Matemáticas Previas Al Calculo, 3ed - Leithold - FREELIBROS.COM

TERCERA EDICION FUNCIONES, GRAFICAS Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

FORMULAS DE ALGEBRA Productos notables (x + aXx + b) m x 2 + () : x 2 — v2 («jc + by)(cx + ¿y) = ac*2 + (ad + bc)xy + bdy2 (x ♦ y)3 - Jr3 + 3*2y + 3*y2 + y 3 ( l f- y)3 — jr3 — 3jt2y + 3*y2 - y 3 Factorización de polinomios ax + ay + az = a(x + y + z) x 2 - y 2 =* (x + y)(jc — y)

ar2 + (fl + b)x + ab = (x + a)(x + b) x 2 + 2xy + y 2 = (jc + y)2 jr2 — 2xy + y 2 = (jc — y)2 acjr2 + (a*/ + bc)xy + bdy2 = (ax + &y)(cjt + í/y) ar3 + y3 = (jc + y)(jc2 — xy + y 2) jr3 - y3 s= (jc - y)(jc2 + xy + y 2) Exponentes a" ’ am = am+m (aHT = anm a" , „

Si a < ¿».entoncesa - c 0, entoncesac < be Si a be Si b > 0 ,1x I 0 ,1x I > b e s equivalente ax > b o x < -b Logaritmos y = logfcX si y sólo si x ■y log* 1 =* 0 log* b =» 1 log* uv = log/, u + log/, v log/, - m log* U ~ log* V log* un — n log* u In x = log, x Teorema del binomio (a + b)n = „Coa" + nC\an~xb + nC2añ-2b2 + . . . + nCran rbr + . . . + jejb donde nCr = -*— —----(n — r)!r! FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Fórmula de la distancia La distancia entre dos puntos />i(X|, yt) y Pj(x2, v2J está dada por

ía ¿ r *= a"¿>" 7a\" _ a" b +0 -w r y a° = 1 a ^ 0

\ftP 2\ = V(x 2 —Xi)2 + (yz —yi)2 Fórmulas del punto medio

a" = — a ^ 0 a" a l/" = = (Va)"1 fl-/- = Va"*

Si A/(jc, y) es el punto medio del segmento de recta de P\(x\* yi) a Pito, yí), entonces Xi + x2 Vi + V: V= 2 2 Ecuaciones de una circunferencia

Radicales

La circunferencia con centro en (h, k) y radio r tiene como una ecuación

Va •

= N/fljb

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

a = \nfa7 ub J-~7= í n0 ^Tb Vb +r~H | a ¡f n is odd \ a n ¥■ { | - ... 11a | if n is even F órm ula c u a d rá tic a

Si a ?£ 0, las soluciones de la ecuación át* 4- hx + c = 0 están dadas por b ± VP la

4ai

Mv .^ w o ld g d M rv

S* o1<"b y~b < c, entonces a < c

Si a < b, entonces a + c < b + c

Pendiente de una recta Si P\(xu yi) y Pz(xí , yj) son dos puntos diferentes cua lesquiera de una recta no vertical, entonces la pendien te de la recta es m, y está dada por yi - y¡ X2 - X\

Ecuación de una recta La forma punto-pendiente para una recta que tiene pendiente m y que pasa por el punto Pi(x¡, y¡) es y — y| «= m(x — £|) La forma pendiente-intercep I«»n para mvi - jcia que tiene pendiente m e intercepción y igual a / os y = mx *f b

Contenido

Prólogo

x lii

1 Núm eros, expresiones algebraicas y gráficas de ecuaciones 1.1 Conjunto de números reales 1.2 1.3 1.4 1.5

Expresiones algebraicas Conjunto de números complejos Plano numérico Gráficas de ecuaciones Revisión del Capítulo 1

2 Ecuaciones y desigualdades 2.1 Ecuaciones lineales con una incógnita 2.2 Ecuaciones cuadráticas con una incógnita 2.3 Ecuaciones como modelos matemáticos 2.4 Otras ecuaciones con una incógnita 2.5 Desigualdades lineales 2.6 Desigualdades polinomiales 2.7 Ecuaciones y desigualdades que implican valor absoluto Revisión del Capítulo 2

1 2 16 31 42 50 59

63 64 73 88 98 109 ^'7 126 135

3 Rectas, p a rá b o la s , c ircu n fe re n c ia s y tra s la c ió n d e e jes

139

3.1 Rectas

140

vU)

CONTIWIPO

3.2 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.3 Parábolas 3.4 Circunferencias 3.5 Traslación de ejes Revisión del Capítulo 3

153 165 171 178 186

Funciones y sus g rá fic a s

190

4.1 4.2 4.3 4.4

191 198 209

Funciones Gráficas de funciones Funciones cuadráticas Funciones como modelos matemáticos 4.5 Funciones compuestas Revisión del Capítulo 4

221 230 236

Funciones p o lin o m ia le s y ra c io n a le s

242

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

243 254 264 274 285 298

Gráficas de funciones polinomiales Teorema del factor y sustitución sintética Ceros racionales de funciones polinomiales Ceros complejos de funciones polinomiales Funciones racionales Revisión del Capítulo 5

Funciones in ve rsa s, e xp o n e n c ia le s y lo g a rítm ic a s 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Funciones inversas Exponentes y número e Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Propiedades de las funciones y ecuaciones logarítmicas 6.6 Ecuaciones exponenciales Revisión del Capítulo ó

302 303 315 327 337 348 358 366

Contenido

7 Funciones trigonométricas de números reales 7.1 Funciones seno y coseno 7.2 Valores de las funciones seno y coseno y funciones periódicas 7.3 Gráficas de las funciones seno y coseno y de otras ondas senoidales 7.4 Aplicaciones de las funciones seno y coseno a fenómenos periódicos 7.5 Otras gráficas que implican a las funciones seno y coseno 7.6 Funciones tangente, cotangente, secante y cosecante 7.7 Periodicidad y gráficas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante Revisión del Capítulo 7

8 Funciones trigonométricas de ángulos

ix

371 372 382 392 407 416 422 432 444

449

8.1 Ángulos y su medición

450

8.2 Funciones trigonométricas de medidas angulares 8.3 Solución de triángulos rectángulos 8.4 Ley de los senos 8.5 Ley de los cosenos Revisión del Capítulo 8

460 477 488 500 508

Trigonometría analítica

513

Identidades trigonométricas Identidades de suma y diferencia Identidades de valor múltiple Identidades para el producto, suma y diferencia de seno y coseno 9.S Funciones trigonométricas inversas 9.6 Ecuaciones trigonométricas Revisión del Capítulo 9

514 522 535

9.1 9.2 9.3 9.4

548 555 570 580

10 Vectores, ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y números complejos

585

10.1 Vectores 10.2 Fundones vectoriales y ecuaciones paramétricas 10.3 Coordenadas polares 10.4 Gráficas de ecuaciones polares 10.5 Forma polar de números complejos 10.6 Potencias y raíces de números complejos y teorema de De Moivre Revisión del Capítulo 10

586

Secciones cónicas

651

11.1 Elipses 11.2 Hipérbolas 11.3 Ecuación general de segundo grado en dos variables y rotación de ejes 11.4 Sistemas que implican ecuaciones cuadráticas 11.5 Tratamiento unificado de las secciones cónicas y ecuaciones polares de las cónicas Revisión del Capítulo 11

652 664

598 606 614 625 634 647

678 688 698 708

Temas de álg eb ra

712

12.1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 12.2 Propiedades de las matrices y solución de sistemas lineales por medio de matrices inversas 12.3 Fracciones parciales 12.4 Sucesiones, series y notación sigma 12.5 Inducción matemática 12.6 Sucesiones y series aritméticas y geométricas 12.7 Teorema del binomio 12.8 Introducción a las series infinitas Revisión del Capítulo 12

713

730 746 754 763 773 789 801 811

Apéndice: propiedades de los números reales Respuestas a los ejercicios impares índice de materias

817 824 895

2

1.1

CAPÍTULO 1

NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

CONJUNTO DE NUMEROS REALES OBJETIVOS

1. A prender acerca de los núm eros reales y sus subconjuntos. 2. A prender las propiedades del sistem a numérico real. 3. Establecer la correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos en la recta num érica real. 4. A prender la notación de intervalos p ara definir un conjunto de núm eros. 5. D eterm inar si un conjunto de núm eros es subconjunto de otro. 6 . D eterm inar la unión o intersección de dos conjuntos de núm eros. 7. U tilizar la notación de conjuntos y los símbolos de desigualdad p a ra d en o tar un conjunto de números. 8 . Ilu stra r u n conjunto de núm eros sobre la recta numérica de núm eros reales. 9. D efinir el valor absoluto de un núm ero real. 10. R epresentar núm eros p or medio de puntos sobre la recta num érica real y d eterm in ar las distancias entre puntos.

El álgebra y la aritmética involucran números sobre los cuales se reali zan operaciones tales como adición, sustracción, multiplicación y divi sión. Mientras la aritmética trata operaciones con números específicos, por ejemplo, 2 + 5, u 8 • 9; en álgebra se estudian operaciones sobre números no especificados o desconocidos. Éstos son designados por me dio de símbolos o letras, como x, y, z, a, b, o c. La palabra álgebra provie ne del vocablo árabe al-jabr, que está en el título de un trabajo publicado a inicios del siglo IX, ilm al-jabr w ’al muqábalah (traducido como “la ciencia de la reducción y cancelación”). El simbolismo alge braico usado para generalizar las operaciones de la aritmética, fue formu lado en los siglos XVI y XVII. Ocasionalmente, se utilizará alguna notación y terminología de conjuntos. Se puede decir que un conjunto es una colección de obje tos, y los objetos de un conjunto se llaman elementos del conjunto. Cada objeto particular podrá estar o no en el conjunto. Las llaves, { }, utilizadas con palabras o símbolos, pueden descri* bir un conjunto. Si S es el conjunto de números naturales menores que 6 , el conjunto S puede representarse así: {1,2, 3,4,5} El conjunto S también puede simbolizarse como: {*, tal que x es un número natural menor que 6 } donde el símbolo x recibe el nombre de variable. Una variable es un símbolo que se utiliza para representar cualquier elemento de un conjunto dado, y a éste se le denomina dominio (conjunto de reemplazo)

__________________

1.1

CONJUNTO Pg NÚMEROS RgAifs

3

de la variable. Otra manera de representar el conjunto anterior S con siste en aplicar la notación constructiva p ara conjuntos, en la cual se utiliza una barra vertical en lugar de las palabras tal que. Con la nota ción constructiva para conjuntos, el conjunto S se representa como: {x|x es un número natural menor que 6 } lo cual se lee como “el conjunto de todas las x tal que x es un número natural menor que 6 ’*. Se dice que dos conjuntos A y B son iguales, lo cual se escribe A = B, si y sólo si A y B tienen los mismos elementos. Por ejemplo, {1,2,3} |

{3,1,2}

La unión de dos conjuntos A y B, denotada por A U B y que se lee “i4 unión B”, es el conjunto de todos los elementos que están en A o en B o tanto en A como en B. La intersección de A y B, que se denota por medio de A fl B y se lee “A intersección B", es el conjunto de todos los elementos que están tanto en A como en B. El conjunto que no contiene elem entos recibe el nombre de conjunto vacío y se deno ta por 0 .

>

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

Suponga que A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {1, 4, 9, 16} y C = {2, 10}. Entonces A U B = {1, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16}

A D B = {4}

B U C = { 1 , 2 ,4 , 9, 10, 16}

B D C —0

<

Observe que en este ejemplo ilustrativo la intersección de los con juntos B y C es el conjunto vacío. Estos dos conjuntos no tienen elem entos en común y se les llama conjuntos ajenos. El símbolo € se utiliza para indicar que un elemento especíñco pertenece a un conjunto. De ahí que para el conjunto C del ejemplo ilus trativo 1 pueda escribirse 2 € C, lo cual se lee “2 es un elemento de C”. La notación a, b E S indica que tanto a como b son elementos de S. El símbolo £ se lee “no es un elemento de”. Por tanto, 5 £ A se lee “5 no es un elemento de A '\ Si todos los elementos de un conjunto S son también elementos de un conjunto Tt entonces S es un subconjunto de T y se escribe S c T. En este ejemplo ilustrativo, todos y cada uno de los elementos de C son también elementos de A\ de este modo, C es un subconjunto de A y se escribe C c A. El símbolo se lee “no es un subconjunto de”. Así pues, puede escribirse {1, 2, 3,4} $¡£ {1, 2, 3}. Se ha hecho referencia al conjunto de núm eros naturales, que se denota por N, de modo que N = { 1 ,2 ,3 ,...}

4

CAPÍTULO 1

N ÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

donde los tres puntos se emplean para indicar que la lista continúa in terminablemente. El número cero, el cual se representa con el símbolo 0, es aquel que tiene la propiedad de que si se sum a a cualquier otro número, el resultado es este m ismo número. El conjunto de númeroá cuyos ele mentos son los núm eros naturales y el cero recibe el nombre de con junto de los n ú m ero s cab ales.' Al conjunto de números naturales también se le denom ina conjunto de los enteros positivos. En particu lar, el número natural 14 es el mismo que el entero positivo 14. En correspondencia, con cada entero positivo n existe un entero negativo, tal que si éste se sum a a n, el resultado es 0. Por ejemplo, el entero negativo - 5 , que se lee “m enos cinco” , es el número que cuan do se sum a a 5, da como resultado 0. El conjunto de los enteros nega tivos puede denotarse por {-1, - 2 , - 3 , . . . } . Al conjunto de números cuyos elem entos son los enteros positivos, los enteros negativos y el cero se llam a c o n ju n to d e los enteros. Si se denota este conjunto por Z, se tiene Z = { ...,- 3 ,- 2 ,- 1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,...} Luego, el conjunto de enteros es la unión de tres subconjuntos ajenos: los enteros positivos, los enteros negativos y el conjunto que consta únicamente del número 0. Obsérvese que el 0 es un entero, pero no es positivo ni negativo. Algunas veces se hace referencia al conjunto de enteros no negativos, el cual consta de los enteros positivos y el 0, o de forma equivalente, el conjunto de números cabales. Asimismo, el conjunto de en tero s no positivos es aquel que consta de los enteros negativos y el 0 . Considérese ahora el conjunto cuyos elementos son números que se representan por el cociente de dos enteros p y q, donde q es diferen te de 0 , es decir, los números que se representan simbólicamente como P —

donde q es distinto de 0

A este conjunto de números se le denomina conjunto de los números racionales,** el cual se denota por Q. A sí pues Q = í x Ix pueda representarse por

p € Z ,q E Z; q no es 0

j

Algunos números contenidos en el conjunto Q son 1/2, 3/4, 11/5, -2/3 y -31/12. Todo entero es un número racional debido a que cualquier entero puede representarse como el cociente de sí mismo y de 1; p°r ejemplo, 8 puede representarse por 8/ 1; 0 puede representarse por 0/1. y -1 5 , p o r-15/1. Por tanto, Z q Q . •

N. del S. Se emplean en esta versión notaciones más universales para los diferentes conjuntos de números. Los enteros no negativos te llaman en inglés whole numbers, es decir, números cabales. Suelen denotarse con W.

N. del S. Las denominaciones de racional e irracional se refieren sólo al concepto matemático de razón (relación por cociente) y no al de razón como facultad de discutir y juzgar. El término razón proviene del latín ratio, que se pronuncia “racio”.

1.1

CONJUNTO PE NÚMEROS REALES

5

Cualquier número racional puede escribirse como un decimal. Se supone que el lector conoce bien el proceso aritmético de dividir para verificar esto. Por ejemplo, 3/10 puede escribirse como 0.3; 9/4, como 2.25; y 83/16, como 5.1875. A estos decimales se les denomina deci males finitos. Hay números racionales cuya representación decimal es infinita y periódica; por ejemplo, 1/3 tiene la representación decimal 0.333 . . . , donde el dígito 3 se repite indefinidamente, y 47/11 puede representarse como 4.272727 . . . , donde los dígitos 2 y 7 se repiten sucesivamente en ese orden. Puede demostrarse que la representación decimal de todo número racional es un decimal finito, o bien, un deci mal infinito periódico. En la Sección 12.8 se demostrará que todo de cimal infinito periódico es la representación de un número racional. Ahora surge la pregunta siguiente: ¿existen números cuya repre sentación decimal sea infinita y no periódica? La respuesta es afirmati va, y un ejemplo de tal número es la raíz cuadrada principal de 2 , que se denota simbólicamente por y se representa mediante un decimal infinito y no periódico como 1.41421.... Otro número de este tipo es n (pi), que es la razón del perímetro de un círculo a su diámetro y se in dica por medio de un decimal infinito y no periódico: 3.14159___ Los números cuya representación decimal sea infinita y no periódica carecen de expresión como el cociente de dos enteros, y por tanto, no son números racionales. A este conjunto de números se le denomina conjunto de los núm eros irracionales, y se denotará por /. La unión del conjunto de los números racionales y el de los núme ros irracionales es el conjunto de los núm eros reales. Si este conjunto se denota por R, simbólicamente se define por medio de R = QÜI La Figura 1.1 muestra las relaciones entre los conjuntos de núme ros anteriormente discutidos. Ejemplos de cada una de las clasificacio nes de números aparecen en el rectángulo correspondiente.

► EJEMPLO 1

Determinación de si un con/unto de número» es un subcenfunto de otro

Los conjuntos N, Z, Q, I, R son los conjuntos de números definidos en esta sección. Inserte c o para hacer que el enunciado sea correcto. (a) N ___ Z; (b) Q _____Z; (c) { V 5 T 3 .5 } ____ /; (d) {0}-------Q, ( e ) N ____R. Solución (•) Como todo número natural (o entero positivo) es un entero, A Í^Z. (b) Puesto que hay números racionales que no son enteros, Q Z. (c) <2 y n son números irracionales, pero 3.5 es racional; por consi guiente, (V2, ii, 3.5} $£ /. (d) Cero es un número racional, y por tanto {0} c Q. (e) Todo entero positivo es un número real; de aquí que N q R. <4

CA PÍTU LO 1

N U M ER O S, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

FIG U RA 1.1

►

EJEMPLO 2

D eterm inación d e la unión o intersección d* dos conjuntos d e núm eros

E n cad a u no d e los casos siguientes, determ ine cuál de los conjuntos N , Z , Q , I, R y 0 e s ig u al al c o n ju n to dado: (a ) Z U Q\ (b) Z 0 Q,

(c )tfn /; ( d ) I Ü R . Solución (a) La unión de Z y Q es el conjunto de núm eros que son enteros, o bien, racionales. D ebido a q u e el conjunto d e los enteros es un subconjunto de los núm eros racionales, esta unión es el conjunto de los núm eros racionales. P or tanto, Z U Q = Q. (b) La intersección de Z y Q es el conjunto de núm eros que son tanto enteros com o racionales. Esta intersección es el conjunto de los ente ros y, de este m odo Z D Q = Z. (c) D ebido a que el conjunto d e los enteros positivos y el de los nú m eros irracionales no tienen elem entos en com ún, N D 1 = 0 . (d ) La unión de / y R es el conjunto de números que son tanto irraciona les com o reales. D ebido a que el conjunto de núm eros irracionales es un subconjunto del de los núm eros reales, / U R = R. 4

____________________ 1 . 1

CONJUNTO DE HÚMEROS REALES

7

El sistem a n um érico real consta del conjunto R de números reales y dos operaciones denominadas adición y m ultiplicación. La adición se denota por medio del símbolo +, y la multiplicación por el símbolo - (o bien, X). Si a, b E R, entonces a + b denota la sum a de a y b, y a • b (o bien, ab) denota su producto. Como se indicó en la in troducción, la Sección A .l del apéndice contiene un estudio del siste ma numérico real. La sustracción y la división de números reales son definidas en tér minos de adición y multiplicación respectivamente. La definición de sus tracción es como sigue: si a y b son números reales, la operación de sustracción asigna para a y b un número real, denotado por a - b llamado la diferencia de a y b, tal que |p - b = d

>

a = b + d

si y sólo si

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 7 -4

= 3

porque

<

7 = 4 + 3

En la definición anterior, la frase “si y sólo si” esusada para com binar dos proposiciones: 1. a - b = d s i a = b + d. 2. a - b = d sólo si a = b + d, la cual es equivalente a la proposi ción a = b + d si a - b = d . Ahora se define la división. Si a y b son números reales y b * 0 la operación de división, asig na para a y b un número real, denotado por a + b llamado el cociente de a y b tal que a 4* b = q

si y sólo si

a = bq

(1)

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 24 -í- 6 = 4

porque

24 = 6 • 4

^

Observe en la definición de división que b * 0. La razón para esta restricción puede ser vista permitiendo que b sea 0 en el inciso (1). Por ejemplo, s i e n ( l ) / ? - 0 y a = 3 (cualquier otro valor de a diferente de 0 puede ser usado en lugar de 3). 3 + 0 = ^

si y sólo si

3 - 0 "q

Por supuesto que no hay valor de q que satisfaga esta proposición por que 0 • q * 0, y 3 * 0. Además si en (1) b = 0 y a = 0, la proposición queda: 0 + 0 * q

si y sólo si

0 * 0 ' q

CAPÍTULO 1


Debido a que 0 • <7= 0 para cualquier valor de q, 0 -r 0 puede ser igual a cualquier número real; de aquí que 0 + 0 es indeterminado. Por tanto, para cualquier número real a, no existe un significado fijo para a + 0. De aquí que la división éAttto cero no está definida. Los elementos del conjunto de los números reales se pueden orde nar mediante una relación denotada por los símbolos < (léase “menor que”) y > (léase “mayor que”). En la definición siguiente de estos sím bolos se emplea el concepto de número positivo dado por el Axioma 8 en la Sección A. 1.

DEFINICIÓN

Los símbolos < y >

Si a y b son números reales, si y sólo si si y sólo si

(i) a b

b - a es positivo a - b e s positivo

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 3 < 5 puesto que 5 - 3 = 2, y 2 es positivo, -1 0 < - 6 debido a que - 6 - (-10) = 4 y 4 es positivo, 7 > 2 porque 7 - 2 = 5, y 5 es positivo, -2 > -7 ya que - 2 - (-7) = 5, y 5 es positivo,

\ > \ debido a que |

|

y

es positivo.

4

Observe que 3 > 0

porque

3 - 0 = 3, y 3 es positivo,

-4 < 0

porque

0 - (-4) = 4, y 4 es positivo.

Estas proposiciones son casos especiales de las siguientes propiedades obtenidas a partir de las definiciones de > y <: a > 0

si y sólo

si a es positiyo

a< 0

si y sólo

sí a es negativo

Si escribimos a <, b (léase >la es menor que o igual a b") se quiere decir que a es menor que b o a = b. De manera similar, a t b (léase como “a es mayor que o igual a b”) indica que a es mayor que boa =b.

1.1

CONJUNTO PE NÚMEROS RIALES

9

Los enunciados a b ,a < t b ,y a ^ b son llamados desigual* dades. En particular, a b son desigualdades estrictas, mien tras que a £ b y a £ b son desigualdades no estrictas. Un número x está entre a y b s i a < x y x < b . Se puede escribir lo anterior como una desigualdad continua de la forma siguiente: a
~

.

2 < 3< 4

c 4 -5 < 1 < 3

1

- < 2

2

3

- < 3 4

Otra desigualdad continua es a £ x <, b lo cual significa que a < x y x <, b. Otras desigualdades continuas son a< > x< by a< x< ,b.

► EJEMPLO 3

Empleo do la notación do conjuntos y símbolos do desigualdad p ara denotar un conjunto de números

Utilice la notación para conjuntos y uno o más de los símbolos, <, >, < y > para denotar cada uno de los conjuntos siguientes: (a) el conjunto de todas las * tales que x está entre - 2 y 2 ; (b) el conjunto de todas las t tales que 4í - 1 sea no negativo; (c) el conjunto de todas las y tales que y + 3 sea positivo y menor que o igual a 15; (d) el conjunto de todas las z tales que 2z sea mayor que o igual a -5 y menor que -1. Solución (a) {x | - 2 < x < 2} (c) {y | 0 < y + 3 £ 15}

(b) (d)

{t | 4t - 1 > 0} {z | -5 < 2z < -1}

M

Ahora, se proporcionará una interpretación geométrica del con junto R de los números reales mediante su asociación a puntos sobre una recta horizontal denominada eje (véase la Figura 1.2). Se elige un punto (arbitrario) sobre el eje para representar el número 0. A este pun to se le denomina origen. Se selecciona arbitrariamente una unidad de distancia. Después, cada entero positivo n se representa por el punto situado a una distancia de n unidades a la derecha del origen y cada entero negativo - n se representa por el punto situado a una distancia de n unidades a la izquierda del origen. A estos puntos se les conoce como puntos unidad. Éstos se designan mediante los números con los

CAPITULO 1

NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

cuales se asocian. Por ejemplo, 4 se representa por el punto que está 4 unidades a la derecha del origen, y - 4 se representa por el punto que está 4 unidades a la izquierda del origen. La Figura 1.2 muestra ios puntos unidad que representan a 0 y los primeros doce enteros posi tivos y sus correspondientes enteros negativos. Los números racionales se asocian con puntos sobre el eje de la Figura 1.2 al dividir los segmentos entre los puntos que representan enteros sucesivos. El segmento del eje de 0 a 1 puede dividirse en siete partes iguales. El extremo derecho de la primera de tales subdivisiones se asocia al número Asimismo, el extremo derecho de la segunda subdivisión se asocia a etc. El punto asociado al número j se en cuentra a veinticuatro séptimos a la derecha del origen, que está a tres séptimos de la distancia desde el punto unidad 3 hasta el punto unidad 4. También, un número racional negativo se asocia a un punto situado a la izquierda del origen. La Figura 1.3 muestra algunos de los puntos asociados a números racionales.

-♦------♦— +---------------------------------------------------------------- ♦---- ♦---------- » » +--- ♦--------3 _.5_ -2 ni -1 1 2. 2 L 3 24 4 . 7:h. ^ 2 * 3 7 4 2 3 FIGURA 13 Las Construcciones geométricas pueden utilizarse para encontrar puntos correspondientes a ciertos números irracionales, tales como \2, y otros (véase los ejercicios 35 y 36). Los puntos correspon dientes a otros números irracionales pueden encontrarse mediante aproximaciones decimales, por ejemplo, un punto correspondiente al número n puede aproximarse empleando algunos de los dígitos en la representación decimal 3 .1 4 1 5 9 .... Todo número irracional puede asociarse a un punto único sobre el eje, y todo punto que no corresponda a un número racional puede ser asociado a un número irracional. Ello indica que puede estable cerse una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los núme ros reales y los puntos ubicados sobre el eje horizontal. Por esto se hace referencia al eje horizontal como la recta numérica real. De bido a que los puntos situados sobre la recta numérica real se iden tifican con los números que representan, se utiliza el mismo símbolo para el número y el punto.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 Considere el conjunto {jc| —6 < x < 4 }. Este conjunto está representado sobre la recta numérica real de la Figura 1.4. El corchete en 4 indica que 4 está en el conjunto, y el paréntesis en - 6 indica que - 6 no está en el conjunto.

1.1

**4 9öe

CONJUNTO DE NUMEROS REALES

f i 1 i i f- f ♦ i i i -10

-6 -5

11

1 0

4 5

( jc| —6 < i S 4 |

eia it* FIGURA 1.4

<

Al conjunto de todos los números x que satisfacen la desigualdad continua a < x < b se le denomina intervalo abierto y se denota por (¿a, b). Por tanto,

ÏD-

r*

(a, b) * {* | a < x < b } El intervalo cerrado de a a b es el intervalo abierto (a, b) junto con los dos puntos extremos a y b, y se denota por [a, b\. Así pues, ^

[a, b] = {x: 1 a £ x £ b }

b FIGURA 15

^*8ura 1-5 ejemplifica el intervalo abierto (a, ¿), y la Figura 1.6 representa el intervalo cerrado [a, b). El intervalo abierto (o semiabierto) por la izquierda es el intervalo abierto (a, b) junto con el punto extremo derecho b. Se denota por (a, bV, así

? 2. - f ----------------------- h ab

11 ■ b

(ia, b] = [x | a < x <, b\

FIGURA 1.6 Se define un intervalo abierto por la derecha de manera similar y se denota por [a, b). De este modo H FIGURA 1.7

[ a

^ f¿

La Figura 1.7 muestra el intervalo (a, b] y la Figura 1.8 presenta el intervalo [a, ti). Se empleará el símbolo +oo (infinito positivo) y el símbolo -oo (infinito negativo); sin embargo, téngase cuidado de no confundir estos símbolos con números reales, ya que no cumplen con las propiedades de dichos números. Se tienen los intervalos siguientes:

(a, + 00) (-o o , b)

\ x > a) x < b) IPx% a) \x i b )

a {je j B

j1

[a, +oo) * { * H

m m

FIGURA 1.8

[a, b) = {x | a < x < b)

8

ÔP 1 í> &

j b

~

(-o o , +oo) ä

H

12

CAPÍTULO 1


La Figura 1.9 ejemplifica el intervalo (fl, +oo) y la Figura 1.10 representa el intervalo (-oo, b ). Obsérvese que (-oo, +oo) denota el conjunto de todos los números reales.

► EJEMPLO 4

Ilustración da un con/unto da números sobn la recta da númaras realas y definición del con/unto p ar madlo de la notación de Intervalo

FIGURA 1.9

Marque sobre la recta numérica real cada uno de los conjuntos si guientes, y mediante notación para intervalos, represente el conjunto: (b) (je I x > 1 y x < 10} (d) {* j x * 2 } f l {* \ x < 9)

(a) {jc | -7 £ x < -2}

FIGURAI.10

(c) {x | x ¿ - 5 ojc S 5} (e) {x ¡ jc < 0 ) U {x | x > 3}

Solución Los conjuntos se muestran sobre la recta numérica real en la Figura 1.11 (a), (b), (c), (d) y (e), respectivamente. Con notación para intervalos se tiene *-+ -+

M i l - »■+

.7 -5 -2 0 ( i |- 7 S x < - 2 )

(a) { * | - 7 <

(a)

(c)

{jc | jc ^ — 5 o bien x £ 5} = ( - o o , -5] U { x | jc £ 2} f l {jc| x < 9} = [ 2 ,9 ) {jc ¡ jc < 0} U {jc | 3} = ( - o o , 0) U [3 , + o o )

(e)

ly x

= [-7 ,-2 ]

{x \x >

(d )

I I t f 0 1 5 4»\x >1 y x < íoj

jc< - 2 }

(b )

< 10} = ( 1 ,1 0 )

[5, + oo) <

(b)

► EJEMPLO 5 -S

-+-H 0

5

{jtlx s - 5 o bien * — 5} (c)

4 l I l I l I M

l

0 2 5 9 10 \x \x a 2} n [x\x < 9} (d)

0

3

( x Ijk < 0} u

Ilustración de un conjunta de números sobn la recta da números reales y definición del conjunto por medio de los símbolos de la notación de conjuntos y desigualdad

Marque sobre la recta numérica real cada uno de los intervalos si guientes, y mediante notación de conjuntos y símbolos de desigualdad, denote los intervalos: (a) (-2 , 4); (b) [3, 7]; (c) [1, 6); (d) (-4,0); (e) [0, +oo); (f) (-oo, 5). Solución Los intervalos se indican sobre la recta numérica real de la Figura 1.12 (a), (b), (c), (d), (e) y (f). respectivamente. Con notación de conjuntos se tiene

{xix * 3)

(e)

FIGURA 1.11

(a) ( - 2 , 4) = {x\ —2 < x < 4 } (c) [ 1 , 6 ) = {jc | 1 ss

(e) [0, + » ) =

jc

{jc I jc >

<6}

(b) [3, 7] = {jc| 3 jc ^ 7} (d) ( - 4 , 0] = {jcI - 4 < jc £0)

0}

(f) (-oot 5) « {jc| jc < 5 }

<

Asociado a cada número real hay un número no negativo, deno minado su valor absoluto.

1.1

enota.

DEFINICIÓN

CONJUNTO P i NÚMEROS RIALES

13

V alor absoluto

Si a es un número real, el valor absoluto de a, denotado por | a |, es a , si a es no negativo, y es - a , si a es negativo. Con símbolos se escribe o

\ a

<5

( - 2 ,4 )

|f l |

=

si a £ 0

<

.

I - a si a < 0

n

(a)

«OS S-

lunto; 1 3.7]

< 91

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 6

(b) i I [ i i M )

ca reí Jlacioc

0 1

Si en la definición anterior se toma a a como 6 ,0 y - 6, se tiene

5 6

|61 =6

(1.6)

=6

I ^ | ( | j t {| t o

(-4,0] (d)

El valor absoluto de un número a se puede considerar su distancia (sin tener en cuenta el sentido, a la izquierda o a la derecha) desde el origen. En particular, los puntos 6 y - 6 se encuentran cada uno a seis unidades desde el origen. Por la definición de valor absoluto se tiene

O

9 | wr

10.+ -) (C)

- b i / 1 1a - b } L í a - a ~ \b

C-“ , 5)

id

11 FIGURA 112 ‘ *|
Este valor absoluto puede interpretarse como la distancia entre los puntos a y b de la recta numérica real sin importar el sentido. Véase la Figura 1.13.

► FIGURA 1 13

i

EJEMPLO 6 Representación de números por me de puntos sobre la recta numérica real y determinación de la distancia entre los puntos

Marque los puntos correspondientes a los números —10, —7, —5, —3, 0, 3, 5, 7 y 10 sobre la recta numérica real. Halle la distancia entre u y v en cada uno de los casos siguientes: u= 10, v » 3;(b)// = 3, v = 7; (d) u = ~7, v = 0; (e) u = - 3 , v = -5 ;

(a)

¿gtP

si a £ b si a b

rsal^

z.

si a - b > 0 si a - b < 0

a - b (a - b)

o bien, de manera equivalente,

—H- f t I I -4■ I t ) O 5

los 9r jak^ -4 $

| - 6 1 = - ( - 6)

? (e) ' -5 -4

>**

|0 1 = 0

(c) u = 5, v = —3; (f) u = -1 0 , v = -7 .

14

CAPÍTULO 1

NÚM ERO S, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

Solución

La Figura 1.14 muestra los puntos correspondientes a los números dados sobre la recta numérica real. En cada inciso la distancia entre u y v es | u - v | unidades:

tos corresp< recto numér 11- {-2,3,

+

-5

10

-3

12. (y, re, -

10

En los ejert y uno o más conjunto da

FIGURA 1.14

(a) \ u - v

(b) I u - v

- | 10 - 3 |

13. (a) El J

= 4

= 7 (c) \ u -

V

= |3 - 7|

(d ) I u -- v

=r | 5 - ( - 3 ) |

= | —7 — 0 |

= | 81 = 8 (c)

M

V

= 7

= | - 3 - (-5 )

(f) I u - v

= | -1 0 -

= 9

<

16. (a) E

1.1

En los ejercicios 1 a 10, recuerde que N es el conjunto de números naturales, Z es el conjunto de enteros, Q es el conjunto de números racionales. I es el conjunto de números irracionales y R es el conjunto de núme ros reales.

5. (a) Z __R (b) {0}___ N (d) {0, 1.732}___ Q 6. (a) N _______ ________Q (d) { -V 3 ,0 ,V T } ____/

(c) / ____ R (b) Q / (c)Q __ R _

EJERCICIOS

( —7) j

En los ejercicios 7 y 8, determine cuál de los conjuntos N, Z, Q, I, R y 0 es igual al conjunto dado. En los ejercicios 1 y 2, inserte G , o bien, £ en el espa cio vacío para que el enunciado sea correcto. 1. (a) 15,_N (c) - 3 ____ Z 2. (a)

0 __ Q

(c) | _____ «

(b) 1.41421___I (d) re___Q (b) 2007___Z (d) - 5 ___/

En los ejercicios 3 y 4, utilice el símbolo c para dar el enunciado correcto que comprenda a los dos conjuntos dados. 3. (a) A/ y Q (d)Z y R

(b) R y Q

4. fa) R y N (d) {01 y Z

(b) Z y Q

(c) Z y N

7. (a) QC\R (d) / n z 8. (a) I O R

(b) Q U /

(c) Z U N (c) / f l Q

(d) Z D N En los ejercicios 9 y 10, para el conjunto dado S, defi na cada uno de los conjuntos siguientes: (a) S f) N; (b) S C \Q ;(c )S C \I;(d )S C \Z 9. 5 = {12,

lyR

En h s ejercicios 3 y 6, inerte C . o bien, j£ para hacer el munciado correcto.

positi es raa conjui y 15 i En los ejet conjunto ¿ el conjunu ba el conj cripciones 17. (a) { 18. (a) {

(b) Q V R

V r, 0, -38, - V 2,571, re. 0.666 . . . , 16.34)

10. ¿m { J í, 26, yfX 1.23, - V9,

(c)

que -9 y entiel que4z 14. (a) El conjun igual a das las 15. (a) El no ned r es ni conjui que-1

- 0 .3 3 3 .... -6214, \ u ,£ ll En los ejercicios 11 y 12, acomode los elementos subconjunto dado de R en el mismo orden que sus pw

19. (a) { (b) { 20. (a) (b) 21. (a) (b)

{ { { {

22. (a) {

(b) {

23. (a) {

(b) {

24. (a) { (b) {

1.1

los correspondientes de izquierda a derecha sobre la recia numérica real. 11. (-2,3.21.5. -7. |. V 2 ,- J. -V 5. - 1 0 . 0 , - f - 1 } 11 { y . « . - 8 , - V 2 r 3 , - V 3 7 4 . ^ . - f 1.26.ÍJI)

En los ejercicios 13 a 16, utilice notación de conjuntos y uno o más de los símbolos <, >. ^ y > para denotar el conjunto dado. 13. (a) El conjunto de todas las x tales que x es mayor que -9 y menor que 8; (b) el conjunto de todas las y entre -12 y -3 ; (c) el conjunto de todas las z tales que 4z - 5 sea negativo. 14. (a) El conjunto de todas las x entre -5 y 3; (b) .el conjunto de todas las y tales que y sea mayor que o igual a —26 y menor que —16; (c) el conjunto de to das las t tales que 8/ - 4 sea positivo. 15. (a) El conjunto de todas las x tales que 2x + 4 es no negativo; (b) el conjunto de todas las r tales que r es mayor que o igual a 2 y menor que 8; (c) el conjunto de todas las a tales que a — 2 es mayor que -5 y menor que o igual a 7. 16. (a) El conjunto de todas las s tales que 2s + 3 es no positivo; (b) el conjunto de todas las x tales que 3x es mayor que 10 y menor que o igual a 20; (c) el conjunto de todas las z tales que 2z + 5 esté entre -1 y 15 inclusive. En los ejercicios 17 a 24, haga lo siguiente: (i) muestre el conjunto sobre la recta de números reales; (ii) represente el conjunto mediante la notación de intervalo; (iii) descri ba el conjunto en palabras de manera similar a las des cripciones en los ejercicios 13 al 16. 17.

(a)

i*\ X > 2 }

( b ) { * |- 4 <

20. ia) ib )

21. (a)

ib)

( b ) {*

|3

x < 12}

o b ien x > 4} M {*1 x s - 5 y x < 5} {x\ X < 3 o b i e n x .> 6} M X > 2 } n {* | x < 12} M X s - 4 } U { x | X > 4} M x 2 - 5 } n { x | x < 5} X s

22. (a) ib) U ! X 23. ia) {x\ X ib ) 1*1 X 24. ia) {x\ X ib) {x\ x

—4

< 3}

x

^

< x <9}

U {x | x > 6}

> - 4 } n {x| X < 0} — 0} U {x j x — 7}

> - 8 } n { x | X < 0} > 2} U { x | X > 10}

4

15

En los ejercicios 25 a 28, marque sobre la recta numé rica real el intervalo dado y utilice notación para con juntos y símbolos de desigualdad para denotar el intervalo. 25. (a) (2, 7) (c) ( - 5 . 4]

(b) [ - 3 , 6] (d) [ - 1 0 , - 2 )

26. (a) ( - 5 , 5) (c) [ - 8 . 3)

(bj [ 1 .9] (d) ( - 7 . 0J

27. (a) [3, +oo) (c) ( - 4 , +oo)

(b) (-oo, 0) (d) (-oo, +oo)

28. (a) (-oo, - 2 J (c) (-oo, 10) ;

(b) ( - 1 , +oo) (d) It). + » ) '

En los ejercicios 29 y 30, determine el valor absoluto en cada inciso. 29. (a) | 7 | . i

£ * b y f* a |F '

(c) ¡3 - V 3 | 30. (a) | i | : (c) ¡-ít - 2 |

(d) |V 3 - 3 | (b) | —8 1 (d) |3 — ir|

En los ejercicios 31 a 34, marque los puntos corres pondientes a u y v sobre la recta numérica real y des pués determine la distancia entre u y v . 31. (a) m — 8, v = 2 (c) 4 = 8, v = - 2

(b) u - - 8 , v = 2 (d) u = - 8 . v = -2

32. (a) u = 6, v = 4 (c) « = 6, v = - 4

(b) u = - 6 , v = 4 (d) u =3 -'6, v = - 4

33. (a) u =t, v = 2t,y t > 0 (b) u = /, v = 2t, y t < 0 34. (a) u (b) u «

18. (a) u \ X S í 8 } 19. (a) {x\ X > 2 y ib )

CO NJUNTO DE NUMEROS REALES

= t,

v = j#,y t > 0

t, v =a ¿f, y t < 0

35. Para deteminar el punto en la recta numérica real correspondiente al número irracional \ 2 , use la construcción indicada en la figura de abajo: desde el punto 1, se dibuja un segmento de recta de longitud unitaria y perpendicular al eje. Al unir el extremo superior de este segmento con el origen se forma un triángulo rectángulo. La longitud de la hipotenusa de este triángulo rectángulo es >/2" uni dades. (Este hecho se deduce a partir del teorema de Pitágoras, el cual establece que c 2 tiene el mis mo valor que a 2 + b 2, donde c unidades es la lon gitud de la hipotenusa y a unidades y b unidades son las longitudes de los otros dos lados). Después se dibuja un arco de la circunferencia que tiene su centro en el;origen y un radio de ^2 ', el punto don-

6

CAPÍTULO 1


de este arco corta el eje es V2. Emplee este método para determinar el punto correspondiente a V5.

36. Determine el punto sobre la recta numérica real correspondiente al número irracional VTo. (Suge. renda: veáse el ejercicio 35). 37. Escríba una descripción del conjunto de número* reales especificando las relaciones entre los con. juntos de números mostrados en la Figura 1.1.

1.2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS OBJETIVOS

1. A prender la notación y term inología asociada con expresiones

algebraicas. 2. Sim plificar expresiones racionales complejas similares a los tipos encontrados en cálculo. 3. A prender las leyes de los exponentes racionales. 4. A plicar las leyes de los exponentes p a ra simplificar expresiones algebraicas. 5. A prender las propiedades de los radicales. 6. Simplificar expresiones algebraicas comunes en cálculo. 7. Racionalizar los num eradores de fracciones encontradas en cálculo.

En esta sección se discuten las operaciones con polinomios y expresio nes racionales, entre ellas las leyes de exponentes y radicales. Primerc se revisarán algunas notaciones y terminología. A fin de indicar un producto, se utiliza el punto centrado (o a me dia altura), •, o algunas veces se omite el símbolo de multiplicación Por ejemplo, el producto de a y b puede escribirse de las formas si guientes: a •b

(a) (b)

a (b) (a) b

ab

Los números a y b reciben el nombre de factores del producto ab. Suponga que se tiene el producto de dos factores idénticos de i Puede utilizarse la notación x 2 para indicarse este producto, donde numeral 2 escrito en la esquina superior derecha del símbolo x se conotf como exponente e indica que el número representado por x se utilizar* en dos ocasiones como factor; es decir, Xa * X ' X

En particular, 3 2 = 3 • 3; esu-Hs, 3 2 = 9.

1.2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

17

En términos generales, si a es un número real y n es un entero po sitivo, entonces a" = a - a • a • . . . • a (n factores iguales a a) donde a n se le denomina exponente, a se conoce como base y a ” re cibe el nombre de /i-ésima potencia de a. Por ejemplo, x 2 es la segun da potencia de x y y 3 es la quinta potencia de y , donde

y5 = y • y * y • y • y La cuarta potencia de - 2 se denota por (-2 )4 y ( - 2)4 - ( - 2) ( - 2) ( - 2) ( - 2 )

<= 16 Cuando un símbolo se escribe sin exponente, se entiende que éste es 1. De aquí que x = x l. Se acostumbra leer x 2, la segunda potencia de x, como “x cuadrada”, y x 3, la tercera potencia de x, como “x cúbica”. La representación de potencias enteras positivas fue introducida, en 1637, por René Descartes (1596-1650). En la Sección 1.1, se expresó que una variable es un símbolo que se utiliza para representar cualquier elemento de un conjunto de reem plazo determinado. Si tal conjunto es R, entonces la variable repre senta un número real. Una constante es un símbolo cuyo conjunto de reemplazo contiene sólo un elemento. Por ejemplo, si se escribe la suma 6x 2 + 2x + 5 la letra x es el símbolo correspondiente a una variable y los numerales 6, 2 y 5 son símbolos para constantes. Algunas veces las letras se usan como símbolos para constantes si éstas designan números fijos, pero no especificados. Por ejemplo, puede escribirse la suma ax + b donde a y b son símbolos para constantes, y x es un símbolo para una variable. La suma 6x 2 + 2x + 5 es una expresión algebraica. El término ex presión algebraica se utiliza para representar una constante, una va riable o una combinación de variables y constantes que implican un número finito de operaciones indicadas (adición, sustracción, multipli cación, división, elevación a potencia y extracción de raíz) sobre ellas. Ejemplos de expresiones algebraicas son los siguientes: 3*y

„ 5 x 2 — Sx + 2

3x 2 - 6xy + y 2 + 2y

V* + y - 4 (z + 2)3 - V x

Una expresión algebraica que comprenda únicamente potencias ente ras no negativas de una o más variables y que no contenga variable

-8

CAPÍTULO 1


alguna en el denominador recibe el nombre de polinomio. Por ejem plo, 2x

5 x 2 - 8* + 2

4jc5 - 6 x 3 + 3x2 - 7x + 1

son polinomios en la variable x. Ejemplos de polinomios en las varia bles^ y y son 3 x 2y i

6x 2 + 8y2

8xy - I x + y - 3

Un térm ino de un polinomio es una constante, o bien, una constante mui tiplicada por potencias enteras no negativas de variables. A un polinomic se le puede considerar como la suma de un número finito de términos. Por ejemplo, 5jc2 - 8jc + 2 puede escribirse como 5jc2 + (- 8*) + 2, y los términos son 5*2, - 8jc y 2. El polinomio 8xy - I x + y - 3 puede escri birse como 8xy + (-7jc) + y + (-3) y los términos son %xy, -Ix, y, y -3. Se dice que cualquier factor de un producto es el coeficiente de lo otros factores. Por ejemplo, en el producto 5xyz el coeficiente de yz es 5x, el coeficiente de x es 5yz, el coeficiente de 5z es xy, etc. Si un coefi ciente es una constante, entonces se conoce como coeficiente cons tante. De aquí que en el producto 5xyz, 5 es el coeficiente constante de xyz. A los términos que difieren sólo en sus coeficientes constantes se les denom ina térm inos sem ejantes. Por ejemplo, 6x 2 y 3x2 son tér minos semejántes, com o lo son x y -4jc. Los términos semejantes de un polinomio se combinan* algebraicamente utilizando la ley distri butiva. En particular, 6x 2 + x + 7 + 3 x 2 — 4jc = {6x 2 + 3 x 2) + (jc — 4jc) + 7 = (6 + 3 )x 2 + (1 - 4)x + 7 = 9 x2 - 3x + 7 Si después de combinar los términos semejantes, un polinomio qued¿ con un solo término, a éste se le denomina monomio; si tiene dos tér minos se le llama binom io; y si tiene tres términos, se conoce conv trinom io. Los polinomios 2jc y 3* 2y 5 son monomios, 6.\ : + 8y 2es un binomio y 5* 2 - 8* + 2 es un trinomio. Con la expresión g ra d o de un m onom io en una variable se referencia al exponente de dicha variable. En particular, el mononw’ 5jc3 es de grado 3. Si un monomio tiene más de una variable, el gr^ 0 del monomio es la suma de los exponentes de todas las variables aparecen en él. Por ejemplo, el grado del monomio 3x 2y 5 es 7. El? 3 do del monomio - 2 .xyz es 3. El grado de un monomio constante dis^ to de cero es 0. La constante 0 no tiene grado. El g rado de un polinomio es el mayor de los grados de sus nos. Por tanto, 7jc2 - 4x + 2 es un polinomio de segundo grado, y - ^ 6 es un polinomio de primer grado. El grado de 6x 2y 2 - 4x3 + *■) debido a quc 6x 2y 2 es el término con el mayor grado, 4. N. del K.

Al proceso de combinar términos semejantes se le llama reducción de términos semejantes.

______________________________ U


19

Si a y b son números reales y b # 0 la división de a entre b puede representarse por a

b Otras notaciones para la división de a entre b son a -r b

y ■ a¡b

Las expresiones | y a /b son denominadas fracciones, el número a es llamado n u m erad o r y a b se le conoce como denom inador. Si el nu merador y el denominador de una fracción son polinomios, entonces se le llama expresión racional. Los siguientes son ejemplos de expresiones racionales 5

3* H- 2

y - 7

jr- - 4

2 3 t2+ t + 5 5rs

r4 + 1

Debido a que el denominador no puede ser cero, se entiende que en las expresiones racionales anteriores, y * 7, jc * ± 2, r * 0 y í * 0; ya que una expresión racional denota un cociente de números reales, las pro piedades de las fracciones también serán válidas para expresiones ra cionales. Si una fracción contiene otra fracción, ya sea en el numerador, en el denominador o en ambos, se le conoce com o fracción compleja. En contraste, una fracción que no es compleja se conoce como una fracción simple.

>


La fracción 3 _ 4 1

5

2 —

5

1 +

—

3

es compleja. Se encuentra una fracción simple equivalente multipli cando el numerador y el denominador por el mínim o común denomi n ad o r (M CDn) de las fracciones presentes.* 1 ' J __ 105 ' f ~ 105 2 1 2 f ♦ ¿ 1 0 5 - 4 ♦ 105

N. del R.

Para determinar

'1 _ 63 - 60 , J j. 1 42 + 35 77 •j

el MCDn se obtiene el MCM de los denominadores de las fracciones.

2 0 __ CAPÍTULO 1

NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ICUACIOWES

dy ► EJEMPLO 1 til

ck

Simplificación de una expresión racional compleja

Simplifique _ J ______1

h

^

h * o

la cual es una expresión encontrada en Cálculo. Solución

El MCDn es x 2 (x + h) 2.

---- \ ^ (x + h)2 x 2 _ h

X 2(X + h)2 --------“ Tí - x 2(x + h)2X¡ (x + h y ________________ x x 2(x + h)2h

_ x 2 — (x + h)2 h x 2{x + h)2 ¿ X 2 - ( x 2 + 2h x + h 2) h x \ x + h)2 _ x 2 — x 2 — 2h x — h 2 h x \ x + h)2 - h ( 2 x + h) ~ h x 2(x + h)2 2x + h x 2(x + h)2 Ahora se establecerán cinco leyes de exponentes enteros positi vos, las cuales aprendió en los cursos previos de álgebra. Cada ley sera seguida por un ejemplo ilustrativo que mostrará su aplicación. Si n y m son enteros positivos y a es un número real, nn.nm ~

>


(a) 23 • 22 = 23+2

(b) jt4 • jc = jc4+i

(c) y3 • y7 88

Si n y m son enteros positivos y a es un número real.

(a")m = a nm

1.2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

21

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 (b) (y4)6 = y 4 6

(a) (23)2 = 23 2

á 26 = 64 Si n y m son enteros positivos y a es un número real donde a * 0, a"~m si n > m í si n < m 1 si n = m

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 (a) - = x

Si n es un entero positivo y a y b son números reales, (ab)n = a nbn

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 (a) (2 • 5)3 1 23 ■53 = 8-125

(b) ( x Y )4 = (.x3)4(y5)4 = j t ,2;y20

= 1 000

>


<

2

CAPÍTULO 1


La definición de a* como el producto de n factores iguales afl sólo tiene significado cuando n es un entero positivo. Si el exponentí es cero o un entero negativo, entonces, se debe definir a* de otra m* ñera. Estas definiciones deben hacerse de tal forma que las mismas le. yes que se aplican para exponentes enteros positivos también sean válidas para exponentes enteros negativos y cero. En particular, en la fórmula a n • a m = a n+m es adecuada para un exponente cero, entonces si a & 0, a n . fl<>¡a a n+0 a n • au = a n Debido a que 1 es el número que tiene la propiedad que a" • 1 = a", sedebe definir # como 1. Ahora suponga que n es un entero positivo, y que -n es un entero negativo. Si la fórmula a" - a m = a n+mes adecuada para un exponente entero negativo, entonces a n • a~n = <2° a n ’ a~" * 1 De aquí que se deba definir a~" como

A continuación se establece

las definiciones formalmente.

DEFINICIÓN

Exponentes enteros negativos y cero

Si n es un entero positivo y a es un número real donde a*0. a° = 1

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 I (a) 6" = 1

(b) 4 -2 = ~ 4

(c) ( —5)°(—2)~'

1

8 Las leyes para exponentes enteros positivos para exponentes enteros negativos y cero.

también se aP

1.2

►

EJEMPLO 2


23

Aplicación de las leyes de los exponentes p a ra exponentes enteros negativos

Escriba la cantidad como un número racional con exponente 1: (a )(2 " 3 • 3 -2) - 1

(b )(2 -3 + 3 -2) - ‘

Solución

(a) (2-»'."3-^-1 » ' 2- ^ =

23

. 32

3-

^

(b) (2- s + 3 -2)-' = '

, ’

— (2 "

+ 3

)

23 + 3J

\ ~ 1 ~ 8

1 —

9

1

^ J7 72 =

—

17

<

Antes de discutir los exponentes fraccionarios, se definirá la raíz n-ésima de un número real.

DEFINICIÓN

R aíz n-ésim a de un núm ero real

Si n es un entero positivo mayor que 1, y a y b son números reales tales que bn= a entonces b es la raíz n-ésim a de a.

>


(a) Dado que 2 2 * 4, 2 es una raíz cuadrada de 4; además, debido a que (- 2 ) 2 a 4, - 2 también es una raíz cuadrada de 4. (b) Como 3 4 = 81, 3 es una raíz cuarta de 81. También debido a que , ( - 3 ) 4 =f 81, -3 es una raíz cuarta de 81. (c) Dado que 4 3 = 64, 4 es la raíz cúbica de 64. (d) Debido a que ( - 4 ) 3 = -6 4 , - 4 es la raíz cúbica de -6 4 . -4

CAPÍTULO 1

N Ú MEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

Observe que en el inciso (a) del ejemplo ilustrativo 8, hay dos raí. ces cuadradas de 4; y en la parte (b), hay dos raíces cuartas de 81. En tales casos, para distinguir entre las dos raíces, se introduce el concep. to de raíz /i-ésima principal.

DEFINICIÓN

La raíz n-ésima principal de un número

real

Si n es un entero positivo mayor que 1, a es un número real, y Va representa la raíz w-ésima principal de a, entonces (i) si a > 0 , 'fa es la n-ésima raíz positiva de a , (ü) si a < 0 y n es impar, \f¡T es la n-ésima raíz negativa de a, y (iii) \ÍÓ =0.

En la definición anterior, el símbolo V~~se llama signo radical. La expresión completa se denomina radical, donde el número a es el radicando, el número n es el índice y representa el orden del radi cal. Si n no aparece, se deberá entender que el orden es 2.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 9 En los incisos (a), (b) y (c) se emplea lo establecido en la parte (i) de la definición anterior, y en la parte (d) se utiliza (ii).

(a) y¡4=2 (léase “la raíz cuadrada principal de 4 es igual a 2”). Observe que aunque - 2 también es una raíz cuadrada de 4 no es la raíz cuadrada principal. Sin embargo, se puede escribir -V4_= -2. ' ^ VsT = 3 (léase “la raíz cuarta principal de 81 es igual a 3”). El número -3 es también una raíz cuarta de 1 y es posible escri

8T = -3 .

8

bir -\Í

V¡64~= 4 (léase “la raíz cúbica principal de 64 es igual a 4” ). >/-64* = - 4 (léase “la raíz cúbica principal de -6 4 es igual -4 ” ) 4

Observe que si a < 0 , 'la está definida únicamente si n es imp^ Por ejemplo, V —16 no está definida como un número real, d e b id o J que no existe un número real cuyo cuadrado sea -16. Para definir un raí/, de orden impar de un número negativo, son necesarios los nuffl ros c o m p lejo s, los cuales serán discutidos en la Sección 1.3.

_____________________________ 1.2


25

La raíz n-ésima principal de un número real b es un número racional si y sólo si b es la n-ésima potencia de un número racional. Por ejemplo, y¡625 = 5 debido a que 54 = 625, y

= - { porque ( - j)3 = -

En la Sección 1.1, se dijo que un número real que no es racional se llama núm ero irracional y no puede ser representado por un núme ro decimal finito o por un decimal infinito periódico. Debido a que 3 no es el cuadrado de un número racional, VJ" es un número irracional. Otros ejemplos de números irracionales son

vi

fir

Ahora estamos preparados para definir un exponente racional de la forma 1fn donde n es un entero positivo. Si la fórmula (a m) " = a mn es válida cuando m es igual a l/n , entonces se tiene ( a x/n)n = a n,n ( a Un)n ~ a La igualdad anterior establece que la n-ésima potencia de a iln es igual a a. Así, se define a [ln como la raíz n-ésima principal de a.

DEFINICIÓN

a llH

Si n es un entero positivo mayor que 1, y a es un número real, entonces si

es un número real,

a l,n = ‘'la

>


(a) 2Sm = V25~

(b) (-8)'° =

= 5

= -2

(c) í ~ j

." I

*

Considere ahora cómo se deben definir expresiones tales como 93 «

82/3

(_27y a

7V4

Si la fórmula a " = (a '1)’ es aplicable tanto para números racionales como para exponentes enteros, entonces a mh' puede ser definida de for ma tal que

^ P jM P I


En la definición se tiene la restricción de que m y n son prim os relatj. vos, io cual significa que ambos no tienen factores comunes enteros y positivos diferentes de 1.

DEFINICIÓN amjK Si m y n son enteros positivos que son primos relativos y a es un número real, entonces si >la es un número real, á nún = ('ía)m <=$ a m/n = (a l/n) m

La doble flecha <=> se usa para establecer q u e el prim er enuncia do equivale al segundo.

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 11 A continuación se aplica la definición de a mJn. (a) 9371 **Si f W f = 33 ¿=27

(b) 1P* = (Í8")2 = 22 =4

(c) (-27)4/3 =(^27)‘ = ( - 3)4 = 81 <

Como la ley conmutativa establece para exponentes raciónale que (a m)Un = (aUn) m. Entonces, a nJn puede evaluarse determinando sea (Va)mo tfa™. Sin embargo, el cálculo de ( ^ía)mes más simple para Va” . Véase los ejercicios 17 y 18. Las leyes de los exponentes enteros positivos son satisfechas pfl exponentes racionales positivos con una excepción. Si a < 0, paracier tos valores de p y q, (ap)q * a M.

>


(a) [(—9)=]l/2 = 811/3

y

=9

(-9)2<1/2) = (-9)1 = -9

Por tanto, [(-9)*]1/2 * (-9)2(,/2). (b) [(—9)2]1/4*=811/4 y (-9)*,/<>a (-9)l/2 (no es un número re*11 =3 Por tanto, [(-9)2]1'4, * (-9)2t,/^

1.2


27

Los problemas encontrados en el ejemplo ilustrativo 12 se evitan adoptando la regla siguiente: si m y n son enteros positivos pares y a es un número real, (a m)Un * | a Un caso particular de esta igualdad ocurre cuando m = n. Enton ces se tiene (,a")Un = | a | (si n es un entero positivo par) = | a | (si n es par)

<=>

Si n es 2, se obtiene

>


(a) [(-9)2]1/2 = | - 9 | = 9

•

(b) [(—9)2]1/4 = | - 9 | 2/4 = 9 in =3

<

Para la fórmula a M = (a O* que se aplica para exponentes enteros negativos, se tiene a -mln -

(pUnym

De la definición de un número entero con exponente negativo, si a * 0, ía l /n)-m —

-----------(aWn) m

Por tanto, se tiene la definición siguiente.

DEFINICIÓN

E xponente racional negativo

Si m y n son enteros positivos y además primos relativos entre sí, a es un número real, y a

0, entonces si '¡a es un número real.

La primera explicación completa sobre los exponentes fracciona rios negativos fue propuesta por John Wallis (1616-1703) en 16S5.

CAPÍTULO 1

NUMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICA$ PE ECUACIONES_______

Sir Isaac Newton (1642-1727) también utilizó tales exponentes en su trabajo. Los exponentes racionales (positivos, negativos y cero) satisfacen las leyes de los exponentes enteros positivos con el supuesto qu( (flm)un = | a \nün CUando m y n son enteros positivos pares.

► EJEMPLO 3

Simplificación de u na expresión algebraica aplicando las leyes d e los exponentes

Simplifique las expresiones siguientes. Cada variable puede ser un nú mero real. (a) ( kV ) 1/4

(b) Í M 2 0 > - 3 ) 2P

Solución (b) [ ( r x f ( y - 3 f ] m = [(-*)*]w l(y-O T ® = \- x \ ¡ > - 3 | = \x \ \ y - 3 \

(a) (« V ),/4 = (h2),/4( v T 4 = - = J a | 1/21v¡

► EJEMPLO 4 M

Simplificación d e u na expresión algebraica encontrada en Cálculo

Simplifique: 4 x \ x 2 + 1) ,/2 - x 4[ j ( x 2 + l) ~ l/2(2x)] [ ( x 2 + 1),/2]2 Solución Los dos términos del numerador contienen el factor co mún (jc2 + 1)~m. 4 x ( x 2 + l ) l/2 - x \ { ( x 2 + l ) _l/ 2(2jc)] [(x 2 + l ) ,/rp

1.

m

1 x + h

1I x

4

En Cálculo, algunas veces es necesario racionalizar el numerado' de una fracción; si se desea obtener una fracción e q u iv a le n te que11 contenga algún radical en el numerador. Recordando el producto (a + b) (a - b) * a2 - b2

m

IflM En los ejet Iií-Sa compleja eJ ( x 2 + 1 )" ,/ 2[4jc3(jc2 + 1) - -T mentes en Cálculo. presión racional sil xr +T~

4xs + 4*3 — x 5 ” (x 2 + 1),/2(jc2 + 1) 3jc5 + 4 x 3 “ p + 1)3/2

//*

w

3.

4.

3 * + 3h +

2x + 2h

1.2


29

le *ites

C ada factor es llamado el conjugado del otro. El concepto de con ju g a d o es usado para racionalizar el num erador de una fracción cuando el num erador es un binomio que contiene un radical de or den 2. En el ejem plo siguiente se m uestra el procedimiento.

Puest0(k

► EJEMPLO 5 es

*0*0

Racionalización d el num erador de una fracción encontrada en Cálculo

11%

Racionalice el numerador de: serun.

>¡x -f h —

donde x > 0,x + h > Oy h * 0

--------- 7 -------

Solución Multiplique el numerador y el denominador por el conju gado del numerador.

h - V x _ (Vx + h - Vx)(Vx + h + Vx)

Vx. +

-m

h

h (V x + h + V x) _ ( V x + h f - V x V x 4- h + V x V x + h - (Vx)2 h(VX + h + V x) (x + h) — x h ( V f +- h + V x) _______h_______

•braicc

h (V x +. h + V x )1

Vx + h + Vx

factor»

1)

EJERCICIOS

1.2

I(I ] En los ejercicios 1 a 8, la expresión racional ci-SB compleja es similar al tipo de expresiones p re sentes en Cálculo. En cada ejercicio, e ncuentre u n a ex presión racional simple equivalente, considere que h ¿ 0 .

5.

(4 + h)2

16

x + h

1

x +h

4.

I x

2.

3x + 3h + 2

3x + 2

2x -r 2h - 5

2* - 5

3 + h 4 + h

3 4

6.

( x + h )2 + 1

x2 + 1

7.

8

.

I + /»)' + 1

2

30

CAPÍTULO 1

NUMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

En los ejercicios 9 a 16, escriba la cantidad como un número racional con exponente 1. 9. (a) (32)4 (b) (2 • 3)5 (c) (b )2 10. (a) (2 2) \

( o (A y 11. (a) < - 5 r 3

(c) 36,/2 2 12. (a). (c) ( —8)l/3

13. (a) ( - s ) ‘2/ (c) 2~3 • 7~'

14. (a) ( jy) ( - 3 ) ‘4 (c) (—4)“'\ 2"3 + 3' 2 15. (a) 2 "4 + 3_l 6 "' + 2 ~3 16. (a) 5° + 4“

(d) (b) (3,- 5)4 ( 2a • 52\ 2 (d) 7

23. [( 4)4(m + 1)8(m (-S )V 24. (x 2 + 4 )2 dy

ejemplo 4. 25. 26.

(b) 9 -3°

27.

(b) —0.163/2 (d) 2~4 - 24 (b) —0.0016~3/4 (d) (4_1 2~3Y X (b) [< -9 )2],/2 (b) [(—36)2],/4

17. En el ejemplo ilustrativo 11, se aplicó la definición: a= ^ía)m. Realice los cálculos en las partes (a)-(c) considerando que a mín = â m. 18. Simplifique de dos formas diferentes: (i) a m,n = $ a ) m; (iij a nJn = 'lam, las expresiones siguientes: (a)4w (b) 163/4 (c) * - ^ ) 2*3 En los ejercicios del 19 al 24, simplifique la expresión donde cada variable puede ser cualquier número real.

En los ejercicios 25 a 30, la expresión apar^

// dg en Cálculo. SimpUfiquela de manera similar¡

(b) ( - 6)~2 (d)

(d) (f ) ' 4

4 )4] 1 4

(.x + l ) l/2 - x[^(x + 1)~l/2] [(x + 1),/2]2 (x - 1)2/3 - x[¡(x - l ) - ,/3] [(x -

D 2/iT

3x2(2x + 5)l/2 - x 3[j(2x + 5)~l/2(2)] r ^ j-(2jc + 5),/2p

5(jc2 — 1),;2 - 5x[i(x2 - l)~,/2(2*)] [(x2 - \ y ' 2Y 4 x3(3x2 + l) l/2 ~ x*[j¡(3x2 + 1)~i/2(6jt)] 29. [(3jc2 + l) ,/2P 28.

30.

|(3 x + i r 2/3(3X2x - 3),/5 - ( I r + l),/5[j(2x - 3)-,y2(2)] í( 2 x - 3 )í/2]2

£h los ejercicios 31 a 38, la expresión es com en Cálculo. Racionalice el numerador. Toáosle radicandos y todas las variables representan núnun positivos; ninguno de los denominadores es cero.

//

31. 33. 34.

V4 + h - 2

32.

V 3 + h - V3

V2(jc + h) + 1 - V 2x + 1 V3(jc + h) - 2 - V 3 x ~ 2

35. V T T l i h h + 2

36.

V 2h+_9 J Vh + 2 - v. /j + J__

19. (a) ( A 8),/4 (b) (4.94/ l0),/J

37.

20. (a) (9 x Jy 4) ,/2

En los ejercicios 39 y 40, emplee la expresión siguiente

(b) (a*b,I)l/4 21. (a) [(~3>ó4(y - 2)2J i/2 (b) [(—2)8(jt ~ 2)*(2 — v)4l l/4

22. (a) [í-2a\*íh + 2)*]l/4 (bf [< -3}°x-(x2 + 9 )?]i/2

Vh + 1

38. -

h

a 3 - b 3 = (a - b) ( a 2 + ab + b 2)

39. /7dv] Racionalice el numerador de ~~~~T

llt

40. 177dv| Racionalice el numerador de

h

(h + lr

1

1.3

41. (a) Simplifique la expresión

C O N JU N TO DE N U M EROS COMPLEJOS

31

43. Si b n = a y b y Va son números reales explique por

(X2 + 6jt + 9 )1/2 - ( x 2 - 6x + 9 ),/2

qué no se puede concluir que b = va. En su explica ción incluya un ejemplo numérico particular. 44. Un exponente entero positivo de un número real a

(b) ¿Para qué valores de x, la expresión del inciso

(a) es equivalente a 6? 42. (a) Simplifique la expresión

U2 - %x + 16)l/2 + (jr2 + 8x + 16)1/2

puede ser definido de la manera siguiente: a 1 = a, y si A: es cualquier entero positivo tal que a k está definido, entonces a k*1 = a k • a. Explique por qué esta definición es equivalente a a n = a ■ a • a ■ . . . ■ a.

(b) ¿Para qué valores de x, la expresión del inciso (a) es equivalente a 2x1

1.3

(n factores iguales a a)

donde n es cualquier entero positivo.

CO NJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS OBJETIVOS

1. 2. 3. 4. 5. 6.

A p re n d e r a c e rc a del co n ju n to d e nú m ero s com plejos. D efin ir la ra íz c u a d ra d a d e c u a lq u ie r n ú m e ro real. D efin ir la ra íz c u a d ra d a p rin c ip a l d e u n n ú m e ro negativo. A p re n d e r las p ro p ie d ad es d e los n ú m ero s com plejos. R e a liz a r cálculos con n ú m ero s com plejos. C a lc u la r p o tencias d e i.

Aun cuando en Cálculo sólo se trabaja con números reales, es impor tante que se fam iliarice con el conjunto de números complejos. Esto será evidente en el capítulo siguiente cuando los números complejos aparezcan com o soluciones para algunas ecuaciones. Además, se utili zan raíces com plejas de ecuaciones para resolver ciertas ecuaciones di ferenciales en Cálculo. Consecuentemente, se dedica esta sección a un estudio inform al de los números complejos. En la Sección 1.2, se definió la n-ésim a raíz de un número real. D icha definición establece que si n es un entero positivo mayor que 1 y a y b son núm eros reales tales que bn = a entonces b es la n-ésim a raíz de a. Se ha indicado que si a < 0 y n es un entero positivo par, no existe raíz n-ésima real de a debido a que una potencia par de un número real siempre es un número positivo o cero. Por ejemplo, suponga que se tiene la ecuación b 2 = -2 5 No hay un núm ero real que pueda ser sustituido por b en esta ecua ción. Por tanto, no existe una raíz cuadrada real de -2 5 . Por consi guiente no existe, de manera similar, raíz cuadrada real de cualquier número negativo.

12

C A PÍTU LO 1

N Ú M E R O S , EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

A fin de co n sid erar raíces cuadradas d e núm eros negativos, se de ben tratar con núm eros diferentes a los núm eros reales. Se d e b e tener un co n ju n to de núm eros que co n ten g a al conjunto R de números reales co m o un su bconjunto y que tam bién co n ten g a raíces cuadradas d e nú m eros negativos. D icho conjunto de núm eros se denota por C y se hace referencia a él com o el conjunto de n ú m e ro s com plejos. L o pri m ero que se requiere es que el conjunto C sea tal que el número real -] tenga raíz cuadrada. S ea i un sím bolo para un n ú m ero en C c u y o cua drado es - 1 ; es decir i 2 = -1

D eb id o a q u e ca d a n ú m ero real es un e le m e n to d e C , se d e d u c e que si b e R , en to n ces b e C. Se d e se a q u e el c o n ju n to C se a cerrado b ajo las o p e ra c io n e s de a d ició n y m u ltip lic a c ió n . P a ra q u e la ley de la cerrad u ra de la m u ltip lic ac ió n se cu m p la, el n ú m ero b ■ i, abre v iad o bi, d eb e se r un elem e n to d e C. A d e m á s , si a 6 R, e n to n c e s a e C, y si la ley de la c e rra d u ra d e la a d ic ió n es a p lic a b le , el nú m ero a + b i será un ele m e n to d e C. A h o ra se tie n e un c o n ju n to C. a! que se llam ará c o n ju n to d e n ú m e r o s c o m p le jo s , el cu al s e repre sen ta en sím b o lo s com o

C = {a + bi | a, b E R, i 2 = - 1 } Para el núm ero com plejo a + bi, el n úm ero a se conoce como h p a r te re a l y el núm ero b se den o m in a la p a r te im a g in a ria .

t> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 (a) El núm ero - 3 + 6i es un núm ero com plejo cu y a parte real es - 3 ) la parte im aginaria es 6 . (b ) El núm ero 7 + ( - 4 ) i es un núm ero com plejo cu y a parte real es 7 y la parte im aginaria es - 4 . < Si - p es un núm ero negativo, entonces el núm ero complejo a + (-/’>' puede escribirse com o a - pi. Por tanto 7 + (-4 )í = 7 - 4 / U n núm ero real es un núm ero co m p lejo cu y a parte imaginaria es 0 ; o sea, que si a es un núm ero real,

a = a + Oí Por tanto, R es un subconjunto de C. O tro subconjunto de C es el con ju n to 9 de n ú m e ro s im ag in a rio s definidos por

J = [a + bi t

b € R, ¿2 = - l,¿ > * 0 )

El número 0 + bi se puede escribir más fácilmente como bi, o sea. 4

1.3

CONJUNTO PE NÚMEROS COMPLEJOS

33

bi = 0 + bi Este número se denomina número imaginario puro.

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 (a) El número complejo -5 + 2i es un número imaginario. (b) El número complejo 8 / es un número imaginario puro. (c) El número real - 3 es un número complejo, y puede ser escrito co m o - 3 + 0/. (d) El número real 0 es un número complejo, y puede ser escrito como 0 + Oí . ^ El término número imaginario es una elección histórica poco afortunada, y proviene del hecho de que una ecuación tal como jc* = -1 no tiene solución en el conjunto de números reales. Desde el siglo X V , los matemáticos encontraron conveniente el considerar una ecua ción como Jt2 = -1 de la misma manera que una ecuación como x2 = 4, la cual tiene soluciones reales. Desde su punto de vista, un número cuyo cuadrado es -1 no era real sino algo imaginario. Rene Descar tes, en 1637, introdujo las palabras real (vraye) e imaginario (imaginaire) relacionadas con los conjuntos de núm eros, y Leonhard E u le r (1707-1783) en 1748 em pleó, el sím bolo i para representar un núm ero cuyo cuadrado es -1 . El térm ino y la sim bología han permanecido, aun cuando los números imaginarios son “cosas reales” com o los números 7, - 4 y Ahora se establecerá una definición que permite que.cualquier nú mero real (positivo, negativo o cero) tenga una raíz cuadrada.

DEFINICIÓN

Raíz cuad rad a de cualquier núm ero real

Se dice que el número s es una raíz cuad rad a de un número real r si y sólo si s2 = r

Se sabe que cualquier número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, y el número 0 tiene sólo una raíz cuadra da, 0. ¿Qué hay acerca de la raíz cuadrada de un número negativo? En particular considérese el número —2. Entonces

CAPÍTULO 1


por lo que a partir de la definición, tanto i^Í2 como - h ¡2 son raíces cuadradas de -2 . De manera más general si - p es cualquier número ne gativo, entonces p es un número positivo y tanto i'ip como - i 'íp son raíces cuadradas de —p. Al igual que con las raíces cuadradas de los números positivos, se distingue entre las dos raíces cuadradas usando el concepto de raíz cuadrada principal.

DEFINICIÓN

Raíz c u a d ra d a p rin cip al de u n n ú m ero negativo

Si p es un número positivo, entonces la ra íz c u a d ra d a princi pal de - p , denotada por V -p , está definida por ¡ | j | = i'fp

Las dos raíces cuadradas de - p se escriben como V-/? y - V-p, c cómo i 'Jp y - i vp.

>


(a) ^P5 = /V5~ Las dos raíces cuadradas de - 5 son i>Í5 y - i^ S . (b) j A 6 = b Il6 = 4i Las dos raíces cuadradas de -1 6 son 4/ y —4 i. (c) -£ T = /V T ==í Las dos raíces cuadradas de -1 son i y - i.

<

Se dice que un número complejo está en su fo rm a están d ar cuan do se escribe como a + bi, donde a y b son números reales.

► EJEMPLO 1

Expresión de un número complejo en la formo estándar

Escriba en la forma estándar a +bi. (a) V^9~; (b) 5 - 6V-4; (O -V I + ; (d) V24”+ 5V^27. Solución (a) V ^ 9 « i V 9

(b) 5 - = 5- 6(i V 4)

= 3i

« 5 -

6(2i)

» 0 + 3i

= 5 +

( —12*)

1.3

CONJUNTO PE NÚMEROS COMPLEJOS

35

(c) - V J | + V - 2 5 = - f + i V 25 =

-T +

Sí-

Id) V^4 + 5 V - 2 7 = V 4 V 6 + 5 (/V 9V 3) = 2 V 6 + 5(/ • 3V 3) = 2V 6

DEFINICIÓN

+

15V 3#

-4

Igualdad de dos números complejos

Se dice que dos números complejos a + bi y c + di son igua les si y sólo si a = c y b = d.

>


Si * + 4i = - 6 + yi Entonces x = - 6 y y = 4.

-«

Se desea definir la adición y la multiplicación de números comple jos, de tal forma que sean validos los axiomas para estas operaciones en el conjunto de números reales. A fin de llegar a tales definiciones, se consideran dos números complejos a + b i y c + di como si fueran po linomios en i y luego se simplifica el resultado considerando i} = - 1. De esta manera

(a + bi) + (c + di) m a + c + bi + di . = (a + c) + (b + d)i

y (a + bi){ c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac 4- (ad + bc)i + bd(—1) = (ac — bd) + (ad + be) i Entonces se tiene la definición siguiente.

DEFINICIÓN

Sum a y producto de dos núm eros complejos

Si a + b i y c + di son números complejos, entonces

(a + b i) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

CAPÍTULO 1


Mediante la anterior definición se puede demostrar que el conjur to C es cerrado bajo las operaciones de adición y multiplicación. Tairf bién puede probarse que la adición y multiplicación en C su conmutativas y asociativas, y que la multiplicación es distributiva so bre la adición; esto es, si u , v , w £ C, entonces u + V == V + u

uv — vu

(u + v) + w = U + (ü + w)

(uv)w = u(vw)

u(v + w) = uv + uw Más que memorizar las definiciones, se sugiere que realice cálculos con números complejos, como en el ejemplo siguiente.

►

EJEMPLO 2

Suma y m ultiplicación de números complejos

Encuentre la suma y producto de los siguientes números complejos: 5-4/

y

- 2 + 6i

Solución

(5 - 4i) + ( - 2 + 60 = 5 - 2 - 4/ +

61

= 3 + 2/ (5 - 4/)(—2 +

61)

= - 1 0 + 30/ + 8/ - 24i 2 = - 1 0 + 38i - 2 4 (—1) = - 1 0 + 38/ + 24 = 14 + 38/

El elemento neutro (o idéntico) aditivo en el conjunto de nuntf ros complejos es 0, el cual puede escribirse como 0 + Oí. El inven* aditivo de un número complejo a + b ie s - a - bi, debido a que (ia + bi) + (-a - bi) = [a + (-fl)] + [b + (-b)]i

=

0 + 0/

Por tanto, -

(a + bi) = - a - bi

Como en los número reales, la resta de números definida en términos de adición; es decir, (a + bi) - (c + di) = (a + bi) + [—(c + di)] = (a + bi) + (—c — di) = (fl —c) + (b — d)i

c o m p le jo s

1.3

► EJEMPLO 3

CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS

37

Sustracción de números complejos

Encuentre la diferencia de los números complejos del ejemplo 2. Solución (5 - 4í) - (-2 + 0 0 = 5 - 4/ + 2 - 6 / = 7 - 10/

<

Como (a + bi)( 1 + 0/) = a • 1 + a • Oí + 1 • bi + bi • Oí = a + Oí + bi + Oí2 = a + bi se deduce que el neutro (o idéntico) multiplicativo en C es 1 + Oí, el cual es el número real 1. El conjugado del número complejo a + bies a - bi.

>


(a) El conjugado de 3 + 2 í es 3 - 2 í. (b) El conjugado de - 4 - 5í es - 4 - (—Si)o de forma equivalente $ - 4 + 5i. < Ahora se calculará la suma y el producto deun número complejo y su conjugado: (a + b i) + (a - b i) = 2 a

(a + b i)(a - b i) = a 2 - b 2i 2 = a 2M b 2 ( - 1) = a2 + b2

Observe que en ambos casos se obtiene un número real. El concepto del conjugado es útil en ciertos cálculos con números complejos. Por ejemplo, para representar el cociente a + bi c + di

en forma estándar u + vi, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Esta operación se realiza en el ejemplo siguiente.

► EJEMPLO 4

División de números complejos

Encuentre el cociente de los números complejos 5 - 4í y -2 + 6i.

CAPÍTULO 1


Solución 5 - 4i _ - 2 + 6/

(5 - 4 i)(—2 - 61) (—2 + 6 /)(—2 — 6 0 -1 0 -

2 2 / + 2 4 i2

4 - 36/2 -1 0 -

2 2 / + 2 4 ( —1)

4 —,3 6 (—1) - 3 4 - 22/ 40 _ i? _ n

20

.

201

4

El inverso m ultiplicativo (o recíproco) del número complejo a + bi e s --------- . Usando el método del ejemplo 4, como se muestra a + bi en el siguiente ejemplo ilustrativo, se puede expresar el inverso multi plicativo en forma estándar.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 El inverso multiplicativo de 4 - 3í es Para representar este núme ro complejo en la forma estándar a + b i, multiplique el numerador ye¡ denominador por el conjugado de 4 - 3í. Entonces se tiene _ J __ ^ 4 - 3í

1 • (4 + 3í) (4 - 3í)(4 + 3/)

=

4 + 3¿ 16 - 9 / 2

=

4 + 3/ 16 - 9 ( —1)

= é + hi •Así, el inverso multiplicativo de 4 - 3í es ^ + --i. Por lo que (4 - 3 0 & + ¿ í ) = £ + %i - 551 ~ h i 2

= 16 + 9 25 -= 1

En resumen, se tienen

la s

propiedades siguientes del conju°l

4

1.3

CONJUNTO DE NUMEROS COMPLEJOS

39

El conjunto de números complejos

1. El conjunto C es cerrado bajo las operaciones de adición y

multiplicación. 2. La adición y la multiplicación en C son conmutativas y aso ciativas; la multiplicación es distributiva sobre la adición. 3. Hay un elemento idéntico para la adición y un elemento idén tico para la multiplicación. 4. Cada elemento en C tiene un inverso aditivo y cada elemento en C, excepto 0 + Oí, tiene un inverso multiplicativo.

Estas propiedades son los axiomas de campo discutidos en la Sec ción A .l del Apéndice. Por tanto, el conjunto C es un campo bajo las operaciones de adición y multiplicación. Consecuentemente, las leyes de los exponentes se aplican a potencias positivas enteras de /.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 = i2i

Í4 =

= (-!)/

I 2/ 2

i5 =

i4i

= ~i

I6 =

)i

= (-!)(_ !) = i

' - 1

I 4/ 2

- 0 K -1 ) = -1

<

En el ejemplo ilustrativo 7, se ve que los resultados obtenidos son j, —*, 1, y -1. Al observar que i 4 = 1, se puede encontrar cualquier po tencia positiva entera de i, y es uno de los cuatro números obtenidos en el ejemplo ilustrativo 7.

► EJEMPLO 5 Encuentre:

Cálculo do potencias de i

( a ) /9; ( b ) i23; (c) l/i3.

Solución

(a) <’ = <*< (i4) 2i

(b) i n = i mi 2i = (/4)3( - l)f

(1)2I

- (1>5(-1 )¿ .

I

——i

(c) 4 = l —l 1d -i7 i - ( - 1)

40 CAPÍTULOi 1


>

EJEMPLO ILUSTRATIVO 8 = (iV 4 ) (iV 2 5 )

= (2/)(5 í ) -

10f*

= -1 0

<1

Observe que en el ejemplo ilustrativo 8 antes de multiplicar seha1 expresado V^4 y V-25 como hl4 e hl25, respectivamente. A fin de] evitar cometer un error, se recomienda reemplazar el símbolo "fZT cuando p > 0, por i>fp antes de realizar cualquier multiplicación o divi sión (véase los ejercicios 49 y 50).

► EJEMPLO 6

Multiplicación y división de números complejos que contienen radicales

Haga las operaciones indicadas y exprese el resultado en la forma a + b¡. (a) V ^ 5 ( V l 5 - V ^ 5 )

(b) (2 - V ^ ) -s- (2 + V ^ü)

Solución*

«

^

^

*

K

p

'

Í

= 4 ~

= 5 + 5 iV 3

4 ~ 9,2 i 4 ~ 12/ + 9 (- n _

EJERCICIOS

61 ~

= ;v W 3 - (-i)V ?

« +

“ 4 -9 (^ r i - 5 § 12i 13 5

12

13

13'

1.3

En los ejercicios l a 4, escriba el número complejo en la forma a ♦ bi 1. (a) 5 (c) 3 + V ^ 2 5

(b) \ ^ 4 9 (d) 3 -

2. (a) - 4 (c) - 2 + V ^ 1 6

(b) V ^3 6 (d) - 2 - V T fg

N. de R. -I resultado de ejemplo 6(a) es 5 + 5/V5", en donde se ha colocado a i entre 5 y V3~ esto se hace así para evitar posibles confusiones.

1J

(c) —V36 + V

36

(b)

-8 +

(d)

3

4. (a) —4 + V —4

5

_

V^48

(d) 54 +

(O 2

34. (V ^5 - 3)(2Vr^5 + 4) 35. 1 -5- (3 + 2i)1 36. 1 + (4 - 2f)*

-ÍV ^ 4 5

(b) 48

E n los e je rc ic io s 3 7 a 4 4 , sim p lifiq u e la expresión.

162

37. (a) i ii 38. (a) i

En los ejercicios 5 a 36, realice las operaciones indica das y exprese el resultado en la form a a + oí.

39. (a)

5. (a) (5 + 2i) + (7 + i) (b) (3 - 60 - (2 - 4i)

40. (a)

6. (a) (4 — 3i) + ( —6 + 8/)

(b) 7i -

8. (a) (3 + 80 + (“ 3 -

(b) 9 -

(b) i33 (b) i31

1 i5 1 r

(5

- 0

(2 - 4 0

(c) i26 (c) i47

0»

(c )f6

(b) i

JTa

41. (i4 + i3 " i2 + 1)* 42. (2i + 3 Í íy 43. (2i! + 3i 2 + 4¿3 - i6)3 1 £

(b) (7 + 10/) - (1 “ 5 0 7. (a) ( - 9 - 4 0 + (3 + 4 0 60

^

44. (i

1

3. (a) 8 - 5 N /- T

C O K iU N T O P E H ÚM EROS CO M m i n c

l)2 - (“ ¿ - D2 + i4

9. (5 + 2 ^ —9) + (3 + 4 V -2 5 ) En los ejercicios 45 a 48, encuentre el valor de la ex presión para el valor indicado de x.

10. (4 - 3 V -1 6 ) + ( -1 - V ^ 4 ) 11. ( - 3 - V - 2 0 ) - (6 - V —45)

12. (4 - V ^ ) - (2 - V 3 ^)

45. x1 - 2x + 3; x = 1 - ¡V 2

13. (a) V - 9 V - 2 5

(b)

46. x1 - 2x + 4; x = 1 —

14. (a) V ^ V - l ó

(b) V - 5 V - 7 5

47. Ax1 + 4jc + 3; jc = .K t> + ^ * 5 ' 48. 3jc2 - 2x + 2; x = i ( l -

15. V -1 2 V - 1 6 V - 2 7

49. Calcule:

16. V^27 V -5 4 V - 1 62 17.

(a) '¡4'¡25 y ^4 • 25 (b) aP4>C m y

- V ^ l)

9V -T 8)

18. V ^ 7 I (V -2 -

(c) -^4%P25 y _J4(-25) (d) ¿En qué condiciones "Ja • 'Ib y \lab son iguales? 50. Calcule:

19. (2 - 70(2 + 7i) 20. (4 - 3¿)(-l + 2i) 21. (3 + 2V/ z 3 )( -2 + 3 V - 3 )

(a)

22. (2 - V ^2 )(2 23. ( - 3 - 3V~-Í)2 24. (V^3 - V ^ 2)2

25. - 5 + i

26. 7 +• 3ii

27. 1 + (2i - 3)

2*. - 4

+

/)

29. (3 + 2f) + (2

30. (2 - 5¿) +

3/

31. (3 + 20

4- ( 6

32. (2 - 6/) + (21 - 3) 33. I + (3 + V ^ 2 )

-

+ 4¡

'ííó'

(b)

nÍÍ6 >1=4 5

(c)

yPÍ6 NÍ4

v VÍ6 l4) jr f

. aIS

(e) ¿En qué condiciones -£• y son iguales? No ^ o

42

CAPÍTULO 1 NUMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS D i ECUACIONES

1.4

PLANO NUMERICO OBJETIVOS

FIGURA 1.15

y

(ordenada)

O

X (abscisa)

FIGURA 1.16

1. 2. 3. 4. 5.

Establecer el sistema rectangular de coordenadas cartesiana Aplicar y fam iliarizarse con el teorem a de Pitágoras. A prender y aplicar la fórm ula de distancia. A prender y aplicar las fórm ulas de punto medio. P ro b ar algunos teoremas de geometría plana por medio de geometría analítica.

El origen de la geometría analítica es acreditado a René Descarta (1596-1650), matemático y filósofo francés. En su libro Geometrk publicado en 1635, Descartes estableció la unión del álgebra y la geo metría por medio del sistema coordenado cartesiano rectangular (11* mado así en honor a Descartes). Este sistema coordenado utiliza para ordenados de números reales. Dos números reales cualesquiera forman un par, y cuando el or den de los números tiene significado se denomina p a r ordenado. Sii es el primer número real y y es el segundo, este par ordenado es deno tado por (x, y). Observe que el par ordenado (5, 2) es diferente del pv ordenado (2 ,5). El conjunto de todos los pares ordenados de números reales se Ib* ma plano numérico, denotado por R2, y cada par ordenado (jc, y) es ib punto en el plano numérico. De la misma manera que /?, el conjunto de números reales, puede ser identificado con puntos sobre un eje (es pacio unidimensional), se puede identificar R2 con puntos en un plano geométrico (espacio bidimensional). Para ello, se eligen dos rectas en d plano geométrico, una horizontal, llamada e je x , y otra vertical, denomi nada e je y. El punto de intersección de los ejes x y y recibe el nombre de origen y se representa por la letra O. Las unidades de medida en 1« dos ejes es comúnmente la misma. Se establece que el sentido positivo del eje x es hacia la derecha del origen y el sentido positivo en el ejej es hacia arriba del origen. Véase la Figura 1.15. Ahora se asociará un par ordenado de números reales (*, y) c(* un punto en el plano geométrico. En el punto x sobre el eje horizontal y el punto y sobre el eje vertical, se trazan segmentos de recta perpeo diculares a los ejes respectivos. La intersección de estos dos segmentosd* recta perpendiculares es el punto P asociado con el par ordenado (x )')'j véase la Figura 1.16. El primer número, jc, del par recibe el nombre* abscisa (o bien, coordenada jc) de P y al segundo número, y, se Ic^ nomina ordenada (o coordenada y) de P. Si la abscisa es positiva, ’ se encuentra a la derecha del eje y; y si es negativa, P se encuentra i '* izquierda del eje y. Si la ordenada es positiva, P está por arriba del Pr x\ y si es negativa, P se halla por debajo del eje x. La abscisa y la or^1 nada de un punto reciben el nombre de coordenadas cartesianas r# (angulares del punto. Existe una correspondencia uno a uno entre puntos ubicados en un plano geométrico y R2\ es decir, a cada punW corresponde un único par ordenado {x, y) y con cada par ordenado

jA

1.4 PLANO NUMÉRICO

( 8 .5 )

(- 4 ,5 ) » t ía s .

( 1. 2 )

«-»■H t I

I » I I -H 1.i H

(- 6, 0)

(2, 0)

( 9 .- 7 ) «

artes ■tría, geo-

FIGURA 1.17

(11a•a r e s

segundo cuadrante

primer cuadrante

está asociado sólo un punto. A esta correspondencia uno a uno se le conoce como sistema coordenado cartesiano rectangular. La Figura 1.17 representa un sistema coordenado cartesiano rectangular con al gunos puntos localizados gráficamente. A los ejes x y y se les llama ejes coordenados. Éstos dividen el plano en cuatro partes que se donominan cuadrantes. El primer cua drante es aquél en el cual las abscisas y las ordenadas son positivas; esto es, el cuadrante superior derecho. Los otros cuadrantes se nume ran en el sentido opuesto al giro de las manecillas del reloj, por lo cual el cuarto cuadrante es el inferior derecho. Véase la Figura 1.18. Debido a la correspondencia uno a uno se identiñca a R2 con el plano geométrico. Por esta razón, a un par ordenado (x, y) se le deno mina punto. Ahora se discutirá el problema de encontrar la distancia entre dos puntos en R2. Si A es el punto (jr„ y,) y B es el punto fo, y,), donde A y B tienen la misma ordenada, pero diferente abscisa, la distancia diri gida de A a B se denota por AB, y se define como

1 o rSi X

43

AB

O

eno1 par

Ilas un jnto (es taño n el anie de los tivo

co®

cuarto cuadrante

tercer cuadrante

> FIGURA 1.18


Refiérase a la Figura 1^19 (a), (b) y (c). Si A e£el punto (3,4) y B es el punto (9, 4), entonces AB = 9 - 3; o sea que AB = 6 . Si A es el punto (~ 8 , 0)yZ?es el punto (6 , 0), en consecuencia AB = 6 - (- 8); de donde A# = |4 JS i A es el punto (4, 2) y B es (1, 2), entonces AB = 1 - 4; y por tanto, AB = -3. Se observa que AB es positivo si B está a la derecha de A, y AB es negativo si B se ubica a la izquierda de A.

5 ( 9 , 4)

A { 3 .4 )

ntal

ien5 de ; de de-

1 ,2 )

¿ ( 4 .2 )

» I l I t I t fO I ■I1I f I ♦ * -V -)----1— i— f— - (- 8, 0) ( 6 . 01----------) H— |---------------------------------------------- 1-------- 1----------- 1----------1----------1----------AB - 6 (a)

AB = - 3

A B = 14

(c)

(b) .

uP

a 1^ eje -detí'

ios ;>>

FIG U R A 1.19

Si C es el punto (x„ .y,) y Des el punto (x„ y,), entonces la distan cia dirigida de C a D, denotada por CD, está definida por

44

CAPÍTULO 1

NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRAFICAS DE ECUACION^

> £>(-2,4)

¿>(1,-8) « - 2 ,- 3 CD * -6


Refiérase a la Figura 1.20 (a) y (b). Si C es el punto (l,2)y Des(| J entonces CÓ = - 8 - (-2); o sea que CD = - 6 . Si C es el punto ¡ I y_D es (-2, 4), entonces CD = 4 - (-3); esto es, CD = 7. El nún* I ~ÜÜ es positivo si D está arriba de C, y es negativo si D se ubicaaba. jo d e C .

CD~ 7

FIGURA 1.20

fl*

Observe que el término distancia dirigida indica al mismo tiempo una distancia y una dirección* (positiva o negativa). Si sólo interesal) longitud del segmento de recta entre los dos puntos P, y P2(que esla4 tancia entre los puntos P, y P2 sin considerar la dirección), entonces* utiliza el término distancia no dirigida. Para representar la distanda no dirigida de Px a P2 se utilizará | PXP2 1, el' cual siempre es un¡m ro positivo o cero. Si se emplea la palabra distancia sin adjetivo, ya sea dirigida o no dirigida, debe entenderse que se hace referenciaa una distancia no dirigida. Ahora se desea obtener una fórmula para calcular la distancia | P yP2 1, si Pi(xlt y,) y P2(x2, y-i) son dos puntos cualesquiera en el pia no. Para ello, se utiliza el teorem a de Pitágoras de la geometríaplana mostrado en la Figura 1.21, el cual se establece como sigue.

**

FIGURA 1.21 TEOREMA

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, si a y b son las longitudes de los la dos perpendiculares y c es la longitud de la hipotenusa, entonces + b2 =

La Figura 1 .22 muestra en el primer cuadrante a P\ y P2) R(x2, y i). Note que | P¡P2 1 es la longitud de la hipotenusa del triánp rectángulo />, RP2. Del teorema de Pitágoras se tiene \ K p 2\2 = \ K r \2 + \ r p 2\2

\ P i P2\ = V \ p t R \ 2 + \ r p 2 P \P\Pi \ — v f e FIGURA 1.22

x ¡)2 + (y2 — y \)2

En esta fórmula no se tiene el símbolo ± frente del radical que | P\P21 es un número no negativo. La fórmula es válida ParaIj(lll) las posibles posiciones de P¡ y P2 en los cuatro cuadrantes. Lato*# |h

. d e l R. Esta dirección, positiva o negativa, puede interpretarse como el sentido en que se recorre un segmento. P°' B indica que el segmento, cuyos extremos son A y B, se recorre de A a B ; mientras que BA es recorrido de Bu A.

1.4

PLANO NUMÈRICO

45

de la hipotenusa siempre es |P |P 2|, y las longitudes de los catetos siempre son | P tR\ y | RP21. Entonces se tiene la fórmula siguiente.

Fórmula de distancia

La distancia entre dos puntos* P\(x{, y¡) y P2(x2, y2) está dada por I = V(x2 - X{) 2 + (y2 - y,):

l/y*2l = 1 *2 Si P, y P2 están sobre la misma recta horizontal, como en la Figu ra 1.23, entonces y2 = y, y

\PxPl\ = V (jt2 ~ X Xf + O2

FIGURA 1.23

<=>

\PiP2\ = \ x2 ~ X\ \

(porque V a 2 = \ a \ )

Además, si P, y P2 están sobre la misma recta vertical, como en la Fi gura 1.24, entonces x2 = x, y

1P\Pi | ~ V o 2 + (y2 - y,)2

<=>

|P1P21 = | y 2 - yi |

En el ejemplo siguiente, se emplea el reciproco** del teorema de Pitágoras. \P\Pi\ = \y i- y x \

T EO R EM A

FIGURA 1.24

Recíproco del teorema de Pitágoras

Si a, b y c son las longitudes de un triángulo, y a2 + b2 = c2, en tonces el triángulo es un triángulo rectángulo, y c es la longitud de la hipotenusa.

► EJEMPLO 1

Aplicación d e la fó rm u la de distancia

Compruebe que los puntos P( 1, 2), Q(4, 7) y R (-9, 8) son los vértices de un triángulo rectángulo.

N. del R. La distancia entre los puntos Pt y P2 también suele denotarse como d(P¡, P2). N. del R. Generalmente, un teorema se enuncia en la forma si P entonces Q en la que a P se le llama hipótesis ya Q, tesis. El reciproco de un teorema es el teorema que resulta al intercambiar la hipótesis y la tesis en el teorema original Debe tenerse en cuenta que el recíproco de un teorema no siempre es verdadero.

«4

CAPÍTULO 1 ► ‘'■« « O S EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

Solución En la Figura 1.25 se muestra el triángulo. Cal o. longitudes de los lados aplicando la fórmula de distancia. 4

\PQ\ = = = \QR\ m =

»r V

8)

= Vvf o

10-

J >\ 7

V(4 - l)2+ (7 - 2 )2 \PR\ = V F 9 ^ iF + T T 1Ú V9 + 25 = VTO O + 36 \/3 4 = V l36 V ( - 9 - 4)2 + (8 - 7)2 V i 69 + 1

» (2(4,7) Por tanto, \P Q \2 + |P r t |2 = 34 + 136

1,2)

= 170

11 11 11 11 11 11 11 11 11 1t 1 1 1 1 1*■*

-10

-5

0

FIGURA 1.25

= |G*I2

5

Así, el triángulo es un triángulo rec que conecta los puntos Q y R. Ahora se obtendrán las fórmulas para determinar el punto mofe de un segmento de recta. Suponga que M(x, y) es el punto medio del segmento de rectaquenI de Pi(xu y¡) a P2(x2, y2). Refiérase a la Figura 1.26. Debido aqueta triángulos P{RM y MTP2 son congruentes, |pTR| = \M T\

\RM \ = \TP¡\

y

X\ = X2 — X 2x = X\ + x2 X\ + x2

y - y\ = y2 - y 2y = y x + y2 _

y* + j *

Fórmulas de punto medio Si M(x, y) es el punto medio del segmento de recta que va de P\(x\, y t) a P2(x2, y2), entonces X = Xl i h

2

y - ?» i >2

2

En la deducción de las fórmulas, se ha considerado que ¿j y2 > Se obtienen las mismas fórmulas usando cualquier ordenpestos números.

1A

► EJEMPLO 2

alculc (8

“

2?

PLANO NUMÉRICO

47

Aplicación de las fórmulas de punto medio y distancia

(a) Determine las coordenadas del punto medio M del segmento de recta que va de ¿4(5, -3 ) a B (- 1, 6 ). (b) Localice los puntos A, M y B, y demuestre que | AM | = | MB | . S o lución

(a) De las fórmulas de punto medio, si M es el punto (x , >•) entonces 5 -

-3 + 6 y =

= 2

2 3

2

Por tanto, M es el punto ^2, (b) La Figura 1.27 muestra los puntos A, M y B. Aplicando la fórmula de distancia se obtiene

; el ladoI 41

>medio I

\A M \ = \ / ( 2 ^ 5 ) 2 + ( | + 3 U

3V \M B \ = y l ( - 1 - 2 Y + I 6 - |

9

1 que va

que los

I

81

=

■V + t

¿ I* 5

= ^ /Í3 Por tanto, I AM | = | MB \ .

<

Los teoremas de geometría plana pueden ser probados mediante la geometría analítica utilizando coordenadas y técnicas de álgebra. El ejemplo siguiente muestra el procedimiento.

► EJEMPLO 3 i de

>m y ín p ^

Prueba de un teorema de geometría plana por medio de geometría analítica

Emplee geometría analítica para demostrar que los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados opuestos de cualquier cuadri látero se bisectan mutuamente. Solución Dibuje un cuadrilátero general. Debido a que los ejes coordenados pueden elegirse en cualquier parte del plano, y como la elección de la posición de los ejes no afecta la validez del teorema, se toma al origen como un vértice y la prolongación de un lado, que con tenga al origen sobre el eje x. Estas elecciones simplifican las coorde nadas de los dos vértices sobre el eje x. Véase la Figura 1.28.

■■■

48

CAPÍTULO 1 NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

Ahora se establecen las hipótesis y la tesis del teorema. Hipótesis: OABC es un cuadrilátero. M es el punto medio de 0A\ Nh ] punto medio de CB\ Res el punto medio de OCy Ses el punto mediodeû Conclusión: ---------------

MN y RS se bisectan mutuamente. *

1

Demostración Para comprobar que dos segmentos de recta se\l sectan mutuamente, se debe demostrar que ambos segmentos tienead mismo punto medio. A partir de las fórmulas de punto medio seob. tienen las coordenadas de M, N, R y S. El punto M es (¡¡a, 0), Nesei punto (j (b + d), \ (c + e))t R es el punto ( j d , \ e ) , y S es el pu^ ( | (a + b \ \ c). La abscisa del punto medio de MN es i [j a + ^ (b + d)] = ¿ (a+ La ordenada del punto medio de MN es j [0 + ^ (c + e)] = j (c+e). Por tanto, el punto medio de MN es el punto (^(a + b + d), j (c+*)). La abscisa del punto medio de RS es j

d + ^ (a + b) ] = ¿ (a+b+dj.

La ordenada del punto medio de RS es ^ ^ e + ± c] = ^ (c + e ). Por tanto, el punto medio de RS es el punto (a + b + d), j (c+¿)). i Así, el punto medio de M N es el mismo que el punto medio de RS. Por tanto, MN y RS se bisectan mutuamente. |

EJERCICIOS 1.4 En los ejercicios 1 y 2, localice el punto P sobre un sis tema coordenado cartesiano rectangular y establezca el cuadrante en el cual se ubica. 1. (a) (c) 2. (a) (c)

P(3, 7) P{2, - 5 ) P{5, 6) P ( - 7, -2 )

(b) (d) (b) (d)

P ( - 4, - 6 ) P ( - \ ,4 ) P ( 8, - 1 ) P(—9, 3)

En los ejercicios 3 a 8, localice en un sistema coorde nado cartesiano rectangular el punto P y cada uno de los puntos siguientes: (a) El punto Q tal que la recta que pasa por Q y P es perpendicular al eje x y es bisectada por él. Dé las coordenadas de Q. (b) El punto R tal que la recta que pasa a través de P y Res perpendicu lar al eje y y es bisectada por este eje. Dé las coordena das de R. (c) El punto S tal que la recta que pasa por P y S es bisectada por el origen. Dé las coordenadas de 5. (d) El punto T tal que la recta que pasa a través de P y T es perpendicular y bisectada por una recta ele 45°

que pasa por el origen bisectando el primeroy eltenu cuadrante. Dé las coordenadas de T. 3 . />(1,- 2 ) 6 . P ( - 2, - 2 )

4. P (—2,2) 7. #>(-1, -3 )

5. P&2) S. P(0,-))

En los ejercicios 9 a 12, describa el conjunto depunía P(x, y) en un sistema coordenado cartesiano recta*? lar que satisfagan la condición dada. 9. (a) y = 4 (c) x > 0

(b) x = -(d íy s O

10. (a) * = 7 (c) x < 0

(b) v , (d) y > 0

11. (a) x = 0 (c) y > - 2

(b) x < 4 (d) xy > 0

12. (a) y = 0 (c) v < - 1

(b) x 2 3 (d) xy < 0

1.4

I

En los ejercicios 13 a 16, para tos puntos A y B. encuentre las distancias dirigidas (a) ÁB; (b) ÉA 13. A (-1.7) y 0(6, 7) 14. A (-2 ,3) y B (-4 , 3) 15. ¿4(3, -4) y B(3, - 8 ) 16. ¿4(-4,-5) y fl(-4 , 6 ) 17. Si A es el punto (-2, 3) y es el punto (x, 3) en cuentre x tal que (a) AB = - 8 ; (b) AB = - 8 . 18. Si A es el punto (-4, y) y B es el punto (-4 , 3) en cuende y tal que (a) AB = -3; (b) BA = -3 . En los ejercicios 19 a 22, haga lo siguiente: (a) locali ce los puntos A y B y dibuje el segmento de recta entre ellos; (b) encuentre la distancia entre A y B; (c) halle el punto medio del segmento de recta que va de A a B. 19. ¿4(1,3) y fl(-2,7) 21. A(8 , 5) y 5(3, -7)

20. ¿4(-4, -1) y fl(4, 5) 22. >4(6, -5) y B(2, -2)

En los ejercicios 23 a 26, haga lo siguiente: (a) deter mine las coordenadas del punto medio del segmento de recta que va de A a B; (b) localice los puntos A, M, y B y demuestre que | AM | = | MB |. 23. ¿4(-4, 7) y 5 (1 ,-3 ) 24. A(3,4) y fl(4, -3) 25. A(l, 3) y B(4,0)26. A(0, -2) y B(2,0) En los ejercicios 27 y 28, dibuje el triángulo con sus vértices en A, B, y C, y encuentre las longitudes de los lados. 27. ,4(4, -5), B (-2, 3), C (-1,7) 28. ¿4(2,3), 5(3, -3), C (-l, -1) 29. Una mediana de un triángulo es un segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto. Encuentre la longitud de las medianas del triángulo cuyos vértices son A(2, 3), B(3, -3 ) y C ( - l , - 1). 30. Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo cuyos vértices son ¿4(-3, 5), B(2, 4) y C (-l, -4 ). 31. Pruebe que el triángulo de vértices ¿4(3, - 6 ), B(8 , -2) y C(~ 1, -1) es un triángulo rectángulo. (Suge rencia: use el recíproco del teorema de Pitágoras.) 32. Halle los puntos medios de las diagonales del cua drilátero cuyos vértices son (0, 0), (0, 4), (3, 5) y (3,1). 33. Pruebe que los puntos ¿4(—7, 2), B(3, -4 ) y C(l, 4) son los vértices de un triángulo isósceles.

PLANO NUMERICO

49

34. Compruebe que los puntos A(-4, -1), B (-2, -3), C(4, 3) y O (2,5) son los vértices de un rectángulo. 35. Emplee la fórmula de distancia para probar que los puntos (-3, 2), (1, -2) y (9, -10) se ubican en una recta. 36. Determine si los puntos (14,7), (2,2) y (-4, -1) se encuentran en una recta, use la fórmula de distan cia. 37. Pruebe que los puntos ¿4(6, -13), B(-2, 2), C(13, 10) y ¿>(21 , -5) son los vértices de un cuadrado. Encuentre la longitud de una diagonal. 38. Si uno de los extremos de un segmento de recta es el punto (-4, 2) y el punto medio es (3, -1), en cuentre las coordenadas del otro extremo del seg mento de línea recta. 39. Si uno de los extremos de un segmento de recta es el punto (6 , -2) y el punto medio es (-1, 5), deter mine las coordenadas del otro extremo del segmen to de recta. 40. Pruebe que los tres puntos ¿4(-5,0), B(3,0) y C (-l, 4>/3) son los vértices de un triángulo equilátero, para ello muestre que los tres lados tienen la misma longitud. Dibuje el triángulo. 41. La abscisa de un punto es - 6 , y su distancia al pun to (1,3) es V74". Encuentre la ordenada del punto. 42. Dados los dos puntos ¿4(-3, 4) y B(2, 5), obtenga las coordenadas de un punto P que está sobre la recta que pasa por ¿4 y B, y que no se encuentra en tre ¿4 y B, tal que (a) la distancia de P a A sea el do ble que la de P a B, (b) la distancia de P a B sea el doble que la de P a A. En los ejercicios 43 a 46, utilice la geometría ancdítica para probar el teorema dado de geometría plana. 43. Las longitudes de las diagonales de un rectángulo son iguales. 44. El punto medio de la hipotenusa de cualquier triángu lo rectángulo equidista de los vértices de1triángulo. 45. El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de cualquier cuadrilátero y el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero, se bisectan mutuamente. 46. Para un paralelogramo la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados.

50

1.5

CAPÍTULO 1 NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

GRÁFICAS DE ECUACIONES OBJETIVOS

Aprender la definición de la gráfica de una ecuación. Representar gráficamente ecuaciones en una graficadora < calculadora gráfica. Elegir el rectángulo de inspección adecuado en una graficadora. Aprender la definición de simetría. Aprender y aplicar las pruebas de simetría.

En la Sección 1.4, se mostró cómo puede utilizarse un sistema co. de nado cartesiano rectangular para obtener hechos geométricos medie > el álgebra. Ahora se verá cómo un sistema coordenado nos pemu asociar una gráfica (concepto geométrico) con una ecuación (concept algebraico). Una ecuación algebraica con dos variables x y y es un enunciado en el que se establece la igualdad de dos expresiones algebraicas, las cuales contienen a las variables x y y. Cuando x y y se sustituyes por números específicos, digamos a y b, el enunciado resultante pue de ser verdadero o falso. Si es verdadero, se dice que el par ordenado (a, b) es una solución de la ecuación.

>


Considere la ecuación y = 3x - 2 donde (x, y) es un punto en R2. Si x se sustituye por el numeral 2en¡ ecuación, se observa que y = 4; así el par ordenado (2,4) es unasolu ción. Si cualquier número es sustituido por x en el lado derecho dei Ecuación (1), se obtiene el valor de y correspondiente al de.v. Por tan to, la Ecuación (1) tiene un número ilimitado de soluciones. Las solu ciones obtenidas de la Tabla 1 son (-2, - 8 ), (-1, -5), (0, -2), 0* ■' (2, 4) y (3, 7). Tabla l X y =3 x -2

-2 -8

-1

0

1

2

-5

-2

1

4

3 7_

4

1.5

DEFINICIÓN

GRAFICAS DE ECUACIONES

51

Gráfica de una ecuación

La gráfica de una ecuación en R2 es el conjunto de todos los puntos en R2, cuyas coordenadas son soluciones de la ecuación.

FIGURA 1.29

+-+ I M I t-

f 1 0. 10] p o r ( - 1 0 , I0J

FIGURA 131

Debido a que la Ecuación (1) tiene un número ilimitado de solu ciones, su gráfica consiste de un número ilimitado de puntos. Los seis puntos dados en la Tabla 1 y mostrados en la Figura 1.29, aparecen ubicados en una recta. De hecho, aprenderá en la Sección 3.1 que cada solución de la Ecuación (1) corresponde a un punto sobre la recta, y recíprocamente, las coordenadas de cada punto sobre la recta satisfa cen la Ecuación (1). La recta es, por tanto, la gráfica de la ecuación. Dicha gráfica se muestra en la Figura 1.30, donde las puntas de las flechas indican que la recta continúa en ambos sentidos. Las coordenadas de cualquier punto sobre la recta (x, y) satisfacen ( 1), y las coordenadas de cual quier punto que no esté ubicado sobre la recta no satisfacen la ecuación. Los instrumentos automáticos de alta velocidad capaces de ilustrar gráficas, como las calculadoras gráficas o graficadoras y las computadoras con software adecuado, nos permiten observar gráfi cas en un instante. Se tomarán las ventajas de estos instrumentos y se aplicarán a través del desarrollo del texto. Las calculadoras y compu tadoras operan de manera similar, pero para uso de los estudiantes, las calculadoras gráficas son obviamente más prácticas que las com putadoras de escritorio. Por tanto, se hará referencia a calcu ladoras gráficas o graficadoras en el entendido de que se pueden utilizar, con el mismo fin, computadoras personales con software para elaborar gráficas. Estrictamente, las calculadoras gráficas, no son automáticas ya que requieren de un operador humano para pulsar teclas específicas, pero en virtud de que las teclas mencionadas dependen del fabricante y modelo de la graficadora, será necesario la consulta del manual del usua rio para obtener la información de cómo realizar operaciones espe cíficas. Lo que se exhibe en la pantalla de su calculadora muestra una por ción del plano numérico R2 llamado rectángulo de inspección. El rec tángulo de inspección denotado por [X ^, Xmáx) por !Ynlín, Y ^ ] es el conjunto de puntos en R2 para los cuales Xmín <,x< Xmix y Y ^
52

CAPITULO 1 NUMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRAFICAS DE ECUACIONES

t> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 La gráfica de la ecuación y = 3x - 2, mostrada en el rectángulo dey pección estándar, aparece en la Figura 1.32. Compare las figuras i* y 1.30, las cuales muestran la misma recta/ 1 [-10.10] por [-10.10] y * 3 x-2

FIGURA 1.32

Como se mencionó, se pueden obtener gráficas de dos maneras. mano y por medio de una graficadora. Cuando se obtiene una grffi a mano, como la mostrada en la Figura 1.30, se emplea el término^ buje la gráfica. Cuando se obtenga la gráfica en una graficadora, con* la mostrada en la Figura 1.32, se le solicita: trace la gráfica.

[-10, 10] por [-10, 10] y = x 2- 3

FIGURA 1.33

aparece en la Figura 1.33, trazada en el rectángulo de inspección están dar. 4

>


Considere la ecuación [-10, 10] por [-10, 10] y = x 2+}4

FIGURA 1.34

y 9 J T * 14 FIGURA 1.35

y = x 2 + 14 Si se intenta trazar la gráfica de esta ecuación en el rectángulo de ins pección estándar, se obtiene la Figura 1.34, la que por supuesto no contiene puntos sobre la gráfica. Este hecho no nos debe causar sor presa, porque el valor más pequeño para y en la ecuación es 14, el culi se presenta cuando x = 0. Cambiando el rectángulo de inspección de [-10, 10] por [-15, 15] nos da la Figura 1.35 la que muestra sólo una pequeña porción de la gráfica. La Figura 1.36 muestra la gráfic* trazada en un rectángulo de inspección más conveniente, donde H | 10] ha sido cambiado por [0, 50]. Observe que la escala en el eje unidades, mientras que en el eje x es 1 unidad. Con frecuencia, esp vechoso cambiar las escalas sobre los ejes cuando se modifica elret tángulo de inspección.

N. d el K. A l comparar las gráfica* indicadas, s e observa q u e la d e la calcu lad ora está un p o co más "acostada”. Esto que en sus ejes no se toma la m ism a longitud para la u n id a d d e m ed ició n ; e n la graficadora, la unidad del eje x es mas la del eje v Esto m ism o ocurre con la com putadora.

54

CAPÍTULO 1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

(c) ¿Por qué las curvas obtenidas en los incisos (a) y (b) son i&J ticas?

y

S olución (a) Debido a que y 2 es un número positivo o cero, los valores dej„I restringen a números no negativos. Para cada valor positivo de*LI dos valores de y . La Tabla 2 nos muestra los valores de y cuandoil es 0, 1, 2, 3, y 4. Al localizar y unir los puntos, cuyas coordenadaI son los valores de x y y de la tabla, se obtiene la gráfica dibuja] en la Figura 1.40. Tabla 2

-2

v2 = 4jc

2V2 -2V2 2>Í3 - 2 V3

4

-4

FIGURA 1.40 (b) En la graficadora se tiene I

= 2<~x

yi = - l i x

y trazando las gráficas de estas ecuaciones en el mismo rectánguiodc inspección [-1,5] por [-5,5] como se muestra en la Figura 1.41. (c) La ecuación y 2 = 4x es equivalente a las dos ecuaciones >'= 2« y I y = -I'Jx. Por tanto, la unión de las gráficas de y\ y yi trazadasa I el inciso (b) es la misma que la gráfica dibujada en la parte (a). 4 [-1,5] por [-5,5]

La curva en el ejemplo 2 es también una parábola.

y, = 2 'lx y y t =-2'Ix

FIGURA 1.41

► EJEMPLO 3

Obtención de la misma gráfica en una graficadora y a mano

(a) Trace la gráfica de la ecuación y = | x |. (b) Dibuje la gráfica de la ecuación del inciso (a). Solución (a) El cálculo del valor absoluto de un número es efectuado internamente en la graficadora y en la mayoría de las c a l c u l a d o r a s sede nota por ABS. Consideremos y = ABS(jc) su gráfica, trazada en el rectángulo de inspección estándar, * muestra en la Figura 1.42. (b) A partir de la definición del valor absoluto de un número -10, JO] por (-1 0 ,1 0 ]

y» ABS(x) FIGURA 142

y =

x

si x > 0 si x < 0

1.5

55

GRAFICAS PE ECUACIONES

La Tabla 3 muestra algunos valores de x y y que satisfacen la ecuación, y la gráfica está dibujada en la Figura 1.43, la cual está de acuerdo con la Figura 1.42. Tabla 3 x y = 1 *1

-3

-4

3

4

La simetría es una propiedad importante de las gráficas, especial mente auxilia cuando éstas se dibujan.

DEFINICIÓN

Simetría de dos puntos

Se dice que dos puntos P y Q son simétricos con respecto a una recta, si y sólo si la recta es la bisectriz perpendicular del segmento de recta PQ. Se dice que dos puntos P y Q son simé tricos con respecto a un tercer punto, si y sólo si el tercer pun to es el punto medio del segmento de recta PQ.

> • (-3 ,2 )

( 3 ,2 ) «

H---- (-----1__ 0 — 1-----1-----1-----1— ig • ( -3 ,- 2 )

-

( 3 ,-2 ) »


Los puntos (3, 2) y (3, -2 ) son simétricos con respecto al eje x, los puntos (3, 2) y (-3, 2) son simétricos con respecto al eje y; y los pun tos (3, 2) y (-3, -2 ) son simétricos con respecto al origen. Véase la Fi gura 1.44. -4 En general, los puntos (x, y) y (x, -y) son simétricos con respecto al eje x, (x, y) y (-*, y) son simétricos con respecto al eje y, y (x, y) y (—jc, - y) son simétricos con respecto al origen.

FIG U R A 1.44

DEFINICIÓN Simetría de una gráfica La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto a la recta / si y sólo si para cada punto P en la gráfica hay un punto Q, también sobre la gráfica, tal que P y Q son simétricos con res pecto a /. La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al punto R si y sólo si para cada punto P sobre la gráfica existe un punto S, también sobre la gráfica, tal que P y S son simétricos con respecto a R.

5*

CAPITULO 1 NUMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

La Figura 1.45 muestra una gráfica simétrica con respecto al la Figura 1.46 muestra una simétrica con respecto al eje y y la 1.47 una simétrica con respecto al origen. A partir de la definición de simetría de una gráfica, se puede afe mar que si un punto (x, y) está sobre una gráfica simétrica con respeq, al eje x, entonces el punto (x,-y) también deberá estar sobre la gráfica Y si los puntos (jc, y) y (x, -y ) están sobre la gráfica, entonces lagtffl. ca es simétrica con respecto al eje x. Por tanto, las coordenadas
FIGURA 1.45

Pruebas de sim etría

agc**

La gráfica de una ecuación en jc y y es (i) simétrica con respecto al eje x si y sólo si se obtiene una ecuación equivalente cuando y se sustituye por -y en la ecua ción; (ii) simétrica con respecto al eje y si y sólo si se obtiene una ecua ción equivalente cuando x se sustituye por - x en la ecuación; (iii) simétrica con respecto al origen si y sólo si se obtiene una ecuación equivalente cuando x se sustituye por -x y y por en la ecuación.

