Mecánica de Fluidos CAP. 2 - 3ra Edición - Merle C. Potter & David C. Wiggert

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Estatica de fluidos Esquema 2.1 2.2 2.3 2.4

Introducci6n Presion en un punlo Variaci6n de presion Fluidos en reposo 2.4.1 Presiones en lfquidos en reposo 2.4.2 Presiones en la atmosfera 2.4.3 Man6metros 2.4.4 Fuerzas sabre areas planas 2.4.5 Fuerzas sabre superficies curvas 2.4.6 Flotacion 2.4.7 Estabilidad 2.5 Recipientes linealmente acelerados 2.6 Recipientes rotatorios 2.7 Resumen

Objetivos del capitulo Los objetivos de este capitulo son: • Establecer Ia variacion de presion en un fiuido en reposo. • Aprcndcr c6mo utilizar manometros para medir la presion. • Calcular fucrzas en superficies planas y curvas, incluidas las de flotacion. • Determinar Ia eslabilidad de objetos sumergidos y flotantes. A. Calcular Ia presion y fuerza en recipientes acelerados y rotatorios. .a. Presentar multiples ejemplos y problemas que demuestren como calcular presiones y fuerzas en fluidos en reposo.

35

36


Capitulo 2 I Estatica de fluidos

2.1 INTRODUCCION Estatica de fluidos: £studio de los fluidos en los que no hay movimiento relarivo entre sus part£culas.

CONCEPTO CLAVE

El unico esfuerzo que existe donde no hay movimiento es Ia presion.

La estatica de Ouidos cs el estudio de fluidos en los que no hay movirniento rela-

tive entre sus partfculas. Si no hay movimiento relative, no ex:isten esfuerzos cortantes, puesto que se requieren gradientes de velocidades. ta les como duldy, para que se presenten los esfuerzos cortantes. El unico esfuerzo que ex:iste es un esfuerzo normal, Ia presion, por lo que esta es de primordial importancia en Ia estatica de fluidos. Se investigaran tres situaciones, ilustradas en Ia figura 2.1, que implican la estatica de fluidos. Incluyen fluidos en reposo, tales como agua que empuja contra una presa; fluidos contenidos en dispositivos que experimentan aceleracion lineal; y fluidos contenidos en cilindros rotatorios. En cada una de estas tres situaciones, el fluido esta en equilibria estatico con respecto a un marco de referencia fijo en ellfmite que circunda al fiuido. Ademas de los ejemplos mostrados para fiuidos en reposo, se consideran instrumentos llamados manometros, y se investigan las fuerzas de flotacion . Por ultimo, tambien se presenta Ia estabilidad de cuerpos flotantes tales como buques.

2.2 PRESI6N EN UN PUNTO Definimos Ia presion como una fuerza de compresion normal infinitesimal dividida entre el area tambien infinitesimal sobre Ia cual actua. Esto define la presion en un punta. Se podrfa preguntar si la presion en un punta dado varia conforme la normal al area cambia de direccion. Para demostrar que este no es el caso, incluso para fluidos en rnovirniento sin movimiento cortante, considere el elemento en forma de cufta de profundidad unitaria (en Ia direccion z) mostrado en Ia figura 2.2. Suponga que Ia presion p actua en la hipotenusa y que una presion diferente Ia hace en cada una de las demas areas, como se muestra. Como las fuerzas en las dos caras extremas actuan en la direccion z, no se las incluyo en el elemento. A continuacion, se aplica la segunda ley de Newton al elemento, en las direcciones x y y: tlxtly PxAY - ptls sen () = p - - - ax 2 tlxtly tlxtly Py tl.x - pg-- - p tls cos()= p -- ay 2 2

(2.2.1)

donde se utilizo 6.¥ = Ax tly/2 (se podrfa incluir tlz en cada termino para incluir Ia profundidad). Las presiones mostradas se deben al fluido circundante y son las presiones promedio que actuan en las areas. Sustituyendo tls sen () = fly

a)

b)

As cos()= Ax

(2.2.2)

c)

FIGURA 2.1 Ejemplos incluidos en est~tica de fluidos: a) lfquidos en reposo; b) aceleraci6n lineal: c) rotaci6n angular.


flGURA 2.2

Sec. 2.3

I Variaci6n de presiOn 37

PresiOn en un punto de un f!uido.

observamos que la ecuaci6n 2.21 toma la forma

pax Ll.x Px-p=~

p(a,

Py- p

+ g) Ll.y

(2.2.3)

2

~

Observe que en ellimite a medida que el elemento se reduce a un pun to, Ll.x--. 0 ~y ____,. 0. Por lo tanto los !ados dcrcchos de las ccuacioncs anteriores se vuelven cero, incluso en el caso de tluidos en movimiento, lo que da el resultado de que, en un punto,

y

(2.2.4)

Px : :;:;- Py = P

Puesto que (} es arbitrario, csta rclaci6n prcvalccc para todos los angulus en un

pun to. Se podrfa haber analizado un elemento en el plano xz y concluido que Px = Pz = p. A sf pucs sc deduce que la presiOn en un t1uido es constante en un pun to; es decir, la presiOn es una funci6n. ActUa igual en todas las direcciones en un pun to dado tanto en un fluido est£\tico como en uno en movimiento sin esfuerzo cortante.

2.3 VARIACION DE PRESION Una ecuaci6n general se deriva para predecir la variaciOn de presiOn de fluidos en reposo o fluidos que sufren una aceleraci6n mientras que la posiciOn relativa entre

sus elementos permanece igual (esto elimina el esfuerzo cortante ). Para determinar la variaci6n de presiOn en tales liquidos, considere el elemento infinitesimal ilustrado en Ia figura 2.3 donde cl eje z esta en Ia direcci6n vertical. La variaci6n

de presion de un punto a otro se determinara aplicando Ia segunda ley de Newton; esto es, Ia sum a de las fucrzas que actUan. en el elemento de fluido es igual a la masa par Ia aceleraci6n del elemento. Si sc presume que exlste una presiOn pen el centro de este elemento, las presiones en cada una de las caras se expresan utilizando la regia de la cadena del c3lculo con p(x, y, z):

dp

ap

~ ~dx

ax

iJp

. ap

ay

az

+ ~dy + -.-dz

(2.3.1)

CONCEPTO CLAVE

Lo

presiOn en un fluido actUa de manera igua/ en todas las direcciones en un

punto.


38 Capftulo 2 J Estatica de Ruidos

~------------------------y F'uel"l..as que actdan tn uti eleo.c.nto infinitesimal qoo I.'S(j tn rtposo en de rc:Jerc.nc;ia xyz, El 1:1\liJtO de: rcferc1K:i.1 puedc: ~~Cr wmeddo a ac:cJcnu:i6o o

f1 CURA %.3 cl ~mn;o

rotaci6n. Si se recorre una distancia (dx/2) del centro a una cara. se ve que Ia pres~n es

d.• ) ~p dJt p( X+ T·Y·~ = p(x, y.z} +ax T

(2.3.2)

Las presioncs en todas las caras .sc expresan de e$ta manera, como se muestra en Ia figura 2.3. l..'l segunda ley de Newton se escribe en forma vedoriaJ para uo sis· tcmu de masa con.stante como

!f•m~a

Est.a da por resultado Las lres ecuaciones,.supOniendo que do Ia ma.sa como p dx dy dz..

(2.3.3)

z es .,·ertical y utiJizan-

ap

-ax dx dy dt = paAdx dy dt.

ap

- iJy d.r dy dz = paY dx dy dz

ap

- "5; dx dy dz •

(U-4)

p(o{ + g) dx tty dt

don
ap

- = - pa

ax

'

ap

- = - pq ay '

.I, az •

- fA.a, + g)

(2.3.5)


Sec. 2.4 I Fluidos en teposo 39

Con Ia ecuaci6n 2.3.l ahora se puede determinar Ia difert1locial de presj6n en cua lquiet di recci6L~ como

dp =

_,,,d.r - pa,4y -

{I.a, + g)dz

(2.3.6)

donde t siempre es vertical. Las dlferencias de prcsi6n sc obtiencn intcgrando In ccu.n.ci6n 2.3.6. & ta ecuaci6n es Util e n varios problemas.. oomo ge demwrad en las secciones restanles de-este C3pftulo.

2.4 FlUIDOS EN REPOSO Un Ouido en reposo no $C .,.e somctido a aceleraci6n. Pur cons:iguie nte. con ax = a1 = a1 = 0 y Ia ecuaci6n 2.3.6 se reduoe a dp -= - pg d;,

(2.4.1)

0

(2.4.2)

Esta ecuaci6n implica que no hu.)' variati6n de prts:i6n e n las dire~ooes .r y y. es dccir. en cl plano horizo(Ual. La prcs.i6n \·aria s61o en Ia d irccci6n ~. Tnmbieo se obseJVa q~ dp es negativa si d;, es posidva; esto es. la. presi6n dismjnU)'C al subir y se incrementa a l bajar. uo rcsultado mJis que obvio.

2.4.1 Pres.iones en Hquidos en r~o Si Ia densida d se J>upone constante, al integra.r Ia ccuaci6n 2.4.2 se obtiene 6p = - y4z

o p+

')It

= oonstante o

!!. + ; -= ronstante y

(2.4.3)

de modo que Ia prcsi«)n sc incrementa ron Ia prorundidad. Observe que~ cs positiva hac:ia arriba. A menudo se bace referenda a Ia cantidad (ply + z) ro1no

u,.o

cargo hidmsJ6tica. Si e l pun to de intcrts ruera una distancia h por debajo de una

Suptrllde libte:

&ollpt'd"tdc libre (una s uperficie que separa un gas de un lfquido)t 001no se muestrn en la rigum 2.4.1a ecuaci6n 2.4.3 seria

SIIJWrfick (114(! $('# )I'm WI &as

,,

yll

(2.H )

d<' ,.,. llquido.

CONC'EPTO CLAVE U «!Mdol'l I' .,.., lie utJiu~ IJM1f wrr,oorts• p~ I'IJ lil'llr ttl'tu•• df! fKJii!OO

Aite

'

*I

j_ -·

tlGURA 2A Presi6a bajo una supcrOOe libre.

40



donde p = 0 con h = 0. Esta ecuacion es bastante Uti! para convertir presion en una altura de liquido equivalente. Par ejemplo, Ia presion atmosferica con frecuencia se expresa en milfmctros de mercurio; es decir, Ia presion atmosferica es igual a Ia presion a una cierta altura en una columna de mercurio, y si conoce el peso especffico del mercurio, entonces se puede determinar dicha altura con Ia ecuacion 2.4.4.

2.4.2 Presiones en Ia atmosfera

Atmosfera cstandar: Posici6n a 40° de /atitud

donde se estandarizan los calcu/os.

