fy “ M28 Sea 135°
M(l 9, 8) -Fy—
l_4
P = 52.5CV Problema
-Fy-
1000* -*0,053
76“ s
Un álabe fijo desvía 180° un chorro de agua de 5 cm de diámetro y que se mueve a una velocidad de 35 m/s. Qué fuerza ejerce el álabe sobre el agua?
?, R *19.S = -H1.08 kg
F f =.M*35-A-/*35COS180 ? = 70M „ 1000 J C (0. 05) , F = ------ x ----------- *35x70 = 490.4 kg T 9.81 4
Q = V*A = 36*/T
2
Problema Una tubería horizontal de 30 cm de diámetro se contrae a 15 cm de diámetro. Si el caudal es de 13.0 L/s de un aceite dé densidad relativa 0.88 y lapresión én la tubería de diámetro menor es de 2.70 kg/cm2. Cuál es la fuerza resultante ejercida sobre la contracción si se desprecia el rozamiento? „ 4Q 4*0.13 , . V, = —=- = -------- - = 1 ..84 m/s 1 ftD? ^(0.3)" 4Q 4x0.13 . V, ” —— = ------------ r = 7.3o m/s 5 #(0.15) y ' 2g ~ y !
+
2g
l
P, cm m*.+ 7-3« 1-84
Problema Una boquilla de 5 cm de diámetro C v = 0.97, descarga un chorro horizontal de aceite con densidad relativa = 0.80, por la pared lateral de un depósito, bajo una carga de 12m. ¿Qué fuerza horizontal se ejerce sobre el depósito? = Cv ^SglT = 0.97 71^62^12 = 14.88 m/s (°-05) —2.92 * 10~z m3/s 4 y QV__ 800 *14.88 *2.92 *10 9.8!
2
35.5 kg
2
9 62 1 9 6 2
m
33.27 m P, = 2.92Ag / cm 2 Y F. = 2.92 -,■ x —- = 2069,5 kg hacia la derecha cm 4 F 7 = 2.1 -^r-x = 477.1 kg hacia la izquierda cm 4 M Vx | + {Fuerza s en dirección X)i 1 = 2069.5-
= 1.76*10'2 m3/s
7^*!'76„10„2C36'4-5)=56kg
XL.
7 7 ^ ylfí*
r 880 M. > -
F=
4
477.1 -Fx=f0.88x1000x—j(7.3ó -1,84)
F, = 1528fe Problema El modelo de una lancha motora es movido a 4.50 m/s mediante un chorro de agua de 25 mm de diámetro, expulsado directamente por la popa, La velocidad del chorro con relación al modelo es de 36 m/s ¿Cuál es la fuerza motora?
Problema En el laboratorio se ensaya un motor turborreactor bajo unas condiciones semejantes a las que reinan en cierta altitud, donde la presión atmosférica es de 3830 kg/m~ (ab), la temperatura T = 238,5“K y el peso W = 0.549 kg/ra 3. Si el área de la sección de salida del motor es de 1400 cm 2 y lapresión de salida la atmosférica ¿cuál es el número de Mach si el empuje bruto es de 670 kg? Usar K= 1.33 F WsVs_(WAsVs)Vs g - g 6?0, 0.549 (0.140) Vf g Vs = 292 m/s Calculando eí número de Mach VT VS
Nm = — c Vs Nm = -7=== VKgRT 292 Nm
V(í-33)(9.8)(29.3)(238.5)
Problema ¿Qué peso sustentará un ala de avión de 50 m 2 con un ángulo de ataque de 4 o y una velocidad de 30 m/s? Utilizar C L = 0.65 y aire a 15*^ V2 Sustentación = C, p A — 2
Sustentación = 0.65 *0.-125-1-* 50-*^— 2
fl'M V2 Resistencia = 0.05 — *30* — = 310kg >,9.8,1 2 310
= 3375.55 m2/s2 ■
0.091836 V = 58 m/s
Walre de 1.2 kg/m3
Problema Sobre el plano de una señal de tráfico de 3.60 m por 0.60 m incide el viento a una velocidad de 46 Km/h y con un ángulo de 8°. Utilizando los valores C L = 0.52 y CD = 0.09, calcular (a) la fuerza ejercida sobre la señal perpendicularmente a la dirección de viento y (b) la fuerza ejercida paralelamente a la dirección del viento. Suponer aire normal a 15°C.
V2 Peso= sustentación-C, p A-^- = 2700kg
Resistencia ,
Sustentación = 1830 kg Problema ¿A qué velocidad vuela un avión que pesa 2700 kg si la superficie de sus alas es de 50 m2 y el ángulo de ataque 8 o? Utilizar el valor máximo de C L=0.90.
^ 2700*2*9.8 ~ 9.9*1.2*50 V = 31.30ra/s
-1.91*
2
Sustentación- p _ ^ 9g2 +n 44i = u 61 kg FV =11.61 Cos. 8o =11.5%
Problema ¿Qué superficie de ala debe tener un avión que pesa 900 kg para que pueda aterrizar aúna velocidad de 56 Km/h? Utilizare! valor máximo de C L=1.50 Wa¡l5 de 1.2 kg/m3 V2 Peso = sustentación = C L p A =900 kg 900*2*9.8 9.9*1.2*(l5.55) 2 A = 40m2 Problema Si la resistencia sobre un ala de avión de 30 m 2 de superficie es de 310 kg ¿A qué velocidad debe moverse el perfil con un ángulo de ataque de 7 o? Utilizar CD = 0.05
La fuerza perpendicular al viento corresponde a la sustentación y las fuerzas paralelas al viento corresponden a la resistencia V1 Fperpendicular = Sustentación = C L p A -y- = 0.52* 0.1251 * 2.16 *—
12.772
= 11.5kg V2 / 12 772 F paralelas= resistencia = C D p A -y = 0.009 (0.1251)(2.1 ó) ——— = 2.0kg
Problema Un modelo de ala de avión de 1.00 m de alargamiento (longitud) y lOcm de cuerda se ensaya en el túnel aerodinámico con un ángulo de ataque constante. El aire a presión normal y 27°C circula a 100 Km/h. La sustentación y resistencia medidas son, respectivamente, 2.80 kg y 0.23 kg. Determinar los coeficientes de sustentación y resistencia.