FIGURA 1.46

>


La gráfica que aparece en la Figura 1.33 es simétrica con respecto eje y y tiene la ecuación

GB &,Í5sWos|

y = x2 - 3 Si x se sustituye por <=>

se obtiene la ecuación

l ía)y=t ;

y = (-*)* - 3 y = x2 - 3

n G URA 1.47

>


La gráfica dibujada en la Figura 1.40 es simétrica con respecto al <¡r y su ecuación es y 2 = 4x

1.5

GRÁFICAS DE ECUACIONES

57

Sustituyendo y por -y en esta ecuación se obtiene <=>

(~y)2 = 4x y 2 = 4*

► EJEMPLO 4

Aplicación de las pruebas de simetría y trazo de una gráfica

Compruebe la simetría de la gráfica cuya ecuación és

y = t* 3

2

Entonces trace la gráfica. Solución Se comprueba la simetría. En la ecuación anterior, si x se sustituye por - x y y por - y se obtiene

[-1 0 .10J por [-10.10]

y=-*x’

FIGURA 1.48

-

2 M )J

t

-y = y = fíl Por tanto, de acuerdo con la prueba de simetría (iii), la gráfica es simé trica con respecto al origen. Se puede verificar que la gráfica no es si métrica con respecto a los ejes x y y aplicando las pruebas de simetría (i) y (ii). En la Figura 1.48, aparece la gráfica de la ecuación anterior, traza da en el rectángulo de inspección estándar. Observe la simetría con respecto al origen. 4

EJERCICIOS

1.5

En los ejercicios 1 a 8, trace la gráfica de la ecuación en el rectángulo de inspección estándar. 1 . (a) (c) 2. (a) (c)

y y y y

3. (a) (c) 4. (a) (c) 5. (a)

y y y y

* x +2 * 5 ** 5 — x * —4

= = = y = (c) y *

—\ x — 6 -5x jx - 3 x2 x2+ 2

(b) y = 5 — 2x (b) y = 4* - 3

(b) y = 4 + 7x (b) y = 2x + 8 ib) y = 2x 2

6. (a) y = - x 2 (c) y = - x 2 - 2 7. (a) y = 4 - x 2 (c) y = (:c - 4)2 8 . (a) y = x 2 + 2 (c) y = (x + 2)2

(b) y = ~2x2

(b) y - x 2 *■ 4 (b) -y = - x 2 - 2

En los ejercicios 9 a 16, trace la gráfica de la ecuación eligiendo un rectángulo de inspección estándar adecuado. 9. (a) y = x + 15 (c) y = 15 — x

(b) y = x - 15

58

CAPÍTULO 1

N U M EROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

10. (a) y = x + 30 (c) y 5= 30 - x

(b) y 1 — x -- 30

11. (a) y == 7x + 20 (c) y == ~ 5 X * 18

(b) y = §x — 2

E n lo s e je rc ic io s 2 7 a 30, p ru e b e la simetría de la c ió n y d e sp u é s tra c e la gráfica.

12. (a) y == 9x + 24 (c) y - ? sr4 x ± 12

(b) y = lo-* - 5

13. (a) y = Vx + 16

(b) y = V x - 16

27. (a) y = X 3 (c) y = ¡ X 3 28. (a) y .f 2 x 3 (c) y = ¿JT Zx 3 29. (a) y = 2 x 4 (c) y 7 30. (a) y = 4x 4 (c) y = Jx4

(c) y = V l 6 *

26.

(c)

X

14. (a) y = V x + 27

(b) y = V x - 27

(c) y =* V27 - X 15. (a) y =? V x + 16 (c) y = 16 - V x

(b) y = V i - 16

16. (a) y =| V x + 27 (c) y = 27 — V x

(b) y m 2 \x + 31 ] (d) y = 2|x| + ¿ j

(a) y - 2 \ x - 3 | y = 2 \x\ -

6

1

(b) y = - x 3 (d) y = (b) y = - 2 x 3 (d) y f - 4Sx-1 3 (b) y = - 2 x 4 (d) y = - U 4 (b) y “ —4x 4 (d) y = - J x 4

En los ejercicios 31 a 38, trace la gráfica de latci». ción. Experimente hasta que tenga un rectángulo de¿opección apropiado que muestre las característica importantes de la gráfica.

(b) y ■= * 6 - 27

En lo s ejercicios 1 7 a 24, ha g a lo siguiente: (a ) p ru e b e

31. y

= 4* 4 - 8x

33. y

= x 3 - 3x

34. y = 3x3 + 2x - 5 ¡

ecuaciones (ii) y (iii) en e l m ism o rectángulo d e in sp ec

35. y

= 2x4 - 50

36. y = 100 -

ción; (d ) com pare la s curvas ob ten id a s en lo s incisos (b)y(c).

37. y

= x 4 - 8jc2

la sim etría d e la gráfica d e la e cuación (i); (b ) d ib u je la gráfica d e la e cuación (i); (c ) tra c e la s g rá fica s d e la s

(i) y 1 = 9x (iii) y == - 3

V x

(U) y

=

jfi

(ii) y

II

y2 =

(in) y = # J V S

-P*-

1

II

1

-fc*

1

<

H

de la e c u a

(b) y m |* + 21 (d) y , J*| + 2

VO

1

H

II

En los ejercicios 25 y 26, trace la gráfica ción 25. (a) y * U - 2| (c) y - 1*1 - 2

>

VO

■1

1

fe

(H) y

39.

y =

40.

y

x z, y

=

(x

38.y m4x4-

= x 2, y = x 2

+ 2 ) 2, y = (x - 2 ) 2, y = (x- 4)2 + 2, y = x 2

43. y = | x | , y = | x | + 3 , y =

1

(U) y

o\

(i) y 2 m x 2 — 4 (iii) y = (i) y 2 = x 2 - 16 (Hi) y *

x4

- 2, y = x 2

41. y = x 2, y = 2x2, y = -2 x 2, y = 4x 2

(«) y = V i - x 2 (ii) y

17

32.y = 2x2+

42. y = x 2, y = ¡ x 2, y = - ± x 2, = \ x 2

2V ^ x

> II

(i) y 2 ~ 9 - x 2 (iii) y * - V 9 - x 2

(ii) y =

5 V ^X

<

(i) y 2 = - i * (iii) y ~ ^ | V - x (i) y 1 = —4x (iii) y = - 2V ^ x (i) y 2 = 1 - x 2 (iii) y = - V i - x 2

+

1

En los ejercicios 39 a 44, trace la gráfica de cada mo ción en el mismo rectángulo de inspección.

(U) y '■= 3Vx MI—

(i)

-

44. y = | x | , y = |

|x | - 3 , )’= 1*1

x + 3 |, y =

| —3 1, y =

45. Basándose en el ejercicio 39 describa en qué son similares y en qué diferentes las gráficas obtenidas Haga lo mismo para las gráficas obtenidas eno ejercicio 41. 46. Siga las instrucciones del ejercicio 45 para las p*' ficas obtenidas en los ejercicios 40 y 42. 47. Siga las instrucciones del ejercicio 45 para las gr ' ficas obtenidas en los ejercicios 43 y 44. 48. Use las definiciones de simetría para explicar Poí qué una gráfica simétrica con respecto a arabos tp coordenados es también simétrica con respecto origen. 49. Explique por qué en el ejemplo ilustrativo 5* \ obtuvieron imágenes distorsionadas de la g ^ ,c* j

REVISIÓN DEL CAPÍTULO 1

59

[ - 10, 10]; [ - 100, 100] por [ - 10, 10]; [ - 10, 10] por [-100, 100]. ¿Cuál de todos estos rectángulos de inspección es apropiado para mostrar las carac terísticas importantes de la gráfica? Explique por qué los otros dos rectángulos dan una ima gen distorsionada de la gráfica.

de la ecuación y = Vx + 25 en el rectángulo de ins pección estándar y en el rectángulo [ - 10, 10] por [-30. 30]. 50. Trace la gráfica de Vx + 50 en cada uno de los siguientes rectángulos de inspección: [ - 10, 10] por ■■■■■■■■■■■■H i

► VISIO N RETROSPECTIVA 1.1

Se discutió el conjunto de números reales y sus subconjuntos, los números racionales e irracionales. Se asoció los números reales con puntos sobre un eje llamado recta numé rica real, y se empleó esta representación geométrica para definir intervalos cerrados y abiertos. El valor absoluto de un número real se consideró como una distancia no dirigida del número a partir del origen.

1.2 Las expresiones algebraicas tratadas en esta sección fueron polinomiales y racionales. Se definieron términos asociados con estas ex presiones y se simplificaron varios tipos de expresiones racionales que frecuentemente se encuentran en Cálculo. 1J

La introducción a los números complejos fue motivada por la necesidad de considerar la raíz cuadrada de un número negativo. De-

mostrando que el conjunto C de números complejos satisface los axiomas de un cam po, y se realizaron operaciones algebraicas con estos números. 1.4

Después de introducir el sistema coordenado cartesiano rectangular en el plano, se utilizó para obtener la distancia entre dos puntos y el punto medio de un segmento de recta. Se mostró cómo emplear el sistema coordena do para probar por medio de la geometría ana lítica algunos teoremas de la geometría plana.

1.5

En esta sección se enfatizó el uso de la calcu ladora gráfica o graficadora para trazar gráfi cas. También se discutió la simetría de las gráficas y las pruebas para simetría, las cua les son importantes cuando se dibujan gráfi cas a mano.

► EJERCICIOS DE REPASO

S = Í-4 .V 2 ,15, | , 7«, 0.5,0)

y r - { - Í 2 .- V 3 ,- 5 .0 .7 J .i§ * }

1. (a) NUQ (c) ZD N 2. (a) Q D Z (c) z n /

(b) e n / (d) Q U Z (b)

N C

En los ejercicios del 1 al 4, N es el conjunto de núme ros naturales, Z es el conjunto de los enteros, Q es el conjunto de los números racionales, I es el conjunto de los números irracionales, y R es el conjunto de núme ros reales. En los ejercicios 1 y 2, determine cuál de es tos conjuntos y 0 es igual al conjunto dado. En los ejercicios 3 y 4 liste los elementos del conjunto si

(d) Q U I

3. (a) S f) N

(b) s n z

(c) Tf)Q

(d) r n /

4. (a) Sr\Q

(b) s n /

(c) TC\N

(d) TC\Z

60

En

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

CAPÍTULO 1 NÚMEROS,

lo s e je rc ic io s 5 y 6 , m u e s tre e l c o n ju n to s o b r e la

r e c ta n u m érica r e a l y r e p r e se n te e l c o n ju n to m e d ia n te la n o ta ció n d e in te rv a lo s.

5. (a) f x ¡ x ¿ 4 )

(b) { x ¡ 2 < x < 8 }

(b) ((«4+ 81)V J A » Z J En los ejercicios 25 a 30, realice las operaciones, cadas y exprese el resultado en laforma a +bi \

24. (a) (81r4j 8/ 12) 1/4

(c) { x \ x ¿ 0 \ U { x \ x > 2 ) (d) {x f x> 1} n [x I x £ 5 ) 6.

(a) { x \x > 5 )

(b) [ x \ - 2 < x £ 3 ]

25. (a)

(8+ 3¿) + (1 0 -2 0 (11 - 2 0 - ( - 5 + 6 /)

(c) (* |jc á -4 } U í-r | jr^ 4>

26. (a)

(d) {jt I jc > - 1> D {x J x<6)

27. (a) V=9V=49 28. (a) '[^8'P24'P48

En los ejercicios 7 y 8, determine el valor absoluto de cada inciso. 7. (a) |7 |

(b) | -V5" |

(c) |2 - VT|

(d) J VT- 2

(a) |{ |

(b) | L * |

' (c) |VÍO“- 3 |

i

(d) | 2 ^ 5 - 5 |

En ¡os ejercicios 9 y 10, muestre el intervalo sobre la recta numérica real, use la notación de conjunto y los símbolos de desigualdad para denotar el intervalo. 9.

(a) (-4 , 6) (c) [- 10, 10) 10. (a) [- 8,12] (c) (5,6]

(b) [3,11] (d) ( - 00, 0 ) (b) (-4,4) (d) [0,+ 00)

En los ejercicios 11 a 22, encuentre el valor numérico escribiéndolo sin exponentes.

11. (a) (23)2

5

(- 2)“3 (-7 )-2

20. (22 + 32 • 2' '

-1/2

1

5”2 + 4 • 5-3

22.

V

(b) H + ^ J (b) (-5-i?

I

13-2 + 2-'

v

29. ( 5 - 2 i) + (-4 - 3 0

0$

30. i + (- 6- 1)

&

En los ejercicios 31 y 32, simplifique la expresión, f (b) 123 (c) i-"

31. (a) i 9 32. (a) i 19

(b) i 66

(c)í4

En los ejercicios 33 y 34, haga lo siguiente: (ajlnrM los puntos A y B y dibuje el segmento de rectaerureelk (b) encuentre la distancia entre A y B; (c) Halledpmi Stí+ medio del segmento de recta entre A y B. 33. A(7, -1) y fl(3,2) 34. A(-5,2) y B(3,-4)j En los ejercicios 35 y 36, haga lo siguiente: (a)¿ge mine las coordenadas del punto medio M del sepm de recta entre A y B; (b) localice los puntos A, MjIr demuestre que | AM | = | MB | 36. A (-l, - 8 ) y B(7, 6 ) 37. Encuentre las longitudes de los lados del niáasfé que tiene sus vértices en A(4,1), 5(5, -5) yÍJV& 38. Determine las longitudes de las medianas deltná guio del ejercicio 37. 39. Mediante el recíproco del teorema de Pítago» pruebe que los puntos (2, 4), (1, -4) y (5, -2) *c los vértices de un triángulo rectángulo, yeoco8*j el área del triángulo. 40. Pruebe que el triángulo con vértices en (-8, D-'j - 6) y (2, 4) es isósceles y determine el ares triángulo.

-3/4

18. (3 ~3 + 9 -2)-i/2

5-1

(b) (3+f0+(-|J

/

16. 2o + 2 ~* + 2~2 + 2~3

2~2

m

35. >4(6,5) y fl(-4, -9)

(b) (27)4/3 (b)

fl>) ( j - O - f J

\-3

¡1

(b)

v

21.

En los ejercicios 23 y 24, utilice ¡as leyes de nenies para simplificar la expresión donde cada ^ Y / y ble puede ser cualquier número real. 23. (a) (4x 2y 4z 6) xn (b) f(y+l)V +4)J j j *

En los ejercicios 41 y 42, utilice la fórmula dedistfr para determinar si los tres puntos están en lo H I recta. 41. (-2, -3), (-1,4), (1,17) 42. (0,-3), (1,4), (2, 11)

REVISIÓ N DEL CAPÍTULO 1

43. Use ia fórmula de distancia para probar que el cua drilátero cuyos vértices son (1, 2), (5, -1 ), (11, 7) y (7, 10), es un rectángulo. 44. Emplee la geometría analítica para probar que la longitud del segmento de recta que une los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo es la mitad de la longitud del tercer lado. 45. Use la geometría analítica para probar que las lon gitudes de dos medianas en un triángulo isósceles son iguales. 46. Utilice la geometría analítica para probar que si dos medianas de un triángulo son iguales, entonces el triángulo es isósceles. En los ejercicios 47 a 50, la expresión racional ñ compleja es semejante al tipo encontrado en Cálculo. Halle una expresión racional simple equiva lente. En cada ejercicio h * 0 .

48.

1

1

2x + 2h + 1 49. h

50.

(3 + h)

x + h + 1 x + h - 2

2x + 1

6x(2x + 1) I/2 - 3x 2[j(2x + l ) - ,/ 2(2)] [(2 x + 1 ) ,/2] 2 Ix H x 2 - 1 ) 1/3 - * 3í j (* 2 - I ) ' 273(2 x)]

f(x 2 - D ,/ 312

\(já¿ En los ejercicios 53 al 58, la expresión se enk/ cuentra en Cálculo. Racionalice el numerador. Todos los radicandos y todas las variables representan números positivos; ninguno de los denominadores es cero. 53. 55. %

h - 2 - Vx - 2 + h) + 1 - V3x + í h

7

60. (a)

y = 9 - 4x

(b) y f 9 * - 4

61. (a)

y= ~x2

(b) y = -4 x 2

62. (a)

y =8 x 2

(b) y = - | x 2

(b) y ss 7x 4 2

63. (a) y - -x

(b) y = ¿
64. (a) y m £x 3 + 1

(b )

y

=

+

1 )’

67. y = 16 - x A

66. y = 9x2 68. y « 4x 3 -

69. y = 3x 3 - 4 x 2 +

70. y = 2 xA - 6 x2 + 7

65. y = Ix2 - 7x -

12x + 4

dr + I

En los ejercicios 71 a 76, haga lo siguiente: (a) pruebe la simetría para la gráfica de la ecuación; (b) dibuje la gráfica de la ecuación (i); (c) trace las gráficas de las ecuaciones (ii) y (iii) en el mismo rectángulo de inspec ción; (d) compare las curvas obtenidas en los incisos (b)y(c).

(ii) y = jylx

(iii) y = ~ V x

51.

V9 + 2h - 3

y= 2x -

71. (i) y 2 = |x

x + 1 x - 2

En los ejercicios 51 y 52, la expresión se encuen 1 tra en Cálculo. Simplifique de manera semejante al ejemplo 4 de la Sección 1.2.

52.

59. (a)

..

V i6 + h - 4

5 4 . ---------- :-----------

72. (i) y 2 = -9x (iii) y = -3 V^x"

(ii) y ® 3>£x

73. 0) y 2 ~ ,-4 (* - 3) (iii) y = -2^3 - x

(ii) y = 2V3 - x

74. (i) y 2 = ~(x + 4)

(ii) y = jVx + 4

(iii) y = - jVx + 4 75. (i) y 2 = x 2 - 25 (iii) y = -Vx 2 - 25 76. (i) y2 = 25 - x 2 (iii) y = -V25 - x 2

(ii) y = V25 - x 2

En los ejercicios 77 a 80, ción. 77. (a) y = 4 | x - 1 J (c) y = 4 | x I - I

1

7 + h 47. h

h

En los ejercicios 59 a 70, trace la gráfica de la ecua ción en un rectángulo de inspección apropiado.

N > Ln

5 7

58.

—

11

5 +h

h + 3 V3/i + 4 57. h

61

ib) y = 4 | x + 1 | (d) y * 4 | a | +1

78. ( a ) y = 3 1 x - 4 | (c) y = 3 | x | - 4

(b) y = 31x + 4 |

79. (a) y = x | x |

<„> , - J i L

(d) y = 3 1 x | + 4

62

CAPÍTULO 1

(c) y = Ú \ 80. (a) y = lx l + jc

NÚMEROS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

dades de simetría para dibujar la gráfica completa (c) ¿Qué figura geométrica representa la gráfica? (b) y = \ x \ - x

81. Basado en la gráfica de la ecuación I x I + I y I = 1. (a) Pruebe que la gráfica es simétrica con respecto a ambos ejes y al origen, (b) Dibuje la porción de la gráfica en el primer cuadrante, y use las propie

82. Trace la gráfica de la ecuación del ejercicio 81, en su calculadora gráfica, y escriba una descripción de cómo lo hizo. 83. Realice las partes (a) y (b) del ejercicio 81 para la ecuación | x I — | y | = 1. Trace la gráfica en so graficadora, y escriba una descripción de cómo k) hizo.

,o n o -ro c io n e s lin e a le s ,

W conunaincógnita *

r

pcuacbnescuadráticas i 3Ecuaciones como con unamodelos incógnita * 2.4Otrasecuacionesconuna m

a te m

á tic a

^ 2.6Desigualdades 2.5Desigualdades lineales polinomialei incógnita • ' 2.7Ecuacionesy desigualdad^’' Q u e im p lic a n v a lo r c*~

'

■La facilidad para resolver ecuaciones y desigual dades es crucial en Cálculo. En este capítulo se tratará la resolución de ecuaciones y desigualda des con una incógnita. Las primeras tres secciones contienen temas de álgebra interm edia; deberá revisarlos en esta ocasión. Estudie cuidadosam ente los procedi mientos sugeridos en la Sección 2.3 a fin de obte ner una ecuación com o modelo m atem ático para resolver un problema. La Sección 2.4 incluye material que, posiblemen te, estudiará por primera vez. Las secciones 2.5 a 2.7 deberán revisarse detalladamente. Los procecflmtentos para obtener conjuntos solución de des igualdades, y aquéllos requeridos para reem pla-, zar una desigualdad por otra equivalente más simple, son necesarios en Cálculo.

*4

2.1

CAPÍTULO 2

ECUACIONES Y D E S I G U A L D A D E S _____________________________ _

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA OBJETIVOS

^

1. Resolver algebraicam ente ecuaciones lineales. 2. M ostrar la solución de una ecuación lineal en una gráfica. 3. Resolver ecuaciones lineales en u n a calculadora gráfica o graficadora. 4. Resolver ecuaciones racionales transformándolas en ecuación ' lineales. 5. O btener y aplicar u n a ecuación como modelo matemático. 6 . Resolver ecuaciones con literales considerándolas ecuaciones lineales.

En la Sección 1.5, se introdujeron las ecuaciones algebraicas con doil variables. En este capítulo trataremos ecuaciones algebraicas de unava riable denominadas en ocasiones como con un a incógnita. El domi. nio de la incógnita, de una ecuación, es el conjunto de números parak# cuales las expresiones algebraicas de la ecuación están definidas.

r>


En las ecuaciones algebraicas siguientes sea x un número real: -* -5 = 0

(lji

x 2 + 12 = I x

(J)

x + 5 m 5

+

x

(3)

x + 2 .as x

+

3

(49

3 = 2 x + 4 3x - 2

(j)

Para las ecuaciones (1) hasta (4) el dominio es R. Debido a que el la*> izquierdo de la ecuación (5) no está definido si x es 0, el dominio ese* conjunto de todos los números reales excepto cero. El lado izquierdo de la ecuación ( 6 ) no está definido si x es - 4 y el lado derecho no esuide finido si x es por tanto, el dom inio es el conjunto de los nüineroSj reales excepto —4 y 4 Cuando la variable en una ecuación es reemplazada por un nun'J ro específico, la proposición resultante puede ser falsa o verdadera j*j es verdadera, entonces el número es llamado solución (o raíz)

2 .1

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

65

ecuación. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de conjunto solución de la ecuación. Se dice que un número satisface u n a ecuación si ese número es una de las soluciones de la ecuación.

>


(a) Si en la Ecuación (1) se sustituye por 5, la proposición resulta verdadera, pero si x es reemplazado por otro número diferente de 5 el enunciado es falso. Por tanto, el conjunto solución es {5}. (b) En la Ecuación (2), si x se sustituye por 3 o 4 la proposición es verdadera, y si x es reemplazado por otro número que no sea 3 o 4 se tiene una proposición falsa. Por tanto, la ecuación tiene dos so luciones, 3 y 4, y el conjunto solución es {3,4}. (c) Si en la Ecuación (3) cualquier número real sustituye a x, se obtiene una proposición verdadera. Por tanto, el conjunto solu ción es R. (d) Cuando cualquier número real sustituye a jc en la Ecuación (4), se obtiene una proposición falsa. De este modo, el conjunto solución es 0 . (e) En la Ecuación (5), si cualquier número diferente de 0 sustituye a x, se obtiene una proposición verdadera. Por tanto, el conjunto so lución es [x | jc e R, x * 0}. (f) El conjunto solución de la Ecuación (6 ) no está aparentemente defi nido. Sin embargo, se mostrará cómo encontrarlo en el ejemplo 3. < Si el conjunto solución de una ecuación con una incógnita es el mismo que el dominio de la incógnita, la ecuación se llama identidad. Las ecuaciones (3) y (5) son identidades. Si hay al menos un número en el dominio de la incógnita que no esté en el conjunto solución de la ecuación, se tendrá una ecuación condicional. Las ecuaciones (1), (2), (4) y (6 ) son ecuaciones condicionales. Un tipo importante de ecuaciones son las ecuaciones polinomiales con una incógnita, la cual puede escribirse en la forma P = 0, donde P es un polinomio en una variable. El grado del polinomio es el grado de la ecuación. Son ejemplos particulares de ecuaciones polinomiales las siguientes: I x - 21 = 0

423

(primer grado)

2y2 - 3y -

5= 0

- 8z 2 - z

+2 = 0

(tercer grado)

4= 0

(cuarto grado)

9w 4 - 13w2 +

(segundo grado)

La determinación del conjunto solución de una ecuación condi cional se llama resolver una ecuación. Como se vio en la Ecuación ( 1) del ejemplo ilustrativo 2 , algunas veces es posible resolver una ecuación por inspección. Sin embargo, en general, se emplea el con cepto de ecuaciones equivalentes, las cuales son ecuaciones que po-

d e s ig u a l d a d e s

__

en el m ism o conjunto solución. Por ejem plo, las ecuaciones s i a d >son equivalentes: lx -2 \ =0

7jc = 21

jc = 3

Con frecuencia pueden resolverse ecuaciones por sustitución, mediante una sucesión de ecuaciones equivalentes, cada unadealg* na form a m ás sim ple que la anterior, así se obtiene eventualmeoteyJ ecuación para la cual el conjunto solución es evidente. Se pueden apt jar propiedades de los núm eros reales para sustituir una ecuación pul otra equivalente. Por ejem plo, el conjunto solución de una ecuación* cam bia si la m ism a expresión algebraica es sumada o restada a ambos lados de la ecuación. Adem ás, el conjunto solución no se altera si am bos lados de una ecuación son m ultiplicados o divididos por la mison' expresión algebraica, siempre que la expresión algebraica no sea cao Es recom endable com probar que el valor obtenido al resolver un ecuación es solución de ésta, lo cual nos indicará si se cometieronooo errores aritm éticos o algebraicos al resolverla. La comprobación se efectúa sustituyendo, en la ecuación original, el valor encontrado. U na ecuación polinomial de prim er grado es llamada ecuación li neal, debido a que su gráfica es una línea recta, como se verá en b Sección 3.1.

DEFINICIÓN

Ecuación lineal

Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación de la forma ax + b — 0 donde a y b son números reales y a * 0 .

A fin de resolver la ecuación ax + b = 0 para jc, se resta b de ambo» lados y después se dividen ambos lados entre a, lo cual puede haca* porque a 0. Así, se tieneq las siguientes ecuaciones equivalentes: ax + ¿7 = 0 ax + b — b = 0 — b ax = - b ax _ —b a a x - _b a Se dem ostrará el teorema siguiente.

2 .1

E C U A C IO N E S L IN E A L E S C O N U N A IN C Ó G N IT A

67

TEOREMA 1

La ecuación lineal ax + b = 0 (donde a * 0) tiene exactamente una solución, — .*

Para mostrar la solución de la ecuación lineal

ax + b = 0 en una gráfica se define y igual al lado izquierdo, y se dibuja la gráfica de esa ecuación. La gráfica es una línea recta que cruza al eje x en el punto cuya abscisa es x = - a la solución de la ecuación. El número - -a es denominado la intercepción x de la recta.**

E JE M P LO 1

Resolución a lg e b ra ic a d e u n a ecuación lin e a l y p res en tac ió n d e la solución en u n a g rá fic a

Resuelva la ecuación 5*-2

x

- 1 1 = 2

+

jc

-8

y muestre la solución en una gráfica. S o lu c ió n Si se reducen los términos semejantes en cada lado de la ecuación y después se agrega - x y 11 a ambos lados, obtienen las si guientes ecuaciones equivalentes: 3x - 11 = x - 6 3x - 1.1.— x + 11 = x - 6 - x + 11 3x - x = 11 -

6

2x = 5

5

X= 2 Por tanto, el conjunto solución es { |} . Para verificar la solución , ¿será cierto que 5 '5 Ì 2 v

-

2

f5 l

2

11 = 2

+ ^

2

- 8?

N. del R. El hecho de que la solución de la ecuación es única está basado en que los números -b (inverso aditivo de b) y ^ (in verso multiplicativo de a), componentes de la solución, son únicos. Esto último corresponde a los teoremas del campo R. N. del R. El término intercepción x puede interpretarse geométricamente como la longitud del segmento determinado en el eje x por la intersección de la gráfica y el eje x, y el origen. Otro nombre para la intercepción x es abscisa a l origen.

68

CAPÍTULO 2

ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Al sustituir | en cada miembro, se tiene

11

Esto comprueba la solución. Debido a que la ecuación dada es equivalente con 2jc-5 -n la gráfica de: y = 2x - 5

[-10, 10] por (-10, 10)

en una calculadora gráfica o graficadora obteniendo la recta m* muestra en la Figura 2.1. La intercepción x de esta recta es 2.5, la54 ción de la ecuación.

y -2 x -5

FIGURA 2.1

Un método gráfico estricto de solución de la ecuación del se mostrará en el siguiente ejemplo.

► EJEMPLO 2

R esolver u n a ecuación lineal mediante una graficadora

Use una graficadora para resolver la ecuación del ejemplo 1. Solución

Se definen

y t = 5x - 2x - 11

[-10, 10] por [-10, 10] y, = 5 x - 2 x - l l y y2= 2 + x - 8

FIGURA 2.2

y

y2 = 2 + x - 8

y se trazan las gráficas de estas dos ecuaciones en el mismo rectángob« inspección, obteniéndose las rectas mostradas en la Figura 2.2. Lacooéj nada x del punto de intersección de las rectas es 2.5, lo cual concuerdic* la solución del ejemplo 1. Para resolver una ecuación que contiene expresiones raciónate! multiplican ambos lados de la ecuación por el MCDn (mínimo con»] denominador) de las fracciones, tal como se muestra en el ejemplo9', guiente.

► EJEMPLO 3

Resolver una ecuación racional

Halle el conjunto solución de la ecuación 3 = 2 x + 4 3jt — 2 I Solución Observe que cuando x es - 4 o se obtiene ceroen« minador de una de las fracciones en la ecuación dada. Por tanto. - q están en el dominio de la incógnitas.

I

2 .1

EC U A C IO N ES LIN EALES C O N U N A INCÓ GN ITA

69

El MCDn es (x + 4) (3x - 2). Si se multiplican ambos lados de la ecuación por el MCDn, se obtiene (x + 4)(3* - 2) — = (x + 4) (3jc - 2 ) — - — * + 4 3jc — 2 3(3* - 2) = 2(jc + 4) 9x 9x-6 +

69jc

6 = 2*

+8

2*= 2jr + 8 + 6 - 2x 2* = 8 + 6 Ix = 14 * =2

Por tanto, el conjunto splución es {2}. Ahora se verificará la solu3 1 cion. ¿Será cierto q u e ---------= ------------- ? 2 + 4 3(2) - 2 3 = 3 2 + 4 6

2 3(2) - 2

2 4

= 1

2

2

De este modo, la solución ha sido comprobada.

<

Cuando se multiplican ambos lados de la ecuación por el MCDn la ecuación resultante puede no ser equivalente a la original. Si esto sucede, se puede obtener un valor como posible solución que no satis faga la ecuación original debido a que no pertenece al dominio de la incógnita. Estas situaciones ocurren en los ejercicios 25 y 26. En el ejemplo siguiente se obtendrá una ecuación como una repre sentación algebraica de una situación práctica. A la ecuación obteni da se le denomina m odelo m atem ático de la situ ació n p ráctica. En la Sección 2.3 se discutirán en detalle las ecuaciones como modelos matemáticos.

► EJEMPLO 4

Obtención y ap licació n d e u na ecuación como m odelo m atem ático

El costo de alquiler de un avión de una plaza, de una aerolínea priva da, es de 310 dólares por el avión y piloto, más 75 centavos de dólar por m illa de vuelo. ¿Cuál es el costo de un viaje de (a) 100 millas; (b) 200 millas y (c) 300 millas? (d) Si y dólares es el costo de un viaje de x millas, escriba una ecuación que relacione a y y x. Emplee la ecua ción del inciso (d) para determ inar (e) el costo de un viaje de 270 mi llas y ( f ) la distancia recorrida de un viaje que costó 720 dólares.

?0

CAPÍTULO 2


S olución (a) El costo de un viaje de 100 millas es de $310 + $0.75 ^ j $385. J ^ (b) El costo de un viaje de 200 millas es de $310 + $0.75 (2fl(b! $460. (c) El costo de un viaje de 300 millas es de $310 + $0.75 (300), $535. (d ) A fin de determinar una ecuación que relacione a x y y, se obs^ en las respuestas de las partes (a), (b) y (c) que el número de^ res en el costo total del viaje se obtiene por la suma de $310 producto de 0.75 y el número de millas recorridas en el viaje. ^ tanto, si y dólares es el costo de un viaje de x millas, entonces y

= 310 + 0.75*

(e) Para un viaje de 270 millas, x = 270 y y

= 310 + 0.75(270) = 512.50

Por tanto, el costo del viaje es de $512.50. (f) Para un viaje cuyo costo es de $720, y = 720 y 720 = 310 + 0.75* = 720 ;fT - , 310 0.75* = 410 x —

410 0.75

X =

546.67

Por tanto, el recorrido del viaje es de 546.67 millas.

[0,1 000] por [o, 1000] y = 310 + 0.75*

FIGURA 23

La Figura 2.3 muestra la gráfica de la ecuación del ejemplo*11* zada en el rectángulo de inspección [0,1 000 ] por [0,1 000] conM*? cala de 100 en ambos ejes. En el ejercicio 40 se pedirá que utiliz^ la graficadora se hagan aumentos (zoom-in) en esta gráfica para«*0mar las respuestas de los incisos (e) y (f) del ejemplo 4. Una ecuación puede contener más de una variable o puedec° ^ ner símbolos como a y b para representar constantes. Una ^cuaClCl 1 este tipo se conoce en algunas ocasiones como e c u a c i ó n liter*J resolver una ecuación de este tipo respecto a una de las vana términos de las otras variables o símbolos, se trata la variable como la incógnita y las otras variables o símbolos como valores cidos.

2.1

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

► EJEMPLO 5

Ti

Resolución de una ecuación literal

Si se lee la temperatura en dos termómetros, uno Fahrenheit y otro Celcius, entonces F grados es la temperatura Fahrenheit leída y C gra dos es la temperatura Celsius, la relación de estas temperaturas es: F = - C + 32 5 Resuelva esta ecuación para C.

Solución

Primero se multiplica cada lado por 5 y se obtiene 5F = 9C + 160

5F - 160 = 9C 9C = 5(F - 32) C = | ( F - 32) 9

►

EJEMPLO 6

«

Resolución de una ecuación literal

Resuelva la ecuación y = xtz + xyz

(a) para x, y (b) para y

Solución (a) A fin de resolver para* x, primero se factoriza el lado derecho. y = x(tz + yz)

Ahora se dividen ambos lados entre tz + y z y resulta x = — - — (tz + yz * 0 ) tz + yz

(b) A fin de resolver para y , se suma -xyz a cada uno de los lados y después se factoriza el lado izquierdo, obteniéndose:

y

- xyz - Xtz

y( 1 - xz) = xtz

Al dividir ambos lados entre 1 - xz, se tiene y = —— I - xz

■•** R. La expresión

"resolver para” también significa “despejar”

(xz * 1)Ü

72

CAPÍTULO 2


En los ejercicios 1 a 4, encuentre el conjunto solucion de la ecuación, y muestre la solución en una gráfica obtenida en una graficadora. 1.

2* + 7 *

0

2.

3.

5x - 8

0

4.

*

3x - 2 4x + 9

= 0

2x + 5

En los ejercicios 5 a 14, resuelva la ecuación de dos formas: (i) en la graficadora como en el ejemplo 2; (li) algebraicamente. 5.

7X

7.

4 h- -

3 =

9.

2 (/ -

5) = 3 -

+ 4 = 25

10 .

1 -

11.

x =x

3(2* -

1 3 . 3(4 y 14 . - 2

+

8 . * — 9 = 3 jc + 3

(4 +

4) = 4 (6 -

1

-

5 y) -

7 (2 -

SJM

(5

x)

+

4 x 2 + 8x - 5

1

En los ejercicios 27 a 32, resuelva p a r a x o y en nos de los otros símbolos. 27. 3ax + 6ab = l a x + 3ab a + 3x c 28' ~ ^ = I 29. a (y - a) - 2b (y - 3b) - ab

t)

■

30. 5a(5a + x) = 2a(2a - x)

8

1 2 . jr + 3 = 1 +

+ 9) =

[s -

6. 7 = y + 10

11 - 3w

2x -

= 0

* +

2

31.

x + b

x —a

3a - 4b

2a - 5b

2y

32.

4 i = <¿ 3 s .

— y

+

2

1

c*+ y

y

£>* los ejercicios 15 a 24, encuentre el conjunto solu ción de la ecuación.

En los ejercicios 33 a 39, resuelva para la cantidad« dicada en la fórm ula dada.

„ 3* ■*-\2 - 3 15. — g-------1- — i —

33. A - ^ { a + b)h\ para h

34. A=Ua+b)h,pml

35. £ = / ( / ? + r); para r

36. A = P 1 + í ; pan

»6 . | + i 8

2i

- 2

i

17.

18. 19.

4 —/ o

+

1

+

= + 3

3

5 h- — 1

5»v

22.

3 a4 2x2 + x — 6 x2 - x - 6

23.

5 x 2 + 6x -

24.

2 7“ x 2 - 1

__ 2_______ 3_ ? +

1

para p I <1

38. E = I \ R + - 1 p w

6x — 7

4

25w 2 -

1 1

37. —= f P

39. S = ~ ~ - \ para r

3x — 4

20. x 2 3______7 - 9 jt 21.

„ 1

* 0

1

-

5

y

y

En los ejercicios 25 y 26, demuestre que el conjunto solución de la ecuación es 0 .

40. Al aumentar (zoom-in) la gráfica de la Figura2J en la graficadora estime las respuestas en los in cisos (e) y (f) del ejemplo 4. 41. Suponga que el tanque de la gasolina de automóvil tiene una capacidad de 16 galones,) pueden recorrer 20 millas con un galón de solina. Si se inicia un viaje con el tanque W ¿cuántos galones quedarán en el tanque despu» recorrer (a) 100 millas, (b) 200 millas y (í)- ■’ millas? (d) Si y galones de gasolina queda» en tanque después de haber manejado * millas, escn una ecuación Empl# w iuii que q u e irelacione c i a t i u i K /.v y j ~ . respuesta obtenida en el inciso (d) para detertn1 (t?) ¿cuánta gasolina queda en el tanque despuí r . conducir 240 millas?, (f) ¿qué tan lejos SCJ ^ manejar cuando el indicador marca que «ju*®

2 .2

ECUACIO NES CUADRÁTICAS C O N U N A IN C Ó G N IT A

cuarto de tanque de gasolina? y ( g ) ¿qué tan lejos puede manejarse con un tanque lleno antes de quedarse sin gasolina? 42. El costo de una llamada de larga distancia de Men docino a San Francisco en cualquier día de la se mana es de 40 centavos de dólar el primer minuto y 31 centavos de dólar para cada minuto adicional. ¿Cuál es el costo de una llamada que duró (a) 4 mi nutos; (b) 7 minutos; y (c) 10 minutos? (d) Si y dólares es el costo de una llamada que tuvo una duración de x minutos, escríba una ecuación que relacione y y x. Utilice la ecuación del inciso (d) para determinar (e) el costo de una llamada de 16 minutos de duración, y (f) la duración de una lla mada que costó 4.74 dólares.

gráfica para estimar las respuestas de los incisos (e), (f) y (g) del ejercicio 41. 44. En una graficadora, trace la gráfica de la ecuación del inciso (d) del ejercicio 42. Aumente (zoom-in) la gráfica para estimar las respuestas de los incisos (e), y (f ) del ejercicio 42. 45. Encuentre el conjunto solución de cada una de las ecuaciones siguientes, si x es un número real: (a) - = 1 x

(b) - = 0 x x

(C) - = 2

46. Determine el conjunto solución de cada una de las ecuaciones siguientes, si x es un número real: x —2 (a) ------ - = 1 x —2

x —2 (b) ------ - = 0 x —2

43. En una graíicadora, trace la gráfica de la ecuación del inciso (d) del ejercicio 41. Aumente (zoom-in) la

2.2

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON U N A IN C Ó G N ITA OBJETIVOS

1.

Aprender el teorema del factor-cero.

2. Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización.

3. Mostrar en una gráfica las soluciones reales de una ecuación cuadrática. 4. Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de la raíz cuadrada. 5. Completar el cuadrado de x2 + kx. 6. Aprender la fórmula cuadrática. 7. Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática. 8. Usar el discriminante para determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática. 9. Aprender las relaciones existentes entre la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática y las intercepciones x de la parábola correspondiente. 10. Resolver gráfica y algebraicamente problemas de movimiento rectilíneo. 11. Resolver ecuaciones literales considerándolas como ecuaciones cuadráticas. 12. Aplicar el concepto de completación de cuadrados a ecuaciones que se presentan en geometría analítica y expresiones algebraicas encontradas en Cálculo. Una ecuación que puede expresarse como: ax 2 +

73

+ c *

0

74

CAPÍTULO 2

donde f l ü son números reales constantes y a * 0 „ „ ¡ d.°_ „„Hnomial de segundo grado o ecuación cuadritw S c,° “ P° La palabra cuadrática proviene del vocablo *H aue significa raíz o rectángulo. Cuando una ecuación cuadrá£ S cribe en la forma anterior (donde todos los término* s e encuentran del lado izquierdo y 0 está en el lado derecho,,^ oue está en forma estándar. Es conveniente tener una formac^ nara un tipo particular de ecuación, as, como también se J C para referirse a sus propiedades cuando se proponen f o j ] teoremas gentes son ejemplos de ecuaciones cuadráticas«^ tas en forma estándar con los valores de a, fey c. indicados. (a = 6, b = 7, c = - 3)

j

(a = 1, b = 0, c = - 7) (fl = 3, b = -4 , c = 0)

I |

6x2 + i x - 3 = 0

_

7

=o 3jc2 - 4jc = 0 x2

Observe que es posible que b o c sean cero, como en la segundayt** ecuación. De cualquier modo, la restricción de que a * 0 es Recesará]«

j

tener una ecuación de segundo grado.

Un método para determinar el conjunto solución de unaecuao^ cuadrática involucra el teorema siguiente. Su d em ostrab a, las propiedades del conjunto de los números complejos dadasch Sección 1.3.

TEOREMA

Teorema delfactor <

Si r y s son números complejos, entonces rs = 0

si y sólo si

r = 0 o s =0

Este teorema puede ser extendido para un produco^ ^ factores. Por ejemplo si r, s, t, u £ C, entonces rstu menos uno de los números r, s, t o u es 0 .

Aplicación del te o re m a del factor cero q ú i ^ e c u t r ' fact0r cero Puec*e ser aplicado para reso l lado izauierH " cuadrática en la forma estándar para ,a c “ O izquierdo puede ser factorizado. 1. Factorizar el lado izquierdo.

Hacer cada factor igual a cero.

2.2

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA

7*

3. Encontrar las soluciones de estas ecuaciones lineales. 4. El conjunto solución de la ecuación cuadrática dada es la unión de los conjuntos solución de las dos ecuaciones linea les. 5. Comprobar las soluciones mediante la sustitución en la ecua ción original.

En el ejemplo siguiente se mostrará el procedimiento.

► EJEMPLO 1

Resolver una ecuación cuadrática por factorización

Determine el conjunto solución de la ecuación * 2 + 3jc - 10 = 0

Solución

Si se factoriza el lado izquierdo se obtiene

(* + 5) (x - 2) = 0 Al aplicar el teorema del factor cero, se concluye que la ecuación dada es una proposición verdadera si y sólo si * + 5 = 0

o

* -2

= 0

La solución de la primera de estas ecuaciones es -5 , y la solución de la segunda es 2. Por tanto, el conjunto solución de la ecuación cuadrática dada es {-5, 2). Las soluciones pueden comprobarse sustituyendo -5 y 2 en la ecuación original como sigue: ¿Es (-5 ) 2 + 3(-5) - 10 = 0?

¿Es 2 2 + 3(2) - 10 = 0?

( - 5 ) 2 + 3(-5) - 10 = 25 - 15 - 10

2 2 + 3(2) - 10 = 4 + 6 - 10

= 0 Por tanto, ambas soluciones están comprobadas.

=0 -4

La gráfica de la ecuación obtenida haciendo y igual al lado iz quierdo de la ecuación cuadrática en forma estándar es una parábola. Las intercepciones x de la parábola son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

76

CAPÍTULO 2


►

EJEMPLO 2

D e te rm in a c ió n g r á fic a cf* las soluciones re a le s d e u n a e c u ac ió n cu ad rática

Para la ecuación cuadrática del ejemplo 1, muestre las soluciones ficamente. Solución Considere y igual al lado izquierdo de la ecuación: y = x 2 + 3jc - 10 [-1 0 , 5] por [-1 5 , 15]

y = x ¡+ i x -

10

FIGURA 2.4

Al trazar la gráfica de esta ecuación se obtiene la parábola, mostrada en la Figura 2.4. Las intercepciones x de la parábola son -5 y 2, cuales corresponden con las soluciones obtenidas en el ejemplo 1, Suponga que se tiene una ecuación cuadrática de la forma jc2= d esto es, que no hay términos de primer grado. Por lo que la siguiente es una ecuación equivalente x2 - d = 0 y al factorizar el lado izquierdo obtiene (x - 'id) (x + id)_ = 0 Se considera cada uno de los factores igual a cero y se resuelven i ecuaciones. x - id = 0

x + yfd = 0

x = id

x = - 'i d

Por tanto, el conjunto solución de la ecuación x 2 = d e s [id, - i d } b puede abreviar el conjunto solución como {± ~id). Es decir si y sólo si

x = ± "id

donde x = ± i d se refiere a las dos ecuaciones x = 'id y x = -id- & factible resolver la ecuación extrayendo la raíz cuadrada de ambos lado de la ecuación y escribiendo el símbolo ± para indicar las dos raíces de¿

► EJEMPLO 3

Resolver una ecuación cuadrática m*dlont* raíz cuadrada

Encuentre ei conjunto solución de cada una de las ecuaciones siguió tes: ¡S i (b) x2 ~ II

(a) x 1 - 25

(c) m

2.2

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON U NA INCÓGNITA

Solución

Se extrae la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

(a) x 2 = 25

(b) x 2 = 1 1

jc = ± V 2 5

(c) x * = - 9

jc = ± V T T

x = ± V -9 * =±3i

* = ±5

>

77

<


El conjunto solución de la ecuación (x - 4 ) 2 = 5 puede ser determinado extrayendo la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación. Por lo que se tiene x - 4 = ±V 5 x = 4 ± V5 Así, las dos soluciones son 4 + VF y 4 - VF, y el conjunto solu ción puede escribirse como {4 ± }. 4 Puede aplicarse el método del ejemplo ilustrativo 1 para hallar el conjunto solución de cualquier ecuación cuadrática. El primer paso es escribir la ecuación de una forma similar a la de la ecuación dada en el ejemplo ilustrativo 1. Esto es, el lado izquierdo será el cuadrado de una expresión algebraica que contiene la variable, y el lado derecho será una constante. Se empleará este procedimiento en el ejemplo ilus trativo siguiente.

>


A fin de encontrar el conjunto solución de la ecuación x 2 + 6x -

1 = 0

primero se suma 1 a cada lado y se obtiene x 2 + 6x — \

fi_

( 1)

Ahora se suma a ambos lados el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, es decir 32, y se obtiene x 2 + 6x + 9 » 1 + 9

(j)

78

CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

-1 0 .5 ] por [ -1 5 .1 5 ]

Por tanto, el conjunto solución de la ecuación dada es {-3 ± VÍO).

,y=Jt*+ár- I

FIGURA 2.5

En el ejemplo ilustrativo 2, las soluciones -3 + VkTy -3 son las soluciones exactas de la ecuación cuadrática. Empleandoh calculadora, VlO » 3.16227766, donde el símbolo « se lee “aproomadamente igual'’. Por tanto, las aproximaciones decimales soluciones con siete cifras decimales son -6.1622777 y 0.1622777.U gráfica de y = x 2 + 6x - 1, mostrada en la Figura 2.5, indica que lasioluciones encontradas son aproximaciones razonables de las inteiccp> ciones x de la parábola. El método empleado para obtener la Ecuación (3) se denomina completación del cuadrado. El paso importante es obtener la Ecua ción (3) equivalente a la Ecuación (1). Observe que en (1), el izquierdo es jc2 + 6* (el coeficiente de x2 es 1 y el coeficiente de*es6} Se ha sumado el cuadrado de la mitad de 6 a ambos lados de laEcua ción (1), lo cual da (2), en la que el lado izquierdo es (* + 3)2. Dema nera más general: Para completar el cuadrado de x 2 + kx, se suma el cuadradodeIt mitad del coeficiente de x\ o sea

f ie '2

Observe que esta regla para completar el cuadrado, se aplicasolamente a una expresión cuadrática de la forma x 2 + kx, donde el coeficíente del término de segundo grado es 1. Además, cuando suma a x 2 + kx, se obtiene el cuadrado de un binomio:

x2 + kx + { í f = (x + í ) Si k es igual a 2a, esta fórmula se transforma en: x 2 + 2ax + a 2 m (jt + a )2

► EJEMPLO 4

Completar el cuadrado de x 2 + fc*

Agregue un término a cada una d e las siguientes e x p r e s io n e s algeW cas, para obtener el cuadrado de un binomio. Escriba la expresión sultante como un binomio al cuadrado.

2 .2

79


(a) x 2 + \ 2 x

(b) x 2 - 5x

(c) x 2 + 4

Solución El coeficiente de * 2 es 1 en cada una de las expresiones proporcionadas. Por tanto, para completar el cuadrado, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. (a) x 2 + Í 2 x + 62 = x 2 + 1 2 * .+ 36 = (x + 6 )2 (b) x 2 - 5 x + f - | J

= * 2 - 5* + j = U

5'2 - -

(c) x 2 + - x + ( - I = x 2 + - X + ~

= . , +r Ahora, considere la ecuación cuadrática general en la forma están dar: a x 2 + bx + c - 0 Esta ecuación se resuelve para x en términos de a, b y c completando el cuadrado. Primero se dividen ambos lados de la ecuación por a (recuerde que a * 0 ); posteriormente, se agrega — a ambos lados para obtener 0 b c x2 + -x = — a a Al sumar, a ambos lados, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x:

b Y

b2

x + 2al

4*’

x +

b V 2a

c

b 2 - 4ac 4a 2

b V b 2 - 4ac x + —----- — 2a 2a

CAPÍTULO 2


b V ¿?2 — 4ac = ~2a ± 2a

*

- b ± V 2 — 4ac X ~ ----------- l a Estos dos valores de x son las soluciones de la ecuación ax2+ Éac+|s| Mediante el procedimiento anterior se ha obtenido la fórmula cuadráü. ca, la cual se establece a continuación de manera formal.

Fórm ula cuadrática Si a * 0, las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0 están dadas por - b ± i b 2 — 4 ac x -----------------------2a

El hecho de sustituir los valores de a, b y c en la fórmula cuadrátia nos permite resolver fácilmente cualquier ecuación en forma estándar.

► EJEMPLO 5

Resolver u n a ecuación cuadrática mediante la fórm ula cuadrática

Emplee la fórmula cuadrática para encontrar el conjunto solución deh ecuación 2x2 = 5(2x - 3) Solución como

Si se escribe la ecuación dada en la forma estándar que®

2x l - IOjc + 15 = 0 A partir de la fórmula cuadrática, donde a = 2, b = -10 y c = 15, x =

—b ± V &2 — 4ac —

_ 10 ± V lO O -

120

4

10 ±

V

-20

4

_____________ _

2.2


81

10 ± 2 i V s

4 5 ± iV 5 7

El conjunto solución es

Hiin iiin in

La parábola y = 2 x 2 - 10* + 15, asociada con la ecuación en el ejemplo 5 y mostrada en la Figura 2.6, no intersecta al eje x debido a que la ecuación no tiene raíces reales.

[ - 1 .6 ] por [ 0 ,3 0 ]

Resumen de los métodos p a ra resolver ecuaciones cuadráticas

y = 2 x 1- 1 0 x + 15

FIGURA 2.6

1. 2. 3. 4.

Factorización (ejemplo 1). Raíz cuadrada (ejemplo 3 y ejemplo ilustrativo 1). Completación del cuadrado (ejemplo ilustrativo 2). Fórmula cuadrática (ejemplo 5).

Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse mediante la fórmu la cuadrática; por lo que el método 4 se utiliza con más frecuencia. Si los métodos 1 y 2 parecen apropiados, se deben emplear, ya que es más fácil su aplicación. El método de completar el cuadrado, el cual es poco común para resolver una ecuación cuadrática, reviste importancia debido a que se empleó en la deducción de la fórmula cuadrática. A continuación se proporciona información acerca de las raíces de una ecuación cuadrática, sin que realmente se resuelva ésta. Si r y s representan las raíces de a x 2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales, con -b +

— 4ac 2a

- b - V¿>2 - 4ac 2a

El número representado por b 2 - 4ac se denomina el discriminante de la ecuación cuadrática. La naturaleza de las raíces se puede determinar encontrando el valor del discriminante.

82

CAPÍTULO 2


1. Si b 2 - 4ac = 0, entonces

— zh .

s ~ ~ 2a

v

2a

y por tanto, r y s son números reales iguales. En tal c a so ,eln J r o ------ se llama raíz doble (o una raíz de multiplicidad 2).i¿ gráfica de la ecuación y = a x 2 + bx + c es la parábola tangente^ eje x en el punto donde x = ------ . Véase la Figura 2.7. 2a 2. Si b 2 - 4ac > 0, entonces r y s son números reales diferentes. situación se presentó en el ejem plo 1. La gráfica de la ecuaciói y = a x 2 + bx + c es una parábola que tiene dos intercepcioua* Véase la Figura 2.4. 3. Si b 2 - 4ac < 0, entonces r y s son números imaginarios difem, tes, cada uno de ellos es el complejo conjugado del otro. Esto* observó, en el ejemplo 5. La gráfica de la ecuación y = ax2+ es una parábola que no intersecta el eje x. Véase la Figura 2.6. * Ahora se resumirán estos resultados.

Clasificación d e las raíces d e la ecuación ax2 + b x + c = 0 1. b 2 —4ac —0: las rafees son reales e iguales, una raíz doble b 2- 4ac > 0: las rafees son reales y diferentes 3. b 2- 4ac < 0: las raíces son imaginarias y diferentes; unaes el

2.

complejo conjugado de la otra.

► EJEMPLO 6

Uso d e l discriminante p a ra determinar la n atu raleza d e las raíces de una ecuación cuadrática, verificando la conclusión por m edio de una gráfica

Determine el carácter de las raíces de la ecuación dada. Trace la gra*1' ca de la parábola correspondiente para verificar la conclusión. (a) 3jc2 - 2 x - 6 = 0

(b)

4.v2 - 12jc + 9 = 0

(c) 2 x 2+ 6 * + 7 = 0 Solución (a) En la ecuación dada a = 3, b - -2 , y c = - 6 . Así b 2 - 4ac = ( - 2 ) 2 - 4 (3) ( - 6 ) S 76

2.2

ECUACIONES CUADRATICAS CON UNA INCÓGNITA

83

Debido a que el discriminante es positivo, las raíces son reales y diferentes. En la Figura 2.8 aparece la gráfica que tiene dos inter cepciones x. (b) C o m o a = 4. b = - \ 2 y c = 9, b 2 - 4ac = ( - I 2 ) 2 - 4(4) (9) = 0 (-5.5J por [-10,101 y m ix ‘ - 2 x - 6

FIGURA 2.8

El discrim inante es cero, por tanto, las raíces son números reales iguales. Observe que 4x2 - 12x + 9 = (2x - 3 ) 2. la ecuación puede escribirse com o (2 x - 3 )2 = 0 (2jt - 3 )(2 x — 3) = 0 y cada factor en la ecuación da el número | como solución. La gráfica mostrada en la Figura 2.9 es una parábola tangente al eje x en el punto (1.5,0).

l-l. 51por [-1, 10]

Debido a que a = 2, b =

y = 4x¡ - 12x + 9

6 y c = 7,

b 2 '- 4ac = 62 - 4 (2 )(7 ) = -20

FIGURA 2.9

El discriminante es negativo, por tanto, las raíces son imaginarias, diferentes y com plejas conjugadas una de otra. La Figura 2.10 muestra en la gráfica de una parábola que no intersecta el eje x. <4

I I

Una aplicación del Cálculo en física trata sobre el movimiento rectilíneo, es decir, el movimiento de una partícula sobre una recta. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba es un ejemplo particular. En tal situación, si s pies es la distancia del objeto al punto de partida, en tonces ésta será después de / segundos de que el cuerpo sea lanzado. S

— -I 6 f2 +

(4)

Vrit

donde vq pies por segundo es la velocidad inicial del objeto. La Ecuación (4) se llama ecuación de movimiento. Cuando estudie Cálculo, podrá de terminar a partir de la ecuación de movimiento la velocidad de un objeto en cualquier tiempo particular. 1-3.51 por ( - 1,10)

y =2x‘ -f-6* + 7

FIGURA 2.10

!//!

► EJEMPLO 7

Resolución g ráfica do un pro blem a de movimiento rectilíneo

Una pelota es lanzada desde el piso verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 72 pie/s.

84

CAPÍTULO 2


(a) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento en unagrafici (b) A partir de la gráfica del inciso (a), determine la distanciad

pelota al piso al final de 1 s. (c) A partir de la gráfica, al final de cuántos segundos estarálapjL cayendo, pero a la misma distancia que en el inciso (b). (d) A partir de la gráfica, ¿en cuántos segundos la pelota Ita piso ! (0,10] por [ 0,100] j = -I6 í , + 72í

Solución

(a) De la ecuación 4 con v(>= 72, la ecuación de movimiento es

FIGURA 2.11

¿ = - 1 6 /2 + 72/ Observe que tanto s como / deben de ser positivos. Al trazar! gráfica de la ecuación en el rectángulo de inspección [0, 10]pa [0, 100] se obtiene la Figura 2 . 11. (b) Al trazar y aumentar (.zoom-in), se obtiene s = 56 cuando(:[ Por tanto, la pelota se encuentra a 56 pie del suelo al finaldelfrmer segundo. (c) En el mismo rectángulo de inspección, se dibuja la línea5=Si Véase la Figura 2.12. Al aumentar (zoom-in), se determinaquei recta intersecta la gráfica de la ecuación de movimientocuaidi t = 3.5 s. Por tanto, la pelota en su caída estará a 56 pie anibaÜ piso al final de 3.5 s. (d) La pelota está en el piso para 5 = 0, esto es, cuando lagráfica» tersecta el eje horizontal. Por supuesto esto ocurre parar=Hfj también mediante el aumento (zoom-in), cuando/ = 4.5. Por» se requieren 4.5 s para que la pelota regrese al piso. <

[0.10] por [0,100] s = 16/l + 72/ y 5 = 56

FIGURA 2.12

dy

► EJEMPLO 8

dx

Resolución algebraica de un problema de m ovim iento rectilíneo

Encuentre, por medio de álgebra, las respuestas de los incisos ( P del ejemplo 7. Solución

(b) En la ecuación de movimiento s = - 1 6 / 2 + 72/

cuando / = 1, se obtiene s » —16 ( 1) 2 |

72(1)

= 56 (c) Si sustituye .v por 56 en la ecuación de movimiento,

2 .2

ECUACIONES CUADRÁTICAS CO N U N A INCÓ G NITA

85

56 = - 1 6 12 + 72/ 16/2 - 7 2 / + 56 = 0 2 /2 - 9/ + 7 = 0 (2 / -

l)(t -

1) = 0

2/ - 7 = 0

/ -

/ = 3.5

1

= 0

/ =

1

(d ) Al sustituir s por 0 en la ecuación de movimiento, se obtiene

0 = - 1 6 / 2 + 72/ - 8 / ( 2 / - 9) = 0 / =* 0

2/ - 9 = 0 / h. 4.5

Estas respuestas están de acuerdo con las encontradas en el ejemplo 7.

► EJEM PLO 9

4

Resolución d e u n a ecuación lite ra l con siderada como ecuación cuadrática

Resuelva la ecuación (4) para /.

Solución Si se escribe la ecuación en la forma estándar de una ecuación cuadrática en /, se tiene - 1 6 / 2 - vq/ + s = 0 Al emplear la fórmula cuadrática, donde a = 16, b = - vq, y c —s, se ob tiene —b ± \ / b 2 — 4 a c \ “

2a

—( —yo) ± V (-t? o )2 ~ 4(16)(.y) 2(16) _ Vq ±_ V v o 2 - 64s 32

M

El concepto de c o m p le ta c ió n del c u a d ra d o tiene otras aplica ciones aparte de la deducción de la fórmula cuadrática. En geome tría analítica, se emplea para escribir las ecuaciones de las cónicas en forma estándar; véase los ejercicios 35 a 42. En Cálculo, se apli ca en técnicas de integración para escribir ciertas expresiones alge braicas en formas identificables; véase el ejemplo siguiente y los ejercicios 43 a 46.

86

CAPÍTULO 2

ECUACIONESYDESIGUALDADES

► EJEMPLO 10

Aplicar el concepto de completaeión d*| cuadrado p a ra una expresión algebraica encontrada en Cálculo

Escriba i 27 + 6x - x 2 en la forma i a 1 - (x - h)1, donde a y ftJ constantes. S o lu c ió n Í 2 7 + 6x - x 2 = i 21 - (x 2 - 6 x) Para completar el cuadrado de la expresión x2 - 6 x, se debe agn ( - 1)2, lo cual es 9. Debido a que un signo menos precede al paré sis, realmente se necesita - 9 en el radicando. Por tanto, al sumar 5 al radicando no se afecta su valor y se obtiene

V27 - ( x 2 - 6x) = V 27 + 9 - 9 - (x 2 - 6 x ) = V 3 6 - (x 2 - 6 x + 9) 1 V 6 2 - (x - 3 )2

&li»r«cios3-

expresión que está en la forma requerida.

<¡ gucirmferencia

EJERCICIOS 2.2

Ä r+f-4.

En los ejercicios 1 a 12, encuentre el conjunto solución de la ecuación. Trace la gráfica de la parábola corres pondiente y verifique que las intercepciones x de la pa rábola sean las raíces de la ecuación. L x 2 p 49

2.

3 . 5 12 - 12 ¡ | 0 5. 4 x 2 = x 7. x 2 = 8 x - 15

6.

9. 8 w2 + lOw 10. 14*2 -

x - 3

25*2^ 16 = 4. 3y 2 - 5 = 0

ix1+ x

0

= 0

8 . y 2 - l l y + 28 = 0

3= 0 = 0

15. 2x + 2 * x 2

16. x 2 + 1 = 6x

17. 5y 2 — 4y — 2 = 0

18. 4¿2 - 10s + 5 =0

19. x 2 í k = x

20 . —• + 2 = x 4

21. t2 - 4f + 7 = 0

22. 25y2— 20y + 7=0

En los ejercicios 23 a 26, encuentre el discriminantey* termine la naturaleza de las raíces de la ecuacióncum tica; no resuelva la ecuación. Trace la gráfica <*•I parábola correspondiente para verificar la conclusión. I

11. 4 9 x 2+ 8 4 * + 3 6 = 0

23. (a) 6x2 - 11* - 10 = 0

(b) 3x2 -

12. 6 4 y 2 -

24. (a) 4x 2 + 12x + 9 = 0

(b) 4t2 + 2t = I

8 0 y + 25 = 0

En los ejercicios13 a 22, encuentre el conjunto solu ción de la ecuación utilizando la forma cuadrática. Trace la parábola correspondiente, si la ecuación tiene raíces reales, verifique que las intercepciones x de la parábola sean las raíces de la ecuación. Si la ecuación no tiene raíces reales, compruebe que la parábola no intersecta el eje x. 13. x 2 - 3x

14. x 2 + 2x - 3 * 0

fiila‘Jf'ddos.

P<¡ne»

6.t-

=J |

25. (a) 25* 2 - 4Qx + 16 * 0 (b) 3y * 2r+ 5 26. (a) 14y 2 = lly - 15 (b) 14y2 + \\y - 15 = 0 En los ejercicios 27 a 30, encuentre el conjunto ción de la ecuación, 27.

x +4 x

3x x + 2

*Jsi

2 .2

EC U ACIO N ES CUAD RÁTICAS CO N U N A INCÓ GN ITA

«7

cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar: 31

;

* 29•

3/ - 4

—— ^ -----= a1

23

70 4y

3 * 1 - y

32

x

41. 25x2 - 4 y 2 + IOOjc - 40v - 25 = 0 ,2

30.

k, a y b son constantes.

bl

3 =

4y 2 - 2 x + 32y - 99 = 0

x + 1 En los ejercicios 43 a 46, emplee el concepto de completación del cuadrado para escribir la ex presión indicada en la forma requerida; a y h son cons tantes, p es un entero positivo. Este procedimiento es necesario frecuentemente cuando se estudian técnicas de integración en Cálculo.

nt

En los ejercicios 31 a 34 complete el cuadrado agre gando un término a la expresión algebraica; escriba la expresión resultante como un binomio al cuadrado. 31. (a) x 2 + 6x

(b) x 2 — 5x

31 (a) x 2 - 4jc

(b) x 2 + I x

33. (a) x 2 - \ x

(b) x 2 + §x

34. (a) x z + i x

(b) x 2 - §x

En los ejercicios 35 y 36, la gráfica de la ecuación es una circunferencia. Emplee el concepto de completadón del cuadrado para escribir la ecuación en forma es tándar: (x —h) + (y - k) = r ; h, r y k son constantes.

43. Escribir Vx2 + 2x - 3 en la forma V(x - h)2 - a 2 44. Escribir Vó5x - x 2 en la forma Va 2 - (x - h )1 45. Escribir V-4x 2 + 24x - 35

en la forma

p 'J a 1 - (x - h )2 46. Escribir V36x2 + 72x + 32

en la forma

p i ( x - h) 2 - a 2

35. x 2 + y 2 — 4 x + 6 y — 13 36. 4x 2 + 4y 2 + 8x - 32y + 59 = 0 En los ejercicios 37 y 38, la gráfica de la ecuación es una parábola. Emplee el concepto de completación del cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar: íx - h)2= 4a(y - k)\ h, k y a son constantes. 37. 3x 2 - 6 x — 5y + 13 = 0 38. x2 - 4x - Í6g + 52 = 0

En los ejercicios 47 a 50, resuelva la fórmula para la variable indicada. Todas las variables representan un número positivo. 47. V = j itr2h; para r

48. A = 2itr(r + h); para r

An r, kMv2 49. F = ------- ; para v

en g - — 4712 50. y ; para t

En los ejercicios 51 a 54, resuelva para x en términos de los otros símbolos. 51. 5ax2 - 3 x - 2 a = 0 52. 6dx 2 - 3dx + 5.= 0 53. x 2 — 2xy — 4x — 3y 2 = 0

En los ejercicios 39 y 40, la gráfica de la ecuación es una elipse. Emplee el concepto de completación del cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar: V* - b)2 (2 ___0 1 _= 1; h, k, a y b son constantes. a2 b2

54. 9x 2 - 6xy + y 2 - 3y = 0 55. La forma estándar de la ecuación de una parábola que tiene un eje vertical es y = ax2 + bx + c. Re suelva para x en términos de y. a, b y c.

3*. 4x2 + 9y 2 r> 16* - 18y - 1 1 * 0 40. J6-c2 + 25y2 + 96* - IQOy + 228 » 0

56. Si un polígono regular de 10 lados está inscrito en una circunferencia de radio r unidades y si s unida des es la longitud de un lado, entonces

En los ejercicios 41 y 42, la gráfica de la ecuación es una hipérbola. Emplee el concepto de completación del

r s

s r —s

Resuelva esta fórmula para s en términos de r.

88

CAPÍTULO 2


57. f idyj (Jn objeto es lanzado, desde el suelo, verti/ / ag cálmente hacia arriba con una velocidad ini cial de 128 pie/s. (a) A partir de la Ecuación (4), escriba una ecuación de movimiento del objeto. Encuentre algebraicamente: (b) la distancia que el objeto ha recorrido desde el suelo al final de 2 s; (c) ¿al final de cuántos segundos la distancia del objeto a la tierra es nuevamente la misma del inciso (b)?; (d). ¿al final de cuántos segundos el objeto al canza el suelo?

gráfica, ¿al final de cuántos segundos estaráb en su caída pasando por la orilla de la azm^1 De la gráfica, ¿al final de cuántos segundé la pelota al piso? Determine algebraicamente las rcsiw los incisos (c) a (f) del ejercicio5 9 * 61.

58. ¡fláy{ Trace, en la graficadora, la gráfica de la l//<5l ecuación de movimiento del inciso (a) del ejercicio 57. A partir de la gráfica obtenida, re suelva los incisos (b) a (d) del ejercicio 57. 59.

dyl Si un objeto es lanzado linealmente hacia pies arriba del nivel del suelo con una velocidad de v0 pies por segundo; entonces si s pies es la distancia del ob jeto al piso, ésta será, después de t segundos de ser lanzado,

En Cálculo, aprenderá que si unoí* lanzado verticalmente hacia arriba, % velocidad inicial de v0pies por segundo, eniJ segundos, después de que es lanzado, del objeto es v pies por segundo donde ñ

v = -321+ vo Discuta cómo utilizar esta ecuación y laEa«|¡ (4) para determinar ¿cuántos segundos para que el objeto alcance la altura máukñr ¿qué tan alto llegará el objeto?

II ü arriba, partiendo de un punto

62.

Empleando el método descrito eody cicio 61 y la ecuación para v ddi cionado ejercicio, determine ¿cuánto ta tardará la pelota del ejemplo 7 para alcaaarb máxima altura?, y ¿qué tan alto llegarálapeta!

//:

s = -16/2 + v¿t + sQ (a) Emplee esta ecuación para escribir una ecuación de movimiento de una pelota lanzada desde la orilla de una azotea a 68 pie arriba del suelo con una velocidad inicial de 76 pie/s. (b) Trace la gráfica de la ecuación del inciso (a), (c) A partir de la gráfica del inciso (b), determine la al tura de la pelota arriba del piso al final de 2 s. (d) De la gráfica, ¿al final de cuántos segundos estará la pelota cayendo pero a la misma distancia del piso, como en el inciso (c)? (e) De la misma

2.3

63. En su trabajo del siglo ix, ilm al-jabr wdm balah, Al-Khowarizmi describió compkoa te, en árabe, la solución de las ecuan» cuadráticas mediante la completarión ddanü Haga lo mismo, en español, para la ecuadóe^ drática 3x2 + 6x - 7 = 0

ECUACIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS OBJETIVOS

1. Determinar una ecuación como modelo matemático del enunciado de un problema. 2. Estimar la solución de un modelo matemático en una calculadora gráfica o graficadora. 3. Resolver algebraicamente un modelo matemático. 4. Escribir una conclusión para la resolución del proble®8

En muchas de las aplicaciones del álgebra, los enunciados^j blemas nos proporcionan las relaciones entre números con

2.3

ECUACION ES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

tto

ros desconocidos, los cuales deben ser determinados. La resolución de problemas fortalece no sólo la destreza matemática, sino también las habilidades de lectura y escritura. En esta sección resolveremos problemas empleando ecuaciones como modelos matemáticos de és tos. Con anterioridad se ha tenido contacto con este proceso en la Sección 2.1. Aunque no siempre se usa un método específico para obtener un modelo matemático, a continuación se dan algunas etapas para un po sible procedimiento a seguir, como se observará a través de los ejemplos, se hará referencia a estas etapas para indicar cómo se aplican.

Sugerencias para obtener una ecuación como modelo matemático 1. Leer con cuidado el problema hasta su total comprensión. Para un mejor entendimiento, es frecuentemente útil caracte rizar un ejemplo específico que implique una situación seme jante en la cual todas las cantidades son conocidas. De ser posible, también es útil dibujar un diagrama tal como se muestra en los ejemplos 1,3 y 4. 2. Determinar las cantidades conocidas y desconocidas. Em plear una variable para representar cada una de las cantidades desconocidas en la ecuación que se obtendrá. Cuando se utili za una sola ecuación, cualquier otra cantidad desconocida de berá expresarse en términos de una variable. Debido a que la variable representa un número, la definición de la variable deberá indicar este hecho. Por ejemplo, si la cantidad desco nocida es tiempo, y el tiempo está medido en segundos, en tonces t deberá estar definido como el número de segundos, o de manera equivalente, t segundos es el tiempo. 3. Anotar cualquier dato numérico conocido acerca de la varia ble. En muchos de los enunciados de problemas, estos datos pueden ser incorporados en una tabla, como se indica en los ejemplos 2 y 3. 4. A partir de la información disponible en la etapa 3, determi nar dos expresiones algebraicas para el mismo número y plantear una ecuación a partir de éstas. El uso de una tabla, como la recomendada en la etapa 3, le ayudará a descubrir expresiones algebraicas iguales.

Siguiendo los pasos anteriores se tendrá un modelo matemático del problema.

90

CAPÍTULO 2


Para completar el problema, una vez que se dispone de un mofo. | lo matemático, se deberán seguir los pasos siguientes: 5. Encontrar el conjunto solución de la ecuación obtenida como I modelo matemático. 6 . Comprobar sus soluciones determinando si se satisfacen las con diciones del problema. Esta comprobación verifica la exactitud de la ecuación obtenida en la etapa 4, así como la exactitud de su conjunto solución. 7. Escribir una conclusión que contenga una o más oraciones com pletas sobre las respuestas a las preguntas del problema. Por ejemplo, supóngase que el problema requiere que calcule la lon gitud de un rectángulo, y la variable x está definida como x pies de longitud. Entonces, si el conjunto solución es {5}, su conclu sión puede ser: la longitud del rectángulo es 5 pie.

Téngase en mente que la ecuación obtenida como modelo matemática es una igualdad de números. Así que no aparecen las unidades de medidla el conjunto solución de la ecuación. Sin embargo, estas unidades está» cluidas en la definición de la variable, tal como se indica en la etapa 2. L* unidades también deberán aparecer en la conclusión de la etapa 7.

►

EJEMPLO 1

Resolución d e un p ro b le m a con una ecuocíón lin e a l com o m o d e lo m atem ático

Un rectángulo tiene un largo de 3 cm menos que cuatro veces so cho, y su perímetro es 19 cm, ¿cuáles son sus dimensiones? Solución Se desea determinar el número de centímetros de o lado del rectángulo. A continuación se emplea una variable para tep* sentar estos números. w: es el número de centímetros que mide el ancho del rectángula 4w - 3: es el número de centímetros que mide el largo del rectáng» Con referencia a la Figura 2.13. E l perímetro del rectángulo es distancia total alrededor de él. Por tanto, el número de centímetro*4 el perímetro puede ser representado por cualquiera de las dos expres*j nes siguientes (4h>- 3)cm

w + (4w — 3) + w + (4h>

3)

o 19; por tanto, se tiene la ecuación (4w - 3)cm FIGURA 2.13

w + (4vv ~ 3) + w + (4w — 3) — 19 lO w -

6 =

19

10w I

25

2 .3

ECUACIONES COMO M ODELOS MATEMÁTICOS

Oí

= 7 C o m p ro b ació n : Si el ancho del rectángulo es 2.5 cm y el largo es 7 cm, el perím etro es (2.5 + 7 + 2.5 + 7) cm , lo cual es igual a 19.* C o n clu sió n :

El ancho del rectángulo es 2.5 cm y el largo es 7 cm. -4

El enunciado del problem a en el ejemplo siguiente puede clasifi carse com o un p ro b lem a de inversiones, debido a que implica el rédi to de una inversión. El rédito puede estar en la forma de interés, y en ese caso se usará la fórmula I = P - R donde / dólares es la ganancia anual cuando se han invertido P dólares con una tasa anual R. La tasa generalmente está dada como un porcentaje; así que si la tasa es 8 %, entonces R - 0.08.

► EJEMPLO 2

E ncontrar u n a e c u a c ió n lin e a l co m o m o d e lo m a te m á tic o d e u n p r o b le m a , cu ya solu ció n se d e te r m in a rá e n u n a g ra fic a d o ra , a s í co m o a lg e b r a ic a m e n te

Una mujer tiene $15 000 (dólares) invertidos en dos cuentas de las que ella recibe una ganancia anual de $1 456. Si la inversión riesgosa paga 12 % anual y la otra paga 8 %, determine qué cantidad tiene invertida con cada tasa, haciendo lo siguiente: (a) encuentre una ecuación lineal com o modelo matemático de la situación; (b) estime la solución de la ecuación en una graficadora; (c) resuelva la ecuación algebraicamente, y (d) escríba la conclusión.

S olu ción (a) Para determinar el número de dólares que ella ha invertido en cada tasa, se definen estos números. x: número de dólares invertidos a 12 %. 15 000 - x: número de dólares invertidos a 8 %. Al emplear la fórmula / = P • R, se obtiene la Tabla 1.

*** so lu ció n del p rob lem a e s correcta, pero tam bién d eb e verificarse la so lu c ió n en la prim era re la ció n la cu a l esta b lece ^ ^ cu&fruplo del an ch o d ism in u id o e n 3 es ig u a l al la rg o , n u m é ric a m en te e s t o se ex p re sa com o 4(2.5) - 3 = 7 lo cu a l tam b ién *• cierto.

9 2 ___ CAPÍTULO 2

ECUACIO NES Y D ESIG U ALD AD ES

Tabla l _____________ Número de dólares invertidos Inversión al 12% Inversión al 8 %

Tasa = __________

x 15 000 - x

Númerode j dólares j en interés |

0.12

0.12x j

0.08

0.08(15000-4

En virtud de que la entrada anual de las dos inversiones es $1456,es tonces la suma de las cantidades de la última columna de la tablaes 14% Por tanto, se tiene la ecuación siguiente 0.12* + 0.08(15 000 - x) = 1 456 (b) En la calculadora gráfica, se considera

y, = 0.12* + 0.08(15 000 - x)

[0,15 000] por [1 200, 1 800] y, =0.12x + 0.08(15 000-x ) y y¡=I 456 FIGURA 2.14

y

y2 m 1456

Se necesita determinar los valores permitidos para x y y\. Cuando todo el dinero se invierte a 8%, x es cero y y\ es 0.08(15 000),lo que es igual a 1200. Si todo el dinero se invierte a 12%,i o 15 000 y yi es 0.12(15 000), lo que es igual a 1 800. Debidoaq« 0 < x <> 15 000 y 1 200 < y, < 1 800, se selecciona [0,15 OOOJpor [ 1 200, 1 800] como rectángulo de inspección. Véase la Figus 2.14, con el aumento de la zona, se estima la coordenada x dd punto de intersección de las dos gráficas como 6400. (C) Al resolver la ecuación algebraicamente, se tiene,

0.12* + 0.08(15 000 - x) = 1 456 0.12* + 1 200 - 0.08* = 1 456 0.04* = 256 * = 6400 Este valor de * está de acuerdo con el valor estimado en el (b). C uando * = 6 400, 15 000 - * = 8 600. C o m p ro b a ció n : C on * = 6 400, el núm ero de dólares en d* terés anual de la inversión a 12 %, se tiene un interés de 0 ' [ (6 4 00) = 768. Con 15 000 - * = 8 600, el número de dóla$| el interés anual de la inversión a 8 %, se consigue una gânci* 0.08(8 600) = 6 8 8 . La solución es correcta debido a que 688 = 1 456.

2.3

(d) Conclusión: a 8 %.*

ECUACIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

93

La mujer tiene $6 400 invertidos a 12% y $8 600 <

Un problem a de mezclas puede implicar la mezcla de soluciones que contengan diferentes porcentajes de una sustancia para obtener una solución que posea cierta cantidad de la sustancia en cuestión. En el ejemplo siguiente, un químico desea obtener 6 L de una solución ácida al 10% mezclando una solución ácida al 7% con una solución ácida al 12%. Otro tipo de problemas de mezclas en los que el método de resolu ción es similar, implica mezclar cosas de diferente valor para obtener una combinación con un valor determinado de dinero. Un problema de este tipo aparece en el ejercicio 12.

► EJEMPLO 3

Encontrar u n a ecuación lin ea l com o m odelo m a tem á tico d e un pro b lem a , cuya solución se estim a rá e n u n a graficadora, así como a lg eb ra ica m en te

Un químico desea obtener 6 L (litros) al 10% de una solución ácida mezclando dos soluciones ácidas de 7 y 12%, respectivamente. Deter mine cuánto de cada solución deberá usar el químico, haciendo lo si guiente: (a) encuentre una ecuación como modelo matemático de la situación; (b) estime la solución de la ecuación en una graficadora; y (c) resuelva la ecuación algebraicamente, (d) Escriba la conclusión. Solución (a) Se desea determinar el número de litros de cada solución que debe utilizar el químico. Defina estos números. x : el número de litros de la solución ácida al 7%. 6 - x: el número de litros de la solución ácida al 12%. El diagrama de la Figura 2.15 proporciona una interpretación vi sual del problema, la información que aparece está incorporada en la Tabla 2.

so lu c ió n acid a a l 7%

so lu ció n á cida al 12%

so lu ció n ácida al 10%

0 .1 0 (6 ) litros d e ácido

FIGURA 2.15

N - d e R.

T am b ién d eb e com p rob arse la s o lu c ió n en la prim era relació n , la cu al esta b le c e q u e el ca p ita l d e la señora es de

15 0 0 0 dólares, num éricam en te s e tien e q ue 6 4 0 0 + 8 6 0 0 = 15 0 0 0 , lo cual e s cierto.

94

CAPITULO 2


Tabla 2 P orcentaje de ácido Solución àcida al 7% Solución àcida al 12% Mezcla

x

Núm ero de litro s de solución

7%

x 6 —x

12% 10%

Número de litros de ácido

=

0.07* 0.12(6-,) 0.60

6

En la última columna de la tabla, se observa que el número toyI de litros de ácido en la mezcla puede ser representado por 0.60opul 0.07* + 0.12(6 - *). Así que se tiene la ecuación 0.07* + 0.12(6 - *) = 0.60 (b) En la graficadora se considera

yi = 0.07* + 0.12(6 - *)

(0.6] por [0.42,0.72] i =®10.07.x+ 0 .12(6 - x) y Vi a 0.60

FIGURA 2.16

y

yi = 0.60

Se requiere determinar los valores permitidos para * y y,. Sid químico emplea sólo solución àcida al 12%, x es cero y y,# 0.12(6), lo cual es 0.72. Cuando el químico utiliza únicamente|j solución àcida al 7%, * es 6 y >i = 0.07 (6 ), lo que es igual a0.4Ì Debido a que 0 < * < 6 y 0.42
0.12

X ~^Ó Ü 5 . * = 2.4 Este valor de x está de acuerdo con el estimado en la parte (bl I Cuando * jb 2.4, 6 - * = 3.6. Comprobación: Con * = 2.4, el número de litros de ácidodeli solución al 7% es 0.07(2.4) = 0.168. Con 6 - x = 3.6, el mimen1 de litros de ácido al 12% es 0.12(3.6) = 0.432. Se compruebali respuesta, ya que 0.168 + 0.432 «=0.60. (d) Conclusión: El químico deberá emplear 2.4 L de la solución àcida al 7% y 3.6 L de la solución àcida al 12 %*

N. (i* k . La solución c* correc ta. S in embargo, también debe comprobarse en la primeera relación, la cual establece que el te» de la so lu ció n d eb e ser 6 L, lo cual cumple la solución presentada

2.3

ECUACIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

► EJEMPLO 4

x metros

30 metros *" (30 + 2x) metros FIGURA 2.17

95

Encontrar u n a ecuación cuadrática como m o delo m atem ático de un problem a, cuya solución se determ inará e n una graficadora, a sí com o algebraicam ente

Un parque posee un jardín de flores de 50 m de largo y 30 m de ancho, y un andador de ancho constante a su alrededor cuya área es de 600 m2. Calcule el ancho del andador haciendo lo siguiente: (a) determine una ecuación como modelo matemático de la situación; (b) estime la solu ción de la ecuación en una graficadora, y (c) resuelva la ecuación alge braicamente. (d) Escriba la conclusión. Solución (a) Se inicia definiendo el número que se desea determinar. x : el número de metros de ancho del andador. Con respecto a la Figura 2.17. El área del parque menos el área del jardín es igual al área del andador; así que se tiene la ecuación (50 + 2*)(30 + 2x) - 1 500 = 600 (b) En la graficadora se considera y { = (50 + 2x) (30 + 2x) - .1 500

[ 0 ,1 0 ] p or [0 , 1 0 0 0 ]

>i = (50 + 2*X30+ 2x) - 1 500 y >>2= 600 FIGURA 2.18

y

y2 = 600

Es razonable suponer que 0 < x < 10. Dado que yi = 600, un inter valo adecuado para y es [0, 1 000]. Por tanto se selecciona [0, 10] por [0, 1 000] como el rectángulo de inspección. La Figura 2.18 muestra las gráficas de y\ y yi trazadas en este rectángulo de ins pección. Al aumentar la zona se estima la coordenada x del punto de intersección de las dos gráficas como 3.45. (c) Se resolverá la ecuación algebraicamente. (50 +2*)(30

+ 2*) ü 1 500 = 600

1 500 + 160* + 4x2 - 1 500 = 600 4 x 2 + 160* - 600 = 0 * 2 + 40* - 150 = 0

Al resolver esta ecuación cuadrática mediante la fórmula general, donde a = 1, b = 40 y c = -150, se obtiene —b ± W — 4ac ¿a 40 ± V (4 0 )2 - 4(1)(—150)

2( 1) 40 ± V220Ó 40 ± 10\/22

96

CAPÍTULO 2

ECUACION

Y P E S IO U A L P A P E S -------------------------------------------------------- -— ___

Dado que jcdebe ser un número positivo, se rechaza la raíz negafa Para dos cifras decimales V22 * 4.69. Por tanto x

- 2 0 + 5(4 .6 9 ) « 3.45

Esta respuesta está de acuerdo con lo estimado en el inciso (b). Comprobación: Con x = 3.45, el número de metros en la lou#¡. tud del parque es 50 + 2(3.45) = 56.90, y el número de metrosa el ancho es 30 + 2(3.45) = 36.90. Por tanto (56.90) (36.90)=2loo es el número de metros cuadrados en el área del parque. El ka del jardín es 1 500 m2, y el área del andador es 600 m2; y 21001 500 = 600. (d) Conclusión:

En cada ejercicio resuelva el problema empleando una ecuación como modelo matemático de la situación. Complete el ejercicio escribiendo una conclusión. 1. La suma de dos números es 9 y su diferencia es 6 . ¿Cuáles son los números?

2. Encuentre dos números cuya suma es 7 y uno de los cuales es tres veces mayor que el otro. 3. El ancho de un rectángulo es 2 cm mayor que la mitad de su largo y su perímetro es 40 cm. ¿Cuáles son las dimensiones?

4. El lado más largo de un triángulo es el doble de la longitud del lado más corto y 2 cm mayor que el tercer lado. El perímetro del triángulo es 33 cm. ¿Cuáles son las longitudes de cada lado?

5. Los boletos de admisión a una sala cinematográfica costaron $ 6 para adultos y $ 4.50 para estudiantes. Si se vendieron 810 boletos y el total recaudado fue de $ 4 279.50. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron? é. Un inversionista desea ganar 12% sobre el total de dos inversiones. Si él invierte $ 1 0 0 0 0 al 10% , ¿qué cantidad adicional de dinero deberá invertir a 16%? 7. Una mujer invierte $25 000 en dos negocios ries gosos, en el último año tuvo una utilidad de 15% del primer negocio, pero perdió 5% en el segundo.

E1 ancho del andador es 3.45 m.

<

Su ingreso en el último año, proveniente de losda negocios, fue equivalente a un rendimiento deW sobre la inversión total. ¿Cuánto tiene invertidos cada negocio? Estime la solución de la ecuacn obtenida en la graficadora. Después, resuelva li ecuación algebraicamente. 8 . Un comerciante al menudeo invirtió $6 500 enna

tipos de cámaras. La ganancia de venta de lascá maras A fue de 25%, en la venta de las cátT .l la ganancia fue de 12%; y hubo pérdida cfc venta de las cámaras C. El comerciante inváii» cantidades iguales en las cámaras A y B y tal* nancia global sobre la inversión total fue de 14* ¿Cuánto se invirtió en cada tipo de cámara? Eso* la solución de la ecuación en la graficadora. D* pués, resuelva la ecuación algebraicamente. 9. Un orfebre obtuvo 40 g de una aleación quecos ne 70% de oro combinando una aleación que pos* 80% de oro con otra aleación que tiene 55# oro. ¿Cuántos gramos de cada aleación combiné orfebre? Estime la solución de la ecuación pleando una graficadora. Después, resuelva ecuación algebraicamente. ,

*r Ji.

10. Determine cuánta agua se requiere para diluir tros de una solución al 15% de colorante, tener una solución al 5% de colorante. EsWnÉ solución de la ecuación en la g rafica d o ra. y r

2 .3

tenormenie resuelva la ecuación de manera alge braica. 11. ¿Qué cantidad de agua deberá ser evaporada de 15 litros de la solución de colorante al 12% del ejerci cio 10, para obtener una solución en la que el colo

rante se encuentre al 20%? Considere que la cantidad total de colorante no se vea afectada por el proceso de evaporación. Estime la solución de la ecuación en una grafícadora. Resuelva la ecuación algebraicamente. 12. Se prepara una mezcla de perfume para venderse a $80 la onza, y se obtiene al mezclar dos tipos de perfume, uno de $104 y el otro de $50 la onza, res pectivamente. Si se desea obtener 270 oz de la mezcla, ¿qué cantidad de cada tipo de perfume de berá ser utilizada? Estime la solución de la ecua ción en la grafícadora. Resuelva la ecuación algebraicamente. 13. Un depósito abierto con fondo cuadrado, lados rec tangulares y una altura de 3 m es construido con un costo de $63 de material. Si el material para el fon do cuesta $5.40 por m 2 y el material de los lados tiene un costo de $2.40 por m2. ¿Cuál deberá ser el volumen del depósito? Estime la solución de la ecuación en la grafícadora y resuelva la ecuación de forma algebraica.

ECUACIONES C O M O MODELOS MATEMÁTICOS

97

cuatro novenos de su longitud? Estime la solución de la ecuación en la grafícadora, y resuelva la ecua ción algebraicamente. 15. Un parque de forma rectangular con dimensiones de 60 m por 100 m contiene un jardín rectangular limitado por una terraza de ancho uniforme. Si el área del jardín es la mitad del área del parque, ¿cuál es el ancho de la terraza? Estime la solución de la ecuación en la grafícadora y resuelva la ecua ción de manera algebraica.

60 m

16. ¿Cuál es el ancho de la faja alrededor de un terreno de 100 m de largo por 60 m de ancho que deberá ser arada para que esta parte corresponda a las dos ter ceras partes del área del terreno? Estime la solu ción de la ecuación en la grafícadora y resuelva la ecuación algebraicamente.

60 m

14. Una página de 144 cm 2 de región impresa tiene un margen de 4.5 cm en las partes superior e inferior de la hoja y un margen de 2 cm en los lados. ¿Cuá les son las dimensiones de la página, si su ancho es 4.5 cm l 1

- f-144 cm?> —

4.5 cm

17. Cada estudiante de nuevo ingreso en una escuela particular requiere sustentar una prueba de aptitud en el idioma inglés. Un estudiante que aprueba el examen se inscribe en el curso de redacción (avan zado) y uno que no aprobó se inscribe en el curso de inglés básico. En una generación de 1 240 estu diantes de nuevo ingreso hay más alumnos inscri tos en inglés básico que en redacción (avanzado). Sin embargo, si 30 estudiantes más hubieran apro bado el examen, ambos cursos tendrían la misma cantidad de alumnos. ¿Cuántos estudiantes tiene cada curso? 18. El día de campo anual de los alumnos de segundo año es planeado por un comité de 17 miembros. Un

?8

CAPÍTULO

7 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

voto para determinar si el día de campo se lleva a cabo en la playa o en las montañas dio la victoria para hacerlo en la playa. Sin embargo, si dos miembros del comité cambian su voto de la playa para favorecer a la montaña, la montaña gana por un voto. ¿Cuántos votos re cibió cada lugar?

19. La suma de los recíprocos de dos números t consecutivos es ¿Cuáles son los números? -i 20. ¿Existen dos números pares consecutivos suma de recíprocos es ¿ ? Si la respuesta es¿ 3 tiva, encuéntrelos. Si su respuesta es negativa plique cómo llegó a esa conclusión.

2.4 OTRAS ECUACIONES CON UNA INCOGNITA OBJETIVOS

1. 2. 3. 4.

Resolver algebraicamente ecuaciones que contienen radicales. Resolver gráficamente ecuaciones que contienen radicales. Resolver ecuaciones en forma cuadrática. Encontrar soluciones exactas para algunas ecuaciones particulares de grado mayor que 2. 5. Emplear una grafícadora para encontrar valores aproximados de raíces irracionales de ecuaciones cúbicas. 6. Resolver gráficamente problemas que tengan una ecuación cúbica como modelo matemático.

Si una ecuación algebraica contiene radicales o exponentes racionales, puede resolverse elevando ambos lados de la ecuación a la misma|» tencia entera, cuando se hace esto, es necesario aplicar el teorema» guíente.

TEOREMA 1

Si E y F son expresiones algebraicas, entonces

E = F es una ecuación algebraica, y su conjunto solución es un subcon junto del conjunto solución de la ecuación E" = F" donde n es cualquier entero positivo.

El teorema es consecuencia de que ú a y b son númerosi _ jos y a - b, entonces a n = h n, donde n es cualquier entero pos*

2.4

>

OTRAS ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

oo


La ecuación x = 5 Tiene el conjunto solución {5}. Si se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación, se obtiene x 2 = 25 la cual tiene el conjunto solución {±5}. El conjunto solución de la pri mera ecuación es un subconjunto del conjunto solución de la segunda. Este resultado está de acuerdo con el Teorema 1. -4 El Teorema 1 se emplea para resolver una ecuación que contiene términos que implican uno o más radicales. El primer paso es obtener una ecuación equivalente que tenga el término con el radical más com plicado en uno de los lados y todos los demás términos en el otro lado. Por lo que, aplicando el Teorema 1, se elevan ambos lados de la ecua ción a la potencia correspondiente al índice del radical aislado.

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 A fin de resolver la ecuación V 2x + 5

+

jc

= 5

primero se suma - x a ambos lados y se obtiene la ecuación equiva lente V 2 jc + 5

= 5 - jc

(1)

Ahora con el radical en uno de los lados dela ecuación, se puede apli car el Teorema 1 con n —2 , y si se elevan alcuadradoambos lados se obtiene (V i* +

5 ) 2 = (5 - x ) 2

2x +

5

=

25

- 10.x + x 2

(2)

x 2 - 12* + 20 = 0 (* - 10) (x - 2 ) = 0 x -

10 = 0

jc = 10

Xs- 2 = 0

* = 2

Así, el conjunto solución de (2) es {2, 10). De acuerdo con el Teore ma 1, el conjunto solución de la Ecuación (1) es un subconjunto de {2, 10 }; esto es, los dos números 2 y10 puedenser soluciones, sólo uno de ellos, o bien, ninguno es solución. Paradeterminar cuál de los tres

100

CAPÍTULO 2


casos es aplicable, se sustituye cada solución en ( 1) para ver si i ción se satisface. ae% V 2 (2 ) + 5 1 5 - 2 V9 1 3

V 2 ( 10) + 5 l 5 - 10 V 25 l - 5

3 = 3

5 # -5

De lo anterior, se observa que 2 es una solución y 10 no lo es tanto, el conjunto solución en ( 1) es {2 }. Si se traza la gráfica de y = V 2* + 5 + x - 5, se podrá observ# que 2 es la única intercepción x. En el ejemplo ilustrativo 2, al número 10 se le llama soluciona traña de la Ecuación (1); la cual resultó cuando ambos miembros elevaron al cuadrado. La razón de que esta solución extraña hayaa» recido será evidente después de leer el ejemplo ilustrativo 3.

>


Si ambos miembros de la ecuación

-'fax + 5 = 5 - x se elevan al cuadrado, se obtiene

(-'fax + 5 ) 2 = (5 - x)2 2* + 5 = 25 - 10* + x 2 esta última expresión es igual a la Ecuación (2). En el ejemplo ilustntivo 2 se ha demostrado que el conjunto solución de la Ecuación (2) {2, 10}. Por lo que, de acuerdo con el Teorema 1, el conjunto solucfa de la Ecuación (3) es un subconjunto de {2, 10}. Sustituyendo estos dos números en la Ecuación (1), se tiene - V 2 (2 ) + 5 ¿ 5 - 2

- V 2 ( 10 ) + 5 ¿ 5 - 1 0

-V 9 1 3

-V 2 5 1 -5

-3 * 3

- 5 = -5

Por lo que 10 es una solución y 2 es una solución extraña, el conjunw solución para la Ecuación (3) es, por tanto, {10}. Al trazar la gráfica de v = - V2jr + 5 + x - 5 se observad es la única intercepción x. Obsérvese en el ejemplo ilustrativo 2 que la Ecuación (l)c01’^ ciona que la raíz cuadrada principal de 2x + 5 es 5 - .v. Así se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación, se obtiene Ia

2.4

OTRAS ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

10 1

ción (2), por lo que en cada caso se introduce una raíz extraña. Esta discusión deberá convencemos de que si se aplica el Teorema 1, todas las soluciones encontradas deberán ser comprobadas en la ecuación original. La comprobación que se realice será para detectar soluciones extrañas, no para hallar errores de cálculo. Si una ecuación contiene más de un radical, algunas veces es ne cesario aplicar el Teorema 1 más de una vez antes de obtener una ecuación libre de radicales.

► EJEMPLO 1

Resolución d e una ecuación que contiene radicales

Encuentre el conjunto solución de la ecuación

>llx + 3 - V* - 2 - 2 = 0 Solución

Primero se escribe una ecuación equivalente en la cual un radical quede aislado en uno de los lados. Posteriormente, al aplicar el Teorema 1 se obtiene otra ecuación que contiene un radical. A esta nueva ecuación se le aplica el mismo procedimiento.

V 2* + 3 = V * - 2 + 2 (V 2* + 3)2 = + 2f 2x + 3: = x - 2 + 4V * — 2 + 4 x + 1 = 4V * - 2 (x + l )2 = 16(V* - 2)2 x 2 + 2* + 1 = 16(* - 2) x 2 + 2* + 1 = 16* - 32 x 1 - 14* + 33 = 0 (* — 3)(* — 11) = 0 * -3 = 0 *-11=0 X = 3 * = 11 Por tanto, el conjunto solución de la ecuación dada es un subconjunto de {3, 11}. Se sustituyen estos números en la ecuación dada.

V 2(3) + 3 - V 3 -

2-210

V 9 - VT - 2 1 0 3 - 1 - 2 1 0

0

=

0

V 2( l l ) + 3 - V i l -

2-210 0

V25 - V ? - 2 1

5 - 3 - 2 1 0

0 = 0

Los números 3 y 11 son soluciones de la ecuación dada, por lo que el conjunto solución es {3, 11}. ^

10 2

CAPÍTULO 2

ECUACIONES Y D E S IG U A L D A D E S ________________________________ __________

Es posible comprobar las soluciones en el ejemplo 1 trazandoy gráfica de y * V2x + 3 - V* - 2 - 2 en el rectángulo de insp^l ción [0, 15] por {-! , 1], con una escala en x de 1 y la escala en y deOjj Las intercepciones x son 3 y 11. La ecuación V 3 - 3x - V3jc + 2 - 3

= 0

es similar a la ecuación del ejemplo 1, porque también tiene dos rtf. cales; sin embargo, la similitud termina debido a que esta ecuación*j tiene soluciones, por esto su conjunto solución es 0 . En el ejercicio3 se pide que se demuestre lo anterior. Observe en la graficadora que|| gráfica de y = V3 - 3x - Í3 x + 2 - 3 no intersecta al eje x. Una ecuación en una sola variable x se dice que está en fon« cuadrática si puede escribirse como au2 + bu + c = 0 donde a * 0 y u es una expresión algebraica en x. En los dos ejemplos siguientes se resolverán ecuaciones enfora cuadrática.

► EJEMPLO 2

R esolver u n a ecuación e n forma cuadrática

Encuentre el conjunto solución de la ecuación x 4 - 2x2 -

= 0

15

Solución Esta ecuación es cuadrática en x 2, ya que si w= ■r‘-i ecuación se convierte en u 2 - 2u -

15 =

0

Si se resuelve esta ecuación para u se tiene (u u -

5

5 ) ( ii

= 0

u =

5

+

= 0

3)

u +

3

= 0

u = —3

Ahora sustituya u por x 2 y resuelva las ecuaciones resultantes. x2

= 5

x = ±"v/5~

x*

= -3

* = ± íVs"

|Í 4 Por tanto, el conjunto solución de la ecuación original es - t ±

2.4

OTRAS ECUACIONES CON UNA I NCÓGNITA

► EJEMPLO 3

103

R eso lve r u n a ecu a ció n e n fo rm a cuadrática


2 xm - 5 x m - 3

Solución

= 0

Ésta es una ecuación cuadrática en x m. Si u = x m se tiene

2w2 - 5« - 3 = 0 (2u + 1)(w - 3)

= 0

u - 3 = 0

2m + 1 = 0 u = - -

u = 3

Si se sustituye u por x m, se llega a X' / 3 = _ I

,w = 3

{xuV = ( - \ ) 3

( * l/3)3 = 3 3

x = - ¡

x = 21

El conjunto solución de la ecuación original es { -¿ ,2 7 } .

<

Se han resuelto ecuaciones cuadráticas en forma estándar por factorízación, en donde cada factor se iguala a cero. Este procedimiento se puede emplear para resolver ecuaciones de grado mayor, en el ejemplo 2 se ha resuelto la ecuación X a - 2x2 - 15 = 0 considerando u = x 2. Un método alternativo puede ser si factoriza el lado izquierdo (x 2 - 5 ) ( x 2 + 3) = 0 e igualando a cero cada factor cero, se obtiene x2 - 5 = 0

*2 + 3 = 0

De las soluciones de las ecuaciones anteriores se obtiene el conjunto solución de la ecuación original. En el ejemplo siguiente se aplica el mismo método a una ecuación de tercer grado.

►

EJEMPLO 4

D eterm inación d e las soluciones exa cta s d e u n a ecuación particular d e g ra d o m a yo r q u e 2

Encuentre el conjunto solución de la ecuación x> * 8

104

CAPÍTULO 2


Solución

La ecuación anterior es equivalente a

*3 - 8 = 0

Recuerde que a 3 - b 3 = (a - b) ( a 2 + ab + b 2). Si emplea e¡ donde a = x y b = 2 , se puede factorizar el lado izquierdo paraobttZj (,x - 2) ( x 2 + 2x + 4) = 0

Al igualar cada factor a cero y resolver las ecuaciones resultante obtiene * —2 = 0 *2 + 2* + 4 = 0 * =

2

-2

± V 4 - 16 2

-2

± 2

- 2 i 2iV 3 2 =

-1

± ¿V 3

Por tanto, el conjunto solución de la ecuación originales {2,-fl iV T } . Observe que en la graficadora la gráfica de y = x l - 8 interses eje * únicamente en el punto ( 2 , 0 ). En el ejemplo 4, com o x 3 = 8 , * es una raíz cúbica de 8. Las»* ciones son, por tanto, las raíces cúbicas de 8 ; una raíz es real y imaginarias. Esta ecuación es un ejem plo de una ecuación de tercer grado, o ecuación cúbica. La ecuación cúbica general en la variable x es a ^ x 3 + a i x 2 + a \ x + ao = 0 Donde 03 , a2, d\ y a0 son núm eros reales constantes y ecuación cúbica tiene tres raíces porque el Teorema 2 de la 5.4, garantiza que una ecuación polinomial de grado n, M®*! mente n raíces. Aun cuando se sabe que existen fórmulas pir* ces exactas de una ecuación cúbica, así como para una ccujj cuarto grado, estas fórm ulas son complicadas y no se esta obra. Sin embargo, para cualquier ecuación cúbica que tenga, nos una raíz racional, las raíces exactas se pueden encontrar! em pleando los m étodos discutidos en la Sección 5.3. Se ven particular de una ecuación, com o la del ejemplo 4, donde se ^ tran valores exactos de las raíces debido a que se pudo faetón com o la diferencia de dos cubos. Si una ecuación cúbica tiene raíces no racionales,al"1* una raíz irracional. Esto es consecuencia del Teorema4 » i 5.4, el cual garantiza que cualquier ecuación polinomial. un número impar, tiene al menos una raíz real. En el ejeinp1

2.4

OTRAS ECUACIONES CON UN A INCÓGNITA

105

se usará la ampliación en una grafícadora para aproximar una raíz irra cional de una ecuación cúbica.

órm ula,

► EJEMPLO 5

A p ro xim a ció n d e l va lo r d e u n a raíz irracional d e u n a ecu a ció n cúbica e n u n a grafícadora

tbtener

ntes, *

M ediante una grafícadora, determine el valor aproximado hasta centésimos de la raíz positiva de la ecuación x 3 = 4x + 8 Solución Al escribir la ecuación en la forma x 3 - 4x - 8 = 0 e igualando el lado izquierdo a y: y = x 3 - 4x - 8

2, -1 se cta

as sote

dos so linomL

En la Figura 2.19, aparece la gráfica de esta ecuación en el rectángulo de inspección [-10,10] por [-10, 10]. Debido a que la gráfica intersecta el eje x en un solo punto, hay únicamente una raíz real entre 2 y 3; para conseguir la aproximación deseada se selecciona un rectángulo de inspección de [2, 3] por [-0.1, 0.1] con una escala de 0.1 en los ejes. La Figura 2.20 muestra esta gráfica e indica que la raíz está entre 2.6 y 2.7. Ahora se elige el rectángulo de inspección [2.6, 2.7] por [-0.01, 0.01] y la gráfica aparece en la Figura 2.21. Debido a que la inter cepción x de la gráfica está entre 2.64 y 2.65, pero más cercana a 2.65, se concluye que con una aproximación de centesimos, la raíz es 2.65.

0 . GÉ S ecdé i exace a

las t í

aciéna lucesfl gaaiur •cilmeff á el c* : encsK tar jfSI

[2,3] por [-0.1,0.1]

[2.6, 2.7] por [-0.01,0.01]

y= x * -4 x -S

y =x 3- 4x - S FIGURA 2.21

FIGURA 2.20

► EJEMPLO 6 ¡nos íi$

*4

Resolución g ráfica d e un p ro b lem a q u e tiene com o m odelo u n a ecuación cúbica

a Sec& y grade• siguió

Un fabricante de cajas de cartón las hace abiertas y de volumen 140 pulg3, partiendo de piezas rectangulares de cartón con dimensiones 10 por 17 pulg, en las que corta cuadrados iguales en las cuatro esquinas y dobla hacia arriba los lados. Utilice la grafícadora para determinar,

106

CAPÍTULO 2


con una aproximación de centésimos, la longitud de los cuad lados. Solución La Figura 2.22 representa una hoja de cartón, Y gura 2.23 se muestra la caja de cartón obtenida. ’ y en

x pulg : X pulg

• x pulg *pulg

$

"3 ex

5

A’ pulg

xpulg ! * pulg

j,Vi+5;

* pulg i

¡ ^ - ( 1 0 - 2*) pulg-^j

; h ( 1 0 -2 x ) pulg-

3§j;Í 19. V3ÍT7

FIG U RA 2.22

FIGURA 2.23

12VÍ+4

ilv'iTs-

nvSTí A continuación se definen los números desconocidos. x : el número de pulgadas (pulg) de longitud del lado délos» drados cortados. 17 - 2*: el número de pulgadas de longitud de la base de lacajt ¡^solw 10 - 2*: el número de pulgadas del ancho de la base de la caja. Por supuesto, la altura de la caja es x pulgadas. El volumendei caja es el producto de las tres dimensiones. Al igualar este producto I(V'ST¡ 140, se obtiene la ecuación Svì n ì *(17 - 2x) (10 - 2x) = 140 *(170 - 54* + 4 * 2) = 140 4* 3 - 54* 2 + 170* - 140 = 0 Considere y igual al lado izquierdo de la ecuación y - 4* 3 - 54* 2 + 170* - 140

1 - 5 ,1 0 ] p or ( - 2 5 0 ,1 0 0 ] 4 * ’ - 5 4 * ’ + I 7 0 jc - 1 4 0

FIGURA 2.24

La gráfica de esta ecuación en el rectángulo de inspección [-5, {250, 100] aparece en la Figura 2.24. La gráfica intersecta al ®r "U tres puntos: el primero entre 1 y 2, el segundo entre 2 y 3, y cl rg| entre 9 y 10. Debido a que el ancho del cartón es 10 pulg. \$ ¡\ del lado del cuadrado cortado no puede ser mayor de 5 pulg sólo se consideran, para valores de *, los dos primeros punt emplea el aumento (zoom-in) en cada uno de los puntos,

1.33 y 2.81.

2 .4

C onclusión; 2.81 pulg.

cor.

O T R A S E C U A C IO N E S C O N U N A IN C Ó G N IT A

10 7

La longitud del lado del corte cuadrado es 1.33 pulg o

4

En la Sección 4.4, se regresará a la situación planteada en el ejem plo anterior y se determinará la longitud del cuadrado que debe cortar se para que la caja resultante tenga un volumen máximo.

[f in g í

^

__________________

En los ejercicios 1 a 12, encuentre el conjunto solución ¿e la ecuación algebraica, comprobando las soluciones en ¡agraficadora.

1. Vx - 5 = 3

2. V x + 4 = 7

3. Vx +

4. V e — 4 = 7

5 = 3

5. VIr - 3 = 2 7. Vy + y =

6. V 2 jc + 5 = 3

6

8.

Vi +

6 = t

9. v3x + 7 = x + 1 10. 2Vx + 4 - 1 = x 11. V i + 5 - V e = 1

En los ejercicios 13 a 24, estime las soluciones de la ecuación en la graficadora y posteriormente, encuentre el conjunto solución de form a algebraica.

15. V5w + 1 - V3vv - 1 = 0 17. V2x + 11 + 1 = V E x T l 11 Vy - 2 V y + 3 + 6 = 0 14

21 V 2 x - 1 + V 7 + 4 = 3 V T 23. ^3 x + I * x + 1 - I

^ los ejercicios 25 a 36, encuentre el conjunto solu ción de la ecuación.

1 = 0

30. 8a:4

= 0

+ 6x2 -

9

31. 5r 2 - 9r 1 - 2 32.

y -4 -

37y~2

+

= 0

9

jif.

= 0

33. y« - 35y 3 + 216 =

0

34. 27z 6 - 35z3 + 8 =

0

+ lix = 3

36. Vx - 5 ^

+4 =

0

En los ejercicios 37 y 38, demuestre que el conjunto so lución de la ecuación es 0 . 37.

V3

-

3*

-

V 3*

3* +

1

+ 2 ,= =

Vx -

3 2

42. Determine las cuatro raíces de 1 resolviendo la ecuación x 4 = 1.

21. Vw + 2V w - 1 + 2 = 0

9x4 - S x 2 -

=0

41. Encuentre las tres raíces de - 8 resolviendo la ecua ción x 3 = - 8 .

1«. 7 - V 8 - x = V 2 x + 22

* 4 - 5x2 + 4 = 0

0

40. Halle las tres raíces de 27 resolviendo la ecuación x 3 = 27.

16. V2 + 4y + V 3 - 4y = 3

x

6=

+

39. Encuentre las tres raíces de 1 resolviendo la ecua ción x 3 = 1.

14. V5x + 1 + V J x + 1 = 0

*

5 /2

28. 6 w 4 - 17w2 + 12 = 0 29. 8 x4 - 6 x 2 5

38- fo x 2 -

13. V3x - 4 + 8 = 0

24.

/4 -

35.

11 V2r + 1 - 2 V r - 1 = 0

21. V4 - 3x + V 3 x - 9 = V I

27.

43. Halle las cuatro raíces de 81 resolviendo la ecua ción x 4 = 81. 44. Encuentre las seis raíces de 64 resolviendo la ecua ción x 6 = 64. En los ejercicios del 45 al 48, con el empleo de la grafi cadora, determine el valor aproximado hasta centésimos de la raíz indicada. 45. 2x ■' - 2x 2 - 4x + 1 = 0: (a) la raíz negativa, (b) la raíz positiva más pequeña.

10 8

C APÍTU LO 2

EC U A C IO N ES Y D E SIG U A L D A D E S

46. 2x 3 - S x 2 + x + 16 = 0: (a) la raíz negativa, (b) la raíz positiva más grande. 47. x 4 - 10tr2 + 5 = 0: (a) la raíz positiva más pequeña, (b) la raíz positiva más grande. 48. 2x4 - 2x 3 + x 2 + 3x - 4 * 0: la raíz negativa. 49. Un balón esférico se infla de tal forma que su vo lum en se increm enta con una rapidez de - y n pie 3/min. Si el radio es ahora de 3 pie, ¿cuál será el radio en 1 minuto? (La fórmula para el volumen de la esfera es V = ^ n r 3.) 50. La superficie lateral de un cono circular recto de radio de la base r unidades y altura h unidades es S unidades cuadradas, donde S - n r i r 2 + h 2. Re suelva esta fórmula para (a) h y (b) r. 51. Un sólido esférico que tiene un radio de r unidades y una gravedad específica k, se sumergirá en agua a una altura de x unidades, donde x es una raíz positi va de la ecuación

x 3 - 3 rx2 + 4 kr3 - 0

55. Un fabricante de cajas abiertas de estaño, de §< pulg 3 de volumen, hace uso de hojas de estaños dimensiones de 8 por 15 pulg cortando cuadr^y iguales en las cuatro esquinas y doblando haoj arriba los lados. Utilice la graficadora; encuera con aproximación de centésimas de pulgada, g longitud del lado del cuadrado a cortar.

t

01)

- -'

1—

C-

A .j .

*

1

*•---------15 p u l g ------------ ►

56. Un fabricante de cajas de cartón las hace abiertay con un volumen de 120 cm 3 a partir de hojas cmdradas de cartón de 12 cm de lado, cortando cua drados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. Utilice la graficadora; é cuentre, con aproximación a centésimos de cent metro, la longitud del lado del cuadrado a cortar.

En la graficadora, encuentre, con una aproxima ción a centésimas de pulgada, la profundidad a la cual se sumergirá una boya esférica de radio de 10 pulg y una gravedad específica de 0 . 1. 52. Utilice la ecuación del ejercicio 51 y la graficadora para determinar, con una aproximación a centésimos de pulgada, la profundidad a la cual se sumer girá una pelota si su radio es 3 pulg y tiene una gravedad específica de 0.5.

En los ejercicios 53 a 57, resuelva el problema encon trando una ecuación como modelo matemático de la situa ción. Complete el ejercicio escribiendo la conclusión. 53. La longitud de la diagonal de un rectángulo es 50 pulg y el área es I 200 pulg2. ¿Cuáles son las di mensiones?

54. Resuelva el ejercicio 53, si la longitud de la diago nal es 13 pulg y el área es 60 pulg2.

57. Empleando madera, se fabrica una caja rectanguk abierta de espesor uniforme en los lados y fon». Las dimensiones internas son 5 pie de longtoM pie de ancho y 2 pie de altura. Si la madera petf*¡ Ib por pie cúbico, use la graficadora para deten®1; nar, con una aproximación de centésimos de p # da, cuál debería ser la densidad de la madera que la caja vacía pese 160 Ib.

2.5

DESIGUALDADES LINEALES

109

una ecuación? ¿Se presentan, en todos los casos, soluciones extrañas si ambos lados de una ecuación son elevados al cuadrado? Proporcione ejemplos de ecuaciones específicas para justificar las res puestas.

«a En una graficadora. ¿cómo se determina si un poli nomio tiene soluciones reales y cuántas son? -g Por qué se pueden presentar soluciones extrañas cuando se elevan al cuadrado ambos miembros de

2.5 DESIGUALDADES LINEALES O B JE T IV O S

II a

b

1. 2. 3. 4.

A prender propiedades de orden. Resolver algebraicamente desigualdades lineales. Resolver gráficamente desigualdades lineales. Resolver problemas que tienen una desigualdad lineal como modelo matemático.

En la Sección 1.1, una relación denotada por los símbolos < y > pro porciona un orden para R, el conjunto de números reales; en la misma sección, se presentaron las desigualdades y se emplearon para definir intervalos sobre la recta numérica real. Es recomendable que en este momento revisemos estos conceptos. En Cálculo, es necesario ser un experto tanto al trabajar con las desi gualdades como con las ecuaciones, debido a que las desigualdades son tan frecuentes como las ecuaciones. En esta sección, y en las dos siguientes, se tratarán desigualdades que contienen una variable. des de tricotomía y transitiva del orden.

a
a

b< a

Si a y b son números reales, uno y sólo uno de los tres enuncia dos siguientes es verdadero:. a
b
a = b

a b a=b

HGURA 2.25

La interpretación geométrica de la propiedad de tricotomía es que el punto a o b sobre la recta numérica real, se ubica a la izquierda del otro o son el mismo punto. La Figura 2.25 muestra las tres posibilidades.

Propiedad transitiva del orden Sia, b y c son números reales, y si a < b y b < c, entonces a < c.

110

CAPÍTULO 2

a


b FIGURA 2.26

La interpretación geométrica de la propiedad transitiva sen*j en la Figura 2.26; si el punto a está a la izquierda del punto b a la izquierda del punto c, entonces a está a la izquierda de c. i A fin de demostrar la propiedad transitiva, se emplea el jw j que la suma de dos números positivos es positiva. También seani' definición del símbolo <, como se proporcionó en la Sección hlj I y b son números reales, a < b

b - a

si y sólo si

es positivo

Demostración d e la p ro p ied ad transitiva

Dado quea<¿yM I

resulta de la definición de <, que b - a

es positivo

y

c - b

es positivo

Debido a que la suma de dos números positivos es positiva, (b - a) + (c - b)

es positivo

Si se aplican las propiedades conmutativa y asociativa de loso h I reales para esta expresión, se concluye que c - a

es positivo

y por tanto a < c

>

9

EJEMPLO IL U S T R A T IV O 7 ~

Si x < 5 y 5 < y, entonces, de acuerdo con la propiedad transimii concluye q u e x < y . j El dom inio de una variable en una desigualdad es el coojuiM los números reales para los cuales están definidos los miembro^ desigualdad. Son ejemplos de desigualdades lineales que conjunto de los números reales R como dominio son 3x - 8 < 7

* - ^ - 1 <, x 4

2 < 4* + 6 S M 1

Un ejemplo de desigualdad cuadrática que tiene a R como doffl*

x 2 + 2x > 15 La desigualdad

_______________________ 2.5

DESIGUALDADES LINEALES

111

las soluciones se denomina conjunto solución. Una desigualdad ab soluta es aquella que es verdadera para cualquier número en el domi nio. Por ejemplo, si x es un número real, jc + 1 < * + 2

y

*2 £ 0

son desigualdades absolutas. Una desigualdad condicional es aquélla para la cual hay al menos un número en el dominio que no está en el conjunto solución. Para encontrar el conjunto solución de una desi gualdad condicional, se procede de manera similar a la empleada para resolver una ecuación; es decir, se obtienen desigualdades equivalen tes (aquellas que tienen el mismo conjunto solución) hasta que se tiene una cuyo conjunto solución sea evidente. Para obtener desigualdades equivalentes se utilizan las propiedades siguientes.

P ropiedades d e < Si a, b y c son números reales y (i) si a < b, entonces a + c 0 , entonces ac < be (propiedad de multiplica ción) (iv) si a be (propiedad de multiplica ción)

Estas propiedades pueden demostrarse empleando la definición de < y el hecho de que el producto de dos números positivos es positivo. Primero, se probará la propiedad de adición (i). Debido a que a 0 De las propiedades asociativa y conmutativa de los números reales b - a = (b + c) - (a + c) Es decir que (b + c) - (a + c) > 0 de la cual se concluye que a ■¥ c < b + c con la expresión anterior se comprueba la propiedad (i). La propiedad (ii) es consecuencia de la propiedad (i) y del hecho de que restar c es lo mismo que sumar -c.

112

CAPÍTULO 2


Ahora se probará la propiedad de multiplicación (íii). Dadoa > 0. Debido a que el producto de dos números positiva positivo, se tiene que

a < b, b - a

(b - a ) c > 0 be - a c > 0 ac < be

lo cual demuestra la propiedad (iii). En el ejercicio 49, se solicitaqm se demuestre la propiedad (iv). En la presente sección, se tratarán desigualdades lineales, lascua les pueden escribirse en la forma ax

+ b < 0 (el símbolo < puede reemplazarse por >, 5», o £)

donde a y b son números reales y a 0. En los tres ejemplos siguien tes se obtendrá algebraicamente el conjunto solución de una desigu^. dad lineal y la solución se representará sobre la recta numérica real.

► EJEMPLO 1

Resolución algebraica de una desigualdad lineal

Determine y muestre sobre la recta numérica real el conjunto solucidi de la desigualdad 3* - 8 < 7

Solución

Las desigualdades siguientes son equivalentes:

3* - 8 < 7 3jc-8 + 8 < 7 + 8 3x

< 15

| ( 3 * ) < 4 (15) 0

FIGURA 2.27

5

X <5

Por tanto, el conjunto solución de la desigualdad original es el cual es el intervalo (- oo, 5), este intervalo aparece en la Figura2.27.

► EJEMPLO 2

Resolución algebraica de una desigualé lineal

Encuentre y muestre sobre la recta numérica real el conjunto sol** de la desigualdad V < X

2 .5

Solución

DESIGUALDADES UNÍALES

113

Las desigualdades siguientes son equivalentes:

x - 7

( 4 ) ~ — < (4)x x - 7 ^ 4x x — 7 — 4x + 7 ^ 4x — 4x + 1 —3x < 7 - |( - 3 * ) a I -¿ 1 7

( -1 ) 7

Por lo que el conjunto solución de la desigualdad dada es {x¡ x > - j), el cual es el intervalo [ - í + ° ° ) , que se muestra en la Figura 2.28. <

►

EJEMPLO 3

Resolución algebraica d e una desigualdad lineal

Encuentre y muestre sobre la recta numérica real el conjunto solución de la desigualdad

3

7

< 4x +

<

15

Solución Una solución de la desigualdad dada deberá ser una solu ción de ambas desigualdades 3<

4x

+7

y

4x

+ 7 £ 15

Resuelva separadamente cada una de las desigualdades

3 < 4x + 7 3 — 7 < 4 jc + 7 - 7 —4 < 4x -r(“ 4) < t (4*) 4 4 1< x

—

4x

4x + 7 < 15 + 7- 7 15-7 4x < 8 j(4 * ) < i (8) 4 4 x ^ 2

Un valor de x será solución de la desigualdad dada si y sólo si -1 < x

y

x £ 2

-1 < x <. 2

Por tanto, el conjunto solución de la desigualdad dada es el intervalo (-1, 2), el cual se muesta en la Figura 2.29.

114

CAPITULO 2


El trabajo puede disminuirse haciendo los mismos cálculos o «Kk desigualdad, de la manera siguiente: 3 < 4 x + 7 < 15 3 - 7 < 4* + 7 - 7 < 15 - 7 - 4 < 4x < 8 -4 — < 4

4x 8 —< 4 4

- K * s 2

«

En la mayoría de los casos es más fácil resolver desigualdad^ neales algebraicamente que de manera gráfica. Sin embargo, se de mostrará cómo emplear la graficadora para resolver desigualdad lineales.