Para Ia atmosfera donde Ia densidad depende de Ia altura [es decir, p = p(z)], hay que integrar Ia ecuacion 2.4.1 a lo largo de una trayectoria vertical. La atmosfera se divide en cuatro capas: la troposfera (mas cercana ala tierra), Ia estratosfera, Ia iono!.f era y Ia exosfera. Ya que las condiciones cambian con el tiempo y lalitud en Ia atmosfera y las capas son mas gruesas en el ecuador y mas delgadas en los palos, los calculos estan basados en Ia atmosfera eshindar, Ia cual se localiza a 40° de Iatitud. En Ia atmosfera estandar la temperatura en Ia troposfera varfa linealmente con Ia elevaci6n. T(z) = T 0 - az , donde el gradiente termico vertical o rilmo de descenso termico a = 0.0065 Kim (0.00357°R/ft) y T 0 es 288 K (Sl8°R). En Ia parte de Ia estratosfera entre 11 y 20 km la temperatura permanece constante a -56.5°C. (En la parte baja de esta regi6n de temperatura constante es donde usualmente vuelan los aviones comerciales.) La temperatura luego se incrementa de nuevo y alcanza un valor maximo cerca de los SO km; luego disminuye en el borde de Ia ionosfera. La figura 2.5 muestra Ia variacion de Ia presion atmosferica con Ia altitud en tres montaiias. La atmosfera estandar se ilustra en la figura 2.6. Como Ia densidad del aire en Ia ionosfera y Ia exosfera es tan bajo, es posible que los satelites orbiten Ia tierra en cualesquiera de estas capas. Para determinar la variacion de presion de Ia troposfera, se utiliza Ia ley de gas ideal p = pRTy Ia ecuacion 2.4.1; es decir pg d dp= - z RT 0

dp g - = - dz p RT

(2.4.5)

29140

Oil

:r: '0 "

E

_§_

~ :§

14410

500

"0

3

·.:::

<

620

B ·c:

~ § '"c ~ ~

c..

760

FIGURA 2.5 Presion atmosferica y altitud Una columna de aire de Ia atmosfera exterior hasta un pun to en Ia tierra contiene gases que ejercen una fuerza igual a 14.7 lb por pulgada cuadrada. Esta presion es 1 atm o 760 mm de Hg. A grandes altitudes Ia presion es menor porque Ia masa de columna. de aire de Ia atmosfera exterior hasta cse pun to es menor. A Ia derecha se dan ejemplos de presion en tres montaiias.


Sec. 2.4 I Fl uidos en reposo

Ionosfera ~

~(km)

(km)

1

-6rc

I

Estratosfera

Troposfera 101.3 kPa

T

FIGURA 2.6 Atm6sfera estandar.

La cual puede ser integrada, entre el nivel de mar y una elevaci6n z: p

dp

g ('

dz

f.PatmP = - R Jo To - az

(2.4.6)

AI integrarla se obtiene p

In - -

To- az ln --=--aR To

(2.4.7)

(To - az)glaR To

(2.4.8)

=-

Patm

g

La cual se le puede dar la forma

_

P-

Patm

Si se utilizan condiciones estandar en Ia ecuaci6n 2.4.8, se ve que plpa1m = 0.999 con z = 10 m. Por consiguieote, se omjten los cambios de presi6n en un gas tal como aire a menos que z sea relativamente grande. En Ia estratosfera, donde Ia temperatura permanece constante, Ia ecuaci6n 2.4.5 se integra otra vez como sigue:

f

fdp g ---dz P, P RTs z,

(2.4.9)

p g In- = - (z - Zs) Ps RTs

(2.4.10)

p = Ps exp[RgTs (zs - z) J

(2.4.11)

0

El subfndice s denota condiciones en Ia interfaz troposfera-estratosfera. En el apendice B.3 se dan propiedades de Ia atm6sfera estandar hasta 80 km de altura.

p

41

42



Ejemplo 2.1 La presi6n atmosferica se da como 680 mm de Hg en un Iugar montanoso. ConviertaJa en kilopascals y metros de agua. Tam bien. calcule Ia disminuci6n de Ia presion producida por un incremento de elevaci6n de 500 m. a partir de una elevaci6n de 2000 m, suponiendo densidad constante. Solucion

Use Ia ecuaci6n 2.4.4 y determine. con S11g = 13.6 y Ia ecuaci6n 1.5.2,

P = Yngh

= (9810 X

13.6) X 0.680

= 90700 Pa

o

90.7 kPa

Para convertir en metros de agua. se tienc

=

90700 9810

= 9.25 m de agua

Para calcular Ia disminuci6n de presion. sc utiliza Ia ecuaci6n 2.4.3 y se husca Ia densidad en Ia tabla 8.3:

:1p

= -y.lz = -pg~z = -1.007 X 9.81 X 500

= -4940 Pa

Nota: Como Ia gravedad se conoce con trt.:s digitos significativos. la respuesta se expresa con tres dfgitos significativos.

Ejemplo 2.2 Suponga una atm6sft.:ra isotermica y de un valor aproximado de Ia presion a 10000 m. Calcule el porcentaje de error comparando con los valores obtenidos con Ia ecuaci6n 2.4.8 y los tornados del apendice B.3. Use una temperatura de 256 K. Ia temperatura a 5000 m. Solucion

Tntegre Ia ecuaci6n 2.4.5 suponiendo que T es constante, como sigue:

J.

p

WI

f.'

dp g --dp RT " '"

p

gz

101

RT

In-=-- o

Sustituyendo

z = 10000 my T = 256 K. se obtiene p = lQJe

'l.!ll><251>)

= 26.57 kPa

Utili7.ando Ia ecuacion. 2.4.8 se obtiene

IR"I

p = !Olt·-xz


Sec. 2.4 I Fluidos en reposo

_ (Tu To- a;:)~:!nR

Jl- P.um

" = 10 I( 28n

-

O()(}6J O00())9.SJI000Mx2117 · :> X

288

= 26.3 k Pa

La prcsil'in cxistente a 10 000 m scgun Ia tabla B.3 es de 26.50 kPa. Por lo tanto los porcentajes de error son

"'to error = (26.57-_ 26.3) X IOO = l .030to, 26 3

%error= (

26 57 26 50 · · ) X 100 = 0.26% 26.50

Como cl error cs tan pequeflo. con frecuencia se supone que Ia atm6sfcra cs isotcrmica. Nota: Para cvaluar gz/RT usc R = 287 J/kg· K, no 0.287 kJ/kg· K. Para advertir que gz/R no tiene dimensioncs. usc N = kg-m/s2 de modo que

2.4.3 Manometros Los man6metros son instrumentos que utilizan columnas de liquido para medir prcsiones. Trcs instrumentos como esos. mostrados en Ia figura 2.7, se analizan para ilustrar su uso. La parte a) muestra un man6metro de tubo en U, utilizado para medir presiones relativamente pequefias. En este caso Ia presi6n en el tubo se detcrmina definiendo un punto l en su centro y un pun to 2 en Ia superficie de Ia columna derecha. Luego. si se utiliza Ia ecuaci6n 2.4.3

don de el nivel de referencia con respecto al cuaJ se miden z 1 y z2 se localiza en cualquicr posici6n deseada, como por ejemplo a travcs del pun to 1. Como p2 = 0 {si sc clige Ia presi6n manometrica; si se desea Ia presi6n absoluta. se elegirfa P2 = Pmm) Y Z2- Zt = h, Pt

= -yh

(2.4.12)

La Figura 2.7b muestra un man6metro utilizado para medir presiones relativamente grandes puesto que se pueden elegir valores muy grandcs para -y2 por ejemplo, se podrfa elegir -y2 como Ia presi6n de mercurio de modo que -y2 = 13.6 'Yagua· La presi6n sc dctermina introduciendo los puntas indicados. Esto es necesario porque Ia ecuaci6n 2.4.3 es valida en todo fluido; 'Y debe ser constante. El valor de 'Y cambia abruptamente en el pun to 2. La presi6n en el pun to 2 y en el punto 2' es Ia misma puesto que los puntas estan a Ia misma elevaci6n en el mismo fluido. Por lo tanto

Pz = P2' Pt

+

'Yth = P:.

+

(2.4.13) 'Y2H

43

44



0 rl

CD

H

CD

It

r-

r a)

r2

-®

b)

rl

CD

0

____.

0

c)

FIGURA 2.7 Man6metros: a) Man6metro de tubo en U (presiones pequeiias); b) Man6metro de tubo en U (presiones grandes); c) microman6metro (cambios de presi6n muy pequeiios).

Con p 3

= 0 (se utiliza presion manometrica) se obtiene (2.4.14)

La figura 2.6c muestra un microman6metro utilizado para medir cambios de presion muy pequeiios. Si se introducen cinco puntas como se indica, se escribe (2.4.15) Observando que

z2

-

z3 + h P1

= H + z5 - z4 y haciendo p 5 = 0 se llega a

= 'Yt(Z2=

Zt) + 'Y2(h - H) + 'Y3H Yt(Zz - Zt) + rzh + (y3 - r z)H

(2.4.16)

Observe que en todas las ccuaciones anteriores para los tres maoomelros, todas las interfaces se identificaron con un punto. Esto siempre es necesario cuando se analiza un manometro. El microman6metro es capaz de medir pequefios cambios de presion porque un pequefio cambio de presi6n de p 1 produce una deflexion H relativamente grande. El cambio de H producido por un cambio de p 1 puedc ser determioado con la ecuaci6n 2.4.16. Sup6ngase que p 1 se incrementa en ~p 1 y, en consecuencia, z2 disminuye en ~z; en tal caso h y H tambien cambian. Utilizando el hecho de que una disminucion de z2 va acompafiado par un incremento de z5 se llega a un incremento de h de 2~z y. asimismo. supon iendo que se conservan los volumenes, se puede demostrar que H experimenta incrementos de 2~zD 2/d 2 . Por consiguiente un cambio de presi6n j.p 1 puede ser evaluado a partir de los cambios de deflexi6n como sigue:


Sec. 2.4 I Fluidos en repose 45

(2.4.17) La raz6n de cambia de H con p 1 es

t:l.H

26.zD2/d2

1-p,

t:lp,

(2.4.18)

Con Ia ecuaci6n 2.4.17 se obtiene (2.4.19) En el cjemplo 2.4 sc da un ejemplo de este tipo de man6metro.

Ejemplo 2.3 Por olcoductos fluyen agua y petr6leo. Se conecta un man6metro de doble tubo en U entre los oleoductos, como se muestra en Ia figura E2.3. Calcule Ia diferencia de presi6n entre el oleoducto que conduce agua y el que conduce petr61eo. Solucion

Primero se identifican los puntos pertinentes como se muestra en Ia figura. Se inicia en el pun to CD y se sum a Ia presi6n cuando Ia elevaci6n disminuye y se rcsta cuando Ia elevaci6n se incrementa hasta que se llega al pun to®: P1

+ "Y(z, -

Z2) · ySt(Z3 - Z2)- ySairc(Z4 - Z3)

+ ySz(Z4 - Zs) = P5

A ire

.-----==.=L.J I

lin

Agua

6in

I '

0 Petr6leo

I

lOin

s, = 1.6 FIGURAE2.3 donde y = 62.4lb/ft\ S1 = 1.6, S2 = 0.9 y Sa;rc = 0. Por lo tanto. p1

-

Ps = 62.4( - 10 + 1.6 12 = 11.44 lb/ff

X

11 + 0 12

X

6 - 0.9 12

X

6) lz

o 0.0794 psi

Observe que si sc omite el peso del aire, Ia presi6n en el punto 3 es igual a Ia presi6n en el pun to 4.