V1 R = CD/7A —R-CcpA —
V2
b) R = 29.3 K = 1.4
Despejando C E C— D p AV2 0.46
Vs = 3840 = 1066.66 — h s ,T 1066.66 , Ntn = -============■ = 3.108 -v/0 -4)(9.8)(29.3) (273 + 20) • c
CD
(0.l2)(0.l)(27.77)2
CB = 0.0497 V2 Sustentación = LC, p A — 2
c2S = '-L Cl
p AV
5.6 (0.12)(0.l)(27.7)2 CL =0.605
Problema Calcular el número de Mach para (a) un avión que se mueve a una velocidad de 480 Km/h, (b) un cohete que va a 3840 Km/h y (c) un proyectil cuya velocidad es de 1920 Km/h. Los tres se mueven a través de aire normal a 20°C.
Calculando el número de Mach Vs=_-3-^ Vs Para 20*0 Nm = — C v'KgRT
a) R = 29.3 K = 1.4 Vs = 480 —= 133.33 — h s 133.33 Nm = - = 0.3885 7(l .4) (9.8) (29.3) (273 + 20)
) R = 29.3 K = 1.4 Vs= 1920 —= 533,33 — h s 533 33 ' , cc Nm=-¡7— .................. = 1.554 V(l .4) (9.8) (29.3) (273+ 20) Problema Del problema 11 ¿cuál será el empuje bruto si la presión de salida fuera de 0.70 kg/ cm2 (ab) y el número de Mach Nm es igual a 1? Utilizar k= 1.333 Calculando la temperatura en dicha sección
(K-l)
Ts _r ( o. 7 *l Q - 4 ) ' [ 3830
238.5
Ts = 277°K Vs = NmC
Problema Un automóvil tiene un área proyectada de 3.20 m 2 y se mueve a una velocidad de 80 Km/h en aire en reposo a 27°C. Si C c = 0.45. ¿qué potencia se consume para vencer la resistencia? La potencia requerida para vencer la resistencia es:
Vs = NmVKgRT Vs=1.0 V(l-33)(9.8)(29.3)(273)
P= Fuerza * Velocidad
Vs = 325m/s
V3 F = CDPA—
Calculando peso específico en la salida
wj
K
La fuerza que actúa perpendicular al área es
F = 0.45*0.1200*3.2* ( 22 ' 22 ).
Pl
W, Y33 0.7 * 10“
2
F = 42.66 kg _ 42.66 * 22.22 75
0.549) 3830
P = 12.64
We = 0.864 kg/m3 f_0.864(0.14)(325)
:
c\2
+ 0.14(7000-3830)-0= 1746 kg
9.8
Problema Un motor cohete quema su propulsor a razón de 6.90 kg/s. Los gases, productos de la combustión, abandonan el cohete a la presión atmosférica y a una velocidad relativa de 980 m/s. La tobera de empuje tiene un área de salida de 320 m J y el peso bruto de! cohete es de 230 kg. En un instante determinado, el motor cohete desarrolla una potencia de 2500 .C.V. ¿Cuál es la velocidad del cohete? La presión de salida es ignal a la atmosférica
■ Kfh
■v-(fj>™ FT = 690 kg
FT V cohete 2500 CV = — - 75 V cohete=272m/s
CV Problema Un tren de 150 m de longitud se mueve a través de aire normal a 15°C a una velocidad de 120 Km/h. Se consideran los 1500 m 2 de superficie del tren como si pertenecieran a una placa plana. Para una capa limite turbulenta desde el borde de ataque, ¿cuál es la resistencia superficial debida a la fricción? V2 R = CDpA — P = 15°C es de 0,1251 V = 120 —=33.33 m/s D
R=C
h' * (0.1251)* 1500 *(33-33-*
R= 104229.15 C D 0.455 ( L og ,0REP 0.455
Para 106 {Rs (105 0.455
t* ) R = 104229,15 * 0.001794 = 187 kg
^- = 0.001794
= 50 —= 13.88 — h s ) 2
0.999 * 1000 Vg1gJl3.88)2 Problema Un cilindro de 60 cm de diámetro y 4.5 tn de longitud se mueve a 50 Km/h a través de agua a 15”C (paralelamente a su longitud). ¿Cuál es el coeficiente superficial debida a la fricción?
