Matriz y Bus

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA

PROGRAMA DE TECNOLOGIA ELECTRICA

Curso Basico a´ sico de An´ Analisis a´ lisis de Sistemas El ectricos e´ ctricos de Potencia

Antonio Antonio Escobar Zuluaga

Pereira Pereira - Risaralda Risaralda - Colombia Colombia 2011

Matriz admitancia Y BU S

1

Los componentes de un sistema de potencia se encuentran interconectados eléctricamente lo que hace que un cambio de un parámetro de un elemento o de la potencia generada o demandada en un nodo, produzca una variación de las corrientes, potencias o tensiones existentes en otras partes del sistema. Un efecto que inicialmente es localizado puede generar efectos globales, y su intensidad depende, entre otras cosas, de la distancia eléctrica existente entre los elementos. La relación de interdependencia entre los diferentes elementos del sistema de potencia puede ser adecuadamente caracterizada por la matriz admitancia: Y BU S o la matriz impedancia Z BU S . A continuación se presenta la forma de obtener la matriz Y BU S a partir de las relaciones circuitales que se pueden plantear en el sistema de potencia.

1.1.

Determinación de las relaciones entre corrientes y tensiones nodales en un sistema interconectado

Todas las tensiones nodales del sistema pueden ser agrupadas en un vector siguiendo la enumeración arbitraria que el analista haya hecho de los nodos. Las corrientes se dividen en dos grandes grupos. El primer grupo lo conforman las corrientes asociadas a los generadores y a las cargas del sistema. Estas corrientes se denominan corrientes inyectadas y, por convención, siempre se toman entrando al nodo donde se encuentra conectado el generador o la carga. Estas corrientes presentan una particularidad: provienen de la parte externa del sistema que representa la parte no estática o variable. El segundo grupo de corrientes lo conforman las corrientes que fluyen por el interior del sistema de potencia, es decir, a través de las l´ıneas, de los transformadores, y de los elementos pasivos. Estas corrientes fluyen por la denominada parte interna del sistema o simplemente por el sistema interno. La figura 1 muestra un sistema de potencia con 4 nodos, 3 cargas y dos generadores, en donde el sistema se ha separado en la parte interna y la parte externa. En resumen, el sistema de potencia se divide en dos sistemas: el sistema externo y el sistema

interno. Al primer grupo pertencen los generadores y las cargas del sistema. El sistema interno lo conforman las l´ıneas, transformadores y dem a´ s elementos pasivos que permanecen inalterados durante la operación del sistema. Los nodos permiten la interconexión entre el sistema interno y el sistema externo.

sistema externo

sistema interno

Figura 1: Representación de un sistema de potencia a través del sistema interno y externo. Cuando se formula matemáticamente el sistema solo se escriben las ecuaciones que relacionan las corrientes inyectadas del sistema, las tensiones nodales y los parámetros de los elementos del sistema interno escritos en forma de admitancias. Las corrientes que fluyen por el interior del sistema no se plantean expl´ıcitamente. Las relaciones existentes entre las tensiones nodales, las corrientes netas inyectadas en cada nodo y las admitancias de los elementos del sistema, se determinan aplicando a la red la primera y la segunda ley de Kirchhoff. La figura 2 muestra el sistema de potencia de 4 nodos de la figura 1 modificado. En la nueva representación, los generadores y las cargas, que conforman el sistema externo, se han reemplazado por las corrientes inyectadas I 1 , I 2 , I 3 e I 4 . Como se puede observar, la corriente I 1 representa el efecto neto del generador conectado al nodo 1 y la carga conectada al mismo nodo. En el nodo 2, I 2 es la corriente inyectada por el generador conectado al nodo 2. En los nodos 3 y 4, las corrientes inyectadas I 3 e I 4 representan corrientes de las cargas conectadas a dichos nodos. La figura 2 también presenta la estructura que asumirá el sistema de potencia cuando se repre-

sente matemáticamente. Las corrientes inyectadas representan el sistema externo, la matriz

Y BU S representa al sistema interno y las tensiones nodales V 1, V 2 , V 3 y V 4 , asociadas a los nodos, permiten unir estos dos sistemas. V 1