46



Ejemplo 2.4 En una condici6n dada los niveles del lfquido en Ia figura 2.7c son .:: 1 = 0.95 m, z2 = 0.70 m. ;::3 = 0.52 m. Z.t = 0.65 my ;: 5 = 0.72 m. Ademas, y 1 = 9810 Nlm'. y 2 = 11500 N/m3 y y_, = 14 000 N!m 3 . Los diametros son D = 0.2 my d = 0.01 m. a) Calcule la presi6n p 1 c::nla tube ria, b) calcule el cambia de Jl si p 1 experimenta un incremento de 100 Pay c) calcule cl cambio de h del man6mctro de Ia figura 2.7a si h = 0.5 m de agua y t:.p = lOOPa. Soluci6n

a) Recurriendo a Ia figura 2.7c, sc tiene h

= 0.72- 0.70 = 0.02 m

H = 0.65- 0.52 = 0.13 m Sustituyendo los valores dados en Ia ecuaci6n (2.4.16) se obtiene

+ 'Y2h + (Y3 - Y2)H 9810(0.70- 0.95) + 11500(0.02) + (14000- 11500)(0.13)

Pt = Y1(:2 - zt) =

= -1898 Pa b) Si Ia presion p 1 se incrementa en 100 Pa a p 1 = - 1798 Pa, el cambio de H es, de acuerdo con Ia ccuaci6n 2.4.19. ~II= ~PI

-yl

'I ~ + 2yz + 2('Y3- Yz)D-,d-

2(2Q1)

~H = lOO -9810 + 2(11500) + 2(14000- 11500) X 20~

=

0·0397 m

De este modo H sc incrementa en 3.97 em a consecuencia del incremento de presi6n de 100 Pa. c) Para el man6metro de Ia figura 2.7a.la presi6n p 1 esta dada por p = yh. Suponga que inicialmente h = 0.50 m. Asf pues Ia presi6n inicial es p 1 = 9810 X 0.50 = 4905 Pa

Ahora si p 1 sc incrementa en 100 Pa, se puede determinar h: PI = yh PI 5005 h = - = - - = 0.510 m y 9810

:. ~~~ = 0.510- 0.5 = 0.01 m

De este modo un incremento de 100 Pa incrementa hen l em en el man6metro mostrado en Ia parte a), 25% del cambio en el microman6metro.

2.4.4 Fuerzas sobre areas planas

En el disefto de dispositivos y objetos sumergidos, tales como presas, obstrucciones de flujo, superficies en barcos y tanques de almacenamiento, es necesario calcular las magnitudes y ubicaciones de las fuerzas que actuan tanto en superficies planas como curvas. En esta secci6n se consideran s61o superficies planas, tal como la superficie plana de forma general mostrada en Ia figura 2.8. Observese que se da una vista laterallo mismo que una vista que mucstra Ia forma del plano. La fuerza total dellfquido sabre la superfkie plana se encuentra integrando Ia presi6n en toda el area, es decir,


Sec. 2.4 I Fluidos en reposo 4 7

(2.4.20)

donde en general se utiliza Ia presion manometrica. La presion atmosferica se elimina puesto que actua en ambos lados del area. Las coordenadas x y y estan en el plano de Ia superticie plana. como se muestra. Suponiendo que p = 0 en lz = 0. se sabe que p

= y/z = 'YY sen a

(2.4.21)

donde h se mide verticalmente bacia abajo desde Ia superficie libre basta el area elemental dA y y se mide desde el punta 0 en Ia supcrficie libre. Entonces la fuerza se expresa como

F

=

Lyh dA

= y sen a

L

(2.4.22)

y dA

La distancia a un centroide se define como

y = ..!..f ydA A

(2.4.23)

A

La expresi6n para Ia fuerza es, por lo tanto

F= yyA sen a = yhA = pcf!

(2.4.24)

dondc h es Ia distancia vertical de Ia superficie libre al centroide del area y Pc es Ia presion en el centroide. De este modo se ve que la magnitud de Ia fuerza sabre una superficie plana es Ia presion en el centroide multiplicada por el area. La fuer.t:a, en general, no actua en el centroide. Supcrficic bbrc p

=0

.

\ 0

Area de plano inclinado (v1~1a dc,dc arriba)

FIGURA 2.8 Fuerza en un area de plano inclinado.

CONCEPTO CLAVE La fuerzs en uns superficie plana es Is presion en el centroide multip/icsds pore/ares.


48



Para hallar Ia ubicaci6n de Ia fuerza resultante F, se observa que la suma de los mornentos de todas las fuerzas de presi6n infinitesimales que actuan en el area A deben ser iguales al momento de Ia fuerza resultante. Sea F Ia fuerza que actua en el punto (xp, yp), el centro de presion (c.p.). E l valor de yP se obtiene igualando los momentos con respecto al eje x:

Centro de presion:

EL punto donde acttta La resultanre de las fuerzas.

ypF= LypdA

= ysen a:

i/

dA

=

ylx sen a:

(2.4.25)

donde el segundo momento del area con respecto al eje x es fx

=

L/dA

(2.4.26)

E l segun_9o momento de un area esta relacionado con el segundo momento de un area I con respecto al eje centroidal por medio del teorema de transferencia del cje paralelo, (2.4.27) sustituyanse las ecuaciones 2.4.24 y 2.4.27 en Ia ecuaci6n 2.4.25 para obtener

Yp

=

y(l + Ay 2)sen a: yyA sen a

- T

= y + Aji (2.4.28)

CONCEPTO CLAVE

La

fuerza en una compuerta rectangular con e/ borde superior a/ ras de Ia superficie del /fquido, a dos tercios hacia abajo.

donde ji se mide paralela al plano a lo largo de eje y. En el apendice se presentan centroides y momentos de varias areas. Por medio de Ia expresi6n anterior, se demuestra que la fuerza en una compuerta rectangular con el borde superior al ras con Ia superficie de liquido como se muestra en Ia figura 2.9, actUa a dos tercios de Ia parte inferior. Esto tambien es obvio si se considera Ia distribuci6n de presi6n triangular que actua en la compuerta. Observe que Ia ecuaci6n 2.4.28 demuestra que YP siempre es mayor que ji; es decir, Ia fuerza resultante del lfquido en una superficie plana siempre actua por debajo del centroide del area, excepto en un area horizontal en la cual ji = oo; luego el centro de presi6n y el centroide coinciden. Asirnismo, para Iocalizar la coordenada xp del c.p., se escribe xPF =

L

xp dA

= 'Y sen a:

L

xy dA

= ylxy sen a:

(2.4.29)

FIGURA 2.9 Fuerza en un area plana con el borde superior en una superficie libre.


Sec. 2.4 I Fluidos en reposo 49

donde el producto de inercia del area A es lxy

=

L

(2.4.30)

xy dA

Si se utiliza el teorema de transferencia para el producto de inercia, (2.4.31) La ecuaci6n 2.4.29 llega a ser

lxy

x p =x+Ay (2.4.32) Ahora se tienen dos expresiones para las coordenadas que localizan el centro de presion. Por ultimo, es de hacerse ootar que la fuera F eo Ia figura 2.8 es el resultado de una prisma de presion que actua en el area. En el area rectangular mostrada en Ia figura 2.10, Ia presi6n se incrementa, como se muestra mediante Ia distribuci6o de presion eo Ia figura 2.10b. Si se forma Ia integral f p dA, se obtiene el volumen del prisma de presi6n, el cual es igual a Ia fuerza F que acrua en el area, mostrada en Ia figura 2.10c. La fuerza actua a traves del centroide del volumen. Para el area rectangular mostrada en Ia figura 2.10a, el volumen se podria dividir en dos volumenes: uno rectangular con centroide eo su centro, y otro triangular con ccntroide a un tercio de Ia distancia a Ia base apropiada. La ubicaci6n de Ia fuerza se encueotra entooces localizando el centroidc del volumen compuesto. F

a)

b)

c)

FIGURA 2.10 Prisma de presi6n: a) area rectangular; b) distribuci6n de presi6n en e l area; c) prisma de presi6n.

Un area plana de 80 x 80 em actua como Ia ventana de un sumcrgible en los Grandcs Lagos. Si forma un angulo de 45° con Ia horizontal, (,que fuerza aplicada normal a la ventana en el borde inferior se requiere para comenzar a abrirla, si csta engoznada en el borde superior cuando este sc encucntra a 10 m por debajo de Ia superficie'! Se supone que Ia presi6n en cl interior del sumergiblc es Ia atmosferica.

50

Capitulo 2

I Estatica de fluidos


FIGURA E2.5 Solucion

En primer Iugar, un dibujo de Ia ventana como el de Ia figura E2.5 serfa de mucha ayuda. La fuerza del agua que actua en Ia ventana es

F= ·y/iA

= 9810(10 + 0.4 X sen 45°)(0.8 X 0.8) = 64560 N La distancia y es

- = __E_ = 10 + 0.4 X y

sen 45° = 14.542 m sen 45°

sen 45°

de modo que

= 14.542 + (0.8 X 0.8) X 14.542 = 14.546 m

Con los momentos en torno al gozne se obtiene Ia fuerza requerida P para abrir Ia ventana: 0.8P = (y,,-

:. p

y + 0.4)F

= 14.546 -

~~542 + 0.4 64560

= 32610 N

Por otra parte, se podrfa haber dibujado el prisma de presion, compuesto de un volumen rectangular y uno triangular. Los momentos en tomo al gozne superior dan Ia fuerza deseada.

Ejemplo 2.6 Localice la fuerza resultante F del agua en Ia compucrta triangular y Ia fuerza P necesaria para mantenerla en Ia posicion mostrada en Ia figura E2.6a. Solucion

Primcro se dibuja el diagrama de cuerpo libre de Ia compuerta. incluidas todas las fuerzas que actuan en ella (Fig. E2.6c). Se omiti6 el peso de Ia compucrta. El centroide de Ia cornpuerta se muestra en Ia figura E2.6b. La coordenadas y de Ia ubicaci6n de Ia resultante F se halla mediante Ia ecuaci6n 2.4.28 como sigue:


2m

2.071

...l . Ill

Sec. 2.4 I Fluidos en reposo

3m

:...--.

b)

2m

3m

,

,

,

,

...

C)

FIGURA E2.6

y=2+5=7 -

I

Y =v+--= " . Ay

= 7 + 2 X 3?j36 = 7.071 3X7

m

Para dctcrminar x,. se podrfa utilizar Ia ecuaci6n ::!.4.32. En Iugar de eso, se reconocc que Ia fuer1a resultante debe actuar sobre una lfnca que conecta el vcrtice y el punto medio del !ado opuesto ya que cada fuena infinitesimal actua sobre esta lfnea (el memento de Ia rcsultante debe ser igual a! momcnto de sus componentes). Por Io tanto utilizando triangulos semejantes se tiene Xp

1

= 2.071

3

.. xP = 0.690 m

Las coordenadas x,. y Yp locatizan el sitio donde actua Ia fuerza producida por el agua en Ia compucrta. Si se toman los momentos en torno a! gozne, supuesto Iibre de fricci6n, se encuentra Ia P ncccsaria para mantener Ia compuerta en Ia posici6n mostrada: ~ Mgozne

.. 3

X

=0

P = (3 - 2.07l)F = 0.929 X yhA = 0.929

x 9810 x (7 sen 53") x 3

donde h es Ia distancia vertical del centroide a Ia superficie lihrc. Por lo tanto

51

52



2.4.5 Fuerzas sobre superficies curvas

CONCEPTO CLAVE La fuerza resultante F11 + Fv debe actuar a traves del centro del arco circular.

