Matemáticas Previas Al Calculo, 3ed - Leithold - FREELIBROS.COM

TERCERA EDICION FUNCIONES, GRAFICAS Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

FORMULAS DE ALGEBRA Productos notables (x + aXx + b) m x 2 + () : x 2 — v2 («jc + by)(cx + ¿y) = ac*2 + (ad + bc)xy + bdy2 (x ♦ y)3 - Jr3 + 3*2y + 3*y2 + y 3 ( l f- y)3 — jr3 — 3jt2y + 3*y2 - y 3 Factorización de polinomios ax + ay + az = a(x + y + z) x 2 - y 2 =* (x + y)(jc — y)

ar2 + (fl + b)x + ab = (x + a)(x + b) x 2 + 2xy + y 2 = (jc + y)2 jr2 — 2xy + y 2 = (jc — y)2 acjr2 + (a*/ + bc)xy + bdy2 = (ax + &y)(cjt + í/y) ar3 + y3 = (jc + y)(jc2 — xy + y 2) jr3 - y3 s= (jc - y)(jc2 + xy + y 2) Exponentes a" ’ am = am+m (aHT = anm a" , „

Si a < ¿».entoncesa - c 0, entoncesac < be Si a be Si b > 0 ,1x I 0 ,1x I > b e s equivalente ax > b o x < -b Logaritmos y = logfcX si y sólo si x ■y log* 1 =* 0 log* b =» 1 log* uv = log/, u + log/, v log/, - m log* U ~ log* V log* un — n log* u In x = log, x Teorema del binomio (a + b)n = „Coa" + nC\an~xb + nC2añ-2b2 + . . . + nCran rbr + . . . + jejb donde nCr = -*— —----(n — r)!r! FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Fórmula de la distancia La distancia entre dos puntos />i(X|, yt) y Pj(x2, v2J está dada por

ía ¿ r *= a"¿>" 7a\" _ a" b +0 -w r y a° = 1 a ^ 0

\ftP 2\ = V(x 2 —Xi)2 + (yz —yi)2 Fórmulas del punto medio

a" = — a ^ 0 a" a l/" = = (Va)"1 fl-/- = Va"*

Si A/(jc, y) es el punto medio del segmento de recta de P\(x\* yi) a Pito, yí), entonces Xi + x2 Vi + V: V= 2 2 Ecuaciones de una circunferencia

Radicales

La circunferencia con centro en (h, k) y radio r tiene como una ecuación

Va •

= N/fljb

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

a = \nfa7 ub J-~7= í n0 ^Tb Vb +r~H | a ¡f n is odd \ a n ¥■ { | - ... 11a | if n is even F órm ula c u a d rá tic a

Si a ?£ 0, las soluciones de la ecuación át* 4- hx + c = 0 están dadas por b ± VP la

4ai

Mv .^ w o ld g d M rv

S* o1<"b y~b < c, entonces a < c

Si a < b, entonces a + c < b + c

Pendiente de una recta Si P\(xu yi) y Pz(xí , yj) son dos puntos diferentes cua lesquiera de una recta no vertical, entonces la pendien te de la recta es m, y está dada por yi - y¡ X2 - X\

Ecuación de una recta La forma punto-pendiente para una recta que tiene pendiente m y que pasa por el punto Pi(x¡, y¡) es y — y| «= m(x — £|) La forma pendiente-intercep I«»n para mvi - jcia que tiene pendiente m e intercepción y igual a / os y = mx *f b

Contenido

Prólogo

x lii

1 Núm eros, expresiones algebraicas y gráficas de ecuaciones 1.1 Conjunto de números reales 1.2 1.3 1.4 1.5

Expresiones algebraicas Conjunto de números complejos Plano numérico Gráficas de ecuaciones Revisión del Capítulo 1

2 Ecuaciones y desigualdades 2.1 Ecuaciones lineales con una incógnita 2.2 Ecuaciones cuadráticas con una incógnita 2.3 Ecuaciones como modelos matemáticos 2.4 Otras ecuaciones con una incógnita 2.5 Desigualdades lineales 2.6 Desigualdades polinomiales 2.7 Ecuaciones y desigualdades que implican valor absoluto Revisión del Capítulo 2

1 2 16 31 42 50 59

63 64 73 88 98 109 ^'7 126 135

3 Rectas, p a rá b o la s , c ircu n fe re n c ia s y tra s la c ió n d e e jes

139

3.1 Rectas

140

vU)

CONTIWIPO

3.2 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.3 Parábolas 3.4 Circunferencias 3.5 Traslación de ejes Revisión del Capítulo 3

153 165 171 178 186

Funciones y sus g rá fic a s

190

4.1 4.2 4.3 4.4

191 198 209

Funciones Gráficas de funciones Funciones cuadráticas Funciones como modelos matemáticos 4.5 Funciones compuestas Revisión del Capítulo 4

221 230 236

Funciones p o lin o m ia le s y ra c io n a le s

242

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

243 254 264 274 285 298

Gráficas de funciones polinomiales Teorema del factor y sustitución sintética Ceros racionales de funciones polinomiales Ceros complejos de funciones polinomiales Funciones racionales Revisión del Capítulo 5

Funciones in ve rsa s, e xp o n e n c ia le s y lo g a rítm ic a s 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Funciones inversas Exponentes y número e Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Propiedades de las funciones y ecuaciones logarítmicas 6.6 Ecuaciones exponenciales Revisión del Capítulo ó

302 303 315 327 337 348 358 366

Contenido

7 Funciones trigonométricas de números reales 7.1 Funciones seno y coseno 7.2 Valores de las funciones seno y coseno y funciones periódicas 7.3 Gráficas de las funciones seno y coseno y de otras ondas senoidales 7.4 Aplicaciones de las funciones seno y coseno a fenómenos periódicos 7.5 Otras gráficas que implican a las funciones seno y coseno 7.6 Funciones tangente, cotangente, secante y cosecante 7.7 Periodicidad y gráficas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante Revisión del Capítulo 7

8 Funciones trigonométricas de ángulos

ix

371 372 382 392 407 416 422 432 444

449

8.1 Ángulos y su medición

450

8.2 Funciones trigonométricas de medidas angulares 8.3 Solución de triángulos rectángulos 8.4 Ley de los senos 8.5 Ley de los cosenos Revisión del Capítulo 8

460 477 488 500 508

Trigonometría analítica

513

Identidades trigonométricas Identidades de suma y diferencia Identidades de valor múltiple Identidades para el producto, suma y diferencia de seno y coseno 9.S Funciones trigonométricas inversas 9.6 Ecuaciones trigonométricas Revisión del Capítulo 9

514 522 535

9.1 9.2 9.3 9.4

548 555 570 580

10 Vectores, ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y números complejos

585

10.1 Vectores 10.2 Fundones vectoriales y ecuaciones paramétricas 10.3 Coordenadas polares 10.4 Gráficas de ecuaciones polares 10.5 Forma polar de números complejos 10.6 Potencias y raíces de números complejos y teorema de De Moivre Revisión del Capítulo 10

586

Secciones cónicas

651

11.1 Elipses 11.2 Hipérbolas 11.3 Ecuación general de segundo grado en dos variables y rotación de ejes 11.4 Sistemas que implican ecuaciones cuadráticas 11.5 Tratamiento unificado de las secciones cónicas y ecuaciones polares de las cónicas Revisión del Capítulo 11

652 664

598 606 614 625 634 647

678 688 698 708

Temas de álg eb ra

712

12.1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 12.2 Propiedades de las matrices y solución de sistemas lineales por medio de matrices inversas 12.3 Fracciones parciales 12.4 Sucesiones, series y notación sigma 12.5 Inducción matemática 12.6 Sucesiones y series aritméticas y geométricas 12.7 Teorema del binomio 12.8 Introducción a las series infinitas Revisión del Capítulo 12

713

730 746 754 763 773 789 801 811

Apéndice: propiedades de los números reales Respuestas a los ejercicios impares índice de materias

817 824 895

2

1.1

CAPÍTULO 1

NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

CONJUNTO DE NUMEROS REALES OBJETIVOS

1. A prender acerca de los núm eros reales y sus subconjuntos. 2. A prender las propiedades del sistem a numérico real. 3. Establecer la correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos en la recta num érica real. 4. A prender la notación de intervalos p ara definir un conjunto de núm eros. 5. D eterm inar si un conjunto de núm eros es subconjunto de otro. 6 . D eterm inar la unión o intersección de dos conjuntos de núm eros. 7. U tilizar la notación de conjuntos y los símbolos de desigualdad p a ra d en o tar un conjunto de números. 8 . Ilu stra r u n conjunto de núm eros sobre la recta numérica de núm eros reales. 9. D efinir el valor absoluto de un núm ero real. 10. R epresentar núm eros p or medio de puntos sobre la recta num érica real y d eterm in ar las distancias entre puntos.

El álgebra y la aritmética involucran números sobre los cuales se reali zan operaciones tales como adición, sustracción, multiplicación y divi sión. Mientras la aritmética trata operaciones con números específicos, por ejemplo, 2 + 5, u 8 • 9; en álgebra se estudian operaciones sobre números no especificados o desconocidos. Éstos son designados por me dio de símbolos o letras, como x, y, z, a, b, o c. La palabra álgebra provie ne del vocablo árabe al-jabr, que está en el título de un trabajo publicado a inicios del siglo IX, ilm al-jabr w ’al muqábalah (traducido como “la ciencia de la reducción y cancelación”). El simbolismo alge braico usado para generalizar las operaciones de la aritmética, fue formu lado en los siglos XVI y XVII. Ocasionalmente, se utilizará alguna notación y terminología de conjuntos. Se puede decir que un conjunto es una colección de obje tos, y los objetos de un conjunto se llaman elementos del conjunto. Cada objeto particular podrá estar o no en el conjunto. Las llaves, { }, utilizadas con palabras o símbolos, pueden descri* bir un conjunto. Si S es el conjunto de números naturales menores que 6 , el conjunto S puede representarse así: {1,2, 3,4,5} El conjunto S también puede simbolizarse como: {*, tal que x es un número natural menor que 6 } donde el símbolo x recibe el nombre de variable. Una variable es un símbolo que se utiliza para representar cualquier elemento de un conjunto dado, y a éste se le denomina dominio (conjunto de reemplazo)

__________________

1.1

CONJUNTO Pg NÚMEROS RgAifs

3

de la variable. Otra manera de representar el conjunto anterior S con siste en aplicar la notación constructiva p ara conjuntos, en la cual se utiliza una barra vertical en lugar de las palabras tal que. Con la nota ción constructiva para conjuntos, el conjunto S se representa como: {x|x es un número natural menor que 6 } lo cual se lee como “el conjunto de todas las x tal que x es un número natural menor que 6 ’*. Se dice que dos conjuntos A y B son iguales, lo cual se escribe A = B, si y sólo si A y B tienen los mismos elementos. Por ejemplo, {1,2,3} |

{3,1,2}

La unión de dos conjuntos A y B, denotada por A U B y que se lee “i4 unión B”, es el conjunto de todos los elementos que están en A o en B o tanto en A como en B. La intersección de A y B, que se denota por medio de A fl B y se lee “A intersección B", es el conjunto de todos los elementos que están tanto en A como en B. El conjunto que no contiene elem entos recibe el nombre de conjunto vacío y se deno ta por 0 .

>

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

Suponga que A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {1, 4, 9, 16} y C = {2, 10}. Entonces A U B = {1, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16}

A D B = {4}

B U C = { 1 , 2 ,4 , 9, 10, 16}

B D C —0

<

Observe que en este ejemplo ilustrativo la intersección de los con juntos B y C es el conjunto vacío. Estos dos conjuntos no tienen elem entos en común y se les llama conjuntos ajenos. El símbolo € se utiliza para indicar que un elemento especíñco pertenece a un conjunto. De ahí que para el conjunto C del ejemplo ilus trativo 1 pueda escribirse 2 € C, lo cual se lee “2 es un elemento de C”. La notación a, b E S indica que tanto a como b son elementos de S. El símbolo £ se lee “no es un elemento de”. Por tanto, 5 £ A se lee “5 no es un elemento de A '\ Si todos los elementos de un conjunto S son también elementos de un conjunto Tt entonces S es un subconjunto de T y se escribe S c T. En este ejemplo ilustrativo, todos y cada uno de los elementos de C son también elementos de A\ de este modo, C es un subconjunto de A y se escribe C c A. El símbolo se lee “no es un subconjunto de”. Así pues, puede escribirse {1, 2, 3,4} $¡£ {1, 2, 3}. Se ha hecho referencia al conjunto de núm eros naturales, que se denota por N, de modo que N = { 1 ,2 ,3 ,...}

4

CAPÍTULO 1

N ÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

donde los tres puntos se emplean para indicar que la lista continúa in terminablemente. El número cero, el cual se representa con el símbolo 0, es aquel que tiene la propiedad de que si se sum a a cualquier otro número, el resultado es este m ismo número. El conjunto de númeroá cuyos ele mentos son los núm eros naturales y el cero recibe el nombre de con junto de los n ú m ero s cab ales.' Al conjunto de números naturales también se le denom ina conjunto de los enteros positivos. En particu lar, el número natural 14 es el mismo que el entero positivo 14. En correspondencia, con cada entero positivo n existe un entero negativo, tal que si éste se sum a a n, el resultado es 0. Por ejemplo, el entero negativo - 5 , que se lee “m enos cinco” , es el número que cuan do se sum a a 5, da como resultado 0. El conjunto de los enteros nega tivos puede denotarse por {-1, - 2 , - 3 , . . . } . Al conjunto de números cuyos elem entos son los enteros positivos, los enteros negativos y el cero se llam a c o n ju n to d e los enteros. Si se denota este conjunto por Z, se tiene Z = { ...,- 3 ,- 2 ,- 1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,...} Luego, el conjunto de enteros es la unión de tres subconjuntos ajenos: los enteros positivos, los enteros negativos y el conjunto que consta únicamente del número 0. Obsérvese que el 0 es un entero, pero no es positivo ni negativo. Algunas veces se hace referencia al conjunto de enteros no negativos, el cual consta de los enteros positivos y el 0, o de forma equivalente, el conjunto de números cabales. Asimismo, el conjunto de en tero s no positivos es aquel que consta de los enteros negativos y el 0 . Considérese ahora el conjunto cuyos elementos son números que se representan por el cociente de dos enteros p y q, donde q es diferen te de 0 , es decir, los números que se representan simbólicamente como P —

donde q es distinto de 0

A este conjunto de números se le denomina conjunto de los números racionales,** el cual se denota por Q. A sí pues Q = í x Ix pueda representarse por

p € Z ,q E Z; q no es 0

j

Algunos números contenidos en el conjunto Q son 1/2, 3/4, 11/5, -2/3 y -31/12. Todo entero es un número racional debido a que cualquier entero puede representarse como el cociente de sí mismo y de 1; p°r ejemplo, 8 puede representarse por 8/ 1; 0 puede representarse por 0/1. y -1 5 , p o r-15/1. Por tanto, Z q Q . •

N. del S. Se emplean en esta versión notaciones más universales para los diferentes conjuntos de números. Los enteros no negativos te llaman en inglés whole numbers, es decir, números cabales. Suelen denotarse con W.

N. del S. Las denominaciones de racional e irracional se refieren sólo al concepto matemático de razón (relación por cociente) y no al de razón como facultad de discutir y juzgar. El término razón proviene del latín ratio, que se pronuncia “racio”.

1.1

CONJUNTO PE NÚMEROS REALES

5

Cualquier número racional puede escribirse como un decimal. Se supone que el lector conoce bien el proceso aritmético de dividir para verificar esto. Por ejemplo, 3/10 puede escribirse como 0.3; 9/4, como 2.25; y 83/16, como 5.1875. A estos decimales se les denomina deci males finitos. Hay números racionales cuya representación decimal es infinita y periódica; por ejemplo, 1/3 tiene la representación decimal 0.333 . . . , donde el dígito 3 se repite indefinidamente, y 47/11 puede representarse como 4.272727 . . . , donde los dígitos 2 y 7 se repiten sucesivamente en ese orden. Puede demostrarse que la representación decimal de todo número racional es un decimal finito, o bien, un deci mal infinito periódico. En la Sección 12.8 se demostrará que todo de cimal infinito periódico es la representación de un número racional. Ahora surge la pregunta siguiente: ¿existen números cuya repre sentación decimal sea infinita y no periódica? La respuesta es afirmati va, y un ejemplo de tal número es la raíz cuadrada principal de 2 , que se denota simbólicamente por y se representa mediante un decimal infinito y no periódico como 1.41421.... Otro número de este tipo es n (pi), que es la razón del perímetro de un círculo a su diámetro y se in dica por medio de un decimal infinito y no periódico: 3.14159___ Los números cuya representación decimal sea infinita y no periódica carecen de expresión como el cociente de dos enteros, y por tanto, no son números racionales. A este conjunto de números se le denomina conjunto de los núm eros irracionales, y se denotará por /. La unión del conjunto de los números racionales y el de los núme ros irracionales es el conjunto de los núm eros reales. Si este conjunto se denota por R, simbólicamente se define por medio de R = QÜI La Figura 1.1 muestra las relaciones entre los conjuntos de núme ros anteriormente discutidos. Ejemplos de cada una de las clasificacio nes de números aparecen en el rectángulo correspondiente.

► EJEMPLO 1

Determinación de si un con/unto de número» es un subcenfunto de otro

Los conjuntos N, Z, Q, I, R son los conjuntos de números definidos en esta sección. Inserte c o para hacer que el enunciado sea correcto. (a) N ___ Z; (b) Q _____Z; (c) { V 5 T 3 .5 } ____ /; (d) {0}-------Q, ( e ) N ____R. Solución (•) Como todo número natural (o entero positivo) es un entero, A Í^Z. (b) Puesto que hay números racionales que no son enteros, Q Z. (c) <2 y n son números irracionales, pero 3.5 es racional; por consi guiente, (V2, ii, 3.5} $£ /. (d) Cero es un número racional, y por tanto {0} c Q. (e) Todo entero positivo es un número real; de aquí que N q R. <4

CA PÍTU LO 1

N U M ER O S, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

FIG U RA 1.1

►

EJEMPLO 2

D eterm inación d e la unión o intersección d* dos conjuntos d e núm eros

E n cad a u no d e los casos siguientes, determ ine cuál de los conjuntos N , Z , Q , I, R y 0 e s ig u al al c o n ju n to dado: (a ) Z U Q\ (b) Z 0 Q,

(c )tfn /; ( d ) I Ü R . Solución (a) La unión de Z y Q es el conjunto de núm eros que son enteros, o bien, racionales. D ebido a q u e el conjunto d e los enteros es un subconjunto de los núm eros racionales, esta unión es el conjunto de los núm eros racionales. P or tanto, Z U Q = Q. (b) La intersección de Z y Q es el conjunto de núm eros que son tanto enteros com o racionales. Esta intersección es el conjunto de los ente ros y, de este m odo Z D Q = Z. (c) D ebido a que el conjunto d e los enteros positivos y el de los nú m eros irracionales no tienen elem entos en com ún, N D 1 = 0 . (d ) La unión de / y R es el conjunto de números que son tanto irraciona les com o reales. D ebido a que el conjunto de núm eros irracionales es un subconjunto del de los núm eros reales, / U R = R. 4

____________________ 1 . 1

CONJUNTO DE HÚMEROS REALES

7

El sistem a n um érico real consta del conjunto R de números reales y dos operaciones denominadas adición y m ultiplicación. La adición se denota por medio del símbolo +, y la multiplicación por el símbolo - (o bien, X). Si a, b E R, entonces a + b denota la sum a de a y b, y a • b (o bien, ab) denota su producto. Como se indicó en la in troducción, la Sección A .l del apéndice contiene un estudio del siste ma numérico real. La sustracción y la división de números reales son definidas en tér minos de adición y multiplicación respectivamente. La definición de sus tracción es como sigue: si a y b son números reales, la operación de sustracción asigna para a y b un número real, denotado por a - b llamado la diferencia de a y b, tal que |p - b = d

>

a = b + d

si y sólo si

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 7 -4

= 3

porque

<

7 = 4 + 3

En la definición anterior, la frase “si y sólo si” esusada para com binar dos proposiciones: 1. a - b = d s i a = b + d. 2. a - b = d sólo si a = b + d, la cual es equivalente a la proposi ción a = b + d si a - b = d . Ahora se define la división. Si a y b son números reales y b * 0 la operación de división, asig na para a y b un número real, denotado por a + b llamado el cociente de a y b tal que a 4* b = q

si y sólo si

a = bq

(1)

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 24 -í- 6 = 4

porque

24 = 6 • 4

^

Observe en la definición de división que b * 0. La razón para esta restricción puede ser vista permitiendo que b sea 0 en el inciso (1). Por ejemplo, s i e n ( l ) / ? - 0 y a = 3 (cualquier otro valor de a diferente de 0 puede ser usado en lugar de 3). 3 + 0 = ^

si y sólo si

3 - 0 "q

Por supuesto que no hay valor de q que satisfaga esta proposición por que 0 • q * 0, y 3 * 0. Además si en (1) b = 0 y a = 0, la proposición queda: 0 + 0 * q

si y sólo si

0 * 0 ' q

CAPÍTULO 1


Debido a que 0 • <7= 0 para cualquier valor de q, 0 -r 0 puede ser igual a cualquier número real; de aquí que 0 + 0 es indeterminado. Por tanto, para cualquier número real a, no existe un significado fijo para a + 0. De aquí que la división éAttto cero no está definida. Los elementos del conjunto de los números reales se pueden orde nar mediante una relación denotada por los símbolos < (léase “menor que”) y > (léase “mayor que”). En la definición siguiente de estos sím bolos se emplea el concepto de número positivo dado por el Axioma 8 en la Sección A. 1.

DEFINICIÓN

Los símbolos < y >

Si a y b son números reales, si y sólo si si y sólo si

(i) a b

b - a es positivo a - b e s positivo

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 3 < 5 puesto que 5 - 3 = 2, y 2 es positivo, -1 0 < - 6 debido a que - 6 - (-10) = 4 y 4 es positivo, 7 > 2 porque 7 - 2 = 5, y 5 es positivo, -2 > -7 ya que - 2 - (-7) = 5, y 5 es positivo,

\ > \ debido a que |

|

y

es positivo.

4

Observe que 3 > 0

porque

3 - 0 = 3, y 3 es positivo,

-4 < 0

porque

0 - (-4) = 4, y 4 es positivo.

Estas proposiciones son casos especiales de las siguientes propiedades obtenidas a partir de las definiciones de > y <: a > 0

si y sólo

si a es positiyo

a< 0

si y sólo

sí a es negativo

Si escribimos a <, b (léase >la es menor que o igual a b") se quiere decir que a es menor que b o a = b. De manera similar, a t b (léase como “a es mayor que o igual a b”) indica que a es mayor que boa =b.

1.1

CONJUNTO PE NÚMEROS RIALES

9

Los enunciados a b ,a < t b ,y a ^ b son llamados desigual* dades. En particular, a b son desigualdades estrictas, mien tras que a £ b y a £ b son desigualdades no estrictas. Un número x está entre a y b s i a < x y x < b . Se puede escribir lo anterior como una desigualdad continua de la forma siguiente: a
~

.

2 < 3< 4

c 4 -5 < 1 < 3

1

- < 2

2

3

- < 3 4

Otra desigualdad continua es a £ x <, b lo cual significa que a < x y x <, b. Otras desigualdades continuas son a< > x< by a< x< ,b.

► EJEMPLO 3

Empleo do la notación do conjuntos y símbolos do desigualdad p ara denotar un conjunto de números

Utilice la notación para conjuntos y uno o más de los símbolos, <, >, < y > para denotar cada uno de los conjuntos siguientes: (a) el conjunto de todas las * tales que x está entre - 2 y 2 ; (b) el conjunto de todas las t tales que 4í - 1 sea no negativo; (c) el conjunto de todas las y tales que y + 3 sea positivo y menor que o igual a 15; (d) el conjunto de todas las z tales que 2z sea mayor que o igual a -5 y menor que -1. Solución (a) {x | - 2 < x < 2} (c) {y | 0 < y + 3 £ 15}

(b) (d)

{t | 4t - 1 > 0} {z | -5 < 2z < -1}

M

Ahora, se proporcionará una interpretación geométrica del con junto R de los números reales mediante su asociación a puntos sobre una recta horizontal denominada eje (véase la Figura 1.2). Se elige un punto (arbitrario) sobre el eje para representar el número 0. A este pun to se le denomina origen. Se selecciona arbitrariamente una unidad de distancia. Después, cada entero positivo n se representa por el punto situado a una distancia de n unidades a la derecha del origen y cada entero negativo - n se representa por el punto situado a una distancia de n unidades a la izquierda del origen. A estos puntos se les conoce como puntos unidad. Éstos se designan mediante los números con los

CAPITULO 1

NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

cuales se asocian. Por ejemplo, 4 se representa por el punto que está 4 unidades a la derecha del origen, y - 4 se representa por el punto que está 4 unidades a la izquierda del origen. La Figura 1.2 muestra ios puntos unidad que representan a 0 y los primeros doce enteros posi tivos y sus correspondientes enteros negativos. Los números racionales se asocian con puntos sobre el eje de la Figura 1.2 al dividir los segmentos entre los puntos que representan enteros sucesivos. El segmento del eje de 0 a 1 puede dividirse en siete partes iguales. El extremo derecho de la primera de tales subdivisiones se asocia al número Asimismo, el extremo derecho de la segunda subdivisión se asocia a etc. El punto asociado al número j se en cuentra a veinticuatro séptimos a la derecha del origen, que está a tres séptimos de la distancia desde el punto unidad 3 hasta el punto unidad 4. También, un número racional negativo se asocia a un punto situado a la izquierda del origen. La Figura 1.3 muestra algunos de los puntos asociados a números racionales.

-♦------♦— +---------------------------------------------------------------- ♦---- ♦---------- » » +--- ♦--------3 _.5_ -2 ni -1 1 2. 2 L 3 24 4 . 7:h. ^ 2 * 3 7 4 2 3 FIGURA 13 Las Construcciones geométricas pueden utilizarse para encontrar puntos correspondientes a ciertos números irracionales, tales como \2, y otros (véase los ejercicios 35 y 36). Los puntos correspon dientes a otros números irracionales pueden encontrarse mediante aproximaciones decimales, por ejemplo, un punto correspondiente al número n puede aproximarse empleando algunos de los dígitos en la representación decimal 3 .1 4 1 5 9 .... Todo número irracional puede asociarse a un punto único sobre el eje, y todo punto que no corresponda a un número racional puede ser asociado a un número irracional. Ello indica que puede estable cerse una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los núme ros reales y los puntos ubicados sobre el eje horizontal. Por esto se hace referencia al eje horizontal como la recta numérica real. De bido a que los puntos situados sobre la recta numérica real se iden tifican con los números que representan, se utiliza el mismo símbolo para el número y el punto.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 Considere el conjunto {jc| —6 < x < 4 }. Este conjunto está representado sobre la recta numérica real de la Figura 1.4. El corchete en 4 indica que 4 está en el conjunto, y el paréntesis en - 6 indica que - 6 no está en el conjunto.

1.1

**4 9öe

CONJUNTO DE NUMEROS REALES

f i 1 i i f- f ♦ i i i -10

-6 -5

11

1 0

4 5

( jc| —6 < i S 4 |

eia it* FIGURA 1.4

<

Al conjunto de todos los números x que satisfacen la desigualdad continua a < x < b se le denomina intervalo abierto y se denota por (¿a, b). Por tanto,

ÏD-

r*

(a, b) * {* | a < x < b } El intervalo cerrado de a a b es el intervalo abierto (a, b) junto con los dos puntos extremos a y b, y se denota por [a, b\. Así pues, ^

[a, b] = {x: 1 a £ x £ b }

b FIGURA 15

^*8ura 1-5 ejemplifica el intervalo abierto (a, ¿), y la Figura 1.6 representa el intervalo cerrado [a, b). El intervalo abierto (o semiabierto) por la izquierda es el intervalo abierto (a, b) junto con el punto extremo derecho b. Se denota por (a, bV, así

? 2. - f ----------------------- h ab

11 ■ b

(ia, b] = [x | a < x <, b\

FIGURA 1.6 Se define un intervalo abierto por la derecha de manera similar y se denota por [a, b). De este modo H FIGURA 1.7

[ a

^ f¿

La Figura 1.7 muestra el intervalo (a, b] y la Figura 1.8 presenta el intervalo [a, ti). Se empleará el símbolo +oo (infinito positivo) y el símbolo -oo (infinito negativo); sin embargo, téngase cuidado de no confundir estos símbolos con números reales, ya que no cumplen con las propiedades de dichos números. Se tienen los intervalos siguientes:

(a, + 00) (-o o , b)

\ x > a) x < b) IPx% a) \x i b )

a {je j B

j1

[a, +oo) * { * H

m m

FIGURA 1.8

[a, b) = {x | a < x < b)

8

ÔP 1 í> &

j b

~

(-o o , +oo) ä

H

12

CAPÍTULO 1


La Figura 1.9 ejemplifica el intervalo (fl, +oo) y la Figura 1.10 representa el intervalo (-oo, b ). Obsérvese que (-oo, +oo) denota el conjunto de todos los números reales.

► EJEMPLO 4

Ilustración da un con/unto da números sobn la recta da númaras realas y definición del con/unto p ar madlo de la notación de Intervalo

FIGURA 1.9

Marque sobre la recta numérica real cada uno de los conjuntos si guientes, y mediante notación para intervalos, represente el conjunto: (b) (je I x > 1 y x < 10} (d) {* j x * 2 } f l {* \ x < 9)

(a) {jc | -7 £ x < -2}

FIGURAI.10

(c) {x | x ¿ - 5 ojc S 5} (e) {x ¡ jc < 0 ) U {x | x > 3}

Solución Los conjuntos se muestran sobre la recta numérica real en la Figura 1.11 (a), (b), (c), (d) y (e), respectivamente. Con notación para intervalos se tiene *-+ -+

M i l - »■+

.7 -5 -2 0 ( i |- 7 S x < - 2 )

(a) { * | - 7 <

(a)

(c)

{jc | jc ^ — 5 o bien x £ 5} = ( - o o , -5] U { x | jc £ 2} f l {jc| x < 9} = [ 2 ,9 ) {jc ¡ jc < 0} U {jc | 3} = ( - o o , 0) U [3 , + o o )

(e)

ly x

= [-7 ,-2 ]

{x \x >

(d )

I I t f 0 1 5 4»\x >1 y x < íoj

jc< - 2 }

(b )

< 10} = ( 1 ,1 0 )

[5, + oo) <

(b)

► EJEMPLO 5 -S

-+-H 0

5

{jtlx s - 5 o bien * — 5} (c)

4 l I l I l I M

l

0 2 5 9 10 \x \x a 2} n [x\x < 9} (d)

0

3

( x Ijk < 0} u

Ilustración de un conjunta de números sobn la recta da números reales y definición del conjunto por medio de los símbolos de la notación de conjuntos y desigualdad

Marque sobre la recta numérica real cada uno de los intervalos si guientes, y mediante notación de conjuntos y símbolos de desigualdad, denote los intervalos: (a) (-2 , 4); (b) [3, 7]; (c) [1, 6); (d) (-4,0); (e) [0, +oo); (f) (-oo, 5). Solución Los intervalos se indican sobre la recta numérica real de la Figura 1.12 (a), (b), (c), (d), (e) y (f). respectivamente. Con notación de conjuntos se tiene

{xix * 3)

(e)

FIGURA 1.11

(a) ( - 2 , 4) = {x\ —2 < x < 4 } (c) [ 1 , 6 ) = {jc | 1 ss

(e) [0, + » ) =

jc

{jc I jc >

<6}

(b) [3, 7] = {jc| 3 jc ^ 7} (d) ( - 4 , 0] = {jcI - 4 < jc £0)

0}

(f) (-oot 5) « {jc| jc < 5 }

<

Asociado a cada número real hay un número no negativo, deno minado su valor absoluto.

1.1

enota.

DEFINICIÓN

CONJUNTO P i NÚMEROS RIALES

13

V alor absoluto

Si a es un número real, el valor absoluto de a, denotado por | a |, es a , si a es no negativo, y es - a , si a es negativo. Con símbolos se escribe o

\ a

<5

( - 2 ,4 )

|f l |

=

si a £ 0

<

.

I - a si a < 0

n

(a)

«OS S-

lunto; 1 3.7]

< 91

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 6

(b) i I [ i i M )

ca reí Jlacioc

0 1

Si en la definición anterior se toma a a como 6 ,0 y - 6, se tiene

5 6

|61 =6

(1.6)

=6

I ^ | ( | j t {| t o

(-4,0] (d)

El valor absoluto de un número a se puede considerar su distancia (sin tener en cuenta el sentido, a la izquierda o a la derecha) desde el origen. En particular, los puntos 6 y - 6 se encuentran cada uno a seis unidades desde el origen. Por la definición de valor absoluto se tiene

O

9 | wr

10.+ -) (C)

- b i / 1 1a - b } L í a - a ~ \b

C-“ , 5)

id

11 FIGURA 112 ‘ *|
Este valor absoluto puede interpretarse como la distancia entre los puntos a y b de la recta numérica real sin importar el sentido. Véase la Figura 1.13.

► FIGURA 1 13

i

EJEMPLO 6 Representación de números por me de puntos sobre la recta numérica real y determinación de la distancia entre los puntos

Marque los puntos correspondientes a los números —10, —7, —5, —3, 0, 3, 5, 7 y 10 sobre la recta numérica real. Halle la distancia entre u y v en cada uno de los casos siguientes: u= 10, v » 3;(b)// = 3, v = 7; (d) u = ~7, v = 0; (e) u = - 3 , v = -5 ;

(a)

¿gtP

si a £ b si a b

rsal^

z.

si a - b > 0 si a - b < 0

a - b (a - b)

o bien, de manera equivalente,

—H- f t I I -4■ I t ) O 5

los 9r jak^ -4 $

| - 6 1 = - ( - 6)

? (e) ' -5 -4

>**

|0 1 = 0

(c) u = 5, v = —3; (f) u = -1 0 , v = -7 .

14

CAPÍTULO 1

NÚM ERO S, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

Solución

La Figura 1.14 muestra los puntos correspondientes a los números dados sobre la recta numérica real. En cada inciso la distancia entre u y v es | u - v | unidades:

tos corresp< recto numér 11- {-2,3,

+

-5

10

-3

12. (y, re, -

10

En los ejert y uno o más conjunto da

FIGURA 1.14

(a) \ u - v

(b) I u - v

- | 10 - 3 |

13. (a) El J

= 4

= 7 (c) \ u -

V

= |3 - 7|

(d ) I u -- v

=r | 5 - ( - 3 ) |

= | —7 — 0 |

= | 81 = 8 (c)

M

V

= 7

= | - 3 - (-5 )

(f) I u - v

= | -1 0 -

= 9

<

16. (a) E

1.1

En los ejercicios 1 a 10, recuerde que N es el conjunto de números naturales, Z es el conjunto de enteros, Q es el conjunto de números racionales. I es el conjunto de números irracionales y R es el conjunto de núme ros reales.

5. (a) Z __R (b) {0}___ N (d) {0, 1.732}___ Q 6. (a) N _______ ________Q (d) { -V 3 ,0 ,V T } ____/

(c) / ____ R (b) Q / (c)Q __ R _

EJERCICIOS

( —7) j

En los ejercicios 7 y 8, determine cuál de los conjuntos N, Z, Q, I, R y 0 es igual al conjunto dado. En los ejercicios 1 y 2, inserte G , o bien, £ en el espa cio vacío para que el enunciado sea correcto. 1. (a) 15,_N (c) - 3 ____ Z 2. (a)

0 __ Q

(c) | _____ «

(b) 1.41421___I (d) re___Q (b) 2007___Z (d) - 5 ___/

En los ejercicios 3 y 4, utilice el símbolo c para dar el enunciado correcto que comprenda a los dos conjuntos dados. 3. (a) A/ y Q (d)Z y R

(b) R y Q

4. fa) R y N (d) {01 y Z

(b) Z y Q

(c) Z y N

7. (a) QC\R (d) / n z 8. (a) I O R

(b) Q U /

(c) Z U N (c) / f l Q

(d) Z D N En los ejercicios 9 y 10, para el conjunto dado S, defi na cada uno de los conjuntos siguientes: (a) S f) N; (b) S C \Q ;(c )S C \I;(d )S C \Z 9. 5 = {12,

lyR

En h s ejercicios 3 y 6, inerte C . o bien, j£ para hacer el munciado correcto.

positi es raa conjui y 15 i En los ejet conjunto ¿ el conjunu ba el conj cripciones 17. (a) { 18. (a) {

(b) Q V R

V r, 0, -38, - V 2,571, re. 0.666 . . . , 16.34)

10. ¿m { J í, 26, yfX 1.23, - V9,

(c)

que -9 y entiel que4z 14. (a) El conjun igual a das las 15. (a) El no ned r es ni conjui que-1

- 0 .3 3 3 .... -6214, \ u ,£ ll En los ejercicios 11 y 12, acomode los elementos subconjunto dado de R en el mismo orden que sus pw

19. (a) { (b) { 20. (a) (b) 21. (a) (b)

{ { { {

22. (a) {

(b) {

23. (a) {

(b) {

24. (a) { (b) {

1.1

los correspondientes de izquierda a derecha sobre la recia numérica real. 11. (-2,3.21.5. -7. |. V 2 ,- J. -V 5. - 1 0 . 0 , - f - 1 } 11 { y . « . - 8 , - V 2 r 3 , - V 3 7 4 . ^ . - f 1.26.ÍJI)

En los ejercicios 13 a 16, utilice notación de conjuntos y uno o más de los símbolos <, >. ^ y > para denotar el conjunto dado. 13. (a) El conjunto de todas las x tales que x es mayor que -9 y menor que 8; (b) el conjunto de todas las y entre -12 y -3 ; (c) el conjunto de todas las z tales que 4z - 5 sea negativo. 14. (a) El conjunto de todas las x entre -5 y 3; (b) .el conjunto de todas las y tales que y sea mayor que o igual a —26 y menor que —16; (c) el conjunto de to das las t tales que 8/ - 4 sea positivo. 15. (a) El conjunto de todas las x tales que 2x + 4 es no negativo; (b) el conjunto de todas las r tales que r es mayor que o igual a 2 y menor que 8; (c) el conjunto de todas las a tales que a — 2 es mayor que -5 y menor que o igual a 7. 16. (a) El conjunto de todas las s tales que 2s + 3 es no positivo; (b) el conjunto de todas las x tales que 3x es mayor que 10 y menor que o igual a 20; (c) el conjunto de todas las z tales que 2z + 5 esté entre -1 y 15 inclusive. En los ejercicios 17 a 24, haga lo siguiente: (i) muestre el conjunto sobre la recta de números reales; (ii) represente el conjunto mediante la notación de intervalo; (iii) descri ba el conjunto en palabras de manera similar a las des cripciones en los ejercicios 13 al 16. 17.

(a)

i*\ X > 2 }

( b ) { * |- 4 <

20. ia) ib )

21. (a)

ib)

( b ) {*

|3

x < 12}

o b ien x > 4} M {*1 x s - 5 y x < 5} {x\ X < 3 o b i e n x .> 6} M X > 2 } n {* | x < 12} M X s - 4 } U { x | X > 4} M x 2 - 5 } n { x | x < 5} X s

22. (a) ib) U ! X 23. ia) {x\ X ib ) 1*1 X 24. ia) {x\ X ib) {x\ x

—4

< 3}

x

^

< x <9}

U {x | x > 6}

> - 4 } n {x| X < 0} — 0} U {x j x — 7}

> - 8 } n { x | X < 0} > 2} U { x | X > 10}

4

15

En los ejercicios 25 a 28, marque sobre la recta numé rica real el intervalo dado y utilice notación para con juntos y símbolos de desigualdad para denotar el intervalo. 25. (a) (2, 7) (c) ( - 5 . 4]

(b) [ - 3 , 6] (d) [ - 1 0 , - 2 )

26. (a) ( - 5 , 5) (c) [ - 8 . 3)

(bj [ 1 .9] (d) ( - 7 . 0J

27. (a) [3, +oo) (c) ( - 4 , +oo)

(b) (-oo, 0) (d) (-oo, +oo)

28. (a) (-oo, - 2 J (c) (-oo, 10) ;

(b) ( - 1 , +oo) (d) It). + » ) '

En los ejercicios 29 y 30, determine el valor absoluto en cada inciso. 29. (a) | 7 | . i

£ * b y f* a |F '

(c) ¡3 - V 3 | 30. (a) | i | : (c) ¡-ít - 2 |

(d) |V 3 - 3 | (b) | —8 1 (d) |3 — ir|

En los ejercicios 31 a 34, marque los puntos corres pondientes a u y v sobre la recta numérica real y des pués determine la distancia entre u y v . 31. (a) m — 8, v = 2 (c) 4 = 8, v = - 2

(b) u - - 8 , v = 2 (d) u = - 8 . v = -2

32. (a) u = 6, v = 4 (c) « = 6, v = - 4

(b) u = - 6 , v = 4 (d) u =3 -'6, v = - 4

33. (a) u =t, v = 2t,y t > 0 (b) u = /, v = 2t, y t < 0 34. (a) u (b) u «

18. (a) u \ X S í 8 } 19. (a) {x\ X > 2 y ib )

CO NJUNTO DE NUMEROS REALES

= t,

v = j#,y t > 0

t, v =a ¿f, y t < 0

35. Para deteminar el punto en la recta numérica real correspondiente al número irracional \ 2 , use la construcción indicada en la figura de abajo: desde el punto 1, se dibuja un segmento de recta de longitud unitaria y perpendicular al eje. Al unir el extremo superior de este segmento con el origen se forma un triángulo rectángulo. La longitud de la hipotenusa de este triángulo rectángulo es >/2" uni dades. (Este hecho se deduce a partir del teorema de Pitágoras, el cual establece que c 2 tiene el mis mo valor que a 2 + b 2, donde c unidades es la lon gitud de la hipotenusa y a unidades y b unidades son las longitudes de los otros dos lados). Después se dibuja un arco de la circunferencia que tiene su centro en el;origen y un radio de ^2 ', el punto don-

6

CAPÍTULO 1


de este arco corta el eje es V2. Emplee este método para determinar el punto correspondiente a V5.

36. Determine el punto sobre la recta numérica real correspondiente al número irracional VTo. (Suge. renda: veáse el ejercicio 35). 37. Escríba una descripción del conjunto de número* reales especificando las relaciones entre los con. juntos de números mostrados en la Figura 1.1.

1.2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS OBJETIVOS

1. A prender la notación y term inología asociada con expresiones

algebraicas. 2. Sim plificar expresiones racionales complejas similares a los tipos encontrados en cálculo. 3. A prender las leyes de los exponentes racionales. 4. A plicar las leyes de los exponentes p a ra simplificar expresiones algebraicas. 5. A prender las propiedades de los radicales. 6. Simplificar expresiones algebraicas comunes en cálculo. 7. Racionalizar los num eradores de fracciones encontradas en cálculo.

En esta sección se discuten las operaciones con polinomios y expresio nes racionales, entre ellas las leyes de exponentes y radicales. Primerc se revisarán algunas notaciones y terminología. A fin de indicar un producto, se utiliza el punto centrado (o a me dia altura), •, o algunas veces se omite el símbolo de multiplicación Por ejemplo, el producto de a y b puede escribirse de las formas si guientes: a •b

(a) (b)

a (b) (a) b

ab

Los números a y b reciben el nombre de factores del producto ab. Suponga que se tiene el producto de dos factores idénticos de i Puede utilizarse la notación x 2 para indicarse este producto, donde numeral 2 escrito en la esquina superior derecha del símbolo x se conotf como exponente e indica que el número representado por x se utilizar* en dos ocasiones como factor; es decir, Xa * X ' X

En particular, 3 2 = 3 • 3; esu-Hs, 3 2 = 9.

1.2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

17

En términos generales, si a es un número real y n es un entero po sitivo, entonces a" = a - a • a • . . . • a (n factores iguales a a) donde a n se le denomina exponente, a se conoce como base y a ” re cibe el nombre de /i-ésima potencia de a. Por ejemplo, x 2 es la segun da potencia de x y y 3 es la quinta potencia de y , donde

y5 = y • y * y • y • y La cuarta potencia de - 2 se denota por (-2 )4 y ( - 2)4 - ( - 2) ( - 2) ( - 2) ( - 2 )

<= 16 Cuando un símbolo se escribe sin exponente, se entiende que éste es 1. De aquí que x = x l. Se acostumbra leer x 2, la segunda potencia de x, como “x cuadrada”, y x 3, la tercera potencia de x, como “x cúbica”. La representación de potencias enteras positivas fue introducida, en 1637, por René Descartes (1596-1650). En la Sección 1.1, se expresó que una variable es un símbolo que se utiliza para representar cualquier elemento de un conjunto de reem plazo determinado. Si tal conjunto es R, entonces la variable repre senta un número real. Una constante es un símbolo cuyo conjunto de reemplazo contiene sólo un elemento. Por ejemplo, si se escribe la suma 6x 2 + 2x + 5 la letra x es el símbolo correspondiente a una variable y los numerales 6, 2 y 5 son símbolos para constantes. Algunas veces las letras se usan como símbolos para constantes si éstas designan números fijos, pero no especificados. Por ejemplo, puede escribirse la suma ax + b donde a y b son símbolos para constantes, y x es un símbolo para una variable. La suma 6x 2 + 2x + 5 es una expresión algebraica. El término ex presión algebraica se utiliza para representar una constante, una va riable o una combinación de variables y constantes que implican un número finito de operaciones indicadas (adición, sustracción, multipli cación, división, elevación a potencia y extracción de raíz) sobre ellas. Ejemplos de expresiones algebraicas son los siguientes: 3*y

„ 5 x 2 — Sx + 2

3x 2 - 6xy + y 2 + 2y

V* + y - 4 (z + 2)3 - V x

Una expresión algebraica que comprenda únicamente potencias ente ras no negativas de una o más variables y que no contenga variable

-8

CAPÍTULO 1


alguna en el denominador recibe el nombre de polinomio. Por ejem plo, 2x

5 x 2 - 8* + 2

4jc5 - 6 x 3 + 3x2 - 7x + 1

son polinomios en la variable x. Ejemplos de polinomios en las varia bles^ y y son 3 x 2y i

6x 2 + 8y2

8xy - I x + y - 3

Un térm ino de un polinomio es una constante, o bien, una constante mui tiplicada por potencias enteras no negativas de variables. A un polinomic se le puede considerar como la suma de un número finito de términos. Por ejemplo, 5jc2 - 8jc + 2 puede escribirse como 5jc2 + (- 8*) + 2, y los términos son 5*2, - 8jc y 2. El polinomio 8xy - I x + y - 3 puede escri birse como 8xy + (-7jc) + y + (-3) y los términos son %xy, -Ix, y, y -3. Se dice que cualquier factor de un producto es el coeficiente de lo otros factores. Por ejemplo, en el producto 5xyz el coeficiente de yz es 5x, el coeficiente de x es 5yz, el coeficiente de 5z es xy, etc. Si un coefi ciente es una constante, entonces se conoce como coeficiente cons tante. De aquí que en el producto 5xyz, 5 es el coeficiente constante de xyz. A los términos que difieren sólo en sus coeficientes constantes se les denom ina térm inos sem ejantes. Por ejemplo, 6x 2 y 3x2 son tér minos semejántes, com o lo son x y -4jc. Los términos semejantes de un polinomio se combinan* algebraicamente utilizando la ley distri butiva. En particular, 6x 2 + x + 7 + 3 x 2 — 4jc = {6x 2 + 3 x 2) + (jc — 4jc) + 7 = (6 + 3 )x 2 + (1 - 4)x + 7 = 9 x2 - 3x + 7 Si después de combinar los términos semejantes, un polinomio qued¿ con un solo término, a éste se le denomina monomio; si tiene dos tér minos se le llama binom io; y si tiene tres términos, se conoce conv trinom io. Los polinomios 2jc y 3* 2y 5 son monomios, 6.\ : + 8y 2es un binomio y 5* 2 - 8* + 2 es un trinomio. Con la expresión g ra d o de un m onom io en una variable se referencia al exponente de dicha variable. En particular, el mononw’ 5jc3 es de grado 3. Si un monomio tiene más de una variable, el gr^ 0 del monomio es la suma de los exponentes de todas las variables aparecen en él. Por ejemplo, el grado del monomio 3x 2y 5 es 7. El? 3 do del monomio - 2 .xyz es 3. El grado de un monomio constante dis^ to de cero es 0. La constante 0 no tiene grado. El g rado de un polinomio es el mayor de los grados de sus nos. Por tanto, 7jc2 - 4x + 2 es un polinomio de segundo grado, y - ^ 6 es un polinomio de primer grado. El grado de 6x 2y 2 - 4x3 + *■) debido a quc 6x 2y 2 es el término con el mayor grado, 4. N. del K.

Al proceso de combinar términos semejantes se le llama reducción de términos semejantes.

______________________________ U


19

Si a y b son números reales y b # 0 la división de a entre b puede representarse por a

b Otras notaciones para la división de a entre b son a -r b

y ■ a¡b

Las expresiones | y a /b son denominadas fracciones, el número a es llamado n u m erad o r y a b se le conoce como denom inador. Si el nu merador y el denominador de una fracción son polinomios, entonces se le llama expresión racional. Los siguientes son ejemplos de expresiones racionales 5

3* H- 2

y - 7

jr- - 4

2 3 t2+ t + 5 5rs

r4 + 1

Debido a que el denominador no puede ser cero, se entiende que en las expresiones racionales anteriores, y * 7, jc * ± 2, r * 0 y í * 0; ya que una expresión racional denota un cociente de números reales, las pro piedades de las fracciones también serán válidas para expresiones ra cionales. Si una fracción contiene otra fracción, ya sea en el numerador, en el denominador o en ambos, se le conoce com o fracción compleja. En contraste, una fracción que no es compleja se conoce como una fracción simple.

>


La fracción 3 _ 4 1

5

2 —

5

1 +

—

3

es compleja. Se encuentra una fracción simple equivalente multipli cando el numerador y el denominador por el mínim o común denomi n ad o r (M CDn) de las fracciones presentes.* 1 ' J __ 105 ' f ~ 105 2 1 2 f ♦ ¿ 1 0 5 - 4 ♦ 105

N. del R.

Para determinar

'1 _ 63 - 60 , J j. 1 42 + 35 77 •j

el MCDn se obtiene el MCM de los denominadores de las fracciones.

2 0 __ CAPÍTULO 1

NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ICUACIOWES

dy ► EJEMPLO 1 til

ck

Simplificación de una expresión racional compleja

Simplifique _ J ______1

h

^

h * o

la cual es una expresión encontrada en Cálculo. Solución

El MCDn es x 2 (x + h) 2.

---- \ ^ (x + h)2 x 2 _ h

X 2(X + h)2 --------“ Tí - x 2(x + h)2X¡ (x + h y ________________ x x 2(x + h)2h

_ x 2 — (x + h)2 h x 2{x + h)2 ¿ X 2 - ( x 2 + 2h x + h 2) h x \ x + h)2 _ x 2 — x 2 — 2h x — h 2 h x \ x + h)2 - h ( 2 x + h) ~ h x 2(x + h)2 2x + h x 2(x + h)2 Ahora se establecerán cinco leyes de exponentes enteros positi vos, las cuales aprendió en los cursos previos de álgebra. Cada ley sera seguida por un ejemplo ilustrativo que mostrará su aplicación. Si n y m son enteros positivos y a es un número real, nn.nm ~

>


(a) 23 • 22 = 23+2

(b) jt4 • jc = jc4+i

(c) y3 • y7 88

Si n y m son enteros positivos y a es un número real.

(a")m = a nm

1.2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

21

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 (b) (y4)6 = y 4 6

(a) (23)2 = 23 2

á 26 = 64 Si n y m son enteros positivos y a es un número real donde a * 0, a"~m si n > m í si n < m 1 si n = m

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 (a) - = x

Si n es un entero positivo y a y b son números reales, (ab)n = a nbn

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 (a) (2 • 5)3 1 23 ■53 = 8-125

(b) ( x Y )4 = (.x3)4(y5)4 = j t ,2;y20

= 1 000

>


<

2

CAPÍTULO 1


La definición de a* como el producto de n factores iguales afl sólo tiene significado cuando n es un entero positivo. Si el exponentí es cero o un entero negativo, entonces, se debe definir a* de otra m* ñera. Estas definiciones deben hacerse de tal forma que las mismas le. yes que se aplican para exponentes enteros positivos también sean válidas para exponentes enteros negativos y cero. En particular, en la fórmula a n • a m = a n+m es adecuada para un exponente cero, entonces si a & 0, a n . fl<>¡a a n+0 a n • au = a n Debido a que 1 es el número que tiene la propiedad que a" • 1 = a", sedebe definir # como 1. Ahora suponga que n es un entero positivo, y que -n es un entero negativo. Si la fórmula a" - a m = a n+mes adecuada para un exponente entero negativo, entonces a n • a~n = <2° a n ’ a~" * 1 De aquí que se deba definir a~" como

A continuación se establece

las definiciones formalmente.

DEFINICIÓN

Exponentes enteros negativos y cero

Si n es un entero positivo y a es un número real donde a*0. a° = 1

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 I (a) 6" = 1

(b) 4 -2 = ~ 4

(c) ( —5)°(—2)~'

1

8 Las leyes para exponentes enteros positivos para exponentes enteros negativos y cero.

también se aP

1.2

►

EJEMPLO 2


23

Aplicación de las leyes de los exponentes p a ra exponentes enteros negativos

Escriba la cantidad como un número racional con exponente 1: (a )(2 " 3 • 3 -2) - 1

(b )(2 -3 + 3 -2) - ‘

Solución

(a) (2-»'."3-^-1 » ' 2- ^ =

23

. 32

3-

^

(b) (2- s + 3 -2)-' = '

, ’

— (2 "

+ 3

)

23 + 3J

\ ~ 1 ~ 8

1 —

9

1

^ J7 72 =

—

17

<

Antes de discutir los exponentes fraccionarios, se definirá la raíz n-ésima de un número real.

DEFINICIÓN

R aíz n-ésim a de un núm ero real

Si n es un entero positivo mayor que 1, y a y b son números reales tales que bn= a entonces b es la raíz n-ésim a de a.

>


(a) Dado que 2 2 * 4, 2 es una raíz cuadrada de 4; además, debido a que (- 2 ) 2 a 4, - 2 también es una raíz cuadrada de 4. (b) Como 3 4 = 81, 3 es una raíz cuarta de 81. También debido a que , ( - 3 ) 4 =f 81, -3 es una raíz cuarta de 81. (c) Dado que 4 3 = 64, 4 es la raíz cúbica de 64. (d) Debido a que ( - 4 ) 3 = -6 4 , - 4 es la raíz cúbica de -6 4 . -4

CAPÍTULO 1

N Ú MEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

Observe que en el inciso (a) del ejemplo ilustrativo 8, hay dos raí. ces cuadradas de 4; y en la parte (b), hay dos raíces cuartas de 81. En tales casos, para distinguir entre las dos raíces, se introduce el concep. to de raíz /i-ésima principal.

DEFINICIÓN

La raíz n-ésima principal de un número

real

Si n es un entero positivo mayor que 1, a es un número real, y Va representa la raíz w-ésima principal de a, entonces (i) si a > 0 , 'fa es la n-ésima raíz positiva de a , (ü) si a < 0 y n es impar, \f¡T es la n-ésima raíz negativa de a, y (iii) \ÍÓ =0.

En la definición anterior, el símbolo V~~se llama signo radical. La expresión completa se denomina radical, donde el número a es el radicando, el número n es el índice y representa el orden del radi cal. Si n no aparece, se deberá entender que el orden es 2.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 9 En los incisos (a), (b) y (c) se emplea lo establecido en la parte (i) de la definición anterior, y en la parte (d) se utiliza (ii).

(a) y¡4=2 (léase “la raíz cuadrada principal de 4 es igual a 2”). Observe que aunque - 2 también es una raíz cuadrada de 4 no es la raíz cuadrada principal. Sin embargo, se puede escribir -V4_= -2. ' ^ VsT = 3 (léase “la raíz cuarta principal de 81 es igual a 3”). El número -3 es también una raíz cuarta de 1 y es posible escri

8T = -3 .

8

bir -\Í

V¡64~= 4 (léase “la raíz cúbica principal de 64 es igual a 4” ). >/-64* = - 4 (léase “la raíz cúbica principal de -6 4 es igual -4 ” ) 4

Observe que si a < 0 , 'la está definida únicamente si n es imp^ Por ejemplo, V —16 no está definida como un número real, d e b id o J que no existe un número real cuyo cuadrado sea -16. Para definir un raí/, de orden impar de un número negativo, son necesarios los nuffl ros c o m p lejo s, los cuales serán discutidos en la Sección 1.3.

_____________________________ 1.2


25

La raíz n-ésima principal de un número real b es un número racional si y sólo si b es la n-ésima potencia de un número racional. Por ejemplo, y¡625 = 5 debido a que 54 = 625, y

= - { porque ( - j)3 = -

En la Sección 1.1, se dijo que un número real que no es racional se llama núm ero irracional y no puede ser representado por un núme ro decimal finito o por un decimal infinito periódico. Debido a que 3 no es el cuadrado de un número racional, VJ" es un número irracional. Otros ejemplos de números irracionales son

vi

fir

Ahora estamos preparados para definir un exponente racional de la forma 1fn donde n es un entero positivo. Si la fórmula (a m) " = a mn es válida cuando m es igual a l/n , entonces se tiene ( a x/n)n = a n,n ( a Un)n ~ a La igualdad anterior establece que la n-ésima potencia de a iln es igual a a. Así, se define a [ln como la raíz n-ésima principal de a.

DEFINICIÓN

a llH

Si n es un entero positivo mayor que 1, y a es un número real, entonces si

es un número real,

a l,n = ‘'la

>


(a) 2Sm = V25~

(b) (-8)'° =

= 5

= -2

(c) í ~ j

." I

*

Considere ahora cómo se deben definir expresiones tales como 93 «

82/3

(_27y a

7V4

Si la fórmula a " = (a '1)’ es aplicable tanto para números racionales como para exponentes enteros, entonces a mh' puede ser definida de for ma tal que

^ P jM P I


En la definición se tiene la restricción de que m y n son prim os relatj. vos, io cual significa que ambos no tienen factores comunes enteros y positivos diferentes de 1.

DEFINICIÓN amjK Si m y n son enteros positivos que son primos relativos y a es un número real, entonces si >la es un número real, á nún = ('ía)m <=$ a m/n = (a l/n) m

La doble flecha <=> se usa para establecer q u e el prim er enuncia do equivale al segundo.

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 11 A continuación se aplica la definición de a mJn. (a) 9371 **Si f W f = 33 ¿=27

(b) 1P* = (Í8")2 = 22 =4

(c) (-27)4/3 =(^27)‘ = ( - 3)4 = 81 <

Como la ley conmutativa establece para exponentes raciónale que (a m)Un = (aUn) m. Entonces, a nJn puede evaluarse determinando sea (Va)mo tfa™. Sin embargo, el cálculo de ( ^ía)mes más simple para Va” . Véase los ejercicios 17 y 18. Las leyes de los exponentes enteros positivos son satisfechas pfl exponentes racionales positivos con una excepción. Si a < 0, paracier tos valores de p y q, (ap)q * a M.

>


(a) [(—9)=]l/2 = 811/3

y

=9

(-9)2<1/2) = (-9)1 = -9

Por tanto, [(-9)*]1/2 * (-9)2(,/2). (b) [(—9)2]1/4*=811/4 y (-9)*,/<>a (-9)l/2 (no es un número re*11 =3 Por tanto, [(-9)2]1'4, * (-9)2t,/^

1.2


27

Los problemas encontrados en el ejemplo ilustrativo 12 se evitan adoptando la regla siguiente: si m y n son enteros positivos pares y a es un número real, (a m)Un * | a Un caso particular de esta igualdad ocurre cuando m = n. Enton ces se tiene (,a")Un = | a | (si n es un entero positivo par) = | a | (si n es par)

<=>

Si n es 2, se obtiene

>


(a) [(-9)2]1/2 = | - 9 | = 9

•

(b) [(—9)2]1/4 = | - 9 | 2/4 = 9 in =3

<

Para la fórmula a M = (a O* que se aplica para exponentes enteros negativos, se tiene a -mln -

(pUnym

De la definición de un número entero con exponente negativo, si a * 0, ía l /n)-m —

-----------(aWn) m

Por tanto, se tiene la definición siguiente.

DEFINICIÓN

E xponente racional negativo

Si m y n son enteros positivos y además primos relativos entre sí, a es un número real, y a

0, entonces si '¡a es un número real.

La primera explicación completa sobre los exponentes fracciona rios negativos fue propuesta por John Wallis (1616-1703) en 16S5.

CAPÍTULO 1

NUMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICA$ PE ECUACIONES_______

Sir Isaac Newton (1642-1727) también utilizó tales exponentes en su trabajo. Los exponentes racionales (positivos, negativos y cero) satisfacen las leyes de los exponentes enteros positivos con el supuesto qu( (flm)un = | a \nün CUando m y n son enteros positivos pares.

► EJEMPLO 3

Simplificación de u na expresión algebraica aplicando las leyes d e los exponentes

Simplifique las expresiones siguientes. Cada variable puede ser un nú mero real. (a) ( kV ) 1/4

(b) Í M 2 0 > - 3 ) 2P

Solución (b) [ ( r x f ( y - 3 f ] m = [(-*)*]w l(y-O T ® = \- x \ ¡ > - 3 | = \x \ \ y - 3 \

(a) (« V ),/4 = (h2),/4( v T 4 = - = J a | 1/21v¡

► EJEMPLO 4 M

Simplificación d e u na expresión algebraica encontrada en Cálculo

Simplifique: 4 x \ x 2 + 1) ,/2 - x 4[ j ( x 2 + l) ~ l/2(2x)] [ ( x 2 + 1),/2]2 Solución Los dos términos del numerador contienen el factor co mún (jc2 + 1)~m. 4 x ( x 2 + l ) l/2 - x \ { ( x 2 + l ) _l/ 2(2jc)] [(x 2 + l ) ,/rp

1.

m

1 x + h

1I x

4

En Cálculo, algunas veces es necesario racionalizar el numerado' de una fracción; si se desea obtener una fracción e q u iv a le n te que11 contenga algún radical en el numerador. Recordando el producto (a + b) (a - b) * a2 - b2

m

IflM En los ejet Iií-Sa compleja eJ ( x 2 + 1 )" ,/ 2[4jc3(jc2 + 1) - -T mentes en Cálculo. presión racional sil xr +T~

4xs + 4*3 — x 5 ” (x 2 + 1),/2(jc2 + 1) 3jc5 + 4 x 3 “ p + 1)3/2

//*

w

3.

4.

3 * + 3h +

2x + 2h

1.2


29

le *ites

C ada factor es llamado el conjugado del otro. El concepto de con ju g a d o es usado para racionalizar el num erador de una fracción cuando el num erador es un binomio que contiene un radical de or den 2. En el ejem plo siguiente se m uestra el procedimiento.

Puest0(k

► EJEMPLO 5 es

*0*0

Racionalización d el num erador de una fracción encontrada en Cálculo

11%

Racionalice el numerador de: serun.

>¡x -f h —

donde x > 0,x + h > Oy h * 0

--------- 7 -------

Solución Multiplique el numerador y el denominador por el conju gado del numerador.

h - V x _ (Vx + h - Vx)(Vx + h + Vx)

Vx. +

-m

h

h (V x + h + V x) _ ( V x + h f - V x V x 4- h + V x V x + h - (Vx)2 h(VX + h + V x) (x + h) — x h ( V f +- h + V x) _______h_______

•braicc

h (V x +. h + V x )1

Vx + h + Vx

factor»

1)

EJERCICIOS

1.2

I(I ] En los ejercicios 1 a 8, la expresión racional ci-SB compleja es similar al tipo de expresiones p re sentes en Cálculo. En cada ejercicio, e ncuentre u n a ex presión racional simple equivalente, considere que h ¿ 0 .

5.

(4 + h)2

16

x + h

1

x +h

4.

I x

2.

3x + 3h + 2

3x + 2

2x -r 2h - 5

2* - 5

3 + h 4 + h

3 4

6.

( x + h )2 + 1

x2 + 1

7.

8

.

I + /»)' + 1

2

30

CAPÍTULO 1

NUMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

En los ejercicios 9 a 16, escriba la cantidad como un número racional con exponente 1. 9. (a) (32)4 (b) (2 • 3)5 (c) (b )2 10. (a) (2 2) \

( o (A y 11. (a) < - 5 r 3

(c) 36,/2 2 12. (a). (c) ( —8)l/3

13. (a) ( - s ) ‘2/ (c) 2~3 • 7~'

14. (a) ( jy) ( - 3 ) ‘4 (c) (—4)“'\ 2"3 + 3' 2 15. (a) 2 "4 + 3_l 6 "' + 2 ~3 16. (a) 5° + 4“

(d) (b) (3,- 5)4 ( 2a • 52\ 2 (d) 7

23. [( 4)4(m + 1)8(m (-S )V 24. (x 2 + 4 )2 dy

ejemplo 4. 25. 26.

(b) 9 -3°

27.

(b) —0.163/2 (d) 2~4 - 24 (b) —0.0016~3/4 (d) (4_1 2~3Y X (b) [< -9 )2],/2 (b) [(—36)2],/4

17. En el ejemplo ilustrativo 11, se aplicó la definición: a= ^ía)m. Realice los cálculos en las partes (a)-(c) considerando que a mín = â m. 18. Simplifique de dos formas diferentes: (i) a m,n = $ a ) m; (iij a nJn = 'lam, las expresiones siguientes: (a)4w (b) 163/4 (c) * - ^ ) 2*3 En los ejercicios del 19 al 24, simplifique la expresión donde cada variable puede ser cualquier número real.

En los ejercicios 25 a 30, la expresión apar^

// dg en Cálculo. SimpUfiquela de manera similar¡

(b) ( - 6)~2 (d)

(d) (f ) ' 4

4 )4] 1 4

(.x + l ) l/2 - x[^(x + 1)~l/2] [(x + 1),/2]2 (x - 1)2/3 - x[¡(x - l ) - ,/3] [(x -

D 2/iT

3x2(2x + 5)l/2 - x 3[j(2x + 5)~l/2(2)] r ^ j-(2jc + 5),/2p

5(jc2 — 1),;2 - 5x[i(x2 - l)~,/2(2*)] [(x2 - \ y ' 2Y 4 x3(3x2 + l) l/2 ~ x*[j¡(3x2 + 1)~i/2(6jt)] 29. [(3jc2 + l) ,/2P 28.

30.

|(3 x + i r 2/3(3X2x - 3),/5 - ( I r + l),/5[j(2x - 3)-,y2(2)] í( 2 x - 3 )í/2]2

£h los ejercicios 31 a 38, la expresión es com en Cálculo. Racionalice el numerador. Toáosle radicandos y todas las variables representan núnun positivos; ninguno de los denominadores es cero.

//

31. 33. 34.

V4 + h - 2

32.

V 3 + h - V3

V2(jc + h) + 1 - V 2x + 1 V3(jc + h) - 2 - V 3 x ~ 2

35. V T T l i h h + 2

36.

V 2h+_9 J Vh + 2 - v. /j + J__

19. (a) ( A 8),/4 (b) (4.94/ l0),/J

37.

20. (a) (9 x Jy 4) ,/2

En los ejercicios 39 y 40, emplee la expresión siguiente

(b) (a*b,I)l/4 21. (a) [(~3>ó4(y - 2)2J i/2 (b) [(—2)8(jt ~ 2)*(2 — v)4l l/4

22. (a) [í-2a\*íh + 2)*]l/4 (bf [< -3}°x-(x2 + 9 )?]i/2

Vh + 1

38. -

h

a 3 - b 3 = (a - b) ( a 2 + ab + b 2)

39. /7dv] Racionalice el numerador de ~~~~T

llt

40. 177dv| Racionalice el numerador de

h

(h + lr

1

1.3

41. (a) Simplifique la expresión

C O N JU N TO DE N U M EROS COMPLEJOS

31

43. Si b n = a y b y Va son números reales explique por

(X2 + 6jt + 9 )1/2 - ( x 2 - 6x + 9 ),/2

qué no se puede concluir que b = va. En su explica ción incluya un ejemplo numérico particular. 44. Un exponente entero positivo de un número real a

(b) ¿Para qué valores de x, la expresión del inciso

(a) es equivalente a 6? 42. (a) Simplifique la expresión

U2 - %x + 16)l/2 + (jr2 + 8x + 16)1/2

puede ser definido de la manera siguiente: a 1 = a, y si A: es cualquier entero positivo tal que a k está definido, entonces a k*1 = a k • a. Explique por qué esta definición es equivalente a a n = a ■ a • a ■ . . . ■ a.

(b) ¿Para qué valores de x, la expresión del inciso (a) es equivalente a 2x1

1.3

(n factores iguales a a)

donde n es cualquier entero positivo.

CO NJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS OBJETIVOS

1. 2. 3. 4. 5. 6.

A p re n d e r a c e rc a del co n ju n to d e nú m ero s com plejos. D efin ir la ra íz c u a d ra d a d e c u a lq u ie r n ú m e ro real. D efin ir la ra íz c u a d ra d a p rin c ip a l d e u n n ú m e ro negativo. A p re n d e r las p ro p ie d ad es d e los n ú m ero s com plejos. R e a liz a r cálculos con n ú m ero s com plejos. C a lc u la r p o tencias d e i.

Aun cuando en Cálculo sólo se trabaja con números reales, es impor tante que se fam iliarice con el conjunto de números complejos. Esto será evidente en el capítulo siguiente cuando los números complejos aparezcan com o soluciones para algunas ecuaciones. Además, se utili zan raíces com plejas de ecuaciones para resolver ciertas ecuaciones di ferenciales en Cálculo. Consecuentemente, se dedica esta sección a un estudio inform al de los números complejos. En la Sección 1.2, se definió la n-ésim a raíz de un número real. D icha definición establece que si n es un entero positivo mayor que 1 y a y b son núm eros reales tales que bn = a entonces b es la n-ésim a raíz de a. Se ha indicado que si a < 0 y n es un entero positivo par, no existe raíz n-ésima real de a debido a que una potencia par de un número real siempre es un número positivo o cero. Por ejemplo, suponga que se tiene la ecuación b 2 = -2 5 No hay un núm ero real que pueda ser sustituido por b en esta ecua ción. Por tanto, no existe una raíz cuadrada real de -2 5 . Por consi guiente no existe, de manera similar, raíz cuadrada real de cualquier número negativo.

12

C A PÍTU LO 1

N Ú M E R O S , EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

A fin de co n sid erar raíces cuadradas d e núm eros negativos, se de ben tratar con núm eros diferentes a los núm eros reales. Se d e b e tener un co n ju n to de núm eros que co n ten g a al conjunto R de números reales co m o un su bconjunto y que tam bién co n ten g a raíces cuadradas d e nú m eros negativos. D icho conjunto de núm eros se denota por C y se hace referencia a él com o el conjunto de n ú m e ro s com plejos. L o pri m ero que se requiere es que el conjunto C sea tal que el número real -] tenga raíz cuadrada. S ea i un sím bolo para un n ú m ero en C c u y o cua drado es - 1 ; es decir i 2 = -1

D eb id o a q u e ca d a n ú m ero real es un e le m e n to d e C , se d e d u c e que si b e R , en to n ces b e C. Se d e se a q u e el c o n ju n to C se a cerrado b ajo las o p e ra c io n e s de a d ició n y m u ltip lic a c ió n . P a ra q u e la ley de la cerrad u ra de la m u ltip lic ac ió n se cu m p la, el n ú m ero b ■ i, abre v iad o bi, d eb e se r un elem e n to d e C. A d e m á s , si a 6 R, e n to n c e s a e C, y si la ley de la c e rra d u ra d e la a d ic ió n es a p lic a b le , el nú m ero a + b i será un ele m e n to d e C. A h o ra se tie n e un c o n ju n to C. a! que se llam ará c o n ju n to d e n ú m e r o s c o m p le jo s , el cu al s e repre sen ta en sím b o lo s com o

C = {a + bi | a, b E R, i 2 = - 1 } Para el núm ero com plejo a + bi, el n úm ero a se conoce como h p a r te re a l y el núm ero b se den o m in a la p a r te im a g in a ria .

t> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 (a) El núm ero - 3 + 6i es un núm ero com plejo cu y a parte real es - 3 ) la parte im aginaria es 6 . (b ) El núm ero 7 + ( - 4 ) i es un núm ero com plejo cu y a parte real es 7 y la parte im aginaria es - 4 . < Si - p es un núm ero negativo, entonces el núm ero complejo a + (-/’>' puede escribirse com o a - pi. Por tanto 7 + (-4 )í = 7 - 4 / U n núm ero real es un núm ero co m p lejo cu y a parte imaginaria es 0 ; o sea, que si a es un núm ero real,

a = a + Oí Por tanto, R es un subconjunto de C. O tro subconjunto de C es el con ju n to 9 de n ú m e ro s im ag in a rio s definidos por

J = [a + bi t

b € R, ¿2 = - l,¿ > * 0 )

El número 0 + bi se puede escribir más fácilmente como bi, o sea. 4

1.3

CONJUNTO PE NÚMEROS COMPLEJOS

33

bi = 0 + bi Este número se denomina número imaginario puro.

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 (a) El número complejo -5 + 2i es un número imaginario. (b) El número complejo 8 / es un número imaginario puro. (c) El número real - 3 es un número complejo, y puede ser escrito co m o - 3 + 0/. (d) El número real 0 es un número complejo, y puede ser escrito como 0 + Oí . ^ El término número imaginario es una elección histórica poco afortunada, y proviene del hecho de que una ecuación tal como jc* = -1 no tiene solución en el conjunto de números reales. Desde el siglo X V , los matemáticos encontraron conveniente el considerar una ecua ción como Jt2 = -1 de la misma manera que una ecuación como x2 = 4, la cual tiene soluciones reales. Desde su punto de vista, un número cuyo cuadrado es -1 no era real sino algo imaginario. Rene Descar tes, en 1637, introdujo las palabras real (vraye) e imaginario (imaginaire) relacionadas con los conjuntos de núm eros, y Leonhard E u le r (1707-1783) en 1748 em pleó, el sím bolo i para representar un núm ero cuyo cuadrado es -1 . El térm ino y la sim bología han permanecido, aun cuando los números imaginarios son “cosas reales” com o los números 7, - 4 y Ahora se establecerá una definición que permite que.cualquier nú mero real (positivo, negativo o cero) tenga una raíz cuadrada.

DEFINICIÓN

Raíz cuad rad a de cualquier núm ero real

Se dice que el número s es una raíz cuad rad a de un número real r si y sólo si s2 = r

Se sabe que cualquier número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, y el número 0 tiene sólo una raíz cuadra da, 0. ¿Qué hay acerca de la raíz cuadrada de un número negativo? En particular considérese el número —2. Entonces

CAPÍTULO 1


por lo que a partir de la definición, tanto i^Í2 como - h ¡2 son raíces cuadradas de -2 . De manera más general si - p es cualquier número ne gativo, entonces p es un número positivo y tanto i'ip como - i 'íp son raíces cuadradas de —p. Al igual que con las raíces cuadradas de los números positivos, se distingue entre las dos raíces cuadradas usando el concepto de raíz cuadrada principal.

DEFINICIÓN

Raíz c u a d ra d a p rin cip al de u n n ú m ero negativo

Si p es un número positivo, entonces la ra íz c u a d ra d a princi pal de - p , denotada por V -p , está definida por ¡ | j | = i'fp

Las dos raíces cuadradas de - p se escriben como V-/? y - V-p, c cómo i 'Jp y - i vp.

>


(a) ^P5 = /V5~ Las dos raíces cuadradas de - 5 son i>Í5 y - i^ S . (b) j A 6 = b Il6 = 4i Las dos raíces cuadradas de -1 6 son 4/ y —4 i. (c) -£ T = /V T ==í Las dos raíces cuadradas de -1 son i y - i.

<

Se dice que un número complejo está en su fo rm a están d ar cuan do se escribe como a + bi, donde a y b son números reales.

► EJEMPLO 1

Expresión de un número complejo en la formo estándar

Escriba en la forma estándar a +bi. (a) V^9~; (b) 5 - 6V-4; (O -V I + ; (d) V24”+ 5V^27. Solución (a) V ^ 9 « i V 9

(b) 5 - = 5- 6(i V 4)

= 3i

« 5 -

6(2i)

» 0 + 3i

= 5 +

( —12*)

1.3

CONJUNTO PE NÚMEROS COMPLEJOS

35

(c) - V J | + V - 2 5 = - f + i V 25 =

-T +

Sí-

Id) V^4 + 5 V - 2 7 = V 4 V 6 + 5 (/V 9V 3) = 2 V 6 + 5(/ • 3V 3) = 2V 6

DEFINICIÓN

+

15V 3#

-4

Igualdad de dos números complejos

Se dice que dos números complejos a + bi y c + di son igua les si y sólo si a = c y b = d.

>


Si * + 4i = - 6 + yi Entonces x = - 6 y y = 4.

-«

Se desea definir la adición y la multiplicación de números comple jos, de tal forma que sean validos los axiomas para estas operaciones en el conjunto de números reales. A fin de llegar a tales definiciones, se consideran dos números complejos a + b i y c + di como si fueran po linomios en i y luego se simplifica el resultado considerando i} = - 1. De esta manera

(a + bi) + (c + di) m a + c + bi + di . = (a + c) + (b + d)i

y (a + bi){ c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac 4- (ad + bc)i + bd(—1) = (ac — bd) + (ad + be) i Entonces se tiene la definición siguiente.

DEFINICIÓN

Sum a y producto de dos núm eros complejos

Si a + b i y c + di son números complejos, entonces

(a + b i) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

CAPÍTULO 1


Mediante la anterior definición se puede demostrar que el conjur to C es cerrado bajo las operaciones de adición y multiplicación. Tairf bién puede probarse que la adición y multiplicación en C su conmutativas y asociativas, y que la multiplicación es distributiva so bre la adición; esto es, si u , v , w £ C, entonces u + V == V + u

uv — vu

(u + v) + w = U + (ü + w)

(uv)w = u(vw)

u(v + w) = uv + uw Más que memorizar las definiciones, se sugiere que realice cálculos con números complejos, como en el ejemplo siguiente.

►

EJEMPLO 2

Suma y m ultiplicación de números complejos

Encuentre la suma y producto de los siguientes números complejos: 5-4/

y

- 2 + 6i

Solución

(5 - 4i) + ( - 2 + 60 = 5 - 2 - 4/ +

61

= 3 + 2/ (5 - 4/)(—2 +

61)

= - 1 0 + 30/ + 8/ - 24i 2 = - 1 0 + 38i - 2 4 (—1) = - 1 0 + 38/ + 24 = 14 + 38/

El elemento neutro (o idéntico) aditivo en el conjunto de nuntf ros complejos es 0, el cual puede escribirse como 0 + Oí. El inven* aditivo de un número complejo a + b ie s - a - bi, debido a que (ia + bi) + (-a - bi) = [a + (-fl)] + [b + (-b)]i

=

0 + 0/

Por tanto, -

(a + bi) = - a - bi

Como en los número reales, la resta de números definida en términos de adición; es decir, (a + bi) - (c + di) = (a + bi) + [—(c + di)] = (a + bi) + (—c — di) = (fl —c) + (b — d)i

c o m p le jo s

1.3

► EJEMPLO 3

CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS

37

Sustracción de números complejos

Encuentre la diferencia de los números complejos del ejemplo 2. Solución (5 - 4í) - (-2 + 0 0 = 5 - 4/ + 2 - 6 / = 7 - 10/

<

Como (a + bi)( 1 + 0/) = a • 1 + a • Oí + 1 • bi + bi • Oí = a + Oí + bi + Oí2 = a + bi se deduce que el neutro (o idéntico) multiplicativo en C es 1 + Oí, el cual es el número real 1. El conjugado del número complejo a + bies a - bi.

>


(a) El conjugado de 3 + 2 í es 3 - 2 í. (b) El conjugado de - 4 - 5í es - 4 - (—Si)o de forma equivalente $ - 4 + 5i. < Ahora se calculará la suma y el producto deun número complejo y su conjugado: (a + b i) + (a - b i) = 2 a

(a + b i)(a - b i) = a 2 - b 2i 2 = a 2M b 2 ( - 1) = a2 + b2

Observe que en ambos casos se obtiene un número real. El concepto del conjugado es útil en ciertos cálculos con números complejos. Por ejemplo, para representar el cociente a + bi c + di

en forma estándar u + vi, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Esta operación se realiza en el ejemplo siguiente.

► EJEMPLO 4

División de números complejos

Encuentre el cociente de los números complejos 5 - 4í y -2 + 6i.

CAPÍTULO 1


Solución 5 - 4i _ - 2 + 6/

(5 - 4 i)(—2 - 61) (—2 + 6 /)(—2 — 6 0 -1 0 -

2 2 / + 2 4 i2

4 - 36/2 -1 0 -

2 2 / + 2 4 ( —1)

4 —,3 6 (—1) - 3 4 - 22/ 40 _ i? _ n

20

.

201

4

El inverso m ultiplicativo (o recíproco) del número complejo a + bi e s --------- . Usando el método del ejemplo 4, como se muestra a + bi en el siguiente ejemplo ilustrativo, se puede expresar el inverso multi plicativo en forma estándar.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 El inverso multiplicativo de 4 - 3í es Para representar este núme ro complejo en la forma estándar a + b i, multiplique el numerador ye¡ denominador por el conjugado de 4 - 3í. Entonces se tiene _ J __ ^ 4 - 3í

1 • (4 + 3í) (4 - 3í)(4 + 3/)

=

4 + 3¿ 16 - 9 / 2

=

4 + 3/ 16 - 9 ( —1)

= é + hi •Así, el inverso multiplicativo de 4 - 3í es ^ + --i. Por lo que (4 - 3 0 & + ¿ í ) = £ + %i - 551 ~ h i 2

= 16 + 9 25 -= 1

En resumen, se tienen

la s

propiedades siguientes del conju°l

4

1.3

CONJUNTO DE NUMEROS COMPLEJOS

39

El conjunto de números complejos

1. El conjunto C es cerrado bajo las operaciones de adición y

multiplicación. 2. La adición y la multiplicación en C son conmutativas y aso ciativas; la multiplicación es distributiva sobre la adición. 3. Hay un elemento idéntico para la adición y un elemento idén tico para la multiplicación. 4. Cada elemento en C tiene un inverso aditivo y cada elemento en C, excepto 0 + Oí, tiene un inverso multiplicativo.

Estas propiedades son los axiomas de campo discutidos en la Sec ción A .l del Apéndice. Por tanto, el conjunto C es un campo bajo las operaciones de adición y multiplicación. Consecuentemente, las leyes de los exponentes se aplican a potencias positivas enteras de /.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 = i2i

Í4 =

= (-!)/

I 2/ 2

i5 =

i4i

= ~i

I6 =

)i

= (-!)(_ !) = i

' - 1

I 4/ 2

- 0 K -1 ) = -1

<

En el ejemplo ilustrativo 7, se ve que los resultados obtenidos son j, —*, 1, y -1. Al observar que i 4 = 1, se puede encontrar cualquier po tencia positiva entera de i, y es uno de los cuatro números obtenidos en el ejemplo ilustrativo 7.

► EJEMPLO 5 Encuentre:

Cálculo do potencias de i

( a ) /9; ( b ) i23; (c) l/i3.

Solución

(a) <’ = <*< (i4) 2i

(b) i n = i mi 2i = (/4)3( - l)f

(1)2I

- (1>5(-1 )¿ .

I

——i

(c) 4 = l —l 1d -i7 i - ( - 1)

40 CAPÍTULOi 1


>

EJEMPLO ILUSTRATIVO 8 = (iV 4 ) (iV 2 5 )

= (2/)(5 í ) -

10f*

= -1 0

<1

Observe que en el ejemplo ilustrativo 8 antes de multiplicar seha1 expresado V^4 y V-25 como hl4 e hl25, respectivamente. A fin de] evitar cometer un error, se recomienda reemplazar el símbolo "fZT cuando p > 0, por i>fp antes de realizar cualquier multiplicación o divi sión (véase los ejercicios 49 y 50).

► EJEMPLO 6

Multiplicación y división de números complejos que contienen radicales

Haga las operaciones indicadas y exprese el resultado en la forma a + b¡. (a) V ^ 5 ( V l 5 - V ^ 5 )

(b) (2 - V ^ ) -s- (2 + V ^ü)

Solución*

«

^

^

*

K

p

'

Í

= 4 ~

= 5 + 5 iV 3

4 ~ 9,2 i 4 ~ 12/ + 9 (- n _

EJERCICIOS

61 ~

= ;v W 3 - (-i)V ?

« +

“ 4 -9 (^ r i - 5 § 12i 13 5

12

13

13'

1.3

En los ejercicios l a 4, escriba el número complejo en la forma a ♦ bi 1. (a) 5 (c) 3 + V ^ 2 5

(b) \ ^ 4 9 (d) 3 -

2. (a) - 4 (c) - 2 + V ^ 1 6

(b) V ^3 6 (d) - 2 - V T fg

N. de R. -I resultado de ejemplo 6(a) es 5 + 5/V5", en donde se ha colocado a i entre 5 y V3~ esto se hace así para evitar posibles confusiones.

1J

(c) —V36 + V

36

(b)

-8 +

(d)

3

4. (a) —4 + V —4

5

_

V^48

(d) 54 +

(O 2

34. (V ^5 - 3)(2Vr^5 + 4) 35. 1 -5- (3 + 2i)1 36. 1 + (4 - 2f)*

-ÍV ^ 4 5

(b) 48

E n los e je rc ic io s 3 7 a 4 4 , sim p lifiq u e la expresión.

162

37. (a) i ii 38. (a) i

En los ejercicios 5 a 36, realice las operaciones indica das y exprese el resultado en la form a a + oí.

39. (a)

5. (a) (5 + 2i) + (7 + i) (b) (3 - 60 - (2 - 4i)

40. (a)

6. (a) (4 — 3i) + ( —6 + 8/)

(b) 7i -

8. (a) (3 + 80 + (“ 3 -

(b) 9 -

(b) i33 (b) i31

1 i5 1 r

(5

- 0

(2 - 4 0

(c) i26 (c) i47

0»

(c )f6

(b) i

JTa

41. (i4 + i3 " i2 + 1)* 42. (2i + 3 Í íy 43. (2i! + 3i 2 + 4¿3 - i6)3 1 £

(b) (7 + 10/) - (1 “ 5 0 7. (a) ( - 9 - 4 0 + (3 + 4 0 60

^

44. (i

1

3. (a) 8 - 5 N /- T

C O K iU N T O P E H ÚM EROS CO M m i n c

l)2 - (“ ¿ - D2 + i4

9. (5 + 2 ^ —9) + (3 + 4 V -2 5 ) En los ejercicios 45 a 48, encuentre el valor de la ex presión para el valor indicado de x.

10. (4 - 3 V -1 6 ) + ( -1 - V ^ 4 ) 11. ( - 3 - V - 2 0 ) - (6 - V —45)

12. (4 - V ^ ) - (2 - V 3 ^)

45. x1 - 2x + 3; x = 1 - ¡V 2

13. (a) V - 9 V - 2 5

(b)

46. x1 - 2x + 4; x = 1 —

14. (a) V ^ V - l ó

(b) V - 5 V - 7 5

47. Ax1 + 4jc + 3; jc = .K t> + ^ * 5 ' 48. 3jc2 - 2x + 2; x = i ( l -

15. V -1 2 V - 1 6 V - 2 7

49. Calcule:

16. V^27 V -5 4 V - 1 62 17.

(a) '¡4'¡25 y ^4 • 25 (b) aP4>C m y

- V ^ l)

9V -T 8)

18. V ^ 7 I (V -2 -

(c) -^4%P25 y _J4(-25) (d) ¿En qué condiciones "Ja • 'Ib y \lab son iguales? 50. Calcule:

19. (2 - 70(2 + 7i) 20. (4 - 3¿)(-l + 2i) 21. (3 + 2V/ z 3 )( -2 + 3 V - 3 )

(a)

22. (2 - V ^2 )(2 23. ( - 3 - 3V~-Í)2 24. (V^3 - V ^ 2)2

25. - 5 + i

26. 7 +• 3ii

27. 1 + (2i - 3)

2*. - 4

+

/)

29. (3 + 2f) + (2

30. (2 - 5¿) +

3/

31. (3 + 20

4- ( 6

32. (2 - 6/) + (21 - 3) 33. I + (3 + V ^ 2 )

-

+ 4¡

'ííó'

(b)

nÍÍ6 >1=4 5

(c)

yPÍ6 NÍ4

v VÍ6 l4) jr f

. aIS

(e) ¿En qué condiciones -£• y son iguales? No ^ o

42

CAPÍTULO 1 NUMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS D i ECUACIONES

1.4

PLANO NUMERICO OBJETIVOS

FIGURA 1.15

y

(ordenada)

O

X (abscisa)

FIGURA 1.16

1. 2. 3. 4. 5.

Establecer el sistema rectangular de coordenadas cartesiana Aplicar y fam iliarizarse con el teorem a de Pitágoras. A prender y aplicar la fórm ula de distancia. A prender y aplicar las fórm ulas de punto medio. P ro b ar algunos teoremas de geometría plana por medio de geometría analítica.

El origen de la geometría analítica es acreditado a René Descarta (1596-1650), matemático y filósofo francés. En su libro Geometrk publicado en 1635, Descartes estableció la unión del álgebra y la geo metría por medio del sistema coordenado cartesiano rectangular (11* mado así en honor a Descartes). Este sistema coordenado utiliza para ordenados de números reales. Dos números reales cualesquiera forman un par, y cuando el or den de los números tiene significado se denomina p a r ordenado. Sii es el primer número real y y es el segundo, este par ordenado es deno tado por (x, y). Observe que el par ordenado (5, 2) es diferente del pv ordenado (2 ,5). El conjunto de todos los pares ordenados de números reales se Ib* ma plano numérico, denotado por R2, y cada par ordenado (jc, y) es ib punto en el plano numérico. De la misma manera que /?, el conjunto de números reales, puede ser identificado con puntos sobre un eje (es pacio unidimensional), se puede identificar R2 con puntos en un plano geométrico (espacio bidimensional). Para ello, se eligen dos rectas en d plano geométrico, una horizontal, llamada e je x , y otra vertical, denomi nada e je y. El punto de intersección de los ejes x y y recibe el nombre de origen y se representa por la letra O. Las unidades de medida en 1« dos ejes es comúnmente la misma. Se establece que el sentido positivo del eje x es hacia la derecha del origen y el sentido positivo en el ejej es hacia arriba del origen. Véase la Figura 1.15. Ahora se asociará un par ordenado de números reales (*, y) c(* un punto en el plano geométrico. En el punto x sobre el eje horizontal y el punto y sobre el eje vertical, se trazan segmentos de recta perpeo diculares a los ejes respectivos. La intersección de estos dos segmentosd* recta perpendiculares es el punto P asociado con el par ordenado (x )')'j véase la Figura 1.16. El primer número, jc, del par recibe el nombre* abscisa (o bien, coordenada jc) de P y al segundo número, y, se Ic^ nomina ordenada (o coordenada y) de P. Si la abscisa es positiva, ’ se encuentra a la derecha del eje y; y si es negativa, P se encuentra i '* izquierda del eje y. Si la ordenada es positiva, P está por arriba del Pr x\ y si es negativa, P se halla por debajo del eje x. La abscisa y la or^1 nada de un punto reciben el nombre de coordenadas cartesianas r# (angulares del punto. Existe una correspondencia uno a uno entre puntos ubicados en un plano geométrico y R2\ es decir, a cada punW corresponde un único par ordenado {x, y) y con cada par ordenado

jA

1.4 PLANO NUMÉRICO

( 8 .5 )

(- 4 ,5 ) » t ía s .

( 1. 2 )

«-»■H t I

I » I I -H 1.i H

(- 6, 0)

(2, 0)

( 9 .- 7 ) «

artes ■tría, geo-

FIGURA 1.17

(11a•a r e s

segundo cuadrante

primer cuadrante

está asociado sólo un punto. A esta correspondencia uno a uno se le conoce como sistema coordenado cartesiano rectangular. La Figura 1.17 representa un sistema coordenado cartesiano rectangular con al gunos puntos localizados gráficamente. A los ejes x y y se les llama ejes coordenados. Éstos dividen el plano en cuatro partes que se donominan cuadrantes. El primer cua drante es aquél en el cual las abscisas y las ordenadas son positivas; esto es, el cuadrante superior derecho. Los otros cuadrantes se nume ran en el sentido opuesto al giro de las manecillas del reloj, por lo cual el cuarto cuadrante es el inferior derecho. Véase la Figura 1.18. Debido a la correspondencia uno a uno se identiñca a R2 con el plano geométrico. Por esta razón, a un par ordenado (x, y) se le deno mina punto. Ahora se discutirá el problema de encontrar la distancia entre dos puntos en R2. Si A es el punto (jr„ y,) y B es el punto fo, y,), donde A y B tienen la misma ordenada, pero diferente abscisa, la distancia diri gida de A a B se denota por AB, y se define como

1 o rSi X

43

AB

O

eno1 par

Ilas un jnto (es taño n el anie de los tivo

co®

cuarto cuadrante

tercer cuadrante

> FIGURA 1.18


Refiérase a la Figura 1^19 (a), (b) y (c). Si A e£el punto (3,4) y B es el punto (9, 4), entonces AB = 9 - 3; o sea que AB = 6 . Si A es el punto (~ 8 , 0)yZ?es el punto (6 , 0), en consecuencia AB = 6 - (- 8); de donde A# = |4 JS i A es el punto (4, 2) y B es (1, 2), entonces AB = 1 - 4; y por tanto, AB = -3. Se observa que AB es positivo si B está a la derecha de A, y AB es negativo si B se ubica a la izquierda de A.

5 ( 9 , 4)

A { 3 .4 )

ntal

ien5 de ; de de-

1 ,2 )

¿ ( 4 .2 )

» I l I t I t fO I ■I1I f I ♦ * -V -)----1— i— f— - (- 8, 0) ( 6 . 01----------) H— |---------------------------------------------- 1-------- 1----------- 1----------1----------1----------AB - 6 (a)

AB = - 3

A B = 14

(c)

(b) .

uP

a 1^ eje -detí'

ios ;>>

FIG U R A 1.19

Si C es el punto (x„ .y,) y Des el punto (x„ y,), entonces la distan cia dirigida de C a D, denotada por CD, está definida por

44

CAPÍTULO 1

NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRAFICAS DE ECUACION^

> £>(-2,4)

¿>(1,-8) « - 2 ,- 3 CD * -6


Refiérase a la Figura 1.20 (a) y (b). Si C es el punto (l,2)y Des(| J entonces CÓ = - 8 - (-2); o sea que CD = - 6 . Si C es el punto ¡ I y_D es (-2, 4), entonces CD = 4 - (-3); esto es, CD = 7. El nún* I ~ÜÜ es positivo si D está arriba de C, y es negativo si D se ubicaaba. jo d e C .

CD~ 7

FIGURA 1.20

fl*

Observe que el término distancia dirigida indica al mismo tiempo una distancia y una dirección* (positiva o negativa). Si sólo interesal) longitud del segmento de recta entre los dos puntos P, y P2(que esla4 tancia entre los puntos P, y P2 sin considerar la dirección), entonces* utiliza el término distancia no dirigida. Para representar la distanda no dirigida de Px a P2 se utilizará | PXP2 1, el' cual siempre es un¡m ro positivo o cero. Si se emplea la palabra distancia sin adjetivo, ya sea dirigida o no dirigida, debe entenderse que se hace referenciaa una distancia no dirigida. Ahora se desea obtener una fórmula para calcular la distancia | P yP2 1, si Pi(xlt y,) y P2(x2, y-i) son dos puntos cualesquiera en el pia no. Para ello, se utiliza el teorem a de Pitágoras de la geometríaplana mostrado en la Figura 1.21, el cual se establece como sigue.

**

FIGURA 1.21 TEOREMA

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, si a y b son las longitudes de los la dos perpendiculares y c es la longitud de la hipotenusa, entonces + b2 =

La Figura 1 .22 muestra en el primer cuadrante a P\ y P2) R(x2, y i). Note que | P¡P2 1 es la longitud de la hipotenusa del triánp rectángulo />, RP2. Del teorema de Pitágoras se tiene \ K p 2\2 = \ K r \2 + \ r p 2\2

\ P i P2\ = V \ p t R \ 2 + \ r p 2 P \P\Pi \ — v f e FIGURA 1.22

x ¡)2 + (y2 — y \)2

En esta fórmula no se tiene el símbolo ± frente del radical que | P\P21 es un número no negativo. La fórmula es válida ParaIj(lll) las posibles posiciones de P¡ y P2 en los cuatro cuadrantes. Lato*# |h

. d e l R. Esta dirección, positiva o negativa, puede interpretarse como el sentido en que se recorre un segmento. P°' B indica que el segmento, cuyos extremos son A y B, se recorre de A a B ; mientras que BA es recorrido de Bu A.

1.4

PLANO NUMÈRICO

45

de la hipotenusa siempre es |P |P 2|, y las longitudes de los catetos siempre son | P tR\ y | RP21. Entonces se tiene la fórmula siguiente.

Fórmula de distancia

La distancia entre dos puntos* P\(x{, y¡) y P2(x2, y2) está dada por I = V(x2 - X{) 2 + (y2 - y,):

l/y*2l = 1 *2 Si P, y P2 están sobre la misma recta horizontal, como en la Figu ra 1.23, entonces y2 = y, y

\PxPl\ = V (jt2 ~ X Xf + O2

FIGURA 1.23

<=>

\PiP2\ = \ x2 ~ X\ \

(porque V a 2 = \ a \ )

Además, si P, y P2 están sobre la misma recta vertical, como en la Fi gura 1.24, entonces x2 = x, y

1P\Pi | ~ V o 2 + (y2 - y,)2

<=>

|P1P21 = | y 2 - yi |

En el ejemplo siguiente, se emplea el reciproco** del teorema de Pitágoras. \P\Pi\ = \y i- y x \

T EO R EM A

FIGURA 1.24

Recíproco del teorema de Pitágoras

Si a, b y c son las longitudes de un triángulo, y a2 + b2 = c2, en tonces el triángulo es un triángulo rectángulo, y c es la longitud de la hipotenusa.

► EJEMPLO 1

Aplicación d e la fó rm u la de distancia

Compruebe que los puntos P( 1, 2), Q(4, 7) y R (-9, 8) son los vértices de un triángulo rectángulo.

N. del R. La distancia entre los puntos Pt y P2 también suele denotarse como d(P¡, P2). N. del R. Generalmente, un teorema se enuncia en la forma si P entonces Q en la que a P se le llama hipótesis ya Q, tesis. El reciproco de un teorema es el teorema que resulta al intercambiar la hipótesis y la tesis en el teorema original Debe tenerse en cuenta que el recíproco de un teorema no siempre es verdadero.

«4

CAPÍTULO 1 ► ‘'■« « O S EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

Solución En la Figura 1.25 se muestra el triángulo. Cal o. longitudes de los lados aplicando la fórmula de distancia. 4

\PQ\ = = = \QR\ m =

»r V

8)

= Vvf o

10-

J >\ 7

V(4 - l)2+ (7 - 2 )2 \PR\ = V F 9 ^ iF + T T 1Ú V9 + 25 = VTO O + 36 \/3 4 = V l36 V ( - 9 - 4)2 + (8 - 7)2 V i 69 + 1

» (2(4,7) Por tanto, \P Q \2 + |P r t |2 = 34 + 136

1,2)

= 170

11 11 11 11 11 11 11 11 11 1t 1 1 1 1 1*■*

-10

-5

0

FIGURA 1.25

= |G*I2

5

Así, el triángulo es un triángulo rec que conecta los puntos Q y R. Ahora se obtendrán las fórmulas para determinar el punto mofe de un segmento de recta. Suponga que M(x, y) es el punto medio del segmento de rectaquenI de Pi(xu y¡) a P2(x2, y2). Refiérase a la Figura 1.26. Debido aqueta triángulos P{RM y MTP2 son congruentes, |pTR| = \M T\

\RM \ = \TP¡\

y

X\ = X2 — X 2x = X\ + x2 X\ + x2

y - y\ = y2 - y 2y = y x + y2 _

y* + j *

Fórmulas de punto medio Si M(x, y) es el punto medio del segmento de recta que va de P\(x\, y t) a P2(x2, y2), entonces X = Xl i h

2

y - ?» i >2

2

En la deducción de las fórmulas, se ha considerado que ¿j y2 > Se obtienen las mismas fórmulas usando cualquier ordenpestos números.

1A

► EJEMPLO 2

alculc (8

“

2?

PLANO NUMÉRICO

47

Aplicación de las fórmulas de punto medio y distancia

(a) Determine las coordenadas del punto medio M del segmento de recta que va de ¿4(5, -3 ) a B (- 1, 6 ). (b) Localice los puntos A, M y B, y demuestre que | AM | = | MB | . S o lución

(a) De las fórmulas de punto medio, si M es el punto (x , >•) entonces 5 -

-3 + 6 y =

= 2

2 3

2

Por tanto, M es el punto ^2, (b) La Figura 1.27 muestra los puntos A, M y B. Aplicando la fórmula de distancia se obtiene

; el ladoI 41

>medio I

\A M \ = \ / ( 2 ^ 5 ) 2 + ( | + 3 U

3V \M B \ = y l ( - 1 - 2 Y + I 6 - |

9

1 que va

que los

I

81

=

■V + t

¿ I* 5

= ^ /Í3 Por tanto, I AM | = | MB \ .

<

Los teoremas de geometría plana pueden ser probados mediante la geometría analítica utilizando coordenadas y técnicas de álgebra. El ejemplo siguiente muestra el procedimiento.

► EJEMPLO 3 i de

>m y ín p ^

Prueba de un teorema de geometría plana por medio de geometría analítica

Emplee geometría analítica para demostrar que los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados opuestos de cualquier cuadri látero se bisectan mutuamente. Solución Dibuje un cuadrilátero general. Debido a que los ejes coordenados pueden elegirse en cualquier parte del plano, y como la elección de la posición de los ejes no afecta la validez del teorema, se toma al origen como un vértice y la prolongación de un lado, que con tenga al origen sobre el eje x. Estas elecciones simplifican las coorde nadas de los dos vértices sobre el eje x. Véase la Figura 1.28.

■■■

48

CAPÍTULO 1 NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

Ahora se establecen las hipótesis y la tesis del teorema. Hipótesis: OABC es un cuadrilátero. M es el punto medio de 0A\ Nh ] punto medio de CB\ Res el punto medio de OCy Ses el punto mediodeû Conclusión: ---------------

MN y RS se bisectan mutuamente. *

1

Demostración Para comprobar que dos segmentos de recta se\l sectan mutuamente, se debe demostrar que ambos segmentos tienead mismo punto medio. A partir de las fórmulas de punto medio seob. tienen las coordenadas de M, N, R y S. El punto M es (¡¡a, 0), Nesei punto (j (b + d), \ (c + e))t R es el punto ( j d , \ e ) , y S es el pu^ ( | (a + b \ \ c). La abscisa del punto medio de MN es i [j a + ^ (b + d)] = ¿ (a+ La ordenada del punto medio de MN es j [0 + ^ (c + e)] = j (c+e). Por tanto, el punto medio de MN es el punto (^(a + b + d), j (c+*)). La abscisa del punto medio de RS es j

d + ^ (a + b) ] = ¿ (a+b+dj.

La ordenada del punto medio de RS es ^ ^ e + ± c] = ^ (c + e ). Por tanto, el punto medio de RS es el punto (a + b + d), j (c+¿)). i Así, el punto medio de M N es el mismo que el punto medio de RS. Por tanto, MN y RS se bisectan mutuamente. |

EJERCICIOS 1.4 En los ejercicios 1 y 2, localice el punto P sobre un sis tema coordenado cartesiano rectangular y establezca el cuadrante en el cual se ubica. 1. (a) (c) 2. (a) (c)

P(3, 7) P{2, - 5 ) P{5, 6) P ( - 7, -2 )

(b) (d) (b) (d)

P ( - 4, - 6 ) P ( - \ ,4 ) P ( 8, - 1 ) P(—9, 3)

En los ejercicios 3 a 8, localice en un sistema coorde nado cartesiano rectangular el punto P y cada uno de los puntos siguientes: (a) El punto Q tal que la recta que pasa por Q y P es perpendicular al eje x y es bisectada por él. Dé las coordenadas de Q. (b) El punto R tal que la recta que pasa a través de P y Res perpendicu lar al eje y y es bisectada por este eje. Dé las coordena das de R. (c) El punto S tal que la recta que pasa por P y S es bisectada por el origen. Dé las coordenadas de 5. (d) El punto T tal que la recta que pasa a través de P y T es perpendicular y bisectada por una recta ele 45°

que pasa por el origen bisectando el primeroy eltenu cuadrante. Dé las coordenadas de T. 3 . />(1,- 2 ) 6 . P ( - 2, - 2 )

4. P (—2,2) 7. #>(-1, -3 )

5. P&2) S. P(0,-))

En los ejercicios 9 a 12, describa el conjunto depunía P(x, y) en un sistema coordenado cartesiano recta*? lar que satisfagan la condición dada. 9. (a) y = 4 (c) x > 0

(b) x = -(d íy s O

10. (a) * = 7 (c) x < 0

(b) v , (d) y > 0

11. (a) x = 0 (c) y > - 2

(b) x < 4 (d) xy > 0

12. (a) y = 0 (c) v < - 1

(b) x 2 3 (d) xy < 0

1.4

I

En los ejercicios 13 a 16, para tos puntos A y B. encuentre las distancias dirigidas (a) ÁB; (b) ÉA 13. A (-1.7) y 0(6, 7) 14. A (-2 ,3) y B (-4 , 3) 15. ¿4(3, -4) y B(3, - 8 ) 16. ¿4(-4,-5) y fl(-4 , 6 ) 17. Si A es el punto (-2, 3) y es el punto (x, 3) en cuentre x tal que (a) AB = - 8 ; (b) AB = - 8 . 18. Si A es el punto (-4, y) y B es el punto (-4 , 3) en cuende y tal que (a) AB = -3; (b) BA = -3 . En los ejercicios 19 a 22, haga lo siguiente: (a) locali ce los puntos A y B y dibuje el segmento de recta entre ellos; (b) encuentre la distancia entre A y B; (c) halle el punto medio del segmento de recta que va de A a B. 19. ¿4(1,3) y fl(-2,7) 21. A(8 , 5) y 5(3, -7)

20. ¿4(-4, -1) y fl(4, 5) 22. >4(6, -5) y B(2, -2)

En los ejercicios 23 a 26, haga lo siguiente: (a) deter mine las coordenadas del punto medio del segmento de recta que va de A a B; (b) localice los puntos A, M, y B y demuestre que | AM | = | MB |. 23. ¿4(-4, 7) y 5 (1 ,-3 ) 24. A(3,4) y fl(4, -3) 25. A(l, 3) y B(4,0)26. A(0, -2) y B(2,0) En los ejercicios 27 y 28, dibuje el triángulo con sus vértices en A, B, y C, y encuentre las longitudes de los lados. 27. ,4(4, -5), B (-2, 3), C (-1,7) 28. ¿4(2,3), 5(3, -3), C (-l, -1) 29. Una mediana de un triángulo es un segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto. Encuentre la longitud de las medianas del triángulo cuyos vértices son A(2, 3), B(3, -3 ) y C ( - l , - 1). 30. Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo cuyos vértices son ¿4(-3, 5), B(2, 4) y C (-l, -4 ). 31. Pruebe que el triángulo de vértices ¿4(3, - 6 ), B(8 , -2) y C(~ 1, -1) es un triángulo rectángulo. (Suge rencia: use el recíproco del teorema de Pitágoras.) 32. Halle los puntos medios de las diagonales del cua drilátero cuyos vértices son (0, 0), (0, 4), (3, 5) y (3,1). 33. Pruebe que los puntos ¿4(—7, 2), B(3, -4 ) y C(l, 4) son los vértices de un triángulo isósceles.

PLANO NUMERICO

49

34. Compruebe que los puntos A(-4, -1), B (-2, -3), C(4, 3) y O (2,5) son los vértices de un rectángulo. 35. Emplee la fórmula de distancia para probar que los puntos (-3, 2), (1, -2) y (9, -10) se ubican en una recta. 36. Determine si los puntos (14,7), (2,2) y (-4, -1) se encuentran en una recta, use la fórmula de distan cia. 37. Pruebe que los puntos ¿4(6, -13), B(-2, 2), C(13, 10) y ¿>(21 , -5) son los vértices de un cuadrado. Encuentre la longitud de una diagonal. 38. Si uno de los extremos de un segmento de recta es el punto (-4, 2) y el punto medio es (3, -1), en cuentre las coordenadas del otro extremo del seg mento de línea recta. 39. Si uno de los extremos de un segmento de recta es el punto (6 , -2) y el punto medio es (-1, 5), deter mine las coordenadas del otro extremo del segmen to de recta. 40. Pruebe que los tres puntos ¿4(-5,0), B(3,0) y C (-l, 4>/3) son los vértices de un triángulo equilátero, para ello muestre que los tres lados tienen la misma longitud. Dibuje el triángulo. 41. La abscisa de un punto es - 6 , y su distancia al pun to (1,3) es V74". Encuentre la ordenada del punto. 42. Dados los dos puntos ¿4(-3, 4) y B(2, 5), obtenga las coordenadas de un punto P que está sobre la recta que pasa por ¿4 y B, y que no se encuentra en tre ¿4 y B, tal que (a) la distancia de P a A sea el do ble que la de P a B, (b) la distancia de P a B sea el doble que la de P a A. En los ejercicios 43 a 46, utilice la geometría ancdítica para probar el teorema dado de geometría plana. 43. Las longitudes de las diagonales de un rectángulo son iguales. 44. El punto medio de la hipotenusa de cualquier triángu lo rectángulo equidista de los vértices de1triángulo. 45. El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de cualquier cuadrilátero y el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero, se bisectan mutuamente. 46. Para un paralelogramo la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados.

50

1.5

CAPÍTULO 1 NÚMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

GRÁFICAS DE ECUACIONES OBJETIVOS

Aprender la definición de la gráfica de una ecuación. Representar gráficamente ecuaciones en una graficadora < calculadora gráfica. Elegir el rectángulo de inspección adecuado en una graficadora. Aprender la definición de simetría. Aprender y aplicar las pruebas de simetría.

En la Sección 1.4, se mostró cómo puede utilizarse un sistema co. de nado cartesiano rectangular para obtener hechos geométricos medie > el álgebra. Ahora se verá cómo un sistema coordenado nos pemu asociar una gráfica (concepto geométrico) con una ecuación (concept algebraico). Una ecuación algebraica con dos variables x y y es un enunciado en el que se establece la igualdad de dos expresiones algebraicas, las cuales contienen a las variables x y y. Cuando x y y se sustituyes por números específicos, digamos a y b, el enunciado resultante pue de ser verdadero o falso. Si es verdadero, se dice que el par ordenado (a, b) es una solución de la ecuación.

>


Considere la ecuación y = 3x - 2 donde (x, y) es un punto en R2. Si x se sustituye por el numeral 2en¡ ecuación, se observa que y = 4; así el par ordenado (2,4) es unasolu ción. Si cualquier número es sustituido por x en el lado derecho dei Ecuación (1), se obtiene el valor de y correspondiente al de.v. Por tan to, la Ecuación (1) tiene un número ilimitado de soluciones. Las solu ciones obtenidas de la Tabla 1 son (-2, - 8 ), (-1, -5), (0, -2), 0* ■' (2, 4) y (3, 7). Tabla l X y =3 x -2

-2 -8

-1

0

1

2

-5

-2

1

4

3 7_

4

1.5

DEFINICIÓN

GRAFICAS DE ECUACIONES

51

Gráfica de una ecuación

La gráfica de una ecuación en R2 es el conjunto de todos los puntos en R2, cuyas coordenadas son soluciones de la ecuación.

FIGURA 1.29

+-+ I M I t-

f 1 0. 10] p o r ( - 1 0 , I0J

FIGURA 131

Debido a que la Ecuación (1) tiene un número ilimitado de solu ciones, su gráfica consiste de un número ilimitado de puntos. Los seis puntos dados en la Tabla 1 y mostrados en la Figura 1.29, aparecen ubicados en una recta. De hecho, aprenderá en la Sección 3.1 que cada solución de la Ecuación (1) corresponde a un punto sobre la recta, y recíprocamente, las coordenadas de cada punto sobre la recta satisfa cen la Ecuación (1). La recta es, por tanto, la gráfica de la ecuación. Dicha gráfica se muestra en la Figura 1.30, donde las puntas de las flechas indican que la recta continúa en ambos sentidos. Las coordenadas de cualquier punto sobre la recta (x, y) satisfacen ( 1), y las coordenadas de cual quier punto que no esté ubicado sobre la recta no satisfacen la ecuación. Los instrumentos automáticos de alta velocidad capaces de ilustrar gráficas, como las calculadoras gráficas o graficadoras y las computadoras con software adecuado, nos permiten observar gráfi cas en un instante. Se tomarán las ventajas de estos instrumentos y se aplicarán a través del desarrollo del texto. Las calculadoras y compu tadoras operan de manera similar, pero para uso de los estudiantes, las calculadoras gráficas son obviamente más prácticas que las com putadoras de escritorio. Por tanto, se hará referencia a calcu ladoras gráficas o graficadoras en el entendido de que se pueden utilizar, con el mismo fin, computadoras personales con software para elaborar gráficas. Estrictamente, las calculadoras gráficas, no son automáticas ya que requieren de un operador humano para pulsar teclas específicas, pero en virtud de que las teclas mencionadas dependen del fabricante y modelo de la graficadora, será necesario la consulta del manual del usua rio para obtener la información de cómo realizar operaciones espe cíficas. Lo que se exhibe en la pantalla de su calculadora muestra una por ción del plano numérico R2 llamado rectángulo de inspección. El rec tángulo de inspección denotado por [X ^, Xmáx) por !Ynlín, Y ^ ] es el conjunto de puntos en R2 para los cuales Xmín <,x< Xmix y Y ^
52

CAPITULO 1 NUMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRAFICAS DE ECUACIONES

t> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 La gráfica de la ecuación y = 3x - 2, mostrada en el rectángulo dey pección estándar, aparece en la Figura 1.32. Compare las figuras i* y 1.30, las cuales muestran la misma recta/ 1 [-10.10] por [-10.10] y * 3 x-2

FIGURA 1.32

Como se mencionó, se pueden obtener gráficas de dos maneras. mano y por medio de una graficadora. Cuando se obtiene una grffi a mano, como la mostrada en la Figura 1.30, se emplea el término^ buje la gráfica. Cuando se obtenga la gráfica en una graficadora, con* la mostrada en la Figura 1.32, se le solicita: trace la gráfica.

[-10, 10] por [-10, 10] y = x 2- 3

FIGURA 1.33

aparece en la Figura 1.33, trazada en el rectángulo de inspección están dar. 4

>


Considere la ecuación [-10, 10] por [-10, 10] y = x 2+}4

FIGURA 1.34

y 9 J T * 14 FIGURA 1.35

y = x 2 + 14 Si se intenta trazar la gráfica de esta ecuación en el rectángulo de ins pección estándar, se obtiene la Figura 1.34, la que por supuesto no contiene puntos sobre la gráfica. Este hecho no nos debe causar sor presa, porque el valor más pequeño para y en la ecuación es 14, el culi se presenta cuando x = 0. Cambiando el rectángulo de inspección de [-10, 10] por [-15, 15] nos da la Figura 1.35 la que muestra sólo una pequeña porción de la gráfica. La Figura 1.36 muestra la gráfic* trazada en un rectángulo de inspección más conveniente, donde H | 10] ha sido cambiado por [0, 50]. Observe que la escala en el eje unidades, mientras que en el eje x es 1 unidad. Con frecuencia, esp vechoso cambiar las escalas sobre los ejes cuando se modifica elret tángulo de inspección.

N. d el K. A l comparar las gráfica* indicadas, s e observa q u e la d e la calcu lad ora está un p o co más "acostada”. Esto que en sus ejes no se toma la m ism a longitud para la u n id a d d e m ed ició n ; e n la graficadora, la unidad del eje x es mas la del eje v Esto m ism o ocurre con la com putadora.

54

CAPÍTULO 1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

(c) ¿Por qué las curvas obtenidas en los incisos (a) y (b) son i&J ticas?

y

S olución (a) Debido a que y 2 es un número positivo o cero, los valores dej„I restringen a números no negativos. Para cada valor positivo de*LI dos valores de y . La Tabla 2 nos muestra los valores de y cuandoil es 0, 1, 2, 3, y 4. Al localizar y unir los puntos, cuyas coordenadaI son los valores de x y y de la tabla, se obtiene la gráfica dibuja] en la Figura 1.40. Tabla 2

-2

v2 = 4jc

2V2 -2V2 2>Í3 - 2 V3

4

-4

FIGURA 1.40 (b) En la graficadora se tiene I

= 2<~x

yi = - l i x

y trazando las gráficas de estas ecuaciones en el mismo rectánguiodc inspección [-1,5] por [-5,5] como se muestra en la Figura 1.41. (c) La ecuación y 2 = 4x es equivalente a las dos ecuaciones >'= 2« y I y = -I'Jx. Por tanto, la unión de las gráficas de y\ y yi trazadasa I el inciso (b) es la misma que la gráfica dibujada en la parte (a). 4 [-1,5] por [-5,5]

La curva en el ejemplo 2 es también una parábola.

y, = 2 'lx y y t =-2'Ix

FIGURA 1.41

► EJEMPLO 3

Obtención de la misma gráfica en una graficadora y a mano

(a) Trace la gráfica de la ecuación y = | x |. (b) Dibuje la gráfica de la ecuación del inciso (a). Solución (a) El cálculo del valor absoluto de un número es efectuado internamente en la graficadora y en la mayoría de las c a l c u l a d o r a s sede nota por ABS. Consideremos y = ABS(jc) su gráfica, trazada en el rectángulo de inspección estándar, * muestra en la Figura 1.42. (b) A partir de la definición del valor absoluto de un número -10, JO] por (-1 0 ,1 0 ]

y» ABS(x) FIGURA 142

y =

x

si x > 0 si x < 0

1.5

55

GRAFICAS PE ECUACIONES

La Tabla 3 muestra algunos valores de x y y que satisfacen la ecuación, y la gráfica está dibujada en la Figura 1.43, la cual está de acuerdo con la Figura 1.42. Tabla 3 x y = 1 *1

-3

-4

3

4

La simetría es una propiedad importante de las gráficas, especial mente auxilia cuando éstas se dibujan.

DEFINICIÓN

Simetría de dos puntos

Se dice que dos puntos P y Q son simétricos con respecto a una recta, si y sólo si la recta es la bisectriz perpendicular del segmento de recta PQ. Se dice que dos puntos P y Q son simé tricos con respecto a un tercer punto, si y sólo si el tercer pun to es el punto medio del segmento de recta PQ.

> • (-3 ,2 )

( 3 ,2 ) «

H---- (-----1__ 0 — 1-----1-----1-----1— ig • ( -3 ,- 2 )

-

( 3 ,-2 ) »


Los puntos (3, 2) y (3, -2 ) son simétricos con respecto al eje x, los puntos (3, 2) y (-3, 2) son simétricos con respecto al eje y; y los pun tos (3, 2) y (-3, -2 ) son simétricos con respecto al origen. Véase la Fi gura 1.44. -4 En general, los puntos (x, y) y (x, -y) son simétricos con respecto al eje x, (x, y) y (-*, y) son simétricos con respecto al eje y, y (x, y) y (—jc, - y) son simétricos con respecto al origen.

FIG U R A 1.44

DEFINICIÓN Simetría de una gráfica La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto a la recta / si y sólo si para cada punto P en la gráfica hay un punto Q, también sobre la gráfica, tal que P y Q son simétricos con res pecto a /. La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al punto R si y sólo si para cada punto P sobre la gráfica existe un punto S, también sobre la gráfica, tal que P y S son simétricos con respecto a R.

5*

CAPITULO 1 NUMEROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

La Figura 1.45 muestra una gráfica simétrica con respecto al la Figura 1.46 muestra una simétrica con respecto al eje y y la 1.47 una simétrica con respecto al origen. A partir de la definición de simetría de una gráfica, se puede afe mar que si un punto (x, y) está sobre una gráfica simétrica con respeq, al eje x, entonces el punto (x,-y) también deberá estar sobre la gráfica Y si los puntos (jc, y) y (x, -y ) están sobre la gráfica, entonces lagtffl. ca es simétrica con respecto al eje x. Por tanto, las coordenadas
FIGURA 1.45

Pruebas de sim etría

agc**

La gráfica de una ecuación en jc y y es (i) simétrica con respecto al eje x si y sólo si se obtiene una ecuación equivalente cuando y se sustituye por -y en la ecua ción; (ii) simétrica con respecto al eje y si y sólo si se obtiene una ecua ción equivalente cuando x se sustituye por - x en la ecuación; (iii) simétrica con respecto al origen si y sólo si se obtiene una ecuación equivalente cuando x se sustituye por -x y y por en la ecuación.

FIGURA 1.46

>


La gráfica que aparece en la Figura 1.33 es simétrica con respecto eje y y tiene la ecuación

GB &,Í5sWos|

y = x2 - 3 Si x se sustituye por <=>

se obtiene la ecuación

l ía)y=t ;

y = (-*)* - 3 y = x2 - 3

n G URA 1.47

>


La gráfica dibujada en la Figura 1.40 es simétrica con respecto al <¡r y su ecuación es y 2 = 4x

1.5

GRÁFICAS DE ECUACIONES

57

Sustituyendo y por -y en esta ecuación se obtiene <=>

(~y)2 = 4x y 2 = 4*

► EJEMPLO 4

Aplicación de las pruebas de simetría y trazo de una gráfica

Compruebe la simetría de la gráfica cuya ecuación és

y = t* 3

2

Entonces trace la gráfica. Solución Se comprueba la simetría. En la ecuación anterior, si x se sustituye por - x y y por - y se obtiene

[-1 0 .10J por [-10.10]

y=-*x’

FIGURA 1.48

-

2 M )J

t

-y = y = fíl Por tanto, de acuerdo con la prueba de simetría (iii), la gráfica es simé trica con respecto al origen. Se puede verificar que la gráfica no es si métrica con respecto a los ejes x y y aplicando las pruebas de simetría (i) y (ii). En la Figura 1.48, aparece la gráfica de la ecuación anterior, traza da en el rectángulo de inspección estándar. Observe la simetría con respecto al origen. 4

EJERCICIOS

1.5

En los ejercicios 1 a 8, trace la gráfica de la ecuación en el rectángulo de inspección estándar. 1 . (a) (c) 2. (a) (c)

y y y y

3. (a) (c) 4. (a) (c) 5. (a)

y y y y

* x +2 * 5 ** 5 — x * —4

= = = y = (c) y *

—\ x — 6 -5x jx - 3 x2 x2+ 2

(b) y = 5 — 2x (b) y = 4* - 3

(b) y = 4 + 7x (b) y = 2x + 8 ib) y = 2x 2

6. (a) y = - x 2 (c) y = - x 2 - 2 7. (a) y = 4 - x 2 (c) y = (:c - 4)2 8 . (a) y = x 2 + 2 (c) y = (x + 2)2

(b) y = ~2x2

(b) y - x 2 *■ 4 (b) -y = - x 2 - 2

En los ejercicios 9 a 16, trace la gráfica de la ecuación eligiendo un rectángulo de inspección estándar adecuado. 9. (a) y = x + 15 (c) y = 15 — x

(b) y = x - 15

58

CAPÍTULO 1

N U M EROS, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

10. (a) y = x + 30 (c) y 5= 30 - x

(b) y 1 — x -- 30

11. (a) y == 7x + 20 (c) y == ~ 5 X * 18

(b) y = §x — 2

E n lo s e je rc ic io s 2 7 a 30, p ru e b e la simetría de la c ió n y d e sp u é s tra c e la gráfica.

12. (a) y == 9x + 24 (c) y - ? sr4 x ± 12

(b) y = lo-* - 5

13. (a) y = Vx + 16

(b) y = V x - 16

27. (a) y = X 3 (c) y = ¡ X 3 28. (a) y .f 2 x 3 (c) y = ¿JT Zx 3 29. (a) y = 2 x 4 (c) y 7 30. (a) y = 4x 4 (c) y = Jx4

(c) y = V l 6 *

26.

(c)

X

14. (a) y = V x + 27

(b) y = V x - 27

(c) y =* V27 - X 15. (a) y =? V x + 16 (c) y = 16 - V x

(b) y = V i - 16

16. (a) y =| V x + 27 (c) y = 27 — V x

(b) y m 2 \x + 31 ] (d) y = 2|x| + ¿ j

(a) y - 2 \ x - 3 | y = 2 \x\ -

6

1

(b) y = - x 3 (d) y = (b) y = - 2 x 3 (d) y f - 4Sx-1 3 (b) y = - 2 x 4 (d) y = - U 4 (b) y “ —4x 4 (d) y = - J x 4

En los ejercicios 31 a 38, trace la gráfica de latci». ción. Experimente hasta que tenga un rectángulo de¿opección apropiado que muestre las característica importantes de la gráfica.