► EJEMPLO 4

Resolución grá fica d e una desigualdad limd

Emplee una grafícadora para resolver la desigualdad lineal del ejemploL

Solución Primero se vuelve a escribir la desigualdad de tal manen que todos los términos diferentes de cero estén en el lado izquierdo:

FIGURA

3* '- 15 < 0 Se considera y igual al lado izquierdo: . |¡¡g 3 x - ^ 15 La gráfica de esta ecuación en la grafícadora aparece en la Figura 2.30.U gráfica está debajo del eje x cuando y < 0. Esto ocurre si x <5, loe» está de acuerdo con la solución del ejemplo 1. (- 10. 10] por [- 10, 10] y = 3 x - 15

FIGURA 2.30

El ejemplo siguiente muestra otro método gráfico para resol* una desigualdad lineal.

► EJEMPLO 5

Resolución g rá fica d e una desigualdad lh*¿

Utilice una grafícadora para resolver la desigualdad lineal del ejemplo2-

Solución

La desigualdad es

4 Considere >’, igual al lado izquierdo y y2 igual al lado derecho x - 1

H0,10]por| •=3, ji=4i + í

)>2 = X

2 .5

DESIGUALDADES UNIALES

115

El conjunto solución de la desigualdad dada consiste de aquellos valo res de x para los cuales y x < y 2. Las gráficas de las ecuaciones aparecen en la Figura 2.31, ambas se intersectan en el punto ( - - , - -), el cual puede ser verificado sustituyendo las coordenadas en la ecuación para y,. La gráfica de y, intersecta o se encuentra debajo de la gráfica para y 2 cuando x > - ~ , lo cual está de acuerdo con el conjunto solución del ejemplo 2 .

FIGURA 2.31

4

► EJEMPLO 6

R esolución g rá fica d e u n a d e s ig u a ld a d lin e a l

Emplee una graficadora para resolver la desigualdad lineal del ejemplo 3. S o lu c ió n

La desigualdad es

3 < 4jc + 7 < 15 Considere y, = 3

[-10,10J por [-5, 20] >i = 3, yt =4x + l y y ,= 15 FIGURA 2.32

y 2 = 4x + 7

y 3 = 15

Se piensa encontrar los valores de x para los cuales y, < y2 < y3. En la Figura 2.32 están trazadas las gráficas de las tres ecuaciones. La recta para y 2 se encuentra arriba de la recta para y,, y está por debajo de o in tersecta a la recta para y3 cuando -1 < jc < 2 , lo cual está de acuerdo con la solución del ejemplo 3. 4

► EJEMPLO 7

Resolución d e u n p r o b le m a q u e tie n e u n a d e sig u a ld a d lin e a l com o m o d e lo m a te m á tic o

Una compañía que fabrica y vende gabinetes tiene gastos generales se manales de $3 400 (dólares), incluyendo salarios y costos de planta. El costo de los materiales por cada gabinete es de $40 y se vende en $200. ¿Cuántos gabinetes deberán construirse y venderse cada semana para que la compañía garantice utilidades? S o lu c ió n Inicialmente se definirán los números desconocidos. x : el número de gabinetes construidos y vendidos semanalmente. 200x: el número de dólares en el ingreso total semanal. 3 4 0 0 + 40x: el número de dólares del costo total semanal. P: el número de dólares en las ganancias semanales. Debido a que la ganancia es igual al ingreso menos el costo, se tiene P = 2 0 0 » - (3 4 0 0 + 4 0 * ) P = 160* - 3 4 0 0 Para una ganancia, P debe ser positivo, es decir

116

CAPITULO 2


160* - 3 400 > 0 160* > 3 400 * > 21.25 Dado que * debe ser un entero positivo, se concluye que jc>22 ; C onclusión: La com pañía deberá construir y vender al menos22« binetes cada semana para garantizar una ganancia.

EJERCICIOS En los ejercicios 1 a 28, encuentre algebraicamente el conjunto solución de la desigualdad y escríbalo en no tación de intervalos. Muestre el conjunto solución en la recta numérica real. 2. 3* - 5 < 7

1. 20 < 4* 2x

-

1 <

6

5. 2x

+

1- >

*

3.

—4

1 >

4* - 3

5*

+

6

&

x

2x

—

9 >

0

8. 10.

9. 2x - 5

— i— 3

<

*

+

3*

17. 5 < 2-r 19. - 7 < 2*

- 5 4 **

*

1

4* — 5 > — — 3 < +

13

1<

3

< 5 , - .

x á 8

23. 6

<

2

25. 2

>

- 3 - 3* 2? - 7

-

27. - 4 < — _ s 2

16.

3x + 8 < 4-2 * -5

18.

11 >

20 . 1

3^• -

-

3*

<

19

- 2*

24.

5

26. - 1 28.

5 > 2:

3x - 2 < 16

22 . 10 < 4

30. Ejercicio2

31. Ejercicio 7

32. Ejercicio8 ,

33. Ejercicio 9

34. Ejercicio10 J

35. Ejercicio 15

36. Ejercicio16

37. Ejercicio 17

38. Ejercicio18 i

39. Ejercicio 23

40. Ejercicio24 <

41. Si la temperatura en la escala Fahrenheit esFp dos y utilizando la escala Celsius es C, entonces 1 C = § ( F - 32)

14. 5 - j x 2i ÍJr - 2

3

4* - 1 . — < 5

21.

2

-

3

A 10 -

7

12. 6 * -

1

13. {x + 2 < i * + 15.

+

6.

2,-5 7. 4

11.

4. 3x

29. Ejercicio 1

S5

<

2 - 2* < 3

4 S

^ s 5

En los ejercicos 29 a 40, utilice una graficadora, en cuentre el conjunto solución de la desigualdad que aparece en el ejercicio indicado.

¿Cuál es el conjunto de valores de Fsi Cesa»] U 10 y 20 ? 42. Cuando la temperatura del agua es mayoro 100° Celsius, el agua hierve. Utilice la fónsA* ejercicio 41 para determinar la temperaturan**¡ heit a la cual hierve el agua.

En los ejercicios 43 a 48, resuelva el problema01*] trando una desigualdad como un modelo mota*1} de la situación. Complete el problema escrito* conclusión. 43. Un inversionista tiene invertidos piensa invertir dinero adicional al 16%o® '• de lograr un rendimiento de al menos 12** ^ versión total. ¿Qué cantidad de dinero invertida? 44. Parte de $20 000 son invertidos al 9% invierten al 12%. ¿Cuál es la menor canlu!í^ .;j ñero que puede ser invertida al 12%Par‘J J rédito anual de al menos $2 250 de tó* siones?

2.6

45. Un fabricante de lámparas vende únicamente a ma

yoristas en su sala de exposición. El gasto semanal total, incluyendo salarios, costos de planta y renta de la sala de exhibición, es de $6 000. Si cada lám para se vende por $168 y el material usado en su construcción cuesta $44, ¿cuántas lámparas deberá hacer y vender cada semana para que el fabricante logre una ganancia? 46. Si en un curso particular, un estudiante tiene un promedio de calificaciones, en cuatro exámenes, de menos de 90 pero no debajo de 80, el estudiante reci birá una calificación de B en el curso. Si las califica ciones del estudiante en los tres primeros exámenes son 87, 94 y 73, ¿qué calificación en el cuarto exa men dará como resultado la calificación de B? 47. Un platero piensa obtener una aleación que conten

ga al menos 72% y cuando más 75% de plata. Determine las cantidades máxima y mínima de una aleación a 80% que debe ser combinada con una aleación de plata de 65% para obtener 30 g de la alea ción requerida. 48. ¿Qué cantidad de alcohol puro debe ser agregado a

24 litros de una solución de alcohol al 20% para

DESIGUALDADES POLINOMIALES

117

obtener una mezcla que al menos tenga 30% de al cohol? 49. Demuestre la propiedad de multiplicación: si a be. Sugerencia: si c < 0, en tonces —c > 0 . 50. Compruebe que si x < y, entonces x <^ (x + y) b y c > d, no se puede concluir que ac es ne cesariamente mayor que bd, ¿por qué? Proporcio nar un ejemplo. 53. Los ejemplos 4 y 5 proporcionan dos métodos para resolver gráficamente una desigualdad lineal. Ex plique, con palabras, los dos métodos aplicados a la desigualdad del ejericicio 9. 54. En el ejemplo 6 se resolvió gráficamente una desi gualdad lineal. Explique, con palabras, el método empleado en este ejemplo para resolver la desi gualdad del ejercicio 25.

2.6 DESIGUALDADES POLINOMIALES OBJETIVOS

1. R esolver algebraicam ente desigualdades cuadráticas. 2. R esolver g ráficam ente desigualdades cuadráticas. 3. R esolver algunas desigualdades polinom iales p articu lares de g rad o m a y o r que 2. 4. Resolver gráficam ente desigualdades polinom iales de grado m ay o r q ue 2 donde el conjunto solución tenga extrem os irracionales. 5. R esolver p roblem as que tengan u n a desigualdad polinomial com o m odelo m atem ático.

A continuación se discutirán los métodos algebraico y gráfico para re solver desigualdades polinomiales de grado mayor que 1. Una desigualdad cuadrática es aquella que tiene la forma

a x 2 + bx + c < 0 (el símbolo < puede reemplazarse por >, <, o >) donde a, b y c son números reales y a * 0. Para resolver una desigualdad cuadrática, se emplearán los conceptos número crítico y número de prueba.

CAPITULO 2


Un número crítico de la desigualdad anterior es una raízre¡|¿ la ecuación cuadrática.

a x 2 + bx + c = 0 Suponga que r, y r2 son los números críticos y r, < r2. Entonces, d*. linomio a x 2 + bx + x puede cambiar de signo algebraico sólo en r, y» Así, el signo (más o menos) de a x 2 + bx + c será constante en ca¿ uno de los intervalos

( - 00, n)

(rif r2)

(r¿, +<»)

A fin de determinar el signo en uno de los intervalos en panicuit,* calcula el valor de ax2+ bx + c en un número de prueba arbitranoesd intervalo. A partir de los resultados se obtiene el conjunto solucióndeli I desigualdad. El procedimiento se muestra en los dos ejemplos sigu i ó I

>


Resuelva la desigualdad jt 2 - U8 < 2x primero escriba una desigualdad equivalente que tenga todos lostér minos diferentes de cero en un lado del signo de la desigualdad. De este modo se tiene x 2 - 2x - 8 < 0 (x i I I ^ I j I I I ^j I r 2 o 4 5 FIGURA 2.33

2 ) (x — 4 \ < .0

Se observa en la forma factorizada de la desigualdad, que la ecuaooi jc2 - 2x - 8 = 0 tiene las raíces - 2 y 4, las cuales son los númoaeí ticos de la desigualdad. En la Figura 2.33 se localizaron los paau correspondientes a estos números sobre la recta numérica real. Efln puntos separan la recta en los tres intervalos siguientes: ‘ (-oo,--2 ) -

(-2 ,4 )

<4, + oo)

En cada uno de estos intervalos, el signo de (x + 2) (x - 4) es consu* te. Para determinar el signo en el intervalo, se elije un número de(**■ ba arbitrario en el intervalo y se calcula el signo de cada uno deI* factores x + 2 y x - 4 con este número de prueba. Si seleciona -3* (-oo, -2 ), O en (-2 , 4) y 5 en (4, +oo) se obtienen los resultadas mostrados en la Tabla 1. Tabla 1

Intervalo

Núm. de prueba k

Signo de x + 2 con k

Signo de x - 4 con k

Signo* (.v+ 2) sobre el mítr^

2.6

DESIGUALDADES POLINOMIAIKS

119

A partir de la tabla se obtiene la Figura 2.34, la cual presenta sobre una recta numérica real, los puntos -2 y 4 y los intervalos sobre los que (x + 2) (x - 4) es positivo o negativo. Se concluye que el conjunto solu ción de la desigualdad es el intervalo (-2,4) mostrado en la Figura 2.35. La desigualdad puede resolverse gráficamente de dos formas, para uno de los métodos se considera >i = x 2 - 8

>2 = 2*

Las gráficas de estas dos ecuaciones, trazadas en una graficadora, apa recen en la Figura 2.36. Se observa que cuando * está en el intervalo abierto (-2, 4), la gráfica para y¡ está debajo de la gráfica de y2 (esto es yi < >2)-

n

i

! í

[-1 0 ,10J por [-10.10]

[-10,10] por [-10.10]

y, =x*~ 8 y y, = 2r

y=jc2- 2c- 8 FIGURA 237

FIGURA 2 3 6 Para el otro método gráfico se tiene y = x 2 - 2x - 8

La gráfica de esta ecuación, trazada en la Figura 2.37, está debajo del eje * (es decir, y < 0 ) cuando * está en el intervalo abierto (- 2 ,4). < ►

EJEMPLO

1

Resolución algebraica y gráfica d e una desigualdad cuadrática

Encuentre el conjunto solución de la desigualdad x 2 + 2x 2 15 y muestre el conjunto solución en la recta numérica real. Verifique gráficamente el resultado.

Solución

La desigualdad dada es equivalente a

x 2 + 2x - 15 £ 0 (x + 5)(x - 3) 0 Los números críticos son -5 y 3. Los puntos correspondientes a estos números están localizados en la Figura 2.38 y determinan los interva los siguientes (-o o f -5 )

(-5,3)

(3, + 00)

120

CAPITULO 2


i | | | f | | io

3

5 Tabla 2

FIGURA 2.39

i i i I i i [ M -2

0

3

FIGURA 2.40

La Tabla 2 resume los resultados obtenidos eligiendo un nú®* de prueba en cada uno de estos intervalos y determinando el signos (Jf + 5) (x - 3) sobre dichos intervalos.

Intervalo

Núm. de prueba k ,

(-oo,-5)

-6

Signo de x + 5 con k

0

( - 5 ,3 ) ( 3 , +oo)

+ +

4

Signo de x - 3 con k

Signo de (x + 5)(*-3)^ sobre el intenté

+

+ I - vá +

5

La Figura 2.39 muestra los puntos -5 y 3 sobre la recta nuroéria real, así como el signo de (x + 5) (jc - 3) dentro de los intervalos (-se, -5), (-5, 3), (3, + oo). Entonces (x + 5) (x - 3) > 0 si x está en (-oo,-5) (3, +oo). Por tanto, -5 y 3 están en el conjunto solución debido aqse (x + 5) (x —3) = 0 si x toma el valor de cualquiera de estos númem De esta manera, el conjunto solución de la desigualdad dada es (-■, -5] U [3, +oo), y aparece gráficamente en la Figura 2.40. Al trazar la gráfica de y = x 2 + 2x - 15

[-10,10] por [-20,10]

y= xl + 2 x - l5

se obtiene la Figura 2.41. Esta gráfica intersecta o se ubica por arriti del eje x (es decir y £ 0 ) cuando x está en (-oo, -5] U [3, +«), local está de acuerdo con los resultados obtenidos algebraicamente. <

FIGURA 2.41

► EJEMPLO 2

Resolución a lg eb ra ica d e una desigualdad cuadrática cuyo con/unto solución •* 0

Encuentre el conjunto solución de la desigualdad 5 x 2 - 2x + 1 < x 2 + 2x S o lu ció n


4jc2 - 4x + 1 < 0

(2x - l ) 2 < 0 Debido a que no existe un valor de x para el cual (2x - l )2es No hay solución. Por tanto, el conjunto solución es 0 .

EJEMPLO 3

Resolución algebraica de una designé* cuadrática absoluta

Encuentre el conjunto solución de la desigualdad

_ »X + 1 < 3* 2 + 4jc + 5

_____ _____________________ 2.6

S olución

DESIGUALDADES POUNOM IALES

im


-9 x 2 - I 2 í - 4 S O 9xl + 12* + 4 2 0 (3x + 2 ) 2 £ 0 Debido a que (3* + 2 ) 2 es positivo para todos los valores de x, el con junto solución es el conjunto R de todos los números reales. Por tanto, la desigualdad es absoluta. <

► EJEMPLO 4

Resolución gráfica de un problem a de movim iento rectilíneo que tiene una desigualdad cuadrática como modelo matem ático

En el ejemplo 7 de la Sección 2.2, una pelota es lanzada desde el suelo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 72 pie/s. La ecuación del movimiento es s = —16í2 + 72/ donde s pies es la distancia que hay entre la pelota y el suelo después de t segundos de que es lanzada. Encuentre gráficamente en qué tiem po la pelota se-halla más arriba de 25 pie del suelo. S olución En el rectángulo de inspección [0, 10] por [0, 100] se tra za la gráfica de la ecuación de movimiento y la recta s = 25. Véase Fi gura 2.42. Se piensa determinar los valores de t para los cuales

-16t2 f 72* > 25 es decir, los valores de t para los que la parábola está arriba de la recta. Si emplea el aumento (zo o m -in ) se encuentra que la parábola y la recta se intersectan en los puntos donde t es 0.38 y 4.12. Por tanto, a partir de la Figura 2.42, se observa que la parábola se localiza arriba de la recta cuando 0.38 < t < 4.12. \™¡

I ,0°J

**-16r, + 72i y 25 FIGURA 2.42

Conclusion: La pelota estará más de 25 pie arriba del suelo cuando el tiempo transcurrido desde que fue lanzada esté entre 0.38 y 4.12 s. <4 En el ejemplo siguiente se resolverá una desigualdad cúbica, por el mismo método empleado en el ejemplo ilustrativo 1 y el ejemplo 1 para resolver una desigualdad cuadrática.

► EJEMPLO 5

Resolución de una d esigualdad cúbica por m étodos algebraico y gráfico

Encuentre y muestre sobre la recta numérica real el conjunto solución de la desigualdad

122

CAPÍTULO 2


(jr + I ) (2jc2 - 5x + 2) > 0 Verifique gráficamente el resultado.

S o lu c ió n I ! » { • *- » ■ » * - 1 0 1 2

|


(x + 1) ( 2* - 1)(jc - 2 ) > 0

3

Los números críticos son -1 , 5 y 2, y los puntos corresponda^, estos números están localizados en la Figura 2.43 sobre U numérica real. Estos puntos determinan los intervalos siguientes:

FIGURA 2.43

(-0 0 ,-1 )

(—1,4)

( i . 2)

(2, + * )

Si determina el signo de (jc + 1) (2x - 1) ( jc - 2) en cada uno delos^l 1 tervalos eligiendo un número de prueba, se obtienen los resultados^! I a continuación se resumen en la Tabla 3. I I

Tabla 3 Signe* U + li

(2*-l) I—I—I-5

-1 O i

Intervalo

2

( - 00, - 1) FIG U R A 2.44

(-l.¿> (f. 2) (2,+ 00)

Núm. de prueba k

Signo de x+1 con k

Signo de 2x - 1 con k

Signo de x -2 con k

sobrie. imeni

-2 0 1

3

~+ I I I ( I ) I ( I I | "5

-1 0 1

2

FIG U R A 2.45

H O . 10) por {-10, 10]

y (* ♦ 1X2*’- 3*+ 2) FIGURA 2.46

5

De la Tabla 3 se obtiene la Figura 2.44, la cual muestra, en I** ta numérica real, los puntos - 1, 4 y 2 así como el signo de (j+1 (2x - 1) (x - 2 ) en los intervalos ( - 00 , - 1), ( - 1, i), (j, 2)y (2 +í Por tanto, (x + 1) (2x - 1) (x - 2) > 0 si x está en (-1, 5) o (2, +C°)-JJ lo que el conjunto solución de la desigualdad dada es ( - 1, 5) U(l+* el cual aparece en la Figura 2.45. La Figura 2.46 muestra la gráfica de y = (x + 1) (lv 2-5.v+^; zada en la graficadora. La gráfica está arriba del eje de las * (es y > 0 ) si * está en ( - 1 , i) U (2, + 00) lo cual está de acuerdo conI»* lución algebraica. En el ejemplo 5, la desigualdad cúbica fue dada en forma zada. Frecuentemente un modelo matemático obtenido de una ción práctica es una desigualdad que implica un polinomio de mayor que dos que no puede ser factorizado. La resolución tales desigualdades se hace empleando el aumento (zoom-in)
2.6

EJEMPLO 6

DESIGUALDADES POUNOMIALES

123

Resolución grá fica d e u n a desigualdad polinom ial d e g ra d o m ayor q u e 2, donde el conjunto solución tien e núm eros irracionales com o extrem os

Encuentre el conjunto solución de la desigualdad * 3 < 2x + 7

Exprese con aproximación de centésimos cualquier número irracional obtenido como extremo. Solución

La desigualdad es equivalente a

jc3 - 2x - 7 < 0 Considere

[-10,10] por [-10,10] y =x '- 2 x - l

FIGURA 2.47

.y = x 3 - 2x - 7 La Figura 2.47 muestra la gráfica de esta ecuación trazada en una grañcadora. Se observa que la gráfica intersecta el eje x entre 2 y 3. Al hacer el aumento de la zona mencionada, se aprecia que la intercep ción x es 2.26, aproximando hasta centésimos. Debido a que la gráfica está debajo del eje x (es decir, y < 0 ) cuando x < 2.26, el conjunto solu ción de la desigualdad dada es el intervalo ( - 00, 2.26). 4 Observe que en el ejemplo 6 , aunque se ha obtenido 2.26 como el extremo del conjunto solución, en realidad es una aproximación; sin em bargo, en este texto se usará la convención de considerarlo como exac to en la notación de intervalos. Las desigualdades que implican polinomios de grado mayor que 3 serán resueltas gráficamente empleando el mismo método del ejemplo 6 .

► EJEMPLO 7

Resolución d e un problem a que tiene una d e sig u a ld a d cuadrática com o m odelo m atem ático

Un decorador diseña y vende adornos de pared y puede comerciar, cada uno de los adornos producidos, a un precio de $75. Si x adornos son manufacturados diariamente, entonces el costo total diario de pro ducción es x 2 + 25* + 96 dólares. ¿Cuántos adornos deberán producir se diariamente para que el decorador garantice una utilidad? Solución Se definen los números desconocidos. x: número de adornos manufacturados diariamente. 75*: número de dólares provenientes de la venta total de los adornos. P: número de dólares de la ganancia total diaria. Debido a que la ganancia es igual a la venta menos el costo, P = 75* - (*2 + 25* + 96) = - * 2 + 50* - 96

124

CAPÍTULO 2


r tr 3) / j

Para que el decorador garantice una ganancia, se debe tener P H, decir, - x 2 + 50* - 96 > 0

A

x 2 - 50* + 96 < 0 (* - 2) (* - 48) < 0 Al resolver esta desigualdad, debido a que * es el número de el conjunto solución está restringido para los valores negativogll Los números críticos son 2 y 48. Los puntos correspondientes a números separan el lado no negativo de la recta numérica real siguientes tres intervalos: [0,2)

(2,48)

P

N|í»

(4 8 ,+oo)

y i¿o La Tabla 4 resume los resultados obtenidos eligiendo un número| k/'1 V. .*!>• prueba en cada intervalo para determinar el signo de (* - 2) (*•? P I

, i- r - 2)1

Tabla 4

trw 1

Intervalo

Núm. de prueba k

[0 , - 2) (2,48) (48, + oo)

3 49

Signo de x-2 con k

Signo de jc-48 conk

+ +

_ +

1

Signode \ irir ■f4i >0 (*-2)U-48) en intentk + \ frÊàmkkin - :¡m kâïi®néiffl + fct

De la tabla, el conjunto solución de la desigualdad es el intervá ■^<1+2 |É abierto (2,48). PV-

Conclusión: Para que el decorador garantice una ganancia el niimt* de adornos producidos y vendidos diariamente deberá ser más de menos de 48. En la Sección 4.3 se regresará a la situación planteada enelejt pío 7, y se aprenderá cómo determinar el número de adornos que ben producirse y venderse cada día para que el decorador teflfl ganancia máxima.

í

"•fl s¡

EJERCICIOS 2.6 En los ejercicios 1 a 30, determ ine algebraicam ente el conjunto solución de la d esigu a ld ad , escrib a e l co n ju n to solución con notación de intervalos, y m uestre el conjunto solución sobre la recta num érica rea l Después, verifique el resultado gráficamente.

1. * 2 > 9 3. (* + 3)(* - 4) < 0 4. (* - I )(.t - 5) > 0

%

X

*•<1

2 .6

c (2jt + I)(2jc - V h (3jt ♦ 5)(2x - 3) p. 4x + 3 * 0 m Jt 7. 3¿ - x 2 - 0 9. 4 T 8 - 2x 11. x * > 6 - 2 x2 13. X * + 1 2 8/ 15. 16/2 - 3x) < 10 17. jr(ll 19. (y + 3)(y - 0 (>’ ; 4)(x2 - 4) < 0 20. (x + 21. X3 * 16x 23. x 2 ~ x - 1 < 0 25. X2 + x + 3 > 0

0 0 8. x 2 + 6 x + 8 > 0

10. 2 x 2 + *

1 < 0 2. 12. x 2 < 15 + X 14. 4jc2 > 9 16. 9 y 2 < 30y

9X 25

18. x { 6 x + 11) > 15 4) > 0

22. 613 > I t 2 + 31

2 ^ 0 26. x 2 - 2 x + 2 < 0

24. x 2 + 2 x

27. X* - 13jc2 + 36 < 0

28. (x* + 3x - 4 )(x 2 q x - 2) < 0 29. (x + 3)(jc2 - x - 2 )(x 2 - 8 x + l f j s 0 30. x 5 - 5x 3 + 4 x > 0 En los ejercicios 31 a 38, determine gráficamente el conjunto solución de la desigualdad, y exprese los ex tremos de los intervalos con una aproximación a cen tesimos. 31. *3 + x 2 + x - 4 > 0 32. x 3 + 6 x < 13 33. x 3 + 3x 2 < x + 2 34. x' + 6x > 5 x 2 + 1 35. 2x* - 14x3 + 24x2 + x -

4 >0

36. 3x4 + 36x2 - 8 < 2 \ x 3 -

2x

37. 9x2 + 8 x -**14 < x A + 2 x *

D ESIG U A L D A D E S P O U N O M IALES

125

41. En el ejercicio 59, de la Sección 2.2, una pelota es lanzada hacia arriba desde la orilla de una azotea 68 pie arriba del suelo con una velocidad inicial de 76 pie/s. Encuentre gráficamente, cuándo la pelota estará (a) a menos de 100 pie arriba del suelo y (b) a más de 25 pie arriba del suelo. 42. Determine gráficamente cuándo la pelota del ejer cicio 41 se encontrará (a) a más de 80 pie arriba del suelo y (b) a menos de 50 pie arriba del suelo. 43. Una empresa puede vender a $100 por unidad to dos los artículos de primera necesidad que pro duce. Si se fabrican x unidades por día, y el número de dólares en el costo total diario de pro ducción es jt 2 + 20x + 700. ¿Cuántas unidades de berán producirse diariamente de tai manera que la compañía garantice una ganancia? 44. Una compañía que fabrica escritorios puede ven der todos los que produce a $400 cada uno. Si x escritorios se venden cada semana, entonces el número de dólares en el costo total de producción semanal es 2 x2 + 80r + 3 000. ¿Cuántos escrito rios deberán construirse semanalmente para que el fabricante garantice una ganancia? 45. Un campo rectangular cercado está ubicado en la orilla de un río; el lado largo del río no requiere de cerca. El costo del material para la cerca es de $8 por pie lineal para los dos lados opuestos con cerca y $16 por pie lineal para el lado paralelo al río. Si el área del campo es de 12 000 pie2 y el costo de la cerca no debe exceder de $3 520, ¿cuáles.son las restricciones en las dimensiones del campo?

38. x ' + 2x 4 - 8 * 3 - 9 x 2J - 8x + 6 > 0 En los ejercicios 39 a 50. resuelva el problema encon trando.>una desigualdad como modelo matemático de ¡a si tuación. Complete el ejercicio resolviendo la desigualdad y escribiendo la conclusión. 39. En el ejercicio 57, de la Sección 2.2, un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 pie/s. Encuentre gráficamente cuándo el objeto se encuentra por arriba de SO pie sobre el piso. 40. Encuentre gráficamente, cuándo el objeto del ejer cicio 39 se encontrará a menos de 30 pie por arriba del suelo.

46. Una parcela rectangular de terreno será encerrada por una cerca, luego, dividida a la mitad por otro tipo de cerca. La cerca que divide a la mitad la parcela cuesta $3 por pie lineal y la otra cerca tiene un costo de $6 por pie lineal. Si el área del terreno es I 800 pie2 y el costo total de la cerca no

126

CAPÍTULO 2


debe ser mayor que $2 310, ¿cuáles son las restric ciones en las dimensiones del terreno?

47. En el ejercicio 15 de la Sección 2.3, para el parque

que tiene un jardín, determine gráficamente los an chos posibles del corredor de concreto, si el área total del corredor es al menos de 2 500 m2 y a lo más de 3 600 m 2. 48. Para el campo en el ejercicio 16 de la Sección 2.3, determine gráficamente los anchos posibles de la

2.7

zona con surcos, si al menos dos terceras del campo serán aradas y cuando mucho la cuartas partes. 49. En el ejercicio 55 de la Sección 2.4, deten^. gráficamente las posibles longitudes de los i!? de los cuadrados a cortar, si el volumen de I* jas de hoja de lata deberá ser al menos de 75^ y cuando más de 86 pulg3. 50. En el ejercicio 56 de la Sección 2.4, detenu* gráficamente las posibles longitudes de los

de los cuadrados a cortar, si el volumen delasqJ jas de cartón deberán ser a lo más de 110cn5|2 lo menos de 122 cm 3.

ECUACIONES Y DESIGUALDADES QUE IMPLICAN VALOR ABSOLUTO

OBJETIVOS

//

1. Resolver algebraicam ente ecuaciones que involucran valor absoluto. 2. Resolver gráficam ente ecuaciones que involucran valor absoluto. 3. Resolver algebraicam ente desigualdades que involucran valor absoluto. 4. Resolver gráficam ente desigualdades que involucran valor absoluto. 5. A prender teorem as acerca del valor absoluto. 6. M o strar que u na desigualdad que involucra valor absoluto es equivalente a o tra m ás sim ple. 7. A prender la desigualdad del triángulo.

Tanto las ecuaciones como las desigualdades que comprenden« absoluto se encuentran frecuentemente en Cálculo, por lo que apro* a resolverlas ayuda a comprender ciertos conceptos en un curso Cálculo. Para resolver una ecuación que involucra valor absolu*0« aplica la definición de la Sección 1.1,1a cual establece que el val® soluto de un número real denotado por | a | , está dado por \a \—a

si a > 0 si a < 0

Recordemos que en la Sección 1.1, sobre la recta numérica es la distancia del origen al punto a, sin considerar el sentido. 1 j

.7 ECUACIONES Y DESIGUALDADES QUE IMPLICAN VALOR ABSOLUTO 2.7

127

do o derecho. Véase la Figura 2.48, donde a es positiva, y la Figura 2.49 donde a es negativa.

Î ú

a>0

► EJEMPLO 1

FIGURA 2.48 -H ------- .i. 0

h a a

Encuentre algebraicamente el conjunto solución de la ecuación | 3jc + 5 | = 9

<0

Compruebe las soluciones en una graficadora.

FIGURA 2.49

Solución

La ecuación dada se satisface si

3jc + 5 = 9 y

'

x

Resolución algebraica y gráfica de una ecuación qu e contiene valor absoluto

/ \

o

- ( 3 * + 5) = 9

3x = 4

-3 * - 5 = 9 -3 *

.

14

y

14

FIGURA 2.50

y = | 3x + 5 | - 9 y se traza la gráfica. Las intercepciones x de la gráfica se muestran en la Figura 2.50 y están de acuerdo con las soluciones encontradas - y y <

► EJEMPLO 2

Resolución algebraica y gráfica d e una ecuación que involucra valor absoluto

Encuentre algebraicamente el conjunto solución de la ecuación I 2x - 3 | = | 7 - 3jc |

Compruebe las soluciones gráficamente.

Solución

La ecuación dada se satisface si H *>j 1

y = | 3x + 5 J - 9

.1

[-8,5] por [-10,10]

t 3 El conjunto solución es -y } Para comprobar las soluciones en una graficadora se hace

to

v ;

2* + 3 * = 7 + 3

o

2x - 3 = - ( 7 - 3r) 2x - 3 = - 7 + 3 *

5x - 10

2x - 3 * = - 7 + 3

x = 2

—x — - 4

El conjunto solución es (2, 4).

128

CAPÍTULO 2

ECUACIONES Y PESIOUALPAPES

Para comprobar las soluciones se consideran y¡ = I 2x - 3 ¡

y

y2 = | 7 - 3x\

Las gráficas de estas dos ecuaciones están trazadas en la Figura 2ji Ambas intersectan el eje x en los puntos donde x = 2 y x = 4; estasat luciones están de acuerdo con las soluciones encontradas algebra** mente. [ - 5 ,5 ] por [ - 1 , 10]

I 2 x ~ 3 I y yt ~ \ 7 - 3 x

FIGURA 2.51

Se iniciará la discusión sobre las desigualdades que comprenda valor absoluto resolviendo una desigualdad gráficamente.

>


Para resolver la desigualdad | 2x - 7 | - 9 < 0 de manera gráfica, se define y

- 5 ,1 0 ] por [ - 1 0 ,1 0 ] y = I 2x - 7 l,j- 9

FIGURA 2.52

- | 2x - 7 | - 9

la gráfica trazada se muestra en la Figura 2.52. Se desea detennát cuándo y < 0 , es decir, cuando la gráfica de la ecuación está debaji eje x. De la Figura 2.52 se observa que esto ocurre si -1 < x < 8. Por tanto, el conjunto solución es el intervalo abierto ( - 1, 8).

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 La desigualdad del ejemplo ilustrativo 1 es equivalente a | 2x - 7 | < 9 Esta forma proporciona otro método gráfico para resolver la desigu^ dad. Considere

[ - 5 ,1 0 ] por [ -1 0 . 10] y, — I 2x —7 | y y , = 9

FIGURA 2.53

yi = | 2x - ' 1 = 9 Las gráficas de y, y y2 trazadas en el mismo rectángulo de inspecoflj aparecen en la Figura 2.53. Observe que la gráfica para y, está deb^ de la gráfica para y2 cuando -1 < x < 8 . Como en el ejemplo ilustran'" el conjunto solución es el intervalo abierto ( - 1, 8). Antes de resolver algebraicamente una desigualdad que compF de valor absoluto, se considerará una propiedad adicional del valor ¡ soluto.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Suponga que se tiene la desigualdad Ix\ < 3

i

2.7

la

Figura 2 1

t = 4 ; estagj

las a lg e b ra

o Ul < 3 FIGURA 2.54

e c o m p re ^


129

Esta desigualdad establece que sobre la recta numérica real, la distan cia del origen al punto x es menor que 3 unidades; esto es, que -3 < x < 3. Pof tanto, x está en el intervalo abierto (-3, 3). Véase la Figura 2.54. Es evidente que el conjunto solución de la desigualdad | x | < 3 es [x | -3 < x < 3}. Ahora se demostrará que éste es el caso. Debido a que | x \ = x si x ^ 0 y | x | * -x si x < 0, el conjunto solu ción de la desigualdad | x | < 3 es la unión de los conjuntos {jc | x < 3 y j c > 0 }

y

{jr|-x<3yjt<0}

Observe que el primero de estos conjuntos es equivalente a [x | 0 £ x < 3}t y el segundo es equivalente a {x | -3 < x < 0} porque -x < 3 es equivalente a x > -3. Por tanto, el conjunto solución de | x | < 3 es {x| 0 < x < 3} U {*| - 3 < x < 0} {jc| —3 < x < 3} En el ejemplo ilustrativo anterior, comparando la desigualdad dada y su conjunto solución se concluye que la desigualdad |x | :a determini stá debajo de < x < 8. Por

<3

es equivalente a

-3 < x < 3

De manera más general si b > 0, |x |

es equivalente a

-b

La prueba de este enunciado es exactamente la misma que la discusión dada en el ejemplo ilustrativo 3, si se sustituye 3 por b. donde b > 0. Por tanto, si en lugar de x se tiene una expresión algebraica E y b > 0, entonces la desigualdad. |E |

es equivalente a

-b < E < b

( 1)

Este enunciado es válido si el símbolo < se sustituye por < r la designé

► EJEMPLO 3 ie

Resolución algebraica de una desigualdad que implica valer absoluto

m sp e c c i

Encuentre algebraicamente y muestre en la recta numérica real el con junto solución de la desigualdad del ejemplo ilustrativo 1.

e s t á deh

>ilustrativo

Solución

La desigualdad

| 2x - 7 [ < 9 es equivalente a

j u e c o m p ii d e l valor*1

- 9 < 2x - 7 < 9 -9 + 7 < 2 * < 9 + 7 - 2 < 2 x < 16

< x < 8 ^ G U R a 2.55

Por tanto, el conjunto solución es el intervalo abierto (-1, 8) el cual se muestra en la Figura 2.55. -4

130

CAPITULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

>


Considere la desigualdad 1*1

x >2

FIGURA 2.56

\x \ >2 Esta desigualdad establece que en la recta numérica real, la disia^ del origen al punto x es mayor que dos unidades; esto es, ya sea¿y! 0 x < -2. Por tanto, x se encuentra en (-oo, -2) U (2, +oo). y¿ast. Figura 2.56. Así, es evidente que el conjunto solución de | x | >2# {x \ x > 2} U [x \ x < -2 ). A continuación se utilizarán 1« propiedades del valor absoluto para demostrar que ésta es la situación De la definición de | x | , el conjunto solución de la desigual^ 1 x I > 2 es la unión de los conjuntos [x | x > 2 y x > 0 }

y

[x\-x> 2yx< 0]

El primero de estos conjuntos es equivalente a {jc | jr > 2}, yd segundo es equivalente a { jc | x < - 2 }, debido a que -x > 2 es equiva lente a x < -2. En consecuencia, el conjunto solución de | x | >2es U | jr > 2 } U { x | x < - 2 }

«

Si compara la desigualdad dada y su conjunto solución coad ejemplo ilustrativo anterior, observa que la desigualdad |x | >2

es equivalente a

x > 2 o x < -2

De manera más general si b > 0, \ x \ >b

es equivalente a

x > b o x < -b

La prueba de este enunciado es idéntica a la discusión realizadacao ejemplo ilustrativo 4, si el número 2 se sustituye por b, donde en lugar de x se tiene una expresión algebraica E y b > 0, entonces!» desigualdad E >b

es equivalente a

E > b o E <- b

Es decir que el conjunto solución de la desigualdad | E | > fres* unión de los conjuntos solución de las desigualdades E> byE<^' De la expresión (1), | E | b no es equivalente a niBÍ**1 desigualdad continua. La expresión (2) es válida si el símbolo > se sustituye pot** símbolo < se reemplaza por <¡.

► EJEMPLO 4

R e s o l u c i ó n a l g e b r a i c a y g r á f i c a d e una d e s i g u a l d a d q u e I m p l i c a v a l o r ab so lu to

. Encuentre algebraicamente y muestre en una recta numérica conjunto solución de la desigualdad

2.7


131

2

Verifique las soluciones en una graficadora. Solución El conjunto solución de la desigualdad dada es la unión de los conjuntos soluciones de las desigualdades. 2

3 * - 5 2» 3

2x - 15 > 9 2x > 24 x > 12

FIGURA 2.57

2

r

- 5 < -3

2x - 15 < - 9 2x < 6 x < 3

Así, el conjunto solución es {x | x £ 3 ] U {* | x > 1 2 ] , o con notación de intervalo (-oo, 3] U [12, +oo). En la Figura 2.57 se muestra el con junto solución sobre la recta numérica real. Para verificar las soluciones, se considera xm 5

La Figura 2.58 muestra la gráfica de esta ecuación trazada en una graficadora. Observe que la gráfica intersecta o se encuentra arriba del eje x, es decir y > 0 , cuando x está en (-oo, 3] U [ 12, + oo), lo cual está de acuerdo con el resultado obtenido algebraicamente. -4

[0 ,15] por [-5,5]

I2 ym \ 3 * - Í FIGURA 2.58

El

Los siguientes teoremas acerca del valor absoluto son útiles en Cálculo.

TEOREMA 1

Si a y b son números reales, entonces I ab | = | a | • | b |

\ a b \ = V { á b )2

V V ¿2 V r f-V T 2 Ia\ r\b\


TEOREMA 2

Si a / b son números reales, y b * 0, entonces 1a 1

a b

1b \

La prueba es similar a la del Teorema 1 y se deja como unejercí—-i ció ( véase el ejercicio 49). •h En Cálculo, frecuentemente se requiere sustituir una desigual djc| con otra equivalente pero más simple, como en el ejemplo siguiente.

► EJEMPLO 5 m

D em o stra ció n d e q u e una desigualdad que im p lic a v a lo r ab so lu to es equivalente o otro m á s sim p le

Demuestre que la desigualdad | (3jc + 2) - 8 | < 1

Solución (3x

es equivalente a

| x - 2 1
Las desigualdades siguientes son equivalentes + 2) - 8 | < i 1 3* - 6 | < 1

| 3(jc -- 2 )| < 1 | 3 | U - 2| < 1 3| x - 2 | < 1 1

u [l*y

- 2|

El teorema siguiente, llamado desigualdad del triángulo se

I áx frecuentemente en la demostración de teoremas en Cálculo.

TEOREMA 3

La desigualdad del triángulo

S \ a y b son números reales, entonces | a + M £ | a | + 1M

En el ejercicio 50 se pedirá que se demuestre la destgu triángulo. El contenido de la desigualdad del triángulo se prCi> el siguiente ejemplo ilustrativo con cuatro casos particulares.

2.7


>

13 3


Si a = 3 y b = 4, entonces \ a + b\ = | 3 + 4 | | a\ + | b\ = | 3 | + |4 | 7|

=3 + 4 = 7

Si a = -3 y b = 4, entonces | a + ¿>| '=

| a\ + \b \ = | “ 3 | + | 4 |

3+ 4 1 1|

=3 + 4 = 7

Si a = 3 y

= -4 , entonces

\a + b\ =

\a \ + \ b \ = | 3 | + | —4 1

3 + (-4 )| —1 1

=3 + 4

1 Si a

=

-3 y

= 7

= -4 , entonces

|a+fe ji

- 3 + (-4 )| —7 1

| a | + | * | = | - 3 | + | —4| =3 + 4 = 7

= 7

EJERCICIOS

2 .7

En los ejercicios 1 a 14, encuentre algebraicamente el conjunto solución de la ecuación y compruebe las solucio nes de manera gráfica.

l \ x - 5| * 4 |3y - g| s 4

4. | 4 / — 9 1 =*= 11

5. |4jc + 5 | m 15

6. | 8 - x | = 4

2. | 2x + 3 1 = 7

13. | 3/ 14. I x ■

2 | =<2

I

Xl

En los ejercicios 15 a 22, resuelva gráficamente la de sigualdad y escríbala con notación de intervalos. Veri fique de manera algebraica las soluciones y muestre el conjunto solución en la recta numérica real.

^ 17 - 2wI = 9 *• |3 * - 2 | a j 2x + 3 | 1* - 4| * I 5 - 2 * |

11. l i l i

U ~ 3

- 7

10. | 5y | = | 6 - y | 12.

12x + 1 -------- r | x — 1

« 3

15 | x | s 5

16. | x | > 6

17. \x - 1 1 > 7 19. |x — 5 1 S 3

20. | 3x - 4 | s 2

21. | 2 x - 7| < 9

22. | 3x - 4) 2r 2

18. | x + 11 < 5

_______________

134

CAPÍTULO 2


En los ejercicios 23 a 30, encuentre algebraicamente el conjunto solución de la desigualdad y escríbalo con notación de intervalos. Muestre el conjunto solución en la recta numérica real. Verifique de manera gráfica las soluciones encontradas. 23. | 7 - 2* | > 9

24. 6 < | 4x + 7 1

25. 4 6

En los ejercicios 47 y 48, verifique la desigualdaddelul % guio para los valores de a y b. 47. (a) a = 5 y b =3 7 (c) a m - 5 y b - 7

30. 1 2 - H

En los ejercicios 31 a 36, demuestre que las dos desigualdades son equivalentes. 31.

| (2jc — 3) —9 | < 1; | x - 6 |

3 2 . | (2jc + 3 ) - 1 1 <

1; | x +

1 1

<5 <

35. | ( i x - 5 ) + 7 | < J ; | x + 4 |

<¿

36. | (?x

<§

38. | y 2 - 10| ^ 6

39. 1t2 - 5/1 < 6

40. | x 2 - 3x -

41. | x 2 - 171 > 8

42. ¡ x 2 + x - 4 | > 2

1] < 3

En los ejercicios 43 a 46 resuelva la ecuación gráfica mente. Verifique la solución de manera algebraica. Su gerencia: aplique la igualdad I a i = i a 2 y use el método de la Sección 2.4 para resolver ecuaciones que contengan radicales.

u

+

44. ¡x + 3 | +

1*1

-

3

= 6

45. | 2x + 11 * 3 - \ 2x1 46. ix - 11 ♦ ix + 1\ * 8

(d) a = ~ \ y b = _I

50. Demuestre la desigualdad del triángulo. Sugem. cía: primero pruebe que - I a I £ a Si I a I

y

- I b I < b < U|

Después aplique el resultado del ejercicio SI del¡ Sección 2.5 y la expresión (1) de esta sección,
52. Si 1x - 11 < | y | y - 11 < i entonces

37. | x 2 - 5 | < 4

-

- i

51. Si |x - l l < -ry |y + 1| < ^.entonces

En los ejercicios 37 a 42, encuentre algebraicamente el conjunto solución de la desigualdad y escríbalo con notación de intervalos. Verifique de forma gráfica las solu ciones.

1*

b =

- I y ¿

49. Demuestre el Teorema 2.

// *

34. | (5jt — 2) — 3 1 < 5 ; | x — 1 1 < 7 5

« .

(b) a =

{ 1

1) + 2 | < ¿ ; | x + 4 |

(d) a = -5 y b = .7

48. ( a ) a s > y f r s l (c) a =

29. | § - 2jc| > i

(b) a m 5 y b a -7

<4 53. Demuestre: si a y b son números reales, entones l a - f c l s s l a l + l f cl . Sugerencia: escribtl-l como a + (—b) y emplee la desigualdad del tii^| guio. 54. Demuestre: si a y b son números reales, entonce ¡

l a l - l f c l s l a - f c l . Sugerencia: considae ^ 1 a 1 = l (a - b) + b | y use la desiguaktoí* triángulo. 55. Explique por qué las desigualdades 1a I >tHj y a 2 > b2 son equivalentes. Emplee este hechoi» explicar cóm o se puede resolver algebraican**®! desigualdad 1 2x - 1 I > I x - 3 1 de la ntisn#^ ñera en que se resolvió la desigualdad cuadril* en el ejemplo 1 de la Sección 2.6. 56. Remítase al ejercicio 55 y explique cómo 1**1 gualdad presentada en este ejercicio puede t®* verse gráficamente de la misma manera eO*J resolvió la desigualdad cuadrática en el ejefl'T jti de la Sección 2.6. S

REVISIO N DEL CAPITULO 2

13 5

DEL CAPITULO 2

I

VISIÓN RETROSPECTIVA Se mostró cómo encontrar la solución real exacta de una ecuación lineal. También se resolvieron ecua ciones lineales en una graficadora. En el inicio de esta sección se planteó una ecuación como modelo matemático de una situación práctica. Se encontraron las soluciones exactas reales o imaginarias de ecuaciones cuadráticas por factorización, raíz cuadrada y la fórmula cuadrática. A partir del discriminante de una ecuación cuadráti ca se determinó la naturaleza de sus raíces. Se aplicó la graficadora para ilustrar que las solucio nes reales de las ecuaciones cuadráticas son las intercepciones * de la correspondiente parábola. Primeramente se aplicó el proceso de completar cuadrados para deducir la fórmula cuadrática, y demostrar cómo esta idea se emplea en Cálculo para escribir ciertas expresiones algebraicas en formas reconocibles. 2J

Se discutió detalladamente cómo obtener una ecuación como modelo matemático del enunciado de un problema. Se resolvió la ecuación algebrai ca o gráficamente y se completó el problema re dactando una conclusión que respondiera las preguntas del problema.

2.4

Se resolvieron algebraica y gráficamente ecuacio nes que contenían radicales, ecuaciones en forma cuadrática y ecuaciones polinomiales particulares de grado mayor que 2 .

2.5

Se inició la discusión de desigualdades estable ciendo las propiedades de orden: de tricotomía y transitiva, se mencionaron las propiedades de < empleadas para obtener desigualdades equivalen tes con el objeto de resolver desigualdades. En esta sección, se pusó énfasis en resolver desigual dades lineales.

2.6

El método algebraico de resolución de desigual dades polinomiales implicó el uso de tablas para mostrar el signo de una expresión polinomial en un intervalo particular. Se discutieron dos méto dos para resolver gráficamente desigualdades po linomiales.

2.7

Se resolvieron algebraica y gráficamente ecuaciones y desigualdades que implican valor absoluto. Se discutieron en esta sección tres teoremas, inclu yendo la desigualdad del triángulo, muy impor tante en Cálculo.

►EJERCICIOS DE REPASO I En los ejercicios 1 y 2, encuentre el conjunto solución | déla ecuación y muestre la solución en una graficadora. 1. 4x - 11 = 0

2. 2x + 9 = 0

ces reales, verifique que la parábola no intersecte al eje x. 8. 5 * 2 = x

7. 4 9 * 2 - 64 = 0

\ En los ejercicios 3 a6, resuelva la ecuación de dos for|* ia r (i) con la graficadora, (ii) algebraicamente. 9x

9. * 2 - 3* - 10 = 0

10. 5 * 2 + 17* - 12 = 0 12.

13. 2x2 -

4x - 5 = 0

14. 4 * 2 + 2x + 1 = 0

15. 3jc2 -

2* + 2 » 0

4 . 5x - 6 ¿ 2 +

5. 2(5x - 4) « 11 - (3

+ 2*)

| 6. 5(2/ - 4 ) * 11 - (3 + 2/)

16. (3x +

10)(* - 3) * 2* +

*£/i los ejercicios 7 a 16, encuentre el conjunto solución de la ecuación. Trace la gráfica de la parábola correslpondlente en la graficadora. Si la ecuación tiene raíces reales verifique que las intercepciones x de la parábola pean las raíces de la ecuación. Si la ecuación no tiene raí

! + 2x - 1 * 0

11. 10*2 + 7* - 6 = 0 y 6* + 5 = 23

En los ejercicios 17 a ción de la ecuación. 17.

y - 2

14

42, encuentre el conjunto solu 18.

136

CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

=0

19.

20.

22. 23. 24.

2x - 2

2x - 4

x + 11 x +

3x - 2

do de un binomio; también escriba las expresé sultantes como el cuadrado de un binomio. ^

=0

2w + 3

w2 - 3 w 2 - 6w + 5

w

8x

( b ) y 2 + 3y

(fyxUÚ

(b) x 2 - f *

(c) x*+

50. (a) w 2 +. lOw

I ■2

r - 1

49. (a )x ‘

En los ejercicios 51 y 52, encuentre el discñMnaih determine la naturaleza de las raíces de la ecuac^ cuadrática; no resuelva la ecuación. Trace latr¡L de la parábola correspondiente en la graficadora rifique su conclusión.

+ 3 - 1

25. V 2x + 5 + x = 5

51. (a) 4x2 + 20x + 25 = 0 (c) 5f - 3 = 4 /2

(b) 8x2 - i§,¿

27. V 3/ + 7 + V / + 6 = 3

52. (a) 15x2 - 19x = 10 (c) 9x2 - 42* + 49 = 0

(b) 2y2= .*

28. Vy + 2 + Vy + 5 - V 8 - y = 0

En los ejercicios 53 a 56, estime en valor aproximado de la raíz indicada hasta centtá«

26.

Vx + 2 + 2 + x = 0

29. x 3 - 8 = 0

30. x 4 - 8x2 = :,9

32. 8z3 + 27 = 0

54. x 3 t- 5x2 + 7x + 8 = 0: la raíz negativa

33. (x2 + 3x)2 - 3(x2 + 3x) - 10 = 0

55. x 4 + X'

= 0

38. 3x m + 5 = 2 x ',/3 39. | 2* + 5 I = 7 41.

w+1

m3

40. | 3y - 4 | = 8 42. I 4 * - 1 I * I

: 0: la raízpoatña

- 4x3 - 4x2 + 17x 0: (a) la rápi sitiva más grande; (b) la raíz positivamáspequá

k k s ejercicios S. ÍÉ coplelar el cuad i En los ejercicios 57 a 78, encuentre algebrtacmani conjunto solución de la desigualdad: representeét» ■ ■ f c <é &i Iü forme junto solución en notación de intervalos, y nueati m^nmenterc conjunto solución en la recta numérica red el resultado gráficamente.

+ 50 = 0

— 3 5 1y

3x2 - x

5 I

57. 3x - 1 É ü

58. 5x + 7

59. 3x - 2 > 7x + 3

60. 4,v < 8* -7

61.

x + 1

63. - 4 < 1

En los ejercicios 43 a 48, resuelva para x en términos de los otros símbolos.

3 >

x + 2 4

5x < 11

62.

2x + I , 1

64. 7 <

7-Jí

65. - 5 iS 4x ‘ < 7 -3

66. -7 & .4

67. | x + 1 | ^ 2

68. U - 4 | í ‘

69. | 2 * - 5 I < 7

7«. |3í + jI>I

46. x 2 + xy + 2x - 1 = 0

n .f<

72.

47. 6x2 - 2xy

73. x l < 25

74. xJ P

75. 2x2 - 3x > 5

76. 3f

77. 4y ' < 5y2 - 6y

78. x

43. Ax + By + C - 0

44.

1= 4(17

l r ’s K 4 -2 y -x )

56.

37. y ' 2'3 + y~xn - 6

|

53. x 3 + x = 2x2 + 1: la raíz positiva.

31. 36ür4 - 13x2 + 1 = 0

3 4 .6 Íy + i |

JIV

9

lOx

va. ; : ;7U¿. H

45. x 2 ■¥ b 2 = 2bx + a 2

x ♦ y - 1

48. rsx2 + i 2x + rtx + #/ * 0 £>i /oí ejercicios 49 y 50, agregue un término a la ex-

presión algebraica con el objeto de obtener el cuadra

\ %

\ x

%

_________________ REVISIÓN DEL CAPÍTULO 2

x 2 + 74»

En los ejercicios 79 y 80, encuentre algebraicamente el conjunto solución de la desigualdad y escríbalo en no[ tacion de intervalos. Verifique las soluciones de forma gráfica. 79. I x 2 - 3x - 7 I < 3

80. I y 2 - 26 I £ 10

nminaate {

la ecuación

la grifa

í

adora y -í(.

En los ejercicios 81 a 86, emplee el concepto de com pletar el cuadrado para escribir la ecuación en una de ¡as formas siguientes, donde x y y representan varia bles y las otras letras constantes;

- 10* = 3

(x-h)2 + ( y - k ) 2 = r 2(.x - h ) 2- A p ( y - k )

= 9 - 4j

(x-h)2 , ( y - k ) 2 _ 1 a2 b2 '

ñcaéoné entésims

(x-h)2 a2- •

{ y - k ) 2_ . b2

81. y = A(x2 - 6x - 8 ) 82. x 2 + y 2 + 8x - 2y 83.

Ay2

x 2 +

-

8 (x -

8 = 0

2y

2)

-

84. 4x2 - 9 y 2 = 4(17 - 2x - 9y)

iva o sitrv a

la raízj*>equeña. COmeníei-

me ele» muestre!

85.

r% 9+2*

6

-

5

y2

+

Ax

-

20y

-

68 s 0

86. x 2 = 8(4 ~ 2y - x)

|/Mj En los ejercicios 87 y 88, utilice el concepto de liLa completar el cuadrado para escribir la expre sión indicada en la forma requerida, donde a y b son constantes y p es un entero positivo.

Venfup* 2x * 1

2 x 2

^¡6x2 + 32jc + 12 pJ(x-h)2 - a 2 W. V-9x2 + 18x - 8 p va2 - (x - h ) 2

en la forma

en la forma

JJtój En los ejercicios 89 y 90, muestre que las dos 'c-M desigualdades son equivalentes.

3 2í *1

89. I (4* + 3) - 11 | < i ; | x - 2 | < | 1(2*-5

¿ 6

91. El costo del alquiler de una limousine manejada por un chofer es de $180 por el automóvil y el cho fer, más 52 centavos por milla de recorrido. ¿Cuál es el costo de un viaje de (a) 30 millas; (b) 40 mi llas y (c) 100 millas?; (d) si y dólares es el costo de on viaje de x millas, escriba una ecuación que im plique a y y x. fe) Trace la gráfica de la ecuación del inciso (á) y a partir de la gráfica estime el costo de un viaje de 83 millas. íf) Compruebe algebraica mente el costo estimado en el inciso (e). (g) A par-

I 1 0 **

♦ »>

< f ;

t \ < §

90.

> U

) - 7 |

\ x -

I

137

tir de la gráfica del inciso (e) estime la distancia de un viaje que costó $205, (h) compruebe algebraica mente lo estimado en el inciso (g). 92. Si 5 es la suma de los primeros n números natura les consecutivos, entonces S - j n (n + 1). (a) Re suelva la ecuación para n en términos de S y (b) encuentre n cuando S es 435.

En los ejercicios 93 a 102, resuelva el problema encon trando una ecuación como modelo matemático de la si tuación. Complete el ejercicio redactando una conclusión. 93. Un grupo de cuatro estudiantes decide compartir el costo del alquiler de un instructor para una sesión de repaso antes de un examen. Si dos estudiantes más se unen al grupo, el costo para cada estudiante se reduce en $ 6 . ¿Cuál es el costo por estudiante si el grupo sólo es de cuatro? 94. Una compañía obtuvo dos préstamos, los cuales hacen un total de $30 000 y tiene tasas de interés de 16 y 12%, respectivamente. El interés total para los dos préstamos igualó el interés que la compañía debería pagar si la cantidad completa hubiera sido prestada al 15%. ¿Cuál fue la cantidad de los dos préstamos? Estime la solución de la ecuación en la graficadora. Resuelva la ecuación algebraicamente. 95. El radiador de un automóvil contiene 8 litros de una solución que es 10% de anticongelante y 90% agua. Se piensa reemplazar la solución con una que contenga 25% de anticongelante drenando parte de la solución y sustituyéndola con anticongelante puro. ¿Qué cantidad de anticongelante pufo deberá ser agregada? Estime la solución de la ecuación en la grafícadora. Resuelva la ecuación algebraicamente. 96. Para obtener una solución que contenga 35% de glicerina se agregó una solución de glicerina al 55% a 25 litros de otra solución de glicerina al 28%. ¿Qué cantidad fue agregada de la solución de glicerina al 55%? Estime la solución de la ecuación en la graficadora. Resuelva la ecuación algebraicamente. 97. Para formar una caja abierta que tenga un volumen de 400 cm3, de una pieza cuadrada de hoja de lata, se cortan, en cada esquina, cuadrados de 4 cm de lado. Determine la longitud del lado de la pieza ori ginal de hoja de lata. Estime la solución de la ecua ción en la grafícadora. Resuelva la ecuación algebraicamente.

j3 a

CAPÍTULO

'4 cm 4 cm

4 cm ¡4 cm

2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 101. Una protección rectangular cerrada se fabrica^ mo de grueso uniforme en los lados, tapa y f Las dimensiones internas son 4 pie x 4 pjg* ^ se utilizan en la construcción 450 pie3 de Empleando la graficadora, encuentre, aproximan centésimos de pie, el grueso de los lados.

4 cm, 4 cm

4 cm 4 cm!

98. Un granjero aró una franja alrededor de un campo rectangular que tiene 400 varas de longitud y 240 varas de ancho. La mitad del campo se encontraba arada cuando el granjero terminó. Determine el ancho de la franja. Estime la solución de la ecua ción en la graneadora. Resuelva la ecuación al gebraicamente.

240 varas

102. Un recipiente esférico hueco, cuya capacidada 800 cm 3, tiene un radio interno de 6 cm. E» pleando la graficadora, halle, aproximando a» tésimos de centímetro, el grueso de la pareddd recipiente. La fórmula para el volumen de una& r ,r 4 1 feraes

99. Suponga que la pieza cuadrada de hoja de lata del ejercicio 97 tiene un área de 400 cm 2. Con la grañcadora determine, aproximando a centésimos de centímetro, la longitud del lado del cuadrado que será cortado para que la caja tenga un volumen de 400 cm 3. 100. Un recipiente metálico abierto, que tiene un volu men de un galón (231 pulg3), se fabrica cortando cuadradlos del mismo tamaño de las esquinas de una pieza rectangular metálica de 14 por 18 pulg, y se doblan hacia arriba los lados. Con la graficadora determine, aproximando a centésimos de pulgada, la longitud de un lado de los cuadrados cortados en cada esquina.

En los ejercicios 103 y 104, resuelva el problema* contrando una desigualdad como modelo matetá0 de la situación. Complete el ejercicio redactan*1** conclusión. 103. El perímetro de un rectángulo no debe ser n#

que 30 cm y su largo debe ser de 8 cm. ¿Cufl* intervalo de variación para el ancho? 104. Un estudiante deberá tener una calificación

23

*

.

pulg'_

y

medio de al menos 90 en 5 exámenes Para0^ ( una calificación de A en un curso particular, calificaciones del estudiante en los cua,r0 ros exámenes son 93, 95, 79 y 88, ¿cuél * ser la calificación del quinto examen pará calificación del curso sea A?

■4:

fe

140

CAPÍTULO 3

3.1

RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN PE EJES

RECTAS OBJETIVOS m

1. Definir la pendiente de una recta. 2. D ibujar rectas y determ inar sus pendientes. 3. Definir la ecuación de una gráfica. 4. A prender la form a de punto-pendiente de la ecuación de una recta. 5. A prender la form a de pendiente-intercepción de la ecuaciónde una recta. 6 . A prender el teorem a sobre pendientes de rectas paralelas, 7. A prender el teorem a que im plica pendientes de rectas perpendiculares. 8 . E ncontrar las ecuaciones de rectas que tienen determinadas propiedades.

Recordemos del ejemplo 4 de la Sección 2.1, que si el costo de alqaler de un avión de una plaza en una aerolínea privada es de $310pa el avión y el piloto, más 75 centavos por milla de vuelo, y si) dolara es el costo de un viaje de * millas, entonces y = 0.75* + 310

[0,1 000] por [0,1 000]

y = 0.75*+310 FIGURA 3.1

La Figura 3.1 muestra la gráfica de esta ecuación trazada en el rea» guio de inspección [0,1 000] por [0,1 000], con divisiones de 100a los ejes. La gráfica parece ser una recta. Que la gráfica sea verdad» mente una recta se establece en el Teorema 2 de esta sección. Obsen* que por cada 100 unidades de incremento en x, y aumenta en 75unid} des o de manera equivalente, por cada unidad de incremento dejc,)*¡ aumenta en 0.75 unidades. Así que la razón de cambio en y respectodi cambio en * es la constante 0.75. Esta razón constante es llamadabj pendiente de la recta. Ahora se procederá a llegar a una definioá formal de la pendiente. Sea / una recta no vertical y P\(xx, y¡) y P2(x2, y2) dos puntosdis tintos sobre /. La Figura 3.2 muestra la mencionada recta. En laíip*1 R es el punto (x2, yi) y los puntos P t, P2 y R son los vértices de triángulo rectángulo; además, PXR = x2 - xt y RP2 = y2- yi- El y2- y, proporciona la medida del cambio en la ordenada de P\i ‘^ puede ser positivo, negativo o cero. El número *2- xxda la medida cambio en la abscisa de P{ a P2, y puede ser positivo, o negativo-^ bido a que la recta / es no vertical, x2 * x,, y por tanto, x2~x{nop** ser cero. Sea

P.U., m —

FIGURA 3.2

y2 ~ .Vi

(II

X2 “ * X\

El valor de m calculado de esta ecuación es independiente de I* ción de los puntos Pt y P2sobre /. Para demostrar esto, suponf* j

3.1

RECTAS

14!

eligen otros dos puntos distintos F¡(xVi y ,) y P2(x2, y2) de /, y se calcula el número m mediante ( 1), ?a-y. m = —------i r

—

Se demostrará que m = m. V¡¿o$£ la Figura 3.3. Los triángulos P{R P2y P{ RP2 son semejantes, así que las longitudes de lados correspondien tes son proporcionales. Por tanto

«na

y2

y¡

y2-y\

x2

X\

Xí

“

Xi

o bien, FIGURA 3.3

aiqu¡OpK

ióíare

m —m Así que el valor de m calculado de (1) es el mismo número, no impor tando cuáles dos puntos de / son elegidos. Este número m es llamado la pendiente de la recta.

Pendiente

DEFINICIÓN

Si P¡(x¡, >i) y Pi{x2, y2) son dos puntos cualesquiera y diferentes sobre la recta /, la cual no es paralela al eje y, entonces, la pen diente de /, representada por m, está dada por ectac

00 a

yi

-

yi

adfl* yserft unida-

hJ* adaií picióí

¡S■$] IP& te * Í00' h ja *

l>

Si se multiplican ambos lados de la ecuación anterior por x2- x¡, se obtiene

y2 - y¡ = m(x2 - xi) Se deduce de esta ecuación que si se considera una partícula movién dose a través de una recta, el cambio en la ordenada de la partícula es igual al producto de la pendiente y al cambio en la abscisa.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Si / es la recta que pasa a través de los puntos />,(2, 1)y P2(4, 7) y mes la pendiente de l, entonces

Con referencia a la Figura 3.4, si la partícula se está moviendo a través de la recta /, el cambio en la ordenada es tres veces el cambio en la

142

CAPÍTULO 3

RECTAS. PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN PE EJES

/

abscisa. Esto es, si la partícula está en / >2(4-» 7) y la abscisa se menta en una unidad, entonces la ordenada aumenta tres unidades partícula está en el punto P 3(5, 10). De forma similar, si lapa¿? está en P\(2, 1) y la abscisa disminuye en dos unidades, entonces la denada disminuirá en seis unidades, y la partícula está en P\(0, '• Si la pendiente de la recta es positiva, entonces como la abscisas un punto se incrementa, la ordenada también aumenta, tal comotepuede ver en la recta mostrada en la Figura 3.5. Una recta cuya diente es negativa aparece en la Figura 3.6. Para esta recta, a medj^ que la abscisa de un punto se incrementa, la ordenada disminuye. Si una recta es paralela al eje x, entonces y2 = y,, así que lapeo. diente de esta recta es cero. Si una recta es paralela al eje y, x: ák ^ que la fracción ^

^

está indeterminada, en virtud de que nojepu&

de dividir entre cero. Por esta razón, las rectas paralelas al ejeyestá excluidas en la definición de pendiente. Es decir, que la pendientei una recta vertical no está definida.

► EJEMPLO 1 FIGURA 3.6

G ráfica a m a n o d e u n a recta que pasa por d o s p u n to s y determ in a ció n de su ptndienft

Para cada par de puntos, dibuje la recta que pasa a través de ellos yfc termine su pendiente: (a) A(3, 7) y B (-2, -4 ) ; (b) A (-2, 5) y fl(2, -3): (c) A (-3 ,4 ) y B(5 ,4 ); (d) A(5, 3) y B{5, -1 ). Solución Las rectas aparecen en la Figura 3.7 de (a) hasta (d) Sí calcula la pendiente a partir de la definición. y

3 .1

R EC T A S

1

(d)

(c) FIGURA 3.7

(a) m =

- 4 - 7 - 2 - 3

- 3 - 5 (b) m =

2 - ( - 2)

-1 1 -5 5

(c) m =

4 - 4 5 -

(-3 )

O 4

= -2

= O

(d) Debido a que la recta es vertical, la pendiente no está definida. Si se intenta emplear la definición para calcular la pendiente, se ob tiene cero en el denominador. *

>

EJEMPLO IL U S T R A T IV O 2

(a) Suponga que una recta contiene el punto

2) y su pendiente es j . Para d eterm inar o tro pu n to so b re la re cta , se in ic ia e n el p u n to P , y debido a que la pendiente es j , se deben d e sp la z a r cu atro u n i dades a la derecha y tres unidades h acia arriba. L o an te rio r d a el punto Q(9, 5) que tam bién se encuentra so bre la recta. L a re c ta se dibuja pasando a través de los puntos P y Q, com o se m u e stra en la Figura 3.8. (b) Si una recta pasa a través del punto P(5, 2) y tiene u n a p e n d ie n te negativa - 1 . Se obtiene otro punto sobre la re c ta d e sp la z á n d o se a partir de P cuatro unidades a la derecha y tres u n id ad es h acia aba jo. Lo anterior nos da el punto <2(9, - 1 ) . L a F ig u ra 3.9 m u e stra la recta que pasa por los puntos P y Q. <

144

CAPÍTULO 3


En la Sección 1.5 se definió la gráfica de una ecua explicará qué se entiende por la ecuación de una gráfica

DEFINICIÓN

La ecuación de una gráfica

La ecuación de u n a gráfica es una ecuación que es satisfecha por las coordenadas de los puntos y solamente los puntos que& tán en la gráfica.

A partir de la definición anterior, se puede decir que laecuaci de una gráfica tiene las propiedades siguientes: 1. Si un punto P(x, y) está sobre la gráfica, entonces sus coordenafc satisfacen la ecuación. 2. Si un punto P{x, y) no se encuentra sobre la gráfica, entoncesJ coordenadas no satisfacen la ecuación. A fin de obtener la ecuación de una recta, se utiliza el hecboc que el punto / viUi* y\) y la pendiente m determinan una recta úna; Sea P(x, y) cualquier punto sobre la recta excepto P,. Entonces, deMq a que la pendiente de la recta que pasa por P, y P es m, a partirdt definición de pendiente se tiene

y - y\ ----—= m x - x, o, equivalentemente

y - yx * m(x - *,) Esta ecuación se llama la form a punto-pendiente de la ecuadóH una recta. Esta forma proporciona la ecuación de una recta si un to P|(jt|, >j) y la pendiente de la recta son conocidos.

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos M < B(-2, 3), primeramente calcule m. 3 - (-3 ) m = ^ 2^ T 6

-8

3 4

3 .1

RECTAS

14 5

Si emplea la forma de punto-pendiente de la ecuación de la recta con A como se tiene

V -

(-3 )

=

- - ( *

4

-

6)

4 y + 12 = ~ 3 x + 18 3 x + 4y — 6 = 0 Si B se considera como P,, en la forma punto-pendiente, se obtiene

-

|

4v -

3x + 4y

3 =

--[x -

12 =í * t3 x -

(-2)]

6

6 = 0

la cual, por supuesto, es la misma ecuación.

-4

Si en la forma de punto-pendiente se elige el punto particular (0, b), que es el punto donde la recta intersecta al eje y para el punto (jc,,

y,), se tiene y - b = m(x - 0)

<=>

y = mx + b

El número b , que es la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje y es la intercepción y (u ordenada al origen) de la recta. Conse cuentemente, la ecuación anterior se llama forma pendiente-intercepción de la ecuación de una recta. Esta forma es especialmente útil debido a que nos permite determinar la pendiente de una recta a partir de su ecuación. También es importante porque expresa explí citamente la coordenada y de un punto de la recta en términos de su coor denada x.

► EJEM PLO 2

D e te rm in a c ió n d e la p e n d ie n te d e u n a recta a p a rtir d e su e c u a c ió n

Encuentre la pendiente de la recta que tiene la ecuación siguiente 6x + 5y - 7 = 0

Solución

Resuelva la ecuación para y.

5 y « —6 * + 7 6

' “

7

" v l + 5

14 6

C A P ÍT U L O ^

R E C T A S. P A R Á B O L A S , C IR C U N F E R E N C IA S Y T R A S L A C IÓ N DE EJES

Esta ecuación es de la forma pendiente-intercepción donde m =.< b = 1. Por tanto, la pendiente es 1

En virtud de que la pendiente de una recta vertical noestádef da, no puede aplicarse la forma punto-pendiente para obtener sueaJ ción. En su lugar, se utiliza el teorema siguiente, el cual tambiénu, i proporciona la ecuación de una recta horizontal.

'i TEOREMA 1

(i) La ecuación de una recta vertical que tiene a a como suínter* I cepción x x

-

I a

(ii) La ecuación de la recta horizontal que tiene a b como su ídtercepción y es y = b

O

(a, 0 )

D em ostración (i)

FIGURA 3.10

La Figura 3.10 muestra la recta vertical que intersecta el eje delaj x en el punto (a , 0). Esta recta contiene sólo los puntos que ueaal la misma abscisa. A sí que P(x, y) es cualquier punto sobre lare# si y sólo si x = a

(ii) La recta horizontal que intersecta el eje y en el punto (0, b )¥ ‘ ce en la Figura 3.11. Para esta recta m - 0. Por tanto, de laM pendiente-intercepción la ecuación de esta recta es

y

y - b

(0 ,¿ )

O

I

Se ha demostrado que la ecuación de una recta no vertical forma y = mx + b, y la ecuación de una recta vertical es de la fonna Dado que cada una de estas ecuaciones es un caso especial de la^ ción de la forma Ax + By + C = 0

. Íjí|i FIGURA 3.11

donde A, 11 y C son constantes, y A y tí no son a la vez cero, * j que cualquier recta tiene una ecuación de la forma (2). Lo mv este hecho está dado por el teorema siguiente.

i

3 .1

RECTAS

TEO R EM A 2

La gráfica de la ecuación Ax + By + C = 0 donde A, B y C son constantes, y donde A y cero, es una recta.

no son ambas

La demostración de este teorema se deja como un ejercicio. Véase el ejercicio 55. Como la gráfica de (2) es una recta, se le llama ecuación lineal; es la ecuación general de primer grado en * y y. A fin de trazar una recta en una grafícadora, primero es necesario escribir su ecuación en la forma pendiente-intercepción y proceder como se hizo en la Sección 2.1. Para dibujar una recta a mano, se ne cesita únicamente determinar las coordenadas de dos puntos sobre la recta, localizar los puntos y dibujar la recta. Dos puntos cualesquiera serán suficientes, pero por conveniencia normalmente se eligen los dos puntos donde la recta intersecta a los ejes.

>


Para dibujar la recta que tiene la ecuación Ax - 3y = 6 primero se determina la intercepción x, o sea a, y la intercepción y, o sea b. AI sustituir y por 0 en la ecuación se determina que a m Si sustituye x por 0, obtiene b = -2. Así, la gráfica de la recta se muestra en la Figura 3.12. < Una aplicación del concepto de pendiente está dada en el teorema siguiente.

TEOREM A 3

Si l\ y h son dos rectas no verticales distintas, las cuales tienen pendientes mi y mi, respectivamente, entonces l\ y li son parale las si y sólo si m\ = mi.

D em ostración

Dadas las ecuaciones de l\ y /i, respectivamente,

y = m, x + b¡

y

y = m2x + b2

CAPITULO 3

RECTAS, PARÁBOLAS. CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN DE EJES

La Figura 3.13 muestra las dos fectas interseetando el eje y en log tos fl,(0, b¡) y fl2(0, b2). Dado que la recta vertical x = 1 intersecí* en el punto A ,(l, m, + b,) y a l2 en el punto A2( 1, mj + b2). Entone»^

»

I B xB2\ = b2 - bi 02(0. *2)

| A(A2 1 = (rr^ + b2) - (mt + .

y

Las dos rectas son paralelas si y sólo si lasdistancias verticales | fijy | A, A2 | son iguales; es decir, que /, y l2 sonparalelas si y sóloP b2— b\ — (m 2 + b-¡) — (mi + b\) b2— b\ = m2 + b2 — mi — b\

FIGURA 3.13

mi =. m 2 Así, l{ y /2 son paralelas si y sólo si

>

=n


Siendo ¿, la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y 5(3. - 6) ym, esh' pendiente de /,; y si /2 es la recta que pasa por los puntos C(2, - 5)j ¡ 0 ( - \ , 7) y m2 es la pendiente de l2. Véase la Figura 3.14. Entonces mj -

- 6 -2 3 -

1

-8 2 -1 -1 1 1 V

14 \ 1 1 1 | t i '

-4

m2 =

7 - (-5 ) _1_ 2 12

-3 = -4

Debido a que m, = m2, basándonos en el Teorema 3, se puede deá que /, y l2 son paralelas. iI \V c a - 5 ) \ \ B ( 3 ,-6 )

1

FIGURA 3.14

Dos puntos distintos determinan una recta. Tres puntos distint# I pueden o no estar sobre la misma recta. Si tres o más puntos están« j la misma recta, se dice que son colineales. De lo anterior, se afinní que tres puntos, A, B y C, son colineales si y sólo si la recta que p$ por los puntos A y B es la misma que la recta que pasa a través dete puntos B y C. Debido a que la recta que pasa por A y B y la rectal I pasa de B y C ambas contienen el punto B, éstos estarán en la mis® recta si y sólo si sus pendientes son iguales.

► EJEMPLO 3

E m pleo d e la s p e n d ie n te s para determinar tres p u n to s d a d o s son colineales

Determine, por medio de las pendientes, si los puntos A(-3. -4), W» y C(7, 2) son colineales. Solución Si m, es la pendiente de la recta que pasa por Ay f es la pendiente de la recta que pasa por B y C, entonces

-4) ( “ 3)

m, = —

■ ( -

1)

7 -2

_ 3 ~ 5 De aquí, m, = Por tanto, la recta que pasa por los puntos A y B y la recta que pasa por B y C tienen la misma pendiente y además contie nen al punto común B. Así, ambas son la misma recta, y en consecuen cia, A, B y C son colineales. < A continuación, se enunciará y demostrará un teorema relativo a las pendientes de dos rectas perpendiculares.

TEOREMA 4

Dos rectas no verticales /i y l2 cuyas pendientes son mi y m 2, res pectivamente, son perpendiculares si y sólo si m\ m2 = —1.

X = 1 y l

^

2( 1, m 2

Dem ostración Elija los ejes coordenados de tal forma que el origen es el punto de intersección de /, y l2. Véase la Figura 3.15. Dado que ni /, ni l2 son verticales, ambas intersectan la recta x = 1 en los puntos P¡ y P2, respectivamente. La abscisa de ambos puntos P x y P2 es 1. Sea y la ordenada de P {. Como L contiene los puntos (0, 0) y (1, y) y su pen diente es m,, entonces - o 1

1 -0

Así, y = m,. De manera semejante, se demuestra que la ordenada de P2 es igual a m2. Del teorema de Pitágoras y su inverso, el triángulo P {OP2es un triángulo rectángulo si y sólo si * * * * * 3.15

\OP2 l2 = \P\P2\2

(3)

Al aplicar la fórmula de distancia, se obtiene ¡Ó P ¡¡2 = (1 - O)2 + (m, ~ O)2 = 1 + m ,2

\Ó P i\2 * 0 ° ) 2 + (W2 - O)2 = 1 + m 22

\ K P i \ 2 * (1 - l )2 + (m2 - m ,)2 — m 2 — 2rri\m2 + m 2 Si se sustituye en (3), se puede concluir que P xOP2 es un triángulo rec tángulo si y sólo si

ISO

CAPÍTULO 3


2 = —2m\mi m im2 = —1

|

Porque m lm2 = -1 es equivalente a 1

m, = ------y m2

1

m2 =

— m.

El Teorema 4 postula que dos rectas no verticales son perpendicular«! si y sólo si la pendiente de una de ellas es el recíproco negativo^ |j pendiente de la otra.

► EJEMPLO 4

Determ inar si la ecuación de una recta que p a sa por un punto dado es paralela o perpendicular a una recta dada

Dada la recta / que tiene la ecuación

f fjgcm

5jc + 4y - 20 = 0 hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, —3) y es (a)pa ralela a /, y (b) perpendicular a l.

Solución Primero se determina la pendiente de / escribiendok ecuación en la forma pendiente-intercepción. Al resolver la ecuacii MtjerámJa para y, se tiene ^b'Bykiem 4y = 5 x + 20 ■5* La pendiente de l es el coeficiente de x, el cual es - 1. (a) La pendiente de una recta paralela a / es también - Dadoque^ recta requerida contiene el punto (2, -3), si se utiliza la fornaa* punto-pendiente, se obtiene y

( - 3) =

2)

--Á x

4

4y + 12

^H3), t e » » » * 1%

5* + 10

5* + 4y + 2

(b) La pendiente de una recta perpendicular a / es el recíproco ne?® vo de - 1 el cual es A partir de la forma de punto-pendieni8ecuación de la recta que pasa por (2, -3) y con pendiente (-3) * - U 5 y + 15 5y - 23

Ax 0

: ** •’«i ^

2) >■ N i , ° 2l H , N ,N

3 .1

► EJEMPLO 5

RECTAS

15 1

D em ostración d e q u e cu a tro p u n to s d a d o s son los vértices d e un re ctá n g u lo

Demuestre por medio de las pendientes que los cuatro puntos A(6, 2), B( 8 , 6 ), C(4, 8 ) y D(2 ,4 ) son los vértices de un rectángulo. Solución Véase la Figura 3.16, donde /, es la recta que pasa por A y /?, /2 es la recta que pasa pro B y C, /3 es la recta que pasa por D y C, y /4 es la recta que pasa a través de A y D; mj, m2, m3 y m4 son sus pendien tes respectivas. mi =

6 - 2

/w->

8 -4

4 -2

4 -2

2 - 6

Dado que m, = m3, /j es paralela a /3; y debido a que / ^ = m4, ^ es parale la a /4. Como m, ^ = -1 , /, y /2 son perpendiculares. Por tanto, el cuadri látero tiene sus lados opuestos paralelos, y un par de lados adyacentes perpendiculares. En consecuencia, el cuadrilátero es un rectángulo. a

FIGURA 3.16

10. (a) La pendiente es -2 y pasa por el punto (-4,3); (b) pasa por los puntos (3,1) y (-5,4).

En los ejercicios 1 a 6, dibuje la recta que pasa por los puntos Ay B y determine la pendiente de la recta. 1. (a) A( 1, 4),

B(6 , 5) (b) A(2, - 3 ) , B ( - 4, 3)

2. (a) 4(5, 2),

f l ( - 2, - 3 ) (b)

4. ía) >4(7, 0),

4 -8

mi =

= 2

= 2

3. (a) A ( - 4, 3), £(0, 0)

8 - 6

11. (a) La pendiente es - 1 y la intercepción y es 1;

¿ ( - 4 , 2), fl( 8 , 5)

(b) A (|, |) , f í ( - 1 , §)

B(0, - 6 ) (b) A ( - j , g), fl(f, - 5)

(b) la pendiente es 2 y la intercepción x es 12. (a) La pendiente es | y la intercepción y es -4; (b) la pendiente es -2 y la intercepción x es 4.

5. (a) >4(1,5), B( - 2 , 5) (b) A ( - 2.1, 0.3), £(2.3, 1.4)

13. (a) Pasa por el punto (1, -7) y es paralela al eje x; (b) pasa por el punto (2 , 6 ) y es paralela al eje y.

6. (a) A(3, - 5 ) , fl(3, 4)

14. (a) Pasa por el punto (-5, 2) y es paralela al eje x; (b) pasa por el punto (-3, - 4) y es paralela al eje y.

ib) ¿(5.2, -3 .5 ), fl(-6 .3 , -1 .4 )

los ejercicios 7 y 8, dibuje, la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m. 7. ía) P(3, 4), m = §

(b) /*(—!, 6 ), m =

ía) PÍ4, 3), m = 2

(b) /»(2, - 5 ) , m =

foí ejercicios 9 a 20, e n cu en tre u na ecu a ció n de la recia que sa tisfaga la s co n d icio n es.

9- (a) La pendiente es 4 y pasa por el punto (2, -3); ib) pasa por los puntos (-1, -5) y (3, 6 ).

15. (a) La intercepción x es -3 y la intercepción y es 4; (b) pasa por el origen y bisecta el ángulo entre los ejes en el primero y tercer cuadrante. 16. (a) La intercepción x es 5 y la intercepción y es - 6 ; (b) pasa por el origen y bisecta el ángulo entre los ejes en el segundo y cuarto cuadrantes. 17. Pasa por el punto (-2, 3) y es paralela a la recta cuya ecuación es 2x - y - 2 = 0 . 18. Pasa por el punto (1,4) y es paralela a larecta cuya ecuación es 2x - 5y + 7 * o.

1 5 2 __ CAPÍTULO 3


19. Pasa por el punto (2, 4) y es perpendicular a la rec ta cuya ecuación es x - Sy + 10 = 0.

35. (a) (2 , 5), ( - 1 , 4 ), (3, - 2 ) (b) (0, 2), ( - 3 , - 1 ) , (4, 6 )

20. Pasa por el origen y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 2x - 5y + 6 = 0.

36. (a) ( - 1 , 2 ), ( 7 ,4 ) , ( 2 , - 1 ) (b) (4, - 9 ) , (4, 1), (4, 8 )

En ¡os ejercicios 21 a 24, encuentre ¡a pendiente y la intercepción y de la recta que tiene la ecuación dada y dibuje la recta.

37. Demuestre mediante pendientes que los cuatro puntos (0, 0), ( - 2 , 1 ), (3,4) y (5,3) son los véjw de un paralelogramo (cuadrilátero con los i*u opuestos paralelos).

21. (a) x + 3y - 6 « 0

(b) Ay - 9 * 0

22. (a) 8* - Ay = 5

(b) 3y - 5 = 0

38. Compruebe por medio de pendientes que loscuar,, puntos (-4 , -1), (3, |) , (8, -4) y (2, -9) so

23. (a) I x - 8 y = 0

(b) x = 6 - 2 v

24. (a) x = 4y — 2

(b) Ax = 3v

vértices de un cuadrilátero trapezoidal (cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos).

En los ejercicios 25 y 26, encuentre la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos, escriba la ecuación en la forma pendiente-intercepción; y dibújela 25. (1,3) y (2 ,-2 )

26. (3 ,-5 ) y (1,-2)

27. Demuestre que las rectas que tienen las ecuaciones 3* + 5y + 7 = 0 y 6 x + lOy - 5 = 0 son paralelas, y dibuje sus gráficas. 28. Compruebe que las rectas que tienen las ecuacio nes A x - 3 y + 12 = 0 y 8x - 6y + 15 = 0 son parale las, y dibuje sus gráficas. 29. Demuestre que las rectas que tienen las ecuaciones 2 x - 3 y + 6 = O y 3 x + 2 y - 12 = 0 son perpendicu lares, y dibuje sus gráficas. 30. Pruebe que las rectas que tienen las ecuaciones 2y = 10 - 5jc y 5y = 2x + 20 son perpendiculares, y dibuje sus gráficas. 31. Encuentre el valor de k tal que las rectas cuyas ecuaciones son 3x + 6ky = 7 y 9kx + 8y = 15 sean

paralelas. 32. Halle el valor de ¿ tal que las rectas cuyas ecuacio nes son 3kx + 8y =* 5 y 6y - Akx = -1 sean perpen

diculares. En los ejercicios 33 a 36, determine por medio de las pendientes si los puntos son colineales. 33. (a) (2, 3), i - 4 , - 7 ) , (5, 8 ) (b) (2, - 1 ) , (1, 1). (3, 4) 34. (a) (4, 6 ), ( l , 2). ( - 5 , - 4 ) ib) í - 3 , 6 ), (3, 2). (9, - 2 )

39. Pruebe por medio de pendientes que los trespunta (3, 1), (6 ,0 ) y (4,4) son los vértices de untriángulo rectángulo, y encuentre el área del triángulo

I .U i .son las iflíer

. „-rfnlascoordei tnángulo. < ^lecuacióBfe 1: W B iC .

40. Demuestre por medio de pendientes que los puma ( - 6 , 1), (-4 , 6 ), (4, -3 ) y (6,2) son los vértices* i íarespe®al triánguloi un rectángulo. s a o poá'i determinarse

pvitildoAal ladof(

41. El fabricante de un artículo de primera necesidad tiene un gasto total a la semana de 3 000 dólares; Oce laaplicacióndel i un costo de manufactura de $25 por unidad. (a)S a lasramones de lasti x unidades se producen semanalmente y y dolare •ayos«ticesson(3,-J es el costo semanal total, escriba una ecuaciónqw relacione a x y y. (b) Dibuje la gráfica de la ana dón del inciso (a). 42. El gasto total de un fabricante consiste en $20pr j unidad manufacturada y un gasto general de fatacación diario fijo, (a) Si el costo total paraprodut» I 200 unidades en un día es $4 500, determiKd | gasto general de fabricación fijo diario. (WS1 unidades se producen por día y y dólares esel cwto total diario. Escriba una ecuación que invota* a x y y. (c) Dibuje la gráfica de la ecuación dela0so (b). 43. Haga el ejercicio 42, considerando ahora qued de manufactura es $30 por unidad y el costo . para producir 200 unidades en un día es $6 6$ 44. La gráfica de la ecuación que relaciona las ^ raturas en grados Celsius y en grados ^ una recta. El agua se congela a 0°C y a ^ agua hierve a 100°C y 212°F. (a) Si y renheit corresponden a x grados Celsius, ecuación que involucre a x y y. (b) Dibuje ^ ca de la ecuación del inciso (a), (c) ¿

°*JETlV05

3.2

- los CUSljr n los vértice»

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

temperatura Fahrenheit correspondiente a 20°C? (d) ¿Cuál es la temperatura Celsius correspondien te a 86°F?

50. Emplee la explicación del ejercicio 48 para hallar las ecuaciones de las tres alturas del triángulo del ejercicio 49.

45. Encuentre la ordenada del punto cuya abscisa es -3 y que es coiineal con los puntos (3, 2) y (0, S).

En los ejercicios 51 a 54, utilice la geometría analítica para demostrar el teorema dado de geometría plana.

46. La ecuación

51. Las diagonales de un paralelogramo se bisectan mutuamente.

□n los ladc. u e loscuatr

-9) soo )fr (tuadriláteif s tres punto

s un tnánp iángulo. te lo s punios s vértices á

ra necesi&i

00 dólares-

nidad. (aj£ y y ádm

153

donde a y b son las intercepciones x y y, respecti vamente, es la forma intercepción de la ecuación de una recta. Explique cómo puede obtenerse esta forma a partir de la forma pendiente-intercepción y la relación entre la pendiente y las intercepciones. 47. Si se conocen las coordenadas de los tres vértices A, B y C de un triángulo, explique cómo podría en contrarse la ecuación de la mediana que va de A al lado formado por B y C. •?. 48. Con respecto al triángulo del ejercicio 47, explique cómo podría determinarse la ecuación de la altura que va del lado A al lado formado por B y C. 49. Utilice la explicación del ejercicio 47 para encon trar las ecuaciones de las tres medianas del triángu lo cuyos vértices son (3, -2), (2,4) y ( - 1 , 1).

52. Los segmentos de recta que unen puntos medios consecutivos de cualquier cuadrilátéro forman un paralelogramo. 53. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisectan mu tuamente, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 54. Las diagonales de un rombo (un paralelogramo equilátero) son perpendiculares. 55. Demuestre el Teorema 2: La gráfica de la ecuación Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes y donde A y B no pueden ser simultáneamente cero, es una recta. Sugerencia: considere dos casos 5 * 0 y B = 0. Si B * 0, demuestre que la ecuación es la de una recta que tiene una pendiente -A1B y la in tercepción y es -C/B. Si B = 0, demuestre que la ecuación es la de una recta vertical.

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3.2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS OBJETIVOS

1. D ib u jar y tra z a r las gráficas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas en el mismo sistema coordenado. 2. D eterm inar gráfica y algebraicamente si los sistemas de ecuaciones son (i) consistentes e independientes, (ii) inconsistentes, o (til) dependientes. 3. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución. 4. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación. 5. Resolver un sistema de ecuaciones lineales que contiene a los recíprocos de las incógnitas. 6. Resolver problem as que tienen un sistema de ecuaciones lineales como modelo matemático.

154

CAPÍTULO 3

RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN D I EJES

Muchas aplicaciones de las matemáticas conducen a más de una ción con diversas incógnitas. Las ecuaciones resultantes son llai« ¡ sistem a de ecuaciones y el conjunto solución consiste de todaM* ' luciones comunes para las ecuaciones en el sistema. En la Sección 3.1, se ha demostrado que la gráfica de una en* ción de la forma ax + by = c es una recta y todos los pares ordenados (jc, y) que satisfacen laec* ción son las coordenadas de puntos que están sobre la recta. Ungu j ma de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y escribirse como í a ¡ x + b \ y = Ci [¿gjf + b¿y — C2 donde a lt b„ c¡, a2, b2 y c 2 son números reales. La llave colocadicnd 1 lado izquierdo se utiliza para indicar que las dos ecuaciones formana i sistema. Si un par ordenado (jc, y) satisface un sistema de dos erny^ nes lineales, el punto correspondiente a (x, y) deberá estar en las dnI rectas, que son las gráficas de las ecuaciones. Para resolver, con la grañeadora, un sistema de dos ecuacionest i neales, trace las gráficas de ambas rectas en el mismo rectángulodtI inspección. Si la intersección de las rectas es un punto, lascoord»] das de tal punto forman el par ordenado que es la solución dei sisteu

>


Un sistema particular de dos ecuaciones lineales es f2 x +

y = 3

1.5* + 3y = 10 La Figura 3.17 muestra las gráficas de las dos rectas del sistema, ftk I figura, aparentemente ambas rectas se intersectan en un punto. E*1 punto (-1, 5) puede ser verificado por sustitución en las ecuación! como sigue: 2 ( —1) + 5 = 3 5 ( - l ) + 3(5) | £-10.10] por [-1 0 ,10J 2x+y = 3 y 5* + 3y=10

FIGURA 3.17

10

El único par ordenado que es común en los conjuntos solución dos ecuaciones es (-1, 5). Por lo que el conjunto solución del sis«* es {(-1,5)}.

>


Considere el sistema ( 6 x , 7 3y = 5 12* -

y = 4

3.2

SISTEMAS PE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

^ 55

Como se puede ver en la Figura 3.18, las rectas que tienen estas ecua ciones parecen ser paralelas. Es sencillo demostrar que las rectas son paralelas escribiendo cada una de las ecuaciones en la forma pendien te-intercepción y = mx + b%al despejar y en cada ecuación, se obtiene 6 x — 3y — 5

2x — y = 4

—3y «= —6 x + 5 y 6x- 3y= 5 y 2 x - y = 4

FIGURA 3.18

-y = ~ 2 x + 4

5

y = 2x - 4

3

Para cada ecuación la pendiente m = 2. Las dos rectas no son la misma debido a que las intercepciones y, - 1 y - 4 , no son iguales. Por tanto, las rectas son paralelas y no tienen un punto en común. El conjunto solución del sistema es 0 . 4

>


Para el sistema ( 3 x + 2y = 4 W

+ 4y = 8

las gráficas de ambas ecuaciones es la misma recta. Véase la Figura 3.19. Este hecho es evidente cuando las ecuaciones se escriben en la forma pendiente-intercepción. Al despejar y en cada una de las ecua ciones, se tiene í - 5 , 5 ] por [ - 5 , 5 ] l x + 2y = 4 y 6x + 4 y = 8

3 x + 2y = 4 2y = - 3 x + 4

6 x + 4y = 8 4y 8 - 6 x + 8

FIGURA 3.19 y = -X x + 2

yÉ

+ 2

Tres posibilidades acerca de los conjuntos solución d e dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Posibilidad 1. La intersección de los dos conjuntos solución contiene exactamente un par ordenado, como en el ejemplo ilus trativo 1. Las gráficas se cortan exactamente en un punto. Para este caso, se dice que las ecuaciones son consistentes e inde pendientes. Posibilidad 2. La intersección de los dos conjuntos solución es el conjunto vacío, como en el ejemplo ilustrativo 2. Las gráficas son rectas paralelas. Dada esta posibilidad, se dice que las ecua ciones son inconsistentes.

M

15 6

CAPÍTULO 3

RECTA S . PARÁBO LAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN PE E JIS

Posibilidad 3. Los conjuntos solución de las dos ecuaciones son iguales, como en el ejemplo ilustrativo 3. Las gráficas son la m ism a recta. Para este caso, se dice que las ecuaciones son de. pendientes.

Cuando dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son consista, tes e independientes, com o en el ejemplo ilustrativo 1, la solución& tenida de las gráficas es únicamente una aproximación, debido aqie^ lectura de números a partir de gráficas depende de la mediciói pg, obtener soluciones exactas de sistem as de ecuaciones lineales, sedeberán em plear métodos algebraicos. Estos métodos consisten en ree& plazar el sistem a dado por un sistem a equivalente, el cual tiene d m ism o conjunto solución. Si cualquier ecuación en un sistem a dado se reemplaza por un ecu ació n eq u iv ale n te, el sistem a resu ltan te es equivalente al sis tem a dado. Además, si cualesquiera de las dos ecuaciones de un sisteai dado son intercam biadas, el sistem a resultante es equivalente al ss-j tem a dado. Un m étodo para encontrar el conjunto solución de un sistemade dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es llamado método des» titución. Para cualquier par ordenado (*, y) en el conjunto solucióade un sistema de ecuaciones, las variables x y y en una de las ecuación representan los mismos números com o las variables x y y en laotraa» ción. Por tanto, si se reem plaza una de las variables en unadefat ecuaciones por su igual de la otra ecuación, se tendrá un sistema equn» lente. El siguiente ejemplo muestra el procedimiento.

► EJEMPLO 1

Solución d e un s is te m a d e ecuaciones lineok p o r e l m é to d o d e sustitución

Utilice el m étodo de sustitución para encontrar el conjunto soludíi del sistem a en el ejem plo ilustrativo 1: Í2 * +

y =

3

15* + 3y = 10

Solución AI resolver la prim era ecuación para y, se obtiene sistem a equivalente r

y = 3 - 2 *

15* + 3y = 10 Si sustituye y en la segunda ecuación por su igual 3 - 2x,de la r ecuación, tiene el sistema equivalente

3 .2

S IS T E M A S DE E C U A C IO N E S L IN E A L E S C O N D O S IN C Ó G N ITAS

1 57

Al simplificar la seg u n d a ecuación, resulta

f

y = 3 - 2x + 9 = 1 0

Al d e sp e ja r x en la s egunda ecuación, se obtiene

íy = 3 - 2 * \x = -1 Finalmente, si se sustituye en la primera ecuación el valor de * obteni do de la segunda ecuación, se tiene

Este sistema es equivalente al dado originalmente. De donde el con junto solución es {(-1 , 5)}. 4 Otro enfoque para resolver un sistema de dos ecuaciones linea les se llama m étodo de elim inación. En este método se sustituye una de las ecuaciones del sistema por la ecuación obtenida de la manera siguiente: multiplicando cada ecuación por un número real diferente de cero, y sumando las ecuaciones resultantes. Así, sfe ob tiene un sistema equivalente. (Debe entenderse que “multiplicar una ecuación por un número” significa multiplicar cada lado de la ecuación por el número y “sumar las dos ecuaciones” significa su mar los lados correspondientes de las ecuaciones.) Se eligen los factores de tal manera que al sumar las ecuaciones resultantes se elim ine una de las incógnitas. En el ejemplo siguiente se mostrará el método de eliminación.

► EJE M P LO 2

S o lu c ió n d e u n s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s p o r e l m é to d o d e e lim in a c ió n

Mediante el método de eliminación encuentre el conjunto solución del sistema de ecuaciones del ejemplo 1. S olución

Í2 x +

El objetivo es eliminar una de las incógnitas del sistema y = 3

15* + 3y = 10 Observe que el coeficiente de y es 1 en la primera ecuación y 3 en la segunda ecuación. A fin de obtener una ecuación que no contenga a y, se debe sustituir la segunda ecuación por la suma de la segunda ecuación

RECTAS, PARÁBOLAS# CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN Pe e j k 158

CAPÍTULO A

y -3 veces la primera. Para iniciar, se multiplica ia n ■ por -3 y se escribe el sistema equivalente: Dlera«ciia(^ í - 6 x - 3y = - 9 1 5x + 3y = 10 Al sumar las dos ecuaciones se obtiene el resultado

s,guiente:

—6x - 3y = - 9 5jc + 3y =

10

Con esta ecuación y la primera del sistema original se tiene l te sistema equivalente: e 5I8% Í 2x + y = 3 l - * = 1 Si ahora se multiplican ambos lados de la segunda ecuación por-l obtiene el sistema equivalente:

Enseguida se sustituye x por -1 en la primera ecuación para obtener

C° njUnl° so,uc¡ón es { (- 1, 5 }), el cual concuerdaa»* resultado del ejemplo 1. < dn

ej eniP*os ilustrativos siguientes muestran quépa»** m^toc*o de eliminación si las dos ecuaciones«* son ‘"consistentes o dependientes. 63

tem a

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 El sistema del ejemplo ilustrativo 2 es Í6 a - 3v = 5 12a -

v = 4

3.2

SISTEMAS D E ECUACIONES LINEALES CON POS INCÓGNITAS

1 59

Escríba el sistema equivalente que se obtiene al multiplicar la segunda ecuación por -3 , f

6* - 3y = 5

1 - 6 * + 3y = - 1 2 Este sistema es equivalente al siguiente, se consigue sustituyendo la segunda ecuación por la suma de las dos ecuaciones: f 6* — 3y = 5 1

0 = -7

El conjunto solución de este último sistema es el conjunto vacío 0 de bido a que no existe un par ordenado (*, y) para el cual la segunda ecuación sea un enunciado verdadero. De donde el conjunto solución del sistema dado es 0 . Las dos ecuaciones son inconsistentes. <

>


El sistema del ejemplo ilustrativo 3 es (3x ± 2 v = A [6 * + A y = 8 Si se multiplica la segunda ecuación por - j, se tiene el sistema equi valente f

3* + 2y = 4

1 - 3 * - 2y = - 4 Al sustituir la segunda ecuación por la suma de estas dos ecuaciones, se obtiene el sistema equivalente | 3 * + 2y = 4 I

0 = 0

La segunda ecuación de este último sistema es una identidad, la cual es un enunciado verdadero para cualquier par ordenado (*, y). Por tan to, el conjunto solución del sistema es el mismo que el conjunto solu ción de la primera ecuación. El conjunto solución puede escribirse como {(*, y) J 3* + 2y = 4}. Lasecuaciones son dependientes. Otra manera de indicar el conjunto solución provienede la resolución para * en función de y de la ecuación 3* + 2y = 4, obteniéndose 4 2 * * 3 “ 3y Entonces, el conjunto solución es el conjunto de pares ordenados { | y, y)}. Alternativamente, tomando y como cualquier número

P ^ p ^ p n L A S . CIRCUNFERENCIAS Y T R A S l A C l 6 N

60

CAPÍTULOS.

RkCias,-----

-

real t, x es igual a t -

D E E j |^

y el conjunto solución * «cribe

CQk

El sistema en el ejemplo siguiente, se dice qUe cíprocos de x y y. es ‘âl en^

► EJEMPLO 3

Solución d e un sistem a d e ^ CU0e^ ~ ^ ^ e c ÍD r a c o c Wa *®0t$ 1 ^ . enn los los iw recíprocos d e x« uy ..y

Encuentre el conjunto solución del sistema

4 , 3 - + x ■ y 2 6 V

X

Solución

El sistema se puede representar como

4|; ) + j u r - 4 I ; ) - 4 S

W

Así que el sistema es lineal en u = j y v=

y

Si se hacen las sustituciooaij

el sistema es equivalente a

4 u + 3v = 4 2u — 6v = —3 A fin de resolver este sistema, primero se multiplica la segunda«^ ción por - 2 y se obtiene 4 u +

3v = 4

—4u + 12 c — 6 ia de las dosH Ahora, se sustituye la segunda ecuación por la suma ciones. Se consigue 4u + 3c = 4 l í e = 10 Al resolver la segunda ecuación para v, se tiene ( 4u + 3v = 4

S fig f i

!

3.2

SISTEMA S D E ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

161

Si se sustituye ^ por v en la primera ecuación se obtiene

4w + 3( - ) = 4

U= 3 4m + 2 = 4 <=>

C= 3 4

u = 2

<=>

« =

~

<=>

C= 3 Por tanto, la solución del sistema (II) es u = j y v = |. Para obtener la solución del sistema (I), se sustituyen u y v por - y -, respectivamen te. Entonces \ _ 2

y~3 3

Por lo que el conjunto solución del sistema (I) es {(2, |)} .

a

En el ejemplo 3, las variables son tratadas como — y - . Si cada una de las ecuaciones en el sistema (I) se multiplica por xy (el mínimo común divisor), se obtiene el sistema 4y + 3x — 4xy 2 y — 6x = *—3 xy

(III)

Debido a que 4jcy y -3;cy son términos de segundo grado, las ecuacio nes en el sistema (III) son de segundo grado. Para resolver este sistema para x y y se requiere un procedimiento más complicado que el usado en el ejemplo 3. Observe que (0, 0) es una solución para el sistema (III), mientras que las ecuaciones del sistema (I) no están definidas cuando x = 0 o y = 0 . En las discusiones previas sobre enunciados de problemas, se ob tuvo una sola ecuación como modelo matemático para representar

162

c^ p ít u l o a

»eCTAS ÊyM^ ----

cada una de las incógnitas empleando únicamente „ esta sección se obtendrá un sistema de ecuaciones com¡? mático usando variables diferentes para representarc a d ^ i j cógnitas. Observe que algunos problemas que tienen u ^ í I ecuaciones lineales como modelo matemático, también?S3 sueltos utilizando como modelo matemático una ec*riS? J una sola variable.

► EJEMPLO 4

Resolución d e un problema sistem a d e ecuaciones liZ L u? *** «n m a tem á tico eoi»o

Dos libras de té de la India y 5 Ib de té de China pueden $50.16, y 3 Ib de té de la India y 4 Ib de té de China cum? * ¿Cuál es el precio por libra de cada tipo de té? Solución Debido a que se desea obtener el precio paracafa los dos tipos de té, deberán emplearse dos variables. jc:

y:

el número de centavos en el costo por libra del té el número de centavos en el costo por libra del téde(¿

Dado que el costo de 2 Ib de té de la India más el costo de51detj China es $50.16, se tiene la ecuación

haimmlalO,

mm Clasifiquela mttápnknles, p ta S las ecu Debido a que el costo de 3 Ib de té de la India más el costodeíMj xpéailu, ietermii té de China es $50.88, se tiene la ecuación "*1 punirdelasg¡ 3x + 4y = 5 088 2x + 5y = 5 016

Asi que se tiene el sistema V2x + 5 y = 5 0 1 6 H L 3 ¿ + 4 y = 5 088 *a Pr' mera ecuación por 3 y la segunda pa -v=6

ei sistema equivalente

H p

6 * + 15y = J 5 048

~ 6* ~

8 y » - j o 176 A

e c u a H ^ ,ein te sistema equivalente, la primera ecuación dos ecna •C sistema or*ginal, y la segunda ecuación es I* ecuaciones en el sistema (IV).

2 x + 5 y '=

5 016

7y » 4 872

<=>

<2jr + 5y = 5 016 y = 696

i n

m 0*

+

3 .2

i variable. Cj m odelo una de las :isterna de df, pueden ser r ón lineal ti

SISTEM A S DE ECUACIO NES LINEALES CON DOS IN CÓ GN ITAS___ 16 3

í=>

<=>

2x + 5(696) = 5 0 1 6 y = 696 2x + 3480 = 5 016 y — 696 * = 768

<=>

y m 696 Comprobación: Con x - 768 y y = 696, el número de dólares en el precio de 2 Ib de té de la India es 2(7.68) = 15.36, y el número de dó lares en el precio de 5 Ib de té de China es 5(6.96) = 34.80; 15.36 + 34.80 = 50.16. El número de dólares en el precio de 3 Ib de té de la In dia es 3(7.68) = 23.04 y el número de dólares en el precio de 4 Ib de té de China es 4(6.96) 1 27.84; 23.04 + 27.84 = 50.88.

e n e un

mo modelo

□mprarsep^ sstan $50.}'

Conclusión: El precio por libra de té de la India es de $7.68 y el pre cio por libra de té de China es de $6.96. <

cada unoú

de la India de China. 5 Ib de ié&

to de 4 Ib*

En los ejercicios 1 a 10, trace la gráfica del sistema de ecuaciones. Clasifique las ecuaciones como: (i) consis tentes e independientes, (ii) inconsistentes, o (iii) de pendientes. Si las ecuaciones son consistentes e independientes, determine el conjunto solución del sistema a partir de las gráficas, y verifique la solución sustituyendo los valores en las dos ecuaciones. x - y = 8 2x + y = 1

1.

y = 8 + 2x 6x + 3y = 0 3J 2 * + y — 6 %x = 6y + 9

slaP ^Í sufl*^

5. l

y = 2x

[6* - 3y - 12 = 0

En los ejercicios 11 a 22, encuentre, algebraicamente, el conjunto solución utilizando ya sea el método de sustitución o el de eliminación. Verifique la solución trazando la gráfica del sistema de ecuaciones.

Í5x - 2 y - 5 = 0 12. Í3x + 4 y (3* + y —- 3 = 0 [5x + 2y \4 x + 3y + 6 * 0 Í8x — 3> = 14. 13. [3x - 2y - 4 = 0 ,5x - 2y = 11.

15.

5x- + 3 y = 3 . x + 9y == 2

17.

3x + 4y - 4 = 0 6x - 2 y — 3 = 0

19.

2x — 3 y « — 5x - 4y = 8 4x - 2y - 7

y = 3x — 5 6x - 2v = 10

Sx + 5y % í f i + 3 y ’& - 7

» .

f£3 ‘ + £2 - l x - y .4 3

r18* + 3y - 10 = 0 2jc — 2jr — 5 = 0 20 . j

r2 * - 5y = - 2J 5x + 3v = - 6 y

~6 § |¡ ¡ £ + Z » _!

22 . • 2

1

5 4

’ 5x + 6y = - 5

a 21.

4 = 0 8 = 0

m

y = 3x - 2

2r + 6y = —11 4x - 3y == - 2

9.

ro

10.

3x - y = 1 6x + 5y = 2

IO

9x - 3y * 7

8.

.3 2

■

164

CAPÍTULO 3

RECTAS. PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN DE EJES

En los ejercicios 23 a 26, halle, algebraicamente, el conjunto solución del sistema. 3 í--» y 23. r 7 I4 VJC y

[2 3 - + * 2

24. u 14

2

Í-y 25. x I -6 + 3 u y

14

fl

10

12

y 5

u~ +

y

26. M •7

y 3 3 1 1 y

= 6

= 2

En los ejercicios 27 a 36, resuelva el problema encon trando un sistema de ecuaciones como modelo matemático de la situación. Complete el ejercicio escribiendo la conclusión. 27. Tres libras de té y 8 Ib de café cuestan $39.70, y 5 Ib de té y 6 Ib de café cuestan $47.10. ¿Cuál es el costo por libra de té? ¿Cuál es el costo por libra de café?

galones de agua. Un segundo tanque contiene* Iones de insecticida pero solamente 15 agua. Si se desea tener 7.5 galones de unaueJ de la cual el 20 % sea insecticida, ¿cuántos deberán tomarse de cada tanque? 33. Si una niña trabaja durante 8 min y su hermano!« min, ellos pueden lavar en estos tiempos lasvm. ñas del frente de su casa. También si laniñaim* 12 min y su hermano 10 min, ellos puedenfaki. mismas ventanas. ¿Cuánto tiempo se tomará persona sola para lavar las ventanas? Sume*» Si una persona sola se toma t minutos parareafc, el trabajo, entonces en 1 min la persona puedek cer — del trabajo. 34. Un pintor y su hijo pueden pintar jumos udc*h en 8 h. Si el padre trabaja sólo por 3 h y eucua es ayudado por su hijo, los dos juntos puedencoBfcj tar el trabajo en 6 h más. ¿Cuánto tiempocitólaI cada persona para pintar sola el cuarto? sugerencia para el ejercicio 33.

28. El costo de envfo de un telegrama está basado en una tarifa para las primeras diez palabras y un car go fijo para cada palabra adicional. Si un telegrama de 15 palabras cuesta $11.65 y un telegrama de 19 palabras cuesta $14.57. ¿Cuál es la tarifa y cuál es el cargo fijo por cada palabra adicional?

35. Si se agrega 4 al denominador de una fraocnoi resta 2 al numerador de la misma, la fraccuB» tante es equivalente a ¿Cuál es la fracción0

29. Un grupo de mujeres decidieron contribuir con cantidades iguales para contratar un conferenciante para la reseña de un libro. Si hay 10 mujeres más, cada una deberá pagar $2 menos. Sin embargo, si hay 5 mujeres menos, cada una deberá pagar $2 más. ¿Cuántas mujeres estuvieron en el grupo y cuánto se le pagó al conferenciante?

al denominador se les resta 5, la fracciónresá* es equivalente a ¿Cuál es la fracción?

30. Una mujer tiene cierta cantidad de dinero invertida. Si tuviera $6 000 más invertidos a una tasa 1% me nor, ella debería tener la misma ganancia anual de su inversión. Además, si ella hubiera tenido $4 500 menos invertidos a una tasa 1% más, la ganancia anual de la inversión hubiera sido la misma. ¿Cuánto tenía invertido ella, y cuál era la tasa de inversión? 31. Un químico tiene dos soluciones ácidas. Una con tiene 15% de ácido y la otra contiene 6%. ¿Cuántos centímetros cúbicos de cada solución deberán utili zarse para obtener 400 cm3 de una solución al 9% de ácido? 32. Un tanque contiene una mezcla de insecticida y agua, en el tanque hay 5 galones de insecticida y 25

36. Si tanto el numerador como el denominadordea fracción se incrementan en 5, la fracciónresoloB es equivalente a Sin embargo, si al numerad»!

37. ¿Cómo se podría determinar algebraica yfio mente si dos sistemas de dos ecuaciones fe* con dos incógnitas son equivalentes? 38. ¿Cómo se podría determinar gráficamente a*** un sistema de tres ecuaciones lineales cood**. cógnitas es consistente o inconsistente? Aplique la respuesta del ejercicio 38 a los SI&I& los ejercicios 39 a 42 trazando las gráfica*b ecuaciones en el mismo rectángulo de inspcccn^* ^ consistentes o inconsistentes las ecuaciones? respuesta algebraicamente; para demostrar H* . inconsistentes resuelva un sistema de dos 1 | ecuaciones y compruebe que ningún miembro ^ junto solución satisface la tercera ecuación' mostrar que son consistentes, holk 1 solución.

3.3

¿

i as

I 2x + y = 10 42. | 3 jc - Ay = - 5 14x - 3y = 0

40.

J h

PARÁBOLAS

-3

p a r á b o l a s ía n o 15 i venia-

irabaja avarias r á cada ren d o , realizar e d e ha-

3.3 o b j e t iv o s

1. 2. 3. 4. 5.

Definir una parábola. D ibujar parábolas a p artir de sus ecuaciones. T ra z a r parábolas a p artir de sus ecuaciones. A prender las propiedades de las parábolas. E n co n trar las propiedades de las parábolas a partir de sus ecuaciones. 6 . H allar las ecuaciones de parábolas a partir de sus propiedades. 7. Resolver problem as que tienen una parábola como modelo matemático.

En la Sección 1.5 se presentaron parábolas. Las gráficas de las figuras 1.32 y 1.35 de esa sección son parábolas. Estas curvas tienen muchas aplicaciones importantes. Se emplean en el diseño de espejos parabóli cos, reflectores y faros de automóvil. La trayectoria de un proyectil es una parábola, si se considera que el movimiento se lleva a cabo en un plano y se desprecia la resistencia del aire. Los arcos tienen algunas veces apariencia parabólica; y el cable de un puente suspendido puede colgar con la forma de una parábola. Las antenas para la recepción de señales de televisión provenientes de satélites son también de forma parabólica. En la definición de parábola se hace referencia a la distancia de un punto a una recta. Se entiende por tal distancia la longitud del segmen to de recta perpendicular del punto a la recta. Véase la Figura 3.20, donde | PQ | es la distancia del punto P a la recta /.

DEFINICIÓN

La parábola

Una parábola es el conjunto de todos los punios situados en un plano que equidistan de un punto y una recta fijos. El punto fijo se denomina foco y la recta fija, directriz.

Ahora se derivará la ecuación de una parábola a partir de su defi nición. Se elige el eje y como perpendicular a la directriz, de modo que contenga al foco. El origen se toma como el punto sobre el eje y a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz. Observe que se eligie ron los ejes (no la parábola) de una forma especial. Véase la Figura 3.21.

—:------

166

CAPÍTULO 3

RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓ N DE EJES

Sea p la distancia dirigida OF. El foco es el punto F(o p) rectriz es la recta cuya ecuación es y = - p . Un punto P(x, la parábola si y sólo si P es equidistante de F y de la directriz 0 Q(x, - p ) es el pie de la recta perpendicular que va de P a la entonces P está sobre la parábola si y sólo si

0

\FP\ = \ QP \ Dado que \ FP

V

jc2

+ (>■ - p f

y

| QP\ = V(jc - x)2 + (y + p f el punto P está sobre la parábola si y sólo si V jc 2 +

(y — p)2 = V ( y + p)2

Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación para obtener

x 2 + y 2 — 2 py + p 2 = y 2 + 2 py + p2 x 1 = 4py Se establecerá este resultado de manera formal.

directriz

Ecuación d e u n a p a rá b o la

y = ~P

La ecuación de una parábola que tiene su foco en (0, p) y comc directriz la recta y = - p es

\\

x 2 = 4py

F{0,p)\

4

i ¿ 2 * 4 py , p < o

FIGURA 3.22

En la Figura 3.21, p es positiva; sin embargo, p puede serncpn* debido a que es la distancia dirigida OF. La Figura 3.22 muesin*| ! parábola para p < 0 . De las figuras 3.21 y 3.22 se puede ver que para laecuack*r'I 4py la parábola abre hacia arriba si p > 0 y hacia abajo sí/kO .^* ta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje• parábola. Los ejes de las parábolas de las figuras 3.21 y 3.22 s o w j La intersección de la parábola con su eje se denomina vértice, el cu^n supuesto, está a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz-B tice de las parábolas de las figuras 3.21 y 3.22 es el origen.

>

EJEMPLO ILU S TR A TIV O 1

La gráfica de la ecuación x 2 = lOy

RGURa3.24

__________________________________________3 «3 PARÁBOLAS

5

[ / (5 p - r _j

*-4

/

5

y = —~

directriz

1«

es una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje es el eje y. Dado que 4p = 10, p = | > 0, y por tanto la parábola abre hacia arriba. El foco está en el punto F(0, f), y la ecuación de la directriz es y = Dos puntos sobre la parábola son (5, |) y (—5, |). Éstos son los extre mos de una cuerda* que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola. Esta cuerda se conoce como el lado recto de la parábola. En el ejercicio 41 se le pedirá que demuestre que la longitud del lado recto de una parábola es 14 p \ . Cuando se dibuja una parábola es de utilidad trazar los extremos del lado recto. La Figura 3.23 muestra la parábola, el foco, la directriz y el lado recto. 4 La parábola de la Figura 3.23 con tres puntos P¡, P2 y Pj en ella se muestra en la Figura 3.24. Dado que la definición de una parábola esta blece que cualquier punto sobre la parábola es equidistante del foco y la directriz,

FIGURA 3.23

FPA = \Q\P\\

► EJEMPLO 1 -5

\ f p 2\ = \ q 2p 2\

|f/> 3| = 1 0 3 ^ 3

Dibujo d o u n a p a rá b o la y d eterm inación d e sus p ro p ied a d es a partir d e su ecuación

directriz

Dibuje la parábola que tiene la ecuación x 2= - 8 y FIGURA 3.24

y determine el foco, la ecuación de la directriz y los extremos del lado recto.

Solución

y=

2

La gráfica es una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje es el eje y. Debido a que 4p = -8, p = -2, y como p < 0, la parábola abre hacia abajo. El foco está en el punto F(0, -2), y la ecuación de la directriz es y = 2. Los extremos del lado recto son (4, -2 ) y (-4, -2). Estos puntos se obtienen sustituyendo y por -2 en la ecuación de la parábola y resolviéndola para x. La parábola está trazada en la Figura 3.25, la cual también muestra el foco y la directriz. <4 Por supuesto, se puede comprobar la parábola del ejemplo 1 tra zando la gráfica de la ecuación y = - j x 2, en la graficadora.

FIGURA 3.25

► EJEMPLO 2

D eterm inación d e la ecuación de u n a p a rá b o la a p artir d e sus p ro p ied a d e s y su gráfica

Encuentre la ecuación de la parábola que tiene su foco en (0, 3) y como directriz la recta y * -3 . Trace la parábola. Se Harria cuerda de una curva ai segmento rectilíneo cuyos extremos están sobre la curva.

168

CAPÍTULO 3

RECTAS. PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN D I EJES

Debido a que el foco está en el eje y y se ubica arriba la directriz, la parábola abre hacia arriba y p = 3. El véit^ 1 en el origen. La ecuación de la parábola es de la formar2 = 4*,7; 4p = 12. Por lo que la ecuación requerida es S o lució n

x 2 = 12y

[-8,8] por [-2, 8] 1 . y =ñ X FIGURA 3.26

Para trazar la parábola, la ecuación se debe escribir comoy =¿.; Véase la Figura 3.26. ‘.

EJEMPLO 3

Resolución d e un problema que tiene la ecuación d e u n a parábola como modelo m a tem á tico

Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12 cm en el ceniio., un diámetro en la parte superior del espejo de 32 cm. Encuentrela¿ tancia del vértice al foco. Solución Como se ve en la Figura 3.27, se han elegido tosejes»! ordenados de modo que la parábola tenga su vértice en el origen,a eje coincida con el eje y y abra hacia arriba. Por tanto, la ecuación« la parábola es de la forma x 2 = 4py donde p centímetros es la distancia del vértice al foco. Dadoqued punto (16, 12) está sobre la parábola, sus coordenadas satisfaceoii ecuación y se tiene 162 = 4p(12) 16 P = T

Conclusión: La distancia del vértice al foco es y cm. Algunas parábolas tienen ejes horizontales. La por ecuación y 2 = lx es un ejemplo. Esta ecuación es de la forma y 2 = 4px la cual puede obtenerse a partir de la ecuación x2= 4py intercaiwJJI x y y. La parábola cuya ecuación es y2 = 4px tiene su vérticeen 1 gen, como su eje, el eje x , y su foco en el punto F(p, 0); 1aecu* J , su directriz es x = -p. Si p > 0, la parábola abre hacia la derecha. en la Figura 3.28; si p < 0, la parábola abre hacia la izquierdac I la Figura 3.29. FIGURA 3.28

A continuación se resumirán estos resultados.