Elaguaa2f Ctiene p4 = 0.997 y fi =1.115*10 yResistenck = C D p A — a)
V2 1.328 1.328
R = Cd/oA — p =0.999 Área Cilindro = 2 * jt *0.3*4.5 = 8.48
VI/ I 0.3* 0.9 í 1-115*10* R = 0.0064 kg b) Para fueloilpesadoque p = 0.908 y ^=148*10'* R = 2Cn
^0^i000j,O.27*Ml = 2.25C„ 7
165 =83184.28 C D
Cn = ■r -1:.28 . = 0.0309 0.3 *0.9
C _ —165kg— _Q QQ2 83184.28 kg
1148.4* 10'6 R = 0.0696kg
Problema Calcular la resistencia superficial debida al rozamiento sobre una placa plana de 30 cm de anchura y 90 cm de longitud, colocada longitudinalmente (a) en una comente de agua a 21 ÓC que fluye a una velocidad de 30 cm/s y (b) en una corriente de un fuel-oil pesado a 21°C y una velocidad de 30 cm/s
Problema Un globo de 1.20 m de diámetro, que pesa 1.80 kg, está sometido a un empuje hidrostático medio de 2.25 kg. Utilizando P = 0.120 UTM/m 3 yi= 1.58 * 10'5mJ/s, evaluar la velocidad con que ascenderá. ^]FY = 0 => Resistencia = Peso del globo- Hmpujehidrostático Problema Un objeto que tiene un área proyectada de 0.60 m 2 se mueve a una velocidad de 50 knn/h. Si el coeficiente de resistencia es de 0.30, calcular la resistencia al moverse a través de agua a 15°C y a través de aire normal a ÍS^C.
h
s
F a) =a 1770kg través del agua a 15 o C
a) El número de Reynolds R
E
=
2
b)=a través delVaire normal a 15° C
M
^ CD p A~~
Siendo
F = 0.30 * — * 0.6013* 889 (13---89-) F = 0.30*102*0.6*^ 9.81 2 F '= ^ ■ 50 — = 13.889 — 2.16kg Problema
V=Velocidad L=Longitud H= viscocidad cinemática
Un cuerpo se mueve a través de aire normal a 15°C a una velocidad de 80 Km/h y para mantener esta velocidad se requiere una potencia de 5.5 CV. Si el área proyectada es de 1.20 rrv, determinar el coeficiente de resistencia.-
V
2
CDpA —
Y
como potencia es igual a FV
El valor REindica que el flujo en la capalímite está en la zona detransición suponiendo que el valor crítico del R E esigual a 500000Rj. c -RE críticas la localizad ón del punto en que terminan las condiciones laminares se calculan
Si la resistencia F es igual a F=
12*24 R E = ———=- = 19328859.06 1.4910
Potencia *75 5.5*75 F= ------- 1—*— = ----------- 7 = 18.56 kg V(m/j 22.23“/
así Xc _ REC _REC LRE RE ,, 24*500000 Xc = =0.621m 1932885906 b) El espesor déla capa límite se calcula así
V2 Luego 18.56 kg = C D p A - ^ -
5.20*XC 5.20*0.621 VR« v'500.000 5 = 4.567 *10'3 m = 4.567 mm c) La resistencia superficial se calcula sumando a la resistencia producida por
la zona de la capa límite laminar que llega hasta Xc y la resistencia que da lugar a la zona de capa límite turbulenta entre B y C y este valor se calcula como si toda la capa límite fuese turbulenta. Al restarle la resistencia producida por la capa limite turbulenta ficticia de A a B entonces O Resistencia laminar de A a B sobre una de las caras V2 R, =CD *p*A* — R,=
Lla resistencia requerida C D será 2
p AV 1.22 t) 9.81
18.56*2 56* 1.2 (22.22)2
*
Problema Una placa rectangular lisa de 0.60 m de anchura por 24 m de longitud se mueve a una velocidad de 12 m/s en la dirección de su longitud a través de una masa de aceite. Calcular 1a resistencia sobre la placa y el espesor de la capa límite en el borde de salida. ¿Sobre qué longitud de la placa se mantiene la capa limite laminar? Utilizar la viscosidad cinemática = 1,49* 10*5 m3/s y W = 850 kg/m3.
1£L*^*(0.621*0.6) *HÍ V500000 9.81 R, =4.365 kg
2
i r K n P * 30 cm 1050 = 0.95 cm
por tanto
a) Hallando la celeridad del proyectil
C = 1/gKRT = V(l.4)(9.8l)(29.3)(273 + 10)
% p = -----1050
Si K y R son constantes tales que K = 1.4 y R = 29.3 y por otro lado donde T está en grados absolutos C = 337.46 m/s
0.3 m H/ 9.975 y /m P=0.3 m
b) Determinando el ángulo de Mach a M Para ello es indispensable tener en
P = 33.25 k^/2 P = 33.25
cuenta el número de Mach V.JTWs C 337.46 m/s Por tanto
%
a M = Are Sen —— = tr re Sen —í—
NM
1.69
a M = 36.30 = 36 018'6.74' Problema Calcular el ángulo de Mach para una bala que lleva una velocidad de 510 m/s a través del aire a 1.033 kg/cm 2 y 15°C a) Calculando C
C = VgK RT = V(l.4)(9.8lJ(29.3)(273 +15)
C) Del diagrama H, forma A para el N M de 1.69 C D = 0.52 y si el p
peso especifico del aire es W = —-
C = 340.43 m/s b) Calculando el número de Mach Nm 510m/s
=1
340.43 m/s c) Teniendo el número de Mach se halla el ángulo de Mach
a M = are Sen -----Nm aM = arcSen—-— = 41.87 =41°52'43" 1.498 Problema ¿Cuál es el valor de la resistencia de un proyectil (forma A Diagrama H) de 100 mm de calibre cuando lleva una velocidad de 570 m/s a través del aire a 10° C y 1.33 1.033 kg/cm2?