Nose utiliza un metoda de integraci6n directo para hallar Ia fuerza creada porIa presi6n hidrostatica sabre una superficie curva, en su Iugar, se identifica un djagrama de cuerpo libre que contiene Ia superficie curva y los liquidos directamente sabre o debajo de ella. Un diagrama de cuerpo libre como ese contiene s6lo superficies planas sabre las cuales actuan fuerzas de fluido desconocidas; estas fuerzas desconocida_s son determinadas como en Ia secci6n preccdente. Como cjemplo, se determinara la fuerza de Ia compuerta curva en el cerrojo mostrado en Ia figura 2.1la. E l diagrama de cuerpo libre, el cual incluye Ia compuerta y alga del agua retenida directamente por ella, se muestra en Ia figura 2.1lb; las fuerzas Fx y Fy son las componentes horizontal y vertical, respectivamente, de Ia fuerza que actua en el gozne; F 1 y F2 se deben al agua circundante y son las fuerzas resultantes de Ia distribuci6n de presi6n mostrada; Ia fuerza de cuerpo Fw se debe al peso del agua mostrada. Sumando los momentos en torno a un eje que pasa por el gozne, se determina Ia fuerza P que actua en el cerrojo. Si Ia superficie curva es un cuarto de c(rculo, el problema se sirnplifica mucho. Esto se ve considerando un diagrama de cuerpo libre de compuerta unicamente (vease la Fig. 2.llc). La fuerza horizontal F11 que actua en Ia compuerta es igual a F 1 de Ia figura 2.1lb, y Ia componente Fv es igual a Ia fuerza combinada F2 + Fw de la figura 2.llb. Ahara bien, F11 y Fv se deben a las fuerzas de presi6n diferencial que actuan en el area circular; cada fuerza de presi6n diferencial actua a traves del centro del arco circular. Por lo tanto Ia fuer.la resultante F 11 + Fv (Esta es una suma de vectores) debe actuar a traves del centro. Par consiguiente, las componentes F1-1 y Fv se localizan en el centro del cuarto de circulo, lo que simplifica el problema. El ejemplo 2.7 lo ilustrara. ' Si Ia presi6n en Ia superficie libre es p 0 , simplemente se agrega una altura de liquido necesaria para generar p 0 en ellugar donde se localiza Ia superfjcie libre, y lucgo se resuelve el problema resultante, con una superficie libre ficticia localizada a Ia distancia apropiada sabre Ia superficie libre original. 0, se sum a Ia fuerza de presi6n poA a Ia fuerza F2 de la figura 2.llb.

Agua Centro p

\

0

Cerrojo

p

.--...- -

.

~ - -- -- - -·-·- -;-,

Gozne

Superficie

curva a)

b)

c)

FIGURA 2.11 Fuerzas que actuan en una superficie curva: a) superficie curva; b) diagrama de cuerpo libre del agua y compuerta; c) diagrama de cuerpo Libre de Ia compuerta t1nicamente.



Calcule Ia fucr7.a P ncccsaria para detencr Ia compuerta de 4 m de ancho en Ia posicion mostrada en Ia figura E.2.7a. Omita el peso de Ia compuerta. p

p

O.Sm-t

o ~------L-~,----_, '

2m

r' I a)

b)

•

= f--d-~~·~·1

I

c)

4r 31r

.r.,=-

-

d)

c)

FIGURA E2.7 Solucion

El primer paso cs dibujar un diagrama de cuerpo librc deJa compuerta. Una opci6n es elegir Ia compuerla y el agua directamenle debajo de Ia compuerta como se muestra en Ia figura E2.7b. Para calcular P,hay que determinar F~> F2 . Fw, d~o d 2 y dw; luego los momcntos en tomo al gozne pcrmitiran calcular Ia fuer7.a P. Las componentes de la fuerza estan dadas por F1 = -yhtAt

= 9810 X

1 X 8 "" 78480 N

Fz = -yh2Az = 9810 X 2 X 8 = 156960N

Fw = -y.Vagua = 9810 X

~4- 7T ~

22

) =

33700 N

La distancia dw cs Ia dislancia at centroide del volumen. Sc detcrmina considerando el area como Ia difcrencia de un cuadrado y un cuarto de cfrculo como se muestra en Ia figura E2.7c. Los momentos de area dan dw(At - Az) = XtAt- XzAz x 1At- x2A 2 dw = - - - - At -Az

=

1 X 4 - (4 X L/37T) X 7T - = 1.553 m 4- 7T (continUil)

54



La distancia d 2 = 1 m. Como F1 se debe a una distribuci6n de presi6n triangular (vease la Fig. 2.9). d 1 se calcula como sigue l

dt = 3(2) = 0.667 m Si se suman los momentos en torno al gozne libre de (ricci6n se obtiene

+ ci2Fz- dwFn

2.5P = d 1Ft

p

= 0.667 X 78.5 + I ~~t·O-

l.553 X 33.7

8

= 62.

kN

En Iugar del procedimiclllo un tanto tedioso anterior, se podrfa observar que todas las fuerzas infinitesimalcs que forman Ia fuerza resultante (Fn + F~) que actuan en el arco circular pasan por el centro 0, como se senala en Ia figura 2.llc. En vista de que cada fuerza infinitesimal pasa por el centro, Ia fuerza resultante tambien debe hacerlo. Por lo tanto se podrfa haber Jocalizado Ia fuer.ta resultante (F11 + Fv) en el punto 0. Si Fv y Fn hubieran estado localizadas en 0, F._ pasarfa por el gozne, y no producirfa momento en torno al gozne. Entonces, como F11 = F 1 y si se sum an los momcntos en torno al gozne se tiene

2.5P = 2FH Por consiguiente, P= 2 X

7

~:~8 = 62.8 kN

Esto obviamente fue mucho mas simple. jTodo lo que hubo que hacer fue calcular F 11 y luego sumar los momentos!

Ejemplo 2.8 Calculc Ia fuena P neccsaria para mantener la compuerta en Ia posici6n mostrada en Ia figura E2.8a si P actua a 3 m del cje y. La compuerta parab61ica es de 150 em de ancho. p

p

b)

a)

FIGURA E2.8 Soluci6n Un diagrama de cucrpo libre de la compuerta y el agua directamente sobre ella se muestra en Ia figura E2.8b. Se ve que las fuerzas son

F1 = yhA = 9810 X 1 X (2 X 1.5) = 29 430 N Fw = y.V

l

l

= 9810

(l

23

l.Sx dy = 14715)., ·2· dy = 14715 6 = 1%20 N



La distancia d 1 es i(2) = 0.667 m puesto que el borde superior coincide con Ia superticie libre. La distancia ilw a traves del centroide se calcula utilizando una franja horizontal:

f

if/

x(x/2) dy dy 1 zs;s dw = -"- - , - - - = ........::'::..,.', - - "' - _._.._ = 0.6 m

f

X

dy

If l

dy

4

2~/3

Se sum an los momentos en torno a! gozne y se calcula P como siguc:

= 0.667 X 29430

2.4.6

+ 0.6

X

19620 :. P = 10470 N

Flotaci6n

La ley de Ia Ootaci6n conocida como principia de Arquimedes se remo nta a unos 2200 aiios, a los tiempos del gran fil6sofo gricgo Arquimedes. La leyenda cuenta que Iliero. rey de Siracusa, sospechaba que su nueva corona de oro podrfa haber sido conslruida de materiales diferentes al oro puro, asf que le pidi6 a Arqu(medes que Ia sometiera a una prueba. Arquimedes probablemenle hizo una bola de oro puro que pesaba lo mismo que la corona. Descubri6 que Ia bola pesaba mas en agua que lo que Ia corona pesaba en agua, lo que para Arquimedes fue la prueba de que Ia corona no era de oro puro. El material falso posefa un volumen mas grande que pesaba lo mismo que el oro, par lo que desplazaba mas agua. El principia de Arqufmedes es: Un objeto recibe una fuerza de flotaci6n igual al peso dcllfquido desplazado. Para comprobar Ia ley de Ia flotaci6n, considere el cuerpo sumergido mostrado en Ia figura 2.12a. En Ia parte b) se muestra un diagrama de cuerpo libre cilindrico que incluye el cuerpo sumergido que pesa W y ellfquido que pcsa Fw; el area de secci6n transversal A es el area de secci6n transversal maxjma del cuerpo. En el diagrama seve que Ia fuerza vertical resultante que actua en el cuerpo libre producida par el agua (no incluye W) es igual a

CONCEPTO CLAVE El principia de Arqufmedes establece que Ia fuerza de flotaci6n hacia arriba en un objeto es igual at peso del lfquido desalojado.

(2.4.33)

Esta fuerza resultante es par definicion la fuerza de flotaci6n F 8 . Se expresa como (2.4.34)

T

a)

b)

c)

FIGURA 2.12 Fuerzas en un cuerpo sumergido: a) cuerpo sumergido: b) di agrama de cuerpo librc; c) cuerpo libre que muestra F8 .

56



donde V w es el volumen de Iiquido incluido en el diagrama de cuerpo libre. Si el volumen del cuerpo surnergido es (2.4.35) La ecuaci6n 2.4.34 permite ver que

FB

= -yVliqwdo desphll'..ado

(2.4.36)

con lo cual se comprueba Ia ley de flotaci6n. La fuerza necesaria para mantener sumergido a un cuerpo en su Iugar (vease Ia Fig. 2.12c) es igual a

T= W-Fn CONCEPTO CLAVE

La fuerza de flotaci6n actua a traves del centroide del liquido desalojado.

(2.4.37)

donde W es el peso del cuerpo sumergido. En un cuerpo flotante, como el de la figura 2.13, Ia fuerza de flotaci6n es F8

Obviamente, T

= "Y.VIfquido d esplnado

(2.4.38)

= 0, de modo que Ia ecuaci6o 2.4.36 da

(2.4.39)

Hidrometro: lnstrumento utilizado para medir Ia gravedad especifica.

donde W es el peso del objeto flotante. El am'ilisis anterior indica que Ia fuerza flotante F8 act:Ua a traves del centroide del volumen de Lfquido desplazado. El peso del objcto Dotantc actua a traves de su centro de gravedad, de modo que estc debe quedar en Ia misma lfnea vertical que el centroide del volumen de lfquido. Un bidrometro, un instrumento utilizado para medir Ia gravedad especffica de Iiquidos, opera basado en el principia de flotaci6n. En Ia figura 2.14 se muestra un bosquejo. La parte superior, el vastago, tiene un diametro constante. Cuando se coloca en agua pura Ia lectura de Ia gravedad especffica es 1.0. El equilibria de fuerzas es (2.4.40)

FIGURA 2.13 Fuerzas en un cuerpo flotante.



sustancia

pesada

a)

b)

FIGURA 2.14 Hidr6metro: a) en agua; b) en un liquido desconocido.

donde W es el peso del hidr6metro y ¥ es el volumen sumergido por debajo de Ia linea S = 1.0. En un lfqwdo desconocido de peso cspecffico -y_.., un equilibrio de fuea..as serfa W = 'YxC¥ - Allh)

(2.4.41)

donde A es cl area de secci6n transversal del vastago. AI igualar cstas expresiones se obtiene

(2.4.42)

donde s. . = 'Yxi'Yagua· Para un hidr6metro dado, V y A son Cijos de modo que Ia cantidad Llh depende s61o de Ia gravedad especlfica s .... Por lo tanto el vastago puede scr calibrado para leers... directamente. Sc utili7..an hidr6melros para medir Ia cantidad de anticongelante en e l radiador de un autom6vil, o Ia carga en una batcrfa puesto que Ia densidad del fluido cambia a medida que se consume o produce H 2 S04.

