Solucionario mecanica de fluidos e hidraulica

CAPITULO

I

PROPIEDADES DE LOS fLUIDOS

La mecanica de los fluidos como una de las ciencias basicas en la ingenieria, es una rama de la mecanica que se aplica al estudio del comportamiento de los fluidos, ya sea que estes se encuentren en reposo 0 en movimiento. Para su debida cornprension, su estudio debe iniciarse con el conocimiento de las propiedades fisicas de los fluidos, entre las cuales las mas destacadas son la densidad y la viscosidad, ya que estas se emplean comunmente en los calculos de los escurrimientos en distintos tipos de conductos. DENSIDAD

La densidad de un cuerpo es la relacion que existe entre la masa del mismo dividida por su unidad de volumen.

densidad(p)

=

masa

volumen

En el sistema internacional de unidades la densidad del agua es de 1000 kg/m' a una temperatura de 4°C. La densidad relativa de un cuerpo es un numero adimensional establecido por la relaci6n entre el peso de un cuerpo y el peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia. Los solidos y liquidos toman como referencia al agua a una temperatura de 20"C, mientras que los gases se refieren al aire a una temperatura de O°Cy una atmosfera de presion, como condiciones normales 0 estandar, PESO ESI'ECIFICO

EI peso especifico de una sustancia se puede definir como la relacion entre el peso de la sustancia por su unidad de volumen.

9 Malerial prolegido por derechos de aulor

peso

especifico(y) =

peso

volumen

Problema Si la densidad de un Iiquido es de 835 kg/m', detenninar su peso especffico y su densidad relativa.

'Y=pxg=835kglm3

x9.81m1s2 ::8.2kN

D.R. = 'YSUSllncia = 835 = 0.835 'Y..... 1000 Problema Comprobar los valores de la densidad y del peso especifico del aire a 300c dados en la Tabla 1(B).

r

=~ = 10336kglm2 = 1.1642 kg/m! TR 303°Kx29.3m1°K 'Y 1.1642 kg/m! = 0.1 I 86kg.seg2/m3.m = O.1186UTMJm g 9.81 m/s

p=- =

Problema Comprobar los valores de los pesos especificos del anhidrido carbonico y del nitrogeno dados en la Tabla l(A).

r=

P I atmosfera l.033kglcm2xl04cm2/m2 R.T = 19.2m1°K(273.33°K+C) = 19.2x193.33

= 1.8352Skglm3 'Y=

l.033kglcm2 X 104 cm2/m2 30.3x 293.33

1. 1630kglm3

Problema A que presion tendri el aire un peso especificode 18.7kN/ml si 1atemperatura es de 49 "C?

10

Malerial prolegido por derechos de autor

'V

_II

~

=_1 => PI = l.033kglm2 x

12

P2

18.7

==

1.09416

176kPa

VISCOSIDAD

La viscosidad de un fluido indica el movimientorelativo entre sus moleculas, debido a la fricci6n 0 rozamiento entre las mismas y se puede definir como la propiedad que determina la cantidad de resistencia opuesta a las fuerzas cortantes. Esta propiedad es la responsable por la resistencia a la deformaci6n de los fluidos. En los gases disueltos, esta propiedad es importante cuando se trabaja con grandes presiones. Algunos liquidos presentan esta propiedad con mayor intensidad que otros, por ejemplo ciertos aceites pesados, las melazas y el alquitran fluyen mas lentamente que el agua y el alcohol. Newton formul6 una ley que explica el comportamiento de la viscosidad en los fluidos que se que se mueven en trayectorias rectas 0 paralelas. Esta ley indica que el esfuerzo de corte de un fluido, es proporcional a la viscosidad para una rapidez de deformaci6n angular dada. Es importante destacar la influencia de la temperatura en la diferencia de comportamiento entre la viscosidad de un gas y un liquido. El aumento de temperatura incrementa la viscosidad de un gas y la disminuye en un liquido. Esto se debe a que en un liquido, predominan las fuerzas de cohesion que existen entre las rnoleculas, las cuales son mayores que en un gas y por tanto la cohesi6n parece ser la causa predominante de la viscosidad. Por el contrario en un gas el efecto dominante para determinar la resistencia al corte, corresponde a la transferencia en la cantidad de movimiento, la cual se incrementa directamente con la temperatura. Para presiones comunes, la viscosidad es independiente de la presi6n. La viscosidad asi definida, se conoce como viscosidad absoluta 0 dinamica. Existe otra manera de expresar la viscosidad de una sustancia y es la Hamada viscosidad cinematica que relaciona la viscosidad absoluta con la densidad. tr: 'd d "IS COSI a

ci ,. ()v = --------....::....:... viscosidad absoluta(p) cinematica densidad(p)

Problema Determinar la viscosidad absoluta del mercurio en kg-s/m' si en poises es igual a

0.01587

II

M aterial prolegido por derechos de aulor

J..lHg

= 0.0158

poises

IPoise=_I_ kg-slm2 98.l J..l Hg = 16.l X 10-4 kg- s / m2 Problema Si la viscosidad absoluta de un aceite es de 51 poises. l.Cual es la viscosidad en el sistema kg-m-s?

°

f.laM1•

= 510

f.la«'te =510

poises

Poises 1 . x-kg-slm 1POISes 98.1

2

=5.210kg-slm2

Problema Que valores tiene la viscosidad absoluta y cinematica en el sistema tecnico de unidades (kg-m-s) de un aceite que tiene una viscosidad Saybolt de 155 segundos y una densidad relativa de 0.932? Para I > 100 =>.u(poises)=(0.0022t-1.35).0.932 155 f.l = 0.309 Poises = 3.156 x 10.3 kg - slm2

Para 1 > 100 =>v(stoke)=0.0022xI55-1,35

155

v = 0.332 stokes = 0.332 ml/s x 1m1/10· em" v = 33.2 X 10.6 m1 /s Problema Dos superficies planas de grandes dimensiones estan separadas 25 mm y el espacio entre elias esta Ileno con un Iiquido cuya viscosidad absoluta es 0.10 kg. seg/m', Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal, l.Que fuerza se requiere para arrastrar una placa de muy poco espesor y 40 dffil de area a la velocidad constante de 32 cmls si la plaza dista 8 mm de una de las superficies?

12


dv

v

dy

y

r= 11-=11-

F A

't=-

Por producirse dos esfuerzos cortantes, se necesitan dos fuerzas para mover la placa. FT= FI + F2 -0 10k g-mx.mx sf 2 04 F1-'

F2 =O.lOkg-sfm

FT

2

2

xO.4m

2

0.32m1s 0.75 kg 0.017m 0.32 mls x = 1.6 kg 0.OO8m

= 0.75 + 1.6 = 2.35 kg

11= 0.2 kg/m? x 0.0005m = 3.3x 10-) kg - s/m? 0.03m1s

ISOTERMIA I! ISENTROplA

En el estudio del comportamiento de los fluidos, especialmente gases, en algunas ocasiones se producen condiciones de trabajo en las cuales, se mantiene constante la temperatura (isotermica) y en otras no existe intercambio de calor entre el gas y su entomo (adiabaticas 0 isentrOpicas). En el caso de condiciones isotermicas, la aplicacion de la ley de los gases ideales, es adecuada para explicar las relaciones que se producen entre volumen y presion. Para condiciones adiabaticas, se introduce en la ecuacion de los gases una constante k, que relaciona los calores especificos de las sustancias a presi6n y volumen constante. Esta constante se conoce con el nombre del exponente adiabatico, Problema Dos metros cubicos de aire, inicialmente a la presion atmosferica, se comprimen basta ocupar 0.500 m'. Para una comprension isotermica, lCual sera la presion final?


Problema En el problema anterior, {,CuAIsera la presion final si no bay perdidas de calor durante la compresion?

PIV'~ ::;:;P2V'~

K = 1.4 de tabla 1(A) Mecanica - Hidraulica de Fluidos R. Giles V' P2::;:;PI _I ( V'2

)K ::;:;1.033x ( -- 2

00.5

)1.4 =7.20kglcm2

TI!NSION SuNRFICIAL

Otra propiedad que se destaca en el estudio de los tluidos es la tensi6n superficial, que indica la cantidad de trabajo que debe realizarse para llevar una molecule del interior de un liquido basta la superficie. La propiedad se produce debido a la acci6n de las diferentes fuerzas a que se encuentra sometida una molecule colocada en la superficie de un Iiquido.

Problema i,Que fuerza sera necesaria para separar de la superficie del agua a 20°C, un aro de alambre fino de 45 mm de diametro? EI peso del alambre es despreciable. La tensi6n superficial (T) es de 7.42·10"3 kglm

Perimetrodel aro::;:;2n r::;:;2n(0.045) = O.l4137m 2

F ::;:;2·Tensionsupe1jicial· Perimetro F = 2·7.42 ·lO-3kglm·0.14137m F = 2.098.10-3 kg.9.81ml

S2

F=0.0206N CAPfLARIDAD

Cuando se trabaja en medios porosos con diametros menores de 10 mm, es importante considerar una propiedad llamada capilaridad, que consiste en la capacidad que tiene una columna de un liquido para ascender y descender en un medio poroso. La capilaridad esta influenciada por la tension superficial y depende de las magnitudes relativas entre las fuerzas de cohesion delliquido y las fuerzas de adhesi6n del liquido y las paredes del medio.

14 Malerial prolegido por derechos de autor

Problema

"Que diametro

minimo tendra un tubo de vidrio para que el agua a 20°C no supere

0.9mm?

ParaT

= 20·C => ,=

7.42*10-3kg/m

h = 2, cosO"

r*r r

=998kg/m 2,COSlT

r=--r

,h

2*0.00742* 998*0.0009

r=1.65* 10-3 m d =2r=2* 1.65*10-3 m=33.1mm MODULO DE ELASTICIDAD VOLUMnRlCA

La compresibilidad en un fluido se encuentra expresada por un modulo, llamado de elasticidad volumetrica. Expresa la relacion entre la variacion de la presion con respecto a la variaci6n de volumen por unidad de volumen. Problema Deterrninar la variac ion de volumen de 0.28317 m' de agua a 26.7°C cuando se somete a una presion de 35.0 kg/em'. EI modulo volumetrico de elasticidad a esa temperatura es igual, aproximadamente, a 22.750 kg/ern"

E=- dp dv/v dv=- 35kglcm2*0.28317m3 22750kg/cm2 dv= _ 35kg/cm*104cm2 /m*0.28317m3 22750kg / cm2 *104 em" / m2 dv=0.436*1O-3 m3

15


Problema

"Que presion se ha de aplicar, aproxirnadarnente, al agua para reducir su volurnen en un 1.25% si su modulo volumetrico de elasticidad es 2.19 Gpa? E=- dp

dv! v dv dp=-Ev

Presion inicial = 2.19 GPa *1 = 2.19 GPa Presion final = 2.19GPa *(1-0.0125)=2.l626GPa Presion aplicada = Presion inicial- Presion final Presion aplicada = 2.19 GPa - 2.1626 GPa = 0.0274 GPa

16


CAPiTULO

II

ESTATICA DE FLUIDOS

CONCEPTO DE PRESI6N

De manera particular la presi6n puede expresarse como presi6n manometrica y presi6n absoluta. Estos conceptos de la presi6n se encuentran referidos a un nivel de presi6n determinado(nivel de referencia de la presi6n), que en el caso de la presi6n absoluta es cero, que es la minima presi6n alcanzable cuando se tiene el vaci6 absoluto. Las presiones manometricas se encuentran referidas a la presi6n atmosferica. MAN6METROS

Los man6metros son dispositivos que se utilizan para medir la presi6n. Existen diferentes dispositivos para medir la presi6n entre los cuales es conveniente mencionar el medidor de Bourdon y los man6metros de columna de Jiquido. EI medidor de Bourdon es un dispositive mecanico, de tipo metalico, que en general se encuentra comercialmente y que basa su principio de funcionarniento en la capacidad para medir la diferencia de presi6n entre el exterior y el interior de un tubo eJiptico, conectado a una aguja por medio de un resorte, encargandose la aguja de sefialar en una caratula la presi6n registrada para cada situaci6n particular. Los man6metros de columna liquida, rniden diferencias de presion mas pequeii.as, referidas a la presi6n atmosferica, al determinar la longitud de una columna de liquido. Generalmente el dispositivo mas sencillo para medir la presi6n atmosferica es el tuho piezometrico, el cual debe tener por 10menos 10mrn de diametrocon el fin de disminuir los efectos debidos a 1acapilaridad. En algunas ocasiones el tuho piezometrico adopta una forma de U, con el objeto de facilitar la determinacion de la presi6n y en otras la instalaci6n de un tubo piezometrico entre dos recipientes, permite determinar la diferencia de presi6n entre los fluidos que ocupan los recipientes. Cuando se requiere 17 Malerial prolegido por derechos de aulor

medir presiones muy pequefias, se utilizan manometros de tubo inc1inado, el cual permite una escala amplia de lectura.

Problema En la figura se muestra un tubo de vidrio en U abierto a la atmosfera por los dos extremos. Si el tubo contiene aceite y agua, tal como se muestra, determinar la densidad relativa del aceite.

= Presion por peso especifico de la columna de aceite

P

aceite

P

lCC1te

P

.gua

.