W- L( f*104 ,-1.246% 29.3(273 + 10)
/m
la resistencia para la forma A del proyectil es
„ C 0 *P *A *V 2
„ w
Rp = —- -------------- pero como P = — 2 g CD * W * A * V 2 0.52*1.246*(O.l)2)*(570)2 Rp = — ----------------- = —r—c = 84.3 kg 2g 2(9.81)
MAQUINARÍA
HIDRÁULICA
Lamaquinaria hidráulica o turbomaquinaria basa su funcionamiento en el principio de la cantidad de movimiento, al estudiar las fuerzas generadas en un álabe móvil cuando un fluido pasa a través de el. Las bombas, ventiladores y compresores, independientemente si son centrífugas o axiales, incrementan la energía del fluido, al desarrollar un trabajo continuo sobre los álabes. Por el contrario las turbinas hidráulicas, bien sean de impulsión o de hélice, como también las de vapor y las de gas extraen continuamente energía del fluido y lo convierten en par aplicado a un eje que gira. Ambos grupos por tanto utilizan el fluido para generar y transmitir potencia de manea continua. Debido a que el desplazamiento de los álabes se produce de manera tangencial, el trabajo producido se debe al desplazamiento de las componentes tangenciales de la fuerza en el elemento que gira (rodete o rotor), ya que las componentes radiales de la fuerza en el rotor no se desplazan en la dirección radial y por tanto no pueden efectuar ningún trabajo. En la teoría de las turbomáquinas se desprecia la fricción y se supone que el fluido escurre de manera perfecta a través de la máquina, como si existiera un número infinito de álabes imaginarios de tal manera que la velocidad relativa del fluido siempre es tangente a los álabes del equipo. Un parámetro muy utilizado en el diseño de este tipo de equipos es el conocido con el nombre de velocidad específica, el cual se define como la velocidad de un rotor homólogo con un diámetro tal que puede desarrollar una potencia unitaria para una altura unitaria Igualmente es muy útil determinar el rendimiento de los equipos, para lo cual se utilizan relaciones adimensionales entre las potencias suministradas al fluido y las generadas en los ejes de los equipos. Siendo estas relaciones contrarias bien sea que se apliquen para las bombas, ventiladores y compresores o para las turbinas.
Un fenómeno muy común que se presenta en el funcionamiento de las maquinas hidráulicas es el de la cavitación, que se produce cuando en puntos determinados la presión absoluta se reduce a valores por debajo del punto de ebullición del aguapara una temperatura dada, ocasionando con esto corrosión de las partículas de metal del equipo Para un buen diseño de turbomáquinas se necesita poseer conocimientos teóricos profundos y la experiencia suficiente para permitir la adaptación de equipos de diferentes tamaños, cuando sean gométricamente semejantes. Problema Una rueda de impulsión trabaja bajo una carga efectiva de 190 m. El diámetro del chorro es de 10 cm. Para valores de C<{>=0,45, cv=0,98, (3=160° y Vj=0,85 (V^u), calcular la potencia en el eje.
DN 84604 H D - (l0)(l2.50)= 125 cm (0.46X8460^/274 125 cm Problema Un modelo de turbina, construido a escala J:5, se ha proyectado para desarrollar 4,25 CV a freno, a una velocidad de 400 rpm, bajo una carga de 1.80 m. Suponiendo rendimientos equivalentes y bajo una carga de 9m, ¿cuáles serán la velocidad y la potencia de la turbina a escala normal? La velocidad para una carga de 1.80 m es: N= 400
N -J P H%
N.
donde : rpm
_(400)(V425)_
H=1.8m ■ N, = 395.52 rpm ‘ (l# Ahora la potencia para una carga de 9 m es: N
=
NJ P
»dl_irfejc£} , 4 4 Fj =0.85(F¡-p) DN _XT 0.45 x 8460 VÍ90 tp = ----- — =>N = ---------------------- =5247.59 rpm 8460VH 10 =27 48m s ' / Cv = — => V=0.98^/2*9.8*190 Vj = 59.80 jrcoslóO = 0.4697/0.007854 = 56.2 V2gH Vm/s = 59.80 m/s real
T(^)
V2 =0.85(k,ideal -p) = 0.85(+ 56.2-27.4S)=83.68m/j v=61.02m/s Q = V* A=> 59.80* 0.007854= 0.4697 m J/í Problema fj=r* 2 J Á Una rueda de impulsión desarrolla 2500 CV bajo una carga efectiva de 274 m. El diámetro de la boquilla es de 12.50 cm., C v = 0.98, ij) = 0.46 y la relación D/d = 10. Calcular el rendimiento y la velocidad de giro.
274
P-
4.24CV
■ pn =
N
y
N, H
%
N
Entonces remplazando los valores correspondientes: f(395.52X9)5/4^
= 237.59CK
l 400 que es la potencia del modelo y por tener rendimientos equivalentes, la potencia de la turbina a escala normal será: P = 237.59 CV x 5 = 1188CK Entonces la _(395.52)(9)^ N-JP velocidad será: = 178.9 rpm N. = ■N: 4P VTÍ88
ÍT
ai
X) = 12 ;t 0.127 = 152 Acm Determinar el diámetro de la rueda de impulsión y su velocidad de giro a partir de los datos siguientes: = 0.46, e = 82%, C v = 0,98, D/d = 12, carga = 400 m y potencia cedida = 4800 CV. Í P=
. E N 5,0.7 8460 VH 8460 V400 rQULUL^ 4800 ,1000 * 6 * 4 0 0 * 0.82 75
=
Relación de caudal 2----- ¡= D 4H 0.121 (56. l)2 V60 (56.1)2Á/30 " > Q = OAllrn Is Problema En condiciones de máximo rendimiento una turbina de 125 cm de diámetro desarrolla 300 CV, bajo una carga de 4.5 m y a 95 rpm. A qué velocidad giraría una turbina homologa de 62.5 cm de diámetro si trabaja bajo una carga de 7.5m? Que potencia desarrollaría?