Ejemplo 2.9 Se desea saber el peso especifico y Ia gravedad especifica de un cuerpo de composici6n desconocida. Su peso en aire es de 200 lb y en agua de 150 lb. Solucion

El volurnen se calcula mediante un equilibrio de fuenas cuando se sumerge como sigue (vcasc Ia Fig. 2.12c): T=

w-

FR

150 = 200 - 62.4¥ :. ¥ .,.,. 0.801 ft1

Luego el peso especifico es 'Y

= -w = ¥

200

--

0.801

= 250 lb/ft3

y Ia gravcdad espedfica 'Y 'Yar.ua

250 62.4

S=--=-=4.00

58



2.4.7 Estabilidad

CONCEPTO CLAVE Un objeto flotante tiene estabilidad vertical.

Centro de flotacion: Centroide de un cuerpo flotante.

CONCEPTO CLAVE Si GM es positiva el cuerpo es estab/e.

La noci6n de estabilidad se dcmuestra considerando Ia estabilidad vertical de un objeto flotante. Si el objeto se eleva una pequena distancia, Ia fuerza de flotaci6n disminuye y el peso del objeto Jo regrcsa a su posici6n original. A Ia inversa, si un objeto flotante desciende un poco, Ia fuerza de flotaci6n se incrementa y Ia fuerza de flotaci6n mas grande regresa al objeto a su posici6n original. De este modo un objeto Ootante tiene estabilidad vertical puesto que un pequeiio alejamiento del equilibria produce una fuerza restauradora. Considerese ahara la estabi lidad rotatoria de un cuerpo sumergido, rnostrado en Ia figura 2.15. En Ia parte a) el centro de gravedad, G. del cucrpo esta arriba del centroide C (tambien conocido como centro de flotacion) del volumen desplazado y una pequeiia rotaci6n angular genera un momenta que continuara incrementando Ia rotaci6n; por lo tanto el cuerpo se vuelve inestable y se volcara. Si el centro de gravedad esta debajo del centroide, como en Ia parte c), una pequefia rotaci6n angular crea un momenta rcstaurador y el cuerpo esta estable. La parte b) muestra Ia estabilidad neutral de un cuerpo en el que el centro de gravedad y el centroide coinciden, una situaci6n que se presenta siempre que la densidad se mantiene constante en todo el cuerpo sumergido. A continuaci6n considere Ia estabilidad rotatoria de un cuerpo Ootante. Si el centro de gravedad esta debajo del centroide, el cuerpo siempre esta estable, como en el caso del cuerpo sumergido de Ia figura 2.15c. El cuerpo puede estar estable, no obstante, incluso si el centro de gravedad esta arriba del centroide, como se ilustra en Ia figura 2.16a. Cuando el cuerpo gira el centroide del volumen del liquido desplazado se mueve a Ia nueva ubicaci6n C', mostrada en Ia parte b). Si el centroide C' se mueve suficientemente Jejos, se desarrolla un momenta restaurador y el cuerpo esta estable, como se muestra. Esto queda determinado por Ia altura metacentrica GM definida como distancia de Gal punta de intersecci6n de Ia fuerza Ootante antes de la rotaci6n con Ia fuerza de flotaci6n despues de Ia rotaci6n. Si GM es positiva, como se muestra, el cuerpo esta estable; si GM es negativa (M queda debajo de G) el cuerpo esta inestable. Para determinar una rclaci6n cuantitativa para Ia distancia GM remitase a Ia figura 2.17, Ia cual muestra Ia secci6n transversal uniforme. Hay que derivar una expresi6n para x, Ia coordenada x del centroide del volumen desplazado. Puede ser derivada considerando que el volumen es el volurnen original mas Ia cuiia agregada con area de secci6n transversal DOE menos Ia cuiia restada con area

w

w

w FB Rotaci6n(

w

Fn a)

b)

c)

FIGURA 2.15 Estabilidad de un cuerpo sumergido: a) inestable; b) neutro; c) estable.



b)

a)

FIGURA 2.16 Estabilidad de un cuerpo flotante: a) posici6n de equilibria; b) posici6n girada.

de sccci6n transversal AOB; para localizar el centroide de un volumen compuesto, se loman momentos como sigue: (2.4.43)

donde V 0 es el volumen original bajo el agua, V 1 es el area DOE porIa longitud, V 2 es el area AOB porIa longitud; se supone que Ia secci6n transversal cs uniforme de manera que Ia longitud l es constante para el cuerpo. La cantidad :X0 , Ia coordenada x de pun to C, es cero. Los dos terminos restantes se representan mejor como integrates de modo que

:x-v =

J x d:v - J x dV v1

(2.4.44)

v2

Por lo tanto dV = x tan a dA e n el volumen 1 y dV = - x tan a dA en el volumcn 2, donde dA = I dx, l es Ia longitud constante del cuerpo. La ccuaci6n de arriba se convicrtc en: xV

= tan a = tan a

rx

JA 1

2

dA + tan a

rx

JA2

2

dA

L~dA

=tan a 10

(2.4.45)

donde 10 es el segundo momenta (momenta de inercia) del area a! nivel de Ia lfnea de Ootaci6n en torno a un eje que pasa por el origen 0. El area al nivel de Ia y Longitud del cuerpo = I Area al nivel de Ia linea de flotaci6n = A Lrnea de flotaci6n

8

D

FIGURA 2.17 Secci6n transversal uniforme de un cuerpo notante.

60



lfnea de flotaci6n seria Ia longitud A E por Ia longitud I del cuerpo si I fuera de longitud constante. Con :X =CM tan a , sc escribe CM ¥

o, con CG + GM

= fo

(2.4.46)

= CM, se tiene (2.4.47)

Para una orientaci6n del cuerpo dada, si GM es positiva, el cuerpo esta estable. Aun cuando esta relaci6n (2.4.47) se deriv6 para un cuerpo flotante de secci6n transversal uniforrne, sirvc para cuerpos flotantes en general. Sera aplicada a un cilindro flotante en el siguiente ejcmplo.

Ejemplo 2.10 Un cilindro de 0.25 pulg de diamctro y 0.25 m de largo esta becbo de un material con peso especifico de 8000 N/m3 . <,Aotani en agua con sus extremos en posici6n horizontal? Solucion

Con los extremos en posici6n horizontal, 10 sera el segundo momento de Ia sccci6n transversal circular,

El volumen desplazado sera

W 8000 X 7Tj4 X 0.252 X 0.25 3 .V = - - = --···· = 0.0100 m l'agua 9810 La profundidad a Ia que se bundc el cilindro en el agua es

FIGURA E2.10 Por lo tanto, Ia distancia CG, como se mucstra en Ia figura E2.10 es

2

0204 CG = 0.125= 0.023 m


Sec. 2.5 I Recipientes linealmente acelerados

Por Ultimo,

GM =

0

-:~ 92 -

0.023 = -0.004 m

Este valor negativo indica que el cilindro no flotani con sus extremos en posici6n horizontal. No hay duda de que flotarfa de costado.

2.5 RECIPIENTES LINEALMENTE ACELERADOS Eo esta secci6o el fluido estara en reposo con respecto a un marco de refereocia sometido a aceleraci6n lineal con una componeote horizontal ax y una componente vertical ay- En tal caso Ia ecuaci6n 2.3.6 se simplifica como sigue

dp = -pax dx- p(g

+ az) dz

(2.5.1)

AJ integrar entre dos punta arbitrarios 1 y 2 se obtiene (2.5.2) Si los puntas 1 y 2 quedan sabre una linea de presi6n constante, tal como la superficie libre en Ia figura 2.18, p2 - p 1 = 0 y por consiguiente ax

Zt- Z2

- - - = tan a = - - -

x2- x.

g

(2.5.3)

+Oz.

donde a es el anguJo que Ia linea de presi6n constante forma con la horizontal. En la soluci6n de problemas que irnplican lfquidos, a menudo se tiene que utilizar la conservaci6n de la masa e igualar los volumenes antes y despues de aplicar Ia aceleraci6n. Una vez que se aplica la accleraci6n par primera vez, puede ocurrir un desplazamiento oscilatorio. En este analisis se supondra que no hay desplazarniento oscilatorio; o se permite que transcurra suficiente tiempo para amortiguar los movimientos que dcpenden del tiempo, o la aceleraci6n se aplica de tal forma que tales movimientos sean mrnimos.

FIGURA 2.18 Tanque sometido a acele.raci6n lineal.

CONCEPTO CLAVE Con frecuencia se utiliza Ia conservacion de Ia masa y se igualan los volumenes antes y despues de Ia aceleracion.

61

62



Ejemplo 2.11 El tanque mostrado en Ia figura E2.l la es acelerado hacia Ia derecha. Calculc Ia aceleraci6n ax necesaria para hacer que Ia superficie libre, mostrada en Ia figura E2. Llb. toque cl punto A. Ademas. calculc Pn y Ia fuerza total que actuao en el fondo del tanque si el ancho cs de 1 m.

j_ 0.2 m --.I

.l

1>e4ueno orificio de ventilaci6n '--... I Aire

Aire

a,

lm

----+

Agua

Agua

2m

2m

a)

b)

8----------_.A

a,

----+

FIGURA E2.11

Solucion El angulo que Ia superficie libre adopta se encuentra igualando el volumen de aire (de hecho. areas puesto que cl ancbo cs constante) antes y despues puesto que el agua no se dcrrama. 0.2

X

2 = ~(1.2.Y) x = 0.667 m

La cantidad tan a se determina como sigue

18 1. 2 tan a = 0.667 = .

Con la ecuaci6n 2.5.3 y a_. seve que a, = 0, a<= g

tan a

= 9.81 X 1.8 = 17.66 m/s2

La presi6n se calcula en B considerando que Ia presi6n depende de x. En A, la presi6n es cero. Por consiguiente Ia ecuaci6n 2.5.2 da 0

Po -

~= -pa_,(xo- xA) Po = -1000 X 17.66(-2) = 35 300 Pa o 35.3 kPa

Para calcular Ia (uerza total que actt1a en el fondo del tanque, se tiene en cuenta que Ia distribuci6n de prcsi6n disminuye linealmente desde p =35.3 kPa en B hasta p = 0 k.Pa en A. Por consiguiente se utiJiza Ia presi6n promedio sobre el fondo del tanque: F = PB

+ PA

2 35 300 = 2

X

area

+ O X 2 X 1 = 35 300 N

2.6 RECIPIENTES ROTATORIOS En esta secci6n se considera la situaci6n de un lfquido contenido en un recipie nte rotatorio, como el mostrado en Ia figura 2.19. Despues de un lapso de tiempo


Sec. 2.6 I Recipientes rot atorios

63

I I I c._yw

pdrdz

I. I

Elemento

~d()/2

I

prd()d~

(p+ ; ; dr) (r+dr)d() d:

~~ ::J

Volumen = rd9drd: send()= d()

2

2

'(} ~--------~~--------~ --- r

a)

b)

FIGURA 2.19 Recipiente sometido a rotaci6n: a) secci6n transversal dcl lfquido; b) vista superior del elemento.

relativamente corto el lfquido alcanza un equilibria estatico con respecto al recipiente y el marco de referencia rz rotatorio. La rotaci6n horizontal no alteran1la distribuci6n de presi6n en la direcci6n vertical. No variani la presi6n con respecto a Ia coordcnada (}. Si se a plica Ia segunda ley de Newton (2-Fr = mar) en Ia direcci6n raJ elemento mostrado, con sen d(J/2 =o d()/2, se obtiene

;f.-

CONCEPTO CLAVE 1

-

ap dr rd() dz - prd() d z - p dr d() dz - ap (dr) 2 d() dz ar ar

+2

l d(}

p dr d z 2

+ prd() d z =

- p rd() dr dz rw2

(2.6.1)

La rotacion horizontal no altera Ia distribuci6n de Ia presion en Ia direcci6n vertical.

donde Ia aceleraci6n es rw2 dirigida hacia el centro de rotaci6n. Simpliuquese y divfdase entre eJ volumen rd() dr dz; Juego ap

-- = prw 2 ar

(2.6.2)

donde se omiti6 el termino de mayor grado que contiene Ia diferencial dr. La diferencial de presi6n es por tanto 17 ap ap '711 . dp

= --dr + --dz / ar az /. = prw2 dr - pg d z

(2.6.3)

en la que se utiliz6la variaci6n de presi6n estatica dada por la ecuaci6n 2.3.5 con a, = 0. A continuaci6n se integra entre dos puntas cualesquiera (r1 , z 1) y (r2 z2 ) para obtener (2.6.4)

Si los dos puntas estan sabre una superficie de presion constante, tal como una superficie libre, y el pun to 1 se localiza en el eje z de modo que r1 = 0, el resultado es

(2.6.5) CONCEPTO CLAVE

Ia cual es la ecuaci6n de una parabola. Por consiguiente Ia superficie libre es un paraboloide de revoluci6n. Las ecuaciones anteriores ahora pueden, junto con Ia conservaci6n de Ia masa, ser utilizadas para resolver problemas de interes.