L

3 .3

PARÁBOLAS

la o

Ecuación de una p a rá b o la La ecuación de la parábola que tiene su foco en (p, 0) y su di rectriz es la recta x - - p t s y 2 = 4px

Trazo d e una p a rá b o la Para trazar la gráfica de una ecuación de la forma y 2 = 4px: 1. Resolver para y extrayendo la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación y obtener las dos ecuaciones y = V4/?x

y = - V4px

2. La unión de las gráficas de estas dos ecuaciones proporciona la gráfica de y 2 - 4px

EJEMPLO 4

Dibujo d e u n a p a rá b o la y determ in a ció n d e sus p ro p ie d a d e s a p artir d e su ecuación

Dibuje la parábola cuya ecuación es y 2 = Ix y encuentre el foco, la ecuación de la directriz y los extremos del lado recto. Comprobar la gráfica trazándola en la graficadora. Solución La ecuación dada es de la forma y 2 = 4px, por tanto, el vértice está en el origen, y el eje de la parábola es el eje x. Debido a que 4p = 7, p =;n- > 0: así que la parábola abre a la derecha. El foco está en el punto F(j, 0), y la ecuación de la directriz es X = -

Para

obtener los extremos del lado recto, se sustituye x - 1 en la ecuación dada, y se tiene y =

49 4

¡

170

CAPÍTULO 3


Los extremos del lado recto son, por tanto (j, |) y (2 _ , está dibujada en la Figura 3.30, la cual también muestra el rectriz. A fin de trazar la parábola, se muestran las gráficas de

y = V xT

y - -\T x

y

en el mismo rectángulo de inspección.

EJERCICIOS

3.3

En los ejercicios 1 a 16, para la parábola con la ecuación dada, encuentre (a) el vértice, (b) el eje, (c) el foco, (d) la ecuación de la directriz y (e) los extremos del laclo recto. Dibuje la parábola. 1. * 2 - 4 y

1 .x 2 = 8y

3. x 2 = —16y

4. * 2 = ; - 1 2 y

5. x 2 - y = 0

6. x 2 ^ 2 y = 0

7. y 2 = I2x

8 . y 2 = —6x

En los ejercicios 23 a 36, determine la ecuacinLi parábola que tiene las propiedades dorias rábola y compruebe la gráfica trazándola a la¡4 cadora. 23. Foco (0,4); directriz, y = -4. 24. Foco (0, -2); directriz, y = 2. 25. Foco (0, -5); directriz, y - 5 = 0,

io . y = x

26. Foco (0, - ~); directriz, 2y - 1=0.

11. y 2 - 5x « 0

12. y 2 + 3x = 0

27. Foco (2,0); directriz, x = -2.

13. 3x2 + 8 y = 0

14. 2* 2 + S y = 0

28. Foco (1,0); directriz, x = -1.

15. 2y 2 - 9x I 0

16. 3 y 2 — 4x = 0

29.

9. y 2. = - S x

30.

En los ejercicios 17 a 22, trace la parábola que tiene la ecuación dada.

31. 32. 33.

17. (a) y = 4 x 2 (c) X = 4 y2

(b) y = ■- 4 x 2 (d) X m - 4 y 2

18. (a) y (c) X

2x2 2y 2

(b) y (d) X

—2 x 2 «Sr - 2 y 2

y *

W

X «

w

(b) y (d) X

=

19. (a) (c)

~ =

20 . (a) y k*2 (c) X *« ¡ y 2 21 . (a) X 2 -- I6 y == 0 (c) y 2 ■' 16* == 0 22 . (a) 4jt2 ~ 3y == 0 (c ) 4 y 2 - 3x == 0

(b) y (d) X

34. Vértice, el origen; directriz, 2y + 5=0. 35. Vértice, el origen; el eje y es su eje; pasapor(-i 36. Vértice, el origen; el eje x es su eje; pasapor

- w

En los ejercicios 37 a 40, resuelva el probleiM(r¿i trando la ecuación de una parábola cono . matemático de la situación. Complete ti ^ escribiendo la conclusión.

■

“ iy2 ~ ix2 - b 2

(b) X 2 + 16 v (d) y 2 + 16* (b) 4x 2 + 3y (d) 4 y 2 + 3x

“

3.0 cablede un piien a p a rtó la cuando ámale demane Foco ( - 1 ,0); directriz, 5 - 3x=0. torreses de! Foco ( - 1 ,0); directriz, 2x - 3=0. ti ota sobre lato Vértice, el origen; abre hacia arriba, pasaporíM anaaiydpunto ^ Determine lád Vértice, el origen; abre hacia abajo, pasapor(4-í deun puní ^ ^ u n a torre. Vértice, el origen; directriz, 2 t = 3.

0

= 0

* 0 * 0

37. Un telescopio reflectante tiene un espejoP*^ co para el cual la distancia del vértice 30 pie. Si el diámetro de la parte superior*

"Süüíi ° 8JÍTIVi

3.4

64 pulg. ¿Cuál es la profundidad del espejo en

e¡ centro? Espejo parabólico

CIRCUNFERENCIAS

171

40. Considere que el agua que está fluyendo del extre mo de un tubo horizontal, que se encuentra 25 pie arriba del suelo, describe una curva parabólica, el vértice de la parábola se halla en el extremo del tubo. Si en un punto 8 pie abajo del tubo, el flujo de agua en su trayectoria curva se localiza a 10 pie de distancia de la línea recta vertical que pasa por el extremo del tubo, ¿qué tan alejado de esta recta vertical llega el agua al piso?

38. Un arco parabólico tiene una altura de 20 m y un ancho de 36 m en la base. Si el vértice de la pará bola se encuentra en la parte alta del arco, ¿a qué altura sobre la base tiene un ancho de 18 m?

41. Demuestre que la longitud del lado recto de una parábola es | 4p |.

39. El cable de un puente colgante tiene la forma de una parábola cuando la carga está distribuida uni formemente de manera horizontal. La distancia en tre dos torres es de 150 m, los puntos de soporte del cable sobre la torre están a 22 m arriba de la carretera, y el punto más bajo del cable está 7 m arriba. Determine la distancia vertical de la carrete ra al cable de un punto que se encuentra a 15 m de la base de una torre. 15 in r

5 ' " t l h - -----------T T -

22 m • .

L

t

42. Determine la ecuación de una parábola cuyo vérti ce está en el origen y los extremos del lado recto son (-8,4) y (8,4). 43. Los extremos del lado recto de una parábola son (5, k) y (-5, k). Si el vértice de la parábola está en el origen y la parábola abre hacia abajo, encuentre: (a) el valor de k\ (b) la ecuación de la parábola. 44. Determine todos los puntos sobre la parábola y 2 = 8¿ tales que el foco y el pie de la perpendicular di bujada del punto a la directriz son los vértices de un triángulo equilátero. 45. Trace las gráficas de y ^ x 2 y y = x 4. Explique por qué la gráfica de la primera ecuación es una pará bola y por qué la gráfica de la segunda no lo es. Emplee la definición de parábola en la explicación.

*-4 CIRCUNFERENCIAS OBJETIVOS

1. Definir una circunferencia. 2. Dibujar circunferencias a partir de sus ecuaciones.

c a p ítu lo 3 ^

c ta s jp a r á b o l a

s, CIRCUNFERENCIAS Y TRAS^ q ó N D t E ig s

3 T ra za r circunferencias a p a rtir de sus ecuaciones. 4 A p ren d er las p ropiedades de las circunfere ‘encías. 5. E n c o n tra r las p ropiedades d e las circunfe cencíasa n sus ecuaciones. a Partir h 6. D eterm in ar ecuaciones de circunferencias i Partir de sin propiedades. "

" , ecci6n anterior se vio que las parábolas tienen ecuaró*^ I n i tr a d o con sólo un término de segundo grado o » * 8; „?,.aciones de segundo grado es la arcunftrtnda, ^ * e c u a c i o n e s poseen dos términos de segundo grado, uno en f»n t»

-

DEFINICIÓN

Circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en■ plano equidistante de un punto fijo. Al punto fijo se le 1!« centro y la distancia constante, radio de la circunferencia.

Para obtener la ecuación de la circunferencia con centroeoCU y radio r, se utilizará la fórmula de distancia. Véase la Figura331 punto P(x, y) se encuentra en la circunferencia si y sólo si \PC\ -t decir, si y sólo si

Esto es cierto si y stílo si (X~ h)2 + 0 - - # FIGURA 3.31

= J

(r > 0 )

ûellosUpuntoseoUpa!¡.SfeC,la P° r laS coordenadas de aquéllosr «| ecuación de rlírh ■ encuentren en la circunferencia, porw&'J "era formal c,rcu"ferencia. Este resultado se estable*'!

Ecuación d e la circu n feren cia La circunferencia con centro en el punto (h, k) ■' como ecuación ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = /•

3 .4

CtBCUNFERINOAS

17 »

Si el centro de la circunferencia está en el origen, entonces h = 0 y k = 0 , y por tanto, su ecuación es x2 + y2 = r2 Tal circunferencia aparece en la Figura 3.32. Si el radio de la circunfex rene ia es 1, se le llama circunferencia unitaria. Si se conocen el centro y el radio de una circunferencia, ésta pue de ser dibujada usando un compás.

FIGURA 3.32

Trazo de una circunferencia Para trazar la circunferencia cuando se tiene la ecuación x2 + y2 = r2 1. Se resuelve esta ecuación para y, y se obtiene y = Vr2 —x 2

y

y = - Vr2 - x 2

La gráfica de cada una de estas ecuaciones es una semicircun ferencia. 2. Trazando estas dos semicircunferencias en el mismo rectán gulo de inspección se obtiene la circunferencia deseada.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 La gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = 16 es la circunferencia con centro en el origen y radio 4. Al resolver esta ecuación para y se obtiene FIGURA 3.33 y = V16 - x 2

y

y = -V 16 - x 2 m

Si se trazan estas dos semicircunferencias en el mismo rectángulo de inspección se obtiene la circunferencia mostrada en la Figura 3.33. <

► EJEMPLO 1

Determinación d e la ecuación d e una circunferencia que satisface las condiciones d a d a s y trazo d e su gráfica

Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene un diámetro cu yos extremos son A( -2, 3) y B(4, 5). Trace la circunferencia.

174

CAPÍTULO 3

RECTAS. PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN

Solución El punto medio mee del segmento de recta de a tro de la circunferencia. Véase Vi »m la Figura 3.34. Si Q k jh la circunferencia, jircunferencia, entonces ’Csel ■2 + 4

3 + 5

2

2

= 1

=4

El centro está en C( 1,4). El radio de la circunferencia n a» ya sea como | CA | o como | CB\ . Si r = | G4| , entonces ^ r = V (1 + 2 Y + (4 - 3 )2 = V io Una ecuación de la circunferencia es, por tanto, (x - l )2 + (y - 4 )2 = 10 x 2 + y 2 - 2x - Sy + 7 = 0 A fin de trazar la circunferencia, primero se resuelve laeco* para y, tratándola como una ecuación cuadrática en y:

y 2 - Sy + (x2 - 2x + 7) = 0 De la fórmula de la ecuación cuadrática donde a = 1, b c = x 2 - 2x + 1, se tiene —b ± y / b 2 — 4ac y = ----------- S — = - ( - 8 ) ± V ( - 8)2 ~ 4(1)U 2 - 2x + 7)

2 ( 1) = 8 ± V 6 4 - 4 x 2 + 8 x - 28 2 8 ± V 3 6 + 8 jc - 4 x 2

2 = 8 ± 2 V 9 + 2x - x 2

2 = 4 ± V 9 + 2x - x 2 Al trazar las gráficas de y

m 4 + V 9 + 2jc - x a

y

y = 4 ' ^ +

en el mismo rectángulo de inspección se obtiene aparece en la Figura 3.35.

la circu»11

3 .4

CIRCUNFERENCIAS

175

La ecuación (x - h ) 2 + (y - k ) 2 = r 2 se conoce como forma de centro-radio* de la ecuación de una circunferencia. Si se eliminan pa réntesis y se reducen los términos semejantes, se obtiene x 2 + y 2 — 2 hx - 2lcy + (h 2 + k 2 + r 2) = 0 Si se sustituye D = - 2 h, E = -2 k y F = h2 + le1- r2, esta ecuación queda como x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 la cual se llama form a general de la ecuación de una circunferencia. Debido a que cada circunferencia tiene centro y radio, la ecuación pue de presentarse en la forma centro-radio, y de aquí transformarla a la forma general, como se hizo en el ejemplo 1. Si se parte de la ecuación de la circunferencia en la forma general, se puede escribir en la forma de centro-radio completando cuadrados. El ejemplo siguiente muestra el procedimiento.

► EJEMPLO 2

D eterm inación d e l centro y radio d e una circunferencia a partir d e su ecuación

Encuentre el centro y el radio de la circunferencia, cuya ecuación es x 2 + y 2 + 6 * - 4y - 23 = 0

Solución

La ecuación dada puede expresarse como

(x 2 + 6 x) + ( y 2 - 4y) = 23 Completando los cuadrados de los términos entre paréntesis y agre gando 9 y 4 en ambos lados de la ecuación, se tiene (jc2 + 6x + 9) + ( y 2 - 4y + 4) = 23 + 9 + 4 (x + 3) 2 + ( y - 2 ) 2 = 36 Esta ecuación está en la forma centro-radio; por lo quees la ecuación de la circunferencia con centro en (-3, 2 ) y radio 6 . m Existen ecuaciones de la forma x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 cuyas gráficas no son circunferencias. Suponiendo que cuando se completan los cuadrados se obtiene (x - h )2 + ( y - k )2 = d

donde d < 0

No hay valores reales de x y y que satisfagan esta ecuación;es decir, la ecuación no tiene gráfica. En tal caso se establece que la gráfica es el conjunto vacío. Véase el ejercicio 32. Otros nombres para esta forma son: estándar o canónica.

_____i__

■

■

■

■

■

■

■

■

■

_____________________

176

CAPÍTULO 3

RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN DE EIES

Si al completar cuadrados se obtiene (x

I I

h )2 + (.y - k)'

0

los únicos valores reales que satisfacen ésta ecuación SOíUsfcy. Esto indica que la gráfica consta de un simple punto (h, k) ejercicio 31. En Cálculo aprenderá cómo encontrar la ecuación de lared» gente a una curva general en un punto de dicha curva. La definjJí una recta tangente requiere del concepto de límite estudiado enCfe lo. Sin embargo, para una circunferencia, la definición de geometría^ establece que la recta tangente en el punto P de una circunferencia? recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto.

► EJEMPLO 3

Determinación de la ecuación de la rtttt ta n g en te a una circunferencia en unpun*

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2 + y 2 - 6x - 2y

15 = 0

en el punto (6 , 5). Trace la circunferencia y la recta tangente enel» mo rectángulo de inspección.

Solución Al escribir la ecuación de la circunferencia enlaf
ácidos 9

(x - 3) 2 + ( y - l ) 2 = 25 P(6,5)

De esta ecuación, el centro de la circunferencia está en C(3, l)y^ dio es 5. La Figura 3.36 muestra la circunferencia y un trozodeUff au+, ta tangente en (6 , 5). Si m l es la pendiente de la recta que pas«^ c # CyP. mi =

6 - 3

4 3 FIGURA 3.36

4.

s

s

:

De la geometría plana, se sabe que la recta tangente es P61^ , ¡t^ I la recta que pasa por C y P . Por tanto, si m2es la pendiente H tangente, N il W2/W1 = —1 m2

© -

-1

»

3 .4

CIRCUNFERENCIAS

177

De la forma de punto-pendiente de la ecuación de la recta que pasa por (6, 5) con pendiente - se tiene la ecuación requerida y

*) Véase ¿

4y - 20 = -3 a: + 18

la recta Ut lefmicióa¿; lo en CálcL>me tría piar

erenciaes*

i rtcfa m punto

3jc + 4y - 38 = 0 [-10.20] por [-5, 15] y = l + V25 —(x —3)* y

_ 3 + I£ y s l -V 25-(x-3)* y y, = = -2jc 4 2 FIGURA 3.37

La Figura 3.37 muestra la circunferencia y la tangente trazadas en el mismo rectángulo de inspección. 4

B Z fíS B IB k En los ejercicios 1 a 8, dibuje la gráfica de la ecuación.

:ia

5 = _ 2 (x + 6 )

1.

(a) y — V 4 — x 2 (c) x 2 + y 2 = 4

(b) y = ~ V 4 — x 2

23. El diámetro tiene como extremos los puntos (3, -4 ) y (7,2).

|2. (a) y = V 25 - x 2 te en el mis (c) x 2 + y 2 = 25

(b) y =»;«*}/25 - x 2

24. El diámetro tiene como extremos los puntos (-1, -5) y (4, -6).

|3. 9x2 + 9 y 2 =

4. 4 * 2 + A y2 = 1

En los ejercicios 25 a 30, encuentre el centro y el radio de la circunferencia. Dibuje la circunferencia

en la

1

; 5. (x — 3 )2 + (y + 4 )2 = 16

25. x 2 + y 2 — 6x — 8y + 9 = 0

6. (x + l )2 + (y - 5)? = 36

26. x 2 ■¥ y 2 - \0 x - lOy + 25 * 0

7. [x + 4 )2 + y 2 = 1

27. x z + y 2 + 2x +

lOy

+ 18= 0

28. x 2 + y 2 + 6x —

1=

0 5?0

8. x 2 + (y - 2 f = 9

En los ejercicios 9 a 14, trace la gráfica de la ecuación. 9. x 2 + y 2 = 36 3, i) y el* ue p3*

11. 4jc2 + 4 y 2 = 81

29. 3*2 + .3y2 + 4 y

-7

10. x 2 + y 2 k 16

30. 2 x 2 + 2y2 - 2x

+ 2y + 7 = 0

12. 9x 2 + 9 y 2 = 49

31. Demuestre que la gráfica de la ecuación

U + 2 )2 f j y - > 3 )2 =?100 14. (x - 4 )2 + (y + 7 )2 = 64

x 2 + y 2 + 4x + lOy + 29 = 0 es un punto.

[En ¡os ejercicios 15 a 20, determine la ecuación de la ucircunferencia con centro e n C y radio r. Escriba la ecua ción en la forma de centro-radio y en la forma general. (Trace la circunferencia.

d e *3

15. C(4, - 3 ) , r = 5

16.C(0, 0), r = 8

17. C ( - 5, - 1 2 ) , r = 3

18. C ( - \ , 1), r

= 2

19. C(0, 7), r = 1

20. C<- 3 , Q), r

,* 4

En ¡os ejercicios 21 a 24, encuentre la ecuación de la Circunferencia que satisfaga las condiciones dadas. Wrace la circunferencia

32. Demuestre que la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 + Ix - 6y + 30 * 0 es el conjunto vacío. En los ejercicios 33 a 38, determine si la gráfica es una circunferencia, un punto o el conjunto vacío. 33. x 2 + y 2 — 2x + lOy + 34. x* + y 2 + 2x —4y + 5

19 = 0 = 0

35. x 2 + y 2 - IOx + 6y + 36 = 0 36. 4 x 2 + 4,y2 + 24* — 4y + 1 = 0

21. El centro está en (1,2) y pasa por el punto (3, -1).

37. 2*2 + 2y2 - 2x + 6y +

5 = 0

22. El centro está en (-3 ,4 ) y pasa por el punto (2,0).

38. 9 x 2'i4 9y 2 + 6x - 6y +

5 = 0

.

■

178

CAPÍTULO 3 RECTAS. PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN PE EJ1S

dv) En los ejercicios 39 a 42, encuentre la ecuación 13 de la recta tangente a la circunferencia en el punto P. Trace la circunferencia y la recta tangente en el mismo rectángulo de inspección.

cómo se puede determinar el centro y el a* mencionada circunferencia.

39. x 2 + y 2 * 25; P ( - 4. 3) 40. 16jt2 + 16y 2 * 25; P(j, - 1 ) 41.

+ .y2 - 4x + 6y - 12 = 0; P(5, 1)

42. x 2 + y 2 + 14* - 8.y - 35 = 0; P ( - l , - 4 ) 43. Emplee geometría analítica para demostrar que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es un án gulo recto. 44. Use geometría analítica para demostrar que una recta que parte del centro de cualquier circunferen cia bisectando cualquier cuerda, es perpendicular de la cuerda. 45. ¿Qué desigualdad que relaciona a D, E y Fes nece saria para que la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

sea una circunferencia? 46. A partir del origen, se dibujan cuerdas de la circun ferencia x 2 + y 2 + 4x = 0

Demuestre que el conjunto de puntos medios de es tas cuerdas es una circunferencia. 47. La circunferencia que circunscribe un triángulo contiene los tres vértices del triángulo. Explique

3.5

48. Utilizando la explicación del ejercicio 47, ^ tre el centro y el radio de la circunferencia cunscribe al triángulo cuyos vértices soo(-31 (4, -1 ) y (5,2).

49. Describa el conjunto de puntos (x, y) enK2mk cuales (a) x 2 + y 2 £ 1 (c) x 2 + y 2 > 4

(b) 1 < x 2 +y*í 4

50. Basándose en el hecho de que ab = 0 si yifiii a = 0 o b = 0 , escríba la ecuación de cadiat las gráficas siguientes: (a) la gráfica queeos de todos los puntos en cualquiera de dosorcéI rencias, las cuales tienen su centro endorp i una tiene radio 2 y la otra radio 3; (b) larfc I que consiste del origen y todos los puntosahí I cunferencia unitaria cuyo centro está enelorif»I

TRASLACIÓN DE EJES OBJETIVOS

1. 2. 3. 4.

Aprender las ecuaciones de traslación de los ejes. Trasladar los ejes para simplificar una ecuación. Aprender las formas estándar de la ecuación de una parata I Encontrar las propiedades de una parábola a partir desU ecuación en forma estándar y trazar la parábola a partirá estas propiedades. 5. Obtener la gráfica de una ecuación a partir de la gráfica otra ecuación mediante una adecuada traslación de ej&

La forma de una gráfica no es afectada por la posición c .j coordenados, pero su ecuación sí. Por ejemplo, una circuí» radio 3 y centro en el punto (4, -1 ) tiene la ecuación

3.5 TRASLACIÓN PK EJtS

170

(.x - 4 ) 2 + (y + l ) 2 =8 9 Sin embargo, si ios ejes coordenados son elegidos de tai manera que el origen sea el centro, la misma circunferencia tiene una ecuación más simple x2 + y2 = 9

y'

Si pueden seleccionarse los ejes a voluntad, entonces, general mente se hará de tal forma que las ecuaciones sean lo más simple posi bles. Sin embargo, si los ejes están dados, es deseable encontrar una ecuación más sencilla de una gráfica particular relacionada a un con junto de ejes diferentes. Si estos ejes diferentes son elegidos paralelos a los originales, se dice que ha habido una traslación de ejes. En particular, considérese que los ejes x y y son trasladados a los nuevos ejes x ' y y \ teniendo como origen (h, k) con respecto a los ejes dados. También, supóngase que los números positivos se encuentran en el mismo lado del origen en los ejes x ' y y \ como en los ejes x y y. Véase la Figura 3.38. Un punto P en el plano que tiene las coordena das (x, y) con respecto a los ejes coordenados dados, tendrá las coorde nadas (x y f) con respecto a los nuevos ejes. Para obtener las relaciones entre estos dos conjuntos de coordenadas, se dibujan dos rectas a través de P una paralela a los ejes y y y ' y otra paralela a los ejes x y Se observa que la primera recta intersecta el eje x en el punto A y el eje x f en el punto A \ y la segunda recta intersecta el eje en el punto B y el eje y' en el punto B'. Estas rectas están mostradas en la Figura 3.38. Con respecto a los ejes x y y, las coordenadas de P son (x, y), las coordenadas de A son (jc, 0) y las coordenadas de A' son (x, k). Dado (\MtAFP = A P - Á A \

y\ = y - k Con respecto a los ejes x y y, las coordenadas de B son (0, y), y las coordenadas de B' son (h, y). Debido a que B'P = BP - BB\ x' ~ x - h Ahora se establecerán estos resultados formalmente.

Ecuaciones de traslación de ejes Si (x, y) representa un punto P con respecto a un conjunto de ejes dado, y (x\ y ') es la representación de P después de que los ejes son trasladados a un nuevo origen que tiene coordenadas (h, k) con respecto a los ejes dados, entonces x' = x - h

y

y* = y - k

180

CAPÍTULO 3 RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN P1 EJES

►

E JE M P L O

1

_

T ra s la c ió n d t lo s o jo s p a r a sim plificar

•c vación

“no

Dada la ecuación x 2 + y 2 - Ax + 6y - 3 = 0 traslade los ejes para que la ecuación de la gráfica con respecto aA y' no contenga términos de primer grado.

Solución

Se reescríbe la ecuación como:

(x 2 - Ax) - ( y 2 + 6y) = 3 Al completar los cuadrados de los términos entre paréntesis, agregasdo 4 y 9 a ambos miembros de la ecuación, se tiene (x2 -r Ax + 4) + ( y 2 + 6y + 9) = 3 + 4 ♦ 9 FIGURA 3.39 (x - 2) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 Si se considera x' = je - 2 y / = y + 3, se obtiene x '2 + y n * 16 La gráfica de esta ecuación con respecto a los ejes x' y y' es uoior cunferencia con su centro en el origen y radio 4. Debido a las suso» I ciones de x ’ = x - 2 y y ’ = y + 3 el resultado es una traslación decjoi un nuevo origen (2, -3), la gráfica de la ecuación original con respeac I a los ejes x y y es una circunferencia con centro en (2, -3) y radio* Este resultado está de acuerdo con la discusión de la circunferenciaa I la Sección 3.4. La Figura 3.39 muestra la circunferencia con arota | conjuntos de ejes. < Ahora, se aplicará la traslación de ejes para encontrar la ecuacn I general de una parábola que tenga su vértice en el punto {h, kl sieadc I su eje vertical u horizontal. En particular, considérese que el ejees vertical. Los ejes x ' y y ’ deberán tener el origen en V{h, k). VAwk Figura 3.40. Con respecto a los ejes x ’ y y ’ la ecuación de la paribob en esta figura es x /2 = Apy’ Para obtener la ecuación de esta parábola con respecto a los ejes*) ' se debe recordar que, x ' * x - h y y ' = y - k, por lo que se obtiene ( x - h ) 2 * 4p ( y - k) En la Figura 3.41 el eje de la parábola es horizontal, y el véit^ está en V(h, k). Por un argumento similar, esta ecuación con résped01 los ejes x y y es ( y - ¿ ) 2 = Ap(x - h) Se han obtenido las formas estándar de la ecuación de una p a rá b o la

3.5

TRASLACIÓN PE EJES ___181

Formas están d ar de la ecuación d e un a p a rá b o la Si p es la distancia dirigida del vértice al foco, la ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y con su eje vertical es (x - h ) 2 = 4p ( y - k) Una parábola con el mismo vértice y con su eje horizontal tiene la ecuación (y -

k)2

= 4 p(x -

h)

La gráfica de cualquier ecuación cuadrática de la forma y = a x 2 + bx + c

( 1)

donde a, b y c son constantes y a * 0 es una parábola cuyo eje es verti cal. Esta aseveración puede ser comprobada demostrando que (1) es equivalente a una ecuación de la forma ( x - h ) 2 = 4p{ y - k) Se le pedirá hacer esto en el ejercicio 49. La ecuación en el ejemplo si guiente es un caso especial de ( 1), donde a = - ± , b = l y c = 6.

► EJEMPLO 2

D eterm inación d e las p r o p ie d a d e s d e u n a p a rá b o la a p artir d e su ecu a ció n y d ib u ja r la p a rá b o la a p a rtir d e esta s p r o p ie d a d e s

Dada la parábola que tiene la ecuación y = — x2 + x + 6 4 encuentre el vértice, la ecuación del eje, el foco y los extremos del lado recto. Dibuje la parábola a partir de estas propiedades y comprue be la gráfica obtenida en una graficadora. Solución

La ecuación dada es equivalente a 4y - - x 2 + 4jc + 24

x 2 — 4x — - 4 y + 24 Al completar el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación sumando 4 a cada lado, se tiene x 2 - 4x + 4 = ~4y + 24 + 4

(x - 2) 2 = - 4 y + 28 (x - 2 )2 = - 4

(y -

7)

182

CAPÍTULO 3

RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN D I EJES

Esta ecuación es de la forma directriz

t

(°, 6) i

J» / ' 1 b

í Y ( 2 . 7)

y

- 8

(x - h)2 = 4p(y - k)

1»r/ ------------------ — con h = 2, k = 7, y p = 6)

h F |(2 ,6 )\ • 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ !

5

FIGURA 3.42

\

Por tanto, su gráfica es una parábola vértice en (2, 7), y el eje es vertical. En consecuencia, el cJe tientLI ecuación x = 2. Dado que p < 0, la curva abre hacia abajo. Adeni* I foco es el punto sobre el eje, 1 unidad abajo del vértice; o sea, eli! I está en (2, 6). Debido a que la longitud del lado recto es 4p =4 1 extremos están 2 unidades a la derecha y a la izquierda del focoeáwfl puntos (4 , 6 ) y (0 , 6 ). La Figura 3.42 muestra la parábola dibujada a partir de estaspj piedades. Con el uso de la graficadora puede verificar esta gráfica. Si x y y se intercambian en (1), se tiene la ecuación x = a y2 + by + c

La gráfica de cualquier ecuación de esta forma es una parábolacoJ eje es horizontal. Este hecho puede verificarse demostrando que(2iJ equivalente a una ecuación de la forma (y $ k)2 = 4p(x - h)

► EJEMPLO 3

Determ inación d e las propiedades de une pará b o la a partir d e su ecuación y dibujar la p a rá b o la a partir de estas propiedadu

Siga las instrucciones del ejemplo 2 para la parábola cuya ecuacitoo x = 2y 2 + Sy + 11 Solución

La ecuación dada es equivalente a

2y 2 + 8y = x - 11 2 (y 2 + 4y) - x - 11 Para completar el cuadrado de la expresión dentro del. debe sumar 4 a y 2 + 4y. Por lo que en realidad se está agrega^0 lado izquierdo, así que se deberá agregar 8 al lado derecho, yse& 2 ( y 2 + 4y + 4) = x — 11 + 8 2(y + 2 ) 2 = x - 3 (y + 2 y = ~ ( x - 3) Esta ecuación es de la forma ( y _ k)2 = 4p(x - h) con h = 3, k - -2 y p = j . Por tanto, la parábola tiene su vérticeen(* eje es la recta horizontal y - -2, y como p > 0 , abre a la ^ virtud de que el foco está | de unidad a la derecha del vértice

\

3.5

TRASLACIÓN DE EJES

183

ce está en el punto (y, -2). La longitud del lado recto es | 4p | = por lo que los extremos del lado recto están, j de unidad por arriba y deba jo del foco, en los puntos (y, - J) y (y, - J). La parábola dibujada a partir de estas propiedades aparece en la Figura 3.43. Para trazar la parábola en la graficadora, primeramente se escribe la ecuación como 2y 2 + 8y + (11 - x) =* 0

enseguida se resuelve para y en términos de x mediante la fórmula cua drática, donde a = 2, ¿>= 8 y c = ( ll-J t) . Se obtienen dos valores para y y = -2 + -W 2x

y

2

Cuando se trazan las gráñcas de estas dos ecuaciones en el mismo rec tángulo de inspección, se obtiene la parábola de la Figura 3.43. -4 En los dos ejemplos siguientes, se aplicará la traslación de ejes para otras gráficas.

► EJEMPLO 4

Obtención d e la gráfica d e una ecuación a partir d e la gráfica de otra m ediante una adecuada traslación de e¡es

A partir de la gráfica de y = | x | y unaadecuada traslación deejes, obtenga la gráfica de y = | x - 4 | - 6. FIGURA 3.44

Solución La gráfica de y = | x | que aparece en la Figura 1.42 de la Sección 1.5, se reproduce aquí en la Figura 3.44. La ecuación

y = I* “ 4 I ~ 6 es equivalente a

y + 6 = Ix - 4 | Para obtener la gráfica de esta ecuación, se consideran x' = X - 4

y

y' = y

+ 6

Hemos trasladado los ejes a un nuevo origen (4, - 6), por lo que la ecuación queda como y* = | x? | . La gráfica de esta ecuación con res pecto a los ejes x? y / es igual a la que aparece en la Figura 3.44 con respec to a los ejes x y y. Así se obtiene la gráfica mostrada en la Figura 3.45. M

FIG U RA 3.45

► EJEMPLO 5

Obtención d e la gráfica d e u na ecuación a partir de la gráfica de otra por m edio d e una adecuada traslación de ejes

Empleando la gráfica de y = j x 3 del ejemplo 4 de la Sección 1.5, con una apropiada traslación de ejes, obtenga la gráfica de la ecuación

18 4

CAPÍTULO 3

RECTAS. P A R Á B O L A S, C IRCU N FEREN CIAS Y TRASLACIÓ N DE EJES

y = Solución

+ 5 )3 + 3 La Figura 3.46 muestra la gráfica de v = - ¿ i * j

2 * • L'dccujflL

y = j ( x + 5 )3 + 3

es equivalente a y - 3 =

+ 5 )3

Para obtener la gráfica de esta ecuación, se considera x' = x + 5

y

y'

- y -

3

Se han trasladado los ejes a un nuevo origen (-5, 3), por lo queb ecuación obtenida es y ' = j x '3. La Figura 3.47 muestra la gráfica! esta ecuación con respecto a los ejes x ' y y ' . Es la misma que lagrifa de la Figura 3.46 con respecto a los ejes x y y. 11 FIGURA 3.46

y'

y

fi

K h

kx

fr Ir

FIGURA 3.47

EJERCICIOS 3.5 En los ejercicios 1 a 4, traslade los ejes para que la ecuación de la gráfica con respecto a los nuevos ejes no contenga términos de prim er grado. Dibuje los ejes originales y los nuevos así como la gráfica correspon diente. 1. x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0 2.

2x - 8y + 1 = o

3. x 2 + y 2 + x - 2 y + 1 *= 0 4. x 2 + y 2 - JO* + 4y + 13 = 0

En los ejercicios 5 y 6, traslade los ejes p^0^ ecuación de la gráfica con respecto a los n y y ' no contenga ni términos de primer

3 .5

términos constantes. Dibuje los ejes nuevos y los origi nales así como la gráfica correspondiente. 5, i 2 - 4x - 8y - 2 8 * O

i 2 + 4* + 2y = O En los ejercicios 7 y 8, traslade los ejes para que la ecuación de la gráfica con respecto a los nuevos ejes x ' y y’ no contenga términos de primer grado en y ’ y tam poco términos constantes. Dibuje los ejes originales y los nuevos así como la gráfica correspondiente.

*. 2y2 - 2x - 4y + 3 ¿ O En los ejercicios 9 a 24, para la parábola dada, deter mine {a) el vértice, (b) la ecuación del eje, (c) el foco, (d) la ecuación de la directriz, y (e) los extremos del lado recto, (f) A partir de estas propiedades dibuje la parábola y compruebe la gráfica empleando la gra.ficadora.

11. y = - x 2 + 4x — 5 12. y = x 2 + 6 x — 2 1 13. x ~ y1 — 6y =

—y 2

29. y = J x |; y = ¡x — 2j 30. y =

|

je|

;

y m |x + 3 |

31* y — M ; y = M + 3 33. y = |x |; y = |x + 4 |

—5

34. y = | x | ; y = |x - l |

+6

35. y = x 3; y = (x - 4)3 36. 2y = —x 3; 2y + 2 = —x 3 37. y 8=x 3; y = (x + l)3 +

1

38. 2y = - x 3; 2y = - ( x - 4)3 + 4 40. y = V x; y = V x + 3 - 2

10. y = x 2 + 4x

x

En los ejercicios 29 a 46, haga lo siguiente: (a) dibuje la gráfica de la primera ecuación; (b) a partir de la gráfica obtenida en el inciso (a) y una adecuada traslación de ejes, dibuje la gráfica de la segunda ecuación, (c) Compruebe las gráficas de los incisos (a) y (b) trazándolas en el mismo rectángulo de inspección.

39. y = V x; y = V x - 2 + 4

9. y = x 2 - 4

14.

18 5

32. y - |x j; y = \x\ - 2

7. y 1 + 6x + 7y + 39 = O

1

TRASLAC IÓ N DE E JES

1

+

41. y = x 2; y = (x -

4)2

42. y = x 2; y = (x +

3)2

43. y = x 2; y = x2 +

3

44. y = x 2; y = x 2 —

4

45. y :S'x2;y = (x + l)2 - 5

115. x 2 - 6x - 4 y + 13 - O

46. y = x 2; y = (x - 2)2 + 1

16. x 2 - 4x + 8y + 28 = O

47. Dada la parábola que tiene la ecuación

117. y2 + 4x + \2 y = O y = ax2 + bx + c

118. y* - 12x - 14y + 25 = O

con a * 0 , encuentre las coordenadas del vértice. 119.

L

v

=

-rx 2

1 2

rL ym r

+

1

4x

-

5 20. y

3

2x ~ 2

b . jt * - 2 y 2 - 8 y - 5

-

t t *

16

2

+

22. x * 2 y 2 + lOy + 3

48. Encuentre las coordenadas del foco de la parábola del ejercicio 47. 49. Demuestre que la ecuación y = a x2 + bx + c es equivalente a la ecuación de la forma (x - h )2 =

24. x = - ^ y 2 - - y - 2

4p(y - k) resolviendo la segunda ecuación para y. 50. Si una parábola tiene su foco en el origen y el eje x

En los ejercicios 25 a 28, trace la parábola que tiene la licuación ecuación dada |25. y2 - 4x - 2 y + 9 [26, 4y2 - x + I 6 y + 12

O

127. 5y2 - 4x + lOv + 17 = 0 §28.

+ %x - 12y + 20 * O

es su eje, demuestre que deberá tener una ecuación de la form ay 2 = 4kx + 4k2, k * 0.

51. (a) Demuestre que la ecuación y = x 2 + bx + c pue de escribirse en la forma y = (x - h) 2 + k. (b) Ex plique cómo dibujar la gráfica de y = (x - h ) 2 + k a partir de la gráfica de y = x2. En la explicación re suelva un ejemplo particular.

18 6

CAPÍTULO 3

RECTAS, PARÁBO LAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN DE EJES

REVISION DEL CAPITULO i ► V IS IÓ N RETROSPECTIVA 3.1

3.2

33

Antes de determinar ecuaciones de rectas, se defi nió la pendiente de una recta, y entonces se dibu jaron rectas y se obtuvieron sus pendientes. Se determinaron dos formas importantes de la ecua ción de una recta, la forma de punto-pendiente y la forma de pendiente-intercepción. Se emplearon estas dos formas y los teoremas que implican pen dientes de rectas paralelas y pendientes de rectas perpendiculares para encontrar ecuaciones de rec tas que tienen ciertas propiedades.

3.4

Se trataron sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y se determinó tanto gráfica como algebraicamente si las ecuaciones eran (i) consis tentes e independientes, (ii) inconsistentes, o (iii) dependientes. Se obtuvieron las soluciones alge braicas mediante los métodos de sustitución y eli minación. También se resolvieron sistemas de dos ecuaciones lineales con recíprocos de las incógni tas. En los ejemplos y ejercicios se presentaron enunciados de problemas que tienen un sistema de dos ecuaciones lineales como modelo matemático

Se siguió el formato utilizado para parábolases* estudio de las circunferencias. A fin de trazar^ circunferencia en la grafícadora, primero se vió la ecuación de la circunferencia para y, cual resultaron dos ecuaciones en las que sea presa y en términos de x. La gráfica de cada« de estas ecuaciones fue una semicircunferená se obtuvo la circunferencia al trazar las dossot circunferencias en el mismo rectángulo deinspción.

3.5

Se simplificaron ecuaciones por medio delab lación de ejes. Para obtener la forma estándardeh ecuación de una parábola, se aplicó la trasto! de ejes. Por medio de esta ecuación se eocomron las propiedades de la parábola y se ditajfk parábola a partir de estas propiedades. També se obtuvieron gráficas de algunas ecuacionestfr sándonos en las gráficas de ecuaciones mu)» pies y una adecuada traslación de ejes.

propiedades de las parábolas a partir de suseth ciones, y ecuaciones de las parábolas por de sus propiedades. Se dibujaron y trabaron bolas a partir de sus ecuaciones.

La discusión de parábolas incluyó la definición y propiedades de una parábola. Se encontraron las

► EJERCICIOS DE REPASO En los ejercicios 1 y 2, haga lo siguiente: (a) dibuje la recta que pasa p o r los dos puntos; (b) determine la pendiente de la recta; (c) encuentre la ecuación de la recta. 1« (1, -3 ) y (4,5)

7. Encuentre la ecuación de la recta que pasap*^| |j& punto (-3, -2) y es paralela a la recta cuya& ción es Ix - 3y - 4 = 0. Dibuje ambas rectas® mismo sistema coordenado.

2. (-2, -5 ) y (6 , -7)

En los ejercicios 3 y 4,haga lo siguiente: (a) dibuje la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m; (b) encuentre la ecuación de la recta. 3. P(5,-2 );m =

4. P (-2, l);m = \

En los ejercicios 5 y 6, haga lo siguiente: (a) encuentre la pendiente y la intercepción y de la recta que tiene la ecuación dada, (b) dibuje la recta. 5. 2x - 5y - 10 = 0

6 . 2x + 3y + 12 =

0

8. Determine la ecuación de la recta que pasa punto ( - 1, 6 ) y es perpendicular a la

ecuación es 4* + 2y - 5 = 0. Dibuje ambas en el mismo sistema coordenado. 9. Compruebe que las rectas que tienen lastf ^ l nes 2x + 5y + 20 = 0 y 5jc- 2y - Í O ^ 500” pendiculares, y dibuje sus gráficas.

10. Compruebe que las rectas que tienen I*5 J nes 2 x - 3j> + 12 = 0 y 4 * - 6y - 3 = 0sonPJ las, y dibuje sus gráficas.

V

R EV ISIO N DEL CAPITULO 3

11.

Encuentre la abscisa del punto cuya ordenada es -3 y para la cual la recta que pasa por ese punto y el punto (2, 7) es paralela a la recta que tiene la ecuación 3* - 4y = 12.

12. Empleando pendientes, haga el ejercicio 39 de los ejercicios de repaso para el Capítulo 1. En los ejercicios 13 y 14, utilice las pendientes para de terminar si los tres puntos se encuentran en la misma recia. 13. (-2,-3), (-1 ,4 ), (1,17) 14. (0,-3), (1,4), (2,11)

27. x 2 - 16y = 0

28. x 2 +

29. 4x 2 + y := 0

30. 3x2 -- 8y = 0

31. y 2 + 10* = 0

32. y 2 -

33.

34. W - 4y + 8 = 0

En los ejercicios 19 a 22, encuentre, algebraicamente, el conjunto solución del sistema utilizando cualquiera de los métodos, ya sea de sustitución o de eliminación. Verfique la solución trazando la gráfica del sistema de ecuaciones. 2x + y + 1, * 0 19. [3x + 2y + 4 » 0 21.

t e - 5y = 7 6 * - 15y = 14

20

3x + . x -

4y - 6 = 0 2y + 8 = 0

3* 2* -

2y + 7 = 0 3y + 8 = 0

22.

En los ejercicios 23 y 24, encuentre, algebraicamente, el conjunto solución del sistema.

24.

En los ejercicios 25 y 26, trace las gráficas de las tres ecuaciones en el mismo rectángulo de inspección. ¿Son tas ecuaciones consistentes o inconsistentes? Verifique

- y - 3 = 0

35. y 2 - x + 6 = 0

36. y 2 + 8* - 12 == 0

37. y 2 - x - 8y =! o

38. x 2 - y

X 2

+

6 x

-

+

10* s= 0

-4 y + i = 0

40. 4y 2 - x + 16y + 21 = 0 41. y = - —x 2 + —x + 8 4 8 42.

x

6

= - - y 2 -

- y 3

+ 43

En los ejercicios 43 a 48, encuentre la ecuación de la parábola que tiene las propiedades dadas, dibuje la parábola. Compruebe la gráfica en la graficadora. 43.

Foco ( 0 , 2); directriz, y * -2 .

44.

Foco ( - 4 , 0 ) ; directriz, x = 4 .

45.

Vértice, el origen; abre hacia la izquierda; pasa por el punto ( - 3 , 6 ) .

46.

Vértice, el origen; abre hacia arriba; pasa por el punto (-5,2).

47.

Foco, el origen; directriz, y =

6.

48.

Foco, el origen; directriz, x -

-3 .

4 .1 = 4 23.

X 2

o

18.

4x + 2y = 5 8x - 2y = 1

En los ejercicios 27 a 42, para la parábola que tiene la ecuación dada, encuentre (a) el vértice, (b) el eje, (c) el foco, (d) la ecuación de ladirectriz, y (e) los extremos del lado recto, (f) Dibujela parábola y compruebe la gráfica en una graficadora.

39. 2y = 4x - 6 17. 6x = 3y + 9

3* + 4y = 1 26. • l x - 2y = 9 4x - 5y = 25

ii H

16.

3x | | 2y = 4 9x - 6y = 8

Í3x + 2y = 8 25. <2* - 3y = 14 (5x + 6y = 8

o II

4y + 3y = 6 15. (2x + y = 4

algebraicamente la respuesta: para demostrar que son inconsistentes, resuelva dos ecuaciones del sistema y demuestre que ningún miembro del conjunto solución satisface la tercera ecuación; para demostrar que son consistentes, encuentre el conjunto solución.

VO

En los ejercicios 15 a 18, trace la gráfica del sistema de ecuaciones. Clasifique las ecuaciones como (i) con sistentes e independientes, (ii) inconsistentes, o (iü) de pendientes. Si las ecuaciones son consistentes e independientes, determine el conjunto solución del sistema por medio de las gráficas, y verifique las respuestas sustituyéndolas en las dos ecuaciones.

18 7

En los ejercicios 49 a 56, encuentre el centro y radio de la circunferencia. Dibuje la circunferencia, y com pruebe la gráfica en una graficadora.

18 8

CAPITULO 3

RECTAS, P A R Á B O L A S, C IRCU N FEREN CIAS Y TRASLACIÓ N DE EJES

50. 2 x 2 +

49. x 2

+ y 2= 9

51. x 2

+ y 2- 6x

+

5

52. x 2

+ y 2- 8y

m

0

2y 2 = 1 =

tenida en el inciso (a) y una traslación ¿ adecuada, dibuje la gráfica de la segunda tcuacj 0 Compruebe las gráficas de los incisos (a)y do las en el mismo rectángulo de inspeccién.

53. x 2 + y 2 + 4 x - 6 y - 3 =

0

75. y

= |x | ; y = | x - 3 | + 2

54. x 2 + y 2- 8x + 4y + 8 =

0

76.

=| x | ; y = | x + 2 | - 3

y

55. 3x 2 + 3 y 2 + 4x - 4 = 0

77. y = Vx; y = Vx + 5 - 8

56. x 2 + y 2 - 14x + I6y + 32 = 0

78. y = 2 x 2; y * 2(x - l ) 2 + 4

£/i ejercicios 57 y 58, determine si la gráfica es una circunferencia, un punto, o el conjunto vacío. 57. x 2

+ y 2- 2x + 2y + 4 =

58. x 2

+ y 2+ 6x + 4y + 13 = 0

0

En los ejercicios 59 a 62, encuentre la ecuación de la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas y dibuje la circunferencia. 59. Centro en (3, -5 ) y radio 2. 60. Centro en (-2 ,5 ) y tangente a la recta x = 7. 61. Diámetro cuyos extremos son (2, -1 ) y (6 , -5). 62. Centro en (4,3) y pasa por el punto (-7, -1). En los ejercicios 63 y 64, halle la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto P. Trace la circun ferencia y la tangente en el mismo rectángulo de inspec ción. 63. x 2 + y 2 - 2x + 6y - 15 = 0 ; P ( 4 , - 7 )

79. y 80.

y

7

= 2 x m \ y = 2(x - 4 )w - 6 = i - x 3; y = ^ (x + 3)3 + 7

9

SI . y = \ x * - . y = 4

9

4

+ 6) ‘ + 1

82. y = 4 x 1'4; y = 4(x - 5 )w -

2

En los ejercicios 83 a 86,los puntos A, B, CjDmk vértices de un cuadrilátero. Utilizando pendiaiB termine si el cuadrilátero es un rectátgé paralelogrcuno, o un trapezoide. Dibuje el cuaéim 83. A (3,1), B (5 ,2 ), C (15,5), D (17,6) 84. A (-8 ,0 ), B (-3, -5 ), C (1,4), D (3.2) 85. A ( 3 , 1), B (2, -2 ), C (-1, -1 ),D (0,2) 86. A ( 2 , 13), B (-2 ,5 ), C (3, -1), />(7,7) 87. Encuentre la ecuación del bisector pop«tí* del segmento de recta entre los puntos(-1.® ( 3 , 2).

64. x 2 + y 2 + 8x + 4y - 80 = 0 ;/> (2 , 6 ) En los ejercicios 65 a 74, trace la gráfica que tiene la ecuación dada. 65. 3x 2 + 4y = 0

66 . 5x 2 - 16y = 0

67. 5y 2 - 12x = 0

68 . 7y 2 - 24x = 0

69. x 2 + y 2 = 10

70. 4x 2 + 4y 2 = 25

71. x 2 + y 2 - 2x + 6y + 1 = 0 72. x 2 + y 2 + 4x - 8y + 4 * 0 73. 3x2 - 12* - 2y + 10 = 0 74. 4y 2 - 3x + 16y + 4 = 0 En los ejercicios 75 a 82, haga lo siguiente: (a) dibuje la gráfica de la primera ecuación: (b) de la gráfica ob

88. Determine la ecuación de la recta que p**!** punto (5, -3 ) y es perpendicular a la rao ecuación es 2x - 5y = 1. 89. Halle la ecuación de la parábola que oeoe* tice en ( - 3 ,5 ) y su foco en (-3, -I)*

üá

90. Encuentre la ecuación de la parábola cuy« está en (5, 1), cuyo eje es paralelo al pfilJ por el punto (9,3).

En los ejercicios 91 a 96, resuelva el proble***^ trando un sistema de ecuaciones como matemático de la situación. Complete d escribiendo una conclusión. 91. Un hombre colocó sus ahorros en dos in” it*1 ;s . La tasa de interés de la inversión

REVISIÓ N DEL CAPÍTULO 3

10% y de la inversión B de 12%. El ingreso anual de las dos inversiones es de $3 760. Si la inver sión A fuera a 12% y la inversión B a 10%, su in greso anual sería de $3 720. ¿Cuál es la cantidad total de sus ahorros?

18 9

es 12 cm y la longitud de la base es 18 cm. Una sección del espejo formada por un plano perpen dicular a su eje es un círculo. Encuentre la circun ferencia de la sección plana circular si el plano perpendicular se halla a 3 cm del vértice.

92. En un supermercado que vende fruta por libra, una persona compra 3 Ib de naranjas y 6 Ib de to ronjas por un costo total de $ 6 , mientras que una

segunda persona paga $6.40 por 5 Ib de naranjas y 4 Ib de toronjas. ¿Cuál es el precio por libra de las naranjas y de las toronjas? 93. Un químico tiene una solución que es 50% ácido. Al ponerle agua, la solución reduce su contenido de ácido a 40%. Al agregar 500 cm 3 más de agua, la solución contiene sólo el 35% de ácido. Deter mine (a) ¿cuántos cm 3 de la solución al 50% de ácido tenía originalmente el químico?, y (b) ¿cuántos centímetros cúbicos de la solución ácida al 35% obtuvo el químico finalmente? 94. Una inversión produce un interés anual de $7 500. Si se invierten $5 000 más y la tasa es 1% menor, el interés anual es $6 500. ¿Cuál es la cantidad in vertida y la tasa de interés? 95. Los trabajadores A y B pueden completar un tra bajo juntos en 12 días. Si A trabaja sólo por 20 días y B termina el trabajo en sólo 6 días más. ¿Cuánto tiempo tomará a cada trabajador para ha cer el trabajo solo? Véase la sugerencia para el ejercicio 33 en la Sección 3.2. 96. Una mujer tiene cierta cantidad de dinero inverti da a una tasa de interés particular. Si ella tuviera $2 000 más invertidos a una tasa 2 % menor, de bería recibir el mismo interés anual. Si ella tuvie ra $2 000 menos invertidos y una tasa 3% mayor, también debería recibir el mismo interés anual. ¿Cuánto tiene ella invertido y a qué tasa? & los ejercicios 97 y 98, resuelva el problema encon trando la ecuación de una parábola como modelo Matemático de la situación. Complete el ejercicio escribiendo la conclusión. 97. Cualquier sección de un espejo parabólico forma da al pasar un plano por el eje del espejo es un segmento de una parábola, la altura del segmento

98. Un alambre se une 60 pie arriba del suelo a dos postes telefónicos distantes entre sí 180 pie, el ca ble cuelga en forma de parábola. Si a la mitad de la distancia entre los postes, el alambre está 50 pie arriba del suelo, encuentre la altura del alambre a 45 pie de distancia de cualquiera de los postes.

En los ejercicios 99 y 100, utilice la geometría analítica para demostrar el teorema de geometría plana dado. 99. Si las diagonales de un rectángulo son perpen diculares, el rectángulo es un cuadrado. 100. El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado.

Sumario .„ _ , 4.1 Funciones 4.2 Gráficos de funciones 4.3 Funciones cuadráticas ■4Funciones com o modelos 4 c p. . m atemáticos unc iones compuestas

4 .1

FUNCIONES

10 1

4.1 FUNCIONES OBJETIVOS

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Aprender el concepto intuitivo de función. Determinar el dominio de una función. Enunciar la definición formal de función. Calcular valores de funciones. Calcular cocientes diferencia. Encontrar la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones.

Debido a que el Cálculo está relacionado con funciones de números rea les, tales funciones son de interés primario para nosotros. A continua ción se introducirá el concepto de fondón de manera intuitiva. Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales a un conjunto Y de números reales, donde el número y es único para un valor específico de x. La Figura 4.1 muestra tal correspondencia, en este caso, los conjuntos FIGURA 4.1

X y Y están formados por puntos de una región plana.

El concepto de ñinción puede enunciarse de otra manera, intuiti vamente se puede considerar que el número real y del conjunto Y es una función del número real x del conjunto X, si existe alguna regla por medio de la cual se asigne un valor único de y a cada valor de x. Esta regla con frecuencia se determina por una ecuación. Por ejemplo, la ecuación y —x l

define la función para la cual X es el conjunto de todos los números reales y y es el conjunto de los números no negativos. El valor de y en Y asignado al valor de x en X se obtiene multiplicando x por sí mismo. La Tabla 1 proporciona el valor de y asignado a algunos valores par ticulares de x, la Figura 4.2 muestra la correspondencia para los núme ros en la tabla. Tabla 1 X: todos loa números reales

_________ _

Y números no negativos

FIGURA 4.2

-4 y = x2

16

0

16

Se emplearán símbolos como/, g y h para denotar una función. El conjunto X de números reales descritos anteriormente es el dominio de la función, y el conjunto Y de números reales asignados a los valores de x en X es el contradominio (o ámbito) de la función. Los números x y y son variables. Dado que los valores están asignados para x, por lo

192

CAPÍTULO 4 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

cual el valor de y es dependiente de la x elegida, x es la variohi pendiente y y la variable dependiente.

‘"i

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 La ecuación y = 2x2 + 5 define una función llamada función/. La ecuación proporcionalaie^j por medio de la cual puede determinarse un valor único deysiemJ que x esté dado; tal regla es: multiplicar x por sí misma, este prod«* se multiplica por 2, y se suma 5. El dominio d e /e s el conjuntode dos los números reales, el cual puede denotarse con la notaciónde»: tervalo como ( - oo, + oo). El valor más pequeño que y puede asumirá 5 (cuando x = 0). Entonces, el contradominio d e/es el conjuntodt& dos los números positivos mayores o iguales que 5, el cual es [5, +oo).i

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Sea g la función definida por la ecuación y = Vx 2 - 4 Debido a que los números están restringidos a los números reate.! es una función de x sólo para x > 2, o bien, x < -2 (o simplemente |jí > 2); para cualquier x que satisfaga alguna de estas desigualdades,* determina un único valor de y. Sin embargo, si X está en el inteni ( - 2, 2), se obtiene la raíz cuadrada de un número negativo y(te*!1 que y no sea un número real. Por tanto, se deberá restringirla | El dominio deges (-oo, - 2] U [2, + oo), y su contradominio es [0, +09) j Se puede considerar una función como el c o n j u n t o de pares nados. Por ejemplo, la función definida por la ecuación y=*Jconflsr de todos los pares ordenados (x , y) que satisfacen la ecuación. L®J res ordenados de esta función presentados en la Tabla 1 son(1. (f, |), (4, 16), (0, 0), ( - Í , 1), ( - f , |) y ( - 4 , 16). Por supuesto, exi** número infinito de pares ordenados en la función. Algunos otros (2,4), (-2,4), (5, 25), (-5, 25), (VF, 3) y así sucesivamente.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 La función f del ejemplo ilustrativo 1 es el conjunto de 108 nados ( x , y) para los cuales y = 2 * 2+ 5. Algunos de l o s t dos en/ son (0,5), (1,7), (V2 , 9), (2, 13), (-1, 7), (-V^, 15) y o*05

4.1

FUNCIONES

193

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 La función g del ejemplo ilustrativo 2 es el conjunto de pares ordenados (x, y) para los cuales y = V*2 - 4. Algunos de los pares ordenados de g son (2,0), (5, V2F), (-2,0), (3, V5), (-9 , V78), y muchos más. 4 Ahora, se dará la definición formal de una función. Ésta se define como un conjunto de pares ordenados más que como una regla de co rrespondencia , lo cual hace su significado preciso.

DEFINICIÓN

Una función

Una función es el conjunto de pares ordenados de números reales (x, y) en los cuales dos pares ordenados distintos no tienen el mismo primer número. El conjunto de todos los valores per misibles de x es llamado dominio de la función, y el conjunto de todos los valores resultantes de y se conoce como contradomi nio (o ámbito) de la función.

En esta definición, el hecho de que dos pares ordenados distintos no pueden tener igual el primer número, asegura que y es único para un valor específico de x. S i/e s la función en la que la variable x representa a los elementos de su dominio y la variable y representa a los del contradominio, el símbolo fix) (léase “/ d e x”) denota el valor particular de y que corres ponde al valor de x. Esta notación se debe al físico-matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783).

>


En el ejemplo ilustrativo 1, / es la función definida por la ecuación y = 2x2 +5. Así, f(x) = 2jc2 + 5 Dado que cuando x = l, 2x2 + 5 = 7, se tiene que/(1) = 7. De manera similar f(-2) = 13,/(O) = 5, y así sucesivamente. M

>


En el ejemplo ilustrativo 2, g se define por la ecuación y = Vx 2 - 4 Por tanto, g(x) « V* 2 - 4

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS Ahora se calculará g(x) para algunos valores específicos de x. gQ) g(S) = <2\, g(-2) = 0, g(-9) = V 7 f, y así sucesivamente. Cuando se define una función, el dominio de la función debe^ se de forma implícita o explícita; por ejemplo, si/está definidapor /(x) = 3x 2 - 5x + 2 esto implica que x puede ser cualquier número real. Sin e se define por /(x) = 3x 2 - 5x + 2

1 < x

10

entonces el dominio de / consta de todos los números reales entreI 10, inclusive 1 y 10. De manera similar, si g se define por la ecuación í\ 5x “ 2 sw = 7 T T está implícito que x * - 4 , debido a que el cociente no está defina para x = - 4 , de aquí que el dominio de g sea el conjunto de todosIb números reales excepto -4 . Si h{x) = V9 - x 2 está implícito que x se encuentra en el intervalo cerrado [-3,3]deW a que V9 - x 2 no es un número real para x > 3, o bien *<-3. dominio de /i es [-3, 3], y su contradominio es [0,3].

► EJEMPLO 1

Cálculo d o valores de u n a función

Dado q u e /e s la función definida por f(x) = x 2 + 3x - 4 encuentre: (a )/( 0 ); (b )/( 2 ); (c)/(/*); (d)f(2h); (e)f(2x).

Solución (a) / ( 0 ) = O2 + 3 • 0 - 4 = -4

(b) /(2 ) = 2¡ + 3 ■2 ' 4 =6

(c) /(/i) = h 2 + 3h - 4

(d) f(2h) = (2A)! + 3(2**' = 4Aj + 6 * '4

(e) /(2 .t) = (2jc)2 + 3(2jc) - 4 - 4 x 2 4- 6 x — 4

► EJEMPLO 2

Cálculo d e valores de una función

v¡J| Para la función del ejemplo 1, encuentre: (a)/(x + h)i

4.1

FUNCIONES

195

Solución (a) f ( x + h)= (x + h)2 + 3(x + h) - 4

= *2 + 2/í.r + h2 + 3x + 3h -

4

— * 2 + (2h + 3)jc + (h2 + 3/* — 4) (b )

/ (*) +

(x2 + 3 * ~ 4) + (h2 + 3h = * 2 + 3x + (h2 + 3h - 8)

/ (/ i) *

-

4) <

Compare los cálculos del ejemplo 2. En el inciso (a) se encontró / ( x + h), el cual es el valor de la función de la suma de * y h. En el in ciso (b), donde se calculó/ ( x) +f(h), se obtuvo la suma de dos valores de la función, f(x) y f(h). En Cálculo, frecuentemente, se determinan cocientes de la forma

FIGURA 4 3

f ( x + h ) ~ f(x) h llamados cociente diferencia. Un cociente diferencia se considera com o la pendiente de una recta que pasa por los puntos (x,f(x)) y (x + h,f{x + h)) de la gráfica de la ecuación y =f(x). Véase la Figura 4.3.

► EJEMPLO 3

Cálculo d e un cociente diferencia

S if(x) = 3 x2 - 2x + 4, y h * 0, encuentre

f ( x + h) - f(x) h Solución / ( s . + . h) - / ( x) _ 3 (x + h)2 - 2 { x + h) + 4 - [3x2 - 2 x + 4) h

h _ 3 x 2 + 6h x + 3 h 2 - 2x - 2h + 4 - 3 x 2 + 2 x - 4 , = h 6h x - 2 h + 3h 2 h — 6 x — 2 + 3h

Ahora se definirán algunas operaciones entre funciones. En la de finición se forman nuevas funciones mediante la suma, resta, multipli cación y división de los valores de las funciones dadas. Por tanto, estas nuevas funciones se conocen como la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones originales.


DEFINICIÓN

Suma, diferencia, producto y cociente de do» funciones

Dadas dos funciones / y g: (i) Su suma, denotada por / + g, es la función definida por ( / + g) (x) = f(x) + g(x) (ii) Su diferencia, denotada p o r/ - g, es la función definidapor ( / - g) (■*) = f(x) ~ g(x) (ni) Su producto, denotado po r/ • g, es la función definidapor ( / • g) (x) = f(x) • g(x) (iv) Su cociente, denotado por f / g , es la función definida por (//£> (*) = f(x)/g(x) En cada uno de los casos, el dominio de la función resul tante consta de aquellos valores de x comunes a los dominios d e /y de g, con el requerimiento adicional en el inciso (iv)de que los valores de x para los cuales g(x) = 0 están excluidos.

► EJEMPLO 4

Operaciones con funciones

Dado q u e/y g son las funciones definidas por f(x) = V T T T

yg(x) = V* - 4

encuentre: (a) ( / + g) (jc);.(b) ( / - g)(x); (c) ( / • g) (x); (d) ( / 0 En cada caso determine el dominio de la función resultante. Solución (a) ( / + g)(x) = V x + 1 + V x - 4

(b) ( / - g)(xj m V x + 1 - Vjc — 4 ,_____ ______ (C) ( / ■g)(x) = V x + 1 • V x - 4

v í+ j (d) (f/g)(x) =

yX p¡t

El dominio de / es [-1, + o o ), y el dominio de g es [4, +0’| incisos (a), (b) y (c) el dominio de la función resultante es I ■

i«

4 .1

FUNCIONES

19 7

En el inciso (d) el denominador es cero cuando x = 4; por lo que 4 está excluido del dominio y éste es, por tanto (4, +oo). M

ejercicios i Dada/W = 2x - 1, encuentre: (a) /(3) (d) /( a + 0

10. La función del ejercicio 2.

(b) / ( - 2 ) (c) / t * + *)

/(O)

12. La función del ejercicio 6 .

2. Dada/(*) = x 2 + 1, encuentre:

(a) /(2) (b) / ( —3) (d) /(« ” 1) (e> f ( x ~ | Í


(c)

/(O)

En los ejercicios 13 a 22, calcule y simplifique el cociente diferencia para cada una de las funcio nes indicadas. ñ

3. Dadaf(x) = 3x2 - 5x + 4, encuentre:

(a) / ( - l ) (d) f ( x 2)

(b) / ( 4 )

(c) [/(x )]2


4. Dada/(x) = 8 - x 3, encuentre: (a) / ( - 2) (d) /( x 2)

(b) / ( 5 )

(c) [ /( x )]2

encuentre:

(a) /(1)

(b) / ( - 3 )

17. La función del ejercicio 5. (O

(e) / G

<•> /(7)

(d) 41

18. La función del ejercicio 6 . /(•*)

(e) / ( |

(•) / ( - l )

(b) /(4 )

W) / ( l l )

(e) /(2 x

/w (f) / ( 2)

+ 3)

*• Dada/Cx) = V2x 2 + 1 , encuentre:

W) /G )

(b) /(O )

(c) / ( l )

(e) /( 2 x 2 + 1)

¡os ejercicios 9 a 12, encuentre cada una de las fyuíentes expresiones para la función indicada: k) V(xy, (b)f(2x)\ (c)/(x) + f(h); (d) /(x + h). • La función del ejercicio 1.

19. La función del ejercicio 7, simplificándola por ra cionalización del numerador. 20. La función del ejercicio 8, simplificándola por ra cionalización del numerador.

encuentre: x | 1 (b) / ( —5)

7. Dada/(x) = V2x + 3, encuentre:

<*> /(~ 2 )

15. La función del ejercicio 3. 16. La función del ejercicio 4.

5. Dada/(x) =

6. D ada/(x ) =

h 13. La función del ejercicio 1.

21. /(*) = a | 9 P ; simplificándola por racionalización V x+1 del numerador. 2 22 . /(x) = ■ ; simplificándola por racionalización V x- 2 del numerador. En los ejercicios 23 a 32, defina lasfunciones siguientes y determine el dominio de laJunción resultante: (a) / + g\ (b) / - g\ (c) / • g\ (d) f / g y (e) g/f. 23. /(x ) =

x - 5; s(x)*= x 2 - 1

24. /(x ) =

Vx; g(x) = x 2 +

1

2 5 ./W = ^ ;* W = i /(x ) = V x; g(x) = 4 - x J

26. 27. /(x ) * 28. f(x ) *

Vx; s(x) * x 2 | x | ; g(x) * IX -

1

31

%

I 198

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

29. f i x) = x a + 1; g(x) = 3x 30. /(x) = Vx + 4; #(x) =* x 2 1 /V * 31. /( x ) = x—+T T1I í W *

six *

si x = O encuentre

32. /(x) = x2;g(x) =

(a) / ( 1) (*>) / ( —O (c) /(4) (d) / ( —4) (e) f ( - x ) (f) f[x + 1) (g) f i x 2) (h) / ( - x 2) [0, 2) 36. En esta sección se introdujeron las notaciooa/1 /(x), pertenecientes a funciones, así comosus¿ rentes significados. Explique lo que significaqj una de las notaciones, y en la explicaciónproa» ga una ecuación que defina una función, empleéi ecuación propuesta para diferenciar entre/y/^ I

33. Dada //(x) = | x - 2 | - | x | + 2, exprese H(x) sin las barras de valor absoluto, si x está en el intervalo (a) [2, + oo) (b) (-oo, 0) (c)

34. Dada/(O

I 3 + / 1- | / 1- 3

exprese /(/) sin las barras de valor absoluto, si t está en el intervalo: (a) (0, +oo) (b) [-3,0) (c) ( - oo, -3)

35.

0

Dada

4.2 GRAFICAS DE FUNCIONES OBJETIVOS

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Definir la gráfica de una función. Encontrar el dominio y contradominio de una función. Dibujar gráficas de funciones. Definir tipos de funciones. Definir función par y función impar. Determinar cuándo una función es par, impar o ninguna dffcí dos.

En la Sección 4.1 se dijo que una función / puede representáis una ecuación de la forma y = /(x ), la cual da el conjunto de paiesoj nados en la función. El concepto de función como conjunto de ordenados permite proporcionar la siguiente definición de lagráfa una función.

DEFINICIÓN

Gráfica de una función

S i/e s una función, entonces la gráfica de fe s el conjunto^ dos los puntos (x, y) en R 2para el cual (x, y ) es un par «w de/.

A partir de esta definición se puede decir que la gráfica ció n /e s la misma que la gráfica de la ecuación y */(*)

del'*

4.2

GRÁFICAS PE FUNCIONES

199

Recuerde que para una función existe un único valor de la varia ble dependiente por cada valor de la variable independiente del domi nio de la función. En términos geométricos, esto significa: La gráfica de una función puede ser cortada por una recta verti cal, en no más de un punto.

>


Dada,

f(x) = V2 - X La gráfica de / se muestra en la Figura 4.4. Observe la recta vertical que tiene la ecuación x = k, donde k < 2 , corta la gráfica en sólo un punto. E i dominio d e /e s el conjunto de todos los números reales menores o iguales que 2 , el cual es el intervalo (-oo, 2], y su contradominio es el conjunto de todos los números reales no negativos, esto es, [0 , + oo). 4

>


Considere el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) para los cua les

x 2 + y 2 = 25 La gráfica de este conjunto se muestra en la Figura 4.5. Este conjunto de pares ordenados no es una función, debido a que para cualquier x en el intervalo (-5, 5) hay dos pares ordenados que tienen x como el primer número. Por ejemplo (3, 4) y (3, -4 ) son pares ordenados en el conjunto dado. Además, observe que la gráfica del conjunto es una circunferencia con centro en el origen y radio 5, y cualquier recta ver tical cuya ecuación e s x = k, donde -5 < k < 5, intersecta a la circunfe rencia en dos puntos. 4 El dominio de una función es, generalmente, evidente a partir de la definición de la función. Con frecuencia, el contradominio puede ser determinado por medio de la gráfica de la función.

>


La gráfica de la función definida por f(x) = | x - 4 | - 6 es, por supuesto, la gráfica de la ecuación y = | x - 4 | - 6, la cual se obtuvo en el ejemplo 4 de la Sección 3.5. Aquí se reproduce como la

200

CAPÍTULO 4 FUWCIOWIS Y SUS GRÁFICAS

Figura 4.6. El dominio d e/e s (-00 , +oo), y el contradominio, te en la gráfica, es ( - 6 , +oo). 1

En el siguiente ejemplo ilustrativo se tiene unafunción definid, trozos (o tramos) la cual se obtiene por más de una ecuación. 1

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Sea g la función definida por flx) = |x —4 1 -6 FIGURA 4.6

si x ÉL “ I si - 1 < x < 2

g(x)

fjgcsa

si 2 < x La gráfica de g se muestra en la Figura 4.7. El punto sólido (-1,-3) el punto vacío (—1, 1) indican que el valor de y es -3 cuandor=-M dominio de g es (-oo, +oo), mientras que el contradominio comía de tres números -3 ,1 y 4. j

ñ

4—f

-T^ I I -é

Para trazar la gráfica de una función de este tipo se requierea& sultar el manual de procedimientos de la calculadora gráfica ografiodora. Las funciones definidas a trozos se emplean por lo comúnenCfeN como ejemplos y contraejemplos de funciones que poseen ciertas|» piedades. Esto es, la gráfica de la función en el ejemplo ilustrativo^ tiene rupturas en los puntos donde x = -1 y x = 2, lo cual indicaquesj función es discontinua para esos valores de x. En el ejemplo sigue* se tiene una función definida a trozos cuya gráfica no se rompees 1, el valor de jc en el cual las ecuaciones de definición cambian.Sí embargo, al estudiar Cálculo se aprenderá que esta gráfica notieneí¡ recta tangente en el punto donde x = 1.

+H2

► EJEMPLO 1

D i b u j o d o l a g r á f i c a d o u n a fu n d ó n dtfai# a t r o z o * y d e t e r m i n a c i ó n d o su dominio f c o n tr a d o m in io

FIGURA 4.7

Dibuje la gráfica de la función h definida por 3x - 2 «*> = < + ,)

si x < si 1 <

Determine el dominio y contradominio de h. Compruebe la medio de la graficadora. Solución Cuando * < 1, los valores de la función están ta y = 3x -

2 y cuando 1 á

x, los valores de la función est*

|||p

.

4 .2

GRÁFICAS PE FUNCIONES

201

parábola y - j (x 2 + 1). La gráfica se muestra en la Figura 4.8. Tanto el dominio como el contradominio son ( - oo, oo). La graficadora proporciona la misma gráfica.

► EJEMPLO 2

Dlbu¡o de la gráfica d a u n a función q u e tiene un agujero y determ inación d e su dom inio y contradom inio

Dibuje la gráfica de la función F definida por x2 - 9 F(x) = ------ 1 x - 3 y encuentre su dominio y su contradominio.

Solución Debido a que el valor de la función está determinado para cada valor de x, excepto 3; el dominio de F consta, de todos los números reales excepto 3. Cuando x = 3, tanto el numerador como el denominador son cero y jj no está definido. Al factorizar el numerador como (x - 3) (x + 3), se obtiene F(x) =

(x - 3)(x + 3) x —3

o F(x) = x + 3t teniendo en cuenta que x * 3. En otras palabras, la fun ción F consta de todos los pares ordenados (x, y) tales que x + 3

x * 3

De esta definición de F, es evidente que la gráfica contiene todos los puntos sobre la recta y = x + 3 excepto el punto (3, 6 ). La gráfica se muestra en la Figura 4.9. El contradominio de F es el conjunto de to dos los números reales excepto 6 . < En el ejemplo 2, la gráfica tiene un “agujero” en x = 3. Donde F(3) no está definido. En el siguiente ejemplo, la gráfica también tiene un agujero en x = 3, pero el valor de la función en 3 está definido.

►

EJEMPLO 3

Dlbu¡o d e la gráfica d e una función q u e tiene un agujero y determ inación d e su dom inio y co n tra d o m in io

Dibuje la gráfica de la función G definida por G(x) =

[x + 3 2

si* * 3 si x = 3

Determine el dominio y contradominio de G.

Solución La gráfica de G se muestra en la Figura 4.10. La gráfica contiene el punto (3, 2) y todos los puntos sobre la recta y = x + 3,

202

CAPÍTULO

4

HJMa o m * v K M OOAMCAS

_____ £ £ * > . «< 7 I l 1

6

Cn- r’Í '—

" -

¿ M i

► EJEMPLO 4

DiKjk I i|n iñ c a 4 t Ib fc n o á t/d rfiü d * f A *)* ( D eterm ine el d n w i i o y c o M n t a É H o

n < a i A 4.11

S o l u c ió n La g ráfica J e / . w n n A i o piiH ír (2« 7 ) y todo* lo s p u a b n to te e i i pn D ebido i que / e s t á d efinida p a ra k 4 o i loi e t (—00, 4 00). E l c o a tra d o m a n o e t H coi reales no negativos

E JE M P L O

5

• Ira iM y émémrmtám

(onfrvdomwM«

Dibuje la gráfica de la función g definida por

i í ^

a

f(*) * ■ T f - j r * 5 - a

si x < - 3 f l - ) S x f

3

B 3 < 1

Determine el dominio y cotB adoB W o de g.

■

Soiucion La pane de la gráfica de ¿ p a n * < la recta y * x ♦ 5. P n - ) S i S J , y s 1í cunferencia superior de t J ♦ v: = 9 La parte de una porcina de h recta y * 5 - jl La gráfica 4.12. 0 dominio de ¿ es (-c e . +oo) y el lu n n a liB ^ » * De igual manera, cono se construye la íb w ^b una grañeadora. te grafica la función del máxü&t o*** res se denotan por JxJ y estás definidos por [x j s

r

si n < x < n + I,

donde ae*

O sea. Ixl es el entero más grande, merwr que o [1.3] = I. Jl] = a [ - 4 - ] = - 5 . [ - 8 ] = -&- y «»•***

éM

4.2

GRAFICAS DE FUNCIONES

203

La gráfica de la (unción del máximo entero se muestra en la Figu ra 4.13. En muchas graficadoras esta función se denota por ¡NT(x). Los siguientes valores se utilizan para obtener la gráfica: 5+

•— O •-0

5

6

M

= -5

—4 < x < - 3

W

= -4

-3 < x < -2

M

= -3

W

t

-2

0

M

-

-1

0 < x <

1

M

=

0

1 2= X <

2

M

=

1

2< x <

2

H

2 3 4

< -4

VI
*-o

H

-

VI IO 1

4

< -1

-1 < X <

r-3 - --4 - -_ 5

FIGURA 4.13

VI VI

3

M

=

<

4

M

=

3

<

5

-

4

W

El dominio de la función del máximo entero es el conjunto de to dos los números reales y su contradominio consta de todos los enteros.

► EJEMPLO 6

Dibujo d e la gráfica d e u n a función qu e im plica la función d e l m áxim o entero y determ inación d e su dom inio y contradominio

Dibuje la gráfica de la función H definida por //w = M Determine el dominio y contradominio de H y compruebe la gráfica obtenida en una graficadora.

Solución Si 0 < x < 1, [x] = 0; entonces [x] -

x = -x

Si 1 < x < 2, [x] = 1; entonces [x] -

x= 1 - x

Si 2 < x < 3, [x] = 2; entonces [x] -

x= 2 - x

Si -1 ^ x < 0, [x] = -1 ; entonces [x] - x = -1 - x fc- 4 - I - 2 - 1 0 .

1 2 : x

FIGURA 4.14

3 ^

4 A .

Si - 2 £ x < -1 , [x] = -2; entonces [x] - x = -2 - x y así sucesivamente. La gráfica de H se muestra en la Figura 4.14. El dominio es el conjunto de todos los números reales, y el contradominio es ( - 1, 0 ]. La gráfica de la función H se obtiene en la graficadora mediante y é ¡NT (x) - x

<

204

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SUS QRÁFjCAS

•r> n

Una función cuyo contradominio consta de un nomina función constante. Es decir, si /(*) a c d S0!.° nÚRiet0 número real, / es una función constante. La gráfi c* J constante es una recta horizontal a una distancia de ^, CaJde uecunidadCi (ic, ^

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 M

1 1

5

FIGURA 4.15

(a) La función definida por f(x) = 5 es una función gráfica se muestra en la Figura 4.15, k 15, es una recta rectalhí2 nSUn,e dades arriba del eje x. 5 (b) La función definida por g(*) = >or g(x) = - 4 es una función constan, gráfica es una recta horizontal 4 unidades ñor T* Véase la Figura 4.16. Una función lineal está definida por /(x ) =

J5 1 1 1 'o

i l i I Ir 5 g(x) = -4

m x

+ b

donde m y b son constantes y m * 0. Su gráfica es una rectaque pendiente m e intercepta el eje y en b

>


1 m i

La función definida por / ( x) = 3x - 2

FIGURA 4.16

/(x) = 3*-2

es lineal. Su gráfica es la recta que aparece en la Figura 4.17. La función lineal particular definida por ftx ) = x se denomina función identidad. Su gráfica, mostrada en k 4.18, es la recta que bisecta los cuadrantes primero y tercero.

T

f(x) =x

FIGURA 4.17

FIGURA 4.18

4.2

GRÁFICAS DE FUNCIONES

205

Si una función/está definida por f( x ) = aHx n + an-ix"~ l + an- 2 Xn~2 + . . . + a¡x + do donde a0, al t . . . , an son números reales (an * 0 ) y n es un entero no negativo, entonces,/se llama función polinomial de grado n. Así, la función f(x) = 3x5 - x 2 + I x - 1 es una función polinomial de grado 5. Una función lineal es una función polinomial de grado 1. Si el grado de una función polinomial es 2 , ésta se denomina función cua drática, y sí el grado es 3 se llama función cúbica. Las funciones cuadráticas se discutirán en la Sección 4.3, y la grá fica de la función polinomial se tratará en la Sección 5.3. Una función que puede expresarse como el cociente de dos fun ciones polinomiales se le llama función racional. Las gráficas de las funciones racionales están consideradas en la Sección 5.5. Una función algebraica es aquella que está formada por un nú mero finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante. Estas operaciones algebraicas incluyen adición, sustracción, multiplicación, división, elevación a potencias y extrac ción de raíces. Las funciones polinomiales y racionales son formas particulares de funciones algebraicas. Un ejemplo complicado de una función algebraica es el que está definido por , , , _ W - 3x + l )3 f(x) ------ 7= = = — Vx4+ 1 Las funciones trascendentales también se discuten en este texto. Ejemplos de funciones trascendentales son las funciones exponencia les y logarítmicas que se presentan en el Capítulo 6, así como las fun ciones trigonométricas tratadas en el Capítulo 7. Una función cuya gráfica es simétrica con respecto al eje y es una función par, y una función cuya gráfica es simétrica con respecto al origen en una función impar. A continuación se dan las definiciones formales.

DEFINICIÓN

Función par y función impar

(i) Se dice que una función / es par si para cada x en el domi nio de/, / ( - x) =f(x). (tí) Se dice que una función f e s impar si para cada x en el do minio de /, /(-* ) = -f(x). En ambos incisos, (i) y (ii), se sobreentiende que -x está en el do minio de/ siempre que x lo esté.

206

CAPÍTULO 4


Las propiedades de simetría de las funciones pares e ’ ducen a partir de las pruebas de simetría determinabas en >

1 1 1i 0 A F IG U R A 4.19

EJEMPLO ILüSTRATIVÓT~

(a) Si f(x) = x 2, f(-x ) = (—x)2. Por tanto, f(-x) =/(*)y función par. Su gráfica es una parábola simétrica con *4 eje y. Véase la Figura 4.19. resPecio( (b) Si g(x) = x 3, g(-x) = (-x)3. Dado que g(-x) = -g(X)t| | | | i

ción impar. La gráfica de g, mostrada en la Figura 4 20 trica con respecto al origen. ►

EJEMPLO 7

Determinación gráfica y algebraba d* cuándo una función t i par, impar od» ninguna d e las dos clases

Trace la gráfica de la función dada y a partir de ésta establezal función es par, impar o ninguna de ellas. Demuestre lo mencioaúj| manera algebraica. (a) / ( x) =

3 x A- 2 x 2 +

(b) g(x) =

3 x 5— 4 x 3 — 9x

(c) h(x) =

2x4+ l x 3 - x 2 + 9

¡45]por[-30.30]

¿=W-r+9

7

Solución (a) La gráfica de /, presentada en la Figura 4.21, es simétricacaÉ pecto al eje y. Por tanto, la función es par. Para demostrare^ 42, dibu manera algebraica se calcula/(-Jc): ^■MsiiJomiriioyconi îhenmgrafil f { - x ) = 3(—jc)4 - 2 ( - x ) 2 + 7 = 3*4| ¡ 2 x 2 + 7

1/Íí)=3i-¡

= /W Debido a que/(-jc) =/(*), f es par. W L*

3I

fe +2|

[-5.5J por [0, 10] A») m3x* - lx ‘ + 7 FIGURA 4.21

4 .2

;s una fue

M7

(b) La Figura 4.22 muestra la gráfica de g, la cual es simétrica con

pares se de. cción 1.5

s í , / e s un respecto i

GRÁFICAS D i FUNCIONES

respecto al origen. Por consiguiente, la función es impar. Al calcular g (-x ) se obtiene:

* ( - * ) = 3 (—jc)5 - 4 (—x )3 - 9 (—jc) = —3jc3 + 4 x 3 + 9x

[-5,5] por [-11,11]

= ~ ( 3 x 5 - 4jc3 - 9x)

g(x) = 3x5—4 *’ - 9x

= ~g(x)

FIGURA 4.22 Dado que g (-x) = -g (x), se ha comprobado algebraicamente que g es impar. (c) La gráfica de h, que aparece en la Figura 4.23, no es simétrica ni coh respecto al origen, ni en relación con el eje y. Por tanto, la función no es par ni impar. Si se calcula h(-x ) se tiene: h (-x ) i

2 ( —x)4 + 7 (—x)3 - ( -jc

)2 +

9

= 2 x 4 - 7jc3 - x 2 + 9

ñonadoú:

[-5,5] por [-30,30] h(x) = lx i + 7 x '- x 1+ 9

Debido a que h(-x) * h(x) y h(-x) *■ -h(x), h no es ni par ni impar.

FIGURA 4.23

¡ca con ic trar esto£

EJERCICIOS 4.2 En los ejercicios 1 a 42, dibuje la gráfica de la función y determine su dominio y contradominio. Compruebe la gráfica obtenida en una graficadora.

19. /(*) =

20. ñx) = ( x - l

8. ti- *U) = V9~- x

33 \x

- 31

Vi -

=

JC2 -

x -

í-2

si x £ 3 si 3 < x si x < -2 si -2 ¿ * <.2 si 2 < x

í- 4

-1

=

3

23. g(x) = 4 2

6

i 2.

22. * ( x )

io. g(x) = v r ^ !2. f(x) = V ? 14. H(X) - |5 !<»• G(x) =

21. /(*)

)2

F(x) = V 9

x - 1 (x2 - - 4)(x - 3)

¿(x) =

2. g{x) = 4 - x

4. G(x) = x 2 + 2

x 2 - 4x + 3

f 2x - •

1

1°

3x + 2 24. / ( x) = | g

■I

.

25. F(x) ■" j

_2

- 4

si x * si jc =

2 2

si X * 1 si x 1 si * * 3 si jc = 3

4

208

CAPITULO 4

F U N G O N ES Y SU S G RÁFICAS

si x * -3

26. G(x) =

27. G(x) = I 1 ~ x2 i 3jc + 1

28. F\x) =

29. g(x) =

jx 2- 4 \2 x - 1 í 6x + 7 1*

-

íx -2 30. f(x) = (x 2 + 1

49. (a) f ( y ) =

(c) /(x ) =

si x ^ —2 si —2 < x

50. (a) h(x) =

si x < 0 si 0 < x

+ 2

| Vl6 - x 2 [2 - x 33. F(x) g¡

En los ejercicios 49 y 50, determine algébra la función es par, impar o ninguna de las

si x < 3 si 3 ^ jc

[3 - x jc

(b) g(x) = 2 f| jcI| + 3

si x < 0 si 0 < jc

[x + 3

Í

48. (a) /(x)

si x * -3

l4

x 3 - 2x 2 x - 2

(c) fix ) =

si x < —5 si -5 < x < 5 si 5 < x

X2

+ 1

x2 - 5 2x 3 + x -1 1

(b) g(z) =£

si x < 0 si 0 < x

denotada por U y definida por

U(x) =

si x < 0 si 0 < x

Encuentre las fórmulas que definenencada« las siguientes funciones y dibuje susgráficas. (b) U(x - 1) (c) U(x) - U(x - ¡)

x3 ■ X

35. h(x) = |x | + \x - 1

52. Encuentre las fórmulas que definen cadaunii

siguientes funciones y dibuje sus gráficas,da* es la función de salto unitario definidaenelf ció 51:

36. H{x) = |jc2 — 11 37. g(x) =* | x | • | x - 1 1 38. F(x) = 0* + 2j 39. / ( x) = { x - 4 \

40. H{x) = | x | + [x]

41. G(x> = x - ffxl

42. A(x) = ffx2J

43. (a) f(x) * 2x4 - 3x2 + 1 (b) g(x) =5x5 + 1 44. (a) f(x) =

x 2 +2x + 2 (b) g(x) = x 6 -

45. (a> f(x)

=

5x 3

- 7x

46. (a) f(x) =

4* 5

+3* 3(b) g(X) = x 3 +

(b) g(x)

=

(5)= sx 4 -

(a) x - U ( x ) (b) (x + l)-V(x +\) j (c) (x + 1) • í/(x + 1) - x • U(x) 53. (a) Dibuje la gráfica de la Junción signo^ por sgn y definida por

En los ejercicios 43 a 48, trace la gráfica de la función y a partir de la gráfica exprese si la función es par, im par o ninguna de las dos. Posteriormente, pruebe lo ex presado de forma algebraica.

47. (a) f(x) *

ri i

|x |

51. (a) Dibuje la gráfica de lafunción desalto

si x £ - 4 si - 4 < x < 4 si 4 < x 34. G(x) =

(b) *(r) ^

y2 + 1

1

sgnx =

-1 0 1

si x < 0 si x * 0 si 0 < x

sgn x se lee “signo de x”. Encuentre que definen cada una de las siguientes dibuje sus gráficas. (b) x - sgnx (c) 2 - x - s g n x (d) x - 2 sgn x

j x |

1 4

54. Encuentre las fórmulas que definí c‘^ ( f s i g u i e n t e s funciones y dibuje suSJ^ s g n es la función signo definida en

___________ 4 .3

(a)

+ 1)

(b)

~ O

(c) sgn(x + I) - sgn(x - 1 ) 55. Demuestre que si f y g son ambas funciones impares, entonces ( / + g) y ( / - g) son también funciones im pares y f ' gyfi'g son ambas funciones pares. 56. Existe una función, cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales, y que es par e impar. ¿Cuál es esa función? Compruebe que ésta es una función única.

FU N CIO N ES CUADRÁTICAS

209

59. Las gráficas de los ejercicios 57 y 58 se parecen a dos letras del alfabeto. Defina otras dos funciones cuyas gráficas tengan parecido con dos letras dife rentes del alfabeto. 60. En la figura siguiente, la gráfica tiene un parecido con la letra X y es la unión de las gráficas de dos funciones / , y /2 trazadas en el rectángulo de ins pección [ - 1 , 1J por [ - 1 , 1J. D efina/, (x) y / 2(x).

57. La gráfica de la función / en la siguiente figura se parece a la letra W. Defina la función a trozos/(x).

58. La gráfica de la función / en la figura siguiente se parece a la letra M . Defina la función a trozos/(x). 61. Existen tres funciones f x, f 2 y / 3, la unión de sus gráficas trazadas en el rectángulo de inspección [-1 , 1] por [—1, 1] se parece a la letra Z. Defina /i(x ),/ 2(x) y / 3(x). 62. Explique por qué la definición de una gráfica es consistente con la definición de una función como un conjunto de pares ordenados. En la explicación utilice un ejemplo específico.

4 3 FUNCIONES CUADRÁTICAS OBJETIVOS

1. D ib u jar y tra z a r gráficas de funciones cuadráticas. 2. E n co n trar los ceros de una función cuadrática. 3. D eterm inar el valor extrem o de una función cuadrática. 4. Resolver enunciados de problem as que tienen un a función cuadrática como modelo matemático.


En la sección previa se dijo que una función c poiinomial de grado 2. Por consiguiente la está definida por ’ Clón cuadrá*¡p ^4 / ( x) = ax2 + bx + c donde a , b y c son constantes que representan nú La gráfica d e /e s la misma que la gráfica de la e c ^ i^ y = ax2 + be + c la cual, se vio en la Sección 3.3, es una parábola c Las propiedades discutidas en las secciones 3 3 ' cuando se dibujan parábolas.

sondc

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Si la función/está definida por f(x) = -2 x 2 + 8x - 5 la gráfica d e /e s igual que la gráfica de la ecuación y = -2 x 2 + 8x - 5 Esta ecuación es equivalente a 2(x2 - 4x) = - y - 5

y

(2 , 3 )

A fin de completar el cuadrado del binomio dentro del párente» suma 2(4) a ambos lados de la ecuación, y se tiene 2(x2 - 4x + 4) = - y - 5 + 8 0t r

2 ) j = ¡ ¡ ¡ | y S 3)

Esta ecuación es de la forma (x - h)2 = 4p(y - k) abofe1

FIGURA 4.24

donde (h, k) es (2, 3) y p = - Por tanto, el vértice de lap** en (2, 3) y el eje es la recta x = 2. Debido a quep < hacia abajo. Al localizar algunos puntos sobre la para o ^ la se obtiene la gráfica mostrada en la Figura 4.24. graficadora. Los ceros de una función/ son los valores para

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 La función del ejemplo ilustrativo 1 está definida p° f(x) = - 2 x 2 + 8x - 5

IflS

_____________________________________ 4 . 3

F U N C IO N E S C U A D R A T IC A S

para encontrar los ceros de esta función, se sustituye obtiene

2 11

0 por f ( x ) y

se

- 2 x 2 + Sx - 5 = 0

8*

Ix1 -

+ 5 = 0

Al resolver esta ecuación mediante la fórmula cuadrática, donde a - 2, b = -8 y c - 5, se tiene x

=

-b

±

Vb2

4ac

-----------------------------------

2a =

-

8± 8

V 6 4 - 40 4

± ^^24 <4

_ 8 ± 2 Vó

4 _ 4 ± Vó

2 De aquí que los ceros d e /s o n FIGURA 4.26

4 + Vó~ — - — « 3.22

y

4 - Vó — - — * 0.78

Estos números son también las intercepciones x de la parábola de la Figura 4.24. Verifique estas intercepciones x usando el aumento (zoom in) de la graficadora. -4 En general, si /(;t) = a x 2 + bx + c entonces los ceros d e /s o n las raíces de la ecuación a x 2 + bx + c =

0

En la Sección 2.2 se vio que una ecuación cuadrática en una variable puede tener dos raíces reales, una raíz real (de multiplicidad 2), o dos raíces imaginarias. Si una ecuación cuadrática tiene dos raíces reales, la función cuadrática correspondiente tiene dos ceros reales y su gráfi ca intersecta al eje x en dos puntos distintos. Esta situación se muestra en la Figura 4.25, donde la parábola abre hacia arriba (a > 0), y en la Figura 4.26 en la cual la parábola abre hacia abajo {a < 0). Si la tunción tiene un cero real, entonces la gráfica intersecta al eje x en un solo punto, com o se muestra en las figuras 4.27 (a > 0) y 4.28 (a < 0). Si la función tiene dos ceros imaginarios, la gráfica no intersecta al eje x\ esto se muestra en las figuras 4.29 (a > 0) y 4.30 (a < 0). Al valor de la función en el vértice de la gráfica de una función cuadrática se le llama valor extrem o. Cuando la parábola abre hacia

212

CAPÍTULO 4


arriba, la función tiene un v alor m ínim o en el vértice, no hay máximo para tal función. Cuando la parábola abre hacia abajo laW ción tiene un v alor m áxim o en el vértice; y no hay valor mínimon* esa función.

>

EJEMPLO ILUSTRA TIVO 3

La función de los ejemplos ilustrativos 1 y 2 está definida por f(x ) = - 2 x 2 + %x - 5 La gráfica de / es la parábola de la Figura 4.24, la parábola abrehaca abajo y su vértice se localiza en (2, 3). Por tanto, esta función beac■ valor máximo de 3 cuando x = 2. <

► EJEMPLO 1

Determ inación d el valor extremo deuno función cuadrática

Encuentre el valor máximo o mínimo de la función definida por f{x) = 3 x 2 + 3x + 2 Solución FIGURA 4.30

La gráfica d e / e s la parábola que tiene la ecuación

y = 3 x 2 + 3x + 2 Se escribe esta ecuación en la forma (x - h )2 = 4p(y - k). Laccua» es equivalente a 3(x2 + jt) = y - 2 Al completar el cuadrado del binomio entre paréntesis sumando;1 ambos lados de la ecuación, se tiene 3\ x 2 + x + - J = y ~ 2 + -

X + ó) = 3 ^ - 4 La parábola abre hacia arriba, y su vértice está en ( - j, \ )• ^°r valor mínimo d e /e s | , lo que ocurre cuando x - Verifique el resultado de 1ejemplo 1 trazando la parábola Ahora, se aplicará el método empleado en la solución 1 a la función cuadrática general definida por f(x) = a x 2 + bx +• c

-

X

4 .3

F U N C IO N E S C U A D R A T IC A S

2 13

En esta ecuación si se sustituye/ ( x) por y, se obtiene y = a x 2 + bx + c la cual es equivalente a a x 2 + bx = y - c a(,’ + ^ ) = y - C

Se completa el cuadrado del binomio dentro del paréntesis. b , b2\ - x + — ) - y - c a 4a ) b V r + 1 í/

1/

b2 + -— 4a b 2 — 4ac

=a{y + ^

~

La gráfica de esta ecuación es una parábola que tiene su vértice en el punto x = - — . Si a > 0, la parábola abre hacia arriba, y / tiene un va lor mínimo en el punto donde x = -

Si a < 0, la parábola abre hacia

abajo y /t ie n e un valor máximo en el punto donde x = -

za

Estos re

sultados están determinados en el teorema siguiente.

TEO REM A 1

La función cuadrática definida porf(x) = ax2 + bx + c, donde a * Q tiene un valor extremo en el punto x = - — . Si a > 0, el valor 2a

extremo es un valor mínimo; y si a < 0 , el valor extremo es un valor máximo.

► EJEMPLO 2

D eterm inación d e l v a lo r extrem o de u na función cu ad rá tica

Emplee el Teorema 1 para encontrar el valor máximo o mínimo de la función g si g(x) = ~ \ x 2 +

“ 10

Verifique el resultado trazando la gráfica de g.

214

CAPÍTULO 4


S o lu ció n Para la ecuación cuadrática dada, a s . 3 „ . 2 Debido a que a < 0, # tiene un valor máximo en el punto

*4

b X“

2a

3 = 2 El valor máximo es g( 2 ) « - | ( 2)2 .+ 6 (2 ) - 10 = -*4 [ - 2 ,5 ] por [ - 1 2 , 2J g M = - - x J + (w :- 10

FIGURA 431

La gráfica de g trazada en una graficadora se muestra eolafaJ

4 .3 1 , la cual es una parábola con vértice en (2, -4) y abre haciaai»I Esto está de acuerdo con el resultado obtenido.

|

En aplicaciones de Cálculo, a menudo se requiere obteneral función como modelo matemático. A continuación se dará n i ejemplos que implican funciones cuadráticas como modelos maumI

► EJEMPLO 3

Resolución d el enunciado de un protím q u e tien e una función cuadrática como m o d elo m atem ático

En el ejemplo 7 de la Sección 2.6, se tenia la siguiente situada decoradora diseñó adornos de pared y pudo venderlos a 75 cada uno. Si x adornos son manufacturados al día, entonces de dólares en el costo de producción total es x2 + 25* + 96tos adornos deberán producirse diariamente para que la decora**,'J tenga la mayor utilidad? (b) Compruebe la respuesta del inciso** una graficadora. Solución (a) Si P(x) dólares es la utilidad diaria de la venta de x ad«** tonces, como en el ejemplo 7 de la Sección 2.6, P(x) = - x 2 + 50* - 96 La función P es cuadrática con a = -1 y b = 50. Debidoa ^ P tiene un valor máximo en el punto donde

= 25

I

________________________________4 .3

► EJEMPLO 4

FIGURA 4.32

obtener darán « i matero

roWww

tuacic-n: a 75 ** íes el '

6.

jet#***5 inci*0|

Resolución del enunciado d e un problem a que tiene u n a función cuadrática como m odelo m atem ático

Un fabricante de relojes puede producir un tipo de reloj a un costo de $15 por unidad. Si el precio de venta es de x dólares, entonces (125 - x) relojes se venden por semana, (a) Exprese el número de dólares en la ganacia semanal del fabricante como una función de x. (b) A partir de la función obtenida en el inciso (a), determine la ganancia semanal si el precio de venta es de $45 por reloj, (c) Trace la gráfica de la función del inciso (a) y estime el precio de venta para que la ganancia semanal del fabricante sea un máximo, (d) Compruebe algebraicamente lo estima do en el inciso (c).

Solución (a) La ganancia puede obtenerse restando el costo total de las ventas totales. Sea R(x) dólares la venta semanal. Debido a que la venta total es el producto del precio de venta y el número de relojes vendidos, R(x) = jc( 125 - x) Sea C(x) dólares el costo total de los relojes que son vendidos se manalmente. Debido a que el costo total es el producto del costo de cada reloj y el número de relojes vendidos, entonces. C(x) = 15(125 - x) Si P(x) dólares es la ganancia semanal, entonces P(x) = R(x) - C(x) = *(125 - x) - 15(125 - x) = (125 - x )(x - 15) (b) Si el precio de venta es de $45 por unidad, el número de dólares en la ganancia semanal es P(45). A partir de la expresión para P(x) del inciso (a),

o*

P(45) = (125 - 45) (45 - 15) =80-30 = 2 400 Conclusión: La ganancia semanal es de $2 400 cuando los relo jes se venden a $45 cada uno.

■ ■ ■ ¡I

[0,50] por [0,1 000] p(x) = - * 2+ 5Qx-96

hacia ú.

2 15

Conclusión: Para obtener la mayor utilidad, el número de ador nos producidos y vendidos cada día debe ser 25. (b) La Figura 4.32 muestra la gráfica de P trazada en el rectángulo de inspección [0, 50] por [0, 1 000]. La coordenada x del vértice de la parábola parece ser 25, lo cual está de acuerdo con la respuesta del inciso (a). <

'onde

en la Figur,

FUNCIONES CUADRATICAS

216

CAPÍTULO 4


(c) La Figura 4.33 muestra la gráfica de P trazada en el rectá^ inspección [0, 200] por [0, 4 000]. El vértice de la pwfc?* abre hacia abajo, parece estar en el punto donde x * 70 cuencia, para que la ganancia semanal del fabricante sea J í mo, se estima que el precio de venta por reloj debe ser de (d) A partir de la expresión para P(x) del inciso (a), se tiene P(x) = - x 2 + 140* - 1 875 La función P es cuadrática con a = -1 y b = 140. Debido a a ^ P tiene un valor máximo en el punto donde _b_ 2a [0.200] por [0,4000]

P(x) = (125 - x)(x - 15)

FIG U R A 4.33

= 70 Conclusión: La ganancia semanal del fabricante serían mo cuando el precio del reloj sea $70. Esta conclusión está de acuerdo con lo estimado en Upweic En el ejemplo siguiente, primero se obtendrán dos ecugun»! pl ican do una variable dependiente y dos variables independa1 Posteriormente, se expresará la variable dependiente comofimstl una variable independiente, por la eliminación de la otra variable#! pendiente, a partir del par de ecuaciones.

EJEMPLO 5

Resolución del enunciado de un pntím que tiene una función cuadrática cerne modelo matemático

Se cerca un campo rectangular a la orilla de un rio y no seitW cerca en la parte del terreno que da al río. El costo del n*®! de la cerca es de $8 por pie lineal para las cercas lateralesy**1 por pie lineal para el lado paralelo al río; se estima que se $3 600 para cercar, (a) Si x pies es la longitud de uno de tosbfcj rales, exprese el número de pies cuadrados del área del campan una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función reaJJJl Encuentre las dimensiones del campo de área más grande puede ser encerrada con $3 600 de cerca, ¿cuál es la mayor«# I

F IG U R A 4.34

Solución (a) Sea y pies la longitud del lado del campo paralelo al nof cuadrados el área del campo. Véase la Figura 4.34.

A = xy Dado que el costo del material para cada lado l**®*® ^ 4 lineal y la longitud de la cerca lateral es x pies- ^ c la cerca de cada uno de los laterales será 8* dólares. mejante, el costo total de la cerca del tercer lado es - j Entonces se tiene que 8jc + 8jc + 12y = 3 600

4.3

FUNCIONES CUADRATICAS

217

Para expresar A en términos de una sola variable, primero se re suelve la ecuación ( 1) para y en términos de *. 12y = 3 600 - 16* y - 300 Si se sustituye este valor de y en la ecuación A = xy se obtiene A como una función de *, y A(x) = * (b) Tanto * como y no deben ser negativas. El valor más pequeño que x y y pueden tom ar es 0 ; cuando y = 0 , se obtiene el valor de la ecuación (1), * = 225. Así, 225 es el valor m ás grande que * puede tomar. De aquí que * debe estar en el intervalo cerrado [0, 225], y este intervalo es el dominio de A. (c) A partir de la expresión de A(x) en el inciso (a), se tiene A(x) = - | * 2 + 300* La función A es cuadrática con a - - ^ y b - 300. Dado que a < 0, A tiene un valor máximo en el punto donde b X ~

2a 300 4 3.

_ 225

2 Si * =

entonces 3 0 0 - | * = 150. Por tanto,

= 16 875 Conclusión: El área más grande posible que puede ser encerra da por $3 600 de cerca es 16 875 pie2, y esto se obtiene cuando el lado paralelo al río es de 150 pie de longitud y los laterales miden 112.5 pie de longitud. *

► EJEMPLO 6

Resolución del enunciado de un problema que tiene una función cuadrática como modelo matemático

El gerente financiero de un boletín informativo escolar determina que 1 000 copias de éste deben venderse si el precio es 50 centavos, y que el

4 .3

11. Mx) = 9 - 6x + x 2 12. h(x) ~ 1 ~ 4x — x 2 j 3. / ( t ) = ¿ ( 4 v 2 + 20.v

49)

14. f(x) - —4 x 2 + I2x

9

En los ejercicios 15 a IH, utilice el método del ejemplo I para encantar el valor máximo o mínimo de la función. Compruebe la respuesta mediante el trazo de la parábola. 15. f{x) = 4 x2 + Sx + 7 16. f(x) = 2 + 6x - x 2 17. g(x) = 18.

- \ ( x

2

+

6 x

+ 5)

CU) = J(jt* - 4* - 4)

En los ejercicios 19 a 22, aplique el Teorema 1 para encontrar el valor máximo o mínimo de la función. Compruebe la respuesta por medio de la parábola. 19. f(x) = 2 + 4 x - 3 x 2 20. g(x) = 3 x 2 + 6 x + 9 21. G(x) = ¡ ( 4 x 2 + \2 x - 9) 22. F(x) = - \ { x 2 + 8 jc + . 8 ) 23. Se lanza un objeto desde el piso verticalmente ha cia arriba con una velocidad inicial de 96 pie/s. Si la altura que alcanza el objeto es /(/) pies, después de t segundos y la resistencia del aire es desprecia ble, entonces /(/) = 96/ - 16/2 (a) Trace la gráfica de /, estime la alturamáxima alcanzada por el objeto y determine cuántos segun dos después de que el objeto es lanzado alcanza la altura máxima, (b) Compruebe, algebraicamente, las estimaciones hechas en el inciso (a), (c) Escriba una conclusión. [M. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba desde un punto de 15 pie por encima del nivel del piso, con una velocidad inicial de 176 pie/s. Si la altu ra alcanzada por el proyectil es / ( /) pies después de t segundos y la resistencia del aire es desprecia ble, entonces f(t) s

15

+

176/

-

16/2

(aj Trace la g rá fic a d e / , e stim e la m áx im a altura alcanzada por el proyectil y el tie m p o q u e to m ó a éste llegar a esa altura m áxim a, (b ) C o m p ru eb e , a l gebraicam ente, las e stim a cio n es h e ch a s e n el inciso ía>. (c) E scriba una conclusión.

FU N C IO N E S CUAD RÁTICAS

2 19

En los ejercicios 25 a 38, resuelva el enunciado del problema encontrando una función cuadrática como modelo matemático de la situación. Para completar el ejercicio, escriba la conclusión. 25. En el ejercicio 43 de la Sección 2.6, se tenía la si guiente situación: Una compañía puede vender a $100 por unidad un artículo de primera necesidad que elabora. Si se producen x unidades al día, el número de dólares en la producción diaria es x 2 + 20* + 700. (a) Exprese el número de dólares en la ganancia diaria de la compañía como una función de x. ib) Trace la gráfica de la función del inciso (a) y estime la ganancia diaria mayor y cuántas unidades deben producirse al día para que la em presa tenga esta ganancia, (c) Compruebe, alge braicamente, las estimaciones realizadas en el inciso (b). 26. En el ejercicio 44 de la Sección 2.6, se tuvo la si guiente situación: Una compañía que fabrica escri torios puede venderlos todos a un precio de $400 por unidad. Si x escritorios se producen y venden cada semana, entonces el número de dólares en el costo total de la producción semanal es 2X2 + 8Qx + 3 000. (a) Exprese el número de dólares de la ga nancia semanal de la compañía como una función de x. (b) Trace la gráñea de la función del inciso (a) y estime la mayor ganancia semanal, así como cuántos escritorios deberán fabricarse cada semana para lograr tal ganancia, (c) Compruebe, algebrai camente, las estimaciones hechas en el inciso (b). 27. Un carpintero puede construir libreros a un costo de 40 dólares cada uno. Si el carpintero vende los libreros a x dólares por unidad, se ha estimado que 300 - 2x libreros pueden ser vendidos mensualmente. (a) Exprese el número de dólares en las ga nancias mensuales del carpintero como una función de x. (b) Utilice la función del inciso (a) para determinar que la ganancia mensual sea de $110 por librero, (c) Trace la gráfica de la función del inciso (a) y estime el precio de venta por cada librero que dará al carpintero la mayor ganancia mensual, (d) Compruebe, algebraicamente, las esti maciones hechas en el inciso (c). 28. Un fabricante de juguetes puede producir un jugue te particular a un costo de $10 por unidad. Si el precio de venta del juguete es x dólares, entonces deben venderse diariamente 45 - .v juguetes, (a) Exprese el número de dólares en la ganancia diaria del fabricante como una función de x. (b) Emplee

220

CAPÍTU LO 4

F U N C IO N E S Y S U S G R A F IC A S

la función del inciso (a) para determinar la ganan cia diaria si el precio de venta es de $30 por uni dad. (c) Trace la gráfica de la función del inciso (a) y estime el precio de venta de cada juguete que permitirá al fabricante obtener la máxima ganancia diaria, (d) Compruebe, algebraicamente, las esti maciones hechas en el inciso (c). 29. Se construirá una cerca de 240 m para un campo rectangular, (a) Si x metros es la longitud del cam po, exprese el número de metros cuadrados del área del campo, como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) Trace la gráfica de la función del inciso (a) y estime las dimensiones del mayor campo rectangular que puede ser encerrado con los 240 m de cerca, (d) Compruebe, algebraicamente, las estimaciones he chas en el inciso (c).

30. Un jardín rectangular es encerrado con 100 pie de cerca, (a) Si x pies es la longitud del jardín, exprese el número de pies cuadrados del área del jardín como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) Trace la gráfica de la fun ción del inciso (a) y estime las dimensiones del jardín rectangular más grande que puede ser encerrado con 100 pie de cerca (d) Compruebe, algebraicamente, las estimaciones hechas en el inciso (c).

31. Haga el ejercicio 29, si uno de los lados del campo tiene un río como frontera natural y la cerca se construirá para los otros tres lados. Considere x metros como la longitud del lado del campo parale lo al río.

32. Haga el ejercicio 30, si el jardín es coloc^J manera que el lado de una casa sirve coi» i ra, y la cerca será construida para los otrtxfc ! dos. Considere x pies como la longitud dd¡^ J la cerca paralelo a la casa.

33. Un terreno rectangular es encerrado ponas z.I y después es dividido a la mitad porotnis/i.l cerca que divide al terreno a la mitad cuestan pie lineal y la otra tiene un valor de SlOporM neal, se emplearán $1 920 en materia) panii®| (a) Si x pies es la longitud de la cerca quei» I terreno a la mitad, exprese el número depie*J drados del área del terreno como una fimafc* (b) ¿Cuál es el dominio de la fundón dd **| (a)? (c) Encuentre las dimensiones delea®'I tangular más grande, con una cerca que lei* 'f dos, que puede ser encerrado con $1 rial de las cercas.

ducto sea un máximo. 35. Encuentre dos números cuya diíerenu-* producto sea un minino.

4.4 Encuentre dos núm eros positivos cuya suma sea y la suma de sus cuadrados sea un mínimo.

50

37. Una agencia de viajes ofrece la organización de

una excursión con todo incluido en $800 por perso na, siempre que más de 100 personas aprovechen el viaje. Sin embargo, el costo por persona será re ducido en $5 por cada una arriba de 100. ¿Cuántas

FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

221

personas deben adquirir el viaje para que la agencia reciba el mayor ingreso bruto y cuál es este in greso? 38. Un club estudiantil cobra la membresía anual a $20, menos 10 centavos por cada socio arriba de 60. ¿Cuántos miembros darán al club el ingreso más alto debido a las cuotas?

4.4 FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS OBJETIVOS

1. 2. 3. 4.

Definir la variación directamente proporcional. Definir la variación inversamente proporcional. Definir la variación conjuntamente proporcional. Resolver enunciados de problemas que impliquen variación, mediante una función como modelo matemático. 5. Resolver enunciados de problemas que tengan una función cúbica como modelo matemático.

Las aplicaciones que implican la dependencia de una variable sobre otra se presentan en los negocios, la economía, así como en las cien cias naturales y sociales. Las fórmulas empleadas en estai aplicaciones con frecuencia determinan funciones. Por ejemplo, si y dólares es el interés simple de un año ganado por un capital de * dólares con una tasa de 12% por año, entonces. y = 0 . 12* Para un valor no negativo dado de * corresponde un valor único de y; así, el valor de y depende del valor de *. S i/e s la función definida por f( x ) = 0 . 12*, y el dominio de/ es el conjunto de números reales no ne gativos, entonces la ecuación y = 0 . 12* puede escribirse como y = /(*). La ecuación y = 0.12* es un ejemplo de una proporción directa y se dice que y es directamente proporcional a *. DEFINICIÓN

Variación directamente proporcional

Se dice que una variable y es directamente proporcional a la variable * si y = kx donde k es una constante diferente de cero. De manera más ge neral, se dice que la variable es directamente proporcional a la n-ésima potencia de * (n > 0 ) si y i kx ¡ La constante k se llama constante de proporcionalidad.

222

F u w a o w jü L g a o ^ a ^ ►

EJEMPLO 1

R e s o l u c i ó n d e l e n u n c i a d o dm

qü# Í " p,! í ! üna pr° p ^ i ^

una función como modelo m o t J jS i

.

E l peso del cereb ro d e u n a perso n a es aproximadamente al peso d e su cu erp o , si u n a persona pesa 150 Ib su cerehfrOp■N 011* ded o r d e 4 Ib. (a) E x p rese el núm ero de libras del peso ¿ 1 ° P^c!;. ? cerebro d e una p erso n a co m o u n a función de su peso c « » !!? * 1 cuentre el peso a p ro x im ad o del cerebro de una persona ^ I poral es 176 Ib. '

Solución (a ) Sea f( x ) libras el p e so aproxim ado del cerebro de una cu y o cu erp o p e sa x libras. E ntonces

m

I

= kx

I

I

D ebido a q u e u n a p erso n a c o n un peso corporal de 150 Ibti« cerebro d e apro x im ad am en te 4 Ib de peso, se sustituye en (11i«l p o r x y 4 p o r/(jr), obteniéndose 4 = ¿ (1 5 0 )

A l su stitu ir & en (1) p o r este valor, se obtiene

/«

=

(b) D ado q u e /(jc) = / O 76) = ^

(176)

= 4.7

Conclusión: E l p e so aproxim ado del cerebro de unapo5*1 I J176 Ib es 4.7 lb.¡ DEFINICIÓN

Variación inversamente proporcioné

Se dice que una variable y es inversamente propo variable x si _ k

cjonal^

x «yicra donde k es una constante diferente de cero. De neral, se dice que y es inversamente p r o p o r c io potencia de x ( n > 0 ) si k

!

4.4


► EJEMPLO 2

223

Resolución del enunciado de un problema que Implica una proporción Inversa mediante una función como modelo matemático

La iluminación de una fuente de luz específica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de ella, (a) Exprese el número de luxes (1x) de la iluminación como una función del número de metros a la distancia de la fuente de luz, si la iluminación es 225 lx a una distancia de 5 m de la fuente, (b) Encuentre la iluminación en un punto a 15 m de la fuente. Solución (a) Sea / ( je) luxes la iluminación de la fuente de luz a x metros de ella, entonces f(x) = 4 (2) x2 Debido a que la iluminación es 225 lx a una distancia de 5 m de la fuente, si se sustituye x por 5 y /( x) por 225 en (2), se obtiene 225 = A 52 k = 5 625 Al sustituir este valor de k en (2), se tiene Í | 5 625 m = — (b) A partir de la expresión anterior para f(x), se obtiene 5 625 /(15) 152 5 625 225 25 Conclusión: La iluminación en un punto a 15 m de la fuente es 25 lx. * DEFINICIÓN

Variación conjuntamente proporcional

Una variable z se dice que es conjuntamente proporcional a las variables x y y si z = kxy donde k es una constante diferente de cero. De manera más general, una variable z se dice que es conjuntamente proporcional a la tt-ésima potencia de x y m-ésima potencia de y (n > 0 y m > 0) si

224

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SUS GRAFICAS

► EJEMPLO 3

Resolución d e l enunciado do un probl**. q ue involucra una proporción conjunto p» m ed io d e una función cuadrática como m o delo m atem ático

En un medio limitado donde A es el número óptimo de bacterias 14 rabie, el índice de crecimiento de éstas es conjuntamente proporciM al número de bacterias presentes y a la diferencia entre A y este iüim número. Si se supone que un millón de bacterias es el númeroóptu®* lerahle por el medio, y el índice de crecimiento es de 60 bacterias» minuto cuando 1 000 bacterias están presentes, (a) Exprese ei íuk de crecimiento bacteriano como una función del número de 'A s presentes, (b) Determine la velocidad de crecimiento cuando bacterias están presentes, (c) Encuentre cuántas bacterias están tes si el índice de crecimiento es un máximo.

Solución (a) Sea f(x) bacterias por minuto el índice de crecimiento cuaodoia x bacterias presentes. Entonces / ( x) = kx{\ 000 000 - x) Debido a que el índice de crecimiento es 60 bacterias por mnt cuando hay 1 000 bacterias presentes, se sustituye en (3)1por y f(x) por 60, y se obtiene 60 - ¿ ( 1 0 0 0 )0 0 0 0 0 0 0 - 1000) 60 999 000 000 1

16 650 000 Si se sustituye k en (3) por este valor, se obtiene x *(1 0 0 0 0 0 0 - x) j t x ) = ------ ------------ — 16 650 000

(b) A partir de la expresión anterior f(x), se tiene / ( 100 0 0 0 ) =

100 000(1 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0

16 650 000 100 000(900 000) 16 650 000

= 5 405 - íaC0

Conclusión; El índice de crecimiento es de 3 minuto, cuando 100 000 bacterias están presentes.

4.4

FUNCIONES COMO M O PEIO S MATEMÁTICOS

225

(c) A partir de la expresión para/(x) en el inciso (a), se tiene m

= -

1

20

6 650 000

333'

La función f e s cuadrática con a

------ !— y b = 16 650 000

333

Debido a que a < 0, / tiene un valor máximo en el punto donde b *

2a

=

20 / 333 \

16 650 000 2

= 500 000 Conclusión: El índice de crecimiento es un máximo cuando 500 000 bacterias están presentes. 4 Indote

ñ miB&| ieri

En la Sección 4.3, se determinó el valor extremo de una función cuadrática calculando la coordenada y del vértice de la parábola que es la gráfica de la función. Para la mayoría de las funciones no cuadráti cas la determinación de los valores extremos de la función requiere de técnicas de Cálculo. Sin embargo, con una graficadora se pueden calcular los valores extremos de la función. Para ilustrar el procedimiento, re gresemos al problema de la caja del ejemplo 6 de la Sección 2.4, don de una caja abierta fue formada cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas de una lámina de cartón y doblando hacia arriba los la dos. En dicho ejemplo, se encontró la longitud del lado de los cua drados que deben ser cortados si la caja formada tenía un volumen específico. Ahora se considerará el problema de determinar la longitud del lado de los cuadrados cortados, si la caja tiene un volumen máximo.

► EJEMPLO 4

Resolución del enunciado de un problema que tiene una función cúbica como modelo matemático

Un fabricante de cajas de cartón piensa producir cajas abiertas a partir de láminas de cartón con dimensiones de 10 por 17 pulg, cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando hacia arriba los lados, (a) Si x pulgadas es la longitud del lado del cuadrado que va a ser cortado, exprese el número de pulgadas cúbicas del volumen de la caja como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función ob tenida en el inciso (a)? (c) En una graficadora encuentre, con una exacti tud de dos decimales, la longitud del lado que debe ser cortado para que la caja tenga el volumen más grande posible. ¿Cuál es el volumen máximo?

Solución FIGURA 4.36

(a) La Figura 4.35 representa una hoja de cartón, y la Figura 4.36 muestra la caja de cartón obtenida El número de pulgadas en las

/

226

CAPÍTULO 4 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS dimensiones de Ja caja s o n *, 1 0 - 2 * y 1 7 -2 * .El volumen¿ caja es el producto de Jas tres medidas. Por tanto, sí fUinúnJ cúbicas es el volumen V(jr) = *(10 - 2*) (17 - 2x) = 17Q» - 54 * 2 + 4* 3

[0. 5] por [0.2001 V(jt) = 170* - 54*1+ 4x* FIGURA 437

(b) A partir de la expresión para V(x) del inciso (a), se observap I V(0) = 0 y V(5) = 0. Con base en las condiciones del problen* I sabe que * no puede ser negativo ni mayor que 5. Así, d dona» de V es el intervalo cerrado [0, 5]. (c) En la Figura 4.37, aparece la gráfica de V trazada en el rectfagü I de inspección [0, 5] por [0, 200]. Se puede observar que V&* [ un valor máximo en su dominio. La coordenada x del puntoM I alto sobre la gráfica proporciona la longitud del lado del cuadú I que debe ser cortado para tener un volumen máximo y la cocrit1 nada y tiene el volumen máximo. Al emplear el aumento (m I iri) de la grañeadora se determina el punto más alto (2f 156.03). Conclusión: La longitud del lado del cuadrado que ddxel cortado es 2.03 pulg para dar una caja de volumen mfcino.fi cual es 156.03 pulg3. <

l l i

Mediante técnicas de Cálculo se puede determinar que el «h exacto de la función en el ejem plo 4, ocurre cuando

► EJEMPLO 5

Resolución d el enunciado de un problt** que tiene u n a función cúbica come tnoá m atem ático

___

I

&

| \ Con base en un monopolio, la ecuación de demanda para cierto de primera necesidad esx* + p = 360, donde * unidades son riamente cuando p dólares es el precio por unidad, (a) Exprese t de dólares del ingreso diario total como una función de * dominio de la función obtenida en el inciso (a)? (c) En una encuentre el número de unidades que deben ser producidas al dkp*^ cer máximo el ingreso diario total. ¿Cuál es este ingreso? ,\S

I .S&j

Solución

.

