MB-2-Vectores y Matrices - R. F. G.

=> C = p ( l , -3) S i A = B + C «=* ( 3 , 0 ) = s<4 , -3) + p(l , -3) <=> -f 3 = 4s + P L 0 = -35 - 3p

R e so lv ie n d o el siste m a o b te n e m o s :

c

7 j

, 1)

r= s = 1

C

Enton ce s, en (1) : B = (2 , 5) + (3 , 1) = (5 , 6) <=> B(5 , 6) —¥ —> —> <=> A M = M B

R e so lv ie n d o el siste m a de e cu a cio n e s obtenem os, s = 1 y p = - I

J

r

E je m p lo

L u e g o : B - M = r (3 , 1) «=> B = (2 , 5) + r (3 , 1)

>

FIGURA 1.37

M e s punto m edio d e A B

L u e g o : B = (4 , -3) ■=> 11 B 11 = V(4): + (-3)- = 5 C = -<1 ,-3> = <-l ,3 ) => ||C II = V (-l)2 + (3)2 = V IO

c=> M - A = B - M => A = 2 M - B

■

=> A = 2(2 , 5> - (5 , 6) = (-1 , 4> c * A ( -l , 4) P e s punto m edio d e C B

Ejemplo

8 J

<=> C P = P B => P - C = B - P <=> C = 2 P - B >=> C = 2(4 , 2) - (5 , 6) = (3 , -2) = * C (3 , -2)

E n la F igu ra 1.36 s e tiene un e x á g o n o re gu lar c u y o

lado m ide a unidades. S i II V, II =|| V 2I| = || V 3|| = 11 V 4 11 = 11 V s 11 =

!

a , hallar 11S11, d o n d e . S =

Ejemplo

10

J

El punto P (-3 , 1) e s un vértice del rom bo P Q R S , tal que P Q = (4 , 2) y el lado P S s e h a obtenido del lado P Q m ediante un giro

V 1 + V 2 + V J + V 4 + V 5.

de 6 0 9 en el sentido antihorario. Hallar los d e m á s vértices del rombo.

Solución. V, = V 4 y V 2 = V, p or se r p a ra le lo s y Solución. S i a e s el á n gu lo de dirección del vector

de la m ism a m agnitud, dirección y

— »

sentido. E n to n c e s : S = 2 V, + 2 V, + V £

P Q = (4 , 2 ), e n to n ce s , T g a =

o 4

i

= —

L

de d on d e s e tiene : S e n a = 1V5 y C o s a = 2/V5

FIGURA 1.36 T ra sla d a n d o e sto s vectores a un siste m a d e ejes rectangulares (F igu ra 1.36a) se tiene

a (C o s

90°, S e n 90°) =

a <0 , I)

V: =

a (C o s

60°, S e n 60°) =

a (1/2 , V3/2)

V5=

a (C o s

180°, S e n 180°) =

Luego : S = =

=> Q = (-3 , 1) + (4 , 2) = (1 ,3 )

:

V, =

e s el vector de p osición del punto Q, por lo qu e : Q(1 ,3 ) P o r se r la d o s de un rom bo :

11 PS 11= 11 PQ 11 = V(4y + (2)2 = 2 V5

—> S e a u un vector unitario en la dirección de P S c u y o á n gu lo

a (-1 , 0)

2a (0 , 1> + a (1 , V3) + a (-1 ,0 ) a (0 , 2 + V3> => 11 S11 = a(2 + \Í3)

S i P Q = Q - P = (4 , 2) ■=> Q = P + (4 , 2)

de dirección e s a + 60°, e n to n ce s : ■

FIGURA 1.38

u = ( C o s ( a + 60°), S e n ( a + 60°)>

Cos(a + 60°) = Cosa CosftO" - Sena Sen60”= A )(4 ) ' (^=)(^r) = -jf (2- V3)

(1)

34

Capitulo 1: Vectores en el plano

S e n ( a + 60°) = S e n a C os60° + C o s a S e n 6 0 " = (J L ) (JL) +

Luego, en (1 ):

u = ( ^ ( 2 - V3) ,

^

=

b) A = (3 , 2 ) , B = (2 , 4/3)

(i + 2 V3 )

(1 + 2 \Í3 ))

35

EJERCICIOS : Grupo 6

2.

D e m o stra r que s i A Ü C , B i C y C ? t O

3.

D e m o stra r que p ara ve cto re s no n u lo s A , A , , B y B, A

Ahora, si P S = 11 P S 11 u

=> S - P = 2>/5 ( y | ( 2 => S

+ 2 nÍ3)>

2 + 2V 3 )

vértice S <=* S (-l - V3 ,

<=>R

II A,

<=> A l

, 1/2)

B

. B l l B , y A I I B «=* A ,||B,

4.

D e m o stra r qu e si A y B tienen la m ism a dirección y sentido e ntonces

5.

S i A = (2 , 2m - 3) y B = (1 - m , -5 ), determ inar los va lo re s de m de m od o que

IIA + B ll

= (-3 , 1) + (2 - V3 , 1+ 2\Í3> = (-! - V3 , 2 + 2V3>

e s el vector d e p osición del C om o SR = PQ = (4 ,2 )

- V3) , ^y¡5 -(1

d) A = (4 , -2 ), B = (-1

=

II

A11 + 11 B 11

A y B s e a n paralelos.

- S = (4 , 2)

■=> R = (-1 - >/3 , 2 + 2V3) + (4 , 2) = (3 - V3 , 4 + 2\Í3) P o r lo que : R (3 - \Í3 , 4 + 2V 3 )

6. 7.

S i A = (m , 5) + (3 , 3 ) , B = 4(-m , -3) - 2(1 , 2 ) y A 11 B , hallar el valor de m. D a d o s los ve cto re s A = (a , 3m ) y B = (-2m , b) , hallar a

+ b tales q ue A + B =

(8 , -4) y s e a A 11 B.

ejemplo

11J

S i M ( 1 1/2 , 7/2), N (8 , 6) . P(9/2 ,13/2) y Q (2 , 4) s o n lo s p u ntos

8.

m ed ios de los la d os del trapecio A B C D y 11 DC11 = vT o , hallar 9.

los vértices del trapecio.

S e a n los ve cto re s A y B, tales que : A =

(a , 2a ) , A - B = (2a , p) , A

B y la

n orm a de A - B e s \ 112. Hallar la norm a de B. El vector A = (x , y) e s paralelo al vector B = (2 , 4), tal que u = (x/ \5 , y/\ 5) e s un vector unitario paralelo a a m b os. H allar el vector A.

Solución. Q N = N - Q = (8 , 6) - (2 , 4) = (6 , 2)

10. S e a n A y B d o s ve ctore s en R 2, tales que B e s el in ve rso aditivo de A. S i B tiene

U n vector unitario en la dirección de

el m ism o sentido que el vector C = (-1/3 , 1/4) y 11 A 11 = 5 , hallar X = A + 2 B , de Q N e s

u=

QN

(6 ,2 )

(3 ,1 )

I I q n II

V3o

Vio

11.

Hallar la n orm a de la s u m a de los ve cto re s unitarios u y v . s i u

C o m o D C II Q N ==> D C = 11 D C 11 11 = ( 3 , 1 )

12.

L o s v e c to re s A y B s o n ta le s q u e A e s del m ism o se n tid o q u e B = (1 , 3) y

D P = 1 D C «=> P - D = (3/2 , 1/2)

A

A

«=> D = P - (3/2 , 1/2) = (3 , 6) 13.

D Q = Q A ■=> Q - D = A - Q <=> A = 2 Q - D A n á lo g a m e n t e :

F IG U R A 1.39 A M = M B c=> B = 2 M - A = 2(11/2 , 7/2) - ( 1 , 2 ) = (10 , 5)

P o r lo tanto, los vértices del trapecio s o n :

14.

15.

Determ ine si lo s sig u ie n te s p ares de vectores s o n paralelos. C u á le s tienen el m ism o sentido y cu á le s sentido opuesto. a) A = (-8 , -7 ), B = (32 , 2 8)

c) A = (-3/2 , 3 ), B = (1/3 , -2/3)

\.

m II m . a| tio ln r Ov _ J ; U hallar el valor de 2 x - \ y 2

El punto P (2 , -3) e s extrem o del vector P R , el punto Q(1 , -2) alineado co n P y

Si A =

(a , b) y B = (1/2, - 4/3) so n d o s ve cto re s en R \ hallar a + b sa b ie n d o que

El vector C = (2 , -1) e s e x p re sa d o c o m o C = A + B , d o n d e los vectores A y B s o n paralelos a X = (3m , 4m ) e Y = (-3n , -n), respectivam ente, sie n d o m # 0 y n

6

Y

V40

11A11 = V73/3 y que A y B tiene se ntid o s op u e stos.

A(1 , 2) , B(10 , 5) , C (6 , 7) y D(3 , 6)

EJER C IC IO S : Grupo

_ / X = (-]==■, V40

R, dista de P la quinta parte de 11 P R 11. Hallar R.

Ñ C = B N «=» C = 2N - B = 2(8 , 6) - (10 , 5) = (6 , 7)

1.

A y v i B

sa b ie n d o q ue A = (4 , -3) y B = (-5 , 0)

16.

17.

* 0. Hallar A - B.

D a d o s lo s vé rtice s c o n se c u t iv o s de un p a ra le lo g ra m o A ( 7 , -1) , B (-3 , 1) y —> C (-5 , 5 ); determ inar el cuarto vértice y la longitud de la diagonal BD . E n la F igu ra 1.40, s e a O la intersección de las d ia g o n a le s de un cu a d ra d o A B C D . S i O e s el baricentro del triángulo isó s c e le s A P D co n 11AP 11 = 11 P D 11, —> hallar el vector NQ .

36

Capítulo 1: Vectores en el plano

18. S i M (9 / 2 , -3 ), N (2 , 6 ) , P(-7/2 ,9 ) y Q(-1 , -1) s o n lo s p u ntos m e d ios de lo s la d o s

TEOREMA 1.6 PROPIEDADES DEI. PRODUCTO ESCAIAR

del trapecio A B C D y 11AD 11 = \ 52, hallar lo s vértices del trapecio. 19.

20.

S i A, B y C s o n ve cto re s en R J y r e R e s un escalar, e nto n ce s

E n la F igu ra 1.41, A B C D e s un cu a d ra d o de lado 3a y A ' B ’ C ’ D ’ e s un cu a d ra d o

s e cu m plen las sig u ie n te s p ro p ie d a d e s :

de lado a , si la norm a de D 'D e s a, hallar el vector B ’P.

I’E, : A • B = B • A

—> S e a el triángulo A B C y s e a n M(1 , 9) y N (6 , 2) p u n to s m e d ios de los la d o s A B

P E , : r(A • B) = (rA) ♦ B

— ►

—)

~>

—> ..

-> , i

C onm utatividad A so cia tivid ad e sca la r

P E . : C • (A + B ) = C • A + C • B

y B C respectivam ente. S i A B M <1 , 1) y B C II <3 , 1), hallar lo s vértices del

Distribuidad

}

(A + B ) - C = A - C B * C

triángulo. 21.

37

Sección 1.8: Producto escalar de vectores

P .E 4 : A - A = | | A | | -> 0

D a d o s los ve ctore s A = el valor de a n +

(2a , 2 ) , B = (6 , n ) , C = (c , 3 n > , si A11 B I C, calcular

P .E C

c.

:

A

• A =0 «

A

M a g n itu d re sp e cto al producto e sca la r

=O

L a p ru e ba de e sta s p ro p ie d a d e s s o n m uy sim p le s, p or lo que d em ostrare ­ m o s la prim era y la cuarta, dejando c o m o ejercicio las d e m o stra cio n e s restantes. la prim era propiedad, s e a n A = (a, , a,) y B =

P a ra d em ostra r

<=> A • B =

(bt , 6,)

a p t + a,b2 = b xa x + b,a^ = B • A

P a ra la cuarta propiedad, s e a A = (a, , a , > , e n to n ce s A • A = • ( a , , a 2> = (a,)2 +

(a2)2

a 22)2 = 11A 112

= (Va,2 +

IN T E R P R E T A C IO N G E O M E T R IC A D E L P R O D U C T O E S C A L A R E N R : S e a n A y B d o s vectores y A - B (el vector que v a de B a A). S i A e s perpendicular a B , ocurre que la representación geom étrica de los vectores A , B

y

A - B e s un triángulo rectángulo, para los cuales, por aplicación del teorem a de P itá go ra s s e tiene que : ||a -

1.8 ) P R O D U C T O E S C A L A R D E V E C T O R E S

||2 = ||a ||2 + | I b I| j

b

=> (A - B ) • (A - B ) = 11 A 112 + 11 B 112 D a d o s los vectores A = ( a , , a,} y B = <6,, 6,), el producto e sca la r o interno de

, b 2> =

a p {+ a p :

( 10 )

I O B S E R V A C I O N E S 1.6 1.

*

a

-

a

*

b

-

b

*

a

+

b

-

b

= | I a ||2 + ||b I|2 (p ||b I|2

e

,)

(p e 4)

de d o n d e : -2 A • B = 0 ■=> A • B = 0 C o m o h e m o s establecido la condición de ortogonalid ad para A y B. e n to n ce s p o d e m o s dar la siguiente definición.

El producto e sc a la r de vectores e s u na op e ració n cu y o resultado e s u na e sca la r

DEFINICION 1.12 VECTORES ORTOGONALES

y no un vector. P o r ejem plo , si A = (2 , -3) y B = (4 , 1), e n to n ce s s e g ú n (10) A • B = (2) (4) + (-3)(1) = 8 - 3 = 5 2.

a

= * I| a ||2 - 2 A * b + ||b ||2 = ||a I I 2 +

A y B s e denota por A • B y s e define p o r : A • B = (a ,, a ) •

<=>

(P E J

S i A , B e R " , e n to n ce s

D o s vectores A y B s o n o rto go n a le s si y s ó lo si A • B = 0 (El vector nulo O s e co n sid e ra ortogonal al cualquier vector) S i e s el c a s o qu e A y B s o n a m b o s n o nulos, e n to n ce s s e dice que los vectores s o n orto go n ale s y a n o ta re m o s : A l

B <=> A • B = 0

(11)

38

Capítulo I: Vectores en el plano

39

Sección 1.8: Producto escalar de vectores

P o r ejemplo, si A = <1/2 , -3) y B = (-2 , -1/3), e n to n ce s s e g ú n (10)

TEOREMA 1.9 Desigualdad de Cauchy - Schwartz

A • B = (l/2)(-2) + (-3)(-l/3) = -1 + 1 = 0

S e a n A y B ve ctore s en R 2 , e n to n ce s s e cum ple

C o m o A y B no s o n nulos, e n to n ce s A 1 B

DEFINICION 1.13 E l vector A x P a ra c a d a vector A = (a, , a,) e R :, definim os un c o rre sp o n ­ diente vector A 1 e R 2 , que s e lee

ortogonal a A. m ediante

A 1 = <-a2 . a x)

(12)

II A II II B II | = II A 11 II B II ^

1.

IA - B I <

2.

IA

-B

A||B

D em ostración. 1.

S i A = 0 ó B = 0 , e n to n ce s s e nota claram ente q ue el teorem a e s válido. S u p o n g a m o s que A * O y B * O y c o n sid e re m o s la función p ara un núm ero r e R /(r) = 11 A + r B 112 = (A + r B) • (A + r B ) y ocurre qu e / (r) > 0 , V r e R

G eom étricam ente el vector A x s e obtiene h a cie n d o

D e sarro lla n d o (1) n o s dá el polinom io de s e g u n d o grad o :

rotar el vector A, so b re s u punto inicial, un á n gu lo

/(r) = (B • B )r 2 + 2 (A • B )r (A • A)

de 9 0 a en dirección contraria a las a g u ja s del reloj.

E n efecto,

C om p le ta n d o el cu a d ra d o para r s e tiene :

± A x >=* A • A x = 0 A • A x = (al , a :) • <- a 1 , a ) = - a ta : + a :a { = 0

S e verifica lu e go que si

(1)

A

/(r) = (B - B ) r n l ' 'L

« ^ 5 1 (B -B )

r+

(B -B )¡J

- < * ! § > : ♦ (A • A) (B -B )

= ( B . B ) ( r + A l | ) ‘ + ( A - A ) ( B - B ) - . ( A - B ); v 7V B •B / B •B o- u / v Si hacem os ( g = -

TEOREMA 1.7 D a d o s los vectores A = (al , a } y B = (b] , b ,),a m b o s diferentes de O, s e tiene que :

A •B ,/ , => / ( g = i ------------

(A • B )(B • B ) - (A • B ) 2/ox -------

bT~¿

C o m o / (r()) > 0 y B * B = | | B | | 2 > 0 , implica que

A 1 B => A l l B 1

(A • A ) ( B • B ) - (A • B ) 2 > 0 =>

(13)

(A • B ) 2 < (A • A ) (B • B )

<=> I A • B |2 < 11 A 112 11 B 112

D em ostración. E n efecto, si B = (6, , b,) , B * O c=> S u p o n g a m o s que b{* 0

* o y

=> I A - B | <

b ,* 0 2.

I A - B I = 11 A 11 II B || P ro b a re m o s que

A 1 B <=* A • B = ( a , , a 2) • ( b , , b2) =

a p x + a 2b2 = 0 <=> a, = -

a

h . a 2 , a 2) ' =

A =

i A=

-f

b

Bx

M

a

A||B « B | = | | a ||||B|| ■=> A 11 B

E n efecto, si I A • B I = 11 A 11 11 B 11 => (A • B ) 2 = 11A 112 11 B 112

2 P o r lo q ue :

s

|| A II llB | |

■=> (A • B ) 2 = (A • A ) (B • B)

<- b 2 , bt)

“i

Su stitu ye n d o en =>

= r B x => A l l B 1

(2) ocurre que : / ( r j = ; A + r0B I = 0 A + r,B = A - ( A l | ) B =

0 => A = r B ^

A || B

P ro b a re m o s a h ora q u e si A 11 B = > | A * B | = ||A|| 11 B I

TEOREMA 1.8 S e a n A y B d o s vectores en R :, a m b o s diferentes de O, entonces A | | B <=> A • B x = A x • B = 0

(14)

E n efecto, si A 11 B ^

A = i B

Luego, I A • B I = I (r B ) - B | = |r(B - B ) | = I r I

II B I I 2

= lr| 11 B 11 11 B 11 = ||rB|| ||B||

La demostración se deja com o ejercicio.

= l lAl l

II B ||

■

40

41

Sección 1.8: Producto escalar de vectores

Capítulo 1: Vectores en el plano

c * (A + B) • (A - B ) = 0

TEOREMA 1.10 D esigualdad triangular

o

S e a n A y B vectores en R :, e n to n ce s IIA + B ll <

II A

|| +

II B

A * A - A * B + B * A - B * B = 0

c * ||a ||2 -| | b ||2 =

||

^

o

Il A I I 2 =

Il A l l = II B II

M á s a ún : ||A + B|| = ||A|| + | l B | | s i y só lo si un vector e s un múltiplo e sca la r no negativo del otro. [

Ejemplo

j

3

D e m o stra r qu e : (A + B ) x = A 1 + B x

D em ostración. E n efecto : Dem ostración.

11 A + B 112 = (A + B ) • (A + B) = ||a I I 2 + 2 A *

b

+ ||b I| 2

E n ton ce s:

.

< | | A | | 2 + 2 | A - B | +|| B ||2

( A • B < |A • B |)

P o r la definición 1.12 :

A + B = (a, + 6, , a, + ¿>2> (A + B )x = <- a, - 6 ,, a, +

2|I A

11

II B II

b t)

= (r a 2, a l) + (-b 2 ,b l)

P o r la d e sigu a ld a d (1) del teorem a de Schw artz. s e sig u e que 11 A + B 112 < 11 A 112 +

(bt , b2)

E n efecto, s e a n : A = (a, , a,) y B =

+ 11 B 112

(A + B )1 = A 1 + B x

< ( l l A l l + 11 B 11 )2 Extrayendo la raíz cu ad rada en a m b o s m iem bros obtenem os lo d eseado, esto e s :

II a + b II í 11a 11 + IIb II

■

( Ejemplo

4 ]

D e m o stra r q ue si A, B y C s o n ve cto re s en R :, e n to n ce s el vector V = ( B x • C ) A - (A x • C ) B e s paralelo al vector C.

D em ostración.

-í EJEM PLO S ILUSTRATIVOS )

P o r el teorem a 1.8 s a b e m o s que A 11 B <=>A 1 * B = A * B J- = 0 =>

1

V x •C = =

[ (B 1 • C ) A - (A-1 • C ) B ] 1 • C [ ( B 1 • C ) A X - (A 1 • C ) B X] • C

(Ejem plo 3)

= ( B x • C ) ( A X • C ) - (A x • C ) ( B X • C ) E je m p lo

1 ]

P o r lo tanto, s i V x * C = 0 t = > v | | C

D e m o stra r qu e : | | A + B | | 2 = ||A||2 + | B | | 2 + 2 A * B

D em ostración. E n efecto : 11 A + B

112 = (A + B) • (A + B )

(PE,)

I| 2 = ||a ||2 + ||b ||2 + 2 A *

b

[

Ejemplo

5 J

■

S i i = (1 , 0) y j

= (0

, 1), resolver la ecua ción

2( (1/2 , 6) + ix - x ) = j x - 2 x x

(PE,)

(PE,)

= A * A + B * B + 2 A * B b

■

(P E 4)

= A • (A + B ) + B • (A + B) = A *A + A *B + B * A + B * B

||a +

(PE,)

Solución. S e a el vector x = (x, , x 2) , e n to n ce s

( p e 4)

2( (1 / 2

,

6>+ (1 , 0>x -

= (0 ,

( x , , x 2> )

1>X

- 2( x,

, x /

c=> (1 , 12) + ( 0 , 2> - 2 ( x , , x , ) = ( - 1 , 0 ) - 2 ( - x , , x, )

=> (2 , 14) = 2(x, , x,) - 2(- x 2 , x,) E je m p lo

2

D em ostración.

J

D e m o stra r que A + B y A - B s o n o rto go n ales <=> 11A11 = I ! B11

D e m o stra re m o s prim ero la ortogonalidad E n efecto, por hipótesis : 11A11 = 11 B

I = * | | A | | 2 = ||b H 2

<=> ( 1 , 7 ) = (x + x , , x, - x ) <=> \

*

X| + X-’

1 7 = x, - x, R e so lv ie n d o el sistem a de e c u a c io n e s ob ten e m os : x, = -3 , x, = 4

<=> IIa I|2-I| b I|2= o

x = (- 3 , 4)

•

■

=> (A + B ) • (A + B ) = 0 P o r tanto, s e g ú n (11), A + B y A - B s o n ortogonales. A h o ra d e m o stra re m o s la igu ald ad de las m agnitudes. E n efecto, por hipótesis , A + B y A - B s o n o rto go n ales

[ Cjemplo

6j

Sean A , B e

R:, d em ostrar

A + B e s ortogonal a A - B.

que si 2 A X

- B = 2 B X - A,

e nto n ce s

42

Capítulo I: Vectores en el plano

D em ostración.

E n efecto, si 2 A X - B = 2 B X - A <=> A - B = 2 (B X - A 1)

(1)

Ejemplo

10]

D a d o s tres ve ctore s unitarios a . b y c que satisface n la co n d i­

A p lica n d o el ortogonal a ca d a m iem bro de (1) s e tiene :

ción a + b + c = O. H allar el valor d e a * b + b * c + a * c

(A - B )1 = 2 (B X - A Y ; pero c o m o , (A + B )1 = A x + B 1 y (A 1)1 = -A <=> A 1 - B x = 2(-B + A ) , de d ond e : 4 (A - B ) = 2 (A X - B 1) S u m a n d o (1) y (2) o b te n e m o s : 5 (A - B ) = O P o r lo tanto,

(2)

Solución. S i a + b + c = O >=>

=>

(a + b + c )2 = O-

c=> 11 a 112 + 11 b 112 + 11 c 112 + 2a • b + 2b • c + 2a • c = 0

«=> A - B = 0

(A + B ) • (A - B ) = (A + B ) • O = 0

43

Sección 1.8: Producto escalar de vectores

(A + B ) _ L ( A - B )

■

C o m o a, b y c s o n unitarios >=>

i + i + l + 2 ( a * b + b * c + a *c ) = 0

< = > a *b + b * c + a * c = - 3 / 2

E je m p lo

7 ]

Hallar la norm a del vector B = (- 3m , m), sa b ie n d o q ue ha sid o d e sc o m p u e sto en el vector A = <- 5 ,3 ) y en otro vector paralelo

Ejemplo

11 ]

D a d o vector B

= (2

, 3) y la función f

■

:R:=* R /( P) = P •

B. El

vector A e s tal que / (A ) = -16 y A 1 1 C = (1,2). C a lcu la r 11A11.

al vector C = <1 , 1)

Solución. S i B = m(- 3 , 1> <=> I B 11 = I m I V(-3)2 + ( l) 2 = I m IV ÍO

(1)

Solución.

S i / (P) = P • B <=> /(A ) = A • B t=» A • B = -16

<=> A = r C = r ( l ,2 ) <=> 11 A 11 = |r| V5

A 11C

y si B = A + r C <=> m<-3 , 1) =-<-5 , 3) + r <1 , 1)

A • B = -16 c=> r (1 , 2 ). <2 , 3) = -16 <=> r(2 + 6 ) = - 1 6

Multiplicando escalarm ente, ca d a m iem bro por (1 , l) 1 , s e tiene :

P o r lo tanto, en (1 ):

m(-3 , 1) • <-1 , 1) = (-8 , 3) • <-1 , 1) + r <1 , 1> • <-1 , 1>

(1)

r = -2

11A 11 = 2V5

■

<=> m(3 + 1) = (5 + 3) + r ( 0 ) , de d o n d e : m = 2 P o r tanto, en (1), s e obtiene lo d e se a d o : 11 B

I = 2V k I

■

Ejemplo

12 J

D a d o s lo s ve ctore s A

=

(m , 3p) y B

=

<-2p , n) , calcular la

norm a de A - B 1 , sa b ie n d o q ue A + B = (8 , -4) y A • B 1 = 0. E je m p lo

8^j

S i A = (-6 ,1 5), B = (-2 , 9 ) y C = <- 2 m , 3 m ) y s e s a b e q ue X + Y = A , X II B e Y

,,

, .

.

.