= r aceile • h = r ace/Ie • 0.35

= Pr esion por peso especifico de la columna de agua

P agua

=r ·h= 1000·0.3m aguo

P .. eite = P agw

r

DceUe

r

acelte

·0.35= 1000·0.3

1000·0.3 =857k 1m3 g

0.35

Densidad relativa = 857 = 0.86

1000

Problema El deposito de la figura contiene un aceite de densidad relativa 0.750. Determinar la lectura del manometro A en kg/em',

18

M aterial prolegido por derechos de autor

Tomando en el piezometro un nivel de refereneia aa'

Pa = Pain: +"( sustaneia X 0.23 m P~ = p."nosreric. P =pl

•

•

Plirt +"( suslanCiaX 0.23 = PallnOSfmcl Tomando como nivel de refereneia la presi6n atmosferica

p.in: +"( ,uslanei. X 0.23 = 0 Plin: = - 3121.1

kg/m"

P A(MlI1Omolrita) = Plin: +"(eceite X 3 m

Problema Un dep6sito eerrado contiene 60 em de mercurio, 150 em de agua y 240 em de un aeeite de densidad relativa 0.750, eonteniendo aire el espaeio sobre el aeeite. Si la presi6n manometrica en el fondo del deposito es de 3.00 kg/ern', i,cual sera Ia lectura manornetrica en la parte superior del dep6sito?

P A =P

B

+

"( .c.i~

PB = PA

- (

Y.ceite)

8 pies . + Yagua

X

X

X

5 pies . + "(Hg X 2· pies

8 pies + Yagua X 5 pies + Y Hg X 2 pies

PB =23,5PSI PA = Presion abajo PB = Presi6n arriba 19

Material prolegido por derechos de autor

Problema

Con refereneia a la figura, el punto A estli 53 em por debajo de la superfieie de un liquido con densidad relativa 1.25en el recipiente.l,CuaI es la presion manometrica en A si el mercurio aseiende 34.30 em en el tuho?

PA =p. + "I. x0.53m

P~= P, + "IHI x 0.343 I

P10 = PlIlmOOferic:a = 0 P~= P10 ~ P~ = -46545 kg/m"

P~=p. PA

= - 46545 kg/m 2 + 662.5 kg/m 2

== - 0.4 kg/em 2

Problema En la figura, caleular el peso del piston si la leetura de presion manometrica es de 70 Kpa.

20 M aterial prolegido por derechos de autor

Presion piston

Peso piston Jrd2/4

Presion aceite = Presion manometro + Presion columna Presion aceite= 70000 N/m2 + 860 kg I m3 *lm*9.8Im I S2 Presion aceite = 70000 N/m2 + 8437 N I m2 = 78436.6 N I m' Presi6n piston = Presion aceite

Y

Peso pist6n = 78.4 KN/m 2 * Jr (I = 61.6 KN 4 Problema Despreciando el rozamiento entre el pist6n Ay el eilindro que contiene el gas, deterMinar la presi6n manometrica en B, en em de agua, Suponer que el gas y el aire tienen pesos especificos eonstantes e iguales, respeetivamente, a 0560.

p.=PA+'Y.x90m PA = 4Xl~~~OOkg

= 565.8kglm2

p. = 565.8 kg/m" + 50Akglm2 = 616.2 kg/m! P~ = PB 'Y... x 20 m => P,

= P~

PB = 612.2 kg/m? - 'Y... x2Om

= 605 kg/m! = 0.605m

(columna agua)

Problema Los reeipientes A y B que eontienen aeeite y glieerina de densidades relativas 0.780 y 1.250, respeetivamente, estan eoneetados mediante un manometro difereneial. El mereurio del manometro esta a una elevacion de 50 em en el lado de A y a una eleva21


ci6n de 35 em en ellado de B. Si la cota de 1a superficie libre de 1a glicerina en el dep6sito B es de 6.40 m. l.A que cota est! la superficie libre del aceite en el recipiente A?

P, = P,.. + 'Y8(6.05m) = I0336kglm2 + 1250kglm1x6.05m = 17898,5 kg/m? P~= Pair<+ 'YAxh'+ 'YHgxO.l5m= 10336 kg/m? + 780h' + 13590 kg/nr'xfl.l Sm P~= 123745 kglm 2 + 780h Po =P~ ~h=7.08m hlola• =h' +0.5m=7.58m Esta es la altura de la superficie libre en el tanque A. Yla distancia h sera la superficie libre del aceite.

Problema Un dep6sito A, a una elevaci6n de 2.50 m contiene agua a una presi6n de 1.05 kg! em'. 0 deposito B, a una elevaci6n de 3.70 m contiene un Iiquido a una presi6n de 0.70 kg/seg", Si la lectura de un man6metro diferencial es de 30 em de mercuric, estando la parte mas baja en ellado de A y a una costa de 30 em, determinar la densidad relativa delliquido contenido en B.

~ =YapM (2,5m-0.3m)+10500kglm2

= 12700kglm2

P; = 7000 kg/m? + 13600 x 0.3 + Yliquido(3.7 - 0.6)m Pa

= P; => Yliquido = 522.58 kg/m!

D.R.=0.525 Problema EI aire del recipiente de la izquierda de la figura est! a una presion de - 23 em de mercuric. Determinar la cota delliquido manometrico en la parte derecha en A.


Para un nivel de refereneia AA' en el tuba piezometrico

PA =0.20kglem2

+YH,O (33.5-32)+YH,O

=h

(1)

EI aire del recipiente de la izquierda esta a -23 em de mercurio. 76 em de mereurio equivalen a 10336 kg/m' - 23 em de mereurio equivalen a -3128 kg/m!

~ =-3128kglnr +Yair)36-32)+YUqUidananon>etJtt

(2)

Igualando (I) = (2) 2000 kg/m? + 'YH,Ox 1.5m + 'YH,oh= 3128kg/m2 + 'Yaceite 4 + 'Yliquidomanometricoh 2000 + 1500 + 3128 - 3200 = (1600 -1000)h h=S.7Im Cota del punto a = 32 m - 5.71 m = 26.3 m Problema

Los eompartimentos B y C de la siguiente figura estan eerrados y lIenos de aire. La lectura barometrica en 1.020 Kg/ern'. Cuando los man6metros A y D marcan las leeturas indieadas, l.Que valor tendra X en el man6metro E de mereurio?

Se toman dos niveles de refereneia. EI primero (I-I') en el piezometro exterior y el segundo (3-3 ') en el piezometro interior.


PJ = 2.1 kg/ern 2

Pj = Pc + "YHgX PJ = Pj

PI = Patmoof<:ric a Pi = P, + "YHgX 0.25 PI = Pi P, = PI - "YHSX 0.25 P, = -"YHS

X

0.25

Pj = -"YHg

X

0.25 + 'YH8X

2.1 kg/ern X

2

= -"YHgxO.25

+ "YHIX

= 1.80 m

Problema El eilindro y el tubo mostrados en la figura eontienen aeeite de densidad relativa 0,902. Para una lectura manometrica de 2.20 kg/em', l.CuaI es el peso total del pist6n y la plaea W?

P; = PA + r auile 6 pies

P = Peso(pist6n + w) • A cililJdro pa =p'a

Peso (piston + W) = 1364051b 24 M aterial prolegido por derechos de autor

Problema

Determinar la presion diferencial entre las tuberias A y B para la lectura del man6metro diferencial que se muestra en la figura.

PAS=P. -r PASH, -P. =-r

.....

*1.3+r *1.0+r

Hg

·O.5+r

.....

*1.2-r

.....

H,

·1.5+r

.,..

*1.0

·0.9

PA - Ps =-13600·1.0+ 10000.9

PA - Ps= -13600kg I m2 + 900 kg Im2 PA -Ps =-12400kglm2*9.8Imlseg=124.6kPa Problema

En la figura se muestra un dep6sito cerrado que contiene aceite bajo presi6n de un colch6n de aire. Determinar la elevaci6n de la superficie libre del aceite en el piezometro conectado.

P,",OO del .in: • 35 Id'u


Presion columna de aceite = Presion aire PI =35kPa+

r ocdl.· 2

P. =35kPa + 830· 2·9.81 PI =51284.6Pa

p.r=r I

acdle

51284.6=

·X

r .• X acelle

X=51284.6

r X

acdle

51284.6Nlm2 :6.30m 830·9.81N 1m

Problema Con referencia a la siguiente figura, i.que presi6n manometrica de A hara que la glicerina suba basta el nivel B? Los pesos especificos del aceite y glicerina son 832 y 1250 kg/m', respectivamente.

~ = P£ = (90-3.6)xI250kglmJ = 6750kglm2 Po = ~ - (Yoed .. x h) = 6750 - (75 - 3.6)x832 kglm2 = 3505.2 kg/m! = 0.35 kg I em'


Problema

Para levantar una plataforma de 10 toneladas se utiliza un gato hidraulico. Si en el piston actua una presion de 12 kg/em' y es transmitida por un aceite de densidad relativa 0.810, que diametro se requiere?

P

_ peso piSlOO -

area

12 kg/em? = 10000 kg ;d)2 4 Despejando el diametro D=32.57cm Problema Si el peso especifico de la glicerina es 1260 kg/m', que presion de succion se requerir8 para elevar la glicerina 22 em en un tubo de 12,50 rom de diametro? Presion = yH

Presion = 1260 kg Im3(- 0.22m) = -277.2 kg 1m2 EI resultado negativo indica que se presenta una succion En una gota de agua, acnia la tension superficial, dando lugar a una presion en el interior de la gota, superior a la presion del exterior. Para el analisis de esta situacion se rea1izaun balance de las fuerzas que estan actuando sobre la superficie de una gota de agua, descomponiendo las fuerzas en los componentes en los tres ejes, 10cual permite relacionar la fuerza que acnia sobre la gota de agua, considerando una proyeccien sobre una superficie plana, con la fuerza de tension superficial que actua sobre el perimetro de la gota Problema i.CuAIes el valor de Iapresion interior en una gota de lluvia de 1,50rom de diametro si la temperatura es de 21°C?

27 M aterial protegido por derechos de aulor

1 u=-pd 4 P

= 19.6664kg/m2

Interpolando para T

=

21 °c

T

a

20 21 25

0.007380 0.007374 0.007350

28

Malerial prolegido por derechos de aulor

CAPITULO

FUERZAS HIDROSTATICAS

III

SOBRE SUPERFICIES

La acci6n de una fuerza ejercida sobre una superficie plana, da como resultado una presion, que en el caso de un liquido, deterrnina la existencia de numerosas fuerzas distribuidas norrnalmente sobre la superficie que se encuentra en contacto con elliquido. Sin embargo desde el punto de vista de analisis estatico, es conveniente reemplazar estas fuerzas, por una fuerza resultante unica equivalente. En el caso de una superficie horizontal, esta se encuentra expuesta a una presion constante. Cuando la superficie es inclinada con relacion a la superficie del fluido en reposo, la linea de acci6n de la fuerza resultante, se localizara no en el centro de gravedad de la superficie, sino en punto Ilamado el centro de presion, el cual se encuentra localizado en la superficie, a una distancia mayor desde la superficie libre, que la distancia al centro de gravedad de la placa. La determinacion del centro de presion de una superficie sumergida puede ser deterrninada, apJicando el teorema de loas momentos, en el cual el momento de la fuerza resultante con relaci6n a un punto de referencia, debe ser igual a los momentos de las fuerzas elementales que ejercen su acci6n sobre la superficie. Cuando un Iiquido en reposo acnia sobre una superficie curva, la fuerza resultante producida por el efecto delliquido sobre la placa, esta conformada por dos componentes. Una componente de tipo horizontal que se calcula como la fuerza ejercida sobre la proyecci6n vertical de la superficie, actuando esta componente sobre el centro de presi6n de la proyecci6n vertical y otra componente de tipo vertical, que corresponde a la fuerza hidrostarica 0 peso delliquido ejercida por el cuerpo, que acnia sobre el centro de gravedad del volumen. En las presas, las fuerzas hidrostaticas tienden a producir deslizamientos horizontales y volcamientos que en las presas de gravedad deben ser contrarrestados por una adecuada distribuci6n de cargas volumetricas. En estos casos es conveniente conside-


rar la estabilidad de la presa, para 10 eual deben determinarse eoefieientes de seguridad

contra el voleamiento y el deslizamiento y la presion sobre la base de la presa Problema Eneontrar para la compuerta, AB de 2.5 m de longitud, la fuerza de cornprension sobre el apoyo CD, por la presion del agua. (B, C y D son puntos artieulados)

Solucion al problema por la metodologia formulada en el estudio de la estatica: La fuerza total ejereida por el agua sobre la compuerta AB se puede apliear en un solo punto. Ese punto es Uamado el centro de gravedad del sistema. WI = (1000) (0.6) (0.9) (2.5) = 1350 kilogramos W2 = (1000) (0.5) (0.9)· (1.56) (2.5) = 1753.7kilogramos -:EMx = y:EW = :EyW :EM.x = x:EW = :EyW

:EM.x= y :EA = :Ey A

:EMy = x :EA = :Ex A

Componente de peso

Area (m2)

x{m}

X A{m

Rectangulo 1

0.54 0.70 1.24

0.45 0.30

0.24 0.21 0.45

Triangulo l :E -

x:EA=:ExA

x =

:ExA :EA

3)

= 0.36m

30


El peso (w), se encuentra aplicado a 0.36 m del punto B

Wr= WI + W2 = 3103.7 Kilogramos fuerza.

