SOLUCIONARIO
matemáticas II UNIDADES 8 -14
2
bachillerato
8.
Determinantes ............................... ................. ................. ................ .................. ......... 4
9.
Sistemas de ecuaciones lineales .............................................................................. 46 Fin bloque II ................ ................. ................ ................. ................. ................. ........122
10.
Vectores ............... ................. ................. ................. ................ ................. .............. 128
11.
Rectas y planos en el espacio................. ................. ................ ................. .............. 168
12.
Propiedades métricas ............................................................................................. 208 Fin bloque III ............... ................ ................. ................. ................. ................. ........250
13.
Combinatoria y probabilidad ................................................................................... 254
14.
Distribuciones de probabilidad ................................................................................ 302 Fin bloque IV.................... ................. ................. ................. ................ ................. ... 338
(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque tienen alguna corrección en su enunciado respecto del que aparece en el libro del alumno.
8 Determinantes EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Ejercicio resuelto.
2.
Calcula el valor de los siguientes determinantes. a)
a)
3
2
8
4
3
2
8
4
b)
= ⋅3 4− 2⋅ =8 12 − 1 =6−
−2 5
c)
2
−1
−1 −2
3
1
4
48
−1
4
1 1 =5 3 ⋅ ⋅ 4+ 1
5
⋅ 1⋅ − 2+( ⋅ )2− ⋅(1−) (− )−1( 5⋅ )⋅ −1( 1−) ⋅ −(2)⋅1− 4⋅ ⋅2 3 =1 5 −4 +4 −5 2+ −24 =−12
3
2 3 0 12 . Dada la matriz M = 0 1 2 halla A23 , A32 y A −1 0 2 A23
2 = −( 1)
2
+3
3
=−⋅31=−3 −1 0
A32
3 = −( 1)
+2
2 0
0
=− ⋅41=−4
A12
2
+
1 2 = −( 1)
0
2
=−⋅21=−2 −1 2
Calcula el valor de los siguientes determinantes, utilizando sucesivamente la definición
a)
2
10
1
3
12
1
2
−1 1 0
0
1 12
2
10
1
3
12
1
a) 2 −1 1 0 0
1 1− 0 2
− −
0
1 −2
00
−1 2 2
12 1
−
1 1+
= ⋅2 +A⋅ +1 ⋅ −A 0⋅ = ⋅−1A − 2A1 11
12
13
3 1 1 3 1+
−
Unidad 8| Determinantes
1 +⋅−)1( 0 1 1 2 1 +)(0 11 2
3 12 4 1
2− 1 −0⋅−)(1 1 0 1 2
14
−2
+
1= 1+ 16 + − 4= 0 4 16
0 11
3
1 0−
25012
− −
por recurrencia.
0
1 020
b)
1 12
+0⋅− )( 1
4
4 5
1 2
c)
1 3
−1 −2
4.
1 3
−1 0 0 −2 6 5
−1 0 =−2 ⋅ −1⋅(+)6 1⋅ 0⋅ 0+5⋅ − 2⋅(−3) ⋅ 3− ⋅(1−) ⋅0 0−( ()⋅)2− −2⋅ ⋅ =1 5 6 −1 2 +30 − −0− 0 0 =30 − 0 −2 6
b)
1
3.
−2
−
32 1 2 1
+
01 2
−
1 1− 0 2
0
1 020
b)
0
1 −2
00
−1 2 2
= 1⋅ A−11⋅ 1 + A ⋅12 0 + ⋅ 13A2+ ⋅
3
−
25012
0200 A11
1+
1
=)− ( 1
1 − 2
0
3
−
2210
0 2
1+
3
1
−2
0
0 1 23 −1 2− 1−0 2012
A14 )=−( 1
5
−
1 20 A12 )=−(2 1 1+
2
+
1
−)=⋅ ( 21 1− 2 1−= 0 58
5012
4
=0A − 15+ 1A 1 =−12A+ 2+ 14A 58 =A 14 176 132
14
1 0−
10
2
0 0
1− 3
0 2 3 −1 2 3 ) =−⋅( 1−⋅ 111 1 −) 2( 21 ++ 0−⋅1 2 −1 1− ( ) 1 0=− + 12 =− +2 14 0 1 2 − 2 1 2 −
0
)−=⋅−⋅( −1 2 2 0 2 5 0 2 −
1
1
0 1−3
3
+ 1
1 1 1) 2( 2+−⋅ − 0 2 1( 5 0 2
−
00 3 +
1)2 −= − 0−
= 34 54 88
−
25 2
5.
Ejercicio resuelto.
6.
Sabiendo que b 2 d = 5 , halla el valor de los siguientes determinantes.
a c
a)
a + 2d
2
d
b + 2d c + 2d
4 6
d d
1 3
−
d d
b)
a
3d
−1 − 2a
b c
3d 3d
−2 − 2b −3 − 2c
6
c)
2
3
ab + c+ b c 3d d
d
a +d2 2 d a 2d d2 2 d a 1d a) b +d2 4d b= d 4 d + 2d b4 = d2 2 =⋅+= 0 25 10 c +d2 6 d c 6d d2 6 d c 3d
Hemos usado la propiedad de la suma para descomponer el determinante en suma de dos determinantes. En el primero hemos sacado factor común en la segunda columna, el segundo es nulo por ser la primera y tercera columnas proporcionales.
−a − ad21 a ad1+ ad2 a −= bd 22b+3 −= bd 2 bd+ b 2 c d3 23 −c − c d23 c c d3+ c d 2 c
a d3 21
b) b d3
2− 2−b3
3− =−⋅5 =15
(
)
En primer lugar, hemos sacado factor en las columnas segunda y tercera y, a continuación, hemos usado la propiedad de la suma para descomponer el determinante en suma de dos determinantes. En el primero hemos usado la propiedad 7, el segundo es nulo por ser la primera y tercera columnas proporcionales. 6 2 3 1 2 3+2 + 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3 a b + c b b + c c b−c= c) a ++b c b c=++a b c b =c −= 3d d d d d d+ d +d d d d d d d d d d d d d
a b c 1 2 3 5
Hemos usado la propiedad de la suma para descomponer el determinante en suma de tres determinantes. En el primero hemos usado la propiedad 7 y la 9, el segundo y el tercero son nulos por tener dos columnas iguales.
Determinantes | Unidad 8
5
a
7.
Si a, b y c son números enteros, comprueba que
3b
1
a
b3 c
ab
131
8.
Si
A
c
3
1 3 1
, por tanto, el determinante es múltiplo de 15.
111
((
( ) a) det AB
)−1 )
t
(
1
B 8=
1 = det ( At)B
b) det ( ( At B ) ) =
(3 ) A (d2 ) et c) det ( A23B) =det
3
2
)
( ) d) det 2 A
c) det A B
b) det A B
) =det ( ) A(det ) a) det ( AB
y det ( B ) =2 , halla, razonadamente:
det ( A ) =4
y B son dos matrices cu adradas de orden 3 tales que
−1
es múlti plo de 15.
1
3 abc
=5 2 9 5 15=2 3 5
10 45 25
c
10 45 25
.
1 1 = = ( ) Atdet ( ) B det( ) det (A) det
B8
( Adet )]3 [
.
det =[
B
2 ( B )256 ] =
.
3() d) Sacando factor común a 2 en las tres filas de A obtenemos det (2 )A =2 det
9.
.
Ejercicio resuelto.
10. Utiliza ndo el m étodo de Gauss, calcula los a)
2
4
0
4
0
1
b)
−1 1 1 240
a)
12 0
b)
1 20
4 0 1 2 4= 0 1
−1 1 1
−FFF 21→
12 1 1
12 1 1 396 0
− 2 10 1 −FF =
063 2
063 2
32 19↔6 0
1
1 21
1−
3 9 6
0
0 6 3
2
C↔ C2 3
4
− =− 20 1−−8= −FF→ 23
0 1 3
1 −2 1 1
−=FFF −
12 2
0 3 2 −3 − 0 → 3 FF−F3→ 3 32
1 2
=−
00 0
−
1 2 1 1 −
−F=FF +
2 33
−
3 2 −4 −2 2 2 1 − 0 4 2− 1
−
0− 3 − 2 3
=F FF
0 0 F+FF→1 6+3 4 4 →
→
442
0 6 3 2
2
−
0 0 1 8
0 14
−1 0 1 2 c)
22
0 0 11
= 42
1 6 0
−1 0 1 2 3242 − − 22 1 −0 4 2− 1 0
−
11
03− 23
c)
10 2
−0 1 8 2=
0F3 →3F31+F1
2 10 1
21 0
10 2
20= 8 1 −
1 1 1−
siguientes determinantes.
31
6
A 32 =
1 0 1− 2 0 − =2 1 4 +FF2120 → 23 1 4 F →F + 2F 331
0
Unidad 8| Determinantes
F4 →F4 + 4F1
0 2 5 8−
1 0 −1 2 − 0 2= 1 4
0 0 2 F0→F
F −F33 → 2 424
10 1 2
− 0=2 1 4 −
−43FF→ +F
0 0 4 12
00 2 0
0 0 0 12
=
2
48
11. Calcula los siguientes determinantes desa rrollando p or los elementos de una fila o columna. a)
0321
0123 1202
b)
−1 2 0 2
11 0 3
11 03
0 1−2 1
01 2
−1 2 0 2
3
01
0 1 2 3 1 2 0 2 2 0 2 2
0 3 31 0 5
F4 →F4 −F1
62
−
0 12 3 1 2 0 2
=
0
1 −
10
3
21
F3 →F3 −F1 F4 →F4 −F1
3 2 2 0
3
−1 2 3 0 3 1− 0 2 c) 2 0 1 −3
1
=
2
=−2−( 1 ) 2 1 1 40 por − Desarrollando la tercera columna 3 1 −3 −
1 2 3− 0
5
=
F2 →F2 + 3F1 F3 →F3 + 2F1
−
032 1
9
2
1+ 1
=−−
045 3
−
2
1+ 3
−
059 2
0 3 2 1
−
−1 2 1 1+ 1 =− Desarrollando =por 1( 1 ) 3 0 5 5 0 la primera columna −1 6 −2 −
1−
= F →F + F
1 0 6 1
b)
3220
1 0 3
−1 2 1
1 0 61
a)
2022
−1 2 3 0 3 1 − 02 c) 20 1− 3
1 0
− 1=( 1 ) 4 5 3
Desarrollandopor la primera columna
3
2
48
−1
12 y 13. Ejercicios resueltos.
14. Halla el rango de cada una de las siguientes matrices. 2 1 1− 0 B =1 2 0 1 − 0 3 1 2 −
1 1 2 A = 1 −2 5 1 2 1
1 1 2 01 C = 2 − 1 1 3 5 0 1 1 1 −1
1 2 D= −1 0
2 0
0 3
0
1− 3 1
4
2
1 2
1 1 2 4 −
Rango de A: Como el menor
1
1
1
−2
1
1 2
= −3 ≠ 0 , rg( A) ≥2 . El único menor de orden 3 es 1 −2 5 0 = , por tanto, rg( A) =2 . 1
2
1
Rango de B: F3
−1 0 2 1 1−0 1 2 0 1 − . Como 0 −1 = 1 ≠ 0 , rg(B) =2
rg( ) = F−2 F = rg 2 ⇒1 B
Rango de C: C3C= 1+2C C =, 1 −2 C⇒ 4 C
=C r rg( g )−
1 0
1
1
1
1
1
. Como 2 −1 5 =6− ≠0 1 1 0 1 1
2 15
, rg(C) =3
Rango de D: Como
12 0 0
1 0 0 0
2 0 1 −3
2 4 1 3−
=
−1 4 2 1 0 1 1 2
−
1 6 2− 1
C2 →C2 − 2C1
−
0 1 1 2
−4 −1 3 1+1 ≠1(=1 ) 6 2 1 19 0 Desarrollandopor la primera columna 1 1 −2
=− −
, rg(D) =4
Determinantes | Unidad 8
7
15. Halla el valo r de
k
k k + 1 1 0 para que rg 2 1 1 2 2 = . 03 k1 + 2
2
Como el menor
0
1 3
= 6 ≠ 0 , el rango es al menos 2.
Para que el rango sea 2, los dos menores de orden 3 que se obtienen ampliando el anterior se deben anular, es decir: 0 k +1 1 2110 = 0 3 k +1 k +1 1 k 1 20= 2 0 3 2
2 ( k +)1( k −) 4 = 0 ⇒ +( k) − 13(+ −) k( +) 1= 2 k⇒ 1 0 = ⇒ −(k ) + k− =1 4 0 2k − 8 = 0 2 ( k )+ 1+ 66
4
k
3
16. Estudia el rango de
P
2
3
1
3
en función de
.
1
El único menor de orden 3 se anula si: 3 3
−3
α
α
2
1 0
α
−1
Por tanto, si
=3 ⇒ 32 − 333 3− 3 2 + 33 + 0 6 −6
≠ −1,
≠0 y
2
+0 6 =
⇒ 1 0 −
0, =
⇒1, 1 (
≠1 , tenemos rg(P) =3 .
−1 −1 −3 1 Si α = −1 tenemos P = −3 1 1 y rg(P) =2 , ya que =6≠0. −3 −1 −3 −1 −1 3
3 0 0 3 0 Si α = 0 tenemos P = 0 0 1 y rg(P) =2 , ya que =3≠0. 0 1 −3 0 −1
3 1 1 3 1 Si α = 1 tenemos P = 3 1 1 y rg(P) =2 , ya que = 6 ≠ 0. −3 1 −3 1 −1 En resumen, si
= −1,
17. Ejercicio interactivo. 18 y 19. Ejercicios resueltos.
8
Unidad 8| Determinantes
=0 o
=1 tenemos rg(P) =2 , en otro caso rg(P) =3 .
−)= ⇒
=
=−
=
20. En cada caso, determina si la matriz tiene inversa. A
A
=
B
=
2
1
3
5
= ≠ 7⇒ 0
2
−1
−4
2
2 1 = = 35
B
2 1
= 4 2−
−
1 0 1 − 1 0 2 D2 1 0 1 1 0 0 1 1 − − 0 2 1
C =
A es invertible.
C
1 0 −1 = 1 1 0 0 = ⇒ C no es invertible. 0 −1 −1
D
= 2 1 0 = 9≠ ⇒ 0
1
= 0 ⇒ B no es invertible.
0
0
2
2 D es invertible.
1
21. Halla la matriz inversa de cada una de las matrices. M
Inversa de M: M =
4
1
5
2
= ≠ 3⇒ 0
4 1 = −=N 5 2
13 1 2 0 2 − P1 3 1 21 − =0 01 1 1 1 0
M es invertible.
2 t 2 −5 1 1 2 −1 3 y M −1 = = ( Adj ( M ) ) = M 3 −5 4 5 4 −1 4 − 3
Adj ( M ) =
2
Inversa de N: N
=−
0
1 − 3 3
−2
2 1 0=6≠ ⇒ 0 1 1 0
N es invertible.
0 −1 3 0 0 −3 0 −2 2 1 1 t 2 1 −1 Adj ( N ) = −2 2 −2 y N = ( Adj ( N ) ) = 0 2 4 = 0 N 6 3 2 4 2 −3 −2 2 1 1 − − 3 2 1 3
Inversa de N: P =− 1 3 0
1 3
3 1 3
−1 1= 6≠ ⇒0
1
−
P es invertible.
1
1 − 2 1 3 2 1 −1 2 −4 6 3 1 1 t 1 Adj ( P ) = −4 1 −1 y P −1 = P = = Adj 1 1 0 0 ( ( )) P 6 6 6 6 0 6 −1 −1 6 1 1 − 6 − 6 1
Determinantes | Unidad 8
9
22. En cada caso, determina para qué valores del parámetro 1 λ 3 b) B = λ 1 2 −2λ 1 0
1 1 0 a) A = 1 − 0 2 1
λ tiene inversa la matriz. 2 1 3 0 λ −2 1 d) D = 0 0 1 0 0 0
1 λ + 1 1 c) C = 3 2 0 1 1 0
a) A tiene inversa si A ≠ 0 : 1 A = 0⇒
1
0
−0 1 =0 ⇒
1 0
2
1 +
= ⇒
=−
1
Por tanto, si λ ≠ −1 la matriz A tiene inversa. b) B tiene inversa si B ≠ 0 :
λ 3
1 B
0 =⇒
1 2 0 4 = ⇒9− 2 0 + 2
2 − ,= ⇒
=
−2λ 1 0 Por tanto, si λ ≠
1
=
4
1 y λ ≠ 2 la matriz B tiene inversa. 4
c) C tiene inversa si C ≠ 0 :
C
1 λ +1 1 0 3 2 0 =0⇒ 1= ⇒ 0 =⇒ 1
1
No hay solución
0
Por tanto, la matriz C tiene inversa para cualquier valor de λ . d) D tiene inversa si D ≠ 0 :
D
= 0⇒
2
1
0
λ −2 1 2
0
0
00
3 1 1 1 0 1
=0 ⇒ 2−20 −2 =( ⇒ =) −
Por tanto, si λ ≠ 2 la matriz D tiene inversa.
23. Ejercicio resuelto. 24. Identifica las expresiones que sean iguales de entre las siguientes. a) AB + 2A
d) B ( A − I )
g) AB + CB
b) ( A + C ) B
e) A ( B + 2I )
h) B + 5A
c) AB − B
f)
+
+
3 A B 2A
AB + 2A = A ( B + 2I ) , es decir, las expresiones a y e son iguales.
( A + C ) B = AB + CB , es decir, las expresiones b y g son iguales. 3 A + B+ 2=A
10
+ B 5A , es decir, las expresiones f y h son iguales.
Unidad 8| Determinantes
i)
( B + 2I ) A
1 1 − 1
2
25. Despeja la matriz
X en cada una de las siguientes ecuaciones matriciales, suponiendo que todas las matrices son cu adrada s de orden 3 y que las matrices que lo requiera n tienen inversa.
a) BX = C
d) AX t + B = C
g) A + BXB = C
b) B + XA = C
e) XAB = A + XB
h) AX + B = A + X
c) XA2 = A
f)
AXB = C
i)
A ( B + XA ) = C
a) BX =C ⇒X B=C −1 b) B +X A =C ⇒ XA= C− ⇒ B =− X
C B A(
−1 c) XA2 =A⇒ =X AA2 = ( )A1A1 =( )A
2
−
−1
) −
(C B )t ( A−1 )t
t d) AX t + B = ⇒tC =t AX −⇒ C = B− X ⇒ = A−1 (C− B=) − X t [ A−t 1=(C −t B )]
e) XAB =A+ X⇒ B f)
AXB
XAB − =X⇒B A
−1 )A− = X A AB −( B) = ( A) A− I B
− X= AB ⇒ =B(
−1
) ( A )−1
B −1
(
) −1
= C ⇒ X = A−1CB −1
g) A + BXB = ⇒C
B −1 (C
=BXB − ⇒ C= A − X
A ) B −1
h) AX + B= +A ⇒X − AX = −X ⇒ − A B= − ( ⇒ A) I= − X i)
[AB A I]
(C
A ( B + XA=)
−1 ⇒C+ = B XA ⇒ = A−1C − ⇒ XA = A C− −B1
26. Resuelve la ecuación matricial
XA −A
2
=B
−1
X
(A
1 0 −1 Como A =− 1 1 1=≠ 1 0 1 −1 0
2
A B
B) A
C
siendo las matrices
1 0 1 − A = −1 1 1 1 1− 0 Tenemos XA −A 2= B⇒ XA= B+ A
−1
) ) A I A B − ( (X
A
y B:
20 1 0 1= 2 B
12 0
−1 , por tanto, si existe A−1 tenemos X = B (+ A A2=) +BA
A −1
.
1 1 0 1 1 1 t 1 existe A−1 : Adj ( A ) = 1 1 1 y A −1 = ( Adj ( A ) ) = 1 1 0 A 1 0 1 0 1 1
Por tanto: X B = A=+
−1
A
2 0 1 1 1 1 1 0 0 1 2 −1+1 0 =1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 0
27. Resuelve la ecuación matricial: A = AXA+−1 ⇒B
Como A=
3 2
−1 AXA = −⇒
=A B−
A
X
=
AXA
−1
1 2 3 −3 1−+ 1 3 2= −3 3 1
+ B en la que
A
−
1 0
1 3 3 2 1 0 4 3 4 2 1 − 1 1 0 1 1
y
B
son las matrices:
A
3 4 = , B 2 2
26− = 25−
A−1 ( A B ) A
2 −1 4 t 1 1 2 −4 2 −2 −1 =− ≠ 2 0 existe A −1 : Adj ( A ) = y A = A ( Adj ( A ) ) = −2 −2 3 = 1 − 3 2 −4 3 2
Por tanto: X =−A −1A( B A
−21 3 4 ) − 3= 1 − 2 2 2
21 =
26 − 34
25 − 22
− 5 2 3 4 1 4 − 3 4 13 −2 2 2 1 − 2
Determinantes | Unidad 8
11
28. Ejercicio interactivo. 29 a 38. Ejercici os resuelt os.
EJERCICIOS Cálculo de determinantes 39. Calcula el determinante de cada una de las matrices siguientes. A
A
= 11, B=−
14 y= − C
57 = 32 31− B = 20
1 4C 3 5
= − −
−
17
40. Calcula el determinante de cada una de las matrices siguientes. M
M
1 2 1 = 3 1 2 0 2− 1
− =
1 13 −
2 = N 20 4 1 1
−
2 1 1 − 3 1 2P 1 2 3
= 5, N =14 y P =30
41. Calcula el determinante de cada una de las matrices siguientes. 3 0 0 4 S= 0 0 1 0
0 0 0 0
1 0
0 2
20
00
11 12 T = 2 1 1 2 −
3 2 1
−
1
La matriz S es triangular, por tanto, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal, es decir, S = 24 . 1 −1 2 1+1 Desarrollando por la primera fila, tenemos T = 2−(−1 ) 1 1 2−= 24 2
42. Calcula, en función de
a,
2
=a
a
1 2
Ba =
12
2 = a 12
a1
a2
a
−
1 1 1 = + B 2 2a 0 3 1 2 1
1 1−
−
1
1 −1=6 −
+ 2 a−1+4 −3a
=−3 + +a 29
3
1 −1 a − 1 + 2 2 0 =2−2a a+2 (−a1 −2)(a −1+) a+(a =−2) (−2 +) 3 10 1 −2 1
Unidad 8| Determinantes
.
1
el determinante de cada una de las matrices siguientes. A
A
1
2
a−
43. Dadas las matrices: A
2 1− 0 = 1 1 −1 = 3 0 1
1 12 − −B1 1 1 1 2 1 −
Calcula los determina ntes de las m atrices: 2
a) AB
c) ( A + B )
b) A + B
d) At − 2B
−3 3 3 a) AB = 1− 2 2⇒ = −4 5 7
m
5 4 6 2 04 ⇒ + = 10 4( )8
2
()
que hace que el determinante de las matrices
M
01 1 1 0 2 − N 21 1m =2 1 −10 m 2 1 0 m +
M m=
M
=m2 1− m − m=m − 2 + 2 1−2
− +1) 2( +)1m − 8 4=− y N =− 2 ( m M N= m⇒− m
45. Determina los valores de
A 64 B
2
4 −1 −1 t d) At − 2=B − 3 3 2− ⇒ − 2 =−A54 B 2 −5 −1
1 0 2 b) A + =B 200 ⇒ + = A 8 B 2 2 2
44. Calcula el valor de
A + B=
c)
AB 18
+
2
−2 =−1m⇒ 4m − +
y
N sea el mismo, siendo:
−
, por tanto:
2 +m= 3 0⇒ m 2
=− 1, =3
a que cumplen la ecuación:
a
1
1
a 1 0= ⇒ a 4+23 4+ −2a aa− 0−a =a ⇒7 −6 0a+
4
2
a
1
1
a
1 1
4
2
a
=0
1 3 =a ⇒ a3,=−1 , 2=
=
a
46. Resuelve las siguientes ecuaciones. a)
−1 1 1 x −1 x − 1 = 0 1
a)
x
0
−1 1 x −1 x 1
x+2
1
20
0
x
x 0
=
−1
1
−1 0= x⇒ x + −1x1+( − 0= x) x⇒− +22x 0x= ⇒ 0,=2 2 = x
0
x +1 x + 2
b)
x +1
b)
1
2 0 0
0
x
x 2 = 1⇒−
0 x−x 0, x1 =2x +( x+2x) 0+ (x+2 )= ⇒ = ⇒
=
−1
Determinantes | Unidad 8
13
2 −3 = , se define para cada número real k , la matriz B =A k− I , donde 1 −2 matriz identidad de orden 2. Halla los valores de k que hacen que el determinante de B sea nulo.
47. Dada la matriz
kI BA =
A
2−k
− = ⇒0
48. Dada la matriz
A2
−3 =⇒ k 0 −k2 − −(2)+k 3 =( 0⇒ −)k = 10 k ⇒ =− 1, =1 −2 − k
1
2
2 0 = , halla el valor de λ que hace nulo el determinante de la matriz 1 1
A
− =A 4 130− 2 0 =λ 432 1 0 −− λ
49. A partir de l a matriz
M
4 ( 2− 1 ) ( ) −0 , por tanto, A2 − A = 0 ⇒
−
denota la
I
= 2, ⇒1 =
A2
− λA .
=
.
x x −1 2 = −1 1 −1 , se construy e el polin omio P ( x) =det( M) . Halla las raíces de 2 x + 1 0
xP() 0 = ⇒ 2x− 1 −2(x −)1 (4+xx) −
+ 1( x0+) x= ⇒3 −4x 0 −x = ⇒1,2 =− 4 =
P(x ).
.
Propiedades de los determinantes 50. Si
a
b
c
d
e
f
g
h
i
3a
a)
= 3 , halla los si guientes determinante s in dicando, en cada caso, las propiedades que utili
3b
g
h
i
2
2
2
3a b3 c
a)
a d a g−a + b) b e b − h b + cfc − i c +
3c
−d −e −f
a bc
3
−d −e −f =
−
g h i 2
gh i
2
9
2
2
−=
−a d a g −a d a a b− e +b h− b e b =b Propiedad1 c− f c i c − f c c
ad g
abc
= beh
d =ef
c f i
3
2
a d a−+g a b) b e b−h +b = c f c −+i c
14
d ef
Propiedad 2
Propiedad 9
ghi
Unidad 8| Determinantes
=3
−
−adag b =e b h −c f c i
a d ga
a g
− b e h b= b h Propiedad1 Propiedad4 c f ic
c i
Propiedad4
zas.
51. Se sabe que
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
a1
= − 2 , calcula razonadamente:
b1
c1
a) a1 −a22 b1 b2 −1c2 2c 3a3
3b3
a1
b1
a3
c1
a1 b 1 1c 1a 1 b 1 c
3b3
a 1 b 1 c−
1
3c3
a2 b23 c2 a2 a3 b33 c3 a3 a1
b1
c1
a3
b3
c3
b33 c3
abc
62 2a 2=b c
3a3 3b b 33c 3 3 3c 3 3a 33
12
Propiedad4 Propiedad 2
a bc
333
3 + a2 2b32c 2 a 32 b2 a 2 a2 2b c 2 1c2+ 16a 12b 1 a = 2 13a 1 1b c = += 2 a16Propiedad 1b 1 + a3 3b33c 3a 33 b3 a 3 bc 3 a3 3
b) 2a16 b12 c12 a1
a2
2c1 a21
111
−=
a b 222c2
2 2 Propiedad1
+ + a3 +
b32 c2
b) 2a61b1
3c3
a) a1 −a22b1 − b22c1− 2c2= 3a3
a2
−2
2 2 a2 b c 61 1a1 b c =
Propiedad2 Propiedad 4 3 3 3
Propiedad2
Propiedad7
abc
)( ) −= 6 a2 b2 =c−2 − 6=( 2 12
52. Sabiendo que
1
1
1
x
y
z
0
2
4
= 4 , calcula, sin util izar la regla de S arrus, los si guientes determinante s, indicando
en cada paso qué propi edad de lo s determinantes se está utilizando. 3x
3y
3z
1
1
1
0
1
2
a)
x x +2
33x3 y z
a)
1
0 1 2 x
111
2 024
024
yz
x
3 x 3y 23=4 z+
b)
x + 2y z+ 2
3
=−Propiedad 6 −= x y 7 y
z
x
y
+2
xy z
xy z
0 2 4=
20 2 −4 =
M −1
x
333 x
xy z xy z
53. Dada la matriz
z
+y z 0 2 4 = Propiedad 1 x + y2 + z2 + x2 +y2 +z 2 + 2
Propiedad4
222
M
222
111
z
y
+2
z+ z+2
z
2
= 0 2 +4 0 2 4 = z y x
M
xy z 3
= Propiedad 2
111
y
3x 3 2y +3 4
b)
y
z
= +y 2 +z 2+ 2 024
x
Propiedad 5
Propiedad 1
111 20= 2 4
=2 Propiedad7
Propiedad2
z y x
8
111 x
Propiedad7
y
z
024
2 1 −1 = 1 0 1 , utilizando una sola vez la regla de Sarrus, calcula: 3 1 2
M
, M t , M 3 , 4M y
.
= 0+3 −1−0 −2 −2 =−2
3
, M t = M = − 2 , M 3 = M = − 8 , 4M 4=
3
M =128 −
y M −1 =
1 M
=−
1 2
.
Determinantes | Unidad 8
15
54. Se considera una matriz
G de orden 3 x 3, cuyas columnas se representan por C1 , C2 , C3 y cuyo determinante vale 2. Considera la matriz H cuyas columnas son C3 , C3 + C2 , 3C1 . ¿Cuál es el determi nante de esa nueva matriz H?
, C ,3 ( =detC+C 3)3=C 2 1
det ) ( (H
= 3 det (CC,3C21, )
det , +Propiedad C ) Cdet (3 3C11, ),3C=3C2 C 1 (
det CC =−Propiedad3( 7C ), (=, )− =G 3 det 12 3 −
,3 =3C2C1 C det ,Propiedad 4
,3)
Propiedad2
.
6
55. Sabiendo que a, b , c y d son n úmeros distint os de cero, sin aplicar la regla de
1
1
1
a b c bc ac ab d
d
bc ac ab
abc
Propiedad2
1
1
a bc
b ac
c ab
d
d
d
Sarrus, justi fica que:
=0
bc ac ab
1
=
1
d
d
d
=
Propiedad4
0.
d
56. Sea C una matriz cuadrada de orden 2 de columnas orden 2 y con determinante 2. Si determinante de la matriz BD −1 . det) ( D( =det 4 C CC,− ) = 122
−= 4 det C, −=C ( 1 )2
D
C1 y C2 y det(C) =5 , y sea es la matriz cuadrada de orden 2 de columnas
C C (det 4) C C ,= 2 det ( − )Propiedad ( 4 ), =CC12 12 1
−= 4 det
4=C C ,12 ( det ) Propiedad 5
4 det
B
una matriz cuadrada de y C1 − C2 , calcula el
4C2
,
Propiedad2
Propiedad7
.
C 20
()
Por tanto, BD −1 =
B D
=−
1 10
57. Calcula, por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificando los pasos, el determinante:
2+ab c a a b
= (+2++) abc
= (+2++ abc)
16
2 a2b++ cba +
2b+ c c
= a
2+
Propiedad8: C3 → C1 C+ 2C 3 +
a b
+
2012 1 0010 1
Unidad 8| Determinantes
b
a
2+b
c
a
b
2 +c
cba
c
+2 1a b = 2 +++abc a 12 b+ =( Propiedad2 +++ 2 a b
2b 2 a + bc +++
2 1bb a 1 + 02b +0a1 1+bb2 ab 1 1 = ( 2+)++ abc 0+21 0 b 1
2+a
2 b1 b1 5 = 0+2Propiedad 0 b1
b 201 = ( 2+++) abc Propiedad ( 05 2=)1 42+++abc b 001
)
Propiedad1
1
Propiedad1
58. Sin desarrollar el determinante prueba que las raí
ces del poli nomio 4
4
P ()x 3=
4
4 3
4
4
P (4) = 3 4
4
3
0=
, ya que C1 = C2
0=
, ya que C2 = C3
3 4 4
3 4
P(−7)=
3
3 4
3
x
4x x
P(3) = 3 3
P ( x ) son 3, 4 y –7, siendo:
3
−7 =4 0
4
3− 7
−7
3
, ya que C3 = −C1 − C2
3
2 ) 1 x +1 ( x + ) − 1 +x1 + 1= x0 2 x −1 x2 −1 ( x − 1)
2 ( x 21−
59. Resuelve la ecuación
.
x
Observemos que 2 ( x 21−
2 ) 1 x +1 ( x + ) 2xx +1x− +(1 x)(1+ )
2
( ) x − 2 1x 1+ 1 x − 1 x +1x 1+ = x − 1 x +1 x 1 + = x x+ 1 x−1− x1 x 1+ 1 += ( )( 2 2 ( x x− 1−) 1 x − 1 2x − 1 x −( x1 )+x 1− 1 ( )( ) 2 2
= (+x () 1x−)
1
(
)
) x −1
1
x +1
2 1 2 12 1 1x+ =11 +x( ()1x−) x 1 1
1
1
Por tanto, la ecuación se reduce a ( x +)1(
2
2 )x − 1 x = 0 , cuyas soluciones son x =− 1, =x 1,= x 0 .
Método de Gauss y determinantes 60. Calcula los siguientes determinantes utilizando el método −1 1 2 0 1 −2 1
de Gauss.
1
a)
2 2 0
1
1 21
b)
−
−1 3 1 3
a)
1 11 2
1 1 1 2
1 11 2
−2 1 0 1−
− 1 2 1 0−
= − −FFFFF+0→→ 4 2−2 − 5
−− 0 1 2 1−− = +FF→0 0 −6 1 F+FF→
0 2 2 5
0 06 7
2 20 1
−1 3 1 3
3 1
144
12 1 0
b)
1 21
−1 0 2 1 34 1 1
4−3F4F→ 2
=
−
12 10 02 3 1
0 4 5 5 0 2 2− −1−
−FF3F 2→0 F+F→
0 13 4
0 0 10
2+ FF→ 3F 4 4
−
=
48
0 00 8
12 10
FF −3F→ 3 2 1 F4 →F4 − 3F1
1
0 −0 6 1
02 3 1
=
5
1 11 2
0
12
−
442
2 8 7 3 41
0 12 1
0 2 3 1
= FF +F →
287 5
32
0
−1 0 2 1
=
−
0 0 1−3
=
−
6
2
00 03
Determinantes | Unidad 8
17
61. Calcula l os siguientes d eterminantes. a)
10 2
1
2 10
1
1 2
1 1
1 3
1−2
2 1 1− 0
−
b)
a)
10 0 0
−
= C →C − 2C
3 11 12
3
0
C4 →C4 −C1
1 3 1 −2 2 1 1 −0 02 1 2
− − −
2 1 4 3
12 1 1
b)
1 2
10
2
−
0
−1 2 0 4
10 2 1 2 1 0 1
0 2
13 3 1 2 1 5 0 02 1 2
−
−
−
10 2 0
−
10 0 0
C3 →C3 − 2C1
−1 2 0 4
1
01 6
−3
3
la primera fila
=
−4 −3
1 1+1
=Desarrollando − − por= 1( 1 ) 2
−5
1 1+ 3
= −
= −1( 1 ) 2 Desarrollandopor
1 2
la tercera fila
1 2 2− 4
1
0
26 8 2
4
62. Calcula el determinante: 20002 02020 00202 02200 20020
2000 2
2 0 002
2 0 002
2 0 002
0 2020
0 2 020
0 2020
0 2020
0 0= 2 0 2
00 20 2
F1−FF55 → F →F
=0 0 2 0 2
=
−F F4 → 3F 4
−F
04 0 42 22 0 0 0 022
0 2200 20020
+4F5F5F→
−0 0 0 2 2 0 0 0− 2 2
=2 0 0 20
64
−0− 0 0 2 2 0 0 004
−− −
−
63. Halla dos r aíces del polino mio de cuarto grado: P(x ) =
x
1
1
1
x
1
1 1
3
3
x
3
3
3
3
x
Una raíz es x = 1 , ya que P(1) = 0 por ser las dos primeras filas iguales. Otra raíz es x = 3 , ya que P(3) = 0 por ser las dos últimas filas iguales.
64. Obtén, e n funci ón de a, b y c , el determinante de la matriz: 1 1 1 1 1+ a 1 1 1 A= 1 1 + b1 1 1 1 1 1+ c 1 A
=
1 1 1
18
1
1 1
1+ a 1 1
1
+ b1 1 1 1
1+ c
Unidad 8| Determinantes
0 0 01
=
0 01 a 0
01
F1 →F1 −F4 F2 →F2 −F4 F3 →F3 −F4
00
1
a
=−
−
b
c
=
1+ 4
1(1 )0
Desarrollando por la primera fila
0
0
0b 0
0
abc c
Rango y determinantes 65. Determina el rango de cada una de las siguientes matrices. 1 3 = 1 2
A
=−
1 0 2 =2 1 1 1 1 5
B
12 1 =C3 0 3 1 0 1 1 0 10 1 2 1 2−
D
01 1 0 − 1 1 1− 1
Rango de A: Como el menor
3
1
2
1
= 1 ≠ 0 , rg( A) =2 .
Rango de B: Como el menor
1
0
2
−1
1
0
2
= − 1 ≠ 0 , rg(B) ≥2 . El único menor de orden 3 es 2 −1 1 0 = , por tanto, rg(B) =2 . 1
1 5
Rango de C: Como el menor rg(C)
1
2
3
0
1 2
= − 6 ≠ 0 , rg(C) ≥2 . El único menor de orden 3 es
1
3 0 3
=24− 0 ≠ , por tanto,
−2 1 2
=3.
Rango de D: 0 1 10
Como
0 1 00
−1 1 0 1
1 1 1− 1
=
101 0
10
C3 →C3 −C2
1 1 1 −1
−
10
11 2 1
= −
−
1≠( 1=
Desarrollando por la primera fila
−1 −1 1 1+ 2 ) 1 1 03 0 1 −2 1
, rg(D) =4 .
66. Halla el rango de las siguientes matrices. A
2 4− 6 3 = −3 6 9−2
− =−B
2 1 0 1 1=2 5 0 5 1 3 1
3 2 1 1 − 1 2 1 2 1 0C −−0 = 0− 1 1 2 0 4D0 6 4 − 1 2 3 2 1 −2 0
−
Rango de A: Como el menor
2
3
−3 2
= 10 ≠ 0 , rg( A) =2 .
Rango de B: 1
0
1
Como el menor 2 −5 0 6 =0 ≠ , rg(B) =3 . 1
3
1
Rango de C: 1 1 1 1 Observemos que C1 = 3C3 y C2 = − 2C3 , así, rg(C) =rg 0 1 2= , ya que el menor =1≠ 0 . 0 1 −2 0
Rango de D: 1
2
1
Como el menor 0 −4 0 8 =0 ≠ , rg(D) =3 . 3 −2 1
Determinantes | Unidad 8
19
67. a) Determina, razonadamente si la tercera columna de la matriz
A siguiente es combinación lineal de las dos
primeras.
1 2 3− 0 1 −1 −1 0 1 1 −
A= 0 1
b) Calcula el rango de la matriz A. 1 2 −3 a) Como 0 1 1− 0 = , las tres columnas son linealmente dependientes. −1 0 1 A Además, las dosdebe primeras columnas de independientes, tercera columna ser combinación lineal son de las dos primeras. ya que no son proporcionales, por tanto, la 1 2 0 1 2 0 b) rg( A) r=g 0 1 1 3 = , ya que 0 1 1 3= −0 ≠ . −1 0 −1 −1 0 −1
68. Dada la matriz: 2 0 1 −1 k − 2 −3 2k4− 2 3
Halla, en cada caso, los valor es del parámetro
k
k
k
para que:
a) La tercera columna sea combinación lineal de las dos primeras. b) La cuarta columna sea combinación lineal de las dos primeras. c) El rango de la matriz sea 2. Observemos que las dos primeras columnas son linealmente independientes, ya que no son proporcionales. a) Para que la tercera columna sea combinación lineal de las dos primeras debe ser: 1
2
0
0k − k−2k = 3⇒0 =− 2 = 1, −1 k− 2 − 3 = 0⇒ −(k 2 )− +12 +92 2(k −k2= ) ⇒ 2 3 k −2
3
b) Para que la cuarta columna sea combinación lineal de las dos primeras debe ser: 1
2
k
−1 k− 2 k = 0⇒4k (−2 +)k−4k−k3k 2
3
2k( −2 −) + 3 8= k⇒ 0−k 2+ k=6 ⇒ k 0=
=0,
2
3
4
c) Según los apartados anteriores, si k = 3 , la tercera y la cuarta columna son combinación lineal de las dos primeras columnas, por lo que el rango de la matriz será 2. En cambio, si k ≠ 3 bien C1, C2, C3 bien C1, C2, C4 serán linealmente independientes, con lo que el rango de la matriz sería 3.
20
Unidad 8| Determinantes
69. Determina el rango de cada una de las siguientes matrices según el valor del parámetro −2
A
0
= 1 k 2 4
−4 2
k
k
B
−1
k
0
= 0 k −1 k k − 1 0 k
k = 0, 4= k Rango de A: A = 0⇒− 2 +8k 2 =0⇒
k
k k
C
= k k
− 1kk ( 1 1
1) −
k − 1 k
k.
1
D
2 3 = 0 k 2 3 −1 k
, por tanto:
Si k ≠ 0 y k ≠ 4 , tenemos rg( A) =3 .
−2 0 −4 1 0 Si k = 0 tenemos A = 1 0 2 y rg( A) =2 , ya que = 4 ≠ 0. 2 4 2 4 0 −2 0 −4 1 4 Si k = 4 tenemos A = 1 4 2 y rg( A) =2 , ya que = −4 ≠ 0 . 2 4 2 4 4 Rango de B: B = 0⇒2k −3k3k + =20k⇒ =k k0, =
,
=1
1 2
,por tanto:
1 2
Si k ≠ 0, k ≠ y k 1≠ , tenemos rg(B) =3 .
−1 0 0 −1 0 Si k = 0 tenemos B = 0 −1 0 y rg(B) =2 , ya que = 1≠ 0 . 0 −1 −1 0 0 1 − 1 0 2 2 1 1 − 1 1 1 1 2 2 Si k = tenemos B = 0 − y rg(B) =2 , ya que = ≠0. 1 2 2 2 4 0 − 1 2 − 1 0 2 2 0 1 0 1 0 Si k = 1 tenemos B = 0 0 1 y rg(B) =2 , ya que =1≠ 0 . 0 1 0 0 1
Rango de C: C = 0⇒k −k 2 2= 0k⇒ k= 0, = 2
, por tanto:
Si k ≠ 0 y k ≠ 2 , tenemos rg(C) =3 .
0 −1 0 1 0 Si k = 0 tenemos C = 0 1 0 y rg(C) =2 , ya que = −1 ≠ 0 . 1 −1 0 1 −1 2 1 2 1 2 Si k = 2 tenemos C = 2 1 2 y rg(C) =2 , ya que = −1 ≠ 0 . 1 1 2 1 1 Rango de D: D = 0⇒ k −k
2
9+ 14 = k⇒ 0 k=
2,= 7
Por tanto, si k ≠ 2 y k ≠ 7 , tenemos rg(D) =3 .
1 2 3 1 2 Si k = 2 tenemos D = 0 2 2 y rg(D) =2 , ya que =2≠0. 0 2 3 −1 2 1 2 3 1 2 Si k = 7 tenemos D = 0 7 2 y rg(D) =2 , ya que =7≠0. 0 7 3 −1 7
Determinantes | Unidad 8
21
70. Determi na para qué valores d e a son linealme nte independientes los vectores:
u
= (1, − 1, =2), v a− (2, w =, a a1) y
( , 2, )
Formemos una matriz A cuyas columnas sean los vectores dados, si el determinante de esta matriz no es nulo los vectores serán linealmente independientes. 1 A
= 0⇒− 1
a
2 a 2 0 =
2
a 2 =0 ⇒ a =− 2, = 5 a ⇒− + 3 +10 −1 a
a
Por tanto, los vectores son linealmente independientes si a ≠ − 2 y a ≠ 5 .
71. Estudia el rango de
El menor
2
−1
2
2
2 1− 3 −5 2 2 −1 a en función d e los valores de A= 1 1 1 6 3 1 −4 a
a.
= 6 ≠ 0 , por lo que rg( A) ≥2 .
2 −1 −3 Ampliando este menor con la tercera fila y la tercera columna tenemos 2 2 1− 9 =0 ≠ , por lo que rg( A) ≥3 . 1
1
1
El único menor de orden 4 es: 2 1−−3 5 A
=
2 3 − −5
−
2 2 1
a
2 0
1 1 16
1 02 10 C →C − C 2
3
3
4
4
−7
3
=C →C −C
12
−
−3 −5
a−
3 +1
= −Desarrollando +− −=por1( 1 ) 0
0
la tercera fila
1
3
−2 7−
−7 12a
2 12 a
a18 −
1
3 1 4 − a C →3C −26C 7 a −− − 18 Por tanto, si a ≠ 6 el rango de Aes 4 y si a =6 el rango es 3.
72. Halla el rango de cada una de las siguientes matrices según el valor del parámetro.
A
1 k = k 9 2 6
Rango de A: El menor
B
1 1 1 k = k k 2 1 1 1 1 k 1
k
9
2
6
C
1 2 1 −1 a −3 = 1 a+2 1 2 0 5
D
1 m 1 m −1 m −1 m 1 = 1 1 1 2 1 m−
= 6k − 18 se anula si k = 3 , por tanto:
Si k ≠ 3 , tenemos rg( A) =2 .
1 3 Si k = 3 tenemos rg( A) =rg 3 9 1= , ya que C2 = 3C1 . 2 6 1
Rango de B: El menor k 1
1
k
= k33 −2 k +
11 k
se anula si k = −2 o k = 1 , por tanto:
1
Si k ≠ −2 y k ≠ 1 , tenemos rg(B) =3 . 1 1 1 1 1 1 2 − Si k = −2 tenemos rg(B) r=g 2 −4 1 1 3 = , ya que el menor −2 4 1 −= ≠18 0 1 12 − 1 1 1 −2
22
Unidad 8| Determinantes
.
1 1 1 1 Si k = 1 tenemos rg(B) =rg 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 = , ya que todas las filas coinciden.
2
Rango de C: El menor −1 a − =3− a 1 se anula si a = 1 , por tanto: 2
0
5
Si a ≠ 1 , tenemos rg(C) =3 .
) rg= Si a = 1 tenemos rg(B
1 −1 1 2
2 −3 1 1 2 = , ya que el menor = 2 ≠ 0 y los dos menores de orden 3 que 3 1 −1 1 0 5 1 1
1
1
2
1
1
2
se pueden conseguir ampliándolo, −1 1 −3 y −1 1 −3 , se anulan. 1 3
Rango de D: El menor
m −1
1
1
m1 −1
1
1
1
2
0
5
1
=3 − 4m+3
se anula si m = − 1 o m = 2 , por tanto:
m2
m −1
Si m ≠ −1 y m ≠ 2 , tenemos rg(D) =3 .
−2 1 1 1− = 1 −2− 1 1= Si m = − 1 tenemos rg(D) rg 1 12 2 −
1 1 2 1 Si m = 2 tenemos rg(D) =rg 1 1 2 1 1 1 2 1
73. Halla el valo r de
k
− 2 1 rg−=1 2 2 C =C +C C =−1C −1C 3
4
1
, ya que el menor
2
1
−2
1
1
−2
=3≠0.
2
1 = , ya que todas las filas son proporcionales.
para que la siguient e matriz tenga rango 2. M
1 1− 0 2 = 2 k 0 k k + 1 1 k1 −1 −
Para que el rango sea dos, los menores de orden 3 se deben anular, en particular:
−1
0
k
0k
1
k −1
2 2 =0k ⇒ k3 3− k= 0k⇒ =0o 1=
−1
1 −1 0 1 1 −0 2 Si k = 0 tenemos rg(M) r=g 2 0 0 0 3 = , ya que el menor 2 0 0 2= 0− ≠ . 1111 − − 1 1 −1 1 1 2 − 1 1− 0 2 Si k = 1 tenemos rg(M) r=g 2 1 0 1 rg 2= 1 1 3 2 1 0 1 − 2 1 1 −
1 −1 2 = , ya que el menor 2 1 1 6= 0− ≠ . 2 1 −1
Por tanto, el rango de M es 3 para cualquier valor de k.
Determinantes | Unidad 8
23
Inversa y determinantes 74. Determina cuáles de las siguientes matrices tienen inversa.
A
= 1 ≠ 0 ⇒ A es invertible.
−
1 2 1 4 3 2 C 1 1 = 1 3 1 0 2 5 0 2 1 1 −
A
2 3 = −=B− 3 5
B
= 0 ⇒ B no es invertible.
C
= 0 ⇒ C no es invertible.
75. Calcula, si existe, la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes. A
1 2 0 −= 1 −1 2= 2 1− 3
B 0 1 1
2 0 2
2 1 2−
3− 13 −= − 1 2 1 C 1 0 1
Inversa de A: A = − 1≠ 0⇒ A es invertible. 1 −1 −1 1 6− 4 − 1 1 t Adj ( A ) = −6 3 5 y A−1 = 1= 3 −−2 ( Adj( A=) )− A −4 2 3 −1 −1 5 3
1 6− 4
1 3 2 1 5 3 −
−
Inversa de B: B = − 2≠ 0⇒ B es invertible.
1 −2 2 1 −2 t 1 1 Adj ( B ) = −2 0 −2 y B −1 = −= 2 0 ( Adj ( B=) ) − B −2 2 −2 2 2 −2
− 1 1 −1 2 1 0 1 −1 1 −1
2 2 2
Inversa de C: C = 2 ≠ 0 ⇒ C es invertible.
−2 2 2 t 1 Adj (C ) = −1 0 1 y C −1 = ( Adj (=C ) ) C 7 −6 −5
−2 −1 7 1 =− 2 0 − 6 2 2 15 −
7 −1 − 1 2 2 0 3 1 1 15 2 − 2
76. Determina si l as siguientes matrices t ienen inversa y, en caso afirmativo, calcúlala. 0 0 1 1 1001 C 1100 1110
1 1−2 1 0 3 A = 0 0 2 =− 0 B 1 2= −1 2 1 1 4 0
Inversa de A: A = − 2≠ 0⇒ A es invertible.
−4 −2 0 −4 5 −2 1 1 t Adj ( A ) = 5 3 −1 y A−1 = −=2 3− 2 1 ( Adj ( A=) ) − A −2 −2 −2 0 0 −1 0
2 − 5 1 2 1 3 2 1 0 0 2
Inversa de B: B = − 5≠ 0⇒ B es invertible.
−8 2 1 t 1 Adj ( B ) = 12 −3 −4 y B −1 = ( Adj ( B=) ) B 3 −2 −1
8 12 3 −8 1 2 3 5 − 5 − 5 1 2 3 2 − −= 2 3 2 − 5 −5 5 5 1 −4 −1 1 4 1 − 5 5 5
Inversa de C: C = − 1≠ 0⇒ C es invertible.
1 1− 0 1 − 1 −1 1 0 0 t 1 1 − 1 y C = ( Adj (C ) ) = −1 Adj (C ) = 1 2 −1 1 − C −1 0 −1 1 1 1− −1
24
Unidad 8| Determinantes
1− 1
−1 − 1 1− 1 1 −1 1− 2 1 = 0 1 1 − 0 0 1 1 0 1 −1 1 01 1 − 21 1
− −
77. Se tiene la matriz: 2 1 −1 = 1 3 0 0 −1 1
A
−1 a) Halla A −1 y ( A−1 ) . −1 b) Comprueba que ( A−1 ) = A .
c) Comprueba que Adj( Adj(A)) = A ⋅ A . a) Inversa de A: A = 6 ≠ 0 ⇒ A es invertible.
1 3 −1 −1 3 0 3 2 1 1t 111 Adj ( A ) = 0 2 2 y A −1 = ( Adj ( A )=) − −=−1 2 − 1 A 6 3 −1 5 63 6 −1 2 5 1 − 6 Inversa de A−1 : A−1 =
1 6
1 2
0
5 6
1 3
≠ 0 ⇒ A−1 es invertible.
1 1 1 1 1 0 − 3 6 3 6 6 2 1 −1 t1 1 −1 1 1 1 1 − y ( A 0 1 3 0 A Adj ( A −1 ) = = ) −1 = −1( )( Adj= A−1 ) 1 = A 6 2 6 2 6 0 −1 1 1 1 1 6 − 1 0 6 0 −6 6 6 b) Queda comprobado en el apartado anterior.
3− 1−1 c) Adj ) ( A = 0 2 ⇒ (2 ) 3 1 −5
12 − 6 6
0 6 6
Adj = Adj( A) =
78. Determina para qué valores del parámetro −1 0 1 M = −1 1 −a 0 a −2
− 2 1 1
6 18 ⋅=
0
6 1
0 1− 1 a no
3
A A
0
−
tiene inversa cada una de las matrices sigui
a −1 2 P = 0 +a −−1 1 1
1 a 1 N = a 1 a 1 a 1
a −1 1 a a
M no tiene inversa si M
= 0⇒a−a −2+ = 2a0 ⇒a =−2, 1=
N no tiene inversa si N
= 0 ⇒ 0 = 0 , es decir, para cualquier valor de a N no tiene inversa.
P no tiene inversa si P
= 0⇒a a −3 3 −2 =0a⇒ a =−1, =2
Q no tiene inversa si Q
= 0⇒a− a42a + =3 a0⇒2 a= 0, =1
79. Determina para qué valores de los parámetros A
a
entes.
1 1 1 a a2 2 Q =a 2 a a a
.
. . y
b
tienen inversa las matrices
b 0 ab ab1 a + b a 01= = B = 00 C 2a a + b 0 0 0 0 0 1
siguientes.
a
Las matrices dadas tendrán inversa si su determinante no es nulo, por tanto: A
= ( a+ b−)
B
= 0 ⇒ B no tiene inversa para ningún valor de a y b.
C
= 1 ⇒ C tiene inversa para cualquier valor de a y b.
2
a2 b 2 =2ab+ ⇒
Atiene inversa si a ≠0
o b≠ 0.
Determinantes | Unidad 8
25
80. Determina para qué valores de los parámetros
a, b
y
c
ninguna de las tres matrices siguientes tiene
inversa:
12 1 = a b 4 42
A
donde a, b y
c
10
B
c=
115
− 1c 23 C 21 a 31 =− a 02 b
son parámetros reales.
Para que las matrices dadas no tengan inversa, sus determinantes deben ser nulos, es decir:
A = 0 −2+ 4= b0 c = 2 b c B = 0⇒a+c 2− =5 0 ⇒a+c 2= 5a⇒b =c 3,= 2,= 1 C = 0 −ab4+ 7− 2= 0 a−b4+ 7= 2 1 0 −1 81. a) Demuestra que la matriz A = 1 a b − 1 tiene inversa si, y solo si, los parámetros a y b no son nulos. 1 a −1 b) Calcula A−1 cuando a = b = 1 .
⇔0 ≠ a) A tieneinversa ⇔ A≠ 0⇔− ≠ ab
a≠ 0y
.
0b
t 1 1 1 − 1 0 −1 −1 1 0 t 1 1 b) si a = b = 1 tenemos A = 1 1 0 y A−1 = ( Adj ( A )=) − −1=− 0 1 1 0 1 . A − 1 1 1 −1 0 1 1 − 1 1− 1
Ecuaciones matriciales 82. Resuelve la ecuación matricial A
AX + B =
⇒C = AX − ⇒ C B=
+ B = C , siendo:
AX
1 2 0 1 4 1 = −1 0 − − B =2 11 1
A−1 (C
−X
Si existeA−1
0− 1 2 1 −1 0 3C0 =
−
B)
Como A = 1 ≠ 0 existe A −1 : t 0 1 y −1 1 0 −1 A = A ( Adj ( A ) ) = 1 4 −1 4
Adj ( A ) =
Por tanto, X ==A−C−1 ( B
83. Calcula la matriz matrices
A
y
B
X
−1 3 2 2 ) 0− 1− = 1 4 1 4 3
− −3 1 4 1 −1− 11 1 1 −4 − 2
que verifica la ecuación
AX
+ B = I , donde
I
representa la matriz identidad y las
son: A
01 = 10 −2 1
− −1 = − 1
2
0 1 1
2 B1 −3
−
−
−6 3 6
−1
AX
+ B= ⇒I
I B Si=existe A−− X =AX − ⇒ 1
A
(I B )
Como A = −1 ≠ 0 existe A−1 :
1
3− Adj ( A ) = −
1
−4 −1 −2
Por tanto, X =A I−1−(B=−
26
Unidad 8| Determinantes
1
2 y A−1 =
−1
t 1 ( Adj ( A )=) A
−1 3 1 1 1 1 5 13 0 − ) 1 4− 2 1 = 2 −2 − 9 21 3 −1 2 1 3 −6− 5 −4 − 11 2
1 3 − 1 − 1 3− 1 1 − 1− =− 4 2 1 4 −1 1 2 − 1 − 1 2− 1
2
84. Calcula la matriz cuadrada
A
XA +BA= A⇒
2
XA +BA
X sabiendo que verifica
=XA−2 A ⇒ BA = −2X
1
0 0 1 − = −0 1 0 = −1 0 0
A= BA − (1A
Si existe A−1
=A 2 , siendo
A
y B:
−
0 0 2 0 −B 0 2 2 0 −0
− ( A B) =A−)B AA
−
0 0 1 Como A = 1 ≠ 0 existe A −1 y, por tanto, X = A − B = 0 1 0 . 1 0 0
85. Halla, si existe, una matriz BX2 BX − + X =B ⇒ B − B + I(X =2B
⇒)
(
X= −B B+ I B−1
2 −1 siendo B = . 0 3
B 2X − BX X + B=
X que verifique la ecuación
) −1
2
Si existe ( B2 − B + I )
−1 4 −5 3 −4 2 2 2 Tenemos B 2 = y B − B + I = 0 7 , como B − B+ =I ≠21 0 existe ( B − B + I ) : 0 9
7 0 y ( 2 ) B BI−+ = 4 3
( 1 )B−B +I (=Adj B2 − B + I
−1
Adj ( B2 − B + I ) =
1 4 25 3 21 2 −1 3 21 = 0 1 0 3 0 7
−1 Por tanto, X = B(−+ 2B= I B )
3
)
=
2
t
1 7 21 0
1 3 3 0 4
4
21 1 7
.
7
86. Dadas las matrices: A
Resuelve la ecuación: I −X A = X3 B + I −XA = X3+B ⇒−3XA −X
−2 1− 1 = 2 3− 1 1 2 3 −
−2 1 Adj ( − A − = 3I ) − 2 − 1 −1 1 Por tanto, X = B(− I−− A) (I=
3
2B 1=0
1 0 1
.
I X− A = B−3⇒ − I=B − I ( ⇒
−1 1 −1 Como −A− 3=I − 2 0 1 1− =− ≠ 0 −1 −2 0
3 1 1
) 3X= − B− I A−I
Si existe ( − A − 3I )
(
−1
)(
)−1
−1 existe ( − A − 3I ) :
4
3 y ( −−A) =3I 2
−1
2 1 12 2 ) −1 2− 0 0 −1= 1 −1 1 0 0 4 3−
1 (= 3 −A( −−−3)IAdj 1−
− 1
t
A
−I )
− −
−
1 0 1
4 4 2 2 2− 2
−2 2 1 − 2 2 1 1 =−1−11 1 −1 1 1 4 3 4 3− 2 − 2 .
−
Determinantes | Unidad 8
27
87. Dadas las matrices
A
1 −1 2 1 = y B = 1 0 encuentra la matriz −1 2
13 Si existen las inversas de las matrices A y B, tendremos AXB = 0 1 −
X tal que
AXB
1 3 = . 0 −1
13 ⇒ X =A −1 01
−
B −1 .
t 1 2 1 2 1 −1 Como A = 1 ≠ 0 existe A −1 : Adj ( A ) = y A = A ( Adj ( A ) ) = 1 1 1 1 t 1 10 1 0− 1 0 −1 −1 Como B = −1 ≠ 0 existe B −1 : Adj ( B ) = y B = B ( Adj ( B ) ) = −1 −1 2 =1 2 − −1 2
−
1 3 2 1 1 3 0 1 2 5 0 1 5 8 Por tanto, X = A−1 = B −1 = = 0 1 − 1 10 1−−1 2 1 2 −1 2− 2 3
88. Halla todas las matrices
X
1 1 1 1 tales que X = 1 1 1 1
X
.
a b La matriz X debe ser de orden 2, pongamos X = , entonces: c d a +b 1 1 1 1 +a b a+c b+d a+=b+ b d X = ⇒ X = ⇒ ⇒ c +d 1 1 1 1 +c d a +c b+d c+=d+ a c
a b+ a c= + = b c = a d c d+ b= d+
a b Por tanto, las soluciones de la ecuación matricial son de la forma X = con a, b ∈ . b a
89. Resuelve la ecuación matricial
B ( 2A I+ A
= B+ ) AXA
1 1− = 0 1
, siendo:
1 2 10 I= B = 1 1− −0 1
( 2 B) ( 2A I+ = AXA +⇒ B) ( AXA = B2+ −A= 2I +B− =2 BA B⇒B ) =BA 2
X =A
BA A
Si existe A−1
−1 AB
−1
−1
Como A = 1 ≠ 0 existe A −1 :
1 0 y A−1 1 ( Adj ( A ) )t 1 1 = = A 1 1 0 1
Adj ( A ) =
2 21 2 0 2 Por tanto, X = 2A−1B = = 0 2 1 −1 − 2 −2 − 2 X en la ecuación ( X +M )− XM=I+ X la identidad del mismo orden.
90. a) Despeja la matriz
2
en la que M es una matriz regular de orden 3 e I es
b) Resuelve la ecuación cuando la matriz M es: M
X a) ( X +M )−2 XM=+I ⇒
1 −1 1 = −1 0 −1 0 1 1
2 MX 2 =I M 1−2X1 =M I − M +X2 2 XM + +MX − M =+XM ⇒ I2 X=− ⇒
M
M
−
(
)
b) Como M = −1 ≠ 0 existe M : −1
1 2− 1 − − 1 1 −1 1 2 1 t 1 1 1 1 0 1 −1 y M −1 = ( Adj ( M= ) ) 1 −−= 1 0 M − 1 1 0 −1 −1 1− 1 − 1 1 1 −2 −1 −2 Por tanto, X = −M −1 = M − 0 1 1 1 0 0 Adj ( M ) = 2
28
Unidad 8| Determinantes
−
91. Dadas las matrices
A −1XA = B− ⇒ A
A
2 1 −1 0 0 1 = 0 1 3 y B = 1 1 1 encuentra la matriz −2 1 2 1 0 0
A −1XA
X que verifica
=B−A.
= X −A ( B A ) A−1
Como A = −10 ≠ 0 existe A−1 :
1 1 6 2 − − − − 1 3 4 10 1 1 1t 313 −1 Adj ( A ) = −3 2 −4 y A = −= 6 − 2 6 ( Adj ( A=) ) − A −10 5 5 5 4 −6 2 2 −4 2 − 1 5
Por tanto, X =A−B( =A A )
0 −2 4 2 = 5 5 31 7 − 10 10
−1
1 3 2 − 10 10 5 6−−1 4 313 − − − = 10 3 8 555 − 11 0 10 − 1 2−1 5 5 5
21 1 2 −1− 2 01 3 1−0− 2= −2 1 2− 3− 1 2
2 − 5 2 − 1 5 5
3 0
13 2 10 10 5 3 1 3 5 5 5 − 1− 2 1 5 5 5
−
1
5 12 − 5
21
−
Síntesis 92. a) Estudia para qué valores de α la matriz A
1 0 = + 1 − 1 −1 α + 1
2 − 2 2
tiene rango máximo. 2 b) Siendo A−1 la inversa de la matriz A, calcula ( A−1 ) para α = −1 .
a) La matriz A tendrá rango máximo, es decir, rango 3, si su determinante no es nulo. A
= 0 ⇒2
Por tanto, la matriz A tendrá rango máximo si
2
+0 = ⇒ 0,
≠0 y
=
1 2
=−
1 2
≠− .
b) Según el apartado anterior, si α = −1 el determinante de A no se anula ( A = 1 ) y, por tanto, existe A−1 : 0 1 2 −2 3 −1 −2 −2 −1 t 1 A = 0 −1 −3 , Adj( A ) = −2 2 −1 y A−1 = ( Adj( A ) ) = 3 2 0 A −1 0 2 1 0 0 1 1 0 − − −
−2 2− − 1− 2 −2 − 1 − 1 1 2 2 Por tanto, ( A−1 ) = 3 2 0 3 2 0 −=0− 2 3 −1− 1 0 − −1 1 0− 1 0 1
Determinantes | Unidad 8
29
93. Dadas las matrices: 1 2 3 = 0 t 2 3 −1 t
A
I
1 0 0 = 0 1 0 0 0 1
se pide: a) Hallar el rango de A en función de t. b) Calcular t para que det ( A − tI ) =0 . a) Tenemos A = 0⇒ −t+2 9 t14= 0⇒ = 2,=t7
, por tanto:
t
Si t ≠ 2 y t ≠ 7 , rg( A) =3 1 2 3 Si t = 2 , rg( A) =rg 0 2 2 2 = 3 −1 2
ya que el menor
1 2 3 Si t = 7 , rg( A) =rg 0 7 2 2 = 3 −1 7
ya que el menor
1− t
b) A − tI= ⇒0
2
2
1
2
0
7
=2≠0.
=7≠0.
t
7
−1 0
3
94. Dadas las matrices
2
3
0 2 =0 ⇒− 2+ =14 ⇒ 0 t=
0
1 0
A
0 k 1 k 2 = y B = 1 1 . 0 1 1 − 3 2
a) Determina para qué valores de k las matrices AB y BA tienen inversa. 1 0 b) Resuelve la ecuación ABX = 3I para k = 0 , donde I = . 0 1 a) Tenemos: AB
= 0⇒
k+6
2k + 4 =0⇒−320− 1
2
= ⇒k =−
2 3
k
2
Por tanto, AB tiene inversa si k ≠ − . 3
0 BA
0 k 1 − =⇒
−k
k
1= ⇒ 3 0
No depende k de .
3 3 k 2− 8
Por tanto, BA no tiene inversa.
6 4 b) Según el apartado anterior, si k = 0 , AB = 2 1 tiene inversa ( AB = −2 ): 1 −2 ( ) y AB −4 6
Adj( AB) =
Por tanto, ABX = ⇒ 3I = X
30
Unidad 8| Determinantes
(=AB )
−1
( )3 AB 3I=
−1
−1
=
1( )
AB
t
( Adj AB ) =
− 3 6 2 3 −9
1 2 1 1 −4 − = 2 −2 −2 6 1 −3
95. Dadas las matrices: A
4 1 1 2 − 0 12 =− −2 10 =− −2B 3 − −7 8 1 a1 3 2 3 3− a
− +a
a) Estudia el rango de la matriz B en función de a. b) Para a = 0 , calcula la matriz X que verifica AX = B . a) Como el menor
4 −1 = − 14 ≠ 0 el rango de B es al menos 2. −2 −3
Si los dos menores de orden 3 que se pueden formar ampliando este menor de orden 2 se anulan, el rango de B será 2, en caso contrario el rango será 3. Estudiemos, por tanto, cuando se anulan estos dos menores de orden 3: 4 −1 1 −2 −3 −7= 0 ⇒− 40+ 40= 0⇒ a = 1 3 2−a 3+a
a
4 −1 −2 −2 −3 −8 = 0⇒− 36+ 36= a0⇒ = 1 3 2−a 3
a
Por tanto, si a = 1 tenemos rg(B) =2 , y si a ≠ 1 tenemos rg(B) =3 . 0
1 2
b) Si A tiene inversa tendremos X = A−1B . Como A=− −2 1=0 4 1
−1 Adj ( A ) = −1
2 −2
1 1 y A −1
2 −4 2
=
1 1 t ( Adj ( A=) ) A
0
, existe A−1 :
1
−1 − −2= 4 1
− 1 − 1 1 4 4 2 4 1 − 1 2 − 1 2 3 4 1 1 −1 Por tanto, X = A B= − − − − 1−2 3− = 7−8 0 1 1 0 2 2 3 2 3 3 2 0 0 1 1 1 1 4 2 4
−111 2− 1
− 1 − 1 4 4 2 2 2 1 1 4 4
2 − 4
1
2 1
1 2
−
Determinantes | Unidad 8
31
96. Dada la ecuación matricial: a 3 donde
B
2 1 1 B 1=1
7
es una matriz cuadrada de dimens ión 2 x 2, se pide:
a) Calcular el valor o valores de a para los que esta ecuación tiene solución. b) Calcular B en el caso a = 1 .
a 2 a) Si la matriz tiene inversa, es decir, si su determinante no es nulo, la ecuación tendrá solución. Si la 3 7 matriz no tiene inversa (su determinante es nulo), la ecuación todavía puede tener solución, por lo que habrá que comprobar este hecho. Tenemos
a
2
3
7
= 0⇒ 7 −a6=0⇒ =
Analicemos que sucede si a =
6 7
a
6 7
, por tanto, si a ≠
6 7
la ecuación tiene solución B =
a 3
−1
2 1 1 . 7 1 1
x . En este caso no se puede despejar B, con lo que pongamos B = 1 x3
x2
x 4
,
tenemos:
x x =+ 12 12 x 6x 2 4 13 7 x 7= 1 x 3 x 7 + = 1 + x 3 1 3
6 x x+ 2x x1+ 621 7 1 3= 2⇒4 7 1 1 3x17x+3 x32 x47+
6 2 1 1 7 = ⇒ B 1 1 3 7
pero ninguno de estos dos sistemas tiene solución, por tanto, si a =
6 7
y
6 7
+ 2
= 4
la ecuación no tiene solución.
b) Según el apartado anterior, si a = 1 la ecuación tiene solución: B
1 = 3
−1
2 1 1
7 1 1
7 3
2 1 1 − 5 5 = = − 1−1 1 2 2
−
CUESTIONES 97. Si
M
es un matriz cuadrada de orden 2 tal que
M
= 7 , razona cuál es el valor de los determinantes
M2
y
2M . 2
Usando la propiedad 10 tenemos M 2 = M = 49 . Usando la propiedad 2, aplicada a cada una de las filas de 2 M, tenemos 2M2= 2 M28= .
98. Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su d eterminante es
det(M)
=2 . Calcu la:
a) El rango de M 2 . b) El determinante de 2M t . 2 c) El determinante de (M −1 ) .
d) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y la segunda filas de M. 2
a) Tenemos M 2 = M = 4 ≠ 0 , por lo que el rango de M 2 es 3. b) Usando la propiedad 2, aplicada a cada una de las filas de 2M t , y la propiedad 9, tenemos: 2M t 2 =
3
M8t =1 M 6
=
.
2 2 1 1 c) Usando las propiedades 10 y 11 tenemos (M −1 ) = M −1 = 2 = .
M
d) Usando la propiedad 7 tenemos N =− M= − 2 .
32
Unidad 8| Determinantes
4
99. Todos los elementos de la matriz
M
son números naturales, razona si son ciertas o falsas las siguientes
afirmaciones: a) El determinante es un número natural. b) El determinante puede ser fraccionario. c) El determinante es un número entero. Si la matriz M no es cuadrada no existe su determinante y las tres afirmaciones son falsas. Si la matriz M es cuadrada, como el cálculo del determinante solo involucra sumas, restas y productos de los elementos de M, la afirmación c es verdadera. También la afirmación b es verdadera, ya que todos los números enteros son fraccionarios, pero el determinante nunca podría ser un número fraccionario no entero.
0 1 La afirmación a es falsa, como prueba la matriz A = , cuyo determinante es –1. 1 0
100. Razona cuál es el valor del d eterminante de una matri z escalar. Toda matriz escalar de orden n es de la forma λIn , por tanto, aplicando la propiedad 2 a cada una de las filas de la matriz, obtenemos de su determinante es
In
=
n
=
In
n
.
101. En una matriz
D de dimensión 3 x 4 todos los menores de orden 2 formados con las dos pri nulos. Raz ona si son ciertas las afirmaciones sigui entes.
meras filas son
a) El rango de D no puede ser 2. b) El rango de D no puede ser 3. c) El rango de D no puede ser 4. Observemos en primer lugar que como D tiene 3 filas, su rango no pude ser superior a 3. Por otro lado, las dos primeras filas de D deben ser linealmente dependientes, por lo que el rango tampoco puede ser 3. Por tanto, las afirmaciones b y c son verdaderas. La afirmación a es falsa, como prueba la siguiente matriz, cuyo rango es 2 y verifica las condiciones del enunciado: D
1 0 0 0 = 1 0 0 0 0 1 0 0
102. Se sabe que el determinante del producto de las matrices cuadradas el rango de
A
y
B
de orden 3 es det(AB) =2 . Halla
B.
Puesto que det( AB) = det( A)d et( B) , el determinante de B no puede ser nulo, con lo que el rango de B será 3.
103. Prueba que si
A
es una matriz cuadrada de orden
n
det
A
y
es un número real cualquiera, e ntonces: n
det
A
Basta aplicar la propiedad 2 a cada una de las n filas de λA para obtener que det ( λ)A = λ ndet () A .
Determinantes | Unidad 8
33
104. Sea M una matriz de dimensión 3 x 4 y de columnas
, 2 C3 0 C1 , C2 , C3 y C4 . Si se sabe que det C,1 C y det C,1 C , 2 C4 0 , determina qué columnas son combinación lineal de otras y qué columnas son linealmente independientes. ¿Cuál es el rango de M?
,
det C,2 C , 3 C4 0
Como M tiene 3 filas, su rango no puede ser superior a 3, por tanto, al ser det (C,2 C, 3 C4 )0≠ C2 , C3 y C4 son linealmente independientes.
el rango de M es 3 y
En particular, C2 y C3 también son linealmente independientes, por lo que, al ser det (C , 1C , 2 C3 )0= que C1 es combinación lineal de C2 y C3 , pongamos C1 = 1 2C 2+3 C .
deducimos
De manera análoga, como det (C , 1C , 2 C4 )0= , C1 es combinación lineal de C2 y C4 , pongamos C1 = 1 2C 2+4 C . Por tanto, obtenemos 1C2 C+2C3 C 1 2= 2 4 + , de donde se deduce que λ 2 = 0 , ya que en caso contrario − podríamos escribir C3 = 1 1 C2 + 2 C4 como combinación lineal de C2 y C4 en contradicción con que λ2 λ2 det (C,2 C , 3 C4 )0≠ (de igual manera, tenemos α 2 = 0 ). Es decir, hemos obtenido que C1 = λ1C2 es proporcional a C2 .
105. Sea M una matriz cuadrada tal qu e
M
= − 1 y −2M = 8 . Calcu la el orden d e la matriz n
n
Si M es de orden n tenemos 8 =2− M 2= − ( ) 2=− M−( )
M.
, por tanto, n = 3 .
106. ¿Qué condición se debe cumplir para que el determinante de una matriz triangular de orden 3 sea negativo? El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal, por tanto, para que el determinante sea negativo, exactamente uno o los tres elementos de la diagonal principal deben ser negativos.
107. El determinante de la matriz
M es 5. La matriz N se construye de modo que su primera columna es la tercera de M, su segunda columna es la primera de M y su tercera columna es la segunda de M. Halla el valor del determinante de N.
Sea N ' la matriz que se obtiene intercambiando la primera y la segunda columna de M, con lo que N ' = − M . N se obtiene intercambiando la primera y la tercera columna de N ' , con lo que N
= − N' = M .
108. Prueba que si
A y B son m atrices cuadrada s de orden 2, e l determinante de su producto sus determinante s, es decir AB = A B .
a a b Sean A = 1 2 y B = 1 a3 a4 b3 A B AB
= ( a−1a4 =
b4
, tenemos
a)(a−1 4 b= b2 )3 b− b1 4 1 4 −a 1a4 b b 2 3+
23
a1b b 1 +a 23
12
24
a3b1 +a4b3
a 3 2b
44
+ a2a4 3b4b
b2
ab
− 1aa 3 1bb 2
a+ b
a b+
=+
a − aa 1 4 2b 3 b 2− 3 1a4bb
Unidad 8| Determinantes
aa b b 2 3 2 3a a b b
aabb
2 3 14
( a1b1+ −2a3+)(b 3 2
a 4b+4
a−a b b
2 4 3 4
Por tanto, obtenemos que AB = A B .
34
es el producto d e
()= a 1b2
)(a 3b1
24
= −aa −4 1 4+1bb
a )b
43
ab
13 1 2
ab
a a b b1 4 +1 4aa bb 2 3
aa b b2 3 2a3a b b2 3 1 a4 a bb
14 2 3
+a a b b
2 3
+
109. Una matriz
A es idempotente si verifica que una matriz idempotente.
A2
= A . Determina qué valor puede tomar el determinante de
2
Observemos que si A2 = A , la matriz A debe ser cuadrada y A2 = A , es decir, A = A , por lo que A = 0 o A
= 1.
PROBLEMAS a 2 ab a b
110. Sea la matriz
A
= ab a 22 b 22 . ab a a
a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcula el determinante de A. b) Estudia el rango de A en el caso b = −a . a 2 ab ab
a) A = ab
a2 2
ab a a
a b b 2
=b
2 2
Propiedad2
a2 b) Si b = −a tenemos A = −a 2 −a 2 Aes 1 si a ≠0 y 0 si a =0 .
A
b2
b a a
−= a 2−b(2a2 2a )( − b=2 ) 2a −2(a2 b )
111. Sea
a b
a2 2 ab = a 2
2 2
0
− =a ab−−22 a2 =b
C3 →C3 − C2
b a
a
Desarrollandopor la tercera columna
a
(b
2+3 ) ( 1)
a
0
a
b
b
a
2
−a 2 −a 2 a2 a 2 , por tanto, todas las filas son proporcionales, con lo que el rango de a2 a 2
1 0 0 = 0 1 0 . a 0 b
a) ¿Cuándo el determinante de A es el seno de un número real? b) Calcula la inversa de A, cuando exista. c) Determina todos los pares ( a, b) para los que A coincide con su inversa. a) El determinante de A será el seno de un número real si −1 ≤ A ≤ 1 , es decir, −1 ≤ b ≤ 1 . b) Existe A−1 si A ≠ 0 , es decir, si b ≠ 0 . En este caso tenemos:
1 0 b 0 −a b 0 0 t 1 1 0 1 −1 Adj( A) = 0 b 0 y A = ( Adj ( A ) ) = 0 b 0 = A b 0 0 1 a 0 −a 0 1 − b
c) A =⇒A −1
1 0 0 1 0 0 0= 1 0 ⇒ 0 ⇒1 0 a 0 b − a 0 1 b b
a = − a b ⇒ b = 1 b
Por tanto, A coincide con su inversa si ( a, b) ( =) 0, 1
0 0
1
b
a ( b + 1) = 0 a = 0 o b = −1 2 b o 11 b=− = b = 1 o ( a), b( = a) , − 1 para algún a ∈ .
Determinantes | Unidad 8
35
112. Sea A una matriz cu adrada de orden 3. a) Se sabe que el determinante de la matriz 2 A es 2A = 8 . ¿Cuánto vale el determinante de A? Razona la respuesta indicando las propiedades que has utilizado. b) Calcula para qué valores de x se cumple que 2A = 8 , siendo A la matriz:
x
A = x + 1
x
1 2 2−x
1
2 1
a) Usando la propiedad 2 aplicada a cada una de las filas de A tenemos 2A = 23 A = 8 A , por tanto, A = 1 . b) Según el apartado anterior tenemos: 2A 8=
113. Sea
A
2 1 ⇒ A = ⇒ −2 x12+1 = ⇒ = 2x = x 2−0 = ⇒ x0,
x
x
a b . = c d
a) Calcula las matrices que verifican la relación A = A + I . (I es la matriz identidad y A representa el determinante de A). b) Calcula todas las matrices diagonales, que no poseen inversa, y que verifican la relación anterior. c) ¿Se verifica para cualquier par de matrices B y C la relación B +C B =C + contraejemplo.
? Si no es cierto pon un
Justifica todas las respuestas. a) Tenemos: A
A I
= +⇒
+b1
ab a c =d
cd
ad
⇒ −+ 1=
+
bc
a 11 d
bc
ad
ad1 a 0 1d
a
d
+ − ( ⇒)( = +) + + ⇒ + + =
b a Por tanto, las matrices que verifican A = A + I son de la forma A = con a, b, c ∈ . c −1 − a b a b) Ya sabemos que la matriz debe ser de la forma A = con a, b, c ∈ , además, para que sea c −1 − a 0) = 0 o a =−1 a diagonal debe ser b = c = 0 , y para que no tenga inversa debe ser A = 0⇒ a−(−1 = a⇒ .
0 0 −1 0 Por tanto, las matrices que cumplen las condiciones son A = y A = 0 0 0 −1 c) La relación B +C B =C +
no se verifica para todas las matrices, por ejemplo, las matrices del tipo A
b a = con a, b, c ∈ c −1 − a
no verifican A + I = A + I , ya que según el apartado a, A + I = A , pero A + I = A + 1 .
36
Unidad 8| Determinantes
114. a) Sabiendo que
A
1
1
1
= a
b
c
a2
b2
c2
= 2 donde a, b, c son números reales, calcula los determinantes:
a −1
b −1
c −1
(a +1)
a 2 − 1 b2 − 1 c 2 − 1 y 5
5
5
( b1) +
2
2
(
1) c+
a
b
c
a2
b2
c2
2
indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. b) Razona que, puesto que A = 2 , los parámetros a, b y c deben ser distintos entre sí.
a) aa2 −−1b1b2 −−11cc21−− 1= 5
5
1 a 1b2 − 5− 1a2−−1 b −11= c2c− 5 Propiedad2
5
1
1
1
1
=5 a
b
c
a2
b2
c2 2 a2 +1 a+ b
a
b
c
a
a2
b2
c2
a2
1 1 1
+ a b c a 2 b2 c2
a b2c 22 ab c =−
1
1 52 2a2bc
Propiedad8 F1 → F1 + F3 F2 → F2 + F3
1 11
=
Propiedad7
a
b
Propiedad7
c
= 10
(a 1) + (2 b1)+ (2 1)c +2 2
b)
1
=
2+b1 +2 c +2c+ 1 b
c
b2
2 c
222
abc
a b c2 2 2
abc =a b c 2 22 2 2 2
abc a b c
+
+
Propiedad 1
1 1 1 a= b c
Propiedad 4 2 2 2
=2
a b c
Determinantes | Unidad 8
37
PROFUNDIZACIÓN 115. Dada una matri z cuadrada
A
de orden
n , se llama polinomio c
aracterístico de
A
al polinomi o p(x ) =A xI −
n
a) Halla las raíces del polinomio característico de la matriz:
3 2 −1 1 0 4 2
A = −1 4
a b b) Si A es la matriz A = : c d i) Comprueba que su polinomio característico es: px( ) = x
−2 a +(d x +A)
ii) Encuentra los valores de a, b, c y d para que A tenga como polinomio característico px( ) x= 2x + + 1 . ¿Cuántas matrices hay con el mismo polinomio característico? iii) Si A tiene inversa, demuestra que el polinomio característico de la inversa, A −1 , es px( x) =
2
a+d A
−x
+
1 . A
a) El polinomio característico de A es: xp)(AxI =
3−x 2 −1 − = 3− 1 x4 − 1 x =−x +9x −24 20 + 3x=− −x 25 − 2 0 4 2− x
(
)(
)2
cuyas raíces son x = 2 (raíz doble) y x = 5 . b) i) El polinomio característico de A es: px( ) A = −xI
=
2
a−x c
= b−a x −(d −x)(b= c−) x+ a+ d− x(= a )d2( bc − + )x + a( d x) A d−x
2
ii) Tenemos: 1 ad+ =− 1ad + =− d a1=− − ⇒ ⇒ A =1 = bc − =1 ad bc 1 −ad
Sustituyendo el valor de d en la segunda ecuación obtenemos bc =ad − =1a a− (− 1 − =−) a +a1+ (
2
).
Como a + a + 1 no se anula nunca, deducimos que b y c no pueden ser nulos y, por tanto, las soluciones del sistema no lineal son 2
a2 + a + 1 d ay − =− 1 b
a ∈b,c∈ , −=
En particular, obtenemos que existen infinitas matrices con el mismo polinomio característico. iii) Si A es invertible será:
d 1 ( Adj ( A ) ) = 1 d −c = A = A A −b a c a − A t
A−1
−
t
A A b
Por tanto, según el aparatado a, el polinomio característico de A−1 es: xp(x ) =
38
Unidad 8| Determinantes
da d a −2 + x A+ =x − x−1 + A A
2
+
1
A
A
116. Se consideran las matrices de orden
de la forma:
n
1 −1 A n = −1 −1
1 1
1
4 1
1
1− 4
1− 1
1
− 4
a) Calcula det ( A2 ) , det ( A3 ) y det ( A4 ) . b) Formula una hipótesis razonada sobre el valor de det ( An ) . c) Formula una hipótesis razonada sobre el valor del determinante de la matriz similar a An en cuya diagonal principal los elementos distintos del primero valen 7. 1
a) det ( A2 ) =
1 11
1 5=
1 1 1 1 3
n −1
1 4 1=
5(( 1 det − )) Desarrollando = =por
F3 →F3 + F1
005
3+3
25 5
2
A2
.
la última fila
1 111
1 4 −1 1 −1 4 1 1 det = F → F +F ) ( A4 = −−1 1 4 1 −− 1 1 4 1 0 0 05 −1 1− 1 −4
b) det ( An ) =5
111
y det ) ( A3 −= 1 4 1 =− −1 1− 4
−1 4
3
4+ 4
51 det = −) ) ( (Desarrollando == por
1
1255
3
A3
.
la última fila
, se podría demostrar por inducción usando la técnica anterior.
c) En este caso det ( An ) =8 n −1 , se podría demostrar por inducción de manera completamente análoga a como se demostraría la expresión anterior.
1
117. Dada la matriz
M
1
1 1 cos 1 1 s en
1 1 s en 1 c os
:
a) Determina para qué valores de α la matriz M tiene inversa. b) Halla la matriz inversa de M, cuando exista. a) M tiene inversa si su determinante no es nulo. Tenemos: 1 M
1
11
1
1
−sen α ( )=1+ 1 cos α+ sen = cos senα cos α
= 1 1+ cos 1− sen= 0 cos − sen =−⋅ 1 1 1 1 +sen +1 cos 0 s en cos
2 1
2
Por tanto, la matriz M tiene inversa para cualquier valor de α . b) Según el apartado anterior la matriz M tiene inversa para cualquier valor de α . Tenemos:
1 +2 cos
Adj ( M ) = sen − cos
− sen − cos
− sen − cos
M −1
=
1 M
t
( Adj ( M−=) )
1 +2 cos − sen cos sen cos −
cos
sen − cos
−
sen
sen cos
sen
−cos − sen − cos cos
− sen
sen cos
Determinantes | Unidad 8
39
118. Sean las matrices
A
cos a
cos a sen a = y B − sen a cos a
0 sen a
0
b
, estudia qué valores de
0
a
y
b
sen a 0 c os a
sea cierta la igualdad: 2
) 1+ 0 = ( det( A) ) −2d et( A)d et( B
y det(B) b= +sen =a b 2 2 acos b a+ 2 sen (2=a b cos
Tenemos det(A) =s en 2a +cos 2 a 1=
2
( det( A) ) −2 det( )Adet( )B+1= 0⇒ − 1 +2= ⇒1 =b0
, por tanto:
) 1 b
Así, obtenemos a ∈ , b = 1 .
1
119. Resuelve la ecuación
1
2 3 4
x
+ 5x
12
x
x
+4 x +x4x
x
+1 =0. +1 +1
3 4
3 + 6
x1x
3 4 6
6 x
3 6
2
3
+
1 xx
= 6 4x + xx 1+F − F 6 F → 4 +x x1x+ x + 5x+ 4xx + 1 x − 1 0 0 0 3
4
2
2
3
1) 6 ( x=+ 1)( F → F
Desarrollando por−F 2 la última fila
4
4 3 +1
x− − (1−)(21) () −= − ( x ) 16 xx + 1 = x−Desarrollando por x −2 0 0 la última fila
3
4 +1
=− −
3
3
4
x
x +1
1x +3 2 −=x−x− x( )( −) (34 =
3
4
1x x+4
x x +1
x
)
1− x )( = (−x )( −2 x) 3
Por tanto, las soluciones de la ecuación son x = 1 , x = 2 y x = 3 . x2 a a a
120. Averi gu a, según el valo r de a, el número de solucio nes de
a x
2
aa
x
a
ax a a 2
a F3+
2 F 2
+ F1
F1 →
a
2
a
x2
−a
a a ax 1 0
+= ( x a2 ) 3
aax
a a a
0 0 0
=
x
a
a
2
a
x
a
a
a
x
1 11 2
+ 2
=
= C → C 2 ( x 2 3a ) −CPropiedad 1
2
2
2
0 0
0
+= −( xxaa)( )
x2 − a 0
0
x
2
2
3
2
3
, por tanto,
−a
si a > 0 la ecuación tiene dos soluciones (triples), x = − a y x = a . si a < 0 la ecuación tiene dos soluciones, x = − 3a y x = 3a . si a = 0 la ecuación tiene una solución (con multiplicidad 8), x = 0 .
40
=0.
a2
x a2 x2 a 2 x+2 a3 + +3 x+3a3
x2 a a a a a+x F4a
aa
Unidad 8| Determinantes
a x
2
1
aa
a a x a a ax
a2
C3 →C3 −C1 2 C4 →C4 − C1
hacen que
AUTOEVALUACIÓN Comprueba qué has aprendido 1.
−1 1 1 −1 2 Dadas las matrices A = y B = 1 2 : −2 a −1 a 2 Halla el valo r de
AB
2.
=⇒ 2
a
que hace que AB = 2 .
2a − 2
3
2
2a − 4
= ⇒2− 2 2( 2−a 4−)(=6⇒ 2 a−4 0= ) = 12 ⇒
a
0
3
Sabiendo que b
1
3
c
2
3
b)
0 a a 6 0− a aa
0
6− =b bb2
Propiedad1
4 c c 6 4− c cc
b)
11
1
01
2
2a b2 1 c2− 2
=
3.
0 3 2 31 3 2 3
b c
6
a 0
6
c
4
a0 3
6
− 2 b6−= 4
2 −= 6b
Propiedad4
1 1 1 111
1 1 1
=0 1 2
− 2a b 2c 2 0 1 2 a 2 13 b −=3⋅−=2 3 3 2 c 3 0
=−
Propiedad 7
a
a
.
a
2a b2c 2
1
1
1
0
1
2
2a 2 b1−2 2c
−
30
14 = b3
c2 3
6
0= 1 − 2 012
Propiedad1
a
a
= 3 , calcula el valor d e los s iguientes determinantes.
0 a a −6 a) 2 b b − 6 4 c c −6
a) 2 b b
=0, a23
4= 1312
Propiedad2
c
Propiedad7
32 333
=
=
0 12
Propiedad4
abc
2 Propiedad2
3
Propiedad9
2 3
Determina para qué valores del parámetro
k
tiene inversa la matriz y halla su inversa cuando
= 1 −1 0
A
k
−1 3 1
k
=2.
−1 1− k 0
A tiene inversa si su determinante no es nulo.
Tenemos: A
0 − −( k 11)( =⇒ − −)1−3k 0= ⇒
2 − 3−0 =k 2⇒ =k1,−3
=
k
k
Por tanto, A tiene inversa si k ≠ −1 y k ≠ 3 .
0 1 −1 En particular, para k = 2 tenemos A = −11 31 −01 , A = −3 y − 3 t 1 1 4 t 1 1 1 1 A−1 = ( Adj( A)=) − − −1=− 1 1 A −3 3 3 2 −1 −1 4 − 3
1
1 3
2 − 3
1 3
1 3
Determinantes | Unidad 8
41
4.
m + 1
3 m Halla el rango de la matriz A = 1 1 2 3
1 m
para los distint os valores posibl es del pará metro
m.
Tenemos: A
= 0⇒3 +m 2 3 + m 1+2(−m 1) +9( − −) m0= ⇒− + 6m 2−8 0= ⇒ = 2, m2 = 4m
m
m
Por tanto: si m ≠ 2 y m ≠ 4 tenemos rg( A) =3 .
3 2 3 3 2 si m = 2 tenemos rg( A) =rg 1 1 1 2 = , ya que el menor =1≠ 0 . 1 1 2 3 2 3 4 5 3 4 si m = 4 tenemos rg( A) =rg 1 1 1 2 = , ya que el menor = −1 ≠ 0 . 1 1 2 3 4
5.
Dada la ecuación matricial
2 XA − B
t
=X −2 .
a) Despeja la matriz X, cuando sea posible. b) Halla la matriz X si las matrices A y B son:
0 1 − 1 = 1 1− 1 2 0 0
A
a) XA − B2 =−t 2 ⇒ X XA + 2 X=2
⇒ B
X2 +A2=t I
B(
)
3 3 2
B2 =0 1
3 3 2
t
−1
2 At (I + 2 ) . Por tanto, si A + 2I es invertible, tendremos X = B
2 −1 1 y A + 2=I b) A + 2I = 1 1 1 2 0 2
2
−1 1
1 1 1=≠2 0 2
0
, por lo que A + 2I tiene inversa:
2
2 0 −2 −1 Adj ( A + 2I ) = 2 2 −2 y ( A)+ 2=I −2 −1 3
1 1 −1 2 2 −2 1 1 0 1 − I )= −0 2 1 2 2 −2 −2 3 −1 −1 3 2
1 +( = 2A ( )Adj A + 2I
t
Por tanto, según el apartado anterior:
X
42
Unidad 8| Determinantes
=B 2+= A (I 2 t
1 646 )606 = 0 424 −1 −1
1
1 003 − 1
−1 0411 − 2 0231 2
6.
Calcula el valor del determinante
a
1
1
1
a
b
1
1
a
b
c
1
.
abcd
a
111
a
b
1 a1 11
abc
1
abc d
A
7.
2
b 2 0c1 1 1
F3 →F3 −F1 F4 →F4 −F1
b
1
1 0b − 0
0
= F →F − F
b −1 0 0 1+1 − − −a () 1 =b − −1c − 1 0 ba c1( d)( 1 )(1 ) b −1 c −1 d −1
=
− 0 −
c0 d1− 1 1−
Desarrollando por la primera columna
−
B
y
son dos matrices cuadrada s de orden 4 cuyos determinantes b) det (4 A ) c) det ( B5 A )
a) det ( A−1 )
a) det ( A−1 ) =
1 1 = det ( A ) 5
4() b) det (4 )A =4 det
c) det (AB) 5
son: det( A) =5, det( )B =2 . Halla: t d) det ( ( AB) )
() =Bdet
A 1280 =
A 5det ( B)
( () A =det
t )A d) det ( ( AB ) ) =det( ) AB det =( ) ( det
) det 5
( 160 )=
B10=
Relaciona y contesta Elige la única respuesta co rrecta en cada caso 1.
A
es una matriz triangular cuyos
elementos s on números naturale s y cuyo d eterminante es 15 .
A. Algún elemento de A vale 3. B. Algún elemento de A vale 1.
C. A tiene exactamente tres elementos nulos. D. A puede tener siete elementos nulos.
15 0 A y C son falsas, basta considerar la matriz A = . 1 1 5 0 B también es falsa, basta considerar la matriz A = . 0 3
1 0 0 0 1 3 0 0 La respuesta correcta es D, basta considerar la matriz A = 1 1 5 0 0 1 1 1
2.
El determinante de la matriz
B
.
es det(B) =1 .
A. B es la matriz identidad.
C. det(B 2) =1
B. B coincide con su inversa.
D. det(B − I) =0 2
La respuesta correcta es C, ya que det(B 2) = det( B ) ) 1 = . (
1 1 2 −1 −1 El resto de respuestas son falsas, basta considerar la matriz B = con det(B) =1 , B = −1 1 y 1 2 det(B −)I =
0
1
=− ≠1 0
1 1
.
Determinantes | Unidad 8
43
3.
En la matriz
A,
cuadrada de orden 3, se sabe que:
a21
= a0,A23=
.