I 1

V 2

sistema interno: [Y]BUS

I

2

I

3

V 3

I

V 4

4

Figura 2: Representación de un sistema de potencia por corrientes inyectadas, tensiones nodales y [Y ]bus . Para llevar el sistema de potencia a una representación matemática, se plantea inicialmente la ley de Kirchhoff de corrientes a todos los nodos del sistema. Para esto es necesario escribir los parámetros del sistema interno en forma de admitancias. Para un elemento con impedancia z ij conectado entre los nodos i y j , la admitancia se calcula como y ij = 1/z ij . La figura 3 muestra las l´ıneas de transmisión del sistema de la figura 1 representadas a través de sus admitancias. A partir de esta representación se pueden plantear las ecuaciones de corriente en los nodos. Suma de corrientes que salen del nodo 1 = suma de corrientes que entran al nodo 1:

y12(V 1 − V 2) + y13 (V 1 − V 3 ) = I 1 (1) Suma de corrientes que salen del nodo 2 = suma de corrientes que entran al nodo 2:



y34(V 4 − V 3) + y24 (V 4 − V 2 ) = I 4 (4)

V 1

V 2

y

12

I 1

I

2

y

13

y y I

24

34

3

V 3

I

V 4

4

Figura 3: Representación de parámetros de las l´ıneas usando admitancias. En las expresiones anteriores, las corrientes que circulan por el sistema interno han sido expresadas en función de las tensiones nodales y las admitancias de los elementos usando la relación: Corriente en la l´ınea ij: I ij = y ij (V i − V j ) Esto quiere decir que, para el ejemplo anterior, las corrientes del sistema interno no aparecerán explicitamente escritas en las ecuaciones y en su lugar aparecen las tensiones nodales y los parámetros de las l´ıneas. Las expresiones (1), (2), (3) y (4) pueden reescribirse de la siguiente manera:

Suma de corrientes que salen del nodo 1 = suma de corrientes que entran al nodo 1:

(y12 + y13 )V 1 − y12 V 2 − y13 V 3 = I 1 (5) Suma de corrientes que salen del nodo 2 = suma de corrientes que entran al nodo 2:

y V 1 + (y12 + y24 )V 2 − y24 V 4 = I 2 (6)

− 12


y V 1 + (y13 + y34 )V 3 − y34 V 4 = I 3 (7)

− 13


y V 2 − y34V 3 + (y24 + y34)V 4 = I 4 (8)

− 24

Reescribiendo las expresiones (5), (6), (7) y (8) en forma de un producto de dos vectores se tiene:

I 1 =

y

[ (y12 + y13 )

− 12

y

0 ]

− 13

  V  V  V

   

  V  V  V

   

  V  V  V

V 4

   

  V  V  V

   

1 2 3

V 4

[

I 2 =

y

(y12 + y24) 0 y24 ]

− 12

1 2 3

V 4

I 3 =

[

y

0 (y13 + y34)

− 13

y

− 34

]

1 2 3

I 4 =

[ 0

y

− 24

y

− 34

(y24 + y34) ]

1 2 3

V 4

Estas ecuaciones pueden reescribirse de manera compacta en forma matricial, de la siguiente forma:

  I  I  I

1 2 3

I 4

    (y  =   

− 12

y

− 13

y

0

− 12

y

(y12 + y24 )

0

y24

− 13

y

0

(y13 + y34)

− 34

0

− 24

y

− 34

y

(y24 + y34)

12 + y13 )

y

   V   V   V

1 2 3

V 4

   (9) 

En esta representación matricial, el vector de corrientes se denomina vector de corrientes inyectadas, el vector de tensiones se denomina vector de tensiones nodales o variables de estado, y la matriz conformada por las admitancias de las l´ıneas (representadas con letras minúsculas)

se denomina matriz admitancia o Y BU S . En forma general, los elementos de la matriz Y BU S se denominan con letras mayúsculas y cada elemento toma los ´ındices de la fila y la columna a la que pertenecen. En consecuencia, el elemento Y ij representa el elemento de la matriz Y BU S situado en la fila i y en la columna j . Para el ejemplo anterior se tiene:

