UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER ECUACIONES DIFERENCIALES O˜ nate nate , Luis Carlos Docente
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D´ıa ıa de entrega del trabajo : 2 de abril 2018
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Cada punto debe estar justificado y con los respectivos prodecimientos matem´aticos.
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Grup Grupoo I II II I IV V
Prob Proble lema ma 1, 6, 10 , 15 2, 18, 11 , 16 3, 8, 19 , 12, 17 4, 9, 20 , 13 5, 7, 21 , 14 ” Tarde o temprano temprano la disciplina vencer´ a la inteligencia”
1. Determine Determine la ecuaci´ ecuaci´on on de la curva que pasa por el punto (0,1) la cual es ortogonal a cada miembro de la familia: x2 + y 2 = ce x 2. Determine Determine la ecuaci´ ecuaci´on on de la curva que pasa por el punto (0,1) la cual es ortogonal a cada miembro de la familia: x2 + y 2 = ce −x 3. Encontrar las trayectorias trayectorias ortogonales de las familias de curvas x2 + y 2 + 2cy 2cy = = 1 4. Encontrar las trayectorias trayectorias ortogonales de las familias de curvas x2 + y 2 + 2cx 2cx = = 1 5. Encontrar Encontrar las trayec trayectoria toriass ortogonales ortogonales de la familia de circunferen circunferencias cias que pasan p or los puntos puntos (1 ,1) y (-1, -1). 6. 6. Un inductor inductor de L henrios y un condensador condensador de C faradios faradios se conectan en serie serie Si Q = Q 0 e I = 0 cuando t = t = 0, Determine Determine (a) Q(t) (b) I cuando t cuando t > 0 (c) Hallar la amplitud, el per´ per´ıodo y la frecuencia de la carga. 7. Cuatro insectos situados en las esquinas de una mesa cuadrada de lado comienzan a andar simultneamente con la misma velocidad, cada cual movi´ endose endose hacia su compa˜nero nero de derecha derecha . Tomando omando coordenadas polares con origen en el centro de la mesa y el eje polar a lo largo de una diagonal. Hallar la trayectoria del insecto que parte del eje polar y la distancia total que camina antes de llegar al centro. 8. Una gota de lluvia esf´ erica, erica, partiendo del reposo, cae p or influencia de la gravedad. gravedad. Si recoge vapor de agua (Supuesto en reposo) a un ritmo proporcional a su superficie y su radio inicial era 0, probar que cae con aceleraci´on on constante: g 4
9. Una gota de lluvia esf´ erica, partiendo del reposo cae por influjo de la gravedad. Si cae sobre una niebla uniforme y recoge gotitas de agua (supuesta en reposo) a un ritmo propocional a su superficie y su radio era r en el instante t y su radio inicial r 0 , demostrar que la aceleraci´on en el instante t es: g 3(r0 )4 (1 + ) 4 r4 10. Una bala a la velocidad V o = 400 m atraviesa una pared cuyo espesor es h = 20cm y sale a la velocidad s m de 100 s . Suponiendo que la fuerza de resistencia de la pared es proporcional al cuadrado de la velocidad del movimiento de la bala. H´allase el tiempo que tard´o la bala en atravesar la pared. 11. Un objeto de masa m es lanzado directamente hacia arriba desde la superficie de la tierra con velocidad v0 . Supongamos que la aceleraci´ on debida a la gravedad tiene valor constante g y que el aire opone una resistencia al movimiento igual a c por el cuadrado. (a) Encontrar la ecuaci´ on de movimiento. (b) Encontrar la altura m´ axima h que alcanza el objeto y el tiempo t 1 que necesita para alcanzar esta altura. (c) Encontrar el tiempo T que necesita un objeto para volver a la Tierra desde su ´altura m´axima y encontrar la velocidad de impacto. 12. Un objeto de masa m es es lanzado directamente hacia arriba desde la superficie de la tierra con velocidad v 0 , donde v 0 < (2gh) y el radio de la tierr a es R. Suponer que se puede aplicar la ley del cuadro inverso de Newton y no hacer caso de la resistencia. 1 2