1, = 22 A =m 0y 23
A. det( A) =0 B. det( A) = m C. Las filas 2 y 3 son linealmente independientes. D. No hay información suficiente para saber el valor de det( A) . La respuesta correcta es B, desarrollando por la segunda fila de B tenemos det( )A
a 22A = a21A21+ 22 +
a= A 0 ⋅
23 23
+ 21⋅ +⋅A0=122 a
m
m
D obviamente es falsa. A solo es cierta si m = 0 . C es verdadera si m ≠ 0 (las 1 0 1 0 0 A = 0 1 1 , o falsa, A = 0 1 1 0 1 0 1
tres filas serán linealmente independientes), pero puede ser verdadera, 1 1 , si m = 0 . 1
Señala, en cada caso, las respuestas correctas 4.
En la matriz adjunta de la matriz cuadrada Entonces:
A,
de orden 3, todos los elementos de la última fila son nulos.
A. rg( A) <3 B. Una de las dos primeras filas está formada por ceros. C. La última fila de A es combinación lineal de las dos primeras. D. La matriz A no tiene inversa.
a11 a12
13
a22
23
A = a21
a31 a32
a 33 a
A11 A12
13
A22
23
Adj(A) = A21
a
A31 A32
A 33 A
A
Si A31 = A32 = A33 = 0 ⇒ las dos primeras filas de A son dependientes la una de la otra, luego rg(A) < 3. A y D son verdaderas.
5.
El determinante de una matriz cuadra
da de orden 4 es un número múlt iplo de 3, entonces:
A. Todos sus elementos son múltiplos de 3. B. Hay una fila en la que todos los elementos son múltiplos de 3. C. El rango de la matriz es 3. D. La matriz tiene inversa.
1 0 0 0 A, B y C son falsas, basta considerar la matriz M = 0 1 0 0 0041 0 0 1 1
con determinante 3, por tanto, de rango 4.
D también es falsa salvo que añadamos que el determinante de la matriz es un múltiplo de 3 no nulo, en cuyo caso D sería correcta.
44
Unidad 8| Determinantes
Elige la rela ción correcta entre las dos afirmaciones dadas 6.
Se tiene una matriz de orden 5 de la que se consideran las afirmaciones: 1. Todos los menores de orden 4 son nulos.
2. rg( A) <4
A. 1 ⇒ 2 pero 2 ⇒ 1
C. 1 ⇔ 2
B. 2 ⇒ 1 pero 1 ⇒ 2
D. Nada de lo anterior.
Recordemos que si todos los menores de orden p de una matriz son nulos, el rango de la matriz es menor que p, por tanto 1 ⇒ 2 . Recíprocamente, si rg( A) <4 no podemos encontrar ningún menor de orden 4 no nulo, ya que en este caso tendríamos rg( A) ≥4 , por tanto, también 2 ⇒ 1 . Es decir, la relación correcta es C.
Señala el dato innecesario para contestar 7.
Se quiere calcular el determinante de una matriz y para ello se tienen los siguientes datos: 1. Es una matriz triangular. 2. Todos los elementos de la última columna son nulos. 3. Hay un menor de orden 2 distinto de cero. A. El dato 1 es innecesario.
C. El dato 3 es innecesario.
B. El dato 2 es innecesario.
D. Basta con dos datos cualesquiera de los tres.
Con solo el dato 2 podemos saber que el determinante de la matriz debe ser nulo.
1 1 1 1 No nos basta con el dato 1 y 3, por ejemplo, las matrices A = y B = 0 2 verifican 1 y 3 pero sus 0 1 determinantes no coinciden. Por tanto, las respuestas correctas son A y C.
Determinantes | Unidad 8
45
9 Sis temas de ecu aci on es lin eales EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
x −y +z =3 Añade u na ecuació n al si stema para que resulte un sist ema incompatible. 2 x + y − 3z = 0
Basta añadir, por ejemplo, la ecuación x − y vez la primera ecuación del sistema.
2.
+ z = 0 , ya que ninguna solución de esta ecuación puede verificar a su
Escribe un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas que tenga como solución la terna (2, 3, 1). Existen infinitos sistemas posibles, por ejemplo:
x + y + z = 6 −x+ y+ =z 2 x − y + z = 0 x + y − z = 4
3.
Escribe en forma matricial y en fo
rma vectorial los s iguientes sistemas de ecuaciones.
2x −y+ z3−t = 4 a) x y+ z3t −2 +5 =−1
2x1 − 3x2 = 1 x + 2x = 0 2 b) 1 x1 − 2x2 = − 1 −3x1 + x2 = 2
a) Forma matricial:
x 2 1− 3 1 − 4 y 1 3 2 5− 1 z = − t b) Forma matricial:
2 1 1 −3
4.
− 3 2 − 2 1
1 0 x1 x = −1 2 2
Escribe en forma de sistema de ecua
Forma vectorial:
2 1 3− 1 4 − 1 3xy+ + 2 z +5− 1t = Forma vectorial:
2 1 1 −3
1 −3 2 0 x1 + x = −2 2 −1 1 2
ciones y en forma vectorial la ecuación matricial:
2 1−2 0x 1 3 2 − 1y = 1 0 1 − 2z
46
Forma de sistema de ecuaciones:
Forma vectorial:
2x − y + 2z = 0 x + 3y − 2z = 1 x − z = 2
2 1 − 1 3x+ 1 0
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
2 0 2+y− = 1 z 1 2−
−
5.
Las tres cifras de un múltiplo de 11 suman 19. S i se le cambian de orden las do en 450.
s prim eras cifr as disminuy e
a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita averiguar las cifras de un número que cumpla las condiciones. b) ¿Hay algún otro sistema, que no sea equivalente, que cumpla también las condiciones del enunciado? a) Sea 100x +10 y + z un número que verifica las condiciones del enunciado. Como las cifras suman 19 y al intercambiar las dos primeras cifras disminuye en 450 tenemos: x+y y(z + xz (100x +10 ) − y 100 )+ +10=
+ z = 19
x 450 y − 90 ⇒ = xy90 ⇒ − 4= 50
Por otro lado, al ser múltiplo de 11 se verifica que x − y
5
+ z es múltiplo de 11, además, 1 ≤ ,x , y z9 ≤
(ninguna
de las cifras puede ser nula, ya que entonces su suma sería entonces como máximo 18), por lo que 19−1+ ≤
−xyz+ 9≤19 − +7 ⇒− ≤ xy−z 17 + ≤
De este modo se tiene que verificar que x − y + z = 0 o x − y + z = 11 , pero la primera opción junto con x − y = 5 daría z = −5 , lo que no es posible, por tanto, debe ser x − y + z = 11 . Por tanto, el sistema de ecuaciones que nos permite encontrar un número verificando las condiciones del enunciado es
x + y + z = 19 x − y = 5 x − y + z = 11 Observemos que de las dos últimas ecuaciones deducimos que z = 6 , con lo que, de las dos primeras ecuaciones se deduce que x = 9 e y = 4 , es decir, el único número que verifica las condiciones del enunciado es 946.
b) Según el apartado anterior, no es posible encontrar otro sistema no equivalente al anterior que también verifique las condiciones del enunciado.
6 a 8.
9.
Ejercici os resuelto s.
Apli cando el métod o de Gaus s se han ob tenid o los si gu ien tes si st emas esc alo nados . Ind ic a qu é ti po de sistema es.
2x − y + 3z = 2 y + 3z = 1 a) 4z = 10
1 x y− +z−t = c) 2y + z − 2t = 2 4t = 12
3x2−2 9y + z = b) y − 3z = 0 0 = 13
2x 3+ y4− z t+ 1= −4y+3 −z2 =−t1 d) 5z + 2t = 2 7t = 0
a) Sistema compatible determinado. b) Sistema incompatible. c) Sistema compatible indeterminado. d) Sistema compatible determinado.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
47
10. Resuelve, si es posi ble, los sig uientes sistemas de ecuaciones aplicando el
método de Gauss.
2x +3 y2− =3z− a) 3x + 6y− =z − 4 2x9+9 2y + z =
= 2 2y + z + t = 0 c) 2x2y+ z t−3 +3 6 = −x+y z+t + = 0
2x + y = 4 3x − y = 1 b) x − 4y = − 7 −2x + y = 0
2x y+ z −t + = 1 d) −4x− y+ z3−t =− 1 3y + z− 5t=− 3
2x3y+z2− −=3 a) 3z6xy +−−= 4 2zyx9=++9 2
x +y− z2+t
2x y3z+2 − −3= EE−E→yz2→3+4=31 yEz →+=6E 11 −E 5 2 21
3
2 yx + =4 2yx += 4 y3x 1−= y −5−= b) −E3→ y x − −4= 7y EE E→ −−2= 9 → 2E − E =+−2x y0 =E →2E 4+ E 2 21
3 3 1 4
xy+−zt +=2 2 2ytz ++= 0 c) 6 332 2xyzt +−+= t z=+−yx
2xy+z−t += 1 2 d) −43−x1y+ zt−−= 3zty +−5 −=3
4
1
3
1
2 x y3z+2
− 3−=x
y3z 41 + =y
E −E3E2→
z = 3z 3=
1= →1−2=
2 yx 4 += 10 −y−=5 10 y x+2= x 4 = → → E →E+→ =9E5 0E0 →y5E +−2−yE= 5 10= 18 y = 00
4
2 44
4
xy z +t−2 +=2 x 1 2
ytz0
→
+t434EEz → 2
1
xyz+t−1+=
1+ y→ zt+= E E +E → 2 zy t3 5+−3−=
2
21
2
4 42
1 33
1
3 32
xy +z− t 2 xy+z−t +2= 2 += 2 2 ytz ++ =0 2 ytz 0 ++= → → 2 t z−EEE=→ + 2 2 t zE−E=→+ →E + E 2 2 0zt 2 y +−= 22t z−=+
→
1
t
++= y
=+ =
=
→
= − 1 z = 0 t = 2
2
63
xy 1z+ t −+=
→ 1yzt ++= −EEE→ 3 zt 28−6 − −=
→
32
x = 3 − 4λ y = − 2+ 3 z = 3 − 4λ t = λ
11 a 13. Ejercici os resuelt os.
14. Resuelve como ecuación matrici al los si guientes sistemas. 3x + 4y = 6 a) 2x + 3y = 7
2x − 3y = − 4 b) 6 x + 6y = − 7
3 4 x 6 3 4 a) La forma matricial del sistema es , con matriz de coeficientes A = = . 2 3 y 7 2 3 Como A = 1 ≠ 0 , la matriz de coeficientes es invertible y A−1
Por tanto, la matriz de incógnitas es
b) La forma matricial del sistema es
Como A
t 1 ( Adj ( A ) ) A
− 10 9 =
3 −4 = . −2 3
.
2 −3 2 −3 x −4 , con matriz de coeficientes A = . = 6 6 6 6 y −7
= 30 ≠ 0 , la matriz de coeficientes es invertible y A −1 =
Por tanto, la matriz de incógnitas es
48
x −16 3 4 6− y = A 7 = 2− 3 7
=
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
x −1 −4 y = A −=7
1 5 1− 1 5
1
10 = 7 15
1 A
−4 −
t
( Adj ( A ) ) = 3
− 2 1 3
.
1 1 6 3 5 10 = . 30 −6 2 1 1 − 5 15 1
15. Resuelve los siguientes sis temas como ecuaciones matriciales. x + y + 2z = 5 a) x − 2y = 2 y + z = 1
x − y − 3z = 1 b) 2x + y − z = 1 −x− +y 2=z 2
1 12 a) La forma matricial del sistema es 1 2−0 0 11
5x 2y = 1z
1
1 2 −2 0 . 0 1 1
, con matriz de coeficientes A = 1
Como A = − 1 ≠ 0 , la matriz de coeficientes es invertible y t
A −1
=
t 1 ( Adj ( A=) ) A
Por tanto, la matriz de incógnitas es
1 −2 2 −− − 1 1 1 4 1−= 1−− 1 1 −1 4 2 3 − 1 1− 3
x 5 y = A −1 2= z 1
1
2 1 −4 5− 4 −1− 1 2=2 1 1 0 1− 1 3
1 1− 3 − 1x b) La forma matricial del sistema es 2 1 1 − 1y = −1 1− 2 2z
2
.
, con matriz de coeficientes A
1 −1 −3 = 2 1 −1 . −1 −1 2
Como A = 7 ≠ 0 , la matriz de coeficientes es invertible y
A −1
=
1 1t ( Adj ( A=) ) A
x Por tanto, la matriz de incógnitas es y z
1 t 1 −3 −1 7 315 − 5 −=1− −2 7 777 4 −5 3 − 1 7
1 7 1 3 = A −1 1=− − − 7 2 − 1 7
7
7
2 7
3 7
4
5
7 1 =− 7 2 7
4
5
7 1 5 1 7 2 3 7
2 2 . 1
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
49
16. Expresa e n forma matricial l os si guientes sistemas y resuélvelos. x − y + z = 1 y − z + t = 0 a) x − y − t= − 1 −x+ +z= t 0
x + 2z = 0 3y + t = 7 b) x + y = 2 3z + t = − 2
1 0 a) La forma matricial del sistema es 1 −1
1− 1 0
1x 0y = . − 1z − 0t
1 1 1− 1−0 1 0 1 1
El determinante de la matriz de coeficientes es
A
=
1 1− 1 0
1 1 1 0−
0 1 1 −1
0 1 1 1
1 1− 0 −1 −1 0 1 1
03 03 1 − 1 1
F4 →F4 + F1
0 1 2 1−
−−1− 1 1 0
con lo que es invertible y A −1
=
t 1 ( Adj ( A )) A
Por tanto, la matriz de incógnitas es
=
1 0 1 1 1 1 1 3 2 1 − 1 2 1 1
x y = A−1 z t
1 0 2 0 0 3 0 1 b) La forma matricial del sistema es 01 01 03 01
1
−1
0
11
−1
2
− = ≠−−=−
=F →F −F
=
t
1 01
2
1 1 −3 2− 0
4
x0 y7 = z22t
1 0 1
1 0−−1 1 − 1 1 3−2− − = − 1 1 2− −1 − − 0 1 1 1
1− 1 − − −1 1 −1 −2 1− − 1 0 0 1 1 1 0 1
0
1
.
=
3
.
−
1
.
−
El determinante de la matriz de coeficientes es 1 0 2 0 A
=
0 3 0 1 1 1 0 0 0 0 3 1
=
10
2 0
0 3
0 1
0 12
F3 →F3 −F1
0 0
0
3 1
3
0
= − ≠− = 1 2 0 − 0
3
1 3 0 1
2 −1 − 2 2 t 3 3 3 3 −3 9 − 2 2 2 2 − 1 −3 1 −1 − t 1 1 = con lo que es invertible y A −1 = ( Adj ( A ) ) = 3 3 . − A −3 −6 3 3 9 1 1 −2 2 −1 − 1 6 − 1 3 3 3 1− 3 2
Por tanto, la matriz de incógnitas es
17. Ejercicio interactivo. 18 a 20. Ejercici os resuelt os.
50
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
0 x y = A −1 7 z 2 t −2
2 −1 − 2 2 3 3 0 −2 2 2 1 4 −1 − 7 . = = 3 3 2 1 1 1 −1 − −2 1 −5 3 3 3 1− 3 2
21. Comprueba si son de Cramer cada uno de los siguientes sistemas y en caso de serlo, resuélvelos aplicando la regla de Cramer. 3x −6 y 10 = a) −2x + 4y = 3
x + 2y + z = 2 c) 2x − 5y = 4 −x+ 2−y =4z 3
5x2−2 3y − z = e) y + z = 1 x − y + z = 2
x + 2y − z = 3 b) 3x − y + 2z = 0 − x+ y+ =z 1
3x1 2+ 3x2 − 2x3 = d) x1 + x2 − x3 = 3 2x − 3x + x=− 2 1 2 3
f)
3
−6
−2
4
a) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo, pero A =
x + 2y + z = 4 x + 3y + z = 5 2x + y + z = 4
= 0 . El sistema no es de Cramer.
1 2 −1 b) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo y A = 3 − 1 2 =− ≠15 0 −1 1 1
x
3
2
−1
0
−1
2
1
1
1
=
−1
1
0
2
3
−1 1
1
1 3 3
=
A
−6 2 = −15 5
=
y
A
c) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo y A=
x
=
. El sistema es de Cramer con
=
−20 4 = −15 3
1
2
−1
=
z
2
1
1 2
1
1
0
2
0
2
2
−4
=
95
19
=
35
y
=
−1 3 −4
=
A
7
10
=
35
x1
=
2
2
3
1
−3 −1
−2 −3
1
A
=
15 3
=5
x2
=
3
2
1
3
−3 −1
2
−2
1
A
2
−1
=
z
x
=
1
1
2
−1
1
=
A
10
=1
y
=
=
x3
1 10 = 0
−1
=
3
−2
5
1
1
0
1 2
1
A
3
2
2
1
1
3
2
−3 −2 A
=
0
=0
z
=
1 A
1
1
4
1
1
2
4
1
1
5
1
1
3
5
4
1
1
4
y
=
2
A
=9
=
=
10
=1
10
. El sistema es de Cramer con
2
−1 =1 −1
27 3
1 1
3
=
=
2 1
4
1 1
7
1
−1 2
1
5
A
9
35
−2 3
10
2
4
−45
≠ . El sistema es de Cramer con
0
1
=
3
= −=
1
f) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo y A= 1 3 1=−≠ 1 0
x
2
. El sistema es de Cramer con
5
10
2
A
21 =7 3
1
1
−2 −2
2
−2 −2
5
1
−1 1 = −15 15
2
e) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo y A = 0
3
=
−5 4
7
−3 d) El número ecuaciones e incógnitas es el mismo y A = 1 1 −1= ≠3 0 2 −3 1 3
1
. El sistema es de Cramer con
−5 A
1
1
−2 5= ≠0 3 5 0 −1 2 −4
2 3
3
A
4
4
2
−1 0
−1 =1 −1
z
=
2
A
=
−1 =1 −1
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
51
22. Resuelve los siguientes sistemas indeterminados con ayuda de la regla de Cramer. x − y2 +z −t= 2 0 b) −2x− 2+z = t 3 3x y− −z t− = − 1
5x3+2 1 y− z= a) 7x + 4y + z = 3
a) Como det (C , 1 C2 )=
5 7
3
=−1≠0
, podemos hacer z = λ y obtener el sistema de Cramer:
4
5x +3 y=1 +2 7x + 4y= −3 cuyas soluciones son:
x
=
1 + 2λ
3
3−λ
4
−1
−2 1 2− = 16 ≠0 3 −1 −1
=− 5 11
y
=
5
1 + 2λ
7
3−λ =−+ 8 19 −1
1
b) Como det (C ,1 C , 2 C3 ) =2− 0
, podemos hacer t
x − 2y+ =z 2 −2x− 2=z −3 3x − y − z= − +1 cuyas soluciones son: 2λ
−2
3−λ x
=
−1+
16 1
y
z
52
=
=
1
−2 −1 − 1 0
2λ
−2
3−
3
−1+ 16
−13 + 3λ 16
1
− 2 −1 −12− 12 = 16
1
−2
2λ
−2
0
3−λ
3
−1 − +1 16
=
=
−3− 3 = 4
−11 + 5λ 16
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
= λ y obtener el sistema de Cramer:
23. Resuelve los siguientes sistemas utilizando la regla de Cramer. x1 + 2x3 = 1 2x + x = 0 a) 2 4 2x1 + x 4 = 0 x2 + x3 = 1
x − y + z = 1 y − z + t = 0 b) x − y − t= − 1 −x+ +z= t 0
a) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes es: 1020 0201
A =
2001
2 0 1
=
00 +
0 2 1
1 22 0−+=⋅=≠1
1 1 0
0110
22 2 2 0
0 1 0
Aplicando la regla de Cramer: 1020
1120
1010
1021
0201
0001
0201
0200
0001 x1
=
1110 A
2001
=
2 2
= 1 , x2 =
2000
2001
0110 A
=
2 2
= 1, x3 =
0110 A
=
0 2
= 0, x4 =
0111 A
= −=
−4 2
2
b) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes es: 1 1− 1 0
=
A
1 1 1 0−
0 1 1 −1
=
1 1− 0 −1
0 0 − 1 1
F3 →F3 −F1 F4 →F4 + F1
−1 0 1 1
− = ≠−−=−
0 1 1 1 0 1 2 1−
1
−1
0
11
−1
2
1 1 0 1
Aplicando la regla de Cramer: 1 1− 1 0
x
=
=
1 0
0011
−1 1 − 0 1 −
1 1− 0
0011
=
A
−2 =2 −1
y
=
1 1 −1 1 0
−1 0 0 A
1
−
− 1
11
1 1− 0
=
−3 =3 −1
t
=
1
−
−0 1
−1 0 1 0 A
−4 =4 −1
=
A
1 1− 1 0 1 0
−
−1 0 1 1
0
1 1 −1 1 z
11
1 1 1−
0
− −= =
1
−1
1
24 y 25. Ejercicios resueltos.
26. En cada ca so, indica el número d e soluciones del s istema. *) =3, n = 3 a) rg( A) =2, rg( A b) rg( A) =3, rg( *) A = 3, n 3 =
A =2, n 4 c) rg(A) =2, rg( *) = d) rg(A) =1, rg( A *) =2, n = 4
a) El sistema es incompatible, es decir, no tiene soluciones, ya que rg( A) ≠ rg( A*) . b) El sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución, ya que rg(A) = rg( A*) = n . c) El sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 2, es decir, tiene infinitas soluciones dependientes de dos parámetros, ya que rg( A) =rg( A *) < n y n − rg( A) = 2 . d) El sistema es incompatible, ya que rg( A) ≠ rg( A*) , es decir, no tiene soluciones.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
53
27. Discute los siguientes sist emas de ecuaciones. 2x + y = 3 b) x − 3y = 1 −3x + 2y = 0
x + 2y + z = 1 a) x − 3y − z = 2
a) Las matrices asociadas al sistema son 1 1
2
−3
x + 3y = 1 d) 2x − y = 0 5x + y = 1
x + y − 3z = 0 c) 3x − y + z = 1 2x + 2y − z = 3 A
1 2 1 1 2 1 1 = y A* = 1 −3 1−2 1 −3 −1
= − 5 ≠ 0 , tenemos rg( A) = rg(<=A* ) 2 nº de =incógnitas 3
. Como el menor
y el sistema es compatible indeterminado
con grado de indeterminación 1.
2 1 2 1 3 b) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 −3 y A* = 1 3 −1 . Como A * = −28 ≠0 , tenemos − 3 2 − 3 2 0 rg( A* ) =3 . Además, rg( A) ≤2 , con lo que rg( A) ≠ rg( A*) y el sistema es incompatible. 1 1 −3 1 1 3−0 . Como A = − 20 ≠ 0 , c) Las matrices asociadas al sistema son A = 3 −1 1 y A* = 3 1 − 1 1 2 2 −1 2 2 1−3 tenemos rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema es compatible determinado. 1 3 1 1 3 . Como A * = 0 , tenemos rg(A* ) <3 . d) Las matrices asociadas al sistema son A = 2 −1 y A* = 2 1−0 5 1 5 1 1 Como el menor
1
3
2
−1
= −7 ≠ 0 , tenemos rg(A) = rg( A*) =nº de incógnitas =2
y el sistema es compatible
determinado.
28. Discute los siguientes sist emas de ecuaciones. x − y+ 3z=− 4 2x + y = 4 b) −x+ y+ 2=z− 1 3y − z = 7
x + 2y = 1 2x − y − 3z = 0 a) x − z = −1 y + z = 1
1 2 0 1 2 0 1 2 −1 −3 2 1− 3 0− . a) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = 1 0 −1 1 0 1 −1 − 0 1 1 0 1 1 1 12 Como A *
2
=C
C3 → 3 + C1 C4 →C4 + C1
10 0
rg( A)
1 2
−1 1−2 0 0
2
1 2
=− 1−21 30 −=≠
1 1 1
1
, tenemos rg( A*) 1
= 4 . Además, rg( A) ≤3 , con lo que
1
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
1 1− 3 4 − 1 −1 3 2 1 0 4 2 1 0 . b) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = −1 1 2 −1 1 2 1 − 0 3 −1 0317 − 1 1 −3 4 − 3 −6 12 0 3 6− 12 Como A * = = 0505= − , tenemos rg( A* ) < 4 . F →F − 2F 0 0 5 5 − F →F + F 3 −1 7 0 3 1 −7 1 −1 3 Como el menor 2 1 0 15 = 0 ≠ , tenemos rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema es compatible −1 1 2 2
2
3
3
1
1
determinado.
54
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
29. Discute los siguientes sist emas de ecuaciones. 3x − y + z = 5 x + y − z = 3 a) y − z = 1 x− 3+y 3=−z 1
2x6−4 3y + z = b) −3x+9 6−2y= z
3 −1 1 3 1− 1 5 1 1 −1 1 1 1 −3 . a) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = 0 1 −1 0 1 1 −1 1 −3 3 1 3− 3 1 − 3 −1 ) rg Como C3 = −C2 , tenemos rg( A = 1 12 = , ya que el menor 3 −1 = 4 ≠ 0 . 0 1 1 1 1 −3 3 −1 5 1 1 3 De igual modo, rg( A *) rg = 2 = , ya que los menores de orden 3 que se obtienen ampliando el 0 1 1 1 −3 −1 anterior menor de orden 2 son nulos: 3
−1 5
1
1 30
0 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
1
=
1
2 nº de =incógnitas
3
3
−1
5
1
13
0
1
−3 −1
=
y el sistema es compatible indeterminado con grado de
2 −6 4 2 6− 4 3 b) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = −3 9 6 −2 −3 9 −6 Las dos filas de A son proporcionales ( F2 rg( A)
.
= − 3 F1 ), con lo que todos los menores de orden 2 de A serán nulos y 2
=1 . En cambio, las dos filas de A * no son proporcionales, de hecho, el menor
que rg( A* )
4
3
−6 2
= 26 ≠ 0 , con lo
= 2 . Por tanto, rg( A) ≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
30 a 32. Ejercici os resuelt os.
33. Discute y resuelve los siguientes sis temas de ecua ciones. 3x − 6y = 0 a) 4x − 8y = 0 −x + 2y = 0
x − y + 2z = 0 b) x − 2y + 7z = 0 2x − y − z = 0
Como son sistemas homogéneos, se trata de sistemas compatibles. Para saber si son determinados o indeterminados estudiamos el rango de la matriz de coeficientes y lo comparamos con el número de incógnitas.
a) rg( A) =1 , ya que las filas A son proporcionales ( F =− F3F , =−F 1
32
4
3
), por tanto, el sistema es compatible
indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo hacemos y ecuación, obteniendo x
= λ y despejamos en la tercera
= 2λ .
1 −1 2 b) rg( A) =2 , ya que A = 1 2 − 7 0 = 2 −1 −1
y el menor
1 1
−1 = −1 ≠ 0 , por tanto, el sistema es compatible −2
indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ , obteniendo el sistema de Cramer:
x − y = − 2 ⇒ x= 3 , y=5 , x − 2y = − 7
z=
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
55
2 x − 3y + z = 0 34. Añade u na ecuació n al si stema para que resulte homogéneo
3 x − 4y − z = 0
a) Determinado.
b) Indeterminado.
Observemos que el rango de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo del enunciado es 2, ya que el 2 −3 menor = 1≠ 0 . 3 −4
a) Basta añadir una ecuación que no sea combinación lineal de las del sistema srcinal pero cuyo término independiente siga siendo nulo, por ejemplo, 2x − 3y = 0 . De este modo, el rango de la matriz de coeficientes del nuevo sistema será 3 y, por tanto, el nuevo sistema será compatible determinado.
b) Puesto que el sistema srcinal ya es compatible indeterminado, basta añadir cualquier ecuación que sea combinación lineal de las dadas, por ejemplo, −x+ +y 2 =z 0 .
35. Discute y resuelve los sigu ientes sistemas homogéneos. −x+ 7−y =5z 0 a) 2x − 3y + z = 0 3x + y − 3z = 0
3 x + y − 4z = 0 b) 2x − 5y = 0 x + 2y + z = 0
Como son sistemas homogéneos, se trata de sistemas compatibles. Para saber si son determinados o indeterminados estudiamos el rango de la matriz de coeficientes y lo comparamos con el número de incógnitas.
−1 7 −5 a) rg( A) =2 , ya que A = 2 3− 1 0 = 3 1 −3
y el menor
−1
7
2
−3
= − 11 ≠ 0 , por tanto, el sistema es compatible
indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ , obteniendo el sistema de Cramer: 8λ −x+ 7y= 5 x = =,11y 2x − 3y = − ⇒ 11
3 1 −4 b) rg( A) =3 , ya que A = 2 − 5 0=− ≠53 0 1 solución es la trivial, x
2
9λ
= ,z
, por tanto, el sistema es compatible determinado y su única
1
= y = z =0.
36. Se sabe que una soluci ón de un sistema homogéneo indeterminado es sistema que esté formada por números enteros no
1 , 5 , 2 . Halla otra solu ción d el 3 6 3
nulos.
Cualquier terna proporcional a la del enunciado también será solución. Si queremos que esté formada por números enteros basta multiplicar por cualquier múltiplo no nulo de 6. Por ejemplo, una posible solución sería ( 2, 5, 4) .
37 y 38. Ejercicios resueltos.
56
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
39. Discute los siguientes sistemas para los distintos valores del parámetro y resuélvelos en el caso de ser compatibles in determina dos.
kx −y +z = 1 a) x y− z−k= − 1 x −ky +z2 = 2
3x +m y =m c) mx + my = 0 x + y = m
kx +k y + z2 = 1 b) kx +y +kz = 1 x +k y +z k=
x +my −z = 0 + z =1 2x − 2y m d) −x + mz = 0 3x − my = 1
k −1 1 k −1 1 1 a) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 −1 −1 y A* = 1 1− −1 −1 k , con rango máximo 3. 1 −k 2 1 −k 2 2 A •
Para k
= 0⇒ − k−2 3 +4k=0⇒
=−4, k1=
k
≠ −4 y k ≠ 1 tenemos A ≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es
compatible determinado.
•
Para k
−4 −1 1 −4 1 −1 1 = −4 tenemos A = 0 , A = 1 −1 −1 y A* = 1 −1 −1 −5 1 4 2 1 42 2
El menor
.
−1 1 = 2 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 . −1 −1
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
−1
1
1
−41− 12− =5−2≠ 24⇒ 0 Por tanto, rg( A)
•
Para k
rg( = *) 3A
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
1 −1 1 1 −1 1 1 = 1 tenemos A = 0 , A = 1 −1 −1 y A* = 1 1− 1 0− 1 −1 2 1 −1 2 2
El menor
.
−1 1 = 2 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 . −1 −1
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
−1 1 1 −1 − 1 0= ≠ 1⇒0 −1 2 2 Por tanto, rg( A)
rg( = *) A 3
.
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
57
k k 2 k k 2 1 b) Las matrices asociadas al sistema son A = k 1 k y A* = k 1 k 1 , con rango máximo 3. 1 k 1 1 k 1 k A •
Para k
=⇒ 0 − + k 3 2 + k−2 =2k 0⇒ = − 1,=k1, = 2 k
k
≠ −1 , k ≠ 1 y k ≠ 2 tenemos A ≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema es
compatible determinado.
•
Para k
−1 −1 2 −1 1 − 2 1 = −1 tenemos A = 0 , A = −1 1 −1 y A* = 1− 1 1 1− 1 −1 1 1 1 −1 1 −
El menor
.
−1 −1 = − 2 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 . −1 1
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
−1 −1 1 −1 1 1=⇒ 0 =rg( *) A2 1 −1 −1 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
2 nº de =incógnitas
3
y el sistema es compatible indeterminado con grado de
Para resolver el sistema en este caso, observemos que según el menor de orden 2 anterior, debemos eliminar la tercera ecuación y hacer z = λ para obtener un sistema de Cramer:
−+ 2 3 − x− y= − 1 2 ⇒ =x =, y = , z x y 2 2 − + = +1 •
Para k
1 1 2 1 1 2 1 = 1 tenemos A = 0 , A = 1 1 1 y A* = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Observemos que, tanto en A como en A * , F2
.
= F3 , por lo que rg( A) = rg(<=A* ) 2 nº de =incógnitas 3
y el
sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolver el sistema en este caso, observemos que según lo anterior podemos eliminar la tercera 1 2 ecuación. Para decidir que incógnita será un parámetro observemos que el menor = − 1 ≠ 0 , con lo 1 1 que hacemos x = λ para obtener un sistema de Cramer:
y + 2z= −1 y + z= −1 •
⇒ x= , y=1− ,
2 2 2 2 2 2 1 1 2 y A* = 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2
Para k = 2 tenemos A = 0 , A = 2
El menor
2 2
2 1
0z=
.
= − 2 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 2
2
1
=−3 ≠0 ⇒ rg( *)=3A
2 1 1 1 Por tanto, rg( A)
58
2
2
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
3 m 3 m m c) Las matrices asociadas al sistema son A = m m y A* = m m 0 , con rango máximo 2 y 3, 1 1 1 1 m respectivamente. A * 0= •
Para m ≠ 0 y m ≠ 3 tenemos
⇒− + m 3 3 =0 m ⇒2 = 0,
A*
m 3 =
m
≠ 0 , por tanto, rg(A* ) =3 y rg( A) ≤2 , con lo que el sistema es
incompatible.
•
Para m = 0 tenemos A *
El menor
3
0
1
1
3 0 3 0 0 = 0 , A = 0 0 y A* = 0 0 0 . 1 1 1 1 0
= 3 ≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =2
y el sistema es compatible
determinado.
•
Para m = 3 tenemos A *
3 3 3 3 3 = 0 , A = 3 3 y A* = 3 3 0 . 1 1 1 1 3
En A, C1 y C2 coinciden, por tanto, rg( A) En A * , el menor Así, rg( A)
3
3
3
0
=1 .
= − 9 ≠ 0 , por tanto, rg( A* ) = 2 .
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
1 2 d) Las matrices asociadas al sistema son A = −1
m −1 1 2 −2 m y A* = −1 0 m
3 −m
m −1 0 −2 m 1 , con rango máximo 3 y 4, 0 m 0
3 −m
0
0
1
respectivamente. A* 0 =
Para •
y m ≠ 2 tenemos
m 1≠
⇒ m −32 +2 m =0 ⇒ = 1,
A*
=2m
m
≠ 0 , por tanto, rg( A*) = 4 y rg( A) ≤3 , con lo que el sistema es
incompatible.
•Para
m1 =
1 1 1 −1 2 −2 1 y A* = 2 tenemos A * = 0 , A = −1 0 1 −1 3 −1 0 3
En A y A * el menor
Por tanto, rg( A)
•
1−0 1 1
0
10
1 − 0 1
.
2 −2 1 = 1 ≠ 0 , ampliándolo con C1 y F2 obtenemos el menor −1 0 1 =−3≠ 0 −1 0 3 −1 0 0
1
.
= rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema es compatible determinado.
Para m = 2 tenemos A *
En A y A * el menor
Por tanto, rg( A)
1 2 −
0
21 −22 −21 1 y A* = 2 = 0, A = −1 0 2 −1 3 −2 0 3 2
−2 0
2 1−0 2 −2 1 0 2 −0
2 0 1
.
1 2 −1 = 1 ≠ 0 , ampliándolo con C1 y F1 obtenemos el menor −1 0 2 1 =4 0 ≠ . 3 −2 0
= rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema es compatible determinado.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
59
40. Discute los sig uientes sistemas para los disti
ntos valores del pará metro.
2x − ky = 1 a) kx − 2y = 2 x + y = 1
x + y = 0 c) my + z = 0 x + m (+ +1) y mz= m+ 1
ax + 3y −z = − 3 b) x +ay z+ = −a ax +y +z =− 1
x −ay −z = 2 d) ax +y +z2 = 1 (a1)+ x −y +z =a +1
2 −k 2 −k 1 a) Las matrices asociadas al sistema son A = k −2 y A* = k −2 2 , con rango máximo 2 y 3, 1 1 1 1 1 respectivamente.
A * 0= ⇒ •
Para k
k−2 −6k0= ⇒ = 2, − k3=
k
≠ −2 y k ≠ 3 tenemos A * ≠ 0 , por tanto, rg(A* ) =3 y rg( A) ≤2 , con lo que el sistema es
incompatible.
•
Para k
2 2 2 2 1 . = −2 tenemos A * = 0 , A = −2 −2 y A* = 2− 2 −2 1 1 1 1 1 =1 . En A * , el menor
En A, C1 y C2 coinciden, por tanto, rg( A) Así, rg( A)
•
1
= 6 ≠ 0 , por tanto, rg(A* ) = 2 .
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Para k = 3 tenemos A *
El menor
2
−2 2
2 3
2 −3 2 −3 1 . = 0 , A = 3 −2 y A* = 3 2−2 1 1 1 1 1
−3 = 5 ≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =2 −2
y el sistema es compatible
determinado.
a 3 −1 a 3 −1 −3 b) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 a 1 y A* = 1 a 1 −a , con rango máximo 3. a 1 1 a 1 1 −1 A •
Para a ≠ −2 y a ≠ 1 tenemos
= 0⇒ 2 a+22 −4a=0 ⇒ =− 2, a= 1 A
a
≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es
compatible determinado.
−2
•
Para a = − 2 tenemos A = 0 , A = 1 −2
El menor
−1 −2 3 1 − 3 − . 1 y A* = 1 2 −1 2 −2 1 1 1 − 1 1
3
−2
−21 −32 = 1 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
−2 1
−2 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
60
2 nº de =incógnitas
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
−3
3
−2
2=⇒ 0
rg(= *) A2
−1
1 3
y el sistema es compatible indeterminado con grado de
•
1 3 −1 1 3 1− 3 − 1 1 y A* = 1 1 1 1 − . 1 1 1 1 1 1 1 −
Para a = 1 tenemos A = 0 , A = 1
El menor
1 3 1 1
= − 2 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
−3 1 − = 0⇒ rg( *)=A2 1 1 −1 1 3 1 1
Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
2 nº de =incógnitas
3
y el sistema es compatible indeterminado con grado de
Observemos que llegamos a la misma conclusión si nos damos cuenta que, tanto en A como en A * , tenemos F2 = F3 . 1 0 0 1 1 1 0 , con rango máximo 3. m 1 y A* =0 m1 0 c) Las matrices asociadas al sistema son A = 0 1 m +1 m 1 m + 1 m m + 1 A •
Para m ≠ 0 y m ≠ 1 tenemos
= 0⇒ m −2 = m ⇒0 = 0,m= 1
A
m
≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es
compatible determinado.
•
1 1 0 1 1 0 0 0 1 y A* = 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0
Para m = 0 tenemos A = 0 , A = 0
El menor 1 0
0 1
.
= 1 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1
0
0 1 = ≠0 ⇒ rg( *)=A3
0 1 0 1 Por tanto, rg( A)
•
0
1
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
1 1 0 1 1 0 0 1 1 y A* = 0 1 1 0 1 2 1 1 2 1 2
Para m = 1 tenemos A = 0 , A = 0
El menor
1 1 0
1
.
= 1 ≠ 0 , por tanto, rg(A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1 1 0 0 1 0 2 = ≠0⇒ rg( *)= A3 1 Por tanto, rg( A)
2
2
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
61
1 −a −1 1 −a −1 2 1 2 y A* = a 1 2 1 d) Las matrices asociadas al sistema son A = a a + 1 −1 1 a + 1 1− 1 1a+
, con rango máximo
3. A •
Para a ≠ −2 y a ≠ 2 tenemos
= 0⇒− a+2=4 0 ⇒ =−2,a =2 A
a
≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es
compatible determinado.
−1 1 2 1 −2 2 y A* = 2− 1 2 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1
•
Para a = − 2 tenemos A = 0 , A = −2
El menor
1
2
−2 −1
2
1
. −
= 3 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1
2
2
−2 1 1=⇒0= rg( *) A2 −1 −1 −1 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
•
2 nº de =incógnitas
3
y el sistema es compatible indeterminado con grado de
1 −2 −1 1 −2 1−2 1 2 y A* = 2 1 2 1 3 −1 1 3 −1 1 3
Para a = 2 tenemos A = 0 , A = 2
El menor
1
−2
2
1
.
= 5 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1
Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
1 1
3
−1 3
2 nº de =incógnitas
41. Ejercicio interactivo. 42 a 46. Ejercici os resuelt os.
62
−2 2
2
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
3
0=
rg( *) A2 = ⇒
y el sistema es compatible indeterminado con grado de
EJERCICIOS Sistemas de ecuaciones. Soluciones
47. Escribe cada uno de los s iguientes sistemas en forma matricial y
en forma vectorial.
2x − y = 1 a) x − 2y = − 1 x + 2y = 5
3x −y + z2+t = 1 b) x + y4 − z 2+t = 0 −2x+ y+ z− t= 2 2
a) Forma matricial:
Forma vectorial:
2 1 1
− 1 −2 2
1 x = −1 y 5
2 1 1
b) Forma matricial:
−1 2 y + − 2 =−
x
1 1 5
Forma vectorial:
x 3 1− 2 1 1 1 4 2 −1 0 y = −2 1 1 2 − 2 z t
3 1 − 2 1 1 1 4xy+ z t +2− + 1 0= − 2 1 1 2 2 −
48. Escribe un si stema de ecua ciones cu ya matriz ampliada sea : A*
1 2 1 −0 1 = 2 2 − 1 2 3 0 1 2 1 2−
x + 2y − z = 1 2x 2− y +z +2t=3 y + 2z − t = 2
49. Escribe un si stema de dos ecuaciones y tres incóg nitas que tenga entre sus solucio nes (2 , 1, –3). Por ejemplo,
x + y + z = 0 x y + =3
50. Determina una matriz
A
para que el sistema
(x
AX
= 0 sea equivalente a la ecuación matricial.
y) z
1 −2 2 ( ) 1 = 0 0 1 2
Trasponiendo la ecuación matricial tenemos:
12 1 0yx = −2 12 0 z
12 1 ⇒ A = 2 12 −
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
63
Resolución de sistemas
51. Resuelve los siguientes sis temas de ecua ciones ut ilizando el método de Gauss. x + 2y − z = 1 a) 2x5+2 1y − z = − x+ 3−y 2=z− 6
2x4+3 1y + z = c) x + y + z = 3 − x+ 2−y =z 0
−x+ 2y− =z− e) 3x −4 y 14 = 2x − z = 14
− x+ −y 3=z 6 b) 3x + 2z = 0 −2x− 2+y = −z 3
2x + 4y = 6 d) x + 3y = 5 −2x − y = 0
f)
x yz 2 1 a) 25z2yx1++−=− = −+xyz−3−=2 6
x yz x 3 2−= 1 +→ y 1 −= y =1 −= E2 → E2 − 2E1 E3 → E3 + E1
yz5−3 −= 5z
−+xy−z = 36 b) 3zx2+=0 −z2y−2x +3−=
xy−+z − 3 =6
→= zy 3 y−=7 18−
+E 2E 3E 3→
221 3
3
y
1
− −= 3
→
3
27
→
3 1 2
3
3
1
xy + 3=5 2x4y+6= x3y+5= xy3+ =5 → d) yx + 3= 5yx 2 → y 46 + = 2 −4−= y→ →2 −−=4 E 2 E+E→ −−=2yx0 2−−=0 yExE ↔ =EEE− y→ 5E 10 →E + 2E = 00
−x+ y−z 2 =− 2 e) 3yx4−=14 z 2x= − 14
x− yz2+ − 2=−x 6
=
zy =2− 3y 8=→ =2 z2 −
1
12
221
3 32
3
f)
x = 18 7 z = − 7
x 3yz++= 2431x +y +z = xyz++3=9 x = c) xyz++= yz 2 + 3 x y z+→2+ 4=3 1 −= y 5→−=2 1 E ↔ −+xzy−=2 0 −x+zy −= 2 0 y 3EE3= E z→ → E + E7 −= 21
2x − y− 2z=− 3 −x+ 2+y =z 0 4x + 5y + z = 2
→
=0
−xy+ z− = 36 zy 3 7 −= 18 EE+E→→ zyE−→4E7+− 23E−=15
2
=−2 →zy2 =−3 8 z y =−4 3 10
3
x− + yz2−
EE +2E → 3 21 E3 → E3 + 2E1
E −E 2 33→
y
2x− +yz0+= 2xy−z2− 3 =− −↔ −2= 3 −+xyz+ =2 02yxz E−→ 4x5yz+ += 2 x4yz+5+= 2
x + 3=y 5 −= x − 2y=− 4 = y
→
2
5
1
=
→ 2
x = 1
2x −yz+0
+= − → = EE → +2 13 yz + =E 5→E2+ 4E
→−=3 y 3
21
y
2 12
3
3
1 2
1
z = 3
1
52. Apli ca el métod o d e Gauss p ara reso lver l os si guien tes si stemas de ecuacio nes. x y+ z −t + = 4 2x + 4y + t = 8 b) x − y + t = 2 4x+ 8 y 9+ z +t =14
x − 2y +z −t = 0 −2x+3 +y3 =−2t a) 2y −2 z 5− 1t 2= −x+y z2t− 2 − 2 =−3 x −yz2t+−= 0 −322+xyt + =− a) 2yzt2−−=5 12 −+xyzt −222−3 −= → =x
x 2y−zt +−=0 2
+=− → E →E +2 +EEE yzt2 −2 −= 5E12 zt −3−3 − = 2 y−tz+
122 4
4
43 82 11 y =, z = t , − = 3939
1
4 xyz+t−+= 4 xy+z−t += 24xty+=+8 22ytz+=−0 → b) t y x −+ = 2 z y −EEEE−−−→ += 22 2 → 4x8y+tz9+ += 14 y Ezt4→E13 +− 4E−3−= 2 122
→ x= y z1=,t
64
=1, = 0,
3
4
4
2 ytz2− +
2 x yz 0t−
+ =−
2 3E 3 E +E →z t
2
−2= 3 8 zt 3− 3 − −=
+−=
ytz 2− + 2
→
−3E4E4E→
+ =−
→
2
→ z − 3t = 8 − 3z = − 11
2
,
3
2x yz−t 0+−=
1
1
2
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
xyzt+ −+=4
xyzt4+ −+=
22ytz +=0 − +2EE 3E t3−→ z EE→
tz
→
3 −2− = 9−−=
22yt z
− EEE→ 2 2 3 44
4
4
2
+=−
→
0 3z − t 6z
= −2
=0
→
53. Resuelve los siguientes sis temas transformándolos en ecuaciones matriciales. 2 x − y + z = 0 b) y + 2z = 4 x − y = − 1
2x − y = − 5 a) 5x + 3y = 4
x − y+ z=− 4 c) 2x + z = 4 −x+ y= − 2
3x − y = 2 d) x − z = 3 y + 2z = 2
1 x −5 2 − 2 −1 a) La forma matricial del sistema es , con matriz de coeficientes A = = . 5 3 y 4 5 3 El determinante de la matriz de coeficientes es A = 11 ≠ 0 , con lo que A es invertible y
−1
A
=
Por tanto, la matriz de incógnitas es
1 t A ( Adj ( A =))
3 1 t 11 1 3 −5 11 11 =1 2 5 −2 11 11
3 1 −1 x −1 −5 11 −5 A . = = 11 = y 4 5− 2 4 3 11 11
2 1−1 b) La forma matricial del sistema es 0 12 1 1−0
x0 2 −1 1 y4 = 1 2 . , con matriz de coeficientes A = 0 z1 − 1 −1 0
El determinante de la matriz de coeficientes es A = 1 ≠ 0 , con lo que A es invertible y t
2 2 1 − 2 A = ( Adj ( A )=−) − 1 = − 1 − 1 A −3 4− 2 1 −1
1
Por tanto, la matriz de incógnitas es
t
yx = A −1 =04 z −1
1 1−1 c) La forma matricial del sistema es 2 0 1 −1 10
1 3 − − 2 1 4 1− 2
2 1 − 3 0− 1 1 4 =4 0
−2− 1−
x4 − y4 = z2 −
2−
1 2 1
− .
, con matriz de coeficientes A
1 −1 1 = 2 0 1 . −1 1 0
El determinante de la matriz de coeficientes es A = 2 ≠ 0 , con lo que A es invertible y
A
−1
=
t 1 ( Adj= ( A )) A
1−1 1 = 1 2 2 1−1 2
t
− 1 0⇒ =
− 1 1 − 1 2 2 2 − 1 1 1 = 2 2 2 10 1
3 1−0 2x d) La forma matricial del sistema es 1 0 1 − 3y = 0 1 2 2z
− 1−1 1 x2 2 45 2 y1 1 1 − z2 26 2 0 1 1
− 4
−
3
−
3 −1
, con matriz de coeficientes A = 1
0
0 −1 . 1 2
0
El determinante de la matriz de coeficientes es A = 5 ≠ 0 , con lo que A es invertible y
1 5 t − 1 1t 26 3 −1 A = 2−= 6 ( Adj ( A=)) 3 ⇒−=5 55 A 5 1 3 1 1 5 1 2 1
2 1 5 5 26 3
=5 55 3 1 − 5 5
1 2 1 x5255 y
z21 1 3 1 5 55
3
4
− −
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
65
54. Resuelve los siguientes sistemas utilizando la regla de Cramer. 5x + 3y = 2 a) 3x + 2y = 4
3x + y − z = 2 c) x − y + 2z = 1 −x− 2+y =z 4
3x + 4y = 7 b) 2x − y = 2
−x− +y 3=z 2 d) 2x + z = 1 x + 2y− =z − 1
a) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la
=
matriz de coeficientes es A
5
3
3
2
= 1≠ 0 .
Aplicando la regla de Cramer:
x
=
2
3
4
2
5
−8 == −
A
y
8
1
2
3 4
=
14
=
A
1
= 14
b) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la 3
matriz de coeficientes es A=
2
4
=− ≠ 11 0 . −1
Aplicando la regla de Cramer:
x
=
7
4
2
−1
3
=
A
15 −
15
=
y
−11 11
=
7
2
2 A
=
−8 8 = −11 11
c) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la 3 1 −1 matriz de coeficientes es A
.
= −11 − −122 =9≠1 0
Aplicando la regla de Cramer: 1
−1
3
2
−1
−1 4 −2
2
1
1
2
2 1
x
=
1
A
=
11
y
9
=
−1 4 A
3
1 2
−1 1 −1 −2 4 −17 z= = −= 1
1 −32 = −=
32
9
A
9
17
9
9
d) El sistema es de Cramer, ya que hay el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la −1 −1 3 matriz de coeficientes es A = 2 0 1 11 = 0≠ . 1 2 −1 Aplicando la regla de Cramer:
x
66
=
2
−1
3
−1
2
3
1
0
1
2
1
1
−1
2
−1
A
1
2
= 11
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
y
=
−1 −1 −3 = −= 11 A
−1 −1 3 11
z
=
2
2
0
1
1
2
−1
A
7
= 11
55. Apli ca la regla d e Cramer para hallar l as sol uc iones de los si gu ien tes si st emas. 2x + y − z = 0 2y + z − 2t = 1 b) x + 2z = 0 −x+ 2+y =4t 0
2x + t = 0 2x + y = 1 a) 2y + z = 2 x + 2t = 0
2001
2
2100
a) El determinante de la matriz de coeficientes es =A
=
0
1
≠= 2 1 0 3 0
0210
1
1002
0
.
2
Aplicando la regla de Cramer: 0001
x
=
2001
1100
2100
2210
0210
0002
0
=
A
3
=0
y
1002
=
A
2001
z
=
=
3
=
0
3
=1
2000
2110
2101
0220
0212
1002
=
A
0 3
=0
t
1000
=
A
3
=0
b) El determinante de la matriz de coeficientes es: 2 1 1− 0 A
=
0 2
1 2
10
2
0
1 1− 0
− =
2
−1 2 0 4
2 1 0
−+1 2 2−=0+⋅2=
2 04
2 16 2 26 6 8
1 2 −4
Aplicando la regla de Cramer: 0 1 1− 0 1 2
x
z
=
=
1 2
0 0 2
0
0 2 0
4
A 1
−1 0 0
0
1 1 1
1 0
−
10 0
=− =
1 − 10 1 − −1 0 0 1 A
10
0 1 1− 1
−8
2
68
17
y
1
−
−1 0 1 1
=
A
−1 1 0 1 1−1 1 − 10 0 −1 0 1 0
=
20 68
=
5 17
1
0
=
4 68
=
1 17
t
=
A
=− =
−12 68
3 17
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
67
56. Resuelve los siguientes si stemas indeterminados. 3x − 2y +z −t = 1 c) x +y+z + t =2 0 3x + y − 2t = 2
x + 3 x 2 − 2x 3 = 2 b) 1 x1 − x2 + 3x3 = 1
3x − 2y + z = 1 a) 5x + y − z=− 1
a) Como det (C , 2 C3 ) =
−2
1 1 0=
−1
1
2x + y = 11 d) x + y − z = 6 4x +3 y 2− z23=
≠ , podemos hacer x = λ y obtener un sistema de Cramer: −2y+ =z −1 3 y − z = − −1 5 ⇒ x= , y= 8 , z=1 +13
1
3
, 1 C2 )= 1 −=− 14≠0 b) Como det (C
, podemos hacer x3 = λ y obtener un sistema de Cramer:
x1 + 3x2= +2 2 −5 7 1+5 = , x2 x − x = −1 3 ⇒ =x1 4 1 2 3 −2 1 c) Como det (,C1, C2 C3 )1= 1 1 11 −= ≠ 0 3
, podemos hacer t
=
, x3
4
= λ y obtener un sistema de Cramer:
1 0
3x − 2y+ =z +1 x + y + z= − 2 3x + y= +2 2 cuyas soluciones son: 1+ λ
x
=
−2 1 −2λ 1 1 2 +2 λ 1 0
1
3
−2
1+ λ
−2λ 1 3 2 2+ λ0
1
1
−2λ λ
3
1+ λ
1
=
7 + 9λ
y
=
=
1 − 5λ
z
=
3 1 2 2+
=
−8 − 26λ
11 11 11 −11 −11 −11 2 1 d) El determinante de la matriz de coeficientes es A = 0 y el menor = 1 ≠ 0 , con lo que, dado que sabemos 1 1
que el sistema es indeterminado, el grado de indeterminación será 1 y, considerando el menor de orden 2 anterior, podemos resolverlo eliminando la tercera ecuación y tomando z = λ para obtener un sistema de Cramer:
2x + y = 11 ⇒ x= −5 , y=1 +2, x y 6 + =+
=z
57. Resuelve los siguientes si stemas. 2x + y = 3 3y + z = 1 b) x + 2y + z = 2 x − y − z = 4
x − 2y + 7z = 3 a) 2x − y − z = 0 x − y + 2z = 1
x y− z2 x y− 2z+ 7= 3 +7= 3 a) z2yx −−= 0 y → z − 3− 15 = 6 EE 2 −E→ xy+z=− E− →− E= 1 2 y−zE 52 221
3
3
x y−z2 + 7= 3 y z → −3−15 = E3−2E E → 3
1
= 00
3
6
→
x − 2y + 7z = 3 + − →= 3y −15 z =6−
x = − 1+ 3 y
2 5
z = λ
NOTA: El determinante de la matriz de coeficientes es nulo, por lo que no se puede usar el método de Cramer directamente, deberíamos discutir previamente el sistema para verificar si es compatible indeterminado y determinar qué ecuación o ecuaciones se pueden eliminar y qué incógnita o incógnitas se toman como parámetros.
68
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
2xy+3= 3zy=+1 b) xzy+ 2+2= xyz−−=
2 x y+z 2 += 3zy =+1 → yx 2E 3↔+ = 4xyz−−=
2x y+z2+=
2x yz2 + += 3 zy 1=+ → yE−Ez → 3 −E2−→E1−=−2E −EEy→z 3−2 − 1−= 4− −y=z −=03 322 3zy =1+
31
13 3
→
1 44
4
4
1
El sistema es incompatible, no tiene solución. 2
1
0 3=0
NOTA: Como 0 3 1 1
2
≠
podríamos haber pensado en aplicar la regla de Cramer al sistema resultante
1
de eliminar la cuarta ecuación y hacer t = λ , pero para ello tendríamos que haber comprobado si el sistema es compatible indeterminado y resulta no serlo.
58. Resuelve el sistema: −1 2 0
− 5 + 8 z = 1 0
2
0
x0+
y 1
2
−1 2 0 0
−5 2 0 x
=
8
0
1
0
2
1
2 = −0
2 01
El determinante de la matriz de coeficientes es
2
≠ , por lo que podemos usar la regla de Cramer:
1
−1 −5 0 =
−2
−6 =3 −2
y
=
2
8
0
0
−2
−1 2 −5
1 1
= −=
2 −2
1
y
=
2
0
8
0
2
0
−2
=
−4 =2 −2
59. Resuelve el siguiente sistema. x − y2 z+ t− =3− 4 x + y2 +z t+ = 3 4 − + − =− 2 x4y 2 z 6 t 8 2 x + 2z = 0 x −y2z +t − 3=−4 x y+z2t++ = 34 tz2yx4−2− +−6= 8 2zx2=0+
x 2 y−z t+3−4=−
y4t68+ = → = 00 t4 y=6+8
E1EE22 → − E3 →E3 − 2E1 E4 →E4 − 2E1
x 2yz t − 3+−− 4= t y 4E4E+2=6 8
→
=
60. Resuelve los si guientes sistemas indeterminados con g 2x 3+ y −z +3t=1 a) −3x+ y+ z− t= 2
→ −µ ==
x µ==y ,
,
rado de indeterminación 2.
x y+ −z−t = 0 b) 2x − y− 3z=− 3
2
1 a) Como det (C , 3 C4 ) = − 1
3
=−1≠0 −2
, podemos hacer x = λ , y
= µ y obtener un sistema de Cramer:
−z+ 3t= −1 2 −3 µ ⇒ x =y z, =µ, =8 5+t 9, − 3µ = 4 + z 2t 2 3 −µ − =+ b) Como det (C , 2 C4 ) =
4 − 3λ z t , 2
1
−1
−1 =−1≠0 0
− µ
, podemos hacer x = λ , z = µ y obtener un sistema de Cramer:
y − t = − + µ ⇒ x =y , = −3 −2 3,z+ tµ , y = − 3− 2 + 3µ
=3µ =2− −
+ µ
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
69
61. Determina las solucio nes de los si guientes sistemas en función
del paráme tro
mx + 2y m= + 1 a) 2x + my = 3
x −my +z2 = 2 c) 2x +y +mz = 0 −x+ my+ =z 1
x + y + z = 0 b) 2x + mz = 0 x + my = 1
x − y + z = 1 d) 2x +y +mz m = x +y −mz = 0
m.
m 2 m 2 m + 1 a) Las matrices asociadas al sistema son A = , con rango máximo 2. y A* = 2 m 3 2 m = 0⇒ m−2 4=0 ⇒ =− 2,m =2
A •
Para m ≠ −2 y m ≠ 2 tenemos A ≠ 0 , por tanto, rg( A)
m
= rg( A*) =nº de incógnitas =2
y el sistema es
compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
x
•
m +1
2
3
m
=
A
m
=
m2 + m − 6
=
m2 − 4
m+3
y
m+2
=
m +1
2
3 A
=
m−2 m2
−4
=
1 m+2
−2 2 −2 2 −1 y A* = 2 −2 3 . 2 −2
Para m = − 2 tenemos A = 0 , A =
Como las filas de A son proporcionales, rg( A) =1 . En cambio, las filas de A * no son proporcionales, con lo que rg( A* ) = 2 . Por tanto, rg( A) ≠ rg( A *) y el sistema es incompatible. •
2 2 2 2 3 y A* = 2 2 3 . 2 2
Para m = 2 tenemos A = 0 , A =
Como las filas de A son iguales, rg( A) tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
=1 . También las filas de A * son iguales, con lo que rg(A* ) =1 . Por
1 nº de =incógnitas
2
y el sistema es compatible indeterminado con grado de
Para resolverlo eliminamos una de las dos ecuaciones y hacemos y 2x
= 3− 2 ⇒ x=
3 − 2λ 2
= λ , con lo que obtenemos
.
1 1 1 1 1 1 0 , con rango máximo 3. 0m b) Las matrices asociadas al sistema son A = 2 0 m y A* =2 0 1 m 0 1 m 0 1 A •
Para m ≠ 0 y m ≠ 3 tenemos
= 0⇒3 −m =m0⇒2 = 0, =m 3 A
m
≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es
compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
x
•
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
m
2
0
m
2
0
0
1
m
0
1
1
0
1
m
1
A
=
m
1
= 3m − m 2 = 3 − m
y
=
A
2−m
= m 2 − 3m
1 1 1 1 1 1 0 0 0 y A* = 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Para m = 0 tenemos A = 0 , A = 2
El menor
70
0
1 2
1 0
= − 2 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 .
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
.
z
=
A
−2 = 3m − m2
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1
1
0
=−2 ≠0 ⇒ rg( *)=3A
2 0 0 1 Por tanto, rg( A)
•
0
1
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
1 1 1 1 1 1 0 0 3 y A* = 2 0 3 0 1 3 0 1 3 0 1
.
Para m = 3 tenemos A = 0 , A = 2
El menor
1
1
2
0
= − 2 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1
1
0
=−2 ≠0 ⇒ rg( *)=3A
2 0 0 1 Por tanto, rg( A)
3
1
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
1 −m 2 1 −m 2 2 , con rango máximo 3. c) Las matrices asociadas al sistema son A = 2 1 m y A* =2 1 0 m −1 m 1 −1 m 1 1 A
•
=⇒ 06
m +3= 0 ⇒
=− m
1 2
1 tenemos A ≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) = nº de incógnitas =3 2 determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
Para m ≠
x
=
−
y el sistema es compatible
2
−m
2
1
2
2
1
0
1
m
2
0
m
2
1
0
1
m
1
−1 1
1
−1
m
1
A
=
−3m 2 −m2 = 6m +3 2 1m +
y
=
A
=
−3m −m = 6m +3 2 1m +
z
=
−m 2
A
=
6m + 3 6m + 3
=1
1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 . • Para m = − tenemos A = 0 , A = 2 1 − y A* = 2 1 0− 2 2 2 −1 − 1 −1 − 1 1 1 1 2 2 1 El menor
−
1 2
−
1 2 1
=
3 4
≠ 0 , por tanto, rg(A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términ os independientes: 1
2
2 1
− Por tanto, rg( A)
≠ rg( A*)
1 2
−
1 2 1
2 0
3
=− ≠ ⇒0 rg(=*) 3A 4
1
y el sistema es incompatible.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
71
1 1 1− 1 1 1 −1 d) Las matrices asociadas al sistema son A = 2 1 m y A* = 2 1 m m , con rango máximo 3. 1 1 −m 0 1 1 −m A
•
=⇒ 0 − 5 +m1=0⇒
5
1 tenemos A ≠ 0 , por tanto, r g( A) =rg( A*) =nº de incógnitas =3 5 determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
Para m ≠
1
−1
1
1
1
1
1
1
m
2
m
m
2
= 0
1 A
y
1 tenemos A = 0 , A = 2 5
= 1
2
1
1 1
0 A
−m = −m5m+ 21m − + 1 1−
1
1 y A* = 2 1 5 1 1 1 − 5
1
El menor
−1
1
1 m
2
−m = −m −m −5m + 1
1 −1
Para m =
y el sistema es compatible
m
2
x
•
1
= m
1 1 1 5 1 1 − 5 1
z
= 1
1 A
0
= −25m +1 − m +1
1 . 5
0
= 1 ≠ 0 , por tanto, rg(A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1
−1
2 1 1 Por tanto, rg( A)
72
1
1 1 5 0
3 5
= ≠ 0⇒ rg( *)= 3A
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
Clasificación de sistemas
62. Clasifica y resuelve , cuando sea posib le, los sig uientes sistemas de ecuaciones. 2 x + 3 y + z = 1 a) 2x + 2y + z = 1 4x5+2 2y + z =
x + 2y − z = 1 −y + z = 2 c) x + y = 3 2x − z = −2
2x − z = 1 x + 2y − z = 2 e) 3y + t = 4 −x+ y− =t − 1
3x − 7y = 1 b) x + 2y = 2 − x+ y= − 1
5x1 + x2 = 5 d) 3x1 + 2x2 + x3 = 0 −2x + 3x = 1 1 3
f)
x + 3y = 1 2x + y = −3 x y − = −3 −x + 2y = 4
2 3 1 2 3 1 1 a) Las matrices asociadas al sistema son A = 2 2 1 y A* = 2 2 1 1 4 5 2 4 5 2 2
.
Como las dos últimas columnas de A * son iguales los rangos de A y A * coinciden, es decir, el sistema es 2 3 compatible. Como A = 0 y el menor = −2 ≠ 0 , tenemos rg( A) = rg(<=A* ) 2 nº de=incógnitas 3 y el 2 2 sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolver el sistema eliminamos la tercera ecuación y hacemos z = λ , obteniendo el sistema:
2x + 3y= −1 x y 2 + 2 = −1
1− λ =, y 2
⇒ x=
=0, z
3 −7 3 −7 1 . b) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 2 y A* = 1 2 2 −1 1 −1 1 −1 Como
A*
= − 2 ≠ 0 , tenemos rg( A* ) =3 . Además, rg( A) ≤2 , con lo que rg( A) ≠ rg( A*)
y el sistema es
incompatible.
1 2 −1 1 2 1− 1 0 −1 1 y A* = 0 1− 1 2 c) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 1 0 11 0 3 2 0 −1 2 0 1 2 − − 1211 Como A *
rg( A)
=
F1F33 → − F4 →F4 − 2F1
−
0
1− 1 2
0
1− 1F3F2 2
.
0 −1 == 0 , tenemos rg( A* ) < 4 . Como el menor 1 1 0 2
04− 1 4 − = rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema es compatible d eterminado.
0
1 3= 0 −
≠ , tenemos
−1
Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer al sistema que se obtiene eliminando la primera ecuación:
x
2
−1
1
0
2
1
0
−1
2
3
1
0
1
3
0
1
1
3
2 = −
0
−3
−1 = −3 = 1 −3
y
=
2
−2 −1 = −6 = 2 −3 −3
z
=
2
0
−3
−2 = −12 = 4 −3
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
73
5 1 0 5 1 05 d) Las matrices asociadas al sistema son A = 3 2 1 y A* = 3 2 1 0 −2 0 3 −2 0 3 1 Como A
.
= 19 ≠ 0 , rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema es compatible determinado.
Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:
x1
=
5
1 0
5
5
0
5
1 5
0
2
1
3
0
1
3
2
0
1 0
3
−2 0
1
19
31 = 19
x2
=
−2
1 3
60 =− 19
19
2 0
10
A
=
2 0
1−0
1 2
1−0
0 3 0
−1 1 0
−=
1
−
1
=
2 0
1 2 1−−0 e) Las matrices asociadas al sistema son A = 0 3 0 1 −1 1 0 1 −
Como
x3
19 10
27 19
=
1
− y A* = 1 2 1−0 2 0 3 0 14 −1 1 0 1 −1 −
2 1 − 0 20 1 − −3 1 −1 0 −≠=1 2 1 2 0 −1 0 1− 1 1− 0
, rg( A)
.
= rg( A*) =nº de incógnitas =4
y el
sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: 1 0
1−0
2
2 2
1−0
12
1− 0
04
0
4 3 0 x
1
−1 1 0 1 − −2 = = =1 −2 −2 2 0 1 2
=
2 0 1 2
1
1− 1 1−2
0 3 0
−1 1 1− 1 − −2 = =1 −2 −2
1
−1 1 − 0 1 − −2 = = =1 −2 −2
y
10 2 0
0 3 4 z
−0
11
t
=
4
−1 1 0 1 − −2 = =1 −2 −2
1 3 1 3 1 2 1 2 1 −3 . f) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = 1 −1 1 −1 −3 −1 2 −1 2 4 El menor
1
−1
−1
2
= 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 . Los dos posibles menores de orden 3 que se pueden
considerar en A * ampliando este menor son nulos: 1 3
1
1 1 − −3
−1 2 4 Por tanto, rg( A)
21
3
−
= 1 1 − −3 =0 1 2− 4
= rg( A*) =nº de incógnitas =2 y el sistema es compatible determinado.
Teniendo en cuenta el menor de orden 2 considerado, resolvemos el sistema reduciéndolo a un sistema 2 x 2 x − y = −3 eliminando las dos primeras ecuaciones: ⇒ =x − 2,=y 1 −x + 2y = 4
74
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
63. Estudia cuánta s solu ciones tienen los sigu ientes sistemas. 1 a) −1 3
2 1 −2
2 x y = 0 1
1 2 3 b) 1 1x2+3 − y + 3 0 2
2 z = − −5
1 2 1 2 2 a) Las matrices asociadas al sistema son A = −1 1 y A* = −1 1 0 . 3 −2 3 −2 1 Como
A*
= 1 ≠ 0 , tenemos rg(A* ) =3 . Además, rg( A) ≤2 , con lo que rg( A) ≠ rg( A*)
y el sistema es
incompatible, es decir, no tiene ninguna solución.
1 2 3 1 23 2 b) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 −1 2 y A* = 1 1 − 2 3 − . 3 0 −2 3 0 2 − 5 Como A
= 27 ≠ 0 , rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema es compatible determinado, es decir, tiene
una única solución.
Discusión y resolución de sistemas con parámetros
64. Discute los si guientes sistemas para los disti
ntos valores del parámetro y resuélvelos cuando s
mx −y =m a) 3x (+m− 4) y =m+ 2
2x + y = a c) (1 − )a x − y1= ax +y =a
x + y = 1 e) 2x + ay = 2 5x +(3 a −y1) = a−6
ax − y = 1 b) x + (a −1) y =2
kx − 2y k= d) −6x+(k −1)y =−k − 2
f)
mx + y = 1 x +m y =m 2mx + 2y m=
ea posible.
+1
−1 m −1 m m a) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = 3 m − 4 m + 2 , con rango máximo 2. 3 m − 4 A •
Para m ≠ 1 y m ≠ 3 tenemos
= 0⇒ m − 2 4+ m 3= 0⇒ = 1, 3=m A
m
≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =2
y el sistema es
compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer: m x
•
=
−1 −m m3 22 −m 2 + − = 2 = A m − 4m + 3 m − 3
mm +2 4
y
=
m
m
3
m+2 A
=
mm
2
−m
m 2 − 4m + 3
=
m −3
1 −1 1 −1 1 y A* = 3 −3 3 . 3 −3
Para m = 1 tenemos A = 0 , A =
Tanto las filas de A como las de A * son proporcionales, por tanto, rg( A) = rg(<=A*) y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo eliminamos una de las dos ecuaciones y hacemos y
1 nº de =incógnitas
2
= λ , con lo que obtenemos x = 1 + λ .
3 −1 3 −1 3 • Para m = 3 tenemos A = 0 , A = y A* = 3 −1 5 . 3 −1 Las filas de A son proporcionales, con lo que rg( A) =1 . En cambio, las filas de A * no son proporcionales, con lo que rg( A* ) = 2 . Por tanto, rg( A) ≠ rg( A *) y el sistema es incompatible.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
75
a −1 1 a −1 b) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = 1 a − 1 2 , con rango máximo 2. 1 a − 1 =⇒ a−2 +a= ⇒ 0 1 0
A
Sin solución
= rg( A*) =nº de incógnitas =2 y el sistema
Por tanto, para cualquier valor de a tenemos A ≠ 0 , es decir, rg( A)
es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
x
=
1
−1
2
a −1 A
a
=
a +1 a2 − a + 1
y
=
1 2 1a −
1 2
=
A
a2
− a +1
1 1 2 2 c) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 − a −1 y A* =1 − a 1 1− 1 1 a a
a
, con rango máximo 2 y 3
a
respectivamente. A * 0= ⇒ •
Para a ≠ −1 y a ≠ 2 tenemos A *
a−2 −2a= 0 ⇒ = 1− , a2=
a
≠ 0 , con lo que rg( A* ) =3 . Como rg( A) ≤2 tenemos rg( A) ≠ rg( A*) y el
sistema es incompatible. •
Para a = −1 tenemos A *
El menor
2
−1
−1
1
2 1 2 1 −1 . = 0 , A = 2 −1 y A* = 2 1 −1 −1 1 −1 1 −1
= 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =2
y el sistema es compatible
2 x − y = 1 ⇒ =x x y − + = − 1
determinado. Además, lo podemos resolver eliminando la primera ecuación:
•Para
a2=
El menor
tenemos A * 2
1
−1 −1
0, =y−
1
2 1 2 1 2 . = 0 , A = −1 −1 y A* = 1− 1 −1 2 1 2 1 2
= − 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =2
determinado. Además, lo podemos resolver eliminando la tercera ecuación:
y el sistema es compatible
2 x + y = 2 ⇒ =x 3, =y− x y − − = 1
4
k −2 −2 k k d) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = −6 k− −1 − k 2 , con rango máximo 2. −6 k − 1 A •
Para k
= 0⇒ k−2 − k 12 = 0⇒ = − 3,k= 4
k
≠ −3 y k ≠ 4 tenemos A ≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =2
y el sistema es
compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
x
=
k −2 −k − 2 k − 1 A
k k 2 − 3k
− 4 k +1 = 2 = k − k − 12 k + 3
y
=
k
−6 −k − 2 A
=
−k 2 + 4k −k = − k − 12 k + 3
k2
−3 −2 −3 −2 −3 1 . = −3 tenemos A = 0 , A = −6 −4 y A* = −6 −4 Las filas de A son proporcionales, con lo que rg( A) =1 . En cambio, las filas de A * no son proporcionales, con lo que rg( A* ) = 2 . Por tanto, rg( A) ≠ rg( A *) y el sistema es incompatible.
•
Para k
•
Para k
4 −2 4 −2 4 = 4 tenemos A = 0 , A = y A* = −6 3 −6 . −6 3
Tanto las filas de A como las de A * son proporcionales, por tanto, rg( A) = rg(<=A*) y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo eliminamos una de las dos ecuaciones y hacemos y = − 2+ 2 .
76
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
1 nº de =incógnitas
2
x = λ , con lo que obtenemos
1 1 1 1 a y A* = 2 a e) Las matrices asociadas al sistema son A = 2 5 3a − 1 5 3 a 1− 6
, con rango máximo 2 y 3 − a 1
2
respectivamente. A* = 0 ⇒ − + a32 −2 a =0 ⇒ •
Para a ≠ 1 y a ≠ 2 tenemos A *
=1, 2 =a
a
≠ 0 , con lo que rg( A* ) =3 . Como rg( A) ≤2 tenemos rg( A) ≠ rg( A*) y el
sistema es incompatible.
•
Para a = 1 tenemos A *
El menor
1 1 2 1
1 1 1 1 1 = 0 , A = 2 1 y A* = 2 1 2 . 5 2 5 2 5
= − 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =2
determinado. Además, lo podemos resolver eliminando la tercera ecuación:
•Para
a2=
tenemos A *
y el sistema es compatible
x + y = 1 2x y 2 ⇒ x = 1, y = 0 + =
1 1 1 1 1 = 0 , A = 2 2 y A* = 2 2 2 . 5 5 5 5 4
Las columnas de A son proporcionales, con lo que rg( A) proporcionales, por ejemplo, el menor
2
2
5
4
=1 . En cambio, las columnas de A * no son
= − 2 ≠ 0 , con lo que rg( A* ) = 2 . Por tanto, rg(A) ≠ rg( A*) y el
sistema es incompatible. 1 m 1 m 1 m , con rango máximo 2 y 3, f) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 m y A* = 1 m 2m 2 2m 2 m + 1 respectivamente. A * 0=
•
⇒ m−3 −m+2 10=m ⇒ =−1, 1=m
Para m ≠ −1 y m ≠ 1 tenemos A *
m
≠ 0 , con lo que rg(A* ) =3 . Como rg( A) ≤2 tenemos rg( A) ≠ rg( A*) y
el sistema es incompatible.
•
Para m = −1 tenemos A *
−1 1 −1 1 1 = 0 , A = 1 −1 y A* = 1 1 −1 − . −2 2 −2 2 0
Las columnas de A son proporcionales, con lo que rg( A) proporcionales, por ejemplo, el menor
1
1
2
0
=1 . En cambio, las columnas de A * no son
= − 2 ≠ 0 , con lo que rg( A* ) = 2 . Por tanto, rg(A) ≠ rg( A*) y el
sistema es incompatible.
•
1 1 1 1 1 Para m = 1 tenemos A * = 0 , A = 1 1 y A* = 1 1 1 . 2 2 2 2 2 Tanto las columnas de A como las de A * son proporcionales, por tanto, tenemos rg( A) = rg(<=A*) 1 nº de =incógnitas 2 y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Además, lo podemos resolver eliminando dos ecuaciones y haciendo y
= λ , obteniendo
x = 1− λ .
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
77
65. Discute los si guientes sistemas para los disti
ntos valores del parámetro y resuélvelos cuando s
(a +2)x (+a +y 1) =− 6 a) x + 5y = a x + y = − 5
kx + 2y z+ = 1 e) 2x +k y +z k= 5x + 2y + z = 1
x + y + z = 2 b) x +ay + a z2=− 1 ax +a y2 +a z3 = 2
f)
x −y +z2a = c) −x+ −y az= 1 x +ay + +(1az)=− 1
x +k y + z= k+ 2 g) kx +y +z k= x +y+kz =− k +2( 1)
x + y+ z= 2 − 1 d) 2x + y + z = x + y + z = 1
(m − 1)x +y +z =m h) x m + ( −1)y +z = 0 y + z = 1
ea posible.
x +k( +1y )z +2 =− 1 kx +y +z k= (k 1) − x2− y −z =k +1
a + 2 a + 1 a + 2 a + 1 −6 5 a , con rango máximo 2 y 3, a) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 5 y A= 1 1 1 1 1 5 − respectivamente. A * =0⇒ −21 −21 a =0 •
Para a ≠ −1 tenemos A *
⇒ =−1a
≠ 0 , con lo que rg(A* ) =3 . Como rg( A) ≤2 tenemos rg(A) ≠ rg( A*) y el sistema
es incompatible.
•
Para a = −1 tenemos A *
1 0 1 5
El menor
1 0 1 0 −6 = 0 , A = 1 5 y A = 1 5 −1 . 1 1 −5 1 1
= 5 ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =2
determinado. Además, lo podemos resolver eliminando la tercera ecuación:
1 1 1 1 1 1 2 b) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 a a2 y A* = 1 a a2 a a 2 a3 a a2 a3
y el sistema es compatible
x = −6 ⇒ =x − 6,=y 1 x y + 5 = −1
−1 , con rango máximo 3. 2
El determinante de A es 0 para cualquier valor de a, con lo que el sistema nunca es compatible determinado. El menor
1 1 1 a
= a − 1 se anula si a = 1 , ampliando este menor con la columna de términos independientes
1
1
2
tenemos 1
a
−1= a+2 −a 2 , que se anula si a = −2 o a = 1 .
a
a2
2
•
Para a ≠ 1 y a ≠ −2 , tenemos rg( A)
•
Para a = − 2 , tenemos rg( A) = rg(<=A*) 2 nº de =incógnitas 3 y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando z = λ :
x + y = −2 x +ay =− −1a •
Para a = 1 tenemos rg( A)
a(2 a a+ 1) +
2
⇒= x
1 1 1 =rg 1 1 1 1= 1 1 1
incompatible.
78
=2 y rg(A* ) =3 , con lo que el sistema es incompatible.
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
(− 1) a −= a −1
+3 (− 1 ) ,y =
2
a −1
,z
1 1 1 2 1 − 2 = , con lo que el sistema es 1 1 1 2
y rg( A*) =rg 1 1 1
1 −1 2 1 c) Las matrices asociadas al sistema son A = −1 1 −a y A* = 1 1− 1 a 1+ a 1 A •
a− −a2=0⇒ = −1, a=2 =⇒ 0 2
Para a ≠ −1 y a ≠ 2 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A)
−1
, con rango máximo 3. 1 + a −1 2
a
1 −a a
a
= rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es
compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:
x
•
=
a
−1
2
1
1
−a 1+ a
−1 a A
=
a2 + 3 a−2
Para a = − 1 tenemos A = 0 , A
El menor
1
1
−1 0
a
1
y
=
2
−1 1 −a 1 −1 1 + a A
=
1 a−2
z
=
1 −1 a −1 1 1 1 a −1 A
=−
a +1 a−2
1 −1 2 1 −1 2 1 − . = −1 1 1 y A* = 1− 1 1 1 1 −1 0 1 −1 0 1 −
= 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
−1 2 −1 1 0 =
1 1
rg( *) A2 = ⇒
−1 0 −1 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*)
2
nº de =incógnitas
3
y el sistema es compatible indeterminado.
Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la primera ecuación y tomando x = λ : y z 1 −y+= −= −1+
⇒ x= , y=1+,
1 −1
•
Para a = 2 tenemos A = 0 , A = −1
1
El menor
−1 1 1 2
0z=
2 1 1 −2 2 −2 y A* = 1− 1 2 1 − 1 23 1 − 2 3 1
.
= − 3 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1 −1 2 −1 1 1 −=≠ ⇒ 9 0 1 2 −1 Por tanto, rg( A)
rg( = *) 3A
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
79
1 1 1 1 1 1 2 1α − d) Las matrices asociadas al sistema son A = 2 1 α y A* = 2 1 α α , con rango máximo 3. 1 α 1 1 α 1 1 A •
= 0⇒ −
2
+3 2 0− = 1⇒ , 2=
Para α ≠ 1 y α ≠ 2 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: 2α −1 1 1
α x
•
=
Para
=
1 2
α
1
1 A
2
α 1 2( α2 1)− = α−2
=
y
α1− 1 α α
1
1
1
A
1 1 1 1 1 1 1 α = 1 tenemos A = 0 , A = 2 1 1 y A* = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2
= −2
z
=
2
1
1
α
1 1 2 1
y el sistema es
α1 − α 1
A
=
−3α α−2
.
Tanto en A como en A * la primera y tercera fila coinciden, así, rg( A) = rg(<=A* ) sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo observemos que el menor
=3
2 nº de =incógnitas
3
y el
= − 1 ≠ 0 , con lo que podemos eliminar la tercera ecuación
y tomar z = λ :
x + y = 1− 2x + y = 1− •Para
α2=
tenemos A
⇒ x= 0, =y −1 , = z0
1 1 1 1 1 1 3 = 0 , A = 2 1 2 y A* = 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1
.
1 1 = − 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 . 2 1 Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: El menor
1
1
3 6 = ≠0⇒ rg( *)= A3
2 1 2 1 Por tanto, rg( A)
2
1
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
k 2 1 k 2 1 1 e) Las matrices asociadas al sistema son A = 2 k 1 y A* = 2 k 1 k , con rango máximo 3. 5 2 1 5 2 1 1 A •
k
Para k ≠ 2 y k ≠ 5 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: 1
x
80
= 0⇒ −k 2 7+ k10 = ⇒ 0 = 2,=k5
=
k 1
2
1
k 2
1 1
A
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
k
=0
y
=
2 5
k
1 1 k 1 1 1 A
=
k −1 k −2
z=
2 5
2
1
k 2
k 1
A
=
=3
−k k −2
y el sistema es
•
Para k
2 2 1 1 2 2 1 = 2 tenemos A = 0 , A = 2 2 1 y A* = 2 2 1 2 5 2 1 1 5 2 1
El menor
2
2
5
2
.
= − 6 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 2
2
1
2 2 5
5 tenemos A = 0 , A = 2
k5=
El menor
2
1
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Por tanto, rg( A)
•Para
6 = ≠0⇒ rg( *)= A3
2
2 5
1 1 y A*
5 2 1
5
1
2
1
5 2 1 1 = 2 5 1 5 5 2 1 1
.
= 3 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 2 1 1 5 1 5
rg( *)A 2 = =0 ⇒
2 1 1 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*)
2
nº de =incógnitas
3
y el sistema es compatible indeterminado.
Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la primera ecuación y tomando x = λ :
5y + z= 5− 2 ⇒ x= y z 2 + = −1 5 1
f) Las matrices asociadas al sistema son A = k k −1
4 3+
=, y k
1 1+
−2
5−21 − = ,z
3
3
2 1 y A*
−1
= k1 k11+2 k − 1 −2− 1
1 1
−k +1 k
, con rango
máximo 3. A •
1 k 2
= 0⇒2 5k− 2+ 2 0=k ⇒ = , 2 =k
1 y k ≠ 2 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas 2 compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:
Para k
≠
x
=
=3
−1
k +1
2
1
−1
2
1
k +1
k
1
1
k
k
1
k
1
k
k +1
−2
−1
−2
k +1
A
=
2k + 1 2k − 1
y
=
k −1 k +1 A
−1
=0
z
=
k
−1
A
y el sistema es
−1 =
−2k 2k − 1
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
81
1 3 2 1 3 2 −1 2 2 1 1 1 1 tenemos A = 0 , A = . • Para k = 1 1 y A* = 1 1 2 2 2 2 1 1 3 − − −2 −1 −2 −1 2 2 2 El menor
1
1
−2 −1
= 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 3 2
−1
2
1
1 2 3 2
1
−2 −1 Por tanto, rg( A)
•
Para k
=−3 ≠0⇒ rg( *) =3A
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
− 1 3 2 1321 . = 2 tenemos A = 0 , A = 2 1 1 y A = 2 1 1 2 1 −2 −1 1 2− 1− 3
El menor
3
2
1
1
= 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 3
2
−1
1
1
2 0=
−2 −1 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*)
nº de =incógnitas
2
rg( *) A2 = ⇒
3 y el sistema es compatible indeterminado.
3
Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando x = λ :
3y + 2z =− −1 y z + = 2− 2
⇒ x= , y =− 5+ 3,
7=z5 −
k +2 1 k 1 1 k 1 g) Las matrices asociadas al sistema son A = k 1 1 y A* = k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 2(− k1)+ A •
Para k
k0⇒ = =⇒ 0 − k+3 3 −2=
−2, k1=
, con rango máximo 3.
k
≠ −2 y k ≠ 1 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es
compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: k
x
82
=
+2
k
1
1
k +2
1
1
k
k
1
1
k
k
1
k
1
1
−2( k +1)
k
−2(k +1) 1 A
k
=
k k −1
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
y
=
A
=
k +2 k −1
z
=
1 1
k
+2 k
2( − k 1) + A
=
2( − k 1)+ k −1
•
1 −2 1 1 2− 1 0 − . = −2 tenemos A = 0 , A = −2 1 1 y A* = 2− 1 1 2 1 1 −2 1122 − 1 −2 El menor = − 3 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 . −2 1
Para k
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
−2
1
−2 1 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*)
2
0
1 −=2⇒ 0 1
nº de =incógnitas
rg( = *) A2
2
3
y el sistema es compatible indeterminado.
Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando z = λ :
x − 2y = − 2x y − + =− −2 •
Para k
4 3+
23+
⇒=x
3
=,y
=
,z
3
1 1 1 1 1 1 3 . = 1 tenemos A = 0 , A = 1 1 1 y A* = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4−
Todas las filas de A coinciden, por tanto rg( A)
=1 .
1
Las tres primeras columnas de A * son iguales, por tanto rg( A*) =rg 1
3
2= . 1 −4
Así, rg( A)
1
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
m − 1 1 1 m −1 1 1 m , con rango h) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 m − 1 1 y A* = 1 m 11−0 0 0 1 1 1 11 máximo 3. A •
= 0⇒ m − 2 3+ m 2= 0⇒ = 1, 2=m
Para m ≠ 1 y m ≠ 2 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A)
m
= rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es
compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: m 0 x
•Para
1
m −1 m
1
1
1
A
1
m −1
1
m
1
0
1
1
m −1
0
0
1
1
0
1
1
−2 m−2
z
0 1 1 0 1 1 1 0 1 y A* = 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1
.
=1
y
=
A
tenemos A = 0 , A = 1
m1 =
El menor
=
1
m −1 1
0
1
1
0
=
=
A
=
m m−2
= − 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 0
1
1 0 0 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*)
2
nº de =incógnitas
1
=0 ⇒ rg( *)A 2 =
0 1
1 3
y el sistema es compatible indeterminado.
Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando z = λ : y = 1− λ ⇒ x =− , y = −1 , z = x = −λ
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
83
1 1 1
•
Para m = 2 tenemos A = 0 , A = 1 1 1 y A* 0 1 1
El menor
1 1 0
1
1 1 1 2 = 1 1 1 0 0 1 1 1
.
= 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de t érminos independientes: 1 1 2 1 1 0 0 Por tanto, rg( A)
=2 ≠0⇒ rg( *)= A3
1 1
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
66. Discute los si guientes sistemas para los disti
ntos valores del parámetro y resuélvelos cuando s
x +ky +z2 = 1 a) x + (2 k y− +1) z =3 1 x +ky+ k +( z3) = −k 2 1
a + y1)+ −(1az= ) ax + (2 c) 3ax +az =a ax +a y+ −(1 a=z) 0
(a1)+ x +y +z =−1 b) (−a− 1) −x2 = z2 y +a( 2a− −z1) =a− + 2
x y+ 2 +(m+ z3)= 3 d) x +y + +(4m− m z = ) 2 3 2x +4y + 3( m+ z =2) 8
ea posible.
ax +y +z = −a ( a+1)( 2) e) x +ay+ z= a− ( a+1) (2 2) x +y +az = a− ( a+1) (3 2)
0
(a 2 +a)x 2 y+2 = 2 (a +a)+x( a −) a2y4= (a 2 −a − 2) x +a( a− −2z2)= 2
f)
k 2 k 1 1 y A* =1 2 1k3− a) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 2 1k − 3 1 1 k k + 3 k
, con rango k −
2
1
1 k32+ 1
máximo 3. A •
Para k
k−2 1=0⇒ =
0 =⇒
− 1k, =1
k
≠ −1 y k ≠ 1 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg(A*) = nº de incógnitas =3 y el sistema es
compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: k
1 1 x
•
=
2
2 k1 −3
2k − 1
k A
k +3
=−
k −5
y
k +1
1 −1 = −1 tenemos A = 0 , A = 1 −3 1 −1 que rg( A) =2 . Para determinar rg( A*)
Para k
=
1
2
1
1
1
3
1 2 1k − 1
1 2 k1 −
3k +
A 2
=−
2
1
Por tanto, rg( A)
84
z
=
1
1 2k − 1
k A
=
2( k −1) k +1
. El menor 1 −1 = − 2 ≠ 0 , con lo 1 −3
ampliamos este menor añadiendo la columna de términos
−1 1 −3 1 =8≠ 0⇒
1 −1 −3 ≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
2 k +1
1 1− 2 1 −3 1 1 −1 2 3 −
3 y A* = 1 3
independientes: 1
k
1
rg(= *) 3A
k1 =
•Para
tenemos
A
1 1 2 1 1 2 1 = 0 , A = 1 1 3 y A* = 1 1 3 1 1 1 4 1 1 4 1
rg( A) =2 . Para determinar independientes:
rg( A*)
ampliamos este menor añadiendo la columna de términos
1 2
1 rg( *)A 2 = =0 ⇒
1 3 1 1 4 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
. El menor 1 2 = 1 ≠ 0 , con lo que 1 3
1
2 nº de =incógnitas
y el sistema es compatible indeterminado con grado de
3
Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando x = λ :
y + 2z= −1 y + 3z= −1
⇒ x= , y=1− ,
0z=
1 1 − a +1 1 a + 11 1 b) Las matrices asociadas al sistema son A =−− a 1 0− 2 y A* =−− a10 2− 2 2 0 0 1 1 a 2 − a − 1 a1 − a−2 − +a
, con
rango máximo 3. A •
= 0⇒ a−3 = a⇒ 0 =− a1 =, 0,=a 1
a
Para a ≠ −1 , a ≠ 0 y a ≠ 1 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A)
= rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema
es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:
x
=
−1
1
1
2
0
−2
−+a 2 1 −−a2 a 1 A
a +1 −a − 1 2( a 1) −
=−
1
2
−2 A
1 0 1 1 1 −2 y A* = 0 0 2 2− 0 1 1 3 1 1
0
0
=
a −1 a
1
Para a = −1 tenemos A = 0 , A = 0
a +1 1 −a − 1 0
−a+ 2 −a 2− a 1
0
a(a + 1)
0
•
=
y
−1
z
=
0
1
−1 2
−a + 2
=−
A
1 a
− . El menor 1 1 = − 2 ≠ 0 , con lo 0 −2
que rg( A) =2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1 0
1 −1 0 −2 2 =− ≠8 ⇒
1 Por tanto, rg( A)
1
rg(=*) 3 A
3
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible. 1 1 1 1 1 − . El menor 1 1 = 1 ≠ 0 , con lo −2 y A* = 1− 0 2 2 − −1 0 0 1 1−2 1 −1
1 1
•Para
a0=
que rg( A)
tenemos A = 0 , A = −1 0
0 =2 . Para determinar rg(A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos
independientes: 1
1
−1 0 0 Por tanto, rg( A)
−1 2=⇒ 1
1
rg( = *)A 3
2
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
85
− . El menor 2 1 = 2 ≠ 0 , con lo −2 0
2 1
•
Para a = 1 tenemos A = 0 , A = −2 0
1 2 1 11 −2 y A* = 2− 0 2 2 − 0 1 1−1 1 −1
0
que rg( A) =2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 2
−1
1
−2 0 0 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
2=⇒0 1
2 nº de =incógnitas
rg( = *) A2
1 y el sistema es compatible indeterminado con grado de
3
Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando z = λ :
2x + y = − −1 2x 2 2 − = +
⇒ x =− −1 , y=1 +,
z=
a 2a + 1 1 − a a 2a +1 1 −0a c) Las matrices asociadas al sistema son A = 3a 0 a y A* = 3a 0 a a , con rango a a a 1 − a a 1 a 0 − máximo 3. A = 0⇒ 4a a =−0 = a +3− a 2 = 3⇒
•
0, a
3 4
3 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas 4 es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:
Para a ≠ −1 , a ≠ 0 y a ≠
x
•
= 1, a
=
0 2 a 1+ 1
−a
a
0
1− a
a
a
0
a
3a
a
a
3a
0
a
0
a
1− a
a
0 1− a A
a
a A
0
A
=
Para a = − 1 tenemos A = 0 , A
a −1 4a − 3
y
=
=0
z
−1 −1 2 −1 1 −2 0 = −3 0 −1 y A* =−3 0 1− −1 −1 −1 2 −1 1 −2 0
=
=3 y el sistema
2a + 1 0
=
a 4a − 3
. El menor −1 2 = 1 ≠ 0 , con 0 −1
lo que rg( A) =2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
−1 0
2
−1 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
0
−1 − 1= 0⇒ rg( =*) A2
2 nº de =incógnitas
2
0 3
y el sistema es compatible indeterminado con grado de
Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando x = λ :
−zy+ 2z1= 3 ⇒ x= , y= 2−7, − = − + •Para
A
a0=
0 1 1 0 1 1 0 0 0 y A* = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
tenemos A = 0 , A = 0
. Como el sistema es homogéneo y
= 0 , será compatible indeterminado. Además, obviamente podemos eliminar la segunda ecuación,
obteniendo:
y + z = 0 ⇒ x= z = 0
86
1= z 3−
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
y 0, = z 0 ,=
3 5 4 2 9 3 tenemos A = 0 , A = • Para a = 4 0 4 3 3 4 4 lo que rg( A) =2 . Para determinar rg( A*)
1 4 3 y A* 4 1 4
3 4 9 = 4 3 4
5
1
2
4 3
0
0
4 1
3
3
5
. El menor 4 9 4 4 0
0
3
2
=−
45 8
≠ 0 , con
4 4 ampliamos este menor añadiendo la columna de términos
independientes: 3
5
4 9
2 0
4 3 4 Por tanto, rg( A)
0 3 63
=
⇒rg( *)A 3 =
4 64
3 4
0
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
m+3 1 2 12 d) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 1 4 + m − m2 y A* =11 4 2 4 2 4 3( m2) +
3m +3 + m3 − m2 3( m2)+ 8
, con rango
máximo 3.