  I  I  I

1 2 3

I 4

    Y  =  Y   Y

11

Y 12 Y 13 Y 14

21

Y 22 Y 23 Y 24

31

Y 32 Y 33 Y 34

Y 41 Y 42 Y 43 Y 44

   V   V   V

1 2 3

V 4

   (10) 

Al comparar las expresiones (9) y (10) se concluye que:

  Y  Y  Y

11

Y 12 Y 13 Y 14

21

Y 22 Y 23 Y 24

31

Y 32 Y 33 Y 34

Y 41 Y 42 Y 43 Y 44

    (y  =   

− 12

y

− 13

y

0

− 12

y

(y12 + y24 )

0

y24

− 13

y

0

(y13 + y34 )

− 34

0

− 24

y

− 34

y

(y24 + y34)

12 + y13 )

y

   

Se puede concluir que: 1) Los elementos de la diagonal de la matriz Y BU S son positivos y se obtienen sumando las admitancias de los elementos que llegan a cada nodo; 2) Los elementos por fuera de la diagonal son negativos y corresponden a las admitancias de los elementos que unen los nodos. Si no existe un elemento uniendo dos nodos entonces all´ı hay una impedancia infinita (circuito abierto) o una admitancia cero. Escrito en forma matemática se tiene que: n

Y ii =



yij

j =1

Y ij = −yij En general, para un sistema de n nodos se tiene:

  I ..  .  I  ... 

1

i

I n

    Y ..   .  =  Y   ...  

Cuya notación es la siguiente:

11

i1

... Y1 i ... Y1 n .. .

.. .

... Yii ... Yin .. .

.. .

Y n1 ... Y ni ... Y nn

 V   ..   .. .  .   V    ... ..  .  

1

i

V n

     

[I ] = [Y BU S ][V ] En el ejemplo anterior vamos a suponer que los valores de las impedancias de las l´ıneas en p.u. corresponden a los siguientes valores:

z 12 = (0,12 + j0,41) p.u.; z 13 = (0,15 + j0,54) p.u.; z 24 = (0,13 + j0,46) p.u. y z 34 = (0,11 + j0,39) p.u. El sistema de potencia puede representarse de la forma mostrada en la figura 4. V 1

V 2

z 12 = (0.12 + j 0.41) p.u. I 1

I

2

z 2 4

= ( 0 . 1 3 + j 0 . 4

I

3

6 ) p . u

V 3

.

I

V 4

4

Figura 4: Sistema de potencia en función de impedancias. Al calcular la inversa de las impedancias se obtienen las siguientes admitancias: 1

y12 =

z12

y13 =

z13

y24 =

z24

y34 =

z34

1 1 1

= = = =

1 (0,12+ j 0,41) p.u. 1 (0,15+ j 0,54) p.u. 1 (0,13+ j 0,46) p.u. 1 (0,11+ j 0,39) p.u.

= (0,6575 − j2,2466) p.u. = (0,4776 − j1,7192) p.u. = (0,5689 − j2,0131) p.u. = (0,6699 − j2,3752) p.u.

El sistema en función de admitancias corresponde al de la figura 5. En consecuencia, los elementos de la matriz Y BU S son los siguientes:

Y 11 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 1, por lo tanto: Y 11 = y 12 + y13 = (0,6575 − j2,2466) p.u. + (0,4776 − j1,7192) p.u. Y 11 = (1,1351 − j3,9658) p.u.

y 12

= (0.6575 - j 2.2466)p.u.

I 1 y

I

2

2 4

= ( 0 . 5 6 8 9 j 2 . 0 1 3 1 ) p . u

I

3

.

I

4

Figura 5: Sistema de potencia en función de admitancias.