Componente Empuje Rectangulo Triangulo

Area (m2) 0.94 1.22 2.16

l:

y(m} 0.78 0.52

y a (m3) 0.73 0.63 1.36

-y"J:.A='f.yA 1.36 y == 0.63m 2.16 El empuje (E) se encuentra aplicado a 0.63 m del punto B

E, = EI + E2= 5375.8kg Realizando sirnetria de momentos con respecto al punto B

+tL: Ms

= 0

- Wr (0.36) - ET(0.63)

+ R (0.64)

=0

R = (3103.7)(0.36)+ (5375.8)(0.63) 7.037kg 0.64

Soluci6n al problema por metodos planteados en mecanica de fluidos: Sen 600 = hC8

v,

hes =YCg Sen 60° = 0.9 Sen 60° =0.78m hcg,otal

=0.60+0.78=1.38m _

YC8total -

hcglOCal

_

° -1.59 m Sen 60

31

M aterial protegido por derechos de aulor

F=y

hegtoeal A=I000*1.38*{1.8*2.5)=6210kg

I = bh3 = 2.5 {1.8)3= 1.215 rn" eg

12

12

Yep = Ycgtoeal +

leg

Yegr A

= 1•59 +

1.215 = 1 76 m ( ). 1.59 1.8· 2.5

Longitud total 00· Sen 600

Y = og

=

heg

v,

0.6

Sen 600

0.69m

longitud Total OB' = 0.69 + 1.8 = 2.49 m Longitud brazo B'B = O·B - YegT = 2.49 -1.76 Cos 45°

= 0.73

m

=!._ F.

Fx

=

FI Cos 45°

Tomando momentos con respecto del punto B F ,0.73 = FI Cos 45° ,0.9 PI =7140kg

Problema Una compuerta rectangular AB de 3.6 m de alto y 1.S m de ancho, esta colocada verticalmente y puesta a 0.15 m abajo del centro de gravedad de la compuerta. La profundidad total es de 6 m.l,CUlil es la fuerza F horizontal que debe ser aplicada en la base de la compuerta para encontrar el equilibrio?

F. =r [(6-3.6)+1.8].(3.6.1.5) F. = 22680 Kg 3.6 Ycg =2.4+-=4. 2

Yep

2m

= 1.5 ~.6Y 112)+ 4.2 = 4.46 m 4.2 3.6.1.5


y = YT - Yep= 6 - 4.46 = 1.54 m

x + y= 1.65 m x = 1.65 - 1.54 = 0.11 m Tomando momentos con respecto al eje de giro FI X = F*1.65 F = 22680 x 0.11 = 1473 k 1.65 g Segundo rnetodo EI = 2.4 r * 3.6 *1.5 = 12960 kg , b, =0.15 m E = 3.6 r * 3.6 * 1.5 = 9720 k 2 2 g , b2=0.45m b) =1.65 m

+ t 1: M eje giro = 0 -EI = b, +E2 *b2 -F*b) =0 F = 1473 kg Problema

Encontrar la dimension Z para que la tension en la barra BD, no supere por 8000 kg, cuando el ancho de la compuerta es de 1.2m y considerando que los puntos B YD estan articulados.

33


Soluci6n al problema por metodos planteados en estatica: Peso(W)=y

.Area.h=y

= Area e L

base =2+Z altura=2+Z Peso(W)=y

r

• (2+Z).1.2=0.6 2 h2 -.L=y

Empuje(E)=y

2

(2+ZY

2

(2+ZY

bw=(2+Z) 3

,

.1.2=0.6(2+ZY,

b = (2+Z) E 3

+t~MA=O F • brazo - Peso • brazo - Empuje * brazo = 0

8000.

2 Sen 45°

22627-0.4r

-0.6y (2+Zy.(2+Z)_0.6y 3

(2+Zy.(2+Z)=0 3

(2+Z)3 =0

Z=1.84m Soluci6n al problema por metodos planteados en mecanica de tluidos h Cos 45° =~

v,

hcs = Y.1Cos 45° Cos 45° = hT

YT

h, =YT Cos 45° YT=2Ycs F=

r = bcg e A

F = r YcaCos 45° (1.2YT)

YT

= Yep + Ybruo

I Y =_ca_+y ep AY cs cs

34 M aterial proteqido por derechos de autor

I

= bh3 = 1.2(YT

cg

12

Y

0.1 v, 3

12

y _- O.IYr ep 12

3

Yr

Yr-067Y +-2

.

T

. YT 2 Ybnzo=YT

-

Yep=Y, -0.67Yr =0.33Yr

Cos 45° = 2

h h = 2 Cos 45° = 2.S3m

+t~MA=O -F*ybnzo +Fh=O

r

Y

_L * Cos

2

45° *1.2Yr *0.33Yr = Sooo * 2.S3

v, =5.45m h, =3.S5m Zs= h, - 2=1.85m Problema Un aceite de densidad relativa 0.3 actua sobre un area triangular cuyo vertice esta en la superficie del aceite. EI area del triangulo es de 3. m de base por 2.7 m de altura Un area rectangular de 3.6 m de base y 2.4 m de altura se une al area triangular y esta sumergida en agua. Encontrarelm6duloy posicion de la fuerza resultantepara el area entera. Fuerza sobre el aceite

F=800*(~*

2.7)( 2.7 ;3.6) = 699S.4 kg

Fuerza sobre el agua F=PA F=& aceile*hCg

+r

ag.a *hcg)A

F = ( 2.7 * SOO+ 2;4 *1000 ) (3.6 * 2.4)= 29030.4 kg Fuerza Total ~ 6998.4 + 29030.4 = 36028.8 kg

35


Punto de aplicaci6n del empuje ejercido por el aceite

I y ep=~+y y

og

08

Pero Yes =hog

I = bh3 = 3.6(2.7)3 = 1.9683 m" og 36 36 Yep=

1.9683 1.8(2.7;3.6)

+ 1.8 = 2.025 m

Punto de aplicaci6n del empuje ejercido por el agua Tomandoun nivel irnaginario del aceite y convirtiendo este a un nivel equivalente de agua. heg

=2.16+ 2.4 =3.36m 2

Yep

(3.6)(2.4)3/12 +3.36=3.5m 3.36(2.4X3.6)

Realizando una diferencia entre la superficie original del aceite y la columna equivalente del agua: 2.7 m - 2.16m=0.54 m E1pun'Ode ap 'OCaci)n de B fuerza Y cp' se torna con respecto del original Yep= 3.5 m + 0.54 m =4.04 m Por suma de momentos 6998.4 • 2.025 + 29030.4 • 4.04 = 36028.8 • y y=3.63m

Problema La compuerta AB esta fija en B y tiene 1.2 m de ancho. i.Que fuerza vertical, aplicada en su centro de gravedad, sera necesaria para mantener la compuerta en equilibrio, si pesa 200 kg? 36 M aterial proteqido por derechos de autor

Rectangulo Empuje = Presion - Area Empuje, = 3 r (1.5-1.2)= 5400 kg,

be = h =!2=0.75m I 2 2

Empuje, = 1.5 r (1.5-1.2)= 2700 kg,

be = h =!2=O.50m

233

b w=-=1.5 0.75m

Peso = 2000 kg ,

2

que es la fuerza aplicada para mantener la compuerta cerrada tomando momentos alrededor del punto B +tl:Mb=O 5400.0.75+2700-0.5

= 2000-0.75 + F.0.75

F=5200kg

Problema En un tanque de 6 m de longitud y una secei6n transversal, el agua esta en el nivel AE, encuentre: a) La fuerza total que acnia en el lado BC b) la fuerza total que acnia sobre el area ABCDE en magnitudy posiei6n.

37 'II1ateral pro

do po

FI = 1000· 3.6 • (3.6· 3.6) = 23328kg

2

Y

=~+Y AYeg

=3.6*(3 ..6)3/12+1.8=2.4 eg (3.6 *3.6) *1.8

m

F2 =1000.(3.6+ 2~4)*(3.6;2.4)=19008kg =

Yep

,

3.6· (2.4)3/36 + (3.6 + 2.4) = 4.47 m (3.6.2.4)*(3.6+ 2~4) 3

FlOcal = FI + F2= 42.336 kg Tomando momentos con respecto 23328

* 2.4 + 19008 * 4.47

a1 punto 0

= 42336

* Ycp

Yep = 3.33 m Fuerza total sobre la superfieie ABCDE F = 1000 • (3.6

+ 1.2) • (3.6)

= 86400

kg

Problema En la figura por eneima de la eompuerta en semieirculo de 1.2 m de diametro, hay una altura de agua de 90 em. La profundidad del eilindro es de 1.0 m. Si el eoefieiente de frieci6n entre la eompuerta y las guias es de 0.1 determine la fuerza P requerida para elevar la compuerta que pesa 500 kg.

38 Material protegido por derechos de autor

,uN

Fr=

N=Fh=r

*heB*A=1000*(1.5+0.6)*(1.2*1)=2520kg

Fr=O.1 *2520= 252 kg Fv = Peso Volumen desalojado = r

AL = r

--n r2 2

L

(0.6)2 *1 = 565.5 kg 2 E Fy=O

Fv =

+t

r

V =r

7r

Fv + P - W - Fr = 0 P = 500 + 252 - 565.5 = 186.5kg Problema Un dep6sito de paredes lateraIes contiene un I m de Mercurio y 5.5 m de agua. Determinar la fuerza total sobre una porci6n cuadrada de 0.5 m por 0.5 rn, la mitad de la cual se encuentra sumergida en el Mercurio: Los lados del cuadrado estan situados vertical y horizontales respectivamente.

E. = Presion * Area = r h * (base * altura) rectangulo E.

=5.25r

E2 =0.25

* (0.250.5)=656.25kg

r

* (0.25* 0.5) = 15.6llcg 2

E) =5.5y * (0.25*0.5)=687.5kg E4 =0.25rhg * (0.25* 0.5) =212.5kg 2

ET = E. + E2 + E) + E 4 = 1572kg Yes, =5.25+ 0;5 =5.375m Yeg, =5.5+ 0.~5 =5.625m

Haciendosumatoriade momentos LM=O

-r

1572*Yeg=671.875*5.375+900*5.625 Yeg=5.52m

39


Problema Un triangulo isosceles que tiene 6 m de base y 8 m de altura esta sumergido verticalmente en un aceite de D.R. = 0.8, con su eje de simetria horizontal. Si la altura del aceite sobre el eje horizontal es de 4.3 m, determine la fuerza total sobre una de las caras del triangulo y localice verticalmente el centro de presion.

F=y hel A=800.(1.3+

6;0) .(S;6)=82560kg

L=.J32 +82 =8.54m 8 8.54 () =20.44° Cos() =-

Sen

e

_1.3 --

h h=3.72m=Yel Y = bh3/36 +Y = 6(Si/36 +3.72=4.6Sm cP A Yea el 24.3.72

Problema

Que tan abajo de la superficie del agua puede ser sumergido un cubo de 4 m de lado, para que el centro de presion este 0.25 m por debajo del centro de gravedad "Cdl sera la fuerza total sobre el cuadrado? Y - Y = 0.25 m '" os Y'" = 0.25 + Yca(I) Y =~+Y (2) cP Y A es ea Igualandot l) y(2) leB

_

-+ Yel - 0.25 + Yea A Yea Y

=

leI

es 0.25 A

= 2·(2)3/12 =1.33 0.25 (2· 2)


YOgtotal =1.33 +4=5.33

m

= h + lado

Y

2

08

h = 5.33 - 2 = 3.33 m F = 1000 * 5.33 *16 = 85333 kg Problema En la figura el cilindro de radio = I my 2 m de longitud esta sumergido en agua a la izquierda y a la derecha en un aceite de densidad relativa 0.8. Calcular: a) la fuerza normal en el punto B si el cilindro pesa 6000 kg. b) la fuerza horizontal debida al aceite y al agua si el nivel del aceite desciende O.5m a) Fuerza normal (N) en el punto B Peso del volumen delliquido desalojado

1(

W=r

V=r

Empuje del agua

=

Empuje del aceite +tI:Fy=O -W+N+W N=W

ciJiodro

kg 1000 -.

1(

m'

= 800

kg •

2 (I)

2

• (m 2). 2m

= 3142 kg

(1)' • (m 2). 2m 2

= 2513 kg

2 1(

m1

..... +W ..... =O -W ..... -W_.