= 0⇒− m = ⇒0 = m 0
A •
Para m ≠ 0 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A)
= rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es compatible
determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:
x
•
=
3
2
m+3
1
3
m+3
1
2
3
3
1
4 + m − m2
1
3
4 + m − m2
1
1
3
2
4
8
8 4
3( m2) + A
=
4m 2 + m − 10
y
m
2 8
=
3( m2) +
=−
A
2 3 1233 1 4 y A* = 1 1 4 3 2 4 6 2 4 6 8
rg( A*)
2
A
=
2 m
3
=−2 ≠0 ⇒ rg( *)=3A
1 1 3 2
4
8
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
− a2) + a 1 1 a 1 1 ( a 1)( 2 a(− 2) a+ e) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 a 1 y A* = 1 a 1 ( 1) 1 1 a 1 1 a ( a1)−( 32)a + A •
=
ampliamos este menor añadiendo la columna de términos 1
Por tanto, rg( A)
z
m
. El menor 1 2 = − 1 ≠ 0 , con lo que 1 1
1 Para m = 0 tenemos A = 0 , A = 1 rg( A) =2 . Para determinar independientes:
2m 2 − 2
= 0⇒ a−3 3 +2a=0 ⇒ = −2, a=1
Para a ≠ −2 y a ≠ 1 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A)
, con rango máximo 3.
a
= rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es
compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: (a −1)( a +2)
x
=
a
−+=+
A
z
=
1
1 ( a −1) ( 2 a2) + 1
a1
(a −1) (3 a + 2) 1
(a −1)( a +2)
a
1 1
(a −1)( 2 a2) +
a2
2a 1
a
1 ( a −1)( a + 2)
1
a ( a 1) −(
2
a 2)+
1 1 ( a 1) −(
3
a2)+ a=a−−+
A
y
=
3
1 ( a −1) (3 a2) + A
2
2
a
= 2a − 3
1
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
87
•
Para a = − 2 o a = 1 el sistema resulta ser homogéneo con A = 0 , por lo que es compatible indeterminado en ambos casos. Para a = − 2 tenemos A
−2 1 1 1 1 = 1 −2 1 con el menor = − 1 ≠ 0 , por lo que podemos resolver el 2 1 1 1 −2
sistema eliminando la tercera ecuación y tomando x = λ :
y + z = 2λ 2y z − + = −
⇒ x= , z = , z =
Para a = 1 las tres ecuaciones coinciden, por lo que el sistema se reduce a: xy+z
y z + =x ⇒ 0 =−µ−
, =µ
=,
f) Las matrices asociadas al sistema son: 2 a2 + a a2 − a aa2 −− 2 a0a −−
0
A = a2 + a
0 2
A •
2 a2 + a y A* = a 2 + a a2 − a aa2 −− 2 0 aa −− 2
= 0⇒ − a−6 5a 5+4 +3a
8 a + 4= a⇒ 0
0
2
0
4 , con rango máximo 3.
2
22
=− a 1=, 0,=a 2
2
Para a ≠ −1 , a ≠ 0 y a ≠ 2 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A)
a
a
= rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema
es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: 2 4 x
=
2
a2
2
0
−a
0
a2
a 2 − a − 2 2(
0
=
A
a 2 −4) a−
a(a −2)( a +1)
a 2 +a
=
z
Para a = − 1 tenemos A = 0 , A
a2
a a2
−a−2
y
2
a2 + a
•
2 0 +a +a 4 0 a 2a−− 2 a2a−− 2 a2
=
2
2
−
4
0
2
A
A
=
2
=
2 (a −2)( a +1)
4( a2) + (a −2)( a +1)
0 2 0 0 2 0 2 = 0 2 0 y A* = 0 2 0 4 0 0 0 2 0 0 0
2
y el sistema es incompatible, ya que la
tercera ecuación es 0 = 2 .
0 2
•Para
a0=
tenemos A = 0 , A = 0
0
0
0 y A*
−2 0 −2
0 2 0 2 = 0 0 0 4 −2 0 2− 2
y el sistema es incompatible, ya
que la segunda ecuación es 0 = 4 .
•Para
a2=
tercera ecuación es 0 = 2 .
88
6 2 0 2 6 2 0 2 0 y A* = 6 2 0 4 0 0 0 0 0 0 2
tenemos A = 0 , A = 6
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
y el sistema es incompatible, ya que la
67. Discute los si guientes sistemas para los disti ax +y +z a= x − y + z = 1 a) 3 x − y − z = 1 6x −y z+ a= 3
ntos valores del parámetro y resuélvelos cuando s
ea posible.
x + y
+z=2 2x − y = λ c) y + 3z = λ x − y + 2z = 0
2
− =4 x + 3y az −ax + +y az = 0 d) 2 −x+ 2ay= a+ 2x − y − 2z = 0
kx +ky −z = 2 3x − ky = 0 b) 5x + ky = 0 x + 2z = 1
2
a 1 1 a 1 1 a 1 −1 1 1 1 − 1 1 , con rango máximo 3 y 4, a) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = 3 1− 1 − 1 3 −1 −1 6 −1 1 6 −1 1 3 a respectivamente. A * =0 •Para
a2≠
tenemos A *
2 ⇒−4 +a16 −16a=0 ⇒ = 2
a
≠ 0 , con lo que rg( A*) = 4 . Como rg( A) ≤3 tenemos rg( A) ≠ rg( A*) y el sistema
es incompatible.
2 1 1 2 1 1 4 2 1 1 1 −1 1 y A* = 1 −1 1 1 . El menor 1 −1 1 10 = 0 ≠ , = 0, A = 3 −1 −1 3 −1 1−1 3 −1 −1 6 −1 1 6 −1 1 6 con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema es compatible determinado.
•Para
a2=
tenemos A *
Lo resolvemos eliminando la cuarta ecuación y aplicando la regla de Cramer: 4 1 x
=
1
1
−1 1 1 −1 −1 10
2 4 1 1
=
10
10
=1
y
=
3
1
1 1
−1
10
2 1
10 10
=
=1
z
=
1 4
−1 1 3 −1 1 10
10 10
=
=1
k k −1 k k −1 2 3 −k 0 y A* = 3 −k 0 0 , con rango máximo 3 y 4, b) Las matrices asociadas al sistema son A = 5 k 0 5 k 0 0 1 0 2 1 0 2 1 respectivamente. A * =0 ⇒ − 40 = 0k⇒ = 0 k •
Para k ≠ 0 tenemos A *
≠ 0 , con lo que rg( A*) = 4 . Como rg( A) ≤3 tenemos rg( A) ≠ rg( A*) y el sistema
es incompatible.
•Para
k0=
0 3 tenemos A * = 0 , A = 5 1
Observemos que rg( A)
0
0
1− 2
0
−1 0 3 0 y A* = 5 0 0 0 2 1
0
0 0
0
0 0
0
21
.
0 −1 2 =2 , en cambio rg(A* ) =3 , ya que el menor 3 0 0 15 = 0≠ . 1
Por tanto, rg( A)
2
1
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
89
1 1 2 −1 c) Las matrices asociadas al sistema son A = 0 1 1 −1
1
1 1 1 2 2 −1 0 λ , con rango máximo 3 y 4, y A* = 0 1 3 λ 3 1 −1 2 0 2 0
respectivamente. A *= 0 ⇒ 1 4 1 4− 0 = •
Para
⇒1 =
λ ≠ 1 tenemos A * ≠ 0 , con lo que rg( A* ) = 4 . Como rg( A) ≤3 tenemos rg( A) ≠ rg( A*) y el sistema
es incompatible.
•
Para
1 1 1 1 1 1 2 2 −1 0 y A* = 2 −1 0 1 λ = 1 tenemos A * = 0 , A = 0 1 3 0 1 3 1
1 1 1 . El menor 2 −1 0 =7− ≠0
0 1 −1 2 1 −1 2 0 = rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema es compatible determinado.
que rg( A)
, con lo
1 3
Lo resolvemos eliminando la cuarta ecuación y aplicando la regla de Cramer: 2 1 x
=
1
1
1 2
−1 0
1
1 3
−7
2
=
−7 =1 −7
y
=
0
1
1
1 2
1 0
2
−1 1
1 3
=
−7
−7 =1 −7
z
=
0
1
1
=
−7
4 1 3 −a 1 3 −a −a 1 a −a 1 a 0 d) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = −1 2a 0 −1 2 0a 2 a+ 2 −1 −2 2 1− 2 0−
0
−7
=0
, con rango máximo 3 y
4, respectivamente. A* 0 = •
⇒ a−3 −a82 +12a=0 ⇒ =−3, =a2
Para a ≠ −3 y a ≠ 2 tenemos A *
a
≠ 0 , con lo que rg( A*) = 4 . Como rg( A) ≤3 tenemos rg( A) ≠ rg( A*) y el
sistema es incompatible.
•
Para a = − 3 tenemos A *
El menor
1
3
3
1 3
1 3 3 1334 3 3 1 3 −0 1 −3 . y A* = =0, A = −1 −6 0 −1 6− 0 1 − 2 −1 −2 2 1− 2 − 0
3
−1 −6
− =60 − 0≠
, con lo que
rg( A)
= rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es
0
compatible determinado. Lo resolvemos eliminando la cuarta ecuación y aplicando la regla de Cramer:
x
•Para
a2=
El menor
=
4
3
3
1
4
3
1
3
4
0
1
−3
3
0
−3
3
1
0
−1 −6 −60
0
=
−60 =1 60 −
y
=
−1 −1 −60
0
=
0 60 −
=0
z
2 −4 1 3 −2 13 −2 1 2 −2 1 2 0 tenemos A * = 0 , A = y A* = −21 41− 20 −40 −21 −41 −02 1 3
−2
1
=
−1 −6 −1 −60 = =1 −60 60 −
.
= 7 ≠ 0 , pero cualquier ampliación a un menor de orden 3 es nulo, tanto en A como en
A * . Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) 2 nº de =incógnitas 3 y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Para resolverlo, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, eliminamos la tercera y cuarta ecuación y tomamos z = λ : 4+ 8 8 2+ x + 3y= +4 2 =,y = −2x+ y=− 2 ⇒=x 7 7
90
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
,z
68. Discute el siguiente sistema para los disti
ntos valores del pará metro.
x + y
+z=0 x + 2y + 3z = 0 mx m( 1 y) m( 1 z) m ++ +− = − 3x+ (+m 3) y+ 4=z m− 2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = m m + 1 m − 1 m m +m 1 3 m3+ 4 3 m+3 4
, con rango m− 1 − 2 2 m− 0 0
máximo 3 y 4, respectivamente. 2
•
A* = m 0 ⇒ 2 8m − 8 +0m= ⇒ =2 Para m ≠ 2 tenemos A * ≠ 0 , con lo que rg( A*) = 4 . Como rg( A) ≤3 tenemos rg( A) incompatible.
•
Para m = 2 tenemos A *
1 1 = 0, A = 2 3 1
1 1 1 0 y A* = 1 2 3 0 2 3 1 0 3 1 3 5 4 0 5 4
1
2
. Como el sistema es homogéneo, será
3
1 3 = −0
1 2 3
compatible. Como el menor
1
1
2
≠ rg( A*) y el sistema es
3
≠
tenemos rg( A)
= nº de incógnitas =3
y el sistema es
1
compatible determinado.
69. Discute el siguiente sistema pa ra los disti ntos valores del paráme tro y halla todas sus soluci ones cuando = 1. + + =y(2 2) z (1 − ) x+ +(2 1) x + y = 2 +2 2 2 x( + +1) (+y −1) = − +z 2 9
1 − 2 1 2+2 α α 2 +1
Las matrices asociadas al sistema son A =
0
+ + 1 − 2 1 2+ 2 y A* = 0 2 + 2 −1 1 + 1 −2 9 2 −
, +
con rango máximo 3. A
= 0⇒−
•
Para ≠ 0, ≠1y ≠2 tenemos A compatible determinado.
•
Para α = 0 tenemos A = 0 , A
3
+3
22 − 0
= 0,⇒ 1, = 2
=
=
≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3
1 1 2 1 1 2 0 = 0 0 0 y A* = 0 0 0 2 2 1 −1 2 1 1− 9
y el sistema es
, con lo que la segunda ecuación es
0 = 2 , siendo, por tanto, el sistema incompatible.
•
0 3 4 0 3 4 1 . El menor 0 3 = − 3 ≠ 0 , con lo que α = 1 tenemos A = 0 , A = 1 1 0 y A* = 1 1 0 4 1 1 2 2 0 2 2 0 8 rg( A) =2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
Para
0
3
1
=0 ⇒ rg( *)A 2 =
1 1 4 2
2
8
Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) 2 nº de =incógnitas 3 y el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, lo podemos resolver eliminado la tercera ecuación y tomando z = λ : 11+4 1 −4 3y = 1 − 4λ ⇒=x = ,y = ,z 3 3 x + y = 4
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
91
•Para
α2 =
rg( A)
tenemos A = 0 , A
−1 5 6 −1 5 6 2 = 2 2 0 y A* = 2 2 0 6 2 3 1 23 1 9
. El menor 2 0 = 2 ≠ 0 , con lo que 3 1
=2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 5
6
2
=−26 ≠ 0⇒ rg( *)= A3
2 0 6 3 Por tanto, rg( A)
1
9
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
= 21 20 m 1 la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Halla razonadamente los valores de m 1 2 para los que el sistema es compatible determinado.
70. Sea
B
m
El sistema será compatible determinado si B es no nulo. Tenemos: B
= 0⇒4
m −9=0⇒
Por tanto, el sistema es compatible determinado si m ≠
9 4
= m
9 4
.
x − 3z = − 1 y − t = 2 71. Dado el sistema . −3 x + 2z = 0 −4 x+ =t− 5 a) Discute su compatibilidad según los distintos valores de λ . b) Resuélvelo para λ = 7 . 1 − 1 0 3− 0 1 0 3 −0 0 10 1 − 0 1 0 1 2− , con rango a) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = −3 0 2 0 −3 0 2 0 0 −4 0 0 λ −4 0 0 5λ − máximo 4. A •
Para λ ≠ 0 tenemos A determinado.
•Para
λ0=
tenemos A
1 0 El menor
=
1 0 = 0, A = −3 −4
1 − 1 0 3 −0 0 1 0 1 2− − y A* = −3 0 2 0 0 0 2 0 −4 0 0 0 5 − 0 0 0 0
3− 0
y el sistema es compatible
10
1
.
−3 7= − 0
0 10
−3 0
= 0 ⇒7− 0 = ⇒ 0
≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =4
≠ , con lo que rg(A) =3 .
2
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 10 0 10
3− 1
−
2
−3 0 2 0 −4 0 0 5 − Por tanto, rg( A)
92
= 27 ⇒ rg( A*) =4
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
b) Según el apartado anterior, si λ = 7 el sistema es compatible determinado y lo podemos resolver con la regla de Cramer:
−1 0 3− 0 2 10 0 0 x
=
−5 0 0 7
−14 2 = −49 7
y
1−0
10
=
=
A
1 −3
−3 0 0 0 −4 0 5− 7
−
=
−3 0 2 0 −4 −5 0 3− 1
0 10
=
A
−21 −49
=
λ 71− 71 = = −49 49
A 10
−
1
−0
0201
2 0
0 12
z
1
−
1
−
2
−3 0 2 0 −4 0 0 5 − 27 t= =− =
3
A
7
27
−49
72. Discute los sigui entes sistema s para los disti ntos valores de los parámetros
a
x +ay +z2 = 3 a) x − 3y− =z − 1 −x+ y8+ z=4b
= 1 ax + (2a+ −1)y az c) ax +y −az =− b 2 ax + (1 −az )b =
2x −y −z2b = b) x + y + z = 5 4x 5− y +a z =−10
1 ax +y + =z + b d) ax +y +a z2 = 2 x +y az + =b 2
1 a 2 1 a 2 a) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 −3 −1 y A* = 1 −3 1− −1 −1 8 4 −1 8 4 A = 0⇒−3 +6a 0= ⇒ 2= a a2≠ •Para tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) determinado para cualquier valor de b.
•
3
, con rango máximo 3.
b
= rg( A*) =nº de incógnitas =3
1 2 2 1223 = 1 −3 −1 y A* = 1 −3 1− −1 −1 8 4 −1 8 4
Para a = 2 tenemos A = 0 , A
49
y b.
y el sistema es compatible
. El menor 1 2 = − 5 ≠ 0 , con 1 −3 b
lo que rg( A) =2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1 2 3 1
−1
−3 −1=− +5 ⇒ b25 rg(= *) A 3 8
si b ≠ 5 y rg( A* )
= 2 si b = 5
b
Por tanto, el sistema es incompatible si a = 2 y b ≠ 5 , y compatible indeterminado si a = 2 y b = 5 . b 2 −1 −2 2 −1 −2 , con rango máximo 3. b) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 1 1 y A* =1 1 1 5 4 −5 a 4 5− a 10− A
= 0⇒ 3 +a24 =0 ⇒ = −8a
•
Para a ≠ −8 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) determinado para cualquier valor de b.
•
Para a = − 8 tenemos A
= rg( A*) =nº de incógnitas =3 y el sistema es compatible
b 2 −1 −2 2 −1 −2 . El menor 2 −1 = 3 ≠ 0 , con = 0 , A = 1 1 1 y A* 1= 1 1 5 1 1 4 −5 −8 4 −5 8− 10−
lo que rg( A) =2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 2 −1 b 1
1
5
4
−5
10 −
=9− ⇒brg( *) =3A
si b ≠ 0 y rg( A* )
= 2 si b = 0
Por tanto, el sistema es incompatible si a = −8 y b ≠ 0 , y compatible indeterminado si a = − 8 y b = 0 .
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
93
1 a 2a + 1 −a a 2a + 1 −a 1 1 c) Las matrices asociadas al sistema son A = a −a y A* = a −a −2b , con rango a a 0 1 − a 0 1− a b máximo 3. A •Para
a =⇒ 0 −2 0 =2⇒ =0 a
tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A)
a0≠
= rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es compatible
determinado para cualquier valor de b.
•Para
0 1 0 1 0 1 0 1 0 y A* = 0 1 0 2 − b . 0 0 1 0 0 1 b
tenemos A = 0 , A = 0
a0=
El menor
1
0
0
1
= 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1
0
1 2− b=2 + ⇒ b1 rg( *) = 3A
1 0 0
si b ≠
−
b
1
Por tanto, el sistema es incompatible si a = 0 y b ≠
1 y rg( A* ) 2
1
1
2
2
= 0⇒− a+3 +a−2 =a10⇒
=−1, 1a=
•
Para a ≠ −1 y a ≠ 1 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) compatible determinado para cualquier valor de b.
•
Para a = −1 tenemos A = 0 , A
El menor
−1 1 1 1
1 2
− , y compatible indeterminado si a = 0 y b = −
a 1 1 a 1 1 d) Las matrices asociadas al sistema son A = a 1 a2 y A* = a 1 a2 1 1 a 1 1 a A
= 2 si b = −
b + 1 2 2b
, con rango máximo 3.
a
= rg( A*) =nº de incógnitas =3
1b + −1 1 1 −1 1 1 = −1 1 1 y A* = 1− 1 1 2 1 1 −1 1 1 1−2 b
y el sistema es
.
= − 2 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
−1 1 b + 1 −1 1 2 −= +2⇒ 2b rg( = *) 3A 1
1
si b ≠ 1 y rg( A* )
= 2 si b = 1
2b
Por tanto, el sistema es incompatible si a = −1 y b ≠ 1 , y compatible indeterminado si a = − 1 y b = 1 .
•
1b + 1 1 1 1 1 1 Para a = 1 tenemos A = 0 , A = 1 1 1 y A* = 1 1111 1 22 b 1 1 1 Observemos que rg( A)
.
=1 , rg( A* ) = 2 si b ≠ 1 y rg( A* ) =1 si b = 1 .
Por tanto, el sistema es incompatible si a = 1 y b ≠ 1 , y compatible indeterminado si a = 1 y b = 1 .
94
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
.
Sistemas homogéneos
73. Determina para qué valores del parámetro
k
cada uno de los siguientes sistemas tienen soluciones
distin tas de la trivial y r esuélve lo en tales casos.
x +ky −z = 0 a) 2x − y + 2z = 0 x − 4y k+z = 0
x +ky −z = 0 b) kx −y +z = 0 (k +1) x + y0=
Al tratarse de sistemas homogéneos, tendrán soluciones distintas de la trivial si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas, es decir, si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo. 1 k 1 a) A = 2 −1 2 0−=2 ⇒− 1 −4 k
+ 15 + k 02= ⇒ k =− , =3 k
5 k 2
Por tanto, el sistema tiene soluciones distintas de la trivial si k
=−
5 o k =3. 2
1 − 5 −1 2 1 −1 5 tenemos A = 2 • Para k = − −1 2 , el menor = 4 ≠ 0 , por lo que podemos resolver el 2 2 2 5 1 −4 − 2 sistema eliminando la tercera ecuación y tomando y = λ : x − z = 5 λ = 2 ⇒x 2x + 2z = λ
•
Para k = 3 tenemos A
1
3
= 2 1
−1 −4
−1
1 2 , el menor 2 3
3λ , y= 2
, =z−
3
−1 = − 7 ≠ 0 , por lo que podemos resolver el sistema
eliminando la tercera ecuación y tomando z = λ :
x + 3y = λ ⇒ x=− x y 2 − = − 2 1 k −1 b) A = k − 1 1 =0 ⇒ − −k=22 ⇒ 0k =− k +1 1 0
=1, 2k
5λ =, y 7
k
Por tanto, el sistema tiene soluciones distintas de la trivial si k
•
4λ = ,z 7
= −1 o k = 2 .
1 −1 −1 −1 −1 Para k = −1 tenemos A = −1 −1 1 , el menor = − 1 ≠ 0 , por lo que podemos resolver el 0 1 0 1 0 sistema eliminando la primera ecuación y tomando z = λ :
− x − y = − y = 0 •
⇒ x= , y= 0, =z
−1 −1 1 Para k = 2 tenemos A = 2 −1 1 , el menor = − 1 ≠ 0 , por lo que podemos resolver el sistema 1 0 3 1 0 1
2
eliminando la primera ecuación y tomando x = λ :
−y + z= − 2 ⇒ x = , y = −3, y = −3λ
5z= −
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
95
74. Discute y resuelve, cuando sea posible, los
siguientes sist emas.
x + 2y+ z= 0 a) x − y+ 2z= 0 x − y +2z = 0
3x − y − 2z = 0 b) mx + 3y z− = 0 3x − y + 5z = 0
Al tratarse de sistemas homogéneos serán siempre compatibles. Serán compatibles determinados si el rango de la matriz de coeficientes en igual al número de incógnitas, es decir, si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo.
λ a) A =
•
2
1
−1 2 0= ⇒ 6 2− 5 0 + = 1,⇒ 5 = 1 −λ 2
Para
λ ≠ 1 y λ ≠ 5 tenemos A ≠ 0 y, por tanto, el sistema es compatible determinado.
Su única solución es la trivial, x
•
Para
=
= y =z =0.
1 2 1 λ = 1 tenemos A = 0 , A = 1 −1 2 y el sistema es compatible indeterminado. 1 −1 2
Como el menor
1
2
1
−1
= − 3 ≠ 0 , podemos resolverlo eliminando la tercera ecuación y tomando z = µ : x + 2y = −µ x − y = − µ2 ⇒ x=−
•
Para λ = 5 tenemos A = 0 , A
Como el menor
2
1
−1 2
5µ =, y 3
µ =µ , z 3
5 2 1 = 5 −1 2 y el sistema es compatible indeterminado. 1 −5 2
= 5 ≠ 0 , podemos resolverlo eliminando la tercera ecuación y tomando x = µ : 2y + z = − µ5 ⇒ x = µ , y= −µ ,=z− µ 3 y z − + 2 =− µ 5
−1 −2 3 1− = 0⇒ 7 6 + =3m0⇒ =− 3 −1 5 3
b) A = m
•
m
Para m ≠ −9 tenemos A ≠ 0 y, por tanto, el sistema es compatible determinado. Su única solución es la trivial, x
•
9
= y =z =0.
3 −1 −2 3 −1 y el sistema es compatible indeterminado. 3 −1 5
Para m = − 9 tenemos A = 0 , A = −9
Como el menor
−1 −2 3
= 7 ≠ 0 , podemos resolverlo eliminando la tercera ecuación y tomando x = λ :
−1 −y− 2z=− 3 3y − z = 9λ ⇒ x= , y= 3,
96
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
0z=
75. La matriz de coeficientes de un
sistema de ecuaciones lineales homogéneo es: 3 −1 2 2 1− a 0 4 1 2 2a +
Discútelo y resuélvelo cuando tenga infinitas soluci
ones.
Al ser un sistema homogéneo, es siempre compatible. Será determinado si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo. a ⇒ =− 4, a= 2 = 0⇒ 2 a+24 −16
A
a
Por tanto, el sistema es compatible determinado si a ≠ −4 y a ≠ 2 , y es compatible indeterminado si a = − 4 o a = 2 . De este modo, debemos resolver el sistema si a = − 4 o a = 2 . •
Para a = −4 el menor y tomando x = λ :
2
3
5
0
= − 15 ≠ 0 , con lo que podemos resolver el sistema eliminando la tercera ecuación
2y + 3z = λ ⇒ =x y 5 = − 2λ 2
2λ =, z 5
,y =−
3λ 5
3
= 3 ≠ 0 , con lo que podemos resolver el sistema eliminando la tercera ecuación y −1 0 2y + 3z = λ tomando x = λ : ⇒ x = , y = 2 , z =− −y = − 2
•Para
a2=
el menor
76. Discute el siguiente sistema para los disti
ntos valores del p arámetro y resuélvelo para
m
= 0.
3x −y +mz = 0 x + y = m mx − 3y +mz =− m2
−1 m
3 Las matrices asociadas al sistema son A = 1
0 y A*
1
m −3 m
A •
Para m ≠ 0 y m ≠ 1 tenemos compatible determinado.
•
Para m = 0 tenemos A
A
= 0⇒− +m=2 m ⇒0 0=
rg( A)
m
3 −1 0 3 −1 0 0 = 0 , A = 1 1 0 y A* = 1 1 0 0 0 −3 0 0 −3 0 0
ecuación y tomando z = λ :
Para m = 1 tenemos A
,m=1
≠ 0 con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3
compatible indeterminado. Como el menor
•
3 −1 m 0 m , con rango máximo 3. = 1 1 0 m −3 m −2m
1
1
0
−3
y el sistema es
. Como el sistema es homogéneo, es
= − 3 ≠ 0 , lo podemos resolver eliminando la primera
x + y = 0 ⇒ x= 0,=y 0,= z y −3 = 0
3 −1 1 3 1− 1 0 = 0 , A = 1 1 0 y A* = 1 1 0 1
. El menor −1 1 = − 1 ≠ 0 , con lo que 1 0 1 −3 1 2 −
1 −3 1 =2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: −1 1
0
1 0
1 0 =
−3 Por tanto, rg( A)
1
⇒ rg( *) A2 =
−2
=rg( A*) =2 y el sistema es compatible in determinado.
Tomando x = λ :
−y + z= − 3 ⇒ x= , y=1− , y = 1− λ
1z=4 −
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
97
Síntesis
77. Dado el sistema de ecuaciones lineales: x + my = − 1 (1 −2 m) x −y m= a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) Resuelve el sistema en los casos en que la solución no sea única. c) Calcula los valores de m para que ( −3, 2) sea solución. m m −1 1 1 a) Las matrices asociadas al sistema son A = y A* = con rango máximo 2. 1 − 2m −1 1 − 2m −1 m A
= 0⇒2
m−2 1 −0m =
1 m 2
⇒ = − , 1m=
1 y m ≠ 1 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) 2 compatible determinado.
•
Para m ≠
•
Para m
−
=−
1 2
= rg( A*) =nº de incógnitas =2
1 − 1 −1 1 − 1 2 y A* = . 2 2 −1 − 1 2 − 1 2
tenemos A = 0 , A =
Las filas de A son proporcionales, pero las de A * no lo son, por tanto, rg( A) incompatible. •Para
m1 =
y el sistema es
tenemos A
=1 , rg(A*) = 2 y el sistema es
1 1 1 1 −1 = 0, A = y A* = −1 −1 1 . −1 −1
Tanto las filas de A como las de A * son proporcionales, por tanto, rg( A) y el sistema es compatible indeterminado.
= rg(<=A*) 1 nº de =incógnitas 2
b) Según el apartado anterior, tenemos que resolver el sistema para m = 1 . Para ello, podemos eliminar la segunda ecuación y tomar y = λ , obteniendo x = − 1− .
−+32 −=1m c) − 2−)=m2 −3(1
=1 m =
m ⇒ 1m
⇒
Para m = 1 es solución el punto ( −3, 2).
78. Considera el siguiente sis tema de ecuaciones lineales: x +m( + y1)z+2 =− 1 mx +y +z m= (1 − )mx2 + y +z =−m−1 a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) Resuelve el sistema para m = 2 . Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z = 2 .
1 m + 1 2 1 m1+2 a) Las matrices asociadas al sistema son A = m 1 1 y A* = m 1 1 − m 1− m 2 1 2 1
1 1 1
−m , con rango −m −
máximo 3. A
•
98
= 0⇒− 2 5+m 2 −2 0=m⇒ = ,
2=m
1 y m ≠ 2 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) 2 compatible determinado.
Para m ≠
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
1 m 2
= rg( A*) =n.º de incógnitas =3
y el sistema es
1 1 1 tenemos A = 0 , A = • Para m = 2 2 1 2 El menor
1 1 2
1
1 1 1 1 y A* = 2 1 2 1 2
3 2
2
−1 1 1 1 . 2 3 2 1 − 2
3 2
2
= − 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 3
−1
2
2 1 1 2 Por tanto, rg( A)
•
1 3 = ≠0⇒ rg( *)= 3A 2 3 − 2
1
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
1 3 2 1 3 2 1− 1 1 y A* = 2 1 1 2 −1 2 1 −1 2 1 3 −
Para m = 2 tenemos A = 0 , A = 2
El menor
1 1 2
1
.
= − 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 3
2 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
2
−1
2
1 1
0 =
2 1
rg( *) A2 = ⇒
−3
nº de =incógnitas
3
y el sistema es compatible indeterminado con grado de
b) Según el apartado anterior, si m = 2 el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1 . Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2 considerado en dicho apartado, lo podemos resolver eliminando la primera ecuación y tomando x = λ :
y + z= 2− 2 2y + z = − +3
⇒ x= , y =− 5+ 3,
7=z5 −
Para encontrar una solución en la que z = 2 observemos que z = 2⇒7 5− 2 buscada es x = 1, y=− 2,= z 2 .
= ⇒1
=
, por tanto, la solución
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
99
79. Se sabe que el sistema de ecuacion es lineales x − 2y + 3z = 4 x y z 2 − + = 8 , a ∈ x − 5y a+z = 4 es compatible indeterminado. a) Calcula a y resuelve el sistema para dich o valor del parámetro. b) Para el valor de a encontrado, da una solución particular del sistema tal q ue x = y . a) Para que el sistema sea compatible indeterminado el determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo: A
= 0⇒ 3 −a24=0⇒ = 8 a
1 −2 3 1 −2 3 4 Para a = 8 tenemos A = 2 −1 1 y A* = 2 1− 1 8 1 −5 8 1 −5 8 4
. El menor 21 −−21 = 3 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Como sabemos que el sistema es compatible indeterminado, no es necesario determinar rg( A*) , sabemos que debe ser rg( A* ) = 2 . Además, para resolver el sistema, teniendo en cuenta el menor de orden 2 anterior, podemos eliminar la tercera ecuación y tomar z = λ :
x − 2y= −4 3 ⇒ =x 2x − y = −8 b) Tenemos x = y⇒
12 + λ = 3
5λ ⇒ = 3
12 + λ 3
5λ =, y = , z 3
3 , por tanto, la solución buscada es x
= 5, y =5, z =3 .
80. Se sabe que el vecto r (2, 1, –1) es soluc ión del si stema: ax +by + cz= +a c bx −y +bz = a−b−c cx −b y +z2 b = Calcula el valor de los parámetros
a, b
y c.
Sustituyendo las coordenadas del vector tenemos: a 02 ab +c− = 02 2ab+c−a=c+ b +c− =
12b −−=b−ab−c a −+bc+= 2⇒ 1 b2c b−= 2 bc−+ = 22 2
bc −3=⇒1 −bc+ = 222
EE +121→
ab+−c 02 = 3 a =
3⇒ bc1−=
c 4=8 c
1b ⇒=
E3 E → +3E2
=2
3
2
81. Se consideran las matrices: A
3 1−0 = −1 3 0 0 0 2
10 0
= 0I 310
00 1
a) Resuelve la ecuación det ( A − xI3 ) =0 . b) Discute el sistema de ecuaciones homogéneo cuya matriz es A − xI3 según los valores del número real x. c) Resuélvelo en aquellos casos en que el sistema sea compatible indeterminado. 3−x a) det ( A − xI3 =) 0⇒ − 1 3− 0
−1
0
0 x=0⇒− 0
+
−8
20 + x=316⇒0x=2
=2,x 4
x
x
2−x
Según el apartado el. sistema será compatible determinado si x ≠ 2 y x ≠ 4 , y será compatible b) indeterminado si x =anterior, 2 o x=4
1 −1 0 c) Si x = 2 tenemos rg( A −2 I=)3 r−g 1 1= 0 1 , por lo que el sistema se reduce a una ecuación, x − y = 0 , 0 0 0 con solución x = , y = , z =µ . −1 −1 0 −x − y = 0 Si x = 4 tenemos rg( A −2 I)3= rg− 1− 1 =0 2 , por lo que el sistema se reduce a , con z = 0 0 0 −2 solución x = − , y = , z =0 .
100
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
x − 2y + 3z = 5 82. Dado el sistema :
x − 3y + 2z = 0
a) Calcula el valor del parámetro α para que al añadirle la ecuación
x
+ 3y+ z= 9 , resulte un sistema
compatible indeterminado. Resuélvelo, si es posible, para α = 0 .
b) ¿Existe algún valor de α para el que el sistema con estas 3 ecuaciones no tenga solución?
1 −2 3 1 −2 3 5 . a) Añadiendo la ecuación, las matrices asociadas al sistema serán A = 1 −3 2 y A* = 1 3−2 0 α 3 1 α 3 1 9 Para que el sistema sea compatible indeterminado los rangos de A y A * deben coincidir y ser menores que el número de incógnitas, es decir, que 3. Observemos que para cualquier valor de
α , rg( A) ≥2 , ya que el menor
sistema sea compatible indeterminado debe ser rg( A) Para que rg( A)
1 1
−2 = − 1 ≠ 0 , por tanto, para que el −3
=rg( A* ) =2 .
=2 , A debe ser nulo: A = 0⇒ 5
Además, para este valor de α , rg( A* ) términos independientes tenemos:
+2 0= ⇒
=−
2 5
= 2 , ya que ampliando el menor de orden 2 anterior con la columna de 1 1
−
−2 5 −3 0 0 =
2 5
3
Por tanto, el sistema es compatible indeterminado si
9
α= −
2
.
5 Para α = 0 tenemos A = 2 ≠ 0 , con lo que el sistema es compatible determinado y lo podemos resolver por la regla de Cramer: 5 0 x
=
9
−2 3 −3 2 3 A
1
=
0 2
=0
y
=
1 5
3
1
1 0
2
1
0
1
9 A
=
4 2
=2
z
=
0
−2 5 −3 0 3 A
9
=
6 2
=3
b) Según el apartado anterior no existe ningún valor de α para el que el sistema sea incompatible, si α ≠ − compatible determinado y si
α= −
2 5
es
2 es compatible indeterminado. 5
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
101
83. Se considera el sistema de ecuaciones lineales que depende de los parámetros
a, b
y c:
2ax +b y z+ =c3 2 a= 3 x − 2y −cz 5ax − 2y +cz =− b 4 a) Justifica razonadamente que para los valores de los parámetros a = 0 , b = − 1 y c = 2 el sistema es incompatible.
b) Determina razonadamente los valores de los parámetros a, b y c, para los que se verifica que ( x, y, z) =(1, 2, 3) es solución del sistema. c) Justifica si la solución ( x, y, z) =(1, 2, 3) del sistema del apartado b) es, o no, única. a) Si a = 0 , b = − 1 y c = 2 las matrices asociadas al sistema son: 0 −1 1 0 1− 1 6 A = 3 −2 −4 y A* = 3 2 − 4 0− 0 −2 2 0 2− 2 4 Tenemos A = 0 y el menor
0 3
−1 = 3 ≠ 0 , por lo que rg( A) =2 . −2
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
−1 6 −2 0 =− 24 ≠ ⇒0 0 −2 4 0
rg(= *) 3 A
3
Por tanto, rg( A)
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
b) Sustituyendo los valores de x, y, z tenemos:
2a2b+33+=c 2 2a3bc 3+ − −= ac6 1−− =
ac 6 − 1− =
ac 6−−1 =
abc+2 −2−=3 b c − 15 1 34−6− = ac −−ac=⇒6⇒1 EE21 ↔3 ⇒ 2 −15 = EE1+221⇒ =2−⇒ → b c −2 − E 23E 3 → 1 5a 4−+−3=c b4 +a b5+c=4 3 4 a+bc+ 5= 4 3 4 b −c = 4 27 9c =E3 →E33 + 5E11 a
=− 23,= b 27, = c
2
11 3
NOTA: El sistema obtenido con incógnitas a, b y c es de Cramer, ya que el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo, por lo que podríamos haber usado la regla de Cramer para resolverlo.
c) Según el aparatado anterior, si ( x, y, z) =(1, 2, 3) es solución tenemos a −= 23, = b 27= y c
11 3
.
Para estos valores de los parámetros el determinante de la matriz de coeficientes del sistema es:
−46 27 3
1 22 23249 ≠ 0 3 11
−2 − =
−115 −2
3
Por tanto, el sistema es compatible determinado, con lo que ( x, y, z)
102
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
=(1, 2, 3) es la única solución.
x − 2y + 3z = 1 84. Dado el sistema , halla dos cons tantes
y de manera que al añadir al sis tema anterior 2 x + y − z = 2 una tercera ecuación 5x + y + z = , el sistema resultante sea compatible indeterminado.
Añadiendo la ecuación, las matrices asociadas al sistema serán A
1 −2 3 1 −2 3 1 . = 2 1 −1 y A* = 2 1 1 2− 5 1 α 5 1 α β
Para que el sistema sea compatible indeterminado los rangos de A y A * deben coincidir y ser menores que el número de incógnitas, es decir, que 3. Observemos que para cualquier valor de
sistema sea compatible indeterminado debe ser rg( A) Para que rg( A)
1
−2
2
1
α , rg( A) ≥2 , ya que el menor =rg( A* ) =2 .
= 5 ≠ 0 , por tanto, para que el
=2 , A debe ser nulo: A = 0⇒ 5
2 + 0=
⇒
=−
2 5
Para este valor de α , rg( A* ) = 2 si el determinante obtenido ampliando el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes es nulo:
−2
1 rg( A*) 2 =
⇒2 5
85. a)
1
= ⇒ 5 25− 0 = ⇒ 5= 1 β
1 2 0
Considera la matriz y los vectores siguientes:
x
M =yz x
z
z
y A x
a B= b
y
1 = 0 1
c
1 donde x, y y z son números reales. Determina x, y y z para que el vector A = 2 sea solución del sistema 3
MA = B .
b) Sean ahora la matriz y los vectores siguientes:
a b c X c a b
x B= y
N =bca
donde a, b y cson números reales que verifican a ≠0 , c compatible determinado.
2 =, y 9
= a y a + b = 0 . Determina si el sistema NX = B es
+ 2+ 3= 1 1 xy1 z + 2+ 3x= y1 z + 2+ 3=x 1y z xy=2z ⇒ z2 0 − − = − 5 7⇒y3z − − =−⇒ 57 3 0 + + 3= y⇒ F− FF→ 3 F−F→ F 5 3zxy 1 23yz+ +1= F →F −−2− F 5 −= z1 −18 −=2
xyz a) MAB= ⇒ yzx yxz ⇒ x=−
1 = 0 1
z
221
3
4 9
= ,z
323
3
1
1 9
b) El determinante de la matriz de coeficientes del sistema es: N
a −a a =−a a a −=a ≠ 4 a a −a
3
0
Por tanto, el sistema es compatible determinado.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
103
86. El sistema
AX
= B donde: A
1 0 1 = 0 2 0 a 5 a
tiene diferente s sol uciones s egún sea la matriz
X
x = y z
A.
a) Determina, si existen, el valor o los valores de a para los que el sistema es compatible determinado (independientemente del valor de B).
0 b) Si a = 4 y B = 1 , determina, si existen, el valor o los valores de b para los que el sistema es incompatible. −b 0 c) Si a = 4 y B = c , determina, si existen, el valor o los valores de c para los que el sistema es compatible 10 indeterminado. Resuelve el sistema.
a) El sistema será compatible determinado si el determinante de A no es nulo, pero A = 0 para cualquier valor de a, por lo que no existe ningún valor de a para el que el sistema sea compatible determinado.
b) Si a = 4 tenemos A = 0 y el menor
1
0
0
2
= 2 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 .
Para que el sistema sea incompatible, rg( A*) debe ser 3, es decir, el determinante que se obtiene ampliando el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes no debe ser nulo. Tenemos: 1 0 0 2 4 Por tanto, el sistema es incompatible si b ≠
0 2=5− b −
1 5
−b
−5 . 2
c) Como en el apartado anterior, si a = 4 tenemos rg( A) =2 . Para que el sistema sea compatible indeterminado, rg( A*) debe ser también 2, es decir, el determinante que se obtiene ampliando el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes debe ser nulo. Tenemos: 1 0
0
0 2
c 20 = 5
− c
4 5 10 Por tanto, el sistema es compatible indeterminado (con grado de indeterminación 1) si c = 4 . Además, teniendo en cuenta el menor de orden 2, para resolver el sistema en este caso podemos eliminar la tercera ecuación y tomar z = λ :
x = −λ 2y = 4 ⇒ x=− , y= 2, z=
104
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
CUESTIONES
87. Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones. a) Un sistema con más ecuaciones que incógnitas no puede ser indeterminado. b) Un sistema con más incógnitas que ecuaciones puede ser compatible . c) Un sistema con más incógnitas que ecuaciones puede ser compatible y determinado. a) La afirmación es falsa, si partimos de un sistema indeterminado siempre podremos añadirle ecuaciones que sean combinación lineal de las srcinales y el sistema seguirá siendo indeterminado. Por ejemplo,
x − y = 0 2x − 2y = 0 3x − 3y = 0 es un sistema con más ecuaciones que incógnitas e indeterminado.
b) La afirmación es correcta, el sistema podría ser compatible indeterminado, aunque no determinado. En efecto, si el sistema tiene n ecuaciones y m incógnitas con m > n y A es la matriz de coeficientes del sistema, tenemos rg( A) ≤ n < m , por lo que es imposible que los rangos de las matrices asociadas al sistema coincidan con el número de incógnitas, es decir, es imposible que el sistema sea compatible determinado. En cambio sí puede ser compatible indeterminado, por ejemplo, el sistema
x − y + z = 0 x − y − z = 0 .
c) La afirmación es falsa, como hemos probado en el apartado anterior.
88. Las columnas de la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones son matriz de los términos
C1 , C2 , C3 y C4 . Y la independiente s es B = C2 + C3 . Razona si el si stema es compatible o incompatible.
Si A y A * son las matrices asociadas al sistema, tenemos rg( A) = rg( A *) , ya que la columna que se añade a A para formar A * , formada por los elementos de B, es combinación lineal de las columnas de A. Por tanto, el sistema debe ser compatible.
89. Sean S y S' dos sistemas de ecuaciones lineale s con la misma matriz de los co eficientes. S e pide: a) Justificar con un ejemplo que uno de los dos sistemas puede ser compatible, y el otro, incompatible. b) Si ambos sistemas son compatibles, ¿puede ser uno determinado y el otro indeterminado?
x − y = 0 a) El sistema es compatible (indeterminado), con solución x = y = λ . 2x − 2y = 0 En cambio, el sistema
x − y = 0 2x − 2y = 1 es incompatible.
b) No es posible, ambos sistemas comparten la matriz de coeficientes A, por tanto, si uno de los sistemas es determinado, tendremos rg( A) = nº de incógnitas . Además, para cualquier posible matriz ampliada A * tendremos rg( A) ≤ rg( A*) ≤nº de incógnitas , de donde se deduce que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas , es decir, cualquier sistema con matriz de coeficientes A será compatible determinado.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
105
90. Se considera un si stema de ecua ciones
S con m ecuaciones y n incógnitas y el sistema homogéneo S' en el que todos los coeficientes de las incógnitas coinciden con los de S. Prueba que si (s,1 s ,s , ... ) n y 2 3s es solución S'. (t,1t t,2 ,3t... ) n son dos soluc iones de S, entonces (s1t1− ,s2t− 2 3s,3t− ... ,s − t ) n n
Consideremos la forma matricial de los sistemas S y S’: A1x1
Tenemos
A11(s1 −)22t+2( A)... −s +( +t )
decir, (s1t1− ,s 2 −t 2s, 3−t 3 ... ,s − t )
n
n
+ 2A2 x+ + ... =An xn
B
A1x1
+ 2A2 x+...+
=An x0n
− =nA −122nA s+ ( + )+...A sn = n− )=A t n11n 22s + t...+ +( A s1n
A t0
At
B
B
,
es
es solución de S’.
91. Considera e l sistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos inc
ógnitas:
x + y = 1 x − y = 3 cuya solución es el par (2, –1). Sea S' el sistema que se obtiene al añadir a ax +by =c . Contesta razonadamente las siguientes preguntas.
S
una tercera ecuación
a) ¿Puede ser S' compatible determinado? b) ¿Puede ser S' incompatible? c) ¿Puede ser S' compatible indeterminado? a) Sí, siempre que la nueva ecuación sea combinación lineal de las srcinales, el sistema seguirá siendo compatible determinado, ya que los rangos de las matrices asociadas no cambiarán. Por ejemplo, el sistema
x + y = 1 x − y = 3 sigue siendo compatible determinado. x + y = 1 b) Sí, basta que la ecuación añadida contradiga una de las srcinales. Por ejemplo, el sistema
x + y = 1 x − y = 3 es x + y = 0
indeterminado.
c) No, si hubiera infinitos pares que verificasen las tres ecuaciones del nuevo sistema, los habría que verifican las dos ecuaciones srcinales, lo que no es posible, ya que la única solución de éste es la dada en el enunciado.
PROBLEMAS
92. Se tiene una pieza rectangular de cartón cuyo perímetro mide 148 cm. Para hacer una caja se corta un cuadrado en cada esquina y se dobla de modo que resulta la base de la caja con un perímetro de 100 cm y una de las caras laterales con un p erímetro de 72 cm. Calcula las dim ension es de la caja.
Sean x, y y z el largo, ancho y alto (en cm) de la caja respectivamente, es decir, de la pieza rectangular de dimensiones x + 2z e y + 2z recortamos un cuadrado de lado z en cada esquina. Las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal:
2(x +2z y+ +z 2=) 148 x y+ +z = 4 74 yx =+ ⇒ 50 2(yx +=) 100 zy =+ 2(zy +=) 72 36 Resolviendo el sistema obtenemos que las dimensiones de la caja son y z = 6 cm de alto.
106
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
x = 20 ⇒ y = 30 z = 6 = 30 cm de largo, x = 20 cm de ancho y
93. En una tienda venden camisetas de calidades baja, media y alta, a 5, 10 y 15 €, respectivamente. En una semana se han vendido 150 camisetas, lo que ha supuesto unos ingresos de 1450 €. Si se hubieran vendido 5 camisetas más de calidad baja y 5 menos de calidad media, habría coincidido el número de camisetas vendidas de estas calidades. Calcula cuántas camisetas se han vendido de cada clase. x: camisetas calidad baja
y: camisetas calidad media
z: camisetas calidad alta
Las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal: xyz++= 150 xy+z+= z+ = 2 3 5x 1+ y0 + z1 =5 1450x y+ ⇒ x +=y5− 5 yx −−= 10
Resolviendo el sistema obtenemos que se han vendido x
150 290
= 50 camisetas de calidad baja, y = 60 de calidad
media y z = 40 de calidad alta.
94. Juan y Pedro invierten 2000 € cada uno. Juan coloca una cantidad 5 %, y el resto , al 6 %. Pedro i nviert e la misma cant idad Determina la cantidad
B , sabiendo q
A
al 5 %, la
A al 4 % de interés, una cantidad B, al 6 %, y el resto, al 4 %.
B,
al
ue Juan ob tiene uno s int ereses de 10 5 € y Pedro d e 95 €.
Las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal:
−−= 0,04A +0,05+ B 0,06(2000 0,05A +0,06+ B 0,04(2000 −−=
A B ) +105= A B ) + 95
=
A0,01 B15 0,02 ⇒ A0,02 B15 0,01
Resolviendo el sistema obtenemos que B = 500 € (también A = 500 €).
95. Las normas de un juego establecen que cuando un jugador pierde debe repartir entre el resto de los ju gadores l a mitad de l o que tien e. Tres ju gad ores empi ezan a jugar con un to tal de 12 € y despu és de ju gar dos veces, en las que pierde distinto jugador, aca ban los tr es con la mis ma cantidad. ¿Con cuánto d inero empez ó a jugar cada uno d e los jugadores? Sean A, B y C los jugadores, siendo A el primero que pierde y B el segundo en perder. Sean x, y y z las cantidades con las que comienza cada jugador respectivamente. La siguiente tabla recoge las condiciones del enunciado:
Jugador
Jugador
A
Inicio
x
Y
1.ª partida
x 2
y+
2.ª partida
x
2
y
+
+
4
x 4
9x 16 4
=
+
y
y
+ 2
x 4
=
Jugador
B
C
z x
z+
4 y 2
+
x 8
x z+ + 4
x y+ =4+ 4
x
4 5x + 16
y
4
z
Obtenemos, por tanto:
x + y + z = 12 9x y y x + = + 16 4 2 8
x + y + z = 12 ⇒ 7x − 4y = 0⇒=
9x+ y x5= y+ + x z4z0 16 4 16 4
−
=x =4 €, y
7 €, z
1€
=
NOTA: Este problema se resuelve de manera mucha más sencilla razonando “hacia atrás”. Como el total en juego, 12 €, no cambia, al final cada jugador acaba con 4 €. Así, el jugador que perdió la segunda partida tenía antes de jugarla 8 €, y los otros dos tenían 2 € cada uno. Por tanto, el jugador que perdió la primera partida tenía antes de jugarla 4 €, y los otros dos tenían 7 € y 1 €, respectivamente.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
107
96. La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. El equipo campeón obtuvo 70 puntos en total, 3 puntos por cada partido ganado, 1 punto por los empatados y 0 puntos por lo s perdidos. Sin embargo, hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿C uántos partidos ganó, e mpató y perdió el equipo campeón? x: partidos ganados
y: partidos perdidos
z: partidos empatados
Observemos que cada equipo juega 40 partidos, 20 de ida y 20 de vuelta, por tanto, las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal:
x + y + z = 40 3x + y = 70 2x + y = 50 Resolviendo el sistema obtenemos que el equipo ganador ha ganado x = 20 partidos, ha empatado y
= 10
partidos y ha perdido z = 10 partidos.
97. En una fábrica producen tres modelos de automóvil. La capacidad de producción es de 6000 unidades cada mes. La demanda del modelo A es el triple que la demanda del modelo B y l a dema nda del modelo es la tercera parte de la demanda conjunta de los otros dos modelos. Calcula cuántas unidades de cada modelo debe producir la fábrica cada me s. x: unidades modelo A
y: unidades modelo B
C
z: unidades modelo C
Las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal:
x + y + z = 6000 x + y + z = 6000 x = 3y ⇒ x − 3y = 0 z = x + y − x− +y 3=z 0 3 Resolviendo el sistema tenemos que se deben producir x = 3375 unidades de A, y
= 1125 de B y z = 1500 de C.
98. La suma de las tres cifras de un número es 16 y la suma de la primera y la tercera cifras es
k veces la segunda. Permutando entre sí la primera y la tercera cifras se obtiene un número que supera en 198 unidades al número dado.
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita hallar el número dado. b) Estudia para qué valores del parámetro k el sistema tiene solución. c) Para k = 1 , determina el número de tres cifras que cumple las condiciones del enunciado. a) Si el número buscado es N = 100 x + y10 z + , las condiciones del enunciado nos llevan al sistema lineal: 16 zyx=++ + =xzky 100z +10y x+ = x100+y z 10 ++
108
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
zyx =++
= +−xkyz ⇒ 198 x z−+ =
16 0 2
1 1 1 1 1 1 16 . b) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 −k 1 y A* 1= −1k 0 −1 0 1 −1 0 1 2 A = 0⇒ 2 − 2−k0 = ⇒ 1=−k •
Si k ≠ −1 tenemos A determinado.
•
Si k
≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =3
= −1 , tenemos A ≠ 0 y rg( A) =2 , ya que el menor
1
1
−1 0
y el sistema será compatible
= 1 ≠ 0 . En cambio, rg( A) =3 , ya que al
ampliar el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes tenemos: 1 1 16 0 16 = 0
1 1
−1 0
≠
2
Por tanto, el sistema es incompatible.
c) Si k = 1 , resolviendo el sistema lineal del apartado a mediante el método de Gauss o de Cramer, obtenemos x = 3, y = 8 y z =5 , con lo que el número buscado es N = 385 .
99. Las edades (en años) de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones: La edad del padre es veces la del hijo . El dobl e de la edad del a buelo más la e dad del niño y más la del padre e s 182 años. El dobl e de la edad del niño m ás la del abuelo es 100. a) Establece las edades de los tres suponiendo que α =2 . b) Para α = 3 , ¿qué ocurre con el problema planteado? c) Siguiendo con α = 3 , ¿qué ocurre si en la segunda condición la suma es 200 en vez de 182? Sean x, y y z las edades respectivas del niño, el padre y el abuelo. Las condiciones del enunciado nos llevan al sistema de ecuaciones lineales: yx − + = 0 y x=
+ +z = 2 182 2z x+ y+ = 182 x y⇒ 2xz += 100 xz +2= 100
−α 1 0 −α 1 0 0 1 2 , A* = 1 1 2 182 2 0 1 2 0 1 1 00
y A =−
con matrices asociadas A = 1
+3 .
a) Si α = 2 tenemos A = 1 ≠ 0 , por lo que el sistema será compatible determinado y lo podemos resolver aplicando la regla de Cramer: 0
1
−2
0
182 1 2 x
=
100 0 1 A
= 18
y
=
0
−2 1
0
1
182 2
2
100 1 A
= 36
z
=
0
1
1 1 82
2
0 1 00 A
= 64
Por tanto, el niño tiene 18 años, el padre, 36, y el abuelo, 64.
b) Si α = 3 tenemos A = 0 y rg( A) =2 , ya que el menor
1
2
0
1
= 1 ≠ 0 . En cambio, rg( A) =3 , ya que al ampliar
el menor de orden 2 anterior con la columna de términos independientes tenemos: 1
0
0
1 2 1 82
=18 0≠
0 1 100 Por tanto, el sistema es incompatible, el problema no tiene solución.
c) En este caso, rg( A) sigue siendo 2, pero para determinar rg(A*) tenemos: 1
0
0
1 2 200
rg( *)A 2= =0 ⇒
0 1 100 Por tanto, el sistema sería compatible indeterminado, el problema tendría infinitas soluciones. En concreto, las soluciones serían x = , y = 3 , z=100 −2 .
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
109
100. Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bolígrafos se han pagado 22 €. Si se compran dos cu adernos, un r otulador y seis bolígrafos el cost e es de 1 4 €. a) Expresa, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costaría un rotulador. b) Calcula lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores. a) Sean x, y y z los precios respectivos de un cuaderno, un rotulador y un bolígrafo. Las condiciones del enunciado nos llevan al sistema:
5x +2 y 3+ z22= x y z 2 + +6 14=
.
Tomando el precio de un bolígrafo como parámetro obtenemos: 22 52xx ++2yy=14 = 6−3− z z ⇒ x=− + 6yz9 =, −z26 2 4
NOTA: Teniendo en cuenta que los precios deben ser positivos obtenemos además que b) Ocho cuadernos y tres rotuladores costarán 8xy+3= −8( z+ 6 +9 ) z−3(26 = 24 ) 30
2 3
13 . 12
€.
101. Se dispone de tres frascos q ue contienen una mezcla de tres sustancias
A , B y C. El primero contiene 80 g de A , 20 de B y 50 de C, el segundo contiene 40 g de A , 10 de B y 50 de C y el tercero contiene 40 g de A , 50 de B y 70 de C. Se quiere tener u na mezcla que con tenga 60 g de A , 40 de B y 70 de C. Calcul a qué parte de cada frasco se debe añadir a la mezcla.
Sean x, y y z la cantidad, en porcentaje, que hay que usar de cada uno de los tres frascos. Las condiciones del enunciado nos llevan al sistema:
Sustancia A: 80x + 40 y +40 z = 60 100 100 100 = 8x +4 y +4 z600 20x 10 y 50 z ⇒ Sustancia B: 100 + 100 + 100 = 40 52xx ++5yy+5+7 zz400 =700 = 50x 50 y 70 z Sustancia C: 100 + 100 + 100 = 70 Resolviendo el sistema obtenemos x
110
= 35 %, y = 17,5 % y z = 62,5 % .
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
PARA PROFUNDIZAR
102. Discute los sigui entes sistema s para los valores posibles de los
paráme tros
(a +2)x y+2 + z=2 b a) ax +y− =z − b 5 −x+ +(a 1)= z 5
ax + y = 1 c) 2x b+( +1) y +z =1 −x+b y+ z= b
(a +1)+x 5ay+ a= z −a b b) y −az =a b+ 3ay +(2 )−az b=
(a + 1)x +y + bz=a d) x + y = 1 − x− 3+y =2z 1
a
y b.
b a + 2 2 2 a + 2 2 2 a) Las matrices asociadas al sistema son A = a 1 −1 y A* = a 1 1 5− b− −1 0 a + 1 −1 0 1a +5
, con rango
máximo 3. A •
= 0⇒− a+2+ =a60 ⇒ =−2, a3=
Para a ≠ −2 y a ≠ 3 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A)
a
= rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es
compatible determinado para cualquier valor de b.
0 2
•
2 b 0 2 2 −1 y A* =−2 1 −1 −5 b . −1 0 −1 −1 0 1− 5
Para a = − 2 tenemos A = 0 , A = −2
El menor
1 0
1
−1 = −1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo −1
la columna de términos independientes: 2
b
2
−1 −b 5= − ⇒ b30 rg( = *) 3A 0 −1 5 1
si b ≠ 30 y rg( A* )
= 2 si b = 30
Por tanto, el sistema es incompatible si a = −2 y b ≠ 30 , y compatible indeterminado si a = − 2 y b = 30 .
•
Para a = 3 tenemos A = 0 , A
El menor
3
1
−1 0
b 5 2 2 5 2 2 = 3 1 −1 y A* =3 1 1 −5 b − −1 0 4 −1 0 4 5
.
= 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la
columna de términos independientes: 5
2
3 1
−1 0
b b5− = − + b 5⇒r g( *) =3A
si b ≠ 5 y rg( A* )
= 2 si b = 5
5
Por tanto, el sistema es incompatible si a = 3 y b ≠ 5 , y compatible indeterminado si a = 3 y b = 5 .
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
111
a − a + 1 5a a + 1 a5a a b 1 1 b) Las matrices asociadas al sistema son A = 0 −a y A* = 0 −a a + b , con rango 0 3a 2 − a 0 3a 2 − a b máximo 3. A
= 0⇒3 2a+3
+a22+0 a= ⇒ 1=−
•
Para a ≠ −1 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) determinado para cualquier valor de b.
•
Para a = − 1 tenemos A 1 El menor
a
= rg( A*) =nº de incógnitas =3
y el sistema es compatible
0 −5 −1 0 5 − 1− 1− − b ≠ 0 , A = 0 1 1 y A* 0 = 1 1 1 − + b . 0 −3 3 0 −3 3 b
1
−3 3 = 6 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo
la columna de términos independientes:
−5 − 1− − 1 b 1 1 1−+ =b−8 24 b⇒ rg( =*) 3A −3 3 b
si b ≠ 3 y rg( A* )
= 2 si b = 3
Por tanto, el sistema es incompatible si a = −1 y b ≠ 3 , y compatible indeterminado si a = − 1 y b = 3 . 1 0 1 0 1 a a , con rango máximo 3. c) Las matrices asociadas al sistema son A = 2 b + 1 1 y A* = 2 b1 +1 1 −1 b 1 −1 b 1 b A •
a3 0 ⇒ 3 =⇒ 0 −= = a
Para a ≠ 3 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) = nº de incógnitas =3 determinado para cualquier valor de b.
•Para
a3=
El menor
tenemos A = 0 , A 3
0
2
1
y el sistema es compatible
1 0 3 3 1 0 1 b1 +1 1 = 2 b + 1 1 y A* = 2 . −1 b 1 −1 b 1 b
= 3 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la
columna de términos independientes: 3
0
2
1 1
1 3= b rg( ⇒ *) A3
=
si b ≠ 0 y rg( A* )
= 2 si b = 0
−1 1 b Por tanto, el sistema es incompatible si a = 3 y b ≠ 0 , y compatible indeterminado si a = 3 y b = 0 .
a +1 1 b a +1 1 b a d) Las matrices asociadas al sistema son A = 1 1 0 y A* = 1 1 0 1. −1 −3 2 −1 −3 2 1 A •
•
Para a ≠ b rg( A)
= 0⇒ 2( −a= )b 0⇒ = a b
=rg( A*) =3 y el sistema es compatible determinado.
a 1 1 a a Para a = b tenemos A* = 1 + 1 0 1. −1 −3 2 1
El menor
1
0
−3 2
= 2 ≠ 0, con lo que rg(A) = 2. Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo
la columna de términos independientes: 1
a
a
1 0 1 2=2− a − −3 2 1 Por tanto, el sistema es incompatible si a ≠ − 1, y compatible determinado si a = − 1.
112
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
103. Se llama “eliminación de parámetros” al proceso inverso a la resolución de un sistema indeterminado: al eliminar los p arámetros se obti enen una o varias ecua ciones en las que sol o apare cen las incógni tas. Para eliminar los parámetros se busca la condici ón o co ndicion es que debe n verificar las inc ógnitas para que existan valores de los parámetros que permitan obtenerlas. Es necesario entonces obligar a que el sistema cuyas incógnitas son lo s paráme tros tenga solución. a) Elimina los parámetros s y t en las ecuaciones:
x = 2 + s + 2t y = 1− s + t z =− 1+ 2−s t b) Elimina los parámetros λ, µ y ν :
x1 = 1+ +µ x2 = 2 − x 3 = − 1−µ+ x4 = 2− +µ x = 2+ s+ 2t a) y = 1−s+t z =− +12 −s t
s + t x= − 2 2
− 2 s t −z = 1+ s⇒ −t +y=
1.
La matriz ampliada asociada al sistema con incógnitas s y t y parámetros x, y y z es:
A*
1 2 x − 2 1 y − , = 1−1 2 −1 z + 1
Y para que este sistema tenga solución el determinante de A * debe ser nulo, es decir, tenemos: A* 0 =⇒
− +5x 3+ y0 = z
x1 = 1+ + µ + µ= x−1 1 x = 2 − 2 − x= 2 2 b) ⇒ x 1 = − −µ + 3 −µ+ =x3 + 1 x 4 = 2− + µ − + µ= x4 − 2 La matriz ampliada asociada al sistema con incógnitas
A*
λ, µ y ν y parámetros x1,x2,x3 xy4 1 x1 −
2 0 −1 x 2 = 0 1−1 1 x3 + −1 1 0 2x 4 − 1 1 0
es:
,
Y para que este sistema tenga solución el determinante de A * debe ser nulo, es decir, tenemos: A* = 0
⇒ −x21 223−34x3 − x+ 0= x
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
113
104. La ecua ción genera l de una circ unferencia e n el plano se pu ede escribi r como: x 2 +y
Se tienen los puntos: A (1, 2), B (–1, 1), C(m , 0) y pertenezcan a una circunferencia.
+ ax+b y+ c= 2
D(0, m ).
0
Calcula el valor de
para que los cuatro puntos
m
Para que los puntos A, B, C y D pertenezcan a una circunferencia, el siguiente sistema con incógnitas a, b y c y parámetro m debe ser compatible, de hecho, compatible determinado, ya que 3 puntos distintos no pueden pertenecer a más de una circunferencia (hablamos de 3 puntos distintos debido a que C y D podrían coincidir si m = 0 ):
14+ +2+a +b0c=
2 a+ b+5 c =−
1 1 + − +a0 b+c =
2 m 2 +ma+c= m +mb+c=
0 0
−a+2b c+ =− ⇒ ma +−=c m mb +−=c m
2 2
Es decir, si las matrices asociadas al sistema son A y A * , con rango máximo 3 y 4 respectivamente, debemos tener rg( A) = rg( A*) = 3 . En particular el determinante de A * debe ser nulo:
− − 0 3m (2 =⇒ − m 0 1 −m 2 2 0 m 1 −m 12
•
Para m = 0 se tiene rg( A)
1
5
−1 1 1
2
)( m + =m1) 0
=rg( A* ) =3 , para ello basta observar que el menor 1
2
1
−1 1 1 3= 0 ≠ 0
0
1
Por tanto, los puntos A, B, C y D pertenecen a la misma circunferencia si m = 0 . Además, resolviendo el sistema, según el menor de orden 3 anterior podemos eliminar la cuarta ecuación, podemos obtener la ecuación de dicha circunferencia: a + 2b+ c=− 5 71 −=a−= b=⇒c, −a+ b+ c=− 2 ⇒ 33 c = 0 •
Para m = 2 se tiene rg( A)
Para m = − 1 se tiene rg(A)
7 1 y− xxy − = Ecuación de la+circunferencia: 3 3
2
2
0
1,
2
y xy+ x −− − = Ecuación de la circunferencia:
2
2
2
0
=rg( A*) =3 y resolviendo el sistema se obtiene l a ecuación de la circunferencia:
a + 2b+ c=− 5 , −a+ b+ c=− 2 ⇒−=a b−= c−1=⇒ −a+ c= − 1
114
0
=rg( A*) =3 y resolviendo el sistema se obtiene la ecuación de la circunferencia:
a + 2b+ c=− 5 , −a+ b+ c=− 2 ⇒−=a b−= c−1=⇒ 2a + c = −4 •
,
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
1,
2
y xy+ x −− − = Ecuación de la circunferencia:
2
2
2
0
105. Se considera el sistema: 2 x +k y − z2+ t= 2x −y +z2k = + + = 5 kx 2y t − x+ +y kz−t = k
a) Discútelo según los valores del parámetro k. b) Resuélvelo cuando sea posible.
1 k −2 1 1 k 2− 1 2 2 1− 2 0 k y A* = 2 1− 2 0 , con rango máximo 4. k 2 0 1 k 2 0 15 −1 1 k −1 −1 1 k −1 k A =⇒ 0 − k−2+ k 12 =⇒ 0 =− 4,k = 3 k
Las matrices asociadas al sistema son A =
•
Para k
≠ −4 y k ≠ 3 tenemos A ≠ 0 , con lo que rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas =4
y el sistema es
compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: 2
k
−2
1
k
−1
2
0
5201 x
=
k
k
1
=
2
k
2
k
5
0
−1 k
k A
k
1 2 k z
t
•
=
=
2
k
4
0 1
=
−1 k k−35k− +22 24k k− − 2 8 2 − 2= −−k+ k 12 + k 4
2
1
−1 k
0
2
−1
2 −1 k 4−k3 k − +12 k k −− 4 − 2= −−k+ k 12 +
2− 1
1 2
y
=
A
5
1 k A
1 2 −1 −k+ k+3 k 2 k +6k 2 = = −k−2+ k 12 + k 4
−2 2
1
k
2
−1
2
k
k
2
0
5
−1
1
k k k k−k + 24+ 3 6−2 k 13 k k+3 2−k + 12 = A +−k 2 k 12
+ 3 4 = k 4 +
1 4− 2 − 1 1 4 −2 − 1 2 2 1− 2 0 2 1− 2 0 4 Para k = −4 tenemos A = 0 , A = y A* = −4 2 0 1 −4 2 0 1 5 −1 1 4 1 − − −1 1 4 − − 1−4 −1 2 0 El menor
2 0 1 2 =0 1 −4 −1
− .
≠ , con lo que rg( A) =3 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes:
−4 2 − 1 2 −1 2 0 4 − 20
1 5
1 4 −1 4 Por tanto, rg( A)
−
= 112 ≠ ⇒0
rg( = A*) 4
−
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
115
•
1 3 2− 1 13 2 1− 2 0 2 −1 Para k = 3 tenemos A = 0 , A = y A* = 3201 3 2 −1 1 3 1 − −1 1 −1 2 El menor
2 0 1 3
2− 1 2 2 0 3 0
15
3
1 3−
.
0 1 9=0
≠ , con lo que rg( A) =3 .
−1
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 3 2 − 12 −1 2 0 3 2
0
1−3
1 3 Por tanto, rg( A) = rg(<=A*) indeterminación 1.
3
= 0 ⇒ rg( A*) =3
15
nº de =incógnitas
4
y el sistema es compatible indeterminado con grado de
Además, teniendo en cuenta el menor de orden 3 anterior, lo podemos resolver eliminado la primera ecuación, tomando x = λ y aplicando la regla de Cramer al sistema resultante:
−y+ 2z= − 3 2 2y + t= 5− 3 y + 3z− =t + 3 3 −2
λ2 0 λ0 1 3 + λ 3 −1
5 −3 x=λ
y
=
9
=
7 + 2λ 9
z
=
−1 3 2− λ0 2 5 3− λ1 1 3 + λ −1 9
=
17 − 8λ 9
−1 2 3 2 − λ 2 0 5 3− λ 1 3 3 + λ 31 31 − λ t= = 9
9
AUTOEVALUACIÓN Comprueba qué has aprendido
1.
Estudia cuántas soluci ones tiene el siguiente sis tema.
2 x + 4 y = 0 x y −3 = 2 − x+ 2y=− 1
2
4 2 4 0 −3 y A = 1 −3 2 . −1 2 −1 2 −1
Las matrices asociadas al sistema son A = 1
Como A * = − 6 ≠ 0 , tenemos rg( A* ) =3 . Como rg( A) decir, no tienen ninguna solución.
116
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
≤2 tenemos rg( A) ≠ rg( A*) y el sistema es incompatible, es
2.
Apli ca el métod o d e Gauss p ara reso lver l os si st emas:
x − 2y + z = 2 2 x − y − z = 1 a) − x + 2y = 0 3y − 2z = − 1
2x3−5 2y + z = b) 3 x − 4 y + z = 1
x− y2z +=2 x −yz2+= 2 2zyx −−= 1 yz 3 3−−=3 a) → −EE → 2 − =+y −x0 2 E=z→E +2E z32y 1−−= z32y−1−= 122 3
2x 3y z5 2 b) − + = 3x4zy− +=1
3.
3
1
x2y−z +2=
3−= y3 z 3 −
→ EE →z= 2 z 2 =
=3E4E
2 44
z 2x y →3− +5= 2 y z − 13−= 4
x −yz2+= → −→−= =
2x
3y3
z
=
z3
=2
2 y
1
z = 2
x → y ==−− ++54 17 13 z = λ
E2 → 2E2 − 3E1
Discute los sigui entes sistema s para los disti ntos valores del paráme tro y resuélvelos cuando sea posible:
−2+x 2+y = z 3 a) ax + 3y +z2 = 1 x −y a+ +( z 1)= 0
x −y + 2z= 0 b) 2x + y − z = 0 x − y +2z = 0
1 −2 2 −2 2 1 3 2 y A* = a 3 2 1 a) Las matrices asociadas al sistema son A = a 3 1 −1 a + 1 1 1− a1 0+ A
•
=⇒ 0 − 2 9a −2 −9 a=0⇒
a
3 2
Para a ≠ −3 y a ≠
− 32 tenemos A ≠ 0 , por tanto, rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:
x
=
y el sistema es
2
1
−2 3
1
−2
2
3
1
3
2
a
1
2
a
3
1
0
−1 a + 1
1
0
a +1
1
−1 0
A
=
7a + 12
−2a 2 − 9a − 9
y
=
A 1
2
Para a = − 3 tenemos A = 0 , A = −3
2 y A*
3
1 −1 −2
El menor
=3
3
−2
•
=−3, a =−
, con rango máximo 3.
2
1
3
2
=
−3a 2 − 5a + 3 −2a 2 − 9a − 9
−2 2 1 3 = 3− 3 2 1 1 −1 2−0
z
=
A
=
3 2a + 3
.
= 1 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 2 3
1 3 2 1
−1 −2 0 Por tanto, rg( A)
=−9 ≠0 ⇒ rg( *) =3A
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
117
1 13 −2 2 −2 2 3 3 . tenemos A = 0 , A = − • Para a = − 3 2 y A* = − 3 21 2 2 2 1 1 1 −1 − 1 −1 − 0 2 2 3
El menor
2
1
3
2
= 1 ≠ 0 , por tanto, rg( A) =2 .
Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 2 3
1 3
3
= ≠0⇒ rg( *)= 3A
2 1
.
2
−1 − 1 0 2
Por tanto, rg( A)
≠ rg( A*) y el sistema es incompatible.
b) Se trata de un sistema homogéneo y, por tanto, siempre será compatible.
λ −1 2 λ −1 , con rango máximo 3. 1 −λ 2
La matriz de coeficientes es A = 2
A •
Para
= 0⇒
2
−6 5+0 = 1⇒ , 5 =
=
λ ≠ 1 y λ ≠ 5 tenemos A ≠ 0 , por tanto, el sistema es compatible determinado. Su única solución es = y = z =0.
la trivial x
•
1 −1 2 λ = 1 tenemos A = 0 , por tanto, el sistema es compatible indeterminado y A = 2 1 −1 . 1 −1 2 1 −1 Para resolverlo observemos que el menor = 3 ≠ 0 , por lo que podemos eliminar la tercera ecuación
Para
2
y tomar z
1
=t : x − y = − 2t 2x y t ⇒ x=− + =
•Para
λ5=
t =y, 3
tenemos A = 0 , por tanto, el sistema es compatible indeterminado y A
Para resolverlo observemos que el menor ecuación y tomar z
2
5
1
−5
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
5 −1 2 = 2 5 −1 . 1 −5 2
= − 15 ≠ 0 , por lo que podemos eliminar la primera
=t : 2x + 5y = t ⇒ x=− x 5y − = − 2t
118
5t z=t , 3
t =y, 3
t z=t , 3
4.
Se tiene el sistema de ecuaciones lineales:
3 x − 5 y + z = 0 −2+x −y =2z 1 a) Halla el valor que debe tener m para que al añadir la ecuación x +my + z3=−
2 resulte un sistema compatible
indeterminado.
b) Añade una ecuación al primer sistema de modo que resulte un sistema compatible determinado.
3 −5 1 35− 1 0 , con rango 21− a) Las matrices asociadas al nuevo sistema son A = −2 1 −2 y A* = 2− 1 1 m 3 1 m 3 −2 máximo 3. Para que el sistema sea compatible indeterminado es necesario (pero no suficiente) que
= 0⇒ 4 1−m 2=0⇒ = 3 m
A
Para este valor de m el sistema es compatible indeterminado, ya que el menor rg( A)
3
−5
−2
1
= − 7 ≠ 0 , con lo que
=2 , y ampliando este menor con la columna de términos independientes tenemos: 3
−5
0
−2
1
1=⇒0=
1
3
−2
rg( *) A 2
b) Para que el nuevo sistema sea compatible determinado debe ser A ≠ 0 , es decir, m ≠ 3 , por lo que, por ejemplo, se puede añadir la ecuación x +3 z = −2 .
5.
En una tienda de alimentación se vende carne de tres calidades a 10, 15 y 20 € euros el kilo. La semana pasada se ve ndieron 150 kilos, obteniéndose unos ingresos de 215 0 €. Los ingresos o btenidos po r la venta de carne de ca lidad superior han sido k veces los obtenido con la calidad inferior. a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita calcular cuánta carne se ha vendido de cada tipo. b) Determina si hay algún valor de k para el que el sistema no tenga solución. a) x: kg de carne de calidad superior
y: kg de carne de calidad media
z: kg de carne de calidad inferior
Las condiciones del enunciado nos llevan a plantear el sistema lineal: xyz++= 150 150 xyz++= y +z 10 z+4 = 3 2 430 = 2150x y+⇒ 20x +15 20x10 = kz 2 xkz 0 − =
b) Para que el sistema no tenga solución es necesario (pero no suficiente) que el determinante de la matriz de coeficientes sea nulo: 1 A
1
1
= 0⇒ 4 3 2 0 = ⇒2−0= ⇒ k =2 2 0 −k
k
Para este valor de k el sistema no tiene solución, ya que el menor 1 4
1 3
= − 1 ≠ 0 , con lo que rg( A) =2 , y
ampliando este menor con la columna de términos independientes tenemos: 1 1 150 4 3 2
0
430
=−40 ≠ ⇒ 0 rg( =*) A3
0
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
119
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta co rrecta en cada caso 1.
El sistema de ecuaciones
x + 2y − z = 1 2x − y + 2z = 0 − x+ ky− =z3 1
A. Para k ≠ 2 es incompatible.
C. Es siempre compatible.
B. Para k = 3 es incompatible.
D. Es siempre incompatible.
1 Las matrices asociadas al sistema son A = 2 −1 A
2 −1 1 2 1−1 −k1 −23 y A* = 2−11 2−k 0−3 1 , con rango máximo 3.
=⇒ 0 − 4 +k12=0⇒
=3 k
Para k ≠ 3 tenemos A ≠ 0 , rg( A) = rg( A*) = nº de incógnitas =3 y el sistema será compatible determinado.
Para k = 3 tenemos A = 0 , A rg( A)
1 2 −1 1 2 1−1 = 2 −1 2 y A* = 2 1 2− 0 −1 3 −3 −1 3 3− 1
. El menor 1 2 = −5 ≠ 0 , con lo que 2 −1
=2 . Para determinar rg( A*) ampliamos este menor añadiendo la columna de términos independientes: 1 2
−1 Por tanto, para k = 3 tenemos rg( A)
2
1
−1 0 = ⇒ 0 rg(=*) A2 3
1
= rg( A*) =nº de incógnitas =2 y el sistema es compatible indeterminado.
Es decir, la respuesta correcta es C.
2.
En un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas se sabe que el rango de la matriz ampliada es 3. Entonces: A. El sistema es compatible y determinado. B. El sistema es compatible indeterminado. C. El sistema es incompatible. D. Si A es la matriz de los coeficientes rg( A) =2 o rg( A) =3 . Sabemos que rg( A*)
= rg( A) o rg( A* ) =rg( A) +1 , por tanto, D es correcta.
Además, si fuera rg( A*) = rg( A) el sistema sería compatible determinado y si fuera rg( A* ) =rg( A ) +1 incompatible, por lo que B nunca se cumple, mientras que A y C no siempre se cumplen.
3.
sería
Si a un s istema compatible y determinado se le añade una e cuación. El nuevo si stema: A. No puede ser compatible y determinado.
C. No puede ser compatible indeterminado.
B. No puede ser incompatible.
D. Necesariamente es compatible y determinado.
El nuevo sistema puede seguir siendo compatible y determinado, basta añadir una ecuación que sea combinación lineal de las srcinales. Por tanto, A es incorrecta. También son incorrectas B y D, basta añadir una ecuación que contradiga a las srcinales para que el sistema sea incompatible. En cambio C es correcta, si el nuevo sistema fuera compatible indeterminado, infinitas soluciones verificarían sus ecuaciones, en particular verificarían las ecuaciones srcinales, con lo que el sistema srcinal sería compatible indeterminado.
120
Unidad 9| Sistemas de ecuaciones lineales
Señala, en cada caso, las respuestas correctas 4.
2x + y + z = 1 Las solucion es del sistema pueden ser: x − y + 2z = 2
A. x = 1− , y 1= −, + B. x = , y =1 +,
1z
z=
C. x = , y = − , z =1−
=−
D. Todas son ciertas.
Sustituyendo los valores dados de x, y y z en las ecuaciones del sistema verificamos que las respuestas correctas son A y C.
5.
Se tiene un sistema de ecuaciones S y el sistema homogéneo S' en el que los coeficientes de las incógni tas son iguales a los de S, ambos con el mismo n úmero de ecua ciones que de incógnit as: A. B. C. D.
Si S es compatible y determinado, S' solo tiene la solución trivial. Si S es incompatible, S' tiene soluciones distintas de la trivial. Si S es compatible indeterminado, S' solo tiene la solución trivial. Si S' tiene soluciones distintas de la trivial, S es compatible indeterminado.
Como ambos sistemas tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y comparten la matriz de coeficientes tenemos que S es compatible determinado si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo, es decir, si y solo si S’ es compatible determinado, es decir, si y solo si S’ solo tiene la solución trivial. Por tanto, las respuestas correctas son A y B.
Elige la rela ción correcta entre las dos afirmaciones dadas 6.
En un si stema de ecuaciones: 1. El sistema es compatible y determinado. A. 1 ⇒ 2 pero 2 ⇒ 1
2. La matriz de los coeficientes es cuadrada y regular. C. 1 ⇔ 2
B. 2 ⇒ 1 pero 1 ⇒ 2
D. Nada de lo anterior.
Sean A y A * las matrices asociadas al sistema. Si la matriz de coeficientes, A, es cuadrada de orden n y regular, tenemos rg( A)
= rg( A*) =nº de incógnitas = n y,
por tanto, el sistema es compatible determinado, es decir, 2 ⇒ 1 . En cambio, si el sistema es compatible determinado tenemos rg( A) = rg( A*) =nº de incógnitas , pero esto no implica necesariamente que A sea cuadrada (ni, por tanto, regular), basta considerar como contraejemplo el sistema de 3 ecuaciones y 2 incógnitas compatible determinado (con solución x = y = 1 )
x + y = 2 x − y = 0 x = 1 Por tanto, la relación correcta es B.
Señala el dato innecesario para contestar 7.
Se tie ne un sis tema de e cuaciones con tres incógn itas en que la matriz de los co eficientes es A y la matriz ampliada es A * . Se quiere saber si el sistema es compatible o no y si es determinado o no y se tiene la siguiente información: 2. rg(A) =3
1. Tiene cuatro ecuaciones. A. El dato 1 es innecesario. B. El dato 2 es innecesario. De 2 y 3 se deduce que rg( A) el dato 1 sería innecesario.
3. rg( A* ) =3 C. El dato 3 es innecesario. D. Falta información para contestar.
= rg( A*) =nº de incógnitas =3 , con lo que el sistema sería compatible determinado y
En cambio, 1 y 2 no bastan para discutir el sistema, ya que podría ser rg( A* ) =3 (compatible determinado) o rg( A* ) = 4 (incompatible). Análogamente, 1 y 3 no bastan, ya que podría ser rg( A)
=3 (compatible determinado) o rg( A) =2 (incompatible).
Por tanto, la respuesta correcta es A.
Sistemas de ecuaciones lineales | Unidad 9
121
PRUEBA I SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1 −1 Consid era la matriz A = . 1 a
1.
a) Calcula la matriz
B
= A2 − 2A.
b) Determina para qué valores de a la matriz B tiene inversa. c) Para a = 1, calcula si es posible A−1 y B−1. 1 1−1 1− 1 1− 0 1− − 2− 2 − 2a − 1 a) B =−= A2 2A − = 2 − = 2 1 a1 a 1 a a 1 1a +22 a−+ 1 a 1 a a2 −+ −+ −
b)
B
a 2
tiene inversa si el determinante es distinto de cero.
B
1− a −2 =− aa 2−( −a2 a−2− +a1a) −( =− 1+)a( +a1=) → =− 2=2 3 0 −1+ a − + 1 − a 2 2a
=
Por lo tanto, B tiene inversa si
a ≠ 3,
1,
3
−1.
1 − 1 −2 0 c) Para a = 1, A = y B = 0 − 2 1 1 Para hallar la inversa de A y B se aplica el método de Gauss - Jodan: 1 1− 1 0 → 021 101
1 1 1 0 − → F2 → F2 −F1
( A | I2 ) =
1
Por tanto A−1 = 2
− 1 2
−
FF F 121 →
+
1 2
1 =1 0 2 11 F2F2 0 2 1−1
1 2
→
1 2
1 1 0 2 0 1 − 2
1 2 2
( I 2 | A −1 )
1
2 1
2
1 0
(B |
I
→
−2 0 1 0 2) = 12 − 00
→1 B
F →− 2 F 10 i
−
1
i
0 =(2| − 2
1 2 0
I
−1
)
− 1 0 Por tanto B = 2 0 − 1 2 −1
2.
Sabiendo que el valor del determin ante 0
1
a) 3x 2y
3
z
6
6
a)
8
30 3x2y
1 z
6 8 6
0
z 1
2
4
6
es igual a 1, calcular el valor de los determinantes: 2+ x 3
1 0 1 6 x= y z
x
z
F1 ↔F2
3C1
22C24 6
7
y
4+y 6+z y3 1 z − 4 7
−==1601 6 −= 246
−F3 F1F1 →
3
4
−
7
x
y
− 1 x −y1z − 1 x −y1z = 2 0 2 2 1= 0 1 F1F → 2F2
z
= 2 1 0 1 2= 2 4 6
122
y
1
b) 3x −1 3
2 + 4x +y6z+ − 1 x y− 1z b) 3x 1− 3y z3 −=1 − x3 −=1y3z 3 1 34
x
Bloque II Números y Álgebra
3 4 7
F2
3
3 4 7
+ F2 F1 F1→
2
F3 →F3 −F1
3.
Dadas las matric es:
−42
2 m =m, −211 1
B= =0,X
A− = 1
− −
0
x
,0 0
y
0
z
Se pide: a) Estudia el rango de A según los valores de
m.
b) Calcula el determinante de la matriz A20. c) Para m = −2, resuelve el sistema AX = 0. d) Para m = 0, resuelve el sistema AX = B. a) Como F1 = 2F3 A = 0 ∀m ∈ y rg(A) < 3
−2 4 =− 2m + =4 0 ⇒ =2m −1 m Si m = 2,
b)
A2 0
= A
. Si m ≠ 2, rg(A) = 2.
−2 2 = − 2 ≠ 0 , rg(A) = 2. Por tanto rg(A) = 2, ∀ m ∈ −1 2 20
= 200 = 0
c) Se trata de un sistema homogéneo y el rg(A) = 2 < n.º de incógnitas, luego es un sistema compatible indeterminado. Como E3 =
−2+x4y+2z =0 −x−yz=2 2 0
−x− y2−z2=0 → − +xE+yE z2↔= 4 2 0
−x−y 2z− 2= 0 → yz+ =8 6 →0
E E 1E 22
21
−2 4 2
d)
1 E1 , puede eliminarse la tercera ecuación. 2
Para m = 0, A* = −1 0 0
−1 2 1
−2
− →=
x = − 1 λ 2 3 y 4 z =λ
2−
. Se observa que F1 = 2F3 y por tanto trata de un sistema compatible 1 −
0
indeterminado. z −2x+4 +y2 =−2 =− x 0 → − x+ 2y+ =z− 1
E1 = 2E3
x = 0 →= −x+ 2y+ =z−
x = 0 − − 1 y 1 2 z = λ
Bloque II Números y lgebra
123
4.
a) Sean A y B matrices 2 x 2. Determina dichas matrices sabiendo que verifican las siguientes ecuaciones: −42 − 34 −
A +=3B
− −
13 2A 11B
= −
−
b) Sean C y D las matrices: C
1 1 = 10
22 y D = 01
Determina el determinante |5( CD)−1|, donde (CD)−1 es la matriz inversa de (CD).
− 3 9 a) Se multiplica por 3 la segunda ecuación: 6A − 3B = −3 − 3 Sumando ambas ecuaciones: 7A =7 −7 0 7−
→1 A1= − 0 1 −1 − 1 Y sustituyendo en la segunda ecuación: B = 1 − 1
) −15=( )2 CD 2=5− 1 b) 5 (CD
1
==
2 5
CD
−=
25
CD
x + 3 y+
5.
−
25 (−1) 2 ⋅ 2=z −
Dado el sist ema de ecuacion es 2 x 4+ y5 + z =k2−
2
1
, donde
x +k y2 z+ 3 k= 2
k
es un parámetro real se pide:
a) Discute razonadamente el sistema según los valores de k. b) Obtén razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, todas las soluciones del sistema cuando k = −1.
c) Resuelve razonadamente el sistema cuando k = 0. a)
1 3 2 1 − La matriz ampliada del sistema es A* 2 = 4 5 2 k− 2 3 2k 1 k
Se estudia los valores de k para los cuales el determinante de A es 0: 1 3 2 A = 245 =− 1+0k=2 → =±1 k 1 k2 3 Para k ≠ ± 1 , A ≠ 0, luego rg(A) = rg(A*) = número de incógnitas. El sistema es compatible determinado.
Para k = 1,
A*
1 3 2 = 2 4 5 1 1 3
−1 1 −1 . Como el menor 2 2
3 4
≠ 0 → rg(A) = 2.
Para calcular el rango de A* añadimos al menor anterior C4 y F3: 1
3
1
−1 1− =4− 0≠
2 4 1
, por lo que el rg( A*) = 3
2
Como rg(A*)
≠ rg(A),
el sistema es incompatible. 1−
1 3 2
Para
k
= −1, A* = 2 4 5
1 1 3
compatible indeterminado.
124
Bloque II Números y Álgebra
3
− 2−
. Como
F3
=
F2
–
F1 ,
rg(A*) = rg(A) < nº de incógnitas = 3, el sistema es
b)
x + 3y+ 2=z− 1 =z−3 . x + y+ 3z=− 2
Para k = −1, el sistema compatible indeterminado será 2x4+ 5 y+
y3 z+2 − =1 x + 24xy5z+ 3 + =− yxz++−= 3 2
x y+z 32 + −=1 →2 zy 1− + =− 2 EEE−22→ 1 E3 → E3 − E1
− −+=zy2
1
−5 − 7λ x = 2 1+ λ 2 z = λ
x y z+ 3 2+ 1−=
→ 2 zy 1− y + =− → = E EE − → z 323 = = 00
x + 3y+ 2=z− 1 c) Para k = 0 el sistema es compatible determinado es 2x +4 y5+ =z2− y podrá resolverse aplicando la regla x + 3z = 0 2
de Cramer. Como A = 0 + 1 = 1 1 −1 2 2 −2 5 0 0 3 1 0 3 =− − +6 +5 =−4 6 −= + =1 2 1 8 6 , y = 1 1
−1 3 2 −2 4 5 x
=
1
, z=
1
3
2
4
−1 −2
1
0
0
1
=− + =−6 4
2
Bloque II Números y lgebra
125
PRUEBA II. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Para que un prod uct o AB tenga dimensión 2 x 3 se dan las siguientes condiciones: 1. La matriz A debe tener dos filas. 2. La matriz B ha de tener tres columnas. 3. El número de colu mnas de la matriz A es igual al nú mero de filas de la matriz 4. La matriz B tiene una fila de ceros.
B.
Señala cuál de l as sigui entes c ondicio nes puede eliminarse. A. Puede eliminarse el dato 1. B. Puede eliminarse el dato 2.
C. Puede eliminarse el dato 3. D. Puede eliminarse el dato 4.
Solución D
2.
Si
B
es la matriz
0 = 0 0
B
0
2
= 0
1
1
0
1
0 0 0
0
1 1
, la matriz
0 0 0
B
3
0
0 0 B . B3 = 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0
A . B3 = O
B
1 0
es:
1
0
C. B3 = B
0
0 0
B
3
D. B3 = I
0 1 1 0 0 0 0 0 1 = 0 0 0 = O 0 0 0 0 0 0 0 0 0
= 0
0
1
0
Solución A a
3.
Sabiendo que la matriz
1. Si A. B. C. D.
ac
=0y
a
A
= 2
1
00 ó c
0 5 4
0
0 tiene rango 2, analiz a si l a información es sufici ente para contesta r c
2. Si
a
0
2
5
0
Cada afirmación es suficiente por sí sola. 1 es suficiente por sí sola, pero 2 no. 2 es suficiente por sí sola, pero 1 no. Son necesarias las dos juntas.
La afirmación 1 es suficiente por sí sola, pero no 2. Obsérvese que 2 es insuficiente pues a
2
126
a 0 ≠0⇒ 2 5 1
0
0
5
0 puede ser distinto de 0, bastaría que c ≠ 0. Solución: B
4 c
Bloque II Números y Álgebra
x a−b
4.
Dada la ecuación
−a
b x b c−
c c
a
−b
= 0, señala las respuestas correctas
x ac
− −
A. x = 0 es una solución. B.
x
C. x = a + b + c es una solución. D. x = b − c es una solución.
= a + b + c es una solución.
bax −a
− b c
x a
x bc−−
c
a
1
a
0
x− b− c −a
0
0
b
=
b xac
a
x x−b−c
+C3 C2 + C1 C1 →
−−
x
a
b
= x x−− bc −− a
b xac
1
= xac − − b
−1F
1
F 2
1
→F2
F3 →F3 − F1
b xx=a b (−c− − =0) ⇒ 0x,
b xa − c b−
= x a=2b+ +c
−
Solución A y C
5.
Halla un número de tres cifras, tal que la suma de sus ci fras es 9 , la cifra de las decenas sea la media aritmética de las otras dos cifras, y que si se invierte el orden de las cifras, la diferencia entre el número obtenido y el inicial sea 396. A. 432
C. 234
B. 126
D. 531
x+y+z=9 y=
x+z
2 100x +10y z+ − 100 z − y x− 10=
9x = x y+z+ = 0 z yy⇒ x − += N⇒= ⇒2= x−z = 4 396
5 531 z =1
3
Solución D
6.
Consideremos un sistema de cinco ecuaciones lineale s con tres incógnitas. Sea A la matriz de coeficientes y A * la matriz ampliada . Indica cuál o cuáles de las sigu ientes afirmaciones tiene un dato innecesario para poder compro bar que el sistema es compatible determinado: 1. rg( A ) = rg( A *) = 3 = número de incógnitas 2. rg( A ) = 3, rg( A *) = 3 3. Solo hay tres ecuaciones linealmente independientes y, además, rg( 4. rg( A ) = rg( A *), existe un menor M de orden 3 perteneciente a
A)
= rg( A *).
A, tal que |
M|
0, rg( A *) = 3
A. En 1 hay algún dato innecesario.
C. En 3 hay algún dato innecesario.
B. En 2 hay algún dato innecesario.
D. En 4 hay algún dato innecesario.
La única respuesta que no tiene ningún dato innecesario es que rg A = 3; rg A* = 3. Solución A, C y D
Bloque II Números y lgebra
127
10 Vect ores EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Ejercici o resuelto .
2.
Indica dos ve ctores equipolentes para cada uno de los siguientes
CB , MH
y AC :
Vectores equipolentes de CB : KA , DO , LJ , EN , FP , MI y GH .
Vectores equipolentes de MH : LP y DN .
Vectores equipolentes de AC : JD y PE .
3.
Expresa GH y
JK
en función de
OA , OB
y
OC .
15 5 15 1 GH =G E + E+ L= LH + CE − = EF + OC − =OB + OA− OC OA 2 6 2 6 6 2
JK =J M+ M+O +OC−= CK−
4 y 5.
128
Ejercici os resuelt os.
Unidad 10|Vectores
5 2 11 1 = OC − + OB OA OA 2 6 3 2
+OA+ 6
OB OC
OB OC
6.
Escribe , si es posible, el vect or u w 1,1,2 . Se debe intentar calcular
5, 1, 22
y
−( , )+3µ ) 0,1
1,1,2
−5 = µ − = + µ es compatible, se podrá escribir u como combinación lineal de v y w . 1 −22 = −3 +2 µ
En este caso se obtiene la solución
7.
0,1, 3
λ y µ tales que u = v + µw .
( −5,− 1−, 22 ) =( Si el sistema
como combina ción linea l de los vectore s v
=4, µ = −5 y, por tanto, u = 4v − 5w .
Compru eba, en cada caso, si los vector es
u,
3
v y w forman o n o una base de V :
w = ( 0, −3,0 ) a) u = ( −3,4,2) , v = ( 2,1, −3 ) , s
b) u = (1,3, −2 ) , v = ( 2, −2,2 ) , w = ( −5,17, −14 )
c) u = ( 4,8, −8 ) , v = ( 3,0, −10 ) , w = ( −3,0,3)
a)
−3 2 0 1
b)
c)
8.
4 2 1 3− =−12 +27 =15 ≠ 0⇒ −3 0 3
2 −2 −5 1 7
Sí forman base.
−2 2 = 28− 6−8 +30−2 0 + 34 = ⇒84 0 14 − −8 −10 = 240+ 7=2 312 ≠⇒ 0 −3
4 8 3 0 −3 0
No forman base.
Sí forman base.
Calcula las coo rdenadas del vector a
7, 13,8
en la base
u
2, 4, 4 , v
Se debe comprobar que, efectivamente, u, v y w forman una base de V 2 0 −9
w 9, 9,6
.
:
−4
4 0 2− = −72 −36 =− 108≠ ⇒ 0 −9 6
( −7,− 13,8 ) =( 1 −9 −4 9− 1 4 2 −6 1
2
3
0,0, 2 ,
)1−2,( 4, ) +4
+) ( −0, 2 0,
Sí forman base.