(b) y ■= * 6 - 27

En lo s ejercicios 1 7 a 24, ha g a lo siguiente: (a ) p ru e b e

31. y

= 4* 4 - 8x

33. y

= x 3 - 3x

34. y = 3x3 + 2x - 5 ¡

ecuaciones (ii) y (iii) en e l m ism o rectángulo d e in sp ec

35. y

= 2x4 - 50

36. y = 100 -

ción; (d ) com pare la s curvas ob ten id a s en lo s incisos (b)y(c).

37. y

= x 4 - 8jc2

la sim etría d e la gráfica d e la e cuación (i); (b ) d ib u je la gráfica d e la e cuación (i); (c ) tra c e la s g rá fica s d e la s

(i) y 1 = 9x (iii) y == - 3

V x

(U) y

=

jfi

(ii) y

II

y2 =

(in) y = # J V S

-P*-

1

II

1

-fc*

1

<

H

de la e c u a

(b) y m |* + 21 (d) y , J*| + 2

VO

1

H

II

En los ejercicios 25 y 26, trace la gráfica ción 25. (a) y * U - 2| (c) y - 1*1 - 2

>

VO

■1

1

fe

(H) y

39.

y =

40.

y

x z, y

=

(x

38.y m4x4-

= x 2, y = x 2

+ 2 ) 2, y = (x - 2 ) 2, y = (x- 4)2 + 2, y = x 2

43. y = | x | , y = | x | + 3 , y =

1

(U) y

o\

(i) y 2 m x 2 — 4 (iii) y = (i) y 2 = x 2 - 16 (Hi) y *

x4

- 2, y = x 2

41. y = x 2, y = 2x2, y = -2 x 2, y = 4x 2

(«) y = V i - x 2 (ii) y

17

32.y = 2x2+

42. y = x 2, y = ¡ x 2, y = - ± x 2, = \ x 2

2V ^ x

> II

(i) y 2 ~ 9 - x 2 (iii) y * - V 9 - x 2

(ii) y =

5 V ^X

<

(i) y 2 = - i * (iii) y ~ ^ | V - x (i) y 1 = —4x (iii) y = - 2V ^ x (i) y 2 = 1 - x 2 (iii) y = - V i - x 2

+

1

En los ejercicios 39 a 44, trace la gráfica de cada mo ción en el mismo rectángulo de inspección.

(U) y '■= 3Vx MI—

(i)

-

44. y = | x | , y = |

|x | - 3 , )’= 1*1

x + 3 |, y =

| —3 1, y =

45. Basándose en el ejercicio 39 describa en qué son similares y en qué diferentes las gráficas obtenidas Haga lo mismo para las gráficas obtenidas eno ejercicio 41. 46. Siga las instrucciones del ejercicio 45 para las p*' ficas obtenidas en los ejercicios 40 y 42. 47. Siga las instrucciones del ejercicio 45 para las gr ' ficas obtenidas en los ejercicios 43 y 44. 48. Use las definiciones de simetría para explicar Poí qué una gráfica simétrica con respecto a arabos tp coordenados es también simétrica con respecto origen. 49. Explique por qué en el ejemplo ilustrativo 5* \ obtuvieron imágenes distorsionadas de la g ^ ,c* j

REVISIÓN DEL CAPÍTULO 1

59

[ - 10, 10]; [ - 100, 100] por [ - 10, 10]; [ - 10, 10] por [-100, 100]. ¿Cuál de todos estos rectángulos de inspección es apropiado para mostrar las carac terísticas importantes de la gráfica? Explique por qué los otros dos rectángulos dan una ima gen distorsionada de la gráfica.

de la ecuación y = Vx + 25 en el rectángulo de ins pección estándar y en el rectángulo [ - 10, 10] por [-30. 30]. 50. Trace la gráfica de Vx + 50 en cada uno de los siguientes rectángulos de inspección: [ - 10, 10] por ■■■■■■■■■■■■H i

► VISIO N RETROSPECTIVA 1.1

Se discutió el conjunto de números reales y sus subconjuntos, los números racionales e irracionales. Se asoció los números reales con puntos sobre un eje llamado recta numé rica real, y se empleó esta representación geométrica para definir intervalos cerrados y abiertos. El valor absoluto de un número real se consideró como una distancia no dirigida del número a partir del origen.

1.2 Las expresiones algebraicas tratadas en esta sección fueron polinomiales y racionales. Se definieron términos asociados con estas ex presiones y se simplificaron varios tipos de expresiones racionales que frecuentemente se encuentran en Cálculo. 1J

La introducción a los números complejos fue motivada por la necesidad de considerar la raíz cuadrada de un número negativo. De-

mostrando que el conjunto C de números complejos satisface los axiomas de un cam po, y se realizaron operaciones algebraicas con estos números. 1.4

Después de introducir el sistema coordenado cartesiano rectangular en el plano, se utilizó para obtener la distancia entre dos puntos y el punto medio de un segmento de recta. Se mostró cómo emplear el sistema coordena do para probar por medio de la geometría ana lítica algunos teoremas de la geometría plana.

1.5

En esta sección se enfatizó el uso de la calcu ladora gráfica o graficadora para trazar gráfi cas. También se discutió la simetría de las gráficas y las pruebas para simetría, las cua les son importantes cuando se dibujan gráfi cas a mano.

► EJERCICIOS DE REPASO

S = Í-4 .V 2 ,15, | , 7«, 0.5,0)

y r - { - Í 2 .- V 3 ,- 5 .0 .7 J .i§ * }

1. (a) NUQ (c) ZD N 2. (a) Q D Z (c) z n /

(b) e n / (d) Q U Z (b)

N C

En los ejercicios del 1 al 4, N es el conjunto de núme ros naturales, Z es el conjunto de los enteros, Q es el conjunto de los números racionales, I es el conjunto de los números irracionales, y R es el conjunto de núme ros reales. En los ejercicios 1 y 2, determine cuál de es tos conjuntos y 0 es igual al conjunto dado. En los ejercicios 3 y 4 liste los elementos del conjunto si

(d) Q U I

3. (a) S f) N

(b) s n z

(c) Tf)Q

(d) r n /

4. (a) Sr\Q

(b) s n /

(c) TC\N

(d) TC\Z

60

En

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS DE ECUACIONES

CAPÍTULO 1 NÚMEROS,

lo s e je rc ic io s 5 y 6 , m u e s tre e l c o n ju n to s o b r e la

r e c ta n u m érica r e a l y r e p r e se n te e l c o n ju n to m e d ia n te la n o ta ció n d e in te rv a lo s.

5. (a) f x ¡ x ¿ 4 )

(b) { x ¡ 2 < x < 8 }

(b) ((«4+ 81)V J A » Z J En los ejercicios 25 a 30, realice las operaciones, cadas y exprese el resultado en laforma a +bi \

24. (a) (81r4j 8/ 12) 1/4

(c) { x \ x ¿ 0 \ U { x \ x > 2 ) (d) {x f x> 1} n [x I x £ 5 ) 6.

(a) { x \x > 5 )

(b) [ x \ - 2 < x £ 3 ]

25. (a)

(8+ 3¿) + (1 0 -2 0 (11 - 2 0 - ( - 5 + 6 /)

(c) (* |jc á -4 } U í-r | jr^ 4>

26. (a)

(d) {jt I jc > - 1> D {x J x<6)

27. (a) V=9V=49 28. (a) '[^8'P24'P48

En los ejercicios 7 y 8, determine el valor absoluto de cada inciso. 7. (a) |7 |

(b) | -V5" |

(c) |2 - VT|

(d) J VT- 2

(a) |{ |

(b) | L * |

' (c) |VÍO“- 3 |

i

(d) | 2 ^ 5 - 5 |

En ¡os ejercicios 9 y 10, muestre el intervalo sobre la recta numérica real, use la notación de conjunto y los símbolos de desigualdad para denotar el intervalo. 9.

(a) (-4 , 6) (c) [- 10, 10) 10. (a) [- 8,12] (c) (5,6]

(b) [3,11] (d) ( - 00, 0 ) (b) (-4,4) (d) [0,+ 00)

En los ejercicios 11 a 22, encuentre el valor numérico escribiéndolo sin exponentes.

11. (a) (23)2

5

(- 2)“3 (-7 )-2

20. (22 + 32 • 2' '

-1/2

1

5”2 + 4 • 5-3

22.

V

(b) H + ^ J (b) (-5-i?

I

13-2 + 2-'

v

29. ( 5 - 2 i) + (-4 - 3 0

0$

30. i + (- 6- 1)

&

En los ejercicios 31 y 32, simplifique la expresión, f (b) 123 (c) i-"

31. (a) i 9 32. (a) i 19

(b) i 66

(c)í4

En los ejercicios 33 y 34, haga lo siguiente: (ajlnrM los puntos A y B y dibuje el segmento de rectaerureelk (b) encuentre la distancia entre A y B; (c) Halledpmi Stí+ medio del segmento de recta entre A y B. 33. A(7, -1) y fl(3,2) 34. A(-5,2) y B(3,-4)j En los ejercicios 35 y 36, haga lo siguiente: (a)¿ge mine las coordenadas del punto medio M del sepm de recta entre A y B; (b) localice los puntos A, MjIr demuestre que | AM | = | MB | 36. A (-l, - 8 ) y B(7, 6 ) 37. Encuentre las longitudes de los lados del niáasfé que tiene sus vértices en A(4,1), 5(5, -5) yÍJV& 38. Determine las longitudes de las medianas deltná guio del ejercicio 37. 39. Mediante el recíproco del teorema de Pítago» pruebe que los puntos (2, 4), (1, -4) y (5, -2) *c los vértices de un triángulo rectángulo, yeoco8*j el área del triángulo. 40. Pruebe que el triángulo con vértices en (-8, D-'j - 6) y (2, 4) es isósceles y determine el ares triángulo.

-3/4

18. (3 ~3 + 9 -2)-i/2

5-1

(b) (3+f0+(-|J

/

16. 2o + 2 ~* + 2~2 + 2~3

2~2

m

35. >4(6,5) y fl(-4, -9)

(b) (27)4/3 (b)

fl>) ( j - O - f J

\-3

¡1

(b)

v

21.

En los ejercicios 23 y 24, utilice ¡as leyes de nenies para simplificar la expresión donde cada ^ Y / y ble puede ser cualquier número real. 23. (a) (4x 2y 4z 6) xn (b) f(y+l)V +4)J j j *

En los ejercicios 41 y 42, utilice la fórmula dedistfr para determinar si los tres puntos están en lo H I recta. 41. (-2, -3), (-1,4), (1,17) 42. (0,-3), (1,4), (2, 11)

REVISIÓ N DEL CAPÍTULO 1

43. Use ia fórmula de distancia para probar que el cua drilátero cuyos vértices son (1, 2), (5, -1 ), (11, 7) y (7, 10), es un rectángulo. 44. Emplee la geometría analítica para probar que la longitud del segmento de recta que une los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo es la mitad de la longitud del tercer lado. 45. Use la geometría analítica para probar que las lon gitudes de dos medianas en un triángulo isósceles son iguales. 46. Utilice la geometría analítica para probar que si dos medianas de un triángulo son iguales, entonces el triángulo es isósceles. En los ejercicios 47 a 50, la expresión racional ñ compleja es semejante al tipo encontrado en Cálculo. Halle una expresión racional simple equiva lente. En cada ejercicio h * 0 .

48.

1

1

2x + 2h + 1 49. h

50.

(3 + h)

x + h + 1 x + h - 2

2x + 1

6x(2x + 1) I/2 - 3x 2[j(2x + l ) - ,/ 2(2)] [(2 x + 1 ) ,/2] 2 Ix H x 2 - 1 ) 1/3 - * 3í j (* 2 - I ) ' 273(2 x)]

f(x 2 - D ,/ 312

\(já¿ En los ejercicios 53 al 58, la expresión se enk/ cuentra en Cálculo. Racionalice el numerador. Todos los radicandos y todas las variables representan números positivos; ninguno de los denominadores es cero. 53. 55. %

h - 2 - Vx - 2 + h) + 1 - V3x + í h

7

60. (a)

y = 9 - 4x

(b) y f 9 * - 4

61. (a)

y= ~x2

(b) y = -4 x 2

62. (a)

y =8 x 2

(b) y = - | x 2

(b) y ss 7x 4 2

63. (a) y - -x

(b) y = ¿
64. (a) y m £x 3 + 1

(b )

y

=

+

1 )’

67. y = 16 - x A

66. y = 9x2 68. y « 4x 3 -

69. y = 3x 3 - 4 x 2 +

70. y = 2 xA - 6 x2 + 7

65. y = Ix2 - 7x -

12x + 4

dr + I

En los ejercicios 71 a 76, haga lo siguiente: (a) pruebe la simetría para la gráfica de la ecuación; (b) dibuje la gráfica de la ecuación (i); (c) trace las gráficas de las ecuaciones (ii) y (iii) en el mismo rectángulo de inspec ción; (d) compare las curvas obtenidas en los incisos (b)y(c).

(ii) y = jylx

(iii) y = ~ V x

51.

V9 + 2h - 3

y= 2x -

71. (i) y 2 = |x

x + 1 x - 2

En los ejercicios 51 y 52, la expresión se encuen 1 tra en Cálculo. Simplifique de manera semejante al ejemplo 4 de la Sección 1.2.

52.

59. (a)

..

V i6 + h - 4

5 4 . ---------- :-----------

72. (i) y 2 = -9x (iii) y = -3 V^x"

(ii) y ® 3>£x

73. 0) y 2 ~ ,-4 (* - 3) (iii) y = -2^3 - x

(ii) y = 2V3 - x

74. (i) y 2 = ~(x + 4)

(ii) y = jVx + 4

(iii) y = - jVx + 4 75. (i) y 2 = x 2 - 25 (iii) y = -Vx 2 - 25 76. (i) y2 = 25 - x 2 (iii) y = -V25 - x 2

(ii) y = V25 - x 2

En los ejercicios 77 a 80, ción. 77. (a) y = 4 | x - 1 J (c) y = 4 | x I - I

1

7 + h 47. h

h

En los ejercicios 59 a 70, trace la gráfica de la ecua ción en un rectángulo de inspección apropiado.

N > Ln

5 7

58.

—

11

5 +h

h + 3 V3/i + 4 57. h

61

ib) y = 4 | x + 1 | (d) y * 4 | a | +1

78. ( a ) y = 3 1 x - 4 | (c) y = 3 | x | - 4

(b) y = 31x + 4 |

79. (a) y = x | x |

<„> , - J i L

(d) y = 3 1 x | + 4

62

CAPÍTULO 1

(c) y = Ú \ 80. (a) y = lx l + jc

NÚMEROS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y GRÁFICAS PE ECUACIONES

dades de simetría para dibujar la gráfica completa (c) ¿Qué figura geométrica representa la gráfica? (b) y = \ x \ - x

81. Basado en la gráfica de la ecuación I x I + I y I = 1. (a) Pruebe que la gráfica es simétrica con respecto a ambos ejes y al origen, (b) Dibuje la porción de la gráfica en el primer cuadrante, y use las propie

82. Trace la gráfica de la ecuación del ejercicio 81, en su calculadora gráfica, y escriba una descripción de cómo lo hizo. 83. Realice las partes (a) y (b) del ejercicio 81 para la ecuación | x I — | y | = 1. Trace la gráfica en so graficadora, y escriba una descripción de cómo k) hizo.

,o n o -ro c io n e s lin e a le s ,

W conunaincógnita *

r

pcuacbnescuadráticas i 3Ecuaciones como con unamodelos incógnita * 2.4Otrasecuacionesconuna m

a te m

á tic a

^ 2.6Desigualdades 2.5Desigualdades lineales polinomialei incógnita • ' 2.7Ecuacionesy desigualdad^’' Q u e im p lic a n v a lo r c*~

'

■La facilidad para resolver ecuaciones y desigual dades es crucial en Cálculo. En este capítulo se tratará la resolución de ecuaciones y desigualda des con una incógnita. Las primeras tres secciones contienen temas de álgebra interm edia; deberá revisarlos en esta ocasión. Estudie cuidadosam ente los procedi mientos sugeridos en la Sección 2.3 a fin de obte ner una ecuación com o modelo m atem ático para resolver un problema. La Sección 2.4 incluye material que, posiblemen te, estudiará por primera vez. Las secciones 2.5 a 2.7 deberán revisarse detalladamente. Los procecflmtentos para obtener conjuntos solución de des igualdades, y aquéllos requeridos para reem pla-, zar una desigualdad por otra equivalente más simple, son necesarios en Cálculo.

*4

2.1

CAPÍTULO 2

ECUACIONES Y D E S I G U A L D A D E S _____________________________ _

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA OBJETIVOS

^

1. Resolver algebraicam ente ecuaciones lineales. 2. M ostrar la solución de una ecuación lineal en una gráfica. 3. Resolver ecuaciones lineales en u n a calculadora gráfica o graficadora. 4. Resolver ecuaciones racionales transformándolas en ecuación ' lineales. 5. O btener y aplicar u n a ecuación como modelo matemático. 6 . Resolver ecuaciones con literales considerándolas ecuaciones lineales.

En la Sección 1.5, se introdujeron las ecuaciones algebraicas con doil variables. En este capítulo trataremos ecuaciones algebraicas de unava riable denominadas en ocasiones como con un a incógnita. El domi. nio de la incógnita, de una ecuación, es el conjunto de números parak# cuales las expresiones algebraicas de la ecuación están definidas.

r>


En las ecuaciones algebraicas siguientes sea x un número real: -* -5 = 0

(lji

x 2 + 12 = I x

(J)

x + 5 m 5

+

x

(3)

x + 2 .as x

+

3

(49

3 = 2 x + 4 3x - 2

(j)

Para las ecuaciones (1) hasta (4) el dominio es R. Debido a que el la*> izquierdo de la ecuación (5) no está definido si x es 0, el dominio ese* conjunto de todos los números reales excepto cero. El lado izquierdo de la ecuación ( 6 ) no está definido si x es - 4 y el lado derecho no esuide finido si x es por tanto, el dom inio es el conjunto de los nüineroSj reales excepto —4 y 4 Cuando la variable en una ecuación es reemplazada por un nun'J ro específico, la proposición resultante puede ser falsa o verdadera j*j es verdadera, entonces el número es llamado solución (o raíz)

2 .1

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

65

ecuación. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de conjunto solución de la ecuación. Se dice que un número satisface u n a ecuación si ese número es una de las soluciones de la ecuación.

>


(a) Si en la Ecuación (1) se sustituye por 5, la proposición resulta verdadera, pero si x es reemplazado por otro número diferente de 5 el enunciado es falso. Por tanto, el conjunto solución es {5}. (b) En la Ecuación (2), si x se sustituye por 3 o 4 la proposición es verdadera, y si x es reemplazado por otro número que no sea 3 o 4 se tiene una proposición falsa. Por tanto, la ecuación tiene dos so luciones, 3 y 4, y el conjunto solución es {3,4}. (c) Si en la Ecuación (3) cualquier número real sustituye a x, se obtiene una proposición verdadera. Por tanto, el conjunto solu ción es R. (d) Cuando cualquier número real sustituye a jc en la Ecuación (4), se obtiene una proposición falsa. De este modo, el conjunto solución es 0 . (e) En la Ecuación (5), si cualquier número diferente de 0 sustituye a x, se obtiene una proposición verdadera. Por tanto, el conjunto so lución es [x | jc e R, x * 0}. (f) El conjunto solución de la Ecuación (6 ) no está aparentemente defi nido. Sin embargo, se mostrará cómo encontrarlo en el ejemplo 3. < Si el conjunto solución de una ecuación con una incógnita es el mismo que el dominio de la incógnita, la ecuación se llama identidad. Las ecuaciones (3) y (5) son identidades. Si hay al menos un número en el dominio de la incógnita que no esté en el conjunto solución de la ecuación, se tendrá una ecuación condicional. Las ecuaciones (1), (2), (4) y (6 ) son ecuaciones condicionales. Un tipo importante de ecuaciones son las ecuaciones polinomiales con una incógnita, la cual puede escribirse en la forma P = 0, donde P es un polinomio en una variable. El grado del polinomio es el grado de la ecuación. Son ejemplos particulares de ecuaciones polinomiales las siguientes: I x - 21 = 0

423

(primer grado)

2y2 - 3y -

5= 0

- 8z 2 - z

+2 = 0

(tercer grado)

4= 0

(cuarto grado)

9w 4 - 13w2 +

(segundo grado)

La determinación del conjunto solución de una ecuación condi cional se llama resolver una ecuación. Como se vio en la Ecuación ( 1) del ejemplo ilustrativo 2 , algunas veces es posible resolver una ecuación por inspección. Sin embargo, en general, se emplea el con cepto de ecuaciones equivalentes, las cuales son ecuaciones que po-

d e s ig u a l d a d e s

__

en el m ism o conjunto solución. Por ejem plo, las ecuaciones s i a d >son equivalentes: lx -2 \ =0

7jc = 21

jc = 3

Con frecuencia pueden resolverse ecuaciones por sustitución, mediante una sucesión de ecuaciones equivalentes, cada unadealg* na form a m ás sim ple que la anterior, así se obtiene eventualmeoteyJ ecuación para la cual el conjunto solución es evidente. Se pueden apt jar propiedades de los núm eros reales para sustituir una ecuación pul otra equivalente. Por ejem plo, el conjunto solución de una ecuación* cam bia si la m ism a expresión algebraica es sumada o restada a ambos lados de la ecuación. Adem ás, el conjunto solución no se altera si am bos lados de una ecuación son m ultiplicados o divididos por la mison' expresión algebraica, siempre que la expresión algebraica no sea cao Es recom endable com probar que el valor obtenido al resolver un ecuación es solución de ésta, lo cual nos indicará si se cometieronooo errores aritm éticos o algebraicos al resolverla. La comprobación se efectúa sustituyendo, en la ecuación original, el valor encontrado. U na ecuación polinomial de prim er grado es llamada ecuación li neal, debido a que su gráfica es una línea recta, como se verá en b Sección 3.1.

DEFINICIÓN

Ecuación lineal

Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación de la forma ax + b — 0 donde a y b son números reales y a * 0 .

A fin de resolver la ecuación ax + b = 0 para jc, se resta b de ambo» lados y después se dividen ambos lados entre a, lo cual puede haca* porque a 0. Así, se tieneq las siguientes ecuaciones equivalentes: ax + ¿7 = 0 ax + b — b = 0 — b ax = - b ax _ —b a a x - _b a Se dem ostrará el teorema siguiente.

2 .1

E C U A C IO N E S L IN E A L E S C O N U N A IN C Ó G N IT A

67

TEOREMA 1

La ecuación lineal ax + b = 0 (donde a * 0) tiene exactamente una solución, — .*

Para mostrar la solución de la ecuación lineal

ax + b = 0 en una gráfica se define y igual al lado izquierdo, y se dibuja la gráfica de esa ecuación. La gráfica es una línea recta que cruza al eje x en el punto cuya abscisa es x = - a la solución de la ecuación. El número - -a es denominado la intercepción x de la recta.**

E JE M P LO 1

Resolución a lg e b ra ic a d e u n a ecuación lin e a l y p res en tac ió n d e la solución en u n a g rá fic a

Resuelva la ecuación 5*-2

x

- 1 1 = 2

+

jc

-8

y muestre la solución en una gráfica. S o lu c ió n Si se reducen los términos semejantes en cada lado de la ecuación y después se agrega - x y 11 a ambos lados, obtienen las si guientes ecuaciones equivalentes: 3x - 11 = x - 6 3x - 1.1.— x + 11 = x - 6 - x + 11 3x - x = 11 -

6

2x = 5

5

X= 2 Por tanto, el conjunto solución es { |} . Para verificar la solución , ¿será cierto que 5 '5 Ì 2 v

-

2

f5 l

2

11 = 2

+ ^

2

- 8?

N. del R. El hecho de que la solución de la ecuación es única está basado en que los números -b (inverso aditivo de b) y ^ (in verso multiplicativo de a), componentes de la solución, son únicos. Esto último corresponde a los teoremas del campo R. N. del R. El término intercepción x puede interpretarse geométricamente como la longitud del segmento determinado en el eje x por la intersección de la gráfica y el eje x, y el origen. Otro nombre para la intercepción x es abscisa a l origen.

68

CAPÍTULO 2

ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Al sustituir | en cada miembro, se tiene

11

Esto comprueba la solución. Debido a que la ecuación dada es equivalente con 2jc-5 -n la gráfica de: y = 2x - 5

[-10, 10] por (-10, 10)

en una calculadora gráfica o graficadora obteniendo la recta m* muestra en la Figura 2.1. La intercepción x de esta recta es 2.5, la54 ción de la ecuación.

y -2 x -5

FIGURA 2.1

Un método gráfico estricto de solución de la ecuación del se mostrará en el siguiente ejemplo.

► EJEMPLO 2

R esolver u n a ecuación lineal mediante una graficadora

Use una graficadora para resolver la ecuación del ejemplo 1. Solución

Se definen

y t = 5x - 2x - 11

[-10, 10] por [-10, 10] y, = 5 x - 2 x - l l y y2= 2 + x - 8

FIGURA 2.2

y

y2 = 2 + x - 8

y se trazan las gráficas de estas dos ecuaciones en el mismo rectángob« inspección, obteniéndose las rectas mostradas en la Figura 2.2. Lacooéj nada x del punto de intersección de las rectas es 2.5, lo cual concuerdic* la solución del ejemplo 1. Para resolver una ecuación que contiene expresiones raciónate! multiplican ambos lados de la ecuación por el MCDn (mínimo con»] denominador) de las fracciones, tal como se muestra en el ejemplo9', guiente.

► EJEMPLO 3

Resolver una ecuación racional

Halle el conjunto solución de la ecuación 3 = 2 x + 4 3jt — 2 I Solución Observe que cuando x es - 4 o se obtiene ceroen« minador de una de las fracciones en la ecuación dada. Por tanto. - q están en el dominio de la incógnitas.

I

2 .1

EC U A C IO N ES LIN EALES C O N U N A INCÓ GN ITA

69

El MCDn es (x + 4) (3x - 2). Si se multiplican ambos lados de la ecuación por el MCDn, se obtiene (x + 4)(3* - 2) — = (x + 4) (3jc - 2 ) — - — * + 4 3jc — 2 3(3* - 2) = 2(jc + 4) 9x 9x-6 +

69jc

6 = 2*

+8

2*= 2jr + 8 + 6 - 2x 2* = 8 + 6 Ix = 14 * =2

Por tanto, el conjunto splución es {2}. Ahora se verificará la solu3 1 cion. ¿Será cierto q u e ---------= ------------- ? 2 + 4 3(2) - 2 3 = 3 2 + 4 6

2 3(2) - 2

2 4

= 1

2

2

De este modo, la solución ha sido comprobada.

<

Cuando se multiplican ambos lados de la ecuación por el MCDn la ecuación resultante puede no ser equivalente a la original. Si esto sucede, se puede obtener un valor como posible solución que no satis faga la ecuación original debido a que no pertenece al dominio de la incógnita. Estas situaciones ocurren en los ejercicios 25 y 26. En el ejemplo siguiente se obtendrá una ecuación como una repre sentación algebraica de una situación práctica. A la ecuación obteni da se le denomina m odelo m atem ático de la situ ació n p ráctica. En la Sección 2.3 se discutirán en detalle las ecuaciones como modelos matemáticos.

► EJEMPLO 4

Obtención y ap licació n d e u na ecuación como m odelo m atem ático

El costo de alquiler de un avión de una plaza, de una aerolínea priva da, es de 310 dólares por el avión y piloto, más 75 centavos de dólar por m illa de vuelo. ¿Cuál es el costo de un viaje de (a) 100 millas; (b) 200 millas y (c) 300 millas? (d) Si y dólares es el costo de un viaje de x millas, escriba una ecuación que relacione a y y x. Emplee la ecua ción del inciso (d) para determ inar (e) el costo de un viaje de 270 mi llas y ( f ) la distancia recorrida de un viaje que costó 720 dólares.

?0

CAPÍTULO 2


S olución (a) El costo de un viaje de 100 millas es de $310 + $0.75 ^ j $385. J ^ (b) El costo de un viaje de 200 millas es de $310 + $0.75 (2fl(b! $460. (c) El costo de un viaje de 300 millas es de $310 + $0.75 (300), $535. (d ) A fin de determinar una ecuación que relacione a x y y, se obs^ en las respuestas de las partes (a), (b) y (c) que el número de^ res en el costo total del viaje se obtiene por la suma de $310 producto de 0.75 y el número de millas recorridas en el viaje. ^ tanto, si y dólares es el costo de un viaje de x millas, entonces y

= 310 + 0.75*

(e) Para un viaje de 270 millas, x = 270 y y

= 310 + 0.75(270) = 512.50

Por tanto, el costo del viaje es de $512.50. (f) Para un viaje cuyo costo es de $720, y = 720 y 720 = 310 + 0.75* = 720 ;fT - , 310 0.75* = 410 x —

410 0.75

X =

546.67

Por tanto, el recorrido del viaje es de 546.67 millas.

[0,1 000] por [o, 1000] y = 310 + 0.75*

FIGURA 23

La Figura 2.3 muestra la gráfica de la ecuación del ejemplo*11* zada en el rectángulo de inspección [0,1 000 ] por [0,1 000] conM*? cala de 100 en ambos ejes. En el ejercicio 40 se pedirá que utiliz^ la graficadora se hagan aumentos (zoom-in) en esta gráfica para«*0mar las respuestas de los incisos (e) y (f) del ejemplo 4. Una ecuación puede contener más de una variable o puedec° ^ ner símbolos como a y b para representar constantes. Una ^cuaClCl 1 este tipo se conoce en algunas ocasiones como e c u a c i ó n liter*J resolver una ecuación de este tipo respecto a una de las vana términos de las otras variables o símbolos, se trata la variable como la incógnita y las otras variables o símbolos como valores cidos.

2.1

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

► EJEMPLO 5

Ti

Resolución de una ecuación literal

Si se lee la temperatura en dos termómetros, uno Fahrenheit y otro Celcius, entonces F grados es la temperatura Fahrenheit leída y C gra dos es la temperatura Celsius, la relación de estas temperaturas es: F = - C + 32 5 Resuelva esta ecuación para C.

Solución

Primero se multiplica cada lado por 5 y se obtiene 5F = 9C + 160

5F - 160 = 9C 9C = 5(F - 32) C = | ( F - 32) 9

►

EJEMPLO 6

«

Resolución de una ecuación literal

Resuelva la ecuación y = xtz + xyz

(a) para x, y (b) para y

Solución (a) A fin de resolver para* x, primero se factoriza el lado derecho. y = x(tz + yz)

Ahora se dividen ambos lados entre tz + y z y resulta x = — - — (tz + yz * 0 ) tz + yz

(b) A fin de resolver para y , se suma -xyz a cada uno de los lados y después se factoriza el lado izquierdo, obteniéndose:

y

- xyz - Xtz

y( 1 - xz) = xtz

Al dividir ambos lados entre 1 - xz, se tiene y = —— I - xz

■•** R. La expresión

"resolver para” también significa “despejar”

(xz * 1)Ü

72

CAPÍTULO 2


En los ejercicios 1 a 4, encuentre el conjunto solucion de la ecuación, y muestre la solución en una gráfica obtenida en una graficadora. 1.

2* + 7 *

0

2.

3.

5x - 8

0

4.

*

3x - 2 4x + 9

= 0

2x + 5

En los ejercicios 5 a 14, resuelva la ecuación de dos formas: (i) en la graficadora como en el ejemplo 2; (li) algebraicamente. 5.

7X

7.

4 h- -

3 =

9.

2 (/ -

5) = 3 -

+ 4 = 25

10 .

1 -

11.

x =x

3(2* -

1 3 . 3(4 y 14 . - 2

+

8 . * — 9 = 3 jc + 3

(4 +

4) = 4 (6 -

1

-

5 y) -

7 (2 -

SJM

(5

x)

+

4 x 2 + 8x - 5

1

En los ejercicios 27 a 32, resuelva p a r a x o y en nos de los otros símbolos. 27. 3ax + 6ab = l a x + 3ab a + 3x c 28' ~ ^ = I 29. a (y - a) - 2b (y - 3b) - ab

t)

■

30. 5a(5a + x) = 2a(2a - x)

8

1 2 . jr + 3 = 1 +

+ 9) =

[s -

6. 7 = y + 10

11 - 3w

2x -

= 0

* +

2

31.

x + b

x —a

3a - 4b

2a - 5b

2y

32.

4 i = <¿ 3 s .

— y

+

2

1

c*+ y

y

£>* los ejercicios 15 a 24, encuentre el conjunto solu ción de la ecuación.

En los ejercicios 33 a 39, resuelva para la cantidad« dicada en la fórm ula dada.

„ 3* ■*-\2 - 3 15. — g-------1- — i —

33. A - ^ { a + b)h\ para h

34. A=Ua+b)h,pml

35. £ = / ( / ? + r); para r

36. A = P 1 + í ; pan

»6 . | + i 8

2i

- 2

i

17.

18. 19.

4 —/ o

+

1

+

= + 3

3

5 h- — 1

5»v

22.

3 a4 2x2 + x — 6 x2 - x - 6

23.

5 x 2 + 6x -

24.

2 7“ x 2 - 1

__ 2_______ 3_ ? +

1

para p I <1

38. E = I \ R + - 1 p w

6x — 7

4

25w 2 -

1 1

37. —= f P

39. S = ~ ~ - \ para r

3x — 4

20. x 2 3______7 - 9 jt 21.

„ 1

* 0

1

-

5

y

y

En los ejercicios 25 y 26, demuestre que el conjunto solución de la ecuación es 0 .

40. Al aumentar (zoom-in) la gráfica de la Figura2J en la graficadora estime las respuestas en los in cisos (e) y (f) del ejemplo 4. 41. Suponga que el tanque de la gasolina de automóvil tiene una capacidad de 16 galones,) pueden recorrer 20 millas con un galón de solina. Si se inicia un viaje con el tanque W ¿cuántos galones quedarán en el tanque despu» recorrer (a) 100 millas, (b) 200 millas y (í)- ■’ millas? (d) Si y galones de gasolina queda» en tanque después de haber manejado * millas, escn una ecuación Empl# w iuii que q u e irelacione c i a t i u i K /.v y j ~ . respuesta obtenida en el inciso (d) para detertn1 (t?) ¿cuánta gasolina queda en el tanque despuí r . conducir 240 millas?, (f) ¿qué tan lejos SCJ ^ manejar cuando el indicador marca que «ju*®

2 .2

ECUACIO NES CUADRÁTICAS C O N U N A IN C Ó G N IT A

cuarto de tanque de gasolina? y ( g ) ¿qué tan lejos puede manejarse con un tanque lleno antes de quedarse sin gasolina? 42. El costo de una llamada de larga distancia de Men docino a San Francisco en cualquier día de la se mana es de 40 centavos de dólar el primer minuto y 31 centavos de dólar para cada minuto adicional. ¿Cuál es el costo de una llamada que duró (a) 4 mi nutos; (b) 7 minutos; y (c) 10 minutos? (d) Si y dólares es el costo de una llamada que tuvo una duración de x minutos, escríba una ecuación que relacione y y x. Utilice la ecuación del inciso (d) para determinar (e) el costo de una llamada de 16 minutos de duración, y (f) la duración de una lla mada que costó 4.74 dólares.

gráfica para estimar las respuestas de los incisos (e), (f) y (g) del ejercicio 41. 44. En una graficadora, trace la gráfica de la ecuación del inciso (d) del ejercicio 42. Aumente (zoom-in) la gráfica para estimar las respuestas de los incisos (e), y (f ) del ejercicio 42. 45. Encuentre el conjunto solución de cada una de las ecuaciones siguientes, si x es un número real: (a) - = 1 x

(b) - = 0 x x

(C) - = 2

46. Determine el conjunto solución de cada una de las ecuaciones siguientes, si x es un número real: x —2 (a) ------ - = 1 x —2

x —2 (b) ------ - = 0 x —2

43. En una graíicadora, trace la gráfica de la ecuación del inciso (d) del ejercicio 41. Aumente (zoom-in) la

2.2

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON U N A IN C Ó G N ITA OBJETIVOS

1.

Aprender el teorema del factor-cero.

2. Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización.

3. Mostrar en una gráfica las soluciones reales de una ecuación cuadrática. 4. Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de la raíz cuadrada. 5. Completar el cuadrado de x2 + kx. 6. Aprender la fórmula cuadrática. 7. Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática. 8. Usar el discriminante para determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática. 9. Aprender las relaciones existentes entre la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática y las intercepciones x de la parábola correspondiente. 10. Resolver gráfica y algebraicamente problemas de movimiento rectilíneo. 11. Resolver ecuaciones literales considerándolas como ecuaciones cuadráticas. 12. Aplicar el concepto de completación de cuadrados a ecuaciones que se presentan en geometría analítica y expresiones algebraicas encontradas en Cálculo. Una ecuación que puede expresarse como: ax 2 +

73

+ c *

0

74

CAPÍTULO 2

donde f l ü son números reales constantes y a * 0 „ „ ¡ d.°_ „„Hnomial de segundo grado o ecuación cuadritw S c,° “ P° La palabra cuadrática proviene del vocablo *H aue significa raíz o rectángulo. Cuando una ecuación cuadrá£ S cribe en la forma anterior (donde todos los término* s e encuentran del lado izquierdo y 0 está en el lado derecho,,^ oue está en forma estándar. Es conveniente tener una formac^ nara un tipo particular de ecuación, as, como también se J C para referirse a sus propiedades cuando se proponen f o j ] teoremas gentes son ejemplos de ecuaciones cuadráticas«^ tas en forma estándar con los valores de a, fey c. indicados. (a = 6, b = 7, c = - 3)

j

(a = 1, b = 0, c = - 7) (fl = 3, b = -4 , c = 0)

I |

6x2 + i x - 3 = 0

_

7

=o 3jc2 - 4jc = 0 x2

Observe que es posible que b o c sean cero, como en la segundayt** ecuación. De cualquier modo, la restricción de que a * 0 es Recesará]«

j

tener una ecuación de segundo grado.

Un método para determinar el conjunto solución de unaecuao^ cuadrática involucra el teorema siguiente. Su d em ostrab a, las propiedades del conjunto de los números complejos dadasch Sección 1.3.

TEOREMA

Teorema delfactor <

Si r y s son números complejos, entonces rs = 0

si y sólo si

r = 0 o s =0

Este teorema puede ser extendido para un produco^ ^ factores. Por ejemplo si r, s, t, u £ C, entonces rstu menos uno de los números r, s, t o u es 0 .

Aplicación del te o re m a del factor cero q ú i ^ e c u t r ' fact0r cero Puec*e ser aplicado para reso l lado izauierH " cuadrática en la forma estándar para ,a c “ O izquierdo puede ser factorizado. 1. Factorizar el lado izquierdo.

Hacer cada factor igual a cero.

2.2

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA

7*

3. Encontrar las soluciones de estas ecuaciones lineales. 4. El conjunto solución de la ecuación cuadrática dada es la unión de los conjuntos solución de las dos ecuaciones linea les. 5. Comprobar las soluciones mediante la sustitución en la ecua ción original.

En el ejemplo siguiente se mostrará el procedimiento.

► EJEMPLO 1

Resolver una ecuación cuadrática por factorización

Determine el conjunto solución de la ecuación * 2 + 3jc - 10 = 0

Solución

Si se factoriza el lado izquierdo se obtiene

(* + 5) (x - 2) = 0 Al aplicar el teorema del factor cero, se concluye que la ecuación dada es una proposición verdadera si y sólo si * + 5 = 0

o

* -2

= 0

La solución de la primera de estas ecuaciones es -5 , y la solución de la segunda es 2. Por tanto, el conjunto solución de la ecuación cuadrática dada es {-5, 2). Las soluciones pueden comprobarse sustituyendo -5 y 2 en la ecuación original como sigue: ¿Es (-5 ) 2 + 3(-5) - 10 = 0?

¿Es 2 2 + 3(2) - 10 = 0?

( - 5 ) 2 + 3(-5) - 10 = 25 - 15 - 10

2 2 + 3(2) - 10 = 4 + 6 - 10

= 0 Por tanto, ambas soluciones están comprobadas.

=0 -4

La gráfica de la ecuación obtenida haciendo y igual al lado iz quierdo de la ecuación cuadrática en forma estándar es una parábola. Las intercepciones x de la parábola son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

76

CAPÍTULO 2


►

EJEMPLO 2

D e te rm in a c ió n g r á fic a cf* las soluciones re a le s d e u n a e c u ac ió n cu ad rática

Para la ecuación cuadrática del ejemplo 1, muestre las soluciones ficamente. Solución Considere y igual al lado izquierdo de la ecuación: y = x 2 + 3jc - 10 [-1 0 , 5] por [-1 5 , 15]

y = x ¡+ i x -

10

FIGURA 2.4

Al trazar la gráfica de esta ecuación se obtiene la parábola, mostrada en la Figura 2.4. Las intercepciones x de la parábola son -5 y 2, cuales corresponden con las soluciones obtenidas en el ejemplo 1, Suponga que se tiene una ecuación cuadrática de la forma jc2= d esto es, que no hay términos de primer grado. Por lo que la siguiente es una ecuación equivalente x2 - d = 0 y al factorizar el lado izquierdo obtiene (x - 'id) (x + id)_ = 0 Se considera cada uno de los factores igual a cero y se resuelven i ecuaciones. x - id = 0

x + yfd = 0

x = id

x = - 'i d

Por tanto, el conjunto solución de la ecuación x 2 = d e s [id, - i d } b puede abreviar el conjunto solución como {± ~id). Es decir si y sólo si

x = ± "id

donde x = ± i d se refiere a las dos ecuaciones x = 'id y x = -id- & factible resolver la ecuación extrayendo la raíz cuadrada de ambos lado de la ecuación y escribiendo el símbolo ± para indicar las dos raíces de¿

► EJEMPLO 3

Resolver una ecuación cuadrática m*dlont* raíz cuadrada

Encuentre ei conjunto solución de cada una de las ecuaciones siguió tes: ¡S i (b) x2 ~ II

(a) x 1 - 25

(c) m

2.2

ECUACIONES CUADRÁTICAS CON U NA INCÓGNITA

Solución

Se extrae la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

(a) x 2 = 25

(b) x 2 = 1 1

jc = ± V 2 5

(c) x * = - 9

jc = ± V T T

x = ± V -9 * =±3i

* = ±5

>

77

<


El conjunto solución de la ecuación (x - 4 ) 2 = 5 puede ser determinado extrayendo la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación. Por lo que se tiene x - 4 = ±V 5 x = 4 ± V5 Así, las dos soluciones son 4 + VF y 4 - VF, y el conjunto solu ción puede escribirse como {4 ± }. 4 Puede aplicarse el método del ejemplo ilustrativo 1 para hallar el conjunto solución de cualquier ecuación cuadrática. El primer paso es escribir la ecuación de una forma similar a la de la ecuación dada en el ejemplo ilustrativo 1. Esto es, el lado izquierdo será el cuadrado de una expresión algebraica que contiene la variable, y el lado derecho será una constante. Se empleará este procedimiento en el ejemplo ilus trativo siguiente.

>


A fin de encontrar el conjunto solución de la ecuación x 2 + 6x -

1 = 0

primero se suma 1 a cada lado y se obtiene x 2 + 6x — \

fi_

( 1)

Ahora se suma a ambos lados el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, es decir 32, y se obtiene x 2 + 6x + 9 » 1 + 9

(j)

78

CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

-1 0 .5 ] por [ -1 5 .1 5 ]

Por tanto, el conjunto solución de la ecuación dada es {-3 ± VÍO).

,y=Jt*+ár- I

FIGURA 2.5

En el ejemplo ilustrativo 2, las soluciones -3 + VkTy -3 son las soluciones exactas de la ecuación cuadrática. Empleandoh calculadora, VlO » 3.16227766, donde el símbolo « se lee “aproomadamente igual'’. Por tanto, las aproximaciones decimales soluciones con siete cifras decimales son -6.1622777 y 0.1622777.U gráfica de y = x 2 + 6x - 1, mostrada en la Figura 2.5, indica que lasioluciones encontradas son aproximaciones razonables de las inteiccp> ciones x de la parábola. El método empleado para obtener la Ecuación (3) se denomina completación del cuadrado. El paso importante es obtener la Ecua ción (3) equivalente a la Ecuación (1). Observe que en (1), el izquierdo es jc2 + 6* (el coeficiente de x2 es 1 y el coeficiente de*es6} Se ha sumado el cuadrado de la mitad de 6 a ambos lados de laEcua ción (1), lo cual da (2), en la que el lado izquierdo es (* + 3)2. Dema nera más general: Para completar el cuadrado de x 2 + kx, se suma el cuadradodeIt mitad del coeficiente de x\ o sea

f ie '2

Observe que esta regla para completar el cuadrado, se aplicasolamente a una expresión cuadrática de la forma x 2 + kx, donde el coeficíente del término de segundo grado es 1. Además, cuando suma a x 2 + kx, se obtiene el cuadrado de un binomio:

x2 + kx + { í f = (x + í ) Si k es igual a 2a, esta fórmula se transforma en: x 2 + 2ax + a 2 m (jt + a )2

► EJEMPLO 4

Completar el cuadrado de x 2 + fc*

Agregue un término a cada una d e las siguientes e x p r e s io n e s algeW cas, para obtener el cuadrado de un binomio. Escriba la expresión sultante como un binomio al cuadrado.

2 .2

79


(a) x 2 + \ 2 x

(b) x 2 - 5x

(c) x 2 + 4

Solución El coeficiente de * 2 es 1 en cada una de las expresiones proporcionadas. Por tanto, para completar el cuadrado, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. (a) x 2 + Í 2 x + 62 = x 2 + 1 2 * .+ 36 = (x + 6 )2 (b) x 2 - 5 x + f - | J

= * 2 - 5* + j = U

5'2 - -

(c) x 2 + - x + ( - I = x 2 + - X + ~

= . , +r Ahora, considere la ecuación cuadrática general en la forma están dar: a x 2 + bx + c - 0 Esta ecuación se resuelve para x en términos de a, b y c completando el cuadrado. Primero se dividen ambos lados de la ecuación por a (recuerde que a * 0 ); posteriormente, se agrega — a ambos lados para obtener 0 b c x2 + -x = — a a Al sumar, a ambos lados, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x:

b Y

b2

x + 2al

4*’

x +

b V 2a

c

b 2 - 4ac 4a 2

b V b 2 - 4ac x + —----- — 2a 2a

CAPÍTULO 2


b V ¿?2 — 4ac = ~2a ± 2a

*

- b ± V 2 — 4ac X ~ ----------- l a Estos dos valores de x son las soluciones de la ecuación ax2+ Éac+|s| Mediante el procedimiento anterior se ha obtenido la fórmula cuadráü. ca, la cual se establece a continuación de manera formal.

Fórm ula cuadrática Si a * 0, las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0 están dadas por - b ± i b 2 — 4 ac x -----------------------2a

El hecho de sustituir los valores de a, b y c en la fórmula cuadrátia nos permite resolver fácilmente cualquier ecuación en forma estándar.

► EJEMPLO 5

Resolver u n a ecuación cuadrática mediante la fórm ula cuadrática

Emplee la fórmula cuadrática para encontrar el conjunto solución deh ecuación 2x2 = 5(2x - 3) Solución como

Si se escribe la ecuación dada en la forma estándar que®

2x l - IOjc + 15 = 0 A partir de la fórmula cuadrática, donde a = 2, b = -10 y c = 15, x =

—b ± V &2 — 4ac —

_ 10 ± V lO O -

120

4

10 ±

V

-20

4

_____________ _

2.2


81

10 ± 2 i V s

4 5 ± iV 5 7

El conjunto solución es

Hiin iiin in

La parábola y = 2 x 2 - 10* + 15, asociada con la ecuación en el ejemplo 5 y mostrada en la Figura 2.6, no intersecta al eje x debido a que la ecuación no tiene raíces reales.

[ - 1 .6 ] por [ 0 ,3 0 ]

Resumen de los métodos p a ra resolver ecuaciones cuadráticas

y = 2 x 1- 1 0 x + 15

FIGURA 2.6

1. 2. 3. 4.

Factorización (ejemplo 1). Raíz cuadrada (ejemplo 3 y ejemplo ilustrativo 1). Completación del cuadrado (ejemplo ilustrativo 2). Fórmula cuadrática (ejemplo 5).

Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse mediante la fórmu la cuadrática; por lo que el método 4 se utiliza con más frecuencia. Si los métodos 1 y 2 parecen apropiados, se deben emplear, ya que es más fácil su aplicación. El método de completar el cuadrado, el cual es poco común para resolver una ecuación cuadrática, reviste importancia debido a que se empleó en la deducción de la fórmula cuadrática. A continuación se proporciona información acerca de las raíces de una ecuación cuadrática, sin que realmente se resuelva ésta. Si r y s representan las raíces de a x 2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales, con -b +

— 4ac 2a

- b - V¿>2 - 4ac 2a

El número representado por b 2 - 4ac se denomina el discriminante de la ecuación cuadrática. La naturaleza de las raíces se puede determinar encontrando el valor del discriminante.

82

CAPÍTULO 2


1. Si b 2 - 4ac = 0, entonces

— zh .

s ~ ~ 2a

v

2a

y por tanto, r y s son números reales iguales. En tal c a so ,eln J r o ------ se llama raíz doble (o una raíz de multiplicidad 2).i¿ gráfica de la ecuación y = a x 2 + bx + c es la parábola tangente^ eje x en el punto donde x = ------ . Véase la Figura 2.7. 2a 2. Si b 2 - 4ac > 0, entonces r y s son números reales diferentes. situación se presentó en el ejem plo 1. La gráfica de la ecuaciói y = a x 2 + bx + c es una parábola que tiene dos intercepcioua* Véase la Figura 2.4. 3. Si b 2 - 4ac < 0, entonces r y s son números imaginarios difem, tes, cada uno de ellos es el complejo conjugado del otro. Esto* observó, en el ejemplo 5. La gráfica de la ecuación y = ax2+ es una parábola que no intersecta el eje x. Véase la Figura 2.6. * Ahora se resumirán estos resultados.

Clasificación d e las raíces d e la ecuación ax2 + b x + c = 0 1. b 2 —4ac —0: las rafees son reales e iguales, una raíz doble b 2- 4ac > 0: las rafees son reales y diferentes 3. b 2- 4ac < 0: las raíces son imaginarias y diferentes; unaes el

2.

complejo conjugado de la otra.

► EJEMPLO 6

Uso d e l discriminante p a ra determinar la n atu raleza d e las raíces de una ecuación cuadrática, verificando la conclusión por m edio de una gráfica

Determine el carácter de las raíces de la ecuación dada. Trace la gra*1' ca de la parábola correspondiente para verificar la conclusión. (a) 3jc2 - 2 x - 6 = 0

(b)

4.v2 - 12jc + 9 = 0

(c) 2 x 2+ 6 * + 7 = 0 Solución (a) En la ecuación dada a = 3, b - -2 , y c = - 6 . Así b 2 - 4ac = ( - 2 ) 2 - 4 (3) ( - 6 ) S 76

2.2

ECUACIONES CUADRATICAS CON UNA INCÓGNITA

83

Debido a que el discriminante es positivo, las raíces son reales y diferentes. En la Figura 2.8 aparece la gráfica que tiene dos inter cepciones x. (b) C o m o a = 4. b = - \ 2 y c = 9, b 2 - 4ac = ( - I 2 ) 2 - 4(4) (9) = 0 (-5.5J por [-10,101 y m ix ‘ - 2 x - 6

FIGURA 2.8

El discrim inante es cero, por tanto, las raíces son números reales iguales. Observe que 4x2 - 12x + 9 = (2x - 3 ) 2. la ecuación puede escribirse com o (2 x - 3 )2 = 0 (2jt - 3 )(2 x — 3) = 0 y cada factor en la ecuación da el número | como solución. La gráfica mostrada en la Figura 2.9 es una parábola tangente al eje x en el punto (1.5,0).

l-l. 51por [-1, 10]

Debido a que a = 2, b =

y = 4x¡ - 12x + 9

6 y c = 7,

b 2 '- 4ac = 62 - 4 (2 )(7 ) = -20

FIGURA 2.9

El discriminante es negativo, por tanto, las raíces son imaginarias, diferentes y com plejas conjugadas una de otra. La Figura 2.10 muestra en la gráfica de una parábola que no intersecta el eje x. <4

I I

Una aplicación del Cálculo en física trata sobre el movimiento rectilíneo, es decir, el movimiento de una partícula sobre una recta. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba es un ejemplo particular. En tal situación, si s pies es la distancia del objeto al punto de partida, en tonces ésta será después de / segundos de que el cuerpo sea lanzado. S

— -I 6 f2 +

(4)

Vrit

donde vq pies por segundo es la velocidad inicial del objeto. La Ecuación (4) se llama ecuación de movimiento. Cuando estudie Cálculo, podrá de terminar a partir de la ecuación de movimiento la velocidad de un objeto en cualquier tiempo particular. 1-3.51 por ( - 1,10)

y =2x‘ -f-6* + 7

FIGURA 2.10

!//!

► EJEMPLO 7

Resolución g ráfica do un pro blem a de movimiento rectilíneo

Una pelota es lanzada desde el piso verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 72 pie/s.

84

CAPÍTULO 2


(a) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento en unagrafici (b) A partir de la gráfica del inciso (a), determine la distanciad

pelota al piso al final de 1 s. (c) A partir de la gráfica, al final de cuántos segundos estarálapjL cayendo, pero a la misma distancia que en el inciso (b). (d) A partir de la gráfica, ¿en cuántos segundos la pelota Ita piso ! (0,10] por [ 0,100] j = -I6 í , + 72í

Solución

(a) De la ecuación 4 con v(>= 72, la ecuación de movimiento es

FIGURA 2.11

¿ = - 1 6 /2 + 72/ Observe que tanto s como / deben de ser positivos. Al trazar! gráfica de la ecuación en el rectángulo de inspección [0, 10]pa [0, 100] se obtiene la Figura 2 . 11. (b) Al trazar y aumentar (.zoom-in), se obtiene s = 56 cuando(:[ Por tanto, la pelota se encuentra a 56 pie del suelo al finaldelfrmer segundo. (c) En el mismo rectángulo de inspección, se dibuja la línea5=Si Véase la Figura 2.12. Al aumentar (zoom-in), se determinaquei recta intersecta la gráfica de la ecuación de movimientocuaidi t = 3.5 s. Por tanto, la pelota en su caída estará a 56 pie anibaÜ piso al final de 3.5 s. (d) La pelota está en el piso para 5 = 0, esto es, cuando lagráfica» tersecta el eje horizontal. Por supuesto esto ocurre parar=Hfj también mediante el aumento (zoom-in), cuando/ = 4.5. Por» se requieren 4.5 s para que la pelota regrese al piso. <

[0.10] por [0,100] s = 16/l + 72/ y 5 = 56

FIGURA 2.12

dy

► EJEMPLO 8

dx

Resolución algebraica de un problema de m ovim iento rectilíneo

Encuentre, por medio de álgebra, las respuestas de los incisos ( P del ejemplo 7. Solución

(b) En la ecuación de movimiento s = - 1 6 / 2 + 72/

cuando / = 1, se obtiene s » —16 ( 1) 2 |

72(1)

= 56 (c) Si sustituye .v por 56 en la ecuación de movimiento,

2 .2

ECUACIONES CUADRÁTICAS CO N U N A INCÓ G NITA

85

56 = - 1 6 12 + 72/ 16/2 - 7 2 / + 56 = 0 2 /2 - 9/ + 7 = 0 (2 / -

l)(t -

1) = 0

2/ - 7 = 0

/ -

/ = 3.5

1

= 0

/ =

1

(d ) Al sustituir s por 0 en la ecuación de movimiento, se obtiene

0 = - 1 6 / 2 + 72/ - 8 / ( 2 / - 9) = 0 / =* 0

2/ - 9 = 0 / h. 4.5

Estas respuestas están de acuerdo con las encontradas en el ejemplo 7.

► EJEM PLO 9

4

Resolución d e u n a ecuación lite ra l con siderada como ecuación cuadrática

Resuelva la ecuación (4) para /.

Solución Si se escribe la ecuación en la forma estándar de una ecuación cuadrática en /, se tiene - 1 6 / 2 - vq/ + s = 0 Al emplear la fórmula cuadrática, donde a = 16, b = - vq, y c —s, se ob tiene —b ± \ / b 2 — 4 a c \ “

2a

—( —yo) ± V (-t? o )2 ~ 4(16)(.y) 2(16) _ Vq ±_ V v o 2 - 64s 32

M

El concepto de c o m p le ta c ió n del c u a d ra d o tiene otras aplica ciones aparte de la deducción de la fórmula cuadrática. En geome tría analítica, se emplea para escribir las ecuaciones de las cónicas en forma estándar; véase los ejercicios 35 a 42. En Cálculo, se apli ca en técnicas de integración para escribir ciertas expresiones alge braicas en formas identificables; véase el ejemplo siguiente y los ejercicios 43 a 46.

86

CAPÍTULO 2

ECUACIONESYDESIGUALDADES

► EJEMPLO 10

Aplicar el concepto de completaeión d*| cuadrado p a ra una expresión algebraica encontrada en Cálculo

Escriba i 27 + 6x - x 2 en la forma i a 1 - (x - h)1, donde a y ftJ constantes. S o lu c ió n Í 2 7 + 6x - x 2 = i 21 - (x 2 - 6 x) Para completar el cuadrado de la expresión x2 - 6 x, se debe agn ( - 1)2, lo cual es 9. Debido a que un signo menos precede al paré sis, realmente se necesita - 9 en el radicando. Por tanto, al sumar 5 al radicando no se afecta su valor y se obtiene

V27 - ( x 2 - 6x) = V 27 + 9 - 9 - (x 2 - 6 x ) = V 3 6 - (x 2 - 6 x + 9) 1 V 6 2 - (x - 3 )2

&li»r«cios3-

expresión que está en la forma requerida.

<¡ gucirmferencia

EJERCICIOS 2.2

Ä r+f-4.

En los ejercicios 1 a 12, encuentre el conjunto solución de la ecuación. Trace la gráfica de la parábola corres pondiente y verifique que las intercepciones x de la pa rábola sean las raíces de la ecuación. L x 2 p 49

2.

3 . 5 12 - 12 ¡ | 0 5. 4 x 2 = x 7. x 2 = 8 x - 15

6.

9. 8 w2 + lOw 10. 14*2 -

x - 3

25*2^ 16 = 4. 3y 2 - 5 = 0

ix1+ x

0

= 0

8 . y 2 - l l y + 28 = 0

3= 0 = 0

15. 2x + 2 * x 2

16. x 2 + 1 = 6x

17. 5y 2 — 4y — 2 = 0

18. 4¿2 - 10s + 5 =0

19. x 2 í k = x

20 . —• + 2 = x 4

21. t2 - 4f + 7 = 0

22. 25y2— 20y + 7=0

En los ejercicios 23 a 26, encuentre el discriminantey* termine la naturaleza de las raíces de la ecuacióncum tica; no resuelva la ecuación. Trace la gráfica <*•I parábola correspondiente para verificar la conclusión. I

11. 4 9 x 2+ 8 4 * + 3 6 = 0

23. (a) 6x2 - 11* - 10 = 0

(b) 3x2 -

12. 6 4 y 2 -

24. (a) 4x 2 + 12x + 9 = 0

(b) 4t2 + 2t = I

8 0 y + 25 = 0

En los ejercicios13 a 22, encuentre el conjunto solu ción de la ecuación utilizando la forma cuadrática. Trace la parábola correspondiente, si la ecuación tiene raíces reales, verifique que las intercepciones x de la parábola sean las raíces de la ecuación. Si la ecuación no tiene raíces reales, compruebe que la parábola no intersecta el eje x. 13. x 2 - 3x

14. x 2 + 2x - 3 * 0

fiila‘Jf'ddos.

P<¡ne»

6.t-

=J |

25. (a) 25* 2 - 4Qx + 16 * 0 (b) 3y * 2r+ 5 26. (a) 14y 2 = lly - 15 (b) 14y2 + \\y - 15 = 0 En los ejercicios 27 a 30, encuentre el conjunto ción de la ecuación, 27.

x +4 x

3x x + 2

*Jsi

2 .2

EC U ACIO N ES CUAD RÁTICAS CO N U N A INCÓ GN ITA

«7

cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar: 31

;

* 29•

3/ - 4

—— ^ -----= a1

23

70 4y

3 * 1 - y

32

x

41. 25x2 - 4 y 2 + IOOjc - 40v - 25 = 0 ,2

30.

k, a y b son constantes.

bl

3 =

4y 2 - 2 x + 32y - 99 = 0

x + 1 En los ejercicios 43 a 46, emplee el concepto de completación del cuadrado para escribir la ex presión indicada en la forma requerida; a y h son cons tantes, p es un entero positivo. Este procedimiento es necesario frecuentemente cuando se estudian técnicas de integración en Cálculo.

nt

En los ejercicios 31 a 34 complete el cuadrado agre gando un término a la expresión algebraica; escriba la expresión resultante como un binomio al cuadrado. 31. (a) x 2 + 6x

(b) x 2 — 5x

31 (a) x 2 - 4jc

(b) x 2 + I x

33. (a) x 2 - \ x

(b) x 2 + §x

34. (a) x z + i x

(b) x 2 - §x

En los ejercicios 35 y 36, la gráfica de la ecuación es una circunferencia. Emplee el concepto de completadón del cuadrado para escribir la ecuación en forma es tándar: (x —h) + (y - k) = r ; h, r y k son constantes.

43. Escribir Vx2 + 2x - 3 en la forma V(x - h)2 - a 2 44. Escribir Vó5x - x 2 en la forma Va 2 - (x - h )1 45. Escribir V-4x 2 + 24x - 35

en la forma

p 'J a 1 - (x - h )2 46. Escribir V36x2 + 72x + 32

en la forma

p i ( x - h) 2 - a 2

35. x 2 + y 2 — 4 x + 6 y — 13 36. 4x 2 + 4y 2 + 8x - 32y + 59 = 0 En los ejercicios 37 y 38, la gráfica de la ecuación es una parábola. Emplee el concepto de completación del cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar: íx - h)2= 4a(y - k)\ h, k y a son constantes. 37. 3x 2 - 6 x — 5y + 13 = 0 38. x2 - 4x - Í6g + 52 = 0

En los ejercicios 47 a 50, resuelva la fórmula para la variable indicada. Todas las variables representan un número positivo. 47. V = j itr2h; para r

48. A = 2itr(r + h); para r

An r, kMv2 49. F = ------- ; para v

en g - — 4712 50. y ; para t

En los ejercicios 51 a 54, resuelva para x en términos de los otros símbolos. 51. 5ax2 - 3 x - 2 a = 0 52. 6dx 2 - 3dx + 5.= 0 53. x 2 — 2xy — 4x — 3y 2 = 0

En los ejercicios 39 y 40, la gráfica de la ecuación es una elipse. Emplee el concepto de completación del cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar: V* - b)2 (2 ___0 1 _= 1; h, k, a y b son constantes. a2 b2

54. 9x 2 - 6xy + y 2 - 3y = 0 55. La forma estándar de la ecuación de una parábola que tiene un eje vertical es y = ax2 + bx + c. Re suelva para x en términos de y. a, b y c.

3*. 4x2 + 9y 2 r> 16* - 18y - 1 1 * 0 40. J6-c2 + 25y2 + 96* - IQOy + 228 » 0

56. Si un polígono regular de 10 lados está inscrito en una circunferencia de radio r unidades y si s unida des es la longitud de un lado, entonces

En los ejercicios 41 y 42, la gráfica de la ecuación es una hipérbola. Emplee el concepto de completación del

r s

s r —s

Resuelva esta fórmula para s en términos de r.

88

CAPÍTULO 2


57. f idyj (Jn objeto es lanzado, desde el suelo, verti/ / ag cálmente hacia arriba con una velocidad ini cial de 128 pie/s. (a) A partir de la Ecuación (4), escriba una ecuación de movimiento del objeto. Encuentre algebraicamente: (b) la distancia que el objeto ha recorrido desde el suelo al final de 2 s; (c) ¿al final de cuántos segundos la distancia del objeto a la tierra es nuevamente la misma del inciso (b)?; (d). ¿al final de cuántos segundos el objeto al canza el suelo?

gráfica, ¿al final de cuántos segundos estaráb en su caída pasando por la orilla de la azm^1 De la gráfica, ¿al final de cuántos segundé la pelota al piso? Determine algebraicamente las rcsiw los incisos (c) a (f) del ejercicio5 9 * 61.

58. ¡fláy{ Trace, en la graficadora, la gráfica de la l//<5l ecuación de movimiento del inciso (a) del ejercicio 57. A partir de la gráfica obtenida, re suelva los incisos (b) a (d) del ejercicio 57. 59.

dyl Si un objeto es lanzado linealmente hacia pies arriba del nivel del suelo con una velocidad de v0 pies por segundo; entonces si s pies es la distancia del ob jeto al piso, ésta será, después de t segundos de ser lanzado,

En Cálculo, aprenderá que si unoí* lanzado verticalmente hacia arriba, % velocidad inicial de v0pies por segundo, eniJ segundos, después de que es lanzado, del objeto es v pies por segundo donde ñ

v = -321+ vo Discuta cómo utilizar esta ecuación y laEa«|¡ (4) para determinar ¿cuántos segundos para que el objeto alcance la altura máukñr ¿qué tan alto llegará el objeto?

II ü arriba, partiendo de un punto

62.

Empleando el método descrito eody cicio 61 y la ecuación para v ddi cionado ejercicio, determine ¿cuánto ta tardará la pelota del ejemplo 7 para alcaaarb máxima altura?, y ¿qué tan alto llegarálapeta!

//:

s = -16/2 + v¿t + sQ (a) Emplee esta ecuación para escribir una ecuación de movimiento de una pelota lanzada desde la orilla de una azotea a 68 pie arriba del suelo con una velocidad inicial de 76 pie/s. (b) Trace la gráfica de la ecuación del inciso (a), (c) A partir de la gráfica del inciso (b), determine la al tura de la pelota arriba del piso al final de 2 s. (d) De la gráfica, ¿al final de cuántos segundos estará la pelota cayendo pero a la misma distancia del piso, como en el inciso (c)? (e) De la misma

2.3

63. En su trabajo del siglo ix, ilm al-jabr wdm balah, Al-Khowarizmi describió compkoa te, en árabe, la solución de las ecuan» cuadráticas mediante la completarión ddanü Haga lo mismo, en español, para la ecuadóe^ drática 3x2 + 6x - 7 = 0

ECUACIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS OBJETIVOS

1. Determinar una ecuación como modelo matemático del enunciado de un problema. 2. Estimar la solución de un modelo matemático en una calculadora gráfica o graficadora. 3. Resolver algebraicamente un modelo matemático. 4. Escribir una conclusión para la resolución del proble®8

En muchas de las aplicaciones del álgebra, los enunciados^j blemas nos proporcionan las relaciones entre números con

2.3

ECUACION ES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

tto

ros desconocidos, los cuales deben ser determinados. La resolución de problemas fortalece no sólo la destreza matemática, sino también las habilidades de lectura y escritura. En esta sección resolveremos problemas empleando ecuaciones como modelos matemáticos de és tos. Con anterioridad se ha tenido contacto con este proceso en la Sección 2.1. Aunque no siempre se usa un método específico para obtener un modelo matemático, a continuación se dan algunas etapas para un po sible procedimiento a seguir, como se observará a través de los ejemplos, se hará referencia a estas etapas para indicar cómo se aplican.

Sugerencias para obtener una ecuación como modelo matemático 1. Leer con cuidado el problema hasta su total comprensión. Para un mejor entendimiento, es frecuentemente útil caracte rizar un ejemplo específico que implique una situación seme jante en la cual todas las cantidades son conocidas. De ser posible, también es útil dibujar un diagrama tal como se muestra en los ejemplos 1,3 y 4. 2. Determinar las cantidades conocidas y desconocidas. Em plear una variable para representar cada una de las cantidades desconocidas en la ecuación que se obtendrá. Cuando se utili za una sola ecuación, cualquier otra cantidad desconocida de berá expresarse en términos de una variable. Debido a que la variable representa un número, la definición de la variable deberá indicar este hecho. Por ejemplo, si la cantidad desco nocida es tiempo, y el tiempo está medido en segundos, en tonces t deberá estar definido como el número de segundos, o de manera equivalente, t segundos es el tiempo. 3. Anotar cualquier dato numérico conocido acerca de la varia ble. En muchos de los enunciados de problemas, estos datos pueden ser incorporados en una tabla, como se indica en los ejemplos 2 y 3. 4. A partir de la información disponible en la etapa 3, determi nar dos expresiones algebraicas para el mismo número y plantear una ecuación a partir de éstas. El uso de una tabla, como la recomendada en la etapa 3, le ayudará a descubrir expresiones algebraicas iguales.

Siguiendo los pasos anteriores se tendrá un modelo matemático del problema.

90

CAPÍTULO 2


Para completar el problema, una vez que se dispone de un mofo. | lo matemático, se deberán seguir los pasos siguientes: 5. Encontrar el conjunto solución de la ecuación obtenida como I modelo matemático. 6 . Comprobar sus soluciones determinando si se satisfacen las con diciones del problema. Esta comprobación verifica la exactitud de la ecuación obtenida en la etapa 4, así como la exactitud de su conjunto solución. 7. Escribir una conclusión que contenga una o más oraciones com pletas sobre las respuestas a las preguntas del problema. Por ejemplo, supóngase que el problema requiere que calcule la lon gitud de un rectángulo, y la variable x está definida como x pies de longitud. Entonces, si el conjunto solución es {5}, su conclu sión puede ser: la longitud del rectángulo es 5 pie.

Téngase en mente que la ecuación obtenida como modelo matemática es una igualdad de números. Así que no aparecen las unidades de medidla el conjunto solución de la ecuación. Sin embargo, estas unidades está» cluidas en la definición de la variable, tal como se indica en la etapa 2. L* unidades también deberán aparecer en la conclusión de la etapa 7.

►

EJEMPLO 1

Resolución d e un p ro b le m a con una ecuocíón lin e a l com o m o d e lo m atem ático

Un rectángulo tiene un largo de 3 cm menos que cuatro veces so cho, y su perímetro es 19 cm, ¿cuáles son sus dimensiones? Solución Se desea determinar el número de centímetros de o lado del rectángulo. A continuación se emplea una variable para tep* sentar estos números. w: es el número de centímetros que mide el ancho del rectángula 4w - 3: es el número de centímetros que mide el largo del rectáng» Con referencia a la Figura 2.13. E l perímetro del rectángulo es distancia total alrededor de él. Por tanto, el número de centímetro*4 el perímetro puede ser representado por cualquiera de las dos expres*j nes siguientes (4h>- 3)cm

w + (4w — 3) + w + (4h>

3)

o 19; por tanto, se tiene la ecuación (4w - 3)cm FIGURA 2.13

w + (4vv ~ 3) + w + (4w — 3) — 19 lO w -

6 =

19

10w I

25

2 .3

ECUACIONES COMO M ODELOS MATEMÁTICOS

Oí

= 7 C o m p ro b ació n : Si el ancho del rectángulo es 2.5 cm y el largo es 7 cm, el perím etro es (2.5 + 7 + 2.5 + 7) cm , lo cual es igual a 19.* C o n clu sió n :

El ancho del rectángulo es 2.5 cm y el largo es 7 cm. -4

El enunciado del problem a en el ejemplo siguiente puede clasifi carse com o un p ro b lem a de inversiones, debido a que implica el rédi to de una inversión. El rédito puede estar en la forma de interés, y en ese caso se usará la fórmula I = P - R donde / dólares es la ganancia anual cuando se han invertido P dólares con una tasa anual R. La tasa generalmente está dada como un porcentaje; así que si la tasa es 8 %, entonces R - 0.08.

► EJEMPLO 2

E ncontrar u n a e c u a c ió n lin e a l co m o m o d e lo m a te m á tic o d e u n p r o b le m a , cu ya solu ció n se d e te r m in a rá e n u n a g ra fic a d o ra , a s í co m o a lg e b r a ic a m e n te

Una mujer tiene $15 000 (dólares) invertidos en dos cuentas de las que ella recibe una ganancia anual de $1 456. Si la inversión riesgosa paga 12 % anual y la otra paga 8 %, determine qué cantidad tiene invertida con cada tasa, haciendo lo siguiente: (a) encuentre una ecuación lineal com o modelo matemático de la situación; (b) estime la solución de la ecuación en una graficadora; (c) resuelva la ecuación algebraicamente, y (d) escríba la conclusión.

S olu ción (a) Para determinar el número de dólares que ella ha invertido en cada tasa, se definen estos números. x: número de dólares invertidos a 12 %. 15 000 - x: número de dólares invertidos a 8 %. Al emplear la fórmula / = P • R, se obtiene la Tabla 1.

*** so lu ció n del p rob lem a e s correcta, pero tam bién d eb e verificarse la so lu c ió n en la prim era re la ció n la cu a l esta b lece ^ ^ cu&fruplo del an ch o d ism in u id o e n 3 es ig u a l al la rg o , n u m é ric a m en te e s t o se ex p re sa com o 4(2.5) - 3 = 7 lo cu a l tam b ién *• cierto.

9 2 ___ CAPÍTULO 2

ECUACIO NES Y D ESIG U ALD AD ES

Tabla l _____________ Número de dólares invertidos Inversión al 12% Inversión al 8 %

Tasa = __________

x 15 000 - x

Númerode j dólares j en interés |

0.12

0.12x j

0.08

0.08(15000-4

En virtud de que la entrada anual de las dos inversiones es $1456,es tonces la suma de las cantidades de la última columna de la tablaes 14% Por tanto, se tiene la ecuación siguiente 0.12* + 0.08(15 000 - x) = 1 456 (b) En la calculadora gráfica, se considera

y, = 0.12* + 0.08(15 000 - x)

[0,15 000] por [1 200, 1 800] y, =0.12x + 0.08(15 000-x ) y y¡=I 456 FIGURA 2.14

y

y2 m 1456

Se necesita determinar los valores permitidos para x y y\. Cuando todo el dinero se invierte a 8%, x es cero y y\ es 0.08(15 000),lo que es igual a 1200. Si todo el dinero se invierte a 12%,i o 15 000 y yi es 0.12(15 000), lo que es igual a 1 800. Debidoaq« 0 < x <> 15 000 y 1 200 < y, < 1 800, se selecciona [0,15 OOOJpor [ 1 200, 1 800] como rectángulo de inspección. Véase la Figus 2.14, con el aumento de la zona, se estima la coordenada x dd punto de intersección de las dos gráficas como 6400. (C) Al resolver la ecuación algebraicamente, se tiene,

0.12* + 0.08(15 000 - x) = 1 456 0.12* + 1 200 - 0.08* = 1 456 0.04* = 256 * = 6400 Este valor de * está de acuerdo con el valor estimado en el (b). C uando * = 6 400, 15 000 - * = 8 600. C o m p ro b a ció n : C on * = 6 400, el núm ero de dólares en d* terés anual de la inversión a 12 %, se tiene un interés de 0 ' [ (6 4 00) = 768. Con 15 000 - * = 8 600, el número de dóla$| el interés anual de la inversión a 8 %, se consigue una gânci* 0.08(8 600) = 6 8 8 . La solución es correcta debido a que 688 = 1 456.

2.3

(d) Conclusión: a 8 %.*

ECUACIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

93

La mujer tiene $6 400 invertidos a 12% y $8 600 <

Un problem a de mezclas puede implicar la mezcla de soluciones que contengan diferentes porcentajes de una sustancia para obtener una solución que posea cierta cantidad de la sustancia en cuestión. En el ejemplo siguiente, un químico desea obtener 6 L de una solución ácida al 10% mezclando una solución ácida al 7% con una solución ácida al 12%. Otro tipo de problemas de mezclas en los que el método de resolu ción es similar, implica mezclar cosas de diferente valor para obtener una combinación con un valor determinado de dinero. Un problema de este tipo aparece en el ejercicio 12.

► EJEMPLO 3

Encontrar u n a ecuación lin ea l com o m odelo m a tem á tico d e un pro b lem a , cuya solución se estim a rá e n u n a graficadora, así como a lg eb ra ica m en te

Un químico desea obtener 6 L (litros) al 10% de una solución ácida mezclando dos soluciones ácidas de 7 y 12%, respectivamente. Deter mine cuánto de cada solución deberá usar el químico, haciendo lo si guiente: (a) encuentre una ecuación como modelo matemático de la situación; (b) estime la solución de la ecuación en una graficadora; y (c) resuelva la ecuación algebraicamente, (d) Escriba la conclusión. Solución (a) Se desea determinar el número de litros de cada solución que debe utilizar el químico. Defina estos números. x : el número de litros de la solución ácida al 7%. 6 - x: el número de litros de la solución ácida al 12%. El diagrama de la Figura 2.15 proporciona una interpretación vi sual del problema, la información que aparece está incorporada en la Tabla 2.

so lu c ió n acid a a l 7%

so lu ció n á cida al 12%

so lu ció n ácida al 10%

0 .1 0 (6 ) litros d e ácido

FIGURA 2.15

N - d e R.

T am b ién d eb e com p rob arse la s o lu c ió n en la prim era relació n , la cu al esta b le c e q u e el ca p ita l d e la señora es de

15 0 0 0 dólares, num éricam en te s e tien e q ue 6 4 0 0 + 8 6 0 0 = 15 0 0 0 , lo cual e s cierto.

94

CAPITULO 2


Tabla 2 P orcentaje de ácido Solución àcida al 7% Solución àcida al 12% Mezcla

x

Núm ero de litro s de solución

7%

x 6 —x

12% 10%

Número de litros de ácido

=

0.07* 0.12(6-,) 0.60

6

En la última columna de la tabla, se observa que el número toyI de litros de ácido en la mezcla puede ser representado por 0.60opul 0.07* + 0.12(6 - *). Así que se tiene la ecuación 0.07* + 0.12(6 - *) = 0.60 (b) En la graficadora se considera

yi = 0.07* + 0.12(6 - *)

(0.6] por [0.42,0.72] i =®10.07.x+ 0 .12(6 - x) y Vi a 0.60

FIGURA 2.16

y

yi = 0.60

Se requiere determinar los valores permitidos para * y y,. Sid químico emplea sólo solución àcida al 12%, x es cero y y,# 0.12(6), lo cual es 0.72. Cuando el químico utiliza únicamente|j solución àcida al 7%, * es 6 y >i = 0.07 (6 ), lo que es igual a0.4Ì Debido a que 0 < * < 6 y 0.42
0.12

X ~^Ó Ü 5 . * = 2.4 Este valor de x está de acuerdo con el estimado en la parte (bl I Cuando * jb 2.4, 6 - * = 3.6. Comprobación: Con * = 2.4, el número de litros de ácidodeli solución al 7% es 0.07(2.4) = 0.168. Con 6 - x = 3.6, el mimen1 de litros de ácido al 12% es 0.12(3.6) = 0.432. Se compruebali respuesta, ya que 0.168 + 0.432 «=0.60. (d) Conclusión: El químico deberá emplear 2.4 L de la solución àcida al 7% y 3.6 L de la solución àcida al 12 %*

N. (i* k . La solución c* correc ta. S in embargo, también debe comprobarse en la primeera relación, la cual establece que el te» de la so lu ció n d eb e ser 6 L, lo cual cumple la solución presentada

2.3

ECUACIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

► EJEMPLO 4

x metros

30 metros *" (30 + 2x) metros FIGURA 2.17

95

Encontrar u n a ecuación cuadrática como m o delo m atem ático de un problem a, cuya solución se determ inará e n una graficadora, a sí com o algebraicam ente

Un parque posee un jardín de flores de 50 m de largo y 30 m de ancho, y un andador de ancho constante a su alrededor cuya área es de 600 m2. Calcule el ancho del andador haciendo lo siguiente: (a) determine una ecuación como modelo matemático de la situación; (b) estime la solu ción de la ecuación en una graficadora, y (c) resuelva la ecuación alge braicamente. (d) Escriba la conclusión. Solución (a) Se inicia definiendo el número que se desea determinar. x : el número de metros de ancho del andador. Con respecto a la Figura 2.17. El área del parque menos el área del jardín es igual al área del andador; así que se tiene la ecuación (50 + 2*)(30 + 2x) - 1 500 = 600 (b) En la graficadora se considera y { = (50 + 2x) (30 + 2x) - .1 500

[ 0 ,1 0 ] p or [0 , 1 0 0 0 ]

>i = (50 + 2*X30+ 2x) - 1 500 y >>2= 600 FIGURA 2.18

y

y2 = 600

Es razonable suponer que 0 < x < 10. Dado que yi = 600, un inter valo adecuado para y es [0, 1 000]. Por tanto se selecciona [0, 10] por [0, 1 000] como el rectángulo de inspección. La Figura 2.18 muestra las gráficas de y\ y yi trazadas en este rectángulo de ins pección. Al aumentar la zona se estima la coordenada x del punto de intersección de las dos gráficas como 3.45. (c) Se resolverá la ecuación algebraicamente. (50 +2*)(30

+ 2*) ü 1 500 = 600

1 500 + 160* + 4x2 - 1 500 = 600 4 x 2 + 160* - 600 = 0 * 2 + 40* - 150 = 0

Al resolver esta ecuación cuadrática mediante la fórmula general, donde a = 1, b = 40 y c = -150, se obtiene —b ± W — 4ac ¿a 40 ± V (4 0 )2 - 4(1)(—150)

2( 1) 40 ± V220Ó 40 ± 10\/22

96

CAPÍTULO 2

ECUACION

Y P E S IO U A L P A P E S -------------------------------------------------------- -— ___

Dado que jcdebe ser un número positivo, se rechaza la raíz negafa Para dos cifras decimales V22 * 4.69. Por tanto x

- 2 0 + 5(4 .6 9 ) « 3.45

Esta respuesta está de acuerdo con lo estimado en el inciso (b). Comprobación: Con x = 3.45, el número de metros en la lou#¡. tud del parque es 50 + 2(3.45) = 56.90, y el número de metrosa el ancho es 30 + 2(3.45) = 36.90. Por tanto (56.90) (36.90)=2loo es el número de metros cuadrados en el área del parque. El ka del jardín es 1 500 m2, y el área del andador es 600 m2; y 21001 500 = 600. (d) Conclusión:

En cada ejercicio resuelva el problema empleando una ecuación como modelo matemático de la situación. Complete el ejercicio escribiendo una conclusión. 1. La suma de dos números es 9 y su diferencia es 6 . ¿Cuáles son los números?

2. Encuentre dos números cuya suma es 7 y uno de los cuales es tres veces mayor que el otro. 3. El ancho de un rectángulo es 2 cm mayor que la mitad de su largo y su perímetro es 40 cm. ¿Cuáles son las dimensiones?

4. El lado más largo de un triángulo es el doble de la longitud del lado más corto y 2 cm mayor que el tercer lado. El perímetro del triángulo es 33 cm. ¿Cuáles son las longitudes de cada lado?

5. Los boletos de admisión a una sala cinematográfica costaron $ 6 para adultos y $ 4.50 para estudiantes. Si se vendieron 810 boletos y el total recaudado fue de $ 4 279.50. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron? é. Un inversionista desea ganar 12% sobre el total de dos inversiones. Si él invierte $ 1 0 0 0 0 al 10% , ¿qué cantidad adicional de dinero deberá invertir a 16%? 7. Una mujer invierte $25 000 en dos negocios ries gosos, en el último año tuvo una utilidad de 15% del primer negocio, pero perdió 5% en el segundo.

E1 ancho del andador es 3.45 m.

<

Su ingreso en el último año, proveniente de losda negocios, fue equivalente a un rendimiento deW sobre la inversión total. ¿Cuánto tiene invertidos cada negocio? Estime la solución de la ecuacn obtenida en la graficadora. Después, resuelva li ecuación algebraicamente. 8 . Un comerciante al menudeo invirtió $6 500 enna

tipos de cámaras. La ganancia de venta de lascá maras A fue de 25%, en la venta de las cátT .l la ganancia fue de 12%; y hubo pérdida cfc venta de las cámaras C. El comerciante inváii» cantidades iguales en las cámaras A y B y tal* nancia global sobre la inversión total fue de 14* ¿Cuánto se invirtió en cada tipo de cámara? Eso* la solución de la ecuación en la graficadora. D* pués, resuelva la ecuación algebraicamente. 9. Un orfebre obtuvo 40 g de una aleación quecos ne 70% de oro combinando una aleación que pos* 80% de oro con otra aleación que tiene 55# oro. ¿Cuántos gramos de cada aleación combiné orfebre? Estime la solución de la ecuación pleando una graficadora. Después, resuelva ecuación algebraicamente. ,

*r Ji.

10. Determine cuánta agua se requiere para diluir tros de una solución al 15% de colorante, tener una solución al 5% de colorante. EsWnÉ solución de la ecuación en la g rafica d o ra. y r

2 .3

tenormenie resuelva la ecuación de manera alge braica. 11. ¿Qué cantidad de agua deberá ser evaporada de 15 litros de la solución de colorante al 12% del ejerci cio 10, para obtener una solución en la que el colo

rante se encuentre al 20%? Considere que la cantidad total de colorante no se vea afectada por el proceso de evaporación. Estime la solución de la ecuación en una grafícadora. Resuelva la ecuación algebraicamente. 12. Se prepara una mezcla de perfume para venderse a $80 la onza, y se obtiene al mezclar dos tipos de perfume, uno de $104 y el otro de $50 la onza, res pectivamente. Si se desea obtener 270 oz de la mezcla, ¿qué cantidad de cada tipo de perfume de berá ser utilizada? Estime la solución de la ecua ción en la grafícadora. Resuelva la ecuación algebraicamente. 13. Un depósito abierto con fondo cuadrado, lados rec tangulares y una altura de 3 m es construido con un costo de $63 de material. Si el material para el fon do cuesta $5.40 por m 2 y el material de los lados tiene un costo de $2.40 por m2. ¿Cuál deberá ser el volumen del depósito? Estime la solución de la ecuación en la grafícadora y resuelva la ecuación de forma algebraica.

ECUACIONES C O M O MODELOS MATEMÁTICOS

97

cuatro novenos de su longitud? Estime la solución de la ecuación en la grafícadora, y resuelva la ecua ción algebraicamente. 15. Un parque de forma rectangular con dimensiones de 60 m por 100 m contiene un jardín rectangular limitado por una terraza de ancho uniforme. Si el área del jardín es la mitad del área del parque, ¿cuál es el ancho de la terraza? Estime la solución de la ecuación en la grafícadora y resuelva la ecua ción de manera algebraica.

60 m

16. ¿Cuál es el ancho de la faja alrededor de un terreno de 100 m de largo por 60 m de ancho que deberá ser arada para que esta parte corresponda a las dos ter ceras partes del área del terreno? Estime la solu ción de la ecuación en la grafícadora y resuelva la ecuación algebraicamente.

60 m

14. Una página de 144 cm 2 de región impresa tiene un margen de 4.5 cm en las partes superior e inferior de la hoja y un margen de 2 cm en los lados. ¿Cuá les son las dimensiones de la página, si su ancho es 4.5 cm l 1

- f-144 cm?> —

4.5 cm

17. Cada estudiante de nuevo ingreso en una escuela particular requiere sustentar una prueba de aptitud en el idioma inglés. Un estudiante que aprueba el examen se inscribe en el curso de redacción (avan zado) y uno que no aprobó se inscribe en el curso de inglés básico. En una generación de 1 240 estu diantes de nuevo ingreso hay más alumnos inscri tos en inglés básico que en redacción (avanzado). Sin embargo, si 30 estudiantes más hubieran apro bado el examen, ambos cursos tendrían la misma cantidad de alumnos. ¿Cuántos estudiantes tiene cada curso? 18. El día de campo anual de los alumnos de segundo año es planeado por un comité de 17 miembros. Un

?8

CAPÍTULO

7 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

voto para determinar si el día de campo se lleva a cabo en la playa o en las montañas dio la victoria para hacerlo en la playa. Sin embargo, si dos miembros del comité cambian su voto de la playa para favorecer a la montaña, la montaña gana por un voto. ¿Cuántos votos re cibió cada lugar?

19. La suma de los recíprocos de dos números t consecutivos es ¿Cuáles son los números? -i 20. ¿Existen dos números pares consecutivos suma de recíprocos es ¿ ? Si la respuesta es¿ 3 tiva, encuéntrelos. Si su respuesta es negativa plique cómo llegó a esa conclusión.

2.4 OTRAS ECUACIONES CON UNA INCOGNITA OBJETIVOS

1. 2. 3. 4.

Resolver algebraicamente ecuaciones que contienen radicales. Resolver gráficamente ecuaciones que contienen radicales. Resolver ecuaciones en forma cuadrática. Encontrar soluciones exactas para algunas ecuaciones particulares de grado mayor que 2. 5. Emplear una grafícadora para encontrar valores aproximados de raíces irracionales de ecuaciones cúbicas. 6. Resolver gráficamente problemas que tengan una ecuación cúbica como modelo matemático.

Si una ecuación algebraica contiene radicales o exponentes racionales, puede resolverse elevando ambos lados de la ecuación a la misma|» tencia entera, cuando se hace esto, es necesario aplicar el teorema» guíente.

TEOREMA 1

Si E y F son expresiones algebraicas, entonces

E = F es una ecuación algebraica, y su conjunto solución es un subcon junto del conjunto solución de la ecuación E" = F" donde n es cualquier entero positivo.

El teorema es consecuencia de que ú a y b son númerosi _ jos y a - b, entonces a n = h n, donde n es cualquier entero pos*

2.4

>

OTRAS ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

oo


La ecuación x = 5 Tiene el conjunto solución {5}. Si se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación, se obtiene x 2 = 25 la cual tiene el conjunto solución {±5}. El conjunto solución de la pri mera ecuación es un subconjunto del conjunto solución de la segunda. Este resultado está de acuerdo con el Teorema 1. -4 El Teorema 1 se emplea para resolver una ecuación que contiene términos que implican uno o más radicales. El primer paso es obtener una ecuación equivalente que tenga el término con el radical más com plicado en uno de los lados y todos los demás términos en el otro lado. Por lo que, aplicando el Teorema 1, se elevan ambos lados de la ecua ción a la potencia correspondiente al índice del radical aislado.

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 A fin de resolver la ecuación V 2x + 5

+

jc

= 5

primero se suma - x a ambos lados y se obtiene la ecuación equiva lente V 2 jc + 5

= 5 - jc

(1)

Ahora con el radical en uno de los lados dela ecuación, se puede apli car el Teorema 1 con n —2 , y si se elevan alcuadradoambos lados se obtiene (V i* +

5 ) 2 = (5 - x ) 2

2x +

5

=

25

- 10.x + x 2

(2)

x 2 - 12* + 20 = 0 (* - 10) (x - 2 ) = 0 x -

10 = 0

jc = 10

Xs- 2 = 0

* = 2

Así, el conjunto solución de (2) es {2, 10). De acuerdo con el Teore ma 1, el conjunto solución de la Ecuación (1) es un subconjunto de {2, 10 }; esto es, los dos números 2 y10 puedenser soluciones, sólo uno de ellos, o bien, ninguno es solución. Paradeterminar cuál de los tres

100

CAPÍTULO 2


casos es aplicable, se sustituye cada solución en ( 1) para ver si i ción se satisface. ae% V 2 (2 ) + 5 1 5 - 2 V9 1 3

V 2 ( 10) + 5 l 5 - 10 V 25 l - 5

3 = 3

5 # -5

De lo anterior, se observa que 2 es una solución y 10 no lo es tanto, el conjunto solución en ( 1) es {2 }. Si se traza la gráfica de y = V 2* + 5 + x - 5, se podrá observ# que 2 es la única intercepción x. En el ejemplo ilustrativo 2, al número 10 se le llama soluciona traña de la Ecuación (1); la cual resultó cuando ambos miembros elevaron al cuadrado. La razón de que esta solución extraña hayaa» recido será evidente después de leer el ejemplo ilustrativo 3.

>


Si ambos miembros de la ecuación

-'fax + 5 = 5 - x se elevan al cuadrado, se obtiene

(-'fax + 5 ) 2 = (5 - x)2 2* + 5 = 25 - 10* + x 2 esta última expresión es igual a la Ecuación (2). En el ejemplo ilustntivo 2 se ha demostrado que el conjunto solución de la Ecuación (2) {2, 10}. Por lo que, de acuerdo con el Teorema 1, el conjunto solucfa de la Ecuación (3) es un subconjunto de {2, 10}. Sustituyendo estos dos números en la Ecuación (1), se tiene - V 2 (2 ) + 5 ¿ 5 - 2

- V 2 ( 10 ) + 5 ¿ 5 - 1 0

-V 9 1 3

-V 2 5 1 -5

-3 * 3

- 5 = -5

Por lo que 10 es una solución y 2 es una solución extraña, el conjunw solución para la Ecuación (3) es, por tanto, {10}. Al trazar la gráfica de v = - V2jr + 5 + x - 5 se observad es la única intercepción x. Obsérvese en el ejemplo ilustrativo 2 que la Ecuación (l)c01’^ ciona que la raíz cuadrada principal de 2x + 5 es 5 - .v. Así se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación, se obtiene Ia

2.4

OTRAS ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

10 1

ción (2), por lo que en cada caso se introduce una raíz extraña. Esta discusión deberá convencemos de que si se aplica el Teorema 1, todas las soluciones encontradas deberán ser comprobadas en la ecuación original. La comprobación que se realice será para detectar soluciones extrañas, no para hallar errores de cálculo. Si una ecuación contiene más de un radical, algunas veces es ne cesario aplicar el Teorema 1 más de una vez antes de obtener una ecuación libre de radicales.

► EJEMPLO 1

Resolución d e una ecuación que contiene radicales

Encuentre el conjunto solución de la ecuación

>llx + 3 - V* - 2 - 2 = 0 Solución

Primero se escribe una ecuación equivalente en la cual un radical quede aislado en uno de los lados. Posteriormente, al aplicar el Teorema 1 se obtiene otra ecuación que contiene un radical. A esta nueva ecuación se le aplica el mismo procedimiento.

V 2* + 3 = V * - 2 + 2 (V 2* + 3)2 = + 2f 2x + 3: = x - 2 + 4V * — 2 + 4 x + 1 = 4V * - 2 (x + l )2 = 16(V* - 2)2 x 2 + 2* + 1 = 16(* - 2) x 2 + 2* + 1 = 16* - 32 x 1 - 14* + 33 = 0 (* — 3)(* — 11) = 0 * -3 = 0 *-11=0 X = 3 * = 11 Por tanto, el conjunto solución de la ecuación dada es un subconjunto de {3, 11}. Se sustituyen estos números en la ecuación dada.

V 2(3) + 3 - V 3 -

2-210

V 9 - VT - 2 1 0 3 - 1 - 2 1 0

0

=

0

V 2( l l ) + 3 - V i l -

2-210 0

V25 - V ? - 2 1

5 - 3 - 2 1 0

0 = 0

Los números 3 y 11 son soluciones de la ecuación dada, por lo que el conjunto solución es {3, 11}. ^

10 2

CAPÍTULO 2

ECUACIONES Y D E S IG U A L D A D E S ________________________________ __________

Es posible comprobar las soluciones en el ejemplo 1 trazandoy gráfica de y * V2x + 3 - V* - 2 - 2 en el rectángulo de insp^l ción [0, 15] por {-! , 1], con una escala en x de 1 y la escala en y deOjj Las intercepciones x son 3 y 11. La ecuación V 3 - 3x - V3jc + 2 - 3

= 0

es similar a la ecuación del ejemplo 1, porque también tiene dos rtf. cales; sin embargo, la similitud termina debido a que esta ecuación*j tiene soluciones, por esto su conjunto solución es 0 . En el ejercicio3 se pide que se demuestre lo anterior. Observe en la graficadora que|| gráfica de y = V3 - 3x - Í3 x + 2 - 3 no intersecta al eje x. Una ecuación en una sola variable x se dice que está en fon« cuadrática si puede escribirse como au2 + bu + c = 0 donde a * 0 y u es una expresión algebraica en x. En los dos ejemplos siguientes se resolverán ecuaciones enfora cuadrática.

► EJEMPLO 2

R esolver u n a ecuación e n forma cuadrática

Encuentre el conjunto solución de la ecuación x 4 - 2x2 -

= 0

15

Solución Esta ecuación es cuadrática en x 2, ya que si w= ■r‘-i ecuación se convierte en u 2 - 2u -

15 =

0

Si se resuelve esta ecuación para u se tiene (u u -

5

5 ) ( ii

= 0

u =

5

+

= 0

3)

u +

3

= 0

u = —3

Ahora sustituya u por x 2 y resuelva las ecuaciones resultantes. x2

= 5

x = ±"v/5~

x*

= -3

* = ± íVs"

|Í 4 Por tanto, el conjunto solución de la ecuación original es - t ±

2.4

OTRAS ECUACIONES CON UNA I NCÓGNITA

► EJEMPLO 3

103

R eso lve r u n a ecu a ció n e n fo rm a cuadrática


2 xm - 5 x m - 3

Solución

= 0

Ésta es una ecuación cuadrática en x m. Si u = x m se tiene

2w2 - 5« - 3 = 0 (2u + 1)(w - 3)

= 0

u - 3 = 0

2m + 1 = 0 u = - -

u = 3

Si se sustituye u por x m, se llega a X' / 3 = _ I

,w = 3

{xuV = ( - \ ) 3

( * l/3)3 = 3 3

x = - ¡

x = 21

El conjunto solución de la ecuación original es { -¿ ,2 7 } .

<

Se han resuelto ecuaciones cuadráticas en forma estándar por factorízación, en donde cada factor se iguala a cero. Este procedimiento se puede emplear para resolver ecuaciones de grado mayor, en el ejemplo 2 se ha resuelto la ecuación X a - 2x2 - 15 = 0 considerando u = x 2. Un método alternativo puede ser si factoriza el lado izquierdo (x 2 - 5 ) ( x 2 + 3) = 0 e igualando a cero cada factor cero, se obtiene x2 - 5 = 0

*2 + 3 = 0

De las soluciones de las ecuaciones anteriores se obtiene el conjunto solución de la ecuación original. En el ejemplo siguiente se aplica el mismo método a una ecuación de tercer grado.

►

EJEMPLO 4

D eterm inación d e las soluciones exa cta s d e u n a ecuación particular d e g ra d o m a yo r q u e 2

Encuentre el conjunto solución de la ecuación x> * 8

104

CAPÍTULO 2


Solución

La ecuación anterior es equivalente a

*3 - 8 = 0

Recuerde que a 3 - b 3 = (a - b) ( a 2 + ab + b 2). Si emplea e¡ donde a = x y b = 2 , se puede factorizar el lado izquierdo paraobttZj (,x - 2) ( x 2 + 2x + 4) = 0

Al igualar cada factor a cero y resolver las ecuaciones resultante obtiene * —2 = 0 *2 + 2* + 4 = 0 * =

2

-2

± V 4 - 16 2

-2

± 2

- 2 i 2iV 3 2 =

-1

± ¿V 3

Por tanto, el conjunto solución de la ecuación originales {2,-fl iV T } . Observe que en la graficadora la gráfica de y = x l - 8 interses eje * únicamente en el punto ( 2 , 0 ). En el ejemplo 4, com o x 3 = 8 , * es una raíz cúbica de 8. Las»* ciones son, por tanto, las raíces cúbicas de 8 ; una raíz es real y imaginarias. Esta ecuación es un ejem plo de una ecuación de tercer grado, o ecuación cúbica. La ecuación cúbica general en la variable x es a ^ x 3 + a i x 2 + a \ x + ao = 0 Donde 03 , a2, d\ y a0 son núm eros reales constantes y ecuación cúbica tiene tres raíces porque el Teorema 2 de la 5.4, garantiza que una ecuación polinomial de grado n, M®*! mente n raíces. Aun cuando se sabe que existen fórmulas pir* ces exactas de una ecuación cúbica, así como para una ccujj cuarto grado, estas fórm ulas son complicadas y no se esta obra. Sin embargo, para cualquier ecuación cúbica que tenga, nos una raíz racional, las raíces exactas se pueden encontrar! em pleando los m étodos discutidos en la Sección 5.3. Se ven particular de una ecuación, com o la del ejemplo 4, donde se ^ tran valores exactos de las raíces debido a que se pudo faetón com o la diferencia de dos cubos. Si una ecuación cúbica tiene raíces no racionales,al"1* una raíz irracional. Esto es consecuencia del Teorema4 » i 5.4, el cual garantiza que cualquier ecuación polinomial. un número impar, tiene al menos una raíz real. En el ejeinp1

2.4

OTRAS ECUACIONES CON UN A INCÓGNITA

105

se usará la ampliación en una grafícadora para aproximar una raíz irra cional de una ecuación cúbica.

órm ula,

► EJEMPLO 5

A p ro xim a ció n d e l va lo r d e u n a raíz irracional d e u n a ecu a ció n cúbica e n u n a grafícadora

tbtener

ntes, *

M ediante una grafícadora, determine el valor aproximado hasta centésimos de la raíz positiva de la ecuación x 3 = 4x + 8 Solución Al escribir la ecuación en la forma x 3 - 4x - 8 = 0 e igualando el lado izquierdo a y: y = x 3 - 4x - 8

2, -1 se cta

as sote

dos so linomL

En la Figura 2.19, aparece la gráfica de esta ecuación en el rectángulo de inspección [-10,10] por [-10, 10]. Debido a que la gráfica intersecta el eje x en un solo punto, hay únicamente una raíz real entre 2 y 3; para conseguir la aproximación deseada se selecciona un rectángulo de inspección de [2, 3] por [-0.1, 0.1] con una escala de 0.1 en los ejes. La Figura 2.20 muestra esta gráfica e indica que la raíz está entre 2.6 y 2.7. Ahora se elige el rectángulo de inspección [2.6, 2.7] por [-0.01, 0.01] y la gráfica aparece en la Figura 2.21. Debido a que la inter cepción x de la gráfica está entre 2.64 y 2.65, pero más cercana a 2.65, se concluye que con una aproximación de centesimos, la raíz es 2.65.

0 . GÉ S ecdé i exace a

las t í

aciéna lucesfl gaaiur •cilmeff á el c* : encsK tar jfSI

[2,3] por [-0.1,0.1]

[2.6, 2.7] por [-0.01,0.01]

y= x * -4 x -S

y =x 3- 4x - S FIGURA 2.21

FIGURA 2.20

► EJEMPLO 6 ¡nos íi$

*4

Resolución g ráfica d e un p ro b lem a q u e tiene com o m odelo u n a ecuación cúbica

a Sec& y grade• siguió

Un fabricante de cajas de cartón las hace abiertas y de volumen 140 pulg3, partiendo de piezas rectangulares de cartón con dimensiones 10 por 17 pulg, en las que corta cuadrados iguales en las cuatro esquinas y dobla hacia arriba los lados. Utilice la grafícadora para determinar,

106

CAPÍTULO 2


con una aproximación de centésimos, la longitud de los cuad lados. Solución La Figura 2.22 representa una hoja de cartón, Y gura 2.23 se muestra la caja de cartón obtenida. ’ y en

x pulg : X pulg

• x pulg *pulg

$

"3 ex

5

A’ pulg

xpulg ! * pulg

j,Vi+5;

* pulg i

¡ ^ - ( 1 0 - 2*) pulg-^j

; h ( 1 0 -2 x ) pulg-

3§j;Í 19. V3ÍT7

FIG U RA 2.22

FIGURA 2.23

12VÍ+4

ilv'iTs-

nvSTí A continuación se definen los números desconocidos. x : el número de pulgadas (pulg) de longitud del lado délos» drados cortados. 17 - 2*: el número de pulgadas de longitud de la base de lacajt ¡^solw 10 - 2*: el número de pulgadas del ancho de la base de la caja. Por supuesto, la altura de la caja es x pulgadas. El volumendei caja es el producto de las tres dimensiones. Al igualar este producto I(V'ST¡ 140, se obtiene la ecuación Svì n ì *(17 - 2x) (10 - 2x) = 140 *(170 - 54* + 4 * 2) = 140 4* 3 - 54* 2 + 170* - 140 = 0 Considere y igual al lado izquierdo de la ecuación y - 4* 3 - 54* 2 + 170* - 140

1 - 5 ,1 0 ] p or ( - 2 5 0 ,1 0 0 ] 4 * ’ - 5 4 * ’ + I 7 0 jc - 1 4 0

FIGURA 2.24

La gráfica de esta ecuación en el rectángulo de inspección [-5, {250, 100] aparece en la Figura 2.24. La gráfica intersecta al ®r "U tres puntos: el primero entre 1 y 2, el segundo entre 2 y 3, y cl rg| entre 9 y 10. Debido a que el ancho del cartón es 10 pulg. \$ ¡\ del lado del cuadrado cortado no puede ser mayor de 5 pulg sólo se consideran, para valores de *, los dos primeros punt emplea el aumento (zoom-in) en cada uno de los puntos,

1.33 y 2.81.

2 .4

C onclusión; 2.81 pulg.

cor.

O T R A S E C U A C IO N E S C O N U N A IN C Ó G N IT A

10 7

La longitud del lado del corte cuadrado es 1.33 pulg o

4

En la Sección 4.4, se regresará a la situación planteada en el ejem plo anterior y se determinará la longitud del cuadrado que debe cortar se para que la caja resultante tenga un volumen máximo.

[f in g í

^

__________________

En los ejercicios 1 a 12, encuentre el conjunto solución ¿e la ecuación algebraica, comprobando las soluciones en ¡agraficadora.

1. Vx - 5 = 3

2. V x + 4 = 7

3. Vx +

4. V e — 4 = 7

5 = 3

5. VIr - 3 = 2 7. Vy + y =

6. V 2 jc + 5 = 3

6

8.

Vi +

6 = t

9. v3x + 7 = x + 1 10. 2Vx + 4 - 1 = x 11. V i + 5 - V e = 1

En los ejercicios 13 a 24, estime las soluciones de la ecuación en la graficadora y posteriormente, encuentre el conjunto solución de form a algebraica.

15. V5w + 1 - V3vv - 1 = 0 17. V2x + 11 + 1 = V E x T l 11 Vy - 2 V y + 3 + 6 = 0 14

21 V 2 x - 1 + V 7 + 4 = 3 V T 23. ^3 x + I * x + 1 - I

^ los ejercicios 25 a 36, encuentre el conjunto solu ción de la ecuación.

1 = 0

30. 8a:4

= 0

+ 6x2 -

9

31. 5r 2 - 9r 1 - 2 32.

y -4 -

37y~2

+

= 0

9

jif.

= 0

33. y« - 35y 3 + 216 =

0

34. 27z 6 - 35z3 + 8 =

0

+ lix = 3

36. Vx - 5 ^

+4 =

0

En los ejercicios 37 y 38, demuestre que el conjunto so lución de la ecuación es 0 . 37.

V3

-

3*

-

V 3*

3* +

1

+ 2 ,= =

Vx -

3 2

42. Determine las cuatro raíces de 1 resolviendo la ecuación x 4 = 1.

21. Vw + 2V w - 1 + 2 = 0

9x4 - S x 2 -

=0

41. Encuentre las tres raíces de - 8 resolviendo la ecua ción x 3 = - 8 .

1«. 7 - V 8 - x = V 2 x + 22

* 4 - 5x2 + 4 = 0

0

40. Halle las tres raíces de 27 resolviendo la ecuación x 3 = 27.

16. V2 + 4y + V 3 - 4y = 3

x

6=

+

39. Encuentre las tres raíces de 1 resolviendo la ecua ción x 3 = 1.

14. V5x + 1 + V J x + 1 = 0

*

5 /2

28. 6 w 4 - 17w2 + 12 = 0 29. 8 x4 - 6 x 2 5

38- fo x 2 -

13. V3x - 4 + 8 = 0

24.

/4 -

35.

11 V2r + 1 - 2 V r - 1 = 0

21. V4 - 3x + V 3 x - 9 = V I

27.

43. Halle las cuatro raíces de 81 resolviendo la ecua ción x 4 = 81. 44. Encuentre las seis raíces de 64 resolviendo la ecua ción x 6 = 64. En los ejercicios del 45 al 48, con el empleo de la grafi cadora, determine el valor aproximado hasta centésimos de la raíz indicada. 45. 2x ■' - 2x 2 - 4x + 1 = 0: (a) la raíz negativa, (b) la raíz positiva más pequeña.

10 8

C APÍTU LO 2

EC U A C IO N ES Y D E SIG U A L D A D E S

46. 2x 3 - S x 2 + x + 16 = 0: (a) la raíz negativa, (b) la raíz positiva más grande. 47. x 4 - 10tr2 + 5 = 0: (a) la raíz positiva más pequeña, (b) la raíz positiva más grande. 48. 2x4 - 2x 3 + x 2 + 3x - 4 * 0: la raíz negativa. 49. Un balón esférico se infla de tal forma que su vo lum en se increm enta con una rapidez de - y n pie 3/min. Si el radio es ahora de 3 pie, ¿cuál será el radio en 1 minuto? (La fórmula para el volumen de la esfera es V = ^ n r 3.) 50. La superficie lateral de un cono circular recto de radio de la base r unidades y altura h unidades es S unidades cuadradas, donde S - n r i r 2 + h 2. Re suelva esta fórmula para (a) h y (b) r. 51. Un sólido esférico que tiene un radio de r unidades y una gravedad específica k, se sumergirá en agua a una altura de x unidades, donde x es una raíz positi va de la ecuación

x 3 - 3 rx2 + 4 kr3 - 0

55. Un fabricante de cajas abiertas de estaño, de §< pulg 3 de volumen, hace uso de hojas de estaños dimensiones de 8 por 15 pulg cortando cuadr^y iguales en las cuatro esquinas y doblando haoj arriba los lados. Utilice la graficadora; encuera con aproximación de centésimas de pulgada, g longitud del lado del cuadrado a cortar.

t

01)

- -'

1—

C-

A .j .

*

1

*•---------15 p u l g ------------ ►

56. Un fabricante de cajas de cartón las hace abiertay con un volumen de 120 cm 3 a partir de hojas cmdradas de cartón de 12 cm de lado, cortando cua drados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. Utilice la graficadora; é cuentre, con aproximación a centésimos de cent metro, la longitud del lado del cuadrado a cortar.

En la graficadora, encuentre, con una aproxima ción a centésimas de pulgada, la profundidad a la cual se sumergirá una boya esférica de radio de 10 pulg y una gravedad específica de 0 . 1. 52. Utilice la ecuación del ejercicio 51 y la graficadora para determinar, con una aproximación a centésimos de pulgada, la profundidad a la cual se sumer girá una pelota si su radio es 3 pulg y tiene una gravedad específica de 0.5.

En los ejercicios 53 a 57, resuelva el problema encon trando una ecuación como modelo matemático de la situa ción. Complete el ejercicio escribiendo la conclusión. 53. La longitud de la diagonal de un rectángulo es 50 pulg y el área es I 200 pulg2. ¿Cuáles son las di mensiones?

54. Resuelva el ejercicio 53, si la longitud de la diago nal es 13 pulg y el área es 60 pulg2.

57. Empleando madera, se fabrica una caja rectanguk abierta de espesor uniforme en los lados y fon». Las dimensiones internas son 5 pie de longtoM pie de ancho y 2 pie de altura. Si la madera petf*¡ Ib por pie cúbico, use la graficadora para deten®1; nar, con una aproximación de centésimos de p # da, cuál debería ser la densidad de la madera que la caja vacía pese 160 Ib.

2.5

DESIGUALDADES LINEALES

109

una ecuación? ¿Se presentan, en todos los casos, soluciones extrañas si ambos lados de una ecuación son elevados al cuadrado? Proporcione ejemplos de ecuaciones específicas para justificar las res puestas.

«a En una graficadora. ¿cómo se determina si un poli nomio tiene soluciones reales y cuántas son? -g Por qué se pueden presentar soluciones extrañas cuando se elevan al cuadrado ambos miembros de

2.5 DESIGUALDADES LINEALES O B JE T IV O S

II a

b

1. 2. 3. 4.

A prender propiedades de orden. Resolver algebraicamente desigualdades lineales. Resolver gráficamente desigualdades lineales. Resolver problemas que tienen una desigualdad lineal como modelo matemático.

En la Sección 1.1, una relación denotada por los símbolos < y > pro porciona un orden para R, el conjunto de números reales; en la misma sección, se presentaron las desigualdades y se emplearon para definir intervalos sobre la recta numérica real. Es recomendable que en este momento revisemos estos conceptos. En Cálculo, es necesario ser un experto tanto al trabajar con las desi gualdades como con las ecuaciones, debido a que las desigualdades son tan frecuentes como las ecuaciones. En esta sección, y en las dos siguientes, se tratarán desigualdades que contienen una variable. des de tricotomía y transitiva del orden.

a
a

b< a

Si a y b son números reales, uno y sólo uno de los tres enuncia dos siguientes es verdadero:. a
b
a = b

a b a=b

HGURA 2.25

La interpretación geométrica de la propiedad de tricotomía es que el punto a o b sobre la recta numérica real, se ubica a la izquierda del otro o son el mismo punto. La Figura 2.25 muestra las tres posibilidades.

Propiedad transitiva del orden Sia, b y c son números reales, y si a < b y b < c, entonces a < c.

110

CAPÍTULO 2

a


b FIGURA 2.26

La interpretación geométrica de la propiedad transitiva sen*j en la Figura 2.26; si el punto a está a la izquierda del punto b a la izquierda del punto c, entonces a está a la izquierda de c. i A fin de demostrar la propiedad transitiva, se emplea el jw j que la suma de dos números positivos es positiva. También seani' definición del símbolo <, como se proporcionó en la Sección hlj I y b son números reales, a < b

b - a

si y sólo si

es positivo

Demostración d e la p ro p ied ad transitiva

Dado quea<¿yM I

resulta de la definición de <, que b - a

es positivo

y

c - b

es positivo

Debido a que la suma de dos números positivos es positiva, (b - a) + (c - b)

es positivo

Si se aplican las propiedades conmutativa y asociativa de loso h I reales para esta expresión, se concluye que c - a

es positivo

y por tanto a < c

>

9

EJEMPLO IL U S T R A T IV O 7 ~

Si x < 5 y 5 < y, entonces, de acuerdo con la propiedad transimii concluye q u e x < y . j El dom inio de una variable en una desigualdad es el coojuiM los números reales para los cuales están definidos los miembro^ desigualdad. Son ejemplos de desigualdades lineales que conjunto de los números reales R como dominio son 3x - 8 < 7

* - ^ - 1 <, x 4

2 < 4* + 6 S M 1

Un ejemplo de desigualdad cuadrática que tiene a R como doffl*

x 2 + 2x > 15 La desigualdad

_______________________ 2.5

DESIGUALDADES LINEALES

111

las soluciones se denomina conjunto solución. Una desigualdad ab soluta es aquella que es verdadera para cualquier número en el domi nio. Por ejemplo, si x es un número real, jc + 1 < * + 2

y

*2 £ 0

son desigualdades absolutas. Una desigualdad condicional es aquélla para la cual hay al menos un número en el dominio que no está en el conjunto solución. Para encontrar el conjunto solución de una desi gualdad condicional, se procede de manera similar a la empleada para resolver una ecuación; es decir, se obtienen desigualdades equivalen tes (aquellas que tienen el mismo conjunto solución) hasta que se tiene una cuyo conjunto solución sea evidente. Para obtener desigualdades equivalentes se utilizan las propiedades siguientes.

P ropiedades d e < Si a, b y c son números reales y (i) si a < b, entonces a + c 0 , entonces ac < be (propiedad de multiplica ción) (iv) si a be (propiedad de multiplica ción)

Estas propiedades pueden demostrarse empleando la definición de < y el hecho de que el producto de dos números positivos es positivo. Primero, se probará la propiedad de adición (i). Debido a que a 0 De las propiedades asociativa y conmutativa de los números reales b - a = (b + c) - (a + c) Es decir que (b + c) - (a + c) > 0 de la cual se concluye que a ■¥ c < b + c con la expresión anterior se comprueba la propiedad (i). La propiedad (ii) es consecuencia de la propiedad (i) y del hecho de que restar c es lo mismo que sumar -c.

112

CAPÍTULO 2


Ahora se probará la propiedad de multiplicación (íii). Dadoa > 0. Debido a que el producto de dos números positiva positivo, se tiene que

a < b, b - a

(b - a ) c > 0 be - a c > 0 ac < be

lo cual demuestra la propiedad (iii). En el ejercicio 49, se solicitaqm se demuestre la propiedad (iv). En la presente sección, se tratarán desigualdades lineales, lascua les pueden escribirse en la forma ax

+ b < 0 (el símbolo < puede reemplazarse por >, 5», o £)

donde a y b son números reales y a 0. En los tres ejemplos siguien tes se obtendrá algebraicamente el conjunto solución de una desigu^. dad lineal y la solución se representará sobre la recta numérica real.

► EJEMPLO 1

Resolución algebraica de una desigualdad lineal

Determine y muestre sobre la recta numérica real el conjunto solucidi de la desigualdad 3* - 8 < 7

Solución

Las desigualdades siguientes son equivalentes:

3* - 8 < 7 3jc-8 + 8 < 7 + 8 3x

< 15

| ( 3 * ) < 4 (15) 0

FIGURA 2.27

5

X <5

Por tanto, el conjunto solución de la desigualdad original es el cual es el intervalo (- oo, 5), este intervalo aparece en la Figura2.27.

► EJEMPLO 2

Resolución algebraica de una desigualé lineal

Encuentre y muestre sobre la recta numérica real el conjunto sol** de la desigualdad V < X

2 .5

Solución

DESIGUALDADES UNÍALES

113

Las desigualdades siguientes son equivalentes:

x - 7

( 4 ) ~ — < (4)x x - 7 ^ 4x x — 7 — 4x + 7 ^ 4x — 4x + 1 —3x < 7 - |( - 3 * ) a I -¿ 1 7

( -1 ) 7

Por lo que el conjunto solución de la desigualdad dada es {x¡ x > - j), el cual es el intervalo [ - í + ° ° ) , que se muestra en la Figura 2.28. <

►

EJEMPLO 3

Resolución algebraica d e una desigualdad lineal

Encuentre y muestre sobre la recta numérica real el conjunto solución de la desigualdad

3

7

< 4x +

<

15

Solución Una solución de la desigualdad dada deberá ser una solu ción de ambas desigualdades 3<

4x

+7

y

4x

+ 7 £ 15

Resuelva separadamente cada una de las desigualdades

3 < 4x + 7 3 — 7 < 4 jc + 7 - 7 —4 < 4x -r(“ 4) < t (4*) 4 4 1< x

—

4x

4x + 7 < 15 + 7- 7 15-7 4x < 8 j(4 * ) < i (8) 4 4 x ^ 2

Un valor de x será solución de la desigualdad dada si y sólo si -1 < x

y

x £ 2

-1 < x <. 2

Por tanto, el conjunto solución de la desigualdad dada es el intervalo (-1, 2), el cual se muesta en la Figura 2.29.

114

CAPITULO 2


El trabajo puede disminuirse haciendo los mismos cálculos o «Kk desigualdad, de la manera siguiente: 3 < 4 x + 7 < 15 3 - 7 < 4* + 7 - 7 < 15 - 7 - 4 < 4x < 8 -4 — < 4

4x 8 —< 4 4

- K * s 2

«

En la mayoría de los casos es más fácil resolver desigualdad^ neales algebraicamente que de manera gráfica. Sin embargo, se de mostrará cómo emplear la graficadora para resolver desigualdad lineales.

► EJEMPLO 4

Resolución grá fica d e una desigualdad limd

Emplee una grafícadora para resolver la desigualdad lineal del ejemploL

Solución Primero se vuelve a escribir la desigualdad de tal manen que todos los términos diferentes de cero estén en el lado izquierdo:

FIGURA

3* '- 15 < 0 Se considera y igual al lado izquierdo: . |¡¡g 3 x - ^ 15 La gráfica de esta ecuación en la grafícadora aparece en la Figura 2.30.U gráfica está debajo del eje x cuando y < 0. Esto ocurre si x <5, loe» está de acuerdo con la solución del ejemplo 1. (- 10. 10] por [- 10, 10] y = 3 x - 15

FIGURA 2.30

El ejemplo siguiente muestra otro método gráfico para resol* una desigualdad lineal.

► EJEMPLO 5

Resolución g rá fica d e una desigualdad lh*¿

Utilice una grafícadora para resolver la desigualdad lineal del ejemplo2-

Solución

La desigualdad es

4 Considere >’, igual al lado izquierdo y y2 igual al lado derecho x - 1

H0,10]por| •=3, ji=4i + í

)>2 = X

2 .5

DESIGUALDADES UNIALES

115

El conjunto solución de la desigualdad dada consiste de aquellos valo res de x para los cuales y x < y 2. Las gráficas de las ecuaciones aparecen en la Figura 2.31, ambas se intersectan en el punto ( - - , - -), el cual puede ser verificado sustituyendo las coordenadas en la ecuación para y,. La gráfica de y, intersecta o se encuentra debajo de la gráfica para y 2 cuando x > - ~ , lo cual está de acuerdo con el conjunto solución del ejemplo 2 .

FIGURA 2.31

4

► EJEMPLO 6

R esolución g rá fica d e u n a d e s ig u a ld a d lin e a l

Emplee una graficadora para resolver la desigualdad lineal del ejemplo 3. S o lu c ió n

La desigualdad es

3 < 4jc + 7 < 15 Considere y, = 3

[-10,10J por [-5, 20] >i = 3, yt =4x + l y y ,= 15 FIGURA 2.32

y 2 = 4x + 7

y 3 = 15

Se piensa encontrar los valores de x para los cuales y, < y2 < y3. En la Figura 2.32 están trazadas las gráficas de las tres ecuaciones. La recta para y 2 se encuentra arriba de la recta para y,, y está por debajo de o in tersecta a la recta para y3 cuando -1 < jc < 2 , lo cual está de acuerdo con la solución del ejemplo 3. 4

► EJEMPLO 7

Resolución d e u n p r o b le m a q u e tie n e u n a d e sig u a ld a d lin e a l com o m o d e lo m a te m á tic o

Una compañía que fabrica y vende gabinetes tiene gastos generales se manales de $3 400 (dólares), incluyendo salarios y costos de planta. El costo de los materiales por cada gabinete es de $40 y se vende en $200. ¿Cuántos gabinetes deberán construirse y venderse cada semana para que la compañía garantice utilidades? S o lu c ió n Inicialmente se definirán los números desconocidos. x : el número de gabinetes construidos y vendidos semanalmente. 200x: el número de dólares en el ingreso total semanal. 3 4 0 0 + 40x: el número de dólares del costo total semanal. P: el número de dólares en las ganancias semanales. Debido a que la ganancia es igual al ingreso menos el costo, se tiene P = 2 0 0 » - (3 4 0 0 + 4 0 * ) P = 160* - 3 4 0 0 Para una ganancia, P debe ser positivo, es decir

116

CAPITULO 2


160* - 3 400 > 0 160* > 3 400 * > 21.25 Dado que * debe ser un entero positivo, se concluye que jc>22 ; C onclusión: La com pañía deberá construir y vender al menos22« binetes cada semana para garantizar una ganancia.

EJERCICIOS En los ejercicios 1 a 28, encuentre algebraicamente el conjunto solución de la desigualdad y escríbalo en no tación de intervalos. Muestre el conjunto solución en la recta numérica real. 2. 3* - 5 < 7

1. 20 < 4* 2x

-

1 <

6

5. 2x

+

1- >

*

3.

—4

1 >

4* - 3

5*

+

6

&

x

2x

—

9 >

0

8. 10.

9. 2x - 5

— i— 3

<

*

+

3*

17. 5 < 2-r 19. - 7 < 2*

- 5 4 **

*

1

4* — 5 > — — 3 < +

13

1<

3

< 5 , - .

x á 8

23. 6

<

2

25. 2

>

- 3 - 3* 2? - 7

-

27. - 4 < — _ s 2

16.

3x + 8 < 4-2 * -5

18.

11 >

20 . 1

3^• -

-

3*

<

19

- 2*

24.

5

26. - 1 28.

5 > 2:

3x - 2 < 16

22 . 10 < 4

30. Ejercicio2

31. Ejercicio 7

32. Ejercicio8 ,

33. Ejercicio 9

34. Ejercicio10 J

35. Ejercicio 15

36. Ejercicio16

37. Ejercicio 17

38. Ejercicio18 i

39. Ejercicio 23

40. Ejercicio24 <

41. Si la temperatura en la escala Fahrenheit esFp dos y utilizando la escala Celsius es C, entonces 1 C = § ( F - 32)

14. 5 - j x 2i ÍJr - 2

3

4* - 1 . — < 5

21.

2

-

3

A 10 -

7

12. 6 * -

1

13. {x + 2 < i * + 15.

+

6.

2,-5 7. 4

11.

4. 3x

29. Ejercicio 1

S5

<

2 - 2* < 3

4 S

^ s 5

En los ejercicos 29 a 40, utilice una graficadora, en cuentre el conjunto solución de la desigualdad que aparece en el ejercicio indicado.

¿Cuál es el conjunto de valores de Fsi Cesa»] U 10 y 20 ? 42. Cuando la temperatura del agua es mayoro 100° Celsius, el agua hierve. Utilice la fónsA* ejercicio 41 para determinar la temperaturan**¡ heit a la cual hierve el agua.