Y 12 es la admitancia del elemento que une al nodo 1 y el nodo 2, con signo negativo. Y 12 = −y12 = −(0,6575 − j2,2466) p.u. = (−0,6575 + j2,2466) p.u. Y 13 es la admitancia del elemento que une al nodo 1 y el nodo 3, con signo negativo. Y 13 = −y13 = −(0,4776 − j1,7192) p.u. = (−0,4776 + j1,7192) p.u. Y 14 es la admitancia del elemento que une al nodo 1 y el nodo 4, con signo negativo. Y 14 = −y14 = 0 p.u. ⇒ no existe una l´ınea que una el nodo 1 y el nodo 4. Y 21 es la admitancia del elemento que une al nodo 2 y el nodo 1, con signo negativo. Y 21 = −y21 = (−0,6575 + j2,2466) p.u. ⇒ y21 es la misma admitancia y12 Y 22 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 2. Y 22 = y 12 + y24 = (0,6575 − j2,2466) p.u. + (0,5689 − j2,0131) p.u. Y 22 = (1,2264 − 4,2597) p.u. Y 23 es la admitancia del elemento que une al nodo 2 y el nodo 3, con signo negativo. Y 23 = 0 p.u. ⇒ no existe una l´ınea que una el nodo 2 y el nodo 3. Y 24 es la admitancia del elemento que une al nodo 2 y el nodo 4, con signo negativo. Y 24 = −y24 = (−0,5689 + j2,0131) p.u.

Y 31 es la admitancia del elemento que une al nodo 3 y el nodo 1, con signo negativo. Y 31 = −y13 = (−0,4776 + j1,7192) p.u. ⇒ y31 es la misma admitancia y13 Y 32 es la admitancia del elemento que une al nodo 3 y el nodo 2, con signo negativo. Y 32 = −y32 = 0 p.u. ⇒ no existe una l´ınea que una el nodo 3 y el nodo 2. Y 33 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 3. Y 33 = y 13 + y34 = (0,4776 − j1,7192) p.u. + (0,6699 − j2,3752) p.u. Y 33 = (1,1475 − j4,0944) p.u. Y 34 es la admitancia del elemento que une al nodo 3 y el nodo 4, con signo negativo. Y 34 = −y34 = (−0,6699 + j2,3752) p.u. Y 41 es la admitancia del elemento que une al nodo 4 y el nodo 1, con signo negativo. Y 41 = −y41 = 0 p.u. ⇒ no existe una l´ınea que una el nodo 4 y el nodo 1. Y 42 es la admitancia del elemento que une al nodo 4 y el nodo 2, con signo negativo. Y 42 = −y42 = (−0,5689 + j2,0131) p.u. Y 43 es la admitancia del elemento que une al nodo 4 y el nodo 3, con signo negativo. Y 43 = −y43 = (−0,6699 + j2,3752) p.u. Y 44 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 4. Y 44 = y 24 + y34 = (0,5689 − j2,0131) p.u. + (0,6699 − j2,3752) p.u. Y 44 = (1,2388 − j4,3883) p.u. La matriz Y BU S asume entonces la siguiente forma:

  (1,1351 j3,9658)  ( 0,6575 + j2,2466)  ( 0,4776 + j1,7192) −

(−0,6575 + j2,2466) (−0,4776 + j1,7192)

 0  0,5689 + j2,0131)   0,6699 + j2,3752)  

−

(1,2264 − 4,2597)

0

(−

−

0

(1,1475 − j4,0944)

(−

0

(−0,5689 + j2,0131) (−0,6699 + j2,3752)

(1,2388 − j4,3883)

La matriz Y BU S en formato de magnitud y ángulo asume la siguiente forma (todos los valores se encuentran en p.u.):

  4,1250  2,3408  1,7843

2,3408∠106,3139

1,7843∠105,5241

0∠0

∠106,3139

4,4328∠ − 73,9377

0∠0

2,0920∠105,7808

∠105,5241

0∠0

4,2521∠ − 74,3441

2,4678∠105,7512

2,0920∠105,7808

2,4678∠105,7512

4,5598∠ − 74,2353

∠

−

74,0277

0∠0

1.2.