2
−−
⇒ 9, 9, 6 3
= 7− 3 13− ⇒ Resolviendo el sistema se obtiene su única solución λ1 = 1 , λ 2 = 1 , λ3 = 1 . 3= 2 +8 3 =
Por tanto: a u= v w+
+
Las coordenadas de a en esta base son (1,1,1) .
Vectores | Unidad 10
129
9.
Calcula u
i
las
coordenadas
2, 4, 4 , v
0,0, 2 ,
de
los .
w 9, 9,6
= (1,0,0)
j
vectores
de
= ( 0,1,0)
k
la
1 u
6
1
+ v− 9
27
0 = 2 1 − 9 3 ⇒ 4 =1−9 2 − 3 ⇒ 0 =4 2 − 6 + 1 2
13 1
,=
=, −
1 6
=−
1
2
9
27
=, −
1 6
4
=−
9
1 27
3
0 = 2 1 − 9 3 ⇒013 =4−1 92 − 3 ⇒ 0,= 1 =4 2 − 6 + 1 2 3
=− ,
0=
1 2
1 v.
2
10. Calcula el valor o valores de a, si es que existen, para que u
= ( 2, a,3 )
v
= (1,2,a )
u,
v y w sean linealmente dependientes. w = ( 5, −2,4 )
Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado con sus coordenadas debe ser nulo. 2 a 1 2 5 −2
3 = 6−5+ a 30 − 24+aa4 a− 0= 5⇒ a 16 4
Luego los valores de a son 2 y −2.
11 a 13. Ejercic ios r esueltos .
130
Unidad 10|Vectores
base
1 4 1 −u − v w. 6 9 27
−( 2+) (0,0, 23 −) + 9, − 9,6 − ( 0,0,1 ) ( = 1)2, 4,4
Por tanto, ( 0,0,1) = −
la
2 w .
−( 2 )+ 0,0, ( 0,1,0 ) ( = 1)2, 4,4 ( 23 −) + 9,−9,6−
Por tanto, ( 0,1,0) =−
en
.
1 = 2 1 − 9 3 ⇒ 013 4=− 19 2 − 3 ⇒ =, 0 =4 2 − 6 + 1 2 3
− (1,0,0 ) ( = 1)2, 4,−( 4 2+) 0,0, ( 23 −) + 9,− 9,6
canónica
= ( 0,0,1)
2 −4 4 u , v y w forman base porque 0 0 2− = −72 −36 =− 108≠ 0 −9 −9 6
Por tanto, (1,0,0) =
base
− a0=a ⇒ 2=2, 20
=− 2
14. Dados los vector es u
2, 2,4
y v
1, 2,3 calcula:
a) ( 2u +3v() 2u⋅ 3)v −
b) (u v+ 2)( ⋅u −v)3( + 3u )(+v ⋅ 3u −v2) c) (u v− 2)( ⋅u v+ )3( − 3u −v)( ⋅ 3u +v2)
a) ( 2u +3v() ⋅ u2−)v 3=
−(4, +4,8 −)−(
⋅3, ) 6,9 )= ( − 3, 6,9 (− −)−( −4, 4,8 ()⋅ −) =1,− 10,17 7,2, 1
30
b) (u v+ 2)( ⋅u − v)3( + 3u +)(v ⋅ 3u−v2) =
= 2, − 2,4 +− − 2,⋅4,6− −−2, − 6,9+−− 6,⋅ 6,12 − −2,4 + 3, )( )( ) ( )( ( ) ( )( ) ( 74 146 72 = ( 0, − 6,10 ⋅ −8,15 = (⋅) −5,4, )(+ −5 () 5, ) =− +8, 2,6
−−1,− 2,3 = 6, 6,12 )
2, 4,6
+)−1,− 2,3 = 6, 6,12
2, 4,6
c) (u v− 2)( ⋅u +v )3(+ 3u −v)( ⋅ 3u+v2) =
= ( 2, − 2,4 )(−− − 2, ) ⋅(4,6− )( +−2, −2,4 ) ( −
3, −)( 6,9−−)−( 6,⋅ 6,12 )(−
= ( 4,2,− ()2⋅− − 1,)(−8,13 − () ⋅ 7, − 4,9 − 10,18 − =− ) =4,
46 230
276
15. a) Comprueba si los vectores u = (1, −2,3 ) y v = ( −4,1,2) son o no perpendiculares.
b) Calcula un vector perpendicular a u = ( 2, −2, −2 ) cuya primera coordenada sea 0.
⋅)(− a) u ⋅ v= (−1, 2,3 b)
=− − + 4= 2⇒ 6 0 )4,1,2
Sí son perpendiculares.
(0,1,−1) .
16. Calcula, en cada caso, el valor de la incógni ta para que los vectores
a) u = ( 2 x, −1,5 )
v
b) u = ( 2 x+ −1, 3,− x 1 )
v
0x 2(−,x1,5 −x)1=2 a) vu ⋅ = ⇒ x ⋅() , +x1,
⇒ =x
1 ± 1 + 48 4
=
= ( x, x +1, −1 )
4
d) u = (3 x, −1,4 x +2 )
v
= ( x + 3,1, −4 x ) = ( x − 3,3, −3 x )
2
3
2, x
v
− − −1x=5x2⇒0 2 − − = 6⇒0
b) vu ⋅ = ⇒0 x2 +( −1,3,x − 1⋅ 1,,x(x) x=)2 + 1 3x−x +x−
c) u = ( 2x, x−x, 2+ )
= (1, x, x )
1± 7 ⇒ = −= x
u y v sean perpendiculares.
2 x= ⇒ 0 x − + 2x= 21⇒ 0
0 x 2(−, x,x c) vu ⋅ = ⇒ + 2⋅(x )+ 3,1, −x )4=x x2x+ x −6x−
=
2
=
−24 x= 8⇒ x− 0 − 22= ⇒3 0
2± 4−4 2
1 2
3
⇒ x −(x 2− 3= )0⇒x =x 0,=−
−3( , 1,4+ x⋅(2−) x −3,3, x) x=3x −3−x x−9 3−2 x12=x⇒−6 −0 2−9= ⇒15 3 0
x0 d) vu ⋅ = ⇒ x
=
2
−+5 1 3 6
−− 5 ,x =
2
13 6
Vectores | Unidad 10
131
17. ¿Existe algún valor de m para que los vectores perpendiculares? ¿Y paralelos?
u
1 mi j k
2
y
v
2i m j k
sean
Si existe algún valor de m para que los vectores u y v sean perpendiculares, entonces su producto escalar ha de ser cero.
vu ⋅
0 2+m 2m − −2 0=m⇒ 0= = ⇒
Si existe algún valor de m para que los vectores u y v sean paralelos, entonces debe cumplir: 1+ m 2
=
1
−m
=
−2 1 .
Luego: 1+ m 2
=
−2 ⇒ m =−
5
1
1
y −m
=
−2 1
⇒m=
1 2 .
Por tanto, no existe un valor de m para que los vectores u y v sean paralelos.
18. Calcula el valor de u v sabiendo que
2
u+ v
vu ⋅=
2
2
2
+v
u
vu ⋅=
2
u− v u−v
2
2
u
45 y u v
v
2
− 2 ⇒ u+ v =u+v −vu⋅
2
2
2
2
− 2 ⇒ u +v = vu⋅+uv−
2
2 2 2
2
2
⇒ 2
⇒ u+ v − u⋅ v2= u⋅ v+ u2− v ⇒ u+ v − u− v = u⋅ v
(
45
)
2
2
− vu−
= ⋅410 ⇒ vu−
10 .
4
vu − = = 45 − 40= 5⇒
5
.
19. Sean u y v dos vectores ort ogonales de módulos 4 y 3, re spectivamente. Calcula el módul o de u v y de u v . u −v
2
2
2
u +v
=u− (v u⋅ )(−v = )u − ⋅uv +v =u+ (v u⋅ )(+v = )u + u⋅ v +v
u y v ortogonales
132
u v+
u=v+ u ( v ⋅ u)(+ = uv) v + ⋅
2
u=v− u ( v ⋅ u)(− = uv) v − ⋅
Unidad 10|Vectores
2
2
. .
⇒ u ⋅v = 0 .
uv−
2
2
2
2
+
2
+
2
2
= +2 + = ⇒ u v16+ 0=9 25 = 2
= 2− + = u⇒ v16−0 = 9 25 =
25 5 25 5
20. Los vector es
y v definen el paralelog ramo de la figu ra. Se sabe que:
u
=5
u
u ⋅v
= 13
v
= 15
a) Expresa los vectores que definen las diagonales como combinación lineal de u y v .
b) Calcula la medida de las dos diagonales.
a) D = u + v
d
2
u+ v
2
u− v
b) v u ⋅ = 2
2
+v
u
u−v 2
2
−
2
vu⇒ u v+v u =
2
vu ⋅ =
2
−
= u −v
2
2
+ + ⋅ = + + D= 2⇒ = 25 13 30 68
vu⇒ u v−v u =
2
2
2
+ − ⋅ = + −d = ⇒ 2 = 25 13 30 8
68
8
21. Desarrolla y simpli fica la s siguientes expresiones. a) (u −v)( u⋅ )v −
b) 4u ⋅ ( 2u − v )
c) ( 2u − v3() u⋅ )v + d) (u +v)( u⋅ v) −
2
2
a) u −v = u− (v u⋅ )(−v = )u − ⋅uv +v
b) 4u2⋅ (u −v =4⋅)u2 u4− u⋅v=8 u4− u⋅ v
2
2 2
2
c) ( 2u3 − v() ⋅u+) v 2= u2u⋅ + u 3v ⋅ −3v ⋅u −2 v⋅v2= u⋅3u+ u3⋅v− 2u⋅v− v⋅v= 3 u − u⋅ v− v
d) (u v+ )( ⋅ u v−) =u ⋅u −u ⋅v +u ⋅v −v ⋅v = u − v
2
2
2
22 a 25. Ejercic ios r esueltos .
26. Calcula e l ángulo que forma n los ve ctores u
cos
=
u ⋅v
u
= ⋅v
−+ +2 2 0 =⇒= +2 2⋅ + 2 2+ 1
0
y v
2, 2, 0
2 , 2, 1
.
= a rccos0 90º .
Los vectores son perpendiculares.
Vectores | Unidad 10
133
27. a) Calcula todos los vectores unitarios que sean paralelos al vector x i= 4 j+ 4k − 7 .
b) Calcula todos los vectores que sean paralelos a AB = (1, −4, −8 ) y que tengan por módulo el triple que el
módulo de AB .
a) Todos los vectores paralelos a x son de la forma ( 4 ,4 , 7 − ) .
Obligando a que su módulo valga la unidad: 1 4 4 7 = 9⇒ 9 9 ,9− , 16 16 49 1= ⇒ 81 1 = ⇒ + + = ⇒ 81 =1− ⇒4− 47−, 9 99 9 b) Todos los vectores paralelos a AB son de la forma ( , 4−, 8 − ) . 2
2
2
1
22
= ⋅ 3= 9 27 Obligando a que su módulo valga 3 ⋅ 1+1 6+ 64 2
+2162 + 64
=227 ⇒ 281
=27 ⇒
,
:
= 27 = ⇒ 3 −(3, −12, 24 ) 9 = − 27 = − 3⇒ − ( 3,12,24 ) 9
729 81
=
⇒
28. Calcula dos vectores linealmente independientes y que sean ambos perpendiculares al vector u
v1
2 1 , ,2 . 3 5
1 2 = , − ,0 5 3
v2
1 = 0,2, 5
29. Calcula los valores de k para que los vectores
2 cos 45º = = 2
+
2
k 2k2+2k2⋅ k+ +
k k2
k
=
u
k2
k
⋅ k2 2+
2 ⇒ 2k +2 2=2⇒k2 k 2+24= k 2 ⇒ k =1 ⇒
=
2
2 2k2 2+2 k = 1 k = −1
y v
k , k ,0
k, k,
2⋅
⇒ ⋅ +⇒ =⋅ ⋅
2
form en un ángul o de 45º.
k2
22 2 2 2
k
2
30. Comprueba que no existe ningún valor de k para el cual los vectores
k ,1,1 y v
u
1, 2, k
ángul o de 45º.
vu ⋅ cos 45º = = u v
k
−+ +k 2
k ++112++
2
=
2
2
2
2
k k +k2
⇒ k 4+k2 3k2+ 2 + −6 4= 0⇒ k4 k2 + 5 + 2= 0⇒
+3
= ⇒ +
2
k+22=⇒k232
+=⇒ + 2
2
k342 k2
(
No tiene solución.
Por tanto, no existe ningún valor de k para que los vectores u y v formen un ángulo de 45º.
134
Unidad 10|Vectores
)(
)
formen un
31. Dado el vector u
1,2,3 :
a) Calcula el ángulo que forma con cada uno de los tres vectores de la base i , j y k .
b) Calcula la medida de las proyecciones de u sobre cada uno de los vectores de la base i , j y k .
i = (1,0,0)
j
u ⋅i
a) cos = cos , (u=i ) =
= cos , (u=j )
cos
=cos , (u =k )
u⋅ j u =
u ⋅i
1=4 +9
u ⋅k =
=
3
+9 14
u⋅k
b) proy iu =
2
⋅ j
=− =1 1
proy j u
i
−1 −
14+9
= ( 0,0,1)
k
−1 ⇒= +14
=
u⋅i
cos
= ( 0,1,0) arccos
14
3
⇒= + 14 u⋅ j
2 57º 41'
arccos 14
3 36º 42'
=
1 105º 30 '
arccos14
2 14= +⇒
=2 2=
proy k u
j
=
u ⋅k
=3 3=
k
32 a 34. Ejercic ios r esueltos . u 35. Calcula las coordenada s de un ve ctor que sea ortogonal a los vectores módulo sea la unidad. ¿C uántos vectores de estas caracterí sticas existen?
v u × =−
i
−2
1, 2,2 y cuyo
j k 1 2 0= i +j k4+ 2= 4
−1
1,2,0 y v
4,2,4(
2
) .
λ Por tanto, todos los vectores perpendiculares a u y v a la vez deberán ser de la forma: ( 4λ,2 ,4
λ)
Obligando a que este vector tenga por módulo 1, se obtiene los valores de λ : 2 +12 16 4
+26
2
36= 1 6
= 1⇒
=,± ⇒
=
1 6
=−
1 6
2 , 1 , 2 y w = − 2−, −1 , 2 . 2 3 3 3 3 3 3
Los vectores buscados son w1 =
36. Calcula los valores de x e y para que el vector v
i2j
y w
k
2j
vw× =
0
v
2
1 x i yj
k
2
sea ortogonal a los vectores
i j k 2− 1 1 =− 5 −i j6 k+ 4vw⇒ × = −
u
3k .
− 5,6,4 (
) . El vector u debe llevar la misma dirección que
3
× w= −( −5, 6,4 ) y, por tanto, debe ser proporcional a él. Luego: 1+ x
y 3 −2 = = ⇒ = x= , y −5 6−4 2
3
Vectores | Unidad 10
135
37. Dados los vector es u
3,1, 2 y v
3, ,2 .
a) Calcula el valor de α para que los vectores sean paralelos.
b) Calcula el valor de α para que los vectores sean perpendiculares. Para este valor, calcula u × v . a) Para que sean paralelos deben ser proporcionales: 3
−3
1 −2 = = ⇒ =− 1 α 2
b) Para que sean perpendiculares, su producto escalar debe ser nulo: 3 ⋅ (−3
)+
22 − 0⋅
=9 ⇒ −4 +0
− 13 = ⇒
i j k 3 1 − = 2 i+28k uv⇒ 42× = −3 1 3 2
uv × =
=
28,0,( 42
)
38. a) Calcula las coordenadas de los vectores u y v de la figura en la base canónica {i j k } .
,
b) Calcula el área del paralelogramo determinado por u y v .
a) u = (1,2,2) , v = ( 2,3,1) .
b) uv× =
i j k 1 2 2 4=− i +3j k −uv⇒ × = − 2 3 1
− 4,3,1 (
)
Por tanto, el área del paralelogramo es: A = u× v =
39 y 40. Ejercicios resueltos.
136
Unidad 10|Vectores
+16+ =9 1
2
26 u .
,
41. Dados los vector es u
,v
1,3,6
1, 8,5
y w
3,4, 5
, calcula:
c) [u ×v u, ×w w, ]
a) [u,v ,w ]
1 3
1
d) u + v u,2 −vu w, × 5 3 2
b) [u +vu, v− w,3 ]
−1
3
6
3
4
−5
a) [u,v, w ] =−1− 8 5 =− −40 + 24+ 4 5+ 144 − = 2 0 15 1 30 2− 5 −1 1
b) [u +v u−, v w ,3 = ] 0 11 = 1 − −330 +45 −= 1089 24
c) uv× =−
uw×
i
j k 1 3 =6 63 i−j + k uv⇒11 ×= −1 −8 5
=−
i
j
k
−
1 3 = 6− +i 39j − k13uw⇒1 ×3 3 4 −5
u ×v u,× w w,=−
780
15 −
9 12
63, 1,11 (
=−
−
)
39,13, ( 13
)
63 −1 1 1 39 −13− = 13 − 4095 + − 1716 + +3 9 −=4 29 3 276 195 3 4 −5 11
2730
33
− − 6 10 10 35711 5 −= 2 610 31 3 3 3 −39 13 13 −
d) 1 u3+ v −u1,2 ×=vu w, 52 3
42. Calcula e l volu men del paralelepípedo determinado por los vecto w 13, 2, 7 .
VP
= u v,w, −=
2 −3 7 12 0 = 5− +168 + =195 2 0 2 52 13 − 2 7−
43. Calcula los valores de k para que los vectores
u
2, 3,7 , v
12,0,5
y
3
245u
AB
res
1, k , 3 , AC
k ,1,4
y AD
3,0,2 :
a) Determinen un paralelepípedo de volumen de 11 unidades cúbicas. b) Determinen un paralelepípedo de volumen de 39 unidades cúbicas.
a) AB, AC , AD=
1 k −3 k 1 4 2=12 − 9− −2 k=11⇒2 k+212 + 18= ⇒ 0 k 2+ 2
−3 0
k2
+6=k⇒9 0
k
⇒ (k+3) =02 ⇒ = −3k b) AB, AC, AD=
1 k −3
⇒ k 2+ 6+k =23⇒0 =
k −3 +k 2 + 39 = ⇒ 2k 2 14 = − − 2− 12=k ⇒9 2 0 2
k
−6 ± −56 2
12k
46
0
. No existe ningún valor real de k para el que se cumpla la condición.
Vectores | Unidad 10
137
44. Calcula los valores de k para que los vectores AB 2, k ,4 , AC ningún paralelepí pedo. ¿C ómo d eben ser estos t res vectores?
5,1, k
y AD
7,6, 1 no determinen
Los tres vectores deben ser linealmente dependientes. Su producto mixto debe ser nulo:
AB, AC, AD =
k
=
k 4 1− =−+k − 2 − 120 + − 6 1
2 5 7
17 ± 2809 17 53± = ⇒= 14 14
−= k
+ 7k=2 ⇒ 28 − 12k − =5k
0
7k 2
17 k
90
0 .
5, k 7
18
45. Si los módulos de los vectores u , v y w son 12, 14 y 15 respectivamente, ¿entre qué valores está comprendido el valor absoluto de su producto mixto ?
×( uv,w u×⋅=v= w
u v) w ×=
ucos v w,
(
uv w
v w, ( ) )vw×sen , ucos (
).
,w El valor máximo absoluto del producto mixto u , v , w se obtiene cuando sen v
( )
(
)
y cos u, v × w toman su valor
máximo, es decir, uno. Por tanto:
⋅ ⋅ 14= 15 2520 u,v,w =u v w = 12
( )
,w El valor mínimo absoluto se obtiene cuando sen v
(
)
o cos u, v × w toman su valor mínimo, es decir, cero.
Por tanto:
u, v, w =0 46. Calcula e l volum en y una de las alturas del pris ma de la fig ura.
El volumen del prisma será:
() , −15,0 () ,1 5) ,− 2,0 ,1−=0 ( 0,2 5,0
0 25 0 15−= +0 15 = −2 0 1 0
La altura es el cociente entre el volumen y el área de la base:
h
47. Ejercicio interactivo. 48 a 54. Ejercic ios r esueltos .
138
Unidad 10|Vectores
=
3000
3000
= == ( 0, 25,() 0 × −15, ) 0,1 5 2812 50
8 2
4 2
750 3 750
3000
.
EJERCICIOS Vectores libres en el espacio 55. Observa la figu ra:
a) Indica un vector equipolente de cada uno de los siguientes: FL , FE y EB . b) Compara el módulo dirección y sentido de las parejas de vectores:
AF y BE
i)
ii)
FE y BA
c) Indica dos vectores del mismo módulo y dirección que EJ pero con diferente sentido.
a) Vectores equipolentes de FL : AG , BH , CI , DJ , EK
Vector equipolente de FE : LK
Vectores equipolentes de EB : KH , JI , DC
b) i)
AF y BE tienen igual dirección e igual sentido y sus módulos son diferentes y verifican que BE
ii)
= 2AF .
FE y BA tienen diferente dirección y, por tanto, no tiene sentido comparar sus sentidos. Sus módulos son iguales.
c) JE y IB .
56. Dados los vector es u , v y w cuyas coordenadas respecto de la base canónica son v
i3 j
k2
3
y w ij
u
i2 j k3
,
k 2 , calcula las coord enadas de los siguientes vectores referida a la misma
base:
2 1 2 u+ v− w 3 3 3
a) 2u + 3v − w
c)
b) 1 u − 4v − 1 w
d) 2 (u )v−( + 21u 3+v3−) w
2
u
= ( 2,3, −1)
v
a) 2u +3−v =w 4,6, (− +−2) ( b)
1 1 u − 4v− 2 5
c)
2 1 2 u+−v 3 3 3
d) 2 (u −3)v+(
w
−9,6,9 )( − )=(−1,1, 2 )
4 2 23 =w − ,2, +− 3 3 3 3 u2 +v3 )−3 w 2
= ( −3,2,3 )
3 1 =w 1,− , + −12, − 8,+(12 − − 2 2
1
2
5
=
2 24 +−1, ,− 3 33
−22, − 6,+−(20
= (1,1, − 2)
6,11,9
1,= 1,2 6− − 4 67 , 121 ) , 5 5 5 10 10 1 5 ,2, =− , , 3 3 139 327 4,= , ) − − 18,, 2 222
Vectores | Unidad 10
139
57. Calcula los valores de a, b y c para que se verifique la igu sabe que u
3,0, 2 , v
2, 1,4
= −) ( )( 3,2,0 − −
1 2
3,2,0
1 4
si se
2, 2,2
3, 1, 1 .
− ⇒ − 2,+,+
1 3 2, ⇒2,2+ au+bv − ( =cw 2 2
1 1 2 4
+ cw + au bv
y w
aldad: au bv cw
1 2
2, ,
3 2
−a−) 3−b +c2b− c3, a= −b,c2 − 4
Por tanto:
−3a+2 +3b =−2c −cb− = 3 a⇒ =−b 2 2a+ 4−b = −c −
21 c=− 34
11 17
29 , 34
=,−
1 2
58. Decide si los sigui entes trí os de vectores u , v y w son linealmente independientes o linealmente dependiente s. ¿En qué c asos los tres vectores u , v y w forman una base de V3?
a) u = (1,1, −1) , v = (1, −1,1) , w = ( −1,1,1)
b) u = (1,2, −3 ) , v = ( 2,−1,3 ) , w = ( 5,0,3 ) 1 3 1 c) u = , − , −2 , v = 0, , −2 , w = (1,0, −10 )
2
4
2
3
Tres vectores linealmente independientes de V forman base. Si son linealmente dependientes, no forman base.
a)
1 1 −1
−1 1
1
−1 =1− 1−1−1+1 −1 − 4= 0− ≠ ⇒
1
1
1 2 −3 b) 2 −1 3 =− 3+ 30 − −15 12 = ⇒ 0
c)
5
0
1 2
−
0 1 0
3 4 1 2
3
Sí forman base de V .
3
No forman base de V .
3
−2 −2 10 −
5 2
3 2
=− + + = 1 ⇒0
3
No forman base de V .
59. Calcula la relación qu e ha de existi r entre a y b para que los vectores w
2,4,0
a −2 3 2 2 4
u
a , 2, b , v
b 12 a = 4b 4− a 4b−0a − 0
a2
=a⇒a2+2b 0− =b2⇒ =
+a 2
Por tanto, la relación entre a y b para que los vectores u , v y w sean linealmente independientes es: b
140
3,2, a
sean linealmente independientes.
Unidad 10|Vectores
≠
a2
+a 2
y
60. Calcula el valor o los valores de k para que los vectores
3
u , v y w no for men una base de V .
a) u = ( 2,2, −5 ) v = ( 4,1,7) w = ( k ,5, −3 )
b) u = (1, k,3 ) v = ( 2,4,−6 ) w = ( k , −5,9 )
c) u = (1, −2,3) v = ( 4,−1,k ) w = ( k + 1, −k,11) 2
2
−5
k
5
−3
1
k
3
a) 4 1 7 19 =152k−0 = ⇒ =
k8=
152 19
⇒ =8
2
k − 0 = ⇒k = 4,−k b) k2 4−5 6 −9 6=− 30 −k 24
c)
k
−2 1− k + 1 −k 1 4
3 2 k =−k − k 11 + 80= 0⇒ k 11
=1−
=−k 16, = 5
61. Para cada caso, comp rueba si los vectores u , v y w forman una base de V3 y, en caso afirmativo, expresa 12, 30,4 como combinación lineal de los vectores de esa base. el vector a
a) u = (1,0, −2 ) , v = ( −1,3, −2 ) , w = ( −5, −9,2 )
b) u = ( −2,3, −1) , v = (1, −1,2 ) , w = ( −1,2,1)
a)
1 0 −2 −1 3 − =2 − −61 − 8 =−301 ≠ ⇒ 8 −5 −9 2
( −12,− 30,4 ) =(
3
Sí forman base de V .
0
) 11,0, ( − +2 ) (− 2−1,3, )+ 2 − −
− 1 − 2 −5 3 =12 ⇒ 3 2 −93 30 =− 2,3= 1 ⇒ 2 −2 2−2 +4 = 1 2 3 Por tanto, a
60
35,
⇒9,2
1, =− 3
=
= u2 v− w+ 3 .
Las coordenadas de a en esta base son: ( 2, −1,3 )
b)
−2 1
−1
−1 2
3
−1 2= 2− 6− 1+ 8+ 3− 0= ⇒
2
1
62. Se sabe que los vectores
3
No forman base de V .
u , v y w son linealmente independientes. Estudia, para cada caso, si los
vectores, a , b y c son o no linealmente indepe ndientes.
a) a = u2 −v 4w +
b) a u= v w− +
a)
b
b
=−u −v 2+w 3 =−u − v w2+ 4
2 −4 1 −1 − 2 3 =− +12+1 −36+ 6−6 1= 2⇒1 3 −3 −1 3 1
−1 1
1
−4
b) −1 − 2 =4− + 124 − + + 421 − = ⇒ 66
c
=− u3 v− w+ 3
c =u −v 4 w+ 6
Sí son linealmente independientes.
0
Sí son linealmente dependientes.
6
Vectores | Unidad 10
141
63. a) Comprueba que los vectores u = ( 2, −1, −2 ) y v = (1, −3,2 ) son linealmente independientes. b) Indica un vector
w1
tal que u , v y
w1 sean
3
linealmente independientes. ¿Formarán los tres una base de V ?
c) Indica un vector w 2 tal que u , v y w 2 sean linealmente dependientes. ¿Formarán los tres una base de V3? a) Dos vectores de V3 son linealmente independientes si no son proporcionales: 2 1
≠
−1 −2 ≠ ⇒ Son linealmente independientes. −3 2
b) Cualquier otro vector que, con los dos anteriores, determine un determinante no nulo hará que los tres sean
= (1,0,0) :
linealmente independientes. Por ejemplo, w1 2 1 1
−1 −2 3 − 2 =2− 6− 0≠ 0 0
c) Cualquier otro vector que, con los dos anteriores, determine un determinante nulo hará que los tres sean
linealmente dependientes. Por ejemplo, w 2 2 1 3
= u+ =v 3,−( 4,0
):
−1 −2 −3 2 =8− 6− 18 + 16 = 0 −4 0
No forman base porque son linealmente dependientes.
64. a) Comprueba que los vectores u = (1, −1, −3 ) , v = (1, −2,2 ) y w = ( −1,5, −17 ) son linealmente dependientes.
¿Se puede escribir cualquier otro vector a como combinación lineal de u , v y w ?
b) Intenta escribir a = ( 4, −6, −2 ) como combinación lineal de u , v y w .
a)
1 −1 −3 + +2− 6 −10= 17 0 1 −2 2 =34− 15 −1 5 17 −
3
Al no formar base u , v y w , no es posible que cualquier otro vector de V pueda escribirse como combinación lineal de ellos. (Eso no quiere decir que algunos particulares sí se puedan escribir).
b) ( 4, −6,−)2= (
)− −1(,+3 ) ( −1,2 2,2 )+
11,
− 13−,5, 17 ⇒
11 1 4 1 1 1 4 − −1 2−5 6 − →2 − 0 1 4 −3 2 2 FF2−→→3F0F1 ++5FF2 20 10 − 17 3 1 3
− 11 1 4 −0 14 2 F →−5→ − F2 − F3 3 00 0 0
−
Sistema compatible indeterminado. Como, por ejemplo, una solución es
puede escribir como combinación lineal de u , v y w : a u= v2w + 2
142
Unidad 10|Vectores
+0
.
1
−
=2,
2
=2,
3
0=
el vector a sí se
65. a) Calcula los valores de k para que los vectores u = ( −1, k,2 ) , v =k( +k k2, −1, ) y w = ( 4, −3,4 ) sean linealmente dependientes.
b) Para k = 0 , intenta escribir a = ( 6, −4,4 ) como combinación lineal de u , v y w .
c) Para k = 0 , intenta escribir b = ( 3,2,0 ) como combinación lineal de u , v y w . d) Para k = 1 , intenta escribir b = ( 3,2,0) como combinación lineal de u , v y w . −1 a) k k+ 2 4
k
2
−k1 k=− 4+k−4 6− +12 k 4 k −8 +k k8−3−k 42 k−8 =−k29= 0⇒ = 2 0 −3 4
.
Para cualquier valor k ≠ 0 , los vectores u , v y w son linealmente independientes.
b) ( 6, −4,4 ) =( −1) 1,0,2 ( + ) ( −22, )1+,0 −12 4 6 0 1 3− 4 − 2 0 4 4
− 4, ⇒ 3 3,4
12 4 6 − 4 − 0 1 3→ − − F3 →−02F1 −4F312 16 − −
− − −
12 4 6 − 1 3 0 4 → − 0 0 0 F30→4F2 − F3
−
Sistema compatible indeterminado. Como, por ejemplo, una solución es
1
=2,
=4,
2
3
0= , el vector a sí se puede escribir como combinación
lineal de u , v y w :
a
= 2u + 4v
c) ( 3,2,0 − 1),0+ ) (= 1)− 1,0,2 ( + ) ( 2 2,
−12 4 3 0 1 3−2 − 2 0 4 0
− 3,4 ⇒
4, 3
12 4 3 − − − 0 1 3→2 F3 →−02 F1 −4F3 12 6 − −
− − −
12 4 6 0 1 32 → 3 → 4 F2 − F3 −0 0 0 F14
Sistema incompatible.
El vector a no se puede escribir como combinación lineal de u , v y w .
d) ( 3,2,0 ) (= 1−) 1,1 ( ,2+) ( 2 3,0,1 )+
−13 4 3 10 32 − 2 1 4 0
− 3,4 ⇒
34,
13 4 3 − − − 0→−3F − F1→5 1 2 FF32→− 3 12 6− − 20F1 − F7
− −
13 4 3 0− 3 1 5 → 7 F −→ 3 2 3 F3 0 0 F29 17 −
−
Sistema compatible determinado con única solución: 1
=
7 29
,
54
2
=
29
,
17
=−
3
29
El vector a sí se puede escribir como combinación lineal de u , v y w : 7 54 17 − a u= v w + 29 29 29
Vectores | Unidad 10
143
Producto escalar de vectores 66. Calcula el prod uct o escalar de los vectores u y v .
a) u = ( −3,5, −10 )
v
= ( −1, −2,12)
b) u = , − , 2 4 5
v
2 1 1 = , − , 3 6 10
1
3 1
a) u ⋅ v= −( 3,5, − (⋅10 − − 3 =1−0 1 20 )− − )1,=2,12
127
1 3 1 2 1 1 1 1 1 287 b) u ⋅ v= − , ,⋅ − , , = + + = 2 4 5 3 6 10 3 8 50 600
67. Dados los vector es u
3,5, 10
y v
.
1, 2,12 , calcula los prod uctos escala res.
a) 2u ⋅ ( −3v ) 1 1 1 b) u −v4 u ⋅v + 5 2 4
1 c) uv⋅ u( 3 )v+ v3 ⋅ 2
1 1
a) 2u ⋅−( 3 v= −)(
6,10 − (⋅) 20 −) 3,6, =− 36 ++
1
37 101 16 23 38 26 851 1919 8319 ,13 = ,− −⋅ , ,5 5 − =5 − + 5+ 40 10 8 8 4 40
127
b) u −v4 ⋅u+v = 5 24
1
18= 60 720 7 62
− ( 2− + 9,15, − −() 30 ⋅−()− 3, 6,36 =)
c) 2 uv⋅ u(3 +)v 3v⋅ =−
= − , 2
1137 1917 ,1941 −⋅ = 2
( 1, 2,12 )
1, 2,12
49281 2
68. Calcula el valor o los valores de k para que se verifiquen las sigui a) ( 2, −3,4 () ⋅
−) ,1 k
b) ( −1(,2, ) k⋅ +k
=− ,3 k 2, k ) k−,
5
=−4
2
c) , −, k⋅ ,− , = k 22 8 8 8 11
1k 9
4
a) 2k −3k+3 12 + 5=k⇒5 k =4− ⇒ =−
5
2 b) −k− +22kk+ k− 42=2− ⇒ k k− 3 =0 k ⇒k =0, =3
c)
144
k
1
9
17
8
1616
+ + k=2 ⇒k + −2
1616
Unidad 10|Vectores
k
=⇒
= kk⇒2 k +0− 16
= 17=− 0
17
1, 16
entes igualdade s:
69. Se cons idera el tetraedro regul ar AB CD de la figura de arista a.
a) Calcula los productos escalares AB ⋅ AC y AB ⋅ AD .
b) Calcula el producto escalar AB ⋅ CD . ¿Qué puedes concluir?
= ⋅ AB⋅ AC= cos60º = aa a) AB ⋅ AC
AB ⋅ AD =
⋅ AB ⋅ AD= cos60º = aa
1 2
a2
1
a2
2
2
2
⋅ +(CA = AD⋅ +) AB⋅ CA =− ⋅ AB+ AD ⋅ =− +AB AC = AB AD b) AB ⋅ CD= AB
a2
a2
2
2
0
Las aristas AB y CD son perpendiculares.
Aplicaciones del producto escalar 70. Dados los vector es u
1, 1,2 , v
1,2,3 calcula:
a) Los módulos de u y de v .
b) El producto escalar de u ⋅ v .
c) La medida del ángulo que forman u y v .
d) La medida de la proyección de v sobre u .
a) u = 12+(− +1) 22=
2
6
= −( 1) + +2 2 23=
, v
2
14
+ −(⋅ 1)+2 ⋅ 2=3 3 b) u ⋅ v = ⋅1−( 1)
c) cos v (u , ) =
u ⋅v
3
=
3
=⇒v u=
⋅ 6 14
u v
84
d) Proyección de v sobre u : proy v u =
, arccos 84
( )
u ⋅v u
=
3 70 º53' 36''
3 6
Vectores | Unidad 10
145
71. Los módulos de tres vectores u , v y w son 4, 4 y 2 re spectivamente. Los vectores si guen las direcciones y sentidos de los vectores de la base canónica y, por tanto, son perpendiculare s dos a dos.
a) Halla las coordenadas de u , v y w y de u + v + w . b) Determina el módulo del vector suma.
c) Calcula el valor de los ángulos que el vector suma forma con cada uno de los vectores u , v y w . a) Se puede tomar las direcciones de los ejes coordenados como las de los tres vectores dados:
u
= 4i , v = 4 j , w = 2k y el vector suma vendrá determinado por las coordenadas s u=v+w + =
+ 4+24=2 2 =2 36 6
b) u + v+ =w
s ⋅ u16 2
c) cosu(s , )=
=
s u
s ⋅ v16 2 v s = cosv s , = = = ⇒ s v 436 ⋅
( )
(, 23)arccos
s ⋅w 4 1 ws = cosw s, = = = ⇒ s w 236 ⋅
( )
( 4,4,2 ) .
.
(, 23)arccos
=⇒ us =
436 ⋅
(, 3)arccos
72. Halla el valor o los valores de
48º11' 23''
48º11'23'' 1 70º 31' 44''
para que los vectores
u
3, 2,5
y v
sean perpendiculares.
1, 1,
Para que dos vectores no nulos sean perpendiculares es necesario y suficiente que su producto escalar sea nulo:
1, ( 3, −2,5() 1,⋅ 1, ) − − 3 =2 +5 − 0 2= ⇒
73. Se cons ideran los vecto res de coor denadas a
1,2, 1 , b
=1
x ,1, y
=−
y c
2, x
y,0
.
a) Calcula los valores de x e y para que el vector a sea perpendicular al vector b − c y para que el vector b sea
perpendicular al vector c
−a.
b) Demuestra que, para los valores de x y de y hallados, el vector c es perpendicular al vector a − b .
a⋅b−c(= )⇒ 0 ( − 1⋅ ,2, −(x)1 − x−yy 2,1 ) , a) − = )⇒ 0x(y (⋅) ,1 x,+ y − 1, ) 2,1 b ⋅c(a
b) ( 2,1,0 ) ⋅ − ,1,− 1
2
146
Unidad 10|Vectores
1
=− +1=1⇒0 2
3 − x − 3y = 0 ⇒ ⇒= x−= , y 2 x + y = 1
c es perpendicular a a − b .
1 2
74. Calcula las coordenadas de todos los vectores que lleven la misma dirección que módulo 15 unidades de longitud.
Todos los vectores paralelos a u son de la forma
2 22
+4
2
+
=15 ⇒6
2
15 =
⇒
⇒
2
Todos los vectores paralelos a u son de la forma
2 22
2
+4
2
+ 15 = 6⇒ 1
=⇒
75 75 75 −, 150, = ⇒ 2 2 2 75 75 75 =− 2⇒ − −2 , 150,
sean para lelos al ve ctor u
75. Calcula todos los vectores unitarios que
=
1 ⇒ 6
1,2, 1
y tengan por
( ,2 , −) . Obligando a que su módulo valga 15:
75
=
u
(
(1, 2,
2
.
1) .
−) . Obligando a que su módulo valga 1:
,2 ,
1 2 1 1 = ⇒ −, , 6 6 3 6 =− 1⇒ − 1 −2, 1 6 6 36
,
76. Calcula e l ángulo que forma n los ve ctores:
a) u = ( 4, −4,7 ) y v = (1, −8, −4 )
b) u = , − , − y v = , − , 2 2 2 2 3 6
1
1
1
1
1 1
1 1 10 1 3 c) u = , −2,− y v = , − ,
2
5
3
u ⋅v u ⋅v
a) cos=
=
b) cos=
=
43228 +
+ +16 ⋅ 49 + 16
− 8 ==⇒ +1 6 4 16
=
11 1 1 + − 4 6 12 = = ⇒ 3 111 11 1 7 + + ⋅ + + 4 44 4 9 36 24
u ⋅v u ⋅v
1 1 2 + − 6 2 3 == ⇒ 1 9 1 1 100 + 4+ ⋅ + + 4 25 9 16 81
u ⋅v u ⋅v
c) cos=
4 9
=
8 81
=
37
=0
arccos
81
84º 20 '
arccos
24 51º 53'
arccos 0 90º
2, 2,0
77. Calcula el valor de k para que los vectores y
u ⋅v cos 60º = = u ⋅v
⇒=k
2 (FALSA −= ,) k
−2k
y v
2 =⇒ − = + ⇒ 4 k 32 =8 +k1 ⇒ 6k2 = 32 ⇒ k 8 k8 2
8 4 + k2
2
1
u
2
0, k ,2 2
formen un ángulo de 60º.
32
.
Por tanto, el único valor de k es −2.
Vectores | Unidad 10
147
78. Calcula las coordenadas del ve ctor proyección de
6, 6,17
u
sobre el vector
v
6,10,15
u ⋅ v=− − +36 60 = 255> 159 0
Por ser proy v u de la misma dirección y mismo sent ido que v , será de la forma:
proyvu =
−( 6 ,10 ,15
) para algún λ positivo. Obligando a que el módulo de proyv u valga:
u ⋅v v
= 36
proy u
2
159
=
36 + 100 +225
159
+22 25
+100
159
= =2
159
⇒ 19 =
v
159
⇒ =
19
, se obtiene el valor de λ :
19
19
361
2385 954 1590 El vector proyección buscado es proyv u = − , , . 361 361 361
79. Calcula las coordenadas del ve ctor proyección de
=− u ⋅ v =− +4 8− 14
4,4,7 sobre el vecto r
u
v 1,2, 2
<10 0
Por ser proy v u de la misma dirección y diferente sentido que v , será de la forma:
proy v u =
( ,2 , 2 − ) para algún λ negativo.
Obligando a que el módulo de proyv u valga
proyvu
=
2
+4
u ⋅v
v
=
10 , se obtiene el valor de 3 210
+2 4
=3 ⇒
10
=−
3
⇒
λ:
10
=−
3
9
10 20 20 El vector proyección buscado es proy v u = − , − , . 9 9 9
80. Dos vector es u y v verifican que
u
15 , v
12 y u
v
25 .
a) Calcula el producto escalar u ⋅ v ¿De qué tipo es el ángulo que forman u y v ?
b) Calcula el ángulo que forman u y v .
c) Calcula el ángulo que forma u − v con el vector v . 2
u
a) =u ⋅ v
2
+v u−v − =
2
225 + 144 −625 2
− =
2
128
Al ser el producto escalar negativo, los vectores u y v formar un ángulo obtuso.
u ⋅v
v u, b) cos (
) = u=⋅ v
−128 u 0,7111 135º −15 ⋅⇒ − (, )arccos ( ) 20' 12 v 0,7111
c) cos v v(u −, =
)
148
Unidad 10|Vectores
(u v−v⋅) =
u −v ⋅ v
u⋅v− v
−
2
⇒− v vu0,9067− 25 ⋅12
=( ,
)
arccos 0,9067 (
155º ) 3'
.
.
81. Los módul os de dos vectores valen 4 0 y 30 unidades de longitud, respectivame nte. E l módulo d e la suma de dichos vectores es 50 unidades de longitud. Calcula el ángulo que forman los vectores suma y diferencia de los dos cons iderados.
2
u+ v
= u ⋅v
2
u− v − =
2
2
u
vu ⋅ =
2
+v
u−v 2
2
2
()
(
2
2
50
50
= 402 30 2 700
u +v
0
2
− 2 2 = ⇒ vu− u0=v + = vu⇒ − =
2 (u +v )u(⋅ −v) = u − v = −
cosuvuv + ,−=
502 − 402 − 30 2
=
2
u⋅ v −
u )v+( =u⋅ =− v)
700
vuv 0,28 ⇒⋅+ −50 u50
)
=( ,
0,28 (73º 44 arccos )'
82. En física, se define e l trabajo de una fuerza con stante sobr e una partícula como el produ cto escalar de dicha fuerza por el vector desplaz amiento de dicha partícula. Con esta información, calcula qué tr abajo h a ejercido una fuerza, F 2, 3,4 (N) sobre una partícula que se ha movido entre los puntos A 1,0, 3 y B 2,2,2 (m).
Vector desplazamiento: AB = ( 2,2,2 )−(
F
Por tanto, el trabajo de la fuerza
−1,0, =) ( 3 ) 1,2,5
sobre la partícula es: F ⋅ AB=
−( 2, ⋅3,4)( 1,2,5 )= − + =2 6 20 16
J.
Producto vectorial de vectores 83. Calcula e l producto vectorial de los vectores
uv ×
2
y v
i4 j
k3
5
.
i j k 2 3 − 2=− i +9 j 18 +k uv 18 ⇒ − 4 3 −5
=
u i 2 j 3k
84. Expresa los vector es MN y
× == −
PQ como
9,18,18 (
)
combinación lineal de los vectores de la base canónica
i , j ,k
y
calcula su producto escala r y su prod ucto vectorial.
MN
= 2i +k2
MN ⋅PQ =
⋅ )( = )1,1,0 ( 2,0,2
MN PQ ×=
PQ = i
+j
2
i j k 2 0 2− = +2i + 2j k2 1 1 0
Vectores | Unidad 10
149
85. a) Calcula el producto vectorial u × v de los vectores u = ( 0, −2,4 ) y v = ( −1,3,3) .
b) Calcula el módulo de u × v .
c) Calcula el seno del ángulo que forman u y v .
a) vu × =
b) u × v=
324 + +1=6 4
c) sen=
i j k 0− 2 4 =− i 18 −j k −4 2 −1 3 3
344
u ×v = u ⋅ v
344
344
+4 1⋅ 6 +=1+ 9=9
86 380
86. Calcula e l producto vectorial de los vectores a los dos dados:
95
u y v y demuestra que el vector resultado es p
erpendicul ar
a) u = (1, −3,5) y v = ( −3, −2,4 ) 1 1 1 1 1 1 b) u = , − , − y v = , − , 2 2 2 2 3 6
a) uv × =
i j k −k uv1 ⇒ 1 − 3 5=− i −2 j 19 1 × =− − − −3 −2 4
2, 19,( 11
)
− =55⇒u0v×u ⊥ (uvu× )⋅ = − +2 57
u v × = b)
i
j
k
1− 1 −1= −1 1 i− j 1+ku v ⇒× 2 2 2 4 3 12 1 1 1 2
−
(uvu× )⋅ = − +
3
(uvv× )⋅ = +6 3−8 4=4⇒u0vv× ⊥
= − 1−11
4 312
,
,
6
1 − = ⇒uvu× 0⊥ 8 6 24
1
1
87. Dados los vector es u
(uvv× )⋅ = − +
1,2, 1 y v
1 1 1 + ⇒ uv v× ⊥ 8 9 72
2,1,0 :
a) Demuestra que u y v son perpendiculares.
b) Escribe, con ayuda de parámetros, todos los vectores x tales que verifiquen que u × x = v .
c) ¿Qué hubiera ocurrido si u y v no hubieran sido perpendiculares?
a) u ⋅ v= (1,2, − ⋅)(1−
=−,0+ = 2⇒2 )2,1
x 2×12= b) x a= ,b(c ,) u ⇒
⇒ a =b− −1 ,
i
j
u y v son perpendiculares.
0
k − = (c +bi)a( −)2(cj+b)2a + k− a b c
=2−c2, − x
=
⇒1 ,=2 −2, ( −
i =j− +1a⇒ c+
− −
=− ⇒
2c + b = − 2 b − 2a = 0
)
c) No habría ninguna solución, ya que el producto vectorial de dos vectores es perpendicular a cada uno de ellos.
150
Unidad 10|Vectores
Aplicaciones del producto vectorial 88. Calcula las coordenada s de un vector que se a perpendicular a los vectores que su módulo mida
uv ×
y tal
0, 1,2
sticas existen?
i
j k 1 2 3=7i +jk +2 ⇒ 0 −1 2
=−
1,2,3 y v
u
unid ades de l ongitud. ¿Cuántos vectores de estas caracterí
9 6
Todos los vectores ortogonales a u y a v son de la forma ( 7λ,2 ,λ
Como el módulo debe ser 9 6 , entonces:
49
2
4+2
2
2
+
54 =
486 =
⇒ 3 =
o
λ) .
λ = −3 .
Existen dos vectores con las características requeridas: ( 21,6,3 ) y ( −21, −6, −3 ) .
89. Calcula todos v
i4 j
k3
vu ×
=
los vectores uni tarios que sean perpe ndicul ares a los vector es
2
y
i j k 2 3 − =2 −i +j 9k +18 −4 3 −5
El vector
u i 2 j 3k
.
5
18
( −9,18,18) tiene la misma dirección que el vector ( −1,2,2) .
( − ,2 ,2 ) .
Todos los vectores ortogonales a u y a v son de la forma 2
Como el módulo debe ser 1, entonces:
+ 24 2+4
2
9
Existen dos vectores con las características requeridas:
=1
= ⇒ =
1 o 3
λ= −
1 3
− 1 , 2 , 2 y 1 ,− 2 ,− 2 3 3 3 3 3 3
90. Calcula el área del paralelogr amo determin ado por los vectores:
a) u = (1, −1,0 ) y v = ( 0,1, −1)
b) u = (1, −2, 2 ) y v =
(
)
2,1, −1
c) u = , −1, y v = 2, ,1 4 2 2
1
3
i
j k 1 =i j0 +k + 1 −1
a) uv × = 1− 0
i 1− 2
b)v u × =
i
c) vu × =
1
1
−
2 2
A = ×u
v=
+ 1+ 1= 1
2
u
3
j k 2 =2 − 2j i 2 −1 1
(+ +k3)+
()
1 22
A
= ×u = v −
A
= u× =v
2
(2+ )2+ + 3( ) 1=22
24
121 81 =1 64 16
u
2
2
2
u
j k 3 11 9 1 =− ji +k + 4 8 4 1 1 2
++
509 8
2
Vectores | Unidad 10
151
91. Calcula el área del triáng ulo determinado por los vectores u
y v
4,4, 10 .
i j k 2− 1 3 =− i +j 2k +3 2 1 2 − 4 4 10
vu × =
2, 1,3
A
1
= × u= v + 2
1 2
+ =1 024 1 44 4
293
2
u
92. Calcula los posib les valores de a para que el área del paralelogramo determinado por los vectores u 2, a, 3 4, 1,5 valga 633 u 2. y v
i
j
k
uv× = a2 4
2 2 (5a)−3 + +22 ( )+2 2a 4=
2 633 a) − ( ⇒
14 ±150
⇒ a=
−−1= −3a5 5i j −(3 )−22+ka 2( 4 )
82
2 (5+ )3+ +a 484= 2a⇒4
− 633 − = 41⇒ 14 136 02
68
⇒ = a=− 2,a
41
93. La fuerza de Lorenz e s la fuerza que sufr e una partícula con carga e léctri ca q cuando se mueve con una velocidad u dentro de un campo magnético B y viene dada por la expresión F qv B . Un protó n cuya carga es de 1,6·10 19 C, entra un campo magnético uniforme fuerza sobre e l prot ón en el instante en que su veloci dad es:
B
1,2,3
(T). Determina el valor de la
a) v = ( 3,1,5) (ms−1)
b) v = ( 2,1,0) (ms−1)
c) v paralela a B y con un valor de 5 ms−1.
20 ⋅ 10 −19 (3,1,5 −×() )= 1,2,3 a) F = 1,6 ( − − 10
b) F = 1⋅ ,6 10
−19
−(×2,1 (),0 )=
c) Como v es paralela a
B,
) 112, 224,112 (J )
−20
1,2,3 −(
−
10 )
48, 96,80
(J)
Producto mixto de vectores 94. Calcula e l producto mixto de los vectores
u, v y w.
a) u = ( 2,4, −5 ) , v = ( −2, −2,5 ) , w = ( −2,4,6 ) 1 1 1 1 1 1 1 b) u = , , − , v = , − , −1 , w = − , ,0
2 2
2
2
4
2 4
2 4 −5 a) [u,v, w ] =−2 − 2 5 =− 24 + −40+ 40− 20 + 40= 48 4 −2 4 6
b) [u,v ,w ] =
152
1 2 1 2 1 − 2
Unidad 10|Vectores
1 2
1 4 1 4
−
−
1 2
− =− 1+ 0
entonces qv también es paralelo a B , luego qv × B = 0 . Por tanto, F
1 1 1 13 + + = 16 4 16 8 8
=0.
95. Calcula e l producto mixto de los vectores
−1 3 −4 + − 2 4 −4 −8 [u,v, w ] =−10 3 −2= +12 80 −4 2 −4
96. Dados los vecto res u u ,v, w
v, ,w u
2
ui
4 =−120
2,1, 1 , v
j k3
4
,v
i j 3 k 10
2
y w
i 4 j k2
4 .
56
y w
2, 2,1
1, 2, 3 , comprueba que se verifica la igualdad
. −1
1
u,v, w =−2 1 −2 −12 12 =−3 4− 1+ −2 +4 −6 =5
−2 −2
1
v ,w, u =1 2 2− 13 − −=4−1 1+ 12 + 4+ 6− 2− 5=
Aplicaciones del producto mixto 97. Calcula el volu men del paralelepípedo determinado por los vector es:
a) u = ( 0,2, −2 ) , v = ( −3,0, −1) , w = ( 3,−8,0 )
b) u = ( 2,0,0) , v = ( −2, −12,24 ) , w = (10, −22, −36 ) 0 2 −2 a) VP = u = 6 54 [ v,w, =]− 3 0 − 1=− − 48 3 −8 0
3
u.
2
0 0 = 24= 1920 1 920 12 10 −22 36 −
3
b) VP = u[ v,w, −=]− 2
u.
98. Dada la figu ra:
a) Calcula las coordenadas de los vectores u , v y w . b) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores.
a) u = (1,0,3) , v = ( 0,5,3 ) y w = (1,5,0) b) w]v[u, ,
1
0
1
5
= 0 5
3 3=− − 15 =− ⇒ 15 ] [ V=wvu30 0
=− = , ,
303
3
0u .
Vectores | Unidad 10
153
99. Calcula los valor es de a para que el volu men del parale lepípe do fo rmado por los vectores v
i8 j k
w v u,,
y w
9 1
ai
5
a
k5 ,
uia j
valga 173 unidades cúbicas.
j3
− =a a9 + 5a+a27 + 9=2 8= 1 9 120 −a 3 0
2 +5 +147 a a=173⇒ 9 a+ 5− 26 =⇒ 0a= a
⇒2 =
=−
,
2
−5 ±31
13
18
9
Síntesis 100. Se consi dera el vector de coor denadas u
1,1,1 .
a) Escribe, con ayuda de los parámetros necesarios, la expresión de todos los vectores ortogonales a u .
b) Descompón el vector a = ( −3 − 0,3 ) como suma de dos vectores, uno de los cuales sea paralelo a u y el otro
ortogonal a u .
a) Los vectores serán de la forma ( α, λ,µ ) pero debe verificarse que su producto escalar sea nulo:
( −1,1),1 ( ⋅ ,),
0
µ = ⇒−
+ 0 +µ = ⇒
Los vectores pedidos son de la forma
=
+ ,µ , ) µ.
(
− x + +µ = −3 + ,), + µ xµ ⇒ 0 + = x x⇒3− − + 3 − = − x + µ = 3
b) ( −3,0,3 )( =,x−,)x( x
⇒ x= 2, =− µ2, = ⇒ 1−
101. Dados los vectores
= −) ( (3,0,3
u
+)(− − 2,2,2
2,1, 3
,v
)
b) Calcula el producto vectorial 2u × 2w .
c) Calcula el producto mixto u,v, w .
a) 2u ⋅3 v= −( 4,2, − ⋅ (6) −6,−)6,=3− − 24+ 12=− 18
i
j
k
−2 4
0
+j k1−2 1 2 b) 2uw×2= − 4 2 − =6 i24
c) [u,v w ] 2= 2
154
−2 −1
Unidad 10|Vectores
1 −3 −1 −9 =− 2
0
1, 2,1
2, 2, 1
a) Calcula el producto escalar 2u ⋅ 3v .
+µ
18
y w
1,2,0
:
102. Dados los vectores u
,v
1, 1,0
y w
3, 2,3
, calcula:
1,1,3
a) El área del paralelogramo determinado por u y v .
b) El volumen del paralelepípedo determinado por u , v y w .
c) La medida de la altura del paralelepípedo sobre la cara determinada por u y v .
a) uv× =
b)
1 −1 0 2 3− 3 = 1 3
u,v, w 3 =
[
i j k 1 − 1 0 =−3−i 3jk +uv⇒ × = − 3 −2 3
c) h =
VP A
3
=
19
)
A
= u× =v−
2
( +3)− ( +) 3=
2
1
2
19 4,36
2
u.
V P
] −1
− 3,3,1 (
= u v,w , = 3 u3.
u.
103. Calcu la:
a) El valor de x para que los vectores u = (1, x,0 ) y v = ( x + 3,2, −8 ) sean ortogonales y, para ese valor hallado, calcula el área del paralelogramo determinado por los dos vectores.
b) Todos los valores de y que hacen que los vectores ortogonales del apartado anterior junto con el vector w = ( y , −1, y +1 ) determinen un paralelepípedo de 20 unidades cúbicas de volumen. a) Dos vectores no nulos son perpendiculares cuando su producto escalar es nulo. Entonces:
vu ⋅
= x⇔ 0 +x + 3x=2 ⇒0u=− ⇒ = 1−v
i
− 21
A= u × =v
w v [u,, b)
] =2
j
k
1=, 1,0,( − ) 2,2,( 8
12=0 +−8 + 8 = 8i
4+j
)
2
k= 64 16 12 + 64
u
12 y −4 =20si ≥ y⇒ =1 2 y 3 4− 1 2=y 20 si< ⇒y =− 1 y 3
−1
1 2 y
0 8y− 12 = −y 4⇒ 12− =4 ⇒ 20 −1 y + 1
4 3
CUESTIONES 104. Se consideran u y v vectores de V3 no nulos, no iguales y no opuestos. Demuestra que se verifica la siguiente p ropiedad.
u v=
⇒) (u +v)( ⋅u v−) =u
2
u−v ⋅ u+v ⋅ v−
v − ⇐) Como u +v u⊥
y u − v son perpendiculares.
⇔ uv +
2
= ⇒ u v+u⊥ v− 0
entonces ( u +v)⋅(−u= )v 2
u u −v ⋅u+ v ⋅v −
2
0 . Por tanto: 22
= ⇒ ⇒v= u v=0 u
Vectores | Unidad 10
155
105. Se consideran u y v vectores de V3 no nulos, no iguales y no opuestos. Demuestra que se verifica la siguiente p ropiedad.
u +v = −u ⇔ v
y v son perpendiculares.
u
Por el ejercicio 104 sabemos que dos vectores tienen el mismo módulo si y solo si su suma y su diferencia son perpendiculares.
Considerando los vectores a
= u +v
y b
= u − v , entonces, a =b ⇔a +b a⊥ b−
.
Por tanto:
u +v = −u ⇔ v + u v u+ v−u ⊥ v+ u− v −
106. Dado el ve cto r u u i 1 u j 2u k
3
⇔ u
v⊥( u⇔v) ⊥ 2
2
:
a) Demuestra que
u
es un vector unitario.
u
b) Calcula los cosenos de los ángulos que forma u con los vectores i , j y k de la base canónica.
a)
u
u
=
u
u
=1
b) u = u( u1, u2 , 3 )
cos (u, i
i = (1,0,0)
)=
u⋅i
=
u i
( )=
cos u, j
u⋅ j
156
Unidad 10|Vectores
u1
u u2
= u ⋅ 1 = u
u ⋅k cos (u, k ) = u k
=
u2
u j
u1
u ⋅1
=
u3
u ⋅1
=
u3
u
j
= ( 0,1,0)
k
= ( 0,0,1)
107. Ind ica, raz onadamente, si las siguient es afir macion es son verdaderas o falsas.
a) Si u , v y w son tres vectores no nulos de V3 tales que u y v son linealmente dependientes, entonces u , v
y w también son linealmente dependientes.
b) Si u , v y w son tres vectores no nulos de V3 tales que u y v son linealmente independientes y v y w son
linealmente independientes, entonces u , v y w también son linealmente independientes.
c) u +v u= v +
d) Si u ⋅v =u w⋅
y u
e) Si u ×v =u w×
≠0⇒v =w
y u
≠0⇒v =w
a) Verdadero.
⇒ u= v ⇒u =v w+ u0v ⇒
u y v son linealmente dependientes
,
y w son linealmente dependientes.
b) Falso.
Por ejemplo,
u
= (1,0,0 ) ( ) , v = 0,1,0 ( ,) w = 1,1,0
c) Falso.
Por ejemplo, si u
= (1,0,0 ) ( ) , v = 0,1,0 , entonces, uv+ =
(1,1u,0v+,) =
u v+ 2, =
2
d) Falso.
Por ejemplo, si u
= (1,1,0 ) ( ), v = 1,0,0 ( ) , w = 0,1,0 , entonces u ⋅v= u⋅ w=
1y v ≠w
e) Falso.
Por ejemplo, si u
= (1,0,0 ) ( ) , v = 0,1,0 ( ,) w = 1,1,0 , entonces:
u ×v
=
i 1
j 0
k 0
0
1
0
= k , u ×w =
i 1
j 0
k 0
1
1
0
=k ,
v
≠w
Vectores | Unidad 10
157
PROBLEMAS
108. Un avión vi aja en direcci ón Este Oeste partiendo del pu nto A y con una velocidad de 800 km/h. a) Calcula la velocidad verdadera si en ese momento hay un viento de 100 km/h que sopla en dirección Norte−Sur. Determina dicha velocidad verdadera dando su módulo y el ángulo que forma con la dirección Este−Oeste.
b) Calcula la velocidad verdadera si en ese momento hay un viento de 100 km/h que sopla del Noreste al Sudoeste (La dirección del viento forma 45º con el Oeste y 45º con el Sur)
a)
La velocidad del avión es v
= 800 km/h.
La velocidad del viento es v s
= 100 km/h.
El módulo de la velocidad verdadera será: v =r
+800=2 100=2 100 65 806,225 km/h
La velocidad verdadera formará un ángulo α con la dirección Este −Oeste: cos
=
800
=
100 65
8
⇒=
8 arccos
65
65
7º8'
b)
La velocidad del avión es v
= 800 km/h.
La velocidad del viento es v s
= 100 km/h.
El módulo de la velocidad verdadera será: vr2
= 800 + 2 100 −⋅ ⋅ 2 ⋅ 2 800= 100 cos135º ⇒ = 763137,085
La velocidad verdadera formará un ángulo
100 sen α
158
Unidad 10|Vectores
873,577 = ⇒ sen135º
α con la dirección Este −Oeste: sen =
0,081 ⇒=
4º3 9 '
v r 873,577
km/h
109. Un barc o se diri ge hacia el este con una veloci dad prop ia de 12 km/h en un momento en que la corriente es de 3 km/h en dirección al SW. Encuentra la velocidad verdadera del barco. La velocidad propia del barco es v = 12 km/h. La velocidad de la corriente es v = 3 km/h. El módulo de la velocidad verdadera será: vr2
= 12 + 2 −3⋅ 2⋅⋅ 2 12 =3 cos4 5º⇒ 1=02,088
La velocidad verdadera formará un ángulo
3
α
10,104
=
sen α
vr 10,104
km/h
con la dirección W−E:
⇒ sen=
0,21 ⇒=
12º 7'
sen4 5º
110. Dos remolcadores arrastran hacia el puerto un petrolero según el esquema de la figura. Si cada uno tira del barco remolcado con una fuerza de 10 5 N, calcula el ángulo que forman los dos cables entre sí sabiendo que la resultante tiene un valor de 1,5 105 N. Llamando α al ángulo formado por la resultante y uno de los dos remolcadores, y utilizando el teorema del coseno, se obtiene: 10 1010 = 10 + 1,5 ⋅ 1010 −⋅
5 ⋅ 25 ⋅10 ⋅ 1,5 10 cos
Operando resulta:
=0,75 ⇒ =41º2 4 '
cos
Multiplicando por 2 se obtiene el ángulo entre los dos remolcadores: 82º48'
111. Se considera el octaedro regular por BC ,BE BA ,
AB CDEF de la figura y la base de
3
V formada
a) Indica los ángulos que forman los vectores de la base.
b) Escribe los vectores BD , AD y AF en función de los vectores de la base.
c) Calculando el producto escalar AF ⋅ BD demuestra que las rectas AF y BD son perpendiculares. Recuerda que un octaedro regular está formado por ocho triángulos equiláteros.
a)
(BC,BA ) =60º
(BC,BE ) =90º
(BE,BA ) =60º
b) BD = BC +BE
AD
AF
= AB+ BD =− + BA + =BC + BE− BC BE BA
= AB+ BF = +AB=− AD + + BA − =BC + BE− BA BC BE 2 BA
c) Suponiendo que los lados del octaedro miden todos a unidades de longitud.
AF ⋅ BD =
(+BC−
= a+2++ 0− 0a2 a2
( ) ) = BC⋅
BE⋅ 2+ BA
+BE⋅ + BC ⋅ +BC⋅ BC − ⋅BE− BE ⋅ =BC BE BE 2BA BC 2BA BE
2 22 2− cos a2 60 2 = cos a a⋅ = 22 − a 4= −a60º
2
1 2 2
0
Vectores | Unidad 10
159
PARA PROFUNDIZAR 112. Las coordenadas del vector
3 a respecto d e la base de V u , v , w
a respecto de la base canónica si
a =u8 +v4 w+
u
i2 j k3
= 28i 3 +j k−( + 4 i −2+)j (−k + i2 (2)j +k+ =
)
,v
i
son a
8,4,1 .Halla las co ordenadas de
y w i2 j k2
j k2
.
= 16+i 2 4j− k8− i +j4 8− k+ 4i j + 2k+2= i + j 14 −k 3 4 1 1
113. Las c oord enadas del vector coordenadas de v 3 u1u2
2u3
a respecto de la base de
respecto de la base
a
v 1, v 2 , v 3
V
3
u 1, u 2u 3
si
.
3
u −1 + u3 Se supone que a = 10 28
3u= xv +1 2 +yv 3z v
.
Entonces:
10u81 3− u 2
+ 3 u1 = xv+2y +v3 =zv1 −x2 u 3+3 2u + u(21 22 +y 3−u u)(+1 u2 −2 33z+u() u=
= ( x+ + y2 )zu( +− 1+x3−y) ( z2u+
u
−x2)+2 y3 2 zu
3
Por tanto, se resuelve el sistema:
x + 2y + z = 10 −3 x+ −y 2=−z 8 2 x2 −3 3y + z = 1 2 1 −3 1 2 2 2−3
10 −8 3
1 2 1 10 − 0 7→ 1 22 F2 →3F1 + F2 F3 →−20F1+ F631 17 −
1 2 1 10 07 1 22 → F3 → 6F2 + 7F3 − 0 013 13
El sistema es compatible determinado con solución única:
x
= 3, y =3, z =1 .
Por tanto:
a v= 3 1 v+ 3v 2
160
Unidad 10|Vectores
+
3.
son a
v 1 u1 u2 3 u3
)
2
,
10, 8,3 . Halla las v 2 u21 u2 u3
2
y
114. a) Demuestra que: (uv⋅ )+2u ×v= 2uv2⋅
2
b) Calcula los módulos de los vectores u y v sabiendo que son iguales y que sus productos escalar y vectorial valen:
u ⋅v
= − 208
u × v=
−( 85, − 6,10 )
a) Sea α el ángulo que forman los vectores u y v , entonces:
2 2 (u v ⋅ u)v+u × v = ( ⋅ ⋅
= uv ⋅22
50⇒ 625=
= u
2 2 2 2 2 2 b) (uv⋅ +) u×v = u⋅ v ⇒ ⋅u= u −
4
⇒ u=
2
22
2
2
+cos⋅ ⋅) u v = sen ⋅ ⋅u v
+
=2
⋅ cos ⋅
sen
2
u sen v22=2 ⋅)
( cos2+
2
u(v)
v=
2 2 +)− 208 +( ) =(( ) 85 ⇒ 6
+ −(
2
10
2
2
)50625
4 50 625 15
115. Se consi deran los vector es de V3: u
v
u 1,0,0
v 1, v 2 ,0
w
ww 1, w2 ,
3
a) Calcula u × (v × w ) .
b) Calcula (u ⋅w) v( )−u v ⋅w
.
c) Calcula el valor de u × (v × w ) si u = (1, −2,3) , v = ( −1,4, −2 ) y w = ( −3,3, −1) .
i
j
k
a) v ×w = v w1v 2w = w0v−w2i3v+w13j − vw12 2 v1w k ( 1 2 3
u ×=v(w
u )
i
j 0
k
−= + 0 v− 1w 3 1vw 2 2v1w −
1
vw 23
)
−uvw uvw (12121j1 uvwk311
b) (u ⋅w) v−(⋅ ) u=v w − uw v=11uv w11 +uw1−1 v1( i 2v)j+( 11u+v1= w i2 w)j3 w k
= ( u1w1−v1 1u(1 v1)+w i −1 1u2)w v11−2=u v(w 11 j3 u− v w1) k12 − u11w2 v
Se deduce que u × v( ×w= )
( ⋅u w) v−( )⋅u v w
)
u1v1 w j uv w k 3
.
c) u = (1, −2,3 ) , v = ( −1,4, −2 ) y w = ( −3,3, −1) .
× u ×v (w
=v( u⋅vw) u)w
(−)⋅
= −v− −(
−3− −)6(w − 3 =−) 1− 8( −6 + ) (− 12−()1=,4, − 2−) 15 3 ,3, 1
33, 3,9
Vectores | Unidad 10
161
AUTOEVALUACIÓN Comprueba qué has aprendido 1.
u AB v AC y w AD que forman una En el tetraedro AB CD de la figura se consideran los vectores base del espacio V3. Escribe, en función de los vectores u , v y w el vector BM donde M es el punto medio del segmento de extremos D y C.
DC =DA+ AC = AC − =AD − v w
AM
= AD + DM =+
AD =
1 1
+ DC− =w+ 2
2
Dados los vector es u
11 w) 22
1 w 2
+ AM =− + u + v BM = B A + AM=− AB
2.
(v
1, 1,0 , v
v
w
1 2
2, 1, 2
y w
0, 3,3 :
a) Prueba que son linealmente independientes. ¿Forman base de V3?
b) Escribe a = ( 8,7, −18 ) como combinación lineal de u , v y w . ¿Cuáles son las coordenadas de a respecto de
u, v y w?
a) Tres vectores son linealmente independientes si el determinante formado por ellos no es nulo: 1 2 0
−1 0 1− 2− =3−6−6+ 3=−0 ≠ −3 3
3
Los vectores u , v y w sí forman una base de V .
b) a =
1
(1),−1,0 2+(
12 0 8 −1 1− 3 − 7 0 2−3− 18
2,)1,−23(− +
)
1 +2 2 =8 ⇒ − − 3 − 7 = −2 3+ =− 2 3 18
0, 3,3−213
12 0 8 3 15 − 0 1→ −F2−→0F1 + F22 3 18
12 0 8 0 1 3 15 → F3 →2F2 + F3 − 0 0 3 12
El sistema es compatible determinado con solución única
1
=2,
−
2
=3,
3
Por tanto:
a u= v2w + 3
−4
.
Las coordenadas de a respecto de la base B = {u v, w,
162
Unidad 10|Vectores
}
serán ( 2,3, −4 ) .
=4 − .
3.
Dados los vector es u
1, 1,0 , v
y w
2, 3, 1
6, 7, 1 .
a) Prueba que son linealmente dependientes. ¿Son base de V3?
b) Escribe w como combinación lineal de u y v .
a) Tres vectores son linealmente dependientes si el determinante formado por ellos es nulo: −1 0 −3 1− =3 +6 − 7 2 − 0= −7 −1
1 2 6
b) ( 6, −7,−1) = (
1 ),1 1−,0 (
1 +2 2 =6 − 3 − 7 =− − 2 = −1
+2 ) 2, 3, 1− − ⇒12
El sistema es compatible determinado con solución única:
Por tanto: w
4.
3
. Los vectores u , v y w no forman una base de V .
1
=4,
2
=1
= 4u + v .
Calcula los valores de a para que los vectores
u
a , a,5 y v
a
7,1,a sean perpendiculares.
Dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es nulo:
uv⋅ =aa)
+( +a+7 =a+a+5 = +a 7a 26a
uv ⋅
5.
= ⇒ a0
+( 13 = a⇒0) a =
Dados los vector es u
0, =−
a =13 )a(a+
2
13
13
i2j k
3
, v 2i j 2 k 2
y w 3i
4j k 5
:
a) Calcula el producto escalar ( 2u v+ 3() ⋅v )3w − b) Calcula el producto vectorial 3u × ( −2w ) .
.
c) Calcula el producto mixto u, v , w .
u
a)
= ( −2,1, −3 )
( 2u v+3(⋅)
v
v3−)w =−
= ( −2,2,2 )
w
= ( 3,4, −5 )
⋅− () = )9,2,11 + = 9 0 16 106 ( 10,8,0
i
j
k
+ 66 b) 3u ×w−( 2 =−) 6 3 − =9− i+42 j k 114
−6 −8 10
−2 1 −3 = 10 7 4 2 = 20+ 2+4+6 +18− 16 3 4 −5
c) [u,v, w ] =− 2 2
Vectores | Unidad 10
163
6.
Dados los vector es u
5k , v
4i
4i
y w
3j
i2 j
k3
5
, calcula:
a) La medida de la proyección de u sobre v .
b) El área del paralelogramo determinado por u y v .
c) El volumen del paralelepípedo determinado por u , v y w .
u = ( 4,0, −5 )
a) proyvu =
u ⋅v
v
16
i
j
k
A= × u =v
= ( −2, −3,5 )
16
16 + 9
=
5
+ 152+ 20= 2 12
c) VP = u [ v,w, =−]
7.
=
4 0− = +5i+1j 5k 20 12 −4 3 0
w
b) vu × =
= ( −4,3,0 )
v
4 4 3 −2
0 =0 −3
2
2
769
u
−5 − −60= 60 30 3 0
3
u.
5
Halla las coor denadas de todo s los vecto res paralelos a u unidades de longitud.
Todos los vectores paralelos a u son de la forma ( 6 , 6 ,−7
6, 6, 7
−).
Obligando a que su módulo valga 33 se tiene: 2
36 Si λ = 3 , entonces (18, −18, −21 ) . Si
164
λ = −3 , entonces ( −18,18,21) .
Unidad 10|Vectores
2
+36
2
2
49 +
33 =
2
⇒121
33=
⇒ 9=
y que tengan módulo igual a 33
8.
Dados los vector es u
1, 12,12 y v
8,9, 12 , calcula:
a) El ángulo que forman. b) Un vector unitario y perpendicular a ambos.
c) Las coordenadas del vector proyección de u sobre v .
va) cos , u
u ⋅v
−−−8 108 144− 260 =−v = ⇒ = u 0,8997 289 + 1 +144 144 + + 64 81 144
( )=
u ⋅v
i
j
k
b) v u ×=
=
−1 12 =1 2−i j k−36 84 12 −8 9 −
7' 154º
( )
,
87
, es decir, todos los vectores ortogonales a u y a v son de la
forma:
( 36 , 84− , 87 −
3622
) . Como el módulo debe ser 1, entonces: 1
λ=
o
15921
Por tanto, existen dos vectores:
λ= −
+2284
22
= 2 15921 = 1
+ 87
. Luego:
1 15921
84 87 36 , − , − 15921 15921 15921
y
36 84 87 , , − 15921 15921 15921
c) u ⋅ v=− − 8 1−08 1=−44 < 260 0
Por ser proyvu de la misma dirección y diferente sentido que v , será de la forma:
proyvu = −( 8 ,9 , 12 − Obligando a que el módulo de proyvu valga
proyvu = 64
+28 1
2 +144
)
para algún
u ⋅v
v
260
=
17
=
64 + 81 +144
=2260 ⇒17 =− 260⇒ =−
El vector proyección buscado es proy v u
λ negativo.
260 , se obtiene el valor de λ : 17
260 289
17
2080 2340 3120 = , − , . 289 289 289
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta correcta en cada caso 1.
Si u , v y w son tres vectores no nulos:
A. El vector u × (v × w ) se puede escribir como combinación lineal de u y de v . B. El vector u × (v × w ) se puede escribir como combinación lineal de u y de w . C. El vector u × (v × w ) se puede escribir como combinación lineal de v y de w . D. Nada de lo anterior es verdad.
×
La respuesta correcta es la C porque el vector u × (v × w ) es perpendicular a v w que, a su vez, es perpendicular a v y a w a la vez.
Por tanto, el vector u × (v × w ) es combinación lineal de v y w .
Vectores | Unidad 10
165
2.
En el paralelepípedo de la figu ra el prod ucto escalar GM JK vale:
A. 0
B. 25
C. 61
D. 72
La respuesta correcta es B.
GM =GB + B +O+O A A =− −M+ + OC O B =O−A−
JK
GM ⋅JK= OA ⋅ +OA
1 4
1
3 1 + O A OB OC OB 4 2
1
⋅ +OA⋅ OB − ⋅OA− OC⋅ OB − ⋅OA− 2
2
2
1 12 OB− 2 3
= OA −
3.
=JO+ O+A+ A = E −E K + + OB + OA= + OC
2 1 OC OA O B OC 3 3
Se sabe que u v
1 2
OC=
11 1 OB ⋅ −OB OB ⋅ −OC ⋅ = OC OA OC OB OC OC 3 6 3
1
2 8 3 25 − ⋅ −62⋅ = 4− −2 = 3 36
2 3
w y que u , v y w no son nulos:
A. Los vectores u y v son perpendiculares.
B. Los vectores u y w son perpendiculares.
C. Los vectores u × v y −v × u tienen diferente sentido.
D. Los vectores u × v y v × u tienen el mismo sentido.
La respuesta correcta es B. porque la dirección de w
= u × v es perpendicular a los dos vectores u y
particular es perpendicular al vector u .
Señala, en cada caso, las respuest as correct as 4.
1
Se cons ideran los vectores u A. B. C. D.
, 1,
2
2 2
y v
2 2
, 1,
1
:
2
Los vectores tienen el mismo módulo. Son ortogonales. Forman un ángulo de 60º. Llevan la misma dirección.
Las respuestas correctas son A. y C.
=
u
1
2
2
1 4
++=
2, v
( u,v ) =arccos
166
Unidad 10|Vectores
1 2
⋅
=
2
1
4
1 2
++=
1 =arccos 60º = 2 2
2 , es decir, los vectores tienen el mismo módulo. , es decir, forman un ángulo de 60º.
v . En
5.
Sabiendo que u , v , w
0 , se puede afirmar con segurid
ad que:
A. Por lo menos uno de los vectores u , v y w tiene módulo cero. B. Los vectores son linealmente dependientes.
C. El vector w se puede escribir como combinación lineal de l os vectores u y v .
D. Por lo menos dos de los vectores u , v y w llevan la misma dirección La respuesta correcta es B.
Señala el dato innecesario para contestar 6.
Se quiere calcular el ángulo que forman los vectores u y v . Para ello se dan los siguientes datos:
A. B. C. D.
2. u − v = 154
1. u + v = 314
3. v = 5 u
4. u ⋅ v = 40
Puede eliminarse el dato 1. No puede eliminarse el dato 2. Pueden eliminarse los datos 1 y 2 a la vez. Todos los datos son necesarios
La respuesta correcta es A., es decir, se puede eliminar el dato 1.primer dato: u v−=
v
u ⋅=
v= u uv⋅=5, 154,
2 2 2
u v+ −uv
2
40 2
⇒=
u
−
26 40u v ⇒ =
154
= ==⋅
2
9 3,
53 15
Vectores | Unidad 10
167
11 Rect as y pl ano s en e l esp acio EJERCICIOS PROPUESTOS 1 a 3.
4.
Ejercicio s resuelto s.
Indica qué tipo de e lemento geométrico (curva, recta, plano o superfici e) representan, e n cada caso, las siguientes ecuaciones. I ndica su d imensión y calcula las coordenada s de uno de sus pun tos.
a)
x = t y = t 2 z = 0
b)
x = 2 + s y = s − 1 z = s
c)
x = t + s = y t z = s
a) La dimensión es 1 y no es lineal, por lo que es una curva. Si t b) La dimensión es 1 y es lineal, por lo que es una recta. Si s
5.
= 0 ⇒ O (0, 0, 0 ) .
= 0 ⇒ P (2, −1, 0 ) .
c) La dimensión es 2 y es lineal, por lo que es un plano. Si t = 1, s=− ⇒1
Q−0,1, ( 1
Representa los punt os del espacio de tres dimensi ones
y B
A 2,2,3
).
tomando O,i ,j k,
1,2,1
referencia.
6.
En el cubo de la fig ura se toma la referencia
Calcula las coordenadas de los p
AF
AC
AM
AN
168
CG
BC AB AD = +AB =+⇒
untos F, G, C, M y N.
= AB + AE ⇒ F (1,0,1)
AG = +AC + + +CG = + +AB ⇒ BC
1 2
AB
= AM + =MN+ AC −
AD
AE
G (1,1,1 )
C (1,1,0 )
= AC + =CM+ AC= + CG + AB ⇒ BC
A; AB , AD , AE .
1 AE 2
1 2
M 1,1,
11 11 1 1 =CG+ + AD− AB= AD + + AE⇒ AD 2 2 2 2 2 2
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
11 22
AB
AD
AE
N 1, ,
como
7 y 8. 9.
Ejercicio s resueltos .
Las coor denadas de un vector son
4,0 , 2
y las de su srcen
3,2, 1 . Calcula las coordenadas de su
extremo.
AB = ( 4,0, −2 ) , A ( −3,2, −1) y B (b 1b, 2b,
b1 + 3 = 4 b1 = 1 − 1,B2,(, 3 b2 − 2= 0⇒ = b⇒ 22 b + 1=− 2 =b− 3 3 3
3
)
10. Calcula las coordena das de los puntos medios de los lados del triá y C 0, 2,4
) . Teniendo en cuenta que AB = OB − OA , se tiene que:
ngulo de vértices
A 2,2, 1 , B
1,3,2
.
Aplicando la fórmula para el cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento: M punto medio de AB
2 −12 3+ 1 − +2 1 5 1 ⇒ M , , , M ,⇒ 2 222 22
N punto medio de AC
2 +02 2, −1−4, + 3 1N ⇒ N 2 ⇒ , 0, 2 2 2 −+1 0 3− 2 2 +4 , , 2 2 2
P punto medio de BC ⇒ P
11. Dado el segmento AB , do nd e A 5,4 , 2
11 2⇒ P, 3 −
y B
2,1, 2 :
4
a) Calcula las coordenadas del punto M tal que AM =
AB .
3
b) Calcula las coordenadas del punto N tal que AN =
4 3
m1 + 5= 4⇒ n1 m =−2 1;
b) N n( n 321,n ,)A ,N
AB = ( 1 m⇒ 2
a) M m ( m231, m, )A ,M
2 3
4 3
4,4,0 −m4,)( +( )=)2 − 3,=3,0 − ⇒
− n24=−m 3 4; = 0; m 3+ 2= 0⇒
AB =
n1 + 5=2⇒ n1 n=2− 3;
+
3m 5,
2 AB . 3
=− 2
. Por tanto, M ( −1,0, −2 ) .
2 3
+ 5, −n 4, − ⇒2 , 2,0 (1 n⇒ ) (+ (=) 2) − =3, 3,0 2 3n
−n24=−n3 2; = 2;n3 + 2=0 ⇒ =− 2
. Por tanto, N ( −3,2, −2 ) .
12. Ejercicio resuelto.
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
169
13. Comprueba si los puntos P
3,1,3 , B 3,1,5
A
1,1, 1 y tiene como vector director
v
y C 1, 1,2
2,0, 3
pertenecen o no a la recta que pasa por
. Calcul a dos pun tos más de esta recta.
x = − 1− 2 =1 = − 1− 3
Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P y tiene como vector director v : r : y z
λ = 1 −3 = − −1 2 A ( −3,1,3⇒ ) = 1 1 ⇒ = ⇒1 1∉ 3 =13− − 4 λ = − 3 3 =12− −
2 = − ⇒ =1⇒1 ∈ 5 =13− − 2 = −
B ( 3,1, 5 ) ⇒ 1 = 1
1 = − 1− 2 ⇒ ∉ 2 = − 1− 3
C (1, −1, 2 ⇒ ) − = 1 1
C
A
B
r
r
r
Dos puntos de esta recta se obtienen sustituyendo λ por dos valores distintos:
= 0⇒ P1−( 1,1, − 1 )
= 1⇒ P2−( 3,1, − 4 )
14. Considera la recta que pasa por el pun to S 1, 2,5 a) Calcula su ecuación vectorial.
v
2,2,0 .
b) Halla sus ecuaciones paramétricas.
a) Ecuación vectorial: p = (1 −, 2,)5+(
15 a 17.
y lleva la dirección del vector
− ) 2, 2, 0
b) Ecuaciones paramétricas:
x = 1 − 2λ y = − 2+ 2 z = 5
Ejercicio s resuelto s.
18. Calcula, en cada caso, unas ecuaciones implícit as de la recta que cumpl e las siguientes condi cion es: a) Pasa por el punto A ( − 1,1,3 ) y lleva la dirección del vector u
= ( −1, −2,4 ) .
b) Pasa por el punto A ( −1, −2,0) y es paralela al segmento de extremos B ( 0, −3,1) y C (1,1,0 ) . c) Pasa por el punto A ( 2, −2, −3
x = − 1−
x +1 y −1 z − 3 = r= ⇒ −1 −2 4
a) r : y 1=−2⇒ : z = 3 + 4λ
x = − 1+
⇒ b) r : y −=+24 z = −λ x = 2
c) r : y =− + 2⇒ z = − 3
170
) y es paralela al eje Y.
:
=r
x +1
= ⇒ 1
x −2 r :=
0
=
y
y
+2
z
4
−1
−2−x2 =− +y 1 2 xy− +3 0= ⇒ 4 x4+ =−z+3 4 xz +1+0 =
+2 z+3 ⇒
1
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
0
4 x 4y+ = +2 4 xy −2+0= ⇒ xz+ += − −x =z 1 x = 2 z = − 3
1 0
19. Halla unas e cuacion es implícit as para cada una de las rectas sobre las que descansan los lados del triángulo d e vértice s A 1, 1,1 , B 0,1,2 y C 1,2, 3 .
x = 1− λ
2 AB : y −+=1⇒
z = 1 + λ
:
x −1
y +1
z −1
−1
2
1
=AB =
⇒
x = 1 x −1 y +1 : =AC = ⇒ 0 3 z = 1 − 4λ
+=⇒ AC : y − 13
x = λ =+1 ⇒ BC = : x= y ⇒ −1 z − 2 1 1 −5 z = 2 − 5λ
BC :y
2x2− =−y−1 2 xy +1−0 = ⇒ x − 1=−z+ 1 xz + −20= 3 x3−0= ⇒ −4y− =4 3−z3
1−=0 x 4y +z 3+1= 0
⇒ x y= − 1 xy −+= −5 x=z− 2 5 x+z−2=0
1 0
z −1
−4
20. Para cada una de las sigu ientes rectas, calcul a dos punt os de ella y halla unas e cuacion es paramétricas:
x + y = 0 a) r : 2 x − y + z
3 x − 2y − z = 0 b) s : x + +y − =z 3 0
=0
x = λ x + y = 0 ⇒ y = − . Dos puntos de r: A ( 0,0),0( , B 1), −1, −3 . 2 − + = 0 x y z z = − 3λ
a) r :
x = λ 3 x − 2 y − z = 0 ⇒ y= 4 − 3 . Dos puntos de s: A (1,1,1 ) ( , B 0,) −3,6 . x + y+ − z= 3 0 z = 6 − 5λ
b) s :
21. Dada la rect a r :
x
y
x
z
0
:
a) Calcula dos puntos de ella y los simétricos de ellos respecto del srcen de coordenadas. b) Calcula la recta simétrica de r respecto del srcen de coordenadas. a) Dos puntos de la recta r son: O ( 0,0,0) y A (1,1, − 1) . El simétrico de O respecto de O es él mismo. Sea A ' ( a, b, c ) el simétrico de A respecto de O:
1+ a +1 b −+ = 0; = 0; 2 2
1 c = ⇒ 0−− 2
' A1, 1(,1
)
b) La recta simétrica de r respecto de O es ella misma porque pasa por O.
22 a 24.
Ejercicio s resuelto s.
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
171
25. *Compr ueba si los puntos
A 3, 2, 2 , B 1,0,1 y C 2,1, 1
pertenecen o no al plano de ecuaciones
paramétricas:
x
1
: y
z
A ( 3,2, −2 −
1 − −µ =3 ⇒1, =3 µ = )⇒ −µ 2=− 2 − −µ = −2
1 − − µ =1 −µ =0 ⇒ 2 − − µ =1
B (1, 0,1) ⇒
⇒ A∈π .
=, 21 µ = 21 . Compatible ⇒ B ∈ π .
1 − − µ =2 ⇒ − µ= 1 2 − − µ = −1
C ( 2,1, − 1⇒ )
. Compatible
2
Sumando las dos primeras ecuaciones se obtiene 1 = 3. Incompatible
26. Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación imp lícita del plano que pasa por vectores de dirección
A ( 2,2,2) , AB =
y tiene como
3, 2,1 y AB , donde B 1,2, 1 .
u
( −1,0, −3 )
A 2,2,2
⇒C∉π.
y u = ( −3, −2,1)
Ecuaciones paramétricas del plano:
x = 2− 3 − µ y = 2 − 2λ z = 2+ −3µ Ecuación implícita del plano:
−1 −3 x − 2 0 2− y− 2 0 2 4z− 9+1y −8 6−x1 2+y + 2− 0= ⇒: x3zy 5 − − +6 = 0 = ⇒ −3 1 z − 2
27. Calcula unas ecuaciones para métricas del plano de ecuación impl ícita puntos y dos vectores de dirección i ndependiente s.
Haciendo x
x = λ = λ , y = µ : y = µ z = 3 −
y
z
3 e indica uno de sus
−µ
Un punto sería el A ( 0,0,3) y dos vectores de dirección independientes u
172
x
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
= (1,0, −1) y v = ( 0,1, −1) .
28. Comprueba que las siguientes ecuaciones paramétricas representan el mismo plano. P ara ello obtén tres puntos no alineados del primero y comprueba que los puntos obtenidos también pertenecen al segundo plano.
x = 2+ : y =−µ z = 2−
+ µ +µ
x = s π ' : y = t − s z = 4 − 2t + s
Tres puntos no alineados del primero:
=0, µ= 0 ⇒ A2(,0, 2 )
= 0,µ= 1⇒
B3, −( 1,3
)
=1, µ =0 ⇒ C3,0,1 ( )
Los puntos obtenidos pertenecen al segundo plano:
s = 2 A ( 2, 0, 2 ) ⇒ −t = s 0
⇒ = =t2, 2s 4 − 2t + s = 2
B ( 3,1−, 3
s = 3 )⇒st − =− 1t s⇒ = =2, 3 4 − 2t + s = 3 s = 3 = 0t s ⇒ = =3, 3 4 − 2t + s = 1
C ( 3, 0,1) ⇒ st −
29 a 32.
. Compatible
⇒ A ∈ π' .
. Compatible
⇒ B ∈ π' .
. Compatible
⇒ C ∈ π' .
Ejercicio s resuelto s.
33. Halla la ecuación del plano que pasa por los punto s A 2, 2,1 , B 1, 2, 1
y C 0, 1,2 .
A ( 2, −2,1) , AB = ( −1,0, −2 ) y AC = ( −2,1,1) .
−1 −2 x − 2 0 1 y2 +0 = ⇒ −1z 4+ +y8 2 + x4+ y −2+0+ : = 2 ⇒x5yz 1 z −1
−2
7+0 − + =
34. Halla las ecuaciones de los siguient es planos: a) Paralelo a XY y que pasa por A ( −1,2, −2 ) . b) Paralelo a XZ y que pasa por B ( 3, −2,0 ) . c) Paralelo a YZ y que pasa por C ( 0, −2, −2 ) . a) z = −2
b) y = −2
c) x
=0
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
173
35. En la fig ura aparece un tetraedro de vértices los puntos que contienen a las cuatro caras del tetraedro.
Los puntos son: O (A0,0,0 BC ) (,
)2,0,0 ( ), ( 0,3,0 ) ,
0,0,5
O, A, B y C. Calcula las ecuaciones de los planos
.
Las ecuaciones de las caras son: OAB : z
=0
OBC : x
−2 −2 x − 2
5 3 −0 x+10 y 0 = 1⇒ z
ABC : 3 0
0
=0
5
+6 =0⇒y
OAC : y
=0
z : 15+ 1ABC +0 − 6 =3 x0 0 y
36. Indica un vector director y otro normal del pla no de e cuación
2x
z
2y
0.
z
Dos puntos del plano: x =y0, = z⇒ 0 = O⇒ 0
0 = x =y 0, =1 ⇒z 2+ = z ⇒ A−
( 0,0,0 )
Un vector director: OA = ( 0,1, −2) .
Un vector normal: n =
37. Halla un ve ctor director y otro normal del plano que
pasa por los puntos
⇒2
−0,1, 2 (
)
( −2,2,1) .
A
1,2,
1 3
el srcen de coordenadas.
1 x 2 1 1 La ecuación del plano es 2 1 − 0 y= ⇒ z+ y + xz − 02= 0:⇒ xy + = 6 3 1 0 z 3
y B
1
, 1,0
, y por
2
−1
Un vector director es el OA = −1, 2,
.
1 paralelo a ( −3,6,1) . 3
Un vector normal es n = ( 2,1,0) .
38. Un plano tiene como vector normal el n
2, 3,2
y pasa por el punto
normal, su ecuación implícita y sus ecuaciones paramétricas.
+ 3− Ecuación normal: 2 x 1
2− y 2+ 5+ 0= z ) ( ) ( ) z 0 Ecuación implícita: 2 x −3+y+2= 18
(
x = λ Ecuaciones paramétricas: y = µ 3 z = − 9− + µ 2
174
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
A
1,2, 5 . Escribe su ecuación
39. Halla la recta perpendi cular al plano x
z
2 y que pasa por el punto
A 1,2,0 .
Vector normal del plano: n = (1,0,1)
Este vector n será vector director de la recta r buscada. Por tanto:
x = 1 + λ =2 ⇒ z = λ
x
=
r : y
−1
y −2 =⇒
1
0
z
1
y = 2 x z 1 − =
40. Halla el plano perpendicu lar a la recta
x
y
2
1
z y que pasa por el src en de coordenadas.
El vector ( 2,1,1) es de dirección de la recta y, por tanto, normal del plano. En consecuencia, la ecuación del plano
: 2 x + y+ =z
será
41 y 42.
0.
Ejercicio s resuelto s.
43. Estudi a la posi ción relativa de los planos
: 2 x − y− =z
a)
a) M =
2
−6
y
' en los siguientes casos.
': − 6 +x 3 +y3 −3z=0
0
b)
: 2 x − y− =z
' : 2 x + y− −z = 30
0
−1 −1 y M ' = 2 1− 1 −0 . rg ( M ) =1,(rg) 'M 2= ⇒ Los planos son paralelos. −6 3 3 3 3 3 −
b) M = M ' =
2
2
−1 −1 rg M =2, rg 'M2 = ⇒ Los planos se cortan en una recta. () ( ) 1 −1
44. Estudia la posición re lativa de los planos siguientes. a)
: x− 3− 2=y
b)
: x − y− 3=z
c)
: x − y− 2=z
a) M
' : 2− x+ 6
4+ y
=−1z
1
' : 2− x+ 2
6+ y
=−2z
1
' : 2 x −3+ y = z15
2z
1 −3 −2 1 3− 2 −2 = −2 6 4 y M ' = 2− 6 4 1 3 −9 −6 3 9− 6 −6
'' : 3 x− 9 −y 6= z6 '' : x + y+ =z 0 '' : x + z= −4
− . rg ( M ) =1< r(g )' M=2⇒
El sistema es incompatible y los tres
planos tienen el mismo vector normal. Además el primer y tercer plano son coincidentes. Por tanto, dos planos son coincidentes y el otro es paralelo a ellos. b) M
1 −1 −3 = −2 2 6 1 1 1
1 1− 3 1−
y
− .
M ' = 2− 2 6 2
1110
rg ( M ) =2= r(g) ' 2M= ⇒
El
sistema
es
compatible
indeterminado con un parámetro. Además, los dos primeros planos son coincidentes. Se trata, por tanto, de dos planos coincidentes y otro que los corta. c) M
1 −1 −2 1 1 − 2 − 1 − = 2 −3 1 y M ' = 2 3− 1 15 − . rg ( M =⇒ ) =3= r(g) ' 3M 1 0 1 1 0 1 4
El sistema es compatible determinado.