í;.i

(a) El ingreso diario total es igual al precio unitario mulup»*! el número de unidades producidas y vendidas. Por w® dólares es el ingreso diario total, /?(*) = px

v <

'2|

S

4 .4


227

Al resolver para p la ecuación de demanda, se obtiene p = 360 - x 2 Si se sustituye esta expresión de p en la ecuación para R(x), se tiene /?(*) = (360 - x 2)x (b) De la ecuación que define R(x) en el inciso (a), se observa que R(0) = 0 y /?(V360) = 0. Si x es negativo o mayor que V360, el in greso total es negativo. Por tanto, el dominio de R es el intervalo cerrado [0, V360]. (c) La Figura 4.38 muestra la gráfica de la función R trazada en el rectángulo de inspección [0, 20] por [0, 3 000]. Se observa que R tiene un valor máximo en su dominio. Al emplear el aumento (zoom in) en la graficadora se determina que el punto más alto es (10.95, 2 629.07). Debido a que x debe ser entero (el número de unidades producidas), R tiene un valor máximo cuando x es 11 y R( 11) = 2 629.

[0, 20] por [0,3 000] /?(*) = (3 6 0 - x 1)*

FIGURA 4.38

Conclusión: Se deben producir al día once unidades para obte ner un ingreso diario total máximo de $2 629. 4

ñ

Nuevamente, empleando técnicas de Cálculo, el valor máximo de la función R, en el ejemplo 5, se presenta cuando x = Vl20 ~ 10.95

EJERCICIOS 4.4 cada uno de los ejercicios, resuelva el enunciado del problema encontrando una junción como modelo Flemático de la situación. Asegúrese de escribir una Wpclusión. 1. El pago diario para una cuadrilla de trabajo es di rectamente proporcional al número de trabajadores, *i una cuadrilla de 12 trabajadores gana un salario de $540. (a) Exprese el número de dólares del pago diario como una función del número de trabajadores- 0>) ¿Cuál es el pago diario para una cuadrilla de 15 trabajadores? * Para un gas a presión constante, su volumen es di rectamente proporcional a la temperatura absoluta, y a una temperatura de 180° el gas ocupa 100 m3. (a) Exprese el número de metros cúbicos del volu men del gas como una función del número de gra

dos en la temperatura absoluta, (b) ¿Cuál es el vo lumen del gas a una temperatura de 150o? 3. El periodo de un péndulo (tiempo para una oscila ción completa) es directamente proporciona] a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo, dicha lon gitud es de 8 pie y tiene un periodo de 2 s. (a) Ex prese el número de segundos del periodo de un péndulo en función del número de pies de su longi tud. (b) Encuentre el periodo de un péndulo de lon gitud de 2 pie. 4. Para una cuerda en vibración, la rapidez de vibra ción es directamente proporcional a la raíz cuadra da de la tensión en la cuerda, (a) Si una cuerda particular vibra 864 veces por segundo bajo una tensión de 24 kg, exprese el número de vibracio nes por segundo como una función del número

228

CAPÍTULO 4

F U N C IO N E S Y S U S G R A F IC A S

*****

de kilogramos de la tensión. (b) Encuentre el nú mero de vibraciones por segundo bajo una ten sión de 6 kg. 5. El peso de un cuerpo es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a) centro de la Tierra, (a) Si el cuerpo pesa 200 Ib sobre la superficie de la Tierra, exprese el número de libras de su peso como una función del número de millas del centro de la Tiena. Considere que el radio de la Tierra es de 4 000 mi. (b) ¿Cuánto será el peso del cuerpo a una distancia de 400 mi por encima de la superficie de la Tierra? 6. Para un cable eléctrico de longitud fija, la resisten cia es inversamente proporcional al cuadrado del diámetro del cable, (a) Un cable de longitud fija tiene un diámetro de j cm y una resistencia de 0 .1 ohm, exprese el número de ohm en la resistencia como una función del número de centímetros del diámetro, (b) ¿Cuál es la resistencia de un cable de longitud fija y un diámetro de j cm? 7. En un pequeño pueblo de 5 000 habitantes el índice de crecimiento de una epidemia (el porcentaje de cambio del número de personas infectadas) es con juntamente proporcional al número de personas in fectadas y al número de no infectadas, (a) Si la epidemia está creciendo a un ritmo de 9 personas por día cuando 100 personas están infectadas, ex prese el índice de crecimiento de la epidemia como una función del número de personas infectadas, (b) ¿Qué tan rápido está creciendo la epidemia si están infectadas 200 personas? (c) Determine cuántas es tán infectadas cuando el índice de crecimiento de la epidemia es un máximo. 8. En una comunidad de 8 000 habitantes la velocidad con la cual corre un rumor es conjuntamente pro porcional al número de gente que ha oído el rumor y al número de gente que no lo ha escuchado, (a) Si el rumor corre con una velocidad de 20 gentes por hora cuando 200 gentes lo han escuchado, ex prese la velocidad a la cual el rumor se está difun diendo cuando 500 gentes lo han escuchado, (b) ¿Cuántas gentes han escuchado el rumor cuando éste está corriendo con la máxima rapidez? 9. Un lago en particular puede contener un máximo de 14 (XX) peces, y el índice de crecimiento de la población de éstos es conjuntamente proporcional

al núm ero de peces presentes y la diíe«^ 14 000 y dicho número, (a) Si /(*) pece*p*í el índice de crecimiento cuando x peco sentes, escriba una ecuación que defina ¿Cuál es el dom inio de la función lor de x hace q u e /(x ) sea un máximo?

10. El m áxim o núm ero de bacterias soportables pg m edio particular es 900 000, y el índice de m iento bacteriano es conjuntamente propon al núm ero de bacterias presentes y a la entre 900 000 y dicho número.
¿ l i o « « " ''3

y

0

fünriónde£ (l inciso (s)

^*1

,,^ d w » odcl ' [«üaesie ingreso?

11. Un fabricante de cajas abiertas de hoja de uüjb sa hacer uso de láminas de hoja de latacantm siones de 8 por 15 pulg, cortando aadnÉ iguales en las cuatro esquinas y doblando kn arriba los lados, (a) Si x pulgadas es la ionpiil cuadrado que será cortado, exprese d m e t pulgadas cúbicas del volumen de la cajacaá« función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de lat a i del inciso (a)? (c) En la graficadora. encue*» una exactitud de décimos de pulgada, ia tap del lado del cuadrado que será cortado panp volum en sea el máximo posible. ¿Cufi es a • m en m áxim o aproximado a pulgadas aite»* 12. U n fabricante de cajas de cartón proíUí» abiertas de láminas cuadradas de 12 an de cortando cuadrados iguales de las cuatroes**1 doblando hacia amba los lados, (al Si i tros es la longitud del lado del cuadrado p cortado, exprese el número de centímetros^ del volumen de la caja como una funoto*1 ¿Cuál es el dominio de la función del * * (c) En la graficadora. encuentre, con de centímetros, la longitud del lado del ^ que será cortado para que el volumen deh** un máximo. ¿Cuál es el volumen máu** mado a centímetros cúbicos?

irtjiMopotolaea

lis*i primeranecet a :h unidadesson [ sxfiíiieseselprec »ándedólaresdel ‘**«Kjndex (b) ¿C

•‘-¿aiso(a)?íc)E ^ »R » unidades (

7íiií»iicerBuúumoel i

■' . . r a p a r a un

■c-t unidad«

o *

p ila r e s

S ll^ c e r

C ’O « * 0 ^ V '¡ < « í r Y ai0 ¡■ í^ t

*v i,

1**1

13. Haga el ejercicio 1J, si el fabricante .1 abiertas a partir de las láminas de boji tangulares con dimensiones de 12 pw * - J í el inciso (c) encuentre, con una precisión ^ | fras decimales, la longitud del lado del | ,; que debe ser cortado.

V

w

ljr e s
nos 81día P¡ âtic arigli|g Ûve;

/ 4 .4 encía í Por tí,-,

est*,

K |3fs i

¡»¿Qué,

faga el ejercicio 12, si el fabricante hace las cajas abiertas a partir de láminas de cartón rectangulares con dimensiones de 4 0 por 5 0 cin. En el inciso (c) encuentre, con una precisión de dos cifras decima les. la longitud del lado del cuadrado que debe ser cortado.

,4

FU NCIO NES C O M O M ODELOS MATEMÁTICOS

229

cisión de pulgadas, las dimensiones del empaque que tiene el volumen máximo.

^ es Por ¡n

15. Con base en un monopolio, la ecuación de deman x p te da para un artículo de primera necesidad es p - (8 — oporcKj' -L x)2 =0, donde x unidades son producidas dia
fon dima cuadró indo hac:

16. Con base en un monopolio, la ecuación de demanda

para un artículo de primera necesidad es x 2 + p 2 =

pngiiudil

número J;i i como ¡s. I

la fw

■ueatrrj la para qur ■

sd "

, 36, donde 100* unidades son producidas diaria mente cuando p dólares es el precio por unidad, (a) Exprese el número de dólares del ingreso diario to tal como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) En la grafícadora, encuentre el número de unidades que deben produ cirse al día para hacer máximo el ingreso diario to

radio del semicírculo, exprese la cantidad de luz transmitida por la ventana como una función de r. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) Determine la forma de la ventana que ad mita la máxima cantidad de luz.

o

tal. ¿Cuál es este ingreso?

¡cas.'

[17. La ecuación de demanda para un monopolista es ( 1 0 0 - x)2 = 1 00/7, donde * unidades son demanda luce £ das diariamente cuando p dólares es el precio por 1 de t f l unidad y * está en el intervalo cerrado [0, 34]. La función del costo total está dada por C(x) = 55* CfiflP-1 ¡ j x2, donde C(x) dólares es el costo total al producir x unidades y * está en el intervalo cerrado [0, 34]. cáfr] («) Exprese el número de dólares de la ganancia to tal como una función de *. (Sugerencia: la ganan ir I cia es igual al ingreso total menos el costo total), ib) En la grafícadora, encuentre el número de uni dades que deben producirse al día para hacer máxi 0 ' ma la ganancia. ¿Cuál es esta ganancia? V

En un em paque d e form a rectangular co n una s e c ción transversal cuadrada, la su m a d e su lon gitud y el perímetro de una se c c ió n transversal e s igu al a 100 pulg. (a ) Si * p u lgad as e s la lo n g itu d del em p a que exprese e l volu m en d e la caja c o m o una fun ción de *. (b ) ¿C uál e s e l d o m in io d e la fu n ció n del inciso (a)? (c ) En la grafícadora en cu en tre, c o n pre

2rp u lg

20. Haga el ejercicio 19 si la ventana es tal que la re gión limitada por el semicírculo, transmite sola mente la mitad de la luz por pulgada cuadrada del área limitada por el rectángulo. 21. Una página para impresión contiene 24 pulg2 de re gión impresa, un margen de 1.5 pulg en la parte alta y en la parte baja de la hoja, y un margen de 1 pulg en los lados, (a) Si A(x) pulgadas cuadradas es el área total de la página cuando * pulgadas es el ancho de la porción impresa, escriba una ecuación que defina A{x). (b) ¿Cuál es el dominio de la fun ción A l (c) En la grafícadora, determine, con una precisión de centésimos de pulgada, las dimensio nes de la página más pequeña que satisfaga estos requerimientos.

II

230

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS del terreno en el cual se va a edific* b ción y los andadores cuando x pies es la frente y de la paite posterior del edificio ecuación que defina a A(x). (b) ¿Cuál „ J S l de la función A l (c) En la grafícadora, deterja una precisión de centésimos de pie, las del terreno que tiene el área más pequeüa edificio puede ser construido.

22. Un edifìcio que tiene un terreno rectangular de 13 200 pie \ será construido donde se requiere un an dador de 22 pie de ancho en el frente y en la paite tra sera, y un camino de 15 pie de ancho en cada uno de los lados, (a) Si A(x) pies cuadrados es el área total

22 pie 15 pie

4.5 FUNCIONES COMPUESTAS OBJETIVOS

1. 2. 3. 4.

Definir una función compuesta de dos funciones. Calcular los valores de una función compuesta. Determinar el dominio de la composición de dos fundo» Expresar una función dada como la composición de dos funciones. 5. Resolver enunciados de problemas que tengan una fuñón compuesta como modelo matemático.

E n la S ecció n 4.1 se d e fin ie ro n las cuatro operaciones entre cio n es: su m a , re sta, p ro d u c to y cociente. L a obtención de kf** com puesta d e dos fu n c io n e s d ad as es otra operación.

DEFINICIÓN

Función compuesta_____

^

i

Dadas las dos funciones f y g , la función compuesta den . por f ° g está definida por ( / ° g) (x) = f(g(x)) y el dominio d e / ° g es el conjunto de lodos los númerodominio de g tales q u e g(x) está en el dominio d e /

|

_______________________________ 4 .5

F ü W aO N iS COMPUISTAS

231

La definición indica que cuando se calcula ( / ° g) (x), primero se aplica la función g a x y después la función / a g(x). Para visualizar este cálculo, veáse la Figura 4.39. La función g asigna el valor g(x) para el número x en el dominio de g. Entonces, la función /asigna el valor f(g(x)) para el número g(x) en el dominio de / Observe en la Fi gura 4.39 que el contradominio de g es un subconjunto del domino de f y el contradominio d e /° g es un subconjunto del contradominio de f

f° g

FIGURA 4.39

>


S i/y g están definidas por /(■*) = Vx

y

g(x) = 2x - 3

( / ° g ) M = f(g(x)) = / ( 2x - 3) = V2x ~ 3 El dominio de g es (-°o, +oo), y el dominio d e /e s [0, +oo). Por tan to, el dominio de / ° g es el conjunto de los números reales para los cuales 2x - 3 ^ 0 o, de forma equivalente, [|, + oo). <

► EJEMPLO 1

D e te r m in a c ió n , p o r d o s m é t o d o s , d e l v a lo r d e u n a f u n c ió n c o m p u e s ta

Dadas f( x ) = ——r x —2

g(x) = 2x + 1

(a) Encuentre g(3) y use el número para determinar/(g(3)). (b) Calcu•e ( / ° g X * ) y úselo para determinar ( / « g X 3 ) .

CAPÍTULO 4

fu n c io n e s y s u s g r á f ic a s

Solución (a)

#(3) ” 2(3) + 1 = 7 Esto es a . ____

f ( g ( 3)) * /( 7 ) 5 " 7 - 2

|

(2^ + i) = 5 2* ^ ¡ Por tanto, 5

(/° S )(3 ) =

20 P 1

►

EJEMPLO 2

D eterm inación de una función comptrnUi d e sus dominios

Dado que / y g están definidas por f(x) = 'Ix

y

g(x) = x 2 - 1

encuentre: (a) / ° / , (b) g 0 g\ (c) f 0 g\ (d) g ° f También dominio de cada función compuesta. S o lu ció n

El dominio d e /e s [0, +°°), y el de g es (-03-

(a) ( / 0 /) ( * ) = f ( f ( x ) )

= f(V~x)

(b) (g ° í)W = ^ = tur

= VVx = jr El dominio es [0, + 00). (c) ( / ° g)(x) = f(g (x )) = /(jCJ - 1) = El dominio es

(-o o ,-l] U (1,+ 00)

El dominio es (' •

(d) (g ° /)W = * (V S " . i "1 El dominio es (O.-1

1 e s tá d e f í^ ^ En el inciso (d) observe que aunque x - J1 . f,nición ^ . ¡^ valores de jc, el dominio de g ° f P°r ven el dofll‘ puesta, es el conjunto de todos los números

___________________ 4 .5

FUNCIONES COMPUESTAS

233

que /(* ) está en el dominio de g. Así, el dominio de g <*/d e b e ser un subconjunto del dominio d e / 4 Observe de los resultados de los incisos (c) y (d) del ejemplo ante rior que ( / o g)(x) y (g ° /)(* ) no son necesariamente iguales. Un teorema muy importante en Cálculo, llamado la regla de la cadena, implica funciones compuestas. Cuando se aplica la regla de la cadena es necesario considerar una función como la composición de otras dos funciones, esto se muestra en el siguiente ejemplo ilustrativo.

1 r i áy > EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 djcl Si h(x) = (4*2 + l ) 3 se puede expresar h como la composición de dos funcione0/ y g para las cuales /(* ) = x 3

g(*) = 4*2 + l

dado que ( / ° g)(x ) = f(g(x)) = / ( 4* 2 + 1) = (4*2 + l ) 3

4

La función h en el ejemplo ilustrativo 2 puede expresarse como la composición de otro par de funciones. Por ejemplo, si F(x) = (4 * + l)3

G(x) = x 2

entonces (F o G)(x) = F(G(x)} = F(x2)

= (4jc 2 + l )3 En Cálculo se deberá emplear la composición mostrada en el ejemplo ilustrativo 2.

► EJEMPLO 3

E x p re s ió n d e u n a fu n c ió n d a d a c o m o la c o m p o s ic ió n d e o tra s d o s fu n c io n e s

Dada h(x)

Vx2+ 3 exprese h como la composición de dos funciones/ y g de dos maneras: (a) La función/contiene el radical; (b) la función g contiene el radical.

234

c a p ít u l o *

f u n c io n m

jr s y s G R Á fic A i

Solución (a) f(x ) -

o» / w = I

V x +■ 3

g(x) = X

2

g(x) =

Entonces

Entonces

( / ° g)(x) = f(g(x))

(f°8)t o * / ^ )

-/(* * >

=/(V?Ti

1

=

VP + 3

EJEMPLO 4

•í í ;< 3 6 ;^ :

1

;iW

v?n

Resolución del enunciado de unprofeta q w tiene una función compuesta con» modelo matemático

00¿miniodelos f .c lí j ! • /

En un bosque un depredador se alimenta de rapiña, y iapoblacóí i.üt=.:- 2i¡{(x)= 6 depredador es una función / d e x, el número de presas eBdbop i2 el cual es una función g de t, el número de semanas transcnmd»Éf b - - % =J2+ de el final de la temporada de caza. Si |l ’J r V l '2 ;j( x ) = x

/(*)

4

+ 90

í(Ó = 7/ +

86 X

haga lo siguiente: (a) Exprese la población del depredador a* función de t. (b) Encuentre la población del depredador después de cerrada la temporada de caza.

Solución

,

(a) La población del depredador t semanas después de porada de caza está dada por ( / ° gXO-

*i=V .

1

( / 0 8)(t) = f(g(t)) = f ( l t + 86) = ^1( 7 1 + 86)2 + 90 (b) Cuando í = 8, se obtiene

C 'íí* ; \ V

( / • g)(8) = j (7 ■ 8 + 86)2 + 90 = 5 131 rrad^ Conclusión; Ocho semanas después de & 5 131i, la población del depredador es de

NN NN V

% Vi i

4 .5

En los ejercicios 1 a 4, para las funciones f y g y el número c, calcule ( / o g)(c) por dos métodos: (a) en cuentre |(c) y emplee este número p ara determinar j fig{c)); (b) calcule ( / o g)(x ) y use este valor para encontrar ( f o g)(c). | L /(x) = 3x 2 - 4*; g(x) = 2x - 5; c = 4 t / W = V x 2 - 36; $(x) = x 2 - 3x; c = 5

i i _ 2 V * + 3 #- s 4 / ( x ) -------- ----- ; g(x) x

X + [;c 2 2x + 5 -------— ; c = - 2 x

En los ejercicios 5 a 14, defina las siguientes funciones | y determine el dominio de las funciones compuestas: \ta)f 0 g;(b)g o / I S. f{x) = x - 2; g(x) = x + 7 i / ( x ) = 3 - 2x; ¿(x) = 6 - 3x |

7. f(x) = x - 5; g(x) = x 2 -

1

I 8. f(x) = V x; g(x) = x 2 + 1 % M = Vx~—”2 ; ¿(x) = x 2 - 2 1 10. / ( j c )

- jc 2 - 1; g(x) = -

|h ./( x ) * - ;^ ( x ) = V x x | l l / w = V x;g(x) = - |l3./(x ) = | x| ; g(x) = |x + 2 | 114.

f f á * V x 2 - i ; *(x) = V x - 1

|£>i los ejercicios 15 a 24, defina las siguientes funcio nes y determine el dominio de las funciones com¡pestas: (a)f • f; (b) g 0 gLas funciones del ejercicio 5.

|16. Las funciones del ejercicio 6.

FU N CIO N ES COM PUESTAS

235

21. Las fundones del ejercicio 11. 22. Las funciones del ejercicio 12. 23. Las funciones del ejercicio 13. 24. Las funciones del ejercicio 14.

ffjb En los ejercicios 25 a 30, exprese de dos ■ ^ maneras diferentes h como la composición de dos funciones f y g. 25. h(x) = Vx* - 4

26. h(x) = (9 + x 2)-2

27. h(x) =

28. h(x) =

x - 2

y fP T J

29. h(x) = (x 2 + 4x - 5) 4 30. h(x) = V| x | + 4

En los ejercicios 31 a 34, resuelva el enunciado del problema encontrando una función compuesta como modelo matemático de la situación, no olvide escribir una conclusión. 31. El área de la superficie de una esfera es una fun ción de su radio. Si r centímetros es el radio de una esfera y A(r) centímetros cuadrados es el área de la superficie, entonces A(r) = 4nr2. Suponga que un balón mantiene la forma de una esfera cuando se infla de tal manera que su radio está cambiando con una rapidez constante de 3 cm/s. Si f(t) centí metros es el radio del balón después de t segundos, haga lo siguiente: (a) Calcule (A ° /) ( /) e interprete el resultado, (b) Encuentre el área de la superficie del balón después de 4 s. 32. En un lago, un pez grande se alimenta de uno me diano, y la población del pez grande es una función d e /d e x, el número de peces medianos en el lago. En cambio, el pez mediano se alimenta de peces pequeños, y la población de los medianos es una función de w, el número de peces pequeños en el lago. Si

f(x) ss V2r + 1 500

y

g(w) = Jw + 5 000

■7. Las funciones del ejercicio 7. P 8. Las funciones del ejercicio 8. P$*

funciones del ejercicio 9. Las funciones del ejercicio 10.

haga lo siguiente: (a) Exprese la población de pe ces grandes como una función de w\ (b) encuentre el número de peces grandes en el lago cuando exis ten en este lugar 9 millones de peces pequeños.

236

CAPÍTULO 4

FU N CIO N ES Y S U S G R Á F IC A S

33. La demanda de los consumidores para un juguete particular en cierto mercado es una función / de p, su precio en dólares, el cual en cambio es una fun ción g de t, el número de meses desde que el jugue te llegó al mercado. Si

39. f ( x ) = x 2, x <, O.ygU) = 40. f ( x) = U - l ) 3 y g(x) = 1 + íx 41. Determine si la función compuesta/ »get^ par si (a )/y g son pares, y (b)/y g ion

■ $ < f(p )

* _50 0_ 0

*«) = jó » ' + 2Ö, + 5

haga lo siguiente: (a) Exprese la demanda del con sumidor como una función de /. (b) Encuentre la demanda del consumidor S meses después de que el juguete ha llegado al mercado. 34. El volumen de una esfera es una función de su ra dio. Si r pies es el radio de una esfera y V(r) pies cúbicos es el volumen, entonces, V{r) = 4 n r 3. Su ponga que una bola de nieve de forma esférica con un radio de 2 pie, ha comenzado a fundirse de tal forma que su radio cambia con rapidez constante de 4.S pulg/min. Si /(/) pies es el radio de la bola de nieve después de / minutos, haga lo siguiente: (a) Calcule (V ° /)(r) e interprete el resultado, (b) Encuentre el volumen de la bola de nieve después de 3 min. 35. ¿Es conmutativa la composición de dos funciones, es decir, si / y g son dos funciones cualesquiera, ( / ° gX*) y (g °/)(* ) son iguales? Justifique la respuesta proporcionando un ejemplo. Si f y g son dos fu n c io n e s tales que ( / • g)(x) = * y (f. °/X*) = ■*; entonces f y g son funciones in versas. En los ejercicios 35 a 40, demuestre que f y g son funciones inversas. 36.

/(

je)

x + 3 = 2x - 3 y g(x) = — - —

37. /U ) * —

X + 1

y «(*) 58

42. Determine si la función compuesta/ • g ^ par si (a) f e s par y g es impar, y es par. 43. La función de salto unitario U y la fuaíii fueron definidas, respectivamente, enloiq®» 51 y 53 de la Sección 4.2. Encuetan» sgn(U{x)) y dibuje la gráfica.

38. f(x) s jt2, x £ 0, y g(x) = >/T

0

f (x ) =

2x 0

si x < 0 si 0 £ x £ 1 si 1 < x

y (razaron!

p a s c u a le s sol :¿aa2algebraicí - r i ï a i a función --wiaparâbo

g(x) =

si x < 0 si 0 £ x £ 1 si 1 < x

WJQ0SD£|j|

Dibuje las gráficas de/, g y f • g. 45. Encuentre las fórmulas de (¿ »/Xiípnfc ciones del ejercicio 44. Dibuje lagrita de/' 46. Si f( x) - x 2 + 2x + 2, encuentre é» para las cuales ( /» gXx)= x2 - 4i ♦ 547. Si f{x) = x 2, encuentre dos funde« fí* cuales ( / o g)(x) = 4x2 - 12x + 9. 48. Demuestre que si / y g son funcione 1*^| tonces / * g es una función lineal. g(x) » —y HA = *■

'««I« qué ( / o g)(x) = (g •/)(*). pero nin*»»* \ V i u . r * 9) dos / ® g o g « > / e s l a misma que h.

► V IS IÓ N RETROSPECTIVA Antes de establecer la definición formal de una función, se trató la función como la correspon-

0*1

^ ,^ « 1 Cálculo, ^¿fiûesalgebr,

¡,

REVISION DEL CAPITULO 4 4.1

^lasliiní

44. Encuentre las fórmulas para ( / • gXx) a

Dada /(x) = X

^

dencia entre conjuntos de nó®*®* ^ pués, se calcularon algunos valore-’

REVISIÓ N P E I CAPITULO 4

resaltándose la importancia de los cocientes dife rencia, los cuales son fundamentales en Cálculo. También se mostró cómo se forman nuevas fun ciones operando sobre funciones dadas. La definición formal de una función como un conjunto de pares ordenados de números reales condujo, de manera natural, a la definición de la gráfica de una función. Se dibujaron gráficas de funciones y también se trazaron algunas de ellas. Se introdujeron las funciones definidas a trozos y la función del máximo entero como preparación para su uso en Cálculo, y se definieron varios ti pos de funciones algebraicas, así como funciones pares e impares.

237

mostró cómo encontrar el valor extremo de una función cuadrática y se resolvieron enunciados de problemas que tienen una función cuadrática como modelo matemático. 4.4

Mediante el empleo de una función como modelo matemático, se resolvieron enunciados de proble mas que implican variación directa, variación in versa y variación conjunta. Se obtuvieron en la graficadora soluciones aproximadas de enuncia dos de problemas que tienen una función cúbica como modelo matemático.

4.5

Se definió la función compuesta, por medio del cálculo de valores de la función, y se mostró cómo expresar una función dada como la compo sición de dos funciones, que es un procedimiento necesario en Cálculo. También se resolvieron enunciados de problemas que tienen una función compuesta como modelo matemático.

13 Se dibujaron y trazaron las gráficas de funciones cuadráticas, las cuales son parábolas. Se encontra ron, de manera algebraica, los valores exactos de los ceros de una función cuadrática comprobán dolos al trazar la parábola correspondiente. Se

► EJERCICIOS DE REPASO 6 . Dada g(x) =

1. Dada/(x) = 4 - x 2, encuentre: (») /O ) (b) / ( - 2) (c) /(3 ) (d)/(x-l) (e) /(x 2) 2- Dadaf(x) = (*) /( - 2) (d) /I' i + i x

(a) g i f + ' M

encuentre: x - 1 (b) / ( 2 ) (c) /(4 ) ñ

(e)/

x + 1

3. Dadag(x)sr V3x + 1 , encuentre: <») m o>) * ( u (c> g(S) (d) S<8)(e) g( 16) (f) *(3x + 2)

P*

(b) M -l) (c) h(3) (e) hix2) (f) 7) encuentre:

í#)

- /íij

(c)'< l* l)-|/< x )l

, encuentre: ( t,- J — g(x) - 1

-i. g(x)

En los ejercicios 7 a 12, calcule y simplifique el cof(x + h) - /(x) h * 0, para: cíente diferencia h

7. La función del ejercicio 1. 8 . La función del ejercicio 2.

9. La función del ejercicio S. 10. /(*) = VI - x 1 11. /(x) =

Dadah ( x ) ~ ' , encuentre: I x I +3 W) n(-3)

x - 1

(b) /(*) - xf(x2)

(d )/f!l--i-

/(*)

jx

-

2

x + 3 x - 4 En los ejercicios 13 a 18, defina las junciones siguien tes y determine el dominio de la junción resultante: ( a ) f + g; (b )f - g; ( c )f ■ g; (d)f/g; (e)g/f. 12. /(x) =

13. /(x) ■ x J - 4;

g{x) - 4x - 3

14. /(x) = V7;

g(x) a x 2 - 1

238

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SU S GRÁFICAS

13. /(x) = V 7 T T ;

g(x) = x 2 - 4

16. /(*) * x 2 - 9;

g(x) * Vx + 5

17. /W -

j(x) * VT

18. /(x) -

X -

1 ’

$(x) »

41. Hx) m

x - 1 x - 1

42. HOc) a

«i X s o

si 0 < x

Xa

si X < -1

(x + 2 )2

si -I S ,

;í|

x + 2

En los ejercicios 19 a 24, defina las siguientes funcio nes y determine el dominio de la función resultante, (o)f° g: (b) g * f, considerando:

43. /(x) a

x + 4 V 16 - x 2 4 - x

44. *(x) =

x2 - 4 4 - x x - 8

si x < -4 si -4 s , s 4 si 4
19. Las funciones del ejercicio 13. 20. Las funciones del ejercicio 14. 21. Las funciones del ejercicio 15. 22. Las funciones del ejercicio 16.

*0 '

si x 5 2 si 2 < x S 4 si 4 < x

* i I ¡í 90**°* tojt&afyt

En los ejercicios 45 a 48, dibuje la grúfkaéeh^l ción y determine su dominio y contradamic C»l pruebe la gráfica trazándola f & ate * \9p"

23. Las funciones del ejercicio 17. 24. Las funciones del ejercicio 18.

45. f(x ) = [ x - 2]

46. í(x) * [i ♦ iJ-J friuijiraaos t vwpomf»

En los ejercicios 25 a 34, dibuje la gráfica de la fun ción y determine su dominio y contradominio.

47. h(x) = x - [ x ]

25. /(x) = 4 - 2x

26. g(x) = 3x + 2

48. F(x) = —

27. *(x) = x 2 - 4

28. f(x ) = 9 - x 2

29. h{x) = V x 2 - 16

30. H(x) = V 1 - x 2

31. F(x) = V 16 - x 5

32. G(x) = VT 2 - 1

33. f(x) = | 5 - x |

£>» los ejercicios 49 y 50, U y sgn son laJk b i I salto unitario y la función signo definidas a bitr\ cicios 51 y 53, respectivamente, de la SecakCbl cuentre fórmulas para la función dada y gráfica.

34. g(x) = | x + 4 I

él ni.flx) = 2x3

donde n = fx]

f»f(r) = 5x‘ y w s ni

i*

v •

49. /(x) = sgnx - t/(x) £n los ejercicios 35 a 44, dibuje la gráfica de la fun ción y determine su dominio y contradominio.

35. g(x) = -

c2

- 16

x

+

x 3

-

x 38. F(x) * .

+

37. G(x) *

39. FU)

*

. 3

36. f(x)

4 4

si

x & —4

si X a - 4

-

3

x

3 + 2* 40. G(x) m [ 3x + 2 [4-2*

si x * 2 si X a 2 si x < 0 si 0 <. x si X 5 0 *i 0 < X

x2+ x - 6 x - 2

50. g(x) = sgnx (J(x + 1 )

I

En los ejercicios 51 a 54, trace la gn$ca¿tbj**\ y a partir de la gnffica, determine cuál délas!* { 4» supuestos caracteriza los ceros de lafwák* \ ceros reales; ( b )m cero de mulápbciáadl'.oidto | imaginarios.

J N

„ _ "

m

51. /(x ) = x 2 - dx

arec0iT

52. /( x ) = 2x 2 + 8x + 11

'de! ti,

53. g(x) * - x 2 + 8x - 16 54* í(x) ■ —j x a + 2 t + 2 £/j los ejercicios 55 a 58, encuentre el mínimo de la función. 55. f(x ) m 4 - 4r - 2xa 56. g(x) - 3xa + 6 x + 7

V

ün cuej «9

N S ,t

REVISIÓN P E I CAPITULO 4

57. g(x) = Í U 2 + 2 * - 1 1 ) 51./(x) = | d 5 + 6x - x 2) | £)i ¿jí ejercicios 59 y 60, para las funciones f y g y e l „¿ñero c, calcule por dos métodos ( / o g)(c): (a) en cuentreg(c) y use este número para determinar f(g(c)); t (b) calcule ( / 0 g)(x) y emplee este valor para deter\ mar ( / • g)(c). ¡ ¡i, f(x) * V 100 - x 2; g(x) = x 2 + x; c * -3

Ó0./W ■

x4

2i £(■*) =

■

Vx - 2; c = 6

I f/® ^ ^°3 eÍerc^ 0S 61 y 62, exprese, de dos ¿lis maneras diferentes, h como la composición de dosfuncionesfyg. él.

h(x)

= (3x2 - 2) 1/3

O. (*)/(x) = 2x 3 - 3x (b) g(x) = 5x4 + 2x 2 -

1

(c) hOc) = 3x5 - 2x 3 +

x 2-

x

X2 + 1

x

r (*)/W = 4 ^ T * “ 1 ir le) A(x) = — x

67. Si un lago puede soportar un máximo de 10 000 pe ces, el índice de crecimiento de la población de peces es conjuntamente proporcional al número de pe ces presentes y a la diferencia entre 10 000 y el nú mero presente, (a) Si el índice de crecimiento es de 90 peces por semana cuando 1 000 peces están pre sentes, exprese el índice de crecimiento de la po blación como una función de los peces presentes, (b) Encuentre el índice de crecimiento de la población cuando 2 000 peces están presentes. tal que su producto es un máximo.

: fii /oj ejercicios 63 y 64, determine si la función es par, impar o ninguna de las dos.

X3 -

cional a la presión que soporta, y un gas ocupa 100 m3 a la presión de 24 kg/cm2. (a) Exprese el núme ro de metros cúbicos ocupados por el gas como una función del número de kilogramos por centímetro cuadrado de presión que soporta, (b) ¿Cuál es el volumen de un gas cuando su presión es 16 kg/cm2?

68. Encuentre dos números positivos cuya suma es 12,

| i l /i(x) = V9x2 + 6 x + 4

(d) F(x) =

239

W í M - t *? 1*1

(d) F(x) = x 2 • sgnx

En los ejercicios 65 a 82, resuelva el enunciado del problema encontrando una función como modelo matemático de la situación, asegúrese de escribir una conclusión. & La distancia recorrida por un cuerpo en caída libre, partiendo del reposo es directamente proporcional al cuadrado del tiempo que dura su caída, y un cuerpo cae 64 pie en 2 s. (a) Exprese el número en pies de la distancia recorrida por un cuerpo, inicialmente en reposo que cae, como una función del nú mero de segundos que dura su caída, (b) ¿Qué tan lejos llegará un cuerpo partiendo del reposo en su caída en ~ segundos? La Ley de Boyle establece que a temperatura cons tante el volumen de un gas es inversamente propor

69. Encuentre dos números positivos cuya suma es 12, tal que la suma de sus cuadrados es un mínimo. 70. Demuestre que entre todos los rectángulos que tie nen un perímetro de 36 pulg, el cuadrado de lado 9 pulg tiene la mayor área. 71. Si el responsable de un viaje escolar puede acomo dar hasta 250 estudiantes, el costo por cada estu diante será de $15, si no hacen el viaje más de 150 estudiantes; sin embargo, el costo por estudiante se reducirá en 5 centavos por cada estudiante arriba de 150 hasta que el costo alcance $10 por estudian te. (a) Si x estudiantes hacen el viaje, exprese el número de dólares de entrada bruta como una fun ción de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) ¿Cuántos estudiantes deben hacer el viaje para que la escuela reciba el ingreso más alto. 72. Un mayorista ofrece entregar a un comerciante 300 sillas a $90 por unidad y reducir el precio por silla en toda la orden en 25 centavos por cada silla adi cional arriba de 300. (a) Si se ordenan x sillas, ex prese el número de dólares en el costo del comerciante como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) Encuentre los dólares totales implicados en la transacción más alta posible entre el mayorista y el comerciante en estas circunstancias. 73. En un pueblo, cuya población es de 11 000, el índi ce de crecimiento de una epidemia es conjunta-

240

C A P ÍT U LO 4

F U N C IO N E S Y S U S G R Á FIC A S

mente proporcional al número de gente infectada y al número de gente no infectada, (a) Si la epidemia está creciendo a un ritmo de /(x) gentes por día cuando x gentes están infectadas, escriba una ecua ción que deñna /( x). (b) ¿Cuál es el dominio de la función / del inciso (a)? (c) Determine el número de gente infectada cuando la epidemia está crecien do a un ritmo máximo. 74. Un carpintero puede vender todas la mesas que fa brica a un precio de $64 por unidad, si x mesas se producen y se venden cada semana, entonces, el número de dólares en el costo total de la produc ción semanal es x2 + 15x + 225. (a) Exprese el nú mero de dólares de la ganancia semanal del carpintero como una función de x. (b) ¿Cuántas mesas deben ser construidas cada semana con obje to de que el carpintero tenga las ganancias máxi mas? (c) ¿Cuál es la ganancia semanal máxima? 75. En un lago, un pez depredador se alimenta de un pequeño pez, y la población del depredador en cualquier momento es una función / de x, el núme ro de peces pequeños en el lago, el cual es una fun ción g de f, el número de semanas que han transcurrido desde el final de la temporada de pes ca. Si /<*) = i

+

80

g(í) = 8* + 90

haga lo siguiente: (a) Exprese la población del pez depredador como una función de t. (b) Encuentre la población del pez depredador 9 semanas después de cerrada la temporada de pesca. 76. Con base en un monopolio, la ecuación de deman da para una mercancía es x 2 + p = 324, donde x unidad«^» son producidas diariamente cuando p dó lares es el precio por unidad, (a) Exprese el núme ro de dólares de la entrada total diaria como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función en el inciso (a)? (c) En la graficadora, encuentre el número de unidades que deben ser producidas para maximizar la entrada diaria total. ¿Cuál es esta en trada? 77. Con base en el monopolio del ejercicio 76, supón gase un costo de $80 para producir cada unidad. Así, la función do costo total es C donde C(x) = 80x. (a) Exprese el número de dólares de la ganan cia diaria como una función de x . (b) En la granea

dora. encuentre el número de unidadesa* producirse por día para maximizar lapi* ña. ¿Cuál es esta ganancia? 78. Una cacerola metálica abiena será conuru^, tando de las esquinas cuadrados del de una lámina metálica rectangular de u * pulg y doblando hacia aniba los lados. (•)$. tímetros es la longitud del cuadradoanudee se el número de t igadas cúbicas de una función de x. (b) ¿Cuál es d domaos función del inciso (a)? (c) En la graficadoQ,¿ mine, con una exactitud de centésimadepZg - ^(odoslosnumei la longitud del lado del cuadradoquedebe ^hsB na deun; tado para que el volumen de la cacerolaseta» | ximo. ¿Cuál es este volumen máximo? 79. Para formar una caja abierta, se cortancutt* de cada una de las esquinas de laláminadekp* lata que tiene un área de 400 m2. (a) Si ice* >j^ndoquelafunciói tros es la longitud del lado del cuadradop ..foijtójesm función] cortado, exprese el número de centímctracfc» 22:to;í/(r)-/(-j del volumen de la caja como unafunofafei ¿Cuál es el dominio de la funcióndd inóoli En la graficadora encuentre, con una ¡rail centésimos de centímetro, la longituddd cuadrado que será cortado para que d de la caja sea un máximo? ¿Cuál es estevM 80. Un letrero que contiene 50 m2de maeni se requiere que tenga márgenes de 4 a ai¡ abajo, así como 2 m en cada uno de tosWa Si A(x) metros cuadrados es él áreatoaiddM cuando x metros es la medida taaatfdAM gión cubierta por el material impreso, «**1 ecuación que defina A(x). (b) ¿Cuál esdíM de la función Al (c) En la graficadori con precisión de metros, las dimensioos^ : ro más pequeño que pueden presentaresasw ficaciones.

le unidades que deben imizarlt ganancia 4

a será construida cordos del mismo tamaño tangular de 14 por ij los lados, (a) Si x coladrado cortado, expreíbicas de la caja como íl es el dominio dela n la graficadora, déte :entésimos de pulgadi Irado que debe serax ■la cacerola sea unú 1 máximo?

ta, se cortan cuadrado: de la lámina de hoja*! K) m2. (a) Si x centíitf1del cuadrado que de centímetros k) una función de inción del inciso(t)1 e, con una precisión la longitud del lad° o para que el volo^; ¿Cuál es este volufl^

p m2 de material Argenes de 4 m uno de los

Una caja abierta con base cuadrada tien e u n v o lu men de 4 000 pulg2. ( a ) Si S (x) p u lg a d a s c u a d ra das es el área total de la su p e rfic ie d e la c a ja cuando x es la longitud del cu adrado d e la b ase, escriba una ecuación que defina S(x). (b ) ¿ C u á l es el dominio de la función 57 (c) D eterm in e e n la graficadora, con precisión de pulgadas, las d im e n siones de la caja que puede co nstruirse co n la m ín i ma cantidad de material. Hagaei ejercicio 81, si la caja está cerrada. Demuestre que cualquier función, cu y o d o m in io es el conjunto de todos ios núm eros reales, p u e d e e x presarse como la suma de una fun ció n p a r y u n a función impar escribiendo. / « = \ [ f ( x ) + /(-X )] + \ [ / ( x ) - / ( - x ) ]

y demostrando que la fu n ció n q u e tie n e v a lo r e s 51/W +/(*)] es una función par, y q u e la fu n c ió n

*iue tiene valores ^ [f(x) —f ( —x)] es una función im par.

REVISIÓN P E I CAPÍTULO 4

241

84. La función g está definida por g(x) = x 2. Defina una función/tal que ( / 0 g)(x) = jc si (a )x

> 0

(b) jc < 0

85. Encuentre las fórmulas para ( / 0 g)(x) si

y 1 g(x ) = i 2xsi

1

si x < 0 0 < jc <

si 1 <

1 JC

Dibuje las gráficas de/, g y f 0 g. 86. Encuentre las fórmulas para (g 0 f)(x) para las

funciones del ejercicio 85. 87. Dibuje la gráfica de g ° / para las funciones del ejercicio 85.

Sumario 5.1 Gráficas de funciones polinomiales 5.2 Teorema del factor y sustitución sintética 5.3 Ceros racionales de funciones polinomiales 5.4 Ceros complejos de funciones poliño míales 5.5 Funciones racionales

B

S

I S

I i

Ul

3.1

ORÁFICAS P I FUNClONfS POUNOMIALIS

243

gráfic as d e f u n c io n e s p o l in o m ia l e s

OBJETIVOS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

11 1 i !¡ / o\ 1 1

Aprender la regla de traslación vertical. Aprender la regla de traslación horizontal. Aprender la regla de expansión y contracción vertical. Aprender la regla de reflexión respecto al eje x. Dibujar gráficas de funciones polinomiales mediante transformaciones geométricas. Describir el comportamiento al infinito de gráficas de funciones polinomiales. Determinar los extremos relativos de una función polinomial. Estimar los extremos relativos de una función polinomial. Trazar gráficas de funciones polinomiales.

En las secciones 4.3 y 4.4 se describió la forma en que se emplean las funciones polinomiales como modelos matemáticos de enuncia dos de problemas. En esta sección, discutiremos las gráficas de fun ciones polinomiales. Anteriormente se dijo que la gráfica de una función lineal es una recta, y que la gráfica de una función cuadrática es una parábola. Con sidere ahora la función potencia definida como

/ f(x ) = X (a)

f{x) = x n

I— I - * -

X

n es un entero positivo

La Figura 5.1 muestra gráficas de esta función para valores enteros po sitivos de n, de 1 a 6 . Todas estas gráficas contienen al origen, el cual es la única intersección de las curvas con los ejes. Si n > 1, el eje x es tangente a la gráfica en el origen. Si n es un entero positivo par, la grá fica se encuentra en los cuadrantes primero y segundo, y es simétrica con respecto al eje y. Si ti es un entero positivo impar, la gráfica está en los cuadrantes primero y tercero, y es simétrica con respecto al origen. En el caso de que | jc| se aumente sin límite, también lo hará

l/U) I-

ii /(*) = X« (d)

(c)

(f) FIG U RA 5.1

244

CAPÍTULO S FUNCIONES POUNOMIALKS Y RACIONALES

Ahora se mostrará cómo la gráfica de una función deftnKl. te una ecuación de la forma diante

F(x) = x" + k puede obtenerse a partir de la gráfica de f(x) = x*. El procedí^ está basado en la siguiente regla de traslación vertical, l* cual seáj. duce de las ecuaciones de traslación de ejes de la Sección 3.5

Regla d e tra s la c ió n v e rtic a l La gráfica de una función definida mediante una ecuación dek forma

F(x) = f(x) + k puede obtenerse a partir de la gráfica de la función/pormofe de una traslación (o desplazamiento) vertical de k unidadeslu cia arriba si k > 0 , y | k | unidades hacia abajo sik <0.

F (x ) = x 2 + 2 F (x ) = x

2+

1

F (x ) = x 2 - 1 F (x ) = x 2 - 2

>

E J E M P L O IL U S T R A T IV O 1

La Figura 5.2 muestra las gráficas de las funciones

F(x) — x 2 + k donde k toma los valores -2 , -1 , 1 y 2. Observe que las grifas«* tienen de la gráfica de f(x) - x 2[véase la Figura 5.1 (b)J roed«*«* laciones verticales como se muestra a continuación:

FIGURA 5.2

F(x) = x 2 - 2 F(x) = x 2 — \ F(x) = x 2 + 1 F(x) = x 2 + 2

2 unidades hacia abajo

1 unidad hacia abajo 1 unidad hacia arriba 2 unidades hacia arriba

Observe que el valor de £ es la intercepción y de la gráfica.

► EJEM PLO 1

Uso d o la re g la d e traslación v f t i* *

Dibuje las gráficas de cada una de las siguientes funciono una traslación vertical de la gráfica de f(x ) = x 3: (a) F(x) » jc3 + 2

(b) G(x) * * * ~

y

I

5.1

GRAFICAS OE FUNCIONES POUNOMIALES

245

Solución

(a) La gráfica de F(x) =x 3 + 2 se muestra en la Figura 5.3. Se obtiene de la gráfica f(x) - x 3 [véase la Figura 5.1 (c)] por medio de una traslación vertical de 2 unidades hacia arriba.

(b) La Figura 5.4 muestra la gráfica de G(x) = x 3 - 3, la que se obtie ne de la gráfica de f(x) = x3mediante una traslación vertical de 3 unidades hacia abajo.

4

La regla de traslación horizontal, la cual también se obtiene de las ecuaciones de traslación de ejes de la Sección 3.5, nos permite ob tener la gráfica de una función definida por una ecuación de la forma

F(x) = (jt - h)n a partir de la gráfica átf{x) = x n.

R egla d e tra sla ció n h o riz o n ta l La gráfica de una función definida mediante una ecuación de la forma

F(x) = f( x - h) puede obtenerse de la gráfica de la función / por medio de una traslación (o desplazamiento) horizontal de h unidades hacia la derecha si h > 0 , y \h | unidades hacia la izquierda si h < 0 .

>


La Figura 5.5 muestra las gráficas de las funciones definidas por

F(x) = (x - ti)3 cuando h toma los valores - 2 ,- 1 , 1 y 2. Estas gráficas se obtienen de la gráfica de/(jt) = x3, mediante traslaciones horizontales, de la manera siguiente:

F(x) * ( x -

2)J

F(*) * (x- 1)J 5S

F(x) F(x) F(x) F(x)

= = = =

(x + 2)3 (* + l )3 Or - O 3 fx - 2)3

2 unidades a la izquierda 1 unidad a la izquierda 1 unidad a la derecha 2 unidades a la derecha

Observe que el valor de h es la intercepción x de la gráfica.

246

CAPÍTIIIO 5 FUNCIONES POLINOMIAIES Y RACIONALES

► EJEM PLO 2

Uso do la re g la do traslación horizonte

Dibuje las gráficas de cada una de las siguientes funcione* —* una traslación horizontal de la gráfica de/(jr) = x4: (b) G(j) = (x - 2)*

(a) F (x ) = (x + l )4

Solución (a) La gráfica de F(x) = (x + l )4se obtuvo de la de/(x)=x< [ ^ l Figura 5.1 (d)] por medio de una traslación horizontal de l Z hacia la izquierda. La gráfica se muestra en la Figura 5.6 (b) En la Figura 5.7 se presenta la gráfica de G(x) = - 2 f da a partir de la gráfica de f (x ) = x 4mediante una traslaofobJ zontal de 2 unidades a la derecha. A fin de obtener la gráfica de una función definida por un « J ción de la forma F (x ) = (x -

h)n + k

a partir de la gráfica de f (x ) = x"f se utiliza tanto la traslación veras] I como la horizontal, esto se ilustra en el ejemplo siguiente. ► EJEM PLO 3

D ib u jo de la g rá fic a de una fundón p o lin o m ia l m ediante una traslación i y u n a h o riz o n ta l

Dibuje la gráfica de la siguiente función utilizando una traslación tical y otra horizontal de la gráfica de/(jc) = x 3: F (x ) = (jc - 4

)3 -

^5.11

2

Compruebe la gráfica trazando las gráficas de ambas funciones*; mismo rectángulo de inspección. Solución

La gráfica de la función / ( j c )

= jc 3 se

muestraenbfif

5.1(c). Por medio de una traslación vertical de 2 unidades hw»#

y otra horizontal de 4 unidades a la derecha, se obtiene la querida, la cual se presenta en la Figura 5.8. La Figura 5.9 contiene las gráficas de ambas funciones, en el rectángulo de inspección de (-1 0 ,1 0 ] por [-1 0 ,10J.

1

Im

[) f\

1\

r

[ - 10 , 10 ] por [- 10 , 10)

FIGURA 5JH

HSJporl-1. 10]

yu)=.v 3y F(x) = ( a - 4 ) '- 2 FIGURA 5.9

5.1

GRÁFICAS D I FUNCIONES POUNOMIALES

247

Ahora, se estudiará el efecto causado en la gráfica de/(*) = x n al multiplicar por una constante positiva.

>


(a) La Figura 5.10 muestra las gráficas de f( x ) = jr2 ,

^

5 51 por H

* 10^

flG U R A 5.1 0

,

F(x) = 2 x2

G(x) = 4 x 2

trazadas en el mismo rectángulo de inspección. Note que la multi plicación de x 2 por los factores 2 y 4 causa un “estiramiento” ver tical en la gráfica de f(x) - x 2debido al factor. (b) La Figura 5.11 presenta las gráficas de las funciones definidas por M

F(x)

CKx) = \ x ' 4

Aquí, la multiplicación de x 2por los factores > y ^ ocasiona en la gráfica de / ( je ) = x 2 una contracción vertical debida al factor. 4 El ejemplo ilustrativo 3 muestra un caso especial de la regla si guiente.

I-5 .5 J p o r H , 10] ñ x)= S ,F {x )= \xt,y G ( x ) = ±xt

R egla d e e xp a n sió n y contracción ve rtica l

FIGURA 5.11

La gráfica de una función definida mediante una ecuación de la forma F(x) = af(x)

a >0

puede obtenerse a partir de la gráfica de/por medio de (i) expansión vertical de la gráfica mediante un factor a si ' a > 1. (ii) contracción vertical de la gráfica mediante un factor a si 0 < a < 1.

► EJEM PLO 4

Uso dt la

n g la

dt e xp a n s ió n

y co n tra cció n

v r tic a l

Dibuje la gráfica de cada una de las funciones siguientes por medio de una expansión vertical o una contracción vertical de la gráfica de/(x) =x*. (a) F(x) = 2 *4

(b) G(x) =

4

248

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLINOM IALES Y RACIONALES

S o lu ció n

F{x) = 2xA

FIGURA 5.12

(a) La gráfica de f{x) = x* se muestra en la Figura 5-l(d). Lam 1 de F se obtiene de la d e /p o r medio de la multiplicación dec* I denada por 2 , lo que tiene el efecto de estirar verticalme*^ * I fica debido al factor 2. Véase la Figura S.12. (b) Para obtener la gráfica de G, mostrada en la Figura $.13,*^! plica cada ordenada de la gráfica de / por -t , la cual se coi*** ticalmente debido al factor

;$r, J] I

Ahora se resume lo discutido hasta el momento en esta »rA

T ra n s fo rm a c io n e s g e o m é tr ic a s d e u na g ra fía

La gráfica de una función definida mediante una ecuaciónfcfc forma F(x) — af(x FIGURA 5.13

h) + k

a es una constante positm

puede obtenerse a partir de la gráfica de/por medio de lastn» formaciones geométricas siguientes: 1. Expansión vertical (a > 1) o contracción vertical (0< dt

y | h \ a la izquierda si h < 0 . Se obtiene la funcióndefiní por af(x — h). 3. Traslación vertical de k unidades hacia arriba si k > 0, j | k \ unidades hacia abajo si k < 0. Se obtiene F(j)s a f(x - h) + k.

► EJEM PLO 5

función transform ación*

D ib u jo d e la g r á f ic a d e u n a p o lin o m ia l p o r m e d io d e

geométricas.

Dibuje la gráfica de F(x) = 4(jc — 3) 2 —5 por medio de transí«®1** geométricas adecuadas de la gráfica de f(x) = x2. Compruebe t*r ca trazando las gráficas de ambas funciones en el mismo redáp inspección. Se realizarán las transformaciones geométricas de^ fica de / en el orden indicado para obtener la gráfica de F, muestra en la Figura S. 14.

S o lu ció n

1. Expansión vertical mediante el factor 4. 2. Traslación horizontal de 3 unidades hacia la derecha. 3. Traslación vertical de S unidades hacia abajo.

_______

8.1

GRÁFICAS PE FUNCIONES POUNOMIAIES

249

La Figura 5.15 presenta las gráficas de ambas funciones tal como aparecen en la grañcadora o calculadora gráfica. Ahora considere la función potencia definida como /(■*) =* ~xn

n es un entero positivo

La Figura 5.16 muestra las gráficas de esta función cuando n toma los valores enteros positivos de 1 a 6 . Observe que son los reflejos respecto al eje x de las gráficas correspondientes de la Figura 5.1; esto es, la giafl ea de f ( x ) — - x " puede obtenerse mediante la reflexión con respecto al eje x de la gráfica de/( x ) = x n . Por tanto, se tiene la regla siguiente.

Regla de reflexión respecto al eje x

La gráfica de una función deñnida mediante una ecuación de la forma F(x) = -f(x) puede obtenerse a partir de la gráfica de / por medio de la re flexión con respecto al eje x.

y

y

/(*) = -* 2 (a) y

(b)

(c) y

y

(e)

FIGURA 5.16

210

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES

El empleo de la regla de reflexión con respecto al ejexi^. las otras transformaciones geométricas de esta sección nos tener la gráfica de la función F(x) = -a(x - h)n + k

a es una constante positivi

a partir de la gráfica def(x) = x*. Esto es cierto, sin embargo,«^ se realiza la reflexión con respecto al eje x, como se muestr» ejemplo siguiente.

► EJEM PLO 6

O/bu/e d e

l a g r á f i c a de una fundón p o lin o m io ! p o r m e d io de transformaclonn

geométricos

Dibuje la gráfica de F(x) = ~ ( x + 4)3 + 2 median»? transformé geométricas apropiadas de la gráfica de f ( x ) = x \ Compruebekpi ca trazando las gráficas de ambas funciones en el mismo rectfafét inspección.

Solución La gráfica de F , mostrada en la Figura 5.17, seob aplicando las siguientes transformaciones geométricas de lagrifiat f e n el orden indicado.

i oes impar

1. Reflexión con respecto al eje x. 2. Traslación horizontal de 4 unidades hacia la izquierda. 3. Traslación vertical de 2 unidades hacia arriba.

(b) ft<0

RGIRA5.2 La Figura 5.18 muestra las gráficas de ambas funciones ai® aparecen en la graficadora. [ - 1 0 ,1 0 ] p o r [ - 1 0 ,1 0 ]

TO*-(Jf + 4y + 2 FIGURA 5.18

Ahora se tratarán las gráficas de funciones polinomiabnM nerales de grado mayor o igual que 3. Si P es una funciónpoto mial de n-ésimo grado, entonces P(x) = anx n + an- \x ñ~l + a*-2X"~2 + . . . + ft* + *

nos par

(a)

n esimpar Cb) a. >0 FIGURA 5.19

donde oq, a i , . . . , a„ son números reales con o« # Oyn no negativo. Considere a„j? como el primer término del el caso de que | x | aumente sin límite, también lo hará mayor que la suma de los demás términos del polinomior^ forma de la gráfica para valores grandes de | x | será afccj*Jjj, valores del término a*x". Se puede concluir que la formade para valores grandes de | jc | será similar a la gráfica déla ^ tencia de grado n. Ahora se considerarán los casos en que <** voy a„es negativo.

Caso 1: a,, > 0: Los valores de la función aumentarín 0 grandes de x\ por esto, la gráfica irá hacia arriba y a en la Figura 5.19(a) y (b). Si n es par, la gráfica izquierda como en la Figura 5.19(a), y si n es impar« af derá desde la izquierda como en la Figura 5.l9(b).

».1

251

Caso 2: a„ < 0: Los valores de la función disminuirán para valores grandes de x; por esto, la gráfica irá hacia abajo y a la derecha como en la Figura 5.20(a) y (b). Si n es par, la gráfica ascenderá desde la iz quierda como en la Figura 5.20(a); y si n es impar, la gráfica descen derá desde la izquierda como en la Figura 5.20(b).

junto con ermite ot

Las propiedades de una gráfica en las prolongaciones izquierda y derecha del eje x son denominadas como comportamiento al infinito de la gráfica. Asf, las conclusiones de los casos 1 y 2 proporcionan el comportamiento al infinito de las gráficas de funciones polinomiales, lo que se resume en la Tabla 1.

o, primer «tra ent

Tabla 1

Comportamiento al infinito de gráficas de Junciones polinomiales n

On

nnacioK tánguloè se obtuve

grafio¿

GRÁFICAS D I FUNCIONES POLI NOMIALES

n es impar

(b)

Positivo

Par

Positivo

Impar

Negativo

Par

Negativo

Impar

Comportamiento al infinito

Ejemplo

Desciende desde la izquierda Va hacia arriba y a la derecha Asciende desde la izquierda Va hacia arriba y a la derecha Asciende desde la izquierda Va hacia abajo y a la derecha Desciende desde la izquierda Va hacia abajo y a la derecha

Figura 5.19(a) Figura 5.19(b) Figura 5.20(a) Figura 5.20(b)

«,<0 FIGURA 5.20

//£

Las gráficas de funciones polinomiales son curvas “ininterrumpidas’' porque las funciones polinomiales son continuas, lo que implica que un pequeño cambio en x ocasiona un pequeño cambio en/(jt). Una de finición de función continua requiere el concepto de límite, el cual es estudiado en Cálculo. Los puntos importantes de las gráficas de funciones polinomiales son los puntos en donde la función tiene extremos relativos, los cuales son los valores mínimos relativos y máximos relativos de la función.

Y Oo

f e

SÊ * 6

0**

m m w

DEFINICIÓN Valores mínimos y máximos relativos de una ____________ fundón El valor/(a) es un valor mínimo relativo de / s i existe un inter valo abierto (c, d) que contiene a a y tal que f(a )

á f(x )

para todo x en (c, d)

El valor f{b) es un valor máximo relativo de / si existe un inter valo abierto (c, d) que contiene a b y tal que f(b ) £ f(x )

para todo x en (c, d)

252

CAPÉTULOJ.

i

» orifica de una función polinomial tendri un, ^ „ d a , un punto donde existe un extremo relai,0T N Í T ^ U f u n c i ó n tiene un valor míxuno relativo en B y 5' 1 ,i! T e n A y C. Observe las rectas tangentes hora™ ?'* m° S2 = En la Figura 5.19(b), la función tiene d o s V ^ S ucs P“n v alo r máximo relativo en A y un valor m ín im o ^ * vos‘ un ■ j e |a Figura 5.20(a) tiene tres extremos La fu"c , Fi ura 5 20(b) tiene dos extremos relativos. V CÍÓ" Ahora enunciaremos un teorema, sin pr .rio, n ú m e r o o e Z extremos relativos posibl< . par; una fu n c tó n -Z ^ c a u w

TEOREMA 1

Una función polinomial de n-ésimo grado tieoe a lo más n ■ iremos relativos.

De este teorema se deduce que una función polmomial de» grado tiene a lo más tres extremos relativos. Por tanto, la grifai] Figura 5 .19(a) podría ser la de una función polinomial de cuanta La gráfica de la Figura 5 .19(b) podría ser la de una fuDooopo« de tercer grado, ya que tales funciones tienen a lo más dosexn relativos. En los siguientes ejemplos, se aplicará el Teorema 1asícwij información del comportamiento al infinito de la Tabla 1.

^

Descripción y trazado de la gráfkaó* , función polinomial y estimaciónd i * extremos rotativos

Describa el comportamiento al infinito de la gráfica de lato»*1 nida como

P(x) = * 3 - 6* 2 + 9 x - 1 [-5,5] por [-5,5] J>(*)!S*, -dxa+ 9xFIGURA 5.21

Determine los extremos relativos de P. Trace la gráfia*^ graneadora y estime sus extremos relativos. S o lu c ió n Debido a que el coeficiente de x3es jKque I3 ' 1.^, • •- 'TVklo | del polinomio es impar, se concluye de la a . \t, 5 ciende desde la izquierda y va hacia amba y * tan*0, I rema 1, existen a lo más dos extremos re*atl^ ? \ ^ Ul probablemente parecida a la de la Figura 5. _ . en el -’frClcLa Figura 5.21 muestra la f ‘^ * 0 inspección de [-5, 5] por [-5, 5]. Emplean^ ^ re|ativo* graficadora vemos que P tiene un valor ináx

5.1

GRÁFICAS PE FUNCIONES POUNOMIALES

253

d_y un valor mínimo relativo de -1 en x = 3. En el curso de Cálculo se le habilitará para demostrar que éstos son los extremos relativos exactos. 4

■ta tangeni! In la Figüf’ alores mín, Jes en esto« :mos relati. lativo en 8 >s, y la fun

►

EJEM PLO 8

Descripción y trazado da la gráfica de una función polinomial y estimación de sus extremos relativos

Siga las instrucciones del ejemplo 7 para la función definida por

porcionae; ¿normal

P (x) = 3 * 4 - 4 * 3 - \ 2 x 2 + 12 S o lu c ió n El grado del polinomio es 4 y el coeficiente de x 4 es po sitivo. Por tanto, se concluye de la Tabla 1 que la gráfica desciende desde la izquierda y va hacia arriba y a la derecha. Además, por el Teorema 1, tiene a lo más tres extremos relativos. Por esto, la gráfica probablemente es similar a la de la Figura S.19(a). Se traza la gráfica de P en el rectángulo de inspección de 1-5,5J por [—50, 50]. Mediante el aumento (zoom in) de la graficadora se observa que P tiene un valor máximo relativo de 12 en x = 0, y valores mínimos re lativos de 7 y -2 0 en x = -1 y x = 2, respectivamente. Estos extremos relativos son exactos, como lo podrá probar en su curso de Cálculo. 4

- lex

il de cuati ¡ráficadelí tarto grade polinomio >s extreiae

así como

fii l o s e j e r c i c i o s

1 a 6. d ib u je la s g r á fic a s d e F

ú m is m o s i s t e m a c o o r d e n a d o , m e d i a n t e

u n a

y

G , en

tr a s la c ió n

tr tic a l u h o r i z o n t a l d e l a g r á f i c a d e f

unción^

g r á fic a s d e a m b a s fu n c io n e s e n e l m is m o r e c tá n g u lo d e in s p e c c ió n .

11.

f ( x )

m X2-, F

13.

= jc3;

F (x )

3. f(x) = x 2; Fix) = (x + 3)2; G {x ) = ( x - 4)2

14. /(jc) = jc2;

F (x )

4. f{x) = x3; F(x) = (x - 2)3; G{x) = (jc + 3)3

15.

s-/íx) = x \ F(x) — x 3 - 6 ; G(x) = {x - 6)3 ^ f{x) = x*\ F(x) — x A + 1; G(x) = (* + l )4

16. /(jc) = jc4;

12. /(jc) =

E n

f ( x )

f{ x )

=

= 3(jc + 5)2 - 6 = - 2 { x - 4)3 + 1 = - J ( x - D- - 2

(x )

1. fix) = *2; F(x) = x 2 + 3; G(x)’= x 2 - 4 1 f{x) = x \ F{x) ~ x 3 - í \ G(x) = x 3 + 3

x 3; F ( x )

x 4; F { x ) F (x )

lo s e je r c ic io s

1 7 a

=

y(x +

4)2+ 5

-

- 2 ( x

+ 3)4+ 1

=

{ ( x

22,

d ib u je

-

la

2)4- 3

g r á fic a

d e

la f u n

c ió n . C o m p r u e b e s u g r á fic a e n la g r a fic a d o r a .

|fii lo s

e je r c ic io s 7 a

1 0, d ib u je

la s

g r á fic a s d e

f * el m is m o s i s t e m a c o o r d e n a d o , m e d i a n t e

de?*' 'o *¿AV

i

F

y

G ,

e x p a n -

P* * f(x) p . fix) Kf U)

11 a

16. d ib u je

r

tr ó fic a

de f

la

g r á fic a

g e o m é tr ic a s

C o m p ru e b e

la

g r á fic a

F

tr a z a n d o

. 3«®

■■■■■

d e

a p r o p ia d a s

__

/(

jc)

19. (a) f i x ) (b) g(x)

x \ F(x) = 2 x \ G(x) = ¿jc4 x \ F(x) = 3x2; G(x) = \ x 2 - x \ F(x) - - 3 x i; G(jc) - ~ { x 3 -x*\F(x) = - 2 x 4i GÍx) = - ¡ x 4

4 “n te t r a n s f o r m a c i o n e s

17. (a) /(jc) = —4(jc - 2)2 18. (a)

f* ó n o c o n t r a c c i ó n v e r t i c a l d e l a g r á f i c a d e f

f í* lo s e j e r c i c i o s

M

u n a

m e d e la s

20. (a) /(jc) (b) gU ) 21. (a) f i x ) (b) g(*) 22. (a) f { x ) (b) g { x )

=

J ( jc

=

(x

=

~ ( x

-

(bj (b)

- l)4

g {x ) g {x )

2 )4 + 3 + 2)4 - 3

= (jc - 3)3 + 2 = - ( * + 3)3 —2

= 2(x + =

\ ( x

- 4)5 -

4)5 + 1

+ l )5 + 4 = — —3(jr — I i

1

= 3(x + l)2 = - ¿ U + I)4

254

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLINOMIALES Y RAOONALES__________

En los ejercicios 23 a 36, para la función dada haga 35 . f(x ) = ~x* + x 2 lo siguiente: (a) describa el comportamiento al infi^ = x5 - 4 x 3 nito de la gráfica; (b) determine los extremos relati vos: (c) trace la gráfica; (d) estime los extremos relativos. E n lo s e je r c ic io s 3 7 a 4 0 ,

u tilice transforma^

m é tr ic a s p a r a d ib u ja r la gráfica de la jm a áif j

23. P(x) = x 3 - 2x2 - 5x + 6 24. P(x) = x 3 - 3x2 - 9x + 9 25. F(x) * x 3 - 3x2 + 3

tir d e la g r á fic a d e la fu n ció n valor absolmo

|

26. G(x) = x 3 + 4x2 + 4x

37. FU) = 2 \x - 3| + 4 38. F(x) * - 2 \ x + 4| - 3 39. F(x) = - 3 \ x + ¡ 1 5

27. g(x) = 3x3 - 4x2 - 5x + 2

40. F(x) = 3 |* - 2| + 4

28. f(x) - 6x3 + 29x2 + x - 6

41. Las transformaciones geométrica»dela fundón/ empleadas para dibujar lagrffia4¡3 ción F definida por

29. /(* )

= xA - 5x3

4

2x2 + 8x

30. g(x)

= x A - 5x2

+

4

31. P(x)

= x 4 + x 3 - l x 2 - x #+ 6

32. />(*)

* x4 - 6jt3

F(x) = cf(x - h) + k 11a:2— 6x

+

33. G{x) = 3x4 + 5x3 - 5x2 - 5x + 2 34. h{x) = 2x4 - x 3 - 6x2 - x + 2

5.2

donde c , h y k son constantes, incluyen contracción, traslaciones vertical y honran. ¡1 regla de reflexión con respecto al eje1.tb m tante el orden en que se realizan esos traasil ciones? Explique su respuesta.

TEOREMA DEL FACTOR Y SUSTITUCIÓN SINTÉTICA O B JE TIV O S

1. 2. 3. 4. 5.

A prender y aplicar el teorema del residuo. A prender y aplicar el teorema del factor. A prender y aplicar la división sintética. Em plear la división sintética para factorizar un poboon* Calcular valores de funciones polinomiales por medioAb sustitución sintética. 6 . Aplicar el algoritmo de Horner.

En la próxima sección obtendremos ceros de una función mediante la determinación de factores lineales del ¿ Para lograr esto, es necesario aplicar las técnicas discutid* sección. Comenzaremos por enunciar el teorema al que se tect® ^ algoritmo de la división para polinomios, donde el divisor presión lineal de la forma x - r, donde r es un número real-

5 .2

TEOREMA DEL FACTOR Y SUSTITUCIÓN S INTÉTICA

TEOREMA 1

255

Algoritmo de la división para dividir P(x) entre x - r

Si P(x) es un polinomio y r es un número real, entonces cuando P{x) se divide entre x —r, se obtiene como cociente un polino mio único Q(x) y como residuo un número real R tales que para todo valor de x, P(x) = (x - r)Q(x) + R

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Sea P(x) = 2jc3 — 5* 2+ 6* - 3. Divida P(x) entre x - 2. 2x2 - x + 4 x S 2 ) 2 x 3 — 5jc2 + 6 jc — 3 2 x 3 - 4jc2 w—x 2 6 a: - x 2 + 2x 4x - 3 4* - 8 5 De aquí, el cociente Q(x) es 2 r 2 - x + 4, y el residuo /? es 5. Por tanto, se escribe 2 x 3 ~ 5 x 2 $ 6 * | | 3 = (jc — 2)(2x 2 - .* + 4) + 5 lo cual se ha presentado en la forma de la ecuación del Teorema 1.

>

<


En el ejemplo ilustrativo 1, P(x) = 2x 3 - 5jc2 + 6* - 3. Así, />(2) = 2(2 )3 - 5 ( 2 f + 6(2) - 3 , > ,5 Observe que el valor de P(2) es el mismo número que el residuo obte nido en el ejemplo ilustrativo 1, cuando P(x) se dividió entre x - 2. < El ejemplo ilustrativo 2 presenta un caso especial del siguiente teorema, conocido como teorema det residuo.

/ FUNCION í S PO U W O M jA U S Y « A O O N A U S 256

c a p ít u l o s

TEOREMA 2

Teorema del residuo

Si P(x) es un polinomio y r es un número real se divide entre x - r, el residuo es P(r). D em ostración Del Teorema 1 se deduce que cuando entre x - r, obtenemos un polinomio Q(x) como cociente **** real R como residuo tales que para todo valor de x,

P (x) = (x - r)Q(x) + R ina identidad, ésta es m satisfedu Debido a que esta ecuación es una x = r. Así P(r) = (r - r)Q(r) + R = 0 + R = R

por lo que el teorema se ha demostrado. ►

EJEM PLO 1

Aplicación d e l teorema del residuo

Utilice el teorema del residuo a fin de determinar el res» cuando 2 x 3 + 3x 2 - 4 x - 17 se divide entre ( a )x -3y(k)i+l Solución

(a) Cuando P{x) se divide entre x - 3, el residuo es P{3). C« P(x) = 2x 3 + 3x 2 - 4x - 17 P{3) = 2(3 )3 + 3(3 )2 - 4(3) - 17 = 52

Por tanto, cuando P(x) se divide entre x - 3, el residuo es (b) Cuando P(x) se divide entre x + 2, el residuo es P{~2)P ( - 2) - 2 ( - 2 )3 + 3 (—2)2 - 4 (-2 ) - 17 = ~ 13 Así, cuando P(x) se divide entre x + 2, el residuo es -1 • Una consecuencia del teorema del residuo es el tor. Este teorema nos permite determinar si una exprés' la forma x - r es factor de un polinomio dado. TEOREMA 3

Teorema del factor

Si P{x) es un polinomio y r es un número contiene a x - r como factor si y sólo si Pir) ~~

5.2

TEOREMA P E I FACTOR Y SUSTITUCIÓN SINTÉTICA

257

D em ostración Debido a que el enunciado del teorema contiene la expresión si y sólo si, hay dos partes a probar. Parte 1: Si P(r) = 0, en tonces x - r es un factor de P(x); Parte 2: Si x - r es un factor de P(x), entonces P(r) = 0. Demostración de la parte 1: Del Teorema 1 y del teorema del residuo se deduce que para el polinomio P(x) y el número real r, existe un único polinomio Q(x) tal que P(x) - (x - r)Q(x) + P(r) Si P(r) = 0, entonces P (x) = (x ~ r)Q(x) Por tanto, x — r es un factor de P(x). Demostración de la parte 2: Se desea probar que si x - r es un factor de P(x), entonces P(r) = 0. Si x - r es un factor de P(x), enton ces cuando P(x) se divide entre x - r, el residuo es cero. Así, del teo rema del residuo, se deducé que P(r) = 0. B

►

EJEM PLO 2

Aplicación del teorema de/ factor

Utilice el teorema del factor para mostrar que x — 4 es un factor de 2 x 3 - 6 x 2 - 5 x - 12. S o lu c ió n

Si P(x) = 2 x 3 - 6 x2- 5 x - 12, entonces

P (4) = 2(4 )3 - 6(4 )2 - 5(4) - 12 = 2(64) - 6(16) - 20 - 12 = 128 - 96 - 32 = 0 Por tanto, mediante el teorema del factor, x — 4 es un factor de P(x). -4 Cuando se emplea el teorema del factor para mostrar que una ex presión lineal de la forma x - res factor de un polinomio P(x) (como en el ejemplo 2), los otros factores se obtienen dividiendo P(x) en tre x — r. Para simplificar el cálculo de tales divisiones, usaremos un procedimiento denominado división sintética, el cual se explica a con tinuación. En el ejemplo ilustrativo 1 se empleó la división larga para di vidir 2 x 3 - 5 * 2 + 6x - 3 entre x - 2. La operación fue la si guiente:

258

CAPÍTULO 5

FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES

x + 4 5 x 2 + 6x

2 )2 x 3 2x3

4jc 2

—x 2 + 6x —x 2 + 2 x 4 jc — 3

4x — 8

La operación puede abreviarse omitiendo las potencias de i yqq, biendo únicamente sus coeficientes. Al efectuar esto, la operaciót» da como sigue:

1

2,-1 4 - 2 )2 - 5 6 2 -4

-1

6

-1

2 4 4

-3

-3 -8

5 En el divisor, x - 2, el coeficiente de x es 1. Así, el coeficienteddp mer término de cada residuo es el mismo que el del siguienteitm del cociente. Además, el primer término del siguiente productope* es igual al coeficiente del primer término de cada residuo. Por»».« pueden omitir los términos del cociente, así como los primerosté® nos delos productos parciales. Al omitir dichos términos, seoto* 1

—2| 2 -5 6 -1

-3

6

____ 2 4

-3

-8 5

En la división sintética, el divisor es un polinomio de lafon*J y por tanto el primer coeficiente del divisores siempre l;p
-5 -4

6 2

-3 -8

5.2

TEOREMA P E I FACTOR Y SUSTITUCIÓN SINTÉTICA

259

Ahora se escribe 2, primer coeficiente del dividendo en la primera posición de la fila inferior, para obtener -212 -5 6 ------- 4 2 - 8 2 - 1 4

-3 5

Observe que los primeros tres números del último renglón son los coeficientes 2, —1 y 4 del cociente; el último número de este renglón es 5, el cual es el residuo. Los números de la segunda fila se obtienen multiplicando el número de la última fila de la columna precedente por —2 ; y los números del renglón inferior se determinan restando los de la segunda fila de los de la primera. Si el multiplica dor - 2 se reemplaza por 2 , los números de la segunda fila se suman a los de la prim era para obtener los de la última. Al efectuar este cambio resulta: 2 J2

-5 4

2

-1

6

-3

-2 4

5

8

Este arreglo de la operación es la división sintética del polinomio 2r 3— 5x* + 6x — 3 entre x — 2, con cociente 2x? —x + 4 y residuo 5. En general, los pasos siguientes proporcionan el procedimiento para la división sintética de un polinomio P(x) entre x - r. Cuando lea los ejemplos ilustrativos 3 y 4, refiérase a estos pasos.

D iv isió n s in té tic a 1. Escriba P(x) en la forma anXn + ün-i x"~l + x"~2 + . . . + a\x + (h) y si falta algún término anótelo con coeficiente cero. 2. Escriba los coeficientes de P(x) ordenados en una fila horizontal. 3. Baje el primer coeficiente a„ de P(x) a la última fila. 4. Multiplique an por r, y escriba el producto en la segunda línea debajo del coeficiente i; sume el producto a a„-¡, y escríba la suma en la fila inferior. 5. Multiplique esta suma por r y escríba el producto en la segun da línea debajo del coeficiente an-2', sume el producto a a„-2, y escriba la suma en la última fila. 6. Repita el proceso de los pasos 4 y 5 hasta que sea posible. 7. El último número del renglón inferior es el residuo, y los nú meros precedentes son los coeficientes de los términos suce sivos del cociente, el cual es un polinomio cuyo grado es mendr que el de P(x) en 1.

í

260

CAPÍTULO 5

FUNCIONES P O U N O M IA L E S Y RACIONA! F«j

>

E JE M P L O

IL U S T R A T IV O

3

Se emplea la división sintética para dividir 3* 3_ j 2 Los coeficientes del dividendo son 3, -7, 1 y 5 orden en el cual los números son determinados. ^ 1 13

-7 3

1 -4

* / / 3 - 4 - 3

5 -3 X 2

Debido a que el último renglón está formado por los números3j 2, el cociente es 3x2 - 4x - 3, y el residuo es 2. Por tanto. 3^3 _ 7*2 + jc + 5 = U - l)(3x 2 - 4x - 3) + 2

t>


Se utiliza la división sintética para determinar el cociente yel o* cuando x 4 - l x 2 + 2x — 6 se divide entre x + 3. Como seviife entre x + 3, o sea, x - (-3), r - -3. Los coeficientes de x4 - 7xJ +1-1 son 1,0, -7 , 2 y - 6 (se introdujo el coeficiente cero por el ténmefc tan te x 3). La operación se exptesa como sigue: -3| 1

0 - 7 2 - 6 -3 9 -6 12 1 - 3 2 - 4 6

Por tanto, el cociente es x 3 — 3x 2 + 2x- 4, y el resi
► EJEM PLO 3

cuandox* x

c .

= (x + 3)(x 3 - 3x 2 + 2x-4)+M

Aplicación do la división sinl+fc0

s,ntét'ca P31^ determinar el cocientey + 4x + 5 se divide entre x - 2.

*°lución 4 y 5 dnnH. 1r coeficienles d e x 5 - 3x4 + 4x + *** tantes x3 \ ?S ceros rePresentan los coeficientes de los ■La operación, mediante la división sintéticb* U

1

0

0

4

1

7— ~ 2 " 4

~8

~2

%4 ~ 4

El cociente es x 4 - *3 £

5

~3 ^ _ < y9ln& 0 * *

j i

j

5.2

►

TEOREMA DEL FACTOR Y SUSTITUCIÓN SINTETICA

E JE M P L O

4

261

Empleo de la división sintética p a ra factorizar un polinomio

Dado P (x) = 6 x 3 + x 2 — 4 * + 1 Muestre que 3x — 1 es un factor de P(x) y determine los otros factores. Solución

Como 3x - 1 = 3(x - j), 3x - 1 será un factor de P(x) si

también lo es x -

Se utiliza la división sintética para dividir P(x)

entre x - ¿ i]

6 1

-4

2 6

1

1

-1

3 - 3

0

Como el residuo es P( j } = 0, se concluye por el teorema del factor que x - | es un factor de P(x). Además, P (x) — (x — j ) ( 6 x 2 + 3 x — 3) = ( x - ¡)[3 (2 x 2 + x - 1)] = (3 x -

l)(2 x 2 + x - l)

Por tanto, 3x - 1 es un factor de P(x). Debido a que 2x2 + x -

l = (2 x - l) ( x + 1)

P(x) se escribe en forma factorizada como P (x) = (3 x -

\){ 2 x - 1 )U + 1 )

<

El teorema del residuo establece que para un polinomio dado P(x), el valor P(r) es el residuo cuando P(x) se divide entre x - r. La división sintética proporciona una forma rápida para obtener P(r), y cuando se emplea este método se dice que se calcula P(r) por sustitu ción sintética. En general, es más fácil determinar P(r) mediante susti tución sintética que por sustitución directa.

►

EJEM PLO 5

Dotorminación de valores de funciones polinomiales mediante sustitución sintética

Si P(x) = 2 x5 + 4 x 4 - IQx3 - 20x - 10, determine P(0), PC-l), P{3) y P(—4) por medio de sustitución directa o sintética, la que sea más fácil. Se obtendrá / ’(O) y P (- 1) por sustitución directa, P(3) y P ( - 4) mediante sustitución sintética.

S o lu c ió n

262

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLINOM1ALES Y RACIONALES

P( 0) = - 1 0

P ( - 1) = - 2 + 4 + 1 0 + 2 0 = 22

U 2

10

-4 J 2 - 4

10

0

30 20

60 60

-20 180 160

10 0 16 - 2 4 6 - 2 4

10

-10 480 470 -2 0 96 76

-1 0

304 -314

Así, P(3) = 470 y P (-4) = -314. Los cálculos de valores de una función polinomial pueda efe tuarse en la calculadora. En algunas calculadoras es posibledetcnnm 0 0 P{r) haciendo y = P(x) y asignando el valor r en x, se obtieoeelnb correspondiente para y. Consulte el manual de la calculador!. ^(¡irddos ¡ai Un procedimiento conocido como algoritmo de Honur, liana así en honor a William Horner (1786-1837), matemático info ■ totftkapramln porciona un método fácil de seguir en la calculadora para determina-* residuo P(r). Para mostrar este procedimiento, considere el ejemplo! lUtf-ii+S) ií Oí4+7j3+ x P(x) -m 6 x3 + x 2 - 4x + 1 = x[6x2 + x — 4] + 1

:!’n Í7l' 5>

g x[x(6x + 1) - 4] + 1 De aquí,

'7x*~ 5x

P(r) = r[r( 6 r + 1) - 4] + 1

<*:

El miembro derecho de (2) se evalúa fácilmente en una calato)® empezando con la expresión de los paréntesis internos con» multiplique 6 (primer coeficiente de ( 1)) por r, sume 1(elcoefc* que sigue); multiplique la suma por r y sume -4 (siguiente coé& te); multiplique esa suma por r y sume 1 (coeficiente quesigue) Observe que si se calcula P{f) mediante sustitución sintéticaR* 1 1 6r

6

r(6r + 1) 6r + 1 r( 6 r + 1) — 4

r[r(6r + 0 - 4L r[r( 6r + l ) ^ T +[

Entonces, por el teorema del residuo, P(r) = r[r(6r + en (2). Por esto, el algoritmo de Horner y la sustitución dos nombres para el mismo procedimiento.

► E JE M P L O ó

A p lic a c ió n d e l a ig o r ilm o d e Hon**

Escriba el polinomio P(x) * 3x4 - 2x 3 + 4 x 2 -

I

7tK

3)

V . a%rd •«if, e*5

V '1

5.2 _T|O R EM A DEL FACTOR Y SUSTITU qÓ N SIN TÉTICA

263

en la forma del algoritmo de Homer y utilícelo para evaluar P{2) y P{-3) en una calculadora.

Solución P(x) *» 3x4 - 2x> + 4 * 2 - * + 5 * x(3x3 - 2x2 + 4x - 1) + 5 = x(x[3x2 - 2* + 4] - 1) + 5 * x(x[x(3x - 2) + 4J - 1) + 5 Con esta forma se obtiene en la calculadora P(2) = 51 y P (-3) = 341.

[En los ejercicios 1 a 4, utilice el teorema del residuo Yutodeterminar el residuo cuando el polinomio es divi

dido entre h expresión lineal. 1 (a) (3x2 - 4x 4 5) * (x - 3) [ (b) (3x4 + 7x3 + x 2 4 x 4 9) 4 (x + 1) ( l (a) (4jt2 4 7x - 5) 4 (x — 1) (b) {x3 - Ax2 4 5) 4 (x + 3)

17. (6 x 3 - x 2 + 2x + 2) 4 (x 4 J) 18. (8x 3 — 6x 2 4 5x — 3) + (x — j ) 19. (x 7 - 1) 4 (x - 1) 20. (x 7 4 1 ) 4 (x 4 1) En los ejercicios 21 a 26, utilice la sustitución sintética para determinar los valores de la función. 21. Si P(x) = 4x 3 - 5x 2 - 4, determine P(2) y P(-3).

] 3. (8) (x3 + 9) + (x + 2) (b) (3jt5 - 7x4 - 5x3 - 4 x 2 + 1 ) 4 ,(x - 3)

22. Si P{x) = 3x 3 + 4x 2 - 9 , determine P(-2 )yP{\).

¡i (i) (x* - 8) 4 (x - 2 ) (b) (8*5 4 l x 2 - 3) “ (x - {)

23. Si P{x) = x 4 + 3x3 - 5x 2 + 9, determine /*(—4) y P(3). 24. Si P(x) = 2x4- 7x3- 15r+ 1, determine P(4) y /^f-2).

p los ejercicios 5 a 10, emplee el teorema del factor responder la pregunta. • ¿Es*-3 un factor de 2x 3~ 6x2-5 x + 1 5 ? p

¿Esx+3un factor de 3 a : 3 — x 2- 2 2 x -2 4 ?

?*¿Esi+2 unfactordex4 + 2x 3- 12x 2- llx + 6? £ ¿Es* - 2 un factor de x 7 - 128? ■ ¿Es* ♦3 un factor de x s + 243?

28. x - 5; P(x) = 2x 3 - 13x2 + 16r - 5

■ ¿Es x - a un factor de x 8 + a 8?

Ilo»e j e r c i c i o s

11 a 2 0 , e n c u e n tr e e l c o c ie n te y

m e d ia n te d iv is ió n s in té tic a .

(&'

+ 3x 4 12) 4 (x - 4) (y5 + 4y2 + 3y - 6 ) 4 (y - 2) + 5xJ - lx - 1) + (jr 4 4) + 4x2 - 7) + (* + 3) + z4 - 4za + 7) + (z * 2) * * 2U’ - 26xJ 4 27x) 4 (x + 5)

25. Si P(x) = 6x 3 - x 2 - 7x + 2, determine /* (-j) y P { \) . 26. Si P(x) = x 3 + 2r + 4, determine 1.3) y /^2.1). £>i foj ejercicios 27 a 30, muestre que la expresión li neal es un factor del polinomio y encuentre los otros factores. 27. x + 3; P(x) = 4x 3 + 9x 2 - lQx - 3

e l re

29. 2x - 1,P(x) = 6x 3 - 7x 2 + 1 [Sugerencia: 2x — 1 = 2(x - j)] 30. 3x + 2;/*(x) = 12r 3 + 5x 2 - llx - 6

[Sugerencia: 3x + 2 = 3(x + y)] En los ejercicios 31 a 34, determine si la expresión li neal es un factor de P(x). 31. x - 4; P(x) = 2x 4 - 7x 3 - 14x + 8 32. x - 3; P(x) = x 4 - 6x 2 - 5x - 12

<

264


33. 2x + 3; P(x) - 4xJ - 4xJ - \ \ x + 6 34. 3x - 1; P(x) » 9x 3 + 3x 2 - 5x - 1

En los ejercicios 35 a 38, escriba el polinomio en la forma del algoritmo de Homer y úsela para determinar los valores indicados de lafunción mediante una calcu ladora. 35. P(x) = 2x3 - 6x 2 - 3x - 12; P(7); P(- 5) 36. P(x) = 5x4 - 8x 3 + 2x2 - 4x + 1; P(6); P(-3) 37. P(x) * 4x4 - x 3 + 2x - I; P(3); P(- 4)

38. P(x) = 3x5 - 2 x 3 - x 2 - 10; T O ; P(-2) 39. Encuentre los valores de k tales que x + 2 sea un factor de 3x3 + 5x2 + kx - 10. 40. Encuentre los valores de k tales que x - 5 sea un factor de Ax3 - 17x2 - 4kx + 5. 41. Determine los valores de k tales que x - 4 sea un factor de x 3 - k 2x 2 - Skx - 16.

42. Encuentre los valores de k tales que x factor de 5x3 + k 2x 2 +2kx - 3. 43. (a) (b) (c) (d)

¿ E sx -3 un factor de x 50~ 3»* ¿Esx - 3 un factordex** 3») ¿Es x + 3 un factor de x**- 3«7 ¿Es x + 3 un factor de *49+ 3*7

44. (a) (b) (c) (d)

¿Es x + 3 un factor de*10- 350? ¿Esx + 3 unfactordexso+ 350? ¿ E sx - 3 un factor de* * - 3*? ¿ E s x - 3 un factor de x49+ 3**?

45. (a) Determine los valores de n para loscuífaj. es un factor dex" - y ", y explique surazona* I (b) Encuentre los valores de n paralosaafai, I es un factor de x"-y", y explique surazonan 46. (a) Determine los valores de n paraloscuales;. « un factor de x" + y ", y explique surazomaea (b) Explique por qué x - y no es tmfactordexy para cualquier valor entero de n.

5.3 CEROS RACIONALES DE FUNCIONES POLINOMIALES O B JE TIV O S

P(x)

1. Dados los ceros de una función racional, todos exceptad* determinar los dos faltantes. 2. Aprender el teorema de ceros racionales. 3. Aplicar el teorema de ceros racionales para determinar!* ceros de una función polinomial. 4. Aplicar el teorema de ceros racionales para determinarlaí raíces de una ecuación polinomial. 5. Probar que una ecuación polinomial particular nopos# racionales.

El teorema del factor y la sustitución sintética pueden determinar los ceros racionales de funciones polinomial«ción, aprenderá cómo hacerlo. Empleará dos teoremas, sección siguiente, en los cuales se tratan los ceros WWGPgg ciones polinomiales (incluyendo números reales e imagin*10 mero de estos teoremas establece que si a„xn + a„-ix " " 1 + an- 2x "~2 + . . . + a\X + <*> n * y si fi, n , . . . , r* son ceros complejos de P, entonces P(x) * a„(x - ri)(x - r z ) . . . (x - r„)

S¡s

5.3

CEROS RACIONALES PE FUNC IO N ES PO LINO M IALIS

265

Si en esta ecuación un factor x - r¡ aparece k veces, entonces r¡ se lla ma cero de multiplicidad k. Si un cero de multiplicidad k se conside ra como k ceros, entonces se deduce de ( 1) que una función polinom ial P, para la cual P (x) es de grado n ;> 1, tiene p o r lo m en o s n ceros, algunos de los cuales pueden estar repetidos. El se gundo teorema establece que uno de estos polinomios tiene exacta m ente n ceros.

>


La función P definida como P (x ) = (jr - 4 )3U + l ) 2(jt - 3) es de grado 6 , por lo que P tiene seis ceros; éstos son 4 ,4 ,4 , - 1 , - 1 y 3. El núm ero 4 es un cero de multiplicidad 3, y - 1 es un cero de multipli cidad 2 . 4 Para cada teorem a relativo a los ceros de una función polinomial, se tiene un enunciado relacionado con las raíces de una ecuación poli nom ial. Por ejem plo, del teorem a que establece que un polinom io de grado n tiene exactam ente n ceros, se tiene el hecho de que una ecua ción polinom ial de grado n tiene exactam ente n raíces.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 L a ecuación polinom ial correspondiente a la función polinom ial del ejem plo ilustrativo 1 es

(x ~ 4)3(* + \ ) \ x - 3) = 0 E sta es una ecuación de sexto grado, y sus seis raíces son 4, 4, 4, - 1 , - 1 y 3. <

► EJEMPLO 1

D em ostración d e que un n ú m ero es un cero d e m u ltip lic id a d d e u n a función p o lin o m ia l y d eterm in a ció n d e los otros ceros

2

Sea: P(x) = 2 x 4 - l l * 3 + 1 U 2 + 15jc - 9 Trace la gráfica de P y observe que la gráfica sea tangente al eje x. En tonces pruebe que la abscisa del punto de tangencia es un cero de mul tiplicidad 2 de P y determine los otros dos ceros.

Solución La Figura 5.23 muestra la gráfica de P. El punto de tan gencia aparece donde x - 3. Para probar que 3 es un cero de multiplici dad 2 de P, se comienza por la división sintética de P(x) entre x - 3.

í4 é

« rtx u to

U2 2

11 15

-1 1 6 - 5

- 4

15 12

-9 9

3

0

De aquí. , 4

i u 3 + 1 U 2 + '5 x - 9 = (x - 3)(2x - 5 * - 4, + j U Ahora se dividirá 2at3 - 5*’ - 4 , + 3 entre* - 3.

u

2

—5

""4 3 -3

2

1 - 1

0

Por tanto, 2 x 3 - 5 x 2 - 4 x + 3 = (x - 3)(2x2 + x - 1) Al sustituir (3) en (2), se obtiene

2jc4 - l l x 3 + 11** + 15jc - 9 - <* - 3 ) W + j - | El factor cuadrático puede factorizarse en dos factores lineales.» tiene 2 x A - 1 l x 3 + 1 \ x 2+

15jc - 9 = (x - 3f[2x - lKif

Como 2x - 1 = 2{x - j ), entonces 2 x 4 - IIjc 3 +

l l x 2+

15jc'— 9 = 2 ( x - 3 )\i-fiíi+ l

De esto, se deduce que los ceros de P son 3, 3, j y -1. E«hfi gura 5.23 observe que —1 y ^ son intercepciones x de la grifa cual concuerda con el hecho de que estos números son cerosdeA Si los coeficientes de la ecuación que determina entonces los ceros racionales de P pueden encontrarse media* “ rema siguiente.

TEOREMA 1

Teorema de ceros racionales

Suponga que

P(x) = a„x” +■aM r - ' + f ln - 2* " ' enteros. ur* Si ?, donde a», úlf . • . t an son avil villVlVOt q* en su mí**1 ^ yg) es un número racional y un cero de P, entonce» entero de a» y q es un factor entero de anzar esîaclemoslrac‘° n del teorema de ceros racionales se*1\ , eSta secc,on Observe que este teorema no garantiza 4*

w m m

■h

5.3

CEROS RACIONALES PE FUNCIONES PO üN OMIALES

267

ción polinomial con coeficientes enteros tiene un cero racional. Sin embargo, el teorema proporciona el procedimiento siguiente para en contrar algunos ceros racionales.

D e te rm in a c ió n d e ceros ra c io n a le s d e u na fu nció n p o lin o m ia l P

1. Aplique el teorema de ceros racionales para localizar los po sibles ceros racionales. 2. Trace la gráfica de P y mediante la observación de las inter secciones de la gráfica y el eje x, determine cuáles de los nú meros del paso 1 son posibles candidatos para ser ceros racionales. 3. Si jci es un candidato, calcule P(xi) y si P(xi) = 0, se tendrá un cero racional. 4. Aplique la división sintética para encontrar Q(x), cuando P(x) se divide entre x - xi, así P(x) = ( x - x¡)Q(x). 5. Continúe el procedimiento en los pasos 3 y 4 con Q(x). 6 . Si se obtiene un factor cuadrático, iguale a cero este factor y resuelva la ecuación cuadrática.

>


Aplique los pasos arriba mencionados cuando P se deñne por P (x ) = 3 x 3 - 2 x 2 - I x - 2 Del teorema de ceros racionales, se sabe que cualquier cero racimal J de P debe ser tal que p es un factor entero de -2 y q es un factor entero de 3. Por tanto, los posibles valores de p son 1 ,-1 ,2 y -2; y los posibles va lores de q son 1,-1, 3 y -3. De esto, el conjunto de posibles ceros ra cionales de P es { 1 , - 1 , 2 , :% 2 , í , - i , i , - f }

La gráfica de P se muestra en la Figura 5.24. Al comparar las intercepcio nes de la gráfica con los posibles ceros racionales, sospechamos que -1 y 2 pueden ser ceros. Si calculamos P(-l) obtenemos 0, lo que verifica que -1 es en verdad un cero. Ahora apliquemos la división sintética. - 1 1 3 —2 - 7 ----~3 5 3 - 5 - 2

-2 2 0

Por tanto, P(x) * (* + l)(3 x a - 5* - 2)

■■■■■■■

268

CAPÍTULO 5


Los otros dos ceros de P se determinan igualando a cero el fj_ drático y resolviendo la ecuación. 3 x 2 j g 5jc — 2 = 0 (x - 2 )(3 x + l ) = 0 x - 2 = 0 X

3x + 1 = 0 X

= 2

;

Así, los tres ceros de P son —1 ,2 y - A . Observe que la factorización de P{x) es P (x) = {x + t ) ( x - 2){3x + 1)

►

EJEM PLO 2

Aplicación del teorema de ceros racional« p a r a determinar los ceros de uno fondón polinom ial

Sea P(x) = 4X3 + 14x2 + IOjc — 3. Determine los ceros raciónalai y si es posible, encuentre los ceros irracionales o imaginarios. S o lu c ió n Del teorema de ceros racionales, cualquier ceron a ^ de P debe ser tal que p es un factor entero de -3 y q es un(adera tero de 4. De esto, los valores posibles de p son 1,-1,3 y-3; yIb» lores posibles de q son 1, - 1 , 2 , -2 , 4 y -4 . Por tanto, d conjuat ceros racionales posibles de P es / I \ 1 ,

[ - 5 , 5 ] p or [ - 5 , 5 ] P (x ) = 4 x ’ + 1 4 x J + 1 0 c - 3

FIGURA 5.25

_

1 7. 1 , J ,

- T . J ,

I 2 ,

_ I 3 2 » 2 *

_ 3 J __I 3 __ 31 2 » 4 * 4 » 4 » 4J

La gráfica de P, trazada en la graficadora, se muestra en JaFf 5.25. Los únicos ceros enteros posibles son 1,-1,3 y — 3,ydelifi ra 5.25, y ninguno de estos números es una intercepción de lap* Además, y | no son, evidentemente, intercepciones. Sin«8^ la figura indica que —| es una posible intercepción, y por tanto. • sible cero de P. Si calculamos

) se obtiene 0. Así,—«* j

de P. Ahora se em plea la división sintética para dividirw x + 4. i I 4

14

-6 8

10 -1 2

-2

-3 3 0

De esto,

/>(.*) « (x + §)(4 * 2 + 8 * - 2) = 2(jc + f)(2 * 2 + 4 * 7 1) Los otros dos ceros se determinan igualando a cero el fi*** y resolviendo la ecuación.

5.3

CIRO S RACIONALES DE FUNCIONES POUNQMIALES

2x2 + 4x -

269

1 = 0 x

-4 ± V i6 T 8 4 - 4 ± 2V 6 4

-2 ± V6

2

Se tiene un caso especial de) teorema de ceros racionales cuando an, el coeficiente de x", es 1. Entonces P (x) - x" + a„-ixn~l + aH- i x n~2 + . . . + a ix + ao donde ao, a ¡ , . . . , a„_ 1son enteros. Para uno de estos polinomios, cual quier cero racional de P debe ser un entero, además, debe ser un factor entero de ao. Lo cual es consecuencia del hecho de que si J es un cero racional de P, entonces p debe ser un factor de ao y q un factor de 1, el coeficiente de x n.

►

EJEM PLO 3

Aplicación del teorema de ceros racionales p ara determinar los ceros de una función polinomial

Sea P (x) = x 4 + 2>x\ - \ 2 x 2 - 13* -7 15 Determine los ceros racionales de P, y si es posible, encuentre los ce ros irracionales o imaginarios.

Solución Los ceros racionales posibles son factores enteros de -1 5 . Estos números son 1, - l , 3, - 3 ,5 , -5 , 15 y -15. Se traza la gráfi ca de P, la cual se muestra en la Figura 5.26. De la gráfica, los únicos ceros racionales posibles son —5 y 3. Si calculamos P (-5) y P{3) en cada caso se obtiene 0. Por tanto, -5 y 3 son ceros racionales de P. A hora, em plee la división sintética para dividir P(x) entre x + 5, después divida el cociente entre x - 3. —5 1 1 311 1

3 -1 2 -13 -15 -5 10 10 15 -2 -2 -3 0 3 3 3 1

1

0

270

CAPÍTULOS

FUNCIONES POUNOMIALfS Y RACIONALES

Por tanto,

P(x) * (* + 5)(x - 3 )(x 2 + x + 1) Si se iguala a cero el factor cuadrático y se resuelve laec uaci^ tiene

+ x + 1= 0 i ± vT

1

± iV 3

Por tanto, los ceros de P son -5 , 3 y + ( - 1 ± i VT). 4 Se puede aplicar el teorema de ceros racionales en la ción de las raíces racionales de una ecuación polinomial, si lacok* es equivalente a una en la cual los coeficientes sean entero*. S|fc las raíces, excepto dos de una de estas ecuaciones polioooéia racionales, entonces pueden determinarse las dos fallantes coao» cionales o imaginarias, mediante la fórmula cuadrática coboum tró en los ejemplos 2 y 3.

E JE M P L O 4

Aplicación del teorema de c*rw rocMi p ara determinar las raíces de una tomam polinomial

Determine las raíces racionales de la ecuación

! - o

|

Si es posible, encuentre las raíces irracionales o imaginan*.

Solución Para aplicar el teorema de ceros racionales tes deben ser enteros. Por ello, primero se multiplica cada la ecuación dada por 4. Así, se obtiene la ecuación equivale* 4 * 3 + 15jc2 + 4jc - 2 = 0 Sea P(x) = 4 x 3 + I5 x2 + 4x - 2. Si -f es una raíz ción P(x) = 0, entonces p debe ser un factor entero ác un factor entero de 4. Por tanto, los valores posibles -2 ; en tanto que los de q son 1, - 1 , 2, -2 , 4 y -4 . En conjunto de raíces racionales posibles es a

—1. 2 , —m

. —i . i , - o

La Figura 5.27 muestra la gráfica de P tal con,° aParC^ s dora. En esta figura se observa que no hay inicri:cPc,ü la gráfica. Esto elimina a I, - 1, 2 y - 2 como posible»

*

5 .3

CEROS RACIONAL1S D I FUNCIONES POUNOMIALES

271

ca indica que ^ es una raíz racional posible. Si se calcula P( £ ) me diante sustitución sintética se obtiene Jl 4 4

15 4 1 4 16 8

-2 2

0

Como P( 74 ) = 0, entonces j4 es una raíz. Además, P (x) = (x - ¿)(4x 2 + 16x + 8 ) = 4(x - i)(jc 2 + 4x + 2) Las otras raíces se obtienen igualando a cero el factor cuadrático y re solviendo la ecuación x 2 + 4x + 2 = 0 -4 ± V l6 - 8 *

2

= -2 ± V2 Por tanto, las raíces de la ecuación son j4 , - 2 + V2 *y - 2 - V2.

►

EJEM PLO 5

Demostración do que una ecuación polinomio! particular no tiono rateos raciónalos

Pruebe que la ecuación 2jc3 - 2 x 2 - 4 x + 1 = 0 no tiene raíces racionales.

Solución Sea P(x) = 2 x3- 2x2 - 4jc + 1. Si J es una raíz racional de la ecuación P(x) = 0, entonces p debe ser un factor entero de 1 y q debe serlo de 2. Por tanto, los valores posibles de p son 1 y -1 ; en tan to que los de q son 1, -1 , 2 y -2. En consecuencia, el conjunto de raí ces racionales posibles de la ecuación es {1, -1,* j, —j ). Se prueba cada una de estas raíces posibles mediante sustitución sintética, obte niéndose 112

-2

-4

1- 1 1 2 - 2

-4

1

-3 1

2 -4 —i | 2 - 2

0 -4

20 - 4 1 1

—1

2 0 -4 4| 2 - 2 - 4 2

1 -* —1 deténgase

-i i 2 —3 deténgase

La palabra “deténgase” está indicada porque una vez que aparece una fracción en el segundo renglón, cada número siguiente de la última fila

------------

272

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLIN O M IAUS Y RACIONALES_______________

también será una fracción. Debido a esto, el último número inferior no puede ser cero. Como P( 1), P (-l), P ( j ) y P(- j ) son diferentes de ción no tiene raíces racionales. Ahora se demostrará el teorema de ceros racionales, sui*, cia ha sido evidenciada mediante los cuatro ejemplos anteriores Demostración del teorem a de ceros racionales Como cero de P, entonces es una solución de la ecuación anx n + an- \ x n~l + an- ix n~2 + . . . + atx + oq = 0 Por tanto. + Ün-Í

+ an

dt=!

.ninelosotrosc r fes©í-4esun ^ftaialdeí

Si multiplica cada miembro de esta ecuación pe» q", obtendrá anp n + a n- \ p n [q + a„ -ipn~2q 2 +

Al sumar -ao q n en cada lado y factorízar p de cada términoddm :Sáelosotrosdi bro izquierdo, se obtiene la ecuación equivalente «¿rep 3esun p(anpn~l + an-ip n~2q + an- 2 pn' 3q2 + . . . + ^polinomialdi Como a¡ (i = 1, 2 , . . . , n), p y q son enteros, y la suma y prato» enteros son enteros, entonces la expresión dentro dei paréntesisdeitt izquierdo es un entero. Si se representa este entero por t, setari» losotrosda ecuación ^^*2esunaraíz aoq P* & 12x El miembro izquierdo de esta ecuación es un entero qoeoe** «raidoifj como factor. En consecuencia, p debe ser un factor del lado** cho, -aoq". Debido a que p- está en su mínima expresión,/»yí 10 nen factores comunes. De ello, p debe ser un factor de aoLa Ecuación (4) también es equivalente a la ecuación c * -< « » q(an-\p n~x + OLn- 2 p n~2q + . . . + a\pqH'2 + Ooq" I sonfai El miembro izquierdo de esta ecuación es un entero que como factor; de esto, q debe ser un factor del miembro ^ -a„pn. Como q no tiene factores comunes con p, se deduceq*< un factor de a„. ih >

EJERCICIOS 5.3

' 5*! h

V V «2»

En los ejercicios 1 a 8. encuentre los ceros de la fun ción polinomial. Indique la multiplicidad de cada cero.

3. P(x) = x 2(x + 1 ) V •

1. P(x) = (x - 4 ) V

4)

2. Ptx) » x \ x :

5)

4. P(x) « (x2 ~ 25)2

lí)v>

P°lb,

5 .3

STOHa I

M

i. r t í - t r + W * * - 7)*

[ t « J) - ( * , - 2 ) ( * 1 - 4 ) ( 2 * + 1) , iu «»pon* H íti > í •

*

. (3x + 4)5(4jt2 - 9)2(4jc2 + 12jc

+ 9)

1 M - (*¡ " 9>!<5 í ’ ~ 17* * 6fi)J ..

,, 9. Muestre que -2 y 3 son ceros de la función polinomial definida por P(x) * * 4 — 4 * 3 — 7 * 2 + 22* + 24 ydetermine los otros dos ceros.

10, Demuestre que 5 y -1 son ceros de la función polioomial definida por + 4 *}

P(x) =

Xa

+ x 3 - 31*2 - x + 30

y determine los otros dos ceros. !ll. Muestre que - 4 es un cero de multiplicidad 2 de la función polinomial definida por P(x) « x A + 9 x 3 + 23*2 + 8 * - 16

3 del míe:

,. . . . j y determine los otros dos ceros.

[11 Demuestre que 3 es un cero de multiplicidad 2 de ) = “
•sis del - 1 se

tmmAr B

y determine los otros dos ceros. 13. Dado que -2 es una raíz de la ecuación 5x3 + 3* 2 - 12* + 4 = 0 í determine las otras dos raíces. 14. Dado que | es una raíz de la ecuación 3x3 - 16x2 + 28* - 16 = O determine las otras dos raíces. II, Dado que j y - j son raíces de la ecuación 6xA + 25x3 + 8*2 - I x - 2 = 0 determine las otras dos raíces, fí- Dado que v3 y - VT son raíces de la ecuación xA + 3x 3 - 5* 2 - 9x + 6 * 0 determine las otras dos raíces. los ejercicios 17 a 28, determine iodos los ceros rá ptales de la función polinomial. Si es posible, ensUre los ceros irracionales o imaginarios. I Pix) * x* - 3x 2 - x + 3

m

« R O S R A C IO N A L !» P » F U W a O M t t P O U N O M I A lit

18. P(x) = x 3 - 4*2 + x + 6 19. P(x) SE x 3 - 7* - 6 20. P(x) = x 3 - *2 - 8* + 12 21. P(x) = x A + 3x3 - 12*2 - 13* - 15 22. P(x) = x A - 3*3 + x 2 + 7* - 30 23. P(x) = 3*3 + 8*2 - 1 24. P(x) m 4* 3 - 31* + 15 25. P(x) = 6*4 - 37*3 + 63*2 - 33* + 5 26. P(x)

8*4 + 6*3 - 13*2 - * + 3

27. P(x) = * 4 - 2*3 - 9*2 + 20* - 4 28. P(x) m 2*4 - * 3 + 2*2 - 7* + 3 En los ejercicios 29 a 40, determine todas las raíces ra cionales de la ecuación. Si es posible encuentre las raí ces irracionales o imaginarias. 29. x 3 + 2 * 2 - 7x + 4 = 0 30. x 3 - 3 x 2 - 10* + 24 = 0 31. 2 * 3 - 13*2 + 27* - 18 = 0 32. * 3 - 8 * - 8 = 0 33. x 5 + 2 x 4 - 13*3 - 14*2 + 24* =

0

34. 9 * 4 - 3* 3 + 7 * 2 - 3* - 2 = 0 35. 12* 4 - 5 * 3 - 38*2 + 15* + 6 = 0 36. 2 * 3 — y * 2 + | * — 3 = 0 37. * 3 + ^ * 2 - f* + 2 = 0 38. 3* 4 + * 3 + 12* 2 - 5* - 3 P 0 39. A * 4 + i x 3 - i * 2 - í* + 1 f 0 40. 18*6 + 3 * 5 - 25*4 - 41*3 - 15*2 = 0 En los ejercicios 41 a 44, pruebe que las ecuaciones no tienen raíces racionales. 41. * 3 — 9* — 6 = 0

42. 2* 3 + 6 * 2 — 3 = 0

43. 3 * 4 - * 3 + 4 * 2 + 2* - 2 = 0 44. x A — x 3 — 4a:2 — 16 = 0 En los ejercicios 45 a 49, resuelva el problema median te el empleo de una ecuación como modelo matemático de la situación, y escriba una conclusión. 45. Se elaborará una caja rectangular a partir de una pieza de hojalata que mide 12 pulg de lado, cortan do pequeños cuadrados de la misma medida en las cuatro esquinas y doblando hacia arriba los lados. Si el volumen de la caja debe ser de 108 pulg3. ¿cuál será la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán? Existen dos posibles respuestas, una

274

CAPÍTULO 5


racional y otra irracional. Exprese la respuesta irra cional con una aproximación de centésimos de pul gada. 46. Se construirá una caja rectangular a partir de una pieza de cartón de 6 cm de ancho y 14 cm de largo, cortando cuadrados en las cuatro esquinas y do blando hacia arriba los lados. Si el volumen de la caja debe ser de 40 cm3, ¿cuál será la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán? Existen dos posibles respuestas, una racional y la otra irracio nal. Exprese la respuesta irracional con una aproxi mación de centésimos de pulgada.

47. En un cubo se corta una rebanada de 1 cm de espe sor. Si el volumen de la figura que queda es de 180 cm3, ¿cuál es la longitud del lado del cubo origi nal?

48. Las dimensiones de una caja rectaagaj* pulg, 4 pulg y 4 pulg Si las primerai do, siones se disminuyen y la otra se aunn-u,I misma cantidad, se forma una segunda caja*** volumen es cinco octavos de la primera, el volumen de la segunda caja. ........... J 1

" vÇr*' U ---------12 p u lg -----------»

4 pulg

49. Un cono circular recto se inscribe en unaesb 32 veces su volumen es igual a 9 veces d voh®, de la esfera. Si el radio de la esfera es de2fk. termine la altura del cono. Existen dos respueaa posibles, una racional y la otra irracional. Eqn la respuesta irracional con una aproxinacn centésimos de pie. La fórmula para d vola de un cono es V = y la fórmula pn volumen de la esfera es V=yjtr3.

i cm

50.

5.4

Explique por qué el número de veces quelljPj de un polinomio cúbico cruza al ejexdtk* 3, y por qué no puede ser 2.

CEROS COMPLEJOS DE FUNCIONES POLINOMIALES O B J E T IV O S

1. E n c o n tra r u n polinom io con coeficientes enteros quet*# núm eros com plejos como ceros. ^ 2. E n c o n tra r los otros ceros de un a función polinomial q*** u n n ú m ero com plejo d ad o como un cero. 3. A prender la regla de los signos de Descartes. 4. D eterm inar la n atu ra lez a de los ceros de una función polinom ial. 5. P ro b a r que ciertos núm eros son irracionales.

5.4

CEROS COMPLEJOS D I FUNCIONES POUNOM1ALES

275

En este capítulo, nuestro principal interés ha sido determinar los ce ros reales de polinomios con coeficientes reales. Ahora extendere mos nuestra discusión para incluir números complejos. Trataremos con ceros complejos, así como con funciones polinomiales con coeficien tes complejos. Estas funciones surgen en cursos avanzados y tie nen aplicaciones en varios campos, especialmente en ingeniería y física. En las secciones anteriores se estudió cómo determinar los ce ros de funciones lineales y cuadráticas. También se vio cómo apro ximar ceros reales de una función polinomial a partir de su gráfica. Además, en la Sección 5.3 se estudiaron métodos para obtener va lores exactos de ceros racionales de una función polinomial. De esto, podemos hacernos la pregunta siguiente: ¿podemos determi nar los valores exactos de todos los ceros complejos de cualquier función polinomial? Para polinomios cúbicos y cuárticos (de cuarto grado), esta pregunta fue contestada en el siglo XVI. En el libro Ars Magna (Gran A rte) publicado en 1545, el matemático italiano Girolam o C a rd a n o (1501-1576) presentó métodos para encontrar los valo res exactos de los tres ceros complejos de los polinomios cúbicos y los cuatro ceros complejos de los polinomios cuárticos. Dichos métodos son complicados y no se discutirán en este texto. Para ceros de polinom ios de quinto grado o mayor, no existe fórmu la general en términos de un número finito de operaciones sobre los coeficientes. Este hecho fue probado, en 1799, de manera in dependiente por el matemático italiano Paolo Ruffini (17671822) y en 1824 por el matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829). Sin embargo, existe un teoreir.a llamado teorema fundam ental del álgebra, el cual garantiza que toda función poli nomial de grado mayor que cero tiene por lo menos un cero com plejo.

TEOREMA

Teorema fundam ental del álgebra

Toda función polinomial de grado mayor que cero, con coefi cientes complejos, tiene por lo menos un cero complejo.

Existen muchas pruebas de este teorema, pero todas emplean con ceptos más allá del nivel de este libro. La primera prueba de este teorema fue proporcionada en 1799 por el matemático alemán Cari Friedrich Gauss (1777-1855) en su tesis doctoral. El teorema fundamental del álgebra y el teorema del factor se em plean para probar el teorema siguiente. Recuerde que aplicamos este último teorema en la Sección 5.3.

CAPITULO 5 f U N C IO N ES POLINOMIAL1» Y RACIONAL»»

Si P ( x ) es un polinomio con coeficientes complejos como P ( x

) =

a nx n

+

a „ - \x n~ x

+

O n - i x * '1

+ •••+

i

con n ^ 1, entonces p ( x )

=

a n( x

donde cada n

(i

n ) ( x

-

r i í

= 1, 2 , . . . ,

. . . n )

( x

-

r„ )

a, t

o

es un cero complejo deP.

Demostración Del teorema fundamental del álgebra, la fuaca» tiene por lo menos un cero complejo ri. Esto es, existe unonvej complejo r\ tal que P{r\) = 0. En consecuencia, por medio ddieonJ del factor, x - r\ es un factor de P(x). Así,

P(x) = (x - n)Qi(x)

(|

donde Qi(x) es el cociente que se obtiene al dividir P{x)atitx - y Qi(x) es de grado n - 1. Del teorema fundamental del álgebra, si»-l> 1, entonces existe un número complejo r2 tal que Cifo) =0. Eiom por el teorema del factor,

Qi(x) = (* - rt)Qi(x) donde Qi(x) es el cociente que se obtiene cuando Qi(x) sedivide• x - /*2 . Si se sustituye (3) en (2) se obtiene

P(x) = (x - n )(x - r2)Q2(x) Como QiCk) = 0, de (2) se deduce que P ( r = 0, y de aquíquer-.a* cero complejo de P. Si se repite este procedimiento hasta que1»^ rización haya sido efectuada n veces, entonces se tiene P(x) = (x - n )(x - r2) • . . . • (jt - r„)QR(x) donde cada r¡(i= 1 , 2 , . . . , ti) es un cero complejo de P. Como** n factores de la forma x - r¡, entonces el polinomio QÁ constante, la cual es el coeficiente de x" en la expansión dcW Qn(x) = a„, y por tanto

P(x) = an(x - n)(x - r¡) • . . . *(jc —r«) donde cada r¡ es un cero complejo de P. En la Sección 5.3, se dijo que si en la Ecuación (1) un rre exactamente k veces, entonces r¡ es denominado cero de dad k. Si uno de estos ceros es contado como k ceros, Teorema 1 se deduce que una función polinomial P, P*1*

*

5 .4

C IEO S COMPLEJOS PE FUNCIONES EOIINOM IALIS

17 7

es de grado n ^ 1, tiene por lo menos n ceros, algunos de los cuales pueden ser repetidos. Sin embargo, puede probarse que una de estas funciones polinomiales tiene exactamente n ceros, y este hecho se es tablece en el teorema siguiente, el cual también se aplicó en la Sección 5.3.

TEOREMA 2

Si P(x) es un polinomio de grado n > 1, con coeficientes com plejos, entonces P tiene exactamente n ceros complejos.

Demostración Por el Teorema 1, P tiene por lo menos n ceros com plejos. Si demostramos que P no puede tener más que n ceros, el teor rema estará probado. La Ecuación (1) es P(x) = On(x - ri)(* -

r 2)

• . . . • (x - rn)

an * 0

donde cada r¡ (i = 1 , 2 , . . . , n) es un cero complejo de P. Sea r otro nú mero distinto de n, r2, . . . , '*»/• Como la Ecuación (1) es una identidad, P(r) = a„(r - r\)(r - r2) • . . . • (r - rn)

a„ # 0

Debido a que r =£ r¡ , ninguno de los factores r - r¡es cero; por tanto, el miembro derecho de esta ecuación es diferente de cero. Así, P(r) * 0, y en consecuencia, r no es un cero de P. Por tanto, P tiene exactamente n ceros complejos. ■ La función polinomial con coeficientes reales, del ejemplo 3 de la Sección 5.3, tiene dos ceros ^ (-1 + i V5") y | (-1 - i V3) que son con jugados uno del otro. Además, de la fórmula cuadrática, se deduce que si una función cuadrática con coeficientes reales tiene un cero comple jo, entonces el otro cero es su conjugado. Estas dos situaciones son ca sos especiales del teorema siguiente, el cual se presenta sin demostración. En el enunciado del teorema la notación z se emplea para denotar el conjugado del número complejo z; esto es, si z = a + ¿í

entonces

z = a — bi

TEOREMA 3

Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales y si i es cero complejo de P, entonces el conjugado z también es un cero de P.

278

CAFmJLO S F U N g O N iS P ^ W Q M ^ Y M O O N A U S

► EJEM PLO 1

A p lic a c ió n

d o l Teorema

3

Encuentre un polinomio PC*) de cuarto grado con coefjci«me» p tiene a 1 - i y - 2¿ como ceros. Solución Del Teorema 3, si 1 —i y - 2i son ceros de/> conjugados 1 + i y 2i también son ceros de P. Por tanto,

/>(*) * [* - o - o it* - (1 + OH* - ( - 1 )11, -¡j = (x 2 - 2 x + 2)(x2 + 4) s x 4 - 2 x 3 + 6 x 2 - Sx + 8 En la Sección 5.2, se estableció el teorema del factor número r es un número real y el polinomio P{x) tiene coefc^ reales Cuando r es complejo y P(x) tiene coeficientes coopfc* teorema del factor también es válido.