N = 6000 - 3142 - 2513 I: F.

r2

·--·L

.A.L=r

= 345 kg

(Agua) 41


L Fx (aceite)

F2 =r

heg

A=800*C;5)*(1.5*2)=1800kg

Fnela Horizonla' = 8000 - 1800= 6200 kg

Problema Para una longitud de 3 m de la compuerta, determine el momento no balanceado para la bisagra 0 debido a la posicion del agua en el nivel A

Y = distancia vertical a la cual acnia la fuerza horizontal

OB 2 Y = - + I = - + I = 2 m del punto C

2

2

Y = 1m del punto 0 X = distancia horizontal a la que actua la fuerza vertical 4r 4*3 X=-=-=1.27m 3n 3n FH = r

heg

Acb

FH = 1000 *1.5 *(3 * 4) = 18000kg


tr r2 FV =y *--*4

r, =1000*(

tr

L= [} V :32)*4=28274.3kg

+tLMo =0 Mo -18000 *1 + 28274.3 *1.27 = 0 +.1-Mo = 17908 Kg-m Problema Un tanque cuya seccion transversal se muestra en la figura tiene 2 m de longitud y se encuentra en un tanque lIeno de agua sometido a presion. Encuentre los componentes de la fuerza requerida para mantener el cilindro en posicion despreciando el peso del cilindro.

FAI= Y *0.75 * (1.5 * 2) = 2250 kg FH2= P * A =1500*1.5* 2.0= 4500 kg FIfT= 6750 kg Sen 600 = x

1

x=l*

Sen 600 =0.87m

FVI = PA=1500*(0.87 *2) = 2610 kg FV2=Y V=y ,

tr

r2

* Area*Profundidad=1500*1047*2=2094kg 1 n r2

Area =--+---=1047

m2 434 FTOTAL VERTICAL = 2610 + 2094 = 4704 kg 43

Material protegido por derechos de autor

Problema Determinar por metro de longitud, los componentes horizontales y verticales del agua a presion que aetna sobre la compuerta tipo Tainter.

FH = 1000-1.5 - 3 = 4500 kg Fy = r V = r - A - L Area Neta = Area sector circular - Area triangular

Area Sector Circular = tr

r2 B

Cos 300 =~~x=6Cos300 6

tr r2(tr~)=tr /6 2tr

(6)2 (tr/6)=9.43m2 /'6 2tr

=5.20m

Area Triangulo Area Neta =9.43-7.80= 1.63m2 Fy = 1000.1.63 *1 = 1630 kg Problema Determinar la fuerza vertical que acttia sobre la b6veda semicilindrica, cuando la presion manometrica leida en A es de 0.6 kg/ern'. La boveda tiene 2 m de longitud


A

P=y

h

h = P = 6000 kg/m2 y 1600kglm3

3.75m

Fuerza Vertical (Fy) = Empuje - Peso Fy = (presi6n • Area) - Peso semicilindro

r tt r2 L Fy = (y h. D. L)-"'---2--

r, =(1600.3.75.1.2.2)-

(y 7r .0.6.2) 2

Fy =12590kg Problema

Si la b6veda del problema anterior es ahora hemisferica y el diametro es de 1.2 m l,Cual es el valor de la fuerza vertical sobre la misma?

r, =r

v

Volumen neto (Yo) = Volumen cilindro circular -Volumen media esfera V =h*7r o

2 14 r ---7r

23

r

3

v. =(3.75*7r (0.36)-(~*1Z" *0.216)=3.79m

3

F = 1600*3.79 = 6064 kg Problema

Determinar la fuerza ejercida por el agua sobre la seccion AB de 0.6 m de diametro y la fuerza total en el plano C.

45


'Ii

Fuerzasobre AB=1000*5*--= Fuerza total sobre C = r

'Ii [

r2

1000*5*

4

'Ii

4

*0.36

1414kg

r2 h 'Ii r2 h ] 4 I + 4 2

F total sobre C = 21.21 kg Problema El cilindro mostrado en la figura es de 3 m de longitud. Asurniendo UDacondici6n herrnetica en el punto A y que el cilindro no rota, cual sera el peso requerido del cilindro, para impedir el movimiento ascendente?


+ i:EFy=O Peso + Fuerza Friccion - Empuje = 0 Peso = Empuje - Fuerza friccion Fuerza horizontal = 1000*1.2 *2.4 * 3 = 8640 kg Fuerza Friccion = f.l * Fuerza horizontal = 0.15 *8640 = 1296kg Empuje=

r

" d1 V= 1000* --*3=

8

6786 kg

Peso = 6786 -1296 = 5490 kg Problema Un tubo de madera de I m de diametro interior es sujetado por bandas de aeero de 10 em de aneho y 1.5 em de espesor. Para una tension permitida de 1200 kg/em' del aeero y presion intern a de 1.2 kg/em'. Determinar el espaeiamiento de las bandas. Dos veees la tension total - sumatoria de todas las eomponentes horizontales de las fuerzas = 0

2 ( Area Acero. Tension del Acero) = p'. ProyeccionZ del semicilindo kg 2( 0.lm*0.013m*1200-*104 em?

cm2)

--

m2

kg =12-*104 em"

em"

-*lm*(y)(m) m2

y=0.36m Problema Para un dique de contencion de seccion parab6lica, que momento en el punto A por m de longitud del mismo se origina por la exclusiva aeci6n de los 3 metros de pro fundidad del agua?


especificodel agua del mar es 1025kg/m',

El peso

FH

=r

hegA=1025 ~~ *1.5m*(3;1)=2306.25kg

2 3

2 3

=-h=-*3=2m

Y cp

. 2 Area parabola = - *(2.5) (3) = 5 m 2

3

Pesoagua(WA)=Y *V=y

x

*A*L=1025

kg *5m2 *lm=5125kg

m2

= 3a = 3*2.5 =0.94m cg

8

8

X = 5 - 0.94 = 4.06 mala

izquierda del punto A

+tLMA=O - MA - 5125 *4.06 + 2306.25 *2 = 0 MA =16200kg Problema El tanque de la figura tiene 3 metros de longitud y el fonda indicado tiene 2.5 m de ancho. l.Cual es la profundidad de mercurio que causa el momenta resultante en el punto C debido al liquido de 14000kg-m en el sentido contrario a las manecillas del reloj?


a = 2.5 Sen 30° = 1.25 m Cos 30° =~

2.5

b = 2.5 Cos 30° = 2.17 m . kg Area rectangulo (WI) = 1000-3 * 2.17 m * 1.8 m * 3 m = 11691 kg m

2.17 b razo=--=1.

09 m

2

Peso triangulo = 1000 k~ * 2.17 * 1.25 m 2 * 3m = 4069 kg

m

2

b 2.17 brazo=-=--=O.72m

3

3

Empuje = Presion * Area = r h * altura * longitud Empuje=13600 brazo=-

k~ *h(m)*.!:(m)*3m=20400h2 2

m

kg

h 3

+t:EMc=O 11691*1.09 + 4069.0.72

- 20400 h 2 * h = 14000 3

h=0.63m Problema La compuerta de la figura tiene 6 m de longitud l.Que valores tienen las reacciones en el eje 0 debidas a la accion del agua? Comprobar que el par respecto de 0 es nulo.


Cosa = (~)=70032' a/2=35° 16' b=.J32 _12 =2,83m Area = h * L=2*6

=12m2

F. =yhc, A=IOOO

!~

,

= 12000 kg

a tr 2 * (3) = 5.55 m 2 2 180 *A*L=I000kg*5,55m1 *6m=33300kg

Area del sector circular

Fv =y V=a

*(%)m*12m1

= - *-

Problema Una placa plana con un eje de giro en C tiene una forma exterior dada por la siguiente ecuaci6n x2 + O,5y = 1 ~Cuales la fuerza del aceite sobre la placa y cual es el momento respecto a C debido a la acci6n del agua?

Y = 4,7 Sen 300 = 2,35 m X = 4,7 Cos 300 = 4,07 m

so os de au or

EmpujeAceite=y

v

=r

hA=800

k~ *2.35m*(2*I)m2=3760kg m

EmpujeAgua = 1000 k~ *2.35 m * (2 * I) m2 = 4700 kg m PesoAgua = 1000 :~ *( 4.07 ;2.35) m2 * lrn = 4782.25 kg Brazo del empuje = ~ = 2.35 = 0.78 m

3

brazo., = 1.0m - 0.78 m = 0.22 m - 4.07 brazo del peso = y =-- = 1.36 m 3 brazo., = 2.34 -1.36 = 0.983 m +trMe=O - 4700 *0.22 - 4782.25 * 0.983 + Me = 0 Me = 5735 kg - m Problema La compuerta ABC de forma parab61ica puede girar alrededor de A y esta sometida ala accion de un aceite de peso especifico 800 kg/m'. Si el centro de gravedad de la compuerta esta en B l.Que peso debe tener la compuerta por metro de longitud (perpendicular al dibujo) para que este en equilibrio? EI vertice de la parabola esA.

51


x

3.

a 4 - 3a 3 x = - = - *0.6 = 0.45 m

4

-

4

3h 3 = - *1.2 = 0.36 m 10 10

y =-

Empuje., = 800 kg *1.2 m *1*1 (m") = 960 kg m Ernpuje., =800 k~ = 0.6*1.2 *1(m3)=192kg

m

2

+t:EMa=O

-x*W

B

-

-

+y*EH -Ey *x=O

-0.45WB +960*0.36-192*0.45=0 WB = 576kglm Problema La compuerta autornatica ABC pesa 3300 kg/m de longitud y su centro de gravedad esta situado a 180 em a la dereeha del eje de giro A /.,seabrira la eompuerta con la profundidad que se muestra en la figura?

S2 M aterial prolegido por derechos de autor

Empujedel agua = 1.8 r .1.8.1 = 3240 kg

brazo del empuje = ~

3

= 0.6 m

a partir de 1abase

Peso Compuerta = 3300 kg m +tl.:Ma=O Ma - W .1.8+3240.0.6=0 Ma =3240.0.6+ W .1.8=-1944 kg- m + 5940kg- m Ma = 3996 kg -

'im de longitud

La compuerta si se abre.

53

CAPITuLO

IV

EMPUJE Y FLOTACION

EsTABILIDAD

DE CUERPOS SUMERGIDOS

Y FLOTANTE8

Para que un cuerpo sumergido tenga estabilidad. EI centro de gravedad del mismo debe estar directamente debajo del centro del empuje 0 centro de gravedad delliquido desplazado. Cuando los dos puntos coinciden, el cuerpo se encuentra en un equihbrio neutro. En la estabilidad de cilindros y esferas flotantes el centro de gravedad del cuerpo debe estar por debajo del centro de empuje. En otros cuerpos flotantes como en el caso de embarcaciones la estabilidad depende de la capacidad de la nave para mantener alineado el centro de gravedad y el centro deempuje.

Problema Un objeto pesa 30 kg. en el aire y 19 kg. en eI agua; determinar su volumen y su densidad relativa,

Dr=

1:fy=O

P_es_o_o_b~~e_to_ Peso de un volumen agua

19- 30 + PV= 0

Dr = 30 kg. llkg

PV= II kg.

Dr= 2.73

Empuje = Peso liquido desplazado 11 kg. = 1000 kg/m' x V Volumen = 1.1 X 10.2 m'

ss Malerial prolegido por derechos de aulor

.- -

-----_._--------------

Problema Un euerpo pesa 30 kg en el aire y 19 kg sumergido en un aeeite con una densidad relativa (Dr) igual 0.750, determinar su volumen y densidad relativa. Lfy=O -30 + 19 + PV = 0 PV= 11 kg. II kg=750kgim3xV V =0.0147 m' Dr=

30kg 11.025 kg

Or = 2.72

Problema Si el peso especifico del aluminio es 2700 kg/m', l,Cuanto pesara una esfera de 30 em de diametro sumergida en agua? Cuanto si esta sumergido en un aceite de densidad relativa (Or = 0.750)? V=4/3 x 1t x rl V=O.OI m! W(ESF)=2700 kg/m' x 0.01 m) W = 38.17 kg I:Fy=O 14.14 kg. - 38.17 kg. +T=O T(HlO)= 24.03 kg.

PV=I000· 0.01 PV(lI2O)=14.14 kg.

PV=750· 0.01 PV(AC)=10.60 kg.

I:Fy=O 10.60 kg. - 38.17 kg. + T=O T(AC)= 27.57 kg.

Problema Un eubo de aluminio de 15 em. De arista pesa 5.5 kg sumergido en agua.l,Qu6 peso aparente tendril al sumergirlo en un liquido de densidad relative = 1.2S? I: Fy = 0 W=(O.ISm») x 2700 kg/m' 55 Kg-9.11 kg+PV=O P. V= 3.61 kg W=9.11kg P. V = V

xr

P. V=3.37 x 10-3x 1,25 P. V = 4.21 kg

LFy=O T-9.11 kg.+4.21 kg= O T=4.89kg

S6 M aterial proteqido por derechos de autor

Problema

Una esfera de 120 cm de diametro flota en agua salada (W =1025 kg/m'), la mitad de ella sumergida.lQue peso minimo de cemento (W = 2400 kg/m'), utilizado como anclaje, sera necesario para sumergir completamente la esfera? P * V = 1025 Kg/m' x 0.45 P * V = 462,7 kg P

*V

= W (.. fen)

LFy=O 927.4 + 025V = 463.7 + 2400 V 1375V=463.7 V = 0.337 m) W=Vxy W = 0.337 ml x 2400 kg/m' W=810kg Problema Un iceberg de peso especifico 912 kg/m' tlota en el oceano (1025 kg/m') emergiendo del agua un volumen de 600m).lCuaJ es el volumen total del iceberg? W=Vxy W = 600m3 x 912 kglm' W=547200kg P * V = 1025 kg/m' x V

LFy=O PV - W + 547200 kg = 0 PV = V x 912 + 547200 1025 xV = V x 912 + 547200 V(1025 - 912) = 547000 V(ll3)= 547200 V=4842.5 ml VT = 600 ml + 4842.5 m' V T = 5442.5 mJ Problema Un globo vacio y su equipo pesa 50 kg, al intlarlo con un gas de peso especifico 0.553 kg/m', el globo adopta esfera de 6m de diametro.l,Cual es la maxima carga que puede elevar el globo si el W = 1.230 kg/m' del aire?