Los planos forman triedro. Para hallar el punto común P a los tres planos, se resuelve el sistema:
x
=
1 15 −4
−1 −2 −3 1 0
−8
1
= −=
40 −8
5; y =
1 1 −2 215 1 1 −4 1
−8
= −=
64 −8
8; y =
1 −1 1 2 3 15 1 0 −4
−8
=
−8 = 1. Luego P ( −5, −8,1) . −8
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
175
45 y 46.
Ejercicio s resuelto s.
47. Estudi a la posi ción relativa de la recta r y el plano
x = 2 + 3λ = λ
a) r : y z
en los sig uientes casos:
: 3x − y+ 2 +z1=0
2
= − 2+ 4
x = 2t + 3
b) r : y = t − 1 z = t + 2
a) 32 ( 3+)
π
: x 3− y+ − 8z0=
2 −( 2 +2) 4 − +1 0 15 + = 3⇒0
+ = ⇒
00 =⇒ b) 2t3+ − t3 t3 + + +2 −8 0t= ⇒
=−
1 7 2 1 4 . Se cortan en el punto P , − − 5 5 5 5
.
La recta está contenida en el plano.
48. Estudi a la posi ción relativa de la recta r :
y
z
x
3y
2 7
0
y el plano
: x2
.
y 2z0
Dos puntos de la recta son, por ejemplo, A ( −1,2,0) y B ( −4,1, − 1) .
Unas posibles ecuaciones paramétricas de la recta son
−1− 34 − + 2 +
+ 2= ⇒ 003 = ⇒
49. Calcula el valor de k para que la recta
x = − 1− 3 y = 2 − λ . z = −λ
La recta es paralela al plano.
r :
2x
x
y z
0
k
esté cont enida en el plano x
Dos puntos de la recta son, por ejemplo, A ( 0,0,k ) y B (1, −2, k −1
Unas posibles ecuaciones paramétricas de la recta son
zyx +
− − k=1 −2
− +10 k0 − k= 1 ⇒ 1 = + ⇒ =−
50. Ejercicio int eractivo. 51. Ejercicio resuelto.
176
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
).
x = λ y = − 2λ . z = k − λ
y
z
1
0.
52. Estudi a la posi ción relativa de las rectas:
x = − 2+ 2 = − 1+ z = 1 − 3λ
x = 1 + λ
a) r : y = − 2+ z = 3λ
x = 1 + λ
a) Punto de r: A (1, −2,0 ) ; vector de r: u = (1,1,3 ) .
Se calcula el rango de las matrices M
x = 3λ = − 2+ 4 z = 1
b) r : y = 2λ z = 2 + 3λ
s : y
s : y
s: B ( − 2, − 1,1) ; vector de s: v
Punto de
= ( 2,1, −3 ).
1 2 1 2 −3 . Como rg (M = 1 1 y M ' 1= 1 1 ) =2;(rg) 'M3 = ⇒ Las 3 −3 3 −3 1
rectas se cruzan.
b) Punto de r: A (1,0,2) ; vector de r: u = (1,2,3) .
Punto de s: B ( 0, −2,1) ; vector de s: v = ( 3,4,0 ) .
1 3 1 3 −1 = 2 4 y M ' = 2 4 2 − . Como rg ( M ) =2;(rg) 'M3 = ⇒ Las rectas 3 0 3 0 −1
Se calcula el rango de las matrices M se cruzan.
53. Estudi a la posi ción relativa de las rectas:
x = − 2+ 2 = − 1+ z = 1 + 5λ
2 x + y − z = 1 x − 2y = 0
a)
−4+ 4 1 − + 1 5− 1− −2+2 +2−2 =0
0= 7 = ⇒ 00 =
x − 2 y − 2z = 3 2 x − 3 y = 0
x + y − z = 2 2 x − z = 3
s : y
a) r :
s:
b) r :
⇒ No hay ningún punto en común a las dos rectas.
Además, tienen el mismo vector de dirección ( 2,1,5) , por lo que las rectas son paralelas. b) Puntos de r: A ( 2,1,1) y B ( 0, −1, −3 )
Puntos de s: C ( 3,2, −2 ) y D 0,0, −
r: u = −( −2, −2, 4 )
Vector de
3 2
s: v
Vector de
−3 −2 −2 y M ' = 2− 2 1 −4 −4 2
−2 Se calcula el rango de M = −2
−3 −1 1 2
1 = −3, −2, 2
1
. Como rg ()M =2≠ 3= r(g) ' ⇒M −3
Las rectas se
cruzan.
54 y 55.
Ejercicio s resuelto s.
56. Escribe la ecuación del haz de rectas:
x − y = 0 . y − 2z = 0
b) De vértice el punto P ( −1,4,0) .
a) Que son paralelas a r :
a) Se debe calcular un vector de dirección de la recta. Para ello, se obtienen dos puntos de ella: A ( 0,0,0) y B ( 2,) 2,1 ⇒ u AB=(
)
= 2, 2,1
El haz de rectas paralelas a r viene dado por la expresión:
b)
x−
2
1
=
y
− 2
2
=
z − λ3
1
+1 y − 4 z = = , con λ1 , λ 2 y λ 3 no nulos los tres a la vez. λ1 λ2 λ3
x
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
177
57. Escribe las ecuacion es de los sigui entes haces de planos .
x − y + z = 0 c) Que contienen a la recta r : 2 x − y + z = 0
: 3x +3 y− −z3= 0
a) Paralelos al plano
b) Que tienen como vector normal el n =
a) 3 x + 3 y− +z
= 0 , con λ ∈
b) − x+ 2 y− 3+z
= 0 , con λ ∈
c)
x −y +z
+ x (y2− z+
d) y + λ = 0 , con
( −1,2, −3 )
d) Paralelos al plano coordenado XZ.
= ) 0 con λ ∈ y además el plano 2x − y + z = 0 .
λ∈
58. Escribe la ecuación del haz
de planos que conti ene a la recta que pasa por los punt os
A 1, 1,3
y
B 0,2, 1 .
Las ecuaciones en forma continua de AB son: x −1
−1
3 x3− =−y−1 3 xy + 2−0 = 4⇒ − +x 4 =− +z 3 4 xz− −10=
y +1 z −3 = = ⇒ 3 −4
La ecuación del haz es:
3 x y+ −2 + 4 x z( 1−0− =
)
, con
λ ∈ añadiendo 4 x − z − 1 = 0
59. Escribe la ecuación del haz de planos que cont iene a la recta de ecuacion es paramétricas:
x = 1+ t r : y = − 2 + t z = 2 + 2t Las ecuaciones en forma continua de AB son: La ecuación del haz es: x y− −
x
−1 1
y +2 z−2 = = ⇒
1
2
x − =1y + 2 xy − − 30= 2⇒x2z 2 2 xz 0 −= −=−
+3 x z( 2− = ) 0 con λ ∈ añadiendo 2 x − z = 0 .
60. Comprueba que todos los planos que
tienen por e cuación
x
2:
y1 0 z
, siendo
cualquier
número r eal, cont ienen una misma recta. Escribe la ecuación de dicha recta.
)
(2 +
x y+ z+ 012− = x⇒x y +z 012+
+1 x)y− = (⇒0x z + − +
+ = 2 x + y − 1 = 0 x + z = 0
Por tanto, todos los planos de esta forma contienen a la recta r : 61 y 62.
Ejercicio s resuelto s.
63. Calcula la ecuación de la recta perpendicul ar al plano A
2 : x2
3 y
y que pasa por el punto
6z
2,3,4 .
La recta buscada r tiene como vector de dirección a n = ( 2,2, −3 ) normal del plano
x = − 2+ 2
⇒ 3 2 Por tanto, r : y = + z = 4 − 3λ
178
x+2
=
2
=
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
y
−3 z−4 ⇒ −3
2
x − y + 5 = 0 3 x +2 z2− 0 =
π
y pasa por A ( −2,3,4 ) .
64. Calcula la ecuación del plano perpendicu lar a x
paramétricas r : y z
:x
y
4 y que contiene a la recta de ecuaciones
3z
1 t 2
t .
3
2t
El plano buscado tiene como vectores de dirección u
= (1, − 1,2 ) de la recta r y el normal n = (1, − 1,3 ) del plano π.
1 1 x −1 ' : 1− 1− 2 −y0= ⇒ + 3− x0= y 2 3 z−3
Además, pasa por el punto (1,2,3) de la recta r. Plano buscado:
65. Verifica si los puntos A, B, C y D son o n o coplanarios. a) A ( 2,1,0 ) (, B )4,2,0 ( , )C(1, −2,0 ) , D1,2,0 b) A (1,1,1 ) (, B 2,2, ) ( −1 , )C( −1,2,2 ) , D2,1,2 a) Todos los puntos pertenecen al plano
z
= 0 . Por tanto, son coplanarios.
b) Se calcula la ecuación del plano que pasa por los puntos A, B y C:
1
AB = (1,1 −, )2;
AC 1 (=− )2,1,⇒
1 1
−2
−2 x − 1 0y ⇒ 0 + 3+ 3 3 − = ⇒ 9 x0 +y + : =z − =1 ⇒ 1 z −1
El punto D no pertenece a π ya que 2 1 + +2−3
≠0 ⇒
−2 2+() 0
+ =⇒
=
y
z
x y
2y
3z
6
z
y al punto
A 2,2 , 2 .
7 2
7 2
x −y2z+3 −6 +y z
67 a 76.
2 4−6−6 (−) 0= ⇒
x
A, B, C y D no son coplanarios.
66. Calcula la ecuación del plano que cont iene a la recta r :
x −y2 z+3 6 − +yz
3
0 :x) y2z +3 − − 12=0 − =( ⇒
Ejercicio s resuelto s.
EJERCICIOS Coordenadas de un vector 77. Para cada uno de los sigui entes ca sos calcula las coordenadas del vector de extremo e l punt o B.
src en el punto
A y de
1 2 3 b) A , −2, ; B1−, ,2 2 2 5
a) A ( 2,0, −)3( ; B )0,3, − 5
a) AB = ( −2,3, −2 )
78. Del vector PQ
b) AB
2,0,3
,1 = − 32 , 13 5
se sabe que el srcen tiene coordenadas
P 1, 2,3 . Calcula las coordenadas del
extremo Q.
OQ = OP+ PQ =
− (1, +2,3 −)(
=) −2,0,3 (− )
1, 2,6
, luego Q = ( −1, −2,6 ).
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
179
79. Del vector PQ del srcen
se sabe que el extremo tiene coordenadas
4, 1,2
Q 2, 3, 4 . Calcula las coordenadas
P.
OP OQ = QP + OQ=PQ −
= − −( 2, − 3,−()4) =(−4,−1,2 − ⇒ ) =2,(−2,−P 6− )
2, 2, 6
División de un segmento 80. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A y B para cada uno de los sigu casos.
1 , −3, −4; B 2−, , 22 3 3 3
c)
5 ,− 7 , 1 6 6 3
c) M
a) A ( −3,2, −) 3 ( ; B) 1, −2,1
b) A
a) M ( −1,0, −1)
b) M −
81. Calcula las coordenadas de
⇒ −3((−, 6),=6 3−a a−2), 1a +22,⇒ 3a1= a =1a 32,=−⇒3(0A ),
3 PQ =PB ⇒ − ((3, −)6,=6 2
3 b− b) −b 2, ⇒ b3 b =1 1 2+ 2, 2
1
3,
3 2 , 2 3
P 2,2, 1
y
3, 0, 3 4, 2, 5
A, B y C que dividan al segmento de extremos
1
2
2
3
P 1, ,
y
en cuatro segmentos de la misma longitud.
4 1 2 3 1 13 ⇒− 4,1,= 4a− −a1, a1, +2 ⇒3 a= a =1 0a,2 −= ⇒3, A − 2 3 4 3 34 3
4 PQ =PA
0,,
4 1 2 b 2 , 3B1− , 0 ⇒− 4,1=, − b−1,1b +2b3 ,b =− 1= b 2=1⇒ 2 3 3
PQ =PB 2
−3
b =−2 3,=−3⇒ (B) 2, − − 5
82. Calcula las coor denadas de tres puntos
Q
15 5 9 , ,− 2 2 2
ud.
PQ =PA 3
A ( 5,3, − )2( ; B 1)0,2, −7
dos punto s A y B que dividan al segmento de extremos
en tres segmentos de la misma longit
Q 5, 4, 7
ientes
4 44 ⇒− 4=,1, 3 33
PQ =PC
c− c −
1,1,0
1 2 5 1 1 5 ,c − = c =1 c 2=3 2⇒ ,C − , c11, 2+ ⇒ 3 2 3 4 3 3 4
83. Dado el segmento de extremos
(
)
2,,
A 2,1, 1 y B 5, 2, 8 :
a) Calcula las coordenadas del punto C de forma que B sea el punto medio del segmento AC. b) Calcula las coordenadas de dos puntos P y Q pertenecientes al segmento AB y tales que dividan a este segmento en tres segmentos de igual longitud.
a) AC
= 2AB⇒ −( c1 22−,3 c +1,(=)) c 1− 23⇒, 3,=91
b) AB = 3 AP ⇒
AB =
180
−3(=,)3,9 3−
3 AQ ⇒ −( 3, = ) 3,9 2
2
=− 3 8=, c⇒( ) 5,−c 17 c 8, 5,17 C
,p 3 =1 p =1 −)2p,1 + 21⇒ 3 2
− )−q12,+2 ⇒ q31, = q 11 = −
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
= ⇒p () 0, p 2
233,
2
=⇒ 4,q3( ) − 1, q
p 3, 0, 2
5 q
P
4, 1,5 Q
Ecuaciones de la recta 84. Escribe las ecuacion es paramétricas, la ecuación en forma contin ua y las ecuaciones implícit as de la recta: a) Que pasa por los puntos A (1, −2,0 ) y B ( 2, −3, −1 ) . b) Que pasa por el punto A ( −2, −2,0 ) y lleva la dirección del vector u
= ( −1, −1,4 ) .
1 1 1 2 c) Que pasa por el punto A − , −2, y lleva la dirección del vector u = ,0, . 2 3 2 3
x = 1 + λ
a) AB 2: y:−−= ⇒
AB =
x −1
:= ⇒ 1
y
+2 −1
− x+ = 1y+ 2 −+x= 1z
z
xy + + =01 AB xz +−=
AB⇒
:
−1
1 0
z = −λ x = − 2− b)y r :2r :−=− ⇒
x + =2y+ ⇒ 4x8+ =− z
x+2 y +2 z r: =r: =⇒ −1 −1 4
z = 4λ
x =− 2+ 1 2 3 3 x+ : 3 yc) r2: r−: = ⇒ = = r⇒ 1 1 1 z = + λ 3 2 2
85. Dados los punt os A 1, 1,2 la recta que pasa por el src
+2
y
0
y + 2 = 0 1 1 1 1 x+ = z− 3 3 6
z− r : 2⇒
1 2
0
y B
1
2 xy − = 4 xz +8+0 =
2
3
y + 2 = 0 2 x3 −0 z +
=
1, 2,0 , calcula unas e cuacion es paramétricas y unas implícit as para
en de coordenadas y tiene como vector
de dirección al vector
AB .
AB = −( 2−, −1, 2 )
x = − 2λ = −λ z = − 2λ
Ecuaciones paramétricas: AB : y
Ecuaciones implícitas:
x − 2y = 0 x − z = 0
AB :
86. Calcula dos punto s de cada una de las siguientes rectas.
x = − 2+ 2 = − 1+ = − 1+ 2
a) r : y z
b) r :
−1 y + 2 z = = 2 −1 −2
x
x − 2y c) r : 2 x − y
+z=0 −z=0
b) A (1, −2,0 ) ( ; B )0,0, −2
a) A ( −2, −1, )−1( ; )B 0,0,1
c)
A ( 0,0,0 ) (; )B 1,1,1
87. Calcula un punto y un ve ctor de dirección de ca da una de las siguient es rectas.
x = − 3λ a) r : yz == −1 −2+4λ3 a) P ( 0, −2,1 ) (; u=−
x b) r :
=) −2,1,3
c) P ( 0,3,)−1 ;( u
=) 1, −2,2
y
−2 1
z
=
+2 3
2 x + y = 3 c) r : 2 x − z = 1
)−3,3, 4
b) P ( 0,2, )−2 ;( u
−2 =
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
181
88. Calcula la ecuación en forma continu a y las ecuaciones impl ícitas de la recta de ecuaciones paramétricas:
x = 1 − λ = 2 + 2λ z = 3 − 3λ
r : y
Se despeja el valor del parámetro λ :
x −1
−1
=
y −2
=
2
z−3
−3
2x + y − 4 = 0 ⇒ 3 x − z = 0
89. Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación en forma conti nua de la recta de ecuacion es implícitas:
3x − y− −z =1 + y− − =z 3
r : x
0 0
Dos puntos de la recta: x
−y − z = 1 0 =⇒ ⇒z y=− A=⇒2, 1− y − z = 3
0,1,2 (
)
x
1 =⇒
− y − z= − 2 zy= B= ⇒0, 2 y − z = ⇒ 2
1, 2, 0 (
)
Vector de dirección: AB = (1,1,2 )
x = λ = 1+ λ = − 2+ 2
Ecuaciones paramétricas: r : y z
Ecuación en forma continua:
r:
x
1
=
y
−1 1
=
z+2
2
90. Escribe las ecuacion es de cada una de las siguient es rectas. a) Eje X. b) Paralela al eje Y y que pasa por el punto ( 3,0,2) . c) Bisectriz de los ejes positivos X e Y.
y = 0 z = 0
x = 3 z = 2
a)
z = 0 x = y
b)
c)
91. Escribe la e cuación en forma continua de las re ctas que se indican a continuación. Ca lcula un punto y un vector di rector d e cada una de ellas. Te n en cuenta que las ecuaciones dadas no están en for ma conti nua. a) r :
a) r :
x
2
=
2y − 2 z − 1 = 3 −3
x y−2 2 −z 1 x y− 1−z 1 = =⇒ = = 2 33 2 − 3
−+ x −1 2 y4− 3 2 z = = 3 2 −4
b) r :
3 2
Punto: ( 0,1,1)
−
Vector director:
2, 3, −3 4, 3, 6− ) 2 (
2 x b) r : −+
y2 4 3z− 1 −= − −1y = = 2 x⇒ 3 2 4 3− 1
182
2=
−
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
z−3
−
4 3
Punto: 1,2,
2 3
Vector director:
−3,−1, 4− (−9, 3, 4 ) 3
92. Se consi dera la recta que pasa por el punt o A
1,2, 3
y tiene como dirección
la del vector
u
2, 1,2 .
a) Escribe las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones continuas de la recta. b) Decide cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta y cuáles no: P ( 5, −1,3 )
3 2
R 0, , − 2
Q ( −3,3, −4 )
c) Escribe dos puntos más de dicha recta.
a) Ecuaciones paramétricas:
b) P sí pertenece
x = − 1+ 2 2 y = − λ z = − 3+ 2
Ecuación en forma continua:
x
+1 2
=
y
−2 z+3 = 2 −1
1 ( λ = 3 ) ; Q no pertenece (no existe ningún valor de λ ); R sí pertenece λ = . 2
c) S ( −5,4, −7 ) para λ = −2 y T ( 3,0,1) para
λ =2.
93. Verifica si los sigui entes puntos pertenecen o no a ecuaciones paramétricas. a) A ( 2, −1,2 ) ( , B)3,0,3
una misma recta. En caso afirmati vo, calcula sus
y C ( 4,1,4 )
b) A (1, −1),1( , B −)1, −2, 1 y C ( 3, −1,1) c)
A ( 3,0, −)2( , B )−4,2,0
y C ( 3,1,0)
a) AB = (1,1 ),1 , AC ( ) = 2,2,2 . Como AC = 2 AB , entonces A, B y C están alineados:
b) AB
c)
x = 2 + λ y = − 1+ z = 2 + λ
=−(− 2, 1), 0 ,=(AC) 2, 0, 0 . Como no son proporcionales, A, B y C no están alineados.
AB = ( −7,2),2 , AC ( )= 0,1,2 . Como no son proporcionales, A, B y C no están alineados.
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
183
Ecuaciones del plano 94. Escribe las ecuacion es paramétricas y la ecuación implícit a del plano: a) Que pasa por el punto A ( −1,3,1) y lleva la dirección de los vectores u
= (1, − 1,3 ) y v = ( −1, − 1,4 ) .
b) Que pasa por los puntos A (1, −1, 2) , B ( 2,0, −1) y C ( −3,1,0) . 1 1 1 1 3 3 1 c) Que pasa por el punto A − ,2, y lleva la dirección de los vectores u = ,0, y v = , − , . 2 2 3 2 2 2 2
d) Que contiene al triángulo de vértices A (1,0,0) , B ( 0,1,0) y C ( 0,0,1) .
x a)
1 y == −3−1+ − µ− ⇒ µ − 1 1−1 y−x1−3 =0x⇒ zy+ 7+ 2 +22 0− = 3 4 z −1 z = 1+ 3 + 4µ
b) AB = (1,1−, )3;
AC (= − 4,)−(2, 2 ||−) 2−,1, 1⇒
=−+
x = 1+
− 2µ
1 −2 x − 1 1+ = ⇒ 1 +0 2 +y −7 = 3 1 0x z = 2− 3 − µ −3 −1 z − 2
1+µy⇒
1
y
z
x = 3+ 2 + µ 3 2 1 x+ 2 2 −µ ⇒ 0− 1 y− 2= 0⇒zyx6− 6 −4 +23= 0 c) y = 2 1 1 3 3 z− z = + 3 + 3µ 2 2
d) AB
=−( 1,1), 0; AC ,1 = (=− ) 1, 0⇒
95. Dados los punt os A 1,1, 2 , B
x = 1− −µ y ⇒ + + − = x y 1 z0 z = µ
1, 2, 3
y C 1,1,0 , calcula la ecua ción implícita del plano q ue pasa por
el srcen de co ordenada s y tiene como vectores directores
AB = −( −2, −3, 1 ) y AC = ( 0,0,2)
−2 0 x y0 −3 0 = ⇒−6 +4x=0y ⇒3− x=2y0 −1 2 z
96. Calcula dos punto s de cada uno de los siguient es planos.
a)
x = − 1− + µ : y =2+ 2 − µ z = 3− 3 − µ2
a) A ( −1,2,3) , B ( 0,1,1)
184
b)
: 2 x + y− 3= 1z
b) A ( 0, −2, −1 ) , B (1,2,1)
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
AB y AC .
97. Calcula un punto, dos vectores de los sig uientes planos.
dirección linealmente
x = − 1− : y = 3 − 2µ z = 1− 2 −µ
a)
a) P ()−(1 ),u0) ,1;
b) n
b)
=− v−1, 3, 2 ,= − 0−, 2, 1; 3 − y 2
−1
0
zy=n x ⇒−0
independiente s y un vector normal de ca da uno de
: 3 x − y− 2= z 0
x +1
2 =9− −0 − +7( −) = ⇒ −2 −1 z − 1
x = λ = ( 3−),− 1, y2 ;= −µ⇒3 O 2 u ( ) =v0( , 0), 0( ; )= 1,−3, 0 , z = µ
7, 1, 2
0, 2,1
98. Escribe unas ecuaciones paramé tric as para el plano de ecuación implícit a
: x 2 3y
1z
.
x = 1+ 2 − 3µ y = λ z = µ
99. Escribe las ecuaciones paramétricas para n
x
el plano que pasa por
A 1,3, 2
y tiene como vector normal
1, 2,0 .
− 2y + D = 0 . Como A (1,3,2− )∈
Ecuaciones paramétricas:
1 6 − + 0=D⇒ 5= ⇒ D −2 5 +x0 = y ⇒
.
x = − 5+ 2 π : y = λ z = µ
100. Escribe la ecuación impl ícita del plano de ecuaciones paramétricas:
x = − 2− 2 + 3µ : y 1=2−2 − µ z = 1+ 2 − 2µ
Ecuación implícita:
−2 3 x + 2 −2 −2 −1y =0 ⇒4 + +xy5 z+2 =0 2 −2 z − 1
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
185
101. Verifica si los siguientes puntos pertenecen o no a un mismo plano. En caso afirmativo, calcula su ecuación. a) A ( 2,1,1 ) ( , B 1,0, ) ( −2 ,) C −1,2,0
y D ( −2,0, −5 )
c) A (1, −1,1 ) ( , −B )1,( 2,1− ), C 3, 1,1
y D ( 2,1,6)
b) A (1,1,1 ) ( , B )−1,2,1 ( ,) C 2, −1,1
y D ( −2,2,2 )
d) A (1, −1,2 ) ( , B 2,0, ) ( −1 ,) C −3,1,0
y D ( −3,3,3 )
(
Si rg ,AB ,AC AD 3
−1 11 a) rg − −3
)=
−3 −4 1 − = 2⇒ −1 −6
b) rg 1−2 2−11 0 0
(
⇒ No coplanarios.
Si rg ,AB ,AC AD 3
Coplanarios: x + 2y− −z = 3
)<
⇒ Coplanarios.
0
−33 = ⇒ No coplanarios. 1
−2 2 1 3 = ⇒ No coplanarios. 0 0 5
c) rg −1 0 2
1 −4 −4 d) rg 1 2 4 3 = −3 −2 1
⇒ No coplanarios.
102. Escribe las ecuaciones de cada uno de los si guient es planos. a)
b)
c)
a) z = 0 b) y = 1
−a −a x a − c)
186
b
00
0
c
y z
= ⇒ 0bc x−( a+ a )cy + abz =⇒
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
+ bcx+ 1acy = abz ⇒ +abc + =
x
y
z
a
b
c
Posiciones relativas de dos planos 103. Estudia la posición relativa de los dos planos a)
: 2 x − y+ =z 0 ' :2− x+ +y= 1z
a) M =
2
b) M =
2
−2 −4
b)
−1 1 , M ' 2 − = −2 1111 01 1 1 −1 2
y
: 2 x − y+ =z 0 ':− 4 +x 2 −y2 =1z
' en los siguientes casos. c)
: 2x − y+ =z 0 ': − 4 +x2 −y2 =0z
d)
: x + y− =1 0 ' : x + z−2=0
; rg (M ) =2;(rg) 'M2 = ⇒ Se cortan en una recta.
1 , 2 1− 1 0 M ' = −2 −4 2 2 −1
; rg ( M ) =1; (rg) 'M 2= ⇒ Planos paralelos.
2 −1 1 , M = 2 1− 1 0 ; rg ( M ) =1; (rg) 'M1 = ⇒ Planos coincidentes. ' −4 2 −2 −4 2 2 −0 ; rg (M d) M = 1 1 0 , M ' = 1 1 0 1 ) =2;(rg) 'M2 = ⇒ Se cortan en una recta. 1 0 1 1 0 1 2
c) M =
Posiciones relativas de tres planos 104. Estu dia la posició n relativa de los tres planos a)
b)
: 2x − + y =z 0 :' 3 x + +y4 0= z '' : x + y− =z 3 : 2x + + y =z 0 ' : x + y− =z 0 π '' : x +2 z 1=
,
' y
'' en los siguientes casos.
c)
: x + y− =z 0 ' :3 x2+ + y1=0 z 1= 0 '' : x +2 +
e)
: 2 x − y+ = z 0 ': x2− 3 +y =1 z '' : 3 x− 3 +y 4= z1
g)
d)
−:2− x +3y =3 z '6 : x3 + 9y− = −9z '' : −10 −x +5 y 15 = z15
f)
:2 x − 4 + y6 +1=z0 :' 2 x + + y 0= z '' : x −2 y+ 3− z= 1 0
h)
2: x − +y3 4= z :' 2x − y− 7=z− '' :−2 x+ −y = z2
: x + y− =z ' : x − y+ =z π '' : x =0
a) rg ( M ) =3;(rg) 'M 3=
⇒ Se cortan en un punto.
b) rg ( M ) =2;(rg) 'M3 =
⇒ No existe ninguna pareja de planos paralelos, los tres planos forman un prisma.
c) rg ( M ) =2;(rg) 'M2 =
⇒ Se cortan en una recta sin que haya ninguna pareja de planos coincidentes.
0 0
d) rg ( M ) =1;rg ( ) M' 1= ⇒ Los tres planos son coincidentes. e) rg ( M ) =2;(rg) 'M2 = f)
⇒ Se cortan en una recta sin que haya ninguna pareja de planos coincidentes.
⇒ Como π y π '' son paralelos, son dos planos paralelos y uno que los corta.
rg ( M ) =2;(rg) 'M3 =
g) rg (M) =r(g ) M ' 3=
⇒ Se cortan en un punto.
h) rg (M) =r(g ) M ' 2=
⇒ Se cortan en una recta sin que haya ninguna pareja de planos coincidentes.
Posiciones relativas de recta y plano 105. En cada uno de los siguientes casos, estudia la posición relativa del plano siguientes.
x = 1 + t = − 2t = 3t
b) s : x = y = z − 1
a) r : y z
2
a) 1 + t+2t 6+t 1 = ⇒ t 0= ⇒
b)
4
1
=0 ⇒
y
2z
1 y las rectas
x = 1 + 2t = 4t =t
c) t : y z
La recta corta al plano en el punto P (1,0,0) .
x − y + 2z = 1 1 −1 2 1 1− 2 1 4 2 0 , M = 4 −2 0 , M ' = 4 2 −0 0 x− y = 1 0 2 2− − x − 2z = −2 1 0 −2
c) 1 +2 4t− t +2 t =1 0 ⇒t
:x
. rg ( M ) =2;(rg) 'M3 = ⇒ Recta paralela al plano.
La recta está contenida en el plano.
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
187
106. En los sigu ientes casos, calcula el punto de int x
a) r :
=
1
y
−1
z
=
: 2 x + y− =z
1
ersección de la recta
r con el plano
x = 10 − 3t = − 7 + 2t = −1 + t
.
: 3 x +2 y− +z1=0
b) r : y z
0
π
a) Escribiendo la recta r en paramétricas y sustituyendo en el plano se obtiene: 2t t−t − = ⇒0 t
=0⇒ 0
La recta está contenida en el plano.
b) Se sustituye la recta r en el plano: La recta corta al plano en el punto P (1, − 1,2 ) .
310 6 −t 18 =− ⇒ 3= ⇒ ( 3−) t(2+7 −2) +t 1t + −1 +0 =t ⇒
Posiciones relativas de dos rectas 107. Estudi a la posi ción r elativa de las rectas r y s en los si guientes casos.
x
a) r :
−2 y = = z +1 2 −1
x
b) r :
−2
: c) r x
=
y
=y−z =
a) Recta r: u
M
+1 2
=
z
3
s:
x
+2 1
= ( −1,2,1) , P ( 2,0, −1)
Recta s: v
x 1
x 3
=
=
y 2
=
z
y −2 2
s:
3
=
x
−1 3
=
y
−1 2
=
z
1
x = −3 + t s : y = −5 − t z = 6 + 3t
z−5 4
M
= (1,2,1) , Q ( −2, −8, −5 )
Recta s: v = ( 2, −2, −3 ) , Q ( 0,0,0)
M
Recta s: v = ( 3,2,1) , Q (1,1,0 )
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
= ( 0,1,0)
PQ = ( 0,0,0 )
PQ
= (1,1,0 )
Rectas que se cruzan.
Recta s: v
3 1 3 1 −3 = 2 −1 , M ' 2= 1 −7 − . rg ( M ) =2 r=(g) ' 4 3 4 3 1
PQ
⇒ Rectas coincidentes.
1 3 1 3 1 = 2 2 , M ' = 2 2 1 . rg ( M =⇒ ) =2≠ r(g ) ' 3M 3 1 3 1 0
e) Recta r: u = ( 3,2,4 ) , P ( 0,2,5)
= (− 4,− −8, )4=−( ) 4 1,2,1
Rectas paralelas.
Recta s: v = ( −1,1, − 1) , Q ( 0,0,0)
1 −1 0 1 −1 . rg ( M = −1 1 , M ' = 1− 1 0 =( ) ' ) =1 rg 1 −1 1 −1 0
PQ
⇒ Rectas secantes.
−2 2 −2 2 0 . rg ( M = 2 −2 , M ' = 2 2 −1 ) =1≠ rg ( )' M=2⇒ 3 −3 3 −3 0
d) Recta r: u = (1,2,3) , P ( 0,0,0)
188
d) r :
e) r :
= −21 21 , M ' = 2−12 21 1 . rg ( M ) =2 r(=g) ' 1 1 1 1 1
M
=z+5
x = −t =t z = − t
c) Recta r: u = (1, − 1,1) , P ( 0,0,0)
M
+8 2
s : y
M
y
x = 2t s : y = − 2t z = − 3t
b) Recta r: u = ( −2,2,3) , P ( 0, −1,0 )
M
=
M
= (1, − 1,3 ) , Q ( −3, −5,6 ) ⇒ Rectas secantes.
PQ = ( −3, −7,1)
Haces de rectas y planos 108. Escribe las ecuacion es de los haces de rectas:
2 x + 3 z = 0 2x − y+ 2z=− 8
a) Paralelas a r :
2 x + y + z = 2 x − y + z=− 1
: x + 2y− =z
b) Que pasan por el punto de intersección del plano
4 y la recta r :
a) Se calculan dos puntos de la recta y, con ellos, un vector de dirección: A ( 0,8,0) , B ( −3,6,2 ) , BA = ( 3,2, −2 ) . x
− 3
La ecuación del haz de rectas paralelas es:
y−
1
=
z − λ3
2
2
= −2
b) El punto de intersección de la recta y el plano es:
x + 2y − z = 4 x2 y= z 1=, 2 x y+z + = ⇒ x − y + z=− 1
=−, P⇒ 1 1
− 1,1, 1 (
x −1
) . Ecuación del haz de rectas secantes:
λ1
=
−1 z +1 = λ2 λ3
y
109. Escribe la ecuación d el haz de planos secantes en las rectas:
x = 1− λ
a) r : y = − 2+ z = 1− 2λ
a) r :
x −1
−1
b) s : x
b) s :
− 1 = y −⇒ =+12
z
3
−1 2
=
y
x + y + 1 = 0 ⇒ 2 x − z − 1 = 0
y + 2 z −1 = = ⇒ 1 −2
2
x
2y + 3 = 0 3x x+⇒ −2 z3− 0 =
+2 z = 3 −1
Haz: x y+ + +1 x2z( − − 1 0=
Haz: x +y 2 3+ + x3 z2(−
λ ∈ , añadiendo
)
3 − 0=
)
2x
− z −1= 0 .
λ∈,
añadiendo 3 x −2 z3−0 =
110. Escribe la ecuación del haz de planos paralelos, tal que uno de ellos pase por los puntos
B 3, 0, 3
y C
A
2,1,1 ,
2,1, 4 .
5
Plano que pasa por A, B y C:
0
−1 0 −4 3
x+2 y1− 0= ⇒: z −1
y +5 3 −x0 = ⇒
Haz: x + 5y+
= 0, λ ∈ .
Síntesis 111. Dados los puntos
A
1,2,0
y B 5, 2,4
, calcula las coordenadas del punto
interior d el segmento de extrem os A y B, tal que la distancia de
Equivale a partir el segmento en cuatro partes iguales, luego buscamos C tal que AC
Tomando coordenadas, se tiene que: ( c1c+2 1−c,3 2 ,) = (
1 4
6, c41, 4=c2 )−⇒
c3 C=
C que está situado en el
C a B sea el triple que la distancia de
1 , =⇒ 1, 2
1
=
C a A.
1 AB . 4
1 2
,1,1
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
189
112. *Calcula el valor de a para que los puntos
AB || AC ⇒ (3,2,−)(1 ||− 1, )+,1a⇒ a=
=
32
−1
1
⇒ =− a
A 2,0, 1 , B 5,2, 2
− 2 1+ a
a
y C 1, a, a pertenezcan a una misma recta.
3
A 0,2,2 , B 1,1, m 2 1
113. Calcula tod os l os val ores d e m que hacen que los puntos del espacio C 2,0,2 m
y
pertenezcan a una misma r ecta.
Escribe unas ecuacion es implícit as para e sa recta.
2 2m− 2− =4⇒m 0 2= = 2−,2, 2 −m2⇒ 2 − 3m = 22− ⇒ ( ) ( ) x y −2 z−2 x x + y = 2 Si m = 2: Si m = −1: = = ⇒ = 1 1 1 −1 x − z = −2 AB
= 1, −1, m 2 −3
; AC
(
m =−2,
)
114. Calcula el valor de
m para que los puntos del espacio
y
1
m
m
− 2 z − 2 x + y = 2 = ⇒ −1 −2 2 x + z = 2
A 0,1,2 , B 1,0,3 , C 1, m,1
y D m , 1,2 m
pertenezcan a un mismo plano.
Para que A, B, C y D sean coplanarios se debe verificar que el rango de la matriz cuyas filas son los vectores AB , AC y AD sea 2. Por tanto:
1
rg1
m
−1
1 − 1 m
−2
1 m2, = 2 =− − 2 = ⇒m4 0− = 2m ⇒ 2m − 2
115. Calcula el valor de a para que los puntos
A 3,0,2 , B 0,a, a , C 1,2,2 y D
1, 1,0
sean coplanarios.
Para este valor hallado, calcula la ecuación del plano que contiene a los cuatro puntos.
−2 −4 x − 3 y 0= ⇒: 2 2x − + y−5z 4+0 = 0 −2 z − 2
Ecuación del plano que pasa por A, C y D: 2 1
0 Para que B pertenezca a π , se debe verificar: 2a −5 a+4 =
4 3
⇒ =a
116. Dadas las rectas:
x − kz = 2 y − z = −3
r :
s:
x −1
2
= y +1= z
¿Existe algún valor de k que haga que estas rectas sean secantes?
x − kz = 2 y − z = − x − 2z = 13 , y − z = − 1
M
1 0 −k 1 0 −k 2 = 01 01 −−21 , M ' = 01 01 12−−1 3 − . Entonces, 0 1 1− 1 − 0 1 −1
Para k = 2, rg ( M )
= 2 y rg ( M' ) 3= .
M'
=0⇔k =2
Para k ≠ 2, rg ( M )
= 3 y rg ( M' ) =4 .
En cualquier caso, el sistema es incompatible. Por tanto, no existe ningún valor de k para el cual las rectas se corten en un punto.
190
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
117. Dadas las rectas:
x + y − z=− 6 2 x − z = − 2
s:
r :
x
+2 2
=
y
−2 m
=
z +1
2
Estudia sus posicio nes relativa s según l os valores de
Recta r: Punto: A ( −1, −5,0 ) , vector director: ur = (1,1,2) .
M
1 = 21 m
2 , M ' 2
Si m = −14, rg ( M'
m. Recta s: Punto: B ( −2,2, −1) , vector director: us = ( 2, m,2 )
1 1 2 1 1 2 = 2 m 2 , rg ( M ) = 2 , 2 m 2 0 = ⇒14m=− −1 7 −1 −1 7 −1
) 2= y las rectas se cortan.
Si
m ≠ −14, rg ( M ' ) = 3 y las rectas se cruzan.
CUESTIONES 118. Indica si son verdaderas o falsas las sigui
entes afirmacion es.
a) Dos rectas paralelas determinan un único plano. b) Desde un punto exterior a una recta solo se puede trazar una paralela a ella. c) Desde un punto exterior a una recta solo se puede trazar una perpendicular a ella. d) Dos rectas que se cruzan no forman ningún ángulo. e) Dadas dos rectas que se cruzan y un punto exterior a ellas, solo hay una recta que pase por ese punto y toque a las dos rectas. a) Verdadero, porque basta tomar dos puntos A y B de una de las rectas y otro punto C de la otra recta. Entonces se puede definir el plano que pasa por A y lleva la dirección AB y AC que es el plano determinado por las dos rectas paralelas.
b) Verdadero, porque sería la recta que pasa por ese punto y tiene por vector director el de la recta dada. c) Falso, hay infinitas rectas perpendiculares a una recta que pasan por un punto exterior, solo una de ellas cortará a la recta, pero la afirmación no exige que sea secante. d) Falso, porque el ángulo que forman dos rectas que se cruzan es el formado por los vectores directores de esas rectas. e) Verdadero, puede ser una o ninguna. Si el plano que contiene a una de las rectas y pasa por el punto exterior es paralelo a la otra recta, no hay ninguna. Y si dicho plano es secante a la recta en un punto, la recta buscada es la que pasa por el punto de corte y el punto exterior. 119. Dado un plano y un pun to de él: a) ¿Cuántas rectas se pueden trazar que estén contenidas en el plano y que pasen por el punto? b) ¿Cuántas rectas se pueden trazar y que sean perpendiculares al plano y que pasen por el punto? a) Infinitas, porque existen infinitas direcciones en el plano.
b) Una única recta.
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
191
PROBLEMAS 120. Dado el plano
:
: 6x 4 y3 z D 0
a) Calcula el valor de D para que el plano pase por el punto P ( 2,0,0) . b) Calcula las coordenadas de A, B y C, que son los puntos de corte de los ejes de coordenadas con el plano π . c) Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A, B y C. a) 6 2⋅ +4 0⋅ −3 0⋅ − ⇒ = D 12 D⇒ b) Eje X:
: 6 + 4x −y3 z+ 12= 0
y = 0 z 0 ⇒ x = 2 =
2 3
c) Baricentro: G ,1, −
Eje Y:
x = 0 z 0 ⇒ y = 3 =
4 3
121. Dos de los vértices de un triángulo son los pu 1
punto G
3
,
1 3
x = 0 ⇒ z = −4 y = 0
Eje Z:
ntos
A
2,1,3 y B 2, 1,4
. El baricentro está situado en el
,3 .
Calcula las coordenadas del tercer vértice
C.
Sea C (a,b,c ) el vértice buscado. Entonces:
−2 + 2 + a 3
=
1− 1+ b 1 = − ⇒ b= − 1 3 3
1 ⇒a =1 3
3+4+c =3⇒c =2 3
Por tanto, C (1, −1,2 )
A 3,1, 1
122. Escribe la ecua ción d el plano que pasa por lo s punto s ecuaciones: r:
AB =
( −1, −1, 4 ) ,
ur
x
−2 1
=
y
−1 3
=
z−3
4
−1 1 x − 3 = (1, 3, 4⇒ ) − 1 3y − =1⇒0z yx −: 8+ 4 − = 19 0 4 4 z +1
123. Determin a la ecuación del pl ano que pasa por el pun to P
r:
ur
192
y B 2,0,3 , y es paralelo a la recta de
x
1) 3 = ( −1,3, −4 ) , us = ( 3,−1, ⇒
+ 2 y −1 z − 3 = = −1 3 −4
2, 3,2
x = 2 + 3t =t z = −1 − t
s : y
−1 3 x + 2 1y + =3⇒ 0xyz − : − 13− 1 =0 17 0 −4 −1 z − 2
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
y es paralelo a las rectas:
124. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto
y es paralela a la recta determinada por la
A 2, 3, 0
intersección de los planos:
: 2x − 3 +y
x −1 ':3 y0 = ⇒ z−2
1 1 '1 : 1− 2 1
r
r :
2x
x
y y
z z
3 x + y−2 1+z0= 2 x 3 y z 0 − + =
+xy−2z 1+ =0 ⇒sr :
⇒ ur = (5, 7, 11)
x = 2 + 5λ y
: z == 11 −3 7λ+.
La recta buscada es
125. Halla la ecuación
x = 1+ t + s π ' : y = t − s z = 2 + 2t + s
= 0z
del pl ano qu e pasa por
el pu nto
P
y es perpendicular a la recta
1,1, 2
1 . 0
x = 1 + 2λ =− ⇒ =u 2,1(−,3 − z = − 1+ 3
r : y
) es normal a
⇒2xy −zD−3 + 0= ⇒21−6−D+ +0 D= ⇒3 : =− 2x⇒ y z 3 3−0−
126. Halla la e cuació n de la recta perpendicul ar al plano
2: x
−=
y que pasa por el punto
y2 1 z0
P
1,0,3 .
x = − 1+ 2 = −λ
El vector normal del plano es el de dirección de la recta buscada. Por tanto, r : y
z = 3 + 2λ
127. Halla la ecuación del plano paralelo al plano segmento de extremos
A 1, 2,3
y B
3,4, 3
Punto medio de A y B: M ( −1,1,0 )
: x 2 3y
4 z0
que pasa por el punto medio del
. Todos los planos paralelos a
De todos ellos, el que pasa por M cumplirá: 12 ++ D 0= D ⇒
π son: − x+ y2+ z+3D=
0
=3− ⇒' : −x2y+z3 +3 0 − =
128. Determina el plano perpendicular al segmento de extremos
A 2, 1,0
y B
2,2, 1
y que pasa por su
punto medio.
1 2
El punto medio es M 0, , −
1 . El vector normal al plano será AB = ( −4,3, −1) . 2
3 El plano será
1
−4 x3+yzD − + 0= ⇒ D+ +2 D=0 2⇒
4: 3x yz− 20+ =2− ⇒
−− =
.
129. Determin a la ecuación del pl ano que pasa por lo s punto s A 1, 1,1 y B 0,3, 2 y es paralelo al eje Z.
Vectores de dirección: AB = ( −1,4, −3 ) , vector director del eje Z: ( 0,0,1) .
−1 0 x − 1 y1 +0 = 4:⇒ −3 1 z − 1
El plano será: 4 0
30 +x− =y
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
193
130. Determina la ecuación del plano paralelo a los ejes de coordenadas x 2 t
r : y z
intersección de la recta
1 t con el plano
X e Y, y que pasa por el punto de .
: x 2 y2 3 z0
3t
Punto de intersección de r con el plano
: 2 +t +2−t2t 6− 3+ 0=t ⇒ 7 − t =7−P⇒ =1 ⇒ 3, 0, 3
(
).
La ecuación del plano es: π ' : z = 3
131. Halla la e cuació n de la recta de la figu ra.
x
−1 1
=
+1
y
0
z−3
=
0
y = − 1 ⇒ z = 3
132. Escribe la ecuación d el plano que con tiene a la recta r y es paralelo a la recta s, donde:
r :
2
1
x s: y z
z
2
−22 1 2 x y+ 01= ⇒: 2− 1+0x= 1
y
1
= ( 2, −2,1) , us = ( 2,1,1)
Vectores de dirección: ur El plano es:
x
3
=
y
2
=
z−2
−1
( −1,0,0)
z
P 0,1,3
estudia previame nte la po sición relativa que ocupan las d x
1 1
z
133. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto
a) r :
r: Pr
Punto de
2t
t t
x − 2y = − 1 2 x − 2 y− =z−
s:
y corta a las rectas siguientes. Para ello,
os rectas.
x = t
b) r : y = 1 + t z = 2 + t
2
a) Vector director de r: ur = ( 3,2, −1)
Punto de
r: A ( 0,0,2)
= ( 2,1,2)
Punto de
s: B ( −1,0,0)
Vector director de s: us
x − y + z = 2 x + 2y + z = 8
s:
Vector AB : AB = ( −1,0,−2)
Como rg ( u,r us )2=
y rg (u,r u, s AB3) =
⇒ Las rectas se cruzan.
x 3 0 El plano π que pasa por P y tiene como vectores u r y PA : 2 1 − 10 y− = −1 −1 z − 3
El plano
π ' que pasa por P y tiene como vectores us y
x − y + z = 2 . x − 4 y+ =z− 1
La recta buscada será t :
194
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
⇒ −x2y+z =
2 −1 x x yz1+ PB : 1 1 − 1 0y− = 4⇒ − 2 −3 z − 3
=−
b) Vector director de r: ur = (1,1,1 )
Vector director de s: us = ( −1,0,1)
r: A ( 0,1,2)
Punto de
s: B ( 4,2,0)
Punto de
Vector AB : AB = ( 4,1, −2)
(
Como rg ( u,r us )2=
)
y rg u,r u, s AB 2 =
⇒ Las rectas se cortan.
El punto de corte es:
t − t−1 + t2+ = 2 t t t+ 2+2 +2t+ = 8 t
1= ⇒ =1
⇒ Q (1,2,3) x = λ
La recta t buscada pasa por P y Q. PQ = (1,1, 0⇒ ) t y : =+ 1 z = 3
134. Se con sidera l a recta r que pasa por el punto
A 3,0,0
y tiene como dirección l
Se consideran, también, los planos paralelos de ecuaciones La recta r determina un segmento
PQ interior a los planos
: 2x
y
y
0 y
'2 : x
a del vector y3 0
n
1,1, 1 .
.
'.
Calcula las coord enadas del punto medio M de dich o segmento.
x = 3 + t
Ecuación de la recta: r : y = t z = − t
Intersección de la recta r y el plano π, es decir, el punto P:
23() + t t+ =0⇒ t =− P 2⇒ () Intersección de la recta r y el plano
1,−2,2
π ' , es decir, el punto Q:
23)( + tt + +3= 0⇒t
=−Q3(⇒)
0,−3,3
1 −5 5 , , 2 2 2
Por tanto, el punto medio es M
135. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto
P
1,2,3
y que toca a los ejes de coordenadas
Xy
Z. Obviamente, la recta buscada es la que pasa por O ( 0,0,0) y por P ( −1,2,3) .
x = −λ
Por tanto: t : y = 2λ z = 3λ
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
195
136. Escribe un a expresión alg ebraica que determin e todos r:
1
x
y
2
z
1
2
los p lanos q ue conti enen a la recta
. De todos los p lanos anteriores, e scribe la ecuación del qu
Haz de planos secantes en la recta rx: y2+ 1 − 2+ y z ( 0+ = ) Si pasa por B, verifica que
−11−4 +0 = ⇒
1 2
2 1+ 2x− y+ 0 = ⇒
, con
e pasa por el punto
B
1,0,4 .
λ ∈ , 2y + z = 0 añadiendo el plano.
1 2
+yz (=
)
: 2x 6+ y+ −z 2 = 0.
Por tanto,
137. Del parale log ramo ABCD se conocen los vértices A
2,0,1 , B 1, 1,2
y C 4,2, 3 .
a) Calcula las coordenadas del vértice D. b) Calcula la ecuación del plano que contiene al paralelogramo. c) Calcula las ecuaciones de las diagonales del paralelogramo. a) En un paralelogramo, las diagonales se cortan en su punto medio. El punto medio de estas diagonales es M, que es el punto medio de AC, es decir, M (1,1, − 1)
1+ a = 1 ⇒ a = 1 B (1, − 1,2 ) 2 a ( , ) ⇒ −1b+ b=1⇒ =D 3⇒ cbD 1,3, − 4 ( M (1,1, − 1) 2 c 2 + 2 = − 1⇒ c= − 4
)
b) La ecuación del plano que contiene a A, B, C y D es:
+2
3
3
x
1
−2
z −1
−1 1
y0=⇒
c) Diagonal AC:
ABCD : +9 +6− x=40 y z
x+2 3
=
y 1
138. Dado el tetraedro de vértices
z −1
=
−2
Diagonal BD:
A 0, 1,2 , B 1,1, 1 , C
1,1,2
y D
x −1 0
=
y +1 2
=
z−2
−3
1,0,1 :
a) Calcula las coordenadas de los puntos medios M, N, P y Q de sus aristas AB, AC, DC y DB. d) Comprueba que los puntos M, N, P y Q son coplanarios. e) Estudia la posición relativa de la recta que contiene a la arista AD y del plano que contiene a M, N, P y Q.
1 ,0, 1 N − 1 ,0,2 P −1, 1 , 3 Q 0, 1,0 , 2 2, 2 . , 2 2 2
a) M
b) Plano que pasa por M, N y P:
3 2 1
−1 −
x−
0 3 2
z−
2 1
y
1 2 1 2
0= :⇒ 6 x10y+z 4 +5 0 − =
1 Se comprueba que Q pertenece a π : 6 ⋅0 +10 ⋅ + 4⋅ 0− 5= 0 2 c) La recta es paralela al plano.
196
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
139. Tres vérti ces de una de las caras de un paralelepípedo
ABCDA’B’C’D’ son los puntos
A 1,2, 1 , B 0,2,1
y C 3,2, 5 .
a) Calcula las coordenadas del vértice D. b) Sabiendo que todas las diagonales del paralelepípedo se cortan en el punto M (1,4,1) , calcula las coordenadas de los otros cuatro vértices de la figura.
a) AD = BC ⇒ −( − = 0, −6) x 1, y+ =2, z −1)⇒ (3,
D
(4, 2,
7)
Por tanto, las coordenadas del vértice D serán
D ( 4,2, −7 ) .
b) M es el punto medio de AA’, BB’ y CC’ y DD’. Por tanto: A ' (1,6,3 )
C ' ( −1,6,7 )
B ' ( 2,6,1)
140. Se consideran los puntos
A 1,1,1 , B 0,2,1 , C 2,0,1 y
D2,1,0
D ' ( −2,6,9 ) .
.
a) Verifica si de esos cuatro puntos hay tres que están alineados. ¿Forman un cuadrilátero? b) Comprueba que pertenecen a un mismo plano y calcula su ecuación.
a) Se consideran los vectores AB , AC y AD .
AB = ( −1,1,0 ) , AC = (1, −1, 0) y AD = (1,0, −1)
Los vectores AB y AC son proporcionales. Por tanto, A, B y C están alineados y, por tanto, ABCD no es un cuadrilátero. b) Plano que pasa por A, B y D:
−1 1
x−2 10 10y − = ⇒: 0 −1 z
ABCD3+0x +y− z=
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
197
PARA PROFUNDIZAR 141. En el paralelepípedo de la figura se toma como referencia el src
en
A y los vectore s AB , AD y AE .
a) Calcula las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, F, G y H. b) Calcula las ecuaciones de los planos HGC y BCD. c) Calcula las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales DB y DG. d) Calcula las coordenadas de: P: punto medio del segmento HG.
M: punto tal que MF = 2EM .
N: punto tal que DN
= 2NC .
e) Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo MPN. f)
Calcula la ecuación del plano determinado por los puntos M, P y N.
g) Calcula las ecuaciones de la recta que contiene al segmento MN. a) A ( 0,0,0)
E ( 0,0,1)
B (1,0,0)
F (1,0,1)
C (1,1,0)
G (1,1,1 )
D ( 0,1,0)
H ( 0,1,1) .
BCD : z = 0
b) HGC : y = 1
z = 0 x + y = 1
c) DB :
x = z y = 1
DG :
1 1 2 d) P ,1,1 , M ,0,1 , N ,1,0 2 3 3 1 2 2 2 3 3
e) Baricentro: G , ,
f)
1 1 1 x− 6 3 3 11 y0 = ⇒: 6PMN x−3y 0+ z− = 0 −1 z − 1 1 3 = y = z −1 1 3 −3
x− g) MN :
198
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
142. Se consi deran los punt os A 2,1,0 , B 0,2,1 , C 1,0,2 y D 3,0,0 , vértices de un cuadrilátero.
a) Comprueba que pertenecen a un mismo plano y calcula su ecuación. b) Comprueba que entre los cuatro puntos no hay tres que estén alineados. c) Calcula las coordenadas del punto donde se cortan las diagonales del cuadrilátero. d) Calcula las coordenadas de M, N, P y Q, puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA. e) Comprueba que MNPQ es un paralelogramo. f)
Calcula las coordenadas del punto donde se cortan las diagonales del paralelogramo MNPQ.
Plano que pasa por A, B, C y D: x + + y − =z
3
a) AB = ( −2,1,1) , AC = ( −1, −1, 2) y AD = (1, −1,0 ) .
BC = (1, −2,1) , BD = ( 3, −2, −1) .
0
b) Entre AB , AC y AD no hay dos proporcionales. BC y BD tampoco son proporcionales. Por tanto, no hay tres puntos alineados.
x − y − 1 = 0 2 x +3 y6−0 = . Diagonal BD: 2 x + z − 4 = 0 y − 2z = 0
c) Diagonal AC:
x − y − 1 = 0 2x + z − 4 = 0 9 4 2 ⇒ R , , 5 5 5 2x + 3y − 6 = 0
Punto de corte:
y − 2z = 0
3 1 2 2
d) Punto medio del lado AB: M 1, ,
1 2
Punto medio del lado BC: N ,1,
3 2
Punto medio del lado CD: P ( 2,0,1)
5 1 Punto medio del lado DA: Q , ,0 2 2
e) MN
1 1 1 1 = − , − ,1 , QP = − , − ,1 2 2 2 2
Como MN
= QP , MNPQ es un paralelogramo.
f) Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Por tanto, S 3 , 3 , 3
2 4 4
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
199
143. Dada la familia de los planos qu e tienen por ecuación: 2
x
y
1 z
0
a) Calcula dos de ellos. b) Comprueba que los planos elegidos pasan por el punto P (1, −3, −1) . c) ¿Hay alguna recta que esté contenida en todos los planos considerados? En caso afirmativo, escribe su ecuación. a) b)
= 0⇒ 2 x+ − y = z 0
=1⇒ 3 x+ =y
( 2 + ) 3−(+ 1)( 1−) 2 − 3= +1 0 − −
c) 2 x + y− z + x z (+
0
+ = ⇒ P pertenece a todos los planos.
: 2 x + y − z = 0 x + z = 0
=r ⇒ ) 0
144. En el prisma de la figur a se toma como referencia el srcen
A y lo s vectores AB , AF y AD .
a) Calcula las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E y F. b) Calcula la ecuación del plano CBE. c) Calcula las ecuaciones de la recta que contiene a la diagonal BE. d) Calcula las coordenadas de:
M: punto tal que MB = 2AM
N: punto tal que DN = 2NE
e) Calcula las ecuaciones de la recta que contiene al segmento MN. a) A ( 0,0,0) , B (1,0,0) , C (1,0,1) , D ( 0,0,1) , E ( 0,1,1) , F ( 0,1,0) b) CBE :x +y − 1 = 0
x = 1 − λ x −1 y z ⇒ == ⇒ −1 1 1 z = λ
y = z x + y = 1
c) BE : y =
1 3
2 3
N 0, ,1
d) M ,0,0 1 x = 3 − λ e) MN : y = 2 ⇒ z = 3λ
200
x−
1 y
z
=3 = ⇒ 2 3 −1
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
3y − 2z = 0 6 x + 3y = 2
145. Considera la recta
r :
x x
y y
2z 5z
7 8
y el plano ax
.
2 yzb
a) Calcula los valores de a y de b para que la recta sea paralela al plano. b) Calcula los valores de a y de b para que la recta corte al plano. c) Calcula los valores de a y de b para que la recta esté contenida en el plano.
M
1 −1 2 1 1− 2 7 = 1 −1 −5 , M ' 1= 1− −5 8− a 2 1 a 2 1 −1
M
= 7a + 14
7a + 14 0= ⇒
2
b
7
−21− 51 − 8=b 2+3 7 =a2−
23 +7 b=0⇒
a) Para a = − 2 y b ≠ −
b
23 7
=b−
23 , rg ( M ) =2,(rg) 'M 3= 7
b) Para a ≠ 2 , rg ( M ) =rg (
⇒ La recta es paralela al plano.
' 3 = ⇒ La recta corta a plano. )M
23 ' 2= c) Para a = − 2 y b = − , rg ( M ) =rg ( )M 7
146. Escribe la condición que deben verificar
⇒ La recta está contenida en el plano.
a, b y cpara que los pun tos
A 1,0, a , B 1, b,0 y
C ,0,1 c
estén
alineados.
AB = ( 0,b, −a ) ; AC = ( c − 1,0,1− a )
Para que A, B y C estén alineados, AB y AC deben ser proporcionales: c = 1, b = 0 y cualquier valor de a.
147. ¿Qué condi ción deben veri ficar
a, b y cpara qu e
A1,0,
a , B 1, b,0 , C c ,0,1
y D 1,1,1
sean
coplanarios?
AB = ( 0,b, −a ) , AC = ( c − 1,0,1− a ) , AD = ( 0,1,1− a )
(
3 Para que A, B, C y D sean coplanarios, debe verificarse que rg ,AB ,AC AD
0 b −a
−1 0 0 1 0 1 = ⇒ 1−( ac1b)+c( 0 −1a )( − )= ⇒cab (−ab)(0 + − 1− a 1− a c
148. Estudia la posición
relativa de los siguientes planos según
: mx +y+ z=
)<
. Por tanto:
c = 1 a +b =ab
=) ⇒
los di ferente s valores de
m:
1
z ' : x +my+ = 1 '' : x + y+ mz = 1
M
= (m −1) (2 m 2+) 1 1 1 , , . m+2 m +2 m+2
Si m ≠ −2 , los tres planos forman triedro y se cortan en el punto P Si m = −2, los tres planos forman un prisma. Si m = 1, los tres planos son coincidentes.
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
201
149. Calcula los valores de los parámetros misma recta.
a y b que hacen que los siguientes planos se corten todos en una
: x + 2y− =z 0 ' : x +2 y−2+ 1z=0 '' : ax +2+y− b z =1 0
M
1 2 −1 1 2 1− 0 = 1 2 −2 , M ' = 1 2 2 −1 − a 2 b a 2 b 1
Para que los planos se corten en una recta, el sistema debe ser compatible indeterminado con un parámetro. Por tanto: rg ( M)
' 2= . =r(g ) M
1 2 −1 1 2 2 −0 2 2 0− = ⇒ 2 b
a1 = =⇒
a
a
2 −1 0 2 2− 1−0= 2⇒0 = ⇒ b0 = 2 b 1
b
Luego, los parámetros buscados para que los dos planos se corten en una misma recta son a = 1 y b = 0.
150. Estudia la posición
relativa de los siguientes planos según
los di ferente s valores de
m y n:
: x + y+ =z 1 ' : x +2+ y3 1= z π '' : y +mz =n
1 1 1 1 1 2 3 1 01 m n
11 0→ 1 00
1 1 2 0 2m n
−
Si m ≠ 2 , los tres planos forman un triedro y se cortan en el punto P 1 + Si m = 2 y n = 0 los tres planos tienen una recta en común. Si m = 2 y n ≠ 0 los tres planos forman un prisma.
202
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
n
,
2n
,
n
.
m−2 2−m m −2
Au to evaluac ió n Comprueba qué has aprendido 1.
En cada caso, calcula las ecuaciones paramétricas y cumple las siguientes condiciones:
la ecuación en forma continu a de la recta
r que
a) Pasa por los puntos A ( −1,2,4) y B ( −3,4, −7 ) .
b) Pasa por el punto A ( −3,4,0 ) y su dirección es perpendicular a la de los vectores u
v× b) Un vector director será el u
2.
x = − 1 − 2t
a) Un vector director será el AB
= ( −1,2, −3 ) y v = ( 0, −2,5 ) .
11=) + ⇒ =−( −2, 2,⇒ y 2 2 = t z = 4 − 11t
=−
i
j
k
=x−+21
1 2 − 3= +4i +j 5k y2 ⇒ t = +4 5 0 −2 5
y 2 z 4 2 − 11 −−
x = −3 + 4t z = 2t
En cada caso, calcul a las ecuaciones paramé tric as y la general del plano condiciones:
que cumple las siguientes
a) Pasa por los puntos A ( −1,2, −1) , B ( −1,0,3) y C ( −1,2,3) . b) Pasa por el punto A ( −3,−2,1) y uno de sus vectores normales es e l n = (1, −2, −3 ) .
a)
0
0
4
4
−2 0
x +1 2 y− 0= ⇒ +1=0 x z +1
b) El plano pedido será de la forma x − y2 − z+ 3D =
−3+ −4+ 3 = ⇒ D 0=
0 . Como debe pasar por A, entonces: D
2
Por tanto, x − 2y− 3 +z2= 0
3.
a) Decide si los puntos A, B y C están alineados o forman triángulo: A (1,2, −2 ) , B ( 2,0,1) y C ( 0,4, −4 ) . b)
Decide si los puntos A, B, C y D son coplanarios o forman tetraedro: A ( 2,1,1) , B (1,0, −2 ) , C ( −1,2,0) y D ( −2,0, −5 )
a) AB = (1, −2,3 ) , AC =
( −1,2, −2 ) , rg −11 −22 −32 = 2 ⇒ A, B y C forman triángulo.
(
)
b) A, B, C y D son coplanarios ⇔ rg ,AB ,AC AD 2 ≤
−1 −3 −4 rg −3 1 1−1 −1 −=62⇒
. AB = −( 1−, −1, 3 ) , AC =
( −3,1 − 1) ,
AD = −( 4−, −1, 6 ) .
A, B, C y D son coplanarios.
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
203
4.
P
Calcula la ecuación del plano que pasa por el punt o r :
1
x
2
y
2
1, 1,2
y por la recta dada por la ecuación
z.
1
La recta r pasa por A (1,2,0) y tiene como vector director u
= ( −2,−1,1) .
El plano pedido será el que pasa por A y tiene como vectores directores u y AP = ( −2, −3,2 ) .
−2 −2 x + 1 −1 −3 +1y =0 ⇒ +2x +y4 z−5 0= 1 2 z−2 5.
a) Estudia la posición relativa de los planos
: 2 x +3− y 5− z25 = 0
,
' : 3 x +2 +y 3+ z4
y
'':2x + 2y − 5z − = 21 0. b)
Estudia la posición relativa de la recta r y del plano π .
x = λ = − 2λ z = − 1− 3
: x − y + =z − 1
r : y
c)
Estudia la posición relativa de las rectas r y s. r:
a) M
x
1
=
y
+5 2
=
2 x + y = − 1 x + y + z = 3
z−6
s:
−1
2 3 5− 2 5 2 3 −5 = 3 2 3 , M ' =3 2 3 4−⇒ rg == 3 ( M r)⇒ g' 2 2 −5 2 2 5− 2 1
()
M
Los planos se cortan en un punto.
Las coordenadas del punto de corte se obtienen resolviendo el sistema. Aplicando el método de Gauss: 2 x +3 y5− z25=
− 5 y+ 21=−z ⇒83 − −P 1, 4, 3 ( − 21z = 63
)
b) Sustituyendo los valores de la recta en el plano: plano.
+2 1 −3 − 1 0= − 0⇒
= ⇒La recta está contenida en el
c) Tomamos dos puntos de la recta s: A ( 0, −1,4 ) y B ( −1,1,3 )
ur = (1,2, −1) , us
= AB= − ( −1,2, 1) . Punto de r: Ar ( 0, −5,6 ) . Punto de s:
Como rg ( u,r us )2=
(
y rg A rAs r u, su,
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
= ( 0,6,−10 ) .
) = 2 ⇒ Las rectas r y s se cortan en un punto.
Las coordenadas del punto de corte se obtienen al resolver el sistema:
204
As ( 0,1, −4 ) . Ar As
2 x − y = 5 x + z = 6 ⇒ P (1, −3,5 ) 2 x y + = −1 x + y + z = 3
6.
Dadas las rectas r :
x
2y
z3k
2
1
2
x
4
4
y s: y
1
3
z
4
5
a) Calcula el valor de k para que las rectas se corten. b) Para el valor hallado en el apartado anterior, calcula las coordenadas del punto de corte y la ecuación del plano que determinan las dos rectas. a) ur = ( −2,1, −2 ) , us
= ( 4,3,5 ) , Ar ( −2,3,−k ) , As ( −4, −1, −4 ) , Ar As = −( 2−, 4,−k 4 )
(
Para que las rectas se corten en un punto debe ocurrir que rg ( u,r us )2=
k
2 2 4 1 0−10 = ⇒ 0 =k 1 −−4 1− 3 =0 ⇒ − 4 −2 5
b) Sustituyendo los valores de s en r:
−2+4 −2
4−3+ =
3 5− +
=
1
−2 4
7.
−2 5
)
. Entonces:
k
⇒ =⇒ −2
x y2− 0= z −1
1 3
El plano que determinan r y s en este caso es:
y rg Ar As, r, u s u2 =
1
P (0, 2,1 )
⇒: 11 x2y+z 1−0 6+ 0=
Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por el punt o P 1, 2,0 , que es paralela al plano y que es perpendicular a la recta
r x: y
: 2x
y
3
.
z1
= (1,1,1) vector director de r y nπ = ( 2,1,0) vector normal al plano. El vector w , director de la recta buscada, debe ser perpendicular a ur y nπ a la vez. Por tanto, w = ur× n=π − ( −1,2, 1) . Sean ur
La recta s pedida tendrá por ecuaciones: s :
x
−1
=
−1
y
+2 2
=
z
.
−1
Relaciona y contesta Elige la única respuesta correcta en cada caso x 1.
2
Calcula el valor de m para que la r ecta r : y
z
sea para lela al plano 1
: 2x
y mz 10
.
3
A. m = 2
C. En ningún caso la recta es paralela al plano.
B. m = 1
D. La recta siempre es paralela al plano.
La solución es B. Un vector de dirección de la recta es (1,1,3 ) . Un vector norma l del plano es
( 2,1,−m ) . Para que
la recta sea paralela al plano, los dos vectores deben ser perpendiculares y, por tanto, su producto escalar nulo:
(1),1,(3 ⋅ 2,1)− m= +2−1 3= ⇒0m=
1m
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
205
2.
Dada la rect a r :
2x
6
y
4
1
z , un punto P y un vector de dirección
u de ella son:
= ( 2,1, −1)
A. P ( −6, −1,0 )
u
= ( 4,0,0)
C. P ( 3,1,0)
u
B. P ( 6,1,0)
u = ( 4,1,1)
D. P ( 3,1,0)
u = ( 2,1,1)
La solución es C. r :
x
−3
= y −1=
2
z
−1
. Se observa que el punto y el vector director son los indicados en esa
respuesta.
Señala, en cada caso, las respuest as corr ectas 3.
Si A y B son dos puntos di ferentes del espa cio y el vector
2,1,3 es un vector normal del plano
n
.
A. Si A y B son dos puntos del plano π ⇒ n y AB son perpendiculares.
B. n y AB son perpendiculares ⇒ A y B son puntos del plano π .
C. Si al menos uno de los dos puntos A y B pertenece a π ⇒ n y AB son perpendiculares.
D. n y AB no son perpendiculares ⇒ Al menos uno de los dos puntos A y B no pertenecen a π .
Una solución es A porque n es perpendicular a cualquier vector de dirección del plano y a AB . La otra solución correcta es D porque si A y B pertenecen al plano, entonces n es perpendicular AB .
4.
Se consideran los puntos del espacio A a,0,0 , B 0, b,0 , C 0,0, c
y O 0,0,0 .
A. Si a = b = 0 ⇒ A, B, C y D son coplanarios. B. Si A, B, C y O son coplanarios ⇔ abc
=0
C. Si alguno de los valores a, b y c es no nulo ⇒ el volumen del tetraedro es diferente de 0. D. El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y O es abc . El plano que pasa por los puntos A, B y C es bcx + acy +abz =abc . Para que O pertenezca a este plano es suficiente con que uno de los valores a, b o c sea igual a 0. Las soluciones son A y B.
Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas 5.
Se :3 '' A
consi deran x '' B y''
los
C ''z 0 D
planos
1
y la matriz M
: Ax
A A B' A ''
By
B C' B''
Cz
D
0,
:2' A 'x
' y ' 0C z B
C ' .
C ''
1. El rango de la matriz M es 2. 2. Los planos se cortan en una recta. A. 1 ⇔ 2
C. 2 ⇒ 1 pero 1 ⇒ 2.
B. 1 ⇒ 2 pero 2 ⇒ 1
D. 1 y 2 no se pueden dar a la vez.
El rango de la matriz M
206
A B C B ' C' ' puede ser 3, por tanto 1 ⇒ 2. Por tanto, la solución es C. =A A '' B'' C''
Unidad 11| Planos y rectas en el espacio
D
,
Señala el dato innecesario para contest ar 6.
Para calcul ar el área y el perímetro del cuadril átero es AB CD se dan los si guientes datos: 1. Las coordenadas de los vértices opuestos 2. Las coordenadas del vértice
A y C.
B.
3. Las coordenadas del punto donde se cortan las diagonales. 4. El hecho d e que el cuadrilátero es un paralelog
ramo.
Puede eliminarse el dato:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
No es necesario conocer el punto donde se cortan las diagonales del cuadrilátero. Por tanto, la respuesta correcta es C.
Planos y rectas en el espacio | Unidad 11
207
12 Pro pi edades métri cas EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Ejercicio resuelto .
2.
Calcula el ángul o que forman las sigu ientes rectas. x r : y
2
s:
2
z
ur
= (1,1, −1)
u=s
1 ⋅1(− ) +12⋅
cos = 12 1+
3.
i
j
2x
y
2x
z
3 3
k
2 1 =− 0− ( 1,2, 2 ) 2 0 −1
+1(−)( ⋅2)−
+1−( ) ⋅ −12( )2 + 2+2 (− )
2
1
=⇒
2
2
54 44 º
3
Halla los vectores directo res de las rectas y el ángul o que forman. 2x
r :
x
i
u=r−
4y
z
y
4z
5
s:
3
j
k
2 =4 1− 15,7, ( 2 −1 1 −4
u= s
)
15 ⋅(−3) + 7⋅ − (2 + − )( 2)⋅ 9
cos =
152 7+
+2− ( )⋅ −23( )+(−2 2)9+
2
=
2
2
4.
Ejercicio resuelto.
5.
Calcula el ángulo formado por los planos: : 2 x +3 y− +z6=0
a)
y
a) Vectores normales de
cos , '
(
b)
1 3y
i
j
4
k
3 0 1=−− −2 3 0
(3, 2,9
)
33' 16'' 61º
26132
− z+ 5= 0
z
2x
: 2 x −3+ y−2
6z= 0
y
' : 3 x +6+ y−6 z1 = 0
π y de π ' son n π = ( 2,3, −1) y n π ' = 0,2, ( −1 )
n π ⋅ nπ '
7
)= n π nπ='
b) Vectores normales de
' : 2y
77
⇒
3x
14 ⋅= 5
7
7
=, ' ( arccos ) 70 33º13 '
70 ⇒
π y de π ' son n π = ( 2, −3,2 ) y n π ' = (3,6,6 )
n π ⋅ n π '= ⋅2 3− ⋅3 +6 ⋅ 2= 6 0
Dado que el producto escalar de dichos vectores es nulo, deducimos que los planos son ortogonales.
208
Unidad 12| Propiedades métricas
6.
Calcula el valor de m para que los planos: 2: 3 x
' : x 2 y mz0
y 1z
a) Sean perpendiculares.
b) Formen un ángulo de 60º.
a) Los planos serán perpendiculares si sus vectores normales lo son:
nπ
= ( 2, −3,1) y n π ' = (1, −2, m )
m = −8
nπ ⋅ nπ = +2 + 6 = m ⇒ 0 '
(
=
n π ⋅ nπ '
)
b) cos , ='
8+m 1 = ⇒ + 14 ⋅ 5 + m 2 2
nπ nπ '
7.
Ejercicio resuelto .
8.
Calcula el ángulo formado por r y a) r :
−1
x
1
b) r : x
y
=
y
− =1
=
1
π
= +70⇒ 14 = m2
π : 2x − y = 0
−2
+2 =− z 3
π : 2z −3 0=
2
x = 1 + λ c) r : y = λ z = 2 + λ
: x−
a) Vector normal de π: n π
sen ( , r )=
=
nπ ⋅ ur
b) Vector normal de π: n π
sen ( , r )=
=
nπ ⋅ ur
(
)=
=
nπ ⋅ u r nπ u r
1 = 2
1 2
y+
=z 0
Vector director de
( , r )
= ( 0,0,2 )
2 =⇒ 2⋅2
nπ ur
c) Vector normal de π: n π
sen ,r
= ( 2,−1,0 ) 1 1 = ⇒ = 5⋅ 6 30
nπ ur
16 ± 721 5
m
en los siguientes casos.
z − 10
16 2m
arcsen
1 30
10º
Vector director de
( , r )
arcsen
1 = 1, − ,1 2
1 2
r: u r
= (1,1, − 2)
31'
r: u r
= (1, 2,1)
30º
Vector director de
r: u r
= (1,1,1)
3 1
=2 ⇒ = 3 3 ⋅ 3
( )
, rarcsen
1 35º16' 3
2
Propiedades métricas | Unidad 12
209
9.
Calcula el ángulo formado por la recta r y el plano r :
2x
x
3y
z
z
π
.
0
:x
0
y
2z
3
Vector normal de π: n π = (1,1, − 2)
=
nπ ⋅ u r
sen ( , r )=
nπ ur
Vector director de
1+ 1− 2 = ⇒ 0= 6⋅ 3
( , r )
r: u r
i
j
k
= 2 −3 1 = 3,3,3 ( ) ( )1,1,1 1 0 −1
arcsen0 0º
Por tanto, la recta es paralela al plano. 10. Calcula el valor de m, si es que exist e, para que la recta a) Sean paralelos.
x
2
mz
y
1
z
y el plano
: x 3 y3 2 z0
:
b) Sean perpendiculares.
a) Los vectores n π y
r :
ur
deben ser perpendiculares, es decir, su producto escalar debe ser nulo:
n π⋅ u=r −m− =3 ⇒ 3 0 m = 6. b) Los vectores n π y u r deben ser paralelos, es decir, proporcionales:
1 3 −3 m
=
1
11. Calcula
− 1 ⇒ = −m
=
1
la proye cción
r : 3x 4y x 4z
3
ortogona l de
P 2, 2,0
sobre el plano
:y
Para la calcular la proyección ortogonal de P sobre el plano π. Como −2+ 0≠ ⇒ 3 ∉P
Vector normal de π: n π = ( 0,1,2) Se obtiene el plano π.
−2+
4 +
2z
3
y sobre la recta
8 . 20
Pπ
Recta perpendicular a
.
x = 2 π que pasa por P: r : y = − 2 + z = 2λ
, la proyección ortogonal del punto P sobre el plano π resolviendo el sistema formado por la recta r y
3 = ⇒1 = ⇒ 2,1,2 Pπ (
)
Para calcular la proyección ortogonal de P sobre la recta r. Como 3 ⋅ 2+ 4⋅ −( =2−) ≠ 2⇒ 8∉ P
r .
Se calcula el plano perpendicular a r y que pasa por P.
u=r
i
j
k
3 4 =0 − −16, −− 4() ( 12, 1 0 4
4x 3 y −zD
4, ) 3, 1
− + =0⇒8 6+0D− + 0D= ⇒
x:yz4 3 − − 14−0 = =14 − ⇒
3 x + 4 y = 8 Se resuelve el sistema x + 4z = − 20 4 x −3 y − z14= 30 ,297 , −145 . Pr 13 26 26
210
Unidad 12| Propiedades métricas
y se tiene la proyección ortogonal del punto P sobre la recta r
P 1,1, 2
12. Halla el simétrico de r :
24 x 36 y 2z
7
respecto del plano
: x 3 y4
16 z 0
y respecto de la recta
.
1
Para calcular el simétrico de P respecto del plano π Sea P’ el punto simétrico de P respecto del plano π. Como 1 −3 8− − 16≠ ⇒ 0 ∉ Se calcula el punto
Pπ
P
, proyección ortogonal de P sobre π:
x = 1 + λ λ
PP ' : y =1 3−
z = − 2+ 4
PπPP =∩
x = 1 + λ y = 1 − 3λ P ⇒=⇒ z = − 2+ 4 x− 3+y −4=z16 0
⇒ '
−1
2, 2,2 π (
)
Se supone que el punto P ' buscado es P ' (a ,b c, ) y se obliga a que a +1
2
b +1
=2⇒a =3
2
= − 2⇒ b= − 5
c
−2 2
Pπ
sea el punto medio de P y de P ' :
=2⇒c =6
Por tanto, P ' (3, −5,6 ) . Para calcular el simétrico de P respecto de la recta r: Sea P’ el punto simétrico de P respecto de la recta r. Como 2 ⋅2(− )=−4 ≠1 ⇒ ∉ P
P , proyección ortogonal de P sobre r: = ( 3,2,0 ) ⇒ El plano π perpendicular a r y que pasa por P es:
Se calcula el punto
ur
r
3 x y2 D +
π
3 2D+D+0 = ⇒ 5=− x⇒ : y3 2 5+0 − = + 0= ⇒
Pπ =r∩z⇒
24 x −36 y =7− =21 P ⇒ 3 x +2 y5−0 =
,
83 47 1 78 52 2
π
Se supone que el punto P’ buscado es P ' (a ,b c, ) y se obliga a que a + 1 83
=
2 7 8
44
b + 1 47
39
2 5 2
⇒a=
44 21 Por tanto, P ' , , 3 39 26
13 a 16.
=
21
⇒b=
26
c
−2 2
=
1 2
Pπ
sea el punto medio de P y de P ' :
⇒c =3
.
Ejercicio s resuelto s.
Propiedades métricas | Unidad 12
211
17. Comprueba si el triáng ulo de vértices
A 2, 1,4 , B 1,3, 4
y C
escaleno.
Los lados del triángulo miden:
2 4+2+ −42 =( 79)
BC=
AC=
AB=
2 2 − ( 5+) +0− 2 1=( )26
− ( +1)2 +4− 2 8=9(
)2
.
Se trata de un triángulo isósceles. 18. Calcula la dist ancia del punt o P al plano
π
:
a) P (1, −2,6 )
: 2 x + y− 2 +z3=0
2 1 b) P , −1, − 3 2
: 3− x− −y2 1− z6=0
c) P ( 4, −1,3 )
:x
2 1⋅ 2− −2⋅ 6 +3
a) d ( P, =)
9 3
==
4 + 1+ 4 3 2
4 3
− + +1 − b) d (P , = )
c) d ( P ,
+ y−2 3+z0=
)=
16
=
9 +1 4+ 4 1− 6−3
+
=
3u
91
= ⇒ 0∈
13 14 12
6 14
u
. La distancia es cero.
P
1+ 1+ 4
19. Calcula los valores de m para que la distancia entre los 3: x4y 1 2 z m
0
:'
3 2
x2
6y 3 0 z
sea de 2 unidades de longitud.
El punto P ( −2,0,0 ) ∈ π' . d ( P,
=)
−+6 m −+ 6 m = =⇒
9 +16 +144
13
20. Ejercicio int eractivo.
212
Unidad 12| Propiedades métricas
2
planos paralelos:
6−+ 2 =6m⇒ =32 m 6 m 26 − 20 − = ⇒ =m
3, 1,3
es equilátero, isósceles o
21. Calcula la dist ancia del punt o P
a la recta r en los siguientes casos.
2,3,5
2 x − y + z = 2 x + 2y + 6z = 9
x
a) r :
c) r :
=2−λ b) r : y = 2 + 2λ z = 2 + 3λ
d) r :
x
−2 3
y
=
4
=
z −1
−3
x = 2 y = −2
a) Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:
i
u r= PQ = ( 3, −2, −4 ) , u r
i
× PQ = − −8
k
j
k
)
Q (1,1,1 )
11 = 5− −2 −4
3 d ( P, r ) =
j
2− 1 =1− − (8, 11,5 1 2 6
54, ( 17,49 ) , | u r × PQ=|
54+ 217 + = 429
2
5606
× PQ =
ur
5606 = = 82 + 112 + 52
ur
5606 210
2803 u. 105
b) Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:
ur
= ( −1,2,3)
Q ( 2,2,2 )
PQ = ( 4, −1, −3 ) , u r
d ( P, r ) =
ur
× PQ =−
i
j
k
1 2 =− 3− ( 3,9, 7 ) , u r × PQ= − ( 3) + +2 −9 2 (= 7) 4 −1 −3
2
139
× PQ 139 = ur
139
=
1+ 4 + 9
u. 14
c) Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:
ur
= ( 3,4, −3 )
Q ( 2,0,1)
PQ = ( 4, −3, −4 ) , u r
× PQ =
i
3 4
j
k
4− =− 3 − (25,0, 25 −3 −4
) , u r × PQ=
+252= 25 2 25 2
d ( P, r ) =
ur
× PQ 25 2 2 5 17 = =
17
34
ur
u.
d) Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:
ur
= ( 0,0,1)
Q ( 2, −2,0 )
PQ = ( 4, −5, −5 ) , u r
d ( P, r ) =
ur
i
j
k
× PQ = 0 0 1 = ( 5,4,0 ) , u r × PQ= 4 −5 −5
+25= 16
41
× PQ
ur
=
41 = 41 u. 1
Propiedades métricas | Unidad 12
213
22. Comprueba que las rectas r y s se cruzan y calcula la distanci a entre ellas. r :
ur
x
1
z
1
1
2x
s:
1
x
3y
y
z
2
0
= ( 2, −1,1) , P (1,1,1)
u=s
y
1 2
i
j
k
2 3 =− 1− ( 1,1,1 ) , Q ( 0,0, −2 ) 1 1 0
2 −1 1 = 21 −11 11 , M ' = 1− 1 1 − − − 1 1 3 rg ( M ) = 2 , M ' =6 −1+1−1+ 2− 3=4 ≠ 0⇒ rg ' = 3 ( M ) M
Por tanto, las rectas se cruzan. Se halla el plano π que contiene a s y es paralelo a r. x y z+2 2 1− 1 0 =: ⇒ −1 1 −1 d (r s,) d=(, )P
=
+2 0 +y = z 1+ 1+ 2 =2 =2 12 + 12
. 4
u
2
23. Comprueba que la recta r :
x
y
3 4
2 1
z
1 2
es paralela al plano
que los separa.
Se comprueba la posición relativa de la recta y el plano: n π = (1,0,2) P ( 3, −2, −1 ) u r = ( −4,−1,2 )
Como unr ⋅ π=− + 4= 4⇒u 0n⊥ r ⇒ r
Se calcula la distancia: d r( ,) =d(P)
24. Ejercicio resuelto .
214
Unidad 12| Propiedades métricas
π
=,
3−2−4
3
12 + 22
5
==
3 5 u 5
:x
2z
4 y calcula la distancia
25. Comprueba que r y s se cruzan y halla su perpendicular común. x
2
2
r : y
s:
1
x
x = 2λ + 2 Las ecuaciones paramétricas r y s son: r : y = λ − 1 z = λ El vector ( −1+2 µ −2,
−24+ 4µ− −2+4 µ4− La
−µ,2−
perpendicular
común
42 37 8 y+ z+ 29 = 29 = 29 6 12 −9
será
recta
z 2
x = 1 + 2µ = − 1− µ z = 2µ
+ µ= + µ = ⇒ =− la
1 1
s : y
µ − ) debe ser perpendicular a
−µ2− +0 µ− 6=5 2 − +µ +4 2+ 0µ− 5 =9 2⇒ −
y
1 2
z
que
y
ur
8 29 ,
2 µ = 29
pasa
por
us
:
42 , −37 , −8 29 29 29
A
y
33 , − 31 ,4 es 29 29 29
B
x− t:
.
26. Determina si las sigui entes re ctas se cruzan y, en su caso, halla su perpendicu lar común. r :
x 2x
y y
2z
0
z
6
s:x
x = 2 − µ Las ecuaciones paramétricas r y s son: r : y = 2 + µ z = µ + µ −2,
− µ −2,1 −
z 1 1
x = λ =λ z = 1 − λ
s : y
El vector (
y
− µ) debe ser perpendicular a
− − µ + 2 + −21µ − + 0− − µ3= 1 − − µ = − ⇒ ⇒= + µ − 2 + −µ21− − +0 +3µ = 5 +µ =
7 4
y
ur
, µ= −
us
:
1 4
9 7 1 7 7 3 La perpendicular común será la recta que pasa por A , , − y B , , − : 4 4 4 4 4 4 x t:
9 7 1 y− z+ 4 = 4 = 4 1 0 1
−
27. Calcula el plano mediador del segmento de extremos A y B. a) A ( −2,4,5 ) ; B ( −4,6,5 ) b) A ( −1,2, −3) ; B ( −3, −4,2 )
a) M ( −3,5,5 )
AB =
( −2,2,0 ) que es paralelo a ( −1,1,0 ) .
5 + 0= 0 = − xy+D + = ⇒0 3+D D ⇒ 8=−xy ⇒− + 8−
b) M −2,−1, −
1
2
AB =
( −2, −6,5 ) 5
x− 5y z − −2 x6−y5zD+ +0 =46 ⇒ + 0−D+ = D ⇒ = − 2 6⇒ 2
15 +0
−
2
=
15 2
Propiedades métricas | Unidad 12
215
28. Calcula la e cuación de los planos que dividen a y 2:' 2x y 5z en dos partes igu ales.
los diedros determinados por los planos
2:
x
y2 1 z
Sea P un punto genérico del espacio. dP ( =,)⇒( d P
29 a 31.
) ,± ' =
2x y + −z2 −1 2 2x +y z+5−
⇒ +4 1+ 4 + +
2
4 41
x2y+1−2z −2 = x+ +y5 z − 3 y4 0z+ − = ⇒ 2 x y+ −z2 1 − =−2 −x2 y z− +5 4 x3 y+z −6 0− =
Ejercicio s resuelto s.
32. Escribe la ecuación de las sigu ientes superfi cies esféricas. a) De centro el punto C ( −2,1,2) y de radio, r = 4. b) Uno de sus diámetros es el segmento de extremos A ( 2,−1,3 ) y B ( 4,−1,1) .
a)
2 2 2 2 2 2 ( xc− ) 1(y+c −) (zc+ 2)−r x= (⇒ ) 3 +y( +)2 (−)z+2 − 1= ⇒2 4
2
⇒ x 2+y z+2+ x y2 −z4− +2 + +4− =4 ⇒1 x +4y z+16 x+ 0y −z −2 − 2=
2
4
2
4
7 0
b) El centro estará situado en el punto medio del segmento AB: M ( 3, −1,2 ) .
El radio será la distancia de M a A: r = +1+0 1= 2
2
= 2 2 ⇒(x+y2z) +x−y+z2
La esfera es: ( x −)3 (+y+ ) ( +1z )− 2
2
2 2
2
− + 2+ +6− = 2⇒ 4
9 1 4 2 0
2
⇒ +x + y− +z− + x= y 6 z 2 4 12 0
2
33. Halla el centr o y el radio de la superf icie esférica
2
x y z
2
x y z2
A 0,1, 1 , B
P 2, 2,0
6
11 0
.
− ) 1C, (2,3 r = 3
2 2 2 2 2 2 + 0= x⇒ ( x )− 1 −1(y+z+) 2 (−4 +) − 3 9−11 ( −1y) ( z)+(+2 ) + −3 3= ⇒
34. Halla la ecuació n de la superfi cie esférica de centro
4
y tal que el plano que pasa por los puntos
1,0, 1 y C 1,1,1 es tangente a ella. Calcula las coor denadas del punto de tangencia.
Plano π que pasa por A, B y C:
x y −1 z +1 : 1− 1− 0 0 =2⇒2− − 1 0 2
Radio de la esfera: r = d ( P=, )
4 + 4 +1 = 9 2
1x+0= y
z
3 2
La ecuación de la esfera es: ( x −)2 (+ +) y +2 = z 2
9
El punto de tangencia es: 2 2 ( x −)2 (+ +) y +2 = z 2 9 ⇒ x 2+ y z2+ − x2 y +4 −4= 1 0 ⇒ + x+2 y−2 2+z=⇒z + + 2− 10=x⇒ 2 2 y z −4 x+4 =y−2 +2 z 2x 2− y− 1+z0= ⇒ x = 0, y = 0, z = 1. El punto de tangencia es el Q ( 0,0,1) .
216
Unidad 12| Propiedades métricas
1 0
(
)
2
35. Halla la ecuación de la superficie esférica de A 1, 2,4
7
radio 4, tangente a los plano s XY e YZ y que pase por el punto
. Calcula los pu ntos de tangencia con dicho
s planos.
Siendo el radio r = 4 y siendo la superficie esférica tangente a XY e YZ, el centro deberá ser de la forma C ( 4, b,4 ) . Por tanto, A Cd () ,
2 2 0= (⇒) =2 ⇒ 4,2,4 ⇒ ( 9) + − 2 ( b7+) 4= ⇒ − b2 C
b =4
2
2
La ecuación de la superficie esférica será ( x −)4 (+ −) y2( + −) 4=z 16
2
.
El punto de tangencia con XY es ( 4,2,0 ) , y el punto de tangencia con YZ , ( 0,2,4 ) .
36 y 37.
Ejercicio s resuelto s.
38. Calcula el área del triáng ulo ABC, siendo: a) A ( 3, −2,3 ) , B ( 3,1,1) y C ( 3, −1, −1) . b) A ( 3,1, −1) , B ( 4, −3,0 ) y C es el punto intersección de las rectas: r :
a) AB = ( 0,3, −2 )
= AB × AC
AC
i
j
1
=
y 11 −
−2
=
5z + 1
x + y − 2z = 15 x = 1 + y
s:
= ( 0,1, −4 )
k
0 −3=− 2 ⇒( =10,0,0=) 0 1 −4
i AB × AC = − 1
−3
S
102 2
5 u2.
2 x + y = 17 y + 2z = 1 b) C : ⇒ C6,5, (2 − ) xx −+ yy −= 21z = 15
x
AB = (1, −4,1)
AC = ( 3,4, −1)
j
k
= 4 1⇒= ( 0,4,16 ) = S 3 4 −1
42 + 162 2
68 u2.
39. Dados los punt os A 2,0, 2 , B 3, 4, 1 , C 5,4 , 3 , D 0,1,4 , calcula: a) El área del triángulo de vértices A, B y C. b) El volumen del tetraedro determinado por los vértices A, B, C y D.
a) AB = (1, −4,1)
AC
i j k AB × AC = − 1 =4 1 0,4,16 ⇒= ( 3 4 −1
AB = (1, −4,1) b)
V
=
1 1 −4 11 3 4 −1= 6 −2 1 6
= ( 3,4, −1)
)=
42
S
+ 162 2
AC = ( 3,4, −1)
24 + − +3++8 8= 1 72 6
u2.
68
AD =
100 6
( −2,1,6 )
u3.
40. Ejercicio int eractivo. 41 a 46.
Ejercicio s resuelto s.
Propiedades métricas | Unidad 12
217
EJERCICIOS Ángulos 47. Calcula el ángulo que forman las rectas r y s.
a) r :
x
−1 1
=
y
x = 1 + 2t = 1− t z = 2 − t
+ 3 z −1 = 2 −1
s : y
x − 2y = 10 y + z = 0
x + y = 4 2y − z = 4
s:
b) r :
a) Vectores directores de r y de s: u r
ur ⋅ us
( )
= (1, −1,2 ) y u s = ( 2, −1, −1)
cos s ,r =
=
ur us
1
=s⇒ r =
6⋅ 6
1 6
=
ur ⋅ us ur us
i
j
k
3 1 =s⇒ r = 6⋅ 6 2
( , )
arccos
48. ¿Cuánto mide el ángulo que form an los planos
i
j
π
y
1 2
π
?
− z+ 5= 0
: 2x + 3 y− +z6=0
' : 2y
b)
−2 : 2 x −3+ y
':3 x+ 6+y− 6 z=1 0
c)
:x −2 y +z −1 = 0
cos ( , '
b) n π
' : 2 x2+ y+
=)
nπ'
3 ⋅2 1− ⋅ −1(
=
=)
7
⇒
= , '( arccos ) 70
0 ) ( =⇒ + 4⋅ 9+ 3 +6 3 6
nπ '
1
22
+−(2 1+)2 ⋅
Unidad 12| Propiedades métricas
=, ' arccos 0 90º
= ( 2,2,1)
1⋅2− 2⋅2+ 1⋅ 1 2
7 33º12' 39 ''
= (3,6,6 )
2 ⋅3− ⋅3+6⋅ 2 6 4+ 9
= (1, −2,1)
cos (, '
) =
nπ '
− z3= 0
= 0,2, ( −1 )
4 9+1+4⋅1 +70
= ( 2, −3,2 )
cos ) (, '
c) n π
6z= 0
= ( 2,3, −1)
k
60º
a)
a) n π
218
= 1 1 0 = ( −1,1,2) y u s= 1− 2 =−0− ( 2, 1,1) 0 2 −1 0 1 1
b) Vectores directores de r y de s: u r
cos , )= s ( r
1 80º 24 ' 6
( )
, arccos
2 2 2
+2 +1
=
⇒=
1 54
, ' ( arccos )
1 82º10'44'' 54
49. Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano a) r :
−1
x
1
y
=
=
1
π
.
z − 10
π : 2x − y = 0
−2
b) r :x y= z =
: 2 x − y+ 2 = 0z
= 1 + 3t c) r : y = 1 − t z = t
: x −2 y+ 3 8 +z0 =
x
a) Vector normal de π: n π
=
= ( 2, −1,0 )
nπ ⋅ u r
1 1 = ⇒ = 5⋅ 6 30 b) Vector normal de π: n π = ( 2,−1,2 ) sen ( ,r )=
nπ ⋅ ur
sen (,r )=
3
=
c) Vector normal de π: n π
=
nπ ⋅ u r
sen ( ,r )=
10º31' 30 Vector director de
:2
x
= (1, −2,3 )
8 ( ,r ) arcsen
154
= (1,1,1)
r: u r
= ( 3, −1,1)
40º8'24''
P 2, 1,0
y
Q
2,0,3
con el plano
.
