Matematika Tau11 Kl Vadovelis

Vadovėlio

Matematika tau

komplektą sudaro:

DE

• Vadovėlis – visiems • Parsisiøsdinama Skaitmeninė vadovëlio versija – naudojantiems kompiuterius • Uždavinynas – kuriems vadovėlio užduotys per lengvos • Savarankiški ir kontroliniai darbai – į pagalbą mokytojams • Mobili interaktyvi kompiuterinë (MIKO) knyga mokytojams – informacijos kaupimui ir tvarkymui

MO

Leidinys atitinka ŠMM patvirtintas programas. Visi uždaviniai patikrinti ir perspręsti leidyklos specialistų.

ISBN 978-609-433-041-4

Skaitmeninį vadov÷lį „Matematika Tau plius. 11 klas÷. Išpl÷stinis kursas“ kūr÷: Nijol÷ Drazdauskien÷, Rolandas Jakštys, Zita Manstavičien÷, Mindaugas Piešina, Sigita Populaigien÷, Žydrūn÷ Stundžien÷, Miroslav Šeibak, Tadeuš Šeibak, Edita Tatarinavičiūt÷, Valdas Vanagas, Aldona Žalien÷. Skaitmeniniame vadov÷lyje panaudoti vadov÷lio „Matematika Tau plius. 11 klas÷. Išpl÷stinis kursas“ PDF failai. Vadov÷lio komplektui medžiagą reng÷:

DE MO

Jurga Deveikyt÷, Jūrat÷ Gedminien÷, Kornelija Intien÷, Jolanta Jačiauskait÷, Vida Meškauskait÷, Kazimieras Pulmonas, Vytautas Silvanavičius, Žydrūn÷ Stundžien÷, Valdas Vanagas, Vladas Vitkus.

Technologijos © TEV, 2008–2014

DE

MO

1. Skaičiai, veiksmai, reiškiniai 1.1. Skaičių aibės 1.2. Skaičių aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Skaičių aibės poaibiai 1.3. Trupmeniniai racionalieji skaičiai 1.4. Laipsniai su sveikaisiais rodikliais 1.5. Šaknys 1.6. Laipsniai su trupmeniniais racionaliaisiais rodikliais ir šaknys 1.7. Logaritmai 1.8. Logaritmų savybės 1.9. Skaitiniai reiškiniai 1.10. Raidiniai reiškiniai 2. SINUSAI, KOSINUSAI, TANGENTAI IR KOTANGENTAI 2.1. Kampo dydis radianais 2.2. Smailiojo kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas 2.3. Posūkių kampai 2.4. Posūkio kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas 2.5. sin a ir cos a vienetiniame apskritime 2.6. tg a tangentų tiesėje, ctg a kotangentų tiesėje 2.7. To paties kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento sąryšiai 2.8. Dviejų kampų sumos (skirtumo) sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento formulės 2.9. Arksinusas, arkkosinusas, arktangentas ir arkkotangentas 2.10. Dar viena trikampio ploto formulė 2.11. Sinusų teorema 2.12. Kosinusų teorema 3. FUNKCIJOS 3.1. Funkcijos grafiko postūmiai OX ir OY ašių kryptimis 3.2. Laipsninės funkcijos 3.3. Šaknies funkcijos 3.4. Rodiklinės funkcijos 3.5. Logaritminės funkcijos 3.6. Sinuso funkcija 3.7. Kosinuso funkcija 3.8. Tangento funkcija 3.9. Kotangento funkcija 4. Vektoriai 4.1. Ką vadiname vektoriumi 4.2. Sudedame vektorius 4.3. Atimame vektorius 4.4. Vektorių dauginame iš skaičiaus 4.5. Dauginame vektorius 4.6. Vektoriai koordinačių plokštumoje 4.7. Veiksmai su vektoriais, išreikštais koordinatėmis 4.8. Kolinearieji ir statmenieji vektoriai 4.9. Vektoriai koordinačių erdvėje 4.10. Uždavinius sprendžiame naudodamiesi vektoriais

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

11 klasė 1 dalis. Išplėstinis kursas

Pagrindiniai skyreliai

48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 86 88 90 92 94 96 98 100 102 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 3

Vadovėlio struktūra Vadovėlis parengtas pagal 2011 02 21 patvirtintas vidurinio ugdymo bendrąsias programas. Jis skirtas pasirinkusiems išplėstinį matematikos kursą. Vadovėlis susideda iš dviejų dalių. I dalyje yra 4 skyriai, II – 3 skyriai. Visų skyrių struktūra yra vienoda. Aptarkime ją. • Skyrius prasideda anksčiau spręstų uždavinių atverstiniu

Kartojame tai, ko prireiks 1 skyriuje


MO

Šiame atverstinyje yra uždaviniai, skirti anksčiau spręstiems uždaviniams pakartoti ir nagrinėtai teorijai prisiminti. Faktai ir pavyzdžiai pateikiami banguotomis linijomis apvestose srityse. Šių žinių prireiks nagrinėjant skyrių. • Skyriaus turinio atverstinis

1

Skaičiai, veiksmai, reiškiniai

skyrius

Kairiajame puslapyje yra supažindinama su tuo, ką mokysimės skyriuje. Prieš pradedant nagrinėti skyrių, vertėtų susipažinti su šiame puslapyje esančiais samprotavimais, pavyzdžiais ir užduotimis.

1

skyrius

DE

• Pagrindiniai atverstiniai

Dešiniojo puslapio viršuje yra skyriaus turinys. Kas skyriuje yra svarbiausia, galima suprasti iš pagrindinių atverstinių pavadinimų (jie yra sunumeruoti) ir puslapio apačioje esančios informacijos.

1.1. Skaičių aibės

Kairiajame puslapyje yra teorija. Ji pateikiama užduotimis, kurias turėtų atlikti patys mokiniai. Užduotis įveikti padės banguotomis linijomis įrėmintose srityse esantys pavyzdžiai, nurodymai ir samprotavimai. Tai, kas yra svarbiausia, surašyta lentoje. Puslapio viršuje yra informacija, ko mokysimės šiame atverstinyje, ji pažymėta .

1

skyrius

1.1. Uždaviniai

1

skyrius

Dešinėje yra su kairiųjų puslapių teorija susiję uždaviniai. Greta uždavinių sąlygų kai kur rasite išspręstų uždavinių pavyzdžių. Jei uždavinys išskaidytas į a), b), c), ... punktus, tai jie pradedami nuo lengviausio ir baigiami sunkiausiu. Jei uždavinyje yra 1), 2), ... užduotys, tai jas rekomenduojame atlikti iš eilės.

Pagrindiniai atverstiniai yra privalomi visiems mokiniams, nebent mokytojai dėl vienų ar kitų priežasčių nuspręstų kitaip... • Po pagrindinių yra stipresniems mokiniams skirti atverstiniai

1

skyrius

Apibendriname

Apibendriname

Čia pateikiama pagrindiniuose atverstiniuose išdėstytos teorijos santrauka. Greta teorijos (apibrėžimo, savybės, teoremos ar formulės) už brūkšnio yra ją iliustruojantys pavyzdžiai. Kai kurių skyrių atverstiniuose ,,Apibendriname“ teorijos ir pavyzdžių rasite daugiau, negu jų buvo pagrindiniuose atverstiniuose. Žinoma, papildoma teorija, kaip ir šis atverstinis, nėra privaloma. 4

1

skyrius

Vadovėlio struktūra

1

Sprendžiame

skyrius

Sprendžiame

1

skyrius

Šis atverstinis skirtas mokiniams, kuriems pagrindiniuose atverstiniuose uždavinių buvo per mažai arba jie buvo per lengvi. Paskutinis šio atverstinio uždavinys (ar keli uždaviniai) pažymėtas ženkleliu . Tai gali būti galvosūkis, netradicinis ar šiaip sunkesnis uždavinys.

1

Besidomintiems

skyrius

Besidomintiems Skaičius e. Natūralusis logaritmas

MO

Šaknų savybių įrodymai

1

skyrius

Čia pateikiami pagrindiniuose atverstiniuose išdėstytos teorijos teiginių įrodymai. Kartais rasite ir papildomos medžiagos, kuri nebuvo nagrinėta pagrindiniuose atverstiniuose, bet su jais yra susijusi. Kitaip sakant, atverstinis „Besidomintiems“ skirtas norintiems žinoti daugiau. • Skyriaus pabaigoje yra visiems mokiniams skirti uždavinių atverstiniai

1

Geometrijos uždaviniai

skyrius

Įvairūs uždaviniai

Tiesės ir kampai

Procentai

Puslapis uždavinių, susijusių su ankstesnėse klasėse nagrinėta algebros, tikimybių teorijos ar kita kuria nors tema.

DE

Puslapis uždavinių, susijusių su ankstesnėse klasėse nagrinėta kuria nors geometrijos tema.

1

Testas

skyrius

Puslapis testinių uždavinių, susijusių su pagrindiniais atverstiniais. Sprendžiant testinius uždavinius, nereikalaujama nurodyti sprendimų, pakanka pasirinkti vienintelį teisingą atsakymą iš pateiktų penkių.

1

skyrius

Pasitikriname

1

skyrius

Puslapis uždavinių, skirtų mokiniams pasitikrinti, o mokytojams – patikrinti, kaip pavyko pasiekti pagrindinius skyriuje keliamus tikslus. Galima sakyti, kad tai yra svarbiausi skyriaus uždaviniai. Jų atsakymus rasite vadovėlio pabaigoje.

Šis atverstinis pravers rengiantis kontroliniam darbui.

Vadovėlio komplektą sudaro: • • • •

vadovėlis (I ir II dalys); uždavinynas; savarankiškų ir kontrolinių darbų knygelė; kompiuterinės priemonės.

Vadovėlio komplektas turėtų tapti geru pagalbininku pasirinkusiems išplėstinį matematikos kursą. Sėkmės!

Prieš pradėdami nagrinėti pirmąjį skyrių, susipažinkite su 6–9 puslapiuose pateiktu įvadu.

5

Skaičiai ir veiksmai Ankstesnėse klasėse susipažinome su įvairiais skaičiais: • sveikaisiais; • trupmeniniais; • iracionaliaisiais. √ Skaičiams užrašyti vartojame skaitmenis 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ir ženklus, pavyzdžiui: − , , skliaustelius, trupmenos brūkšnelį. Yra skaičių, kurie žymimi raidėmis, pavyzdžiui: π, e, φ.

DE MO


Skaičių ir veiksmų įvairovė

Taip pat mokėmės atlikti įvairius veiksmus: • sudėti ir atimti; • dauginti ir dalyti; • kelti laipsniu ir traukti šaknį. √ Veiksmams žymėti vartojame ženklus, pavyzdžiui: + , − , · , : , . Yra veiksmų, kurie nežymimi b ženklais, pavyzdžiui, kai skaičių a keliame laipsniu b, tai rašome a .

XI klasėje tęsime pažintį su skaičiais ir veiksmais.

6

Sudėtis ir atimtis. Sveikieji skaičiai Galima sakyti, kad pažintis su matematika prasideda nuo natūraliųjų skaičių ir sudėties veiksmo. Mažiausias natūralusis skaičius yra 1, o didžiausio natūraliojo skaičiaus nėra, nes natūraliųjų skaičių aibė yra begalinė: N = {1; 2; 3; ...}. Veiksmas, kuriuo pirmiausia buvo pradėta naudotis, vadinamas sudėtimì. Sudėdami bet kuriuos du natūraliuosius skaičius, gauname natūralųjį skaičių:


Skaičių ir veiksmų įvairovė

DE MO

a + b = c. ↑ ↑ ↑ N N N Iš natūraliųjų skaičių sudėties kilo kitas veiksmas –– atimtis.

1 klausimėlis. Kaip atsirado atimtis? Iš sumos lygybės a + b = c,

išreikšdami kurį nors dėmenį, naudojamės veiksmu, atvirkštiniu sudėčiai (jis vadinamas atimtimì): a = c − b; b = c − a.

Iš natūraliojo skaičiaus atimdami natūralųjį skaičių, gauname skaičių, kuris nebūtinai yra natūralusis.

2 klausimėlis. Kokias reikšmes gali įgyti natūraliųjų skaičių a ir b skirtumas a − b? •

Kai a > b, tai a − b yra natūralusis skaičius.

•

Kai a = b, tai a − b = 0.

•

Kai a < b, tai a − b yra neigiamasis sveikasis skaičius.

Galima sakyti, kad atimtis atrado skaičių 0 ir neigiamuosius sveikuosius skaičius, o natūraliųjų skaičių aibę praplėtė iki sveikųjų skaičių aibės: Z = {...; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; ...}. Beje, atimtį galima keisti sudėtimi su atėminiui priešingu skaičiumi: a − b = a + (−b). Kitaip sakant, galima apsieiti ir be atimties...

7


Skaičių ir veiksmų įvairovė Daugyba ir dalyba. Racionalieji skaičiai Daugyba atsirado kaip trumpesnis vienodų dėmenų sudėties užrašas: a + a + . . . + a = a · b. b dėmenų

Daugindami bet kuriuos du natūraliuosius skaičius, gauname natūralųjį skaičių: a · b = c. ↑ ↑ ↑ N N N

DE MO

Kaip iš sudėties kilo atimtis, taip iš daugybos –– dalyba.

3 klausimėlis. Kaip atsirado dalyba? Iš sandaugos lygybės a · b = c,

išreikšdami kurį nors dauginamąjį, naudojamės veiksmu, atvirkštiniu daugybai (jis vadinamas dalýba): a = c : b; b = c : a.

Kaip atimant atsirado neigiamieji skaičiai ir nulis, taip dalijant –– trupmeniniai skaičiai. Dalydami natūralųjį skaičių iš natūraliojo skaičiaus, gauname skaičių, kuris nebūtinai yra natūralusis.

4 klausimėlis. Kokias reikšmes gali įgyti natūraliųjų skaičių a ir b dalmuo a : b? •

Kai yra toks natūralusis skaičius x, su kuriuo x · b = a, tai a : b = x yra natūralusis skaičius.

•

Kai nėra tokio natūraliojo skaičiaus x, su kuriuo x · b = a, tai a:b=

a yra trupmeninis racionalusis skaičius. b

Galima sakyti, kad dalyba atrado trupmeninius racionaliuosius skaičius, o sveikųjų skaičių aibę praplėtė iki racionaliųjų skaičių aibės: a Q = c = , a ∈ Z, b ∈ N . b Kiekvieną racionalųjį skaičių galima užrašyti paprastąja trupmena a b

←− ←−

sveikasis skaičius, natūralusis skaičius.

Beje, dalybą galima keisti daugyba su dalikliui atvirkštiniu skaičiumi: 1 a:b=a· . b Kitaip sakant, galima apsieiti ir be dalybos...

8


Skaičių ir veiksmų įvairovė Laipsnis, šaknis ir logaritmas. Realieji skaičiai Laipsnis atsirado kaip trumpesnis vienodų dauginamųjų sandaugos užrašas: a · a · . . . · a = a b . b dauginamųjų

Natūralųjį skaičių keldami natūraliuoju skaičiumi, gauname natūralųjį skaičių:

DE MO

Kaip iš sudėties kilo atimtis, o iš daugybos –– dalyba, taip iš laipsnio kilo šaknis.

5 klausimėlis. Kaip atsirado šaknis?

Iš laipsnio su natūraliuoju rodikliu (didesniu už 1) lygybės a b = c,

išreikšdami laipsnio pagrindą, naudojamės veiksmu, kuris vadinamas šakni˜es traukimù (žymima: a=

√ b

):

√ b c.

Kaip atimant atsirado neigiamieji sveikieji skaičiai ir nulis, o dalijant –– trupmeniniai racionalieji skaičiai, taip traukiant šaknį atsirado iracionalieji skaičiai. Iš natūraliojo skaičiaus traukdami natūraliojo laipsnio (didesnio už 1) šaknį, gauname skaičių, kuris nebūtinai yra natūralusis. Pavyzdžiui: √ √ 3 3 3 7 yra skaičius, kurio 3-iasis laipsnis lygus 7; t. y. 7 = 7; √ a 3 7 yra iracionalusis skaičius –– jo negalima užrašyti paprastąja trupmena , čia a ∈ Z, b ∈ N. b Galima sakyti, kad šaknis atrado iracionaliuosius skaičius. Iracionaliųjų skaičių aibę užrašyti galima taip: a I = d = , a ∈ Z, b ∈ N . b

6 klausimėlis. Kaip iš laipsnio lygybės išreikšti laipsnio rodiklį? Iš laipsnio lygybės a b = c, išreikšdami laipsnio rodiklį, naudosimės veiksmu, kuris vadinamas logaritmãvimu (žymima: loga ): b = loga c.

9


Kartojame tai, ko prireiks 1 skyriuje 1.

2.

3.

√ √ Duoti skaičiai: 1; 0; −10; − 2; 2; π; 4 23 ; −2,4; 4,(3); 0,21; 4 45 ; −3,(7). a) Surašykite juos didėjimo tvarka. b) Iš jų išrinkite ir surašykite: 1) sveikuosius skaičius; 2) racionaliuosius skaičius, kurie nėra sveikieji; 3) iracionaliuosius skaičius. Parašykite kokį nors: √ √ a) natūralųjį skaičių, esantį tarp 2 ir 5; b) sveikąjį skaičių, esantį tarp −1 12 ir √ √ c) racionalųjį skaičių, esantį tarp 2 ir 3; d) iracionalųjį skaičių, esantį tarp −4

ir −3.

Nesinaudodami skaičiuotuvu, atlikite veiksmus su dešimtainėmis trupmenomis. a) 0,9 + 2,23; b) −2,1 + 1,3; c) 0,5 − 2,23; d) −2,1 − 1,9; f) −2,1 · 1,3;

g) −2,1 : (−1,25);

h) 0,5 : (−2,2).

DE MO

e) 0,5 · 2,23;

4.

1; 3

Nesinaudodami skaičiuotuvu, atlikite veiksmus su paprastosiomis trupmenomis ir mišriaisiais skaičiais. b) − 35 + 45 ; c) 12 − 27 ; d) − 35 − 45 ; a) 12 + 72 ; e) 12 + 74 ; f) − 35 + 13 ; g) 2 21 + 23 ; h) −2 35 − 13 ; i) 3 58 − 1 14 ; m) 35 · − 13 ;

j) 5 16 − 2 21 ; n) − 27 · − 14 3 ;

k) 4 − 17 ; o) 2 35 · −1 12 ;

3; l) −9 − 2 11 p) −10 34 : −2 21 .

5.

Nesinaudodami skaičiuotuvu, palyginkite skaičius ir parašykite ženklą >, < arba =. √ √ √ √ √ √ a) 58 ir 34 ; b) − 23 ir − 34 ; c) 11 ir 21; d) 5 3 ir 4 5; e) −2 3 ir −3 2.

6.

1) Kiekvieną skaičių parašykite standartine išraiška. a) 3 200 000; 10 200 000; 1 000 000 000; b) 0,0000032; 0,000000102; 0,00000001.

2) Palyginkite standartine išraiška parašytus skaičius ir parašykite ženklą > arba <.

7.

a) 5,7 · 1010 ir 5,7 · 1011 ;

b) 5,7 · 10−10 ir 5,7 · 10−11 ;

c) 9,2 · 1010 ir 9,3 · 1010 ;

d) 1,1 · 10−10 ir 1,2 · 10−10 .

Skaičių tiesėje pavaizduokite nelygybės sprendinius ir užrašykite juos skaičių intervalu. a) 2x 6; b) −0,5x > −1,5; e) −2 x + 1 < 4;

d) − 13 x − 1 − 23 ; f) −3 < −x − 2 3;

g) −8 3x − 2 2;

h) −1 < 3 − 2x < 7.

c) 2x + 2 < 4;

8.

10

Apskaičiuokite. 3 3 3 a) 23 , − 23 , − 23 ; 2 2 2 b) 2 21 , −2 21 , − 2 21 ; −3 2 −3 −3 , −3 , − 23 ; c) 23 −2 1 −2 1 −2 , −2 2 , − 22 . d) 2 21

–7

2

X

9.

Apskaičiuokite reiškinio su laipsniais reikšmę. 5 0 −2 −1 −1 −1 2 0 a) 8 − 6 · 17 ; b) 23 − 1 13 · 3; c) 34 − 4−2 : 56 + 1,5−1 .

10. Trupmeną parašykite jai lygia nesuprastinama trupmena, kurios vardiklis yra natūralusis skaičius. 7 ; b) 12 ; c) 2,7 ; d) 5 ; e) a) 1,5 3 0,21 9,99 4

1 3 2 9

√

3 ; i) √2 . ; f) √1 ; g) √4 ; h) √ 2

3

2 7

3



11. Jei įmanoma, išskaidykite dauginamaisiais. b) y 2 − y;

c) a 2 − 121;

d) 625 − b2 ;

e) c2 − 16c + 64;

f) 9x 2 + 6x + 1;

g) x 2 + 2x − 35;

h) d 2 − 3d − 18;

i) 3x 2 + 8x − 3;

j) y 2 + y + 1.

DE MO

a) 2x + 10;

12. Sudauginkite 2 ir sutraukite panašiuosius narius.

a) (a + 5) a − 5a + 25 ; b) (2b − 1) 1 + 2b + 4b2 ; c) (a − 1)2 · (−a + 1) + a 3 − a 2 .

13. Reiškiniu užrašykite stačiakampio ABCD:

B

a) plotą; b) perimetrą; c) įstrižainės AC ilgį; d) atkarpos BO ilgį; e) trikampio COD perimetrą.

C

x

A

14. Su kuriomis x reikšmėmis trupmena turi prasmę?

x x−8 2x x a) 7+x x ; b) x−1 ; c) 2x−10 ; d) x(x+2) ; e) x 2 +2x−8 ; f)

√

4−x 5 ;

O D

x+4 √

√

x ; h) x−5 ; i) √2−x . 2x−3 x+1

g) √ 7x

15. Suprastinkite trupmeną.

8x 3 ; b) 45y 3 ; c) 3y−12 ; d) b2 −81 ; e) −b+5 ; f) 6−a ; g) x 2 −49 ; h) 2x−18 ; a) 24x y−4 b+9 b−5 a−6 15y 2 x 2 −7x 81−x 2 2 x−16 ; j) x−9 3x−6 4x 2 −1 . √ ; k) 2 x+10 ; l) x 2 −12x+20 ; m) x x+4x−21 n) 1−4x+4x i) √ 2 −49 ; 2 x +20x+100 x+4 3− x

16. Apskaičiuokite trupmenos

x 2 −2x reikšmę, x √

kai: √ 2; d) x = −3 5; e) x = 1,5.

a) x = −1; b) x = 1; c) x =

17. Atlikite veiksmus. 4 − x+3 ; c) 5x+7 + 6x+4 ; d) 5x + 3 ; e) a 2 −1 · a 3 ; f) x+1 : x 2 +x . a) a − a9 ; b) x−1 x x−1 3−x x−3 x−1 a+1 x−1 x 2 −1 a2 18. a) (2005 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 1 užduotis.) 22005 + 22005 = A 24010 B 22006 C 42005 D 44010 E 3 · 22004 b) (2007 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 1 užduotis.) 2008

A 21004 B 2 2007 C 22007 D 1 E 2 22008 − 22007 = c) (2000 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 4 užduotis.) −27n+2 + 6 · 33n+3 3n · 9n+2

= A 3−n +n B −7 C 99 D 3n+25 E Kitas atsakymas d) (1999 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 7 užduotis.) Jei x = 1001999 ir y = 100−1999 , tai (x + y)2 − (x − y)2 = A 10−1998 B 0,02 C 2 D 4 E 2 · 1001998 2

11

1

Realieji skaičiai ir realiųjų skaičių tiesė Yra teisingas toks teiginys: Kiekvieną realųjį skaičių atitinka realiųjų skaičių tiesės taškas ir, atvirkščiai, kiekvieną realiųjų skaičių tiesės tašką atitinka realusis skaičius. Klausimas. Kaip rasti duotą realųjį skaičių a, atitinkantį realiųjų skaičių tiesės tašką A(a)?

•

•

Realiųjų skaičių tiesė

O

V

OV – vienetinė atkarpa

0

1

Kai a yra sveikasis skaičius (a ∈ Z), tai jį atitinkantį tašką A randame naudodamiesi vienetine atkarpa. Pavyzdžiui, pažymėkime tašką A atitinkantį skaičių 2, t. y. A(2): O

V

A

0

1

2

DE MO


skyrius

Kai b yra racionalusis ne sveikasis skaičius (b ∈ Q, b ∈ / Z), t. y. b = dc (c ∈ Z, d ∈ N, d > 1, c ir d neturi bendrų daliklių), tai jį atitinkantį tašką B galima rasti taip: 1) vienetinę atkarpą OV padalijame į d lygių dalių; OV 2) pasinaudoję atkarpėle, kurios ilgis lygus OV d , atidedame atkarpą OB, lygią |c| · d (jei c > 0, tai B atidedame į dešinę nuo O, jei c < 0, tai –– į kairę nuo O). Pavyzdžiui, pažymėkime tašką B(−2,75). Skaičių −2,75 užrašome paprastąja trupmena: −11 = −2 3 . −2,75 = −275 100 = 4 4

Taškas B yra taško O kairėje ir nuo jo nutolęs per 11 atkarpų, lygių 14 . B

– 11 –4

•

O

V

0 –14

1

√ Kai c yra iracionalusis skaičius d (d ∈ N ir d nėra jokio natūraliojo skaičiaus kvadratas), tai jį atitinkantį tašką C galima rasti remiantis Pitagòro teorema.

Užduotis. Panagrinėkite žemiau Teodòro rãtą ir naudodamiesi skriestuvu skaičių √ pateiktą √vadinamąjį tiesėje pažymėkite taškus C − 2 ir D 5 . 1

1 1 1 1

– Ö10 – Ö11

– – Ö8 Ö9

– – Ö7 Ö6

1

– Ö13 – Ö14

1 1

1 – Ö5

– Ö4 – Ö3 – 1 Ö2

– Ö12

1

– Ö15 1

12

1

– Ö16

1 1 1

1

Skaičiai, veiksmai, reiškiniai

Apibendriname Sprendžiame Besidomintiems

MO

Šaknų savybių įrodymai. Laipsnių su racionaliaisiais rodikliais savybių įrodymai Skaičius e. Natūralusis logaritmas. Logaritmų savybių įrodymai

40 41 42 43 44

DE

Geometrijos uždaviniai. Tiesės ir kampai Įvairūs uždaviniai. Procentai Testas Pasitikriname Kartojame tai, ko prireiks 2 skyriuje

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38


1.1. Skaičių aibės 1.2. Skaičių aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Skaičių aibės poaibiai 1.3. Trupmeniniai racionalieji skaičiai 1.4. Laipsniai su sveikaisiais rodikliais 1.5. Šaknys 1.6. Laipsniai su trupmeniniais racionaliaisiais rodikliais ir šaknys 1.7. Logaritmai 1.8. Logaritmų savybės 1.9. Skaitiniai reiškiniai 1.10. Raidiniai reiškiniai

skyrius

b

13

1

1.1. Skaičių aibės


skyrius

Užduotis. Lentoje surašytos pagrindinės skaičių aibės. Sutarta jas žymėti būtent raidėmis N, Z, Q,

DE MO

I , R. Dažniausiai jos rašomos pusjuodžiu (kaip lentoje) arba simetriniu ( , , , , ) šriftu. Ir kitas aibes įprasta žymėti didžiosiomis raidėmis, o aibės elementus (skaičius) rašyti riestiniuose skliaustuose.

1) Remdamiesi aukščiau pateikta informacija nurodykite, kurie teiginiai yra teisingi. √ / R; d) −3 ∈ / Q; e) π ∈ / Q. a) −1 23 ∈ Z; b) 3 ∈ I; c) 5 ∈

2) Aibę A sudaro visi lyginiai natūralieji skaičiai. Užrašykite aibę A: a) nurodydami jos tris mažiausius elementus; b) reiškiniu su vienu kintamuoju n.

3) Aibę C sudaro realieji skaičiai, kurie yra didesni už −2 ir ne didesni už 3. Užrašykite aibę C intervalu ir pavaizduokite ją realiųjų skaičių tiesėje.

–3

14

2

X

1

1.1. Uždaviniai


√

19. Kurie skaičių − 3; −1 23 ; 0;

skyrius

√ √ 2; π; 3,2; 2; 13; −1,(3); 1,(25); 1; − 3 127

priklauso: a) natūraliųjų skaičių aibei?

b) sveikųjų skaičių aibei?

c) racionaliųjų skaičių aibei?

d) iracionaliųjų skaičių aibei?

e) lyginių skaičių aibei?

f) pirminių skaičių aibei?

DE MO

20. Duotos aibės:

A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}; B = (0; 10]; C = {Pirminiai √ skaičiai}; D = {Lygties x 2 = −4 sprendiniai}; E = {n2 , n ∈ N}; F = a 2 , a ∈ Z, |a| 5 ; G = Nelygybės y 2 4 sprendiniai, y ∈ Z ; H = {|x|, −3 < x 2, x ∈ Z}. 1) Kuri aibė yra tuščia? 2) Kurios aibės yra baigtinės? 3) Kiek elementų turi aibė A? aibė B? aibė C? aibė F ? aibė H ? 4) Surašykite aibių F , G ir H elementus.

21. Užrašykite lygties sprendinių aibę. a) 3x − 2 = 0;

b) 3x + 12 = 12 − 4x; c) −x + π = −1;

d) 4x − 5 = 5(x − 1) − x;

e) x 2 − 2x + 1 = 0; √ i) x = 3;

f) x 2 − 2x − 3 = 0; √ j) x = −3;

g) x 2 = 2x − 3;

h) x 2 + x = 1;

2 +2x = 0; k) xx−1

2 −2x = 0. l) xx−2

22. Sugalvokite lygtį, kurios sprendinių aibė būtų:

√ a) {2}; b) {− 3}; c) {−2; 2}; d) {0; 3}; e) ∅; f) (−∞; +∞).

23. Nelygybės sprendinių aibę užrašykite intervalu ir pavaizduokite ją skaičių tiesėje. a) x − 2 < 0;

b) 2x 6;

c) −x − 12 0;

f) −4 2x 10; g) −1 x + 2 < 2; h)

x2

+ 9 < 0;

d) −5x + 11 > 2; e) 3 < x 8; i) x 2 9;

j) −|x| + 4 > 0.

24. Sugalvokite nelygybę, kurios sprendinių aibė būtų: a) [2; +∞); b) (−∞; −3); c) [−5; 5]; d) (−3; 1]; e) ∅; f) (−∞; +∞).

25. Užrašykite duotojo natūraliojo skaičiaus daliklių aibę D, nurodydami jos elementus, ir kartotinių aibę K, užrašydami tris mažiausius jos elementus ir reiškiniu. Nurodykite (jei įmanoma) tų aibių didžiausius, mažiausius ir bendruosius elementus. a) 12; b) 18; c) 60; d) 31. .

26. a) Parašykite aibę visų pirminių skaičių, kurie yra mažesni už 50. b) Parašykite aibę visų sudėtinių skaičių, kurie priklauso intervalui (50; 70].

15

1


skyrius

1.2. Skaičių aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Skaičių aibės poaibiai

Užduotis. Nagrinėkime dvi skaičių aibes: A = {1; 2; 3; 4; 5} ir B = {4; 5; 6; 7}. 1) Užrašykite aibę C, kurią sudaro visi A ir B elementai.

A

B

A∪B

A

B fi

DE MO

fi

A∪B

2) Užrašykite aibę D, kurią sudaro visi bendrieji A ir B elementai.

A

B

A∩B

A

B

fi

A∩B=∆ fi

3) Užrašykite aibę E, kurią sudaro visi A elementai, nesantys B elementais.

A

B

A\B

fi

A

B

A\B fi

4) Užrašykite aibę F , kurią sudaro kurie nors A elementai.

A

16

F

1

1.2. Uždaviniai


skyrius

27. 1) Raskite aibių A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ir B = {2; 4; 6; 8; 10; 12}:

a) sąjungą A ∪ B; b) sankirtą A ∩ B; c) skirtumą A\B; d) skirtumą B\A. 2) Raskite visus aibės A ∩ B poaibius.

28. Užrašykite kokias nors aibes A ir B, jei jų: a) sankirta A ∩ B = {2; 3}; b) sankirta A ∩ B = ∅; c) skirtumas A\B = {5}; d) sąjunga A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5}; e) sąjunga A ∪ B = {−5; 0; 5}; f) sąjunga A ∪ B = {3; 4; 5; 6}, o sankirta A ∩ B = {4}; g) sąjunga A ∪ B = {3; 4; 5; 6}, o sankirta A ∩ B = {3; 6}; h) sąjunga A ∪ B = {3; 4; 5; 6}, o sankirta A ∩ B = {3; 4; 5}; i) skirtumas A\B = {0; 4}, o skirtumas B\A = {7; 10; 13}.

29. Raskite aibių (intervalų) A ir B sąjungą, sankirtą ir skirtumus A\B, B\A, jei:

DE MO

a) A = [−1; 2], B = [0; 3); b) A = [−5; 5), B = (−10; 0]; c) A = [−10; 10], B = (0; 4); d) A = [−4; 3], B(0; 3); e) A = (−7; 13], B = (0; +∞); f) A = (−∞; 0], B = [0; 5); i) A = (−2; −1), B = [−1; 2). g) A ∈ (−∞; +∞), B = [1; 2); h) A = [−5; −1), B = (1; 5];

–2

1

3

6

X

30. Skaičių tiesėse pažymėti du intervalai. Raskite tų intervalų sąjungą, sankirtą ir skirtumus. Atsakymus užrašykite intervalais. a)

b)

0 c)

7 X

–1

4

X

–3

3

X

1

X

d)

–1 X

–2

6

X

–2

X

X

31. Skaičių tiesėje pažymėkite abiejų sistemos nelygybių sprendinius. Užrašykite nelygybių sistemos sprendinių aibę. 2x −10, x − 2 < 3, −4x < 12, 4(x − 1) < 4x, 5x 2x + 18, a) b) c) d) − 3 x < 0; e) 3x + 2 3(x − 2). 2x + 3 > 7; 3x 3; 1 − x −5; 4

32. Užrašykite kokią nors dviejų nelygybių su vienu nežinomuoju x sistemą, kurios sprendinių aibė būtų: a) [−5; 2]; b) (0; 3); c) (−2; 4]; d) [−3; +∞); e) (−∞; 0); f) {5}; g) ∅; h) R.

33. Raskite dvigubosios nelygybės sprendinių aibę, o tada nurodykite tos aibės poaibį, kurį sudaro visi natūralieji nelygybės sprendiniai. a) −3 < x − 2 < 5; b) −3 2x < 7; c) −10 < 2x − 2 0; d) 5 < −2x + 4 < 10.

34. Paaiškinkite, kodėl išvardyti teiginiai yra teisingi. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Natūraliųjų skaičių aibė yra sveikųjų skaičių aibės poaibis, t. y. N ⊂ Z. Sveikųjų skaičių aibė yra racionaliųjų skaičių aibės poaibis, t. y. Z ⊂ Q. Racionaliųjų skaičių aibė yra realiųjų skaičių aibės poaibis, t. y. Q ⊂ R. Iracionaliųjų skaičių aibė yra realiųjų skaičių aibės poaibis, t. y. I ⊂ R. Iracionaliųjų ir racionaliųjų skaičių aibių sąjunga yra realiųjų skaičių aibė, t. y. I ∪ Q = R. Iracionaliųjų ir racionaliųjų skaičių aibių sankirta yra tuščia aibė, t. y. I ∩ Q = ∅. Realiųjų ir iracionaliųjų skaičių aibių skirtumas yra racionaliųjų skaičių aibė, t. y. R \ I = Q.