CAPITULO

TRASLACION

V

Y ROTACION DE MASAS LfQUIDAS

En algunas situaciones un fluido puede estar sometido a una aceleraci6n constante, es decir sin movimiento relativo entre sus partlculas, como en algunos casos cuando esta expuesto a movimientos de traslacion y rotaci6n. Cuando esto sucede especificamente en el caso de movimientos horizontales, la superficie !ibredelliquido adopta una posicion inclinada y en este caso la pendiente de la superficie libre se determina con la relacion entre la aceleraci6n lineal del recipiente y la aceleracion de la gravedad. Cuando el movimiento es vertical, se producen variaciones dentro del volumen del liquido, de tal forma que la presi6n en cualquier punto del mismo, se determinaconsiderando el producto de la presion hidrostatica por la relaci6n entre la aceleracion del recipiente y la aceleracion de la gravedad, incrementada 0 disminuida en una unidad, dependiendo si la aceleracion se produce en sentido ascendente 0 descendente. Cuando una masa de un fluido rota en un recipiente abierto, la forma de la superficie !ibre del liquido, que gira con el recipiente que 10contiene, adopta la forma de un paralelepipedo de revolucion, de tal manera que cualquier plano vertical que pasa por el eje de revoluci6n corta a la superficie libre segun una parabola. En los recipientes cerrados como las bombas y las turbinas, 1arotaci6n de una masa de un fluido, genera un incremento en la presion entre un punto situado en el eje y otro a una distancia x del eje, en el plano horizontal. Problema Un recipiente parcialmente lJenode agua esta sometido horizontalmente a una aceleraci6n constante. La inclinacion de la superficie libre es de 300.i.,Aque aceleracion esta sometido el recipiente?


'T'

()

t. angente.

Aceleraci6n lineal del recipiente, m/ s 2 Aceleracion de la gravedad, m/ S2

= ----------=---_.:_--'-::--

Despejando la formula: Tangente

30° x 9.81 mls 2 = 5.66 mls 2

Problema Un dep6sito abierto de seccion euadrada de 1.80 m de lado, pesa 350 kg y contiene 90 em de agua. Esta sometido a la accion de una fuerza no equilibrada de 1060 kg, paralela a uno de los lados. i.Cual debe ser la altura de las paredes del dep6sito para que no se derrame el agua? loQu6valor tiene la fuerza que aetna sobre la pared donde la profundidad es mayor? F=m.a

a = F = 1060 = 3.03~ m 350 S2 Tan()

=

3.03m12

Is

()=17.18°

m 9.8-2 s d = 0.9 - Y = 0.9 - 0.9 Tan 17.18° = 0.62m a). 1.8 - 0.62 = 1.18 m. b). PAD

= rhcgA = lOOOC·~8}1.18X1.8)=1253kg

Problema Un deposito abierto de 9 m de longitud, 1.20 m de ancbo y 1.20 m de profundidad esta lIeno con 1.00m de aceite de densidad relativa de 0.822, se acelera en la direcci6n de su longitud uniformemente desde el reposo basta una velocidad de 14 mls.loCUliIes el intervalo de tiempo minima para acelerar el deposito basta dicha velocidad sin que se derrame elliquido? ~v a). a=-=-

v

~t

t

Tan. 8 =~

=~

g

gt

= 0.2:. 4.5

t = v(4.5)

=

(14)(45)

g(0.2) (9.8)(0.2) t=32.1 s

66 M aterial prolegido por derechos de aulor

Problema

Un deposito rectangular abierto de 1.50 m de ancho, 3.0 m de longitud y 1.80m de profundidad, que contiene 1.20 m de agua, se acelera horizontalmente, paralelo a su longitud a 4.90 rn/s2• "Que volumen de agua se derrama? Tan.(J=~=

g

4.9 =0.5 9.8

diferencia de niveles entre los extremos de la superficie = 3 Tan.B,es decir que 3(0.5)=1.5 m. La

Por 10 tanto Y = ~ = O.75m 2 d = 1.2 - Y= 1.2- 0.75 = 0.45 m. Como la profundidad aumenta en 1.95 - 1.8 = 0.15 entonces el volumen derramado es: 1..5[~(3)(1.5-1.2)] = O.675m3

Problema i.,A que aceleracion debe someterse el deposito del problema anterior para que sea

nula la profundidad en la arista anterior?

TaniJ = ~ = !!.. 3 g a= ~g =~(9.8) 3 3 a = 5.88 mJg2

Problema

Un deposito abierto que contiene agua, esta sometido a una aceleracion de 4.90 mI S2 bacia abajo sobre un plano incJinado 15'. "Cual es el angulo de inclinaci6n de la superficie libre?


Cot.e = tan.a +

g

ax cosa

cot.e = Tan 15° +

hacia arriba

9.8 = 0.2679 + 2.07 = 2.3385 4.9 Cos. 15°

_I _ = 2.3385; Tan. e = I =0.42762 Tan.e 2.3385

e = Arc. Tan. 0.427624 Cot. e = - Tan. a +

e = 23.15° g

ax Cos. a

hacia abajo

8=29.019° Problema

Un recipiente que contiene aceite de densidad relativa 0.762 se mueve verticalmente hacia arriba con una aceleraci6n de + 2.45 mlsl. l,Que presion existe en una profundidad de 180 em? p=

r h(l±

;)

p = 762 k~ XI.8m(l+ 2.45m/s2) m 9.8m SS

= 1715kg/m2

Problema

Si en el problema 7 la aeeleraci6n es de -2.45 mls1. l,Cual es la presi6n a una profundidad de 180 em? P

=r

h(I-!:);g

P = 762kg/m3x1.8-(1-

"\

2.45ml S2) 9.8ml S2

= 1029kgl

m2

Problema

Una fuerza vertical no equilibrada y dirigida bacia arriba de modulo 30 kg, acelera un volumen de 45 litros de agua. Si el agua ocupa una profundidad de 90 em en un deposito cilindrieo, cual es la fuerza que acnia sobre el fondo del deposito? EI peso del agua es W = V g = (4.5 x JO.3m3)IOOOkg/m' W =45 kg


W

F=-a g

30Kg =

45kg a 9.8ml S2

a=6.53ml Sl V=Ah 45 x to·3m3 = A (90 x lO-2m) A=0.05 m2 Para el movimiento vertiealla presion en el fondo es:

La fuerza es F' = PA

F' =Wh (1+ ;)A + 6.53)co.05ml)

F' = lOOO(90xl0-Z)(1

F'

9.8

= 75 kg

Problema Un deposito abierto cilindrico de 120 em de diametro y 180 em de profundidad se llena de agua y se Ie haee girar a 60 rpm. l.Que volumen de liquido se derrama y cual es la profundidad en el eje? Area del fondo del cilindro = A = ruJ A = 1r(~)2 A=~D2 4 W =60 rpm W = 60 21r rad = 21rrad 60seg s

2

Y = ~x2 29

2

= (21r) (6.0x10 -2)2 = 0.725 m 2(9.8)


Por 10tanto, S esta a 1.8 m - 0.725m = 1.0748 m EI volumen delliquido derramado es:

~[: D2Y]

=

~l:Y

(1.2 (0.725)J = 0.4100m3

Problema i.A que velocidad debe girar el deposito del problema 10 para que en el centro del fondo del deposito la profundidad del agua sea nula? EI origen S ahora coincide con el punto C, entonces: y= 1.8= W2 X2

2g 1.8=~(0.6)2 2(9.8)

W =9.899rad s W = 9.90 rad

s Problema Un recipiente cerrado, de 60 em de diametro esta totalmente Ileno de agua. Si el recipiente esta girando a 1200 rpm, l,que incremento sufrinlla presion en la eircunferencia de la parte superior del deposito? 2nrad

W = 1200rpm= 1200--

60s

rad = 40n-

s

D 60cm. X = - = -= 30cm = 0.3m

2

2

P=WW2

2g

X2

y

P = 1000 (40n (0.3)2 = 7.25 k / cm2 104 2(9.8) g


Problema

Un recipiente abierto de 46 em de diametro y lIeno de agua esta girando alrededor de su eje vertical a tal velocidad Que la superior del agua a 10 em del eje forma un angulo de 400con la horizontal. Calcular la veloeidad de rotacion. De la segunda Ley de Newton F = m.a W

(I). Psen(J=gXW2

(2). Pcos(J= W Dividiendo (I) por (2) XW2

Tan 0=-g

W=~~Tan.o

=

9.8 Tan.400 = 9.068 rad s

0.1

W =9.07rad

s

Problema Un tubo en U con codos en angulo recto tiene 32 cm. de anchura y contiene mercu-

rio que asciende 24 em. en cada rama cuando el tubo esta en reposo. iA que velocidad debe girar el tubo alrededor de un eje vertical que dista 8 em de uno de los brazos, para que el tubo del brazo mas proximo al eje quede sin mercurio?

2x9.8xO.48

= 15.65rad/s

(0.4Y'(O.08)2 Problema Un tubo de 2m de longitud y 5 em de diametro tiene sus extremos eerrados y esta

lleno de agua a una presion de 0.88 kg/ern', Situado en posicion horizontal se Ie haee girar alrededor de un eje vertical que pasa por uno de sus extremos a una velocidad de 3 rad/s. l,Cual sera la presion en el extremo mas alejado del eje de giro?

71


W=3rad

'+'

s

I L..-

--'

II

5 em.

-----2m.

p=~+WW1/2gXl P = 8800kg/ml

+ lOOO_QL_(2)2 = 10634.9kg/m1 2(9.8)

W = 1500 rpm = 1500 28 rad 60s y= (SO'l"Y

29

x2

=

SOn-rad

s

(;01))(0.75)2 =708.1m

2\9.8

72

M aterial proteqido por derechos de autor

CAP'TULO

ANAuSIS

DIMENSIONAL

VI

Y SEME.JANZA HIDRAuLICA

EI estudio de la teoria adimensional permite aplicar resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas a situaciones de diferentes condiciones geometricas y en muchos casos con propiedades diferentes de los fluidos a las que se tuvieron en las condiciones iniciales. De esta manera se pueden generalizar resultados experimentales, permitiendo describir y verificar fenomenos que de otra manera seria imposible predecir. Un ejemplo destacado de las muchas aplicaciones que perrnite la teoria, son los modelos fisicos que se pueden desarrollar sobre presas de almacenarniento de agua, para analizar las consecuencias geodinamicas, hidraulicas y estructurales que conlleva la construccion de una obra de ingenieria como esta. De esta manera se pueden conocer y predecir los posibles problemas que pueden generarse, adoptar oportunamente los correctivos necesarios, disminuyendo asi los riesgos de la construccion y minimizar los costos. El estudio de la teoria adimensional, relaciona matematicamente las dimensiones de magnitudes fisicas fundamentales, de tal forma que se puedan establecer relaciones para la construccion de modelos fisicos que intenten representar fielmente el comportamiento de un prototipo, reproduciendo a escala, las caracteristicas geometricas y las restricciones de semejanza cinematica y dinamica. De esta forma la teoria del analisis dimensional, establece semejanzas geometrieas, cinematicas y dinamicas entre dimensiones correspondientes, que reflejen adecuadamente los distintas variables en cada situacion en particular. Igualmente permite establecer relaciones entre las fuerzas de inercia debidas a la presion, las fuerzas viscosas, las gravitatorias, las elasticas y las de tension superficial, deterrninando una serie de parametres adimensionales que describen el comportamiento de los fluidos, como los numeros de Euler, Reynolds, Weber, Match y Froude.


Problema Demostrar mediante los metodos del analisis dimensional que la energia cinetica (Be) de un euerpo es igual a K.M.V. Be a F(M.Y.)

MV2=KMV donde K es coefieiente adimensional, determinado general mente por experimentos, o por experimentos fisieos.

M' (LT··1)2 = K M'V b M' L 1"2,= K MaL b T ·b Igualando los exponentes de M, L, T,: a=1 b=2 Y-b = -2 donde b = 2 Sustituyendo los valores Ee=KM(V1"2) Be = K M (L 1"1)

Be= KMV2 Problema Mediante los metodos del analisis dimensional probar que la fuerza centrifuga viene dada por K.M.V2/r. Fe = ftMVlr) ::::)La fuerza eentrifuga (Fe) viene dada por ML1"2

MLT·2 = KMaV2br: MLl~K.m'

(L1"'f'Lc

MLT2 = Kma Llb+cF

·211

IguaIando las ecuaeiones: a=1 I=2b+c - 2 = - 2b b=1 1 =2+c e =-1

74 M aterial prolegido por derechos de aulor

F=_!:_

21r

1 21r

Se puede Ilamar a -como constante.