Vector normal de π: n π = ( −2,1, − 1)
r: u r
Vector director de
que forma la recta que une los puntos
y 30 z
=
nπ ur
Vector director de
−( 2)⋅ − 4+ ⋅ (1+) 1⋅ −3 1 = ⇒=
nπ ⋅ u r
sen ( , r=)
= (1,1, −2)
3 35º16' 3
) ,( rarcsen
8 8 = ⇒ = 11 ⋅ 14 154
nπ u r
50. Halla el ángulo
3 = 3
=⇒
3⋅ 3
nπ ur
r: u r
1 ( ,r ) arcsen
nπ u r
Vector director de
6 ⋅ 26
6
r: u r
6 ( ,r ) arcsen
156
= PQ = ( −4,1,3)
28º 42'38''
156
Proyecciones ortogonales. Puntos simétricos 51. Calcula la proyecci ón orto gonal de P sobre el plano a) P (1, − 2,1) y b) P ( −1,2,3) y
: 2x
π
.
+ y− =z 0
x + 2y − z = 0 π es el plano que contiene a la recta r : y al punto Q ( 0,2, −3 ) . 2 x − y + 3 = 0
x = 1 + 2λ π es un vector director de la recta buscada r: r : y = − 2+ z = 1 − λ 1 4 11 5 Pπ = r ∩ ⇒ 12 ( +2 1 )− +0 − + = ⇒ , =, ⇒ Pπ − 6 3 66
a) El vector normal del plano
b) La ecuación de
zyxx+ 2
−+
i
π es: u r= 1
(2 − +
j
k
2 − = −1− −( 1, 2, 5 )
2 −1 0 3=) ⇒0+ + 4 3 − + ( =2 ⇒3z)yx =0− ⇒
− 7 + : − 13 =
9
21
= − −1 13 El vector normal del plano π es un vector director de la recta buscada r: r : y = 2 + 9λ z = 3 − λ x
Pπ
=∩ r
⇒− 13−(113 − 92)9+( 3 +)( ) 21 − −
= ⇒ =−
160 439 760 ⇒ , ,− Pπ 251 251 251 251
7
Propiedades métricas | Unidad 12
219
52. En los siguiente s cas os, ca lcula la proyección ortogonal de
P sobre la recta r .
x − 2 y − 2z = 0 a) P ( −2, −4,9 ) y r : 2 x − y + 3 z = 1 b) P ( −1, −5,6 ) y r es la recta que pasa por los puntos A ( 0, −8,4 ) y B (1, −4,12 ) .
a) Plano perpendicular a r y que pasa por P: unr
i
j
k
= π= 1−2 2− = − − 8,(7,3 ⇒− − kxyz8) 7+ +3= 2 −1 3
0
Como −8 (−2) −7 ⋅4(− ) +39⋅ + = 0 ⇒ k =k− 71⇒ : −8 7− x3+y 7z −1 0= Pπr = ∩
1294 x − 2 y − 2z = 0 ⇒xy z−2 + =31 P ⇒ − , ,−π 3 −8 x− 7 +y=3 z71
765 118 6 61
=λ = − 8+ 4 z = 4 + 8λ
x b) r : y
Plano perpendicular a r y que pasa por P: x + y4 + z 8+k = Como −1− 20+ 48+ = 0k⇒ = −k ⇒ 27
+: x y4+z 8 −2 =7 0
x = λ y = − 8+ 4 Pπ = ∩ r ⇒ ⇒ z = 4 + 8λ x+ 4+y− 8 z=27 0
= 81⇒27 = ⇒
0.
1 1 20 20 P,π , − 3 3 3 3
x
53. Halla la proyección ort ogon al de la recta r de ecuación ecuación : x y z 4.
r
r :
y
1 4
2 1
z
3 1
sobre el plano
x = 1 + 4λ y = − 2+ 19 25 ∩ : ⇒ − P , , 3 3 3 z = 3 − λ x + y − z = 4
Se calcula la proyección del punto Q (1, −2,3 ) de r sobre π:
x = 1 + λ = − 2+ z = 3 − λ
s : y
Pπ
= s∩
⇒ 1+ 2 −3 + 4 − +
=
⇒ , =,
8 3
1121 ⇒ Qπ 333
La recta r ' , proyección ortogonal de r sobre π, será la recta que pasa por P y Qπ : x r ':
220
Unidad 12| Propiedades métricas
11 2 1 y− z− 3 = 3 = 3 2 1 −1
−
de
54. Calcula el simétri co del punt o P respecto del plano a) P ( 2, −5,6 ) y b) P (1, −4,3 ) y
:x
+ y−5 +6z0=
π
en lo s siguientes casos.
.
π es el plano que pasa por los puntos A (1,0, −2 ) , B ( 0,1, −3 ) , C ( −1,0,0) .
c) P (1,0,2) y π es el plano perpendicular al eje X y pasa por el punto B ( 4,1, −2 ) . a) Se calcula la proyección de P sobre π:
x = 2 + λ = − 5+ z = 6 − 5λ
r : y
Pπ
= r∩
⇒ 2+ − 5+ −30 +25 6+ 0 = ⇒
27 27
= 1 = ⇒ 3,4,1 −Pπ (
2+a = 3 ⇒ a = 4 2 −5 + b ' 3,4− − ⇒ b 4=− ⇒P =−(3)⇒ 4, 2 6 + c = 1⇒ c=− 4 2
Suponiendo que el simétrico buscado escbPa)' (,
b)
x −1 y z + 2 + 2+x0+y z= 2⇒ : 1− 1 1 −0= :⇒ 2 4 2 −1 −1 3
)
+ 1+x0+y=z
Se calcula la proyección de P sobre π:
x = 1+ λ = − 4+ 2 z = 3 + λ
r : y
Pπ
= r∩
⇒ +1
8−4 +3
+10+
1 2
+ = ⇒ =3, , ⇒
Suponiendo que el simétrico buscado escbPa)' (,,
c)
x − 4 y −1 z + 2 :0 1 0 0 :=⇒4 −0= 0 0 1
3 Pπ − 2
7 2
1+ a = 3 ⇒ a = 2 2 2 −4 + b ⇒ b 3=− ⇒P =−(2)⇒ 2, ' 2,4 − 2 3 + c 7 2 = 2 ⇒ c = 4
x
Se calcula la proyección de P sobre π:
x = 1 + λ =0 z = 2
r : y
Pπ
= r∩
⇒ ()1+
−4 =0
Pπ ⇒ 3=( ) ⇒ 4,0,2
Suponiendo que el simétrico buscado es cP ba' )(,,
1+ a = 4 ⇒ a = 7 2 0 + b ⇒ b 0= ⇒P=0)(⇒ '7,0,2 2 2+c = 2 ⇒ c = 2 2
.
Propiedades métricas | Unidad 12
221
Distancias 55. Calcula el perímetro del triáng ulo de vértices
A 4, 5, 2 , B
6,10,3 , C 14,0,3
y comprueba que es
rectángulo en A.
AB
2 2 = d ( A,)B=( −− +6) +4(+ 10 ) ( 5+ ) 3= 2
AC
= d ( A,C − ) 4+( + )20+(5+ ) =3 22 ) = ( 14
BC
= d B( C,) = ( +14) +6( − 2)0+(10 − ) = 3 23
2
350 150
2
2
500
Perímetro: 350 + 150 + 500 u. El triángulo es rectángulo en A porque aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:
56. Halla el valor de a sabiendo que el segmento que tiene por extremos
2
2
( 350) ( + ) 150 ( )=
A
2,3,1 , B
1, 1, a
500
tiene una
longitu d de nueve unidades. ¿H ay una única soluci ón?
9
= − 1( 2+ ) +1(3−2 − ) +( 1) −
2
2
⇒a
a = 9, a = −7.
57. Calcula la dist ancia entre el pun to P y el plano a) P (1, −2,3 )
a) d ( P,=
)
: 2x
.
+ y+ +z 3=0
2 ⋅1+1 ⋅ −2( +1)⋅ 3+ 3
6
22 + 12 + 12
6
==
1:
y −1 z + 2 1 − 2 0 = :⇒ 5 − 3 + +5 x0+ =y 1 2 1
: y
6 u
x
b)
x = + µ =1− + µ2 z = − 2+ 2 + µ
b) P ( 2, −2,4 )
−5⋅ −2 +2⋅ 4+ 3 5 = = 52 + 12 + 32
d ( P,= )
z
5 35
35 u 7
58. Halla la dist ancia entre el punt o P y la recta r . a) P (1,0, −3 )
x = 1 + λ =2−λ z = λ
a) Punto de la recta: Ar (1,2,0)
Ar P
= ( 0, −2, −3 )
d ( P, r ) =
x + +y − =z 2 0 2 x − z = 0
b) P ( −2,1,0)
r : y
r :
Vector director:
=
ur
Ar P × u r
( 5,3, −2 ) = =
38
114
ur
3
3
3
= (1, − 1,1) u
b) Se calcula un punto y un vector director de r:
Punto de la recta: Ar ( 0,2,0 )
Ar P
222
= ( −2,−1,0 )
d ( P, r ) =
Unidad 12| Propiedades métricas
Vector director:
Ar P × u r
ur
=
( 2, −4, −7 ) = = 14
ur
69 14
69 u 14
= ( −1,3, −2 )
2
59. Calcula la dist ancia del punt o P Q
r :
al plano que contiene a la recta
2,1,0
x 2x
y
z z
2
0
0
y al punto
1,2,6 .
El plano tiene como vectores de dirección a u r y AQ . Su ecuación es 18 ⋅ (−2 +) 8⋅ 1− 16
d ( P , π) =
182 +8
2
44
=
2
3+
: 18 x + 8 +y 3− z= 16 0
.
u.
397
60. Dadas las rectas paralelas: x
r:
y
1
z
2
x s: y
1 1
1 1
2
z
Halla la distancia entr e ellas.
Vectores directores de r y de s: u r = (1, −2,1) , u s = (1, −2,1) . Al ser iguales, las rectas serán paralelas o coincidentes. Como el punto A ( 0,0,1) pertenece a r pero no a s, se comprueba que, efectivamente, r y s son paralelas.
PA × u s
Sea P (1,1,0 ) un punto de s: d (r s,) =(d) A s=,
=
( −1, −2, −3) = = (1, −2,1)
us
14 6
7 u. 3
61. Estudi a la posi ción relativa de las rectas r y s y calcula la mínima dist ancia que las separa. x
a) r :
1
=
y
−2 2
=
z−3
s:
3
x = 1 − t b) r : y = t z = − 1 + 2t
s:
(
us
= ( −1,1,2 )
(
det PP ,r r s,u u
ur
× us
=
s
)
us
= (1, −1, −1)
(
z
−2
Pr Ps
= (1, −1, −1)
3
3 35
3 35 35
u
3
3 = 3
u
= (1,1,1)
Pr ( 0,0,0 ) , Ps (1,1,0 )
Pr Ps
= (1,1,0 )
y rg ( u,r ,u sPPr 3s ) = ⇒ r y s se cruzan.
)
rg u,r u s 2=
d (r ,s ) =
=
Pr ( 0,2,3 ) , Ps (1,1,2 )
== (1, −5,3 ) 1
y
−1
b) Son rectas paralelas. d ( r , s ) = c) u r
=
y rg ( u,r ,u sPPr 3s ) = ⇒ r y s se cruzan.
)
rg u,r u s 2=
d (r ,s ) =
−1 1
s : y
= (1,2,3)
x
x = 1 + t = 1+ t z = t
x + y = 0 x + z = 0
c) r :
a) u r
−1 y −1 z − 2 = = −1 1 2
x
(
det PrP s, u, ru
ur
× us
=
s
)
2
== ( 0, −2,2 )
2 8 2
2
u
Propiedades métricas | Unidad 12
223
62. Calcula la dist ancia entre los sigui entes planos paralelos. a)
:x
+ y+ =z 0 y
b) π : 3 x − y = 0 y
' : 2 x +2+ y 2 + z3 = 0 2
':− 2 x+
=y 5
3
a) Los vectores normales a los planos son proporcionales; por tanto, los planos son efectivamente paralelos, ya que no son coincidentes. Sea O ( 0,0,0 ) uno de los puntos de π: d ( ), '=
2 ⋅0+ ⋅2+0⋅ +2 0 3
( d=,)' O
=
3
=
22 + 22 + 22
3 u. 2
12
b) Los vectores normales a los planos son proporcionales; por tanto, los planos son efectivamente paralelos, ya que no son coincidentes. Sea O ( 0,0,0 ) uno de los puntos de π. 2
−2⋅ 0+ d ( ),= '
⋅ +0 ⋅ 0− 0 5 3 == = 2 2 22 + + 0 2 3
( =d,)' O
63. Dados la rect a r :
x
y
1 1
z
1
1
y el plano
5
15
40 9
:2x
3 40
y
z
u.
8
40
2:
a) Demuestra que la recta es paralela al plano. b) Calcula la distancia que separa la recta del plano.
a) Vector normal de π: n π
= ( 2,1, −1) Vector director de r: u r = (1, −1,1) . Como el producto escalar de ambos vectores es nulo, deducimos que son ortogonales y, por tanto, la recta es paralela al plano.
b) Sea A ( −1,0,0) ∈ r
64. Dadas las rect as r :
d r( ,) =d(A)
x
y
1
1
=,
−2=−=2 4 +1 1+
x y s: y 1 z
1
z
t
4
6
2 6 u. 3
t
:
t
a) Demuestra que se cruzan. b) Calcula la ecuación del plano
π que contiene a s y es paralelo a r.
c) Demuestra que P ( 2,2, −2 ) es un punto de r y calcula la distancia que separa a P de
π. ¿Cómo será esta
distancia en relación a la distancia que separa a las rectas r y s?
us
= (1,1, − 1)
a) u r
(
)
rg u,r u s 2=
= (1,1,1)
Pr ( 0,0,0 ) , Ps (1,0,0)
y rg ( u,r ,u sPPr 3s ) = ⇒ Las rectas r y s se cruzan.
b) Plano que contiene a s y es paralelo a r: Ps (1,0,0) , u r x
−1 y
: 11 1 c)
224
2 1
2
= = 1
−2 ⇒ ∈ P r −1
d (r s,)
Unidad 12| Propiedades métricas
= (1,1, − 1) , u s = (1,1,1)
z
1 0 − =: ⇒ − 1 0−x= y 1 1
=d( )P = ,
−1 = 12 + 12 + 02
2 u. 2
Pr Ps
= (1,0,0)
Perpendicular común 65. Calcula la s ecuacion es de la recta que cort a perpendi cularmente a las rectas: r :
ur
x
y
1
z
2
s:
= (1, −2,3 )
us
uur
1 3
i
× s=
x 1
y
1 1
= ( −1,1,2 )
z 2
Ar ( 0,0,1)
As ( 0,1,0)
j
k
1 − 2 =−3ikj − −75= − − − −1 1 2
( 7, 5, 1)
Plano que contiene a r y que tiene a u r × u s como vector de dirección: x y z −1 1 − 2 3 =0⇒ − 17− + 20x 19=y 19 0 z −7 −5 −1
Plano que contiene a s y que tiene a u r × u s como vector de dirección: x y −1 z 3 5− +4x+ 5 = 0y −1 1 2 0 =⇒ −7 −5 −1
z
17 x −20 −y 19+ z=19 0 La perpendicular común es t : 3 x −5 y+4 5 +z =0
66. Dadas las rect as r x:
y z 1
y sx : y
z
1
a) Comprueba que r y s se cruzan y escribe las ecuaciones de la perpendicular común a ambas. b) Halla la distancia que separa a r de s.
x = 1 + λ a) r : y = λ z = λ Punto de r:
x = µ =µ z = 1 − µ
s : y
Vector de r: u r = (1,1,1)
Pr (1,0,0)
A =
1 1 1 1 1 −1
B
1 1 1 = 1 1 −1 1 0 −1
Punto de
s: Ps ( 0,01)
Pr
= (1,1, − 1)
de r y Ps de s.
Un punto genérico de
El vector determinado por estos dos puntos genéricos es ( µ − 1− , µ −,1
s: u s
rg ( A ) = 2 , rg ( B ) = 3 ⇒ Las rectas se cruzan.
La perpendicular común a r y s es la recta que pasa por el punto Un punto genérico de r: (1 + , , )
Vector de
s:
( µ,µ ,1−µ ) − µ − ) . Debe ser perpendicular a
los dos vectores de dirección u r y u s . Por tanto:
µ − 3
=0
3µ −
=2 ⇒
1
3
= 4 µ = 4⇒
5 1 1 3 3 1 1 1 punto de r: P , , , punto de s: Q , , . Luego QP = , − ,0 . 4 4 4 4 4 4 2 2
x
La perpendicular común es t : b) d ( r , s ) =
1 4
+
1 4
=
2 2
5 1 1 y− y− 4 = 4 = 4 . 1 0 −1
−
u.
Propiedades métricas | Unidad 12
225
67. Dadas las rectas: r :x
y
1
z
2
2
s:
1
x
1
y
1
2
2
z 1
a) Comprueba que r y s se cruzan y escribe las ecuaciones de la perpendicular común a ambas. b) Halla la distancia que separa a r de s.
a) r : x
−1=
y 2
=
z+2
−1
Punto de r: Pr (1,0, −2 ) Punto de s: P (1,1,0)
s:
x
−1 2
=
Vector de
y
−1
2 r: u r
=
= (1,2, −1)
Vector de
z
−1
s: u s
= ( 2,2, −1)
s
1 2 −1 2 2 −1
A =
B
1 2 −1 = 2 2 −1 0 1 2
rg ( A ) = 2 , rg ( B ) = 3 ⇒ Las rectas se cruzan.
La perpendicular común a r y s es la recta que pasa por el punto Un punto genérico de r: (1 + ,2 , 2 − − )
Pr
de r y
Un punto genérico de
El vector determinado por estos dos puntos genéricos es ( 2µ − ,1 2+ 2µ,− los dos vectores de dirección
ur
y
us
Ps
de s. s: (1 + 2µ,1 +2 µ, −µ
2 −µ +
)
+ ) . Debe ser perpendicular a
.
Por tanto:
7µ − 6 =0 ⇒ 9µ − 7 =0
= µ = 0 ⇒ punto de r: P (1,0, −2 ) , punto de s: Q (1,1,0 ) . Luego PQ = ( 0,1,2)
x = 1 La perpendicular común es t : y = t z = − 2 + 2t b) d (r s,) = d u. ( P,)Q =14+ 5=
Lugares geométricos del espacio 68. Calcula la ecua ción del lugar geométrico de los puntos del espacio que e A 1, 1, 4 y B3, 3,0 . Identifica este lugar geométrico.
quidistan de los punto s
Sea P ( x, y ,z ) un punto cualquiera del plano. Se obliga a que P verifique la propiedad que define el lugar: d A(B P d P ) , , x(=
2 2 2 2 ) ( y =1) (+ z1)+ (+4 +) x− ( 3= ) y(−3+ ) z+ +
2
⇒
2
2 ⇒ x 2+ x2+ +1y2 + y 2+2+1z −z 8+2 216 =x −x 6+ y+9 y+ 6+z+9 ⇒ x y8−z 4 − 8 =0 x y⇒ 2 z − −2 0 =
Se trata del plano mediador del segmento de extremos A y B. Es decir, el plano perpendicular a ese segmento y que pasa por su punto medio.
226
Unidad 12| Propiedades métricas
69. Calcula la e cuación del lugar geomé trico de los punto s del es pacio que e quidistan de los planos: x ': x
: y
y
0
z
Identifica este lugar geométrico.
La ecuación implícita del plano π es x + y − z = 0. Sea P (x ,y z, ) un punto cualquiera del lugar. Se obliga a que P verifique la propiedad: dP ( ,) ( =d P
) , ⇒'
x +y z−
±=
x y
⇒
3
− 2
: (3 −2 ) (− 3x+ 2) + 2 =0 y : 3 (+2 ) 3(− x2− ) 2− 0 = y
z z
Se trata de los planos α y β bisectores del diedro que forman π y π ' . Son dos planos perpendiculares y tales que dividen al diedro en dos partes iguales.
70. Calcula la ecuación del plano mediador del segmento de extremos
y B 5,0,3 .
A 1, 2,3
Sea P (x ,y z, ) un punto cualquiera del lugar. dP A( dP B,)
2 2 2 2 2 1 y ( −2 ) +z( 3+ )+ (−5x )= y− +3 (=,x) ( ) ⇒ ( z) + − ⇒
22 ⇒ x 2− x2+y +12 + y +4 +z24− z + 6x=2 9−x +10 y+z25+z−
La ecuación del plano mediador es
2
+ x⇒y6 +9 8− 4= 20 0
: 2 x + y− 5=0
.
71. Calcula las ecuacion es de los planos bisectores de B 2,2,0
Plano
y C x :1
−2 y −2 −1
' , de ecuación 2 x 2
1,3,2 , y
1
dP ( ,) =( d P ⇒ ) , '
2 0: 1
z
−=⇒
y
+4+0 −x = y z
los planos
5z0
π
A 1,1,2 ,
, que pasa por los puntos
.
. Sea P (x ,y z, ) un punto cualquiera del lugar.
0
+x +y −z 4+ x 2y−2z + 5 x+ y+z− ±= ⇒ ±= 2 122 + 1 + 1 22 + 22 + ( −1)
4x+2y2 −z+
5 3
3
Los planos bisectores serán:
3 ( x+ y+z − =4 2 2x)+y −5z + 3 ( x +y +z −4 2=−2)x −y 5z + −
:2( −3 ) +( 2x− 3) (− +1 3) y + +5 43= 0 z ⇒ :2 3+( )+2(+3x ) +(− 3 )1y+ −5 43= 0 z
72. Calcula e l lugar geométrico de los punto s del espacio que distan 3 unid ades de la recta
r :
y
0
z
0
La recta r es el eje X. Sea P (x ,y z, ) un punto cualquiera del lugar. 3= ,3 dPr(
⇒ ) = y +z2 ⇒2y9+z2 = 2
Propiedades métricas | Unidad 12
227
73. Calcula el lugar ge ométrico de los puntos del espacio que dista
n 3 unidades de l plano
:x
y
0.
Se trata de dos planos paralelos a π : x + y = 0 . Sea P (x ,y z, ) un punto cualquiera del lugar. d (P,
)=
x
+y 2
α : x + y = 3 2 : x + y =− 3 2
=± ⇒3
74. *Calcul a las ecuacion es de las rectas cuyos pun tos equidi stan de las rectas r y s y están contenidos plano determinado por ellas. a) r : 2x x− y3+y2z =14 + =−
s: 2x x+ y3+z 3z =13 − =−
= 1+ λ = −λ z = 2 − 3λ
x b) r : y
x + y = 1 2 x − z = 5
s:
x = 2 + λ c) r : y = λ z = 12 + 3λ
x = − 2+ = − 3λ z = 4 − λ
s : y
a) Las rectas son secantes, ya que las dos contienen al punto
u r=
i
j
1− 2
k
1 =− 2 3 0
El vector
+
ur
ur
ur
ur
u
+ −=s us
u
− −=s us
i
j
P (1, −1,1) y sus vectores de dirección son:
k
1 1 =− 3 − 2 0 −3
us
)
es un vector de dirección de una de las bisectrices.
−
us
es un vector de dirección de la otra bisectriz.
us
77
6 4 5 ,, −+ 77
77
3 92 ,, − −= − 94 94
63 +,
49 52 ,− 77 94
77
6 4 5 ,, −− 77 77
77
3 92 ,, − −= + 94 94
63 −,
49 52 ,+ 77 94
77
94
94
Las ecuaciones de las bisectrices son: b1 :
b2 :
x
−−
6 77
Unidad 12| Propiedades métricas
−1 3
+
4
94
x −1 6 3
− + 77
228
3,9, ( 2
ur ur
ur
u=s
(6,4,5 )
us
El vector
ur
en el
=
y
9 77
+1 5
−
94
2
= 77
y +1 = = 4 9 5 2
94−
77 + 94
77
z −1
94 z −1
94
94
77
94
94
77
94
b) Las rectas son secantes, ya que las dos contienen al punto P ( 2, −1, −1) y sus vectores de dirección son:
ur
= (1, −1, −3 ) , u s = (1, −1,2 ) .
ur
El vector
ur
+
us
−
us
ur
El vector
ur
ur
u
+ =s
ur
us
ur
u
− =s
ur
es un vector de dirección de una de las bisectrices.
us
us
es un vector de dirección de la otra bisectriz.
us
1 1 2 1 13 − −, , + − ,, = 11 11 11 6 6
1 1 3 2 11 + ,− − ,− + 6 11 6 11 6 11
6
1 1 2 1 13 − −, , − − ,, = 11 11 11 6 6
1 11 1 3 2 − ,− + ,− − 6 11 6 11 6 11
6
Las ecuaciones de las bisectrices son: b1 :
x −2 1 1
= 1 1 − −
+
11 6 b2 :
y
+1 1
11 6
x−2 1 1
1
− +
y +1 1 3 2
= 1 − +
−
11 6
11 6
− −
=
z +1
11 6
=
z +1
11 6
c) Las rectas son secantes, ya que las dos contienen al punto P ( −1, −3,3 ) y sus vectores de dirección son:
ur
= (1,1,3) , u s = (1, −3, −1) .
ur
El vector
ur
+
us
−
us
ur
ur
ur
ur
us
es un vector de dirección de una de la otra bisectriz.
22 2 1 1 3 1 3 1 , , + − − , = , − ≈− , , 11 11 11 11 11 11 11
u
+ = s us
ur
es un vector de dirección de una de las bisectrices.
ur
El vector
us
4 4 1 1 3 1 31 , − , − − = , , ≈ 0, , 0,1,1 11 11 11 11 11 11 11 11
u
− = s us
(
11,,1 11 11
(
)
)
Las ecuaciones de las bisectrices son: b1 : b2 :
x +1
1 x +1 0
= =
y
+3 z −3 = 1 −1
y +3 1
=
z−3 1
Propiedades métricas | Unidad 12
229
La superficie esférica 75. Calcula la s coordenadas del centro y la medida del radio de las siguientes superfi cies esféricas. a) x 2 + y z2+ − x2 y +2 z −4− 6=2
4y b) 4 x 2 +
0
+42z 4−x −2 8y z4− 5+ 0=
a) Sea C (a,b,c ) el centro de la esfera y r el radio. Se verifica:
D = − 2= − 2a E = 4 = − 2b F = − 6 = − 2c G= − =2 a +b2 2c+2 2 r −
C (1, −2,3 ); r=
⇒ a= b1,=− c=r2, =3, = ⇒ 16 4
b) La ecuación de la esfera se puede escribir como x 2 +y
D = − 1= − 2a E = − 2= − 2b F = − 1= − 2c G= =5 a+ b2+2 c2−2 r 4
⇒ a=
1 11 b=, =1 c , r=, 2 24
76. Dada la superfi cie esférica de ecuación
+z x −2 −y z− 2+ =
2
z2
4
1 1 C ,1, ; r= 2 2
1
= ⇒
x 2 y z2
5
2
2
3
4 16
36
+ + += 4
4
4
2
4
0.
141
5 1
444
4 2
+ + −=
0:
a) Calcula las coordenadas de su centro y la medida de su radio. b) Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto P ( 0,0,3 ) .
a) C ( 0,0,1) , r=
+44 = 3 =
4
2 u.
b) El vector CP = ( 0,0,2 ) ( )0,0,1
es un vector normal al plano tangente. Por tanto, dicho plano tendrá por ecuación z + D = 0. Además, el plano debe pasar por P: 3 + D = 0 ⇒ D = −3 ⇒ z − 3 = 0.
77. Determin a la posi ción relativa de los planos superficie esférica de ecuación
x 2 y z2
:3 y 5 z22
x2 y4z 2
45
El centro de la esfera es el punto C ( 2,−1,2 ) y el radio mide r=
=
d,(')C
=
d (C , '')
230
15 2 >=⇒ r 32 + 52
)d, (C
=
2
= =2r
z 3
y
'': z 4
16
4 16
+ + −= 4
4
4
=5
4
2.
El plano π es secante a la esfera. La corta en una circunferencia.
r <2= ⇒ + 22
12
:' y 2
.
El plano π es exterior a la esfera.
0 12
,
0
El plano π es tangente a la esfera en el punto P ( 2, −1,4 ) .
Unidad 12| Propiedades métricas
respecto de la
78. Se consi dera la superfi cie esférica de centro C 1,1,1
y tangente al plano de ecuación 9
x
2y
6z
2.
a) Calcula la medida del radio. b) Calcula la ecuación de la superficie esférica. c) Escribe la ecuación del plano tangente a la superficie que pasa por el punto P (1,2,1) .
a) La medida del radio será: r
b)
9 2− 6+2 −
= d (C=, )
==
81 + 4 +36
11 1 11
2 2 2 ( x −)1 (+y− ) 1( +z)−1 1= ⇒ x +y z+ −x y2 2z−2 22−2+0 2 =
c) Vector normal del plano n π
= CP = ( 0,1,0) ⇒ y + D = 0 ⇒ 2 + D = 0 ⇒ D = −2
Por tanto, la ecuación del plano tangente es: y − 2 = 0
79. Halla la ecuación de la superfi cie esférica de radio 1 concéntr ica con
2 4 x 2y4+z2 x4 +4 16− 10y+
1 16 1 4 4 4
+ − =
4
2
4
16
1
0.
1
2 x22+ y +z− x 4y + +0 = += ⇒
1 Centro C , −2,0 , radio r= 2
4 x 2y z x4 y 2
4
2
La esfera concéntrica de radio 1 será: 2
x − 1 + y + +z2 =2 2⇒ ) 2 2x12+y2 z+x y− + − = ( 2
13 4
⇒x 4 y2+ z2 +20x 4y− +4 4 −4 =16 130
Áreas y volúmenes 80. Calcula el área del triáng ulo ABC en lo s sigui entes ca sos. a) A ( 4, −6,2 ) , B ( −3,4, −2 ) , C ( 0, −8,0 ) 1 1 1 2 b) A , −2, , B −2, , − 4 2 2
a) AB =
− −2, 2 ) ( −7,10, −4 ) , AC = −( 4,
=− AB × AC
b) AB
i
j
k
AB AC
7 −=−104 ⇒ (= 28,2,54 )= S −4 −2 −2
×
3704 2 u 2
2
5 5 9 1 1 = − , , − , AC = ,1, 2 2 4 4 4
, C 3 , −1, 1 4 2
AB × AC −=
i
j
k
5 5 9 23 1 25 −= − ⇒ = , 2 2 4 8 16 8 1 1 1 4 4
,
= 2
S
× AC AB 4617
32
u2
Propiedades métricas | Unidad 12
231
81. Calcula e l área determinada por el triángulo de vértices medida de la altura de dicho
AB =
triángulo que parte del vértice
A 1, 3, 2 , B
1,1,3
y C 4,0,3
y halla la
A.
( −2,4,5 ) , AC = ( 3,3,5 ) , AB × AC = ( 5,25, −18 )
Área ABC: A =
AB × AC 2
=
52 2+ 5
2
+ (18 − )2
2
=
d ( B,C ) hBC
Altura que parte del vértice A: A =
2
974
u2
2
⇒ = hBC=
2 487 A 974 = , d ( B C ) 13 26
82. Calcula el volu men del tetraedro determinado por los vértices
u
A 2, 1,2 , B 1,2,2 , C 0,1,0 y D 1,1,1 .
V
83.
AB, AC, AD −2 1 3 = = = u 6
6
3
a) Demuestra que los puntos A ( −2,1,0) , B ( −2, −1, −1) , C ( 0, −1,0 ) y D (1,2,2) pertenecen a un mismo plano. b) Calcula el área del cuadrilátero ABCD cuyos vértices son los puntos del apartado anterior.
(
)
a) AB = ( 0, −2, −1 ) , AC = ( 2, −2,0 ) , AD = ( 3,1,2) . Luego rg ,AB ,AC AD 2 = b) SABCD =S
+
ABCS
1
1
=CDA AB × +AC × CD = CA += 2
2
6
24 3 6
⇒ A, B, C, D son coplanarios.
u2
CUESTIONES 84. Dada una rect a r y un punto P exterior a ella, indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. c) Existe una única recta que pase por P y que sea paralela a r. d) Existen infinitas rectas que pasen por P y que sean paralelas a r. e) Existe una única recta que pase por P y que sea perpendicular a r. f)
Existen infinitas rectas que pasen por P y que sean perpendiculares a r.
g) Existe una única recta que pase por P, que sea perpendicular a r y que sea secante con ella. a) Verdadera. b) Falsa. c) Falsa. d) Verdadera. e) Verdadera.
232
Unidad 12| Propiedades métricas
85. Dada una rect a r y un punto exterior
P a ella, indica:
a) Un método geométrico que permita calcular la distancia de P a r. b) Un método algebraico que permita calcular la distancia de P a r. a) Se calcula el plano
π que es perpendicular a r y pasa por P.
Se calcula el punto Q intersección de r y del plano π. Se calcula la distancia de P a Q. b) Se calculan las ecuaciones paramétricas de r y se toma un punto X genérico de ella.
Se obliga a que el vector PX sea perpendicular al vector de dirección de r y se obtiene el valor del parámetro y las coordenadas del punto Q. Se calcula la distancia de P a Q.
PROBLEMAS 86. Dados los puntos del espacio: A 1, 1,2
B 0,3, 2
C 4,0, 3
a) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por A y B. b) Escribe la ecuación general del plano
π que pasa por A, B y C.
c) Escribe la ecuación del plano π ' que es perpendicular a π y que contiene a r. d) Halla la distancia que separa a C de π ' y la distancia que separa a C de r.
x = 1 − λ a) r : y = − 1+ 4 z = 2 − 4λ
b) AB =
( −1,4, −4 ) , AC = ( 3,1, −5 ) .
−1 y +1 z − 2 −1 4 −4 = ⇒ 0 3 1 −5
: 16 + + 1− 7x1 =3 2y 5 0z
−1 y +1 z − 2 −1 4 −4 = ⇒ 0 16 17 13
' 40 : − − 17 x−27 =
x
x
c)
d) d C ( ,=) '( d=C)r
,
y3 0
40 ⋅4−3 ⋅ − (27− )3
=
402 +17 2 +27
z
238 2
2618
u.
Propiedades métricas | Unidad 12
233
87. Dadas las rectas que tienen por ecuaciones: r :
x
3 4
y
1
z
1
s:
m
2
x
2y
z
2 x y nz
3 4
a) Halla los valores de m y n para que r y s sean paralelas. b) Para los valores calculados de m y n, calcula la ecuación del único plano que contiene a las dos rectas. c) Halla la distancia que separa las dos rectas.
= ( 4,2,m ) ,
a) u r
Los vectores
+1 y −2
x
b)
P ( 3, −1, −1) ∈ r
ur
z 4 0 −3 −1
2 4
1
y
us
i
j
k
, u s = 1 2 −= 1+ (−2n 1,2 n,5 ) , Q ( −1,2,0) ∈ r −2 1 n
deben ser proporcionales ⇒
4 = 212n5+
2
m
=⇒ −n
4= 2n + 8 −4 n⇒ = 10 = 2m= − nm 4
n
3
m
8.
= ⇒: 11 1 +8x 10 − y −25= 0z
c) Se calcula el plano π ' que pasa por P y es perpendicular a las dos rectas paralelas r y s: 2 xy +zD+ 4
+ =0⇒6−14D− + 0D= ⇒ 1=−' ⇒:xy2 z
+4 +1 0 − =
Se calcula la intersección de π ' con s:
x + 2y − z = 3 3 19434 −2++x y=z⇒ − 4 R ,,⇒ , = , dsr =dPR 4 212121 2 x + +y 4 1−z0=
82 64 +( ) +( )= 21 21
2
25 21
2
1 1445 21
2
u.
88. Se consideran los puntos: A 1, 2,4
B 2,2, 1
C
1,0,2
a) Calcula las coordenadas del punto D de forma que ABCD sean los cuatro vértices de un paralelogramo. b) Calcula el área del paralelogramo. c) Calcula la medida de la altura del paralelogramo correspondiente a la base de extremos A y B. a) Sea M el punto medio de A y C: M ( 0, −1,3 ) M debe ser también el punto medio de B y D. Por tanto, D ( −2, −4,7 ) .
b) El área del paralelogramo coincide con el módulo del producto vectorial de AB = (1,4, −5 ) y AD =
i
j
k
1 4 −5 = ( 2,12,10 ) S=+ 4 +1 44= 1 00 −3 −2 3
c)
AB=
+ 1+ 16= 2 5 ⇒ 42
altura =
248 42
234
Unidad 12| Propiedades métricas
248
=
124 21
u2
u
( −3, −2,3 )
89. Dado el punto A 3,0, 4
y la recta s :
x
y
y
z
2 2
a) Calcula las coordenadas de la proyección ortogonal de A sobre s. b) Calcula la distancia del punto A a la recta s. c) Calcula el punto simétrico de A respecto de s. d) Comprueba que la distancia del punto simétrico de A a s coincide con la distancia de A a s. a) Plano π perpendicular a s y que pasa por A:
i
j
k
El vector de dirección de s es el vector normal de π: 1 −1 0= − (− 1,1 ,1) : x y+z − D As
0 . Como D = −1, entonces
+=
As
0 1 1 + y− z− =1 0
1 5 1 es la intersección de π y de s: As − , , 3 3 3
b) d A ( s,) ( =d A )A , =s c)
:x
64
+ +
25 1 69
=
9 9
9
258 3
u
7 10 14 es el punto medio de A y A ' : A ' , , 3 3 3
d) d ( A ', As=)
64 25 1 69 258 + + = 9 9 9 3
90. Dada la rect a r :
x
y
1 2
1
2
a) Calcula la ecuación del plano
u
z y el punto P
2,0,3 :
π que es perpendicular a r y que pasa por P.
b) ¿Cuántas rectas hay que sean perpendiculares a r y que pasen por P? c) Calcula la ecuación de la recta s perpendicular a r, que pasa por P y de forma que r y s sean secantes. d) Calcula la distancia que separa a P de r.
a) La ecuación de la recta en forma continua es r :
x
−1 2
=
y
−2
=
z −1
−1
El vector de dirección de r es perpendicular al plano. Por tanto P ∈ ⇒−4−3 +D 0 =D ⇒7 = 2⇒ xzy2 ≡ − 7 − =− b) Hay infinitas: todas las rectas contenidas en
: 2 x2− y −z+D=0
. Como, además,
π y que pasan por P.
c) El punto de intersección de r y s coincidirá con el punto de intersección de r y π. Este punto será: 21( 2+ )2t( 2 −⋅
)−t +1 7− =t− ⇒ = −
8 9
7 16 17 Q=∩ r s= − 9 , 9 , 9 x = − 2 + 11t La recta buscada pasa por P y por Q. Entonces: s : y = 16t z = 3 − 10t d) d (P r,) ( = d P)Q , = +
121 2 56
+ =
81
81
100 81
53 3
u.
Propiedades métricas | Unidad 12
235
x 2 y z2
91. Se consi dera la superfi cie esférica de ecuación
x2
y3 z11
9
2 0
.
a) Calcula las coordenadas de su centro y la medida de su radio. b) Comprueba que los puntos A ( 0, −1,2 ) y B (1,1, −1) pertenecen a la superficie. c) Calcula la longitud de la cuerda que tiene por extremos las intersecciones de dicha superficie esférica con la y + z = 20 recta r : y − z = 2 : 3 x +13y +z5 +m= 0
d) Calcula el valor, o los valores, de m para que el plano
sea tangente a la superficie
esférica. a) x 2 + y + z2− − x2 c1
r
D
=− =−
=
2
D2
y3 z −11 +
−3 =
3
2
E2
2
=9 2 0 E
=− =−
c2
2
F2
−=11 11 2 2
9 121 81 = 4 2
+ + − =+ G + −=
4 4 4
4 4 4
c3
203
2
−=9 ⇒9 C3 119, , 2 2 222
F
=− =− 2
203
b) Al sustituir las coordenadas de los puntos en la ecuación de la superficie esférica, esta se verifica. Por tanto,
ambos puntos pertenecen a la superficie:
− ,2 )⇒ +1 + 4 − 11+ =18 A ( 0,1
− ⇒) B (1,1,1
2 0
+1+ 1− −1 +3 + 11 = 9 2 0
c) Al resolver el sistema formado por las ecuaciones de la superficie esférica y las de la recta, se obtienen los puntos P (1,11,9) y Q ( 2,11,9) .
Longitud de la cuerda: L =d P ( Q, ) = 1
π sea tangente a la superficie esférica se debe verificar que la distancia del centro de la superficie al plano sea igual al radio:
d) Para que el plano
d (C=,
)
3 119 3 ⋅+2 ⋅ +13 ⋅+ 2 5 2 m + 203 = = ⇒ 2 32 + 132 + 52
197 2 m 203
203 197 2= +2 ⇒ m = m 3 203 197 =− − ⇒m =− m 200 2 2
Por tanto, los valores son m = 3 y m = −200.
92. Calcula la ecuación del plano
' qu e pasa po r
y B 0,2,1 y que es perpendicular al plano
C 1,1,2
:2x
y
, que es paralelo a la recta que pasa por 1.
z
¿Cuánto mi de la distanci a de C al punto de corte de la recta
AB y el plano
?
El plano π ' tiene como vectores de dirección los vectores AB = (1,2, −1) y n π = ( 2,1, −1) . x
−1 y −1 z − 2 2 1 −0 =' :⇒ 1 −1
1 2
3 +x8+0 y − =z
x = − 1+ y = 2λ El punto de corte de la recta AB con π es: ⇒ z = 2 − λ 2x + y − z = 1 La distancia de C a P es: d ( P,C )= 1+1 1+ = 3
236
Unidad 12| Propiedades métricas
u
=1 ⇒P ( 0,2,1)
A
1,0,2
93. Los puntos 2:
x
A ' y B ' son las proyecciones ortogonales de los puntos
A 2, 1,1
y B 1, 3,0
en el plano
.
y 3z0
a) Calcula las coordenadas de A ' y B ' . b) Comprueba que A, B, A ' y B ' son cuatro puntos coplanarios. c) Calcula el área del cuadrilátero de vértices A, B, A ' y B ' .
a) Recta AA ' :
x
Recta BB ' :
x
−2
=
y
=
y
2
−1 2
10 5 7 +1 z −1 , A ' =' AA∩ ⇒ ' , A, − = −1 −1 6 6 6
+3 z 1 = , B ' =BB' ∩ ⇒B ' , , − −1 −1 3
8 1
3 3
b) Las rectas AA ' y BB ' son, evidentemente, paralelas.
Por tanto, A, B, A ' y B ' son coplanarios. c) SABA ' B = S'
=
+=
AA B 'S
1 A ×A AB+ ' B×A ' BB= ' 2
1 ' 2
1 12 36 60 − = ,+ ,= 2 36 36 36
35 12
B BA
1 6 18 30 − , +, − 23 6 36 36
x 94. Dada la rect a r : y z
0
y los puntos
A
35 6
1,0,2 , B
35 2 u 4
1,2,2 , C 1,0,1 y P
a) Calcula la ecuación del plano
π que pasa por A, B y C.
b) Calcula la ecuación de la recta s que pasa por P, es paralela a
π y corta a r.
c) Calcula las coordenadas de un punto que pertenezca a r y que equidiste de
a)
x +1 y z − 2 02 0 0 2 0 −1
1,0,1 :
1
=:⇒ 2
3 0x+
π y de s.
−z=
b) El punto Q es la intersección de la recta r con el plano
paralelo a π y que pasa por P:
x + z = 1 y ⇒ Q1(,0,0 ) =0 x + 2z − 1 = 0
x = 1 + 2λ La recta s pasa por P y por Q: s : y = 0 z = −λ c) Sea X ( t ,0,1 − t ) un punto genérico de r:
−1 − t 5 ⇒ t = 0 ⇒ X (0,0,1 ) t −1 d ( X ,s ) = 5 d ( X , π) =
Propiedades métricas | Unidad 12
237
95. Calcula las coor denadas de los vértices del triángulo A ' B ' C ' que se obti ene al pro yecta r ort ogonalmente el triángulo ABC sobre el plano . Calcula las áreas de ambos triángulos.
x = 1 + 2λ ' 'A= AA + ⇒ ∩, , = 8 13 5 6 6 6 z = 1 − λ
AA ' : y 2=
x = − 1+ 2 ⇒ 'B BB '= z = − 2−
BB ' :y 2= +
x = − 1+ 2 + ⇒ ' CC '= C z = 3 − λ
CC ' :y 2=
SABC
1
1 7 ∩ , = − − 3 3
∩, , =
1
= AB× AC= − − ×− ( 2,0, = )(3
SA ' B ' C '
2
2
7 3
8 19 11 6 6 6 1
=( ) ) 2,0,2
2
0,10,0
5
u2.
1 1 10 1 19 1 20 10 = AB '×AC' = −' −' × =, , − (0,1,1 = ) , 2 2 6 6 6 2 6 6
10 6
5 6 2 u. 6
96. ¿A qué dista ncia se encuentra n estos dos individuos?
Hay que calcular la distancia de dos rectas que se cruzan. Punto de r: P ( 0,1,0)
Vector director de
r: u r
= ( 2,3,4)
Punto de s: Q ( 0,2, −1)
Vector director de s: u s = (1,2,3) x y −2 z +1 Plano que contiene a s paralelo a r: 1: 2 30 :=2⇒ − 5+x+ 0= y 2 d (r s,) d =( )P
=,
0 −2⋅ 1+0 +5
= =
12 + 22 + 12
3 6
3
6 2
Por tanto, la distancia entre los dos individuos es
238
Unidad 12| Propiedades métricas
4
6 2
u.
z
97. Dado el tetrae dro de vértices
A 3, 1,3
, B 2, 1,0 , C 0,0, 2
y D 1, 2, 1 :
a) Calcula su volumen. b) Calcula el plano π que contiene la base determinada por los vértices B, C y D. c) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta m que pasa por A y por el baricentro G de la base BCD. d) Halla el plano π ' paralelo a π que pasa por el punto medio del segmento AB. Comprueba que también contiene a los puntos medios de AC y AD. e) Halla el punto P de m que pertenece a base BCD?
π ' . ¿Cuál es la relación entre las distancias de P al vértice A y P a la
a) El volumen del tetraedro ABCD se puede calcular hallando el valor absoluto del producto mixto de los vectores AB , AC y AD .
AB = ( 5,0, −3 ) , AC
5
= ( 3,1, −5 ) , AD = ( 4, −1, −4 ) , AB, AC, AD =3 1 4
0 −3 5− =−20 + 9+ 12− 25=− 24 −1 −4
1 −24 = 4 u3. 6
Por tanto, el volumen del tetraedro será V =
π tiene como vectores de dirección BC = ( −2,1, −2) y BD = −( −1, −1, 1) y pasa por el punto B ( 2,−1,0 ) y, por tanto, tiene por ecuación:
b) El plano
x
− 2 y +1 z −2 1 2−0= ⇒: 2 −1 −1 −1
−2 +z2x +2 2y+ −4 2x +2− y −0z+ =:3 ⇒3 6−x z0 + :+ = ⇒2xz 0 − − = 2 0+ +1− 1,+0 −2 0−2, 1− 3 3
c) El baricentro de la base BCD es el punto G
3
⇒11, 1( − − ) ,G
La recta m tendrá como vector director el AG = ( 4,0 − 4 ) paralelo al vector (1,0, −1) . Por tanto, sus ecuaciones x = 1 + t paramétricas serán m : y = − 1 z = − 1 − t d) El punto medio de AB es
' : xzD−
− 1 , −1, 3 y, por tanto, el plano π ' es: 2 2
1
3
2
2
+ =0 ⇒ − − D + =D⇒ 0 2 =⇒ xz' : 2 − 0 +=
3 1 3 1 1 Este plano también pasa por − , − , punto medio de AC, ya que − − + = 2 0 . 2 2 2 2 2 3 Así mismo, también pasa por −1, − ,1 punto medio de AD, ya que −1− 1+ 2 = 0 . 2 Pm = ∩'
⇒
x − z + 2 = 0 tt ⇒t+ +1 P+ +1 = 20 ⇒ =−2 ⇒ − − 1,1 , z =− 1=t − − 1 x = 1+yt 2
3) 1( + − +)1 1( +) 3−1 e) La distancia de P a A es d ( P,)A =( − +
es d (P, BCD ) ( ,=d) P G 1 1=
2
2
+1( 1+) −(+ 1+1)−−( 8=) 2 2=
2
2
= 8 =22
( 2
) . La distancia de P a la base BCD
. Las distancias son iguales.
Propiedades métricas | Unidad 12
239
98. Dados los punt os A 1,0,0 , B 0,2,0 , C 3,3,0 y
D1,1,2
:
a) Calcula el área determinada por el triángulo de vértices A, B y C.
b) Calcula la medida de la altura h que parte del vértice A en el triángulo ABC.
c) Calcula el volumen del tetraedro determinado por A, B, C y D.
d) Calcula la medida de la altura H que parte del vértice D en el tetraedro ABCD. = 1AB × AC =1 −×
a) SABC
b) S
=
2
d (B ,C )h
2
d) V
=
⇒ ==
h
2
2S
(
)
SH
3V
3
S
⇒ =H =
= 7:
7 2
0,0, 7
2
7
=
d ( B, C )
1 1 1 det AB , AC,AD = 6 66
=
c) VABCD
=)1( ) 2,3,0 −7 =( ( 1,2,0 )
2
7 10
32 + 12 + 02
−1 7 2 0 2 30 = −=− 6 8 031 2 2
99. Calcula e l valor, o los valores, de m para que el ángulo que forma la recta x
2y m z
r :
Vector normal de π: n π = (1,2,m )
( )
=
nπ ⋅ u r nπ ur
Vector director de
4+m = sen30 =⇒ + = 5 + m2 ⋅ 6
r: u r
1 2
m2
+24 ⇒ 30 6m
100. Calcula el valor, o los valo res, de m para que la distancia del punto sea de
2y
z
3 3
i
j
k
= 1 −2 0 =2,1 ( ,1 ) 0 1 −1
m = 17, m = −1.
P 1,2,m
a la recta r : x
6 unidades de longitud.
Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:
ur
= (1, − 1,1)
Q (0,6,2 )
PQ →
→
→
P
d( ,
)=
| u r × PQ | ( →
=
240
Unidad 12| Propiedades métricas
m m
3
j 1
k
=1 −m −m (6, 3 ,3
−1 4
2 )m(− +6 −) + m 3
| ur |
i
1 = ( −1,4,2 − m ) uPQ r× = − 2
| u r PQ × | = m6 −( + )3m −(9 +)
r
con el plano
0 sea de 30º.
5
sen , r =
x y
2
9
93( = ⇒6− + 6− +18 =⇒
)
2−m
2
) (
2
)
2
m = 6, m = 3
y
6 1
z
2
101. Halla el valor de
m para que las rectas
x
1
r : y
4
z
y s:
7
2
m
2x
5y
z
5y
z
10
6
sean coplanarias y calcula,
en este caso, la dist ancia que separa a su pun to de cort e del srcen de coo rdenadas.
ur
= (1, −7,m )
i j k 2 = 5− 1 0 5 1
u =s
P (1,4, −2 ) ∈ r
0, −( 2,10)(
Q ( 2, −2,0 ) ∈ s
0,) 1,5
Las rectas no pueden ser paralelas. Por tanto, para que sean coplanarias deben ser secantes: 1 −7 m 0 −1 5
A =
B
1 7 m = 0 −−1 5 . Para que sean secantes debe verificarse que B = 0 ⇒ m = 7. 1 −6 2
El punto de corte de las rectas es R ( 2, −3,5 ) . La distancia de R a O es d ( R,O )= 4+ +9 25=
102. Calcula el valor, o los valores, de :2x
y 3 z m
38
u.
m para que el área del triángulo que se obtiene al cortar el plano 14
con los ejes coordenados valga
6
2
u .
Los puntos de corte son:
2x + 3y z+ m = z = 0
A : y 0=
2x + 3y z+ m= B: zx 0== 0
m ⇒ A,0,0 2
m ,0 3 ⇒0, B
2x + 3y z+ m= C m ⇒0,0,( y = 0
C x : 0=
)
AB
m m = − , ,0 2 3
AC
m = − ,0, m 2
AB × AC −=
=
−
S
=
1 m4 m 4 m 4 14 + += ⇒= −= m 2 9 4 36 6
2 m
i j m m
2 3 m 2
0
k 0
2 m m m ,
6 3 2
2
2
,
m
2
Propiedades métricas | Unidad 12
241
103. Calcula la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que distan 5 unidades de la recta x 3 . Comprueba que el eje Z está incluido en ese lugar. r : y 4
Sea X (x ,y z, ) un punto genérico del lugar, entonces d ( X , r ) = 5 . Se obtienen un punto y un vector de dirección de r:
ur →
= ( 0,0,1)
uQX r×
=
i
j
k
0 0=− − 1x y ( 4 x −3 y −4 z
→
r Xd ( ,
QX x =(
Q (3,4,0 )
)=
=
| u r QX × |= (4− y+) x ( − 23)
3,0 )
2 2 )4 (− y ) + x − 3 xy=⇒ x5 y +0−8− =6
| u r × QX | ( →
,
−y3, z−4, )
2
2
2
1
| ur |
El lugar geométrico x 2 +y − 2−x= 6y
x = 0 , ya que todos los puntos de esa recta 0 contiene a la recta y = 0
8
verifican la ecuación del lugar.
PARA PROFUNDIZAR 104. Dados los puntos
A
5,0,0
y B 5,0,0 :
a) Calcula la distancia d que los separa. b) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que distan d unidades de A y de B a la vez. c) Identifica el lugar hallado. a) d ( A, B ) = 10 b ) Sea P (x ,y z,
2
10 =
u.
) un punto genérico. Entonces d ( P, A ) = 10 y d ( P,B ) = 10 .
( x + 5 )+2 +y 2= z 2 ( x− 5+)2 + =y 2 z 2
2 2 10 x y 2 z+ + x+10 − =75 0
⇒
10
2
2
2
x y+ z+ − x −10=
75 0
x y z+
2 22
⇒
x
22 y 0z + − = 75 0 + x+ − 10 = 75 ⇒ =0 x = 0
c) Se trata de la circunferencia que se obtiene al cortar la esfera de centro C ( 0,0,0) y radio r
el plano x = 0.
242
Unidad 12| Propiedades métricas
= 75 contenida en
105. Dado el plano
: x 2 y2
z 0 18
x 2 y z2
y la superficie esférica de ecuación
x2y 2
4
4
0:
a) Calcula el haz de planos paralelos a π. b) Calcula las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie esférica y que son paralelos a π. a) Haz de planos paralelos a
: x+2 y2 − z+ D0=
.
b) Los planos buscados deben pertenecer al haz anterior y además deben verificar que la distancia del centro de
la esfera a ellos coincide con la medida del radio. Centro: C (1, −2,0 ) .Radio: r= 1+ +4 = 4 d (C,
)=
3
1− 4 + D
=⇒ 3
1+ 4 + 4
D
=12 ⇒ x :y z+ 2 − 2 + 12= 0 D 6 =− ⇒ 'x: y+z2 2− −6 0=
106. Calcula la ecuación de la superficie esférica cuyo diámetro es el segmento de extremos B 0,2,1 . Calcula el valor o los valores de
k para que la recta
r :x k
y z
A
2,0,3
y
sea tangente a la superficie
esférica.
−2+ 0 +0 2 +3 1 Centro de la esfera: C , , ⇒ C1(,1−,2 2 2 2 La ecuación de la superficie esférica es:
) . Radio:
r
=
1 1 AB= 2
12
+ 2+22− 2=2 (= )2 3 2
2
2 2 2 ( x +)1 (+y− ) 1( + z )− 2 3= ⇒ +x y z+ +x y22z−2 42−3+0 2 =
Para hallar el valor o los valores de k se estudia la intersección de r con la superficie esférica.
x = k + λ = ⇒ + k( k− 2 3+0) + 3 k 2 24 z = λ
yr :
2
+=
Para que la recta sea tangente, la ecuación anterior debe tener solución única. Por tanto:
∆=− −8k 2−k40=20 ⇒0=k
k
5
−15 + = ,
5 −−15 2
2
Propiedades métricas | Unidad 12
243
107. Un rayo parte del punto
P 1,0, 2 y se refleja e l plano
:x
y
2.
Calcula el punto donde el rayo toca al plano sabiendo que el rayo refleja do pasa por
Q 1, 2,0
.
Sea Q ' el simétrico de Q respecto del plano π. La recta que pasa por P y Q ' cortará al plano π en el punto T buscado.
x = −1 + t =2− +t ⇒ = ' ∩ M⇒ ,0 , M QQ z = 0
QQ ' : y
3 1 2 2 .
Como M es el punto medio de QQ ' ⇒ Q' (2,1,2 ) . PQ ' = (1,1,4) .
x = 1+ t = T⇒PQ = z = − 2 + 4t
PQ ' : y t
244
∩ ' T⇒ ,0,
Unidad 12| Propiedades métricas
3 1 2 2
Au to evaluac ió n
Comprueba qué has aprendido 1.
Calcula el ángulo que forman los planos
x3
: 12
y
2y 6 0z
x6
: 23
.
6y 1 0 z
Vectores normales de π y de π ' : n π = ( 2, −3,2 ) y n π ' = ( 3,6,6 ) .
cos ,' =
(
2.
nπ ⋅ nπ'
)
nπ nπ'
Calcula el ángulo que forma la recta r :x y z
Vector normal de π: n π = ( 2,−1,2 )
=
nπ ⋅ u r
sen (, r )=
3.
(
3
=
3⋅ 3
nπ ur
⇒
)
0 a =rccos0 90º = ⇒ , '
con el plano
2: x
Vector director de
3 = 3
( )
, rarcsen
Comprueba que el tri ángulo de vértices
y2 0 z r: u r
.
= (1,1,1)
3 35º16 ' 3
A 3,4,5 , B 9,4 , 1 , C 1,2, 3 es equilátero.
Los lados del triángulo miden:
a
+82+2 =22
= BC=
2
, b = AC= − ( 2) +−2 (+2) − 2=( 8)
72
2
, c = AB=
72
+62 +−0 2 =( 6)
2
72
Se trata de un triángulo equilátero. 4.
Estudi a la posi ción relativa de las rectas r y s y calcula la mínima dist ancia que las separa. a) r :
a) u r
M
x 1
y
=
−2 2
=
z−3 3
s:
−1 y −1 z − 2 = = 1 2 −1
x
= (1,2,3)
P ( 0,2,3 )
= 1 2 3 −1 1 2
M'
5 x + y+ −z 22=0 b) r : x − y+ −z =12 0
us
1 2 3 = 1− 1 2 1 −1 −1
= ( −1,1,2 )
rg ( M ) = 2 ,
x + +y − =z 6 0 x − 4 y −16 0=
s:
Q (1,1,2 ) M ' 3=
las rectas se
≠0⇒ rg ' (=M 3⇒)
cruzan. Se halla el plano π que contiene a s y es paralelo a r:
−1 y −1 z − 2
x
1
2
−1
b)
3
0 2
1
5 3 2−x 0 +y − z= =: ⇒
i
ur
5 1 1 −1 =11−− 2,( 4,−−6 )( 1, 2,) 3
us
i
=,
−10 +9 −2 = = 12 + 52 + 32
j
35
3 35 35
k
P ( 0,5,17)
j
k
Q (16, 0, −10 )
= 1 1 1 =4,1, ( 5− ) 1 −4 0
−3 rg ( M ) = 2 , M ' =0⇒ rg( 'M 2 =) ⇒ − − 27 en un punto. Por tanto, la mínima distancia que las separa es 0. M
3
=
d (r s,) d=( P )
= 1 −2 −3 4 1 −5
1 M ' 4= 1 16
−2 5 −5
las rectas se cortan
Propiedades métricas | Unidad 12
245
5.
:2x
Dado el plano
y
z
0 y el punto
P 1, 2,1 :
a) Calcula las ecuaciones de la recta perpendicular a
π y que pasa por P.
b) El punto Pπ es la proyección ortogonal del P sobre el plano π. Calcula sus coordenadas.
a) Vector normal de π: n π
= ( 2,1, −1)
x = 1 + 2λ Recta perpendicular a π y que pasa por P: r : y = − 2+ z = 1 − λ b) Se obtiene Pπ al resolver el sistema formado por la recta r y el plano π:
24+2 6.
Dada la rect a r :x y z
1 4 115 = ⇒ , =, ⇒ Pπ − 6 3 66
1− +0 − +
, calcula las ecuaciones de la recta que es perpendicular a
r , que corta a r y que
pasa por el punt o P 1,0,0 .
Se calcula el plano perpendicular a r y que pasa por P:
ur
xy+ zD + +
= (1,1,1)
= ⇒0 +10D +0 +
z 0D= ⇒ 1=−:xy⇒
+ 1+0− =
Se obtiene Pr al resolver el sistema formado por la recta r y el plano π:
x = y = z 1 1 1 x + y+ −z =1 0 ⇒ Pr , , 3 3 3 La recta s buscada es la recta que pasa por P y por Pr :
PP r
7.
2 1 1 =− , , ≈− ( 2,1,1) 3 3 3
s:
x −1 y = 1 −2
=
z 1
x + 2y = 1 ⇒s: y − z = 0
a) Demuestra que los puntos A ( −3,0, −1) , B ( −3, −2, −2 ) , C ( −1, −2, −1) y D ( 0,1,1) son coplanarios. b) Calcula el área del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos A, B, C y D.
a) AB = ( 0, −2, −1 ) , AC b) SABCD =S
8.
+
ABCS
=
= ( 2, −2,0 ) , AD = ( 3,1,2) . rg ( ,AB ,AC AD 2 ) = ⇒ A, B, C y D son coplanarios. 1 1 24224 2 2
× AB + AC × = CD CA =
CDA
+
2
3 6 u.
2
a) Demuestra que los puntos A ( 3,0,1) , B (1, −2,1) , C ( 2,1,3) y D ( 3, −1,1) no son coplanarios. b) Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A, B, C y D.
a) AB =
( −2, −2,0 ) , AC = ( −1,1,2 ) , AD = ( 0,−1,0 ) . un triedro.
b) V
246
=
1 −2 −2 0 2 3 −1 1 2 = u 6 0 −1 0 3
Unidad 12| Propiedades métricas
(
rg ,AB ,AC AD 3
)=
⇒ A, B, C y D no son coplanarios y forman
9.
Comprueba que las rectas r y s se cruzan y calcula su x
r :
ur
× s=
i
z
2
perpendicular común.
1
s:
3
= ( −1,1,2 )
us
uur
1
= (1, −2,3 )
y
x 1
y
z
1
2
= ( 0,0,1)
Ar
As
= ( 0,0,0 )
j
k
1 − 2 =−3ikj − − 75= − − − −1 1 2
( 7, 5, 1)
Plano que contiene a r y que tiene a u r × u s como vector de dirección: x
z −1
y
−17
0 17− 20 −25 −3−=1 ⇒ −x 19 + y= 19 z0
Plano que contiene a s y que tiene a u r × u s como vector de dirección: x
y
z
0 9− 15 −1 1 2 =⇒ + x =12 y 0 −7 −5 −1 17 x −20 − y 19+ z=19 0 La perpendicular común es t : + z0= 9 x −15 y 12
z
.
10. Halla el luga r geomé trico de los puntos del espa cio que e quidistan de los planos: 2: x
¿Qué nombre recibe dicho
:'3
y2 6 z0
x6
y 6
1 z0
lugar?
Sea X (x ,y z, ) un punto genérico del lugar. 2 x y− +z2− 6 3 x 6 +y 6+z 1−
dX ( , )= d⇒ (X, )
=
22
+ ( −1)2 + 22
2 x y− +z2− 6 3x 6 +y 6+z 1−
=
3 2 x y− +z2− 6
−=
2 2 2
+6 +6
3
⇒ − − =3 x 9 y 17 0
9
3x 6 +y +6z 1−
3
⇒
⇒ + + 9 x− =3 y 12 z19 0
9
.
El lugar está formado por los dos planos bisectores.
11. Dada la superfi cie esférica de ecuación
x 2 y z2
z2
2
3
0:
a) Halla su centro y su radio. b) Calcula la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P ( 0,0,3 ) . a) x 2 y2+2z + z −
x2 2y + z + − −2=30⇒
1= 4⇒(
b) El vector normal del plano será n π zD+
)
2
Centro: ( 0,0,1) . Radio: r = 2
= CP = ( 0,0,2 )(
0 D3 D =⇒ + =0 ⇒
z=3−
)0,0,1
.
⇒ −30=
Propiedades métricas | Unidad 12
247
Relaciona y contesta Elige la única respuesta correcta en cada caso 1.
Para que el triángulo de vértices
A 2, 3,5
, B 3,2, 2
y C
1, 3, m
tenga área de
1 2
2
1526 u , el valor
de m puede ser: A. 0
B. 1
C.
AB = (1,5, −7 )
SABC
=
1
AC
2 ( 5−m 2 +)5( − 26 )+ =
2
m 225
1 1526 2
D. Ninguno de los anteriores.
AB × AC =
= ( −3,0, m −5 )
2
−1 −( 5m −25,26
m,15
)
. La solución de esta ecuación es m = 0.
Por tanto, la solución correcta es la A.
2.
Se qui ere calcular una recta perpendi cular a P
r :
2x
x
y z
0 1
, que se cruce con ella y que pase por
1,3, 2 .
A. Existen infinitas soluciones.
C. Existen dos soluciones diferentes.
B. Existe una única solución.
D. Todo lo anterior es incorrecto.
Como el punto es exterior a la recta, ya que −2 − 3 ≠ 0 , existirán infinitas rectas perpendiculares a ella y que se crucen con ella y que, además, pasen por P. Por tanto, la solución correcta es la A.
3.
El lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los puntos
A1,0,2
y B
1,2, 2
es:
A. La recta que pasa por el punto M ( 0,1,0) y tiene dirección perpendicular al vector AB . B. El plano que contiene a los puntos A y B y tiene como uno de sus vectores de dirección el vector AB .
C. El plano
: x − y+2 1+z0=
D. El plano
: −x + −y
2=z
0
La solución correcta es la C. Sea X ( x, y ) un punto genérico del plano. dX A( )dX ,) (B
=x
22 , y= (z −1) +
+ x−(2= 2) y+2( + 1)−z2 ( + 2) +2⇒( 2)
⇒ x 2+ −12 x+y22 z+ + −24z4x= +2+1x2y + +2 4y4−z + 4+z4 + x⇒ : y z 2− 1+0 + = Señala, en cada caso, las respuest as corr ectas 4.
La recta r es secante con el plano y el punto P es exterior a la recta y al plano. Se quiere calcular la ecuación de la recta s que es paralela a , que pasa por P y que cor ta a r . A. Un vector normal de π es de dirección de s. B. Un vector normal de π es perpendicular a un vector de dirección de s. C. Cualquier vector de dirección π también lo es de s. D. La recta s está contenida en el plano paralelo a
Son correctas B y D.
248
Unidad 12| Propiedades métricas
π y que pasa por P.
Señala el dato innecesario para contest ar 5.
Para hallar e l radio de la circu nferencia que se obt iene al cort ar el plano x2
y2
z2
y la superficie esférica:
1
se da: 1. La ecuación del plano
.
2. La dist ancia del plano
al srcen de coordenadas.
A. Cualquiera de los dos datos es innecesario si se conoce el otro. B. 1 es suficiente por sí solo, pero 2 no. C. 2 es suficiente por sí solo, pero 1 no. D. Los datos son necesarios.
La solución correcta es la A. Si se conoce la ecuación del plano, se puede obtener la ecuación de la circunferencia y, por tanto, su centro y su radio. Si se conoce la distancia d del plano al srcen de coordenadas, el radio de la circunferencia se puede obtener mediante r = R 2 − d 2 , siendo R = 1 el radio de la esfera.
Propiedades métricas | Unidad 12
249
PRUEBA I SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Dados los puntos A (1, 2, 3) y O(0, 0, 0): a) Calcula la ecuación de un plano π1 que pasa por A y O y sea perpendicular a π2: 3x − 5y + 2z = 11. b) Encuentra la distancia del punto medio de A y O a π2.
a) El plano π1 se determina por los vectores v r = OA = (1, 2, − 3 ) , n π (3, − 5, 2) y el punto O(0, 0, 0): 2
x −0 1
: 1
y −0
3 − 11 = − 11 − −11x 0=y⇒z:+
2 3
z −0
−5
+ = x y0z 1
2
+1 0 2+0−3 + 0 1 3 , , =, 1, 2 22 2 2
b) Hallamos el punto medio de A y O: M =
d ( M,=
2.
Sea r :
2)
1 3 3· −51⋅ +2 − − 11 2 2
= 2 32 + ( −5) (+) 2
3 5 − 3− 11 − 2
35
38
el plano que pasa por los puntos y +6 z +3 = = . 2 −1 2
35
2 38
== 2
−
=
35 38 76
2 38
u
A (1, −1, 1), B (2, 3, 2), C(3, 1, 0) y r la recta dada por
π
x −7
a) Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano π. b) Calcula los puntos de r que distan 6 unidades del plano π.
a) El plano π se determinará por dos vectores, AB = (1, 4,1) y AC = ( 2, 2, −1) , y un punto A(1, −1, 1): x −1 y +1 z −1
:
1 2
4 2
z −15+ −0 + = : 2x 1 =− +6x− 36 +y = ⇒ −1
y
2z 5
0
v r = ( 2, − 1, 2 ) y nπ = ( −2,1, − 2 ) son proporcionales, π y r son perpendiculares y forman un ángulo de 90
b)
Calculamos la distancia de un punto genérico de la recta de la recta al plano: Pr (7+ 2 ,− 6−
,− 3+ 2 )
d (Pr , =)
− 2(7 + 2 +)− (− 6 − −) 2( + 3 + 2 ) −5 − 9 9 = =−⇒ − 3 (2 − )2+ 1+2 − (2 )2
Hay dos puntos que verifican la condición. −9− 9 = 18 ⇒ =− ⇒ 3 − Pr−(1, 3, 9)− − =− 9 ⇒9 = ⇒18
3.
Dos de los tre s vértices de un triá ngulo son los puntos recta r que pasa por los pu ntos P(−1, 0, 2) y Q(0, 0, 2).
− −1
Pr (9,
6
9 9
A (1, 1, 1) y B (1, 1, 3). El tercer vértice C está en la
b) Calcula las coordenadas del vértice C para que el área del triángulo sea
b)
Como C pertenece a la recta r, C ( λ, 0, 2 ) y con el vector AC = ( − 1,− 1, 1) S=
1 AB× AC=
2
⇒ 2− 2− =13⇒ 0=
250
15 unidades cuadradas.
x = λ El vector director de r y un punto son, respectivamente, v r = PQ = (1, 0, 0 ) y Q(0, 0, 2). r : y = 0 z = 2
Bloque III Geometría
i
j
k
0
0 2 =
λ − 1 −1 1
1 2, 2(− 2 , 0= 2
2 ± 4 + 52 =± ⇒1 2
14
1
+) 4 −4
2
18
7, 1)
a) Determina la ecuación de la recta r.
a)
o
+8 =4
⇒15 − 4 + =8 8⇒ 60
2
C (1 + 14, 0,2 ) C ' (1 − 14, 0, 2 )
2
4.
Dadas las rectas
r :
x = 0 , z = 0
s :
x + y = 1 . x − y = 1
a) Determina un vector director de la recta s. b) Calcula el plano π que contiene a r y es paralelo a s. c) Encuentra el plano π que contiene a r y es perpendicular a s.
i
jki
a) v s =
j k
nπ1 =
=,(0, 2 ) 1 1= 0−→0 1 −1 0
n π2
( v)s0, 0, 1
b) El vector director de r es v r = ( 0,1,0 ) .
El plano contendrá los vectores directores de r y s y pasará por un punto de r. x −0 −y− 1 z 0
Por lo tanto:
− − −x 0 =⇒ 0 : 0 0
:
vr
vs
1 z 0 =⇒ 0= 1 1 0
y
0
:x
c) Si el plano es perpendicular a s,: nπ = v s = ( 0,0,1) , por lo que el plano es
0
≡ z + d= 0 .
Por otro lado, si contiene a r, contiene a cualquier punto de punto de r, d= → =0 d→ : =0 z Pr (0, λ,0 ) : ( 0,,0: 0) + 0
5.
Dados el punt o P(1, 0, 1), el plano
: x + 5y – 6z = 1, y l a recta
r :
x = 0 se pide: z = 0
a) Calcular el punto P’ simétrico a P respecto de b) Hallar la distancia de P a r. c) Calcular el volumen del tetraedro formado por el srcen de coordenadas y las intersecciones de
π
con los ejes
coordenados X, Y y Z.
a) Hallamos la recta s que pasa por P y es perpendicular al plano El vector director será v s = nπ = (1,5 , − 6 ) y un punto es P (1, 0, 1).
s:
x −1
1
=
y
5
=
z −1
−6
y un punto genérico de ses (1 − ) Ps +, 5 , 1 6
Se halla el punto de corte Q entre la recta s y el plano: 1+
5+5 (
) 61(−6 )−1 6 =2 →6
34 15 13 ⇒ Q , , 31 31 31
3
= → =
31
P' es el simétrico de P respecto de Q, por tanto Q es el punto medio de PP '
37 − 30− 5 37 3 0 5 +1 + x y 1 z 341513 , , , ,= →= x = y z P=→ , ,' 31 31 31 31 31 31 3 1 31 31 2 2 2 b) Un punto de r es Pr = ( 0,0,0) y un vector director v r = ( 0,1,0 ) . Como Pr P= −( 1−,0,→) 1( ) 1,0,1 : Q=
r
P
d( ,
)=
=
Pr P × v r vr
(
)1,0,1 ( )×
0,1,0
=
i
j
k
101− = u 1=,0,1 −+= 1 (
1
0
1
1
)2
( )
2
2
0
1 c) Los puntos de corte del plano con los ejes coordenados: A (1,0 ,0 ), B 0, ,0 y C0,0 ,
1 1 OC ,, El volumen será V = OA OB 6
11 1 0 = 0 6 5
0 18 0 0
−
1 6
0
0
5
−
u =
3
1 6
Bloque III Geometría
251
PRUEBA II SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Señala cuáles de las sig uientes a fir macion es referidas a los vectores w = ( 4, 2, 8) son ciertas A. Son linealmente dependientes. B. Son linealmente independientes. C. El vector w se puede expresar como combinación lineal de u y v .
u = (2,
1, 4), v = (0, 0, 1) y
D. det ( u , v , w ) = 0
w = − 2u Son correctas las respuestas A, C y D.
2.
Halla las coor denadas del vector u = (2, 4, 5) respecto de la base B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)}. A. Los vectores de B no forman base.
7 1 3 C. , , 2 2 2
7 1 3 B. − , , − 2 2 2
D. (7, 1, 3)
2 = b + c 7 (2, 4, 5) = a(0, 1, 1) +b(1, 1, 0) + c(1, 0, 1) ⇒ 4 = a + b ⇒ a = 2 5 = a + c
1 2
b=
3 . 2
c=
7 1 3 Por tanto, las coordenadas de u respecto de la nueva base son , , . Solución: C 2 2 2
3.
El ángulo formado por el plano A. 22º 12’ 27,56’’
: x + y + z = 2 y la recta r :
nπ = (1, 1, 1); ur = (1, 2, 3); | nπ | =
=
1
y +1 2
C. 67º 47’ 32,44’’
B. 157º 47’ 32,44’’
x −2
z
14 ; sen r , π =
es:
3
D. 37º 47’ 32,44’’ 6
3 ; | ur | =
=
14·3 ⇒ r , π = 67° 47’ 32,44”
( )
( )
Solución: C
4.
Dados los planos son cor rectas.
1
: x + y – 2z + 3 = 0 y
2
: 3y + z – 4 = 0, señala cuáles de las siguientes afirmaciones
A. La recta intersección de ambos planos tiene por vector director a d = (–7, 1, –3). B. El plano –x + 5y + 4z – 11 = 0 pertenece al haz definido por
1
y
2
.
C. Los planos forman un ángulo de 90º. D. El punto (–2, 1, 1) pertenece a la recta definida por los dos planos. Un vector normal de π1 es (1, 1, −2). Un vector normal de π2 es (0, 3, 1). No son proporcionales y, por tanto, los planos no son paralelos. Un vector de la recta determinada por los planos es (7, –1, 3). El plano de B pertenece al haz determinado por π1 y π2 , ya que es − π1 + 2 π2 = 0. Los planos no son perpendiculares, ya que el producto escalar de sus vectores no es nulo. (−2, 1, 1) sí pertenece a la recta ya que verifica sus ecuaciones . Soluciones: A, B y D.
5.
Dos puntos distinto s P y P ' son simétricos respecto un plano 1. d (P, ) = d (P ', )
Si PP '
.
C. 2 ⇒ 1, pero 1 ⇒ 2
B. 1 ⇒ 2, pero 2 ⇒ 1
D. 1 y 2 son excluyentes
1 ⇒ 2, pero 2 ⇒ 1
Bloque III Geometría
nπ ; M = PP
A. 1 ⇔ 2
Solución B
252
2.
'∩ n
π
; d (P , M ) = d ('P , M )
6.
La posi ció n relativa de la esfera x 2 + y 2 + z2 − 2x − 3 = 0 y elplano
: 2 x − y − z + 3 = 0 es:
A. El plano corta a la esfera en una circunferencia de centro C(1, 1, 1) y radio 1. B. El plano corta a la esfera en una circunferencia de centro C(−2, 1, 1) y radio
2
.
C. El plano es tangente a la esfera en el punto P(1, 0, 2). D. Ninguna de las anteriores. La esfera x2 + y2 + z2 − 2x − 3 = 0 tiene centro C(1, 0, 0) y radio 2. Como d(C, π ) =
2 (⋅ 1)− 3+
1
4 +1 1+
6
=
< 2 . El plano corta a la esfera.
Solución: D, ya que el plano no es tangente a la esfera y los centros de las opciones A y B no pertenecen al plano.
Bloque III Geometría
253
13 Comb inatori a y pro babil id ad EJERCICIOS PROPUESTOS 1. 2.
Ejercici o resuelto . Un experimento consiste en contar el número de hojas daña das por insectos e n una pla nta. Sean los sucesos A = “ el número de hojas daña das es más de 2 5” y B = “ el número de hojas dañadas está entre 20 y 35”. Describe los sucesos
B
−A y
A ∩B
.
B − A : El número de hojas dañadas está entre 20 y 25. A ∩ B : El número de hojas dañadas es menor de 20.
3.
En el lanzamiento de un dado dodecaédric o con las caras numeradas del 1 al 12, se consid eran los sucesos A = “ salir impar” y B = “ salir primo” . Comprueba que se cumplen las regla s de De Morga n. , ,, 4, 5,,6 7 ,8 ,,91 01 , 1,12} . El espacio muestral es E = {123 ,,,, 57 11} . Los sucesos A y B están formados por A = {135 ,,,,, 7 91 1} y B = {23
Primera Ley de De Morgan: A ∪ B = A ∩ B A ∪=B
∪={ A , ,},B , {1,,2,,3,, 5 7} 9⇒11
A = {2, 4, 6 , ,81, 01 {2} B
= 1,,4},,,6 ,8 9{ 10 12 ⇒∩}=
4 6 8 10 12 A ,,, B,
4 6 8 10 12
Por tanto, queda comprobada la primera ley de De Morgan. Segunda Ley de De Morgan: A ∩ B = A ∪ B A∩B = A
11∩{ = A B , , , ,}1, , 2, 4 6 8 9 10 12 {3, ,5}, 7 ⇒
⇒∪= } A , ,B, , , , 1, 2 4 6 8 9 10 12 = {2, 4, 6, ,81, 01{2} B = 1}, 4, , ,6, {8, 9 10 12
De esta manera, queda comprobada la segunda ley de De Morgan.
4. 5.
Ejercici o resuelto . Usando un ordenador se ha simulado e l lanza miento de dos mone das. La tabla muestra las frecue ncias absolutas del suceso A = “ obtener cara e n una moneda y cru z en la otra”. n
10
25
50
100
250
500
750
1000
f (A ) 3 11 26 55 128 252 373 502 Completa la ta bla con l as frecuencias rela tivas y asign a un valor aproximado a la probabilidad de
La tabla con las correpondientes frecuencias relativas es: n
10
25
50
100
250
500
750
f (A )
3
11
26
55
128
252
373
502
h (A )
0,3
0,55
0,512
0,504
0,497
0,502
0,44 0,52
Aproximadamente, el valor de la probabilidad de A es P(A) = 0,5.
254
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
1000
A.
6.
En una población, se supone que los varone s y las mujere s nacen en la misma proporción . De la población se eligen dos bebés al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los dos bebés sean mujeres? ¿Y de que uno sea varón y otro muj er? Sean los sucesos A = "elegir bebé varón" y B = "elegir bebé mujer", se tiene que: P( A) =
1 1 1 La probabilidad de que los dos bebés sean mujeres es: P(C ) = ⋅ = = 2 2 4
La probabilidad de que uno sea varón y otro mujer es: P(D ) =
7.
Si P w1
P
es
una
probabilidad
0,15 ; P w 2
definida sobre el 4P w 4 y P w 4 3P w 3 , halla
1 1 y P(B) = 2 2
0,25
1 = 0,5 2
espacio
muestral
E
w w 1,2 3w 4, w
,
con
.
P w3
Debe verificarse que todas las probabilidades sean no negativas y que sumen 1. Es decir: Pw +( w +)+ =2(P w) ( )1 P
( P)34w
1
Como se tiene que: P (w) 2 =( 4)P w=⋅4
0,15 + 12Pw( )+3Pw =3 ( ) (+ Pw) 3 ⇒
( )4 =3P( )w 33 12P w
⇒ 6( =)Pw 3= ( P3)w= 11
0,85
0,85 16
3
0,053125
Las probabilidaddes de los restantes resultados son: P (w 2 ) = 0,6375 y P (w 4 ) = 0,159475
8 a 10. Ejercici os resuelto s. 11. La probabil idad de obtener cara a l lanzar una mon eda es x , mientras que con otra moneda esa probabilidad es y . Se lanzan las dos monedas. Calcula la prob abilid ad de: a) No obtener cara. b) Obtener exactamente una cara. c) Obtener dos caras. ¿Es p osible elegir x e y de modo que las probabilidades de los apartados a, b y c s
umen 1?
El espacio muestral está formado por E = {CCC , X , XC, XX } . Sean 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .
a) Sea A = “no obtener cara” que es equivalente a A = “obtener dos cruces”, su probabilidad es: P( A)(= P XX=) −(1 − x )( =1 −) y− + 1 x
b) Sea B = “obtener exactamente una cara” PB ( ) =PCX (, XC
y
x=) −y(1) + y − =x +(1) −x y
xy
xy
2
c) Sea D = “obtener dos caras” ( ) =xy P(D ) =P CC Para ver si es posible elegir x e y de modo que las probabilidades de los apartados a, b y c sumen 1:
( )P PA +B ( P+)D
( =)⇒ 1− x− 1y+ x y+ x+ −y
+ x= y⇒ 2= xy
1
1 1
Es decir, cualesquiera que sean x, y ∈ [0, 1] , la suma de las probabilidades es 1. Ello se debe a que los sucesos A, B y D forman una partición del espacio muestral.
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
255
A y B asociados a un experimento aleatorio, con 12. Dados los sucesos P (A ∩ B) = 0,2 , calcula las probabilid ades de q ue:
P (A)
0,5 ,
P (B)
0,3 ,
a) Al menos uno de los sucesos A o B ocurra. b) A o B ocurran, pero no los dos. c) No ocurra ninguno de los dos sucesos. a) Se trata de calcular la probabilidad del suceso A ∪ B : P(A ∪B =) P A+( P ) B− (P∩ )A =B(+
− )= 0,5 0,3 0,2 0,6
b) En este caso se trata del suceso ( A ∩ B ∪)∩ =( A B)∪ −( A∩ B) ( A B) : P ((A B∩ ∪ ) A∩ (B=
P))A∪B −( PA ∩ B)=
−( = )0 ,60 ,2 0, 4
c) Debe calcularse la probabilidad del suceso A ∩ B . Utilizando la ley de De Morgan: ( B∩ = )PA B ∪ ( = PA
13. Sean los sucesos P (B)
0,5 4 , P(C)
− ) PA1∪B= (−
= ) 1 0,60 , 4
A , B y C asociados a un experimento aleatorio. Sabiendo que
= 0,4 3 , P (A ∩ B) 0,2
, P (A ∪ C) =0,71
,
P (B
P (A)
∪ C) =0,82 y P (A ∩B C ∩ ) 0,05 =
a) P( A ∩ C )
c) P (A ∪B C ∪ )
e) P(A ∩B C ∩ )
b) P(B ∩ C )
d) P (A ∩B C ∩ )
f) P(A ∪B ∪ C )
Se deben utilizar las propiedades de la probabilidad y, en caso necesario, acudir a un diagrama de Venn:
a) En este caso: P (A ∩C =) P A+() PC − ∪()P A= C(
+
−) 0,53 = 0,43 0,71 0,25
+
−) 0,54 = 0, 43 0,82 0,15
b) De la misma forma que en el apartado anterior: P (B ∩C =) P B+() P C − ∪()P B= C(
c) La probabilidad de la unión de tres sucesos se expresa: P(A ∪B ∪C= )P A+ ( P)B+ P (C −) P∩(A −) B ∩ (P A− C)∩ P+B ( C ∩ ∩)P A= ( B C )
(
= +0,53 + − −0,54 − + = 0, 43 0,20 0,25 0,15 0,05 0,95 d) Utilizando un diagrama de Venn, se puede ver que: P(A ∩B ∩C = )P A∩ (C− P∩ A) ∩B (=C
−
=)0 ,25 0,050 ,20
e) Con la ayuda de un diagrama de Venn, se puede ver que: P(A ∩B ∩C = )PC−( P)A∩ C−( P∩ B )+C (P ) ∩A∩ B)= C ( = −0,−43+ =0,25 0,15 0,05 0,08 f) Este suceso es el suceso contrario del suceso del apartado e, es decir: A∩B ∩ = C∪ ∪A
B
C
Entonces: P(A ∩ B ∩C= )P A− (P)∩ A −B( P ∩A +) C ∩ A =B) C−( − (P∩
PA ( B∪C∪
256
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
+ ) = 0,530 ,20 ,250 ,05 0,13
=)− P1A∩B (∩ C =−
)= 1 0,130 ,87
)
0,5 3 ,
, calcula:
14. En una convenc ión, el 80 % de los asis tentes habla ing lés, el 50 %, español , y el 90 %, al menos un o de los dos idiomas. De la convención se elige una persona al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Hable los dos idiomas. b) Hable español, pero no inglés. c) No hable ninguno de los dos idiomas. d) No hable al menos uno de los dos idiomas. Sean los sucesos A = “la persona elegida habla inglés”, B = “la persona elegida habla español”. Se tiene que: P( A) = 0,8 , P(B ) = 0,5 y P( A ∪ B) = 0,9
a) Se trata de calcular la probabilidad del suceso A ∩ B : P(A ∩B =) P A+( P ) B− (P∪ )A =B+ (
− )= 0,8 0,5 0,9 0, 4
b) En esta ocasión es la probabilidad del suceso B − A : P (B A− ) = ( P) B −( P A∩ ) B=
− = 0,5 0, 4 0,1
c) Ahora se pide la probabilidad del suceso A ∩ B . Aplicando una de las leyes de De Morgan: PA ( B∩ =)PA B∪ (
= − )P A1∪B= ( − = ) 1 0,9 0,1
d) Debe calcularse la probabilidad del suceso A ∪ B . Por una de las leyes de De Morgan y el resultado del apartado a, se tiene: PA ( B∪ =)PA B∩ (
= − )P A1∩B= ( −
= ) 1 0,4 0,6
15 a 17. Ejercici os resuelto s. 18. Una bolsa cont iene tres bol as numeradas 1, 2 , 3. De la bols a se extrae una bol a al azar, se anota su número y se devuelve a la bolsa. Seguidamente se extrae una segunda bola. Calcula la probabilidad de que el número más alto de los extraídos sea el 2. En la bolsa hay tres elementos (bolas) y se realizan 2 extracciones con reemplazamiento. Los resultados posibles, que pueden considerarse equiprobables, son VR3,2 = 9 , ya que importa el orden en que se extraen las bolas y los números se pueden repetir. Si el número más alto extraído es el 2, los resultados favorables serían 11, 12 y 21. Es decir, el número de resultados favorables es 3. Aplicando la regla de Laplace: 3 1 P(número más alto extraído sea 2) = = 9 3
19. En un torneo triangular de ba loncesto, dos de los equipos ti tercer equipo tiene el doble de probabilidad de ganar que los otr cada equipo de ganar el torneo.
enen la misma probabilidad de gana r y el os dos. Calcula la probabilidad que tiene
Sean A, B y C los equipos y también los sucesos consistentes en que cada uno de ellos gane el torneo. Sea: P(A ) =P B( )p=
y PC( ) p =2
p con
>0
Las probabilidades deben sumar 1, luego: p+ p +p 2= ⇒ p1=
1 4
Por tanto, P(A ) =P B( ) =
1 1 y P(C ) = 4 2
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
257
20. Se hacen tres lanzamientos d e un dado. S i en el primer lanzamiento sale 2, ¿qué es más prob able que la suma de las puntuacion es sea un número par o que tal sum a sea impa r? El conjunto de resultados posible es: E
211,212,213,214,215,216,221,222,223,224,225,226,231,232,233,234,235,236, = 241,242,243,244,245,246,251,252,253,254,255,256,261,262,263,264,265,266
Donde por ejemplo, 212, representa el resultado de que el primer lanzamiento salga 2, el segundo 1 y el tercero 2. Aplicando la regla de Laplace: El suceso A = "la suma de los tres números es par" luego los tres números son pares o dos de ellos son impares. A = {211,213,215,222,224,226,231,233,235,242, 244,246,251,253,255,262,264,266} P ( A) =
nº de resultados favorables al suceso A 18 nº de resultados posibles
1
=
=
36
2
El suceso B = "la suma de los tres numeros es impar" para queocurra esto un número es impar y los otros pares. B = {212,214,216,221,223,225,232,234,236,241, 243,245,252,254,256,261,263,265} P(B ) =
nº de resultados favorables al suceso B 18 1 = = nº de resultados posibles 36 2
La probabilidad es la misma.
21. Una urna contiene una bola roja y una blanca. Se extrae una bola de la urna y se a not a su color y se devuelve a la urna. Se repite el experimento dos veces más, calcula la probabilidad de que: a) Solo una bola sea roja. b) Al menos una bola sea roja. c) Las tres sean blancas. d) Sean del mismo color. El conjunto de resultados posibles equiprobables es E = {BBB,,,,,,, BBR BRB RBB BRR RBR RRB RRR} Donde por ejemplo, BRB, representa el resultado en el que la primera bola sea blanca, la segunda roja y la tercera blanca. Para calcular las probabilidades se puede aplicar la regla de Laplace.
a) El suceso A = “solo una bola es roja” es A = {BBR, BRB , RBB } , y su probabilidad es: P( A) =
nº de resultados favorables al suceso A 3 = nº de resultados posibles 8
b) El suceso C = “al menos una bola es roja” es C = {BBR ,BRB ,RBB ,BRR ,RBR RRB , RRR , } , de modo que: P(C ) =
nº de resultados favorables al suceso C 7 = nº de resultados posibles 8
c) El suceso D = “las tres son blancas” es D = {BBB } , por lo que: P(D ) =
nº de resultados favorables al suceso D 1 = nº de resultados posibles 8
En esta ocasión se puede proceder, también, por el suceso contrario, ya que D = C .
d) El suceso F = "son del mismo color" es F = {BBB ,RRR } , luego: P(F ) =
258
nº de resultados favorables al suceso F 2 1 = = nºde resultadosposibles 8 4
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
22. Un dado octaé drico está trucado de forma que la probabilidad de ca da cara es proporcion al al cuadrado del número que aparece en ella. Si se lanza el dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un divisor de 12? Los números que aparecen en las caras son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. De modo que si llamas p a la probabilidad de que aparezca en la cara 1, es decir, P (1) = p se tiene que las siguientes probabilidades son P ( 2 ) = 4p , P ( 3 ) = 9 p , P ( 4 ) = 16p , P ( 5 ) = 25 p , P ( 6 ) = 36 p , P ( 7 ) = 49 p , P ( 8 ) = 64 p .
Como la suma de estas probabilidades es 1 se tiene que: p +p4 +p p+9p p+16
+ 25+p p 36 + = 49 ⇒ p = 64
1
1 204
La probabilidad pedida es la que aparezca en las caras 1, 2, 3, 4 o 6, luego P(D ) =
66 11 = . 204 34
23. Ejercicio interactivo. 24. Ejercici o resuelto . 25. Se lanza un dado dos veces cons ecuti vas. Calcula la prob abilid ad de que: a) La suma de los puntos sea 5. b) La diferencia de puntuaciones, en valor absoluto, en los dos lanzamientos sea menor que 3. c) El producto de los puntos sea múltiplo de 6. El número de resultados posibles equiprobables al lanzar un dado dos veces consecutivas es VR6,2 = 62 = 36
a) El número de resultados favorables al suceso A = “la suma de los puntos es 5” es 4, por tanto: P ( A) =
4 1 = 36 9
b) El número de resultados favorables al suceso B = “la diferencia de puntuaciones es menor que 3” es 24, luego:
P (B ) =
24 2 = 36 3
c) El número de resultados favorables al suceso C = "el producto de los puntos es múltiplo de 6'' es 6, por lo que: P (C ) =
4 1 = 36 9
26. Con las cifras del 1 al 9 se form an al azar números de 4 cifr as. Calcul a la prob abilid ad de que el número formado sea múltiplo d e cinco si: a) El número tiene las cifras distintas. b) El número puede tener cifras repetidas. a) Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, se pueden formar V9,4= ⋅ 9⋅ 8⋅ =7 6 3024 números de 4 cifras distintas. Sea el suceso A = “el número formado es múltiplo de 5”. Los resultados favorables al suceso A son V8,3= ⋅ 8 ⋅ 7= 6 336 , puesto que para ser múltiplo de 5 el número formado debe acabar en 5, y quedarían 8 cifras para 3 lugares. Es decir: P ( A) =
336 1 = 3024 9
b) Si las cifras se pueden repetir, el número de resultados posibles son VR9,4 = 9 4 = 6561 y los resultados favorables al suceso A = “el número formado acaba en 5” son ahora VR9,3 = 93 = 729 . P(A) =
729 1 = 6561 9
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
259
27. Se lanza n tres dados y se observa n los resultados ob tenidos. C alcula la probabilidad de
obtener:
a) Tres caras iguales. b) Suma igual a 10. a) En el experimento de lanzar tres dados, el número de resultados posibles equiprobables es VR6,3 = 63 = 216 Sea el suceso A = “obtener tres caras iguales”. Los resultados favorables al suceso A son 6, ya que A = {111,222, 333, 444, 555, 666}. Luego: 6 1 = 216 36
P ( A) =
b) Los resultados favorables al suceso B = “obtener suma igual a 10” son (entre paréntesis sus respectivas permutaciones) 136 (6), 145 (6), 226 (3), 235 (6), 244 (3), 334 (3). En total 27 resultados favorables al suceso B. Luego: P (B ) =
27 1 = 216 8
28. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. C alcul a la probabili dad de: a) Obtener par en el dado. b) Obtener cara y número impar. El espacio muestral consta de 12 resultados posibles E = {1 C2 ,C 3 ,C ,4C 5 ,C 6 ,C ,1 X X2 , 3 ,X ,4X X5 , 6 ,X } Los números indican los resutados del dado y C (cara) y X (cruz) los de la moneda.
a) Los resultados favorables al suceso A = “obtener par en el dado” son 6, por lo que: P ( A) =
6 1 = 12 2
b) Para el suceso B = “obtener cara y número impar” los resultados son 3, ya que B = {1 3 C ,5 } , entonces: C ,C P (B ) =
260
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
3 1 = 12 4
29. Resuelve las sig uientes ecuacion es. a) VRx,3V− b)
Vx,2 VRx,2
+
x,2
=V 2
Vx,x −1 x!
=
x,3
+4
3 2
a) Desarrollando y simplificando la expresión, resulta: x 3 −xx
(−) = 1xx (−2) x (− +1)
x − x + x x= 3
−2x +x+6
2
x3
3
2
2
− 5x +2 + 34x=
4
4 4
0
Que admite la factorización:
( x − 4 ) ( x−2 − x= 1) 0 Como el segundo factor no tiene solución entera, el resultado es, por tanto x = 4 .
b) Procediendo de forma similar al apartado anterior: x( x − 1) x2
2 ( x2 − x
+
x! x!