75
A= ^- = 1098 = 0.013 m 2 F 86.77 V = CV ^ZglT = 0.98 72(9.8 )400 = 86.77 m/s
A =-d 2 4 j 14 A , „ D ¡¡ _ I ----- • 127 cm — = 12
■jH V 7.5 V4.5 jvVp 2453-J P 95^300 _ -—TT-^> ------- = 161.360^ (7 ¿Y* (4.5)^ Problema
Problema Una turbina de reacción girando a velocidad óptima, produce 34 CV al freno a 620 rpm, bajo una carga de 30 m. Si el rendimiento es del 70% y la relación de velocidad <|>= 0.75, determinar a) el diámetro de la rueda, b) el caudal en m 3/s, c) la velocidad ' 8460 -JTT ’ H ¡Á característica Ns y d) la potencia al freno y el caudal para una carga de 60 m. „ 0.75 x 8460 V5o” „
620 -JiA ..
s------x ON6~20 -- --- =56.05 rrr
N,Njp = ~ — = (30
c s
)
Y QH«
b)
75
(34X75) Relación de potencia (1000X30X0.7)
Q = 0.121tn 3/s Q
P
P=——— d) P
D¡
P
(56.1) : (60)^ (56.1)‟(30)^
P = 96.18 CV
51.49 rpm
Una turbina de impulsión de 150 cm de diámetro, desarrolla 625 CV al freno, cuando trabaja a 360 rpm, bajo una carga de 120 m. a) Bajo qué carga trabajaría una turbina semejante a la misma velocidad a fin de desarrollar 2500 CV al freno? b) Para la carga calculada, qué diámetro debería emplearse? N4P 360^625 360^2500m„ ,_ ffK " (120)* " H* ^ ~ ' iH -J208.9 t/120 Problema La relación de velocidad D = -------- 1 ----- ------ = 104 cm 8460-JÑ 569.21
Problema De un ensayo sobre una turbina se sacan los siguientes datos: la potencia al freno = 22.5 CV, carga = 4.80 m, N= 140 rpm, el diámetro de la turbina es de 90 cm y Q = 0.380 m-7s. Calcular la potencia de entrada, el rendimiento, la relación de velocidad y la velocidad específica. 1000(0.380)(4.80) 21 32C;/ 7.5 22,:> 7.5 -*100% = 92.5% ,, N-JP 14(W2Í5 N, = —rrA = -7--------77Y = 9^-469 rpm H (480 J 24.32
Problema Cuál será el diámetro de una bomba centrífuga que gira a 750 rpm y bombea 0.250 m-Vs, contra una carga de 9 m. Emplear C N= 80. H
Cl
=> 9m = °=> D = 0.32m (80)-
Problema Una bomba centrífuga suministra 0.070 mVs contra una altura de carga de 7.50 m a 1450 rpm y requiere una potencia de 9.0 CV. Si se reduce de velocidad a 1200 rpm, calcular el caudal, altura y potencia, suponiendo el mismo rendimiento. P P 9.0 CV
D‟JV3 Z)5(l200) 3 £>s(l450): P = 5.WCV DN £>(1450) £>(1200) -Jrs J H _J? Q = J ™ * Q = o.m m ',s D 1 ^ÍH D 2 V 5 J 4 D-Jl.S
H = 5.137m
Problema Una hélice de 200 cm de diámetro gira a 1200 rpm en una comente de aire que se mueve a 40 m/seg. Las pruebas realizadas indican un empuje de 325 kg y una potencia absorbida de 220 CV. Calcular, para una densidad del aire de 0.125 UTM/m3, los coeficientes de empuje y potencia. C¡ = ---- F—-=-------------------------------3-2-5 -T ------- = 0.406 P 220*75 C = ----- V— = ------- , ------------- = 0.5156
pN 3 D ¡ 0.125 Problema Una hélice de 1.50 m de diámetro se mueve en agua a 9 m/s y desarrolla un empuje de 1600 kg. ¿Cuál es el aumento en la velocidad de la estela? 8 F pjr D (9 Y + 8*^6°° = 0.937 m / 5
F = -9 +
Problema Una hélice de 20 cm desarrolla un empuje de 7.20 kg a 140 rpm y una velocidad del agua de 3.6 m/s. Para una hélice semejante de un barco que se mueve a 7.2 m/s qué dimensión deberá tener la hélice para que desarrolle un empuje de 18.000 kg? A qué velocidad deberá girar la hélice? 140 rpm m= 60 2-33 Rev/seg 2V = V h«lice barco V_, = 0.2 N .. modelo modelo V =D.N prototipo prototipo prototipo 2V = V modelo
prototipo
2(0.2 NJ = DN 2(0.2 x 2.33) = Dp Np 0.932 =DN
7
^
D -5 mD = 500 cm i- = 30.729 mi s
,r 0.932
La potencia para 1950 rpm viene dada por: P = F 2 * Velocidad P = 32.56 *36.458=15.6
F. . F ,
CF
P KK P KK
1ROOO* p p z 7.20*(0.932)2*(0.2) ,, D. \18000*(2.33) = 0 932 N„ - — — = 0.1864 p 5 N„ =0.1864*60=11.2??»!