.

m - 2 p = 8 c = > m = 2p + 8 K ^ L 3p + n = -4 <=> n = -3p - 4

.

r

II C ; hallar X • Y x

y si A • B 1 = 0 «=> (m , 3p) • <-n , -2p) = 0 <=>-m n - 6 p : = 0 <=> m n = - 6p:

Solución. S i X 11 B => X = t<-2 , 9 ), y si Y 11C «=> Y = m<-2 , 3) L u e g o si X + Y = A

„ ,

Solucion. S i
=> t<-2 , 9> + m<-2 , 3) = (-6 ,1 5 )

(1)

U s a re m o s un m étodo m á s directo para calcular i y m.

t<-2,9> • < - 3 , - 2 > + m ( 0 ) = < - 6 , 15) • <-3, 2) »

t=

=1

Luego, en (1) y (2) ob ten e m os : m = 6 y n =

[Ejem plo

13

J

P a ra calcular m , m ultiplicam os escalarm ente la ecu ación (1) por (-2 , 9)x t(0) + m(-2 , 3) • <-9,-2> = <-6, 15) • ( - 9 , - 2 )

=> m =

(2) (3)

Su stitu ye n d o (1) y (2) en (3) s e tiene : (2p + 8) (-3p - 4) = - 6p2 , de d on d e , p = -1 1, e n to n ce s , A = (6 , -3) y B =

P o r tanto , A - B A = <6 , 3) - <1 , 2) = <5 , -5) => 11 A - B x 11 = 5\Í2

P a ra calcular t , m ultiplicam os escalarm ente la ecu ación (1) por <-2 , 3)x

(1)

S i a y b s o n vectores tales que 11 a 11 < 1

(2,-1) ■

y l l b l l < 1.d e m o stra r

que V t g [0 , 1 ] , 11 a + t (b - a) 11 < 1

D em ostración. E n efecto , si 11 a + t(b - a) 11 = 11 (1 - t)a + i b ! | ,e n to n c e s p or la

9~ -2) = 2

d esigu a ld a d tria n g u la r: L u e g o , X = <-2 , 9) y Y = (-4 , 6) «=> X • Y x = (-2 , 9) • (-6 , -4) = -24

■

l l a + t (b -a )| |

< 11(1 -t )a II + l l t b l l

=> 11 a + t(b - a) 11 < 11 - 1 1 11 a 11 + E je m p lo

~^T)

S i A + B + C = O y | | A l| = 2 , 1i B 11 = 5 , 11 C11= 8; hallar A - B

Solución. A + B + C = O => A + B = -C <=>

A + B l

0
- l < - t < 0 ^ o ^ l - t < l

P or hipó te sis : | | a | | < l <=> ( l - 1) 11 a 11 < I - 1 , co n t

= 11 -C 11

E le v a n d o al cu a d ra d o a m b o s m ie m bro s s e tiene :

11 b 11 < 1 <=> t | | b | | < t ,

||A||J + 2 A - B + | lB | | : = ||C||: c= > 4 + 2 A - B + 25 = 64 <=> A • B = 35/2

11 1 11 b 11

C o m o t e [0 , 1] , e sto e s , t > 0 => 111 = t , => 11 - 11 = 1 - 1 ,

*

I

co n t * 0

P or lo tanto , en (1) p o d e m o s escribir ■

11 a + t(b - a) 11 < ( I - 1 ) + t <=> 11 a + t(b - a) 11 < 1

■

44

Ejemplo

Capítulo 1: Vectores en el plano

14

D em ostración.

J

45

Sección 1.8: Producto escalar de vectores

D e m o stra r que si A + B = ( 11 B 11 , | | A | | ), e n to n ce s A e s

E F = 11 E F 11 (C o s 120°, S e n 120°) = 5 (-1/2 , V3/2)

ortogonal a B.

C D = 11 C D 11 ( C o s 240°, S e n 240°) = 4(-l/2 , -V3/2)

P o r hipótesis : A + B = ( | | B ! | , | ! a I | ) , e n to n ce s m ultiplicando

L u e g o : S = (3 , 0> + (-5/2 , 5V3/2) + (-2 , -2V3> = (-3/2 ,

e scalarm e nte ca d a m iem bro por si m ism o, s e tiene :

\Í3/2>

S • U = i (-3 , V3> • 2(1 , V3> =

-3 + 3 = 0

(A + B ) • (A + B) = < 11 B 11, 11A 11) • (| | B | | ,| | a ||) <=* 11 A + B

= * | | a ||2 + 2 A de d o n d e o b t e n e m o s :

Ejemplo

15 J

! : + I j A 11:

•' = 11 B b

(P E 4 y Producto escalar)

+ |! b I|: = ||b ||- + ||a ||2

A -B = 0 o

A 1

B

-

■

D a d o s los vectores A y B tales que A - B * O , d em ostra r que: l l Al l - IIB II llA-B


D em ostración. S i e scrib im o s ! A ! = || ( A- B) + B I , e n to n ce s por la d e sig u a ld a d tria n g u la r: | | A | | < | | A - B | | + | | b | |

=> l l Al l - I I BI I < I I A - B l l B

C o m o I ! A - B ; I e s positivo , e n to n ce s :

(1)

< I

A- B

Ejemplo

17 )

A n á lo ga m e n te si e scrib im o s : 11 - B 11 = 11 - B + A - A 11 y dado que

11 - B i I= 11 B 11 => l l B i l <

<=> IIBII

II A - B || + | | -A - II A || < || A - B

Multiplicando por -1 s e tiene : H a | | - | | B | | > - | | A - B | |

D e (1) y (2) se s ig u e que : -1 < A - B

^

Ejemplo

16

^

||

Solución. E n el A D E F : D F = D E + E F

||

<=> ^ A ^ - 11 B| I > A- B

<1 o

B A- B

^ (2)

/,/^ E 5 r O

„=

12

B >X >

V.

13

FIGURA 1.45

E n to n c e s : D E = 3 u = ( y j . -j-^) E F = "> u 1 = 2 /- — . — \ = /- — —) ¿ \ 13 1 3 ' ' 13 ’ 1 3 ' P o r lo tanto , en (1 ): D F = ( | | . | | )

Ejemplo

^

Solución. T ra sla d a m o s los se g m e n to s A B , C D y E F so b re un siste m a cartesiano de m od o que s u s puntos iniciales coincidan co n el origen. E n to n c e s A B = 11 A B 11 ( C o s 0o , S e n 0°) = 3 (1 , 0)

A

+ (-

, ||)

= (2 , 3>

IlÉ F il = 5

S i S = A B + C D + E F y U = ( 2 , 2v3> , hallar S • U

— ^ ^

F A. 2

(1)

I l Ó A l l = V (5 )- + (12)’ = 13 —) U n vector unitario en el sentido d e O A e s :

<1

vértices de un triángulo equilátero inscrito y los se g m e n to s A B , —> —> C D y E F s o n ta n g e n te s a la circu n fe re n cia ta le s q u e IIC D ll = 4 ,

k

m o s e m uestra en la Figu ra 1.45. Hallar el vector D F

E n la F ig u ra 1 .4 4 , A . C y E s o n p u n to s c o rre s p o n d ie n te s a

_J|A B || = 3 ,

r

tra so b re un plano inclinado c o ­

= 11 (A - B ) + (-A) 11

<=> ||B||

. ,

U n triángulo D E F de e n c u e n ­

18J

E n la F igu ra 1.46 , m (<£ A B C ) = 9 0 - y 1 1 O B II = 3. Hallar el valor de x , si : x

=

ó b

-

ó c

+

ó a

-6

b

-

ó a

*6

Solución. E n la figura d ad a s e tiene : O C = O B + B C

c

46

Capítulo 1: Vectores en el plano

S i P S = P B + B S c=> P S = 2<1 , 1) + 2<-l , 1) = <0 , 4)

=> x = O B • (O B + B C ) + O A • Ó B - O A • (Ó B + B C )

- I | 6 b I|- + 6 b - bc + ó a *ó b - ó a *6 b - 6 a *bc = 11OB 112+ BC • (Olí - ÓA) = 11<5b 112+ BC • ÁB Como BC1AB c=* BC • AB = 0 .% x = 11 OB 112 = (3)2 = 9

47

Sección 1.8: Producto escalar de vectores

U n vector unitario en el sentido de P S e s : v = —

= <0 , 1)

E n to n c e s : R S = 2 v = (0 , 2) y S T = 2 v 1 = (-2 , 0>

■

Ejemplo

21 ]

FIGURA 1.46

E n la F ig u ra 1.49, A B C D e s un cu a d ra d o y A B E un trián­

gulo equilátero. S i A (4 , 9) y C ( 6 , -5), hallar el vector

Ejemplo

19 J

e xtre m o s A (-6 , 1) y C (-2 , 8). S i lo s la d o s d e m a y o r longitud tienen elm ism o sentido del vector S = (2

Solución.

V

S e a A B C D un rectángulo, u n a de c u y a s d ia g o n a le s tiene por

Solución. S i C A = A - C = <4 , 9> - <6 , -5)

, 1 ) , hallar lo s vértices B y D.

Á C = C - A ■=> A C = <-2 , 8) - <-6 , 1> = <4

,7 )

= DE + AB

=> C A = (-2 , 14) I I c a I I = V(- 2)2 + (14)2 = 10 V 2

S i Á B || S c=> Á B = r<2 , I> II D A || = 11C A || C o s 45° = 10V2 (1/V2) = 10 —) U n vector unitario en el sentido de C A e s :

lie 11 S x => B C = t<-l , 2) D a d o que : A C = A B + B C ■=> < 4.7 > = r<2, l ) + t < - l ,2 )

u=—

D e donde ob ten e m os : r = 3 y t = 2 —► Luego, s i : A B = 3<2 , l) = <6 , 3 ), e n to nce s B = A + A B = (-6 , I) + (6 , 3> = (0 , 4)

| | ¿ a ||

= — ’ l4 ^ = ¿ J - lI} ^ I0V2

5^/2

-^

„ í - ¿ L id }

FIGURA 1.49

5>/2

1

M e s punto m edio d e C A <=> M = -y (A + C ) = <5 , 2>

B (0 , 4) M D = ||MD|| ir1 = 5^2

B"C = Á D = 2(-l , 2) = (-2 , 4)

(' 7 ’ 5V2

= ( - 7 , - 1 ) <=> D = M + ( - 7 , - 1 ) ^

D = (-2 , 1>

T a m b ié n : M = - ± - ( B + D) ==> B = 2 M - D = 2(5 , 2) - <-2 . 1) c=> B = <12 , 3> Á B = B - A = <12 , 3> - <4 , 9) = <8 , -6>

Ejemplo 20 ]

E n la Figu ra

1.48

, los triángu­ U n vector unitario en el sentido de A B e s : v = —

los O C B , P B S y R S T s o n to—) d o s ellos sem ejantes. Hallar R T si P y R s o n p u ntos —) —) m e d io s de O B y P S , respectivam ente.

11 P E 11 e s la altura del triángulo equilátero A E B c=> 11 P E 11 = 1 0 (V3/2) = 5^3

Solución. L a F ig u ra 1.48 m u e stra tres triá n g u lo s

L u e g o : P E = 11 P E 11 v 1 = 5 V J

llA B lI

10

= V3 <3 , 4)

rectángulos isó sce le s, en d on d e : 11 O B 11 = 4>/2 y

II S

i l = V (2 \'2 )2 + (2V2)2 = 4

U n vector unitario en el sentido de O B e s : u=

J£^4>

V2

4^

y

• '

Luego : PB = 2V2 u = 2(1 , I ) , B S = 2V2 u 1 = 2<-l , 1)

P = -i- (A + B) = <8 , 6) => E = P + \Í3<3 , 4) = <8 + 3>/3 , 6 + 4>/3) D E = E - D = <8 + 3V3 , 6 + 4\Í3) - <-2 , l> = <10 + 3>/3 , 5 + 4V3> V = D E + Á B = <18 + 3^3 , -1 + 4^3)

5

48

Capítulo I: Vectores en el plano

Ejemplo 22 ]

r

E n la Figura 1.50, A B C D

a) (A x)x = - A

Yi k

b) A 1 • B = - A • B 1

e s un trapecio, el A A D B e s isó sc e le s ( 11AD 11 = 11 B D 11) y el A B D C

Bo — —

e s rectángulo en D y tiene la h ip o te n u sa B C

/ ^

de longitud 10V2 unidades. S i el á n gu lo B C D

/

mide 3 7 9 (co n sid e rar T g 3 7 9 = 3/4), B (-2 , 4) y —> D (4 , -2 ), hallar el vector A C .

—

3 7 °V ^

4.

f

k X

Wy

<1 , - 1)

A y B tienen el m ism o sentido

D e d u cir de la d e sig u a ld a d triangular qu e si A y B e stán en R 2, e n to n ce s A + B II

<11 A II + 11 B 11

V2

triangular)

D e m o stra r q ue si A y B s o n ve ctore s parale los en R 2 , e n to n ce s | A - B | = 11 A 11 II B II

<1 . O

7.

E n el triángulo rectángulo B D C : 11 D C II = 11 B D 11 C o tg 37° = 6 \ 2 (4/3) = 8V2

S i A y B s o n ve ctore s en R 2 , d em ostrar que a) l A - B ^ - l < || A II II B II b) | A - B X I = II A || II B ||

8>/2 (

II

(S u g e re n c ia : escribir A = B - (B -A ) y aplicar la d e sigu a ld a d 6.

<6 , - 6)

6 -ñ

ux =

I «

I l l A l l - 11 B 111 £ II

J FIGURA 1.50

II BD II = \'(6): + (-6): = 6V2

D C = 11DC 11

d) 11 A 1 11 = I I A

D a d o s lo s ve ctore s A y B en R : , d em ostrar que :

b) 11 A + Bl I = 11A 11 + 11 B 5.

A

u=

B

'° i

Solución. B D = D - B = (4 , -2) - (-2 , 4) = <6 , -6)

Un vector unitario en el sentido de B D e s :

.

c) A 1 • B 1 = A •

a) A • B = - I I A || II B II <=> A y B tienen sentido o p u e sto s

D V

49

Ejercicios de ¡a Sección 1.8

<=> A 1 B

) = 8 (1 , 1) 8.

S i D C = <8 , 8) <=> C - D = <8 , 8) <=> C = <4 , -2) + <8 , 8) = <12 , 6)

A = C , ni q u e A = O

B C = C - B = <12 , 6) - <-2 , 4) = 2<7 , 1) BC U n vector unitario en el sentido de B C e s : v = . II B C II

2 < 7 ,1 ) < 7 ,1 ) _ 5^2 10^2

El A A D B e s isó s c e le s , e n to n ce s : 11 A D 11 = 11 B D 11 = 6V2

D e m o s tra r m ed iante un co n tra e je m p lo q u e A • B = B • C no im plica ni que

9.

A •B D e m o stra r q ue el vector V = B - „ . A , e s p erpendicular al vector A IIA II2

10.

D e m o stra r q ue A + B y A - B s o n perpe n d icu lare s si y só lo si 11A 11

= 11B 11.

11.

S i A = <2 ,-3 ) , B = <-2 , 1) y C = <3 , 2 ) , hallar un vector unitario ortogonal al vector V = 5 A - 3 (B + C).

y c o m o A D 11 B C => A D = 11 A D 11 v = 6V2

= j

<7 , 1) 12.

A D = D - A => A = D - Á D = <4 , -2) - y <7 , 1) = <-22/5 , -16/5) A C = C - A = <12 , 6) - <-22/5 , -16/5) = <82/5 , 46/5)

E J E R C IC IO S : Grupo 1.

13.

S i u y v son, ve ctore s unitarios y parale los , hallar la norm a de ir 1 + v

14.

S i a , b y a + b s o n vectores unitarios , hallar la norm a del vector a - b

15.

S i A = <1 , x ) , B = <2x , x) y C = <2x , -1), en d ond e x e s un núm ero real; hallar la s u m a de los elem entos del conjunto M = {(x , y) I (A - C ) • B = A • C - 1}

7

S e a n A y B vectores en R :. Utilizando las p ro p ie d a d e s del producto e sca la r

S i A = <4m , m - 3) y B = <2 , m + 3 ), hallar lo s v a lo re s de m tales que A s e a perpendicular a B.

16.

S e a n A , B e R 2 , a m b o s unitarios, d em ostrar que 11

17.

S i m e R y u = ( m - 2 , 5 - 3 m ) e s un vector unitario , hallar el valor

d e m o s t ra r:

A +

B 11

<1 de

11 m (u + 2 u 1) + 2 u 1 11 a) ||a +

b

||2 -| | a -

b) ||a +

b

||2 + ||a -

b b

I|2 = 4 A *

b

||2 = 2 ( I |

a

I|2 + ||b ||2 )

18.

S e a n los v e cto re s A = 0 y A • B = - 1 0 , hallar la n orm a de A + B.

2.

D e m o stra r que los vectores A y B e n R ! s o n ortogonales, si y só lo si

11A

+ b

I|2=

||a||2 +

IIb ||2

19.

S e a n lo s vectores A . B y C tales qu e 11A 11 = V 2 6 , 11 B 11 = 3V2 y B • C = 12. S i A = B - C , hallar la norm a de C.

3.

D a d o s los vectores A y B en R : , dem ostrar que :

50 20.

Capítulo 1: Vectores en el plano

r

S i 11 A 11 = V2 , 11 B 11 = 2 y A • B = 1/4 , h a lla r la s lo n g itu d e s de lo s v e c to re s 2 A - 3 B y 4 A + B.

21.

S e a n los ve cto re s A =
51

Sección 1.9: Angulo entre dos vectores

B = (4/m2 , 4/m) , d o n d e m * 0 e s un

R ELA C IO N ES EN T R E V E C T O R E S

>

n úm ero real positivo. S i A y B s o n o rto go n a le s , hallar V = 9 B - 4 A 22.

S i ¡ = <1 , 0) y j = <0 , 1 ), resolver p ara x 3(-2 , -3)x + 1 [ x +

23.

S e a n lo s

f 1 . 9 ) AN GULO EN T R E DOS V E C T O R E S

\L - <3 , -1) ]x = (5 , 2)1 - 2 X 1

vectores A , B y C tales q ue A

S e a n A y B d o s v e c to re s n o n u lo s q u e tienen el m ism o o rig e n y s e a ,11B I i= 2 ^ 5 y 9e [0 , 7C] el m e n o r d e lo s á n g u lo s p o sitiv o s fo rm a d o p or s u s re sp e c tiv o s v e c to re s

= B + C , IiA

II

= 5

+ 1 ), d o n d e x

>0 y

si (A + B ) • C =

B * C = 1 0 ; hallar ||C ||. 24.

S i A = (2

de p osición norm ales, c o m o s e ilustra en la Figura 1.51. El teorem a siguiente m u e s ­

, x ) . B =
tra c o m o calcu lar este á n gu lo m ediante el producto escalar.

A • B + 1 , hallar el vector V = A + B + C. 25.

H allar los va lo re s de m para que lo s ve cto re s

TEOREMA 1.11 Angulo entre dos vectores

A = (m + 3 , 2m - 4} y B = (m - 1 , m + 1> s e a n paralelos. 26.

S i 0 e s el ángulo entre d o s vectores no n ulo s A y B, en to n ce s

S e a O A B el triángulo c u y o s vértices s o n O = <0 , 0 > , A = (-8 , 0 ) y B = (0 , 6). S i —> —> O M e s la altura relativa al vértice O, hallar el vector O M .

27. S e a el rectángulo A B C D

C o s 0 = ----- -----------11A 11 11B II

de áre a 4 8 u2 y c u y o s d o s vértices c o n se c u tivo s so n

A (-2 , 5) y B (2 ,1). S i la d iago n al A C tiene el m ism o sentido del vector v = < 5 ,1 >,

D em ostración. E n efecto , los ve ctore s A , B y

hallar los vértices C y D. 28.

S e a n A (3 , 2) y C (1 0 , 6) vértices o p u e sto s de u n a p arale logram o A B C D . S i s e s a b e q ue

11 B D II = V5 y 111 B D 11 - 11 (-2 , 4) 111 = 11 B D + <2 , -4) 11,hallar

los

—) —) —> E n el cuadrilátero P Q R S , s e a n a = P Q , b = Q R , c = R S y si s e s a b e que : 11 a +

30.

b 11 =

32.

7,

||c|| =

3y

||di|

d

—> = S P . Hallar

y \

11A 11 , 11 B 11 y

c • d,

= 5

'

u e s un vector unitario y A . B s o n ve cto re s cualesquiera, dem ostrar que : (A • u )(B • u) + (A • ux)(B • ir 1) = A • B ( S u g e re n c ia : co n sid e ra r u = ( C o s a , S e n a ) . A = (a} , a 2) y B = (b, , b2) ) -4 S e a A (6 , 2) uno de los vértices de un A A B C . S i A B tiene la m ism a dirección y —> sentido que el vector (1 , -2) y A C tiene la m ism a dirección y sentido qu e el vector (3 , 4) tal que 11 A B 11 = 3 \ 5 y 11 A C 11 = 1 0 . Hallar el vector A M , si A M e s

V 8 \

/

U s a n d o p ro p ie d a d e s del producto escalar, p o ­

O

-----------------------i b A

FIG U R A 1.51

d e m o s reescribir el prim er m iem bro co m o

11A - B 112 = (A - B ) • (A - B) = (A - B ) • A - (A - B ) • B

b) C = (A • B)BL - ( A 1 • B )C

Si

\

* y y

|| A - B 11.

| | A -B | | 2= ||A||2 + ||B||2-2||A ||||B||C os0 (1)

S i A = (-3 , 5) y B = (4 , -3 ), hallar la norm a del vector C , s i : a) C = (A + B ) • (A - 2 B ) B X

31.

triángulo c u y o s la d o s m iden

P o r la ley de lo s c o s e n o s , te n e m os

vértices B y D. 29.

r

la diferencia A - B form an un

= a - a - b * a - a - b + b - b = ||a | | 2 - 2 A * b +

I| b II2

que sustituido en (1) n o s lleva a | |a||2 - 2 A * b + ||b||2 = ||a||2 + ||b||: - 2 ||aI| I I b li c o s e Cos 0 =

A »B

(15)

Il A ll I I B I I I Nota. Si se conoce el ángulo entre dos vectores, entonces reescribiendo el Teorema 1.11 en la forma

la m ed ian a del triángulo trazada d e sd e el vértice A. A •B = I A

B :¡ C o s 0

obtenemos una forma alternativa para calcular el producto escalar.

(16)

52

Capítulo 1: Vectores en el plano

53

Sección 1.9: Angulo entre dos vectores

Solución. S i (A - B ) 1 A => (A - B ) • A = 0

EJEM PLO S ILU STRA TIV O S^

=> A - A - B - A = 0 <=> 11 A 112 = A • B U s a n d o la form a alternativa del producto e sca la r te n e m o s : |! A 11 - = 11 A 11 || B || C o s 30° «=> I I A II = I I B || C o s 30

Ejemplo

1

J

Hallar el valor del á ngulo qu e form a el vector

A que

v a de P (4 ,

P o r lo qu e :

4^3 = 11 B

I (V3/2) «=> 11 B 11 = 8

■

5) a Q (6 , 4), con el vector B que v a de S (-3 , 1 ) a T(-2 , -2).

Solución. A = P Q = Q - P = (6 , 4) - (4 , 5> = (2 , -l> => || A i | = \ 5

Ejemplo

5

J

L o s ve cto re s A y B form an un á n gu lo de rc/6 radianes. S a b ie n ­ d o qu e 11 A11 = \ 3 y 11 B 11 = 1 , hallar el á n gu lo entre los vecto-

B = S T = T - S = <-2 , -2> - <-3 , l> = <1 , -3> «=> II B || = nTÍÓ

res U = A + B y V = A - B. L u e g o , por la fórm ula (1 5 ):

Cos 8 =

* 11 ’ (V5)( nOÓ)

= 1±J 5V2

= _L V2

Solución.

E n c o n se c u e n c ia , 0 = 45°

H a cie n d o u s o de la fórm ula (16) te n e m o s : A • B = 11 A 11 11 B 11 C o s 30° = (VJ) (1) (V3/2) = 3/2

■

U • V = I | U II II V i l C o s 0 = * (A + B ) • (A - B ) = 11 A + B 11 11 A - B 11 C o s 0

Ejemplo

2 j

Hallar el norm a del vector D , sa b ie n d o que A y -B form an un á n gu lo de 6 0 9 . D = A + B , 11A 11 = 3 y 11 B 11 = 5.

‘

■=> 11A 112 - 1 1 B 112 = V 11A + B 112 11 A - B 112 C o sQ ____________________ ^

Solución. S ¡ D = A + B < = > | | d | | = | | A + B | |

(V 3)2 - ( l) 2 = n/( 11A 112 + 2 A • B + 11 B 112) ( 11 A 112 - 2 A • B + 11 B 112) C o s 0 c=> 2 = V[ 3 + 2(3/2) + 1] [ 3 - 2(3/2) + I] C o s 0

=> IId || 2= | | a | | 2+ 2 A - b + | | b | | 2

de d on d e :

C o s 0 = 2/V7 => 0 = are C o s(2 / V 7 )

■

Ahora, u sa n d o la form a alternativa del producto e s c a la r , s e tiene :

IId ||: = | | a II: + 2| | a ||

11b 11 C o s 0

+ | | b || 2 i

= (3 )2 + 2 (3 )(5 )(l/ 2 ) + (5 )2 = 49

II D || =7

Ejemplo

6

J

■

L o s ve c to re s A . B y C fo rm a n sa b ie n d o que [ I A

11 =

4 , 11B

I

dos a

d o s un á n g u lo d e 6 0 9 , !I

= 2 y

C 11 = 6 , deter

norm a del vector V = A + B + C. C alcu lar A • B. d on d e A y B

Solución.

i= > | | v

s o n v e c to re s de la F ig u ra

C

||2 = ||a ||2 + I| b ||2 + ||c I I 2 + 2 A *

|2 b

+ 2 A *

c

+ 2B*

c

C om o el á n gu lo entre lo s vectores A y B . A y C . B y C e s d e 60°, e n to n ce s

1.52, para lo s cuales. 11 A 11 = 4 y 11 B 11 = 2\\3 S o lu c ió n .

S i V = A + B + C <=> ||V||2 = | ÍA + B +

S i 0 e s el á n g u lo q ue form an a m b o s

1IvI|2= ||aI|2+ | | b| | 2+ | | c | | 2+ 2(IIa|| 11b11 +I|aII 11c114-11bII IIC11) Cos60° = 16 + 4 + 36 + 2 ( 4 x 2 + 4 x 6 + 2 x 6 ) (1/2)= 100

vectores, e nto n ce s :

I I V I I = 10

■

0 = 90°- (12°+ 18°) = 60° Luego, h acie n do u s o de la fórm ula (16) s e tiene : A *B = | |

a

|| I I b II C o s 0 = (4) (3 V 3 )C o s 60° A • B = 4V3

Ejemplo 7

J

L o s vectores A y B tienen igual longitud y form an un ángulo de 60®. S i la longitud d e A + B e s 4 u n id a d e s m ayo r que la longitud

■

de uno de ellos, hallar la longitud de A.

Ejemplo

4 J

Solución. L o s vectores A y B form an entre si un á n gu lo de 3 0 9 y la norm a de A e s \4 8 . Hallar la norm a de B sa b ie n d o que A - B e s p er­

p endicular al vector A.

Si

A -B

=||A|| ||B|| C o s 0 y 11 A 11 = 11 B 11 c=> 2 A • B = 11 A 11 -(1)

A d e m á s :||A + ||a ||2 + 2 A *

b

B|| = 4 + 11A 11 , e le va n d o al cu a d ra d o s e tiene

+ ||b ||2 = 16 + 8 II A II + 11A 112

54

Capítulo J: Vectores en el plano

T e n ie n d o en cuenta (1) , resulta que: d e d on d e : H

a

I|2 - 4 | | a I| -8 = 0

Demostración.

