Ricardo Reyes Garza Materia: Mecánica Cuántica Grupo: 8165 UNAM, Facultad de Ciencias Trabajo de investigación sobre la Mecánica Cuántica Relativista
1. Ecuación de Klein Gordon
a!e"os #ue la ecuaci$n de c%r&din'er #ue descri!e a una part(cula li!re es: 2
∂Ψ −ħ 2 iħ ∇ Ψ = ∂t 2 m
)1*1+
or otro lado, la ener'(a relati-ista total de una part(cula es: 2
2
2
E = c p∙ p ∙ p + m c
4
)1*.+
/aciendo las identi0icaciones 2
∂ E → iħ 2 , p → iħ iħ ∇ ∂ t
)1*+
Utilizando la e2presi$n de ener'(a relati-ista so!re una part(cula li!re o!tene"os: 2
2
2
4
E Ψ =c p ∙ p Ψ + m c Ψ
3 usando las identi0icaciones de 1*: 2
∂ Ψ −ħ =−c 2 ħ2 ∇ 2 Ψ + m2 c 4 Ψ 2 ∂ t 2
)1*4+
a e2presi$n 1*4 es conocida co"o la ecuaci$n de lein7Gordon, la cual es utilizada para el desarrollo de la diná"ica cuántica para !osones sin esp(n* e i'ual "anera, la ecuaci$n 1*4 es satis0ec%a por 9 2
¿
∂ Ψ −ħ =−c 2 ħ2 ∇2 Ψ ¿ + m2 c 4 Ψ ¿ 2 ∂ t 2
)1*5+
Multiplicando Multiplicando 1*4 por 9, 1*5 por 9 y restando, encontra"os #ue:
(
2
¿
2
)
∂ Ψ ¿ ∂ Ψ ħ Ψ Ψ − +c 2 ħ2 ( Ψ ¿ ∇ 2 Ψ −Ψ ∇2 Ψ ¿ )=0 2 2 ∂ t ∂ t 2
1
i y s$lo si ħ
(
ħ
(
2
¿
2
¿
)
2
∂ Ψ ∂ Ψ ħ Ψ −Ψ ¿ 2 + ( Ψ ¿ ∇2 Ψ −Ψ ∇ 2 Ψ ¿ ) =0 2 2 2ℑ ∂t ∂t 2 ℑc ¿
2
) ¿
∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ ħ Ψ + −Ψ ¿ 2 − + ( Ψ ¿ ∇ 2 Ψ + ∇ Ψ ∇ Ψ ¿−Ψ ∇2 Ψ ¿ −∇ Ψ ∇ Ψ ¿ ) =0 2 2 ∂ t ∂ t ∂ t ∂ t 2ℑ ∂t ∂ t 2 ℑc
3 pode"os reescri!irla co"o:
(
¿
2
)
2
∂ Ψ ¿ ∂ Ψ ∂ Ψ Ψ − 2 2 ∂ t ∂ t ħ ħ +∇ ∙ ( Ψ ¿ ∇ Ψ −Ψ ∇ Ψ ¿ )=0 2 ∂ t 2ℑ 2 ℑc
; !ien ∂ρ + ∇ ∙ j =0 ∂ t ⃗
)1*6+
onde: ħ
(
2
¿
2
)
∂ Ψ ∂ Ψ ρ= Ψ −Ψ ¿ 2 2 2 ∂ t ∂ t 2ℑc
j⃗ =
ħ 2ℑ
( Ψ ¿ ∇ Ψ −Ψ ∇ Ψ ¿ )
a e2presi$n o!tenida para J es la "is"a o!tenida para el -ector de densidad de corriente de pro!a!ilidad en el caso no relati-ista* es la pro!a!ilidad de #ue la part(cula en cuesti$n se encuentre en el di0erencial de -olu"en d> al tie"po t * in e"!ar'o, despu?s -ere"os #ue esta interpretaci$n presenta al'unos pro!le"as pues =)r, t+ no sie"pre es una cantidad positi-a* 2. Ecuación de Dirac
a ecuaci$n de lein7Gordon no posee nin'una caracter(stica asociada al esp(n* Más a@n, si #uere"os construir la ecuaci$n de onda de una part(cula a partir de la ecuaci$n c%r&din'er dependiente del tie"po
Ricardo Reyes Garza Materia: Mecánica Cuántica Grupo: 8165 UNAM, Facultad de Ciencias iħ
∂Ψ = HΨ ∂t