35. Kiek poaibių turi aibė, sudaryta iš: a) 2 elementų? b) 3 elementų? 36. Kiek poaibių, sudarytų iš 2 elementų, turi aibė, kurioje yra: a) 3 elementai? b) 4 elementai? c) 5 elementai?

17

1

1.3. Trupmeniniai racionalieji skaičiai


skyrius

DE MO

1 užduotis. Lentoje surašyti trupmeninių racionaliųjų skaičių pavyzdžiai.

1) Lentoje surašytas dešimtaines baigtines trupmenas užrašykite paprastosiomis trupmenomis ir, jei įmanoma, mišriaisiais skaičiais. 2) Lentoje surašytas paprastąsias trupmenas ir mišriuosius skaičius užrašykite dešimtainėmis trupmenomis. 3) Lentoje surašytas dešimtaines begalines periodines trupmenas užrašykite paprastosiomis trupmenomis.

2 užduotis. Duotas skaičius: a) 50; b) 110; c) 10,5; d) 1 45 ; e) 0,(3). 1 dalį; 0,4 dalis; Raskite duotojo skaičiaus: 1) 100

18

a 100

dalių; 2) 1 %; 13 %; a %.

1

1.3. Uždaviniai 37. a) Paprastąsias trupmenas ir mišriuosius skaičius užrašykite dešimtainėmis trupmenomis. 2; 5

8 ; 2 1 ; −1 5 ; − 3 ; 2 1 ; −1 4 . − 25 7 4 8 9 6 b) Dešimtaines baigtines trupmenas užrašykite paprastosiomis trupmenomis. 0,7; −2,02; 3,105; −0,0025; −40,0404.

38. 1) Begalinę dešimtainę periodinę trupmeną užrašykite nesuprastinama paprastąja trupmena. a) 1,(8);

b) 10,(28);

c) −3,(05);

d) −0,(50);

e) 5,(253);

f) −1,(012);

g) 0,0(5);

h) 1,2(31);

i) −10,22(3);

j) 44,456(7).


skyrius

DE MO

2) Suformuluokite taisyklę, kuria remiantis dešimtainę periodinę trupmeną galima užrašyti paprastąja trupmena.

39. Atlikite veiksmus su dešimtainėmis ir paprastosiomis trupmenomis bei mišriaisiais skaičiais. a) 13 + 0,3; b) − 37 − 1,1; c) 2 15 − 1,75; d) 4,8 + 2 58 ; e) 4 19 · (−0,2); f) −2 23 : 1,5. 40. Atlikite veiksmus su dešimtainėmis periodinėmis trupmenomis. a) 2,(4) + 0,(6); b) 0,(7) − 1,(3); c) 33 · −0,(51) ; d) −3,(01) : 2,(30); e) 3,4(8) − 0,(2).

41. Apskaičiuokite pavaizduotos figūros perimetrą ir plotą. a) B

A c)

b)

C

D

B

d)

C

,

h

h

A

C

A

C

B

B

D

A

D

42. Procentais nurodytą skaičiaus dalį užrašykite dešimtaine ir paprastąja trupmenomis. a) 9 %; b) 30 %; c) 107 %; d) 303 %; e) 0,5 %; f) 20,3 %; g) 10 25 %; h) 1,(1) %.

43. Kiek procentų skaičiaus atitinka trupmena nurodyta to skaičiaus dalis? 7 ; f) 3 ; g) 11 ; h) 2 1 ; i) 0,(9); j) 1,(3). a) 0,04; b) 0,37; c) 2,01; d) 10,058; e) 100 10 4 25 44. Stačiakampis padalytas į lygias dalis. Kuri stačiakampio dalis nuspalvinta? Atsakymą parašykite paprastąja trupmena; dešimtaine trupmena; procentais.

a)

b)

c)

d)

19

1

1.4. Laipsniai su sveikaisiais rodikliais


skyrius

Užduotis. Lentoje surašyti laipsnio a n su natūraliuoju, neigiamuoju sveikuoju ir nuliniu rodikliais

DE MO

apibrėžimai, pavyzdžiai ir savybės.

1) Apskaičiuokite laipsnio su natūraliuoju rodikliu reikšmę. a) 23 ; b) 34 ; c) (−2)3 ; d) (−3)4 .

2) Apskaičiuokite laipsnio su neigiamuoju sveikuoju rodikliu reikšmę. a) 2−3 ; b) 3−4 ; c) (−2)−3 ; d) (−3)−4 . 3) Įrodykite laipsnių savybes.

4) Remdamiesi laipsnių savybėmis, apskaičiuokite skaitinio reiškinio su laipsniais reikšmę. −2 a) 23 · 2−2 ; b) 23 : 2−2 ; c) 23 ; d) 20 : 24 ; e) 53 · 23 ; f) 604 : 204 ; g) 4−3 · 44 : 4−2 . ?

Kodėl

:2 :2 :2 :2

!

20

1

1.4. Uždaviniai 45. 1) Apskaičiuokite laipsnių su natūraliaisiais rodikliais reikšmes. a) (−2)2 ; (−2)3 ; (−2)4 ; (−2)5 ; c) (−0,3)2 ; (−0,3)3 ; (−0,3)4 ; (−0,3)5 ; 3 4 2 e) 0,(3) ; −0,(3) ; −0,(3) ;

2 3 4 5 b) − 21 ; − 12 ; − 12 ; − 12 ; 2 3 4 5 d) −1 12 ; −1 12 ; −1 12 ; −1 12 ; 2 3 f) 2,(27) ; −2,(27) .

2) Koks ženklas (> ar <) turėtų būti parašytas vietoj žvaigždutės? a) Kai a < 0, n ∈ N, tai a 2n ∗ 0. b) Kai a < 0, n ∈ N, tai a 2n−1 ∗ 0. Šias lyginio ir nelyginio laipsnio savybes nusakykite žodžiais.


skyrius

46. Pasakykite, kokie skaičiai turėtų būti parašyti vietoj x, kad lygybės būtų teisingos. 1 ; x 3 = 1; x 3 = −1; −x 3 = 0,(9); a) x 3 = 8; x 3 = −8; x 3 = 18 ; x 3 = − 27 b) x 2 = 9; x 2 = 14 ; x 2 = 0,25; x 2 = −9; x 2 = 7; x 2 = 0,(1); −x 2 = − 49 ;

DE MO

c) x 5 = −1; x 5 = 32; x 5 = 1001000 ; x 5 = 0,00032; x 5 = 243; −x 5 = 243; 1 ; x 4 = 0,0001; x 4 = −1; x 4 = 81; −x 4 = − 1 . d) x 4 = 16; x 4 = 16 81

47. Kiekvieną skaičių parašykite laipsniu, kurio pagrindas lygus 10. a) 1000; 1 000 000 000; 10 000 000 000 000 000 000; b) 0,0001; 0,0000000001; 10 1000 ; 100 0001000 000 .

48. 1) Apskaičiuokite laipsnių su neigiamaisiais sveikaisiais rodikliais reikšmes. a) (−2)−2 ; (−2)−3 ; (−2)−4 ;

b) 0,1−2 ; 0,1−3 ; 0,1−4 ; −2 2 −3 2 −4 d) − 23 ; −3 ; −3 ; −2 −5 f) −2,(3) ; 3,(9) .

c) 2,5−2 ; 2,5−3 ; 2,5−4 ; −2 −3 −4 e) 0,(5) ; 0,(5) ; 0,(5) ; a −n b n = a . 2) Įrodykite, kad b

49. Skaičių užrašykite standartine išraiška. a) 500 000; e) 0,00005;

b) 17 000 000; f) 0,00203;

c) 205 000; g) 0,000001;

d) 10 000 000 000; h) 0,00000000012.

50. Atlikite veiksmus su standartinės išraiškos skaičiais. Atsakymą parašykite standartinės išraiškos skaičiumi. a) 2 · 105 + 3 · 105 ; d) 2 · 1015 · 3 · 10−5 ;

b) 7,2 · 10−7 − 3,9 · 10−7 ; e) 8 · 10−3 : 1,6 · 107 ;

c) 4 · 106 − 5,3 · 106 ; f) 4 · 10−5 : 8 · 10−7 .

51. Apskaičiuokite reiškinio su laipsniais reikšmę.

−1 a) 8 · 4−3 ; b) 18 · (−9)−1 ; c) 2−3 − (−2)−4 ; d) 0,5−2 + 13 ; −2 −4 4 2 ; g) −25 · 1 3 ; h) 0,125−2 · 4−3 ; e) 0,20 − 0,1−4 ; f) 16 · 11 −8 · 25−4 + 0,5−4 · 4−2 + 31−2 ; i) 2 · 25 : 2−2 · 8 : 1024; j) 3−7 · 30 : 35 · 9 : 27 · 310 ; k) 15 −2 5 0 −1 −2 −2 22 −10 6 −5 4·2−1 + 9 · 35 −2 1 · 2516 . l) 7 − 40 · 7 : 9 ; m) −1 ; n) 4 8·52 ; o) 3(−3)· 92 ; p) 5 125 8 50 +

1 8

21

1

1.5. Šaknys


skyrius

DE MO

1 užduotis.

1) Raskite šaknų reikšmes. Atsakymus pagrįskite. √ √ √ √ √ √ √ 3 √ 9 ; b) 3 8; 3 1; 3 0; √ a) 4; 1; 0; 0,25; 16 −27; 3 0,343; 3 − 27 64 . 2) Kokį neneigiamąjį skaičių pakėlę kvadratu gauname: a) 3? b) 8? c) 0,2?

3) Kokį skaičių pakėlę kubu gauname: a) 5? b) 0,3? c) 25 ?

2 užduotis. Aukštesnio laipsnio šaknys apibrėžiamos panašiai kaip kvadratinės ir kubinės šaknys. 1) Panagrinėkite lentoje pateiktus lyginio ir nelyginio laipsnių šaknų apibrėžimus ir savybes.

+

+

2) Raskite šaknų reikšmes. Atsakymus pagrįskite. √ √ √ √ √ √ √ √ √ 4 4 5 4 5 5 5 4 16 4 5 1 . a) 16; 1; 0; 0,0625; 81 ; b) 32; 1; 0; −243; 0,03125; 5 − 1024 3) Kokį neneigiamąjį skaičių pakėlę ketvirtuoju laipsniu gauname: a) 2? b) 13? c) 2,3? 4) Kokį skaičių pakėlę penktuoju laipsniu gauname: a) 7? b) −12? c) − 25 ?

3 užduotis. Remdamiesi šaknų savybėmis, atlikite veiksmus. a)

22

√ √ √ √ √ 3 √ 3 3 2 · 3 500; b) 4 3 : 4 16 ; c) 5 ; d) 3 4 2; e) 6 23 .

1

1.5. Uždaviniai 52. 1) Skaičiuotuvu raskite apytiksles šaknų reikšmes. Atsakymus parašykite 0,01 tikslumu. a)

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 5; 3 5; 4 5; 5 5; b) − 10; − 3 10; − 4 10; − 5 10; c) 200; − 3 200; − 4 200; 5 200.

2) Nurodykite gretimus sveikuosius skaičius, tarp kurių yra kiekviena duotoji šaknis.


skyrius

53. Apskaičiuokite lyginio laipsnio šaknų reikšmes.

√ √ √ 22 ; (−2)2 ; b) 32 ; (−3)2 ; c) x 2 ;

√ √ √ 4 d) 24 ; 4 (−2)4 ; e) 4 34 ; 4 (−3)4 ; f) 4 x 4 .

DE MO

a)

54. Apskaičiuokite nelyginio laipsnio šaknų reikšmes.

√ √ √ 3 23 ; 3 (−2)3 ; b) 3 33 ; 3 (−3)3 ; c) 3 x 3 ;

√ √ √ 5 5 5 d) 25 ; (−2)5 ; e) 5 35 ; (−3)5 ; f) 5 x 5 . a)

55. Koks skaičius turėtų būti parašytas vietoj x, kad būtų teisinga lygybė: √ √ √ √ √ x = 2? x = 1? x = 0? x = −2? − x = −10? √ √ √ √ √ b) 3 x = 2? 3 x = 1? 3 x = 0? 3 x = −2? − 3 x = −3? √ √ √ √ √ c) 4 x = 2? 4 x = 1? 4 x = 0? 4 x = −2? − 4 x = −4? √ √ √ √ √ d) 5 x = 2? 5 x = 1? 5 x = 0? 5 x = −2? − 5 x = −3? a)

56. Be skaičiuotuvo raskite du gretimus sveikuosius skaičius, tarp kurių yra iracionalusis skaičius. a)

√ √ √ √ √ √ √ 4 10 20; b) − 15; c) 3 80; d) − 3 30; e) 5; f) 5 100 001; g) − 1025.

57. Remdamiesi šaknų savybėmis, atlikite veiksmus. √ √ 2 · 8; √ √ f) 32 : 2;

√ 3 49; k)

a)

√ √ 3 · 12; √ √ g) 10 : 2,5;

√ l) 3 27; b)

√ √ 45 · 5; √ √ h) 2 : 8; √ 3 m) 2 ; c)

√ √ 3 3 · 3 9; √ √ i) 3 54 : 3 2; √ n) 6 100; d)

√ √ 3 3 4 · 2; √ √ j) 3 0,1 : 3 100; √ o) 12 81. e)

58. Apskaičiuokite:

√ √ a) stačiakampio, kurio kraštinių ilgiai yra 4 10 cm ir 4 3,6 cm, plotą; √ b) kubo, kurio briaunos ilgis yra 6 9 dm, tūrį; √ √ √ c) stačiakampio gretasienio, kurio briaunų ilgiai yra 5 2 cm, 5 4 cm, 5 8 cm, tūrį.

59. Įkelkite dauginamąjį po šaknies ženklu.

√ √ √ √ √ √ √ √ a) 2 3; b) 3 2; c) 10 3 2; d) 5 3 5; e) 3 4 2; f) 10 4 2; g) 3 5 2; h) 10 5 2.

60. Iškelkite dauginamąjį prieš šaknies ženklą. a)

√ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 5 5 20; b) 72; c) 24; d) 54; e) 4 80; f) 4 32; g) 224; h) 486.

61. Raskite reiškinio su šaknimis reikšmę.

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 18 + 8 + 32 − 50; b) 12 − 27 − 48 + 75; c) 7 20 − 3 45 + 1,5 80 : 5; √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 4 3 3 d) 54−3 16+6 3 128; e) 162+ 4 48− 4 32− 4 243; f) 2,5 24+ 375− 13 3 81 : 3 3.

a)

23

1.6. Laipsniai su trupmeniniais racionaliaisiais rodikliais ir šaknys

1


skyrius

1 užduotis. Lentoje užrašyta lygybė, kuria remiantis teigiamojo skaičiaus laipsnį su trupmeniniu

DE MO

racionaliuoju rodikliu galima pakeisti jam lygia šaknimi.

√ m 1) Panagrinėkite, kaip galima įsitikinti lygybės a n = n a m teisingumu. √ m Lygybės a n = n a m abiejų pusių reiškinius pakelkime n-uoju laipsniu: m n n √ m n a n = a n ·n = a m ; am = am.

√ m Reiškinių a n ir n a m n-ieji laipsniai yra lygūs (a m = a m ), todėl lygūs ir patys reiškiniai: √ m n a n = am. 3

2) Įsitikinkite, kad 4 2 = 8.

m

2 užduotis. Naudodamiesi lygybe a n =

√ n a m , užrašykite, kam lygus laipsnis, kurio rodiklis yra:

1) teigiamoji paprastoji trupmena: 2

3

4

3

4

5

1

1

1

a) 10 3 , 10 4 , 2 5 ; b) 10 2 , 10 3 , 3 4 ; c) 10 2 , 10 3 , 4 4 ;

2) teigiamoji dešimtainė baigtinė trupmena: a) 20,5 ; b) 30,8 ; c) 31,5 ; d) 21,8 ; e) 40,75 ; f) 80,25 ;

3) neigiamasis trupmeninis racionalusis skaičius: 2 3 1 a) 10− 3 ; b) 10− 2 ; c) 10− 2 ; d) 2−0,5 ; e) 3−1,5 .

24

1

1.6. Uždaviniai 62. Laipsnį su trupmeniniu racionaliuoju rodikliu užrašykite šaknimi. 2 1 1 3 1 3 a) 5 2 ; b) 3 3 ; c) a 3 ; d) x 4 ; e) 20,5 ; f) 60,8 ; g) a 0,75 ; h) x 1,5 ; i) 10− 2 ; j) x − 2 .

63. Šaknį užrašykite laipsniu su trupmeniniu racionaliuoju rodikliu. a)

√ √ √ √ √ √ √ 3 3; b) 5; c) 3 22 ; d) 4 a 3 ; e) 3 4−1 ; f) 5 x −2 ; g) 3 0,5.

64. Laipsnį užrašykite laipsniu, kurio pagrindas yra pirminis skaičius, tada apskaičiuokite jo reikšmę. a) 4 2 ; b) 64 2 ; c) 27 3 ; d) 81 2 ; e) 49− 2 ; f) 25−0,5 ; g) 121−1,5 ; h) 0,(1)− 2 . 1

1

1

3

1

1


skyrius

65. Šaknį iš laipsnio užrašykite laipsniu, kurio pagrindas lygus 2. √ √ √ √ 3 82 ; b) 4 323 ; c) 5 128−2 ; d) 6 512−3 .

DE MO

a)

66. Apskaičiuokite.

1 −2 2 − 3 5 2 2 1 3 1 1 ; f) 4− 3 4 ; g) (8 · 27) 3 . a) 5 4 · 50,75 ; b) 3 3 : 3 3 ; c) 9 4 : 90,25 ; d) 2 2 · 32 2 ; e) 2 2

67. Atlikite veiksmus.

−0,4 2 1 1 2 3 4 1 3 a) b 3 · b 4 ; b) a − 5 : a − 5 ; c) x 3 2 ; d) a −2,5 ; e) 23 a − 4 · 3a. 68. Reiškinį užrašykite laipsniu su trupmeniniu racionaliuoju rodikliu. √ √ √ √ 3 3 4 4 a) 2 2; b) 3 3; c) 4 8; d) 5 5 5.

69. Koks skaičius turėtų būti parašytas vietoj x, kad būtų teisinga lygybė:

2 1 1 a) x 3 = 1? b) x 2 = 4? c) x 3 = 3? d) x 0,5 = 2? e) x 0,75 = 7,(9)?

70. Naudodamiesi skaičiuotuvu, apskaičiuokite, tarp kurių gretimų sveikųjų skaičių yra laipsnis su iracionaliuoju rodikliu. √

√

√

√

√

a) 2 2 ; b) 3 2 ; c) 5 2 ; d) 2 3 ; e) 10 3 .

;


√ √ √ √ √ √ √ √ 2 √ 2√2 a) 5 7 · 5− 7 ; b) 23 2 : 8 2 ; c) 7 2 ; d) 31−2 5 · 9 5 ; e) 6(1+ 3) : 36 3 .

2

3

1

1

1

1

72. Kuris skaičius didesnis: a) 2,3 5 ar 1,8 5 ? b) 5 5 ar 2 2 ? c) 5,(5) 5 ar 2,(2) 2 ? 25

1

1.7. Logaritmai


skyrius

1 užduotis. Nagrinėkime teisingą lygybę 43 = 64.

DE MO

1) Iš lygybės 43 = 64 išreikškite laipsnio pagrindą 4.

2) Iš lygybės 43 = 64 išreikškite laipsnio rodiklį 3.

3) Naudodamiesi logaritmo ženklu, iš lygybės išreikškite laipsnio rodiklį. a) 32 = 9; b) 52 = 25; c) 33 = 27; d) 43 = 64; e) 102 = 100; f) 104 = 10 000.

2 užduotis. Perskaitykite logaritmą. Kam lygi jo reikšmė? Atsakymą pagrįskite. a) log3 9; b) log5 25; c) log3 1; d) log4 256; e) log10 100; f) lg 10 000.

3 užduotis. Raskite skaičių x, su kuriuo lygybė yra teisinga.

26

a) 2x = 8;

b) 5x = 25;

c) 3x = 27;

d) 10x = 100;

e) 2x = 7;

f) 5x = 20;

g) 3x = 15;

h) 10x = 9.

1

1.7. Uždaviniai 73. Apskaičiuokite logaritmo reikšmę.

√ 1 ; c) log 4; d) log 36; e) log 3 5; f) log 4 . a) log4 64; b) log6 36 1 1 2 5 4 6 5 25 74. Užrašykite skaičių, kuriuo pakėlę 5 gauname: √ √ √ 1 ; c) 5; d) 3 25; e) 4 125; f) 50; g) 11; h) 10. a) 125; b) 125

75. Kam lygi laipsnio reikšmė?

1 log 1 10 log2 6 log 1 7 4 a) 2log2 3 ; b) 0,5 2 ; c) 10lg 7 ; d) 9log3 5 ; e) 16 ; f) 100lg 7 ; g) 0,1lg 4 ; h) 14 .


skyrius

76. Raskite x reikšmę, su kuria lygybė yra teisinga. 1 ; b) 2x = 256 √ g) 2x = 2;

c) 2x = 1;

d) 2x = 2;

e) 2x = 1024;

h) 2x = 10;

i) 10x = 3;

j) 10x = 12 .

DE MO

a) 2x = 128; √ 3 f) 2x = 2;

77. Raskite x reikšmę, su kuria lygybė yra teisinga. a) log2 x = 3;

d) log11 x = −2;

b) log5 x = 2; e) log16 x = 12 ;

c) log7 x = −1; f) lg x = 0;

g) log9 x = 14 ; h) log8 x = − 13 ; i) lg x = − 12 . 78. Raskite x reikšmę, su kuria lygybė yra teisinga. b) logx 100 = 2; a) logx 1000 = 3; d) logx 25 = 2;

e) logx 5 = 1;

c) logx 10 = 21 ;

f) logx 125 = −3.

79. Raskite x reikšmes, su kuriomis logaritmas turi prasmę.

a) log5 (x + 1); b) log3 (2x); c) log2 (−5x + 10); d) lg x 2 ; e) logx+1 5; f) log2x 10; g) logx 2 7; h) log|x| 1; i) logx−1 (4x); j) logx−3 (x + 1); k) log3x−2 (5 − x); l) log−x x 2 .

80. Apskaičiavę logaritmų reikšmes, raskite reiškinio reikšmę. a) log2 0,25 + log 1 81; b) log5 25 − lg 1000; c) log4 14 + log5 1 − log3 3; 3 √ d) 2 log2 2 − lg 1 + 3 log0,25 0,25; e) − log2 14 + 2 log4 2.

81. Apskaičiuokite. a) log23 9; b) log32 8; c)

log3 81; d)

lg 10 000; e) 3 log2 256; f) log21 4; g) −2 log3 19 . 2

.

27

1

1.8. Logaritmų savybės


skyrius

1 užduotis. 1) Įsitikinkite, kad teisinga yra lygybė log2 (8 · 4) = log2 8 + log2 4.

DE MO

2) Įsitikinkite, kad teisinga yra lygybė log2 (8 : 4) = log2 8 − log2 4.

3) Įsitikinkite, kad teisinga yra lygybė log2 43 = 3 · log2 4.

log 64

4) Įsitikinkite, kad teisingos yra lygybės: log8 64 = log2 8 ; log8 64 = log1 8 . 2 64

2 užduotis. 1) Lentoje surašytas pirmąsias tris logaritmų savybes nusakykite žodžiais.

log b

2) Remdamiesi lygybe loga b = logc a (ji dažnai vadinama logaritmo pagrindo keitimo formule), įrodykite c lygybę loga b =

1 . logb a

Su kuriomis b reikšmėmis ši lygybė neturi prasmės?

28

1

1.8. Uždaviniai 82. Apskaičiuokite taikydami logaritmų savybes. a) log3 (27 · 81);

b) log5 (25 · 125);

c) lg(100 · 1000);

d) log 1 (16 · 32);

e) log3 81 9; i) log3 272 ;

f) log4 64 16 ; j) log6 363 ;

g) lg 1000 10 ; k) lg 1002 ;

h) log 1 64 ; 2 2 l) log 2 27 8.

2

3

83. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę naudodamiesi logaritmų savybėmis. a) log18 3 + log18 6;

b) lg 2 + lg 5;

c) log2 3,2 + log2 10; d) lg 120 − lg 1,2; √ h) log√2 5 2 −log√2 10. e) log3 108 − log3 4; f) log√2 6 − log√2 3; g) lg 5 − lg 125;


skyrius

84. Apskaičiuokite reiškinio su logaritmais reikšmę.

DE MO

a) log6 34 − log6 17 + log6 18; b) log3 21 + log3 2 − log3 14; c) log2 39 − log2 13 − log2 24; d) log5 150 − log5 3 + log5 12 ; e) log2 27 − 2 log2 3 + log2 23 ; f) log4 54 − 12 log4 9 − 23 log4 27.

85. Apskaičiuokite:

a) log25 125, pakeitę logaritmo pagrindą skaičiumi 5; b) log128 32, pakeitę logaritmo pagrindą skaičiumi 2; c) log100 0,001, pakeitę logaritmo pagrindą skaičiumi 10; d) log√3 81−1 , pakeitę logaritmo pagrindą skaičiumi 3.

86. Suvienodinkite logaritmų pagrindus ir apskaičiuokite.

1 ; b) log 3 · log 16; c) log 9 · log√ 2; d) log 3 · log 4. a) log3 64 · log2 27 1 2 3 2 3 3 2

87. Apskaičiuokite x reikšmę.

√ 3 a) log7 x = 12 log7 36 − log7 14 + 3 log7 21; √ b) log5 x = log5 3 − 12 log5 12 + log5 30;

c) log2 x = 2 log2 5 + log2 3 − 12 log2 27; d) log3 x = 2 + 12 log3 32 − 2 log3 4.

88. Kam lygu:

a) log3 27 8 , jei log3 2 = a? d) log125 15, jei log5 3 = d?

b) log2 89 , jei log2 3 = b? e) log14 98, jei log2 7 = e?

c) log5 75, jei log5 3 = c? f) log48 12, jei log4 3 = f ?

29

1

1.9. Skaitiniai reiškiniai

1 užduotis. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę. a) 5 − 6 :

√ √ 3 3 8 + 23 · log2 8; b) (5 − 6) : 3 8 + 2 · log2 8.

DE MO


skyrius

2 užduotis. 1) Panagrinėkite, kaip buvo apskaičiuota reiškinio

√3 3

+ √3

3+1

reikšmė.

I būdas. Naikiname šaknis (iracionalumą) vardikliuose: √ √ √ √ √ 3· 3−1 3 3−1 3 3· 3 3 3 √ 3 3 3−3 = √ = = 3; √ . √ =√ √ = √ = √ 2 3 2 3 3· 3 3+1 3+1 · 3−1 3 − 12 Randame sumą: √ √ √ √ √ 3 3−3 2 3+3 3−3 5 3−3 3+ = = . 2 2 2

II būdas. Subendravardiklinę trupmenas, jas sudedame: √ √ √ √ √ 3 3+1 +3 3 3 3 3 3+3+3 3 6 3+3 = √ √ = √ . √ +√ √ = 3 3+1 3 3+1 3+ 3 3+3 2) Naikindami iracionalumą trupmenos vardiklyje įsitikinkite, kad √ √ 6 3+3 5 3−3 = . √ 2 3+3

3 užduotis. Apskaičiuokite reiškinio su moduliais reikšmę. a) |4 −

30

√ √ √ √ 3| + |1 − 3|; b) 2 − | 10 − 4| + |7 − 10|.

1

1.9. Uždaviniai

−1 2 −1 61 · 64−1 − 8−2 : 15 ; √ −1,5 1 . d) 64−0,5 − 8−1 3 + 0,0625

√ √ √ √ a) 6 8 − 0,5 200 + 32 − 1,5 72; 4 0 − 0,1−1 : 3 −1 · 3 3 − 1 −1 ; c) 8 2 3 5

b)

90. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę. 1 −2

√ a) 4 · log25 5 + 3 −1 · 0,1−1 − (−2)3 ; √ √ √ 1 c) 3 −125 · lg 10 + 0,25− 2 : 0,01;

+ 3−1

· 2 14

3 3 −3

1 · log 1; · − lg 10 3 4 8 −3 −2 (2 ) d) (log2 32)1,75 7 − 32 · 6−1 .

b)

1 2



skyrius

91. Atlikite veiksmus.

0,1(3) 0,5(1) ; c) 0,3(2) + 1,4(7); d) 0,32(1) a) 0,(2) − 0,2(6); b) 0,1(25) 0,64(2) − 0,2(5) .

DE MO

92. Raskite skaičių 3,6 · 10−3 ir 4,8 · 10−4 : a) sandaugą; b) dalmenį; c) sumą; d) skirtumą. Atsakymą užrašykite standartine išraiška.

93. Apskaičiuokite reiškinio su moduliais reikšmę.

√ √ √ √ √ a) −1 − 3 + 2 3 − 3 3 − 1; b) (1 − 2)2 − 2 ( 2 − 1)2 .

94. (2001 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 11 užduotis.)

Apskaičiuokite a +2b, kai a = 2,8·10−7 , b = 2,1 ·10−8 . Atsakymą užrašykite standartine išraiška.

95. Apskaičiuokite reiškinio su laipsniais ir šaknimis reikšmę. a) √ d)

4

√

13 34 ·1,2 √ √ √ ; 69− 3 69+ 3

b)

√ √ 17 + 33 · 4 17 − 33;

e)

√ √ √ 7 27−7 8 27+ 8 ; 272 −82 1

c)

√

√ 3 7+ 6 ; 0,125

1 3

7 2 −6 2

f)

3

9−

√ √ 17 · 3 9 + 17;

1 1 2 √ √ 2 3 15 2 −7 2 15+ 7 . 3+9·13−1

96. Naudodamiesi pagrindine logaritmų tapatybe, apskaičiuokite: 1

a) 251+2 log5 2 ;

b) 100 2 lg 9+lg 5 ;

c) 32+0,5 log3 16 ;

d) 101−2 lg 5 ;

e) 0,01lg 2−1 ;

f) 81 4 − 2 log9 4 .

√

97. Panaikinkite iracionalumą trupmenos vardiklyje.

1

1

√

7 ; c) √ 1 a) √5 ; b) √ d) √ 2 ; e) √ 3 ; f) √ 4 √ ; g) √3− √6 . 3 ; 5

2 3

2−1

2

5−2

7− 3

3− 2

98. Raskite reiškinio reikšmę. a) √2 + √ 2 2

2+2

; b) √2 − √ 2 ; c) 2

2+2

99. Įrodykite, kad lygybė yra teisinga. a)

√ 2 2+ 3 √ √ 2 6+ 2

1 − 1 4 = 3,5; + 81 b)

5√ 2− 3

+

10 √ ; 1− 3

d)

14 √ 3− 2

+ √ 2√ +

√

√ √ 12− 8 · 3 √ 6−2 6 ·(2+2·9−1 )

2− 3

2√ . 2− 3

√ = 0,45; c)

√ 2 4 7+4 2 √ 18+2 56

= 8;

log12 49 d) log2 16 + 27log3 2 = 49; e) 491−log7 2 + 5− log5 4 = 12,5.

31

1

1.10. Raidiniai reiškiniai


skyrius

1 užduotis. Duoti du reiškiniai su vienu kintamuoju a: (2a + 1)3

ir

8a 3 + 12a 2 + 6a + 1.

DE MO

1) Įsitikinkite, kad abiejų reiškinių reikšmės yra lygios, kai: a) a = 1; b) a = −1; c) a = 0. 2) Įrodykite, kad abiejų reiškinių reikšmės yra lygios esant visoms a reikšmėms.

3) Ar reiškiniai yra tapačiai lygūs?

2 užduotis. Įrodykite tapatybes: (a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3 ; (a + b) a 2 − ab + b2 = a 3 + b3 .

,

3 užduotis. Suprastinkite reiškinį 2a(1 + a)3 − (2a − 3)2 − 6a 3 + 2a 4 .

4 užduotis. Suprastinkite reiškinį |x − 1| − x + 1.

32

1

1.10. Uždaviniai 100. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę. a) 2a 3 − a 2 + 5a − 1, kai a = 0; a = −1; a = 1; a = 0,(3); √ 1 ; m = 5; m = 0,(1); b) m − 2m, kai m = 0; m = 4; m = 25 3

1

c) y 2 + y 2 , kai y = 1; y = 4; y = 8; y = 0,(4); √ d) log3 a − 2a 3 , kai a = 1; a = 3; a = 13 ; a = 3 3; a = 0,(3).

101. Atskliauskite.

a) a(a + 3); b) 2x 3x − x 2 ; c) −a(2a + b); d) −2y 2 − 3y 2 ; e) −4t −2t 2 − t ; f) (a − 1)(a + 2); g) (a + b)(b − 3); h) (x − y)(5 − y); i) (−a − b)(−5 − a).


skyrius

102. Suprastinkite reiškinį.

a) (a + b)3 − (a − b)3 ; b) 3a(a − 2) − 4 a 2 − 1,5a ; c) 4x(x − y) + (x + 2y)2 − 6x 2 .

103. Išskaidykite dauginamaisiais, pritaikę greitosios daugybos formules. 2 b) 49 a 2 − 16 25 b ;

c) a 2 + 4ab + 4b2 ;

DE MO

a) −9x 2 + 16y 2 ;

d) 4x 2 − 28x + 49;

e) 9a 2 + 24ab + 16b2 ; f) −25 − 20a − 4a 2 ; g) 1 − 3a + 3a 2 − a 3 ; h) x 3 + 6x 2 + 12x + 8.

104. Nustatykite, ar reiškiniai yra tapačiai lygūs.

a) (a − b)2 ir (b − a)2 ; b) (a − b)2 ir −(a + b)2 ; c) (−a − b)2 ir (a + b)2 ; d) (a + b)2 − (a − b)2 ir 4ab; e) (a + b)2 + (a − b)2 ir 2 a 2 + b2 ; f) (x − 3)3 − (x − 3)2 ir x − 3; g) (2x + 10)3 ir 8x x 2 + 15x + 75 + 1000.


√ √ √ √ x+ xy y+3 x−3 a) √x−y√ ; b) √ √ ; c) √xy+y − √xy+x ; d) x − √x x− y

x+ y

x+1

x−1 · √ . x

106. Raskite reiškinio su vienu kintamuoju apibrėžimo sritį. √

x lg(8−2x) 3x 2 −x−1 x 1 5 √ a) 5x−5 . x+1 ; b) 2x 2 −x ; c) x 2 −9 − x−3 ; d) x−4 + x 2 −1 ; e) x−1


a) 2x+|x| x , kai x < 0;

c) (x + 2)2 − (x − 2)2 ;

b) x−3+|3−x| 5|x−3| , kai x > 3;

d) (4 − x)2 + 3 (3 − x)3 + 1 − x.

108. Pavaizduotas stačiakampis ABCD. a)

B

C

b)

B a

45∞ A

C

a

D

A

30∞

c)

B

C

a D

A

a+2

D

1) Naudodamiesi brėžinio duomenimis, užrašykite: kam lygus stačiakampio perimetras PABCD ir plotas SABCD ; kam lygus trikampio ABD perimetras PABD ir plotas SABD . 2) Apskaičiuokite PABCD , SABCD , PABD ir√SABD reikšmes, kai: a = 1 cm; a = 9 cm; a = 14 dm; a = 2 m; a = 1,(3).