3 2
)x+ 2 x2 = 3
x 2 − 2x x(
=
x0 =x − 2= ) ⇒
2
=0 =0,
2
Por lo que la única solución válida es x = 2 .
30. Una bolsa cont iene 4 bolas bl ancas y 3 rojas. De la bols a se extr aen 3 bol as al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Haya al menos una bola roja entre las extraídas. b) Las 3 sean del mismo color. Al no importar el orden en que se realizan las extracciones (pueden extraerse las tres bolas simultáneamente), el número de resultados posibles es: C7,3
7 7 ⋅6 ⋅5 = = = 35 3 3 ⋅ 2 ⋅1
a) Si A = “al menos una bola roja entre las tres extraídas”, su contrario es A = “ninguna de las tres es roja” (las tres son blancas) Los resultados favorables al suceso A y su probabilidad son: C4,3
4 = = 3
4⋅3⋅2 =⇒ 3 ⋅ 2 ⋅1
4=
( )
P A
4 35
De manera que: P ( A ) = 1−
4 31 = 35 35
b) El suceso C = “las tres sean del mismo color” se puede escribir como la unión de dos sucesos incompatibles: A : " las tres son blancas" y B: "las tres s on rojas" . De esta manera: PC (
4 35
)P=A ( +) B P=( +) =
1 35
1 7
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
261
31. Se reparten al a zar 12 foli os entre 4 niñ os, ¿cuál e s la probabili dad de que a uno de los cuatro no le toque ningún folio? Para contar el número de resultados posibles al repartir entre cuatro niños doce folios, se pueden utilizar combinaciones con repetición. Se colocan en línea los 12 folios y 3 separadores para indicar los que corresponden a cada niño. Por ejemplo: F / FFF / FFFFF / FFF
Así el niño A se ha llevado 1 folio, el niño B 3 folios, el niño C 5 folios y el niño D 3 folios. De esta forma, repartir 12 folios entre 4 niños, equivale a elegir 3 elementos (o 12) de los 15 (los 12 folios y los 3 separadores) no importando el orden. Es decir:
= C= =
CR 4,12
15,3
15 15 ⋅ 14 ⋅ 13 = 3 ⋅ 2 ⋅1 3
455
Sea el suceso A = “a uno de los cuatro no le toca ningún folio” Para contar el número de resultados favorables, debe elegirse en primer lugar el niño que se queda sin folios (4 posibilidades) y por cada una de estas, se reparten los 12 folios entre los 3 niños restantes niños. Esto es:
14 4 14 ⋅ 13 = 2 2
4CR3,12 = 4C14,2= ⋅ 4 =⋅ Por último, aplicando la regla de Laplace: P ( A) =
32. Ejercicio interactivo. 33 y 34. Ejercici os resuelto s.
262
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
364 4 = 455 5
364
35. Un local comercial, dispone de dos sistemas de a larma, A y B interconectados. La probabilidad de que e l sistema A funcione correctamente es 0,9. Además, en la mitad de las ocasiones ha fallado el B, una vez que también había fallado el sistema A. Mientras que la probabilidad de que una vez que ha fallado B también l o haya hecho A es 0,25 . Calcula la pro babili dad de que: a) El sistema B no funcione. b) No funcione ninguno de los dos sistemas. c) Funcione al menos uno de los sistemas. Sean los sucesos A = “El sistema A funciona correctamente”, B = “El sistema B funciona correctamente”. La información disponible es: P (A
) = 0,9, P(B )A |
(=,P0,5 )A B
= 0,25
|
Se deben calcular las probabilidades de B y de A ∩ B , para ello: P BA(
=BA0,5 ⇒ )P
|
( | = ⇒) 0,5
(
)
P B∩A =P B⇒ P −0,5 ∩ P A
De manera que resulta la ecuación P( )B ( −P A) B∩
( )|
P AB
= P0,25 AB⇒(
)
( )
=( )⋅ ( = ⋅) =A B 0,5
( )
P A 0,5 0,1
0,05
= 0,05 . Por otra parte,
P (A ∩ B) =| ⇒ 0,75 = ⇒ P −A PAB 0,75 ∩=
()−BP( )
( )
P B
(
0,751 )
Sustituyendo y simplificando se obtiene una segunda ecuación: −0,75P ( B + ) ( ∩P= A)
B
( )
0,15
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores: P (B) ( −P A )B∩ −0,75P B+ P∩A= B () ( ) PB)(
= 0,8(P),A B
∩
= 0,05 0,15
= 0,75
a) La probabilidad de que el sistema B no funcione, se obtiene de forma inmediata: PB ( ) = −1P B
= ,8 0,2 ( = −) 10
b) La probabilidad de que no funcione ningún sistema viene dada por el suceso A ∩ B :
(
) ( ) ()
P A ∩ B =PA BP |
=B ⋅ = 0,25 0,2
0,05
c) La probabilidad de que funcione al menos un sistema se obtiene mediante una de las leyes de De Morgan: AP(
∪ B=−) 1 ( P )A=−P∪BB(
)
1 =− A=∩
36. Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que calcula
P (A | B )
y
P (B
1 0,05
P (A)
0,95
=0,7 ,
P (B)
=0,6 y
P (A
∪ B) 0,9 = ,
| A) .
Se calcula, en primer lugar, la probabilidad del suceso intersección de A y B: P (A ∩ B ) = P( )A( + )P( B − P A = )∪ B
+ − = 0,7 0,6 0,9 0, 4
Entonces: P( A | B) =
P(B | A) =
P( A ∩ B)
=
P ( A ) − P( A ∩ B)
= = 1 − P(B)
P(B)
P(B ∩ A)
=
P ( A)
P (B
) −P B( A∩ ) = = 1 − P( A)
0,7 − 0, 4 1 − 0,6 0,6 − 0, 4 1 − 0,7
0,75
0,6667
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
263
37. En una población , de cada cien bebés que nacen, 3 0 son rubio s y el resto mor enos. De los ru bio s, el 80 % tiene los ojos azules, mientras que tienen ojos azules el 20 % de los morenos. Si se elige un bebé al azar, calcula la probabilidad de que: a) Sea rubio y tenga los ojos azules. b) Sea moreno y no tenga los ojos azules. Sean los sucesos R = “el bebé es rubio”, M = “el bebé es moreno” y A = “el bebé tiene los ojos azules”. Por los datos proporcionados se sabe que: P ( R ) = 0,3 , P ( M ) = 0,7 , P( A | R ) = 0,8 y P( A | M ) = 0,2 .
a) Se trata de la probabilidad del suceso R ∩ A P (R
∩)A= P A( R)( |P R )= ⋅ =
0,80 ,3
0,24
b) En este caso se debe calcular la probabilidad del suceso M ∩ A
(
P M ∩= A
Siendo P(A M | ) =−1P A (M | =−)= 10 ,2
)
P( A | M )P = (⋅M=)
0,80 ,7
0,56
0,8
38. En una campaña de prevenci ón de la gripe se vacuna al 4 0 % de la població n en riesgo. Se sabe que la enfermedad afecta al 20 % de los vacunados y al 50 % de los no vacunados. Calcula la probabilidad de que una pers ona elegida al azar: a) Enferme y haya sido vacunada. b) Enferme y no haya sido vacunada. Sean los sucesos V = “la persona ha sido vacunada” y F = “la persona enferme”. Se tiene que:
)PV(
= 0,4P ,=V ( ) ( 0,6 ) P=F V,
| =PFV0,2 ,
|
a) Se pide la probabilidad del suceso V ∩ F , que se calcula:
∩F=) P( F V ) (|)P V= ⋅ =
PV (
0,5
( 0,2 0,4
)
0,08
b) En este caso, se trata del suceso V ∩ F , cuya probabilidad es:
(
PV
∩F=) P( F V) (|P ) V= ⋅ =
0,5 0,6
0,3
39. Ejercici o resuelto . 40. Dos máquinas A y B prod ucen 50 y 250 piezas por hora, con un po rcentaje de fallos del 1 % y 10 %, respectivamente. Las piezas fabricadas en una hora están mezcladas y elegimos una al azar. Calcula la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina B y no sea de fectuosa. Sean los sucesos A = “la pieza ha sido fabricada por la máquina A”, B = “la pieza ha sido fabricada por la máquina B” y C = “la pieza es defectuosa”. 50 1 P A) ( = = ); (PB= = 300 6
2505 | = ( )PD 300 6
( )=PDA ;
0,01;
|B
Se pide la probabilidad del suceso B ∩ D :
( ) ()
P B ∩D= P |D B P B= (⋅0,9 =)
Donde P D ( B|
264
) =1−P D B( |
=−1) =0,1 0,9
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
5 6
3 4
0,1
41. Se lanza una moneda tres veces. Sea el suceso A j = “ en el lanz amiento j se obti ene CRUZ” ( j = 1, 2, 3). Los sucesos A j ¿son mutuamente independiente s? El espacio muestral correspondiente al lanzamiento de una moneda tres veces es: E
= {CCC, CCX ,,,, C XC XCC CXX XCX XX ,,} C XXX
Si la moneda está equilibrada, los resultados del espacio muestral son equiprobables. Además, los sucesos son: A1 = { XCC, XCX, XXC {} , XXX
A2 =} CXC , CXX , XXC , XXX
A3{ = CCX , CXX , XCX , XXX }
De esta manera, mediante la regla de Laplace, se obtiene que: P (A )1 P =( A)
4 8
=2P ( A) = = 3
1 2
Por otra parte: A1 ∩ A2
, XXX , = { XXC,}XXX , { A1 ∩ A}3 = XCX
A2 ∩ A3{ = CXX , XXX }
De manera que: PA A ) 2(P=A )A (1 ∩P A ( 1∩ 3)
=A
2
∩
3
=
2 1 = 8 4
Y puede comprobarse que: PA( A )P=iAj i ∩ jP A
( ) =( )ij
1 = para ≠i j , 4
1,2,3 e
Es decir, los sucesos son independientes dos a dos. Además, el suceso intersección de los tres es: A1 ∩ A2 ∩ A3
= { XXX }
Con lo que su probabilidad es: PA (
1
1 8
∩ A 2A∩ ) 3 = P()(A =) P A 1PA
2
(
3
)
Y, por tanto, los sucesos son mutuamente independientes, puesto que son independientes dos a dos e independientes en conjunto.
42. En una atracció n de feria, dos personas, A y B, lanza n una pelota a un blanco en movi mient o. En prom edio, A acierta una de cada tres veces, y B, una de cada cuatro. Si A lanza en primer lu gar y luego se van turnando, ¿cuál es la probabilidad de que el primer acierto en el blanco se produzca en el tercer lanzamiento? ¿Y en el 5.º?
Considera los sucesos Ai = “A acierta en el lanzamiento i" i= 1,3,5,... y Bi = “B acierta en el lanzamiento i” i=2,4,6,... Los lanzamientos son independientes y en cada lanzamiento las probabilidades de acertar de A y B son: PA( ) i
1 3
,) = P(B
i
=
1 4
Para que el primer acierto en el blanco se produzca en el tercer lanzamiento, el suceso que ocurre es A 1
∩B ∩ A 2
3
P( A1 ∩ B2 A ∩ P3 ) P= P( A1) (B2 =)
⋅( A3⋅) =
2 3 1 3 4 3
De la misma forma, el primer acierto en el quinto lanzamiento A1 ∩ B ∩2 ∩ ∩ A3 P( A1 ∩ B ∩2A∩
∩3 =B4 PA5P) AP ( A1) (B2 ) ( 3 )=P⋅(⋅⋅B⋅ =4 )P ( A5 )
1 6 B4
A5
2 3 2 3 1 3 4 3 4 3
1 12
43. Ejercicio interactivo.
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
265
44 a 46. Ejercici os resuelto s. 47. Una bolsa conti ene 6 bolas ro jas y 4 blancas. D e la bolsa se e xtr ae al azar una bola y se ree mpl aza por otra del otro color. A co ntinuación se extrae una segunda bola. C alcula la probabilidad de que: a) La segunda bola extraída sea roja. b) Dos bolas extraídas sean blancas.
Sean los sucesos R1 = “la bola en la primera extracción es roja”, B1 = “la bola en la primera extracción es blanca”. PR( ) 1
3 5
= P(B ;)
=
1
2 5
Para la segunda extracción, la composición de la bolsa es U1 = (5R5 , B) con probabilidad probabilidad
3 y U 2 = (7R3 , B) con 5
2 . 5
La situación se describe en el diagrama de árbol.
a) Sea R2 = “la bola en la segunda extración es roja”. Aplicando el teorema de la probabilidad total: P (R )2 =P ( R U2) |(P) U 1(
P + 1R ) (U) P 2U|
1 3
+=⋅=⋅
7 2
29
22
25 10 5 50 b) Si B2 = “la bola en la segunda extracción es blanca” Se debe calcular la probabilidad del suceso: P (B 1 ∩B )
2
P =B ( B)2( P| B11)
3 26 10 5 50
= ⋅= =
3 25
48. Una epidemia de gripe afecta al 10 % de la pob lación . El sist ema de diagnóst ico uti lizado da positi vo en una persona enferma en el 90 % de los casos, y negativo en una persona sana, en el 95 % de los casos. De la población se elige una persona al azar. Calcula la probabilidad de que el test diagnóstico de negativo.
Se considera el suceso A = “la persona está afectada por la enfermedad”, junto con su contrario A : PA(
) = 0,1 PA, ( ) =0,9
Además, sea D = “el diagnóstico es positivo” y su contrario D = “el diagnóstico es negativo” y se sabe que: PD ( A|
) = 0,9P, D A (|
= )0,95
Se pide la probabilidad del suceso D . Por el teorema de la probabilidad total:
(
)
P (D ) =P D A| P A
(
Puesto que P D A|
266
) =−1P D A(
(+ P) D (A P|)A(=)⋅+ ⋅ = 0,1 0,1 0,95 0,9 0,865
|=− )= 1 0,90 ,1
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
49. En una audito ría trabajan tres person as, A , B y C. A realiza el 30 % de las audito rías de, B realiza el 45 % y C realiza el resto. El porcentaje de errores de A , B y C, es respectivamente 1 %, 3 % y 2 %. Elegida una inspección al azar, calcula la probabilidad de qu e no tenga errores. Se considera el suceso D = "no tenga errores". Se sabe que:
) = 0,99 P,D(B
(A PD
0,97 =PDC ,(
)
)
0,98 =
Por el teorema de la probabilidad total se tiene: P(D ) =P (A P) D( A+ ) P B(P )D+(B
) C P(=D⋅) C+( P
⋅ )+ 0,30 ⋅ = ,99 0, 450 ,97 0,250 ,98 0,9785
50. El 63 % de los usuarios de móvil en España
tiene un smartphone . Entre los propietarios de este tipo de
teléfono, % lo emplea para su habitual internet. Sin emba entre losCalcula propietarios de otro tipo el de77teléfono móvil solo el 8conexión % lo emplea paraa la conexión habitualrgo, a internet. la probabilidad de c onectarse habitualme nte a internet a través del teléfono mó vil. Se considera el suceso A = "conectarse a Internet a través del móvil". Se sabe que: PA ( S ) = 0,77P , (AS
)
0,08 =
Por el teorema de la probabilidad total se tiene que: =( A⋅ S+) ⋅ 0,630 = ,77 0,370 ,08 P( A) = P(S )P( A+S ) P(S )P
0,5147
51 y 52. Ejercici os resueltos. 53. El 30 % de los habitantes de una loc alidad son jub ilados y el 2 0 % son estud iantes, mientras que e l resto ni están jubi lados ni son estudi antes. E l 80 % de los jubi lados, así como el 20 % de los estudiantes y el 40 % del resto de ha bitantes, son socios del club de fútbol local. a) Elegido al azar un habitante de esa localidad, calcula la probabilidad de que sea socio del club de fútbol. b) Elegido al azar un socio del club de fútbol, calcula la probabilidad de que sea jubilado. c) Elegida al azar una persona que no es socio del club, ¿qué es más probable que sea jubilado o estudiante? Se consideran los sucesos J = “el habitante es jubilado”, S = “el habitante es estudiante”, R = “el habitante no es jubilado ni estudiante”. Además, sea C = “el habitante es socio del club de fútbol”. Se tiene que: PJ)(
= 0,3 PC R )(PS = () =PR0,2( ) =PC J 0,5 ( )= PC S| ( =) 0,8
|
0,2
|
0, 4
En el diagrama de árbol se describe la situación.
a) P (C) =P( C )J|(P) J ( +P C ) (S ) P(| S + )P(C) R P R|= ⋅ + ⋅ + ⋅ = C b) | P ( J
)=
P (C |J P ) J( ) P(C )
0,8 0,3 0,2 0,2 0,4 0,5
0, 48
0,8 ⋅ 0,3 = 0, 48
=0,5
c) Se deben calcular las probabilidades P ( J | C ) y P ( S | C ) y compararlas: C
(
|P J
) = P(J=∩ C) P(C )
P ( J ) − P(J ∩ C )
= = 1 − P(C )
Donde P(J ∩C= ) P C( J| P) J(=) ⋅ = 0,80 ,3 C
(
|P S
) = P(PS=(C∩)C )
P ( S ) −PS ( C∩ )
=
=
1 − P(C )
0,3 − 0,24 0,1154 1 − 0, 48 0,24 0,2 − 0,04 0,3077 1 − 0, 48
Donde P ( SC ∩= ) (P C ) ( )|S =P ⋅ S= 0,20 ,2
0,04
De forma que si la persona elegida al azar no es socio del club de fútbol, entonces es más probable que sea estudiante que jubilado.
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
267
54. El número de vuelos q ue llegan a un ae ropu erto por l a mañana es 120, por la tarde, 15 0, y por la noc he, 30. El porc entaje de vuelos que se retrasan p or la mañana es del 2 %, por la tarde, del 4 %, y por l a noche, de un 6 %. a) Calcula la probabilidad de que se retrase un vuelo con destino a este aeropuerto. b) Si un vuelo llegó con retraso a este aeropuerto, ¿cuál es la probabilidad de que fuera un vuelo nocturno? Se consideran los sucesos M = “el vuelo es de la mañana”, T = “el vuelo es de la tarde” y N = “el vuelo es de la noche”. Estos tres sucesos, forman una partición del espacio muestral. Además, sea R = “el vuelo llega con retraso”. El número total de vuelos es 300, de modo que: PM)(
1202 300 5
= = ) (PT= =
)=( =
1501 PN (= ) 300 2
30 1 )=| PRT (0,02 ) = PRN | 300 10
PRM (
0,04
|
0,06
El diagrama de árbol ilustra la situación:
a) Aplicando el teorema de la probabilidad total: P (R)
=P( R M | )P( R ) |( P)+M( P R ) +( )T= P( T ) NPN |
= 0,02 ⋅+
2 1 1 ⋅0,04 + ⋅ = 0,06 5 2 10
0,034
b) Mediante el teorema de Bayes: RP| (N
)=
P (R |N P) N( ) P()R
=
0,06 ⋅ 0,1 0,1765= 0,034
55. Ejercicio interactivo. 56 a 61. Ejercici os resuelto s.
EJERCICIOS Experimentos aleatorios. Sucesos. 62. En los sigu ientes diagramas de Venn, obtén la parte col oreada mediante operaciones con sucesos .
a)
c)
b)
d)
En los cuatro casos, se expresan las partes coloreadas como unión de sucesos mutuamente excluyentes.
a)
( A ∩)(B ∪
∩B )∩A C
b) ( A ∩ B ∪ ) (∪A ∪B C )
268
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
c)
( A ∩ B∩ )( C∪
∩A)( ∩ B∪ C )∩ ∩A B C
d) ( A ∩ D∪ ) ∩(B ∪C∩ ) (A ∩ B
D)
63. Una tarde de sábado, un joven tiene la posibi lid ad de realizar, en excl usi va, las sigui entes cuatro posibilidades A = “ir al cine”, B = “estudiar”, C = “hacer deporte” o D = “no hacer nada”. Describe los sucesos sigui entes. a) A ∪ (C ∩ A )
c) D ∩ ( A − D )
b) ( A − B ) ∪ B
a) Aplicando la propiedad distributiva:
(
)
A ∪ ∩C
A = ∪( ∩ A ∪C )
(
=A∪ A
)
A
C
Entonces, el suceso propuesto se puede describir como “Ir la cine o bien hacer deporte o bien ambas actividades”.
b) Teniendo en cuenta que:
(A − B) ∪ B = B De modo que el suceso propuesto se puede describir como “No estudiar”.
c) En este caso, por una de las leyes de De Morgan y simplificando:
( )
()
D ∩ A− D =D∩ ∪ A D =D
Es decir, el suceso es “No hacer nada”
Probabilidad y propiedades 64. En un experimento ale atorio, la probabilidad de un suce so A es dos veces la probabilidad de otro s uceso B , y la suma de la probabilid ad de A y la probabilidad del suceso con trario a B es 1,3. Se sabe, además, que la probabilidad de la intersección de A y B es 0,18. Calcul a la probabi lidad d e que: a) Se verifique el suceso A o se verifique el suceso B. b) Se verifique el suceso contrario de A o se verifique el suceso contrario de B. Llamamos P (A) =x P(B )
y
=
Con lo que P(B ) = 1 − y Planteando el sistema de ecuaciones y resolviendolo se obtienen los valores de x e y:
x = 2y x + − y = 2 ⇒1 y+− y=1,3 ⇒ =y 1,3 1
0,3 x =
0,6
De este modo, completando con la probabilidad del suceso intersección, se tiene que: PA)(
= 0,6)P (B
B= 0,3∩ = ( )PA
0,18
a) Se trata de la probabilidad del suceso unión de A y B: P (A ∪ B ) = P( )A(+ )P( B− P ∩ A ) =B
+ −
= 0,6 0,3 0,18 0,72
b) En este caso, se pide la probabilidad del suceso A ∪ B , que se puede obtener utilizando una de las leyes de De Morgan:
( ) =P( A ∩)B
PA ∪ B
= − P A∩ 1 B= − (
= ) 10 ,18 0,82
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
269
65. Sean A y B dos su cesos alea torios t ales que P ( A ) = 0,6 , P ( B ) = 0,4 y P ( A ∪ B ) = 0,7 . Calcu la: a) P ( A ∩ B )
⇒(PA )B∩ = a) PA( B∪ ) = 0,7
c) P ( A ∩ B )
b) P ( A ∪ B )
(
⇒P0,7 A B∩ = −PA ( B∩ =)1− =
)1
0,7
0,3
b) P (A ∪B ) = P( )A( + )P( B− P A )∩ =B + − = 0,6 0, 4 0,3 0,7 c) P ( A ∩ B=) P−( A) ∩P (=A− B )= 0,60 ,3 0,3
Asignación de probabilidades. Espacios finitos 66. Se lanza 3 vece s co nsecutivas un dado equilibrado. Calcula la probabilidad de: a) Obtener al menos un uno. b) Obtener un seis solo en el tercer lanzamiento. El número de resultados posibles equiprobables al lanzar tres veces un dado equilibrado es VR6,3 = 63 = 216 . En los cálculos de las probabilidades se puede utilizar la regla de Laplace.
a) Sea el suceso A = “obtener al menos un uno” y su contrario es A = “no obtener ningún uno”. Los resultados favorables al suceso A son VR5,3 = 53 = 125 . Luego:
⇒ PA ( ) = 125 216
PA
=(− ) =1
125 216
91 216
b) Si solo debe aparecer un seis en el tercer lanzamiento, este queda fijo, y en los dos primeros puede haber VR5,2
= 25 resultados favorables. Por lo que la probabilidad del suceso B = “obtener solo seis en el tercer
lanzamiento” es: P (B ) =
270
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
25 216
67. Un tarro con tiene 25 cara melos d e naranja, 12 de limó n y 8 de café. Se extraen dos caramelo s al azar. Calcula la pr obabilidad de que: a) Ambos sean de naranja. b) Ambos sean del mismo sabor. c) Ninguno sea de café. Suponiendo que todos los resultados posibles son equiprobables, se aplica la regla de Laplace. El número de resultados posibles de extraer 2 caramenlos de un tarro que tiene 45 caramelos es: C45, 2
45 45 ⋅ 44 = = = 990 2 2
a) Sea el suceso N = “los dos caramelos son de naranja”, el número de resultados favorables al suceso N y su probabilidad son: C25 , 2
25 = = 2
25 ⋅ 24 = ⇒ 300= 2
=P=( N )
3001 0 990 33
0,30303
b) Puede que los dos caramelos sean naranja (N), como en el apartado a, o los dos sean de limón ( L) o los dos sean de café (C). Los resultados favorables al suceso L y su probabilidad son: C12, 2
12 12 ⋅ 11 = = = ⇒ 66 = = P (=L ) 2 2
66 990
1 15
0,06667
Los resultados favorables al suceso C y su probabilidad son: 8 2
C8, 2 = ==
8⋅7 ⇒ 28 = = =P (C ) 2
28 990
14 495
0,0283
Como los tres sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión de los tres es: P (N ∪ L∪ C= ) P (N +) ( P)+(L
) P=C + +
66 =300 = 928 990= 990 90
394 990
1 97 495
0,398
c) Si ninguno es de café, los dos caramelos deben ser extraídos de los que son de naranja o limón, en total 37 caramelos. De modo que los resultados favorables al suceso D = “ninguno de los dos es de café” y su probabilidad son: C37, 2
37 = = 2
37 ⋅ 36 = ⇒ 666= 2
= P=( D )
6663 7 990 55
0,67272
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
271
68. Con las cifr as 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, se forman al azar números de 4 cifras dis tin tas. Calcul a la probabili dad de que el número sea par y mayor q ue 5000. El número total de números de 4 cifras distintas que se pueden formar con las 7 cifras (resultados posibles) es: V7,4= ⋅ 76 ⋅ ⋅ =5 4 840 Sea el suceso A = “el número formado es par y mayor que 5000”. Para contar el número de resultados favorables al suceso A, se debe tener en cuenta que: -
Hay 4 cifras pares que pueden ocupar la posición de las unidades: 2, 4, 6, 8
-
Hay 4 cifras que pueden ocupar la posición de las decenas de millar: 5, 6, 7, 8
-
Si la cifra de las unidades es 2 o 4, se dispone de las cuatro cifras (5, 6, 7, 8) para las unidades de millar y por cada una de esas posibilidades, las dos posiciones centrales pueden ocuparse con las restantes cinco cifras. En total: 2 ⋅ 4 ⋅ V5,2 = 160
- Si la cifra de las unidades es 6 u 8, se dispone de tres cifras (5, 7, 8 o 5, 6, 7 respectivamente) para las decenas de millar y por cada una de esas posibilidades, las dos posiciones centrales pueden ocuparse con las restantes cinco cifras. En total: 2 ⋅ 3 ⋅ V5,2 = 120 En total, el número de resultados favorable es 160 + 120 = 280 . Y, suponiendo que los resultados posibles son equiprobables, se puede aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad del suceso A: P ( A) =
280 1 = 840 3
69. Se elige al a zar un número de 4 cifras disti ntas escrit o con las cifr as 1, 2, 3 y 4. Calcula la prob abilid ad de que en dich o núm ero las cif ras 2 y 3 aparezcan seguidas y en el ord en 23. Con las cuatro cifras se pueden formar P4 = 4! = 24 números de cifras distintas. Esos son los resultados posibles. Sea el suceso A = “Las cifras 2 y 3 aparecen seguidas y en el orden 23”. El 2 y el 3 aparecen seguidos en ese orden solo en tres posiciones, como se puede ver en la tabla: 2
3 2
3 2
3
Por cada una de estas posiciones, las otras dos cifras pueden ordenarse de P2 = 2! = 2 formas posibles. En total 3 ⋅ 2 = 6 resultados favorables. De esta manera, por la regla de Laplace: P ( A) =
6 1 = 24 4
Probabilidad condicionada. Independencia 70. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que Calcula cada un a de las s iguientes prob abilidades. a) P ( A ∪ B ) b) P ( A ∪ B )
c) P ( A | B )
a) P ( A ∪ B ) = ( )P( +A) ( −P B)∩ =P A+ −B = 0,5 0, 4 0,1 0,8 b) P A ( B∪)= P( A B)∩ = − P A1∩B = (− = |
c) P ( A B ) =
P(A ∩ B) P()B
0,25=
0,1 = 0, 4
d) P (A ∩B =) PB −()P A∩ B (= −
272
) 1 0,1 0,9
) = 0, 4 0,1 0,3
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
P ( A ) = 0,5 , P ( B ) = 0,4 y P ( A ∩ B ) = 0,1 .
d) P ( A ∩ B )
71. Sean A y B dos s ucesos de un experimento alea torio, con P ( A ∩ B ) = 0,1 , P ( A ∩ B ) = 0,6 y P ( A | B ) = 0,5 . Calcúlense: b) P ( A ∪ B )
a) P ( B )
d) P ( B | A )
c) P ( A )
a) Para el cálculo de P ( B ) , se procede a partir de la definición de probabilidad condicionada:
)=
PA(B |
PA( B∩ PB(
) ⇒PB = )
PA B
( ) == PAB
( ∩ ) ( | )
0,1 0,5
0,2
b) En este caso, se tiene en cuenta la ley de De Morgan A ∩ B = A ∪ B :
( )
PA B∩
= 0,6 ⇒P ( A )B∪ =
B∪ = − =( ⇒PA 0,6
) 1 0,6 0,4
c) De las propiedades de la probabilidad y los resultados de los apartados anteriores: P ( )A =( P ∪ A) ( −B ) ( +P B)∩ P= A− +B = 0, 4 0,2 0,1 0,3
d) De la definición de probabilidad condicionada:
(
P B| A
)=
(
P B∩A
)
==
( )
P A
0,6 = 1 − P ( A)
0,6 10 − ,3
6 7
72. Se cons ideran tres suc esos A , B y C de un experime nto aleatorio tales que: P )( A
1
=P )(,
Calcula
2
B
P (C
=)(P,
C
1 3
( =P,) (AB )
1
P C(A =
4
1
|= ∪=| ) P ABC (∪
∩=, ) ∩ 2
2
P ABC
3
,
0
∩ B ) y P (A ∪ B ∪C) .
De las propiedades de la probabilidad: P (A ∪ B ∪C =) (P )A+ ()P B (+) P( C− ) P ∩ (A −B) P∩ ( A−C) PA ∩)= P( A B ( B )()P B|
=⋅=
∩P +B C∩ ∩P A B C
1 1 1 =)A (C) ()P C A=P ⋅= A ( ∩P 2 3 6
(
|
1 1 2 2
) 1 4
Y las demás probabilidades son conocidas excepto P ( B ∩ C ) . Despejando esta, resulta: 1 2
1 3
P ( B ∩ C )= + + − −
1 1 1 + −= 4 6 4
0
2 3
0
Mientras que, utilizando una de las leyes de De Morgan:
(
) ( =P A B∩) ∩C
P A B∪ ∪ C
B1 ∩C (= − = = −P A ∩
) 1 0 1
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
273
73. La prob abilid ad de que tenga lugar el suceso A es 1 y la probabilidad de que ocurra el suceso 4
2 3
, la probabilidad de que no ocurra el suceso
19 A o el suceso B es . Calcula: 24
a) La probabilidad de que ocurran a la vez el suceso A y el suceso B. b) La probabilidad de que no ocurra A y no ocurra B. c) La probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B. d) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?
Las probabilidades dadas son: P ( A ) =
2
( )
, P B =
3 Y de aquí que P ( B ) = 1 −
1
y P( A ∪ B ) =
4
19
.
24
1 3 = . 4 4
a) Se trata del suceso A ∩ B : P (A ∩ B ) =P( )A( +)P(B
2 3
−P A ) ∪ B= + − =
3 4
19 24
b) Ahora es el suceso A ∩ B . Utilizando una de las leyes de De Morgan:
( ) ( )
P A B∩P= A B∪ =
− P A1∪B = (− = ) 1
19 24
c) Se pide la probabilidad condicionada P ( A | B ) :
P (A | B) =
P (A ∩ B) P (B )
5 5 = 8 = 3 4
6
d) Los sucesos A y B son independientes si y solo si P (A ∩B) =P () A P B ( ) : PA ∩ )= ( B
5 P(A ) (P) B =⋅= 8
Por tanto, los sucesos A y B no son independientes.
274
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
2 3 3 4
1 2
5 24
5 8
B es
1 , la probabilidad de un suceso 3
74. La proba bilidad de que ocurra el contrario de un suceso A es
B es
3 4
y
5 la probabilidad d e que ocurran a la vez A y B es . Se pide: 8
a) Probabilidad de que ocurran el suceso A o el suceso B. b) Probabilidad de que no ocurra ni el suceso A ni el suceso B. c) Probabilidad de que ocurra A, sabiendo que ha ocurrido B. d) ¿Son independientes los sucesos A y B? Razona la respuesta.
( )
Las probabilidades dadas son P A =
1 3 5 1 2 , P ( B ) = y P ( A ∩ B ) = . Y, por tanto P ( A ) = 1 − = . 3 4 8 3 3
a) Se trata de la probabilidad de la unión de los sucesos A y B, es decir: P ( A ∪ B )= +
2 3 −= 3 4
5 8
19 24
b) Se pide la probabilidad del suceso A ∩ B , que utilizando las leyes de De Morgan se puede escribir:
( ) ( )
P A B∩P= A B∪ =
− P A1∪B = (− = ) 1
19 24
5 24
c) La probabilidad de A condicionada a que ha ocurrido B es: P (A | B) =
5
P (A ∩ B) P (B )
20 24
= = =8
3 4
5 6
d) No son independientes, puesto que puede comprobarse rápidamente que: PA ( )B|
5 6
= P()≠A
=
2 3
75. Sean A y B dos s ucesos alea torios independiente s de los qu e se conoce que
P ( A ) = 0,5 y P ( B ) = 0,3 .
a) Indica, razonadamente, si A y B son sucesos incompatibles. b) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda A y no suceda B? c) Halla la probabilidad de que no ocurra el suceso A si se sabe que no ha ocurrido el suceso B. d) Calcula P(A |B ) . a) Como A y B son independientes, la probabilidad del suceso intersección A ∩ B es: P (A ∩B)= P( A ) (P) B=
⋅ = 0,5 0,3 0,15
De manera que los sucesos no son incompatibles, ya que si lo fueran A ∩ B = ∅⇒
P∩( A = B )
0.
b) Se trata del suceso A ∩ B , cuya probabilidad es: P A ∩B= P A(P )B=
(
)
⋅ = 0,5 0,7 0,35
( )
c) La probabilidad de A condicionada a que ha ocurrido B es:
( ) =P( ) A
P A |B
= 0,5
d) En este caso, de la definición de probabilidad condicionada:
(
P A |B
) =P A(
) = 0,5
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
275
76. Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento aleatorio, con
(
)
P A ∩ B = 0,1 :
a) Halla P ( A ∩ B ) . b) Calcula P ( A | B ) y P(A |B ) .
a) P (A B∩ =)P A( −)P( A∩B ⇒) P(∩ A B= ) P(− ∩ A=B − = )A P b) P ( A | B ) =
(
P A| B
)=
P (A ∩ B) P (B )
(
P A∩B
=
( )
P B
)
=
(
)
0,2 1 = 0,6 3 1 − P ( A ∪ B) = == 1− P (B )
1 − 0,7 1 − 0,6
0,3 0,4
3 4
Ya que P (A ∪B) = P( )A( + )P( B− P )∩ A = B + − = 0,3 0,6 0,2
276
0,3 0,1 0,2
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
0,7
P ( A ) = 0,3 ,
P ( B ) = 0,6
y
Probabilidad total. Teorema de Bayes 77. Consid era dos urn as, la primera con 5 bol as blancas y 6 verdes y la segund a con 4 bolas blancas y 3 verdes. De la primera se extraen dos bolas al azar y se pasan a la segunda urna. Finalmente, de la segunda urna se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) La bola sea verde. b) Las bolas que se han pasado de la primera urna a la segunda sean verdes, si la bola extraída de la segunda ha sido verde.
Sean U1 = ( 6V ,5B ) y U2 = (3V ,4 B) las dos urnas. De la urna U1 se extaren dos bolas, que se introducen en U2 . Las bolas extraídas de la primera urna pueden ser A = “las dos verdes”, B = “una blanca y una verde” y C = “las dos blancas”. La probabilidad de cada uno de estos sucesos se obtiene mediante la regla de Laplace: 6 2 3 P) ( A = = ) ( = 11 11 2
P B=
6 5 1 1 )( = = 11 2
6 P C 11
5 2 11 2
2 11
En consecuencia, la segunda urna tiene tres posibles composiciones dependiendo del suceso A, B o C que haya ocurrido. Si ocurre A, la composición de la segunda urna es U2A = (5V ,4 B) . Si ocurre B, la composición de la segunda urna es U2B = (4V5 , B) . Si ocurre C, la composición de la segunda urna es U 2C = (3V ,6 B) .
la segunda urna sedeextrae una bola, total: la probabilidad del suceso D = “la bola extraída es verde”, se calcula a) De mediante el teorema la probabilidad P (D|)
5 3 9 11
=P( D )A( P) A( |+P )D( )B P( B +)P(|D ) C P C =⋅ +⋅ +⋅ = =
4 6 3 2 9 11 9 11
45 5 991 1
b) Utilizando el teorema de Bayes: P (A | D) =
P (D |A )P A ( ) P(D )
5 3
⋅ 1 = 9 11 = 5 11
3
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
277
78. Una bol sa contiene dos mon edas equi libr adas. Una de las monedas tiene cara y cruz y la otra tiene dos caras. Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces consecutivas, observándose dos caras. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda sea la de dos caras? Sean los sucesos A = “la moneda elegida tiene cara y cruz”, B = “la moneda elegida tiene dos caras” y C = “se obtienen dos caras en los dos lanzamientos” 1 2
PA )( )(PB=
1 1 2 2
=( P)C A
=⋅= | ( )PC=B
1 4
|
1
La situación se puede representar mediante un diagrama de árbol. Utilizando el teorema de la probabilidad total: P (C)
1 1 1 5 4 2 1 28
) (B ) P| B =⋅=+⋅ =P( C )A|(P) A ( +P C
Y, por medio del teorema de Bayes: P (B | C ) =
P (C |B P ) B( )
=
P(C )
1 2 =4 5 5 8
1⋅
Síntesis 79. Sabiendo que P ( A ) = 0,3 , P ( B ) = 0,4 y P ( A | B ) = 0,2 . a) Calcula P ( A ∪ B ) y P ( B | A ) . b) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué? Con las probabilidades proporcionadas se pueden obtener algunas más que serán útiles para los cálculos posteriores: B AP (
|
⇒ ) = 0,2
P (A ∪ B )=
P (A ∩ B) = ⇒ AP B 0,2∩ P (B )
= ⋅ (=
) 0,2 0,4
0,08
( )P(+ A) ( −P B∩) =P +A −B = 0,3 0, 4 0,08 0,62
a) En este caso:
(
P A B∪
) =P(A) + P B − P( A∩)B=− (
)
P + A −P1 B ( ) −P (B) ∩P(A=)−B ((+
−) −
=
)1 0,3 0, 4
Para la probabilidad condicionada: P (B | A) =
P (A ∩ B) P ( A)
=
0,08 = 0,26667 0,3
b) Los sucesos A y B no son independientes, puesto que: PA ( B|)
278
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
P()A≠ = 0,2
= 0,3
0,(4 0,08
)0,78
80. Sean A , B dos sucesos de un experime nto aleatorio, tale s
P (A)
=0,6 . Calcu la
P (A
∩ B ) en cada caso:
0,1 ) 1 0, 45
0,1( 0,090 ),64
a) A y B son mutuamente excluyentes. b) A está contenido en B. c) B contenido en A y P ( B ) = 0,3 . d) P ( A ∩ B ) = 0,1 .
a) Si A y B son mutuamente excluyentes A ∩ B = ∅⇒
(
PA ∩ B
P∩( A = B )
0 y entonces:
=)P A( −) P( A ∩ =B) P(=)A
0,6
b) Si A ⊂ B⇒ ∩A = B⇒ A ∩ P= ( A )B ( )P A entonces:
(
)
P A ∩ B=
c) Si B ⊂A ⇒ A∩B = B⇒ P A∩B= ( P B)
P A ( P= )A −(B) (−) ∩
()
=(P) A
P A
0
entonces:
(
PA ∩ B
=) P A(−) P B(=) − = 0,6 0,3 0,3
d) En este caso:
(
PA ∩ B
81. Se sabe qu e
P (B
| A) = 0, 9 ,
P (A | B )
=)P A( −)P( A∩ B=) − = 0,6 0,1 0,5
= 0, 2 y
P ( A)
=0,1 .
a) Calcula P( A ∩ B) y P(B ) . b) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué? c) Calcula P( A ∪ B) . a) De la definición de probabilidad condicionada: P (A ∩)B= P B(A)(|P A )=
⋅=
0,90 ,1 0,09
Y, por otro lado: P (B ) =
P (A ∩ B) P( A | B)
=
0,09 = 0,45 0,2
b) Los sucesos A y B no son independientes puesto que: PA ( B|)
= 0,2 P()A≠
= 0,1
c) La probabilidad pedida es:
( )
PA ( B∪ =)P A +( P)B − ∩ PA B= (P + A− )
−(P) B −P(1)A∩(P) =A (B +−( )− −
=
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
279
CUESTIONES
82. Sean A y B dos sucesos de un experime nto aleatorio tales que
P ( A ) = 0,2 y P ( B ) = 0,4 .
a) Si A y B son mutuamente excluyentes, determina P( A ∩ B) . ¿Son además A y B independientes? Razónalo. b) Si A y B son independientes, calcula P( A ∩ B) . ¿Son A y B además mutuamente excluyentes? Razona tu respuesta.
c) Si P(|)0 A B = , calcula P( A ∩ B) .¿Son A y B mutuamente excluyentes? ¿Son A y B independientes? Razónalo.
d) Si A ⊆ B , calcula P( A ∩ B) . ¿Son A y B independientes? Razona la respuesta. a) Si A y B son mutuamente excluyentes, A ∩ B = ∅ , y por tanto P( A ∩ B) = 0 . Los sucesos A y B no son independientes. Para que lo fueran debería verificarse que: P(A ∩B ) =P AP ( )B ( )
Y en este caso no se cumple, ya que P A ( B∩ =)≠ 0P A P( = B) ( )
0,08 .
b) Si A y B son independientes, entonces: P(A ∩B= ) P A( P ) (B)=
⋅ = 0,2 0, 40 ,08
No son mutuamente excluyentes ya que P( A ∩ B) = 0,08 ≠ 0 .
c) En este caso: A P B(
| ) =⇒ 0
P (A ∩ B) A PB 0∩ =⇒ P (B )
= (
) 0
Por lo que A y B son mutuamente excluyentes y, como se razonó en el apartado a no son independientes. Además, es fácil comprobar que P A 0,2 ( B| ) 0= P()≠A = d) Si A ⊂ B , entonces A ∩ B = A y, en consecuencia: P ( A ∩ )= B = ( )P ≠A
. Luego, A y B no son independientes.
0,2 ( ) ( ) =P A P B
0,08
Luego los sucesos A y B no son independientes. Además, puede comprobarse que P ( B | A ) = 1 .
83. Comprueba que si A y B son dos sucesos independientes asociados a un experimento aleatorio, se verifica que: B) a) P (A ∪
= 1P ()−A PB
( )
=( )A ( P b) P (A ∪B) P ) +B P A
( )
a) Si A y B son independientes, también lo son A y B . Teniendo esto en cuenta y las propiedades de la probabilidad:
(
P A B∪
= )P A+ (−P)B (∩ P)A =( B + −P) A P B ( P )=A P B(+− −) P A( ) −P( B) =P( A)
=−1 P+B ( ) P(1A) P( )=B−
1(P− )B
(=P−) A1(
P B)P A
( )
P1( B )
()
()
(1
)
( )
b) En este caso, aplicando propiedades de la probabilidad: P (A ∪ B= ) +P−(A)
280
P ( )B
∩ ( P= A+ −) B ( )P A( ) P (B) =( P)+ A(P) B ( )P− A (=P) +B
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
PA
PA
P(1B P A
) ()
()
( )
84. Sean A y B dos sucesos incomp atibles, con P ( A ∪ B ) > 0 , demostrar que: P ( BA|
∪ B) =
P (B ) P ( A) + P(B)
Si A y B son incompatibles A ∩ B = ∅ y P ( A ∩ B ) = 0 , con lo que P (A ∪B) P =( ) A PB+ ( ) . Por la definición de probabilidad condicionada y como B ∩ A ( B∪ B) =
∪ B )=
P (B A|
, se tiene que:
∩A( B∪ ) )
PB (
P(B) = P () A PB + ( )
P (A B∪)
85. Si A , B y C son tres suc esos asociados a un experimento ale
atorio de modo que
B ∩C
⊂ A prueba que:
( ) ≤P(B) P(+C)
P A
B∩ C
⊂ A⇒ A⊂ ∩ ∩( C) B C⇒ PA≤ PB
(
)
Utilizando una de las leyes de De Morgan y las propiedades de la probabilidad: P(A ) ≤P B(∩C= )P∪ B =(C P + B) ( −P ) C ∩( P≤)B C+ (
P B) PC( )
( )
Puesto que P (B ∩ C ) ≥ 0
86. Si A y B son dos suc esos cualesquiera a sociados a un experime nto aleatorio, prueba que:
( ) P( ) B
P (AB∪ ≥) − 1 P− A
Es suficiente con tener en cuenta que P( A ∩ B) ≤ 1 y que entonces: PA ( B ( ) P+(B) P (− A B∩ ) P≥( )A P( +) B ∪ ) =P A
−=− PA+−
P −B11=− ()1− PA P(B )1
1
()
P( )A (1 −( )
)
( )
87. Sean A y B dos sucesos asoci ados a un experimento aleatorio. Prueba que : a) Si A y B son independientes con 0 < P ( A) < 1 , entonces P (B A| ) =P B(A | ) . b) Y recíprocamente: si P (B A| ) =P B(A | ) , entonces A y B son independientes.
a) Si A y B son independientes, por definición P (B A| ) =P B( ) y además: A
B
P
(
|
)=
(=
P B∩A
( )
P A
)
P (B
=
) −P B( A∩ )P B (P) A−P( B ) ( ) PB B= P = 1−A P( ) A P 1− ( ) A P
La última igualdad es posible porque 0 < P ( A<) ⇒1− 1
≠( P) A 0
1−
( )
( )
.
b) Recíprocamente: P (B |A
) =P B( A |
) ⇒ P (PB(∩A )A ) = P(PB(∩A)A)
De donde se obtiene: PB ( ∩A)
−(1P() A =
P )P(B A )PA ) −B ( (∩
) ( )
Desarrollando y simplificando se llega a que: P ( B ∩ )A =( )P B P( A)
Y, por tanto, los sucesos A y B son independientes.
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
281
PROBLEMAS 88. El 75 % de los alumnos de un instituto p ractican a lgún deporte, e l 30 % tocan un instrumento musical y el 15 % realiza ambas a cti vidades. Elegido u n alumn o al azar, calcul a la probabil idad de que: a) Realice al menos una de las dos actividades. b) No realice ninguna de las dos actividades. c) Solo realice una de las dos actividades. Elegido un alumno al azar, se consideran los sucesos D = “practica algún deporte”, M = “toca un instrumento musical”. Se tiene que: PD)(
M= , ()PM, = ( ) PD0,3 = 0,75 ∩
0,15
a) Se debe calcular la probabilidad del suceso unión D ∪ M P (D ∪ M ) =(
) P(+ D) (−P M∩) =P D+ −M=
0,75 0,3 0,15
0,9
b) Se pide la probabilidad del suceso D ∩ M , cuya probabilidad se puede expresar:
(
) (
∩= P DM
)
= − P ∪DM
∪ 1 =P (−DM= ) 1 0,9
0,1
c) En este caso se tiene que calcular la probabilidad del suceso ( D ∩ )M( ∪ )D ∩ M , unión de dos sucesos mutuamente excluyentes:
(
=)P D( − )P( D ∩ M =) −
= 0,75 0,15 0,6
(
=)P M =) − ( − )P D (∩ M
= 0,3 0,15 0,15
PD ∩ M
PD ∩ M
Y, finalmente: P D M∩
((
) (∪D∩M)
= PD )∩M( + P)∩D( M= )+
=
0,6 0,15
0,75
89. Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del tiempo, ha observa do que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va a la compra y la mitad de los días que no va. Elegido un día al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día? b) Calcula la probabilidad de que ese día Antonio vaya a la compra o la fruta esté de oferta.
Se consideran los sucesos A = “Antonio va a la compra” y su contrario A , con P ( A ) = Además, sea F = “la fruta está de oferta”. Se sabe que P ( F | A ) =
2 3 y P A = . 5 5
( )
1 1 y P F|A = 3 2
(
)
a) La probabilidad del suceso F se obtiene mediante el teorema de la probabilidad total: P (F)
=P( F A ) | (P) A +P F A P |A =+⋅⋅=
(
) ()
12
13
13
35
25
30
b) Se pide la probabilidad del suceso A ∪ F , que se calcula: P (A ∪ F )= P( A ) + (P) F− (∩ P A=) F( )+ P(A) − (P F
282
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
) (P) F A =P+ A−⋅ = |
2 5
13 30
1 2 35
7 10
90. El 25 % de los estu diantes de una U niv ersidad lee las notici as en prensa escrit a en papel, e l 70 %, en prensa dig ital, y el 10 % , en ambo s form atos. Elegido, al aza r, un estud iante de esa U nivers idad: a) Calcula la probabilidad de que lea las noticias en formato papel o digital. b) Sabiendo que lee las noticias en prensa digital, calcula la probabilidad de que también las lea en prensa escrita en papel.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que lea las noticias solo en uno de los dos formatos? Sean los sucesos A = “el estudiante lee las noticias en prensa escrita en papel”, B = “el estudiante lee las noticias en prensa digital”. PA)(
= 0,25)P (B, = ( PA0,7 ) B∩= ,
a) Se trata del suceso A ∪ B , cuya probabilidad es: P (A ∪ B ) = P( )A( + )P( B− P ∩ A ) =B
0,1
+ − = 0,25 0,7 0,1 0,85
b) Se debe calcular la probabilidad condicionada P ( A | B ) : P (A | B) =
P (A ∩ B) P (B )
=
0,1 1 = 0,7 7
c) El suceso en cuestión está formado por la unión de dos sucesos mutuamente excluyentes, como se ve en el diagrama de Venn:
( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B) Y su probabilidad es:
(
( B∩ ∪) A∩(B P A
= P)∩ )A B+ ( P∩A=B)
P+( A P − )B( ) ∩P( )A= B( 2
)
= 0,2 5+ 0,7 − ⋅ =2 0,1 0,75
91. En una hay d4 libro de matemáticas, 6 de física y ria? 2 de química. S i se cogen 2 libro s al azar, ¿cuál esestantería la probabilidad e ques ambos sean de la mism a mate Sean M = “Los dos libros son de matemáticas”, F = “Los dos libros son de física” y Q = “Los dos libros son de química” P(M ) =
4 3 1 6 5 5 2 1 1 y P(Q) = ⋅ = ⋅ = , P(F ) = ⋅ = 12 11 11 12 11 22 12 11 66
PM ( ∪F ∪Q = )+
1 5 + = 11 22
1 66
=
221 66 3
92. En un polígon o indu stri al se almacenan 30 000 latas de refresco pro cedentes de fábricas A, B y C a partes iguales. Se sabe que en el año actual caducan 1800 latas de la fábrica A, 2400 latas, de la fábrica B, y 3000, de la fábrica C. Se ha elegido una lata de refresco aleatoriamente y se ha visto que caduca en el año actual, ¿cuá l es l a probabilidad de qu e proceda de la fábrica A? Aplicando la regla de Laplace se obtiene directamente la probabilidad pedida:
=P( A)
casosfavorables = casos posibles
1800 == 1800 +2400 +3000
1800 7200
1 4
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
283
93. En una auto escuela especializada, se ha impart ido un cu rso de mejora de la condu cci ón a 50 conductores que han perdido todos los puntos del permiso de conducir. De los asistentes al curso, 30 son jóvenes menores de 35 años. Después de un tiempo, se constata que un 70 % de los jóvenes ha mejorado su conducción. Este porcentaje asciende al 80 % en el resto de los asistentes. Si aleatoriamente se elige una persona que asistió al curso, calcula l a probabilidad de qu e: a) Haya mejorado su conducción. b) Tenga menos de 35 años, sabiendo que ha mejorado su conducción.
Se consideran los sucesos A = “la persona elegida es joven menor de 35 años”, A = “la persona elegida tiene 35 o más años” y M = “la persona elegida ha mejorado su conducción” Se sabe que: PA (
=,P =A ) == 3 0,6 5
( )
2= ,P0, M4A 5
A ( = ,P| M) 0,7
(|
)
0,8
a) Utilizando el teorema de la probabilidad total: P (M)
=P |) A ( M )A|( P) A + P M( A P (=)⋅ + ⋅ = 0,7 0,6 0,8 0,4
0,74
b) Por el teorema de Bayes: P (A | M ) =
P (M | A )P (A ) P()M
=
0,7 ⋅ 0,6 = 0,56757 0,74
94. En un edific io int eligente dot ado de sistemas de energía sol ar y eóli ca, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad 0,4, de molinos eólicos, con probabilidad 0,26, y de ambos tipos de instalaciones, con probabilidad 0,12. Elegido un día al azar, calcúlese la probabilidad de q ue la energí a sea suministrada al edificio: a) Por alguna de las dos instalaciones. b) Solamente por una de ellas. Se consideran los sucesos S = “la energía proviene de placas solares”, M = “la energía proviene de molinos de eólicos” Se tiene que: PS)(
= 0, (4)PM, = ( ) P0,26 S∩ M= ,
0,12
a) Se pide la probabilidad del suceso unión S ∪ M , P (S ∪ M )=
() P( + S) ( −P∩M) =P +S −M=
0, 4 0,26 0,12
0,54
b) B = “la energía proviene solo de placas solares o solo de molinos eólicos”. Suceso que se puede escribir como unión de sucesos mutuamente excluyentes:
(
BS =∩M
)∪( S ∩M)
De modo que:
(
) (
)
P (B ) = P ∩ S +M ∩P =S
284
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
M +
P (−) (S )∩P =(M + 2) P−⋅ S = M
0, 4 0,26 20 ,12
0, 42
95. A la consulta de un médico acude una mujer que sospecha que está embaraz ada de solo unos po cos días. Después de un primer examen, el médico cree que la mujer está embarazada con probabilidad 0,7. Para confirmar su diagnóstico, el médico encarga un test que da negativo en el 3 % de los casos en q ue la mujer está realmente embarazada. Por otro lado, el test da positivo en el 5 % de los casos en los que la muj er no está embaraza da. Calcul a la probabil idad de que: a) El test dé positivo. b) La mujer esté realmente embarazada sabiendo que el test ha dado positivo.
Sean los sucesos A = “la mujer está embarazada” y su contrario A = “la mujer no está embarazada”.
( )
Las probabilidades iniciales para estos sucesos son P ( A ) = 0,7 , P A = 0,3 . Se considera el suceso T = “el test da positivo” y su contrario T = “el test da negativo”. Se sabe que:
( )
PT A |
= 0,03 (PT), A
|
= 0,05
(
)
A partir de esta información, también se conoce que P (T | A ) = 0,97 y P T | A = 0,95 .
a) La probabilidad de que el test dé positivo, se obtiene mediante el teorema de la probabilidad total: P (T)
=P( T A ) | (P) A + P T (A P| )A =( ) ⋅+ ⋅ = 0,97 0,7 0,05 0,3 0,694
b) Utilizando el teorema de Bayes: |
P (A T ) =
0,97 ⋅ 0,7 0,9784 = = 0,694
P (T |A P ) A( ) P(T )
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
285
96. En la re presentación de navida d de los alumnos de 3.º de Primaria de un colegio hay tres tipos d papeles: 7 son de animales, 3, de personas, y 12, de árboles. Los papeles se asignan al azar. Los alumnos escogen por orden alfabético sobres cerrados en los que está escrito el papel que les corresponde. Calcula la pr obabilidad de que:
e
a) A los tres primeros alumnos no les toque el papel de árbol. b) A los dos primeros alumnos les toque el mismo papel. c) El primer papel de persona le toque al tercer alumno de la lista. d) A los tres primeros alumnos de las lista les toque a cada uno un papel diferente. Los alumnos cogen el papel por orden alfabético. Nombramos por A, el papel de animal, por S el de persona y por R el de árbol. Así, por ejemplo, el suceso SRA indica que al primer alumno le tocó el papel de persona, al segundo alumno el de árbol y al tercer alumno el de animal. a) En este caso se pide la probabilidad del suceso RRR = “a los tres primeros alumnos no les toque papel de árbol”.
(
)
P RRR=
10 9 8 = 22 21 20
⋅ ⋅=
720 9240
6 77
b) A los dos primeros alumnos les tocan 2 animales (AA) o bien 2 personas ( SS) o bien 2 árboles ( RR) P AA )(
7 6 42 SS=, ⋅ = )( P 22 21 462
= ⋅=
)(
3 2 6 RR , =P ⋅= 22 21 462
12 11 22 21
132 462
Como los sucesos son mutuamente excluyentes: P (AA ∪SS∪ =RR
42 6 132 = = 462 462 462
)+ +
180 462
30 77
c) Se trata de calcular la probabilidad del suceso SSS = “a los dos primeros alumnos no les toca el papel de persona y al tercero sí le toca”. Entonces, debe ser: P SSS=
19 18
⋅ ⋅ =
3
1026
=
171
22 21 20 9240 1540 d) En este caso, cada uno de los tres primeros alumnos tiene que tener un papel diferente. Por ejemplo ASR = “al primero de la lista, animal; al segundo, persona y al tercero árbol”.
(
)
En total hay P3 = 3! = 6 posibilidades, que son las ordenaciones de los tres papeles en los tres primeros puestos de la lista. La probabilidad de cada una de estas posibilidades es la misma. Por ejemplo, para ASR: 7 3 12 = 22 21 20
P ( ASR=) ⋅ ⋅ =
252 9240
3 110
Y multiplicando por 6 se obtiene la probabilidad del suceso D = “A los tres primeros de la lista les toque a cada uno un papel diferente”. P ( D= )⋅ 6
3 18 = 110 110
=
9 55
97. En una caja hay x bolas blancas y 1 roja. Al extraer de la caja 2 bolas al azar sin reemplazamiento, la prob abili dad de que sea n blancas es 0,5. Calcula el número de bol as blancas que debe tener la caja. Cuando sacamos la primera bola quedan en el saco x bolas, y cuando sacamos la segunda quedan x - 1, por lo que la probabilidad de sacar la primera bola blanca es P(B1) = P(B 2) =
x −1 x
x x +1
y de sacar una segunda bola blanca es
.
La probabilidad total del suceso B será: P()B
286
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
=
x
⋅
x +1
x −1
= ⇒ 0,5 = x
x
3bolasblancas
98. Al servicio de urgencias de un hospit al llega n paciente s de tres procede ncias distint as: remitidos por centros de salud (47 %), por iniciativa propia (32 %) y afectados por accidentes y trasladados directamente por ambulancias (21 %). Los pacientes que presentan dolencias graves son el 10 %, el 4 % y el 25 %, respecti vamente. Si se e lig e aleator iamente un pacient e que llega a dich o servic io: a) Hallar la probabilidad de que no tenga dolencia grave. b) Si se detecta una dolencia grave, determinar la probabilidad de que haya acudido por iniciativa propia. Sean los sucesos S = “el paciente llega a urgencias remitido por el centro de salud”, R = “por iniciativa propia” y A = “afectado por accidente” forman un sistema completo de sucesos. Considera el suceso G = “el paciente presenta dolencia grave”. Se tiene que:
= 0,47 )(PR,=
PS)(
, A ( , ) =PG S(0,21 PG A )( =P0,32 ) =,PG R (| )= 0,1
|
0,04 ,
|
0,25
La situación se puede representar en un diagrama de árbol:
a) Se calcula la probabilidad del suceso G mediante el teorema de la probabilidad total, y luego se obtiene la probabilidad del suceso contrario de G: P (G =) |( ) P( S ) =(+P +GS
) P( ) G (| R P) (R)
P GA|
P A
= 0,1 ⋅ 0,4 + 7 ⋅ 0,04 + 0,32 ⋅= 0,25 0,21 0,1123
( ) =−1PG (=− )
1 =0,1123
Entonces P G
0,8877
b) En este caso, utilizando el teorema de Bayes, se tiene: |
P (R G ) =
0,04 ⋅ 0,32 0,1140 = = 0,1123
P (G |R P ) R( ) P ()G
99. En una ciudad, el 35 % de los ci udadanos u til iza el metro al menos un a vez al día, el 24 % usa el autobú s, y un 15 %, ambos medi os de transp orte. Se elige una person a al azar, halla la prob abilid ad de que: a) Utilice alguno de los dos transportes. b) No utilice ningún transporte. c) Sabiendo que monta en metro, no utilice el autobús. Sean los sucesos A = “la persona elegida usa el autobús”, M = “la persona elegida usa el metro”. Se tiene que: PA)(
0,35 M= , = 0,24 ∩ (P ) M, = ( ) PA
0,15
a) Se pide la probabilidad del suceso A ∪ M : P (A ∪ M )=
() P(+ A) (−P∩ M) = P+ A −M= 0,35 0,24 0,15 0, 44
b) Se pide la probabilidad del suceso A ∩ M . Utilizando una de las leyes de De Morgan:
(
) (
)
PA M M= ∩= PA ∪
− P A∪1 =M −(
= ) 1 0, 44 0,56
c) Ahora debe calcularse la probabilidad P ( A | M ) .
(
P A|M
) = P(PMA(=∩ )M )
( )P M( −P )A M∩ = == PM ( )
0,35 − 0,15 0,35
0,2 0,35
4 7
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
287
100. El 38 % de los habit antes de una ciud ad declaran que su d eporte preferid o es el fútb ol, el 21 % prefiere el baloncesto y el r esto se incli na por otro deporte. S i se eligen al aza r tres personas, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Las tres personas sean aficionadas al fútbol. b) Dos personas prefieran el fútbol y la otra el baloncesto. c) Al menos una de las tres personas prefiera otro deporte diferente al fútbol y al baloncesto. a) Sea el sucesos A = "Las tres personas son aficionadas al fútbol". P ( A ) = 0,383 = 0,0549
b) Sea B = “dos de las personas prefieren el fútbol y la otra el baloncesto”. El número de formas posibles en que se pueden elegir las dos personas, entre las tres, que prefieren el fútbol (o la que prefiere el baloncesto) es:
3 2 = 3 Y, por cada una de estas posibilidades, la probabilidad de que dos prefieran fútbol, y la otra, baloncesto es 0,382 ⋅ 0,21 , con lo que P ( B ) = 3 ⋅ 0,382 ⋅ 0,21 = 0,09097 .
c) Sea el suceso C = “al menos una de las tres personas prefiere otro deporte que no sea el fútbol o el baloncesto”. El suceso contrario de C, es C = “las tres prefieren el fútbol o el baloncesto”, cuya probabilidad es:
( ) = (0,38 + 0,21)
3
P C
= 0,2054
Y, por tanto, P (C ) = 1 − 0,2 054 = 0,7946
101. En un servicio técnico especializado en cámaras fotográficas, el 70 % de las cámaras que se reciben son del modelo A, y el resto, del modelo B. El 95 % de las cámaras del modelo A son reparadas, mientras que del mod elo B sol o se reparan el 80 % . Si se elige una cámara al aza r: a) Halla la probabilidad de que no se haya podido reparar. b) Si se observa que no ha sido reparada, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo B? Se consideran los sucesos A = “la cámara es del modelo A” y B = “la cámara es del modelo B”, que constituyen un sistema completo de sucesos. Sea, además, el suceso R = “la cámara es reparada”. Las probabilidades que se conocen son: PA)(
= 0,7 )(PB,=
=A , ( P)R0,3
( |P )=R B 0,95 ,
|
0,8
La situación se puede representar en el siguiente diagrama de árbol.
a) Utilizando el teorema de la probabilidad total, se calcula la probabilidad de que la cámara se haya podido reparar: P (R)
=P( R )A|(P) A ( + P R ) ( )B P| B = ⋅ + ⋅ = 0,95 0,7 0,8 0,3 0,905
Luego, la probabilidad de que no haya podido ser reparada es:
( )
P R =−1 P (=R−)
1 =0,905
0,095
b) Utilizando ahora el teorema de Bayes: |
288
(
P B R
)=
(
)
P R |B P B( )
( )
P R
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
0,2 ⋅ 0,3 = = 0,63158 0,095
102. Se va a proceder a la selección de investigadores para un centro aeroespacial. Se realizan 3 pruebas independiente s: A (idiomas), B (conocimientos teóricos y prácticos ) y C (pruebas físicas). P ara acce der al puesto hay qu e superar las tres pruebas. Por procesos anteriores se sabe que la prueba A la s uperan el 10 % de los aspi rantes, la pru eba B, el 40 % , y la C, el 20 % . Se elig e un cand idato al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea seleccionado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea seleccionado por fallar solo en una prueba? c) Sabiendo que ha pasado dos pruebas ¿cuál es la probabilidad de que haya fallado en la prueba B? Sean los sucesos A = “el candidato supera la prueba de idiomas”, B = “el candidato supera la prueba de conocimientos teóricos y prácticos” y C = “el candidato supera las pruebas físicas”. P ()A = 0,1(), P B =() 0,4 , P C = 0,2
a) Para ser seleccionado, es preciso pasar las tres pruebas, suceso A ∩ B ∩ C . Como los sucesos son mutuamente independientes: P (A ∩B∩ =C ) P( A ) (P) (B) P C=
⋅ ⋅ =
0,1 0,4 0,2
0,008
b) Contando con el suceso contrario de cada uno de los tres dados, el suceso por el que se pregunta es la unión de tres sucesos mutuamente excluyentes. A ∩ B ∩ C = “no supera la prueba de idiomas pero sí las otras dos”. A ∩ B ∩ C = “no supera la prueba de conocimientos teóricos y prácticos pero sí las otras dos”. A ∩ B ∩ C = “no supera las pruebas físicas pero sí las otras dos”. D
= A( ∩B ∩C )(∪ A ∩B ∩ )(C ∪ A ∩)B ∩C
Cuya probabilidad es:
(
)(
) (B
∩∩+C ∩∩=P A P(D) = P ∩∩ A+ B
C
)+P)(
A
= 0,9 ⋅ ⋅ +0,4 0,2 ⋅ ⋅ + 0,1 0,6 ⋅ ⋅ 0,2= 0,1 0,4 0,8
B
( )
+P A P( B) (P )C= ( P ) A P B P( C)
C
( )
P ( ) A( P ) B P C
0,116
c) El suceso “el candidato ha pasado dos pruebas” es el suceso D del apartado b. De esta manera, se pide la probabilidad del suceso B , dado que ha ocurrido el suceso D. Es decir:
(
P B|D
) = P(PB=(∩D)D)
(
P A ∩B ∩ C
=
DP
( )
)= P A (P =B) P(C )
DP
( )
( )
0,1⋅ 0,6 ⋅ 0,2 0,116
0,1034
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
289
103. En una pob lación, la mitad de los ciud adanos manifiesta estar satisfecho con s u calidad de vida y el 70 % tiene una vivienda propia. De los que no están satisfechos con su calidad de vida, el 45 % no tiene vivienda propi a. En esta ciudad, calcula el p orcentaje de ciudadanos que: a) Tiene vivienda propia y no está satisfecho con su calidad de vida. b) Está satisfecho con su calidad de vida si tiene vivienda propia. c) Está satisfecho con su calidad de vida si no tiene vivienda propia. Se selecciona un individuo al azar y se consideran los sucesos S = “está satisfecho con su calidad de vida”, V = “tiene vivienda propia” y sus respectivos sucesos contrarios. Se tiene que: PS, = ) = 0,5
PS(
( ) P=V0,5 , = P(V )
0,7 = P,V S
=) PV, S (| ) ( 0,3
)(
0, 45 ,
|
0,55
De las probabilidades anteriores se pueden obtener las probabilidades de los sucesos unión e intersección de S y V. En efecto: S VP
(
|
(
)
P V ∩S VSP∪ 0,45 =⇒ P S
⇒ ) = 0,45
( )
⋅( =
=
)
VS P 0,45 ⇒ ∪ 0,5 =
0,225
(
) 0,775
Y, entonces: P (V ∩ S )=
( )P(+V) ( −P S∪) =P +V − S =0,7 0,5 0,775 0, 425
a) Debe calcularse la probabilidad del suceso V ∩ S :
(
PV
∩S=) P( V S ) (|P) S= ⋅ = 0,55 0,5 0,2 75
De modo que el 27,5 % de los ciudadanos tiene vivienda propia y no está satisfecha con su calidad de vida.
b) Se trata de la probabilidad del suceso S condicionado por el suceso V: P (V
|
P (S V ) =
∩S)
0,425
P(V ) 0,6071 = 0,7
=
El 60,71 % de la población que tiene vivienda propia está satisfecho con su calidad de vida.
c) Ahora, debe calcularse la probabidad del suceso S condicionado por V : |
(
)
P S V =
P(S ∩ V )
P ( S ) − P(S ∩ V )
P(V )
P(V )
=
=
0,2500 =
0,5 − 0, 425 0,3
El 25 % de la población que no tiene vivienda propia está satisfecha con su calidad de vida.
290
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
104. Un hotel dispone de 60 habitaciones de tres tipos: 6 individuales, 50 dobles y 4 suites. De las 6 individ uales, 3 tie nen baño compl eto, y otras 3, solo du cha. D e las dobles el 80 % tiene baño completo, el resto, solo ducha. Todas las suites tienen baño completo. Si elegimos una habitación al azar, calcula la probabilidad de que: a) Tenga solo ducha. b) Sea doble, si la habitación tiene baño completo. c) Sea individual y tenga ducha. Los sucesos A = “la habitación es individual”, B = “la habitación es doble” y C = “la habitación es una suite” constituyen un sistema completo de sucesos. El hotel dispone de 60 habitaciones. Si la habitación se elige al azar, la probabilidad de que sea de cada uno de los tres tipos es: 6 ,(0,1 B == )P 60
50 ,C0,8333 == )( P 60
==
P)A(
4 60
0,0667
Sea el suceso D = “la habitación tiene baño completo”. Se sabe que: PD | ( A)
( )
Y de estos, se tiene que: PD A |
3 6
DC = = 0,5 (,PD) B= | ( ) P0,8 =,
= 0,5(PD,) B
|
C ( P)=D0,2
,
| |
1
=0
La situación se muestra en el diagrama de árbol adjunto.
a) El suceso “tenga solo ducha” puede ser considerado como el contrario del suceso D. Utilizando la información dada y el teorema de la probabilidad total para el suceso contrario del D:
( ) =(P+D+ )=A| P A ( P) D B( P |B ) P(D ) C P( C | )
PD
( )
= 0,5 ⋅ +0,1⋅ 0,2 +0,8333 ⋅ = 0 0,0667 0,2 167 b) En este caso se trata de la probabilidad del suceso B condicionada por el D. suceso P ( D ) =−1 P =D −
( )
|
Utilizando 1 =0,2167
P (B D ) =
la regla 0,7833 :
de
Bayes
y
que
0,8 ⋅ 0,8333 = 0,8511 = ≅0,85
P (D |B P ) B( ) P()D
0,7833
c) Debe calcularse la probabilidad del suceso A ∩ D , que se obtiene:
( ) ()
P A ∩D= P D A |P A=
⋅( = ) 0,5 0,1 0,05
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
291
105. Un paciente acude a su médico al encontrarse enfermo desde hace varios días. Tras un cuidadoso análisis preliminar, el médico duda al 50 % de si el paciente tendrá o no tuberculosis, por lo que le prescribe un a prueba específica. La prueba consiste en un análisis de sangre que da positivo si el paciente tiene la enfermedad en el 99 % de los casos y da negativo si el paciente no tiene la enfermedad en el 98 % de los casos. Calcula la probabilidad de que nuestro paciente : a) De positivo en el test. b) Esté realmente enfermo de tuberculosis, si el test da resultado negativo. T = “el paciente tiene tuberculosis”. Según el diagnóstico inicial del médico P (T ) = 0,5 ,
Sea el suceso
( ) = 0,5 .
P T
Considera el suceso A = “la prueba da positivo en tuberculosis”. PA ( T|
P A, T ) = 0,99
(
|
( )
) = 0,98 ( )
Y, por tanto, P A | T = 0,01 , P A | T = 0,02 En el digrama de árbol se representa la situación.
a) Utilizando el teorema de la probabilidad total: P (A)
=P( A T)| (P) T + P A T( P|T) =( ) ⋅+ ⋅ = 0,99 0,5 0,02 0,5
0,505
b) Se trata de calcular la probabilidad del suceso T condiconada por el suceso A . Por el teorema de Bayes:
(
|
P T
)
A =
(
)
PA | TP (T ) P( A)
0,01 ⋅ 0,5 0,0101 = = 1 − 0,505
106. El % de de lasho pól gar. izasActualmente de una compañía de12seguros corr espond en a seguros de vi resto, a pólizas de30 seguros , en un % de las póli zas de seguros de vida se da, prody elucen retrasos en los pagos, mientras que ese porcentaje es del 8 % en el caso de los seguros de hogar. Si se elige al azar una póliza, calcula la probabilidad d e que: a) Esté al corriente de pago. b) Corresponda a un seguro de hogar si se sabe que está al corriente de pago. Los sucesos V = “la póliza es de seguro de vida” y H = “la póliza es de seguro de hogar” constituyen una partición del espacio muestral en este caso, con las probabilidades P (V ) = 0,3 y P ( H ) = 0,7 Sea el suceso R = “se produce retraso en el págo de la póliza”. Su contrario R = “la póliza está al corriente de pago”. Por la información disponible, se tiene que: PR ( V)|
= 0,12 ( PR), H
|
( )
= 0,08
= 0,88(PRy) H
Y, por tanto PR V |
|
= 0,92
En el diagrama de árbol se muestra la situación.
a) La probabilidad del suceso R se obtiene mediante el teorema de la probabilidad total:
( ) =(P R )V| P V
PR
+( P) R H( P| H =) ⋅+( ⋅ =) 0,88 0,3 0,92 0,7 0,908
b) Utilizando la regla de Bayes: |
292
(
P H R
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
)=
(
) ( )
P R |H P H( ) P R
0,92 ⋅ 0,7 0,7093 = = 0,908
107. Una famili a consum e leche de dos marcas dif erentes A y B . A partir de la prim era compra, la probabilidad de que la familia cambie de marca es 0,7. Si la primera compra se realizó al azar lanzando una moneda al aire, ca lcula la p robabilidad de que: a) En tres compras consecutivas hayan comprado dos veces la marca A. b) En la tercera compra hayan adquirido la marca B. c) Empezaran comprando la marca A si en la tercera compra adquirieron la B. Sea A = “la familia compra marca A” y B = “la familia compra marca B”. Por ejemplo, el suceso ABA representa que en la 1ª y 3ª compra se adquirió la marca A y en la 2ª la marca B. En el siguiente diagrama de árbol se contemplan las ocho situciones posibles.
a) La probabilidad del suceso C = “se haya comprado 2 veces la marca A” es: P =( P+ +AAB ) =( ) ( ABA) P BAA = ⋅0,5 ⋅ + ⋅0,3 ⋅ + ⋅ 0,7 ⋅ = 0,5 0,7 0,7 0,5 0,7 0,3 0, 455
P (C )
b) La probabilidad del suceso D = ”en la tercera compra hayan adquirido la marca B” es:
=P AAB P BBB ) ( + + +)P( ABB) ( P BAB )= = 0,5⋅ ⋅ +0,3 ⋅ ⋅ +0,7 ⋅ 0,5 0,7 ⋅0,3 + ⋅ ⋅ =0,5 0,7 0,7 0,5 0,3 0,3 0,5
P (D )(
c) Sea F = “la primera compra fue de la marca A” P ( F ) = 0,5 . Se pide la probabilidad del suceso D, sabiendo que ha ocurrido F. P (F D ) =
|
P (F ∩ D) = PD( )
=
0,7 0,7 0,3) 0,5 +⋅⋅(0,3 ⋅ 0, 42= 0,5
P (D |F P) F( ) PD
( )
108. Al 80 % de los trabajadores en educación que se jubilan sus compañeros les hacen una fiesta de despedida, también al 60 % de los trabajadores de justicia y al 30 % de los de sanidad. En el último año se ju bi laron el mism o nú mero de trabajadores en educac ió n que en san id ad y el do bl e en educac ió n que en ju st ic ia. Se sabe q ue a un t rabajador eleg id o al azar entr e estos tr es s ectores, n o l e hi cieron f iesta. Calcu la la probabilidad de que fuera de sanidad. Sea E = "trabajadores de educación", J = "trabajadores de justicia", S = "trabajadores de sanidad" y FD = "trabajadores que recibieron una fiesta de despedida". En el diagrama de árbol se muestra la situación: Vamos a calcular la probabilidad de que un trabajador recibiese una fiesta. Para ello aplicamos el teorema de la probabilidad total:
= (P FD )E(|) P+ E ( P) FD (+) = J( P| J ) ( )P FD S P S| = ⋅0,8 + ⋅ +0,⋅ 4= 0,6 0,2 0,3 0, 4 0, 56
P (FD)
Aplicando el teorema de Bayes se tiene que: ) | PS (
FD =
( D| )SP ( )S 0,7 0,⋅ 4 PF
= 0,64 = 1 − 0,56
P(FD)
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
293
109. El 40 % de los teléfonos móviles que llegan para ser reparados a un servicio técnico están en garantía. De estos, un 7 % ya ha sido reparado antes mi entras que el 25 % de los qu e no están en garantía ya fueron repara dos en ot ra ocasión. Si se elige un teléfono de este servicio técnico al azar, ca lcula la pro babilidad de que: a) Ya haya sido reparado anteriormente. b) El teléfono esté en garantía si es la primera vez que llega al servicio técnico. c) El teléfono no esté en garantía si se ha llevado anteriormente a reparar. Se considera el suceso G = “el teléfono móvil está en garantía” y su contrario G = “el teléfono móvil no está en garantía”. Los sucesos G y su contrario constituyen un sistema completo de de sucesos. Además, sea el suceso R =“el teléfono móvil ya ha sido reparado”. Se tiene que:
= 0, P 4G,=
PG
PR 0,6 =G ,
( )
( )
= 0,93 (PR)y G
Y, también, PR G|
|P =R G 0,07 ,
(
( )
|
)
= 0,75
|
0,25
(
)
a) Se pide la probabilidad del suceso R. Por el teorema de la probabilidad total: P (R)
=P( R )G|( P) G + P R (G P| )G(= ) ⋅+ ⋅ = 0,07 0,4 0,25 0,6 0,178
b) Se pide la probabilidad de que el teléfono esté en garantía sabiendo que no ha sido reparado. Utilizando la regla de Bayes:
(
|
P G R
)=
(
)
P R |G P G( )
0,93 ⋅ 0,4 0, 45255 = = 1 − 0,178
P(R )
c) En este caso, mediante la aplicación de la regla de Bayes:
(
P G|R
)=
(
) ()
P R |G P G P()R
=
0,25 ⋅ 0,6 = 0,84270 0,178
PARA PROFUNDIZAR 110. Se dispone de un dado tetraédrico trucado con cuatro caras con puntuaciones: 1, 2, 3, 4, de modo qu e P (4) = 4 P(1) , P (3) = 3P(1) , P (2) = 2P(1) en donde P(4) indica la probabili dad de obtener la puntuación 4 y así sucesivamente. Se dispone también de dos urnas con las siguientes composiciones: Urna U 1: 1 bola roja y 2 bolas verdes; urna U 2: 2 bolas rojas y 3 bolas verdes. Se lanza el dado. Si sale número par extraemos una bola de la urna U 1. Si sale impar extraemos una bola de la urna U 2. Se pide: a) Determina las probabilidades de los sucesos elementales que se presentan al lanzar el dado de cuatro caras. b) Se lanza el dado y a continuación extraemos una bola de la urna que corresponda. Halla la probabilidad de que sea de color verde.
a) Sea p = P (1) , entonces P ()4 = 4p(,) P3
= 3() ,p 2P
p +p2p+ p3+
2 = p . Las probabilidades deben sumar 1, por lo que:
=4⇒p 1 =10 p⇒ = 1
0 ,1
De esta forma: P () 4
, 2)(= 0,2 , = 0,P4 (), = 3P = ()0,3P
1
0,1
b) Según la asignación obtenida en el apartado a, las probabilidades de elegir cada una de las urnas es: PU( )P 1
=( ) P+2( ) =
4 PU( 0,6 ) P,= ()+P ( )=2
1
3
0, 4
Sea V = “la bola extraída es de color verde”. Las probabilidades de obtener bola verde en cada urna son: P| V( U)
1
2 3
=, ( PV) U |
2
=
3 5
Utilizando el teorema de la probabilidad total: |) P (V
294
=P( V U) (P)1 U ( | +P1 V) ( U) P U 2 =0,6 ⋅ +⋅ =
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
2
2 0, 4 3
3 0,64 5
111. El color de una clase de ratones, negros o marrones, depende de un par de genes, cada uno de los cuales puede se r B o b. Si los do s miembros de la pareja de genes son iguales (BB o bb ) se dice que el ratón es homocigó tico, en otro caso (Bb o bB) se dice que es hete rocigóti co. El ratón es de color marrón solo si es homocigótico bb . La descendencia de una pareja de ratones tiene dos de tales genes, uno del padre y otro de la madre, y si el p adre e s heterocigóti co, el gen heredado tiene la misma probabilidad de ser B o b. Si un ratón negro es el resultado de un apareamiento entre una pareja de heterocigóticos. Calcula la probabilidad de que el ratón sea: a) Homocigótico. b) Heterocigótico.
Se nombran los sucesos HM = “el ratón es homocigótico” y HT = “el ratón es heterocigótico”. Según la pareja de genes que se forme, se tiene que HM = {BB,bb} , HT ={ Bb , bB } . Por otro lado, se consideran los sucesos N = “el ratón es de color negro” y M = "el ratón es de color marrón”. Se tiene que N = {BB,bB, Bb} , M ={ bb } . Se cruzan una pareja de ratones heterocigóticos, de forma que el conjuto de resultados posibles es:
= {BBB, b, bB, bb }
E
Siendo los posibles resultados equiprobables. De esta forma, las probabilidades iniciales de que el ratón (descendenciente) sea negro ( N) y marrón ( M) son: 3 1 PN( ) = P(M = ,) 4 4
a) En este caso, se pide la probabilidad de que el ratón (descendiente) sea homocogótico, sabiendo que ha sido negro: P (HM | N ) =
P (N |H MP) H(
1 1
M
)
⋅ 1 = 2 2 = 3 4
P(N )
3
Probabilidad que puede obtener directamente, ya que si el ratón es negro, N = {BBb, BB , }b , solo uno de los tres resultados (equiprobables) produce un ratón homocigótico (BB).
b) Con un razonamiento similar al del apartado a, se obtiene que: P ( HT | M ) =
2 3
112. Se lanzan simultáneamente tres dados cúbicos iguales, con las caras numeradas del 1 al 6. Calcula la probabilidad de que: a) Salgan 3 doses. b) La suma de las caras sea número par. Suponiendo que los tres dados están equilibrados, los resultados posibles son equiprobables. El número de resultados posibles es VR6,3 = 216 .
a) Dado el suceso A = “los tres son doses”, solo uno de los resultados posibles es favorable a este suceso, por lo que: P ( A) =
1 216
b) Si llamamos B = “la suma de las caras es un número par”, la mitad de los resultados posibles da como resultado suma par, por lo que: P (B ) =
108 = 0,5 216
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
295
AUTOEVALUACIÓN Comprueba qué has aprendido 1.
El 60 % de los clientes de una frutería com pra naranjas y el 30 % no comp ra ni naranjas ni manza nas. ¿Qué porcentaje de clientes compra manzanas pero no naranjas? Se elige un cliente al azar. Sean los sucesos A = “el cliente compra naranjas”; B = “el cliente compra manzanas”.
(
)
Se sabe que P ( A ) = 0,6 y P A ∩ B = 0,3 . Debe calcularse la probabilidad del suceso A ∩ B . Como puede observarse en el diagrama de Venn:
=)P A( ∪ B− P) (A=) − = 0,7 0,6 0,1
(
PA ∩ B
donde, por la probabilidad del suceso contrario y una de las leyes de De Morgan:
( )
−P( A ∩1)B= −
PA B= ( B∪ = ) −P1A ∪
=
1 0,3
0,7
De manera que el 10 % de los clientes compra manzanas pero no naranjas.
2.
Se consideran
dos sucesos
A y B tales que
P (A )
=
1 , 3
P (B | A ) =
1 4
y
P (A
∪ B) =
1 . Calcula 2
razonadamente: a) P ( A ∩ B )
c) P ( B | A )
b) P ( B )
d) P ( A | B )
B P∩ 1 a) P (PA( ∩ ( A= B⋅) = 41 31 A ) ) = 4⇒
b) P (B) =P ( A∪ )B( +P A∩) (B−) P A= + − = 1 4
c) P ( B A| =)−1 PB A| ( =1− =)
d) P ( A | B ) =
3.
(
P A∩B
1111 2 12
3
4
3 4 1
) = 1− P ( A ∪ B ) = 1− 2 1 − P(B )
P(B )
1 12
1−
1 4
=
2 3
Se lanza un dado dos ve ces. Calcula la prob abilid ad de que en la segund a tirada se obteng a un número mayor que en la primera. Sea A = "en la 2ª tirada se obtiene un número mayor que en la primera" y sea X = "se obtiene el mismo número". En la siguiente tabla se muestran los posibles resultados: D1
123456
D2 1
X
A'
A'
A'
A'
2
A
X
A'
A'
A'
3
A
A
X
A'
4
A
A
A
X
5
A
A
A
6
AAAAAX
A
A' A'
A' A'
A' A'
X A '
Luego la probabilidad pedida es P ( A) =
296
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
15 . 36
4.
Una empresa somete a cont rol de calid ad 7 de cada 10 artículo s fabricados. De los que son sometidos al control resultan defectuosos un 2 % y de los que no son sometidos a control de calidad resultan defectuosos un 12 %. Elegido un artículo al azar, calcula la prob abilidad de que: a) Sea defectuoso. b) Haya sido sometido al control de calidad si es defectuoso.
Sean los sucesos C = “el artículo ha sido sometido a control de calidad” y su contrario C = “el artículo no ha sido
( )
sometido a control de calidad”. Se tiene que P (C ) = 0,7 , P C = 0,3 . Se considera, además, el suceso D = “el artículo es defectuoso”. PD ( C|
a)
PD, C ) = 0,02
|
= 0,12
( ) Por el teorema de la probabilidad total, se tiene que: P (D)
=P( D C ) | (P) C + P D (C P| )C=( ) ⋅+ ⋅ = 0,02 0,7 0,12 0,3 0,05
b) Se pide la probabilidad del suceso C, condicionada a que el suceso D ha ocurrido. Utilizando la regla de Bayes: |
5.
P (C D ) =
P (D |C P ) C( ) P(D )
0,28=
0,02 ⋅ 0,7 = 0,05
Se elige al a zar un núm ero entre e l 10 000 y 50 000. Calcul a la prob abilid ad de que el número extraído sea capicúa. Comenzamos por estudiar cuántos números capicúas hay cuando la cifra inicial es 1. Para ello basta con fijar las dos siguientes cifras que pueden ser cualquiera de las 9 cifras significativas más el cero. Así, se tiene que: 1A B A1 Como A puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y B pueder ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 van a existir 10 ⋅ 10 = 100 números capicúas entre 10 000 y 20 000. Razonando de igual forma, entre 20 000 y 30 000 se tienen 100 números capicúas, entre 30 000 y 40 000 se tienen 100 números capicúasy entre 40 000 y 50 000 se tienen 100 números capicúas. Luego en total entre 10 000 y 50 000 hay 100 + 100 + + = 100 100 400 números capicúas. Aplicando la regla de Laplace se obtiene que: P (C ) =
400 1 = = 0,01 40000 100
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
297
6.
En una fiesta e n la que hay 85 muj eres y 90 homb res se eligen 4 person as al azar. Calcu la la prob abilid ad de que: a) Ninguna sea hombre. b) Haya exactamente un hombre. c) Haya más de un hombre. d) Haya el mismo número de mujeres que de hombres. Suponiendo que todas las elecciones posibles son igualmente probables y que no importa el orden en la elección de las personas, el número de resultados posibles al elegir 4 personas del conjunto de 175 personas es:
175 = 175 ⋅ 174 ⋅ 173 ⋅ 172 = 37 752 925 4321 4 ⋅ ⋅ ⋅
C175, 4 =
a) Sea el suceso A = “ninguna de las cuatro personas elegidas es hombre”; es decir, que las cuatro personas han sido elegidas del grupo de las mujeres, con lo que el número de resultados favorables al suceso A es: C85, 4
85 85 ⋅ 84 ⋅ 83 ⋅ 82 2 024 785 = = = 4321 ⋅ ⋅ ⋅ 4
Y, aplicando la regla de Laplace, se obtiene: P ( A) =
2024785 = 0,0536 37752925
b) Sea B = “haya exactamente un hombre entre las cuatro personas elegidas”. Si tiene que haber exactamente un hombre, las otras tres personas deben ser elegidas entre las mujeres, por lo que el número de resultados favorables al suceso B es: C90,1C85,3
90 = 1
90 85 ⋅ 84 ⋅ 83 = 1! 3!
85 =⋅ 3
8889300
Aplicando la regla de Laplace: P ( B ) = 8889300
0,2355 37752925 =
c) El suceso C = “haya más de un hombre” es el suceso contrario del suceso unión de los sucesos incompatibles A = “no haya ningún hombre” y B = “haya exactamente un hombre”, cuyas probabilidades han sido calculadas
en los aparatados a y b. De esta manera: PC ()
=−1P(A)− P( )B=−
− 1 0,0536 = 0,2355 0,7109
d) En este caso, el número de resultados favorables al suceso D = “haya el mismo número de mujeres que de hombres” es: C85,2 C90,2
85 = 2
90 = 2
⋅
85 ⋅ 84 90 ⋅ 89 = 2 2
Y, su probabilidad se obtiene aplicando la regla de Laplace: P (D ) =
298
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
14297850 = 0,3787 37752925
14 297 850
7.
El 50 % de los jóvenes de cierta població n afirma practicar e l deport e A y el 40 % afirma practicar el A o el B . Si se elige un joven al deporte B . Además, se sabe que el 70 % de los jóvenes practica el deporte azar, se pid e: a) La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes. b) La probabilidad de que practique solo el deporte A. c) Si practica el deporte B, ¿cuál es la probabilidad de que practique el deporte A? d) ¿Son independientes los sucesos “practicar el deporte A” y “practicar el deporte B"? ¿Por qué? Sean los sucesos A = “el joven elegido práctica el deporte A” y B = “el joven elegido practica el deporte B”. Se sabe que P ( A ) = 0,5 , P ( B ) = 0, 4 y P ( A ∪ B ) = 0,7 .
a) Se pide la probabilidad del suceso A ∩ B . Utilizando una de las leyes de De Morgan: PA ( B∩) =P( A )∪B = − P A1∪B= (− = ) 1 0,70 ,3 b) En este caso, se debe calcular la probabilidad del suceso A − B = A ∩ B . P (A B− ) = ( P) A (− P A∩ ) B=
− = 0,5 0,2 0,3
Donde P ( A ∩ B + −B = 0,5 0, 4 0,7 ) = ( )P( + A) ( −P B)∪ =P A
0,2
c) Se debe calcular la probabilidad del suceso A, condicionada a que ocurra el suceso B: |
d) Como P ( A ∩=)B
0,2 y() ()P A=P⋅ = B sucesos A y B son independientes.
P (A B) =
0,4 0,5
P ( A ∩ B)
0,5 =
P(B )
0,2 = 0,4
0,2 , resulta que P (A ∩B) = P( )A(P) B
y, por tanto, los
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta co rrecta en cada caso 1.
Sea A y B, sucesos inco mpatibles asociados a un espacio muestral
E, con
PA ()
> 0, P(B )
> 0 . Entonces:
A. A y B son independientes. B. P (A) (B | ) ≠P B A| C. A y B son incomptatibles. D. P ( A | B ) = 0
La respuesta correcta es la D por eliminación de las respuestas anteriores ya que A y B son independientes si P (A ∩B ) =P AP ( )B ( ) y como P() A > 0,() PB > 0 no se verifica la igualdad. En la B puede ocurrir que P(A ) =P B( ) lo cual verifica la igualdad y por último la C no implica que sus contrarios también lo sean. Además como P( A ∩ B ) se tiene que P ( A | B ) = 0 . P (A | B) = P(B)
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
299
2.
Dos suceso s A y B asociados a un experime nto aleatorio son independientes si: A. Cuando ocurre, por ejemplo, A entonces B no ocurre. B. Cuando uno de ellos ocurre, el otro ya no puede ocurrir. C. A y B tienen la misma probabilidad. D. La probabilidad de A, por ejemplo, no se ve modificada por el hecho de que B ocurra. La respuesta correcta es la D ya que si ocurre el suceso B no afecta a la probabilidad del suceso A.
3.
Si A y B son do s sucesos asociados a un espacio muestral
E , con PA( B |)
1
=(P B) A | 2
, entonces:
A. Siempre que ocurre B, ocurre A. B. La probabilidad de B es doble que la de A. C. Si ocurre A, no ocurre B. D. Los sucesos A y B son incompatibles. La respuesta correcta es la B pues la probabilidad de A ∩ B se define como: A(B P
∩= A) P (P )( )BAP | ∩= o ( A (P)(BBP) ) B
A|
Igualando se tiene que: P (A ) (P B )A|
(P )= (B P )A
B |
Finalmente despejando se llega a que: P (B ) =
P ( ) A ( ⋅ 2P A) B | P ( A | B)
= 2P ( A )
Señala, en cada caso, las respuestas correctas 4.
Si A y B son sucesos incompatibles, siendo la probabilidad de entonces:
A doble que la de
B y con
A. P(A ∪B )= 3P (B ) B. El suceso B está contenido en A. B A = C. P (|)1
D. P (A B|
) P> A (
)
Se sabe que P () A =P 2 B( ) y A ∩ B = ∅ , luego por las propiedades de la probabilidad se tiene que: P (A ) ∪ B
= P A+( P)B−( P )( ∩A) =B
+PB =PB 2 ( )PB ( ) 3 ( )
Aplicando la definición de probabilidad condicionada se tiene que: PB ( A| )1=−P
Por tanto, las respuestas correctas son A y C.
300
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
(B=−|)A
1 =P ( B ∩ A ) P( A)
1
P (B )
>0,
5.
Si A y B son do s sucesos asociados a un espacio muestral A. P ( A − B ) = 1 − P(B)
C. P ( A ∪ B ) = 1
B. P (A ) =P B( )
D. P ( B | A ) = 0
P AB( | ) =
P(A ∩B ) P A ( P) A − (B ∩ ) = =⇒ P A−P ∩ =−( P B) ⇒P A () B∪ = 1A B 1 − P(B) P(B )
) B 1( P(A B− =) P A (−P)A ∩B( = − P
E, y
1
( )
(
P A| B
()
) = 1 , entonces:
1
)
P(A ∩B ) P A ( B∪ ) P(B | A) =
PA ( )
= PA ( )
=0
Las respuestas correctas son A, C y D.
Señala el dato innecesario para contestar 6.
Si A , B y C son tres sucesos incompatibles dos a dos, para calcular la probabilidad de
( A ∩ B ∩ C ) se
necesita: A. P(A ), P (B ) C ) B. P (A ∩B ∩
C. P(A ∩ B ),P (A C∩) y P(B C )∩ D. P(C )
Aplicando la regla de la multiplicación de probabilidades condicionadas se sabe que: A (C ∩A P B P ∩ ) = ( ) ⋅P B ( BA | )P⋅ C( A| ∩ ) y como A ∩ B = ∅ , A ∩ C = ∅ y B ∩ C = ∅ por tanto la respuesta correcta es la C.
7.
Si A , B y C son tres suc esos tales que
B
∩ C = ∅ , para calcular
A. P( A)
C. P(B )y P ( C)
B. P ( A ∩ B )
D. P( A ∩ C )
P (A B |
∪C ) , se precisa:
Aplicando la definición de probabilidad condicionada se tiene que: P(A B =|
P A( B∩ (∪ C P (BC ∪
∪C ) =
)
( ) P) )A B A C ) (P A ∩ [∪( ∩ ∩ +B)]P∩ A C = = PB C ( ∪ ) P(B ) B +PCC−( )P ∩
( PB )P A ( ) − ( ∩ ) B +PC( )P)− A C∩ BC P PB C (P ) + − ∩( ) ( ) ( )
Luego la respuesta correcta es la A.