).*1+
>ol-iendo a su!stituir nuestra e2presi$n para la ener'(a relati-ista )e2presi$n 1*.+ y las identidades e2presadas en 1*, o!tene"os una ecuaci$n #ue no es si"?trica en sus deri-adas te"porales y espaciales y por tanto, no es un in-ariante relati-ista* 2
∂Ψ −ħ 2 iħ ∇ Ψ + V ( r ) Ψ = ∂t 2 m
irac a!ord$ este pro!le"a construyendo una %a"iltoniano #ue 0uera lineal en sus deri-adas espaciales y #ue si'uiera siendo %er"itiano*
2
).*.+
ara al'unos pará"etros , , y c es la -elocidad de la luz en el -ac(o*
u!stituyendo .*. en .*1 o!tene"os: ∂Ψ iħ =c α⃗ ∙ p ⃗ Ψ + βm c2 Ψ ∂t
; !ien, utilizando la ecuaci$n de c%r&din'er independiente del tie"po* ⃗ Ψ + βmc Ψ EΨ =c ⃗ α ∙ p 2
i y s$lo si
( E −c ⃗α ∙ p⃗ − βmc 2 ) Ψ =0
).*+
Utilizando las relaciones 1*
(
iħ
)
∂ + iħc ⃗α ∙ ∇ − βmc 2 Ψ =0 ∂ t
).*4+
a ecuaci$n .*4 es la ecuaci$n de irac para una part(cula li!re* ado #ue la part(cula está li!re, los pará"etros y de!en ser independientes de r, !, t y <* i no 0uese as(, este %a"iltoniano tendr(a ener'(as con dependencia espacio te"poral #ue producir(an una 0uerza so!re la part(cula, y esta"os pidiendo #ue la part(cula est? li!re* 3
>ea"os cuál es la estructura de los pará"etros y : a estructura de estos pará"etros puede ser o!tenida pidiendo #ue cual#uier soluci$n de la ecuaci$n .*4 sea soluci$n de la ecuaci$n 1*4 )la ecuaci$n de lein7Gordon+, Multiplicando .*4 por la derec%a por )< B "! B "c.+ o!tene"os:
{ E −c [ α p 2
2
2
x
2
x
+ α y 2 p y2 + α z2 p z2+ ( α x α y + α y α x ) p x p y + ( α y α z +α z α y ) p y p z + ( α z α x + α x α z ) p z p x ] −m2 c 4 β 2−m c 3 [
).*5+ Necesita"os #ue la i'ualdad 1*4 se si'a cu"pliendo, es decir 2
2
2
4
E Ψ =c p ∙ p Ψ + m c Ψ
ara ellos, necesita"os #ue todos los t?r"inos entre par?ntesis )+ sean cero, es decir α i α j + α j α i=0, α i β + β α i=0
ara toda i ≠ j
[ α , α ]¿ x
y
+¿=0 +¿=[ α x , β ]¿ +¿=[ α x , β ]¿
[ α , β ]¿ x
e esta "anera, reduci"os la ecuaci$n .*5 a la si'uiente e2presi$n
{ E −c [ α 2
2
x
2
2
2
2
2
2
]
2
4
2
}
p x + α y p y + α z p z −m c β Ψ =0
A%ora, si considera"os a 9 co"o un cuadri-ector, necesita"os entonces #ue 2
2
2
2
α x =α y =α z = β = Id 4 × 4