('.:::~

La superficie libre es un paraboloids de revoluci6n.

64



Ejemplo 2.12 El cilindro mostrado en al figura E2.12 se pone a girar en tomo a su cjc. Calcule Ia velocidad rotatoria necesaria para que el agua apenac; toque el origen 0 y las prcsiones en A y B. ;:

B 2cm

R

I

1 1 1

..

·~

•

.. .

!Ocm

A

A ire

I

IOcm

I I I I ·- i

.....

. .. '' ,' ,,

'

yw 0

--r

IOcm

FIGURAE2.12 Soluci6n Puesto que el agua no se derrama del recipiente, el volumen del aire pennanece constante, esto es. 1r

X l
donde se utiliz6 el hecho de que el volumen de un paraboloide de revoluci6n es Ia mitad del de un cilindro circular con Ia misma altura y mismo radio. Lo anterior da el siguiente valor: R = 5.77 em Si se utiliza Ia ecuaci6n 2.6.5 con r 2 = R, se obtiene w2 X

~-05772 = 9.81

X 0.12

w = 26.6 rad/s

Para calcular la presi6n en el punto A, simplemente calcule Ia diferencia de prcsi6n entre A y 0. Utilizando Ia ecuaci6n 2.6.4 r 2 = rA = 0.1 m, r 1 = r 0 = 0, y p 1 =Po= 0, se llega a 2

PA

= 2pw

(r~-

2

lOOO X 26.6 r5) = - - - X 0.12 = 2

3540 Pa o 3.54 kPa

La presi6n en B se calcula aplicando Ia ecuaci6n 2.6.4 a los puntos A y B. Esta ecuaci6n se simplifica como sigue

Por consiguiente p8

= 3540 -

1000 X 9.81 X 0.12 = 2360 Pa o 2.36 kPa


Problemas 65

2.7 RESUMEN La variaci6n de presi6n en Ia direcci6n vertical tante se calcula con Ia ecuaci6n Ap

=

z en un Ouido de densidad cons(2.7.1)

-y.lz

Esta se ~;~tiliza para interpretar man6metros y para establecer Ia fuerza en un plano como (2.7.2)

F= yhA

donde h es Ia distancia vertical a! centroide del area. La fuerza se localiza a una distancia de Ia superficie libre al centro de presi6n paralela aJ area dada por I Yp = y + Ay

(2.7.3)

donde I se considera en torno a! eje centroidal. Las fuerzas en superficies planas se calculan mediante las relaciones anteriores y el peso dellfquido contenido sabre Ia superficie. Las prcsiones y fucrzas en recipientes linealmente acelerados se calculan por medio del angulo a de una linea de presi6n constante:

ax

(2.7.4)

tan a = - - g + (ll

Con mucha frecuencia Ia aceleraci6n az en Ia dirccci6n vertical es cero. En un recipiente que gira con velocidad angular w, una supcrficie de presi6n constante es descrita por (2.7.5)

donde el punto 1 esta en el eje de rotaci6n y el punto 2 en cualquier parte sobre Ia superficie de presi6n constaote. PROBLEMAS Presi6n

2.1

2.2

Suponga que el elemento de Ia figura 2.2 esta en e l plano yz con profundad unitaria en Ia direcci6n x. Encuentre un resultado similar al de Ia ecuaci6n 2.2.4. Asuma que Ia gravedad actua en Ia direcci6n z. Calculc Ia presi6n a una profundidad de 10 m en un lfquido con gravedad especffica de: (a) 1.0 (b) 0.8 (c) 13.6

2.3

(d)

1.59

(e)

0.68

(.Que profundjdad es oecesaria en un lfquido para producir una presi6n de 250 kPa? si Ia gravedad especffica es: (a) 1.0 (b) 0.8 (c) 13.6 (d) 1.59 (e)

0.68

66 2.4

2.5

2.6



Un meteorologo anuncia que Ia presion barometrica es de 28.5 pulgadas de mercurio. Convierta esta presion en kilopascales. A. 98.6 kPa B. 97.2 kPa C. 96.5 kPa D. 95.6 kPa

2.U Si el gradiente de p(x, y. z) en coordenadas rectangulares es

Se lee una presion de 20 psi a una profundidad de 20 pies. Calcule Ia gravedad especffica y Ia densidad del lfquido sip = 0 en Ia superficie.

2.13

iJp' Vp =-i ax

2.8

Suponiendo que Ia densidad del aire esta constante a 0.0024 slug/ft 3 , calcule el cambio de presion de Ia cima de una montana a su base si e l cambio de elevacion es de 10 000 pies.

2.9

La presion en las colinas al pie de las Rocallosas cerca de Boulder, Colorado es de 84 kPa. La presion, suponiendo una densidad constante de 1.00 kg/m3 , en Ia cumbre de una montana cercana de 4000 m de altura es aprox:imadamente de A. 60 kPa B. 55 kPa C. 50 kPa D. 45 kPa

2.10 Suponga que Ia presion del aire es de 100 kPa absoluta en Ia parte superior de un muro de 3 m de altura. Suponiendo una densidad constante, estime Ia diferencia de presion al pie del muro si en el exterior de este Ia temperatura es de -20°C y en el interior de 20°C. Esta diferencia de presion induce una infiltracion aun cuando no hay viento. 2.11 La gravcdad especffica de un lfquido varia linealmente desde 1.0 en Ia superficie basta 1.1 a una profundidad de 10 m. Calcule Ia presion en h = 10 m.

iJz

ayJ

(.Cuantos metros de agua equivalen a: 760 mm de Hg? 75 em de Hg? (c) 10 mm de Hg? Calcule La presion en el fondo de un tanque abierto si contiene capas de: (a) 20 em de agua y 2 em de mercurio (b) 52 mm de agua y 26 mm de tetracloruro de carbono (c) 3 m de aceite, 2 m de agua y 10 em de mercuria

iJp '

iJy

Ia expresion mas simple para Vp valiendose de Ia ecuaci6n 2.3.5, teniendo en cuenta que a = a_.i + + Gzk.

(a) (b)

2.7

iJp '

+ - j +- k,escriba

Use la ecuaci6n 2.4.8 para determinar Ia presion en Ia azotea de una edificio de 300 m de altura. Luego suponga que Ia de nsidad se mantiene a un valor de z = 0 y estime p a 300 m; tarnbien calcule el porcentaje de error en este segundo calculo. Use condiciones estandar en z = 0. Comente el resultado, como si fuera Ia asesorfa de un ingeniero, suponiendo que Ia atm6sfera no puede comprimirse a alturas de mas o menos 300 m.

2.14 Calcule cl cambio de presion de aire a una altura de 20 m, suponiendo condiciones estandar y utilizando Ia ecuacion 2.4.8. Comente sobre Ia conveniencia de que un ingeniero ignore por completo los cambios de presion a alturas de mas o menos 20 m, en un gas como el aire. 2.15 Suponga que el modulo de masa se mantiene constante y encuentre Ia expresi6n para Ia presi6n en funcion de Ia profundidad h en el oceano. Osela y estime Ia presi6n suponiendo Po = 2.00 slug/ft3 y calcule Ia presion y el porcentaje de error, suponiendo que Ia estimaci6n en e l primer calculo fue correcta. Use profundidades de (a) 1500 pies, (b) 5000 pies y (c) 15000 pies. 2.16

Calcule Ia presion a 10000 m suponiendo una atm6sfera isotermica con de temperatura de: (a) 0°C (b) l5°C (c) -15°C

2.17 La temperatura en Ia atmosfera se calcula de rnanera aproximada con T(z) = 15 - 0.0065z°C a elevaciones de menos de 11 000 m. Calcule Ia presi6n a elevaciones de: (a) 3000 m (b) 6000 m (c) 9000 m (d) 11000 m 2.18 Determine Ia elevacion donde p = 0.001 psia suponiendo una atm6sfera isoterrnica con T = - 5°F.

Man6metros

2.19 Calcule la presion en una tuberia que transporta aire si un man6metro de tubo en U lee 25 em de Hg. Observe que el peso del aire en el manometro es insign ificame. 2.20 Si la presi6n del aire en una tuberfa es de 450 kPa, (.que lecura habra en un manometro de tubo en U con mercurio? Use h = 1.5 em en Ia figura 2.7b. (a) Ignore el peso de Ia columna de aire.

(b)

Incluya el peso de Ia columna de aire, suponiendo que Tnore = 20°C, y calcule el porcentaje de error de Ia parte (a).

2.21 Un manometro de tubo en Use monta en una tuberfa de un lfquido. Se sa be que Ia presi6n en Ia tuberfa en ellugar donde se monto el man6metro es de 2.4 kPa. Seleccione el Liquido en Ia tabla B.5 que sea mas susceptible de ser transportado si el

http://libreria-universitaria.blogspot.com manometro indica las siguientes alturas de lfquido sobre Ia tuberfa: (a) 36.0 em (b) 27.2 em (c) 24.5 em (d) 15.4 ern 2.22 Se sabe que Ia presion en Ia nariz de un avion que vuela a relativamente baja velocidad esta relacionada con su velocidad mediante p = pV2 , donde pes Ia densidad del aire. Determine Ia velocidad de un avi6n que vuela cerca de Ia superficie de Ia tierra si un manometro de tuba en U. que mide Ia presion en la nariz, lee: (a) 6 ern de agua (b) 3 in de agua (c) 10 em de agua (d) 5 in de agua

t

2.23 Estime Ia presion en Ia tuberfa que transporta agua mostrada en Ia figura P2.23, el man6metro esta abicrto a Ia atmosfera. A. 10 kPa B. 9 kPa C. 8 kPa D. 7 kPa

Problemas 67

2.27 Para el montaje mostrado en Ia figura P2.27, calcule Ia diferencia de presion entre Ia tubcrfa que transporta petr61eo y Ia que transporta agua. Agua

S=0.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..r-Hg FIGURA P2.27

2.28

i,Cuai es Ia presion enla tuberfa que transporta agua rnostrada en Ia figura P2.28?