Unidad 13| Combinatoria y probabilidad
301
14 Dis tri buc ion es d e pro babil id ad EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Ejercici o resuelto .
2.
Sea X una variable aleatoria que toma los valores 0, 1, 2 y 3 con probabilidades respectivas 0,2; 0,25; 0,4; 0,15. Calcula s u medi a, su varianza y P(X > 1). La esperanza es µ= E [ X= ]⋅ 0+ ⋅0,2 + 1⋅ 0,25 + ⋅ 2= 0,4 3 0,15 1,5 . Para calcular la varianza se necesita obtener antes E [ X= 2 ] +0 +22⋅ 0,2 1 ⋅ 0,25 ⋅ 22 ⋅ 0,4 + 32 0,15 = 3,2 . Luego, la varianza es Var()X = =2 EX [− E2X] Por último, la probabilidad que se pide PX(
3.
2 =[ −] 3,2 = 1,52 0,95
.
>1) =PX =( +2P)X (= =) +3 =0,4 0,15 0,55
.
Se lanza n dos dados de distinto color y se considera la variable X: “suma de las puntuaciones obtenidas”. a) Escribe su función de masa de probabilidad y represéntala mediante un diagrama de barras. b) Calcula la media y la varianza de X. En el lanzamiento de dos dados se tienen VR6,2 = 62 = 36 resultados posibles equiprobables.
a) La variable aleatoria X toma los valores del 2 al 12. La probabilidad de cada uno de los valores se obtiene mediante la regla de Laplace, sin más que contar el número de resultados favorables a cada valor. Por tanto, la función de masa de probabilidad de X es: xj 2 3 4 5 1 1 1 1 pj 18 12 9 36
6 5 36
7 1 6
8 5 36
9 1 9
10 1 12
11 1 18
12 1 36
El diagrama de barras que representa la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria X es:
b) La esperanza de la variable aleatoria X es: E [ X ]= ⋅ 2
111 36
+ ⋅ 3+ ⋅ + ⋅4 + ⋅ 18
12
1 9
5 36
1 6
+5 ⋅ + ⋅6 + ⋅ +7 ⋅ +8⋅
5 1 1 1 1 11 12 + 9⋅ = 10 36 9 12 18 36
7
Para calcular la varianza, es preciso obtener primero la esperanza de X 2 . 1 1 1 + 3⋅ 2⋅ + + 4⋅ 2 ⋅ 36 18 12
E X 2 =⋅ 22 + ⋅
1 5 1 5 52 ⋅ 6⋅2 + 72 + + 82 + 9 36 6 36
De manera que la varianza de X es Var(X ) =E X −2 EX( [=
302 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
2
] )− =
2 9+
329 6
1 1 1 1 +102 ⋅ = 112 ⋅ 122 ⋅ 9 12 18 36 72
35 . 6
329 6
4.
De una urna que cont iene 5 bol as blancas y 3 roj as, se extraen 3 bol as sucesivamente sin reemplazamiento. Sea la variable aleatoria Y: “ numero de bolas bl ancas extraída s” . Determina: a) Su función de masa de probabilidad. b) Su media y su varianza. c) La probabilidad de que se extraigan al menos dos bolas blancas. Como lo que interesa es el número de bolas blancas y no el orden en el que se han obtenido, se puede considerar que las bolas se extraen simultáneamente, ya que las bolas no se reemplazan. De esta manera, el número de resultados posibles al extraer tres bolas de la urna es el número de combinaciones de orden 3 (las tres bolas que se extraen) de 8 elementos (las ocho bolas de la urna). Esto es:
=
C 8,3
8
=
3
8⋅7⋅6
= 56
3!
a) La variable Y: “número de bolas blancas extraídas” puede tomar los valores 0, 1, 2, y 3 con probabilidades, que se pueden obtener por la regla de Laplace, en el numerador va el número de resultados favorables en cada caso:
3 3 1 Y P () ==0 = Y P )( 1 == 56
56
5 3 1 2 = Y2()P == 56
15 Y =3 () P 56
== =
5 3 2 1 56
5 3 56
30 56
10 56
De modo que la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria Y se puede resumir en la tabla: 0 1 56
Y P (Y = y )
1 15 56
2 15 28 1 56
3 5 28
15 15 +⋅ = 56 28
5 28
b) La esperanza de la variable aleatoria Y es E [Y ]= ⋅ 0123 +⋅ + ⋅
15 . 8
Para calcular la varianza es preciso obtener antes la esperanza de Y 2 : E Y=2
1 56
⋅ ⋅0123 +2+
15 56
⋅2 + ⋅ = 2
15 28
2
5 28
225 56 2
De manera que la varianza de Y es Var(Y ) =E Y −2 EY = [ −]
c) PY( ≥) 2=P(Y =) (+PY2) = = + = =3
15 28
5 28
20 28
225 = 56
15 8
2
225 . 448
5 7
5 y 6. Ejercici os resueltos .
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
303
7.
Halla en cada caso la prob abilid ad ind icada. a) X Bin n ( p= 5, =PX0,15 )( ) ,
<4
Bin n ( p= 7, =P Y0,65 )( ) ,
≥4
b) Y
a) PX( <) 4=P(X =)+ (PX=0)+ ( P=X +) (1 =PX=)
+2
+
3+
0,4437 = 0,3915 0,1382 0,0244
0,9978
Estas probabilidades pueden obtenerse de la tabla o mediante: 5 5 = =0 ) ⋅0,15=0 0,855 0,4437 , P ( X = =1) ⋅0,15 = 1 0,854 0,3915 0 1 5 y P ( X = =3 ) ⋅0,15=3 0,852 0,0244. 3 b) PY( ≥)44567 =P(Y =) +(PY )= (+ PY)= (+ P)Y= P (X
P (X
5 = =2) ⋅0,15=2 0,853 0,1382 2
Como estas probabilidades no vienen directamente en la tabla, se puede tomar X Bin ( n = 7, p = 0,35 ) PY( PY(
=) 4=(PX )= = 3 =) 7=P ( X )= = 0
0,2679 , PY( =) 5=(P X )= = 2
Luego P (≥Y= 4 ) + 0,2679 + 0,2985 + = 0,1848 0,0490
8.
0,2985 , PY( =) 6=P ( X )= = 1
0,1848 y
0,0490 0,8002
Se sabe que una má quina produce un 10 % de tornill os defectuosos. E n un control de calidad, seleccionan 6 tornill os al azar. Calcula la probabilid ad de que:
se
a) Haya uno defectuoso. b) Al menos haya uno defectuoso. Sea la variable aleatoria X: “número de tornillos defectuosos, entre los 6 seleccionados”. La probabilidad de que un tornillo elegido al azar sea defectuoso es p = 0,1 , de manera que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial X ~ Bin ( n = 6; p = 0,1) .
a) La probabilidad de que, entre los 6, haya uno defectuoso es: P (X
6 = 1) = 0,11 ⋅ 0,95 = 0,3543 1
b) La probabilidad de que al menos una de los 6 tornillos sea defectuoso, se puede calcular como sigue:
)≥ 1= −P (1X ) = = − 0 =10 ,96 0,4686
PX(
Nota: El valor de las probabilidades calculadas puede obtenerse directamente de la tabla de la binomial. 9.
Se lanza cin co veces una moneda trucada de manera que la prob abili dad de que salga cara es el triple de la que salga cruz. Halla la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
C ( p) = 3 Sea PX ( ) p= P⇒
1= p entonces p + 3p= ⇒
Luego sustituyendo se tiene que P(X ) =
1 4.
1 3 y P(C ) = . 4 4
Sea X = número de cruces, sigue una distribución Bin(n = 5; p = 0,25) . Luego la probabilidad pedida es: P ( X <) 3=( PX =) +( 0)P=X(+
) =PX1
2
Estos valores pueden obtenerse directamente de la tabla, luego: P (
+ 0,2373 + 0,3955 = 0,2637 0,8965
304 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
10. Se lanza 9 veces un dado equil ibrado . ¿Cuántas veces hay que lanzar e l dado para obtener al menos un 6 con pro babilidad igual o superior a 0,9 ? Sea la variable aleatoria X: “número de seises que se obtienen al lanzar un dado 9 veces”. La variable X sigue una 1 distribución binomial X ~ Bin n = 9; p = . 6 Si k es el número de veces que hay que lanzar el dado para obtener por lo menos un seis con probabilidad mayor o igual que 0,9, se plantea que: k
P (X
5 ≤ ≥ 1≥) ⇒ 0,9 − 1 ≥ ⇒ 0,9 6
5 6
k
0,1
Tomando logaritmos neperianos la desigualdad se conserva (el logaritmo neperiano es una función creciente):
5≤ ln⇒0,1 (≥ ) 6
k ⋅ ln
k=
ln ( 0,1) 1 2,629 5 ln 6
5 La última desigualdad se debe a que, al “despejar” k, se divide por un número negativo ln = − 0,1823215 , y, por 6 tanto la desigualdad cambia de sentido. De modo que el dado debe lanzarse al menos 13 veces para que se obtenga al menos un seis con probabilidad superior a 0,9.
11. Ejercicio interactivo. 12. Ejercici o resuelto . 13. En un país la tasa de paro es del 26 % de su pob lación act iva. Si se toma una muestra de 50 person as adultas y se les pregunta por su situación laboral, ¿Cuál será el número esperado de desempleados? ¿Y su desviación típica? Si se considera la variable aleatoria X: “número de personas desempleadas, de las 50 seleccionadas”, la variable X sigue una distribución binomial X ~ Bin ( n = 50; p = 0,26 ) . El número esperado de desempleados, entre los 50, es E [X ] =n ⋅p= ⋅ Y la desviación típica es
= ⋅n⋅ −p =(1 p )⋅
⋅ 50 0,26 = 0,74
50 =0,26 13 .
3,1016 .
14. Un fármaco produc e cefaleas e n un 40 % de pacientes que lo toman. D e 7 pacientes con este tratamiento , seleccionados al azar, calcula el número esperado de ellos que sufrirán ese efecto secundario y la probabilidad de que lo sufran: a) Al menos dos. b) Más de 4. Sea Y: “número de personas que sufren efectos secundarios, de los 7 seleccionados”. La variable Y sigue una distribución binomial Y ~ Bin ( n = 7; p = 0,4 ) . El número esperado de pacientes que sufrirá efectos secundarios es E Y [ ] =n ⋅p = ⋅ 7 =0,4
a) PY( ) ≥ 2= −PY (1) < = − (PY)2 =1 −( PY) = =0− b) PY( >)4=P(Y =)+ (PY=5 )+ ( P=Y=) 6 +
2,8 .
− 1 1= 0,0280 0,1306 0,8414
+7 0,0774 = 0,0172 0,0016 0,0962
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
305
15. Una encuesta reciente revela que e n una ciud ad el 35 % de los adul tos apru eba la gestión d el equipo de gobierno municipal, mientras el resto la desaprueba. Si de la población se eligen al azar 8 personas, calcula: a) La probabilidad de que ninguno apruebe la gestión. b) La probabilidad de que la aprueben exactamente 4. c) El número esperado de personas que la aprueba. d) La desviación típica del número de personas que aprueban la gestión. Considera la variable aleatoria X: “número de personas, de las 8 seleccionadas, que aprueba la gestión”. La variable X sigue una distribución binomial X ~ Bin ( n = 8; p = 0,35 ) . 8
a) P ( X = 0 ) = 0,65 = 0,0319
8 b) P ( X = 4 ) = 0,354 ⋅ 0,654 = 0,1875 4 c) Se calcula la esperanza de la variable X y es E [X ] =n p⋅ = ⋅ 8 0,35 = 2,8 . d) En primer lugar se calcula la varianza y luego su raíz cuadrada positiva: ) = ⋅ ⋅p− (=1⋅ VarX( np
= 1,82Var =X )⋅ 8 =0,35⇒0,65
=
( )
1,82
1,34907
16. Ejercici o resuelto . 17. Sea X una variable ale atoria continua cuya fun ción d e densidad es: a) Calcula su esperanza y su varianza.
b) Calcula PX
3 3 2 ; X 2< >P
19
< 10
a) La esperanza de la variable X es: E [X
]=
∫
2
2
3 x4 = −= 7 4 1
3 7
x x dx2= 1
3 16 7 4
1 4
45 28
Para calcular la varianza se debe obtener antes el valor de E X 2 : E X
2
∫
2
2
3
= x 2xdx 2= 1 7
3 x5 = −= 7 5 1
3 32 7 5
1 5
93 35 2
Y la varianza de X es Var( X ) =E X −2 E X =[ − ]
93 35
=
45 28
2
0,07423 .
b) Ambas probabilidades se obtienen calculando el área bajo la función de densidad en cada uno de los dos casos: 2
PX
> =3
2
∫
3 = 19 10 2
P X<<
2
xdx =3
1'5
2
7
∫
1'9
=dx x 1'5
3 = 3 −x = 3 8 3,375 3 7 3 1,5 7 3
3 2 = 7
1,9
3 x 3 3 6,8593 = − 7 3 1,5 7 3
306 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
0,66071 ,375 3
0,49771
3 x 2 si 1 < x2 < 0 en el resto
f (x ) = 7
18. El tiempo de e spera para un viajero en una parada de auto bús es una variable a leatoria con fun ció n de densidad:
1 si0 ≤ x20≤ f ( x ) = 20 0 en el resto Dibuja su gráfica y calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar deba esperar más de 15 minutos. La gráfica de la función de densidad:
La probabilidad de que el usuario elegido al azar espere más de 15 minutos es P ( X> =15 )( − )20= 15
1 20
1 4
19. Utilizando la tabla de la norm al estándar, determin a a o p en cada caso. a) P ( Z ≤1,46) = p
e) P ( −0,57≤ ≤−Z
0,12 = )
b) P ( Z > 2,13) = p
f) P(Z < a) = 0,0026
c) P ( Z ≥−0,78) = p
g) P ( Z ≥ a ) = 0,8345
d) P ( −2,33 ≤ < Z 0,05 = ) p
h) P (a−Z≤a<
p
= ) 0,9676
a) P ( Z ≤1,46 ) = p = 0,92785 b) PZ ( > 2,13 ) =−(PZ1< )
=− 2,13 = 1 0,98341 0,01659
c) PZ( −≥ 0,78 ) =( PZ ≤ )
= 0,78
d) P ( −2,33 ≤ Z<
=0,05 )ZP( <
0,78230
)−ZP( −<0,05)= ( )
− −( ) 2,33 = 0,05 − −1(
=0,12 Z <0,12 − ) =( −) e) P ( −0,57≤Z ≤− )P( <− )ZP−( =−1 0,54776 −− (1 =0,71566 ) 0,16790
−−1 ( ) 0,57
2,33 =
0,12 =
1(
)0,51994 1( 0,99010 ) 0,51004 0,57
)
f) En este caso, el valor de la probabilidad (0,0026) no viene directamente en la tabla ya es menor que 0,5. Ello indica que a < 0 y se procede de la siguiente manera: P Za(
)< =
P Z⇒ 0,0026
g) ZaP ( ) ≥ = ZPa0,8345 ( ⇒) <− =a h) PZ a ( − ≤a ≤ =) ) (
2− =
<1= a
⇒a− = 0,9974 ⇒ =−
⇒−=(0,8345 ) a
= a 1) ⇒ a ( 0,9676
2,8
(⇒) =−0,97 aprox
⇒ = 0,9838
2,8 0,97 aprox
2,14
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
307
20 a 22. Ejercici os resuelto s. 23. Un fabricante de un cie rto tipo de motores asegura que la dura ción de su producto tiene una distribu ción normal de media 10 años de uso con una varianz a de 4. C alcula la probabilidad d e que un m otor elegido al azar du re: a) Más de 12 años. b) Menos de 9 años. c) Entre 10 y 11 años. Si un co merciante compra un lo te de 10 0 motores al fabricante, calcula cuántos mo que duren:
tores puede espera rse
d) Más de 7 años. e) Más de 9 años. Considera la variable aleatoria X: “duración de los motores”. Sabemos que X ~ N (µ= 10; 2= 4
a) PX(
>) 12P=Z
b) PX( ) < 9P=Z
> <
c) P (10 X <
12 − 10 PZ= ( ) >) =(− 2 9 − 12 =( <−) = )(− PZ 2
=1− 1 = 1 1,5=− 1
).
1 0,84130 ,1587
=1,5
1 0,9332
10< −<10 P Z= 11<−<10= ( ) )( 0− 2 2
=0,5
Z
0,0668
− =0,5
0
0,6915 0,50 ,1915
d) Para calcular el número de motores que se espera que duren 7 años, en primer lugar se calcula la probabilidad de que un motor elegido al azar dure más de 7 años: PX(
)> 7P=Z
>
7 − 10 P= Z( > − )=)( 2
=1,5
1,5
0,9332
Por lo que se estima que el 93,32 % de los motores durará más de 7 años. Si un comerciante compra 100 motores, se espera que aproximadamente 93 de ellos duren más de 7 años.
e) PX(
>) 9P=Z
>
9 − 10 PZ= ( >−)P =Z( ))<( =1 2
=
1
1
0,8413
De forma que aproximadamente 84 motores, de los 100, durarán más de 9 años.
24. Una máquina produce tuerca s cuyo diámetro tiene una distrib ución normal de media 5 cm y de sviación típica 2 mm. No se pueden vender las tuercas que se desvíen 3 mm de la media. De un lote de 500 tuercas, ¿Cuántas deben ser descartadas para la vent a? Sea la variable X: “diámetro de las tuercas producidas por la máquina”. Con las medidas expresadas en milímetros, se tiene que X ~ N (µ = 50; =2 ) . Solo son aptas para la venta las tuercas cuyo diámetro esté entre 47 y 53 mm. Por tanto, la probabilidad de que una tuerca elegida al azar sea apta para la venta es: P ( 47 X <
Z 47 < ( < < 1=,5 ) )(( )−)( 1,5−)( = 1,5− − − 50 < P Z 53 = −2− 50 2 = 2 (1,5−)= 1⋅ 2 0,9332 −= 1 0,8664
1,5 = 1,5
1
( 1,5
)
De manera que el 86,64 % de las tuercas producidas son aptas para la venta y se descartarán el 13,36 %. Por tanto, de un lote de 500 tuercas, se descartarán 0,1336 ⋅ 500 = 66,8 es decir aproximadamente 67 tuercas.
308 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
25. A una prueba de a cceso de una uni versid ad se han presentado 2500 aspirant es para 300 plazas. Las calificaciones que han obtenido los aspirantes tienen una distribución normal de media 6,5 y varianza 4. Calcula la no ta de corte para los admitidos.
Considera la variable aleatoria X: “calificación del examen”. Su distribución es X ~ N (µ= 6,5; =2 4
)
Para establecer la nota de corte, se calcula la proporción que representan 300 plazas de 2500 aspirantes: 300 = 0,12 2500
De manera que se debe buscar la calificación a tal que P(X > x) = 0,12 . O de forma equivalente: 1 − PX(
⇒0,12 (PX<) a=
0,88
Tipificando en la última expresión y buscando en las tablas de la normal, se tiene que: 6,5 < a − 6,5= ⇒0,88 =a − ⇒ = 1,175 2 2
PZ
a
8,85
Luego la nota de corte es 8,85 puntos.
26. Un superme rcado ha hecho un estudio sobre el número de productos que escanea n sus cajeras, lle gando a la conclusión de que dicho núm ero, por cajera y minuto, sigue una ley normal de media 33 y desvia ción típic a 4. Si se elige al aza r una cajera, calcula la prob abilid ad de que e scanee en un minu to: a) Más de 35 productos. b) Menos de 31 productos. c) Un número de productos comprendido entre 30 y 34. Se considera la variable X: “número de productos que, por minuto, escanea la cajera”. La variable X sigue una distribución normal X ~ N (µ = 33; =4 ) .
a) PX(
)> 35P=Z
>
35 − 33 PZ = ( >) = )( − 4
b) PX(
<) 31 P= Z
<
31 − 33 PZ= ( ) − ()=− < =(PZ )> 0,5 4
0,5=− 1 = 0,5
1 0,6915
=− 0,5 =1
0,5
34 − 33 30 − 33 c) P ( 30 X <
0,3085
1 0,69150 ,3085
0,25
0,75
27. Ejercicio interactivo. 28 y 29. Ejercici os resueltos. 30. El 40 % de las personas empadronadas en una ciud ad viven en urbani zaciones alejadas de l centro . De una muestr a de 1500 person as, ¿cuál es la prob abilid ad de que menos de 580 vivan en ur banizacion es? Sea la variable aleatoria Y: “número de personas, de las 1500, que viven en urbanizaciones alejadas del centro”. La variable Y sigue una distribución binomial Y ~ Bin ( n = 1500; p = 0,4 ) que puede aproximarse por una variable X con distribución normal de media
(
X ~ N µ= 600; = Y P(
<)(580 P≅ )X
≤
360
)
µ= 1500 ⋅ =0,4 600
y varianza
2
= 1500 ⋅ ⋅ 0,4= 0,6 360 . Esto es
. La probabilidad que se pide es:
P Z 579,5 = ≤
− 600 ZP 579,5 −≤() =− ( = ) 360
=− 1,08 =
1
1,08
18 599
0,1401
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
309
31. En una población , el 45 % de las personas adultas se declara consum idor a de café. Si de la ciudad elegimos una muestra de 250 personas adultas, calcula la probabilidad de que más de la mitad tomen café. Sea la variable Y: “número de consumidores de café, entre los 250”, cuya distribución es binomial Y ~ Bin ( n = 250; p = 0,45 ) que puede aproximarse por una variable X con distribución normal de media
µ= 250 ⋅ 0,45 = 112,5 y varianza
2
= 250 ⋅ 0,45 ⋅ =0,55 61,875 . Esto es X ~ N µ( = 112,5;=
)
61,875 .
La probabilidad que se pide es: Y P(
>)(125 ≅)X P>
P Z =125,5 >
125,5 − 112,5
Z P(
= ) > ()= − =− 61,875
1,65 =
1
1,65
10 ,9505
0,0495
32. El primer examen de una opos ici ón es un test const a de una batería de 100 preguntas cada una de las cuales tiene 5 posibles respuestas de las que solo una es correcta. Si una persona responde al azar, calcula la probabili dad de que acierte al menos 25 preguntas. Sea la variable aleatoria Y: “número de respuestas acertadas de las 10”, que sigue una distribución binomial Y ~ Bin ( n = 100; p = 0,2 ) . Ya que si una persona responde al azar, la probabilidad de acertar una pregunta es p=
1 = 0,2 . 5
La distribución de probabilidad de la variable Y puede aproximarse por la de una variable X con distribución normal de media µ= 100 ⋅ 0,2 = 20 y varianza 2 = 100 ⋅ 0,2 ⋅ =0,8 16 . Esto es X ~ N (µ = 20; =4 ) . La probabilidad que se pide es: P Y(
≥)( 25 P X ≅ )≥
PZ = 24,5 ≥
− 20 PZ= 24,5 ( ≥) 4 () =−
=− 1,13 = 1
Donde Φ (1,13 ) = 0,8708 se ha obtenido de la tabla de la N(0,1)
33. Ejercicio interactivo. 34 a 42. Ejercici os resueltos .
310 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
1,13
1 0,8708
0,1292
EJERCICIOS Variable aleatoria discreta 43. La func ión de masa de prob abili dad de una variable a leatoria discr eta, X, viene dada e n la tabla sigu iente: Xj
-3
0
1
3
pj
0,4
0,3
0,1
0,2
a) Representa gráficamente la distribución. b) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de X. c) Calcula P(1 < X < 2,5) y P( X < 1) . a) La función de masa de probabilidad se puede representar por un diagrama de barras:
b) La esperanza de la variable X es E [ X ]=− ⋅ 3 +0,4⋅ 0+ ⋅0,3+ 10 ⋅ ,1=− 3 0,2
0,5 .
Para calcular la varianza se calcula en primer lugar la esperanza de X 2 : 2 = E X −
2 + ⋅ 0+2 0,3 ⋅ =⋅12 0,1 32 0,2 5,5 ( ⋅+3 ) 0,4
2 E La varianza de X es Var ( X ) =E X − X
La desviación típica de X es =
2 = ( 0,5 ) [= ]− 5,5
Var (=X ) ≅ 5,25
2
5,25 .
2,2913 .
c) Para calcular las probabilidades que se piden, se suman las probabilidades de los valores de X que correspondan en cada caso: P ()1 < X PX( )
< 2,5 = 0
< 1=P(X
porque X no toma ningún ) ( valor en el intervalo 1; 2,5
.
=−) +( PX3) = = + 0= 0,4 0,3 0,7
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
311
44. Sea X una variable ale atoria con func ión de masa de probabilidad
XP x(
= )=
k x
x para
+1
0, =1,2,3
.
a) Calcula el valor de la constante k. b) Representa gráficamente la función de masa. c) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de X. d) Calcula P(0,5 < X < 3,5) . a) La suma de las probabilidades de los valores de la variable debe ser 1, es decir: PX(
=) 0+P( X )= +( PX1)= (+ PX) = 2=
k k+k+k+ =
1
2
3
⇒ 1= k= 12
4
25
3
1
0,48
b) La función de masa de probabilidad de la variable X, se puede recoger en la tabla siguiente: X
0
1
2
3
P(X = x )
0,48
0,24
0,16
0,12
Y el diagrama de barras correspondiente:
c) La esperanza de la variable X es E [ X =] ⋅ 0 0,48 + ⋅ +1 ⋅ 0,24+ ⋅ 2 0,16 = 3 0,12 0,92 . Para calcular la varianza se calcula en primer lugar la esperanza de X 2 : E X=2
0+2 ⋅ 0,48 + 12 ⋅+0,24 = 22 ⋅ 0,16 32 ⋅ 0,12 1,96
La varianza de X es Var ( X ) =E X −2 E X = [ − ]
2
La desviación típica de X es =
≅1,1136 1,0553 .
Var=( X )
1=,96 ( 0,92 )
2
1,1136 .
d) La probabilidad del intervalo (0,5; 3,5) se obtiene sumando las probabilidades de los valores de X incluidos en el mismo:
< P ( 0,5 X
< 3,5 )= P(X =) +(P)X =1( +PX) = = 2 +
312 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
+
=3
0,24 0,16 0,12
0,52
45. La func ión de masa de prob abili dad de una variable a leatoria discr eta X viene dada en la tabla siguient e: Xj
1
2
3
4
5
pj
0,07
a
0,2
b
0,33
Además, P ( X ≤ 4 ) = 0,67 y P ( X ≥ 4 ) = 0,6 . Calcu la: a) Los valores de a y b para completar la tabla. b) Dibuja la gráfica de la función de masa de X. c) Calcula la esperanza y la varianza de X. d) Halla la probabilidad P(2 ≤ X < 5) .
a) PX(4 ≥) 0,6 = ⇒P(X) = ( P 4 +)X
= = 5 0,6
de esta última expresión se obtiene 0,33 b + 0,6 = ⇒ =bPX = =( 4 0,27 )
Mientras que PX( ≤) 4= 0,67 ⇒ P(X) = +(PX )1= ( +PX) (= +2P )X = = obtiene 0,07+ +a + 0,2 =0,27⇒0,67 = XPa = = (
3
.
4 0,67 y de la última expresión, se
2 ) 0,13 .
Entonces, la función de masa de probabilidad de la variable X queda: Xj
pj
1
2
3
0,07 0,13 0,2
4
5
0,27 0,33
b) El diagrama de barras que representa la función de masa de probabilidad es:
c) La esperanza de la variable X es E [ X =] ⋅ 1 0,07 + ⋅ +2 ⋅ 0,13 + ⋅ 3 +0,2 ⋅ 4= 0,27 5 0,33 3,66 . Para calcular la varianza se debe calcular antes: E X 2
= 1+2 ⋅ 0,07 2+2 ⋅ 0,13 + 3+22⋅ 0,2 = 4 ⋅ 0,27 52 ⋅ 0,33 14,96
La varianza es Var ( X ) =E X− 2 E =X
2
– 3,66 2 1,5644 . [ ] =14,96
d) La probabilidad del intervalo [ 2,5 ) se obtiene sumando las probabilidades de los valores de X incluidos en el mismo: P (2 X ≤
< )=5P(X =) +(PX 2=) (+ PX) = =3 + +
=4
0,13 0,2 0,27
0,6
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
313
Variables aleatorias binomiales 46. La variable aleatoria X tiene una distribución
binomial de paráme tros n = 8 y p = 0,6. Calcula:
a) La esperanza y la varianza de X. b) PX( <6 ) yP X ( ≥5 ) c) P(3≤ X < 5) d) P(0< X < 2)
a) La esperanza de X es E [X ] =n ⋅p = ⋅ 8 =0,6 4,8 . Y su varianza es
2
= Var ( X =) ⋅n⋅ p=q⋅ ⋅ 8= 0,6 0,4 1,92 .
b) Se calculan las probabilidades directamente o por medio de la tabla. En este último caso es preciso utilizar la distribución de Y ~ Bin( n = 8,p = 0,4) . Es decir: 2Y(= + ) PY =1= PX(6 <) 1–= P(X 6=) + (PX )= (7+PX) = = 8( 1–PY) =( + )P −=1 (0,2090 + +0,0896 = 0,0168 ) 0,6846
0
≥ =P(X5 =) +(PX6 =) (+ PX)7= (+ PX) =8( = P)Y=( 3+ )PY=( +2) P (=Y + ) 1 P=Y = 0 =0,2787 + + + = 0,2090 0,0896 0,0168 0,5941
5X( ) P
c) De forma similar a la del apartado anterior: P ( 3X ≤ < =)5 P(X=
=) +(4 P=)Y = )+ (PX3= ) =( PY
5+
d) Procediendo como en los apartados anteriores: P (0 < X
< )=2P(X =) =( P)Y 1 = =
7
0,0079
314 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
= 4 0,2322 0,1239 0,3561
Variables aleatorias continuas ≤2 x ≤ . 47. Sea X una variable ale atoria continua con función de densidad f ( X ) = k ( 2 − x ) si0 0 en el resto
{
a) Halla el valor de k y representa gráficamente la función de densidad. b) Calcula P X > . 2 1
c) Calcula la esperanza y la varianza de la variable X. a) Para hallar el valor de k, el área encerrada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas verticales x = 0 y x = 2 , debe ser 1: 2
∫
x2
2
1 = k (−)2 xdx =k x − 2 =k−( ) = ⇒k= k4 2 2 0
1 2
2
0
2 − x si 0 ≤ x2≤ Luego la función de densidad de X es f ( x ) = 2 . 0 en el resto Y su gráfica es:
b) Esta probabilidad se puede calcular gráficamente como el área del triángulo señalado en la figura. P (X
> 0,5 ) =
1,5 ⋅ 0,75 = 0,5625 2
O también por cálculo integral PX()
∫
>() 1=
2
0' 5
2
1 2
− dx x2 =
1 x2 1 =2− )−+ = 4 2 1 0,125 2 2 0,5 2
x (−
0,5625
c) Para calcular la esperanza, se procede del siguiente modo: EX [
]=
∫
2
xf xdx (
)=
x
0
∫
2
2− x 1 −x = −= 2 2 2
dx =
0
x3
2
3 0
1 4 2
8 3
2
1 16 2 3
2 3
Para calcular la varianza debe calcularse antes: EX
2
∫
2
= xf x2dx( =) x 0
2
2− x
∫ dx= 2 2
0
− =
1 2x 3 −= 2 34 2
La varianza es Var ( X ) =E X −2E X =[ − =]
2 3
x4
0
2 3
2
16 4
2 3
2 . 9
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
315
k f (x )= x
si 1 ≤ x ≤ 2 . 0 en el resto
48. Considera una va riable a leatoria continua con función de densidad a) Calcula el valor de la constate k. b) Dibuja la gráfica de la función de densidad. c) Calcula su esperanza y su varianza.
a) El área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas verticales x = 1 y x = 2 debe ser 1: 2
1=
1
∫
k
dx = k xln[ k=
2 =⋅ k⇒ ln1) = ]1 −(ln2
1
ln2
k
ln2
x
b) La función de densidad y su gráfica son:
1 s i 1 ≤ x 2≤ 0 en el resto
f ( x ) = x ln2
c) La esperanza de la variable X es EX ][
=x
∫
2
1
1
1
dx =]=[ x = x ln2 ln2
2 1
1 ln2
1,4427.
Para calcular la varianza debe calculase antes: EX
2
∫
2
=x 1
2
1
dx = x ln2
2
1 x2 1 = 2,1640 −= 2 ln2 2 1 ln2
La varianza es Var ( X ) =E−X
2
E X= −[ ]
2
1 2 2,1640 = 1,44272
0,0826 .
Variables aleatorias con distribución normal 49. Sea una variable aleatoria que sigu e una dis trib uci ón N(0, 1), halla el valo r d e k en cada caso. a) P ( Z ≤ k ) = 0,9846
c) P(Z > k) =0,8413
b) P ( Z ≥ k ) = 0,33
d) P(k−Z
a)
k = ⇒ ( )k =PZ(k ≤ ) =0,9846
2,16
b) PZk0,33 k ( )≥ = 1 ⇒PZ−k( ≤) =0,33⇒ ) ( (PZ k)= k()Z P(k−) = c) ZPk ( >) = 0,8413 ⇒
=) 0,7498
≤ k=
<− =k
k
⇒ 0,67 =
0,8413 ⇒− = ⇒ =− (
d) P (k−
=
k
0,8749 ⇒=
316 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
k 1,15
0,44 1
1
)
(
)
50. Sea una variabl e aleatoria que sigu e una dist ribu ció n norm al N (µ = 3, = 0,8) , halla el valor de a en cada caso. a) P ( X ≤2 a ) =0,5
c) P X > = 0,9991 2
b) P ( X ≥ a1− )0,1056 =
d) P(3 −a X< < a+3 = ) 0,7888
a
En todos los casos, debe tipificarse la variable para poder utilizar la tabla de la normal N(0,1). 2a − 3 = 0,5 ⇒ 0,8
≤
a)XZ2aPP ( ≤ =)
a=−− P 1Z−<3
b) PXa( 1≥− P=Z ) ≥
0,8
>
−3 2 =−PZ < 1 0,8
De donde
a−6
3d) P ( 3aX −<<+a=P
Entonces 2
1,6
a
Entonces 1Z− P <
2a − 3 1,5 0,8 a−4
=1
0,8
0,1056
a−4 a − 4= P< Z =a − 4 ⇒ 0,8944 = ⇒= 1,25 0,8 0,8 0,8
Entonces, resulta
a c) PX > PZ= 2
0 a= ⇒ =
a − 6
= 1,6
a
5.
a−6
1,6
a− Z= Pa −< 6 = a⇒−− 6= 0,0009 ⇒ 0,9991 1,6 1,6
6 0,9991 1,6
= 3,12 ⇒ a = 10,992
)
3 −−a 3 +− 3 <Z< =2 0,8
a −= 1 0,7888 ⇒ 0,8
=
a 3 − 1
0,8
a
0,8
a ⇒ 0,8944 = ⇒=
0,8
a
0,8
1,25
a1
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
317
Síntesis 51. Sea X una variable aleatoria con distribución normal de media 5 y desviación típica 2. Calcula las probabilidades sig uientes. a) P ( X < 3 )
c) P ( −2≤ X− < 4 2)
e) P (1 ≤ X < 9 )
b) P ( X > 2 )
d) P ( 2X ≤ 1)
f) P ( X ≤ 2 | X ≥ 1)
En todos los casos, se tipifica previamente para poder usar las tablas de la normal estándar.
a) PX( )< 3P=Z
<
3−5 PZ =( )<− )=(− 2
b) PX( )> 2P=Z
>
2−5 P=Z( ) > − =)( 2
2≤ − < 4=)P( ) X 2 ≤
=
( 0,5 )−+ 1( ) =1,5
Z 6≤
=2,25 −( )− ( −2,75 ) = −(1 ) Z
=1
=1,5
1,5
1 0,84130 ,1587 0,9332
2−5 6−5 < P =Z( − ≤ < ))()= 1,5 − 2 2
0,6915 −+ =1 0,9332
≤ 12 d) PX( 2 P ≤(1=)(X −)≤ P ) = X− ≤1P≤
e) P (X 1 ≤ )
1= − 1
0,5
1,5
0,6247
= 0,5Z
2,25 ( − +) 1
− 0,5 =
−5 −=Z0,5−− 5 ≤ ≤− 0,5 = 2,75 ) 2 2 1 −0,9878 + =1 0,9970 0,0092
≤P ( ≤0,5 2,75 =−
1≤−<5 P =Z9 −−≤5 < = ( ) ) ( 2 2
−2 = ⋅ 2
2− = 21
2,25
2 0,97725 1 0,9545
f) Se pide una probabilidad condicionada, entonces: PX( P (X
≤ 2=≥| X 1)
≤X ∩ 2112 ≥ P ) X≤ ≤( ≥ 1)
PX =(
) ( ≥ 1)
PX
Calculando numerador y denominador, por separado, resulta: P (X 1≤ PX(
≤P) =2
)≥ 1P=Z
1≤− 5≤ P Z=2−− 5≤ ≤− ( 2 2 > 1PZ−= 5 >− = =2 ( )) ( 2 Z
Luego P ( X ≤ 2| ≥X1=
= 2−) ( −) () )1−(,5 () =
0,044 0,0450 0,9772
) =
318 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
2
0,9772
− 1,5
=
2 −
2 =
1,5
0,9772 0,9332
0,044
52. El tiempo e n minutos t ranscurrido hasta que una persona e s atendida en la sucursal A de un banco sigue una distribución N (µ = 9, = 0,1) , mientras que el tiempo, también en minutos, transcurrido hasta que es atendido en la sucursal B sigue una distribución N (µ= 8,5; = 2 ) . a) Si un cliente tiene que hacer una gestión y solo dispone de 10 minutos, ¿en qué sucursal será más fácil que le hayan atendido en el tiempo que dispone?
b) Un cliente, teniendo en cuenta la proximidad de estas dos sucursales a su casa, elige ir a la sucursal A con probabilidad 0,3, y a la sucursal B, con probabilidad 0,7. Eligiendo una de las visitas al banco de este cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el cliente haya tenido que esperar más de 10 minutos?
Considera las variables X: “tiempo de espera en la sucursal A” e Y: “tiempo de espera en la sucursal B”. La variable X sigue una distribución X ~ N (µ = 9; =0,1 ) y la variable Y Y ~ N (µ= 8,5; = 2 ) .
a) La probabilidad de que sea atendido en la sucursal A, en los 10 minutos de que dispone es: PX(
)≤ 10=PZ ≤
10 − 9 ) =( = 0,1
10
1
Mientras que la probabilidad de que sea atendido en la sucursal B en los 10 minutos disponibles es: PY(
) ≤ 10= PZ ≤
10 − 8,5 =)( = 2
0,75
0,7734
Luego, en los 10 minutos disponibles, es más probable que le hayan atendido en la sucursal A que en la B.
b) Considera los sucesos A = “el cliente elige la sucursal A” y B = “el cliente elige la sucursal B”. Las probabilidades son P ( A ) = 0,3 y P ( B ) = 0,7 . Sea T = “tiempo de espera del cliente hasta ser atendido” (observa que T = X , si elige la sucursal A y T = Y si elige la sucursal B) Si el cliente elige la sucursal A, la probabilidad de que tarden más de 10 minutos en atenderle es: PT(
≥ 10 A)|
=(1P −T ≤) A 10|=−= 1 1 0
Si el cliente elige la sucursal B, la probabilidad de que tarden más de 10 minutos en atenderle es: PT(
B)| =(−PT≤1 ≥ 10
) B =−10|
= 1 0,7734 0,2266
Utilizando el teorema de la probabilidad total: PT(
≥ 10 BP | Y ≥) B = +⋅ ⋅ 10|= )= P()(APX ≥ ) A(+)P( 10
0,3 0 0,7 0,2266
0,15862
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
319
CUESTIONES p 53. Sean las variabl es aleatorias X ~ Bin ( n ; p ) e Y ~Bin 2n , . 2
a) Comprueba que tienen la misma media. b) ¿Cuál de las dos distribuciones tiene los datos menos dispersos respecto a su media?
a) E [X ] =n p⋅
y EY[
p
] =n 2 ⋅ = np⋅ 2
Luego tienen la misma media o esperanza.
b) Para ver cuál de las dos variables tiene los datos menos dispersos, se debe calcular la varianza de ambas variables y compararlas. Se supone que p ≠ 0 y p ≠ 1 . p
Var ()X =np⋅ (⋅ − )p1 Como 1 − < p− 1⇒
p
2
p
1 p 2
y Var (Y ) = n 2 ⋅ ⋅ − 1 p =n ⋅ ⋅ − 2 2 Var<
( X) Var( )
Y
la variable X tiene los valores menos dispersos que l a variable Y.
54. Sea X una variable aleatoria que tiene una distribución continua. ¿Cuál es la media y la varianza de la distribución 2 X? ¿Y la de X + 2 ? Sea f ( x ) la función de densidad de la variable X, entonces, la esperanza de 2 X, es: E [ 2X
]=
+∞
+∞
∫ xf2 x dx( 2)
∫
= xdx 2 E X=
−∞
−∞
[ ]
2 Para la varianza de 2X, se debe calcular antes E ( 2X ) . Pero, teniendo en cuenta que E k g X( )
=X 4 E2X4 = entonces E (X2 ) E 2
2
k=E g( )X
.
Y, por tanto, la varianza de 2X es:
Var ( 2X ) E=( X)2 −E=X 2
2
2
2 ( E2[ X −] ) 4EX = 2EX−E( X=[ 4 ])
(X
2
4Var [ ]
2
)
( )
Luego, la esperanza de 2X es el doble que la esperanza de X y la varianza de 2X es cuatro veces la varianza de X” En cuanto a la esperanza y la varianza de X + 2 , se tiene que EX [ + ]2 E=[X]
320 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
+ 2 y Var ( X +)2 = (Var ) X .
PROBLEMAS 55. Sea X la variable ale atoria que consiste en sumar l as puntuaciones obt enidas al lanza r conj untamente un dado y u na moneda equilibrados. Las puntuaciones q ue se consideran de la moneda son 0 para cara y 1 para cruz. a) Escribe su función de masa de probabilidad y dibuja su gráfica. b) Calcula la probabilidad de que la variable X tome como valor un número primo. c) Calcula la esperanza y la varianza de X. a) En el lanzamiento conjunto de una moneda y un dado, el espacio muestral está formado por los siguientes resultados equiprobables E = {1 C ,2C 3 ,C ,4C 5 ,C ,6C ,1 X X,2 X3 , ,4X X5 , X,6 } y al ser sumados, con C = 0 y X = 1 resulta que la variable aleatoria X: “suma de las puntuaciones del dado y la moneda” toma los valores enteros del 1 al 7, con las probabilidades que se muestran en la tabla siguiente: 1 1 12
X P(X
= x)
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
7 1 12
1 1 1 12 12 6 Su gráfica se puede representar mediante un diagrama de barras:
Donde, por ejemplo PX(
= )2=P( C) P (+2 X) = 1+ =
b) La probabilidad de que la suma sea un número primo (3, 5 o 7), se obtiene sumando las probabilidades de individuales de 3, 5 y 7. XP (
P )P = númeroprimo = )(+P)(+ 3()
1 6
5 == + + 7 =
11 6 12
5 12
c) Para calcular la esperanza y la varianza de la variable X, se construye la tabla siguiente: P (X
X
1 2 3 4 5
6 7
= x)
= x)
xPX (
= x)
x 2P ( X
1 12 1 6 1 6 1 6 1 6 1
1 12 1 3 1 2 2 3 5 6
1 12 2 3 3 2 8 3 25 6
6 1 12
1 7 12
1
4
6 49 12 115 6
7
La esperanza es EX [
]=
xp ∑
j
j
=4.
j =1
7
La varianza es EX
2
∑
=xp
j =1
115 X =EX ( −EX) ar 6
=j V ⇒
2 j
= − =2
2
[ ]
115 4 6
2
19 . 6
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
321
56. De una urna que conti ene 4 bolas verdes y 6 rojas se e xtraen suc esivamente y con reemplazamiento 6 bolas. Ca lcula la pro babilidad de obtener: a) Exactamente 3 bolas verdes. b) Más de 4 bolas verdes. c) Más de 2 pero menos de 5 bolas verdes. Cada extracción puede considerarse como un ensayo de Bernoulli en el que la probabilidad del suceso A = “obtener bola verde” es p ( A ) = 0,4 . Considera la variable aleatoria X: “número de bolas verdes extraídas en los 6 intentos”. La distribución de la variable X es Bin ( n = 6; p = 0,4 ) . Las probabilidades que se piden se pueden obtener directamente de la tabla de la binomial.
a) P ( X = 3 ) = 0,2765 b) PX( >) 4=P( X =) + ( PX5=) =
+ 6 =0,0369 0,0041 0,041
c) P ( 2 X < < =) 5P(X) = + ( P)X= 3=
+ 4 = 0,2765 0,1382 0,4147
57. El encargado de una plantaci ón de chopos asegura que, en este momento, el diámetro de los árboles sigue una distri bución normal de media 20 cm y que el 90 % de e llos tiene un diámetro inferior a 25 cm. a) Calcula la desviación típica de la distribución. b) Calcula la probabilidad de que un árbol elegido al azar tenga más de 22 cm de diámetro. Sea X: “diámetro, en cm, de los árboles de la plantación”. Se sabe que X sigue una distribución N ( µ = 20;σ ) .
a) Como P( X < 25) = 0,9 , entonces, tipificando y buscando en las tablas de la normal: PX (
< 5=)P Z <
25 −=20 ⇒ =0,9 ⇒5=1,282
σ
3,9 cm
σ
b) Con la desviación típica calculada en el apartado anterior: PX(
>
P=Z )> 22
22 − 20 P= Z( >) 3,9
()=−
0,51=− 1
= 0,51
10 ,6950
0,3050
58. Un test e specífi co para determinar el e stado de salud de los trabajador es de una empresa tiene una distrib ución normal de media µ = 100 y desviación típica σ = 8 . El protocolo de la revisión establece que si un trabajador supera los 115 puntos debe ser objeto de una segunda revisión en profundi dad. ¿Cuál es el porcentaje de trabajadores que necesitará una segunda revisión? Sea X: “puntuación del test de salud de los trabajadores”, con distribución N (µ= 100, =
8) .
Para estimar el porcentaje de trabajadores que necesitará una segunda revisión, debe calcularse: P X(
P Z= > >) 115
115 − 100 P Z=8( > ) ( )=−
1,875 =−
1 =
1,875
10 ,9696
0,0304
Luego, se estima que alrededor del 3 % de los trabajadores necesitará una segunda revisión.
322 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
59. La eda d de los tr abajadores de una piscifactoría sigue una distribució desviación típica 8,2 años.
n normal de media 44 años y
Si al 10 % de los trabajadores con más edad se les va a reducir la jornada laboral, ¿cuántos años tiene el menor trabajador afectado por esta medida? Se considera la variable X: “edad de los trabajadores”. Su distribución es X ~ N (µ = 44; = 8,2 ) . Sea a la edad del menor de los trabajadores afectados por la reducción de la jornada laboral, se tiene que P ( X > a ) = 0,1 . Entonces, buscando la función de distribución de X y tipificando: 1 − PX
( )
( )
a − 44
0,9 8,2
Y, de las tablas de la distribución normal estándar, se tiene que
a − 44
8,2
= 1,282 ⇒ a = 54,5 años
60. El 70 % de los habita ntes de una localidad se oponen a que e n su muni cipio se cons truya un cementerio nuclear. a) Si se escoge una muestra de 50 personas, calcula la esperanza y la desviación típica de la variable X: “número de personas que se oponen a la construcción del cementerio nuclear”.
b) Si la muestra es de 100 personas, calcula la probabilidad de que más de 80 se opongan al proyecto. a) Sea la variable aleatoria X: “número de personas, de las 50, que se opone a la construcción del cementerio nuclear”. La variable aleatoria es X ~ Bin ( n = 50; p = 0,7 ) , cuya esperanza y varianza son, respectivamente, E [X
] =n ⋅p = ⋅ 50=0,7 35 y Var ()X =np⋅( ⋅) − p1= ⋅ ⋅50 =0,7 0,3 10,5 .
b) En este caso, la variable Y: “número de personas, de las 100, que se opone a la construcción del cementerio nuclear” tiene una distribución Y ~B in ( n = 100, p = 0,7 ) . Como E [Y ] = 100 ⋅ 0,7 = 70 y Var (Y =) 100 ⋅ ⋅ = 0,7 0,3
21 :
La distribución de Y se puede aproximar por una variable T ~ N (µ= 70; 2= 21
).
Entonces, aproximado por la normal y tipificando: P Y(
>)( 80 P T )
> =PZ 80,5 >
80,5 − 70 (PZ = ) > =( ) − 21
=− 2,29 = 1
2,29
1 0,9890
0,0109
61. Una fábrica de azúcar envasa el producto en paquete s de un kilo. En un control de calidad se han pesado, con una báscula de precisión, 100 paquetes y se ha obtenido que la media es 1000,8 g con una desviación típica de 16,18 g. Suponiendo que la cantidad de azúcar envasada sigue una distribución normal, y que no son admisibles paquetes con menos de 980 g o más de 1020 g, calcula el porcentaje de paquetes que deben ser desechados. Sea la variable aleatoria X: “cantidad envasada en cada paquete, en gramos”. Su distribución es = 16,18) . Nµ (= 1000,8; Se calcula la probabilidad de que un paquete elegido al azar sea aceptado; es decir, que su peso esté comprendido entre 980 y 1020 gramos:
− 1000,8 980<−< 1000,8P z =1020 ( ) − << = 16,18 16,18 + =1 0,9015 0,7845 (1,19 )−+ 1( ) =1,29 −0,8830
P ( 980 X ) <
=
Z
1,29
1,19
De manera que el 78,45 % de los paquetes serán aceptados y, por tanto 21,55 % serán desechados.
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
323
62. Antes de poner a la venta un nuevo fármaco, se realizan cuatro contr oles de calid ad independientes. En cada control, si el fármaco es defectuoso se detecta en el 95 % de los casos. Calcula la probabilidad de que un fármaco en mala s condi ciones: a) Sea detectado en uno solo de los cuatro controles. b) Se detecte en al menos dos de los controles. c) No sea puesto a la venta. Se considera la variable X: “número de controles, de los 4, en los que se detecta que el fármaco está en malas condiciones”. La distribución es X ~ Bin ( n = 4; p =0,95 ) . Las probabilidades se obtienen de la tabla de la Y ~ Bin ( n = 4; p =0,05
).
a) P X ( =) 1=(PY )= = 3 0,0005 b) PX( 2 ≥) =P(≤Y) 2= (PY= ) + ( 0P=Y)+ ( =P)Y=1
+
2 + 0,8145 = 0,1715 0,0135 0,9995
c) El fármaco será puesto a la venta solo si en ninguno de los controles se detecta que está en malas condiciones. Esto es, si X = 0 . De esta manera: PX (
=)0=P( Y )= = 4 0
De modo que con este sistema de control, un fármaco en malas condiciones no será puesto a la venta.
63. Un tribun al debe califi car a los 700 aspirant es para cubr ir 25 vacantes en un organi smo ofi cial. Si las calificaciones son de 0 a 10 y su distribución es normal de media µ = 5,7 puntos y desviación típica puntos, se pide: a) ¿Cuántos opositores han obtenido puntuación superior o igual a 5 puntos? b) ¿Cuál es la nota de corte para ser seleccionado?
Sea la variable aleatoria X: “calificación de las pruebas”. Se tiene que X ~ N (µ= 5,7; = 1,5) . Entonces: a) Se calcula la probabilidad de que un opositor elegido al azar obtenga calificación igual o superior a 5: PX(
) ≥ 5P=Z
≥
5 − 5,7 P =Z( −≥ ) ( )= 1,5
0,47 =
0,47
0,6808
Esto es, el 68,08 % de los opositores ha obtenido puntuación superior o igual 5 y, por tanto, 700 ⋅ 0,6808 = 476,56 , es decir unos 477 opositores han obtenido nota superior o igual a 5.
b) Para obtener la nota de corte, que llamamos c, debe tenerse en cuenta que 675 opositores no obtendrán plaza, lo que supone el 96,43 % de los 700 aspirantes. Luego debe plantearse:
<= ) c X P (Z P
0,9643 ⇒ <
=
c − 5,7
⇒ c=0,9643 ⇒=
1,5
324 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
c − 5,7
1,5
1,802
8,403
= 1,5
64. Si un dado equilib rado se lanza 600 veces, calcul a la probabili dad de obtener: a) Al menos 350 veces un número par. b) Más de 120 veces un 6 (máxima puntuación). a) Sea la variable X: “Número de veces, de las 600, que se obtiene número par”. X ~B in ( n = 600; p = 0,5 ) , que dado que n es suficientemente grande, se puede aproximar por W ~ N µ (=
µ= E [=X ] ⋅ 600 = 0,5 300 y
300, =2 150 ) , ya que:
= Var ( X= ) ⋅600 ⋅ =0,5 0,5 150
2
De forma que, aproximando por la normal y tipificando: P X(
P ) ≥ ≥)(350 ≅W
P Z =349,5 ≥
349,5 − 300 P = )≥ 150 () =− (Z
=−=4,041
4,041
1 0
1 b) Se considera Y: “Número de veces, de las 600, que se obtiene un 6”. Y ~ Bin n = 600; p = . 6 Cuya esperanza y varianza son E [Y ] =6
1 1 5 500 00 83,33 ⋅ = 100y Var (Y =)600⋅ ⋅ = = 6 6 6 6
.
Luego, la distribución de la variable Y se puede aproximar por la de variable V ~ N (µ= 100; =2 83,33 ) . Y, entonces: Y P(
>)( 120 ≅VP ) ≥
≥ P Z =120,5
120,5 − 100 ( ZP =) (≥ =− 83,33
=−
2,25 =
2,25 ) 10 ,9878
1
0,0122
65. La puntuación de un test homologado para determinar el cociente intelectual tie ne una distribu ción normal de media µ = 110 puntos y desviación típica
= 18. Si se elige una persona al azar para realizar el test,
calcula: a) La probabilidad de que obtenga una puntuación inferior a 100. b) La probabilidad de que supere los 130 puntos si se sabe que en un test anterior superó los 115 puntos. Sea X: “puntuación en el test” la variable aleatoria cuya distribución es N (µ= 110, =
18) .
a) La probabilidad de que una persona elegida al azar no llegue a los 100 puntos es: P X(
<)100 P Z=
<
100 − 110 < ) ( =) − ( ) 0,56 =− P Z =( − 18
=−0,56 =1
0,56
10 ,7123
0,2877
b) En este caso, se trata de calcular la probabilidad condicionada siguiente: P (X
> 130 | 115 >= X
)
P X(
> 130 ∩X> 115) P X > = = = P X ( > 115 ) X P
( (
130)
> 115)
0,1335 0,3426 0,3897
donde: P X(
>) 130 =PZ
>
130 − 110 P Z =( > =) )( − 18
=− 1,11
P X(
>) 115 = PZ >
115P >) ()=− Z=−(110 18
0,28 =−
1 = 1,11 1=
0,28
10 ,8665
10 ,6103
0,1335
0,3897
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
325
66. Según los datos del organismo co rrespondiente, e l 80 % de los incendios q ue se producen en la é poca de calor son provocados. Si este verano se han producido 150 incendios en u na dete rminada región, calcula la probabilidad de que: a) Más de 100 hayan sido provocados. b) Como mucho 30 hayan sido accidentales. c) El número de incendios provocados supere el 80 % del total de incendios. Se considera la variable aleatoria X: “número de incendios provocados, de los 150 producidos”. X sigue una distribución binomial Bin ( n = 150, p =0,8 ) . La esperanza y la varianza de X son E [ X ] = 150 ⋅ 0,8 = 120 y aproximar por la distribución de una variable Y ~ N (µ= 120; =2 24
2
= Var ( X=)⋅ 150 ⋅ =0,8 0,2 24 que se puede
) . Entonces:
a) La probabilidad de que más de 100 incendios sea provocados es: P X(
>)(100 ≅)YP
≥
≥ P Z=100,5
100,5 − 120 P( = ) −≥=() Z = 24
3,98
3,981
b) Que como mucho 30 sean accidentales equivale a que al menos 120 sean intencionados. X P(
≥)(120 ≅Y)P
≥
P Z =119,5 ≥
119,5 − 120
Z P( )=
−≥(=)
24
=
0,10
0,10
0,5398
c) En este caso se pide que el número de incendios provocados supere el 80 % del total de incendios, es decir, supero los 120 incendios. P X(
>)120 (≅YP ) ≥
P Z =120,5 ≥
120,5 − 120 P( = ) ≥) ( =− Z 24
326 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
=−
0,1 =
1
0,1
1 0,5398
0,4602
67. En un centro e ducativo, a pe sar de los controles rigurosos por algún tipo de virus informático.
, un 12 % de los ordenadore s resulta infectado
a) Si en un aula hay 10 ordenadores, calcula la probabilidad de que más de un ordenador tenga virus. b) Si se quiere que la probabilidad de que haya, como máximo, dos ordenadores infectados sea al menos 0,7 ¿cuál tiene que ser el número máximo de ordenadores en el aula?
c) Si en todo el centro el número de ordenadores es 150, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos el 10 % de ellos tenga virus?
a) Sea X: “número de ordenadores infectados, de los 10”. La variable X ~ Bin ( n =10; p =0,12 ) , entonces: PX(
>) 1=−PX (1 ≤) =− (P1X ) = +1( P(X)= =− 0
+
1 )= 1 ( 0,2785 0,3798 )
0,3417
donde: P (X
= 0 ) = 0,8810 = 0,2785 y
P (X
10 ==1) ⋅0,12 = 0,88 9 0,3798 1
b) En este caso, se trata de calcular el mayor valor de n, en la distribución binomial para que P ( X ≤2 ) ≥0,7 Para ello se necesitan las probabilidades: P (X
= 0 ) = 0,88n ,
P (X
De modo que P ( X =≤ ⋅2+)
= 1=) ⋅ n 0,12 ⋅ 0,88n −1 y 0,88n
P (X
n 0,120⋅ ,88⋅ n −1 +
= 2) =
n ( n − 1)
n ( n − 1)
2
2 0,120,88
2
2 0,12 0,88
n −2
n−2
Se construye la tabla siguiente, con las probabilidades necesarias para obtener P ( X ≤ 2 ) : n
P(X = 0)
P(X = 1)
P(X = 2)
P ( X ≤ 2)
14 15
0,16702 0,14697
0,31885 0,30063
0,28262 0,28696
0,76848 0,73457
16
0,12934
0,28219
0,28860
0,70013
17
0,11382
0,26385
0,28783
0,66550
18
0,10016
0,24584
0,28496
0,63096
Es decir, como máximo debe haber 16 ordenadores en el aula.
c) Ahora la variable Y: “número de ordenadores infectados, de los 150” es Y ~ Bin ( n = 150; p =0,12 ) . La esperanza y la varianza de Y son E [Y ] = 150 ⋅ 0,12 = 18 y Var ( X=) ⋅ 150⋅ 0,12 = 0,88 15,84 . De modo que la distribución de Y se puede aproximar por la de la variable ~T
N (µ18; =
2 15,84 =
) . Entonces,
como el 10 % de 150 es 15, se tiene que: Y( P
T≅ ) ≥ PZ=14,5≥ P ≥) (15
14,5 − 18 PZ( = −≥) ( ) = 15,84
=
0,88
0,88
0,8106
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
327
68. Un sistema e léctrico está formado por 6 componentes independiente cualquiera de los componentes es 0,15. Calcula la probabilidad de que:
s. La probabilidad de que
falle uno
a) Fallen al menos dos componentes. b) Fallen al menos dos componentes si se sabe que ya ha fallado al menos uno. c) Ningún componente falle. Sea la variable aleatoria X: “número de componentes que fallan de las 6”. La distribución de X es Bin ( n = 6; p =0,15 ) . Las probabilidades pueden obtenerse de la tabla de la binomial:
a) PX(
≥)=2 PX (1–< )
+( PX (P2X =)=1– (=) =
0 +
= 1 ) 1– ( 0,3771 0,3993 ) 0,2236
b) En este caso se trata de una probabilidad condicionada: PX( ≥∩2 X≥ P 1X 2 ) 0,2236 ) ≥ ( P (X 1| ≥ 2=≥ X = = = 0,3590 ) PX( ≥ 1) PX ( ≥ 1) 0,6229 donde PX( ) ≥ =1 P 1X–<= (
(P1)X)=1=–
=0 1 – 0,3771 0,6229
c) En este caso P ( X = 0 ) =0,3771
69. El tiempo que dura el proceso de montaje final de un artí culo es una variable aleatoria con distri bución normal N(µ, ). Si el 30 % de los artículos se monta en menos de 2 horasely5en % se tarda más de 2 horas y media, ca lcula: a) La media y la varianza de la distribución. b) El porcentaje de artículos que se monta en menos de una hora y media. Sea la variable aleatoria X: “duración del proceso del montaje del artículo, en horas”. Se tiene que X ~N ( µ,σ ) , ambos parámetros desconocidos. Se sabe que P(X < 2) = 0,3 y P(X > 2,5) = 0,05 .
a) Tipificando la variable y aproximando con las tablas de la N ( 0,1) , se tiene: P X(
− µ2 −= − µ 2 < 2=) ⇒ 0,3 PZ < = ⇒ 0,3 σ σ
X P(
> 2,5 = ) ⇒0,05 P Z>
µ2,5 = −⇒ σ
0,525
= 0,05− µ 2,5 σ
1,645
Que conduce a resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente:
µ− 0,525 = 2 µ+ 1,645 = 2,5 Cuya solución es µ = 2,121 y σ = 0,2304 .
b) La probabilidad de que un artículo elegido al azar se monte en menos de una hora y media es: P X(
Z= )< 1P,5
<
1,5 − 2,121 P Z (= −< ) ) (=− 0,2304
2,6953 =− =1
2,7
10 ,9965
0,0035
Luego el porcentaje estimado de artículos que se monta en menos de una hora y media es del 0,35 %.
328 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
70. En la segund a vuelta de las elecci ones presidenci ales, el candid ato A obtuvo el 52 % de los voto s emitidos. El resto votó a otro candidato o lo hizo en blanco. Si de la población que ha pa rticipado en la votación s e eligen al azar 2000 personas, calcula la probabilidad de que entre estos: a) Más del 60 % haya votado al candidato A. b) Menos de la mitad haya votado al candidato A. c) Más del 60 % haya votado al candidato A si se sabe que por lo menos la mitad le votó. Sea la variable aleatoria X: “número de personas, de las 2000, que han votado al candidato A”. La distribución de X es Bin ( n = 2000; p = 0,52 ) . La esperanza y la varianza de X son E [ X ] = 2000 ⋅ 0,52 = 1040 y
2
= 2000 ⋅ ⋅0,52= 0,48 499,2 .
De modo que, dado el elevado tamaño de la muestra, la distribución de X puede aproximarse por la distribución de la variable W ~ N ( µ = 1040; σ 2 =499,2 ) .
a) XP (
> 1200 P≅ )≥ )( W
Z P 1200,5 =≥
b) X P(
< 1000 )( W )P ≅
Z P =999,5 <
<
ZP(
Z P(
1200,5 − 1040
=) ()≥
499,2
=−
999,5 − 1040
= )< −)( =− =− 499,2
=−=
7,18
=1,81
1
1
7,18
1,81
1 1 0
10 ,9649
0,0351
c) La probabilidad de que al menos la mitad de las 2000 personas haya votado al candidato A es: P (X
P( X > 1200) = P ( X ≥ 1000 )
> 1200 | ≥ 1000 X=
) =
0 0 0,9649
donde PX( ≥1000=−)P X1 < ( =−1000)= 1 0,0351 0,9649
71. La producción de trigo po r hectáre a (ha) de terre no en una comarca sigue una distribució n N(µ, ). Los datos histó ricos i ndican que solo en el 1 0 % de los años la producció n supera los 400 0 kg/ha , mientras que en el 60 % de los año s queda por debajo de los 3200 kg/ha. a) Calcula la media y la desviación típica de la distribución. b) Calcula la probabilidad de que la producción supere los 3500 kg/ha en un año elegido al azar. Se considera la variable aleatoria X: “producción de trigo por hectárea” en la comarca. La variable X sigue una distribución N (µ,σ 2 ) . Se sabe que P ( X > 4000 ) = 0,1 y que P ( X < 3200 ) = 0,6 .
a) Con la información disponible se tiene que: X P(
> =4000 )⇒ 0,1 Z P>
−4000 µ = ⇒ σ
− µ 4000 = 0,1 σ
X P(
< 3200 = )⇒ 0,6 Z P<
−3200 µ = ⇒ σ
= 0,6 − µ 3200 σ
1,281
0,253
El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas queda:
µ+ 1,281 = 4000 µ+ 0,253 = 3200 Cuya solución es µ = 3003,11y σ= 778,21 kilogramos por hectárea.
b) Con los parámetros calculados en el apartado a, se tiene que: XP (
>)3500 ZP =
>
3500 − 3003,11 ZP =( >) )( =− 778,21
=− 0,64= 1
0,64
1 0,7389
0,2611
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
329
72. Una empresa fabrica minas de grafito para portaminas cuya longitud sigue una distribución N(µ = 30, σ = 0,5) en milímetros. Solo se aceptan las minas si su largo está entre 29 y 31 mm. Si un control de calidad selecc iona al azar 1 000 min as, calcula la prob abilid ad de que sea n aceptadas más de 95 0 minas. La variable aleatoria X: “longitud de las minas de grafito” tiene una distribución N (µ = 30; = 0,5) , en mm. Elegida al azar una mina de grafito, la probabilidad de que sea aceptada es: P ( 29 X≤ ≤ )P= 31
31 − 30 29≤− 30 ≤ P Z =( −) ≤ ≤)( = 0,5 0,5
−2= ⋅
Z
2−= 221
2 0,9772 1 0,9544
Considera, ahora, la variable Y: “número de minas, de las 1000, que son aceptadas”. La variable Y tiene una distribución Bin ( n = 1000; p = 0,9544 ) , y, dado el tamaño de la muestra, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal, aunque el valor de la p sea grande. La variable T ~ N =µ( ⋅ 1000= 0,9544 = Y P(
>)(950 TP≅ ) ≥
≥ Z =950,5 P
954,4; ⋅ ⋅
2
1000 = 0,9544 0,0456
950,5 − 954,4
Z P( = )
−≥() =
43,52
=
43,52 ) . Entonces:
0,59
0,59
0,7224
PARA PROFUNDIZAR 73. En España la distrib ución de la población según su grupo sanguíne Tipo O A B AB
Rh +
Rh -
36 % 34 % 8% 2,5 %
9% 8% 2% 0,5 %
El grupo A- solo puede recibir sangre de personas con lo a personas de los grup os AB+, AB-, A+ y A- .
o se re coge en la tabla:
s grupo s O- y A-, mie ntras que puede ser donante
Un enfe rmo co n el grupo sanguíneo A- pre cisa sangre para transfusión. a) En el hospital se presentan 10 voluntarios aleatorios. Calcula la probabilidad de que al menos uno de los donantes sea compatible con el enfermo.
b) ¿Y si se presentan 50 voluntarios? La probabilidad de que un donante elegido al azar, entre todos los posibles donantes, sea compatible para donar sangre al enfermo con grupo A- es P O ( ) −+P( A)−= + 0,09= 0,08 0,17 .
a) Si se presentan 10 voluntarios (elegidos al azar), sea la variable aleatoria X: “número de personas, entre las 10, que pueden donar sangre al enfermo”. La variable X ~ Bin ( n = 10; p = 0,17 ) , luego: PX(
)≥ 1= −P (1X )= = − 0
1= 0,1552
0,8448
Donde P ( X = 0 ) = 0,8310 = 0,1552
b) En el caso de presentarse 50 voluntarios (al azar), se considera la variable Y: “número de personas, de las 50, que pueden donar sangre al enfermo”. La variable Y ~ Bin ( n = 50; p = 0,17 ) . Para calcular la probabilidad P (Y ≥ 1) se puede proceder de dos formas: 1.ª Forma. Directamente con la binomial: PY(
≥) 1=− P (1Y=) =−
0
1 0,00005993 =
0,99994007
Donde P (Y = 0 ) = 0,8350 = 0,00005993 2.ª Forma. Aproximando por una normal T ~ Nµ=( ⋅ P Y(
) ≥( PT1≅ ) ≥ = PZ 0,5≥
0,5 − 8,5 (Z= −≥) ( ) = P 7,055
330 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
=
50=0,17 =8,5; ⋅ 3,01
3,010
2
⋅ 50=0,17 0,83 7,055 ) ,9987
74. En una población el nivel de colesterol total en sangre sigue una distribuci ón normal de media µ = 180 mg/dL y varianza σ 2 = 225 . Se considera que los valores del nivel de colesterol mayores de 200 mg/dL son perjudiciales para la salud y que deben corregirse mediante un tratamiento. a) Elegidas 200 personas al azar, ¿cuál es el número esperado de ellas que necesitarán tratamiento? b) Elegida una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su nivel de colesterol sea inferior a 170 mg/dL, si se sabe que no precisa tratamiento?
c) Si la varianza se mantiene en su actual valor, calcula qué valor medio debe tener el nivel de colesterol para que solo el 5 % de la población deba seguir tratamiento médico.
Sea la variable X: “nivel de colesterol en sangre”, cuya distribución es N (µ= 180; =2
225 ) .
a) La probabilidad de que una persona elegida al azar en esta población deba ponerse en tratamiento es: P X(
>
>) 200 P Z=
200 − 180 P Z =(>
225
) )( =−
=1−,33
=1
1,33
10 ,9082
0,0918
Se considera la variable Y: “número de personas, de las 200, que deben iniciar tratamiento”, que tiene una distribución Bin ( n = 200; p = 0,0918 ) . Entonces: El número esperado de las 200 personas que deben ponerse en tratamiento es E [Y ] = 200 ⋅ 0,0918 = 18,36 Aproximadamente 18 personas deben ponerse en tratamiento médico. P (X
b) P(X < 170<| X= 200) =
P( X
X P(
< 170) P Z=
<
< 170) = < 200)
170 − 180 ZP = < − 15
0,2514 0,9082
=−(
0,2768
0,67) 1 =
(0,67)
0,2514
c) Si la varianza sigue siendo σ 2 = 225 ; y el límite para iniciar tratamiento es de 200 mg/dL, el nivel medio de colesterol µ de la población debería ser:
−µ ZP > 200
225 =
Z P< 0,05 ⇒
−µ = 200 ⇒ 225
−µ =0,95=⇒ µ 200 225
1,645
175,325 mg/dL
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
331
75. En una central de produc ción l echera se sospecha que la máquin a envasadora de las botellas de 1 ,2 L se ha desconfigurado y, po r ese motivo, se lleva a cabo un control de calidad en el que se comprueba que la cantid ad media de las botellas analizadas es de 11 80 mL, con una desviaci ón típi ca de 8 mL. Las especificaciones de calidad señalan que solo serán admitidas para la venta botellas que contengan entre 1185mL y 1215 mL. a) Calcula el porcentaje de botellas no admisibles que está produciendo la máquina envasadora. b) Si la máquina envasadora se ajusta a una media de 1200 mL y se mantiene la desviación típica en 8 mL, ¿cuál es el porcentaje de botellas listas para su distribución?
c) Si la media se ajusta a 1200 mL, ¿cuál debería ser la desviación típica para que el 98 % de las botellas fuera admisible?
X: “volumen de llenado de las botellas de 1,2 litros” tiene una distribución de La variable aleatoria 8) . N (µ= 1180;=
a) La probabilidad de que una botella elegida al azar sea admisible es: P (1185 X ) << P
=
− 1180 1215 − 1180 1185 << 8 P ( Z=) << 8= 1 = 0,7357 0,2643
=1215
( 4,38 ) ( −)
0,63
Z
0,63 =−
4,38
De modo que la probabilidad de que una botella elegida al azar no sea admisible es 0,7357. Es decir, el 73,57 % de las botellas no es admisible y, en consecuencia se confirma la sospecha de que la máquina envasadora se ha desconfigurado.
b) Ahora, la distribución de X es N (µ= 1200;=
8) , de manera que la probabilidad de que una botella elegida al
azar sea admisible es:
− 1200 1215 − 1200 1185 << P( Z)= − << = 8 8
P (1185 X ) <
1,88
Z
1,88
= 2 (1,88−)= ⋅1 2 0,9699 −= 1 0,9399 Y, en consecuencia, el 94 % de las botellas es admisible para su distribución.
c) En este caso, la distribución de X es N (µ = 1200;σ ) , con σ desconocida y para que una botella elegida al azar sea admisible con probabilidad 0,98 debe ser: P (1185 X <
Luego
1185<<− 1200 P Z
1215 = ) Z
15 = 1,98 = σ 2
0,99 ⇒=
15
σ
1215 −1200
=
⇒ =2,33
<< =
−= −15
15
2
15
1 0,98
6,44
Es decir, una vez reconfigurada la máquina de envasar, para incrementar el porcentaje de botellas con nivel admisible es necesario reducir la variabilidad del proceso de embotellado.
AUTOEVALUACIÓN
Comprueba qué has aprendido 1.
Si X es una variable aleatoria de media 15 y varianza 3,75 con una distribución
Bin ( n, p ) , calcula los
valores de n y p . La media y la varianza de la distribución binomial son, respectivamente, E [ X ] = 15 y Var ( X ) = 3,75 . Entonces, se plantea el sistema de ecuaciones: n ⋅ p = 15 n⋅p⋅1−( p=) 3,7515⇒1
p ) ⇒ = 0,75 p (− =3,75
De la primera ecuación se tiene que n ⋅ 0,75= ⇒15 = n 20 .
332 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
2.
En una comuni dad de vecino s, el 60 % de las veces que un vecino llega a su portal no encuentra el ascensor en la planta baja. S i se eligen 7 vecino s al azar, calcul a la probabil idad de que: a) Exactamente 2 encuentren el ascensor en la planta baja. b) Por lo menos 3 encuentren el ascensor en la planta baja. Sea la variable aleatoria X: “número de vecinos, de los 7 elegidos, que se encuentra el ascensor en la planta baja”. La distribución de X es Bin ( n = 7; p =0,4 ) . Las probabilidades se pueden calcular o buscar directamente en la tabla de la binomial.
a) La probabilidad de que exactamente 2 vecinos encuentre el ascensor es: P (X
7 = 2 ) = 0,42 0,6 ⋅ 5 =0,2613
2
b) La probabilidad de que por lo menos 3 encuentren el ascensor es: PX( )
≥ 3=− P(1X) < =− (P3X = 1)− ( P=X) −( 0 P)=X =−
1−
− 2
10 = ,0280 0,1306 0,2613
0,5801
Donde P ( X = 2 ) se ha calculado en el apartado a y P ( X = 0 ) , P ( X = 1) vienen dados por: P (X
3.
7 = 0 ) = 0,67 = 0,0280 , P ( X = 1=) ⋅ 0,4 =0,6 1
6
0,1306
Una variable aleatoria X toma los va lores −2, −1, 1, 3 y 5 con probabilidades respectivas 0,15; 0,25; 0,2; 0,3 y 0,1. a) Representa gráficamente la distribución de probabilidad. b) Calcula la esperanza y la varianza de X. c) Halla P(−1 ≤ X < 4) . a) El diagrama de barras que representa la función de masa de probabilidad es:
b) La esperanza de X es E [ X=− − ⋅ 1 0,25 + ⋅ +1 ⋅0,2+ ⋅3 0,3 = 5 0,1 1,05 ] 2⋅ 0,15
.
Para la obtener la varianza se debe calcular antes: E X−=2
2
2
2 2 2 ⋅ ( )+ 1 +0,25 ⋅ +1 0,2 =⋅ 3 0,3 ⋅ 5 0,1 ⋅ 6,25 ( 2) −+ 0,15
La varianza es Var( X ) =E X− 2 E = X [
c) P(1 − ≤X< = 4) X=P( −+ P X=1)+ P X ( = =1)
2 = –1,1025 5,1475 ] 6,25
+( + 3)= 0,25 0,2 0,3 0,75
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
333
4.
Sea X una variable ale atoria con f unción de densidad: f ( x )=
k x + 1) si 0 ≤ x4 ≤ 0 en el resto
{(
a) Calcula el valor de k y dibuja la gráfica de f(x). b) Calcula la esperanza y la varianza de X. c) Halla la probabilidad de que la variable tome un valor superior a 2 sabiendo que ha tomado un valor comprendido entre 1 y 3.
a) Para calcular k se procede imponiendo que el área de la región limitada por la curva, el eje OX y las rectas verticales x = 0 y x = 4 sea 1. Es decir: 4
1=
4
2 +x =xk (+) = ⇒ k=8k 4 2 0
∫ kx(+) dx1=k 0
1 12
12
Y su gráfica:
b) La esperanza de X se obtiene de la siguiente manera: EX [
]=
4
1 x3 + = 12 3
1
∫ 12xx +( dx= 1) 0
x2
4
22 9
2 0
Para calcular la varianza se calcula primero E X 2 : EX
2
=
4
1
∫ x12x d+( x= 1) 2
0
1 x4 + = 12 4
x3
4
64 9
3 0
La varianza de X es Var ( X ) =E X −2E X =[ − ]
c) P(2X< < = 3)
3
) −x =
1
1 x2 ) −x = = 12 2
2
P(1X<
< = 3)
3
∫x+ 12dx =(1 1
P( X
> 2 <| 1< =X
1 x2 −= 12 2
1
∫x+1dx=12 (
3)
P(2 < X < 3) == P(1 < X < 3)
1 8 1 6
334 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
2
64 9
=
3
1 3 012 2 2 3
1 3 4
2 12
1 6
22 9
2
1 8
92 . 81
5.
La dura ción media de una de terminada marca de electrodomésticos es de 10 años con una desviación típica de 0,7 años. Suponiendo que la duración sigue una distribución normal, calcula la probabilidad de que uno de tales ele ctrodoméstico s elegido al azar dure: a) Más de 9 años. b) Entre 9 y 11 años. La variable aleatoria X: “vida de un electrodoméstico en años” tiene una distribución normal N (µ = 10; = 0,7) .
a) PX( ) > 9P =Z
9 − 10 =Z( −> ) ()= P 0,7
>
1=,43
1,43
0,9236
111 − 0 9 − 10 b) P (X9 ≤ )≤P =11 Z ≤0,7 ≤ P Z =( −0,7 ≤ ≤ ) )( = 1,43 −= ⋅ 1,43−= 2
6.
1,43
12
0,923610
,8472
Las calificaciones obtenidas por los estudiante s para accede r a una facultad siguen una distrib ución es el porcentaje de estudiantes que no N (µ= 9,8; = 1,5 ) . Si la nota de corte se estableció en 11,5, ¿cuál pudo acceder a la facultad ese año? La variable aleatoria X: “calificaciones de los estudiantes” tiene una distribución N (µ= 9,8, = 1,5) . Si la nota de corte quedó en 11,5, entonces la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no haya superado el corte es: P X(
11,5 − 9,8 =(P Z) < = 1,5
P =Z < )< 11,5
1,13
0,8708
Esto es, el 87,08 % de los estudiantes presentados no superó el corte establecido.
7.
En una población la estatura de los bebé s al nacer sigue una distribu ción más de 52 cm al nacer y el 80 % mide menos d e 48 cm.
N(µ,σ) . El 5 % de los bebés mid e
a) Calcula la media y la desviación típica. b) Halla la probabilidad de que la estatura de un recién nacido esté comprendida entre 49,5 cm y 51 cm. La variable X: “estatura de los bebés al nacer” tiene una distribución N ( µ,σ ) , ambos parámetros desconocidos.
a) Las condiciones se plantean en forma de ecuaciones, de la siguiente manera. El 5 % de los bebés mide más de 52 cm al nacer, se traduce en que: XP (
> 52 =) ⇒ Z0,05 P >
52 = ⇒ ZP− µ< 0,05 σ = ⇒
−52 µ = σ
− µ 52 σ
0,95
1,645
El 80 % de los bebés mide menos de 48 cm al nacer, significa que: P X(
< 48= ) ⇒0,8
µ48 =− ⇒ σ
= 0,8 − µ 48 σ
0,841
De forma que, para calcular los valores de μ y σ se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
µ+ 1,645 = 52 µ+ 0,841= 48 Cuya solución es µ=
43,82 y=
4,975 .
b) Para calcular esta probabilidad, es suficiente con tener en cuenta que X ~ N µ (= P ( 49,5 X)
=
(1),44 (−)
= 51 1=,14
Z49,5<<− 43,82P =Z 51<<− 43,82 = 4,975 ( ) 4,975 −0,9251= 0,8729 0,0522
1,14
43,82;=
4,975 ) . Entonces:
1,44
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
335
8.
En las últimas ele cciones al consejo e scolar del ce ntro, Juan obtuvo un 3 5 % de los votos. S i se eligen 50 alumnos al azar, ca lcula la p robabilidad de que h ayan vot ado a Juan: a) Más de 20 alumnos de los 50. b) Entre 25 y 40 alumnos. La variable X: “número de alumnos, de los 50, que ha votado a Juan” tiene distribución Bin ( n = 50; p = 0,35 ) . La esperanza y la varianza de X son E [ X ] = 50 ⋅ 0,35 = 17,5 y Var ( X =) ⋅50 ⋅0,35= 0,65 11,375 Para los cálculos se dan las condiciones para que se pueda aproximar la distribución de X por la de una variable Y con distribución N (µ= 17,5; =2 11,375 ) . Entonces:
a) P X(
>)( 20 Y P≅ ≥)
= X Y P ≤≤ 24,5 b) P ( 25 ( ≤)≤P ≅) 40 =
( 6,82 ) ( −)
2,08 =−
20,5 − 17,5 () =− 11,375
≥ P Z= 20,5
P Z ( = ≥)
Z40,5≤≤
1 =0,9812
=−
0,89 =
24,5 − 17,5 ( P = Z) ≤≤ 11,375
1
0,89
40,5 − 17,5
=
11,375
1 0,8133
2,08
0,1867
6,82
0,0188
Relaciona y contesta
Elige la única respuesta co rrecta en cada caso 1.
La variable aleatoria dis creta X toma los valores 2, 4 , 6 y 8 con probabilidades respectivas c + 3 . El valor de c es: A. 4
B. 1,25
C. −1,25
c, c
1, c
2y
D. No existe valor para c.
Si todas las probabilidades son mayores o iguales a cero deben sumar 1, pero si c fuese cualquier positivo o cero la suma sería mayor que 1. Luego la respuesta correcta es la D.
2.
La variable aleatoria Y tiene una distribución de probabilidad 2,88. Entonces: A. n = 10
La varianza es
B. n = 12
2
C. n = 28
= Var (X =) ⋅n⋅ p q
Bin ( n, p = 0,4 ) y se sabe que su varianza es
D. n = 29
. Entonces 2,88 = n ⋅ ⋅ 0,41 − ( ⇒0,4 =)
=n
2,88 0,24
12
Luego la respuesta correcta es la B.
3.
Si X sigue una distribución
N ( µ,σ ) , en el intervalo
(µ − , µ + ) se encuentr a aproxi madamente:
A. El 90 % de los valores de X. B. El 65 % de los valores de X. C. El 68 % de los valores de X. D. Depende de los valores de σ . Si X es una variable aleatoria que tiene distribución N ( µ,σ ) , la probabilidad del intervalo (µ − k , µ + k ) con k
> 0 solo depende del valor de k.
Como k = 1 entonces P (µ −
≤ X ≤µ +) ) ( = 2 1 −1 = 06826 . Por tanto la respuesta correcta es la C.
336 Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
Señala, en cada caso, las respuestas correctas 4.
Sea X ∼ Bin ( n, p ) . Fijado n , la variabilidad de X: A. Es más grande si p está próximo a 1. B. Es más grande si p está próximo a 0. C. Es máxima si p = 0,5. D. No está influida por el valor de p. La respuesta correcta es la C.
5.
El porc entaje de obs ervacion es que queda fuera del intervalo ( 0, 24) si una variable tiene una dist ribu ció n normal X ∼ Nµ( = 12, = 3) es aproximadamente: A. 25 %
C. 0 %
B. 75 %
D. 50 %
P ( 0X<
<) P 24 =
Z01<− <2 3
241− 2 < ZP (=() ) ZP<4 − 3
P= (−Z)<
<−4 = − =
4
4
1 0 1
Por tanto, la respuesta correcta es la C.
Elige la rela ción correcta entre las dos afirmaciones dadas 6.
Sea X ∼ Bin ( n, p ) e Y ∼ N (µ, σ) con
μ
= np y σ2 = np (1− p ) . Se consideran las siguientes afirmaciones:
1. “La distr ibución de la varia ble Y aproxima la de la variable X” 2. “ En la distrib ución de X, n es grande y p no es muy pequeño” . A. 1 ⇔ 2 B. 1 ⇒ 2 pero 2 ⇒ / 1 C. 2 ⇒ 1 pero 1 ⇒ / 2 D. 1 y 2 son independientes una de otra. Por la teoría vista en el tema la respuesta correcta es la A.
Señala el dato innecesario para contestar 7.
Para calcu lar la prob abilid ad P(−1 < X < 2) siendo X ∼ N (µ, σ) es necesario conocer: A. Solo μ.
C. Tanto μ como σ .
B. Solo σ .
D. No hace falta conocer ningún dato .
Para transformar una variable X ∼ N(µ,σ ) en una variable aleatoria con distribución estándar Z ∼ N(0,1) se tipifica. Para ello se utiliza la siguiente expresión: Z
=
X
−µ σ
Por tanto, la respuesta correcta es la C.
Unidad 14| Distribuciones de probabilidad
337
PRUEBA I SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
El 47 % de las person as de una ciudad son mujeres y e l 53 % restante hombr es. De entre las mujeres, un 28 % son jóvenes (entre 0 y 25 años), un 38% son adultas (entre 26 y 64 años) y un 34 % son de la tercera edad (65 años o más). D e entre los ho mbres, un 26 % son jó venes, un 43 % son adu lto s y un 31 % son de la tercera edad. a) Si elegimos una persona de la ciudad al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer de la tercera edad?
b) Si elegimos una persona de la ciudad al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la tercera edad? c) Si elegimos una persona de la ciudad al azar de entre las de la tercera edad, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?
d) Si elegimos una mujer de la ciudad al azar de entre las que tienen 26 años o más, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la tercera edad?
Se definen los sucesos M = “mujer”, H = “hombre”, J = “persona joven”, A = “persona adulta” y T = “persona de la tercera edad”
a) Por la probabilidad condicionada se tiene: P(M ∩ T) = P(M) · P(T|M) = 0,47 · 0,34 = 0,1598
b)
Por la probabilidad total se tiene: P(T) = P(M) · P(T|M) + P(H) · P(T|H) = 0,47 · 0,34 + 0,53 · 0,31 = 0,3241
c)
Por Bayes: P()|M T
d)
338
=
( PM
∩ T ) =
P (T)
( PT ) ( ⋅ |M ) PM
=
P (T)
=
0,1598 0,4931 0,3241
.
Entre las mujeres, el porcentaje de mayores de 26 años es 38 % + 34 %. De ellas, las de la tercera edad son el 34 %. Por tanto: 34 34 P(T | M) = = = 0,4722 38 +34 72
Bloque IV Estadística
2.
Juan, Isabel y Elena son tres estudiant es que deciden presentarse a las pruebas de nivel B2 de inglés que 3 2 2 , y . Calcula 4 3 5
organiza la universidad. La probabilidad que tienen de superarla es, respectivamente, de la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Los tres suspenden la prueba. b) Sólo la supera uno de ellos. c) Al menos uno de ellos la supera. Las probabilidades de superar o no superar la prueba son: Juan: P(J ) = Isabel:
P (I )
3 4
=2 3
Elena: P(E ) =
1 4
⇒
De no superarla: P (J ) =
⇒
De no superarla: P(I ) = 1 3
2 5
⇒
De no superarla: P(E ) =
3 5
En todos los casos los sucesos (superar o no superar la prueba) son independientes. 113 1 ) E= ⋅ ⋅ = a) P(los tres suspenden) = PJ( ∩I ∩E =) PJ()⋅ P()I ⋅( P . 4 3 5 20
b) P(solo la supera uno) = [en todos los casos debe aprobar uno y suspender los otros dos] = 3 1 3 1 2 3 1 1 2 17 ⋅ +⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= 4 3 5 4 3 5 4 3 5 60 1 19 c) P(al menos uno la supera) = 1– P(los tres suspenden) = 1 − = 20 20 ) (E = PJ( ∩ I ∩ E) ( + PJ I∩ ∩ P+J ) I∩ E∩ = ⋅
3.
Una factor ía dis pone de tres máquinas para fabric ar una mism a pieza. La más antigua fábrica 10 00 uni dades al día, de las que el 2 % son defectuo sas. La segund a máquina más anti gua, 3000 unidades al d ía, de las que el 1,5 % son defectuosas. La más moderna fabrica 4000 unidades al día, con el 0,5 % defectuosas. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa? b) Si una pieza elegida al azar es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en la máquina más antigua?
c) Sabiendo que una pieza elegida al azar no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la máquina más moderna? Si A, B y C designan a las máquinas por orden de antigüedad y D indica el suceso pieza defectuosa:
a) Por el teorema de la probabilidad total P(D) = P(A)·P( D|A) + P(B)· P(D|B) + P(C)· P(C|D) = 0,125 · 0,02 + 0,375 · 0,015 + 0,5 · 0,005 = 0,010625
b)
P)|( A D
(( B=)∪ c) P A D|
=
P (A
∩D ) =
P D(
)
)
P A( P) D⋅( A|
==
P A
)
()
(P A ) ∩ )B D D(+ P∩ = P (D )
0,125 0,02⋅ 0,2353 0,010625
0,98 0,375 0,98 5 ⋅ +0,125 ⋅ 0, 4972 = 1 − 0,010625
Bloque IV estadística
339
4.
Un con trol de calidad se supera e n cuatro de cada cinc o aparejos de pesca. Si están sujetos a ese cont rol un to tal de 225 a rtículos: a) ¿Cuántos artículos se espera que superen el control de calidad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que superen el control de calidad entre 170 y 187 (incluidos) artículos? La probabilidad de que un determinado artículo supere el control de calidad es p =
4 = 0,8 . 5
Se considera la variable Y: “número de artículos no defectuosos entre los 225”, Y
Bin(n = 225, p = 0,8)
∼
a) El número esperado de artículos que superen el control de calidad será la media de Y: µ = 225 · 0,8 = 180. b) Y puede aproximarse por la distribución normal P (170 Y
X P (169,5 ≤≤P 187) << =
Z 1 87,5)
X N
( µ=
P Z 180 << 169,5 6− =− <<
180,=
225 ⋅ ⋅ 0,8=0,2µ=
)
N (=
187,5 −180 ( 1,75 6
180,
1,25)
6
)
=
= P(Z < 1,25) – P(Z < –1,75) = P(Z < 1,25) – [1 – P(Z < 1,75)] = 0,8944 – 1 + 0,9599 = 0,8543
5.
Una conocid a cadena comercial tie ne unas ve ntas me nsuales que siguen una distribu ción normal de media 45 0 00 € y desvi ación t ípica de 30 00 €. Calcul a las sigui entes prob abilid ades expresando el resultado en porcentajes: a) Probabilidad de que las ventas mensuales sean superiores a 50 000 euros. b) Probabilidad de que las ventas mensuales estén comprendidas entre 42 000 € y 46 000 €. c) Probabilidad de que las ventas mensuales sean inferiores a 39 000 euros. d) Sabiendo que la probabilidad de que las ventas mensuales sean superiores a una determinada cantidad es del 1 %, ¿cuál es esa cantidad? Sea X: “Ventas mensuales”, X ∼ N(µ = 45000, σ = 3000)
a)X
P(
b)
P (42 X 000 P
P >50000) =
0 X − 4500 > 3000
<< = 46 000)
5000 0 −450 00 Z P =Z >P −= > −(= 3000
− 450 00 420 00 < < 3000
1,67) = 1
(
1,67) 1 0,9525 0,0475
X −450 00 460 00 Z P <=− =
3000
−450 00 ( 1
3000
0,33)
= P(Z < 0,33) – P(Z < –1) = P(Z < 0,33) –[1 – P(Z < 1)] = 0,6293 – 1 + 0,8413 = 0,4706
c)X P(
P 000) <39 =
cd) Z Pc( > =) 0,01 ⇒= ⇒
340
Bloque IV Estadística
0 X − 4500 < 3000
2,33
390 00 −4500 0 Z P Z =P−= <− <=− ( 3000
X − 45000 2,33 =X⇒ = + ⋅ 3000
2=) 1 (
2) 1 0,9772 0,0228
= 45 000 3000 2,33 51990
€
PRUEBA II SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Decide cuál de las siguientes afirmaciones son corre ctas: A. B. C. D.
Todas las variaciones con repetición son permutaciones. Todas las variaciones sin repetición son permutaciones. Todas las permutaciones son variaciones con repetición. Todas las permutaciones son variaciones sin repetición.
Las permutaciones son un caso particular de variaciones sin repetición en donde coinciden el número de elementos y los elementos tomados. Solución: D
2.
La solució n de la ecuación Vx,3 = 105P2, es: A. x = 1 V , 3 = 105 Px xx ⇒ 2
B. x = 3
C. x = 5 + −x3 3 = 2⇒ 22= 10 0
(− 1 − )( = 2) x ⋅x105 ⇒ x 2! −
x
D. x = 7 7
Solución: D
3.
Para afirmar que la fun ción
fx()
si 0 =k x si a t si
x
x b≤ x
≤
es una función de densidad, con
k , t , a, b
nos
>b
dicen: 1.= 0a
2.
b
>0
Anali za si la i nf ormació n es su fi cient e para co ntest ar l a cuestió n: A. B. C. D.
1 es suficiente por sí sola, pero 2 no. 2 es suficiente por sí sola, pero 1 no. Son necesarias las dos. Faltan más datos.
t siempre es nulo. Si conocemos a y b la constante k la podemos deducir teniendo en cuenta que el área
encerrada por la curva es 1. Por tanto faltan datos para responder. Solución: D
4.
Señala las respuest as corr ectas. Si P(A ) es la probabili dad de obtener al menos u na cara cuando lanzamos cuatro caras, entonces: C. P( A) >
A . El número de casos favorables es 4. B . P ( Ac ) =
1 16
Como P( A) =
5.
5 6
D. P(A) +P( A )1 c < 15 , los únicos casos ciertos son B y C. 16
Una variable X sigue una distrib ución bin omial de pará metros n = 8 y p = 0,2. La probabilidad de que es aproximadamente: A . 0,049 B . 0,0011 C. 0,0041 D. 0,025 8 6
P ( X = )6 = ( )( 0,2 )
6
0,8
2
X=
6
=0,0011
Solución B
6.
Se lanza 100 veces al a ire una moneda trucada, e n la que la prob abilid ad de obtener cara es de 0,65. La probabilidad de obtener entre 60 y 70 caras es aproximadamente de: A . 0,9558 B . 0,6939 C. 0,7064 D. 0,7448 Se considera la variable Y: “número de caras en los 100 lanzamientos”, Y ∼ Bin(n = 100, p = 0,65) Y puede aproximarse por la distribución normal P (60 Y
X ≤ ≤P 70)
(59,5 P <<
Z = 70,5)
X N
( µ=
65,=
59,5 −65 70,5 −65 < < P Z = − < < = − 4,77 4,77
⋅ ⋅0,65 0,35 = µ= 100 =( 1,15
)
N=(
65,
4,77
)
1,15) 2 (1,15) 1 0,7498
Bloque IV estadística
341
El solucionario de Matemá tic as II de 2.º de Bachill erato forma parte del Proyecto Editorial de Educación de SM. En su realización ha participado el siguiente equipo: Au to ría Fernando Alcaide, Vicente Rivière, Luis Sanz, José Miguel Gómez
Edición Oiana García, Fernando de Blas, Fernando García
Corrección ci entífica Juan Jesús Donaire
Corrección Javier López
Ilustración Juan Antonio Rocafort, Bartolomé Seguí
Diseño de cubierta e interiores Estudio SM
Responsable de p royecto Arturo García
Coordinación editorial d e Matemáticas Josefina Arévalo Dirección de Arte del proyecto Mario Dequel
Dirección editorial Aída Moya
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