Ricardo Reyes Garza Materia: Mecánica Cuántica Grupo: 8165 UNAM, Facultad de Ciencias or lo tanto, y de!en ser operadores* Más a@n, dado #ue el %a"iltoniano .*. de!e ser %er"itiano, y ta"!i?n de!en ser %er"itianos* ado #ue el cuadrado de estos operadores es la identidad, sus -alores propios de!en ser D1* i esco'e"os a co"o un operador dia'onal, entonces
(
β =
Id 2× 2
02 × 2
02 × 2
Id 2 × 2
)
a!e"os ta"!i?n, #ue las "atrices de auli cu"plen con las condiciones #ue de!e cu"plir y son %er"itianas, as( #ue la 0or"as "ás sencilla #ue pueden tener las co"ponentes de es α x =
(
02 ×2
σ x
σ x
02 × 2
) ( , α y =
02 × 2
σ y
σ y
02 × 2
) ( , α z =
02 × 2
σ z
σ z
0 2× 2
)
onde
( ) ( ) (
σ x =
0 1
1 0 , σ y = i 0
−i , σ = −1 z 0
0
0 1
)
As( pues, escri!i"os a y co"o
(
β =
Id 2× 2
02 × 2
02 × 2
Id 2 × 2
) ( ,α =
02 × 2
σ
σ
02 × 2
)
).*5+
As(, la ecuaci$n de irac ).*4+ son en realidad cuatro ecuaciones di0erenciales parciales lineales de pri"er orden, %o"o'?neas y acopladas* Una por cada co"ponente
( ) Ψ 1 ( r , t ) Ψ 2 ( r , t ) ⃗
Ψ ( r ,t )= ⃗
⃗
Ψ 3 ( r , t ) Ψ 4 ( r , t ) ⃗
⃗
or tanto, la 0unci$n de onda transpuesta conEu'ada es 9t)r,t+)91)r,t+, 9.)r,t+, 9)r,t+, 94)r,t++* As(, la ecuaci$n de irac #ue satis0ace 9t es †
∂Ψ ħ iħ =c ∇ Ψ † ∙ ⃗α −Ψ † βmc 2 ∂ t i
).*6+
5
Multiplicando la ecuaci$n .*4 por 9 por la iz#uierda y a .*6 por 9 por la derec%a y su"ándolas o!tene"os,
(
)
†
∂ Ψ ∂ Ψ † ħ † † 2 † † iħ Ψ Ψ =c ( Ψ ( ⃗ α ∙ ∇ Ψ )+( ∇ Ψ ∙ ⃗ α ) Ψ ) + βm c ( Ψ Ψ −Ψ Ψ ) + ∂ t ∂ t i
Hue pode"os reescri!irla co"o †
∂Ψ Ψ =−∇ ∙ (c Ψ † α⃗ Ψ ) ∂t
/aciendo la identi0icaci$n †
2
2
2
2
ρ ≡Ψ Ψ =|Ψ 1| +|Ψ 2| +|Ψ 3| +|Ψ 4| †
j ≡c Ψ α⃗ Ψ ⃗
o #ue nos per"ite lle'ar 0inal"ente a la e2presi$n ∂ρ + ∇ ∙ j =0 ∂ t ⃗
).*I+
ea"os si esto ocurre en la "ecánica de irac )es decir, en la "ecánica #ue #ueda descrita por la ecuaci$n de irac+* a!e"os #ue L=r × p ⃗ ⃗
3 el %a"iltoniano de la "ecánica de irac es ⃗ + βmc H =c ⃗ α ∙ p
2
Ricardo Reyes Garza Materia: Mecánica Cuántica Grupo: 8165 UNAM, Facultad de Ciencias
[ H , L⃗ ] =[ c ⃗α ∙ p⃗ , r ] × ⃗p ⃗
¿ {c α x [ p x , x ] ^i + c α y [ p y , y ] ^ j + c α z [ p z , z ] ^k } × p⃗
[ p
ero
]
,=
ħ i
, entonces:
[ H , L⃗ ] =c ħ α⃗ × p⃗ i
).*8+
Hue es distinto de cero, por tanto, el "o"ento an'ular no es una constante de "o-i"iento* in e"!ar'o, de las propiedades de las "atrices de auli tene"os: σ k σ m=i
(∑ ϵ σ )+" !km
!
km
!
∑ϵ
!km
σ !