   

Caracter´ısticas especiales de la matriz Y bus Es una matriz cuadrada de tamaño ( n × n) siendo n el número de nodos. Es una matriz simétrica. esto quiere decir que el elemento Y ij es igual al elemento Y ji . Los elementos de la diagonal son positivos y se pueden calcular sumando las admitancias de los elementos conectados a los nodos. Por ejemplo, el elemento Y ii es la suma de las admitancias de los elementos conectados al nodo i. Por lo tanto: n

Y ii =



yij

j =1

Los elementos por fuera de la diagonal Y ij de la matriz Y BU S son el negativo de la admitancia del elemento y ij . Por lo tanto:

Y ij = −yij La matriz es diagonalmente dominante, es decir, la magnitud de los elementos de la diagonal es numéricamente mayor que la magnitud de los elementos fuera de la diagonal. Esto puede observarse en el ejemplo resuelto. En sistemas de potencia donde la reactancia supera en tres o más veces el valor de la resistencia, el a´ ngulo de los elementos de la diagonal resultan negativos y de magnitud menor a 90 grados. Los ángulos de los elementos fuera de la diagonal resultan positivos y superiores pero cercanos a 90 grados. En sistemas reales de gran tamaño la matriz Y Bus es dispersa, es decir, contiene muchos ceros. Esta condición ocurre porque normalmente sólo existe conexión directa entre nodos geográficamente vecinos y no existe conexión directa entre nodos geográficamente distantes. En un sistema eléctrico de la vida real del orden de 100 nodos, un nodo promedio puede estar interconectado con 3 o 4 nodos, y unos pocos nodos pueden tener conexión con 8 o 9 nodos. La figura 6 muestra el disgrama unifilar del sistema eléctrico colombiano 2012 reducido a 93 nodos y 155 corredores y que es utilizado como sistema de prueba en

investigaciones de planeamiento de sistemas de transmisión de energ´ıa eléctrica. Puede observarse que el nodo 27 tiene conexión con 8 nodos, mientras los nodos 51 y 52 solo presentan conexión con 2 nodos. Las l´ıneas punteadas son conexiones futuras mientras las l´ıneas llenas representan corredores existentes. Si se observa el esquema se puede notar que en general los nodos se conectan únicamente con algunos (pocos) nodos vecinos.

81

48

49

63

46

53

45 47

50

52

51

54 56 88 84

57

43

42 55 12

15

17

37

86

41

40

68

24 61

76 18

21

39

58 38

75 19

20

22

23

82 16

62

13

66

60

14

69

32 31

67

34

70

33 73 72 30

4

2

8

9

85

77

59

79

83

65 74 36 64

87

5

29

27

93

71

89

25

35

6

1

78 10

3 7 90

28

91

26

80 11 44

92

Figura 6: Sistema Colombiano de 230KV y 500KV, de 93 nodos y 155 corredores. Se deja al lector la tarea de determinar el número de conexiones que tiene cada uno de los 93 nodos de este sistema y sacar una conclusión para el sistema eléctrico colombiano 2012.

1.3.

Forma alternativa de construir la matriz Y BU S .

La matriz Y BU S también puede construirse a través de la multiplicación de tres matrices, que en principio son m a´ s sencillas de construir. Según esta forma alternativa, la matriz Y BU S se puede obtener a través del siguiente producto:

Y BU S = A Y primitiva A T Donde:

A es la matriz incidencia nodo-rama o tambien denominada matriz incidencia nodoelemento. Es una matriz cuyo nú mero de filas corresponde al nú mero de nodos del sistema y el número de columnas al n u ´ mero de elementos que contiene el sistema interno.

AT es la transpuesta de la matriz A, es decir, una matriz donde las filas de A se convierten en las columnas de AT .