3 I I A I I 2 = 16 + 8

«

55

Sección 1.9: Angulo entre dos vectores (<=>)

P ro b a re m o s prim ero que ¡ ' A + B

i =1

E n efecto, p or h ipó te sis 0 = 120° e s el á n gu lo entre los vecto­

11 A 11 = 2 ± \ 4 + 8

res A y B. E n to n c e s :

/. II A || = 2 + 2^3

| | a II2+ IIb I|2+ 2 A * b = IIa II2+ I| b | | 2 + 2|I a II I I b I I

l l A + B ||2 = C jc m p lo

8

)

S i el vector A = <-\ 8 , \5 0 > gira

C osG

= 1 + 1 + 2 (1)(!)(-1/2) = 1

4 5 s en el sentido horario, s e

11A + B 11 = 1

determ ina el vector B = (x , y). Hallar x + y

(<=)

D e m o stra re m o s a h o ra q u e A y B form an un á n gu lo de 120°

Solución. C o m o ||B|| = ||aI| <=> V x : + y ’ = \ 8 + 50

E n efecto, por hipó te sis : l l Al l = | | B| | = | | A + B S i 11 A + B 11: = 1 «=> 11 A 112+ 2 A • B C o s 0 + 11 B 112 = 1

c=> x : + y 2 = 58 S i:

■=> (1 )2 + 2 11 A 11 II B II C o s 0 + ( I ) 2 = 1 1 + 2(1)(1) C o s G + 1 = 1 => C o s G = - 1/2

V2 _ <-2V2 , 5V2) • (x , y)

A- B

C o s 45° =

Il A l l I I B I I

(\5 8 ) (V58)

de donde obtenemos : y = - i (2x + 29)

(2;

FIGURA 1 53

Cjemplo

11

que sustituido en (1) da : x : + 4x - 21 = 0 <=> x ='-7 ó x = 3

[

Elegimos x = 3 por cuanto el lado terminal de B está en el primer cuadrante. Luego, en (2) se tiene : y = 7

hallar lo s vectores A y B.

x + y = 10

■

]

S e a n A y B ve ctore s en R 2 , A e s un vector unitario, la su m a de los c o m p o n e n te s de B e s 31 y el m áxim o valor de A • B e s 41;

Solución. S e a n lo s ve cto re s

A = (x, , y,) y B = < x , , y,>

S i A - B = 11 A11 ||B|| C o s 0 , y c o m o | | A11 = I y C o s 0 e [ - 1 , 1 ] , el valor

[ Ejemplo

de A • B se rá m áxim o c u a n d o C o s 0 = 1 , lu e go :

E n el c u a d r a d o d e la F ig u ra

A • B = 11 B 11 *=> 41 = V x,2 + y,2

1.54, el lado m ide a unidades. Hallar el valor del á n gu lo 0, si P y T s o n p u ntos que

A d e m ás,

trisecan los la d o s del cuadrado.

Su stituye nd o (2) en (1) s e tiene :

Solución. C o m o P y T s o n p u n to s de trise cc ió n ,

de d on d e o b te n e m o s :

en to n ce s : O P =

P or lo que,

(a , a/ 3) y O T = (al3 , a)

S i C osG = — = P P

OT

<=> C o s 0 =

2a 73 (a^W 3)-

FIGURA 1.54

Cjemplo ^

tores e s de 1 20 9

41 = Vx,2 + (31 - x,)2

x,2 - 31x, - 360 = 0 <=> x, = 40 ó x, = -9

ó y, = 40

<=>

B = <40 , -9)

ó

B = <-9 , 40) 1

(3)

4 0 x ,-9 y ,= 4 l

(4)

9x, + 40y, = 41

(5)

D e (3) PI (4) se tiene A = <40/41 , -9/41), y de (3) fl (5) : A = <-9/41 , 40/41 )

! 10 j

(2)

■

5

0 = are C o s (3/5)

ejemplo

(1)

y, = 31 - x 2

y si A . B = 41 ■=> x, x, + y, y, = 41 =>

(a , a/3) • (al3 , a) = 2a:/3

IIOPlI IIOTlI

y, = 9

^

D a d o qu e el vector A e s unittario e n to n ce s :x,2 + y,2 =

L u e g o : 11 OP11 = 11ÓT11 = Va2 + (a/3): = f \ K) OP • ÓT =

x, + y, = 31

12 ’

J

S e a n A y B y C v e c to re s en R J. S u p o n e r q u e 11 A 11 = 1 , 11 B 11 = 1 y l l c l l = 4 . S i 11A - B + C 11 = 11 A + 2 B + C 11 y el

S e a n A y B vectores unitarios en R :. D e m o stra r q ue la s u m a e s

á ngulo entre A y B m ide 4 5 9, hallar el c o se n o del á n gu lo entre vectores B y C.

un vector unitario si y só lo si el á n gu lo form ado por d ic h o s v e c ­

Solución. S i A • B = 11 A 11 11 B 11 C o s 0 = *

A • B = (1) (1) C o s 45° = V2/2

D e sarro lla n d o lo s c u a d ra d o s I! A - B + C |: = l ¡ A + 2 B + C l | 2, tenem os:

Capítulo I: Vectores en el plano

56 ||A||2 + H

b

||2 + ||C||* + 2 ( - A ’ B + A - C - B - C ) =

U n vector unitario en la dirección y sentido A N e s

M a I I : + 4 | !b I I 2 + I I c I I 2+ 2 ( 2 A Sim plificando s e tiene :

E je m p lo

13^

b

+

*

a

c

+ 2B*C)

v= j M - ü = IIa n II

||B||2 + 2 A * B + 2 B * C = 0

= * (1)2 + 2(V2/2) + 2 11 B 11 ||C || C o s 0 =

57

Ejercicios de la Sección 1.9

=> C o s 0 = - 1 +- V-2 O

• Coq0 =

■

=> V = ir v II v = (4VÍ3)

2\^3

U •v

II U l I

E n la Figu ra 1.55 , O A C B e s un pa-

_

1.

el c o se n o de 0.

=2(7,V3>

12(1 ,-2>/3) » < 7 ,V 3 ) _ j _

||V il

a/T3(6)

(4VT3)

EJE R C IC IO S : Grupo

ralelogram o. S i O C = (5 , 3 ) , B A = —) —) (-3 , 9) y 0 e s el á n g u lo determ inado por O A y O B 1 , hallar

2V13

"2 6

8

Hallar la m edida del á n gu lo entre los vectores A y B, si A va de P(2 , 5) a Q (4 , 4) y B va de S ( 3 , -2) a T (2 , 1).

Solución. S i B A = <-3 , 9} => A - B = (-3 ,9 )

(1) —) —) —> —) —^ O C = O A + A C , pero co m o A C = O B , e nto n ce s

2.

O C = O A + O B = A + B <=> A + B = (5 , 3> (2)

3.

D e (1) y (2) o b te n e m o s :

—) —> S i A B C e s un triángulo tal q u e A C = (4 , 1 ), A B = (-4 , -3 ), hallar el c o se n o del á n gu lo que form a el vector B C co n el vector unitario j = (0 , 1). “4 -4 E n un triángulo A B C s e tiene : A C = <-2 , 4) y A B = <3 , -1). Hallar el á n gu lo que —> form a el vector B C co n el vector unitario ¡x.

A = <1 . 6) , B = <4 , -3) -=> B x = <3 , 4) c o s8 =

4.

E n un triángulo A B C s e tiene : A B = (2V6 , 2 \'2 ) y A C = ( \ 6 , -V2). Hallar la —) m edida del á n gu lo form ado por B C y el sem ieje positivo de la s a b sc isa s.

5.

E n un plano cartesiano, los puntos A ( r , s ) , B(na + r , nb + s) y C (-m ¿ + r , rrw + s)

A ' B1 = < ' - 6 > ' < 3 ' 4> = -2 L II A || II B || (Vi + 3 6 ) (V9 + 16) 5V37

s o n diferentes del origen y m ^ O . n ^ O . Hallar la m edida del á n gu lo form ado

Ejemplo

14j

En el paralelogram o A B C D de la F igu ra 1.56, s e

por lo s ve cto re s A B y A C .

tie­

6.

ne: ||ÁB II = 6 , I I A D II = 4 , m (< A ) = 6 0 9; M y N so n p untos m e d ios de los la d o s A B y B C ,

7. C a lcu la r A • B . d on d e A y B s o n los vectores

respectivam ente. Hallar C o s 0 , s a b ie n d o que

d e la F igu ra 1.57 , p ara lo s cuales: 11A11 = 8

II U || = 6 y II V11 = 4 V l3 .

y IIB | | = \ 7 2

Solución. A D = 4 < C o s6 0 ° , Sen60°) = 2 ( 1 , V3)

m an un á n g u lo de 15 0 9 y q ue , 11 A11 = \!48 y

FIGURA 1.56 9.

D M = A M - Á D = (3 , 0) - <2 , 2^3) = (1 ,_-2V3>

V l3

A

(J

L o s ve cto re s A y B form an un á n gu lo de 609,

FIGURA 1.57

sa b ie n d o qu e ||A|| = 5 , | | B | | = 8 , hallar

U n vector unitario en la dirección y sentido de D M e s :

11 D M 11

Yi k B

II B II = 6

Luego, A M = i - Á B = (3 , 0> y B N = -y A D = <1 , \ f3)

O . - 2V3)

r

8. C a lc u la r 11 A + B 11 s a b ie n d o q u e A y B for­

Á B = 6 ( C o s O ° , SenO°> = 6 ( 1 , 0 )

DM

H allar el á n gu lo que form an el vector A que va de P(-1 , 3) a Q (6 , 4) con el vector B q ue v a de S ( 5 , -1) a T (2 , -5).

I I A + B l l y | | A - B ||.

u=

yíl3

A n á lo ga m e n te : A N = A B + B N = 6 (1 , 0) + (1 , V3> = (7 , V3)

l

2V3>

10. S e a n A , B y C ve ctore s diferentes de O, y su p u e sto q u e el á n gu lo entre A y C e s igual al á n gu lo ente B y C, p ara qu é valor de t e s el vector C p erpendicular al vector D = II B || A + tB.

Capítulo l: Vectores en el plano

58 11.

L o s v e c to re s A y B fo rm a n un á n g u lo d e 1 2 0 9, s a b ie n d o q u e i í A ! I = 3 11

12.

y

Sección 1.10: Descomposición de vectores 23.

U = (A • C ) B - (A • B ) C

Q u é condición d eb en satisfacer los ve ctore s A y B para qu e el vector A + B

El vector A = (x , y) s e obtiene giran d o 6 0 9 al vector B = <-2 , 4 ) en el sentido

S i l l A l l = a y l l B | | = ¿?, d em ostrar que el vector

C =

+

a +b

, b ise c a el

[1.10 ) D E S C O M P O S IC IO N D E V E C T O R E S ____________________

n/3 rad iane s , y la norm a de s u diferencia e s 2 - m ; hallar m.

T re s vectores A , B y C e R : satisface n las sig u ie n te s p ro p ie d a d e s : I ! A !! = I I C l l = 5 , 11 B 11 = 1 y 11A - B + C 11 = 11 A + B + C 11. S i el á n g u lo q ue form an A y B es

17.

D e m o stra r qu e si A y B s o n ve ctore s de igual longitud e n to n ce s el vector A + B

S e a n A y B d o s vectores no n u lo s tales qu e 11 A ■I = I i B 1 1 = m. S i el á n gu lo entre A y B e s

16.

24.

b ise c a el á n gu lo entre A y B y q u e A - B e s ortogonal a A + B.

án gu lo form ado por A y B. 15.

n/8 , hallar el que form an B y C.

S e a n los ve ctore s A y B en R J. S i d e sd e un punto de vista geom étrico un vector V del plano p o d e m o s expresarlo, en form a única, c o m o un a s u m a de c o m p o ­ nentes vectoriales r A y tB , q u e s o n m últiplos e sc a la re s de A y B : e n to n ce s s e dice que s e ha efectuado un a

riales parale los a los ve ctore s A y B (F ig u ­

el á ngulo entre b y c m ide 6 0 e, graficar el vector a + 2 b - 3 c y calcular s u

ra 1 .5 9 ), esto e s : V = r A + tB

E n el p aralelogram o A B C D de la Figura 1.58

El conjunto p = { A , B } s e llam a b a s e de R :,

s e tienen : |i AB11 = 3 , 11 A D 11 = 6 , m (< A ) =

para c a d a vector V e R :, y lo s n ú m e ro s r y t

6 0 9 , P y Q s o n p untos de trisección de los

s e llam an

la d os A B y B C respectivam ente. Hallar C o s 0 sa b ie n d o q ue 11 U 11 = 4 \ 7 y 11 V 11 = 3 \ 19 19.

descomposición del vector V en s u s c o m p o n e n te s vecto­

D a d o s los vectores unitarios a , b y c tales que el á n gu lo entre a y b m ide 3 0 9 y

longitud. 18.

, V = (A • C ) B - (B • C ) A

D e m o stra r q u e si U y V s o n perpe n d icu lare s , e n to n ce s : C o s p = C o s a C o s y

horario. Hallar el vector A. 14.

L o s á n g u lo s entre los ve cto re s no n u lo s B y C , A y C , A y B s o n a , p y y respectivam ente , y los ve ctore s U y V están definidos co m o

B 11 = 5 , d e te rm in a r, 11 A + B 11 y 11A - B 11.

bisecte al á n gu lo form ado por los vectores A y B. 13.

59

D a d o s tres vectores no nu lo s en R : , A , B y

componentes escalares de V en

relación a la b a s e p. S i ocu rre q u e lo s ve c to re s A y B s o n u n i­ tarios y o rto g o n a le s e n to n c e s al co njun to { A , B } s e le llam a

conjunto ortonormal.

C. S u p u e sto que el án gu lo q ue form an A y C e s igual al que form an B y C. D e m o stra r que C e s ortogonal al vector 11 B 11A - 1 A 20.

B.

L o s ve ctore s A y B form an entre si un á n gu lo de 6 0 9 y el m ód u lo de A e s 6. Hallar 11 B 11 para que A - B form e co n A un á n gu lo de 3 0 9.

21.

S e dice q ue u na b a s e p e

R* e s un a

base ortonormal si el

conjunto de ve cto re s A y B qu e la constituyen e s un conjunto ortonormal. A sí, la b a s e p = { A , B } e s una b a s e ortonorm al si ocurre que :

L o s vectores A y B form an un á n gu lo de 3 0 9 . 11A 11 = v 3 y 11 B 11 = 1. Hallar el á n gu lo que form an los vectores A + B y A - B.

22.

Definición 1.14 Bases ortonorm ales

A •B = 0 ó A •A = l

^------------------- —________ _ _________________________

El punto A (4 , 2) e s un vértice de un trapecio isó s c e le s A B C D , c u y a s b a s e s A B

Por ejem plo , c o n s id e r e m o s el conjunto de ve c to re s { A , B } , d o n d e A =

y C D m iden 10V5 y 4 \ 5 u n id a d e s respectivam ente. S i A B e s paralelo al vector

<4 , -2) y B = <3 , 6). E ste e s un conjunto ortogonal (A • B = 0) y e s por lo tanto una

U = (1 , 2) y el lado Á D e s paralelo al vector V = (-2 , 3 > , hallar los otros vértices

b a se de R :. S in em bargo, n o e s b a s e ortonormal, p u e s lo s vectores A y B no s o n

del trapecio.

unitarios. P a ra obtener un a b a s e ortonorm al b astará A s í , si

normalizar los vectores A y B.

Sección 1.10: Descomposición de vectores

Capítulo 1: Vectores en el plano

60

A || A || "

<4, -2)

<2, -1)

VJ6T4

V5

u _

B

2

I I B ||

’

_

(3 ,6 )

E n el ejemplo anterior s e vió que p = {u,, u ,} , d on d e

= (1 , 2)

V9 + 36

(2 , -1) u = - — --V5

V5

e n to n ce s el conjunto { u |f u,} constituye u na b a s e ortonorm al en R :.

-v V

(1 , 2) - - -

U =

2

V5

e s una b a s e ortonorm al en R 2. E sc rib a m o s el vector V

Indudablem ente existen m u c h a s b a s e s ortonorm ales en R 2, sin em bargo,

= (5 , - I) en térm inos de esta

base. P o r la e cu a ción (1 8 ), s e sig u e qu e :

u na b a s e ortonorm al de sin g u la r im portancia lo constituye la b a s e form ada por los

V = (V • u () u, + (V • o,)

ve cto re s unitarios orto go n ale s ¡ = (1 , 0) y j = (0 , 1). A sí, fijada la b a s e (3 = - i , j >, llam ada

61

u

base ortonormal canónica, ca d a vector V = (x , y) en R*. de origen O, s e =

escribe en térm inos de esta b a s e co m o V = xi + yj

( f

= 4 « , V5 1

E n efecto :

- i «,

>¡5

'

Tam bién, todo vector V e R : s e p ued e e xp re sa r co m o una s u m a de múlti­

V = (x , y) =
plos e sc a la re s de ve ctore s o rto go n ales no n u lo s que no s e a n unitarios.

= x < I , 0) + y <0 , 1) = xi + yj

En efecto , si

expresión analítica del vector V, en la cual lo s n ú m e ro s x e y s o n s u s componentes escalares y los ve ctore s xi e yj componentes vectoriales (Figura 1.60)

B

u = —— -

que e s la

y

B1 r i = —-----— = —— —

ux

I I B II

I I b -HI

v = ( v *—

—

, e n to n ce s en (18) s e tiene

II B II

+ ( v » - B X) —B1 .

[ II B I K I I B | |

\

IIbIIMIbII

que equivale a :

—

\

D efinición 1.15 COMUINACION LINEAL DE VECTORES_____________________

(19)

S i (3 = { A . B } e s una b a s e de R 2, e n to n ce s de dice qu e c a d a vector V e

R 2 e s una

combinación lineal de los ve ctore s de p , si existen los

n ú m e ro s s y t e R , tales que

EJEM PLO S ILUSTRATIVOS 1

V = s A + t B v _______________________________________ __________________________ :----------------------- y S e g ú n e sta definición , si la b a s e p e s ortonormal, todo vector V e R 2, p ued e e x p re sa rse m ediante u n a y só lo u na co m b in ació n lineal de un par d a d o de vectores unitarios orto go n ales u y

u ±. E s decir, existe u n a y só lo un a pareja d e e sc a la re s s y

(

fjcm plo

1

t tales que

)

D a d o los ve ctore s V = (-2 ,2 ) y B = < 3,1 ), e xp re sa r V c o m o una co m b inació n lineal de B y B 1.

V = s

u + t u1

(17)

L o s e sc a la re s s y t p u ed e n ca lcu la rse fácilm en­

Solución. S i B = (3 , 1) ■=> B x = <-1 , 3) y 11B 11 = VTo Luego, si a p lic am o s la e cu a ción (19) ob te n e m o s :

u y V • u x , p u e s si u • u 1 = 0 y u • u = u 1 • u 1 = 1,

te to m a n d o lo s p ro d u c to s e s c a la r e s V •

v "

2)

10<3'

0 )

(3 ■ ')

*

( <-2'

2> 1

0

' 3>) <-' ■3>

e n to n ce s en (1 7 ): V • u = s ( u • u) + t(u1 • ti) *=> s = V • u V •u1

^

= s ( u • u x ) + t(u 1 • u 1) => l = V • u 1

L u e g o , en (17) s e tiene el siguiente resultado

[ V = (V » u)u + ( V - u > x)

(18)

v = (:ÍL ¡ Í Í ) < 3 ' 0 +

C o m p ro b a c ió n : V = (- y

FIGURA 1.61

, - y ) + (- —

<-• • 3> = — ) = (-2 , 2)

<3 • I> + y < - l .3 ) ■

Capítulo I: Vectores en el plano

62

Ejemplo

2 J

E n la Figura 1.62 s e tiene

:

f p l l O X y | | Ó P II = 8

Sección 1.10: Descomposición de vectores A = 11 A 11 (C os60° , Sen60°) <=* A = <1 ,

n/3)

S i C = (0 , 8 ), los e s c a la re s de C = m A

+ nA1

—> —> —► S i O T = m O P + n O P 1 , hallar el valor m n.

m = C-A

(2)!

'

L a s co m p o n e n te s de O T s o n (x , x ) , p u e s IO B S E R V A C I O N

u s a re m o s la e cu a ción (19) para calcular lo s e sc a la re s m y p , esto e s

Ó T 'Ó P 1

1 1 A 112

(2)’ ■

V = s A + tB

(1)

S i ocurre que los ve ctore s A y B no s o n ortogonales, los

4(1 , 1) » 4 ( - l , V 3 ) _

}

1

mn

e sc a la re s s y t pueden

B • B 1 = 0 , e n to n ce s en (1) s e tiene :

8

A . A 1 = 0 + t B • A x c=> t =

Por co n siguie n te en (1) :

3 J

’

■ (-V5 . I) _ ,

ca lcu la rse to m a n d o lo s p ro d u cto s e s c a la re s V • A 1 y V • B x , p u e s si A • A x = 0 y

(4\/3 + 1): •

Ejemplo

C - A 1=(0 , 8)

p ued e e x p re sa rse de m ane ra única co m o

C o m o Ó T está e x p re sa d o c o m o u n a co m b in ació n lineal de ve cto re s orto go n ale s ,

(4V3 + 1y

son :

1.7 S a b e m o s , p or la Definición 1.15. q u e cualquier vector V e R 1

=> Ó t = <4 ,4 ) = 4(1 , 1)

4(1 , 1> * 4(^3 , 1)

A x = (-V3 ,l>

m - \ 5 n = 2V3 - >Í3(2) = 0

y = x. La ordenada de P e s y = 11 O P 11 Sen30° = 8(1/2) = 4

11 O P 112

y

= <0.8> • <1 .V3) = 2 = .

11A 11 -

Solución. Ó P = 11 O P 11 < C o s 3 0 ° , Sen30°> = 4 ( V J , 1>

ÓT •ÓP

63

V -A^ B • A1

;

V • B 1 = 0 + s A . B x ■=> s =

j^V = ( a T § x ) A

+

_¥_!_B^ A •B1

[ q ‘~ ^ i ) B )

(2 0 )

E n la F igu ra 1.63 s e tiene lo s ve c to re s A y B c o n 11A 11 =

f

' y4

2 \3 . S i B = s A + t A 1 , hallar el valor de s + t. [

Ejemplo

5 j

E n la Figura 1.65 s e m uestran los

Solución. A = 11 A 11 (C o s 60° , S e n 60°) = (V3 , 3)

vectores A, B y C, donde 11 A 11 =

L a s co m p on e n te s de B s o n ( - y , y ) , p u e s

á\

y = -x y c o m o y A = y B = 3 , e n to n ce s B = <-3 , 3). Luego, u sa n d o los e sc a la re s de la ecu ación (19) ten­

£

3 , 1! B || = 2 , 11 C 11 = 6 y a = 3 0 9. S i C = m A + n B ,

. J

V

FIGURA 1.63

d re m o s :

hallar m + \3 n .

Solución. L a s co m p o n e n te s de lo s ve ctore s m ostra ­ dos s o n :

s =

t=

B •A

<-3 , 3) •

11A 11;

(V 3 T 9 y

B •AJ

(-3 , 3) • (-3 . n/3)

3 -V 3 4 3 + V3

(V3 + 9 ) :

A = (3 , 0> , B = 2
}

y C = 6 (C o s 120° , S e n 120°) = <-3 , 3>/3) Si C = m A + n B , lo s e sc a la re s m y n lo ob ten e m os a

m =

C * BX A -B 1

Ejemplo

4 ]

= (-3 .3 V 3 ) • (-1 ,V 3 ) = 3 + 9 = ( 3 . 0 ) • <-1 , V3>

*3 m + \3 n = 5

S e a n lo s v e c to re s d e la F ig u ra n =

1.64, d o n d e II A|| = 2 y11C11 = 8 .

■

C • A± = (-3 , 3 n/3) • ( 0 , 3 ) _ 9V 3 _ , ^ B •A 1

S i C = m A + n A -1 , hallar el valor de m - \ 3 n

Solución.

FIGURA 1.65

partir de la e cu a ció n (2 4 ), e sto e s :

( n/3 , 1) . (0 , 3)

3

El á n g u lo de d irección del ve cto r A e s

Ejemplo

a = 180° - (90 + 30°) = 60° , lu e g o , si

FIGURA 1.64

6 j

Los segmentos orientados y la combinación lineal E n la Figura 1.66 , A B C D e s un paralelogram o. S i A F = J- A D y O

Capítulo I: Vectores en el plan a

64

E D = 5 B E , e x p re sa r E F c o m o com b in ación li­ r

7.

/IK /

El objetivo e s e x p re sa r É F en la for­ ma : EF = m A D + nA B

E n to n c e s en el A E F D s e tiene : ÉD = É F + F D

E n la F ig u ra 1.70 s e tiene los ve c to re s A , B y C , d o n d e 11A I = 2 \3 . S i C = m A + n B , hallar el valor d e m - n .

neal de A D y A B .

Solución.

65

Ejercicios de la Sección 1.10

v

■=> É F = É b - F D

A

F

u

8.

E n la F igu ra 1.71 s e tiene : A B 11OY y 11OA 11 = 4. S i O B = m O A + n O A x , hallar el valor de m - n.

9.

E n la F igu ra 1.72 ,

f/ ' e s u n a recta paralela al eje X y s e tienen los vectores A

y B en R 2 , d o n d e 11 B 11 = 3 \2 . S i A = s B + t B 1 , hallar s . t y l l A - B||.

J

FIGURA 1.66

(1)

D a d o que E D = 5 B E => É D = - | B D = - | ( Á D - Á B ) L u e g o , en (1) s e tiene :

EF =

( A D - A B ) - -=- A D

«=> E F = 4 - Á D - ¿ A B

6

6

FIGURA 1.70 10.

E JE R C IC IO S : Grupo

9

FIGURA 1.71

FIGURA 1.72

E n un tra p e cio A B C D , lo s la d o s p a r a le lo s A B y C D m id e n 9 y 3 u n id a d e s respectivam ente. S i M e s punto m edio de A B , N e s punto m edio de B C y M N = n A B + n A D , hallar el valor de m - n.

1.

11.

D a d o los vectores A y B en R ! , dem ostrar que

E n la F igu ra 1.74 s e tiene el p arale logra m o A B C D d ond e E e s punto de trisec­ ción de A B , H e s un punto tal que 3 D H = 4 H E. S i A H = m A D + n A B , hallar los

11 A 112 B = (A • B ) A + ( A 1 - B ) A A

e sc a la re s m y n. 2.

S i A y B s o n d o s ve ctore s en R : , d em ostrar que : 12.

I I a ! I 2 ||b I I 2 = (A • B ) 2 + ( A 1 • B ) 2 3.

Em p le e el resultado del Ejercicio 2 para d em ostrar qu e :

13.

II A 112 || B 112 > (A • B )2 4.

E n el p arale logra m o de la F igu ra 1.73 s e tiene : A E = E C y 4 F D = AF. S i E F = m A D + n C D , hallar el valor de m + n. E n la F igu ra 1.75 s e d an los ve cto re s A , B y C , d on d e 11 A 11 = 3 , 11 B 11 = 4 , 11

C 11 = 6 y

a = 6 0 9. S i C = m A + n B , hallar el valor de m + 2n.

E n la Figu ra 1.67 se tiene los vectores A y B . co n A 11 = 4. S i B = s A + t A 1 , hallar el valor de s + t.

5.

—> —>—> E n la Figura 1.68 s e tiene (X = 3 0 9 y 11 O M II = 12. S i O N = m O M + n O M 1 , hallar el valor de m + n.

6.

D a d o lo s ve c to re s de la F igu ra 1.69, hallar el va lo r

de n + V 3 m sa b ie n d o q u e

m A + n A x = C , sie n d o A un vector unitario y I i C ! I = 8

>C

V

FIGURA 1.68

\ FIGURA 1.69

14. S e tiene un trapecio e sc a le n o A B C D , c u y a b a s e m ayo r A D e s el doble de la b a s e m en o r B C . S e trazan la s d ia g o n a le s A C y B D que s e cortan en el punto P. S i B P + C P = m (B C + C D ) + n (C B + B A ) , hallar m + n. 15.