!
or tanto
[ ⃗σ ∙ p⃗ , σ ]=2 i( ⃗σ × p⃗ ) m
m
;, to"ando todas las co"ponentes
[ ⃗σ ∙ p⃗ , ⃗σ ] =2 i ( ⃗σ × p⃗ )
).*+
As( pues, pode"os de0inir el si'uiente operador ħ 2
#≡ ⃗
( )
ħ σ⃗ 0 σ 2 0 ⃗
Calcule"os su con"utador con /
[
][
ħ ħ H , # = c ⃗ α ∙ p ⃗, # ⃗
2
⃗
2
] 7
¿
ħc 2
¿−
([
0
[ ⃗σ ∙ ⃗p , ⃗σ ]
⃗σ ∙ p ⃗ , σ⃗ ]
0
)
( )
ħc 0 ⃗ σ × p ⃗ i ⃗ σ 0
[
]
ħ −ħc α × p H , # = ⃗ ⃗ i 2 ⃗
).*1+
A%ora, de0ina"os el si'uiente operador
( )
ħ ⃗ ⃗ + ħ #=( r × p ⃗$ ≡ L ⃗ ) Id + σ 0 ⃗
2
⃗
2 0
).*11+
σ
>ea"os el con"utador con / de este nue-o operador
[
[ H , ⃗$ ] = [ H , L⃗ ] + H , ħ # ⃗
2
]
e .*8 y .* o!tene"os
[ H , ⃗$ ] = c ħ α⃗ × p⃗ − c ħ α⃗ × p⃗ =0 i
i
Nuestro operador J con"uta con el %a"iltoniano de una part(cula li!re y es, por tanto, una constante de "o-i"iento* ode"os ta"!i?n, identi0icar al operador
ħ 2
# ⃗
con el esp(n de la
part(cula* As(, la ecuaci$n de irac asi'no de "anera auto"ática, a la part(cula #ue descri!e, un "o"ento an'ular intr(nseco de "a'nitud OP. )esp(n+* >ea"os a%ora las soluciones de la ecuaci$n de irac para una part(cula li!re* i en la ecuaci$n .*4 considera"os Ψ ( r ,t )=% ( p ⃗ , E ) exp ⃗
(
i ( p ⃗ ∙ r − Et ) ħ ⃗
)
onde ! y < son constantes, o!tene"os la si'uiente ecuaci$n al'e!raica para deter"inar a u)!,<+ ⃗ + βm c ) % E%=( c ⃗ α ∙ p 2
Ricardo Reyes Garza Materia: Mecánica Cuántica Grupo: 8165 UNAM, Facultad de Ciencias %=
Considerando a
() %1 %2
, donde ui es un -ector colu"na de dos entradas, y usando la
representaci$n e2pl(cita de , de .*5, o!tene"os ⃗ ∙ ⃗σ ) %2 +m c %1 E %1=c ( p 2
⃗ ∙ σ⃗ ) %1 + m c %2 E %2=c ( p 2
).*1.+
( E −mc 2 ) ( E + m c 2 ) % i=c ( p⃗ ∙ ⃗σ ) ( p⃗ ∙ σ⃗ ) %i= c 2 p⃗ 2 % i as ecuaciones
( E2− m2 c 4 ) %i= c 2 p⃗ 2 % i 2 2 4 2 2 ⃗ *
⃗2 −¿=−√ m2 c 4 + c2 p ⃗ 2∧ E¿ +¿=+ √ m2 c 4 + c 2 p E¿
Cuando < tiene uno de estos dos -alores, una de las e2presarla co"o
ui
es co"pleta"ente ar!itraria y pode"os
( )+ ( )
k
1 0
k &
0 1
e esta "anera, la otra ui #ueda deter"inada utilizando las relaciones .*1. As( pues, e2isten cuatro soluciones lineal"ente independientes
( )
+¿ , k & =0 ' % =
1 0
( p z ( ( p x + i p y )
E = E¿
9
+¿ , k = 0 '% =
( ) 0 1
( ( p x + i p y ) − ( p z
E= E ¿
( )
−( p z −¿ ,k & =0 ' % = −( ( p x + i p y ) 1 0
E = E¿
( ) −( ( p x + i p y )
−¿ ,k =0 ' % =
( p z 1 0
).*1+
E = E¿ 2
onde
m c + E +¿ 2 c (≡
¿