33

1

Apibendriname Aibės Aibė –– tam tikrą savybę tenkinančių objektų rinkinys. Aibės elementai –– aibę sudarantys objektai. Aibės žymimos didžiosiomis raidėmis. Aibės elementai rašomi riestiniuose skliaustuose. Tuščioji aibė neturi nė vieno elemento. Aibių A ir B sąjunga –– aibė, sudaryta iš visų A ir B elementų. Rašoma: A ∪ B. Aibių A ir B sankirta –– aibė, sudaryta iš visų bendrųjų A ir B elementų. Rašoma: A ∩ B. Aibių A ir B skirtumas –– aibė, sudaryta iš visų A elementų, kurie nėra B elementai. Rašoma: A \ B. Jei visi aibės A elementai yra ir aibės B elementai, tai A yra B poaibis. Rašoma: A ⊂ B. Aibės A poaibiu laikoma ir pati aibė A, ir tuščioji aibė ∅.

Skaičiaus 6 daliklių aibė: D = {1; 2; 3; 6}. Skaičiaus 6 kartotinių, mažesnių už 20, aibė: K = {6; 12; 18}. ∅. D ∪ K = {1; 2; 3; 6; 12; 18}. D ∩ K = {6}. D \ K = {1; 2; 3}, K \ D = {12; 18}. {2; 6} ⊂ D, {2; 6} ⊂ K.

DE MO


skyrius

A ⊂ A, ∅ ⊂ A.

Aibės ir jų veiksmai kartais yra vaizduojami piešiniais, kurie vadinami Vèno diagramomis. Pavyzdžiui: A B –– A ir B turi bendrų elementų; A A

B

B

A∩B

A\B

–– A ir B neturi bendrų elementų;

–– B yra A poaibis.

Skaičių aibės ˜ Baigtinis objektų kiekis nurodomas natūraliaisiais ˜ skaičiais. Natūraliųjų skaičių aibė yra begalinė. ˜ Sveikíeji skaičiai –– natūralieji skaičiai, jiems priešingi skaičiai ir nulis.

Dydžio lygių dalių kiekis nurodomas trupmeniniais racionaliaisiais skaičiais m n , m ∈ Z, n ∈ N. m Trupmena n , m ∈ Z, n ∈ N, vadinama paprast´ąja trùpmena. Paprastąją trupmeną galima užrašyti jai lygia dešimtaine trupmena: • arba baigtinè; • arba begalinè periòdine. Begalinę dešimtainę periodinę trupmeną galima užrašyti paprastąja trupmena. ˜ Racionalíeji skaičiai –– sveikieji skaičiai ir jiems nelygios nesuprastinamos paprastosios trupmenos. Bet kurį racionalųjį skaičių galima užrašyti paprastąja trupmena m n , m ∈ Z, n ∈ N.

Skaičiai, kurių negalima užrašyti paprastąja trup˜ mena m n , m ∈ Z, n ∈ N, vadinami iracionaliaisiais ˜ skaičiais. Iracionalųjį skaičių rašant dešimtaine trupmena, gau˜ trùpmena. nama begalìnė neperiòdinė dešimtainė ˜ Realíeji skaičiai –– racionalieji skaičiai ir iracionalieji skaičiai.

34

A∪B

N = {1; 2; 3; ...}.

Z = {...; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; ...}. m / Z, T = m n , m ∈ Z, n ∈ N, n > 1, n ∈ m ir n neturi bendrų daliklių . 2 5 2 3

11 = 0,4; −11 8 = − 8 = −1,375. 11 = 0,(6); −11 7 = − 7 = −1,(571428).

0,(7) = 79 ; 2,(40) = 2 40 99 ;

41 0,(123) = 123 999 = 333 . Q=Z∪T = a = m n , m ∈ Z, n ∈ N . 4 = 24 = 12 . 2,4 = 2 10 10 5

I = b = m , m ∈ Z, n ∈ N . n √ 2 = 1,414213... , π = 3,141592... , log3 10 = 2,0959032... , 3 5 4 = 3,343701... . R = Q ∪ I.

1

Apibendriname 2 + 3 = 5, 5 − 3 = 2, 2 · 3 = 6, 6 : 3 = 2, 3 = 8, 2 √ 3 8 = 2, log2 8 = 3.


Veiksmai su skaičiais Su skaičiais atliekami matematiniai veiksmai (operacijos): • sudėtis (a + b = c); • atimtis (c − b = a); • daugyba (a · b = c); • dalyba (c : b = a); • kėlimas laipsniu (a c√= b); • šaknies traukimas ( c b = a); • logaritmavimas (loga b = c).

skyrius

Šaknys √ Nelyginio laipsnio 2n + 1 (n ∈ N) šaknis iš skaičiaus a yra 3 5 yra skaičius, kurio 3-iasis laipsnis √ skaičius 2n+1 a, kurio (2n + 1)-asis laipsnis yra a: lygus 5, t. y. √ 3 2n+1√ 2n+1 3 5 = 5. a = a.

Laipsniai

DE MO

Lyginio laipsnio 2n (n ∈ N) šaknis √ iš neneigiamojo skaičiaus √ a yra neneigiamasis skaičius 2n a, kurio 2n-asis laipsnis ly- 6 3 yra skaičius, kurio 6-asis laipsnis gus a: lygus 3, t. y. 2n√ 2n √ 6 6 a = a. 3 = 3. √ Lyginio laipsnio šaknis 2n a turi prasmę, kai a 0. √ 3 √ −8 = −2, nes (−2)3 = −8; √ Jei n a = b, tai bn = a. 4 16 = 2, nes 24 = 16 ir 2 > 0. n dauginamųjų

n a = a · a · . . . · a , kai n ∈ N, a 1 = a; a −n = a1n , kai n ∈ N, a = 0; a 0 = 1, kai a = 0;

n > 1;

m a n yra skaičius, kurio n-asis laipsnis lygus a m (čia a > 0, m ∈ Z,√n ∈ N, n > 1). m a n = n am.

43 = 4 · 4 · 4, 41 = 4, 4−3 = 413 , 4−1 = 14 , 40 = 1. 2

43 =

√ √ 3 42 = 3 16.

Logaritmai Teigiamojo skaičiaus b logaritmas pagrindu a (a > 0, a = 1) yra skaičius loga b, kuriuo pakėlę a gauname b: a loga b = b. Jei loga b = c, tai a c = b.

log2 8 = 3, nes 23 = 8.

Laipsnių, šaknų ir logaritmų savybės n a n · a m = a n+m , a n : a m = aam = a n−m , m m a m · bm = (a · b)m , abm = ab , √ n m m a = a n·m , a n = n a m . √ √ √ √ n √ √ a n n a a · n b = n a · b, n a : n b = √ = n b, b √ √ k n a = n ak , √

√ √ √ n k a = n·k a, n·k a k = n a (a 0).

23 · 24 = 27 , 23 : 24 = 2−1 , 3 3 23 · 53 = (2 · 5)3 , 253 = 25 , √ 3 4 3 2 = 23·4 , 2 4 = 4 23 . √ √ √ √ 3 3 3 2 √ 2 · 8 = 2 · 8, = 28 , 8 √ √ 2 3 2 = 3 22 ,

√ √ √ √ √ 3 8 = 3·2 8, 10 32 = 10 25 = 2.

loga (x · y) = loga x + loga y (x, y > 0), loga xy = loga x − loga y (x, y > 0), loga x k = k · loga x (x > 0), log b

loga b = logc a , c

loga b = log1 a . b

log2 8 yra skaičius, kuriuo pakėlę 2 gauname 8, t. y. 2log2 8 = 8.

log2 (16 · 4) = log2 16 + log2 4, log2 16 4 = log2 16 − log2 4, log2 9 = log2 32 = 2 · log2 3, log 4

log3 4 = log4 3 = log1 3 . 4 4

35

1

Sprendžiame


skyrius

√

109. 1) Parašykite aibę A, kurią sudaro visi realieji skaičiai, ne didesni už 5 ir didesni už − 10. 2) 3) 4) 5)

Pavaizduokite šią aibę skaičių tiesėje. Parašykite šios aibės poaibį B, kurį sudaro visi aibės A natūralieji skaičiai. Parašykite aibės A poaibį C, kurį sudaro visi aibės A sveikieji skaičiai. Parašykite kokius nors tris iracionaliuosius skaičius, priklausančius aibei A. √ 110. Duota skaičių aibė A = {−100; −10,3; − 23 ; 0; π; 5; 30; 9,(2); 2,3·105}. Kurioms skaičių aibėms N, Z, Q, I, R priklauso kiekvienas aibės A skaičius.

111. Aibės B elementai yra visi natūralieji keturženkliai nelyginiai skaičiai, kurie vienodai skaitomi ir iš kairės į dešinę, ir iš dešinės į kairę. Raskite šios aibės elementų skaičių.

112. Ar teisingas teiginys:

DE MO

√ / R? e) π ∈ Q? f) 3 · 10−4 ∈ / Z? a) −2 ∈ N? b) (−3)2 ∈ Z? c) 4 ∈ I? d) π ∈ g) {1; 2} ⊂ (0; 2]? h) [1; 2] ⊂ {0; 1; 2; 3}? i) N ∪ Z = Z? j) Q ∩ Z = ∅?

113. Raskite aibių A ir B sąjungą, sankirtą ir skirtumus A\B, B\A.

a) A = {−2; −1; 0; 1; 2}, B = {−4; −3; −2; −1}; b) A = (0; 5], B = {3}; c) A = {−2; −1; 0}, B = {1; 2}; d) A = {−5; −4; −3}, B = [−4; 0].

114. Iš 23 vienuoliktokų 18 mokosi prancūzų, 15 –– anglų kalbos. Žinoma, kad visi šie vienuoliktokai mokosi bent vienos šių kalbų. 1) Kiek vienuoliktokų mokosi ir anglų, ir prancūzų kalbų? 2) Kiek vienuoliktokų mokosi tik prancūzų kalbos? tik anglų kalbos?

115. Išsprendę nelygybę, parašykite jos sprendinių aibę, pavaizduokite ją skaičių tiesėje ir užrašykite sprendinių aibės visų sveikųjų skaičių poaibį.

a) −3 < x − 2 < 5; b) −5 2x + 3 < 6; c) −1 < 3 − x 3; d) 18 1 12 − 2x 34 . 116. Nesinaudodami skaičiuotuvu, palyginkite skaičius ir parašykite ženklą >, < arba =. √ √ √ √ √ √ 13 ; b) 4 5 ir 5 3; c) 2 34 ir 3 12 ; d) 3 + 5 ir 2 + 6. ir − a) − 12 13 14


a) 0,(9) : 0,(36); b)

√ 55,(5) − 11,(1); c) 0,1(16) + 1,8(23); d) 85,2(3) − 83,2(7) : 2,(6).

118. Suprastinkite. Atsakymą užrašykite dvejeto laipsniu. a)

√ √ 4

√ √

√

√ √ √ 5 √ √ 3 3 4 4 3 2 ; e) 3 2 2; f) 4 2 3 2; g) 2 · 2; b) √ 2 ; c) 2 · 2 ; d) √ 4 · 2. 4 2

119. Įrodykite, kad lygybė yra teisinga.

√ √ 2

3 + 5 + 3 − 5 = 10; √ √ √ c) 3 2 − 1 3 4 + 3 2 + 1 = 1;

a)

2

√ √ √ 2 √ √ 7− 3− 7 + 3 = 2 7 − 4; √ √ √ d) 3 x + 2 3 x 2 − 2 3 x + 4 = x + 8. b)

120. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.

a) c)

√12 + 3√ · 3−1 ; 5−1 2− 5 √ √ √ √ 20 5− 4 21 5+ 4 21 ; √ √ 2 3 7− 3

b) d)

√ √15 + √ 4 − 12 √ · 6 + 11 ; 6+1 6−2 3− 6 √ −2 −1 √ 2 +2 2 : 3 . (−8)−1 3−2 1+3−2


√ √ 1 1 1 1

√ √

3 √ 1 1 2 2 2 2 x3 x x

1 a) ; b) a · 3 b : b · 3 b−1 · a 3 ; c) x 1 +y 1 − x 1 −y 1 · y − 2 − x − 2 . x

x 2 −y 2

x 2 +y 2

122. Šiesos greitis yra apie 300 000 km/s. Saulės šviesa pasiekia Žemę per 8,3 minutės. Duomenis išreiškę standartine išraiška, apskaičiuokite atstumą kilometrais nuo Žemės iki Saulės.

36

1

Sprendžiame 123. Atlikite veiksmus. Atsakymą parašykite standartine išraiška. a) 4,6 · 10−6 + 3,7 · 10−5 ; b) 3,7 · 10−5 − 4,6 · 10−6 ; c) 3,45 · 10−5 : 4,6 · 10−6 .


1 2 −3 −2 1 0 1 −6 8 − 0,125−1 + 2 2 ; b) 3− 4 + 1,50 ; c) 2 · (−3)−2 + 35 3 + (−3)0 . a) 2− 2

125. Apskaičiuokite. a) log2 √1 ; 32 1; e) log31 27 3

√ b) log3 3 3 ; f) 3 log2 256;

c)

lg 10 000;

d) log43 19 ;

√

√ h) 2log 2 3 ;

g) 4log2 7 ;


skyrius

i) log2 27 − 2 log2 3 + log2 23 ; j) lg 20 − lg 30 + lg 15; k) log2 (log3 9); l) log2 7− log7 0,125 .

126. Apskaičiuokite x reikšmę, kai:

DE MO

a) log3 x = log3 4 − 4 log3 2 + 2 log3 23 ; b) lg x = lg 15 − lg 3 − lg 5. √ √ 127. Apskaičiuokite 5x reikšmę, kai x = log4 16 + 1,5 log 1 3 − lg 5 − lg 2. 3

128. Apskaičiuokite reiškinio

2x

reikšmę, kai x = log1 2 ir y = log2 10 . 6 2

− 10y

129. Apskaičiuokite x reikšmę, kai

√ 6 3 92 · 13 x = √ 4 . √ −1 2 3 3· 3 3 3 · 27− 3

130. Duota: lg 2 ≈ 0,301, lg 3 ≈ 0,477. Apskaičiuokite 0,01 tikslumu: √ a) log2 3; b) log3 4; c) log√3 32; d) log√2 1,5. 131. Raskite reiškinio apibrėžimo sritį. a) √ 1 ; x−5 √ 4 e) x − 2;

b) √ 1

1 i) √ 5 √

j) log2 (x + 2);

x−2

x+5

f)

;

x c) √ 3

;

x+2 ; √ 5 x−2

g)

;

x−2 √ 4 x−2 x−5 ;

k) lg x 2 − 2 ;

√

x d) √ ; 3 x+2 √ h) 5 x − 2;

l) log(x+5) (x − 3).

132. a) (2002 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 4 užduotis.) Kai a < 0, tai

4(a − 1)2 −

a2 4

=

A 2 − 32 a B 52 a − 2 C 32 a − 2 D 4 − 5a E 2 − 5a 2 b) (2006 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 4 užduotis.) √ 2 √ 2 5−3 − 5−2 = √ √ A −1 B 5 − 2 5 C 2 5 − 5 D 1 E 5

133. 1) Panagrinėję pateiktus pavyzdžius, pasakykite taisyklę, kuria remiantis galima rasti natūraliojo skaičiaus, kurio paskutinis skaitmuo yra 5, kvadratą. 152 = 225, 252 = 625, 352 = 1225, 552 = 3025, 1052 = 11025, 2552 = 65025. 2) Iš viso yra penki penkiaženkliai natūralieji skaičiai, kurie tenkina šias savybes: • lygūs natūraliųjų skaičių kvadratui, • be pirmojo skaitmens lygūs natūraliųjų skaičių kvadratui, • be pirmųjų dviejų skaitmenų lygūs natūraliųjų skaičių kvadratui, • be pirmųjų trijų skaitmenų lygūs natūraliųjų skaičių kvadratui. Vienas iš tų skaičių yra 15 625. Raskite kitus keturis skaičius.

37

1

Besidomintiems


skyrius

Šaknų savybių įrodymai √ √ √ 1 savybė. n a · n b = n ab. √ √ √ n √ Įrodymas. Abiejų lygybės pusių reiškinių n-tieji laipsniai yra lygūs: n a · n b = ( n a)n ·( n b)n = a ·b √ √ n √ √ ir n ab = ab, todėl lygūs ir patys reiškiniai, t. y. n a · n b = n ab. √ √ √ Pastaba. Be abejo, šią savybę (kaip ir kitas savybes) galima taikyti ir iš kito galo n ab = n a · n b. Tik šiuo atveju, kai šaknies rodiklis yra lyginis skaičius (n = 2k, k ∈ N), o a ir b yra neigiamieji skaičiai (a < 0 ir b < 0), tai √ √ √ √ √ 2k a · b = 2k |a| · 2k |b| = 2k −a · 2k −b. √ n a √ 2 savybė. n = n ab . b √ n √ n n n a a n √ n = ab ir n ab = ab . Įrodymas. n = √ n b

DE MO

b

√ √ k 3 savybė. n a = n a k . Įrodymas. Remdamiesi laipsnio su natūraliuoju rodikliu apibrėžimu ir 1 savybe, gauname

n √

√ a = n·k a. √ nk

k √ nk √ n k √ Įrodymas. n k a = n k a = k a = a ir n·k a = a. 4 savybė.

5 savybė.

k

√ √ a k = n a (a 0).

n·k

√ √ k √ √ n k ak = n k ak = a = n a. √ √ Pastaba. Šią savybę galima įrodyti ir bendresniu atveju: nk a mk = n a m . √

√ √ √ k n k am = n am. Įrodymas. nk a mk = n k a mk = Įrodymas. Remdamiesi 4 ir 3 savybėmis, rašome

nk

1 užduotis. Panagrinėkite pavyzdžius ir paaiškinkite, kodėl reikalingi ten parašyti modulių ženklai. a)

√

16

a 12 =

4

|a|3 ; b)

√ √ √ 4 x 2 = |x|; c) 4 a 16 b8 c4 = a 4 b2 |c|; d) 6 14 x 6 y 4m = 2 21 |x|3 y 2m .

Laipsnių su racionaliaisiais rodikliais savybių įrodymai

Laipsnių, kurių rodikliai yra racionalieji skaičiai, savybių įrodymai išplaukia iš n-ojo laipsnio šaknų savybių. 1 savybė. a r · a t = a r+t . p r t Įrodymas. Tegu r = m n (m ∈ Z, n ∈ N, n > 1), t = q (p ∈ Z, q ∈ N, q > 1). Tuomet a · a = p mq+np mq m p √ √ √ √ √ m + np + = a n · a q = n a m · q a p = nq a mq · nq a np = nq a mq · a np = a nq = a nq nq = a n q = a r+t . 2 užduotis. Įrodykite 2-ąją ir 3-ąją savybes: 2 savybė. a r : a t = a r−t . 3 savybė. a r t = a r·t . 4 savybė. a r · br = (a · b)r .

√ √ √ m m (m ∈ Z, n ∈ N). Tuomet a r · br = a n · b n = n a m · n bm = n a m · bm = Įrodymas. Tegu r = m n √ m = n (a · b)m = (a · b) n = (a · b)r .

3 užduotis. Įrodykite šią laipsnių savybę: 5 savybė. a r : br = (a : b)r . Laipsniai su realiaisiais rodikliais turi tas pačias savybes, kaip ir laipsniai su racionaliaisiais rodikliais.

38

Skaičius e. Natūralusis logaritmas

1 n

DE MO

Nagrinėkime reiškinio 1 + n , čia n > 0, reikšmes. Įdomu tai, kad n reikšmėms didėjant, reiškinio reikšmės didėja. Bet visada šio reiškinio reikšmė yra mažesnė už tam tikrą iracionalųjį skaičių, kuris apytiksliai lygus 2,72. Tai galima pastebėti iš lygybių: 1 kai n = 1, tai 1 + 11 = 2; 2 kai n = 2, tai 1 + 21 = 2,25; 3 kai n = 3, tai 1 + 13 = 2,(370); .. . 1 1000 = 2,71692...; kai n = 1000, tai 1 + 1000 10 000 kai n = 10 000, tai 1 + 10 1000 = 2,71814...; 100 000 1 kai n = 100 000, tai 1 + 100 000 = 2,71826...; .. . n Aukštosios matematikos kurse įrodoma, kad n reikšmėms didėjant į begalybę, reiškinio 1 + n1 reikšmės didėja ir artėja prie iracionaliojo skaičiaus. Tas skaičius pavadintas raide

1

skyrius 11 klasė 1 dalis. Išplėstinis kursas

Besidomintiems

e = 2,718281828459... ≈ 2,7. Paėmę bet kokį skaičių a, reikšmių, su kuriomis 1 +

kuris yra nors truputėlį mažesnis už e, galėtume nurodyti be galo daug n 1 n > a, bet su visomis n reikšmėmis 1 + 1 n < e. n n

Logaritmų savybių įrodymai

1 savybė. Neneigiamųjų skaičių x ir y sandaugos logaritmas pagrindu a yra lygus skaičių x ir y logaritmų, kurių pagrindai yra a, sumai: loga (x · y) = loga x + loga y. Įrodymas. Įsitikinkime, kad laipsniai a loga (x·y) ir a loga x+loga y yra lygūs: a loga (x·y) = x · y;

a loga x+loga y = a loga x · a loga y = x · y.

Vadinasi, a loga (x·y) = a loga x+loga y . Laipsniai yra lygūs ir jų pagrindai (a) lygūs, todėl lygūs ir šių laipsnių rodikliai, t. y. loga (x · y) = loga x + loga y.

4 užduotis. Įrodykite šias logaritmų savybes: 2 savybė. Teigiamųjų skaičių x ir y dalmens logaritmas pagrindu a yra lygus skaičių x ir y logaritmų, x kurių pagrindai yra a, skirtumui: loga y = loga x − loga y. 3 savybė. Teigiamojo skaičiaus x, kuris pakeltas n-tuoju laipsniu, logaritmas pagrindu a lygus laipsnio rodiklio n ir skaičiaus x logaritmo pagrindu a sandaugai: loga x n = n · loga x. Pastaba. Jei x < 0 ir y < 0, tai: loga (x · y) = loga |x| + loga |y| = loga (−x) + loga (−y); loga xy = loga |x| − loga |y| = loga (−x) − loga (−y); loga x 2k = 2k loga |x| = 2k loga (−x), k ∈ N.

39

1

Geometrijos uždaviniai


skyrius

Tiesės ir kampai c

134. Dvi lygiagrečias tieses a ir b perkirtus tiese c, susidarę 8 kampai pažymėti skaitmenimis. 1) Užrašykite kampus, kurie yra: a) gretutiniai ∠1; b) kryžminiai ∠8; c) lygūs ∠2; 2) Apskaičiuokite pažymėtų kampų dydžius, kai: a) ∠1 = 35◦ ; b) ∠2 + ∠8 = 200◦ ; c) ∠6 − ∠1 = 70◦ .

a

2 1 3 4 6 5 7 8

b

135. Įrodykite, kad trikampio kampų dydžių suma lygi ištiestinio kampo dydžiui. D

B

B

E

fi A

A

C

DE MO

C

136. 1) Įrodykite, kad n-kampio kampų dydžių suma lygi 180◦ · (n − 2).

2) Apskaičiuokite daugiakampio kampų dydžių sumą, kai tas daugiakampis yra: a) keturkampis; b) penkiakampis; c) aštuoniakampis; d) dvylikakampis; e) šimtakampis.

137. Įrodykite, kad trikampio priekampis lygus jam negretutinių trikampio vidaus kampų sumai. Duota: ABC, ∠BCD –– priekampis. Įrodyti: ∠BCD = ∠A + ∠B.

B A

D

C

138. Naudodamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite kampo x dydį. b a

150∞

95∞

x

139. (2005 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 7 užduotis.) Žinoma, kad AB CD (žr. pav.). Kam lygi suma ∠B + ∠E + ∠C?

A

B E C

D

140. (1999 m. valstybinio matematikos brandos egzamino pakartotinės

A 2 C

sesijos 7 užduotis.) Jei AB CD EF ir AC = 2, BD = 3, CE = 5, tai DF = A 6 B 6,5 C 7 D 7,5 E 8

B 3

E

5

D

F

141. Įrodykite teiginį: Lygiagrečios tiesės, kertančios abi kampo kraštines, jose atkerta proporcingas atkarpas. Duota: ∠A, B1 C1 B2 C2 , 1 1 Įrodyti: BAB = CAC . 1 B2 1 C2

40

B1 A

C1

B2

C2

1

Įvairūs uždaviniai Procentai 142. Įmonėje dirba 1500 darbuotojų. Iš jų 36 % yra moterys. 1) Kiek vyrų dirba įmonėje? 2) Kurią dalį įmonės darbuotojų sudaro moterys? Atsakymą parašykite paprastąja trupmena. 3) Kurią dalį įmonės darbuotojų sudaro vyrai? Atsakymą parašykite dešimtaine trupmena.

143. Jonas perskaitė 30 puslapių knygos. Tai sudaro 15 % visos knygos. 1) Kuri dalis knygos liko neperskaityta? Atsakymą parašykite procentais, paprastąja ir dešimtaine trupmenomis. 2) Kiek knygoje yra puslapių?


skyrius

144. Automobilio greitis sudaro 120 % motociklo greičio. Keliais procentais reikia sumažinti motociklo greitį, kad jis sudarytų 80 % automobilio greičio?

DE MO

145. Kaip pasikeis lygiagretainio plotas (padidės ar sumažės ir keliais

procentais), jei jo vieną kraštinę pailginsime 50 %, o į tą kraštinę nubrėžtą aukštinę sutrumpinsime 40 %?

S=a◊h

h a


Draudžiant būstą metams 80 000 Lt draudimo suma nuo stichinės nelaimės, reikia mokėti 64 Lt, o draudžiant ta pačia suma nuo vagystės –– 160 Lt. Draudžiant būstą 80 000 Lt suma nuo stichinės nelaimės ir nuo vagystės kartu, taikoma 25 % nuolaida. Kiek procentų draudimo sumos reikia mokėti draudžiant nuo abiejų rizikų kartu?


Tadas pirko namų valdos žemės sklypą ir ūkio paskirties sklypą. Už abu sklypus jis sumokėjo 225 000 litų. Po 2 metų jis juos pardavė ir gavo 40 % pelno. 1) Už kiek litų Tadas pardavė abu žemės sklypus? 2) Už kiek litų Tadas pardavė namų valdos žemės sklypą, jei iš jo gavo 50 % pelno, o iš ūkio paskirties sklypo –– 25 % pelno?

148. (2009 m. valstybinio matematikos brandos egzamino pakartotinės sesijos 11 užduotis.) Bukinistas iš kolekcininko nupirko žodyną už 320 Lt ir jį norėjo parduoti brangiau, tikėdamasis gauti tam tikrą pelną. Pirkėjo už bukinisto nustatytą kainą neatsirado, todėl bukinistas pardavė knygą su 10 % nuolaida ir gavo 8 % pelno. Apskaičiuokite pelną (procentais), kurį tikėjosi gauti bukinistas iš pradžių? Bukinistas –– vartotų ar senovinių knygų pirklys (DLKŽ, 1972 m.).

149. Vario ir alavo lydinys sveria 16 kg. Lydinyje yra 45 % vario. Kiek kilogramų alavo reikia pridėti į lydinį, kad jame būtų 40 % vario?

150. Prekė kainavo a litų. Jos kaina keitėsi taip: iš pradžių padidėjo 60 %, tada sumažėjo 20 % ir galiausiai sumažėjo dar 20 %. 1) Kiek prekė kainuoja dabar? 2) Keliais procentais pakito prekės kaina, palyginti ją su pradine? 3) Keliais procentais reikia pakeisti naująją prekės kainą, kad ji vėl kainuotų a litų?

151. a) Prekės kaina padidėjo 25 %. Keliais procentais reikia sumažinti naująją prekės kainą, kad ji būtų 20 % didesnė už pradinę? b) Pradinė prekės kaina padidėjo a %. Keliais procentais reikia sumažinti prekės kainą, kad ji būtų lygi pradinei kainai?

152. Vandenyje yra ištirpę 10 g druskos. Kiek procentų ir kiek promilių druskos yra tirpale, kuris sveria: a) 1 kg? b) 1520 g? c) m kg?

41

1

Testas


skyrius

153. Skaičiaus 15 visų daliklių ir skaičiaus 12 visų daliklių aibių: a) sąjunga yra: A {1; 2; 3; 4; 5; 6; 12; 15} B {1; 3} C [1; 15] D ∅ E Kitas atsakymas b) sankirta yra: A {1; 2; 3; 4; 5; 6; 12; 15} B {1; 3} C ∅ D {3} E Kitas atsakymas c) skirtumas yra: A {5; 15} B {3; 5; 15} C {1; 5; 15} D {12; 15} E {1; 2; 3}

154. Iš 100 turistų grupės 10 nemoka nei anglų, nei vokiečių kalbos. 75 turistai moka vokiečių, o 83 turistai moka anglų kalbą. Kiek turistų moka ir anglų, ir vokiečių kalbas? A 65 B 66 C 67 D 68 E 69

155. Elementariosios dalelės A masė lygi 4 · 10−29 g. Dalelė B yra 200 kartų sunkesnė už dalelę A.

DE MO

Kokia yra dalelės B masė? A 8 · 10−27 g B 8 · 10−31 g C 4 · 10−27 g D 2 · 10−27 g E 2 · 10−31 g

√

√

√

√

√ 156. Kuris skaičių yra didžiausias? A 3 5 · 6 B 3 6 · 5 C 5 · 3 6 D 3 5 6 E 6 · 3 5 √ √ √ √ 157. Suprastinę reiškinį 2 2 · 5 2 : 10 2 gauname: A 0 B 1 C 2 D 10 E Kitas atsakymas 2

1

158. 160,25 − 81 3 + 243 5 =

A 11 B −3 C −9 D −11 E −27

159. 0,5 log2 16 − 2 lg 10 + 3log3 2 =

A −2 B 0 C 2 D 4 E 1,5

1 2

160. Jei log3 x = 2 log3 5 + log3 8 − 3 log3 10, tai x = A √

161. Reiškinio

1 x

162. Reiškinio

x−1 x 2 −3x+2

1 13

B4 C

√

2 20

D

√ 2 3 30

E log3 4 − 1

− 2 − x apibrėžimo sritis yra: A (−∞; 0) ∪ (0; +∞) B (−∞; 2] C (−∞; 0) ∪ (0; 2) D (−∞; 0) ∪ (0; 2] E ∅ apibrėžimo sritis yra:

A (−∞; 2) ∪ (2; +∞) B (−∞; 1) ∪ (1; 2) ∪ (2; +∞) C (−∞; +∞) √ √ √ a+1 2 4 a 163. √a−1 + √a+1 : a+1 = A B a−1 a−1 a+1 C 2 D 1 E a a+1

D [1; 2)

E∅

a−1

164. (2005 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 5 užduotis.) √ 2 √ 2 √ √ Kai b > a > 0, tai a+ b + a− b = √ √ √ √ √ A 2 a B 0 C 2 b D 2 a + b E −2 a

165. (1999 m. valstybinio matematikos √ brandos egzamino pakartotinės sesijos 1 užduotis.) √ √ 3−1 . A b B b−1 C b2 D b3 E b2 3−1 Suprastinkite reiškinį b 3 · b1 166. (1999 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 5 užduotis.) √ √ 4 √ √ √ 4 4 3 Apskaičiuokite 2 27 . A 2 B 2 2 C 4 D 8 E 2 30 √ √ √ 167. 4 − 32 − 8 − 4 + −2 2 = √ √ √ √ √ A 8 − 4 2 B 8 2 − 8 C −2 2 D 2 2 E 4 2

168. (2004 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 4 užduotis.) Nurodykite teisingą teiginį. A (−∞; 3) ∩ [3; 5) = (−∞; 5) B (−∞; 3) ∪ [3; 5) = (−∞; 3] C [3; 5) ∩ (5; +∞) = [3; +∞) D [3; 5) ∪ [5; +∞) = [3; +∞) E [3; 5) ∩ [5; +∞) = {5}

169. (2001 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 5 užduotis.) Laužtę kerta tiesė (žr. brėžinį). Kampas x lygus:

90∞

x 100∞

125∞

A 45◦ B 25◦ C 30◦ D 40◦ E 50◦ 170. Jūros vandenyje druska sudaro 40 % jo masės. Keliais procentais sumažės jūros vandens masė, jei iš jos išgarinsime 60 % vandens? A 36 % B 42 % C 64 % D 30 % E Kitas atsakymas

42

1

Pasitikriname 171. Duota aibė (intervalas) M = (−2; 5]. Ar teisingas teiginys:

a) −2 ∈ M? b) 0 ∈ / M? c) [−1; 1] ⊂ M? d) {5} ⊂ M?

172. Raskite abiejų kvadratinių lygčių sprendinių aibes, tų aibių sąjungą, sankirtą ir skirtumus. a) x 2 − 2x = 0 ir x 2 − 4 = 0; b) x 2 = 9 ir x 2 − 2x = 3; c) x 2 + 2 = 3x ir x 2 + 4x + 3 = 0.

173. Raskite dviejų nelygybių sprendinių aibių sankirtos sveikuosius sprendinius. a) 0,5x − 2 < 0 ir 12 − 5x 0; b) 0,1x + 0,3 0 ir 15 − 5x > 0.

174. Dešimtainę periodinę trupmeną užrašykite jai lygia paprastąja trupmena. a) 2,(8); b) 4,(31); c) 0,(145); d) 0,(9); e) 0,7(3); f) 2,4(8).


skyrius

175. Apskaičiuokite reiškinio su šaknimis reikšmę.

√ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 12 · 3 18; b) 98 : 2; c) 54 · 3 16 · 3 3; d) 2 · 2 : 2 · 2;

√ 2 √ √ 2 √ 2 4 5 4 5 1 − 2 − 2; h) 2+ 5 − 2− 5 . e) (−3) ; f) (−3) ; g)

DE MO

a)

176. Šaknį užrašykite laipsniu su trupmeniniu rodikliu.

√

√ √

√ √ √ 4 3 5 3 3 −1 2 a ; d) x x; e) x x ; f) a a a. a) x; b) x ; c)

177. Laipsnį su trupmeniniu rodikliu užrašykite šaknimi.

8 10 1 13 a) 2 3 ; b) x 3 ; c) 3 4 ; d) a 2 3 ; e) m1,7 ; f) x −1,2 .

178. Apskaičiuokite. a) log2 16;

b) log 1 9;

f) logπ π;

g) 10lg 3 ;

k) 5

log 1 10 5

c) log3

3

d) log√11 121;

3;

e) lg 1;

h) π logπ 2 ;

l) log6 4 + log6 9;

;

√

i) 100lg 8 ; m) log2 48 − log2 3; n) log4 163 ;

j) 125log5 3 ; o) log34 16.

179. Raskite lg 12, jei lg 2 = a ir lg 3 = b. 180. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.

4 a) 202 + 152 ; b) e)

1 1 −2 2 7

9 16

332 −252 ; 29

c)

3

34 −

− 2 4 −2 3 : 5 · (272 − 222 ); d) 2 10 ; 27 3

1 0 1 1 1 − 1 − 3 · 1 23 ; f) 61 3 2 + (0,25)−1 · (−0,5)−3 ; g) 0,(1) 2 + 8 · 2−15 3 − 2−3 .

181. Raskite reiškinio apibrėžimo sritį. √

7x ; b) √x−5 ; c) a) 16−4x 2 x+5

x 2 + 2; d)

√ √ 3 x − 2; e) 4 3x − 1; f) log0,2 (x − 5); g) logx 10.