En los ejercicios 43 a 48, resuelva el problema01*] trando una desigualdad como un modelo mota*1} de la situación. Complete el problema escrito* conclusión. 43. Un inversionista tiene invertidos piensa invertir dinero adicional al 16%o® '• de lograr un rendimiento de al menos 12** ^ versión total. ¿Qué cantidad de dinero invertida? 44. Parte de $20 000 son invertidos al 9% invierten al 12%. ¿Cuál es la menor canlu!í^ .;j ñero que puede ser invertida al 12%Par‘J J rédito anual de al menos $2 250 de tó* siones?

2.6

45. Un fabricante de lámparas vende únicamente a ma

yoristas en su sala de exposición. El gasto semanal total, incluyendo salarios, costos de planta y renta de la sala de exhibición, es de $6 000. Si cada lám para se vende por $168 y el material usado en su construcción cuesta $44, ¿cuántas lámparas deberá hacer y vender cada semana para que el fabricante logre una ganancia? 46. Si en un curso particular, un estudiante tiene un promedio de calificaciones, en cuatro exámenes, de menos de 90 pero no debajo de 80, el estudiante reci birá una calificación de B en el curso. Si las califica ciones del estudiante en los tres primeros exámenes son 87, 94 y 73, ¿qué calificación en el cuarto exa men dará como resultado la calificación de B? 47. Un platero piensa obtener una aleación que conten

ga al menos 72% y cuando más 75% de plata. Determine las cantidades máxima y mínima de una aleación a 80% que debe ser combinada con una aleación de plata de 65% para obtener 30 g de la alea ción requerida. 48. ¿Qué cantidad de alcohol puro debe ser agregado a

24 litros de una solución de alcohol al 20% para

DESIGUALDADES POLINOMIALES

117

obtener una mezcla que al menos tenga 30% de al cohol? 49. Demuestre la propiedad de multiplicación: si a be. Sugerencia: si c < 0, en tonces —c > 0 . 50. Compruebe que si x < y, entonces x <^ (x + y) b y c > d, no se puede concluir que ac es ne cesariamente mayor que bd, ¿por qué? Proporcio nar un ejemplo. 53. Los ejemplos 4 y 5 proporcionan dos métodos para resolver gráficamente una desigualdad lineal. Ex plique, con palabras, los dos métodos aplicados a la desigualdad del ejericicio 9. 54. En el ejemplo 6 se resolvió gráficamente una desi gualdad lineal. Explique, con palabras, el método empleado en este ejemplo para resolver la desi gualdad del ejercicio 25.

2.6 DESIGUALDADES POLINOMIALES OBJETIVOS

1. R esolver algebraicam ente desigualdades cuadráticas. 2. R esolver g ráficam ente desigualdades cuadráticas. 3. R esolver algunas desigualdades polinom iales p articu lares de g rad o m a y o r que 2. 4. Resolver gráficam ente desigualdades polinom iales de grado m ay o r q ue 2 donde el conjunto solución tenga extrem os irracionales. 5. R esolver p roblem as que tengan u n a desigualdad polinomial com o m odelo m atem ático.

A continuación se discutirán los métodos algebraico y gráfico para re solver desigualdades polinomiales de grado mayor que 1. Una desigualdad cuadrática es aquella que tiene la forma

a x 2 + bx + c < 0 (el símbolo < puede reemplazarse por >, <, o >) donde a, b y c son números reales y a * 0. Para resolver una desigualdad cuadrática, se emplearán los conceptos número crítico y número de prueba.

CAPITULO 2


Un número crítico de la desigualdad anterior es una raízre¡|¿ la ecuación cuadrática.

a x 2 + bx + c = 0 Suponga que r, y r2 son los números críticos y r, < r2. Entonces, d*. linomio a x 2 + bx + x puede cambiar de signo algebraico sólo en r, y» Así, el signo (más o menos) de a x 2 + bx + c será constante en ca¿ uno de los intervalos

( - 00, n)

(rif r2)

(r¿, +<»)

A fin de determinar el signo en uno de los intervalos en panicuit,* calcula el valor de ax2+ bx + c en un número de prueba arbitranoesd intervalo. A partir de los resultados se obtiene el conjunto solucióndeli I desigualdad. El procedimiento se muestra en los dos ejemplos sigu i ó I

>


Resuelva la desigualdad jt 2 - U8 < 2x primero escriba una desigualdad equivalente que tenga todos lostér minos diferentes de cero en un lado del signo de la desigualdad. De este modo se tiene x 2 - 2x - 8 < 0 (x i I I ^ I j I I I ^j I r 2 o 4 5 FIGURA 2.33

2 ) (x — 4 \ < .0

Se observa en la forma factorizada de la desigualdad, que la ecuaooi jc2 - 2x - 8 = 0 tiene las raíces - 2 y 4, las cuales son los númoaeí ticos de la desigualdad. En la Figura 2.33 se localizaron los paau correspondientes a estos números sobre la recta numérica real. Efln puntos separan la recta en los tres intervalos siguientes: ‘ (-oo,--2 ) -

(-2 ,4 )

<4, + oo)

En cada uno de estos intervalos, el signo de (x + 2) (x - 4) es consu* te. Para determinar el signo en el intervalo, se elije un número de(**■ ba arbitrario en el intervalo y se calcula el signo de cada uno deI* factores x + 2 y x - 4 con este número de prueba. Si seleciona -3* (-oo, -2 ), O en (-2 , 4) y 5 en (4, +oo) se obtienen los resultadas mostrados en la Tabla 1. Tabla 1

Intervalo

Núm. de prueba k

Signo de x + 2 con k

Signo de x - 4 con k

Signo* (.v+ 2) sobre el mítr^

2.6

DESIGUALDADES POLINOMIAIKS

119

A partir de la tabla se obtiene la Figura 2.34, la cual presenta sobre una recta numérica real, los puntos -2 y 4 y los intervalos sobre los que (x + 2) (x - 4) es positivo o negativo. Se concluye que el conjunto solu ción de la desigualdad es el intervalo (-2,4) mostrado en la Figura 2.35. La desigualdad puede resolverse gráficamente de dos formas, para uno de los métodos se considera >i = x 2 - 8

>2 = 2*

Las gráficas de estas dos ecuaciones, trazadas en una graficadora, apa recen en la Figura 2.36. Se observa que cuando * está en el intervalo abierto (-2, 4), la gráfica para y¡ está debajo de la gráfica de y2 (esto es yi < >2)-

n

i

! í

[-1 0 ,10J por [-10.10]

[-10,10] por [-10.10]

y, =x*~ 8 y y, = 2r

y=jc2- 2c- 8 FIGURA 237

FIGURA 2 3 6 Para el otro método gráfico se tiene y = x 2 - 2x - 8

La gráfica de esta ecuación, trazada en la Figura 2.37, está debajo del eje * (es decir, y < 0 ) cuando * está en el intervalo abierto (- 2 ,4). < ►

EJEMPLO

1

Resolución algebraica y gráfica d e una desigualdad cuadrática

Encuentre el conjunto solución de la desigualdad x 2 + 2x 2 15 y muestre el conjunto solución en la recta numérica real. Verifique gráficamente el resultado.

Solución

La desigualdad dada es equivalente a

x 2 + 2x - 15 £ 0 (x + 5)(x - 3) 0 Los números críticos son -5 y 3. Los puntos correspondientes a estos números están localizados en la Figura 2.38 y determinan los interva los siguientes (-o o f -5 )

(-5,3)

(3, + 00)

120

CAPITULO 2


i | | | f | | io

3

5 Tabla 2

FIGURA 2.39

i i i I i i [ M -2

0

3

FIGURA 2.40

La Tabla 2 resume los resultados obtenidos eligiendo un nú®* de prueba en cada uno de estos intervalos y determinando el signos (Jf + 5) (x - 3) sobre dichos intervalos.

Intervalo

Núm. de prueba k ,

(-oo,-5)

-6

Signo de x + 5 con k

0

( - 5 ,3 ) ( 3 , +oo)

+ +

4

Signo de x - 3 con k

Signo de (x + 5)(*-3)^ sobre el intenté

+

+ I - vá +

5

La Figura 2.39 muestra los puntos -5 y 3 sobre la recta nuroéria real, así como el signo de (x + 5) (jc - 3) dentro de los intervalos (-se, -5), (-5, 3), (3, + oo). Entonces (x + 5) (x - 3) > 0 si x está en (-oo,-5) (3, +oo). Por tanto, -5 y 3 están en el conjunto solución debido aqse (x + 5) (x —3) = 0 si x toma el valor de cualquiera de estos númem De esta manera, el conjunto solución de la desigualdad dada es (-■, -5] U [3, +oo), y aparece gráficamente en la Figura 2.40. Al trazar la gráfica de y = x 2 + 2x - 15

[-10,10] por [-20,10]

y= xl + 2 x - l5

se obtiene la Figura 2.41. Esta gráfica intersecta o se ubica por arriti del eje x (es decir y £ 0 ) cuando x está en (-oo, -5] U [3, +«), local está de acuerdo con los resultados obtenidos algebraicamente. <

FIGURA 2.41

► EJEMPLO 2

Resolución a lg eb ra ica d e una desigualdad cuadrática cuyo con/unto solución •* 0

Encuentre el conjunto solución de la desigualdad 5 x 2 - 2x + 1 < x 2 + 2x S o lu ció n


4jc2 - 4x + 1 < 0

(2x - l ) 2 < 0 Debido a que no existe un valor de x para el cual (2x - l )2es No hay solución. Por tanto, el conjunto solución es 0 .

EJEMPLO 3

Resolución algebraica de una designé* cuadrática absoluta

Encuentre el conjunto solución de la desigualdad

_ »X + 1 < 3* 2 + 4jc + 5

_____ _____________________ 2.6

S olución

DESIGUALDADES POUNOM IALES

im


-9 x 2 - I 2 í - 4 S O 9xl + 12* + 4 2 0 (3x + 2 ) 2 £ 0 Debido a que (3* + 2 ) 2 es positivo para todos los valores de x, el con junto solución es el conjunto R de todos los números reales. Por tanto, la desigualdad es absoluta. <

► EJEMPLO 4

Resolución gráfica de un problem a de movim iento rectilíneo que tiene una desigualdad cuadrática como modelo matem ático

En el ejemplo 7 de la Sección 2.2, una pelota es lanzada desde el suelo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 72 pie/s. La ecuación del movimiento es s = —16í2 + 72/ donde s pies es la distancia que hay entre la pelota y el suelo después de t segundos de que es lanzada. Encuentre gráficamente en qué tiem po la pelota se-halla más arriba de 25 pie del suelo. S olución En el rectángulo de inspección [0, 10] por [0, 100] se tra za la gráfica de la ecuación de movimiento y la recta s = 25. Véase Fi gura 2.42. Se piensa determinar los valores de t para los cuales

-16t2 f 72* > 25 es decir, los valores de t para los que la parábola está arriba de la recta. Si emplea el aumento (zo o m -in ) se encuentra que la parábola y la recta se intersectan en los puntos donde t es 0.38 y 4.12. Por tanto, a partir de la Figura 2.42, se observa que la parábola se localiza arriba de la recta cuando 0.38 < t < 4.12. \™¡

I ,0°J

**-16r, + 72i y 25 FIGURA 2.42

Conclusion: La pelota estará más de 25 pie arriba del suelo cuando el tiempo transcurrido desde que fue lanzada esté entre 0.38 y 4.12 s. <4 En el ejemplo siguiente se resolverá una desigualdad cúbica, por el mismo método empleado en el ejemplo ilustrativo 1 y el ejemplo 1 para resolver una desigualdad cuadrática.

► EJEMPLO 5

Resolución de una d esigualdad cúbica por m étodos algebraico y gráfico

Encuentre y muestre sobre la recta numérica real el conjunto solución de la desigualdad

122

CAPÍTULO 2


(jr + I ) (2jc2 - 5x + 2) > 0 Verifique gráficamente el resultado.

S o lu c ió n I ! » { • *- » ■ » * - 1 0 1 2

|


(x + 1) ( 2* - 1)(jc - 2 ) > 0

3

Los números críticos son -1 , 5 y 2, y los puntos corresponda^, estos números están localizados en la Figura 2.43 sobre U numérica real. Estos puntos determinan los intervalos siguientes:

FIGURA 2.43

(-0 0 ,-1 )

(—1,4)

( i . 2)

(2, + * )

Si determina el signo de (jc + 1) (2x - 1) ( jc - 2) en cada uno delos^l 1 tervalos eligiendo un número de prueba, se obtienen los resultados^! I a continuación se resumen en la Tabla 3. I I

Tabla 3 Signe* U + li

(2*-l) I—I—I-5

-1 O i

Intervalo

2

( - 00, - 1) FIG U R A 2.44

(-l.¿> (f. 2) (2,+ 00)

Núm. de prueba k

Signo de x+1 con k

Signo de 2x - 1 con k

Signo de x -2 con k

sobrie. imeni

-2 0 1

3

~+ I I I ( I ) I ( I I | "5

-1 0 1

2

FIG U R A 2.45

H O . 10) por {-10, 10]

y (* ♦ 1X2*’- 3*+ 2) FIGURA 2.46

5

De la Tabla 3 se obtiene la Figura 2.44, la cual muestra, en I** ta numérica real, los puntos - 1, 4 y 2 así como el signo de (j+1 (2x - 1) (x - 2 ) en los intervalos ( - 00 , - 1), ( - 1, i), (j, 2)y (2 +í Por tanto, (x + 1) (2x - 1) (x - 2) > 0 si x está en (-1, 5) o (2, +C°)-JJ lo que el conjunto solución de la desigualdad dada es ( - 1, 5) U(l+* el cual aparece en la Figura 2.45. La Figura 2.46 muestra la gráfica de y = (x + 1) (lv 2-5.v+^; zada en la graficadora. La gráfica está arriba del eje de las * (es y > 0 ) si * está en ( - 1 , i) U (2, + 00) lo cual está de acuerdo conI»* lución algebraica. En el ejemplo 5, la desigualdad cúbica fue dada en forma zada. Frecuentemente un modelo matemático obtenido de una ción práctica es una desigualdad que implica un polinomio de mayor que dos que no puede ser factorizado. La resolución tales desigualdades se hace empleando el aumento (zoom-in)
2.6

EJEMPLO 6

DESIGUALDADES POUNOMIALES

123

Resolución grá fica d e u n a desigualdad polinom ial d e g ra d o m ayor q u e 2, donde el conjunto solución tien e núm eros irracionales com o extrem os

Encuentre el conjunto solución de la desigualdad * 3 < 2x + 7

Exprese con aproximación de centésimos cualquier número irracional obtenido como extremo. Solución

La desigualdad es equivalente a

jc3 - 2x - 7 < 0 Considere

[-10,10] por [-10,10] y =x '- 2 x - l

FIGURA 2.47

.y = x 3 - 2x - 7 La Figura 2.47 muestra la gráfica de esta ecuación trazada en una grañcadora. Se observa que la gráfica intersecta el eje x entre 2 y 3. Al hacer el aumento de la zona mencionada, se aprecia que la intercep ción x es 2.26, aproximando hasta centésimos. Debido a que la gráfica está debajo del eje x (es decir, y < 0 ) cuando x < 2.26, el conjunto solu ción de la desigualdad dada es el intervalo ( - 00, 2.26). 4 Observe que en el ejemplo 6 , aunque se ha obtenido 2.26 como el extremo del conjunto solución, en realidad es una aproximación; sin em bargo, en este texto se usará la convención de considerarlo como exac to en la notación de intervalos. Las desigualdades que implican polinomios de grado mayor que 3 serán resueltas gráficamente empleando el mismo método del ejemplo 6 .

► EJEMPLO 7

Resolución d e un problem a que tiene una d e sig u a ld a d cuadrática com o m odelo m atem ático

Un decorador diseña y vende adornos de pared y puede comerciar, cada uno de los adornos producidos, a un precio de $75. Si x adornos son manufacturados diariamente, entonces el costo total diario de pro ducción es x 2 + 25* + 96 dólares. ¿Cuántos adornos deberán producir se diariamente para que el decorador garantice una utilidad? Solución Se definen los números desconocidos. x: número de adornos manufacturados diariamente. 75*: número de dólares provenientes de la venta total de los adornos. P: número de dólares de la ganancia total diaria. Debido a que la ganancia es igual a la venta menos el costo, P = 75* - (*2 + 25* + 96) = - * 2 + 50* - 96

124

CAPÍTULO 2


r tr 3) / j

Para que el decorador garantice una ganancia, se debe tener P H, decir, - x 2 + 50* - 96 > 0

A

x 2 - 50* + 96 < 0 (* - 2) (* - 48) < 0 Al resolver esta desigualdad, debido a que * es el número de el conjunto solución está restringido para los valores negativogll Los números críticos son 2 y 48. Los puntos correspondientes a números separan el lado no negativo de la recta numérica real siguientes tres intervalos: [0,2)

(2,48)

P

N|í»

(4 8 ,+oo)

y i¿o La Tabla 4 resume los resultados obtenidos eligiendo un número| k/'1 V. .*!>• prueba en cada intervalo para determinar el signo de (* - 2) (*•? P I

, i- r - 2)1

Tabla 4

trw 1

Intervalo

Núm. de prueba k

[0 , - 2) (2,48) (48, + oo)

3 49

Signo de x-2 con k

Signo de jc-48 conk

+ +

_ +

1

Signode \ irir ■f4i >0 (*-2)U-48) en intentk + \ frÊàmkkin - :¡m kâïi®néiffl + fct

De la tabla, el conjunto solución de la desigualdad es el intervá ■^<1+2 |É abierto (2,48). PV-

Conclusión: Para que el decorador garantice una ganancia el niimt* de adornos producidos y vendidos diariamente deberá ser más de menos de 48. En la Sección 4.3 se regresará a la situación planteada enelejt pío 7, y se aprenderá cómo determinar el número de adornos que ben producirse y venderse cada día para que el decorador teflfl ganancia máxima.

í

"•fl s¡

EJERCICIOS 2.6 En los ejercicios 1 a 30, determ ine algebraicam ente el conjunto solución de la d esigu a ld ad , escrib a e l co n ju n to solución con notación de intervalos, y m uestre el conjunto solución sobre la recta num érica rea l Después, verifique el resultado gráficamente.

1. * 2 > 9 3. (* + 3)(* - 4) < 0 4. (* - I )(.t - 5) > 0

%

X

*•<1

2 .6

c (2jt + I)(2jc - V h (3jt ♦ 5)(2x - 3) p. 4x + 3 * 0 m Jt 7. 3¿ - x 2 - 0 9. 4 T 8 - 2x 11. x * > 6 - 2 x2 13. X * + 1 2 8/ 15. 16/2 - 3x) < 10 17. jr(ll 19. (y + 3)(y - 0 (>’ ; 4)(x2 - 4) < 0 20. (x + 21. X3 * 16x 23. x 2 ~ x - 1 < 0 25. X2 + x + 3 > 0

0 0 8. x 2 + 6 x + 8 > 0

10. 2 x 2 + *

1 < 0 2. 12. x 2 < 15 + X 14. 4jc2 > 9 16. 9 y 2 < 30y

9X 25

18. x { 6 x + 11) > 15 4) > 0

22. 613 > I t 2 + 31

2 ^ 0 26. x 2 - 2 x + 2 < 0

24. x 2 + 2 x

27. X* - 13jc2 + 36 < 0

28. (x* + 3x - 4 )(x 2 q x - 2) < 0 29. (x + 3)(jc2 - x - 2 )(x 2 - 8 x + l f j s 0 30. x 5 - 5x 3 + 4 x > 0 En los ejercicios 31 a 38, determine gráficamente el conjunto solución de la desigualdad, y exprese los ex tremos de los intervalos con una aproximación a cen tesimos. 31. *3 + x 2 + x - 4 > 0 32. x 3 + 6 x < 13 33. x 3 + 3x 2 < x + 2 34. x' + 6x > 5 x 2 + 1 35. 2x* - 14x3 + 24x2 + x -

4 >0

36. 3x4 + 36x2 - 8 < 2 \ x 3 -

2x

37. 9x2 + 8 x -**14 < x A + 2 x *

D ESIG U A L D A D E S P O U N O M IALES

125

41. En el ejercicio 59, de la Sección 2.2, una pelota es lanzada hacia arriba desde la orilla de una azotea 68 pie arriba del suelo con una velocidad inicial de 76 pie/s. Encuentre gráficamente, cuándo la pelota estará (a) a menos de 100 pie arriba del suelo y (b) a más de 25 pie arriba del suelo. 42. Determine gráficamente cuándo la pelota del ejer cicio 41 se encontrará (a) a más de 80 pie arriba del suelo y (b) a menos de 50 pie arriba del suelo. 43. Una empresa puede vender a $100 por unidad to dos los artículos de primera necesidad que pro duce. Si se fabrican x unidades por día, y el número de dólares en el costo total diario de pro ducción es jt 2 + 20x + 700. ¿Cuántas unidades de berán producirse diariamente de tai manera que la compañía garantice una ganancia? 44. Una compañía que fabrica escritorios puede ven der todos los que produce a $400 cada uno. Si x escritorios se venden cada semana, entonces el número de dólares en el costo total de producción semanal es 2 x2 + 80r + 3 000. ¿Cuántos escrito rios deberán construirse semanalmente para que el fabricante garantice una ganancia? 45. Un campo rectangular cercado está ubicado en la orilla de un río; el lado largo del río no requiere de cerca. El costo del material para la cerca es de $8 por pie lineal para los dos lados opuestos con cerca y $16 por pie lineal para el lado paralelo al río. Si el área del campo es de 12 000 pie2 y el costo de la cerca no debe exceder de $3 520, ¿cuáles.son las restricciones en las dimensiones del campo?

38. x ' + 2x 4 - 8 * 3 - 9 x 2J - 8x + 6 > 0 En los ejercicios 39 a 50. resuelva el problema encon trando.>una desigualdad como modelo matemático de ¡a si tuación. Complete el ejercicio resolviendo la desigualdad y escribiendo la conclusión. 39. En el ejercicio 57, de la Sección 2.2, un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 pie/s. Encuentre gráficamente cuándo el objeto se encuentra por arriba de SO pie sobre el piso. 40. Encuentre gráficamente, cuándo el objeto del ejer cicio 39 se encontrará a menos de 30 pie por arriba del suelo.

46. Una parcela rectangular de terreno será encerrada por una cerca, luego, dividida a la mitad por otro tipo de cerca. La cerca que divide a la mitad la parcela cuesta $3 por pie lineal y la otra cerca tiene un costo de $6 por pie lineal. Si el área del terreno es I 800 pie2 y el costo total de la cerca no

126

CAPÍTULO 2


debe ser mayor que $2 310, ¿cuáles son las restric ciones en las dimensiones del terreno?

47. En el ejercicio 15 de la Sección 2.3, para el parque

que tiene un jardín, determine gráficamente los an chos posibles del corredor de concreto, si el área total del corredor es al menos de 2 500 m2 y a lo más de 3 600 m 2. 48. Para el campo en el ejercicio 16 de la Sección 2.3, determine gráficamente los anchos posibles de la

2.7

zona con surcos, si al menos dos terceras del campo serán aradas y cuando mucho la cuartas partes. 49. En el ejercicio 55 de la Sección 2.4, deten^. gráficamente las posibles longitudes de los i!? de los cuadrados a cortar, si el volumen de I* jas de hoja de lata deberá ser al menos de 75^ y cuando más de 86 pulg3. 50. En el ejercicio 56 de la Sección 2.4, detenu* gráficamente las posibles longitudes de los

de los cuadrados a cortar, si el volumen delasqJ jas de cartón deberán ser a lo más de 110cn5|2 lo menos de 122 cm 3.

ECUACIONES Y DESIGUALDADES QUE IMPLICAN VALOR ABSOLUTO

OBJETIVOS

//

1. Resolver algebraicam ente ecuaciones que involucran valor absoluto. 2. Resolver gráficam ente ecuaciones que involucran valor absoluto. 3. Resolver algebraicam ente desigualdades que involucran valor absoluto. 4. Resolver gráficam ente desigualdades que involucran valor absoluto. 5. A prender teorem as acerca del valor absoluto. 6. M o strar que u na desigualdad que involucra valor absoluto es equivalente a o tra m ás sim ple. 7. A prender la desigualdad del triángulo.

Tanto las ecuaciones como las desigualdades que comprenden« absoluto se encuentran frecuentemente en Cálculo, por lo que apro* a resolverlas ayuda a comprender ciertos conceptos en un curso Cálculo. Para resolver una ecuación que involucra valor absolu*0« aplica la definición de la Sección 1.1,1a cual establece que el val® soluto de un número real denotado por | a | , está dado por \a \—a

si a > 0 si a < 0

Recordemos que en la Sección 1.1, sobre la recta numérica es la distancia del origen al punto a, sin considerar el sentido. 1 j

.7 ECUACIONES Y DESIGUALDADES QUE IMPLICAN VALOR ABSOLUTO 2.7

127

do o derecho. Véase la Figura 2.48, donde a es positiva, y la Figura 2.49 donde a es negativa.

Î ú

a>0

► EJEMPLO 1

FIGURA 2.48 -H ------- .i. 0

h a a

Encuentre algebraicamente el conjunto solución de la ecuación | 3jc + 5 | = 9

<0

Compruebe las soluciones en una graficadora.

FIGURA 2.49

Solución

La ecuación dada se satisface si

3jc + 5 = 9 y

'

x

Resolución algebraica y gráfica de una ecuación qu e contiene valor absoluto

/ \

o

- ( 3 * + 5) = 9

3x = 4

-3 * - 5 = 9 -3 *

.

14

y

14

FIGURA 2.50

y = | 3x + 5 | - 9 y se traza la gráfica. Las intercepciones x de la gráfica se muestran en la Figura 2.50 y están de acuerdo con las soluciones encontradas - y y <

► EJEMPLO 2

Resolución algebraica y gráfica d e una ecuación que involucra valor absoluto

Encuentre algebraicamente el conjunto solución de la ecuación I 2x - 3 | = | 7 - 3jc |

Compruebe las soluciones gráficamente.

Solución

La ecuación dada se satisface si H *>j 1

y = | 3x + 5 J - 9

.1

[-8,5] por [-10,10]

t 3 El conjunto solución es -y } Para comprobar las soluciones en una graficadora se hace

to

v ;

2* + 3 * = 7 + 3

o

2x - 3 = - ( 7 - 3r) 2x - 3 = - 7 + 3 *

5x - 10

2x - 3 * = - 7 + 3

x = 2

—x — - 4

El conjunto solución es (2, 4).

128

CAPÍTULO 2

ECUACIONES Y PESIOUALPAPES

Para comprobar las soluciones se consideran y¡ = I 2x - 3 ¡

y

y2 = | 7 - 3x\

Las gráficas de estas dos ecuaciones están trazadas en la Figura 2ji Ambas intersectan el eje x en los puntos donde x = 2 y x = 4; estasat luciones están de acuerdo con las soluciones encontradas algebra** mente. [ - 5 ,5 ] por [ - 1 , 10]

I 2 x ~ 3 I y yt ~ \ 7 - 3 x

FIGURA 2.51

Se iniciará la discusión sobre las desigualdades que comprenda valor absoluto resolviendo una desigualdad gráficamente.

>


Para resolver la desigualdad | 2x - 7 | - 9 < 0 de manera gráfica, se define y

- 5 ,1 0 ] por [ - 1 0 ,1 0 ] y = I 2x - 7 l,j- 9

FIGURA 2.52

- | 2x - 7 | - 9

la gráfica trazada se muestra en la Figura 2.52. Se desea detennát cuándo y < 0 , es decir, cuando la gráfica de la ecuación está debaji eje x. De la Figura 2.52 se observa que esto ocurre si -1 < x < 8. Por tanto, el conjunto solución es el intervalo abierto ( - 1, 8).

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 La desigualdad del ejemplo ilustrativo 1 es equivalente a | 2x - 7 | < 9 Esta forma proporciona otro método gráfico para resolver la desigu^ dad. Considere

[ - 5 ,1 0 ] por [ -1 0 . 10] y, — I 2x —7 | y y , = 9

FIGURA 2.53

yi = | 2x - ' 1 = 9 Las gráficas de y, y y2 trazadas en el mismo rectángulo de inspecoflj aparecen en la Figura 2.53. Observe que la gráfica para y, está deb^ de la gráfica para y2 cuando -1 < x < 8 . Como en el ejemplo ilustran'" el conjunto solución es el intervalo abierto ( - 1, 8). Antes de resolver algebraicamente una desigualdad que compF de valor absoluto, se considerará una propiedad adicional del valor ¡ soluto.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Suponga que se tiene la desigualdad Ix\ < 3

i

2.7

la

Figura 2 1

t = 4 ; estagj

las a lg e b ra

o Ul < 3 FIGURA 2.54

e c o m p re ^


129

Esta desigualdad establece que sobre la recta numérica real, la distan cia del origen al punto x es menor que 3 unidades; esto es, que -3 < x < 3. Pof tanto, x está en el intervalo abierto (-3, 3). Véase la Figura 2.54. Es evidente que el conjunto solución de la desigualdad | x | < 3 es [x | -3 < x < 3}. Ahora se demostrará que éste es el caso. Debido a que | x \ = x si x ^ 0 y | x | * -x si x < 0, el conjunto solu ción de la desigualdad | x | < 3 es la unión de los conjuntos {jc | x < 3 y j c > 0 }

y

{jr|-x<3yjt<0}

Observe que el primero de estos conjuntos es equivalente a [x | 0 £ x < 3}t y el segundo es equivalente a {x | -3 < x < 0} porque -x < 3 es equivalente a x > -3. Por tanto, el conjunto solución de | x | < 3 es {x| 0 < x < 3} U {*| - 3 < x < 0} {jc| —3 < x < 3} En el ejemplo ilustrativo anterior, comparando la desigualdad dada y su conjunto solución se concluye que la desigualdad |x | :a determini stá debajo de < x < 8. Por

<3

es equivalente a

-3 < x < 3

De manera más general si b > 0, |x |

es equivalente a

-b

La prueba de este enunciado es exactamente la misma que la discusión dada en el ejemplo ilustrativo 3, si se sustituye 3 por b. donde b > 0. Por tanto, si en lugar de x se tiene una expresión algebraica E y b > 0, entonces la desigualdad. |E |

es equivalente a

-b < E < b

( 1)

Este enunciado es válido si el símbolo < se sustituye por < r la designé

► EJEMPLO 3 ie

Resolución algebraica de una desigualdad que implica valer absoluto

m sp e c c i

Encuentre algebraicamente y muestre en la recta numérica real el con junto solución de la desigualdad del ejemplo ilustrativo 1.

e s t á deh

>ilustrativo

Solución

La desigualdad

| 2x - 7 [ < 9 es equivalente a

j u e c o m p ii d e l valor*1

- 9 < 2x - 7 < 9 -9 + 7 < 2 * < 9 + 7 - 2 < 2 x < 16

< x < 8 ^ G U R a 2.55

Por tanto, el conjunto solución es el intervalo abierto (-1, 8) el cual se muestra en la Figura 2.55. -4

130

CAPITULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

>


Considere la desigualdad 1*1

x >2

FIGURA 2.56

\x \ >2 Esta desigualdad establece que en la recta numérica real, la disia^ del origen al punto x es mayor que dos unidades; esto es, ya sea¿y! 0 x < -2. Por tanto, x se encuentra en (-oo, -2) U (2, +oo). y¿ast. Figura 2.56. Así, es evidente que el conjunto solución de | x | >2# {x \ x > 2} U [x \ x < -2 ). A continuación se utilizarán 1« propiedades del valor absoluto para demostrar que ésta es la situación De la definición de | x | , el conjunto solución de la desigual^ 1 x I > 2 es la unión de los conjuntos [x | x > 2 y x > 0 }

y

[x\-x> 2yx< 0]

El primero de estos conjuntos es equivalente a {jc | jr > 2}, yd segundo es equivalente a { jc | x < - 2 }, debido a que -x > 2 es equiva lente a x < -2. En consecuencia, el conjunto solución de | x | >2es U | jr > 2 } U { x | x < - 2 }

«

Si compara la desigualdad dada y su conjunto solución coad ejemplo ilustrativo anterior, observa que la desigualdad |x | >2

es equivalente a

x > 2 o x < -2

De manera más general si b > 0, \ x \ >b

es equivalente a

x > b o x < -b

La prueba de este enunciado es idéntica a la discusión realizadacao ejemplo ilustrativo 4, si el número 2 se sustituye por b, donde en lugar de x se tiene una expresión algebraica E y b > 0, entonces!» desigualdad E >b

es equivalente a

E > b o E <- b

Es decir que el conjunto solución de la desigualdad | E | > fres* unión de los conjuntos solución de las desigualdades E> byE<^' De la expresión (1), | E | b no es equivalente a niBÍ**1 desigualdad continua. La expresión (2) es válida si el símbolo > se sustituye pot** símbolo < se reemplaza por <¡.

► EJEMPLO 4

R e s o l u c i ó n a l g e b r a i c a y g r á f i c a d e una d e s i g u a l d a d q u e I m p l i c a v a l o r ab so lu to

. Encuentre algebraicamente y muestre en una recta numérica conjunto solución de la desigualdad

2.7


131

2

Verifique las soluciones en una graficadora. Solución El conjunto solución de la desigualdad dada es la unión de los conjuntos soluciones de las desigualdades. 2

3 * - 5 2» 3

2x - 15 > 9 2x > 24 x > 12

FIGURA 2.57

2

r

- 5 < -3

2x - 15 < - 9 2x < 6 x < 3

Así, el conjunto solución es {x | x £ 3 ] U {* | x > 1 2 ] , o con notación de intervalo (-oo, 3] U [12, +oo). En la Figura 2.57 se muestra el con junto solución sobre la recta numérica real. Para verificar las soluciones, se considera xm 5

La Figura 2.58 muestra la gráfica de esta ecuación trazada en una graficadora. Observe que la gráfica intersecta o se encuentra arriba del eje x, es decir y > 0 , cuando x está en (-oo, 3] U [ 12, + oo), lo cual está de acuerdo con el resultado obtenido algebraicamente. -4

[0 ,15] por [-5,5]

I2 ym \ 3 * - Í FIGURA 2.58

El

Los siguientes teoremas acerca del valor absoluto son útiles en Cálculo.

TEOREMA 1

Si a y b son números reales, entonces I ab | = | a | • | b |

\ a b \ = V { á b )2

V V ¿2 V r f-V T 2 Ia\ r\b\


TEOREMA 2

Si a / b son números reales, y b * 0, entonces 1a 1

a b

1b \

La prueba es similar a la del Teorema 1 y se deja como unejercí—-i ció ( véase el ejercicio 49). •h En Cálculo, frecuentemente se requiere sustituir una desigual djc| con otra equivalente pero más simple, como en el ejemplo siguiente.

► EJEMPLO 5 m

D em o stra ció n d e q u e una desigualdad que im p lic a v a lo r ab so lu to es equivalente o otro m á s sim p le

Demuestre que la desigualdad | (3jc + 2) - 8 | < 1

Solución (3x

es equivalente a

| x - 2 1
Las desigualdades siguientes son equivalentes + 2) - 8 | < i 1 3* - 6 | < 1

| 3(jc -- 2 )| < 1 | 3 | U - 2| < 1 3| x - 2 | < 1 1

u [l*y

- 2|

El teorema siguiente, llamado desigualdad del triángulo se

I áx frecuentemente en la demostración de teoremas en Cálculo.

TEOREMA 3

La desigualdad del triángulo

S \ a y b son números reales, entonces | a + M £ | a | + 1M

En el ejercicio 50 se pedirá que se demuestre la destgu triángulo. El contenido de la desigualdad del triángulo se prCi> el siguiente ejemplo ilustrativo con cuatro casos particulares.

2.7


>

13 3


Si a = 3 y b = 4, entonces \ a + b\ = | 3 + 4 | | a\ + | b\ = | 3 | + |4 | 7|

=3 + 4 = 7

Si a = -3 y b = 4, entonces | a + ¿>| '=

| a\ + \b \ = | “ 3 | + | 4 |

3+ 4 1 1|

=3 + 4 = 7

Si a = 3 y

= -4 , entonces

\a + b\ =

\a \ + \ b \ = | 3 | + | —4 1

3 + (-4 )| —1 1

=3 + 4

1 Si a

=

-3 y

= 7

= -4 , entonces

|a+fe ji

- 3 + (-4 )| —7 1

| a | + | * | = | - 3 | + | —4| =3 + 4 = 7

= 7

EJERCICIOS

2 .7

En los ejercicios 1 a 14, encuentre algebraicamente el conjunto solución de la ecuación y compruebe las solucio nes de manera gráfica.

l \ x - 5| * 4 |3y - g| s 4

4. | 4 / — 9 1 =*= 11

5. |4jc + 5 | m 15

6. | 8 - x | = 4

2. | 2x + 3 1 = 7

13. | 3/ 14. I x ■

2 | =<2

I

Xl

En los ejercicios 15 a 22, resuelva gráficamente la de sigualdad y escríbala con notación de intervalos. Veri fique de manera algebraica las soluciones y muestre el conjunto solución en la recta numérica real.

^ 17 - 2wI = 9 *• |3 * - 2 | a j 2x + 3 | 1* - 4| * I 5 - 2 * |

11. l i l i

U ~ 3

- 7

10. | 5y | = | 6 - y | 12.

12x + 1 -------- r | x — 1

« 3

15 | x | s 5

16. | x | > 6

17. \x - 1 1 > 7 19. |x — 5 1 S 3

20. | 3x - 4 | s 2

21. | 2 x - 7| < 9

22. | 3x - 4) 2r 2

18. | x + 11 < 5

_______________

134

CAPÍTULO 2


En los ejercicios 23 a 30, encuentre algebraicamente el conjunto solución de la desigualdad y escríbalo con notación de intervalos. Muestre el conjunto solución en la recta numérica real. Verifique de manera gráfica las soluciones encontradas. 23. | 7 - 2* | > 9

24. 6 < | 4x + 7 1

25. 4 6

En los ejercicios 47 y 48, verifique la desigualdaddelul % guio para los valores de a y b. 47. (a) a = 5 y b =3 7 (c) a m - 5 y b - 7

30. 1 2 - H

En los ejercicios 31 a 36, demuestre que las dos desigualdades son equivalentes. 31.

| (2jc — 3) —9 | < 1; | x - 6 |

3 2 . | (2jc + 3 ) - 1 1 <

1; | x +

1 1

<5 <

35. | ( i x - 5 ) + 7 | < J ; | x + 4 |

<¿

36. | (?x

<§

38. | y 2 - 10| ^ 6

39. 1t2 - 5/1 < 6

40. | x 2 - 3x -

41. | x 2 - 171 > 8

42. ¡ x 2 + x - 4 | > 2

1] < 3

En los ejercicios 43 a 46 resuelva la ecuación gráfica mente. Verifique la solución de manera algebraica. Su gerencia: aplique la igualdad I a i = i a 2 y use el método de la Sección 2.4 para resolver ecuaciones que contengan radicales.

u

+

44. ¡x + 3 | +

1*1

-

3

= 6

45. | 2x + 11 * 3 - \ 2x1 46. ix - 11 ♦ ix + 1\ * 8

(d) a = ~ \ y b = _I

50. Demuestre la desigualdad del triángulo. Sugem. cía: primero pruebe que - I a I £ a Si I a I

y

- I b I < b < U|

Después aplique el resultado del ejercicio SI del¡ Sección 2.5 y la expresión (1) de esta sección,
52. Si 1x - 11 < | y | y - 11 < i entonces

37. | x 2 - 5 | < 4

-

- i

51. Si |x - l l < -ry |y + 1| < ^.entonces

En los ejercicios 37 a 42, encuentre algebraicamente el conjunto solución de la desigualdad y escríbalo con notación de intervalos. Verifique de forma gráfica las solu ciones.

1*

b =

- I y ¿

49. Demuestre el Teorema 2.

// *

34. | (5jt — 2) — 3 1 < 5 ; | x — 1 1 < 7 5

« .

(b) a =

{ 1

1) + 2 | < ¿ ; | x + 4 |

(d) a = -5 y b = .7

48. ( a ) a s > y f r s l (c) a =

29. | § - 2jc| > i

(b) a m 5 y b a -7

<4 53. Demuestre: si a y b son números reales, entones l a - f c l s s l a l + l f cl . Sugerencia: escribtl-l como a + (—b) y emplee la desigualdad del tii^| guio. 54. Demuestre: si a y b son números reales, entonce ¡

l a l - l f c l s l a - f c l . Sugerencia: considae ^ 1 a 1 = l (a - b) + b | y use la desiguaktoí* triángulo. 55. Explique por qué las desigualdades 1a I >tHj y a 2 > b2 son equivalentes. Emplee este hechoi» explicar cóm o se puede resolver algebraican**®! desigualdad 1 2x - 1 I > I x - 3 1 de la ntisn#^ ñera en que se resolvió la desigualdad cuadril* en el ejemplo 1 de la Sección 2.6. 56. Remítase al ejercicio 55 y explique cómo 1**1 gualdad presentada en este ejercicio puede t®* verse gráficamente de la misma manera eO*J resolvió la desigualdad cuadrática en el ejefl'T jti de la Sección 2.6. S

REVISIO N DEL CAPITULO 2

13 5

DEL CAPITULO 2

I

VISIÓN RETROSPECTIVA Se mostró cómo encontrar la solución real exacta de una ecuación lineal. También se resolvieron ecua ciones lineales en una graficadora. En el inicio de esta sección se planteó una ecuación como modelo matemático de una situación práctica. Se encontraron las soluciones exactas reales o imaginarias de ecuaciones cuadráticas por factorización, raíz cuadrada y la fórmula cuadrática. A partir del discriminante de una ecuación cuadráti ca se determinó la naturaleza de sus raíces. Se aplicó la graficadora para ilustrar que las solucio nes reales de las ecuaciones cuadráticas son las intercepciones * de la correspondiente parábola. Primeramente se aplicó el proceso de completar cuadrados para deducir la fórmula cuadrática, y demostrar cómo esta idea se emplea en Cálculo para escribir ciertas expresiones algebraicas en formas reconocibles. 2J

Se discutió detalladamente cómo obtener una ecuación como modelo matemático del enunciado de un problema. Se resolvió la ecuación algebrai ca o gráficamente y se completó el problema re dactando una conclusión que respondiera las preguntas del problema.

2.4

Se resolvieron algebraica y gráficamente ecuacio nes que contenían radicales, ecuaciones en forma cuadrática y ecuaciones polinomiales particulares de grado mayor que 2 .

2.5

Se inició la discusión de desigualdades estable ciendo las propiedades de orden: de tricotomía y transitiva, se mencionaron las propiedades de < empleadas para obtener desigualdades equivalen tes con el objeto de resolver desigualdades. En esta sección, se pusó énfasis en resolver desigual dades lineales.

2.6

El método algebraico de resolución de desigual dades polinomiales implicó el uso de tablas para mostrar el signo de una expresión polinomial en un intervalo particular. Se discutieron dos méto dos para resolver gráficamente desigualdades po linomiales.

2.7

Se resolvieron algebraica y gráficamente ecuaciones y desigualdades que implican valor absoluto. Se discutieron en esta sección tres teoremas, inclu yendo la desigualdad del triángulo, muy impor tante en Cálculo.

►EJERCICIOS DE REPASO I En los ejercicios 1 y 2, encuentre el conjunto solución | déla ecuación y muestre la solución en una graficadora. 1. 4x - 11 = 0

2. 2x + 9 = 0

ces reales, verifique que la parábola no intersecte al eje x. 8. 5 * 2 = x

7. 4 9 * 2 - 64 = 0

\ En los ejercicios 3 a6, resuelva la ecuación de dos for|* ia r (i) con la graficadora, (ii) algebraicamente. 9x

9. * 2 - 3* - 10 = 0

10. 5 * 2 + 17* - 12 = 0 12.

13. 2x2 -

4x - 5 = 0

14. 4 * 2 + 2x + 1 = 0

15. 3jc2 -

2* + 2 » 0

4 . 5x - 6 ¿ 2 +

5. 2(5x - 4) « 11 - (3

+ 2*)

| 6. 5(2/ - 4 ) * 11 - (3 + 2/)

16. (3x +

10)(* - 3) * 2* +

*£/i los ejercicios 7 a 16, encuentre el conjunto solución de la ecuación. Trace la gráfica de la parábola correslpondlente en la graficadora. Si la ecuación tiene raíces reales verifique que las intercepciones x de la parábola pean las raíces de la ecuación. Si la ecuación no tiene raí

! + 2x - 1 * 0

11. 10*2 + 7* - 6 = 0 y 6* + 5 = 23

En los ejercicios 17 a ción de la ecuación. 17.

y - 2

14

42, encuentre el conjunto solu 18.

136

CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

=0

19.

20.

22. 23. 24.

2x - 2

2x - 4

x + 11 x +

3x - 2

do de un binomio; también escriba las expresé sultantes como el cuadrado de un binomio. ^

=0

2w + 3

w2 - 3 w 2 - 6w + 5

w

8x

( b ) y 2 + 3y

(fyxUÚ

(b) x 2 - f *

(c) x*+

50. (a) w 2 +. lOw

I ■2

r - 1

49. (a )x ‘

En los ejercicios 51 y 52, encuentre el discñMnaih determine la naturaleza de las raíces de la ecuac^ cuadrática; no resuelva la ecuación. Trace latr¡L de la parábola correspondiente en la graficadora rifique su conclusión.

+ 3 - 1

25. V 2x + 5 + x = 5

51. (a) 4x2 + 20x + 25 = 0 (c) 5f - 3 = 4 /2

(b) 8x2 - i§,¿

27. V 3/ + 7 + V / + 6 = 3

52. (a) 15x2 - 19x = 10 (c) 9x2 - 42* + 49 = 0

(b) 2y2= .*

28. Vy + 2 + Vy + 5 - V 8 - y = 0

En los ejercicios 53 a 56, estime en valor aproximado de la raíz indicada hasta centtá«

26.

Vx + 2 + 2 + x = 0

29. x 3 - 8 = 0

30. x 4 - 8x2 = :,9

32. 8z3 + 27 = 0

54. x 3 t- 5x2 + 7x + 8 = 0: la raíz negativa

33. (x2 + 3x)2 - 3(x2 + 3x) - 10 = 0

55. x 4 + X'

= 0

38. 3x m + 5 = 2 x ',/3 39. | 2* + 5 I = 7 41.

w+1

m3

40. | 3y - 4 | = 8 42. I 4 * - 1 I * I

: 0: la raízpoatña

- 4x3 - 4x2 + 17x 0: (a) la rápi sitiva más grande; (b) la raíz positivamáspequá

k k s ejercicios S. ÍÉ coplelar el cuad i En los ejercicios 57 a 78, encuentre algebrtacmani conjunto solución de la desigualdad: representeét» ■ ■ f c <é &i Iü forme junto solución en notación de intervalos, y nueati m^nmenterc conjunto solución en la recta numérica red el resultado gráficamente.

+ 50 = 0

— 3 5 1y

3x2 - x

5 I

57. 3x - 1 É ü

58. 5x + 7

59. 3x - 2 > 7x + 3

60. 4,v < 8* -7

61.

x + 1

63. - 4 < 1

En los ejercicios 43 a 48, resuelva para x en términos de los otros símbolos.

3 >

x + 2 4

5x < 11

62.

2x + I , 1

64. 7 <

7-Jí

65. - 5 iS 4x ‘ < 7 -3

66. -7 & .4

67. | x + 1 | ^ 2

68. U - 4 | í ‘

69. | 2 * - 5 I < 7

7«. |3í + jI>I

46. x 2 + xy + 2x - 1 = 0

n .f<

72.

47. 6x2 - 2xy

73. x l < 25

74. xJ P

75. 2x2 - 3x > 5

76. 3f

77. 4y ' < 5y2 - 6y

78. x

43. Ax + By + C - 0

44.

1= 4(17

l r ’s K 4 -2 y -x )

56.

37. y ' 2'3 + y~xn - 6

|

53. x 3 + x = 2x2 + 1: la raíz positiva.

31. 36ür4 - 13x2 + 1 = 0

3 4 .6 Íy + i |

JIV

9

lOx

va. ; : ;7U¿. H

45. x 2 ■¥ b 2 = 2bx + a 2

x ♦ y - 1

48. rsx2 + i 2x + rtx + #/ * 0 £>i /oí ejercicios 49 y 50, agregue un término a la ex-

presión algebraica con el objeto de obtener el cuadra

\ %

\ x

%

_________________ REVISIÓN DEL CAPÍTULO 2

x 2 + 74»

En los ejercicios 79 y 80, encuentre algebraicamente el conjunto solución de la desigualdad y escríbalo en no[ tacion de intervalos. Verifique las soluciones de forma gráfica. 79. I x 2 - 3x - 7 I < 3

80. I y 2 - 26 I £ 10

nminaate {

la ecuación

la grifa

í

adora y -í(.

En los ejercicios 81 a 86, emplee el concepto de com pletar el cuadrado para escribir la ecuación en una de ¡as formas siguientes, donde x y y representan varia bles y las otras letras constantes;

- 10* = 3

(x-h)2 + ( y - k ) 2 = r 2(.x - h ) 2- A p ( y - k )

= 9 - 4j

(x-h)2 , ( y - k ) 2 _ 1 a2 b2 '

ñcaéoné entésims

(x-h)2 a2- •

{ y - k ) 2_ . b2

81. y = A(x2 - 6x - 8 ) 82. x 2 + y 2 + 8x - 2y 83.

Ay2

x 2 +

-

8 (x -

8 = 0

2y

2)

-

84. 4x2 - 9 y 2 = 4(17 - 2x - 9y)

iva o sitrv a

la raízj*>equeña. COmeníei-

me ele» muestre!

85.

r% 9+2*

6

-

5

y2

+

Ax

-

20y

-

68 s 0

86. x 2 = 8(4 ~ 2y - x)

|/Mj En los ejercicios 87 y 88, utilice el concepto de liLa completar el cuadrado para escribir la expre sión indicada en la forma requerida, donde a y b son constantes y p es un entero positivo.

Venfup* 2x * 1

2 x 2

^¡6x2 + 32jc + 12 pJ(x-h)2 - a 2 W. V-9x2 + 18x - 8 p va2 - (x - h ) 2

en la forma

en la forma

JJtój En los ejercicios 89 y 90, muestre que las dos 'c-M desigualdades son equivalentes.

3 2í *1

89. I (4* + 3) - 11 | < i ; | x - 2 | < | 1(2*-5

¿ 6

91. El costo del alquiler de una limousine manejada por un chofer es de $180 por el automóvil y el cho fer, más 52 centavos por milla de recorrido. ¿Cuál es el costo de un viaje de (a) 30 millas; (b) 40 mi llas y (c) 100 millas?; (d) si y dólares es el costo de on viaje de x millas, escriba una ecuación que im plique a y y x. fe) Trace la gráfica de la ecuación del inciso (á) y a partir de la gráfica estime el costo de un viaje de 83 millas. íf) Compruebe algebraica mente el costo estimado en el inciso (e). (g) A par-

I 1 0 **

♦ »>

< f ;

t \ < §

90.

> U

) - 7 |

\ x -

I

137

tir de la gráfica del inciso (e) estime la distancia de un viaje que costó $205, (h) compruebe algebraica mente lo estimado en el inciso (g). 92. Si 5 es la suma de los primeros n números natura les consecutivos, entonces S - j n (n + 1). (a) Re suelva la ecuación para n en términos de S y (b) encuentre n cuando S es 435.

En los ejercicios 93 a 102, resuelva el problema encon trando una ecuación como modelo matemático de la si tuación. Complete el ejercicio redactando una conclusión. 93. Un grupo de cuatro estudiantes decide compartir el costo del alquiler de un instructor para una sesión de repaso antes de un examen. Si dos estudiantes más se unen al grupo, el costo para cada estudiante se reduce en $ 6 . ¿Cuál es el costo por estudiante si el grupo sólo es de cuatro? 94. Una compañía obtuvo dos préstamos, los cuales hacen un total de $30 000 y tiene tasas de interés de 16 y 12%, respectivamente. El interés total para los dos préstamos igualó el interés que la compañía debería pagar si la cantidad completa hubiera sido prestada al 15%. ¿Cuál fue la cantidad de los dos préstamos? Estime la solución de la ecuación en la graficadora. Resuelva la ecuación algebraicamente. 95. El radiador de un automóvil contiene 8 litros de una solución que es 10% de anticongelante y 90% agua. Se piensa reemplazar la solución con una que contenga 25% de anticongelante drenando parte de la solución y sustituyéndola con anticongelante puro. ¿Qué cantidad de anticongelante pufo deberá ser agregada? Estime la solución de la ecuación en la grafícadora. Resuelva la ecuación algebraicamente. 96. Para obtener una solución que contenga 35% de glicerina se agregó una solución de glicerina al 55% a 25 litros de otra solución de glicerina al 28%. ¿Qué cantidad fue agregada de la solución de glicerina al 55%? Estime la solución de la ecuación en la graficadora. Resuelva la ecuación algebraicamente. 97. Para formar una caja abierta que tenga un volumen de 400 cm3, de una pieza cuadrada de hoja de lata, se cortan, en cada esquina, cuadrados de 4 cm de lado. Determine la longitud del lado de la pieza ori ginal de hoja de lata. Estime la solución de la ecua ción en la grafícadora. Resuelva la ecuación algebraicamente.

j3 a

CAPÍTULO

'4 cm 4 cm

4 cm ¡4 cm

2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES 101. Una protección rectangular cerrada se fabrica^ mo de grueso uniforme en los lados, tapa y f Las dimensiones internas son 4 pie x 4 pjg* ^ se utilizan en la construcción 450 pie3 de Empleando la graficadora, encuentre, aproximan centésimos de pie, el grueso de los lados.

4 cm, 4 cm

4 cm 4 cm!

98. Un granjero aró una franja alrededor de un campo rectangular que tiene 400 varas de longitud y 240 varas de ancho. La mitad del campo se encontraba arada cuando el granjero terminó. Determine el ancho de la franja. Estime la solución de la ecua ción en la graneadora. Resuelva la ecuación al gebraicamente.

240 varas

102. Un recipiente esférico hueco, cuya capacidada 800 cm 3, tiene un radio interno de 6 cm. E» pleando la graficadora, halle, aproximando a» tésimos de centímetro, el grueso de la pareddd recipiente. La fórmula para el volumen de una& r ,r 4 1 feraes

99. Suponga que la pieza cuadrada de hoja de lata del ejercicio 97 tiene un área de 400 cm 2. Con la grañcadora determine, aproximando a centésimos de centímetro, la longitud del lado del cuadrado que será cortado para que la caja tenga un volumen de 400 cm 3. 100. Un recipiente metálico abierto, que tiene un volu men de un galón (231 pulg3), se fabrica cortando cuadradlos del mismo tamaño de las esquinas de una pieza rectangular metálica de 14 por 18 pulg, y se doblan hacia arriba los lados. Con la graficadora determine, aproximando a centésimos de pulgada, la longitud de un lado de los cuadrados cortados en cada esquina.

En los ejercicios 103 y 104, resuelva el problema* contrando una desigualdad como modelo matetá0 de la situación. Complete el ejercicio redactan*1** conclusión. 103. El perímetro de un rectángulo no debe ser n#

que 30 cm y su largo debe ser de 8 cm. ¿Cufl* intervalo de variación para el ancho? 104. Un estudiante deberá tener una calificación

23

*

.

pulg'_

y

medio de al menos 90 en 5 exámenes Para0^ ( una calificación de A en un curso particular, calificaciones del estudiante en los cua,r0 ros exámenes son 93, 95, 79 y 88, ¿cuél * ser la calificación del quinto examen pará calificación del curso sea A?

■4:

fe

140

CAPÍTULO 3

3.1

RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN PE EJES

RECTAS OBJETIVOS m

1. Definir la pendiente de una recta. 2. D ibujar rectas y determ inar sus pendientes. 3. Definir la ecuación de una gráfica. 4. A prender la form a de punto-pendiente de la ecuación de una recta. 5. A prender la form a de pendiente-intercepción de la ecuaciónde una recta. 6 . A prender el teorem a sobre pendientes de rectas paralelas, 7. A prender el teorem a que im plica pendientes de rectas perpendiculares. 8 . E ncontrar las ecuaciones de rectas que tienen determinadas propiedades.

Recordemos del ejemplo 4 de la Sección 2.1, que si el costo de alqaler de un avión de una plaza en una aerolínea privada es de $310pa el avión y el piloto, más 75 centavos por milla de vuelo, y si) dolara es el costo de un viaje de * millas, entonces y = 0.75* + 310

[0,1 000] por [0,1 000]

y = 0.75*+310 FIGURA 3.1

La Figura 3.1 muestra la gráfica de esta ecuación trazada en el rea» guio de inspección [0,1 000] por [0,1 000], con divisiones de 100a los ejes. La gráfica parece ser una recta. Que la gráfica sea verdad» mente una recta se establece en el Teorema 2 de esta sección. Obsen* que por cada 100 unidades de incremento en x, y aumenta en 75unid} des o de manera equivalente, por cada unidad de incremento dejc,)*¡ aumenta en 0.75 unidades. Así que la razón de cambio en y respectodi cambio en * es la constante 0.75. Esta razón constante es llamadabj pendiente de la recta. Ahora se procederá a llegar a una definioá formal de la pendiente. Sea / una recta no vertical y P\(xx, y¡) y P2(x2, y2) dos puntosdis tintos sobre /. La Figura 3.2 muestra la mencionada recta. En laíip*1 R es el punto (x2, yi) y los puntos P t, P2 y R son los vértices de triángulo rectángulo; además, PXR = x2 - xt y RP2 = y2- yi- El y2- y, proporciona la medida del cambio en la ordenada de P\i ‘^ puede ser positivo, negativo o cero. El número *2- xxda la medida cambio en la abscisa de P{ a P2, y puede ser positivo, o negativo-^ bido a que la recta / es no vertical, x2 * x,, y por tanto, x2~x{nop** ser cero. Sea

P.U., m —

FIGURA 3.2

y2 ~ .Vi

(II

X2 “ * X\

El valor de m calculado de esta ecuación es independiente de I* ción de los puntos Pt y P2sobre /. Para demostrar esto, suponf* j

3.1

RECTAS

14!

eligen otros dos puntos distintos F¡(xVi y ,) y P2(x2, y2) de /, y se calcula el número m mediante ( 1), ?a-y. m = —------i r

—

Se demostrará que m = m. V¡¿o$£ la Figura 3.3. Los triángulos P{R P2y P{ RP2 son semejantes, así que las longitudes de lados correspondien tes son proporcionales. Por tanto

«na

y2

y¡

y2-y\

x2

X\

Xí

“

Xi

o bien, FIGURA 3.3

aiqu¡OpK

ióíare

m —m Así que el valor de m calculado de (1) es el mismo número, no impor tando cuáles dos puntos de / son elegidos. Este número m es llamado la pendiente de la recta.

Pendiente

DEFINICIÓN

Si P¡(x¡, >i) y Pi{x2, y2) son dos puntos cualesquiera y diferentes sobre la recta /, la cual no es paralela al eje y, entonces, la pen diente de /, representada por m, está dada por ectac

00 a

yi

-

yi

adfl* yserft unida-

hJ* adaií picióí

¡S■$] IP& te * Í00' h ja *

l>

Si se multiplican ambos lados de la ecuación anterior por x2- x¡, se obtiene

y2 - y¡ = m(x2 - xi) Se deduce de esta ecuación que si se considera una partícula movién dose a través de una recta, el cambio en la ordenada de la partícula es igual al producto de la pendiente y al cambio en la abscisa.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Si / es la recta que pasa a través de los puntos />,(2, 1)y P2(4, 7) y mes la pendiente de l, entonces

Con referencia a la Figura 3.4, si la partícula se está moviendo a través de la recta /, el cambio en la ordenada es tres veces el cambio en la

142

CAPÍTULO 3

RECTAS. PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN PE EJES

/

abscisa. Esto es, si la partícula está en / >2(4-» 7) y la abscisa se menta en una unidad, entonces la ordenada aumenta tres unidades partícula está en el punto P 3(5, 10). De forma similar, si lapa¿? está en P\(2, 1) y la abscisa disminuye en dos unidades, entonces la denada disminuirá en seis unidades, y la partícula está en P\(0, '• Si la pendiente de la recta es positiva, entonces como la abscisas un punto se incrementa, la ordenada también aumenta, tal comotepuede ver en la recta mostrada en la Figura 3.5. Una recta cuya diente es negativa aparece en la Figura 3.6. Para esta recta, a medj^ que la abscisa de un punto se incrementa, la ordenada disminuye. Si una recta es paralela al eje x, entonces y2 = y,, así que lapeo. diente de esta recta es cero. Si una recta es paralela al eje y, x: ák ^ que la fracción ^

^

está indeterminada, en virtud de que nojepu&

de dividir entre cero. Por esta razón, las rectas paralelas al ejeyestá excluidas en la definición de pendiente. Es decir, que la pendientei una recta vertical no está definida.

► EJEMPLO 1 FIGURA 3.6

G ráfica a m a n o d e u n a recta que pasa por d o s p u n to s y determ in a ció n de su ptndienft

Para cada par de puntos, dibuje la recta que pasa a través de ellos yfc termine su pendiente: (a) A(3, 7) y B (-2, -4 ) ; (b) A (-2, 5) y fl(2, -3): (c) A (-3 ,4 ) y B(5 ,4 ); (d) A(5, 3) y B{5, -1 ). Solución Las rectas aparecen en la Figura 3.7 de (a) hasta (d) Sí calcula la pendiente a partir de la definición. y

3 .1

R EC T A S

1

(d)

(c) FIGURA 3.7

(a) m =

- 4 - 7 - 2 - 3

- 3 - 5 (b) m =

2 - ( - 2)

-1 1 -5 5

(c) m =

4 - 4 5 -

(-3 )

O 4

= -2

= O

(d) Debido a que la recta es vertical, la pendiente no está definida. Si se intenta emplear la definición para calcular la pendiente, se ob tiene cero en el denominador. *

>

EJEMPLO IL U S T R A T IV O 2

(a) Suponga que una recta contiene el punto

2) y su pendiente es j . Para d eterm inar o tro pu n to so b re la re cta , se in ic ia e n el p u n to P , y debido a que la pendiente es j , se deben d e sp la z a r cu atro u n i dades a la derecha y tres unidades h acia arriba. L o an te rio r d a el punto Q(9, 5) que tam bién se encuentra so bre la recta. L a re c ta se dibuja pasando a través de los puntos P y Q, com o se m u e stra en la Figura 3.8. (b) Si una recta pasa a través del punto P(5, 2) y tiene u n a p e n d ie n te negativa - 1 . Se obtiene otro punto sobre la re c ta d e sp la z á n d o se a partir de P cuatro unidades a la derecha y tres u n id ad es h acia aba jo. Lo anterior nos da el punto <2(9, - 1 ) . L a F ig u ra 3.9 m u e stra la recta que pasa por los puntos P y Q. <

144

CAPÍTULO 3


En la Sección 1.5 se definió la gráfica de una ecua explicará qué se entiende por la ecuación de una gráfica

DEFINICIÓN

La ecuación de una gráfica

La ecuación de u n a gráfica es una ecuación que es satisfecha por las coordenadas de los puntos y solamente los puntos que& tán en la gráfica.

A partir de la definición anterior, se puede decir que laecuaci de una gráfica tiene las propiedades siguientes: 1. Si un punto P(x, y) está sobre la gráfica, entonces sus coordenafc satisfacen la ecuación. 2. Si un punto P{x, y) no se encuentra sobre la gráfica, entoncesJ coordenadas no satisfacen la ecuación. A fin de obtener la ecuación de una recta, se utiliza el hecboc que el punto / viUi* y\) y la pendiente m determinan una recta úna; Sea P(x, y) cualquier punto sobre la recta excepto P,. Entonces, deMq a que la pendiente de la recta que pasa por P, y P es m, a partirdt definición de pendiente se tiene

y - y\ ----—= m x - x, o, equivalentemente

y - yx * m(x - *,) Esta ecuación se llama la form a punto-pendiente de la ecuadóH una recta. Esta forma proporciona la ecuación de una recta si un to P|(jt|, >j) y la pendiente de la recta son conocidos.

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos M < B(-2, 3), primeramente calcule m. 3 - (-3 ) m = ^ 2^ T 6

-8

3 4

3 .1

RECTAS

14 5

Si emplea la forma de punto-pendiente de la ecuación de la recta con A como se tiene

V -

(-3 )

=

- - ( *

4

-

6)

4 y + 12 = ~ 3 x + 18 3 x + 4y — 6 = 0 Si B se considera como P,, en la forma punto-pendiente, se obtiene

-

|

4v -

3x + 4y

3 =

--[x -

12 =í * t3 x -

(-2)]

6

6 = 0

la cual, por supuesto, es la misma ecuación.

-4

Si en la forma de punto-pendiente se elige el punto particular (0, b), que es el punto donde la recta intersecta al eje y para el punto (jc,,

y,), se tiene y - b = m(x - 0)

<=>

y = mx + b

El número b , que es la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje y es la intercepción y (u ordenada al origen) de la recta. Conse cuentemente, la ecuación anterior se llama forma pendiente-intercepción de la ecuación de una recta. Esta forma es especialmente útil debido a que nos permite determinar la pendiente de una recta a partir de su ecuación. También es importante porque expresa explí citamente la coordenada y de un punto de la recta en términos de su coor denada x.

► EJEM PLO 2

D e te rm in a c ió n d e la p e n d ie n te d e u n a recta a p a rtir d e su e c u a c ió n

Encuentre la pendiente de la recta que tiene la ecuación siguiente 6x + 5y - 7 = 0

Solución

Resuelva la ecuación para y.

5 y « —6 * + 7 6

' “

7

" v l + 5

14 6

C A P ÍT U L O ^

R E C T A S. P A R Á B O L A S , C IR C U N F E R E N C IA S Y T R A S L A C IÓ N DE EJES

Esta ecuación es de la forma pendiente-intercepción donde m =.< b = 1. Por tanto, la pendiente es 1

En virtud de que la pendiente de una recta vertical noestádef da, no puede aplicarse la forma punto-pendiente para obtener sueaJ ción. En su lugar, se utiliza el teorema siguiente, el cual tambiénu, i proporciona la ecuación de una recta horizontal.

'i TEOREMA 1

(i) La ecuación de una recta vertical que tiene a a como suínter* I cepción x x

-

I a

(ii) La ecuación de la recta horizontal que tiene a b como su ídtercepción y es y = b

O

(a, 0 )

D em ostración (i)

FIGURA 3.10

La Figura 3.10 muestra la recta vertical que intersecta el eje delaj x en el punto (a , 0). Esta recta contiene sólo los puntos que ueaal la misma abscisa. A sí que P(x, y) es cualquier punto sobre lare# si y sólo si x = a

(ii) La recta horizontal que intersecta el eje y en el punto (0, b )¥ ‘ ce en la Figura 3.11. Para esta recta m - 0. Por tanto, de laM pendiente-intercepción la ecuación de esta recta es

y

y - b

(0 ,¿ )

O

I

Se ha demostrado que la ecuación de una recta no vertical forma y = mx + b, y la ecuación de una recta vertical es de la fonna Dado que cada una de estas ecuaciones es un caso especial de la^ ción de la forma Ax + By + C = 0

. Íjí|i FIGURA 3.11

donde A, 11 y C son constantes, y A y tí no son a la vez cero, * j que cualquier recta tiene una ecuación de la forma (2). Lo mv este hecho está dado por el teorema siguiente.

i

3 .1

RECTAS

TEO R EM A 2

La gráfica de la ecuación Ax + By + C = 0 donde A, B y C son constantes, y donde A y cero, es una recta.

no son ambas

La demostración de este teorema se deja como un ejercicio. Véase el ejercicio 55. Como la gráfica de (2) es una recta, se le llama ecuación lineal; es la ecuación general de primer grado en * y y. A fin de trazar una recta en una grafícadora, primero es necesario escribir su ecuación en la forma pendiente-intercepción y proceder como se hizo en la Sección 2.1. Para dibujar una recta a mano, se ne cesita únicamente determinar las coordenadas de dos puntos sobre la recta, localizar los puntos y dibujar la recta. Dos puntos cualesquiera serán suficientes, pero por conveniencia normalmente se eligen los dos puntos donde la recta intersecta a los ejes.

>


Para dibujar la recta que tiene la ecuación Ax - 3y = 6 primero se determina la intercepción x, o sea a, y la intercepción y, o sea b. AI sustituir y por 0 en la ecuación se determina que a m Si sustituye x por 0, obtiene b = -2. Así, la gráfica de la recta se muestra en la Figura 3.12. < Una aplicación del concepto de pendiente está dada en el teorema siguiente.

TEOREM A 3

Si l\ y h son dos rectas no verticales distintas, las cuales tienen pendientes mi y mi, respectivamente, entonces l\ y li son parale las si y sólo si m\ = mi.

D em ostración

Dadas las ecuaciones de l\ y /i, respectivamente,

y = m, x + b¡

y

y = m2x + b2

CAPITULO 3

RECTAS, PARÁBOLAS. CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN DE EJES

La Figura 3.13 muestra las dos fectas interseetando el eje y en log tos fl,(0, b¡) y fl2(0, b2). Dado que la recta vertical x = 1 intersecí* en el punto A ,(l, m, + b,) y a l2 en el punto A2( 1, mj + b2). Entone»^

»

I B xB2\ = b2 - bi 02(0. *2)

| A(A2 1 = (rr^ + b2) - (mt + .

y

Las dos rectas son paralelas si y sólo si lasdistancias verticales | fijy | A, A2 | son iguales; es decir, que /, y l2 sonparalelas si y sóloP b2— b\ — (m 2 + b-¡) — (mi + b\) b2— b\ = m2 + b2 — mi — b\

FIGURA 3.13

mi =. m 2 Así, l{ y /2 son paralelas si y sólo si

>

=n


Siendo ¿, la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y 5(3. - 6) ym, esh' pendiente de /,; y si /2 es la recta que pasa por los puntos C(2, - 5)j ¡ 0 ( - \ , 7) y m2 es la pendiente de l2. Véase la Figura 3.14. Entonces mj -

- 6 -2 3 -

1

-8 2 -1 -1 1 1 V

14 \ 1 1 1 | t i '

-4

m2 =

7 - (-5 ) _1_ 2 12

-3 = -4

Debido a que m, = m2, basándonos en el Teorema 3, se puede deá que /, y l2 son paralelas. iI \V c a - 5 ) \ \ B ( 3 ,-6 )

1

FIGURA 3.14

Dos puntos distintos determinan una recta. Tres puntos distint# I pueden o no estar sobre la misma recta. Si tres o más puntos están« j la misma recta, se dice que son colineales. De lo anterior, se afinní que tres puntos, A, B y C, son colineales si y sólo si la recta que p$ por los puntos A y B es la misma que la recta que pasa a través dete puntos B y C. Debido a que la recta que pasa por A y B y la rectal I pasa de B y C ambas contienen el punto B, éstos estarán en la mis® recta si y sólo si sus pendientes son iguales.

► EJEMPLO 3

E m pleo d e la s p e n d ie n te s para determinar tres p u n to s d a d o s son colineales

Determine, por medio de las pendientes, si los puntos A(-3. -4), W» y C(7, 2) son colineales. Solución Si m, es la pendiente de la recta que pasa por Ay f es la pendiente de la recta que pasa por B y C, entonces

-4) ( “ 3)

m, = —

■ ( -

1)

7 -2

_ 3 ~ 5 De aquí, m, = Por tanto, la recta que pasa por los puntos A y B y la recta que pasa por B y C tienen la misma pendiente y además contie nen al punto común B. Así, ambas son la misma recta, y en consecuen cia, A, B y C son colineales. < A continuación, se enunciará y demostrará un teorema relativo a las pendientes de dos rectas perpendiculares.

TEOREMA 4

Dos rectas no verticales /i y l2 cuyas pendientes son mi y m 2, res pectivamente, son perpendiculares si y sólo si m\ m2 = —1.

X = 1 y l

^

2( 1, m 2

Dem ostración Elija los ejes coordenados de tal forma que el origen es el punto de intersección de /, y l2. Véase la Figura 3.15. Dado que ni /, ni l2 son verticales, ambas intersectan la recta x = 1 en los puntos P¡ y P2, respectivamente. La abscisa de ambos puntos P x y P2 es 1. Sea y la ordenada de P {. Como L contiene los puntos (0, 0) y (1, y) y su pen diente es m,, entonces - o 1

1 -0

Así, y = m,. De manera semejante, se demuestra que la ordenada de P2 es igual a m2. Del teorema de Pitágoras y su inverso, el triángulo P {OP2es un triángulo rectángulo si y sólo si * * * * * 3.15

\OP2 l2 = \P\P2\2

(3)

Al aplicar la fórmula de distancia, se obtiene ¡Ó P ¡¡2 = (1 - O)2 + (m, ~ O)2 = 1 + m ,2

\Ó P i\2 * 0 ° ) 2 + (W2 - O)2 = 1 + m 22

\ K P i \ 2 * (1 - l )2 + (m2 - m ,)2 — m 2 — 2rri\m2 + m 2 Si se sustituye en (3), se puede concluir que P xOP2 es un triángulo rec tángulo si y sólo si

ISO

CAPÍTULO 3


2 = —2m\mi m im2 = —1

|

Porque m lm2 = -1 es equivalente a 1

m, = ------y m2

1

m2 =

— m.

El Teorema 4 postula que dos rectas no verticales son perpendicular«! si y sólo si la pendiente de una de ellas es el recíproco negativo^ |j pendiente de la otra.

► EJEMPLO 4

Determ inar si la ecuación de una recta que p a sa por un punto dado es paralela o perpendicular a una recta dada

Dada la recta / que tiene la ecuación

f fjgcm

5jc + 4y - 20 = 0 hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, —3) y es (a)pa ralela a /, y (b) perpendicular a l.

Solución Primero se determina la pendiente de / escribiendok ecuación en la forma pendiente-intercepción. Al resolver la ecuacii MtjerámJa para y, se tiene ^b'Bykiem 4y = 5 x + 20 ■5* La pendiente de l es el coeficiente de x, el cual es - 1. (a) La pendiente de una recta paralela a / es también - Dadoque^ recta requerida contiene el punto (2, -3), si se utiliza la fornaa* punto-pendiente, se obtiene y

( - 3) =

2)

--Á x

4

4y + 12

^H3), t e » » » * 1%

5* + 10

5* + 4y + 2

(b) La pendiente de una recta perpendicular a / es el recíproco ne?® vo de - 1 el cual es A partir de la forma de punto-pendieni8ecuación de la recta que pasa por (2, -3) y con pendiente (-3) * - U 5 y + 15 5y - 23

Ax 0

: ** •’«i ^

2) >■ N i , ° 2l H , N ,N

3 .1

► EJEMPLO 5

RECTAS

15 1

D em ostración d e q u e cu a tro p u n to s d a d o s son los vértices d e un re ctá n g u lo

Demuestre por medio de las pendientes que los cuatro puntos A(6, 2), B( 8 , 6 ), C(4, 8 ) y D(2 ,4 ) son los vértices de un rectángulo. Solución Véase la Figura 3.16, donde /, es la recta que pasa por A y /?, /2 es la recta que pasa pro B y C, /3 es la recta que pasa por D y C, y /4 es la recta que pasa a través de A y D; mj, m2, m3 y m4 son sus pendien tes respectivas. mi =

6 - 2

/w->

8 -4

4 -2

4 -2

2 - 6

Dado que m, = m3, /j es paralela a /3; y debido a que / ^ = m4, ^ es parale la a /4. Como m, ^ = -1 , /, y /2 son perpendiculares. Por tanto, el cuadri látero tiene sus lados opuestos paralelos, y un par de lados adyacentes perpendiculares. En consecuencia, el cuadrilátero es un rectángulo. a

FIGURA 3.16

10. (a) La pendiente es -2 y pasa por el punto (-4,3); (b) pasa por los puntos (3,1) y (-5,4).

En los ejercicios 1 a 6, dibuje la recta que pasa por los puntos Ay B y determine la pendiente de la recta. 1. (a) A( 1, 4),

B(6 , 5) (b) A(2, - 3 ) , B ( - 4, 3)

2. (a) 4(5, 2),

f l ( - 2, - 3 ) (b)

4. ía) >4(7, 0),

4 -8

mi =

= 2

= 2

3. (a) A ( - 4, 3), £(0, 0)

8 - 6

11. (a) La pendiente es - 1 y la intercepción y es 1;

¿ ( - 4 , 2), fl( 8 , 5)

(b) A (|, |) , f í ( - 1 , §)

B(0, - 6 ) (b) A ( - j , g), fl(f, - 5)

(b) la pendiente es 2 y la intercepción x es 12. (a) La pendiente es | y la intercepción y es -4; (b) la pendiente es -2 y la intercepción x es 4.

5. (a) >4(1,5), B( - 2 , 5) (b) A ( - 2.1, 0.3), £(2.3, 1.4)

13. (a) Pasa por el punto (1, -7) y es paralela al eje x; (b) pasa por el punto (2 , 6 ) y es paralela al eje y.

6. (a) A(3, - 5 ) , fl(3, 4)

14. (a) Pasa por el punto (-5, 2) y es paralela al eje x; (b) pasa por el punto (-3, - 4) y es paralela al eje y.

ib) ¿(5.2, -3 .5 ), fl(-6 .3 , -1 .4 )

los ejercicios 7 y 8, dibuje, la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m. 7. ía) P(3, 4), m = §

(b) /*(—!, 6 ), m =

ía) PÍ4, 3), m = 2

(b) /»(2, - 5 ) , m =

foí ejercicios 9 a 20, e n cu en tre u na ecu a ció n de la recia que sa tisfaga la s co n d icio n es.

9- (a) La pendiente es 4 y pasa por el punto (2, -3); ib) pasa por los puntos (-1, -5) y (3, 6 ).

15. (a) La intercepción x es -3 y la intercepción y es 4; (b) pasa por el origen y bisecta el ángulo entre los ejes en el primero y tercer cuadrante. 16. (a) La intercepción x es 5 y la intercepción y es - 6 ; (b) pasa por el origen y bisecta el ángulo entre los ejes en el segundo y cuarto cuadrantes. 17. Pasa por el punto (-2, 3) y es paralela a la recta cuya ecuación es 2x - y - 2 = 0 . 18. Pasa por el punto (1,4) y es paralela a larecta cuya ecuación es 2x - 5y + 7 * o.

1 5 2 __ CAPÍTULO 3


19. Pasa por el punto (2, 4) y es perpendicular a la rec ta cuya ecuación es x - Sy + 10 = 0.

35. (a) (2 , 5), ( - 1 , 4 ), (3, - 2 ) (b) (0, 2), ( - 3 , - 1 ) , (4, 6 )

20. Pasa por el origen y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 2x - 5y + 6 = 0.

36. (a) ( - 1 , 2 ), ( 7 ,4 ) , ( 2 , - 1 ) (b) (4, - 9 ) , (4, 1), (4, 8 )

En ¡os ejercicios 21 a 24, encuentre ¡a pendiente y la intercepción y de la recta que tiene la ecuación dada y dibuje la recta.

37. Demuestre mediante pendientes que los cuatro puntos (0, 0), ( - 2 , 1 ), (3,4) y (5,3) son los véjw de un paralelogramo (cuadrilátero con los i*u opuestos paralelos).

21. (a) x + 3y - 6 « 0

(b) Ay - 9 * 0

22. (a) 8* - Ay = 5

(b) 3y - 5 = 0

38. Compruebe por medio de pendientes que loscuar,, puntos (-4 , -1), (3, |) , (8, -4) y (2, -9) so

23. (a) I x - 8 y = 0

(b) x = 6 - 2 v

24. (a) x = 4y — 2

(b) Ax = 3v

vértices de un cuadrilátero trapezoidal (cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos).

En los ejercicios 25 y 26, encuentre la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos, escriba la ecuación en la forma pendiente-intercepción; y dibújela 25. (1,3) y (2 ,-2 )

26. (3 ,-5 ) y (1,-2)

27. Demuestre que las rectas que tienen las ecuaciones 3* + 5y + 7 = 0 y 6 x + lOy - 5 = 0 son paralelas, y dibuje sus gráficas. 28. Compruebe que las rectas que tienen las ecuacio nes A x - 3 y + 12 = 0 y 8x - 6y + 15 = 0 son parale las, y dibuje sus gráficas. 29. Demuestre que las rectas que tienen las ecuaciones 2 x - 3 y + 6 = O y 3 x + 2 y - 12 = 0 son perpendicu lares, y dibuje sus gráficas. 30. Pruebe que las rectas que tienen las ecuaciones 2y = 10 - 5jc y 5y = 2x + 20 son perpendiculares, y dibuje sus gráficas. 31. Encuentre el valor de k tal que las rectas cuyas ecuaciones son 3x + 6ky = 7 y 9kx + 8y = 15 sean

paralelas. 32. Halle el valor de ¿ tal que las rectas cuyas ecuacio nes son 3kx + 8y =* 5 y 6y - Akx = -1 sean perpen

diculares. En los ejercicios 33 a 36, determine por medio de las pendientes si los puntos son colineales. 33. (a) (2, 3), i - 4 , - 7 ) , (5, 8 ) (b) (2, - 1 ) , (1, 1). (3, 4) 34. (a) (4, 6 ), ( l , 2). ( - 5 , - 4 ) ib) í - 3 , 6 ), (3, 2). (9, - 2 )

39. Pruebe por medio de pendientes que los trespunta (3, 1), (6 ,0 ) y (4,4) son los vértices de untriángulo rectángulo, y encuentre el área del triángulo

I .U i .son las iflíer

. „-rfnlascoordei tnángulo. < ^lecuacióBfe 1: W B iC .

40. Demuestre por medio de pendientes que los puma ( - 6 , 1), (-4 , 6 ), (4, -3 ) y (6,2) son los vértices* i íarespe®al triánguloi un rectángulo. s a o poá'i determinarse

pvitildoAal ladof(

41. El fabricante de un artículo de primera necesidad tiene un gasto total a la semana de 3 000 dólares; Oce laaplicacióndel i un costo de manufactura de $25 por unidad. (a)S a lasramones de lasti x unidades se producen semanalmente y y dolare •ayos«ticesson(3,-J es el costo semanal total, escriba una ecuaciónqw relacione a x y y. (b) Dibuje la gráfica de la ana dón del inciso (a). 42. El gasto total de un fabricante consiste en $20pr j unidad manufacturada y un gasto general de fatacación diario fijo, (a) Si el costo total paraprodut» I 200 unidades en un día es $4 500, determiKd | gasto general de fabricación fijo diario. (WS1 unidades se producen por día y y dólares esel cwto total diario. Escriba una ecuación que invota* a x y y. (c) Dibuje la gráfica de la ecuación dela0so (b). 43. Haga el ejercicio 42, considerando ahora qued de manufactura es $30 por unidad y el costo . para producir 200 unidades en un día es $6 6$ 44. La gráfica de la ecuación que relaciona las ^ raturas en grados Celsius y en grados ^ una recta. El agua se congela a 0°C y a ^ agua hierve a 100°C y 212°F. (a) Si y renheit corresponden a x grados Celsius, ecuación que involucre a x y y. (b) Dibuje ^ ca de la ecuación del inciso (a), (c) ¿

°*JETlV05

3.2

- los CUSljr n los vértice»

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

temperatura Fahrenheit correspondiente a 20°C? (d) ¿Cuál es la temperatura Celsius correspondien te a 86°F?

50. Emplee la explicación del ejercicio 48 para hallar las ecuaciones de las tres alturas del triángulo del ejercicio 49.

45. Encuentre la ordenada del punto cuya abscisa es -3 y que es coiineal con los puntos (3, 2) y (0, S).

En los ejercicios 51 a 54, utilice la geometría analítica para demostrar el teorema dado de geometría plana.

46. La ecuación

51. Las diagonales de un paralelogramo se bisectan mutuamente.

□n los ladc. u e loscuatr

-9) soo )fr (tuadriláteif s tres punto

s un tnánp iángulo. te lo s punios s vértices á

ra necesi&i

00 dólares-

nidad. (aj£ y y ádm

153

donde a y b son las intercepciones x y y, respecti vamente, es la forma intercepción de la ecuación de una recta. Explique cómo puede obtenerse esta forma a partir de la forma pendiente-intercepción y la relación entre la pendiente y las intercepciones. 47. Si se conocen las coordenadas de los tres vértices A, B y C de un triángulo, explique cómo podría en contrarse la ecuación de la mediana que va de A al lado formado por B y C. •?. 48. Con respecto al triángulo del ejercicio 47, explique cómo podría determinarse la ecuación de la altura que va del lado A al lado formado por B y C. 49. Utilice la explicación del ejercicio 47 para encon trar las ecuaciones de las tres medianas del triángu lo cuyos vértices son (3, -2), (2,4) y ( - 1 , 1).

52. Los segmentos de recta que unen puntos medios consecutivos de cualquier cuadrilátéro forman un paralelogramo. 53. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisectan mu tuamente, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 54. Las diagonales de un rombo (un paralelogramo equilátero) son perpendiculares. 55. Demuestre el Teorema 2: La gráfica de la ecuación Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes y donde A y B no pueden ser simultáneamente cero, es una recta. Sugerencia: considere dos casos 5 * 0 y B = 0. Si B * 0, demuestre que la ecuación es la de una recta que tiene una pendiente -A1B y la in tercepción y es -C/B. Si B = 0, demuestre que la ecuación es la de una recta vertical.

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3.2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS OBJETIVOS

1. D ib u jar y tra z a r las gráficas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas en el mismo sistema coordenado. 2. D eterm inar gráfica y algebraicamente si los sistemas de ecuaciones son (i) consistentes e independientes, (ii) inconsistentes, o (til) dependientes. 3. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución. 4. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación. 5. Resolver un sistema de ecuaciones lineales que contiene a los recíprocos de las incógnitas. 6. Resolver problem as que tienen un sistema de ecuaciones lineales como modelo matemático.

154

CAPÍTULO 3

RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN D I EJES

Muchas aplicaciones de las matemáticas conducen a más de una ción con diversas incógnitas. Las ecuaciones resultantes son llai« ¡ sistem a de ecuaciones y el conjunto solución consiste de todaM* ' luciones comunes para las ecuaciones en el sistema. En la Sección 3.1, se ha demostrado que la gráfica de una en* ción de la forma ax + by = c es una recta y todos los pares ordenados (jc, y) que satisfacen laec* ción son las coordenadas de puntos que están sobre la recta. Ungu j ma de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y escribirse como í a ¡ x + b \ y = Ci [¿gjf + b¿y — C2 donde a lt b„ c¡, a2, b2 y c 2 son números reales. La llave colocadicnd 1 lado izquierdo se utiliza para indicar que las dos ecuaciones formana i sistema. Si un par ordenado (jc, y) satisface un sistema de dos erny^ nes lineales, el punto correspondiente a (x, y) deberá estar en las dnI rectas, que son las gráficas de las ecuaciones. Para resolver, con la grañeadora, un sistema de dos ecuacionest i neales, trace las gráficas de ambas rectas en el mismo rectángulodtI inspección. Si la intersección de las rectas es un punto, lascoord»] das de tal punto forman el par ordenado que es la solución dei sisteu

>


Un sistema particular de dos ecuaciones lineales es f2 x +

y = 3

1.5* + 3y = 10 La Figura 3.17 muestra las gráficas de las dos rectas del sistema, ftk I figura, aparentemente ambas rectas se intersectan en un punto. E*1 punto (-1, 5) puede ser verificado por sustitución en las ecuación! como sigue: 2 ( —1) + 5 = 3 5 ( - l ) + 3(5) | £-10.10] por [-1 0 ,10J 2x+y = 3 y 5* + 3y=10

FIGURA 3.17

10

El único par ordenado que es común en los conjuntos solución dos ecuaciones es (-1, 5). Por lo que el conjunto solución del sis«* es {(-1,5)}.

>


Considere el sistema ( 6 x , 7 3y = 5 12* -

y = 4

3.2

SISTEMAS PE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

^ 55

Como se puede ver en la Figura 3.18, las rectas que tienen estas ecua ciones parecen ser paralelas. Es sencillo demostrar que las rectas son paralelas escribiendo cada una de las ecuaciones en la forma pendien te-intercepción y = mx + b%al despejar y en cada ecuación, se obtiene 6 x — 3y — 5

2x — y = 4

—3y «= —6 x + 5 y 6x- 3y= 5 y 2 x - y = 4

FIGURA 3.18

-y = ~ 2 x + 4

5

y = 2x - 4

3

Para cada ecuación la pendiente m = 2. Las dos rectas no son la misma debido a que las intercepciones y, - 1 y - 4 , no son iguales. Por tanto, las rectas son paralelas y no tienen un punto en común. El conjunto solución del sistema es 0 . 4

>


Para el sistema ( 3 x + 2y = 4 W

+ 4y = 8

las gráficas de ambas ecuaciones es la misma recta. Véase la Figura 3.19. Este hecho es evidente cuando las ecuaciones se escriben en la forma pendiente-intercepción. Al despejar y en cada una de las ecua ciones, se tiene í - 5 , 5 ] por [ - 5 , 5 ] l x + 2y = 4 y 6x + 4 y = 8

3 x + 2y = 4 2y = - 3 x + 4

6 x + 4y = 8 4y 8 - 6 x + 8

FIGURA 3.19 y = -X x + 2

yÉ

+ 2

Tres posibilidades acerca de los conjuntos solución d e dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Posibilidad 1. La intersección de los dos conjuntos solución contiene exactamente un par ordenado, como en el ejemplo ilus trativo 1. Las gráficas se cortan exactamente en un punto. Para este caso, se dice que las ecuaciones son consistentes e inde pendientes. Posibilidad 2. La intersección de los dos conjuntos solución es el conjunto vacío, como en el ejemplo ilustrativo 2. Las gráficas son rectas paralelas. Dada esta posibilidad, se dice que las ecua ciones son inconsistentes.

M

15 6

CAPÍTULO 3

RECTA S . PARÁBO LAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN PE E JIS

Posibilidad 3. Los conjuntos solución de las dos ecuaciones son iguales, como en el ejemplo ilustrativo 3. Las gráficas son la m ism a recta. Para este caso, se dice que las ecuaciones son de. pendientes.

Cuando dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son consista, tes e independientes, com o en el ejemplo ilustrativo 1, la solución& tenida de las gráficas es únicamente una aproximación, debido aqie^ lectura de números a partir de gráficas depende de la mediciói pg, obtener soluciones exactas de sistem as de ecuaciones lineales, sedeberán em plear métodos algebraicos. Estos métodos consisten en ree& plazar el sistem a dado por un sistem a equivalente, el cual tiene d m ism o conjunto solución. Si cualquier ecuación en un sistem a dado se reemplaza por un ecu ació n eq u iv ale n te, el sistem a resu ltan te es equivalente al sis tem a dado. Además, si cualesquiera de las dos ecuaciones de un sisteai dado son intercam biadas, el sistem a resultante es equivalente al ss-j tem a dado. Un m étodo para encontrar el conjunto solución de un sistemade dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es llamado método des» titución. Para cualquier par ordenado (*, y) en el conjunto solucióade un sistema de ecuaciones, las variables x y y en una de las ecuación representan los mismos números com o las variables x y y en laotraa» ción. Por tanto, si se reem plaza una de las variables en unadefat ecuaciones por su igual de la otra ecuación, se tendrá un sistema equn» lente. El siguiente ejemplo muestra el procedimiento.

► EJEMPLO 1

Solución d e un s is te m a d e ecuaciones lineok p o r e l m é to d o d e sustitución

Utilice el m étodo de sustitución para encontrar el conjunto soludíi del sistem a en el ejem plo ilustrativo 1: Í2 * +

y =

3

15* + 3y = 10

Solución AI resolver la prim era ecuación para y, se obtiene sistem a equivalente r

y = 3 - 2 *

15* + 3y = 10 Si sustituye y en la segunda ecuación por su igual 3 - 2x,de la r ecuación, tiene el sistema equivalente

3 .2

S IS T E M A S DE E C U A C IO N E S L IN E A L E S C O N D O S IN C Ó G N ITAS

1 57

Al simplificar la seg u n d a ecuación, resulta

f

y = 3 - 2x + 9 = 1 0

Al d e sp e ja r x en la s egunda ecuación, se obtiene

íy = 3 - 2 * \x = -1 Finalmente, si se sustituye en la primera ecuación el valor de * obteni do de la segunda ecuación, se tiene

Este sistema es equivalente al dado originalmente. De donde el con junto solución es {(-1 , 5)}. 4 Otro enfoque para resolver un sistema de dos ecuaciones linea les se llama m étodo de elim inación. En este método se sustituye una de las ecuaciones del sistema por la ecuación obtenida de la manera siguiente: multiplicando cada ecuación por un número real diferente de cero, y sumando las ecuaciones resultantes. Así, sfe ob tiene un sistema equivalente. (Debe entenderse que “multiplicar una ecuación por un número” significa multiplicar cada lado de la ecuación por el número y “sumar las dos ecuaciones” significa su mar los lados correspondientes de las ecuaciones.) Se eligen los factores de tal manera que al sumar las ecuaciones resultantes se elim ine una de las incógnitas. En el ejemplo siguiente se mostrará el método de eliminación.

► EJE M P LO 2

S o lu c ió n d e u n s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s p o r e l m é to d o d e e lim in a c ió n

Mediante el método de eliminación encuentre el conjunto solución del sistema de ecuaciones del ejemplo 1. S olución

Í2 x +

El objetivo es eliminar una de las incógnitas del sistema y = 3

15* + 3y = 10 Observe que el coeficiente de y es 1 en la primera ecuación y 3 en la segunda ecuación. A fin de obtener una ecuación que no contenga a y, se debe sustituir la segunda ecuación por la suma de la segunda ecuación

RECTAS, PARÁBOLAS# CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN Pe e j k 158

CAPÍTULO A

y -3 veces la primera. Para iniciar, se multiplica ia n ■ por -3 y se escribe el sistema equivalente: Dlera«ciia(^ í - 6 x - 3y = - 9 1 5x + 3y = 10 Al sumar las dos ecuaciones se obtiene el resultado

s,guiente:

—6x - 3y = - 9 5jc + 3y =

10

Con esta ecuación y la primera del sistema original se tiene l te sistema equivalente: e 5I8% Í 2x + y = 3 l - * = 1 Si ahora se multiplican ambos lados de la segunda ecuación por-l obtiene el sistema equivalente:

Enseguida se sustituye x por -1 en la primera ecuación para obtener

C° njUnl° so,uc¡ón es { (- 1, 5 }), el cual concuerdaa»* resultado del ejemplo 1. < dn

ej eniP*os ilustrativos siguientes muestran quépa»** m^toc*o de eliminación si las dos ecuaciones«* son ‘"consistentes o dependientes. 63

tem a

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 El sistema del ejemplo ilustrativo 2 es Í6 a - 3v = 5 12a -

v = 4

3.2

SISTEMAS D E ECUACIONES LINEALES CON POS INCÓGNITAS

1 59

Escríba el sistema equivalente que se obtiene al multiplicar la segunda ecuación por -3 , f

6* - 3y = 5

1 - 6 * + 3y = - 1 2 Este sistema es equivalente al siguiente, se consigue sustituyendo la segunda ecuación por la suma de las dos ecuaciones: f 6* — 3y = 5 1

0 = -7

El conjunto solución de este último sistema es el conjunto vacío 0 de bido a que no existe un par ordenado (*, y) para el cual la segunda ecuación sea un enunciado verdadero. De donde el conjunto solución del sistema dado es 0 . Las dos ecuaciones son inconsistentes. <

>


El sistema del ejemplo ilustrativo 3 es (3x ± 2 v = A [6 * + A y = 8 Si se multiplica la segunda ecuación por - j, se tiene el sistema equi valente f

3* + 2y = 4

1 - 3 * - 2y = - 4 Al sustituir la segunda ecuación por la suma de estas dos ecuaciones, se obtiene el sistema equivalente | 3 * + 2y = 4 I

0 = 0

La segunda ecuación de este último sistema es una identidad, la cual es un enunciado verdadero para cualquier par ordenado (*, y). Por tan to, el conjunto solución del sistema es el mismo que el conjunto solu ción de la primera ecuación. El conjunto solución puede escribirse como {(*, y) J 3* + 2y = 4}. Lasecuaciones son dependientes. Otra manera de indicar el conjunto solución provienede la resolución para * en función de y de la ecuación 3* + 2y = 4, obteniéndose 4 2 * * 3 “ 3y Entonces, el conjunto solución es el conjunto de pares ordenados { | y, y)}. Alternativamente, tomando y como cualquier número

P ^ p ^ p n L A S . CIRCUNFERENCIAS Y T R A S l A C l 6 N

60

CAPÍTULOS.

RkCias,-----

-

real t, x es igual a t -

D E E j |^

y el conjunto solución * «cribe

CQk

El sistema en el ejemplo siguiente, se dice qUe cíprocos de x y y. es ‘âl en^

► EJEMPLO 3

Solución d e un sistem a d e ^ CU0e^ ~ ^ ^ e c ÍD r a c o c Wa *®0t$ 1 ^ . enn los los iw recíprocos d e x« uy ..y

Encuentre el conjunto solución del sistema

4 , 3 - + x ■ y 2 6 V

X

Solución

El sistema se puede representar como

4|; ) + j u r - 4 I ; ) - 4 S

W

Así que el sistema es lineal en u = j y v=

y

Si se hacen las sustituciooaij

el sistema es equivalente a

4 u + 3v = 4 2u — 6v = —3 A fin de resolver este sistema, primero se multiplica la segunda«^ ción por - 2 y se obtiene 4 u +

3v = 4

—4u + 12 c — 6 ia de las dosH Ahora, se sustituye la segunda ecuación por la suma ciones. Se consigue 4u + 3c = 4 l í e = 10 Al resolver la segunda ecuación para v, se tiene ( 4u + 3v = 4

S fig f i

!

3.2

SISTEMA S D E ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

161

Si se sustituye ^ por v en la primera ecuación se obtiene

4w + 3( - ) = 4

U= 3 4m + 2 = 4 <=>

C= 3 4

u = 2

<=>

« =

~

<=>

C= 3 Por tanto, la solución del sistema (II) es u = j y v = |. Para obtener la solución del sistema (I), se sustituyen u y v por - y -, respectivamen te. Entonces \ _ 2

y~3 3

Por lo que el conjunto solución del sistema (I) es {(2, |)} .

a

En el ejemplo 3, las variables son tratadas como — y - . Si cada una de las ecuaciones en el sistema (I) se multiplica por xy (el mínimo común divisor), se obtiene el sistema 4y + 3x — 4xy 2 y — 6x = *—3 xy

(III)

Debido a que 4jcy y -3;cy son términos de segundo grado, las ecuacio nes en el sistema (III) son de segundo grado. Para resolver este sistema para x y y se requiere un procedimiento más complicado que el usado en el ejemplo 3. Observe que (0, 0) es una solución para el sistema (III), mientras que las ecuaciones del sistema (I) no están definidas cuando x = 0 o y = 0 . En las discusiones previas sobre enunciados de problemas, se ob tuvo una sola ecuación como modelo matemático para representar

162

c^ p ít u l o a

»eCTAS ÊyM^ ----

cada una de las incógnitas empleando únicamente „ esta sección se obtendrá un sistema de ecuaciones com¡? mático usando variables diferentes para representarc a d ^ i j cógnitas. Observe que algunos problemas que tienen u ^ í I ecuaciones lineales como modelo matemático, también?S3 sueltos utilizando como modelo matemático una ec*riS? J una sola variable.

► EJEMPLO 4

Resolución d e un problema sistem a d e ecuaciones liZ L u? *** «n m a tem á tico eoi»o

Dos libras de té de la India y 5 Ib de té de China pueden $50.16, y 3 Ib de té de la India y 4 Ib de té de China cum? * ¿Cuál es el precio por libra de cada tipo de té? Solución Debido a que se desea obtener el precio paracafa los dos tipos de té, deberán emplearse dos variables. jc:

y:

el número de centavos en el costo por libra del té el número de centavos en el costo por libra del téde(¿

Dado que el costo de 2 Ib de té de la India más el costo de51detj China es $50.16, se tiene la ecuación

haimmlalO,

mm Clasifiquela mttápnknles, p ta S las ecu Debido a que el costo de 3 Ib de té de la India más el costodeíMj xpéailu, ietermii té de China es $50.88, se tiene la ecuación "*1 punirdelasg¡ 3x + 4y = 5 088 2x + 5y = 5 016

Asi que se tiene el sistema V2x + 5 y = 5 0 1 6 H L 3 ¿ + 4 y = 5 088 *a Pr' mera ecuación por 3 y la segunda pa -v=6

ei sistema equivalente

H p

6 * + 15y = J 5 048

~ 6* ~

8 y » - j o 176 A

e c u a H ^ ,ein te sistema equivalente, la primera ecuación dos ecna •C sistema or*ginal, y la segunda ecuación es I* ecuaciones en el sistema (IV).

2 x + 5 y '=

5 016

7y » 4 872

<=>

<2jr + 5y = 5 016 y = 696

i n

m 0*

+

3 .2

i variable. Cj m odelo una de las :isterna de df, pueden ser r ón lineal ti

SISTEM A S DE ECUACIO NES LINEALES CON DOS IN CÓ GN ITAS___ 16 3

í=>

<=>

2x + 5(696) = 5 0 1 6 y = 696 2x + 3480 = 5 016 y — 696 * = 768

<=>

y m 696 Comprobación: Con x - 768 y y = 696, el número de dólares en el precio de 2 Ib de té de la India es 2(7.68) = 15.36, y el número de dó lares en el precio de 5 Ib de té de China es 5(6.96) = 34.80; 15.36 + 34.80 = 50.16. El número de dólares en el precio de 3 Ib de té de la In dia es 3(7.68) = 23.04 y el número de dólares en el precio de 4 Ib de té de China es 4(6.96) 1 27.84; 23.04 + 27.84 = 50.88.

e n e un

mo modelo

□mprarsep^ sstan $50.}'

Conclusión: El precio por libra de té de la India es de $7.68 y el pre cio por libra de té de China es de $6.96. <

cada unoú

de la India de China. 5 Ib de ié&

to de 4 Ib*

En los ejercicios 1 a 10, trace la gráfica del sistema de ecuaciones. Clasifique las ecuaciones como: (i) consis tentes e independientes, (ii) inconsistentes, o (iii) de pendientes. Si las ecuaciones son consistentes e independientes, determine el conjunto solución del sistema a partir de las gráficas, y verifique la solución sustituyendo los valores en las dos ecuaciones. x - y = 8 2x + y = 1

1.

y = 8 + 2x 6x + 3y = 0 3J 2 * + y — 6 %x = 6y + 9

slaP ^Í sufl*^

5. l

y = 2x

[6* - 3y - 12 = 0

En los ejercicios 11 a 22, encuentre, algebraicamente, el conjunto solución utilizando ya sea el método de sustitución o el de eliminación. Verifique la solución trazando la gráfica del sistema de ecuaciones.

Í5x - 2 y - 5 = 0 12. Í3x + 4 y (3* + y —- 3 = 0 [5x + 2y \4 x + 3y + 6 * 0 Í8x — 3> = 14. 13. [3x - 2y - 4 = 0 ,5x - 2y = 11.

15.

5x- + 3 y = 3 . x + 9y == 2

17.

3x + 4y - 4 = 0 6x - 2 y — 3 = 0

19.

2x — 3 y « — 5x - 4y = 8 4x - 2y - 7

y = 3x — 5 6x - 2v = 10

Sx + 5y % í f i + 3 y ’& - 7

» .

f£3 ‘ + £2 - l x - y .4 3

r18* + 3y - 10 = 0 2jc — 2jr — 5 = 0 20 . j

r2 * - 5y = - 2J 5x + 3v = - 6 y

~6 § |¡ ¡ £ + Z » _!

22 . • 2

1

5 4

’ 5x + 6y = - 5

a 21.

4 = 0 8 = 0

m

y = 3x - 2

2r + 6y = —11 4x - 3y == - 2

9.

ro

10.

3x - y = 1 6x + 5y = 2

IO

9x - 3y * 7

8.

.3 2

■

164

CAPÍTULO 3

RECTAS. PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN DE EJES

En los ejercicios 23 a 26, halle, algebraicamente, el conjunto solución del sistema. 3 í--» y 23. r 7 I4 VJC y

[2 3 - + * 2

24. u 14

2

Í-y 25. x I -6 + 3 u y

14

fl

10

12

y 5

u~ +

y

26. M •7

y 3 3 1 1 y

= 6

= 2

En los ejercicios 27 a 36, resuelva el problema encon trando un sistema de ecuaciones como modelo matemático de la situación. Complete el ejercicio escribiendo la conclusión. 27. Tres libras de té y 8 Ib de café cuestan $39.70, y 5 Ib de té y 6 Ib de café cuestan $47.10. ¿Cuál es el costo por libra de té? ¿Cuál es el costo por libra de café?

galones de agua. Un segundo tanque contiene* Iones de insecticida pero solamente 15 agua. Si se desea tener 7.5 galones de unaueJ de la cual el 20 % sea insecticida, ¿cuántos deberán tomarse de cada tanque? 33. Si una niña trabaja durante 8 min y su hermano!« min, ellos pueden lavar en estos tiempos lasvm. ñas del frente de su casa. También si laniñaim* 12 min y su hermano 10 min, ellos puedenfaki. mismas ventanas. ¿Cuánto tiempo se tomará persona sola para lavar las ventanas? Sume*» Si una persona sola se toma t minutos parareafc, el trabajo, entonces en 1 min la persona puedek cer — del trabajo. 34. Un pintor y su hijo pueden pintar jumos udc*h en 8 h. Si el padre trabaja sólo por 3 h y eucua es ayudado por su hijo, los dos juntos puedencoBfcj tar el trabajo en 6 h más. ¿Cuánto tiempocitólaI cada persona para pintar sola el cuarto? sugerencia para el ejercicio 33.

28. El costo de envfo de un telegrama está basado en una tarifa para las primeras diez palabras y un car go fijo para cada palabra adicional. Si un telegrama de 15 palabras cuesta $11.65 y un telegrama de 19 palabras cuesta $14.57. ¿Cuál es la tarifa y cuál es el cargo fijo por cada palabra adicional?

35. Si se agrega 4 al denominador de una fraocnoi resta 2 al numerador de la misma, la fraccuB» tante es equivalente a ¿Cuál es la fracción0

29. Un grupo de mujeres decidieron contribuir con cantidades iguales para contratar un conferenciante para la reseña de un libro. Si hay 10 mujeres más, cada una deberá pagar $2 menos. Sin embargo, si hay 5 mujeres menos, cada una deberá pagar $2 más. ¿Cuántas mujeres estuvieron en el grupo y cuánto se le pagó al conferenciante?

al denominador se les resta 5, la fracciónresá* es equivalente a ¿Cuál es la fracción?

30. Una mujer tiene cierta cantidad de dinero invertida. Si tuviera $6 000 más invertidos a una tasa 1% me nor, ella debería tener la misma ganancia anual de su inversión. Además, si ella hubiera tenido $4 500 menos invertidos a una tasa 1% más, la ganancia anual de la inversión hubiera sido la misma. ¿Cuánto tenía invertido ella, y cuál era la tasa de inversión? 31. Un químico tiene dos soluciones ácidas. Una con tiene 15% de ácido y la otra contiene 6%. ¿Cuántos centímetros cúbicos de cada solución deberán utili zarse para obtener 400 cm3 de una solución al 9% de ácido? 32. Un tanque contiene una mezcla de insecticida y agua, en el tanque hay 5 galones de insecticida y 25

36. Si tanto el numerador como el denominadordea fracción se incrementan en 5, la fracciónresoloB es equivalente a Sin embargo, si al numerad»!

37. ¿Cómo se podría determinar algebraica yfio mente si dos sistemas de dos ecuaciones fe* con dos incógnitas son equivalentes? 38. ¿Cómo se podría determinar gráficamente a*** un sistema de tres ecuaciones lineales cood**. cógnitas es consistente o inconsistente? Aplique la respuesta del ejercicio 38 a los SI&I& los ejercicios 39 a 42 trazando las gráfica*b ecuaciones en el mismo rectángulo de inspcccn^* ^ consistentes o inconsistentes las ecuaciones? respuesta algebraicamente; para demostrar H* . inconsistentes resuelva un sistema de dos 1 | ecuaciones y compruebe que ningún miembro ^ junto solución satisface la tercera ecuación' mostrar que son consistentes, holk 1 solución.

3.3

¿

i as

I 2x + y = 10 42. | 3 jc - Ay = - 5 14x - 3y = 0

40.

J h

PARÁBOLAS

-3

p a r á b o l a s ía n o 15 i venia-

irabaja avarias r á cada ren d o , realizar e d e ha-

3.3 o b j e t iv o s

1. 2. 3. 4. 5.

Definir una parábola. D ibujar parábolas a p artir de sus ecuaciones. T ra z a r parábolas a p artir de sus ecuaciones. A prender las propiedades de las parábolas. E n co n trar las propiedades de las parábolas a partir de sus ecuaciones. 6 . H allar las ecuaciones de parábolas a partir de sus propiedades. 7. Resolver problem as que tienen una parábola como modelo matemático.

En la Sección 1.5 se presentaron parábolas. Las gráficas de las figuras 1.32 y 1.35 de esa sección son parábolas. Estas curvas tienen muchas aplicaciones importantes. Se emplean en el diseño de espejos parabóli cos, reflectores y faros de automóvil. La trayectoria de un proyectil es una parábola, si se considera que el movimiento se lleva a cabo en un plano y se desprecia la resistencia del aire. Los arcos tienen algunas veces apariencia parabólica; y el cable de un puente suspendido puede colgar con la forma de una parábola. Las antenas para la recepción de señales de televisión provenientes de satélites son también de forma parabólica. En la definición de parábola se hace referencia a la distancia de un punto a una recta. Se entiende por tal distancia la longitud del segmen to de recta perpendicular del punto a la recta. Véase la Figura 3.20, donde | PQ | es la distancia del punto P a la recta /.

DEFINICIÓN

La parábola

Una parábola es el conjunto de todos los punios situados en un plano que equidistan de un punto y una recta fijos. El punto fijo se denomina foco y la recta fija, directriz.

Ahora se derivará la ecuación de una parábola a partir de su defi nición. Se elige el eje y como perpendicular a la directriz, de modo que contenga al foco. El origen se toma como el punto sobre el eje y a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz. Observe que se eligie ron los ejes (no la parábola) de una forma especial. Véase la Figura 3.21.

—:------

166

CAPÍTULO 3

RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓ N DE EJES

Sea p la distancia dirigida OF. El foco es el punto F(o p) rectriz es la recta cuya ecuación es y = - p . Un punto P(x, la parábola si y sólo si P es equidistante de F y de la directriz 0 Q(x, - p ) es el pie de la recta perpendicular que va de P a la entonces P está sobre la parábola si y sólo si

0

\FP\ = \ QP \ Dado que \ FP

V

jc2

+ (>■ - p f

y

| QP\ = V(jc - x)2 + (y + p f el punto P está sobre la parábola si y sólo si V jc 2 +

(y — p)2 = V ( y + p)2

Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación para obtener

x 2 + y 2 — 2 py + p 2 = y 2 + 2 py + p2 x 1 = 4py Se establecerá este resultado de manera formal.

directriz

Ecuación d e u n a p a rá b o la

y = ~P

La ecuación de una parábola que tiene su foco en (0, p) y comc directriz la recta y = - p es

\\

x 2 = 4py

F{0,p)\

4

i ¿ 2 * 4 py , p < o

FIGURA 3.22

En la Figura 3.21, p es positiva; sin embargo, p puede serncpn* debido a que es la distancia dirigida OF. La Figura 3.22 muesin*| ! parábola para p < 0 . De las figuras 3.21 y 3.22 se puede ver que para laecuack*r'I 4py la parábola abre hacia arriba si p > 0 y hacia abajo sí/kO .^* ta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje• parábola. Los ejes de las parábolas de las figuras 3.21 y 3.22 s o w j La intersección de la parábola con su eje se denomina vértice, el cu^n supuesto, está a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz-B tice de las parábolas de las figuras 3.21 y 3.22 es el origen.

>

EJEMPLO ILU S TR A TIV O 1

La gráfica de la ecuación x 2 = lOy

RGURa3.24

__________________________________________3 «3 PARÁBOLAS

5

[ / (5 p - r _j

*-4

/

5

y = —~

directriz

1«

es una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje es el eje y. Dado que 4p = 10, p = | > 0, y por tanto la parábola abre hacia arriba. El foco está en el punto F(0, f), y la ecuación de la directriz es y = Dos puntos sobre la parábola son (5, |) y (—5, |). Éstos son los extre mos de una cuerda* que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola. Esta cuerda se conoce como el lado recto de la parábola. En el ejercicio 41 se le pedirá que demuestre que la longitud del lado recto de una parábola es 14 p \ . Cuando se dibuja una parábola es de utilidad trazar los extremos del lado recto. La Figura 3.23 muestra la parábola, el foco, la directriz y el lado recto. 4 La parábola de la Figura 3.23 con tres puntos P¡, P2 y Pj en ella se muestra en la Figura 3.24. Dado que la definición de una parábola esta blece que cualquier punto sobre la parábola es equidistante del foco y la directriz,

FIGURA 3.23

FPA = \Q\P\\

► EJEMPLO 1 -5

\ f p 2\ = \ q 2p 2\

|f/> 3| = 1 0 3 ^ 3

Dibujo d o u n a p a rá b o la y d eterm inación d e sus p ro p ied a d es a partir d e su ecuación

directriz

Dibuje la parábola que tiene la ecuación x 2= - 8 y FIGURA 3.24

y determine el foco, la ecuación de la directriz y los extremos del lado recto.

Solución

y=

2

La gráfica es una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje es el eje y. Debido a que 4p = -8, p = -2, y como p < 0, la parábola abre hacia abajo. El foco está en el punto F(0, -2), y la ecuación de la directriz es y = 2. Los extremos del lado recto son (4, -2 ) y (-4, -2). Estos puntos se obtienen sustituyendo y por -2 en la ecuación de la parábola y resolviéndola para x. La parábola está trazada en la Figura 3.25, la cual también muestra el foco y la directriz. <4 Por supuesto, se puede comprobar la parábola del ejemplo 1 tra zando la gráfica de la ecuación y = - j x 2, en la graficadora.

FIGURA 3.25

► EJEMPLO 2

D eterm inación d e la ecuación de u n a p a rá b o la a p artir d e sus p ro p ied a d e s y su gráfica

Encuentre la ecuación de la parábola que tiene su foco en (0, 3) y como directriz la recta y * -3 . Trace la parábola. Se Harria cuerda de una curva ai segmento rectilíneo cuyos extremos están sobre la curva.

168

CAPÍTULO 3

RECTAS. PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN D I EJES

Debido a que el foco está en el eje y y se ubica arriba la directriz, la parábola abre hacia arriba y p = 3. El véit^ 1 en el origen. La ecuación de la parábola es de la formar2 = 4*,7; 4p = 12. Por lo que la ecuación requerida es S o lució n

x 2 = 12y

[-8,8] por [-2, 8] 1 . y =ñ X FIGURA 3.26

Para trazar la parábola, la ecuación se debe escribir comoy =¿.; Véase la Figura 3.26. ‘.

EJEMPLO 3

Resolución d e un problema que tiene la ecuación d e u n a parábola como modelo m a tem á tico

Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12 cm en el ceniio., un diámetro en la parte superior del espejo de 32 cm. Encuentrela¿ tancia del vértice al foco. Solución Como se ve en la Figura 3.27, se han elegido tosejes»! ordenados de modo que la parábola tenga su vértice en el origen,a eje coincida con el eje y y abra hacia arriba. Por tanto, la ecuación« la parábola es de la forma x 2 = 4py donde p centímetros es la distancia del vértice al foco. Dadoqued punto (16, 12) está sobre la parábola, sus coordenadas satisfaceoii ecuación y se tiene 162 = 4p(12) 16 P = T

Conclusión: La distancia del vértice al foco es y cm. Algunas parábolas tienen ejes horizontales. La por ecuación y 2 = lx es un ejemplo. Esta ecuación es de la forma y 2 = 4px la cual puede obtenerse a partir de la ecuación x2= 4py intercaiwJJI x y y. La parábola cuya ecuación es y2 = 4px tiene su vérticeen 1 gen, como su eje, el eje x , y su foco en el punto F(p, 0); 1aecu* J , su directriz es x = -p. Si p > 0, la parábola abre hacia la derecha. en la Figura 3.28; si p < 0, la parábola abre hacia la izquierdac I la Figura 3.29. FIGURA 3.28

A continuación se resumirán estos resultados.

L

3 .3

PARÁBOLAS

la o

Ecuación de una p a rá b o la La ecuación de la parábola que tiene su foco en (p, 0) y su di rectriz es la recta x - - p t s y 2 = 4px

Trazo d e una p a rá b o la Para trazar la gráfica de una ecuación de la forma y 2 = 4px: 1. Resolver para y extrayendo la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación y obtener las dos ecuaciones y = V4/?x

y = - V4px

2. La unión de las gráficas de estas dos ecuaciones proporciona la gráfica de y 2 - 4px

EJEMPLO 4

Dibujo d e u n a p a rá b o la y determ in a ció n d e sus p ro p ie d a d e s a p artir d e su ecuación

Dibuje la parábola cuya ecuación es y 2 = Ix y encuentre el foco, la ecuación de la directriz y los extremos del lado recto. Comprobar la gráfica trazándola en la graficadora. Solución La ecuación dada es de la forma y 2 = 4px, por tanto, el vértice está en el origen, y el eje de la parábola es el eje x. Debido a que 4p = 7, p =;n- > 0: así que la parábola abre a la derecha. El foco está en el punto F(j, 0), y la ecuación de la directriz es X = -

Para

obtener los extremos del lado recto, se sustituye x - 1 en la ecuación dada, y se tiene y =

49 4

¡

170

CAPÍTULO 3


Los extremos del lado recto son, por tanto (j, |) y (2 _ , está dibujada en la Figura 3.30, la cual también muestra el rectriz. A fin de trazar la parábola, se muestran las gráficas de

y = V xT

y - -\T x

y

en el mismo rectángulo de inspección.

EJERCICIOS

3.3

En los ejercicios 1 a 16, para la parábola con la ecuación dada, encuentre (a) el vértice, (b) el eje, (c) el foco, (d) la ecuación de la directriz y (e) los extremos del laclo recto. Dibuje la parábola. 1. * 2 - 4 y

1 .x 2 = 8y

3. x 2 = —16y

4. * 2 = ; - 1 2 y

5. x 2 - y = 0

6. x 2 ^ 2 y = 0

7. y 2 = I2x

8 . y 2 = —6x

En los ejercicios 23 a 36, determine la ecuacinLi parábola que tiene las propiedades dorias rábola y compruebe la gráfica trazándola a la¡4 cadora. 23. Foco (0,4); directriz, y = -4. 24. Foco (0, -2); directriz, y = 2. 25. Foco (0, -5); directriz, y - 5 = 0,

io . y = x

26. Foco (0, - ~); directriz, 2y - 1=0.

11. y 2 - 5x « 0

12. y 2 + 3x = 0

27. Foco (2,0); directriz, x = -2.

13. 3x2 + 8 y = 0

14. 2* 2 + S y = 0

28. Foco (1,0); directriz, x = -1.

15. 2y 2 - 9x I 0

16. 3 y 2 — 4x = 0

29.

9. y 2. = - S x

30.

En los ejercicios 17 a 22, trace la parábola que tiene la ecuación dada.

31. 32. 33.

17. (a) y = 4 x 2 (c) X = 4 y2

(b) y = ■- 4 x 2 (d) X m - 4 y 2

18. (a) y (c) X

2x2 2y 2

(b) y (d) X

—2 x 2 «Sr - 2 y 2

y *

W

X «

w

(b) y (d) X

=

19. (a) (c)

~ =

20 . (a) y k*2 (c) X *« ¡ y 2 21 . (a) X 2 -- I6 y == 0 (c) y 2 ■' 16* == 0 22 . (a) 4jt2 ~ 3y == 0 (c ) 4 y 2 - 3x == 0

(b) y (d) X

34. Vértice, el origen; directriz, 2y + 5=0. 35. Vértice, el origen; el eje y es su eje; pasapor(-i 36. Vértice, el origen; el eje x es su eje; pasapor

- w

En los ejercicios 37 a 40, resuelva el probleiM(r¿i trando la ecuación de una parábola cono . matemático de la situación. Complete ti ^ escribiendo la conclusión.

■

“ iy2 ~ ix2 - b 2

(b) X 2 + 16 v (d) y 2 + 16* (b) 4x 2 + 3y (d) 4 y 2 + 3x

“

3.0 cablede un piien a p a rtó la cuando ámale demane Foco ( - 1 ,0); directriz, 5 - 3x=0. torreses de! Foco ( - 1 ,0); directriz, 2x - 3=0. ti ota sobre lato Vértice, el origen; abre hacia arriba, pasaporíM anaaiydpunto ^ Determine lád Vértice, el origen; abre hacia abajo, pasapor(4-í deun puní ^ ^ u n a torre. Vértice, el origen; directriz, 2 t = 3.

0

= 0

* 0 * 0

37. Un telescopio reflectante tiene un espejoP*^ co para el cual la distancia del vértice 30 pie. Si el diámetro de la parte superior*

"Süüíi ° 8JÍTIVi

3.4

64 pulg. ¿Cuál es la profundidad del espejo en

e¡ centro? Espejo parabólico

CIRCUNFERENCIAS

171

40. Considere que el agua que está fluyendo del extre mo de un tubo horizontal, que se encuentra 25 pie arriba del suelo, describe una curva parabólica, el vértice de la parábola se halla en el extremo del tubo. Si en un punto 8 pie abajo del tubo, el flujo de agua en su trayectoria curva se localiza a 10 pie de distancia de la línea recta vertical que pasa por el extremo del tubo, ¿qué tan alejado de esta recta vertical llega el agua al piso?

38. Un arco parabólico tiene una altura de 20 m y un ancho de 36 m en la base. Si el vértice de la pará bola se encuentra en la parte alta del arco, ¿a qué altura sobre la base tiene un ancho de 18 m?

41. Demuestre que la longitud del lado recto de una parábola es | 4p |.

39. El cable de un puente colgante tiene la forma de una parábola cuando la carga está distribuida uni formemente de manera horizontal. La distancia en tre dos torres es de 150 m, los puntos de soporte del cable sobre la torre están a 22 m arriba de la carretera, y el punto más bajo del cable está 7 m arriba. Determine la distancia vertical de la carrete ra al cable de un punto que se encuentra a 15 m de la base de una torre. 15 in r

5 ' " t l h - -----------T T -

22 m • .

L

t

42. Determine la ecuación de una parábola cuyo vérti ce está en el origen y los extremos del lado recto son (-8,4) y (8,4). 43. Los extremos del lado recto de una parábola son (5, k) y (-5, k). Si el vértice de la parábola está en el origen y la parábola abre hacia abajo, encuentre: (a) el valor de k\ (b) la ecuación de la parábola. 44. Determine todos los puntos sobre la parábola y 2 = 8¿ tales que el foco y el pie de la perpendicular di bujada del punto a la directriz son los vértices de un triángulo equilátero. 45. Trace las gráficas de y ^ x 2 y y = x 4. Explique por qué la gráfica de la primera ecuación es una pará bola y por qué la gráfica de la segunda no lo es. Emplee la definición de parábola en la explicación.

*-4 CIRCUNFERENCIAS OBJETIVOS

1. Definir una circunferencia. 2. Dibujar circunferencias a partir de sus ecuaciones.

c a p ítu lo 3 ^

c ta s jp a r á b o l a

s, CIRCUNFERENCIAS Y TRAS^ q ó N D t E ig s

3 T ra za r circunferencias a p a rtir de sus ecuaciones. 4 A p ren d er las p ropiedades de las circunfere ‘encías. 5. E n c o n tra r las p ropiedades d e las circunfe cencíasa n sus ecuaciones. a Partir h 6. D eterm in ar ecuaciones de circunferencias i Partir de sin propiedades. "

" , ecci6n anterior se vio que las parábolas tienen ecuaró*^ I n i tr a d o con sólo un término de segundo grado o » * 8; „?,.aciones de segundo grado es la arcunftrtnda, ^ * e c u a c i o n e s poseen dos términos de segundo grado, uno en f»n t»

-

DEFINICIÓN

Circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en■ plano equidistante de un punto fijo. Al punto fijo se le 1!« centro y la distancia constante, radio de la circunferencia.

Para obtener la ecuación de la circunferencia con centroeoCU y radio r, se utilizará la fórmula de distancia. Véase la Figura331 punto P(x, y) se encuentra en la circunferencia si y sólo si \PC\ -t decir, si y sólo si

Esto es cierto si y stílo si (X~ h)2 + 0 - - # FIGURA 3.31

= J

(r > 0 )

ûellosUpuntoseoUpa!¡.SfeC,la P° r laS coordenadas de aquéllosr «| ecuación de rlírh ■ encuentren en la circunferencia, porw&'J "era formal c,rcu"ferencia. Este resultado se estable*'!