S e a A B C D un p a ra le lo g ra m o , tal q u e d o s la d o s no p arale lo s s o n A B = 3 u y A D = 6 v , d on d e u y v s o n vectores unitarios. S i P e s punto m edio del lado A D y E e s el punto de intersección de los s e g m e n to s A C y B P ; hallar en térm inos de u y v los ve cto re s A E y B E .

Capítulo 1: Vectores en el plano

66

Sección l . l l : Proyección ortogonal

67

P R O P IE D A D E S D E L A P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L

í l . 1 l ) P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L S e a n A y B d o s vectores y B * O. la p roye cció n ortogonal o co m p on e nte

1.

P ro y c (A + B ) = P ro y cA + P ro y cB

2.

P ro yB (rA ) = r P ro y BA

vectorial de A so b re B , denotad a por P ro y BA , e s el vector

Definición 1.12 Componentes Escalares (21 ) P ro y °A = ( i í i T r ) B

■

A •B Al núm ero j—^ j ■■ s e d en o m in a

° r ° )

componente escalar del vector

A en la dirección del vector B , sie n d o B * O y s e d enota p o r :

S i a p lic am o s la ecu a ción (21) a (19) , o b te n e m o s

(22)

A = P ro y BA + P ro y B ,A

C o m p °A = T í Í Í T

(23)

G eom étricam ente esta definición significa qu e s e p u e d e construir un triángulo rec­ tángulo cu y a hipo te n usa s e a el vector A y c u y o s catetos contienen a lo s ve ctore s

D ad o que

P ro y BA = (

P ro y BA y P ro y B A . (F igu ra 176).

) B

— B B

, s e p u e d e e sta b le c e r la relación

siguiente entre p royección (un vector) y co m p on e nte (un núm ero)

(V r o y BA = (C o m p aA )

(24)

S i C o m p s A > 0 , e n to n ce s la P ro y BA tienen el m ism o sentido de B. del m ism o modo, si C o m p BA < 0 e n to n ce s la P ro yBA tiene

sentido o p u e sto a B (Figura 1.77). P or

tanto, la co m p o n e n te e sca la r de un vector e s la longitud dirigida u orientada del vec-

R

tor. E sto e s , si - — B

e s un vector unitario , la e cu a ción (24) s e p ued e escribir •

C o m p BA = ± || P ro y A 11

(25)

El sig n o s e d e b e elegir se g ú n q ue B y P ro y BA te ngan o n o el m ism o sentido. A s í para | O B S E R V A C I O N 1.8

L o s vectores B y P ro y BA s o n p arale lo s de tal m od o que si el

los vectores de la F igu ra 1.77 s e tom a :

C o m p BA = - 1i P ro y BA 11

án gu lo 9 entre A y B e s a g u d o e n to n ce s B y P ro y BA tienen la m ism a dirección y sentido (Figura 1.76), en tanto q ue si 0 e s ob tuso e n to n ce s B y

Ejemplo

P ro y BA tiene la m ism a dirección y sentido o p u e sto s (F igu ra 1.77)

E je m p lo

1.

Solución.

Partiendo de la ecu ación (21) s e tiene :

) =

H allar la p ro ye cc ió n ortogonal y la c o m p o n e n te e sc a la r del vector A = (-3 , -4) so b re el vector B = <4 , -2)

Solución.

S i A = <12 , 5) y B = ( - 3 , 4 ) , hallar la P ro y BA

Proy=A = ( ) <’3 ' 4

2.

S i B = (4 - 2) P r° y eA = ( - ~3- ’

( -3 •4> =

f

’ ~2 )) (4 . -2> = - 1

(4 , -2) = (-4/5 , 2/5)

O b te n e m o s la co m p on e nte e sc a la r aplicando (2 3 ), e sto e s

<-3 ' 4>

E n este c a s o v e m o s que P ro y 0A y B so n parale los y tienen se n tid o s o p u e sto s.

B |= V 20 , lu e go , en la e cu a ció n (21) s e

I

r.nm n a - <~3 , -4) • (4 , -2) _ -12 + 8 _

2V 5

tiene :

Capítulo I: Vectores en el plano

68

Sección 1.11: Proyección ortogonal

f Ejemplo

C o m o la C o m p BA < 0 , la P ro y BA y B tienen se n tid o s op u e stos. ____________

-

3 )

2 V 5"

Solución. S i A + B = - (C + D ) => 11 A + B 11 = 11 - (C + D ) 11 c=> a = 11 C + D 11 E le v a n d o al cu a d ra d o s e tiene : a2 = 11 C 1 1 2 + 2 C • D + 11 D 112

C o m p BA = - 11 P ro y BAl I

2.

C o m p B(rA ) = r C o m p BA

a 2 = b2 + 2 C • D + c2 , de d on d e : C • D = \ (a2 - b2 + c2)

L u e go ,

P R O P IE D A D E S D E L A C O M P O N E N T E E S C A L A R C o m p c(A + B ) = C o m p cA + C o m p cB

S i A + B + C + D = 0 ,| | A + B | | = a ,| | C | | = 6 y | | D | | = c , hallar la C o m p cD

L a norm a de la p royección ortogonal e s : 11 P ro y BA I i = V(-4/5): + (2/5)- = — j -

1.

69

• '• C o m p ' D = ^

------------- f EJEM PLO S ILU STR A TIV O S]------------- ^

Ejemplo

4]

= ¿

(a ;- i: + c ! )

■

S i el vector B form a un á n g u lo de 3 0 9 co n el sem ieje positivo de las x , 11 B 11 = 2 , C o m p BA = -2 y C o m p B A = 2 ^ 3 ; hallar el

rector A.

Solución. S i B = 11 B 11 < C o s 30°, S e n 30°) = * B = ( V I , 1) P o r la e cu a ción (2 1 ): A = P ro yBA + P ro y B± A E je m p lo

1^)

-----------------------

L o s la d o s de un trián gu lo s o n lo s v e c to re s A , B y A - B. S i || A II = 5 ,

II B II =

3 y C o m p BA = -5/2, hallar la longitud del

<=> A = ( C o mp BA

)

+ (C o m p BlA )

+ ( 2VT) <1*

= (-2)

lado A - B.

Solución. S i C o m p BBA = - |

=>

TT^TT = * 7

’ de d o n d e

1 A = (-2V3 , 2)

A . B = - 15/2

y s i | | A - B ||2 = I I a | | 2 - 2 A - B + M b ||2 = (5 )2 - 2(-15/2) + (3) = 49 11 A - B 11- = 7

( Ejemplo

2 ]

-----------------------

Si A

= (-2 , \ 12) y

S e a el vector C = P r o y B A =

*

L o s la d o s de un triángu lo s o n lo s v e c to re s A , B y A + B. S i ||aII =

5 , 11 B 11 = 2 V2 y 11A + B 11 = n 53 , h a lla r:

0

2 C o m p BA - C o m p A(A + B )

Solución. S i I ! A + B l =: V53 V53 < <=> => II A 112 + 2 A • B + 1 1B i I = 5 .-1

- ¿9 —

(A + B ) * A | [A | —

Si A

2 C om p A - C om pA(A + B) = 5V2 - 7

(

Bx

II B x ||2 *

U y C 11V , e n to n ce s : U = <-1 , V3> y V = (1 , V3>

Cos 9 =

(jm

AII-+B-A = ---------- 5

hallar el á n gu lo form ado por los

c °[—

U ~V

Ilullllvll

Ml B ll) C o m p A(A + B ) =

= (-3 , \ 3 ),

El án gu lo entre U y V e s el m ism o entre A y C , por lo que :

c=£ (5 y + 2 A • /A-

B

vectores A y P ro y Bi A

Solución.

Ejemplo

5 ]

■

_ 25+10 _ 7 5 -

ije m p lo

6 )

= < - '■ >5) - (I ■ V3) = 1

(2) (2 )

2

^

~

9 = 60-

.

"

D a d o lo s p u n to s A (-1 , 3 ) , B (5 , 6 ) y C (7 , 5 ) ; si P d ivide al se gm e n to A B en la razón A P : P B = 2 , hallar la proyección del

vector A P so b re el vector BC.

Capítulo 1: Vectores en el plano

70

Solución. S e a el punto

P (x , y). S i

^

Ejemplo

= 2 ■=> A P = 2 P B

8

J

«=> P - A = 2 (B - P)

r « < x + l, y - 3 > = 2 < 5 -x ,6 -y > L u e g o , P(3 , 5) =>

o

|

= (k

, -2) y B

= (2 k

,k

+ 2 ),

d o n d e k e R.

d o s opuestos.

x = 3 y = 5

Solución. S i P ro y BA y B tienen se n tid o s o p u e s t o s , e n to n ce s C o m p BA < 0 , esto es, A- B

, -1 >

P ro y BCÁ P = ( A P * B C = ( (4 ’ 2)_ L Í - 2 ’ /BC M l B C l l 2' ' (V 4 T T ) j

S e a n lo s vectores A

Hallar los va lo re s de k de m od o que P ro y BA y B tengan senti­

A P = P - A = <3 . 5) - <-1 , 3> = (4 , 2) B C = C - B = <7 , 5) - (5 , 6> = <2

A h o ra :

x + 1= 10 - 2 x ■=> y . 3 = 12 - 2y «

71

Sección 1.11: Proyección ortogonal

<

0 , pero c o m o 11 B [ I > 0 , implica qu e : A . B < 0

IIB L ue go :

(2 , -1)

(k ,

-2) •<2k , k + 2) < 0 => 2k- - 2(k + 2) < 0 <=> k: - k - 2 < 0

=> (k + 1)(k - 2)

'

< 0«

(k + 1 < 0

k - 2 > 0) v ( k + l > 0

a

ak

- 2 < 0)

<=> (k < • 1 a k > 2) v (k > -1 a k < 2 ) P ro y B-cA P

[

E je m p lo

7J

= f< 2 ,-l>

S i A. B y C s o n vectores no parale los co n a) 11 P ro y c(A + B ) 11 <

■

C * O, d em ostra r que

[ E je m p lo

C = (-^ C

_ /A • C + B • C \

llcll

) C ♦ ( J ^ )

(0 ) v (-1 < k < 2) <=> k e < -1 , 2 >

■

S e a n los ve ctore s no nu lo s A. B e R : y r * 0. Estab le ce r el valor de verdad de las sig u ie n te s afirm aciones

*0

1.

E n efecto, de la definición de proyección ortogonal s e sig u e q u e :

a) P ro y c (A + B , =

9^]

i C o m p cA I + I C o m p cB !

b) P roy sC(rA + B ) = r P ro y cA + P ro yc B , V r , s e R , s

Solución.

»

C

C

1 l i e II

11 A x + B 11 = I I a -

b

MI

2.

P royA(P ro y BA ) = P ro y B(P ro y AB ) .=> A 11 B 1

3.

|C o m p A(A x + B) | < 11 B 11

4.

S i r > 0 ■=>C o m p g iA = - C o m p ^ A -1

5.

S i A + B 1 = A 1 + B «=> A = B

ó

11 A 11 = 11 B 11

Solución.

O b s é rv e s e que el p arénte sis del s e g u n d o m iem bro e s un nú m e ro real y q u e e s coeficiente de un vector unitario; luego, si n o rm a liza m os a m b o s m ie m b ro s de

1.

D a d o q u e 11 A 11 = 11 A x 11 •=>

11 A 1 + B 11 = 11 ( A 1 + B )1 !! =

e sta igualdad ob ten d re m os :

11 (A A)X + B x 11

= I I - A + B M I = ll( - l) (A - B x) 11 11

P ro y c
= |(-1)| II A - B ^ || = 11 A - B x 11 L u e g o , la afirm ación e s

Ahora, si a p lic am o s al nu m e rad or del s e g u n d o m iem bro la d e sig u a ld a d triangular

verdadera

p ara n ú m e ro s reales, te n d re m o s :

2. ProyA(ProyBA) l| P ro ^ ( A + B ) l l s 1

W

= Proy8(ProyAB ) «

+ 1 W

*] A = rtA -B XB-A ),

|| P ro y c(A + B) || < C o m p cA + C o m p cB

[-

*

- r

IIbII: IIaII:

(A ; ? i ; r v

A • B = 0 => A •B *0

=

O

P o r tanto , la afirm ación de

c + ( ^ ) c

= r P ro ycA + P ro y cB

<=>

■

3.

A 1 B =* A||BX A = B , lu e go 11A11 = || B iI

verdadera.

P o r la d e sig u a ld a d de C a u c h y - Sch w a rtz s e s a b e qu e :

7

°] B

f ( B . A ) ( A ; B)l B

La igu ald ad (1) s e cum ple si y só lo si

»

^

1 1 a 1 1 2 1 1 b 11-

Capítulo 1: Vectores en el plano

72

73

Sección 1.11: Proyección ortogonal

B E = 11 B E 11 ( C o s 300°, S e n 300°) = A • B I < I I a I I 11 B 11 «

J A lB j Il A l l

< || B 11

<=> ' A - A ^ A - B l

L u e g o . P ro y .-F C = ( ^

A • ( A 1 + B)

a

< 11 B i I

/BE

#

)

' 11 B E I I 2'

4.

C o m p Bi A = B

jy ~TT\ II B x II

B E = ( a <' ■ V

' ^ > ) a <, . . V5) a ! (iíT +3)!

1

verdadera

* per0 11 0 1 i I = I B

y A . Bx = - A1 . B

Ejemplo

P o r tanto , la afirm ación e s

J

E n la F igu ra 1.80 . C e s un vector unitario tal que C otg a

= 3 \ 3.

Solución. D a d o C o t g a = 3 V 3 y a en el IV cuadrante , e nto n ce s Sen a = - — U 2V7

verdadera.

B x = A x + B ■=> A - B =

12

S i A + V = A x , hallar la C o m p vC.

A x • (r B) 11 r B j y

<=> C o m p 0i A = - C o m p iBA x

Si A +

a <1 , - V 3 )

P ro y B-EF C = - | ( l , - V 3 >

Ai . R L u e g o : C o m p B A = -t c o m o r > 0 => C o m p B A = -

5.

BE =

<=>\ C o m p A( A x + B ) |< 11B 11

I I A II L u e g o , la afirm ación e s

2a (1/2 , - \Í3/2)

< | |B

y

Cos a =

2V7

S i C = ( C o s a , S e n a ) c=> C = ^ | <3^3 , -1)

Ax - Bx

«=> (A - B ) • (A - B ) = (A - B ) • ( A x - B x) o

(A - B ) • (A - B ) = (A - B ) • (A

- B )x (A •A x = 0)

=> (A - B ) • (A - B ) = 0

(A • A = 0 <=> A = O ) C o s 75° = C os(45° + 30°) = C o s 45° C o s 30° - S e n 45° S e n 30° = ^

<=> A - B = O c=> A = B L u e g o , la afirm ación e s

S e n 75° = Sen(45° + 30°) = S e n 45° C o s 30° + S e n 30° C o s 45° = ^ ( 1 + V3)

verdadera.

■

(\Í3 - 1)

t=> A = 11 A 11 ( C o s 75° , S e n 75°) = ^ | I A 1 1 /3 + 1) Luego , si V = A x - A => V = r (-VJ - 1 , V3 - 1) - r
C jc m p lo

10 j

D a d o el vector A = (-4 , 2) y P ro y Bi A - (-3 , 3 ) , su p u e sto que C o m p Bi A e s positivo , hallar la C o m p BA. Com p C =

Solución.

C. V II V i l

S i A = P ro yBA + P ro y a± A

(3V3 , - 1) . 2r (-V3 , -1) 2 r V3 + 1

2V7 7

«=> (-4 , 2) = P ro y BA + (-3 , 3) c=> P ro y BA = <-l , *l> D a d o que . C o m p BA = ± 11 P ro y BA C o m p BA = ±

I , e n to nce s :

+ ( *l); = ± >/2

E n la Figura 1.78 s e o b se rva que B y P ro y BA tienen Prov„ se ntid o s o p u e sto s , por lo q ue : C o m p 0A = - V2

E je m p lo

11 }

■

D a d o el e x á g o n o regular de lado

A

FIGURA 1.78

a (F igura 1.79), hallar la pro­

yección ortogonal de F C so b re B E.

Ejemplo

2a (1/2 , V3/2) = a (1 . V3>

E n la F igura 1.81 s e tiene : 11 A11 = 2 , A • B = \ 2 11 B 1 1 . S e a V un vector tal qu e B x + V = B y a el á n gu lo entre A y B. Hallar

Solución. F C = 11 r c 11 < C o s6 0 ° , Sen60°) =

1 3 ]

ProyvA.

Sección l . l l : Proyección ortogonal

Capítulo I: Vectores en el plano

74

Solución. A = 11 A I ! ( C o s 60°, S e n 60°) = <1 , V3)

[

Ejemplo

15^

La Figura 1.83 e s un trape­ cio rectángulo en d ond e :

B

Solución. 11 A 11 = V5: + 12: = 13

V2

11 H 11 = C o m p i C S i B = 11 B || ( C o s 105°, S e n 105°)

t=> B = V2 llB | | (1 - V 3 , 1 + V 3 > Í L || B II (-1 - V 3 , 1 - V3>

D|| = C o m p C = Il A l l

L u e g o , si V = B - B 1 => V =

. ”

P ro yA = K r°VvA

^

f-^ V -W l||v||-/

Il B II <2 . 2>/3> = ^

Il B II (1 , V3> = r (1 , V3)

O ■ r(l

= (< l ' ^ >m i , ^ )r < l,V 3 > V r: (V1 (V 1 + + 3)2 1 3)*

14 J

= .<-2 .3 ) » (5 , 12) 13

H

/ V

(¿

°

»

A

FIGURA 1.83 _

B 11 = 11 A 11 - 1| D || = 1 3 - 2 = 11 A re a del trapecio = i ( | | A || + ||B||)||H|| = | ( 1 3 + ll)(3 ) = 3 6 u -

= < 1 ,V 3 )

E je m p lo

Ejemplo

= — * A1 l l Al l

= ( - 2 , 3 ) . (-1 2 , 5) _ = 3 13

H ||

4

c=> B i =

á

A = (5 , 12) y C = (-2 , 3). Hallar s u área.

V2 11 B 11 = 2 1! B 11 C o s a , de d o n d e ,

=

A

r

S i A • B = 11A 11 11 B 11 C o s a , e nto n ce s

Cos a

75

1 6 ) El triángulo A B C e s is ó s c e le s , s ie n d o A ( 4 ,

E n el paralelogram o de la F ig u r a 1 .8 2 s e tie n e :

Solución.

el lado

desigual. S i P ro y e-cB A = (3 , -1) y P ro y A-cÁ B = f (1 , -7) , hallar 5

los vértices B y C.

D E = É C , m (3 B A D ) = 6 0 9. L a altura relativa a

10) y B C

S i P ro y -cÁ B =

j (l , -7) <=> A C 11 (I , -7 ),

la b a s e Á D e s h. S i el vector M = A B + A E - B D esto e s , 3 r e R | A C = r ( I ,-7 )

y V = P ro y Al M , hallar la norm a de V en función

c=> C - A = r ( l , -7)

de h.

Solución.

FIGURA 1.82

E n la Figu ra 1.82 s e tiene :

C om o B C = 2 B H «=> C - B = (6 , -2)

AE = AD + DE y BD = AD - AB

A B = B - A = (-2 , Adem ás :

= 2 Á B + D É = 2 Á B + -y A B = j Á B 5 /AB • A D \ II A D l l ~ 2 ' IIÁ D lr M •AD

/Il A B II

5

2\

II A D l l C o s 60°\ || A D l l

'

11

<=> B = (4 , 10) + r ( l , -1) - (6 , -2)

E n el

(2)

12) + r ( I , -7) - (4 , 10) = (r - 6 , 2 -7r)

A B ll = | | A C 11

<=> \( r - 6)2 + (2 - 7 r)J = r V i + 49

de donde , r = 1 , que sustituido en (1) y (2) o b te n e m o s : C(5 , 3) y B(-1 , 5)

de d o n d e ob te n e m o s :

(1 )

c * B C = 2 P r o y - B A = 2(3 , - I)

=> 8 = (-2 , I2 ) + r ( l , -7)

E

L u e g o , si M = A B + A E - B D «=> M = A B + ( A D + D E ) - (A D - A B )

<=> C = (4 , 10) + r (l , -7)

■

11V11 = -j 11 A B 11

A D H C : h = 11DC 11 S e n 60° = 11 A B 11 S e n 60°

••• l l v l l = t ( 2 r ) h = 5 r

=

h

AB

II =

e je m p lo

1 7 7 ) S e a n A (-3 , 2 ) , B , C (-1, 13) y D lo s vértices d e un rectángulo

tal que A C e s una de s u s d ia go n a le s y Á B e s ortogonal a (4 , -3). Hallar los vértices B y D.

Solución. S i A B 1 (4 , -3) implica que A B 11 ( 3 , 4 ) , e n to n ce s un vector unitario en

Sección I. / 1: Proyección ortogonal

Capimio I: Vectores en el plano

76

ÁB (3 , 4> la dirección y sentido de A B es: u = ■■■ _ - = — ^— * II A B II 5 A d e m á s , si A C = C - A

77

<=> r(3 , 2) = 2 (B - M ) <=> B = 1 <3r - 4 . 2r + 8)

(2)

C M 11T <=> M - C = t(-3 , 2) <=> C = (-2 + 3t , 4 -21)

(3)

N e s punto m edio de B C ■=> 2 N = B + C

«=> Â C = (-1 , 13) -<-3 , 2) = <2 , 11)

=>

2(4 , 2) =

\ (3r - 4 , 2 r + 8) + (-2 + 3t , 4 - 2t)

E n la Figu ra 1.85 s e o b se rva que A B = P ro y uA C de d onde : => Â B =

' l l u l l 27

u = (Â C ‘

r I6 = 3r + 6 t - 8 => r + 2t = 8

<=>

L u e g o : Â B = « 2 , 11) • (3/5 , 4/5» (3/5 , 4/5) = ( 6 , 8 ) Com o

<16 ,8) = <3r + 6t - 8 , 2 r - 4t + 16)

u

-{

8 = 2r - 4t + 16

r - 2t = -4

R e solvie n do el siste m a ob te n e m o s r = 2 y t = 3 , que su stitu ido s en (2) y (3), re sp e c­

B - A = AB

tivamente , e n co n tra m o s B = (1 , 6) y C = <7 , -2)

FIGURA 1.85

=> B = A + Â B = (-3 , 2) + (6 , 8) = (3 , 10)

S i A B = 2(3

S i M e s el punto de intersección de las d ia g o n a le s , e n to n ce s :

,2) => B - A = <6 , 4) => A = <1 , 6) - (6 , 4) = (-5 , 2)

Por tanto, lo s vértices del cuadrilátero s o n : A(-5 , 2 ), B(1 , 6 ), C(7 ,-2) y D(-4 , -4) ■

M = l ( A + C ) = (-2 , 15/2) T a m b ié n :

Ejemplo

M = -y (B + D) ■=> D = 2 M - B = (-7 , 5)

19

)

E n un triángulo A B C , M(-1 , 6) y N (7 , 1) s o n puntos m ed ios de los la d o s A B y B C re spectivam ente. A B e s paralelo al vector

P o r tanto , los vértices b u sc a d o s s o n : B(3 , 10) y D(-7 , 5)

V = (2 , 1) y P ro yAlgA B = y y ( 4 , 1). Hallar los vértices del triángulo.

f

Cjemplo

1 íT }

S e a el cuadrilátero A B C D tal qu e M (-2 , 4) y N ( 4 , 2) s o n p u ntos m ed ios de lo s la d o s Á B y B C respectivam ente ; D M e s paralelo

al ve cto r S = (1 , 4) y C M e s p arale lo al ve ctor T = (-3 , 2 ) y P ro y Al)D N =

(3 , 2).

M - D = s ( l ,4 ) <í => D = (-2 , 4) - s ( l , 4)

D Ñ = N - D = (4 , 2) - (-2 , 4) + s ( l , 4)

(1) 3

(1 )

A M 11 A B y Á B 11 V = (2 , 1) c=> 3 t e R |Á M = t (2 , 1 ) (2)

=> t<2 , 1) - r<4 , -1) = (-8 , 5) <=> { 21 ‘ 4 r = ' 8 ^ t+ r = 5 Resolviendo el siste m a ob ten e m os r = 3 y t = 2 Para r = 3 , en (1) s e tiene : A = (-5 , 4) M e s punto m edio de Á B => M = -L (A + B )

/DN • A B Ia b

MIÁB II1

c=> B = 2 M - A = 2 (-l , 6) - (-5 , 4) = (3 , 8)

(6 + s , -2 + 4s) • r<3 , 2) r: (\'9 +

L u e g o , N - A = r<4 , -1) <=> A = (7 , 1) - r(4 , -1)

(7 , 1) - r (4 , -1) = (-1 , 6) - 1(2 , 1)

Vi ‘ B

= (6 + s , -2 + 4 s)

f f < 3 , 2>=(

<4 , -1) => Á Ñ 11 (4 , -1) => 3 r e R I Á Ñ = r(4 , -1)

De (1) y (2) s e sig u e q u e :

(3 , 2) *=> Á B 11 (3 , 2 ), lu e go 3 r e R I A B = r<3 , 2)

D M 11 S => 3 s e R l D M = s ( l ,4 )

Si P ro y -Á B =

Por lo que , M - A = t(2 , 1) = * A = (-l , 6 ) - t ( 2 , 1)

Hallar los vértices del cuadrilátero.

Solución. S i P ro y -BD N =

Solución.

) r (3 , 2)

\\

l' 1/

4Ÿ

de d o n d e ob te n e m o s s = 2 , luego en (1) :

%

\

N e s punto m edio de B C => N =

\ (B + C)

= * C = 2 N - B = 2 (7 , 1) - (3 , 8) = (11 , -6)

D = (-4 , -4)

C om o M e s punto medio de A B <=> A B = 2 M B

°

[)

J

V.

FIGURA 1.86

Por lo tanto , lo s vértices del triángulo s o n : A ( - 5 , 4 ) , B(3 , 8) y C ( 1 1 ,-6 )

■

Capítulo I: Vectores en el plano

78

EJERCICIOS ; 2

--------------------------A D = 3 A N

_c

R

a) Hallar r y s tales que : M N = r A D j f s A B m an un á n gu lo de 120c y I ! A D 11 = 2jJ B A 11 , hallar la proyección ortogonal de M N so b re

r

/

5.

S e a n A y B d o s ve c to re s tales q u e A = <5 , -2 ) , C o m p AB = -5 8 y I : B ¡! = 2 9 . Hallar C o m p BA.

7.

----------------------

v

Solución. Si M D = 4 B M

S i A e s un vector del m ism o sentido que V = (1 , 2 ) , tal qu e 11 A ¡ I = 50 y 11 B ! I = 2 9 ; hallar C o m p BA.

D

n

l)

ÁD.

a)

D a d o s lo s ve ctore s A = < \3 , -1) y B = (3 , V3 ) , hallar 2 (P ro y BA + P ro y AB )

6.

^

11 B 11 y C o m p BA = 10/3 , hallar la longitud de la diagonal A - B.

4.

/

b) S i adicionalm ente los ve ctore s B A y A D for­

L o s la d o s de un triángulo s o n los vectores A .B y B - A. S i I ! A | = 6 , 11B11 2

FIGURA 1.88 8.