► EJEM PLO 2

D e t e r m i n a r l o s o t r o s c o ro s d o

una

función

p o l i n o m i o I c o n o c i e n d o u n o d o sus c m c o m p le jo s

Puesto que i es un cero de la función polinomial definida por P(x) = 2 x 4 - 5 x 3 + 3x2 - 5x + 1 determine los otros ceros. Como i es un cero de la función dada, su coojupfe también es un cero de P. Se utiliza la división sintética pw P(x) entre x - i; y después se divide el cociente entre x- HSolución

2

*5

3 - 2 - 5i 1 - 5i 5i 1

2i - 5 + 2i -2 i 2 -5

2

1 -5 -1 5+ i 0 i -i

0

Así, por el teorema del factor, se puede escribir Pi*)0000 P(x) = (jc - i)(x + í)(2jc2 - 5x + D Al igualar a cero el factor cuadrático, se obtiene

2jc2 — 5jc + 1 = 0 5 ± V 25 - 8

V Í7 Así, los ceros de P son i, - i, | (5 + Vl7) y \ (“

5 .4

CERO S CO M PLEJO S P E FU N CIO N ES PO UNOM IALES

aw

Ahora se presentarán dos teoremas que son consecuencias del Teorema 3.

TEOREMA 4

Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales y el grado de P es un número impar, entonces P tiene por lo menos un cero real.

Demostración Suponga que P no tiene ceros reales. Como el grado de P es un número impar, entonces él tiene un número impar de ceros imaginarios. Sin embargo, el número de ceros imaginarios de P debe ser par porque mediante el Teorema 3, para cada cero imaginarios su conjugado debe ser también un cero. Por tanto, tenemos una contradic ción. De este modo, la suposición de que P no tiene ceros reales es fal sa. En consecuencia, P tiene por lo menos un cero real. ■

TEOREMA 5

Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales, entonces P(x) puede expresarse como un producto de polinomios lineales o cuadráticos con coeficientes reales.

Demostración Si P(x) es de grado n, entonces por el Teorema 2, P tiene exactamente n ceros complejos. Denotemos estos ceros por c»t C2, . . . , cn. Así, P (x) — a„{x — ci)(x — Ci) • . . . 4 (x “ c j Para cada c, que sea un número real, x — c, es factor lineal deP(x). Supongamos que z» es un cero imaginario de P. Entonces por el Teore ma 3, Zi es también un cero de P y es uno de los ceros complejos Ci, ci, . . . , c„.Por tanto,x - z¿ y x - z ¡ son factores de P(x), y (jc ~ Z/)(jc - Zi) = x 2 -

(Zi

+ Zi)* + Z. * Zi

Sea Zi = a + b iyZ i = o - bi%entonces Zt + z¿ = (a + bi) + (a - bi) = 2a

4 ,

Zi • z, = (a + bi)(a = a 2 — b 2i 2 = a2 + b2

bi)

280

q*PÍTükQ^

YKAqowALIS Así, (x ~

Z /)( x

~

Zt)

= x 2 - 2ax + (a2 + b*)

Como -2a y a 2 + b 2 son números reales, entonces (x un polinomio cuadrático con coeficientes reales. ' Por tanto, se concluye que P(x) puede expresarse con* ducto de polinomios lineales o cuadráticos con coeficiente0 81^ r/ t i El Teorema 5 se aplica en Cálculo cuando las fraccione* / discutidas en la Sección 12.3, se emplean como una técnica í r i J I dx i0i Los dos ejemplos ilustrativos siguientes verifican el teore«?i dos polinomios particulares. «wenupn I

>

E JE M P L O IL U S T R A T IV O 1

La función P del ejemplo 3 de la Sección 5.3 está definida por P(x) = x 4 + 3x3 - 12x2 - 13* - 15 En la solución de ese ejemplo se mostró que P(x) = (x + 5)(x — 3)(jc2 + x + 1) el cual es un producto de polinomios lineales y cuadráticos.

>

EJEM PLO IL U S T R A T IV O 2

Para la función P del ejemplo 2 P(x) = (x - /)(* + 0(2 * 2 - 5* + 1) = (x2 + \)(2x2 - 5* + 1) el cual es un producto de dos polinomios cuadráticos. Del Teorema 3, los ceros imaginarios de una con coeñcientes reales deben presentarse en pares. Esto una función polinomial debe tener siempre un número imaginarios. Este hecho nos ayuda a determinar la nans**®^ ceros de una función polinomial.

>


En el ejemplo 5 de la Sección 5.3 se mostró que la ecuaci 2*3 - 2*2 - 4x + 1 = 0

5.4

CIROS COMPLEJOS D I FUNCIONES POUNOM1ALES__ 281

no posee raíces racionales o, equivalentemente, que la función P(x) de finida por P (x) = 2 x 3 - 2 x 2 - 4x + 1 no tiene ceros racionales. Debido a que P es de tercer grado, lo cual se sabe por el Teorema 2, que P tiene exactamente tres ceros complejos. Por tanto, estos ceros deben ser irracionales o imaginarios. Como el número de ceros imaginarios debe ser par, entonces P tiene tres ceros reales, los cuales son irracionales, o dos ceros imaginarios y un cero real irracional. 4 En la discusión que sigue se necesitará el concepto de variación de signo de un polinomio. Si los términos de un polinomio con coefi cientes reales se escribe como potencias decrecientes de la variable (los términos que tienen coeficiente cero se omiten), entonces una va* n ació n de signo ocurre si dos coeficientes sucesivos tienen signos opuestos.

>


Si Q (x) = x 4 - 6 x 2 - 2 x - 1 entonces los coeficientes tienen, sucesivamente, los signos Así, Q(x) tiene una variación de signo. Además, Q (-x ) = x 4 - 6x2 + 2x - 1 y Q (-x) tiene tres variaciones de signo. El polinomio x 3 + 2x + 5 no tiene variaciones de signo.

R egla d e los signos d e Descartes Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales, el número de raíces positivas de la ecuación P(x) = 0 es igual al número de va riaciones de signo de P(x), o es menor que este número por un número natural par. Además, el número de raíces negativas de la ecuación es igual al número de variaciones de signo de P{—x), o es menor que este número por un número natural par.

El nombre de esta regla es en honor al matemático francés Rene Descartes, creador de la geometría analítica. La demostración de la re gla de los signos está más allá del alcance de este libro.

^

2*2

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALf S


La función P del ejemplo ilustrativo 3 tiene dos variaci Por tanto, por la regla de los signos de Descartes, P tiene cero positivo. Además, ’ P ( - x ) = - 2 x 3 - 2 x 2 + 4x + 1 y P(-x) tiene una variación de signo. En consecuencia, Ptiene negativo. Ahora se pueden describir completamente los tres cero*kt ' la conclusión del ejemplo ilustrativo 3 y de lo que se ha mnn ¿ de los ceros son números irracionales positivos y uno«t* irracional negativo, de lo contrario, dos son números uno es un número irracional negativo. El teorema siguiente proporciona más información acercai a ceros reales de una función polinomial.

ií# !'5'51 .

TEOREMA 6

Suponga que P(x) es un polinomio y que a y b son númerosrAi tales que a < b. Si P(a) y P(b) son de signos opuestosatma existe un número real c entre a y b tal que P(c) - 0.

FIGURA 5.28

La. P(a))

y * Hx) (b. P (b ))

FIGURA 5.29

La demostración del Teorema 6 se omite. Sin embago. an gráfica de una función polinomial es una curva inintemimp* ^ 1 gumento siguiente hará aceptable la validez del teorema; Sin* P(b) son de signo opuesto, entonces los puntos (a, P(o)) y tán en lados contrarios del eje x\ así, la gráfica de y =P $ ~ al eje x en al menos un punto (c, 0) donde c está entre a)b. ción se muestra en las figuras 5.28 y 5.29. En la Figura 5.! ta una porción de la gráfica de una función polinoinial (a, P(a)) al punto (b, P(b)) donde P(a) < 0 y P(b) > 0za al eje x en el punto (c, 0), donde a < c < b. La Figura el caso cuando P(a) > 0 y P(b) < 0.

>


Para la función P del ejemplo ilustrativo 5 definí»!®p*^ P(x) * 2 x3 - 2x2 — 4x + 1 se calcula P( 1) y P(2) mediante sustitución sintética-

(b)

5 .4

JJ 2 2 :iones de s ne dotoaj

—2 —4 1 2 0 - 4 0 - 4 - 3

2 1 2 -2 4 2

2

-4 4

1 0

0

1

283

Por tanto, J*(Í) = —3 y P ( 2) = 1. Como / \ 1 ) y P ( 2) tienen signo contra rio, del Teorema 6 se deduce que existe un número real c entre 1 y 2 tal que P (c ) = 0. Así, P tiene un cero positivo entre 1 y 2. Con este he cho y la conclusión del ejemplo ilustrativo 5, estamos seguros de que P tiene dos ceros irracionales positivos y un cero irracional negativo. Se puede aplicar el Teorema 6 para determinar números enteros entre los cuales se encuentran los otros dos ceros. Como P(0) = 1, de ducimos que P(0) y P (\) tienen signos opuestos, y por tanto, P tiene un cero positivo entre 0 y 1. Si calculamos P {r \) y P (-2) mediante sustitución sintética obtenemos

P tiene un

; ceros de P ia mostrado, o es un s imaginan®

5n acercad«

CEROS COMPLEJOS DE FU N C IONES P O LIN O MIALES

2 - 2 - 4 -2 4 2 -4 0

[-5.5] por [-5,5J /*(*) = 2r’ - 2*1- 4x + 1 FIGURA 5.30

1 0

-212

-2 -4

2

-6

-4 12

16 -15

Así, P ( - l) y P (-2 ) tienen signos contrarios, y en consecuencia P tiene un cero negativo entre - 2 y -1 . La Figura 5.30 muestra la gráfica trazada en la graficadora. Las intercepciones x verifican nuestras conclusiones acerca de los ceros de P. (úmeros reab :stos enloses ►

mbargo, co» errumpida. ■■ «rema: Si •?,;l *))y (b'W P(jc) debe>: a y b. Esta' j

5

5

I ' - 5] por [ - , 5 )

k* +*■ + 7X+ i

n c URA 5.31

EJEM PLO 3

Determ inación d e la n a tu ra le za d e los ceros d e una función polinom ial

Para cada una de las siguientes funciones, determine toda la informa ción concerniente al número de ceros positivos, negativos e imagina rios. Trace la gráfica de las funciones y verifique la información. (a) F(x) = 3 x 4 + x 2 + 7x + 1

(b) G(x) = x 5 + Sx2 - 4

S olución

ra 5.28 se mial 0 . Lagrtf^

c U ) . ' ^ K 51

(a) Como F(x) no tiene variaciones de signo, entonces no tiene ceros positivos. F(-x) = 3x* + x 2 - l x + 1. Debido a que F(-x) tiene dos variaciones de signo, F tiene dos o ningún cero negativo. Si se calcula F(0) y fl (- l) se obtiene, respectivamente, 1 y - 2 , opuestos en signo. Por tanto, del Teorema 6, existe un número c entre 0 y -1 tal que F(c) = 0. Este número c es un cero negativo de F. Así, F tiene dos ceros negativos y dos imaginarios. La gráfica de F, mostrada en la Figura 5 .3 1 , verifica nuestra conclusión. (b) G(x) tiene una variación de signo. Por tanto, G tiene un cero positivo. G (-x) = - x 5 + 5x2 - 4 y G(-x) tiene dos variaciones de signo. Como G (-l) = 0, entonces -1 es un cero de G. Consecuente mente, G tiene un cero positivo, dos ceros negativos y dos ceros imaginarios. La Figura 5 .3 2 muestra la gráfica de P trazada en la graficadora. Dicha gráfica verifica la conclusión. <

284

CAPÍTULO 5

FUNCIONES POLIMOMIALKS Y RACIONALES

l l i

Los ceros irracionales de una función polinomintl py^ aproximados mediante una técnica conocida como método¿ w la cual implica conceptos de Cálculo. Por supuesto, k» nales también pueden ser aproximados por medio del aume*,^ in), en la graficadora, sobre las intercepciones x de la gráfica ción. Concluimos esta sección con un ejemplo que muestra bar que ciertos números son irracionales.

►

EJEM PLO 4

■9*

Prueba de que un número o» Irroehoé

Pruebe que \3 es irracional.

Solución

Sea P(x) = x2 - 3. Como P(x) tiene una variañóa^^ no, por la regla de los signos de Descartes, P tiene un cerop Del teorema de ceros racionales, los únicos ceros racionales pcnJ son 1 y 3. Obviamente ninguno es cero de P. En consecuencia,4a| positivo es un número irracional, y éste es V3*.

EJERCICIOS 5.4 En los ejercicios 1 a 8, encuentre un polinomio del gra do indicado con coeficientes reales para el cual los nú meros son ceros de P.

E n lo s e je r c ic io s

13 a 20, encuentre los ceros é s*

c ió n p o lin o m ia l y ú se lo s p a ra expresar d poo* co m o un p ro d u c to d e polin om ios ¡ineaks o a eééa

P(x) = x 3 - 4 x 2 + 6 x -4 14. P(x)=x3 + 2x2-2x + 3 13.

1. Segundo grado; 4 + 3i es un cero de P. 2. Segundo grado; 3 - i es un cero de P.

15. P(x)

3. Tercer grado; 2 - l YSy - 4 son ceros de P.

16.

= 2xa - 7x 3+ 21x2+ Ylx- 13

P(x) =x 4- 2 x 3+ 2x1+2x-3

4. Tercer grado; 5 + i V3"y 2 son ceros de P.

17. /> (jt)= jr5- 2 x 4 + 8Jr3- lá x 2+ lfo -2

5. Cuarto grado; -3i es un cero de multiplicidad 2 de P.

18. / f r ) * 3 ¿ * Z l t e 4 + 3&xs ~ 3 é i * + 2 l t - *

6. Cuarto grado; 2 + i y 1 - i V2~son ceros de P. 7. Quinto grado; 3,3 + í V2~y -frl2 son ceros de P.

8. Quinto grado; 3 -

i (multiplicidad 2) y 1 son ceros

deP.

9. 3x4 - 2x3 + 2x 2 - 8* - 40 = 0; 2i es una raíz. 10. 5x4- 2x3+ 46x2 - l&t + 9 = 0; -3 es una raíz. 11. 2x* + 6x3 + 33x2- 36x + 20 * 0; -2 - 4i es una

raíz. 12. 3x4 +4x 3 + 9x2~ 6x + 4 * 0; -1 + i

19. P(x) » 9 jc4 - 4 2 x 3 + 79 x 2 - 4 0 *+ 6 20. />(x) = 6 x4 + 5x3 + 4x2 - 2 t - l E n lo s e je r c ic io s 21 a 32, determine c ió n c o n c e rn ie n te a l núm ero de ceros postó1* ,

En los ejercicios 9 a 12, determine el conjunto solución de la ecuación si el número es una raíz.

es una miz.

a FUNCIONES

v o s o im a g in a rio s d e la fu n ción P°^nom>a\ 7 ^ lo s c e r o s r a c io n a le s y lo ca lice los d o s e n te ro s co n sec u tivo s. Trace la g ráf& * e n la g ra fic a d o ra y verifiq u e su respvtsn

21. 22. 23. 24.

F(x) « x 3 - 4x2 - 2 G(x) = 5x3 - 3x - 7 G(x) = x 4 + 7jc3 + x - 8 F(x) = 5x4 - 3x 3 - 2

OBJETIVOS

5 .5

tal pueden u d o de Netoi0í

i ceros irracií. lumento (2od» áfica de lafur stra cómo pr..

to n a l

,) - 6x + 3 /% uir) + X* * * H[’ t * + x2 - 1 I\g x

*

,

, ¡_

7,

4x4- l x 3 +

- <¡

2x - 5

donaL

ceros áe kjb

(b) Q{x) = x 2"'1 + 1

40. (a) P{x) = x2" + 1

(b)
41. Si P{x) tiene únicamente potencias pares de x con coeficientes positivos, explique por qué la función p no tiene ceros positivos ni negativos. Sugerencia: Emplee la regla de los signos de Descartes.

0i ¡osejercicios 33 a 38, pruebe que el número es irra-

37.2 - V5

\

39. (a) P(x) = x 2" -

9r4 — 14jc3 + 24* 2 + x ~~ 4 F(x) ' ¿ 3 2 2 8 U(x) * 3x4 ” 2 U 3 + 36x + 2x Ulx) s x* + “* “ 8x + 14

liación dest| 33. ^5 cero positivt »nales posible 35. vlO uencia,elcei5

34. 2V 7

42. Si P(x) sólo tiene potencias impares de x con coefi cientes positivos, explique por qué la función P no tiene ceros reales excepto el número 0. Sugerencia: Emplee la regla de los signos de Descartes. 43. Muestre que 2 - i es un cero de la función definida como F(x) = x2 - 2r + 1 + 2i, y que su conjugado no lo es. Explique por qué el Teorema 3 no se con tradice.

36. v 8 38. 3 + 2 V 3

5'5 FUNCIONES RACIONALES

a r e l polir.r- j o cuadráticas

OBJETIVO S

| r-32 • 24 jc - 1 6

5 to d a

b

o m i a L Er;"* '’

rracionato ^ ific a d e b ¡ + ' -S t a .

1. Definir una asíntota vertical de un gráfica. 2. Definir una asíntota horizontal de una gráfica. 3. Determinar las asíntotas verticales u horizontales de una gráfica. 4. Determinar una asíntota oblicua de una gráfica. 5. Dibujar la gráfica de una función racional. 6. Resolver problemas que tienen una fundón racional como modelo matemático. 7. Resolver desigualdades racionales gráficamente.

in f^

p o s itiv o s ü '

285

En los ejercicios 39 y 40, determine el número de ceros positivos, negativos e imaginarios de la función, donde n e su n entero positivo.

1 //(*)x

ít»)

FUNCIONES RACIONALES

Iniciaremos el estudio de funciones racionales considerando sus gráfi cas y continuaremos esta discusión con un problema que tiene una función racional como modelo matemático. Se concluirá esta sección resolviendo desigualdades racionales gráficamente. S i P y Q son funciones polinomiales y f e s la función definida por /<*> *

CK*>

entonces / es una función racional cuyo dominio es el conjunto de los números reales excepto los ceros de Q. Se supondrá que P(x) y Q(x) no tienen factores comunes. El conocimiento de cómo se comporta f(x)

206

CAPÍTULO 5

FUNOONBS POUNOMIALES Y RACIONALES^

cuando x se acerca a un cero de Q es de gran ayuda cuando trazar la gráfica de/ Considere, por ejemplo, la ftincióo defi^^ x + 2 /(■*) = ------T

Tablai

x

4

*/ v x + 2 /(*) * x - 3,

6

11

10 3

13 4

31 10

100

16

21

51

501

5
E! dominio de f es el conjunto de todos los números reales excqfefi 3. Se investigarán los valores de la función cuando x se acataijj pero sin llegar a ser 3. Primero se asignan a x los valores 4, i,l|j m¡>’ nx»’ y 381 sucesivamente. Se han considerado los valoresdexá vez más cercanos a 3 pero mayores que 3; en otras palabras, im>¡ ble x se aproxima a 3 por la derecha. Después de calcular kx iisj correspondientes de f(x ) y se forma la Tabla I. En esta tablasequ intuitivamente que conforme x se aproxima cada vez mása3pj derecha,/(x) crece sin límite. Esto es, se puede hacerf ( i ) n ¡ m ¡ * \ cualquier número positivo preestablecido, considerando t i b i cientemente cercano a 3 de modo que x sea mayor que 3. Paraafluí que f(x) crece sin límite cuando x se aproxima a 3 por la deredarf utiliza la simbología conforme x — El símbolo +oo (infinito positivo) no es un número real; se para indicar el comportamiento de los valores de la ñmdÓB/x)*j forme x se acerca cada vez más a 3. El símbolo + como stprirf*¡ después de 3 indica que x se aproxima a 3 por la derecha. Ahora considere que la variable x se aproxima a 3 media**I res menores que 3; esto es, se asignan a x los valores 2, j'T’ff nw’ fono’ y ^ sucesivamente. La Tabla 2 contiene los valores pondientes de la función. Observe que conforme x se aproa»* vez más a 3 por la izquierda, los valores de f(x) decrecen sa (los valores de f(x) son valores negativos cuyos valores absotó^’ cen sin límite); por ello, es posible hacer f (x) menor que mero negativo preestablecido, considerando a x lo sufiatf^J cerca de 3 de modo que x sea menor que 3. Se utiliza la nono* Tabla 2

x + 2

x- 3

-4

14

-19

TO U 5.34

5.5

FUNCIONES RAQONALES

287

guíente para indicar que f(x ) decrece sin límite conforme x se aproxi ma a 3 por la izquierda: f(x ) -* -oo

x

conformex -* 3~

En la Figura 5.33 se tiene la gráfica de f la cual muestra el com portamiento de f(x ) cerca de x = 3. Conforme x se aproxima cada vez más a 3 por la derecha o por la izquierda, el valor absoluto def(x) es más grande cada vez. Observe que la gráfica no corta a la recta x = 3, indi cada con guiones en la figura. La recta x = 3 se denomina asíntota ver tical de la gráfica de/.

DEFINICIÓN J e s excepto* s e acerca al

A síntota vertical

Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función / si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

; 4 2 J2 »** 2’ 3 ’ 4’ i

ores de icé ibras, la varalar los valores abla se aprecs nás a 3 paria (x) mayorp o a x lo sé 3. Paraiiuüü la derecha<

(i) (ii) (ül) (iv)

«GURA 5.34

f(x ) — + oo cuando x -* a + f(x ) — -o o cuando x -* a * f(x ) — +oo cuando x — a~ f(x ) — -o o cuando x — a~

En la Figura 5.33, los enunciados (i) y (iv) de la definición ante rior son verdaderos para la función / cuando a = 3.

eal; se empk¿

ación/x!»* no superfei-'

t mediante 1 21

■’ a * r * 1 valores co^

aproad ‘ ecen sia“ s absoluta ie . SUflCtf^;. i la *****

>


La Figura 5.34 muestra la gráfica de una función para la cual los enun ciados (i) y (iii) de la definición anterior son verdaderos, y para la fun ción cuya gráfica aparece en la Figura 5.35, los enunciados (ii) y (iii) son verdaderos. < El teorema siguiente puede probarse a partir de la definición de asíntota vertical.

TEOREMA 1

La gráfica de una función racional de la forma P(x)!Q(x)t donde P(x) y Q(x) no tienen factores comunes, posee la recta x = a como una asíntota vertical si Q(a) = 0.

288

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POUNOM IALiS Y RACIONALES

Se aplicará el Teorema 1 al ejemplo siguiente.

► EJEM PLO 1

Dibujo de la gráfica de una función racional

Dibuje la gráfica de la función racional definida por

'I Compruebe la gráfica en la graficadora.

Solución El dominio de / e s el conjunto de todos los núsn»^ excepto 0. En consecuencia, la gráfica no tiene intercepciones i(W f(x) nunca es cero, la gráfica no posee intercepciones x. De la é ^ l se observa que/ ( x) nunca es negativa. Por tanto, la gráfica estám nida en los cuadrantes prim ero y segundo. Debido a que f(x ), f e s una función par, por lo que la gráfica es simétricarapten eje y. Para obtener cualquier asíntota vertical, se utiliza el Tea»; Al igualar a cero el denominador se obtiene x = 0. Así, d eje vas asíntota vertical. Algunos puntos de la gráfica en el primer cuadrante sepresea en la Tabla 3. Si se localizan estos puntos y se emplea la propieM simetría se obtienen los puntos correspondientes en el segundee» drante. El dibujo se completa uniendo los puntos en cada asá* con una curva continua observando la información anterior, la¿rióa se muestra en la Figura 5.36. En la graficadora se obtiene gráfica.

Tabla 3

f(x) =

12

De la gráfica de la Figura 5.36 se observa que los valoresde. se aproximan a cero conforme | x | crece sin límite. Por es“ eje x es una asíntota horizontal de la gráfica. A fin de definir tota horizontal, se utiliza la notación/(x) — b* lo cual sign f(x ) se aproxima a b por medio de valores mayores que b, ® ^ que f(x) ■ — b~ significa que f(x ) se aproxima a b mediante y o ñores que b. La notación * — + oo indica que x crecesw x — -oo significa que x decrece sin límite.

f# &

5 .5


289

DEFINICIÓN Asíntota horizontal de la gráfica de una fundón ____________ racional___________ Se dice que la recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfi ca de la función racional / si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero: (i) f(x ) — b* cuando x — +oo

(ii) f(x ) — b* cuando jt -* -oo (iii) f(x ) —■b~ cuando* — +oo (iv) f(x ) — b" cuando x — -oo FIGURA 5 s i

limeros reafe M ies Con; e la ecuachf i está conteque

>


La Figura 5.37 muestra la gráfica de la función para la cual el enuncia do (iii) de la definición anterior es verdadero, y para la gráfica de la Figura 5.38 el enunciado (ii) es verdadero. Los enunciados (i) y (iv) son verdaderos para la gráfica de la Figura 5.39. La gráfica de esta fi gura también tiene a la recta x = a como una asíntota vertical, ya q u e / (x) — +oo conforme* — a+ y / ( x) — -oo cuandox — a~. 4

: a respecto i

I Teorema ! eje vesdb se presenta;

TEOREMA 2

propiedad à

egundc cu da cuate

FIGURA 538 La gráfica de una función racional de la forma

b r, la §ráf¡.-

ne la miso

anx n + a„-ixn~' + . . . + a tx + do bmx m + bm. \ x m 1 + . . . + b \x + bo tiene (i) al eje x como asíntota horizontal si n < m; dn (ii) la recta y = -¡— como una asíntota horizontal si n = m; (iii) no tiene asíntotas horizontales si n > m.

HGURa 539

La demostración de este teorema se omite, pero los siguientes dos ejemplos ilustrativos harán plausibles las partes (i) y (ii). Posterior mente, en el ejemplo 5 , se presenta una función para la cual se aplica la parte (iii).

w

sig»1

0?.

>


Sea g la función definida por Slfl W

g(x)

=

4x 25

290


El grado del numerador es 1, y el del denominador es 2. Cobo entonces g es una función racional para la cual se aplica lapsrjc( Teorema 2. Para ver esto, se divide el numerador y el denornmu tre x2. Al hacerlo, se obtiene

g(x) =

25

*2

Conforme* —■ +oo, i — 0* y ^ — 0*. Por tanto* cuandox - +» g(x) — 0*. S i* — -oo, entonces~ — O'yj*

0*.Portao,*

forme * -* - oo, g(x) — 0". Así, de la definición, la rectij=Oa* asíntota horizontal de la gráfica de g. La función g se discutope*» mente en el ejemplo 3, y su gráfica se muestra en la Figura 5.41. .

>


Sea h la función definida por h(x) =

3*2 . 2 * 2 - 32

El grado del numerador es igual al grado del denominador. Aál* una función racional para la cual se aplica la paite (ii) del Teata> Si se divide el numerador y el denominador entre x2, se obtiene h(x) Conforme * — +oo, o bien *

-oo ~

— O*. Así, cuandox

o bien * -• —oo, h(x) -* | +. De la definición se deduce queb* y = | es una asíntota horizontal. La función h se discute posto**1*! en el ejemplo 4 de esta sección, y su gráfica aparece en laRgun^

► EJEM PLO 2

Dibujo d o la g rá fica do una función rtf*

Dibuje la gráfica de la función definida por medio de

’

i

Compruebe la gráfica en la graficadora. Solución El dominio d e /e s el conjunto de todos los n excepto -1. Como /(O) = -3, la intercepción y es -3. La

5.5


291

es | , la cual se obtiene igualando a 0 el numerador. Ya q u e /n o es par ni impar, no existe simetría con respecto al eje y o al origen. Si se iguala a 0 el denominador, se obtiene la recta x = —1 como una asíntota vertical. Debido a que los grados del numerador y el denominador son iguales, se infiere del Teorema 2(ii) que la recta y = 2 es una asíntota horizontal. Algunos puntos de la gráfica, determinados por el cálculo de/(x) para ciertos valores de x, se presentan en la Tabla 4. Mediante estos puntos, y con el empleo de las asíntotas como guías, se obtiene el dibujo de la gráfica de/mostrada en la Figura 5.40.

Tabla 4 X /(X )

=

2x x +

3

1

0 2

4

6 8 10

-2

-4

-6 -8 -10 -12

-3

Í

27

7

ü

3

i

3

_I3 9

n ii

if

23

25

La gráfica puede comprobarse mediante la graficadora. Observe que la asíntota horizontal no aparece en la pantalla cuando se traza la gráfica de la función. Sin embargo, puede trazarse la recta y = 2 en el mismo rectángulo de inspección para mostrar la asíntota horizontal en la figura. ^

►

EJEM PLO 3

Dibujo de la gráfica de una función racional

Dibuje la gráfica de la función definida por g(x) = -T

4x 25

Verifique la gráfica por medio de la graficadora.

Solución 8(x) =

Si se factoriza el denominador, se obtiene 4x (x - 5)(x + 5)

El dominio de g es el conjunto de todos los números reales excepto 5 y -5. Como g(0) = 0, la gráfica tiene una intercepción en el origen. De bido a que g(-x) = -g(x), g es una función impar, por lo que la gráfica es simétrica con respecto al origen. Al igualar el denominador a 0, se obtienen las asíntotas verticales x = 5 y x = -5. Del Teorema 2(i), el eje x es una asíntota honzontal (lo que se demostró en el ejemplo ilustrativo 3). La Tabla 5 presenta algu nos puntos de la gráfica. Se localizan estos puntos y se emplean las

FU N C lO N lS^P O LlN gM IA ^ Y RACIONALES CAPITULO 5

0

x 4% ^

_

25

0

1 - i *

2

8

3 - l

21

4

d i« “ V

asíntotas como guías para dibujar la porción de la gráfica enu. drantes primero y cuarto. Al emplear la simetría, se compi*^ ca en los cuadrantes segundo y tercero. La Figura 5.41 gráfica. En la graficadora se obtiene la misma gráfica.

► EJEM PLO 4

D ib u j o d e l a g r ó f k a d e u n a h m d 6 rñ * k *

Dibuje la gráfica de la función definida mediante h(x) =

3r 2 x2 - 32

Compruebe la gráfica en la graficadora.

Solución h(x) =

Al factorizar el denominador se obtiene 3xJ 2(x - 4)(x + 4)

omimo de h es conjunto de todos los números reales excepto4»J ™ h(0) = 0 , la gráfica tiene una intercepción en el origen. Dáé que (-x) = h(x), h es una función par y, en consecuencia, lagrffi°! simétrica con respecto al eje y. Las asíntotas verticales se obtienen igualando el denoaiM^ 4. Como se demostró en el vfW cero, éstas son x = 4 y x ilustrativo 4, la recta y = | es una asíntota horizontal, loque16 duce del Teorema 2(ii). La Tabla 6 muestra algunos punt«** gr ica. Se localizan estos puntos y se utilizan las gu as para dibujar la porción de la gráfica correspondiente* ^ ^ arantes primero y cuarto. Al emplear las propiedades de santa** c P la gráfica en los cuadrantes segundo y tercero. L* muestra la gráfica requerida.

5.5

FUNCIONiS RACIONAIIS

19 2

La gráfica de la función y la de la asíntota horizontal y = j , traza das en la graficadora, concuerdan con la Figura 5.42. 4

>


Sea / l a función definida por rt \ _ x 2 - 16 /« = Al dividir el numerador entre el denominador se obtiene m

= x + 3 -

^

Puesto que cuando x — +oo o bien, x — -oo, -- --- — o, se deduce de la ecuación anterior que conforme x —■ +oo

o bien

x — -oo,

/(*) — * + 3

Debido a este hecho, se dice que la recta y = x + 3 es una asíntota obli cua de la gráfica de /. V/ase la Figura 5.43, la cual se obtiene en el ejemplo 5 donde la gráfica d e /se discute más a fondo. 4 Si una recta es asíntota de una gráfica sin ser vertical ni horizontal, esta recta se denomina asíntota oblicua. La gráfica de cualquier función racional de la forma P(x)/Q(x), donde el grado de P(x) es mayor en uno que el grado de Q(x), tendrá una asíntota oblicua. Para determinar esta asíntota se procede como en el ejemplo ilustrativo 5: divida el polinomio del numerador entre el polinomio del denominador, así se obtiene la suma de una función lineal y otra racional. Cuando | x ¡ crece sin límite, los va lores de la función original se aproximan a los valores de la función lineal. La asíntota oblicua es la gráfica de esta función lineal.

►

E JE M P L O

5

Dibujo do la g ráfk a do una función llnoal

Dibuje la gráfica de la función definida mediante I f l

M

=

—3

Verifique la gráfica en la graficadora.

Solución

El dominio de / e s el conjunto de todos los números reales excepto 3. Como/(O) = y , la intercepción y de la gráfica es y . Las intercepciones x se obtienen al igualar a cero el numerador. Al hacerlo se obtiene x = ±4. Debido a que / n o es par ni impar, su gráfica no es simétrica respecto al eje y ni al origen. Si se iguala a cero el denominador se obtiene la recta x = 3 como una asíntota vertical. Debido a que el grado del numerador es mayor

h jn c io n is 794

p o u n o m ia u s y b a p o h a u s

CAPÍTULO 5

10-

s j •f/ Ai i i i -3 /Á ÆÏ

10 Tr T -5« T

•i 5 I 1| '

Tabla 7 -6

X

10

¿ m

=

x

- 16 - 3

20 “ 9

-4

-2

-1

0

12

15

?

4

0

1

lé T

?

13

2

4

.

12

0

s

FIGURA 5.43

Si se verifica la gráfica en la graficadora, la asíntouofc, aparece. Para mostrar esta asíntota, se traza la rectay=x+3ad mo rectángulo de inspección.

M

Cuando aprenda técnicas d e Cálculo, estará habilitado pn zar completamente las gráficas de funciones racionales. Es dt* actual, es recomendable que efectúe los pasos siguientes ai diqr les gráficas.

P a ra d ib u ja r la g rá fic a d e u na función racional:

11* Encuentre las intercepciones.

• aga las pruebas de simetría respecto al eje y y a) origea | * ncuentre las asíntotas verticales aplicando el TeoreuaI 4 . Encuentre las asíntotas horizontales aplicando el Tecre»¿ | * 1 e P ’ado del numerador es mayor por 1 que el denominador, encuentre la asíntota oblicua mediarte do del ejemplo ilustrativo 5. Localice algunos puntos de la gráfica. Emplee tantosF-^ como sea necesario para completar el dibujo de acue 1 —Ji información obtenida en los pasos 1 a 5.

► EJEM PLO 6

Sofw/ón d t un

fu n c ió n r a c io n a l como moa»

Se desea construir un envase de hojalata con riS* ° Sln taPa>de modo que su volumen sea 16 * Pu

3 .5

295

FUNCIONES BACION*»»?*

de la base del cilindro mide x pulgadas, exprese el área de la superficie total del cilindro en pulgadas cuadradas como una función de x. (b ) ¿Cuál es el dominio de la función resultante? (c) Utilice la graficadora para expresar el radio de la base, con una precisión de dos decimales, para el cual la cantidad de material empleado en la manufactura del envase sea mínima; esto es, de modo que el área de la superfìcie total sea mí nima. ¿Cuál es el mínimo del área de la superfìcie total?

iii) que no po^ a oblicua, ya del denominadola recta y = *+31 s de/(jt)paravJ totas como gu%

Solución

5 6

0

9

/

4

(a) La Figura 5.44 muestra el envase de radio x pulgadas y altura h pulgadas. El área de la superficie lateral del cilindro es 2nxh pulg2 y el área de la tapa inferior es t u 2 pulgadas cuadradas. Por tanto, si S(x) pulgadas cuadradas representa el área de la superfìcie total, entonces

»

FIGURA 5.44 ntota oblicua sel =x + 3 en e!1 litado para anali-j les. En el estajo ites al dibujaru-1

S(x) — lirx h + 7t x *

( 1)

Para expresar S(x) sólo en términos de x, se necesita una ecuación que relacione a x y h Como el volumen de un cilindro circular recto está dado por n x 2h, y el volumen del envase debe ser 16 n pulg3, en tonces se tiene la ecuación 7TX2h = 1Ó7T

16

h = Z2

Al sustituir este valor de h en (1) se obtiene acional:

S(x) = 27Txí~~J + - , v 327T , S(x) — i----- + 7TX

il origen,

eorema 1.

1Teorena 2

X

■

: el grado de I iante el néti>

lantos punu* ; acuerdo con

7TX2

,01 por [0,100]

5.45

(b) Como x debe ser un número positivo, el dominio de 5 es (0, +00). (c) La gráfica de S en el rectángulo de inspección de [0, 10] por [0, 100] se muestra en la Figura 5.45. La coordenada x del punto mínimo de la gráfica proporciona el radio de la base del envase cuya superficie total es de área mínima. Si utiliza el aumento (zoom iri) de la grafica dora, se verá que el punto mínimo es (2.52,59.84). Conclusión: El radio de la base debe ser 2.52 pulg para obtener una área de la superficie total de 59.84 pulg2. <

e cilindro g5. (»)Si«,rl

En su curso de Cálculo aprenderá a determinar el valor exacto del ra dio de la base requerido en el ejemplo 6. el cual es 2>¡2 pulg « 2.52 pulg. En las secciones 2.5 y 2.6 aprendió a resolver desigualdades linea les y polinomiales, tanto algebraica como gráficamente. Es cierto que para desigualdades lineales el método algebraico es más fácil que el gráfico. Sin embargo, una desigualdad racional, es decir, que contiene

296

CAPÍTULOS


expresiones racionales de la variable, es más fácil resolverla ñcadora que algebraicamente. En consecuencia, se pospusod " de las desigualdades racionales hasta este momento, por u concentraremos en la solución gráfica.

^ —

>

í

f


y, Para resolver la desigualdad

?

5x < 4 x - 1 [- 10, 10] por [- 10, 10] 5jc yr X —1 y y2 - 4 FIGURA 5.46

í 10

considere 5x yi = x - 1

12.

yi = 4

La Figura 5.46 muestra las gráficas de yi y >»2trazadas en el recúpfct inspección de [-10, -10] por [-10, 10]. Observe que larectai=lag asíntota vertical de la gráfica de y\. Como la gráfica de yj estádefcqoii gráfica de y2 cuando x está en el intervalo abierto (-4,1), este intervés el conjunto solución de la desigualdad.

14. '(i+2r ).r

’16-x2 ► EJEM PLO 7

Solución g rá fic a de una desigualdad radom

-9

Encuentre la solución de la desigualdad 3x - 1

1

jc

-

-

6

Solución

Considere 3x - 1 x 2 jP x - 6

[-10,10] por [-10,10]

lx - \ » - 7 2 T e yy' s l FIGURA 5.47

y2 = 1

En la Figura 5.47 se muestran las gráficas de )>i y y: trazadases* rectángulo de inspección de [-10, 10] por [-10, 10]. La gráfi»*| y\ tiene dos asíntotas verticales: * = -2 y x = 3. El conjuntos#J ción de la desigualdad consta de todos los valores de para les la gráfica de yi corta a la gráfica de y2 o está por debajo ^ Por tanto, a partir de la figura se concluye que el conjunto es ( - 00, - 2 ) U [-1 ,3 ) U [5 , + 00). I V a

EJERCICIOS 5.5 En los ejercicios 1 a 32, se define una junción racional, (a) Determ ine e l dom inio de la junción, (b) Encuentre las in-

tercep e io n es de la gráfica de la Junción. <- ^ p ru e b a s d e sim etría para las gráficas resp

16. 18., 20J

21 /

S .S

ll^ íl ongen. (d) Encuentre las asíntotas verticales y ho^ ^ gráfica si existen, (e) Encuentre la oblicua si existe, ( f) Dibuje la gráfica, (g) wfanpruebe la gráfica con la graficadora.

^

h . f(x)\

1

15. f{x) =

fc te i Ll

o t \ — 3x + 6 8 - g(*) T, ¿ '- 2 "

p ./W = p

io .

P M t) = - p

12.

h ftx ) =

-1

(x + 2 )2 5x fc /W = -x‘ - 4

I17A(-r) =

9x 16 - x 2

Pelona! I 19. *W = 2x2 x2 - 9 h ,/( ,) = í ! i - T

14. /( x ) =

(x - 3 )2 lx 16. g(x) = x2 - 9 i» , m

= 3x2

20 . h(x) = - i x2

x2 + 4 jr

4 Izadas ec¿ I 29, fct) = i gráfica « x2 + 4 ijuniosd- B g Eralos ci»'! *

4

x 2 + 1-2 22 . /( x ) = ^ r Z T T 6

x ffU ) = * + 24. / ( x ) = x 2 ■ x4+ x —o x2 26. g(x) = K j W = Jx - 2 x 1^7.

2x - 7 x 2 - 6x +

5x x 2 + 2x -

297

>3

En los ejercicios 41 a 48, resuelva el problema median te el empleo de una función racional como modelo ma temático de la situación. Escriba una conclusión. 41. Resuelva el ejemplo 6 si el envase de hojalata es cerrado.

[3. g(*) - x - ¿ 1+ X 3- x 2x - 4 ¡7. Mx) = x + 4

39.

FU N CIO N ES RACIONALES

28. /i(x) =

- 5 8 x + 12

25 4

2x 2 + 2

3°. f ( x ) = ¿ P T J 3x2 32. f ( x ) = p ^ - 4

ejercicios 33 a 40, encuentre gráficamente la sode la desigualdad. 34.

x + 4

36. —^ - r > 6 x - 4 6 — 2x 38 u 4 + x

42. Para un envase cerrado con forma de cilindro circu lar recto de volumen 16n pulg3, el costo del mate rial para las tapas es de 2 centavos por pulg2 y el costo del material para la superficie lateral es de 1 centavo por pulg2. (a) Si el radio de la base del ci lindro mide x pulgadas, exprese el costo total del materia] en centavos como una función de x (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) Utilice la graficadora para encontrar, con una precisión de centésimos, el radio de la base para el cual el costo del material es el mínimo? ¿Cuál es este costo mínimo del material? 43. Una caja cerrada de base cuadrada tienen un volu men de 2 000 pulg3. El material para la tapa y el fondo de la caja cuesta 3 centavos por pulg 2 y el material para los lados tiene un costo de 13 centavos por pulg2. (a) Si la longitud del lado de la base cuadrada es de x pulgadas, exprese el costo total del material en centavos como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función de la parte (a)? (c) Utilice la graficadora para encontrar, con una precisión de dos decimales, la longi tud del lado de la base cuadrada para la que el costo del material es el mínimo? ¿Cuál es este cos to mínimo del material? 44. Un rectángulo tiene un área de 81 pulg2. (a) Si la longitud del rectángulo es x, exprese el perímetro en pulgadas como una función de jc. (b) ¿Cuál es el dominio de la función de la parte (a)? (c) Utilice la graficadora para encontrar, con una aproximación de décimos de pulgada, las dimensiones para las cuales el perímetro es el mínimo? 45. Haga el ejercicio 44 si el rectángulo tiene un área de 100 pulg 2 46. En una comunidad particular, cierta epidemia se extiende de tal forma que x meses después del bro te de la epidemia, P(x) por ciento de la población esta infectada, donde 30x2 (1 + x 2)2

298

CAPÍTULO 5


Utilice la graficadora para estimar en cuántos me ses la mayor parte de la gente será infectada y qué porcentaje de la población es ésta. 47. Se determinó que el costo por kilómetro para ope rar un camión es 8 + x dólares sin considerar los salarios de los operadores, y donde x kilómetros por hora es la velocidad del camión. El salario combinado del operador y su ayudante es $27 por hora, (a) Exprese el costo total en dólares para ope rar un camión como una función de x. ( b ) ¿Cuál es el dominio de la parte (a)? (c) Utilice la graficadora para estimar aproximadamente la velocidad en ki lómetros por hora para la cual el costo por kilóme tro es el mínimo. 48. El costo por hora en dólares del combustible para un barco carguero es 35 * 3. donde x nudos (millas náuticas por hora) es la velocidad del barco. Hay un costo adicional de $400 por hora, (a) Exprese el costo en dólares por milla náutica como una fun ción de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función de la parte (a)? (c) Emplee la graficadora para estimar, aproximadamente en nudos, la velocidad del barco para que el costo por milla náutica sea el mínimo.

tfCOOöCÖ ignosdeí 49. Cuando dos resistores que tienen ohms y Ri ohms se conectan en tencia total R ohms estâ dada por

*1

Si la resistencia total de dos resututi en paralelo debe ser de por lo menos 2oí®* de los resistores tiene una resistencia 4 ] ¿cuál debe ser la resistencia del otro ce una desigualdad como modelo situación y escriba una conclusión 50. Explique en palabras (sin símbolo») yMd de las palabras infinito o aproximación. & ca el enunciado: “La recta x = 2 a m, vertical de la gráfica de la ñiociéo/*.

$

ICIOSDE

R EI

. I¿utilice el

f/g j y 4, emplee & W P *■''reguniu.

51. Explique en palabras (sin símbolo»)y sjbct^ de las palabras infinito o aproximación,^^ ca el enunciado: “La recta v = 4 es una , ^ f a c t o r de 2r3 + 9 rizontal de la gráfica de la funrióo/ ”. i i ;..® ei valor de fe de mo 52. S ia ,b ,c y d son números positivos yj <- ¡ aariltr - 5xJ + 3fct. ba cómo demostraría que ~ estáentrejjj *>5íí32cdvalorde/ctal que.

' o10, encuentre< msiónsintética.

REVISION DEL CAPITUL ► VISION RETROSPECTIVA 5.1 Las transformaciones geométricas que se utilizaron para obtener las gráficas de funciones polinomiales incluyen las reglas de traslación vertical y horizon tal, la regla de expansión y contracción vertical, y la regla de reflexión con respecto al eje x. Se mos tró cómo el comportamiento al infinito de la gráfi ca de una función polinomial de n-ésimo grado puede obtenerse a partir del signo del coeficiente del término de n-ésimo grado y la paridad de n. Se aplicó, sin demostración, el teorema que establece que una función polinomial de /i-ésimo grado tiene a lo más n - 1 extremos relativos, y se em pleó una graficadora para estimar los extremos relativos. 5.2 El teorema del residuo nos dice que cuando P(x) se divide entre x - r, el residuo es P(r). Una conse cuencia de este teorema es el teorema del factor, el cual establece que P(x) tiene a x - r como factor si y sólo si P(r) = 0. Se introdujo la división sintéti

ca para facilitamos la aplicación dees« di* mas. Se usó la terminología susbcudón cuando P{r) se calculó mediante ladiviflfe^ ca. Se mostró cómo el algoritmo de Honff* I k ’ ' " l'lia e m m forma conveniente para realizar la (fin» “'"“o * sinlélic ca en una calculadora. 5.3 Las técnicas de cálculo de la Sección ron junto con el teorema de ceros encontrar los ceros racionales de funcw® miales con coeficientes reales.

S

o *»

■ 5.4 Se utilizó el teorema fu n d a m en ta l para probar el importante teorema el blece que una función polinomial d e . 1, con coeficientes complejos, n ceros complejos. También se es . ^¡¡j demostración, que si un númeroc *5 cero de una función polinomial. e*11 jugado también es un cero,vEsteb*110 mitió encontrar otros ceros

IQt —3

lo mult

V

' ^ ' 4>(,2+

R EVISIÓ N D 1L CAPÍTULO 5

-ojinorniaí cuando se conocían algunos. Se intro■ la regla de los signos de Descartes que nos fa^ |a determinación de la naturaleza de los ceros £ una función polinomial. También se estableció y . / un teorema empleado en Cálculo cuando se Ljgía con fracciones parciaies: Un polinomio con ficientes reales puede expresarse como un pro-

eIo’ l a J

299

ducto de polinomios lineales o cuadráticos con coeficientes reales. 5.5 Se definieron las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de gráficas de funciones racionales, y se emplearon para dibujar las gráficas. Se resol vieron desigualdades racionales trazando las gráfi cas de funciones racionales.

1coneOadúi

öhms. ym de 3 ohms, Sistor? Uiiij,' juiáticodeij in el empjc qué signifi. toa asíntota

,

e j e r c ic io s d e

r e p a s o

¡a¡osejercicios 1 y 2, utilice el teorema del residuo puroencontrarel residuo de la división. 1. (3*3 + 4*2 ” 3* - 5) + (x + 2)

En los ejercicios 17 y 18, muestre que los números da dos son ceros de la función polinomial, y encuentre los otros dos ceros.

1 (2x4 -

17. P(x) = x 4 + x 3 - Sx2 + 8 ; - l y 2

5x2 - 2x + 1) + (x - 1) £nlos ejercicios 3 y 4, emplee el teorema del factor in el emplee pa contestarlapregunta. qué signiilasíntota ho-

3. ¿Es j - 3 un factor de x 3 + 2 x 2 - \2x - 9 ? 4. ¿Es x + 4 un factor de 2 * 3 + 9 * 2 + 6 *

+ 8?

5. Encuentre el valor de k d e m o d o q u e x - 3 se a u n factor de 2 b :3 - 5x2 + 3kx. i Determine el valor de k tal q u e x + 2 s e a u n fa c to r de2r4 + 2kx3 - x 2 - 3kx - 8. |fclosejercicios 7 a 10, encuentre el cociente y el resi domediantedivisión sintética. I (2*4 + 7x3 - 4x + 5 ) + (x + 3) * (*3 - fo 2 + 8x - 5) + (* - 4 ) D5doslic f (*‘ - 64) + (x - 2) ión sin'iss (*5 + 243) + (x + 3) jsión siníff" b m ere sis®

isión

P los ejercicios 11 y 12, determine los valores de la ftión mediante sustitución sintética. fy ) = I r 4 - 8*2 - lQ c - 3

52 s e # nonales^

|oue$ p0^

W

p(~2)

(b)

P(3)

s 3x4 + 10x3 - 6x2 + 1 <*) P(~4) (b) P(~j)

ejercicios 13 a 16, encuentre los ceros de lafundel ^ bl c#*l% f Polinomial, e indique la multiplicidad de cada pro e e*— ¿ p t o * l* 2 ♦ 2» - 3 X 2 x 2 *5) mp&s P°ceS^ ^ una

fiT r

i ^ C * 2 - lXx2 - 4)(x 2 + x - 2 ) * U 2 - 9)(x2 - 4 ) 2(6 x 2 + x - 15) * (* - 5)3(jc2 - 36X*2 + 2* - l ) 2

18. P(x) = 2x4 + Sx 3 - fcr2 - 7x + 6; 1 y-3 En los ejercicios 19 a 22, determine todos los ceros ra cionales de la función polinomial. Si es posible, en cuentre los ceros irracionales o imaginarios. 19. P(x) = x 4 - 3x 3 - 8x 2 + 26x 20. P(x) = x 3 +

12

5x2 + 5x - 3

21. P(x) = 3x3 - \ \ x 2 + 9x -

2

22. P(x) = 2x4 + x 3 - 17x2 - 4x + 6 En los ejercicios 23 a 26, determine todas las raíces ra cionales de la ecuación. Si es posible encuentre las ra!ces irracionales o imaginarias. 23. x 3 + x 2 - \5x + 9 = 0 24. x 4 ^ 3x3 - 10x2 + 28x - 16 = 0 25. 6x 4 - 25.x3 - 3x2 + 5x + 1 =

0

26. 3x 3 - x 2 + 16* + 12 = 0 27. Encuentre el conjunto solución de la ecuación x 4 + 2 x 3 - 4x 2 - 4x + 4 = 0 dado que '¡l y - V2 son raíces. 28. Determine el conjunto solución de la ecuación x 4 + x 3 - 4x 2 - 3x + 3 = 0 dado que 'IT y - V3*son raíces. En los ejercicios 29 a 40, dibuje la gráfica de la fun ción. Verifique la gráfica en la graficadora. 29. (a) /(x ) = x 2 - 2

(b) g(x) = (x - 2)2

30. (a) f(x) = -2 x 2 + 3

(b) g(x) = -2(x + 3) 2

31. (a) /(x ) = ¿(x + l ) 3 32. (a) /(x ) =(x + l ) 3 - 5

(b) g(x) = ¡ x 3 + 1 (b) g(x) = (x + 5) 3 - 1

c a p (t h i

q 5

FUNCIONES P O U N O M IA L E S Y RACIONALES

58. F(x) = 3x4 + x 3 - 3x - 1

33. (a )/* * )“ - * * ' * * * * * (b) #(*) * - ( * + ~ 3 34. (a) /W * j(x - 2) 4 - 3 (b) *(*) * + 3) 4 + 2

59. P{x) - x A + 2x3 + 6x2 + & + g;2le|í 60. P(x) » 2x4 - 2x3 + 3x2 - 2r + 1; ^ cero 61. Encuentre el conjunto solución de Uecuaaí.

35. *W = x 3 - 6 x 2 + 9x + 6

x 4 + 3x3 + 3x* - 2 = 0

36. fix) = x 4 - f e 2 + 9 37. g(x) * x 4 - 14x2 - 24x

dado que -1 + i es una raíz.

38. h(x) = x 3 + 3x 2 - 4

62. Encuentre el conjunto solución de la

39. j{x) * x 5 - 5x 4 + 6 x 3 + 2x2 - I x + 3

40. g(x) » x 4 + 4x 3 + 5jc2 + 2x £>» los ejercicios 41 a 52, se define una función racio nal. (a) Determine el dominio de la función, (b) En cuentre las intercepciones de la gráfica de la función. (c) Haga las pruebas de simetría de la gráfica con res pecto al eje y y al origen, (d) Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica si existen, (e) De termine la asíntota oblicua si existe, ( f ) Dibuje la grá fica. (g) Compruebe la gráfica en la graficadora. 41./(x) =

x - 5

42. f(x ) =

x + 2 x - 3

44. g(x) = - p 45. f[x) -

47.

16 (x + 2 )3 3x

/(X ) = J T 7 7

49. g(x) =

4x 2 9 - x2

> * 5pulg0

46. f(x ) =

(x + l ) 2

48. g(x) =

x2 + 4 x2 - 4

50. f(x) =

5x x 2 - 16

x2 - 4 3x 2 - 12 52. /t(x) * 51. h(x) = J x - 1 X fin los ejercicios 53 a 56, encuentre un polinomio P{x) del grado indicado con coeficientes reales para el cual b s números dados son ceros de P. 53. Cuarto grado; 1 - í y 1 + i VÜ". 54. Cuarto grado; 2 - i VÜT(multiplicidad 2) y -1 . 55. Sexto grado; 3* (multiplicidad 2) y 2 - i *v2. 56. Sexto grado; 2 + 3i, 2 + 1 y 1 4- 3i.

2x4 - x 3 + 33x2 - 16* + 16 =0 dado que Ai es una raíz.

pulg*

lión Det

^ « * u"acaja la caja en

,ae!

En los ejercicios 63 a 66, pruebe que la eo**« tiene raíces racionales. Después utilice la nú i signos de Descartes para determinar la qfag) ^ * BB0 de cito! concerniente a l número de raíces positivas, p í f e l a hipóte™ imaginarias. Emplee la graficadora paro wjb fcpmn» Bo85. r respuesta. taémfmcwn racional 63. x 3 - 7 x 2 + x + 3=0 tm &. Escribounaa 64. x 3 - 3 x 2 — 5 = 0 ii Si\i longitud de un

65. x 4

- 6x - 9 = 0

m de90pie2esx pies, »con»unafunción de 66. x 4 + 2x3 + 6x - 3=0 Líífelañindón de la pai En los ejercicios 67 a 70, determine toda lo fadoraparaencontrar, c ción concerniente al número de ceros posilw* «s ta«) Je pie, Jas d im vos imaginarios de la función. Encueran k * » y localice i »• los » ceros irracwnaus •• racionales m» . ^»aibelperíraetrí enteros cosecutivos. Trace la gráfica de lafmM. 1^ useahacerun2 caja ab •í!Ne; conla mínima« rifique su respuesta. Qeaeuna base rectan| 67. F(x) = x 3 - 3x 2 + 6x - 24 68 . G(x) = x 3 + 3x 2 - 3x - 2

69. G(x) = x 4 - 2x 3 - 13x2 + 33* - M 70. F(x) = 3x 4 + IQ r 3 - llx 2 - 4i + 2 £>i los ejercicios 71 a 74, encuentre el conpción de la ecuación. 71. 4 x 3 - l l x 2 + 26x - 15 = 0 72. 3x 3 - x 2 + 16x + 12 * 0 73. 6x 4 - 25x3 - 3x 2 + 5x + 1 s 0 74. 2 * 4 - 9x 3 + 17x2 - 3x - 7 = 0

En b s ejercicios 57 a 60, (a) encuentre los ceros de la función polinomial y (b) utilice el resultado de la parte (a) para expresar el polinomio como un producto de polinomios lineales o cuadráticas.

En los ejercicios 75 a 78, encuentre el ción de la desigualdad gráficamente.

57. P(x) * 2x* + 3x2 + 6x - 4

75. ------- — > 1 x - 5

2x + I

3x z i i l

REVISIÓN PEI CAPÍTULO 5

íx + 6

78.

10 - 4.x - Ix + 10 >

79 a 81, resuelva el problema utilizanMi ecuación como modelo matemático de la sitúa- a Escriba una conclusión. L ^ dimensiones de una caja rectangular son 3 pulg, 4pulg y 5 pulg. El volumen de la caja se du plicasi cada dimensión se aumenta en el mismo númerode pulgadas. Determine este número. ¡g

Qvolumen de una caja es de 504 cm3, y las dimensiones de la caja en centímetros son tres ente rosconsecutivos. ¿Cuáles son las dimensiones?

|ft B área de un triángulo rectángulo es 6 cm 2. En cuentrelas longitudes de los lados del triángulo si la longitud de uno de ellos es 2 cm más corto que lalongitudde la hipotenusa, fei los ejercicios 82 a 85, resuelva el problema emmmió unafunción racional como modelo matemático míasituación. Escriba una conclusión. [ti (a) Si la longitud de un rectángulo que tiene un áreade 90 pie2 es x pies, exprese el perímetro en piescomo una función de x. (b) ¿Cuál es el domi niode la función de la parte (a)? (c) Utilice la gra neadora para encontrar, con una aproximación de décimas de pie, las dimensiones del rectángulo pvalascuales el perímetro es el mínimo, f Sedesea hacer una caja abierta con un volumen de $ pulg3 con la mfhima cantidad de material. La tt)atiene una base rectangular y su longitud es el

301

triple de su ancho, (a) Si el ancho de la base rectan gular es x pulgadas, exprese en pulgadas cuadradas el área de la superficie total de la caja como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función de la pane (a)? (c) Utilice la graficadora para en contrar, con una aproximación de décimas de pul gada, las dimensiones de la caja de modo que el área de la superficie total sea mínima. ¿Cuál es el mí nimo del área de la superficie total? 84. Resuelva el ejercicio 83 suponiendo que la caja es cerrada. 85. Un envase cerrado de hojalata y con forma de cilin dro circular recto tiene un volumen de 27 pulg3. Las tapas circulares son cortadas de piezas cuadra das de hojalata, (a) Si el radio del cilindro es de x pulgadas, exprese en pulgadas cuadradas el área de la superficie total como una función de x. Incluya la hojalata que se desecha cuando se cortan las ta pas. (b) ¿Cuál es el dominio de la función de la parte (a)? (c) Utilice la graficadora para encontrar, con una aproximación de décimas de pulgada, el radio y la altura del envase de modo que el área de la superficie total sea un mínimo. ¿Cuál es el míni mo del área de la superficie total? 86. Pruebe que si z, y z, son números complejos en tonces

esto es, el conjugado de dos números complejos es el producto de sus conjugados.

6.1■

6.2 Exponentes y número e 6.3 Funciones exponenciales 6.4 Funciones logarítmicas 6.5 Propiedades de las funciones y ecuaciones logarítmicas 6.6 Ecuaciones exponenciales

6 .1

FUNCIONES INVERSAS

303

1 . Definir cuándo una función es uno a uno. 2. A prender la prueba de la recta horizontal. 3. A plicar la p ru eb a de la recta horizontal para determ inar si u n a función es uno a uno. 4. Definir función creciente y fundón decreciente. 5. A prender que una función m onótona es uno a uno. 6. Definir la inversa de una fundón. 7. A prender las ecuaciones/(/_1(r)) = x y / ' (/(.r) )- x dondefyf~* son funciones inversas. 8. D eterm inar si u n a función dada tiene inversa, si la tiene, encontrarla. 9. A prender que las gráficas de una fundón y su inversa son reflexiones u n a de la otra respecto a la recta y = x.

La expresión operaciones inversas nos es conocida. La suma y la sus tracción son operaciones inversas, así como la multiplicación y la divi sión, o la elevación a potencias y la extracción de raíces. En cada par de operaciones inversas, una “deshace” lo de la otra. Por ejemplo, si sumamos 4 a x, la suma es x + 4; si restamos 4 de esta suma, la dife rencia es x. En el siguiente ejemplo ilustrativo se utiliza un par de fun ciones asociadas con operaciones inversas.

▻ E J E M P L O IL U S T R A T IV O 1

Calcule los valores de la función compuesta para las funciones especí ficas f y g. (a) Sean/ ( x) = x + 4 y g(x) = x - 4 . Entonces f( g (x )) = / ( x - 4)

g (f(x )) = g(x + 4)

= (jr - 4) + 4

= (x + 4) - 4

= x

= x

(b) Seanf ( x ) - 2 x y g ( x ) =

Entonces

CAPÍTULO 6 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

(c) Sean /(x) = x 3y g (x) = '(x. Entonces

f(g(x)) = f( V x ) = (“^ x )3

g(f(x)) = g(x3) * V?

—X

—x i

Cada par de funciones/y g del ejemplo ilustrativo 1satisf**, dos ecuaciones siguientes:

f(g(x)) = x

para x en el dominio de g

g(f(x)) = x

para x en el dominio de/

y

Observe que para las funciones f y g de estas dos ecuacúetb funciones compuestas f(g (x )) y g(f(x)) son iguales, relación que* siempre es verdadera para dos funciones / y g arbitrarias. End a» pío ilustrativo 7 se verá que cada par de funciones del ejemploiba* tivo 1 es un conjunto de funciones inversas, y que es la razónpork cual las dos ecuaciones anteriores se satisfacen. Se considerarán más funciones particulares, las cuales notpon a la definición formal de la inversa de una función. La gráficadei función definida por

/(*) = x 2

y

está trazada en la Figura 6.1. El dominio d e/es el conjuntodem ros reales, y su contradominio es el intervalo [0, +oo). Acidark de x del dominio le corresponde uno y sólo uno del contrata* Por ejemplo, como /(2 ) = 4, al número 2 del dominio le contspo* el número 4 del contradominio. Sin embargo, como/(-2)=4,oB; mero correspondiente al número -2 del dominio es el número4® contradominio. Así, 4 es el valor de la función de dos números» tintos del dominio. Además, cada número diferente de 0, dd dominio de esta función, es el valor de la función de dos oifflj® distintos del dominio. En particular, ^ es el valor de la funcióí ¡ y ~ f *y 9 es el valor de la función de 3 y -3. Una situación diferente ocurre con la función g definid®P®

g(x) = x 3

FIGURA 6.2

-2 < x £ 2

El dominio de g es el intervalo cerrado [-2, 2], y su contra^0® t [- 8, 8], La gráfica de g, trazada en la Figura 6.2, es tal, 9ueUn^ 0 /f su contradominio es el valor de la función de uno y só'° del dominio. A este tipo de funciones se les denomina un°°

6 .1

D EFIN ICIÓ N

FUNCIONES INVERSAS

I qk

Función uno a uno

Se dice que una función / e s uno a uno si y sólo si siempre que a y b sean dos números diferentes cualesquiera del dominio de/, entonces f(a ) * f(b).

>


La función definida por f(x) = x 1no satisface la definición anterior de bido a que, por ejemplo, 3 y -3 son dos números distintos del dominio, sin em bargo/(3) = /(-3 ). Por tanto, esta función no es uno a uno. m En la Sección 4.2, se dijo que una recta vertical corta a la gráfica de una función cuando más en un punto. Para una función uno a uno, también es verdadero el hecho de que una recta horizontal intersecta a la gráfica cuando más en un punto. Observe que ésta es la situación para la función uno a uno definida por g(x) = jc3, donde - 2 £ x $ 2 , cuya gráfica se muestra en la Figura 6.2. Además, note que para la función definida por/(x) = x 2t la cual no es uno a uno, cualquier recta horizontal, por arriba del eje x , corta a la gráfica en dos puntos (véase la Figura 6.3). Así, se tiene la siguiente prueba geométrica para deter minar si una función es uno a uno.

P ru eb a d e la recta horizontal Una función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal inter secta la gráfica de la función en no más de un punto.

► EJEM PLO 1

Determinación, mediante la prueba de la recta horizontal, de si una función es uno a uno

Para cada una de las siguientes funciones, utilice la prueba de la recta horizontal para determinar si es uno a uno. (a) f ( x ) = 4 x - 3 (c) f ( x ) = |x |

(b) f ( x) = (x + l )4 , 3'i + 4 (d) / W = T ^ T

Solución (a) Esta función es lineal y su gráfica es la recta de la Figura 6.4. Como cualquier recta horizontal corta a la gráfica en exactamente un punto, entonces la función es uno a uno.

6 FUNa°N|S

IW v g B S A S . e x p o n e n o a l e s y l o o a k ì t m k a ».

306

FIGURA 6.6

FIG U R A 6.5

La gráfica de esta función se obtuvo en el ejemplo 2(a) dehw I ción 5.1. Ésta se reproduce en la Figura 6.5, en la cual se I que cualquier recta horizontal por amba del eje x inienecuij« i fica en dos puntos. Por tanto, la función no es uno a uno. I (c) La gráfica de la función valor absoluto se muestra en la I 6.6. Observe que cualquier recta horizontal sobre el ejezc^t I la gráfica en dos puntos. Por esto, la función valor absoluto»« I uno a uno. (d ) La Figura 6 .7 muestra la gráfica de la función racional ( ttiti asíntota horizontal, y = 3, se trazó en el m ism o rectángulo de» I pección. Cualquier recta horizontal, excepto la asíntota, coraje gráfica exactamente en un punto. Por tanto, la función amn\ uno. i

(b )

; -------7Tr*r '

i

[-10,10] por [-10,10] „ v lx + 4 /W = — - y > , = 3 x-2

FIGURA 6.7

Otros métodos para determinar si una función es u n oi«»¡ apoyan en las definiciones siguientes.

F u n c ió n c r e c ie n te y fu n ción decreciente

DEFINICIONES

Sea/ una función. Entonces (i)

se dice q u e /e s una f u n c ió n c r e c ie n te si *i < Xi

implica que /(xi) < / W

donde x\ y xi son números cualesquiera del dominio (ii)

de/

se dice q u e /e s una f u n c ió n d e c re cie n te si < *2

implica que /(* i) > / W

.

donde jci y jr2 son números cu alesq u iera del do1*1

u ees^ Si una función es creciente o decreciente, se d i # a li' El COnrJ« 7 ‘T u u c u a . wilv, muestra la o ü r c , unc'^ n creciente se ilustra en la Fig^ " . / (v„

;> U j'

función/ de este t¡p°-

M))de la gráfica, seveque*,«.

_____________________ 6.1

FUWCtONCS IW V H Ü A »

307

La Figura 6.9 presenta la gráfica de una función decreciente g. Los dos puntos (xu g(x})) y (x¿, g(x¡)) indican que x¡ g(x2).

>


Considere otra vez la función g definida por g{x) = x 3

-2 < x < 2

cuya gráfica está dibujada en la Fi; ura 6.2. Como x¡ < x2

implica que

x ¡3 < x23

se deduce de la definición que g es una función creciente.

>


Considere la función/definida mediante f( x ) = 5 - 2 * De las propiedades de las desigualdades se infiere que jc, < x2

- 2x, > - 2x2

implica que

Si se suma 5 a cada lado de la segunda desigualdad, se tiene x¡ < x2

implica que

5 - 2x, > 5 - lx 2

Pero 5 - 2x¡ = f(x¡) y 5 - lx 2 - f(x 2). Por tanto. x, < x2

implica que

f(x,) >f{x2)

En consecuencia, por la definición,/es una función decreciente. Véase la gráfica de la Figura 6. 10. < El teorema siguiente proporciona una prueba que puede emplearse para mostrar que una función es uno a uno.

TEOREMA 1

Una función monótona es uno a uno.

Demostración Suponga que / es una función creciente. Si *1 y son dos números del dominio d e / y *1 * *2 , entonces *1 < x2, o bien. x2 < X\. Si X\ < x2 , se deduce de ia definición de una función creciente que/ ( xi) < f(x2); por esto,/(jfi) *■f(x 2). Si x2< x ll entonces f(x 2) < f(x 1), y otra vez f(x \) * f( x 2). A sí,/e s una función uno a uno. La prueba es similar s í/e s una función decreciente. ■

FU N CipN ESjN VlR SAS, EXPONENCIALES Y L O G A R ÍTM IC A * ^

Ê JE M P LO ILUSTRATIVOS-------En el ejemplo ilustrativo 3 se demostró que la fünc ^ g(x) - x y

-2^JtS 2

es creciente. Por tanto, por el Teorema 1, g es una fu Este resultado concuerda con la demostración anteri»*1 N I pleó la prueba de la recta horizontal. 01 J Si en la ecuación que define a g(x) se reemplaza fa) | y = Xs

- 2 S I S 2

Al resolver esta ecuación para x se obtiene x = Vy

-8

y < 8

lo cual define una función G donde G(y) -

“8

y < 8

La función G del ejemplo ilustrativo 5 se denomina la«. J la función g. En la siguiente definición formal de la invenga función, se emplea la notación f~ l para denotar la invemde^y notación se lee “/ inversa”, y no debe confundirse con el no*1 como un exponente.

DEFINICIÓN

Inversa de una función

Si / e s una función uno a uno, considerada como el conjunté pares ordenados (jt, y), entonces existe una función f~\ do nada inversa de / , donde/ _1 es el conjunto de pares oráoí» (y, *) definido mediante x ~ / " ' ( y)

si y sólo si

y = /(*)

El dominio de / ■ ' es el contradominio de/, y e l d e / -' es el dominio de/

c o n tra d ® *

En la definición anterior, el requerimiento de í ción uno a uno asegura que /" '(y ) es único para cada v ^ ¡ ^ - | Si se elimina y de la ecuación de la definición, ecuación / - ‘(y) = x y se sustituye y por/(*), se obtiene

/-'(/(* » ¡ (x) donde x pertenece al dominio de/

_____________________

6.1

FUNCIONES INVERSAS

309

Si se elimina x del mismo par de ecuaciones, escribiendo la ecua ción /(•*) = y y sustituyendo x p o r /'‘(y), se tiene

/(/-'(y )) = y donde y está en el dominio de f mh Como el símbolo utilizado para la variable independiente es arbitrario, se puede cambiar y por x para ob tener

f ( f ~ [(x)) = x

(2)

donde x está en el dominio de f ~l. De las ecuaciones (1) y (2), se observa que si la inversa de la fun c ió n / es la función/-1, entonces la inversa d e /- 1e s / Estos resultados quedan establecidos formalmente en el teorema siguiente.

TEOREMA 2

S i/e s una función uno a uno y tiene a / _1 como su inversa, en tonces / _1 es uno a uno y tiene a/ como su inversa. Además, / _1( / ( * )) =

x

para * en el dominio d e /

y

f(f~ \x ) ) - x

para x en el dominio de/'*

Se emplea la terminología funciones inversas para referirse a una función y su inversa.

>


En el ejemplo ilustrativo 5 la función G definida por G(y) = 'V y - 8 s j s 8 es la inversa de la función g definida por g(x) = x 3 - 2 2S * 2S 2 Por tanto, puede escribirse g _l en lugar de G, y obteniéndose g ~¡(y) = ^ 5

-8 ^ y * 8

o, de forma equivalente, si se sustituye y por x, g - '( x ) = V x

- 8 S I S 8

JU M O O N ^^^

EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS^

Observe que el dominio de g es [-2,2], el cual g ; y también que el rango de g es [-8,8], el cual!i!l e,do^ b * Si una función/tiene inversa, entonces/~*(r\ mediante el método empleado en el siguiente

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 Cada una de las funciones/del ejemplo ilustrativo 1es ^ I tanto, f l(x) existe. Para cada función se calcula/-*(*) a - x _ j — “*■' v^ aP*n»iki| f(x)) mediante la susütución sustitución fínición de f(x de y por/(i) y Itsolv¿ * ---------« o ro V r o n *»ctA .............................................. ....

Esta ecuación es la definición d e / - ‘(y), a p ne f - l(x). (a)

f( x ) = x + 4

/ ( x) = 2x

(b)

y = x + 4

y = 2x y X ~ 2

1

CAPÍTULO 6

* ll¡

310

/ " ‘(y) = y ~ 4 r \x ) = x - 4

'itOUÔbuft'

k 4 ÍTGIH

de lacu*liei¿ w

/w *¿

r!w = \ r \x ) = \

Observe que la función / -l en cada inciso es la functóa; dela» pondiente inciso del ejemplo ilustrativo 1.

EJEMPLO 2

D eterminación d e la inversa deunch^ó" y verificación d e las ecucKhnes dd T**0,

Encuentre / ,(x) para la función / del ejemplo l(a) y '"enfifl*11 uaciones del Teorema 2 p a r a /y /-*. Trace las grifi el mismo rectángulo de inspección

«GUÍA«•12

eJemplo 1(a) se mostró mediante U onzontal que la función definida por /(* ) = 4jc — 3 es uno a uno. Por tanto, /-■ existe . Para determinar/“W 1 ecuación y = 4x - 3 y se resuelve para *, obteniéndose - _ y + 3

*0| N ,

6.1

FUNCIO NES INVERSAS

ai

Por tanto,

r V

- f ~

r \x ) =

Ahora se verificarán las ecuaciones del Teorema 2. / - ' ( / « ) = r ' ( 4 ^ - 3)

fe [-10,10] por [-10,10]

/ ( / - '( * ) ) =

(4* - 3) + 3 FIGURA 6.11

J x 4- 3

= 4

4* = (jt + 3) - 3

4

y = /to

FIGURA 6.12

La Figura 6.11 muestra las gráficas d e / y / " 1trazadas en el mismo rec tángulo de inspección. 4 En la Figura 6.12 se presentan las gráficas de las funciones/y f~ l del ejemplo 2 con el punto Q(u, v) en la gráfica d e / y el punto R(v, u) en la d e / -1. El segmento de recta QR en la figura es perpendicular a la recta y = x y es bisectado por ésta El punto Q es la reflexión del punto R con respeto a la recta y = x, e inversamente, el punto R es la reflexión del punto Q con respecto a la misma recta. Si x y y son intercambiados en la ecuación y = / ( jc) se obtiene la ecuación x = /(y ) , y la gráfica de la ecuación x = f ( y ) es una reflexión de la gráfica de la ecuación y = f(x) con respecto a la recta y = x. Com o la ecuación x = f ( y ) es equivalente a la ecuación y = f~x(x), la gráfica de la ecuación y = f ~l(x) es una reflexión de la gráfica de la ecuación y = f{x) con respecto a la recta y = x. Por tanto, si una fun ción tiene inversa, las gráficas de las funciones son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x.

(2, 8)

>


Las funciones g y g~xdel ejemplo ilustrativo 6 están definidas por

g(x) =

jc3

g -'(x ) = V x ^ U R A 6.13

-2

< 2

8

x < 8

Las gráficas de g y g _l se muestran en la Figura 6.13. Observe que una gráfica es reflexión de la otra con respecto a la recta y = x. -4

312

CAPITULO 6_

yiÛfinM ES INVERSAS/ EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

E JE M P L O

3

S ea/la función definida por /( * ) = x 2

x &0

(a) Muestre que/es creciente y por tanto uno a uno íto c (c) Trace las gráficas d e / , / - 1y la recta y = x en el de inspección y observe que las gráficas de/y f-\ son!*?0'1^ la otra, respecto de la recta y = x. IÍ«Ni^|3 Solución fa \

Para m ostrar nim f es. una fiinriÁn m« ■: ■ venfiqueqaej pía la definición de función creciente. Sean xx y x2 dos números del dominio de/tales«* Como el dominio d e /e s el conjunto de número» no deduce que x¡ es no negativo y x2es positivo. Portan^*

x¡ < X2

implica que

xi2
Pero X\2= f(x\) y x22=f(x2), entonces

xi < xi

implica que

f(xi) < /fa)

De aquí, / e s una función creciente y, por tanto, unoa mo (b) C o m o /e s uno a uno, entonces tiene inversa/*1. Pandea nar f~l(x), se sustituyef(x) por y en la ecuación dada, otaaúÉj

y = x2

x >: 0

Al resolver la ecuación para x, y teniendo en cuentaquei-> tiene

Así, r ‘(>) = Si se ;e emplea xj para la variable independiente, y sesaSl^ *, se obtendrá

r 'w

[0,5] por [0,5]

f(x)*x\x> 0y f \ x)B^ y FIGURA 6.14

= Vi

9i

(c) La Figura 6.14 muestra las gráficas d e /,/ 1y l* <«#*/• mismo rectángulo de inspección. Observe si són reflexiones una de la otra con respecto a 8

►

~—----------- ---------------------- ----- ---------4 Determinación de h función y verificación d* d el Teorema 2

f¡t ut

E JE M P L O

f~ux) y

Para la ecuación del ejemplo l(d), d e te rm in e / ecuaciones del Teorema 2 para f y f "*•

6.1

S o lu c ió n

/w

FUNCIONES INVERSAS

313

Del ejemplo 1(d), se sabe que la función /definida por

3x + 4 = ~ 7

es uno a uno, por tanto, tiene inversa. Para determinar f~ \x )%se resuel ve la ecuación 3* + 4 y ~ x - 2 para jc: y (x - 2) = 3x + 4 xy - 2y = 3 x + 4 xy — 3 x = 2y + 4 x(y - 3) = 2y + 4 2y + 4 y -3 i

•

|

jl|¡|

Por tanto, 2y + 4 r ' ( y ) = - y — áT,

y_ 2x + w " *-

4 3

Ahora se verificarán las ecuaciones del Teorema 2. l 2x + -4\

31 4

CAPÍTULO 6

FUNCIONES INVERSAS, EXPO NENCIALES Y LOG ARÍTM ICAS

EJERCICIOS 6.1 En los ejercicios I a 14, dibuje la gráfica de la función, y utilice la prueba de la recta horizontal para determi nar si es uno a uno. Compruebe la gráfica en la calcu ladora gráfica o graficadora. L f(x) = Ix + 3 3. /(*) * x2 - 6 5. g(x) * 4 - x3 7. f(x) * (jt - 3J4 9. h(x) = Vx + 3

6. /»(*) * x 3 + 1 8. g(*) = x4 - 3 10. f(x) = V i - x 2

12. *W -

U ./W = t ± 5

x —4

13. g(x) » |* -

2. *(x) = 8 - 4x 4. /(x) * 4 - x 2

2|

16. /(x) = 3x - 2

17. f(x) = x3 + 2

18. f(x) = (x + 2)3

x+ 1

30. /(x ) =* 6 — £x 31. /(x ) 32. /( x )

= =

(x + (1-

l) 3

3 3 ./(x )

=

(x -

2)2,x

22

3 4 ./( x )

=

(x +

3 f,x

S

20. f(x) =

r 4- 5

En los ejercicios 21 a 28, (a) determine el contradomi nio de la función uno a unof; (b) encuentre/ _1(x) y de termine el dominio f~x; (c) trace las gráficas de f / “* y la recta y - x en el mismo rectángulo de inspección y observe que las gráficas de f yf~x son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x.

-3

/(x ) = 4 - x2, x S 0

36. /( x ) = x2 - 9 , x i 0 En los ejercicios 37 y 38, muestre que lafmakj, propia inversa. 37. /(x ) = V l 6 - x2, 0 S x S 4 38. f(x ) = | 4 - f

39. Encuentre e l valor de k tal que la f m a k m /d e f in id a por

f(x) =

f(x) f 2 - x2,* ^ 0

23. /(x) = V x 2 - 9, x ^ 3 24. f (x) = - V r 2 - 9, x * 3 25./(x) ». V x2 - 9, x S - 3 26. /(*) =» - V x2 - 9, x S - 3 M * J*3, - l S x S l /(x) * (2x + \Y, - j S x £ { En los ejercicios 29 a 36, (a) demuestre que fe s monótona y por tanto uno a uno: (b) encuentref~x(x); (c) di

x + 5 x + k

sea su propia inversa. En los ejercicios 40 y 41, muestre que lafim* propia inversa para cualquier constantei 40. f(x) = rt \

kX + 1

- k 42. Muestre que la función definidapor /W

-

X

21./(jt) = x2 - 5 ,x > 0 22.

x?

14. / ( jt) = 5

15. /(x) = 3 - 4 *

19. f(x) =

29. /(x ) = 2x + 5

35. (x - 1 ?

En los ejercicios 15 a 20, haga lo siguiente: (a) dibuje la gráfica de f y emplee la prueba de la recta horizontal para mostrar que la gráfica defes uno a uno; (b) en cuentref~l(x); (c) verifique las ecuaciones del Teorema 2 parafyf~l; (d) trace las gráficas de f f~ l y la recta y - x en el mismo rectángulo de inspección y observe que las gráficas de f y / “’ son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x.

1

buje las gráficas de f y f~ x en el mismo nado; (d) compruebe las gníficas de la pam | zándolas en el mismo rectángulo de inspección

f(x) =

x + h kx - 1

es su propia inversa para cualquier constantes h y k. En los ejercicios 43 y 44, (a) muestre q# i* no es uno a uno y, por tanto, no tiene ¡n*** trinja el dominio y obtenga dosfuncione* f i cada una con el mismo contradominiou/< ;: cuentre /|"'(x) y f i X(x) y determine sus trace las gráficas de/, y /,"' en el mis*0ir**

6.2

^pgcción; (*) trace las gráficas def2 y f2~l en el misDrectángulode inspección.

EXPONENTES Y NUMERO •

45. Dada /(*) = < x 2 n
jr + 4

-«ó*

44./W

315

ñx< 1 si 1 <.x<9 si9
Com pruebe que / tiene una función inversa y encuentre f~l(x).

_2_9

4,2 EXPONENTES Y NUMERO e OBJETIVOS

’■''•A**;, : 4

la función ubo-

; que lafmc»'■ \siante k

1. Estudiar y aplicar las leyes de los exponentes de los números reales. 2. Aprender la notación científica. 3. Aprender cómo redondear un numeral a k dígitos significativos. 4. Resolver problemas que implican interés simple. 5. Aprender la fórmula para calcular el monto de una inversión a un interés compuesto. 6. Resolver problemas que implican interés compuesto. 7. Definir el número e. 8. Resolver problemas que implican interés compuesto continuamente. En esta sección se necesitará estar familiarizado con las leyes de los exponentes. Dichas leyes pueden revisarse en la Sección 1.2, donde se definió el exponente racional. En particular, 2* ha sido definido para cualquier valor racional de x. Por ejemplo, 25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2

2o = 1

2~3 = —

= 32 ida por

cualquier '*■ luestre
'radonáfo^^' mine el misn#rl'

f

22/3 = ^ / l 1 = ^4

~ 8 La definición de 2 x no es simple cuando x es irracional. Por ejemplo, ¿qué significa 2^? Puede darse un argumento intuitivo que muestre cómo T** puede ser interpretado. Para hacer esto, se utilizará el si guiente teorema, el cual se enuncia sin demostración. TEOREMA 1

Si r y 5 son números racionales, entonces (i) si b > 1, r < s implica que b b \

316

CAPÍTULO 6

PUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS_________

Se mostrará cómo se aplica este teorema en el siguiente ilustrativo.

>


En la parte (i) del Teorema 1, > 1. Si ¿>= 4, y como2<3,^ ces 4 2 < 4 3. En la parte (ii), 0 ( | ) 3. Una aproximación decimal para VT puede obtenerce conjmj. sión para cualquier número deseado de cifras decimales. Paraci® cifras decimales, VT « 1.7321. Debido a que 1 < 1.7 < 2, pordTeorema l(i) 2 ‘ < 2 1-7 < 22 <=>2 < 2‘ 7 < 4 Como 1.7 < 1.73 < 1.8, entonces 217 < 2 ,-73»< 218 <=> 3.2 < 2173 < 3.5 Debido a que 1.73 < 1.732 < 1.74, se tiene 2*73 < 2' 732 < 2 '74

3.32 < 2‘732 < 3.34

Puesto que 1.732 < 1.7321 < 1.733, entonces 2 i.732 < 2« 7321 < 2»-733 ^ 3 322 < 2’ 7321 < 3.324

II

y así sucesivamente. En cada desigualdad hay una potencia de2j* la cual el exponente es una aproximación decimal del valor de>3& cada desigualdad sucesiva el exponente tiene un decimal más<|*s exponente de la desigualdad previa. Siguiendo este procedimiento definidamente, la diferencia entre los miembros izquienk) y derecto4* desigualdad puede hacerse tan pequeña como se desee. De^hiij* nuestra intuición nos conduce a suponer que existe un valor de2fl^ vo. Además, el Teorema 1 es válido si r y s son cualesquierao“®*9 reales. Leonhard Euler fue el primer matemático en concebir cua*r número real como un exponente. La definición de un exponed ____________ requiere del conocimiento del Cálculo y ■ se presenta en muo . ^ relativos a esta materia. Las leyes de los exponentes rac' ° ^ í)f bién son válidas si los exponentes son cualesquiera númcr» Dichas leyes se resumen en el teorema siguiente, cuyas demo^ nes requieren técnicas del Cálculo.

6.2

E X P O N IN T f > V NÙM EItO •

817

TEOREMA 2

Si a y b son cualesquiera números positivos, y x y y son cuales quiera números reales, entonces (i) a*ay = ax+y

(ili) (flv)v = ü" (iv) {ab)x - a xb x

► EJEMPLO 1

Aplicación de las leyes de los exponentos para números reales

Simplifique cada una de las expresiones siguientes: (a) 2 ^ • 2VIi

(b) (7v 5) v s

Solución (a) 2 ^ • 2 ^ * = 2 ^ • 2zV* __ 2 ^ + 2^3

(b) (7v5)v5° = 7 ^ ^ _ yV100

= 2 3V5

= 7 10

«

Cualquier número positivo puede escribirse en la forma

x = a • 10‘

donde 1 <, a < 10 y c es un entero

Un número expresado de este modo se dice que está escrito en nota* ción científica. Dicha notación, una manera de expresar números muy grandes o muy pequeños empleando potencias de 10, es de gran im portancia en física, química, astronomía y ciencias de la computación.

>


Cada uno de los números siguientes está escrito en notación científica: 582 = (5 .8 2 )1 0 2 97 136 = (9.7136)10“ 92 900 000 000 =

(9 .2 9 )’0 10

0.627 =

(6 .2 7 )1 0 "'

0.00002381 =

(2.381)10

2.04 = (2 .0 4 )1 0 %

O * WHC.ON»*,f4VW— '

CAfBM1-0

,.

.

Ûir un numero en notación científica, Cl pnnw, Paícoleando el punto decimal después del prime, d í^ S obUe1 l ^ n t o de cero. El segundo factor es un. p «e*¡,¿N qui Ji éxoonente se obtiene contando el numero de d í ^ * » la que el exp

be" ción ongmai-

^

nueva posición del puntodec#*.*H

desplaza el punto decimal a la derecha, el « p * ^ lazam¡ento es a la izquierda, el expo«***

^ ¡v o ° V e rifiq u e esU regla aplicándola a los número, del ^ 1 número está representado en notación cómic,, m U l ia forma normal recorriendo el punto decinul ddp^, factor el número de lugares indicados por el expoiote de ^ J. , n ’ e| „unto decimal se mueve a la derecha si el exponeaea^l v a la izquierda si el exponente es negativo. Esta r e * « * I en el siguiente ejemplo ilustrativo. I

EJEMPLO ILUSTRA TIVO 3 (3.659)104 = 36 590 (8.007)102 = 800.7 (9.46) 1012 = 9 460 000 000 000 (3.92)10"3 = 0.00392 (4.018)10~2 = 0.04018 (1.6) 10“19 = 0.00000 00000 00000 00016 Las calculadoras presentan en su pantalla números muy muy pequeños mediante la notación científica. El manual de ora e indicará cómo introducir y leer en la pantalla ua mb®* cnto en notación científica. I íra. notaî6n científica es una forma conveniente para «**** una si?nifica‘ivos de un numeral como 83 200. flor 9 ^ indirar 3^ ^ P'e Puede escribirse como (8.32)10 medición1»? tle"e ^ díg¡l°s significativos, esto quiere entonces « i." C U"a precisión de J00 pie. Si escribimos (8.320ii^ precisión h#. m Cn cuatro dígitos significativos, y la mediciA>»*f tienen cinr a
6.2

E X P O N iN T E S Y N Ú M E R O •

319

y el cuarto es par, se redondea al cuarto dígito; si el quinto dígito es 5 y el cuarto impar, se aumenta 1 al cuarto dígito. De acuerdo con la convención, 261.85 se redondea como 261.8, y 0.0039235 se re dondea como 0.003924. Puede emplearse una convención semejante para redondear a cualquier número de dígitos significativos.

► EJEMPLO 2

Operaciones con notación científica

Utilice notación científica para realizar las siguientes operaciones: (a) (0.00002350)(56 300), donde 56 300 tiene cuatro dígitos signifi cativos. — (92 900 000 000) (0.00000262) . (b) ----------(0.000310) (581)-------- ^ d0ndc 92 900 0 0 0 0 0 0

“

dígitos significativos.

Solución

Primero se escribe cada número en notación científica.

(a) [(2.350) 10_5][(5.630) 104] * [(2.350)(5.630)][10-5 • 104] * (13.23)10_l = 1.323 [ ( 9 .2 9 ) 1 0 lo][ (2 .6 2 ) 1 0 ~ 6j

(9.29)(2.62)

[ ( 3 .1 0 ) 1 0 _4] [ ( 5 .8 1 ) 1 0 2]

(3.10)(5.81) ’ 10‘ 4 - 102

10'° • 10"6

(1.35)10,0-6+4-2 (1.35)

106

+

Los exponentes se pueden aplicar en el cálculo del interés que re ditúa una inversión. Esta aplicación nos conducirá a la definición de e, número que figura en varios campos del conocimiento. Si se presta dinero a una tasa de interés de 0.12 (es decir, 12%) anual, entonces el débito del prestatario al final de un año es de 51.12* por cada $1 emprestado. En general, si la tasa de interés es r (esto es, 100r%) anual, entonces por cada $1 emprestado el pago que debe ha cerse al finalizar un año es de $(1 + r). Si se emprestan $P entonces la cantidad que se debe al cabo de un año es $P(1 + r). Se considerarán varios tipos de interés. El interés simple es el in terés que se percibe sólo por la cantidad original emprestada. En este caso no se paga ninguna cantidad por el interés acumulado. Por ejem plo, suponga que la tasa de interés simple sobre $100 es de 10% anual. Por tanto, el prestamista recibiría $ 10 al final de cada año.

$ para denotar la unidad monetaria y puede interpretarse como pesos, dólares, soles, escudos,

„ „

^ rtT U L Q 6

Ahora, suponga que se invierten SP a una tasa h de 100r%, entonces el interés al cabo de un a ñ o e efectúan retiros durante n años, entonces el interés'tn *Pr I $A es el monto total del depósito al finalizar n años ^ ®*W 1 **» 8c tiene A = p + Pnr = P( 1 + nr) En ocasiones, el interés simple se utiliza en inversiones corto plazo, posiblemente, en periodos de 30,60 o 90 día c*5***1 sos, para simplificar los cálculos, se considera que un a¿n días, y cada mes 30 días; así, 30 días equivalen a la dor*. ***1 un año. wu

► EJEMPLO 3

Solución do un problema qu* knpikai**. sim ple

Se hace un préstamo de $500 por un periodo de 90 días a unaim interés simple de 16% anual. Determine la cantidad que debemr ! al cabo de los 90 días.

Solución

Se tiene P = 500, r = 0.16 y n = tanto, si $A es la cantidad a pagar,

esto es, a

A = P( 1 + nr) = 500[1 + K 0.16)] = 520 Conclusión:

La cantidad a pagar es $520.

Las tasas de interés habitualmente se fijan como J25® , , pero a menudo el interés se calcula varias veces en un año. interés para cada periodo se suma al capital y, a su ñera interés, a este último se le denomina interés comp****^ labra interés se emplea sin algún adjetivo, se supone interés compuesto. Si el interés se calcula m veces ^ tasa anual debe dividirse entre m para determinar el m ^ ^ ^ periodo. Por ejemplo, si se depositan $100 en lina cU®JInt0giio*1 que paga 8% compuesto cada tres meses, entonces cuenta al final del primer trimestre será 100(1 + v

4 /

= 100(1.02)

Para el segundo periodo trimestral se consider3 100(1.02). Por tanto, el monto de la cuenta al ca do será [100(1.02)] (1.02) = 100(1.02)2

.y el caP1 J

6.2

EXPONENTES Y NÚM1RO •

321

Al finalizar el tercer periodo trimestral el monto de la cuenta será de [ 100(1.02)2](1.02) » 100(1.02)3 y así sucesivamente. Al final del n-ésimo periodo trimestral el monto de la cuenta será 100 ( 1.02 )"

De forma generalizada, se tiene el teorema siguiente.

TEOREM A 3

Si $P se invierten a una tasa de interés anual de 100r% com puesto m veces al año, y si A„ es el monto de la inversión al final de n periodos de interés, entonces

■d

' * i)

La demostración de este teorema requiere de inducción matemáti ca, la cual se estudia en la Sección 12.5. Si t es el número de años a que se invierten $P a una tasa de inte rés de 100r% compuesto m veces por año, entonces el número de pe riodos de interés n es mt. Si $A es el monto total a los t años, entonces la fórmula del Teorema 3 puede escribirse como mt (y1 + ^

\

0 — m

► EJEMPLO 4

Solución do un pro b lo m a que Im plica Interés compuesto

Suponga que se depositan $400 en una cuenta de ahorros que paga un interés de 8% anual compuesto semestralmente. Si no se efectúan reti ros ni depósitos, determine el monto al cabo de tres años.

Solución El interés se calcula dos veces al año; así m = 2. Como el tiempo es tres años, t * 3. Además, P = 400 y r - 0.08. Por tanto, si $A es monto del depósito al final de los 3 años, se tiene de (1) f r \ ml f n o 8 '\í A*P jl+ ^ = 400 1 + ^ = 400(1.04)« = 506.13 Conclusión: El monto del depósito al cabo de los 3 años es $506.13. <

f

322

CAPÍTULO 6

FU N C IO N ES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LQ GARÎTMlç/yg

La fórmula (1) proporciona el monto ( W invierten a una tasa de interés de 100r% de t ^ Imagine que el interés se compone continu!!!?1**10"»vecí que en la fórmula (1) el número de p e n o d ^ " 16’ * sin lím ite. Por esto, se estudia el c o m p o r t a L ^ * « ? * +H>. oo. Como mí = = (r0.1afórm uU (l)pue(fc n^ d^ c 3 m ________ _______________ Im/rl

(■+ 3 En esta ecuación sea x = ", entonces A = P

H )T

"

Como “m -* -* +oo” es equivalente a “x 1+

+ 00”, se examina

conforme x -* +oo

Se puede emplear la calculadora para determinar valores de¡1+ cuando x toma valores cada vez más grandes. Véase la Tabla1pn gunos de estos valores. Tablai

Esta tabla nos induce a sospechar que (l + r I

ñ

me a un número finito cuando x crece sin límite. - letra y el número finito se denota por la letra e. Esta « irracional Su valCi Leonhard Euler. El número e es un número emplea»1 IcaM_-kseri^1 0 expresarse con cualquier grado de precisión emp* ^ ^ tas, las cuales se estudian en Cálculo. El v 0 decimales es 2.718281828. Estoes, e a 2.718281828 Se pueden obtener potencias de e en teclaje^J.

6.2

EXPONENTES Y NUM ERO •

323

Para ilustrar gráficamente la conclusión anterior, trace la gráfica de la función definida por f(x ) =

l + I

y la recta y = e en el mismo rectángulo de inspección. La Figura 6.15 muestra las gráficas en el rectángulo de inspección de [0, 20] por [1, 3]. La recta es una asíntota horizontal de la gráfica de f, lo que significa quc f(x ) se aproxima a e conforme x se incrementa sin límite. Al retomar la discusión del interés compuesto continuamente, se tiene del argumento anterior y de (2) la fórmula A = P en

(3 )

donde $A es el monto después de / años si SP se invierten a una tasa de 100r% compuesto continuamente. Este valor de A es un límite supe rior para el monto determinado por (1) cuando el interés se compone frecuentemente, y puede emplearse como una aproximación en tal caso. Este hecho se muestra en el siguiente ejemplo ilustrativo, donde se com para el monto al cabo de un año cuando el interés se compone conti nuamente, con los correspondientes montos cuando el interés se compone mensual, quincenal y diariamente.

>


Suponga que se emprestaron $5 000 a una tasa de interés de 12% com puesto mensualmente, y que el préstamo debe ser liquidado en un pago al final del año. Si $A es el monto a pagar, entonces de la fórmu la (1) c o n /5 = 5 000, r = 0.12, m = 12 y í = 1, se tiene A = 5 000(1.01)12 = 5 634.13 Si la tasa de interés de 12% es compuesta quincenalmente en vez de mensual, entonces de (1) con m = 24, se obtiene A = 5000 1 +

0.12 24

= 5 0000-005)24 = 5 635.80 En el caso de que la tasa de interés de 12% se componga diaria mente, entonces de (1) con m = 365, se tiene 0.12 A = 5 000 1 + 365

v ttS

= 5 000(1.0003)365 = 5 637.37

CAPÍTULO* f «iMg IQ N IS INVERSAS, EXPONENCIALES Y IO O A B I t MICAS

Ahora suponga que el interés se compone continuamenteiiJ Como P - 5 000, r = 0.12 y / = 1, entonces de la fórmula (3)k i A - 5 000eol? = 5 637.484

Si se considera a $5 637.50 como el monto cuando el interésa^l m1Í puesto continuamente a 12%, este monto es un límite superior4*1 *Á if montos sin importar la frecuencia con que se compone el interés J i[1 ^ jtff

Si en (3), P = l , r = l y r = l , s e tiene A = e

k í (>

el cual justifica la interpretación económica del número t coaoá L r f , dimiento sobre una inversión de $1 durante un año a una tasade«.I rés de 100% compuesto continuamente. ¡t ^ ui ÎjuItpáW0 If f i ^ ^ ►

EJEMPLO 5

Solución de un problema qut Implico imn compuesto continuamente

Í l f 'í 5

Un banco anuncia que el interés en cuentas de ahorros secalcultaff U<2122 27 anual compuesto diariamente. Si se depositan $100 en unacoaat •, ahorros en este banco, encuentre (a) una aproximación del mocil cabo de un año considerando la tasa de interés a 6% compuesto»! *■»)(10 nuamente y (b) el monto exacto al finalizar un año considerando*! tasa de interés anual de 6% compuesto 36S veces al año. I Z'" Solución (a) De (3), con P » 100, r = 0.06, t= 1 y si $A es el monto, «a# I j j ' i A • 100e0^ |t í ^ «* slfri*

= 106.18

Así, $106.18 es un monto aproximado para el un año. ... (b) De (1), con P = 100, r = 0,06, m = 365, l = 1 .)a monto, se obtiene

365

100 1 +

0.06^ 365

S

« iS

363

= 100(1.0001644)365 a 106.18 Condustón: El monto exacto del depósito $106.18.

al

cabo de»"1 v

«> (4

6 .2

IX F O N IN T U Y N Ù M IIO

•

a ia

S 6.2 ejercicios1 * 4 utUice una calculadora para de¿i potencia con tres dígitos significativos. En Uf ejercicios 3 y 4, exprese el resultado en notación

En los ejercicios 17 y 18. emplee la notación científica y una calculadora para realizar las operaciones. Con sidere tres dígitos significativos para cada número.

tjgKtSficA-

17. (a) (0.0470)(320 000)2 (180 000)3 VQ.0000450 (b ) 623 000

[ l (•) (6-23)3J I (c) (0.362)* k (a) (4.26)” (c) (0.00172)-

(b) (3.78)"s (d) (0.403)“3 (b) (15.7)“4 (d) (0.916)“2 (b) (0.0312)s (d) (324)“10

4 (•) (78.Í)'5 (c) (0.031 i r 7

(b) (0.00247)8 (d) (589r 12

'S

1. (•) (35.7)-; (c) (0.261)'

»•ini de ia ti

IEii los ejercicios 5 a 12, simplifique la expresión apliIcando las leyes de exponentes. En los ejercicios 7 y 8, x esunnúmero real. MfctfWÍí J.(*)3VÍ-3 V'»

(w u v5)V35

ja lc u la a ííl

6. (a) 2

(b) («v *)v^

ia c u e o u i

7. («) (5vü )v »

(b)

lei monte il

(b)

ivSs * (» ~ 9VS 11.

•5^

V'írtV'Is!» (b) (10v*)

11 (») (10'/!5)'^ ¿Vil fcraodo*| u « í 2^1» m esto cce:-

se licní

5^

250 vS v» Vgg

(b)

.

12

ejercicios 13 a 16. escriba el número en nota(A#

P (•) 52.60

vu .v /x /v i ib); v0.0061 («) 172 000 (3 dígitos significativo») (0 172000 (4 dígitos significativos)

04. '

«) 43 851 ( b ) 0.276 <4 te) 331400 (2 dígitos significativos) W) 3 400 (3 dígitos significativos) ES. W 0 039ÍO ( b ) 0.0000080022 J» 1.723 ( d ) 426.0

8 s r—

(b ) (d )

(0.0000831): (140)3 (256 000 000)2 ^0.000712

(0.000348)3VTÍÓO En los ejercicios 19 a 21, emplee notación científica y una calculadora. 19. Determine la distancia de la Tierra al Sol en me tros, si el Sol está a (9.29)107mi de la Tierra y una milla equivale a 1.61 km. 20. Determine la distancia de la Tierra a la estrella que está a 7.00 años luz si la velocidad de la luz es (1.86) 103 mi/s y 1 año equivale a 365 días. 21. Determine la masa de la Tierra en toneladas, si el número de gramos de la masa de la Tierra es (5.97)1027 y 1 g es igual a (2.205) 10‘3Ib. Los ejercicios 22 a 24 se basan en b siguiente: En Cálculo se demuestra que (1 + z) 1/2 — e

conforme

Observe que (1 + z )Ul puede obtenerse de

28

,VJ4

18. (a )

0.0001030 7 820.0

escribiendo x = y.

22. Utilice una calculadora para obtener los valores de (1 + z) 1,1 cuando z = 0.001 y z = - 0.001. Después obtenga una aproximación con tres decimales del número e y utilizando estos valores halle el valor promedio de (1.001)1°°°y (0.999) “*°°°. 23. Emplee una calculadora para obtener los valores de (1+ z) l/( cuando z = 0.0001 y z » - 0.0001. Des pués obtenga una aproximación con cuatro de cimales del número e y usando estos valores halle el valor promedio de (1.0001 )10000y (0.9999)"10000 24. Trace la gráfica de la función definida por /(*) - 0 + x) I/jc

326

CAPÍTULO 6

FU N C IO N ES IN V ERSA S , E X P O N E N CIALES Y LOGARÍTM ICAS

en d rectángulo de inspección de [-0.5,0.5] por [ 1, 3J. Como f(0) no está definido, entonces la gráfica se rompe en x - 0. Utilice el aumento (zoom in) de la graneadora para mostrar que si se redefine la fun ción en 0 como /(O ) = e, entonces no existe rompi miento de la gráfica en x * 0 (es decir, la función / es continua en x = 0). 25. Se realiza un préstamo de $2 000 a una tasa de in terés simple de 12% anual. Determine el monto a pagar si el periodo del préstamo es de (a) 90 días; (b) 6 meses; (c) 1 año.

26. Resuelva el ejercicio 25 si el préstamo es de $1 500 y la tasa es de 10% anual.

27. Un hombre emprestó $10 000 a una tasa de interés anual de 9% con la condición de que el interés fue se pagado mensualmente. Sin embargo, el prestata rio no hizo los pagos del interés al mes, y así, el capital con el interés a 9% compuesto mensiialmente se venció al final del año. ¿Cuál fue el mon to adeudado?

28. Un hombre, al cumplir 25 años, heredó $5 000. Si in virtió esta cantidad a 8% compuesto anualmente, ¿cuánto deberá recibir cuando se retire a los 65 años?

29. Determine el monto al final de 4 años de una inver sión de $1 000 si la tasa de interés anual es de 8% y (a) se gana interés simple; (b) el interés se com pone anualmente; (c) el interés se compone semes tralmente; (d) el interés se compone trimestralmente; (e) el interés se compone continuamente.

30. Encuentre el monto de una inversión de $500 al cabo de dos años si la tasa de interés anual es 6% y (a) se gana interés simple; (b) el interés se compo ne anualmente; (c) el interés se compone semestral mente; (d) el interés se compone mensualmente; (e) el interés se compone continuamente.

31. Una inversión de $5 000 reditúa interés a una tasa de 16% anual y el interés se paga al término del año. Determine el interés ganado durante el primer año si (a) el interés se compone trimestralmente y (b) el interés se compone continuamente.

32. Se paga un préstamo de $2 000 en un solo pago al final de un año con una tasa de interés anual de 12%. Determine el monto total pagado si (a) el in terés se compone trimestralmente y (b) el interés se compone continuamente. 33. Se realiza un depósito de $1 000 en un banco de ahorro que fija el interés de las cuentas en una tasa

de 9% anual compuesta diariamente. Dete^ I una aproximación del monto al cabo de4 1* considerando la tasa de interés como 9% to continuamente y (b) el monto exacto un año teniendo en cuenta una tasa de ínter» de 9% compuesto 365 veces por año. 34. Resuelva el ejercicio 33 si el banco fija en una tasa anual de 7% compuesta dian^ | (a) considere la tasa como 7% compuesta mente y (b) considere una tasa de interés», 7% compuesta 365 veces por año. 35. ¿Cuánto debe depositarse en una cuentadefej si se desea tener $5 000 en la cuenta al ab J años y si la tasa de interés anual es de puesto trimestralmente. 36. Al término de 4 años, una cuenta de ahorro* un saldo de $3 000. Se efectuó un depósito^* del período de 4 años sin hacer ningún raro) cuánto fue el depósito original si la tasidkaé anual es de 6% compuesto mensuatame? | 37. Resuelva el ejercicio 35 si la tasa de motsaf es de 8% compuesto continuamente. 38. Resuelva el ejercicio 36 si la tasa de atóiatl 6% anual compuesto continuamente. 3 9 .B

//I

En Cálculo se demuestra que

se aproxima a « 2 conforme x crece sintín» fc tre este enunciado trazando la gráficadea»* ción / elegida adecuadamente y a horizontal en el mismo rectángulo dejbP] Defina la función / y escriba una asíntota. Describa por qué la gráfica i* enunciado. Siga las instrucciones del ejercicio 40. ñ el enunciado: en Cálculo se demues®-1+

0.5

se aproxima a Ve"conforme x crecesin 41. Describa los tres tipos de interés. ^ to trimestralmente y compuesto conww*^ la descripción, indique qué tasa de i15 $ qué tasa de interés compuesto trin*s**f^j ser necesaria para que una inversión r ^ interés anual que 10% compuesto connnu'

6.3

FUNGONES EXPONENCIALES

327

íJ ^ C ÍO N E S E X P O N E N C IA LE S OBJETIVOS

X. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Definir la función exponencial de base b. Dibujar la gráfica de la función exponencial de base b. Definir la función exponencial natural. Dibujar la gráfica de la función exponencial natural. Resolver problemas que implican crecimiento exponencial. Resolver problemas que implican decrecimiento exponencial. Resolver problemas que implican crecimiento limitado. Resolver problemas que implican crecimiento logístico.

En Cálculo se estudiarán problemas que implican crecimiento y decre cimiento exponencial, los cuales son importantes para la construcción de modelos matemáticos que contienen funciones exponenciales de base e. Se empezará la discusión de funciones exponenciales conside rando tales funciones con cualquier número positivo como base. Si b > 0, entonces a cada número real x le corresponde un solo nú mero real b x. Así, se tiene la siguiente definición.

DEFINICIÓN

Función exponencial de base b

Si b > 0 y b * 1, entonces la función exponencial de base b es la función/definida por f{ x ) = f *

El dominio d e /e s el conjunto de números reales, y su contrado minio es el conjunto de números positivos.

Observe que si b = 1, entonces b x se convierte en 1*, y como para cualquier x, 1* = 1, se tiene una función constante. Por esta razón, se impone la condición de que b * 1 en la definición anterior. En los dos ejemplos ilustrativos siguientes se consideran las gráfi cas de la función exponencial con bases 2 y j. iatfmtt

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 |tin«ame* inwés^j

La función exponencial con base 2 está definida por F(x) = 2* La Tabla 1 presenta algunos valores racionales de x con los correspon dientes valores de la función.

a ^ n n ^ é jiÊ Ê Ê Q & m ÿ S Œ

^ íx p o n in cial« » y iQOA g j r ^

Tabla!

La gráfica de la Figura 6.16 se dibuja mediana los puntos cuyas coordenadas están dadas por la Tahi loc4^ con una curva. La función es creciente según la Pío, deduce del Teorema l(i) de ¡a Sección 6.2 con de la definición de función creciente dada en la SecxiJu*1* Note que ooccwa6.1. 2* —* 0+ conforme x —* —» esto es, 2 * se aproxima a 0 mediante valores mayoresm» I forme .t decrece sin límite. Por tanto, el eje jr es us. a j ¿ í j de la gráfica de F. Además,

F(x) ■ 2* FIGURA 6.16

2X—+ +ooconforme * —►+ » esto es, 2* crece sin límite cuando x crece también sin límite.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 La función exponencial con base ¿ es la función Gtal que g (x )

= ar

Tabla 2 x (ir FIGURA 6.17 y

-3 8

- 2 - 1 0 1 2 3 4

2

1 i

1 í

La Tabla 2 muestra valores de la función para a^ûn0j.L les de x. Mediante la localización de los puntos con y uniéndolos con una curva, se obtiene la gráfica tn 6.17. La función es decreciente, lo cual se la Sección 6.2, con r y s números reales, y la denn creciente dada en la Sección 6.1. Como a r — oh conforme x el eje * es una asíntota horizontal de la gráfica écG. X

/(*) *

b*, b >

(ir + 00 conforme x —* rm /'A sin c
I

FIGURA 6.18

base

La Figura 6.18 muestra la gráfica de cuando b > 1. La función es creciente, tn

^

«isAÜ»

A.3

P U N C IO N «* IX F O N iN C IA L lI

32»

ne la gráfica de la función exponencial de base b cuando 0 < b < 1. La función es decreciente. De la definición de función exponencial de base b, la base puede ser cualquier número positivo diferente de 1. Cuando la base es e, se tiene la función exponencial natural.

DEFINICIÓN

Función exponencial natural

La función exponencial natural es la función/definida por f(x ) = e x El dominio de la función exponencial natural es el conjunto de números reales, y su contradominio es el conjunto de números positivos.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 La Tabla 3 presenta algunos valores de x y los valores correspondien tes de la función exponencial natural obtenidos con una calculadora. Para dibujar la gráfica de la función exponencial natural, se localizan los puntos cuyas coordenadas se dan en la Tabla 3 y se unen con una curva. Así, se obtiene la gráfica mostrada en la Figura 6.20.

Tabla 3

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

«o Ö i

1

-2

ex

1

1.6

2.7

4.5

7.4

12.2

0.6

0.4

ai <4

► EJEMPLO 1

Dibujo do la gráfica do una función exponencial m ediante transformaciones geométricas

Dibuje la gráfica de cada una de las siguientes funciones mediante transformaciones geométricas de la gráfica de f(x) = e*. (a) F(x) = 3ex~2 (b) G(x) * -e * + 3 Solución (a) Primero se hará una expansión vertical de la gráfica de /mediante el factor 3, y después una traslación horizontal de 2 unidades a la derecha. Así, se obtiene la gráfica de F mostrada en la Figura 6.21.

330

CAPÍTULO 6

FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

(b) Para la gráfica de G, el signo menos indica que primeo reflexión de la gráfica de /c o n respecto al eje x. Después^ I una traslación vertical de 3 unidades hacia arriba, obtem ^ l así la gráfica mostrada en la Figura 6.22. El crecimiento y decrecimiento exponencial proporciona# n* los matemáticos que implican potencias de e. Una función def«* mediante una ecuación de la forma /(O « Be»

t k 0

donde B y k son constantes positivas se dice que describe e! otomiento exponencial. En Cálculo aprenderá que tales funcionesq¿ tan cuando el índice de crecimiento de una cantidad es propon**», su magnitud. Para dibujar la gráfica de f(t) = Beb, observe que/(0j=|j y /(/) es siempre positiva. Además, +00 +00 conforme t Be1 Así, Bekl crece sin límite conforme t también lo hace. La gráficai , se muestra en la Figura 6.23. El siguiente ejemplo implica crecimiento exponencial enbnitp

Gfx) = -e* + 3

FIGURA 6.22

► EJEMPLO 2

Solución do un problema que implico crecimiento exponencial

En cierto cultivo bacteriano, si f( t) bacterias se encuentran píese» los t minutos, entonces f( t) = Be0041

/(f) = Bekt FIGURA 6.23

donde B es una constante, (a) Determine B si en un principioh»^ bacterias, (b) Con el valor de B de la parte (a), trace la gráfica Determine algebraicamente cuántas bacterias habrá despos*“ hora y compruebe su respuesta en una graficadora.

Solución (a) Como hay inicialmente 1 500 bacterias,/(O) = 1 500. De j ción que define^f) f(x) = Be 004<0> 1 500 = Be0 1 500 = B (b) Con el valor de B de la parte (a)

10.70] por (0. 17 000] f(t) * 1 500*“*

FIGURA 6.24

/(/) = 1 500eoau rciÓO La gráfica de / trazada en el rectángulo de inspe por [0, 17 000] se muestra en la Figura 6.24

RGURA6.25

6 J

F U N C IO N E S E X P O N E N « * » ^

331

(c) El número de bacterias después de una hora es J(60), y de la ecua ción de la parte (b) 1 500eoom))

/(60)

1 500¿24 16 535 Conclusión: Después de una hora, habrá 16 535 bacterias en el cultivo. Esto se puede comprobar en la graficadora empleando el rastreo y aumento en la gráfica de la Figura 6.24. 4 Una función definida mediante una ecuación de la forma t 2 0

f{t) = Be~»

(2)

donde B y k son constantes positivas, se dice que describe el decreci miento exponencial. El decrecimiento exponencial ocurre cuando la razón de disminución es proporcional a su magnitud, como se estable ce en Cálculo. Por ejemplo, se sabe por experimentos que el índice de decrecimiento del radio es proporcional a la cantidad de este elemento presente en un momento específico. La gráfica de (2) se muestra en la Figura 6.25. Observe que fit) = Be

HGURA 6.25

Be-»

0-

conforme t

+00

El ejemplo siguiente implica decrecimiento exponencial, donde el valor de cierto equipo disminuye exponencialmente.

► EJEMPLO 3

Solución do un probloma quo implica decrecimiento exponencial

Si $V(t) es el valor de un cierto equipo t años después de su compra, entonces V{t) = Be~0201 donde B es una constante. Si el equipo fue comprado por $8 000, ¿cuál será su valor en 2 años? Compruebe la respuesta en una graficadora. Como el equipo se compró en $8 000, V(0) —8 000. De la ecuación que define V(t)

Solución

V(0) = Be~02im 8 000 = Be0

8000 = B Por tanto, con B - 8 000 se tiene V(f) = 8 000* 0 20'

332

CAPÍTULO 6

FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y I Q f t A t l T I i m i

El valor del equipo después de 2 años < anterior

V(2),

ydcu

V(2) = 8 OCX)«"020®

= 8 000« 040

'J H

= 5 362.56

[0, 10] por [0, 10000] V(t) » 8 OOOtf01

FIG U R A 6.26

Copclurién: El valor del equipo en 2 años será $5 ^ Para comprobar la respuesta en la graficadora, se m ca de V(t) = 8 000*- 0Mr en el rectángulo de inspecciónd.,«*! por [0, 10 000] mostrada en la Figura 6.26. Empleando el r ¿ I I graficadora ubique el cursor en donde t = 2, y encuentre el vahníl4* ciónS 362.56. (I Otro modela matemático que contiene potencias átettáéá por la función definida por

/(/) = A(1 - e-*)

t Z0

donde A y k son constantes positivas. Esta función describeda» miento limitado. Como

A(1 - e~kt) = A - Ae~kt y Ae~b

r*

O* conforme t — +oo , se deduce que

A(1 — e~kl) —* A~

conforme

t

—* +®

Por tanto, la gráfica de /tie n e como una asíntota horizontal alareí unidades arriba del eje t. Observe que

/(0 ) = A{ 1 - e°) = 0

/ ( 0 = 4(1 -* -* /)

FIGURA 6.27

A partir de esta información se obtiene la gráfica mostrad*®^ ra 6.27. Esta gráfica es denominada, algunas veces, curra zaje. El nombre de esta curva se hace evidente cuando la eficiencia con la que una persona realiza un trabajo. A j aumenta la experiencia de una persona, la eficiencia se1 ^ g pidamente al principio y después disminuye cuando la cional tiene poco efecto sobre la habilidad con la cual tarea.

E JE M P LO 4

Solución de un problema qu* crecimiento limitado

nroducif^ Un trabajador común de cierta fábrica Pu . trLuajo. áo^ por día después de t días de haber ingresado al /(*) = 50(1 -

Ir 6.3 FUNaONES E X P O N EN C IA LES

333

(a) ¿Cuántas unidades por día puede producir el trabajador después de 7 días de trabajo? (b) ¿Cuántas unidades por día se esperaría que pro duzca el trabajador? (c) Emplee la respuesta de la parte (b) para deter minar la asíntota horizontal de la gráfica de / y trace esta recta y la gráfica d e /e n el mismo rectángulo de inspección.

ecuación

Solución (a) Se desea encontrar/(7). De la ecuación que define a f(t) 0.34(7)’ 50(1 _ £— 50(1

ta la grifi

50(1 - 0.093)

de 10.10] asmo deh òrde lafra-

45 Conclusión: El trabajador puede producir 45 unidades por día después de 7 días de trabajo.

está dado

(b) Como c _034/ -* 0* conforme t — +oo, se infiere que 50(1 - e~0MÍ) ¡ribe el creo-

Conclusión: por día.

50“

conforme t —* + c0

Se espera que el trabajador produzca 50 unidades

(c) La asíntota horizontal de la gráfica d e /e s la recta g{t) = 50. La Fi gura 6.28 muestra esta recta y la gráfica de / e n el rectángulo de inspección de {0,10] por [0,60]. ^ »tal a larecu1!

Ñ ) - A - Be-ti

FIGURA 6.29

El crecimiento limitado también puede describirse con una fun ción definida por 9 m

odacela4 va de aprffl&J »/(O re?

t > 0

donde A, B y k son constantes positivas. Para esta función/(0) = A - B. La gráfica se muestra en la Figura 6.29. En Cálculo, puede demostrar se que el crecimiento limitado ocurre cuando una cantidad crece a una razón proporcional a la diferencia entre un número ñjo A y su magni tud, donde el número fijo sirve como límite superior. Ahora, considere el crecimiento de una población que es afectada por el ambiente que impone un límite superior sobre su tamaño. Por ejemplo, el espacio o la reproducción pueden ser factores que están limitados por el medio. En tales casos, un modelo matemático de la forma (1) no se aplica, ya que el crecimiento de la población no sobre pasa cierto punto. Un modelo que considera factores ambientales está dado por la función definida como

. A medito-*] ■incremi

íxpener ai se efees»!

:ir flf)* donde

B e*

m

An He

ilJ*A 6.30

1 + Be-**

donde A, B y k son constantes positivas. La Figura 6.30 muestra la grá fica de esta función, la cual se denomina curva de crecimiento logístico.

I

«..í. cuando r es pequeño, la gráfica es parecida aun», i Observe,q“ nencial, como 1»de la Figura 6.23, y confom*, mÍenU> ‘X a a la de crecimiento limitado mostradaen u VSC* .^ . aolicación del crecimiento loglsuco en K o w o f c ^ J * ?a información de un producto en particular. El « J * bución de la ^ por bi6\ogos para describir la prop^J r ngi 5enfermedad y por lo» sociólogo, para explic U d ^ J immor o una bron^-

50000) ,45<

► EJEMPLO 5

Solución do un problema qu. l»*» crecimiento loglttko

En cierta comunidad, la propagación del viru* de la gripe fe después de t semanas de su brote /(/) personas se habían cc*¡? donde ftt) =

45 000 1 + 224*-

■'¿ejercicioslo8, Mu)* ¿Cuántas personas tenían gripe (a) al momento del brote; (k)fap Compruebe la grá) de 3 semanas, y (c) después de 10 semanas? (d) Si la epideaa» núa indefinidamente, ¿cuántas personas contraerán la enfennetf« iM‘ y Utilice la respuesta de la parte (d) para determinar la asíntotakm itf-r tal de la gráfica d e /y trace esta recta y la gráfica de/en el m tángulo de inspección. I0^=e" Solución (a) El número de personas que tenían gripe al momento delfcr*‘ /(Q). y m

45 000 = 1 + 224*-°*°> _ 45 000 ” 1 + 224

1«ék ¡ramíonnaciont i

»)Fix)=y-

Al momento del brote 200 personas

*/(x) =

f{x)

(b) Después de 3 semanas el número de personas cníert^*jCjf (c) Después de 10 semanas el número de personas afee 45 000 + 22Ae-°-9Q) 45 000 1 + 224«7 * 2 803

(b) /(3) =

get

Mi u . : ?;W =

= 200 Conclusión:

lv;:«retios 9 a 14, dibuje 1

(c) /CIO) =

Conclusión: (b) Después de 3 semanas, * — ^ c0nn gripe y (c) después de 10 semanas 43 790 pe^0

10eO.

6 .3

(d)

F U N C IO N iS EXPONENCIALES

335

Como 2 24«-0,!" - O

conforme t — +oo

se concluye que 45 000 . -— -—— — 45 000conforme t — +oo 1+ 2 2 4 r ° * Conclusión: Aproximadamente 45 000 personas contraerán la enfermedad si la epidemia continúa indefinidamente.