F=K~ Problema Suponiendo que el caudal Q sobre un vertedero rectangular varia directamente con la longitud L, y es funcion de la altura de carga total Hyde la aceleracion de la gravedad g, establecer la formula del vertedero. Q = LF (H", gb) L = (L) (L')(L b t .2b) Para T: -I = - 2b

-r-

b=!

2

Para L: 3 = 1 + a + b 1

3-l--=a 2

a= 3/2

Q=KL H~g~ Problema Establecer la formula que da la distancia recorrida S por un cuerpo que cae libremente, suponiendo que dicha distancia depende de la velocidad inicial V, el tiempo T y la aceleracion de la gravedad g. S = F (V.T.g) = K (V0, 1"', g") S = K (LI T"") (T") (LC T·2c) FOV r- = (L"1"") (T") (L< 1'20) l=a+c o = - a + b -2c => 1 - c = a -I +c+b-2c = 0 -1-c+b=O c = b-I I-(b-I)=a 2 -b =a


T=~L~XP' ,

V =~

,

(J,

(J,

L,p,

respectivamente

Problema Demostrar que las relaciones de tiempos y velocidades cuando los efectos predominantes son los elasticos, vienen dadas por:

Igualando las fuerzas obtenidas T2

= 'Y,L~=> T = ~'Y,L/

'E

T =

r

r

Er

L,

'n

Dividiendo por T,": Tr2 'YrLr2 Lr2 P Er = 2 =>comoVr2 =--2 entonces-' V; =>Vr2 =-:::> Tr ErTr Tr Er 'Y t

--2

Vr=

/F _' p ,

Problema EI modelo de un aliviadero se construye a una escala 1:36. Si en el modelo la velacidad y caudal desaguado son respectivamente 0.40 m/seg, y 62 l/seg, Cuales son los valores correspondientes en el prototipo? 81


30,0

rrs's x L

1.142 X 10-6

mX -

Vit

1.142xlO·6 m%

1.142XI0-6m2/[

Is

Vi

~

30,Ot% 1488xlO's

.

mIs 21

]=VI

= 230rrs

Problema Un navio de superficie de ISS m de longitud ha de moverse a 7 mls. A que velocidad ha de ensayarse un modelo geometricamente semejante de 2.50 m de longitud?

(k) 7

NAVIO

o/s'

=( k)

MODELO

V

.J9.8 x 155 m

.J9.8 x 2.5 m

V=7~2.5 =0.89 ml ISS 75

Problema l.Que fuerza por metro de longitud se ejercera sobre un muro de contenci6n del agua de mar, si un modelo a escala I :36 de una longitud de 1m experimenta una fuerza de las olas de 12 kg?

Fm Fp

-=WrLr

3

donde

Fm = Fuerza modelo Fp = Fuerza prototipo W = Peso especifico(k%3 )


CAPITuLO

FUNDAMENTOS

VII

DEL FLU.JO DE FLUIDOS

La hidrodinamica es el componente de la mecanica de los fluidos encargado del estudio de los fluidos en movimiento. El estudio del escurrimiento de los fluidos es complejo y debido a que su descripcion no puede realizarse totalmente desde el punto de vista te6rico basado en el analisis matematico, hay necesidad de recurrir a la experirnentaci6n con el fin de poder describir de manera mas precisa su comportamiento. El movimiento de un fluido puede ser descrito totalmente, cuando se conoce la velocidad en el espacio de cada una de sus particulas en todo momento. Te6ricamente desde el punto de vista matematico se han ideado dos procedimientos para explicar el comportamiento de la velocidad de las particulas de un fluido en cada instante. Los metodos usados se conocen con los nombres de Lagrange y de Euler, este ultimo conocido tambien con el nombre del Teorema del Transporte. EI metodo de Lagrange, intenta explicar el movimiento de una particula de fluido, estudiando las variaciones en su trayectoria a 10 largo de una linea de corriente. Por el contrario el metodo de Euler, pretende conocer el comportamiento de una region del flujode un fluido describiendoel comportamiento de una parte de este a traves del tiempo, cuando atraviesa una zona predeterminada conocida como un volumen de control. Ambos metodos permiten formular una serie de expresiones matematicas, que explican el comportamiento de un fluido y las cuales para casos particulares pueden ser

apoyadas experimentalmente con factores de correccion, a tal punto que las aplicaciones de la mecanica de los fluidos en la hidraulica han llevado a esta Ultimaa ser conocida como la ciencia de los coeficientes. Las ecuaciones deducidas a partir de los metodos expuestos son: la ecuaci6n de la continuidad, 1aecuacion de la energia, la ecuaci6n de la cantidad de movimiento lineal y la ecuaci6n de la cantidad de movimiento angular.


a).

u =3xy2 +2x+y2 v=x2

_2y_yl

du 2 dx =3y +2 dv

- =-23-3y dy

2

du+du=o dx dy

Flujo pennanente e incomprensible

Reemplazando 3y2+ 2 - 2 - 3y2= 0 EI flujo es permanente e incompresibJe.

b).

U=3X2+2y2 v=-3xy du dx

-=3x dv

-=-3x dy

du + du =0 dx dy ReempJazando 4x - 3x = x ~ 0 EJ flujo no satisface

Ja condicion de permanente e incomprensible.

Problema Cuantos kgls de anhidrido carbonico fluyen a traves de una tuberia de 15 em de diametro si la presion manometrica es de 1,75 kg/em', la temperatura de 27°C y la velocidad media de 2.50 mls?


v: = 2g(P2 -p.) => v.2 = ,

2x9 .81_1._4_.:kg=::,/_c_m_2 _-_4~.2_k~~/,-c_m_2_ xl 04 em 2/ m 2 1000 kg/em

(~i/~"J

(~:)'-1'

-1

7s (-2.8x10

19.62 V22 =

2

S

kg/em2 1000 kg/ cm3

)

0.075)4-1 ( 0.75 V2 = 24.21 mls Q=AV

Q=

7r

4

(0.075)2m2x24.21 ml /s

Q=107Ys Problema Si en el problema anterior fluye un aceite de densidad relativa 0.752, calcular el caudal. 2x9.81 x(1.4-4.2}104

v.2 =

752 (0.075)4 --1 0.75

2

2

= 729.5~ 82

t%

V2 =27

Q = V2A2

= 119.3Ys

Problema Si 10 que fluye en el problema 13) es tetracloruro de carbono (densidad relativa 1.594).Determinar Q.


PA = _1.72 + 52.5 + 6.792 = 54.7m

r

2g

2g kg/

PA =54700 7m2

h = 54.700 - 52.500 = 0.I75m (13.570-1000) Problema Una tuberia de 30 em de diametro transporta aceite de densidad relativa 0.811 a una velocidad de 24 mls. En los puntos A y B las medidas de la presion y elevacion fueron respectivamente, 3.70 kg/em' y 2.96 kg/em' y 30m y 33m Para un flujo permanente, determinar la perdida de carga entre A y B.

P = 370 kg/

7cm

A

x(IOOcm)2 = 3700kg/ lmt? 7m

hf

= -33m - 36.50m + 30 m + 45.62m

b

= 75.62m-69.50m

f

hf=6.12m Problema Un chorro de agua, de 7.5 em de diarnetro, descarga en la atmosfera a una velocidad de 24 mls. Calcular la potencia del chorro, en caballos de vapor, utilizando como plano de referencia el horizontal que pasa por el eje del chorro.

101


P V2 2 +....L+_I =2 I

'Y

P V2 +_3 +_3 +h ,

2g

V3 =....9_= A3

'Y

3

0.035

2g

= 1.98

rrs

V2 ;_3 =0.2m 2g

11" (O.l5Y s 4 0= 2.2m-3.2m +0.2m + h, ~ h, =0.80m

Problema Calcular la perdida de carga en una tuberia de 15 cm de diametro si es necesario mantener una presion de kg/em' en un punto aguas arriba y situado 1.80 m por debajo de 1aseccion de 1atuberia por la que desagua la atmosfera 55 Us de agua.

p. v? P V2 ZI +_1 +_I_=Z +_2 +_2_+h r 2g 2 r 2g

t

21 = o (N.R)

VI = V2 ~ P2

V2 _I_

2g

= V2

_2_

2g

(seccion constante)

= PIJlJIIOSfirlcD = 0

23.5 = 1.8+hf

~

h, = 23.5-1.8 = 21.7 m

Problema Un deposito cerrado de grandes dimensiones esta parcialmente lleno de agua y el espacio superior con aire y presi6n. Una manguera de 5 em de diametro conectada al deposito, desagua sobre la azotea de un edificio un caudal de 12 Us. Bernoulli entre (1) Y(2)

lOS


(P

V2) ( Z +-+-Pr 2g

= Z +-+-

r

0;"'/ agua

V2)

+hf

2go/to

sifon

0= 1.5+ P + V2 + 1.5.!::L r 2g 2g P =-0.45kg/

r

7cm

2

Problema Una tuberia horizontal de 60 em de diametro transporta 440 Us de un aceite de densidad relativa 0.825. Las cuatro bombas instaladas a 10 largo de la linea son iguales, es decir, las presiones a la entrada y a la salida son respectivamente - 0.56 kg/cm2 y 24.50 kg/cor. Si la perdida de carga, en las condiciones en que se desagua, es 6.00 m cada 1000 m de tuberia, iCon que separacion deben colocarse las bombas?

r _Ie. =825kg/ 1m3 PA = 24.50 kg/ 2 ~P" =24.50kg/ 1m

x ( Icm2y = 24.50 kg/

2

1m

O.OIm

2

1m

_%2

P8 =-5600k

2

2

PA VA P8 V8 Z" +-+-=Z8 +-+-+hj r 2g r 2g Z,,=Z8=0 VA

= VB por tanto

(

A-B

)

se cancelan

=

h

6m~IOOOm

f

hf~

6m 1000m

X

%2 %3

245000k 825k

296.9m+6.7m=

5600 kg/

7m2

6m

= - -g-2-5-k':""%-"m:O-3- + -100-0

6X = 303.6mx1000 =X 1000 6

X=50600m Las bombas deben colocarse a 50600 m cada una.

109


Q = 1140 ml x 1min

min

60s

!s

Q=19m

Po4 =rb, =1000 k~ x(-0.05m) m

PA =-SOk%2 PB =rb, =lOOOkYm2xO.07Sm

PB =7S%2 Zo4

P

P. V2 = Zs +_!!.+_s_

V2

+~+-A-+HB r 2g

r

2g

Hs = IOS.17m P t = r aim x Q X HB

7Sx 68

o

Pt =

1.2kg/

1

1m

o

x19m,%' x 105.17 m

s

7Sx68

Pot=48C.V Problema

Se esta ensayando una tuberia de 30 cm para evaluar las perdidas de carga. Cuando el caudal de agua es 180 Us, la presi6n en el punto A de la tuberia es de 2.80 kg/ern'. Entre el punto A y el punto B. aguas abajo y 3.0 m mas elevado que A, se conecta un manometro diferencial. La lectura rnanometricaes de 1.0 m, siendo elliquido mercurio e indicando mayor presion en A icual es la perdida de carga entre A y B? 113


rrobl~ml Con referencia a la figura siguiente la presion absoluta en el interior de la tuberia en 8 no debe ser inferior a 0.24 kg/em', Despreciando las perdidas. l,Hasta que altura sobre 1asuperficie libre A del agua puede elevarse 8?

I~.

Aplicando Bernoulli entre B y 8 se tiene:

r:

p. P V2 hB +....!.+....L = h +_!_+_J_+h r 2g S r 2g hf

f

= 0 (perdidas despreciables)

hB = o (N.R) VB = V. (seccion constante) Ps = hs + P, pero hs = h + 1.2m

r

r

Ps =h+1.2+ P, =6.74+1.2+2.4

r

P,

r

r

= P-

r

= 10.34m = 10336k,Ym,x m

; =O.24k%m2xl04cmlcm2x

~,Ym = 10.336 m de agua e 10.34rom

lOoog)

XOoo kYrnz

m

=2.4m

h= Ps -1.2m- P, =I0.34m-1.2m-2.4m=6.74m

r

r

117

Matenal proieqido por derechos de autor

Jr. r r -k

k: __

y

000

1 Yk+2 lr. ~ 'okk+2.1o -(i-I)

~,

(-hi)

••

JT• y r dY~ ro'.

,2)

-- 1 _ -. ( k+l k+2 V=

Jr., 00

k+2

hi

k __

y

(k+l)

~-- 1 k+l

k+l

remplazando

2V (_1k+l k+21_) ~ V = 2V ( max

2)- 1))

((k + (k + I'f8X (k+lXk+2)

I'f8X

V =2V

1 s__ 'o*k+2

1 (k+1Xk+2)

)

Problema Encontrar el coeficiente de correcci6n de la energia cinetica anterior.

(l

para el problema

3k+1 3kM (k \) (k \) a= 2 +IJ +2J , (3M)'. ------- I,. ,2• • 3k + I ,lk• 3k + 4

a = 2(k+lY(k+2Y

,.2

a=2(k+lY(k+2Y{(

(,2 •

1 I ) (3k + I) (3k + 4) 1 )_(

3k+l

1 ))

3k +4

6(k + 1)3(k+ 2Y a = -,-'----'-:-'------''-,(3k + ly(Sk + 4)

121


Problema Que radio ha de tener una tuberia para que la tension cortante en la pared sea de 3.12 kg/m', cuando al filtrar agua a 10 largo de 100m de tuberia produce una perdida de carga de 6m? T o

rhL r

=-2L

r=

To

2L

r hi

= 3.12kg/m2

X

2 X 100m

= O.I04m = 1O.40cm

1000kg/ m3x6m

Problema Calcular la velocidad critica (inferior) para una tuberia de 10 em que transporta agua a 27OC. Para que el f1ujo sea laminar, el maximo nlimero de Reynolds es (2000) de la tabla 2 del apendice de viscosidad cinematica a 27"C

roc

v.