Agua

Hg

r= 30 kN/m3 Agua

FIGURA P2.23 2.24

Se transporta petr6leo conS = 0.86 por una tuberia. Calcule Ia presion si un manometro de tubo en U lee 9.5 pulg de Hg. El petroleo en el manometro desciende 5 pulg por debajo de Ia lfnea de eje de Ia tuberfa.

FIGURA P2.28 2.29

Varios liquidos se vierten en capas en un tanque con aire presurizado en Ia parte superior. Si Ia presi6n del aire es de 3.2 kPa, calcule Ia presion en el fonda del tanque si las capas incluyen 20 ern de aceite SAE 10, 10 em de agua, 15 em de glicerina \ y 18 em de tetracloruro de carbona. 2.26 Para el montaje rnostrado en La figura P2.26, calcule Ia lectura H del rnanometro.

Determine Ia diferencia de presi6n entre Ia tuberfa que transporta agua y Ia que transporta petroleo mostradas en Ia figura P2.29.

2.25

Agua

S = 0.68

r

20cm i\gua

J

Petr61co

S= 0.86

Petr6leo S=0.92

20cm

S= 13.6

FIGURA P2.29

Hg

T_.. FIGURA P2.26

2.30

j,Cual es Ia presion en Ia tuberfa que transporta petroleo rnostrada en Ia figura P2.30 si Ia presion en Ia que transporta agua es de 15 kPa?

68



2.35 Calcule Ia presion en Ia tubcrfa que transporta agua mostrada en Ia figura P2.35.

S=0.68

S=0.8

I

IO cm

1

Petr61eo

12 em

5=0.86

J

Agua

s = 1.59

FIGURA P2.30

FIGURA P2.35

2.31 Para el taoque mostrado en Ia figura P2.31, determine Ia lectura del man6metro si: _(a) H = 2 m, h = 10 em (b) H = 0.8 m, h = 20 em (c) H =6ft, h = 4 in (d) H =2ft, h = 8 in Aire

2.36 En Ia figura P2.36, con Ia parte superior del man6metro abierto el nivel del mercurio esta a 8 pulg por debajo del tuberfa que transporta aire, no hay presion en Ia tuberfa. La parte superior del man6metro luego se sella. Calcule Ia lcctura H del man6metro correspondiente a una presion de 30 psi en Ia tuberfa que transporta aire. Suponga un proccso isotermico para el aire en Ia tubo sellado.

t

Agua

Aire

Hg

40in

!

FiGURA P2.31 2.32 En el tanque mostrado en Ia (igura P2.32, con H = 16 em, j,Cual sera Ia lectura del man6metro?

'Hg

FIGURA P2.36

Airc 4m

0=

2.37

--

Agua

1_

....

Ill

\

Hg

FIGURA P2.32 2.33 Si Ia presi6n en el aire del problema 2.32 se incrementa en 10 kPa, Ia magnitud de II se aproximara a: A. 8.5 em B. 10.5 em C. 16 em D. 24.5 em 2.34 La presi6n en Ia tuberia que transporta agua de Ia figura 2.7b es de 8.2 kPa, con h = 25 em y S2 = 1.59. Calcule Ia presion en Ia tubcrfa si Ia lectura H se incrementa en 27.3 em.

Remitiendose a Ia figura 2.6, determine Ia lectura H del manometro en las siguientcs condiciones: (a) Zi (22, 16,10 z4 , 17) cm,p 1 = 4 kPa, 'Yi = (9800, 15600, 133400) N/m3 , d = 5 mm, D = 100 rnrn, (b) Zi = (10, 8, 6, z4 , 8.5) in,p 1 = 0.6 psi, 'Yi = (62.4, 99.5, 849) lb/fil, d = 0.2 in, D = 4 in

2.38 Calcule el porcentaje de incremento en La lectura del man6metro si Ia presion p 1 se incrementa 10 % en: (a) 2.39

Problema 2.37a.

(b)

Problema 2.37b.

La presi6n en Ia tuberfa que transporte agua del problema 2.30 se incrementa a 15.5 kPa, mientras que Ia presion en Ia que transporta petr6leo permanece constante.j,Cual sera Ia nueva lectura del man6metro?

http://libreria-universitaria.blogspot.com 2.40

Determine Ia nueva lectura h del man6rnetro si Ia presi6n del aire se incrementa 10% en

(a)

Problemas

Problema 2.3 la Problema 2.3lc

(c)

(b) (d)

69

Problema 2.3lh Problema 2.31d

Fuerzas en areas planas

2.41 Calcule Ia fuerza que acrua en una tronera de 30 em de diametro de un barco si e l centro de aquella se encuentra 10m por debajo del nivel del agua. 2.42

p

Una piscina se llena con 2m de agua. Su fonda es cuadrado y mide 4 m por lado. Dos !ados opuestos son verticales; un extremo esta a 45° y el otro forma un angulo de 60° con Ia horizontal. Calcule Ia fuerza del agua en: (a) El fonda (b) Un lado vertical (c) El cxtremo a 45° (d) El extremo a 60°

2.43 Una b6veda de concreto con dimensiones externas de 2 x 1 x 1.5 m y espesor de pared de 10 em esta enterrada con Ia superficie superior al ras del suelo. j,Tendera Ia b6veda a salirse del suelo si este se satura por completo de agua? Usc Sconcrcto = 2.4. 2.44 Un tanque de 4 m de diametro y 6 rn de largo esta lleno de gasolina. Calcule Ia fucrza que Ia gasolina ejerce e un extremo del tanque. Suponga que el tanque no esta presurizado y que los extremos estan verticales.

2m

Agua

Gozne

FIGURA P2.47 2.48 La parte supe rior de cada una de las compuertas mostradas en Ia figura P2.48 queda a 4 m por debajo de Ia superficie del agua. Halle Ia ubicaci6n y magnitud de Ia fuerza que actua en una cara suponiendo una orientaci6n vertical. y

y

2.45 Los !ados de un area triangular miden 2, 3 y 3 m. respectivamente. Calcule Ia fuerza del agua en un lado del area si cl lado de 2 m es horizontal y a 10 m por debajo de Ia superficie y e l triangulo esta: (a) Vertical (b) Horizontal (c) Sabre una pendiente ascendente a 60° 2.46

La compuerta triangular mostrada en Ia figura P2.46 tiene su lado de 6 pies paralelo y a 30 pies por de bajo de Ia s upc rficie del agua. Calcule Ia magnitud y ubicaci6n de Ia fuerza que actUa en Ia compuerta si esta: (a) Vertical (b) Horizontal (c) Sobre una pendiente ascendente a 45° y

I

X

(b)

(a)

)'

·mV-x I

3m

y

X

··~ 6 fl

(c)

(d)

FIGURA P2.48 -x

2.49

Una compuerta rectangular vertical de 6 pies de ancho y 10 pies de altura tiene su borde superior a 6 pies debajo del nivel del agua. Esta engoznada a lo largo de s u borde inferior. i.Ouc fuerza, actuando e n el borde superior, es necesaria para mantener Ia compuerta cerrada?

2.50

Determine Ia fuerza P necesaria para mantener Ia compuerta de 4 m de ancho en Ia posicion mostrada en Ia figura P2.50.

FIGURA P2.46 2.47 La compuerta rectangular mostrada en Ia figura P2.47 es de 3 m de ancho. La fuerza P necesaria para mantenerla en Ia posici6n mostrada es de casi: A. 24.5 kN B. 32.7 kN c. 98kN D. 147 kN

70


http://libreria-universitaria.blogspot.com campuerta tiene las mismas dimensiones que el canal y Ia fuerza P actua en Ia superficie del agua. 2m

p

!.2m

F1GURA P2.54 F1GURA P2.50

2.55

2.51 Calcule Ia fuerza P necesaria para mantener Ia campuerta de 4 m de ancha en Ia pasici6n mastrada en Ia figura P2.51 si:

00 H=6m (c)

00 H=8m

H =10m

Una compuerta vertical en el extrema de un canal (Fig. P2.55) se abre cuando el agua sabre el goznc produce un momenta mayor que el momenta del agua dcbajo del gozne.£,Que altura h de agua se requiere para abrir Ia compuerta si: (a) H = 0.9 m (b) H = 1.2 m (c) H = 1.5 m

FIGURA P2.55 F1GURA P2.51 2.52 Use Ia ecuaci6n 2.4.28 y demuestre que Ia fuerza F en Ia figura 2.8 actua a un tercio hacia arriba en un area rectangular vertical y tambien en un area rectangular inclinada. Supanga que Ia compuerta inclinada forma un angulo a con Ia horizontal.

2.56

£.A que altura H se abrira Ia compuerta rfgida, engoznada por su punto central como se muestra en Ia figura P2.56 si h es de: (a) 0.6 m? (b) 0.8 m? (c) 1.0 m?

2.53 Calcule Ia fuerza P necesaria para mantener Ia compuerta rectangular de 3 m de ancho como se muestra en Ia figura P2.53 si: (a) I = 2m (b) l = 4 m (c) l = 5 m

FIGURA P2.53 2.54 Un canal trapezoidal, con Ia secci6n transversal mostrada en Ia figura P2.54, cuenta con una campuerta en un extremo.(.Cual es Ia fuerza mfnima P necesaria para mantener Ia campuerta vertical cerrada si su parte inferior esta engaznada? La

F1GURA P2.56 2.57 La compuerta rfgida engoznada por su parte central como se muestra en Ia figura P2.56, se abre cuanda H = 5 m. t,A que altura esta el gozne sobre el fondo del agua? A. 1.08 m B. 1.10 m C. 1.12 m D. 1.14 m

http://libreria-universitaria.blogspot.com 2.58

Problemas

71

Para Ia compuerta mostrada en Ia figura P2.58, calcule Ia altura H que har:i que se abra automaticamente si (ignore el peso de Ia compuerta):

Gozne

FIGURA P2.59 2.60 Suponga una distribuci6n de prcsi6n lineal en Ia base del dique de concreto (S = 24) mostrado en Ia figura P2.60. j,Se vendra abajo cl dique (sume los momentos con respecto al Ia esquina inferior derecha)? Use. (a) H =40ft (b) H = 60ft (c) H =80ft

r FIGURA P2.58

(a) (b) (c) (d) 2.59

I= 2m I= 1m I = 6ft l =3ft

l__~l 3ft

La distribuci6n de presi6n en Ia base de un dique de concreto (S = 2.4) varfa linealmente, como se muestra en Ia figura P2.59 y produce una fuerza de levamamiento. i,Se vendra abajo el dique (sume los momcntos de todas las fuerzas con respecto a Ia esquina derecha inferior)? Use: (a) H = 45 m (b) H = 60 m (c) H = 75 m

h= lOft

FIGURA P2.60

Fuerzas sobre superficies curvas

2.61

En el ejemplo 2.7 suponga que el agua esta sobre la compuerta y no debajo de ella. El agua sobre Ia compuerta producira Ia misma distribuci6n de presi6n e n ella y por lo tanto las mismas fuerzas (excepto que las fuerzas tendran direcciones opuestas). Por consiguiente,la fuerza P sera numericamente Ia misma (actuara a Ia izquierda). Con el agua sobre Ia compuerta, dibuje un diagrama de cuerpo libre y calcule P. Compare con los detalles del primer metodo del ejemplo 2.7.

2.62

Calcule Ia fuerza P necesaria para mantener el objeto cilfndrico de 10 m de largo en su posici6n como se muestra en Ia figura P2.62.

2.63

Calcule Ia fuerza P necesaria para comenzar a abrir la compuer ta mostrada en Ia figura P2.63 si: (a) H = 6 m, R =2m, y la compuerta de 4 m de ancho. {b) H = 20 in, R = 6 in, y Ia compuerta de 12ft de ancho.