Problema En una chimenea de ventilación, un ventilador produce una velocidad de aire de 25 m/s, cuando gira a 1200 rpm. a) Qué velocidad producirá si el ventilador gira a 1750 rpm? b) Si un motor de 3.25 CV arrastra al ventilador a 1200 rpm ¿qué potencia deberá tener el motor para llevar el ventilador a 1750 rpm? a) si para una velocidad de 25 m/s, gira a 1200 rpm; entonces para un giro de 1750 rpm, que velocidad tendrá el ventilador b) Fuerza empuje x velocidad
Problema Para suministrar 2500 m 3/minde aire aun túne! de ventilación, ¿qué potencia deberá tener el motor de un ventilador si las pérdidas en el tenel son 14.4 cm de agua y s¡ el rendimiento del ventilador es del 69%? Emplear Y a¡re 1.200 kg/m*. _n 1.2(2500/(60* t000))(0.144) n 7 c ; c r 75*(0.68) Problema Una hélice de 3 m de diámetro se mueve a través del aire Y = 1.222 kg/m-‟, a 90 m/ s. Si se suministran 1200 CV a la hélice, qué empuje desarrollará y cuál será el rendimiento de la hélice? Q = 90m/seg(3n^ - = 636.17mVs FV Potencia — — 75
Rendimiento = — =
JQ, , Empuje = ---- ( V> - V, ) s
2V^
2 para hallar el empuje a 1750 rpm
F 2 ~F l = j(30.729)(36.458 -25) = 43.06kg V+V
Ahora se halla el empuje para 1200 rpm P = F ¡ * Velocidad „ P 3.25*75 . . . . F = — = ---------- = 10.5fe V 25 F, -F t =43.06kg F 2 = 3 2 .56 kg
-TQfv3 -V5 ) Potencia a la entrada = - — — - ü ü s M i g- 2
-y Q Potencia a la salida ------ (VM - )Vln¡c¡ „, g
Despejando V de potencia de entrada:
Y
7 2 -J A (90000m/s) (9.81 m / s 3) , (90m/s) +
Q2
(l.222£g7m )(363.17?w / s )
2
Y»*, = I01.88m/í
Tablas 2
v
V
2(90 m / s )
hlír-isi! r,mt+ v wmi (l01.88m/s + 90»i/f)
= 0.94 = 94%
T ABLA 1
(A) P ROPIEDADES APROXIMAD AS DE ALGUNOS GASE S ( A 20°C Cas Aire Amoniaco Anhídrido carbónico Metano Nitrógeno Oxigeno Anhídrido sulfuroso
Puso específico y kp/m 3 N/mJ 5.2047 11.8 0.7177 7 1.8359 18 0.6664 6.5 1.1631 11.4 1.3297 13 2.7154 26.6
(B) A LGUNAS Temperatura (°C) 0 10 20 30 40 50 60 70 SO 90 100 Temperatura <°Q 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Constante Rckl gas (m^K) 29.3 49.2 19.2 53 30.3 26.6 13
Y
1 ATM)
£.x pon ente Viscosidad cinemática y (mVs) adiabático h 1.4 1.488*10° 1.32 1.535+10-' 1.3 O.S46,IO„s 1.32 1,795*10° 1.4 1.590*10"' 3 1.4 1.590*10 1.26 0.521*10‟
PROPIEDADES DE L AIRE A LA PRE SIÓN ATMOSFÉRICA Peso específico y (kp/nT 1) 1.295 1.2441 1.2033 1.1625 1.1217 1.0911 1.0605 ■ 1.0299 0.9993 0.9718 0.9463
Densidad (UTM/m‟) 0.132 0.127 0.102 0.U2 0.115 0.111 o.tos 0.105 0.102 0.099 0.096
p
Densidad (kg/m') 1.29 1.25 1.2 1.16 1.13 1.09 t .06 1.03 1 0.972 0.946
especifico p Peso (N/nr‟} 12.7 12.2 11.8 11.4 11 10.7 10.4 10.1 9,8 9.53 9.2S
Viscosidad cinemática v (mVs) 13.1*10* 14.2*10* 15.5*10'* 16*10* 16.9*10* 17.9*10* 18.9*10* 19.9*10* 20,9*10* 21.9*10* 23*10*
y Viscosidad cinemática v {mVs) 13.3*10‟* 14.2*10* 15.1*10“ IÍ * IO -° 16.9*10"* 17.9+10** 18.9*10*° 19.9*10-6 20.9*10"“ 21.9*10* 23*10'*‟
Viscosidad dinámica fi (kp*s/m 2) 1.754*10* 1.803*10* 1.846*10* I.S97*I0* 1.948*10* 1.988*10* 2.029*10* 2.08-10* 2,131*10* 2.233*10* 2.345*10* Viscosidad dinámica p (N^s/m*) 1.72* 10‟3 1.77*10* 1.81*10* 1,86*10* 1.91*10* 1.95 *10* 1.99*10* 2,04*10* 2.09*10* 2,39*10* 2.30*10J
(C) P ROPIEDADES Temperatura
m 0
to 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Temperatura (°C)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
MECÁNICAS DE L AGUA A LA PRE SIÓ N ATMOSFÉ RICA
Densidad1 (L'TM/ni
101,97 101,97 LO i.77 101.56 101.16 100.75 100.34 99.73 99.01 98.4 97.69 Densidad (kg/m3)
1000 1000 993 996 992 9SS 984 978 971 965 958
Peso específico (fep/m3) 3000 i 000 993 996 992
Presión de Módulo de elasticidad vapor volumétrico (kp/cm1) (k[)/cmJ)(ab) 0.0062 20,598 0,0125 21.414 0.0239 22.23 0.O432 22,944 0.0753 23.25 0.1254 23.352 0.2029 23.25 0.3132 22.944 0.4333 22.434 0.7148 21.822 0-033 21.108