Cuando la -elocidad de la part(cula es pe#ueQa con respecto a la de la luz, ( 1 / 2 mc y por tanto, las co"ponentes de u #ue están "ultiplicadas por son del orden de v/c y por tanto son desprecia!les* Más a@n, al despreciar estas co"ponentes, las cuatro soluciones e2puestas en .*1 resultan ser -ectores propios de S z con -alores propios 1, 71, 1, 71 respecti-a"ente, es decir, corresponden a una proyecci$n de0inida del esp(n so!re el eEe z* os resultados anteriores "uestran otra caracter(stica de la ecuaci$n de irac*
Ricardo Reyes Garza Materia: Mecánica Cuántica Grupo: 8165 UNAM, Facultad de Ciencias #. Eje$!lo
Un electr$n in"erso en un ca"po electro"a'n?tico* ode"os escri!ir el cuadri-ector del "o"ento de un part(cula de car'a e en un ca"po "a'n?tico co"o
√(
)
2
) 2 4 E− )ϕ = c p− * + m c c 2
3 e0ectuando la "is"a linealizaci$n de radical #ue nos conduEo a la ecuaci$n de irac, o!tene"os la si'uiente ecuaci$n para el electr$n en un ca"po e2terno
(
iħ
ϕ
i supone"os #ue
)
(
)
∂ ħ ) − )ϕ Ψ = c ⃗α ∙ +− * Ψ + mc 2 βΨ ∂ t i c
,
%
⃗
son independientes del tie"po, pode"os escri!ir:
Ψ ( r ,t )= ( r ) exp (−iEt / ħ ) , con lo cual la ecuaci$n para ⃗
⃗
( r )
( E− )ϕ ) = c α⃗ ∙ ⃗. + mc 2 β ħ i
) c
)*1+
⃗
es: )*.+
⃗. ≡ ∇− *
Con
⃗
<2presando a la 0unci$n de onda co"o =
() 1 2
onde i son -ectores colu"na de dos co"ponentes* Usando la representaci$n para y de .*5, encontra"os #ue *. e#ui-ale a
( )(
)( )
⃗ ( E− )ϕ) 1 = m c c σ ∙ ⃗.2 1 c⃗ σ ∙. 2 ⃗ −mc 2 2
e donde o!tene"os #ue
( E −)ϕ−m c 2 ) 1= c σ⃗ ∙ ⃗. 2 11
( E −)ϕ+mc 2 ) 2=c ⃗σ ∙ ⃗. 1
)*+
2 ara -elocidades pe#ueQas de la part(cula respecto a c, se tiene #ue ( E −)ϕ+mc )
2
* se tiene #ue, !aEo estas consideraciones,
2 mc
2
, y de
( )
p =( / / c ) 1 , es decir, las co"ponentes mc 1
'randes de son las dos pri"eras*
(
2
)
( E & − )ϕ) 1=( ⃗σ ∙ ⃗. ) & c ( σ⃗ ∙ ⃗. ) 1 2 E −)ϕ+ 2 mc
)*4+
& 2 onde E ≡ E− mc es la ener'(a total e2cluyendo la ener'(a en reposo*
e2acta para 1 , sin e"!ar'o no es una ecuaci$n de -alores propios pues
1 2 m/ 2
, de "odo #ue %asta t?r"inos de se'undo orden en
v/c es -álido el si'uiente desarrollo:
(
)
( E & −)ϕ) c 1 = − & 2 2 2 2m E −)ϕ+ 2 mc 4m c 2
u!stituyendo en *4:
( E & − )ϕ ) 1=
[
1 2m
( ⃗σ ∙ .⃗ )2 −
1
]
( σ⃗ ∙ ⃗. ) ( E & −)ϕ ) ( ⃗σ ∙ .⃗ ) 1 )*5+ 4m c 2
2
2
2
Ricardo Reyes Garza Materia: Mecánica Cuántica Grupo: 8165 UNAM, Facultad de Ciencias i) c
¿ ⃗. 2− ⃗σ ∙ ( p ⃗ × * + * × p⃗ )
¿ ⃗. 2−
⃗
⃗
ħ) ⃗σ ∙ ( ∇× * ) c ⃗
¿ .⃗ 2−
ħ) ⃗σ ∙ H c ⃗
)*6+
onde H ≡ ( ∇× * ) es el ca"po "a'n?tico e2terno* ⃗
a se'unda 0$r"ula es
[ 0 ,1 ] =(−) ) [ ⃗σ ∙ ⃗. , ϕ ] =−) σ⃗ ∙ [ p⃗ , ϕ ] =i)ħ (σ⃗ ∙ + ϕ )
)*I+