Y primitiva es una matriz que solo contiene elementos en la diagonal, si no existen acoples mutuos entre elementos. La cantidad de términos en la diagonal de esta matriz es igual a número de elementos que contenga el sistema interno y cada posición en la diagonal asume el valor de la admitancia de cada elemento. Para el sistema de potencia de la figura 5, vamos a asumir que la l´ınea de transmisi ón que une los nodos 3 y 4 sale de servicio por razones de mantenimiento. El sistema asume entonces la forma mostrada en la figura 7. Se desea encontrar la matriz Y BU S del sistema de potencia para la nueva configuración. Para el sistema de la figura 7 se define las siguiente matriz primitiva en p.u.:

1-2

1−2 1−3 2−4

  0,6575 

j2,2466

1-3

2-4

0

0

0

0,4776 − j1,7192

0

0

0

0,5689 − j2,0131

−

  

Como se puede observar, los elementos del sistema, que en este caso son l´ıneas de transmisi ón son nombrados de acuerdo a los nodos entre los que se encuentran conectados. Por lo tanto, el elemento 1-2 representa la l´ınea que une los nodos 1 y 2. El elemento 1-3 es la l´ınea que une los nodos 1 y 3; y el elemento 2-4 es la l´ınea que une los nodos 2 y 4. Observese también

Figura 7: Sistema Colombiano de 230KV y 500KV, de 93 nodos y 155 corredores. que el elemento de la diagonal donde se intersecta la fila 1-3 con la columna 1-3, contiene la admitancia de la l´ınea de transmisi o´ n que une los nodos 1 y 3, y los demás elementos de la fila 1-3 y de la columna 1-3 son ceros. A continuación construimos la matriz incidencia nodo-rama que denominamos A. Para esto construimos una matriz con tantas filas como nodos tenga el sistema, nombrados en orden ascendente, y tantas columnas como elementos tenga el sistema. Dado que el sistema de la figura 7 tiene 4 nodos (1, 2, 3 y 4) y tres l´ıneas de transmisión (1-2, 1-3 y 2-4), esta matriz resulta de cuatro filas y tres columnas (4x3). A continuación se muestra la matriz A correspondiente a este sistema de potencia. Debe tenerse cuidado de colocar los elementos en las columnas de A en el mismo orden en que fueron colocadas en la matriz Y primitiva .

1-2 1 2

A =

3 4

   

1-3

2-4

1

1

0

−1

0

0

−1

0

0

  1   0   1

Cada columna de la matriz incidencia nodo-rama o nodo-elemento sólo debe contener una posición con valor 1 y una posición con valor -1. Las demás posiciones deben ser ceros. Cada columna está asociada a un elemento del sistema as´ı: la columna 1 está asociada al elemento 1-2, la columna 2 al elemento 1-3

y la columna 3 al elemento 2-4. Cada columna debe tener un 1 en la fila correspondiente al nodo inicial del elemento y un -1 en la fila correspondiente al nodo final del elemento. Por lo tanto, en la columna 1, que corresponde al elemento 1-2, debe haber un 1 en la fila 1 y un -1 en la fila 2. En la columna 2, que corresponde al elemento 1-3, debe haber un 1 en la fila 1 y un -1 en la fila 3. Finalmente, en la columna 3, que corresponde al elemento 2-4, debe haber un 1 en la fila 2 y un -1 en la fila 4. Ahora realizamos la operación: Y BU S = A Y primitiva A T .

   

1

1

0

−1

0

1

0

−1

0

0

0

−1

  0,6575    

−

j 2,2466

0 0,4776

0 0

−

0

j 1,7192

0 0,5689 − j 2,0131

0

   1  1 0

−1

0

0

0

−1

0

1

0

−1

Que resulta igual a:

   

1

1

0

−1

0

1

0

−1

0

0

0

−1

   0,657   0,477  

−

j 2,246

−

j 1,719

,657 + j 2,246

−0

0

,477 + j 1,719

0

−0

0,568 − j 2,013

0

0 0

,568 + j 2,013

0

−0

Finalmente se llega a:

   

1,1351

−

j 3,9658

,6575 + j 2,2466

−0

,6575 + j 2,2466

1,2264 − 4,2597

,4776 + j 1,7192

0

−0 −0

0

,5689 + j 2,0131

−0

,4776 + j 1,7192

−0

0 0,4776

−

j 1,7192

0

Que corresponde a la matriz Y BU S del sistema de potencia analizado.

 0  0,5689 + j 2,0131   0 

−

0,568 − j 2,013

  

  

Matriz y Bus

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