Ecuación d e la circu n feren cia La circunferencia con centro en el punto (h, k) ■' como ecuación ( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = /•

3 .4

CtBCUNFERINOAS

17 »

Si el centro de la circunferencia está en el origen, entonces h = 0 y k = 0 , y por tanto, su ecuación es x2 + y2 = r2 Tal circunferencia aparece en la Figura 3.32. Si el radio de la circunfex rene ia es 1, se le llama circunferencia unitaria. Si se conocen el centro y el radio de una circunferencia, ésta pue de ser dibujada usando un compás.

FIGURA 3.32

Trazo de una circunferencia Para trazar la circunferencia cuando se tiene la ecuación x2 + y2 = r2 1. Se resuelve esta ecuación para y, y se obtiene y = Vr2 —x 2

y

y = - Vr2 - x 2

La gráfica de cada una de estas ecuaciones es una semicircun ferencia. 2. Trazando estas dos semicircunferencias en el mismo rectán gulo de inspección se obtiene la circunferencia deseada.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 La gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = 16 es la circunferencia con centro en el origen y radio 4. Al resolver esta ecuación para y se obtiene FIGURA 3.33 y = V16 - x 2

y

y = -V 16 - x 2 m

Si se trazan estas dos semicircunferencias en el mismo rectángulo de inspección se obtiene la circunferencia mostrada en la Figura 3.33. <

► EJEMPLO 1

Determinación d e la ecuación d e una circunferencia que satisface las condiciones d a d a s y trazo d e su gráfica

Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene un diámetro cu yos extremos son A( -2, 3) y B(4, 5). Trace la circunferencia.

174

CAPÍTULO 3

RECTAS. PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN

Solución El punto medio mee del segmento de recta de a tro de la circunferencia. Véase Vi »m la Figura 3.34. Si Q k jh la circunferencia, jircunferencia, entonces ’Csel ■2 + 4

3 + 5

2

2

= 1

=4

El centro está en C( 1,4). El radio de la circunferencia n a» ya sea como | CA | o como | CB\ . Si r = | G4| , entonces ^ r = V (1 + 2 Y + (4 - 3 )2 = V io Una ecuación de la circunferencia es, por tanto, (x - l )2 + (y - 4 )2 = 10 x 2 + y 2 - 2x - Sy + 7 = 0 A fin de trazar la circunferencia, primero se resuelve laeco* para y, tratándola como una ecuación cuadrática en y:

y 2 - Sy + (x2 - 2x + 7) = 0 De la fórmula de la ecuación cuadrática donde a = 1, b c = x 2 - 2x + 1, se tiene —b ± y / b 2 — 4ac y = ----------- S — = - ( - 8 ) ± V ( - 8)2 ~ 4(1)U 2 - 2x + 7)

2 ( 1) = 8 ± V 6 4 - 4 x 2 + 8 x - 28 2 8 ± V 3 6 + 8 jc - 4 x 2

2 = 8 ± 2 V 9 + 2x - x 2

2 = 4 ± V 9 + 2x - x 2 Al trazar las gráficas de y

m 4 + V 9 + 2jc - x a

y

y = 4 ' ^ +

en el mismo rectángulo de inspección se obtiene aparece en la Figura 3.35.

la circu»11

3 .4

CIRCUNFERENCIAS

175

La ecuación (x - h ) 2 + (y - k ) 2 = r 2 se conoce como forma de centro-radio* de la ecuación de una circunferencia. Si se eliminan pa réntesis y se reducen los términos semejantes, se obtiene x 2 + y 2 — 2 hx - 2lcy + (h 2 + k 2 + r 2) = 0 Si se sustituye D = - 2 h, E = -2 k y F = h2 + le1- r2, esta ecuación queda como x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 la cual se llama form a general de la ecuación de una circunferencia. Debido a que cada circunferencia tiene centro y radio, la ecuación pue de presentarse en la forma centro-radio, y de aquí transformarla a la forma general, como se hizo en el ejemplo 1. Si se parte de la ecuación de la circunferencia en la forma general, se puede escribir en la forma de centro-radio completando cuadrados. El ejemplo siguiente muestra el procedimiento.

► EJEMPLO 2

D eterm inación d e l centro y radio d e una circunferencia a partir d e su ecuación

Encuentre el centro y el radio de la circunferencia, cuya ecuación es x 2 + y 2 + 6 * - 4y - 23 = 0

Solución

La ecuación dada puede expresarse como

(x 2 + 6 x) + ( y 2 - 4y) = 23 Completando los cuadrados de los términos entre paréntesis y agre gando 9 y 4 en ambos lados de la ecuación, se tiene (jc2 + 6x + 9) + ( y 2 - 4y + 4) = 23 + 9 + 4 (x + 3) 2 + ( y - 2 ) 2 = 36 Esta ecuación está en la forma centro-radio; por lo quees la ecuación de la circunferencia con centro en (-3, 2 ) y radio 6 . m Existen ecuaciones de la forma x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 cuyas gráficas no son circunferencias. Suponiendo que cuando se completan los cuadrados se obtiene (x - h )2 + ( y - k )2 = d

donde d < 0

No hay valores reales de x y y que satisfagan esta ecuación;es decir, la ecuación no tiene gráfica. En tal caso se establece que la gráfica es el conjunto vacío. Véase el ejercicio 32. Otros nombres para esta forma son: estándar o canónica.

_____i__

■

■

■

■

■

■

■

■

■

_____________________

176

CAPÍTULO 3

RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN DE EIES

Si al completar cuadrados se obtiene (x

I I

h )2 + (.y - k)'

0

los únicos valores reales que satisfacen ésta ecuación SOíUsfcy. Esto indica que la gráfica consta de un simple punto (h, k) ejercicio 31. En Cálculo aprenderá cómo encontrar la ecuación de lared» gente a una curva general en un punto de dicha curva. La definjJí una recta tangente requiere del concepto de límite estudiado enCfe lo. Sin embargo, para una circunferencia, la definición de geometría^ establece que la recta tangente en el punto P de una circunferencia? recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto.

► EJEMPLO 3

Determinación de la ecuación de la rtttt ta n g en te a una circunferencia en unpun*

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2 + y 2 - 6x - 2y

15 = 0

en el punto (6 , 5). Trace la circunferencia y la recta tangente enel» mo rectángulo de inspección.

Solución Al escribir la ecuación de la circunferencia enlaf
ácidos 9

(x - 3) 2 + ( y - l ) 2 = 25 P(6,5)

De esta ecuación, el centro de la circunferencia está en C(3, l)y^ dio es 5. La Figura 3.36 muestra la circunferencia y un trozodeUff au+, ta tangente en (6 , 5). Si m l es la pendiente de la recta que pas«^ c # CyP. mi =

6 - 3

4 3 FIGURA 3.36

4.

s

s

:

De la geometría plana, se sabe que la recta tangente es P61^ , ¡t^ I la recta que pasa por C y P . Por tanto, si m2es la pendiente H tangente, N il W2/W1 = —1 m2

© -

-1

»

3 .4

CIRCUNFERENCIAS

177

De la forma de punto-pendiente de la ecuación de la recta que pasa por (6, 5) con pendiente - se tiene la ecuación requerida y

*) Véase ¿

4y - 20 = -3 a: + 18

la recta Ut lefmicióa¿; lo en CálcL>me tría piar

erenciaes*

i rtcfa m punto

3jc + 4y - 38 = 0 [-10.20] por [-5, 15] y = l + V25 —(x —3)* y

_ 3 + I£ y s l -V 25-(x-3)* y y, = = -2jc 4 2 FIGURA 3.37

La Figura 3.37 muestra la circunferencia y la tangente trazadas en el mismo rectángulo de inspección. 4

B Z fíS B IB k En los ejercicios 1 a 8, dibuje la gráfica de la ecuación.

:ia

5 = _ 2 (x + 6 )

1.

(a) y — V 4 — x 2 (c) x 2 + y 2 = 4

(b) y = ~ V 4 — x 2

23. El diámetro tiene como extremos los puntos (3, -4 ) y (7,2).

|2. (a) y = V 25 - x 2 te en el mis (c) x 2 + y 2 = 25

(b) y =»;«*}/25 - x 2

24. El diámetro tiene como extremos los puntos (-1, -5) y (4, -6).

|3. 9x2 + 9 y 2 =

4. 4 * 2 + A y2 = 1

En los ejercicios 25 a 30, encuentre el centro y el radio de la circunferencia. Dibuje la circunferencia

en la

1

; 5. (x — 3 )2 + (y + 4 )2 = 16

25. x 2 + y 2 — 6x — 8y + 9 = 0

6. (x + l )2 + (y - 5)? = 36

26. x 2 ■¥ y 2 - \0 x - lOy + 25 * 0

7. [x + 4 )2 + y 2 = 1

27. x z + y 2 + 2x +

lOy

+ 18= 0

28. x 2 + y 2 + 6x —

1=

0 5?0

8. x 2 + (y - 2 f = 9

En los ejercicios 9 a 14, trace la gráfica de la ecuación. 9. x 2 + y 2 = 36 3, i) y el* ue p3*

11. 4jc2 + 4 y 2 = 81

29. 3*2 + .3y2 + 4 y

-7

10. x 2 + y 2 k 16

30. 2 x 2 + 2y2 - 2x

+ 2y + 7 = 0

12. 9x 2 + 9 y 2 = 49

31. Demuestre que la gráfica de la ecuación

U + 2 )2 f j y - > 3 )2 =?100 14. (x - 4 )2 + (y + 7 )2 = 64

x 2 + y 2 + 4x + lOy + 29 = 0 es un punto.

[En ¡os ejercicios 15 a 20, determine la ecuación de la ucircunferencia con centro e n C y radio r. Escriba la ecua ción en la forma de centro-radio y en la forma general. (Trace la circunferencia.

d e *3

15. C(4, - 3 ) , r = 5

16.C(0, 0), r = 8

17. C ( - 5, - 1 2 ) , r = 3

18. C ( - \ , 1), r

= 2

19. C(0, 7), r = 1

20. C<- 3 , Q), r

,* 4

En ¡os ejercicios 21 a 24, encuentre la ecuación de la Circunferencia que satisfaga las condiciones dadas. Wrace la circunferencia

32. Demuestre que la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 + Ix - 6y + 30 * 0 es el conjunto vacío. En los ejercicios 33 a 38, determine si la gráfica es una circunferencia, un punto o el conjunto vacío. 33. x 2 + y 2 — 2x + lOy + 34. x* + y 2 + 2x —4y + 5

19 = 0 = 0

35. x 2 + y 2 - IOx + 6y + 36 = 0 36. 4 x 2 + 4,y2 + 24* — 4y + 1 = 0

21. El centro está en (1,2) y pasa por el punto (3, -1).

37. 2*2 + 2y2 - 2x + 6y +

5 = 0

22. El centro está en (-3 ,4 ) y pasa por el punto (2,0).

38. 9 x 2'i4 9y 2 + 6x - 6y +

5 = 0

.

■

178

CAPÍTULO 3 RECTAS. PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN PE EJ1S

dv) En los ejercicios 39 a 42, encuentre la ecuación 13 de la recta tangente a la circunferencia en el punto P. Trace la circunferencia y la recta tangente en el mismo rectángulo de inspección.

cómo se puede determinar el centro y el a* mencionada circunferencia.

39. x 2 + y 2 * 25; P ( - 4. 3) 40. 16jt2 + 16y 2 * 25; P(j, - 1 ) 41.

+ .y2 - 4x + 6y - 12 = 0; P(5, 1)

42. x 2 + y 2 + 14* - 8.y - 35 = 0; P ( - l , - 4 ) 43. Emplee geometría analítica para demostrar que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es un án gulo recto. 44. Use geometría analítica para demostrar que una recta que parte del centro de cualquier circunferen cia bisectando cualquier cuerda, es perpendicular de la cuerda. 45. ¿Qué desigualdad que relaciona a D, E y Fes nece saria para que la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

sea una circunferencia? 46. A partir del origen, se dibujan cuerdas de la circun ferencia x 2 + y 2 + 4x = 0

Demuestre que el conjunto de puntos medios de es tas cuerdas es una circunferencia. 47. La circunferencia que circunscribe un triángulo contiene los tres vértices del triángulo. Explique

3.5

48. Utilizando la explicación del ejercicio 47, ^ tre el centro y el radio de la circunferencia cunscribe al triángulo cuyos vértices soo(-31 (4, -1 ) y (5,2).

49. Describa el conjunto de puntos (x, y) enK2mk cuales (a) x 2 + y 2 £ 1 (c) x 2 + y 2 > 4

(b) 1 < x 2 +y*í 4

50. Basándose en el hecho de que ab = 0 si yifiii a = 0 o b = 0 , escríba la ecuación de cadiat las gráficas siguientes: (a) la gráfica queeos de todos los puntos en cualquiera de dosorcéI rencias, las cuales tienen su centro endorp i una tiene radio 2 y la otra radio 3; (b) larfc I que consiste del origen y todos los puntosahí I cunferencia unitaria cuyo centro está enelorif»I

TRASLACIÓN DE EJES OBJETIVOS

1. 2. 3. 4.

Aprender las ecuaciones de traslación de los ejes. Trasladar los ejes para simplificar una ecuación. Aprender las formas estándar de la ecuación de una parata I Encontrar las propiedades de una parábola a partir desU ecuación en forma estándar y trazar la parábola a partirá estas propiedades. 5. Obtener la gráfica de una ecuación a partir de la gráfica otra ecuación mediante una adecuada traslación de ej&

La forma de una gráfica no es afectada por la posición c .j coordenados, pero su ecuación sí. Por ejemplo, una circuí» radio 3 y centro en el punto (4, -1 ) tiene la ecuación

3.5 TRASLACIÓN PK EJtS

170

(.x - 4 ) 2 + (y + l ) 2 =8 9 Sin embargo, si ios ejes coordenados son elegidos de tai manera que el origen sea el centro, la misma circunferencia tiene una ecuación más simple x2 + y2 = 9

y'

Si pueden seleccionarse los ejes a voluntad, entonces, general mente se hará de tal forma que las ecuaciones sean lo más simple posi bles. Sin embargo, si los ejes están dados, es deseable encontrar una ecuación más sencilla de una gráfica particular relacionada a un con junto de ejes diferentes. Si estos ejes diferentes son elegidos paralelos a los originales, se dice que ha habido una traslación de ejes. En particular, considérese que los ejes x y y son trasladados a los nuevos ejes x ' y y \ teniendo como origen (h, k) con respecto a los ejes dados. También, supóngase que los números positivos se encuentran en el mismo lado del origen en los ejes x ' y y \ como en los ejes x y y. Véase la Figura 3.38. Un punto P en el plano que tiene las coordena das (x, y) con respecto a los ejes coordenados dados, tendrá las coorde nadas (x y f) con respecto a los nuevos ejes. Para obtener las relaciones entre estos dos conjuntos de coordenadas, se dibujan dos rectas a través de P una paralela a los ejes y y y ' y otra paralela a los ejes x y Se observa que la primera recta intersecta el eje x en el punto A y el eje x f en el punto A \ y la segunda recta intersecta el eje en el punto B y el eje y' en el punto B'. Estas rectas están mostradas en la Figura 3.38. Con respecto a los ejes x y y, las coordenadas de P son (x, y), las coordenadas de A son (jc, 0) y las coordenadas de A' son (x, k). Dado (\MtAFP = A P - Á A \

y\ = y - k Con respecto a los ejes x y y, las coordenadas de B son (0, y), y las coordenadas de B' son (h, y). Debido a que B'P = BP - BB\ x' ~ x - h Ahora se establecerán estos resultados formalmente.

Ecuaciones de traslación de ejes Si (x, y) representa un punto P con respecto a un conjunto de ejes dado, y (x\ y ') es la representación de P después de que los ejes son trasladados a un nuevo origen que tiene coordenadas (h, k) con respecto a los ejes dados, entonces x' = x - h

y

y* = y - k

180

CAPÍTULO 3 RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN P1 EJES

►

E JE M P L O

1

_

T ra s la c ió n d t lo s o jo s p a r a sim plificar

•c vación

“no

Dada la ecuación x 2 + y 2 - Ax + 6y - 3 = 0 traslade los ejes para que la ecuación de la gráfica con respecto aA y' no contenga términos de primer grado.

Solución

Se reescríbe la ecuación como:

(x 2 - Ax) - ( y 2 + 6y) = 3 Al completar los cuadrados de los términos entre paréntesis, agregasdo 4 y 9 a ambos miembros de la ecuación, se tiene (x2 -r Ax + 4) + ( y 2 + 6y + 9) = 3 + 4 ♦ 9 FIGURA 3.39 (x - 2) 2 + ( y + 3 ) 2 = 16 Si se considera x' = je - 2 y / = y + 3, se obtiene x '2 + y n * 16 La gráfica de esta ecuación con respecto a los ejes x' y y' es uoior cunferencia con su centro en el origen y radio 4. Debido a las suso» I ciones de x ’ = x - 2 y y ’ = y + 3 el resultado es una traslación decjoi un nuevo origen (2, -3), la gráfica de la ecuación original con respeac I a los ejes x y y es una circunferencia con centro en (2, -3) y radio* Este resultado está de acuerdo con la discusión de la circunferenciaa I la Sección 3.4. La Figura 3.39 muestra la circunferencia con arota | conjuntos de ejes. < Ahora, se aplicará la traslación de ejes para encontrar la ecuacn I general de una parábola que tenga su vértice en el punto {h, kl sieadc I su eje vertical u horizontal. En particular, considérese que el ejees vertical. Los ejes x ' y y ’ deberán tener el origen en V{h, k). VAwk Figura 3.40. Con respecto a los ejes x ’ y y ’ la ecuación de la paribob en esta figura es x /2 = Apy’ Para obtener la ecuación de esta parábola con respecto a los ejes*) ' se debe recordar que, x ' * x - h y y ' = y - k, por lo que se obtiene ( x - h ) 2 * 4p ( y - k) En la Figura 3.41 el eje de la parábola es horizontal, y el véit^ está en V(h, k). Por un argumento similar, esta ecuación con résped01 los ejes x y y es ( y - ¿ ) 2 = Ap(x - h) Se han obtenido las formas estándar de la ecuación de una p a rá b o la

3.5

TRASLACIÓN PE EJES ___181

Formas están d ar de la ecuación d e un a p a rá b o la Si p es la distancia dirigida del vértice al foco, la ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y con su eje vertical es (x - h ) 2 = 4p ( y - k) Una parábola con el mismo vértice y con su eje horizontal tiene la ecuación (y -

k)2

= 4 p(x -

h)

La gráfica de cualquier ecuación cuadrática de la forma y = a x 2 + bx + c

( 1)

donde a, b y c son constantes y a * 0 es una parábola cuyo eje es verti cal. Esta aseveración puede ser comprobada demostrando que (1) es equivalente a una ecuación de la forma ( x - h ) 2 = 4p{ y - k) Se le pedirá hacer esto en el ejercicio 49. La ecuación en el ejemplo si guiente es un caso especial de ( 1), donde a = - ± , b = l y c = 6.

► EJEMPLO 2

D eterm inación d e las p r o p ie d a d e s d e u n a p a rá b o la a p artir d e su ecu a ció n y d ib u ja r la p a rá b o la a p a rtir d e esta s p r o p ie d a d e s

Dada la parábola que tiene la ecuación y = — x2 + x + 6 4 encuentre el vértice, la ecuación del eje, el foco y los extremos del lado recto. Dibuje la parábola a partir de estas propiedades y comprue be la gráfica obtenida en una graficadora. Solución

La ecuación dada es equivalente a 4y - - x 2 + 4jc + 24

x 2 — 4x — - 4 y + 24 Al completar el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación sumando 4 a cada lado, se tiene x 2 - 4x + 4 = ~4y + 24 + 4

(x - 2) 2 = - 4 y + 28 (x - 2 )2 = - 4

(y -

7)

182

CAPÍTULO 3

RECTAS, PARÁBOLAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN D I EJES

Esta ecuación es de la forma directriz

t

(°, 6) i

J» / ' 1 b

í Y ( 2 . 7)

y

- 8

(x - h)2 = 4p(y - k)

1»r/ ------------------ — con h = 2, k = 7, y p = 6)

h F |(2 ,6 )\ • 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ !

5

FIGURA 3.42

\

Por tanto, su gráfica es una parábola vértice en (2, 7), y el eje es vertical. En consecuencia, el cJe tientLI ecuación x = 2. Dado que p < 0, la curva abre hacia abajo. Adeni* I foco es el punto sobre el eje, 1 unidad abajo del vértice; o sea, eli! I está en (2, 6). Debido a que la longitud del lado recto es 4p =4 1 extremos están 2 unidades a la derecha y a la izquierda del focoeáwfl puntos (4 , 6 ) y (0 , 6 ). La Figura 3.42 muestra la parábola dibujada a partir de estaspj piedades. Con el uso de la graficadora puede verificar esta gráfica. Si x y y se intercambian en (1), se tiene la ecuación x = a y2 + by + c

La gráfica de cualquier ecuación de esta forma es una parábolacoJ eje es horizontal. Este hecho puede verificarse demostrando que(2iJ equivalente a una ecuación de la forma (y $ k)2 = 4p(x - h)

► EJEMPLO 3

Determ inación d e las propiedades de une pará b o la a partir d e su ecuación y dibujar la p a rá b o la a partir de estas propiedadu

Siga las instrucciones del ejemplo 2 para la parábola cuya ecuacitoo x = 2y 2 + Sy + 11 Solución

La ecuación dada es equivalente a

2y 2 + 8y = x - 11 2 (y 2 + 4y) - x - 11 Para completar el cuadrado de la expresión dentro del. debe sumar 4 a y 2 + 4y. Por lo que en realidad se está agrega^0 lado izquierdo, así que se deberá agregar 8 al lado derecho, yse& 2 ( y 2 + 4y + 4) = x — 11 + 8 2(y + 2 ) 2 = x - 3 (y + 2 y = ~ ( x - 3) Esta ecuación es de la forma ( y _ k)2 = 4p(x - h) con h = 3, k - -2 y p = j . Por tanto, la parábola tiene su vérticeen(* eje es la recta horizontal y - -2, y como p > 0 , abre a la ^ virtud de que el foco está | de unidad a la derecha del vértice

\

3.5

TRASLACIÓN DE EJES

183

ce está en el punto (y, -2). La longitud del lado recto es | 4p | = por lo que los extremos del lado recto están, j de unidad por arriba y deba jo del foco, en los puntos (y, - J) y (y, - J). La parábola dibujada a partir de estas propiedades aparece en la Figura 3.43. Para trazar la parábola en la graficadora, primeramente se escribe la ecuación como 2y 2 + 8y + (11 - x) =* 0

enseguida se resuelve para y en términos de x mediante la fórmula cua drática, donde a = 2, ¿>= 8 y c = ( ll-J t) . Se obtienen dos valores para y y = -2 + -W 2x

y

2

Cuando se trazan las gráñcas de estas dos ecuaciones en el mismo rec tángulo de inspección, se obtiene la parábola de la Figura 3.43. -4 En los dos ejemplos siguientes, se aplicará la traslación de ejes para otras gráficas.

► EJEMPLO 4

Obtención d e la gráfica d e una ecuación a partir d e la gráfica de otra m ediante una adecuada traslación de e¡es

A partir de la gráfica de y = | x | y unaadecuada traslación deejes, obtenga la gráfica de y = | x - 4 | - 6. FIGURA 3.44

Solución La gráfica de y = | x | que aparece en la Figura 1.42 de la Sección 1.5, se reproduce aquí en la Figura 3.44. La ecuación

y = I* “ 4 I ~ 6 es equivalente a

y + 6 = Ix - 4 | Para obtener la gráfica de esta ecuación, se consideran x' = X - 4

y

y' = y

+ 6

Hemos trasladado los ejes a un nuevo origen (4, - 6), por lo que la ecuación queda como y* = | x? | . La gráfica de esta ecuación con res pecto a los ejes x? y / es igual a la que aparece en la Figura 3.44 con respec to a los ejes x y y. Así se obtiene la gráfica mostrada en la Figura 3.45. M

FIG U RA 3.45

► EJEMPLO 5

Obtención d e la gráfica d e u na ecuación a partir de la gráfica de otra por m edio d e una adecuada traslación de ejes

Empleando la gráfica de y = j x 3 del ejemplo 4 de la Sección 1.5, con una apropiada traslación de ejes, obtenga la gráfica de la ecuación

18 4

CAPÍTULO 3

RECTAS. P A R Á B O L A S, C IRCU N FEREN CIAS Y TRASLACIÓ N DE EJES

y = Solución

+ 5 )3 + 3 La Figura 3.46 muestra la gráfica de v = - ¿ i * j

2 * • L'dccujflL

y = j ( x + 5 )3 + 3

es equivalente a y - 3 =

+ 5 )3

Para obtener la gráfica de esta ecuación, se considera x' = x + 5

y

y'

- y -

3

Se han trasladado los ejes a un nuevo origen (-5, 3), por lo queb ecuación obtenida es y ' = j x '3. La Figura 3.47 muestra la gráfica! esta ecuación con respecto a los ejes x ' y y ' . Es la misma que lagrifa de la Figura 3.46 con respecto a los ejes x y y. 11 FIGURA 3.46

y'

y

fi

K h

kx

fr Ir

FIGURA 3.47

EJERCICIOS 3.5 En los ejercicios 1 a 4, traslade los ejes para que la ecuación de la gráfica con respecto a los nuevos ejes no contenga términos de prim er grado. Dibuje los ejes originales y los nuevos así como la gráfica correspon diente. 1. x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0 2.

2x - 8y + 1 = o

3. x 2 + y 2 + x - 2 y + 1 *= 0 4. x 2 + y 2 - JO* + 4y + 13 = 0

En los ejercicios 5 y 6, traslade los ejes p^0^ ecuación de la gráfica con respecto a los n y y ' no contenga ni términos de primer

3 .5

términos constantes. Dibuje los ejes nuevos y los origi nales así como la gráfica correspondiente. 5, i 2 - 4x - 8y - 2 8 * O

i 2 + 4* + 2y = O En los ejercicios 7 y 8, traslade los ejes para que la ecuación de la gráfica con respecto a los nuevos ejes x ' y y’ no contenga términos de primer grado en y ’ y tam poco términos constantes. Dibuje los ejes originales y los nuevos así como la gráfica correspondiente.

*. 2y2 - 2x - 4y + 3 ¿ O En los ejercicios 9 a 24, para la parábola dada, deter mine {a) el vértice, (b) la ecuación del eje, (c) el foco, (d) la ecuación de la directriz, y (e) los extremos del lado recto, (f) A partir de estas propiedades dibuje la parábola y compruebe la gráfica empleando la gra.ficadora.

11. y = - x 2 + 4x — 5 12. y = x 2 + 6 x — 2 1 13. x ~ y1 — 6y =

—y 2

29. y = J x |; y = ¡x — 2j 30. y =

|

je|

;

y m |x + 3 |

31* y — M ; y = M + 3 33. y = |x |; y = |x + 4 |

—5

34. y = | x | ; y = |x - l |

+6

35. y = x 3; y = (x - 4)3 36. 2y = —x 3; 2y + 2 = —x 3 37. y 8=x 3; y = (x + l)3 +

1

38. 2y = - x 3; 2y = - ( x - 4)3 + 4 40. y = V x; y = V x + 3 - 2

10. y = x 2 + 4x

x

En los ejercicios 29 a 46, haga lo siguiente: (a) dibuje la gráfica de la primera ecuación; (b) a partir de la gráfica obtenida en el inciso (a) y una adecuada traslación de ejes, dibuje la gráfica de la segunda ecuación, (c) Compruebe las gráficas de los incisos (a) y (b) trazándolas en el mismo rectángulo de inspección.

39. y = V x; y = V x - 2 + 4

9. y = x 2 - 4

14.

18 5

32. y - |x j; y = \x\ - 2

7. y 1 + 6x + 7y + 39 = O

1

TRASLAC IÓ N DE E JES

1

+

41. y = x 2; y = (x -

4)2

42. y = x 2; y = (x +

3)2

43. y = x 2; y = x2 +

3

44. y = x 2; y = x 2 —

4

45. y :S'x2;y = (x + l)2 - 5

115. x 2 - 6x - 4 y + 13 - O

46. y = x 2; y = (x - 2)2 + 1

16. x 2 - 4x + 8y + 28 = O

47. Dada la parábola que tiene la ecuación

117. y2 + 4x + \2 y = O y = ax2 + bx + c

118. y* - 12x - 14y + 25 = O

con a * 0 , encuentre las coordenadas del vértice. 119.

L

v

=

-rx 2

1 2

rL ym r

+

1

4x

-

5 20. y

3

2x ~ 2

b . jt * - 2 y 2 - 8 y - 5

-

t t *

16

2

+

22. x * 2 y 2 + lOy + 3

48. Encuentre las coordenadas del foco de la parábola del ejercicio 47. 49. Demuestre que la ecuación y = a x2 + bx + c es equivalente a la ecuación de la forma (x - h )2 =

24. x = - ^ y 2 - - y - 2

4p(y - k) resolviendo la segunda ecuación para y. 50. Si una parábola tiene su foco en el origen y el eje x

En los ejercicios 25 a 28, trace la parábola que tiene la licuación ecuación dada |25. y2 - 4x - 2 y + 9 [26, 4y2 - x + I 6 y + 12

O

127. 5y2 - 4x + lOv + 17 = 0 §28.

+ %x - 12y + 20 * O

es su eje, demuestre que deberá tener una ecuación de la form ay 2 = 4kx + 4k2, k * 0.

51. (a) Demuestre que la ecuación y = x 2 + bx + c pue de escribirse en la forma y = (x - h) 2 + k. (b) Ex plique cómo dibujar la gráfica de y = (x - h ) 2 + k a partir de la gráfica de y = x2. En la explicación re suelva un ejemplo particular.

18 6

CAPÍTULO 3

RECTAS, PARÁBO LAS, CIRCUNFERENCIAS Y TRASLACIÓN DE EJES

REVISION DEL CAPITULO i ► V IS IÓ N RETROSPECTIVA 3.1

3.2

33

Antes de determinar ecuaciones de rectas, se defi nió la pendiente de una recta, y entonces se dibu jaron rectas y se obtuvieron sus pendientes. Se determinaron dos formas importantes de la ecua ción de una recta, la forma de punto-pendiente y la forma de pendiente-intercepción. Se emplearon estas dos formas y los teoremas que implican pen dientes de rectas paralelas y pendientes de rectas perpendiculares para encontrar ecuaciones de rec tas que tienen ciertas propiedades.

3.4

Se trataron sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y se determinó tanto gráfica como algebraicamente si las ecuaciones eran (i) consis tentes e independientes, (ii) inconsistentes, o (iii) dependientes. Se obtuvieron las soluciones alge braicas mediante los métodos de sustitución y eli minación. También se resolvieron sistemas de dos ecuaciones lineales con recíprocos de las incógni tas. En los ejemplos y ejercicios se presentaron enunciados de problemas que tienen un sistema de dos ecuaciones lineales como modelo matemático

Se siguió el formato utilizado para parábolases* estudio de las circunferencias. A fin de trazar^ circunferencia en la grafícadora, primero se vió la ecuación de la circunferencia para y, cual resultaron dos ecuaciones en las que sea presa y en términos de x. La gráfica de cada« de estas ecuaciones fue una semicircunferená se obtuvo la circunferencia al trazar las dossot circunferencias en el mismo rectángulo deinspción.

3.5

Se simplificaron ecuaciones por medio delab lación de ejes. Para obtener la forma estándardeh ecuación de una parábola, se aplicó la trasto! de ejes. Por medio de esta ecuación se eocomron las propiedades de la parábola y se ditajfk parábola a partir de estas propiedades. També se obtuvieron gráficas de algunas ecuacionestfr sándonos en las gráficas de ecuaciones mu)» pies y una adecuada traslación de ejes.

propiedades de las parábolas a partir de suseth ciones, y ecuaciones de las parábolas por de sus propiedades. Se dibujaron y trabaron bolas a partir de sus ecuaciones.

La discusión de parábolas incluyó la definición y propiedades de una parábola. Se encontraron las

► EJERCICIOS DE REPASO En los ejercicios 1 y 2, haga lo siguiente: (a) dibuje la recta que pasa p o r los dos puntos; (b) determine la pendiente de la recta; (c) encuentre la ecuación de la recta. 1« (1, -3 ) y (4,5)

7. Encuentre la ecuación de la recta que pasap*^| |j& punto (-3, -2) y es paralela a la recta cuya& ción es Ix - 3y - 4 = 0. Dibuje ambas rectas® mismo sistema coordenado.

2. (-2, -5 ) y (6 , -7)

En los ejercicios 3 y 4,haga lo siguiente: (a) dibuje la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m; (b) encuentre la ecuación de la recta. 3. P(5,-2 );m =

4. P (-2, l);m = \

En los ejercicios 5 y 6, haga lo siguiente: (a) encuentre la pendiente y la intercepción y de la recta que tiene la ecuación dada, (b) dibuje la recta. 5. 2x - 5y - 10 = 0

6 . 2x + 3y + 12 =

0

8. Determine la ecuación de la recta que pasa punto ( - 1, 6 ) y es perpendicular a la

ecuación es 4* + 2y - 5 = 0. Dibuje ambas en el mismo sistema coordenado. 9. Compruebe que las rectas que tienen lastf ^ l nes 2x + 5y + 20 = 0 y 5jc- 2y - Í O ^ 500” pendiculares, y dibuje sus gráficas.

10. Compruebe que las rectas que tienen I*5 J nes 2 x - 3j> + 12 = 0 y 4 * - 6y - 3 = 0sonPJ las, y dibuje sus gráficas.

V

R EV ISIO N DEL CAPITULO 3

11.

Encuentre la abscisa del punto cuya ordenada es -3 y para la cual la recta que pasa por ese punto y el punto (2, 7) es paralela a la recta que tiene la ecuación 3* - 4y = 12.

12. Empleando pendientes, haga el ejercicio 39 de los ejercicios de repaso para el Capítulo 1. En los ejercicios 13 y 14, utilice las pendientes para de terminar si los tres puntos se encuentran en la misma recia. 13. (-2,-3), (-1 ,4 ), (1,17) 14. (0,-3), (1,4), (2,11)

27. x 2 - 16y = 0

28. x 2 +

29. 4x 2 + y := 0

30. 3x2 -- 8y = 0

31. y 2 + 10* = 0

32. y 2 -

33.

34. W - 4y + 8 = 0

En los ejercicios 19 a 22, encuentre, algebraicamente, el conjunto solución del sistema utilizando cualquiera de los métodos, ya sea de sustitución o de eliminación. Verfique la solución trazando la gráfica del sistema de ecuaciones. 2x + y + 1, * 0 19. [3x + 2y + 4 » 0 21.

t e - 5y = 7 6 * - 15y = 14

20

3x + . x -

4y - 6 = 0 2y + 8 = 0

3* 2* -

2y + 7 = 0 3y + 8 = 0

22.

En los ejercicios 23 y 24, encuentre, algebraicamente, el conjunto solución del sistema.

24.

En los ejercicios 25 y 26, trace las gráficas de las tres ecuaciones en el mismo rectángulo de inspección. ¿Son tas ecuaciones consistentes o inconsistentes? Verifique

- y - 3 = 0

35. y 2 - x + 6 = 0

36. y 2 + 8* - 12 == 0

37. y 2 - x - 8y =! o

38. x 2 - y

X 2

+

6 x

-

+

10* s= 0

-4 y + i = 0

40. 4y 2 - x + 16y + 21 = 0 41. y = - —x 2 + —x + 8 4 8 42.

x

6

= - - y 2 -

- y 3

+ 43

En los ejercicios 43 a 48, encuentre la ecuación de la parábola que tiene las propiedades dadas, dibuje la parábola. Compruebe la gráfica en la graficadora. 43.

Foco ( 0 , 2); directriz, y * -2 .

44.

Foco ( - 4 , 0 ) ; directriz, x = 4 .

45.

Vértice, el origen; abre hacia la izquierda; pasa por el punto ( - 3 , 6 ) .

46.

Vértice, el origen; abre hacia arriba; pasa por el punto (-5,2).

47.

Foco, el origen; directriz, y =

6.

48.

Foco, el origen; directriz, x -

-3 .

4 .1 = 4 23.

X 2

o

18.

4x + 2y = 5 8x - 2y = 1

En los ejercicios 27 a 42, para la parábola que tiene la ecuación dada, encuentre (a) el vértice, (b) el eje, (c) el foco, (d) la ecuación de ladirectriz, y (e) los extremos del lado recto, (f) Dibujela parábola y compruebe la gráfica en una graficadora.

39. 2y = 4x - 6 17. 6x = 3y + 9

3* + 4y = 1 26. • l x - 2y = 9 4x - 5y = 25

ii H

16.

3x | | 2y = 4 9x - 6y = 8

Í3x + 2y = 8 25. <2* - 3y = 14 (5x + 6y = 8

o II

4y + 3y = 6 15. (2x + y = 4

algebraicamente la respuesta: para demostrar que son inconsistentes, resuelva dos ecuaciones del sistema y demuestre que ningún miembro del conjunto solución satisface la tercera ecuación; para demostrar que son consistentes, encuentre el conjunto solución.

VO

En los ejercicios 15 a 18, trace la gráfica del sistema de ecuaciones. Clasifique las ecuaciones como (i) con sistentes e independientes, (ii) inconsistentes, o (iü) de pendientes. Si las ecuaciones son consistentes e independientes, determine el conjunto solución del sistema por medio de las gráficas, y verifique las respuestas sustituyéndolas en las dos ecuaciones.

18 7

En los ejercicios 49 a 56, encuentre el centro y radio de la circunferencia. Dibuje la circunferencia, y com pruebe la gráfica en una graficadora.

18 8

CAPITULO 3

RECTAS, P A R Á B O L A S, C IRCU N FEREN CIAS Y TRASLACIÓ N DE EJES

50. 2 x 2 +

49. x 2

+ y 2= 9

51. x 2

+ y 2- 6x

+

5

52. x 2

+ y 2- 8y

m

0

2y 2 = 1 =

tenida en el inciso (a) y una traslación ¿ adecuada, dibuje la gráfica de la segunda tcuacj 0 Compruebe las gráficas de los incisos (a)y do las en el mismo rectángulo de inspeccién.

53. x 2 + y 2 + 4 x - 6 y - 3 =

0

75. y

= |x | ; y = | x - 3 | + 2

54. x 2 + y 2- 8x + 4y + 8 =

0

76.

=| x | ; y = | x + 2 | - 3

y

55. 3x 2 + 3 y 2 + 4x - 4 = 0

77. y = Vx; y = Vx + 5 - 8

56. x 2 + y 2 - 14x + I6y + 32 = 0

78. y = 2 x 2; y * 2(x - l ) 2 + 4

£/i ejercicios 57 y 58, determine si la gráfica es una circunferencia, un punto, o el conjunto vacío. 57. x 2

+ y 2- 2x + 2y + 4 =

58. x 2

+ y 2+ 6x + 4y + 13 = 0

0

En los ejercicios 59 a 62, encuentre la ecuación de la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas y dibuje la circunferencia. 59. Centro en (3, -5 ) y radio 2. 60. Centro en (-2 ,5 ) y tangente a la recta x = 7. 61. Diámetro cuyos extremos son (2, -1 ) y (6 , -5). 62. Centro en (4,3) y pasa por el punto (-7, -1). En los ejercicios 63 y 64, halle la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto P. Trace la circun ferencia y la tangente en el mismo rectángulo de inspec ción. 63. x 2 + y 2 - 2x + 6y - 15 = 0 ; P ( 4 , - 7 )

79. y 80.

y

7

= 2 x m \ y = 2(x - 4 )w - 6 = i - x 3; y = ^ (x + 3)3 + 7

9

SI . y = \ x * - . y = 4

9

4

+ 6) ‘ + 1

82. y = 4 x 1'4; y = 4(x - 5 )w -

2

En los ejercicios 83 a 86,los puntos A, B, CjDmk vértices de un cuadrilátero. Utilizando pendiaiB termine si el cuadrilátero es un rectátgé paralelogrcuno, o un trapezoide. Dibuje el cuaéim 83. A (3,1), B (5 ,2 ), C (15,5), D (17,6) 84. A (-8 ,0 ), B (-3, -5 ), C (1,4), D (3.2) 85. A ( 3 , 1), B (2, -2 ), C (-1, -1 ),D (0,2) 86. A ( 2 , 13), B (-2 ,5 ), C (3, -1), />(7,7) 87. Encuentre la ecuación del bisector pop«tí* del segmento de recta entre los puntos(-1.® ( 3 , 2).

64. x 2 + y 2 + 8x + 4y - 80 = 0 ;/> (2 , 6 ) En los ejercicios 65 a 74, trace la gráfica que tiene la ecuación dada. 65. 3x 2 + 4y = 0

66 . 5x 2 - 16y = 0

67. 5y 2 - 12x = 0

68 . 7y 2 - 24x = 0

69. x 2 + y 2 = 10

70. 4x 2 + 4y 2 = 25

71. x 2 + y 2 - 2x + 6y + 1 = 0 72. x 2 + y 2 + 4x - 8y + 4 * 0 73. 3x2 - 12* - 2y + 10 = 0 74. 4y 2 - 3x + 16y + 4 = 0 En los ejercicios 75 a 82, haga lo siguiente: (a) dibuje la gráfica de la primera ecuación: (b) de la gráfica ob

88. Determine la ecuación de la recta que p**!** punto (5, -3 ) y es perpendicular a la rao ecuación es 2x - 5y = 1. 89. Halle la ecuación de la parábola que oeoe* tice en ( - 3 ,5 ) y su foco en (-3, -I)*

üá

90. Encuentre la ecuación de la parábola cuy« está en (5, 1), cuyo eje es paralelo al pfilJ por el punto (9,3).

En los ejercicios 91 a 96, resuelva el proble***^ trando un sistema de ecuaciones como matemático de la situación. Complete d escribiendo una conclusión. 91. Un hombre colocó sus ahorros en dos in” it*1 ;s . La tasa de interés de la inversión

REVISIÓ N DEL CAPÍTULO 3

10% y de la inversión B de 12%. El ingreso anual de las dos inversiones es de $3 760. Si la inver sión A fuera a 12% y la inversión B a 10%, su in greso anual sería de $3 720. ¿Cuál es la cantidad total de sus ahorros?

18 9

es 12 cm y la longitud de la base es 18 cm. Una sección del espejo formada por un plano perpen dicular a su eje es un círculo. Encuentre la circun ferencia de la sección plana circular si el plano perpendicular se halla a 3 cm del vértice.

92. En un supermercado que vende fruta por libra, una persona compra 3 Ib de naranjas y 6 Ib de to ronjas por un costo total de $ 6 , mientras que una

segunda persona paga $6.40 por 5 Ib de naranjas y 4 Ib de toronjas. ¿Cuál es el precio por libra de las naranjas y de las toronjas? 93. Un químico tiene una solución que es 50% ácido. Al ponerle agua, la solución reduce su contenido de ácido a 40%. Al agregar 500 cm 3 más de agua, la solución contiene sólo el 35% de ácido. Deter mine (a) ¿cuántos cm 3 de la solución al 50% de ácido tenía originalmente el químico?, y (b) ¿cuántos centímetros cúbicos de la solución ácida al 35% obtuvo el químico finalmente? 94. Una inversión produce un interés anual de $7 500. Si se invierten $5 000 más y la tasa es 1% menor, el interés anual es $6 500. ¿Cuál es la cantidad in vertida y la tasa de interés? 95. Los trabajadores A y B pueden completar un tra bajo juntos en 12 días. Si A trabaja sólo por 20 días y B termina el trabajo en sólo 6 días más. ¿Cuánto tiempo tomará a cada trabajador para ha cer el trabajo solo? Véase la sugerencia para el ejercicio 33 en la Sección 3.2. 96. Una mujer tiene cierta cantidad de dinero inverti da a una tasa de interés particular. Si ella tuviera $2 000 más invertidos a una tasa 2 % menor, de bería recibir el mismo interés anual. Si ella tuvie ra $2 000 menos invertidos y una tasa 3% mayor, también debería recibir el mismo interés anual. ¿Cuánto tiene ella invertido y a qué tasa? & los ejercicios 97 y 98, resuelva el problema encon trando la ecuación de una parábola como modelo Matemático de la situación. Complete el ejercicio escribiendo la conclusión. 97. Cualquier sección de un espejo parabólico forma da al pasar un plano por el eje del espejo es un segmento de una parábola, la altura del segmento

98. Un alambre se une 60 pie arriba del suelo a dos postes telefónicos distantes entre sí 180 pie, el ca ble cuelga en forma de parábola. Si a la mitad de la distancia entre los postes, el alambre está 50 pie arriba del suelo, encuentre la altura del alambre a 45 pie de distancia de cualquiera de los postes.

En los ejercicios 99 y 100, utilice la geometría analítica para demostrar el teorema de geometría plana dado. 99. Si las diagonales de un rectángulo son perpen diculares, el rectángulo es un cuadrado. 100. El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado.

Sumario .„ _ , 4.1 Funciones 4.2 Gráficos de funciones 4.3 Funciones cuadráticas ■4Funciones com o modelos 4 c p. . m atemáticos unc iones compuestas

4 .1

FUNCIONES

10 1

4.1 FUNCIONES OBJETIVOS

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Aprender el concepto intuitivo de función. Determinar el dominio de una función. Enunciar la definición formal de función. Calcular valores de funciones. Calcular cocientes diferencia. Encontrar la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones.

Debido a que el Cálculo está relacionado con funciones de números rea les, tales funciones son de interés primario para nosotros. A continua ción se introducirá el concepto de fondón de manera intuitiva. Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales a un conjunto Y de números reales, donde el número y es único para un valor específico de x. La Figura 4.1 muestra tal correspondencia, en este caso, los conjuntos FIGURA 4.1

X y Y están formados por puntos de una región plana.

El concepto de ñinción puede enunciarse de otra manera, intuiti vamente se puede considerar que el número real y del conjunto Y es una función del número real x del conjunto X, si existe alguna regla por medio de la cual se asigne un valor único de y a cada valor de x. Esta regla con frecuencia se determina por una ecuación. Por ejemplo, la ecuación y —x l

define la función para la cual X es el conjunto de todos los números reales y y es el conjunto de los números no negativos. El valor de y en Y asignado al valor de x en X se obtiene multiplicando x por sí mismo. La Tabla 1 proporciona el valor de y asignado a algunos valores par ticulares de x, la Figura 4.2 muestra la correspondencia para los núme ros en la tabla. Tabla 1 X: todos loa números reales

_________ _

Y números no negativos

FIGURA 4.2

-4 y = x2

16

0

16

Se emplearán símbolos como/, g y h para denotar una función. El conjunto X de números reales descritos anteriormente es el dominio de la función, y el conjunto Y de números reales asignados a los valores de x en X es el contradominio (o ámbito) de la función. Los números x y y son variables. Dado que los valores están asignados para x, por lo

192

CAPÍTULO 4 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

cual el valor de y es dependiente de la x elegida, x es la variohi pendiente y y la variable dependiente.

‘"i

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 La ecuación y = 2x2 + 5 define una función llamada función/. La ecuación proporcionalaie^j por medio de la cual puede determinarse un valor único deysiemJ que x esté dado; tal regla es: multiplicar x por sí misma, este prod«* se multiplica por 2, y se suma 5. El dominio d e /e s el conjuntode dos los números reales, el cual puede denotarse con la notaciónde»: tervalo como ( - oo, + oo). El valor más pequeño que y puede asumirá 5 (cuando x = 0). Entonces, el contradominio d e/es el conjuntodt& dos los números positivos mayores o iguales que 5, el cual es [5, +oo).i

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Sea g la función definida por la ecuación y = Vx 2 - 4 Debido a que los números están restringidos a los números reate.! es una función de x sólo para x > 2, o bien, x < -2 (o simplemente |jí > 2); para cualquier x que satisfaga alguna de estas desigualdades,* determina un único valor de y. Sin embargo, si X está en el inteni ( - 2, 2), se obtiene la raíz cuadrada de un número negativo y(te*!1 que y no sea un número real. Por tanto, se deberá restringirla | El dominio deges (-oo, - 2] U [2, + oo), y su contradominio es [0, +09) j Se puede considerar una función como el c o n j u n t o de pares nados. Por ejemplo, la función definida por la ecuación y=*Jconflsr de todos los pares ordenados (x , y) que satisfacen la ecuación. L®J res ordenados de esta función presentados en la Tabla 1 son(1. (f, |), (4, 16), (0, 0), ( - Í , 1), ( - f , |) y ( - 4 , 16). Por supuesto, exi** número infinito de pares ordenados en la función. Algunos otros (2,4), (-2,4), (5, 25), (-5, 25), (VF, 3) y así sucesivamente.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 La función f del ejemplo ilustrativo 1 es el conjunto de 108 nados ( x , y) para los cuales y = 2 * 2+ 5. Algunos de l o s t dos en/ son (0,5), (1,7), (V2 , 9), (2, 13), (-1, 7), (-V^, 15) y o*05

4.1

FUNCIONES

193

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 La función g del ejemplo ilustrativo 2 es el conjunto de pares ordenados (x, y) para los cuales y = V*2 - 4. Algunos de los pares ordenados de g son (2,0), (5, V2F), (-2,0), (3, V5), (-9 , V78), y muchos más. 4 Ahora, se dará la definición formal de una función. Ésta se define como un conjunto de pares ordenados más que como una regla de co rrespondencia , lo cual hace su significado preciso.

DEFINICIÓN

Una función

Una función es el conjunto de pares ordenados de números reales (x, y) en los cuales dos pares ordenados distintos no tienen el mismo primer número. El conjunto de todos los valores per misibles de x es llamado dominio de la función, y el conjunto de todos los valores resultantes de y se conoce como contradomi nio (o ámbito) de la función.

En esta definición, el hecho de que dos pares ordenados distintos no pueden tener igual el primer número, asegura que y es único para un valor específico de x. S i/e s la función en la que la variable x representa a los elementos de su dominio y la variable y representa a los del contradominio, el símbolo fix) (léase “/ d e x”) denota el valor particular de y que corres ponde al valor de x. Esta notación se debe al físico-matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783).

>


En el ejemplo ilustrativo 1, / es la función definida por la ecuación y = 2x2 +5. Así, f(x) = 2jc2 + 5 Dado que cuando x = l, 2x2 + 5 = 7, se tiene que/(1) = 7. De manera similar f(-2) = 13,/(O) = 5, y así sucesivamente. M

>


En el ejemplo ilustrativo 2, g se define por la ecuación y = Vx 2 - 4 Por tanto, g(x) « V* 2 - 4

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS Ahora se calculará g(x) para algunos valores específicos de x. gQ) g(S) = <2\, g(-2) = 0, g(-9) = V 7 f, y así sucesivamente. Cuando se define una función, el dominio de la función debe^ se de forma implícita o explícita; por ejemplo, si/está definidapor /(x) = 3x 2 - 5x + 2 esto implica que x puede ser cualquier número real. Sin e se define por /(x) = 3x 2 - 5x + 2

1 < x

10

entonces el dominio de / consta de todos los números reales entreI 10, inclusive 1 y 10. De manera similar, si g se define por la ecuación í\ 5x “ 2 sw = 7 T T está implícito que x * - 4 , debido a que el cociente no está defina para x = - 4 , de aquí que el dominio de g sea el conjunto de todosIb números reales excepto -4 . Si h{x) = V9 - x 2 está implícito que x se encuentra en el intervalo cerrado [-3,3]deW a que V9 - x 2 no es un número real para x > 3, o bien *<-3. dominio de /i es [-3, 3], y su contradominio es [0,3].

► EJEMPLO 1

Cálculo d o valores de u n a función

Dado q u e /e s la función definida por f(x) = x 2 + 3x - 4 encuentre: (a )/( 0 ); (b )/( 2 ); (c)/(/*); (d)f(2h); (e)f(2x).

Solución (a) / ( 0 ) = O2 + 3 • 0 - 4 = -4

(b) /(2 ) = 2¡ + 3 ■2 ' 4 =6

(c) /(/i) = h 2 + 3h - 4

(d) f(2h) = (2A)! + 3(2**' = 4Aj + 6 * '4

(e) /(2 .t) = (2jc)2 + 3(2jc) - 4 - 4 x 2 4- 6 x — 4

► EJEMPLO 2

Cálculo d e valores de una función

v¡J| Para la función del ejemplo 1, encuentre: (a)/(x + h)i

4.1

FUNCIONES

195

Solución (a) f ( x + h)= (x + h)2 + 3(x + h) - 4

= *2 + 2/í.r + h2 + 3x + 3h -

4

— * 2 + (2h + 3)jc + (h2 + 3/* — 4) (b )

/ (*) +

(x2 + 3 * ~ 4) + (h2 + 3h = * 2 + 3x + (h2 + 3h - 8)

/ (/ i) *

-

4) <

Compare los cálculos del ejemplo 2. En el inciso (a) se encontró / ( x + h), el cual es el valor de la función de la suma de * y h. En el in ciso (b), donde se calculó/ ( x) +f(h), se obtuvo la suma de dos valores de la función, f(x) y f(h). En Cálculo, frecuentemente, se determinan cocientes de la forma

FIGURA 4 3

f ( x + h ) ~ f(x) h llamados cociente diferencia. Un cociente diferencia se considera com o la pendiente de una recta que pasa por los puntos (x,f(x)) y (x + h,f{x + h)) de la gráfica de la ecuación y =f(x). Véase la Figura 4.3.

► EJEMPLO 3

Cálculo d e un cociente diferencia

S if(x) = 3 x2 - 2x + 4, y h * 0, encuentre

f ( x + h) - f(x) h Solución / ( s . + . h) - / ( x) _ 3 (x + h)2 - 2 { x + h) + 4 - [3x2 - 2 x + 4) h

h _ 3 x 2 + 6h x + 3 h 2 - 2x - 2h + 4 - 3 x 2 + 2 x - 4 , = h 6h x - 2 h + 3h 2 h — 6 x — 2 + 3h

Ahora se definirán algunas operaciones entre funciones. En la de finición se forman nuevas funciones mediante la suma, resta, multipli cación y división de los valores de las funciones dadas. Por tanto, estas nuevas funciones se conocen como la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las funciones originales.


DEFINICIÓN

Suma, diferencia, producto y cociente de do» funciones

Dadas dos funciones / y g: (i) Su suma, denotada por / + g, es la función definida por ( / + g) (x) = f(x) + g(x) (ii) Su diferencia, denotada p o r/ - g, es la función definidapor ( / - g) (■*) = f(x) ~ g(x) (ni) Su producto, denotado po r/ • g, es la función definidapor ( / • g) (x) = f(x) • g(x) (iv) Su cociente, denotado por f / g , es la función definida por (//£> (*) = f(x)/g(x) En cada uno de los casos, el dominio de la función resul tante consta de aquellos valores de x comunes a los dominios d e /y de g, con el requerimiento adicional en el inciso (iv)de que los valores de x para los cuales g(x) = 0 están excluidos.

► EJEMPLO 4

Operaciones con funciones

Dado q u e/y g son las funciones definidas por f(x) = V T T T

yg(x) = V* - 4

encuentre: (a) ( / + g) (jc);.(b) ( / - g)(x); (c) ( / • g) (x); (d) ( / 0 En cada caso determine el dominio de la función resultante. Solución (a) ( / + g)(x) = V x + 1 + V x - 4

(b) ( / - g)(xj m V x + 1 - Vjc — 4 ,_____ ______ (C) ( / ■g)(x) = V x + 1 • V x - 4

v í+ j (d) (f/g)(x) =

yX p¡t

El dominio de / es [-1, + o o ), y el dominio de g es [4, +0’| incisos (a), (b) y (c) el dominio de la función resultante es I ■

i«

4 .1

FUNCIONES

19 7

En el inciso (d) el denominador es cero cuando x = 4; por lo que 4 está excluido del dominio y éste es, por tanto (4, +oo). M

ejercicios i Dada/W = 2x - 1, encuentre: (a) /(3) (d) /( a + 0

10. La función del ejercicio 2.

(b) / ( - 2 ) (c) / t * + *)

/(O)

12. La función del ejercicio 6 .

2. Dada/(*) = x 2 + 1, encuentre:

(a) /(2) (b) / ( —3) (d) /(« ” 1) (e> f ( x ~ | Í


(c)

/(O)

En los ejercicios 13 a 22, calcule y simplifique el cociente diferencia para cada una de las funcio nes indicadas. ñ

3. Dadaf(x) = 3x2 - 5x + 4, encuentre:

(a) / ( - l ) (d) f ( x 2)

(b) / ( 4 )

(c) [/(x )]2


4. Dada/(x) = 8 - x 3, encuentre: (a) / ( - 2) (d) /( x 2)

(b) / ( 5 )

(c) [ /( x )]2

encuentre:

(a) /(1)

(b) / ( - 3 )

17. La función del ejercicio 5. (O

(e) / G

<•> /(7)

(d) 41

18. La función del ejercicio 6 . /(•*)

(e) / ( |

(•) / ( - l )

(b) /(4 )

W) / ( l l )

(e) /(2 x

/w (f) / ( 2)

+ 3)

*• Dada/Cx) = V2x 2 + 1 , encuentre:

W) /G )

(b) /(O )

(c) / ( l )

(e) /( 2 x 2 + 1)

¡os ejercicios 9 a 12, encuentre cada una de las fyuíentes expresiones para la función indicada: k) V(xy, (b)f(2x)\ (c)/(x) + f(h); (d) /(x + h). • La función del ejercicio 1.

19. La función del ejercicio 7, simplificándola por ra cionalización del numerador. 20. La función del ejercicio 8, simplificándola por ra cionalización del numerador.

encuentre: x | 1 (b) / ( —5)

7. Dada/(x) = V2x + 3, encuentre:

<*> /(~ 2 )

15. La función del ejercicio 3. 16. La función del ejercicio 4.

5. Dada/(x) =

6. D ada/(x ) =

h 13. La función del ejercicio 1.

21. /(*) = a | 9 P ; simplificándola por racionalización V x+1 del numerador. 2 22 . /(x) = ■ ; simplificándola por racionalización V x- 2 del numerador. En los ejercicios 23 a 32, defina lasfunciones siguientes y determine el dominio de laJunción resultante: (a) / + g\ (b) / - g\ (c) / • g\ (d) f / g y (e) g/f. 23. /(x ) =

x - 5; s(x)*= x 2 - 1

24. /(x ) =

Vx; g(x) = x 2 +

1

2 5 ./W = ^ ;* W = i /(x ) = V x; g(x) = 4 - x J

26. 27. /(x ) * 28. f(x ) *

Vx; s(x) * x 2 | x | ; g(x) * IX -

1

31

%

I 198

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

29. f i x) = x a + 1; g(x) = 3x 30. /(x) = Vx + 4; #(x) =* x 2 1 /V * 31. /( x ) = x—+T T1I í W *

six *

si x = O encuentre

32. /(x) = x2;g(x) =

(a) / ( 1) (*>) / ( —O (c) /(4) (d) / ( —4) (e) f ( - x ) (f) f[x + 1) (g) f i x 2) (h) / ( - x 2) [0, 2) 36. En esta sección se introdujeron las notaciooa/1 /(x), pertenecientes a funciones, así comosus¿ rentes significados. Explique lo que significaqj una de las notaciones, y en la explicaciónproa» ga una ecuación que defina una función, empleéi ecuación propuesta para diferenciar entre/y/^ I

33. Dada //(x) = | x - 2 | - | x | + 2, exprese H(x) sin las barras de valor absoluto, si x está en el intervalo (a) [2, + oo) (b) (-oo, 0) (c)

34. Dada/(O

I 3 + / 1- | / 1- 3

exprese /(/) sin las barras de valor absoluto, si t está en el intervalo: (a) (0, +oo) (b) [-3,0) (c) ( - oo, -3)

35.

0

Dada

4.2 GRAFICAS DE FUNCIONES OBJETIVOS

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Definir la gráfica de una función. Encontrar el dominio y contradominio de una función. Dibujar gráficas de funciones. Definir tipos de funciones. Definir función par y función impar. Determinar cuándo una función es par, impar o ninguna dffcí dos.

En la Sección 4.1 se dijo que una función / puede representáis una ecuación de la forma y = /(x ), la cual da el conjunto de paiesoj nados en la función. El concepto de función como conjunto de ordenados permite proporcionar la siguiente definición de lagráfa una función.

DEFINICIÓN

Gráfica de una función

S i/e s una función, entonces la gráfica de fe s el conjunto^ dos los puntos (x, y) en R 2para el cual (x, y ) es un par «w de/.

A partir de esta definición se puede decir que la gráfica ció n /e s la misma que la gráfica de la ecuación y */(*)

del'*

4.2

GRÁFICAS PE FUNCIONES

199

Recuerde que para una función existe un único valor de la varia ble dependiente por cada valor de la variable independiente del domi nio de la función. En términos geométricos, esto significa: La gráfica de una función puede ser cortada por una recta verti cal, en no más de un punto.

>


Dada,

f(x) = V2 - X La gráfica de / se muestra en la Figura 4.4. Observe la recta vertical que tiene la ecuación x = k, donde k < 2 , corta la gráfica en sólo un punto. E i dominio d e /e s el conjunto de todos los números reales menores o iguales que 2 , el cual es el intervalo (-oo, 2], y su contradominio es el conjunto de todos los números reales no negativos, esto es, [0 , + oo). 4

>


Considere el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) para los cua les

x 2 + y 2 = 25 La gráfica de este conjunto se muestra en la Figura 4.5. Este conjunto de pares ordenados no es una función, debido a que para cualquier x en el intervalo (-5, 5) hay dos pares ordenados que tienen x como el primer número. Por ejemplo (3, 4) y (3, -4 ) son pares ordenados en el conjunto dado. Además, observe que la gráfica del conjunto es una circunferencia con centro en el origen y radio 5, y cualquier recta ver tical cuya ecuación e s x = k, donde -5 < k < 5, intersecta a la circunfe rencia en dos puntos. 4 El dominio de una función es, generalmente, evidente a partir de la definición de la función. Con frecuencia, el contradominio puede ser determinado por medio de la gráfica de la función.

>


La gráfica de la función definida por f(x) = | x - 4 | - 6 es, por supuesto, la gráfica de la ecuación y = | x - 4 | - 6, la cual se obtuvo en el ejemplo 4 de la Sección 3.5. Aquí se reproduce como la

200

CAPÍTULO 4 FUWCIOWIS Y SUS GRÁFICAS

Figura 4.6. El dominio d e/e s (-00 , +oo), y el contradominio, te en la gráfica, es ( - 6 , +oo). 1

En el siguiente ejemplo ilustrativo se tiene unafunción definid, trozos (o tramos) la cual se obtiene por más de una ecuación. 1

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Sea g la función definida por flx) = |x —4 1 -6 FIGURA 4.6

si x ÉL “ I si - 1 < x < 2

g(x)

fjgcsa

si 2 < x La gráfica de g se muestra en la Figura 4.7. El punto sólido (-1,-3) el punto vacío (—1, 1) indican que el valor de y es -3 cuandor=-M dominio de g es (-oo, +oo), mientras que el contradominio comía de tres números -3 ,1 y 4. j

ñ

4—f

-T^ I I -é

Para trazar la gráfica de una función de este tipo se requierea& sultar el manual de procedimientos de la calculadora gráfica ografiodora. Las funciones definidas a trozos se emplean por lo comúnenCfeN como ejemplos y contraejemplos de funciones que poseen ciertas|» piedades. Esto es, la gráfica de la función en el ejemplo ilustrativo^ tiene rupturas en los puntos donde x = -1 y x = 2, lo cual indicaquesj función es discontinua para esos valores de x. En el ejemplo sigue* se tiene una función definida a trozos cuya gráfica no se rompees 1, el valor de jc en el cual las ecuaciones de definición cambian.Sí embargo, al estudiar Cálculo se aprenderá que esta gráfica notieneí¡ recta tangente en el punto donde x = 1.

+H2

► EJEMPLO 1

D i b u j o d o l a g r á f i c a d o u n a fu n d ó n dtfai# a t r o z o * y d e t e r m i n a c i ó n d o su dominio f c o n tr a d o m in io

FIGURA 4.7

Dibuje la gráfica de la función h definida por 3x - 2 «*> = < + ,)

si x < si 1 <

Determine el dominio y contradominio de h. Compruebe la medio de la graficadora. Solución Cuando * < 1, los valores de la función están ta y = 3x -

2 y cuando 1 á

x, los valores de la función est*

|||p

.

4 .2

GRÁFICAS PE FUNCIONES

201

parábola y - j (x 2 + 1). La gráfica se muestra en la Figura 4.8. Tanto el dominio como el contradominio son ( - oo, oo). La graficadora proporciona la misma gráfica.

► EJEMPLO 2

Dlbu¡o de la gráfica d a u n a función q u e tiene un agujero y determ inación d e su dom inio y contradom inio

Dibuje la gráfica de la función F definida por x2 - 9 F(x) = ------ 1 x - 3 y encuentre su dominio y su contradominio.

Solución Debido a que el valor de la función está determinado para cada valor de x, excepto 3; el dominio de F consta, de todos los números reales excepto 3. Cuando x = 3, tanto el numerador como el denominador son cero y jj no está definido. Al factorizar el numerador como (x - 3) (x + 3), se obtiene F(x) =

(x - 3)(x + 3) x —3

o F(x) = x + 3t teniendo en cuenta que x * 3. En otras palabras, la fun ción F consta de todos los pares ordenados (x, y) tales que x + 3

x * 3

De esta definición de F, es evidente que la gráfica contiene todos los puntos sobre la recta y = x + 3 excepto el punto (3, 6 ). La gráfica se muestra en la Figura 4.9. El contradominio de F es el conjunto de to dos los números reales excepto 6 . < En el ejemplo 2, la gráfica tiene un “agujero” en x = 3. Donde F(3) no está definido. En el siguiente ejemplo, la gráfica también tiene un agujero en x = 3, pero el valor de la función en 3 está definido.

►

EJEMPLO 3

Dlbu¡o d e la gráfica d e una función q u e tiene un agujero y determ inación d e su dom inio y co n tra d o m in io

Dibuje la gráfica de la función G definida por G(x) =

[x + 3 2

si* * 3 si x = 3

Determine el dominio y contradominio de G.

Solución La gráfica de G se muestra en la Figura 4.10. La gráfica contiene el punto (3, 2) y todos los puntos sobre la recta y = x + 3,

202

CAPÍTULO

4

HJMa o m * v K M OOAMCAS

_____ £ £ * > . «< 7 I l 1

6

Cn- r’Í '—

" -

¿ M i

► EJEMPLO 4

DiKjk I i|n iñ c a 4 t Ib fc n o á t/d rfiü d * f A *)* ( D eterm ine el d n w i i o y c o M n t a É H o

n < a i A 4.11

S o l u c ió n La g ráfica J e / . w n n A i o piiH ír (2« 7 ) y todo* lo s p u a b n to te e i i pn D ebido i que / e s t á d efinida p a ra k 4 o i loi e t (—00, 4 00). E l c o a tra d o m a n o e t H coi reales no negativos

E JE M P L O

5

• Ira iM y émémrmtám

(onfrvdomwM«

Dibuje la gráfica de la función g definida por

i í ^

a

f(*) * ■ T f - j r * 5 - a

si x < - 3 f l - ) S x f

3

B 3 < 1

Determine el dominio y cotB adoB W o de g.

■

Soiucion La pane de la gráfica de ¿ p a n * < la recta y * x ♦ 5. P n - ) S i S J , y s 1í cunferencia superior de t J ♦ v: = 9 La parte de una porcina de h recta y * 5 - jl La gráfica 4.12. 0 dominio de ¿ es (-c e . +oo) y el lu n n a liB ^ » * De igual manera, cono se construye la íb w ^b una grañeadora. te grafica la función del máxü&t o*** res se denotan por JxJ y estás definidos por [x j s

r

si n < x < n + I,

donde ae*

O sea. Ixl es el entero más grande, merwr que o [1.3] = I. Jl] = a [ - 4 - ] = - 5 . [ - 8 ] = -&- y «»•***

éM

4.2

GRAFICAS DE FUNCIONES

203

La gráfica de la (unción del máximo entero se muestra en la Figu ra 4.13. En muchas graficadoras esta función se denota por ¡NT(x). Los siguientes valores se utilizan para obtener la gráfica: 5+

•— O •-0

5

6

M

= -5

—4 < x < - 3

W

= -4

-3 < x < -2

M

= -3

W

t

-2

0

M

-

-1

0 < x <

1

M

=

0

1 2= X <

2

M

=

1

2< x <

2

H

2 3 4

< -4

VI
*-o

H

-

VI IO 1

4

< -1

-1 < X <

r-3 - --4 - -_ 5

FIGURA 4.13

VI VI

3

M

=

<

4

M

=

3

<

5

-

4

W

El dominio de la función del máximo entero es el conjunto de to dos los números reales y su contradominio consta de todos los enteros.

► EJEMPLO 6

Dibujo d e la gráfica d e u n a función qu e im plica la función d e l m áxim o entero y determ inación d e su dom inio y contradominio

Dibuje la gráfica de la función H definida por //w = M Determine el dominio y contradominio de H y compruebe la gráfica obtenida en una graficadora.

Solución Si 0 < x < 1, [x] = 0; entonces [x] -

x = -x

Si 1 < x < 2, [x] = 1; entonces [x] -

x= 1 - x

Si 2 < x < 3, [x] = 2; entonces [x] -

x= 2 - x

Si -1 ^ x < 0, [x] = -1 ; entonces [x] - x = -1 - x fc- 4 - I - 2 - 1 0 .

1 2 : x

FIGURA 4.14

3 ^

4 A .

Si - 2 £ x < -1 , [x] = -2; entonces [x] - x = -2 - x y así sucesivamente. La gráfica de H se muestra en la Figura 4.14. El dominio es el conjunto de todos los números reales, y el contradominio es ( - 1, 0 ]. La gráfica de la función H se obtiene en la graficadora mediante y é ¡NT (x) - x

<

204

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SUS QRÁFjCAS

•r> n

Una función cuyo contradominio consta de un nomina función constante. Es decir, si /(*) a c d S0!.° nÚRiet0 número real, / es una función constante. La gráfi c* J constante es una recta horizontal a una distancia de ^, CaJde uecunidadCi (ic, ^

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 M

1 1

5

FIGURA 4.15

(a) La función definida por f(x) = 5 es una función gráfica se muestra en la Figura 4.15, k 15, es una recta rectalhí2 nSUn,e dades arriba del eje x. 5 (b) La función definida por g(*) = >or g(x) = - 4 es una función constan, gráfica es una recta horizontal 4 unidades ñor T* Véase la Figura 4.16. Una función lineal está definida por /(x ) =

J5 1 1 1 'o

i l i I Ir 5 g(x) = -4

m x

+ b

donde m y b son constantes y m * 0. Su gráfica es una rectaque pendiente m e intercepta el eje y en b

>


1 m i

La función definida por / ( x) = 3x - 2

FIGURA 4.16

/(x) = 3*-2

es lineal. Su gráfica es la recta que aparece en la Figura 4.17. La función lineal particular definida por ftx ) = x se denomina función identidad. Su gráfica, mostrada en k 4.18, es la recta que bisecta los cuadrantes primero y tercero.

T

f(x) =x

FIGURA 4.17

FIGURA 4.18

4.2

GRÁFICAS DE FUNCIONES

205

Si una función/está definida por f( x ) = aHx n + an-ix"~ l + an- 2 Xn~2 + . . . + a¡x + do donde a0, al t . . . , an son números reales (an * 0 ) y n es un entero no negativo, entonces,/se llama función polinomial de grado n. Así, la función f(x) = 3x5 - x 2 + I x - 1 es una función polinomial de grado 5. Una función lineal es una función polinomial de grado 1. Si el grado de una función polinomial es 2 , ésta se denomina función cua drática, y sí el grado es 3 se llama función cúbica. Las funciones cuadráticas se discutirán en la Sección 4.3, y la grá fica de la función polinomial se tratará en la Sección 5.3. Una función que puede expresarse como el cociente de dos fun ciones polinomiales se le llama función racional. Las gráficas de las funciones racionales están consideradas en la Sección 5.5. Una función algebraica es aquella que está formada por un nú mero finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante. Estas operaciones algebraicas incluyen adición, sustracción, multiplicación, división, elevación a potencias y extrac ción de raíces. Las funciones polinomiales y racionales son formas particulares de funciones algebraicas. Un ejemplo complicado de una función algebraica es el que está definido por , , , _ W - 3x + l )3 f(x) ------ 7= = = — Vx4+ 1 Las funciones trascendentales también se discuten en este texto. Ejemplos de funciones trascendentales son las funciones exponencia les y logarítmicas que se presentan en el Capítulo 6, así como las fun ciones trigonométricas tratadas en el Capítulo 7. Una función cuya gráfica es simétrica con respecto al eje y es una función par, y una función cuya gráfica es simétrica con respecto al origen en una función impar. A continuación se dan las definiciones formales.

DEFINICIÓN

Función par y función impar

(i) Se dice que una función / es par si para cada x en el domi nio de/, / ( - x) =f(x). (tí) Se dice que una función f e s impar si para cada x en el do minio de /, /(-* ) = -f(x). En ambos incisos, (i) y (ii), se sobreentiende que -x está en el do minio de/ siempre que x lo esté.

206

CAPÍTULO 4


Las propiedades de simetría de las funciones pares e ’ ducen a partir de las pruebas de simetría determinabas en >

1 1 1i 0 A F IG U R A 4.19

EJEMPLO ILüSTRATIVÓT~

(a) Si f(x) = x 2, f(-x ) = (—x)2. Por tanto, f(-x) =/(*)y función par. Su gráfica es una parábola simétrica con *4 eje y. Véase la Figura 4.19. resPecio( (b) Si g(x) = x 3, g(-x) = (-x)3. Dado que g(-x) = -g(X)t| | | | i

ción impar. La gráfica de g, mostrada en la Figura 4 20 trica con respecto al origen. ►

EJEMPLO 7

Determinación gráfica y algebraba d* cuándo una función t i par, impar od» ninguna d e las dos clases

Trace la gráfica de la función dada y a partir de ésta establezal función es par, impar o ninguna de ellas. Demuestre lo mencioaúj| manera algebraica. (a) / ( x) =

3 x A- 2 x 2 +

(b) g(x) =

3 x 5— 4 x 3 — 9x

(c) h(x) =

2x4+ l x 3 - x 2 + 9

¡45]por[-30.30]

¿=W-r+9

7

Solución (a) La gráfica de /, presentada en la Figura 4.21, es simétricacaÉ pecto al eje y. Por tanto, la función es par. Para demostrare^ 42, dibu manera algebraica se calcula/(-Jc): ^■MsiiJomiriioyconi îhenmgrafil f { - x ) = 3(—jc)4 - 2 ( - x ) 2 + 7 = 3*4| ¡ 2 x 2 + 7

1/Íí)=3i-¡

= /W Debido a que/(-jc) =/(*), f es par. W L*

3I

fe +2|

[-5.5J por [0, 10] A») m3x* - lx ‘ + 7 FIGURA 4.21

4 .2

;s una fue

M7

(b) La Figura 4.22 muestra la gráfica de g, la cual es simétrica con

pares se de. cción 1.5

s í , / e s un respecto i

GRÁFICAS D i FUNCIONES

respecto al origen. Por consiguiente, la función es impar. Al calcular g (-x ) se obtiene:

* ( - * ) = 3 (—jc)5 - 4 (—x )3 - 9 (—jc) = —3jc3 + 4 x 3 + 9x

[-5,5] por [-11,11]

= ~ ( 3 x 5 - 4jc3 - 9x)

g(x) = 3x5—4 *’ - 9x

= ~g(x)

FIGURA 4.22 Dado que g (-x) = -g (x), se ha comprobado algebraicamente que g es impar. (c) La gráfica de h, que aparece en la Figura 4.23, no es simétrica ni coh respecto al origen, ni en relación con el eje y. Por tanto, la función no es par ni impar. Si se calcula h(-x ) se tiene: h (-x ) i

2 ( —x)4 + 7 (—x)3 - ( -jc

)2 +

9

= 2 x 4 - 7jc3 - x 2 + 9

ñonadoú:

[-5,5] por [-30,30] h(x) = lx i + 7 x '- x 1+ 9

Debido a que h(-x) * h(x) y h(-x) *■ -h(x), h no es ni par ni impar.

FIGURA 4.23

¡ca con ic trar esto£

EJERCICIOS 4.2 En los ejercicios 1 a 42, dibuje la gráfica de la función y determine su dominio y contradominio. Compruebe la gráfica obtenida en una graficadora.

19. /(*) =

20. ñx) = ( x - l

8. ti- *U) = V9~- x

33 \x

- 31

Vi -

=

JC2 -

x -

í-2

si x £ 3 si 3 < x si x < -2 si -2 ¿ * <.2 si 2 < x

í- 4

-1

=

3

23. g(x) = 4 2

6

i 2.

22. * ( x )

io. g(x) = v r ^ !2. f(x) = V ? 14. H(X) - |5 !<»• G(x) =

21. /(*)

)2

F(x) = V 9

x - 1 (x2 - - 4)(x - 3)

¿(x) =

2. g{x) = 4 - x

4. G(x) = x 2 + 2

x 2 - 4x + 3

f 2x - •

1

1°

3x + 2 24. / ( x) = | g

■I

.

25. F(x) ■" j

_2

- 4

si x * si jc =

2 2

si X * 1 si x 1 si * * 3 si jc = 3

4

208

CAPITULO 4

F U N G O N ES Y SU S G RÁFICAS

si x * -3

26. G(x) =

27. G(x) = I 1 ~ x2 i 3jc + 1

28. F\x) =

29. g(x) =

jx 2- 4 \2 x - 1 í 6x + 7 1*

-

íx -2 30. f(x) = (x 2 + 1

49. (a) f ( y ) =

(c) /(x ) =

si x ^ —2 si —2 < x

50. (a) h(x) =

si x < 0 si 0 < x

+ 2

| Vl6 - x 2 [2 - x 33. F(x) g¡

En los ejercicios 49 y 50, determine algébra la función es par, impar o ninguna de las

si x < 3 si 3 ^ jc

[3 - x jc

(b) g(x) = 2 f| jcI| + 3

si x < 0 si 0 < jc

[x + 3

Í

48. (a) /(x)

si x * -3

l4

x 3 - 2x 2 x - 2

(c) fix ) =

si x < —5 si -5 < x < 5 si 5 < x

X2

+ 1

x2 - 5 2x 3 + x -1 1

(b) g(z) =£

si x < 0 si 0 < x

denotada por U y definida por

U(x) =

si x < 0 si 0 < x

Encuentre las fórmulas que definenencada« las siguientes funciones y dibuje susgráficas. (b) U(x - 1) (c) U(x) - U(x - ¡)

x3 ■ X

35. h(x) = |x | + \x - 1

52. Encuentre las fórmulas que definen cadaunii

siguientes funciones y dibuje sus gráficas,da* es la función de salto unitario definidaenelf ció 51:

36. H{x) = |jc2 — 11 37. g(x) =* | x | • | x - 1 1 38. F(x) = 0* + 2j 39. / ( x) = { x - 4 \

40. H{x) = | x | + [x]

41. G(x> = x - ffxl

42. A(x) = ffx2J

43. (a) f(x) * 2x4 - 3x2 + 1 (b) g(x) =5x5 + 1 44. (a) f(x) =

x 2 +2x + 2 (b) g(x) = x 6 -

45. (a> f(x)

=

5x 3

- 7x

46. (a) f(x) =

4* 5

+3* 3(b) g(X) = x 3 +

(b) g(x)

=

(5)= sx 4 -

(a) x - U ( x ) (b) (x + l)-V(x +\) j (c) (x + 1) • í/(x + 1) - x • U(x) 53. (a) Dibuje la gráfica de la Junción signo^ por sgn y definida por

En los ejercicios 43 a 48, trace la gráfica de la función y a partir de la gráfica exprese si la función es par, im par o ninguna de las dos. Posteriormente, pruebe lo ex presado de forma algebraica.

47. (a) f(x) *

ri i

|x |

51. (a) Dibuje la gráfica de lafunción desalto

si x £ - 4 si - 4 < x < 4 si 4 < x 34. G(x) =

(b) *(r) ^

y2 + 1

1

sgnx =

-1 0 1

si x < 0 si x * 0 si 0 < x

sgn x se lee “signo de x”. Encuentre que definen cada una de las siguientes dibuje sus gráficas. (b) x - sgnx (c) 2 - x - s g n x (d) x - 2 sgn x

j x |

1 4

54. Encuentre las fórmulas que definí c‘^ ( f s i g u i e n t e s funciones y dibuje suSJ^ s g n es la función signo definida en

___________ 4 .3

(a)

+ 1)

(b)

~ O

(c) sgn(x + I) - sgn(x - 1 ) 55. Demuestre que si f y g son ambas funciones impares, entonces ( / + g) y ( / - g) son también funciones im pares y f ' gyfi'g son ambas funciones pares. 56. Existe una función, cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales, y que es par e impar. ¿Cuál es esa función? Compruebe que ésta es una función única.

FU N CIO N ES CUADRÁTICAS

209

59. Las gráficas de los ejercicios 57 y 58 se parecen a dos letras del alfabeto. Defina otras dos funciones cuyas gráficas tengan parecido con dos letras dife rentes del alfabeto. 60. En la figura siguiente, la gráfica tiene un parecido con la letra X y es la unión de las gráficas de dos funciones / , y /2 trazadas en el rectángulo de ins pección [ - 1 , 1J por [ - 1 , 1J. D efina/, (x) y / 2(x).

57. La gráfica de la función / en la siguiente figura se parece a la letra W. Defina la función a trozos/(x).

58. La gráfica de la función / en la figura siguiente se parece a la letra M . Defina la función a trozos/(x). 61. Existen tres funciones f x, f 2 y / 3, la unión de sus gráficas trazadas en el rectángulo de inspección [-1 , 1] por [—1, 1] se parece a la letra Z. Defina /i(x ),/ 2(x) y / 3(x). 62. Explique por qué la definición de una gráfica es consistente con la definición de una función como un conjunto de pares ordenados. En la explicación utilice un ejemplo específico.

4 3 FUNCIONES CUADRÁTICAS OBJETIVOS

1. D ib u jar y tra z a r gráficas de funciones cuadráticas. 2. E n co n trar los ceros de una función cuadrática. 3. D eterm inar el valor extrem o de una función cuadrática. 4. Resolver enunciados de problem as que tienen un a función cuadrática como modelo matemático.


En la sección previa se dijo que una función c poiinomial de grado 2. Por consiguiente la está definida por ’ Clón cuadrá*¡p ^4 / ( x) = ax2 + bx + c donde a , b y c son constantes que representan nú La gráfica d e /e s la misma que la gráfica de la e c ^ i^ y = ax2 + be + c la cual, se vio en la Sección 3.3, es una parábola c Las propiedades discutidas en las secciones 3 3 ' cuando se dibujan parábolas.

sondc

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Si la función/está definida por f(x) = -2 x 2 + 8x - 5 la gráfica d e /e s igual que la gráfica de la ecuación y = -2 x 2 + 8x - 5 Esta ecuación es equivalente a 2(x2 - 4x) = - y - 5

y

(2 , 3 )

A fin de completar el cuadrado del binomio dentro del párente» suma 2(4) a ambos lados de la ecuación, y se tiene 2(x2 - 4x + 4) = - y - 5 + 8 0t r

2 ) j = ¡ ¡ ¡ | y S 3)

Esta ecuación es de la forma (x - h)2 = 4p(y - k) abofe1

FIGURA 4.24

donde (h, k) es (2, 3) y p = - Por tanto, el vértice de lap** en (2, 3) y el eje es la recta x = 2. Debido a quep < hacia abajo. Al localizar algunos puntos sobre la para o ^ la se obtiene la gráfica mostrada en la Figura 4.24. graficadora. Los ceros de una función/ son los valores para

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 La función del ejemplo ilustrativo 1 está definida p° f(x) = - 2 x 2 + 8x - 5

IflS

_____________________________________ 4 . 3

F U N C IO N E S C U A D R A T IC A S

para encontrar los ceros de esta función, se sustituye obtiene

2 11

0 por f ( x ) y

se

- 2 x 2 + Sx - 5 = 0

8*

Ix1 -

+ 5 = 0

Al resolver esta ecuación mediante la fórmula cuadrática, donde a - 2, b = -8 y c - 5, se tiene x

=

-b

±

Vb2

4ac

-----------------------------------

2a =

-

8± 8

V 6 4 - 40 4

± ^^24 <4

_ 8 ± 2 Vó

4 _ 4 ± Vó

2 De aquí que los ceros d e /s o n FIGURA 4.26

4 + Vó~ — - — « 3.22

y

4 - Vó — - — * 0.78

Estos números son también las intercepciones x de la parábola de la Figura 4.24. Verifique estas intercepciones x usando el aumento (zoom in) de la graficadora. -4 En general, si /(;t) = a x 2 + bx + c entonces los ceros d e /s o n las raíces de la ecuación a x 2 + bx + c =

0

En la Sección 2.2 se vio que una ecuación cuadrática en una variable puede tener dos raíces reales, una raíz real (de multiplicidad 2), o dos raíces imaginarias. Si una ecuación cuadrática tiene dos raíces reales, la función cuadrática correspondiente tiene dos ceros reales y su gráfi ca intersecta al eje x en dos puntos distintos. Esta situación se muestra en la Figura 4.25, donde la parábola abre hacia arriba (a > 0), y en la Figura 4.26 en la cual la parábola abre hacia abajo {a < 0). Si la tunción tiene un cero real, entonces la gráfica intersecta al eje x en un solo punto, com o se muestra en las figuras 4.27 (a > 0) y 4.28 (a < 0). Si la función tiene dos ceros imaginarios, la gráfica no intersecta al eje x\ esto se muestra en las figuras 4.29 (a > 0) y 4.30 (a < 0). Al valor de la función en el vértice de la gráfica de una función cuadrática se le llama valor extrem o. Cuando la parábola abre hacia

212

CAPÍTULO 4


arriba, la función tiene un v alor m ínim o en el vértice, no hay máximo para tal función. Cuando la parábola abre hacia abajo laW ción tiene un v alor m áxim o en el vértice; y no hay valor mínimon* esa función.

>

EJEMPLO ILUSTRA TIVO 3

La función de los ejemplos ilustrativos 1 y 2 está definida por f(x ) = - 2 x 2 + %x - 5 La gráfica de / es la parábola de la Figura 4.24, la parábola abrehaca abajo y su vértice se localiza en (2, 3). Por tanto, esta función beac■ valor máximo de 3 cuando x = 2. <

► EJEMPLO 1

Determ inación d el valor extremo deuno función cuadrática

Encuentre el valor máximo o mínimo de la función definida por f{x) = 3 x 2 + 3x + 2 Solución FIGURA 4.30

La gráfica d e / e s la parábola que tiene la ecuación

y = 3 x 2 + 3x + 2 Se escribe esta ecuación en la forma (x - h )2 = 4p(y - k). Laccua» es equivalente a 3(x2 + jt) = y - 2 Al completar el cuadrado del binomio entre paréntesis sumando;1 ambos lados de la ecuación, se tiene 3\ x 2 + x + - J = y ~ 2 + -

X + ó) = 3 ^ - 4 La parábola abre hacia arriba, y su vértice está en ( - j, \ )• ^°r valor mínimo d e /e s | , lo que ocurre cuando x - Verifique el resultado de 1ejemplo 1 trazando la parábola Ahora, se aplicará el método empleado en la solución 1 a la función cuadrática general definida por f(x) = a x 2 + bx +• c

-

X

4 .3

F U N C IO N E S C U A D R A T IC A S

2 13

En esta ecuación si se sustituye/ ( x) por y, se obtiene y = a x 2 + bx + c la cual es equivalente a a x 2 + bx = y - c a(,’ + ^ ) = y - C

Se completa el cuadrado del binomio dentro del paréntesis. b , b2\ - x + — ) - y - c a 4a ) b V r + 1 í/

1/

b2 + -— 4a b 2 — 4ac

=a{y + ^

~

La gráfica de esta ecuación es una parábola que tiene su vértice en el punto x = - — . Si a > 0, la parábola abre hacia arriba, y / tiene un va lor mínimo en el punto donde x = -

Si a < 0, la parábola abre hacia

abajo y /t ie n e un valor máximo en el punto donde x = -

za

Estos re

sultados están determinados en el teorema siguiente.

TEO REM A 1

La función cuadrática definida porf(x) = ax2 + bx + c, donde a * Q tiene un valor extremo en el punto x = - — . Si a > 0, el valor 2a

extremo es un valor mínimo; y si a < 0 , el valor extremo es un valor máximo.

► EJEMPLO 2

D eterm inación d e l v a lo r extrem o de u na función cu ad rá tica

Emplee el Teorema 1 para encontrar el valor máximo o mínimo de la función g si g(x) = ~ \ x 2 +

“ 10

Verifique el resultado trazando la gráfica de g.

214

CAPÍTULO 4


S o lu ció n Para la ecuación cuadrática dada, a s . 3 „ . 2 Debido a que a < 0, # tiene un valor máximo en el punto

*4

b X“

2a

3 = 2 El valor máximo es g( 2 ) « - | ( 2)2 .+ 6 (2 ) - 10 = -*4 [ - 2 ,5 ] por [ - 1 2 , 2J g M = - - x J + (w :- 10

FIGURA 431

La gráfica de g trazada en una graficadora se muestra eolafaJ

4 .3 1 , la cual es una parábola con vértice en (2, -4) y abre haciaai»I Esto está de acuerdo con el resultado obtenido.

|

En aplicaciones de Cálculo, a menudo se requiere obteneral función como modelo matemático. A continuación se dará n i ejemplos que implican funciones cuadráticas como modelos maumI

► EJEMPLO 3

Resolución d el enunciado de un protím q u e tien e una función cuadrática como m o d elo m atem ático

En el ejemplo 7 de la Sección 2.6, se tenia la siguiente situada decoradora diseñó adornos de pared y pudo venderlos a 75 cada uno. Si x adornos son manufacturados al día, entonces de dólares en el costo de producción total es x2 + 25* + 96tos adornos deberán producirse diariamente para que la decora**,'J tenga la mayor utilidad? (b) Compruebe la respuesta del inciso** una graficadora. Solución (a) Si P(x) dólares es la utilidad diaria de la venta de x ad«** tonces, como en el ejemplo 7 de la Sección 2.6, P(x) = - x 2 + 50* - 96 La función P es cuadrática con a = -1 y b = 50. Debidoa ^ P tiene un valor máximo en el punto donde

= 25

I

________________________________4 .3

► EJEMPLO 4

FIGURA 4.32

obtener darán « i matero

roWww

tuacic-n: a 75 ** íes el '

6.

jet#***5 inci*0|

Resolución del enunciado d e un problem a que tiene u n a función cuadrática como m odelo m atem ático

Un fabricante de relojes puede producir un tipo de reloj a un costo de $15 por unidad. Si el precio de venta es de x dólares, entonces (125 - x) relojes se venden por semana, (a) Exprese el número de dólares en la ganacia semanal del fabricante como una función de x. (b) A partir de la función obtenida en el inciso (a), determine la ganancia semanal si el precio de venta es de $45 por reloj, (c) Trace la gráfica de la función del inciso (a) y estime el precio de venta para que la ganancia semanal del fabricante sea un máximo, (d) Compruebe algebraicamente lo estima do en el inciso (c).

Solución (a) La ganancia puede obtenerse restando el costo total de las ventas totales. Sea R(x) dólares la venta semanal. Debido a que la venta total es el producto del precio de venta y el número de relojes vendidos, R(x) = jc( 125 - x) Sea C(x) dólares el costo total de los relojes que son vendidos se manalmente. Debido a que el costo total es el producto del costo de cada reloj y el número de relojes vendidos, entonces. C(x) = 15(125 - x) Si P(x) dólares es la ganancia semanal, entonces P(x) = R(x) - C(x) = *(125 - x) - 15(125 - x) = (125 - x )(x - 15) (b) Si el precio de venta es de $45 por unidad, el número de dólares en la ganancia semanal es P(45). A partir de la expresión para P(x) del inciso (a),

o*

P(45) = (125 - 45) (45 - 15) =80-30 = 2 400 Conclusión: La ganancia semanal es de $2 400 cuando los relo jes se venden a $45 cada uno.

■ ■ ■ ¡I

[0,50] por [0,1 000] p(x) = - * 2+ 5Qx-96

hacia ú.

2 15

Conclusión: Para obtener la mayor utilidad, el número de ador nos producidos y vendidos cada día debe ser 25. (b) La Figura 4.32 muestra la gráfica de P trazada en el rectángulo de inspección [0, 50] por [0, 1 000]. La coordenada x del vértice de la parábola parece ser 25, lo cual está de acuerdo con la respuesta del inciso (a). <

'onde

en la Figur,

FUNCIONES CUADRATICAS

216

CAPÍTULO 4


(c) La Figura 4.33 muestra la gráfica de P trazada en el rectá^ inspección [0, 200] por [0, 4 000]. El vértice de la pwfc?* abre hacia abajo, parece estar en el punto donde x * 70 cuencia, para que la ganancia semanal del fabricante sea J í mo, se estima que el precio de venta por reloj debe ser de (d) A partir de la expresión para P(x) del inciso (a), se tiene P(x) = - x 2 + 140* - 1 875 La función P es cuadrática con a = -1 y b = 140. Debido a a ^ P tiene un valor máximo en el punto donde _b_ 2a [0.200] por [0,4000]

P(x) = (125 - x)(x - 15)

FIG U R A 4.33

= 70 Conclusión: La ganancia semanal del fabricante serían mo cuando el precio del reloj sea $70. Esta conclusión está de acuerdo con lo estimado en Upweic En el ejemplo siguiente, primero se obtendrán dos ecugun»! pl ican do una variable dependiente y dos variables independa1 Posteriormente, se expresará la variable dependiente comofimstl una variable independiente, por la eliminación de la otra variable#! pendiente, a partir del par de ecuaciones.

EJEMPLO 5

Resolución del enunciado de un pntím que tiene una función cuadrática cerne modelo matemático

Se cerca un campo rectangular a la orilla de un rio y no seitW cerca en la parte del terreno que da al río. El costo del n*®! de la cerca es de $8 por pie lineal para las cercas lateralesy**1 por pie lineal para el lado paralelo al río; se estima que se $3 600 para cercar, (a) Si x pies es la longitud de uno de tosbfcj rales, exprese el número de pies cuadrados del área del campan una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función reaJJJl Encuentre las dimensiones del campo de área más grande puede ser encerrada con $3 600 de cerca, ¿cuál es la mayor«# I

F IG U R A 4.34

Solución (a) Sea y pies la longitud del lado del campo paralelo al nof cuadrados el área del campo. Véase la Figura 4.34.

A = xy Dado que el costo del material para cada lado l**®*® ^ 4 lineal y la longitud de la cerca lateral es x pies- ^ c la cerca de cada uno de los laterales será 8* dólares. mejante, el costo total de la cerca del tercer lado es - j Entonces se tiene que 8jc + 8jc + 12y = 3 600

4.3

FUNCIONES CUADRATICAS

217

Para expresar A en términos de una sola variable, primero se re suelve la ecuación ( 1) para y en términos de *. 12y = 3 600 - 16* y - 300 Si se sustituye este valor de y en la ecuación A = xy se obtiene A como una función de *, y A(x) = * (b) Tanto * como y no deben ser negativas. El valor más pequeño que x y y pueden tom ar es 0 ; cuando y = 0 , se obtiene el valor de la ecuación (1), * = 225. Así, 225 es el valor m ás grande que * puede tomar. De aquí que * debe estar en el intervalo cerrado [0, 225], y este intervalo es el dominio de A. (c) A partir de la expresión de A(x) en el inciso (a), se tiene A(x) = - | * 2 + 300* La función A es cuadrática con a - - ^ y b - 300. Dado que a < 0, A tiene un valor máximo en el punto donde b X ~

2a 300 4 3.

_ 225

2 Si * =

entonces 3 0 0 - | * = 150. Por tanto,

= 16 875 Conclusión: El área más grande posible que puede ser encerra da por $3 600 de cerca es 16 875 pie2, y esto se obtiene cuando el lado paralelo al río es de 150 pie de longitud y los laterales miden 112.5 pie de longitud. *

► EJEMPLO 6

Resolución del enunciado de un problema que tiene una función cuadrática como modelo matemático

El gerente financiero de un boletín informativo escolar determina que 1 000 copias de éste deben venderse si el precio es 50 centavos, y que el

4 .3

11. Mx) = 9 - 6x + x 2 12. h(x) ~ 1 ~ 4x — x 2 j 3. / ( t ) = ¿ ( 4 v 2 + 20.v

49)

14. f(x) - —4 x 2 + I2x

9

En los ejercicios 15 a IH, utilice el método del ejemplo I para encantar el valor máximo o mínimo de la función. Compruebe la respuesta mediante el trazo de la parábola. 15. f{x) = 4 x2 + Sx + 7 16. f(x) = 2 + 6x - x 2 17. g(x) = 18.

- \ ( x

2

+

6 x

+ 5)

CU) = J(jt* - 4* - 4)

En los ejercicios 19 a 22, aplique el Teorema 1 para encontrar el valor máximo o mínimo de la función. Compruebe la respuesta por medio de la parábola. 19. f(x) = 2 + 4 x - 3 x 2 20. g(x) = 3 x 2 + 6 x + 9 21. G(x) = ¡ ( 4 x 2 + \2 x - 9) 22. F(x) = - \ { x 2 + 8 jc + . 8 ) 23. Se lanza un objeto desde el piso verticalmente ha cia arriba con una velocidad inicial de 96 pie/s. Si la altura que alcanza el objeto es /(/) pies, después de t segundos y la resistencia del aire es desprecia ble, entonces /(/) = 96/ - 16/2 (a) Trace la gráfica de /, estime la alturamáxima alcanzada por el objeto y determine cuántos segun dos después de que el objeto es lanzado alcanza la altura máxima, (b) Compruebe, algebraicamente, las estimaciones hechas en el inciso (a), (c) Escriba una conclusión. [M. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba desde un punto de 15 pie por encima del nivel del piso, con una velocidad inicial de 176 pie/s. Si la altu ra alcanzada por el proyectil es / ( /) pies después de t segundos y la resistencia del aire es desprecia ble, entonces f(t) s

15

+

176/

-

16/2

(aj Trace la g rá fic a d e / , e stim e la m áx im a altura alcanzada por el proyectil y el tie m p o q u e to m ó a éste llegar a esa altura m áxim a, (b ) C o m p ru eb e , a l gebraicam ente, las e stim a cio n es h e ch a s e n el inciso ía>. (c) E scriba una conclusión.

FU N C IO N E S CUAD RÁTICAS

2 19

En los ejercicios 25 a 38, resuelva el enunciado del problema encontrando una función cuadrática como modelo matemático de la situación. Para completar el ejercicio, escriba la conclusión. 25. En el ejercicio 43 de la Sección 2.6, se tenía la si guiente situación: Una compañía puede vender a $100 por unidad un artículo de primera necesidad que elabora. Si se producen x unidades al día, el número de dólares en la producción diaria es x 2 + 20* + 700. (a) Exprese el número de dólares en la ganancia diaria de la compañía como una función de x. ib) Trace la gráfica de la función del inciso (a) y estime la ganancia diaria mayor y cuántas unidades deben producirse al día para que la em presa tenga esta ganancia, (c) Compruebe, alge braicamente, las estimaciones realizadas en el inciso (b). 26. En el ejercicio 44 de la Sección 2.6, se tuvo la si guiente situación: Una compañía que fabrica escri torios puede venderlos todos a un precio de $400 por unidad. Si x escritorios se producen y venden cada semana, entonces el número de dólares en el costo total de la producción semanal es 2X2 + 8Qx + 3 000. (a) Exprese el número de dólares de la ga nancia semanal de la compañía como una función de x. (b) Trace la gráñea de la función del inciso (a) y estime la mayor ganancia semanal, así como cuántos escritorios deberán fabricarse cada semana para lograr tal ganancia, (c) Compruebe, algebrai camente, las estimaciones hechas en el inciso (b). 27. Un carpintero puede construir libreros a un costo de 40 dólares cada uno. Si el carpintero vende los libreros a x dólares por unidad, se ha estimado que 300 - 2x libreros pueden ser vendidos mensualmente. (a) Exprese el número de dólares en las ga nancias mensuales del carpintero como una función de x. (b) Utilice la función del inciso (a) para determinar que la ganancia mensual sea de $110 por librero, (c) Trace la gráfica de la función del inciso (a) y estime el precio de venta por cada librero que dará al carpintero la mayor ganancia mensual, (d) Compruebe, algebraicamente, las esti maciones hechas en el inciso (c). 28. Un fabricante de juguetes puede producir un jugue te particular a un costo de $10 por unidad. Si el precio de venta del juguete es x dólares, entonces deben venderse diariamente 45 - .v juguetes, (a) Exprese el número de dólares en la ganancia diaria del fabricante como una función de x. (b) Emplee

220

CAPÍTU LO 4

F U N C IO N E S Y S U S G R A F IC A S

la función del inciso (a) para determinar la ganan cia diaria si el precio de venta es de $30 por uni dad. (c) Trace la gráfica de la función del inciso (a) y estime el precio de venta de cada juguete que permitirá al fabricante obtener la máxima ganancia diaria, (d) Compruebe, algebraicamente, las esti maciones hechas en el inciso (c). 29. Se construirá una cerca de 240 m para un campo rectangular, (a) Si x metros es la longitud del cam po, exprese el número de metros cuadrados del área del campo, como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) Trace la gráfica de la función del inciso (a) y estime las dimensiones del mayor campo rectangular que puede ser encerrado con los 240 m de cerca, (d) Compruebe, algebraicamente, las estimaciones he chas en el inciso (c).

30. Un jardín rectangular es encerrado con 100 pie de cerca, (a) Si x pies es la longitud del jardín, exprese el número de pies cuadrados del área del jardín como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) Trace la gráfica de la fun ción del inciso (a) y estime las dimensiones del jardín rectangular más grande que puede ser encerrado con 100 pie de cerca (d) Compruebe, algebraicamente, las estimaciones hechas en el inciso (c).

31. Haga el ejercicio 29, si uno de los lados del campo tiene un río como frontera natural y la cerca se construirá para los otros tres lados. Considere x metros como la longitud del lado del campo parale lo al río.

32. Haga el ejercicio 30, si el jardín es coloc^J manera que el lado de una casa sirve coi» i ra, y la cerca será construida para los otrtxfc ! dos. Considere x pies como la longitud dd¡^ J la cerca paralelo a la casa.

33. Un terreno rectangular es encerrado ponas z.I y después es dividido a la mitad porotnis/i.l cerca que divide al terreno a la mitad cuestan pie lineal y la otra tiene un valor de SlOporM neal, se emplearán $1 920 en materia) panii®| (a) Si x pies es la longitud de la cerca quei» I terreno a la mitad, exprese el número depie*J drados del área del terreno como una fimafc* (b) ¿Cuál es el dominio de la fundón dd **| (a)? (c) Encuentre las dimensiones delea®'I tangular más grande, con una cerca que lei* 'f dos, que puede ser encerrado con $1 rial de las cercas.

ducto sea un máximo. 35. Encuentre dos números cuya diíerenu-* producto sea un minino.

4.4 Encuentre dos núm eros positivos cuya suma sea y la suma de sus cuadrados sea un mínimo.

50

37. Una agencia de viajes ofrece la organización de

una excursión con todo incluido en $800 por perso na, siempre que más de 100 personas aprovechen el viaje. Sin embargo, el costo por persona será re ducido en $5 por cada una arriba de 100. ¿Cuántas

FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

221

personas deben adquirir el viaje para que la agencia reciba el mayor ingreso bruto y cuál es este in greso? 38. Un club estudiantil cobra la membresía anual a $20, menos 10 centavos por cada socio arriba de 60. ¿Cuántos miembros darán al club el ingreso más alto debido a las cuotas?

4.4 FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS OBJETIVOS

1. 2. 3. 4.

Definir la variación directamente proporcional. Definir la variación inversamente proporcional. Definir la variación conjuntamente proporcional. Resolver enunciados de problemas que impliquen variación, mediante una función como modelo matemático. 5. Resolver enunciados de problemas que tengan una función cúbica como modelo matemático.

Las aplicaciones que implican la dependencia de una variable sobre otra se presentan en los negocios, la economía, así como en las cien cias naturales y sociales. Las fórmulas empleadas en estai aplicaciones con frecuencia determinan funciones. Por ejemplo, si y dólares es el interés simple de un año ganado por un capital de * dólares con una tasa de 12% por año, entonces. y = 0 . 12* Para un valor no negativo dado de * corresponde un valor único de y; así, el valor de y depende del valor de *. S i/e s la función definida por f( x ) = 0 . 12*, y el dominio de/ es el conjunto de números reales no ne gativos, entonces la ecuación y = 0 . 12* puede escribirse como y = /(*). La ecuación y = 0.12* es un ejemplo de una proporción directa y se dice que y es directamente proporcional a *. DEFINICIÓN

Variación directamente proporcional

Se dice que una variable y es directamente proporcional a la variable * si y = kx donde k es una constante diferente de cero. De manera más ge neral, se dice que la variable es directamente proporcional a la n-ésima potencia de * (n > 0 ) si y i kx ¡ La constante k se llama constante de proporcionalidad.

222

F u w a o w jü L g a o ^ a ^ ►

EJEMPLO 1

R e s o l u c i ó n d e l e n u n c i a d o dm

qü# Í " p,! í ! üna pr° p ^ i ^

una función como modelo m o t J jS i

.

E l peso del cereb ro d e u n a perso n a es aproximadamente al peso d e su cu erp o , si u n a persona pesa 150 Ib su cerehfrOp■N 011* ded o r d e 4 Ib. (a) E x p rese el núm ero de libras del peso ¿ 1 ° P^c!;. ? cerebro d e una p erso n a co m o u n a función de su peso c « » !!? * 1 cuentre el peso a p ro x im ad o del cerebro de una persona ^ I poral es 176 Ib. '

Solución (a ) Sea f( x ) libras el p e so aproxim ado del cerebro de una cu y o cu erp o p e sa x libras. E ntonces

m

I

= kx

I

I

D ebido a q u e u n a p erso n a c o n un peso corporal de 150 Ibti« cerebro d e apro x im ad am en te 4 Ib de peso, se sustituye en (11i«l p o r x y 4 p o r/(jr), obteniéndose 4 = ¿ (1 5 0 )

A l su stitu ir & en (1) p o r este valor, se obtiene

/«

=

(b) D ado q u e /(jc) = / O 76) = ^

(176)

= 4.7

Conclusión: E l p e so aproxim ado del cerebro de unapo5*1 I J176 Ib es 4.7 lb.¡ DEFINICIÓN

Variación inversamente proporcioné

Se dice que una variable y es inversamente propo variable x si _ k

cjonal^

x «yicra donde k es una constante diferente de cero. De neral, se dice que y es inversamente p r o p o r c io potencia de x ( n > 0 ) si k

!

4.4


► EJEMPLO 2

223

Resolución del enunciado de un problema que Implica una proporción Inversa mediante una función como modelo matemático

La iluminación de una fuente de luz específica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de ella, (a) Exprese el número de luxes (1x) de la iluminación como una función del número de metros a la distancia de la fuente de luz, si la iluminación es 225 lx a una distancia de 5 m de la fuente, (b) Encuentre la iluminación en un punto a 15 m de la fuente. Solución (a) Sea / ( je) luxes la iluminación de la fuente de luz a x metros de ella, entonces f(x) = 4 (2) x2 Debido a que la iluminación es 225 lx a una distancia de 5 m de la fuente, si se sustituye x por 5 y /( x) por 225 en (2), se obtiene 225 = A 52 k = 5 625 Al sustituir este valor de k en (2), se tiene Í | 5 625 m = — (b) A partir de la expresión anterior para f(x), se obtiene 5 625 /(15) 152 5 625 225 25 Conclusión: La iluminación en un punto a 15 m de la fuente es 25 lx. * DEFINICIÓN

Variación conjuntamente proporcional

Una variable z se dice que es conjuntamente proporcional a las variables x y y si z = kxy donde k es una constante diferente de cero. De manera más general, una variable z se dice que es conjuntamente proporcional a la tt-ésima potencia de x y m-ésima potencia de y (n > 0 y m > 0) si

224

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SUS GRAFICAS

► EJEMPLO 3

Resolución d e l enunciado do un probl**. q ue involucra una proporción conjunto p» m ed io d e una función cuadrática como m o delo m atem ático

En un medio limitado donde A es el número óptimo de bacterias 14 rabie, el índice de crecimiento de éstas es conjuntamente proporciM al número de bacterias presentes y a la diferencia entre A y este iüim número. Si se supone que un millón de bacterias es el númeroóptu®* lerahle por el medio, y el índice de crecimiento es de 60 bacterias» minuto cuando 1 000 bacterias están presentes, (a) Exprese ei íuk de crecimiento bacteriano como una función del número de 'A s presentes, (b) Determine la velocidad de crecimiento cuando bacterias están presentes, (c) Encuentre cuántas bacterias están tes si el índice de crecimiento es un máximo.

Solución (a) Sea f(x) bacterias por minuto el índice de crecimiento cuaodoia x bacterias presentes. Entonces / ( x) = kx{\ 000 000 - x) Debido a que el índice de crecimiento es 60 bacterias por mnt cuando hay 1 000 bacterias presentes, se sustituye en (3)1por y f(x) por 60, y se obtiene 60 - ¿ ( 1 0 0 0 )0 0 0 0 0 0 0 - 1000) 60 999 000 000 1

16 650 000 Si se sustituye k en (3) por este valor, se obtiene x *(1 0 0 0 0 0 0 - x) j t x ) = ------ ------------ — 16 650 000

(b) A partir de la expresión anterior f(x), se tiene / ( 100 0 0 0 ) =

100 000(1 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0

16 650 000 100 000(900 000) 16 650 000

= 5 405 - íaC0

Conclusión; El índice de crecimiento es de 3 minuto, cuando 100 000 bacterias están presentes.

4.4

FUNCIONES COMO M O PEIO S MATEMÁTICOS

225

(c) A partir de la expresión para/(x) en el inciso (a), se tiene m

= -

1

20

6 650 000

333'

La función f e s cuadrática con a

------ !— y b = 16 650 000

333

Debido a que a < 0, / tiene un valor máximo en el punto donde b *

2a

=

20 / 333 \

16 650 000 2

= 500 000 Conclusión: El índice de crecimiento es un máximo cuando 500 000 bacterias están presentes. 4 Indote

ñ miB&| ieri

En la Sección 4.3, se determinó el valor extremo de una función cuadrática calculando la coordenada y del vértice de la parábola que es la gráfica de la función. Para la mayoría de las funciones no cuadráti cas la determinación de los valores extremos de la función requiere de técnicas de Cálculo. Sin embargo, con una graficadora se pueden calcular los valores extremos de la función. Para ilustrar el procedimiento, re gresemos al problema de la caja del ejemplo 6 de la Sección 2.4, don de una caja abierta fue formada cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas de una lámina de cartón y doblando hacia arriba los la dos. En dicho ejemplo, se encontró la longitud del lado de los cua drados que deben ser cortados si la caja formada tenía un volumen específico. Ahora se considerará el problema de determinar la longitud del lado de los cuadrados cortados, si la caja tiene un volumen máximo.

► EJEMPLO 4

Resolución del enunciado de un problema que tiene una función cúbica como modelo matemático

Un fabricante de cajas de cartón piensa producir cajas abiertas a partir de láminas de cartón con dimensiones de 10 por 17 pulg, cortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y doblando hacia arriba los lados, (a) Si x pulgadas es la longitud del lado del cuadrado que va a ser cortado, exprese el número de pulgadas cúbicas del volumen de la caja como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función ob tenida en el inciso (a)? (c) En una graficadora encuentre, con una exacti tud de dos decimales, la longitud del lado que debe ser cortado para que la caja tenga el volumen más grande posible. ¿Cuál es el volumen máximo?

Solución FIGURA 4.36

(a) La Figura 4.35 representa una hoja de cartón, y la Figura 4.36 muestra la caja de cartón obtenida El número de pulgadas en las

/

226

CAPÍTULO 4 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS dimensiones de Ja caja s o n *, 1 0 - 2 * y 1 7 -2 * .El volumen¿ caja es el producto de Jas tres medidas. Por tanto, sí fUinúnJ cúbicas es el volumen V(jr) = *(10 - 2*) (17 - 2x) = 17Q» - 54 * 2 + 4* 3

[0. 5] por [0.2001 V(jt) = 170* - 54*1+ 4x* FIGURA 437

(b) A partir de la expresión para V(x) del inciso (a), se observap I V(0) = 0 y V(5) = 0. Con base en las condiciones del problen* I sabe que * no puede ser negativo ni mayor que 5. Así, d dona» de V es el intervalo cerrado [0, 5]. (c) En la Figura 4.37, aparece la gráfica de V trazada en el rectfagü I de inspección [0, 5] por [0, 200]. Se puede observar que V&* [ un valor máximo en su dominio. La coordenada x del puntoM I alto sobre la gráfica proporciona la longitud del lado del cuadú I que debe ser cortado para tener un volumen máximo y la cocrit1 nada y tiene el volumen máximo. Al emplear el aumento (m I iri) de la grañeadora se determina el punto más alto (2f 156.03). Conclusión: La longitud del lado del cuadrado que ddxel cortado es 2.03 pulg para dar una caja de volumen mfcino.fi cual es 156.03 pulg3. <

l l i

Mediante técnicas de Cálculo se puede determinar que el «h exacto de la función en el ejem plo 4, ocurre cuando

► EJEMPLO 5

Resolución d el enunciado de un problt** que tiene u n a función cúbica come tnoá m atem ático

___

I

&

| \ Con base en un monopolio, la ecuación de demanda para cierto de primera necesidad esx* + p = 360, donde * unidades son riamente cuando p dólares es el precio por unidad, (a) Exprese t de dólares del ingreso diario total como una función de * dominio de la función obtenida en el inciso (a)? (c) En una encuentre el número de unidades que deben ser producidas al dkp*^ cer máximo el ingreso diario total. ¿Cuál es este ingreso? ,\S

I .S&j

Solución

.

í;.i

(a) El ingreso diario total es igual al precio unitario mulup»*! el número de unidades producidas y vendidas. Por w® dólares es el ingreso diario total, /?(*) = px

v <

'2|

S

4 .4


227

Al resolver para p la ecuación de demanda, se obtiene p = 360 - x 2 Si se sustituye esta expresión de p en la ecuación para R(x), se tiene /?(*) = (360 - x 2)x (b) De la ecuación que define R(x) en el inciso (a), se observa que R(0) = 0 y /?(V360) = 0. Si x es negativo o mayor que V360, el in greso total es negativo. Por tanto, el dominio de R es el intervalo cerrado [0, V360]. (c) La Figura 4.38 muestra la gráfica de la función R trazada en el rectángulo de inspección [0, 20] por [0, 3 000]. Se observa que R tiene un valor máximo en su dominio. Al emplear el aumento (zoom in) en la graficadora se determina que el punto más alto es (10.95, 2 629.07). Debido a que x debe ser entero (el número de unidades producidas), R tiene un valor máximo cuando x es 11 y R( 11) = 2 629.

[0, 20] por [0,3 000] /?(*) = (3 6 0 - x 1)*

FIGURA 4.38

Conclusión: Se deben producir al día once unidades para obte ner un ingreso diario total máximo de $2 629. 4

ñ

Nuevamente, empleando técnicas de Cálculo, el valor máximo de la función R, en el ejemplo 5, se presenta cuando x = Vl20 ~ 10.95

EJERCICIOS 4.4 cada uno de los ejercicios, resuelva el enunciado del problema encontrando una junción como modelo Flemático de la situación. Asegúrese de escribir una Wpclusión. 1. El pago diario para una cuadrilla de trabajo es di rectamente proporcional al número de trabajadores, *i una cuadrilla de 12 trabajadores gana un salario de $540. (a) Exprese el número de dólares del pago diario como una función del número de trabajadores- 0>) ¿Cuál es el pago diario para una cuadrilla de 15 trabajadores? * Para un gas a presión constante, su volumen es di rectamente proporcional a la temperatura absoluta, y a una temperatura de 180° el gas ocupa 100 m3. (a) Exprese el número de metros cúbicos del volu men del gas como una función del número de gra

dos en la temperatura absoluta, (b) ¿Cuál es el vo lumen del gas a una temperatura de 150o? 3. El periodo de un péndulo (tiempo para una oscila ción completa) es directamente proporciona] a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo, dicha lon gitud es de 8 pie y tiene un periodo de 2 s. (a) Ex prese el número de segundos del periodo de un péndulo en función del número de pies de su longi tud. (b) Encuentre el periodo de un péndulo de lon gitud de 2 pie. 4. Para una cuerda en vibración, la rapidez de vibra ción es directamente proporcional a la raíz cuadra da de la tensión en la cuerda, (a) Si una cuerda particular vibra 864 veces por segundo bajo una tensión de 24 kg, exprese el número de vibracio nes por segundo como una función del número

228

CAPÍTULO 4

F U N C IO N E S Y S U S G R A F IC A S

*****

de kilogramos de la tensión. (b) Encuentre el nú mero de vibraciones por segundo bajo una ten sión de 6 kg. 5. El peso de un cuerpo es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a) centro de la Tierra, (a) Si el cuerpo pesa 200 Ib sobre la superficie de la Tierra, exprese el número de libras de su peso como una función del número de millas del centro de la Tiena. Considere que el radio de la Tierra es de 4 000 mi. (b) ¿Cuánto será el peso del cuerpo a una distancia de 400 mi por encima de la superficie de la Tierra? 6. Para un cable eléctrico de longitud fija, la resisten cia es inversamente proporcional al cuadrado del diámetro del cable, (a) Un cable de longitud fija tiene un diámetro de j cm y una resistencia de 0 .1 ohm, exprese el número de ohm en la resistencia como una función del número de centímetros del diámetro, (b) ¿Cuál es la resistencia de un cable de longitud fija y un diámetro de j cm? 7. En un pequeño pueblo de 5 000 habitantes el índice de crecimiento de una epidemia (el porcentaje de cambio del número de personas infectadas) es con juntamente proporcional al número de personas in fectadas y al número de no infectadas, (a) Si la epidemia está creciendo a un ritmo de 9 personas por día cuando 100 personas están infectadas, ex prese el índice de crecimiento de la epidemia como una función del número de personas infectadas, (b) ¿Qué tan rápido está creciendo la epidemia si están infectadas 200 personas? (c) Determine cuántas es tán infectadas cuando el índice de crecimiento de la epidemia es un máximo. 8. En una comunidad de 8 000 habitantes la velocidad con la cual corre un rumor es conjuntamente pro porcional al número de gente que ha oído el rumor y al número de gente que no lo ha escuchado, (a) Si el rumor corre con una velocidad de 20 gentes por hora cuando 200 gentes lo han escuchado, ex prese la velocidad a la cual el rumor se está difun diendo cuando 500 gentes lo han escuchado, (b) ¿Cuántas gentes han escuchado el rumor cuando éste está corriendo con la máxima rapidez? 9. Un lago en particular puede contener un máximo de 14 (XX) peces, y el índice de crecimiento de la población de éstos es conjuntamente proporcional

al núm ero de peces presentes y la diíe«^ 14 000 y dicho número, (a) Si /(*) pece*p*í el índice de crecimiento cuando x peco sentes, escriba una ecuación que defina ¿Cuál es el dom inio de la función lor de x hace q u e /(x ) sea un máximo?

10. El m áxim o núm ero de bacterias soportables pg m edio particular es 900 000, y el índice de m iento bacteriano es conjuntamente propon al núm ero de bacterias presentes y a la entre 900 000 y dicho número.
¿ l i o « « " ''3

y

0

fünriónde£ (l inciso (s)

^*1

,,^ d w » odcl ' [«üaesie ingreso?

11. Un fabricante de cajas abiertas de hoja de uüjb sa hacer uso de láminas de hoja de latacantm siones de 8 por 15 pulg, cortando aadnÉ iguales en las cuatro esquinas y doblando kn arriba los lados, (a) Si x pulgadas es la ionpiil cuadrado que será cortado, exprese d m e t pulgadas cúbicas del volumen de la cajacaá« función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de lat a i del inciso (a)? (c) En la graficadora. encue*» una exactitud de décimos de pulgada, ia tap del lado del cuadrado que será cortado panp volum en sea el máximo posible. ¿Cufi es a • m en m áxim o aproximado a pulgadas aite»* 12. U n fabricante de cajas de cartón proíUí» abiertas de láminas cuadradas de 12 an de cortando cuadrados iguales de las cuatroes**1 doblando hacia amba los lados, (al Si i tros es la longitud del lado del cuadrado p cortado, exprese el número de centímetros^ del volumen de la caja como una funoto*1 ¿Cuál es el dominio de la función del * * (c) En la graficadora. encuentre, con de centímetros, la longitud del lado del ^ que será cortado para que el volumen deh** un máximo. ¿Cuál es el volumen máu** mado a centímetros cúbicos?

irtjiMopotolaea

lis*i primeranecet a :h unidadesson [ sxfiíiieseselprec »ándedólaresdel ‘**«Kjndex (b) ¿C

•‘-¿aiso(a)?íc)E ^ »R » unidades (

7íiií»iicerBuúumoel i

■' . . r a p a r a un

■c-t unidad«

o *

p ila r e s

S ll^ c e r

C ’O « * 0 ^ V '¡ < « í r Y ai0 ¡■ í^ t

*v i,

1**1

13. Haga el ejercicio 1J, si el fabricante .1 abiertas a partir de las láminas de boji tangulares con dimensiones de 12 pw * - J í el inciso (c) encuentre, con una precisión ^ | fras decimales, la longitud del lado del | ,; que debe ser cortado.

V

w

ljr e s
nos 81día P¡ âtic arigli|g Ûve;

/ 4 .4 encía í Por tí,-,

est*,

K |3fs i

¡»¿Qué,

faga el ejercicio 12, si el fabricante hace las cajas abiertas a partir de láminas de cartón rectangulares con dimensiones de 4 0 por 5 0 cin. En el inciso (c) encuentre, con una precisión de dos cifras decima les. la longitud del lado del cuadrado que debe ser cortado.

,4

FU NCIO NES C O M O M ODELOS MATEMÁTICOS

229

cisión de pulgadas, las dimensiones del empaque que tiene el volumen máximo.

^ es Por ¡n

15. Con base en un monopolio, la ecuación de deman x p te da para un artículo de primera necesidad es p - (8 — oporcKj' -L x)2 =0, donde x unidades son producidas dia
fon dima cuadró indo hac:

16. Con base en un monopolio, la ecuación de demanda

para un artículo de primera necesidad es x 2 + p 2 =

pngiiudil

número J;i i como ¡s. I

la fw

■ueatrrj la para qur ■

sd "

, 36, donde 100* unidades son producidas diaria mente cuando p dólares es el precio por unidad, (a) Exprese el número de dólares del ingreso diario to tal como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) En la grafícadora, encuentre el número de unidades que deben produ cirse al día para hacer máximo el ingreso diario to

radio del semicírculo, exprese la cantidad de luz transmitida por la ventana como una función de r. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) Determine la forma de la ventana que ad mita la máxima cantidad de luz.

o

tal. ¿Cuál es este ingreso?

¡cas.'

[17. La ecuación de demanda para un monopolista es ( 1 0 0 - x)2 = 1 00/7, donde * unidades son demanda luce £ das diariamente cuando p dólares es el precio por 1 de t f l unidad y * está en el intervalo cerrado [0, 34]. La función del costo total está dada por C(x) = 55* CfiflP-1 ¡ j x2, donde C(x) dólares es el costo total al producir x unidades y * está en el intervalo cerrado [0, 34]. cáfr] («) Exprese el número de dólares de la ganancia to tal como una función de *. (Sugerencia: la ganan ir I cia es igual al ingreso total menos el costo total), ib) En la grafícadora, encuentre el número de uni dades que deben producirse al día para hacer máxi 0 ' ma la ganancia. ¿Cuál es esta ganancia? V

En un em paque d e form a rectangular co n una s e c ción transversal cuadrada, la su m a d e su lon gitud y el perímetro de una se c c ió n transversal e s igu al a 100 pulg. (a ) Si * p u lgad as e s la lo n g itu d del em p a que exprese e l volu m en d e la caja c o m o una fun ción de *. (b ) ¿C uál e s e l d o m in io d e la fu n ció n del inciso (a)? (c ) En la grafícadora en cu en tre, c o n pre

2rp u lg

20. Haga el ejercicio 19 si la ventana es tal que la re gión limitada por el semicírculo, transmite sola mente la mitad de la luz por pulgada cuadrada del área limitada por el rectángulo. 21. Una página para impresión contiene 24 pulg2 de re gión impresa, un margen de 1.5 pulg en la parte alta y en la parte baja de la hoja, y un margen de 1 pulg en los lados, (a) Si A(x) pulgadas cuadradas es el área total de la página cuando * pulgadas es el ancho de la porción impresa, escriba una ecuación que defina A{x). (b) ¿Cuál es el dominio de la fun ción A l (c) En la grafícadora, determine, con una precisión de centésimos de pulgada, las dimensio nes de la página más pequeña que satisfaga estos requerimientos.

II

230

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS del terreno en el cual se va a edific* b ción y los andadores cuando x pies es la frente y de la paite posterior del edificio ecuación que defina a A(x). (b) ¿Cuál „ J S l de la función A l (c) En la grafícadora, deterja una precisión de centésimos de pie, las del terreno que tiene el área más pequeüa edificio puede ser construido.