Re'resando a *5, el se'undo operador del lado derec%o es X3XT -a"os a "anipular este operador de tal "odo #ue sea %er"itiano* 010 010 1 1 010 = + = { 10 + [ 0 ,1 ] } 0 + x { 10 + [ 1 , 0 ] } 2
2
2
2
1
1
2
2
¿ ( 1 0 2+ 0 2 1 ) + { [ 0 ,1 ] 0 − 0 [1 , 0 ]}
)*I+
1
( ⃗σ ∙ .⃗ )4 + 1 i)ħ ( ⃗σ ∙ ∇ϕ) (⃗σ ∙ .⃗ ) + 1 (−i) )ħ ( σ⃗ ∙ .⃗ ) ( σ⃗ ∙ ∇ϕ) )*8+ 2m 2 2
;!ser-e"os #ue en el lado derec%o de esta @lti"a e2presi$n, el tercer t?r"ino es el adEunto del se'undo, de "odo #ue la su"a de los dos es un operador %er"itianoT esto Eusti0ica la selecci$n de los coe0icientes con -alor Y introducidos en *I* or otro lado, o!ser-e"os #ue 010 ≡ ( ⃗ σ∙⃗ . ) ( E & −)ϕ ) ( σ⃗ ∙ ⃗. )
¿
1 ( σ⃗ ∙ ⃗. )4− )ħ ⃗σ ∙ ( ∇ϕ× ⃗. )− 1 ) ħ2 ∇2 ϕ 2m 2
)*+ 13
u!stituyendo en *5 y utilizando *6, se deduce el l("ite no relati-ista de la ecuaci$n de irac en un ca"po electro"a'n?tico:
( E & − )ϕ ) 1=
[
2
]
)ħ 1 ⃗ ∙ H − 13 2⃗ . 4 + )ħ2 2⃗ σ ∙ ( + ϕ × ⃗. ) + ) ħ2 2 +2 ϕ 1 σ . 2− ⃗ 2m 2 mc 8m c 4 m c 8m c ⃗
)*1+ ara un electr$n li'ado a un áto"o, se puede %acer una esti"aci$n de la "a'nitud relati-a del pri"er t?r"ino )< cin+ respecto al se'undo t?r"ino )< "a'n+ en el lado derec%o de *1, o!teniendo as( −9 la conclusi$n de #ue Em23! ≅ 10 H E ci!
cuando el ca"po "a'n?tico H se e2presa en
Gauss, de "odo #ue en la práctica se tiene sie"pre
Em23! ≪ Eci!
T por esta raz$n se o"itieron en
*1 dos t?r"inos de un orden de "a'nitud "ás pe#ueQo #ue el t?r"ino < "a'n retenido* >a"os a analizar cada uno de los t?r"inos #ue aparecen en el se'undo "ie"!ro de la ecuaci$n 1 2 1 4 . y 3 2⃗ . ⃗ 2m 8m c
*1* os t?r"inos
son id?nticos a los #ue aparecen en el l("ite no
relati-ista de la ecuaci$n de lein7Gordon* a ecuaci$n de irac proporciona ade"ás los si'uientes t?r"inos: −)ħ σ ∙ H ⃗ , #ue representa la interacci$n de "o"ento "a'n?tico intr(nseco de la part(cula, 2 mc ⃗
)eOP."c+&, con el ca"po "a'n?tico e2terno H *
)ħ 2
4m c
2
( )( ) ⃗ ( dϕ dr
1
r
σ ∙ r × p ⃗)= ⃗
)
dϕ ⃗ ⃗ ( 4 ∙ L ) 2 m c r dr 2
2
Hue representa la interacci$n entre el esp(n y la $r!ita* 2
Al t?r"ino
)ħ ∇2 ϕ se le conoce co"o t?r"ino de arZinV )K +* Cuando 2 2 8m c
potencial colo"!iano, este t?r"ino es proporcional a este t?r"ino está dado por
⟨ |6 | ⟩ !5m
⃗ l, pues para 58 1, !5m ( 0 )= 0 *
7
!5m
ϕ
es el
" ( r ) * A pri"er orden, la contri!uci$n de
* e "odo #ue K s$lo es rele-ante para los estados
Ricardo Reyes Garza Materia: Mecánica Cuántica Grupo: 8165 UNAM, Facultad de Ciencias '. (uentes de in)or$ación
1* i!o00, R** Introductory Quantum Mechanics. 4[
15