984 973 971 965 958
Viscosidad dinámica (kp*sVm!) 17.85*10° 13.26*10-' 10.40* i 0“* S.16*I0*5 6.64*10" 5.52-10** 4.69* 10*5 4.10*10° 3^7*10_i 3.17*10'3 2.83*10'5
Peso especifico (kN/W)
Viscosidad dinámica (Tv's/m1)
Tensión Presión de Módulo de elasticidad Superficial vapor
9.81 9.83 9.79 9.77 9.73 9.69 9.65 9.59 9.53 9.57 9.4
1.75*10'1.30*10'* 1.02*10'-* 3.00*10"* 6.51* lo"4 4 5.4 i-10 4.60*10“* 4.02* I0” 3.50*10"* J 3.ll*10 u 2.82* 10
0.0756 0.0742 0.072S 0.0712 0.0696 0.0679 0.0662 0.664 0.0626 0.0608 0.0539
m
Tensión
superficia l 7.71*10" (kp/ra) 7.57„iü-' 7.42*30° 7.26*10^ 7.10*10* "6.92*10'J 6.75*10"‟ 6.57*10'" 6.38* !0'J 6.20*10-'3 6.03*10^
0.611 1.23 2.34 4.24 7.38 12.3 19.9 31.2 47-4 17.1 101.3
2.02 2.1 2.13 2.25 2.28 2.29 2,28 2.25 2.2 2.14 2.07
T ABLA 2 D ENSIDAD
RELATIVA Y VISCOSIDAD CINEMÁTICA DE ALGUNOS LÍQUIDOS CINEMÁTICA
Agua** Tem p. (°CJ 5 10 15 20 25 30 35 40 50 65
Densidad relat. tOQQ 1000 0.999 0.99S 0.997 0.995 0.993 0.991 0.99 0.98
DE LA TABLA
disolvente carnercia!-
Vise. Cinein. (raVs) 1.52 1.308 1.142 1.007 0.897 0.804 0.727 0.661 0.556 0.442
Aceité a prueba de polvo* Tem Densidad re! Vjsc. p. (°C) ai. (mVs) 5 0.917 72.9 10 0.913 52.4 15 0.91 39 20 0.906 29.7 25 0.903 23.1 30 0.9 18.5 35 0.397 15.2 40 0.893 12.9
= V ALOR
Densid. relat. 0.72S0.725 0.721 0.713 0.714 0.71 0.706 0.703
tetra cloruro de carbono
Vise, Cincm. 2 (m /*) 1.476 1.376 1.301 1.189 1.101 1.049 0.984 0,932
Fuel-oil medio* Oncm
Densid. relat. 0.865 0.861 0.857 0.855 0.852 0.849 0.846 0-842
Vise. (nr/s) 6.01 5.16 4.47 3.94 3.44 3. II 2.77 239
Deusid. relat. 1.62 1.608 1.595 1.584 1.572 1.558 1.544 1,522
Turpén tina a 20°C Accíie de linaza a 30°C Alcohol etílico a 20UC Benceno a 20°C s Gliccrina a 20 £ Aceite
t
Aceite lubricante media Deusid. re Int. 0.905 0.9 0.S96 0.893 0.S9 0.886 0.883 0.S75 0.366 0.865
vise. Cincm. (mVs) 471 260 1S6 322 92 71 54.9 39.4 25.7 15.4
Gasolina*
Deusid. relat.
Vise. Cincm. (mV.)
Deusid. relat.
Vise. Cinem. (mVs)
0.918 0.915 0.912 0.909 0.906 0.904 0.901 0.898
400 290 201 156 118 89 67.9 52.8
0.737 0.733 0.729 0.725 0.721 0.717 0.713 0.709
0.749 0.71 0.683 0.648 0.625 0.595 0.57 0.545
Algunos otros líquidos Líquido y temperatura
Vise. Cillént. (mVs) 0.763 0.696 0.655 0.612 0.572 0.531 0.504 Q.4Í2
Fuel-oil pesado* Cinem.
(V ISCOSIDAD
*10„ 6 )
Dcms, relat.
Vise, Clnwn. (mVs)
0.862 0.925 0.789 0.879 1-262 0.96 0.907
1.73 35.9 1.53 0.745 661 1.031 137
T ASLA 4 P ÉRDIDAS
T ABLA 2 C OEFICIENT ES
DE TEMPERAT URA APROX IMADO DE
10°C
A
DE CARGA EN ACCESORIOS
ARRISA , Y SUBÍNDICE
DE FRICC IÓN / PARA AGUA SOLAMENTE ( INTERVALO
2-
10 cm
15 cm
20 cm
25 cm
30 cm
40 cm
50 cm
60 cm
73 cm
90 cm
120 cm
AGUAS
21 °C) Accesorio
Para tuberías viejas: Intervalo aproximado de e : 0.12 cm a 0.60 cm. Para tuberías usadas: Intervalo aproximado de s: 0.06 cm a 0.09 cm. Para tuberías nuevas: Intervalo aproximado de e : 0,15 cma 0.03 cm. (f— Diámetro y tipo de tubería Velocidad (m/s) valor tabulado 10"4) 0.9 0.3 * 0.6 1.2 1.5 1.8 2.4
(S UBÍNDICE 1 =
AGUAS ABAJO )
Pérdida de carga media
1. De depósito a tubería (pérdida a ¡a entrada) conexión a ras de la pared
- tubería entrante
Comercial vieja Comercial usada Tubería nueva Muy lisa Comercial vieja Comercia] usada Tubería nueva Muy lisa Comercial vieja Comercial usada Tubería nueva Muy lisa Comercial vieja Comercial usada Tubería nueva Muy lisa Comercial vieja Comercial usada Tubería nueva Muy lisa Comercial vieja Comercial usada Tabe ría nueva Muy lisa Comercial vieja Comercial usad
435 355 300 240 425 335 275 220 420 320 265 205 415 315 260 200 415 310 250 190 405 300 240 180 400 290 230 170 400 285 225 165
415 320 265 205 410 310 250 190 405 300 240 ISO 405 295 230 170 400 285 225 165 395 280 220 155 395 275 210 150 395 265 200 140