√ √ √ √ y 3 y x−1 x−2 x a) √ − √ ; b) √x−9 + 3; c) √xy+y −√ √ ·√ √ . 3 x−12

2 x−8

x+3

183. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę. a)

1√ 2− 3

+

1√ ; 2+ 3

x+ y

√

√

5+1

5−1

b) √ 5 + √ 5 ; c) √10 − √ 1 10

10+3

x− y

; d) √ 3

6+3

− √2

6−2

12 . +√ 6

184. Suprastinkite reiškinį. a) m + |m − 7| −

(5 − m)2 , kai m > 7; b) x−1−|x−1| 3|1−x| , kai x < 1.

185. a) Lygiašonio trikampio priekampis prie trikampio pagrindo lygus 140◦. Apskaičiuokite trikampio kampų dydžius. b) Daugiakampio kampų dydžių suma lygi 1440◦ . Kiek kraštinių sudaro šį daugiakampį?

186. Pradinė prekės kaina sumažėjo 10 procentų. Keliais procentais reikia padidinti dabartinę kainą, kad prekė kainuotų tiek, kiek kainavo iš pradžių?

43


√ √ a) −10; −3,(7); −2,4; − 2; 0; 0,21; 1; 2; π; 4,(3); 4 23 ; 4 45 . b) 1) −10; 0; 1; 2) −3,(7); −2,4; 0,21; 4,(3); 4 23 ; 4 45 ; √ √ 3) − 2; 2; π.

2.

a) b) c) d)

3.

5. a) 3,13; b) −0,8; c) −1,73; d) −4; e) 1,115; f) −2,73; g) 1,68; h) −0,2(27) = − 22

4.

a) k)

5.

2; −1 arba 0; pavyzdžiui: 1 12 ; 1 23 ; 1,6; √ √ pavyzdžiui: − 11; − 10’ −3; 0123456789101112....

4 ; g) 4; h) −2 14 ; i) 2 3 ; j) 2 2 ; 4; b) 15 ; c) −3; d) −1 25 ; e) 2 14 ; f) − 15 8 3 15 3 ; m) − 1 ; n) 1 1 ; o) −3 9 ; p) 4 3 . 3 67 ; l) −11 11 3 10 10 5 √ √ √ √ √ √ 5 3 2 3 a) 8 < 4 ; b) − 3 > − 4 ; c) 11 < 21; d) 5 3 < 4 5; e) −2 3 > −3 2.

6.

1) a) 3,2 · 106 ; 1,02 · 107 ; 1 · 109 ; b) 3,2 · 10−6 ; 1,02 · 10−7 ; 1 · 10−8 . 2) a) 5,7 · 1010 < 5,7 · 1011 ; b) 5,7 · 10−10 > 5,7 · 10−11 ; c) 9,2 · 1010 < 9,3 · 1010 ; d) 1,1 · 10−10 < 1,2 · 10−10 .

7.

a) 3

X

c) 1 X e)

8.

–3

3 X

–2

1–13 X

x Œ [3; +∞);

b)

x Œ (–∞; 1);

d)

x Œ [–3; 3);

f)

1 x Œ [–2; 1–]; 3

h)

3 X

DE

g)

150

MO

11 klasė 1 dalis. IŠPLĖSTINIS KURSAS

Atsakymai

–1

X

–5

1 X

–2

2 X

x Œ (–∞; 3);

x Œ [–1; +∞); x Œ [–5; 1); x Œ (–2; 2).

8 , − 8 , −2 2 ; b) 6 1 , 6 1 , −6 1 ; c) 3 3 , −3 3 , − 1 ; d) 4 , 4 , − 4 . a) 27 27 3 4 4 4 8 8 24 25 25 25


3. a) 14 ; b) 4; c) 10

√

√

√

√

4 3 3 7 10 20 3 2 6 b) 400 7 ; c) 37 ; d) 3 ; e) 2 ; f) 2 ; g) 3 ; h) 14 ; i) 3 . 11. a) 2(x + 5); b) y(y − 1); c) (a − 11)(a + 11); d) (25 − b)(25 e) (c − 8)(c − 8); + b); f) (3x + 1)(3x + 1); g) (x − 5)(x + 7); h) (d − 6)(d + 3); i) 3 x − 13 (x + 3) = (3x − 1)(x + 3); j) išskaidyti neįmanoma.

10. a)

14 ; 3

12. a) a 3 + 125; b) 8b3 − 1; c) 2a 2 − 3a + 1. 13. a) x 2 + 4x; b) 4x + 8; c)

2x 2 + 8x + 16; d)

√ 2x 2 +8x+16 ; 2

e) x +


Atsakymai

2x 2 + 8x + 16.

14. a) x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞); b) x ∈ (−∞; 1) ∪ (1; +∞); c) x ∈ (−∞; 5) ∪ (5; +∞);

DE

2 b) −1; c) 1; d) 5x x+3x−3 ; e) a 2 − a; f) x+1 2 −x x . 18. a) B; b) C; c) B; d) D.

17. a)

a 2 −9 ; a

MO

d) x ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; 0) ∪ (0; +∞); e) x ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; 4) ∪ (4; +∞); f) x ∈ (−∞; 4]; g) x ∈ (1,5; +∞); h) x ∈ [0; 5) ∪ (5; +∞); i) x ∈ (−1; 2]. √ 2 2x−18 2 15. a) x3 ; b) 3y; c) 3; d) b − 9; e) −1; f) −1; g) x+7 x ; h) 81−x 2 = − 9+x ; i) x − 4; √ √ = −3 − x; k) 1 ; l) 3 ; m) x−3 ; n) 2x+1 . j) x−9 x−7 x+10 x−10 2x−1 3− x √ √ 16. a) −3; b) −1; c) 2 − 2; d) −3 5 − 2; e) −0,5.

151


Atsakymai 1.1. Skaičių aibės √

19. a) 1; 2; 13; b) 0; 1; 2; 13; c) −1 23 ; 0; 3,2; 2; 13; −1,(3); 1,(25); 1; d) − 3;

√

√ 2; π; − 3 127;

e) 2; f) 2; 13.

20. 1) D; 2) A, F, G, H; 3) A – 11; B – be galo daug; C – be galo daug; F – 6; H – 3; 4) F = {0; 1; 2; 3; 4; 5}; G = {−2; −1; 0; 1; 2}; H = {0; 1; 2}. √ √ 21. a) 23 ; b) {0}; c) {π +1}; d) (−∞; +∞); e {1}; f) {−1; 3}; g) ∅; h) −1−2 5 ; −1+2 5 ; i) {9}; j) ∅; k) {−2; 0}; l) {0}.

22. Pavyzdžiui:

√ a) 4x −8; b) x + 3 = 0; c) x 2 −4 = 0; d) x 2 −3x = 0; e) x 2 +1 = 0; f) x = x(x +1)−x 2 .

23. a) x Œ (–∞; 2)

e) x Œ (3; 8] g) x Œ [–3; 0) i) x Œ [–3; 3]

24. Pavyzdžiui:

X

MO

c) x Œ [–12; +∞)

2

b) x Œ [3; +∞)

–12 3

X

8 X

–3

0 X

–3

3 X

d) x Œ (–∞; 1,8) f) x Œ [–2; 5]

–2

3

X 1,8 X 5 X

h) ∆

j) x Œ (–4; 4)

–4

4 X

a) 2x − 4 ≥ 0; b) 3x + 9 < 0; c) |x| ≤ 5; d) −4 < x − 1 ≤ 0; e) −x 2 − 1 ≥ 0; f) −x 2 − 1 ≤ 0.

DE

25. a) D = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, K = {12; 24; 36; . . .} = {12n, n ∈ N}. Didžiausias aibės D elementas yra 12, mažiausias – 1; didžiausio elemento aibė K neturi, mažiausias jos elementas yra 12. Aibės D ir K turi vieną bendrą elementą – tai 12. b) D = {1; 2; 3; 6; 9; 18}, K = {18; 36; 54; . . .} = {18n, n ∈ N}. Didžiausias aibės D elementas yra 18, mažiausias – 1; didžiausio elemento aibė K neturi, mažiausias jos elementas yra 18. Aibės D ir K turi vieną bendrą elementą – tai 18. c) D = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}, K = {60; 120; 180; . . .} = {60n, n ∈ N}. Didžiausias aibės D elementas yra 60, mažiausias – 1; didžiausio elemento aibė K neturi, mažiausias jos elementas yra 60. Aibės D ir K turi vieną bendrą elementą – tai 60. d) D = {1; 31}, K = {31; 62; 93; . . .}. Didžiausias aibės D elementas yra 31, mažiausias – 1; didžiausio elemento aibė K neturi, mažiausias jos elementas yra 31. Aibės D ir K turi vieną bendrą elementą – tai 31.

26. a) {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47}.

b) {51; 52; 54; 55; 56; 57; 58; 60; 62; 63; 64; 65; 66; 69; 70}.

152

1.2. Skaičių aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Skaičių aibės poaibiai 27. 1) a) A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 12}; b) A ∩ B = {2; 4; 6; 8}; c) A \ B = {0; 1; 3; 5; 7; 9}; d) B \ A = {10; 12}. 2) {2}; {4}; {6}; {8}; {2; 4}; {2; 6}; {2; 8}; {4; 6}; {4; 8}; {6; 8}; {2; 4; 6}; {2; 4; 8}; {2; 6; 8}; {4; 6; 8}; {2; 4; 6; 8}.


Atsakymai

28. Pavyzdžiui: A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4}; b) A = {2n − 1, n ∈ N}, B = {2n, n ∈ N}; A = {1; 5}, B = {5n, n ∈ N}; d) A = {−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}; A = {−5; 0}, B = {0; 5}; f) A = {3; 4; 5}, B = {4; 6}; g) A = {3; 4; 6}, B = {3; 5; 6}; A = {3; 4; 5}, B = {3; 4; 5; 6}; i) A = {0; 4; 5; 6}, B = {5; 6; 7; 10; 13}.

MO

a) c) e) h)

29. a) A ∪ B = [−1; 3), A ∩ B = [0; 2], A \ B = [−1; 0), B \ A = (2; 3); b) c) d) e) f) g) h) i)

A∪B A∪B A∪B A∪B A∪B A∪B A∪B A∪B

= [−10; 5), A ∩ B = [−5; 0], A \ B = (0; 5), B \ A = (−10; −5); = [−10; 10], A ∩ B = (0; 4), A \ B = [−10; 0] ∪ [4; 10], B \ A = ∅; = [−4; 3], A ∩ B = (0; 3), A \ B = [−4; 0] ∪ {3}, B \ A = ∅; = (−7; +∞), A ∩ B = (0; 13], A \ B = (−7; 0), B \ A = (13; +∞); = (−∞; 5), A ∩ B = {0}, A \ B = (−∞; 0), B \ A = (0; 5); = (−∞; +∞), A ∩ B = [1; 2), A \ B = (−∞; 1) ∪ [2; +∞), B \ A = ∅; = [−5; −1) ∪ (1; 5], A ∩ B = ∅, A \ B = [−5; −1), B \ A = (1; 5]; = (−2; 2), A ∩ B = ∅, A \ B = (−2; −1), B \ A = [−1; 2).

30. a) A ∪ B = [−1; 7), A ∩ B = [0; 4), A \ B = [4; 7), B \ A = [−1; 0);

31. a)

DE

b) A ∪ B = [−3; +∞), A ∩ B = [1; 3], A \ B = [−3; 1), B \ A = (3; +∞); c) A ∪ B = (−∞; 6], A ∩ B = (−2; −1], A \ B = (−∞; −2], B \ A = (−1; 6]; d) A ∪ B = (−∞; +∞), A ∩ B = (−2; +∞), A \ B = ∅, B \ A = (−∞; −2]. 5 X

2 c)

6

e)

X X

(2; 5);

b)

{6}

d)

–3

1 X

–5

0 X

[1; +∞); ∆;

(–∞; +∞).

32. Pavyzdžiui:

x − 4 ≤ 0, x ≥ −5, 3x > 0, x > −10, b) c) d) 3x + 4 > 2(x + 1); 5x − 15 < 0; 2x ≤ 4; x ≥ −3; |x| ≥ 0, 2x < 4, 2x ≥ 10, −2x ≤ 10, e) f) g) h) −x + 3 > 3(x + 1); 2x ≤ 10; −x > −5; x 2 + 1 ≥ 0.

a)

33. a) x ∈ (−1; 7), {1;2; 3; 4; 5; 6}; b) x ∈ [−1,5; 3,5), {1; 2; 3}; c) x ∈ (−4; 1], {1}; d) x ∈ −7; − 12 , ∅.

34. 1) Kiekvienas N elementas yra ir Z elementas. 2) Kiekvienas Z elementas yra ir Q elementas. 3) Kiekvienas Q elementas yra ir R elementas. 4) Kiekvienas I elementas yra ir R elementas. 5) Realiųjų skaičių aibę sudaro visi racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių aibių elementai (taip apibrėžiama aibė R). 6) Iracionaliųjų ir racionaliųjų skaičių aibės bendrų elementų neturi. 7) Tai išplaukia iš realiųjų skaičių aibės apibrėžimo. Iš realiųjų skaičių aibės išmetę iracionaliųjų skaičių aibės elementus gausime racionaliųjų skaičių aibę.

35. a) 3; b) 7. 36. a) 3; b) 6; c) 10.

153

1.3. Trupmeniniai racionalieji skaičiai 37. a) 0,4; −0,32; 2,25; −1,625; −0,(428571); 2,1(6); −1,(4). 7 ; − 101 ; 621 ; − 1 ; − 100101 . b) 10 400 50 200 2500

38. 1) a)

17 ; b) 127 ; 9 99 400111 . 9000

50 5248 337 1 1219 3067 c) − 302 99 d) − 99 ; e) 999 ; f) − 333 ; g) 18 ; h) 990 ; i) − 300 ;

j) 2) Jei dešimtainės periodinės trupmenos periodas prasideda iš karto po kablelio, pavyzdžiui, A,(b); A,(bc); A,(bcd); . . . tai šią trupmeną versdami paprastąja pirmiausia rašome sveikąją dalį, trupmeninės dalies skaitiklyje rašome periodą, o vardiklyje –– tiek 9, kiek yra skaitmenų periode, pavyzdžiui: b A,(b) = A , 9

A,(bc) = A

bc , 99

A,(bcd) = A

bcd . 999

MO


Atsakymai

Jei dešimtainės periodinės trupmenos periodas prasideda ne iš karto po kablelio, tai pirmiausia ją pakeičiame dviejų skaičių, kurių vienas yra dešimtainė periodinė trupmena, kurios periodas yra iš karto po kablelio ir skaičiaus 101 n (n ∈ N) sandauga, pavyzdžiui: A,a(b) = Aa,(b) ·

39. a) 40. a)

19 ; 30 3 19 ;

1 , 10

A,ab(cde) = Aab,(cde) ·

1 . 100

9 17 37 7 b) −1 37 70 ; c) 20 ; d) 7 40 ; e) − 45 ; f) −1 9 . 35 ; e) 3 4 . b) − 59 ; c) −17; d) −1 114 15

41. a) P = 8 cm, S = 3,75 cm2 ; b) P = 1 13 cm, S =

2 27

DE

cm2 ; 2 c) P = 72 13 mm, S = 103 13 mm2 ; d) P = 4 dm, S = 52 81 dm . 9 100 ; 104 = 1000

42. a) 0,09 = g) 0,104

3 ; c) 1,07 = 107 ; d) 3,03 = 303 ; e) 0,5 = 1 ; f) 0,203 = 203 ; b) 0,3 = 10 100 100 2 1000 13 ; h) 0,0(1) = 1 . = 125 90

43. a) 4 %; b) 37 %; c) 201 %; d) 1005,8 %; e) 7 %; f) 30 %; g) 44 %; h) 225 %; i) 100 %; j) 133,(3) %.

44. a) 78 ; 0,875; 87,5 % ; b) 58 ; 0,625; 62,5 %; c) 13 ; 0,(3); 33 13 %; d) 59 ; 0,(5); 55 59 %.

154

1.4. Laipsniai su sveikaisiais rodikliais 45. 1) a) 4; −8; 16; −32; b) 14 ; − 18 ;

1 1 16 ; − 32 ; c) 0,09; −0,027; 1 ; − 1 ; 1 ; f) 5 20 ; −11 984 . 9 27 81 121 1331

2 14 ;

1 ; −7 19 ; −3 38 ; 5 16 32 a 24 > 0; b) a 2n−1

0,081; −0,00243;

e) d) 2) a) < 0. Neigiamą skaičių keldami: a) lyginiu laipsniu, gauname teigiamą skaičių; b) nelyginiu laipsniu, gauname neigiamą skaičių.

46. a) 2; −2; 21 ; − 13 ; 1; −1; −1;


Atsakymai

MO

√ √ b) 3 arba −3; 12 arba − 12 ; 0,5 arba −0,5; tokių skaičių nėra; 7 arba − 7; 13 arba − 13 ; 2 arba − 2 ; 3 3 1 ; 0,2; 3; −3; c) −1; 2; 10 d) 2 arba −2; 12 arba − 12 ; 0,1 arba −0,1; tokių skaičių nėra; 3 arba −3; 13 arba − 13 .

47. a) 103; 109; 1019; b) 10−4; 10−10 ; 10−4; 10−11 . 48. 1) a) 14 ; − 18 ;

1 16 ;

b) 100; 1000; 10 000; 9; 1 . e) 3,24; 5,832; 10,4976; f) 49 1024n a −n n 2) b = a1n = 1 : ab = 1 : abn = 11 b

1; c) 0,16; 0,064; 0,0256; d) 2 14 ; −3 38 ; 5 16

n n n · abn = abn = ab .

49. a) 5 · 105; b) 1,7 · 107; c) 2,05 · 105; d) 1 · 1010; e) 5 · 10−5 ; f) 2,03 · 10−3; g) 1 · 10−6; h) 1,2 · 10−10 .

50. a) 5 · 105 ; b) 3,3 · 10−7 ; c) (6 · 106 ) − (5,3 · 106) = 0,7 · 106; d) 6 · 1010 ; e) 5 · 1010 ; f) 5 · 10.

6 ; h) 1; i) 2; d) 7; e) −9999; f) 121; g) −3 25 1 ; k) 11; l) 9; m) 3; n) 8; o) 1; p) 125. j) 27

1 16 ;

DE

51. a) 0,125; b) −2; c)

155


Atsakymai 1.5. Šaknys 52. 1) a) 2,24; 1,71; 1,50; 1,38; b) −3,16; −2,15; −1,78; −1,58; c) 14,14; −5,85; −3,76; 2,89. 2) a) 2 ir 3; 1 ir 2; 1 ir 2; 1 ir 2; b) −4 ir −3; −3 ir −2; −2 ir −1; −2 ir −1; c) 14 ir 15; −6 ir −5; −4 ir −3; 2 ir 3.

53. a) 2; 2; b) 3; 3; c) |x|; d) 2; 2; e) 3; 3; f) |x|. 54. a) 2; −2; b) 3; −3; c) x; d) 5; −5; e) 3; −3; f) x. 55. a) 4; 1; 0; tokio skaičiaus nėra; 100; b) 8; 1; 0; −8; 27; c) 16; 1; 0; tokio skaičiaus nėra; 256; d) 32; 1; 0; −32; 243.

56. a) 4 ir 5; b) −4 ir −3; c) 4 ir 5; d) −4 ir −3; e) 1 ir 2; f) 10 ir 11; g) −3 ir −2. 57. a) 4; b) 6; c) 15; d) 3; e) 2; f) 4; g) 2; h) 12 ; i) 3;

59. 60.

DE

61.

MO

58.

√ √ √ √ √ j) 0,1; k) 3 7; l) 3; m) 2 2; n) 3 10; o) 3 3. √ √ a) 6 cm2 ; b) 3 dm3 ; c) 2 5 2 cm3 . √ √ √ √ √ √ √ √ 3 4 5 a) 12; b) 18; c) 3 2000; d) 625; e) 162; f) 4 20 000; g) 486; h) 5 200 000. √ √ √ √ √ √ √ √ 3 4 4 5 a) 2 5; b) 6 2; c) 2 3 3; d) 3 2; e) 2 5; f) 2 2; g) 2 5 7; h) 3 2. √ √ √ √ a) 4 2; b) 0; c) 11; d) 21 3 2; e) 4 2 − 4 3; f) −1.

156

1.6. Laipsniai su trupmeniniais racionaliaisiais rodikliais ir šaknys √ √ √ √ √ √ √ √ √ 5 5 3 4 4 1; 3 3 3 3 62. a) 5; b) 9; c) a; d) x ; e) 2; f) 64 = 1296; g) a ; h) x ; i) 10 j) x13 .

63. a) 3 2 ; b) 5 3 ; c) 2 3 ; d) a 4 ; e) 4− 3 ; f) x − 5 ; g) 0,5 3 . 1

1

2

1

3

2

1

1

1 1 3 3 = 21 = 2; b) 24 2 = 22 = 4; c) 33 3 = 31 = 3; d) 81 2 = 34 2 = 36 = 729; −0,5 −1,5 − 1 1 ; = 5−1 = 15 ; g) 112 = 11−3 = 1331 e) 72 2 = 7−1 = − 17 ; f) 52 1 − 1 −2 − 1 2 = 31 = 3. h) 9 2 = 3

64. a) 22

2


Atsakymai

65. a) 22 ; b) 23 ; c) 2− 5 ; d) 2− 2 . 14

9

1

11

MO

66. a) 5; b) 3; c) 3; d) 8; e) 12 ; f) 2; g) 36. 1

67. a) b 12 ; b) a 5 ; c) x; d) a; e) 2a 4 . 1

1

7

7

68. a) 2 2 ; b) 3 3 ; c) 2 4 ; d) 5 8 .

69. a) 1; b) 16; c) 27; d) 4; e) 16.

70. a) 2 ir 3; b) 4 ir 5; c) 9 ir 10; d) 3 ir 4; e) 53 ir 54. 71. a) 1; b) 1; c) 2401; d) 3; e) 1296. 3

1

1

DE

72. a) 1,8 5 ; b) 2 2 ; c) 2,(2) 2 .

157


Atsakymai 1.7. Logaritmai 73. a) 2; b) −2; c) −1; d) −2; e) 13 ; f) 2. 74. a) 3; b) −3; c) 12 ; d) 23 ; e) 34 ; f) log5 50; g) log5 11; h) log5 10. 75. a) 3; b) 7; c) 7; d) 25; e) 100; f) 49; g) 14 ; h)

1 36 .

76. a) 7; b) −8; c) 0; d) 1; e) 10; f) 13 ; g) 12 ; h) log2 10; i) lg 3; j) lg 12 . 77. a) 9; b) 25; c) 17 ; d)

1 121 ;

e) − 14 ; f) 1; g)

√ √ 3; h) 12 ; i) 1010 .

78. a) 10; b) 10; c) 100; d) 5; e) 5; f) 15 . 79. a) (−1; +∞); b) (0; +∞); c) (−∞; 2); d) (−∞; 0) ∪ (0; +∞); e) (−1; 0) ∪ (0; +∞);

MO

f) (0; 1) ∪ (1; +∞); g) (−∞; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞); h) (−∞; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; +∞); i) (1; 2) ∪ (2; +∞); j) (3; 4) ∪ (4; +∞); k) 23 ; 1 ∪ (1; 5); l) (−∞; −1) ∪ (−1; 0).

80. a) −6; b) −1; c) −2; d) 5; e) 2 21 .

DE

81. a) 4; b) 27; c) 2; d) 10; e) 2; f) 2; g) 2.

158

1.8. Logaritmų savybės 82. a) 7; b) 5; c) 5; d) −9; e) 2; f) 1; g) 2; h) −5; i) 6; j) 6; k) 4; l) − 32 . 83. a) 1; b) 1; c) 5; d) 2; e) 3; f) 2; g) −2 lg 5; h) −1. 84. a) 2; b) 1; c) −3; d) 2; e) 1; f) 1. 85. a) 32 ; b) 57 ; c) − 32 ; d) −8. 86. a) −18; b) 2; c) 4; d) −2. √ 25 3 ; 3

√


Atsakymai

d) 9 4 2 . 88. a) 3 − 3a; b) 3 − 2a; c) 2 + c; log 15 log 15 log (5·3) log 5+log 3 1+log5 3 = 5 3 5 = . d) log125 15 = log 5125 = 35 = 53 3 5 1+log5 3 1+f 2e+1 = 1+d Kadangi log5 3 = d, tai 3 3 ; e) e+1 ; f) 2+f .

DE

MO

87. a) 9; b) 15; c)

159


Atsakymai 1.9. Skaitiniai reiškiniai √

1. 89. a) 2 2; b) 18 ; c) −1 12 ; d) 8 16

90. a) 6; b) 1 12 ; c) 17,5; d) 24 23 . 2 ; b) 1 2 ; c) 1,8; d) −1,5. 91. a) − 45 31

92. a) 1,728 · 10−6; b) 7,5; c) 4,08 · 10−3; d) 3,12 · 10−3 . √

√

93. a) 2 − 2 3; b) 1 − 2. 94. 3,22 · 10−7 . 95. a) 14 ; b) 15 ; c) 4; d) 4; e) 4; f) 3 14 . 96. a) 400; b) 225; c) 36; d) 2; e) 25; f) 34 .

b) c)

4+2 3 2 2+ 3 6+ 2 2· 3+ 2 2 3+1 = 21 + 3 = 3,5; √ √ √ √ √ √ 12− 8 · 3 2 3− 2 · 3 √ = √ √ √ 1 = 110 = 9 = 0,45; 20 2· 9 6−2 6 2+2·9−1 2 3 3− 2 ·2 1+ 9 √ √ 2 √ √ √ √ √ 4 7+4 2 16 9+2 14 16 9+2 14 16·7+2·4 7·4 2+16·2 144+32 14 √ √ √ √ = = = = √ = 8; 18+2 56 18+2 56 18+2 56 18+4 14 2 9+2 14 log2 49 log12 49 log12 49 log 2 3 log 2 log 8 3 = 4+3 = 4+3 3 = (4 + 8)log12 49 log2 16 + 27 3 = 12log12 49 = 49;

DE

d)

MO

√ √ √ √ √ 3 √ √ √ 5; b) 7 6 3 ; c) 24 ; d) 2 2 + 1 ; e) 3 5 + 2 ; f) 7 + 3; g) 3. √ 98. a) 2; b) 2 2 − 2; c) 5; d) 10. √ √ √ √ √ √ 1 − 1 2 2+ 3 2 2+ 3 2 2+ 3 4 4 99. a) √ √ 2 + 81 = √ √ √ 2 + 81 = √ 2 + 3 = 2+ √3 + 3 = 2+ √3 + 3 =

97. a)

1 1 1 e) 491−log7 2 + 5− log5 4 = 49 · 49log7 2 + 5log5 4 = 49 · 72 log7 2 + 14 = 49 · 14 + 14 = 12,5.

160

=

1.10. Raidiniai reiškiniai √

√

17 ; b) 0; −6; 3 ; 5 − 10; 1 ; c) 2; 10; 18 2; 26 ; 27 9 27 25 2 ; −5 2 ; −1 2 . d) −2; −53; −1 27 3 27 2 2 3 101. a) a + 3a; b) 6x − 2x ; c) −2a 2 − ab; d) −4y + 6y 3 ; e) 8t 3 f) a 2 + a − 2; g) ab − 3a + b2 − 3b; h) 5x − xy − 5y + y 2 .

100. a) −1; −9; 5;

+ 4t 2 ;

102. a) 2b3 + 6a 2 b; b) −a 2 ; c) 4y 2 − x 2 .

4 b 2 a + 4 b; c) (a + 2b)(a + 2b); a − 3 3 5 5 d) (2x − 7)(2x − 7); e) (3a + 4b)(3a + 4b); f) −(5 + 2a)(5 + 2a); g) (1 − a)(1 − a)(1 − a); h) (x + 2)(x + 2)(x + 2).

103. a) (4y − 3x)(4y + 3x); b)

2


Atsakymai

104. a), c), d), e), g) –– taip; b), f) –– ne.

√ √ √ √ x + y; b) x; c) √3xy ; d) x − 1.

MO

105. a)

106. a) x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; +∞); b) x ∈ (−∞; 0) ∪ 0; 12 ∪

1

2 ; +∞

DE

; c) x ∈ (−∞; −3) ∪ (−3; 3) ∪ (3; +∞); d) x ∈ [0; 1) ∪ (1; 4) ∪ (4; +∞); e) x ∈ (1; 4). ⎡ −2x, kai x < −2, 8 − 3x, kai x < 4, ⎢ 2 107. a) 1; b) 5 ; c) ⎣ 4, kai − 2 ≤ x < 2, d) − x, kai x ≥ 4. 2x, kai x ≥ 2; √ 2 108. 1) a) PABCD = 4a, SABCD = a 2 ; PABD √= a(2 + 2), SABD √= a2 ; √ √ 2 2 b) PABCD = a 1 + 3 , SABCD = a 4 3 ; PABD = a 32 + 23 , SABD = a 8 3 ; c) PABCD = 4a + 4, SABCD = a(a + 2); PABD = 2a + 2 + 2a 2 + 4a + 4, SABD = a(a+2) 2 . 2) Kai a = 1 cm, tai: √ a) PABCD = 4 cm, SABCD = 1 cm2 ; PABD = 2 + 2 cm, SABD = 0,5 cm2 ; √ √ √ √ b) PABCD = 1 + 3 cm, SABCD = 43 cm2 ; PABD = 3+2 3 cm, SABD = 83 cm2 ; √ c) PABCD = 8 cm, SABCD = 3 cm2 ; PABD = 4 + 10 cm, SABD = 1,5 cm2 . Kai a = 9 cm, tai: √ 2 a) PABCD = 36 cm, SABCD = 81 cm2 ; PABD = 9 2 + 2 cm, S√ABD = 40,5 cm ; √ √ √ 9 3+ 3 cm, SABD = 818 3 cm2 ; b) PABCD = 9 1 + 3 cm, SABCD = 814 3 cm2 ; PABD = 2 √ 2 c) PABCD = 40 cm, SABCD = 99 cm2 ; PABD = 20 + 202 cm, SABD = 99 2 cm . Kai a = 14 dm, tai: √

1 dm2 ; P 2+ 2 dm, S 1 dm; a) PABCD = 1 dm, SABCD = 16 = 32 ABD = 4 √ √ √ √ ABD b) PABCD = 1+4 3 dm, SABCD = 643 dm2 ; PABD = 3+8 3 dm, SABD = 1283 dm2 ; √

9 dm2 ; P 10+ 82 dm, S 9 2 c) PABCD = 5 dm, SABCD = 16 ABD = ABD = 32 dm . 4 √ Kai a = 2 m,√tai: √ a) PABCD = 4 2 m, SABCD = 2 m2 ; PABD = 2 + 2 2 m, SABD = 1 m2 ; √ √ √ √ √ √ 3+ 3 2 3 3 m2 ; 2 m, S = b) PABCD = 2 + 6 m, SABCD = 2 m ; PABD = ABD 2√ √ √ 2 √4 c) P√ ABCD = 4 2 + 4 m, SABCD = 2 + 2 2 m ; PABD = 2 2 + 2 + 2 2 + 2 m, SABD = 1 + 2 m2 . Kai a = 1,(3), tai: √ 4 2+ 2 16 16 a) PABCD = 3 , SABCD = 9 ; PABD = , SABD = 89 ; 3 √ √ √ √ 4 1+ 3 2 3+ 3 3 2 3; b) PABCD = , S = ; P = , S = ABCD ABD ABD 3 9 9 √ 3 2 7+ 29 28 40 20 c) PABCD = 3 , SABCD = 9 ; PABD = , SABD = 9 . 3

161


Atsakymai Sprendžiame √

109. 1) A = − 10; 5 . 2) – 10

X

5

3) B = {1; 2; 3; 4; √5}. √4) C = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. 5) Pavyzdžiui: − 2, 3, π.

110. {5; 2,3 · 105} ∈ N; {−100; 0; 5; 2,3 · 105} ∈ Z; {−100; −10,3; − 23 ; 0; 5; 9,(2); 2,3 · 105} ∈ Q; √ π; 30 ∈ I; A ⊂ R.

111. 50. 112. a), c), d), e), h), j) –– ne; b), f), g), i) –– taip. 113. a) A ∪ B = {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2}; A ∩ B = {−2; −1}; A \ B = {0; 1; 2}; B \ A = {−4; −3};

114. 1) 10; 2) 8; 5. 115. a)

x Œ (–1; 7);

b) x Œ [–4; 1,5); c) x Œ [0; 4)

–1

7 X

–4

1,5 X

0

4 X

–38

11 X — 16

; {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6};

; {–4; –3; –2; –1; 0; 1}; ; {0; 1; 2; 3}; ; ∆.

DE

3 — 11 d) x Œ –; 8 16

MO

b) A ∪ B = (0; 5]; A ∩ B = {3}; A \ B = (0; 3) ∪ (3; 5); B \ A = ∅; c) A ∪ B = {−2; −1; 0; 1; 2}; A ∩ B = ∅; A \ B = {−2; −1; 0}; B \ A = {1; 2}; d) A ∪ B = {−5} ∪ [−4; 0]; B ∩ A = {−4; −3}; A \ B = {−5}; B \ A = (−4; −3) ∪ (−3; 0].

116. a) >; b) >; c) <; d) >.

117. a) 2 34 ; b) 6 23 = 6,(6); c) 1 31 33 = 1,(93); d)

11 15

= 0,7(3).

118. a) 2 12 ; b) 2− 10 ; c) 2 4 ; d) 21 ; e) 2 2 ; f) 2 3 ; g) 2 12 . 7

3

√

9

1

√

√

1

√

7

√

119. a) k.p. = 3 + 5 + 2 (3 + 5)(3 − 5) + 3 − 5 = 6 + 2 9 − 5 = 10;

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ b) k.p. = 7 − 3 − 2 ( 7 − 3)( 7 + 3) + 7 + 3 = 2 7 − 2 7 − 3 = 2 7 − 4; √ √ 3 √ √ 2 c) k.p. = 3 2 − 1 3 2 + 2 · 3 2 · 1 + 12 = 3 2 − 13 = 2 − 1 = 1; √ 3 √ √ 2 √ d) k.p. = 3 x + 2 3 x − 2 · 3 x · 2 + 22 = 3 x + 23 = x + 8. √ 120. a) −1; b) −115; c) 3 13 ; d) 2.

121. a) x; b) 1; c)

√ 4√ . x+ y

122. 3 · 105 km/s, 8,3 min = 498 s = 4,98 · 102 s; 3 · 105 · 4,98 · 102 = 14,94 · 107 = 1,494 · 108 (km).

162

Sprendžiame 123. a) 4,16 · 10−5 ; b) 3,24 · 10−5; c) 7,5. 124. a) 1; b) 0,81; c) 4. 125. a) −2 21 ; b) 1 12 ; c) 2; d) 16; e) 27; f) 2; g) 7; h) 9; i) 1; j) 1; k) 1; l) 3. 126. a) 19 ; b) 1. 127. 1.


Atsakymai

128. 2. 129. 1. 130. a) 1,58; b) 1,26; c) 3,16; d) 1,17.

MO

131. a) x ∈ (0; 25) ∪ (25; +∞); b) x ∈ [0; +∞); c) x ∈ (−∞; 8) ∪ (8; +∞); √ 4

d) x ∈ (−∞; −8) ∪ (−8; +∞); e) x − 2; x ∈ [2; +∞); f) x ∈ (−∞; 2) ∪ (2; +∞); g) x ∈ [2; 5) ∪ (5; √ +∞); √ h) x ∈ (−∞; +∞); i) x ∈ [0; 4) ∪ (4; +∞); j) x ∈ (−2; +∞); k) x ∈ (−∞; − 2) ∪ ( 2; +∞); l) x ∈ (3; +∞).