«=> M D = j B D = j ( A D - A B )

y si A D = 3 A N <=> N D = - j A D

9. «

(1)

M N = ^ A D - ¿

P o r lo que : r = 2/15 y s = - 4/5

b)

Por

la igualdad (1 ) :

P r o y aT>MN

=^

P r o y lT>A"í>

_ J_ a d " 1 5 A P e ro : Á B • Á D =

II Á B II II ÁD 11

f

L o s la d o s de un triángulo s o n lo s vectores A .B y A - B, si 11A11 = 10 , 11 B 11 =

\

II Á D II

ÁD -

11 Á

D

y C o m p BA = -5. H allar la longitud de A - B.

L o s la d o s de un triángulo s o n A , B y A + B , tales q u e 11 A

S i II A - B II = 4 , II B II = 3 y C o m p B(A - B) = 22/3 , hallar la norm a de A. S i D = A + B + C , 11 A 11 = p , 11 B 11 = q , 11 C 11 = r , A * B = p q , A * C = p r y C o m p BC = r ; hallar la n orm a de D.

(2)

12. 13.

11 ( X ) = i - l I A D 11

14.

S i P ro y BA = <2 , -5 ) , P ro y Bi A = (-3 , 2) y

/A

O \

2.

«=> A = B

b) S ¡ A * 0 , B * 0 y P royBA = P ro y AB => C o m p BA + C o m p AB = 2 11 B I i (P ro y BA)-L = P r o y ^ A 1

d) C o m p Bi (P ro y BA ) = 0 16.

S i A = (5 , -2 ) y P ro y Bi A = <4 , 1 ), hallar C o m p BA s a b ie n d o q u e C o m p 0i A e s positivo.

S e a n A , B y C vectores no nu lo s en R 2 y r , s e R. E sta b le ce r si la s sig u ie n te s

17.

p ro p o sicio n e s so n ve rd a d e ras o falsas.

Hallar el á n gu lo form ado por los vectores A y P royBi A , si A = <1 , 2) y B = (1 ,3).

18. L o s v e c to re s A y B de lo n gitu d e s 2 y 3 re sp e ctiva m e n te , form an á n g u lo s de

P ro y BA + P ro y Bi( A - B ) = A

m e d id a s a y p co n el vector C = (1 ,1). S ie n d o O2 < a < 9 0 9 y P < 1 80 9 . Hallar

b)

P ro y A(A + B ) - P ro y AB = A

11

c)

P ro y B(r A + s C ) = (r + s) (P ro yBA + P ro y BC )

d)

P ro yBi A + P r o y A B = O

a)

3.

C o m p c(A + B ) = C o m p cA + C o m p cB

; hallar

Esta b le ce r si la s sig u ie n te s afirm aciones s o n ve rd a d e ra s o falsas.

- C ) - P ro y AB - P ro y AC

c)

= ll A H

C o m p 8(A - B).

c)

P ro y A(r B) = r ProyAB

B = 2 A + A 1 ; hallar 11 B 11.

S e a 11 A 11 = V 6 5 , 11 A + B 11 = V Í 6 4 , C o m p A( A + B )

EJER C IC IO S : Grupo 10 P r o y A( B

- a , II B II = ¿>, 11 C 11 - c \ hallar C o m p BA.

S iA + B + C = 0 ,B *0 ,| | A | |

^

± (^ ) A D = - ± A D

b)

2 \2

11.

a) P ro y 0i.A = P r o y A B

D e m o stra r que : a)

1!=

10.

15.

1.

I = 3 ,! B

y 11 A + B 11 = V53. Hallar 2 C o m p BA - C o m p A(A + B).

P r° y A-DA B

- - ( ABAD 5 \‘I11I aÁ b D lIlI 2'

C os60° =

L u e g o , en (2) s e tiene : P ro y A-DM Ñ =

-

=

y 11 B - A 11 = 5 ; hallar C o m p BA * C o m p AB.

6

E n e lA M N D :M N = M D - Ñ D = ¿ ( Á b - A B ) - ¿ A D

79

Grupo 10

S e a n lo s v e c to re s A y B la d o s de un p a ra le lo g ra m o . S i 11 A 11 = 6

P ro y c(A + B) 11 en térm inos de a y p.

19- SiA=3 (nfri) + 4 (Trfrn) yc°mp«iB=2’haiiar|Ai- B| 11 A 11 =

20.

Hallar el vector B sa b ie n d o q ue I ! B

I = 2 \ 2 , A = (-4 , 2 ) , C o m p BA e s positivo

80

Capitulo I: Vectores en el plano

EJERCICIOS ;

Grupo 10

81

y P ro y Bi A = (-3 , 3). 21.

D a d o s los ve ctore s A = (3 , -6 ), B = <3 , 4 ) y C = <21 , 0 ) , hallar los va lo re s de r y s tales que :

22.

C = r P ro y 8A + s P r o y ^ A

L o s ve ctore s A y B de R : cum plen : 11A11 = 3 \ 5 , B = (-4 , 3 ), P ro y AxB = <-2 , 4) y C o m p AB > 0. a) C o n los d atos d ad os, en un plano cartesiano, gráficam ente ubicar los vecto­ res A . A x y P ro y AB. b) H a lla r , P ro y BA y C o m p A B

23. S e a el triángulo A B C y s e a n Q(1 , 9) y S ( 6 , 2) lo s p u n to s m e d io s d e los la d o s A B y B C respectivam ente. S i A B 11 (1 , 1 > y P ro y A-gAB =

30.

p + q.

S e a n los vectores A , B e R : , tales que :| A + B|| = \ 1 7 , | | 2 A - B (B + \ 2 A)

! = \2 6 ,

31.

D a d o un triángulo isó sc e le s A B C (A B = A C ), s e a n M y N p u n to s de trisección de

S e a A B C D un rectángulo (Figura 1.94) tal que 2A~B = Á D y 11 A B 11 =

a ; sean E

y F p u ntos m e d io s de los la d os B C y D C respectivam ente. S i V = Á E + Á C + Á F ,

1 (B - \ 2 A) y el vector V = 5 A + 3 B tienen la m ism a dirección y

hallar el valor de : C o m p A- V + C o m p ^ V .

sentido que el vector (-2 , 1). Hallar P ro y vA. 25.

(4 B A D ) = 6 0 e , 11 A B 11 = a ,

I I Á D I I = 2a , d o n d e a e R - {0 }. S i p = 11P royADÁ C 11 y q = 11 P rb yA8Á C 11 .hallar

(3 t - 1 ) t hallar los vér­

tices del triángulo. 24.

E n el p arale logra m o A B C D de la Figura 1.93 , m

32.

E n el re ctá n gu lo de la F ig u ra 1.95 , H , P y Q s o n p u n to s m edio. Á B = 4 F B , O C = 4a

la b a se B C . S i el c o se n o del á n gu lo A e s 1/4, hallar la p royección ortogonal del

, OA - a. S i V = H F + A P + Q C , hallar C o m p ABV + C o m p -.y.

vector A M + A N so b re el vector A C y el vector A C 1. 26.

Se an A = 2u + v y B

= u - 2 v , d on d e u y v s o n

ve cto re s unitarios q ue form an un á n g u lo de 6 0 9 , co m o s e m uestra en la Figu ra 1.89. U n trapecio is ó s ­ ce le s O P Q R s e form a de tal m od o qu e u n a d e s u s —> b a s e s e s A = O R y uno de s u s la d o s n o parale los e s

FIGURA 1.95

B = OP. a) C o n referencia a las p o sic io n e s de u y v , graficar

33. S a b ie n d o que P ro yA<ü , b) = <1 , 2 ) y P ro yA(x , y) = (-4 , - 8 > , hallar la norm a de

cu id ad o sa m e n te el trapecio O P Q R .

P ro y A(4í2 - x , 4b

- y).

b) H a lla r , en térm inos de u y v , el vector O Q . 34. 27.

D a d o el e x á g o n o regular A B C D E F de la F igu ra 1.90, cu y o lado m ide 10 unida­

L o s la d o s de un triángulo s o n los vectores A , B y A + B. S i || A I I = 8 ,| | B | | = 6 y ¡ A + B

I = \ 6 8 , h a lla r : C o m p A(A + B ) - 3 C o m p B(A - B).

d e s y el vector V = B D + F C + B C ; hallar 11 P ro y A-pV 11. 35. 28.

D a d o el e x á g o n o regular de lado

a (Figura 1 .9 1 ), en d o n d e G y H s o n puntos

H a lla r el ve c to r A c u y a n o rm a e s 3 \ 5 , sa b ie n d o q u e B = (-4 , 3 ) , P ro y i B = (-2 , 4) y C o m p AB > 0.

m edios de B C y D E respectivam ente. Hallar la norm a de V, si V = P r o y ^ S A G ) + P ro y A-F(9AH).

36.

E n la F ig u ra 1.96 el A A B C e s equilátero y C H e s altura. S i C H = (2 , 4) y V = (V3 , 1 ) , hallar la C o m p vC A.

29.

E n la Figu ra 1.92 , A , B y C s o n tres ve ctore s d e R : tales q ue B e s unitario, C e s ortogonal a A y A * B = ||A|| (\3/2). Hallar la C o m p A.

37.

E n el e x á g o n o regular de lado 8 u n id a d e s m ostrad a en la Figu ra 1.97 , hallar la

82

Capítulo I: Vectores en el plano p royección ortogonal de

TEOREMA 1.12 Area del paralelogramo y del triángulo

a) M Ñ so b re M B + B Í) 38.

b) V = Á C + B D - C Ñ so b re M B

El área S de un p aralelogram o , c u y o s la d o s s o n lo s vectores

E n el tra pe cio P Q R S de la F ig u ra 1.98 s e tiene : 11 R Q 11 = 11SP 11 , S (-4 , 2 ),

A y B , e s igual al producto e sca la r d e u n o de ellos p or el ortogonal del otro. E sto

Q (1 0 , 4 ) , P S • P R = 0 y P ro y ¿p P R = (8 , 8). H allar lo s p u ntos A , P y R.

es : S = |A • B x | = I A 1 • B I En

p a rtic u la r,

p o r: S, = | | A . B X | = i - l A x . B|

L o s vértices de un rectángulo A B C D s o n A (-2 , -6 ), C (2 , 6), D (-6 , -2) y B. L o s

(26)

el área del triángulo S, , c u y o s la d o s c o n se c u tivo s s o n los ve cto­

re s A y B e stá d ad o

39.

83

Sección 1.12: Area (leí paralelogramo y del triángulo

r

(27)

EJEM PLO S ILU STRATIVO S^

p u ntos M e D C , N e A B , R e B C , a d e m á s P r o y ^ A D = m(1 , -3) y N M + N R = (4 , 14). a) Hallar el vértice B.

b) Hallar lo s p u ntos M , N y R.

í

Ejemplo

i

j

S e a n P ( - 3 , 1 ) , Q { 7 , -1) y R ( 5 ,3 ) tres vértices c o n se c u tiv o s de un paralelogram o. Hallar s u área.

Solución. C o n s id e re m o s elvértice Q c o m o punto inicial de los ve cto re s A y B.

A R E A D E L P A R A L E L O G R A M O Y D E L T R IA N G U L O

Luego, si A = QP => A = P - Q = <-3 , 1) - <7 , -1 >= (-10 , 2) B = QR

H a cie n d o u so de la p royección ortogonal de un vector so b re otro, e sta m o s

B = R - Q = (5 , 3) - (7 , - I) = (-2 , 4)

P or lo que, si S = |A • B x | <=> S = I <-10 , 2) • <-4 . -2) I = 140 - 4 1 = 36 u-

■

en co n d icio n e s de h ace r otra interpretación geom étrica del producto escalar. P ara tal efecto c o n sid e re m o s el p arale logram o de la d o s A y B (F igu ra 1 .9 9 ). L la m e m o s 11 C11 a la altura que s e obtiene m ediante la p royección ortogonal de A so b ré B x, de

Ejemplo

2J

m od o que :

Hallar el área del p arale logram o sa b ie n d o q ue s u s d ia g o n a le s están co n te n ido s en los ve cto re s U = <3 , 3) y V = (5 , -1).

11 C 11 = 11 P ro y 0i A 11 = I C o m p 0 ÍA I C 11 =

A» BJ 11 B x |

D a d o que el áre a del p aralelogram o e s igual al

Solución.

S e a el p aralelogram o P Q R T m ostrado en la Figura 1.100

E n el A P T Q :

B = A + V = * B - A = V

E n el A P Q R :

B + A = U

D e (1) y (2) o b te n e m o s ;

producto de s u b a s e por s u altura , e n to n ce s .............................1A • B x |C I = I B S = l B 11 B x 11 P ero c o m o 11B ! I = I B x 11

S = !A . B x

A s í h e m o s d em ostra d o el siguiente teorem a

A = - L ( U - V ) , B = -L (U + V) L u e g o , A = (-1 , 2) y B = <4 , 1> ■=> B 1 = S = I A • B x I = I <-1 , 2) • <-1 , 4) I = 9

84

Capitulo J: Vectores en el plano

Ejemplo

3 )

S e d an lo s p u n to s A (3 , -2 ), B (-3 , 2)

y C (2

, 7). S i P divide al

85

Sección 1.12: Area del paralelogramo y del triángulo Igualando las p rim e ras co m p o n e n te s s e tiene :

se gm e n to B C en la razón B P : P C = 2 : 3 ; hallar el áre a del

m = -i- \ m : + n : , de d o n d e : n = V3 m

(1)

triángulo A P C . S i a (A O P R ) = 10 <=> -i-1 A 1 • B | = 10 .=>

Solución. S e a P(x , y). S i 3 BP = 2 PC , e n to n ce s 3 x = -I i <=> i

r

L 3y - 6 = 14 - 2y

y = 4 J

<-1 , <Í3)-
=> -m + V3 n = 8

,

.. ■=> P( - i , 4)

(2)

R e so lvie n d o (1) y (2) por sim u ltán e a s , o b te n e m o s : m = 4 y n = 4\/3 /. m + V 3 n = 4 + V J (4VJ) =

16

■

L u e g o , si U = A P = * U = P - A = (-1 , 4) - (3 , -2) = (-4 , 6> V = A C <=* V = C - A = <2 , 7) - (3 , -2) = <-1 , 9)

f ” ejemplo

^ S = l l u - v 1 ! = - j l<-4 , 6) • <-9,-1)1 = 15 u :

M

■

|a Figura 1.104, O A C B e s un paralelogram o. S i O C = (5 , 3) —) y B A = <-1 , 5 ) , hallar el área del triángulo O A B .

Solución. S e a n los vectores : U = O A y V = O B

Ejemplo

4 j

L o s vértices de un triángulo s o n A (2 , -1), B (4 , 2) y C

e

E n el A O B A : B A = U - V

=

E n e lA O A C :

{ (x, ) ly = x - 2 }. S i s u áre a e s 5 u 2 , hallar la s u m a de la s

D e este siste m a de e c u a c io n e s o b te n e m o s

o rd e n a d a s de to d os los p o sib le s va lore s del vértice C.

U = JL (Ó C + B Á ) y V =

Solución. S i C (x , y) e <5? <=> C (x , x - 2) r

S e a n : U = A B = B - A = <2 , 3) V = AC = C - A = ( x - 2 , x

q

B

L u e go , U = <2 , 4) y V = <3 , -1) => V x = <1 , 3) fl(A O A B ) = i

u/ S

4 - x = 10 ó 4 - x = -10 A

<=> x = -6 ó x = 14 H a y d o s so lu c io n e s : C(-6 ,-8 ) ó C ( 14 , 12)

v

!'Pe

J FIGURA 1.102

[ Cjemplo

B (2 , 7 ) , C (8 , 2) , D (6 , -2) y E (2 , -5).

Solución. 5

]

L a F igu ra 1.105 m uestra el p olígo n o

E n la F igu ra 1.103 : a ( A O P R ) =

dividido en tres triángulos de á re a s

10 u 2 , 11 A 11 = 5 y a = 3 0 9. S i B =

S, , S , y S,. T o m a n d o el vértice A c o m o punto inicial de los ve cto re s R . T , U y V , s e sig u e que:


Solución.

H a lla r el á re a del p o líg o n o d e vé rtice s en A (-2 , 3) ,

y, + y, = 4

C j e m p lo

I U • V x | = 1 | < 2 , 4) • <1 , 3)1 = 7 u2

\

v

P o r tanto , la s u m a de las o rd e n a d a s e s :

\ (Ó C - B Á )

"N

O

s = -i-1 V - U-1-1 <=> 10 = |
OC = U + V

A = 11 A 11 < C o s 30°, S e n 30°)

= ¿ .(< 3 ,1 )

R = A B = <2 , 7) - <-2 , 3) = <4 , 4) T = A C = <8 , 2 ) - < - 2 , 3) = < 1 0 ,-1 )

B = 11 B 11 < C o s 60°, S e n 60°) U = A D = <6 , -2) - <-2 , 3) = <8 , -5) =»
, ^

)

V = Á E = <2 , -5) - <-2 , 3) = <4 , -8)

FIGURA 1.105

86

Capiiulo I: Vectores en el plano

87

Sección 1.12: Area del paralelogramo y del triángulo =>

S, = y | R • T 1 ! = y l <4 , 4) • <1 , 10)1 = 2 2 u :

M - A = <2 , 1) <=> A = M - <2 , 1)= <0 ,4) - <2 , 1)<=> M = 1 ( A + B ) =>

B = 2M -

A = <-2 , 3>

A = 2<0 , 4) - <-2,

3> =

<2 , 5

S ; = - j |T • U 1 ! = ^ I< 1 0 , - 1 > • < 5 ,8 )1 = 2 1 uN = y (B + C ) c=> C = 2 N - B = 2<5 , 3> - <2 , 5) = <8 , 1> S , = '1 | U - v 1 ! = -i-l< 8 ,-5 > • < 8 ,4 )1 = 22 li* P = 1 (C + D) = * D = 2 P - C = 2<2 , -2> - <8 , 1) = <-4 , -5) S = S ) + S , + S , = 65 u-

=» Á B = < 2 , 5 > - < - 2 , 3 > = < 4 ,2 >

;

Á C = <8 , 1> - <-2 , 3) = <10 , -2>

D A = <-2 , 3) - <-4 , -5> = <2 , 8)

Ejemplo

8^j

La Figura 1.106 e s un trapecio isó s c e le s , en d on d e , A = <1 ,3 )

P or lo qu e :

S = a (A A D C ) + a (A A B C ) =

\ I D A • ÁC-1 ! + \ I Á B • Á C 1 !

y B = <5 , -1). Hallar s u área. = i | < 2 , 8 > -< 2 , 10)1 + l | < 4 , 2 > - < 2 , 10>| = 56 u-

Solución. S e a n : C = R E = P ro yAi B , S, = a (Q R E F ) y S , = a ( A R E T ) . / Ax -B \ Ai_ M 1A 1 112 '

,f(-3 , l> -< 5 , -1>\ 10 /

i

( E je m p lo

10 J

'

■

T r e s v é r t ic e s c o n s e c u t i v o s d e u n r e c t á n g u lo A B C D s o n A (-8 , 4) , B (2 , -2) y C ( 5 , 3). S i P e Á B , Q e C D , R e Á D ,

S, = I A - C x | = | |<1 , 3 ).<| , 3>| = 16 u 2

P Q 1 1 V = <7 , 6) y P Q + P R = <5/3 , 31/3); hallar el vértice D , lo s p untos P , Q , R y el S , = 4 - 1B • C x I = 1 (| .) | < 5 . - ! > . < ! ,3>| = f u - ’

área del cuadrilátero P R D Q .

Solución.

S = S , + 2 S , = 16 + -y- = 19.2 u :

CD

= B A >=> D = C + (A - B )

c=> D = <5 , 3) + <-8 , 4) - <2 , -2> = <-5 , 9) S i P Q 11 V ÁP = tB A _

Ejemplo

9

J

E n la F ig u ra 1 .1 0 7 s e tiene : M ( 0 , 4) , N (5 , 3) , P (2 , *2) y

DQ = sC D

Solución.

P = A + IB A P = <-8 , 4) -M <-5 , 3>

(2)

=> Q = D + s C D (3)

R e sta n d o (3) - (2) ob ten e m os :

r

Q - P = <3 , 5) + (s - 1) <-5 , 3>

D a d o qu e Q N e s m e d ia n a del tra­

Y1 ‘ M

pecio, e n to n ce s ; Q N 11 A B 11DC

«

L u e g o , en (1 ): r <7 , 6) = <3 , 5) + (s - 1) <-5 , 3>

— __ •_ ✓

L u e g o ; Q N = N - Q = <5 , 3) - <-3 , - l) = 4<2 , 1) E n to n c e s , un vector unitario en la dirección de Á M |<2, I) e s :

i '' Qf

/■

°l

«

r<7 , 6) + (s - 1)<5 , -3) = <3 , 5>

M ultiplicando e scalarm e n te por <5 , -3)-L y ■

luego por <7 , 6> 1 o b te n e m o s respectiva-

FIGURA 1.108

m ente

u = - 4 ^ — ■=> Á M =11 Á M II u 11 A M 11

«=* AM= V 5 ( ^ - )) = < 2 , 1)

(1)

=> Q = <-5 , 9) + s<-5 , 3)

Q ( - 3 , -1) s o n p u ntos m e d io s de los la d o s de un trapecio A B C D . Hallar su áre a sa b ie n d o que 11AB 11 = 2 \ 5

c=>Q - P = r <7 , 6)

r = 2/3 y s

- 1 = - 1/3 «=> PQ = -|<7

, 6>

D a d o qu e : P Q + P R = <5/3 , 31/3) <=> P R = <5/3 , 31/3) - <14/3 , 4) = <-3 , 19/3)

i)

J

V

FIGURA 1.107

=> R - P = <-3 , 19/3)

(4)

Capítulo I: Vectores en el plano

88 Adem ás , A R = k A D

(5)

■=> R = A + k A D = (-8 , 4) + k(3 , 5)

R e sta n d o (5) - (2) s e tiene :

17. D a d o s lo s p untos A (2 , -1 ), B (-2 , 3) y C (4 , 6). S i P (x , y) divide al se gm e n to B C en la razón B P : P C = -2 : 5 , hallar el áre a del triángulo P A B .

R - P = k (3 , 5) - 1(-5 , 3) 18.

<=> (-3 , 19/3) = k <3 , 5) - 1 (-5 , 3)

D a d o s lo s p u ntos A (-3 , -5) , B (3 , 1) y C (2 , 5). S i P (x , y) e s el punto de trisección, m á s ce rc an o de A, del se g m e n to A B , calcular el área del triángulo

de d o n d e o b te n e m o s : k = 2/3 y t = -1 , lu e go , s = -1 - 1/3 = - 4/3

PCB.

P o r lo tanto : P = <-8 , 4) - l<-5 , 3) = ( - 3 , 1 ) ; Q = (-5 , 9) - ± < -5 , 3) = <5/3 , 5) 19. R = (-8 , 4) + - j (3 j 5) = <-6, 22/3)

L o s vértices de un triángulo s o n A (3 , -5 ), B (2 , 5) y C e 2? = {(x , y) I y = -2 x }. S i s u áre a e s de 3.5 u2 , hallar las c o o rd e n a d a s del vértice C.

A re a del cuadrilátero : a (P R D Q ) = a (A P R D ) + a (A P Q D )

20.

L o s vé rtice s de un trián gulo s o n A (x , y) , B (4 , 3) y C (-2 , 6). S i el á re a del triángulo e s 9 u2 y A e .2? = {(x , y ) I x - 2 y = 4 } , hallar el vértice A.

c=> a (P R D Q ) = i - | P R • P D 1 ! + i |PQ • P D X | 21. = l| < -3 , J | ).< -8 ,-2 )| + i | < M

89

EJERCICIOS : Grupo I I

85 ,4 ).< -8 ,-2 )| = - ^ u -

E n la F igu ra 1.109 , O A B C e s un paralelogram o. S i O B = <1 , 6) y A C = <9 , -2), hallar el á re a del triángulo A B C .

22. E n la F igu ra 1.110

,a ( A O P T ) = 15 u2 y I ' A I = 10 . S i B =
de 3m + n.

E JE R C IC IO S : Grupo 11

23.

E n la F igu ra 1.111 , a (A O P T ) = 12 u 2 , II B

II

= 2 \2 . S i P ro y B±A =
el valor de xy. E n los ejercicios 1 al 4 , hallar el área del triángulo c u y o s vértices s o n los p untos d ad os. 1.

A (-5 , 0 ), B(1 , 3 ), C (-3 , -2)

3.

A (2 , - 3 ) , B (4 , 2 ) . C (-5 ,-2 )

2.

A(-3, 4 ) , B (6 . 2 ), C (4 , -3)

4.

A(-1 , 2 ) , B (3 , 5 ) , C ( 5 , 1)

E n los ejercicios 5 al 8 s e dan tres vértices co n se c u tivo s de un paralelogram o, hallar las c o o rd e n a d a s del cuarto vértice y el área de c a d a paralelogram o. 5.

A (4 . -5 ), B (-2 , 3 ) , C (-3 , 1)

7.

A(-1 , -5 ), B (2 . 1 ), C(1 , 5)

6.

A(-1 , -2 ), B (0 , 1 ), C (-3 , 2)

8.

A (2 , 4) , B (6 , 2 ) ,

C (8 , 6)

E n lo s ejercicios 9 al 12, hallar el áre a del p arale logram o c u y a s d ia g o n a le s so n

24.

S e a V = <-8 , 8) un vector co n punto inicial A (1 3 , 7) y punto terminal B. S i P e s

los vectores dados.

un punto situado por encim a de la flecha que representa al vector V, tal que el

9.

U = <-2 , 3 ) , V = <6 , -1)

11.

U = <11 , - 1 ) , V = < - 2 , 4 )

A A P B e s isó sc e le s de área 8 u 2 , hallar los p u ntos P y B.

10.

U = <5 , -4 ), V = <-1 , -8)

12.

U = <1 , 1 0 ), V =

< 5 ,-2 )

25. S e a el cuadrilátero A B C D de áre a 57/2 u2 . S i A(-1 , 4 ) , B (2 ,3 ) y C ( 4 , -2 ); hallar D sa b ie n d o que este punto e stá en el eje X

E n lo s ejercicios 13 al 15, hallar el área de los p o líg o n o s c u y a s c o o rd e n a d a s de s u s vértices s e dan.

26.

S e a el trapecio A B C D de la Figu ra 1.112, d ond e M ( 1 1/2 ,7/2), N (8 ,6 ), P(9/2 ,13/2)

13.

A (2 , 5 ), B (7 , 1) . C (3 , -4) y D (-2 , 3)

14.

A(1 , 5 ) , B(-2 , 4 ) , C (-3 , -1) , D (2 , -3) y E (5 , 1)

15.

A (-5 , -2 ), B (-2 , 5) , C (2 , 7) , D (5 , 1) y E (2 , -4)

hallar P r o y ^ P N y el á re a del trapecio

16.

S e a n lo s p untos A (3 , 5) , B (k , 2) y C (5 , 1). H allar lo s va lo re s de k tales que

ABCD.

d ic h o s p untos so n vértices de un triángulo de área 1 1u2

y Q (2 , 4) s o n los p u ntos m e d ios de los la d o s correspondientes. S i 11 DC11 = \ 10,

9Q

Capítulo 1: Vectores en el plano

Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores

91

A + (-r)B = O

1.13 j D E P E N D E N C IA E IN D E P E N D E N C IA L IN E A L D E V E C T O R E S

S e ha lo grad o una com b inación lineal de A y B igual a O con coeficientes 1 y *r qu e s o n diferentes de cero , por lo tanto , A y B s o n L. D.