(a) Encontrar la altura m´ axima h que alcanza el objeto (b) Encontrar el tiempo t 1 , que el objeto necesita para alcanzar su altura m´axima. (c) Demostrar que el tiempo que un objeto necesita para volver a la Tierra de su altura m´axima es igual al tiempo que necesira para alcanzar esa altura. Tambi´ en demostrar que la velocidad de impacto tiene la misma magnitud que la velocidad inicial. 13. Un cuerpo de masa m cae de una altura h sobre la tierra. Suponiendo que la acelaci´ on debida a la gravedad tiene un valor constante g y que la fuerza de resistencia del aire es igual a c por la en´ esima potencia de la velocidad, encontrar: (a) La ecuaci´on de movimiento. (b) El valor l´ımite de la velocidad del cuerpo. 14. Una ni˜ na se desliz´o en su trineo por una colina hasta llegar a una superficie helada horizontal donde empez´o a deternerse. En el instante en que su velocidad era 5 pies , el padre de la ni˜ na corri´o y empuj´o s el trineo hacia adelante, ejerciendo una fuerza constante de 15 lb en la direcci´on del movimiento. El peso combinado de la ni˜ na y el trineo es 96 lb, la resistencia del aire (en libras) es num´ericamente igual a un medio de la velocidad (en pies por segundo), y el coeficiente de rozamiento sobre el hielo es 0 .05. A qu´e velocidad se mueve el trineo 10 segundos despu´es de que el padre empez´o a empujarlo? 15. Una caja de leche enlatada pesa 24 lb y se suelta desde el reposo en la parte superior de un plano met´alico que mide 30 pies de longitud y est´a inclinado 45 respecto a la horizontal. La resistencia del aire(en libras) es num´ericamente igual a un tercio de la velocidad ( en pies por segundo) y el coeficiente de rozamiento es 0.4 (a) Cu´al es la velocidad con que se mueve la caja un segundo despu´es de haberse soltado? (b) Cu´al es la velocidad que lleva la caja en el momento de llegar a la parte inferior del plano?
16. Un muchacho se desliza con su trineo por una pendiente de 30 . El peso combinado del muchacho y su trineo es 72 lb y la resistencia del aire(Libras) es num´ericamente igual a dos veces su velocidada(en pies por segundo). Si el movimiento se inici´o desde el reposo y su velocidad despu´es de 5 segundos es de 10 pies . Cu´ al es el coeficiente de rozamiento del trineo sobre la nieve? s 17. Un objeto que pesa 32 Lb se suelta desde el reposo a una altura de 50 pies arriba de la superficie de un lago en calma. Antes de que el objeto llegue a la superficie del lago, la resistencia del aire(en libras) est´ a dada por: 2v, donde v es la velocidad( en pies por segundo). Despu´es de que el objeto empieza a hundirse en el agua, la resistencia(en libras) est´a dada por 6v. Adem´ as, sobre el objeto act´ua una fuerza de empuje hacia arriba de 8 lb. Calcule la velocidad del objeto 2 segundos despu´es que empez´o a hundirse en el agua. 18. Un circuito RC tiene una Fem de 100 voltios, una resistencia de 5 ohmios , una capacitancia de 0,02 faradios y una carga inicial sobre el capacitor de 5 culombios. Encuentre: (a) Una expresi´on para la carga sobre el capacitor en cualquier instante t. (b) La corriente del circuito para cualquier tiempo t. 19. Un circuito RC tiene no tiene una Fem aplicada , una resistencia de 10 ohmios , una capacitancia de 0,04 faradios y una carga inicial sobre el capacitor de 10 culombios. Encuentre: (a) Una expresi´on para la carga sobre el capacitor en cualquier instante t. (b) La corriente del circuito para cualquier tiempo t. 20. Un circuito RC tiene tiene una Fem 10sen t voltios , una resistencia de 100 ohmios , una capacitancia de 0,005 faradios y ninguna carga inicial sobre el capacitor. Encuentre: (a) La carga sobre el capacitor en cualquier instante t. (b) La corriente de estado estacionario. 21. Un circuito RC tiene tiene una Fem 300cos 2t voltios , una resistencia de 150 ohmios , una capacitancia de 1/6 ∗ 10−2 faradios y una carga inicial sobre el capacitor de 5 culombios. Encuentre: (a) La carga sobre el capacitor en cualquier instante t. (b) La corriente de estado estacionario.