132. a) A; b) B. 2

= a · (a + 1)25; 2) 27225, 34225, 75625, 81225.

DE

133. 1) a5

163


Atsakymai Geometrijos uždaviniai 134. 1) a) ∠2 ir ∠4; b) ∠6; c) ∠4, ∠6 ir ∠8.

2) a) ∠3 = ∠5 = ∠7 = 35◦ ; ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 145◦ ; b) ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 80◦ ; ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 100◦ ; c) ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 55◦ ; ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 125◦ .

135. D

E

B

A

C

1) Brėžiame DE AC (B ∈ DE); 2) ∠DBA = ∠A, ∠EBC = ∠C; 3) ∠DBA + ∠B = ∠EBC = 180◦ (ištiestinis); 4) ∠A + ∠B + ∠C = ∠DBA + ∠B + ∠EBC = 180◦ .

n = 4,

MO

136. 1) n-kampį galima sudalyti į n − 2 trikampius, pvz.,

n = 5,

n = 6.

Vadinasi, visų n-kampio vidaus kampų suma lygi (n − 2)-jų trikampių kampų sumai. Kadangi trikampio kampų suma lygi 180◦ , tai n-kampio –– (n − 2) · 180◦ . 2) a) 360◦ ; b) 540◦ ; c) 1080◦; d) 1800◦; e) 17640◦. 1) ∠ACB = 180◦ − ∠BCD; 2) ∠A + ∠B + ∠ACB = 180◦ , ⇒ ∠ACB = 180◦ − (∠A + ∠B); 3) 180◦ − ∠BCD = 180◦ − (∠A + ∠B), ⇒ ∠BCD = ∠A + ∠B.

B

137.

A

C

138. 35◦.

D

140. D. 141.

DE

139. 360◦.

B2

B1

A

164

C1

B2 C2 AC2 2 1) AB2 C2 ∼ AB1 C1 , ⇒ AB AB1 = B1 C1 = AC1 ;

2) AB2 = AB1 + B1 B2 , AC2 = AC1 + C1 C2 ;

+B1 B2 +C1 C2 B1 B2 AC1 C1 C2 B1 B2 C1 C2 1 3) AB1AB = AC1AC , ⇒ AB AB1 + AB1 = AC1 + AC1 , AB1 = AC1 . 1 1

C2

Įvairūs uždaviniai 142. 1) 960; 2) 143. 1) 85 %;

17 ; 20

9 25 ;

3) 0,64.

0,85; 2) 200.

144. 4 %. 145. Sumažės 10 %. 146. 0,21 %.


Atsakymai

147. 1) 315 000 Lt; 2) 202 500 Lt. 148. 20 %. 149. 2 kg.

151. a) 4 %; b)

10 000 100+a . 25 38

10 000 100 000 ‰. %; 6 11 m 19 ‰; c) m %;

DE

152. a) 1 %; 10 ‰; b)

MO

11 %. 150. 1) 1,024a; 2) padidėjo 2,4 %; 3) sumažinti 2 32

165


Atsakymai Testas 153. a) A; b) B; c) A. 154. D. 155. A. 156. E. 157. B. 158. E. 159. C.

162. B. 163. C. 164. C. 165. A. 166. D. 167. B. 168. D. 169. A. 170. A.

166

DE

161. D.

MO

160. C.


Atsakymai Pasitikriname 171. a) b) –– ne; c), d) –– taip. 172. a) {0; 2}, {−2; 2}; {−2; 0; 2}; {2}; {0}; {−2};

b) {−3; 3}, {−1; 3}; {−3; −1; 3}; {3}; {−3}; {−1}; c) {1; 2}, {−3; −1}; {−3; −1; 1,2}; ∅; {1; 2}; {−3; −1}.

173. a) 3; b) −3; −2; −1; 0; 1; 2. 145 9 11 112 b) 427 99 ; c) 999 ; d) 9 = 1; e) 15 ; f) 45 . 175. a) 6; b) 7; c) 3; d) 2; e) 3; f) −3; g) −1; h) 4.

174. a)

26 ; 9

176. a) x 3 ; b) x 4 ; c) a − 4 ; d) x 10 ; e) x 6 ; f) a 8 . 1

3

1

5

7

√ √ √ √ √ 3 28 ; b) 3 x 10 ; c) 4 313 ; d) 3 a 7 ; e) 10 m17 ; f) 5 x16 .

MO

177. a)

3

178. a) 4; b) −2; c) 12 ; d) 4; e) 0; f) 1; g) 3; h) 2; i) 64; j) 27; k) n) 6; o) 8.

179. 2a + b.

1 10 ;

l) 2; m) 4;

180. a) 5; b) 1 12 ; c) −1; d) 1; e) 4; f) 4; g) 3 18 .

181. a) x ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; +∞); b) x ∈ [0; +∞); c) x ∈ (−∞; +∞);

d) x ∈ (−∞; +∞); e) x ∈ 13 ; +∞ ; f) x ∈ (5; +∞); g) x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞). √ 182. a) − 16 ; b) x; c) 3.

183. a) 4; b) 2 21 ; c) 3; d) 1.

DE

184. a) m − 2; b) − 23 .

185. a) 40◦, 40◦, 100◦; b) 10. 186. 11,(1) %.

167

Vadovėlio

MO

Leidinys atitinka ŠMM patvirtintas programas. Visi uždaviniai patikrinti ir perspręsti leidyklos specialistų.

Matematika tau

komplektą sudaro:

DE

• Vadovėlis – visiems • Parsisiøsdinama Skaitmeninė vadovëlio versija – naudojantiems kompiuterius • Uždavinynas – kuriems vadovėlio užduotys per lengvos • Savarankiški ir kontroliniai darbai – į pagalbą mokytojams • Mobili interaktyvi kompiuterinë (MIKO) knyga mokytojams – informacijos kaupimui ir tvarkymui

ISBN 978-609-433-041-4

jûSø PAGALBININKAI

MO

Net 21 savarankiškas ir 7 kontroliniai darbai (visų po 2 variantus) – visoms XI klasės išplėstinio kurso matematikos temoms! Iš viso 482 uždaviniai!! Štai kodėl šias knygeles taip mėgsta mokytojai☺

Manome, kad mūsų vadovėliuose uždavinių pakanka. Bet jeigu pritrūksite arba jie pasirodys per paprasti, išbandykite uždavinyną. Jame rasite net 782 uždavinius, o jų atsakymai yra svetainėje http://matau.vadoveliai.lt

DE

Jau galite pradėti ruoštis artėjantiems brandos egzaminams. Kiekvienai temai, kurią mokysitės 11 klasėje, šioje knygutėje rasite testų rinkinius. Pabandykite pasirinkti vieną atsakymą iš penkių pateiktų. Teisingi atsakymai pateikti knygutės pabaigoje.

MO

DE

12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

6. LYGčių sistemos 6.1. Lygtys su dviem nežinomaisiais 6.2. Dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos 6.3. Sprendžiame tekstinius uždavinius 6.4. Sprendžiame geometrijos uždavinius 6.5. Trijų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemos

56 58 60 62 64

7. Apskritimai, kampai, daugiakampiai 7.1. Centriniai ir įbrėžtiniai kampai 7.2. Įbrėžtiniai trikampiai 7.3. Įbrėžtiniai keturkampiai 7.4. Taisyklingieji daugiakampiai ir apibrėžtiniai apskritimai 7.5. Apskritimas, liečiantis kampo kraštines 7.6. Apibrėžtiniai trikampiai 7.7. Apibrėžtiniai keturkampiai 7.8. Taisyklingieji daugiakampiai ir įbrėžtiniai apskritimai 7.9. Ypatingieji trikampio taškai

82 84 86 88 90 92 94 96 98

DE

MO

5. LYGtys 5.1. Kvadratinės lygtys. Vijeto teorema 5.2. Laipsninės lygtys 5.3. Lygtys su kvadratinėmis šaknimis 5.4. Rodiklinės lygtys 5.5. Logaritminės lygtys 5.6. Sudėtingesnės logaritminės lygtys 5.7. Lygtys su moduliais 5.8. Lygtys, kurios sprendžiamos įvedant naują nežinomąjį 5.9. Lygtys su sinusais 5.10. Lygtys su kosinusais 5.11. Lygtys su tangentais 5.12. Lygtys su kotangentais 5.13. Dar daugiau trigonometrinių lygčių


Pagrindiniai skyreliai

3

Lygtys Lentelėje surašyti mums žinomi matematiniai veiksmai ir jų pavyzdžiai. Sudėtis

a+b = c

3+2 =5

Atimtis

a−b = c

5−2 =3

Daugyba

a·b = c

3·2=6

Dalyba

a:b=c

6:2=3

Laipsnis

ab

Šaknis

=c √ b a=c

32 = 9 √ 9=3

Logaritmas

logb a = c

log3 9 = 2

Sinusas

sin a = b

sin π2 = 1

Arksinusas

arcsin a = b

arcsin 1 = π2

Kosinusas

cos a = b

cos 0 = 1

Arkkosinusas

arccos a = b

Tangentas

tg a = b

arccos 1 = 0 tg − π4 = −1

Arktangentas

arctg a = b

Kotangentas Arkkotangentas

ctg a = b arcctg a = b

DE MO


Lygčių įvairovė

arctg(−1) = − π4 √ ctg π6 = 3 √ arcctg 3 = π6

Nurodytų skaitinių lygybių kairiosiose pusėse vietoj skaičiaus parašę x, gauname lygtis su vienu nežinomuoju, pavyzdžiui: x + 2 = 5,

5 − x = 3, x − 2 = 6, x · 2 = 6, x : 2 = 3, √ = 9, = 9, x = 3, log3 x = 2, logx 9 = 2; √ sin x = 1, cos x = 1, tg x = −1, ctg x = 3; π π π arcsin x = , arccos x = 0, arctg x = − , arcctg x = . 2 4 6

x2

6 : x = 3;

3x

1 užduotis. Pabandykite išspręsti visas aukščiau surašytas lygtis.

Lygtys, kurias jau mokėmės spręsti

˜ Pažintis su lygtimis prasideda nuo tiesìnių (pìrmojo láipsnio) lygčių: a · x + b = 0; čia a, b –– skaičiai, x –– nežinomasis.

2 užduotis. Išsprendę tiesines lygtis: a) 2x + 6 = 4x + 16; b) 3x − 5 = 3(x + 1); c) 5x − 2(x + 4) = 4(1 + x) − (x + 12); įsitikinkite, kad lygtis a) turi vieną sprendinį; lygtis b) sprendinių neturi; lygties c) sprendiniai yra visi skaičiai.

4


Lygčių įvairovė Kìtos pagrindinėje mokykloje nagrinėtos buvo kvadrãtinės (añtrojo láipsnio) l˜ygtys: a · x 2 + b · x + c = 0;

čia a, b, c –– skaičiai (a = 0), x –– nežinomasis.

Šias lygtis galima spręsti remiantis diskriminántu D = b2 − 4ac.

DE MO

3 užduotis. Išspręskite kvadratinę lygtį, naudodamiesi sprendinių formulėmis. a) x 2 + 5x − 6 = 0; b) x 2 − 2x + 1 = 0; c) x 2 + 2x + 2 = 0. Iš kur atsirado diskriminantas D =

b2

− 4ac ir sprendinių formulės x1 =

√ −b− D , 2a

x2 =

√ −b+ D ? 2a

Įsivaizduokime, kad nežinome kvadratinės lygties sprendinių formulių, o išspręsti mokame tik tiesines lygtis. Tada, sprendžiant kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0 (kuri turi sprendinių), galima pasinaudoti šiuo algoritmu: 1) reiškinį ax 2 + bx + c išskaidyti tiesiniais (pirmojo laipsnio) dauginamaisiais, t. y. ax 2 + bx + c = (dx + e) · (f x + g);

2) remtis tuo, kad sandauga lygi 0, kai bent vienas dauginamųjų lygus 0, t. y. (dx + e) · (f x + g) = 0,

kai arba dx + e = 0, arba f x + g = 0;

3) rasti gautųjų tiesinių lygčių sprendinius: dx + e = 0, e x=− ; d

f x + g = 0, g x=− . f

4 užduotis. Išspręskite kvadratinę lygtį, reiškinį kairiojoje jos pusėje skaidydami tiesiniais (pirmojo laipsnio) dauginamaisiais.

a) 3x 2 + 2x = 0; b) x 2 − 9 = 0; c) x 2 + 5x − 6 = 0; d) x 2 − 6x + 8 = 0.

5


Lygčių įvairovė Trupmeninės lygtys (tokios, kuriose yra dalyba iš reiškinio su kintamuoju) f (x) =0 g(x) sprendžiamos remiantis dalmens, lygaus nuliui, savybe: f (x) = 0, g(x)

kai f (x) = 0, o g(x) = 0.

5 užduotis. Išspręskite trupmeninę lygtį. x 2 +2x x 2 +5x−6 a) x+4 x−2 = 0; b) x+2 = 0; c) x 2 +x−2 = 0.

DE MO

Lygtys, kurias dar tik mokysimės spręsti 6 užduotis. Pabandykite rasti lygčių, kurių nežinomasis yra laipsnio pagrinde, sprendinius. a) x 3 = 1000; (x − 2)3 = 1000; (2x + 1)3 = 1000; b) x 4 = 16; 3x 4 = 48; (x + 2)4 = 16; 2(x − 2)2 = 32.

7 užduotis. Pabandykite rasti lygčių, kurių nežinomasis yra po šaknies ženklu, sprendinius. a)

√ 3 x = 10;

√ √ √ √ 3 x − 2 = 10; 2 3 2x = 20; b) 4 x = 2; 3 4 x = 6;

√ 4 2x − 5 = 2.

Šią

8 užduotis. Pabandykite rasti lygčių, kurių nežinomasis yra laipsnio rodiklyje, sprendinius. a) 3x = 9; 3x+1 = 9; 10 · 3x−1 = 90; b) 25x−1 = 2; 34x = 3x+9 ; 54−2x = 1.

6

9 užduotis. Pabandykite rasti lygčių, kurių nežinomasis yra logaritmo ar logaritmo pagrindo reiškinyje, sprendinius. a) log3 x = 2; log3 (x − 5) = 2; 4 · log3 (2x) = 8; b) logx 1000 = 3; 5 · logx 1000 = 15; 5 · logx−1 1000 = 15.


Lygčių įvairovė

10 užduotis. Pabandykite rasti trigonometrinių lygčių sprendinius.

DE MO

a) sin x = 0; sin x = 12 ; sin x = 10; b) cos x = 12 ; 2 · cos x = 2; 2 · cos x = 10.

Y 1

–π2

–1

0

– –π2

1 X

–1 Y 1

y = cos x

y=0

5π –— 2

3π –— 2

– –π2

0

–1

–π2

3π — 2

5π — 2

X

Tokias lygtis mokoma spręsti šios vadovėlio dalies 5-ame skyriuje. Jis yra pats svarbiausias XI klasėje.

7

1.

Išspręskite tiesinę lygtį. a) 5x − 3 = 2(x − 1) − 2; b) −3(2 − x) = 3x − 6; c) −5x = 5(2 − x) + 1.

2.

Išspręskite nepilnąją kvadratinę lygtį. b) 23 x 2 + 32 x = 0; a) x 2 − 7x = 0; d) x 2 − 4 = 0;

3.

4.

c)

e) − 15 x 2 + 2 = 0;

√ 2 7x + 14x = 0;

f) 25x 2 + 9 = 0.

Išspręskite pilnąją kvadratinę lygtį. √ b) x 2 − 5 3x + 18 = 0; a) x 2 + 2x − 24 = 0;

c) 9x 2 − 3x + 14 = 0;

d) x 2 + 2x − 4 = 0;

2 x+5 f) x5 − 2x 3 = 6 .

e) 3x 2 − 10x + 3 = 0;

DE MO



Automobilio, važiuojančio v km h greičiu, stabdymo kelio ilgį s m galima apskaičiuoti pagal formulę 1 1 2 s = 2 v + 400 v . a) Apskaičiuokite automobilio stabdymo kelio ilgį, jeigu automobilis važiuoja greičiu v = 80 km h . b) Kokiu greičiu važiavo automobilis, jeigu jo stabdymo kelio ilgis buvo 11 m? Vieną kvadrato kraštinę sumažinus 4 cm, o kitą 5 cm, jo plotas sumažėjo 160 cm2 . Apskaičiuokite pradinio kvadrato plotą.

6.

Vėjas nulaužė 16 m aukščio medį. Šio medžio viršūnė liečia žemę 8 m atstumu nuo kamieno pagrindo. Kokiame aukštyje nuo žemės nulūžo medis?

7.

8m

Išspręskite trupmeninę lygtį. 5 = 3; a) x−1 4 + 6 = 5; d) x−3 x+2

2 −x = 12 ; c) xx−4 x−4 3 33 x−4 . f) x + x 2 −11x = x−11

4 − 3 = 0; b) x+1 x−2 3 4 e) x − 1−x = x5−x 2 −x ;

8.

x ir 1 skirtumas lygus jų sandaugai? Su kuriomis x reikšmėmis trupmenų x−1 x

9.

(2011 m. matematikos valstybinio brandos egzamino pakartotinės sesijos 21 užduotis.) 2 m ilgio atkarpa taip padalyta į dvi dalis, kad atkarpos didesniosios dalies ilgio a ir mažesniosios dalies ilgio b santykis yra lygus visos atkarpos ilgio √ ir didesniosios jos dalies ilgio santykiui. Apskaičiuokite mažesniosios dalies ilgį 1 cm tikslumu ( 5 ≈ 2,236). 2m a

8

xm

5.

b

10. Apskaičiuokite reiškinio su laipsniais reikšmę. a)

−9 8 1 14 · 54 · 0,8−1 ;

b)

c) 0,2−3 · 25−2 + 0,25−1 · 5−1 − (−6)0 ;

−1 −1 3 −2 −2 − 65 · 1 · 2 − 0,75 ; 4 0,1

d) 0,04−2 · 125−1 − 63 · 36−1 · (−2)0 .

11. Apskaičiuokite reiškinio su logaritmais reikšmę. b) 3 log2 64 + lg 0,001 + log√2 8; √ √ √ √ d) log√2 11 − 3 + log√2 11 + 3 ; √ 4 f) 3 −9 · lg 1000 − 16log2 9 .

a) log 1 14 + log4 36 + 12 log4 16 81 ; 4 √ c) log√3 7 3 − log√3 21; e) 8log2 3 + 1000 3 +lg 4 ; 1




DE MO

Tris skaičius a, b ir c sieja lygybė |a| = b2 (b − c). Vienas iš šių skaičių yra teigiamas, kitas –– neigiamas, o trečiasis –– lygus nuliui. Kuris teiginys apie skaičius a, b, c yra teisingas? A a < 0, b > 0, c = 0 B a < 0, b = 0, c > 0 C a > 0, b = 0, c < 0 D a > 0, b < 0, c = 0 E a = 0, b > 0, c < 0

13. Apskaičiuokite reiškinio reikšmę.

√

a) arcsin 21 + 2 arccos 0 − arctg 1 − 3 arcctg 33 ; √ √ b) 2 arcsin − 22 − arccos(−1) − 3 arctg − 3 + arcctg(−1). √ 8 3

√

sin α6 − 12 tg α6 + 33 cos α9 reikšmę, kai α = 270◦ . 15. Mokinys lentoje užrašė, kad kampo α sinusas lygus 15 (sin α = 15 ), o to paties kampo kosinusas

14. Apskaičiuokite reiškinio √

√

lygus 524 (cos α = 524 ). Ar jis nepadarė klaidos? Atsakymą pagrįskite. .

16. a) Apskaičiuokite cos α ir tg α, kai sin α =

b) Apskaičiuokite sin α ir tg α, kai cos α =

17. Žinoma, kad sin α =

√1 5

12 ir α ∈ π ; π . 13 2 − 35 ir α ∈ π; 3π 2 .

(α –– smailusis kampas). Apskaičiuokite cos(2α) ir sin(2α).


sin2 α +cos α; b) (2 sin α +cos α)2 +(sin α −2 cos α)2 ; c) (1+sin α)(tg α +ctg α)(1−sin α). a) cos α−1 √ 19. Naudodamiesi lygybe a 2 = |a|, apskaičiuokite reiškinio reikšmę. √ 2 √ 2 √ a) 1 − 2 + 1; b) 3 − 1 + 3 ; √ √ 2 √ 2 √ √ 2 √ 2 3 − 5 + 1 − 3 − 3; d) 7 − 3 − 3 − 2 − 2. c)

20. Raskite skaičius, kuriuos pakėlę: a) antruoju laipsniu gauname 4; 5; 0; −4;

b) trečiuoju laipsniu gauname 8; 9; 0; −9;

c) ketvirtuoju laipsniu gauname 1; 2; 0; −16;

d) penktuoju laipsniu gauname 1; 2; 0; −32.

9

5


skyrius

Ekvivalenčiosios lygtys, ekvivalentieji lygčių pertvarkiai Kai ieškome reiškinio f (x) kintamojo x reikšmių, su kuriomis reiškinio reikšmė lygi skaičiui a, tai sprendžiame lygtį f (x) = a. Kai ieškome reiškinių f (x) ir g(x) kintamojo x reikšmių, su kuriomis tų reiškinių reikšmės yra lygios, tai sprendžiame lygtį f (x) = g(x).

DE MO

Sprendžiamą lygtį dažniausiai tenka pertvarkyti į paprastesnes lygtis, kurios turi tuos pačius sprendinius, kaip ir pradinė lygtis.

1 užduotis. Sprendžiant kai kurias lygtis, kartais kyla pavojus prarasti sprendinius. 1) Raskite lygties 2x 2 = 3x sprendinius. 2) Pažiūrėkite, kaip tą lygtį sprendė Vardenė ir kaip –– Pavardenis.

Pavardenio sprendimas: 2x 2 = 3x, | : x 2x = 3, | : 2 x = 1,5.

Vardenės sprendimas: 2x 2 = 3x, | −3x 2x 2 − 3x = 0, x · (2x − 3) = 0, x = 0 arba 2x − 3 = 0, | + 3 2x = 3, | : 2 x = 1,5.

3) Kaip manote, kodėl vieną sprendinį prarado Pavardenis?

2 užduotis. Sprendžiant kai kurias lygtis, kartais gaunamos lygties nežinomojo reikšmės, kurios nėra sprendiniai. √ 1) Panagrinėkite lygties x + 2 = x sprendimą: √ x + 2 = x, ↑2 –– abiejų lygties pusių reiškinius keliame kvadratu (naikiname šaknį). x + 2 = x2, x 2 − x − 2 = 0, D = 9, x1 = −1,

x2 = 2.

2) Patikrinkite, ar abi gautosios x reikšmės yra lygties 3) Kaip manote, kodėl atsirado pašalinė x reikšmė?

10

√ x + 2 = x sprendiniai.

5

Lygtys

Apibendriname Sprendžiame Besidomintiems

MO

Lygtys su parametrais Dar daugiau lygčių, kurios sprendžiamos įvedant naują nežinomąjį

48 49 50 51 52

DE

Geometrijos uždaviniai. Plotai Įvairūs uždaviniai. Aritmetinis vidurkis Testas Pasitikriname Kartojame tai, ko prireiks 6 skyriuje

12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 46


5.1. Kvadratinės lygtys. Vijeto teorema 5.2. Laipsninės lygtys 5.3. Lygtys su kvadratinėmis šaknimis 5.4. Rodiklinės lygtys 5.5. Logaritminės lygtys 5.6. Sudėtingesnės logaritminės lygtys 5.7. Lygtys su moduliais 5.8. Lygtys, kurios sprendžiamos įvedant naują nežinomąjį 5.9. Lygtys su sinusais 5.10. Lygtys su kosinusais 5.11. Lygtys su tangentais 5.12. Lygtys su kotangentais 5.13. Dar daugiau trigonometrinių lygčių

skyrius

11

5


skyrius

5.1. Kvadratinės lygtys. Vijeto teorema

1 užduotis. Duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0, kai a = 1, turinti du sprendinius. a) 2x 2 − 10x + 12 = 0; b) −3x 2 − 6x + 24 = 0; c) −x 2 − 7x − 10 = 0. 1) Užrašykite jai ekvivalenčią lygtį, kurios koeficientas prie x 2 būtų lygus 1, t. y. lygtį x 2 + px + q = 0.

DE MO

Nurodykite koeficientų p ir q reikšmes.

2) Apskaičiuokite lygties sprendinius x1 ir x2 . 3) Raskite lygties sprendinių sumą ir įsitikinkite, kad ji lygi koeficientui p su priešingu ženklu, t. y. x1 + x2 = −p.

4) Raskite lygties sprendinių sandaugą ir įsitikinkite, kad ji lygi koeficientui q, t. y. x1 · x2 = q.

2 užduotis. Įrodykite Vijeto teoremą.

3 užduotis. Remdamiesi Vijeto teorema, atspėkite kvadratinės lygties sprendinius. a) x 2 − 5x + 6 = 0; b) x 2 + 2x − 8 = 0; c) x 2 − x − 30 = 0.

12

5

5.1. Uždaviniai 21. Duota kvadratinė lygtis, turinti du sprendinius. Taikydami Vijeto teoremą, mintinai nustatykite lygties sprendinius, o tada, ją išsprendę, pasitikrinkite, ar nesuklydote. a) x 2 − 6x + 8 = 0; b) x 2 − 7x + 12 = 0; c) x 2 + 7x + 12 = 0; d) x 2 − 4x − 5 = 0;

e) 2x 2 + 10x − 28 = 0;

f) −x 2 + 2x + 15 = 0.

22. Duota kvadratinė lygtis, turinti vieną sprendinį. Taikydami Vijeto teoremą, mintinai nustatykite lygties sprendinį, o tada, ją išsprendę, pasitikrinkite, ar nesuklydote. a) x 2 − 6x + 9 = 0; b) x 2 − x + 14 = 0; c) 2x 2 + 8x + 8 = 0; d) −x 2 + 2x − 1 = 0.


skyrius

23. a) Lygties x 2 + px − 35 = 0 vienas sprendinys lygus 7. Raskite kitą sprendinį ir koeficientą p.

DE MO

b) Lygties x 2 − 12x + q = 0 vienas sprendinys lygus 8. Raskite kitą sprendinį ir koeficientą q.

24. a) Lygties x 2 − 14x + q = 0 sprendinių skirtumas lygus 2. Raskite koeficientą q.

b) Lygties x 2 − 6x + q = 0 vienas sprendinys dvigubai didesnis už kitą. Raskite koeficientą q. c) Lygties x 2 +px +4 = 0 vienas sprendinys trimis vienetais didesnis už kitą. Raskite koeficientą p.

25. Nespręsdami kvadratinės lygties, nustatykite jos sprendinių x1 ir x2 (x1 < x2 ) ženklus. a) x 2 + 5x − 1 = 0; b) x 2 − 4x − 9 = 0; c) x 2 + 7x + 1 = 0; d) 3x 2 − 9x − 12 = 0.

26. Su kuriomis a reikšmėmis kvadratinės lygties sprendinių x1 ir x2 (x1 = x2 ) suma lygi jų sandaugai? a) x 2 + 5ax + 2a − 7 = 0; b) x 2 − 3ax + a 2 − 4 = 0; c) x 2 − 2ax + a 2 − 2a − 5 = 0.

27. 1) Įrodykite teoremą, atvirkštinę Vijeto teoremai: Jei skaičių x1 ir x2 suma lygi p, o jų sandauga lygi q, tai skaičiai x1 ir x2 yra kvadratinės lygties x 2 − px + q = 0 sprendiniai. 2) Užrašykite redukuotąją kvadratinę lygtį, kurios sprendiniai būtų: √ √ a) x1 = −7, x2 = 2; b) x1 = 3, x2 = 6; c) x1 = −2, x2 = −5; d) x1 = − 2, x2 = 2 2.

28. Užrašykite kvadratinę lygtį, kurios sprendiniai yra x1 ir x2 , o koeficientas prie x 2 lygus a, kai: a) x1 = 5, x2 = −4 ir a = 1;

b) x1 = −4, x2 = −6 ir a = 1;

c) x1 = −1, x2 = 6 ir a = 2; √ √ e) x1 = 3 − 2, x2 = 3 + 2 ir a = 1;

d) x1 = −5, x2 = 3 ir a = 4; √ √ f) x1 = − 7, x2 = 7 ir a = 2.

13

5

5.2. Laipsninės lygtys


skyrius

1 užduotis. 1) Mintinai raskite lygties x n = a su nelyginiu laipsnio rodikliu sprendinį.

DE MO

a) x 3 = 8; b) x 5 = −32; c) x 7 = 0; d) x 9 = −2.

2) Braižydami y = x n ir y = a grafikus, įsitikinkite, kad lygtis x n = a, kai n yra nelyginis skaičius, turi vienintelį sprendinį. Užrašykite jį.

2 užduotis. 1) Mintinai raskite lygties x n = a su lyginiu laipsnio rodikliu sprendinius. a) x 4 = 81; b) x 6 = −64; c) x 8 = 0; d) x 10 = 10.

y=a

Y

n

n

3 užduotis. Išspręskite lygtį f (x)

X

–n a

n

14

xn = a, n – lyginis

y = a, a > 0

a

= a.

= 8; b) (x = −32; c) (x + 2)7 = 0; d) (x − 1)9 = −2; a) (x e) (x + 1)4 = 16; f) (x − 4)6 = −1; g) (x + 2)8 = 0; h) (x − 1)10 = 10. + 1)3

− 4)5

a

Y

y = xn

xn = a, n – nelyginis

y = xn

2) Braižydami y = x n ir y = a grafikus, įsitikinkite, kad lygtis x n = a, kai n yra lyginis skaičius: • turi du sprendinius, kai a > 0 (užrašykite juos); • turi vieną sprendinį, kai a = 0 (užrašykite jį); • neturi sprendinių, kai a < 0.

X

5

5.2. Uždaviniai 29. Išspręskite nelyginio laipsnio lygtį, pertvarkydami ją į x n = a. a) x 3 + 15 = 0;

b) x 5 − 33 = 0;

c) x 7 − 13 = 0;

d) 3x 3 − 19 = 0;

e) 15 x 5 − 48,6 = 0;

1 = 0; f) 8x 7 − 16

g) 0,02x 3 + 3 = −17;

h) −4x 5 + 9 = 1;

i) 13 x 7 + 2 = 0,(3).


skyrius

30. Išspręskite lyginio laipsnio lygtį, pertvarkydami ją į x n = a. b) −x 6 + 16 = 0;

c) x 8 − 0,(1) = 0;

d) 2x 4 − 32 = 0;

e) −2,5x 6 + 20 = 0;

f) 3x 8 + 14 = 0;

g) 3x 4 − 5,5 = 42,5;

h) 19 x 6 + 3 = 6;

i) 0,001x 8 + 12 = 2.

DE MO

a) x 4 − 19 = 0;

31. Išspręskite lygtį.

a) (5x + 4)3 = −8;

b) 13(0,1x − 2)5 = −13; c) 16(2x − 1)4 = 1;

d) 3(x + 3)6 − 5 = −17; 4 1 = 0; e) 12 x3 + 4 − 32 5 f) 2 1 − x2 + 2 23 = 0,(6).

32. a) Raskite skaičių x, kurį pakėlę trečiuoju laipsniu, tada gautą rezultatą padauginę iš −2 ir prie

gautos sandaugos pridėję 14 gauname 0. b) Raskite skaičių x, prie kurio pridėję 2, tada gautą sumą pakėlę trečiuoju laipsniu ir gautą rezultatą padaliję iš 4 gauname −0,25. c) Raskite skaičių x, kurį padauginę iš 2, tada prie sandaugos pridėję −8 ir gautą rezultatą pakėlę trečiuoju laipsniu gauname −216.

33. a) Raskite teigiamą skaičių, kurį pakėlę ketvirtuoju laipsniu, tada gautą rezultatą padauginę iš 5 ir iš tos sandaugos atėmę 125 gauname 0. b) Raskite neigiamą skaičių, kurį padauginę iš 10, tada iš sandaugos atėmę 1 ir gautą rezultatą pakėlę ketvirtuoju laipsniu gauname 16.

34. Stačiakampėje koordinačių plokštumoje nubraižyti y = x n ir y = b grafikai. Y

b)

4

1 0

Y

y=x

y=4

y = x5

a)

y=2

1 1

X

0

1

X

1) Remdamiesi jais, raskite lygties x n = b sprendinių apytiksles reikšmes. 2) Užrašykite šią lygtį ir ją išspręskite algebriškai.

15

5


skyrius

5.3. Lygtys su kvadratinėmis šaknimis

√ √ √ √ x = a. a) x = 4; b) x = 0; c) x = −1. 1) Mintinai raskite lygčių a) ir b) sprendinius. 2) Paaiškinkite, kodėl lygtis c) sprendinių neturi.

1 užduotis. Duota iracionalioji lygtis

DE MO

√ 3) Užrašykite lygties √x = a sprendinius, kai a > 0; a = 0; a < 0. √ 4) Naudodamiesi y = x ir y = a grafikais, paaiškinkite, su kuriomis a reikšmėmis lygtis x = a turi vieną sprendinį; neturi sprendinių. √ √ √ √ 2 užduotis. Išspręskite lygtį f (x) = a. a) x − 3 = 4; b) x − 3 = 0; c) x − 3 = −1.

3 užduotis.

√ 1) Panagrinėkite lygties 2 x + 5 = x + 2 sprendimą.

Abiejų pusių reiškinius pakelkime kvadratu –– taip panaikinsime šaknį: √ √ 2 2 x + 5 = x + 2, ↑2 ⇒ 2 x + 5 = (x + 2)2 , ⇒ 4(x + 5) = x 2 + 4x + 4. Išspręskime gautąją kvadratinę lygtį: 4x + 20 = x 2 + 4x + 4, ⇒ x 2 = 16, ⇒ x1 = −4, x2 = 4. Keldami kvadratu galėjome gauti x reikšmių, kurios pradinei lygčiai netinka. Todėl būtina patikrinti, ar visos jos yra pradinės lygties sprendiniai: √ • kai x = −4, tai 2 −4 + 5 = −4 + 2 –– lygybė neteisinga, todėl x = −4 nėra lygties sprendinys; √ • kai x = 4, tai 2 4 + 5 = 4 + 2 –– lygybė teisinga, todėl x = 4 yra lygties sprendinys. Atsakymas. x = 4. √ √ √ 2) Išspręskite lygtį f (x) = g(x). a) x + 7 = x + 1; b) 5 − 2x = x − 1.

16

5

5.3. Uždaviniai √ x = a. √ b) x − 34 = 12 ; √ e) 0,3 x = 9; √ h) 0,2 x + 1,5 = 2;

√ c) − x + 4,7 = 4,8; √ f) 23 x = −6; √ i) 12 x − 13 = 16 .

√ 3 − x = 4; e) − x 2 + 5 = −3;

√ 2x + 1 = −3; f) −2 24 − 5x 2 = 4.

35. Išspręskite lygtį, pertvarkydami ją į √ x + 3 = 7; √ d) −4 x = −2; √ g) −2 x + 4 = 1;

a)


√ x + 1 = 5; √ d) −3 5x − 3 = −9; a)

b)


skyrius

c)

DE MO

37. Išspręskite lygtį dviem būdais:

1) keldami kvadratu ir tikrindami gautąsias nežinomojo reikšmes; 2) lygtį keisdami jai ekvivalenčia dviejų nelygybių ir lygties sistema. √ √ √ a) 2x = x − 4; b) 3 x = x + 2; c) −x + 6 = x; √ e) x 2 + 1 = x − 1; f) x 2 + 8 = 2x + 1. d) 6x − 2 = x + 1;


√ √ c) (x − 4) · 3 + 2x − x 2 = 0; a) (x 2 − 16) · x − 2 = 0; b) (x 2 − 10) · x + 3 = 0; √ d) (x + 2) · x 2 − 9 = 0; e) −2(16x − x 2 ) · 3 − x = 0; f) −(x 2 − 9) · x 2 − 5x + 4 = 0.