22. Un edifìcio que tiene un terreno rectangular de 13 200 pie \ será construido donde se requiere un an dador de 22 pie de ancho en el frente y en la paite tra sera, y un camino de 15 pie de ancho en cada uno de los lados, (a) Si A(x) pies cuadrados es el área total

22 pie 15 pie

4.5 FUNCIONES COMPUESTAS OBJETIVOS

1. 2. 3. 4.

Definir una función compuesta de dos funciones. Calcular los valores de una función compuesta. Determinar el dominio de la composición de dos fundo» Expresar una función dada como la composición de dos funciones. 5. Resolver enunciados de problemas que tengan una fuñón compuesta como modelo matemático.

E n la S ecció n 4.1 se d e fin ie ro n las cuatro operaciones entre cio n es: su m a , re sta, p ro d u c to y cociente. L a obtención de kf** com puesta d e dos fu n c io n e s d ad as es otra operación.

DEFINICIÓN

Función compuesta_____

^

i

Dadas las dos funciones f y g , la función compuesta den . por f ° g está definida por ( / ° g) (x) = f(g(x)) y el dominio d e / ° g es el conjunto de lodos los númerodominio de g tales q u e g(x) está en el dominio d e /

|

_______________________________ 4 .5

F ü W aO N iS COMPUISTAS

231

La definición indica que cuando se calcula ( / ° g) (x), primero se aplica la función g a x y después la función / a g(x). Para visualizar este cálculo, veáse la Figura 4.39. La función g asigna el valor g(x) para el número x en el dominio de g. Entonces, la función /asigna el valor f(g(x)) para el número g(x) en el dominio de / Observe en la Fi gura 4.39 que el contradominio de g es un subconjunto del domino de f y el contradominio d e /° g es un subconjunto del contradominio de f

f° g

FIGURA 4.39

>


S i/y g están definidas por /(■*) = Vx

y

g(x) = 2x - 3

( / ° g ) M = f(g(x)) = / ( 2x - 3) = V2x ~ 3 El dominio de g es (-°o, +oo), y el dominio d e /e s [0, +oo). Por tan to, el dominio de / ° g es el conjunto de los números reales para los cuales 2x - 3 ^ 0 o, de forma equivalente, [|, + oo). <

► EJEMPLO 1

D e te r m in a c ió n , p o r d o s m é t o d o s , d e l v a lo r d e u n a f u n c ió n c o m p u e s ta

Dadas f( x ) = ——r x —2

g(x) = 2x + 1

(a) Encuentre g(3) y use el número para determinar/(g(3)). (b) Calcu•e ( / ° g X * ) y úselo para determinar ( / « g X 3 ) .

CAPÍTULO 4

fu n c io n e s y s u s g r á f ic a s

Solución (a)

#(3) ” 2(3) + 1 = 7 Esto es a . ____

f ( g ( 3)) * /( 7 ) 5 " 7 - 2

|

(2^ + i) = 5 2* ^ ¡ Por tanto, 5

(/° S )(3 ) =

20 P 1

►

EJEMPLO 2

D eterm inación de una función comptrnUi d e sus dominios

Dado que / y g están definidas por f(x) = 'Ix

y

g(x) = x 2 - 1

encuentre: (a) / ° / , (b) g 0 g\ (c) f 0 g\ (d) g ° f También dominio de cada función compuesta. S o lu ció n

El dominio d e /e s [0, +°°), y el de g es (-03-

(a) ( / 0 /) ( * ) = f ( f ( x ) )

= f(V~x)

(b) (g ° í)W = ^ = tur

= VVx = jr El dominio es [0, + 00). (c) ( / ° g)(x) = f(g (x )) = /(jCJ - 1) = El dominio es

(-o o ,-l] U (1,+ 00)

El dominio es (' •

(d) (g ° /)W = * (V S " . i "1 El dominio es (O.-1

1 e s tá d e f í^ ^ En el inciso (d) observe que aunque x - J1 . f,nición ^ . ¡^ valores de jc, el dominio de g ° f P°r ven el dofll‘ puesta, es el conjunto de todos los números

___________________ 4 .5

FUNCIONES COMPUESTAS

233

que /(* ) está en el dominio de g. Así, el dominio de g <*/d e b e ser un subconjunto del dominio d e / 4 Observe de los resultados de los incisos (c) y (d) del ejemplo ante rior que ( / o g)(x) y (g ° /)(* ) no son necesariamente iguales. Un teorema muy importante en Cálculo, llamado la regla de la cadena, implica funciones compuestas. Cuando se aplica la regla de la cadena es necesario considerar una función como la composición de otras dos funciones, esto se muestra en el siguiente ejemplo ilustrativo.

1 r i áy > EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 djcl Si h(x) = (4*2 + l ) 3 se puede expresar h como la composición de dos funcione0/ y g para las cuales /(* ) = x 3

g(*) = 4*2 + l

dado que ( / ° g)(x ) = f(g(x)) = / ( 4* 2 + 1) = (4*2 + l ) 3

4

La función h en el ejemplo ilustrativo 2 puede expresarse como la composición de otro par de funciones. Por ejemplo, si F(x) = (4 * + l)3

G(x) = x 2

entonces (F o G)(x) = F(G(x)} = F(x2)

= (4jc 2 + l )3 En Cálculo se deberá emplear la composición mostrada en el ejemplo ilustrativo 2.

► EJEMPLO 3

E x p re s ió n d e u n a fu n c ió n d a d a c o m o la c o m p o s ic ió n d e o tra s d o s fu n c io n e s

Dada h(x)

Vx2+ 3 exprese h como la composición de dos funciones/ y g de dos maneras: (a) La función/contiene el radical; (b) la función g contiene el radical.

234

c a p ít u l o *

f u n c io n m

jr s y s G R Á fic A i

Solución (a) f(x ) -

o» / w = I

V x +■ 3

g(x) = X

2

g(x) =

Entonces

Entonces

( / ° g)(x) = f(g(x))

(f°8)t o * / ^ )

-/(* * >

=/(V?Ti

1

=

VP + 3

EJEMPLO 4

•í í ;< 3 6 ;^ :

1

;iW

v?n

Resolución del enunciado de unprofeta q w tiene una función compuesta con» modelo matemático

00¿miniodelos f .c lí j ! • /

En un bosque un depredador se alimenta de rapiña, y iapoblacóí i.üt=.:- 2i¡{(x)= 6 depredador es una función / d e x, el número de presas eBdbop i2 el cual es una función g de t, el número de semanas transcnmd»Éf b - - % =J2+ de el final de la temporada de caza. Si |l ’J r V l '2 ;j( x ) = x

/(*)

4

+ 90

í(Ó = 7/ +

86 X

haga lo siguiente: (a) Exprese la población del depredador a* función de t. (b) Encuentre la población del depredador después de cerrada la temporada de caza.

Solución

,

(a) La población del depredador t semanas después de porada de caza está dada por ( / ° gXO-

*i=V .

1

( / 0 8)(t) = f(g(t)) = f ( l t + 86) = ^1( 7 1 + 86)2 + 90 (b) Cuando í = 8, se obtiene

C 'íí* ; \ V

( / • g)(8) = j (7 ■ 8 + 86)2 + 90 = 5 131 rrad^ Conclusión; Ocho semanas después de & 5 131i, la población del depredador es de

NN NN V

% Vi i

4 .5

En los ejercicios 1 a 4, para las funciones f y g y el número c, calcule ( / o g)(c) por dos métodos: (a) en cuentre |(c) y emplee este número p ara determinar j fig{c)); (b) calcule ( / o g)(x ) y use este valor para encontrar ( f o g)(c). | L /(x) = 3x 2 - 4*; g(x) = 2x - 5; c = 4 t / W = V x 2 - 36; $(x) = x 2 - 3x; c = 5

i i _ 2 V * + 3 #- s 4 / ( x ) -------- ----- ; g(x) x

X + [;c 2 2x + 5 -------— ; c = - 2 x

En los ejercicios 5 a 14, defina las siguientes funciones | y determine el dominio de las funciones compuestas: \ta)f 0 g;(b)g o / I S. f{x) = x - 2; g(x) = x + 7 i / ( x ) = 3 - 2x; ¿(x) = 6 - 3x |

7. f(x) = x - 5; g(x) = x 2 -

1

I 8. f(x) = V x; g(x) = x 2 + 1 % M = Vx~—”2 ; ¿(x) = x 2 - 2 1 10. / ( j c )

- jc 2 - 1; g(x) = -

|h ./( x ) * - ;^ ( x ) = V x x | l l / w = V x;g(x) = - |l3./(x ) = | x| ; g(x) = |x + 2 | 114.

f f á * V x 2 - i ; *(x) = V x - 1

|£>i los ejercicios 15 a 24, defina las siguientes funcio nes y determine el dominio de las funciones com¡pestas: (a)f • f; (b) g 0 gLas funciones del ejercicio 5.

|16. Las funciones del ejercicio 6.

FU N CIO N ES COM PUESTAS

235

21. Las fundones del ejercicio 11. 22. Las funciones del ejercicio 12. 23. Las funciones del ejercicio 13. 24. Las funciones del ejercicio 14.

ffjb En los ejercicios 25 a 30, exprese de dos ■ ^ maneras diferentes h como la composición de dos funciones f y g. 25. h(x) = Vx* - 4

26. h(x) = (9 + x 2)-2

27. h(x) =

28. h(x) =

x - 2

y fP T J

29. h(x) = (x 2 + 4x - 5) 4 30. h(x) = V| x | + 4

En los ejercicios 31 a 34, resuelva el enunciado del problema encontrando una función compuesta como modelo matemático de la situación, no olvide escribir una conclusión. 31. El área de la superficie de una esfera es una fun ción de su radio. Si r centímetros es el radio de una esfera y A(r) centímetros cuadrados es el área de la superficie, entonces A(r) = 4nr2. Suponga que un balón mantiene la forma de una esfera cuando se infla de tal manera que su radio está cambiando con una rapidez constante de 3 cm/s. Si f(t) centí metros es el radio del balón después de t segundos, haga lo siguiente: (a) Calcule (A ° /) ( /) e interprete el resultado, (b) Encuentre el área de la superficie del balón después de 4 s. 32. En un lago, un pez grande se alimenta de uno me diano, y la población del pez grande es una función d e /d e x, el número de peces medianos en el lago. En cambio, el pez mediano se alimenta de peces pequeños, y la población de los medianos es una función de w, el número de peces pequeños en el lago. Si

f(x) ss V2r + 1 500

y

g(w) = Jw + 5 000

■7. Las funciones del ejercicio 7. P 8. Las funciones del ejercicio 8. P$*

funciones del ejercicio 9. Las funciones del ejercicio 10.

haga lo siguiente: (a) Exprese la población de pe ces grandes como una función de w\ (b) encuentre el número de peces grandes en el lago cuando exis ten en este lugar 9 millones de peces pequeños.

236

CAPÍTULO 4

FU N CIO N ES Y S U S G R Á F IC A S

33. La demanda de los consumidores para un juguete particular en cierto mercado es una función / de p, su precio en dólares, el cual en cambio es una fun ción g de t, el número de meses desde que el jugue te llegó al mercado. Si

39. f ( x ) = x 2, x <, O.ygU) = 40. f ( x) = U - l ) 3 y g(x) = 1 + íx 41. Determine si la función compuesta/ »get^ par si (a )/y g son pares, y (b)/y g ion

■ $ < f(p )

* _50 0_ 0

*«) = jó » ' + 2Ö, + 5

haga lo siguiente: (a) Exprese la demanda del con sumidor como una función de /. (b) Encuentre la demanda del consumidor S meses después de que el juguete ha llegado al mercado. 34. El volumen de una esfera es una función de su ra dio. Si r pies es el radio de una esfera y V(r) pies cúbicos es el volumen, entonces, V{r) = 4 n r 3. Su ponga que una bola de nieve de forma esférica con un radio de 2 pie, ha comenzado a fundirse de tal forma que su radio cambia con rapidez constante de 4.S pulg/min. Si /(/) pies es el radio de la bola de nieve después de / minutos, haga lo siguiente: (a) Calcule (V ° /)(r) e interprete el resultado, (b) Encuentre el volumen de la bola de nieve después de 3 min. 35. ¿Es conmutativa la composición de dos funciones, es decir, si / y g son dos funciones cualesquiera, ( / ° gX*) y (g °/)(* ) son iguales? Justifique la respuesta proporcionando un ejemplo. Si f y g son dos fu n c io n e s tales que ( / • g)(x) = * y (f. °/X*) = ■*; entonces f y g son funciones in versas. En los ejercicios 35 a 40, demuestre que f y g son funciones inversas. 36.

/(

je)

x + 3 = 2x - 3 y g(x) = — - —

37. /U ) * —

X + 1

y «(*) 58

42. Determine si la función compuesta/ • g ^ par si (a) f e s par y g es impar, y es par. 43. La función de salto unitario U y la fuaíii fueron definidas, respectivamente, enloiq®» 51 y 53 de la Sección 4.2. Encuetan» sgn(U{x)) y dibuje la gráfica.

38. f(x) s jt2, x £ 0, y g(x) = >/T

0

f (x ) =

2x 0

si x < 0 si 0 £ x £ 1 si 1 < x

y (razaron!

p a s c u a le s sol :¿aa2algebraicí - r i ï a i a función --wiaparâbo

g(x) =

si x < 0 si 0 £ x £ 1 si 1 < x

WJQ0SD£|j|

Dibuje las gráficas de/, g y f • g. 45. Encuentre las fórmulas de (¿ »/Xiípnfc ciones del ejercicio 44. Dibuje lagrita de/' 46. Si f( x) - x 2 + 2x + 2, encuentre é» para las cuales ( /» gXx)= x2 - 4i ♦ 547. Si f{x) = x 2, encuentre dos funde« fí* cuales ( / o g)(x) = 4x2 - 12x + 9. 48. Demuestre que si / y g son funcione 1*^| tonces / * g es una función lineal. g(x) » —y HA = *■

'««I« qué ( / o g)(x) = (g •/)(*). pero nin*»»* \ V i u . r * 9) dos / ® g o g « > / e s l a misma que h.

► V IS IÓ N RETROSPECTIVA Antes de establecer la definición formal de una función, se trató la función como la correspon-

0*1

^ ,^ « 1 Cálculo, ^¿fiûesalgebr,

¡,

REVISION DEL CAPITULO 4 4.1

^lasliiní

44. Encuentre las fórmulas para ( / • gXx) a

Dada /(x) = X

^

dencia entre conjuntos de nó®*®* ^ pués, se calcularon algunos valore-’

REVISIÓ N P E I CAPITULO 4

resaltándose la importancia de los cocientes dife rencia, los cuales son fundamentales en Cálculo. También se mostró cómo se forman nuevas fun ciones operando sobre funciones dadas. La definición formal de una función como un conjunto de pares ordenados de números reales condujo, de manera natural, a la definición de la gráfica de una función. Se dibujaron gráficas de funciones y también se trazaron algunas de ellas. Se introdujeron las funciones definidas a trozos y la función del máximo entero como preparación para su uso en Cálculo, y se definieron varios ti pos de funciones algebraicas, así como funciones pares e impares.

237

mostró cómo encontrar el valor extremo de una función cuadrática y se resolvieron enunciados de problemas que tienen una función cuadrática como modelo matemático. 4.4

Mediante el empleo de una función como modelo matemático, se resolvieron enunciados de proble mas que implican variación directa, variación in versa y variación conjunta. Se obtuvieron en la graficadora soluciones aproximadas de enuncia dos de problemas que tienen una función cúbica como modelo matemático.

4.5

Se definió la función compuesta, por medio del cálculo de valores de la función, y se mostró cómo expresar una función dada como la compo sición de dos funciones, que es un procedimiento necesario en Cálculo. También se resolvieron enunciados de problemas que tienen una función compuesta como modelo matemático.

13 Se dibujaron y trazaron las gráficas de funciones cuadráticas, las cuales son parábolas. Se encontra ron, de manera algebraica, los valores exactos de los ceros de una función cuadrática comprobán dolos al trazar la parábola correspondiente. Se

► EJERCICIOS DE REPASO 6 . Dada g(x) =

1. Dada/(x) = 4 - x 2, encuentre: (») /O ) (b) / ( - 2) (c) /(3 ) (d)/(x-l) (e) /(x 2) 2- Dadaf(x) = (*) /( - 2) (d) /I' i + i x

(a) g i f + ' M

encuentre: x - 1 (b) / ( 2 ) (c) /(4 ) ñ

(e)/

x + 1

3. Dadag(x)sr V3x + 1 , encuentre: <») m o>) * ( u (c> g(S) (d) S<8)(e) g( 16) (f) *(3x + 2)

P*

(b) M -l) (c) h(3) (e) hix2) (f) 7) encuentre:

í#)

- /íij

(c)'< l* l)-|/< x )l

, encuentre: ( t,- J — g(x) - 1

-i. g(x)

En los ejercicios 7 a 12, calcule y simplifique el cof(x + h) - /(x) h * 0, para: cíente diferencia h

7. La función del ejercicio 1. 8 . La función del ejercicio 2.

9. La función del ejercicio S. 10. /(*) = VI - x 1 11. /(x) =

Dadah ( x ) ~ ' , encuentre: I x I +3 W) n(-3)

x - 1

(b) /(*) - xf(x2)

(d )/f!l--i-

/(*)

jx

-

2

x + 3 x - 4 En los ejercicios 13 a 18, defina las junciones siguien tes y determine el dominio de la junción resultante: ( a ) f + g; (b )f - g; ( c )f ■ g; (d)f/g; (e)g/f. 12. /(x) =

13. /(x) ■ x J - 4;

g{x) - 4x - 3

14. /(x) = V7;

g(x) a x 2 - 1

238

CAPÍTULO 4

FUNCIONES Y SU S GRÁFICAS

13. /(x) = V 7 T T ;

g(x) = x 2 - 4

16. /(*) * x 2 - 9;

g(x) * Vx + 5

17. /W -

j(x) * VT

18. /(x) -

X -

1 ’

$(x) »

41. Hx) m

x - 1 x - 1

42. HOc) a

«i X s o

si 0 < x

Xa

si X < -1

(x + 2 )2

si -I S ,

;í|

x + 2

En los ejercicios 19 a 24, defina las siguientes funcio nes y determine el dominio de la función resultante, (o)f° g: (b) g * f, considerando:

43. /(x) a

x + 4 V 16 - x 2 4 - x

44. *(x) =

x2 - 4 4 - x x - 8

si x < -4 si -4 s , s 4 si 4
19. Las funciones del ejercicio 13. 20. Las funciones del ejercicio 14. 21. Las funciones del ejercicio 15. 22. Las funciones del ejercicio 16.

*0 '

si x 5 2 si 2 < x S 4 si 4 < x

* i I ¡í 90**°* tojt&afyt

En los ejercicios 45 a 48, dibuje la grúfkaéeh^l ción y determine su dominio y contradamic C»l pruebe la gráfica trazándola f & ate * \9p"

23. Las funciones del ejercicio 17. 24. Las funciones del ejercicio 18.

45. f(x ) = [ x - 2]

46. í(x) * [i ♦ iJ-J friuijiraaos t vwpomf»

En los ejercicios 25 a 34, dibuje la gráfica de la fun ción y determine su dominio y contradominio.

47. h(x) = x - [ x ]

25. /(x) = 4 - 2x

26. g(x) = 3x + 2

48. F(x) = —

27. *(x) = x 2 - 4

28. f(x ) = 9 - x 2

29. h{x) = V x 2 - 16

30. H(x) = V 1 - x 2

31. F(x) = V 16 - x 5

32. G(x) = VT 2 - 1

33. f(x) = | 5 - x |

£>» los ejercicios 49 y 50, U y sgn son laJk b i I salto unitario y la función signo definidas a bitr\ cicios 51 y 53, respectivamente, de la SecakCbl cuentre fórmulas para la función dada y gráfica.

34. g(x) = | x + 4 I

él ni.flx) = 2x3

donde n = fx]

f»f(r) = 5x‘ y w s ni

i*

v •

49. /(x) = sgnx - t/(x) £n los ejercicios 35 a 44, dibuje la gráfica de la fun ción y determine su dominio y contradominio.

35. g(x) = -

c2

- 16

x

+

x 3

-

x 38. F(x) * .

+

37. G(x) *

39. FU)

*

. 3

36. f(x)

4 4

si

x & —4

si X a - 4

-

3

x

3 + 2* 40. G(x) m [ 3x + 2 [4-2*

si x * 2 si X a 2 si x < 0 si 0 <. x si X 5 0 *i 0 < X

x2+ x - 6 x - 2

50. g(x) = sgnx (J(x + 1 )

I

En los ejercicios 51 a 54, trace la gn$ca¿tbj**\ y a partir de la gnffica, determine cuál délas!* { 4» supuestos caracteriza los ceros de lafwák* \ ceros reales; ( b )m cero de mulápbciáadl'.oidto | imaginarios.

J N

„ _ "

m

51. /(x ) = x 2 - dx

arec0iT

52. /( x ) = 2x 2 + 8x + 11

'de! ti,

53. g(x) * - x 2 + 8x - 16 54* í(x) ■ —j x a + 2 t + 2 £/j los ejercicios 55 a 58, encuentre el mínimo de la función. 55. f(x ) m 4 - 4r - 2xa 56. g(x) - 3xa + 6 x + 7

V

ün cuej «9

N S ,t

REVISIÓN P E I CAPITULO 4

57. g(x) = Í U 2 + 2 * - 1 1 ) 51./(x) = | d 5 + 6x - x 2) | £)i ¿jí ejercicios 59 y 60, para las funciones f y g y e l „¿ñero c, calcule por dos métodos ( / o g)(c): (a) en cuentreg(c) y use este número para determinar f(g(c)); t (b) calcule ( / 0 g)(x) y emplee este valor para deter\ mar ( / • g)(c). ¡ ¡i, f(x) * V 100 - x 2; g(x) = x 2 + x; c * -3

Ó0./W ■

x4

2i £(■*) =

■

Vx - 2; c = 6

I f/® ^ ^°3 eÍerc^ 0S 61 y 62, exprese, de dos ¿lis maneras diferentes, h como la composición de dosfuncionesfyg. él.

h(x)

= (3x2 - 2) 1/3

O. (*)/(x) = 2x 3 - 3x (b) g(x) = 5x4 + 2x 2 -

1

(c) hOc) = 3x5 - 2x 3 +

x 2-

x

X2 + 1

x

r (*)/W = 4 ^ T * “ 1 ir le) A(x) = — x

67. Si un lago puede soportar un máximo de 10 000 pe ces, el índice de crecimiento de la población de peces es conjuntamente proporcional al número de pe ces presentes y a la diferencia entre 10 000 y el nú mero presente, (a) Si el índice de crecimiento es de 90 peces por semana cuando 1 000 peces están pre sentes, exprese el índice de crecimiento de la po blación como una función de los peces presentes, (b) Encuentre el índice de crecimiento de la población cuando 2 000 peces están presentes. tal que su producto es un máximo.

: fii /oj ejercicios 63 y 64, determine si la función es par, impar o ninguna de las dos.

X3 -

cional a la presión que soporta, y un gas ocupa 100 m3 a la presión de 24 kg/cm2. (a) Exprese el núme ro de metros cúbicos ocupados por el gas como una función del número de kilogramos por centímetro cuadrado de presión que soporta, (b) ¿Cuál es el volumen de un gas cuando su presión es 16 kg/cm2?

68. Encuentre dos números positivos cuya suma es 12,

| i l /i(x) = V9x2 + 6 x + 4

(d) F(x) =

239

W í M - t *? 1*1

(d) F(x) = x 2 • sgnx

En los ejercicios 65 a 82, resuelva el enunciado del problema encontrando una función como modelo matemático de la situación, asegúrese de escribir una conclusión. & La distancia recorrida por un cuerpo en caída libre, partiendo del reposo es directamente proporcional al cuadrado del tiempo que dura su caída, y un cuerpo cae 64 pie en 2 s. (a) Exprese el número en pies de la distancia recorrida por un cuerpo, inicialmente en reposo que cae, como una función del nú mero de segundos que dura su caída, (b) ¿Qué tan lejos llegará un cuerpo partiendo del reposo en su caída en ~ segundos? La Ley de Boyle establece que a temperatura cons tante el volumen de un gas es inversamente propor

69. Encuentre dos números positivos cuya suma es 12, tal que la suma de sus cuadrados es un mínimo. 70. Demuestre que entre todos los rectángulos que tie nen un perímetro de 36 pulg, el cuadrado de lado 9 pulg tiene la mayor área. 71. Si el responsable de un viaje escolar puede acomo dar hasta 250 estudiantes, el costo por cada estu diante será de $15, si no hacen el viaje más de 150 estudiantes; sin embargo, el costo por estudiante se reducirá en 5 centavos por cada estudiante arriba de 150 hasta que el costo alcance $10 por estudian te. (a) Si x estudiantes hacen el viaje, exprese el número de dólares de entrada bruta como una fun ción de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) ¿Cuántos estudiantes deben hacer el viaje para que la escuela reciba el ingreso más alto. 72. Un mayorista ofrece entregar a un comerciante 300 sillas a $90 por unidad y reducir el precio por silla en toda la orden en 25 centavos por cada silla adi cional arriba de 300. (a) Si se ordenan x sillas, ex prese el número de dólares en el costo del comerciante como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) Encuentre los dólares totales implicados en la transacción más alta posible entre el mayorista y el comerciante en estas circunstancias. 73. En un pueblo, cuya población es de 11 000, el índi ce de crecimiento de una epidemia es conjunta-

240

C A P ÍT U LO 4

F U N C IO N E S Y S U S G R Á FIC A S

mente proporcional al número de gente infectada y al número de gente no infectada, (a) Si la epidemia está creciendo a un ritmo de /(x) gentes por día cuando x gentes están infectadas, escriba una ecua ción que deñna /( x). (b) ¿Cuál es el dominio de la función / del inciso (a)? (c) Determine el número de gente infectada cuando la epidemia está crecien do a un ritmo máximo. 74. Un carpintero puede vender todas la mesas que fa brica a un precio de $64 por unidad, si x mesas se producen y se venden cada semana, entonces, el número de dólares en el costo total de la produc ción semanal es x2 + 15x + 225. (a) Exprese el nú mero de dólares de la ganancia semanal del carpintero como una función de x. (b) ¿Cuántas mesas deben ser construidas cada semana con obje to de que el carpintero tenga las ganancias máxi mas? (c) ¿Cuál es la ganancia semanal máxima? 75. En un lago, un pez depredador se alimenta de un pequeño pez, y la población del depredador en cualquier momento es una función / de x, el núme ro de peces pequeños en el lago, el cual es una fun ción g de f, el número de semanas que han transcurrido desde el final de la temporada de pes ca. Si /<*) = i

+

80

g(í) = 8* + 90

haga lo siguiente: (a) Exprese la población del pez depredador como una función de t. (b) Encuentre la población del pez depredador 9 semanas después de cerrada la temporada de pesca. 76. Con base en un monopolio, la ecuación de deman da para una mercancía es x 2 + p = 324, donde x unidad«^» son producidas diariamente cuando p dó lares es el precio por unidad, (a) Exprese el núme ro de dólares de la entrada total diaria como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función en el inciso (a)? (c) En la graficadora, encuentre el número de unidades que deben ser producidas para maximizar la entrada diaria total. ¿Cuál es esta en trada? 77. Con base en el monopolio del ejercicio 76, supón gase un costo de $80 para producir cada unidad. Así, la función do costo total es C donde C(x) = 80x. (a) Exprese el número de dólares de la ganan cia diaria como una función de x . (b) En la granea

dora. encuentre el número de unidadesa* producirse por día para maximizar lapi* ña. ¿Cuál es esta ganancia? 78. Una cacerola metálica abiena será conuru^, tando de las esquinas cuadrados del de una lámina metálica rectangular de u * pulg y doblando hacia aniba los lados. (•)$. tímetros es la longitud del cuadradoanudee se el número de t igadas cúbicas de una función de x. (b) ¿Cuál es d domaos función del inciso (a)? (c) En la graficadoQ,¿ mine, con una exactitud de centésimadepZg - ^(odoslosnumei la longitud del lado del cuadradoquedebe ^hsB na deun; tado para que el volumen de la cacerolaseta» | ximo. ¿Cuál es este volumen máximo? 79. Para formar una caja abierta, se cortancutt* de cada una de las esquinas de laláminadekp* lata que tiene un área de 400 m2. (a) Si ice* >j^ndoquelafunciói tros es la longitud del lado del cuadradop ..foijtójesm función] cortado, exprese el número de centímctracfc» 22:to;í/(r)-/(-j del volumen de la caja como unafunofafei ¿Cuál es el dominio de la funcióndd inóoli En la graficadora encuentre, con una ¡rail centésimos de centímetro, la longituddd cuadrado que será cortado para que d de la caja sea un máximo? ¿Cuál es estevM 80. Un letrero que contiene 50 m2de maeni se requiere que tenga márgenes de 4 a ai¡ abajo, así como 2 m en cada uno de tosWa Si A(x) metros cuadrados es él áreatoaiddM cuando x metros es la medida taaatfdAM gión cubierta por el material impreso, «**1 ecuación que defina A(x). (b) ¿Cuál esdíM de la función Al (c) En la graficadori con precisión de metros, las dimensioos^ : ro más pequeño que pueden presentaresasw ficaciones.

le unidades que deben imizarlt ganancia 4

a será construida cordos del mismo tamaño tangular de 14 por ij los lados, (a) Si x coladrado cortado, expreíbicas de la caja como íl es el dominio dela n la graficadora, déte :entésimos de pulgadi Irado que debe serax ■la cacerola sea unú 1 máximo?

ta, se cortan cuadrado: de la lámina de hoja*! K) m2. (a) Si x centíitf1del cuadrado que de centímetros k) una función de inción del inciso(t)1 e, con una precisión la longitud del lad° o para que el volo^; ¿Cuál es este volufl^

p m2 de material Argenes de 4 m uno de los

Una caja abierta con base cuadrada tien e u n v o lu men de 4 000 pulg2. ( a ) Si S (x) p u lg a d a s c u a d ra das es el área total de la su p e rfic ie d e la c a ja cuando x es la longitud del cu adrado d e la b ase, escriba una ecuación que defina S(x). (b ) ¿ C u á l es el dominio de la función 57 (c) D eterm in e e n la graficadora, con precisión de pulgadas, las d im e n siones de la caja que puede co nstruirse co n la m ín i ma cantidad de material. Hagaei ejercicio 81, si la caja está cerrada. Demuestre que cualquier función, cu y o d o m in io es el conjunto de todos ios núm eros reales, p u e d e e x presarse como la suma de una fun ció n p a r y u n a función impar escribiendo. / « = \ [ f ( x ) + /(-X )] + \ [ / ( x ) - / ( - x ) ]

y demostrando que la fu n ció n q u e tie n e v a lo r e s 51/W +/(*)] es una función par, y q u e la fu n c ió n

*iue tiene valores ^ [f(x) —f ( —x)] es una función im par.

REVISIÓN P E I CAPÍTULO 4

241

84. La función g está definida por g(x) = x 2. Defina una función/tal que ( / 0 g)(x) = jc si (a )x

> 0

(b) jc < 0

85. Encuentre las fórmulas para ( / 0 g)(x) si

y 1 g(x ) = i 2xsi

1

si x < 0 0 < jc <

si 1 <

1 JC

Dibuje las gráficas de/, g y f 0 g. 86. Encuentre las fórmulas para (g 0 f)(x) para las

funciones del ejercicio 85. 87. Dibuje la gráfica de g ° / para las funciones del ejercicio 85.

Sumario 5.1 Gráficas de funciones polinomiales 5.2 Teorema del factor y sustitución sintética 5.3 Ceros racionales de funciones polinomiales 5.4 Ceros complejos de funciones poliño míales 5.5 Funciones racionales

B

S

I S

I i

Ul

3.1

ORÁFICAS P I FUNClONfS POUNOMIALIS

243

gráfic as d e f u n c io n e s p o l in o m ia l e s

OBJETIVOS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

11 1 i !¡ / o\ 1 1

Aprender la regla de traslación vertical. Aprender la regla de traslación horizontal. Aprender la regla de expansión y contracción vertical. Aprender la regla de reflexión respecto al eje x. Dibujar gráficas de funciones polinomiales mediante transformaciones geométricas. Describir el comportamiento al infinito de gráficas de funciones polinomiales. Determinar los extremos relativos de una función polinomial. Estimar los extremos relativos de una función polinomial. Trazar gráficas de funciones polinomiales.

En las secciones 4.3 y 4.4 se describió la forma en que se emplean las funciones polinomiales como modelos matemáticos de enuncia dos de problemas. En esta sección, discutiremos las gráficas de fun ciones polinomiales. Anteriormente se dijo que la gráfica de una función lineal es una recta, y que la gráfica de una función cuadrática es una parábola. Con sidere ahora la función potencia definida como

/ f(x ) = X (a)

f{x) = x n

I— I - * -

X

n es un entero positivo

La Figura 5.1 muestra gráficas de esta función para valores enteros po sitivos de n, de 1 a 6 . Todas estas gráficas contienen al origen, el cual es la única intersección de las curvas con los ejes. Si n > 1, el eje x es tangente a la gráfica en el origen. Si n es un entero positivo par, la grá fica se encuentra en los cuadrantes primero y segundo, y es simétrica con respecto al eje y. Si ti es un entero positivo impar, la gráfica está en los cuadrantes primero y tercero, y es simétrica con respecto al origen. En el caso de que | jc| se aumente sin límite, también lo hará

l/U) I-

ii /(*) = X« (d)

(c)

(f) FIG U RA 5.1

244

CAPÍTULO S FUNCIONES POUNOMIALKS Y RACIONALES

Ahora se mostrará cómo la gráfica de una función deftnKl. te una ecuación de la forma diante

F(x) = x" + k puede obtenerse a partir de la gráfica de f(x) = x*. El procedí^ está basado en la siguiente regla de traslación vertical, l* cual seáj. duce de las ecuaciones de traslación de ejes de la Sección 3.5

Regla d e tra s la c ió n v e rtic a l La gráfica de una función definida mediante una ecuación dek forma

F(x) = f(x) + k puede obtenerse a partir de la gráfica de la función/pormofe de una traslación (o desplazamiento) vertical de k unidadeslu cia arriba si k > 0 , y | k | unidades hacia abajo sik <0.

F (x ) = x 2 + 2 F (x ) = x

2+

1

F (x ) = x 2 - 1 F (x ) = x 2 - 2

>

E J E M P L O IL U S T R A T IV O 1

La Figura 5.2 muestra las gráficas de las funciones

F(x) — x 2 + k donde k toma los valores -2 , -1 , 1 y 2. Observe que las grifas«* tienen de la gráfica de f(x) - x 2[véase la Figura 5.1 (b)J roed«*«* laciones verticales como se muestra a continuación:

FIGURA 5.2

F(x) = x 2 - 2 F(x) = x 2 — \ F(x) = x 2 + 1 F(x) = x 2 + 2

2 unidades hacia abajo

1 unidad hacia abajo 1 unidad hacia arriba 2 unidades hacia arriba

Observe que el valor de £ es la intercepción y de la gráfica.

► EJEM PLO 1

Uso d o la re g la d e traslación v f t i* *

Dibuje las gráficas de cada una de las siguientes funciono una traslación vertical de la gráfica de f(x ) = x 3: (a) F(x) » jc3 + 2

(b) G(x) * * * ~

y

I

5.1

GRAFICAS OE FUNCIONES POUNOMIALES

245

Solución

(a) La gráfica de F(x) =x 3 + 2 se muestra en la Figura 5.3. Se obtiene de la gráfica f(x) - x 3 [véase la Figura 5.1 (c)] por medio de una traslación vertical de 2 unidades hacia arriba.

(b) La Figura 5.4 muestra la gráfica de G(x) = x 3 - 3, la que se obtie ne de la gráfica de f(x) = x3mediante una traslación vertical de 3 unidades hacia abajo.

4

La regla de traslación horizontal, la cual también se obtiene de las ecuaciones de traslación de ejes de la Sección 3.5, nos permite ob tener la gráfica de una función definida por una ecuación de la forma

F(x) = (jt - h)n a partir de la gráfica átf{x) = x n.

R egla d e tra sla ció n h o riz o n ta l La gráfica de una función definida mediante una ecuación de la forma

F(x) = f( x - h) puede obtenerse de la gráfica de la función / por medio de una traslación (o desplazamiento) horizontal de h unidades hacia la derecha si h > 0 , y \h | unidades hacia la izquierda si h < 0 .

>


La Figura 5.5 muestra las gráficas de las funciones definidas por

F(x) = (x - ti)3 cuando h toma los valores - 2 ,- 1 , 1 y 2. Estas gráficas se obtienen de la gráfica de/(jt) = x3, mediante traslaciones horizontales, de la manera siguiente:

F(x) * ( x -

2)J

F(*) * (x- 1)J 5S

F(x) F(x) F(x) F(x)

= = = =

(x + 2)3 (* + l )3 Or - O 3 fx - 2)3

2 unidades a la izquierda 1 unidad a la izquierda 1 unidad a la derecha 2 unidades a la derecha

Observe que el valor de h es la intercepción x de la gráfica.

246

CAPÍTIIIO 5 FUNCIONES POLINOMIAIES Y RACIONALES

► EJEM PLO 2

Uso do la re g la do traslación horizonte

Dibuje las gráficas de cada una de las siguientes funcione* —* una traslación horizontal de la gráfica de/(jr) = x4: (b) G(j) = (x - 2)*

(a) F (x ) = (x + l )4

Solución (a) La gráfica de F(x) = (x + l )4se obtuvo de la de/(x)=x< [ ^ l Figura 5.1 (d)] por medio de una traslación horizontal de l Z hacia la izquierda. La gráfica se muestra en la Figura 5.6 (b) En la Figura 5.7 se presenta la gráfica de G(x) = - 2 f da a partir de la gráfica de f (x ) = x 4mediante una traslaofobJ zontal de 2 unidades a la derecha. A fin de obtener la gráfica de una función definida por un « J ción de la forma F (x ) = (x -

h)n + k

a partir de la gráfica de f (x ) = x"f se utiliza tanto la traslación veras] I como la horizontal, esto se ilustra en el ejemplo siguiente. ► EJEM PLO 3

D ib u jo de la g rá fic a de una fundón p o lin o m ia l m ediante una traslación i y u n a h o riz o n ta l

Dibuje la gráfica de la siguiente función utilizando una traslación tical y otra horizontal de la gráfica de/(jc) = x 3: F (x ) = (jc - 4

)3 -

^5.11

2

Compruebe la gráfica trazando las gráficas de ambas funciones*; mismo rectángulo de inspección. Solución

La gráfica de la función / ( j c )

= jc 3 se

muestraenbfif

5.1(c). Por medio de una traslación vertical de 2 unidades hw»#

y otra horizontal de 4 unidades a la derecha, se obtiene la querida, la cual se presenta en la Figura 5.8. La Figura 5.9 contiene las gráficas de ambas funciones, en el rectángulo de inspección de (-1 0 ,1 0 ] por [-1 0 ,10J.

1

Im

[) f\

1\

r

[ - 10 , 10 ] por [- 10 , 10)

FIGURA 5JH

HSJporl-1. 10]

yu)=.v 3y F(x) = ( a - 4 ) '- 2 FIGURA 5.9

5.1

GRÁFICAS D I FUNCIONES POUNOMIALES

247

Ahora, se estudiará el efecto causado en la gráfica de/(*) = x n al multiplicar por una constante positiva.

>


(a) La Figura 5.10 muestra las gráficas de f( x ) = jr2 ,

^

5 51 por H

* 10^

flG U R A 5.1 0

,

F(x) = 2 x2

G(x) = 4 x 2

trazadas en el mismo rectángulo de inspección. Note que la multi plicación de x 2 por los factores 2 y 4 causa un “estiramiento” ver tical en la gráfica de f(x) - x 2debido al factor. (b) La Figura 5.11 presenta las gráficas de las funciones definidas por M

F(x)

CKx) = \ x ' 4

Aquí, la multiplicación de x 2por los factores > y ^ ocasiona en la gráfica de / ( je ) = x 2 una contracción vertical debida al factor. 4 El ejemplo ilustrativo 3 muestra un caso especial de la regla si guiente.

I-5 .5 J p o r H , 10] ñ x)= S ,F {x )= \xt,y G ( x ) = ±xt

R egla d e e xp a n sió n y contracción ve rtica l

FIGURA 5.11

La gráfica de una función definida mediante una ecuación de la forma F(x) = af(x)

a >0

puede obtenerse a partir de la gráfica de/por medio de (i) expansión vertical de la gráfica mediante un factor a si ' a > 1. (ii) contracción vertical de la gráfica mediante un factor a si 0 < a < 1.

► EJEM PLO 4

Uso dt la

n g la

dt e xp a n s ió n

y co n tra cció n

v r tic a l

Dibuje la gráfica de cada una de las funciones siguientes por medio de una expansión vertical o una contracción vertical de la gráfica de/(x) =x*. (a) F(x) = 2 *4

(b) G(x) =

4

248

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLINOM IALES Y RACIONALES

S o lu ció n

F{x) = 2xA

FIGURA 5.12

(a) La gráfica de f{x) = x* se muestra en la Figura 5-l(d). Lam 1 de F se obtiene de la d e /p o r medio de la multiplicación dec* I denada por 2 , lo que tiene el efecto de estirar verticalme*^ * I fica debido al factor 2. Véase la Figura S.12. (b) Para obtener la gráfica de G, mostrada en la Figura $.13,*^! plica cada ordenada de la gráfica de / por -t , la cual se coi*** ticalmente debido al factor

;$r, J] I

Ahora se resume lo discutido hasta el momento en esta »rA

T ra n s fo rm a c io n e s g e o m é tr ic a s d e u na g ra fía

La gráfica de una función definida mediante una ecuaciónfcfc forma F(x) — af(x FIGURA 5.13

h) + k

a es una constante positm

puede obtenerse a partir de la gráfica de/por medio de lastn» formaciones geométricas siguientes: 1. Expansión vertical (a > 1) o contracción vertical (0< dt

y | h \ a la izquierda si h < 0 . Se obtiene la funcióndefiní por af(x — h). 3. Traslación vertical de k unidades hacia arriba si k > 0, j | k \ unidades hacia abajo si k < 0. Se obtiene F(j)s a f(x - h) + k.

► EJEM PLO 5

función transform ación*

D ib u jo d e la g r á f ic a d e u n a p o lin o m ia l p o r m e d io d e

geométricas.

Dibuje la gráfica de F(x) = 4(jc — 3) 2 —5 por medio de transí«®1** geométricas adecuadas de la gráfica de f(x) = x2. Compruebe t*r ca trazando las gráficas de ambas funciones en el mismo redáp inspección. Se realizarán las transformaciones geométricas de^ fica de / en el orden indicado para obtener la gráfica de F, muestra en la Figura S. 14.

S o lu ció n

1. Expansión vertical mediante el factor 4. 2. Traslación horizontal de 3 unidades hacia la derecha. 3. Traslación vertical de S unidades hacia abajo.

_______

8.1

GRÁFICAS PE FUNCIONES POUNOMIAIES

249

La Figura 5.15 presenta las gráficas de ambas funciones tal como aparecen en la grañcadora o calculadora gráfica. Ahora considere la función potencia definida como /(■*) =* ~xn

n es un entero positivo

La Figura 5.16 muestra las gráficas de esta función cuando n toma los valores enteros positivos de 1 a 6 . Observe que son los reflejos respecto al eje x de las gráficas correspondientes de la Figura 5.1; esto es, la giafl ea de f ( x ) — - x " puede obtenerse mediante la reflexión con respecto al eje x de la gráfica de/( x ) = x n . Por tanto, se tiene la regla siguiente.

Regla de reflexión respecto al eje x

La gráfica de una función deñnida mediante una ecuación de la forma F(x) = -f(x) puede obtenerse a partir de la gráfica de / por medio de la re flexión con respecto al eje x.

y

y

/(*) = -* 2 (a) y

(b)

(c) y

y

(e)

FIGURA 5.16

210

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES

El empleo de la regla de reflexión con respecto al ejexi^. las otras transformaciones geométricas de esta sección nos tener la gráfica de la función F(x) = -a(x - h)n + k

a es una constante positivi

a partir de la gráfica def(x) = x*. Esto es cierto, sin embargo,«^ se realiza la reflexión con respecto al eje x, como se muestr» ejemplo siguiente.

► EJEM PLO 6

O/bu/e d e

l a g r á f i c a de una fundón p o lin o m io ! p o r m e d io de transformaclonn

geométricos

Dibuje la gráfica de F(x) = ~ ( x + 4)3 + 2 median»? transformé geométricas apropiadas de la gráfica de f ( x ) = x \ Compruebekpi ca trazando las gráficas de ambas funciones en el mismo rectfafét inspección.

Solución La gráfica de F , mostrada en la Figura 5.17, seob aplicando las siguientes transformaciones geométricas de lagrifiat f e n el orden indicado.

i oes impar

1. Reflexión con respecto al eje x. 2. Traslación horizontal de 4 unidades hacia la izquierda. 3. Traslación vertical de 2 unidades hacia arriba.

(b) ft<0

RGIRA5.2 La Figura 5.18 muestra las gráficas de ambas funciones ai® aparecen en la graficadora. [ - 1 0 ,1 0 ] p o r [ - 1 0 ,1 0 ]

TO*-(Jf + 4y + 2 FIGURA 5.18

Ahora se tratarán las gráficas de funciones polinomiabnM nerales de grado mayor o igual que 3. Si P es una funciónpoto mial de n-ésimo grado, entonces P(x) = anx n + an- \x ñ~l + a*-2X"~2 + . . . + ft* + *

nos par

(a)

n esimpar Cb) a. >0 FIGURA 5.19

donde oq, a i , . . . , a„ son números reales con o« # Oyn no negativo. Considere a„j? como el primer término del el caso de que | x | aumente sin límite, también lo hará mayor que la suma de los demás términos del polinomior^ forma de la gráfica para valores grandes de | x | será afccj*Jjj, valores del término a*x". Se puede concluir que la formade para valores grandes de | jc | será similar a la gráfica déla ^ tencia de grado n. Ahora se considerarán los casos en que <** voy a„es negativo.

Caso 1: a,, > 0: Los valores de la función aumentarín 0 grandes de x\ por esto, la gráfica irá hacia arriba y a en la Figura 5.19(a) y (b). Si n es par, la gráfica izquierda como en la Figura 5.19(a), y si n es impar« af derá desde la izquierda como en la Figura 5.l9(b).

».1

251

Caso 2: a„ < 0: Los valores de la función disminuirán para valores grandes de x; por esto, la gráfica irá hacia abajo y a la derecha como en la Figura 5.20(a) y (b). Si n es par, la gráfica ascenderá desde la iz quierda como en la Figura 5.20(a); y si n es impar, la gráfica descen derá desde la izquierda como en la Figura 5.20(b).

junto con ermite ot

Las propiedades de una gráfica en las prolongaciones izquierda y derecha del eje x son denominadas como comportamiento al infinito de la gráfica. Asf, las conclusiones de los casos 1 y 2 proporcionan el comportamiento al infinito de las gráficas de funciones polinomiales, lo que se resume en la Tabla 1.

o, primer «tra ent

Tabla 1

Comportamiento al infinito de gráficas de Junciones polinomiales n

On

nnacioK tánguloè se obtuve

grafio¿

GRÁFICAS D I FUNCIONES POLI NOMIALES

n es impar

(b)

Positivo

Par

Positivo

Impar

Negativo

Par

Negativo

Impar

Comportamiento al infinito

Ejemplo

Desciende desde la izquierda Va hacia arriba y a la derecha Asciende desde la izquierda Va hacia arriba y a la derecha Asciende desde la izquierda Va hacia abajo y a la derecha Desciende desde la izquierda Va hacia abajo y a la derecha

Figura 5.19(a) Figura 5.19(b) Figura 5.20(a) Figura 5.20(b)

«,<0 FIGURA 5.20

//£

Las gráficas de funciones polinomiales son curvas “ininterrumpidas’' porque las funciones polinomiales son continuas, lo que implica que un pequeño cambio en x ocasiona un pequeño cambio en/(jt). Una de finición de función continua requiere el concepto de límite, el cual es estudiado en Cálculo. Los puntos importantes de las gráficas de funciones polinomiales son los puntos en donde la función tiene extremos relativos, los cuales son los valores mínimos relativos y máximos relativos de la función.

Y Oo

f e

SÊ * 6

0**

m m w

DEFINICIÓN Valores mínimos y máximos relativos de una ____________ fundón El valor/(a) es un valor mínimo relativo de / s i existe un inter valo abierto (c, d) que contiene a a y tal que f(a )

á f(x )

para todo x en (c, d)

El valor f{b) es un valor máximo relativo de / si existe un inter valo abierto (c, d) que contiene a b y tal que f(b ) £ f(x )

para todo x en (c, d)

252

CAPÉTULOJ.

i

» orifica de una función polinomial tendri un, ^ „ d a , un punto donde existe un extremo relai,0T N Í T ^ U f u n c i ó n tiene un valor míxuno relativo en B y 5' 1 ,i! T e n A y C. Observe las rectas tangentes hora™ ?'* m° S2 = En la Figura 5.19(b), la función tiene d o s V ^ S ucs P“n v alo r máximo relativo en A y un valor m ín im o ^ * vos‘ un ■ j e |a Figura 5.20(a) tiene tres extremos La fu"c , Fi ura 5 20(b) tiene dos extremos relativos. V CÍÓ" Ahora enunciaremos un teorema, sin pr .rio, n ú m e r o o e Z extremos relativos posibl< . par; una fu n c tó n -Z ^ c a u w

TEOREMA 1

Una función polinomial de n-ésimo grado tieoe a lo más n ■ iremos relativos.

De este teorema se deduce que una función polmomial de» grado tiene a lo más tres extremos relativos. Por tanto, la grifai] Figura 5 .19(a) podría ser la de una función polinomial de cuanta La gráfica de la Figura 5 .19(b) podría ser la de una fuDooopo« de tercer grado, ya que tales funciones tienen a lo más dosexn relativos. En los siguientes ejemplos, se aplicará el Teorema 1asícwij información del comportamiento al infinito de la Tabla 1.

^

Descripción y trazado de la gráfkaó* , función polinomial y estimaciónd i * extremos rotativos

Describa el comportamiento al infinito de la gráfica de lato»*1 nida como

P(x) = * 3 - 6* 2 + 9 x - 1 [-5,5] por [-5,5] J>(*)!S*, -dxa+ 9xFIGURA 5.21

Determine los extremos relativos de P. Trace la gráfia*^ graneadora y estime sus extremos relativos. S o lu c ió n Debido a que el coeficiente de x3es jKque I3 ' 1.^, • •- 'TVklo | del polinomio es impar, se concluye de la a . \t, 5 ciende desde la izquierda y va hacia amba y * tan*0, I rema 1, existen a lo más dos extremos re*atl^ ? \ ^ Ul probablemente parecida a la de la Figura 5. _ . en el -’frClcLa Figura 5.21 muestra la f ‘^ * 0 inspección de [-5, 5] por [-5, 5]. Emplean^ ^ re|ativo* graficadora vemos que P tiene un valor ináx

5.1

GRÁFICAS PE FUNCIONES POUNOMIALES

253

d_y un valor mínimo relativo de -1 en x = 3. En el curso de Cálculo se le habilitará para demostrar que éstos son los extremos relativos exactos. 4

■ta tangeni! In la Figüf’ alores mín, Jes en esto« :mos relati. lativo en 8 >s, y la fun

►

EJEM PLO 8

Descripción y trazado da la gráfica de una función polinomial y estimación de sus extremos relativos

Siga las instrucciones del ejemplo 7 para la función definida por

porcionae; ¿normal

P (x) = 3 * 4 - 4 * 3 - \ 2 x 2 + 12 S o lu c ió n El grado del polinomio es 4 y el coeficiente de x 4 es po sitivo. Por tanto, se concluye de la Tabla 1 que la gráfica desciende desde la izquierda y va hacia arriba y a la derecha. Además, por el Teorema 1, tiene a lo más tres extremos relativos. Por esto, la gráfica probablemente es similar a la de la Figura S.19(a). Se traza la gráfica de P en el rectángulo de inspección de 1-5,5J por [—50, 50]. Mediante el aumento (zoom in) de la graficadora se observa que P tiene un valor máximo relativo de 12 en x = 0, y valores mínimos re lativos de 7 y -2 0 en x = -1 y x = 2, respectivamente. Estos extremos relativos son exactos, como lo podrá probar en su curso de Cálculo. 4

- lex

il de cuati ¡ráficadelí tarto grade polinomio >s extreiae

así como

fii l o s e j e r c i c i o s

1 a 6. d ib u je la s g r á fic a s d e F

ú m is m o s i s t e m a c o o r d e n a d o , m e d i a n t e

u n a

y

G , en

tr a s la c ió n

tr tic a l u h o r i z o n t a l d e l a g r á f i c a d e f

unción^

g r á fic a s d e a m b a s fu n c io n e s e n e l m is m o r e c tá n g u lo d e in s p e c c ió n .

11.

f ( x )

m X2-, F

13.

= jc3;

F (x )

3. f(x) = x 2; Fix) = (x + 3)2; G {x ) = ( x - 4)2

14. /(jc) = jc2;

F (x )

4. f{x) = x3; F(x) = (x - 2)3; G{x) = (jc + 3)3

15.

s-/íx) = x \ F(x) — x 3 - 6 ; G(x) = {x - 6)3 ^ f{x) = x*\ F(x) — x A + 1; G(x) = (* + l )4

16. /(jc) = jc4;

12. /(jc) =

E n

f ( x )

f{ x )

=

= 3(jc + 5)2 - 6 = - 2 { x - 4)3 + 1 = - J ( x - D- - 2

(x )

1. fix) = *2; F(x) = x 2 + 3; G(x)’= x 2 - 4 1 f{x) = x \ F{x) ~ x 3 - í \ G(x) = x 3 + 3

x 3; F ( x )

x 4; F { x ) F (x )

lo s e je r c ic io s

1 7 a

=

y(x +

4)2+ 5

-

- 2 ( x

+ 3)4+ 1

=

{ ( x

22,

d ib u je

-

la

2)4- 3

g r á fic a

d e

la f u n

c ió n . C o m p r u e b e s u g r á fic a e n la g r a fic a d o r a .

|fii lo s

e je r c ic io s 7 a

1 0, d ib u je

la s

g r á fic a s d e

f * el m is m o s i s t e m a c o o r d e n a d o , m e d i a n t e

de?*' 'o *¿AV

i

F

y

G ,

e x p a n -

P* * f(x) p . fix) Kf U)

11 a

16. d ib u je

r

tr ó fic a

de f

la

g r á fic a

g e o m é tr ic a s

C o m p ru e b e

la

g r á fic a

F

tr a z a n d o

. 3«®

■■■■■

d e

a p r o p ia d a s

__

/(

jc)

19. (a) f i x ) (b) g(x)

x \ F(x) = 2 x \ G(x) = ¿jc4 x \ F(x) = 3x2; G(x) = \ x 2 - x \ F(x) - - 3 x i; G(jc) - ~ { x 3 -x*\F(x) = - 2 x 4i GÍx) = - ¡ x 4

4 “n te t r a n s f o r m a c i o n e s

17. (a) /(jc) = —4(jc - 2)2 18. (a)

f* ó n o c o n t r a c c i ó n v e r t i c a l d e l a g r á f i c a d e f

f í* lo s e j e r c i c i o s

M

u n a

m e d e la s

20. (a) /(jc) (b) gU ) 21. (a) f i x ) (b) g(*) 22. (a) f { x ) (b) g { x )

=

J ( jc

=

(x

=

~ ( x

-

(bj (b)

- l)4

g {x ) g {x )

2 )4 + 3 + 2)4 - 3

= (jc - 3)3 + 2 = - ( * + 3)3 —2

= 2(x + =

\ ( x

- 4)5 -

4)5 + 1

+ l )5 + 4 = — —3(jr — I i

1

= 3(x + l)2 = - ¿ U + I)4

254

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLINOMIALES Y RAOONALES__________

En los ejercicios 23 a 36, para la función dada haga 35 . f(x ) = ~x* + x 2 lo siguiente: (a) describa el comportamiento al infi^ = x5 - 4 x 3 nito de la gráfica; (b) determine los extremos relati vos: (c) trace la gráfica; (d) estime los extremos relativos. E n lo s e je r c ic io s 3 7 a 4 0 ,

u tilice transforma^

m é tr ic a s p a r a d ib u ja r la gráfica de la jm a áif j

23. P(x) = x 3 - 2x2 - 5x + 6 24. P(x) = x 3 - 3x2 - 9x + 9 25. F(x) * x 3 - 3x2 + 3

tir d e la g r á fic a d e la fu n ció n valor absolmo

|

26. G(x) = x 3 + 4x2 + 4x

37. FU) = 2 \x - 3| + 4 38. F(x) * - 2 \ x + 4| - 3 39. F(x) = - 3 \ x + ¡ 1 5

27. g(x) = 3x3 - 4x2 - 5x + 2

40. F(x) = 3 |* - 2| + 4

28. f(x) - 6x3 + 29x2 + x - 6

41. Las transformaciones geométrica»dela fundón/ empleadas para dibujar lagrffia4¡3 ción F definida por

29. /(* )

= xA - 5x3

4

2x2 + 8x

30. g(x)

= x A - 5x2

+

4

31. P(x)

= x 4 + x 3 - l x 2 - x #+ 6

32. />(*)

* x4 - 6jt3

F(x) = cf(x - h) + k 11a:2— 6x

+

33. G{x) = 3x4 + 5x3 - 5x2 - 5x + 2 34. h{x) = 2x4 - x 3 - 6x2 - x + 2

5.2

donde c , h y k son constantes, incluyen contracción, traslaciones vertical y honran. ¡1 regla de reflexión con respecto al eje1.tb m tante el orden en que se realizan esos traasil ciones? Explique su respuesta.

TEOREMA DEL FACTOR Y SUSTITUCIÓN SINTÉTICA O B JE TIV O S

1. 2. 3. 4. 5.

A prender y aplicar el teorema del residuo. A prender y aplicar el teorema del factor. A prender y aplicar la división sintética. Em plear la división sintética para factorizar un poboon* Calcular valores de funciones polinomiales por medioAb sustitución sintética. 6 . Aplicar el algoritmo de Horner.

En la próxima sección obtendremos ceros de una función mediante la determinación de factores lineales del ¿ Para lograr esto, es necesario aplicar las técnicas discutid* sección. Comenzaremos por enunciar el teorema al que se tect® ^ algoritmo de la división para polinomios, donde el divisor presión lineal de la forma x - r, donde r es un número real-

5 .2

TEOREMA DEL FACTOR Y SUSTITUCIÓN S INTÉTICA

TEOREMA 1

255

Algoritmo de la división para dividir P(x) entre x - r

Si P(x) es un polinomio y r es un número real, entonces cuando P{x) se divide entre x —r, se obtiene como cociente un polino mio único Q(x) y como residuo un número real R tales que para todo valor de x, P(x) = (x - r)Q(x) + R

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Sea P(x) = 2jc3 — 5* 2+ 6* - 3. Divida P(x) entre x - 2. 2x2 - x + 4 x S 2 ) 2 x 3 — 5jc2 + 6 jc — 3 2 x 3 - 4jc2 w—x 2 6 a: - x 2 + 2x 4x - 3 4* - 8 5 De aquí, el cociente Q(x) es 2 r 2 - x + 4, y el residuo /? es 5. Por tanto, se escribe 2 x 3 ~ 5 x 2 $ 6 * | | 3 = (jc — 2)(2x 2 - .* + 4) + 5 lo cual se ha presentado en la forma de la ecuación del Teorema 1.

>

<


En el ejemplo ilustrativo 1, P(x) = 2x 3 - 5jc2 + 6* - 3. Así, />(2) = 2(2 )3 - 5 ( 2 f + 6(2) - 3 , > ,5 Observe que el valor de P(2) es el mismo número que el residuo obte nido en el ejemplo ilustrativo 1, cuando P(x) se dividió entre x - 2. < El ejemplo ilustrativo 2 presenta un caso especial del siguiente teorema, conocido como teorema det residuo.

/ FUNCION í S PO U W O M jA U S Y « A O O N A U S 256

c a p ít u l o s

TEOREMA 2

Teorema del residuo

Si P(x) es un polinomio y r es un número real se divide entre x - r, el residuo es P(r). D em ostración Del Teorema 1 se deduce que cuando entre x - r, obtenemos un polinomio Q(x) como cociente **** real R como residuo tales que para todo valor de x,

P (x) = (x - r)Q(x) + R ina identidad, ésta es m satisfedu Debido a que esta ecuación es una x = r. Así P(r) = (r - r)Q(r) + R = 0 + R = R

por lo que el teorema se ha demostrado. ►

EJEM PLO 1

Aplicación d e l teorema del residuo

Utilice el teorema del residuo a fin de determinar el res» cuando 2 x 3 + 3x 2 - 4 x - 17 se divide entre ( a )x -3y(k)i+l Solución

(a) Cuando P{x) se divide entre x - 3, el residuo es P{3). C« P(x) = 2x 3 + 3x 2 - 4x - 17 P{3) = 2(3 )3 + 3(3 )2 - 4(3) - 17 = 52

Por tanto, cuando P(x) se divide entre x - 3, el residuo es (b) Cuando P(x) se divide entre x + 2, el residuo es P{~2)P ( - 2) - 2 ( - 2 )3 + 3 (—2)2 - 4 (-2 ) - 17 = ~ 13 Así, cuando P(x) se divide entre x + 2, el residuo es -1 • Una consecuencia del teorema del residuo es el tor. Este teorema nos permite determinar si una exprés' la forma x - r es factor de un polinomio dado. TEOREMA 3

Teorema del factor

Si P{x) es un polinomio y r es un número contiene a x - r como factor si y sólo si Pir) ~~

5.2

TEOREMA P E I FACTOR Y SUSTITUCIÓN SINTÉTICA

257

D em ostración Debido a que el enunciado del teorema contiene la expresión si y sólo si, hay dos partes a probar. Parte 1: Si P(r) = 0, en tonces x - r es un factor de P(x); Parte 2: Si x - r es un factor de P(x), entonces P(r) = 0. Demostración de la parte 1: Del Teorema 1 y del teorema del residuo se deduce que para el polinomio P(x) y el número real r, existe un único polinomio Q(x) tal que P(x) - (x - r)Q(x) + P(r) Si P(r) = 0, entonces P (x) = (x ~ r)Q(x) Por tanto, x — r es un factor de P(x). Demostración de la parte 2: Se desea probar que si x - r es un factor de P(x), entonces P(r) = 0. Si x - r es un factor de P(x), enton ces cuando P(x) se divide entre x - r, el residuo es cero. Así, del teo rema del residuo, se deducé que P(r) = 0. B

►

EJEM PLO 2

Aplicación del teorema de/ factor

Utilice el teorema del factor para mostrar que x — 4 es un factor de 2 x 3 - 6 x 2 - 5 x - 12. S o lu c ió n

Si P(x) = 2 x 3 - 6 x2- 5 x - 12, entonces

P (4) = 2(4 )3 - 6(4 )2 - 5(4) - 12 = 2(64) - 6(16) - 20 - 12 = 128 - 96 - 32 = 0 Por tanto, mediante el teorema del factor, x — 4 es un factor de P(x). -4 Cuando se emplea el teorema del factor para mostrar que una ex presión lineal de la forma x - res factor de un polinomio P(x) (como en el ejemplo 2), los otros factores se obtienen dividiendo P(x) en tre x — r. Para simplificar el cálculo de tales divisiones, usaremos un procedimiento denominado división sintética, el cual se explica a con tinuación. En el ejemplo ilustrativo 1 se empleó la división larga para di vidir 2 x 3 - 5 * 2 + 6x - 3 entre x - 2. La operación fue la si guiente:

258

CAPÍTULO 5

FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES

x + 4 5 x 2 + 6x

2 )2 x 3 2x3

4jc 2

—x 2 + 6x —x 2 + 2 x 4 jc — 3

4x — 8

La operación puede abreviarse omitiendo las potencias de i yqq, biendo únicamente sus coeficientes. Al efectuar esto, la operaciót» da como sigue:

1

2,-1 4 - 2 )2 - 5 6 2 -4

-1

6

-1

2 4 4

-3

-3 -8

5 En el divisor, x - 2, el coeficiente de x es 1. Así, el coeficienteddp mer término de cada residuo es el mismo que el del siguienteitm del cociente. Además, el primer término del siguiente productope* es igual al coeficiente del primer término de cada residuo. Por»».« pueden omitir los términos del cociente, así como los primerosté® nos delos productos parciales. Al omitir dichos términos, seoto* 1

—2| 2 -5 6 -1

-3

6

____ 2 4

-3

-8 5

En la división sintética, el divisor es un polinomio de lafon*J y por tanto el primer coeficiente del divisores siempre l;p
-5 -4

6 2

-3 -8

5.2

TEOREMA P E I FACTOR Y SUSTITUCIÓN SINTÉTICA

259

Ahora se escribe 2, primer coeficiente del dividendo en la primera posición de la fila inferior, para obtener -212 -5 6 ------- 4 2 - 8 2 - 1 4

-3 5

Observe que los primeros tres números del último renglón son los coeficientes 2, —1 y 4 del cociente; el último número de este renglón es 5, el cual es el residuo. Los números de la segunda fila se obtienen multiplicando el número de la última fila de la columna precedente por —2 ; y los números del renglón inferior se determinan restando los de la segunda fila de los de la primera. Si el multiplica dor - 2 se reemplaza por 2 , los números de la segunda fila se suman a los de la prim era para obtener los de la última. Al efectuar este cambio resulta: 2 J2

-5 4

2

-1

6

-3

-2 4

5

8

Este arreglo de la operación es la división sintética del polinomio 2r 3— 5x* + 6x — 3 entre x — 2, con cociente 2x? —x + 4 y residuo 5. En general, los pasos siguientes proporcionan el procedimiento para la división sintética de un polinomio P(x) entre x - r. Cuando lea los ejemplos ilustrativos 3 y 4, refiérase a estos pasos.

D iv isió n s in té tic a 1. Escriba P(x) en la forma anXn + ün-i x"~l + x"~2 + . . . + a\x + (h) y si falta algún término anótelo con coeficiente cero. 2. Escriba los coeficientes de P(x) ordenados en una fila horizontal. 3. Baje el primer coeficiente a„ de P(x) a la última fila. 4. Multiplique an por r, y escriba el producto en la segunda línea debajo del coeficiente i; sume el producto a a„-¡, y escríba la suma en la fila inferior. 5. Multiplique esta suma por r y escríba el producto en la segun da línea debajo del coeficiente an-2', sume el producto a a„-2, y escriba la suma en la última fila. 6. Repita el proceso de los pasos 4 y 5 hasta que sea posible. 7. El último número del renglón inferior es el residuo, y los nú meros precedentes son los coeficientes de los términos suce sivos del cociente, el cual es un polinomio cuyo grado es mendr que el de P(x) en 1.

í

260

CAPÍTULO 5

FUNCIONES P O U N O M IA L E S Y RACIONA! F«j

>

E JE M P L O

IL U S T R A T IV O

3

Se emplea la división sintética para dividir 3* 3_ j 2 Los coeficientes del dividendo son 3, -7, 1 y 5 orden en el cual los números son determinados. ^ 1 13

-7 3

1 -4

* / / 3 - 4 - 3

5 -3 X 2

Debido a que el último renglón está formado por los números3j 2, el cociente es 3x2 - 4x - 3, y el residuo es 2. Por tanto. 3^3 _ 7*2 + jc + 5 = U - l)(3x 2 - 4x - 3) + 2

t>


Se utiliza la división sintética para determinar el cociente yel o* cuando x 4 - l x 2 + 2x — 6 se divide entre x + 3. Como seviife entre x + 3, o sea, x - (-3), r - -3. Los coeficientes de x4 - 7xJ +1-1 son 1,0, -7 , 2 y - 6 (se introdujo el coeficiente cero por el ténmefc tan te x 3). La operación se exptesa como sigue: -3| 1

0 - 7 2 - 6 -3 9 -6 12 1 - 3 2 - 4 6

Por tanto, el cociente es x 3 — 3x 2 + 2x- 4, y el resi
► EJEM PLO 3

cuandox* x

c .

= (x + 3)(x 3 - 3x 2 + 2x-4)+M

Aplicación do la división sinl+fc0

s,ntét'ca P31^ determinar el cocientey + 4x + 5 se divide entre x - 2.

*°lución 4 y 5 dnnH. 1r coeficienles d e x 5 - 3x4 + 4x + *** tantes x3 \ ?S ceros rePresentan los coeficientes de los ■La operación, mediante la división sintéticb* U

1

0

0

4

1

7— ~ 2 " 4

~8

~2

%4 ~ 4

El cociente es x 4 - *3 £

5

~3 ^ _ < y9ln& 0 * *

j i

j

5.2

►

TEOREMA DEL FACTOR Y SUSTITUCIÓN SINTETICA

E JE M P L O

4

261

Empleo de la división sintética p a ra factorizar un polinomio

Dado P (x) = 6 x 3 + x 2 — 4 * + 1 Muestre que 3x — 1 es un factor de P(x) y determine los otros factores. Solución

Como 3x - 1 = 3(x - j), 3x - 1 será un factor de P(x) si

también lo es x -

Se utiliza la división sintética para dividir P(x)

entre x - ¿ i]

6 1

-4

2 6

1

1

-1

3 - 3

0

Como el residuo es P( j } = 0, se concluye por el teorema del factor que x - | es un factor de P(x). Además, P (x) — (x — j ) ( 6 x 2 + 3 x — 3) = ( x - ¡)[3 (2 x 2 + x - 1)] = (3 x -

l)(2 x 2 + x - l)

Por tanto, 3x - 1 es un factor de P(x). Debido a que 2x2 + x -

l = (2 x - l) ( x + 1)

P(x) se escribe en forma factorizada como P (x) = (3 x -

\){ 2 x - 1 )U + 1 )

<

El teorema del residuo establece que para un polinomio dado P(x), el valor P(r) es el residuo cuando P(x) se divide entre x - r. La división sintética proporciona una forma rápida para obtener P(r), y cuando se emplea este método se dice que se calcula P(r) por sustitu ción sintética. En general, es más fácil determinar P(r) mediante susti tución sintética que por sustitución directa.

►

EJEM PLO 5

Dotorminación de valores de funciones polinomiales mediante sustitución sintética

Si P(x) = 2 x5 + 4 x 4 - IQx3 - 20x - 10, determine P(0), PC-l), P{3) y P(—4) por medio de sustitución directa o sintética, la que sea más fácil. Se obtendrá / ’(O) y P (- 1) por sustitución directa, P(3) y P ( - 4) mediante sustitución sintética.

S o lu c ió n

262

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLINOM1ALES Y RACIONALES

P( 0) = - 1 0

P ( - 1) = - 2 + 4 + 1 0 + 2 0 = 22

U 2

10

-4 J 2 - 4

10

0

30 20

60 60

-20 180 160

10 0 16 - 2 4 6 - 2 4

10

-10 480 470 -2 0 96 76

-1 0

304 -314

Así, P(3) = 470 y P (-4) = -314. Los cálculos de valores de una función polinomial pueda efe tuarse en la calculadora. En algunas calculadoras es posibledetcnnm 0 0 P{r) haciendo y = P(x) y asignando el valor r en x, se obtieoeelnb correspondiente para y. Consulte el manual de la calculador!. ^(¡irddos ¡ai Un procedimiento conocido como algoritmo de Honur, liana así en honor a William Horner (1786-1837), matemático info ■ totftkapramln porciona un método fácil de seguir en la calculadora para determina-* residuo P(r). Para mostrar este procedimiento, considere el ejemplo! lUtf-ii+S) ií Oí4+7j3+ x P(x) -m 6 x3 + x 2 - 4x + 1 = x[6x2 + x — 4] + 1

:!’n Í7l' 5>

g x[x(6x + 1) - 4] + 1 De aquí,

'7x*~ 5x

P(r) = r[r( 6 r + 1) - 4] + 1

<*:

El miembro derecho de (2) se evalúa fácilmente en una calato)® empezando con la expresión de los paréntesis internos con» multiplique 6 (primer coeficiente de ( 1)) por r, sume 1(elcoefc* que sigue); multiplique la suma por r y sume -4 (siguiente coé& te); multiplique esa suma por r y sume 1 (coeficiente quesigue) Observe que si se calcula P{f) mediante sustitución sintéticaR* 1 1 6r

6

r(6r + 1) 6r + 1 r( 6 r + 1) — 4

r[r(6r + 0 - 4L r[r( 6r + l ) ^ T +[

Entonces, por el teorema del residuo, P(r) = r[r(6r + en (2). Por esto, el algoritmo de Horner y la sustitución dos nombres para el mismo procedimiento.

► E JE M P L O ó

A p lic a c ió n d e l a ig o r ilm o d e Hon**

Escriba el polinomio P(x) * 3x4 - 2x 3 + 4 x 2 -

I

7tK

3)

V . a%rd •«if, e*5

V '1

5.2 _T|O R EM A DEL FACTOR Y SUSTITU qÓ N SIN TÉTICA

263

en la forma del algoritmo de Homer y utilícelo para evaluar P{2) y P{-3) en una calculadora.

Solución P(x) *» 3x4 - 2x> + 4 * 2 - * + 5 * x(3x3 - 2x2 + 4x - 1) + 5 = x(x[3x2 - 2* + 4] - 1) + 5 * x(x[x(3x - 2) + 4J - 1) + 5 Con esta forma se obtiene en la calculadora P(2) = 51 y P (-3) = 341.

[En los ejercicios 1 a 4, utilice el teorema del residuo Yutodeterminar el residuo cuando el polinomio es divi

dido entre h expresión lineal. 1 (a) (3x2 - 4x 4 5) * (x - 3) [ (b) (3x4 + 7x3 + x 2 4 x 4 9) 4 (x + 1) ( l (a) (4jt2 4 7x - 5) 4 (x — 1) (b) {x3 - Ax2 4 5) 4 (x + 3)

17. (6 x 3 - x 2 + 2x + 2) 4 (x 4 J) 18. (8x 3 — 6x 2 4 5x — 3) + (x — j ) 19. (x 7 - 1) 4 (x - 1) 20. (x 7 4 1 ) 4 (x 4 1) En los ejercicios 21 a 26, utilice la sustitución sintética para determinar los valores de la función. 21. Si P(x) = 4x 3 - 5x 2 - 4, determine P(2) y P(-3).

] 3. (8) (x3 + 9) + (x + 2) (b) (3jt5 - 7x4 - 5x3 - 4 x 2 + 1 ) 4 ,(x - 3)

22. Si P{x) = 3x 3 + 4x 2 - 9 , determine P(-2 )yP{\).

¡i (i) (x* - 8) 4 (x - 2 ) (b) (8*5 4 l x 2 - 3) “ (x - {)

23. Si P{x) = x 4 + 3x3 - 5x 2 + 9, determine /*(—4) y P(3). 24. Si P(x) = 2x4- 7x3- 15r+ 1, determine P(4) y /^f-2).

p los ejercicios 5 a 10, emplee el teorema del factor responder la pregunta. • ¿Es*-3 un factor de 2x 3~ 6x2-5 x + 1 5 ? p

¿Esx+3un factor de 3 a : 3 — x 2- 2 2 x -2 4 ?

?*¿Esi+2 unfactordex4 + 2x 3- 12x 2- llx + 6? £ ¿Es* - 2 un factor de x 7 - 128? ■ ¿Es* ♦3 un factor de x s + 243?

28. x - 5; P(x) = 2x 3 - 13x2 + 16r - 5

■ ¿Es x - a un factor de x 8 + a 8?

Ilo»e j e r c i c i o s

11 a 2 0 , e n c u e n tr e e l c o c ie n te y

m e d ia n te d iv is ió n s in té tic a .

(&'

+ 3x 4 12) 4 (x - 4) (y5 + 4y2 + 3y - 6 ) 4 (y - 2) + 5xJ - lx - 1) + (jr 4 4) + 4x2 - 7) + (* + 3) + z4 - 4za + 7) + (z * 2) * * 2U’ - 26xJ 4 27x) 4 (x + 5)

25. Si P(x) = 6x 3 - x 2 - 7x + 2, determine /* (-j) y P { \) . 26. Si P(x) = x 3 + 2r + 4, determine 1.3) y /^2.1). £>i foj ejercicios 27 a 30, muestre que la expresión li neal es un factor del polinomio y encuentre los otros factores. 27. x + 3; P(x) = 4x 3 + 9x 2 - lQx - 3

e l re

29. 2x - 1,P(x) = 6x 3 - 7x 2 + 1 [Sugerencia: 2x — 1 = 2(x - j)] 30. 3x + 2;/*(x) = 12r 3 + 5x 2 - llx - 6

[Sugerencia: 3x + 2 = 3(x + y)] En los ejercicios 31 a 34, determine si la expresión li neal es un factor de P(x). 31. x - 4; P(x) = 2x 4 - 7x 3 - 14x + 8 32. x - 3; P(x) = x 4 - 6x 2 - 5x - 12

<

264


33. 2x + 3; P(x) - 4xJ - 4xJ - \ \ x + 6 34. 3x - 1; P(x) » 9x 3 + 3x 2 - 5x - 1

En los ejercicios 35 a 38, escriba el polinomio en la forma del algoritmo de Homer y úsela para determinar los valores indicados de lafunción mediante una calcu ladora. 35. P(x) = 2x3 - 6x 2 - 3x - 12; P(7); P(- 5) 36. P(x) = 5x4 - 8x 3 + 2x2 - 4x + 1; P(6); P(-3) 37. P(x) * 4x4 - x 3 + 2x - I; P(3); P(- 4)

38. P(x) = 3x5 - 2 x 3 - x 2 - 10; T O ; P(-2) 39. Encuentre los valores de k tales que x + 2 sea un factor de 3x3 + 5x2 + kx - 10. 40. Encuentre los valores de k tales que x - 5 sea un factor de Ax3 - 17x2 - 4kx + 5. 41. Determine los valores de k tales que x - 4 sea un factor de x 3 - k 2x 2 - Skx - 16.

42. Encuentre los valores de k tales que x factor de 5x3 + k 2x 2 +2kx - 3. 43. (a) (b) (c) (d)

¿ E sx -3 un factor de x 50~ 3»* ¿Esx - 3 un factordex** 3») ¿Es x + 3 un factor de x**- 3«7 ¿Es x + 3 un factor de *49+ 3*7

44. (a) (b) (c) (d)

¿Es x + 3 un factor de*10- 350? ¿Esx + 3 unfactordexso+ 350? ¿ E sx - 3 un factor de* * - 3*? ¿ E s x - 3 un factor de x49+ 3**?

45. (a) Determine los valores de n para loscuífaj. es un factor dex" - y ", y explique surazona* I (b) Encuentre los valores de n paralosaafai, I es un factor de x"-y", y explique surazonan 46. (a) Determine los valores de n paraloscuales;. « un factor de x" + y ", y explique surazomaea (b) Explique por qué x - y no es tmfactordexy para cualquier valor entero de n.

5.3 CEROS RACIONALES DE FUNCIONES POLINOMIALES O B JE TIV O S

P(x)

1. Dados los ceros de una función racional, todos exceptad* determinar los dos faltantes. 2. Aprender el teorema de ceros racionales. 3. Aplicar el teorema de ceros racionales para determinar!* ceros de una función polinomial. 4. Aplicar el teorema de ceros racionales para determinarlaí raíces de una ecuación polinomial. 5. Probar que una ecuación polinomial particular nopos# racionales.

El teorema del factor y la sustitución sintética pueden determinar los ceros racionales de funciones polinomial«ción, aprenderá cómo hacerlo. Empleará dos teoremas, sección siguiente, en los cuales se tratan los ceros WWGPgg ciones polinomiales (incluyendo números reales e imagin*10 mero de estos teoremas establece que si a„xn + a„-ix " " 1 + an- 2x "~2 + . . . + a\X + <*> n * y si fi, n , . . . , r* son ceros complejos de P, entonces P(x) * a„(x - ri)(x - r z ) . . . (x - r„)

S¡s

5.3

CEROS RACIONALES PE FUNC IO N ES PO LINO M IALIS

265

Si en esta ecuación un factor x - r¡ aparece k veces, entonces r¡ se lla ma cero de multiplicidad k. Si un cero de multiplicidad k se conside ra como k ceros, entonces se deduce de ( 1) que una función polinom ial P, para la cual P (x) es de grado n ;> 1, tiene p o r lo m en o s n ceros, algunos de los cuales pueden estar repetidos. El se gundo teorema establece que uno de estos polinomios tiene exacta m ente n ceros.

>


La función P definida como P (x ) = (jr - 4 )3U + l ) 2(jt - 3) es de grado 6 , por lo que P tiene seis ceros; éstos son 4 ,4 ,4 , - 1 , - 1 y 3. El núm ero 4 es un cero de multiplicidad 3, y - 1 es un cero de multipli cidad 2 . 4 Para cada teorem a relativo a los ceros de una función polinomial, se tiene un enunciado relacionado con las raíces de una ecuación poli nom ial. Por ejem plo, del teorem a que establece que un polinom io de grado n tiene exactam ente n ceros, se tiene el hecho de que una ecua ción polinom ial de grado n tiene exactam ente n raíces.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 L a ecuación polinom ial correspondiente a la función polinom ial del ejem plo ilustrativo 1 es

(x ~ 4)3(* + \ ) \ x - 3) = 0 E sta es una ecuación de sexto grado, y sus seis raíces son 4, 4, 4, - 1 , - 1 y 3. <

► EJEMPLO 1

D em ostración d e que un n ú m ero es un cero d e m u ltip lic id a d d e u n a función p o lin o m ia l y d eterm in a ció n d e los otros ceros

2

Sea: P(x) = 2 x 4 - l l * 3 + 1 U 2 + 15jc - 9 Trace la gráfica de P y observe que la gráfica sea tangente al eje x. En tonces pruebe que la abscisa del punto de tangencia es un cero de mul tiplicidad 2 de P y determine los otros dos ceros.

Solución La Figura 5.23 muestra la gráfica de P. El punto de tan gencia aparece donde x - 3. Para probar que 3 es un cero de multiplici dad 2 de P, se comienza por la división sintética de P(x) entre x - 3.

í4 é

« rtx u to

U2 2

11 15

-1 1 6 - 5

- 4

15 12

-9 9

3

0

De aquí. , 4

i u 3 + 1 U 2 + '5 x - 9 = (x - 3)(2x - 5 * - 4, + j U Ahora se dividirá 2at3 - 5*’ - 4 , + 3 entre* - 3.

u

2

—5

""4 3 -3

2

1 - 1

0

Por tanto, 2 x 3 - 5 x 2 - 4 x + 3 = (x - 3)(2x2 + x - 1) Al sustituir (3) en (2), se obtiene

2jc4 - l l x 3 + 11** + 15jc - 9 - <* - 3 ) W + j - | El factor cuadrático puede factorizarse en dos factores lineales.» tiene 2 x A - 1 l x 3 + 1 \ x 2+

15jc - 9 = (x - 3f[2x - lKif

Como 2x - 1 = 2{x - j ), entonces 2 x 4 - IIjc 3 +

l l x 2+

15jc'— 9 = 2 ( x - 3 )\i-fiíi+ l

De esto, se deduce que los ceros de P son 3, 3, j y -1. E«hfi gura 5.23 observe que —1 y ^ son intercepciones x de la grifa cual concuerda con el hecho de que estos números son cerosdeA Si los coeficientes de la ecuación que determina entonces los ceros racionales de P pueden encontrarse media* “ rema siguiente.

TEOREMA 1

Teorema de ceros racionales

Suponga que

P(x) = a„x” +■aM r - ' + f ln - 2* " ' enteros. ur* Si ?, donde a», úlf . • . t an son avil villVlVOt q* en su mí**1 ^ yg) es un número racional y un cero de P, entonce» entero de a» y q es un factor entero de anzar esîaclemoslrac‘° n del teorema de ceros racionales se*1\ , eSta secc,on Observe que este teorema no garantiza 4*

w m m

■h

5.3

CEROS RACIONALES PE FUNCIONES PO üN OMIALES

267

ción polinomial con coeficientes enteros tiene un cero racional. Sin embargo, el teorema proporciona el procedimiento siguiente para en contrar algunos ceros racionales.

D e te rm in a c ió n d e ceros ra c io n a le s d e u na fu nció n p o lin o m ia l P

1. Aplique el teorema de ceros racionales para localizar los po sibles ceros racionales. 2. Trace la gráfica de P y mediante la observación de las inter secciones de la gráfica y el eje x, determine cuáles de los nú meros del paso 1 son posibles candidatos para ser ceros racionales. 3. Si jci es un candidato, calcule P(xi) y si P(xi) = 0, se tendrá un cero racional. 4. Aplique la división sintética para encontrar Q(x), cuando P(x) se divide entre x - xi, así P(x) = ( x - x¡)Q(x). 5. Continúe el procedimiento en los pasos 3 y 4 con Q(x). 6 . Si se obtiene un factor cuadrático, iguale a cero este factor y resuelva la ecuación cuadrática.

>


Aplique los pasos arriba mencionados cuando P se deñne por P (x ) = 3 x 3 - 2 x 2 - I x - 2 Del teorema de ceros racionales, se sabe que cualquier cero racimal J de P debe ser tal que p es un factor entero de -2 y q es un factor entero de 3. Por tanto, los posibles valores de p son 1 ,-1 ,2 y -2; y los posibles va lores de q son 1,-1, 3 y -3. De esto, el conjunto de posibles ceros ra cionales de P es { 1 , - 1 , 2 , :% 2 , í , - i , i , - f }

La gráfica de P se muestra en la Figura 5.24. Al comparar las intercepcio nes de la gráfica con los posibles ceros racionales, sospechamos que -1 y 2 pueden ser ceros. Si calculamos P(-l) obtenemos 0, lo que verifica que -1 es en verdad un cero. Ahora apliquemos la división sintética. - 1 1 3 —2 - 7 ----~3 5 3 - 5 - 2

-2 2 0

Por tanto, P(x) * (* + l)(3 x a - 5* - 2)

■■■■■■■

268

CAPÍTULO 5


Los otros dos ceros de P se determinan igualando a cero el fj_ drático y resolviendo la ecuación. 3 x 2 j g 5jc — 2 = 0 (x - 2 )(3 x + l ) = 0 x - 2 = 0 X

3x + 1 = 0 X

= 2

;

Así, los tres ceros de P son —1 ,2 y - A . Observe que la factorización de P{x) es P (x) = {x + t ) ( x - 2){3x + 1)

►

EJEM PLO 2

Aplicación del teorema de ceros racional« p a r a determinar los ceros de uno fondón polinom ial

Sea P(x) = 4X3 + 14x2 + IOjc — 3. Determine los ceros raciónalai y si es posible, encuentre los ceros irracionales o imaginarios. S o lu c ió n Del teorema de ceros racionales, cualquier ceron a ^ de P debe ser tal que p es un factor entero de -3 y q es un(adera tero de 4. De esto, los valores posibles de p son 1,-1,3 y-3; yIb» lores posibles de q son 1, - 1 , 2 , -2 , 4 y -4 . Por tanto, d conjuat ceros racionales posibles de P es / I \ 1 ,

[ - 5 , 5 ] p or [ - 5 , 5 ] P (x ) = 4 x ’ + 1 4 x J + 1 0 c - 3

FIGURA 5.25

_

1 7. 1 , J ,

- T . J ,

I 2 ,

_ I 3 2 » 2 *

_ 3 J __I 3 __ 31 2 » 4 * 4 » 4 » 4J

La gráfica de P, trazada en la graficadora, se muestra en JaFf 5.25. Los únicos ceros enteros posibles son 1,-1,3 y — 3,ydelifi ra 5.25, y ninguno de estos números es una intercepción de lap* Además, y | no son, evidentemente, intercepciones. Sin«8^ la figura indica que —| es una posible intercepción, y por tanto. • sible cero de P. Si calculamos

) se obtiene 0. Así,—«* j

de P. Ahora se em plea la división sintética para dividirw x + 4. i I 4

14

-6 8

10 -1 2

-2

-3 3 0

De esto,

/>(.*) « (x + §)(4 * 2 + 8 * - 2) = 2(jc + f)(2 * 2 + 4 * 7 1) Los otros dos ceros se determinan igualando a cero el fi*** y resolviendo la ecuación.

5.3

CIRO S RACIONALES DE FUNCIONES POUNQMIALES

2x2 + 4x -

269

1 = 0 x

-4 ± V i6 T 8 4 - 4 ± 2V 6 4

-2 ± V6

2

Se tiene un caso especial de) teorema de ceros racionales cuando an, el coeficiente de x", es 1. Entonces P (x) - x" + a„-ixn~l + aH- i x n~2 + . . . + a ix + ao donde ao, a ¡ , . . . , a„_ 1son enteros. Para uno de estos polinomios, cual quier cero racional de P debe ser un entero, además, debe ser un factor entero de ao. Lo cual es consecuencia del hecho de que si J es un cero racional de P, entonces p debe ser un factor de ao y q un factor de 1, el coeficiente de x n.

►

EJEM PLO 3

Aplicación del teorema de ceros racionales p ara determinar los ceros de una función polinomial

Sea P (x) = x 4 + 2>x\ - \ 2 x 2 - 13* -7 15 Determine los ceros racionales de P, y si es posible, encuentre los ce ros irracionales o imaginarios.

Solución Los ceros racionales posibles son factores enteros de -1 5 . Estos números son 1, - l , 3, - 3 ,5 , -5 , 15 y -15. Se traza la gráfi ca de P, la cual se muestra en la Figura 5.26. De la gráfica, los únicos ceros racionales posibles son —5 y 3. Si calculamos P (-5) y P{3) en cada caso se obtiene 0. Por tanto, -5 y 3 son ceros racionales de P. A hora, em plee la división sintética para dividir P(x) entre x + 5, después divida el cociente entre x - 3. —5 1 1 311 1

3 -1 2 -13 -15 -5 10 10 15 -2 -2 -3 0 3 3 3 1

1

0

270

CAPÍTULOS

FUNCIONES POUNOMIALfS Y RACIONALES

Por tanto,

P(x) * (* + 5)(x - 3 )(x 2 + x + 1) Si se iguala a cero el factor cuadrático y se resuelve laec uaci^ tiene

+ x + 1= 0 i ± vT

1

± iV 3

Por tanto, los ceros de P son -5 , 3 y + ( - 1 ± i VT). 4 Se puede aplicar el teorema de ceros racionales en la ción de las raíces racionales de una ecuación polinomial, si lacok* es equivalente a una en la cual los coeficientes sean entero*. S|fc las raíces, excepto dos de una de estas ecuaciones polioooéia racionales, entonces pueden determinarse las dos fallantes coao» cionales o imaginarias, mediante la fórmula cuadrática coboum tró en los ejemplos 2 y 3.

E JE M P L O 4

Aplicación del teorema de c*rw rocMi p ara determinar las raíces de una tomam polinomial

Determine las raíces racionales de la ecuación

! - o

|

Si es posible, encuentre las raíces irracionales o imaginan*.

Solución Para aplicar el teorema de ceros racionales tes deben ser enteros. Por ello, primero se multiplica cada la ecuación dada por 4. Así, se obtiene la ecuación equivale* 4 * 3 + 15jc2 + 4jc - 2 = 0 Sea P(x) = 4 x 3 + I5 x2 + 4x - 2. Si -f es una raíz ción P(x) = 0, entonces p debe ser un factor entero ác un factor entero de 4. Por tanto, los valores posibles -2 ; en tanto que los de q son 1, - 1 , 2, -2 , 4 y -4 . En conjunto de raíces racionales posibles es a

—1. 2 , —m

. —i . i , - o

La Figura 5.27 muestra la gráfica de P tal con,° aParC^ s dora. En esta figura se observa que no hay inicri:cPc,ü la gráfica. Esto elimina a I, - 1, 2 y - 2 como posible»

*

5 .3

CEROS RACIONAL1S D I FUNCIONES POUNOMIALES

271

ca indica que ^ es una raíz racional posible. Si se calcula P( £ ) me diante sustitución sintética se obtiene Jl 4 4

15 4 1 4 16 8

-2 2

0

Como P( 74 ) = 0, entonces j4 es una raíz. Además, P (x) = (x - ¿)(4x 2 + 16x + 8 ) = 4(x - i)(jc 2 + 4x + 2) Las otras raíces se obtienen igualando a cero el factor cuadrático y re solviendo la ecuación x 2 + 4x + 2 = 0 -4 ± V l6 - 8 *

2

= -2 ± V2 Por tanto, las raíces de la ecuación son j4 , - 2 + V2 *y - 2 - V2.

►

EJEM PLO 5

Demostración do que una ecuación polinomio! particular no tiono rateos raciónalos

Pruebe que la ecuación 2jc3 - 2 x 2 - 4 x + 1 = 0 no tiene raíces racionales.

Solución Sea P(x) = 2 x3- 2x2 - 4jc + 1. Si J es una raíz racional de la ecuación P(x) = 0, entonces p debe ser un factor entero de 1 y q debe serlo de 2. Por tanto, los valores posibles de p son 1 y -1 ; en tan to que los de q son 1, -1 , 2 y -2. En consecuencia, el conjunto de raí ces racionales posibles de la ecuación es {1, -1,* j, —j ). Se prueba cada una de estas raíces posibles mediante sustitución sintética, obte niéndose 112

-2

-4

1- 1 1 2 - 2

-4

1

-3 1

2 -4 —i | 2 - 2

0 -4

20 - 4 1 1

—1

2 0 -4 4| 2 - 2 - 4 2

1 -* —1 deténgase

-i i 2 —3 deténgase

La palabra “deténgase” está indicada porque una vez que aparece una fracción en el segundo renglón, cada número siguiente de la última fila

------------

272

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLIN O M IAUS Y RACIONALES_______________

también será una fracción. Debido a esto, el último número inferior no puede ser cero. Como P( 1), P (-l), P ( j ) y P(- j ) son diferentes de ción no tiene raíces racionales. Ahora se demostrará el teorema de ceros racionales, sui*, cia ha sido evidenciada mediante los cuatro ejemplos anteriores Demostración del teorem a de ceros racionales Como cero de P, entonces es una solución de la ecuación anx n + an- \ x n~l + an- ix n~2 + . . . + atx + oq = 0 Por tanto. + Ün-Í

+ an

dt=!

.ninelosotrosc r fes©í-4esun ^ftaialdeí

Si multiplica cada miembro de esta ecuación pe» q", obtendrá anp n + a n- \ p n [q + a„ -ipn~2q 2 +

Al sumar -ao q n en cada lado y factorízar p de cada términoddm :Sáelosotrosdi bro izquierdo, se obtiene la ecuación equivalente «¿rep 3esun p(anpn~l + an-ip n~2q + an- 2 pn' 3q2 + . . . + ^polinomialdi Como a¡ (i = 1, 2 , . . . , n), p y q son enteros, y la suma y prato» enteros son enteros, entonces la expresión dentro dei paréntesisdeitt izquierdo es un entero. Si se representa este entero por t, setari» losotrosda ecuación ^^*2esunaraíz aoq P* & 12x El miembro izquierdo de esta ecuación es un entero qoeoe** «raidoifj como factor. En consecuencia, p debe ser un factor del lado** cho, -aoq". Debido a que p- está en su mínima expresión,/»yí 10 nen factores comunes. De ello, p debe ser un factor de aoLa Ecuación (4) también es equivalente a la ecuación c * -< « » q(an-\p n~x + OLn- 2 p n~2q + . . . + a\pqH'2 + Ooq" I sonfai El miembro izquierdo de esta ecuación es un entero que como factor; de esto, q debe ser un factor del miembro ^ -a„pn. Como q no tiene factores comunes con p, se deduceq*< un factor de a„. ih >

EJERCICIOS 5.3

' 5*! h

V V «2»

En los ejercicios 1 a 8. encuentre los ceros de la fun ción polinomial. Indique la multiplicidad de cada cero.

3. P(x) = x 2(x + 1 ) V •

1. P(x) = (x - 4 ) V

4)

2. Ptx) » x \ x :

5)

4. P(x) « (x2 ~ 25)2

lí)v>

P°lb,

5 .3

STOHa I

M

i. r t í - t r + W * * - 7)*

[ t « J) - ( * , - 2 ) ( * 1 - 4 ) ( 2 * + 1) , iu «»pon* H íti > í •

*

. (3x + 4)5(4jt2 - 9)2(4jc2 + 12jc

+ 9)

1 M - (*¡ " 9>!<5 í ’ ~ 17* * 6fi)J ..

,, 9. Muestre que -2 y 3 son ceros de la función polinomial definida por P(x) * * 4 — 4 * 3 — 7 * 2 + 22* + 24 ydetermine los otros dos ceros.

10, Demuestre que 5 y -1 son ceros de la función polioomial definida por + 4 *}

P(x) =

Xa

+ x 3 - 31*2 - x + 30

y determine los otros dos ceros. !ll. Muestre que - 4 es un cero de multiplicidad 2 de la función polinomial definida por P(x) « x A + 9 x 3 + 23*2 + 8 * - 16

3 del míe:

,. . . . j y determine los otros dos ceros.

[11 Demuestre que 3 es un cero de multiplicidad 2 de ) = “
•sis del - 1 se

tmmAr B

y determine los otros dos ceros. 13. Dado que -2 es una raíz de la ecuación 5x3 + 3* 2 - 12* + 4 = 0 í determine las otras dos raíces. 14. Dado que | es una raíz de la ecuación 3x3 - 16x2 + 28* - 16 = O determine las otras dos raíces. II, Dado que j y - j son raíces de la ecuación 6xA + 25x3 + 8*2 - I x - 2 = 0 determine las otras dos raíces, fí- Dado que v3 y - VT son raíces de la ecuación xA + 3x 3 - 5* 2 - 9x + 6 * 0 determine las otras dos raíces. los ejercicios 17 a 28, determine iodos los ceros rá ptales de la función polinomial. Si es posible, ensUre los ceros irracionales o imaginarios. I Pix) * x* - 3x 2 - x + 3

m

« R O S R A C IO N A L !» P » F U W a O M t t P O U N O M I A lit

18. P(x) = x 3 - 4*2 + x + 6 19. P(x) SE x 3 - 7* - 6 20. P(x) = x 3 - *2 - 8* + 12 21. P(x) = x A + 3x3 - 12*2 - 13* - 15 22. P(x) = x A - 3*3 + x 2 + 7* - 30 23. P(x) = 3*3 + 8*2 - 1 24. P(x) m 4* 3 - 31* + 15 25. P(x) = 6*4 - 37*3 + 63*2 - 33* + 5 26. P(x)

8*4 + 6*3 - 13*2 - * + 3

27. P(x) = * 4 - 2*3 - 9*2 + 20* - 4 28. P(x) m 2*4 - * 3 + 2*2 - 7* + 3 En los ejercicios 29 a 40, determine todas las raíces ra cionales de la ecuación. Si es posible encuentre las raí ces irracionales o imaginarias. 29. x 3 + 2 * 2 - 7x + 4 = 0 30. x 3 - 3 x 2 - 10* + 24 = 0 31. 2 * 3 - 13*2 + 27* - 18 = 0 32. * 3 - 8 * - 8 = 0 33. x 5 + 2 x 4 - 13*3 - 14*2 + 24* =

0

34. 9 * 4 - 3* 3 + 7 * 2 - 3* - 2 = 0 35. 12* 4 - 5 * 3 - 38*2 + 15* + 6 = 0 36. 2 * 3 — y * 2 + | * — 3 = 0 37. * 3 + ^ * 2 - f* + 2 = 0 38. 3* 4 + * 3 + 12* 2 - 5* - 3 P 0 39. A * 4 + i x 3 - i * 2 - í* + 1 f 0 40. 18*6 + 3 * 5 - 25*4 - 41*3 - 15*2 = 0 En los ejercicios 41 a 44, pruebe que las ecuaciones no tienen raíces racionales. 41. * 3 — 9* — 6 = 0

42. 2* 3 + 6 * 2 — 3 = 0

43. 3 * 4 - * 3 + 4 * 2 + 2* - 2 = 0 44. x A — x 3 — 4a:2 — 16 = 0 En los ejercicios 45 a 49, resuelva el problema median te el empleo de una ecuación como modelo matemático de la situación, y escriba una conclusión. 45. Se elaborará una caja rectangular a partir de una pieza de hojalata que mide 12 pulg de lado, cortan do pequeños cuadrados de la misma medida en las cuatro esquinas y doblando hacia arriba los lados. Si el volumen de la caja debe ser de 108 pulg3. ¿cuál será la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán? Existen dos posibles respuestas, una

274

CAPÍTULO 5


racional y otra irracional. Exprese la respuesta irra cional con una aproximación de centésimos de pul gada. 46. Se construirá una caja rectangular a partir de una pieza de cartón de 6 cm de ancho y 14 cm de largo, cortando cuadrados en las cuatro esquinas y do blando hacia arriba los lados. Si el volumen de la caja debe ser de 40 cm3, ¿cuál será la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán? Existen dos posibles respuestas, una racional y la otra irracio nal. Exprese la respuesta irracional con una aproxi mación de centésimos de pulgada.

47. En un cubo se corta una rebanada de 1 cm de espe sor. Si el volumen de la figura que queda es de 180 cm3, ¿cuál es la longitud del lado del cubo origi nal?

48. Las dimensiones de una caja rectaagaj* pulg, 4 pulg y 4 pulg Si las primerai do, siones se disminuyen y la otra se aunn-u,I misma cantidad, se forma una segunda caja*** volumen es cinco octavos de la primera, el volumen de la segunda caja. ........... J 1

" vÇr*' U ---------12 p u lg -----------»

4 pulg

49. Un cono circular recto se inscribe en unaesb 32 veces su volumen es igual a 9 veces d voh®, de la esfera. Si el radio de la esfera es de2fk. termine la altura del cono. Existen dos respueaa posibles, una racional y la otra irracional. Eqn la respuesta irracional con una aproxinacn centésimos de pie. La fórmula para d vola de un cono es V = y la fórmula pn volumen de la esfera es V=yjtr3.

i cm

50.

5.4

Explique por qué el número de veces quelljPj de un polinomio cúbico cruza al ejexdtk* 3, y por qué no puede ser 2.

CEROS COMPLEJOS DE FUNCIONES POLINOMIALES O B J E T IV O S

1. E n c o n tra r u n polinom io con coeficientes enteros quet*# núm eros com plejos como ceros. ^ 2. E n c o n tra r los otros ceros de un a función polinomial q*** u n n ú m ero com plejo d ad o como un cero. 3. A prender la regla de los signos de Descartes. 4. D eterm inar la n atu ra lez a de los ceros de una función polinom ial. 5. P ro b a r que ciertos núm eros son irracionales.

5.4

CEROS COMPLEJOS D I FUNCIONES POUNOM1ALES

275

En este capítulo, nuestro principal interés ha sido determinar los ce ros reales de polinomios con coeficientes reales. Ahora extendere mos nuestra discusión para incluir números complejos. Trataremos con ceros complejos, así como con funciones polinomiales con coeficien tes complejos. Estas funciones surgen en cursos avanzados y tie nen aplicaciones en varios campos, especialmente en ingeniería y física. En las secciones anteriores se estudió cómo determinar los ce ros de funciones lineales y cuadráticas. También se vio cómo apro ximar ceros reales de una función polinomial a partir de su gráfica. Además, en la Sección 5.3 se estudiaron métodos para obtener va lores exactos de ceros racionales de una función polinomial. De esto, podemos hacernos la pregunta siguiente: ¿podemos determi nar los valores exactos de todos los ceros complejos de cualquier función polinomial? Para polinomios cúbicos y cuárticos (de cuarto grado), esta pregunta fue contestada en el siglo XVI. En el libro Ars Magna (Gran A rte) publicado en 1545, el matemático italiano Girolam o C a rd a n o (1501-1576) presentó métodos para encontrar los valo res exactos de los tres ceros complejos de los polinomios cúbicos y los cuatro ceros complejos de los polinomios cuárticos. Dichos métodos son complicados y no se discutirán en este texto. Para ceros de polinom ios de quinto grado o mayor, no existe fórmu la general en términos de un número finito de operaciones sobre los coeficientes. Este hecho fue probado, en 1799, de manera in dependiente por el matemático italiano Paolo Ruffini (17671822) y en 1824 por el matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829). Sin embargo, existe un teoreir.a llamado teorema fundam ental del álgebra, el cual garantiza que toda función poli nomial de grado mayor que cero tiene por lo menos un cero com plejo.

TEOREMA

Teorema fundam ental del álgebra

Toda función polinomial de grado mayor que cero, con coefi cientes complejos, tiene por lo menos un cero complejo.

Existen muchas pruebas de este teorema, pero todas emplean con ceptos más allá del nivel de este libro. La primera prueba de este teorema fue proporcionada en 1799 por el matemático alemán Cari Friedrich Gauss (1777-1855) en su tesis doctoral. El teorema fundamental del álgebra y el teorema del factor se em plean para probar el teorema siguiente. Recuerde que aplicamos este último teorema en la Sección 5.3.

CAPITULO 5 f U N C IO N ES POLINOMIAL1» Y RACIONAL»»

Si P ( x ) es un polinomio con coeficientes complejos como P ( x

) =

a nx n

+

a „ - \x n~ x

+

O n - i x * '1

+ •••+

i

con n ^ 1, entonces p ( x )

=

a n( x

donde cada n

(i

n ) ( x

-

r i í

= 1, 2 , . . . ,

. . . n )

( x

-

r„ )

a, t

o

es un cero complejo deP.

Demostración Del teorema fundamental del álgebra, la fuaca» tiene por lo menos un cero complejo ri. Esto es, existe unonvej complejo r\ tal que P{r\) = 0. En consecuencia, por medio ddieonJ del factor, x - r\ es un factor de P(x). Así,

P(x) = (x - n)Qi(x)

(|

donde Qi(x) es el cociente que se obtiene al dividir P{x)atitx - y Qi(x) es de grado n - 1. Del teorema fundamental del álgebra, si»-l> 1, entonces existe un número complejo r2 tal que Cifo) =0. Eiom por el teorema del factor,

Qi(x) = (* - rt)Qi(x) donde Qi(x) es el cociente que se obtiene cuando Qi(x) sedivide• x - /*2 . Si se sustituye (3) en (2) se obtiene

P(x) = (x - n )(x - r2)Q2(x) Como QiCk) = 0, de (2) se deduce que P ( r = 0, y de aquíquer-.a* cero complejo de P. Si se repite este procedimiento hasta que1»^ rización haya sido efectuada n veces, entonces se tiene P(x) = (x - n )(x - r2) • . . . • (jt - r„)QR(x) donde cada r¡(i= 1 , 2 , . . . , ti) es un cero complejo de P. Como** n factores de la forma x - r¡, entonces el polinomio QÁ constante, la cual es el coeficiente de x" en la expansión dcW Qn(x) = a„, y por tanto

P(x) = an(x - n)(x - r¡) • . . . *(jc —r«) donde cada r¡ es un cero complejo de P. En la Sección 5.3, se dijo que si en la Ecuación (1) un rre exactamente k veces, entonces r¡ es denominado cero de dad k. Si uno de estos ceros es contado como k ceros, Teorema 1 se deduce que una función polinomial P, P*1*

*

5 .4

C IEO S COMPLEJOS PE FUNCIONES EOIINOM IALIS

17 7

es de grado n ^ 1, tiene por lo menos n ceros, algunos de los cuales pueden ser repetidos. Sin embargo, puede probarse que una de estas funciones polinomiales tiene exactamente n ceros, y este hecho se es tablece en el teorema siguiente, el cual también se aplicó en la Sección 5.3.

TEOREMA 2

Si P(x) es un polinomio de grado n > 1, con coeficientes com plejos, entonces P tiene exactamente n ceros complejos.

Demostración Por el Teorema 1, P tiene por lo menos n ceros com plejos. Si demostramos que P no puede tener más que n ceros, el teor rema estará probado. La Ecuación (1) es P(x) = On(x - ri)(* -

r 2)

• . . . • (x - rn)

an * 0

donde cada r¡ (i = 1 , 2 , . . . , n) es un cero complejo de P. Sea r otro nú mero distinto de n, r2, . . . , '*»/• Como la Ecuación (1) es una identidad, P(r) = a„(r - r\)(r - r2) • . . . • (r - rn)

a„ # 0

Debido a que r =£ r¡ , ninguno de los factores r - r¡es cero; por tanto, el miembro derecho de esta ecuación es diferente de cero. Así, P(r) * 0, y en consecuencia, r no es un cero de P. Por tanto, P tiene exactamente n ceros complejos. ■ La función polinomial con coeficientes reales, del ejemplo 3 de la Sección 5.3, tiene dos ceros ^ (-1 + i V5") y | (-1 - i V3) que son con jugados uno del otro. Además, de la fórmula cuadrática, se deduce que si una función cuadrática con coeficientes reales tiene un cero comple jo, entonces el otro cero es su conjugado. Estas dos situaciones son ca sos especiales del teorema siguiente, el cual se presenta sin demostración. En el enunciado del teorema la notación z se emplea para denotar el conjugado del número complejo z; esto es, si z = a + ¿í

entonces

z = a — bi

TEOREMA 3

Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales y si i es cero complejo de P, entonces el conjugado z también es un cero de P.

278

CAFmJLO S F U N g O N iS P ^ W Q M ^ Y M O O N A U S

► EJEM PLO 1

A p lic a c ió n

d o l Teorema

3

Encuentre un polinomio PC*) de cuarto grado con coefjci«me» p tiene a 1 - i y - 2¿ como ceros. Solución Del Teorema 3, si 1 —i y - 2i son ceros de/> conjugados 1 + i y 2i también son ceros de P. Por tanto,

/>(*) * [* - o - o it* - (1 + OH* - ( - 1 )11, -¡j = (x 2 - 2 x + 2)(x2 + 4) s x 4 - 2 x 3 + 6 x 2 - Sx + 8 En la Sección 5.2, se estableció el teorema del factor número r es un número real y el polinomio P{x) tiene coefc^ reales Cuando r es complejo y P(x) tiene coeficientes coopfc* teorema del factor también es válido.

► EJEM PLO 2

D e t e r m i n a r l o s o t r o s c o ro s d o

una

función

p o l i n o m i o I c o n o c i e n d o u n o d o sus c m c o m p le jo s

Puesto que i es un cero de la función polinomial definida por P(x) = 2 x 4 - 5 x 3 + 3x2 - 5x + 1 determine los otros ceros. Como i es un cero de la función dada, su coojupfe también es un cero de P. Se utiliza la división sintética pw P(x) entre x - i; y después se divide el cociente entre x- HSolución

2

*5

3 - 2 - 5i 1 - 5i 5i 1

2i - 5 + 2i -2 i 2 -5

2

1 -5 -1 5+ i 0 i -i

0

Así, por el teorema del factor, se puede escribir Pi*)0000 P(x) = (jc - i)(x + í)(2jc2 - 5x + D Al igualar a cero el factor cuadrático, se obtiene

2jc2 — 5jc + 1 = 0 5 ± V 25 - 8

V Í7 Así, los ceros de P son i, - i, | (5 + Vl7) y \ (“

5 .4

CERO S CO M PLEJO S P E FU N CIO N ES PO UNOM IALES

aw

Ahora se presentarán dos teoremas que son consecuencias del Teorema 3.

TEOREMA 4

Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales y el grado de P es un número impar, entonces P tiene por lo menos un cero real.

Demostración Suponga que P no tiene ceros reales. Como el grado de P es un número impar, entonces él tiene un número impar de ceros imaginarios. Sin embargo, el número de ceros imaginarios de P debe ser par porque mediante el Teorema 3, para cada cero imaginarios su conjugado debe ser también un cero. Por tanto, tenemos una contradic ción. De este modo, la suposición de que P no tiene ceros reales es fal sa. En consecuencia, P tiene por lo menos un cero real. ■

TEOREMA 5

Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales, entonces P(x) puede expresarse como un producto de polinomios lineales o cuadráticos con coeficientes reales.

Demostración Si P(x) es de grado n, entonces por el Teorema 2, P tiene exactamente n ceros complejos. Denotemos estos ceros por c»t C2, . . . , cn. Así, P (x) — a„{x — ci)(x — Ci) • . . . 4 (x “ c j Para cada c, que sea un número real, x — c, es factor lineal deP(x). Supongamos que z» es un cero imaginario de P. Entonces por el Teore ma 3, Zi es también un cero de P y es uno de los ceros complejos Ci, ci, . . . , c„.Por tanto,x - z¿ y x - z ¡ son factores de P(x), y (jc ~ Z/)(jc - Zi) = x 2 -

(Zi

+ Zi)* + Z. * Zi

Sea Zi = a + b iyZ i = o - bi%entonces Zt + z¿ = (a + bi) + (a - bi) = 2a

4 ,

Zi • z, = (a + bi)(a = a 2 — b 2i 2 = a2 + b2

bi)

280

q*PÍTükQ^

YKAqowALIS Así, (x ~

Z /)( x

~

Zt)

= x 2 - 2ax + (a2 + b*)

Como -2a y a 2 + b 2 son números reales, entonces (x un polinomio cuadrático con coeficientes reales. ' Por tanto, se concluye que P(x) puede expresarse con* ducto de polinomios lineales o cuadráticos con coeficiente0 81^ r/ t i El Teorema 5 se aplica en Cálculo cuando las fraccione* / discutidas en la Sección 12.3, se emplean como una técnica í r i J I dx i0i Los dos ejemplos ilustrativos siguientes verifican el teore«?i dos polinomios particulares. «wenupn I

>

E JE M P L O IL U S T R A T IV O 1

La función P del ejemplo 3 de la Sección 5.3 está definida por P(x) = x 4 + 3x3 - 12x2 - 13* - 15 En la solución de ese ejemplo se mostró que P(x) = (x + 5)(x — 3)(jc2 + x + 1) el cual es un producto de polinomios lineales y cuadráticos.

>

EJEM PLO IL U S T R A T IV O 2

Para la función P del ejemplo 2 P(x) = (x - /)(* + 0(2 * 2 - 5* + 1) = (x2 + \)(2x2 - 5* + 1) el cual es un producto de dos polinomios cuadráticos. Del Teorema 3, los ceros imaginarios de una con coeñcientes reales deben presentarse en pares. Esto una función polinomial debe tener siempre un número imaginarios. Este hecho nos ayuda a determinar la nans**®^ ceros de una función polinomial.

>


En el ejemplo 5 de la Sección 5.3 se mostró que la ecuaci 2*3 - 2*2 - 4x + 1 = 0

5.4

CIROS COMPLEJOS D I FUNCIONES POUNOM1ALES__ 281

no posee raíces racionales o, equivalentemente, que la función P(x) de finida por P (x) = 2 x 3 - 2 x 2 - 4x + 1 no tiene ceros racionales. Debido a que P es de tercer grado, lo cual se sabe por el Teorema 2, que P tiene exactamente tres ceros complejos. Por tanto, estos ceros deben ser irracionales o imaginarios. Como el número de ceros imaginarios debe ser par, entonces P tiene tres ceros reales, los cuales son irracionales, o dos ceros imaginarios y un cero real irracional. 4 En la discusión que sigue se necesitará el concepto de variación de signo de un polinomio. Si los términos de un polinomio con coefi cientes reales se escribe como potencias decrecientes de la variable (los términos que tienen coeficiente cero se omiten), entonces una va* n ació n de signo ocurre si dos coeficientes sucesivos tienen signos opuestos.

>


Si Q (x) = x 4 - 6 x 2 - 2 x - 1 entonces los coeficientes tienen, sucesivamente, los signos Así, Q(x) tiene una variación de signo. Además, Q (-x ) = x 4 - 6x2 + 2x - 1 y Q (-x) tiene tres variaciones de signo. El polinomio x 3 + 2x + 5 no tiene variaciones de signo.

R egla d e los signos d e Descartes Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales, el número de raíces positivas de la ecuación P(x) = 0 es igual al número de va riaciones de signo de P(x), o es menor que este número por un número natural par. Además, el número de raíces negativas de la ecuación es igual al número de variaciones de signo de P{—x), o es menor que este número por un número natural par.

El nombre de esta regla es en honor al matemático francés Rene Descartes, creador de la geometría analítica. La demostración de la re gla de los signos está más allá del alcance de este libro.

^

2*2

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALf S


La función P del ejemplo ilustrativo 3 tiene dos variaci Por tanto, por la regla de los signos de Descartes, P tiene cero positivo. Además, ’ P ( - x ) = - 2 x 3 - 2 x 2 + 4x + 1 y P(-x) tiene una variación de signo. En consecuencia, Ptiene negativo. Ahora se pueden describir completamente los tres cero*kt ' la conclusión del ejemplo ilustrativo 3 y de lo que se ha mnn ¿ de los ceros son números irracionales positivos y uno«t* irracional negativo, de lo contrario, dos son números uno es un número irracional negativo. El teorema siguiente proporciona más información acercai a ceros reales de una función polinomial.

ií# !'5'51 .

TEOREMA 6

Suponga que P(x) es un polinomio y que a y b son númerosrAi tales que a < b. Si P(a) y P(b) son de signos opuestosatma existe un número real c entre a y b tal que P(c) - 0.

FIGURA 5.28

La. P(a))

y * Hx) (b. P (b ))

FIGURA 5.29

La demostración del Teorema 6 se omite. Sin embago. an gráfica de una función polinomial es una curva inintemimp* ^ 1 gumento siguiente hará aceptable la validez del teorema; Sin* P(b) son de signo opuesto, entonces los puntos (a, P(o)) y tán en lados contrarios del eje x\ así, la gráfica de y =P $ ~ al eje x en al menos un punto (c, 0) donde c está entre a)b. ción se muestra en las figuras 5.28 y 5.29. En la Figura 5.! ta una porción de la gráfica de una función polinoinial (a, P(a)) al punto (b, P(b)) donde P(a) < 0 y P(b) > 0za al eje x en el punto (c, 0), donde a < c < b. La Figura el caso cuando P(a) > 0 y P(b) < 0.

>


Para la función P del ejemplo ilustrativo 5 definí»!®p*^ P(x) * 2 x3 - 2x2 — 4x + 1 se calcula P( 1) y P(2) mediante sustitución sintética-

(b)

5 .4

JJ 2 2 :iones de s ne dotoaj

—2 —4 1 2 0 - 4 0 - 4 - 3

2 1 2 -2 4 2

2

-4 4

1 0

0

1

283

Por tanto, J*(Í) = —3 y P ( 2) = 1. Como / \ 1 ) y P ( 2) tienen signo contra rio, del Teorema 6 se deduce que existe un número real c entre 1 y 2 tal que P (c ) = 0. Así, P tiene un cero positivo entre 1 y 2. Con este he cho y la conclusión del ejemplo ilustrativo 5, estamos seguros de que P tiene dos ceros irracionales positivos y un cero irracional negativo. Se puede aplicar el Teorema 6 para determinar números enteros entre los cuales se encuentran los otros dos ceros. Como P(0) = 1, de ducimos que P(0) y P (\) tienen signos opuestos, y por tanto, P tiene un cero positivo entre 0 y 1. Si calculamos P {r \) y P (-2) mediante sustitución sintética obtenemos

P tiene un

; ceros de P ia mostrado, o es un s imaginan®

5n acercad«

CEROS COMPLEJOS DE FU N C IONES P O LIN O MIALES

2 - 2 - 4 -2 4 2 -4 0

[-5.5] por [-5,5J /*(*) = 2r’ - 2*1- 4x + 1 FIGURA 5.30

1 0

-212

-2 -4

2

-6

-4 12

16 -15

Así, P ( - l) y P (-2 ) tienen signos contrarios, y en consecuencia P tiene un cero negativo entre - 2 y -1 . La Figura 5.30 muestra la gráfica trazada en la graficadora. Las intercepciones x verifican nuestras conclusiones acerca de los ceros de P. (úmeros reab :stos enloses ►

mbargo, co» errumpida. ■■ «rema: Si •?,;l *))y (b'W P(jc) debe>: a y b. Esta' j

5

5

I ' - 5] por [ - , 5 )

k* +*■ + 7X+ i

n c URA 5.31

EJEM PLO 3

Determ inación d e la n a tu ra le za d e los ceros d e una función polinom ial

Para cada una de las siguientes funciones, determine toda la informa ción concerniente al número de ceros positivos, negativos e imagina rios. Trace la gráfica de las funciones y verifique la información. (a) F(x) = 3 x 4 + x 2 + 7x + 1

(b) G(x) = x 5 + Sx2 - 4

S olución

ra 5.28 se mial 0 . Lagrtf^

c U ) . ' ^ K 51

(a) Como F(x) no tiene variaciones de signo, entonces no tiene ceros positivos. F(-x) = 3x* + x 2 - l x + 1. Debido a que F(-x) tiene dos variaciones de signo, F tiene dos o ningún cero negativo. Si se calcula F(0) y fl (- l) se obtiene, respectivamente, 1 y - 2 , opuestos en signo. Por tanto, del Teorema 6, existe un número c entre 0 y -1 tal que F(c) = 0. Este número c es un cero negativo de F. Así, F tiene dos ceros negativos y dos imaginarios. La gráfica de F, mostrada en la Figura 5 .3 1 , verifica nuestra conclusión. (b) G(x) tiene una variación de signo. Por tanto, G tiene un cero positivo. G (-x) = - x 5 + 5x2 - 4 y G(-x) tiene dos variaciones de signo. Como G (-l) = 0, entonces -1 es un cero de G. Consecuente mente, G tiene un cero positivo, dos ceros negativos y dos ceros imaginarios. La Figura 5 .3 2 muestra la gráfica de P trazada en la graficadora. Dicha gráfica verifica la conclusión. <

284

CAPÍTULO 5

FUNCIONES POLIMOMIALKS Y RACIONALES

l l i

Los ceros irracionales de una función polinomintl py^ aproximados mediante una técnica conocida como método¿ w la cual implica conceptos de Cálculo. Por supuesto, k» nales también pueden ser aproximados por medio del aume*,^ in), en la graficadora, sobre las intercepciones x de la gráfica ción. Concluimos esta sección con un ejemplo que muestra bar que ciertos números son irracionales.

►

EJEM PLO 4

■9*

Prueba de que un número o» Irroehoé

Pruebe que \3 es irracional.

Solución

Sea P(x) = x2 - 3. Como P(x) tiene una variañóa^^ no, por la regla de los signos de Descartes, P tiene un cerop Del teorema de ceros racionales, los únicos ceros racionales pcnJ son 1 y 3. Obviamente ninguno es cero de P. En consecuencia,4a| positivo es un número irracional, y éste es V3*.

EJERCICIOS 5.4 En los ejercicios 1 a 8, encuentre un polinomio del gra do indicado con coeficientes reales para el cual los nú meros son ceros de P.

E n lo s e je r c ic io s

13 a 20, encuentre los ceros é s*

c ió n p o lin o m ia l y ú se lo s p a ra expresar d poo* co m o un p ro d u c to d e polin om ios ¡ineaks o a eééa

P(x) = x 3 - 4 x 2 + 6 x -4 14. P(x)=x3 + 2x2-2x + 3 13.

1. Segundo grado; 4 + 3i es un cero de P. 2. Segundo grado; 3 - i es un cero de P.

15. P(x)

3. Tercer grado; 2 - l YSy - 4 son ceros de P.

16.

= 2xa - 7x 3+ 21x2+ Ylx- 13

P(x) =x 4- 2 x 3+ 2x1+2x-3

4. Tercer grado; 5 + i V3"y 2 son ceros de P.

17. /> (jt)= jr5- 2 x 4 + 8Jr3- lá x 2+ lfo -2

5. Cuarto grado; -3i es un cero de multiplicidad 2 de P.

18. / f r ) * 3 ¿ * Z l t e 4 + 3&xs ~ 3 é i * + 2 l t - *

6. Cuarto grado; 2 + i y 1 - i V2~son ceros de P. 7. Quinto grado; 3,3 + í V2~y -frl2 son ceros de P.

8. Quinto grado; 3 -

i (multiplicidad 2) y 1 son ceros

deP.

9. 3x4 - 2x3 + 2x 2 - 8* - 40 = 0; 2i es una raíz. 10. 5x4- 2x3+ 46x2 - l&t + 9 = 0; -3 es una raíz. 11. 2x* + 6x3 + 33x2- 36x + 20 * 0; -2 - 4i es una

raíz. 12. 3x4 +4x 3 + 9x2~ 6x + 4 * 0; -1 + i

19. P(x) » 9 jc4 - 4 2 x 3 + 79 x 2 - 4 0 *+ 6 20. />(x) = 6 x4 + 5x3 + 4x2 - 2 t - l E n lo s e je r c ic io s 21 a 32, determine c ió n c o n c e rn ie n te a l núm ero de ceros postó1* ,

En los ejercicios 9 a 12, determine el conjunto solución de la ecuación si el número es una raíz.

es una miz.

a FUNCIONES

v o s o im a g in a rio s d e la fu n ción P°^nom>a\ 7 ^ lo s c e r o s r a c io n a le s y lo ca lice los d o s e n te ro s co n sec u tivo s. Trace la g ráf& * e n la g ra fic a d o ra y verifiq u e su respvtsn

21. 22. 23. 24.