[0,11] por [O, 50000] 45000 8(0 m45 " l+ 2 2 4 r “ y

000

(e) La asíntota horizontal es la recta g(t) = 45 000. Esta recta y la grá

FIGURA 6.31

fica d e/, trazadas en el rectángulo de inspección de [0, 11] por [0,50 000], se muestran en la Figura 6.31. 4

EJERCICIOS 6.3 Eii los ejercicios 1 a 8, dibuje la gráfica de la función exponencial. Compruebe la gráfica en la graficadora. : i./w m y

3. # ) = 3“x 5. F(x) = $ r \ 7. G{x) = e~x

2. g(x) - 4* 4. /(* ) = 4"x 6. G(x) = 10* 8. F(jc) = e ^

Enlos ejercicios 9 a 14, dibuje la gráfica de lafunción | Fmediante transformaciones geométricas de la gráfica m j * (a) F(x) - Y ' \ f ( x ) « y 1 (b) F(x) = y - 4,/(jf) = 3* 110. (t) F{x) * 2x+\f{x) * 2* (b) F(x) » 2* + 3,/(x) «■ 2* 111. (a) F(x) * - e x+\f(x) = ex 1 (b) F(x) + 2 J ( X) - ** (a) F(x) * -2ex- \ f ( x) = * (b) FU) - - 2ex - l,/(* ) = [13. (a) F(x) * 2X+1 + 3 ,/U ) « 2* I ib) F(x) * #•”» - 4,/(*) * jM. (a) F(x) « 3'"5 - 2,/(*) = y 1 (b) FU) + l.f(x) m #• ¡* íoí ejercicios 15 a 18, dibuje la gráfica de la funM» exponencial. Verifique la gráfica en la graficado-

Í

W*if(x) « \0 e o2x

16. #(*) = 10«°

17. g(x) = 10e~

18. f(x ) = lve‘

19. Dibuje las gráficas de y = 3* y x = 3 * en el mismo sistema coordenado. 20. Dibuje las gráficas de y = ex y x = e y en el mismo sistema coordenado. En los ejercicios 21 a 33, resuelva el problema em pleando un modelo matemático que implique una fun ción exponencial. Escriba una conclusión 21. El valor de cierta máquina t años después de su com pra es $V(/), donde V(t) = ke~°3' y k es una cons tante. (a) Determine k si se sabe que la máquina se compró hace 8 años en $10 000. (b) Con el valor de k de la parte (a), trace la gráfica de V. (c) Deter mine algebraicamente el valor actual de la máqui na, y compruebe su respuesta en la graficadora. 22. Si/(/) gramos de una sustancia radiactiva están pre sentes después de t segundos, entonces f{t) = ke°*, donde k es una constante, (a) Determine k si ini cialmente se tienen presentes 100 g de la sustancia, ( b ) Con el valor de ¿ de la parte (a), trace la gráfi ca de f. (c) Determine algebraicamente qué canti dad de la sustancia habrá después de 5 s, y compruebe la respuesta en la graficadora. 23. La población de cierta ciudad crece a una tasa pro porcional a su tamaño. Si esta tasa es de 6% y si la población después de t años es P(t), entonces P(t) = ke 00®, donde k es una constante, (a) Deter mine k si la población actual es de 10 000. (b) Con el valor de * de la parte (a) trace la gráfica de P.

336

CAPITULO 6 FUNCIONES INVERSAS, .EXPONENCIALES Y U>GARÍT*ljCM_______ ___ . Calcule algebraicamente la población esperada (c) después de 10 años y (d) después de 20 años. Compruebe las respuestas de las partes (c) y (d) en la graficadora.

principiante? (b) ¿Cuántas unidades por* completar un trabajador con un tfo de cía? (c) ¿Cuántas unidades por día puede que produzca un obrero común? (tf) Uifc*^ puesta de la parte (c) para determm* jj ^ horizontal de la gráfica de / trxe esu gráfica d e /e n el mismo rectángulo de a s p ^ '

24. Suponga que /(/) es el número de bacterias presentes en cierto cultivo a los / minutos y flt) = A*0035', donde k es una constante, (a) Determine k si hay 30. El valor de reventa de cierto equipo es Vfo lák 5 000 bacterias presentes después de transcurridos después de su compra, donde 10 min. (b) Con el valor de A;de la parte (a) trace la gráfica de /. (c) Encuentre, de manera algebraica, f ( t ) = I 2 0 0 + 8 00(V~#A cuántas bacterias había inicialmente, y compruebe la respuesta en la graficadora. (a) ¿Cuál es el valor del equipo cuando sea** 25. Si P(h) libras por pie2 es la presión atmosférica a (b) ¿Cuál es el valor del equipo 1 0 afiosfa^k una altura de h pies sobre el nivel del mar, enton su compra? (c) ¿Cuál es el valor anoopKlo^ ces P(h) = k ' 000003\ donde k es una constante. Si cho del equipo después de un periodo proio^* la presión atmosférica al nivel del mar es de 2 116 (d) Utilice la respuesta de la parte (c/panfetaa lh/pie2, determine la presión atmosférica que actúa nar la asíntota horizontal de la gráfica de/.* sobre un avión que vuela a una altura de 10 000 esta recta y la gráfica d e /e n el mismo recaní pie. Compruebe la respuesta en la graficadora. de inspección. 26. En 1985, se estimó que en los 20 años siguientes la 31. Cierto día en un colegio asistieron 5 000pena población de cierta ciudad constaría de /(/) perso un estudiante se enteró que un orador polémnÉ nas i años a partir de 1985, siendo/(0 = C • 10*', a efectuar una presentación no programái £s donde C y k son constantes. Si la población en información fue comunicada a algunos wm 1985 era de 1 000 y en 1990 era de 4 000, ¿cuál es quienes a su vez la pasaron a otros. Depét la población esperada para el año 2000? Comprue transcurridos / minutos, /(/) personas se lata be la respuesta en la graficadora. terado de la noticia, donde 27. Una pintura abstracta históricamente importante 5000 m = fue comprada en 1922 a $200, y su valor se ha du 1 + 4 9 9 9 e°* plicado cada 10 años desde su compra. Si $/(/) es el valor t años después de su compra: (a) defina ¿Cuántas personas se habían enterado del ** /(O. y (b) ¿cuál será el valor de la pintura en 1992? (a) después de 10 min y (b) después de30* * Él ¿Cuántas personas se enterarán de la «a® 28. Después de t horas de practicar mecanografía, se Utilice la respuesta de la parte (c) para de*^* determinó que cierta persona podía mecanografiar la asíntota horizontal de la gráfica de /(0 palabras por minuto, donde/(f) = 90(1 - e '003*). recta y la gráfica de / en el mismo recliné (a) ¿Cuántas palabras por minuto puede mecano inspección. grafiar la persona después de 30 horas de práctica? (b) ¿Cuántas palabras por minuto puede esperarse 32. En cierta ciudad de población A. 20* deH que mecanografíe la persona? (c) Utilice la res dentes escucharon un anuncio por radioaa* puesta de la parte (b) para determinar la asíntota ho un escándalo político local. Después de1 rizontal de la gráfica de / y trace esta recta y la personas sabían del suceso, donde gráfica de/en el mismo rectángulo de inspección. 29.

La eficiencia de un obrero común de una fábrica está determinada por la función definida por /(/) * 100 - 60*-°* donde el obrero puede completar /(/) unidades por día después de haber trabajado t meses, (a) ¿Cuán tas unidades por día puede completar un obrero

ñ i ) - ■1 + B e** Si 50% de la población supo del hora después, ¿cuánto tiempo transcun* ^ 80% de la población se enteró de la1)0001 ^ 33. En una comunidad en la que A ceptibles a un virus particular, el virus

j v i f t f ) '''

(la gráfíí

: icias de

Ce

de enfriad® * Í n d i c e

al c u ;

IggtiaproP010101 ¡ssperaiufa y 1* de¡ n i.¿ s e puede demostra

aeporodeado de aire ¡ :rí¿12(fa60Den40mi

sitqxnnn del cuerpo a

latemperatura del después de 50 m después de 3 h. (e' ^^caerpoeventualme ^ k parte i (e) para < ^^

mismorectái

6 .4

je manera que / semanas después de su aparición, fí¡) personas se habían contagiado, donde /(/>

F üW aO N E S tOQAKtTMICAS

36. Por observación, una de las soluciones de la ecua ción

A + Be

x2 * r es 2. (a) Existe otra solución entera positiva. ¿Cuál es? (b) Existe una solución irracional. Para conseguir una aproximación numérica de esta solución, trace las gráficas dey = * 2yy = 2i enel mismo rectán gulo de inspección, emplee el rastreo y aumento de la graficadora para determinar la solución con una precisión de centesimos. A partir de las 3 solucio nes de la ecuación y la gráfica de la parte (b), de termine los valores de x para los cuales (c) x 2< 2* y (d)x2>2*.

Si 10% de las personas susceptibles contrajeron inicialmente el virus y 25% de ellas se habían in fectado después de 3 semanas, ¿qué porcentaje se había infectado después de 6 semanas? 34. La función/ definida por/(x) = e~Mi es importante en estadística. Dibuje la gráfica de / considerando que/ es continua (la gráfica no se rompe) y localice los puntos para los cuales x tiene los valores -2, _ 2 - 1, 1,1 y 2. Emplee la calculadora para las potencias de e. Compruebe la gráfica en la graficadora. La ley de enfriamiento de Newton establece que el índice al cual un cuerpo cambia de temperatura es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que lo rodea. En Cálculo, se puede demostrar, a partir de esta ley, si un cuerpo rodeado de aire a 35° de temperatura se enfría de 120° a 60° en 40 min, entonces si /(/) grados es la temperatura del cuerpo a los / minutos, donde m - 35 + Encuentre la temperatura del cuerpo (a) después de 10 min, (b) después de 50 min, (c) después de 100 min y (d) después de 3 h. (e) ¿Cuál será la tempe ratura del cuerpo eventualmente? (f) Utilice la res puesta de la parte (e) para determinar la asíntota horizontal de la gráfica de f trace esta recta y la gráfica de/en el mismo rectángulo de inspección.

T¡J Las funciones S y C de los ejercicios 37 a 40

T ~I 5x aparecen en Cálculo, se denominan funciones hiperbólicas y son definidas por S(x) m -( ex - e~x)

C(x) m -(e* + e*)

En los ejercicios 37 y 38, determine los valores indicados de lafunción. 37. (a) 5(0) (d) S(3.5)

(b) C(l) (e) C {- 2)

(c) S í - 1)

38. (a) C(0) (d) S(-2.5)

(b) S(l) (c) 0 3 ) (e) d -2 .5 )

39. (a) Pruebe que 5 es una función impar, (b) Dibuje la gráfica de 5, y compruebe la gráfica en la grafi cadora. 40. (a) Pruebe que C es una función par. (b) Dibuje la gráfica de C, y compruebe la gráfica en la grafi cadora.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS OBJETIVOS

337

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Definir la función logarítmica de base b. E ncontrar el valor de un logaritmo. Resolver ecuaciones logarítmicas. D ibujar la gráfica de la función logarítmica de base b. Definir la función logarítmica natural. D ibujar la gráfica de la función logarítmica natural. Resolver problemas que implican funciones logarítmicas y exponenciales naturales.

CANTOLO

U N C IO N » I N V .M A ^ iX ^ N I N a A m Y LOOAKiTMJCA^

338

En el ejemplo 2 de la Sección 6.3 se obtuvo la ecuación fít) = 1 500« donde /(/) bacterias están presentes en cierto cultivo a 1 I Ahora suponga que se desea encontrar en cuántos 15 000 bacterias presentes. Si T es el número de minuta1”01^ 1 minado, entonces 8** I 15 000 = 1 500e004r En esta ecuación la incógnita T aparece en un exponente h* mentó no puede resolverse esta ecuación, sin embargo, dttÜcÍM logaritmo nos permitirá hacerlo. Se desarrollará este con^¡?fck| pués se volverá al problema en el ejemplo 3. Cuando b > 1, la función exponencial de base b es ene» cuando 0 < b < 1, es decreciente. Así, del Teorema 1
DEFINICIÓN

Función logarítmica de base b

La función logarítmica de base b es la inversa de la funciráetponencial de base b.

Se emplea la notación log¿, para denotar la función logarte»*! base b. Los valores de la función logb se denotan por /og*W°^| ma más sencilla log¿, x (léase “logaritmo base b dex”)- Portante log¿ y la función exponencial de base b son funciones invasi y = logtx

si y sólo si

x - by

»1C O \ El dominio de la función exponencial de base b es números reales, y su contradominio es el conjunto de1 vos. De ahí que el dominio de log¿ es el conjunto de nu y su contradominio es el conjunto de números reales. Las dos ecuaciones que se muestran en (1)son hecho se emplea en los dos ejemplos ilustrativos sigu**8^

» e je m p lo il u s t r a t iv o t 32 ( tío172

<=> log3 9 — 4 <=> logi/1

23 = 5-2

6.4

rU N O O N I» LOOAKtTMICAt

W

► EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 log,o 10 000 = 4 o 10“ = 10 000 log, 2 = ^ <=> 8I/3 = 2 log6 1 = 0 <=> 6o = 1 log» i = - i » 9 ' ,/J = ^ <

► EJEMPLO 1

Determinación de un logaritmo

Encuentre el valor de cada uno de los logaritmos siguientes: (a) log749 (b) log5V5^ (c) log** (d) log3 81 (e) log100.001 Solución En cada inciso se hace y igual al logaritmo dado y se ob tiene una ecuación equivalente en forma exponencial. Luego, se des peja y considerando el hecho de que si b > 0 y b *1, entonces

by = b"

implica que

y = rí

(a) Sea log? 49 = y. Esta ecuación es equivalente a 7 V = 49. Como 49 = 72, se tiene 7V= 72 Por tanto, y = 2; esto es, log7 49 = 2. (b) Sea logs V5" = y. Por tanto, 5* = v5, o bien, equivalentemente, S>' = 5,/2 De aquí, y = ~ ; es decir, logs (c) Sea log6 - = y. Así, 6 V= | o bien, equivalentemente, 6> = 6-' (d)

Por tanto, y = -1; esto es, log6| = -1. Sea log3 81 = y. De donde, 3 V= 81, o bien, equivalentemente, 3y = 34

De esto, y = 4; es decir, log3 81=4. (e) Sea logi» 0.001 = y. Por tanto, 10*= 0.001, y como 10-3 = 0.001, se tiene 10* = io-3

Así, y = -3. Esto es, logi«0.001 = -3. ►

EJEM PLO 2

<

Solución do una ecuación logarítmica

Resuelva la ecuación para cada xob: (a) log6jt = 2 (b) log27jr = f (c) log*4=j (d) log* 81 = -2 la forma lógica contrapropuesta de la condición de la función uno a uno aplicada a la función exponencial de

340

c/\ pítm »:q

j» f u n c io n e s

^ — ~ ^ ÎX !^ Ç as _

S o lució n Se escribe cada ecuación logarftm exponencial equivalente. Caco*úoi*»t

(a) logé x = 2 «=> 62 - x Por tanto, jc

W k «” í * U f f » De donde,

= 36

(c) log* 4 =* 5 <=> b 1/3 - 4 Así (¿ ,1 /3 )3 =

4 3

(d) log¿ 81 = - 2 fc>¿-2a

Portante, (¿,-2)-l/2 _ g j - l/2 1 81'

¿7 = 64

De (1), b> = x y y = logfcx son ecuaciones equivafeóla. Siat| primera de estas ecuaciones se sustituye y por log¿ x, se obué«

3

jc

21

donde¿> > O,b * \ y x > 0. De (2), se observa que un logaritmo es un exponerte, efloalM es el exponente al cual b debe ser elevado para obtener x.

>


De (2) 3k*3T = 7

y

lO*0*««*5 = 5

Si se escriben las ecuaciones de (1) como *°^JC= ^ ie sustituye x, en la primera de estas ecuaciones, potb\ * logfc b y = y donde b > O, b *1 y y es cualquier número real.

>


De (3) log2 2 “3 = - 5

y

logio 103 * 3

óA

FUNCIONES LOGARITMICAS

»41

Las ecuaciones (2) y (3) se obtuvieron del enunciado (1), como un resultado del hecho de que las funciones exponencial y logarítmica son inversas una de la otra. Recuerde de la Sección 6.1 que las gráficas de una función y su inversa son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x. Si se considera este hecho, se obtiene la gráfica de la función logarítmica a partir de la gráfica de la función exponencial correspondiente.

t> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5

FIGURA 6.32

La gráñca de y = 2Xaparece como la curva clara en la Figura 6.32. La gráfica de y = log2x es la más oscura de la figura. Las dos gráficas son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y - x . * En la Figura 6.32 se tiene un caso especial de la función logarít mica de base b donde b > 1. En la Figura 6.33 se tiene el caso general. Esta figura muestra la gráñca de /(* ) = logfrjr

¡lentes. Si ai obtiene

'e, esto es. ^ x.

b > 1

Esta gráfica es simétrica con respecto a la recta y = x, de la gráfica de la función exponencial de base b (b > 1), la cual también se muestra en la Fi gura 6.33.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 La Figura 6.34 muestra la gráfica de y = (^)*. La gráfica de y = log^ x se obtiene a partir de la de y = mediante una reflexión con respec to a la recta y = x. a

y = lo g * x

b>

1

FIGURA 6.33

FIGURA 6 34

342

CAPÍTULO 6 F U N C I O N g ^ ™ * ^ EXPONINOALIS Y W G A R ÍT M ^

La gráfica de la Figura 6.34 es un caso especial afunción logarítmica de base b, donde 0 < b < i p **Mfc, véase la Figura 6.35, la cual muestra la gráfica de ** ** /(* ) = log* x

0 < b < 1

En en la Figura 6.35 también se tiene la gráfica de la a cial de base b (0 < b < 1). Observe que las dos grífi ^ con respecto a la recta y - x . 8081 De las gráficas de log* de las figuras 6.33 y 6.35 propiedades siguientes.

P ropiedades de la fu nció n logarítmica de base b 0
1. Si b > 1, log¿ es una función creciente. Si 0 < 6 < 1, u . una función decreciente. 2. Si¿>> 1, log¿ x es positivo si x > I, y log*xesnegabvoáO 1, y logres pon vo si 0 < x < 1. Además, log* x no está definido ti xa*} tivo o cero. 3. El único cero de la función log¿ es 1; esto es, log»i=0ij sólo s i x= 1. 4. log¿, x = 1 si y sólo si x = b. 5. Si b > 1, log¿, x -* -0 0 conforme x -* O4; y si 0<&
La propiedad 3 proporciona la ecuación logfc 1 = 0 y de la propiedad 4 se obtiene b=1 La función logarítmica de base e se denominafunc** natural.

DEFINICIÓN

Función logarítmica natural

La función logarítmica ponencial natural.

natural es la inversa

________________________________ 6.4

FU N C IO N E S LOGARÍTMICAS

343

La función logarítmica natural puede denotarse por log,, pero la forma más común es ln. Los valores de la función ln se denotan por ln x (léase “logaritmo natural de x”). Como ln y la función exponencial na tural son funciones inversas,

y ss ln x

si y sólo si

x = £|

(4)

La tecla Qn] de la calculadora puede emplearse para obtener los valores de la función logarítmica natural. La gráfica de esta función se presenta en la Figura 6.36, donde también se muestra la gráfica de la fun ción exponencial. Las dos gráficas son simétricas con respecto a la recta y = x. Observe en esta figura que e es el número cuyo logaritmo na tural es 1; esto es, ln e = 1 Esto se infiere del enunciado (4) porque ln e = 1

es equivalente a

¿=i1

Si en (2) b = e, se tiene e lnx = x y si b = e en (3), se obtiene ln e x = x

► EJEMPLO 3

Solución do un problom a quo Implica las funcionas exponencial y logarítmica naturales

En el ejemplo 2 de la Sección 6.3 se obtuvo la ecuación f( t) = 1 500*“ *

donde f(t) es el número de bacterias presentes en cierto cultivo a los t minutos cuando se tienen inicialmente 1 500 bacterias presentes. Utili ce la graficadora para estimar cuántos minutos deben transcurrir hasta que se tengan 15 000 bacterias presentes. Después verifique la estima ción algebraicamente.

Solución

Para estimar cuántos minutos deben transcurrir hasta que se tengan 15 000 bacterias presentes, se trazan la recta g(t) = 15 000 y la gráfica d e / e n el mismo rectángulo de inspección de [0, 100] por [0, 20 000] como se muestra en la Figura 6.37. Si se emplean el ras treo y aumento de la graficadora, se observa que la recta corta a la grá fica d e /c u a n d o t = 58. Así, la estimación es de 58 min. Para verificar la estimación algebraicamente se hace T igual al nú mero de minutos que deben transcurrir hasta que haya 15 000 bacte rias. Después se sustituye T por t en la ecuación para /(f), y se obtiene f( T ) = 1 500* ° wr

344

CAPÍTULO 6

FUNCIO NES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Como f( T ) = 15 000, entonces 15 000 = 1 500e0Ml 10 = e 004T Debido a que la ecuación x = e y es equivalente a laecu**. í»ntnnr#»c ln I ecuación f l - ^0.04T gg entonces la 10e=q ueiv a le n te 3 0.047* = ln 10 T = ln 10 0.04 T = 57.56 Esta respuesta es acorde con la estimación. Conclusión: presentes.

Deben transcurrir 58 min para tener 15 (

EJEMPLO 4

Solución d e un problema q u e impía las funciones logarítmica y exponmai naturales

Se efectúa un depósito de $1 000 en una cuenta de abona« un interés de 6% compuesto continuamente y no se realizaM L ni retiros posteriores, (a) Exprese el monto, en unidades idom u del depósito a los t años como una función de t. ib) Utilicek m dora para estimar el tiempo hasta que se acumulen $1500«km (c) Verifique la estimación algebraicamente.

Solución (a) De la fórmula (3) de la Sección 6.2, si SMf) represeoud*1^ del depósito a los t años, entonces A(t) = 1 OOte00* [0,10] por [0,2 000] A(t) - 1 000c °“ ' y #(f) = i 500

FIGURA 6.38

(b) La Figura 6.38 muestra la gráfica de A y la recta $(/)= zadas en el rectángulo de inspección de [0,10] se emplea el rastreo y aumento de la graficadorasedt®^ la recta corta a la gráfica de A cuando t = 6.758. j (c) Sea T el tiempo necesario hasta que en la cuenta se $ 1 500. Si en la ecuación para A(t) se sustituye Tpor1A(T) = 1 OOOe006T Como A(T) = 1 500, se tiene 1 500 = 1 000^nn6T e oMT = 1 5 0.067 = ln 1.5

6.4

FUNCIONES LOGARITMICAS

345

T = ln 1.5 0.06 T = 6.758 Esta respuesta está de acuerdo con la estimación. Conclusión: Como 6.758 años equivalen a 6 años, 9 meses y 3 días, esto se considerará como el tiempo hasta que se acumulen en la cuenta $1 500. +

EJEMPLO 5

Solución do un problema quo Implica a las funciones exponencial y logarítmica naturales

En el ejemplo 4 de la Sección 6.3 se obtuvo la ecuación /( í) = 50(1 -
Solución (a) En la solución del ejemplo 4 de la Sección 6.3, se obtuvo la Figu ra 6.28 de la sección, la cual muestra la gráfica d e /y su asíntota horizontal, la recta g(t) = 50, trazadas en el rectángulo de inspec ción de [0, 10] por [0, 60]. A esta figura se agregó la recta h(t) = 40 y se consiguió la Figura 6.39. Usando el rastreo y aumento de la graficadora, se determina que la recta h(t) = 40 corta la gráfica de/cuando t = 4.7. (b) Sea T el número de días necesarios en el trabajo para que el obre ro produzca 40 unidades por día. Si se sustituye T por t en la ecua ción dada, se tiene f ( T ) = 50(1 - e -034T) Como f(T ) - 40, 40 = 50(1 - e-° UT 0.80 = 1 - e~034T e-o.*4r = 0 2 0 .3 4 r » ln 0.2 ln 0.2 -0 .3 4 4.7 Esta respuesta está de acuerdo con la estimación.

u

Conclusión: Después de 5 días de ducir 40 unidades por día.

Nrí

h\ *10*

En problemas que implican decrecimiento CXno_ _ media ia de una sustancia radiactiva es el tiempo disminuya a la mitad.

► EJEMPLO 6

S o lu c ió n d e un p ro b le m a q u t lmoll

-

-

füne/on*s **P™.ncla¡ y i o g j ^ ^ La vida media del radio es 1 690 años, suponga quef(t) mil radio se tendrán en t años a partir de ahora, y W***! i r

¡ ti nout

/ ( /) = A ekt donde k es una constante. Si se tienen actualmente 60 mgder* ¿cuántos miligramos de radio se tendrán dentro de 100aftos?

Solución

Como se tienen 60 mg de radio, entonces/(O) tanto, de la ecuación se tiene

-2 (c)te1 iu¡k|.{iww (c)bgis1= 0 7. (») bgí 2 = I

/( 0 ) = A em

lüfc|s2 =j

60 = A Si se sustituye A por 60 en la ecuación dada, se obtiene

(í)ÍDgl*í=

*anraaoj9fl/2,í

f(t) = 60**' Debido a que la vida media del radio es 1 690 aflos,/(l 690)=# en la fórmula anterior t = 1 690, se tiene

wteg.0100

(

11(«)«?*64

/

11,1‘Si

(

/ ( I 690) = 60 é?*(169o) 30 = 6 0e1690* g 1690* _

**»lj

0 5

ale

1 690* = ln 0.5 k = ln 0 5 1690 k m -0 .0 0 0 4 1 0 Al sustituir este valor de k en la ecuación/(O = 60* •

«)h s ; ” ! .. n «2o

f(t) = 60e-0000410' Con este valor y el hecho de que la cantidad de initoí1*®13* dentro de 100 años es /(100), se tiene

/(100) « 60e~00410 = SZ6

3 .

Conclusión: Se tendrán 57.6 mg de radio dentro

^32)

6.4 FUNCIONES LOGARÍTMICAS

EJERCICIOS

S í

1, (i) ? •«<* f&SlIlojjjj

WV!

. ejercicios 1 a 4, exprese la relación dada en la noción mediante notación logarítmica.

1. (a) 3* *

gdenfc í) = 6Q.Pj

- 32

(b) 7J ■= 49

(c) 5 'J - ¿

En los ejercicios 25 a 30, dibuje la gráfica de la fun ción.

(b) 625~5/4 - ,b

(c) 2o = 1

25. /(* ) * log io x

26. /(x) * log3 x

27. g(x) ■ logi/j x

28. g(x) - k3g!/i0 x

(c) M~m = ¿ 29. F(x) = log, x 2

30. G(x) = log2 1x |

i (i) í l !/4 - 27 (b) 10° = 1

5. (l) loga 64 = 2 (c) log: 1 ■ 0

(b) log3 81 = 4

i (i) logio 10,000 = 4 (c) logio 1 = 0

(b) loga 125 = 3

7. (i) loga 2 = 5 (c) log9 i = “ i

(b) log,/3 9 * - 2

8. (i) logj: 2 = J (C) log161 ® “ I

(b) log 1/2 64 = - 6

f. (a)logio 100

(b) log27 9

(c) log2 ¿

10. (a) loga 64

(b) log6 6

(c) log3 gy

11. (a) logaj 11 (a) log?7

(b) log27 ¿ (b) log 1/4 ¿

(c) ln \ / e (c) ln e 2

13. (a) log? x

ib) log^logaa l)) ,a > 0 y b >0

En los ejercicios 31 a 38, dibuje la gráfica de la fun ción mediante transformaciones geométricas de la grá fica de lafunción logarítmica natural 31. f(x ) =- l n x

32. g(x) * 2 lnx

33. g(x) * ln(x - 1)

34. /(* ) = ln(x + 4)

35. F(x) = ln x + 2

36. G(x) * ln x -

3

37. /(* ) = 3 ln(x + 4) - 5 38. g(x) = -ln (x - 2) + 1

*3

(b) log 1/3 x = - 4

14. (a) log4 x * 3 11 (a) log2 x « j

(b) logi/4 x = - 3 (b) log 1/4 x \

h losejercicios 17 a 20, resuelva la ecuación para b. 17. (a) log* 144 * 2

(b) log* 6 =

4

H (a) log* 1000 * 3 P* (a) log*0.01 = - 2

(b) log* 3 = (b) log* ¿ =

J -§

*

(b) log* 0.001 = - i

bloi ejercicios 21 a 24, simplifique la expresión. 11- (a) logtOogj 5) I (*>) log2(log9 81) 11 (•) tog}(log2 32) <*>) log2ílog, 81)

V(f) = 10000*-°* Si la máquina será reemplazada cuando su valor sea $500, utilice la graneadora para estimar cuándo se comprará una máquina nueva Verifique la esti mación algebraicamente.

(*>) logi/9 x - i

27 “ ~ 3

En los ejercicios 39 a 50, resuelva el problema por me dio de un modelo matemático que contenga una fun ción exponencial. Escriba una conclusión. 39. Remítase al ejercicio 21 de la Sección 6.3. El valor de una máquina, comprada hace 8 años en $10 000. es $V(t), t años después de la compra, donde

Enlosejercicios 13 a 16, resuelva la ecuación para x.

bo*

24. (a) logj(logj3)

(c) 10"* * 0.001

j, (i) 81/! - 4

^

(b) logb(log* b), b > 0

(b) 5S « 125

En¡osejercicios 9 a 12, encuentre el valor del logaritmo. =30i

(•) logj(log2 256)

81

Enlos ejercicios 5 a 8, exprese la relación dada en la taaciónmediante notación exponencial. [?

347

40. Remítase al ejercicio 22 de la Sección 6.3. Si fit) gramos de una sustancia radiactiva se tienen des pués de t segundos e inicialmente se tenían 100 g, entonces f( t) = 100e*a3f Emplee la graficadora para estimar el tiempo nece sario para que queden sólo 10 g de la sustancia Compruebe la estimación algebraicamente. 41. Remítase al ejercicio 23 de la Sección 6.3. La po blación actual de una ciudad es de 10 000 y se in crementa con una tasa proporcional a su tamaño. Si

34 f l

C A P ÍT U L O 6

F U N C IO N E S IN V E R S A S * E X P O N E N C iA L E S J f L O G A R ÍT M IC A S

esta tasa es de 6% y si la población después de t a/los es P(i), entonces f\t) a lOOOOe006'

4 6.

Refiérase al ejercido 30 de la Seccifeu h de reventa de cierto equipo es de ^ años de su compra, donde /(/) = 1 200 + 8 000e-«*

Utilice la graficadora para estimar el tiempo en el cual la población será de 45 000. Verifique la esti mación algebraicamente. 42. En cierto cultivo se tienen inicialmente 2 000 bac terias, y después de t minutos se tienen /(/) bacte rias, donde

f[t) m 2 000* 0X051 Utilice la graficadora para estimar cuándo se ten drán 10 000 bacterias. Compruebe la estimación al gebraicamente. 43. Si se invierten $500 a 9% compuesto continuamen te: (a) exprese el valor de la inversión en t años como una función de t. ib) Emplee la graficadora para estimar el tiempo necesario para que la inver sión sea de $900. (c) Verifique la estimación alge braicamente.

Utilice la graficadora para estimar d ^ pués de la compra para que el valor de ie ^ $2 000. Verifique la esümaoóo alg d x * ^* 47. Si una sustancia radiactiva detemurufe ^ vida media de 500 años y una m u e s a « ^ ^ decae a 4 g. ¿cuál es la edad de la n u e m ^ 1 ga que el número de gramos présenla tir de la muestra esflfiy f[t) &Ae*. do*, I una constante. 48. Suponga que quedan/(f) unidades de radiactiva en t años a partir de iban donde k es una constante. Si 30% de b mm¡ desaparece en 15 años, determine so nÉvdi 49. ¿Cuánto tiempo pasará para que na ireafci duplique si reditúa un interés de 8\ coapu continuamente?

50. ¿Cuánto tiempo pasará para que un oncnhiI

44. Resuelva el ejercicio 43, si el dinero se invierte a 12% compuesto continuamente.

triplique si reditúa un interés de l2%{afM| continuamente?

45. Remítase al ejercicio 29 de la Sección 6.3. La efi ciencia de un obrero común de cierta fábrica está determinada por la función definida por

En los ejercicios 51 y 52, las funciona 5 y C»ti funciones hiperbólicas definidas en los qeracmh 40 de la Sección 6.3 como sigue: S(x) = \ ( e x - « - ) y CW =

f[í) = 100 - 60*"°21 donde el obrero puede completar f(t) unidades de trabajo por día después de haber trabajado durante t meses. Emplee la graficadora para estimar cuán tos meses de trabajo son necesarios para que el obrero común produzca 70 unidades por día. Com pruebe la estimación algebraicamente.

^

51. Encuentre

Sugerencia: Sesy*^®* la ecuación como cuadrática « t *,) para e x mediante la fórmula cuadrfoci

52. Determine C"*(x). Utilice una gerencia del ejercicio 51 con uní itdrie®1 dominio.

6.5 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES Y ECUACIONES LOGARÍTMICAS OBJETIVOS

1. Aprender el teorema acerca del logaritmo de un Prc^|.{ 2. 3. 4. 5.

Aprender el teorema acerca del logaritmo de un ^ Aprender el teorema acerca del logaritmo de una P° Aplicar las propiedades de los logaritmos. Resolver ecuaciones logarítmicas.

6.3

íc c ió n 6.3. El vai0r i $/(*) d e s p i d e ,

fe a a r e l tiempo de», alor d e revenía je» ilgebraicamente. rm in ad a tiene una sstra original de 5g a m uestra? Supon ien tes t años a par= A e k\ donde I q :s de una sustancia h o r a y f{t) = Ac\ *% de la sustancia : s u vida media. ; u n a inversión se 4e 8% compuesto

PROPIEDADES D I LAS FUNGONES Y ECUACIONES LOGARÍTMICAS___ 34?

Antes del advenimiento de las calculadoras electrónicas se utilizaban los logaritmos para efectuar tediosas operaciones con productos, co cientes, potencias y raíces. Para este propósito se aplicaron los logarit mos de base 10, así como las tablas de éstos. En la actualidad, esto es obsoleto ya que fundamentalmente nos interesan las propiedades de las funciones logarítmicas y su uso en la solución de ecuaciones lo garítmicas, en esta sección, y de ecuaciones exponenciales en la Sec ción 6.6. Las operaciones de los ejemplos, ejemplos ilustrativos y ejercicios de esta sección se presentan sólo para mostrar estas propie dades y no para fomentar su aplicación. Los tres teoremas de esta sección se refieren a las propiedades de los logaritmos que se infieren de las leyes de exponentes correspon dientes. Después de enunciar cada teorema, un ejemplo ilustrativo muestra la ley de exponentes implicada. En las demostraciones se uti liza el siguiente hecho x

b?

y = lo#**

es equivalente a

Se hará referencia a la ecuación x = by como la forma exponencial de la ecuación y = log* xt y a la ecuación y = log* x como la forma loga rítmica de la ecuación x = by.

t u n a inversión se e 12% compuesto >nes S y C son las lo s ejercicios 37a

TEOREMA 1

Si b > 0, b & 1 y u y v son números positivos, entonces j(e* + e-1)

logfc U V = log b

U

+ logfrV

zay = SU), esa* n e x, y resuélvsli itálica. le a similar alasla restricción en<1

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Suponga que en el enunciado del Teorema 1,¿> = 2, « = 4 y v = 8. Por tanto, lo g * u v =

>NES

= = =

n producto n codeóteñ a potencia

24 • 8 2 22 • 23 l o e 2 22+3 lo g 2 2 5 lo g

lo g * u +

24 2 22

lo g * v = lo g

lo g

«

k )g

=

2+

+ lp g

2

+ loga

8

23

3

= 5

= 5 ( d e b id o a q u e lo g * b y - y ) P or esto , cu a n d o

b

= 2, u = 4 y v =

D e m o s t r a c ió n d e l T e o r e m a 1

r

-

lo g *

u

y

s

8. e l T e o r e m a Sea

= lo g * v

1 e s v á lid o .

^

CAPÍTULO 6

fu n c io n es inversas , e x po n en c ia les y logarítmica ^

Las formas exponenciales de estas ecuaciones son, u —b r

y

V

=

b’

Por tanto, uv m b r • b ‘ uv — b f * * La forma logarítmica de esta ecuación es log* uv = r + s Pero log* u = r y log* v * s. Así, log* uv = log* u + log* v

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Si log„,2 = 0.3010 y log,0 3 = 0.4771, puede aplicarse d Tea» para determinar loglu6. logio 6 = logio(2 • 3) = logio 2 + logio 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781 Como log|02, logl03 y log106 son números inacK»ila.tai res dados para ellos en el ejemplo ilustrativo 2 son aproximad»*! cimales. Sin embargo, en las operaciones, como las de esae empleará el símbolo de igual.

TEOREMA 2

Si ¿7> 0, * 1 y u y v son números positivos,entonces log* - = log* u - log* t

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Suponga que en el enunciado del Teorem a Por tanto.

6^5

PRO PlEDADES DE LAS FUNCIONES Y ECUAaONES LOGARÍTMICAS u

logfc ~ - tog2

128

351

íog* u - ipgfc v = |og2 128 - log2 16

” *°g2

2?

= log2 27 - tog2 24 = 7 - 4

= k)g2 27“4

5=3

- loga 23 = 3 Por esto, cuando b = 2, u = 128 y v = 16, es válido el Teorema 2. Demostración del Teorema 2 r = logfctt

y

4

Como en la prueba del Teorema 1, sea

j = log¿ v

Las formas exponenciales de estas ecuaciones son, respectivamente, u = br

y

v = bs

En consecuencia, el Teorema

La forma logarítmica de esta ecuación es

sales, los val limación« ste ejemplo*

i log¿ -u = r - s v Como Iog¿ u = r y log¿ v = s, se tiene u log* - = logé u - logb v

■

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Por el Teorema 2 logio § *= logio 3 - log,0 2 Si se sustituyen los valores de logJ0 3 y log|0 2 dados en el ejemplo ilustrativo 2, se obtiene logiof = 0.4771 - 0.3010 = 0.1761

TEOREMA 3

Si b > 0, b * 1, n es cualquier número real y « es un número po sitivo, entonces log* u n - n logft u

*

> EJEMPLO ILUSTRATIVO^ Suponga que en el enunciado del Teorema 3 b a o tanto, H* î log/> un = log2 43 = log2(22Y = log2 22' 3 = log2 26 = 6 Así, cuando b = 2, n = 3 y u = 4, el Teorema 3 es válido Demostración del Teorema 3

Sea

r = log¿> u <=>u — b r Por tanto, un = (bry u n = b nr

La forma logarítmica de esta ecuación es log¿, un = nr Como log¿ u = r, se tiene log¿, un — n log¿, m

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 Com o log,H2 = 0.3010, se deduce del Teorema 3 que log.o 3 2 = log.o 25

logio V 2 = k)g.o 2,/J

= 5 logio 2

» J l ugi o 2

= 5 (0 .3 0 1 0 ) = 1 .5 0 5 0

® ¿(O-3010* = 0.1003

► EJEMPLO 1

¿fei Aplicación d» las logaritmos

Escriba cada una de las expresiones siguientes en ^ ^ groS pos'D' > mos de x, y y z, donde las variables representan n

(a) lograr 2y 3z4

(b) log*

, CUAOON|i LoaAmtrui^

^ O P i.D A D .,^ ^ ^ ^

^

Solución (a) Por el Teorema 1 = log^ X1 + Jog^ y¡ +

log» JtJ>rV

^

t L t r Z o , 2 S 5 L 3 a cada uno - «os logaritmos en el miem-

l°g¿-f>'Z4 = 2l0gi,x + 310gA> + 4k)gAZ (b) Por el Teorema 2

1o8‘ ^ 5 = logij: - logt K ’ bro derecho, se tiene

i

l0&

xx

yz

m ÍQg»X -T (logb y + log* z2) log* X

log* y — 2 log* z

(c) Por el Teorema 3

.

Jxy2

1*

xy2

A l ap licar e l T eo r em a 2 al m iem bro derecho, se obtiene

log* \ I ~ ^ T - 5 Oog* x y 2 - log* z 3) 5 (log* x + log* y 2 - log* z 3)

í (log* x + 2 log* y - 3 log* z)

5 log* x + f lpg* y - | log* z ► EJEMPLO 2

*

Aplicación de las propiedades de los logaritmos

Escríba cada una de las expresiones siguientes como un solo logaritmo con coeficiente 1: (a) log* x + 2 log* y — 3 log* z (*>) i (log* 4 - log* 3 + 2 log* x - log* y)

Solución

CA PÍTULO 6

FUNCIONES «NVERSAS, O T O N E N O ^ Y t-OGARÍTMICAS

(b) i (l°g* 4

1°®* 3 + 2 log* jc — log¿ y) = i [Oogi, 4 + k)g¿ jc2) ^ = lüog* 4x: log*3y] 1. 4x2 = 3 0613 7

3+

= iog¿ v — V 3y

► E JE M PL O 3

Aplicación do las^ropiodadesómu^ logaritmos 181

.

Dados log,02 = 0.3010, log,03 = 0.4771 y log107 = 0.8451,^.1 propiedades de los logaritmos de los teoremas 1 a 3 para d ^ í los valores de cada uno de los siguientes logaritmos: (a) lo g io 5

(b) logio 28

(c) tog,o2100 (djlog,,^

Solución Aparte de los logaritmos del ejemplo, el lognaeí base 10 de cualquier potencia entera de 10 puede determina te; por ejemplo, logio 10 = 1, logio 102= 2, logio 103= 3, log»l(Hí y así sucesivamente. Esto se utilizará en este ejemplo. (a) logio 5 = logio t = logio 10 — logio 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990

(b)

logio 2 8

=

= = = = = (c) log,0 2100

logio 2 2 • 7

logio 22 + logio 7 2 logio 2 + logio 7 2(0.3010) + 0.8451 0.6020 + 0.8451 1.4471 = logio 3 • 7 • 102 = logio 3 + logio 7 + logio 102 = 0.4771 + 0.8451 + 2 = 3.3222

W) logio V U = iog10( 2 ^ l Z ) ' /3 10)

* 3 Opgio 2 + logio 3 + togio 7 " ~ I (0.3010 + 0.4771 + 0.8451 - 11 = í (0.6232) * 0.2077

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES Y ECUACIONES LOGARÍTMICAS___ 355

► EJEMPLO 4

Aplicación de las propiedades de los logaritmos

Utilice los valores de log,02 y log,07 dados el ejemplo 3 para determi nar el valor de cada una de las expresiones siguientes: (a) logio 2 Solución (a) logio T “ l°gio 7 - logio 2

logio 7 = 0.8451 log,0 2 0.3010

= 0.8451 - 0.3010

= 2.808

= 0.5441 Ahora, se compararán las operaciones de los incisos (a) y (b) del ejemplo 4. En el (a), se tiene el logaritmo de un cociente, el cual, al aplicar el Teorema 2, es la diferencia de 2 logaritmos. En el se tie ne el cociente de los logaritmos de 2 números. La operación se efectúa dividiendo 0.8451 entre 0.3010. Una ecuación que contiene logaritmos se denomina ecuación lo* garítmica. Como el dominio de una función logarítmica se restringe con el ñn de obtener los logaritmos de números positivos, se debe ve rificar cualquier solución posible en la ecuación dada. Los tres ejem plos siguientes se refieren a la solución de una ecuación logarítmica.

► EJEMPLO 5

Solución de una ecuación logarítmica

Determine el conjunto solución de la ecuación logioC* 4- 3) = 2 Solución

La forma exponencial de la ecuación es

x + 3 = 102 x f , 100 - 3 x = 91 Para este valor de x, la ecuación dada como log!0 100 = 2, la cual es verdadera. Por tanto, el cojunto solución es {97}. *

► EJEMPLO 6

Solución de una ecuación logarítmica


356

CAPÍTULO 6

F U N a O N I f l NV1R>AS- ■XP°N1NCIAL|S Y lO O A »¡T M lC A |

Solución Como la diferencia de dos logaritmo» un cociente, *e tiene 01 ®*el 10g2

x + 4

= 3

Si se escribe esta ecuación en la forma exponencial con tiene ^ Ulv*leijieií l ± i = 23 x - 3 x + 4 = 8(* ~ 3) x + 4 = 8* - 24 - I x = -2 8 * =4 Si se sustituye x por 4 en el miembro izquierdo de laecuacifad* se tiene log28 - log2 1. Debido a que log2 8 = 3 y log21= ción se verifica. Así, el conjunto solución es {4}.

► EJEMPLO 7

Solución

do una ecuación logaritmica

¿y .i

Determine el conjunto solución de la ecuación

ib) 1,

log3 x + log3(2* - 3) = 3 ¡2, escribí

Solución El miembro izquierdo de la ecuación dada estai®* dos logaritmos; si se escribe como el logaritmo de un producto,

con coeficiente 1.

lpg3 x(2x - 3) = 3 La forma exponencial equivalente de esta ecuación es x(2x - 3) = 33 2x2 - 3x - 27 = O (x + 3)(2x - 9) = O * + 3 = 0 2* — 9 = 0 * = ~3 X = Í Cuando x = -3, ni log3 x ni log3(2x - 3) se rechaza la raíz -3. Cuando * = §, el miembro i«F ción dada es

H ,'

l*'

fyíio/ í 7O ,

S ,

«i» +1, 3 k

¡ s ,„

•Íí SÍ**». i

’v . S H

log3 f + log3 6 = log3(f • 6) - log3 27 = 3 Por tanto, el conjunto solución es {f}-

'N , «■>J

6.5

ss el

l°garitm,iode

0

S S E

PR OPliPAPIS D i LAS F U N C IO N «» Y iC U A a O N K S IQOAlriTM ICAS

S 6.5

ijtrcicios I o 8, exprese el logaritmo en térmi^ jt los ^gantmos de x, y y z. donde las variables * 1 0 números positivos.

V49

17. (a) log io ^ 1 0 5

(*» M

18. (a) log,o ^ 1 2 6

(b) log io

19. (a) lo g io r

(b)

20. (a) logio r

(b)

bivalente, ieojj. t(i) lcg»(ty)

1i q i i M

(b) log*f -

(b) l c * ( 2 j

i (i) log*(^5)

(b) log* V x y

4, (a) Ipg*(zl/3)

(b) log* ‘V y ?

(c) lpg¿

(c) logb( x Ay 2)

i (i) tog*Ul/3z3) i ecuación c

g2 1 ~ 0, la solu-

í (i) tag»(*Vz)

4

»1 t e f , , ', , . )

(b) k ¿ ( V x * V y z )

rítm ica

jíy Mi) log» v ~ T «4 da es la nmude I ducto,setene

(b) l o f r i V x p V z )

^ i a o j 9 a 12, escriba la expresión como un con coeficiente 1. M*Mlogio* + j l p g i o / | fl>) i k¿ x - 6 log* y - j log* z W5 logioJf + j logio y ~ j logio z Jfo) jlog»Jt - 4 kg*y + log* z

P W Ipgiog + 2 logio t - lpgio 2 (b)lnir + ln/r + 2 1 n r - l n 3 pfr) Ipgio4 + logio ir + 3 Iogio r - Ipgio 3 | ft)ln2 + lnir + j l n f - | l n ^

lidos; por ierdodel*^

^ ejercicios 13 a 20, determine el valor del logatodo empleando lo siguiente: logj0 2 * 0.3010, * 3 *04771 y logIO7 * 0.8451.

14

Iq g io 2

log 103 log io 7 logio 5

En los ejercicios 21 a 24, determine el valor del loga ritmo, empleando lo siguiente: ln 2 « 0.6931, ln 3 • 1.0986 yin 5 * 1.6094. 21. (a) ln 300

(b) ln 7.5

22. (a) ln 90

(b) ln 1.2

23. (a) ln

K /Io l

(b) ^ n - e 2

V3 í** 5

»57

a

|

K i .

(b) l n | * 3

En los ejercicios 25 a 32, encuentre el conjunto solu ción de la ecuación. 25. lqg3(4* - 3) = 2 26. log2(2 - 3x) = - 3 27. log,o x + 3 log,o 2 = 3 28. logI0 x + logioO* + 15) = 2 29. tog3(jc + 6) - togsix - 2) = 2 30. log2( l l — x) = kgsC* + 1) + 3 31* log2(* + 1) + log2(3jr - 5) * log2(5jc - 3) + 2 32. loga(2* - 1) - logj(5jr + 2) = logrf* - 2) - 2 33. La escala de Richter, llamada así en honor a su in ventor Charles Richter (1900*1985), mide la in tensidad de un movimiento sísmico. Si x es la medición de la magnitud de un temblor de tierra, x está dado por la fórmula x * Jpgio^py + D

(b) (b) (b) (b)

log io 15 k?gio42 log io 140 log/o 0.21

donde y mide la energía liberada por el movimiento sísmico, y T y D son constantes que dependen del lapso del movimiento de la tierra y la distanda des de el epicentro del temblor de tierra a la estación

358

CAPÍTULO 6

F U N C IO N E S INVER SA S. E X P O N E N C IA L E S Y LOGARITMICAS

que recibe la señal, (a) Pruebe que y = k • 10', don de k es una constante, (b) Utilice la fórmula de la parte (a) para mostrar que un terremoto con una magnitud de 7 en la escala de Richter, tiene una in tensidad 100 veces mayor que la de un temblor de tierra de magnitud 5 con el mismo epicentro, (c) Si yi y yi son las mediciones de energía liberada por dos movimientos sísmicos con el mismo epicentro y que tienen magnitudes de 6.7 y 5.4, respectiva mente, en la escala de Richter, ¿cuántas veces y\ equivale a yj?

34. Si se conocen los valores de logw2y l plique por qué puede obtenerse, sin ¿ S calculadora, log104, log105, log^ 6, 9, pero no k>g|0 7. 35. La única solución de la ecuación logio* * lnx es x « 1. Explique por qué ésta es por qué no existen otras soluciones.

6.6 ECUACIONES EXPONENCIALES OBJETIVOS

ñ

1. D efinir los logaritm os comunes. 2. Resolver ecuaciones exponenciales. 3. E n co n trar el valor de un logaritm o en una base diferente de e o 10. 4. Resolver problem as que tienen ecuaciones exponenciales con modelos m atem áticos. Jo h n N apier (1550-1617), aristócrata escocés, inventó los iopn» a principios del siglo xvn. Poco después, el inglés Hewr liy (1560-1630), en contacto cercano con Napier, empleó los iopn» de base 10, denominados logaritmos de Briggs, pero ahora íump logaritm os com unes. L e o n h a rd E uler más tarde relacionótafrj garitmos y los exponentes. En la actualidad, se estudian, ea iossal de álgebra, los exponentes antes que los logaritmos. Sinemhp8! los cursos de Cálculo se tratan las funciones logarítmicas antesp»| exponenciales. Este orden de presentación nos permite definir nente real. Debido a que log6 u ñ = n log* u, los logaritmos se aplicmp I solver ecuaciones exponenciales, en las cuales la w w f c k j j j un exponente. Como los números se expresan en notación dea^^J logaritmos comunes se emplean frecuentemente para este fia-N I bir logaritmos comunes, se acostumbra omitir el subíndice modo que se sobrentiende que log x representa el número fo»* función log denota la función logarítmica de base 10. P or cade. log x = y <=> 10* = x

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 log 10= 1 log 100 = 2

porque 101= 10 porque 10 2 = 100

6.6

ECUACIONES EXPONENCIALES

log 1 000 = 3

porque 103 = 1 000

log 10 000 = 4

porque 104 = 10 000

359

y así sucesivamente. Además, log 1 = 0

porque 10°

\

log 0.1 = -1

porque 10"'

0.1

log 0.01 = - 2

porque 10'2 : 0.01

log 0.001 = - 3

porque 10~3

log 0.0001 = - 4

porque IO '4

etcétera.

-4

Los logaritmos comunes pueden determinarse en una calculadora mediarne la tecla log Para resolver una ecuación exponencial, se considera la ecuación equivalente que se obtiene al igualar los logaritmos comunes (o natu rales) de los dos miembros, después se resuelve la ecuación obtenida, como se muestra en el siguiente ejemplo ilustrativo.

>


La ecuación exponencial 3* = 16 es equivalente a la ecuación x = log316 Sin embargo, esta ecuación no proporciona un valor numérico explíci to para x. A fin de obtener tal valor, se igualan los logaritmos comunes de los dos miembros de la ecuación dada: log 3X = log 16 x log 3 = log 16 log 16 * ~ log 3 1.2041 0.47712 x * 2.5237 Por tanto, el conjunto solución es {2.5237}. Observe que 2.5237 es una aproximación, con cinco dígitos significativos, del valor de x. El valor exacto de x está dado por log3 16 o

„ m r .o n iS IN V M A S , iX E O N IN d A L l« Y L O t t A ^ t r u ^

La ecuación dada también puede resolver*#» mos naturales de sus dos miembros. Si se har* ‘^«ndoL , la forma siguiente: lt ln y * ln 16 x ln 3 “ ln 16 ln 16 * “ ln 3 2.7726 X = 1.0986 jc = 2.5237

►

EJEMPLO

1

Solución de una ecuación ■Tpt(..tvÎB

Determine el conjunto solución de la ecuación P f 1= 8 Verifique la respuesta en la graficadora. Solución Al igualar los logaritmos comunes de ambos s n de la ecuación dada, se tiene log 52jt_l i (2x ~ 1)log 5 = 2x log 5 - log 5 = 2x log 5 =

log 8 log 23 3 log 2 3 log 2 + log 5 3 log 2 + log 5 * 2 log 5 x = 1.1460

Para comprobar la respuesta se traza en la graficadco1*Pj de _y= 5 2*-1 - 8 y mediante el rastreo y aumento, se deten®01 cepción x de la gráfica.

►

EJEMPLO 2

Solución d . una

Determine el conjunto solución de la ecuación T m 3*+I Compruebe la respuesta en la graficadora. ^¡1 Solución Al igualar los logaritmos comunes de31,1 ecuación dada se tiene log 7* = log 3x+:

6.6


361

log 7 = (x + l)log 3 x log 7 = x log 3 + log 3

X

x log 7 - x log 3 = log 3 Jt(l0 g 7- log 3) * log 3 k)g 3 log 7 — log3 1.296 Así, el conjunto solución es {1.296}. Para comprobar la respuesta se traza la gráfica de y = 7* - 3*+1 en la graficadora y al emplear el rastreo y aumento, se estima la intercep ción x de la gráfica. 4 Anteriormente, se indicó que los valores de los logaritmos natura les y comunes pueden determinarse en una calculadora. Los valores de logaritmos en otras bases se pueden determinar resolviendo ecuacio nes exponenciales. El ejemplo siguiente muestra cómo hacerlo.

► EJEMPLO 3

Determinación del valer de un logaritmo de base distinta de e o 10

Determine el valor de log4 19. Solución

Sea

y = log4 19 Al escribir esta ecuación en forma exponencial, se obtiene 4y = 19 Por tanto, log 4y = log 19 y log 4 = log 19 _ log 19 log 4 y .*= 2.124 Así, con cuatro dígitos significativos, log419 = 2.124.

<

El procedimiento aplicado en el ejemplo 3 puede emplearse para obtener una fórmula que relaciona a loga x y log,, x, esto es, los logarit mos de un número en bases diferentes. Véase el ejercicio 42. Los dos ejemplos siguientes y los ejercicios 21 a 32 proporcionan aplicaciones de ecuaciones exponenciales.

362

CAPÍTULO ó

FUNCIONES IN V ERSAS , EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

► EJEMPLO 4

[0.10] por [700 000, 1 100 000J y, = 800 000(1.035)'y y,= 1 000000

FIGURA 6.40

Solución do un problem a que tie n L ecuación exponencial como modelo m atem ático

Suponga que el 1 de enero de 1993, la población de cierta fue de 800 000 habitantes. A partir de entonces y hasta ej aóoW. se espera que la población se incremente a una tasa anual Por tanto, / años después del 1 de enero de 1993, la poNaafca^f da es 800 000(1.035) ' donde 0 £ t <>8. Utilice la graficadcn decir, con aproximación de meses, cuándo la poblacido «n J millón. Verifique la predicción algebraicamente. Solución

Se trazan en la graficadora las gráficas de

y x = 800 000(1.035)'

y

y2 = 1 000000

La Figura 6.40 muestra estas gráficas en el rectángulo de uspcaái [0, 10] por [700 000, 1 100 000]. Al emplear el rastreo y auné»J graficadora se estima que las gráficas se intersectan cuando /=6i 1 Seis años y medio después a partir del 1 de enero de 1993.km ne la fecha 1 de julio de 1999, en la cual, la población sai de■i| llón. A fin de verificar esta predicción algebraicamente, sedefcnay valor de / tal que 800 000(1.035)' = 1 000 000 , = io g o o g o

1 ; 800 000 (1.035)' = 1.25 Como la variable / aparece en el exponente, se igualan ioslogs* de los dos lados para obtener log( 1.035)' = log 1.25 tlo g 1.035 = log 1.25 t =

1.25 log 1.035

' = 6.5 Este resultado concuerda con el valor de t obtenido en la Conclusión: Se predice que la población de la ciudad llón el 1 de julio de 1999.

EJEMPLO

Solución do un problema q » I * * * ocuaclón ox¡ponencia! como mo*» m atem ático

una cuenta Se depositan $1 000 — en —------------ de ahorros que anual de 6% compuesto trimestralmente y no se efec

I

6 .6


363

retiros posteriores, ¿cuánto tiempo es necesario para que se tengan $ 1 500 en la cuenta?

Solución

Por el Teorema 3 de la Sección 6.2

donde $v4„ es el monto al final de n periodos de interés de una inver sión de $P a una tasa de interés anual de lOOr^fc compuesto m veces al año. En este problem aAñ = 1 500, P = 1 000, r = 0.06 y m = 4. Se desea encontrar n. De la fórmula

1.5 = (1.015)" log 1.5 = log(1.015)" log 1.5 = n log 1.015 £ n

log 1.5 log 1.015

n = 27.33 Conclusión: Como n es el número de periodos de interés y el inte rés se compone trimestralmente, se necesitan 28 trimestres para que en la cuenta tenga $ 1 500. Compare el ejemplo anterior con el ejemplo 4 de la Sección 6.4, el cual contiene los mismos datos, excepto que el interés es compuesto continuamente en lugar de trimestralmente.

► EJEMPLO 6

Solución d o una ecuación exponencial

Utilice la graficadora para estimar con cuatro dígitos significativos la solución de la ecuación 3*

- 3~x = 4

Compruebe la respuesta algebraicamente.

Solución

La Figura 6.41 muestra las gráficas de

y, = 3 X - 3~x

y

>2 = 4

trazadas en el rectángulo de inspección de [-5, 5J por [—5, 5]. Al utili zar el rastreo y aumento de la graficadora se estima que las gráficas se cortan en el punto donde x = 1.314.

u r t T lM r> A y u w a O N lS INVIRSAS, EXPON 1NCIALKS Y LOOARÍTMICA1

Para verificar algebraicamente la respuesta, ie escribe dada como 4* á*P

3' - —

y

3* cy y

4(3")

1 =* 4(3') 1 = 0

Al hacer u = 3 \ se obtiene la ecuación cuadrática

junados 21 a 32. 0”

m2 - 4w - 1 = 0

tf0 K¡aL Escriba m

Esta ecuación se resuelve mediante la fórmula cuadrática. ur

« j j i i a ciudad d e l e j e m p ^ » predecir c u á n d o l a

4 ± V l6 + 4 — 2—

\

^srñqac la p r e d ic c i ó n a l - Enpiec la g r a f ic a d o r a p a

4 ± 2V 5

yx x ls

c iu d a d d e l e j

■Bdd año 2001. Con

= 2 ± V5

2

Si se sustituye u por 3*, se obtienen las dos ecuaciones

C a » Dcmpo s e r á n e c e a É p e a g anando u n in p a o rm c s tr a lm c n tc ?

3* = 2 + V5

y

3* = 2 - V5

X , C á » Dempo s e r á n e c c

La segunda ecuación no tiene solución, ya que 3*>Oy2-V5tt*| tivo. Por tanto, 3* = 2 + V 5 Al igualar los logaritmos comunes de los dos miembros dee# ción, se tiene

* i e duplique s i l a t a s a

1

« p a o tr im e s tr a l m e n t e

-

tó c a s e ai e j e r a c i o 2 5 d t o ii presión a i m o s f é r i c i p e im p u e s ta e n la g r

i ’“r ila c iu d a d d e l e j e r c i c i .-“-¿ido s í e s p e r a q u e l a p i

log 3* = log(2 4- V 5 ) x log 3 = log(2 + V 5 )

'%

k la r e s p u e s ta e n l a

• .Ciando se e sp era q u e e l v a •»•íd g a o c i o 2 7 d e l a S e

log(2 + V 5 ) log 3 x = 1.314

'® % ie la r e s p u e s ta e n l a , la e d a d d e l h o m l • f e a á i 6 .2 , c u a n d o l e n g " "iVerHón? C o m p r u e b e la

Esta respuesta es acorde con la estimación de la grafio^«*-

¿J* 5k cuántos minul del ejercicio 35 de i

EJERCICIOS 6.6 En los ejercicios 1 a 12, encuentre el conjunto solución de la ecuación. Exprese los resultados con cuatro dígi tos significativos. Compruebe la respuesta en la graficadora. 1. 4 ' = 7

2. 3' * 25

C h o r a s de ' j - _ Pw*ona del ejerc £,cte."vpaJabrasPorn:

S e ? es« ^ POr$,00 t20000hace 000. ;(

6 .6

fa¡#sejercicios 13 a 20, encuentre el valor del logarit0 & cuatro 13. Hx12 18 15. f?. k#1155 19. k)gioo75

14. log5 200 16. log6 54 18. log8 28 20. log20 100

; fa ¡0S ejercicios 21 a 32, resuelva el problema em¡ ¡bando un modelo matemático que contenga una fun dón exponencial. Escriba una conclusión. 121, Parala ciudad del ejemplo 4, utilice la graficadora parapredecir cuándo la población será de 900 000. Verifique la predicción algebraicamente. [ 22. Emplee la graficadora para determinar si la pobla ción de la ciudad del ejemplo 4 será 1 100 000 antes del año 2001. Compruebe la respuesta alge braicamente.


365

de interés compuesto mensualmente que ha redi tuado? 32. Un circuito eléctrico simple, sin condensadores, consta de una resistencia de R ohms y una inductancia de L henries, ytieneuna fuerza electromo triz que se corta cuando se tienen lo amperes. La corriente disminuye de tal modo que a t segundos la corriente es i amperes e i = loe ~(*/Lv. Emplee los logaritmos naturales para resolver esta ecuación para t en términos de i y las constantes R, L e / o. En los ejercicios 33 a 38, utilice la graficadora para estimar, con cuatro dígitos significativos, la solución de la ecuación. Verifique la respuesta algebraicamente. 33.

-

10'

1 0 "'

- 2

34.

10*

+

1 0 -'

= 4

35. 4 ' ~ ,4 * r = 3

36. 5* - 5"* = 8

37. ¡(ex + e~x) = 4

38.

- e~‘) = 3

[ 23. ¿Cuánto tiempo será necesario para que $ 1 000 se tripliquen ganando un interés anual de 6% com puestosemestralmente?

En los ejercicios 39 y 40, resuelva la ecuación para x en términos de y.

124. ¿Cuánto tiempo será necesario para que una inver siónse duplique si la tasa de interés anual es de 8% compuesto trimestralmente?

39. y =

(25. Refiérase al ejercicio 25 de la Sección 6.3. ¿A qué alturala presión atmosférica es de 500 lb/pie 2? Ve rifique la respuesta en la graficadora. I 26. Para la ciudad del ejercicio 23 de la Sección 6.3, i ¿cuándo se espera que la población sea de 21 000? Verifique la respuesta en la graficadora. 27. ¿Cuándo se espera que el valor de la pintura abstrae¡ (a, del ejercicio 27 de la Sección 6.3, sea $18 000? Verifique la respuesta en la graficadora. & ¿Cuál será la edad del hombre, del ejercicio 28 de la Sección 6.2, cuando tenga $50 000 en la cuenta de inversión? Compruebe la respuesta en la grafi| cadora. P‘ ¿Después de cuántos minutos la temperatura del [ cuerpo, del ejercicio 35 de la Sección 6.3, será de

I p- ¿Después de cuántas horas de practicar mecanografíapodrá la persona del ejercicio 28 de la Sección 6-3, escribir 60 palabras por minuto? En cierta inversión especulativa, se adquirieron teñe* raíces por $20 000 hace 3 años y actualmente se venden por $100 000. ¿Cuál es Ja tasa anual

10' - 10 ' 10' + 10"'

40. y =

e + e~

41. (a) Utilice la graficadora para determinar, con aproximación de centésimos, el valor de x entre 1 y 2 para la cual 2X = x 5. (b) Utilice la graficadora para determinar, con aproximación dr centésimos, el valor de x entre 1 y 2 para el cual ln x 1 — = - ln 2 x 5 (c) ¿Por qué son iguales las respuestas de los inci sos (a) y (b)? 42. Emplee el procedimiento de la solución del ejem plo 3 para proporcionar la fórmula siguiente que relaciona logaritmos con bases diferentes a y b de un número x: loga x —

logb X

logt a

43. (a) Describa cómo usaría la graficadora para trazar la gráfica de la función definida por f(x) = log, k, donde k es una constante positiva, (b) Aplique la respuesta del inciso (a) para trazar la gráfica de la fun ción definida por f(x) = log, 5. (c) A partir de la gráfica del inciso (b) determine el dominio y el contradominio de la funciónf

36«

CAPÍTULO 6

g iiM fiQ N E S INVERSAS, EX PO NENCIALES Y LOGARITMICAS

44. (a) Describa cómo emplearía la graneadora para trazar la gráfica de la función definida por f(x) = log, (x + k), donde k es una constante positiva, (b) Aplique la respuesta del inciso (a) para trazar la gráfica de la función definida por f(x) = Iogx (x + 2). (c) A partir de la gráfica del inciso (b), determi ne el dominio y el contradominio de la función /.

45. Explique por qué se puede concluir 4 ecuaciones

la

r

¿ ¿ 'l u * * * '1 que a y b son recíprocos uno del otro,*,, rente de I.

*■[ JJÍírrf* 41f * .

► V IS IO N RETROSPECTIVA

observetf* tol ¡0

6.1

Se inició la discusión sobre funciones inversas con la definición de función uno a uno y se estable ció la prueba de la recta horizontal que determina si una función es uno a uno. También se definió función creciente y función decreciente, y se pro bó el teorema que establece que las funciones mo nótonas son uno a uno. Se continuó con la definición de la inversa de una función, también se probó el teorema que garantiza que si una fun ción / uno a uno tiene a / 'como su inversa, en tonces / “* es una función uno a uno y tiene a / como su inversa. Después se explicó cómo en contrar f~ l(x) cuando se conoce/( jc), y se demos tró que las gráficas de / y f ~ l son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x.

6.2 Después de que se establecieron las leyes de los exponentes, se mostró cómo la notación científica proporciona un modo conveniente para escribir numerales que representan números muy grandes o muy pequeños, asf como la forma para indicar el número de dígitos significativos de un numeral. Se consideraron los tres tipos de interés: simple, compuesto y compuesto continuamente. La últi ma forma de interés nos llevó a la introducción del número e. Se continuó esta discusión con una explicación intuitiva de cómo e puede aproximar se mediante la expresión + — x conforme x se incrementa sin límite. 6J

El estudio acerca de las funciones exponenciales comenzó con la definición y gráfica de la función

la o m cm r a p t

exponencial de base b. Después sí mg. : tfi función exponencial natural y su gráfica Eatj i miento exponencial fue ilustrado meda**«! i# cimiento del número de bacterias proobsi cultivo, mientras que el decrecirnealo aâ&f fue un modelo para la disnúnuaóoe&eM una pieza de equipo. Se utilizó la curnápi kktdetnimiwief.% dizaje para mostrar el crecimiento limati feJ Trócelas crecimiento de una población cundo dtfj l®.1 éwM rectángu impone un límite superior a su tanaío,pf cionó un ejemplo para el crerimientDlopBi 6.4

6.5

Se definió una función logarítmicaamlúf -i sa de una función exponencial. En patatal x* 1 función logarítmica natural es la inw»í la función exponencial natural. Se una»*1 . 1 . . j . j-h „ Ha 16, {al muestra determinar el valor de un logantmo y«®»{ *>* , , . , - J . m "*>ouio;(b)encuei ver una ecuación logarítmica. Las apna^j ^. este concepto incluyeron el empleodete # .. J * j 1 ecuaciones en -w bu grañe, mos para resolver las*(1. 14- M Las propiedades de los logaritmos se en forma de teoremas, considerando de productos, cocientes y potencias. 5tr^ estos teoremas a partir de las prop*** pondientes de los exponentes. Las e « * ^ garítmicas proporcionaron una aplK*** ‘V propiedades de los logaritmos.

6.6

Se introdujeron los logantmos base 10. Se aplicaron estos los logaritmos naturales, para <^tang^ ¡l¡/ ritmos en otras bases, y en la soluc#nes exponenciales.

Q$raficadora.

18- í(*) 1 20- Gfe) ;

H % ), 26.

R E V IS IO N DEL C APITULO 6

° nc,u*r de ,as

otro, si x es

^

e j e r c ic io s d e

r e p a s o

lo s ejercicios l a 4, dibuje la gráfica de la función y I \L¡ee laprueba de la recia horizontal para determi¡ 0 ,¡es uno a uno. Verifique la gráfica en la grafi-

%

' tfiora I 1,/W * 4 + 3x A|W s

~ 1

2. g(x) = 1 - x 3 ^

tés se presemi ,¡ 5,/fr) = x3 - 8 6. f(x ) = 5x - 10 u gráfica. Elaec 10 mediante dere -4 7./(*) = 8. f(x ) = as presentes a a x+2 '' ' x + 1 miento exponeos :ión en el valorde £»losejercicios 9 a 12, f e s una junción uno a uno. (a) la curva de apra ttíableicael contradominio d e f ( b ) D e t e r m i n e y esiento limitado E tibkcasu dominio, (c) Trace las gráficas de f /"* y cuando el medio loreciay = xenel mismo rectángulo de inspección. 11 tamaño, propi9-/U) = 9 - x 2, x Z 0 liento logistico fr/ft) » x2 - 9, x á 0 tica comolair¡'¿ %!*) * í x 2 - 1, x < -1 . E n particular 11/W = -Vx1 - 1, x 2. 1 e s la inversa . S e mostró cófl» | :aIo¡ pércidos 13 a 16, (a) muestre que f e s monótotm o y cómo re¿» Por tanto uno a uno: (b) encuentre f ~ l(x); (c) dia s aplicaciones ^ f * k* Sr4ficas de f y f~ l en el mismo sistema Meo de los logan’ &) verifique las gráficas de f y f ~ l tran las que la va ^ w se n el mismo rectángulo de inspección. x)3

14. f(x) = (x + 8 )3

tios se presenil' ^ A*) * x2 4, x ¿ 0 erando logante ‘ acias. Se i _ x 2, x £ 0 ropiedades cotfLas ecuación- ' ' ^ ejercicios 17 a 46, dibuje la gráfica de la firnCOmpryébela en la graficadora. aplicación * is comunes,c ;aritmos, & ^ etenronar k>51• >1urión de

11 ' tí*) » 21/2 ’A*) « i

30. F(x) = 5 e 'aix

32. g(x) *

_ 3

í

**1

34. (7(x) = e 1 + ]

35. /(*) * 2 In x

36. g(x) = 4 Iog2 x

37. g(x) * - j logiox

38. /(x) * 3 ln(-x)

39. f{x) =

3 - ln x 40. g(x) « ln(x + 2)

41- *(*) =

3 ln(x - 2) 42. f(x) » 2 ln x + 1

43. F(x) = - 2 e x~3 + 4 45. fix )

44. f(x) =

=

3 ln(x + 2)- 5

46. g(x) =

-ln(x - 1) + 2

- 3

¿sW/<« ejercicios 47 a 50, resuelva la ecuación para x, y o b. 47. (a) logs x = 4

(b)

48. (a) logy x = -

( b ) Iog27 81 = y

49. (a) log¿ 4 = -

(b) lnx * -2

50. (a) log¿ 256 =

(b ) lnx = j

lo g *

16 = y

En los ejercicios 51 a 54, exprese el logaritmo en tér minos de los logaritmos de x, y y z. donde las variables representan números positivos. 51. log¿,(x3>»2VF)

52. log¿( $xy z5)

53.

54. .o& ^

2

En los ejercicios 55 a 58, escriba la expresión como un solo logaritmo con coeficiente 1. 55. jlo g io y - 4 logjo x - jlogio* 56. In ¿ + 4 l n ¿ - l n 6 - 3 1 n < / 57. ln 4 + l n s + 2 1 n r + l n A - l n 3 58. log* 3 + j lofox + 3 tofo i - j lo&y - log* 2

18. g(x) * 5* 20. G(x) « 5-*

l g u j.

28. f{x) * - 2 ¿ *

29. G(x) « 4^ - 2»

33. F(x) =

~ Ix + 4 I

los

»(1

27. $(*) »

/(*) * **-2

ejercicios 5 a 8, haga lo siguiente: (a) Dibuje ler póficadef y utilice la prueba de la recta horizontal m probar que f es uno a uno; (b) encuentre f ~ l(x); Id verifique quef~l(f(x)) « x y f ( f ' l(x)) m x; (d) trace lagráficasdef, f~lyla recta y —x e n e l mismo rectángu lodeinspección y observe que las gráficas de f y / “*son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x b

36 7

22. f(x) * 3** 24. F(x) = 3 - ^ 3 26. #(*) * 2*-jr

En los ejercicios 59 a 66, encuentre el conjunto solu ción de la ecuación, y exprese los resultados con cuatro dígitos significativos. Verifique la respuesta en la grafi cadora. 59. 5* = 26

.

60 3

= 8

CAPÍTULO 6

368

FUNCIONES INVERSAS, EXPON EN CIALES Y LOGARÍTMICAS

64.

= 1 4 .8

63.

66 .

65. 2* + 2 * = 6 E n

lo s e je r c ic io s 6 7

8* 8 -

*

70,

8

en Cálculo, que 82. El interés sobre una cuerna de ahorro* * % anual com puesto continuamente Si

e* - e x _ 1

+ e* a

=

d e te r m in e

e l

8

2

tener

v a lo r d e l lo g a

68.

69.

70 . log

E n

8 log 2 38


7 1 a

7 4 ,

log7 100

e n c u e n tr e

3

42 log 3(2 x -

72.

4

e l c o n ju n to

12

3

3 ) + log (x + 3 ) = 4

73. logio* + l o g io t * - 200) - logio 4 = 5 - logio 5

2

2

75. Si ln i = ln / E n

R T /L ,

lo s e je r c ic io s 7 6 a

muestre que

i

2

u n a ju n c ió n

jo, te) rain después del

hasta $ 6 0 0 , si el interés es calculadoiWfc

pjKs del traslado? (e)¿C aametrc finalmente? IB» (el para determinar

cho d e que 60 m g están presentes atoa Ik j! el valor de k del inciso (a) trace la grifiaé/t

u n a c o n c lu s ió n .

Éáfñficade/y trace esta ainsmo rectángulo de im

t * sanen que/(í) persoi añedid t semanas despué

Determ ine algebraicamente cuánto radurá

76. Se paga un préstamo de $1 0 0 0 a una tasa de inte

dentro de

rés anual de 16% en un so lo pago al final de un

100 años a partir de este moas

tts-

año. Determine el monto total pagado si (a) se

verifique la respuesta en la graficadon.£

paga interés sim ple, (b) el interés se com pone tri mestralmente, y (c) el interés se com pone m en

ce la graficadora para estimar cuánto oeapr

sualmente.

radio. Compruebe la estimación algetnoa*

$8 0 0 0 gana interés a una tasa 12% anual, y el interés se paga al final d e año.

(01

e s una constante (a) Determine k a ¡atraer I á ■ andad pequeña se pi

e x

77. Una inversión de

10

sito d e $ 5 0 0 en una cuenta de ahorco»**^

85. Si / ( 0 m iligram os de radio están proab J pués de t años, entonces /(/) = ke I

l e ~R T /L .

9 5 , r e s u e lv a e l p r o b le m a m e d ia n

te u n m o d e lo m a te m á tic o q u e c o n te n g a p o n e n c ia l. E s c r ib a

Qiües lalectura del lerm yg, ti traslado, (b) 5 m

c o m p u e sto (a ) trimestralmente, y (k)aB nu ám ente?

x

=

= 35 + 40

% anual compuesto (a) trimestralu«* * continuamente?

s o lu

84. ¿Cuánto tiem po será necesario para que

74. log (¿ + 2) - 3 = log 3 - log

t/X

sión se duplique si se gana interés a unai*

= 2

x

/logrados es la - t e después del trasli

83 . ¿Cuánto tiem po se necesitará para que

e

c ió n d e la e c u a c ió n .

71. !og ( Lx + 3) - 2 log

jflaenor, donde la t jeJJ,(jel termómetro e

$1 000 en la cuenta al final de qb

zando un so lo depósito ahora, ¿cuál debe cantidad del depósito?

ritm o c o n c u a tr o d íg ito s s ig n ific a tiv o s .

67. log 7

de enfrian

fue el precio de adquisición de la ^ aproxim ación de miles?

62. * ‘u = 0 . 2 3 1

61. ( 2 1 . 6 ) * = 1 0 4

11

necesitará hasta que únicamente existan 5D*»

86.

10 000

+ 599*-

.üébs personas tenían la e

6

'■x&ti. (b) después de s* de 12semanas? (d) Si la

En / m inutos se tendrán presentes/!/) bace»:

^tómdanme, ¿cuántas pera ^raedad (e) Utilice la respt

Encuentre el interés para el primer año si (a) redi

cierto cultivo, donde f ( t) = fe 0* y lo * constan te, (a ) Determine k si iniculn*'

Xí seminar la asíntota hori:

túa interés sim ple, (b) el interés se com pone se

tien en 6 0

P */y trace esta recta y la j

mestralmente, y trimestralmente.

lor de k del inciso (a) trace la gráfica de/ *

de

(c)

el

interés

se

com pone

000 bacterias presentes. (b)Ca¿* 0

1

^rectángulo de inspección.

term ine algebraicamente cuántas t*#* tendrán en 15 min, y verifique la resp graficadora. (d) Emplee la graficadora f* *

de cuántos minutos la

*®*1

78. Efectúe el ejercicio 76, si el interés se com pone continuamente.

mar cuántos minutos se m x s i m U » ’

79. Realice el ejercicio 77, si el interés se compone

existan

continuamente.

200 000 bacterias. Comprad* *

ejercido 89, será de 4; ,« ^ < j m M o 9 0 ,¿ d a

«00personas, la mitad

j ^

m a c ió n algebraicamente.

contraerá la enferme*

80. Se depositan $500 en una cuenta de ahorros y

6

gana un interés durante 7 años a una tasa de %. Si no se efectúan retiros ni depósitos posterior mente, ¿cuánto habrá en la cuenta después de 7 años si (a) el interés se compone trimestralmente, y (b) el interés se compone continuamente. 81. Hace 10 años se compró una casa y fue vendida

en $100 000. Si la tasa de interés anual fue deter minada en 20% compuesta trimestralmente, ¿cuál

87 . ¿D esp ués de cuántos meses en el obrero, del ejercicio 29 de la Secad*

^

pletar 8 0 unidades por día?

88.

La población de cierta ciudad t ahora se espera que seafit), de 40» ^ y k es una constante. Si dentro ra una población de 60 . ¿ca^ B que sea de 80

000?

000

un bono del Test

I

^deim«*,__ _ ôforvo.

01

H ^ ^ ie o J !!í^ ,anUa^C D PI

A

000gana S80 «nterés

'"tenis en

REVISIÓN P E I CAPÍTULO 6

De la ley de enfriamiento d e N ew ton (véase el ejercicio 35 de la S ecció n 6 .3 ), se puede amostrar, en Cálculo, que si un term ómetro se lle vade una habitación, en la que la temperatura es de 75°, bacía el exterior, donde la temperatura e s d e 35°, y la lectura del termómetro es 65° después de 3 0 s,

entonces si /(/) grados es la lectura del termóm etro, (segundos después del traslado /(/) = 35 + 4 0 -

el interés se com pone trimestralmente, y

369

(b) el in

terés se com pone continuamente? 95. Dos movimientos sísm icos tienen el m ism o epi centro y registran magnitudes de 7.3 y 5.6 en la escala de Richter. Si y , y y 2 son respectivamente las m ediciones de la energía liberada por los dos temblores, entonces ¿cuántas veces y¡ equivale a y-?. Sugerencia: Véase el ejercicio 33 de la Sec ción 6.5. E n lo s ejercicios 96 a 98, f e s una fu n ció n exponencial, e s decir, f ( x ) « b*. Utilice las leyes de lo s exponentes

, Cuál es la lectura del termómetro (a ) 3 m in des

p a ra p ro b a r la igualdad.

pués del traslado; (b ) 5 m in d e sp u é s del trasla do; (c) 10 min después del traslado; (d ) 3 0 m in

9 6 ./( * + > ) = /( * ) - /( y )

después del traslado? (e) ¿Cuál será la lectura del termómetro finalmente? (f) U tilice la respuesta de

98. f( n x ) = [ f ( x ) Y

97. / ( * - y ) * M

la parte (e) para determinar la asíntota horizontal

E n lo s ejercicios 99 a 101, g es una fu n ció n logarítm i

de la gráfica d e / y trace esta recta y la gráfica de f

ca, esto es, g(x) = logb x. Em plee las propiedades de los

enel mismo rectángulo de inspección.

logaritm os p a ra p ro b a r la igualdad.

90. En una ciudad pequeña se propaga una epidem ia

de tal manera que / ( / ) personas han contraído la enfermedad / semanas después d e su brote, donde 10000 m =

101 . g ( x ”)

100.

= g(x) - g iy )

= * * (* )

102. Dadas

2 1)

1 + 599c

f ( x ) = ~ (e x - e~*) y g(x) = ln(r + Vx +

¿Cuántas personas ten ían la enferm edad (a ) inicialmente; (b) despu és d e sem anas, y (c) des pués de 12 sem anas? (d) Si la epidem ia continúa indefinidamente, ¿c u án ta s personas contraerán la enfermedad? (e) Utilice la respuesta del in ciso (d) para determinar la asíntota horizontal de la gráfi ca de / y trace esta recta y la gráfica d e / en el mismo rectángulo d e inspección.

6

¿Después de cuántos minutos la temperatura del cuerpo del ejercicio 89, será de 4 5 o? & En la ciudad del ejercicio 90 , ¿después de cuántas semanas 5 000 personas, la mitad de la población de la ciudad, contraerá la enfermedad? * Anteriormente, un bono del Tesoro d e Estados Unidos se vendía en $74 para ser reem bolsado 12 altos después, a su vencimiento, por $100. Deter mine la tasa de interés anual com puesta m ensualmente que se obtuvo.

$1 000

99. g(xy) = g(x) + g (y )

Una inversión de gana $ 8 0 d e interés en un año a una tasa de interés sim ple d e % anual. ¿Cuál es la tasa de interés anual que debería redi•“ar la misma cantidad de interés en un año si (a)

8

(a) Trace las gráficas d e /, g y la recta y = x en el mism o rectángulo de inspección y observe que las gráficas de / y g son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y - x. (b) Pruebe algebraica mente q u e / y g son funciones inversas. 103. (a) Utilice la respuesta del ejercico 43 de la Sec ción . , para trazar la gráfica de la función defi

66

nida por f ( x ) = log, 10. (b) A partir de la gráfica del inciso (a) determine el dominio y contradominio de la función f 104. Sea F la función definida por F(x) = log, (x - 3). (a) Determine F(10) en la calculadora, (b) Obten ga F ( ) en la calculadora usando la tecla log)0. (c) Determine F(1 000) en la calculadora em pleando la tecla lo g . (d) De las respuestas de las partes (a) a (c) ¿a qué se aproxima F(x) conforme x crece sin límite? (e) Utilice la respuesta de la parte (d) para escribir una ecuación de la recta que se sospecha es una asíntota horizontal de la grá fica de F. (f) Trace la recta del inciso (e) y la gráfica de F en el mismo rectángulo de inspec ción. Sugerencia: Un método para trazar la gráfi-

100

,0

370

CAPÍTULO 6

FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

ca de F, se tiene en las respuestas de los ejercicios 43 y 44 de Ja Sección . . (g) A partir de las gráficas del inciso (0, determine el dominio y contradominio de F.

66

105. Por observación, se determ inó que una d e las soluciones de la ecuación x 3 = 3 x es 3. (a) E xiste también una solución irracional. Para dar una

aproxim ación numérica de esta solución itjJ gráfica de y = x 3- 3 * y emplee el rastrtoy, m entó de la graficadora para determinark, lución con una aproximación de centéslnti partir de las dos soluciones de la ecuación la gráfica del inciso (a), determine losv¡^ de x para los que (b) jc 3< 3x, y (c) xJ>3'. I

71 Funciones seno y coseno '¡ toes de las funciones seno JMsero, yfunciones periódicas ¿’ V k n de las funciones seno iS?' \ ondas senoidales "*®¡on8i de las funciones seno afenómenos poriódicos ««gráficas que implican a Alones seno y coseno tangente, cotangente, ]i secante y cosecante i^T^fcidod y gráficas de las “ tangente, cotangente, secante y cosecante

■ fl I I I V

372

7.1

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS REALES

FUNCIONES

SENO Y COSENO

OBJETIVOS

1. Medir la longitud de un arco de la circunferencia unitaria. 2. Localizar el punto terminal de un arco de longitud dadadt¡¿ circunferencia unitaria. 3. Definir las funciones seno y coseno. 4. Calcular los valores exactos de las funciones seno y coseno4 I los números cuadrantales. 5. Calcular Jos valores exactos de las funciones seno y coseno í para¿ic9¿ n ,y j n . 6. Aprender y emplear la identidad pitagórica fundamental. 1

S e iniciará la d iscu sión de las funciones trigonométricas de dóm reales m ediante la introducción de la longitud de arcoenkcirau

renda unitaria. En la S e c ció n 3 .4 , se dijo que la gráfica de la ecuación x2 + y2 =

1

es la circunferencia unitaria, cu yo centro es el origen y su radioam a 1. Esta circunferencia se denota por U. Se mostrará que exiflca| correspondencia uno a uno entre las longitudes de todos los icsii U, cu y o punto inicial e s ( , ), y los elementos dei conjunto l i i j m eros reales. Im agine que la recta numérica “se enrolla aJredeár i U, de m odo que el núm ero cero d e la recta numérica real coóaiaf el punto (1, 0 ) d e U. V éase la Figura 7.1(a)-(c). La Figura 7.1(aj*| tra a U y la recta num érica tangente a U en el punto (1,0).EiihW ra 7.1 (b), la parte p ositiva d e la recta numéiica se enrolló alredoArn

10

(a)

(b)

FIGURA 7.1

7.1

FUNCIONES S IN O Y COSENO

373

U en el sentido contrarío al giro de las manecillas del reloj; y en la Fi gura 7. l(c), el lado negativo se enrolla sobre U en el sentido del giro de las manecillas del reloj. Si se considera que un arco con punto ini cial en (1, 0) tiene su punto terminal sobre U y se enrolla en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, entonces un número real positivo representa la longitud del arco; si el arco considerado se enro lla en el mismo sentido del giro de las manecillas del reloj a partir de (1,0), entonces la longitud del arco se representa con un número nega tivo. Véase la Figura 7.2. Debido a que la longitud de una circunferencia está dada por 2n r, donde r es la medida del radio, entonces, la longitud de la circunferen cia U es 2n. De aquí que un medio de la longitud de U es n, una cuar ta parte de su longitud es jn, una octava parte de su longitud es jic, y así sucesivamente. La Figura 7.3 muestra los puntos terminales de al gunos arcos sobre U, donde los arcos se enrollan en el sentido contra rio al de las manecillas del reloj a partir de (1, 0). La longitud de arco correspondiente a cada arco en términos de n, se expresa en la figura en el punto terminal y es un número positivo. La Figura 7.4 muestra los mismos puntos terminales de arcos de U que la Figura 7.3, pero en este caso, la longitud del arco se mide en el sentido del giro de las ma necillas del reloj a partir de (1, 0); por esto, la longitud de arco corres pondiente es un número negativo.

FIGURA 7.4

FIGURA 73

La longitud de un arco de U suele expresarse en términos de ti. Sin embargo, cuando se utilizan decimales es posible aproximar n me diante 3 .14 y escribir n * 3.14. Así, 1.57 i ir Ítt-0.79 y así sucesivamente.

4.71

—\ tt « - 1 .0 5

2tt « 6.28

Í tt « - 2 .3 6

&

374

CAPÍTULO 7

1

ciiNCIONES T IIOONOMÍTWCAS^f_NÚMiROS_R|ALES_ FU N V —-

►

EJEM PLO 1

L ocalización dol punto tm, d , U dada « , )o „ V C

d .„

M uestre en una figura la localización de los punto, arcos d e U , cu y o s pu nios in icia les son ( , ) y tie¡ ^ tam bién indique el cuadrante en el cual se encuentra i (a) ± n \ (b ) 2: (c ) - f w; (d ) - 3 . cl

10

S o lu c ió n

Tonsidere la Figura

J

7 .5 .

(a) D eb id o a que 0 < ± K < i * . ;l punto termiiul cuadrante. (b ) C om o 1.57 < 2 < 3 .1 4 , el punto terminal se encue*t- • gun do cuadrante. (c ) P uesto que - n < < - i j i , el punto terminal estieo d k cuadrante t uu u i uiuv. (d ) C om o - 3 .1 4 < - 3 < - 1 .5 7 , el punto terminal se eocueot tercer cuadrante. S e ha con sid erad o qu e la recta numérica real se enrolla solí; Por esto , si la longitud d e un arco a partir de (1 ,0 ) es mayor qatij m enor que - 2 n , la parte d e la recta numérica enrollada será mayti^ la longitud de U.

>


(a ) La Figura 7 .6 m uestra un arco d e longitud yit. Como - i :j n , el punto terminal de este arco seok*| + ín tra en el cuarto cuadrante. (b) La Figura 7 .7 presenta un arco d e longitud -10.34. Debido*^

2

3

10.34 = - 6 . 2 8 + ( - 4 .0 6 )

FIGURA 7.6

y

-4 .7 1 <

-4.06 <

el punto terminal d e este arco s e encuentra en el segundo DartfMl

?strac*0 9u e s¡ 1 representa la longitud de un K c o ^ ñ

nJ

e( »0), e n to n c e s t p u ed e ser cualquier número real-

,J

aS j 00rcênad a s cartesianas rectangulares del Pun,oíflí | 2 a r c o d e £/, c u y o p u n to in ic ia l e s ( , ), son fu n c io j* * 3

10

m

0n®,tuc*

D ic h a s fu n cio n e s s e denominan seno (se &

c° s e n o (s e abrevia e o s).

DEFINICIÓN

F u n c io n e s s e n o y coseno

Si t e s un núm ero real qu e representa la I°n^ lUentoitf con punto inicial ( , ) y punto terminal (x ,y b

10

sen t

y

eos t

|

7.1

FUNCIONES S IN O Y COSENO

375

El d o m in io de las fun ciones seno y co sen o e s el conjunto de nú m eros reales. Para determinar los contradom inios de estas funciones, observe qu e (x , y ) e s un punto de la circunferencia unitaria U. D e esto,

|y | £ 1

y

|'* |< I

Por tanto, el contradom inio de cada una de estas funciones es el inter valo cerrado {-4-, 1}; e& decir,

-1

£ sen t <

1

y

-1

£ cosí á

1

C o m o sen t y e o s t son coordenadas de un punto de una circunfe rencia, las fu n c io n e s se n o y c o se n o se denom inan funciones circu la re s. T am bién se les llam a funciones trigonométricas definidas

sobre núm eros reales. La F igura 7 .8 m uestra la circunferencia unitaria U , y sobre U hay m arcas para cada 0.1 de unidad. La longitud de U es 2 n * 6.28. Para cualquier núm ero real t, se puede aproximar sen t y eo s t mediante va lores aproxim ados d e las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto cu y a longitud de arco, a partir de (1, 0), es t. La figura siguiente m uestra e sto para tres valores d e t.

»76

CAPÍTULO y fUNCIONtS TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS REALES______

¡ T E J E M P L O IL U S T R A T IV O 2 La Figura 7.8 presenta los puntos de U cuyas longitudes de tirde (1,0), son / = 1, f = 2.5 y f = 4.3. El seno y el coseno derJ** de estos valores de t se aproximan mediante las coordenalas * punto, respectivamente. De la figura se obtiene: sen 1 - 0.84 sen 2.5 * 0.60 sen 4.3 * -0 .9 2

eos 1 = 0.54 eos 2.5 * -0.80 eos 4.3 * -0.40

o E J E M P L O IL U S T R A T IV O 3 FIGURA 7.9

(a) La Figura 7.9 muestra a U y un arco, para el cual t>O.qn^ su punto terminal en el primer cuadrante. Observe quesean» t son positivos. (b) En la Figura 7 . 10 hay un arco de U, para el cual / < 0, quetai punto terminal en el segundo cuadrante. En este caso seotai sitivo y eos t es negativo. Los valores exactos de las funciones seno y coseno de ciotail meros reales pueden obtenerse mediante el uso de geometría. Eapn> lar, véase la Figura 7.11 en la que se muestran arcos para loscas | es igual a 0, n y |tc. Estos valores de t se denominan número» drantales. 1 Cuando t = 0, la longitud del arco es 0, y por esto lospm»| cial y terminal son (1 ,0 ). Así, sen

0= 0

y

eos

0=1

d & lSl

j

4'

|f>H

Cuando t = jrt, el punto terminal del arco es (0,1). Por tanto. sen j j t =

1

y

e o s jji =

0

‘7.13

Cuando t = n, el punto terminal del arco es (-1,0). En consec***l sen 7t = Cuando t = sen |tc =

0

y

eos n =

-1

el punto terminal del arco es (0, -1)- A».

-1

y

eos |tc

=0

Estos resultados se resumen en la Tabla 1 Tabla 1 t

0 7* n ln

t e y)

( 1, 0) (0, 1) ( - 1, 0) (0, - 1)

sen t

0 1 0 -1

eos/

1 0

-I

0

___________ 7.1

FUNCIONES SENO Y COSENO

377

A h o ra s e p r o c e d e r á a d e te rm in a r e l se n o y el c o se n o d e jic. La octava parte d e la longitud de U e s jJt. V éase la Figura 7 .12, la cual m uestra e l punto term inal (x , y ) para un arco sobre U cuya longitud es En e ste punto x = y . S i se su stituye y por x en la ecuación de U, la cual es = 1, se tien e

« d e a re o a n o d e cad a la d a s *

F IG Ü R A 7 .1 2

Se rechaza la raíz cuadrada negativa de | porque el punto está en el primer cuadrante. C o m o x = y , se obtiene

> O, que Da

1

|u e s e n / y u s

X ~ V 2

3, q u e tiene »

Por tanto

;o sen / es p

1

s e n — 7t = 4 <2

d e cierto s mr ía . E n panb r a lo s cuate; n ú m e ro s o »

1

1

4

V2

CO ST7C = “ 7=

D e esto s resultados, y co m o U e s sim étrica con respecto a los ejes coordenados y al origen, se obtienen las coordenadas de los puntos para lo s c u a les t e s igual a |t c , |j c y ¡j7C. V éase la Figura 7.13. A sí

os puntos a s e n

— 71

anto.

s e n

— 7t

1

=

4

y V 2

— n

s e n

~ V 2 1

y V 2 1

=

4

onsecucnv"-

1

=

4

1

=

4

e o s — 71

y V 2

C O S — 71

=

4

~ V 2

7

1

4

V 2

e o s — 7C =

A fin de obtener el seno y coseno de ¿tc, se encontrará el punto ter m inal

P(x, y) d e l arco c u y a longitud e s jjt. V éase la Figura 7.14.

C om o P está sobre U, (x, y) es una solución de la ecuación x 2 + y 2 = 1. D e donde (x , - y ) tam bién e s una solución de esta ecuación y así, el punto Q(x, -y ) tam bién está sobre U. El punto Q es el punto terminal del arco cu y a longitud e s - ¿k. La longitud del arco de ta

P es 6r7C+ 7JI = 6

es \

2

tí

- -j-n = 6

3

U desde Q has

Adem ás, la longitud del arco desde P hasta R{0, 1)

43 n. C o m o en una circunferencia los arcos de igual longi-

tud subtienden cuerdas de igual longitud, la distancia | Q P | e s igual a la distancia I P R I. D e la fórmula de la distancia

HCit Ü*A7.14

378

CAPÍTULO 7

f u n c io n e s t r i g o n o m é t r i c a s p e n ú m e r o s r eales

I, | QP | 2

C o m o | QP I = I PR

=

| w T |2 ^

4y 2 3 x 2 + y 2 — 2y + 1 D e b id o a q u e (jr, y ) e s tá s o b r e U, x 1 p o r x 2 + y 2, se o b tie n e 4y 2 =

4y2 + 2y 2y2

i

+ y -

5

~

• *i *e

+ 1

2= 0 1 * 0

(2y - l)(y + 1) =

y =

2y

+ y2 _

o b ie n

0 y

= -1

C o m o ( i , y ) e s tá e n el p rim e r cu a d ra n te y > 0. Por tanto se y * j . S i s e su stitu y e \ p o r y en la ecuación de U , se lie« x2

+ (¿)2 =

I |

1

2 _ 3

X¿ = 4

V3 S e re c h a z a la ra íz c u a d ra d a n e g a tiv a d e - ya que x > 0. Aá

1

1

6

2

se n — 7i = —

COS — 71

6

V3 2

D e e sto s re su lta d o s y la s im e tría d e U , se obtienen las coordeaM los p u n to s p a ra lo s c u a le s t es igual a £ti, { n y ■£*. 7.15. P o r tanto,

V3

sen — ti = —

eos —7t =

sen — 71 =

e o s — 7C = - -

6

6

2

sen — 7t = - —

6

Vi

6

6

2

y

£

eo s — •

2

A h o ra s ea P(jc, y) el p u n to term inal del arco cuy* la F ig u ra 7 .1 6 . L a lo n g itu d del arco de udesl^ c ^ e s \ n - \ n = ítc . L a lo n g itu d d el arco de U Véa se

®(j

FIGURA 7.16

}) e s ¿B . P o r ta n to , | P R | = |

**4741

2

'

7 5

1. Como a»»1

.

7.1 FUNCIONES SENO Y COSENO

|2 «

C om o | P R uto,

| T S | 2, se tiene

x 2 + y 2 — 2y + \ = 2 S i $e su stitu y e x

«MtitUye

1

2y

-

+ y

V

3

2 por 1, y com o (x, y ) está sobre U , se obtiene

1

=

2-

V5

-2 y

*

- V

3

+

379

V3

A l sustituir j y¡3 p or y e n la ecu ación de U,

tanto, puede ton» \ se tiene

FIGURA 7.17

(y- ~2 ~) > 0. Así

x

s e

tie n e

2+

Otra v e z s e rechaza la raíz negativa ya que x > 0 . En consecuencia s e n

1n

VJ

—

=

3

—

y

2

e o s

*

—

n

=

3

A

2

L as coord en ad as d e lo s puntos para los que t e s igual a |tc , j J t y |r e , se ded u cen d e e sto s valores y d e la sim etría de U, com o se muestra en la F igura 7 .1 7 . D e m o d o que

las coordenadas è x . V éase la Figura

2 V3" se n — n = — 3 2

nGÜRA7.18 s e n

4

—

7t

=

V 3"

2

5 —

3

V3

t i

=

-7T 2

------------

cos| ji 3

= -2

4 _ COS — 7Ü = ----1

------------

3 s e n

y

3

y

CO S —

3

2 7C

=

—

2

En la F igu ra 7 .1 8 y la Tabla 2 se tienen el sen o y el coseno cuan

jya longitud« * sde P hasta 0 esde 7( 1, 0) ^

d o t e s igual a 0, 4 tc, 4ít, t 7Cy t TI- L os valores de las funciones corresp on dientes a m ú ltip los enteros de estos números se obtienen a partir de U m ediante sim etría.

i antes. - I )2+ (i

► EJEM PLO 2

T+7+1

3

Determinación de los valores exactos de las funciones seno y coseno para puntos sobre U

D eterm ine el valor para cada una de las siguientes expresiones: (a) c o s ( - J ti); (b) sen( -

17t); (c) cosO} 7t); (d) sen (-1 n).

CáHTUSB 7

gllMflQNISS TRIGONOMÉTRICAS D i NÚMEROS IH A tiS

38° Solución (a ) El p u nto so b re U para t = e stá e n e l tercer cuadra*. I sim étrico, c o n r e s p e c to al o r ig e n , al p u nto del primer c u a J para e l c u a l t = ~n. P or tanto, 3

1

¿ V

V 2

eos

(b ) El punto so b re U p ara e l q u e t = está en el segundo J drante, y e s sim é tr ic o , c o n r e s p e c to al e je y , al punto dei pnj cuadrante para e l c u a l t = |tc . D e m o d o qu e 4

— n

sen

"1

=

V3"

—

3

2 -

(c) C o m o

7

2 n + | t, e l p u n to so b re U para el que t = -t J

en e l se g u n d o cu ad ran te y e s sim é tr ic o , con respecto al ejtjl punto del prim er cuadrante para e l cu al t = ±w. En coosecuna 1 17

V3

6

2

COS — 7T =

(d ) D e b id o a q u e - 1 ti = - 2 t i + ( - j r c ) , e s un número cafcj tal y e l p u nto so b re U e s ( 0 , - 1 ) . P or tanto.

kvumaos 1 a 8, mué

mam ir los puntos la sen

v

-lie 2

=

m me inicial es

-1

(1,0 );

mbién indique el c xsnei punto terminal.

ifc

C o m o se n t y e o s t s o n la s co o rd en a d a s d e un punto sote U sig n o s d ep en d en d e l cu a d ra n te e n e l c u a l se localiza el punta W* Figura 7 .1 9 . L a T a b la 3 r e s u m e lo s resu ltad os de esta figura. Bs drante en la tab la in d ic a a q u el q u e c o n tie n e al punto terminal de lon gitu d t. S i t e s cu a lq u ier n ú m e r o r ea l, e n to n c e s com o (eos i, punto d e U y u n a e c u a c ió n d e U e s y + jc = , se tiene

2

2 1

L (i)jr

ib) ¡ir

i «i 1.23 (b) 5 i Q f w (b) - j i r l ‘»i -2

(b)

12.2

b k e je r á á o t9 a 16. e m p ’t o a 7i p a r a m o s t r a r , s o b

(sen í)2 + (eos r)2 = 1

x l- á p w o c u y a l o n g i t u d

fcpéi a p r o x i m e e l

val

E sta e c u a c ió n e s v e rd a d e ra para to d o t. En lugar de (sen t)'! . O 2» se acostu m b ra e sc r ib ir s e n guien te identidad:

Tabla 3 sen t

COS 1

Primero

+

+

Segundo

4t

Cuadrante

Tercero Cuarto

-

+

2t

y eos

2 t. Por tanto, setie#

sen 21 + eos 21 * 1

|

10. i =

i- «

13 . f =

16. t = Esta identidad s e d e n o m in a id en tid ad pitagórica fundan*01^ d o a q u e la fó rm u la d e la d ista n c ia (o b te n id a a partir del tágoras) se u tiliz ó para d e d u c ir la ecu ación x 1 + 1 ' y identidad m uestra la r e la c ió n en tre lo s valores de seno y co#** se e m p lea para d eterm in ar u n o d e e ll o s cuando el otro secón»*

- £ c*°‘ ir°36,d,t % seno

1cosí* 2

(b) c< (b) set

7.1

►

EJEM PLO 3

Aplicación d» la Identidad pitagórica fundamental

ccr cuadrante,,

1 prim er cuad¿

S i se n t = ¿ y i n

Solución

< t < n , encuentre e o s r.

D e la identidad pitagórica fundam ental

s e n 2 1 + eos* t C o m o se n / = 0 el segundo J 1 punto del pnr

FUNCIONES SENO Y COSENO

|

se tiene

(|)2 + eos21 * 1 s + eos21 — 1 eo s 2 1 = s eos t = ±

V5 3

I que r = - i q sp ed o al eje,.. n consecuencia

S e rechaza el valor p ositivo porque eo s

eos t = —

V ¡ • 3

EJERCICIOS 7.1

i núm ero cuadra

\Enlosejercicios I a 8, muestre mediante una figura la léicación de los puntos terminales de los arcos de U \cuyopunto inicial es (1,0) y tienen la longitud de arco liada; también indique el cuadrante en el que se en cuentraelpunto terminal. mnto sobre í e l punto. V'rtwl sta figura. El *\ > terminal dei ir

f < 0 ya que 4 n < t < n. A

[ 3. (a)

1.23(b)

20. (a) sen(--n)

(b) COS(-Jl)

21. (a) cos -f) K

(b) sen 4« fi

22. (a) sen n

(b) eos

(b) fir

4. (a) 3

(b) -0 .2 5

23. (a) sen n

(b) cos(-¿n)

24. (a) eos n

(b) sen(-^n)

25. (a) eos n

(b) co s(-|n )

¡Figura 7.8para mostrar, sobre la circunferencia unita-

26. (a) sen n

(b) sen (-jx )

ú U, elpunto cuya longitud de arco, a partir de ( 1,0), « i Después aproxime el valor de sen / y eos t con dos

27. (a) sen n

(b) eos jít

r de (sen fl'í

mámales.

28. (a) eos n

(b) sen - n

uto, se t#*

[f. i - 2

10. / = 3

11. r =

5.2

13. t = - 3

14. / =

-2

29. (a) cos(- |n )

(b) sen ^ ti

H / = 4.6

30. (a) sen(- i " )

(b) eos Jn

31. (a) cos ^ n

(b) sen (-jx )

32. (a) eos 47t

(b) sen 5x

8 33. (a) sen —n

(b) eos(- ~ ti)

tiene

Ifit(b) jir

(b) seni--!*)

2. (a) { n

eo s t, seo

j 1. (a)

19. (a) cos(-4 « )

5

5. (a)

7 7T(b)

—f 7r6.(a) y n

(b) —f

7. (a)

-2 (b)

12.28.(a) 10.6

(b) - 4

tt

£nlosejercicios 9 a 16. emplee una figura similar a la

15.

i*

-6.1 16. t = - 0 .8

í í los ejercicios 17 a 36, determine el valor exacto de mfunción. d d te o f ^ ; y Ir j *l +■ y S. ry i co

17- (a) sen 0 (*) co»

(b) eos n

382

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i NÚMEROS REALES

34. (a) eos ( - 7 J1)

(b) sen

n a l d e l a rc o

36. (a) sen —x

(b) sen(-^x)

E n

3 8 , d e te r m in e

lo s e je r c ic io s 3 7 y

c o n tie n e a l p u n to p u n to in ic ia l e s

te r m in a l d e l a r c o

37. (a) sen t

> (b) sen / <

e l c u a d r a n te d e

lo n g itu d

q u e

t si el

0 y eost > 0 0 y eost > 0

38. (a) sen t <

t

42. Si eos/ = - 4 y j r t <

45. Si eos t

=

y

t

(b) -1492

52.

(a) 2001

(b) -1776

y

d íg ito s

u n a

c a lc u la d o r a p ara

s ig n ijic a tiv o s ,

e l v a lo r d e

fa

=

0.7816 y0 < 1 < i. ¡

54. Encuentre eos/ si sen/ = 0.1234y0 < f
determine sen t.

1<

y yX <

(a) 1984

53. Determine sen t si eos t

< |x , encuentre eos t.

51.

p a r t i r d e l a i n f o r m a c i ó n p r o p o r c io n a d a .

encuentre sen t.

y ~ 1 71 < 1 <

44. Si sen/ = -

(b) 26.74 (b) 48.22

c u a tr o

40. Si sen / = - ¿ r y 0 < / < ^ x , determine eos t. 41. Si sen/ = -- ¡ j y x <

(a) 52 (a) 32

E n l o s e j e r c i c i o s 5 3 a 5 6 , u t i l i c e l a i d e n tid a d p u a t A

0 y eos/< 0

39. Si eos t != | y 0 < f <

al p ^ . N ( |, 0| VBll 1

c o n tie n e

in ic ia l e s

49. 50.

fu n d a m e n ta l

0 y eost < 0

(b) sen t >

c u y o p u n to

d e a r c o s e p r o p o r c io n a .

(l, 0).

43. Si eos/=

l o s e j e r c i c i o s 4 9 a 5 2 , u t i l i c e u n a c a lc u lo ^

d e te r m in a r e l c u a d r a n te q u e

(b) cosí-^n)

K)

35. (a) cos(-

E n

<

encuentre sen t. 2 n ,

<

n ,

determine eos /. encuentre sen /.

56. Encuentre sen / si eos t = - 0.8245 y-* <«t! E n

lo s

h (t

) =

e je r c ic io s

5 7

y

-¿ t y

=

^ t.

< p (t)

58,

/(/) = eos t,

C a l c u l e e l v a lo r

g(t)

=t

délajm\

c o m p u e s ta .

46. Si eos t = - j y - x < 47. Si sen t = 0 y j x <

t

t

<

-

jit,

determine sen t.

57. (a) f ( h { i r ) ) (c )

< h c, encuentre eos t.

f(h (4 7 r ))

58. (a) g ( h { 2 T r ) ) (c ) g ( h ( 3-7 t))

48. Si eos / = Oyx < / < 2x, determine sen t.

(b)

g { < f> (2 ir ))

(d )

g (< f)(5 ir ))

(b) /(0(3x)) (d )

f{ < t> { - ir ) )

7.2 VALORES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO, Y FUNCIONES PERIÓDICAS O B JETIVO S

1. A p r o x im a r lo s v a lo r e s d e la s fu n cio n es seno y coseno a • c a lc u la d o r a . 2 . D e fin ir u n a fu n c ió n p e r ió d ic a . 3 . A p r e n d e r q u e la s fu n c io n e s se n o y coseno son periódicas

.

2

p e r ío d o n. 4. E n c o n tr a r v a lo r e s d e las fu n cio n e s seno y coseno empl c o n c e p to d e p e r io d ic id a d . ^ 5. E n c o n tr a r p e r io d o s d e fu n c io n e s definidas por senflO . R e so lv e r e n u n c ia d o s d e p r o b le m a s qu e tienen función® p e r ió d ic a s c o m o m o d e lo s m atem áticos. ^ 7. E m p le a r p o lin o m io s d e T a y lo r p ara encontrar valo fu n c io n e s s e n o y c o se n o .

J i

6

j

VALORES DI LAS FUNCIONES SENO Y COSENO Y FUNCIONES PERIODICAS

363

A fin de encontrar los valores de las funciones seno y coseno de núme ros reales se puede emplear una calculadora. Además de las teclas para seno y coseno, la calculadora puede usarse en el modo de grados o ra dianes. Cuando se obtienen valores de las funciones trigonométricas de números reales, la calculadora podría utilizarse en el modo de radia nes. El uso de la palabra radián para este propósito se hará evidente después de estudiar la Sección 8.1. El número de dígitos significativos mostrados para un valor de una función trigonométrica, variará de acuerdo con la calculadora empleada. En esta obra, cuando se obtiene un valor de una función trigonométrica en una calculadora, se redon dea el número a cuatro dígitos significativos.

>


Para evaluar e o s 1.384 en una calculadora, primero se activa el modo de radianes. S i se muestran diez dígitos significativos, se leerá e o s 1.384 » 0 .1857119105

Al redondear el resultado a cuatro dígitos significativos se obtiene <

e o s 1.384 * 0 .1 8 5 7

► EJEM PLO 1

A p r o x i m a c i ó n d o lo s v a lo r o s d o la s f u n c io n o s sono y

c o s e n o o n u n a c a lc u la d o r a

Aproxime a cuatro dígitos significativos cada una de las siguientes ex presiones: (a)

sen 1.072

(b )

sen,-^71

(c) cosí

(d)

cos-^Jt

S o lu c ió n Active el modo de radianes de la calculadora. Los valo res introducidos en la calculadora se redondearon a cuatro dígitos sig nificativos.

sen 1.072 « 0.8782 (c) eos 1 f* 0.5403 (a )

(b ) (d )

sen tir eos ^ n

* 0 .6 2 3 5 0 .2 5 8 8

<

En la introducción de este capítulo, se mencionó la importancia de la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas para el estudio del Cálculo, lo cual motivó las definiciones de sen t y eos t como coor denadas de un punto de la circunferencia unitaria. Como la longitud de la circunferencia unitaria es 2ic, dos arcos cuyo punto inicial es ( 1, 0) y que difieren en su longitud por un múlti plo entero de 2n tienen el mismo punto terminal de U. Por ejemplo, véase la Figura 7.20. La Figura 7.20(a) muestra un arco de U cuya longitud es de jff. En la Figura 7.20(b) se presenta un arco de longitud I ft = + 2n, y este arco tiene el mismo punto terminal que el ante-

384

CAPÍTULO 7

«IM CIONIS TRIGONOMÉTRICAS D I NÚM1RQS

rior. E n la F ig u ra 7 .2 0 (c ) s e m uestra un arco de ( - 1 ) ( 2 n ), y ta m b ién e s te a r c o tien e e l m ism ^ dos an teriores. E n realid ad , cu alq u ier aren «o-? ^ Jnt0 ten ------para uto epunto c u a lq u ier arco l cual i ji + k ( 2 n )

* G

i*«

z

. e l m is m o p u n to te rm in a l q u e lo s anteriores. Debido lfcl d a s d e l pd ue nl to te rm d eel q a rco n o°dtee nl aa longitud arco, s einina lfier u e determinan el seno y £ s e n ( i n + k • 2 t 0 = se n ^ T i d o n d e k e s c u a lq u ie r en tero.

>

E J E M P L O IL U S T R A T I V O 2

s e n I- 77- _ V 3 3

I

I

COS - 7T = i.

2

«en j t t ~ se n í - 7r + 2

tt

COS ~ 7T = COsíj» .

V | o 13 se n 3 77- — Sen

77- + 47rJ

13

sT 77= cos(i,r‘ b

V J

9 se n l — ^ 7rJ = s e n í ^ i r —

27r j

cosí - - i r j = cos|-i

= V3 2 y a s í su c e siv a m e n te .

• l c 7 VtK® C o m o un a r co d e lo n g itu d t + k ■ 2 n , donde

m o p u n to term in al q u e e l a r co d e lon gitu d t, se I c io n e s ( 1 ) s o n v á lid a s s i s e su stitu y e

p or cua^^luCf _

j c o n tin u a c ió n s e e s ta b le c e e s te resu lta d o c o m o un

TEOREMA 1 S i t e s un n ú m er o real y k e s cu alq u ier entero, s e n ( / + k • 2 it ) = s e n t

y

c0* ^

]

i

If ir i v a l o r e s DE LAS FUNCIONES SINO Y COSENO Y FUNCIONES WWÓPiCAS

M8

La propiedad del seno y coseno dada en el Teorema 1 se denomi na periodicidad, la cual se define ahora formalmente.

DEFINICIÓN

Función periódica

Se dice que una función / es periódica si existe un número real positivo p tal que para cualquier x del dominio de/, se tiene que x + p pertenece también al dominio d e/, y /(* + P) = /(*) Al más pequeño de estos números p se le denomina periodo de/.

Compare esta definición y el Teorema 1. Puede mostrarse que 2it es el número positivo p más pequeño que tiene la propiedad de que sen(f + p) = sen t y eos(f + p) = eos /, y por tanto, el seno y el coseno son funciones periódicas con periodo 2n.

EJEM PLO 2

A p lic a c ió n d e l c o n c e p to d e p e r io d ic id a d p a r a e n c o n t r a r v a lo r e s d o la s f u n c io n e s s e n o y coseno

Utilice los valores de sen t y eos t cuando 0 £ / < 2n y la peri odicidad de estas funciones, con el propósito de determinar cada una de las siguientes expresiones: (a ) sen -JJtc; (b ) c o s ( - | t c ) ; (c) sen y n.

Solución (a) s e n t i r = s e n ( | 7r 4 - 2 • 2 ir) = sen \ tt

1 (b) cos(

• ^ g ir) = cos[f ir + ( “ 1) 2ir] = eos i ir _V 3 2

(c) sen y ir = sen(| ir + 3 • 27r) = sen | ir

| H

a

386

CAPÍTULO

,

, UHCON.S r .O O N O ^ .C A S M * « « * » * » -------

A nartir del hecho de que « n o y coseno tienen demostrarse que las funciones definidas por « n cualquier número red, son pen 6d.cas. Esto « ejemplo ilustrativo.

>


(a )

Sea/ la función definida por /(/) = sen 4/ Como el seno tiene periodo 2w,

f(t)

~ sen(4r + 2ir)

= sen[4(/ + \ i r ) ]

= f(? + i * ) A sí,/es periódica con periodo ~n. (b) Sea g la función definida por

g(t) = e o s \t Debido a que el coseno tiene periodo 2n,

g(t) = c o s (|r + 2 ir) — co s[| (t + Ó7r)]

= g(t + Ó7T) Por tanto, g es periódica con periodo 6n. Para cada una de las funciones del siguiente ejemplo periodo es un número racional en lugar de un múltiplo de

>


(a) S ea/la función definida por /(O = sen 6nt Como el seno tiene periodo 2n, f (t )

=

sen(Ó77Y +

2 ‘í t )

= sen[Ó7r(í + | | j

= f(t + i) Por tanto,/es periódica con periodo j.

J

y2

VALORES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO Y FUNCIONES PERIÓDICAS

387

(b) Sea g la función definida por g (t) -

5 cot \ irt

Debido a que la cotangente tiene período n, g (t) = 5 COt(f 777 + ir)

= 5 c o t[ ( f ir ( / + |) ]

= 8(1 + i) Así, g es periódica con período j.

4

Ahora se presentarán algunas aplicaciones de las funciones seno y coseno en relación con fenómenos que se repiten periódicamente. Otras aplicaciones se proporcionarán en la Sección 7.4.

^

EJEM PLO 3

S o lu c ió n d e l e n u n c ia d o tío u n p r o b le m a q u e H e n o u n a f u n c ió n p e r ió d ic a c o m o m o d e lo m a te m á tic o

La fuerza electromotriz para un circuito eléctrico con un generador simplificado es E(t) volts a los t segundos donde E (t) = 50 sen 12Ont

(a) Determine el período de E. Encuentre la fuerza electromotriz para (b) 0.02 s y (c) 0.2 s.

Solución (a) Como el seno tiene período 2tc, E ( t) = 50sen(1207 rt + 2 ir) = 5 0 se n [1 2 0 7 r (í + ¿ ) ]

= E (t + ¿ ) C on clu sión :

El período de E es

(b) La fuerza electrom otriz a los 0.0 2 s e s £*(0.02) volts, y £ ( 0 . 0 2 ) = 5 0 sen 1 2 0 ir (0 .0 2 ) = 5 0 sen 2 .4 ir = 5 0 se n (0 .4 ír + 2ir) = 5 0 sen 0 .4 tt = 5 0 (0 .9 5 1 1 ) ¿ 4 7 .5 5

Conclusión:

La fuerza electromotriz a los 0.0 2 s es 47.55volts.

388

capítulo

7^ y N C iO N J * ^ ^

D i WUMEgos «

ales

(c) La fuerza electromotriz a los 0.2 s es £(0.2) V0H| £ (0 .2 ) = 50 sen 1207r(0.2) = 50 sen 24 ir = 50 sen[0 + I2(2ir)]

38 50 sen 0 = 0 Conclusión;

La fuerza electromotriz a los 0.2 ses

► E JE M P L O 4

S o lu c ió n d o I o n u m lo d o d o

0volts

un

P * rfó d k 0 'o r n c Z ! ?

matemático

Una compañía que vende abrigos para hombres inicia su aSofaJ l de julio. Para el año fiscal que inicia el l de julio de 1992 Ihé* por ventas estuvo dada por P (t) = 20 000( l

eos g irt)

0 < f < 36

donde P(t ) dólares fue la utilidad mensual después de t meses
Solución (a) Como el coseno tiene periodo 2n, P (i) = 20 000[ 1 - eos ( \ i r t + 2ir)]

=

20 000[1

- eos ¿w(f +

12)]

= P (t + 12) Conclusión: El periodo de P es 12.

(b)-(g) La utilidad mensual en el 1 de octubre de 1992, viembre de 1992, el 1 de diciembre de 1992, el 1 de enero 1 de abril de 1993 y 1 de julio de 1993, fue de P(3). W P( 9) y P(12) dólares respectivamente. (b)

P (3) =

20 000(1 -

c o s ^ tt)

= 20 000(1 - 0 ) = 20 000 Conclusión: En el de $20000.

(c)

P ( 4) =

1 de octubre de 1992

20 000(1 -

.....

la utilidad^

eos §7r)

= 20 000(1 | | i) = 30 OOO

Conclusión; En el fue de $30 000.

1 de noviembre de ísw

,a

VALORSSDE LAS FUNCIONES SENO Y COSINO Y FUNCIONES PERIÓDICAS (d ) P ( 5 ) = 2 0 0 0 0 (1 -

20 0001 1

389

c o s |t t )

+ $

3 7 321 C o n clu sió n :

En el 1 de diciem bre de 1992 la utilidad mensual

fue de $ 3 7 321. (e ) P (6 ) = 2 0 0 0 0 (1 -

eos

ir)

= 20 000(1 + 1) = 4 0 000 C o n clu sió n :

En el 1 de enero de 1993 la utilidad fue de $40 000.

(f) P ( 9 ) = 2 0 0 0 0 (1 - c o s | t t )

= 20 000(1 - 0 ) = 20 000 C o n c lu s ió n :

En el 1 de abril de 1993 la utilidad fue de $ 2 0 000.

(g)P (\2 ) = 2 0 0 0 0 (1 — e o s 2ir) = 20 000(1 - 1) =

0

C o n c lu sió n :

En el 1 de ju lio de 1993 no hubo utilidad.

4

En C álcu lo, aprenderá varios m étodos para aproximar, mediante p olin om ios, una función específica. U no de los m étodos más em plea d os se atribuye al m atem ático inglés B ro o k T a y lo r (1 685-1731). Los p olin om ios d e T aylor para sen o y cosen o son

M

i1 I9 /3 t5 sen t = t — ---- 4- ---- — — -4- — — — 11! 3! 5! 7! 9!

. + Rn

(2)

y t2 , t4 t6 , /8 M ■■ — 1"■ 4" ■" e o s t = 1 — —■n 2! 4! 6! 8!