39. Stačiakampėje koordinačių plokštumoje nubraižyti y = f (x) = a)

Y

y= x y=2

1 0

1

X

b)

Y

√ x ir y = g(x) = b grafikai.

y= x

1 0

1

X y = –1

1) Remdamiesi √ jais, užrašykite lygtį f (x) = g(x) ir raskite jos sprendinius. 2) Ar lygtis x = b gali turėti du sprendinius?

17

5

5.4. Rodiklinės lygtys


skyrius

1 užduotis. Duota lygtis a x = b. a) 2x = 8; b) 5x = 7; c) 6x = 1; d) 2x = 0; e) 4x = −4.

DE MO

1) Mintinai raskite lygčių a), b) ir c) sprendinius. 2) Paaiškinkite, kodėl lygtys d) ir e) sprendinių neturi.

3) Užrašykite lygties a x = b sprendinius, kai b > 0 ir b = 1; b = 1; b < 0. 4) Naudodamiesi y = a x ir y = b grafikais, paaiškinkite, su kuriomis b reikšmėmis lygtis a x = b turi vieną sprendinį; sprendinių neturi.

2 užduotis.

1) Panagrinėkite lygties 4x−1 = 3 sprendimą. I būdas. Remiamės logaritmo apibrėžimu: 4x−1

= 3,

x − 1 = log4 3,

x = log4 3 + 1. Atsakymas. x = log4 3 + 1.

II būdas. 3 keičiame laipsniu, kurio pagrindas yra 4: 4x−1 = 3,

4x−1 = 4log4 3 ,

x − 1 = log4 3,

x = log4 3 + 1.

2) Išspręskite lygtį a f (x) = b. a) 2x−3 = 8; b) 5x−3 = 7; c) 65x+10 = 1; d) 2x−3 = 0; e) 4x−4 = −4.

3 užduotis.

3x−5 1) Panagrinėkite lygties 9x = 13 sprendimą. Abiejose lygties pusėse esančių laipsnių pagrindus 9 ir 13 pakeiskime laipsniais, kurių pagrindai yra vienodi. Patogu pagrindą imti lygų 3, nes 9 = 32 , 13 = 3−1 . 2 x −1 3x−5 3 = 3 , ⇒ 32x = 3−3x+5 . Laipsniai 32x ir 3−3x+5 yra lygūs, kai jų rodikliai lygūs, todėl gautoji lygtis yra ekvivalenti lygčiai 2x = −3x + 5, ⇒ x = 1. Atsakymas. x = 1. 2) Išspręskite lygtį, pertvarkydami ją į a f (x) = a g(x). x+3 √ x+2 a) 41+2x = 2x−1 ; b) 15 = 252x−9 ; c) 10 = 0,013x−7 .

18

5

5.4. Uždaviniai 40. Išspręskite lygtį, abiejose jos pusėse suvienodindami laipsnių pagrindus. x 2 2 a) 5x = 125; b) 3x −x−2 = 1; c) 23 = 49 ; d) √ x+1 1; 5 = 25 f) 8x = 16; g) 0,26−3x = 125; h)

1 −x−1 2

1 ; e) 1 x+2 = 49; = 64 7

x 2 −2,5 2 i) 19 = 0,(3); j) 1,5x −5 = 0,(6).

41. Išspręskite lygtį. a) 2x = 5;

b) 3x = 7;

c) 4x = 3; d) 5x = 10;

e) 2x+1 = 5; f) 32x+5 = 7; g) 4−x−7 = 3.

42. Išspręskite lygtį, pertvarkydami ją į a f (x) = b.

1 x+1

a) 2x + 1 = 9;

b) 4x − 3 = −2;

c)

d) 10x − 3 = 2; x g) 3 · 12 = 34 ;

e) 4 · 2x = 1; x h) 3 · 15 = 0; x k) 3 · 12 + 5 = 11;

f) 15 · 3x−2 = 15;

3

− 7 = 2;

i) 2 · 52x+3 + 3 = 13; −x+5 l) − 12 · 14 + 3 = −5.

DE MO

j) 3 · 4x − 1 = 8;


skyrius


a) 36−x = 33x−2 ; x 2 +1 2 d) 9x −5 = 13 ; 2 x +2x−4 g) 2x · 3x = 16 ;


√ 2 a) 2x −6x−2,5 = 16 2;

√ d) 23x−1 = (0,25)1−x · 8;

2

b) 22x−5 = 8x−2 ; x 2 −3x e) 17 = 49x−6 ;

c) 57x−x = 25x+2 ; 8x+3 f) 23 = 1,52x−3 ;

h) 2x · 5x = 0,1 · 105x−5 ;

i) 12 · 8 x = 8 · 2 x .

√ b) 102x−3 = 10 10;

√ c) 0,01x = 0,1 10; 1 6−2x √ −x f) 25 = 0,008 · 5 .

e) 9

5x−4 2

√

= 27x+1 · 13 ;

√

45. Stačiakampėje koordinačių plokštumoje nubraižyti y = a x ir y = b grafikai. Y

Y

1 2

X

0

x

0

y=1

1

1

1– 2

x

y=2

Y

c)

2x

b)

y=

y=4

y=

a)

1

X

1 y = –1

0

1

X

1) Remdamiesi jais, raskite lygties a x = b sprendinius. 2) Užrašykite šią lygtį ir išspręskite ją algebriškai. 3) Ar yra neneigiamų b reikšmių, su kuriomis lygtis a x = b (a > 0, a = 1) neturi sprendinių?

19

5

5.5. Logaritminės lygtys


skyrius

1 užduotis. Duotos logaritminės lygtys loga x = c ir logx b = c.

DE MO

a) log3 x = 2; b) log2 x = −1; c) logx 8 = 3; d) logx 4 = 2. 1) Mintinai raskite lygčių sprendinius. 2) Paaiškinkite, kodėl skaičius x = −2 nėra lygties d) sprendinys.

3) Užrašykite lygties loga x = c sprendinį ir pavaizduokite jį, braižydami y = loga x ir y = c grafikus.

2 užduotis.

1) Panagrinėkite lygties logx+1 9 = 2 sprendimą.

I būdas. logx+1 9 = 2, ⇒ (x + 1)2 = 9, ⇒ x + 1 = −3, arba x + 1 = 3, x = −4; x = 2. Patikriname, ar gautos x reikšmės tenkina lygtį: • kai x = −4, tai log(−4+1) 9 = log−3 9 neturi prasmės, todėl x = −4 nėra lygties sprendinys; • kai x = 2, tai log(2+1) 9 = 2 –– lygybė yra teisinga, todėl x = 2 yra lygties sprendinys. II būdas. x + 1 > 0, x > −1, x + 1 = 1, logx+1 9 = 2, ⇒ ⇒ ⇒ x = 2. x = 0, 2 x = −4, x = 2; (x + 1) = 9; Atsakymas. x = 2. 2) Remdamiesi logaritmo apibrėžimu, išspręskite logaritminę lygtį. a) log3 (x − 1) = 2; b) log2 (3x) = −1; c) logx−1 8 = 3; d) log3x 4 = 2.

20

5

5.5. Uždaviniai 46. Išspręskite lygtį. a) log4 x = 2; d) log5 (x − 1) = 2; g) log0,2 x3 = −1;

b) log9 x = 12 ; e) log4 (3 − 3x) = 2;

c) log3 x = 0; f) lg(x − 2) = 3;

h) log3 (x 2 + 2x) = 1;

i) lg(−x 2 − 2x) = 0.


skyrius

47. Išspręskite lygtį. a) logx 9 = 2; b) logx 16 = −2;

c) logx 4 = 21 ; d) logx+1 25 = 2; e) logx−2 27 = 3.

DE MO

48. Išspręskite lygtį, pertvarkydami ją į loga f (x) = b. a) log2 x + 2 = 6;

b) log4 x − 2 = −4;

c) log 1 (x + 2) − 5 = −6;

d) 5 log2 x = 10;

e) −3 log 1 x = −9;

f) −4 log4 (x − 1) = 12;

g) 3 log2 x + 5 = −4;

h) 4 log 1 x − 2 = −2;

i) − log 1 (2x − 2) + 1 = 0.

3

3

4

3


a) log2 (3 − 4,5x) = log2 12;

b) lg(5x + 15) = lg 5;

c) log5 (7x − 4) = log5 (5x − 3); e) log0,5 2x+4 = log0,5 (x − 1); 5

d) log3 (8x + 5) = log3 (2x − 1); 5+x f) log 1 2x 3 − 5 = log 1 4 . 3

3

50. Stačiakampėje koordinačių plokštumoje nubraižyti y = loga x ir y = b grafikai. a)

Y

b)

og 2 x y=2

y=l

2 1 0

Y

1

X

y=1 1 0

1

y = log 1 x –2

X

1) Remdamiesi jais, raskite lygties loga x = b sprendinius. 2) Užrašykite šią lygtį ir išspręskite ją algebriškai. 3) Ar gali lygtis loga x = b (a > 0, a = 1) neturėti sprendinių? turėti du sprendinius?

21

5

5.6. Sudėtingesnės logaritminės lygtys


skyrius

1 užduotis. Išspręskite lygtį, pertvarkydami ją į loga x = loga b.

DE MO

a) log3 x = log3 16 + 3 log3 0,5; b) log5 x = 2 log5 10 − log5 8.

2 užduotis. Išspręskite lygtį. a) log2 (3x − 1) − 3 = log2 (x − 2); b) lg(5x + 7) − 1 = lg(4x).

3 užduotis. Išspręskite lygtį. a) log4 x + log2 x = 6; b) log√5 x − log25 x = 3.

22

5

5.6. Uždaviniai 51. Išspręskite lygtį. b) log7 x + log7 5 = log7 1,5; c) log0,5 x = log0,5 4 − log0,5 31 ;

a) log6 x + log6 4 = log6 20;

d) log3 x = log3 15 − log3 0,2; e) log2 x5 = log2 9 − log2 15; f) log4 2x 3 = log4 24 − log4 9.


skyrius

52. Išspręskite lygtį. b) 2 lg x = lg 24 − lg 6;

c) 3 log2 x = log2 81 − log2 3;

d) 4 log0,3 x = log0,3 4 + log0,3 16.

DE MO

a) 2 log5 x = log5 1,6 + log5 10;


a) log2 x = 2 log2 5 − 13 log2 8 + log2 0,2; c) lg x = 4 lg 3 − 23 lg 27 − 2 lg 6;

b) log3 x = 2 log3 6 − 21 log3 16 + log3 2; d) lg(3x) = 2(lg 21 + lg 2) − lg 49.


a) lg(3x − 1) − lg(x + 5) = lg 5;

b) lg(x − 3) = lg(x + 6) − lg 2;

c) log0,5 (4x − 1) − log0,5 (7x − 3) = 1;

d) log5 (7x + 4) − log5 (2x − 1) = 1.


a) lg(x + 6) + lg(x + 7) = 2 lg 3 + 1;

b) log2 (1 − x) = 3 − log2 (3 − x);

c) log3 (2x + 1) + log3 (x − 3) = 2;

d) log3 (2x − 5) + log3 (2x − 3) = 1; f) lg(x + 2) + lg(x − 2) = 2 lg 5 + lg(0,4x − 1).

e) lg(x − 1) + lg(x + 1) = 3 lg 2 + lg(x − 2);

56. Taikydami formulę loga x =

logc x logc a

išspręskite lygtį.

a) log4 x + log0,5 x = 2;

b) log25 x − log0,2 x = 3;

c) log3 x + log9 x + log27 x = 5,5;

d) 2 log2 x + log8 x − log16 x = 25 3; √ f) log3 x + log 3 x + log 1 x = 8.

e) log√2 x + 4 log4 x + log8 x = 26;

3

57. Išspręskite lygtį. a) logx 27 − logx 3 = 2; b) logx 8 + logx 2 = 2; c) logx 58. Išspręskite lygtį.

1 4

+ logx 0,5 = 3.

a) log7 log3 (log2 x) = 0; b) log8 log2 log2 (4x) = 0; c) lg log3 log2 x3 = 0.

59. (2004 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 10 užduotis.) Raskite funkcijų y = log2 x ir y = 5 − log2 (x + 4) grafikų susikirtimo taško ordinatę.

23

5

5.7. Lygtys su moduliais


skyrius

1 užduotis. Duota lygtis |x| = a. a) |x| = 7; b) |x| = 0; c) |x| = −4.

DE MO

1) Mintinai raskite lygčių a) ir b) sprendinius. 2) Paaiškinkite, kodėl lygtis c) sprendinių neturi.

3) Užrašykite lygties |x| = a sprendinius, kai a > 0; a = 0; a < 0. Pavaizduokite juos braižydami y = |x| ir y = a grafikus.

2 užduotis. Išspręskite lygtį |f (x)| = a. a) |x − 3| = 7; b) |x − 3| = 0; c) |x − 3| = −4.

3 užduotis.

1) Panagrinėkite lygties |x + 2| = 2x − 5 sprendimą.

Šią lygtį galima išspręsti naikinant modulio ženklą. Remdamiesi modulio apibrėžimu, gauname: 1) kai x + 2 0, tai |x + 2| = x + 2; 2) kai x + 2 < 0, tai |x + 2| = −(x + 2) = −x − 2. Taigi lygtis |x + 2| = 2x − 5 yra ekvivalenti tokių sistemų visumai: x + 2 0, 1) 2) x + 2 < 0, x + 2 = 2x − 5; −x − 2 = 2x − 5. Išsprendžiame jas: x −2, x + 2 0, 1) ⇒ ⇒ x = 7; x + 2 = 2x − 5; x = 7; x + 2 < 0, x < −2, 2) ⇒ ⇒ sprendinių nėra. −x − 2 = 2x − 5; x = 1; Vadinasi, lygtis turi vieną sprendinį x = 7. Atsakymas. x = 7. 2) Naikindami modulio ženklą, išspręskite lygtį |f (x)| = g(x). a) |x − 1| = 3x + 9; b) |3 − x| = 3x + 5; c) |2x − 4| = 5 − x.

24

5

5.7. Uždaviniai


skyrius

60. Išspręskite lygtį, pertvarkydami ją į |x| = a. a) |x| + 5 = 8;

b) |x| − 2 = −10;

d) 0,2 · |x| = 4,8;

e) −1,5 · |x| = −15;

c) |x| + 14 = 12 ; f) − 12 · |x| = 14 ;

g) 3 · |x| − 6 = 6;

h) −2 · |x| + 7 = 6,1;

i) − 35 · |x| + 12 = 12 .

a) |2x − 1| = 5;

b) |1 − x| = 4;

c) |3x + 2| = −7;

d) 2|−x + 3| = 6;

e) 5|2x + 1| − 2 = 7;

f) −|−2x + 6| + 3 =

61. Išspręskite lygtį. √ 10.

DE MO

62. Išspręskite lygtį. a) |x + 2| = 3x;

b) |2x + 3| = 1 − x;

c) |x − 5| = 2x + 1;

d) |7 + 2x| = x − 4;

e) |x + 1| + 2x = 5;

f) 4x + |x − 2| = 3;

g) 2|x − 3| − 7 = x + 4;

h) 3|x + 2| + x = 7 − x;

i) −|4x + 1| + x = 2x − 3.

63. Išspręskite lygtį. a) |x 2 − 1| − 3 = 0; b) |x 2 − 2x| − 3 = 0; c) −4|x 2 + 3| + 2 = −10. 64. Stačiakampėje koordinačių plokštumoje nubraižyti y = |x + a| ir y = b grafikai. a)

Y

y=

|x

+

b)

2|

y=

y=3

1

0

Y

– |x

2|

1

1

X

0

X

1

y = –1

1) Remdamiesi jais, raskite lygties |x + a| = b sprendinius. 2) Su kuriomis b reikšmėmis lygtis |x + a| = b turi du sprendinius? vieną sprendinį? sprendinių neturi?

65. 1) Nubraižykite funkcijų y = f (x) = |x − 3|, y = g(x) = 3 ir y = h(x) = −4 grafikus. Remdamiesi jais, nustatykite lygčių f (x) = g(x) ir f (x) = h(x) sprendinių skaičių. 2) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis |x − 3| = a sprendinių neturi? turi vieną sprendinį? turi du sprendinius? y=

Y 3

Ωx +

3Ω

1 –3

0

1

X

25

5


skyrius

5.8. Lygtys, kurios sprendžiamos įvedant naują nežinomąjį

1 užduotis. 1) Panagrinėkite bikvadratinės lygties x 4 − 7x 2 − 18 = 0 sprendimą.

DE MO

2 Šią lygtį galima užrašyti taip: x 2 − 7x 2 − 18 = 0. 2 Pažymėkime x 2 = t, tuomet x 4 = x 2 = t 2 . Gauname kvadratinę lygtį t 2 − 7t − 18 = 0, kurios sprendiniai yra t1 = 9 ir t2 = −2. Grįžtame prie pažymėjimo x 2 = t: 2 • kai t = 9, gauname lygtį x = 9, kurios sprendiniai yra x1 = −3 ir x2 = 3; 2 • kai t = −2, gauname lygtį x = −2, kuri sprendinių neturi. Atsakymas. x = −3 ir x = 3. 2) Išspręskite bikvadratinę lygtį, keisdami ją kvadratine lygtimi. a) x 4 − 13x 2 + 36 = 0; b) x 4 + 2x 2 − 3 = 0; c) x 4 + 5x 2 + 4 = 0.

2 užduotis. Išspręskite lygtį, įvesdami naują nežinomąjį. a) 32x − 10 · 3x + 9 = 0; b) log22 x − 2 log2 x − 8 = 0.

26

5

5.8. Uždaviniai 66. Išspręskite bikvadratinę lygtį. a) x 4 + 6x 2 − 7 = 0;

b) x 4 − 10x 2 + 9 = 0;

c) −x 4 + 3x 2 − 2 = 0;

d) x 4 + 8x 2 + 15 = 0;

e) 4x 4 + 11x 2 − 3 = 0;

f) −3x 4 + 5x 2 + 2 = 0.

67. Išspręskite rodiklinę lygtį.

DE MO

a) 3x+2 + 3x = 270; b) 2x+3 = 2x+1 + 24; c) 7x+2 − 7x−1 = 342; d) 5x+2 − 3 · 5x−2 = 622.


skyrius

68. Išspręskite rodiklinę lygtį.

a) 22x − 10 · 2x + 16 = 0;

b) 25x − 6 · 5x + 5 = 0;

c) 9x − 8 · 3x − 9 = 0;

d) 9x − 75 · 3x−1 − 54 = 0;

e) 4x+1 + 15 · 2x−1 − 1 = 0;

f) 16 x − 20 · 4 x + 64 = 0.

√

√

69. Išspręskite logaritminę lygtį.

a) log23 x − 3 log3 x + 2 = 0; c) log25 x − log5 x 5 + 6 = 0; e) 2 log24 x − 3,5 log4 x 2 + 3 = 0;

b) log22 x − 4 log2 x = 5; d) lg2 x − lg x 3 = 4;

f) log20,5 x + 4 = 8 log0,5

√

x.

70. Raskite koordinates taškų, kuriuose funkcijos y = f (x) grafikas kerta OX ašį, kai: a) f (x) = x 4 − 12x 2 + 32;

b) f (x) = 2x 4 − 3x 2 − 2;

c) f (x) = 16x − 3 · 4x + 4;

d) f (x) = 22x−3 + 3 · 2x−1 − 3,5; f) f (x) = lg2 x − 2 lg x 2 − 3.

e) f (x) = 12 log27 x − 6 log7 x;


1 2 a) 5−lg x + 1+lg x = 1; c) lg 3x − 1 + lg 3x − 2 = 1 − lg 5;

4 b) 5−41lg x + 1+lg x = 3; x d) lg 2 − 1 + lg 2x − 2 = lg 6.

72. a) Duota bikvadratinė lygtis ax 4 + bx 2 + c = 0, kurios koeficientai a, b ir c nelygūs 0. 1) Įrodykite, kad ši lygtis turi arba 4 sprendinius, arba 2 sprendinius, arba neturi sprendinių. 2) Užrašykite kokią nors bikvadratinę lygtį, turinčią 4 sprendinius; turinčią 2 sprendinius; neturinčią sprendinių. b) Įrodykite, kad jei x = d yra lygties ax 4 + bx 2 + c = 0 sprendinys, tai ir x = −d yra jos sprendinys.

27

5

5.9. Lygtys su sinusais

1 užduotis. Įsitikinkime, kad lygties sin x = a (−1 a 1) sprendinius galima užrašyti taip: x = (−1)k · arcsin a + π · k, k ∈ Z. 1) Pirmiausiai panagrinėkime šią formulę. Ji apibrėžia visus lygties sprendinius. Konkrečias sprendinių reikšmes gauname vietoj k rašydami sveikuosius skaičius, pavyzdžiui: kai kai kai kai kai

k k k k k

= −2, tai = −1, tai = 0, tai = 1, tai = 2, tai

x x x x x

= (−1)−2 · arcsin a + π · (−2), = (−1)−1 · arcsin a + π · (−1), = (−1)0 · arcsin a + π · 0, = (−1)1 · arcsin a + π · 1, = (−1)2 · arcsin a + π · 2,

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

x x x x x

= arcsin a − 2π; = − arcsin a − π; = arcsin a; = − arcsin a + π; = arcsin a + 2π.

DE MO


skyrius

2) Lygties sin x = a sprendinių formulės x = (−1)k arcsin a + πk, k ∈ Z, teisingumu galima įsitikinti remiantis y = sin x ir y = a grafikais. Y

2π

y = sin x

2π

1 a

y=a

2π

2 užduotis. Užrašykite lygties sin x = a sprendinius, kai a = 15 ; a =

√ 2 2 .

6

π

28

–arcsin a + 3π

2π

arcsin a + 2π

–arcsin a + π

–1

arcsin a

–arcsin a – π

arcsin a – 2π

0

X

5

5.9. Uždaviniai √ 2 2 ;

√ b) arcsin 1; c) arcsin 0; d) arcsin − 23 ; e) arcsin(−1).

74. Išspręskite lygtį. √

√

a) sin x = 23 ; d) sin 12 x = 12 ;

√ c) 2 sin(2x) = 3; √ f) 2 2 − 4 sin x2 = 0.

DE MO

b) sin(4x) = 22 ; √ e) −2 sin x + π6 = − 3;


73. Apskaičiuokite. a) arcsin

skyrius

75. 1) Nubraižykite y = sin x, y = 2 grafikus ir nustatykite lygties sin x = 2 sprendinių skaičių. 2) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis sin x = a neturi sprendinių? Paaiškinkite naudodamiesi y = sin x ir y = a grafikais. 3) Užrašykite lygčių sin x = −1, sin x = 0, sin x = 1 sprendinius.

76. Išspręskite lygtį. a) sin(3x) = 0; d) −3 sin

x 2

b) 2 sin(4x) = 0; e) sin − 12 x = 1;

= −3;

c) sin(3x) = −1; f) − sin x + π3 = −1.

:

77. Išspręskite lygtį. a) − sin x =

√

2 2 ;

√ b) −6 sin x3 = 3; c) sin x · 2 sin(3x) + 3 = 0.

78. Raskite lygties sprendinius, priklausančius nurodytam intervalui.

3π . ; c) sin(2x) = 0, x ∈ −2π; a) sin x = −1, x ∈ −3π; π2 ; b) sin x = 1, x ∈ −2π; 5π 2 2

29

5

5.10. Lygtys su kosinusais


skyrius

1 užduotis. Įsitikinkime, kad lygties cos x = a (−1 a 1) sprendinius galima užrašyti taip: [

x = ± arccos a + 2π · k, k ∈ Z.

]

1) Pirmiausiai panagrinėkime šią formulę. Ji apibrėžia visus lygties sprendinius. Konkrečias sprendinių reikšmes gauname vietoj k rašydami sveikuosius skaičius, pavyzdžiui: k k k k k

= −2, tai x = ± arccos a + 2π = −1, tai x = ± arccos a + 2π = 0, tai x = ± arccos a + 2π = 1, tai x = ± arccos a + 2π = 2, tai x = ± arccos a + 2π

· (−2), · (−1), · 0, · 1, · 2,

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

x x x x x

= − arccos a − 4π = − arccos a − 2π = − arccos a = − arccos a + 2π = − arccos a + 4π

DE MO

kai kai kai kai kai

ir ir ir ir ir

x x x x x

= arccos a − 4π; = arccos a − 2π; = arccos a; = arccos a + 2π; = arccos a + 4π.

2) Lygties cos x = a sprendinių formulės x = ± arccos a + 2πk, k ∈ Z, teisingumu galima įsitikinti remiantis y = cos x ir y = a grafikais. Y 1 a

2π

y=a

y=

sx

2π

2 užduotis. Užrašykite lygties cos x = a sprendinius, kai a = 15 ; a =

2π

30

√ 2 2 .

arccos a + 2π

2π

co

–arccos a + 2π

–1

arccos a

–arccos a

arccos a – 2π

–arccos a – 2π

0

2π

X

5

5.10. Uždaviniai 79. Apskaičiuokite. √

√ a) arccos 23 ; b) arccos 0; c) arccos 1; d) arccos − 12 ; e) arccos − 22 ; f) −3 arccos(−1).

80. Išspręskite lygtį. √

√

b) cos(3x) = 22 ; √ e) −2 cos x + π3 = − 3;

c) 6 cos 21 x = 3; √ f) 3 2 − 6 cos(2x) = 0.

DE MO

a) cos x = 23 ; d) 3 cos(5x) − 1,5 = 0;


skyrius

81. 1) Nubraižykite funkcijų y = f (x) = cos x, y = g(x) = 2 grafikus ir nustatykite lygties cos x = 2 sprendinių skaičių. 2) Su kuriomis a reikšmėmis lygtis cos x = a neturi sprendinių? Paaiškinkite naudodamiesi funkcijų y = f (x) = cos x ir y = g(x) = a grafikais. 3) Užrašykite lygčių cos x = −1, cos x = 0, cos x = 1 sprendinius.


a) cos(2x) = 1; d) − cos 2x + π3 = −1;

b) 3 cos 3x = 0; e) cos x2 − 1 = 0;

83. Išspręskite lygtį. a) − cos x = 12 ; b) −2 cos(2x) =

√

c) cos(4x) = −1; f) −2 cos(π − x) = −2.

√ 3; c) cos x · ( 2 cos x + 1) = 0.

84. Raskite lygties sprendinius, priklausančius nurodytam intervalui. a) cos x = 0, x ∈ [−3π; 2π];

; ; 3π b) cos(2x) = 1, x ∈ − 3π 2 2

π c) cos x = −1, x ∈ 2 ; 5π .

31

5

5.11. Lygtys su tangentais


skyrius

1 užduotis. Įsitikinkime, kad lygties tg x = a, a ∈ R, sprendinius galima užrašyti lygybe: x = arctg a + πk, k ∈ Z. 1) Nubraižykime y = tg x grafiką ir kokią nors tiesę y = a. Y π

π

y=a

π

π

5π –— 2

3π –— 2

– –π2

y=

tg

x

DE MO

a

–π2

0

5π — 2

3π — 2

arctg a + 2π

arctg a + π

arctg a

arctg a – π

arctg a – 2π

X

2) y = tg x ir y = a grafikai turi be galo daug bendrų taškų. Tų taškų koordinatės yra lygties πx π(abscisės) tg x = a sprendiniai. Užrašykime lygties sprendinį, priklausantį intervalui − 2 ; 2 :

x = arctg a.

3) Užrašykime visus lygties tg x = a sprendinius. Jei x = β yra tg x = a sprendinys, tai ir x = β + πk, k ∈ Z, yra jos sprendiniai. Todėl visi lygties sprendiniai yra: x = arctg a + πk,

k ∈ Z.

2 užduotis. Užrašykite lygties tg x = a sprendinius, kai a = 5; a = −1.

π

32

5

5.11. Uždaviniai 85. Apskaičiuokite.

√ a) arctg − 33 ;

b) 2 arctg 0;

d) arctg(−1);

e) arctg 33 ;


√

√ 3;

√ f) 3 arctg 1 − 12 arctg 3.

√

b) tg(2x) = 33 ; e) − tg x − π4 = 1;

√ c) 3 tg(3x) = 3; √ f) 3 − tg x2 − π3 = 0.

DE MO

a) tg x = 1; √ d) tg x2 = 3;

c) 3 arctg


skyrius

87. 1) Nubraižykite funkcijų y = f (x) = tg x, y = g(x) = 3 grafikus ir nustatykite, ar lygtis tg x = 3 turi sprendinių. Jei turi, tai užrašykite juos. 2) Ar su visomis a reikšmėmis lygtis tg x = a turi sprendinių? √ √ 88. Duotos lygtys: 1) tg x = 1; 2) − tg x = − 3; 3) −3 tg x = 3. Raskite kiekvienos lygties sprendinius, priklausančius nurodytam intervalui. 3π π a) (0; π); b) π2 ; 3π 2 ; c) − 2 ; − 2 .

33

5

5.12. Lygtys su kotangentais


skyrius

1 užduotis. Įsitikinkime, kad lygties ctg x = a, a ∈ R, sprendinius galima užrašyti lygybe: x = arcctg a + πk,

k ∈ Z.

1) Nubraižykime y = ctg x grafiką ir kokią nors tiesę y = a. Y π

π

π

DE MO

π

y=a

a

y=

ctg

–π

x

–2π

0

π

2π

3π

arcctg a + 2π

arcctg a + π

arcctg a

arcctg a – π

arcctg a – 2π

X

2) y = ctg x ir y = a grafikai turi be galo daug bendrų taškų. Tų taškų x koordinatės (abscisės) yra lygties ctg x = a sprendiniai. Užrašykime lygties sprendinį, priklausantį intervalui (0; π): x = arcctg a.

3) Užrašykime visus lygties ctg x = a sprendinius. Jei x = β yra ctg x = a sprendinys, tai ir x = β + πk, k ∈ Z, yra jos sprendiniai. Todėl visi lygties sprendiniai yra: x = arcctg a + πk,

k ∈ Z.

2 užduotis. Užrašykite lygties ctg x = a sprendinius, kai a = 5; a = −1.

34

5

5.12. Uždaviniai 89. Apskaičiuokite. √

a) arcctg 33 ; d) arcctg(−1);


c) 3 arcctg 0;

√ b) ctg(3x) = 3; √ e) − ctg x − π4 = 33 ;

√ 3 ctg x2 = 1; √ f) 3 − ctg x3 − π3 = 0.

√

f) 13 arcctg 0 − 21 arcctg 33 .

c)

DE MO

a) ctg x = 1; d) ctg π2 − x = −1;

b) 2 arcctg 1; √ e) arcctg(− 3);


skyrius

91. 1) Nubraižykite funkcijų y = f (x) = ctg x, y = g(x) = 4 grafikus ir nustatykite, ar lygtis ctg x = 4 turi sprendinių. Jei turi, tai užrašykite juos. 2) Ar su visomis a reikšmėmis lygtis ctg x = a turi sprendinių?

√

92. Duotos lygtys: 1) ctg x = 1; 2) −2 ctg x = 2; 3) − ctg x = − 3.

Raskite kiekvienos lygties sprendinius, priklausančius nurodytam intervalui. a) (0; π); b) π2 ; 3π 2 ; c) (π; 2π).


a) ctg x · sin x − 21 = 0; √ c) (ctg x − 1) · (ctg x + 3) = 0;

b) (ctg x +

√ √ 3) · (tg x − 3) = 0;

d) (ctg x + 1) · (2 cos x − 1) = 0.

94. Raskite lygties mažiausią teigiamą sprendinį ir didžiausią neigiamą sprendinį. a) 3 ctg x −

√

3 = 0; b)

√ 3 ctg x + 1 = 0.

35

5

5.13. Dar daugiau trigonometrinių lygčių

1 užduotis. Išspręskite lygtį sin(2x) − sin x = 0.

DE MO


skyrius

2 užduotis. Išspręskite lygtį 2 cos2 x − 5 sin x + 1 = 0.

;

3 užduotis. Išspręskite lygtį sin x − cos x = 0, dalydami iš sin x (arba cos x).

36

5

5.13. Uždaviniai 95. Išspręskite lygtį, iškeldami bendrą dauginamąjį prieš skliaustus. a) sin x · cos x − sin x = 0;

b) 2 sin2 x + sin x = 0;

c) cos2 x − 3 cos x = 0;

d) sin2 x + 2 sin x = 0.

96. Išspręskite lygtį, įvesdami naują nežinomąjį. b) 2 cos2 x + 5 cos x − 3 = 0;

c) 2 cos2 x = 3 sin x;

d) 2 sin2 x + 3 cos x = 0;

e) 5 sin x − 4 + 2 cos2 x = 0;

f) 2 sin2 x − cos x + 1 = 0;

g) 5 tg2 x − tg x − 4 = 0;

h) ctg2 x − 3 ctg x − 4 = 0.

DE MO

a) sin2 x + sin x − 2 = 0;


skyrius

97. Taikydami dvigubojo kampo trigonometrinę formulę, išspręskite lygtį. a) cos x − 21 sin(2x) = 0;

b) cos(2x) + sin2 x = 1;

d) cos(2x) + sin x = 0;

e) cos(2x) + 0,5 = 2 sin x;

c) 2 cos x − cos(2x) = 1; √ f) cos(2x) + 3 cos x + 1 = 0.

98. Išspręskite lygtį. a) cos x −

√

3 sin x = 0;

d) 3 sin x = cos x;

c) sin x +

e) cos(3x) + sin(3x) = 0;

99. Raskite lygties sprendinius, priklausančius intervalui [0; π]. a) sin x − 12 = 0; √ c) (sin x + 2) sin(2x) − 22 = 0;

√ 3 cos x = 0; √ x f) sin 2 = 3 cos x2 .

b) sin x + cos x = 0;

√

b) cos(2x) = 23 ; √ d) (cos x + 3) cos(3x) + 22 = 0.

100. Išspręskite lygtį. a) sin2 x = 14 ; b) cos2 x = 12 ; c) sin2 (3x) = 0,75.

37

5

Apibendriname Laipsninės lygtys Lygtis, kurios nežinomasis yra laipsnio pagrindas, vadinama láipsnine lygtimì. ax + b = 0 –– pirmojo laipsnio lygtis, ax 2 + bx + c = 0 (a = 0) –– antrojo laipsnio lygtis, ax 3 +bx 2 +cx +d = 0 (a = 0) –– trečiojo laipsnio lygtis, ........................................ , ax n + bx n−1 + · · · + z = 0 (a = 0) –– n-ojo laipsnio lygtis.

5x + 10 = 0, −2x 2 + 4x − 1 = 0, 3x 3 − 9 = 0.

Kvadratinės lygtys ax 2 + bx + c = 0, a = 0. x 2 + ab x + ac = 0 –– redukuotoji kvadratinė lygtis. Jei x1 ir x2 yra lygties x 2 + px + q = 0 sprendiniai, tai x1 + x2 = −p, x1 · x2 = q –– Vijeto teorema.

4x 2 − 20x + 24 = 0, x 2 − 5x + 6 = 0, D > 0, x1 = 2, x2 = 3, x1 + x2 = 5, x1 · x2 = 6.