F(x) « x 3 - 4x2 - 2 G(x) = 5x3 - 3x - 7 G(x) = x 4 + 7jc3 + x - 8 F(x) = 5x4 - 3x 3 - 2

OBJETIVOS

5 .5

tal pueden u d o de Netoi0í

i ceros irracií. lumento (2od» áfica de lafur stra cómo pr..

to n a l

,) - 6x + 3 /% uir) + X* * * H[’ t * + x2 - 1 I\g x

*

,

, ¡_

7,

4x4- l x 3 +

- <¡

2x - 5

donaL

ceros áe kjb

(b) Q{x) = x 2"'1 + 1

40. (a) P{x) = x2" + 1

(b)
41. Si P{x) tiene únicamente potencias pares de x con coeficientes positivos, explique por qué la función p no tiene ceros positivos ni negativos. Sugerencia: Emplee la regla de los signos de Descartes.

0i ¡osejercicios 33 a 38, pruebe que el número es irra-

37.2 - V5

\

39. (a) P(x) = x 2" -

9r4 — 14jc3 + 24* 2 + x ~~ 4 F(x) ' ¿ 3 2 2 8 U(x) * 3x4 ” 2 U 3 + 36x + 2x Ulx) s x* + “* “ 8x + 14

liación dest| 33. ^5 cero positivt »nales posible 35. vlO uencia,elcei5

34. 2V 7

42. Si P(x) sólo tiene potencias impares de x con coefi cientes positivos, explique por qué la función P no tiene ceros reales excepto el número 0. Sugerencia: Emplee la regla de los signos de Descartes. 43. Muestre que 2 - i es un cero de la función definida como F(x) = x2 - 2r + 1 + 2i, y que su conjugado no lo es. Explique por qué el Teorema 3 no se con tradice.

36. v 8 38. 3 + 2 V 3

5'5 FUNCIONES RACIONALES

a r e l polir.r- j o cuadráticas

OBJETIVO S

| r-32 • 24 jc - 1 6

5 to d a

b

o m i a L Er;"* '’

rracionato ^ ific a d e b ¡ + ' -S t a .

1. Definir una asíntota vertical de un gráfica. 2. Definir una asíntota horizontal de una gráfica. 3. Determinar las asíntotas verticales u horizontales de una gráfica. 4. Determinar una asíntota oblicua de una gráfica. 5. Dibujar la gráfica de una función racional. 6. Resolver problemas que tienen una fundón racional como modelo matemático. 7. Resolver desigualdades racionales gráficamente.

in f^

p o s itiv o s ü '

285

En los ejercicios 39 y 40, determine el número de ceros positivos, negativos e imaginarios de la función, donde n e su n entero positivo.

1 //(*)x

ít»)

FUNCIONES RACIONALES

Iniciaremos el estudio de funciones racionales considerando sus gráfi cas y continuaremos esta discusión con un problema que tiene una función racional como modelo matemático. Se concluirá esta sección resolviendo desigualdades racionales gráficamente. S i P y Q son funciones polinomiales y f e s la función definida por /<*> *

CK*>

entonces / es una función racional cuyo dominio es el conjunto de los números reales excepto los ceros de Q. Se supondrá que P(x) y Q(x) no tienen factores comunes. El conocimiento de cómo se comporta f(x)

206

CAPÍTULO 5

FUNOONBS POUNOMIALES Y RACIONALES^

cuando x se acerca a un cero de Q es de gran ayuda cuando trazar la gráfica de/ Considere, por ejemplo, la ftincióo defi^^ x + 2 /(■*) = ------T

Tablai

x

4

*/ v x + 2 /(*) * x - 3,

6

11

10 3

13 4

31 10

100

16

21

51

501

5
E! dominio de f es el conjunto de todos los números reales excqfefi 3. Se investigarán los valores de la función cuando x se acataijj pero sin llegar a ser 3. Primero se asignan a x los valores 4, i,l|j m¡>’ nx»’ y 381 sucesivamente. Se han considerado los valoresdexá vez más cercanos a 3 pero mayores que 3; en otras palabras, im>¡ ble x se aproxima a 3 por la derecha. Después de calcular kx iisj correspondientes de f(x ) y se forma la Tabla I. En esta tablasequ intuitivamente que conforme x se aproxima cada vez mása3pj derecha,/(x) crece sin límite. Esto es, se puede hacerf ( i ) n ¡ m ¡ * \ cualquier número positivo preestablecido, considerando t i b i cientemente cercano a 3 de modo que x sea mayor que 3. Paraafluí que f(x) crece sin límite cuando x se aproxima a 3 por la deredarf utiliza la simbología conforme x — El símbolo +oo (infinito positivo) no es un número real; se para indicar el comportamiento de los valores de la ñmdÓB/x)*j forme x se acerca cada vez más a 3. El símbolo + como stprirf*¡ después de 3 indica que x se aproxima a 3 por la derecha. Ahora considere que la variable x se aproxima a 3 media**I res menores que 3; esto es, se asignan a x los valores 2, j'T’ff nw’ fono’ y ^ sucesivamente. La Tabla 2 contiene los valores pondientes de la función. Observe que conforme x se aproa»* vez más a 3 por la izquierda, los valores de f(x) decrecen sa (los valores de f(x) son valores negativos cuyos valores absotó^’ cen sin límite); por ello, es posible hacer f (x) menor que mero negativo preestablecido, considerando a x lo sufiatf^J cerca de 3 de modo que x sea menor que 3. Se utiliza la nono* Tabla 2

x + 2

x- 3

-4

14

-19

TO U 5.34

5.5

FUNCIONES RAQONALES

287

guíente para indicar que f(x ) decrece sin límite conforme x se aproxi ma a 3 por la izquierda: f(x ) -* -oo

x

conformex -* 3~

En la Figura 5.33 se tiene la gráfica de f la cual muestra el com portamiento de f(x ) cerca de x = 3. Conforme x se aproxima cada vez más a 3 por la derecha o por la izquierda, el valor absoluto def(x) es más grande cada vez. Observe que la gráfica no corta a la recta x = 3, indi cada con guiones en la figura. La recta x = 3 se denomina asíntota ver tical de la gráfica de/.

DEFINICIÓN J e s excepto* s e acerca al

A síntota vertical

Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función / si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

; 4 2 J2 »** 2’ 3 ’ 4’ i

ores de icé ibras, la varalar los valores abla se aprecs nás a 3 paria (x) mayorp o a x lo sé 3. Paraiiuüü la derecha<

(i) (ii) (ül) (iv)

«GURA 5.34

f(x ) — + oo cuando x -* a + f(x ) — -o o cuando x -* a * f(x ) — +oo cuando x — a~ f(x ) — -o o cuando x — a~

En la Figura 5.33, los enunciados (i) y (iv) de la definición ante rior son verdaderos para la función / cuando a = 3.

eal; se empk¿

ación/x!»* no superfei-'

t mediante 1 21

■’ a * r * 1 valores co^

aproad ‘ ecen sia“ s absoluta ie . SUflCtf^;. i la *****

>


La Figura 5.34 muestra la gráfica de una función para la cual los enun ciados (i) y (iii) de la definición anterior son verdaderos, y para la fun ción cuya gráfica aparece en la Figura 5.35, los enunciados (ii) y (iii) son verdaderos. < El teorema siguiente puede probarse a partir de la definición de asíntota vertical.

TEOREMA 1

La gráfica de una función racional de la forma P(x)!Q(x)t donde P(x) y Q(x) no tienen factores comunes, posee la recta x = a como una asíntota vertical si Q(a) = 0.

288

CAPÍTULO 5 FUNCIONES POUNOM IALiS Y RACIONALES

Se aplicará el Teorema 1 al ejemplo siguiente.

► EJEM PLO 1

Dibujo de la gráfica de una función racional

Dibuje la gráfica de la función racional definida por

'I Compruebe la gráfica en la graficadora.

Solución El dominio de / e s el conjunto de todos los núsn»^ excepto 0. En consecuencia, la gráfica no tiene intercepciones i(W f(x) nunca es cero, la gráfica no posee intercepciones x. De la é ^ l se observa que/ ( x) nunca es negativa. Por tanto, la gráfica estám nida en los cuadrantes prim ero y segundo. Debido a que f(x ), f e s una función par, por lo que la gráfica es simétricarapten eje y. Para obtener cualquier asíntota vertical, se utiliza el Tea»; Al igualar a cero el denominador se obtiene x = 0. Así, d eje vas asíntota vertical. Algunos puntos de la gráfica en el primer cuadrante sepresea en la Tabla 3. Si se localizan estos puntos y se emplea la propieM simetría se obtienen los puntos correspondientes en el segundee» drante. El dibujo se completa uniendo los puntos en cada asá* con una curva continua observando la información anterior, la¿rióa se muestra en la Figura 5.36. En la graficadora se obtiene gráfica.

Tabla 3

f(x) =

12

De la gráfica de la Figura 5.36 se observa que los valoresde. se aproximan a cero conforme | x | crece sin límite. Por es“ eje x es una asíntota horizontal de la gráfica. A fin de definir tota horizontal, se utiliza la notación/(x) — b* lo cual sign f(x ) se aproxima a b por medio de valores mayores que b, ® ^ que f(x) ■ — b~ significa que f(x ) se aproxima a b mediante y o ñores que b. La notación * — + oo indica que x crecesw x — -oo significa que x decrece sin límite.

f# &

5 .5


289

DEFINICIÓN Asíntota horizontal de la gráfica de una fundón ____________ racional___________ Se dice que la recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfi ca de la función racional / si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero: (i) f(x ) — b* cuando x — +oo

(ii) f(x ) — b* cuando jt -* -oo (iii) f(x ) —■b~ cuando* — +oo (iv) f(x ) — b" cuando x — -oo FIGURA 5 s i

limeros reafe M ies Con; e la ecuachf i está conteque

>


La Figura 5.37 muestra la gráfica de la función para la cual el enuncia do (iii) de la definición anterior es verdadero, y para la gráfica de la Figura 5.38 el enunciado (ii) es verdadero. Los enunciados (i) y (iv) son verdaderos para la gráfica de la Figura 5.39. La gráfica de esta fi gura también tiene a la recta x = a como una asíntota vertical, ya q u e / (x) — +oo conforme* — a+ y / ( x) — -oo cuandox — a~. 4

: a respecto i

I Teorema ! eje vesdb se presenta;

TEOREMA 2

propiedad à

egundc cu da cuate

FIGURA 538 La gráfica de una función racional de la forma

b r, la §ráf¡.-

ne la miso

anx n + a„-ixn~' + . . . + a tx + do bmx m + bm. \ x m 1 + . . . + b \x + bo tiene (i) al eje x como asíntota horizontal si n < m; dn (ii) la recta y = -¡— como una asíntota horizontal si n = m; (iii) no tiene asíntotas horizontales si n > m.

HGURa 539

La demostración de este teorema se omite, pero los siguientes dos ejemplos ilustrativos harán plausibles las partes (i) y (ii). Posterior mente, en el ejemplo 5 , se presenta una función para la cual se aplica la parte (iii).

w

sig»1

0?.

>


Sea g la función definida por Slfl W

g(x)

=

4x 25

290


El grado del numerador es 1, y el del denominador es 2. Cobo entonces g es una función racional para la cual se aplica lapsrjc( Teorema 2. Para ver esto, se divide el numerador y el denornmu tre x2. Al hacerlo, se obtiene

g(x) =

25

*2

Conforme* —■ +oo, i — 0* y ^ — 0*. Por tanto* cuandox - +» g(x) — 0*. S i* — -oo, entonces~ — O'yj*

0*.Portao,*

forme * -* - oo, g(x) — 0". Así, de la definición, la rectij=Oa* asíntota horizontal de la gráfica de g. La función g se discutope*» mente en el ejemplo 3, y su gráfica se muestra en la Figura 5.41. .

>


Sea h la función definida por h(x) =

3*2 . 2 * 2 - 32

El grado del numerador es igual al grado del denominador. Aál* una función racional para la cual se aplica la paite (ii) del Teata> Si se divide el numerador y el denominador entre x2, se obtiene h(x) Conforme * — +oo, o bien *

-oo ~

— O*. Así, cuandox

o bien * -• —oo, h(x) -* | +. De la definición se deduce queb* y = | es una asíntota horizontal. La función h se discute posto**1*! en el ejemplo 4 de esta sección, y su gráfica aparece en laRgun^

► EJEM PLO 2

Dibujo d o la g rá fica do una función rtf*

Dibuje la gráfica de la función definida por medio de

’

i

Compruebe la gráfica en la graficadora. Solución El dominio d e /e s el conjunto de todos los n excepto -1. Como /(O) = -3, la intercepción y es -3. La

5.5


291

es | , la cual se obtiene igualando a 0 el numerador. Ya q u e /n o es par ni impar, no existe simetría con respecto al eje y o al origen. Si se iguala a 0 el denominador, se obtiene la recta x = —1 como una asíntota vertical. Debido a que los grados del numerador y el denominador son iguales, se infiere del Teorema 2(ii) que la recta y = 2 es una asíntota horizontal. Algunos puntos de la gráfica, determinados por el cálculo de/(x) para ciertos valores de x, se presentan en la Tabla 4. Mediante estos puntos, y con el empleo de las asíntotas como guías, se obtiene el dibujo de la gráfica de/mostrada en la Figura 5.40.

Tabla 4 X /(X )

=

2x x +

3

1

0 2

4

6 8 10

-2

-4

-6 -8 -10 -12

-3

Í

27

7

ü

3

i

3

_I3 9

n ii

if

23

25

La gráfica puede comprobarse mediante la graficadora. Observe que la asíntota horizontal no aparece en la pantalla cuando se traza la gráfica de la función. Sin embargo, puede trazarse la recta y = 2 en el mismo rectángulo de inspección para mostrar la asíntota horizontal en la figura. ^

►

EJEM PLO 3

Dibujo de la gráfica de una función racional

Dibuje la gráfica de la función definida por g(x) = -T

4x 25

Verifique la gráfica por medio de la graficadora.

Solución 8(x) =

Si se factoriza el denominador, se obtiene 4x (x - 5)(x + 5)

El dominio de g es el conjunto de todos los números reales excepto 5 y -5. Como g(0) = 0, la gráfica tiene una intercepción en el origen. De bido a que g(-x) = -g(x), g es una función impar, por lo que la gráfica es simétrica con respecto al origen. Al igualar el denominador a 0, se obtienen las asíntotas verticales x = 5 y x = -5. Del Teorema 2(i), el eje x es una asíntota honzontal (lo que se demostró en el ejemplo ilustrativo 3). La Tabla 5 presenta algu nos puntos de la gráfica. Se localizan estos puntos y se emplean las

FU N C lO N lS^P O LlN gM IA ^ Y RACIONALES CAPITULO 5

0

x 4% ^

_

25

0

1 - i *

2

8

3 - l

21

4

d i« “ V

asíntotas como guías para dibujar la porción de la gráfica enu. drantes primero y cuarto. Al emplear la simetría, se compi*^ ca en los cuadrantes segundo y tercero. La Figura 5.41 gráfica. En la graficadora se obtiene la misma gráfica.

► EJEM PLO 4

D ib u j o d e l a g r ó f k a d e u n a h m d 6 rñ * k *

Dibuje la gráfica de la función definida mediante h(x) =

3r 2 x2 - 32

Compruebe la gráfica en la graficadora.

Solución h(x) =

Al factorizar el denominador se obtiene 3xJ 2(x - 4)(x + 4)

omimo de h es conjunto de todos los números reales excepto4»J ™ h(0) = 0 , la gráfica tiene una intercepción en el origen. Dáé que (-x) = h(x), h es una función par y, en consecuencia, lagrffi°! simétrica con respecto al eje y. Las asíntotas verticales se obtienen igualando el denoaiM^ 4. Como se demostró en el vfW cero, éstas son x = 4 y x ilustrativo 4, la recta y = | es una asíntota horizontal, loque16 duce del Teorema 2(ii). La Tabla 6 muestra algunos punt«** gr ica. Se localizan estos puntos y se utilizan las gu as para dibujar la porción de la gráfica correspondiente* ^ ^ arantes primero y cuarto. Al emplear las propiedades de santa** c P la gráfica en los cuadrantes segundo y tercero. L* muestra la gráfica requerida.

5.5

FUNCIONiS RACIONAIIS

19 2

La gráfica de la función y la de la asíntota horizontal y = j , traza das en la graficadora, concuerdan con la Figura 5.42. 4

>


Sea / l a función definida por rt \ _ x 2 - 16 /« = Al dividir el numerador entre el denominador se obtiene m

= x + 3 -

^

Puesto que cuando x — +oo o bien, x — -oo, -- --- — o, se deduce de la ecuación anterior que conforme x —■ +oo

o bien

x — -oo,

/(*) — * + 3

Debido a este hecho, se dice que la recta y = x + 3 es una asíntota obli cua de la gráfica de /. V/ase la Figura 5.43, la cual se obtiene en el ejemplo 5 donde la gráfica d e /se discute más a fondo. 4 Si una recta es asíntota de una gráfica sin ser vertical ni horizontal, esta recta se denomina asíntota oblicua. La gráfica de cualquier función racional de la forma P(x)/Q(x), donde el grado de P(x) es mayor en uno que el grado de Q(x), tendrá una asíntota oblicua. Para determinar esta asíntota se procede como en el ejemplo ilustrativo 5: divida el polinomio del numerador entre el polinomio del denominador, así se obtiene la suma de una función lineal y otra racional. Cuando | x ¡ crece sin límite, los va lores de la función original se aproximan a los valores de la función lineal. La asíntota oblicua es la gráfica de esta función lineal.

►

E JE M P L O

5

Dibujo do la g ráfk a do una función llnoal

Dibuje la gráfica de la función definida mediante I f l

M

=

—3

Verifique la gráfica en la graficadora.

Solución

El dominio de / e s el conjunto de todos los números reales excepto 3. Como/(O) = y , la intercepción y de la gráfica es y . Las intercepciones x se obtienen al igualar a cero el numerador. Al hacerlo se obtiene x = ±4. Debido a que / n o es par ni impar, su gráfica no es simétrica respecto al eje y ni al origen. Si se iguala a cero el denominador se obtiene la recta x = 3 como una asíntota vertical. Debido a que el grado del numerador es mayor

h jn c io n is 794

p o u n o m ia u s y b a p o h a u s

CAPÍTULO 5

10-

s j •f/ Ai i i i -3 /Á ÆÏ

10 Tr T -5« T

•i 5 I 1| '

Tabla 7 -6

X

10

¿ m

=

x

- 16 - 3

20 “ 9

-4

-2

-1

0

12

15

?

4

0

1

lé T

?

13

2

4

.

12

0

s

FIGURA 5.43

Si se verifica la gráfica en la graficadora, la asíntouofc, aparece. Para mostrar esta asíntota, se traza la rectay=x+3ad mo rectángulo de inspección.

M

Cuando aprenda técnicas d e Cálculo, estará habilitado pn zar completamente las gráficas de funciones racionales. Es dt* actual, es recomendable que efectúe los pasos siguientes ai diqr les gráficas.

P a ra d ib u ja r la g rá fic a d e u na función racional:

11* Encuentre las intercepciones.

• aga las pruebas de simetría respecto al eje y y a) origea | * ncuentre las asíntotas verticales aplicando el TeoreuaI 4 . Encuentre las asíntotas horizontales aplicando el Tecre»¿ | * 1 e P ’ado del numerador es mayor por 1 que el denominador, encuentre la asíntota oblicua mediarte do del ejemplo ilustrativo 5. Localice algunos puntos de la gráfica. Emplee tantosF-^ como sea necesario para completar el dibujo de acue 1 —Ji información obtenida en los pasos 1 a 5.

► EJEM PLO 6

Sofw/ón d t un

fu n c ió n r a c io n a l como moa»

Se desea construir un envase de hojalata con riS* ° Sln taPa>de modo que su volumen sea 16 * Pu

3 .5

295

FUNCIONES BACION*»»?*

de la base del cilindro mide x pulgadas, exprese el área de la superficie total del cilindro en pulgadas cuadradas como una función de x. (b ) ¿Cuál es el dominio de la función resultante? (c) Utilice la graficadora para expresar el radio de la base, con una precisión de dos decimales, para el cual la cantidad de material empleado en la manufactura del envase sea mínima; esto es, de modo que el área de la superfìcie total sea mí nima. ¿Cuál es el mínimo del área de la superfìcie total?

iii) que no po^ a oblicua, ya del denominadola recta y = *+31 s de/(jt)paravJ totas como gu%

Solución

5 6

0

9

/

4

(a) La Figura 5.44 muestra el envase de radio x pulgadas y altura h pulgadas. El área de la superficie lateral del cilindro es 2nxh pulg2 y el área de la tapa inferior es t u 2 pulgadas cuadradas. Por tanto, si S(x) pulgadas cuadradas representa el área de la superfìcie total, entonces

»

FIGURA 5.44 ntota oblicua sel =x + 3 en e!1 litado para anali-j les. En el estajo ites al dibujaru-1

S(x) — lirx h + 7t x *

( 1)

Para expresar S(x) sólo en términos de x, se necesita una ecuación que relacione a x y h Como el volumen de un cilindro circular recto está dado por n x 2h, y el volumen del envase debe ser 16 n pulg3, en tonces se tiene la ecuación 7TX2h = 1Ó7T

16

h = Z2

Al sustituir este valor de h en (1) se obtiene acional:

S(x) = 27Txí~~J + - , v 327T , S(x) — i----- + 7TX

il origen,

eorema 1.

1Teorena 2

X

■

: el grado de I iante el néti>

lantos punu* ; acuerdo con

7TX2

,01 por [0,100]

5.45

(b) Como x debe ser un número positivo, el dominio de 5 es (0, +00). (c) La gráfica de S en el rectángulo de inspección de [0, 10] por [0, 100] se muestra en la Figura 5.45. La coordenada x del punto mínimo de la gráfica proporciona el radio de la base del envase cuya superficie total es de área mínima. Si utiliza el aumento (zoom iri) de la grafica dora, se verá que el punto mínimo es (2.52,59.84). Conclusión: El radio de la base debe ser 2.52 pulg para obtener una área de la superficie total de 59.84 pulg2. <

e cilindro g5. (»)Si«,rl

En su curso de Cálculo aprenderá a determinar el valor exacto del ra dio de la base requerido en el ejemplo 6. el cual es 2>¡2 pulg « 2.52 pulg. En las secciones 2.5 y 2.6 aprendió a resolver desigualdades linea les y polinomiales, tanto algebraica como gráficamente. Es cierto que para desigualdades lineales el método algebraico es más fácil que el gráfico. Sin embargo, una desigualdad racional, es decir, que contiene

296

CAPÍTULOS


expresiones racionales de la variable, es más fácil resolverla ñcadora que algebraicamente. En consecuencia, se pospusod " de las desigualdades racionales hasta este momento, por u concentraremos en la solución gráfica.

^ —

>

í

f


y, Para resolver la desigualdad

?

5x < 4 x - 1 [- 10, 10] por [- 10, 10] 5jc yr X —1 y y2 - 4 FIGURA 5.46

í 10

considere 5x yi = x - 1

12.

yi = 4

La Figura 5.46 muestra las gráficas de yi y >»2trazadas en el recúpfct inspección de [-10, -10] por [-10, 10]. Observe que larectai=lag asíntota vertical de la gráfica de y\. Como la gráfica de yj estádefcqoii gráfica de y2 cuando x está en el intervalo abierto (-4,1), este intervés el conjunto solución de la desigualdad.

14. '(i+2r ).r

’16-x2 ► EJEM PLO 7

Solución g rá fic a de una desigualdad radom

-9

Encuentre la solución de la desigualdad 3x - 1

1

jc

-

-

6

Solución

Considere 3x - 1 x 2 jP x - 6

[-10,10] por [-10,10]

lx - \ » - 7 2 T e yy' s l FIGURA 5.47

y2 = 1

En la Figura 5.47 se muestran las gráficas de )>i y y: trazadases* rectángulo de inspección de [-10, 10] por [-10, 10]. La gráfi»*| y\ tiene dos asíntotas verticales: * = -2 y x = 3. El conjuntos#J ción de la desigualdad consta de todos los valores de para les la gráfica de yi corta a la gráfica de y2 o está por debajo ^ Por tanto, a partir de la figura se concluye que el conjunto es ( - 00, - 2 ) U [-1 ,3 ) U [5 , + 00). I V a

EJERCICIOS 5.5 En los ejercicios 1 a 32, se define una junción racional, (a) Determ ine e l dom inio de la junción, (b) Encuentre las in-

tercep e io n es de la gráfica de la Junción. <- ^ p ru e b a s d e sim etría para las gráficas resp

16. 18., 20J

21 /

S .S

ll^ íl ongen. (d) Encuentre las asíntotas verticales y ho^ ^ gráfica si existen, (e) Encuentre la oblicua si existe, ( f) Dibuje la gráfica, (g) wfanpruebe la gráfica con la graficadora.

^

h . f(x)\

1

15. f{x) =

fc te i Ll

o t \ — 3x + 6 8 - g(*) T, ¿ '- 2 "

p ./W = p

io .

P M t) = - p

12.

h ftx ) =

-1

(x + 2 )2 5x fc /W = -x‘ - 4

I17A(-r) =

9x 16 - x 2

Pelona! I 19. *W = 2x2 x2 - 9 h ,/( ,) = í ! i - T

14. /( x ) =

(x - 3 )2 lx 16. g(x) = x2 - 9 i» , m

= 3x2

20 . h(x) = - i x2

x2 + 4 jr

4 Izadas ec¿ I 29, fct) = i gráfica « x2 + 4 ijuniosd- B g Eralos ci»'! *

4

x 2 + 1-2 22 . /( x ) = ^ r Z T T 6

x ffU ) = * + 24. / ( x ) = x 2 ■ x4+ x —o x2 26. g(x) = K j W = Jx - 2 x 1^7.

2x - 7 x 2 - 6x +

5x x 2 + 2x -

297

>3

En los ejercicios 41 a 48, resuelva el problema median te el empleo de una función racional como modelo ma temático de la situación. Escriba una conclusión. 41. Resuelva el ejemplo 6 si el envase de hojalata es cerrado.

[3. g(*) - x - ¿ 1+ X 3- x 2x - 4 ¡7. Mx) = x + 4

39.

FU N CIO N ES RACIONALES

28. /i(x) =

- 5 8 x + 12

25 4

2x 2 + 2

3°. f ( x ) = ¿ P T J 3x2 32. f ( x ) = p ^ - 4

ejercicios 33 a 40, encuentre gráficamente la sode la desigualdad. 34.

x + 4

36. —^ - r > 6 x - 4 6 — 2x 38 u 4 + x

42. Para un envase cerrado con forma de cilindro circu lar recto de volumen 16n pulg3, el costo del mate rial para las tapas es de 2 centavos por pulg2 y el costo del material para la superficie lateral es de 1 centavo por pulg2. (a) Si el radio de la base del ci lindro mide x pulgadas, exprese el costo total del materia] en centavos como una función de x (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) Utilice la graficadora para encontrar, con una precisión de centésimos, el radio de la base para el cual el costo del material es el mínimo? ¿Cuál es este costo mínimo del material? 43. Una caja cerrada de base cuadrada tienen un volu men de 2 000 pulg3. El material para la tapa y el fondo de la caja cuesta 3 centavos por pulg 2 y el material para los lados tiene un costo de 13 centavos por pulg2. (a) Si la longitud del lado de la base cuadrada es de x pulgadas, exprese el costo total del material en centavos como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función de la parte (a)? (c) Utilice la graficadora para encontrar, con una precisión de dos decimales, la longi tud del lado de la base cuadrada para la que el costo del material es el mínimo? ¿Cuál es este cos to mínimo del material? 44. Un rectángulo tiene un área de 81 pulg2. (a) Si la longitud del rectángulo es x, exprese el perímetro en pulgadas como una función de jc. (b) ¿Cuál es el dominio de la función de la parte (a)? (c) Utilice la graficadora para encontrar, con una aproximación de décimos de pulgada, las dimensiones para las cuales el perímetro es el mínimo? 45. Haga el ejercicio 44 si el rectángulo tiene un área de 100 pulg 2 46. En una comunidad particular, cierta epidemia se extiende de tal forma que x meses después del bro te de la epidemia, P(x) por ciento de la población esta infectada, donde 30x2 (1 + x 2)2

298

CAPÍTULO 5


Utilice la graficadora para estimar en cuántos me ses la mayor parte de la gente será infectada y qué porcentaje de la población es ésta. 47. Se determinó que el costo por kilómetro para ope rar un camión es 8 + x dólares sin considerar los salarios de los operadores, y donde x kilómetros por hora es la velocidad del camión. El salario combinado del operador y su ayudante es $27 por hora, (a) Exprese el costo total en dólares para ope rar un camión como una función de x. ( b ) ¿Cuál es el dominio de la parte (a)? (c) Utilice la graficadora para estimar aproximadamente la velocidad en ki lómetros por hora para la cual el costo por kilóme tro es el mínimo. 48. El costo por hora en dólares del combustible para un barco carguero es 35 * 3. donde x nudos (millas náuticas por hora) es la velocidad del barco. Hay un costo adicional de $400 por hora, (a) Exprese el costo en dólares por milla náutica como una fun ción de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función de la parte (a)? (c) Emplee la graficadora para estimar, aproximadamente en nudos, la velocidad del barco para que el costo por milla náutica sea el mínimo.

tfCOOöCÖ ignosdeí 49. Cuando dos resistores que tienen ohms y Ri ohms se conectan en tencia total R ohms estâ dada por

*1

Si la resistencia total de dos resututi en paralelo debe ser de por lo menos 2oí®* de los resistores tiene una resistencia 4 ] ¿cuál debe ser la resistencia del otro ce una desigualdad como modelo situación y escriba una conclusión 50. Explique en palabras (sin símbolo») yMd de las palabras infinito o aproximación. & ca el enunciado: “La recta x = 2 a m, vertical de la gráfica de la ñiociéo/*.

$

ICIOSDE

R EI

. I¿utilice el

f/g j y 4, emplee & W P *■''reguniu.

51. Explique en palabras (sin símbolo»)y sjbct^ de las palabras infinito o aproximación,^^ ca el enunciado: “La recta v = 4 es una , ^ f a c t o r de 2r3 + 9 rizontal de la gráfica de la funrióo/ ”. i i ;..® ei valor de fe de mo 52. S ia ,b ,c y d son números positivos yj <- ¡ aariltr - 5xJ + 3fct. ba cómo demostraría que ~ estáentrejjj *>5íí32cdvalorde/ctal que.

' o10, encuentre< msiónsintética.

REVISION DEL CAPITUL ► VISION RETROSPECTIVA 5.1 Las transformaciones geométricas que se utilizaron para obtener las gráficas de funciones polinomiales incluyen las reglas de traslación vertical y horizon tal, la regla de expansión y contracción vertical, y la regla de reflexión con respecto al eje x. Se mos tró cómo el comportamiento al infinito de la gráfi ca de una función polinomial de n-ésimo grado puede obtenerse a partir del signo del coeficiente del término de n-ésimo grado y la paridad de n. Se aplicó, sin demostración, el teorema que establece que una función polinomial de /i-ésimo grado tiene a lo más n - 1 extremos relativos, y se em pleó una graficadora para estimar los extremos relativos. 5.2 El teorema del residuo nos dice que cuando P(x) se divide entre x - r, el residuo es P(r). Una conse cuencia de este teorema es el teorema del factor, el cual establece que P(x) tiene a x - r como factor si y sólo si P(r) = 0. Se introdujo la división sintéti

ca para facilitamos la aplicación dees« di* mas. Se usó la terminología susbcudón cuando P{r) se calculó mediante ladiviflfe^ ca. Se mostró cómo el algoritmo de Honff* I k ’ ' " l'lia e m m forma conveniente para realizar la (fin» “'"“o * sinlélic ca en una calculadora. 5.3 Las técnicas de cálculo de la Sección ron junto con el teorema de ceros encontrar los ceros racionales de funcw® miales con coeficientes reales.

S

o *»

■ 5.4 Se utilizó el teorema fu n d a m en ta l para probar el importante teorema el blece que una función polinomial d e . 1, con coeficientes complejos, n ceros complejos. También se es . ^¡¡j demostración, que si un númeroc *5 cero de una función polinomial. e*11 jugado también es un cero,vEsteb*110 mitió encontrar otros ceros

IQt —3

lo mult

V

' ^ ' 4>(,2+

R EVISIÓ N D 1L CAPÍTULO 5

-ojinorniaí cuando se conocían algunos. Se intro■ la regla de los signos de Descartes que nos fa^ |a determinación de la naturaleza de los ceros £ una función polinomial. También se estableció y . / un teorema empleado en Cálculo cuando se Ljgía con fracciones parciaies: Un polinomio con ficientes reales puede expresarse como un pro-

eIo’ l a J

299

ducto de polinomios lineales o cuadráticos con coeficientes reales. 5.5 Se definieron las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de gráficas de funciones racionales, y se emplearon para dibujar las gráficas. Se resol vieron desigualdades racionales trazando las gráfi cas de funciones racionales.

1coneOadúi

öhms. ym de 3 ohms, Sistor? Uiiij,' juiáticodeij in el empjc qué signifi. toa asíntota

,

e j e r c ic io s d e

r e p a s o

¡a¡osejercicios 1 y 2, utilice el teorema del residuo puroencontrarel residuo de la división. 1. (3*3 + 4*2 ” 3* - 5) + (x + 2)

En los ejercicios 17 y 18, muestre que los números da dos son ceros de la función polinomial, y encuentre los otros dos ceros.

1 (2x4 -

17. P(x) = x 4 + x 3 - Sx2 + 8 ; - l y 2

5x2 - 2x + 1) + (x - 1) £nlos ejercicios 3 y 4, emplee el teorema del factor in el emplee pa contestarlapregunta. qué signiilasíntota ho-

3. ¿Es j - 3 un factor de x 3 + 2 x 2 - \2x - 9 ? 4. ¿Es x + 4 un factor de 2 * 3 + 9 * 2 + 6 *

+ 8?

5. Encuentre el valor de k d e m o d o q u e x - 3 se a u n factor de 2 b :3 - 5x2 + 3kx. i Determine el valor de k tal q u e x + 2 s e a u n fa c to r de2r4 + 2kx3 - x 2 - 3kx - 8. |fclosejercicios 7 a 10, encuentre el cociente y el resi domediantedivisión sintética. I (2*4 + 7x3 - 4x + 5 ) + (x + 3) * (*3 - fo 2 + 8x - 5) + (* - 4 ) D5doslic f (*‘ - 64) + (x - 2) ión sin'iss (*5 + 243) + (x + 3) jsión siníff" b m ere sis®

isión

P los ejercicios 11 y 12, determine los valores de la ftión mediante sustitución sintética. fy ) = I r 4 - 8*2 - lQ c - 3

52 s e # nonales^

|oue$ p0^

W

p(~2)

(b)

P(3)

s 3x4 + 10x3 - 6x2 + 1 <*) P(~4) (b) P(~j)

ejercicios 13 a 16, encuentre los ceros de lafundel ^ bl c#*l% f Polinomial, e indique la multiplicidad de cada pro e e*— ¿ p t o * l* 2 ♦ 2» - 3 X 2 x 2 *5) mp&s P°ceS^ ^ una

fiT r

i ^ C * 2 - lXx2 - 4)(x 2 + x - 2 ) * U 2 - 9)(x2 - 4 ) 2(6 x 2 + x - 15) * (* - 5)3(jc2 - 36X*2 + 2* - l ) 2

18. P(x) = 2x4 + Sx 3 - fcr2 - 7x + 6; 1 y-3 En los ejercicios 19 a 22, determine todos los ceros ra cionales de la función polinomial. Si es posible, en cuentre los ceros irracionales o imaginarios. 19. P(x) = x 4 - 3x 3 - 8x 2 + 26x 20. P(x) = x 3 +

12

5x2 + 5x - 3

21. P(x) = 3x3 - \ \ x 2 + 9x -

2

22. P(x) = 2x4 + x 3 - 17x2 - 4x + 6 En los ejercicios 23 a 26, determine todas las raíces ra cionales de la ecuación. Si es posible encuentre las ra!ces irracionales o imaginarias. 23. x 3 + x 2 - \5x + 9 = 0 24. x 4 ^ 3x3 - 10x2 + 28x - 16 = 0 25. 6x 4 - 25.x3 - 3x2 + 5x + 1 =

0

26. 3x 3 - x 2 + 16* + 12 = 0 27. Encuentre el conjunto solución de la ecuación x 4 + 2 x 3 - 4x 2 - 4x + 4 = 0 dado que '¡l y - V2 son raíces. 28. Determine el conjunto solución de la ecuación x 4 + x 3 - 4x 2 - 3x + 3 = 0 dado que 'IT y - V3*son raíces. En los ejercicios 29 a 40, dibuje la gráfica de la fun ción. Verifique la gráfica en la graficadora. 29. (a) /(x ) = x 2 - 2

(b) g(x) = (x - 2)2

30. (a) f(x) = -2 x 2 + 3

(b) g(x) = -2(x + 3) 2

31. (a) /(x ) = ¿(x + l ) 3 32. (a) /(x ) =(x + l ) 3 - 5

(b) g(x) = ¡ x 3 + 1 (b) g(x) = (x + 5) 3 - 1

c a p (t h i

q 5

FUNCIONES P O U N O M IA L E S Y RACIONALES

58. F(x) = 3x4 + x 3 - 3x - 1

33. (a )/* * )“ - * * ' * * * * * (b) #(*) * - ( * + ~ 3 34. (a) /W * j(x - 2) 4 - 3 (b) *(*) * + 3) 4 + 2

59. P{x) - x A + 2x3 + 6x2 + & + g;2le|í 60. P(x) » 2x4 - 2x3 + 3x2 - 2r + 1; ^ cero 61. Encuentre el conjunto solución de Uecuaaí.

35. *W = x 3 - 6 x 2 + 9x + 6

x 4 + 3x3 + 3x* - 2 = 0

36. fix) = x 4 - f e 2 + 9 37. g(x) * x 4 - 14x2 - 24x

dado que -1 + i es una raíz.

38. h(x) = x 3 + 3x 2 - 4

62. Encuentre el conjunto solución de la

39. j{x) * x 5 - 5x 4 + 6 x 3 + 2x2 - I x + 3

40. g(x) » x 4 + 4x 3 + 5jc2 + 2x £>» los ejercicios 41 a 52, se define una función racio nal. (a) Determine el dominio de la función, (b) En cuentre las intercepciones de la gráfica de la función. (c) Haga las pruebas de simetría de la gráfica con res pecto al eje y y al origen, (d) Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica si existen, (e) De termine la asíntota oblicua si existe, ( f ) Dibuje la grá fica. (g) Compruebe la gráfica en la graficadora. 41./(x) =

x - 5

42. f(x ) =

x + 2 x - 3

44. g(x) = - p 45. f[x) -

47.

16 (x + 2 )3 3x

/(X ) = J T 7 7

49. g(x) =

4x 2 9 - x2

> * 5pulg0

46. f(x ) =

(x + l ) 2

48. g(x) =

x2 + 4 x2 - 4

50. f(x) =

5x x 2 - 16

x2 - 4 3x 2 - 12 52. /t(x) * 51. h(x) = J x - 1 X fin los ejercicios 53 a 56, encuentre un polinomio P{x) del grado indicado con coeficientes reales para el cual b s números dados son ceros de P. 53. Cuarto grado; 1 - í y 1 + i VÜ". 54. Cuarto grado; 2 - i VÜT(multiplicidad 2) y -1 . 55. Sexto grado; 3* (multiplicidad 2) y 2 - i *v2. 56. Sexto grado; 2 + 3i, 2 + 1 y 1 4- 3i.

2x4 - x 3 + 33x2 - 16* + 16 =0 dado que Ai es una raíz.

pulg*

lión Det

^ « * u"acaja la caja en

,ae!

En los ejercicios 63 a 66, pruebe que la eo**« tiene raíces racionales. Después utilice la nú i signos de Descartes para determinar la qfag) ^ * BB0 de cito! concerniente a l número de raíces positivas, p í f e l a hipóte™ imaginarias. Emplee la graficadora paro wjb fcpmn» Bo85. r respuesta. taémfmcwn racional 63. x 3 - 7 x 2 + x + 3=0 tm &. Escribounaa 64. x 3 - 3 x 2 — 5 = 0 ii Si\i longitud de un

65. x 4

- 6x - 9 = 0

m de90pie2esx pies, »con»unafunción de 66. x 4 + 2x3 + 6x - 3=0 Líífelañindón de la pai En los ejercicios 67 a 70, determine toda lo fadoraparaencontrar, c ción concerniente al número de ceros posilw* «s ta«) Je pie, Jas d im vos imaginarios de la función. Encueran k * » y localice i »• los » ceros irracwnaus •• racionales m» . ^»aibelperíraetrí enteros cosecutivos. Trace la gráfica de lafmM. 1^ useahacerun2 caja ab •í!Ne; conla mínima« rifique su respuesta. Qeaeuna base rectan| 67. F(x) = x 3 - 3x 2 + 6x - 24 68 . G(x) = x 3 + 3x 2 - 3x - 2

69. G(x) = x 4 - 2x 3 - 13x2 + 33* - M 70. F(x) = 3x 4 + IQ r 3 - llx 2 - 4i + 2 £>i los ejercicios 71 a 74, encuentre el conpción de la ecuación. 71. 4 x 3 - l l x 2 + 26x - 15 = 0 72. 3x 3 - x 2 + 16x + 12 * 0 73. 6x 4 - 25x3 - 3x 2 + 5x + 1 s 0 74. 2 * 4 - 9x 3 + 17x2 - 3x - 7 = 0

En b s ejercicios 57 a 60, (a) encuentre los ceros de la función polinomial y (b) utilice el resultado de la parte (a) para expresar el polinomio como un producto de polinomios lineales o cuadráticas.

En los ejercicios 75 a 78, encuentre el ción de la desigualdad gráficamente.

57. P(x) * 2x* + 3x2 + 6x - 4

75. ------- — > 1 x - 5

2x + I

3x z i i l

REVISIÓN PEI CAPÍTULO 5

íx + 6

78.

10 - 4.x - Ix + 10 >

79 a 81, resuelva el problema utilizanMi ecuación como modelo matemático de la sitúa- a Escriba una conclusión. L ^ dimensiones de una caja rectangular son 3 pulg, 4pulg y 5 pulg. El volumen de la caja se du plicasi cada dimensión se aumenta en el mismo númerode pulgadas. Determine este número. ¡g

Qvolumen de una caja es de 504 cm3, y las dimensiones de la caja en centímetros son tres ente rosconsecutivos. ¿Cuáles son las dimensiones?

|ft B área de un triángulo rectángulo es 6 cm 2. En cuentrelas longitudes de los lados del triángulo si la longitud de uno de ellos es 2 cm más corto que lalongitudde la hipotenusa, fei los ejercicios 82 a 85, resuelva el problema emmmió unafunción racional como modelo matemático míasituación. Escriba una conclusión. [ti (a) Si la longitud de un rectángulo que tiene un áreade 90 pie2 es x pies, exprese el perímetro en piescomo una función de x. (b) ¿Cuál es el domi niode la función de la parte (a)? (c) Utilice la gra neadora para encontrar, con una aproximación de décimas de pie, las dimensiones del rectángulo pvalascuales el perímetro es el mínimo, f Sedesea hacer una caja abierta con un volumen de $ pulg3 con la mfhima cantidad de material. La tt)atiene una base rectangular y su longitud es el

301

triple de su ancho, (a) Si el ancho de la base rectan gular es x pulgadas, exprese en pulgadas cuadradas el área de la superficie total de la caja como una función de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función de la pane (a)? (c) Utilice la graficadora para en contrar, con una aproximación de décimas de pul gada, las dimensiones de la caja de modo que el área de la superficie total sea mínima. ¿Cuál es el mí nimo del área de la superficie total? 84. Resuelva el ejercicio 83 suponiendo que la caja es cerrada. 85. Un envase cerrado de hojalata y con forma de cilin dro circular recto tiene un volumen de 27 pulg3. Las tapas circulares son cortadas de piezas cuadra das de hojalata, (a) Si el radio del cilindro es de x pulgadas, exprese en pulgadas cuadradas el área de la superficie total como una función de x. Incluya la hojalata que se desecha cuando se cortan las ta pas. (b) ¿Cuál es el dominio de la función de la parte (a)? (c) Utilice la graficadora para encontrar, con una aproximación de décimas de pulgada, el radio y la altura del envase de modo que el área de la superficie total sea un mínimo. ¿Cuál es el míni mo del área de la superficie total? 86. Pruebe que si z, y z, son números complejos en tonces

esto es, el conjugado de dos números complejos es el producto de sus conjugados.

6.1■

6.2 Exponentes y número e 6.3 Funciones exponenciales 6.4 Funciones logarítmicas 6.5 Propiedades de las funciones y ecuaciones logarítmicas 6.6 Ecuaciones exponenciales

6 .1

FUNCIONES INVERSAS

303

1 . Definir cuándo una función es uno a uno. 2. A prender la prueba de la recta horizontal. 3. A plicar la p ru eb a de la recta horizontal para determ inar si u n a función es uno a uno. 4. Definir función creciente y fundón decreciente. 5. A prender que una función m onótona es uno a uno. 6. Definir la inversa de una fundón. 7. A prender las ecuaciones/(/_1(r)) = x y / ' (/(.r) )- x dondefyf~* son funciones inversas. 8. D eterm inar si u n a función dada tiene inversa, si la tiene, encontrarla. 9. A prender que las gráficas de una fundón y su inversa son reflexiones u n a de la otra respecto a la recta y = x.

La expresión operaciones inversas nos es conocida. La suma y la sus tracción son operaciones inversas, así como la multiplicación y la divi sión, o la elevación a potencias y la extracción de raíces. En cada par de operaciones inversas, una “deshace” lo de la otra. Por ejemplo, si sumamos 4 a x, la suma es x + 4; si restamos 4 de esta suma, la dife rencia es x. En el siguiente ejemplo ilustrativo se utiliza un par de fun ciones asociadas con operaciones inversas.

▻ E J E M P L O IL U S T R A T IV O 1

Calcule los valores de la función compuesta para las funciones especí ficas f y g. (a) Sean/ ( x) = x + 4 y g(x) = x - 4 . Entonces f( g (x )) = / ( x - 4)

g (f(x )) = g(x + 4)

= (jr - 4) + 4

= (x + 4) - 4

= x

= x

(b) Seanf ( x ) - 2 x y g ( x ) =

Entonces

CAPÍTULO 6 FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

(c) Sean /(x) = x 3y g (x) = '(x. Entonces

f(g(x)) = f( V x ) = (“^ x )3

g(f(x)) = g(x3) * V?

—X

—x i

Cada par de funciones/y g del ejemplo ilustrativo 1satisf**, dos ecuaciones siguientes:

f(g(x)) = x

para x en el dominio de g

g(f(x)) = x

para x en el dominio de/

y

Observe que para las funciones f y g de estas dos ecuacúetb funciones compuestas f(g (x )) y g(f(x)) son iguales, relación que* siempre es verdadera para dos funciones / y g arbitrarias. End a» pío ilustrativo 7 se verá que cada par de funciones del ejemploiba* tivo 1 es un conjunto de funciones inversas, y que es la razónpork cual las dos ecuaciones anteriores se satisfacen. Se considerarán más funciones particulares, las cuales notpon a la definición formal de la inversa de una función. La gráficadei función definida por

/(*) = x 2

y

está trazada en la Figura 6.1. El dominio d e/es el conjuntodem ros reales, y su contradominio es el intervalo [0, +oo). Acidark de x del dominio le corresponde uno y sólo uno del contrata* Por ejemplo, como /(2 ) = 4, al número 2 del dominio le contspo* el número 4 del contradominio. Sin embargo, como/(-2)=4,oB; mero correspondiente al número -2 del dominio es el número4® contradominio. Así, 4 es el valor de la función de dos números» tintos del dominio. Además, cada número diferente de 0, dd dominio de esta función, es el valor de la función de dos oifflj® distintos del dominio. En particular, ^ es el valor de la funcióí ¡ y ~ f *y 9 es el valor de la función de 3 y -3. Una situación diferente ocurre con la función g definid®P®

g(x) = x 3

FIGURA 6.2

-2 < x £ 2

El dominio de g es el intervalo cerrado [-2, 2], y su contra^0® t [- 8, 8], La gráfica de g, trazada en la Figura 6.2, es tal, 9ueUn^ 0 /f su contradominio es el valor de la función de uno y só'° del dominio. A este tipo de funciones se les denomina un°°

6 .1

D EFIN ICIÓ N

FUNCIONES INVERSAS

I qk

Función uno a uno

Se dice que una función / e s uno a uno si y sólo si siempre que a y b sean dos números diferentes cualesquiera del dominio de/, entonces f(a ) * f(b).

>


La función definida por f(x) = x 1no satisface la definición anterior de bido a que, por ejemplo, 3 y -3 son dos números distintos del dominio, sin em bargo/(3) = /(-3 ). Por tanto, esta función no es uno a uno. m En la Sección 4.2, se dijo que una recta vertical corta a la gráfica de una función cuando más en un punto. Para una función uno a uno, también es verdadero el hecho de que una recta horizontal intersecta a la gráfica cuando más en un punto. Observe que ésta es la situación para la función uno a uno definida por g(x) = jc3, donde - 2 £ x $ 2 , cuya gráfica se muestra en la Figura 6.2. Además, note que para la función definida por/(x) = x 2t la cual no es uno a uno, cualquier recta horizontal, por arriba del eje x , corta a la gráfica en dos puntos (véase la Figura 6.3). Así, se tiene la siguiente prueba geométrica para deter minar si una función es uno a uno.

P ru eb a d e la recta horizontal Una función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal inter secta la gráfica de la función en no más de un punto.

► EJEM PLO 1

Determinación, mediante la prueba de la recta horizontal, de si una función es uno a uno

Para cada una de las siguientes funciones, utilice la prueba de la recta horizontal para determinar si es uno a uno. (a) f ( x ) = 4 x - 3 (c) f ( x ) = |x |

(b) f ( x) = (x + l )4 , 3'i + 4 (d) / W = T ^ T

Solución (a) Esta función es lineal y su gráfica es la recta de la Figura 6.4. Como cualquier recta horizontal corta a la gráfica en exactamente un punto, entonces la función es uno a uno.

6 FUNa°N|S

IW v g B S A S . e x p o n e n o a l e s y l o o a k ì t m k a ».

306

FIGURA 6.6

FIG U R A 6.5

La gráfica de esta función se obtuvo en el ejemplo 2(a) dehw I ción 5.1. Ésta se reproduce en la Figura 6.5, en la cual se I que cualquier recta horizontal por amba del eje x inienecuij« i fica en dos puntos. Por tanto, la función no es uno a uno. I (c) La gráfica de la función valor absoluto se muestra en la I 6.6. Observe que cualquier recta horizontal sobre el ejezc^t I la gráfica en dos puntos. Por esto, la función valor absoluto»« I uno a uno. (d ) La Figura 6 .7 muestra la gráfica de la función racional ( ttiti asíntota horizontal, y = 3, se trazó en el m ism o rectángulo de» I pección. Cualquier recta horizontal, excepto la asíntota, coraje gráfica exactamente en un punto. Por tanto, la función amn\ uno. i

(b )

; -------7Tr*r '

i

[-10,10] por [-10,10] „ v lx + 4 /W = — - y > , = 3 x-2

FIGURA 6.7

Otros métodos para determinar si una función es u n oi«»¡ apoyan en las definiciones siguientes.

F u n c ió n c r e c ie n te y fu n ción decreciente

DEFINICIONES

Sea/ una función. Entonces (i)

se dice q u e /e s una f u n c ió n c r e c ie n te si *i < Xi

implica que /(xi) < / W

donde x\ y xi son números cualesquiera del dominio (ii)

de/

se dice q u e /e s una f u n c ió n d e c re cie n te si < *2

implica que /(* i) > / W

.

donde jci y jr2 son números cu alesq u iera del do1*1

u ees^ Si una función es creciente o decreciente, se d i # a li' El COnrJ« 7 ‘T u u c u a . wilv, muestra la o ü r c , unc'^ n creciente se ilustra en la Fig^ " . / (v„

;> U j'

función/ de este t¡p°-

M))de la gráfica, seveque*,«.

_____________________ 6.1

FUWCtONCS IW V H Ü A »

307

La Figura 6.9 presenta la gráfica de una función decreciente g. Los dos puntos (xu g(x})) y (x¿, g(x¡)) indican que x¡ g(x2).

>


Considere otra vez la función g definida por g{x) = x 3

-2 < x < 2

cuya gráfica está dibujada en la Fi; ura 6.2. Como x¡ < x2

implica que

x ¡3 < x23

se deduce de la definición que g es una función creciente.

>


Considere la función/definida mediante f( x ) = 5 - 2 * De las propiedades de las desigualdades se infiere que jc, < x2

- 2x, > - 2x2

implica que

Si se suma 5 a cada lado de la segunda desigualdad, se tiene x¡ < x2

implica que

5 - 2x, > 5 - lx 2

Pero 5 - 2x¡ = f(x¡) y 5 - lx 2 - f(x 2). Por tanto. x, < x2

implica que

f(x,) >f{x2)

En consecuencia, por la definición,/es una función decreciente. Véase la gráfica de la Figura 6. 10. < El teorema siguiente proporciona una prueba que puede emplearse para mostrar que una función es uno a uno.

TEOREMA 1

Una función monótona es uno a uno.

Demostración Suponga que / es una función creciente. Si *1 y son dos números del dominio d e / y *1 * *2 , entonces *1 < x2, o bien. x2 < X\. Si X\ < x2 , se deduce de ia definición de una función creciente que/ ( xi) < f(x2); por esto,/(jfi) *■f(x 2). Si x2< x ll entonces f(x 2) < f(x 1), y otra vez f(x \) * f( x 2). A sí,/e s una función uno a uno. La prueba es similar s í/e s una función decreciente. ■

FU N CipN ESjN VlR SAS, EXPONENCIALES Y L O G A R ÍTM IC A * ^

Ê JE M P LO ILUSTRATIVOS-------En el ejemplo ilustrativo 3 se demostró que la fünc ^ g(x) - x y

-2^JtS 2

es creciente. Por tanto, por el Teorema 1, g es una fu Este resultado concuerda con la demostración anteri»*1 N I pleó la prueba de la recta horizontal. 01 J Si en la ecuación que define a g(x) se reemplaza fa) | y = Xs

- 2 S I S 2

Al resolver esta ecuación para x se obtiene x = Vy

-8

y < 8

lo cual define una función G donde G(y) -

“8

y < 8

La función G del ejemplo ilustrativo 5 se denomina la«. J la función g. En la siguiente definición formal de la invenga función, se emplea la notación f~ l para denotar la invemde^y notación se lee “/ inversa”, y no debe confundirse con el no*1 como un exponente.

DEFINICIÓN

Inversa de una función

Si / e s una función uno a uno, considerada como el conjunté pares ordenados (jt, y), entonces existe una función f~\ do nada inversa de / , donde/ _1 es el conjunto de pares oráoí» (y, *) definido mediante x ~ / " ' ( y)

si y sólo si

y = /(*)

El dominio de / ■ ' es el contradominio de/, y e l d e / -' es el dominio de/

c o n tra d ® *

En la definición anterior, el requerimiento de í ción uno a uno asegura que /" '(y ) es único para cada v ^ ¡ ^ - | Si se elimina y de la ecuación de la definición, ecuación / - ‘(y) = x y se sustituye y por/(*), se obtiene

/-'(/(* » ¡ (x) donde x pertenece al dominio de/

_____________________

6.1

FUNCIONES INVERSAS

309

Si se elimina x del mismo par de ecuaciones, escribiendo la ecua ción /(•*) = y y sustituyendo x p o r /'‘(y), se tiene

/(/-'(y )) = y donde y está en el dominio de f mh Como el símbolo utilizado para la variable independiente es arbitrario, se puede cambiar y por x para ob tener

f ( f ~ [(x)) = x

(2)

donde x está en el dominio de f ~l. De las ecuaciones (1) y (2), se observa que si la inversa de la fun c ió n / es la función/-1, entonces la inversa d e /- 1e s / Estos resultados quedan establecidos formalmente en el teorema siguiente.

TEOREMA 2

S i/e s una función uno a uno y tiene a / _1 como su inversa, en tonces / _1 es uno a uno y tiene a/ como su inversa. Además, / _1( / ( * )) =

x

para * en el dominio d e /

y

f(f~ \x ) ) - x

para x en el dominio de/'*

Se emplea la terminología funciones inversas para referirse a una función y su inversa.

>


En el ejemplo ilustrativo 5 la función G definida por G(y) = 'V y - 8 s j s 8 es la inversa de la función g definida por g(x) = x 3 - 2 2S * 2S 2 Por tanto, puede escribirse g _l en lugar de G, y obteniéndose g ~¡(y) = ^ 5

-8 ^ y * 8

o, de forma equivalente, si se sustituye y por x, g - '( x ) = V x

- 8 S I S 8

JU M O O N ^^^

EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS^

Observe que el dominio de g es [-2,2], el cual g ; y también que el rango de g es [-8,8], el cual!i!l e,do^ b * Si una función/tiene inversa, entonces/~*(r\ mediante el método empleado en el siguiente

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 Cada una de las funciones/del ejemplo ilustrativo 1es ^ I tanto, f l(x) existe. Para cada función se calcula/-*(*) a - x _ j — “*■' v^ aP*n»iki| f(x)) mediante la susütución sustitución fínición de f(x de y por/(i) y Itsolv¿ * ---------« o ro V r o n *»ctA .............................................. ....

Esta ecuación es la definición d e / - ‘(y), a p ne f - l(x). (a)

f( x ) = x + 4

/ ( x) = 2x

(b)

y = x + 4

y = 2x y X ~ 2

1

CAPÍTULO 6

* ll¡

310

/ " ‘(y) = y ~ 4 r \x ) = x - 4

'itOUÔbuft'

k 4 ÍTGIH

de lacu*liei¿ w

/w *¿

r!w = \ r \x ) = \

Observe que la función / -l en cada inciso es la functóa; dela» pondiente inciso del ejemplo ilustrativo 1.

EJEMPLO 2

D eterminación d e la inversa deunch^ó" y verificación d e las ecucKhnes dd T**0,

Encuentre / ,(x) para la función / del ejemplo l(a) y '"enfifl*11 uaciones del Teorema 2 p a r a /y /-*. Trace las grifi el mismo rectángulo de inspección

«GUÍA«•12

eJemplo 1(a) se mostró mediante U onzontal que la función definida por /(* ) = 4jc — 3 es uno a uno. Por tanto, /-■ existe . Para determinar/“W 1 ecuación y = 4x - 3 y se resuelve para *, obteniéndose - _ y + 3

*0| N ,

6.1

FUNCIO NES INVERSAS

ai

Por tanto,

r V

- f ~

r \x ) =

Ahora se verificarán las ecuaciones del Teorema 2. / - ' ( / « ) = r ' ( 4 ^ - 3)

fe [-10,10] por [-10,10]

/ ( / - '( * ) ) =

(4* - 3) + 3 FIGURA 6.11

J x 4- 3

= 4

4* = (jt + 3) - 3

4

y = /to

FIGURA 6.12

La Figura 6.11 muestra las gráficas d e / y / " 1trazadas en el mismo rec tángulo de inspección. 4 En la Figura 6.12 se presentan las gráficas de las funciones/y f~ l del ejemplo 2 con el punto Q(u, v) en la gráfica d e / y el punto R(v, u) en la d e / -1. El segmento de recta QR en la figura es perpendicular a la recta y = x y es bisectado por ésta El punto Q es la reflexión del punto R con respeto a la recta y = x, e inversamente, el punto R es la reflexión del punto Q con respecto a la misma recta. Si x y y son intercambiados en la ecuación y = / ( jc) se obtiene la ecuación x = /(y ) , y la gráfica de la ecuación x = f ( y ) es una reflexión de la gráfica de la ecuación y = f(x) con respecto a la recta y = x. Com o la ecuación x = f ( y ) es equivalente a la ecuación y = f~x(x), la gráfica de la ecuación y = f ~l(x) es una reflexión de la gráfica de la ecuación y = f{x) con respecto a la recta y = x. Por tanto, si una fun ción tiene inversa, las gráficas de las funciones son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x.

(2, 8)

>


Las funciones g y g~xdel ejemplo ilustrativo 6 están definidas por

g(x) =

jc3

g -'(x ) = V x ^ U R A 6.13

-2

< 2

8

x < 8

Las gráficas de g y g _l se muestran en la Figura 6.13. Observe que una gráfica es reflexión de la otra con respecto a la recta y = x. -4

312

CAPITULO 6_

yiÛfinM ES INVERSAS/ EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

E JE M P L O

3

S ea/la función definida por /( * ) = x 2

x &0

(a) Muestre que/es creciente y por tanto uno a uno íto c (c) Trace las gráficas d e / , / - 1y la recta y = x en el de inspección y observe que las gráficas de/y f-\ son!*?0'1^ la otra, respecto de la recta y = x. IÍ«Ni^|3 Solución fa \

Para m ostrar nim f es. una fiinriÁn m« ■: ■ venfiqueqaej pía la definición de función creciente. Sean xx y x2 dos números del dominio de/tales«* Como el dominio d e /e s el conjunto de número» no deduce que x¡ es no negativo y x2es positivo. Portan^*

x¡ < X2

implica que

xi2
Pero X\2= f(x\) y x22=f(x2), entonces

xi < xi

implica que

f(xi) < /fa)

De aquí, / e s una función creciente y, por tanto, unoa mo (b) C o m o /e s uno a uno, entonces tiene inversa/*1. Pandea nar f~l(x), se sustituyef(x) por y en la ecuación dada, otaaúÉj

y = x2

x >: 0

Al resolver la ecuación para x, y teniendo en cuentaquei-> tiene

Así, r ‘(>) = Si se ;e emplea xj para la variable independiente, y sesaSl^ *, se obtendrá

r 'w

[0,5] por [0,5]

f(x)*x\x> 0y f \ x)B^ y FIGURA 6.14

= Vi

9i

(c) La Figura 6.14 muestra las gráficas d e /,/ 1y l* <«#*/• mismo rectángulo de inspección. Observe si són reflexiones una de la otra con respecto a 8

►

~—----------- ---------------------- ----- ---------4 Determinación de h función y verificación d* d el Teorema 2

f¡t ut

E JE M P L O

f~ux) y

Para la ecuación del ejemplo l(d), d e te rm in e / ecuaciones del Teorema 2 para f y f "*•

6.1

S o lu c ió n

/w

FUNCIONES INVERSAS

313

Del ejemplo 1(d), se sabe que la función /definida por

3x + 4 = ~ 7

es uno a uno, por tanto, tiene inversa. Para determinar f~ \x )%se resuel ve la ecuación 3* + 4 y ~ x - 2 para jc: y (x - 2) = 3x + 4 xy - 2y = 3 x + 4 xy — 3 x = 2y + 4 x(y - 3) = 2y + 4 2y + 4 y -3 i

•

|

jl|¡|

Por tanto, 2y + 4 r ' ( y ) = - y — áT,

y_ 2x + w " *-

4 3

Ahora se verificarán las ecuaciones del Teorema 2. l 2x + -4\

31 4

CAPÍTULO 6

FUNCIONES INVERSAS, EXPO NENCIALES Y LOG ARÍTM ICAS

EJERCICIOS 6.1 En los ejercicios I a 14, dibuje la gráfica de la función, y utilice la prueba de la recta horizontal para determi nar si es uno a uno. Compruebe la gráfica en la calcu ladora gráfica o graficadora. L f(x) = Ix + 3 3. /(*) * x2 - 6 5. g(x) * 4 - x3 7. f(x) * (jt - 3J4 9. h(x) = Vx + 3

6. /»(*) * x 3 + 1 8. g(*) = x4 - 3 10. f(x) = V i - x 2

12. *W -

U ./W = t ± 5

x —4

13. g(x) » |* -

2. *(x) = 8 - 4x 4. /(x) * 4 - x 2

2|

16. /(x) = 3x - 2

17. f(x) = x3 + 2

18. f(x) = (x + 2)3

x+ 1

30. /(x ) =* 6 — £x 31. /(x ) 32. /( x )

= =

(x + (1-

l) 3

3 3 ./(x )

=

(x -

2)2,x

22

3 4 ./( x )

=

(x +

3 f,x

S

20. f(x) =

r 4- 5

En los ejercicios 21 a 28, (a) determine el contradomi nio de la función uno a unof; (b) encuentre/ _1(x) y de termine el dominio f~x; (c) trace las gráficas de f / “* y la recta y - x en el mismo rectángulo de inspección y observe que las gráficas de f yf~x son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x.

-3

/(x ) = 4 - x2, x S 0

36. /( x ) = x2 - 9 , x i 0 En los ejercicios 37 y 38, muestre que lafmakj, propia inversa. 37. /(x ) = V l 6 - x2, 0 S x S 4 38. f(x ) = | 4 - f

39. Encuentre e l valor de k tal que la f m a k m /d e f in id a por

f(x) =

f(x) f 2 - x2,* ^ 0

23. /(x) = V x 2 - 9, x ^ 3 24. f (x) = - V r 2 - 9, x * 3 25./(x) ». V x2 - 9, x S - 3 26. /(*) =» - V x2 - 9, x S - 3 M * J*3, - l S x S l /(x) * (2x + \Y, - j S x £ { En los ejercicios 29 a 36, (a) demuestre que fe s monótona y por tanto uno a uno: (b) encuentref~x(x); (c) di

x + 5 x + k

sea su propia inversa. En los ejercicios 40 y 41, muestre que lafim* propia inversa para cualquier constantei 40. f(x) = rt \

kX + 1

- k 42. Muestre que la función definidapor /W

-

X

21./(jt) = x2 - 5 ,x > 0 22.

x?

14. / ( jt) = 5

15. /(x) = 3 - 4 *

19. f(x) =

29. /(x ) = 2x + 5

35. (x - 1 ?

En los ejercicios 15 a 20, haga lo siguiente: (a) dibuje la gráfica de f y emplee la prueba de la recta horizontal para mostrar que la gráfica defes uno a uno; (b) en cuentref~l(x); (c) verifique las ecuaciones del Teorema 2 parafyf~l; (d) trace las gráficas de f f~ l y la recta y - x en el mismo rectángulo de inspección y observe que las gráficas de f y / “’ son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x.

1

buje las gráficas de f y f~ x en el mismo nado; (d) compruebe las gníficas de la pam | zándolas en el mismo rectángulo de inspección

f(x) =

x + h kx - 1

es su propia inversa para cualquier constantes h y k. En los ejercicios 43 y 44, (a) muestre q# i* no es uno a uno y, por tanto, no tiene ¡n*** trinja el dominio y obtenga dosfuncione* f i cada una con el mismo contradominiou/< ;: cuentre /|"'(x) y f i X(x) y determine sus trace las gráficas de/, y /,"' en el mis*0ir**

6.2

^pgcción; (*) trace las gráficas def2 y f2~l en el misDrectángulode inspección.

EXPONENTES Y NUMERO •

45. Dada /(*) = < x 2 n
jr + 4

-«ó*

44./W

315

ñx< 1 si 1 <.x<9 si9
Com pruebe que / tiene una función inversa y encuentre f~l(x).

_2_9

4,2 EXPONENTES Y NUMERO e OBJETIVOS

’■''•A**;, : 4

la función ubo-

; que lafmc»'■ \siante k

1. Estudiar y aplicar las leyes de los exponentes de los números reales. 2. Aprender la notación científica. 3. Aprender cómo redondear un numeral a k dígitos significativos. 4. Resolver problemas que implican interés simple. 5. Aprender la fórmula para calcular el monto de una inversión a un interés compuesto. 6. Resolver problemas que implican interés compuesto. 7. Definir el número e. 8. Resolver problemas que implican interés compuesto continuamente. En esta sección se necesitará estar familiarizado con las leyes de los exponentes. Dichas leyes pueden revisarse en la Sección 1.2, donde se definió el exponente racional. En particular, 2* ha sido definido para cualquier valor racional de x. Por ejemplo, 25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2

2o = 1

2~3 = —

= 32 ida por

cualquier '*■ luestre
'radonáfo^^' mine el misn#rl'

f

22/3 = ^ / l 1 = ^4

~ 8 La definición de 2 x no es simple cuando x es irracional. Por ejemplo, ¿qué significa 2^? Puede darse un argumento intuitivo que muestre cómo T** puede ser interpretado. Para hacer esto, se utilizará el si guiente teorema, el cual se enuncia sin demostración. TEOREMA 1

Si r y 5 son números racionales, entonces (i) si b > 1, r < s implica que b b \

316

CAPÍTULO 6

PUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS_________

Se mostrará cómo se aplica este teorema en el siguiente ilustrativo.

>


En la parte (i) del Teorema 1, > 1. Si ¿>= 4, y como2<3,^ ces 4 2 < 4 3. En la parte (ii), 0 ( | ) 3. Una aproximación decimal para VT puede obtenerce conjmj. sión para cualquier número deseado de cifras decimales. Paraci® cifras decimales, VT « 1.7321. Debido a que 1 < 1.7 < 2, pordTeorema l(i) 2 ‘ < 2 1-7 < 22 <=>2 < 2‘ 7 < 4 Como 1.7 < 1.73 < 1.8, entonces 217 < 2 ,-73»< 218 <=> 3.2 < 2173 < 3.5 Debido a que 1.73 < 1.732 < 1.74, se tiene 2*73 < 2' 732 < 2 '74

3.32 < 2‘732 < 3.34

Puesto que 1.732 < 1.7321 < 1.733, entonces 2 i.732 < 2« 7321 < 2»-733 ^ 3 322 < 2’ 7321 < 3.324

II

y así sucesivamente. En cada desigualdad hay una potencia de2j* la cual el exponente es una aproximación decimal del valor de>3& cada desigualdad sucesiva el exponente tiene un decimal más<|*s exponente de la desigualdad previa. Siguiendo este procedimiento definidamente, la diferencia entre los miembros izquienk) y derecto4* desigualdad puede hacerse tan pequeña como se desee. De^hiij* nuestra intuición nos conduce a suponer que existe un valor de2fl^ vo. Además, el Teorema 1 es válido si r y s son cualesquierao“®*9 reales. Leonhard Euler fue el primer matemático en concebir cua*r número real como un exponente. La definición de un exponed ____________ requiere del conocimiento del Cálculo y ■ se presenta en muo . ^ relativos a esta materia. Las leyes de los exponentes rac' ° ^ í)f bién son válidas si los exponentes son cualesquiera númcr» Dichas leyes se resumen en el teorema siguiente, cuyas demo^ nes requieren técnicas del Cálculo.

6.2

E X P O N IN T f > V NÙM EItO •

817

TEOREMA 2

Si a y b son cualesquiera números positivos, y x y y son cuales quiera números reales, entonces (i) a*ay = ax+y

(ili) (flv)v = ü" (iv) {ab)x - a xb x

► EJEMPLO 1

Aplicación de las leyes de los exponentos para números reales

Simplifique cada una de las expresiones siguientes: (a) 2 ^ • 2VIi

(b) (7v 5) v s

Solución (a) 2 ^ • 2 ^ * = 2 ^ • 2zV* __ 2 ^ + 2^3

(b) (7v5)v5° = 7 ^ ^ _ yV100

= 2 3V5

= 7 10

«

Cualquier número positivo puede escribirse en la forma

x = a • 10‘

donde 1 <, a < 10 y c es un entero

Un número expresado de este modo se dice que está escrito en nota* ción científica. Dicha notación, una manera de expresar números muy grandes o muy pequeños empleando potencias de 10, es de gran im portancia en física, química, astronomía y ciencias de la computación.

>


Cada uno de los números siguientes está escrito en notación científica: 582 = (5 .8 2 )1 0 2 97 136 = (9.7136)10“ 92 900 000 000 =

(9 .2 9 )’0 10

0.627 =

(6 .2 7 )1 0 "'

0.00002381 =

(2.381)10

2.04 = (2 .0 4 )1 0 %

O * WHC.ON»*,f4VW— '

CAfBM1-0

,.

.

Ûir un numero en notación científica, Cl pnnw, Paícoleando el punto decimal después del prime, d í^ S obUe1 l ^ n t o de cero. El segundo factor es un. p «e*¡,¿N qui Ji éxoonente se obtiene contando el numero de d í ^ * » la que el exp

be" ción ongmai-

^

nueva posición del puntodec#*.*H

desplaza el punto decimal a la derecha, el « p * ^ lazam¡ento es a la izquierda, el expo«***

^ ¡v o ° V e rifiq u e esU regla aplicándola a los número, del ^ 1 número está representado en notación cómic,, m U l ia forma normal recorriendo el punto decinul ddp^, factor el número de lugares indicados por el expoiote de ^ J. , n ’ e| „unto decimal se mueve a la derecha si el exponeaea^l v a la izquierda si el exponente es negativo. Esta r e * « * I en el siguiente ejemplo ilustrativo. I

EJEMPLO ILUSTRA TIVO 3 (3.659)104 = 36 590 (8.007)102 = 800.7 (9.46) 1012 = 9 460 000 000 000 (3.92)10"3 = 0.00392 (4.018)10~2 = 0.04018 (1.6) 10“19 = 0.00000 00000 00000 00016 Las calculadoras presentan en su pantalla números muy muy pequeños mediante la notación científica. El manual de ora e indicará cómo introducir y leer en la pantalla ua mb®* cnto en notación científica. I íra. notaî6n científica es una forma conveniente para «**** una si?nifica‘ivos de un numeral como 83 200. flor 9 ^ indirar 3^ ^ P'e Puede escribirse como (8.32)10 medición1»? tle"e ^ díg¡l°s significativos, esto quiere entonces « i." C U"a precisión de J00 pie. Si escribimos (8.320ii^ precisión h#. m Cn cuatro dígitos significativos, y la mediciA>»*f tienen cinr a
6.2

E X P O N iN T E S Y N Ú M E R O •

319

y el cuarto es par, se redondea al cuarto dígito; si el quinto dígito es 5 y el cuarto impar, se aumenta 1 al cuarto dígito. De acuerdo con la convención, 261.85 se redondea como 261.8, y 0.0039235 se re dondea como 0.003924. Puede emplearse una convención semejante para redondear a cualquier número de dígitos significativos.

► EJEMPLO 2

Operaciones con notación científica

Utilice notación científica para realizar las siguientes operaciones: (a) (0.00002350)(56 300), donde 56 300 tiene cuatro dígitos signifi cativos. — (92 900 000 000) (0.00000262) . (b) ----------(0.000310) (581)-------- ^ d0ndc 92 900 0 0 0 0 0 0

“

dígitos significativos.

Solución

Primero se escribe cada número en notación científica.

(a) [(2.350) 10_5][(5.630) 104] * [(2.350)(5.630)][10-5 • 104] * (13.23)10_l = 1.323 [ ( 9 .2 9 ) 1 0 lo][ (2 .6 2 ) 1 0 ~ 6j

(9.29)(2.62)

[ ( 3 .1 0 ) 1 0 _4] [ ( 5 .8 1 ) 1 0 2]

(3.10)(5.81) ’ 10‘ 4 - 102

10'° • 10"6

(1.35)10,0-6+4-2 (1.35)

106

+

Los exponentes se pueden aplicar en el cálculo del interés que re ditúa una inversión. Esta aplicación nos conducirá a la definición de e, número que figura en varios campos del conocimiento. Si se presta dinero a una tasa de interés de 0.12 (es decir, 12%) anual, entonces el débito del prestatario al final de un año es de 51.12* por cada $1 emprestado. En general, si la tasa de interés es r (esto es, 100r%) anual, entonces por cada $1 emprestado el pago que debe ha cerse al finalizar un año es de $(1 + r). Si se emprestan $P entonces la cantidad que se debe al cabo de un año es $P(1 + r). Se considerarán varios tipos de interés. El interés simple es el in terés que se percibe sólo por la cantidad original emprestada. En este caso no se paga ninguna cantidad por el interés acumulado. Por ejem plo, suponga que la tasa de interés simple sobre $100 es de 10% anual. Por tanto, el prestamista recibiría $ 10 al final de cada año.

$ para denotar la unidad monetaria y puede interpretarse como pesos, dólares, soles, escudos,

„ „

^ rtT U L Q 6

Ahora, suponga que se invierten SP a una tasa h de 100r%, entonces el interés al cabo de un a ñ o e efectúan retiros durante n años, entonces el interés'tn *Pr I $A es el monto total del depósito al finalizar n años ^ ®*W 1 **» 8c tiene A = p + Pnr = P( 1 + nr) En ocasiones, el interés simple se utiliza en inversiones corto plazo, posiblemente, en periodos de 30,60 o 90 día c*5***1 sos, para simplificar los cálculos, se considera que un a¿n días, y cada mes 30 días; así, 30 días equivalen a la dor*. ***1 un año. wu

► EJEMPLO 3

Solución do un problema qu* knpikai**. sim ple

Se hace un préstamo de $500 por un periodo de 90 días a unaim interés simple de 16% anual. Determine la cantidad que debemr ! al cabo de los 90 días.

Solución

Se tiene P = 500, r = 0.16 y n = tanto, si $A es la cantidad a pagar,

esto es, a

A = P( 1 + nr) = 500[1 + K 0.16)] = 520 Conclusión:

La cantidad a pagar es $520.

Las tasas de interés habitualmente se fijan como J25® , , pero a menudo el interés se calcula varias veces en un año. interés para cada periodo se suma al capital y, a su ñera interés, a este último se le denomina interés comp****^ labra interés se emplea sin algún adjetivo, se supone interés compuesto. Si el interés se calcula m veces ^ tasa anual debe dividirse entre m para determinar el m ^ ^ ^ periodo. Por ejemplo, si se depositan $100 en lina cU®JInt0giio*1 que paga 8% compuesto cada tres meses, entonces cuenta al final del primer trimestre será 100(1 + v

4 /

= 100(1.02)

Para el segundo periodo trimestral se consider3 100(1.02). Por tanto, el monto de la cuenta al ca do será [100(1.02)] (1.02) = 100(1.02)2

.y el caP1 J

6.2

EXPONENTES Y NÚM1RO •

321

Al finalizar el tercer periodo trimestral el monto de la cuenta será de [ 100(1.02)2](1.02) » 100(1.02)3 y así sucesivamente. Al final del n-ésimo periodo trimestral el monto de la cuenta será 100 ( 1.02 )"

De forma generalizada, se tiene el teorema siguiente.

TEOREM A 3

Si $P se invierten a una tasa de interés anual de 100r% com puesto m veces al año, y si A„ es el monto de la inversión al final de n periodos de interés, entonces

■d

' * i)

La demostración de este teorema requiere de inducción matemáti ca, la cual se estudia en la Sección 12.5. Si t es el número de años a que se invierten $P a una tasa de inte rés de 100r% compuesto m veces por año, entonces el número de pe riodos de interés n es mt. Si $A es el monto total a los t años, entonces la fórmula del Teorema 3 puede escribirse como mt (y1 + ^

\

0 — m

► EJEMPLO 4

Solución do un pro b lo m a que Im plica Interés compuesto

Suponga que se depositan $400 en una cuenta de ahorros que paga un interés de 8% anual compuesto semestralmente. Si no se efectúan reti ros ni depósitos, determine el monto al cabo de tres años.

Solución El interés se calcula dos veces al año; así m = 2. Como el tiempo es tres años, t * 3. Además, P = 400 y r - 0.08. Por tanto, si $A es monto del depósito al final de los 3 años, se tiene de (1) f r \ ml f n o 8 '\í A*P jl+ ^ = 400 1 + ^ = 400(1.04)« = 506.13 Conclusión: El monto del depósito al cabo de los 3 años es $506.13. <

f

322

CAPÍTULO 6

FU N C IO N ES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LQ GARÎTMlç/yg

La fórmula (1) proporciona el monto ( W invierten a una tasa de interés de 100r% de t ^ Imagine que el interés se compone continu!!!?1**10"»vecí que en la fórmula (1) el número de p e n o d ^ " 16’ * sin lím ite. Por esto, se estudia el c o m p o r t a L ^ * « ? * +H>. oo. Como mí = = (r0.1afórm uU (l)pue(fc n^ d^ c 3 m ________ _______________ Im/rl

(■+ 3 En esta ecuación sea x = ", entonces A = P

H )T

"

Como “m -* -* +oo” es equivalente a “x 1+

+ 00”, se examina

conforme x -* +oo

Se puede emplear la calculadora para determinar valores de¡1+ cuando x toma valores cada vez más grandes. Véase la Tabla1pn gunos de estos valores. Tablai

Esta tabla nos induce a sospechar que (l + r I

ñ

me a un número finito cuando x crece sin límite. - letra y el número finito se denota por la letra e. Esta « irracional Su valCi Leonhard Euler. El número e es un número emplea»1 IcaM_-kseri^1 0 expresarse con cualquier grado de precisión emp* ^ ^ tas, las cuales se estudian en Cálculo. El v 0 decimales es 2.718281828. Estoes, e a 2.718281828 Se pueden obtener potencias de e en teclaje^J.

6.2

EXPONENTES Y NUM ERO •

323

Para ilustrar gráficamente la conclusión anterior, trace la gráfica de la función definida por f(x ) =

l + I

y la recta y = e en el mismo rectángulo de inspección. La Figura 6.15 muestra las gráficas en el rectángulo de inspección de [0, 20] por [1, 3]. La recta es una asíntota horizontal de la gráfica de f, lo que significa quc f(x ) se aproxima a e conforme x se incrementa sin límite. Al retomar la discusión del interés compuesto continuamente, se tiene del argumento anterior y de (2) la fórmula A = P en

(3 )

donde $A es el monto después de / años si SP se invierten a una tasa de 100r% compuesto continuamente. Este valor de A es un límite supe rior para el monto determinado por (1) cuando el interés se compone frecuentemente, y puede emplearse como una aproximación en tal caso. Este hecho se muestra en el siguiente ejemplo ilustrativo, donde se com para el monto al cabo de un año cuando el interés se compone conti nuamente, con los correspondientes montos cuando el interés se compone mensual, quincenal y diariamente.

>


Suponga que se emprestaron $5 000 a una tasa de interés de 12% com puesto mensualmente, y que el préstamo debe ser liquidado en un pago al final del año. Si $A es el monto a pagar, entonces de la fórmu la (1) c o n /5 = 5 000, r = 0.12, m = 12 y í = 1, se tiene A = 5 000(1.01)12 = 5 634.13 Si la tasa de interés de 12% es compuesta quincenalmente en vez de mensual, entonces de (1) con m = 24, se obtiene A = 5000 1 +

0.12 24

= 5 0000-005)24 = 5 635.80 En el caso de que la tasa de interés de 12% se componga diaria mente, entonces de (1) con m = 365, se tiene 0.12 A = 5 000 1 + 365

v ttS

= 5 000(1.0003)365 = 5 637.37

CAPÍTULO* f «iMg IQ N IS INVERSAS, EXPONENCIALES Y IO O A B I t MICAS

Ahora suponga que el interés se compone continuamenteiiJ Como P - 5 000, r = 0.12 y / = 1, entonces de la fórmula (3)k i A - 5 000eol? = 5 637.484

Si se considera a $5 637.50 como el monto cuando el interésa^l m1Í puesto continuamente a 12%, este monto es un límite superior4*1 *Á if montos sin importar la frecuencia con que se compone el interés J i[1 ^ jtff

Si en (3), P = l , r = l y r = l , s e tiene A = e

k í (>

el cual justifica la interpretación económica del número t coaoá L r f , dimiento sobre una inversión de $1 durante un año a una tasade«.I rés de 100% compuesto continuamente. ¡t ^ ui ÎjuItpáW0 If f i ^ ^ ►

EJEMPLO 5

Solución de un problema qut Implico imn compuesto continuamente

Í l f 'í 5

Un banco anuncia que el interés en cuentas de ahorros secalcultaff U<2122 27 anual compuesto diariamente. Si se depositan $100 en unacoaat •, ahorros en este banco, encuentre (a) una aproximación del mocil cabo de un año considerando la tasa de interés a 6% compuesto»! *■»)(10 nuamente y (b) el monto exacto al finalizar un año considerando*! tasa de interés anual de 6% compuesto 36S veces al año. I Z'" Solución (a) De (3), con P » 100, r = 0.06, t= 1 y si $A es el monto, «a# I j j ' i A • 100e0^ |t í ^ «* slfri*

= 106.18

Así, $106.18 es un monto aproximado para el un año. ... (b) De (1), con P = 100, r = 0,06, m = 365, l = 1 .)a monto, se obtiene

365

100 1 +

0.06^ 365

S

« iS

363

= 100(1.0001644)365 a 106.18 Condustón: El monto exacto del depósito $106.18.

al

cabo de»"1 v

«> (4

6 .2

IX F O N IN T U Y N Ù M IIO

•

a ia

S 6.2 ejercicios1 * 4 utUice una calculadora para de¿i potencia con tres dígitos significativos. En Uf ejercicios 3 y 4, exprese el resultado en notación

En los ejercicios 17 y 18. emplee la notación científica y una calculadora para realizar las operaciones. Con sidere tres dígitos significativos para cada número.

tjgKtSficA-

17. (a) (0.0470)(320 000)2 (180 000)3 VQ.0000450 (b ) 623 000

[ l (•) (6-23)3J I (c) (0.362)* k (a) (4.26)” (c) (0.00172)-

(b) (3.78)"s (d) (0.403)“3 (b) (15.7)“4 (d) (0.916)“2 (b) (0.0312)s (d) (324)“10

4 (•) (78.Í)'5 (c) (0.031 i r 7

(b) (0.00247)8 (d) (589r 12

'S

1. (•) (35.7)-; (c) (0.261)'

»•ini de ia ti

IEii los ejercicios 5 a 12, simplifique la expresión apliIcando las leyes de exponentes. En los ejercicios 7 y 8, x esunnúmero real. MfctfWÍí J.(*)3VÍ-3 V'»

(w u v5)V35

ja lc u la a ííl

6. (a) 2

(b) («v *)v^

ia c u e o u i

7. («) (5vü )v »

(b)

lei monte il

(b)

ivSs * (» ~ 9VS 11.

•5^

V'írtV'Is!» (b) (10v*)

11 (») (10'/!5)'^ ¿Vil fcraodo*| u « í 2^1» m esto cce:-

se licní

5^

250 vS v» Vgg

(b)

.

12

ejercicios 13 a 16. escriba el número en nota(A#

P (•) 52.60

vu .v /x /v i ib); v0.0061 («) 172 000 (3 dígitos significativo») (0 172000 (4 dígitos significativos)

04. '

«) 43 851 ( b ) 0.276 <4 te) 331400 (2 dígitos significativos) W) 3 400 (3 dígitos significativos) ES. W 0 039ÍO ( b ) 0.0000080022 J» 1.723 ( d ) 426.0

8 s r—

(b ) (d )

(0.0000831): (140)3 (256 000 000)2 ^0.000712

(0.000348)3VTÍÓO En los ejercicios 19 a 21, emplee notación científica y una calculadora. 19. Determine la distancia de la Tierra al Sol en me tros, si el Sol está a (9.29)107mi de la Tierra y una milla equivale a 1.61 km. 20. Determine la distancia de la Tierra a la estrella que está a 7.00 años luz si la velocidad de la luz es (1.86) 103 mi/s y 1 año equivale a 365 días. 21. Determine la masa de la Tierra en toneladas, si el número de gramos de la masa de la Tierra es (5.97)1027 y 1 g es igual a (2.205) 10‘3Ib. Los ejercicios 22 a 24 se basan en b siguiente: En Cálculo se demuestra que (1 + z) 1/2 — e

conforme

Observe que (1 + z )Ul puede obtenerse de

28

,VJ4

18. (a )

0.0001030 7 820.0

escribiendo x = y.

22. Utilice una calculadora para obtener los valores de (1 + z) 1,1 cuando z = 0.001 y z = - 0.001. Después obtenga una aproximación con tres decimales del número e y utilizando estos valores halle el valor promedio de (1.001)1°°°y (0.999) “*°°°. 23. Emplee una calculadora para obtener los valores de (1+ z) l/( cuando z = 0.0001 y z » - 0.0001. Des pués obtenga una aproximación con cuatro de cimales del número e y usando estos valores halle el valor promedio de (1.0001 )10000y (0.9999)"10000 24. Trace la gráfica de la función definida por /(*) - 0 + x) I/jc

326

CAPÍTULO 6

FU N C IO N ES IN V ERSA S , E X P O N E N CIALES Y LOGARÍTM ICAS

en d rectángulo de inspección de [-0.5,0.5] por [ 1, 3J. Como f(0) no está definido, entonces la gráfica se rompe en x - 0. Utilice el aumento (zoom in) de la graneadora para mostrar que si se redefine la fun ción en 0 como /(O ) = e, entonces no existe rompi miento de la gráfica en x * 0 (es decir, la función / es continua en x = 0). 25. Se realiza un préstamo de $2 000 a una tasa de in terés simple de 12% anual. Determine el monto a pagar si el periodo del préstamo es de (a) 90 días; (b) 6 meses; (c) 1 año.

26. Resuelva el ejercicio 25 si el préstamo es de $1 500 y la tasa es de 10% anual.

27. Un hombre emprestó $10 000 a una tasa de interés anual de 9% con la condición de que el interés fue se pagado mensualmente. Sin embargo, el prestata rio no hizo los pagos del interés al mes, y así, el capital con el interés a 9% compuesto mensiialmente se venció al final del año. ¿Cuál fue el mon to adeudado?

28. Un hombre, al cumplir 25 años, heredó $5 000. Si in virtió esta cantidad a 8% compuesto anualmente, ¿cuánto deberá recibir cuando se retire a los 65 años?

29. Determine el monto al final de 4 años de una inver sión de $1 000 si la tasa de interés anual es de 8% y (a) se gana interés simple; (b) el interés se com pone anualmente; (c) el interés se compone semes tralmente; (d) el interés se compone trimestralmente; (e) el interés se compone continuamente.

30. Encuentre el monto de una inversión de $500 al cabo de dos años si la tasa de interés anual es 6% y (a) se gana interés simple; (b) el interés se compo ne anualmente; (c) el interés se compone semestral mente; (d) el interés se compone mensualmente; (e) el interés se compone continuamente.

31. Una inversión de $5 000 reditúa interés a una tasa de 16% anual y el interés se paga al término del año. Determine el interés ganado durante el primer año si (a) el interés se compone trimestralmente y (b) el interés se compone continuamente.

32. Se paga un préstamo de $2 000 en un solo pago al final de un año con una tasa de interés anual de 12%. Determine el monto total pagado si (a) el in terés se compone trimestralmente y (b) el interés se compone continuamente. 33. Se realiza un depósito de $1 000 en un banco de ahorro que fija el interés de las cuentas en una tasa

de 9% anual compuesta diariamente. Dete^ I una aproximación del monto al cabo de4 1* considerando la tasa de interés como 9% to continuamente y (b) el monto exacto un año teniendo en cuenta una tasa de ínter» de 9% compuesto 365 veces por año. 34. Resuelva el ejercicio 33 si el banco fija en una tasa anual de 7% compuesta dian^ | (a) considere la tasa como 7% compuesta mente y (b) considere una tasa de interés», 7% compuesta 365 veces por año. 35. ¿Cuánto debe depositarse en una cuentadefej si se desea tener $5 000 en la cuenta al ab J años y si la tasa de interés anual es de puesto trimestralmente. 36. Al término de 4 años, una cuenta de ahorro* un saldo de $3 000. Se efectuó un depósito^* del período de 4 años sin hacer ningún raro) cuánto fue el depósito original si la tasidkaé anual es de 6% compuesto mensuatame? | 37. Resuelva el ejercicio 35 si la tasa de motsaf es de 8% compuesto continuamente. 38. Resuelva el ejercicio 36 si la tasa de atóiatl 6% anual compuesto continuamente. 3 9 .B

//I

En Cálculo se demuestra que

se aproxima a « 2 conforme x crece sintín» fc tre este enunciado trazando la gráficadea»* ción / elegida adecuadamente y a horizontal en el mismo rectángulo dejbP] Defina la función / y escriba una asíntota. Describa por qué la gráfica i* enunciado. Siga las instrucciones del ejercicio 40. ñ el enunciado: en Cálculo se demues®-1+

0.5

se aproxima a Ve"conforme x crecesin 41. Describa los tres tipos de interés. ^ to trimestralmente y compuesto conww*^ la descripción, indique qué tasa de i15 $ qué tasa de interés compuesto trin*s**f^j ser necesaria para que una inversión r ^ interés anual que 10% compuesto connnu'

6.3

FUNGONES EXPONENCIALES

327

íJ ^ C ÍO N E S E X P O N E N C IA LE S OBJETIVOS

X. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Definir la función exponencial de base b. Dibujar la gráfica de la función exponencial de base b. Definir la función exponencial natural. Dibujar la gráfica de la función exponencial natural. Resolver problemas que implican crecimiento exponencial. Resolver problemas que implican decrecimiento exponencial. Resolver problemas que implican crecimiento limitado. Resolver problemas que implican crecimiento logístico.

En Cálculo se estudiarán problemas que implican crecimiento y decre cimiento exponencial, los cuales son importantes para la construcción de modelos matemáticos que contienen funciones exponenciales de base e. Se empezará la discusión de funciones exponenciales conside rando tales funciones con cualquier número positivo como base. Si b > 0, entonces a cada número real x le corresponde un solo nú mero real b x. Así, se tiene la siguiente definición.

DEFINICIÓN

Función exponencial de base b

Si b > 0 y b * 1, entonces la función exponencial de base b es la función/definida por f{ x ) = f *

El dominio d e /e s el conjunto de números reales, y su contrado minio es el conjunto de números positivos.

Observe que si b = 1, entonces b x se convierte en 1*, y como para cualquier x, 1* = 1, se tiene una función constante. Por esta razón, se impone la condición de que b * 1 en la definición anterior. En los dos ejemplos ilustrativos siguientes se consideran las gráfi cas de la función exponencial con bases 2 y j. iatfmtt

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 |tin«ame* inwés^j

La función exponencial con base 2 está definida por F(x) = 2* La Tabla 1 presenta algunos valores racionales de x con los correspon dientes valores de la función.

a ^ n n ^ é jiÊ Ê Ê Q & m ÿ S Œ

^ íx p o n in cial« » y iQOA g j r ^

Tabla!

La gráfica de la Figura 6.16 se dibuja mediana los puntos cuyas coordenadas están dadas por la Tahi loc4^ con una curva. La función es creciente según la Pío, deduce del Teorema l(i) de ¡a Sección 6.2 con de la definición de función creciente dada en la SecxiJu*1* Note que ooccwa6.1. 2* —* 0+ conforme x —* —» esto es, 2 * se aproxima a 0 mediante valores mayoresm» I forme .t decrece sin límite. Por tanto, el eje jr es us. a j ¿ í j de la gráfica de F. Además,

F(x) ■ 2* FIGURA 6.16

2X—+ +ooconforme * —►+ » esto es, 2* crece sin límite cuando x crece también sin límite.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 La función exponencial con base ¿ es la función Gtal que g (x )

= ar

Tabla 2 x (ir FIGURA 6.17 y

-3 8

- 2 - 1 0 1 2 3 4

2

1 i

1 í

La Tabla 2 muestra valores de la función para a^ûn0j.L les de x. Mediante la localización de los puntos con y uniéndolos con una curva, se obtiene la gráfica tn 6.17. La función es decreciente, lo cual se la Sección 6.2, con r y s números reales, y la denn creciente dada en la Sección 6.1. Como a r — oh conforme x el eje * es una asíntota horizontal de la gráfica écG. X

/(*) *

b*, b >

(ir + 00 conforme x —* rm /'A sin c
I

FIGURA 6.18

base

La Figura 6.18 muestra la gráfica de cuando b > 1. La función es creciente, tn

^

«isAÜ»

A.3

P U N C IO N «* IX F O N iN C IA L lI

32»

ne la gráfica de la función exponencial de base b cuando 0 < b < 1. La función es decreciente. De la definición de función exponencial de base b, la base puede ser cualquier número positivo diferente de 1. Cuando la base es e, se tiene la función exponencial natural.

DEFINICIÓN

Función exponencial natural

La función exponencial natural es la función/definida por f(x ) = e x El dominio de la función exponencial natural es el conjunto de números reales, y su contradominio es el conjunto de números positivos.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 La Tabla 3 presenta algunos valores de x y los valores correspondien tes de la función exponencial natural obtenidos con una calculadora. Para dibujar la gráfica de la función exponencial natural, se localizan los puntos cuyas coordenadas se dan en la Tabla 3 y se unen con una curva. Así, se obtiene la gráfica mostrada en la Figura 6.20.

Tabla 3

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

«o Ö i

1

-2

ex

1

1.6

2.7

4.5

7.4

12.2

0.6

0.4

ai <4

► EJEMPLO 1

Dibujo do la gráfica do una función exponencial m ediante transformaciones geométricas

Dibuje la gráfica de cada una de las siguientes funciones mediante transformaciones geométricas de la gráfica de f(x) = e*. (a) F(x) = 3ex~2 (b) G(x) * -e * + 3 Solución (a) Primero se hará una expansión vertical de la gráfica de /mediante el factor 3, y después una traslación horizontal de 2 unidades a la derecha. Así, se obtiene la gráfica de F mostrada en la Figura 6.21.

330

CAPÍTULO 6

FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

(b) Para la gráfica de G, el signo menos indica que primeo reflexión de la gráfica de /c o n respecto al eje x. Después^ I una traslación vertical de 3 unidades hacia arriba, obtem ^ l así la gráfica mostrada en la Figura 6.22. El crecimiento y decrecimiento exponencial proporciona# n* los matemáticos que implican potencias de e. Una función def«* mediante una ecuación de la forma /(O « Be»

t k 0

donde B y k son constantes positivas se dice que describe e! otomiento exponencial. En Cálculo aprenderá que tales funcionesq¿ tan cuando el índice de crecimiento de una cantidad es propon**», su magnitud. Para dibujar la gráfica de f(t) = Beb, observe que/(0j=|j y /(/) es siempre positiva. Además, +00 +00 conforme t Be1 Así, Bekl crece sin límite conforme t también lo hace. La gráficai , se muestra en la Figura 6.23. El siguiente ejemplo implica crecimiento exponencial enbnitp

Gfx) = -e* + 3

FIGURA 6.22

► EJEMPLO 2

Solución do un problema que implico crecimiento exponencial

En cierto cultivo bacteriano, si f( t) bacterias se encuentran píese» los t minutos, entonces f( t) = Be0041

/(f) = Bekt FIGURA 6.23

donde B es una constante, (a) Determine B si en un principioh»^ bacterias, (b) Con el valor de B de la parte (a), trace la gráfica Determine algebraicamente cuántas bacterias habrá despos*“ hora y compruebe su respuesta en una graficadora.

Solución (a) Como hay inicialmente 1 500 bacterias,/(O) = 1 500. De j ción que define^f) f(x) = Be 004<0> 1 500 = Be0 1 500 = B (b) Con el valor de B de la parte (a)

10.70] por (0. 17 000] f(t) * 1 500*“*

FIGURA 6.24

/(/) = 1 500eoau rciÓO La gráfica de / trazada en el rectángulo de inspe por [0, 17 000] se muestra en la Figura 6.24

RGURA6.25

6 J

F U N C IO N E S E X P O N E N « * » ^

331

(c) El número de bacterias después de una hora es J(60), y de la ecua ción de la parte (b) 1 500eoom))

/(60)

1 500¿24 16 535 Conclusión: Después de una hora, habrá 16 535 bacterias en el cultivo. Esto se puede comprobar en la graficadora empleando el rastreo y aumento en la gráfica de la Figura 6.24. 4 Una función definida mediante una ecuación de la forma t 2 0

f{t) = Be~»

(2)

donde B y k son constantes positivas, se dice que describe el decreci miento exponencial. El decrecimiento exponencial ocurre cuando la razón de disminución es proporcional a su magnitud, como se estable ce en Cálculo. Por ejemplo, se sabe por experimentos que el índice de decrecimiento del radio es proporcional a la cantidad de este elemento presente en un momento específico. La gráfica de (2) se muestra en la Figura 6.25. Observe que fit) = Be

HGURA 6.25

Be-»

0-

conforme t

+00

El ejemplo siguiente implica decrecimiento exponencial, donde el valor de cierto equipo disminuye exponencialmente.

► EJEMPLO 3

Solución do un probloma quo implica decrecimiento exponencial

Si $V(t) es el valor de un cierto equipo t años después de su compra, entonces V{t) = Be~0201 donde B es una constante. Si el equipo fue comprado por $8 000, ¿cuál será su valor en 2 años? Compruebe la respuesta en una graficadora. Como el equipo se compró en $8 000, V(0) —8 000. De la ecuación que define V(t)

Solución

V(0) = Be~02im 8 000 = Be0

8000 = B Por tanto, con B - 8 000 se tiene V(f) = 8 000* 0 20'

332

CAPÍTULO 6

FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y I Q f t A t l T I i m i

El valor del equipo después de 2 años < anterior

V(2),

ydcu

V(2) = 8 OCX)«"020®

= 8 000« 040

'J H

= 5 362.56

[0, 10] por [0, 10000] V(t) » 8 OOOtf01

FIG U R A 6.26

Copclurién: El valor del equipo en 2 años será $5 ^ Para comprobar la respuesta en la graficadora, se m ca de V(t) = 8 000*- 0Mr en el rectángulo de inspecciónd.,«*! por [0, 10 000] mostrada en la Figura 6.26. Empleando el r ¿ I I graficadora ubique el cursor en donde t = 2, y encuentre el vahníl4* ciónS 362.56. (I Otro modela matemático que contiene potencias átettáéá por la función definida por

/(/) = A(1 - e-*)

t Z0

donde A y k son constantes positivas. Esta función describeda» miento limitado. Como

A(1 - e~kt) = A - Ae~kt y Ae~b

r*

O* conforme t — +oo , se deduce que

A(1 — e~kl) —* A~

conforme

t

—* +®

Por tanto, la gráfica de /tie n e como una asíntota horizontal alareí unidades arriba del eje t. Observe que

/(0 ) = A{ 1 - e°) = 0

/ ( 0 = 4(1 -* -* /)

FIGURA 6.27

A partir de esta información se obtiene la gráfica mostrad*®^ ra 6.27. Esta gráfica es denominada, algunas veces, curra zaje. El nombre de esta curva se hace evidente cuando la eficiencia con la que una persona realiza un trabajo. A j aumenta la experiencia de una persona, la eficiencia se1 ^ g pidamente al principio y después disminuye cuando la cional tiene poco efecto sobre la habilidad con la cual tarea.

E JE M P LO 4

Solución de un problema qu* crecimiento limitado

nroducif^ Un trabajador común de cierta fábrica Pu . trLuajo. áo^ por día después de t días de haber ingresado al /(*) = 50(1 -

Ir 6.3 FUNaONES E X P O N EN C IA LES

333

(a) ¿Cuántas unidades por día puede producir el trabajador después de 7 días de trabajo? (b) ¿Cuántas unidades por día se esperaría que pro duzca el trabajador? (c) Emplee la respuesta de la parte (b) para deter minar la asíntota horizontal de la gráfica de / y trace esta recta y la gráfica d e /e n el mismo rectángulo de inspección.

ecuación

Solución (a) Se desea encontrar/(7). De la ecuación que define a f(t) 0.34(7)’ 50(1 _ £— 50(1

ta la grifi

50(1 - 0.093)

de 10.10] asmo deh òrde lafra-

45 Conclusión: El trabajador puede producir 45 unidades por día después de 7 días de trabajo.

está dado

(b) Como c _034/ -* 0* conforme t — +oo, se infiere que 50(1 - e~0MÍ) ¡ribe el creo-

Conclusión: por día.

50“

conforme t —* + c0

Se espera que el trabajador produzca 50 unidades

(c) La asíntota horizontal de la gráfica d e /e s la recta g{t) = 50. La Fi gura 6.28 muestra esta recta y la gráfica de / e n el rectángulo de inspección de {0,10] por [0,60]. ^ »tal a larecu1!

Ñ ) - A - Be-ti

FIGURA 6.29

El crecimiento limitado también puede describirse con una fun ción definida por 9 m

odacela4 va de aprffl&J »/(O re?

t > 0

donde A, B y k son constantes positivas. Para esta función/(0) = A - B. La gráfica se muestra en la Figura 6.29. En Cálculo, puede demostrar se que el crecimiento limitado ocurre cuando una cantidad crece a una razón proporcional a la diferencia entre un número ñjo A y su magni tud, donde el número fijo sirve como límite superior. Ahora, considere el crecimiento de una población que es afectada por el ambiente que impone un límite superior sobre su tamaño. Por ejemplo, el espacio o la reproducción pueden ser factores que están limitados por el medio. En tales casos, un modelo matemático de la forma (1) no se aplica, ya que el crecimiento de la población no sobre pasa cierto punto. Un modelo que considera factores ambientales está dado por la función definida como

. A medito-*] ■incremi

íxpener ai se efees»!

:ir flf)* donde

B e*

m

An He

ilJ*A 6.30

1 + Be-**

donde A, B y k son constantes positivas. La Figura 6.30 muestra la grá fica de esta función, la cual se denomina curva de crecimiento logístico.

I

«..í. cuando r es pequeño, la gráfica es parecida aun», i Observe,q“ nencial, como 1»de la Figura 6.23, y confom*, mÍenU> ‘X a a la de crecimiento limitado mostradaen u VSC* .^ . aolicación del crecimiento loglsuco en K o w o f c ^ J * ?a información de un producto en particular. El « J * bución de la ^ por bi6\ogos para describir la prop^J r ngi 5enfermedad y por lo» sociólogo, para explic U d ^ J immor o una bron^-

50000) ,45<

► EJEMPLO 5

Solución do un problema qu. l»*» crecimiento loglttko

En cierta comunidad, la propagación del viru* de la gripe fe después de t semanas de su brote /(/) personas se habían cc*¡? donde ftt) =

45 000 1 + 224*-

■'¿ejercicioslo8, Mu)* ¿Cuántas personas tenían gripe (a) al momento del brote; (k)fap Compruebe la grá) de 3 semanas, y (c) después de 10 semanas? (d) Si la epideaa» núa indefinidamente, ¿cuántas personas contraerán la enfennetf« iM‘ y Utilice la respuesta de la parte (d) para determinar la asíntotakm itf-r tal de la gráfica d e /y trace esta recta y la gráfica de/en el m tángulo de inspección. I0^=e" Solución (a) El número de personas que tenían gripe al momento delfcr*‘ /(Q). y m

45 000 = 1 + 224*-°*°> _ 45 000 ” 1 + 224

1«ék ¡ramíonnaciont i

»)Fix)=y-

Al momento del brote 200 personas

*/(x) =

f{x)

(b) Después de 3 semanas el número de personas cníert^*jCjf (c) Después de 10 semanas el número de personas afee 45 000 + 22Ae-°-9Q) 45 000 1 + 224«7 * 2 803

(b) /(3) =

get

Mi u . : ?;W =

= 200 Conclusión:

lv;:«retios 9 a 14, dibuje 1

(c) /CIO) =

Conclusión: (b) Después de 3 semanas, * — ^ c0nn gripe y (c) después de 10 semanas 43 790 pe^0

10eO.

6 .3

(d)

F U N C IO N iS EXPONENCIALES

335

Como 2 24«-0,!" - O

conforme t — +oo

se concluye que 45 000 . -— -—— — 45 000conforme t — +oo 1+ 2 2 4 r ° * Conclusión: Aproximadamente 45 000 personas contraerán la enfermedad si la epidemia continúa indefinidamente.

[0,11] por [O, 50000] 45000 8(0 m45 " l+ 2 2 4 r “ y

000

(e) La asíntota horizontal es la recta g(t) = 45 000. Esta recta y la grá

FIGURA 6.31

fica d e/, trazadas en el rectángulo de inspección de [0, 11] por [0,50 000], se muestran en la Figura 6.31. 4

EJERCICIOS 6.3 Eii los ejercicios 1 a 8, dibuje la gráfica de la función exponencial. Compruebe la gráfica en la graficadora. : i./w m y

3. # ) = 3“x 5. F(x) = $ r \ 7. G{x) = e~x

2. g(x) - 4* 4. /(* ) = 4"x 6. G(x) = 10* 8. F(jc) = e ^

Enlos ejercicios 9 a 14, dibuje la gráfica de lafunción | Fmediante transformaciones geométricas de la gráfica m j * (a) F(x) - Y ' \ f ( x ) « y 1 (b) F(x) = y - 4,/(jf) = 3* 110. (t) F{x) * 2x+\f{x) * 2* (b) F(x) » 2* + 3,/(x) «■ 2* 111. (a) F(x) * - e x+\f(x) = ex 1 (b) F(x) + 2 J ( X) - ** (a) F(x) * -2ex- \ f ( x) = * (b) FU) - - 2ex - l,/(* ) = [13. (a) F(x) * 2X+1 + 3 ,/U ) « 2* I ib) F(x) * #•”» - 4,/(*) * jM. (a) F(x) « 3'"5 - 2,/(*) = y 1 (b) FU) + l.f(x) m #• ¡* íoí ejercicios 15 a 18, dibuje la gráfica de la funM» exponencial. Verifique la gráfica en la graficado-

Í

W*if(x) « \0 e o2x

16. #(*) = 10«°

17. g(x) = 10e~

18. f(x ) = lve‘

19. Dibuje las gráficas de y = 3* y x = 3 * en el mismo sistema coordenado. 20. Dibuje las gráficas de y = ex y x = e y en el mismo sistema coordenado. En los ejercicios 21 a 33, resuelva el problema em pleando un modelo matemático que implique una fun ción exponencial. Escriba una conclusión 21. El valor de cierta máquina t años después de su com pra es $V(/), donde V(t) = ke~°3' y k es una cons tante. (a) Determine k si se sabe que la máquina se compró hace 8 años en $10 000. (b) Con el valor de k de la parte (a), trace la gráfica de V. (c) Deter mine algebraicamente el valor actual de la máqui na, y compruebe su respuesta en la graficadora. 22. Si/(/) gramos de una sustancia radiactiva están pre sentes después de t segundos, entonces f{t) = ke°*, donde k es una constante, (a) Determine k si ini cialmente se tienen presentes 100 g de la sustancia, ( b ) Con el valor de ¿ de la parte (a), trace la gráfi ca de f. (c) Determine algebraicamente qué canti dad de la sustancia habrá después de 5 s, y compruebe la respuesta en la graficadora. 23. La población de cierta ciudad crece a una tasa pro porcional a su tamaño. Si esta tasa es de 6% y si la población después de t años es P(t), entonces P(t) = ke 00®, donde k es una constante, (a) Deter mine k si la población actual es de 10 000. (b) Con el valor de * de la parte (a) trace la gráfica de P.

336

CAPITULO 6 FUNCIONES INVERSAS, .EXPONENCIALES Y U>GARÍT*ljCM_______ ___ . Calcule algebraicamente la población esperada (c) después de 10 años y (d) después de 20 años. Compruebe las respuestas de las partes (c) y (d) en la graficadora.

principiante? (b) ¿Cuántas unidades por* completar un trabajador con un tfo de cía? (c) ¿Cuántas unidades por día puede que produzca un obrero común? (tf) Uifc*^ puesta de la parte (c) para determm* jj ^ horizontal de la gráfica de / trxe esu gráfica d e /e n el mismo rectángulo de a s p ^ '

24. Suponga que /(/) es el número de bacterias presentes en cierto cultivo a los / minutos y flt) = A*0035', donde k es una constante, (a) Determine k si hay 30. El valor de reventa de cierto equipo es Vfo lák 5 000 bacterias presentes después de transcurridos después de su compra, donde 10 min. (b) Con el valor de A;de la parte (a) trace la gráfica de /. (c) Encuentre, de manera algebraica, f ( t ) = I 2 0 0 + 8 00(V~#A cuántas bacterias había inicialmente, y compruebe la respuesta en la graficadora. (a) ¿Cuál es el valor del equipo cuando sea** 25. Si P(h) libras por pie2 es la presión atmosférica a (b) ¿Cuál es el valor del equipo 1 0 afiosfa^k una altura de h pies sobre el nivel del mar, enton su compra? (c) ¿Cuál es el valor anoopKlo^ ces P(h) = k ' 000003\ donde k es una constante. Si cho del equipo después de un periodo proio^* la presión atmosférica al nivel del mar es de 2 116 (d) Utilice la respuesta de la parte (c/panfetaa lh/pie2, determine la presión atmosférica que actúa nar la asíntota horizontal de la gráfica de/.* sobre un avión que vuela a una altura de 10 000 esta recta y la gráfica d e /e n el mismo recaní pie. Compruebe la respuesta en la graficadora. de inspección. 26. En 1985, se estimó que en los 20 años siguientes la 31. Cierto día en un colegio asistieron 5 000pena población de cierta ciudad constaría de /(/) perso un estudiante se enteró que un orador polémnÉ nas i años a partir de 1985, siendo/(0 = C • 10*', a efectuar una presentación no programái £s donde C y k son constantes. Si la población en información fue comunicada a algunos wm 1985 era de 1 000 y en 1990 era de 4 000, ¿cuál es quienes a su vez la pasaron a otros. Depét la población esperada para el año 2000? Comprue transcurridos / minutos, /(/) personas se lata be la respuesta en la graficadora. terado de la noticia, donde 27. Una pintura abstracta históricamente importante 5000 m = fue comprada en 1922 a $200, y su valor se ha du 1 + 4 9 9 9 e°* plicado cada 10 años desde su compra. Si $/(/) es el valor t años después de su compra: (a) defina ¿Cuántas personas se habían enterado del ** /(O. y (b) ¿cuál será el valor de la pintura en 1992? (a) después de 10 min y (b) después de30* * Él ¿Cuántas personas se enterarán de la «a® 28. Después de t horas de practicar mecanografía, se Utilice la respuesta de la parte (c) para de*^* determinó que cierta persona podía mecanografiar la asíntota horizontal de la gráfica de /(0 palabras por minuto, donde/(f) = 90(1 - e '003*). recta y la gráfica de / en el mismo recliné (a) ¿Cuántas palabras por minuto puede mecano inspección. grafiar la persona después de 30 horas de práctica? (b) ¿Cuántas palabras por minuto puede esperarse 32. En cierta ciudad de población A. 20* deH que mecanografíe la persona? (c) Utilice la res dentes escucharon un anuncio por radioaa* puesta de la parte (b) para determinar la asíntota ho un escándalo político local. Después de1 rizontal de la gráfica de / y trace esta recta y la personas sabían del suceso, donde gráfica de/en el mismo rectángulo de inspección. 29.

La eficiencia de un obrero común de una fábrica está determinada por la función definida por /(/) * 100 - 60*-°* donde el obrero puede completar /(/) unidades por día después de haber trabajado t meses, (a) ¿Cuán tas unidades por día puede completar un obrero

ñ i ) - ■1 + B e** Si 50% de la población supo del hora después, ¿cuánto tiempo transcun* ^ 80% de la población se enteró de la1)0001 ^ 33. En una comunidad en la que A ceptibles a un virus particular, el virus

j v i f t f ) '''

(la gráfíí

: icias de

Ce

de enfriad® * Í n d i c e

al c u ;

IggtiaproP010101 ¡ssperaiufa y 1* de¡ n i.¿ s e puede demostra

aeporodeado de aire ¡ :rí¿12(fa60Den40mi

sitqxnnn del cuerpo a

latemperatura del después de 50 m después de 3 h. (e' ^^caerpoeventualme ^ k parte i (e) para < ^^

mismorectái

6 .4

je manera que / semanas después de su aparición, fí¡) personas se habían contagiado, donde /(/>

F üW aO N E S tOQAKtTMICAS

36. Por observación, una de las soluciones de la ecua ción

A + Be

x2 * r es 2. (a) Existe otra solución entera positiva. ¿Cuál es? (b) Existe una solución irracional. Para conseguir una aproximación numérica de esta solución, trace las gráficas dey = * 2yy = 2i enel mismo rectán gulo de inspección, emplee el rastreo y aumento de la graficadora para determinar la solución con una precisión de centesimos. A partir de las 3 solucio nes de la ecuación y la gráfica de la parte (b), de termine los valores de x para los cuales (c) x 2< 2* y (d)x2>2*.

Si 10% de las personas susceptibles contrajeron inicialmente el virus y 25% de ellas se habían in fectado después de 3 semanas, ¿qué porcentaje se había infectado después de 6 semanas? 34. La función/ definida por/(x) = e~Mi es importante en estadística. Dibuje la gráfica de / considerando que/ es continua (la gráfica no se rompe) y localice los puntos para los cuales x tiene los valores -2, _ 2 - 1, 1,1 y 2. Emplee la calculadora para las potencias de e. Compruebe la gráfica en la graficadora. La ley de enfriamiento de Newton establece que el índice al cual un cuerpo cambia de temperatura es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que lo rodea. En Cálculo, se puede demostrar, a partir de esta ley, si un cuerpo rodeado de aire a 35° de temperatura se enfría de 120° a 60° en 40 min, entonces si /(/) grados es la temperatura del cuerpo a los / minutos, donde m - 35 + Encuentre la temperatura del cuerpo (a) después de 10 min, (b) después de 50 min, (c) después de 100 min y (d) después de 3 h. (e) ¿Cuál será la tempe ratura del cuerpo eventualmente? (f) Utilice la res puesta de la parte (e) para determinar la asíntota horizontal de la gráfica de f trace esta recta y la gráfica de/en el mismo rectángulo de inspección.

T¡J Las funciones S y C de los ejercicios 37 a 40

T ~I 5x aparecen en Cálculo, se denominan funciones hiperbólicas y son definidas por S(x) m -( ex - e~x)

C(x) m -(e* + e*)

En los ejercicios 37 y 38, determine los valores indicados de lafunción. 37. (a) 5(0) (d) S(3.5)

(b) C(l) (e) C {- 2)

(c) S í - 1)

38. (a) C(0) (d) S(-2.5)

(b) S(l) (c) 0 3 ) (e) d -2 .5 )

39. (a) Pruebe que 5 es una función impar, (b) Dibuje la gráfica de 5, y compruebe la gráfica en la grafi cadora. 40. (a) Pruebe que C es una función par. (b) Dibuje la gráfica de C, y compruebe la gráfica en la grafi cadora.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS OBJETIVOS

337

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Definir la función logarítmica de base b. E ncontrar el valor de un logaritmo. Resolver ecuaciones logarítmicas. D ibujar la gráfica de la función logarítmica de base b. Definir la función logarítmica natural. D ibujar la gráfica de la función logarítmica natural. Resolver problemas que implican funciones logarítmicas y exponenciales naturales.

CANTOLO

U N C IO N » I N V .M A ^ iX ^ N I N a A m Y LOOAKiTMJCA^

338

En el ejemplo 2 de la Sección 6.3 se obtuvo la ecuación fít) = 1 500« donde /(/) bacterias están presentes en cierto cultivo a 1 I Ahora suponga que se desea encontrar en cuántos 15 000 bacterias presentes. Si T es el número de minuta1”01^ 1 minado, entonces 8** I 15 000 = 1 500e004r En esta ecuación la incógnita T aparece en un exponente h* mentó no puede resolverse esta ecuación, sin embargo, dttÜcÍM logaritmo nos permitirá hacerlo. Se desarrollará este con^¡?fck| pués se volverá al problema en el ejemplo 3. Cuando b > 1, la función exponencial de base b es ene» cuando 0 < b < 1, es decreciente. Así, del Teorema 1
DEFINICIÓN

Función logarítmica de base b

La función logarítmica de base b es la inversa de la funciráetponencial de base b.

Se emplea la notación log¿, para denotar la función logarte»*! base b. Los valores de la función logb se denotan por /og*W°^| ma más sencilla log¿, x (léase “logaritmo base b dex”)- Portante log¿ y la función exponencial de base b son funciones invasi y = logtx

si y sólo si

x - by

»1C O \ El dominio de la función exponencial de base b es números reales, y su contradominio es el conjunto de1 vos. De ahí que el dominio de log¿ es el conjunto de nu y su contradominio es el conjunto de números reales. Las dos ecuaciones que se muestran en (1)son hecho se emplea en los dos ejemplos ilustrativos sigu**8^

» e je m p lo il u s t r a t iv o t 32 ( tío172

<=> log3 9 — 4 <=> logi/1

23 = 5-2

6.4

rU N O O N I» LOOAKtTMICAt

W

► EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 log,o 10 000 = 4 o 10“ = 10 000 log, 2 = ^ <=> 8I/3 = 2 log6 1 = 0 <=> 6o = 1 log» i = - i » 9 ' ,/J = ^ <

► EJEMPLO 1

Determinación de un logaritmo

Encuentre el valor de cada uno de los logaritmos siguientes: (a) log749 (b) log5V5^ (c) log** (d) log3 81 (e) log100.001 Solución En cada inciso se hace y igual al logaritmo dado y se ob tiene una ecuación equivalente en forma exponencial. Luego, se des peja y considerando el hecho de que si b > 0 y b *1, entonces

by = b"

implica que

y = rí

(a) Sea log? 49 = y. Esta ecuación es equivalente a 7 V = 49. Como 49 = 72, se tiene 7V= 72 Por tanto, y = 2; esto es, log7 49 = 2. (b) Sea logs V5" = y. Por tanto, 5* = v5, o bien, equivalentemente, S>' = 5,/2 De aquí, y = ~ ; es decir, logs (c) Sea log6 - = y. Así, 6 V= | o bien, equivalentemente, 6> = 6-' (d)

Por tanto, y = -1; esto es, log6| = -1. Sea log3 81 = y. De donde, 3 V= 81, o bien, equivalentemente, 3y = 34

De esto, y = 4; es decir, log3 81=4. (e) Sea logi» 0.001 = y. Por tanto, 10*= 0.001, y como 10-3 = 0.001, se tiene 10* = io-3

Así, y = -3. Esto es, logi«0.001 = -3. ►

EJEM PLO 2

<

Solución do una ecuación logarítmica

Resuelva la ecuación para cada xob: (a) log6jt = 2 (b) log27jr = f (c) log*4=j (d) log* 81 = -2 la forma lógica contrapropuesta de la condición de la función uno a uno aplicada a la función exponencial de

340

c/\ pítm »:q

j» f u n c io n e s

^ — ~ ^ ÎX !^ Ç as _

S o lució n Se escribe cada ecuación logarftm exponencial equivalente. Caco*úoi*»t

(a) logé x = 2 «=> 62 - x Por tanto, jc

W k «” í * U f f » De donde,

= 36

(c) log* 4 =* 5 <=> b 1/3 - 4 Así (¿ ,1 /3 )3 =

4 3

(d) log¿ 81 = - 2 fc>¿-2a

Portante, (¿,-2)-l/2 _ g j - l/2 1 81'

¿7 = 64

De (1), b> = x y y = logfcx son ecuaciones equivafeóla. Siat| primera de estas ecuaciones se sustituye y por log¿ x, se obué«

3

jc

21

donde¿> > O,b * \ y x > 0. De (2), se observa que un logaritmo es un exponerte, efloalM es el exponente al cual b debe ser elevado para obtener x.

>


De (2) 3k*3T = 7

y

lO*0*««*5 = 5

Si se escriben las ecuaciones de (1) como *°^JC= ^ ie sustituye x, en la primera de estas ecuaciones, potb\ * logfc b y = y donde b > O, b *1 y y es cualquier número real.

>


De (3) log2 2 “3 = - 5

y

logio 103 * 3

óA

FUNCIONES LOGARITMICAS

»41

Las ecuaciones (2) y (3) se obtuvieron del enunciado (1), como un resultado del hecho de que las funciones exponencial y logarítmica son inversas una de la otra. Recuerde de la Sección 6.1 que las gráficas de una función y su inversa son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x. Si se considera este hecho, se obtiene la gráfica de la función logarítmica a partir de la gráfica de la función exponencial correspondiente.

t> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5

FIGURA 6.32

La gráñca de y = 2Xaparece como la curva clara en la Figura 6.32. La gráfica de y = log2x es la más oscura de la figura. Las dos gráficas son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y - x . * En la Figura 6.32 se tiene un caso especial de la función logarít mica de base b donde b > 1. En la Figura 6.33 se tiene el caso general. Esta figura muestra la gráñca de /(* ) = logfrjr

¡lentes. Si ai obtiene

'e, esto es. ^ x.

b > 1

Esta gráfica es simétrica con respecto a la recta y = x, de la gráfica de la función exponencial de base b (b > 1), la cual también se muestra en la Fi gura 6.33.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 La Figura 6.34 muestra la gráfica de y = (^)*. La gráfica de y = log^ x se obtiene a partir de la de y = mediante una reflexión con respec to a la recta y = x. a

y = lo g * x

b>

1

FIGURA 6.33

FIGURA 6 34

342

CAPÍTULO 6 F U N C I O N g ^ ™ * ^ EXPONINOALIS Y W G A R ÍT M ^

La gráfica de la Figura 6.34 es un caso especial afunción logarítmica de base b, donde 0 < b < i p **Mfc, véase la Figura 6.35, la cual muestra la gráfica de ** ** /(* ) = log* x

0 < b < 1

En en la Figura 6.35 también se tiene la gráfica de la a cial de base b (0 < b < 1). Observe que las dos grífi ^ con respecto a la recta y - x . 8081 De las gráficas de log* de las figuras 6.33 y 6.35 propiedades siguientes.

P ropiedades de la fu nció n logarítmica de base b 0
1. Si b > 1, log¿ es una función creciente. Si 0 < 6 < 1, u . una función decreciente. 2. Si¿>> 1, log¿ x es positivo si x > I, y log*xesnegabvoáO 1, y logres pon vo si 0 < x < 1. Además, log* x no está definido ti xa*} tivo o cero. 3. El único cero de la función log¿ es 1; esto es, log»i=0ij sólo s i x= 1. 4. log¿, x = 1 si y sólo si x = b. 5. Si b > 1, log¿, x -* -0 0 conforme x -* O4; y si 0<&
La propiedad 3 proporciona la ecuación logfc 1 = 0 y de la propiedad 4 se obtiene b=1 La función logarítmica de base e se denominafunc** natural.