FIGURA P2.63

2m

(S =

FIGURA P2.62

0.86)

___1;

2.64 Se requiere una fuerza P = 30 kN para comenzar a abrir Ia compuerta de Ia figura P2.63 con R = 1.2 my H = 4 rn. i,Oue tan ancha es Ia compuerta? A. 2.98 m B. 3.67 m C. 4.32 m D. 5.16 m

72 2.65



(.Que fuerza P se requiere para mantener cerrada Ia compuerta de 4 m de ancho mostrada en Ia figura P2.65?

6m

FIGURA P2.68

Gozne

2.69

FIGURA P2.65 2.66

Un tronco esta en equilibria, como se muestra en Ia figura P2.69. Calcule Ia fuerza que lo empuja contra el dique y su gravcdad especffica si: (a) Su longitud es de 6 m y R = 0.6 m (b) Su longitudes de 20 in y R = 2 in

Calcule Ia fucrza P requerida para mantener Ia compuerta en Ia posicion mostrada en Ia figura P2.66. La compuerta es de 5 m de ancho.

FIGURA P2.69 2.70

Calcule Ia fuerza en Ia soldadura mostrada en Ia figura P2.70 si: (a) El hernisferio esta lleno de aire (b) El hemisferio esta lleno de aceite

FIGURA P2.66 2.67 La compuerta circular de 3 m de ancho mostrada en Ia figura P2.67 pesa 400 N con centro de gravedad a 0.9 a Ia izquierda del gozne. Calcule Ia fuerza P requerida para abrirla.

60kPa

FIGURA P2.70 2.71

Calcule Ia fuerza Psi Ia compuerta parab6tica mostrada en Ia figura P2.71 es de: (a) 2 m de ancho y H = 2 m (b) 4 in de ancho y H = 8 in y

FIGURA P2.67 2.68 La compuerta en forma de cuarto de cfrculo (Fig. P2.68; S = 0.2) esta en equilibria, como se muestra. Calcule el valor de 'Yx utilizando: (a) Un idades Si (b) Unidades inglcsas

FIGURA P2.71


Problemas

73

Flotaci6n

2.72 Se sabe que Ia barcaza rectangular de Ia figura .P2.72 es de 15m de largo. La barcaza se carga con una masa de 900 kg Ia que provoca que se hunda 10 mm.j,Que tan ancha es Ia barcaza? A. 6m B. 9.2m C. 7.5m D. 0.62m

~ 15m

I

FIGURA P2.72

2.73

La barcaza de 3 m de ancho mostrada en Ia figura P2.72 pesa 20 kN vacfa. Se propone que transporte una carga de 250 kN. Calcule el calado en: (a) Agua dulce (b) Agua salada (S = 1.03)

FIGURA P2.73

2.77 Un cuerpo, con volumen de 2m3, pesa 40 kN. Determine su peso cuando se sumerge en un lfquido conS= 1.59. 2.78 Un globo de a ire caliente transporta una carga de 1000 N, incluido su propio peso. Si es de 10 m de diametro, calcule Ia temperatura promedio del aire en su interior si el aire exterior esta a 20°C. 2.79 Se propone que un dirigible viaje cerca de Ia superficie terrestre. Si el dirigible se parece a un gran cilindro de 1500 m de largo con un diametro de 300 m, calcule Ia carga util si su propio peso es de 10% de esta. i,Cuantas personas de 800-N puede llevar? El dirigible se Uena de helio y prevalecen las condiciones estandar. (jEste vehfculo no provocara mareos y permitini presenciar atardeceres, son espectaculares!) 2.80 Se construye un objeto de un material mas ligero que el agua. Pesa 50 N en aire y se requiere una fuerza de 10 N para mantenerlo bajo el agua. j,Cual es su densidad, peso especffico y gravedad especffica?

2.81 El peso y cilindro vacfo mostrado en Ia figura P2.81 pesa 1500 lb. Calcule Ia altura h requerida para levan tar el peso si el R radio del cilindro de 10 pies de largo es de (a) 12 in (b) 16 in (c) 20 in R

2.74 Un objeto pesa 100 N en el aire y 25 N cuando se sumerge en agua. Calcule su volumen y peso especffico. 2.75

Un transbordador es esencialmente rectangular con dimensioncs de 25 pies de ancho y 300 pies de largo. Si se cargan 60 autom6viles en el transbordador, con un peso promedio por cada uno de 3000 lb, l,Que tanto se hundira en el agua?

Agua

15ft

2.76 Una embarcaci6n de 30m de largo, con Ia secci6n transversal mostrada en Ia figura P2.76, va a transportar una carga de 6000 kN, l,Que tanto se hundira en e l agua si Ia masa es de 100000 kg?

8m

FIGURA P2.76

FIGURA P2.81

h

74



2.82 E l hidr6metro mostrado en Ia figura P2.82 sin mercurio tiene una masa de 0.01 kg. Esta disefiado para flotar a Ia mitad del vastago de 12 em de longitud en agua pura. (a) Calcule Ia masa de mercurio requerida. (b) (.Cuai es Ia gravedad especffica dellfquido si el hidr6metro apenas se sumerge? (c) i,Cual es Ia gravedad especffica si el vastago del hidr6metro es expuesto por completo? 2.83

Vastago

Al hidr6metro del problema 2.82 se le agrega peso de modo que en agua dulce el vastago apenas se sumerge. (a) (.Cual es Ia gravedad especifica maxima que puede ser lefda? (b) (.Que masa de mercurio se requiere?

1.5cmdilim.

FIGURA P2.82

Estabilidad 2.84 Un cilindro de 10 pulg de diametro esta hecho de un material con gravedad espedfica de 0.8. (.Flotara en agua con sus extremos horizontales si su longitud es de: (a) 12 in (b) 10 in (c) 8 in 2.85

l,Dentro de que rango de pesos especfficos flotara en agua un cilindro circular con peso especlfico Yx uniforme con sus extremos horizontales si su altura es igua1 a su diametro?

2r S=l.5 4r

-41-- S = 1.2

S=0.5

j

r

FIGURA P2.88 2.89

2.86 l,Dentro de que rango de pesos especfficos flotara un cubo homogeneo con sus caras en posici6n horizontal y vertical? 2.87

Jr

La barcaza mostrada en la figura P2.89 se carga de modo que su centro de gravedad y Ia carga quede en Ia lfnea de flotaci6n.i,ES estable Ia barcaza?

Para e l objeto mostrado en Ia figura P2.87, calcule SA para que tenga estabilidad neutral cuando se sumerja. Scm

S=0.5

I em

S=2

I em

FIGURA P2.89 2.90

A

Scm

i,ES estable Ia barcaza mostrada en Ia figura P2.90? El centro de gravedad de Ia carga se Iocalizan como se muestra.

1--1 2cm FIGURA P2.87 2.88 Oriente el objeto mostrado en Ia figura P2.88 para que tenga estabilidad rotatoria cuando se sumerja si (a) t = 2 em (b) r = 1.0 in

FIGURA P2.90

Problemas 7 5

http://libreria-universitaria.blogspot.com Recipientes linealmente acelerados 2.91 El tanque, con una presi6n inicial p = 20 kPa, se aeelera como se muestra en Ia figura P2.91 a raz6n de 5 m/s 2 . La fuerza en el tap6n de 4 em de diametro es aproximadamente de A. 30N B. SON C. 130 N D. 420 N

2.95 El tanque mostrado en Ia figura P2.95 se llena de agua y aeelera. Caleule la presi6n en A si: (a) a = 20 m/s2 , L = 1 m (b) a = 10 m/s2 , L = 1.5 m (c) a =60ft/self, L =3ft (d) a = 30 ftlseff, L 0 4ft

_........Tap6n Gasolina

2.92 El tanque mostrado en Ia figura P2.92 se llena por completo de agua y se acelera. Calcule Ia presi6n maxima en el tanque si: (a) ax= 20 m/s2 ,a, = 0, L =2m (b) ax= O, a, = 20 m/s2 , L = 2m (c) ax = 60ft/self, a, = 60 ft/se/f, L = 6ft (d) ax = 0, a, = 60 ft/se/f, L = 6 ft

FIGURA P2.95 2.96 El tanque del problema 2.93 es de 4 m de aneho. Calcule Ia fuerza que aetua e n: (a) El extremo AB (b) El fondo (c) La parte superior 2.97 El tanquc del problema 2.95(a) es de 1.5 m de an-

cho. Calcule Ia fuerza en: El fondo La parte superior El extremo izquierdo

(a) (b) (c)

FIGURA P2.92 2.93 El tanque mostrado en Ia fig ura P2.93 se acelera a Ia derecha a 10 m/s2 . Calcule: (a) (b) (c)

PA

PB Pc A

0~:1· 8

Agua

8m

1

2.98 Para el tubo en U mostrado en Ia figura P2.98 determjne la presi6n en los puntos A, B y C si: (a) ax= 0, a, = 10 m/s2 , L =60 em 2 (b) ax = 20 m/s , a, = 0, L = 60 em (c) ax = 20 m/s2 , a,= 10 m/s2 , L = 60 em (d) ax= 0, a, = --60 ftlseg2 , L = 25 in (e) ax= 60 ft/seg2 , a, = 0, L = 25 in 2 (t) a, = -3 ft/seg , a, = 30 ft/se/f, L =25 in

~A

c

FIGURA P2.93

":1 L

L

I.SL

2.94 El tanque del problema 2.93 se acelera de modo que p 8 = 60 kPa. Calculc ax suponiendo que: (a) a,= 0 (b) a, = 10 m/s 2 (c) a, = 5 m/s2

c . •::.____,___--=...• 8

"

Agua

FIGURA P2.98

76


http://libreria-universitaria.blogspot.com Rotaci6n constante

2.99 El tubo en U del problema 2.98 se pone a girar en torno a Ia rama izquierda a 50 rpm. Caleule PA•PB YPc si: (a) L = 60 em (b) L =40 em (c) L = 20 in (d) L=15in 2.100 Rotamos el tubo en forma de U del problema 2.98 en lorno a Ia rama horizontal de tal manera que Ia presi6n en el centro sea cero. Calcule w si: (a) L = 60 em (b) L = 40 em (c) L = 25 in (d) L = 15 in 2.101

El tubo en U del problema 2.98 se pone a girar en torno al centro de Ia rama horizontal de modo que Ia presi6n en el centro cs cero. Calcule w si: (a) L = 60 em (b) L = 40 em (c) L = 40 in (d) L = 15 in

2.102

Determine Ia presion en el punto A del cilindro de Ia figura P2.1 02, si hay una velocidad rolacional de: (a) 5 rad/s (b) 7 rad/s (c) 10 rad/s (d) 20 rad/s

I· I

A

A ire

I

Agua

r

60cm

I I I

FIGURA P2.102

20cm

60cm

2.103 Se cierra el orificio en el cilindro del problema 2.102 y el aire se presuriza a 25 kPa. Calcule Ia presion en e l punlo A si Ia velocidad de rotaci6n es: (a) 5 rad/s (b) 7 rad/s (c) 10rad/s (d) 20 rad/s 2.104 Calcule Ia fuerza en el fondo del cilindro del problema (a) Problema 2.1 02a (b) Problema 2.102b (c) Problema 2.102c (d) Problema 2.102d

Mecánica de Fluidos CAP. 2 - 3ra Edición - Merle C. Potter & David C. Wiggert

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