DE MO


skyrius

Bikvadratinės lygtys ax 4 + bx 2 + c = 0, a = 0, b = 0. Bikvadratinę lygtį sprendžiame keisdami ją kvadratine: x 2 = y, x 4 = (x 2 )2 = y 2 , ⇒ ay 2 + ay + c = 0, ... .

Lygtys x2n = a, x2n+1 = a (n ∈ N) Kai a > √ 0, tai x 2n =√a turi du sprendinius: 2n x1 = − a, x2 = 2n a.

Kai a = 0, tai x 2n = a turi vieną sprendinį x = 0.

x 4 = 16, x1 = −2, x2 = 2. x 4 = 0, x = 0.

Kai a < 0, tai x 2n = a sprendinių neturi. Lygtis x 2n+1 = a turi vieną sprendinį x =

x 4 = −16 –– sprendinių nėra. √ 3 x 3 = −5, x = − 5.

√ a.

2n+1

Lygtys su šaknimis Lygtis, kurios nežinomasis yra po šaknies ženklu, vadinama iracionali´ąja lygtimì. Lygtis su šaknimis kartais pavyksta išspręsti keliant jos abiejų pusių reiškinius šaknies laipsniu –– naikinant šaknį, pavyzdžiui: ⎧ ⎨ f (x) = g(x) 2 , √ f (x) = g(x), ⇒ f (x) 0, ⎩ g(x) 0.

3 √ 3 f (x) = g(x), ⇒ f (x) = g(x) .

38

x 4 − 5x 2 + 6 = 0, x 2 = y, y 2 − 5y + 6 = 0, y2 = 3, √ y1 = 2, √ x 2 = 2, x1 = −√2, x2 = √2, x 2 = 3, x3 = − 3, x4 = 3.

√ 1 − 3x = 2x,

√ 3

√ 1 − 3x = 2x, ⇒

x + 1 = −2.

1 − 3x = 4x 2 , 1 − 3x 0, ⇒ 2x 0;

⎧ ⎨ x1 = −1, x2 = 14 , ⇒ x 1, ⇒ x = 14 . 3 ⎩ x 0; √ 3 x + 1 = 2, ⇒ x + 1 = 8, x = 7.

5

Apibendriname

a f (x) = a g(x) , ⇒ f (x) = g(x). a f (x) = b (b > 0), ⇒ f (x) = loga b.

2x+1 = 41−2x , 2x+1 = (22 )1−2x ,

2x+1 = 7, x + 1 = log2 7, x = log2 7 − 1.

2x+1 = 22−4x , x + 1 = 2 − 4x, x = 15 .

Logaritminės lygtys Lygtis, kurios nežinomasis yra logaritmo arba (ir) logaritmo pagrindo reiškinyje, vadinama logarìtmine lygtimì.

log2 (x + 5) = 4, ⇒

Lygtys su moduliais

|f (x)| = g(x), ⇒ 1)

2)

f (x) < 0, −f (x) = g(x);

f (x) 0, f (x) = g(x).

Trigonometrinės lygtys sin x = a, a ∈ [−1; 1]; x = (−1)k · arcsin a + πk, k ∈ Z.

sin x = 0, ⇒ x = πk, k ∈ Z; sin x = 1, ⇒ x = π2 + 2πk, k ∈ Z; sin x = −1, ⇒ x = − π2 + 2πk, k ∈ Z. cos x = a, a ∈ [−1; 1];

x = ± arccos a + 2πk, k ∈ Z.

cos x = 0, ⇒ x = π2 + πk, k ∈ Z; cos x = 1, ⇒ x = 2πk, k ∈ Z; cos x = −1, ⇒ x = π + 2πk, k ∈ Z. tg x = a; x = arctg a + πk, k ∈ Z. ctg x = a; x = arcctg a + πk, k ∈ Z.

x + 5 = 24 , ⇒ x = 11. x + 5 > 0;

2 x = 9, logx 9 = 2, ⇒ x > 0, ⇒ x = 3. x = 1;

DE MO

f (x) = a c , loga f (x) = c, ⇒ f (x) > 0. c f (x) = b, logf (x) b = c, ⇒ f (x) > 0, f (x) = 1. f (x) = g(x), loga f (x) = loga g(x), ⇒ f (x) > 0, g(x) > 0.


Rodiklinės lygtys Lygtis, kurios nežinomasis yra laipsnio rodiklyje, vadinama rodìkline lygtimì.

skyrius

log2 x = log2 x 2 , ⇒

x = x 2 , ⇒ x = 1. x > 0;

|x − 5| = 3x + 7: x − 5 < 0, 1) ⇒ x = − 12 . −(x − 5) = 3x + 7; x − 5 0, 2) ⇒ sprendinių nėra. x − 5 = 3x + 7; Atsakymas. x = − 12 .

sin x = 12 , x = (−1)k arcsin 12 + πk, k ∈ Z, x = (−1)k · π6 + πk, k ∈ Z.

√

cos x = 23 , √ x = ± arccos 23 + 2πk, k ∈ Z, x = ± π6 + 2πk, k ∈ Z.

√

tg x = 33 √ , x = arctg 33 + πk, k ∈ Z, x = π6 + πk, k ∈ Z. √ ctg x = 3,√ x = arcctg 3 + πk, k ∈ Z, x = π6 + πk, k ∈ Z.

39

5

Sprendžiame


skyrius

101. Apskaičiuokite kvadratinės lygties x 2 + px + 8 = 0 diskriminantą, jeigu vienas lygties sprendinys yra du kartus didesnis už kitą.

102. Su kuria a < 0 reikšme lygties x 2 + ax − 6 = 0 sprendiniai x1 ir x2 tenkina lygybę 6x1 + x2 = 0? 103. Raskite p reikšmes, su kuriomis lygties 2x 2 + (p − 10)x + 16 = 0 sprendinių santykis lygus 2. 104. Žinoma, kad x1 ir x2 yra kvadratinės lygties x 2 − x · reiškinio x13 · x2 + x1 · x23 reikšmę.

√ 13 − 2 = 0 sprendiniai. Apskaičiuokite

105. a) Raskite p reikšmę, su kuria lygties x 2 − 4x + p = 0 sprendinių x1 ir x2 kvadratų suma x12 + x22

DE MO

lygi 16. b) Lygties x 2 − 5x + q = 0 sprendinių kvadratų suma lygi 21. Apskaičiuokite lygties diskriminanto reikšmę.

106. Išspręskite lygtį. a) x 6 − 9 = 0;

b) 8x 9 + 27 = 0;

c) 0,1x 8 + 1000 = 0;

d) 3x 10 + 4 = 100;

1; e) 0,05(4 − x)4 − 4 = 20

f) 0,02(x + 3)4 + 21 = 13.

107. Kubo briauną padidinus 2 kartus, jo tūris padidėjo 7000 cm3 . Apskaičiuokite pradinio kubo paviršiaus plotą.


√ a) 1 − x = 1 − 5x; √ d) 4 2 − x + 1 = 5x; √ g) 27 − x 3 2 − x = 0;

√ b) x − 4 = x + 2; √ √ e) 7x + 15 = − 2 · x; √ h) 8 − x 2 3 − x = 0;

109. Išspręskite lygtį, keldami trečiuoju laipsniu. a) d)

√ 3 3

7x − 6 = 1;

3x 2 − 4 = 2;

√ 3 2 − 5x = 3; e) 2 · 3 x4 − 1 = 3;

b)

110. Raskite funkcijų y = f (x) = 2x − 9 ir y = g(x) =

√

√ 4x = 5; √ √ f) 3x + 4 5 = 5 + 2; i) − x 2 − 1 4 − 9x 2 = 0. c)

16x −

3 x 2 − 1 = 2; √ √ f) 3 4x − 5 3 = 3. c)

√ x − 4 grafikų bendrų taškų abscises.

111. Raskite funkcijų y = f (x) ir y = g(x) grafikų bendrų taškų koordinates, kai: a) f (x) =

√ √ x, g(x) = x − 2; b) f (x) = x + 2, g(x) = 5 x − 2.

112. Raskite funkcijos y = f (x) grafiko ir abscisių ašies bendro taško koordinates, kai: a) f (x) =

√ √ √ 2x + 3 − 2; b) f (x) = 1 − 4x − 3; c) f (x) = 7x + 2 + 3.

113. (2003 m. valstybinio matematikos brandos egzamino

A

2 km

17 užduotis.) Pelkę nuo pievos skiria tiesi linija MN . Turistas kePelkė P D liauja iš vietovės A, esančios pelkėje, į vietovę B, kuri x M N yra pievoje. Jo greitis pelke yra 1 km/h, o pieva –– C 2 km/h. AC⊥MN , BD⊥MN , AC = BD = 2 km, Pieva CD = 5 km. B 1) Pažymėję CP= x (km), įrodykite, kad turistas kelią AP B nueis per 1 2 2 x + 4 + 2 x − 10x + 29 valandų. 2) Kokiu atstumu nuo taško C turistas turi kirsti tiesę MN , kad atstumus AP ir BP įveiktų per vienodus laiko intervalus?

40

5

Sprendžiame √ √ x − 1 = 2 − x + 3; √ √ d) 2x − 1 + x − 1 = 1;

√ √ 12 + x = 1 − 1 − x; √ √ e) 5 − 2x + 5 + 2x = 2x;

b)

115. Raskite funkcijų y = f (x) = a) 3 · 9x = 81; √ d) 3 · 32x = 19 ;

√ g) 23x−1 = 0,251−x · 8; 2x+1 j) 12 1−2x = 14 ;

b) 2 · 4x = 64; √ e) 5 · 53x = 15 ;

h) 105−x = (0,01)−1 · k) 8

117. Išspręskite lygčių sistemą. a)

x + 2y = 4, 3x−y = 81;

√

√ √ 3x − 2 ir y = g(x) = 2 − x − 2 grafikų bendro taško ordinatę.


√ 3x + 1 = 1 + x + 4; √ √ f) x + 3 + 3 − x = x.

c)

DE MO

a)



skyrius

x+1 3−x

b)

√

= 14 ;

−1 , (0,7)x−y = 10 7 x+y 4 = 16;

10;

4 12 c) (4,5)3x = 81 ; 3 1 4; f) 4x = 16 2−x 2x−3 i) (0,7) 4 = 1 37 ; 1

1

l) 0,5 x = 4 x+1 .

c)

x y 4 · 2 = 32, 38x+1 = 33y .


√ x−5 √ x−1 x x−1 x−1 · 3 x 2 +3x 10 27 8 9 2 4 x+1 · x+3 ; b) 3 = ; c) √ = . a) √ = 16 2 x+1 x 2 9 10 10 2 5 +3x 119. Raskite funkcijų y = f (x) = 0,32x−3 ir y = g(x) = 3,(3) x grafikų bendro taško ordinatę.

120. Paleistas iš 6,25 m aukščio rutuliukas, kaskart atšokdamas nuo pagrindo, netenka 40 % prieš tai buvusio aukščio. 1) Į kokį aukštį rutuliukas pakils, atšokęs nuo pagrindo pirmąjį kartą? 2) Į kokį aukštį rutuliukas pakils, atšokęs nuo pagrindo n-ąjį kartą? 3) Kelintą kartą, atšokęs nuo pagrindo, rutuliukas pakils tik į 81 cm aukštį?

41

5

Sprendžiame 121. Išspręskite lygtį. a) log3 (5x − 1) = 2; d) log2 (x 2 − 96) = 2; g) lg x − 89 = 2 lg 13 ;

b) lg(2 − 5x) = 1; e) log3 (x 2 − 9) = 3;

c) log0,1 (x + 10) = −2; √ f) log2 x + 1 = 1;

h) lg(5x + 2) = 12 lg 36;

i) 12 lg(3x − 5) = lg(x − 1).

122. Išspręskite lygtį. a) log3 (x − 2) + log3 (x + 6) = 2; c) log3 (2x 2 + x) = log3 6 − log3 2; e) lg(x + 1) + lg(x − 1) = 0;

b) lg(x − 1) − lg(2x − 11) = lg 2; d) lg 3x 2 + 7 = lg(3x − 2) + 1; f) log4 (x + 3) − log4 (x − 1) = 2 − log4 8;

g) lg(5x 2 + 2x − 1) − 1 = lg(x + 2); √ √ i) log2 x8 − log2 ( 2 · x) = − 12 ;

2 lg x h) lg(7x−6) = 1;

√ √ j) log5 25 x + log5 ( 5 · x) = 2.

DE MO


skyrius


a) logx (x + 2) = 2; b) logx (2x 2 − 25) = 2; c) lgx+1 (x 2 − 2x) = 2; d) logx+1 x = 12 ; e) logx (2x 2 − 2x − 3) = 2; f) logx (x 2 + x − 12) = 2; g) logx−1 (x 2 − 5x + 10) = 2.

124. Išspręskite lygčių sistemą.

a)

c)

log2 x + log2 y = 5, log2 x − log2 y = 3;

b)

x − y = 7, log2 (2x + y) = 3;

d)

lg x + lg y = 7, lg x − lg y = 5; 4x + y = 10, log2 (3y − x) = 2.

125. Su kuriomis x reikšmėmis reiškinio f (x) reikšmės lygios nuliui, kai: a) b) c) d)

f (x) = lg 35 + lg(2x − 6) − lg 3,5? f (x) = lg(5 + 2x) − lg 27 + lg 3? f (x) = lg 0,5 + lg 0,8 + lg(15 − 0,4x)? f (x) = lg(0,05x − 10) + lg 0,7 − lg 42?

126. Raskite funkcijų y = f (x) = log2 (0,125)x ir y = g(x) = x − 1 grafikų bendro taško atstumą iki OX ašies.

127. (2002 m. valstybinio matematikos brandos egzamino pakartotinės sesijos 15 užduotis.) Išspręskite lygtį lg(7 − x) − 2 = 12 lg(28 + x) − lg 50.

128. (2007 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 10 užduotis.) Išspręskite lygtį lg(6x−5) 2 lg x = 1.

6 = 1 yra teisinga. 129. Nustatykite, su kuriomis x reikšmėmis lygybė x−2

130. Raskite funkcijos y = f (x) =

4 7−|x|

apibrėžimo sritį.

131. Raskite funkcijų y = f (x) ir y = g(x) grafikų bendrų taškų koordinates, kai: a) f (x) = |3x − 5| ir g(x) = 5x − 3; b) f (x) = x 2 − 2 ir g(x) = |x|; c) f (x) = 8|x| ir g(x) = x 2 − 20; d) f (x) = 2x 2 + 2 ir g(x) = |5x|.

42

5

Sprendžiame

132. Nustatykite lygties (x − 2)(x + 4) = 3 sprendinių skaičių. 133. 1) Nubraižykite funkcijos y = f (x) = x 2 − 2x grafiką.

2) Naudodamiesi juo, nubraižykite funkcijos y = g(x) = |x 2 − 2x| grafiką. 3) Remdamiesi funkcijos y = g(x) = |x 2 − 2x| grafiku, raskite a reikšmę, su kuria lygtis g(x) = a turi lygiai tris sprendinius.

134. Išspręskite lygtį. b) |2x − 1| − |x + 4| = 7;

c) 2|x + 1| + |x − 3| = 0;

d) 2x + 4|x + 2| = |x − 1|;

e) |x − 5| + |x − 1| = 4;

f) |x| + |x − 1| = 1.

DE MO

a) |x + 2| = |3x|;


skyrius

x – 1 x – 2

– –

+ –

1

+ +

2

X


a) |4x − 5| + |x + 6| = 7x − 10; b) |2 − 5x| = |3x| + 7 − 4x;

c) (x + 1)2 − 2|x + 1| = 0;

d) x 2 − 6x + |x − 4| + 8 = 0;

e) x 2 + 2x − 3|x + 1| + 3 = 0;

8 = −x. f) |2+x|

a) x 4 − 4x 2 − 5 = 0;

b) x 4 + 2x 2 − 8 = 0;

c) x 2 (2x 2 − 5) = 12;

d) x 4 − 9x 2 = 0;

e) 4x 4 − x 2 = 0;

f) x 4 + 0,1x 2 = 0.


137. Įrodykite, kad lygtis x 4 + 10x 2 + 9 = 0 neturi sprendinių. 138. Dviejų kvadratų plotų suma lygi 4,25 dm2 . Šių kvadratų kraštinių ilgiai yra vienas kitam atvirkštiniai skaičiai. Kam lygūs šių kvadratų perimetrai?

139. Išspręskite lygtį, įvesdami naują nurodytą nežinomąjį. a) (x 2 + 3x)2 + 2(x 2 + 3x) = 24, x 2 + 3x = t; b) (x 2 + x − 2)(x 2 + x − 3) = 12, x 2 + x = t; √ √ x − 1 = t. c) x − 1 + √ 1 = 2, x−1

43

5

Sprendžiame


skyrius

140. Išspręskite lygtį, įvesdami naują nežinomąjį. a) 4x + 4x+3 = 65;

b) 2x+2 = 9 · 2x−2 + 28;

c) 23x+2 − 23x−2 = 30;

d) 9x − 25 · 3x − 54 = 0; g) log22 x + 2,5 log2 x 2 = 14;

e) 16x − 17 · 4x + 16 = 0;

f) 22x+1 − 33 · 2x−1 + 4 = 0;

h) 14 lg2 x = 1 − 34 lg x;

x = −6. i) lg x1 · lg 10

141. (2008 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 10 užduotis.) Išspręskite lygtį. a) 32x−1 = 9; b) 3x+1 − 3x+2 + 3x+3 = 7.

142. (2006 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 13 užduotis.) Išspręskite lygtį 18 3x+1 − 3x−1 = 0,(3).


DE MO

Išspręskite lygtį log2 x · log2 x4 = 8.


a) 4x+1 + 41−x = 10; b) 3x+2 + 31−x = 28; c) 7x − 72−x − 48 = 0.

145. Išspręskite lygtį, taikydami logaritmo pagrindo keitimo formulę loga b =

logc b logc a .

a) log3 x + log27 x = 4; c) log5 x + 12 log0,2 x = 1;

b) log2 x + log16 x = 5;

d) log2 x + log4 x + log8 x = 11;

e) log81 x + log27 x − log3 x + 56 = 0;

f) log4 x − 3 log8 x + log√2 x = 6.

146. Išspręskite lygtį. a) | log2 x + 1| = 2; √x+1 27 = 12 · 1,5x−3 ; d) 32

b) log9

x + 12 = 12 ;

√ c) log2 21−x = 3; √ f) sin(4x) = 23 .

e) log3 (32x − 3x − 63) = x; √ 147. Raskite funkcijos y = f (x) = log2 log3 2 x + 1 grafiko taško abscisę, jei jo ordinatė lygi 1.

148. Apskaičiuokite. a) arcsin 12 + arccos 12 ; √ d) arccos 1 − arcsin − 23 ;

√

b) arctg 1 + arccos 22 ; e) arcsin − 12 + arcsin 1;

√ √ c) 2 arccos 23 − arctg 3; √ f) arccos − 22 + 2 arcsin 12 .

149. Kuris iš skaičių a = arcsin 12 , b = arccos(− 12 ) ir c = arctg 1 yra didžiausias? 44

5

Sprendžiame 150. Išspręskite lygtį.

√ a) 2 sin(3x) = 1; b) 2 cos(4x) = 3; √ d) sin(3x) − 3 (cos x + 1) = 0; e) (2 sin x − 2) tg x = 0; √ h) 2 sin x + sin2 x = 0; g) 2 cos2 x − cos x = 0; √ 3 sin x + cos x = 0; k) sin2 x − 5 sin x + 4 = 0; j)

c)

√ 3 + tg(2x) = 0;

f) sin(4x) + 12 = sin2 7◦ + cos2 7◦ ; i) cos(2x) · sin x = cos(2x); l) 2 sin2 x + 5 cos x − 3 = 0.

151. Taikydami dvigubojo kampo trigonometrinę formulę, išspręskite lygtį. a) sin x · cos x = 14 ; d) cos(2x) + cos2 x = 2;

b) sin(2x) −

√ 3 cos x = 0;

e) cos(2x) + 3 sin x = 2;

c) sin(2x) +

√

2 sin x = 0;


skyrius

f) 8 sin x · cos x · cos(2x) = 1.

152. Raskite lygties apibrėžimo sritį ir išspręskite lygtį.

DE MO

a) sin x · ctg x = 1; b) (sin x − 1) · tg x = 0; c) (1 − tg x) · cos x = 0.

153. Raskite funkcijų y = f (x) =

√ √ 2 − 3 sin x ir y = g(x) = sin x − 2 grafikų bendrų taškų abscises.

154. Raskite lygties 2 cos2 x − 3 sin x = 0 sprendinius, priklausančius intervalui [0; π].

155. 1) Išspręskite lygtį sin2 71◦ − 2 1 − cos(2x) + cos2 71◦ = 0.

2) Raskite lygties sprendinius, priklausančius intervalui [0; π].

156. Išspręskite lygtį sin(7x) + 0,2 = sin2 47◦ + cos2 47◦.


1) Įrodykite, kad 2 cos(2x) − cos2 x = 1 − 3 sin2 x. 2) Išspręskite lygtį 2 cos(2x) − cos2 x = 2 sin x, kai x ∈ [0◦ ; 360◦ ].

158. (2005 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 13 užduotis.) Duota lygtis (cos2 x − sin2 x) 1 − x 2 = 0. 1) Nustatykite nežinomojo x leistinųjų reikšmių aibę. 2) Išspręskite lygtį.

159. (2011 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 19 užduotis.) Išspręskite lygtį 1 + 3 cos2 x = 4 sin π2 + x .

160. Triženklio skaičiaus abc ir skaičiaus cba, kurio skaitmenų tvarka atvirkštinė, sandauga lygi 692 443. Raskite visus tokius triženklius skaičius.

161. Ponia M, jos brolis B, sūnus S ir dukra D dažnai žaidžia bridžą. Kuris iš jų keturių yra blogiausias žaidėjas, jei žinoma, kad: blogiausio žaidėjo dvynys (jis yra vienas iš žaidėjų) ir geriausias žaidėjas yra priešingų lyčių; • blogiausias ir geriausias žaidėjai yra to paties amžiaus? •

45

5

Besidomintiems


skyrius

Lygtys su parametrais

x 2 + mx − m = 0 neturi sprendinių? x 2 + (m + 2)x + 3m + 1 = 0 neturi sprendinių?

a) Su kuriomis m reikšmėmis kvadratinė lygtis b) Su kuriomis m reikšmėmis kvadratinė lygtis

2.

Su kuriomis m reikšmėmis lygtis turi lygiai vieną sprendinį? a) (m − 1)x 2 + (m + 4)x + m + 7 = 0; b) mx 2 + 2x − 2 + 3m = 0;

DE MO

1.

c) (m + 2)x 2 − 2(m + 5)x + m + 9 = 0;

46

d) (2m − 5)x 2 − 2(m − 1)x + 3 = 0.

3.

Su kuriomis a reikšmėmis lygtis turi du skirtingus sprendinius? a) ax 2 + 2x + a = 0; b) (a + 1)x 2 + 2x + 3a + 1 = 0.

4.

Įrodykite, kad su visomis m = 0 reikšmėmis lygtis 2mx 2 − 2x − 3m − 2 = 0 turi du skirtingus sprendinius.

5.

a) Raskite koeficiento m reikšmę, su kuria parabolė y = x 2 + mx + 25 liečia OX ašį. b) Raskite koeficiento p reikšmę, su kuria parabolė y = x 2 + px + 4 liečia OX ašį.

6.

(2006 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 9 užduotis.) Su kuriomis m (m = 0) reikšmėmis funkcijų f (x) = mx 2 + 6x + 3 ir g(x) = 2x − m grafikai neturi bendrų taškų?

7.

(2007 m. valstybinio matematikos brandos egzamino 14 užduotis.) Įrodykite, kad su visomis realiosiomis k reikšmėmis funkcijos f (x) = (x − 2)(x − 3) − k 2 grafikas kerta OX ašį dviejuose taškuose.

5

Besidomintiems Dar daugiau lygčių, kurios sprendžiamos įvedant naują nežinomąjį

1.

Išspręskite lygtį, įvesdami naują nežinomąjį. 2 a) 2 x − x1 − x − x1 − 3 = 0; c) (x + 2)4 + 4(x + 2)2 − 5 = 0;

1; b) x 31+2 − x 31+3 = 12 d) (x − 2)6 − 28(x − 2)3 + 27 = 0.

2.

Išspręskite lygtį, įvesdami nurodytą nežinomąjį. 2+x = 2; 4−x = t; 6−x + 4+x = 2; 6−x = t; a) 4−x + b) 2+x 4−x 2+x 4+x 4+x 6−x √ √ √ √ √ √ 4 4 4 d) x − 2 − 4 x − 2 + 3 = 0; 4 x − 2 = t; c) x + 1 − 3 x + 1 + 2 = 0; x + 1 = t; e) x 2 − x + x 2 − x + 2 = 4; x 2 − x + 2 = t; f) x 2 −x+ x 2 − x − 2 = 8; x 2 − x − 2 = t.

3.

Išspręskite lygtį. a) (x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) = 24;


skyrius

DE MO

b) x(x + 2)(x + 4)(x + 6) = 105.

4.

Išspręskite rodiklinę lygtį, įvesdami naują nežinomąjį. b) 4log3 x − 5 · 2log3 x + 4 = 0; a) 4log9 x − 6 · 2log9 x + 8 = 0; cos2 x 2 2 c) 3sin x + 3 · 13 = 6; d) 4cos(2x) + 4cos x − 3 = 0.

5.

6.

(2004 m. valstybinio matematikos brandos egzamino pakartotinės sesijos 14 užduotis.) √ √ 1) Įrodykite, kad 31 + 8 15 = (4 + 15)2 . √ 1 . 2) Įrodykite, kad 4 − 15 = √ 4+ 15 √ √ 3) Išspręskite lygtį (4 + 15)x + (4 − 15)x = 62. √ √ Išspręskite lygtį (2 + 3)x + (2 − 3)x = 14, naudodamiesi 5 uždavinio lygybėmis.

7.

Išspręskite lygtį log3 (3x − 1) · log3 (3x+1 − 3) = 6. .

47

5

Geometrijos uždaviniai Plotai 162. 1) Užrašykite nubraižytos figūros ploto formulę. a)

a

b) a

h a

a

c) a

d)

b

a

b

a

e) h

h

a

a

b

√

2 2) Įrodykite, kad lygiakraščio trikampio plotą S galima apskaičiuoti remiantis formule S = a 4 3 , čia a –– kraštinės ilgis. √ 163. Lygiakraščio trikampio ABC plotas lygus 8 3 cm2 . B E Apskaičiuokite kvadrato BECD plotą.

DE MO


skyrius

C

D A

164. Taisyklingame šešiakampyje, kurio kraštinė lygi a, nubrėžę tris jo ilgiausias įstrižaines, gauname šešis lygius trikampius. 1) Raskite pavaizduoto taisyklingojo šešiakampio plotą. 2) Apskaičiuokite pavaizduoto taisyklingojo šešiakampio plotą, √ kai a = 1 cm; a = 2 3 dm.

a

165. 1) Įrodykite, kad rombo plotas yra lygus jo įstrižainių ilgių sandaugos pusei. B

A

C

D

2) Rombo kraštinės ilgis yra 13 cm, o jo mažesnioji įstrižainė lygi 10 cm. Apskaičiuokite rombo plotą.

166. Lygiašonės trapecijos vienas pagrindas yra 7 cm, vidurio linija –– 5 cm ilgio, o smailusis trapecijos kampas lygus 45◦ . Apskaičiuokite trapecijos plotą.

167. Vienas trapecijos pagrindas yra keturis kartus ilgesnis už kitą.

Trapecijos vidurio linija trapecijos plotą padalija į dalis S1 ir S2 . Apskaičiuokite plotų santykį SS12 .

168. Daugiakampio plotas lygus

a S1 S2 4a

60 dm2 .

Apskaičiuokite panašaus daugiakampio plotą, jei pradinio daugiakampio 8 dm ilgio kraštinę atitinka 12 dm ilgio panašiojo daugiakampio kraštinė.

169. Duota: ABC (∠C = 90◦), CD ⊥ AB, BC AC

A

= 34 ,

SACD − SBCD = 84 cm2 . Rasti: SABC .

D C

48

B

Aritmetinis vidurkis

170. Raimonda išsprendė 5 testus. Už keturis testus ji gavo atitinkamai 80, 88, 93 ir 98 balus. Kiek mažiausiai balų turi gauti Raimonda iš penktojo testo, kad visų penkių testų balų aritmetinis vidurkis būtų ne mažesnis už 90?

171. Protmūšio komandą sudaro 4 žaidėjai, kurių amžių aritmetinis vidurkis lygus 35 metams, o jauniausiojo komandos nario amžius lygus 25 metams. Kokio amžiaus žaidėju reikia pakeisti šį žaidėją, kad komandos narių amžių aritmetinis vidurkis būtų lygus 37 metams?

172. Vakarėlyje dalyvaujančių 5 vaikų ir 4 tėvų amžių aritmetinis vidurkis yra 21 metai. Tėvų amžių

5

skyrius 11 klasė 2 dalis. Išplėstinis kursas

Įvairūs uždaviniai

aritmetinis vidurkis lygus 37,5 metų. Koks vaikų amžių aritmetinis vidurkis?

173. Senelės, senelio ir 7 anūkų amžių aritmetinis vidurkis yra 28 metai. Visų anūkų amžių aritmetinis vidurkis yra 15 metų. Kiek metų yra senelei, jei ji 3 metais jaunesnė už senelį?

DE MO

174. Sandėlyje yra 6 bulvių maišai, kurių masių aritmetinis vidurkis lygus 45 kg. Kiek sandėlyje yra morkų maišų, jei bulvių maišų ir morkų maišų masių aritmetinis vidurkis lygus 25,2 kg?

175. 11a klasės 26 mokiniai ir 11b klasės 30 mokinių rašė testą. 11a klasės mokinių gautų pažymių aritmetinis vidurkis lygus 7,5, o abiejų klasių mokinių pažymių aritmetinis vidurkis yra 8,1. Koks yra 11b klasės mokinių pažymių aritmetinis vidurkis? Atsakymą suapvalinkite iki dešimtųjų.

176. Per keturis vienerių metų mėnesius buvo užimta vidutiniškai 90 % viešbučio kambarių, o per likusius aštuonis tų metų mėnesius –– 60 % kambarių. Kiek vidutiniškai procentų kambarių buvo užimta per tų metų mėnesį?

177. Jono per šešerias krepšinio rungtynes pelnytų taškų aritmetinis vidurkis lygus 14. Kiek taškų turi pelnyti Jonas per septintąsias rungtynes, kad visų septynerių rungtynių jo pelnytų taškų vidurkis būtų 2 taškais didesnis negu po šešerių rungtynių?

178. Monika turi 5 matematikos pažymius, kurių aritmetinis vidurkis lygus 7,2. Kiek mažiausiai dešimtukų turi gauti Monika, kad semestre jai išeitų pažymys 9?

179. Adomo mama už jo tėtį yra jaunesnė 8 metais. Abiejų tėvų amžių aritmetinis vidurkis lygus 42 metams. Kiek metų Adomui, jei jo amžiaus ir tėčio amžiaus aritmetinis vidurkis yra 24 metai?

180. Raskite du natūraliuosius skaičius, kurių aritmetinis vidurkis lygus 5, o geometrinis vidurkis lygus 4.

181. 1) Ona iš biologijos per semestrą gavo 2 pažymius: 9 ir 10. Koks pažymys semestre išėjo Onai, jeigu jį vedant buvo skaičiuojamas per semestrą gautų pažymių: a) aritmetinis vidurkis? b) geometrinis vidurkis? 2) Kiek kiekvienu atveju būtų išėję Onai, jei jos pažymiai būtų 9, 6, 8 ir 7?

49

5

Testas


skyrius

√

√

182. Kuri lygtis turi du sprendinius x1 = 2 + 3 ir x2 = 2 − 3? √ A x 2 − 2 3x − 4 = 0

B x2 + x + 4 = 0

C x 2 − 4x + 1 = 0

E x 2 + 4x + 1 = 0 D x2 − x + 4 = 0 √ 183. Lygties (x 2 − 4) x − 2 = 0 sprendinių aibė yra: A {−2; 2} B {4} C {0} D {2} E {2; 4} 2 184. Kuriame pateiktų atsakymų surašyti visi √ lygties √ log8 (x √− 1) √ √ √= 1 sprendiniai?

2 B −9; 9 C −3; 3 D − 3;

A − 2;

3 E − 7;

7

2 185. Raskite √ mažiausiąją x reikšmę,√su kuria √ lygybė |3x − 15| = 3 yra teisinga.

A −3 2

B −2

C2 D− 6 E

6

186. Kiek sprendinių turi lygtis x 4 + 2x 2 − 15 = 0?

DE MO

A0 B1 C2 D3 E4 √ √ √ 187. Jei 8 − a + 5 + a = 5, tai (8 − a)(5 + a) = √ √ √ A 5 B 40 C 6,25 D 3 E 6

188. Duotos lygtys:

√ √ 1) cos x = 0,99; 2) cos x = 1 − 3; 3) sin x = −π; 4) tg(x − 2) = 0; 5) sin x = π − 1. Kurios jų neturi sprendinių? A 3), 5) B 1), 2) C 4) D 3) E 2), 4)

189. Apskaičiuokite x, jeigu 22004 · 4104 · 83 = 2 · 32x .

A 22 B 400 C 444 D 2121 E 500 √ 190. Funkcijos y = f (x) = 3 x + 2 4 − 12 grafikas kerta OX ašį taškuose, kurių abscisės yra: √ √ √ √ A 0 B −2 2 C −2 2 ir 0 D 0 ir 2 2 E 0 ir − 2

191. Jeigu x0 yra lygties log0,0001 x = − 13 sprendinys, tai:

A x0 ∈ [1; 10] B x0 ∈ (0; 1] C x0 ∈ [50; 100] D x0 ∈ [10; 20] E x0 ∈ [20; 50].

192. Su kuria x reikšme teisinga lygybė 0,25x = 7 A −1 12

B 12 19

7 C 1 12

D 34

E −3 16

√ 3 √2 ? 8 2

193. Kiek sprendinių turi lygtis sin(2x) = 1 intervale [−π; π]? A4 B3 C5 D0 E2

194. Lygties |4x + 15| = 6 abu sprendiniai pažymėti skaičių tiesėje dviem taškais. Raskite atstumą tarp tų taškų. A 7,5 B 3 C 2 D 5 E 3,5 √ √ √ 195. Kiek sprendinių turi lygtis x x 4 − 5 + 2 + 12 = 0? A Vieną B Du C Tris D Keturis E Penkis

196. Apskaičiuokite x reikšmę, jeigu log3 x = 2 log3 5 + 21 log3 8 − 3 log3 10. √

√

B 4 C 202 D 2303 E log3 4 − 1 197. Su kuriomis m reikšmėmis lygtis cos x = 5 + m turi sprendinių? A [−∞; 5] B [−6; −4] C (−∞; −4] D [−5; 5] E [−6; ∞) A 1 13

198. Kam lygus pavaizduotų figūrų plotų aritmetinis vidurkis? b

b a

50

a

A 3ab

B ab 2

D ab

E 3ab 4

C 3ab 2

5

Pasitikriname 199. Užrašykite redukuotąją kvadratinę lygtį, kurios sprendiniai būtų skaičiai

√ √ 2 + 1 ir 2 − 1.

200. Lygties x 2 + px − 35 = 0 vienas sprendinys lygus 7. 1) Raskite kitą lygties sprendinį. 2) Raskite koeficiento p reikšmę.