D efinición 1.13

Vectores ¡inealnienle dependientes __________ _______________ S e dice q u e d o s ve cto re s A y B e

R : son

linealmente depen­

dientes (L. D.) si el vector nulo O p u e d e e x p re sa rse c o m o co m b in ació n lineal de e sto s vectores , e sto e s . s A + tB = O

Definición 1.14 Vectores linealm ente independientes D o s ve ctore s A y B e R- , s e dice que s o n linealmente inde­ pendientes (L. I.) si toda co m b in ació n lineal de A y B que e s igual a O implica que s u s coeficientes s o n n e ce saria m e n te cero. Sim b ólicam e nte :

d on d e por lo m e n o s un coeficiente e s diferente de cero. Sim b ólica m e n te

A y B s o n L .l. <=> s A + i B = 0

<=> s = t = 0

A y B s o n L. D. <=> B s . t e R l s A + t B = 0 . c o n s * 0 ó t * 0 ________________________________________________________ __________________________ x P o r ejem plo , los vectores unitarios orto go n ale s i = (l , 0)y j = <0 ,l) so n P o r ejem plo , los vectores A = (-1 , 3> y B = <2 , -6) s o n linealm ente d e p e nd ie n te s ,

linealmente inde p en d ie nte s , p u e s si

p u e s si to m a m o s s = 2 y t = 1 (s * 0 y t * 0) , e n to n ce s

s i +tj = O

<=> s (l , 0) + t(0 ,

2 (-1 , 3) + 1 <2 , -6) = <0 , 0) El vector nulo O con cualquier otro vector B s o n sie m p re linealm ente dependientes, p u e s si s = 3 , (s * 0) y i = 0 , e n to n ce s : 3 0 + ()B = O O b sé rv e se qu e A y B s o n vectores parale los y c o m o sa b e m o s, el vector cero O e s paralelo a cualquier vector. E sto n o s permite caracterizar a d o s ve cto re s linealmente

0)

(s , t) = (0 , 0) <=> s = 0 y t = 0 L o s vectores A = (2 , l) y B = (-1 ,3 ) s o n tam bién linealmente independientes, p u e s

(2 s - 1 , s + 3 1) = (0 , 0) <=* -f “ S 1 ° 1 l» s + 3 t = 0 J

linealmente dependientes si uno

de ellos e s múltiplo e sca la r del otro ; e s d e c ir , si A = r B ó B = r A para un e sca la r r. E n c o n se c u e n c ia , A y B s o n L. D. p re cisam e n te c u a n d o A y B s o n colineales.

o

s = 0 y t= 0

O b sé rv e se q u e en este c a s o A no e s paralelo a B. E sto tam bién caracteriza a los vectores linealm ente in dependientes co n otra definición. S e dice q ue d o s vectores A y B e R : s o n

A B G-------------- - --------------> ........ O----------------------------------- ►

linealmente independientes si y só lo si

A y B no s o n linealm ente dependientes, esto es, c u a n d o los vectores A y B no so n colineales.

TEOREMA 1.3 D o s vectores A y B e R ; s o n linealm ente d ep e ndie n te s si y só lo si so n paralelos. v----------------1------------------------------------------------------------------------------ ------------------— >

D em ostración.

/ ---------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------TEOREMA 1.4 D o s ve ctore s A y B s o n linealm ente independientes si y só lo si A no e s paralelo a B.

D em ostración.

(<=>) D e m o stra re m o s primero si A y B s o n L. D . , e n to n ce s A y B so n paralelos. E n efecto , si A y B so n L. D. <=> 3 s , l e S u p o n g a m o s que s * 0 ■=> A = (Si i * 0

R| sA + tB = 0 , c o n s * 0

B , lo cual implica que A

<=> B = (- |-) A , lo que n o s dice que B

(<=>) D e m o stra re m o s ahora que si A E n efecto, si A

B o

3 re R

A

B e n to n ce s A y B so n L. D. A = i B <=> A - r B = O

B

si

s A + t B = O => s< 2 , l> + t<-l , 3) = (0 , 0)

dep e n die nte s m ediante otra definición. S e dice que d o s vectores A y B € R- s o n

l) = (0 ,

(s ,0) + <0 , 0 = <0 , 0)

ó t* 0

(■=>) D e m o stra re m o s prim ero que si A Y\ B e n to n ce s A y B s o n L. I. E n efecto , s u p o n g a m o s que A >T B y q ue s A + i B = O Al dividir a m b o s m iem bros de e sta igualdad entre s ó t , te nd rem os : A = ( - i ) B

ó

B = ( - ^ ) A

<=> A || B

ó

B IIA

(A y B s o n linealm ente d ep endientes) lo que contradice la hipótesis. P o r lo tanto , A y B s o n linealmente independientes.

Capítulo I: Vectores en el plano

92

(<=>) D e m o stra re m o s que si A y B so n linealmente independientes entonces, A j f B E n efecto , s u p o n g a m o s que A

B , A * 0 y B * 0

Sección /. 13: Dependencia e Independencia lineal de vectores

93

Los núm eros s y t p u ed e n ca lcu la rse m ultiplicando e scalarm e n te la igualdad por A 1 y B x , esto e s :

c=> 3 r * 0 A = r B

t=> A + (-r) B = O

A 1 • C = l (A 1 • B)

=> t =

A - L.Q Ax • B

S e ha lograd o u na com b in ación lineal de A y B igual a O co n coeficientes I y -r qu e s o n diferentes de cero , lo cual contradice la Definición 1.14. E sto signi­ fica q ue A y B s o n linealmente dep e n die nte s , lo q ue contradice nuevam ente la hipótesis. P o r lo tanto , A J ÍB .

TEOREMA 1.5 E l teorema de las basesS i A y B s o n vectores linealm ente in de p en d ie n te s del p lan o , I

en to n ce s A y B form an u n a b a se de los ve ctore s del plano.

O B S E R V A C I O N E S 1.9

1. Un vector no nulo s e p u ed e e xp re sa r no solam e n te c o m o u n a com b in ación lineal de d o s ve cto re s o rto go n a le s A y A 1 , sin o q ue A x s e p u e d e reem p lazar por

D em ostración. S e a n A = O Q , B = O R y C = O P

cualquier otro vector que cu m pla la condición d e n o se r paralelo a A.

r

P o r hipótesis A y B s o n lineal­

M /*

m ente inde p en d ie n te s , e nto n ce s O Q y O R no so n colineales. P o r el punto P tracem os parale­ las a Ó Q y Ó R de m od o que intercepten a s u s B/

p ro lo n ga cio n e s en M y N respectivam ente (Fi­

V

2. L o s n ú m e ro s s y i de la e c u a c ió n (28) s e d eno m in a

coordenadas del vector C en

la b a se (3 = { A , B } 3.

/

E n la F igu ra 1.113 p o d e m o s o b se rv a r que el v e c t o r : s A =

.Di , p . — — JA

/

A "*Q

^

J

FIGURA 1.113

ON = s A y OM = l B D a d o que :

-= o p

e s la proyección del vector C so b re el vector A sig u ie n d o la dirección de B.

?

gu ra 1.113). L u e g o s e tiene :

^

A esta proyección s e le denota p o r :

fp ro y .A B)C =

) A

_________________ /

O P = O N + N P = O N + O M , e nto n ce s C = s A + tB

lo que n o s permite afirm ar que C s e representa c o m o una única co m b in ació n lineal

A s í m ism o, el vector

B =

^ )

b

| e s la p royección de C so b re B sig u ie n ­

de A y B y g e n e ra el e sp a c io vectorial R :. E n s ín te sis , d a d o un par de vectores A y B en R ; , e n to n ce s a

K

b

«

{ A , B • e s una b a se del e sp a c io R 1

do la dirección de A . y s e le denota p o r :

P ro y (B A)C = (

* g ) B

j

(29a)

La dem ostración del teorem a n o s su gie re la siguiente definición. P o r lo tanto , en la ecu a ción (28) s e tiene :

Definición 1.15 D o s vectores A y B constituyen u n a base de lo s ve cto re s del plano s i , todo vector C del plano s e p u e d e e x p re sa r d e m a n e ­ ra única c o m o u n a com b inación lineal de A y B. E s decir A y B ge n e ra n a R : «

VC €

,3 s , te R IC = s A + tB

c = P r°y,A.8)c

+ P r°y,B.A,c

(30)

Capítulo I: Vectores en el plano

94

Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores

Ejemplo

95

4)

F ijado el ve c to r C e R : , e n to n c e s C e s e x p re sa b le en form a

^

única , c o m o la co m b in a c ió n lineal de los sig u ie n te s p a re s de

vectores : a) A = (2/3 , 1/5) y B = (-1 , -3/10)

Ejemplo

1 J

Estab le ce r el valor de verdad de c a d a afirm ación.

A = (-7 , k + 2) y B = <1 - 2 k , 1 ) s e a n linealm ente in d e p e n ­

Solución. S a b e m o s que V C e R 2 , 3 s , t € R I C = s A + t B <=> A K B

dientes.

Luego, bastará co m p ro b a r si c a d a par de vectores d a d o s s o n paralelos

Solución. S a b e m o s que d o s vectores A y B s o n linealmente d ependientes <=> A o bien , si A • B 1 Luego, si

B,

Existe un único r e R , tal que A = r B <=> A -3

k e R - { - 3 , 3/2 }

2

J

b) A = r B <=> (3 / 5 ,1 ) = r(-l , 5/3) o ■

S e a n A y B vectores linealmente independientes. P a ra q ué va ­ lores de k tendrem os que C = 3 A - 2 B

B

.-.La afirm ación e s falsa.

ó k= 3/2

P o r lo tanto , A y B s o n linealmente independientes si y só lo s i , k * -3ó k * 3/2 , esto

[ Ejemplo

2/3 = -r => r = -2/3

j

1/5 = (-3/10) r c=> r = -2/3

(-7 , k + 2) • (-1 , 1 - 2 k) = 0 •=> 7 + (k + 2) (1 - 2 k) = 0

es :

a) A = r B <=» (2/3 , 1/5) = r(-l ,-3/10) <=>

= 0 <=> 2 k; + 3 k - 9 = 0 <=> k =

Solución.

b) A = (3/5 , 1) y B = (-1 , 5/3)

H állese los va lore s de k para que los ve cto re s

Luego , J l r e R

Ejemplo

5 )

y D = k A + 4 B s o n L. I.

A = rB

a

/ l

K

3/5 = ' r * * r = ' 3/5 = (3/5) r => r = 3/5 .1 —

B

/ . L a afirm ación e s verdadera.

E x p re s a r el vector C

= (4 , -5) co m o com b in ación lineal de los

vectores A = (-2 , 3 ) y B = (3 , - 1 ) , lue go hallar P ro y(A

D e b e m o s hallar n ú m e ro s s y t , q u e no s e a n sim ultáneam ente cero, de

p r°y(8.A)C y co m p ro b a r la ecu a ción (30).

m odo que s i : s(3 A - 2 B) + t(k A + 4 B) = 0 <=> (3 s + k t)A + ( 4 1 - 2 s)B = O

Solución. H a lle m o s las c o o rd e n a d a s (s , t) de C s e g ú n la b a s e { A A p lica n d o la ecuación (28) s e

S e g ú n la Definición 1.14 , la d ep e n d e n cia lineal de A y B implica que 3s + k t= 0 y 4 i- 2 s = 0

S=

D e la s e g u n d a e cu a ción , s = 2 t , y sustituye ndo en la prim era e cu a ció n s e tiene : 6 1 + k t = 0 <=> t (6 + k) = 0 o

* A

^ ’ 3> * <4 ’ ~5> = (1 ,3 ).(-2 ,3 )

t = 0 ó k = -6

Bj

tiene : . ’

.

A x • C _ (-3 , -2) • A-l . B ~ ( - '3 , - 2 ) .

D a d o q u e : P ro y (A

B)C = s A = - ü (-2 , 3)

3j

su scep tib le s de form ar u n a b ase. D e m o stra r q u e C = 3 A + 2 B

Ejemplo

6 )

Sean =

E n efecto , co m p ro b a re m o s que C y D s o n linealm ente inde p en ­ dientes aplicando la Definición 1.14

Si s C + t D = O

=>

s(3 A + 2 B) + t(2 A - 5 B ) = 0

<=*

(3 s + 2 t)A + (2 s - 5 i) B = 0

P o r h ipótesis , A y B so n L. I. , luego aplicand o n uevam ente la Definición tie n e :

■

S e a n A y B ve cto re s linealm ente in d e p e n d ie n te s y c o m o t a l,

y D = 2 A - 5 B tam bién form an u na base.

D em ostración.

(4 , -5) 2 (3 ,-1 ) = t

y P ro y (BA)C = t B = 2 ( 3 , - 1 )

«=> c = - y - (-2 , 3) + y (3 , -1) = (4 , -5)

Ejemplo

B .

/. C = s A + t B = - y - (-2 , 3) + y (3 , - 1)

C o m o s y t no deben se r a m b o s cero , e n to n ce s lo s vectores C y D s o n linealmente indep end ientes si k = -6.

11 7

B>C y

Solución.

{A,

,

‘

A2}

, { B , , B J b a s e s de R : y

B, - 3 B r S i

C o m o (m , n) s o n la s c o o rd e n a d a s de A s e g ú n la b a se (A. , A,} , halla­ re m o s las c o o rd e n a d a s de B, y B, s e g ú n e sta m ism a base, esto es, s i : A, = B, - 2 B , <=» B, =

1.14 se

A,

A , = 3 ( A 1+ 2 B , ) + Í B .

+ 2 B,

(-|)

=> B , = - Í A , t

^

A¡

3 s + 2 t = 0 y 2 s - 5 t = 0 c=> s = 0 , t = 0

P o r lo tanto , C y D so n linealmente independientes.

A =2

. A j = 3 B t + (1/2)BZ y A = m A t + n A 2 , hallar m - n.

■

Su stituye n d o (2) en (1) ob ten e m os :

B |= 1

A : + p A,

(2)

Capítulo I: Vectores en el plano

96

A h o ra .S ¡:A = 2 B , - 3 B ; «

A = 2 ( - Ì A , - f A s) - 3 (. A A , + ¿

Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores

97 ■>

S i U y V form an un a b a s e de R 2, m o stra re m o s que: c

A ;)

i) U y V s o n vectores linealmente independientes. <=>A=— A + — A 13 ' 13 -

sU + t V = 0

(m , n) = (20/13 . 2/13) => m - n =

18/13

t=> s (-4 , 2) + t (-2 , -5) = O

<=> (-4 s - 2 1 , 2 s - 5 t) = O o

{

^fc>Q

-4 s - 2 1 = 0

/

2s-5t = 0 R e so lv ie n d o el siste m a ob te n e m o s , s = t = 0 ,

Ejemplo

7J

= 3 B, - 5 B 2 , y determ ine la s c o o rd e n a d a s del vector A

respecto de la b a s e P’ = { B, , B 2} , si respecto de la b a s e p = {A , , A 2} s o n (2 , -1).

Solución.

R e so lv ie n d o el sistem a de e cu a c io n e s para B, y B, o b te n e m o s la s fór­ m u la s del cam bio de b a s e , esto e s : R - — A - 1 A ' “ 2 1 2

2

ü)

U y V g e n e ra n a R 2

I

F i g u r a 1.114

=> B . t e R I C = s U + 1 V

Com o x . y e

2

S i (2 , -1) s o n las c o o rd e n a d a s de A respecto de la b a s e p = { A I , A ,} A = 2 A, - A,

12

b) S i A = r U + t V <=> (1 , 5) = r (-4 , 2) + t (-2 , -5} <1 , 5> = <-4 r - 2 1, 2 r - 5 1> <=>

<=> 2 A, - A , = -y (5 s + 3 t)A, - y (s + l) A, <=> -J L

r l.= - 4 r - 2 n

<=* r = — , t = - —

l 5 = 2 r-5 t J

+ t ( | A, - i A,)

r

D e d o n d e o b te n e m o s : s = -1 y

s= -y ~ , t= 24 .

i ) y ¿ í ) , s e sig u e qu e U y V form an un a b a s e de R 2.

S e a n (s , t) las c o o rd e n a d a s de A respecto de la b a s e p’ = {B , , B ,}

=» A = s B ( + t Bj = s ( | A , - Í A , )

^

R <=> 3 t , s e R ¡ C = s U + t V , por lo que U y V ge n e ra n a R 2.

E n c o n se c u e n c ia , de

, e n to n ce s

/

E n efecto , s e a C = ( x , y ) un vector del plano

«=> (x , y> = s(-4 , 2) + t<-2 , -5> <=> { X 4S ” l } ly = 2s-5tJ

B = — A - — A ’ 2_ 2 1 2

s<\ .

por lo que : U y V s o n L. I.

H alle la s fó rm u la s del ca m b io de b a s e , s ie n d o A t = B , - B 2 , A

k

p

E n efecto , s e g ú n la Definición 1.14

A=^<-4,2>

2 = Jr ( 5 s + 3 t ) « = > 5 s + 3 t = 4

24 ’

12

- jj< -2 .-5 >

-1 = - -i- (s + t) => s + t = 2

t = 3 , luego (-1 ,3 ) s o n la s c o o rd e n a d a s del vector

A respecto de la b a s e p’ = { B t , B,}.

[ C je m p lo

■

9 ]

El vector A = (-5 , 2 ) s e d e sc o m p o n e en A , I I X y A ? |[ Y. El vector B = <2 , 1/2) s e d e sc o m p o n e en B, 11 X y B 2 ¡ |Y.

Si X = (2 , 1) e Y = (-2 , -3 ), hallar el valor de (A, + B 2) • ( A 2 + B 2)

Ejemplo

8 )

L o s p untos P(-3 , 4) , Q(1 , 2) y S (-5 , -1) s o n vértices d e un

Solución.

=> (-5 , 2) = m<2 , 1) + n<-2 , -3) <=>

p aralelogram o P Q T S , sie n d o P y T vértices op u e sto s. a)

M o stra r que los vectores

U =

T S y V = Q T form an una b a s e

b)

E x p re sa r el vector A = <1

,5 )

co m o com b inación de U y V.

Solución. S e a C el centro del p aralelogram o , e n to n ce s

S iA = m X + nY

de R 2.

a)

U = T S = S - T = ( - 5 , - l ) - ( - l , -3> = (-4 , 2> V

= Q T = T - Q = (-1 , -3) - <1 , 2) = <-2 , -5)

'5 = 2m ' 2n 2 == m - 3 n

19 < 2 ,1 ) y A, = - -2. (-2 , -3) de d on d e ob te n e m o s : m = -19/4 y n = -9/4 <=* A ( = - J-2. 4 Si B = r X + i Y «=> (2 , 1/2) = r(2 , 1) + t(-2 , -3) <=>

C = - j (Q + S ) = y <-4 , 1> = <-2, 1/2) T a m b ié n C = - L (P + T ) <=> T = 2 C - P = (-4 , 1) - (-3 , 4) = (-1 , -3>

(

{

2 = 2r-_t l 1/2 = r - 3t

de d on d e s e tiene : r = 5/4 y i = 1/4 => B, = ¿ ( 2 , 1) y B, = j ( - 2 , -3) Por lo tanto :

(A, + B , ) . (A, + B,) = (-

1 ) (-2) ( 2 , 1 ) . (-2 . -3) = - 49

Capítulo I: Vectores en el plano

98

Ejemplo

10 J

E n la F ig u ra 1.11 5 s e tiene el p a ra le lo g ra m o A B C D . S i P e s

Ejemplo

12

J

S e tiene el cuadrilátero A B C D . S a b ie n d o que A E = ^ A B y F y

punto m edio de C B , Q D = 7 Q B y si P Q s e e scrib e c o m o una com b in ación lineal de D C y A D , calcular la s u m a de lo s e sca la re s.

c (1)

PQ = s D C + t A D

G s o n p u ntos de trisección de C D y M e s punto m edio de EF. Al expresar A M c o m o u n a co m b in ació n lineal de A B , B C y C D , hallar la su m a de todos

\ C

D

los e scalares.

Solución. S e a n m , n y r los e sc a la re s tales que : A M = m A B + n BC + rC D

E n el A Q B P : P Q = P B - Q B _ = ^1CrñBi -. -1y Q D

pv => PQ = y (- AD) * y ( | BD) = - Í A D - I

En el A A E M ; Á M = Á É + É M =

B

A V

= 1 Á B + i - ( É B + B C + C F)

>

F IG U R A 1.115

i A B + 4 ( 4 A B +■ B C + y C D ) = 4 3

^ DC - ¿ AD

= S e g ú n (1 ):

s DC + t AD = I

DC - | AD «

(s -

D C + (t + | ) A D = O

D a d o q ue D C y Á D s o n linealmente indep end ientes , e n to n ce s : s - 1/8 = 0 y t + 5/8 = 0

- | A B + ^ B C + -2-CD ¿ O

ó

Lue go , s i : m A B + n B C + r C D = 4 a B +

<=> s = 1/8 , t = - 5/8 => s + t = - 1/2

11 ]

En el paralelogram o de la Figura 1.116 : A E = - ^ A C , D F = -^-DC

\ B C + -^ C D

= * (m - 2/3)Á B + (n - 1/2)BC + (r - 1/6)CD = O C om o A B , B C y C D

[ Ejemplo

\ Á B + \ ÉF

BD

= - y Á D - l ( - D B ) = - - y Á D + | ( Á B - Á í>) C o m o A B = C D ■=> P Q =

99

Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores

s o n linealm ente indep end ientes , en to nce s

m - 2/3 = 0 ,

n - 1/2 = 0 , r - 1/16 = 0 <=> m = 2/3 , n = 1/2 , r = 1/6 m + n + r = 4/3

S i É F = m Á B + n Á D , hallar el valor de m + n.

Solución.

E n el cuadrilátero A D F E s e tiene :

Ejemplo

13 J

E n el p arale logram o de la Figu ra

1.118 , P

y Q s o n p untos m e ­

d io s de B C y A B respectivam ente , R D = 3 A R . S i R C s e expre­ sa co m o u n a co m b inació n lineal de P Q y P A , hallar el producto de lo s escalares.

Solución. S e a n m , n e R los e sc a la re s tales que R C = m PQ + n PA En el A R D C s e tiene : RC = RD + D C = 4 Á D + DC = 4 BC + Á B 4 4 ■=> m A B + n A D = j A B + -j A D «=* (m - l/4)ÁB + (n - 3/4)ÁD = O

=

-J- (2 BP) + 2 Á Q = y (Q P - Q B ) + 2 Á Q

=

| (Q P - Á Q ) + 2 Á Q = | Q P + ± Á Q

C o m o Á B y Á D s o n linealmente in dependientes ■=> m - 1/4 = 0 y n - 3/4 = 0 m + n = 1

= - 4 PQ + t (PÁ + PQ) = - PQ + T PÁ L u e go , s i :

m PQ + n P A = - PQ + y P A

1 00

Capítulo I: Vectores en el plano

Solución. S i A C = A B + B C <=> A B = A C - B C

=> ( m + l)P Q + ( n - 1/2)PA = O Com o

P Q jfP A

Sección 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores

>=> m + 1 = 0 y n -l/ 2 = U e s m = -I

, n = 1/2

(1) (2)

E n el A B D C : B C = D C - D B = -i-Á C - D B

m n = -1/2

101

I Com o el A A B C e s equilátero , el punto H e s tam bién su baricentro , por lo qu e :

Ejemplo 14 J

S e a A B C D un p a ra le lo g ra m o

, M un p unto s o b re el lado BC.

S i el área del A A B M e s igual a la mitad del áre a del

HB = ¿ DB

c=> D B = 4 H B

cuadriláte­ Lue go , en (2 ):

ro A M C D y A M = r D C + t A D , hallar el valor de r + 3 1.

Solución. S i área ( A M C D ) = 2 áre a ( A A B M )

BC =

A C - HB

Sustituyendo en (1) s e tiene :

t=> área ( A B C D ) = 3 áre a ( A A B M ) áb

L u e g o , (B C ) h = | ( B M ) h

<=*

= Á c - (í \

B M = -| B C

En el A A B M : A M = Á B + B M = D C +

2á

c

- 1

2 l Tb )'

= I

2

S i n Á c - m iTÍJ = 4 -Á C + ¿ Í? B »

BC

A ± + m

Si r DC + tÁ D = D C + | .Á D

i . . n

ác

+ 4 iTb

2

n = i

y m = -|

4 * 2 - 4 3 3

c=> ( r - l) D C + (t - 2/3)ÁD = O C o m o D C K A D => r - l = 0 => r = l

y

y

t - 2/3 = 0

t = 2/3

Ejemplo

17 ^

r+3t = 3

E n la F igu ra 1.122 , A B C D e s un p arale lo g ra m o d o n d e M y s o n p u ntos tales que D N = ^ D C y M e s punto m edio de BC .

Hallar los n ú m e ro s r y s e R , tales que A R = r A C y N R = s NM .

Ejemplo

15^

E n el p aralelogram o A B C D de la F igu ra 1.120 s e cum ple : AE ED

1 n - 1

y

AP AC

1

Solución. E n el A M C N : S i M = m A P - n A E , d e m o stra r

m

que M = A B

N M = Ñ C - M C = -i-D C -

\ BC

Com o D C = A B y B C = A D

D em ostración. E n efecto , en el A A B C :

=* N M = i- A B - l. A D

Á B = ÁC - BC = ÁC - ÁD En el cuadrilátero A D N R se tiene :

= Á C - ( Á É + ÉD) = Á C - Á É - E D

ÁR = Á D + DÑ + ÑR = ÁD + -| d C + sÑ M

D e las ra z o n e s d a d a s : Á C = m .AP y É D = (n - l) Á É

= Á D + -jÁ B +

= * Á B = m Á P - Á E - (n - I ) Á E = m Á P - n A E M = ÁB

Ejemplo

16 )

■

E n la Figu ra 1.1 2 1, el A A B C e s equilátero. S i A B don d e H e s el ortocentro , hallar el valor de :

.(*

=n AC

- m HB,

+ « )Á 6

s ( 4- Á B - 4 Á D )

+ (| . -| )A D

(1 )

A h ora , si A R = r A C <=> A R = r ( A B + B C ) = r A B + r A D De (1) y (2) s e sig u e q u e :

( 4 + -|) a

b

+ (l - 4 )

ad

= r AB + r AD

(2)

Capítulo I: Vectores en el plano

102

EJERCICIOS

E JE R C IC IO S : Grupo 12

■ = > (§ + - § - r ) A B + ( l - - | - r ) A D = 0 Com o

Á B K Á D => ( | + -| - r = o )

a

(l - ■§ - r = o)

o

103

Grupo 12

r = 4/5 ,

s=

2/5

■ E n los ejercicios 1 al 4 , s e a n A y B vectores linealmente independientes. P ara q ué va lo re s de m tend rem os que C y D s o n linealmente independientes.

L a F ig u ra 1.123 e s u n a p a ra le lo g ra m o , e n elcual M divide al

1.

C = 3 A + (m + 3 )B

se gm e n to B C en la razón 1/3 y N divide a A B en la razón 2/3.

2.

C =A - 2 B

3.

C = (m + 1 )A + B

,

D = 4 A + (m + 1)B

4.

C = 2 A + (m + 2 )B ,

D = 3 A + (m -1 )B

5.

S i A y B form an una b a s e en R : , dem ostrar q u e los vectores C = 5 A - 2 B y D =

E n que razón divide P a D N y A M .