410 310 250 190 405 300 240 175 400 285 225 165 400 280 220 160 395 275 210 150 390 265 205 140 390 265 200 135 385 255 195 135
405 300 240 180 400 285 225 165 395 280 220 155 395 270 210 150 395 265 205 140 385 260 200 135 385 255 195 130 380 250 190 125
400 290 230 170 395 280 220 160 390 270 210 150 390 265 205 145 390 260 200 140 380 255 195 130 380 250 190 125 375 245 185 120
395 285 225 165 395 245 210 150 385 265 205 240 385 260 200 135 385 255 195 135 365 250 190 125 375 245 ' 180 120 370 240 180 120
395 280 220 155 390 265 205 145 380 260 200 135 380 255 190 130 380 250 190 125 370 240 180 120 370 235 175 115 365 230 175 115
3 395 2 SO 220 155 390 265 205 145 380 260 200 135 380 255 190 130 380 250 190 125 370 240 180 120 370 235 175 115 360 225 170 110
Comercial vieja Comercial usada Tubería nueva Muy lisa Comercial vieja Comercial usada Tubería, nueva Muv lisa Comercial vieja Comercial usada Tubería nueva Muy lisa
400 280 220 160 395 275 215 150 395 265 205 140
385 255 196 135 385 255 195 135 385 250 190 125
380 250 190 130 375 245 185 125 370 240 180 120
375 245 185 120 370 240 180 120 365 230 175 115
370 240 180 115 365 235 175 115 360 225 170 110
365 230 175 115 360 230 170 110 355 220 165 110
360 225 170 110 355 225 165 110 350 215 360 105
355 220 165 110 355 220 160 105 350 210 155 100
4.5 385 260 200 140 380 250 190 130 370 240 185 120 370 240 180 115 365 235 175 115 360 225 170 110 360 220 165 105 155 220 165 105
6 375 250 190 130 375 240 380 120 365 235 175 115 365 230 170 11Q 360 225 165 110 350 215 160 105 350 215 160 100 350 210 155 100
9 370 250 185 120 365 235 175 1i5 360 225 170 1 to 360 225 165 105 355 220 160 105 350 210 155 100 350 205 150 95 345 200 150 95
350 210 160 105 350 210 155 100 345 200 150 95
350 205 155 100 345 200 150 95 340 195 145 90
345 200 150 95 340 195 145 90 335 190 140 90
0,0 Ü
i.oo5Í 2 g
vi
- conexión abocinada
0.05 — 2?
2. De tubería a depósito (pérdida a la salida)
3. Ensanchamiento brusco
4, Ensanchamiento gradual ( véase tabla
LOflít 2 g
(vi - Vj)2 2 g
5)
5. Venturimetros, boquillas y orificios
2g
4-i}S c; 2g
6. Contracción brusca (véase tabla 5)
7. Codos, accesorios válvulas 4
Algunos valores corrientes de fC son: 90° codo.................... ............ 0.50 a 0.75 Válvulas de compuerta (abierta)...apx 0.25 Válvulas de control (abierta ........................... apx 3.0
„ 2g
2g
T ABLA 5 V ALORE S
DE
K C ONT RACCIONE S
Y
ENSANCHAMIENT OS
Contracción brusca lil/d? 1,2 1.4 1.6 1.8 2 2.5 3 4 5
Kc O.OS 0.17 0.26 0.34 0.37 0.41 0.43 0.45 0.46
Ensanchamiento gradual pura un ángulo total de! cono 4° 0.02 0.03' 0-03 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04
A LGUNOS
10° 0.04 0,06 0.07 0.07 0.07 0.08 0,08 0,08 0.08
15° 0.09 0.12 0.14 0.15 0.16 0.16 0.16 0.16 0.L6
T ABLA 6 VALORE S DEL C OEFICIENTE
20° 0.16 0.23 0.26 0.28 0.29 0.3 0.31 0.31 0.31
C
DE
Tuberías rrclas muy lisas Tuberías de fundición lisas y muevas Tuberías de fundición usadas y de acero roblonado nuevas Tuberías de alcanlarillado vitrificadas Tuberías de fundición con algunos artos de servicio Tuberías de fbndición en malas condiciones
30° 0.25 0.36 0.42 0,44 0.46 0.48 0.48 0.49 0.5
50° 0.35 0.5 0,57 0.61 0.63 0.65 0.66 0.67 0.67
H AZE N -W ILLIAMS 140 13 0 ! 30 no 100 80
60° 0.37 0,53 0.61 0.65 0.68 0.7 0.71 0.72 0.72
BIBLIOGRAFÍA
BELTRAN, Rafael. Introducción a la Mecánica de Fluidos. McGraw-Hill. Ediciones Universidad de los Andes, Bogotá, 1990, MOTT, L. Robert. Mecánica de Fluidos Aplicada. Prentice-Haíl Hispanoamericana, S. A. México, 1996. RANALD V, Giles. Mecánica de Fluidos e Hidráulica. McGraw-Hill. Segunda y Tercera Edición. España, 1972. STREETER, L, Víctor, Mecánica de los Fluidos. McGraw-Hill. Sexta Edición. México, 1979. VENNARD J, K., STREET, R.L. Elementos de Mecánica de Fluidos. Compañía Editorial Continental, S. A. México, 1989.