201. Kvadratinės lygties x 2 − 12x + q = 0 sprendinių skirtumas lygus 2. Raskite koeficiento q reikšmę. 202. Išspręskite lygtį. a) 2x 3 − 10 = 240; b) 0,05x 4 − 4 =

1 20 ;

c) 3x 5 + 106 = 10.


√ x + 10 = x − 2; d) x 2 + 8 − 1 = 2x;

√ √ 2x + 1 = x − 1; c) 3 x + 3 = 2x + 7; √ √ √ e) x + 1 + x − 4 = 5; f) x − 1,5 · (3x − 2 − x 2 ) = 0. √ 204. Raskite funkcijų y = f (x) = x − 5 ir y = g(x) = x + 1 grafikų bendro taško koordinates. a)

b)

DE MO


√

3 b) 3x = 39 ;

1; a) 271−x = 81 x 3 −9x d) √1 = 1;

e) 105−x = 0,01−1 ·

2

g)

3x


skyrius

+ 4 · 3x+1 = 13;

c) 8 · 42x−3 = 32x ; x f) 25x+14 · 18 = 1;

√ 10;

h) 2x+1 + 4x = 80;

i) 2 · 4x−1 − 5 · 2x−1 + 2 = 0.


a) lg(3x − 5) = lg(4 − x);

b) lg(x + 1) = 1 + lg x;

c) 12 lg x = lg(x − 6);

d) log3 (x − 2) + log3 (x − 4) = 1; f) lg x 2 = 2(1 − lg 2);

e) log4 (4x − 23) − log4 5 = log4 x; g) lg2 x + 6 = 5 lg x;

h) 2 log22 x + 2 = 5 log2 x;

i) log3 x · log3 (3x) = 4 log9 3.


a) |4x − 1| − 7 = 0; b) |2x − 6| = x − 1; c) |x + 1| + |x + 2| = 2.

208. Raskite funkcijų y = f (x) = 2x ir y = g(x) = |5 − x| grafikų bendro taško oordinatę. 209. Raskite bikvadratinės lygties x 4 − 11x 2 + 18 = 0 sprendinių sumą ir sandaugą. 210. Duota funkcija y = f (x) =

1 x

.

√ 1) Apskaičiuokite f (log3 2). 2) Išspręskite lygtį f (x) = 6 3 · f (log3 2). 3

211. Duota funkcija y = f (x) = lg x.

√ √ 1) Apskaičiuokite f (100 10). 2) Išspręskite lygtį f (x) = 2f (100 10).


a) cos x − π2 = 0; √ d) tg2 x + 3 tg x = 0; g) cos(2x) − sin(2x) = 0;

√ 3 sin x = 0;

b) (cos x − 3)(sin x − 12 ) = 0;

c) 2 sin2 x −

e) 2 + cos2 x = 2 sin x; √ h) sin(2x) = 2 sin x;

f) 3 − 3 cos x = 2 sin2 x; i) cos2 x + cos x · sin x = 0.

213. Raskite lygties sprendinius, nurodytam intervalui. priklausančius

√ π πx a) cos(2x) − 12 = 0; x ∈ 0; π2 ; b) sin 4x 3 = 0; x ∈ 2 ; π ; c) 1 + 2 sin 4 = 0; x ∈ (0; 6). a ir perimetras. 214. 1) Užrašykite, kam lygus pavaizduotos figūros plotas √ √ 2) Apskaičiuokite figūros plotą ir perimetrą, kai a = 2, b = 8. b a b

51

Kartojame tai, ko prireiks 5 skyriuje a) − 13 ; b) (−∞; +∞);

5.

400 cm2 .

6.

6 m.

7.

a) 2 23 ; b) 11; c) −3; d) −1; 4; e) ∅; f) 7.

8.

Tokių x reikšmių nėra.

9.

76 cm.

2. 3.

MO

4.

c) ∅. √ √ √ a) 0; 7; b) −2 14 ; 0; c) −2 7; 0; d) −2; 2; e) − 10; 10; f) ∅. √ √ a) −6; 4; b) 2 3; 3 3; c) 16 ; d) x 2 + 2x − 4 = 0; x = 2; e) 13 ; 3; f) − 56 ; 5. a) 56 m; b) 20 km/h.

1.

DE


Atsakymai

110

Kartojame tai, ko prireiks 5 skyriuje 10. a) 1; b) 20,5; c) 0; d) −1. 11. a) 3; b) 21; c) − 12 ; d) 6; e) 667; f) −12. 12. A. π ; b) − 3π . 13. a) − 12 4

14.

2. 3

15. Taip gali būti, nes

1 2 5

+

√24 2 5


Atsakymai

= 1.

5 ; tg α = − 12 ; b) sin α = − 4 ; tg α = 4 . 16. a) cos α = − 13 3 5 5

MO

17. cos(2α) = 35 , sin(2α) = 45 . 18. a) −1; b) 5; c) ctg α. 20. a) b) c) d)

√ √ √ 2; b) −1; c) 2 − 5; d) − 7. √ √ −2 ir√2; − 5 ir√ 5; 0; tokio skaičiaus nėra; 2; 3 9; 0;√ − 3 √ 9; 4 4 −1 ir√1; − 2 ir 2; 0; tokio skaičiaus nėra; 5 1; 2; 0; −2.

DE

19. a)

111


Atsakymai 5.1. Kvadratinės lygtys. Vijeto teorema 21. a) 2; 4; b) 3; 4; c) −4; −3; d) −1; 5; e) −7; 2; f) −3; 5. 22. a) 3; b) 12 ; c) −2; d) 1. 23. a) x = −5; p = −2; b) x = 4; q = 32. 24. a) 48; b) 8; c) −5 arba 5. 25. a) x1 < 0, x2 > 0; b) x1 < 0, x2 > 0; c) x1 < 0, x2 < 0; d) x1 < 0, x2 > 0.

26. a) 1; b) −1; 4; c) −1; 5.

x = p − x , 2 1 x1 · (p − x1 ) = q; ⇒ ⇒ x1 · p − (x1 )2 = q, ⇒ x12 − px1 + q = 0, ⇒ x1 yra lygties x 2 − px + q = 0 sprendinys. x 1 = p − x2 , x1 + x2 = p, ⇒ x · x = q; (p − x ) · x = q; ⇒ 1

2

⇒

MO

x + x = p,

27. 1) x1 · x 2= q; 1 2

2

2

⇒ (x2 )2 − px2 + q = 0, ⇒ x2 yra lygties x 2 − px + q = 0 sprendinys.

2) a) c)

9x + 18 = 0; x 2 + 5x − 14 = 0; b) x 2 − √ x 2 + 7x + 10 = 0; d) x 2 − 2x − 4 = 0.

28. a) x 2 − x − 20 = 0; b) x 2 + 10x + 24 = 0;

DE

c) 2x 2 − 10x − 12 = 0; d) 4x 2 + 8x − 60 = 0; e) x 2 − 6x + 7 = 0; f) 2x 2 − 14 = 0.

112

5.2. Laipsninės lygtys √ 5 29. a) − 15; b) 33; c) 7 13 ; √ 3

e) 3; f) 12 ; √ √ 5 7 −10; h) 2; i) − 5. √ √ √ √ 30. a) − 4 19; 4 19 b) − 3 4; 3 4; c) − 4 13 ; 4 13 ; √ √ d) −2; 2; e) − √2; √2; f) ∅; g) −2; 2; h) − 3; 3; i) ∅. d) g)

1; 3


Atsakymai

31. a) −1,2; b) 10; c) 14 ; 34 ; d) ∅; e) −13,5; −10,5; f) 4. 33. a)

√ 5; b) −0,1.

MO

32. a) 12 ; b) −3; c) 1. 34. 1) a) x ≈ 1,3; b) √ x1 ≈ −1,2; x2 ≈ 1,2; 5 5 4

√ √ 4 4 4; b) x = 2; x1 = − 2, x2 = 2.

DE

2) a) x = 4; x =

113


Atsakymai 5.3. Lygtys su kvadratinėmis šaknimis 9 ; c) ∅; 35. a) 16; b) 1 16

d) g)

1; 4 2 14 ;

e) 900; f) ∅; h) 6,25; i) 1.

36. a) 24; b) −13; c) ∅;

d) 2,4; e) −2; 2; f) ∅.

37. a) 8; b) 1; 4; c) 2; d) 1; 3; e) ∅; f) 1. √ 3; c) −1; 3; d) −3; 3; e) 0; 3; f) −3; 1; 4. √ √ 39. 1) a) x = 2; x = 4; b) x = −1; ∅. 2) Negali.

DE

MO

38. a) 2; 4; b) −3;

114

5.4. Rodiklinės lygtys 40. a) 3; b) −2; 1; c) 4; d) −7; e) −4; f) 1 13 ; g) 3; h) −5; √ √ i) − 3; 3; j) −2; 2.

41. a) log2 5; b) log3 7; c) log4 3; d) 1 + log5 2; log 7−5

3 ; g) − log4 3 − 7. e) log2 5 − 1; f) 2 42. a) 3; b) 0; c) −3; d) lg 5; e) −2; f) 2; g) 2; h) ∅; i) −1; j) log4 3; k) −1; l) 7. √ √ 43. a) 2; b) 1; c) 1; 4; d) − 3; 3; e) −4; 3; f) 0; g) −4; 1; h) 1,5; i) 4.


Atsakymai

44. a) −1; 7; b) 2,25; c) 0,25; d) 0,5; e) 3; f) 2. 45. 1) a) 2; b) 0; c) ∅.

DE

MO

x 2) a) 2x = 4; x = 2; b) 2x = 1; x = 0; c) 12 = −1; ∅. 3) b = 0.

115


Atsakymai 5.5. Logaritminės lygtys 46. a) 16; b) 3; c) 1; d) 26; e) −4 13 ; f) 1002; g) 15; h) −3; 1; i) −1.

47. a) 3; b) 14 ; c) 16; d) 4; e) 5. 1 ; f) 1 1 ; g) 1 ; h) 1; i) 1 1 . c) 2; d) 4; e) 27 8 64 6 49. a) −2; b) −2; c) ∅; d) ∅; e) 3; f) 15.

48. a) 16; b)

1 16 ;

50. 1) a) 4; b) 0,5.

DE

MO

2) a) log2 x = 2; x = 4; b) log 1 x = 1; x = 21 . 2 3) Lygtis loga x = b (a > 0, a = 1) turi vienintelį sprendinį x = a b .

116

5.6. Sudėtingesnės logaritminės lygtys 51. a) 5; b) 0,3; c) 12; d) 75; e) 3; f) 4. √

52. a) 4; b) 2; c) 3; d) 2 2. 53. a) 2,5; b) 18; c)

9 16 ;

d) 12.

54. a) ∅; b) 12; c) ∅; d) 3. 55. a) 3; b) −1; c) 4; d) 3; e) 3; 5; f) 3; 7. 56. a)

1 16 ;


Atsakymai

b) 25; c) 27; d) 16; e) 64; f) 81.

57. a) 3; b) 4; c) 0,5.

DE

59. 2.

MO

58. a) 8; b) 1; c) 24.

117


Atsakymai 5.7. Lygtys su moduliais 60. a) −3; 3; b) ∅; c) − 14 ; 14 ; d) −24; 24; e) −10; 10; f) ∅; g) −4; 4; h) −0,45; 0,45; i) 0.

61. a) −2; 3; b) −3; 5; c) ∅; d) 0; 6; e) −1,4; 0,4; f) ∅. 62. a) 1; b) −4; − 23 ; c) 1 13 ; d) ∅; e) 1 13 ; f) 13 ; g) −1 23 ; 17; h) −13; 15 ; i) −1 13 ; 25 . 63. a) −2; 2; b) −1; 3; c) 0. 64. 1) a) −5; 1; b) ∅.

2) b > 0; b = 0; b < 0.

65. 1)

Y

x–

3|

3

0

3

MO

| y= y = 3

Lygtis |x − 3| = 3 turi du sprendinius (0 ir 6). Lygtis |x − 3| = −4 sprendinių neturi. Lygybė 3 = −4 yra neteisinga.

6

X

y = –4

–4

DE

2) a < 0; a = 0; a > 0.

118

5.8. Lygtys, kurios sprendžiamos įvedant naują nežinomąjį √

66. a) −1; 1; b) −3; −1; 1; 3; c) − 2; −1; 1;

√ √ √ 2; d) ∅; e) − 12 ; 12 ; f) − 2; 2.

67. a) 3; b) 2; c) 1; d) 2. 68. a) 1; 3; b) 0; 1; c) 2; d) 3; e) −3; f) 1; 4. 69. a) 3; 9; b) 12 ; 32; c) 25; 125; d) 0,1; 10 000; e) 2; 64; f) 0,25. √

√

√

70. a) −2 2; −2; 2; 2 2; b) − 2; 71. a) 10; 1 000 000; b)

√

√

2; c) ∅; d) 1; e) 1;

√

√

√

7; f) 102− 7 ; 102+ 7 .


Atsakymai

10; 10; c) 1; d) 2.

72. a) 1) Bikvadratinę lygtį ax 4 + bx 2 + c = 0 pažymėję x 2 = y, pakeičiame kvadratine lygtimi

MO

ay 2 + by + c = 0. Kai kvadratinės lygties diskriminantas D = b2 − 4ac: • yra neigiamas (D < 0), tai ji sprendinių neturi, o tuo pačiu ir bikvadratinė lygtis sprendinių neturi; b . Kai b • yra lygus 0 (D = 0), tai kvadratinė lygtis turi vienintelį, nelygų 0 sprendinį, x = − 2a b > 0 ir x 2 = − b turi du sprendinius, kurie yra bikvadratinės ir a yra skirtingų ženklų, tai − 2a 2a b < 0 ir lygtis x 2 = − b sprendinių lygties sprendiniai. Kai b ir a yra vienodų ženklų, tai − 2a 2a neturi, o tuo pačiu sprendinių neturi ir bikvadratinė lygtis; • yra teigiamas (D > 0), tai kvadratinė lygtis turi du sprendinius. Jei tie abu sprendiniai yra teigiami, tai bikvadratinė lygtis turi 4 sprendinius, jei abu neigiami, tai bikvadratinė lygtis sprendinių neturi, jei vienas teigiamas, o kitas neigiamas, tai bikvadratinė lygtis turi du sprendinius.

DE

2) Pavyzdžiui: x 4 − 25x 2 + 24 = 0, x 4 − 24x 2 − 25 = 0, x 4 − 2x 2 + 25 = 0. b) Jei x = d yra lygties ax 4 + bx 2 + c = 0 sprendinys, tai teisinga yra lygybė ad 4 + bd 2 + c = 0. Tą pačią lygybę gauname ir vietoj x rašydami −d, t. y. a · (−d)4 + b · (−d)2 + c = 0, ⇒ ad 4 + bd 2 + c = 0. O kadangi ji yra teisinga, tai ir −d yra bikvadratinės lygties sprendinys.

119


Atsakymai 5.9. Lygtys su sinusais 73. a)

π; 4

b) π2 ; c) 0; d) − π3 ; e) − π2 .

74. a) (−1)k · π3 + πk, k ∈ Z; b) (−1)k ·

π π 16 + 4 k, k ∈ Z; π k, k ∈ Z; d) (−1)k · π + 2πk, k ∈ Z; 2 3 π + πk, k ∈ Z; f) (−1)k · π + 2πk, k ∈ 2 6

c) (−1)k · π6 + e) (−1)k · π3 − Z. 75. 1) Sinusoidė y = sin x išsidėsčiusi juostoje y ∈ [−1; 1], o tiesė y = 2 į tą juostą nepatenka, todėl tiesė ir sinusoidė bendrų taškų neturi, o lygtis sin x = 2 sprendinių neturi. 2) a < −1, a > 1. 3) sin x = −1, kai x = − π2 + 2πk, k ∈ Z; sin x = 0, kai x = πk, k ∈ Z; sin x = 1, kai x = π2 + 2πk, k ∈ Z. πk , 3

77. a) (−1)k+1 ·

π 4 π 2

MO

k ∈ Z; b) π4k , k ∈ Z; c) − π6 + 2π3 k , k ∈ Z; d) π + 4πk, k ∈ Z; e) −π + 4πk, k ∈ Z; f) π6 + 2πk, k ∈ Z.

76. a)

+ πk, k ∈ Z; b) · + 3πk, k ∈ Z; c) x = πk, k ∈ Z arba x = (−1)k+1 · π9 + π3k , k ∈ Z. (−1)k+1

π; 2

π π 3π c) −2π; − 3π 2 ; −π; − 2 ; 0; 2 ; π; 2 .

DE

π 3π 78. a) − 5π 2 ; − 2 ; b) − 2 ;

120

5.10. Lygtys su kosinusais 79. a) 80. a) d)

π ; b) π ; c) 0; d) 2π ; e) 3π ; f) −3π. 2 3 4 6 π π 2π ± 2 + 2πk, k ∈ Z; b) ± 12 + 3 k, k ∈ Z; c) ± 2π 3 + 4πk, k π 2π π π ± 15 + 5 k, k ∈ Z; e) ± 6 − 3 + 2πk, k ∈ Z; f) ± π8 + πk,

∈ Z; k ∈ Z.

81. 1) Kosinusoidė y = cos x išsidėsčiusi juostoje y ∈ [−1; 1], o tiesė y = 2 į tą juostą nepatenka, todėl tiesė ir kosinusoidė bendrų taškų neturi, o lygtis cos x = 2 sprendinių neturi. 2) a < −1, a > 1. 3) cos x = −1, kai x = π + 2πk, k ∈ Z; cos x = 0, kai x = π2 + πk, k ∈ Z; cos x = 1, kai x = 2πk, k ∈ Z. π + π k, k ∈ Z; c) π + π k, k ∈ Z; 3 4 2 6 π − 6 + πk, k ∈ Z; e) 4πk, k ∈ Z; f) π + 2πk, k ∈ Z. 5π π ± 2π 3 + 2πk, k ∈ Z; b) ± 12 + πk, k ∈ Z; c) 2 + πk, 3π π π 3π − 5π 2 ; − 2 ; − 2 ; 2 ; 2 ; b) −π; 0; π; c) π; 3π.


Atsakymai

83. a) 84. a)

k ∈ Z; ± 3π 4 + 2πk, k ∈ Z.

DE

d)

MO

82. a) πk, k ∈ Z; b)

121


Atsakymai 5.11. Lygtys su tangentais 85. a) − π6 ; b) 0; c) π; d) − π4 ; e) − π6 ; f) 86. a) d)

π + πk, k 4 2π + 2πk, 3

7π . 12 π + π k, 18 3

π + π k, k ∈ z; c) ∈ Z; b) 12 k ∈ Z; 2 4π k ∈ Z; e) πk, k ∈ Z; f) 3 + 2πk, k ∈ Z.

87. 1) Tangentoidė y = tg x ir tiesė y = a su visomis a reikšmėmis turi be galo daug bendrų taškų, tarp kurių atstumai lygūs π. Visi lygties tg x = 3 sprendiniai yra x = arctg 3 + πk, k ∈ Z. 2) Taip.

88. 1) a)

3π b) 5π 4 ; c) − 4 ; 2π b) 4π 3 ; c) − 3 ; 7π b) 5π 6 ; c) − 6 .

DE

MO

2) a) 3) a)

π; 4 π; 3 5π ; 6

122

5.12. Lygtys su kotangentais 89. a) 90. a) d)

π ; b) π ; 3 2 π + πk, k 4 − π4 + πk,

3π 5π c) 3π 2 ; d) 4 ; e) 6 ; f) 0. π + π k , k ∈ z; c) 2π + 2πk, k ∈ Z; ∈ Z; b) 18 3 3 3π + 3πk, k ∈ Z. k ∈ Z; e) 11π + πk, k ∈ z; f) 4 2

91. 1) ctg x = 4, ⇒ x = arcctg 4 + πk, k ∈ Z. 2) Taip.

92. 1) a) 2) a) 3) a)

94. a)

π + πk, k ∈ Z; (−1)k · π + πk, k ∈ 2 6 5π + πk, k ∈ Z; π + πk, k ∈ Z; 3 6 π + πk, k ∈ Z; 5π + πk, k ∈ Z; 4 6 3π + πk, k ∈ Z; ± π + 2πk, k ∈ Z. 4 3 π ; − 2π ; b) 2π ; − π . 3 3 3 3

Z;

MO

b) c) d)

5π b) 5π 4 ; c) 4 ; 7π b) 3π 4 ; c) 4 ; 7π b) 7π 6 ; c) 6 .

DE

93. a)

π; 4 3π ; 4 π; 6


Atsakymai

123


Atsakymai 5.13. Dar daugiau trigonometrinių lygčių + πk, k ∈ Z; c) π2 + πk, k ∈ Z; d) πk, k ∈ Z. π + 2πk, k ∈ Z; b) ± π + 2πk, k ∈ Z; 2 3 (−1)k · π6 + πk, k ∈ Z; d) ± 2π 3 + 2πk, k ∈ Z; (−1)k · π6 + πk, k ∈ Z; f) 2πk, k ∈ Z; π + πk, k ∈ Z; − arctg 0,8 + πk, k ∈ Z; 4 3π + πk, k ∈ Z; arctg 4 + πk, k ∈ Z. 4

95. a) πk, k ∈ Z; b) πk, k ∈ Z; (−1)k · 96. a) c) e) g) h)

97. a) d) f)

π 2 π 2 π 2 π 6

π 6

+ πk, k ∈ Z; b) πk, k ∈ Z; c) 2πk, k ∈ Z; π2 + πk, k ∈ Z; + 2πk, k ∈ Z; (−1)k · π6 + πk, k ∈ z; e) (−1)k · π6 + πk, k ∈ Z; + πk, k ∈ Z; ± 5π 6 + 2πk, k ∈ Z.

99. a) 100. a)

π ; 5π ; b) π ; 11π ; c) π ; 3π ; 12 12 8 8 6 6 π k (−1) · 6 + πk, k ∈ Z; (−1)k+1 ± π4 + 2πk, k ∈ Z; ± 3π 4 + 2πk, π π k k (−1) · 9 + 3 , k ∈ Z; (−1)k+1

11π d) π4 ; 5π 4 ; 12 .

· π6 + πk, k ∈ Z; k ∈ Z; · π9 + π3k , k ∈ Z.

DE

b) c)

MO

+ πk, k ∈ Z; b) − π4 + πk, k ∈ Z; c) − π3 + πk, k ∈ Z; π + π k, k ∈ z; f) 2π + 2πk, k ∈ Z. d) arctg 13 + πk, k ∈ Z; e) − 12 3 3

98. a)

124


Atsakymai Sprendžiame 101. 4. 102. −5. 103. −2; 22. 104. −34. 105. a) 0; b) 17. √

106. a) − 3 3;

√ √ √ 3 3; b) − 3 32 ; c) ∅; d) − 2; 2; e) −1; 1; f) −8; 2.

107. 600 cm2 .

√

√

108. a) −3; 0; b) 9; c) 6 14 ; d) 1; e) −1 12 ; f) 3; g) 2; h) −2 2; 2 2; 3; i) − 23 ; 23 .

MO

√

109. a) 1; b) −5; c) −3; 3; d) −2; 2; e) 2 3. 110. 5.

111. a) (4; 2); b) (3; 5), (18; 20). 112. a)

1

2; 0

; b) (−2; 0); c) tokio taško nėra.

◦ 113. 1) ACPyra status (∠C = 90 ):

A

4 + x2.

DE

+ CP2

2 km

AP = = Pelkė Atstumą AP turistas nueis per: √ P x 4+x 2 km = x 2 + 4 h. M 1 km/h C ◦ P DByra status (∠D =90 ): Pieva 2 P B= P D2 + DB 2 = (5 − x) + 4 = = 25 − 10x + x 2 + 4 = x 2 − 10x + 29. Atstumą P B turistas nueis per: √ x 2 −10x+29 km = 1 x 2 − 10x + 29 h. 2 2 km/h Vadinasi, visas kelionės laikas lygus x 2 + 4 + 21 x 2 − 10x + 29 valandos. 2) Sprendžiame lygtį x 2 + 4 = 12 x 2 − 10x + 29, ⇒ x = 1 km. AC 2

D

N

B

125


Atsakymai Sprendžiame √

114. a) 1; b) ∅; c) 5; d) 1; e) 2; f) 2 2. 115. 2. 116. a) 1,5; b) 2,5; c) −8; d) −1,25; e) −0,5; f) −2; g) 0,5; h) 2,5; i) 2,5; j) 16 ; k) −9; l) − 13 . 117. a) (4; 0); b) (1,5; 0,5); c) (1; 3).

118. a) − 78 ; b) −1,5; c) −2; − 12 . 119. 3 13 .

DE

MO

120. 1) 3,75 m; 2) 6,25 · 0,6n ; 3) ketvirtą kartą.

126

Sprendžiame 121. a) 2; b) −1,6; c) 90; d) −10; 10; e) −6; 6; f) 3; g) 1; h) 0,8; i) 2; 3. 122. a) 3; b) 7; c) −1 12 ; 1; d) 1; 9; e) 123. a) 2; b) 5; c) − 14 ; d)

√ 1+ 5 ; 2

√ 2; f) 5; g) −1,4; 3; h) 1; 6; i) 4; j) 5.

e) 3; f) 12; g) 3.

124. a) (16; 2); b) (1 000 000; 10); c) (5; −2); d) (2; 2). 125. a) 3,05; b) 2; c) 31,25; d) 1400.


Atsakymai

126. 34 . 127. −3. 129. −4; 8.

MO

128. 5. 130. (−∞; −7) ∪ (−7; 7) ∪ (7; +∞).

1 5 2; 2 .

DE

131. a) (1; 2); b) (−2; 2), (2; 2); c) (−10; 80), (10; 80); d) (−2; 10), − 12 ; 52 , (2; 10),

127

Sprendžiame 132. 4 sprendiniai. Y

1)

1 0 –1

2)

Y

3) a = 1.

y = | x2 – 2x |

133.

y = x2 – 2x


Atsakymai

1

1 2

X

0 –1

1 2

X

MO

134. a) − 12 ; 2; b) −3 13 ; 12; c) ∅; d) −9; −1; e) [1; 5]; f) [0; 1]. 135. a) 5,5; b) 1,5; c) 1; d) 3; 4; e) −3; −2; 0; 1; f) −4. √

136. a) − 5;

√ √ √ 5; b) − 2; 2; c) −2; 2; d) −3; 0; 3; e) − 12 ; 0; 12 ; f) 0.

137. x 2 = t, ⇒ t 2 + 10t + 9 = 0, D = 64, t1 = −1, t2 = −9, ⇒ x 2 = −1 ir x 2 = −9 neturi sprendinių, todėl lygties x 4 + 10x 2 + 9 = 0 sprendinių aibė yra tuščia.

138. 8 dm ir 0,125 dm.

DE

139. a) −4; 1; b) −3; 2; c) 2.

128

Sprendžiame 140. a) 0; b) 4; c) 1; d) 3; e) 0; 2; f) −2; 3; g)

1 128 ;

4; h) 0,0001; 10; i) 0,01; 1000.

141. a) 1,5; b) −1. 142. 0. 143. 14 ; 16. 144. a) − 12 ; 12 ; b) −2; 1; c) 2.


Atsakymai

145. a) 27; b) 16; c) 25; d) 64; e) 9; f) 16. π + π ·k, k ∈ Z; (−1)k+1 · π + π ·k, k ∈ Z. 146. a) 18 ; 2; b) 8,5; c) −5; d) 0; 3; e) 2; f) (−1)k · 12 4 12 4

147. 9.

DE

π; 2

MO

b) π2 ; c) 0; d) π3 ; e) π3 ; f) 13π 12 . 149. b = arccos − 12 .

148. a)

129


Atsakymai Sprendžiame π + π k, k ∈ Z; b) ± π + π k, k ∈ Z; c) − π + π k, k ∈ Z; d) π + 2πk, k ∈ Z; 150. a) (−1)k · 12 2 24 2 2 6 π + π k, k ∈ Z; e) πk, k ∈ Z; (−1)k · π4 + πk, k ∈ Z; f) (−1)k+1 · 24 4 g) π2 + πk, k ∈ Z; ± π3 + 2πk, k ∈ Z; h) πk, k ∈ Z; (−1)k+1 · π4 + πk, k ∈ Z; i) π4 + π2 k, k ∈ Z; π2 + 2πk, k ∈ Z; j) − π6 + πk, k ∈ Z; k) π2 + 2πk, k ∈ Z; √

l) ± arccos 5−4 17 + 2πk, k ∈ Z. π + π k, k ∈ Z; b) 151. a) (−1)k 12 2

π 2

+ πk, k ∈ Z; (−1)k · π3 + πk, k ∈ Z; c) πk, k ∈ Z; ± 3π 4 + 2πk, k ∈ Z; d) πk, k ∈ Z; π π + π k , k ∈ Z. e) 2 + 2πk, k ∈ Z; (−1)k · π6 + πk, k ∈ Z; f) (−1)k · 24 4

152. a) x ∈ R \ {πk, k ∈ Z}; ∅;

153. (−1)k ·

π 4

+ πk, k ∈ Z.

3π . 4 155. 1) ± π6 + πk, k ∈ Z; 2) π6 ; 5π 6 . 156. (−1)k · 17 arcsin 0,8 + π7 k, k ∈ Z. 157. 1) 2 cos(2x)−cos2 x = 2(cos2 x−sin2 x)−cos2 x = 1 − sin2 x − 2 sin x = 1 − 3 sin2 x. 2) arcsin 13 ; π − arcsin 13 ; 3π 2 . 158. 1) [−1; 1]; 2) −1; − π4 ; π4 ; 1. 159. ± arccos 13 + πk, k ∈ Z; 2πk, k ∈ Z.

= 2 cos2 x−2 sin2 x−cos2 x = cos2 x−2 sin2 x =

DE

154. π4 ;

MO

b) x ∈ R \ { π2 + πk, k ∈ Z}; x = πk, k ∈ Z; c) x ∈ R \ { π2 + πk, k ∈ Z}; x = π4 + πk, k ∈ Z.

160. 739, 937.

161. Sunkokas uždavinėlis...

130

Besidomintiems

5. 6. 7.

a) (−4; 0); b) (0; 8). a) −7 13 ; 1; 2; b) − 13 ; 0; 1; c) 2; 7; d) 2,5; 4. a) (−∞; −1) ∪ (1; ∞); b) −1 13 ; 0 . 2mx 2 − 2x − 3m − 2 = 0. Kadangi m = 0, tai lygtis yra kvadratinė. Randame jos diskriminantą. D = 4 − 4 · 2m · (−3m − 2) = 4 + 24m2 + 16m = 4(6m2 + 4m + 1) > 0, nes 6m2 + 4m + 1 > 0. Kadangi D > 0, tai lygtis turi du sprendinius. a) −10; 10; b) −4; 4. (−∞; −4) ∪ (1; +∞). f (x) = (x − 2)(x − 3) − k 2 grafiko su OX ašimi bendrų taškų abscisės yra lygties (x − 2)(x − 3) − k 2 = 0 sprendiniai. Įrodysime, kad su visomis k reikšmėmis lygtis turi lygiai 2 sprendinius. Kai k = 0, tai (x − 2)(x − 3) = 0 sprendiniai yra 2 ir 3. Kai k = 0, tai atskliaudę gauname tokią kvadratinę lygtį: x 2 − 5x + 6 − k = 0, D = 25 − 4(6 − k 2 ) = 4k 2 + 1. Kadangi 4k 2 + 1 > 0, tai lygtis turi du sprendinius. Vadinasi, f (x) = (x − 2)(x − 3) − k 2 grafikas su OX ašimi turi du bendrus taškus.

MO

2. 3. 4.

DE

1.


Atsakymai

131


Atsakymai Besidomintiems 1. 2. 3. 4. 5.

DE

MO

6. 7.

√ √ √ 5 ; −1− 5 ; b) − 3 6; 1; c) −3; −1; d) 3; 5. a) − 12 ; 2; −1+ 2 2 a) 1; b) 1; c) 0; 15; d) 3; 83; e) −1; 2; f) −2; 3. a) 1; 6; b) −7; 1. a) 9; 81; b) 1; 9; c) π2 + πk, k ∈ Z; d) ± π4 + π2 k, k ∈ Z. √ √ √ √ 1) 31 + 8 15 = (4√+ 15)√2 = 16 + 8 15 + 15 = 31 + 8 15. √ 15) 1 . √ √ = √ 2) 4 − 15 = (4− 15)·(4+ = 16−15 4+ 15 4+ 15 4+ 15 3) −2; 2. −2; 2. log3 28 − 3; log3 10.

132

Geometrijos uždaviniai 162. 1) a) S = 12 ah; b) S = a 2 ; c) S = ab; d) S = ah; e) S =

a+b h. 2 √ 1a · a 3 2 2

√ 2 ⇒ h = a 2 − a2 = a 2 3 ; S = 12 ah =

2) a

a

h

–a2

a

163. 16 cm2. √ 2 164. 1) 3 23a ;

√

√ 2) 3 2 3 cm2 ; 18 3 dm2 .

B

C O

A

2) 120 cm2 .

166. 10 cm2 . 7. 167. 13

168. 135 dm2.

DE

169. 300 cm2 .

D

SABC = AC·BO ; 2 SABCD = 2SABC = AC · BO = AC · BD 2 .

MO

165. 1)

√

2 = a 4 3.


Atsakymai

133


Atsakymai Įvairūs uždaviniai 170. 91. 171. 33. 172. 7,8. 173. 72. 174. Pastaba. Sąlygoje nepakanka duomenų. 175. 8,6. 176. 70 %. 178. 5. 179. 2. 180. 2 ir 8.

MO

177. 28.

DE

181. 1) a) 10; b) 9; 2) a) 8; b) 7.

134

Testas 182. C. 183. D. 184. C. 185. D. 186. C.


Atsakymai

187. E. 188. D.

191. E. 192. C. 193. E. 194. B. 195. B. 196. C. 197. B. 198. E.

DE

190. C.

MO

189. C.

135


Atsakymai Pasitikriname √

199. x 2 − 2 2x + 1. 200. 1) −5; 2) −2. 201. 35. 202. a) 5; b) −3; 3; c) −2. 203. a) 6; b) 4; c) −2 34 ; −2; d) 1; e) 8; f) 1,5; 2. 204. (8; 3). 205. a) 2 13 ; b) − 13 ; c) −3; d) −3; 0; 3; e) 2 21 ; f) −3; 15 ; g) 0; h) 3; i) 0; 2. 206. a) 2 14 ; b) 19 ; c) 9; d) 5; e) ∅; f) −5; 5; g) 100; 1000; h)

√

2; 4; i) 19 ; 3.

208. 3 13 . 209. 0; 18. 210. 1) 12 ; 2) −1 12 . 211. 1) 2 21 ; 2) 100 000.

MO

207. a) −1,5; 2; b) 2 13 ; 5; c) −2,5; −0,5.

212. a) π + πk, k ∈ Z; b) (−1)k · π6 + πk, k ∈ Z; c) πk, k ∈ Z; (−1)m ·

213. a) 214. 1)

136

DE

d) g)

− π3 + πk, k ∈ Z; πm, m ∈ Z; e) π2 + 2πk, k ∈ Z; π + π k , k ∈ Z; h) πk, k ∈ Z; ± π + 2πn, n ∈ Z; 8 2 4 π ; b) 3π ; c) 5. 4 6 √ S = 2ab − a 2 , P = 4b; 2) S = 6, P = 4 8.

π 3

+ πm, m ∈ Z; f) 2πk, k ∈ Z; ± π3 + 2πn, n ∈ Z; i) π2 + πk, k ∈ Z; − π4 + πn, n ∈ Z.

MO

DE

Matematika Tau11 Kl Vadovelis

Recommend Documents