/ I0 10!

donde R n denota el residuo después d e n términos, y 2! = 2 • 1, 3! = 3 2 - 1 ,4 ! = 4 • 3 - 2 * l , y a s í sucesivam ente. Una aproxim ación del seno o del c o se n o d e un núm ero esp ecífico t puede determinarse conside rando térm inos del correspondiente p olinom io de Taylor; el error que resulta e s m enor que el valor absoluto del siguiente término del poli nom io.

> E J E M P L O IL U S T R A T IV O 5 áx Si se em plea el polin om io (3 ) para calcular el valor de eos 1 con cuatro dígitos sign ificativos, se obtiene

390

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES^

1 J 1 1 COSl = , - 2 ? + 4 T ~ 6 ? + §T

/

10 !

Ú

I¥

*

+ . • • + R.

0

= 1 - 0.5 + 0.04167 - 0.00139 + 0.00002 - 0.0000003 +

(i ■

JU*

_ ip íf Al tomar los pnm eros cinco términos para aproximar el valor de^.I <^ 1 [ error es m enor que el valor absoluto del sexto término. Así,elJJ menor que 0.0000003. Al sum ar los primeros cinco ténniDos aeckf ^ lt) ne 0.54030. Si se redondea este valor a cuatro dígitos signjftc^jf ^ * tiene _________ * . íi )

wj j Üí)

cos 1 * 0.5403

¡t)

//i

► EJEM PLO 5

Dotorminaclón do un valor dt la funden a p artir do su polinomio do Toyior

3!

£ Ü ¿ 5 _ (OT5V 5! 7!

(0.75)’ 9!

¿_c 0.42188 , 0.23730 0.13348 = 0.75 — — --------- 1-- 7TT-------- — — + 6 120

(V1 (4) $ (i)

(W

(b) (d)

| (dtfey*) {d)í

A l sustituir t por 0.75 en (2), se tiene

sen 0.75 = 0.75 -

(d

(d)

Emplee el polinomio de Taylor (2) para determinar el valor den con cuatro dígitos significativos.

Solución

(P

..

0.07508 5040

K i sal-8*)

W c

' (i)b(-7í)

(d) o

¿ k q rtm 15 a 20, e k362880 k

= 0.75 - 0.07031 + 0.00198 - 0.00003 + 0.0000002 - ..A Idaiíi

Si se toman los prim eros cuatro términos, el error es 0.0000002. A l sum ar estos cuatro términos se obtiene 0.68164,jí ' dondear a cuatro dígitos significativos se tiene

njf sen 0.75 » 0.6816

EJERCICIOS 7.2 En los ejercicios 1 a 6, utilice una calculadora para de terminar el valor de la junción con cuatro dígitos signi ficativos.

1. (a) sen 0.34 (c) sen 2.85

(b) eos 0.34 (d) eos 2.85

2. (a) sen 1.27 (c) sen 1.72

(b) eos 1.27 (d) eos 1.72

3. (a) sen 4.29 (c) sen(-1.36)

(b) eos 4.29 (d) eos (-1.36)

4. (a) sen 5.08 (c) sen(-2.69)

(b) eos 5.08 (d) cos(-2.69)

5. (a) sen y¡-n

(b) costil

6.

^lOfj

(c) sen 17i

(d) eos I*

(a) sen | ti

(b) eos

t e

(c) sen | Ti

(d) eos y *

K

I, En los ejercicios 7 a 14, emplee lop funciones seno y coseno, asi como los

f e

- *

^ N i* **«o, SiS*¡fi

22.

24. s ^ 5

7.2 VALORES DE LAS FUNCIONES SENO Y CO SiNO Y FUNCIONES PEMÓDICAS . n< Jo» *

t < 2W, pora determinar el valor de

l <0

y *

(b )

sen

i

(b)

L » *f I

(b)

(c) s e n ( - ín )

(d)

(c) sen 8k

eos IO71

cos(—“ Ti) (d) eos |tc

(b)

112. (a) se n tii

I (c) scn|it I l i (a) s c n (-|w ) (c) s e n ( - y f l)

[ 14. (a) sen(-8íi) W (c) sen(-7ít)

i £nlo s e j e r c i c i o s Unció n

15 a

(b)

cos(

- | tc)

(d)

cos(

- | tc)

(b)

cos ( -I O tc)

(d)

cos(-97C)

20,

e n c u e n tr e

30. Realice el ejercicio 29 si /(/) = 2 sen 3 000/. 31. Un peso suspendido de un resorte vibra vertical mente, y /(/) centímetros es la distancia dirigida del peso a partir de su posición central (el origen) a los / segundos, donde el sentido positivo es hacia arri ba. S i/(0 = 2 sen 3/, (a) determine el periodo de/, y encuentre la posición del peso a los (b) 0s; (c) 1 s; (d) 2 s y (e) 5 s. e l p e r io d o

W cos¡ f % (a) eos

(b) 4 sen 4 /

ft (c) sen7/

(d) i eos i r

la

32. Realice el ejercicio 31 si /(/) =

6eos 4t.

33. Una onda producida por un sonido simple tiene la ecuación P{t) = 0.02 sen 1 500rc/, donde P{t) di nas por centímetro cuadrado es la diferencia entre la presión atmosférica y la presión del aire en el tímpano a los / segundos, (a) Determine el periodo de P. Encuentre la diferencia entre la presión at mosférica y la presión del aire en el tímpano a los (b) \ s; (c) { s; (d) j s y (e) | s.

(b) sen y/

(a) 4eos 7/

(d) j sen | nt

I (c) eos Ant H B U -íi)

d e

(b) 3 eos 61 (d) 2 sen j t

(a) sen 3/ r¡j* |

29. Una corriente alterna se describe mediante l(t) = 10 sen 2 800*, donde /(r) amperes es la corriente a los t segundos, (a) Determine el periodo de /. Encuentre la corriente a los (b) 0.001 s; (c) 0.003 s; (d) 0.005 s y (e) 0.01 s.

(b) COSyTC

11. (a) * n ( - | * )

I

28. Realice el ejercicio 27 si E(t) = 40 sen 120tu.

cos(-|w) (d) ~os(— Tt) (b)

i (c) scní-771) I

cos(-|n)

(d) c o s (-|k )

| n (a) i c n ( - | w)

m

27. En un circuito eléctrico la fuerza electromotriz es E(t) volts a los / segundos, donde E(t) = 2 eos 50 ti /. (a) Determine el periodo de E. Encuentre la fuerza electromotriz a los (b) 0.02 s; (c) 0.03 s; (d) 0.04 s y (e) 0.06 s.

(c) í* r*

I

+ Í.

cos —it

(d) cos-í-n

[ J. (>)

26. cos(-1.27)

En los ejercicios 27 a 34, las junciones son modelos matemáticos que describen fenómenos periódicos, dis cutidos en la Sección 7.4. Escriba una conclusión.

eos Jn

(d) COSyrt

sen ■

(e)s

25. sen(-0.81)

391

34. Haga el ejercicio 33 si /*(/) = 0.003 sen 1 800rt/.

3sen 8/

(b) eos {(

35. La función H del ejemplo 6 de la Sección 4.2 está definida por

(c) 4eos 3iu

(d) sen | nt

(>) 10(2- eos jn/)

(b) 6 + sen ít(l + 0

■*■(•) 3 + 4cosJi(i + /)

(b) 3(4 - sen j

tu)

fcrrII ■*. Enlos ejercicios 2 1 a 2 6 , u t i l i c e e l p o l i n o m i o F® Taylor (1) o (2) p a r a e n c o n t r a r e l v a l o r d e concuatro dígitos s i g n i f i c a t i v o s .

1coi0.75

22. eos 2.39

1«*»4.26

24. sen 5.73

H(x) « [ | | - | Muestre que H es periódica con periodo 1.

d e la

36. Realice el ejercicio 35 para la función G del ejerci cio 41 de la Sección 4.2, definida por ( /( * ) *= x - | * J

37. Explique por qué una función periódica no puede ser uno a uno.

392

CAPÍTULO 7

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DI NÚMKROS REALES

7 .3

G R Á F IC A S D E L A S F U N C I O N E S S E N O Y C O S E N O Y D E O T R A S O N D A S S E N O ID A L E S O BJETIVO S

1. Obtener la gráfica de la fundón seno. 2. Obtener la gráfica de la función coseno. 3. Determinar valores aproximados de las funciones se coseno m ediante el trazo de curvas senoidales y 4. Determinar valores aproximados de t si se conoce sen? mediante el trazo de curvas senoidales y cosenoidafes ^ 5. Aprender que el periodo de una fundón de la forma seni; , 2n eos bt es -— -. IM 6. Definir la am plitud de una onda senoidal. 7. Definir el defasamiento de una onda senoidal. 8. Dibujar ondas senoidales.

En discusiones anteriores sobre gráficas, se denotaron los ejes nados mediante los símbolos x y y. Sin embargo, al estudiarla^» nes trigonométricas de números reales, x y y se emplearonpni coordenadas del punto terminal del arco de longitud t de lacné , rencia unitaria U. Por tanto, en este capítulo donde se discuteskp fieas de las funciones trigonométricas, se denotará al eje horizoaalpn al eje vertical por/(f)- Frecuentemente conviene marcar soted? los puntos correspondientes a múltiplos racionales de n. EnlifipJ 7.21 se muestran estas marcas teniendo en consideración ji»3.M m

FIGURA 7.21 La periodicidad de las funciones seno y coseno deseni^ pe importante en la obtención de las gráficas de estas considerará primero la gráfica de la función seno. Sea f(t) - sen t

3 GRÁFICAS P I

—

;

las f u n c i o n k s s e n o y c o s e n o y d e o t r a s o n d a s s i n o i d a l i »

'O d o r**1 sen / va de ^ ¡c rS S S ^ -

0a 1 1 aO Oa-1 -1 aO

ina* J*a2*

Tabla 2

sen/ 0 I 1 -n ■4 l| ■ -ir

1 1 1 7i

■ v

t

sen t 1

5 -7T 4 3 - 7r 2 7 -7T 4

-l

2tt

0

V2

393

Debido a que la función seno es periódica con periodo 2K, es suficien te determinar la porción de la gráfica para 0 £ t £ 2 n . Después se repe tirá esta porción en intervalos de longitud 2n a lo largo del eje t. Como -1 <, sen t <, 1, el valor máximo que sen / puede alcanzar es 1, y el mí nimo, -1 . La Tabla 1 resume el comportamiento de sen t, en cada uno de los cuatro cuadrantes, conforme t crece de 0 a 2n. A continuación se localizarán algunos puntos específicos de la gráfica en el intervalo [0, 2n]. La Tabla 2 contiene los valores de sen t para cada | j t de unidad, mientras que la Figura 2 muestra los puntos cuyas coordenadas son los pares de números (/, sen t) dados en la ta bla. En Cálculo se demuestra que la función seno es continua, lo cual significa que no tiene “roturas” en su gráfica. Por tanto, se pueden unir los puntos de la Figura 7.22 con una curva para obtener la gráfica mostrada en la Figura 7.23. A fin de lograr una mejor exactitud de la gráfica pueden graficarse puntos para los cuales t es igual a y |tc , y así sucesivamente. También puede emplearse una calculado ra para obtener otros puntos.

1 V2

0

FIGURA 7.23 Ahora que se tiene la porción de la gráfica para el intervalo [0,2 jc], esta porción se repite para cada intervalo de longitud 2it a lo largo del eje t : [2tc, 4 n], [4tc, 6tc], [-27C, 0], [-4tc, -2n ], y así de manera sucesi va. La Figura 7.24 muestra la gráfica completa; ésta es continua inde finidamente a la izquierda y hacia la derecha, para cualquier número real t. A esta gráfica se le llama curva senoidal, también se le denomi na onda senoidal. A la porción de laográfica correspondiente a un pe riodo se le llama cielo. FIGURA7.22

/(O

= sen t

FIGURA 7.24

394

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D I NÚMEROS REALES

Debido a que los ceros de la función seno son los valor», los que la gráfica corta al eje t, entonces ellos son t = kn,k$ 7 De forma semejante a la descrita, puede obtenerse la vanead función coseno, denominada curva cosenoidal. Sea /( /) = eos t Como el periodo del coseno es 2n , se considera primero el 1 miento de eos t para t € [0, 2n], según se resume en la TabU?| m

Tabla 3 Conforme t se incrementa de

H— I—►i

0a jn

lit

jn a n n a jn

FIGURA 7.25

jn a 2 n

ttCURA 7.26

eos i va de

laO 0 a -1 -1 aO Oal

La Tabla 4 presenta valores de eos t para cada ¿Jt de umUst intervalo [0, 2tc]; la Figura 7.25 muestra los puntos cuyas coonbu »■■■■■■■■ ■ son los pares de números (/, eos /). Como la función cosenoa « I nua, se unen los puntos para conseguir la curva de la Figura711K repetir esta porción de la gráfica para cada intervalo del ge rdemu t | tud 2n, se obtiene la Figura 7.27. Al igual que con el seno, puedanI \ ^ "7* fícarse puntos adicionales mediante los valores exactos del comm® v ✓ tomar los valores de una calculadora

Tabla 4

f ( t) = eos t

glÁ f,CAS

D i LAS FUNCIONES SENO Y COSENO Y DE OTRAS ONDAS SENOIDALES

395

Las coordenadas t de los puntos en los que la gráfica corta al eje í son los ceros de la función coseno. Éstos son / = ^ 7C + ¡cu, k € Z Observe que la gráfica del seno es simétrica con respecto al ori gen, mientras que la gráfica del coseno lo es con respecto al eje f(t). Estas propiedades de simetría se deducen de las identidades (cosí, « en ')

sen(-f) = -sen t

(1)

eos (-/) = eos í

(2)

\ \ ( 1. 0)

« e o s M ) . s e n (-r)

figura 7.28

unidad ene coordenada:, eno es conúgura 7.26,Mj Ije í de loiigh

A fin de justificar estas identidades refiérase a la Figura 7.28. Ob serve que com o los puntos P(eos /, sen t) y P(cos(-í), sen(-f)) son si métricos con respecto al eje jc, entonces se obtienen (1) y (2). De (1) se puede concluir que el seno es una función impar, y de (2) se deduce que el coseno es una función par. Note que el seno y coseno tienen la misma forma. En realidad, la gráfica del coseno puede obtenerse mediante una traslación horizon tal, de unidades a la izquierda, de la gráfica del seno. Por esto, la gráfica del coseno también se conoce como onda senoidal, y la por ción de la gráfica correspondiente a un periodo es un ciclo. Las gráficas del seno y coseno, trazadas en la graficadora, pueden emplearse para aproximar valores de estas funciones.

>


, pueden p

;1 cosenooáj

Io-2*] por [ - 2, 2]

Se desea encontrar el valor de eos 1.36 con tres dígitos significativos mediante la graficadora. La Figura 7.29 muestra la curva cosenoidal en el rectángulo de inspección de [0, 2tc] por [-2, 2]. Al emplear el ras treo y aumento de la graficadora se obtiene

= eos i ttG U m 7.29

eos 1.36 = 0.209

<

También se pueden utilizar las curvas senoidal y cosenoidal en la graficadora para aproximar valores de t si se conocen sen t o eos t.

>


Suponga que se desea determinar, con tres dígitos significativos, valo res de t en el intervalo [0, 27t] para los que sen / = -0 .6 8 8

í 'y w 1 ; 2*2!

La Figura 7.30 muestra la curva senoidal y la recta g(í) = -0.688 en el rectángulo de inspección de [0, 2n] por [-2, 2]. Observe que la recta intersecta a la curva senoidal en dos puntos dentro del intervalo [0, 2tc]. Al utilizar el rastreo y el aumento de la graficadora se obtiene sen 3.90

0 .6 8 8

sen 5.52 = -0.688

396

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i WÚMiROS REALES

Otras ondas senoidales se obtienen de las fu • diante las ecuaciones de la forma nc,oncs ^ /(/) = o sen b(t - c)

f ( t ) * flcos¿7(r - c)

[-2*1,2nJ p o r [ - 2 ,2 ] F\t) » s e n /

(•)

donde a, b y c son números reales, a * 0 y b * Q ^ f los valores de las constantes a , b y c afectan la form ***' dal definida por estas ecuaciones, se considerarán ca La función definida por esPeca¡<, /( /) = a sen t es el caso especial de (3) donde c = 0 y b = 1. Cuando origina la gráfica de (5) al expandir verticalmente la curíi esto debido al factor. La ordenada de un punto de la veces la ordenada correspondiente de la curva senoidal

> [-271,271] p o r [ - 6 ,6 ]


La Figura 7.31 (a)-(c) muestra la gráfica de las funciones

G(t) = 5 sen t

(b)

F(t) = sen t

G (t) = 5 sen t

H(t) = 2 sen t

Observe que las ordenadas de las gráficas de G y H son, respes* te, 5 y 2 veces las ordenadas correspondientes de la gráficadef Considere otra vez la ecuación (5). Como -1 £ sen t £ 1 el valor máximo d e/( /) es | a | , y el valor mínimo es -I* !• ro | a | se denomina am plitud de la onda senoidal.

[-271, 2ti] p o r [ - 3 ,3 ]

m

“ 2 sen t

(C)

EJEM PLO IL U S T R A T IV O ^

FIGURA 7.31 Suponga que se desea dibujar la gráfica de g(Q = 3 sen t

t

"i

La amplitud de la gráfica es 3, y cada o r d e n a d a es correspondiente de la gráfica de/(/) = seI¡ l' gris. A| fica de /(O = sen t se muestra mediante la cü oti e ^ las ordenadas de esta curva por 3, se obtienen va requerida.

i]

GRÁFICAS de las f u n c io n e s s e n o y c o s e n o y de OTRAS ONDAS SENOIDALES

397

/(O

La discusión relativa a la ecuación (5) también se aplica a las grá ficas de las funciones definidas por una ecuación de la forma /(O = a cost

(6)

Si a < 0 en (5) o (6), las ordenadas de los puntos de sus gráficas son los negativos de las ordenadas correspondientes de las gráficas d e /(O = | a | sen t o f{t) = | a | eos t, respectivamente.

► EJEM PLO 1

Dibulo do ondas sonolda/os

Dibuje las ondas senoidales definidas por las ecuaciones siguientes y veri fique las gráficas en una graficadora: (a)f(t) = -2 eos f; (b)/(/) = jcosr.

Solución (a) La ecuación f ( t ) = - 2 eos t es de la forma (6) donde a = -2. La amplitud de la gráfica es | —2 | = 2 . Cada ordenada de la gráfica es - 2 veces la ordenada correspondiente de la gráfica de g(t) - eos t. La curva pedida se muestra en la Figura 7.33, donde la gráfica de g(t) = eos t se indica con la curva gris. m

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS P1 NÚMEROS REALES (b) La gráfica de la función definida p o r /(,) « I c o , , , , tud de 4 Cada ordenada de la gráfica es la mitad de i * correspondiente de la gráfica de g(r) = co,,. U muestra la curva requerida, donde la curva gns te«*, g(t) SE C O S t.

m

La graficadora verifica las gráficas de las figuras 7.33y7J4 Considere ahora una ecuación de la forma /(O = sen¿tf Esta función es el caso especial de/ ( / ) = a sen b(t - c) donden y a = 1. Como la función seno tiene periodo 2x,

/( f) = sen(¿?í -I- 2tt) 2tt

— sen

~b 2ir Por ta n to ,/e s una función periódica, y como, por definíais do es positivo, éste es 2tc/| b | . El mismo argumentoscipv función definida por f ( t ) = eos bt. Este resultado se es®#* un teorema.

teorema

1

El período P de una función periódica definida p°r /(O = sen bt

o

donde 6 * 0 , está dado por 21 n P i

/ ( / ) = eos bt

7 3 GRÁFICAS PE LAS FUNCIONES SIN O Y COSENO Y DE OTRAS ONDAS SENOIDALES___ 399

>


Del Teorema 1, el periodo de la función definida por f l j ) = sen 4f

es ~ = jTi. La Figura 7.35 muestra la gráfica de/trazada en el rectán gulo de inspección de [-- n , jc] por [-2,2]. Observe que la gráfica se re pite cada intervalo de longitud unidades. Este hecho es consistente con el periodo 4 l-K, *J por [-2 ,2 ]

/(/) = sen 4/

FIGURA 7.35 >


La Figura 7.36 muestra la gráfica de la función definida por /( /) = s e n ^ f trazada en el rectángulo de inspección de [-4tc, 4n] por [-2, 2]. Del Teorema 1, el periodo de esta función es

= 8rc, lo cual es consisten4

te con la Figura 7.36, en la que se muestra un ciclo de la onda senoidal correspondiente. * [-411,4n] por [-2,2] /(0=scn|/ FIGURA 7.36 >


A fin de dibujar la gráfica de /(O = eos 2 1 primero se aplica el Teorema 1 para determinar el periodo P. Como b = 2, entonces P = n. La amplitud es 1. La gráfica se muestra en la Figura 7.37.

m

f(t) « eos 2/

FIGURA 7.37

CAPÍTULO y__FUN C IO N E S TR IG O N O M ÉTR IC A S DE N Ú M ER O S REALES

>


Para la gráfica de = eos j t

/(O

el periodo es P , donde, por el Teorema 1 2-7r i 2

/ ( / ) * COS y /

F IG U R A 7 .3 8

La amplitud es 1. La Figura 7.38 muestra un ciclo deesta dal dibujada en el intervalo [0, 4 n ) .

► EJEMPLO 2

D i b u j o d e u n a o n d a senoidal

Dibuje la onda senoidal definida por = sen 31

f( t)

verifique la gráfica en la graficadora. La amplitud es 1. Como b = 3, por el TeorcatUi riodo es | n . En la Figura 7.39, las unidades del eje t estánnuraiuj cada intervalo de longitud jii. La figura muestra la gráficapedí graficadora comprueba esta gráfica. y

Solución

/(') / 5 \ -----7T\ 3 \

/

\ “ ir

// ---4-IT \ \ 3 \

/ /

f

V —* \ 3

LXn \ \ ~1 3 / ^=1 -

°

3 \

A

J

3

f{t) = sen3f FIGURA 7J9

► EJEMPLO 3

D ib u / o d o u n c ic lo d *

yn0

Dibuje un ciclo de la onda senoidal definida por f(t)

= sen | /

Compruebe la gráfica en una graficadora.

/

3 GRÁFICAS Di LAS FUNCIONES SENO Y COSiNO Y D I OTIIAS ONDAS SENOIDALES

La amplitud es 1. Por el Teorema 1, el periodo P es

S o lu ció n

P

=

401

2 ít

= 3 tr i

íf

v

2

—ff

f[t) * »

2

FIGURA 7.40

* onda senes.

1

:ema , e n marcadas;®

ca pedid;

Por tanto, un ciclo de la onda senoidal está en el intervalo [0, 3n]. Este ciclo se muestra en la Figura 7.40 y es acorde con el que se obtiene en la graneadora. ^ El periodo de la gráfica d e/(/) = sen / es 2n. En el ejemplo ilus trativo 7 para la gráfica d e/(/) = eos 2/, el periodo es n, y en el ejem plo 2 el periodo de la gráfica d e/(/) = sen 3/ es Para las gráficas d e /(f) = sen bt y /( /) = eos bt, conforme b se incrementa cuando b > 0, el periodo disminuye, y los ciclos de la onda senoidal se apro ximan cada vez más entre sí. Note que en el ejemplo 3 el periodo de la gráfica d e /( /) = sen j / es 371. Además, en el ejemplo ilustrativo 8 el periodo de la gráfica de f ( t ) = eos \ t es 4n. Conforme b decrece cuando b > 0, el periodo de las gráficas de /(/) = sen bt y /(/) = eos bt, se hace mayor. En particular, la gráfica de /(/) = sen j t tiene un pe riodo de 16tc. Así, en el intervalo [0, 16tc] hay un solo ciclo de esta onda senoidal. ¿Qué ocurre con las gráficas de /(f) = sen bt y /(/) = eos bt cuando b < 0? Para responder esta pregunta, se usarán las identidades (1) y (2). Por ejemplo, la gráfica d e/(/) = sen(-3/) es la misma que la gráfica de /( /) = -sen 3/, y la gráfica de /(/) = cos(-3/) es la misma que la gráfica de/( /) = eos 3/. Si en la ecuación /(/) = a sen b(t - c), a = 1 y b = 1, se tiene una ecuación de la forma /( /) = sen (/ - c)

(8)

La gráfica de esta ecuación puede obtenerse a partir de la gráfica de /(/) = sen / mediante una traslación horizontal (o desplazamiento) de c unidades a la derecha si c > 0, y | c | unidades a la izquierda si c < 0. El valor absoluto de c se denomina defasamiento de la gráfica de (8). El defasamiento de una gráfica también es el defasamiento de la función correspondiente.

>


Considere la gráfica de fít ) = sen(/ - ~ n )

Aquí, c = j n ; entonces el defasamiento de esta gráfica es La gráfica se obtiene desplazando la gráfica de /(/) = sen / a una distan-

1

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS P i NÚMEROS REALES

cia de unidades a la derecha, debido a que c * n muestra esta gráfica. La gráfica d e /(f) = sen r en i • se indica con la curva gris. el ,nlervJJi

__L ir ~? l

/

Y

1 J

*

1 1

t

V

1 ■i 11 1 o

2

4

-1

— ir 2

/(/) = scn(r - —77) FIGURA 7.41

>

E J E M P L O IL U S T R A T IV O 1 0

Para la gráfica de /( /) = sen(í + ± k ) c = - jic. De esto, el defasamiento es |jc, y la gráfica seotari|

plazando la gráfica de f ( t ) = sen t a una distancia de j i umdife izquierda debido a que c < 0. La Figura 7.42 muestra lapí como la gráfica d e /(f) = sen t en el intervalo [0, 2n], Ucal*11 con la curva gris. m 1 X -----7T — 1— ir

2S /

0

|-

^ 5 - 2 tt 3\ ----- 7T ----- 7 r \ 2 2 \

ir\

nt J4

m

i r

-1 -

f ( t ) = sen (/ + j " )

FIGURA 7.42 áe^

Ahora se aplicarán las propiedades de para obtener las gráficas de las funciones detin nes de la forma f ( t ) = a sen b(t - c)

y

f(0

ni^1 ~c)

3 QRÁFIrAS PE t-AS PUNCIONES SENO Y COSENO Y DE OTRAS ONDAS SENOIDALES

► EJEMPLO 4

D ib u jo d o

una o n d a

403

s o n o id a l

Dibuje la gráfica de = ±sen(f + n)

f( t)

Compruebe la gráfica por medio de la graficadora. S o lu c ió n Esta ecuación es de la forma/(f) = a sen b ( t - c ) donde 0 = b = 1 y c = - t i . Como a = la amplitud de la gráfica es Como b = 1, el periodo de la gráfica es 2tc. Como c = -ti , el defasamiento es ti, y la gráfica requerida se obtiene desplazando la gráfica de f ( t ) = - sen t una distancia de ti unidades a la izquierda. La gráfica pe dida se muestra en la Figura 7.43, y la gráfica de /(/) = ± sen t en el intervalo [0, 2tc] se denota con la curva gris. La misma gráfica se ob tiene en la graficadora. f(t)

^

- I , 2 1

1

/

*• -------- v / — \ 1 1 1 0. 2 _i-U

5 2 .____ A» \ 2 ' ---- t -------------------♦ ir ^ 2 r ^ i iw ± ir

2

M

«

y

sen(í

+

ir)

FIGURA 7.43 ► EJEMPLO 5

*

D ib u jo d e u n a o n d a s e n o id a l

Dibuje la gráfica de f{ t)

=

4

cos(2í - | tí)

Verifique la gráfica por medio de la graficadora. S o lu ció n Se escribe la ecuación dada en la forma /(/)

m

a

eos b ( t

-

c)

mediante la factorización de 2 en la expresión 2 t obtiene f( t)

-

\ k .

Al hacerlo se

* 4 eos 2(/ - J tí)

Como a = 4, la amplitud de la gráfica es 4. El periodo de la gráfica es ti debido a que b = 2. Como c = ¿ ti, el defasamiento es j ti, y la grá fica requerida se obtiene desplazando la gráfica de/(/) = 4 eos 21 una

404

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PK NÚMEROS REALES

distancia de

unidades a la derecha. La Figura 7.44 mueteu

ca pedida, y la gráfica de f ( t ) = 4 eos 21 en el intervalo [0,x| senta con la curva gris. Se obtiene la misma gráfica en lapjf^J m

f(t) - 4 eos l ( t - -i-ir)

FIGURA 7.44 La función del ejemplo siguiente difiere de los prcviameoBfel «j tidos porque el periodo es un número racional en vez de unnát- K de n. En tal caso, cuando se dibuje la gráfica, es más conveníate >. zar los números racionales para marcar los intervalos en el cjet j.

--------------------------------------------------------------------- ------*]* ► EJEM PLO 6 D i b u l o d o u n a o n d a t o n o ld o l Dibuje la gráfica de f(t) = 2 sen j t

Verifique la gráfica en una grafícadora.

Solución Se comparará la ecuación dada con /(O * ú ..J Como a ~ 2, la amplitud es 2. Si P es el periodo, enion b = ifi,

jj

405

AS M F U W q QN BS ^ NOYjgOSiNQ Y PE OTRAS ONDAS SENOIDAÜES

fícadoraCa ** mucstra cn *a Figura 7.45 tal como aparece en la gra-

f(t) =2 s e n i -777 FIGURA 7.45

v ia m e n te dises-

►

d e un rnútóplo

EJEM PLO 7

D ib u j o d o u n c ic lo d o u n a o n d a s o n o id a l

inveniente utfr D ib u je u n c ic lo d e la o n d a se n o id a l o b te n id a p o r la fu n ció n d el e je m p lo 3 d e l a S e c c ió n 7 .2 . V e r ifiq u e la g rá fic a en u n a g rafica d o ra.

H e le j e t

Solución

L a f u n c ió n s e d e fin e p o r

E ( t) = 5 0 se n 1207c/ y e l p e r io d o d e E e s L a a m p litu d d e E e s 5 0 . S e em p lean diferentes e s c a la s e n lo s d o s e je s ; e n e l e je / se to m aro n m a rc a s ca d a — d e uni d ad , y s o b re e l e je E {t) se to m aro n m arcas cad a 10 unidades. L a T abla 5 p r e s e n ta v a lo r e s d e E (í) p a r a c a d a ^ d e u n id ad en el in terv alo [0, ¿ ] . E l c ic lo s e m u e s tr a e n la F ig u ra 7 .4 6 . E n la g ra fíc a d o ra se o btiene la

^GURa 7.46

m is m a g rá fic a .

T a b la 5

1

1

1

1

1

1

7

1

t

0

480

240

ï 6ô

n0

M

80

480

60

£ (/)

0

35.4

50

3 5.4

0

- 3 5 .4

-5 0

- 3 5 .4

0

406

CAPÍTULO 7

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE NUMEROS REALES

EJERCICIOS 7.3 E n


ilu s tr a tiv o d e

1 y

1 a

4,

u tilic e

e l m é to d o

la g r a jic a d o r a p a r a

la ju n c ió n

con

tr e s

d íg ito s

d e l e je m p lo

a p r o x im a r e l v a lo r

s ig n ific a tiv o s .

sen

*

y

eos

d e

la c a lc u la d o r a .

29. /(/) = 2 sen(/ - ijt) 31. /(/) = cos(/ - jw)

3 4 . / ^ * '

36. 38.

sen 0.546 (b)

eos 2.73

35. /(/) » 2 sen(|7C - /)

2. (a)

sen 1.82 (b)

eos 0.379

37. /(/) * 4 sen(2/ - *)

3. (a)

sen(-1.28) (b)

eos 4.67

4.

sen 5.06 (b)

cos(-2.41)

E n

lo s e je r c ic io s 5

ilu s tr a tiv o 2 y

a

8 , e m p le e

d e l e je m p lo

a p r o x im a r lo s v a lo

€ [0,

lo s c u a le s s e s a tis fa c e la e c u a c ió n .

5. (a) sen t = 0.976

(b) eos t =

0.489

6. (a) sen / = 0.291

(b) eos / =

0.923

7. (a) sen / = -0.641

fl>) eos / = -0.506

8. (a) sen / = -0.996

(b) eos / = -0.785

E n lo s e je r c ic io s 9 a

1 6 , d ib u je la o n d a s e n o id a l d e fin i

d a p o r la fu n c ió n y v e r ifiq u e la g r á fic a e n la g r a jic a d o r a .

9. (a) /(/) = 2 sen /

(b)

g (t)

= sen 21

10. (a) /(/) = 3 eos /

(b)

g (t)

=

11. (a)

f( t)

= | eos t

(b) g(t)

eos 3/ COS-7/

12. (a) /(/) = | sen /

(b) g(t) = sen ^/

13. (a) /(/) = -sen /

(b) g(t) - sen(-/)

14. (a) /(/) = -eos /

(b) g(t) = eos(-/)

15. (a) /(/) = 5 eos j í

(b) g(t) = j sen 5/

16. (a) /(/) = 4cos j /

(b) g(t) = | sen 4/

41. /(/)

« 2 sen(j7c/ + jn )

42. /(/)

= 3 cos(^7t/ + i* )

19. /(/) * 5 sen >/

c°® (4í ..I

£n /oí ejercicios 43 a 46, dibuje un ciclodelaoé, noidal definida por la función del ejercicioimké[ la Sección 7.2.

43. Ejercicio 27

44. Ejercicio 28

45. Ejercicio 29

46. Ejercicio 30

47. En cierta ciudad, en cada una de las fecha15> 17 de enero, la temperatura varió de -fCd» las 2 a.m. a 5° Celsius a las 2 p.m. Suponp*. gráfica es una onda senoidal, (a) escribí oto ción que defina l\t ) como una funcióndetí* TU) grados Celsius fue la temperatura 1 horaasa* 2 a.m. del 15 de enero, y 0 £ t < 48. ¿üífci temperatura a las (b) 6 a.m. del 15de enero: del mediodía de enero 15; (d) 4 p.m. decaeni (e) 10 p.m. de enero 15? (f) Dibújelagrifa* 48. En cierta ciudad, en cualquier tiempoácx¡& del día, a partir del 1 al 4 de octubre Fahrenheit fue 7\t) grados a las r horasaI** la medianoche del 30 de septiembre, don*

En los ejercicios 17 a 20, dibuje un ciclo de la onda se noidal definida por la función y compruebe la gráfica en la graficadora.

17. /(/) = eos

m2

40. /(/) = -2 sen(3í - ¿n)

r e s d e t c o n tr e s d íg ito s s ig n ific a tiv o s ta le s q u e t

2ti] p a r a

'C0s(;j

a

39. /(/) » 5 eos(3/ + £ 71)

e l m é to d o

la g r a jic a d o r a p a r a

* *cn(/ +/

33. / ( / ) = - 3 cos(/ + ¿n)

1. (a)

(a)

/(O a i

/(/) a f{t) *

D e sp u é s

c o m p r u e b e la a p r o x im a c ió n m e d i a n t e e l c á l c u lo d e l v a lo r d e la fu n c ió n p r e s io n a n d o la s te c la s

25. /(/) = | sen 271/ 27. /(/) - eos(/

no (a) Determine el periodo de T. Encuentff ^ V ratura a las (b) 8 a.m. del 1 de mediodía del 1 de octubre; (d) 2 p.®bre; (e) 6 p.m. del 1 de octubre y ( del 1 de octubre, (g) Dibuje la f,ífica

18. /(/) = sen 20. /(/) = 3 eos | /

En los ejercicios 21 a 42, dibuje la onda senoidal defi nida por la función y verifique la gráfica en la grafica dora.

21. /(/) = 6 eos ni

22. /(/) = 4 sen nt

23. /(i) = 2 eos \ ut

24. /(/) = 3 sen \ nt

La función definida por

49. íl%

m

=

sen t

7.4 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO A FENÓMENOS PERIÓDICOS

|c o s j * f

+ i,, 3 sen(/ - it.

C M (t

j*)

sen( ; +

|ki

6 c o s(/ - l r

1*1 \ C05(Jl - ;) i

^ en Cálculo. Esta función no está definida ¿tundoi ' O- S'n embargo, en Cálculo es necesario ^Jl0CCrel comportamiento de esta función confort se aproxima a cero. Emplee la calculadora para determinar (a) /(0 .1) y /( - 0 .1); (b) /(0.06) y/(-0.06); (c)/(0.02)y/(-0.02); (d)/(0.01) y ff-0.01); (e)/( 0.001) y/(-0.001). (f) ¿A qué valor pgee aproximarse f ( t ) conforme / se aproxima a cef07(g) Trace la gráfica de / en la graficadora pra verificar la respuesta del inciso (f).

50.

[I

407

dv| La función definida por

Jli

8( 0

1 - eos t

se presenta en Cálculo, y g(t) no está definida cuando t = 0. Aplique las instrucciones del ejerci cio 49 a esta función.

2 cos(4/ +|j

74 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES SENO YCOSENO A FENÓMENOS PERIÓDICOS de la ondau io indicadoii

fe ch a s 15.16) i

; -5* Celsiusa Supongaquela :rib a unaecualón de i, donde f h o ra s desdelas 18. ¿Cuál fucli le enero; (c) I. de enero 15) ¡a gráficadel". po determinad : la temperaron o ra s a paitir de , donde O < r <96

iientre lale®?' la b re ; (c) 12 &

m. del 1 deoca(f) medáiw^ íc a de T.

OBJETIVOS

1. U tilizar las funciones seno y coseno como modelos matemáticos que describen movimiento armónico simple. 2. D ib u ja r gráficas de las funciones que describen movimiento arm ónico simple. 3. Resolver enunciados de problemas que implican movimiento arm ónico simple. 4. D ib u ja r gráficas de funciones que describen otros fenómenos periódicos. 5. Resolver enunciados de problemas que implican otros fenóm enos periódicos.

Las funciones discutidas en la Sección 7.3 y deñnidas por /( /) = a sen b(t - c)

(1)

/( /) = a eos b{t - c)

(2)

y son modelos matem ticos que describen movimiento armónico sim ple, vibratorio u oscilatorio. Un ejemplo de movimiento armónico simple ocurre cuando se suspende un cuerpo de un resorte que vibra verticalmente. Sea /(/) centímetros la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central, o de reposo, después de transcurridos t segundos. Véase la Figura 7.47, donde un valor positivo d e /(f) indica que el cuerpo está por arriba de su posición central. Si en un sistema de coordenadas cartesianas rec tangulares se trazan valores de función /(/) para valores específicos de í, entonces si no se toma en cuenta la fricción, la gráfica resultante ten drá una ecuación de la forma (1) o (2). Las constantes a, b y c están determinadas por el peso del cuerpo y el resorte, así como por la forma en que se ponga en movimiento al cuerpo. Por ejemplo, cuanto más se

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i WÚMIROS REALES

tire del cuerpo hacia abajo antes de liberarlo, tanto mayor teri amplitud del movimiento. Además, cuanto más rígido sea el tanto más rápidamente vibrar el cuerpo de modo que P, el peno? movimiento, ser menor; recuerde que las constantes b y p est^ * cionadas mediante la ecuación P = 2n/\ b |. La frecuencia i movimiento armónico simple es el número de vibraciones, uoicikj nes, por unidad de tiempo. Así, si n es la frecuencia del nwvnj? entonces n \/P.

>


Un cuerpo está vibrando verticalmente de acuerdo con laecuackk f ( t ) = 8 eos ± n t

donde/(O centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde*¡J sición central (el origen) a los t segundos y el sentido positivo« ü arriba. La ecuación (3) es el caso especial de (2) donde a = Ms J y c = 0. Por tanto, el movimiento es armónico simple. Comohu plitud es 8, el máximo desplazamiento es 8 cm. Debido a que el periodo P está dado por p = —

M

2 tt

'h r = 6

Por tanto, se requieren 6 s para una vibración completa del cuaj»j| frecuencia n está determinada por 1 n ~ P

= Z Así, se tiene j de vibración por segundo. De (3) se obtienen f(t ) para valores particulares de t, mostrados en la Tabla 1. Ap*® I

tos valores se discutirá el movimiento del cuerpo.

Tablai

4 V 3 « 6.9

3 2

2

4

0

-4

2

3 o>

8

1

1 1

m

i

2

1

0

*>

1

-8

7

2

4

- 6 .9

-4

Inicialmente el cuerpo se encuentra 8 cm por arriba,a ^d e l d posición central. En el primer j s el cuerpo se mueve hacia

K ^

u i 5 D i LAS FUNCIONES SENO Y COSENO A FENÓMENOS PERIÓDICOS___409

Afifi a un p u nto situado a 6 .9 c m arriba del origen. D e sp u és, en el siguiente > s el cu erp o d escien d e 2 .9 c m a una p o sició n 4 c m arriba del origen. En el tercer ^ s, el cuerpo se m u eve hacia abajo una distancia d e 4 cm r esp ecto a su p o sic ió n central. D e m odo qu e la velocid ad del cuerpo se in crem en ta e n lo s prim eros | s. En lo s sigu ien tes ^ s, el m ovim ien to del cu erp o con tin ú a hacia abajo m ientras que su velocidad dism inuye hasta q u e, d e sp u é s d e un total d e 3 s, el cuerpo se encuentra a 8 cm por d eb ajo d e su p o s ic ió n central. D esp u és, el cuerpo invierte su dirección y su v e lo c id a d au m en ta hasta qu e alcanza su p o sició n central, ensegu i da d ism in u y e su v e lo c id a d hasta que regresa a su p osición inicial des p u és d e un total d e 6 s. L u ego, el cuerpo invierte su dirección y el m o v im ie n to co n tin ú a bajando y su bien do, repitiéndose de m anera in d e fin id a . L a g rá fica d e (3 ) s e m uestra en la Figura 7 .4 8 . m H asta a q u í n o se ha considerado la fricción, la cual podría ocasio nar q u e el cu e rp o fin a lm en te lle g u e a un estado d e reposo. S e discutirá en la S e c c ió n 7 .5 e l m o v im ie n to a r m ó n ic o a m o r tig u a d o , para e l cual se tom a en c u e n ta la fricción .

ti ►

FIGURA 7.48

EJEM PLO 1

Solución do! enunciado do un problem a que Implica movimiento armónico simple

U n cu e rp o s u sp e n d id o d e un resorte vibra verticalm ente. Su pon ga que el cu erp o p asa por su p o sició n central, conform e asciende, cuando t = 2.5 ; e n s e g u id a e fe c tú a un d esp la za m ien to ascen d en te m áx im o d e 4 cm , y p a sa p o r su p o s ic ió n cen tral co n fo r m e d escien d e cuand o t = 3.5. El m o v im ie n to e s a r m ó n ic o sim p le y e stá d escrito por una e cu ación d e la fo rm a / ( / ) = a sen b (t -

c)

d o n d e f ( t ) c e n tím e tr o s e s la d ista n cia d irigid a del cuerp o d esd e su po s ic ió n cen tral d e s p u é s d e t se g u n d o s, y e l se n tid o p o s itiv o e s hacia arriba. D e te r m in e s u e c u a c ió n .

Solución

E l m o v im ie n to d e sd e

t

= | hasta

t = \

se representa en

la F ig u ra 7 .4 9 . C o m o e l d e sp la z a m ien to m á x im o h acia arriba e s d e 4 c m , la a m p litu d d e l m o v im ie n to e s 4; así, a = 4 . S e tien e m ed io c ic lo P or tanto, si el p erio d o e s P, d e l m o v im ie n to e n tr e t = | y t = P =

7 _ 5

2

2

2

P = 2 D e b id o a q u e

b = ir

P = 2id\ b

|, s e tien e, si

b > O,

410

y

CAPÍTULO7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES La gráfica de ia función requerida puede considerarse como unsenoidal desplazada | de unidad hacia la derecha a partir dd '** De esto, c = |. En consecuencia, de la ecuación f(t) = a se* se obtiene 4, b = J i y c f ( t ) = 4 sen rc(f

4)

► EJEM PLO 2

no

i

D ib u jo d e l a g r á f ic a d e u n a función ou* d e c r ib e m o v im ie n to a rm ó n ico simpkw d is c u s ió n d e l m o v im ie n to

Dibuje la gráfica de la función del ejem plo 1 y verifíquelaeolipJ cadora. Haga una discusión del movimiento. S o lu c ió n

La ecuación es

f ( t ) = 4 sen 7i(í - 1)

El periodo es 2. D e modo que se requieren 2 s para una vibraciónc m ta del cuerpo. L a frecuencia n está determinada por n = 1/P, aá,i:.| Por tanto, hay ^ de vibración por segundo. La Tabla 2 presentid* de f ( t ) para cada ^ de unidad cuando t está en el intervalo [0.21Ll porción de la gr fica en este intervalo está dibujada a partir deeastl lores, y la gráfica repite este com portam iento en cada intervaloé!| unidades. Véase la Figura 7.50, la cual está de acuerdo con lapÉcl obtenida en la graficadora.

Tabla 2

t f(t)

i 4

0

-4

-

2V 2 * - 2 .8

1

3

?

5 0

2V 2

2.8

1

5 4

4

2.8

2 0

-2.8

\

Inicialmente el cuerpo está 4 cm abajo de su posición ccdb» 3| el primer ^ s el cuerpo se m ueve hacia arriba una distancia de 1^*1 un p unto situado a 2.8 cm debajo de su posición central. guíente - s el cuerpo se m uev e h acia arriba una distancia de 2J* su posición central. L a velocidad se incrementa en el primer: s tercer ^ s el m ovim iento del cuerpo continúa hacia arriba su velocidad dism inuye h asta que, después de un segundo, el cutfM encuentra a 4 cm arriba de su posición central. Luego, el cw® I vierte su dirección y su velocidad se incrementa hasta que a*a^ ¡| posición central, p osteriorm ente su velocidad disminuye _| cuerpo retorna a su posición inicial después de 2 s. Este moví®1' repite indefinidam ente cad a 2 s. A hora se considerarán aplicaciones a otros fenómenos P ^ J Si un alam bre doblado en form a de rectángulo se gira j polos norte y sur de un im án, se genera una corriente electrK

APLICACIONES PE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO A FENÓMENOS PERIÓDICOS

411

Conforme el alambre efectúa una rotación completa, la corriente fluye primero en un sentido y después en el opuesto, lo cual se repite durante cada rotación. La corriente es periódica y puede describirse mediante una ecuación de la forma (4)

/(/) = a sen b(t - c)

donde f(t) amperes es la corriente a los t segundos, producida por un generador.

>


Suponga que una corriente eléctrica alterna está descrita por la ecua ción I(t) =

10 sen 120ic/

donde !(t) amperes es la corriente a los t segundos. Se comparará esta ecuación con la (4). Como a = 10, la corriente máxima es 10 ampe res. Debido a que b = 12071, la frecuencia n está determinada por 1207T n ~ ~ 2 tT

= 60

4

Por tanto, la frecuencia es 60 ciclos por segundo.

Una corriente eléctrica es producida por una fuerza electromotriz me dida en volts. Para un generador simple, si E(t) volts es la fuerza electro motriz a los t segundos, una ecuación que describe a E(t) es E (t) = a sen bt

(5)

Tal ecuación se presentó en el ejemplo 3 de la Sección 7.2.

>


Suponga que E (t) volts es la fuerza electromotriz a los t segundos y se describe mediante una ecuación de la forma (5). Si la fuerza electro motriz máxima es 110 volts y la frecuencia es 60 ciclos por segundo, entonces a - 110 y b 2 ¿ = 60 b = 120tt

De modo que una ecuación que describe la fuerza electromotriz es E(t) = 110 sen 120itf

<

412

/

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i NÚMEROS REALES

En un circuito eléctrico simple que contiene sólo uñar la fuerza electromotriz y la corriente están relaciona^ ción E(t) = RI(t)

donde R es una constante. Esta ecuación se conoce como bul Ohm, llamada así en honor a G. S. O hm (1789-1854), y la iJ j es R ohms.

>


Si las ecuaciones de los ejemplos ilustrativos 2 y 3 pertenecen» mo circuito eléctrico, entonces E(t) = 11/(0

y la ley de Ohm se satisface cuando la resistencia es 11 ohms. Observe que en un circuito que satisface la ley de OhmeiJ máximo de E (t) ocurre al mismo tiempo que el vaior máxime¿1 Es posible que estos valores máximos ocurran en tiempos diferí*i tal caso, se dice que la corriente y fuerza electromotriz estánk f fase. Suponga, por ejemplo, que E (t) = a sen bt

I(t) = A sen b(t - c)

La gráfica de /(/) puede obtenerse al trasladar la gráficade< A sen bt, c unidades a la derecha si c > 0, y I c I unidades abiV da si c < 0. La corriente y la fuerza electromotriz están fijen** por c unidades. Si c > 0, se dice que la corriente se retrasad pecto a la fuerza electromotriz en c unidades; y si c < 0, sed»*

la corriente se adelanta con respecto a la fuerza electromotriza unidades.

► EJEM PLO 3

D i b u j o d o l a s g r á f í t a s d o las d e f i n e n l a f u o r z a o lo c t r o m o f r ü f lo e n u n c i r c u it o e lé c tric o

En determinado circuito eléctrico, a los t segundos, la to** motriz es E(t) volts, donde E (t) = 150 sen 120rc/

y la corriente es ¡(t) amperes, donde /(/) = 25 sen 120n(/ -

i

ArLlCftn o NES D i LAS FUNC IO N« tiW O Y COSiWO A FINÓM INOS PtRtÓDICOf

413

7-*

Dibuje las gráficas de E e / en el mismo sistema de ejes coordena dos. Compruebe las gráficas en la graficadora. ¿Se retrasa o adelanta la corriente y por cuánto?

una résistent las por la ^

S o lu ció n P =

Para cada una de las gráficas el periodo es P, donde 27T

W \

2 tt

120tt

; Ohm el val« náximo del{i\ s diferentes. En están fuerait

ífica d e n les a la izquicr n fuera defas et rasa can re* O, se diceqw motriz en c

■teion»$qu* Y la cormfl*

FIGURA 7.51

60 Se utilizan diferentes escalas en los dos ejes coordenados. En el eje t se toman marcas cada —jj de unidad, y en el eje vertical las marcas es tán cada 25 unidades. La amplitud de la gráfica E es 150. La gráfica de £ se muestra en la Figura 7.51. La amplitud de la gráfica de / es 25. La gráfica de /, mostrada mediante la curva gris de la Figura 7.52, se obtiene al despla zar la gráfica de /(O = 25 sen 1207c/ una distancia de 360 de unidad a la derecha. Se obtienen las mismas gráficas en la graficadora. Conclusión: La corriente se retrasa con respecto a la fuerza electro motriz — de s. . r - '• * ! s' Cuando una onda sonora llega al oído, ocurre una vibración de las partículas de aire en el tímpano. Esta vibración puede describirse me diante la variación de la presión del aire. Un sonido simple es aquel que produce, en un osciloscopio, una onda que puede describirse por medio de una ecuación de la forma F(f) = a sen bt

(6)

donde F(t) dinas por centímetro cuadrado es la diferencia entre la pre sión atmosférica y la presión del aire en el tímpano a los t segundos. Los valores positivos de F{t) corresponden a la presión interna en el tímpano, y los valores negativos corresponden a la presión externa. La ecuación (6) es la de la onda sonora. La constante a detennina la am plitud de la presión.

>


fuerza electa Un diapasón produce un sonido simple que tiene una amplitud de la presión de 0.02 din/cm2 y vibra a 250 ciclos por segundo. La onda so nora producida tiene una ecuación de la forma (6). Como la amplitud de la presión es 0.02 din/cm2, a = 0.02. Debido a que la frecuencia es 250 ciclos por segundo, V

ITT

= 250

b = 5007t

CAPÍTULO 7

414

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PK NÚMEROS REALES P o r ta n to , u n a e c u a c ió n d e la o n d a s o n o ra es

F(t) = 0 .0 2 s e n 5 0 0 tu

f e

r

EJERCICIOS 7.4 £>i los ejercicios 1 a 6, la ecuación describe e l m o v i miento armónico sim ple d e un cuerpo suspendido d e un resorte que vibra verticalmente, donde f ( t ) centím etros es la distancia dirigida del cuerpo desde su po sició n central (el origen) a los t segundos y el sentido p o sitiv o es hacia arriba. Para cada m ovim iento d eterm ine (a) la amplitud; (b) el periodo; (c) la fre cu e n cia y (d ) la p o s i ción del cuerpo en % /^ /3 y t4 segundos. 1. / ( / ) = 3 eos ¿ Jtr, /, = 0, t2 = 2, /3 = 4 , f4 = 6 2. f ( f) * 2 s e n |íc r , f! = 1, r2 '± 2,73 = 3, t4 = 4 3. / ( / ) = 5 sen 2/; /, = 0, t2 = £ ji, /3 =

jjc , /4 = |tü

4. / ( /) = 6 eos ¿r, /, = 0, t2 = j l t , t 3 =

jTt, /4 = ¿jg

5. / ( / ) = 8 eos jc(2í - j); /, = 0, t2 =

6. / ( / ) = 3 eos 71(3/ +

/,

= 0 , /2 =

/3 = j ,

/3 = j ,

=t En los ejercicios 7 a 10, dibuje la g ráfica de la fu n c ió n del ejercicio indicado y verifíquela en la graficadora. Haga una discusión del movimiento. 7. Ejercicio 1 9. Ejercicio 5

8. Ejercicio 2 10. Ejercicio 6

En los ejercicios 11 a 14, la ecu a ció n d e sc rib e u n a corriente eléctrica alterna, donde /(/) am peres e s la c o rriente a los t segundos. En cada ejercicio, (a) tra ce la gráfica de 1 para / ( < t á t ¿ determ ine (b) la c o rrien te máxima; (c) la frecu en cia y (d) la corriente en t{, tj, /j y t4 segundos.

14. /(/) = 0.3 sen 650/; /, = | , ^ = 4 ,^ * 1

U =

10

U

*

0.2

12. I(t) = 20 sen 240n/; /» = 0.01, t2 * 0.03,

/j * 0.05, t4 * 0.07 13. I(t) = 0.6 sen 400/; /, * 1,1} • 3.5,/j • 8,

t4

*

10

***£ art*®*

£>i ¿os ejercicios 15 a 18, E(t) volts es b fu eru t^ |

acriba una

m o triz a lo s t segundos. En cada ejercicio, fajtaj gráfica d e E p a ra t { < / < /*/ determine (bl ¡afueri* |

desu movimi«

tro m o triz m áxim a; (c) la frecuencia y id)

i

electro m o triz a los /,. t2, /3 y t4 segundos.

: *(b) Trace

15. E (t) — 2 2 0 sen 120irt; t¡ = 0.01, h = 0.05 h = 0 .0 6 ,1 4 = 0.1 16. E (t) = 110 sen 120ir/; /i - 0.02, h ~ QiB. h = 0 .0 4 , h = 0.05 1 7 . E ( t) = 8 sen 3 32/; /, = 0.05, k = 0.15. h = 0 .2 5 , t4 = 0.35

gami li P® «cododBM fcdtnwin iaincisos(c) várame. E li cuerposus

18. £ ( / ) = 4 0 sen 5 1 0 / ; / ( = 1.2,/2 = 2,6*2

Me. El cuei

t4 jfr 3 .6 E n lo s e jercicio s 19 a 22, la ecuación descmil

toptaanuenti

ion» atoen

o nda p ro d u c id a p o r un sonido simple donáeF{i)kI a fwwón u p o r centím etro cuadrado es la diferencia entrekpl "=3.2. Elmo

^pofunaecuai ^/« cen l los t segundos. E n cada ejercicio, (a) tracelagrifa*1 ^desdes p a r a /, / £ t ^ determ ine (b ) la amplitud è h F l y el se sión; (c) la frecuencia y (d) la diferencia e*l\ ^ ea ae ai presión atmosférica y la presión del aire en
2 0 . F(t) = 0 .0 4 sen 200ir/; /, = 0.001, h sftít

h = 0 .0 0 3 , t4 = 0.004 2 1 . F(t) = 0 .0 2 sen 600 /; /, = 0.002./:= ^

h = 0 .0 1 8 , 11. /(0 = S sen 30n/; /, = 0.05, t2 = 0 .1 ,/ , = 0.15,

«üy

, ^— UD üenSto ri |

t4 = 0.054

■ P S

2 2 . F(t) = 0 .0 0 6 sen 2400/; /. = 0.005, h = /3 = 0 .0 1 5 , /4 = 0.020.

■

Ü

:¡i T*0 central.

I

C á le le ,

M

23. Un c uerpo suspendido de un resorte se Ita un punto situado a 2 cm por arrib* ción central y luego se libera. El cuflp0 co m pletar una vibración, (a) Escriba q u e defina / ( /) , donde f(t) centímetros ^ ^ 1 e ia d iricida del cuerpo desde su posK*" |

1^ ^ gjt ^ ¡^ ió ii (je í !e9ie

7.4 APLICACIONES D i LAS F U N C IO NES SENO Y COSENO A FENÓM ENOS PERIÓDICOS

es 10 ampere para la primera vez cuando t = Escriba la ecuación y trace la gráfica de I.

ndos después del inicio del m ovim ien to y el positivo es hacia arriba, (b) T race la gráfica ^ / giHplee la gráfica para estim ar la p o sició n del I

(C) -i s después de iniciado e l m ovim ien to y

i (á) >s después de iniciado el m ovim iento. V erifii estimaciones de los in cisos (c ) y (d) calcu!

respectivamente.

L yn Qjerpo suspendido de un resorte se pone en movimiento vibratorio tirando de él hacia abajo 4 i ^ desu posición central liberándolo enseguida. El i ogrpo tarda 1.5 s en completar una vibración, (a) Escriba una ecuación que defina /(O , donde /( /) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desI desuposición central t segundos después del inicio del movimiento y el sentido positivo es hacia arri ba. (b) Trace la gráfica de f Emplee la gráfica para estimar la posición del cuerpo (c) 1 s después de iniciadoel movimiento y (d) 2 s después de iniciaI doel movimiento. Verifique las estimaciones de [ losincisos (c) y (d) calculando/( 1 ) y /( 2 ), respecti vamente. h Uncuerpo suspendido de un resorte vibra verticalmente. El cuerpo pasa por su p osición central, c o n forme asciende, cuando

t

= 2,

y

logra

un

desplazamiento máximo de 9 cm; d esp u és pasa por suposición central, conform e d e sc ie n d e , c u an d o

t = 3.2. El movimiento es arm ónico sim p le descri bí» unaecuación de la form a/(í) = a eo s b (t - c) donde/(/) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central desp u és d e t se-

415

28. Un generador eléctrico produce una corriente alter na de 30 ciclos que alcanza un máximo de 50 am pere y está descrita por una ecuación de la forma /(/) = a sen b(t - c), donde /(/) ampere es la corriente a los / segundos, y la corriente es 25 am pere por primera vez cuando t = 0.01. Escriba la ecuación y trace la gráftea de /. 29. En cierto circuito eléctrico la fuerza electromotriz es E(t) volts, donde E(t) « 110 sen 120m, y la corriente es /(/) amperes, donde /(/) = 55 sen 120ji (/ - rjr). Dibuje las gráficas de E e / en el mismo sistema de ejes coordenados. Compruebe las gráficas en la graficadora trazándolas al mismo rectángulo de inspección. ¿Se atrasa o adelanta la corriente y por cuánto? 30. Haga el ejercicio 29 considerando EXf) = 220 sen 60iu e /(/) = 44 sen 60tc (í + -j¿¡). 31. El número de dinas por centímetro cuadrado de la diferencia entre la presión atmosférica y la presión del aire en el tímpano, a los t segundos, producida por una onda sonora particular, está descrita por la ecuación F (t) = 5 sen lOOrc (/ (a) Trace la gráfica de F. Determine (b) la amplitud de la presión y (c) la frecuencia. Obtenga la diferencia entre la presión atmosférica y la presión del aire en el tímpano a los (d) 0 s; (e) 0.01 s y (f) 0.015 s.

Nos, y el sentido positivo es hacia arriba. E n centre esta ecuación y trace la gráfica d e f cuerpo suspendido de un resorte vibra vertical-

^ ^

Suponga que el cuerpo pasa por su p o sició n

*8tral a los 3 s y 7 s. Entre estos tiempos el cuerpo * * 8 dos veces un desplazamiento máximo de

:0 #

33.

sobre su posición central, y logra una v e z un ^Pâmiento máximo de 10 cm por debajo d e su central. El movimiento es arm ónico sim descrito por una ecuación de la form a / ( / ) = c), donde / ( / ) centímetros e s la distan®ngida del cuerpo desde su p osición central a •J'cgundos, y el sentido positivo e s hacia arriba, esta ecuación y trace la gráfica d e / . M*neme alterna de 60 ciclos está descrita por de la forma /(/) * a sen b(t - c), 11amperes es la corriente a los l segundos, máxima es 20 ampere, y la corriente

rió*1

32. Resuelva el ejercicio 31 considerando F (t) = 3 sen 880rc (/ + -¡¿¡j). Suponga que el movimiento de una par tícula a lo largo de una línea recta es ar mónico simple y está descrito por una ecuación de la form a 5 (0 = a sen b(t - c), donde S(t) centím etros es el desplazamiento de la partícula desde un punto fijo (el origen) a los i segundos. En Cálculo se demuestra que si V(f), centímetros por se gundo, es la velocidad de la partícula a los * segundos, entonces V(t) = ab eos b(t - c); y si A (t) centímetros por segundo por segundo es la aceleración de la partícula a los t segundos, entonces A(t) - - a b 2 sen b(t - c). Si una ecuación que des cribe el movimiento es S(/) = 2 sen (/ - 1), de termine la posición, velocidad y aceleración de la partícula a los (a) 0 s; (b) 1 s; (c) 2 s; (d) 3 s y (e) 4 s.

//I

SÉ

416

34.

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE NUMEROS REALES

ción del ejercicio 1, como se hi^ ilustrativo 1.

H a g a e l e je rc ic io 3 3 c o n s id e r a n d o 5 (/) * 4 s e n x * (t

+ 2 ).

36. Siga las instrucciones del ejercicio35 miento de un cuerpo, descrito por U S ejercicio 2.

3 5 . R e a lic e u n a d i s c u s i ó n d e l m o v i m i e n t o a r m ó n i c o s im p l e d e u n c u e r p o , d e s c r i t o p o r l a e c u a

7.5 OTRAS GRAFICAS QUE IMPLICAN A LAS FUNCIONeT SENO Y COSENO OBJETIVOS

1. D eterm inar propiedades de la gráfica de una funciónque ¡ describe movimiento armónico amortiguado. 2. D eterm inar propiedades de la gráfica de una funciónqyc describe resonancia. 3. D ibujar la gráfica de la función definida por f[t) =— , 1

En la Sección 7.4 se estudió el movimiento armónico simpiecoafl indefinidamente, repitiendo un ciclo cada intervalo de longíndJ un período. Tal es el caso del ejemplo 1 de dicha sección, eadoii cuerpo suspendido de un resorte se mueve verticalmentehiaii»| hacia abajo, y una oscilación completa ocurre cada intervalo4.' Sin embargo, en la práctica, la fricción podría ocasionar queli* tud del movimiento disminuya hasta que el cuerpo llegue alesÉi reposo. Este es el caso del movimiento armónico amorté cual puede ser descrito por el producto de una función senoidal.» función no constante denominada factor de amortiguan»®^ factor causa el decrecimiento de la amplitud. Un factor dea®# miento importante es una función exponencial cuyos valores*1 ximan a cero conforme la variable independiente crece s» ejemplo siguiente ilustra el efecto de este factor.

►

EJEM PLO

1

j i

D e te r m in a c ió n d e d e u n a f u n c i ó n q u e d e sc rib e m o v w * a r m ó n i c o a m o r tig u a d o

Las tres funciones F , f y G se definen por F {í) = - e - " *

f ( t ) = e~,/4 sen 41

G(t) * ‘

donde / > 0. L a función / e s un modelo m a tem átic o qUt vimiento armónico amortiguado. (a) Muestre que F(t) < f ( t ) < G(t). , (b) Trace las gráficas de las tres funciones en el rec ción de [0, 2tc] por [—1, 1].

I

i f

7 .5

OTRAS GRÁFICAS QUE IMPLICAN A LAS FUNCIONES SINO Y COSENO

417

(c) Determ ine algebraicamente los valores de t de todos lo s puntos de intersección de la gráfica de / con las gráficas d e F y G . ¿Cuáles de estos valores están en el intervalo [0 ,2 n ]? (d ) Determ ine todas las intercepciones t de la gráfica de f ¿Cuáles de estas intercepciones están en el intervalo [O, 2tc]?

Solución (a) La fu n c ió n /e s el producto de dos funciones. Com o | sen 4 / 1 £ 1 y e ~ t,A > O para toda t, | / ( / ) | < e~ ^4

para toda t

A sí, —é ~ t,A ^ f ( t ) ^ e~ ,,A

para toda t

E sto es, F (t) < /(O £ G{t)

[0.2x] p o r [—1 .1 ]

(b) La Figura 7 .5 2 muestra las gráficas requeridas. Observe que la gráfica d e / e s t á entFe las gráficas de F y G. (c) La gráfica d e/in tersecta a la gráfica de G cuando sen 4r = 1. Como sen x = 1 cuando x = j i í + 2k n , k € Z, entonces sen 4 t = 1 cuando

J[t)=e ' ,/4s c n 41,

41 = \

tt

+ 2 k ir

k G Z

t = \

tt

+ \k ir

k E Z

y 0 (i) = e -° A

FIGURA7.52

Para valores d e t en [O, 2tc], sea A igual a O, 1 ,2 y 3, para obtener, respectivam ente,

t

=

¿ 7 r

+

Ü 7T

í

=

o 7T

+

t

7T

¿7T +

|7 T

= ¥* La gráfica d e /in te rse c ta a la gráfica de F cuando sen 4 1 = -1. Como sen x = -1 cuando x = jn + 2bc, k € Z, entonces sen 4/ = -1 cuando 4 / = §77 + 2*77 t

—

§77

+

5^77

k e

Z

k £

Z

Para valores de t en [O, 2n], sea k igual a O, 1, 2 y 3, para obtener, respectivamente, § 77 - f 0 7 7

|

IT T

+

7T

f

=

§ 7T

+

|

77

(d) La gráfica de / intersecta al eje t cuando sen 4f = 0. Como sen x = 0 cuando x = k n ,k G Z, entonces sen 4f = 0 cuando, 4 / = ¿77 / = i A:77

F U N C IO N E S

418

TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS R iA lll

caHtulo JL

Para valores de t en [0, 2n], considérense fin de obtener, respectivamente, respectivam los valoreVa!ore$ de sjguicme, n ,ín ,¡ n ,ln y 2 n . Observe que los valores de / en el i en los incisos (c) y (d) son los mostra
► E JE M P L O 2

D e t e r m i n a c i ó n d e p rop ied a de s ó* le ^ d e u n a f u n c i ó n q u e describe resonando

Las tres funciones F , f y G están definidas por F {t) = —2'

f ( t ) = 2‘ eos 41

G{t) = y

donde t > 0. La función / es un modelo matemático quedecr sonancia. (a) Muestre que F(t) <¡ f ( t ) < G(t). (b) Trace las gráficas de las tres funciones en el rectángulode* ción de [0, k ] por [-10, 10]. J (c) Determine algebraicamente los valores de t de todost e p j intersección de la gráfica de / con las gráficas de r y £*1 de estos valores están en el intervalo [0, *]? ^ (d) Determine algebraicamente todas las intercepciones / ^ de/. ¿Cuáles de estas intercepciones están en el in

Solución (a) Como | eos 4f | < 1 y 2‘ > 0 para toda t, \ f ( t ) \ ^ 2‘

para toda/

En consecuencia, —2' < f ( i ) < 2' 10, n] por [ - 10. 101 f (') = - 2 ', /(O = 2 ' eos 4/,

y G(o= v T O U R A 7.5 3

toda t

Esto es, F (t) Z / ( /) ^ G (t)

trazada®

(b ) L a F ig u ra 7 .5 3 m u e stra las gráficas “ “T íficas d o n d e la g rá fic a d e / s e encuentra entre

5 OTRAS GRÁFICAS QUE IMPLICAN A LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

419

(c) La gráfica d e / corta a la gráfica de G cuando eos 4 t - \. Como eos x = 1 cuando x = 2kn, k € Z, entonces eos 4 1 = 1 cuando 4r = t =

2Jbr k G

Z

k G

Z

\k ir

Para valores de t en [0, 7t], sea k igual a 0, 1 y 2, a fin de obtener, respectivamente, los valores siguientes de t: 0, -n , k . La gráfica d e/in te rse cta a la gráfica de F cuando eos 4f = -1. Debido a que eos x = —1 cuando x = (2k + 1)71, e Z, entonces eos 4f = —1 cuando 4t =

(2k + \ ) i r

k G Z

' =

(é * + i)?r

* E Z

Para valores de t en [ 0 ,7t], sea k igual a 0 y 1, para obtener, res pectivamente, t = j K y t = |j i . (d) La gráfica d e /c o r ta al eje t cuando eos 4 1 = 0. Como eos x = 0 cuando x = jrc + k n ,k € Z, entonces eos 4r = 0 cuando 4 / = |7 f + fcfr

k G Z

/ = ¿7T + ^ 7 T

k E Z

Para valores de t en [0, tc], sea á: igual a 0, 1. 2 y 3, a fin de obte ner, respectivamente,

t

=

Í7 T

=

¿ ir

+

0 7 T

t

=

¿7 T

=

+

|i r

Í7 T

t

=

|7 T

+

= fir

|7 T

í =

^7 T

+

J7 T

= Jl7

Observe que los valores de t en el intervalo [0, tc], obtenidos en los incisos (c) y (d), se muestran en la gráfica del inciso (b). < En el ejercicio 49 de la Sección 7.3 se presentó la función defini da por

y se le pidió calcular valores de/(f) para valores pequeños de t. Dichos valores de la función sugieren que /(/) se aproxima a 1 conforme t se aproxima a 0, esto ocurre y tiene importantes consecuencias en Cálcu lo. En ese ejercicio también se le pidió que trazara la gráfica de / e n la graficadora. En el ejemplo siguiente se muestra cómo dibujar, a mano, la gráfica de dicha función.

420

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i NÚMEROS REAUS

► EJEM PLO 3

D i b u j o d o l a g r á f i c a d o u n a funtH* I m p o r t a n t e * n C á lc u lo

M

Dibuje la gráfica de la función definida por sen /

(S i0Tracel6 '^¿oámpeo ^ ^/bramente¡ '¿tcaátJtlagi

/» « parar € [- ti, 0) U (O,*].

Solución

Observe que /(O) no existe. Así, la gráfica nocatu vertical. Además, como sen(-f) = -sen /, se tiene -

ñ -ñ

r jefe*®»

. '¿es¿tutosval . -fc m algebra*

sen(—t) —I

sen/

ifli)=*■''’eos4í i *¡¡)=T,!i eos4i

—t

_ sen / /

15.(!¡)=c'"8sen3í;

= / ( ')

4A/}=í”'/6eos 3/ Por esto ,/es una función par; es decir, su gráfica es simétricaca»| Ifíil - f !teos 8/ pecto al eje vertical. Primero se obtendrá la porción de la grifía I i/líl =3'^sen6f; / € (0,7i]. Si / > 0, y como | sen 1 1 < 1, entonces üknjircicios9a16, —

1

sen / 1 < ----- < —

t

t

pe ¡¡escribe "et ¡¡(míe: (a) lA Mxt lasgráficasde inspecciónindie

t

Sea

** fai MÍTO F{t) «

G (t) =

Entonces si / > 0, F(t)

lagrafie, ■'■WSdeestosvaloi

jj* ?“*parece«

.^ a lg e b m ’¡¡mi*!.»

/( /) £ G(t)

y para valores positivos de /, la gráñca de/está entre las gráfc**, G. Como sen j tc = 1, la gráfica de/ corta a la gráfica deGe*í' :1 Debido a que sen ti = 0, la gráfica de / intersecta al eje t * También, cuando 0 < / < tc, sen / > 0. Por tanto, en el Âi J!*W0-10| la gráfica está sobre el eje /. A partir de esta información, A j nar algunos valores de /(/) en (0, tc) y trazar sus puntos con*S¡¡* tes, se dibuja la gráfica d e /e n el intervalo (0, tc] como se la Figura 7.54. La porción de la gráfica en f—tc, 0) se propiedades de simetría. El punto abierto del eje vertical /(O) no está definido.

7.5

OTRA» GRÁFICAS QUE IMPLICAN A LAS FUNCIONES SINO Y COSINO___ 421

I a 8 , la fu n c ió n f e s

****** fá r ib e

:a no corta al tJt

u n m o d e lo m a te m á -

m o v im ie n to a r m ó n i c o

a m o r tig u a d o .

14. f ( t ) - t eos 31 \ F{t) -

En

G(t) * /;

[0, 2ir] por [-10,10]

\jtrciciohaga lo siguiente: (a) Muestre que F(t) £ / 15. (b) Trace las gráficas de las tres funciones en de inspección [ 0 , 2n] p o r [ -\, 1]. (c) Deter16. ¡¿otbnúcamente los valores de t de todos los puntos ^¡ección de la gráfica de f con las gráficas de F y 17. fgÜesde estos valores están en el intervalo [ 0 , 2 n]? ‘Determinealgebraicamente todas las intercepciones t ^gráfica
/(í) = 4,/6 eos 6/; F(r) = - 4 ,/6; G(t) = 4,/6;

¿elvurnio (0 ,2 ti]?

es importante en Cálculo. Observe que /(0) no está definido. En el ejercicio 50 de la Sección 7.3, se le pidió que calculara valores de/(/) para valores peque ños de t. Estos valores de la función sugieren que /(f) se aproxima a 0 conforme t se aproxima a 0. También, en ese ejercicio, se le pidió que trazara la gráfica de f en la graficadora. Ahora dibuje a mano la gráfica de/ para t € [-n, 0) U (0, *].

| /(,) = f 12sen 2t\ F(t) = - e ~ ,/2\ G (t) = < T
hilii = e - * ^ t ’h m

2 " '4

G(t) = e-"*

[0, 2ir] por [-5,5] f ( t ) = 3l/l sen8/; F(t) = - 3 ,/3; G(t) = 3^;

[0, 2ir] por [-10.10] (¡A y

La función definida por

Jlm m

f(t)

|i/(/) = * ',/6co s 3 /; F{t) = . - é T ,/6 ; G(t) = e~,/6 G{t) = ¿ T ,/4 métrica con res- i7./{í) = e~'IAeo s 8 /; F(t) = t la gráfica para !/(/) = 3_,/3 sen 6f; F{t) = - 3 " /3 ; G(t) = 3 ~ r/3 lulos ejercicios 9 a

16, la función f e s un modelo ma-

Hmtico que describe resonancia. En cada ejercicio tyfl lo siguiente: (a) Muestre que F(t) £ f( t) £ G(t). láncelas gráficas de las tres funciones en el rectánpo deinspección indicado, (c) Determine algebraicaNfe los valores de t de todos los puntos de A cción de la gráfica de f con las gráficas de F y &¿Cióla de estos valores proporcionan puntos de in•tow i que aparecen en la gráfica del inciso (b)? wemine algebraicamente todas las intercepcio; gráfica de f. ¿Cuáles de estas intercepciones r ® 1m lagráfica del inciso (b)?

¡ N * 2 ' s c n 4 f ; F(t) = - 2 '; G(t) = 2‘; ts g ráficas á c f ) de G en í = ;*• J M por[-10, 10] eje f en / * s' i? =, ? 008 5 í’ F(0 * ~ 2 ' ; G(t) = 2 '; 1intervalo (0,**- Ll , , l por[-10,10] ón, y al dew®1 0 0 1 * “ c'; G(f) = 5 correspondió , Por [-30,30] io se muestra <* je obtiene de ^ ¿ « I ' * * 1’® = ~ ^ '/2; G (/) = e '/2; ^ 1P°r [-10,10] rtical indicad u,

4

!0'¿ U n?/; f{,)== * * 1-10,10)

W - li

dy] En los ejercicios 18 a 22, (a) trace la gráfica de la función para t € [ - 11, 0) U (0, «]. (b) La fun ción no está definida en t = 0, pero ¿a qué valor pare ce aproximarse /(/) conforme t se aproxima a 0?

II dg

Determine los valores siguientes en la calculadora: (c )f(0 A ) y f ( - 0 . \ ) ; (d )f(0 .0 \)y f(-0 .0 l); (e)f{ 0.001) y /(-0.001). (f) ¿Son acordes los valores de los incisos (c)-(e) con la respuesta del inciso (b)?

18. f ( t ) ~ 20. f ( t ) = 22. /( /) =

eos t sen t sen 2/

19. f(t ) = ...

1 - eos t t2 2 sen t

= TcóTÍ

. t

1 - eos 4/ t2

23. Sea/(/) = eos2 1 y g(t) = j êos 2l (a) Trace la gráfica de / en el rectángulo de inspección de [-2*. 2n] por [-2, 2] y describa lo que ve. (b) Trace la gráfica de g en el rectángulo de inspección de [-2n. 2«] por [-2, 2] y describa lo que observa, (c) ¿En qué se asemejan las gráficas de los incisos (a) y (b)? Verifique la respuesta trazando las gráficas de f y g en el mismo rectángulo de inspección. 24. Siga las instrucciones del ejercicio 23 considerando /( 0 = sen2f y g { t ) { eos21.

422

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE NUMEROS REALES

7.6 FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECAN* Y COSECANTE i O B JETIVO S

1. 2. 3. 4.

D efinir la función tangente. D efinir la función cotangente. D efinir las funciones secante y cosecante. C alcular los valores exactos de las funciones tange«* cotangente, secante y cosecante de los números cuando están definidos. 5. C alcular los valores exactos de las funciones taageatt. cotangente, secante y cosecante para 6. A proxim ar valores de las funciones tangente, coüep^ secante y cosecante en una calculadora. 7. D eterm inar el cu ad ran te que contiene al punto tainiidt I un arco a p a rtir de los signos de las funciones trigooonáJ de la longitud del arco. 8. A prender las ocho identidades trigonométricas fundam entales. 9. E n co n tra r los valores de las otras cinco funciono trigonom étricas de un núm ero cuando se ha dadodvárél u n a función del núm ero. 10. E scribir u n a expresión trigonométrica en términos debí funciones seno y coseno.

Las otras cuatro funciones trigonométricas (o circulares) está das en términos de las funciones seno y coseno. La primendee*f la tangente (se abrevia tan), expresada como el cociente delse*.'* seno.

DEFINICIÓN

Función tangente

Si t es un número real y eos r * 0, entonces tan r = sen t eos t

Los valores de t para los que eos t = 0 son + ** Enpart.cular, cuando k = 0 ,1 * + kn = ¿ * ;Í * * - - 1 , j n + la t = — L7c; ¿ m 2 I j i + Ah = 1 * * ^ mente. Estos nümeros se excluyen del dominio de porque cero no puede emplearse como un div tso rA sj^^ el dominio de la tangente es ( / 1 / #

6*

7.6 FUNCIONES TANGENTE. COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE----- 423 C om o - 1 ^ eos í < 1 y - 1 £ se n t £ 1, | tan / | pu ed e hacerse tan grande c o m o s e d esee al tomar valores d e t, tales qu e e o s t s e apro xim e lo su ficien te a cero. En particular, si t está próxim o a j n , sen t está p r ó x im o a 1 y | e o s / | e stá p róxim o a cero. En c o n se c u e n c ia , | tan t | e s grande. C uando t está próxim o a ¿tc y e s m enor que ¿ n , en tonces tanto sen t c o m o e o s t son p ositivos, y así, tan t e s positivo. Cuando / está p róxim o a ¿ n y e s m ayor que j n , entonces sen t e s posi tivo y e o s t e s negativo y , en consecuencia, tan t e s negativo. D e esto se d ed u ce qu e e l contradom inio d e la función tangente e s el conjunto de núm eros reales. A l em p lear la d efin ición d e tan t y los valores d e sen t y e o s t da d os en la T abla 1 d e la S e c ció n 7.1, se obtiene tan t en los números

7

cuadrantales 0 , ^tc, n y | C. S e tiene

tan 0 =

sen 0

tan 7T —

eos 0

= 0 ?

” 1

sen ir

eos 77 _0 -1

= 0

= 0

71

7

C o m o e o s 1 y e o s |t c so n cero, en ton ces tan j i y tan | t i no están de finidos. E sto s resultados se resum en en la Tabla 1. S e pu ed e determ inar tan t cuando t e s igual a | C, l c y j c a partir del se n o y c o se n o d e e sto s núm eros dados en la T abla 2 d e la S ección 7 .1 . Por tanto, sen z r sen ï tan = ta n z tt

7 7

7

eo s g 7T

7 77

7

77

COS

577

eos

\

1

2

V2

V f

1

1

2

V2

9

1

= 1

i

77

V3 2

= V3

V 3

E stos va lo res, a s í c o m o lo s d e tan 0 y tan |7 t, se resum en en la Tabla 2. C o m o (e o s /, se n t) e s un punto (x, y ) d e U, ta n t = x D e e sta m anera, el valor d e tan t puede encontrarse determ inando las coord en ad as del punto term inal del arco que tiene longitud t.

>


La Figura 7.55 m uestra tres puntos de U para los cuales t = ! = - ¿ 7 l y t - - 17t. E sto s p u n tos son sim étricos de lo s pu ntos del prim er ctía

424__

CAPÍTULO 7_ FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES

drante para los cuales * B í*» f * ¿ f f y f « 1 tir de las coordenadas de estos puntos se o b ¿ ^ " eipec|* ^ * tan -7 T - -

3

x

t a n (

-

H

=

H -

¡

2

2

- I 2

V i 2

A

a

i

V3

'

i

I

1

--V 3

V3

La función cotangente (se abrevia coi) se define comn del coseno y el seno.

DEFINICIÓN

F u n c ió n c o ta n g e n te

Si t es número real y sen f * 0, entonces C O W =

sen t

Los valores de / para los cuales sen t = 0 son Ax, dondei € 2 estos números se excluyen del dominio de la función cotange*: consecuencia. el dominio de la cotangente es {t ¡ t * kit,k e Z) Como en el caso de la tangente, el contradominio de laccMW es el conjunto de números reales. 1 |^°S| val°res de función para la cotangente cuando t es ip*1J ¿K ¿n,, -it, Ijc, y I * pueden determinarse empleando la cot t y los valores de función para seno y coseno dados en Ut*®* 2 de la Sección 7.1. > E J E M P L O IL U S T R A T IV O 2

se n g ir

(b )c o tÍ7 r = ^ 4 sé n io r

y ¡ 2

j l

*1

V2

„0

1

2 ^

V2 = i

¡

FUNCIONES TANGENTE. COTANGENTE, SECANTI Y COSECANTI

425

C om o sen 0 y sen n son cero, entonces cot 0 y cot n no están defi nidos. 4 Cuando sen t y eos t son diferentes de cero, entonces eos t _ 1 sen t sen t eos t Por tanto, cot t = -----tan t

si t * | kn, k G Z 2

Esta ecuación es una definición optativa de la cotangente, y debido a esta relación, la tangente y la cotangente son funciones recíprocas. El seno y el coseno también tienen funciones recíprocas, y ellas son la co secante (se abrevia ese) y la secante (se abrevia sec), respectivamente.

DEFINICIÓN

Funciones secante y cosecante

Si t es núm ero real, entonces (i) sec t - —— eos t (ii) csc t = —-— sen t

s it * \

k

2

+ kn, k E Z

si t ¿ kn, k E Z

Observe de la definición que el dom inio de la secante es {1 1 t * - n + kn, k € Z )

y el dom inio de la cosecante es {/ J r * fot, & € Z ) Como I eos t I < 1 para todo número real f, entonces I sec / I > 1 para todo t en el dominio de la secante. De modo que el contradominio de la secante es (-o o , - l ] U [1, +oo). De igual manera, como I sen 1 1 < 1 para todo número real /, entonces, | csc / I > 1 para todo t en el domi nio de la cosecante y así, el contradominio de la cosecante es también (-oo, -1 ] U [1, +oo).

7 426

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS P i N Ú M itO S

c a p ít u l o

¡T~e je m p l o I l u st r a t iv o 3 (a) sec

1

0

0

eos 1 1

(c) CSC f 7r = ------— sen j 7r *

-1

(f) csc( ~ 3ir) =

(e) s e c ( - g tt) = — 7— ¡— r COS( g 7r) 1 "

2

2 "

V 3

Com o eos ± n y eos |t c son cero, entonces sec jxy sec|x»*j definidos. Además, com o sen 0 y sen n son cero, entonces csc0*aj no están definidos. De nuevo, aplicando el hecho de que (eos t, sen f)o * n (x, y ) de U,

cot t = ?

si y

o

csc/ = : -

8

a

Por tanto, los valores de estas funciones pueden hallar#^11^ las coordenadas del punto terminal del arco cuya longi ---- -------------------------------- ------------------------EJEM PLO 1

D e te rm in a c ió n d , fu n c io n e s trig o n o m é trfc c o o rd e n a d a s d o u n Pun

y

Encuentre la tangente, cotangente, secante y cose ^ |oo£*^' nando las coordenadas del punto terminal del arco

Solución

La Figura 7.56 muestra el punto te ! *» y para este punto (jc, y ) = ( - y , {)■Por lant0.

7.6 FUNCIONES TANGENTE. COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE

tan

75 7r 6

y

—-

cot -

x

5

X

6

.y

5 1 sec - i r — 6 x

t t ------

1 _ _ L V5

427

5 1 ese - ir — 6

y

V3

1

1

= _ ! _ i

_V5

T

2

2

2 1 "V 3

>


A fin de evaluar tan 1.205 en una calculadora en el modo de radianes, se presiona la tecla| tan] y se lee tan 1.205 « 2.610727883 Al redondear a cuatro dígitos significativos se tiene

4

tan 1.205 * 2.611

Las calculadoras, generalmente, no tiene teclas para cotangente, secante y cosecante. Para obtener valores de cot t, sec t y ese t se em plean las identidades 1 cot t -- -------tan t

>

1 sec r ---------

eos t

1 ese í =?----sen t


A fin de determinar ese 0.562, se aplica la identidad ese 0.562 = ----- TTTTñ sen 0.562 y de la calculadora, en el modo de radianes, se tiene ese 0.562 » 1.876596357 Al redondear a cuatro dígitos significativos se obtiene ese 0.562 = 1.877

► EJEM PLO 2

A p r o x im a c ió n d o v a lo r o s d o f u n c io n e s t r ig o n o m é tr ic a s e n u n a c a lc u la d o r a

Aproxime a cuatro dígitos significativos cada una de las siguientes ex presiones: (a) tan 2; (b) cot (c) sec 4.391; (d) csc(-3.672).

4 28

C A P ÍTU LO 7

f l ^ Q MES TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS RIALES___________

Solución A s e g ú r e se d e q u e la calculadora esté en el mo^r. dianes. R ed on d ee ca d a entrada a cuatro dígitos significativo« *> (a ) tan 2 Segundo cuadrante

2 .1 8 5

ta n jF

Primer cuadrante

sen i (♦) CSC I (+ eos / (-) sec I u n / (-) cot / (-)

l

(b )

ese t (+) sec / (+) col l (+)

0.7975

1 (c ) s e c 4 .3 9 1

e o s 4 .3 9 1

(d ) c s c ( - 3.672) =

- 3 .1 6 6

ese I (-) sen i (-) ese t (-) sec I (-) |cos / (+) sec / (+) cot t (+) tan t ( - ) cot t (- ) Cuarto cuadrante Tercer cuadrante

sen i (-) eos t (-) tin t (+)

FIGURA 7.57

El sig n o (+ o - ) d e cad a una d e las seis funciones trígooonáj del núm ero t e stá d eterm in a d o p or e l cuadrante que comieae^|3 terminal d e l arco d e lo n g itu d t. L a F igura 1 5 1 muestra un en cada uno d e lo s cu atro cuadrantes. Sobre los símbolos de b J bles x y y están su s s ig n o s , d eterm in ad os por el cuadrante e i d « i encuentra el pu nto. T a m b ié n en la figura se indica el signo deb j c io n es en cad a u n o d e lo s cuadrantes. L a Tabla 3 resume kxi para lo s sig n o s, p resen ta d o s e n la figura. Observe que cuando dq d e una fu n ción e s d eterm in a d o por un cuadrante específico, a h recíproca tendrá e l m is m o s ig n o e n e s e cuadrante.

Tabla 3 Cuadrante

Primero Segundo Tercero Cuarto

sen t

eos t

tan t

+

+

+

— —

—

+

—

► EJEM PLO 3 **

+ -

cot/ 1 sec/ — -----i-----+ ♦ “ I + I — 1 ♦ ____i___

5 { ! * I l— *-**

Determinación del cuadrante qt* punto torminal de un arto

A partir del sig n o in d ic a d o d e la fu n ción trigonométrica de ne el cuadrante q u e c o n tie n e al punto terminal del arco de W r (a) sen t < 0 y tan / > 0; (b) e o s t > 0 y c s c f < 0 .

Solución (a) D e la Tabla 3, sen t < 0 en los cuadrantes tercero y cuano. y en lo s cuadrantes prim ero y tercero. A fin de que ambasa nes se cu m p lan , el p u n to d e b e estar en el tercer cuadran^ (b) D e la tab la, e o s t > 0 para lo s cuadrantes primero y ‘ ese / < 0 en lo s cuadrantes tercero y cuarto. De inodo^ lo está en el cuarto cuadrante. En la S e c c ió n 7.1 se presen tó la identidad pitagórica f sen 2 1 + e o s 2 1 ~

1

7.6 FUMCIONIS TANGENTE. COTANGENTE, SECANTE Y COSICAHTi

429

Si eos / * 0, se puede dividir cada miembro de esta identidad entre eos2/ y obtener sen2 /

eos2 /

1

(-5 L V : + , = ( _ L Y \ eos t j

Veos / /

tan2 / + 1 = sec2 / Se puede dividir cada lado de la identidad pitagórica fundamental en tre sen 2 / siempre y cuando sen t * 0. Al hacerlo se obtiene +

1 +

/ eos / y \se n t )

»/ 1 y \se n / /

1 + cot t = ese t Por tanto, se tienen las dos siguientes identidades que son válidas cuando las funciones están definidas: tan2 / + | í: se c2/ 1 + cot 2 / S esc 2i Estas identidades también se denominan identidades pitagóricas. Las relaciones determinadas por identidades pitagóricas e identida des de las definiciones de esta sección, constituyen las ocho identi dades trigonométricas fundamentales. Dichas identidades se emplean frecuentemente para escribir una expresión que implica funciones tri gonométricas de una forma equivalente. Debido a su importancia, se presentan juntas en la siguiente lista. Estas identidades deben memorizarse y reconocerse en cualquiera de sus formas.

Las ocho identidades trigonométricas fundamentales I sen t e s e t = 1 u eos t sec t = 1 m

tan /c o t / = 1 _ sen / eos / eos / cot sen / sen 2 / + eos2 / = tan:1 1 + 1 - sec: 1 + col2 / = CSC*

—— <-> sen t = ----sen t ese t —-— <-> eos t -------eos t sec r —— <-> tan t = ----tan t cot t

IV sen V VI VII VIII

sen2 1 - I - eos2 1 «-> cos21= l - sen21 tan21 - sec2/ - 1 <-> sec2 /- tan2 / = 1 cot21 = ese2/ - ! « - » ese2 1 - cot 2 1 - 1

f u n c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s d e n ú m e r o s r e a

U

s

D otorm lnaclón d . i

► E JE M P L O 4

"

M gonométricos d .? * S i s e n / = - f y c o s / > 0. encontrar e o s / „ •

fu -,,"

r en». .

solución Como sen í < 0 y eos / > 0 , el punió^ 1 longitud r se encuentra en el cuarto cuadrante. De la identidad fundamental VI y como cot / > o eos t = V T ^ sen 21 = V I -(-!)= = V g

ij g iE E S De la identidad fundam ental IV, 1*

sen t eos t

tan t _

•__X.

l a /: - y COI/= -

25

1b: =—y Cü*f = —

4

.5

*

—_1

4

«

lB,s|ycw/ = - ^

3

tn /s .1

D e las identidades fundam entales I y ID,

ye«/

IB'; n„ Dy COS/ = _ 5

cot t

1

sec t

tan t _ 4 3

1

eos t

CSCt = sent

5 4

i Dy / s _u

001

3

- “5

^ > C 0|/a ^

3 seno y coseno anam 98 identidades fundamentales, tefc'l identidades I, j j r y ^ nf on ^ y ° r ftttuenciaquelasotrtc**] fo n d o n es en ^ . n o s h a b i l i t a n para expresar I*01* H ' N t,

s

«no. del cosenVoanET

K

l

V¡ i

%Í*Q

flg l

f e ? !

*

I

m p ío s

térm ino* d o to n o y co t* *

*a cxPresión (a) en términos de sen t y *a os de eo s

r y simplifique: (a) tan2 1 ese t; (V

^ i

I

7.6

FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE

431

Solución íon*i

(a) tan 2 1 ese t = I

(b)

sen t ' 2 eos t

sc/*yc«ci

minaldd^

eos2 1 sen t 800 *

_ gen

e o s2 1 se n

e o s2 /

t

inuriónproporcionada.

17. (a) 18. (a)

ta n 3 ir

(b)

o 0

ta n | tt

(b)

c o t(-J ir)

19. (a) 20. (a)

CSC 5 7T

(b) s e c ( - g T r ) (b) esc jir (b) sec(-|ir)

l n / = | y eos/ * 3

3

(n» = - l y c o s r | y cosr = ~ I =

y cosí = - i i

l2 /

l jt

c o t 5 TT

(b)

CSC \ TT

24. (a)

s e c ( —w )

(b) c o t( — j (b) tan 3 v

ta n

tt

y cosí = — ¿ = ^ Vl3 = -1 y eos / = 0

2 5 . (a ) tan 1.26 (c ) sec 0.34

(b) cot 1.26 (d) ese 0.34

2 6 . (a ) tan 0.57 (c) sec 1.42

(b) cot 0.57 (d) ese 1.42

2 7 . (a ) tan 1.05 (c ) sec 0.21

(b) cot 1.05 (d) ese 0.21

2 8 . (a ) tan 0.18 (c) sec 1.33

(b) cot 0.18 (d) ese 1.33

2 9 . (a ) tan 1.84 (c) co t 3.62

(b) ese 1.84 (d) sec 3.62

3 0 . (a ) tan 4.06 (c ) cot 2.75

(b ) sec 4.06 (d) ese 2.75

3 1 . (a ) tan ^

(b ) s e c ( - g i r )

=

H o 16, encuentre las seis fu n c io n e s número, determinando la s coordetorminal del arco cuya lo ngitud e s e l * Cuy°punto inicial es (1, 0). H tfir W- \tr

c sc (-f v ir)

significativos.

* o y co« f = - i

k¿,

21. (a) 22. (a) 23. (a)

En los ejercicios 25 a 34, utilice una calculadora para d eterm inar e l valor de la función con cuatro dígitos

y cas/ = t, las función* I aras cuatro l> |L as otras c u |

s e c (-jir)

1 Mw

En los ejercicios 17 a 24, encuentre el valor exacto de la función.

l n / = -= y cosí = — £ <2

)«11

eos2 /

jloj (jfrcicios 1 a 10, encuentre los valores exactos ¿(„Iuní, fb)cot t, (c) sec t y (d) ese t, a p a r tir d e la

iw / = — y eos / = ~

ssión íb !- 1

I

i

1 - sen2 f

té + k a *

21

sen2 1

13. - J ir 16. - j f f

(c) c s c ( - ¿ * )

432

CAPÍTULO y

32. (a) t a n ( - j i r )

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS REALES

44. Si tan < = - i y sec < < 0, 0^

(b ) s e c ( - j t r )

e x a c t o s d e s e n / . c o s í , c o t í, ie c /y CJCi

(c) ese \ ir 33.

(a ) c o t

J ir

( b ) s e c ( — 7 -rr)

En lo s e je r c ic io s 4 5 a 50, escriba la e n * térm inos d e s e n t y la expresión (b)

(c) ese ß ir 34.

( a ) c o t { ¡ ir (c)

sec

(b )

«»« ibbioja

tt

c s c ( - f ir)

£h los ejercicios 35 a 38, determine el cuadrante que contiene al punto terminal del arco de longitud t, si el punto inicial está en( 1, 0).

45. (a)

c o t2 í esc í

ib) tan i cici

46. (a)

c o t í sec í

(b) cot^Kc,

.

47. (a)

35. (a) c o s í > 0 y tan / < 0

0y (a) eos í < 0 y (b) sen í > 0 y (b) sc n í <

36.

37.

38.

0 > 0 > 0

48. (a)

c o tí > tan í cot í

49. (a)

sen J t — 77 ta n 1 1 1

-

sec2 /

sec2/ ese* / e o s /c o t/

(a) tan í < 0 y ese í > 0 (b) cot í > y sec t <

50. (a)

(a) tan í > 0 y ese í < 0 (b) c o tí < y sec / >

5 1 . E xprese

0

0

0

0

t a n 2 / -f 1 eos / ta n 2 /

1 - ac‘í CKU COt*! co t2 / C0(2/ + |

seni sec2 <

-1

s e n r ta n /

en términos dea

39. Si eos / = y sen / > 0, encuentre los valores exactos de sen /, tan /, cot /, sec í y ese í.

. « s e c 2 / - c o t2 / . . 5 2 . E x p r e s e --------------;--------- en térmmosdrcai *t

40. Si sen í = y eos í > 0, encuentre los valores exactos de eos í, tan /, cot í, sec t y ese /.

5 3 . E n la Sección 2.1 se definió una »¿nhHrwn ecuación en la que el conjunto soiudéia que el dom inio de la incógnita. Cooseam u n a identidad trigonométrica en la vanHe lida para todo /, para el cual las funcione si* rudas. Establezca cada una de las octo á/t trigonom étricas fundamentales, y p m ai* d ad indique todos los valores de / pnl»*1 identidad es válida.

41. Si tan / = y y sec / < 0, encuentre los valores exactos de sen /, eos /, cot /, sec / y esc /. 42. Si cot í = | y esc í < 0, encuentre los valores exactos de sen /, eos t, tan í, sec í y ese /. 43. Si cot / = - -jj y ese / < 0, encuentre los valores exactos de sen /, eos /, tan í, sec / y esc /.

7.7

PERIODICIDAD Y GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTt OBJETIVOS

1. A prender que las funciones tangente y cotan g en te* 00 periódicas de periodo n. 2. A prender que las funciones secante y c o s e c a n te son periódicas de período 2K. ^ 3. D eterm inar valores de funciones trig o n o m étn la periodicidad de las funciones. 4. O btener la gráfica de la función tangente. 5. O btener la gráfica de la función cotangente.

periodicidad y

GRÁFICAS PE LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y.

433

6. A p ren d er q u e el periodo de una fun ción de la form a tan b t o K

cuentre los v%ei

fyese/,

cot bt es

b l' D ib u ja r la s g ráficas d e las fu n d o n es tangente y cotangente. O b te n e r la gráfica d e la fun ción secante. O b te n e r la gráfica d e la fu n d ó n cosecante. A p re n d er q u e el p eriod o de una función de la form a sec b t o 2n ese b t es 7 7 7 . Io I 11. Dibujar las gráficas de las funciones secante y cosecante.

a expresión (Qj érminosdecfn,

7. 8. 9. 10.

ese/ sec i : s c 21

2t |

P(co»t, sen t)

t

A ntes d e discutir las gráficas de las funciones tangente, cotangente, se cante y cosecan te, se mostrará que estas funciones son periódicas. El concepto de periodicidad nos ayudará a obtener las gráficas. C onsidere lo s puntos P (eos t, sen t) y P (-c o s t, - s e n t) de la cir cunferencia unitaria U. Estos puntos son los extremos de un diámetro, véase la Figura 7 .5 8 , la cual muestra el punto P en cada uno de los cuatro cuadrantes.

LLi ¡/

1

- i tan / in o s de sen t.

nos de eos l

Jentidad como una lución es el mismo 'onsecuentemcnic, la variable / es vi-

P ( - e o s l, - sen/) ----. N»

f o ln f )

^

f r

\ \ \

ixnones están dcü ! > och o identidades

N

/ ’ (-eos I, - seni)

T

1 para cada ¡denti-

1]

0

^

1

0

í

J K

: / para los que P{ eos í, senQS^~~~-

\

P (eos /. sen O

P(-eos (, - sen /)

(d)

(c) FIGURA 7.58

ES ANTE inte son

D e las d efin icion es de tangente y cotangente

e son cas utilizando

sen t

tan t

si e o s t =£ 0

eos t

eos t c o t t ---------sen t

. n si sen t r v

C om o P ( - c o s /, - s e n t) e s el punto terminal de un arco de longi tud t + tan (t +

71, entonces

7r)

=

—e o s t

—sen t

c o t(t + ir) -

—e o s t sen t eos t

—sen t eos t

si e o s t & 0

sen t

si sen

7

f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r ic a s p i n ú m i r o s

REALES

4 3 4 CAPÍTÜLO

Así, tan (í + ir) * tan t

si e o s f *

0

y

Cot(/ +

tt)

cotí

D e estas fórmulas, la tangente y la cotangente riodo es n . A l aplicar repetidamente las teorem a siguiente.

’ * pue^

TEOREMA 1

S i f e s cualquier núm ero real y * e s cualquier entero, "*Í r*' tan(í +

k it ) = tan t

e o t(/ + fai) = cot /

►

E JEM PLO

1

si r * jic + far si f * Atc

A p licació n d e la periodicidad pan -rwtj v a /o r e s d e las funciones tangonk j c o tan gen te

U tilice los valores de las funciones tangente y cotangente cuÉíl t < n y la periodicidad de estas funciones para encontrar a i» los valores siguientes: (a) tan

(b ) c o t|n ; (c) cot Ix y (d) tac -

Solución (a ) tan

17 T =

ta n (|

= tan

tt

+

( b ) COt § TT = COtíflT + *)

tt)

5 7t

cot |

tt

= 1

” V3 (d) t a n ( - ^ ) = tanf

( c ) COt 5 7T = C O t(j 7T + 377-)

= tañé11

= COt 5 TT

P

= 0

con la

see

ffJ l

0

*a secante y de la cosecante estén^ icidad d el co sen o y d el seno. Como ___ L S

t = eos /

si e o s t # 0

v

e se t s

•b.

y----------frffÁflCAS - _PE LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, Si CANTE Y ... entonces s e c ( t + k • 2 ir ) *

CSC( / + k • 2 tt) = —

■; ... .......

+ k ■2ir)

sen u

Pero c o s(/ +

k

t y sen (t

• 2 « ) * eos

sec (r + k • 2 tt)

si eo s(t + k ■ 2

c o s ( / + k ■ 2ir)

eos

t

*)*0

si sen(/ + k • 2 n ) * n

'

u

+ Á: • 2ic) * sen f. De donde

si e o s / # 0

tan t

c s c (/ + k • 2*77) = -----sen/

si s e n / # 0

A l sustituir l /( c o s /) por sec / y l/(sen /) por esc /, se tiene el teorema siguiente.

TEOREMA 2 Si / e s un núm ero real y se c (/

k es cualquier entero,

+ k ■ 2k ) =

c s c (/ +

k

se c

t

si

■ 2n) = e s e

t

si / * ¿rc

/ * jff>

ibt

D el T eorem a 2, la secante y la cosecante son periódicas, y el pe riodo e s 2 n . Ahora nos concentrarem os en las gráficas. El procedimiento para obtener la gráfica d e la función tangente es semejante al que se empleó para el sen o y el cosen o. Debido a que el periodo de la tangente es n, primero se determ inará la porción de la gráfica en el intervalo [0, n\. Para conseguir algunos puntos específicos de la gráfica, se emplean al gunos valores esp eciales de tan t presentados en la Tabla I. La Figura 7.59 muestra los puntos que tienen como coordenadas los pares de números (/, tan r) dados en la tabla, donde se consideró 43 * 1.7 y ~ * 0.6. C o m o tan \ i t no está definido, no hay punto en la gráfica para t - \ n . Pero ¿qué ocurre cuando t se aproxima a Para responder esta pregunta, se em plea la identidad tan / = £ !L Í eos t

CAPÍTULO^JFUNCIONES «laO N O M ÉTR IC AS P I NÚMEROS REALES

Conforme t se aproxima a+Ti, sen t se aproxima a 1 detalladam ente, conform e f s e aproxim a a y 001 *le* i / i —x j *» ■ irav^c ™ k ñores que ¿ n (e sto es, t - n ^ ) , e o s r se aproxima a ^ valores positivos; d e m o d o que tan t crece sin lím t / ° *** "*&* [como ta n t —* + 00

conform e

Conforme t se aproxima a i * a través de valores mayores que*,/ 1 es, f -> -Jn*). eos t se aproxima a cero a través de valores I en consecuencia, tan t decrece sin límite. Esto se denota cono ^ I ta n t —*

5

con form e f —* ir'f

Por tanto, la recta t = I f l e s una asíntota vertical de la gráfica.^ L esta inform ación, se unen los puntos de la Figura 7.59 con unacum se obtiene la gráfica m ostrada en la Figura 7.60. Como ayudap t J bujar la gráfica, se pu eden localizar puntos adicionales de los vi¿| d e tan t o b ten id os m ediante la calculadora. La porción d e la curva en el intervalo [0, ic] se repite paraodaA

1

tervalo del eje t d e longitud n : [« , 2 * ], [2n , 3tc], [ - ti, 0], [-2x, -*] j 1 su cesivam ente. L a Figura 7 .6 1 muestra la gráfica completa.Las» totas verticales son la s rectas q u e tienen las ecuaciones

FIGURA 7.60

<=>

t

=

t

=

J7T + kTT (2 k + l ) i i r

donde k E Z . L o s valores d e t en los que la gráfica corta aleje;;::, los ceros d e la fun ción tangente. E llo s son t = kn, donde k €

/ ( / ) = tan t FIGURA 7.61

Y aW¿ r » r A S p i * * * F U N C I O N E S T A N G E N T E , c o t a n g e n t e , s e c a n t i y .

437

Observe que la gráfica de la función tangente es simétrica con res pecto al origen debido a que la tangente es una función impar; esto es, is t a cero, Más je valores mei por medio (fe ìsto se escribe

tan ( - /) = -ta n t Esta identidad puede obtenerse a partir de las identidades (1) y (2) de la Sección 7.3 com o sigue; tan ( —r)

s que ^ ti (esto res negativos; ;omo

-

sen("~f) c o s(-f)

_ ~ sen t eos t = —tan t

i gráfica. Con m una curva y tyuda para di de los valores

La gráfica de la función cotangente puede obtenerse localizando puntos com o se hizo para la tangente. Sin embargo, un método más fá cil es el que em plea la identidad cot t —

para cada in-2 k , — 7t] y así eta. Las asín-

1 tan t

si t * - kn, donde k € Z. Para un valor de t en los dominios de am bas funciones, una ordenada de la gráfica de la cotangente puede en contrarse tomando el recíproco de la ordenada correspondiente de la gráfica de la tangente. Si t = ~ donde es un entero par, entonces tan - 0, y cor no está definido. Por tanto, no hay punto en la gráfica de la cotangente para estos valores de t. Cuando t = donde es un entero impar, cot t = 0. A sí, la gráfica de la cotangente corta al eje / para estos valo res de t. Se utiliza la gráfica de la tangente como ayuda, primero se di buja ésta, en color gris, com o se indica en la Figura 7.62. Después, se

kn,

ta al eje t son k € l

k

t

kn,

F I G U R A 7 .6 2

k

t

438

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS RBALKS_______

jf;.,

toman los recíprocos d e la s o rd e n a d a s , obteniéndose los punto, . gráfica de la cotangente, mostrada en la fig u ra. Observe que las ¿ tas verticales de la gráfica de la cotangente son las rectas que tie*? ecuaciones t = kn, donde k € Z, y lo s c e ro s d e la función cotanJ? I son t = ^n + kn, donde k € Z. A partir de sus gráficas, es evidente que el contradominio & funciones tangente y co ta n g en te e s e l conjunto R de los núnJ' reales. El Teorema 1 de la Sección 7.3 establece que una función defi* I da mediante una de las ecu aciones/ ( / ) = sen bt o f(t) = eos I b * 0, tiene periodo 2n/\ b I. La prueba se basó en el hechode», I el seno y el coseno tienen periodo 2n . Una demostración semeja* puede darse para el teorema siguiente. El periodo de una función de¿- i nida por f ( t ) = tan b t o f ( t ) = cot bt es 7i / 1 b I debido a que el pe* do de la tangente y de la cotangente es n.

TEOREMA 3 El periodo P d e una función d efinida por

f{ t) = tan bt

o

f{t) * cot bt

donde b * 0, e stá d ad o p o r

n

► EJEMPLO 2

D ibu jo d e la g rá fic a de una función fanpn*

D ibuje la gráfica de / ( / ) = tan 3 1 donde t es cualquier núm ero del intervalo [0, it] en el cual la ft®03 está definida. E scriba las ecuaciones d e las asíntotas de la gráficaintervalo. V erifique la g ráfica e n una graficadora. 1 M Solución Del T eorem a 3, con b — 3, el periodo d e / es encontrar los ceros de f se resuelve la ecuación tan 3/ = 0, ow** dose 3 1 = kn, donde k € Z. P o r tanto, en [0, ti] las interseca la gráfica con el eje t están en 0, j n, j n y n. A fin de determ inar las ecuaciones de las asíntotas, obse^ tan 3 1 no está definido c uando 3/ = i n + kn donde k € Z. C o m o t está en [0, ti] entonces 3/ está en [0< las ecuaciones de las asíntotas en [0, ti] están dadas por

Y G p A n r A S PE LA S FU N C IO N E S TAN G EN TE, COTANGENTE, SECANTE Y . . ,

439

00}a?*9 3 1 = §77

31

5 *T

t = ftf

Í7T

Con esta inform ación y la localización de algunos puntos, se ob tiene la gráfica de la Figura 7.63. Para esta gráfica en el intervalo [0, tc] del eje t se han hecho marcas cada de unidad. En la graficadora se obtiene la m ism a gráfica. 4

► EJEMPLO 3

Dibujo de la gráfica de una función cotangente

D ibuje la gráfica de f(t)

= 2 cot j í

en el intervalo cuya longitud es el periodo. Compruebe la gráfica en la graficadora.

f(t) = tan31 FIGURA 7.63

Solución D el Teorem a 3, con b = el periodo d e /e s T = 3n. Por tanto, se obtendrá la gráfica en el intervalo [0,3 n). La gráfica intersecta al eje t cuando cot j t = 0, esto es, cuando jt = \ tt + kir donde k G Z. C om o 1 1 está en [0, tc], entonces el único punto de in tersección con el eje t está dado por

\t = \ir t = §7T Para las asíntotas, éstas se determinan cuando cot j t no está defi nido. Esto ocurre cuando cual la función ‘ la gráfica en el

| f = j&t

f e / e s ¿ k Para — O, ODteniénnterseccioncs de tas. observe que

donde k es cualquier entero. En el intervalo [0, 3ti], las asíntotas están dadas por 3ít

5Í = 7T t = 37T

i e n [0 , 3*]. Asíir

A partir de la información precedente y con algunos puntos se ob tiene la gráfica requerida mostrada en la Figura 7.64, la cual concuerda con la gráfica trazada en la graficadora. < Las gráficas de las funciones secante y cosecante se obtienen de manera sem ejante a la empleada para la cotangente. Para la secante se em plea la identidad

440

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES

sec t —

eos t

si / * ¿ n + kn , donde k E Z. En la gráfica d e/(r) = sec í. cada denada es el recíproco de la ordenada correspondiente de la gráfiJ f ( t ) = eos t, excepto para valores de t para los que eos t = 0. Con* función secante no tien e cero s, en to n ces su gráfica no intersecu eje t. D e hecho, ya que I sec. t I £ 1, entonces no existen ordenadas^ la gráfica entre - 1 y 1. La gráfica d e / ( í ) = sec t se presenta en la Figura 7.65 en la^ la gráfica d e / ( / ) = eo s t se indica con la curva gris. Las asíntotas«, ticales de la gráfica de la secante son las rectas que tienen las ecuaci& nes r =

+ k n . donde k G Z.

/ ( / ) = sec t

FIG U R A 7.65 Para la gráfica d e la cosecan te, se em plea la identidad 1 CSC t = -----sen t si t * knt donde k E Z Cada ordenada de la gráfica de la es el recíproco de la ordenada correspondiente del seno, excep^.. lores de t para los que sen / = 0. C om o con la secante, no cxJ* denadas de la gráfica entre - 1 y 1. ^ La Figura 7 .6 6 muestra la gráfica de la función cosecantO^ fica del seno, la cual se representa por una curva gris. Las ¡; verticales de la gráfica de la cosecante son las rectas que ecuaciones t = kn , donde k E Z

4

DE LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y ...

44l

m

t e t, cada or la gráfica de : 0 . C om o la in tersecta al >rdenadas de 5 5 en la que sín to ta s verla s ecuaciof ( t ) = ese t

FIGURA 7.66 D ebido a que la secante y la cosecante son recíprocos del seno y coseno, respectivam ente, se tiene el teorema siguiente, correspondien te al Teorem a 1 de la S ección 7.3.

TEOREMA 4 El periodo P de una función periódica definida por f l t ) = sec b t

o

/ ( r ) = ese b t

donde b * 0 , está dado por

la cosecante

en va>existen or-

► EJEMPLO 4

D ibu jo d e la g ráfica d e una función cosecante

ce p to

Dibuje la gráfica de la grá-as asíntotas le tienen las mte y

/ ( / ) = - 2 e se en un intervalo cuya longitud es el periodo. Verifique la gráfica en la graficadora. 2 n Solución Del Teorema 4, con b * j , el periodo d e / e s ~ * 4n. A s í , s e obtendrá la gráfica en el intervalo [ 0 ,4it].

442

CAPÍTULO 7 ÛMC»ONIS TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS REALES A fin de encontrar las asíntotas verticales, se determinará donde c* I no está definido. Para esto, sea ± t = kn, donde k € Z En el lo [0, 4tc), las asíntotas son I

/(•)

j í = 2 tt / = 47r

t = 27T

Como I ese j / I ^ l , / ( 0 ^ - 2 o / ( í ) £ 2. Además,/(*) * , I 1, e sto e s, cuand o *¡t

5 TT <=> t — 7T

Y / ( / ) = 2 cuando ese \ t = - 1 , esto es, cuando 7T <=> t f(t) = -2csc —r

37r

Con la información precedente y la localización de algunos pos. tos, se tiene la gráfica requerida, la cual se muestra en la Figun7.fi En la graficadora se obtiene la m ism a gráfica. <

FIGURA 7.67

► EJEMPLO 5

D ibu jo do la g rá fic a de una fundón ncom

junciones lang

jttmtycot i valoresde lafi 1. (a) tanj« (c) tan(-

1 (a) tan 51¡

Dibuje la gráfica de f(t)

ES3 fy ¡OS ejerefo

(c) tan(- i

sec(í - jrc)

1 (a) tan \ u

Compruebe la gráfica en la graficadora. S o lu c ió n La gráfica de la función dada puede obtenerse a panno: la gráfica de la función g(t) = sec í, mediante una traslación horizortal de ^71 unidades a la derecha, la gráfica requerida aparece en Figura 7.68, la cual incluye la gráfica de g(t) = sec / en el inteni* /(O

(c) tan(-j

71

i (a) tan (c) tan(-¿ S. (a) tan y * (c) tan(- f

6- (a) tan xtj (c) tan(- 7 7- (a) tan 5ir (c) tan(- y (a) tan y ir (c) tan(-5*

^ los ejercicios Múones secanh **1y ese t cua ^ e s de laJune (a) sec J 7r (c) sec y 7T

,0- (a) sec^TJ. (®) Sec *r 7T

0 - f - )

FIG U RA 7.68

¡a) *c( - \ i r

•f«IPPICI DAD Y GRÁFICAS P l LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTI Y ...

443

[0, 2 n ] rep resen tad a con la curva gris. La graficadora muestra la mis m a gráfica. 4

inará donde ese i , Z. En el interva.

C o m o se h izo con las curvas del seno y del coseno en la Sección 7.3, se pu ed en u tilizar las curvas tangente, cotangente, secante y cose can te trazad as en un a graficad ora para aproxim ar valores particulares d e estas fu n cio n es trigonom étricas. Tam bién pueden emplearse las cu rv as p ara ap ro x im ar valores de t si una de estas funciones trigono m étricas d e t se proporciona. Véase los ejercicios 21 a 24.

.dem ás, f(t) ~ -2

EJERCICIOS 7 .7 n de algunos pun ¡bbsijtrcicios 1 a 8, u tilice la p e r i o d i c i d a d d e la s en la Figura 7.67. ínula tangente y co ta n g e n te a s í c o m o l o s v a l o r e s yuni y col / cuando 0 < it < 7i, p a r a

JuraJelafunción. función mcante

(b) COt j 7 7 (d) c o t ( - ¿ 7 r ) 1 (a) tan 5 77 (b) c o t 5 i r : (t) tan(- 3 tt) (d) COt( 5 7r) l(l) tan ¿ 7T (b) COt g TT (c) tan(—§tt) (d) c o t ( - f 77) Mi) tan j i r (b) COt y 77 (d) (c)tan(-jir) 1 Mi) tan y tt (b) COt y TT (d) COt( “ 5 7r ) 1 (t)lan("iir) I ^ (l) tan x 7T (b) COt y 77 I k)tan(-jTr) (d) c o t ( - í f tt) 1 '•(1) tan 5ir (b) 1 W t n ( - ^ t j (d) c o t ( - \ t t ) |M i) tan y 7r (b) c o t 1 TT I **) tan(-5ir) (d) c o t ( —6 77 ) . ‘ejercicios 9 a 14, emplee la periodicidad de las pOK» secante y cosecante así como los valores de 'ycíe 1 cuando 0 <, t < 2 it, para encontrar los L(i)tanjir

O

0

3

O On

n

)btenerse a partir de 1traslación horizonerid a aparece en la sec t en el intervalo

T ©>i—

(c) tan(-Jir)

[ uk lafunción.

'i*

(b) CSC | TT (d) CSC ^ 7 7 (b) CSC ^ 77 (d) csc y 77 (b) c s c (- g ir) (d) csc( 1 77) ib) c s c (- ] 7t) (d) c s c (- 7f n)

13. (a) (c) 14. (a) (c)

sec I t t s e c (-y T r) sec y 77 s e c ( - 7 77)

(b) CSC 977 (d) c s c (- f 7r) (b) CSC | TT (d) c s c (- 97r)

En los ejercicios 15 a 20, determine el periodo de la Junción. 15. (a) (c) 16. (a) (c) 17. (a) (c) 18. (a) (c) 19. (a) (c) 20. (a) (c)

2 tan 3 1 tan 5/ 3 cot 5/ tan \t 4 sec 7 1 5tan I t 3 ese 8/ 5tan 8/ sec 57Tt tan S t t í 3 sec 4 tt í tan | t 7í

(b) (d) (b) (d) (b) (d) (b) (d) (b) (d) (b) (d)

cot 6/ 5coti? tan 4r 5 cot g/ csc 71 co t\t sec f/ 3 cot f f 5CSC 577/ COt 1 77/ CSC 1 717

cot 107Tt

En los ejercicios 21 y 22, utilice la gráfica de lafun ción dada, trazada en la graficadora, afin de aproxi mar el valor de lafunción a tres dígitos significativos. Después verifique la aproximación al calcular el valor de la función mediante la tecla 0 teclas apropiadas de la calculadora. 21. (a) tan 0.894 (c) tan 5.67 (e) sec 1.84

(b) cot 2.53 (d) cot(-1.98) (f) csc(-4.65)

22. (a) tan 1.35 (c) tan(-2.29) (e) sec(-3.07)

(b) cot 4.06 (d) cot 0.374 (f) csc 6.16

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS P I NUMEROS REALES En los ejercicios 23 y 24, utilice la gráfica de la fun ción dada, trazada en la graficadora, a fin de aproxi mar los valores de t con tres dígitos significativos, tales queQ £ t < 2n para los cuales la ecuación se satisface. 23. (a) tan t - 0.775 (c) tan t * -3 .6 0 (c) sec / *= -1 2 .4

(b) cot t — —0.775 (d) cot / * 4.07 (f) ese t ~ 2.79

24. (a) tan t (c) tan t (e) sec t

(b) cot t — 1.67 (d) cot t = —0.484 (f) ese t = - 3 .9 2

=* -1 .6 7 * 0.690 * 1.39

En los ejercicios 25 a 40, (a) dibuje la gráfica de la función donde t es cualquier número del intervalo indi cado en el que la función se define. (b) Escriba las ecuaciones de las asíntotas de la gráfica en el interva lo. (c) Verifique la gráfica en la graficadora. 25. / ( /) = 2 tan t\ [0, 2ir)

39. / ( / ) = 2 sec

i irt\ [0, 2]

40. f ( t ) - 3 e s e j 7rf; ( - 3 , 3)

ios cuadn identidad |

Eni los ejercicios 41 a 48, dibuje la gráfica^, ción cuya longitud m en el intervalo cuva InnoituA es e/ periodo pruebe la gráfica en la graficadora.

anode esa

4 1 . f { t ) = 3 tan 2 t

Después d seno y eos periodicidi

2

« ■ /(O = «, i

43. / ( / )

2 cot j t

45. / ( /)

—sec 4 1

47. f ( t)

5 tan i 7tí

4 6 - / ( ') = 3

5 3 . f ( t ) = 2 sec (f - tt)

II

o o

T tt)

32. / ( /) - - 3 tan J r; [0, 3ir] 33. / ( /) = 3 sec r; [0, 2ir]

2 ese r; (0, 2ít)

35. f ( t) - ese 3í; (0, 2tt) 36. / ( /) = sec 2f; [ - tt, 37. / ( /) -

( J La periodi en la obten coseno y o se dibujan cómo utilii dora para a y coseno, i tienen asoc

5 «■)

28. f{ t) = tan 3/; [0, ir]

34. / ( /) =

7

4 9 . / ( / ) = tan(f + ¿ ir) 5 0 . f ( t ) * tan(r - } ir)

5 2 . f ( t ) = co t(/ +

31. f ( t) = - 2 cot 3r; (0,

csc !,

E n los ejercicios 49 a 58, dibuje la gnânhi,^ ción. Verifique la gráfica en la graficadom.

27. / ( /) = cot 2t; (0, ir)

29. f ( t) = t a n \ t \ [~ 2 tt, 2 it ]

tt]
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Matemáticas Previas Al Calculo, 3ed - Leithold - FREELIBROS.COM

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