25 27 30

0.897 X 0.804

x = V = 0.89598

Por interpolacion

x 10.6 mls

R. = VDlv V = R. x v =

D

2000 x 0.8598 x 10.6 m2/ /s

O.1m

= 0.0172 m/ = 1.72 x 10.2 m/

/s

Is

Problema Calcular 18 velocidad crftica (inferior) para una tuberia de 10 em que transporta un fuel-oil pesado a 43 OC.

m2

.D

V=~= D

44.6 x 10-6 -x2000

s O.1m

0.892 m

s

Problema l.Cual sera la caida de la altura de presion en 100 m de una tuberia nueva de fundicion, horizontal, de 10 cm de diametro que transporta un fuel-oil medio a 1()<>C,si la velocidad es de 7.5 em/5? 126 M aterial proteqido por derechos de autor

0+2+0-lOj1.69)-0.068 2g

250 (1.69) =O+~+O 0.15 2g 2g

v\

Tuberia corriente de la tabla A-5 V2 1000- (m) perdida de carga en m. 2g Z = 100 (1.692)+0.06l256XI69)Z 2g '\015 2g

= 0.15 + 16.49 = 16.63m

Problema Un aceite de densidad relativa 0.802y viscosidad cinematica 1.86x 1~ m2/s fluye desde el deposito B a traves de 300 m de tuberia nueva, siendo el caudal de 88Us.La altura disponible es de 16em, que tamafio de tuberia debera utilizarse? Q=V.A~V=

Q =' A

o 08Sm3 /

Is = 0.1!2

1Z'

(Dz)

D

4 Aplicando Bernoulli PA

VA2 2g

-+-+ZA

r

IL

V2 d 2g L V2

r.

V/ 2g

- --=-+-+Zs

r

(Z"-Zs)=I dIg L V2 0.16m=f-D 2g

130

M aterial proteqido por derechos de autor

/=0.05

V=l.44~

DV

Re = -

=

U

06mxl.44~

~ = z.sieio'

3.3IxI0-6 ~ S

E = 0.048 = 0.0008

D

60

Re = 2.61 x lOs Diagrama A _I ~

f = 0.02

V

= 1059x 0.6 x 19.62 = 0.02x1.200

V

= 2.28

'iss

E =0.0008 D

Q = VxA = 2.28 x 7r X (0.6)2 = 0.65 m) /

4

Is

Problema Desde un deposito A, cuya superficie libre esta a una cota de 25 m, fluye agua bacia otro deposito B, cuya superficie est! a una cota de 18 m. Los dep6sitos estin conectados por una tuberia de 30 em de diametro y 30 m de longitud (f= 0.020) seguida por otros 30 m de tuberia de 15 em (f= 0.015). Existen dos codos de 900en cada tuberla (K = 0.50 para cada uno de ellos), K para la contracci6n es igual a 0,75 y la tuberla de 30 em es entrante en el deposito A. Si la cota de la contracci6n brusca es de 16 m, determinar la altura de presion en la tuberia de 30 y 15 em en el cambio de secci6n.

134


o 01Sm3/ V =' /s = o.oisw' / 0.05mxO.lm Is VD Re=-= u R = A = 0.05 x 0.10 P 2(0.05) + 0.10 4V Re=--R

U

0.025 m.

4 x 3.6mls xO.025 m

=

7s

MIs

1.132 X 10-6

=3.18xl05

= 318021.20

E = 0,025cm = 0.025 D 4(7.5)m

En el grafico f = 0.042 L V2

L V

hi = f d 2g = f 4R 2g h = 0.042x 100mx (3.6m / s )2 I O.lm 19.62 m/s2

27.74m

= 27.80m

Problema Cuando circulan 40 Us de un fuel-oil medio a 15"Centre A y B a traves de 1000 m de una tuberia nueva de fundici6n de 15 cm de diametro, la perdida de carga es de 40 em Las secciones A y B tienen cotas de 0,0 m y 18,0 Ill. respectivamente, siendo 1a presi6n en B de 3.50 kglcm2.l.Que presiondebe mantenerse en A para que tenga lugar el caudal establecido? De tablas se obtiene la densidad relativa del Fuel-oil medio a 15"C. Es de 0.857,luego r =857 kglrol

ZA +

r

PA

1 VA

+ 2g

= ZB +

r

PB

1 VB

+ 2g +

h ( I

A- B

)

Z" = 0 se encuentra en el nivel de referencia (N.R.). V" = VB permanecer constantes el caudal y el diametro de la tuberia Luego


7.5 7.5

= 16~ .!:..L V/ + f .!:.L V , D, 2g SO

2'

, D, 2g

V2

= 16/,--x-'-+ 0.075 19.63

V12+ K V11

1

2g

3

2g

.J2

30 V' V2 V2 12--x-l-+32x(0.&0)-2-+0.6-'-+3-0.15 19.62 f,V,' + 1.30 V,' + 0.03

f,V,' + 10.19 X -4 f. ~I, ~I -4 suponiendo 7.5 = 643.66

+ 32K

r:

19.62 + 0.15 V1'

19.62

19.62

un f = 0.020

Reemplazo : -4 V = 0.597 mls Re = V,D = (0.597). (0.15) V 0.6S74xl0-6

= 130333 .&-4

-DE = --0.012 = O.OOOSen Moody IScm

Re ~ 1.3xI0-5

= 0.021 diferente

-4 f_

aI supuesto

Reemplazando

7.S = (S43.66)(0.021)Vi + (10.19)(0.021)Vi + 1.30Vi + 0.03vi + O.1svi 7.S =11.41Vi +0.21Vi +1.30Vi +0.03Vi +O.1svi = 13.1vi => VI= 0.76m1s

Re = VIDz = Re = (0.76)(0.1S) = 16S842.3 == 1.7xlO$ V

0.6874xl0-6

= 0.00&-4 f calculado= 0.020SdiferenteaI f supuesto 7.5 = (S43.66XO.02S)V; + (10.19)(0.205) V; + 1.30Vi + 0.03V; + O.ISV; 7.5 = 11.l4Vi +0.20V; + 1.30Vi +0.03vi +O.ISV; = 12.S2V; -4 V, = 0.77m1s E = O.OOS-4f calculado= 0.020SsemejanteaI fsupuesto E

D

D

Q=V2Al

:::>Q=
V =D:V , D, '

=

(0.J5y zO.77=3.0Sm/ (0.075)2 7s

Q" ViA, = (3.0S{ RX(0.~75)2 ) = 0.0136

mX =

0.0136

mX x

IO:~ts.

- Q

= 13.6 Ys

Problema Si la bomba B de la figura transfiere aI fluido 70 CV cuando el caudal de agua es de 220 Us. ;,A que elevaci6n puede situarse el dep6sito D1


Ps V/ L V2 P£ V/ hs +- +- + 85 - / - - - 6 = h£ +- +Y 2g D 2g Y 2g p. h£ + P£ = 9.9m. hs + zs. = 29 m.

r

r

L V2 29 + 85 - f - - - 6 = 99m D 2g L V2

9=/-D2g

V = ~9DX2g =

jL

9xO.6xI9.62 = 2.97 m/ 0.02x600 /s

Q = VA = 2.97 x JT(0.6Y = 0.840 m3 / 4 /s PbomlxJ

= QxyxH

= 952Cv

75 PTIIrbIna = Q x y x B = 67.7 Cu 75 La cota de la superfieie libre mantenida en el dep6sito F. L V2 hF = / -D 2g

600

= 0.020x-x0.6

(2.97Y 19.62

= 4.0m

Nivel del tanque F = 99 - 9 = 90 m Problema A traves de una tuberia de 5 em de diametro circulan 68 kg/s de aire a la temperatura eonstante de 2O"C.La tuberia es usada y el material de fundiei6n. En la secci6n A

la presion absoluta es de 3.80 kg/em', ~CuMsera la presion absoluta 150 m aguas abajo de A si la tuberia es horizontal? Utilizar e = 0.0249 em.

147


Problema

Para el tlujo laminar en tuberias f = 64~. Mediante esta informacion desarroUar una expresi6n de la velocidad media en funcion de la perdida de carga, diametro y otras magnitudes oportunas. En tuberias y conduetos, las perdidas de carga en longitud de tuberia se obtienen mediante la ecuacion de Darcy - Weisbach. h =f Ly2 L D2g hL

Reemplazando en esta ecuaci6n el valor de f :

64 Ly2 D2g

= RE

SabiendoqueRE

64vLy2 h =_:_..:..::::.._ L VD D2g

=

V V.D porlacualsereemplazaestevalor

32uLY D2g

En esta ecuaci6n despejando la velocidad media se obtiene la expresi6n en funei6n de las perdidas de carga. h = "'1.

32 VL v ::::> V = h L D2 g D2g 32vL

Problema Determinar el caudal en una tuberia de 30 em de diametro si la ecuacion de la distribuei6n de velocidades es v2::70 (y-y2), con el origen de distancias en la pared de la tuberia.

Q = 1r J70

J~{Sr _16r4,-s dr. 3

151


Problema

Que ptrdida de carga producira en una tuberia nueva de fundici6n de 40 em un caudal que, en una tuberia de fundici6n de 50 em, tambien nueva, da lugar a una caida de la linea de alturas piezometricas de 1.0 mil 000 m? S=~

S=I.0o/.000m

R=Y.

R = 50cm~ = 12.5 em. =0.125 m

De la tabla 6 del Apendice: CI = 130 Q = AV = ±1r(0,5)2 [0.8494 -130(0.125) 0.63(O.OOI)O'S. ]= 0.14033 mis Por la formula de Hazen - Williams: V = 0.8494 CI

RO.63

= 140.33

Ys

SOS4

Para la tuberia de 40 em. = 0.14033= ±1r(0.4)2 ~.8494 xl30 (0.~)0.63 So.s. ] 0.$4

S

S = 2.96x10 .) x 1000 = 2 96 m/ 1000 ' /1000 m

= 0,14033 3.2523

Perdida de earga = 2.96 mllOOO m.

Problema La tuberia eompuesta (sistema de tuberias en serie) ABCD estA eonstituida por 6000 m de tuberia de 40 em, 3000 m de 30 em y 1500 m de 20 em (C,=I00): a). Caleular el caudal euando la perdida de earga entre A y B es de 60 m. b). Que diametro ha de tener una tuberia de 1500 m de longitud, eolocada en paralelo eon la existente de 20 em. y con nudes en C y D, para que la nueva secei6n C-D sea equivalente a la seccionABC (utilizarC, =1(0), e). Si entre los puntos C Y D sepone en paralelo con la tuberia de 20 em otra de 30 em. y 2400 m de longitud. Cual sera la perdida de earga total entre A y D para Q=80 Us?

fa

29

(v; b..+ V.dI2)2 d.

d2

L2 +(VldI2 Id:)2 =60 d)

Suponer un f = 0.02 0.02 (VI' 600 + (VI (0.4)' /(0.3)2 f3000 + 2 x 9.81 0.4 0.3

(v,(O.4y /(0.2Y)SOO 2 = 60 0.2


H B =90m-3m=87m

p (CY)

= rHQs =>Q= 75*100 =>Q=0.0862m31 7.5 1000*87 Is

Q=86.21Ys

De la tabla B, se obtiene una perdida en funci6n del caudal y del diametro:

S = 13.2mil000m ~=> S=L

h = 13.2 *1200 r 1000 h, = 15.84m

Son las perdidas producidas en el tramo BC Se suponen unas perdidas para las tuberias en paralelo de 20 m,

S =~=>S IS 1500

IS

Del diagrama B

(QIS)IOO

S =~=> 20

1800

= 13.3 1000

=18.0Ys

S =_!!:!_=> 20 1000

(Q 20 ) 100 = 34L/ 7s

Como la tuberia en paralelo el

QT= QI + Q2 QT = 18.0+34.0=52.0 Us.

S2 ~100%=>18~34.62%y34~65.38%

163

Matenal proieqido por derechos de autor

Problema Detenninar el caudal que circula a traves de cada una de las tuberias del sistema mostrado en la siguiente figura.

£1)0.0 ..

hfTOTAL =31.0-21.0m=9mlhfC1-4)J entre los tramos 2 - 3 del sistema en paralelo hr(2-3)

= hf(B-

C) = hfCBWC)

Asu vezhrCBWC) = hf(BW) fhfCW - C) [porser BW y W -C tuberiasen serie] Q8WC

= QBW = Qwe (por

ser tuberias en serie]

I).

QI-2 =Q2-3 =Q3-4

2). 3).