DEFINICIÓN

Función logarítmica natural

La función logarítmica ponencial natural.

natural es la inversa

________________________________ 6.4

FU N C IO N E S LOGARÍTMICAS

343

La función logarítmica natural puede denotarse por log,, pero la forma más común es ln. Los valores de la función ln se denotan por ln x (léase “logaritmo natural de x”). Como ln y la función exponencial na tural son funciones inversas,

y ss ln x

si y sólo si

x = £|

(4)

La tecla Qn] de la calculadora puede emplearse para obtener los valores de la función logarítmica natural. La gráfica de esta función se presenta en la Figura 6.36, donde también se muestra la gráfica de la fun ción exponencial. Las dos gráficas son simétricas con respecto a la recta y = x. Observe en esta figura que e es el número cuyo logaritmo na tural es 1; esto es, ln e = 1 Esto se infiere del enunciado (4) porque ln e = 1

es equivalente a

¿=i1

Si en (2) b = e, se tiene e lnx = x y si b = e en (3), se obtiene ln e x = x

► EJEMPLO 3

Solución do un problom a quo Implica las funcionas exponencial y logarítmica naturales

En el ejemplo 2 de la Sección 6.3 se obtuvo la ecuación f( t) = 1 500*“ *

donde f(t) es el número de bacterias presentes en cierto cultivo a los t minutos cuando se tienen inicialmente 1 500 bacterias presentes. Utili ce la graficadora para estimar cuántos minutos deben transcurrir hasta que se tengan 15 000 bacterias presentes. Después verifique la estima ción algebraicamente.

Solución

Para estimar cuántos minutos deben transcurrir hasta que se tengan 15 000 bacterias presentes, se trazan la recta g(t) = 15 000 y la gráfica d e / e n el mismo rectángulo de inspección de [0, 100] por [0, 20 000] como se muestra en la Figura 6.37. Si se emplean el ras treo y aumento de la graficadora, se observa que la recta corta a la grá fica d e /c u a n d o t = 58. Así, la estimación es de 58 min. Para verificar la estimación algebraicamente se hace T igual al nú mero de minutos que deben transcurrir hasta que haya 15 000 bacte rias. Después se sustituye T por t en la ecuación para /(f), y se obtiene f( T ) = 1 500* ° wr

344

CAPÍTULO 6

FUNCIO NES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Como f( T ) = 15 000, entonces 15 000 = 1 500e0Ml 10 = e 004T Debido a que la ecuación x = e y es equivalente a laecu**. í»ntnnr#»c ln I ecuación f l - ^0.04T gg entonces la 10e=q ueiv a le n te 3 0.047* = ln 10 T = ln 10 0.04 T = 57.56 Esta respuesta es acorde con la estimación. Conclusión: presentes.

Deben transcurrir 58 min para tener 15 (

EJEMPLO 4

Solución d e un problema q u e impía las funciones logarítmica y exponmai naturales

Se efectúa un depósito de $1 000 en una cuenta de abona« un interés de 6% compuesto continuamente y no se realizaM L ni retiros posteriores, (a) Exprese el monto, en unidades idom u del depósito a los t años como una función de t. ib) Utilicek m dora para estimar el tiempo hasta que se acumulen $1500«km (c) Verifique la estimación algebraicamente.

Solución (a) De la fórmula (3) de la Sección 6.2, si SMf) represeoud*1^ del depósito a los t años, entonces A(t) = 1 OOte00* [0,10] por [0,2 000] A(t) - 1 000c °“ ' y #(f) = i 500

FIGURA 6.38

(b) La Figura 6.38 muestra la gráfica de A y la recta $(/)= zadas en el rectángulo de inspección de [0,10] se emplea el rastreo y aumento de la graficadorasedt®^ la recta corta a la gráfica de A cuando t = 6.758. j (c) Sea T el tiempo necesario hasta que en la cuenta se $ 1 500. Si en la ecuación para A(t) se sustituye Tpor1A(T) = 1 OOOe006T Como A(T) = 1 500, se tiene 1 500 = 1 000^nn6T e oMT = 1 5 0.067 = ln 1.5

6.4

FUNCIONES LOGARITMICAS

345

T = ln 1.5 0.06 T = 6.758 Esta respuesta está de acuerdo con la estimación. Conclusión: Como 6.758 años equivalen a 6 años, 9 meses y 3 días, esto se considerará como el tiempo hasta que se acumulen en la cuenta $1 500. +

EJEMPLO 5

Solución do un problema quo Implica a las funciones exponencial y logarítmica naturales

En el ejemplo 4 de la Sección 6.3 se obtuvo la ecuación /( í) = 50(1 -
Solución (a) En la solución del ejemplo 4 de la Sección 6.3, se obtuvo la Figu ra 6.28 de la sección, la cual muestra la gráfica d e /y su asíntota horizontal, la recta g(t) = 50, trazadas en el rectángulo de inspec ción de [0, 10] por [0, 60]. A esta figura se agregó la recta h(t) = 40 y se consiguió la Figura 6.39. Usando el rastreo y aumento de la graficadora, se determina que la recta h(t) = 40 corta la gráfica de/cuando t = 4.7. (b) Sea T el número de días necesarios en el trabajo para que el obre ro produzca 40 unidades por día. Si se sustituye T por t en la ecua ción dada, se tiene f ( T ) = 50(1 - e -034T) Como f(T ) - 40, 40 = 50(1 - e-° UT 0.80 = 1 - e~034T e-o.*4r = 0 2 0 .3 4 r » ln 0.2 ln 0.2 -0 .3 4 4.7 Esta respuesta está de acuerdo con la estimación.

u

Conclusión: Después de 5 días de ducir 40 unidades por día.

Nrí

h\ *10*

En problemas que implican decrecimiento CXno_ _ media ia de una sustancia radiactiva es el tiempo disminuya a la mitad.

► EJEMPLO 6

S o lu c ió n d e un p ro b le m a q u t lmoll

-

-

füne/on*s **P™.ncla¡ y i o g j ^ ^ La vida media del radio es 1 690 años, suponga quef(t) mil radio se tendrán en t años a partir de ahora, y W***! i r

¡ ti nout

/ ( /) = A ekt donde k es una constante. Si se tienen actualmente 60 mgder* ¿cuántos miligramos de radio se tendrán dentro de 100aftos?

Solución

Como se tienen 60 mg de radio, entonces/(O) tanto, de la ecuación se tiene

-2 (c)te1 iu¡k|.{iww (c)bgis1= 0 7. (») bgí 2 = I

/( 0 ) = A em

lüfc|s2 =j

60 = A Si se sustituye A por 60 en la ecuación dada, se obtiene

(í)ÍDgl*í=

*anraaoj9fl/2,í

f(t) = 60**' Debido a que la vida media del radio es 1 690 aflos,/(l 690)=# en la fórmula anterior t = 1 690, se tiene

wteg.0100

(

11(«)«?*64

/

11,1‘Si

(

/ ( I 690) = 60 é?*(169o) 30 = 6 0e1690* g 1690* _

**»lj

0 5

ale

1 690* = ln 0.5 k = ln 0 5 1690 k m -0 .0 0 0 4 1 0 Al sustituir este valor de k en la ecuación/(O = 60* •

«)h s ; ” ! .. n «2o

f(t) = 60e-0000410' Con este valor y el hecho de que la cantidad de initoí1*®13* dentro de 100 años es /(100), se tiene

/(100) « 60e~00410 = SZ6

3 .

Conclusión: Se tendrán 57.6 mg de radio dentro

^32)

6.4 FUNCIONES LOGARÍTMICAS

EJERCICIOS

S í

1, (i) ? •«<* f&SlIlojjjj

WV!

. ejercicios 1 a 4, exprese la relación dada en la noción mediante notación logarítmica.

1. (a) 3* *

gdenfc í) = 6Q.Pj

- 32

(b) 7J ■= 49

(c) 5 'J - ¿

En los ejercicios 25 a 30, dibuje la gráfica de la fun ción.

(b) 625~5/4 - ,b

(c) 2o = 1

25. /(* ) * log io x

26. /(x) * log3 x

27. g(x) ■ logi/j x

28. g(x) - k3g!/i0 x

(c) M~m = ¿ 29. F(x) = log, x 2

30. G(x) = log2 1x |

i (i) í l !/4 - 27 (b) 10° = 1

5. (l) loga 64 = 2 (c) log: 1 ■ 0

(b) log3 81 = 4

i (i) logio 10,000 = 4 (c) logio 1 = 0

(b) loga 125 = 3

7. (i) loga 2 = 5 (c) log9 i = “ i

(b) log,/3 9 * - 2

8. (i) logj: 2 = J (C) log161 ® “ I

(b) log 1/2 64 = - 6

f. (a)logio 100

(b) log27 9

(c) log2 ¿

10. (a) loga 64

(b) log6 6

(c) log3 gy

11. (a) logaj 11 (a) log?7

(b) log27 ¿ (b) log 1/4 ¿

(c) ln \ / e (c) ln e 2

13. (a) log? x

ib) log^logaa l)) ,a > 0 y b >0

En los ejercicios 31 a 38, dibuje la gráfica de la fun ción mediante transformaciones geométricas de la grá fica de lafunción logarítmica natural 31. f(x ) =- l n x

32. g(x) * 2 lnx

33. g(x) * ln(x - 1)

34. /(* ) = ln(x + 4)

35. F(x) = ln x + 2

36. G(x) * ln x -

3

37. /(* ) = 3 ln(x + 4) - 5 38. g(x) = -ln (x - 2) + 1

*3

(b) log 1/3 x = - 4

14. (a) log4 x * 3 11 (a) log2 x « j

(b) logi/4 x = - 3 (b) log 1/4 x \

h losejercicios 17 a 20, resuelva la ecuación para b. 17. (a) log* 144 * 2

(b) log* 6 =

4

H (a) log* 1000 * 3 P* (a) log*0.01 = - 2

(b) log* 3 = (b) log* ¿ =

J -§

*

(b) log* 0.001 = - i

bloi ejercicios 21 a 24, simplifique la expresión. 11- (a) logtOogj 5) I (*>) log2(log9 81) 11 (•) tog}(log2 32) <*>) log2ílog, 81)

V(f) = 10000*-°* Si la máquina será reemplazada cuando su valor sea $500, utilice la graneadora para estimar cuándo se comprará una máquina nueva Verifique la esti mación algebraicamente.

(*>) logi/9 x - i

27 “ ~ 3

En los ejercicios 39 a 50, resuelva el problema por me dio de un modelo matemático que contenga una fun ción exponencial. Escriba una conclusión. 39. Remítase al ejercicio 21 de la Sección 6.3. El valor de una máquina, comprada hace 8 años en $10 000. es $V(t), t años después de la compra, donde

Enlosejercicios 13 a 16, resuelva la ecuación para x.

bo*

24. (a) logj(logj3)

(c) 10"* * 0.001

j, (i) 81/! - 4

^

(b) logb(log* b), b > 0

(b) 5S « 125

En¡osejercicios 9 a 12, encuentre el valor del logaritmo. =30i

(•) logj(log2 256)

81

Enlos ejercicios 5 a 8, exprese la relación dada en la taaciónmediante notación exponencial. [?

347

40. Remítase al ejercicio 22 de la Sección 6.3. Si fit) gramos de una sustancia radiactiva se tienen des pués de t segundos e inicialmente se tenían 100 g, entonces f( t) = 100e*a3f Emplee la graficadora para estimar el tiempo nece sario para que queden sólo 10 g de la sustancia Compruebe la estimación algebraicamente. 41. Remítase al ejercicio 23 de la Sección 6.3. La po blación actual de una ciudad es de 10 000 y se in crementa con una tasa proporcional a su tamaño. Si

34 f l

C A P ÍT U L O 6

F U N C IO N E S IN V E R S A S * E X P O N E N C iA L E S J f L O G A R ÍT M IC A S

esta tasa es de 6% y si la población después de t a/los es P(i), entonces f\t) a lOOOOe006'

4 6.

Refiérase al ejercido 30 de la Seccifeu h de reventa de cierto equipo es de ^ años de su compra, donde /(/) = 1 200 + 8 000e-«*

Utilice la graficadora para estimar el tiempo en el cual la población será de 45 000. Verifique la esti mación algebraicamente. 42. En cierto cultivo se tienen inicialmente 2 000 bac terias, y después de t minutos se tienen /(/) bacte rias, donde

f[t) m 2 000* 0X051 Utilice la graficadora para estimar cuándo se ten drán 10 000 bacterias. Compruebe la estimación al gebraicamente. 43. Si se invierten $500 a 9% compuesto continuamen te: (a) exprese el valor de la inversión en t años como una función de t. ib) Emplee la graficadora para estimar el tiempo necesario para que la inver sión sea de $900. (c) Verifique la estimación alge braicamente.

Utilice la graficadora para estimar d ^ pués de la compra para que el valor de ie ^ $2 000. Verifique la esümaoóo alg d x * ^* 47. Si una sustancia radiactiva detemurufe ^ vida media de 500 años y una m u e s a « ^ ^ decae a 4 g. ¿cuál es la edad de la n u e m ^ 1 ga que el número de gramos présenla tir de la muestra esflfiy f[t) &Ae*. do*, I una constante. 48. Suponga que quedan/(f) unidades de radiactiva en t años a partir de iban donde k es una constante. Si 30% de b mm¡ desaparece en 15 años, determine so nÉvdi 49. ¿Cuánto tiempo pasará para que na ireafci duplique si reditúa un interés de 8\ coapu continuamente?

50. ¿Cuánto tiempo pasará para que un oncnhiI

44. Resuelva el ejercicio 43, si el dinero se invierte a 12% compuesto continuamente.

triplique si reditúa un interés de l2%{afM| continuamente?

45. Remítase al ejercicio 29 de la Sección 6.3. La efi ciencia de un obrero común de cierta fábrica está determinada por la función definida por

En los ejercicios 51 y 52, las funciona 5 y C»ti funciones hiperbólicas definidas en los qeracmh 40 de la Sección 6.3 como sigue: S(x) = \ ( e x - « - ) y CW =

f[í) = 100 - 60*"°21 donde el obrero puede completar f(t) unidades de trabajo por día después de haber trabajado durante t meses. Emplee la graficadora para estimar cuán tos meses de trabajo son necesarios para que el obrero común produzca 70 unidades por día. Com pruebe la estimación algebraicamente.

^

51. Encuentre

Sugerencia: Sesy*^®* la ecuación como cuadrática « t *,) para e x mediante la fórmula cuadrfoci

52. Determine C"*(x). Utilice una gerencia del ejercicio 51 con uní itdrie®1 dominio.

6.5 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES Y ECUACIONES LOGARÍTMICAS OBJETIVOS

1. Aprender el teorema acerca del logaritmo de un Prc^|.{ 2. 3. 4. 5.

Aprender el teorema acerca del logaritmo de un ^ Aprender el teorema acerca del logaritmo de una P° Aplicar las propiedades de los logaritmos. Resolver ecuaciones logarítmicas.

6.3

íc c ió n 6.3. El vai0r i $/(*) d e s p i d e ,

fe a a r e l tiempo de», alor d e revenía je» ilgebraicamente. rm in ad a tiene una sstra original de 5g a m uestra? Supon ien tes t años a par= A e k\ donde I q :s de una sustancia h o r a y f{t) = Ac\ *% de la sustancia : s u vida media. ; u n a inversión se 4e 8% compuesto

PROPIEDADES D I LAS FUNGONES Y ECUACIONES LOGARÍTMICAS___ 34?

Antes del advenimiento de las calculadoras electrónicas se utilizaban los logaritmos para efectuar tediosas operaciones con productos, co cientes, potencias y raíces. Para este propósito se aplicaron los logarit mos de base 10, así como las tablas de éstos. En la actualidad, esto es obsoleto ya que fundamentalmente nos interesan las propiedades de las funciones logarítmicas y su uso en la solución de ecuaciones lo garítmicas, en esta sección, y de ecuaciones exponenciales en la Sec ción 6.6. Las operaciones de los ejemplos, ejemplos ilustrativos y ejercicios de esta sección se presentan sólo para mostrar estas propie dades y no para fomentar su aplicación. Los tres teoremas de esta sección se refieren a las propiedades de los logaritmos que se infieren de las leyes de exponentes correspon dientes. Después de enunciar cada teorema, un ejemplo ilustrativo muestra la ley de exponentes implicada. En las demostraciones se uti liza el siguiente hecho x

b?

y = lo#**

es equivalente a

Se hará referencia a la ecuación x = by como la forma exponencial de la ecuación y = log* xt y a la ecuación y = log* x como la forma loga rítmica de la ecuación x = by.

t u n a inversión se e 12% compuesto >nes S y C son las lo s ejercicios 37a

TEOREMA 1

Si b > 0, b & 1 y u y v son números positivos, entonces j(e* + e-1)

logfc U V = log b

U

+ logfrV

zay = SU), esa* n e x, y resuélvsli itálica. le a similar alasla restricción en<1

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Suponga que en el enunciado del Teorema 1,¿> = 2, « = 4 y v = 8. Por tanto, lo g * u v =

>NES

= = =

n producto n codeóteñ a potencia

24 • 8 2 22 • 23 l o e 2 22+3 lo g 2 2 5 lo g

lo g * u +

24 2 22

lo g * v = lo g

lo g

«

k )g

=

2+

+ lp g

2

+ loga

8

23

3

= 5

= 5 ( d e b id o a q u e lo g * b y - y ) P or esto , cu a n d o

b

= 2, u = 4 y v =

D e m o s t r a c ió n d e l T e o r e m a 1

r

-

lo g *

u

y

s

8. e l T e o r e m a Sea

= lo g * v

1 e s v á lid o .

^

CAPÍTULO 6

fu n c io n es inversas , e x po n en c ia les y logarítmica ^

Las formas exponenciales de estas ecuaciones son, u —b r

y

V

=

b’

Por tanto, uv m b r • b ‘ uv — b f * * La forma logarítmica de esta ecuación es log* uv = r + s Pero log* u = r y log* v * s. Así, log* uv = log* u + log* v

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Si log„,2 = 0.3010 y log,0 3 = 0.4771, puede aplicarse d Tea» para determinar loglu6. logio 6 = logio(2 • 3) = logio 2 + logio 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781 Como log|02, logl03 y log106 son números inacK»ila.tai res dados para ellos en el ejemplo ilustrativo 2 son aproximad»*! cimales. Sin embargo, en las operaciones, como las de esae empleará el símbolo de igual.

TEOREMA 2

Si ¿7> 0, * 1 y u y v son números positivos,entonces log* - = log* u - log* t

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Suponga que en el enunciado del Teorem a Por tanto.

6^5

PRO PlEDADES DE LAS FUNCIONES Y ECUAaONES LOGARÍTMICAS u

logfc ~ - tog2

128

351

íog* u - ipgfc v = |og2 128 - log2 16

” *°g2

2?

= log2 27 - tog2 24 = 7 - 4

= k)g2 27“4

5=3

- loga 23 = 3 Por esto, cuando b = 2, u = 128 y v = 16, es válido el Teorema 2. Demostración del Teorema 2 r = logfctt

y

4

Como en la prueba del Teorema 1, sea

j = log¿ v

Las formas exponenciales de estas ecuaciones son, respectivamente, u = br

y

v = bs

En consecuencia, el Teorema

La forma logarítmica de esta ecuación es

sales, los val limación« ste ejemplo*

i log¿ -u = r - s v Como Iog¿ u = r y log¿ v = s, se tiene u log* - = logé u - logb v

■

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Por el Teorema 2 logio § *= logio 3 - log,0 2 Si se sustituyen los valores de logJ0 3 y log|0 2 dados en el ejemplo ilustrativo 2, se obtiene logiof = 0.4771 - 0.3010 = 0.1761

TEOREMA 3

Si b > 0, b * 1, n es cualquier número real y « es un número po sitivo, entonces log* u n - n logft u

*

> EJEMPLO ILUSTRATIVO^ Suponga que en el enunciado del Teorema 3 b a o tanto, H* î log/> un = log2 43 = log2(22Y = log2 22' 3 = log2 26 = 6 Así, cuando b = 2, n = 3 y u = 4, el Teorema 3 es válido Demostración del Teorema 3

Sea

r = log¿> u <=>u — b r Por tanto, un = (bry u n = b nr

La forma logarítmica de esta ecuación es log¿, un = nr Como log¿ u = r, se tiene log¿, un — n log¿, m

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 Com o log,H2 = 0.3010, se deduce del Teorema 3 que log.o 3 2 = log.o 25

logio V 2 = k)g.o 2,/J

= 5 logio 2

» J l ugi o 2

= 5 (0 .3 0 1 0 ) = 1 .5 0 5 0

® ¿(O-3010* = 0.1003

► EJEMPLO 1

¿fei Aplicación d» las logaritmos

Escriba cada una de las expresiones siguientes en ^ ^ groS pos'D' > mos de x, y y z, donde las variables representan n

(a) lograr 2y 3z4

(b) log*

, CUAOON|i LoaAmtrui^

^ O P i.D A D .,^ ^ ^ ^

^

Solución (a) Por el Teorema 1 = log^ X1 + Jog^ y¡ +

log» JtJ>rV

^

t L t r Z o , 2 S 5 L 3 a cada uno - «os logaritmos en el miem-

l°g¿-f>'Z4 = 2l0gi,x + 310gA> + 4k)gAZ (b) Por el Teorema 2

1o8‘ ^ 5 = logij: - logt K ’ bro derecho, se tiene

i

l0&

xx

yz

m ÍQg»X -T (logb y + log* z2) log* X

log* y — 2 log* z

(c) Por el Teorema 3

.

Jxy2

1*

xy2

A l ap licar e l T eo r em a 2 al m iem bro derecho, se obtiene

log* \ I ~ ^ T - 5 Oog* x y 2 - log* z 3) 5 (log* x + log* y 2 - log* z 3)

í (log* x + 2 log* y - 3 log* z)

5 log* x + f lpg* y - | log* z ► EJEMPLO 2

*

Aplicación de las propiedades de los logaritmos

Escríba cada una de las expresiones siguientes como un solo logaritmo con coeficiente 1: (a) log* x + 2 log* y — 3 log* z (*>) i (log* 4 - log* 3 + 2 log* x - log* y)

Solución

CA PÍTULO 6

FUNCIONES «NVERSAS, O T O N E N O ^ Y t-OGARÍTMICAS

(b) i (l°g* 4

1°®* 3 + 2 log* jc — log¿ y) = i [Oogi, 4 + k)g¿ jc2) ^ = lüog* 4x: log*3y] 1. 4x2 = 3 0613 7

3+

= iog¿ v — V 3y

► E JE M PL O 3

Aplicación do las^ropiodadesómu^ logaritmos 181

.

Dados log,02 = 0.3010, log,03 = 0.4771 y log107 = 0.8451,^.1 propiedades de los logaritmos de los teoremas 1 a 3 para d ^ í los valores de cada uno de los siguientes logaritmos: (a) lo g io 5

(b) logio 28

(c) tog,o2100 (djlog,,^

Solución Aparte de los logaritmos del ejemplo, el lognaeí base 10 de cualquier potencia entera de 10 puede determina te; por ejemplo, logio 10 = 1, logio 102= 2, logio 103= 3, log»l(Hí y así sucesivamente. Esto se utilizará en este ejemplo. (a) logio 5 = logio t = logio 10 — logio 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990

(b)

logio 2 8

=

= = = = = (c) log,0 2100

logio 2 2 • 7

logio 22 + logio 7 2 logio 2 + logio 7 2(0.3010) + 0.8451 0.6020 + 0.8451 1.4471 = logio 3 • 7 • 102 = logio 3 + logio 7 + logio 102 = 0.4771 + 0.8451 + 2 = 3.3222

W) logio V U = iog10( 2 ^ l Z ) ' /3 10)

* 3 Opgio 2 + logio 3 + togio 7 " ~ I (0.3010 + 0.4771 + 0.8451 - 11 = í (0.6232) * 0.2077

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES Y ECUACIONES LOGARÍTMICAS___ 355

► EJEMPLO 4

Aplicación de las propiedades de los logaritmos

Utilice los valores de log,02 y log,07 dados el ejemplo 3 para determi nar el valor de cada una de las expresiones siguientes: (a) logio 2 Solución (a) logio T “ l°gio 7 - logio 2

logio 7 = 0.8451 log,0 2 0.3010

= 0.8451 - 0.3010

= 2.808

= 0.5441 Ahora, se compararán las operaciones de los incisos (a) y (b) del ejemplo 4. En el (a), se tiene el logaritmo de un cociente, el cual, al aplicar el Teorema 2, es la diferencia de 2 logaritmos. En el se tie ne el cociente de los logaritmos de 2 números. La operación se efectúa dividiendo 0.8451 entre 0.3010. Una ecuación que contiene logaritmos se denomina ecuación lo* garítmica. Como el dominio de una función logarítmica se restringe con el ñn de obtener los logaritmos de números positivos, se debe ve rificar cualquier solución posible en la ecuación dada. Los tres ejem plos siguientes se refieren a la solución de una ecuación logarítmica.

► EJEMPLO 5

Solución de una ecuación logarítmica

Determine el conjunto solución de la ecuación logioC* 4- 3) = 2 Solución

La forma exponencial de la ecuación es

x + 3 = 102 x f , 100 - 3 x = 91 Para este valor de x, la ecuación dada como log!0 100 = 2, la cual es verdadera. Por tanto, el cojunto solución es {97}. *

► EJEMPLO 6

Solución de una ecuación logarítmica


356

CAPÍTULO 6

F U N a O N I f l NV1R>AS- ■XP°N1NCIAL|S Y lO O A »¡T M lC A |

Solución Como la diferencia de dos logaritmo» un cociente, *e tiene 01 ®*el 10g2

x + 4

= 3

Si se escribe esta ecuación en la forma exponencial con tiene ^ Ulv*leijieií l ± i = 23 x - 3 x + 4 = 8(* ~ 3) x + 4 = 8* - 24 - I x = -2 8 * =4 Si se sustituye x por 4 en el miembro izquierdo de laecuacifad* se tiene log28 - log2 1. Debido a que log2 8 = 3 y log21= ción se verifica. Así, el conjunto solución es {4}.

► EJEMPLO 7

Solución

do una ecuación logaritmica

¿y .i

Determine el conjunto solución de la ecuación

ib) 1,

log3 x + log3(2* - 3) = 3 ¡2, escribí

Solución El miembro izquierdo de la ecuación dada estai®* dos logaritmos; si se escribe como el logaritmo de un producto,

con coeficiente 1.

lpg3 x(2x - 3) = 3 La forma exponencial equivalente de esta ecuación es x(2x - 3) = 33 2x2 - 3x - 27 = O (x + 3)(2x - 9) = O * + 3 = 0 2* — 9 = 0 * = ~3 X = Í Cuando x = -3, ni log3 x ni log3(2x - 3) se rechaza la raíz -3. Cuando * = §, el miembro i«F ción dada es

H ,'

l*'

fyíio/ í 7O ,

S ,

«i» +1, 3 k

¡ s ,„

•Íí SÍ**». i

’v . S H

log3 f + log3 6 = log3(f • 6) - log3 27 = 3 Por tanto, el conjunto solución es {f}-

'N , «■>J

6.5

ss el

l°garitm,iode

0

S S E

PR OPliPAPIS D i LAS F U N C IO N «» Y iC U A a O N K S IQOAlriTM ICAS

S 6.5

ijtrcicios I o 8, exprese el logaritmo en térmi^ jt los ^gantmos de x, y y z. donde las variables * 1 0 números positivos.

V49

17. (a) log io ^ 1 0 5

(*» M

18. (a) log,o ^ 1 2 6

(b) log io

19. (a) lo g io r

(b)

20. (a) logio r

(b)

bivalente, ieojj. t(i) lcg»(ty)

1i q i i M

(b) log*f -

(b) l c * ( 2 j

i (i) log*(^5)

(b) log* V x y

4, (a) Ipg*(zl/3)

(b) log* ‘V y ?

(c) lpg¿

(c) logb( x Ay 2)

i (i) tog*Ul/3z3) i ecuación c

g2 1 ~ 0, la solu-

í (i) tag»(*Vz)

4

»1 t e f , , ', , . )

(b) k ¿ ( V x * V y z )

rítm ica

jíy Mi) log» v ~ T «4 da es la nmude I ducto,setene

(b) l o f r i V x p V z )

^ i a o j 9 a 12, escriba la expresión como un con coeficiente 1. M*Mlogio* + j l p g i o / | fl>) i k¿ x - 6 log* y - j log* z W5 logioJf + j logio y ~ j logio z Jfo) jlog»Jt - 4 kg*y + log* z

P W Ipgiog + 2 logio t - lpgio 2 (b)lnir + ln/r + 2 1 n r - l n 3 pfr) Ipgio4 + logio ir + 3 Iogio r - Ipgio 3 | ft)ln2 + lnir + j l n f - | l n ^

lidos; por ierdodel*^

^ ejercicios 13 a 20, determine el valor del logatodo empleando lo siguiente: logj0 2 * 0.3010, * 3 *04771 y logIO7 * 0.8451.

14

Iq g io 2

log 103 log io 7 logio 5

En los ejercicios 21 a 24, determine el valor del loga ritmo, empleando lo siguiente: ln 2 « 0.6931, ln 3 • 1.0986 yin 5 * 1.6094. 21. (a) ln 300

(b) ln 7.5

22. (a) ln 90

(b) ln 1.2

23. (a) ln

K /Io l

(b) ^ n - e 2

V3 í** 5

»57

a

|

K i .

(b) l n | * 3

En los ejercicios 25 a 32, encuentre el conjunto solu ción de la ecuación. 25. lqg3(4* - 3) = 2 26. log2(2 - 3x) = - 3 27. log,o x + 3 log,o 2 = 3 28. logI0 x + logioO* + 15) = 2 29. tog3(jc + 6) - togsix - 2) = 2 30. log2( l l — x) = kgsC* + 1) + 3 31* log2(* + 1) + log2(3jr - 5) * log2(5jc - 3) + 2 32. loga(2* - 1) - logj(5jr + 2) = logrf* - 2) - 2 33. La escala de Richter, llamada así en honor a su in ventor Charles Richter (1900*1985), mide la in tensidad de un movimiento sísmico. Si x es la medición de la magnitud de un temblor de tierra, x está dado por la fórmula x * Jpgio^py + D

(b) (b) (b) (b)

log io 15 k?gio42 log io 140 log/o 0.21

donde y mide la energía liberada por el movimiento sísmico, y T y D son constantes que dependen del lapso del movimiento de la tierra y la distanda des de el epicentro del temblor de tierra a la estación

358

CAPÍTULO 6

F U N C IO N E S INVER SA S. E X P O N E N C IA L E S Y LOGARITMICAS

que recibe la señal, (a) Pruebe que y = k • 10', don de k es una constante, (b) Utilice la fórmula de la parte (a) para mostrar que un terremoto con una magnitud de 7 en la escala de Richter, tiene una in tensidad 100 veces mayor que la de un temblor de tierra de magnitud 5 con el mismo epicentro, (c) Si yi y yi son las mediciones de energía liberada por dos movimientos sísmicos con el mismo epicentro y que tienen magnitudes de 6.7 y 5.4, respectiva mente, en la escala de Richter, ¿cuántas veces y\ equivale a yj?

34. Si se conocen los valores de logw2y l plique por qué puede obtenerse, sin ¿ S calculadora, log104, log105, log^ 6, 9, pero no k>g|0 7. 35. La única solución de la ecuación logio* * lnx es x « 1. Explique por qué ésta es por qué no existen otras soluciones.

6.6 ECUACIONES EXPONENCIALES OBJETIVOS

ñ

1. D efinir los logaritm os comunes. 2. Resolver ecuaciones exponenciales. 3. E n co n trar el valor de un logaritm o en una base diferente de e o 10. 4. Resolver problem as que tienen ecuaciones exponenciales con modelos m atem áticos. Jo h n N apier (1550-1617), aristócrata escocés, inventó los iopn» a principios del siglo xvn. Poco después, el inglés Hewr liy (1560-1630), en contacto cercano con Napier, empleó los iopn» de base 10, denominados logaritmos de Briggs, pero ahora íump logaritm os com unes. L e o n h a rd E uler más tarde relacionótafrj garitmos y los exponentes. En la actualidad, se estudian, ea iossal de álgebra, los exponentes antes que los logaritmos. Sinemhp8! los cursos de Cálculo se tratan las funciones logarítmicas antesp»| exponenciales. Este orden de presentación nos permite definir nente real. Debido a que log6 u ñ = n log* u, los logaritmos se aplicmp I solver ecuaciones exponenciales, en las cuales la w w f c k j j j un exponente. Como los números se expresan en notación dea^^J logaritmos comunes se emplean frecuentemente para este fia-N I bir logaritmos comunes, se acostumbra omitir el subíndice modo que se sobrentiende que log x representa el número fo»* función log denota la función logarítmica de base 10. P or cade. log x = y <=> 10* = x

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 log 10= 1 log 100 = 2

porque 101= 10 porque 10 2 = 100

6.6

ECUACIONES EXPONENCIALES

log 1 000 = 3

porque 103 = 1 000

log 10 000 = 4

porque 104 = 10 000

359

y así sucesivamente. Además, log 1 = 0

porque 10°

\

log 0.1 = -1

porque 10"'

0.1

log 0.01 = - 2

porque 10'2 : 0.01

log 0.001 = - 3

porque 10~3

log 0.0001 = - 4

porque IO '4

etcétera.

-4

Los logaritmos comunes pueden determinarse en una calculadora mediarne la tecla log Para resolver una ecuación exponencial, se considera la ecuación equivalente que se obtiene al igualar los logaritmos comunes (o natu rales) de los dos miembros, después se resuelve la ecuación obtenida, como se muestra en el siguiente ejemplo ilustrativo.

>


La ecuación exponencial 3* = 16 es equivalente a la ecuación x = log316 Sin embargo, esta ecuación no proporciona un valor numérico explíci to para x. A fin de obtener tal valor, se igualan los logaritmos comunes de los dos miembros de la ecuación dada: log 3X = log 16 x log 3 = log 16 log 16 * ~ log 3 1.2041 0.47712 x * 2.5237 Por tanto, el conjunto solución es {2.5237}. Observe que 2.5237 es una aproximación, con cinco dígitos significativos, del valor de x. El valor exacto de x está dado por log3 16 o

„ m r .o n iS IN V M A S , iX E O N IN d A L l« Y L O t t A ^ t r u ^

La ecuación dada también puede resolver*#» mos naturales de sus dos miembros. Si se har* ‘^«ndoL , la forma siguiente: lt ln y * ln 16 x ln 3 “ ln 16 ln 16 * “ ln 3 2.7726 X = 1.0986 jc = 2.5237

►

EJEMPLO

1

Solución de una ecuación ■Tpt(..tvÎB

Determine el conjunto solución de la ecuación P f 1= 8 Verifique la respuesta en la graficadora. Solución Al igualar los logaritmos comunes de ambos s n de la ecuación dada, se tiene log 52jt_l i (2x ~ 1)log 5 = 2x log 5 - log 5 = 2x log 5 =

log 8 log 23 3 log 2 3 log 2 + log 5 3 log 2 + log 5 * 2 log 5 x = 1.1460

Para comprobar la respuesta se traza en la graficadco1*Pj de _y= 5 2*-1 - 8 y mediante el rastreo y aumento, se deten®01 cepción x de la gráfica.

►

EJEMPLO 2

Solución d . una

Determine el conjunto solución de la ecuación T m 3*+I Compruebe la respuesta en la graficadora. ^¡1 Solución Al igualar los logaritmos comunes de31,1 ecuación dada se tiene log 7* = log 3x+:

6.6


361

log 7 = (x + l)log 3 x log 7 = x log 3 + log 3

X

x log 7 - x log 3 = log 3 Jt(l0 g 7- log 3) * log 3 k)g 3 log 7 — log3 1.296 Así, el conjunto solución es {1.296}. Para comprobar la respuesta se traza la gráfica de y = 7* - 3*+1 en la graficadora y al emplear el rastreo y aumento, se estima la intercep ción x de la gráfica. 4 Anteriormente, se indicó que los valores de los logaritmos natura les y comunes pueden determinarse en una calculadora. Los valores de logaritmos en otras bases se pueden determinar resolviendo ecuacio nes exponenciales. El ejemplo siguiente muestra cómo hacerlo.

► EJEMPLO 3

Determinación del valer de un logaritmo de base distinta de e o 10

Determine el valor de log4 19. Solución

Sea

y = log4 19 Al escribir esta ecuación en forma exponencial, se obtiene 4y = 19 Por tanto, log 4y = log 19 y log 4 = log 19 _ log 19 log 4 y .*= 2.124 Así, con cuatro dígitos significativos, log419 = 2.124.

<

El procedimiento aplicado en el ejemplo 3 puede emplearse para obtener una fórmula que relaciona a loga x y log,, x, esto es, los logarit mos de un número en bases diferentes. Véase el ejercicio 42. Los dos ejemplos siguientes y los ejercicios 21 a 32 proporcionan aplicaciones de ecuaciones exponenciales.

362

CAPÍTULO ó

FUNCIONES IN V ERSAS , EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

► EJEMPLO 4

[0.10] por [700 000, 1 100 000J y, = 800 000(1.035)'y y,= 1 000000

FIGURA 6.40

Solución do un problem a que tie n L ecuación exponencial como modelo m atem ático

Suponga que el 1 de enero de 1993, la población de cierta fue de 800 000 habitantes. A partir de entonces y hasta ej aóoW. se espera que la población se incremente a una tasa anual Por tanto, / años después del 1 de enero de 1993, la poNaafca^f da es 800 000(1.035) ' donde 0 £ t <>8. Utilice la graficadcn decir, con aproximación de meses, cuándo la poblacido «n J millón. Verifique la predicción algebraicamente. Solución

Se trazan en la graficadora las gráficas de

y x = 800 000(1.035)'

y

y2 = 1 000000

La Figura 6.40 muestra estas gráficas en el rectángulo de uspcaái [0, 10] por [700 000, 1 100 000]. Al emplear el rastreo y auné»J graficadora se estima que las gráficas se intersectan cuando /=6i 1 Seis años y medio después a partir del 1 de enero de 1993.km ne la fecha 1 de julio de 1999, en la cual, la población sai de■i| llón. A fin de verificar esta predicción algebraicamente, sedefcnay valor de / tal que 800 000(1.035)' = 1 000 000 , = io g o o g o

1 ; 800 000 (1.035)' = 1.25 Como la variable / aparece en el exponente, se igualan ioslogs* de los dos lados para obtener log( 1.035)' = log 1.25 tlo g 1.035 = log 1.25 t =

1.25 log 1.035

' = 6.5 Este resultado concuerda con el valor de t obtenido en la Conclusión: Se predice que la población de la ciudad llón el 1 de julio de 1999.

EJEMPLO

Solución do un problema q » I * * * ocuaclón ox¡ponencia! como mo*» m atem ático

una cuenta Se depositan $1 000 — en —------------ de ahorros que anual de 6% compuesto trimestralmente y no se efec

I

6 .6


363

retiros posteriores, ¿cuánto tiempo es necesario para que se tengan $ 1 500 en la cuenta?

Solución

Por el Teorema 3 de la Sección 6.2

donde $v4„ es el monto al final de n periodos de interés de una inver sión de $P a una tasa de interés anual de lOOr^fc compuesto m veces al año. En este problem aAñ = 1 500, P = 1 000, r = 0.06 y m = 4. Se desea encontrar n. De la fórmula

1.5 = (1.015)" log 1.5 = log(1.015)" log 1.5 = n log 1.015 £ n

log 1.5 log 1.015

n = 27.33 Conclusión: Como n es el número de periodos de interés y el inte rés se compone trimestralmente, se necesitan 28 trimestres para que en la cuenta tenga $ 1 500. Compare el ejemplo anterior con el ejemplo 4 de la Sección 6.4, el cual contiene los mismos datos, excepto que el interés es compuesto continuamente en lugar de trimestralmente.

► EJEMPLO 6

Solución d o una ecuación exponencial

Utilice la graficadora para estimar con cuatro dígitos significativos la solución de la ecuación 3*

- 3~x = 4

Compruebe la respuesta algebraicamente.

Solución

La Figura 6.41 muestra las gráficas de

y, = 3 X - 3~x

y

>2 = 4

trazadas en el rectángulo de inspección de [-5, 5J por [—5, 5]. Al utili zar el rastreo y aumento de la graficadora se estima que las gráficas se cortan en el punto donde x = 1.314.

u r t T lM r> A y u w a O N lS INVIRSAS, EXPON 1NCIALKS Y LOOARÍTMICA1

Para verificar algebraicamente la respuesta, ie escribe dada como 4* á*P

3' - —

y

3* cy y

4(3")

1 =* 4(3') 1 = 0

Al hacer u = 3 \ se obtiene la ecuación cuadrática

junados 21 a 32. 0”

m2 - 4w - 1 = 0

tf0 K¡aL Escriba m

Esta ecuación se resuelve mediante la fórmula cuadrática. ur

« j j i i a ciudad d e l e j e m p ^ » predecir c u á n d o l a

4 ± V l6 + 4 — 2—

\

^srñqac la p r e d ic c i ó n a l - Enpiec la g r a f ic a d o r a p a

4 ± 2V 5

yx x ls

c iu d a d d e l e j

■Bdd año 2001. Con

= 2 ± V5

2

Si se sustituye u por 3*, se obtienen las dos ecuaciones

C a » Dcmpo s e r á n e c e a É p e a g anando u n in p a o rm c s tr a lm c n tc ?

3* = 2 + V5

y

3* = 2 - V5

X , C á » Dempo s e r á n e c c

La segunda ecuación no tiene solución, ya que 3*>Oy2-V5tt*| tivo. Por tanto, 3* = 2 + V 5 Al igualar los logaritmos comunes de los dos miembros dee# ción, se tiene

* i e duplique s i l a t a s a

1

« p a o tr im e s tr a l m e n t e

-

tó c a s e ai e j e r a c i o 2 5 d t o ii presión a i m o s f é r i c i p e im p u e s ta e n la g r

i ’“r ila c iu d a d d e l e j e r c i c i .-“-¿ido s í e s p e r a q u e l a p i

log 3* = log(2 4- V 5 ) x log 3 = log(2 + V 5 )

'%

k la r e s p u e s ta e n l a

• .Ciando se e sp era q u e e l v a •»•íd g a o c i o 2 7 d e l a S e

log(2 + V 5 ) log 3 x = 1.314

'® % ie la r e s p u e s ta e n l a , la e d a d d e l h o m l • f e a á i 6 .2 , c u a n d o l e n g " "iVerHón? C o m p r u e b e la

Esta respuesta es acorde con la estimación de la grafio^«*-

¿J* 5k cuántos minul del ejercicio 35 de i

EJERCICIOS 6.6 En los ejercicios 1 a 12, encuentre el conjunto solución de la ecuación. Exprese los resultados con cuatro dígi tos significativos. Compruebe la respuesta en la graficadora. 1. 4 ' = 7

2. 3' * 25

C h o r a s de ' j - _ Pw*ona del ejerc £,cte."vpaJabrasPorn:

S e ? es« ^ POr$,00 t20000hace 000. ;(

6 .6

fa¡#sejercicios 13 a 20, encuentre el valor del logarit0 & cuatro 13. Hx12 18 15. f?. k#1155 19. k)gioo75

14. log5 200 16. log6 54 18. log8 28 20. log20 100

; fa ¡0S ejercicios 21 a 32, resuelva el problema em¡ ¡bando un modelo matemático que contenga una fun dón exponencial. Escriba una conclusión. 121, Parala ciudad del ejemplo 4, utilice la graficadora parapredecir cuándo la población será de 900 000. Verifique la predicción algebraicamente. [ 22. Emplee la graficadora para determinar si la pobla ción de la ciudad del ejemplo 4 será 1 100 000 antes del año 2001. Compruebe la respuesta alge braicamente.


365

de interés compuesto mensualmente que ha redi tuado? 32. Un circuito eléctrico simple, sin condensadores, consta de una resistencia de R ohms y una inductancia de L henries, ytieneuna fuerza electromo triz que se corta cuando se tienen lo amperes. La corriente disminuye de tal modo que a t segundos la corriente es i amperes e i = loe ~(*/Lv. Emplee los logaritmos naturales para resolver esta ecuación para t en términos de i y las constantes R, L e / o. En los ejercicios 33 a 38, utilice la graficadora para estimar, con cuatro dígitos significativos, la solución de la ecuación. Verifique la respuesta algebraicamente. 33.

-

10'

1 0 "'

- 2

34.

10*

+

1 0 -'

= 4

35. 4 ' ~ ,4 * r = 3

36. 5* - 5"* = 8

37. ¡(ex + e~x) = 4

38.

- e~‘) = 3

[ 23. ¿Cuánto tiempo será necesario para que $ 1 000 se tripliquen ganando un interés anual de 6% com puestosemestralmente?

En los ejercicios 39 y 40, resuelva la ecuación para x en términos de y.

124. ¿Cuánto tiempo será necesario para que una inver siónse duplique si la tasa de interés anual es de 8% compuesto trimestralmente?

39. y =

(25. Refiérase al ejercicio 25 de la Sección 6.3. ¿A qué alturala presión atmosférica es de 500 lb/pie 2? Ve rifique la respuesta en la graficadora. I 26. Para la ciudad del ejercicio 23 de la Sección 6.3, i ¿cuándo se espera que la población sea de 21 000? Verifique la respuesta en la graficadora. 27. ¿Cuándo se espera que el valor de la pintura abstrae¡ (a, del ejercicio 27 de la Sección 6.3, sea $18 000? Verifique la respuesta en la graficadora. & ¿Cuál será la edad del hombre, del ejercicio 28 de la Sección 6.2, cuando tenga $50 000 en la cuenta de inversión? Compruebe la respuesta en la grafi| cadora. P‘ ¿Después de cuántos minutos la temperatura del [ cuerpo, del ejercicio 35 de la Sección 6.3, será de

I p- ¿Después de cuántas horas de practicar mecanografíapodrá la persona del ejercicio 28 de la Sección 6-3, escribir 60 palabras por minuto? En cierta inversión especulativa, se adquirieron teñe* raíces por $20 000 hace 3 años y actualmente se venden por $100 000. ¿Cuál es Ja tasa anual

10' - 10 ' 10' + 10"'

40. y =

e + e~

41. (a) Utilice la graficadora para determinar, con aproximación de centésimos, el valor de x entre 1 y 2 para la cual 2X = x 5. (b) Utilice la graficadora para determinar, con aproximación dr centésimos, el valor de x entre 1 y 2 para el cual ln x 1 — = - ln 2 x 5 (c) ¿Por qué son iguales las respuestas de los inci sos (a) y (b)? 42. Emplee el procedimiento de la solución del ejem plo 3 para proporcionar la fórmula siguiente que relaciona logaritmos con bases diferentes a y b de un número x: loga x —

logb X

logt a

43. (a) Describa cómo usaría la graficadora para trazar la gráfica de la función definida por f(x) = log, k, donde k es una constante positiva, (b) Aplique la respuesta del inciso (a) para trazar la gráfica de la fun ción definida por f(x) = log, 5. (c) A partir de la gráfica del inciso (b) determine el dominio y el contradominio de la funciónf

36«

CAPÍTULO 6

g iiM fiQ N E S INVERSAS, EX PO NENCIALES Y LOGARITMICAS

44. (a) Describa cómo emplearía la graneadora para trazar la gráfica de la función definida por f(x) = log, (x + k), donde k es una constante positiva, (b) Aplique la respuesta del inciso (a) para trazar la gráfica de la función definida por f(x) = Iogx (x + 2). (c) A partir de la gráfica del inciso (b), determi ne el dominio y el contradominio de la función /.

45. Explique por qué se puede concluir 4 ecuaciones

la

r

¿ ¿ 'l u * * * '1 que a y b son recíprocos uno del otro,*,, rente de I.

*■[ JJÍírrf* 41f * .

► V IS IO N RETROSPECTIVA

observetf* tol ¡0

6.1

Se inició la discusión sobre funciones inversas con la definición de función uno a uno y se estable ció la prueba de la recta horizontal que determina si una función es uno a uno. También se definió función creciente y función decreciente, y se pro bó el teorema que establece que las funciones mo nótonas son uno a uno. Se continuó con la definición de la inversa de una función, también se probó el teorema que garantiza que si una fun ción / uno a uno tiene a / 'como su inversa, en tonces / “* es una función uno a uno y tiene a / como su inversa. Después se explicó cómo en contrar f~ l(x) cuando se conoce/( jc), y se demos tró que las gráficas de / y f ~ l son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x.

6.2 Después de que se establecieron las leyes de los exponentes, se mostró cómo la notación científica proporciona un modo conveniente para escribir numerales que representan números muy grandes o muy pequeños, asf como la forma para indicar el número de dígitos significativos de un numeral. Se consideraron los tres tipos de interés: simple, compuesto y compuesto continuamente. La últi ma forma de interés nos llevó a la introducción del número e. Se continuó esta discusión con una explicación intuitiva de cómo e puede aproximar se mediante la expresión + — x conforme x se incrementa sin límite. 6J

El estudio acerca de las funciones exponenciales comenzó con la definición y gráfica de la función

la o m cm r a p t

exponencial de base b. Después sí mg. : tfi función exponencial natural y su gráfica Eatj i miento exponencial fue ilustrado meda**«! i# cimiento del número de bacterias proobsi cultivo, mientras que el decrecirnealo aâ&f fue un modelo para la disnúnuaóoe&eM una pieza de equipo. Se utilizó la curnápi kktdetnimiwief.% dizaje para mostrar el crecimiento limati feJ Trócelas crecimiento de una población cundo dtfj l®.1 éwM rectángu impone un límite superior a su tanaío,pf cionó un ejemplo para el crerimientDlopBi 6.4

6.5

Se definió una función logarítmicaamlúf -i sa de una función exponencial. En patatal x* 1 función logarítmica natural es la inw»í la función exponencial natural. Se una»*1 . 1 . . j . j-h „ Ha 16, {al muestra determinar el valor de un logantmo y«®»{ *>* , , . , - J . m "*>ouio;(b)encuei ver una ecuación logarítmica. Las apna^j ^. este concepto incluyeron el empleodete # .. J * j 1 ecuaciones en -w bu grañe, mos para resolver las*(1. 14- M Las propiedades de los logaritmos se en forma de teoremas, considerando de productos, cocientes y potencias. 5tr^ estos teoremas a partir de las prop*** pondientes de los exponentes. Las e « * ^ garítmicas proporcionaron una aplK*** ‘V propiedades de los logaritmos.

6.6

Se introdujeron los logantmos base 10. Se aplicaron estos los logaritmos naturales, para <^tang^ ¡l¡/ ritmos en otras bases, y en la soluc#nes exponenciales.

Q$raficadora.

18- í(*) 1 20- Gfe) ;

H % ), 26.

R E V IS IO N DEL C APITULO 6

° nc,u*r de ,as

otro, si x es

^

e j e r c ic io s d e

r e p a s o

lo s ejercicios l a 4, dibuje la gráfica de la función y I \L¡ee laprueba de la recia horizontal para determi¡ 0 ,¡es uno a uno. Verifique la gráfica en la grafi-

%

' tfiora I 1,/W * 4 + 3x A|W s

~ 1

2. g(x) = 1 - x 3 ^

tés se presemi ,¡ 5,/fr) = x3 - 8 6. f(x ) = 5x - 10 u gráfica. Elaec 10 mediante dere -4 7./(*) = 8. f(x ) = as presentes a a x+2 '' ' x + 1 miento exponeos :ión en el valorde £»losejercicios 9 a 12, f e s una junción uno a uno. (a) la curva de apra ttíableicael contradominio d e f ( b ) D e t e r m i n e y esiento limitado E tibkcasu dominio, (c) Trace las gráficas de f /"* y cuando el medio loreciay = xenel mismo rectángulo de inspección. 11 tamaño, propi9-/U) = 9 - x 2, x Z 0 liento logistico fr/ft) » x2 - 9, x á 0 tica comolair¡'¿ %!*) * í x 2 - 1, x < -1 . E n particular 11/W = -Vx1 - 1, x 2. 1 e s la inversa . S e mostró cófl» | :aIo¡ pércidos 13 a 16, (a) muestre que f e s monótotm o y cómo re¿» Por tanto uno a uno: (b) encuentre f ~ l(x); (c) dia s aplicaciones ^ f * k* Sr4ficas de f y f~ l en el mismo sistema Meo de los logan’ &) verifique las gráficas de f y f ~ l tran las que la va ^ w se n el mismo rectángulo de inspección. x)3

14. f(x) = (x + 8 )3

tios se presenil' ^ A*) * x2 4, x ¿ 0 erando logante ‘ acias. Se i _ x 2, x £ 0 ropiedades cotfLas ecuación- ' ' ^ ejercicios 17 a 46, dibuje la gráfica de la firnCOmpryébela en la graficadora. aplicación * is comunes,c ;aritmos, & ^ etenronar k>51• >1urión de

11 ' tí*) » 21/2 ’A*) « i

30. F(x) = 5 e 'aix

32. g(x) *

_ 3

í

**1

34. (7(x) = e 1 + ]

35. /(*) * 2 In x

36. g(x) = 4 Iog2 x

37. g(x) * - j logiox

38. /(x) * 3 ln(-x)

39. f{x) =

3 - ln x 40. g(x) « ln(x + 2)

41- *(*) =

3 ln(x - 2) 42. f(x) » 2 ln x + 1

43. F(x) = - 2 e x~3 + 4 45. fix )

44. f(x) =

=

3 ln(x + 2)- 5

46. g(x) =

-ln(x - 1) + 2

- 3

¿sW/<« ejercicios 47 a 50, resuelva la ecuación para x, y o b. 47. (a) logs x = 4

(b)

48. (a) logy x = -

( b ) Iog27 81 = y

49. (a) log¿ 4 = -

(b) lnx * -2

50. (a) log¿ 256 =

(b ) lnx = j

lo g *

16 = y

En los ejercicios 51 a 54, exprese el logaritmo en tér minos de los logaritmos de x, y y z. donde las variables representan números positivos. 51. log¿,(x3>»2VF)

52. log¿( $xy z5)

53.

54. .o& ^

2

En los ejercicios 55 a 58, escriba la expresión como un solo logaritmo con coeficiente 1. 55. jlo g io y - 4 logjo x - jlogio* 56. In ¿ + 4 l n ¿ - l n 6 - 3 1 n < / 57. ln 4 + l n s + 2 1 n r + l n A - l n 3 58. log* 3 + j lofox + 3 tofo i - j lo&y - log* 2

18. g(x) * 5* 20. G(x) « 5-*

l g u j.

28. f{x) * - 2 ¿ *

29. G(x) « 4^ - 2»

33. F(x) =

~ Ix + 4 I

los

»(1

27. $(*) »

/(*) * **-2

ejercicios 5 a 8, haga lo siguiente: (a) Dibuje ler póficadef y utilice la prueba de la recta horizontal m probar que f es uno a uno; (b) encuentre f ~ l(x); Id verifique quef~l(f(x)) « x y f ( f ' l(x)) m x; (d) trace lagráficasdef, f~lyla recta y —x e n e l mismo rectángu lodeinspección y observe que las gráficas de f y / “*son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y = x b

36 7

22. f(x) * 3** 24. F(x) = 3 - ^ 3 26. #(*) * 2*-jr

En los ejercicios 59 a 66, encuentre el conjunto solu ción de la ecuación, y exprese los resultados con cuatro dígitos significativos. Verifique la respuesta en la grafi cadora. 59. 5* = 26

.

60 3

= 8

CAPÍTULO 6

368

FUNCIONES INVERSAS, EXPON EN CIALES Y LOGARÍTMICAS

64.

= 1 4 .8

63.

66 .

65. 2* + 2 * = 6 E n

lo s e je r c ic io s 6 7

8* 8 -

*

70,

8

en Cálculo, que 82. El interés sobre una cuerna de ahorro* * % anual com puesto continuamente Si

e* - e x _ 1

+ e* a

=

d e te r m in e

e l

8

2

tener

v a lo r d e l lo g a

68.

69.

70 . log

E n

8 log 2 38


7 1 a

7 4 ,

log7 100

e n c u e n tr e

3

42 log 3(2 x -

72.

4

e l c o n ju n to

12

3

3 ) + log (x + 3 ) = 4

73. logio* + l o g io t * - 200) - logio 4 = 5 - logio 5

2

2

75. Si ln i = ln / E n

R T /L ,

lo s e je r c ic io s 7 6 a

muestre que

i

2

u n a ju n c ió n

jo, te) rain después del

hasta $ 6 0 0 , si el interés es calculadoiWfc

pjKs del traslado? (e)¿C aametrc finalmente? IB» (el para determinar

cho d e que 60 m g están presentes atoa Ik j! el valor de k del inciso (a) trace la grifiaé/t

u n a c o n c lu s ió n .

Éáfñficade/y trace esta ainsmo rectángulo de im

t * sanen que/(í) persoi añedid t semanas despué

Determ ine algebraicamente cuánto radurá

76. Se paga un préstamo de $1 0 0 0 a una tasa de inte

dentro de

rés anual de 16% en un so lo pago al final de un

100 años a partir de este moas

tts-

año. Determine el monto total pagado si (a) se

verifique la respuesta en la graficadon.£

paga interés sim ple, (b) el interés se com pone tri mestralmente, y (c) el interés se com pone m en

ce la graficadora para estimar cuánto oeapr

sualmente.

radio. Compruebe la estimación algetnoa*

$8 0 0 0 gana interés a una tasa 12% anual, y el interés se paga al final d e año.

(01

e s una constante (a) Determine k a ¡atraer I á ■ andad pequeña se pi

e x

77. Una inversión de

10

sito d e $ 5 0 0 en una cuenta de ahorco»**^

85. Si / ( 0 m iligram os de radio están proab J pués de t años, entonces /(/) = ke I

l e ~R T /L .

9 5 , r e s u e lv a e l p r o b le m a m e d ia n

te u n m o d e lo m a te m á tic o q u e c o n te n g a p o n e n c ia l. E s c r ib a

Qiües lalectura del lerm yg, ti traslado, (b) 5 m

c o m p u e sto (a ) trimestralmente, y (k)aB nu ám ente?

x

=

= 35 + 40

% anual compuesto (a) trimestralu«* * continuamente?

s o lu

84. ¿Cuánto tiem po será necesario para que

74. log (¿ + 2) - 3 = log 3 - log

t/X

sión se duplique si se gana interés a unai*

= 2

x

/logrados es la - t e después del trasli

83 . ¿Cuánto tiem po se necesitará para que

e

c ió n d e la e c u a c ió n .

71. !og ( Lx + 3) - 2 log

jflaenor, donde la t jeJJ,(jel termómetro e

$1 000 en la cuenta al final de qb

zando un so lo depósito ahora, ¿cuál debe cantidad del depósito?

ritm o c o n c u a tr o d íg ito s s ig n ific a tiv o s .

67. log 7

de enfrian

fue el precio de adquisición de la ^ aproxim ación de miles?

62. * ‘u = 0 . 2 3 1

61. ( 2 1 . 6 ) * = 1 0 4

11

necesitará hasta que únicamente existan 5D*»

86.

10 000

+ 599*-

.üébs personas tenían la e

6

'■x&ti. (b) después de s* de 12semanas? (d) Si la

En / m inutos se tendrán presentes/!/) bace»:

^tómdanme, ¿cuántas pera ^raedad (e) Utilice la respt

Encuentre el interés para el primer año si (a) redi

cierto cultivo, donde f ( t) = fe 0* y lo * constan te, (a ) Determine k si iniculn*'

Xí seminar la asíntota hori:

túa interés sim ple, (b) el interés se com pone se

tien en 6 0

P */y trace esta recta y la j

mestralmente, y trimestralmente.

lor de k del inciso (a) trace la gráfica de/ *

de

(c)

el

interés

se

com pone

000 bacterias presentes. (b)Ca¿* 0

1

^rectángulo de inspección.

term ine algebraicamente cuántas t*#* tendrán en 15 min, y verifique la resp graficadora. (d) Emplee la graficadora f* *

de cuántos minutos la

*®*1

78. Efectúe el ejercicio 76, si el interés se com pone continuamente.

mar cuántos minutos se m x s i m U » ’

79. Realice el ejercicio 77, si el interés se compone

existan

continuamente.

200 000 bacterias. Comprad* *

ejercido 89, será de 4; ,« ^ < j m M o 9 0 ,¿ d a

«00personas, la mitad

j ^

m a c ió n algebraicamente.

contraerá la enferme*

80. Se depositan $500 en una cuenta de ahorros y

6

gana un interés durante 7 años a una tasa de %. Si no se efectúan retiros ni depósitos posterior mente, ¿cuánto habrá en la cuenta después de 7 años si (a) el interés se compone trimestralmente, y (b) el interés se compone continuamente. 81. Hace 10 años se compró una casa y fue vendida

en $100 000. Si la tasa de interés anual fue deter minada en 20% compuesta trimestralmente, ¿cuál

87 . ¿D esp ués de cuántos meses en el obrero, del ejercicio 29 de la Secad*

^

pletar 8 0 unidades por día?

88.

La población de cierta ciudad t ahora se espera que seafit), de 40» ^ y k es una constante. Si dentro ra una población de 60 . ¿ca^ B que sea de 80

000?

000

un bono del Test

I

^deim«*,__ _ ôforvo.

01

H ^ ^ ie o J !!í^ ,anUa^C D PI

A

000gana S80 «nterés

'"tenis en


De la ley de enfriamiento d e N ew ton (véase el ejercicio 35 de la S ecció n 6 .3 ), se puede amostrar, en Cálculo, que si un term ómetro se lle vade una habitación, en la que la temperatura es de 75°, bacía el exterior, donde la temperatura e s d e 35°, y la lectura del termómetro es 65° después de 3 0 s,

entonces si /(/) grados es la lectura del termóm etro, (segundos después del traslado /(/) = 35 + 4 0 -

el interés se com pone trimestralmente, y

369

(b) el in

terés se com pone continuamente? 95. Dos movimientos sísm icos tienen el m ism o epi centro y registran magnitudes de 7.3 y 5.6 en la escala de Richter. Si y , y y 2 son respectivamente las m ediciones de la energía liberada por los dos temblores, entonces ¿cuántas veces y¡ equivale a y-?. Sugerencia: Véase el ejercicio 33 de la Sec ción 6.5. E n lo s ejercicios 96 a 98, f e s una fu n ció n exponencial, e s decir, f ( x ) « b*. Utilice las leyes de lo s exponentes

, Cuál es la lectura del termómetro (a ) 3 m in des

p a ra p ro b a r la igualdad.

pués del traslado; (b ) 5 m in d e sp u é s del trasla do; (c) 10 min después del traslado; (d ) 3 0 m in

9 6 ./( * + > ) = /( * ) - /( y )

después del traslado? (e) ¿Cuál será la lectura del termómetro finalmente? (f) U tilice la respuesta de

98. f( n x ) = [ f ( x ) Y

97. / ( * - y ) * M

la parte (e) para determinar la asíntota horizontal

E n lo s ejercicios 99 a 101, g es una fu n ció n logarítm i

de la gráfica d e / y trace esta recta y la gráfica de f

ca, esto es, g(x) = logb x. Em plee las propiedades de los

enel mismo rectángulo de inspección.

logaritm os p a ra p ro b a r la igualdad.

90. En una ciudad pequeña se propaga una epidem ia

de tal manera que / ( / ) personas han contraído la enfermedad / semanas después d e su brote, donde 10000 m =

101 . g ( x ”)

100.

= g(x) - g iy )

= * * (* )

102. Dadas

2 1)

1 + 599c

f ( x ) = ~ (e x - e~*) y g(x) = ln(r + Vx +

¿Cuántas personas ten ían la enferm edad (a ) inicialmente; (b) despu és d e sem anas, y (c) des pués de 12 sem anas? (d) Si la epidem ia continúa indefinidamente, ¿c u án ta s personas contraerán la enfermedad? (e) Utilice la respuesta del in ciso (d) para determinar la asíntota horizontal de la gráfi ca de / y trace esta recta y la gráfica d e / en el mismo rectángulo d e inspección.

6

¿Después de cuántos minutos la temperatura del cuerpo del ejercicio 89, será de 4 5 o? & En la ciudad del ejercicio 90 , ¿después de cuántas semanas 5 000 personas, la mitad de la población de la ciudad, contraerá la enfermedad? * Anteriormente, un bono del Tesoro d e Estados Unidos se vendía en $74 para ser reem bolsado 12 altos después, a su vencimiento, por $100. Deter mine la tasa de interés anual com puesta m ensualmente que se obtuvo.

$1 000

99. g(xy) = g(x) + g (y )

Una inversión de gana $ 8 0 d e interés en un año a una tasa de interés sim ple d e % anual. ¿Cuál es la tasa de interés anual que debería redi•“ar la misma cantidad de interés en un año si (a)

8

(a) Trace las gráficas d e /, g y la recta y = x en el mism o rectángulo de inspección y observe que las gráficas de / y g son reflexiones una de la otra con respecto a la recta y - x. (b) Pruebe algebraica mente q u e / y g son funciones inversas. 103. (a) Utilice la respuesta del ejercico 43 de la Sec ción . , para trazar la gráfica de la función defi

66

nida por f ( x ) = log, 10. (b) A partir de la gráfica del inciso (a) determine el dominio y contradominio de la función f 104. Sea F la función definida por F(x) = log, (x - 3). (a) Determine F(10) en la calculadora, (b) Obten ga F ( ) en la calculadora usando la tecla log)0. (c) Determine F(1 000) en la calculadora em pleando la tecla lo g . (d) De las respuestas de las partes (a) a (c) ¿a qué se aproxima F(x) conforme x crece sin límite? (e) Utilice la respuesta de la parte (d) para escribir una ecuación de la recta que se sospecha es una asíntota horizontal de la grá fica de F. (f) Trace la recta del inciso (e) y la gráfica de F en el mismo rectángulo de inspec ción. Sugerencia: Un método para trazar la gráfi-

100

,0

370

CAPÍTULO 6

FUNCIONES INVERSAS, EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

ca de F, se tiene en las respuestas de los ejercicios 43 y 44 de Ja Sección . . (g) A partir de las gráficas del inciso (0, determine el dominio y contradominio de F.

66

105. Por observación, se determ inó que una d e las soluciones de la ecuación x 3 = 3 x es 3. (a) E xiste también una solución irracional. Para dar una

aproxim ación numérica de esta solución itjJ gráfica de y = x 3- 3 * y emplee el rastrtoy, m entó de la graficadora para determinark, lución con una aproximación de centéslnti partir de las dos soluciones de la ecuación la gráfica del inciso (a), determine losv¡^ de x para los que (b) jc 3< 3x, y (c) xJ>3'. I

71 Funciones seno y coseno '¡ toes de las funciones seno JMsero, yfunciones periódicas ¿’ V k n de las funciones seno iS?' \ ondas senoidales "*®¡on8i de las funciones seno afenómenos poriódicos ««gráficas que implican a Alones seno y coseno tangente, cotangente, ]i secante y cosecante i^T^fcidod y gráficas de las “ tangente, cotangente, secante y cosecante

■ fl I I I V

372

7.1

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS REALES

FUNCIONES

SENO Y COSENO

OBJETIVOS

1. Medir la longitud de un arco de la circunferencia unitaria. 2. Localizar el punto terminal de un arco de longitud dadadt¡¿ circunferencia unitaria. 3. Definir las funciones seno y coseno. 4. Calcular los valores exactos de las funciones seno y coseno4 I los números cuadrantales. 5. Calcular Jos valores exactos de las funciones seno y coseno í para¿ic9¿ n ,y j n . 6. Aprender y emplear la identidad pitagórica fundamental. 1

S e iniciará la d iscu sión de las funciones trigonométricas de dóm reales m ediante la introducción de la longitud de arcoenkcirau

renda unitaria. En la S e c ció n 3 .4 , se dijo que la gráfica de la ecuación x2 + y2 =

1

es la circunferencia unitaria, cu yo centro es el origen y su radioam a 1. Esta circunferencia se denota por U. Se mostrará que exiflca| correspondencia uno a uno entre las longitudes de todos los icsii U, cu y o punto inicial e s ( , ), y los elementos dei conjunto l i i j m eros reales. Im agine que la recta numérica “se enrolla aJredeár i U, de m odo que el núm ero cero d e la recta numérica real coóaiaf el punto (1, 0 ) d e U. V éase la Figura 7.1(a)-(c). La Figura 7.1(aj*| tra a U y la recta num érica tangente a U en el punto (1,0).EiihW ra 7.1 (b), la parte p ositiva d e la recta numéiica se enrolló alredoArn

10

(a)

(b)

FIGURA 7.1

7.1

FUNCIONES S IN O Y COSENO

373

U en el sentido contrarío al giro de las manecillas del reloj; y en la Fi gura 7. l(c), el lado negativo se enrolla sobre U en el sentido del giro de las manecillas del reloj. Si se considera que un arco con punto ini cial en (1, 0) tiene su punto terminal sobre U y se enrolla en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, entonces un número real positivo representa la longitud del arco; si el arco considerado se enro lla en el mismo sentido del giro de las manecillas del reloj a partir de (1,0), entonces la longitud del arco se representa con un número nega tivo. Véase la Figura 7.2. Debido a que la longitud de una circunferencia está dada por 2n r, donde r es la medida del radio, entonces, la longitud de la circunferen cia U es 2n. De aquí que un medio de la longitud de U es n, una cuar ta parte de su longitud es jn, una octava parte de su longitud es jic, y así sucesivamente. La Figura 7.3 muestra los puntos terminales de al gunos arcos sobre U, donde los arcos se enrollan en el sentido contra rio al de las manecillas del reloj a partir de (1, 0). La longitud de arco correspondiente a cada arco en términos de n, se expresa en la figura en el punto terminal y es un número positivo. La Figura 7.4 muestra los mismos puntos terminales de arcos de U que la Figura 7.3, pero en este caso, la longitud del arco se mide en el sentido del giro de las ma necillas del reloj a partir de (1, 0); por esto, la longitud de arco corres pondiente es un número negativo.

FIGURA 7.4

FIGURA 73

La longitud de un arco de U suele expresarse en términos de ti. Sin embargo, cuando se utilizan decimales es posible aproximar n me diante 3 .14 y escribir n * 3.14. Así, 1.57 i ir Ítt-0.79 y así sucesivamente.

4.71

—\ tt « - 1 .0 5

2tt « 6.28

Í tt « - 2 .3 6

&

374

CAPÍTULO 7

1

ciiNCIONES T IIOONOMÍTWCAS^f_NÚMiROS_R|ALES_ FU N V —-

►

EJEM PLO 1

L ocalización dol punto tm, d , U dada « , )o „ V C

d .„

M uestre en una figura la localización de los punto, arcos d e U , cu y o s pu nios in icia les son ( , ) y tie¡ ^ tam bién indique el cuadrante en el cual se encuentra i (a) ± n \ (b ) 2: (c ) - f w; (d ) - 3 . cl

10

S o lu c ió n

Tonsidere la Figura

J

7 .5 .

(a) D eb id o a que 0 < ± K < i * . ;l punto termiiul cuadrante. (b ) C om o 1.57 < 2 < 3 .1 4 , el punto terminal se encue*t- • gun do cuadrante. (c ) P uesto que - n < < - i j i , el punto terminal estieo d k cuadrante t uu u i uiuv. (d ) C om o - 3 .1 4 < - 3 < - 1 .5 7 , el punto terminal se eocueot tercer cuadrante. S e ha con sid erad o qu e la recta numérica real se enrolla solí; Por esto , si la longitud d e un arco a partir de (1 ,0 ) es mayor qatij m enor que - 2 n , la parte d e la recta numérica enrollada será mayti^ la longitud de U.

>


(a ) La Figura 7 .6 m uestra un arco d e longitud yit. Como - i :j n , el punto terminal de este arco seok*| + ín tra en el cuarto cuadrante. (b) La Figura 7 .7 presenta un arco d e longitud -10.34. Debido*^

2

3

10.34 = - 6 . 2 8 + ( - 4 .0 6 )

FIGURA 7.6

y

-4 .7 1 <

-4.06 <

el punto terminal d e este arco s e encuentra en el segundo DartfMl

?strac*0 9u e s¡ 1 representa la longitud de un K c o ^ ñ

nJ

e( »0), e n to n c e s t p u ed e ser cualquier número real-

,J

aS j 00rcênad a s cartesianas rectangulares del Pun,oíflí | 2 a r c o d e £/, c u y o p u n to in ic ia l e s ( , ), son fu n c io j* * 3

10

m

0n®,tuc*

D ic h a s fu n cio n e s s e denominan seno (se &

c° s e n o (s e abrevia e o s).

DEFINICIÓN

F u n c io n e s s e n o y coseno

Si t e s un núm ero real qu e representa la I°n^ lUentoitf con punto inicial ( , ) y punto terminal (x ,y b

10

sen t

y

eos t

|

7.1

FUNCIONES S IN O Y COSENO

375

El d o m in io de las fun ciones seno y co sen o e s el conjunto de nú m eros reales. Para determinar los contradom inios de estas funciones, observe qu e (x , y ) e s un punto de la circunferencia unitaria U. D e esto,

|y | £ 1

y

|'* |< I

Por tanto, el contradom inio de cada una de estas funciones es el inter valo cerrado {-4-, 1}; e& decir,

-1

£ sen t <

1

y

-1

£ cosí á

1

C o m o sen t y e o s t son coordenadas de un punto de una circunfe rencia, las fu n c io n e s se n o y c o se n o se denom inan funciones circu la re s. T am bién se les llam a funciones trigonométricas definidas

sobre núm eros reales. La F igura 7 .8 m uestra la circunferencia unitaria U , y sobre U hay m arcas para cada 0.1 de unidad. La longitud de U es 2 n * 6.28. Para cualquier núm ero real t, se puede aproximar sen t y eo s t mediante va lores aproxim ados d e las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto cu y a longitud de arco, a partir de (1, 0), es t. La figura siguiente m uestra e sto para tres valores d e t.

»76

CAPÍTULO y fUNCIONtS TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS REALES______

¡ T E J E M P L O IL U S T R A T IV O 2 La Figura 7.8 presenta los puntos de U cuyas longitudes de tirde (1,0), son / = 1, f = 2.5 y f = 4.3. El seno y el coseno derJ** de estos valores de t se aproximan mediante las coordenalas * punto, respectivamente. De la figura se obtiene: sen 1 - 0.84 sen 2.5 * 0.60 sen 4.3 * -0 .9 2

eos 1 = 0.54 eos 2.5 * -0.80 eos 4.3 * -0.40

o E J E M P L O IL U S T R A T IV O 3 FIGURA 7.9

(a) La Figura 7.9 muestra a U y un arco, para el cual t>O.qn^ su punto terminal en el primer cuadrante. Observe quesean» t son positivos. (b) En la Figura 7 . 10 hay un arco de U, para el cual / < 0, quetai punto terminal en el segundo cuadrante. En este caso seotai sitivo y eos t es negativo. Los valores exactos de las funciones seno y coseno de ciotail meros reales pueden obtenerse mediante el uso de geometría. Eapn> lar, véase la Figura 7.11 en la que se muestran arcos para loscas | es igual a 0, n y |tc. Estos valores de t se denominan número» drantales. 1 Cuando t = 0, la longitud del arco es 0, y por esto lospm»| cial y terminal son (1 ,0 ). Así, sen

0= 0

y

eos

0=1

d & lSl

j

4'

|f>H

Cuando t = jrt, el punto terminal del arco es (0,1). Por tanto. sen j j t =

1

y

e o s jji =

0

‘7.13

Cuando t = n, el punto terminal del arco es (-1,0). En consec***l sen 7t = Cuando t = sen |tc =

0

y

eos n =

-1

el punto terminal del arco es (0, -1)- A».

-1

y

eos |tc

=0

Estos resultados se resumen en la Tabla 1 Tabla 1 t

0 7* n ln

t e y)

( 1, 0) (0, 1) ( - 1, 0) (0, - 1)

sen t

0 1 0 -1

eos/

1 0

-I

0

___________ 7.1

FUNCIONES SENO Y COSENO

377

A h o ra s e p r o c e d e r á a d e te rm in a r e l se n o y el c o se n o d e jic. La octava parte d e la longitud de U e s jJt. V éase la Figura 7 .12, la cual m uestra e l punto term inal (x , y ) para un arco sobre U cuya longitud es En e ste punto x = y . S i se su stituye y por x en la ecuación de U, la cual es = 1, se tien e

« d e a re o a n o d e cad a la d a s *

F IG Ü R A 7 .1 2

Se rechaza la raíz cuadrada negativa de | porque el punto está en el primer cuadrante. C o m o x = y , se obtiene

> O, que Da

1

|u e s e n / y u s

X ~ V 2

3, q u e tiene »

Por tanto

;o sen / es p

1

s e n — 7t = 4 <2

d e cierto s mr ía . E n panb r a lo s cuate; n ú m e ro s o »

1

1

4

V2

CO ST7C = “ 7=

D e esto s resultados, y co m o U e s sim étrica con respecto a los ejes coordenados y al origen, se obtienen las coordenadas de los puntos para lo s c u a les t e s igual a |t c , |j c y ¡j7C. V éase la Figura 7.13. A sí

os puntos a s e n

— 71

anto.

s e n

— 7t

1

=

4

y V 2

— n

s e n

~ V 2 1

y V 2 1

=

4

onsecucnv"-

1

=

4

1

=

4

e o s — 71

y V 2

C O S — 71

=

4

~ V 2

7

1

4

V 2

e o s — 7C =

A fin de obtener el seno y coseno de ¿tc, se encontrará el punto ter m inal

P(x, y) d e l arco c u y a longitud e s jjt. V éase la Figura 7.14.

C om o P está sobre U, (x, y) es una solución de la ecuación x 2 + y 2 = 1. D e donde (x , - y ) tam bién e s una solución de esta ecuación y así, el punto Q(x, -y ) tam bién está sobre U. El punto Q es el punto terminal del arco cu y a longitud e s - ¿k. La longitud del arco de ta

P es 6r7C+ 7JI = 6

es \

2

tí

- -j-n = 6

3

U desde Q has

Adem ás, la longitud del arco desde P hasta R{0, 1)

43 n. C o m o en una circunferencia los arcos de igual longi-

tud subtienden cuerdas de igual longitud, la distancia | Q P | e s igual a la distancia I P R I. D e la fórmula de la distancia

HCit Ü*A7.14

378

CAPÍTULO 7

f u n c io n e s t r i g o n o m é t r i c a s p e n ú m e r o s r eales

I, | QP | 2

C o m o | QP I = I PR

=

| w T |2 ^

4y 2 3 x 2 + y 2 — 2y + 1 D e b id o a q u e (jr, y ) e s tá s o b r e U, x 1 p o r x 2 + y 2, se o b tie n e 4y 2 =

4y2 + 2y 2y2

i

+ y -

5

~

• *i *e

+ 1

2= 0 1 * 0

(2y - l)(y + 1) =

y =

2y

+ y2 _

o b ie n

0 y

= -1

C o m o ( i , y ) e s tá e n el p rim e r cu a d ra n te y > 0. Por tanto se y * j . S i s e su stitu y e \ p o r y en la ecuación de U , se lie« x2

+ (¿)2 =

I |

1

2 _ 3

X¿ = 4

V3 S e re c h a z a la ra íz c u a d ra d a n e g a tiv a d e - ya que x > 0. Aá

1

1

6

2

se n — 7i = —

COS — 71

6

V3 2

D e e sto s re su lta d o s y la s im e tría d e U , se obtienen las coordeaM los p u n to s p a ra lo s c u a le s t es igual a £ti, { n y ■£*. 7.15. P o r tanto,

V3

sen — ti = —

eos —7t =

sen — 71 =

e o s — 7C = - -

6

6

2

sen — 7t = - —

6

Vi

6

6

2

y

£

eo s — •

2

A h o ra s ea P(jc, y) el p u n to term inal del arco cuy* la F ig u ra 7 .1 6 . L a lo n g itu d del arco de udesl^ c ^ e s \ n - \ n = ítc . L a lo n g itu d d el arco de U Véa se

®(j

FIGURA 7.16

}) e s ¿B . P o r ta n to , | P R | = |

**4741

2

'

7 5

1. Como a»»1

.

7.1 FUNCIONES SENO Y COSENO

|2 «

C om o | P R uto,

| T S | 2, se tiene

x 2 + y 2 — 2y + \ = 2 S i $e su stitu y e x

«MtitUye

1

2y

-

+ y

V

3

2 por 1, y com o (x, y ) está sobre U , se obtiene

1

=

2-

V5

-2 y

*

- V

3

+

379

V3

A l sustituir j y¡3 p or y e n la ecu ación de U,

tanto, puede ton» \ se tiene

FIGURA 7.17

(y- ~2 ~) > 0. Así

x

s e

tie n e

2+

Otra v e z s e rechaza la raíz negativa ya que x > 0 . En consecuencia s e n

1n

VJ

—

=

3

—

y

2

e o s

*

—

n

=

3

A

2

L as coord en ad as d e lo s puntos para los que t e s igual a |tc , j J t y |r e , se ded u cen d e e sto s valores y d e la sim etría de U, com o se muestra en la F igura 7 .1 7 . D e m o d o que

las coordenadas è x . V éase la Figura

2 V3" se n — n = — 3 2

nGÜRA7.18 s e n

4

—

7t

=

V 3"

2

5 —

3

V3

t i

=

-7T 2

------------

cos| ji 3

= -2

4 _ COS — 7Ü = ----1

------------

3 s e n

y

3

y

CO S —

3

2 7C

=

—

2

En la F igu ra 7 .1 8 y la Tabla 2 se tienen el sen o y el coseno cuan

jya longitud« * sde P hasta 0 esde 7( 1, 0) ^

d o t e s igual a 0, 4 tc, 4ít, t 7Cy t TI- L os valores de las funciones corresp on dientes a m ú ltip los enteros de estos números se obtienen a partir de U m ediante sim etría.

i antes. - I )2+ (i

► EJEM PLO 2

T+7+1

3

Determinación de los valores exactos de las funciones seno y coseno para puntos sobre U

D eterm ine el valor para cada una de las siguientes expresiones: (a) c o s ( - J ti); (b) sen( -

17t); (c) cosO} 7t); (d) sen (-1 n).

CáHTUSB 7

gllMflQNISS TRIGONOMÉTRICAS D i NÚMEROS IH A tiS

38° Solución (a ) El p u nto so b re U para t = e stá e n e l tercer cuadra*. I sim étrico, c o n r e s p e c to al o r ig e n , al p u nto del primer c u a J para e l c u a l t = ~n. P or tanto, 3

1

¿ V

V 2

eos

(b ) El punto so b re U p ara e l q u e t = está en el segundo J drante, y e s sim é tr ic o , c o n r e s p e c to al e je y , al punto dei pnj cuadrante para e l c u a l t = |tc . D e m o d o qu e 4

— n

sen

"1

=

V3"

—

3

2 -

(c) C o m o

7

2 n + | t, e l p u n to so b re U para el que t = -t J

en e l se g u n d o cu ad ran te y e s sim é tr ic o , con respecto al ejtjl punto del prim er cuadrante para e l cu al t = ±w. En coosecuna 1 17

V3

6

2

COS — 7T =

(d ) D e b id o a q u e - 1 ti = - 2 t i + ( - j r c ) , e s un número cafcj tal y e l p u nto so b re U e s ( 0 , - 1 ) . P or tanto.

kvumaos 1 a 8, mué

mam ir los puntos la sen

v

-lie 2

=

m me inicial es

-1

(1,0 );

mbién indique el c xsnei punto terminal.

ifc

C o m o se n t y e o s t s o n la s co o rd en a d a s d e un punto sote U sig n o s d ep en d en d e l cu a d ra n te e n e l c u a l se localiza el punta W* Figura 7 .1 9 . L a T a b la 3 r e s u m e lo s resu ltad os de esta figura. Bs drante en la tab la in d ic a a q u el q u e c o n tie n e al punto terminal de lon gitu d t. S i t e s cu a lq u ier n ú m e r o r ea l, e n to n c e s com o (eos i, punto d e U y u n a e c u a c ió n d e U e s y + jc = , se tiene

2

2 1

L (i)jr

ib) ¡ir

i «i 1.23 (b) 5 i Q f w (b) - j i r l ‘»i -2

(b)

12.2

b k e je r á á o t9 a 16. e m p ’t o a 7i p a r a m o s t r a r , s o b

(sen í)2 + (eos r)2 = 1

x l- á p w o c u y a l o n g i t u d

fcpéi a p r o x i m e e l

val

E sta e c u a c ió n e s v e rd a d e ra para to d o t. En lugar de (sen t)'! . O 2» se acostu m b ra e sc r ib ir s e n guien te identidad:

Tabla 3 sen t

COS 1

Primero

+

+

Segundo

4t

Cuadrante

Tercero Cuarto

-

+

2t

y eos

2 t. Por tanto, setie#

sen 21 + eos 21 * 1

|

10. i =

i- «

13 . f =

16. t = Esta identidad s e d e n o m in a id en tid ad pitagórica fundan*01^ d o a q u e la fó rm u la d e la d ista n c ia (o b te n id a a partir del tágoras) se u tiliz ó para d e d u c ir la ecu ación x 1 + 1 ' y identidad m uestra la r e la c ió n en tre lo s valores de seno y co#** se e m p lea para d eterm in ar u n o d e e ll o s cuando el otro secón»*

- £ c*°‘ ir°36,d,t % seno

1cosí* 2

(b) c< (b) set

7.1

►

EJEM PLO 3

Aplicación d» la Identidad pitagórica fundamental

ccr cuadrante,,

1 prim er cuad¿

S i se n t = ¿ y i n

Solución

< t < n , encuentre e o s r.

D e la identidad pitagórica fundam ental

s e n 2 1 + eos* t C o m o se n / = 0 el segundo J 1 punto del pnr

FUNCIONES SENO Y COSENO

|

se tiene

(|)2 + eos21 * 1 s + eos21 — 1 eo s 2 1 = s eos t = ±

V5 3

I que r = - i q sp ed o al eje,.. n consecuencia

S e rechaza el valor p ositivo porque eo s

eos t = —

V ¡ • 3

EJERCICIOS 7.1

i núm ero cuadra

\Enlosejercicios I a 8, muestre mediante una figura la léicación de los puntos terminales de los arcos de U \cuyopunto inicial es (1,0) y tienen la longitud de arco liada; también indique el cuadrante en el que se en cuentraelpunto terminal. mnto sobre í e l punto. V'rtwl sta figura. El *\ > terminal dei ir

f < 0 ya que 4 n < t < n. A

[ 3. (a)

1.23(b)

20. (a) sen(--n)

(b) COS(-Jl)

21. (a) cos -f) K

(b) sen 4« fi

22. (a) sen n

(b) eos

(b) fir

4. (a) 3

(b) -0 .2 5

23. (a) sen n

(b) cos(-¿n)

24. (a) eos n

(b) sen(-^n)

25. (a) eos n

(b) co s(-|n )

¡Figura 7.8para mostrar, sobre la circunferencia unita-

26. (a) sen n

(b) sen (-jx )

ú U, elpunto cuya longitud de arco, a partir de ( 1,0), « i Después aproxime el valor de sen / y eos t con dos

27. (a) sen n

(b) eos jít

r de (sen fl'í

mámales.

28. (a) eos n

(b) sen - n

uto, se t#*

[f. i - 2

10. / = 3

11. r =

5.2

13. t = - 3

14. / =

-2

29. (a) cos(- |n )

(b) sen ^ ti

H / = 4.6

30. (a) sen(- i " )

(b) eos Jn

31. (a) cos ^ n

(b) sen (-jx )

32. (a) eos 47t

(b) sen 5x

8 33. (a) sen —n

(b) eos(- ~ ti)

tiene

Ifit(b) jir

(b) seni--!*)

2. (a) { n

eo s t, seo

j 1. (a)

19. (a) cos(-4 « )

5

5. (a)

7 7T(b)

—f 7r6.(a) y n

(b) —f

7. (a)

-2 (b)

12.28.(a) 10.6

(b) - 4

tt

£nlosejercicios 9 a 16. emplee una figura similar a la

15.

i*

-6.1 16. t = - 0 .8

í í los ejercicios 17 a 36, determine el valor exacto de mfunción. d d te o f ^ ; y Ir j *l +■ y S. ry i co

17- (a) sen 0 (*) co»

(b) eos n

382

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i NÚMEROS REALES

34. (a) eos ( - 7 J1)

(b) sen

n a l d e l a rc o

36. (a) sen —x

(b) sen(-^x)

E n

3 8 , d e te r m in e

lo s e je r c ic io s 3 7 y

c o n tie n e a l p u n to p u n to in ic ia l e s

te r m in a l d e l a r c o

37. (a) sen t

> (b) sen / <

e l c u a d r a n te d e

lo n g itu d

q u e

t si el

0 y eost > 0 0 y eost > 0

38. (a) sen t <

t

42. Si eos/ = - 4 y j r t <

45. Si eos t

=

y

t

(b) -1492

52.

(a) 2001

(b) -1776

y

d íg ito s

u n a

c a lc u la d o r a p ara

s ig n ijic a tiv o s ,

e l v a lo r d e

fa

=

0.7816 y0 < 1 < i. ¡

54. Encuentre eos/ si sen/ = 0.1234y0 < f
determine sen t.

1<

y yX <

(a) 1984

53. Determine sen t si eos t

< |x , encuentre eos t.

51.

p a r t i r d e l a i n f o r m a c i ó n p r o p o r c io n a d a .

encuentre sen t.

y ~ 1 71 < 1 <

44. Si sen/ = -

(b) 26.74 (b) 48.22

c u a tr o

40. Si sen / = - ¿ r y 0 < / < ^ x , determine eos t. 41. Si sen/ = -- ¡ j y x <

(a) 52 (a) 32

E n l o s e j e r c i c i o s 5 3 a 5 6 , u t i l i c e l a i d e n tid a d p u a t A

0 y eos/< 0

39. Si eos t != | y 0 < f <

al p ^ . N ( |, 0| VBll 1

c o n tie n e

in ic ia l e s

49. 50.

fu n d a m e n ta l

0 y eost < 0

(b) sen t >

c u y o p u n to

d e a r c o s e p r o p o r c io n a .

(l, 0).

43. Si eos/=

l o s e j e r c i c i o s 4 9 a 5 2 , u t i l i c e u n a c a lc u lo ^

d e te r m in a r e l c u a d r a n te q u e

(b) cosí-^n)

K)

35. (a) cos(-

E n

<

encuentre sen t. 2 n ,

<

n ,

determine eos /. encuentre sen /.

56. Encuentre sen / si eos t = - 0.8245 y-* <«t! E n

lo s

h (t

) =

e je r c ic io s

5 7

y

-¿ t y

=

^ t.

< p (t)

58,

/(/) = eos t,

C a l c u l e e l v a lo r

g(t)

=t

délajm\

c o m p u e s ta .

46. Si eos t = - j y - x < 47. Si sen t = 0 y j x <

t

t

<

-

jit,

determine sen t.

57. (a) f ( h { i r ) ) (c )

< h c, encuentre eos t.

f(h (4 7 r ))

58. (a) g ( h { 2 T r ) ) (c ) g ( h ( 3-7 t))

48. Si eos / = Oyx < / < 2x, determine sen t.

(b)

g { < f> (2 ir ))

(d )

g (< f)(5 ir ))

(b) /(0(3x)) (d )

f{ < t> { - ir ) )

7.2 VALORES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO, Y FUNCIONES PERIÓDICAS O B JETIVO S

1. A p r o x im a r lo s v a lo r e s d e la s fu n cio n es seno y coseno a • c a lc u la d o r a . 2 . D e fin ir u n a fu n c ió n p e r ió d ic a . 3 . A p r e n d e r q u e la s fu n c io n e s se n o y coseno son periódicas

.

2

p e r ío d o n. 4. E n c o n tr a r v a lo r e s d e las fu n cio n e s seno y coseno empl c o n c e p to d e p e r io d ic id a d . ^ 5. E n c o n tr a r p e r io d o s d e fu n c io n e s definidas por senflO . R e so lv e r e n u n c ia d o s d e p r o b le m a s qu e tienen función® p e r ió d ic a s c o m o m o d e lo s m atem áticos. ^ 7. E m p le a r p o lin o m io s d e T a y lo r p ara encontrar valo fu n c io n e s s e n o y c o se n o .

J i

6

j

VALORES DI LAS FUNCIONES SENO Y COSENO Y FUNCIONES PERIODICAS

363

A fin de encontrar los valores de las funciones seno y coseno de núme ros reales se puede emplear una calculadora. Además de las teclas para seno y coseno, la calculadora puede usarse en el modo de grados o ra dianes. Cuando se obtienen valores de las funciones trigonométricas de números reales, la calculadora podría utilizarse en el modo de radia nes. El uso de la palabra radián para este propósito se hará evidente después de estudiar la Sección 8.1. El número de dígitos significativos mostrados para un valor de una función trigonométrica, variará de acuerdo con la calculadora empleada. En esta obra, cuando se obtiene un valor de una función trigonométrica en una calculadora, se redon dea el número a cuatro dígitos significativos.

>


Para evaluar e o s 1.384 en una calculadora, primero se activa el modo de radianes. S i se muestran diez dígitos significativos, se leerá e o s 1.384 » 0 .1857119105

Al redondear el resultado a cuatro dígitos significativos se obtiene <

e o s 1.384 * 0 .1 8 5 7

► EJEM PLO 1

A p r o x i m a c i ó n d o lo s v a lo r o s d o la s f u n c io n o s sono y

c o s e n o o n u n a c a lc u la d o r a

Aproxime a cuatro dígitos significativos cada una de las siguientes ex presiones: (a)

sen 1.072

(b )

sen,-^71

(c) cosí

(d)

cos-^Jt

S o lu c ió n Active el modo de radianes de la calculadora. Los valo res introducidos en la calculadora se redondearon a cuatro dígitos sig nificativos.

sen 1.072 « 0.8782 (c) eos 1 f* 0.5403 (a )

(b ) (d )

sen tir eos ^ n

* 0 .6 2 3 5 0 .2 5 8 8

<

En la introducción de este capítulo, se mencionó la importancia de la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas para el estudio del Cálculo, lo cual motivó las definiciones de sen t y eos t como coor denadas de un punto de la circunferencia unitaria. Como la longitud de la circunferencia unitaria es 2ic, dos arcos cuyo punto inicial es ( 1, 0) y que difieren en su longitud por un múlti plo entero de 2n tienen el mismo punto terminal de U. Por ejemplo, véase la Figura 7.20. La Figura 7.20(a) muestra un arco de U cuya longitud es de jff. En la Figura 7.20(b) se presenta un arco de longitud I ft = + 2n, y este arco tiene el mismo punto terminal que el ante-

384

CAPÍTULO 7

«IM CIONIS TRIGONOMÉTRICAS D I NÚM1RQS

rior. E n la F ig u ra 7 .2 0 (c ) s e m uestra un arco de ( - 1 ) ( 2 n ), y ta m b ién e s te a r c o tien e e l m ism ^ dos an teriores. E n realid ad , cu alq u ier aren «o-? ^ Jnt0 ten ------para uto epunto c u a lq u ier arco l cual i ji + k ( 2 n )

* G

i*«

z

. e l m is m o p u n to te rm in a l q u e lo s anteriores. Debido lfcl d a s d e l pd ue nl to te rm d eel q a rco n o°dtee nl aa longitud arco, s einina lfier u e determinan el seno y £ s e n ( i n + k • 2 t 0 = se n ^ T i d o n d e k e s c u a lq u ie r en tero.

>

E J E M P L O IL U S T R A T I V O 2

s e n I- 77- _ V 3 3

I

I

COS - 7T = i.

2

«en j t t ~ se n í - 7r + 2

tt

COS ~ 7T = COsíj» .

V | o 13 se n 3 77- — Sen

77- + 47rJ

13

sT 77= cos(i,r‘ b

V J

9 se n l — ^ 7rJ = s e n í ^ i r —

27r j

cosí - - i r j = cos|-i

= V3 2 y a s í su c e siv a m e n te .

• l c 7 VtK® C o m o un a r co d e lo n g itu d t + k ■ 2 n , donde

m o p u n to term in al q u e e l a r co d e lon gitu d t, se I c io n e s ( 1 ) s o n v á lid a s s i s e su stitu y e

p or cua^^luCf _

j c o n tin u a c ió n s e e s ta b le c e e s te resu lta d o c o m o un

TEOREMA 1 S i t e s un n ú m er o real y k e s cu alq u ier entero, s e n ( / + k • 2 it ) = s e n t

y

c0* ^

]

i

If ir i v a l o r e s DE LAS FUNCIONES SINO Y COSENO Y FUNCIONES WWÓPiCAS

M8

La propiedad del seno y coseno dada en el Teorema 1 se denomi na periodicidad, la cual se define ahora formalmente.

DEFINICIÓN

Función periódica

Se dice que una función / es periódica si existe un número real positivo p tal que para cualquier x del dominio de/, se tiene que x + p pertenece también al dominio d e/, y /(* + P) = /(*) Al más pequeño de estos números p se le denomina periodo de/.

Compare esta definición y el Teorema 1. Puede mostrarse que 2it es el número positivo p más pequeño que tiene la propiedad de que sen(f + p) = sen t y eos(f + p) = eos /, y por tanto, el seno y el coseno son funciones periódicas con periodo 2n.

EJEM PLO 2

A p lic a c ió n d e l c o n c e p to d e p e r io d ic id a d p a r a e n c o n t r a r v a lo r e s d o la s f u n c io n e s s e n o y coseno

Utilice los valores de sen t y eos t cuando 0 £ / < 2n y la peri odicidad de estas funciones, con el propósito de determinar cada una de las siguientes expresiones: (a ) sen -JJtc; (b ) c o s ( - | t c ) ; (c) sen y n.

Solución (a) s e n t i r = s e n ( | 7r 4 - 2 • 2 ir) = sen \ tt

1 (b) cos(

• ^ g ir) = cos[f ir + ( “ 1) 2ir] = eos i ir _V 3 2

(c) sen y ir = sen(| ir + 3 • 27r) = sen | ir

| H

a

386

CAPÍTULO

,

, UHCON.S r .O O N O ^ .C A S M * « « * » * » -------

A nartir del hecho de que « n o y coseno tienen demostrarse que las funciones definidas por « n cualquier número red, son pen 6d.cas. Esto « ejemplo ilustrativo.

>


(a )

Sea/ la función definida por /(/) = sen 4/ Como el seno tiene periodo 2w,

f(t)

~ sen(4r + 2ir)

= sen[4(/ + \ i r ) ]

= f(? + i * ) A sí,/es periódica con periodo ~n. (b) Sea g la función definida por

g(t) = e o s \t Debido a que el coseno tiene periodo 2n,

g(t) = c o s (|r + 2 ir) — co s[| (t + Ó7r)]

= g(t + Ó7T) Por tanto, g es periódica con periodo 6n. Para cada una de las funciones del siguiente ejemplo periodo es un número racional en lugar de un múltiplo de

>


(a) S ea/la función definida por /(O = sen 6nt Como el seno tiene periodo 2n, f (t )

=

sen(Ó77Y +

2 ‘í t )

= sen[Ó7r(í + | | j

= f(t + i) Por tanto,/es periódica con periodo j.

J

y2

VALORES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO Y FUNCIONES PERIÓDICAS

387

(b) Sea g la función definida por g (t) -

5 cot \ irt

Debido a que la cotangente tiene período n, g (t) = 5 COt(f 777 + ir)

= 5 c o t[ ( f ir ( / + |) ]

= 8(1 + i) Así, g es periódica con período j.

4

Ahora se presentarán algunas aplicaciones de las funciones seno y coseno en relación con fenómenos que se repiten periódicamente. Otras aplicaciones se proporcionarán en la Sección 7.4.

^

EJEM PLO 3

S o lu c ió n d e l e n u n c ia d o tío u n p r o b le m a q u e H e n o u n a f u n c ió n p e r ió d ic a c o m o m o d e lo m a te m á tic o

La fuerza electromotriz para un circuito eléctrico con un generador simplificado es E(t) volts a los t segundos donde E (t) = 50 sen 12Ont

(a) Determine el período de E. Encuentre la fuerza electromotriz para (b) 0.02 s y (c) 0.2 s.

Solución (a) Como el seno tiene período 2tc, E ( t) = 50sen(1207 rt + 2 ir) = 5 0 se n [1 2 0 7 r (í + ¿ ) ]

= E (t + ¿ ) C on clu sión :

El período de E es

(b) La fuerza electrom otriz a los 0.0 2 s e s £*(0.02) volts, y £ ( 0 . 0 2 ) = 5 0 sen 1 2 0 ir (0 .0 2 ) = 5 0 sen 2 .4 ir = 5 0 se n (0 .4 ír + 2ir) = 5 0 sen 0 .4 tt = 5 0 (0 .9 5 1 1 ) ¿ 4 7 .5 5

Conclusión:

La fuerza electromotriz a los 0.0 2 s es 47.55volts.

388

capítulo

7^ y N C iO N J * ^ ^

D i WUMEgos «

ales

(c) La fuerza electromotriz a los 0.2 s es £(0.2) V0H| £ (0 .2 ) = 50 sen 1207r(0.2) = 50 sen 24 ir = 50 sen[0 + I2(2ir)]

38 50 sen 0 = 0 Conclusión;

La fuerza electromotriz a los 0.2 ses

► E JE M P L O 4

S o lu c ió n d o I o n u m lo d o d o

0volts

un

P * rfó d k 0 'o r n c Z ! ?

matemático

Una compañía que vende abrigos para hombres inicia su aSofaJ l de julio. Para el año fiscal que inicia el l de julio de 1992 Ihé* por ventas estuvo dada por P (t) = 20 000( l

eos g irt)

0 < f < 36

donde P(t ) dólares fue la utilidad mensual después de t meses
Solución (a) Como el coseno tiene periodo 2n, P (i) = 20 000[ 1 - eos ( \ i r t + 2ir)]

=

20 000[1

- eos ¿w(f +

12)]

= P (t + 12) Conclusión: El periodo de P es 12.

(b)-(g) La utilidad mensual en el 1 de octubre de 1992, viembre de 1992, el 1 de diciembre de 1992, el 1 de enero 1 de abril de 1993 y 1 de julio de 1993, fue de P(3). W P( 9) y P(12) dólares respectivamente. (b)

P (3) =

20 000(1 -

c o s ^ tt)

= 20 000(1 - 0 ) = 20 000 Conclusión: En el de $20000.

(c)

P ( 4) =

1 de octubre de 1992

20 000(1 -

.....

la utilidad^

eos §7r)

= 20 000(1 | | i) = 30 OOO

Conclusión; En el fue de $30 000.

1 de noviembre de ísw

,a

VALORSSDE LAS FUNCIONES SENO Y COSINO Y FUNCIONES PERIÓDICAS (d ) P ( 5 ) = 2 0 0 0 0 (1 -

20 0001 1

389

c o s |t t )

+ $

3 7 321 C o n clu sió n :

En el 1 de diciem bre de 1992 la utilidad mensual

fue de $ 3 7 321. (e ) P (6 ) = 2 0 0 0 0 (1 -

eos

ir)

= 20 000(1 + 1) = 4 0 000 C o n clu sió n :

En el 1 de enero de 1993 la utilidad fue de $40 000.

(f) P ( 9 ) = 2 0 0 0 0 (1 - c o s | t t )

= 20 000(1 - 0 ) = 20 000 C o n c lu s ió n :

En el 1 de abril de 1993 la utilidad fue de $ 2 0 000.

(g)P (\2 ) = 2 0 0 0 0 (1 — e o s 2ir) = 20 000(1 - 1) =

0

C o n c lu sió n :

En el 1 de ju lio de 1993 no hubo utilidad.

4

En C álcu lo, aprenderá varios m étodos para aproximar, mediante p olin om ios, una función específica. U no de los m étodos más em plea d os se atribuye al m atem ático inglés B ro o k T a y lo r (1 685-1731). Los p olin om ios d e T aylor para sen o y cosen o son

M

i1 I9 /3 t5 sen t = t — ---- 4- ---- — — -4- — — — 11! 3! 5! 7! 9!

. + Rn

(2)

y t2 , t4 t6 , /8 M ■■ — 1"■ 4" ■" e o s t = 1 — —■n 2! 4! 6! 8!

/ I0 10!

donde R n denota el residuo después d e n términos, y 2! = 2 • 1, 3! = 3 2 - 1 ,4 ! = 4 • 3 - 2 * l , y a s í sucesivam ente. Una aproxim ación del seno o del c o se n o d e un núm ero esp ecífico t puede determinarse conside rando térm inos del correspondiente p olinom io de Taylor; el error que resulta e s m enor que el valor absoluto del siguiente término del poli nom io.

> E J E M P L O IL U S T R A T IV O 5 áx Si se em plea el polin om io (3 ) para calcular el valor de eos 1 con cuatro dígitos sign ificativos, se obtiene

390

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES^

1 J 1 1 COSl = , - 2 ? + 4 T ~ 6 ? + §T

/

10 !

Ú

I¥

*

+ . • • + R.

0

= 1 - 0.5 + 0.04167 - 0.00139 + 0.00002 - 0.0000003 +

(i ■

JU*

_ ip íf Al tomar los pnm eros cinco términos para aproximar el valor de^.I <^ 1 [ error es m enor que el valor absoluto del sexto término. Así,elJJ menor que 0.0000003. Al sum ar los primeros cinco ténniDos aeckf ^ lt) ne 0.54030. Si se redondea este valor a cuatro dígitos signjftc^jf ^ * tiene _________ * . íi )

wj j Üí)

cos 1 * 0.5403

¡t)

//i

► EJEM PLO 5

Dotorminaclón do un valor dt la funden a p artir do su polinomio do Toyior

3!

£ Ü ¿ 5 _ (OT5V 5! 7!

(0.75)’ 9!

¿_c 0.42188 , 0.23730 0.13348 = 0.75 — — --------- 1-- 7TT-------- — — + 6 120

(V1 (4) $ (i)

(W

(b) (d)

| (dtfey*) {d)í

A l sustituir t por 0.75 en (2), se tiene

sen 0.75 = 0.75 -

(d

(d)

Emplee el polinomio de Taylor (2) para determinar el valor den con cuatro dígitos significativos.

Solución

(P

..

0.07508 5040

K i sal-8*)

W c

' (i)b(-7í)

(d) o

¿ k q rtm 15 a 20, e k362880 k

= 0.75 - 0.07031 + 0.00198 - 0.00003 + 0.0000002 - ..A Idaiíi

Si se toman los prim eros cuatro términos, el error es 0.0000002. A l sum ar estos cuatro términos se obtiene 0.68164,jí ' dondear a cuatro dígitos significativos se tiene

njf sen 0.75 » 0.6816

EJERCICIOS 7.2 En los ejercicios 1 a 6, utilice una calculadora para de terminar el valor de la junción con cuatro dígitos signi ficativos.

1. (a) sen 0.34 (c) sen 2.85

(b) eos 0.34 (d) eos 2.85

2. (a) sen 1.27 (c) sen 1.72

(b) eos 1.27 (d) eos 1.72

3. (a) sen 4.29 (c) sen(-1.36)

(b) eos 4.29 (d) eos (-1.36)

4. (a) sen 5.08 (c) sen(-2.69)

(b) eos 5.08 (d) cos(-2.69)

5. (a) sen y¡-n

(b) costil

6.

^lOfj

(c) sen 17i

(d) eos I*

(a) sen | ti

(b) eos

t e

(c) sen | Ti

(d) eos y *

K

I, En los ejercicios 7 a 14, emplee lop funciones seno y coseno, asi como los

f e

- *

^ N i* **«o, SiS*¡fi

22.

24. s ^ 5

7.2 VALORES DE LAS FUNCIONES SENO Y CO SiNO Y FUNCIONES PEMÓDICAS . n< Jo» *

t < 2W, pora determinar el valor de

l <0

y *

(b )

sen

i

(b)

L » *f I

(b)

(c) s e n ( - ín )

(d)

(c) sen 8k

eos IO71

cos(—“ Ti) (d) eos |tc

(b)

112. (a) se n tii

I (c) scn|it I l i (a) s c n (-|w ) (c) s e n ( - y f l)

[ 14. (a) sen(-8íi) W (c) sen(-7ít)

i £nlo s e j e r c i c i o s Unció n

15 a

(b)

cos(

- | tc)

(d)

cos(

- | tc)

(b)

cos ( -I O tc)

(d)

cos(-97C)

20,

e n c u e n tr e

30. Realice el ejercicio 29 si /(/) = 2 sen 3 000/. 31. Un peso suspendido de un resorte vibra vertical mente, y /(/) centímetros es la distancia dirigida del peso a partir de su posición central (el origen) a los / segundos, donde el sentido positivo es hacia arri ba. S i/(0 = 2 sen 3/, (a) determine el periodo de/, y encuentre la posición del peso a los (b) 0s; (c) 1 s; (d) 2 s y (e) 5 s. e l p e r io d o

W cos¡ f % (a) eos

(b) 4 sen 4 /

ft (c) sen7/

(d) i eos i r

la

32. Realice el ejercicio 31 si /(/) =

6eos 4t.

33. Una onda producida por un sonido simple tiene la ecuación P{t) = 0.02 sen 1 500rc/, donde P{t) di nas por centímetro cuadrado es la diferencia entre la presión atmosférica y la presión del aire en el tímpano a los / segundos, (a) Determine el periodo de P. Encuentre la diferencia entre la presión at mosférica y la presión del aire en el tímpano a los (b) \ s; (c) { s; (d) j s y (e) | s.

(b) sen y/

(a) 4eos 7/

(d) j sen | nt

I (c) eos Ant H B U -íi)

d e

(b) 3 eos 61 (d) 2 sen j t

(a) sen 3/ r¡j* |

29. Una corriente alterna se describe mediante l(t) = 10 sen 2 800*, donde /(r) amperes es la corriente a los t segundos, (a) Determine el periodo de /. Encuentre la corriente a los (b) 0.001 s; (c) 0.003 s; (d) 0.005 s y (e) 0.01 s.

(b) COSyTC

11. (a) * n ( - | * )

I

28. Realice el ejercicio 27 si E(t) = 40 sen 120tu.

cos(-|w) (d) ~os(— Tt) (b)

i (c) scní-771) I

cos(-|n)

(d) c o s (-|k )

| n (a) i c n ( - | w)

m

27. En un circuito eléctrico la fuerza electromotriz es E(t) volts a los / segundos, donde E(t) = 2 eos 50 ti /. (a) Determine el periodo de E. Encuentre la fuerza electromotriz a los (b) 0.02 s; (c) 0.03 s; (d) 0.04 s y (e) 0.06 s.

(c) í* r*

I

+ Í.

cos —it

(d) cos-í-n

[ J. (>)

26. cos(-1.27)

En los ejercicios 27 a 34, las junciones son modelos matemáticos que describen fenómenos periódicos, dis cutidos en la Sección 7.4. Escriba una conclusión.

eos Jn

(d) COSyrt

sen ■

(e)s

25. sen(-0.81)

391

34. Haga el ejercicio 33 si /*(/) = 0.003 sen 1 800rt/.

3sen 8/

(b) eos {(

35. La función H del ejemplo 6 de la Sección 4.2 está definida por

(c) 4eos 3iu

(d) sen | nt

(>) 10(2- eos jn/)

(b) 6 + sen ít(l + 0

■*■(•) 3 + 4cosJi(i + /)

(b) 3(4 - sen j

tu)

fcrrII ■*. Enlos ejercicios 2 1 a 2 6 , u t i l i c e e l p o l i n o m i o F® Taylor (1) o (2) p a r a e n c o n t r a r e l v a l o r d e concuatro dígitos s i g n i f i c a t i v o s .

1coi0.75

22. eos 2.39

1«*»4.26

24. sen 5.73

H(x) « [ | | - | Muestre que H es periódica con periodo 1.

d e la

36. Realice el ejercicio 35 para la función G del ejerci cio 41 de la Sección 4.2, definida por ( /( * ) *= x - | * J

37. Explique por qué una función periódica no puede ser uno a uno.

392

CAPÍTULO 7

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DI NÚMKROS REALES

7 .3

G R Á F IC A S D E L A S F U N C I O N E S S E N O Y C O S E N O Y D E O T R A S O N D A S S E N O ID A L E S O BJETIVO S

1. Obtener la gráfica de la fundón seno. 2. Obtener la gráfica de la función coseno. 3. Determinar valores aproximados de las funciones se coseno m ediante el trazo de curvas senoidales y 4. Determinar valores aproximados de t si se conoce sen? mediante el trazo de curvas senoidales y cosenoidafes ^ 5. Aprender que el periodo de una fundón de la forma seni; , 2n eos bt es -— -. IM 6. Definir la am plitud de una onda senoidal. 7. Definir el defasamiento de una onda senoidal. 8. Dibujar ondas senoidales.

En discusiones anteriores sobre gráficas, se denotaron los ejes nados mediante los símbolos x y y. Sin embargo, al estudiarla^» nes trigonométricas de números reales, x y y se emplearonpni coordenadas del punto terminal del arco de longitud t de lacné , rencia unitaria U. Por tanto, en este capítulo donde se discuteskp fieas de las funciones trigonométricas, se denotará al eje horizoaalpn al eje vertical por/(f)- Frecuentemente conviene marcar soted? los puntos correspondientes a múltiplos racionales de n. EnlifipJ 7.21 se muestran estas marcas teniendo en consideración ji»3.M m

FIGURA 7.21 La periodicidad de las funciones seno y coseno deseni^ pe importante en la obtención de las gráficas de estas considerará primero la gráfica de la función seno. Sea f(t) - sen t

3 GRÁFICAS P I

—

;

las f u n c i o n k s s e n o y c o s e n o y d e o t r a s o n d a s s i n o i d a l i »

'O d o r**1 sen / va de ^ ¡c rS S S ^ -

0a 1 1 aO Oa-1 -1 aO

ina* J*a2*

Tabla 2

sen/ 0 I 1 -n ■4 l| ■ -ir

1 1 1 7i

■ v

t

sen t 1

5 -7T 4 3 - 7r 2 7 -7T 4

-l

2tt

0

V2

393

Debido a que la función seno es periódica con periodo 2K, es suficien te determinar la porción de la gráfica para 0 £ t £ 2 n . Después se repe tirá esta porción en intervalos de longitud 2n a lo largo del eje t. Como -1 <, sen t <, 1, el valor máximo que sen / puede alcanzar es 1, y el mí nimo, -1 . La Tabla 1 resume el comportamiento de sen t, en cada uno de los cuatro cuadrantes, conforme t crece de 0 a 2n. A continuación se localizarán algunos puntos específicos de la gráfica en el intervalo [0, 2n]. La Tabla 2 contiene los valores de sen t para cada | j t de unidad, mientras que la Figura 2 muestra los puntos cuyas coordenadas son los pares de números (/, sen t) dados en la ta bla. En Cálculo se demuestra que la función seno es continua, lo cual significa que no tiene “roturas” en su gráfica. Por tanto, se pueden unir los puntos de la Figura 7.22 con una curva para obtener la gráfica mostrada en la Figura 7.23. A fin de lograr una mejor exactitud de la gráfica pueden graficarse puntos para los cuales t es igual a y |tc , y así sucesivamente. También puede emplearse una calculado ra para obtener otros puntos.

1 V2

0

FIGURA 7.23 Ahora que se tiene la porción de la gráfica para el intervalo [0,2 jc], esta porción se repite para cada intervalo de longitud 2it a lo largo del eje t : [2tc, 4 n], [4tc, 6tc], [-27C, 0], [-4tc, -2n ], y así de manera sucesi va. La Figura 7.24 muestra la gráfica completa; ésta es continua inde finidamente a la izquierda y hacia la derecha, para cualquier número real t. A esta gráfica se le llama curva senoidal, también se le denomi na onda senoidal. A la porción de laográfica correspondiente a un pe riodo se le llama cielo. FIGURA7.22

/(O

= sen t

FIGURA 7.24

394

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D I NÚMEROS REALES

Debido a que los ceros de la función seno son los valor», los que la gráfica corta al eje t, entonces ellos son t = kn,k$ 7 De forma semejante a la descrita, puede obtenerse la vanead función coseno, denominada curva cosenoidal. Sea /( /) = eos t Como el periodo del coseno es 2n , se considera primero el 1 miento de eos t para t € [0, 2n], según se resume en la TabU?| m

Tabla 3 Conforme t se incrementa de

H— I—►i

0a jn

lit

jn a n n a jn

FIGURA 7.25

jn a 2 n

ttCURA 7.26

eos i va de

laO 0 a -1 -1 aO Oal

La Tabla 4 presenta valores de eos t para cada ¿Jt de umUst intervalo [0, 2tc]; la Figura 7.25 muestra los puntos cuyas coonbu »■■■■■■■■ ■ son los pares de números (/, eos /). Como la función cosenoa « I nua, se unen los puntos para conseguir la curva de la Figura711K repetir esta porción de la gráfica para cada intervalo del ge rdemu t | tud 2n, se obtiene la Figura 7.27. Al igual que con el seno, puedanI \ ^ "7* fícarse puntos adicionales mediante los valores exactos del comm® v ✓ tomar los valores de una calculadora

Tabla 4

f ( t) = eos t

glÁ f,CAS

D i LAS FUNCIONES SENO Y COSENO Y DE OTRAS ONDAS SENOIDALES

395

Las coordenadas t de los puntos en los que la gráfica corta al eje í son los ceros de la función coseno. Éstos son / = ^ 7C + ¡cu, k € Z Observe que la gráfica del seno es simétrica con respecto al ori gen, mientras que la gráfica del coseno lo es con respecto al eje f(t). Estas propiedades de simetría se deducen de las identidades (cosí, « en ')

sen(-f) = -sen t

(1)

eos (-/) = eos í

(2)

\ \ ( 1. 0)

« e o s M ) . s e n (-r)

figura 7.28

unidad ene coordenada:, eno es conúgura 7.26,Mj Ije í de loiigh

A fin de justificar estas identidades refiérase a la Figura 7.28. Ob serve que com o los puntos P(eos /, sen t) y P(cos(-í), sen(-f)) son si métricos con respecto al eje jc, entonces se obtienen (1) y (2). De (1) se puede concluir que el seno es una función impar, y de (2) se deduce que el coseno es una función par. Note que el seno y coseno tienen la misma forma. En realidad, la gráfica del coseno puede obtenerse mediante una traslación horizon tal, de unidades a la izquierda, de la gráfica del seno. Por esto, la gráfica del coseno también se conoce como onda senoidal, y la por ción de la gráfica correspondiente a un periodo es un ciclo. Las gráficas del seno y coseno, trazadas en la graficadora, pueden emplearse para aproximar valores de estas funciones.

>


, pueden p

;1 cosenooáj

Io-2*] por [ - 2, 2]

Se desea encontrar el valor de eos 1.36 con tres dígitos significativos mediante la graficadora. La Figura 7.29 muestra la curva cosenoidal en el rectángulo de inspección de [0, 2tc] por [-2, 2]. Al emplear el ras treo y aumento de la graficadora se obtiene

= eos i ttG U m 7.29

eos 1.36 = 0.209

<

También se pueden utilizar las curvas senoidal y cosenoidal en la graficadora para aproximar valores de t si se conocen sen t o eos t.

>


Suponga que se desea determinar, con tres dígitos significativos, valo res de t en el intervalo [0, 27t] para los que sen / = -0 .6 8 8

í 'y w 1 ; 2*2!

La Figura 7.30 muestra la curva senoidal y la recta g(í) = -0.688 en el rectángulo de inspección de [0, 2n] por [-2, 2]. Observe que la recta intersecta a la curva senoidal en dos puntos dentro del intervalo [0, 2tc]. Al utilizar el rastreo y el aumento de la graficadora se obtiene sen 3.90

0 .6 8 8

sen 5.52 = -0.688

396

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i WÚMiROS REALES

Otras ondas senoidales se obtienen de las fu • diante las ecuaciones de la forma nc,oncs ^ /(/) = o sen b(t - c)

f ( t ) * flcos¿7(r - c)

[-2*1,2nJ p o r [ - 2 ,2 ] F\t) » s e n /

(•)

donde a, b y c son números reales, a * 0 y b * Q ^ f los valores de las constantes a , b y c afectan la form ***' dal definida por estas ecuaciones, se considerarán ca La función definida por esPeca¡<, /( /) = a sen t es el caso especial de (3) donde c = 0 y b = 1. Cuando origina la gráfica de (5) al expandir verticalmente la curíi esto debido al factor. La ordenada de un punto de la veces la ordenada correspondiente de la curva senoidal

> [-271,271] p o r [ - 6 ,6 ]


La Figura 7.31 (a)-(c) muestra la gráfica de las funciones

G(t) = 5 sen t

(b)

F(t) = sen t

G (t) = 5 sen t

H(t) = 2 sen t

Observe que las ordenadas de las gráficas de G y H son, respes* te, 5 y 2 veces las ordenadas correspondientes de la gráficadef Considere otra vez la ecuación (5). Como -1 £ sen t £ 1 el valor máximo d e/( /) es | a | , y el valor mínimo es -I* !• ro | a | se denomina am plitud de la onda senoidal.

[-271, 2ti] p o r [ - 3 ,3 ]

m

“ 2 sen t

(C)

EJEM PLO IL U S T R A T IV O ^

FIGURA 7.31 Suponga que se desea dibujar la gráfica de g(Q = 3 sen t

t

"i

La amplitud de la gráfica es 3, y cada o r d e n a d a es correspondiente de la gráfica de/(/) = seI¡ l' gris. A| fica de /(O = sen t se muestra mediante la cü oti e ^ las ordenadas de esta curva por 3, se obtienen va requerida.

i]

GRÁFICAS de las f u n c io n e s s e n o y c o s e n o y de OTRAS ONDAS SENOIDALES

397

/(O

La discusión relativa a la ecuación (5) también se aplica a las grá ficas de las funciones definidas por una ecuación de la forma /(O = a cost

(6)

Si a < 0 en (5) o (6), las ordenadas de los puntos de sus gráficas son los negativos de las ordenadas correspondientes de las gráficas d e /(O = | a | sen t o f{t) = | a | eos t, respectivamente.

► EJEM PLO 1

Dibulo do ondas sonolda/os

Dibuje las ondas senoidales definidas por las ecuaciones siguientes y veri fique las gráficas en una graficadora: (a)f(t) = -2 eos f; (b)/(/) = jcosr.

Solución (a) La ecuación f ( t ) = - 2 eos t es de la forma (6) donde a = -2. La amplitud de la gráfica es | —2 | = 2 . Cada ordenada de la gráfica es - 2 veces la ordenada correspondiente de la gráfica de g(t) - eos t. La curva pedida se muestra en la Figura 7.33, donde la gráfica de g(t) = eos t se indica con la curva gris. m

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS P1 NÚMEROS REALES (b) La gráfica de la función definida p o r /(,) « I c o , , , , tud de 4 Cada ordenada de la gráfica es la mitad de i * correspondiente de la gráfica de g(r) = co,,. U muestra la curva requerida, donde la curva gns te«*, g(t) SE C O S t.

m

La graficadora verifica las gráficas de las figuras 7.33y7J4 Considere ahora una ecuación de la forma /(O = sen¿tf Esta función es el caso especial de/ ( / ) = a sen b(t - c) donden y a = 1. Como la función seno tiene periodo 2x,

/( f) = sen(¿?í -I- 2tt) 2tt

— sen

~b 2ir Por ta n to ,/e s una función periódica, y como, por definíais do es positivo, éste es 2tc/| b | . El mismo argumentoscipv función definida por f ( t ) = eos bt. Este resultado se es®#* un teorema.

teorema

1

El período P de una función periódica definida p°r /(O = sen bt

o

donde 6 * 0 , está dado por 21 n P i

/ ( / ) = eos bt

7 3 GRÁFICAS PE LAS FUNCIONES SIN O Y COSENO Y DE OTRAS ONDAS SENOIDALES___ 399

>


Del Teorema 1, el periodo de la función definida por f l j ) = sen 4f

es ~ = jTi. La Figura 7.35 muestra la gráfica de/trazada en el rectán gulo de inspección de [-- n , jc] por [-2,2]. Observe que la gráfica se re pite cada intervalo de longitud unidades. Este hecho es consistente con el periodo 4 l-K, *J por [-2 ,2 ]

/(/) = sen 4/

FIGURA 7.35 >


La Figura 7.36 muestra la gráfica de la función definida por /( /) = s e n ^ f trazada en el rectángulo de inspección de [-4tc, 4n] por [-2, 2]. Del Teorema 1, el periodo de esta función es

= 8rc, lo cual es consisten4

te con la Figura 7.36, en la que se muestra un ciclo de la onda senoidal correspondiente. * [-411,4n] por [-2,2] /(0=scn|/ FIGURA 7.36 >


A fin de dibujar la gráfica de /(O = eos 2 1 primero se aplica el Teorema 1 para determinar el periodo P. Como b = 2, entonces P = n. La amplitud es 1. La gráfica se muestra en la Figura 7.37.

m

f(t) « eos 2/

FIGURA 7.37

CAPÍTULO y__FUN C IO N E S TR IG O N O M ÉTR IC A S DE N Ú M ER O S REALES

>


Para la gráfica de = eos j t

/(O

el periodo es P , donde, por el Teorema 1 2-7r i 2

/ ( / ) * COS y /

F IG U R A 7 .3 8

La amplitud es 1. La Figura 7.38 muestra un ciclo deesta dal dibujada en el intervalo [0, 4 n ) .