7

Solución. D e s ig n e m o s por r y s la s ra z o n e s en f

"J

que el punto P divide a A M y D N respectivam ente , esto e s : r =

AP

y

s -

3

DP 6.

L o s ve cto re s Á D , D P y P Á s o n L. I . , lu e go :

ÁD + D P + P Á = 0

,

,

D = (m - 4 )A - 4 B

D = 3 A + m B

A + 4 B tam bién form an un a b a s e en R :.

H allar los va lo re s de m para los ve ctore s d a d o s s e a n L. I. a) A = , B = <2m , -1}

(1)

A h o ra , el ob je tivo e s e x p r e s a r D P y P A . e n

7.

Fijado el vector C en R - , e n to n ce s C e s e xp re sa b le y en form a única, co m o una co m b in ació n lineal de los sig u ie n te s p a re s de vectores

FIGURA 1.123

v

b) A = (2 , 2m - 3) , B = <1 - m , -5)

térm inos de Á D y Á B , d o s vectores linealm ente

a) A = (-5 , 10) , B = <3 , -6)

c) A = (V6/2 , -6) , B = <-5/4 , 5^6/2)

independientes.

b) A = (2 , 4) , B = (-1/2 , -1)

d) A = (3 , -1/2) , B = (-12 , -2)

E n el A A N D : Á D = A N + N D = A N - D N <=> D N = A N - A D =

AB - AD

Si s = — => D P = s D Ñ => D P = s ( 4 Á B - Á D ) DN v5 E n el A A B M : Á M = Á B + B M = Á B +

Esta b le ce r el valor de verdad de c a d a afirmación.

(2)

8.

C u á n t a s b a s e s de R- s e p u ed e n obtener co n ellos. 9.

^ BC = AB + ^ A D

D a d o s lo s vectores: A = (1 , 2 ) , B = (-1 , 2 ) , C = (1 , 1 ) , D = (2 , -4) y E = (-3, 6).

Hallar la s c o o rd e n a d a s del vector A = (1 , 2 ) respecto de la b a se p = { ( 2 , -1 ), <-1 . 1) }-

Si r =

APAM

c=> Á P = r Á M

<=> PA = - r A M = - r Í A B + j A D ) H

(3)

10.

Halle las c o o rd e n a d a s del vector A = (1 , 3 ), respecto de la b a se p = { ( - 2 , 1 ), <1 , 2 ) } .

Su stitu ye n d o (2) y (3) en (1) s e tiene : A D + s ( | A B - A D ) - r (A B + j A D ) = O

11.

S e a { u . v } u na b a se de R : . u = (1 , 3 ), v = (-5 , 1). S i A = (-2 , 6) y si A = r

==> (l - s - -£ )Á D + ( - | s - r ) A B = 0

a) C o m p ^ A = r

= ° ) A ( A S - T = O)

b) r + t = 5/2

c) u l A 1

Esta b le ce r el valor de ca d a afirm ación

C o m o A D K A B , s e sig u e que : (l - S - I

u+

t v , e n to n ce s :

f = yj- , s =

JJ

■

12.

Si C = 3

u + 5 v. d ond e { u , v } e s un a b a se de R :, A = 3 u - 5 v , B = - u + — v 5

y C = r A + s B , d on d e

3

J,A . B } e s otra b a se de R : ; determ inar los va lore s de r

y s. 13. D a d o s los ve cto re s A , B y C

, A * B ^ O , s e a P = (C ; A , B ) el vector que

sa tisfa ce la s d o s co n d icio n e s sig u ie n te s : a)

P (C ; A . B ) e s paralelo al vector A

Capítulo I: Vectores en el plano

104 b)

EJERCICIOS :

Grupo 12

105

P ro y BiP ( C : A . B ) = P ro y Bi C

D e m o stra r q u e : P (C : A , B ) + P (C ; B , A ) = C 14.

S i { A , B , C } c R 2 s o n ve cto re s no n ulo s , s e afirm a : a) S i { A , B } e s b a s e de R : =* {P r o y BA . P ro y AB } e s b a s e de

R2

b) i A , B , C } e s linealm ente dependiente c) { A , B } e s b a s e de R 2 >=> A 1 B Determ inar el valor de verdad de c a d a afirmación. 15.

Halle las fórm ulas del ca m bio de b a s e , sie n d o u, = 3 v, + v 2 , u 2 = 4 v, y determ ine las c o o rd e n a d a s del vector

u respecto de la b a s e

P’ =

{v, ,v 2}

3v 2 ,

23.

y ^ = § ; a) E n qué razón divide P a D N y A M NB J

b) C a lcu la r el área del triángulo A P D .

E n el triángulo A B C de la Figura 1.125 , las longitudes de los se g m e n to s B D y

24.

D C s o n 3 y 5 respectivam ente. S i Á D = m Á B + n A C , hallar el valor de m + n. 18.

E n la F igu ra 1.131 , A B C D e s un p arale logram o de 2 2 0 u2 de área. != ; = o MC ^

E n el triángulo A B C de la Figura 1.124 s e tiene, A M : M C = 3 : 4. S i B M = r B A + t B C , hallar el valor de r + t.

17.

E n el p arale logram o A B C D de la Figura 1.130 s e tiene : B C = 4 B E y F e s punto m edio d e A C . S i E F = m A C + n A B , hallar el valor de m - n.

si

respecto de la b a s e p = {u, , u 2} s o n (3 , -2). 16.

22.

E n el triá n g u lo A B C de la F ig u ra 1 .1 3 2 s e tiene : A D y C E s o n m e d ia n a s y P M 11 B A . Hallar m y n tales que A P = m P M + n BC.

S i M y N s o n p u ntos de trisección del lado B C del triángulo A B C (F igura 1.126) y Á Ñ = m Á C + n A B , hallar el valor de

^

.

25. E n el plano , s e a A B C D un cuadrilátero d a d o y s e a n M y N p untos m e d ios de los la d o s A B y C D respectivam ente , y s e a n E y F p u ntos m e d ios de los la d os B C y A D respectivam ente. S i M N n É F = { Q } , (Á B y C D la d os op u e sto s) a) D e m o stra r que Q A + Q B + Q C + Q D e s el vector nulo 19.

E n la Figu ra 1.127 , A B D C e s un paralelogram o, P punto m edio de C D , E punto

b) S i C D = r M E + s A F , hallar r y s

m edio de B D . S i C B s e e x p re sa c o m o u n a co m b in ació n lineal de A P y A E , hallar el producto de lo s escalares.

26. S e a n A , , A 2 ...... A n , n p untos de R :. S i O A , + O A 2 + .....+ O A n s e e x p re sa co m o co m b in ació n de O A l , A , A 2 , A 2A 3 , ... A^ t A n , hallar la s u m a de los e sca la re s.

20.

E n el cu ad riláte ro de la F ig u ra 1.12 8 s e tiene : E e s p unto m e d io d e A D , F y G s o n p untos de trisección de B C y M e s punto m edio de EF. S i A M = a A D +

27.

S e a el p a ra le lo g ra m o A B C D de la F ig u ra 1.133. S i P , Q , R y S s o n p u n to s m e d io s de los la d os y T e s el punto de intersección de O B y P Q , hallar m y n, si

b A B + c B C , hallar el valor de a + b + 3c

AT = m B D + n OC. 21.

E n la F igu ra 1 .1 2 9 , A B C D e s un p arale lo g ra m o , P C = 3 BP. S i B C = m B G + n A P, hallar el valor de m - n.

28.

La F igu ra 1.134 e s un p aralelogram o en el c u a l , E divide al se gm e n to A C en la razón 3/2 , F e s punto m edio de B C . E x p re sa r M = D E + A F c o m o com binación

Capítulo I: Vectores en el plano

106

107

Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental

ción el u s o de un vértice cualquiera c o m o origen de lo s vectores (Figu ra 1.136), en

lineal de A D y A B . 29. E n el triángulo A B C de la F igura 1.135 s e tiene que P , M y N s o n p u ntos m e d ios —> —> —> de lo s lados. Hallar m y n s i : n N B + n C M = B O .

otros c a so s, el vector de p osición de ca d a vértice o punto fundam ental de ca d a figura geom étrica. A s í , en la Figu ra 1.137 , el vector de p osición del vértice A se rá d e sign a d o por a (en n e g rita ), el se g m e n to A B por b - a , el se gm e n to B C por c - b , etc. L o s ejem plos sig u ie n te s darán un a mejor ilustración de lo que s e sugiere.

Ejemplo

1

J

Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.

D em ostración. Hipótesis. Sea ABCD un paralelogramo M punto medio de la diagonal AC

1.14j L O S V E C T O R E S Y L A G E O M E T R IA E L E M E N T A L _______

N punto medio de la diagonal BD

Tesis. L a s relaciones e sta b lecid a s p ara lo s ve cto re s en R : constituyen instrum en­ tos de sin gu la r im portancia para el tratamiento de ciertos c o n c e p to s de la

Demostraremos que : M = N

En efecto , AM = ^-ÁC «=> m - a = y ( c - a)

Geometría

Elemental. A lg u n a s v e c e s una a prop iad a aplicación de m étod os vectoriales facilita­ rá la interpretación y dem ostración de p ro p o sicio n e s geom étricas.

m = 4 (a + c)

Análogamente , BÑ = \ BD

n = - l ( b + d)

S e d eb e destacar, sin e m b a rgo qu e a v e c e s e s n e ce sa rio el u s o de las c o o rd e n a d a s ca rte sia n a s para facilitar las dem ostracione s. El em p le o de un siste m a

Por ser A BCD un paralelogramo ;D C = ÁB «=> c - d = b - a

rectangular e s arbitrario en lo qu e s e refiere a la orientación y colocación de los ejes

Sumando a + d a ambos miembros de esta igualdadse tiene

c o o rd e n a d o s y esta relación no h ace perder generalid ad al teorem a.

r

' ^

r

c -d

\

A

+ (a + d) = b-

a

+ (a + d) >=> a + c = b+ d <=> \ ( a

+ c) =

4(b + d)

Por lo tanto , m = n , esto es : M = N

■

b-a /

aj

a/

A ■

c

v--------------------------------------------------------

FIGURA 1.137

z'

*

2 J

D e m o stra r que el se g m e n to de recta q ue un e lo s p u n to s m e ­ dio s de los la d o s de un triángulo e s paralelo al tercer lado , y su

\

/ O

Ejemplo

\

C

longitud e s la mitad de la longitud del tercer lado.

Dem ostración. Hipótesis.

--------------------------- J FIGURA 1.136

E s oportuno resaltar qu e cu a n d o s e u sa n m étod os vectoriales para la d e ­

S e a el A A B C , d on d e M y N s o n p u ntos m e d io s de la la d o s A B y B C re sp e c tiv a ­

mente.

Tesis.

P ro b a re m o s que MN11 A C y 11 MÑ11 = -A-I |A C 11

m ostración de teorem as, no e s importante ubicar la figura en un a determ inada p o si­ ción en el siste m a coordenado; sin e m b a rgo e s re co m e nd able tener en c o n sid e ra ­

En efecto, A B = 2 A M => b - a = 2(m - a) <=> m = 4 (a + b)

F|GURA 1.139

108

Capítulo I: Vectores en el plano

2B Ñ

A n á lo ga m e n te : B C = D a d o qu e

MN =

n-m

=>

c - b = 2(n - b)

<=> M N = 4

(b + c) -

co

n = -L(b + c)

-ÿ(a +

Tesis. S e va a d em ostrar que : M Ñ = -i- ( Á D - B C )

b)

En efecto , si

<=> M N = -J¡-(c - a) <=> M N = Í A C P o r lo tanto , M Ñ

11Á C

y

IIMÑ il = \\I

ÁC

3

]

AM = BÑ =

11

|AC

<=> m =

y B D ■=> n =

l(b +

A h ora , M N = n - m «=> M N = 4 "(b + <=> M Ñ = -i-

Ejemplo

109

Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental

(d - a)

d) -

\{a + c)

d) 4p(a + c)

- i - (c - b) = i (Á D ) - | (B C )

D e m o stra r q ue los p untos m e d io s de los la d o s de un cuadrilá­ M N = -i- ( Á D - B C )

tero s o n los vértices de un paralelogram o.

D em ostración. Hipótesis. A B C D e s un cuadrilátero , M , N , T y S

Ejemplo

5 JS e a n

s o n p u ntos m e d io s de los lados.

Tesis.

P ro b a re m o s qu e M N 11 S T y M S 11 N T

E n efecto, A M = BN

=

\ A B ■=> m = \ (a + 4 BC

M , N y R lo s p u n to s m e d io s de los la d o s de un A A B C y

s e a P un punto exterior al triángulo. D e m o stra r que

:

PM + PÑ + PR = PÁ + PB + PC

b)

Demostración.

<=> n _= \I (b + c)

Hipótesis. S e a el A A B C , M , N y R p untos m ed ios de s u s la d os y P un punto exterior. En ton ce s :

MN

= n - m = \ (b + c) - -JL(a + b) = ÿ (c - a)

L u e g o , M Ñ = 4 -A C «=> M Ñ I I Á C A s í m ism o : Á S = -i- A D <=> s = -i- (a + d) y com o : S T =

t- s

=

|(c

m = -±-(a + b) , n = ^ -(b + c) , (1)

; CT

PM + PN + PR = = y CD

t

+ d ) - -^-(a + d) = i ( c - a) = ± Á C

=

\ (c + d) S T lIÁ C

= (2)

(n -

p) + (r - p)

- p) + ( b + C .p ) + ( a ^ c , p )

FIGURA 1.142

= i.(a-p + b-p) + -±.(b-p + c-p) + ¿(a - p + c - p)

D e (1) y (2) s e d e d u ce que : M Ñ 11 S T y 11 M Ñ 11 = 11 S T 11 A n á lo ga m e n te s e dem u e stra q u e : M S l i N T y 11 M S 11 = II N T

(m - p) +

r = \ { a + c)

= (a -

p) +

11

(b -

p) +

(c -

p)

/. P M + P Ñ + P R = P Á + P B + r c

■

P o r lo tanto , el cuadrilátero M N T S e s un paralelogram o.

Ejemplo ! Ejemplo

4j

6 j

res.

D e m o stra r que en todo trapecio el se gm e n to de recta que une los p untos m ed ios de las d ia g o n a le s , e s igual a la sem idiferen-

D e m ostrar que las d iagonale s de un rom bo so n perpendicula­

D em ostración.

cia de las b a se s.

Hipótesis.

D em ostración.

Tesis.

Hipótesis. A B C D e s un trapecio , M y N s o n p untos m e d io s de las d ia g o n a le s A C y

En efecto , en el A A B C :

B D respectivam ente.

S e a el rom bo A B C D

P ro b a re m o s que A C 1 B D ÁC = ÁB + BC

y en el A B C D : B D = B C + C D => B D = B C - D C

(1)

Capítulo ¡ : Vectores en el plano

110

C o m o D C = A B (la d o s o p u e sto s de un r o m b o ), e n to n ce s : BD = BC - ÁB

111

Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental

En efecto , si Á M = m - a <=> Á M = - i (b + c) - a =

(b + c - 2a)

(2) B N = n - b <=> B N = -J¡- (a + c) - b = J_(a + 'c - -b )

M ultiplicando e scalarm e n te la s e c u a c io n e s (1) y (2) s e tiene: Á C • B D = (B C + Á B ) • (B C - Á B )

CP = p -

C P = ± (a + b) - c = i (a + b - 2c)

c =>

= 11 B C 112 - 11 Á B 112 ; pero , 11 B C 11 = 11 Á B 11 P o r lo tanto , A C • B D = 0 «=> Á C ± B D

Sean :

■

= r , AM

— -= s BN

y

— CP

= i , e n to n ce s la -

expresión vectorial q ue define al baricentro para ca d a m ediana e s

AG

Ejemplo

7 J

D e m o stra r por m étod os vectoriales , que un triángulo inscrito

= r AM <=> g = a + r ÁM = a +

(b + c - 2a)

(1)

BG = sBÑ<=>g = b + sBÑ = b + -y(a + c-2b)

(2)

en un se m icírcu lo e s un triángulo rectángulo.

CG

D em ostración. Hipótesis. S e a el ABA C inscrito en el sem icírculo

A h ora , de

= tC P => g = c + tC P = c+ 4-(a + b-2c)

(1) = (2 ),

: a + -y (b + c - 2a)=b +

s e sig u e que

(3) (a

+ c - 2b)

de centro O (F igu ra 1.144) <=> (2 - 2 r - s)a + (r + 2 s - 2 )b + (r - s)c =

Tesis. P o r d em ostrar que B A C e s un triángulo rec­

Com o a . b y c

s o n linealmente indep end ientes , e n to n ce s :

tángulo. B a sta rá probar qu e A B 1 A C

2 - 2 r- s = 0 , r + 2s - 2 = 0 , r - s= 0

E n efecto , en el A A O B : A B = A O + O B

de d o n d e o b te n e m o s : r = s = 2/3

(1)

A n á lo ga m en te , de (1) = (3) s e obtiene : r = i = 2/3

y en el A A O C : A C = A O + O C , pero Ó C = - Ó B « = > Á C = Á b - Ó B

O

m e d ia n a s s e interceptan en el punto G a 2/3 de Á M ,B Ñ y CP.

Por tanto , la s

(2)

Multiplicando e scalarm e n te (1) en (2) s e tiene :

I Nota.

Á B • Á C = (Á O + O B ) • (Á 6 - O B )

■

Si sustituimos los valores de r , s ó t en las ecuaciones (1), (2) ó (3),respectivamente, se obtiene la ecuación vectorial que define al baricentro de un triángulo , esto es :

= ÁÓ • Á O - Á O •Ó B + Ó B • Á Ó - ÓB •ÓB

g =

j (a + b + c)

= 11 Á Ó 112 - 11 Ó B 112 P e ro , 11 Á Ó 11 = 11 O B 11 por se r radios del sem icírculo .-. Á B • Á C = O => Á B ± Á C

*

■

Ejemplo

9 j

A B C y A ' B ’ C ’ s o n d o s triángulos , G y G ’ s o n s u s baricentros. D e m o stra r que : A A ’ + B B ’ + C C ’ = 3 G G ’

f Ejemplo

8 J

D e m o stra r q ue la s m e d ia n a s de un triángulo

s e cortan en un

punto cu y a distancia a ca d a vértice e s los d o s tercios de la distancia que s e p a ra a la m ed ian a de dicho vértice.

Demostración.

E n efecto ,

AA’ = BB’ =

CC’ = c’- c S u m a n d o s e tiene : A A ’ + B B ’ + C C ’ =

D em ostración. Hipótesis. S e a n Á M , B Ñ y C P m e d ia n a s del A A B C

a’- a b' - b

(a’ + b’+

Por la nota h e ch a en el ejemplo 8 : A A ’ + B B ’ +

c ’) -

(a + b +

CC = 3 g ’ - 3 g

Á Á ’ + B B ’ + C C ’ = 3 (g ’ - g) = 3 G G ’

Tesis.

P ro b a re m o s que

-

AG

BG CG 2 =— = — = -

c)

■

112

Capítulo I: Vectores en el plano

E je m p lo

10 J

Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental

D e m o stra r q ue en un tetraedro , las lín e a s q u e u n e n lo s puntos

Ejemplo

12 J

m ed ios de los la d os o p u e sto s s e b ise c a n m utuam ente.

D e m o stra r que las tres alturas de un triángulo s e interceptan en un punto llam ado

D em ostración.

Demostración.

ortocentro.

C o n s id e re m o s el triángulo A B C

Hipótesis. S e a el tetraedro O A B C y s e a n PQ y R T

en el cual tra za m o s la s alturas

d o s lín e a s que unen los p u ntos m e d io s

correspondientes a lo s vértices A y C los c u a le s

de d o s la d os op u e stos.

se interceptan en el punto O. P a ra facilitar los cá l­

Tesis.

culos s u p o n e m o s que este punto e s el origen de

P ro b a re m o s que M = N

E n efecto , tom and o el vértice O co m o origen , la

coordenadas. Al unir O con el vértice B , la p rop o­

e xp re sió n vectorial que define el punto m edio de

sición q u e d a rá d em ostra d a si p ro b a m o s q ue Ó B

M de PQ e s :

es p erpendicular a AC .

m = 1 (Ó P + Ó Q ) = i

En efecto , si O A 1 B C

<=> a • (c - b) = 0

(1)

Ó C1ÁB

=> c - ( b - a ) = 0

(2)

[ i (Ó Á + Ó B ) + I ó C ]

FIGURA 1.146

1 m = -L (Ó Á + Ó B + Ó C )

Ahora , s u m a n d o (1) y (2) n o s da

(1)

a *c -a *b + c *b -c *a A s í m ism o s , p ara el punto m edio N de R T s e tiene : n = I (Ó R + Ó T ) = 1

[ ~ (Ó B + Ó C ) + I

D e (1) y (2) s e s ig u e que :

Ó Á ] => n = 1 (Ó Á + Ó B + Ó C )

m = n <=> M = N.

113

<=> b • (c - a) = 0 ==> Ó B • Á C = 0 »

Ó B 1 ÁC.

■

(2) ■

I

Ejemplo

13 j

D e m o stra r q ue las m e d ia t i­ c e s de los la d o s de un trián­

gulo s e cortan en un punto llam ado E je m p lo

11 }

D e m o stra r que la su m a de los c u a d ra d o s de la s d ia g o n a le s de

D em ostración.

un p aralelogram o e s igual a la s u m a de los c u a d ra d o s d e s u s

excentro.

E n el A A B C tr a z a m o s la s m ediatrices de lo s la d o s A B y BC ,

lados.

las cu a le s s e interceptan en el punto O. U n im o s O

D em ostración. S e a el p aralelogram o A B C D

con P , punto m edio de Á C . P a ra d em ostra r la pro­

Si B D = Á D - Á B

posición b astará probar que O P e s perpendicular

<=> Il B D II = 11 Á D - Á B II

a ÁC.

c=> || B D 112 = 11 Á D I I 2 + 11 A B 112 - 2 Á D • Á B

En efecto , por definición de mediatriz.

(1)

Ó Ñ1BC

y si : Á C = Á D + D C = B C + D C c=> | | á

c

I|2= I |b

c

||2= ||d

c

II: + 2 B C * d c

(2 )

11 B D 112 + 11 Á C 112 = 11 Á D 112 + 11 Á B 112 + 11 B C 112 + 11 D C I I2 + 2 (B C • D C - Á D *'Á B )

■

(1)

En el A O N P : Ó P = Ó Ñ - PÑ <=> Ó P * B C = Ó Ñ * B C - P Ñ * B C

D a d o que : Á B = D C y Á D = B C (lados o p u e sto s del p aralelogram o) Il B D I I 2 + II Ä C l M = I I Ä D II1 + I I Ä B l l * + Il B C 111 + U D O I I 2

<=> Ó M * Á B = 0

= * Ó P • Á B = Ó M • Á B + N ÍP • Á B <=> Ó P • Á B = M P • Á B

S u m a n d o (1) y (2) s e tiene :

«

■=> Ó Ñ • B C = 0 y Ó Ñ 1 1 A B

En el A O M P : Ó P = Ó M + M P

■=> Ó P * B C = -P Ñ • B C

(2)

La s u m a de (1) y (2) da : Ó P • (Á B + B C ) = M P • Á B - P Ñ • B C D ado qu e , M P = y B C

y P N = 4 A B , (Ejem plo 2 ) , e n tonces

Ó P . Á C = i - ( B C . Á B ) - i - ( Á B . B C ) = 0 => Ó P 1 Á C

■

Capítulo I: Vectores en el plano

114 E je m p lo

1 4 ]

S ¡ A , B , C y D s o n vértices de un cuadrilátero , d em ostrar que

Sección 1.14: Los vectores y la geometría elemental De (1) y (2) s e sig u e que :

(2 - 1) (d - c) + t(a - c) = r(a -

115 c) + 2 r ( d - c)

<=> (2 - 1 - 2 r) (d - c) + (t - r) (a - c) = O —> —> y D ado que los vectores C D y C A s o n linealmente inde p en d ie n te s

Á B + Á D + C B + C D = 4 PM de d o n d e P y M s o n p u n to s m e d io s de las

=> (2 - 1 - 2 r = 0)

d ia g o n a le s A C y BD . R e solvie n do

a

(t - r) = 0

el siste m a ob te n e m o s : t = r = 2/3

■

D em ostración. E n efecto , PM = PÀ + ÁB + BM

E JE R C IC IO S : Grupo 13

PM = PÀ + Á D + D M PM = PC + C B + B M

1.

D e m o stra r que las d ia g o n a le s de un rectángulo s o n de la m ism a longitud.

S u m a n d o o rd e n a d a m e n te e s ta s cuatro

2.

D e m o stra r qu e las d ia g o n a le s de un cu a d ra d o s o n perpendiculares.

igu a ld a d e s o b te n e m o s :

3.

PM = PC + C D + D M

4PM = ÁB + ÁD + CB + CD + 2(PÀ + PC) + 2 (BM + DM)

D e m o s tra r q u e el p unto m ed io de la h ip o te n u sa d e un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices del triángulo.

4.

A h o ra , c o m o : P C = - P Â y D M = - B M , e n to n ce s 4PM = ÁB + ÁD + CB + CD

D e m o stra r q u e la s d ia g o n a le s d e un trape cio y la recta q u e u n e lo s p u n to s m ed ios de los la d o s paralelos, s e cortan en un m ism o punto.

5. D e m o stra r q ue el se g m e n to de recta que une los p u ntos m e d io s de los la d o s no

Ejemplo

parale los de un trapecio e s paralelo a las b a s e s , y s u longitud e s igual a la

1^)

S e a n los puntos no co lin e ales A , B , C y D. S e a O un punto tal que Ó A = a , Ó B = b , O C = c , O D = d. S i s e verifica que b - a =

2 (d - c ) , d em ostrar que el punto de intersección de los s e g m e n t o s A D y B C e s punto

mitad de la s u m a de la s longitudes de las b a se s.

6. D e m o stra r que las m e d ia n a s de los la d os igu a le s de un triángulo isó sc e le s so n de la m ism a longitud.

de trisección de e sto s se gm e n tos. 7.

D em ostración. Hipótesis. Tesis.

A , B , C y D s o n p u ntos no co line ales y b - a = 2 (d - c)

8. D e m o stra r que si las rectas que contienen a d o s la d o s o p u e sto s de un cuadri­

P ro b a re m o s que s i : r =

PB CB

l= y

AP AD

látero s e interceptan en un punto S , y las rectas qu e contienen a los otros d o s ^

la d o s del cuadrilátero s e interceptan en un punto T , e n to n ce s el punto m edio

r = t = -

=

(b - a) - 1 (d - a) 2 (d - c) - 1 (d - a)

drilátero. (Su g . C o lo q u e el origen en uno de lo s vértices del cuadrilátero).

\

r-

9.

Z\ d\

(Hipótesis)

P o r el artificio de su m a r y restar t c se tiene :

= 2 (d - c) - 1(d - a) + (t c - 1c) = 2 (d - c) - 1 (d - c) + t(a - c) = (2 - 1) (d * c) + t(a - c) S i PB = r C B <=> P B = r(b - c) = rb - r e , de la h ipótesis : b = a + 2d-2c

del se g m e n to S T e s colineal con los p untos m e d io s de las d ia g o n a le s del c u a ­

c

E n efecto , en el A A P B : PB = A B - A P = A B - t A D c=> p b =

D e m o stra r q ue lo s p u n to s m e d io s de d o s la d o s o p u e sto s de un cuadrilátero y los p u ntos m e d ios de s u s d ia g o n a le s so n vértices de un paralelogram o.