Q2.3 = Q e-c + Q owe br(i-4)=9m

4).

br(i- 4) = br(i- 2) + hr{2 - 3) + hr{3 - 4)

Suponiendo Q = 500 LIs. h r(i- 2) = 21.6m L= 1200m

del diagrama B

D=50cm

s= 18m/ =21,6/ 71000m /1200m

C, =100

L =900m D = 60cm

del diagrama B S = 7.3m/

- 6.57/ /900m

/IOOOm -

C1 = 100 hf(2-3)=?

169 M atenal proieqroo por derecnos de autor

Con la tabla B

Q = 54L/ spero para C.=IOO, para C.=120, QRS=64.8 LIs Entre los puntos T y S ademas de la perdida de carga normal hay otra de 3m por efecto de la valvula Z. Hay que anotar 10siguiente, con las alturas piezometricas obtenidas se puede deducir que el tanque T abastece de agua tanto a la bomba como al deposito R, por ello haciendo un balance en S, el caudal que sale por el tramo TS es QTs = 360+64.8 = 424.8 LIs. EI dato de caudal obtenido es con C.=120, se pasa a C.=lOO. QTS= 354LI $, con este dato y el diametro se lee en la tabla B y S60=4.5m11000m, y la caida es: 4,5 (::)

+ 30 = 13.8 m. entonces la altura a la que se encuentra el tanque T es

By = 13.4 m + 27.2 m. Problema EI caudal total que sale de A, es de 380 Us. Y el caudal que Uegaa B es de 295 U s. Determinar: a). la elevaci6n de B y b). la longitud de la tuberia de 60 em,

EI caudal que pasa por C es igual al caudal total que sale de A. for ello: QD = Qc -Qs

Qs = 295Ys

QD = 85Yseg

Qc

QDe. = 100 = 85 x

= 380Ys

C~~)

= 106.37{ ~

s = 6'YtOOOm~

HL = 27m

Con este calculo la altura piezometrica del punto C es de 34 metros. Ahora:

178

M atenal protegldo par der echos de autor

Suponiendo H = 8m

S = 1Ji'500

= 5.33'YI'000~5cm

Q, = 234 Us

= 2,42'YI'000j44cm

Q = 145.2 Us

Q=379.20Us

S = [%300

s, = ~

031,25

= 7.73 'YI'OOOm

D =5Icm.

=> Diagrama B

Q = 379.20 Lis

J 03 J 25m - 5 I

•

em

•

J 800 m - 60

C

A

em • D

Suponiendo un caudal Q = 150 Us en el total de longitud de la tuberia. Trarno AC CD

S

=

Caudal 150 150

2.32 2831.25

L(m) 1031.25 1800.00 2831.25

D(cm) 51 60

= 0.82 m/l000m => Diagrama B /11

Smll000m 1.31 0.54

HL(m)

1.35 0.97 2.32

D = 55 em

Q=600Us Suponiendo H = 6 m

S~

Q (diag. B)

%Q

QOado

= 3:00 = 1.67 o/toOOm

162

38.57

231.42

o/toOOm

258

5143

30858

420

100%

600.00

S$(, = 2:31 = 2.12

HL= por el tramo (I):

Altura piezometrica en D = 23 +

28000k%z k%m = 51m 1000 g 3 m .

Altura piezometrica en A = 30 + X HL= 30 + X-51 m. -~ X = H, + 2L


X2

= 2V2 y V2 = (2.457Y x 9.81 g 2(0.924)

A = 7rl)2 = 4.9 X 10.4 m 4

V

0::

5.66 mls /s

C=CvxCc

C =0.60

5.66)2 = 2 H ( 0.98 g

Velocidad Real = Cv~2gH H = 33.35 =1.7m 2g

Q = CA~2gH = 0.6(4.9xl0·4 )J2g(1.7)

= 0.0017

mX

Problema A traves de un orifieio de 7.5 em de diametro circula, desde un dep6sito eerrado, aceite de densidad relativa 0.800 a razon de 0.025 mJ/s. EI diametro del ehorro es 5.76 em. EI nivel del aceite es 7.35 m por eneima del orifieio y la presion de aire es equivalente a -IS em de mercurio. Deterrninar los tres coefieientes del orificio. Vch =

0.025 9 59 ml Jr(O.0576)2 =. Is

4 Aplieando ecuacion de Bernoulli 7.35_[_1 __

CV2

1](9.592)=

2g

(9.59)2 + 2040

2g

800

-4.68

CV2 = -4.8 = 4.68 + 2.55 - 7.35

- 4.628= 4.68 ~

CV

C; 2 = 0.975 ~ C, = 0.987

Q=CA~2gH 0.025 =

c(

Jr(0.~75)2 )~2g x 4.31 ~ C = 0.61

C=CvxCc 0.61 = 0.987 x Co ~ Cc = 0.618

191


P: = h I Y 2 + ~ ::::) PI= P~- hI Y 2 P.3=hYI

+~+~I-hIY2

PtJ.=hy,+~ PB=h

Y I +~+~'-hy

2,

PtJ.-Pa PtJ.-PB = h YI +~ -h YI-~ PtJ. -P,B =hy

I

_~I +h IY2

_pIC

Problema Circula agua por una tuberla de IS em en la que se ha instalado una boquilla de aforo a 27°C a raz6n de 0.045 ml/s. l.CuAlsera la difereneia de lecturas en el man6metro difereneial? (Emplear Diagrama 0).

Q = A.C·

- mi2 A,rea---

1Z'(0.15)2 -1 -.. 767 10.2 m

_

4

4

Q

Velocidad= -

A

=

is

0.045m s 1.767.10·2m

Reynolds = V.O = 2.546 P

7s•

= 2.5467

m/ 7s

(0.15 m) 0.859.10.0

%

Re « 444.709 Flujo totalmente turbulento f3 = 7.5 = 0.5 15

del diagrama D de boquilla de aforo se eneuentra el valor de C = 0.988


m de largo y 0.80 m de alto, se instala en un canal rectangular. La perdida de carga a traves del orificio es de 0.60 myel Cc = 0.65. Determinar: La altura de carga a la cual asciende el agua en el dep6sito. El coeficiente de velocidad para el orificio. Q=mbH_%

Q = 1.84 x 0.60 m x (OJO)~ Cc =

= 0.035 mX

AChom>

Aoriftcio Acltono

= Cc X

Q

_ Aorificio -

Vreal =--!!!!L= Acltono

0.65 x

71"(0075)2

4

= 2.87

X 10')

m.'

0035mis 3 2 =12.2mls 2.87 x 10' m

H = (12.20 ~egf + 0.60 = 8. 19m. 2x9.8 nV 2 / seg ~--YT =~2 * s: H = ~2 *9.81*8.19 = 12.68m/s cy=

12.20ml Is =0.96 12.68,%

Problema Un vertedero con contracciones de 1.2 m de largo esta situado en un canal rectangular de 2.7 m de ancho. La altura de la cresta del vertedero es 1.10 m y la altura de la carga 37.5 em, Detenninar el caudal, empleando m = 1.87.

Q=CHn Q =m

(b-~H)H75 10

= 1.87(1.2 m -~0.275)*0.375.% 10

= 0.483m3

1s

La formula para Q empleada es para vertederos con contracciones Lv.= 1.2m Ae = 2.7 m; he = 1.10 m

205


Puesto ~ue la altura de caria varia con el tiempo se calcula el tiempo de vaci~~9:

Qdt = -Ardh C Ao~2gh dt = ATdh 1(T2

C1(T2

J2'idt = -.;-dh (h)72

c../2i dt=h-~dh c../2i Jdt = Jh-~dh c../2i t =2h~ 2h~

t=--

c.{ii

EI espacio es funci6n de V. y t. Luego X=

2Ag + 2g

+

'Y

~ X =

p

...!>..

V}..

2Jh1 r;;::-

c.._,2g

1r-~-7.-066-S-+-2-g-::P,-"-. 2.Jh

V

'Y

Ir-------p,,-

X = 2,,47.066S + 2g

-:y.

c.J19.62 h 0,5

/

/4.429C

Problema Un orificio de 15 cm de diametro evacua 0.34 ml/s de agua bajo una altura de carga de 44m. Este caudal pasa a un canal rectangular de 3.6 m de ancho alcanzando una altura de 0.9 my de ahi a un vertedero con contracciones. La altura de carga sobre el vertedero es 0.3 m.l.Cual es la longitud del vertedero y el coeficiente del orificio? F6nnula simplificada de Francis. Velocidad es despreciable

211


CAPITULO

XI

FLWO EN CANALES ABIERTOS

Los diferentes tipos de flujo que se presentan en un canal son: FLWO

PERMANENTE

La velocidad en un punto cualquiera de la seccion es constante; es decir, que la variacion de la velocidad con respecto al tiempo es cero. FLWO

PERMANENTE Y UNIFORME

Cumple con la condicion de flujo permanente y ademas tiene en cuenta que la variacion de la velocidad con respecto al espacio es igual a cero. Fw.lo PERMANENTE Y VARIADO Sera aquel en el cual existira una variaci6n de la velocidad con respecto al espacio. FLWO

GRADUALMENTE VARIADO

La variaci6n de la velocidad se debe unicamente a la fricci6n provocada por las paredes del canal. Fw.lO RAPlDAMENTE VARIADO La variaci6n de la velocidad en el flujo se debe a cambios bruscos en la secci6n geometrica del canal.

215


Problema

Designando por YN la profundidad en la figura, deducir una expresi6n para el flujo laminar a 10largo de una placa plana de anchura infinita, considerando el volumen Iibre, con achura unidad.

Para flujo laminar en canales abiertos amplios de ancho unitario, la distribuci6n de velocidades se expresa como:

V ~ ~ (Ynl Despejando yol ~ 3vV gS Problema

EI factor de friccion de Darcy / se asocia generalmente a tuberias, Sin embargo. para el problema precedente evaluar el factor de Darcy l,empleando la soluci6n dada para dicho problema Para una tuberla lIena Y0 ~ D 4

Yn'

aE. (I) 16

Para la solucien del problema I

Yn' 3v V (2) gS

219

~I I

PI

S=0.00016~

2 tuberiasde hormigon(n = 0.012) S =12_=0.0025 1000

Q..... =Q ... A R 21) S"2

2 A R'" S'n

n

n

6.1.2+1.2+1.2)( ( 2

reemplazando

7.92 )%S~_21rd' 1.2+ 6 + 1.697 4

1r d'j% 4 (0.002S)Yz tt d [

7.92·(0.89)% (0.OOOJ6)~= 1r d' .(~)% .4.166 0.020 2 4 1.7848=d' ·dY, =dX d =(I.7848)Y. = 1.24m Problem.

Por un canal semicuadrado circula un caudal de 2.20m'/s. El canal tiene 1200m de largo y un desnivel de 0.6 m en esa longitud. Aplicando la formula de Manning y n = 0.012,determiner las dimensiones.

RhY.

Manning

C=-n

Pm= b +b+~=2b

2

Q

2

AR%S~

bY,=5.95

n

~.(~)% 2.2 2 4

(0.OOO5)Yz

y=-

b 2

1.952 y=-2

0.012 5.95 = b' • bY,

b=1.952 m

y=0.976m

22J I

de

Problema Una acequia desagua 1.20 ml/s con una pendiente de 0.50 m. La secci6n es rectangular y el factor de rugosidad n = 0.012. Determinar las dimensiones 6ptimas, 0 sea, las dimensiones que dan el Menorperfmetro mojado.

s=

0.5 = 0.0005 1000 ARX S~

Q=---

b=2y

n

~ =ARX SI'2

Rh=I.

2

= 1.2.0.0!:

0.644

(0.00051'2

ARX =0.644 b by " _y_ ( b+2y b2 b:.;

]X

)X = 0.644

b=2y

=0.644

6

b% =3.245

y=-

b =1.556m

y=O.77m

[

2

Problema Un canal rectangular revestido, de 5 m de anchura, transporta un caudal de 11.50 rolls con una profundidad de 0.85 m. Hallar n si la pendiente del canal es de 1.0 m sobre 500 m (aplicar la formula de Manning) A =4.25 m2

1

Q=An

Rh = 4.25 = 0.634 m

6.7 n=

A RX S~

Q

=

4.25(0.634 )X(O.002)~

= 0.012

11.50


2.3867' -08343 -. m 9.81 Como 0.6(yc:::) el //,90 es supercrilico Yc

1

Para y=1.2m

A=3.6m'

q= 1.2(7.16) = 2.3867m' Islm

3.6

Yc

2.3867' =0.8343m 9.81

Y ( Yc:::) flujo es subcritico

Problema En un canal rectangular de 3 m de ancho el caudal es de 7.16 m'ls cuando la velocidad es de 2.4 mls. Determinar la naturaleza del flujo. q = 2.386 m'ls Yc =V(2.3:6)'

=0.834m

3 E... ='2(O.834m)= 1.25 m

V, E=y+2g

1.25 = y + (2.4 mls)' 2g

Y = 1.25 - 0.294 =0.957 m Luegosi Yc (y 0.834m( 0.957 m entonces el flujoessubcritico Problema Para una profundidad critica de 0.966 m en un canal rectangular de 3 m de ancho, ~Calcular el caudal? yc' =q'/g q =~Yc' g = ~(O.966)' (0.18)= 2.972

mis

237 Md!~ra prOlOg"'"po de CC

00

or

Solucionario mecanica de fluidos e hidraulica

Recommend Documents