D e m o stra r q u e la s u m a de los c u a d ra d o s de las d istan c ia s d e un punto cua l­ quiera del plano a d o s vértices o p u e sto s de un rectángulo e s igual a la s u m a de los c u a d ra d o s d e la s d istan cia s del punto a los otros d o s vértices.

PB

/b (1)

10.

D e m o stra r la iguald ad vectorial O A + ( ^ + Ó C = Ó P + Ó Q + O R , sie n d o O un punto cualquiera interior al A A B C y P , Q y R los p u ntos m e d io s de los la d o s A B,

i

A

B C y C A , respectivam ente.

11.

FIGURA 1.151

«=> PB = r(a + 2d - 2c) - re = r(a - c) + 2 r(d - c)

(2)

D e m o stra r que la su m a de los c u a d ra d o s de los la d o s de cualquier cuadrilátero e xce d e a la s u m a de los cu a d ra d o s de las d ia g o n a le s en cuatro v e c e s el c u a ­ drado de la línea que une los p untos m ed ios de la s diago n ale s.

116

Capítulo I: Vectores en el plano

12.

D a d o s lo s p u ntos A , B , C , D , E y F ; s i P , Q , R y S s o n lo s baricentros de los

Sección 1.15: Los vectores y la Física la su m a vectorial de los vectores de velocidad de c a d a m ovim iento.

triángulos A B C , A B D , D E F y C E F , d em ostrar q u e P , Q , R y S s o n los vértices de un paralelogram o. 13.

Otra aplicación s e refiere a las fuerza que actúan so b re u na partícula en el e spacio ; en este c a s o , a las d iv e rsa s fu e rza s q ue actúan so b re u na partícula s e les

D e m o stra r q u e la s tres bisectrices de los á n g u lo s de un triángulo s e intersecan en un punto llam ado

incentro.

representa m ediante vectores : F , , F 2 , F 3 ........... F n , e n to n ce s la s e g u n d a ley de Newton , establece que el m ovim iento de un a partícula e stá descrita por la ecuación

14. D e m o stra r q ue la s u m a de los c u a d ra d o s de la s longitud es de las tres m e d ia n a s

vectorial m a = F, + F 2 + F 3 + ......... + F n

de cualquier triángulo e s 3/4 de la s u m a de lo s c u a d ra d o s de lo s tres lados. 15.

16.

117

S i en la F ig u ra 1.152 , A B C D e s un p a ra le lo g ra m o , d o n d e M y N s o n p u ntos

donde m e s la m a s a de la partícula y a la aceleración. E n e sta ecuación la m a s a m

m e d io s de A B y B C respectivam ente , probar q ue lo s se g m e n t o s D M y D N

e s un e s c a la r , en tanto que la aceleración a e s un vector.

trisecan a la d iago nal A C .

S i e s el c a s o de qu e la partícula e stá en re p o so la s u m a de los vectores de las

E n la F igu ra 1 .15 3 , A B C D e s un p a ra le lo g ra m o , tal qu e P , Q , R y S s o n puntos

fuerzas e s cero , esto e s Fi + F2 + F 3 . . . . + Fn = 0

q ue dividen a los la d o s Á B , B C , C D y D A , respectivam ente , en la razón 2/1. D e m o stra r qu e P , Q , R y S so n vértices de un paralelogram o.

,--------------- EJEM PLO S ILUSTRATIVOS )-------------- , I

[ E je m p lo

1^]

U n h om b re sa lta d e s d e un au tom óvil en m a rc h a de m a n e ra que si el co ch e h u b ie se e sta d o quieto , s u velocidad habría

tenido m agnitud 10 km/h y habría form ado un á n gu lo de 6 0 2 con la dirección al frente 17.

18.

D a d o un triángulo cualquiera , dem ostrar q u e existe otro triángulo c u y o s la d os

del automóvil. S i el c o ch e a v a n z a a 3 0 km/h , con qué velocidad sa le el hom bre del

s o n igu a le s y parale los a la s m e d ian a s de aquel.

automóvil.

E n el triángulo A B C , s e a D el punto m edio de B C . D em ostrar, u s a n d o vectores,

Solución. S e a V, , el vector ve locid ad del c o ­

q u e : 11 A B 112 + 11 A C 112 = 2 11AD 112 + ±

11 B C 112

ch e y V , , el vector velocidad que le co rre sp o n d e ría al hom bre si el c o c h e h u b ie se estado quieto.

(1.15) LOS V E C T O R E S Y LA FISIC A _____________________ .____________

E n to n ce s la velocidad real del hom bre e s :

El em pleo de vectores en la F ísica e s frecuente , la fuerza , la aceleración y

L u e g o , V, = 30 < C o s 0o , S e n 0o) = 30 <1 , 0)

v = v l+ v2

la velocidad s e representan m ediante vectores en las q u e la dirección del vector

V, = 10 ( C o s 240°, S e n 240°) = 5 <1 , -V3>

e stá d a d a por la dirección de la cantidad física , en tanto que la m agnitud del vector

Por lo q u e , V = 30(1 ,0 ) + 5 < l , -V 3 > = 5 (7 , -V3>

e s igual a la m agnitud física , en las u n id a d e s aprop iad as.

e s el vector velocidad que d e s e a tener y cu y a m agnitud e s

C u a n d o s e trabaja con ve locid ad e s d e b e m o s tener en cu e nta q u e , en un m ovim iento q u e e s la co m p osición de va rio s m ovim ientos , el vector d e velocid ad e s

II V|| = 5 V49 + 3 = 10 VTJkm/h.

■

Capitulo 1: Vectores en el plano

lis

Ejemplo

2j

U n a e rop lan o vue la h acia el n oreste co n u na ve locid ad de 400 millas/h y el viento hacia el su re ste a u n a ve locid ad de 100

millas/h. C u á l e s la velocidad resultante del a e rop la n o , co n respecto a la tierra , y

Sección 1.15: Los vectores y la Física

119

Por lo tanto , el c u rso que d eb e se g u ir el piloto e s : Norte 6o 46 ’ Oeste. Si I !V

= = p V (V 2 ): + (12 + \ 2): = 25 ^ 3 7 + 6V2 = 25(6.7) km/h , el tiem po q ue tardará

en llegar a s u destino e s :

qu e c u rso d eb e se g u ir el piloto.

200

t=

Solución. R e p re se n te m o s por V, el vector velocidad

II V i l

25(6.7)

8

= — = 1.2 h o ra s 6.7

d ad del ae rop la n o y por V, el vector ve lo­ cidad del viento.

Cjemplo

L a velocidad resultante del a e rop lan o co n respecto a la tierra e s :

4]

Noreste. R e p re se n ta r y hallar el d esp lazam ie n to resultante del

V = V, + V, recorrido.

L u e g o , si V, = 400 (C o s 45°, S e n 45°) = 200\Í2 0 , 1)

Solución.

V , = 100 (C o s 315° , S e n 315°) = 50\/2 (1 , -l> ==> V = 50

E n la F igu ra 1.157 : —> A P = a representa el d esp la za m ie n to de 3

<2 (4 + I , 4 - 1) = 50 \2 (5 , 3>

L a dirección de la velocidad resultante e s _ _V_

km hacia el norte. P Q = b representa el d esp lazam ie n to de 5 km hacia el

= (5 ,3 )

I I V || "

U n autom óvil recorre 3 km h acia el Norte y luego 5 km hacia el

\/34

noreste —> A Q = c representa el desplazam iento resultante del re­

e sto e s , si T g a = j = °-6 = * a = 31°

corrido , e s d e c ir : E n c o n se c u e n c ia , el vector velocidad resultante form a un á n gu lo co n la dirección E ste de 31°, e s d e c ir , s u dirección y se ntido resultan definidos p o r : E ste 31° Norte , c u rso que d eb e se g u ir el piloto.

c = a + b

L a s c o m p o n e n te s de ca d a vector s o n : a = 3 ( C o s 90°, S e n 90°) = 3(0 , 1) = (0 , 3)

® b = 5 ( C o s 45° , S e n 45°) = -| (>/2 , S2)

Ejemplo

3 ]

'

U n a avioneta p e q u e ñ a v u e la a 1 50 km/h si h a y quietud en

el

aire. Q u é c u rso tendrá q u e se g u ir elpiloto c u a n d o h a y viento

de 2 5 km/h que so p la d e sd e el su ro e ste , y que tiem po tardará en llegar a s u destino situado a 200 km al norte.

Solución. S e a V I

el vector velocidad de la a vioneta y

C = ( ¿ V2 , 3 + 4 \ 2 ) =

\

(5V2 , 6 + 5^2)

=> 11 c 11 = i - V ( 5 \2 ) : + (6 + 5V2 )2 = V 3 4 + 15V2 = 7.43 km. La dirección de la resultante está d ad a por T g a = -6 * 5V2 Lu e go , la dirección del vector c q u e d a definido p o r :

V, el vector velocidad del viento . E n to n c e s :

Este.61° 35’ Norte.

= 1.846 *=> a = 61° 35’

■

V , = 1 5 0 (0 , 1 ) = 2 5 ( 0 , 6 > V, = 25 (C o s 45° , S e n 45°)

^2)

Cjemplo

5 ^

V = V, + V, = ^

(\2 , 12 + V2)

A un m aratonista que recorre h a cia el S u r-E s t e a 2 0 km/h , le parece que el viento so p la hacia el E ste ; pero a un ciclista que

L a velocidad resultante de la avioneta e s

va hacia el E ste a 4 0 km/h , le p arece qu e el viento so p la hacia el Sur. Hallar la com ponente de la velocidad del viento en la dirección de un vector que se ñ a la la

12 + \ 2 y s u dirección : T g a = — -j=— -= 9.46 => a = 63° 14’

trayectoria del m aratonista.

Solución. L u e g o , p = 90° - 63° 14’ = 6o 46 ’

L a s re p re sen ta cione s de las ve lo cid a d e s s e ilustra en la Figura 1.158 , donde

Capítulo I: Vectores en el plano

120 V

Sección 1.15: Los vectores y la Física

= (x , y) e s la velocid ad del viento

Solución. A B = B - A = (-3 , 8> - (1 , 5) = (-4 , 3) c=> 11 Á B 11 = 5

V m = V e lo cidad del m aratonista

C D = D - C = (2 , 7) - (-3 , -5) = (5

V c = V e lo cidad del ciclista

F 2 = t C D <=> l l F j l = 1 1| C D 11

V c = 40 ( C o s 0o , S e n 0°) = (40 , 0)

FIGURA 1.158

L u e g o : C o m p V(nV =

+

V aparon«e

=>


<=> 65 = t (13) <=> t = 5

El trabajo W realizado por un a fuerza F al recorrer un e sp a c io S está definido por la ecuación : W = F • S

=> (x , y) = <10\2 , - I 0V 2 ) + 11ÁB 11 (1 , 0) => y = -10V2 V e

r = 10

Por lo que : R = F, + F, = 10(-4 , 3) + 5 <5 , 12) = 15 (-1 , 6>

A h o ra , teniendo en cuenta q u e : V = V m + V
V =

12> «=> 11CD 1 1 = 1 3

Lu e go , si F, = r Á B «=> 11 F, 11 = r||ÁB|| <=> 50 = r (5) «

E n to n c e s V m = 20 ( C o s 45°, - S e n 45°) = <10V2 , -10^2)

A n á lo ga m ente :

121

, >') = (40 , 0) + I I B C || (0 , -1 )

V .V m

<40 , - 10 V 2 ) • ( I 0 V 2 , - 10 V 2)

11 V m 11

V ( 10 V 2): + (- 10 V 2)3

x = 40

Por lo tanto , si

(O b sé rv e s e qu e W e s escalar)

S = P Q = (9 , 5) - (4 , 3) = (5 , 2)

<=> W = 15 (-1 , 6) • (5 , 2) = 105 u n id a d e s de trabajo

Ejemplo

C o rn p VmV = 10(1 + 2 \2 )

8 j

U n S ó lid o de 10 0 kg. d e p e s o e stá s u s p e n d id o p or el centro

mediante u na cu e rd a , tal c o m o s e indica en la Figura

Ejemplo

6 J

1.160. H allar la tensión T en la cuerda. S o b r e un só lid o puntual en P actú an tres

fü e rza s co p la n a re s

qu e s e m ue stra en la F igu ra 1.159. Hallar la fuerza ne ce saria

Solución. S e a n 11T, 11 = 11T, 11 = 11T11 , d on d e las te n sio n e s y el p e s o W e x p re sa d o s en fun­

que s e d eb e aplicar en P para m antener en re p o so al sólido.

FIGURA 1.160

ción de s u s co m p o n e n te s s o n :

Solución. L a s co m p o n e n te s de c a d a fuerza s o n :

T, = 11T I l ( C o s 30°, S e n 30°) = 11T11 (VJ /2 , 1 /2)

F, = 200 ( C o s 30° , S e n 30°) = 100 (V3 , 1)

T, = 11T11 ( C o s 150°, S e n 150°) = 11T 11 (-V3/2 , 1 /2 )

F, = 150 ( C o s 0o , S e n 0°) = 150 (1 , 0)

W = 100 ( C o s 270° , S e n 270°) = 100 (0 , - 1 )

F, = 100 ( C o s 270° , S e n 270°) = 100 (0 , -1)

El siste m a de fu e rza s estará en equilibrio si

L a resultante e s la s u m a de e sta s fu e rza s , esto e s :

T, + T, + W = O

R = F, + F, + F, = 50 (3 + 2^3 , 0)

«=> 11T 11 (V3/2 , 1/2) + 11T 11 (-V3/2 , 1/2) = -100 (0 , -1)

t=> 11 R 11 = 50(3 + 2V3) = 323 kg.

de d o n d e : 11T11 (0 . 1 ) = 100 (0 , 1 )

C o m o se puede o b s e r v a r , el sentido de R e s el m is­

I|T|| = lOOkg.

m o que F, ; luego la fuerza qu e s e d eb e aplicar al

FIGURA 1.159

sólid o puntual para m antenerlo en re p o so e s - R . e s d e c ir , el vector op ue sto a R o a F,

[

Ejemplo

■

9

]

S o b re un cuerpo que d e s ­ c a n s a en un p lan o inclina­

do , actúan tres fue rza s : la gra v e d a d G , una fuerza N de reacción que e s p erpendicular al pla­

Ejemplo

7^)

S e da el siguiente siste m a de fuerza

:

F, de 5 0 kg. qu e actúa

no y una fuerza F de fricción que s e dirige hacia

de A(1 , 5) a B (-3 , 8 ) y F 2 de 6 5 kg. q ue actúa de C (-3 , -5) a

arriba en la dirección del plano. S e define coefi­

D (2 , 7). Hallar la resultante R del siste m a y el trabajo realizado por R al d e sp la za rse

ciente de fricción u , c o m o la razón de 1 1 F 11 a

de P (4 , 3) a Q (9 , 5).

i N

I c u a n d o el á n g u lo \\i de in clin a ción e s tal

FIGURA 1.161

■

122

Capí mio 1: Vectores en el plano

que cuerp o está a punto de deslizarse. D e m o stra r qu e : u = T g

D em ostración.

. EJERCICIOS ;

E JE R C IC IO S : Grupo 14

\\i

E n efecto , u sa n d o la b a s e ortonorm al {5 = {i

, j } , con i en la

dirección del plano inclinado , s e tiene :

1. U n avión recorre 2 0 0 km. hacia el O e ste y luego 150 km. O e ste 60° Norte. Hallar

N = 11 N 11 ( C o s 90° , S e n 90°) = 11 N 11 ( 0 , 1 )

el d esp la za m ie n to resultante , gráfica y analíticam ente.

F = 11 F 11 (C o s 180°, S e n 180°) = 11 F11 (-1 , 0)

2.

A q u é d ista n c ia y en q u é d ire c ció n del p u nto d e p artida s e e n c u e n tra u n a p e rso n a qu e recorre 20m . hacia el E ste 30° S u r , 50m . hacia el O e ste ; 40m .

G = 11G 11 (C os(270° + y ) , Se n(270° + y ))

hacia el N oreste , y 30m . hacia el O e ste 60° Sur.

= 11 G 11 (S e n y , -Cosvy)

--

F<«-

E sta n d o el cu e rp o en re p oso , e n to n ce s :

3.

U n hom bre qu e s e dirige h acia el S u r a 15 km/h o b se rv a que el viento so p la del O este. A u m e n ta s u velocidad a 2 5 km/h y le p arece que el viento so p la del

N + F + G = O

Su ro e ste . Determ inar la velocidad del viento a s í c o m o su dirección y sentido.

*=» I I N || + 11F11 <-1 , 0) = - 11 G 11(Sen vj/, - C o s y ) de d on d e : - 1 F 11 = - 11 G 11 S e n y

123

Grupo 14

y

4.

11 N 11 = 11 G 11 C o s vji

D ividiendo e sta s d o s igu a ld ad e s o b te n e m o s :

\\i

F11

Sen

N

Cos y

D o s c iu d a d e s A y B están situ a d a s u n a frente a otra en las d o s orillas de un río de 8 km. de a n ch o , sie n d o la velocidad del a g u a de 4 km/h. U n hom bre en A quiere ir a la ciud ad C que s e encuentra a 6 km a g u a s arriba de B y en la m ism a ribera. S i la em b a rca ció n que utiliza tiene una velocidad m áxim a de 10 km/h y

u = Tg y

d e s e a llegar a C en el m en o r tiem po posible ; qué dirección d eb e tom ar y c u a n ­ to tiem po em plea en c o n se g u ir su propósito.

E je m p lo

10 J

5. Un río tiene 500m . de a n ch o y fluye a una velocidad de 4 km/h. U n hom bre p uede

U n c u e rp o d e w = 5 0 0 Ib. de p e so está su sp e n d id o c o m o s e

rem ar a u n a velocidad de 3 km/h. S i parte de un punto A y rem a hacia la orilla

indica en la Figura 1.162. Determ inar ca d a una de

opuesta, cuál e s el punto m á s lejano río arriba que p u ed e a lca n za r en la orilla

las fu e rzas que ejercen so b re el punto C.

opuesta. E n que dirección deberá navegar.

S olución. S e a n W , T y Q las fu e rza s que actú an

6 . H allar la resultante de lo s sig u ie n te s d e sp la za m ie n to s : 1 0 m. hacia el Noreste;

en el punto C , c u y a s re p re senta cion e s

20m . h acia el este 30° Norte ; 35m . h acia el Sur.

so n :

7.

W = 500 ( C o s 270°, S e n 270°) = 500 <0 , -l)

D o s fu e rz a s d e m a g n itu d e s 8 y 10 kg. a ctú an so b re u n a partícula a un á n g u lo de 45°. Hallar la dirección y la m agnitud d e la resultante.

FIGURA 1.162

T = ||T 11 ( C o s 150° , S e n 150°) = 11T11 <-^3/2 , 1/2)

8 . D a d o el sig u ie n te sis te m a d e fu e rz a s : F, de 7 0 kg. q u e actúa de A (2 , 3) a

Q = l l Q II < C o s 0 o , S e n 0°) = 11Q 11 <1 , 0)

B (5 , -1) y F 2 de 3 5 7 kg. que actúa de C (3 , -9) a D (-5 , 6 ). Hallar la resultante R

E sta n d o las fuerza en equilibrio , e n to n ce s

del siste m a y el trabajo realizado por R al d e sp la z a rse de P (5 , -1) a Q (9 , 1).

W + T + Q = O

9.

U n p e s o de 100 kg. esta su sp e n d id o de una cu e rd a flexible de 5m. q ue a d o s so p o rte s s e p a ra d o s entre si 2m. D eterm inar las fu e rza s resultantes en c a d a sop orte si el siste m a c o o rd e n a d o s e e s c o g e c o m o s e m uestra en la Figura 1.163.

r

f

I I t I I + llQ ll = 0

■=> 11 T 11 <-\ 3/2 , I/2) + 11 Q 11 (I , 0) = 500 <0 , 1) <=>

V

4 IITII = 500

10. U n p e s o de 2 5 0 kg. d e s c a n s a en un p lan o con inclinación de 30° relativa a la horizontal (F igura 1.164). E n él actúan una fuerza F, co n una m agnitud de 2 0 0 kg. q u e s e dirige hacia arriba a lo largo de un a recta que form a un á n gu lo d e 20 °

de d on d e ob ten e m os : 11 T11 = 1000 Ib. y I ! Q 11 = 500V3 Ib.

co n el plano ; la fuerza gravitacional F 3 q ue actúa hacia abajo ; una fuerza de

124

Capítulo I: Vectores en el plano reacción F 2 que actúa perpendicularm ente co n respecto al plano y un a fuerza F 4 que actúa h acia abajo en la dirección del plano inclinado. Hallar la s fuerzas F2 y f >

11.

U n barril está so ste n id o so b re un plano inclinado O P por la fuerza F, qu e actúa paralelam ente al plano y por otra fuerza F 2 qu e actúa p erpendicularm ente a él (Figura 1.165). S i el p e so W del barril e s de 3 0 0 kg. y el plano form a un ángulo de 30° con la h o riz o n ta l, hallar I F. ¡| y 11 F 2 11.

R E C T A S C l

12.

U n cu e rp o de 5 4 0 kg. de p e s o e stá s u sp e n d id o c o m o s e indica en la Figura

P

E l i

I M

I O

2.1 J R E C T A Q U E P A S A P O R D O S P U N T O S

1.166. Determ inar la tensión en c a d a una de las c u e rd a s C A y C B , si a = 30°. 13.

14.

S e levanta un cuerpo de 2 0 0 kg. de p e so a velocidad constante , c o m o s e indica

Al h a ce r el estudio de p u ntos del plano y s u relación co n los vectores resulta

en la Figura 1.167. Determ inar c a d a una de la s fu e rza s ejercidas so b re el punto

útil denotar al vector que va del origen a un punto A del plano m ediante la letra

C , si a = 30° y p = 45°

m ayú scu la A o m in ú scu la a, e scritas en negrita.

U n p e so de 100 kg. está su sp e n d id o de a la m b re s c o m o s e indica en la Figura

E s bien co n ocid o que d o s p u ntos del p lan o definen u n a recta. V e re m o s

1.168. La distancia A B e s 2 0 p ie s . A C m ide 1 0 p ie s y C B = \ 3 pies. Q u é fue rzas

com o s e p u e d e em plear este h e ch o para obtener la e cu a ció n vectorial de u n a recta

'J . E n la F igu ra 2.1 s e m uestra la recta r/ ‘ , q ue contiene a los p u ntos P ^ x , , y,) y

ejercen A C y B C sob re el nu do C ?

P ,(x ,, y , ) , junto co n lo s vectores de p osición P, = ( x ( , y,) y P, = ( x , , y,). N ó te se que el vector a = P, - P, , tiene u na representación geom étrica que e stá so b re

$ y que

por lo tanto e s paralelo a d icha recta.

r

> k *V TiÍ .

FIGURA 1.166

FIGURA 1.167

FIGURA 1.168

'i V

p\

p.

7 Y*--- O

►\

v

FIGURA 2.2 E n la F ig u ra 2.2 s e m ue stra la m ism a co n figu ra c ió n , exce p to q ue s e ha a ñ a d id o al punto ge n é rico P (x , y) so b re la recta

W y s e h a tra za do el vector

Capílulo 2: Recias en el plano

126 c o rre sp o n d ie n te P = (x , y). S i P e stá so b re

W , el ve ctor P - P, e s parale lo al vector

a = P . - P , , e n to n c e s p o d e m o s escribir

Solución. S e g ú n la ecu ación (2 ) : x = -2 + t (5 + 2) , y = 3 + t (1 - 3) r x = -2 + 7 1 ¿2? :

de donde ;

P P ^ t ^ - P . ) o bien

127

Sección 2.2: Segmentos de recta

^

2t

son las e c u a c io n e s param étricas c a rte sia n a s de la recta pedida. 5 ’ : P = P 1 + t ( P 1 - P l) , t e

(1)

R

parámetro , por ello a e sta e cu a ció n s e le llam a , ecuación paramétrica vectorial ordinaria de la recta q u e p a s a por P, y P r El e sc a la r t e s llam ado

( 2 .2 J S E G M E N T O S D E R E C T A S i el conjunto de va lo re s perm itidos d e t s e restringe a un intervalo cerrado [ a , b ] , e n to n ce s la gráfica de la e cu a ción (1) e s un

E j e m p lo

1

)

Hallar la e cu a ción param étrica vectorial de la recta 2? que p a sa por P,(-3 , 1) y P 2(1 , 4). T rá c e s e un diagram a.

t = 0 <=> P (x , y) = P , ( x , , y,) —

Solución. U n dibujo previo del ejercicio s e m uestra

t = 1 => P (x , y) = P ;( x , . y,)

en la F igu ra 2.3. L u e g o , si

P or tanto, c o m o s e indica en el F igu ra 2.4 , a

P, = <*3 , 1 ) y Pj = (1 . 4 )

m edida q u e t recorre el intervalo [0 , 1 ] , el p u n ­

=> P , - P , = <1 , 4 ) - < - 3 , 1 > = <4 , 3) P o r tanto , la e cu a ción param étrica vectorial de

to P (x , y) recorre el s e g m e n to d e recta d e sd e

&,

P ,(x ,, y,) h a sta P , ( x , , y , ) , de m o d o que el s e g ­

se g ú n ( 1 ) e s

-3

2 ?: P = (-3 , 1 ) + t (4 , 3 > , t e

R

■

01 '

mento de recta P, P, q u e d a definida por la e c u a ­ >

-

FIGURA 2.3 | O B S E R V A C I O N 2.1

segmento de recta. E n particular

s i:

Ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta __________

ción

P ,P : = { P € R : |P = P, + t ( P , - P i) , 0 < t < l }

(3)

S i se escribe la e cu a ció n (1) en térm inos del parám etro t y L o s d e m á s p u ntos de la recta co rre sp o n d e n a

de la s c o o rd e n a d a s de P ( y P. te n e m o s

FIGURA 2.4

valores de t tales q u e , t < 0 y t > 1

& : (x , y) = ( x , , y,) + t ( ( x , , y,) - ( x , , y , ) )

S e p ued e e m p le ar la e cu a ció n ( 1 ) p ara calcular las c o o rd e n a d a s de un punto P que

= < x , , y,> + t

está so b re el se g m e n to P (P. y q ue e stá a u na distancia r d a d a d e P, so b re la m edida

=
del se g m e n to P , P , , esto e s

E sta ecu a ción vectorial equivale a las e c u a c io n e s r

$ :

{ L

\

x=

\

x + t (x, ■ x )

y = y, + t (y, - y,)

E s t a s e c u a c io n e s reciben el nom bre de siste m a de

P = P, + r (P , - P f) , 0< r< 1

(4)

(2 )

,16 «

J ecuaciones paramétricas carte­

A sí , en la F igu ra 2.5 s e o b se rv a q ue a m edida qu e r crece de r = 0 a r = I , con intervalos de longitud 1/5 , los p u ntos P = P, + r (P, - P :) s e d e sp la za n de P, a P, con la siguiente rep resentación vectorial

sianas de la recta que p a s a por P, y P, A = P, + T ( P : - P . )

Ejemplo

2 J

O b te n e r e l s is t e m a d e e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s c a r t e s ia n a s de

la recta que p a s a por lo s p u n to s P,(-2 , 3) y P 2(5 , 1).

b

=

p i

+ -t ( p 1 -

p

i)

C = P, + y ( p , - P,)

d

=

p

,+

t