► EJEMPLO 2

D i b u j o d e u n a o n d a senoidal

Dibuje la onda senoidal definida por = sen 31

f( t)

verifique la gráfica en la graficadora. La amplitud es 1. Como b = 3, por el TeorcatUi riodo es | n . En la Figura 7.39, las unidades del eje t estánnuraiuj cada intervalo de longitud jii. La figura muestra la gráficapedí graficadora comprueba esta gráfica. y

Solución

/(') / 5 \ -----7T\ 3 \

/

\ “ ir

// ---4-IT \ \ 3 \

/ /

f

V —* \ 3

LXn \ \ ~1 3 / ^=1 -

°

3 \

A

J

3

f{t) = sen3f FIGURA 7J9

► EJEMPLO 3

D ib u / o d o u n c ic lo d *

yn0

Dibuje un ciclo de la onda senoidal definida por f(t)

= sen | /

Compruebe la gráfica en una graficadora.

/

3 GRÁFICAS Di LAS FUNCIONES SENO Y COSiNO Y D I OTIIAS ONDAS SENOIDALES

La amplitud es 1. Por el Teorema 1, el periodo P es

S o lu ció n

P

=

401

2 ít

= 3 tr i

íf

v

2

—ff

f[t) * »

2

FIGURA 7.40

* onda senes.

1

:ema , e n marcadas;®

ca pedid;

Por tanto, un ciclo de la onda senoidal está en el intervalo [0, 3n]. Este ciclo se muestra en la Figura 7.40 y es acorde con el que se obtiene en la graneadora. ^ El periodo de la gráfica d e/(/) = sen / es 2n. En el ejemplo ilus trativo 7 para la gráfica d e/(/) = eos 2/, el periodo es n, y en el ejem plo 2 el periodo de la gráfica d e/(/) = sen 3/ es Para las gráficas d e /(f) = sen bt y /( /) = eos bt, conforme b se incrementa cuando b > 0, el periodo disminuye, y los ciclos de la onda senoidal se apro ximan cada vez más entre sí. Note que en el ejemplo 3 el periodo de la gráfica d e /( /) = sen j / es 371. Además, en el ejemplo ilustrativo 8 el periodo de la gráfica de f ( t ) = eos \ t es 4n. Conforme b decrece cuando b > 0, el periodo de las gráficas de /(/) = sen bt y /(/) = eos bt, se hace mayor. En particular, la gráfica de /(/) = sen j t tiene un pe riodo de 16tc. Así, en el intervalo [0, 16tc] hay un solo ciclo de esta onda senoidal. ¿Qué ocurre con las gráficas de /(f) = sen bt y /(/) = eos bt cuando b < 0? Para responder esta pregunta, se usarán las identidades (1) y (2). Por ejemplo, la gráfica d e/(/) = sen(-3/) es la misma que la gráfica de /( /) = -sen 3/, y la gráfica de /(/) = cos(-3/) es la misma que la gráfica de/( /) = eos 3/. Si en la ecuación /(/) = a sen b(t - c), a = 1 y b = 1, se tiene una ecuación de la forma /( /) = sen (/ - c)

(8)

La gráfica de esta ecuación puede obtenerse a partir de la gráfica de /(/) = sen / mediante una traslación horizontal (o desplazamiento) de c unidades a la derecha si c > 0, y | c | unidades a la izquierda si c < 0. El valor absoluto de c se denomina defasamiento de la gráfica de (8). El defasamiento de una gráfica también es el defasamiento de la función correspondiente.

>


Considere la gráfica de fít ) = sen(/ - ~ n )

Aquí, c = j n ; entonces el defasamiento de esta gráfica es La gráfica se obtiene desplazando la gráfica de /(/) = sen / a una distan-

1

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS P i NÚMEROS REALES

cia de unidades a la derecha, debido a que c * n muestra esta gráfica. La gráfica d e /(f) = sen r en i • se indica con la curva gris. el ,nlervJJi

__L ir ~? l

/

Y

1 J

*

1 1

t

V

1 ■i 11 1 o

2

4

-1

— ir 2

/(/) = scn(r - —77) FIGURA 7.41

>

E J E M P L O IL U S T R A T IV O 1 0

Para la gráfica de /( /) = sen(í + ± k ) c = - jic. De esto, el defasamiento es |jc, y la gráfica seotari|

plazando la gráfica de f ( t ) = sen t a una distancia de j i umdife izquierda debido a que c < 0. La Figura 7.42 muestra lapí como la gráfica d e /(f) = sen t en el intervalo [0, 2n], Ucal*11 con la curva gris. m 1 X -----7T — 1— ir

2S /

0

|-

^ 5 - 2 tt 3\ ----- 7T ----- 7 r \ 2 2 \

ir\

nt J4

m

i r

-1 -

f ( t ) = sen (/ + j " )

FIGURA 7.42 áe^

Ahora se aplicarán las propiedades de para obtener las gráficas de las funciones detin nes de la forma f ( t ) = a sen b(t - c)

y

f(0

ni^1 ~c)

3 QRÁFIrAS PE t-AS PUNCIONES SENO Y COSENO Y DE OTRAS ONDAS SENOIDALES

► EJEMPLO 4

D ib u jo d o

una o n d a

403

s o n o id a l

Dibuje la gráfica de = ±sen(f + n)

f( t)

Compruebe la gráfica por medio de la graficadora. S o lu c ió n Esta ecuación es de la forma/(f) = a sen b ( t - c ) donde 0 = b = 1 y c = - t i . Como a = la amplitud de la gráfica es Como b = 1, el periodo de la gráfica es 2tc. Como c = -ti , el defasamiento es ti, y la gráfica requerida se obtiene desplazando la gráfica de f ( t ) = - sen t una distancia de ti unidades a la izquierda. La gráfica pe dida se muestra en la Figura 7.43, y la gráfica de /(/) = ± sen t en el intervalo [0, 2tc] se denota con la curva gris. La misma gráfica se ob tiene en la graficadora. f(t)

^

- I , 2 1

1

/

*• -------- v / — \ 1 1 1 0. 2 _i-U

5 2 .____ A» \ 2 ' ---- t -------------------♦ ir ^ 2 r ^ i iw ± ir

2

M

«

y

sen(í

+

ir)

FIGURA 7.43 ► EJEMPLO 5

*

D ib u jo d e u n a o n d a s e n o id a l

Dibuje la gráfica de f{ t)

=

4

cos(2í - | tí)

Verifique la gráfica por medio de la graficadora. S o lu ció n Se escribe la ecuación dada en la forma /(/)

m

a

eos b ( t

-

c)

mediante la factorización de 2 en la expresión 2 t obtiene f( t)

-

\ k .

Al hacerlo se

* 4 eos 2(/ - J tí)

Como a = 4, la amplitud de la gráfica es 4. El periodo de la gráfica es ti debido a que b = 2. Como c = ¿ ti, el defasamiento es j ti, y la grá fica requerida se obtiene desplazando la gráfica de/(/) = 4 eos 21 una

404

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PK NÚMEROS REALES

distancia de

unidades a la derecha. La Figura 7.44 mueteu

ca pedida, y la gráfica de f ( t ) = 4 eos 21 en el intervalo [0,x| senta con la curva gris. Se obtiene la misma gráfica en lapjf^J m

f(t) - 4 eos l ( t - -i-ir)

FIGURA 7.44 La función del ejemplo siguiente difiere de los prcviameoBfel «j tidos porque el periodo es un número racional en vez de unnát- K de n. En tal caso, cuando se dibuje la gráfica, es más conveníate >. zar los números racionales para marcar los intervalos en el cjet j.

--------------------------------------------------------------------- ------*]* ► EJEM PLO 6 D i b u l o d o u n a o n d a t o n o ld o l Dibuje la gráfica de f(t) = 2 sen j t

Verifique la gráfica en una grafícadora.

Solución Se comparará la ecuación dada con /(O * ú ..J Como a ~ 2, la amplitud es 2. Si P es el periodo, enion b = ifi,

jj

405

AS M F U W q QN BS ^ NOYjgOSiNQ Y PE OTRAS ONDAS SENOIDAÜES

fícadoraCa ** mucstra cn *a Figura 7.45 tal como aparece en la gra-

f(t) =2 s e n i -777 FIGURA 7.45

v ia m e n te dises-

►

d e un rnútóplo

EJEM PLO 7

D ib u j o d o u n c ic lo d o u n a o n d a s o n o id a l

inveniente utfr D ib u je u n c ic lo d e la o n d a se n o id a l o b te n id a p o r la fu n ció n d el e je m p lo 3 d e l a S e c c ió n 7 .2 . V e r ifiq u e la g rá fic a en u n a g rafica d o ra.

H e le j e t

Solución

L a f u n c ió n s e d e fin e p o r

E ( t) = 5 0 se n 1207c/ y e l p e r io d o d e E e s L a a m p litu d d e E e s 5 0 . S e em p lean diferentes e s c a la s e n lo s d o s e je s ; e n e l e je / se to m aro n m a rc a s ca d a — d e uni d ad , y s o b re e l e je E {t) se to m aro n m arcas cad a 10 unidades. L a T abla 5 p r e s e n ta v a lo r e s d e E (í) p a r a c a d a ^ d e u n id ad en el in terv alo [0, ¿ ] . E l c ic lo s e m u e s tr a e n la F ig u ra 7 .4 6 . E n la g ra fíc a d o ra se o btiene la

^GURa 7.46

m is m a g rá fic a .

T a b la 5

1

1

1

1

1

1

7

1

t

0

480

240

ï 6ô

n0

M

80

480

60

£ (/)

0

35.4

50

3 5.4

0

- 3 5 .4

-5 0

- 3 5 .4

0

406

CAPÍTULO 7

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE NUMEROS REALES

EJERCICIOS 7.3 E n


ilu s tr a tiv o d e

1 y

1 a

4,

u tilic e

e l m é to d o

la g r a jic a d o r a p a r a

la ju n c ió n

con

tr e s

d íg ito s

d e l e je m p lo

a p r o x im a r e l v a lo r

s ig n ific a tiv o s .

sen

*

y

eos

d e

la c a lc u la d o r a .

29. /(/) = 2 sen(/ - ijt) 31. /(/) = cos(/ - jw)

3 4 . / ^ * '

36. 38.

sen 0.546 (b)

eos 2.73

35. /(/) » 2 sen(|7C - /)

2. (a)

sen 1.82 (b)

eos 0.379

37. /(/) * 4 sen(2/ - *)

3. (a)

sen(-1.28) (b)

eos 4.67

4.

sen 5.06 (b)

cos(-2.41)

E n

lo s e je r c ic io s 5

ilu s tr a tiv o 2 y

a

8 , e m p le e

d e l e je m p lo

a p r o x im a r lo s v a lo

€ [0,

lo s c u a le s s e s a tis fa c e la e c u a c ió n .

5. (a) sen t = 0.976

(b) eos t =

0.489

6. (a) sen / = 0.291

(b) eos / =

0.923

7. (a) sen / = -0.641

fl>) eos / = -0.506

8. (a) sen / = -0.996

(b) eos / = -0.785

E n lo s e je r c ic io s 9 a

1 6 , d ib u je la o n d a s e n o id a l d e fin i

d a p o r la fu n c ió n y v e r ifiq u e la g r á fic a e n la g r a jic a d o r a .

9. (a) /(/) = 2 sen /

(b)

g (t)

= sen 21

10. (a) /(/) = 3 eos /

(b)

g (t)

=

11. (a)

f( t)

= | eos t

(b) g(t)

eos 3/ COS-7/

12. (a) /(/) = | sen /

(b) g(t) = sen ^/

13. (a) /(/) = -sen /

(b) g(t) - sen(-/)

14. (a) /(/) = -eos /

(b) g(t) = eos(-/)

15. (a) /(/) = 5 eos j í

(b) g(t) = j sen 5/

16. (a) /(/) = 4cos j /

(b) g(t) = | sen 4/

41. /(/)

« 2 sen(j7c/ + jn )

42. /(/)

= 3 cos(^7t/ + i* )

19. /(/) * 5 sen >/

c°® (4í ..I

£n /oí ejercicios 43 a 46, dibuje un ciclodelaoé, noidal definida por la función del ejercicioimké[ la Sección 7.2.

43. Ejercicio 27

44. Ejercicio 28

45. Ejercicio 29

46. Ejercicio 30

47. En cierta ciudad, en cada una de las fecha15> 17 de enero, la temperatura varió de -fCd» las 2 a.m. a 5° Celsius a las 2 p.m. Suponp*. gráfica es una onda senoidal, (a) escribí oto ción que defina l\t ) como una funcióndetí* TU) grados Celsius fue la temperatura 1 horaasa* 2 a.m. del 15 de enero, y 0 £ t < 48. ¿üífci temperatura a las (b) 6 a.m. del 15de enero: del mediodía de enero 15; (d) 4 p.m. decaeni (e) 10 p.m. de enero 15? (f) Dibújelagrifa* 48. En cierta ciudad, en cualquier tiempoácx¡& del día, a partir del 1 al 4 de octubre Fahrenheit fue 7\t) grados a las r horasaI** la medianoche del 30 de septiembre, don*

En los ejercicios 17 a 20, dibuje un ciclo de la onda se noidal definida por la función y compruebe la gráfica en la graficadora.

17. /(/) = eos

m2

40. /(/) = -2 sen(3í - ¿n)

r e s d e t c o n tr e s d íg ito s s ig n ific a tiv o s ta le s q u e t

2ti] p a r a

'C0s(;j

a

39. /(/) » 5 eos(3/ + £ 71)

e l m é to d o

la g r a jic a d o r a p a r a

* *cn(/ +/

33. / ( / ) = - 3 cos(/ + ¿n)

1. (a)

(a)

/(O a i

/(/) a f{t) *

D e sp u é s

c o m p r u e b e la a p r o x im a c ió n m e d i a n t e e l c á l c u lo d e l v a lo r d e la fu n c ió n p r e s io n a n d o la s te c la s

25. /(/) = | sen 271/ 27. /(/) - eos(/

no (a) Determine el periodo de T. Encuentff ^ V ratura a las (b) 8 a.m. del 1 de mediodía del 1 de octubre; (d) 2 p.®bre; (e) 6 p.m. del 1 de octubre y ( del 1 de octubre, (g) Dibuje la f,ífica

18. /(/) = sen 20. /(/) = 3 eos | /

En los ejercicios 21 a 42, dibuje la onda senoidal defi nida por la función y verifique la gráfica en la grafica dora.

21. /(/) = 6 eos ni

22. /(/) = 4 sen nt

23. /(i) = 2 eos \ ut

24. /(/) = 3 sen \ nt

La función definida por

49. íl%

m

=

sen t

7.4 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO A FENÓMENOS PERIÓDICOS

|c o s j * f

+ i,, 3 sen(/ - it.

C M (t

j*)

sen( ; +

|ki

6 c o s(/ - l r

1*1 \ C05(Jl - ;) i

^ en Cálculo. Esta función no está definida ¿tundoi ' O- S'n embargo, en Cálculo es necesario ^Jl0CCrel comportamiento de esta función confort se aproxima a cero. Emplee la calculadora para determinar (a) /(0 .1) y /( - 0 .1); (b) /(0.06) y/(-0.06); (c)/(0.02)y/(-0.02); (d)/(0.01) y ff-0.01); (e)/( 0.001) y/(-0.001). (f) ¿A qué valor pgee aproximarse f ( t ) conforme / se aproxima a cef07(g) Trace la gráfica de / en la graficadora pra verificar la respuesta del inciso (f).

50.

[I

407

dv| La función definida por

Jli

8( 0

1 - eos t

se presenta en Cálculo, y g(t) no está definida cuando t = 0. Aplique las instrucciones del ejerci cio 49 a esta función.

2 cos(4/ +|j

74 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES SENO YCOSENO A FENÓMENOS PERIÓDICOS de la ondau io indicadoii

fe ch a s 15.16) i

; -5* Celsiusa Supongaquela :rib a unaecualón de i, donde f h o ra s desdelas 18. ¿Cuál fucli le enero; (c) I. de enero 15) ¡a gráficadel". po determinad : la temperaron o ra s a paitir de , donde O < r <96

iientre lale®?' la b re ; (c) 12 &

m. del 1 deoca(f) medáiw^ íc a de T.

OBJETIVOS

1. U tilizar las funciones seno y coseno como modelos matemáticos que describen movimiento armónico simple. 2. D ib u ja r gráficas de las funciones que describen movimiento arm ónico simple. 3. Resolver enunciados de problemas que implican movimiento arm ónico simple. 4. D ib u ja r gráficas de funciones que describen otros fenómenos periódicos. 5. Resolver enunciados de problemas que implican otros fenóm enos periódicos.

Las funciones discutidas en la Sección 7.3 y deñnidas por /( /) = a sen b(t - c)

(1)

/( /) = a eos b{t - c)

(2)

y son modelos matem ticos que describen movimiento armónico sim ple, vibratorio u oscilatorio. Un ejemplo de movimiento armónico simple ocurre cuando se suspende un cuerpo de un resorte que vibra verticalmente. Sea /(/) centímetros la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central, o de reposo, después de transcurridos t segundos. Véase la Figura 7.47, donde un valor positivo d e /(f) indica que el cuerpo está por arriba de su posición central. Si en un sistema de coordenadas cartesianas rec tangulares se trazan valores de función /(/) para valores específicos de í, entonces si no se toma en cuenta la fricción, la gráfica resultante ten drá una ecuación de la forma (1) o (2). Las constantes a, b y c están determinadas por el peso del cuerpo y el resorte, así como por la forma en que se ponga en movimiento al cuerpo. Por ejemplo, cuanto más se

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i WÚMIROS REALES

tire del cuerpo hacia abajo antes de liberarlo, tanto mayor teri amplitud del movimiento. Además, cuanto más rígido sea el tanto más rápidamente vibrar el cuerpo de modo que P, el peno? movimiento, ser menor; recuerde que las constantes b y p est^ * cionadas mediante la ecuación P = 2n/\ b |. La frecuencia i movimiento armónico simple es el número de vibraciones, uoicikj nes, por unidad de tiempo. Así, si n es la frecuencia del nwvnj? entonces n \/P.

>


Un cuerpo está vibrando verticalmente de acuerdo con laecuackk f ( t ) = 8 eos ± n t

donde/(O centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde*¡J sición central (el origen) a los t segundos y el sentido positivo« ü arriba. La ecuación (3) es el caso especial de (2) donde a = Ms J y c = 0. Por tanto, el movimiento es armónico simple. Comohu plitud es 8, el máximo desplazamiento es 8 cm. Debido a que el periodo P está dado por p = —

M

2 tt

'h r = 6

Por tanto, se requieren 6 s para una vibración completa del cuaj»j| frecuencia n está determinada por 1 n ~ P

= Z Así, se tiene j de vibración por segundo. De (3) se obtienen f(t ) para valores particulares de t, mostrados en la Tabla 1. Ap*® I

tos valores se discutirá el movimiento del cuerpo.

Tablai

4 V 3 « 6.9

3 2

2

4

0

-4

2

3 o>

8

1

1 1

m

i

2

1

0

*>

1

-8

7

2

4

- 6 .9

-4

Inicialmente el cuerpo se encuentra 8 cm por arriba,a ^d e l d posición central. En el primer j s el cuerpo se mueve hacia

K ^

u i 5 D i LAS FUNCIONES SENO Y COSENO A FENÓMENOS PERIÓDICOS___409

Afifi a un p u nto situado a 6 .9 c m arriba del origen. D e sp u és, en el siguiente > s el cu erp o d escien d e 2 .9 c m a una p o sició n 4 c m arriba del origen. En el tercer ^ s, el cuerpo se m u eve hacia abajo una distancia d e 4 cm r esp ecto a su p o sic ió n central. D e m odo qu e la velocid ad del cuerpo se in crem en ta e n lo s prim eros | s. En lo s sigu ien tes ^ s, el m ovim ien to del cu erp o con tin ú a hacia abajo m ientras que su velocidad dism inuye hasta q u e, d e sp u é s d e un total d e 3 s, el cuerpo se encuentra a 8 cm por d eb ajo d e su p o s ic ió n central. D esp u és, el cuerpo invierte su dirección y su v e lo c id a d au m en ta hasta qu e alcanza su p o sició n central, ensegu i da d ism in u y e su v e lo c id a d hasta que regresa a su p osición inicial des p u és d e un total d e 6 s. L u ego, el cuerpo invierte su dirección y el m o v im ie n to co n tin ú a bajando y su bien do, repitiéndose de m anera in d e fin id a . L a g rá fica d e (3 ) s e m uestra en la Figura 7 .4 8 . m H asta a q u í n o se ha considerado la fricción, la cual podría ocasio nar q u e el cu e rp o fin a lm en te lle g u e a un estado d e reposo. S e discutirá en la S e c c ió n 7 .5 e l m o v im ie n to a r m ó n ic o a m o r tig u a d o , para e l cual se tom a en c u e n ta la fricción .

ti ►

FIGURA 7.48

EJEM PLO 1

Solución do! enunciado do un problem a que Implica movimiento armónico simple

U n cu e rp o s u sp e n d id o d e un resorte vibra verticalm ente. Su pon ga que el cu erp o p asa por su p o sició n central, conform e asciende, cuando t = 2.5 ; e n s e g u id a e fe c tú a un d esp la za m ien to ascen d en te m áx im o d e 4 cm , y p a sa p o r su p o s ic ió n cen tral co n fo r m e d escien d e cuand o t = 3.5. El m o v im ie n to e s a r m ó n ic o sim p le y e stá d escrito por una e cu ación d e la fo rm a / ( / ) = a sen b (t -

c)

d o n d e f ( t ) c e n tím e tr o s e s la d ista n cia d irigid a del cuerp o d esd e su po s ic ió n cen tral d e s p u é s d e t se g u n d o s, y e l se n tid o p o s itiv o e s hacia arriba. D e te r m in e s u e c u a c ió n .

Solución

E l m o v im ie n to d e sd e

t

= | hasta

t = \

se representa en

la F ig u ra 7 .4 9 . C o m o e l d e sp la z a m ien to m á x im o h acia arriba e s d e 4 c m , la a m p litu d d e l m o v im ie n to e s 4; así, a = 4 . S e tien e m ed io c ic lo P or tanto, si el p erio d o e s P, d e l m o v im ie n to e n tr e t = | y t = P =

7 _ 5

2

2

2

P = 2 D e b id o a q u e

b = ir

P = 2id\ b

|, s e tien e, si

b > O,

410

y

CAPÍTULO7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES La gráfica de ia función requerida puede considerarse como unsenoidal desplazada | de unidad hacia la derecha a partir dd '** De esto, c = |. En consecuencia, de la ecuación f(t) = a se* se obtiene 4, b = J i y c f ( t ) = 4 sen rc(f

4)

► EJEM PLO 2

no

i

D ib u jo d e l a g r á f ic a d e u n a función ou* d e c r ib e m o v im ie n to a rm ó n ico simpkw d is c u s ió n d e l m o v im ie n to

Dibuje la gráfica de la función del ejem plo 1 y verifíquelaeolipJ cadora. Haga una discusión del movimiento. S o lu c ió n

La ecuación es

f ( t ) = 4 sen 7i(í - 1)

El periodo es 2. D e modo que se requieren 2 s para una vibraciónc m ta del cuerpo. L a frecuencia n está determinada por n = 1/P, aá,i:.| Por tanto, hay ^ de vibración por segundo. La Tabla 2 presentid* de f ( t ) para cada ^ de unidad cuando t está en el intervalo [0.21Ll porción de la gr fica en este intervalo está dibujada a partir deeastl lores, y la gráfica repite este com portam iento en cada intervaloé!| unidades. Véase la Figura 7.50, la cual está de acuerdo con lapÉcl obtenida en la graficadora.

Tabla 2

t f(t)

i 4

0

-4

-

2V 2 * - 2 .8

1

3

?

5 0

2V 2

2.8

1

5 4

4

2.8

2 0

-2.8

\

Inicialmente el cuerpo está 4 cm abajo de su posición ccdb» 3| el primer ^ s el cuerpo se m ueve hacia arriba una distancia de 1^*1 un p unto situado a 2.8 cm debajo de su posición central. guíente - s el cuerpo se m uev e h acia arriba una distancia de 2J* su posición central. L a velocidad se incrementa en el primer: s tercer ^ s el m ovim iento del cuerpo continúa hacia arriba su velocidad dism inuye h asta que, después de un segundo, el cutfM encuentra a 4 cm arriba de su posición central. Luego, el cw® I vierte su dirección y su velocidad se incrementa hasta que a*a^ ¡| posición central, p osteriorm ente su velocidad disminuye _| cuerpo retorna a su posición inicial después de 2 s. Este moví®1' repite indefinidam ente cad a 2 s. A hora se considerarán aplicaciones a otros fenómenos P ^ J Si un alam bre doblado en form a de rectángulo se gira j polos norte y sur de un im án, se genera una corriente electrK

APLICACIONES PE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO A FENÓMENOS PERIÓDICOS

411

Conforme el alambre efectúa una rotación completa, la corriente fluye primero en un sentido y después en el opuesto, lo cual se repite durante cada rotación. La corriente es periódica y puede describirse mediante una ecuación de la forma (4)

/(/) = a sen b(t - c)

donde f(t) amperes es la corriente a los t segundos, producida por un generador.

>


Suponga que una corriente eléctrica alterna está descrita por la ecua ción I(t) =

10 sen 120ic/

donde !(t) amperes es la corriente a los t segundos. Se comparará esta ecuación con la (4). Como a = 10, la corriente máxima es 10 ampe res. Debido a que b = 12071, la frecuencia n está determinada por 1207T n ~ ~ 2 tT

= 60

4

Por tanto, la frecuencia es 60 ciclos por segundo.

Una corriente eléctrica es producida por una fuerza electromotriz me dida en volts. Para un generador simple, si E(t) volts es la fuerza electro motriz a los t segundos, una ecuación que describe a E(t) es E (t) = a sen bt

(5)

Tal ecuación se presentó en el ejemplo 3 de la Sección 7.2.

>


Suponga que E (t) volts es la fuerza electromotriz a los t segundos y se describe mediante una ecuación de la forma (5). Si la fuerza electro motriz máxima es 110 volts y la frecuencia es 60 ciclos por segundo, entonces a - 110 y b 2 ¿ = 60 b = 120tt

De modo que una ecuación que describe la fuerza electromotriz es E(t) = 110 sen 120itf

<

412

/

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i NÚMEROS REALES

En un circuito eléctrico simple que contiene sólo uñar la fuerza electromotriz y la corriente están relaciona^ ción E(t) = RI(t)

donde R es una constante. Esta ecuación se conoce como bul Ohm, llamada así en honor a G. S. O hm (1789-1854), y la iJ j es R ohms.

>


Si las ecuaciones de los ejemplos ilustrativos 2 y 3 pertenecen» mo circuito eléctrico, entonces E(t) = 11/(0

y la ley de Ohm se satisface cuando la resistencia es 11 ohms. Observe que en un circuito que satisface la ley de OhmeiJ máximo de E (t) ocurre al mismo tiempo que el vaior máxime¿1 Es posible que estos valores máximos ocurran en tiempos diferí*i tal caso, se dice que la corriente y fuerza electromotriz estánk f fase. Suponga, por ejemplo, que E (t) = a sen bt

I(t) = A sen b(t - c)

La gráfica de /(/) puede obtenerse al trasladar la gráficade< A sen bt, c unidades a la derecha si c > 0, y I c I unidades abiV da si c < 0. La corriente y la fuerza electromotriz están fijen** por c unidades. Si c > 0, se dice que la corriente se retrasad pecto a la fuerza electromotriz en c unidades; y si c < 0, sed»*

la corriente se adelanta con respecto a la fuerza electromotriza unidades.

► EJEM PLO 3

D i b u j o d o l a s g r á f í t a s d o las d e f i n e n l a f u o r z a o lo c t r o m o f r ü f lo e n u n c i r c u it o e lé c tric o

En determinado circuito eléctrico, a los t segundos, la to** motriz es E(t) volts, donde E (t) = 150 sen 120rc/

y la corriente es ¡(t) amperes, donde /(/) = 25 sen 120n(/ -

i

ArLlCftn o NES D i LAS FUNC IO N« tiW O Y COSiWO A FINÓM INOS PtRtÓDICOf

413

7-*

Dibuje las gráficas de E e / en el mismo sistema de ejes coordena dos. Compruebe las gráficas en la graficadora. ¿Se retrasa o adelanta la corriente y por cuánto?

una résistent las por la ^

S o lu ció n P =

Para cada una de las gráficas el periodo es P, donde 27T

W \

2 tt

120tt

; Ohm el val« náximo del{i\ s diferentes. En están fuerait

ífica d e n les a la izquicr n fuera defas et rasa can re* O, se diceqw motriz en c

■teion»$qu* Y la cormfl*

FIGURA 7.51

60 Se utilizan diferentes escalas en los dos ejes coordenados. En el eje t se toman marcas cada —jj de unidad, y en el eje vertical las marcas es tán cada 25 unidades. La amplitud de la gráfica E es 150. La gráfica de £ se muestra en la Figura 7.51. La amplitud de la gráfica de / es 25. La gráfica de /, mostrada mediante la curva gris de la Figura 7.52, se obtiene al despla zar la gráfica de /(O = 25 sen 1207c/ una distancia de 360 de unidad a la derecha. Se obtienen las mismas gráficas en la graficadora. Conclusión: La corriente se retrasa con respecto a la fuerza electro motriz — de s. . r - '• * ! s' Cuando una onda sonora llega al oído, ocurre una vibración de las partículas de aire en el tímpano. Esta vibración puede describirse me diante la variación de la presión del aire. Un sonido simple es aquel que produce, en un osciloscopio, una onda que puede describirse por medio de una ecuación de la forma F(f) = a sen bt

(6)

donde F(t) dinas por centímetro cuadrado es la diferencia entre la pre sión atmosférica y la presión del aire en el tímpano a los t segundos. Los valores positivos de F{t) corresponden a la presión interna en el tímpano, y los valores negativos corresponden a la presión externa. La ecuación (6) es la de la onda sonora. La constante a detennina la am plitud de la presión.

>


fuerza electa Un diapasón produce un sonido simple que tiene una amplitud de la presión de 0.02 din/cm2 y vibra a 250 ciclos por segundo. La onda so nora producida tiene una ecuación de la forma (6). Como la amplitud de la presión es 0.02 din/cm2, a = 0.02. Debido a que la frecuencia es 250 ciclos por segundo, V

ITT

= 250

b = 5007t

CAPÍTULO 7

414

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PK NÚMEROS REALES P o r ta n to , u n a e c u a c ió n d e la o n d a s o n o ra es

F(t) = 0 .0 2 s e n 5 0 0 tu

f e

r

EJERCICIOS 7.4 £>i los ejercicios 1 a 6, la ecuación describe e l m o v i miento armónico sim ple d e un cuerpo suspendido d e un resorte que vibra verticalmente, donde f ( t ) centím etros es la distancia dirigida del cuerpo desde su po sició n central (el origen) a los t segundos y el sentido p o sitiv o es hacia arriba. Para cada m ovim iento d eterm ine (a) la amplitud; (b) el periodo; (c) la fre cu e n cia y (d ) la p o s i ción del cuerpo en % /^ /3 y t4 segundos. 1. / ( / ) = 3 eos ¿ Jtr, /, = 0, t2 = 2, /3 = 4 , f4 = 6 2. f ( f) * 2 s e n |íc r , f! = 1, r2 '± 2,73 = 3, t4 = 4 3. / ( / ) = 5 sen 2/; /, = 0, t2 = £ ji, /3 =

jjc , /4 = |tü

4. / ( /) = 6 eos ¿r, /, = 0, t2 = j l t , t 3 =

jTt, /4 = ¿jg

5. / ( / ) = 8 eos jc(2í - j); /, = 0, t2 =

6. / ( / ) = 3 eos 71(3/ +

/,

= 0 , /2 =

/3 = j ,

/3 = j ,

=t En los ejercicios 7 a 10, dibuje la g ráfica de la fu n c ió n del ejercicio indicado y verifíquela en la graficadora. Haga una discusión del movimiento. 7. Ejercicio 1 9. Ejercicio 5

8. Ejercicio 2 10. Ejercicio 6

En los ejercicios 11 a 14, la ecu a ció n d e sc rib e u n a corriente eléctrica alterna, donde /(/) am peres e s la c o rriente a los t segundos. En cada ejercicio, (a) tra ce la gráfica de 1 para / ( < t á t ¿ determ ine (b) la c o rrien te máxima; (c) la frecu en cia y (d) la corriente en t{, tj, /j y t4 segundos.

14. /(/) = 0.3 sen 650/; /, = | , ^ = 4 ,^ * 1

U =

10

U

*

0.2

12. I(t) = 20 sen 240n/; /» = 0.01, t2 * 0.03,

/j * 0.05, t4 * 0.07 13. I(t) = 0.6 sen 400/; /, * 1,1} • 3.5,/j • 8,

t4

*

10

***£ art*®*

£>i ¿os ejercicios 15 a 18, E(t) volts es b fu eru t^ |

acriba una

m o triz a lo s t segundos. En cada ejercicio, fajtaj gráfica d e E p a ra t { < / < /*/ determine (bl ¡afueri* |

desu movimi«

tro m o triz m áxim a; (c) la frecuencia y id)

i

electro m o triz a los /,. t2, /3 y t4 segundos.

: *(b) Trace

15. E (t) — 2 2 0 sen 120irt; t¡ = 0.01, h = 0.05 h = 0 .0 6 ,1 4 = 0.1 16. E (t) = 110 sen 120ir/; /i - 0.02, h ~ QiB. h = 0 .0 4 , h = 0.05 1 7 . E ( t) = 8 sen 3 32/; /, = 0.05, k = 0.15. h = 0 .2 5 , t4 = 0.35

gami li P® «cododBM fcdtnwin iaincisos(c) várame. E li cuerposus

18. £ ( / ) = 4 0 sen 5 1 0 / ; / ( = 1.2,/2 = 2,6*2

Me. El cuei

t4 jfr 3 .6 E n lo s e jercicio s 19 a 22, la ecuación descmil

toptaanuenti

ion» atoen

o nda p ro d u c id a p o r un sonido simple donáeF{i)kI a fwwón u p o r centím etro cuadrado es la diferencia entrekpl "=3.2. Elmo

^pofunaecuai ^/« cen l los t segundos. E n cada ejercicio, (a) tracelagrifa*1 ^desdes p a r a /, / £ t ^ determ ine (b ) la amplitud è h F l y el se sión; (c) la frecuencia y (d) la diferencia e*l\ ^ ea ae ai presión atmosférica y la presión del aire en
2 0 . F(t) = 0 .0 4 sen 200ir/; /, = 0.001, h sftít

h = 0 .0 0 3 , t4 = 0.004 2 1 . F(t) = 0 .0 2 sen 600 /; /, = 0.002./:= ^

h = 0 .0 1 8 , 11. /(0 = S sen 30n/; /, = 0.05, t2 = 0 .1 ,/ , = 0.15,

«üy

, ^— UD üenSto ri |

t4 = 0.054

■ P S

2 2 . F(t) = 0 .0 0 6 sen 2400/; /. = 0.005, h = /3 = 0 .0 1 5 , /4 = 0.020.

■

Ü

:¡i T*0 central.

I

C á le le ,

M

23. Un c uerpo suspendido de un resorte se Ita un punto situado a 2 cm por arrib* ción central y luego se libera. El cuflp0 co m pletar una vibración, (a) Escriba q u e defina / ( /) , donde f(t) centímetros ^ ^ 1 e ia d iricida del cuerpo desde su posK*" |

1^ ^ gjt ^ ¡^ ió ii (je í !e9ie

7.4 APLICACIONES D i LAS F U N C IO NES SENO Y COSENO A FENÓM ENOS PERIÓDICOS

es 10 ampere para la primera vez cuando t = Escriba la ecuación y trace la gráfica de I.

ndos después del inicio del m ovim ien to y el positivo es hacia arriba, (b) T race la gráfica ^ / giHplee la gráfica para estim ar la p o sició n del I

(C) -i s después de iniciado e l m ovim ien to y

i (á) >s después de iniciado el m ovim iento. V erifii estimaciones de los in cisos (c ) y (d) calcu!

respectivamente.

L yn Qjerpo suspendido de un resorte se pone en movimiento vibratorio tirando de él hacia abajo 4 i ^ desu posición central liberándolo enseguida. El i ogrpo tarda 1.5 s en completar una vibración, (a) Escriba una ecuación que defina /(O , donde /( /) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desI desuposición central t segundos después del inicio del movimiento y el sentido positivo es hacia arri ba. (b) Trace la gráfica de f Emplee la gráfica para estimar la posición del cuerpo (c) 1 s después de iniciadoel movimiento y (d) 2 s después de iniciaI doel movimiento. Verifique las estimaciones de [ losincisos (c) y (d) calculando/( 1 ) y /( 2 ), respecti vamente. h Uncuerpo suspendido de un resorte vibra verticalmente. El cuerpo pasa por su p osición central, c o n forme asciende, cuando

t

= 2,

y

logra

un

desplazamiento máximo de 9 cm; d esp u és pasa por suposición central, conform e d e sc ie n d e , c u an d o

t = 3.2. El movimiento es arm ónico sim p le descri bí» unaecuación de la form a/(í) = a eo s b (t - c) donde/(/) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central desp u és d e t se-

415

28. Un generador eléctrico produce una corriente alter na de 30 ciclos que alcanza un máximo de 50 am pere y está descrita por una ecuación de la forma /(/) = a sen b(t - c), donde /(/) ampere es la corriente a los / segundos, y la corriente es 25 am pere por primera vez cuando t = 0.01. Escriba la ecuación y trace la gráftea de /. 29. En cierto circuito eléctrico la fuerza electromotriz es E(t) volts, donde E(t) « 110 sen 120m, y la corriente es /(/) amperes, donde /(/) = 55 sen 120ji (/ - rjr). Dibuje las gráficas de E e / en el mismo sistema de ejes coordenados. Compruebe las gráficas en la graficadora trazándolas al mismo rectángulo de inspección. ¿Se atrasa o adelanta la corriente y por cuánto? 30. Haga el ejercicio 29 considerando EXf) = 220 sen 60iu e /(/) = 44 sen 60tc (í + -j¿¡). 31. El número de dinas por centímetro cuadrado de la diferencia entre la presión atmosférica y la presión del aire en el tímpano, a los t segundos, producida por una onda sonora particular, está descrita por la ecuación F (t) = 5 sen lOOrc (/ (a) Trace la gráfica de F. Determine (b) la amplitud de la presión y (c) la frecuencia. Obtenga la diferencia entre la presión atmosférica y la presión del aire en el tímpano a los (d) 0 s; (e) 0.01 s y (f) 0.015 s.

Nos, y el sentido positivo es hacia arriba. E n centre esta ecuación y trace la gráfica d e f cuerpo suspendido de un resorte vibra vertical-

^ ^

Suponga que el cuerpo pasa por su p o sició n

*8tral a los 3 s y 7 s. Entre estos tiempos el cuerpo * * 8 dos veces un desplazamiento máximo de

:0 #

33.

sobre su posición central, y logra una v e z un ^Pâmiento máximo de 10 cm por debajo d e su central. El movimiento es arm ónico sim descrito por una ecuación de la form a / ( / ) = c), donde / ( / ) centímetros e s la distan®ngida del cuerpo desde su p osición central a •J'cgundos, y el sentido positivo e s hacia arriba, esta ecuación y trace la gráfica d e / . M*neme alterna de 60 ciclos está descrita por de la forma /(/) * a sen b(t - c), 11amperes es la corriente a los l segundos, máxima es 20 ampere, y la corriente

rió*1

32. Resuelva el ejercicio 31 considerando F (t) = 3 sen 880rc (/ + -¡¿¡j). Suponga que el movimiento de una par tícula a lo largo de una línea recta es ar mónico simple y está descrito por una ecuación de la form a 5 (0 = a sen b(t - c), donde S(t) centím etros es el desplazamiento de la partícula desde un punto fijo (el origen) a los i segundos. En Cálculo se demuestra que si V(f), centímetros por se gundo, es la velocidad de la partícula a los * segundos, entonces V(t) = ab eos b(t - c); y si A (t) centímetros por segundo por segundo es la aceleración de la partícula a los t segundos, entonces A(t) - - a b 2 sen b(t - c). Si una ecuación que des cribe el movimiento es S(/) = 2 sen (/ - 1), de termine la posición, velocidad y aceleración de la partícula a los (a) 0 s; (b) 1 s; (c) 2 s; (d) 3 s y (e) 4 s.

//I

SÉ

416

34.

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE NUMEROS REALES

ción del ejercicio 1, como se hi^ ilustrativo 1.

H a g a e l e je rc ic io 3 3 c o n s id e r a n d o 5 (/) * 4 s e n x * (t

+ 2 ).

36. Siga las instrucciones del ejercicio35 miento de un cuerpo, descrito por U S ejercicio 2.

3 5 . R e a lic e u n a d i s c u s i ó n d e l m o v i m i e n t o a r m ó n i c o s im p l e d e u n c u e r p o , d e s c r i t o p o r l a e c u a

7.5 OTRAS GRAFICAS QUE IMPLICAN A LAS FUNCIONeT SENO Y COSENO OBJETIVOS

1. D eterm inar propiedades de la gráfica de una funciónque ¡ describe movimiento armónico amortiguado. 2. D eterm inar propiedades de la gráfica de una funciónqyc describe resonancia. 3. D ibujar la gráfica de la función definida por f[t) =— , 1

En la Sección 7.4 se estudió el movimiento armónico simpiecoafl indefinidamente, repitiendo un ciclo cada intervalo de longíndJ un período. Tal es el caso del ejemplo 1 de dicha sección, eadoii cuerpo suspendido de un resorte se mueve verticalmentehiaii»| hacia abajo, y una oscilación completa ocurre cada intervalo4.' Sin embargo, en la práctica, la fricción podría ocasionar queli* tud del movimiento disminuya hasta que el cuerpo llegue alesÉi reposo. Este es el caso del movimiento armónico amorté cual puede ser descrito por el producto de una función senoidal.» función no constante denominada factor de amortiguan»®^ factor causa el decrecimiento de la amplitud. Un factor dea®# miento importante es una función exponencial cuyos valores*1 ximan a cero conforme la variable independiente crece s» ejemplo siguiente ilustra el efecto de este factor.

►

EJEM PLO

1

j i

D e te r m in a c ió n d e d e u n a f u n c i ó n q u e d e sc rib e m o v w * a r m ó n i c o a m o r tig u a d o

Las tres funciones F , f y G se definen por F {í) = - e - " *

f ( t ) = e~,/4 sen 41

G(t) * ‘

donde / > 0. L a función / e s un modelo m a tem átic o qUt vimiento armónico amortiguado. (a) Muestre que F(t) < f ( t ) < G(t). , (b) Trace las gráficas de las tres funciones en el rec ción de [0, 2tc] por [—1, 1].

I

i f

7 .5

OTRAS GRÁFICAS QUE IMPLICAN A LAS FUNCIONES SINO Y COSENO

417

(c) Determ ine algebraicamente los valores de t de todos lo s puntos de intersección de la gráfica de / con las gráficas d e F y G . ¿Cuáles de estos valores están en el intervalo [0 ,2 n ]? (d ) Determ ine todas las intercepciones t de la gráfica de f ¿Cuáles de estas intercepciones están en el intervalo [O, 2tc]?

Solución (a) La fu n c ió n /e s el producto de dos funciones. Com o | sen 4 / 1 £ 1 y e ~ t,A > O para toda t, | / ( / ) | < e~ ^4

para toda t

A sí, —é ~ t,A ^ f ( t ) ^ e~ ,,A

para toda t

E sto es, F (t) < /(O £ G{t)

[0.2x] p o r [—1 .1 ]

(b) La Figura 7 .5 2 muestra las gráficas requeridas. Observe que la gráfica d e / e s t á entFe las gráficas de F y G. (c) La gráfica d e/in tersecta a la gráfica de G cuando sen 4r = 1. Como sen x = 1 cuando x = j i í + 2k n , k € Z, entonces sen 4 t = 1 cuando

J[t)=e ' ,/4s c n 41,

41 = \

tt

+ 2 k ir

k G Z

t = \

tt

+ \k ir

k E Z

y 0 (i) = e -° A

FIGURA7.52

Para valores d e t en [O, 2tc], sea A igual a O, 1 ,2 y 3, para obtener, respectivam ente,

t

=

¿ 7 r

+

Ü 7T

í

=

o 7T

+

t

7T

¿7T +

|7 T

= ¥* La gráfica d e /in te rse c ta a la gráfica de F cuando sen 4 1 = -1. Como sen x = -1 cuando x = jn + 2bc, k € Z, entonces sen 4/ = -1 cuando 4 / = §77 + 2*77 t

—

§77

+

5^77

k e

Z

k £

Z

Para valores de t en [O, 2n], sea k igual a O, 1, 2 y 3, para obtener, respectivamente, § 77 - f 0 7 7

|

IT T

+

7T

f

=

§ 7T

+

|

77

(d) La gráfica de / intersecta al eje t cuando sen 4f = 0. Como sen x = 0 cuando x = k n ,k G Z, entonces sen 4f = 0 cuando, 4 / = ¿77 / = i A:77

F U N C IO N E S

418

TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS R iA lll

caHtulo JL

Para valores de t en [0, 2n], considérense fin de obtener, respectivamente, respectivam los valoreVa!ore$ de sjguicme, n ,ín ,¡ n ,ln y 2 n . Observe que los valores de / en el i en los incisos (c) y (d) son los mostra
► E JE M P L O 2

D e t e r m i n a c i ó n d e p rop ied a de s ó* le ^ d e u n a f u n c i ó n q u e describe resonando

Las tres funciones F , f y G están definidas por F {t) = —2'

f ( t ) = 2‘ eos 41

G{t) = y

donde t > 0. La función / es un modelo matemático quedecr sonancia. (a) Muestre que F(t) <¡ f ( t ) < G(t). (b) Trace las gráficas de las tres funciones en el rectángulode* ción de [0, k ] por [-10, 10]. J (c) Determine algebraicamente los valores de t de todost e p j intersección de la gráfica de / con las gráficas de r y £*1 de estos valores están en el intervalo [0, *]? ^ (d) Determine algebraicamente todas las intercepciones / ^ de/. ¿Cuáles de estas intercepciones están en el in

Solución (a) Como | eos 4f | < 1 y 2‘ > 0 para toda t, \ f ( t ) \ ^ 2‘

para toda/

En consecuencia, —2' < f ( i ) < 2' 10, n] por [ - 10. 101 f (') = - 2 ', /(O = 2 ' eos 4/,

y G(o= v T O U R A 7.5 3

toda t

Esto es, F (t) Z / ( /) ^ G (t)

trazada®

(b ) L a F ig u ra 7 .5 3 m u e stra las gráficas “ “T íficas d o n d e la g rá fic a d e / s e encuentra entre

5 OTRAS GRÁFICAS QUE IMPLICAN A LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

419

(c) La gráfica d e / corta a la gráfica de G cuando eos 4 t - \. Como eos x = 1 cuando x = 2kn, k € Z, entonces eos 4 1 = 1 cuando 4r = t =

2Jbr k G

Z

k G

Z

\k ir

Para valores de t en [0, 7t], sea k igual a 0, 1 y 2, a fin de obtener, respectivamente, los valores siguientes de t: 0, -n , k . La gráfica d e/in te rse cta a la gráfica de F cuando eos 4f = -1. Debido a que eos x = —1 cuando x = (2k + 1)71, e Z, entonces eos 4f = —1 cuando 4t =

(2k + \ ) i r

k G Z

' =

(é * + i)?r

* E Z

Para valores de t en [ 0 ,7t], sea k igual a 0 y 1, para obtener, res pectivamente, t = j K y t = |j i . (d) La gráfica d e /c o r ta al eje t cuando eos 4 1 = 0. Como eos x = 0 cuando x = jrc + k n ,k € Z, entonces eos 4r = 0 cuando 4 / = |7 f + fcfr

k G Z

/ = ¿7T + ^ 7 T

k E Z

Para valores de t en [0, tc], sea á: igual a 0, 1. 2 y 3, a fin de obte ner, respectivamente,

t

=

Í7 T

=

¿ ir

+

0 7 T

t

=

¿7 T

=

+

|i r

Í7 T

t

=

|7 T

+

= fir

|7 T

í =

^7 T

+

J7 T

= Jl7

Observe que los valores de t en el intervalo [0, tc], obtenidos en los incisos (c) y (d), se muestran en la gráfica del inciso (b). < En el ejercicio 49 de la Sección 7.3 se presentó la función defini da por

y se le pidió calcular valores de/(f) para valores pequeños de t. Dichos valores de la función sugieren que /(/) se aproxima a 1 conforme t se aproxima a 0, esto ocurre y tiene importantes consecuencias en Cálcu lo. En ese ejercicio también se le pidió que trazara la gráfica de / e n la graficadora. En el ejemplo siguiente se muestra cómo dibujar, a mano, la gráfica de dicha función.

420

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i NÚMEROS REAUS

► EJEM PLO 3

D i b u j o d o l a g r á f i c a d o u n a funtH* I m p o r t a n t e * n C á lc u lo

M

Dibuje la gráfica de la función definida por sen /

(S i0Tracel6 '^¿oámpeo ^ ^/bramente¡ '¿tcaátJtlagi

/» « parar € [- ti, 0) U (O,*].

Solución

Observe que /(O) no existe. Así, la gráfica nocatu vertical. Además, como sen(-f) = -sen /, se tiene -

ñ -ñ

r jefe*®»

. '¿es¿tutosval . -fc m algebra*

sen(—t) —I

sen/

ifli)=*■''’eos4í i *¡¡)=T,!i eos4i

—t

_ sen / /

15.(!¡)=c'"8sen3í;

= / ( ')

4A/}=í”'/6eos 3/ Por esto ,/es una función par; es decir, su gráfica es simétricaca»| Ifíil - f !teos 8/ pecto al eje vertical. Primero se obtendrá la porción de la grifía I i/líl =3'^sen6f; / € (0,7i]. Si / > 0, y como | sen 1 1 < 1, entonces üknjircicios9a16, —

1

sen / 1 < ----- < —

t

t

pe ¡¡escribe "et ¡¡(míe: (a) lA Mxt lasgráficasde inspecciónindie

t

Sea

** fai MÍTO F{t) «

G (t) =

Entonces si / > 0, F(t)

lagrafie, ■'■WSdeestosvaloi

jj* ?“*parece«

.^ a lg e b m ’¡¡mi*!.»

/( /) £ G(t)

y para valores positivos de /, la gráñca de/está entre las gráfc**, G. Como sen j tc = 1, la gráfica de/ corta a la gráfica deGe*í' :1 Debido a que sen ti = 0, la gráfica de / intersecta al eje t * También, cuando 0 < / < tc, sen / > 0. Por tanto, en el Âi J!*W0-10| la gráfica está sobre el eje /. A partir de esta información, A j nar algunos valores de /(/) en (0, tc) y trazar sus puntos con*S¡¡* tes, se dibuja la gráfica d e /e n el intervalo (0, tc] como se la Figura 7.54. La porción de la gráfica en f—tc, 0) se propiedades de simetría. El punto abierto del eje vertical /(O) no está definido.

7.5

OTRA» GRÁFICAS QUE IMPLICAN A LAS FUNCIONES SINO Y COSINO___ 421

I a 8 , la fu n c ió n f e s

****** fá r ib e

:a no corta al tJt

u n m o d e lo m a te m á -

m o v im ie n to a r m ó n i c o

a m o r tig u a d o .

14. f ( t ) - t eos 31 \ F{t) -

En

G(t) * /;

[0, 2ir] por [-10,10]

\jtrciciohaga lo siguiente: (a) Muestre que F(t) £ / 15. (b) Trace las gráficas de las tres funciones en de inspección [ 0 , 2n] p o r [ -\, 1]. (c) Deter16. ¡¿otbnúcamente los valores de t de todos los puntos ^¡ección de la gráfica de f con las gráficas de F y 17. fgÜesde estos valores están en el intervalo [ 0 , 2 n]? ‘Determinealgebraicamente todas las intercepciones t ^gráfica
/(í) = 4,/6 eos 6/; F(r) = - 4 ,/6; G(t) = 4,/6;

¿elvurnio (0 ,2 ti]?

es importante en Cálculo. Observe que /(0) no está definido. En el ejercicio 50 de la Sección 7.3, se le pidió que calculara valores de/(/) para valores peque ños de t. Estos valores de la función sugieren que /(f) se aproxima a 0 conforme t se aproxima a 0. También, en ese ejercicio, se le pidió que trazara la gráfica de f en la graficadora. Ahora dibuje a mano la gráfica de/ para t € [-n, 0) U (0, *].

| /(,) = f 12sen 2t\ F(t) = - e ~ ,/2\ G (t) = < T
hilii = e - * ^ t ’h m

2 " '4

G(t) = e-"*

[0, 2ir] por [-5,5] f ( t ) = 3l/l sen8/; F(t) = - 3 ,/3; G(t) = 3^;

[0, 2ir] por [-10.10] (¡A y

La función definida por

Jlm m

f(t)

|i/(/) = * ',/6co s 3 /; F{t) = . - é T ,/6 ; G(t) = e~,/6 G{t) = ¿ T ,/4 métrica con res- i7./{í) = e~'IAeo s 8 /; F(t) = t la gráfica para !/(/) = 3_,/3 sen 6f; F{t) = - 3 " /3 ; G(t) = 3 ~ r/3 lulos ejercicios 9 a

16, la función f e s un modelo ma-

Hmtico que describe resonancia. En cada ejercicio tyfl lo siguiente: (a) Muestre que F(t) £ f( t) £ G(t). láncelas gráficas de las tres funciones en el rectánpo deinspección indicado, (c) Determine algebraicaNfe los valores de t de todos los puntos de A cción de la gráfica de f con las gráficas de F y &¿Cióla de estos valores proporcionan puntos de in•tow i que aparecen en la gráfica del inciso (b)? wemine algebraicamente todas las intercepcio; gráfica de f. ¿Cuáles de estas intercepciones r ® 1m lagráfica del inciso (b)?

¡ N * 2 ' s c n 4 f ; F(t) = - 2 '; G(t) = 2‘; ts g ráficas á c f ) de G en í = ;*• J M por[-10, 10] eje f en / * s' i? =, ? 008 5 í’ F(0 * ~ 2 ' ; G(t) = 2 '; 1intervalo (0,**- Ll , , l por[-10,10] ón, y al dew®1 0 0 1 * “ c'; G(f) = 5 correspondió , Por [-30,30] io se muestra <* je obtiene de ^ ¿ « I ' * * 1’® = ~ ^ '/2; G (/) = e '/2; ^ 1P°r [-10,10] rtical indicad u,

4

!0'¿ U n?/; f{,)== * * 1-10,10)

W - li

dy] En los ejercicios 18 a 22, (a) trace la gráfica de la función para t € [ - 11, 0) U (0, «]. (b) La fun ción no está definida en t = 0, pero ¿a qué valor pare ce aproximarse /(/) conforme t se aproxima a 0?

II dg

Determine los valores siguientes en la calculadora: (c )f(0 A ) y f ( - 0 . \ ) ; (d )f(0 .0 \)y f(-0 .0 l); (e)f{ 0.001) y /(-0.001). (f) ¿Son acordes los valores de los incisos (c)-(e) con la respuesta del inciso (b)?

18. f ( t ) ~ 20. f ( t ) = 22. /( /) =

eos t sen t sen 2/

19. f(t ) = ...

1 - eos t t2 2 sen t

= TcóTÍ

. t

1 - eos 4/ t2

23. Sea/(/) = eos2 1 y g(t) = j êos 2l (a) Trace la gráfica de / en el rectángulo de inspección de [-2*. 2n] por [-2, 2] y describa lo que ve. (b) Trace la gráfica de g en el rectángulo de inspección de [-2n. 2«] por [-2, 2] y describa lo que observa, (c) ¿En qué se asemejan las gráficas de los incisos (a) y (b)? Verifique la respuesta trazando las gráficas de f y g en el mismo rectángulo de inspección. 24. Siga las instrucciones del ejercicio 23 considerando /( 0 = sen2f y g { t ) { eos21.

422

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE NUMEROS REALES

7.6 FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECAN* Y COSECANTE i O B JETIVO S

1. 2. 3. 4.

D efinir la función tangente. D efinir la función cotangente. D efinir las funciones secante y cosecante. C alcular los valores exactos de las funciones tange«* cotangente, secante y cosecante de los números cuando están definidos. 5. C alcular los valores exactos de las funciones taageatt. cotangente, secante y cosecante para 6. A proxim ar valores de las funciones tangente, coüep^ secante y cosecante en una calculadora. 7. D eterm inar el cu ad ran te que contiene al punto tainiidt I un arco a p a rtir de los signos de las funciones trigooonáJ de la longitud del arco. 8. A prender las ocho identidades trigonométricas fundam entales. 9. E n co n tra r los valores de las otras cinco funciono trigonom étricas de un núm ero cuando se ha dadodvárél u n a función del núm ero. 10. E scribir u n a expresión trigonométrica en términos debí funciones seno y coseno.

Las otras cuatro funciones trigonométricas (o circulares) está das en términos de las funciones seno y coseno. La primendee*f la tangente (se abrevia tan), expresada como el cociente delse*.'* seno.

DEFINICIÓN

Función tangente

Si t es un número real y eos r * 0, entonces tan r = sen t eos t

Los valores de t para los que eos t = 0 son + ** Enpart.cular, cuando k = 0 ,1 * + kn = ¿ * ;Í * * - - 1 , j n + la t = — L7c; ¿ m 2 I j i + Ah = 1 * * ^ mente. Estos nümeros se excluyen del dominio de porque cero no puede emplearse como un div tso rA sj^^ el dominio de la tangente es ( / 1 / #

6*

7.6 FUNCIONES TANGENTE. COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE----- 423 C om o - 1 ^ eos í < 1 y - 1 £ se n t £ 1, | tan / | pu ed e hacerse tan grande c o m o s e d esee al tomar valores d e t, tales qu e e o s t s e apro xim e lo su ficien te a cero. En particular, si t está próxim o a j n , sen t está p r ó x im o a 1 y | e o s / | e stá p róxim o a cero. En c o n se c u e n c ia , | tan t | e s grande. C uando t está próxim o a ¿tc y e s m enor que ¿ n , en tonces tanto sen t c o m o e o s t son p ositivos, y así, tan t e s positivo. Cuando / está p róxim o a ¿ n y e s m ayor que j n , entonces sen t e s posi tivo y e o s t e s negativo y , en consecuencia, tan t e s negativo. D e esto se d ed u ce qu e e l contradom inio d e la función tangente e s el conjunto de núm eros reales. A l em p lear la d efin ición d e tan t y los valores d e sen t y e o s t da d os en la T abla 1 d e la S e c ció n 7.1, se obtiene tan t en los números

7

cuadrantales 0 , ^tc, n y | C. S e tiene

tan 0 =

sen 0

tan 7T —

eos 0

= 0 ?

” 1

sen ir

eos 77 _0 -1

= 0

= 0

71

7

C o m o e o s 1 y e o s |t c so n cero, en ton ces tan j i y tan | t i no están de finidos. E sto s resultados se resum en en la Tabla 1. S e pu ed e determ inar tan t cuando t e s igual a | C, l c y j c a partir del se n o y c o se n o d e e sto s núm eros dados en la T abla 2 d e la S ección 7 .1 . Por tanto, sen z r sen ï tan = ta n z tt

7 7

7

eo s g 7T

7 77

7

77

COS

577

eos

\

1

2

V2

V f

1

1

2

V2

9

1

= 1

i

77

V3 2

= V3

V 3

E stos va lo res, a s í c o m o lo s d e tan 0 y tan |7 t, se resum en en la Tabla 2. C o m o (e o s /, se n t) e s un punto (x, y ) d e U, ta n t = x D e e sta m anera, el valor d e tan t puede encontrarse determ inando las coord en ad as del punto term inal del arco que tiene longitud t.

>


La Figura 7.55 m uestra tres puntos de U para los cuales t = ! = - ¿ 7 l y t - - 17t. E sto s p u n tos son sim étricos de lo s pu ntos del prim er ctía

424__

CAPÍTULO 7_ FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES

drante para los cuales * B í*» f * ¿ f f y f « 1 tir de las coordenadas de estos puntos se o b ¿ ^ " eipec|* ^ * tan -7 T - -

3

x

t a n (

-

H

=

H -

¡

2

2

- I 2

V i 2

A

a

i

V3

'

i

I

1

--V 3

V3

La función cotangente (se abrevia coi) se define comn del coseno y el seno.

DEFINICIÓN

F u n c ió n c o ta n g e n te

Si t es número real y sen f * 0, entonces C O W =

sen t

Los valores de / para los cuales sen t = 0 son Ax, dondei € 2 estos números se excluyen del dominio de la función cotange*: consecuencia. el dominio de la cotangente es {t ¡ t * kit,k e Z) Como en el caso de la tangente, el contradominio de laccMW es el conjunto de números reales. 1 |^°S| val°res de función para la cotangente cuando t es ip*1J ¿K ¿n,, -it, Ijc, y I * pueden determinarse empleando la cot t y los valores de función para seno y coseno dados en Ut*®* 2 de la Sección 7.1. > E J E M P L O IL U S T R A T IV O 2

se n g ir

(b )c o tÍ7 r = ^ 4 sé n io r

y ¡ 2

j l

*1

V2

„0

1

2 ^

V2 = i

¡

FUNCIONES TANGENTE. COTANGENTE, SECANTI Y COSECANTI

425

C om o sen 0 y sen n son cero, entonces cot 0 y cot n no están defi nidos. 4 Cuando sen t y eos t son diferentes de cero, entonces eos t _ 1 sen t sen t eos t Por tanto, cot t = -----tan t

si t * | kn, k G Z 2

Esta ecuación es una definición optativa de la cotangente, y debido a esta relación, la tangente y la cotangente son funciones recíprocas. El seno y el coseno también tienen funciones recíprocas, y ellas son la co secante (se abrevia ese) y la secante (se abrevia sec), respectivamente.

DEFINICIÓN

Funciones secante y cosecante

Si t es núm ero real, entonces (i) sec t - —— eos t (ii) csc t = —-— sen t

s it * \

k

2

+ kn, k E Z

si t ¿ kn, k E Z

Observe de la definición que el dom inio de la secante es {1 1 t * - n + kn, k € Z )

y el dom inio de la cosecante es {/ J r * fot, & € Z ) Como I eos t I < 1 para todo número real f, entonces I sec / I > 1 para todo t en el dominio de la secante. De modo que el contradominio de la secante es (-o o , - l ] U [1, +oo). De igual manera, como I sen 1 1 < 1 para todo número real /, entonces, | csc / I > 1 para todo t en el domi nio de la cosecante y así, el contradominio de la cosecante es también (-oo, -1 ] U [1, +oo).

7 426

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS P i N Ú M itO S

c a p ít u l o

¡T~e je m p l o I l u st r a t iv o 3 (a) sec

1

0

0

eos 1 1

(c) CSC f 7r = ------— sen j 7r *

-1

(f) csc( ~ 3ir) =

(e) s e c ( - g tt) = — 7— ¡— r COS( g 7r) 1 "

2

2 "

V 3

Com o eos ± n y eos |t c son cero, entonces sec jxy sec|x»*j definidos. Además, com o sen 0 y sen n son cero, entonces csc0*aj no están definidos. De nuevo, aplicando el hecho de que (eos t, sen f)o * n (x, y ) de U,

cot t = ?

si y

o

csc/ = : -

8

a

Por tanto, los valores de estas funciones pueden hallar#^11^ las coordenadas del punto terminal del arco cuya longi ---- -------------------------------- ------------------------EJEM PLO 1

D e te rm in a c ió n d , fu n c io n e s trig o n o m é trfc c o o rd e n a d a s d o u n Pun

y

Encuentre la tangente, cotangente, secante y cose ^ |oo£*^' nando las coordenadas del punto terminal del arco

Solución

La Figura 7.56 muestra el punto te ! *» y para este punto (jc, y ) = ( - y , {)■Por lant0.

7.6 FUNCIONES TANGENTE. COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE

tan

75 7r 6

y

—-

cot -

x

5

X

6

.y

5 1 sec - i r — 6 x

t t ------

1 _ _ L V5

427

5 1 ese - ir — 6

y

V3

1

1

= _ ! _ i

_V5

T

2

2

2 1 "V 3

>


A fin de evaluar tan 1.205 en una calculadora en el modo de radianes, se presiona la tecla| tan] y se lee tan 1.205 « 2.610727883 Al redondear a cuatro dígitos significativos se tiene

4

tan 1.205 * 2.611

Las calculadoras, generalmente, no tiene teclas para cotangente, secante y cosecante. Para obtener valores de cot t, sec t y ese t se em plean las identidades 1 cot t -- -------tan t

>

1 sec r ---------

eos t

1 ese í =?----sen t


A fin de determinar ese 0.562, se aplica la identidad ese 0.562 = ----- TTTTñ sen 0.562 y de la calculadora, en el modo de radianes, se tiene ese 0.562 » 1.876596357 Al redondear a cuatro dígitos significativos se obtiene ese 0.562 = 1.877

► EJEM PLO 2

A p r o x im a c ió n d o v a lo r o s d o f u n c io n e s t r ig o n o m é tr ic a s e n u n a c a lc u la d o r a

Aproxime a cuatro dígitos significativos cada una de las siguientes ex presiones: (a) tan 2; (b) cot (c) sec 4.391; (d) csc(-3.672).

4 28

C A P ÍTU LO 7

f l ^ Q MES TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS RIALES___________

Solución A s e g ú r e se d e q u e la calculadora esté en el mo^r. dianes. R ed on d ee ca d a entrada a cuatro dígitos significativo« *> (a ) tan 2 Segundo cuadrante

2 .1 8 5

ta n jF

Primer cuadrante

sen i (♦) CSC I (+ eos / (-) sec I u n / (-) cot / (-)

l

(b )

ese t (+) sec / (+) col l (+)

0.7975

1 (c ) s e c 4 .3 9 1

e o s 4 .3 9 1

(d ) c s c ( - 3.672) =

- 3 .1 6 6

ese I (-) sen i (-) ese t (-) sec I (-) |cos / (+) sec / (+) cot t (+) tan t ( - ) cot t (- ) Cuarto cuadrante Tercer cuadrante

sen i (-) eos t (-) tin t (+)

FIGURA 7.57

El sig n o (+ o - ) d e cad a una d e las seis funciones trígooonáj del núm ero t e stá d eterm in a d o p or e l cuadrante que comieae^|3 terminal d e l arco d e lo n g itu d t. L a F igura 1 5 1 muestra un en cada uno d e lo s cu atro cuadrantes. Sobre los símbolos de b J bles x y y están su s s ig n o s , d eterm in ad os por el cuadrante e i d « i encuentra el pu nto. T a m b ié n en la figura se indica el signo deb j c io n es en cad a u n o d e lo s cuadrantes. L a Tabla 3 resume kxi para lo s sig n o s, p resen ta d o s e n la figura. Observe que cuando dq d e una fu n ción e s d eterm in a d o por un cuadrante específico, a h recíproca tendrá e l m is m o s ig n o e n e s e cuadrante.

Tabla 3 Cuadrante

Primero Segundo Tercero Cuarto

sen t

eos t

tan t

+

+

+

— —

—

+

—

► EJEM PLO 3 **

+ -

cot/ 1 sec/ — -----i-----+ ♦ “ I + I — 1 ♦ ____i___

5 { ! * I l— *-**

Determinación del cuadrante qt* punto torminal de un arto

A partir del sig n o in d ic a d o d e la fu n ción trigonométrica de ne el cuadrante q u e c o n tie n e al punto terminal del arco de W r (a) sen t < 0 y tan / > 0; (b) e o s t > 0 y c s c f < 0 .

Solución (a) D e la Tabla 3, sen t < 0 en los cuadrantes tercero y cuano. y en lo s cuadrantes prim ero y tercero. A fin de que ambasa nes se cu m p lan , el p u n to d e b e estar en el tercer cuadran^ (b) D e la tab la, e o s t > 0 para lo s cuadrantes primero y ‘ ese / < 0 en lo s cuadrantes tercero y cuarto. De inodo^ lo está en el cuarto cuadrante. En la S e c c ió n 7.1 se presen tó la identidad pitagórica f sen 2 1 + e o s 2 1 ~

1

7.6 FUMCIONIS TANGENTE. COTANGENTE, SECANTE Y COSICAHTi

429

Si eos / * 0, se puede dividir cada miembro de esta identidad entre eos2/ y obtener sen2 /

eos2 /

1

(-5 L V : + , = ( _ L Y \ eos t j

Veos / /

tan2 / + 1 = sec2 / Se puede dividir cada lado de la identidad pitagórica fundamental en tre sen 2 / siempre y cuando sen t * 0. Al hacerlo se obtiene +

1 +

/ eos / y \se n t )

»/ 1 y \se n / /

1 + cot t = ese t Por tanto, se tienen las dos siguientes identidades que son válidas cuando las funciones están definidas: tan2 / + | í: se c2/ 1 + cot 2 / S esc 2i Estas identidades también se denominan identidades pitagóricas. Las relaciones determinadas por identidades pitagóricas e identida des de las definiciones de esta sección, constituyen las ocho identi dades trigonométricas fundamentales. Dichas identidades se emplean frecuentemente para escribir una expresión que implica funciones tri gonométricas de una forma equivalente. Debido a su importancia, se presentan juntas en la siguiente lista. Estas identidades deben memorizarse y reconocerse en cualquiera de sus formas.

Las ocho identidades trigonométricas fundamentales I sen t e s e t = 1 u eos t sec t = 1 m

tan /c o t / = 1 _ sen / eos / eos / cot sen / sen 2 / + eos2 / = tan:1 1 + 1 - sec: 1 + col2 / = CSC*

—— <-> sen t = ----sen t ese t —-— <-> eos t -------eos t sec r —— <-> tan t = ----tan t cot t

IV sen V VI VII VIII

sen2 1 - I - eos2 1 «-> cos21= l - sen21 tan21 - sec2/ - 1 <-> sec2 /- tan2 / = 1 cot21 = ese2/ - ! « - » ese2 1 - cot 2 1 - 1

f u n c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s d e n ú m e r o s r e a

U

s

D otorm lnaclón d . i

► E JE M P L O 4

"

M gonométricos d .? * S i s e n / = - f y c o s / > 0. encontrar e o s / „ •

fu -,,"

r en». .

solución Como sen í < 0 y eos / > 0 , el punió^ 1 longitud r se encuentra en el cuarto cuadrante. De la identidad fundamental VI y como cot / > o eos t = V T ^ sen 21 = V I -(-!)= = V g

ij g iE E S De la identidad fundam ental IV, 1*

sen t eos t

tan t _

•__X.

l a /: - y COI/= -

25

1b: =—y Cü*f = —

4

.5

*

—_1

4

«

lB,s|ycw/ = - ^

3

tn /s .1

D e las identidades fundam entales I y ID,

ye«/

IB'; n„ Dy COS/ = _ 5

cot t

1

sec t

tan t _ 4 3

1

eos t

CSCt = sent

5 4

i Dy / s _u

001

3

- “5

^ > C 0|/a ^

3 seno y coseno anam 98 identidades fundamentales, tefc'l identidades I, j j r y ^ nf on ^ y ° r ftttuenciaquelasotrtc**] fo n d o n es en ^ . n o s h a b i l i t a n para expresar I*01* H ' N t,

s

«no. del cosenVoanET

K

l

V¡ i

%Í*Q

flg l

f e ? !

*

I

m p ío s

térm ino* d o to n o y co t* *

*a cxPresión (a) en términos de sen t y *a os de eo s

r y simplifique: (a) tan2 1 ese t; (V

^ i

I

7.6

FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE

431

Solución íon*i

(a) tan 2 1 ese t = I

(b)

sen t ' 2 eos t

sc/*yc«ci

minaldd^

eos2 1 sen t 800 *

_ gen

e o s2 1 se n

e o s2 /

t

inuriónproporcionada.

17. (a) 18. (a)

ta n 3 ir

(b)

o 0

ta n | tt

(b)

c o t(-J ir)

19. (a) 20. (a)

CSC 5 7T

(b) s e c ( - g T r ) (b) esc jir (b) sec(-|ir)

l n / = | y eos/ * 3

3

(n» = - l y c o s r | y cosr = ~ I =

y cosí = - i i

l2 /

l jt

c o t 5 TT

(b)

CSC \ TT

24. (a)

s e c ( —w )

(b) c o t( — j (b) tan 3 v

ta n

tt

y cosí = — ¿ = ^ Vl3 = -1 y eos / = 0

2 5 . (a ) tan 1.26 (c ) sec 0.34

(b) cot 1.26 (d) ese 0.34

2 6 . (a ) tan 0.57 (c) sec 1.42

(b) cot 0.57 (d) ese 1.42

2 7 . (a ) tan 1.05 (c ) sec 0.21

(b) cot 1.05 (d) ese 0.21

2 8 . (a ) tan 0.18 (c) sec 1.33

(b) cot 0.18 (d) ese 1.33

2 9 . (a ) tan 1.84 (c) co t 3.62

(b) ese 1.84 (d) sec 3.62

3 0 . (a ) tan 4.06 (c ) cot 2.75

(b ) sec 4.06 (d) ese 2.75

3 1 . (a ) tan ^

(b ) s e c ( - g i r )

=

H o 16, encuentre las seis fu n c io n e s número, determinando la s coordetorminal del arco cuya lo ngitud e s e l * Cuy°punto inicial es (1, 0). H tfir W- \tr

c sc (-f v ir)

significativos.

* o y co« f = - i

k¿,

21. (a) 22. (a) 23. (a)

En los ejercicios 25 a 34, utilice una calculadora para d eterm inar e l valor de la función con cuatro dígitos

y cas/ = t, las función* I aras cuatro l> |L as otras c u |

s e c (-jir)

1 Mw

En los ejercicios 17 a 24, encuentre el valor exacto de la función.

l n / = -= y cosí = — £ <2

)«11

eos2 /

jloj (jfrcicios 1 a 10, encuentre los valores exactos ¿(„Iuní, fb)cot t, (c) sec t y (d) ese t, a p a r tir d e la

iw / = — y eos / = ~

ssión íb !- 1

I

i

1 - sen2 f

té + k a *

21

sen2 1

13. - J ir 16. - j f f

(c) c s c ( - ¿ * )

432

CAPÍTULO y

32. (a) t a n ( - j i r )

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS REALES

44. Si tan < = - i y sec < < 0, 0^

(b ) s e c ( - j t r )

e x a c t o s d e s e n / . c o s í , c o t í, ie c /y CJCi

(c) ese \ ir 33.

(a ) c o t

J ir

( b ) s e c ( — 7 -rr)

En lo s e je r c ic io s 4 5 a 50, escriba la e n * térm inos d e s e n t y la expresión (b)

(c) ese ß ir 34.

( a ) c o t { ¡ ir (c)

sec

(b )

«»« ibbioja

tt

c s c ( - f ir)

£h los ejercicios 35 a 38, determine el cuadrante que contiene al punto terminal del arco de longitud t, si el punto inicial está en( 1, 0).

45. (a)

c o t2 í esc í

ib) tan i cici

46. (a)

c o t í sec í

(b) cot^Kc,

.

47. (a)

35. (a) c o s í > 0 y tan / < 0

0y (a) eos í < 0 y (b) sen í > 0 y (b) sc n í <

36.

37.

38.

0 > 0 > 0

48. (a)

c o tí > tan í cot í

49. (a)

sen J t — 77 ta n 1 1 1

-

sec2 /

sec2/ ese* / e o s /c o t/

(a) tan í < 0 y ese í > 0 (b) cot í > y sec t <

50. (a)

(a) tan í > 0 y ese í < 0 (b) c o tí < y sec / >

5 1 . E xprese

0

0

0

0

t a n 2 / -f 1 eos / ta n 2 /

1 - ac‘í CKU COt*! co t2 / C0(2/ + |

seni sec2 <

-1

s e n r ta n /

en términos dea

39. Si eos / = y sen / > 0, encuentre los valores exactos de sen /, tan /, cot /, sec í y ese í.

. « s e c 2 / - c o t2 / . . 5 2 . E x p r e s e --------------;--------- en térmmosdrcai *t

40. Si sen í = y eos í > 0, encuentre los valores exactos de eos í, tan /, cot í, sec t y ese /.

5 3 . E n la Sección 2.1 se definió una »¿nhHrwn ecuación en la que el conjunto soiudéia que el dom inio de la incógnita. Cooseam u n a identidad trigonométrica en la vanHe lida para todo /, para el cual las funcione si* rudas. Establezca cada una de las octo á/t trigonom étricas fundamentales, y p m ai* d ad indique todos los valores de / pnl»*1 identidad es válida.

41. Si tan / = y y sec / < 0, encuentre los valores exactos de sen /, eos /, cot /, sec / y esc /. 42. Si cot í = | y esc í < 0, encuentre los valores exactos de sen /, eos t, tan í, sec í y ese /. 43. Si cot / = - -jj y ese / < 0, encuentre los valores exactos de sen /, eos /, tan í, sec / y esc /.

7.7

PERIODICIDAD Y GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTt OBJETIVOS

1. A prender que las funciones tangente y cotan g en te* 00 periódicas de periodo n. 2. A prender que las funciones secante y c o s e c a n te son periódicas de período 2K. ^ 3. D eterm inar valores de funciones trig o n o m étn la periodicidad de las funciones. 4. O btener la gráfica de la función tangente. 5. O btener la gráfica de la función cotangente.

periodicidad y

GRÁFICAS PE LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y.

433

6. A p ren d er q u e el periodo de una fun ción de la form a tan b t o K

cuentre los v%ei

fyese/,

cot bt es

b l' D ib u ja r la s g ráficas d e las fu n d o n es tangente y cotangente. O b te n e r la gráfica d e la fun ción secante. O b te n e r la gráfica d e la fu n d ó n cosecante. A p re n d er q u e el p eriod o de una función de la form a sec b t o 2n ese b t es 7 7 7 . Io I 11. Dibujar las gráficas de las funciones secante y cosecante.

a expresión (Qj érminosdecfn,

7. 8. 9. 10.

ese/ sec i : s c 21

2t |

P(co»t, sen t)

t

A ntes d e discutir las gráficas de las funciones tangente, cotangente, se cante y cosecan te, se mostrará que estas funciones son periódicas. El concepto de periodicidad nos ayudará a obtener las gráficas. C onsidere lo s puntos P (eos t, sen t) y P (-c o s t, - s e n t) de la cir cunferencia unitaria U. Estos puntos son los extremos de un diámetro, véase la Figura 7 .5 8 , la cual muestra el punto P en cada uno de los cuatro cuadrantes.

LLi ¡/

1

- i tan / in o s de sen t.

nos de eos l

Jentidad como una lución es el mismo 'onsecuentemcnic, la variable / es vi-

P ( - e o s l, - sen/) ----. N»

f o ln f )

^

f r

\ \ \

ixnones están dcü ! > och o identidades

N

/ ’ (-eos I, - seni)

T

1 para cada ¡denti-

1]

0

^

1

0

í

J K

: / para los que P{ eos í, senQS^~~~-

\

P (eos /. sen O

P(-eos (, - sen /)

(d)

(c) FIGURA 7.58

ES ANTE inte son

D e las d efin icion es de tangente y cotangente

e son cas utilizando

sen t

tan t

si e o s t =£ 0

eos t

eos t c o t t ---------sen t

. n si sen t r v

C om o P ( - c o s /, - s e n t) e s el punto terminal de un arco de longi tud t + tan (t +

71, entonces

7r)

=

—e o s t

—sen t

c o t(t + ir) -

—e o s t sen t eos t

—sen t eos t

si e o s t & 0

sen t

si sen

7

f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r ic a s p i n ú m i r o s

REALES

4 3 4 CAPÍTÜLO

Así, tan (í + ir) * tan t

si e o s f *

0

y

Cot(/ +

tt)

cotí

D e estas fórmulas, la tangente y la cotangente riodo es n . A l aplicar repetidamente las teorem a siguiente.

’ * pue^

TEOREMA 1

S i f e s cualquier núm ero real y * e s cualquier entero, "*Í r*' tan(í +

k it ) = tan t

e o t(/ + fai) = cot /

►

E JEM PLO

1

si r * jic + far si f * Atc

A p licació n d e la periodicidad pan -rwtj v a /o r e s d e las funciones tangonk j c o tan gen te

U tilice los valores de las funciones tangente y cotangente cuÉíl t < n y la periodicidad de estas funciones para encontrar a i» los valores siguientes: (a) tan

(b ) c o t|n ; (c) cot Ix y (d) tac -

Solución (a ) tan

17 T =

ta n (|

= tan

tt

+

( b ) COt § TT = COtíflT + *)

tt)

5 7t

cot |

tt

= 1

” V3 (d) t a n ( - ^ ) = tanf

( c ) COt 5 7T = C O t(j 7T + 377-)

= tañé11

= COt 5 TT

P

= 0

con la

see

ffJ l

0

*a secante y de la cosecante estén^ icidad d el co sen o y d el seno. Como ___ L S

t = eos /

si e o s t # 0

v

e se t s

•b.

y----------frffÁflCAS - _PE LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, Si CANTE Y ... entonces s e c ( t + k • 2 ir ) *

CSC( / + k • 2 tt) = —

■; ... .......

+ k ■2ir)

sen u

Pero c o s(/ +

k

t y sen (t

• 2 « ) * eos

sec (r + k • 2 tt)

si eo s(t + k ■ 2

c o s ( / + k ■ 2ir)

eos

t

*)*0

si sen(/ + k • 2 n ) * n

'

u

+ Á: • 2ic) * sen f. De donde

si e o s / # 0

tan t

c s c (/ + k • 2*77) = -----sen/

si s e n / # 0

A l sustituir l /( c o s /) por sec / y l/(sen /) por esc /, se tiene el teorema siguiente.

TEOREMA 2 Si / e s un núm ero real y se c (/

k es cualquier entero,

+ k ■ 2k ) =

c s c (/ +

k

se c

t

si

■ 2n) = e s e

t

si / * ¿rc

/ * jff>

ibt

D el T eorem a 2, la secante y la cosecante son periódicas, y el pe riodo e s 2 n . Ahora nos concentrarem os en las gráficas. El procedimiento para obtener la gráfica d e la función tangente es semejante al que se empleó para el sen o y el cosen o. Debido a que el periodo de la tangente es n, primero se determ inará la porción de la gráfica en el intervalo [0, n\. Para conseguir algunos puntos específicos de la gráfica, se emplean al gunos valores esp eciales de tan t presentados en la Tabla I. La Figura 7.59 muestra los puntos que tienen como coordenadas los pares de números (/, tan r) dados en la tabla, donde se consideró 43 * 1.7 y ~ * 0.6. C o m o tan \ i t no está definido, no hay punto en la gráfica para t - \ n . Pero ¿qué ocurre cuando t se aproxima a Para responder esta pregunta, se em plea la identidad tan / = £ !L Í eos t

CAPÍTULO^JFUNCIONES «laO N O M ÉTR IC AS P I NÚMEROS REALES

Conforme t se aproxima a+Ti, sen t se aproxima a 1 detalladam ente, conform e f s e aproxim a a y 001 *le* i / i —x j *» ■ irav^c ™ k ñores que ¿ n (e sto es, t - n ^ ) , e o s r se aproxima a ^ valores positivos; d e m o d o que tan t crece sin lím t / ° *** "*&* [como ta n t —* + 00

conform e

Conforme t se aproxima a i * a través de valores mayores que*,/ 1 es, f -> -Jn*). eos t se aproxima a cero a través de valores I en consecuencia, tan t decrece sin límite. Esto se denota cono ^ I ta n t —*

5

con form e f —* ir'f

Por tanto, la recta t = I f l e s una asíntota vertical de la gráfica.^ L esta inform ación, se unen los puntos de la Figura 7.59 con unacum se obtiene la gráfica m ostrada en la Figura 7.60. Como ayudap t J bujar la gráfica, se pu eden localizar puntos adicionales de los vi¿| d e tan t o b ten id os m ediante la calculadora. La porción d e la curva en el intervalo [0, ic] se repite paraodaA

1

tervalo del eje t d e longitud n : [« , 2 * ], [2n , 3tc], [ - ti, 0], [-2x, -*] j 1 su cesivam ente. L a Figura 7 .6 1 muestra la gráfica completa.Las» totas verticales son la s rectas q u e tienen las ecuaciones

FIGURA 7.60

<=>

t

=

t

=

J7T + kTT (2 k + l ) i i r

donde k E Z . L o s valores d e t en los que la gráfica corta aleje;;::, los ceros d e la fun ción tangente. E llo s son t = kn, donde k €

/ ( / ) = tan t FIGURA 7.61

Y aW¿ r » r A S p i * * * F U N C I O N E S T A N G E N T E , c o t a n g e n t e , s e c a n t i y .

437

Observe que la gráfica de la función tangente es simétrica con res pecto al origen debido a que la tangente es una función impar; esto es, is t a cero, Más je valores mei por medio (fe ìsto se escribe

tan ( - /) = -ta n t Esta identidad puede obtenerse a partir de las identidades (1) y (2) de la Sección 7.3 com o sigue; tan ( —r)

s que ^ ti (esto res negativos; ;omo

-

sen("~f) c o s(-f)

_ ~ sen t eos t = —tan t

i gráfica. Con m una curva y tyuda para di de los valores

La gráfica de la función cotangente puede obtenerse localizando puntos com o se hizo para la tangente. Sin embargo, un método más fá cil es el que em plea la identidad cot t —

para cada in-2 k , — 7t] y así eta. Las asín-

1 tan t

si t * - kn, donde k € Z. Para un valor de t en los dominios de am bas funciones, una ordenada de la gráfica de la cotangente puede en contrarse tomando el recíproco de la ordenada correspondiente de la gráfica de la tangente. Si t = ~ donde es un entero par, entonces tan - 0, y cor no está definido. Por tanto, no hay punto en la gráfica de la cotangente para estos valores de t. Cuando t = donde es un entero impar, cot t = 0. A sí, la gráfica de la cotangente corta al eje / para estos valo res de t. Se utiliza la gráfica de la tangente como ayuda, primero se di buja ésta, en color gris, com o se indica en la Figura 7.62. Después, se

kn,

ta al eje t son k € l

k

t

kn,

F I G U R A 7 .6 2

k

t

438

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS RBALKS_______

jf;.,

toman los recíprocos d e la s o rd e n a d a s , obteniéndose los punto, . gráfica de la cotangente, mostrada en la fig u ra. Observe que las ¿ tas verticales de la gráfica de la cotangente son las rectas que tie*? ecuaciones t = kn, donde k € Z, y lo s c e ro s d e la función cotanJ? I son t = ^n + kn, donde k € Z. A partir de sus gráficas, es evidente que el contradominio & funciones tangente y co ta n g en te e s e l conjunto R de los núnJ' reales. El Teorema 1 de la Sección 7.3 establece que una función defi* I da mediante una de las ecu aciones/ ( / ) = sen bt o f(t) = eos I b * 0, tiene periodo 2n/\ b I. La prueba se basó en el hechode», I el seno y el coseno tienen periodo 2n . Una demostración semeja* puede darse para el teorema siguiente. El periodo de una función de¿- i nida por f ( t ) = tan b t o f ( t ) = cot bt es 7i / 1 b I debido a que el pe* do de la tangente y de la cotangente es n.

TEOREMA 3 El periodo P d e una función d efinida por

f{ t) = tan bt

o

f{t) * cot bt

donde b * 0, e stá d ad o p o r

n

► EJEMPLO 2

D ibu jo d e la g rá fic a de una función fanpn*

D ibuje la gráfica de / ( / ) = tan 3 1 donde t es cualquier núm ero del intervalo [0, it] en el cual la ft®03 está definida. E scriba las ecuaciones d e las asíntotas de la gráficaintervalo. V erifique la g ráfica e n una graficadora. 1 M Solución Del T eorem a 3, con b — 3, el periodo d e / es encontrar los ceros de f se resuelve la ecuación tan 3/ = 0, ow** dose 3 1 = kn, donde k € Z. P o r tanto, en [0, ti] las interseca la gráfica con el eje t están en 0, j n, j n y n. A fin de determ inar las ecuaciones de las asíntotas, obse^ tan 3 1 no está definido c uando 3/ = i n + kn donde k € Z. C o m o t está en [0, ti] entonces 3/ está en [0< las ecuaciones de las asíntotas en [0, ti] están dadas por

Y G p A n r A S PE LA S FU N C IO N E S TAN G EN TE, COTANGENTE, SECANTE Y . . ,

439

00}a?*9 3 1 = §77

31

5 *T

t = ftf

Í7T

Con esta inform ación y la localización de algunos puntos, se ob tiene la gráfica de la Figura 7.63. Para esta gráfica en el intervalo [0, tc] del eje t se han hecho marcas cada de unidad. En la graficadora se obtiene la m ism a gráfica. 4

► EJEMPLO 3

Dibujo de la gráfica de una función cotangente

D ibuje la gráfica de f(t)

= 2 cot j í

en el intervalo cuya longitud es el periodo. Compruebe la gráfica en la graficadora.

f(t) = tan31 FIGURA 7.63

Solución D el Teorem a 3, con b = el periodo d e /e s T = 3n. Por tanto, se obtendrá la gráfica en el intervalo [0,3 n). La gráfica intersecta al eje t cuando cot j t = 0, esto es, cuando jt = \ tt + kir donde k G Z. C om o 1 1 está en [0, tc], entonces el único punto de in tersección con el eje t está dado por

\t = \ir t = §7T Para las asíntotas, éstas se determinan cuando cot j t no está defi nido. Esto ocurre cuando cual la función ‘ la gráfica en el

| f = j&t

f e / e s ¿ k Para — O, ODteniénnterseccioncs de tas. observe que

donde k es cualquier entero. En el intervalo [0, 3ti], las asíntotas están dadas por 3ít

5Í = 7T t = 37T

i e n [0 , 3*]. Asíir

A partir de la información precedente y con algunos puntos se ob tiene la gráfica requerida mostrada en la Figura 7.64, la cual concuerda con la gráfica trazada en la graficadora. < Las gráficas de las funciones secante y cosecante se obtienen de manera sem ejante a la empleada para la cotangente. Para la secante se em plea la identidad

440

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES

sec t —

eos t

si / * ¿ n + kn , donde k E Z. En la gráfica d e/(r) = sec í. cada denada es el recíproco de la ordenada correspondiente de la gráfiJ f ( t ) = eos t, excepto para valores de t para los que eos t = 0. Con* función secante no tien e cero s, en to n ces su gráfica no intersecu eje t. D e hecho, ya que I sec. t I £ 1, entonces no existen ordenadas^ la gráfica entre - 1 y 1. La gráfica d e / ( í ) = sec t se presenta en la Figura 7.65 en la^ la gráfica d e / ( / ) = eo s t se indica con la curva gris. Las asíntotas«, ticales de la gráfica de la secante son las rectas que tienen las ecuaci& nes r =

+ k n . donde k G Z.

/ ( / ) = sec t

FIG U R A 7.65 Para la gráfica d e la cosecan te, se em plea la identidad 1 CSC t = -----sen t si t * knt donde k E Z Cada ordenada de la gráfica de la es el recíproco de la ordenada correspondiente del seno, excep^.. lores de t para los que sen / = 0. C om o con la secante, no cxJ* denadas de la gráfica entre - 1 y 1. ^ La Figura 7 .6 6 muestra la gráfica de la función cosecantO^ fica del seno, la cual se representa por una curva gris. Las ¡; verticales de la gráfica de la cosecante son las rectas que ecuaciones t = kn , donde k E Z

4

DE LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y ...

44l

m

t e t, cada or la gráfica de : 0 . C om o la in tersecta al >rdenadas de 5 5 en la que sín to ta s verla s ecuaciof ( t ) = ese t

FIGURA 7.66 D ebido a que la secante y la cosecante son recíprocos del seno y coseno, respectivam ente, se tiene el teorema siguiente, correspondien te al Teorem a 1 de la S ección 7.3.

TEOREMA 4 El periodo P de una función periódica definida por f l t ) = sec b t

o

/ ( r ) = ese b t

donde b * 0 , está dado por

la cosecante

en va>existen or-

► EJEMPLO 4

D ibu jo d e la g ráfica d e una función cosecante

ce p to

Dibuje la gráfica de la grá-as asíntotas le tienen las mte y

/ ( / ) = - 2 e se en un intervalo cuya longitud es el periodo. Verifique la gráfica en la graficadora. 2 n Solución Del Teorema 4, con b * j , el periodo d e / e s ~ * 4n. A s í , s e obtendrá la gráfica en el intervalo [ 0 ,4it].

442

CAPÍTULO 7 ÛMC»ONIS TRIGONOMÉTRICAS PE NÚMEROS REALES A fin de encontrar las asíntotas verticales, se determinará donde c* I no está definido. Para esto, sea ± t = kn, donde k € Z En el lo [0, 4tc), las asíntotas son I

/(•)

j í = 2 tt / = 47r

t = 27T

Como I ese j / I ^ l , / ( 0 ^ - 2 o / ( í ) £ 2. Además,/(*) * , I 1, e sto e s, cuand o *¡t

5 TT <=> t — 7T

Y / ( / ) = 2 cuando ese \ t = - 1 , esto es, cuando 7T <=> t f(t) = -2csc —r

37r

Con la información precedente y la localización de algunos pos. tos, se tiene la gráfica requerida, la cual se muestra en la Figun7.fi En la graficadora se obtiene la m ism a gráfica. <

FIGURA 7.67

► EJEMPLO 5

D ibu jo do la g rá fic a de una fundón ncom

junciones lang

jttmtycot i valoresde lafi 1. (a) tanj« (c) tan(-

1 (a) tan 51¡

Dibuje la gráfica de f(t)

ES3 fy ¡OS ejerefo

(c) tan(- i

sec(í - jrc)

1 (a) tan \ u

Compruebe la gráfica en la graficadora. S o lu c ió n La gráfica de la función dada puede obtenerse a panno: la gráfica de la función g(t) = sec í, mediante una traslación horizortal de ^71 unidades a la derecha, la gráfica requerida aparece en Figura 7.68, la cual incluye la gráfica de g(t) = sec / en el inteni* /(O

(c) tan(-j

71

i (a) tan (c) tan(-¿ S. (a) tan y * (c) tan(- f

6- (a) tan xtj (c) tan(- 7 7- (a) tan 5ir (c) tan(- y (a) tan y ir (c) tan(-5*

^ los ejercicios Múones secanh **1y ese t cua ^ e s de laJune (a) sec J 7r (c) sec y 7T

,0- (a) sec^TJ. (®) Sec *r 7T

0 - f - )

FIG U RA 7.68

¡a) *c( - \ i r

•f«IPPICI DAD Y GRÁFICAS P l LAS FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTI Y ...

443

[0, 2 n ] rep resen tad a con la curva gris. La graficadora muestra la mis m a gráfica. 4

inará donde ese i , Z. En el interva.

C o m o se h izo con las curvas del seno y del coseno en la Sección 7.3, se pu ed en u tilizar las curvas tangente, cotangente, secante y cose can te trazad as en un a graficad ora para aproxim ar valores particulares d e estas fu n cio n es trigonom étricas. Tam bién pueden emplearse las cu rv as p ara ap ro x im ar valores de t si una de estas funciones trigono m étricas d e t se proporciona. Véase los ejercicios 21 a 24.

.dem ás, f(t) ~ -2

EJERCICIOS 7 .7 n de algunos pun ¡bbsijtrcicios 1 a 8, u tilice la p e r i o d i c i d a d d e la s en la Figura 7.67. ínula tangente y co ta n g e n te a s í c o m o l o s v a l o r e s yuni y col / cuando 0 < it < 7i, p a r a

JuraJelafunción. función mcante

(b) COt j 7 7 (d) c o t ( - ¿ 7 r ) 1 (a) tan 5 77 (b) c o t 5 i r : (t) tan(- 3 tt) (d) COt( 5 7r) l(l) tan ¿ 7T (b) COt g TT (c) tan(—§tt) (d) c o t ( - f 77) Mi) tan j i r (b) COt y 77 (d) (c)tan(-jir) 1 Mi) tan y tt (b) COt y TT (d) COt( “ 5 7r ) 1 (t)lan("iir) I ^ (l) tan x 7T (b) COt y 77 I k)tan(-jTr) (d) c o t ( - í f tt) 1 '•(1) tan 5ir (b) 1 W t n ( - ^ t j (d) c o t ( - \ t t ) |M i) tan y 7r (b) c o t 1 TT I **) tan(-5ir) (d) c o t ( —6 77 ) . ‘ejercicios 9 a 14, emplee la periodicidad de las pOK» secante y cosecante así como los valores de 'ycíe 1 cuando 0 <, t < 2 it, para encontrar los L(i)tanjir

O

0

3

O On

n

)btenerse a partir de 1traslación horizonerid a aparece en la sec t en el intervalo

T ©>i—

(c) tan(-Jir)

[ uk lafunción.

'i*

(b) CSC | TT (d) CSC ^ 7 7 (b) CSC ^ 77 (d) csc y 77 (b) c s c (- g ir) (d) csc( 1 77) ib) c s c (- ] 7t) (d) c s c (- 7f n)

13. (a) (c) 14. (a) (c)

sec I t t s e c (-y T r) sec y 77 s e c ( - 7 77)

(b) CSC 977 (d) c s c (- f 7r) (b) CSC | TT (d) c s c (- 97r)

En los ejercicios 15 a 20, determine el periodo de la Junción. 15. (a) (c) 16. (a) (c) 17. (a) (c) 18. (a) (c) 19. (a) (c) 20. (a) (c)

2 tan 3 1 tan 5/ 3 cot 5/ tan \t 4 sec 7 1 5tan I t 3 ese 8/ 5tan 8/ sec 57Tt tan S t t í 3 sec 4 tt í tan | t 7í

(b) (d) (b) (d) (b) (d) (b) (d) (b) (d) (b) (d)

cot 6/ 5coti? tan 4r 5 cot g/ csc 71 co t\t sec f/ 3 cot f f 5CSC 577/ COt 1 77/ CSC 1 717

cot 107Tt

En los ejercicios 21 y 22, utilice la gráfica de lafun ción dada, trazada en la graficadora, afin de aproxi mar el valor de lafunción a tres dígitos significativos. Después verifique la aproximación al calcular el valor de la función mediante la tecla 0 teclas apropiadas de la calculadora. 21. (a) tan 0.894 (c) tan 5.67 (e) sec 1.84

(b) cot 2.53 (d) cot(-1.98) (f) csc(-4.65)

22. (a) tan 1.35 (c) tan(-2.29) (e) sec(-3.07)

(b) cot 4.06 (d) cot 0.374 (f) csc 6.16

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS P I NUMEROS REALES En los ejercicios 23 y 24, utilice la gráfica de la fun ción dada, trazada en la graficadora, a fin de aproxi mar los valores de t con tres dígitos significativos, tales queQ £ t < 2n para los cuales la ecuación se satisface. 23. (a) tan t - 0.775 (c) tan t * -3 .6 0 (c) sec / *= -1 2 .4

(b) cot t — —0.775 (d) cot / * 4.07 (f) ese t ~ 2.79

24. (a) tan t (c) tan t (e) sec t

(b) cot t — 1.67 (d) cot t = —0.484 (f) ese t = - 3 .9 2

=* -1 .6 7 * 0.690 * 1.39

En los ejercicios 25 a 40, (a) dibuje la gráfica de la función donde t es cualquier número del intervalo indi cado en el que la función se define. (b) Escriba las ecuaciones de las asíntotas de la gráfica en el interva lo. (c) Verifique la gráfica en la graficadora. 25. / ( /) = 2 tan t\ [0, 2ir)

39. / ( / ) = 2 sec

i irt\ [0, 2]

40. f ( t ) - 3 e s e j 7rf; ( - 3 , 3)

ios cuadn identidad |

Eni los ejercicios 41 a 48, dibuje la gráfica^, ción cuya longitud m en el intervalo cuva InnoituA es e/ periodo pruebe la gráfica en la graficadora.

anode esa

4 1 . f { t ) = 3 tan 2 t

Después d seno y eos periodicidi

2

« ■ /(O = «, i

43. / ( / )

2 cot j t

45. / ( /)

—sec 4 1

47. f ( t)

5 tan i 7tí

4 6 - / ( ') = 3

5 3 . f ( t ) = 2 sec (f - tt)

II

o o

T tt)

32. / ( /) - - 3 tan J r; [0, 3ir] 33. / ( /) = 3 sec r; [0, 2ir]

2 ese r; (0, 2ít)

35. f ( t) - ese 3í; (0, 2tt) 36. / ( /) = sec 2f; [ - tt, 37. / ( /) -

( J La periodi en la obten coseno y o se dibujan cómo utilii dora para a y coseno, i tienen asoc

5 «■)

28. f{ t) = tan 3/; [0, ir]

34. / ( /) =

7

4 9 . / ( / ) = tan(f + ¿ ir) 5 0 . f ( t ) * tan(r - } ir)

5 2 . f ( t ) = co t(/ +

31. f ( t) = - 2 cot 3r; (0,

csc !,

E n los ejercicios 49 a 58, dibuje la gnânhi,^ ción. Verifique la gráfica en la graficadom.

27. / ( /) = cot 2t; (0, ir)

29. f ( t) = t a n \ t \ [~ 2 tt, 2 it ]

tt]

5 cot irt; (0, 2)

38. / ( /) = tan j 7rr; [0 ,4 ]

estas funci propiedad lores de fui de la fune bién se res nesperiódi

48- / ( ' H * c Ü

51. / ( / ) = COt(/ - g7T>

26. / ( /) = 3 cot t\ (0, 2ir)

el seno o c

54. f ( t ) =

3 csc(r -

55. f{ t) =

5 csc(r + j7r)

Jir)

i U Las apücac fenómenos 57. / ( í ) = ¿ ta n (| ir - t) ron el movi 58. / ( í ) = 2 cot(5 7r — t) suspendido corriente all 59. El ejem plo 3 implicó la gráfica de una función¿ oñto eléctri finida por una ecuación de la forma/(/) = “s das por soni bt. Si g es la función definida por g(t) = ¿cóm o podría obtenerse la gráfica de/a panr* '■$ El movimie la de g l ¿Tiene la gráfica de/una amplitud1^ mediante ur plique. 5 6 . / ( / ) = 3 sec(f + ¿w ) 1

►EJERCICI ___


01 ejercicios 1 ■îón. No emplet fa) eos

► VISIÓN RETROSPECTIVA 7.1

Se inició el estudio de la trigonometría con fun ciones trigonométricas de números reales debido a que ellas son esenciales para el Cálculo. La dis cusión de conceptos geométricos implicó a la cir cunferencia unítana y a la recta numérica real, "enrollada alrededor” de esta circunferencia, con-

0

W) sen j 71

siderados como fundamentos para número1 nes del seno y del coseno, de un como coordenadas del punto terminé ^ de longitud t de la circunferencia un* ^ lizaron estas definiciones para calc ^ exactos de las funciones seno y co*80

WljK “I lanjTt

' W

'

R IV lilÓ N P t l CAPÍTULO y

-uadrantaJes y j f t

/ ( / ) = -ta n jj f{ t)

= 3 ese 5/

/ ( / ) = 5sec 3ti gráfica de la fun dadora.

que implica el producto de una función cosenoi-

y COScno en una calculadora, se d e m o stró la

dal y una función exponencial de t, cuyos valores crecen sin límite conforme t se incrementa sin lí

Modicidad del seno y coseno al c o m p ro b a r q u e

mite. Se dio un ejemplo donde se dibujó la gráfica

Jp funciones tienen periodo 2 11. S e e m p le ó esta

de la función, importante en Cálculo, definida por

/j ^ calcular los valores d e las fu n c io n e s

'•

cot 3f

producto de una función senoidal y una función exponencial de /, cuyos valores se aproximan a cero conforme t se incrementa sin límite. Se ilus tró la resonancia mediante un modelo matemático

S e in tro d u jo la

^ j i d pitagórica fundam ental p a ra d e te rm in a r coseno de un núm ero c u an d o se co n o ce jjeno o " a estos números.

gráfica de la fa . s e l periodo. Con.

f{ t) ~ 2

y j*

1

sen t . , ------- , que se aproxima a conforme / se acerca a

rfoniedad de periodicidad para d e te rm in a r lo s vade función de otros núm eros a partir del valor

cero.

£ la función de un núm ero determ in ad o . T am Kj¿nse resolvieron problem as q u e tie n e n fu n c io nesperiódicas como modelos m atem áticos.

7 .6

secante

o laobtención de gráficas de las fu n c io n e s seno,

cosecante como cocientes de las funcio

y - ti,

y ^ 7t. También se discutie

ron los signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes. Luego, se presentaron

se dibujan estas gráficas. T am b ién se m o stró cómoutilizar las gráficas trazadas e n la g ra fic adoraparaaproximar valores d e las fu n c io n e s sen o

las otras siete identidades trigonométricas fundamen

y

ycoseno, así como para aproxim ar n ú m e ro s q u e

tales,

tienenasociados valores dados de estas fu n cio n es.

trigonométrica en términos de las funciones seno y coseno, y para encontrar cinco funciones trigo

Lasaplicaciones de las funciones

nométricas de un número cuando se conoce la

sen o y c o se n o a

de un resorte que vibra v e rtica lm e n te, «mente alterna y fuerza electrom otriz e n un cir01110eléctrico, así como ondas sonoras p ro d u c iporsonidos simples. Broovimiento armónico am ortiguado se ilu stró “■«liante un modelo m atem ático q u e im p lica el

se les aplicó para escribir una expresión

sexta función de tal número.

periódicos presentados a quí, in clu y e movimiento armónico sim ple de u n cu erp o

fica de / a partir * amplitud? £*

y

cuadrantales

cosenoy otras ondas senoidales. S e m o stró cóm o

f una

Se definieron las funciones tangente, cotangente, nes seno y coseno, después se calcularon los valo res exactos de estas funciones para números

,j ^periodicidad desempeñó un papel im p o rtan te

1de una función de form a/(f) = flCOt 1 por g(t) - cot bt.

Aás

7.7

Se utilizó la periodicidad de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante para determinar valores particulares de estas funciones. Después, justo com o se hizo en la Sección 7.3 con las fun ciones seno y coseno, se aplicó la periodicidad de las otras cuatro funciones trigonométricas para obtener sus gráficas.

^RCICIOS DE REPASO ^cicioj 1 a 4 determine el v a lo r e xa c to d e la 0mPke la calculadora. (b) tan

ti

(e) eos | n >s para las definí0* de un número realL terminal de un ^ encía unitaria. Se ü° para calcular valo^ no y coseno de

(b) eos 71

0 71 COI 771

(b) eos f

ti

(d) c o t ( - f j t )

71 (0 tan 771 4 (c) sen 1

ti

(e) sec(-Jrc)

(f) COS jT t

(b)

(c) tan ^ n

7

(f) c s c (- t) 71)

(c) tan |

ti

(f) cse(-fn )

E n los ejercicios 5 a 14. se proporcionan sen /, eos 1, tan t, cot t, sec t o ese t. Determine los valores exactos de las o tra s cinco funciones sin utilizar la calculadora.

(c) COt ^ K

(e) sen 1

(*) sec(~ j n)

4. (a) sen j

5. sen t *

x 0 < t < \2 n

y

6. eos t m

y

\ n < t < n

7 . tan / = - • £

y

\ n < i < *

446

CAPÍTULO 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES

29.

K < t < -K

9. sec i * - j

y

K 

(a) 2 eos 6n t (c) 5 tan 2 nt (b) |

cos| jw

(d) 3cot7Jü * ( » ) ia ,, = 0 -

0

13. ese i = - j -

y

tan / >

0

14. sen / =

y

c o tí <

0

11

En los ejercicios 31 y 32, emplee la periodicidad fu n cio n e s seno, coseno, secante y cosecante,

jg. ) ico / = ■“

0

3 1. (a) sen Q4 n

tan / ese /

(b)

c o ti esc /

16. (a) c o tis e c i

(b)

tan / sec i

17. (a)

i - tan2/

1

21 21

18. (a)

- ese 1 + tan

19. (a)

eos i sec f - tan /

20.

(a)

(b)

(b)

1

1 + sen í

1

1 + eos I

I f COS I

(c) s e c (- yO n ) (e) e o s-j- Ji

1 - se c 21 1 + c o t2 I 1 - c o t 2I ta n 21

(b)

cot2 í

(b)

+

1

1 - sen i

sen i ese i - cot i

En los ejercicios 21 a 26, utilice una calculadora para evaluar con cuatro dígitos significativos el valor de la función.

21. 22. 23.

sen 2.42

(b)

eos 2.42

(c) tan 3.57

(d)

sec 3.57

(e) cot 5.38

(f) ese 5.38

(a) (d)

sen 4.26 sec 5.84

eos 4.26 (e) cot 1.97

(c) tan 5.84 (f) ese 1.97

(a)

eos 18.31

(b)

(a)

(b)

sen(~14.86) (c) tan 56.00

24.

(a)

cos(—11.43)

(b)

sen 33.00

25.

(a) (d)

eos 3.49 c o tí- * * )

(b)

sec 3,49

26.

(a) (d)

sen j n tan 12.28

(b) CSC- 71

(c) ta n (-10.53) (c) tan y 71

1

(«) 3 tan 28. (a) sen 4/

(c) 7 col ¿1

verticalmente,; rígida del cuer] gen) a los / seg arriba. Si /(l) = de/ (b) Dibuje graficadora. Ul paraestimar la j s; (e) s y (f) ailando/( ),/ (

(d) sen(-5x) ( f ) CSC y *

(b) eo s- *

(c)

(d) sen 7*

(e)

(f) sec(- 4*)

1

E n los ejercicios 33 y 34, utilice la periodicidadék fu n cio n e s tangente y cotangente así como los voto de

tan

Iy

cot

l, cuando

0 < 1 < tí, a fui de deienmt

va lo r de la funció n .

33.

34.

(d) 5 sec j

1

i h los ejercicios 45 I oón Compruebe l a ,

tan 7 ti 4

(b) cot 1 71

(d) tan y *

47. g(f) = 2 c o sl

(e) c o t ( - y r t )

(f) COt(-ÓR)

(a) tan ~ Ti

(b) co t(-|jt)

(c) COt(-Jt)

(d) tan (-j*)

(e) cot y 71

(f) tan(- \ n)

(a)

j

/(/) = sen 2tü

í & g(t) = 2 sen Til = sen(i - | & *(/) = cos(/ + -

En los ejercicios 3 5 a 38, emplee la gráfica de kj* p/fo) = tan 2/ ción dada, trazada en ¡a graficadora, a fin de ap ü * p lW » j c o ti e l va lo r de la fu n c ió n con tres dígitos significó p /W = tan 3tci D espués verifique la aproximación calculando A '# la calculadora.

35. (a) sen 1.27

(b) cos(-0.7Ü3)

36. (a) sen (-0 .3 8 4 )

(b) eos 2.39

3 ese/

I

) = 2sec j i t i

3 7. (a) tan 1.65

(b) cot 4.11

38. (a) sec 0.602

(b) ese 4.85

2 ese - 1

En los ejercicios 3 9 a 42. emplee la ción dada, trazada en la graficadora, a fin

= cot(/ +

S 3íejercicios 69 y '•

X que describe H . En cada eje.

f^'q u eF [t) ¿ fO ¡0 *^funciones et\

ib) se n ^ i (d)

0

44. Hagael ejercicii

/(r)

(b) eos j í

2

(c) tan (- j 7t)

de la fu n c ió n m ediante la tecla o teclas apropio

(c) cos(-7.32)

En los ejercicios 27 a 30, determine el periodo de la función. 27. (a) sen 5

43. lio cuerpo susj (b) COS y 71

7

3 2. (a)

1

13,11 = 8 *-

fl.

g. ( ) tan / = - (

En los ejercicios 15 a 20, escriba la expresión (a) en términos de sen t, y la (b) en términos de eos l. 15. (a)

(i)

los valores sen ( eos t, sec / y ese /, cuando S j < v a fin de determ inar el valor de la función.

^

U (O

^ t en todos l*


¡Jet, con tres dígitos significativos, ta< 2t, para los cuales se sa tisfa ce la

t1^

- n 542 01 s W "^T ,--0 .9 6 4 i un'

(b) eos t = - 0 .2 8 7 (b) c o s t = 0 .7 5 0

S 8.99

(b) esc / = - 1 .0 3

s -0.389

(b) sec t = 5.56

cuerposuspendido de un resorte está vibrando 3

-5 * ) r*

7k •4 k ) periodicidad de las í com o los valores in de determinar el

valores están en el intervalo [ 0 ,2tt] ? (d) Determine al de f ¿ C uáles de estas intercepciones están en el inter

y s jr u

periodicidad de ¡as o sec ante, asi cono •uando 0 ^ / < 2* ición.

g rá fica de f con las gráficas de F y G. ¿ Cuáles de estos gebraicam ente todas las intercepciones t de la gráfica

* j W

jt:* /

447

encálmente, y f(t) centímetros es la distancia di rijadel cuerpo desde su posición central (el ori lla los/segundos con el sentido p ositivo hacia inte. Sif(t) = 2 sen 31, (a) determine el periodo w (b)Dibuje la gráfica d e / y com pruébela en la jjücadora. Utilice la gráfica de la graficadora «¡estimarla posición del cuerpo a lo s (c) 0 s; (d ) s;fe)2s y (f) 6 s. Verifique las estim aciones cal,/(2) y /(6 ).

valo [ 0 ,2 n]? 69. f i t ) =
70. f(t) = 2 ~ ,/*co s 3í; F(t) = - 2 ',M;G(í) = 2 ',n E n los ejercicios 71 y 72, lafunción fes un modelo ma temático que describe resonancia. En cada ejercicio haga lo siguiente: (a) Muestre que F(t) $ fif) á G(t). (b) Trace las gráficas de las tresfunciones en el rectán gulo de inspección de [0, jcJ por [ - 1 0 ,10J. (c) Determi n e algebraicamente los valores de t en todos los puntos d e intersección de la gráfica de f con las gráficas de F y G. ¿Cuáles de estos valores están en el intervalo [0, %]? (d) Determine algebraicamente todas las intercepcio nes t de la gráfica de f ¿Cuáles de estas intercepciones están en el intervalo [0, ti]?

I¡pelejercicio 43 considerando f i t ) = 3 e o s 4 1. iijmicios 45 a 68, dibuje la g rá fica d e la fu n Hanpruebela gráfica en la graficadora.

71.

fif) = 3 ' 72 eos 4r, F(t) = -3,n;G(t) = V n

72.

/ ( / ) = e ,risen 6t,F(t) = - e ,a\ G{t) = e,n

73. Un cuerpo suspendido de un resorte se pone en

r*

6jc) i* )

•? * )

=eos 2/

46. f { f) = sen 3 1

=2cosí

48. g{t) = 3 sen t

=sen2w

50. f i t ) - eo s j n t

=2senro

52. g(t) = | e o s n t

=sen(/ - Í jcí) 54. f i f ) = c o s(/ - n ) =cos(/ + ÍJI)

56. g(f) = sen(í +

i gráfica de la fina fin de aproximar f¿tos significativos.

5 tan2/

58. f i t ) = cot ^ f

5 jCOtt

60. git) = 2 tan t

alculando el valor cías apropiadas de

s,»3ro

62. f{ t) = cot 2n t

8 Jacf

64. f i t ) = 2 sec t

s2«ec|w

66. g(z) s= 3 ese | n t

s<«(r + i* )

68. f i t ) = i tan(r - \ n ) 2 4

-0.703) 2.39 MI

4.85 a gráfica d e b í *
u Clf^ ^ y 70, la función f es un m o d e lo m adescribe movimiento arm ónico am orti. tyrcicio haga lo siguiente: (a ) ^ ^ G(t). (b) Trace las g rá fica s J. l0nt¡ en el rectángulo de inspección de ^ ^ determine algebraicam ente los l°dos los puntos de intersección de la

movimiento vibratorio al tirar del mismo hacia abajo 6 cm desde su posición central y liberándolo después. El cuerpo tarda 11 .8 s en completar una vibración, (a) Escriba una ecuación que defina /(/), donde / ( / ) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central t segundos des pués de iniciarse el movimiento y el sentido positi vo es hacia arriba, (b) Trace la gráfica de / para estimar la posición del cuerpo cuando ha estado en movimiento: (c) 1 s y (d) 4 s. Compruebe las esti maciones de (c) y (d) calculando /(1 ) y /(4 ), res pectivamente. 74. Un cuerpo suspendido de un resorte está vibrando verticalmente. Suponga que el cuerpo pasa por su posición central a los 4 s y 8 s. Entre estos tiempos el cuerpo alcanza un desplazamiento máximo de 12 cm abajo de su posición central. El movimiento es armónico simple y está descrito por una ecuación de la forma f i t ) = a sen b(t - c) donde f(t) centí metros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central a los t segundos y el sentido positi vo es hacia arriba. Determine esta ecuación y trace la gráfica d e /

4 a

CAPÍTULO 7

PUN CION ES TR IG O N O M É T R IC A S P 1 N Ú M E R O S R E A L E S

d o la s e n e l m is m o r e c tá n g u lo d e inspeccifa

75. En un circuito eléctrico la fuerza electrom otriz e s

c o r r ie n te s e atrasa o adelanta con respecto ¡ | fu e r z a e le c tr o m o tr iz y por cuánto?

E(t) volts a los i segundos, donde EXj) * 4 e o s 100nt. (a) Trace la gráfica de E para 0.01 £ / á 0 .0 8 . Determine (b) la fuerza electrom otriz m áxim a; (c)

81 y 82, utilice elpolú 10^ , (2) o (3) de la S e c c ió n 7.2 para ^ *

el periodo de £ y (d) la frecuencia d el m ovim ien to.

17$

E n l o s e je r c ic i o s

Determine la fuerza electrom otriz a lo s (e ) 0.01 s,

JIJA

T a y lo r

(f) 0.02 s, (g) 0.05 s y (h) 0 .0 8 s.

e l v a lo r

de

la f u n c i ó n c o n c u a tr o d ígitos ¡ip tfa ít* .

76. Realice el ejercicio anterior co n sid era n d o £ ( / ) = 6 sen 50ft /.

8 1 . (a )

se n 0 .4 9

(b ) e o s 2.63

82. (a )

s e n 3 .5 8

( b ) c o s(-1 .0 7 )

77. Una onda producida por un sonido sim p le está d e s crita por la ecuación F (t) = 0 .0 4 sen 1 0 0 0 / d on d e F(t), dinas por centímetro cuadrado, e s la d iferen cia entre la presión atmosférica y la presión del aire

E n l o s e je r c i c i o s 8 3 y 8 4 , (a ) trace la |

la f u n c i ó n p a r a t €

[ - j n , 0 ) U (0, |nj. % d

f u n c i ó n n o e s t á d e fi n i d a e n c e r o , p e r o ¿a qué valork

en el tímpano a los / segundos, (a ) Trace la gráfica

r e c e q u e s e a p r o x i m a / ( / ) c u a n d o t s e aproxmaüufA

de F para 0.001 £ / £ 0.05. Determ ine (b ) la a m

D e te r m in e l o s v a l o r e s s i g u i e n t e s en una cakukc,-.

plitud de la presión y (c) la frecuencia. C a lc u le la

( c ) f ( 0 . \ ) y f ( - t i . 1 ); ( d ) f ( O .O t) y f { - O J O \) ; ( € ) f m \

diferencia entre la presión atm osférica y la p resión

/ ( - 0 . 0 0 1 ). ( f ) ¿ E s t á n d e a c u e r d o lo s valores de lajA

del aire en el tímpano a los (d) 0.001 s, (e ) 0.01 s,

c ió n d e lo s in c is o s ( c ) a l ( e ) c o n la respuesta del ¡natoi

( 0 0.02 s y (g) 0.05 s. 78. Resuelva el ejercicio precedente c o n sid e r a n d o

t 2 + 3/ 83. /( /) =

F(t) = 0.008 sen 600/.

84. /( /) =

sen /

sen 6/ sen 3/

79. Una corriente alterna de 30 ciclos está descrita por una ecuación de la forma /(/) = a sen b { t -

c ),

donde /(/) amperes es la corriente a los / segu n d os. La corriente máxima es de 4 0 ampere, y a lo s 0 .2 s es de 20 ampere. Escríba la ecuación y trace la grá fica de /.

E n l o s e je r c i c i o s 8 5 y 8 6 , (a ) trace la la f u n c i ó n p a r a t €

f u n c i ó n n o e s t á d e fi n i d a e n j n , p e r o ¿a qué vaiorje | c e a p r o x im a r s e f ( t ) c u a n d o t s e aproxim a a-n?D etem \ l o s s i g u i e n t e s v a l o r e s e n u n a calculadora: f d y /( 1 .5 8 ) ; ( d ) / ( 1 . 5 6 9 ) y /( 1 .5 7 1 ) ;

80. En cierto circuito eléctrico la fuerza e le c tr o m o triz a los / segundos es E (t) v o lts, d o n d e E ( t) =

/ ( 1 .5 7 0 9 ) .

(f )

¿ E s t á n d e a c u e r d o lo s valores de k j*

c ió n d e lo s in c is o s ( c ) a l (e ) c o n la respuesta del iroso'

2 0 0 sen \2 0 n t, y la corriente es /(/) am peres, donde /(/) = 50 sen 12071 (/ - ~ ) . D ibu je las gráficas de E e / en el m ism o sistem a de ejes coord en ados. Compruebe las gráficas en la g r aficad ora trazán

j

[0 , jJ t) U (jx , 4 t A

85. /( /) =

1 -

sen t

2n ~ 1

86. /(/) =

1* " 1 cosí

(

L A

450

8.1

CAPÍTULO 8

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

ANGULOS Y SU MEDICION OBJETIVOS

1. D efin ir rad ián . 2. D eterm in ar la m e d id a e n ra d ia n e s d e un ángulo coterm¡na| c on un á n g u lo d a d o . 3. A p ren d er la fó r m u la p a r a c a lc u la r la longitud de un arco de circu n feren cia. 4. A p ren d er la fó r m u la p a r a c a lc u la r el área de un sector dtu círcu lo. 5. C o n v ertir u n a m e d id a en r a d ia n e s en una medida en grado« 6. C o n v ertir u n a m e d id a e n g r a d o s en una medida en radianes 7. R esolver e n u n c ia d o s d e p r o b le m a s q u e implican la u n arco.

Un án g u lo en e l plan o puede obtenerse al rotar un rayo alrededvJ su origen, denom inado v é r tic e . La posición original del rayoseDatl lado in icial. Se d ice que un ángu lo está en la posición estándar, etil sistem a coordenado cartesiano rectangular, si su vértice es el origcs: coordenadas y su lado inicial está sobre el lado positivo del qc:| Cualquier ángulo e s congruente a algún ángulo en posición estñz La Figura 8.1 muestra e l ángu lo A O B en posición estándar con(i.:I com o lado inicial. El otro lado, O B , se denomina lado terminal í ángulo A O B puede generarse m ed ian te la rotación del lado Okbel el lado O B , y bajo tal rotación el punto A se mueve al punto# soto¡I circunferencia de centro O y radio | O A |. El ángulo es positivo si i se rota en sentido contrarío al giro d e las manecillas del reloj hasa'I y n egativo si se rota en el m ism o sentido del giro de las manecM reloj. A m enudo se em plean letras griegas para representar ángulos.: | sentido de la rotación se indica m ediante un arco con una flechaff:I extremo. La Figura 8.2 m uestra un ángulo positivo (X y un ánguM gativo /?; la Figura 8.3 presenta un ángulo positivo y y uno

8.1

I

FIGURA8’

(d) 8.S

,

451

Se considera q u e un án g u lo está en e l cuadrante que contiene a su lado term inal. S in em bargo, si e l lado term inal está sobre un eje, se dice que e s un án g u lo c u a d r a n ta l. En la Figura 8.2, a está en el pri mer cuadrante y P en e l tercer cuadrante. En la Figura 8.3, y está en el segundo cuadrante y 0 e s un á n g u lo cuadrantal. C on sidere un án g u lo 0 en p o sic ió n estándar y cu y o lado terminal corta a la circu nferencia unitaria U en P , e l punto term inal del arco de U de longitud /, m ed id o d e sd e e l punto ( 1 ,0 ) . V éa se la Figura 8.4. D e bido a que t e s un nú m ero real, e x is te una correspon dencia uno a uno entre e l conjun to R d e lo s nú m eros reales y tod os lo s ángu los 6 en po sición estándar. L a F igu ra 8.5 m uestra lo s án gu los cuand o t e s igual a i je, ¿ n , - ~ n y - 1 n . E l núm ero t q u e correspon de al ángulo 9 e s una m edida d e la m agnitud d el ángu lo. A d em ás, cuando t e s positivo, el ángulo 0 tien e una rotación contraria al giro de las m anecillas del re loj, y cuand o t e s n eg a tiv o , la rotación del ángu lo e s en el sentido del giro de las m an ecillas d el reloj. El án gu lo para el cual / = 1 e s la uni dad de m ed ición angular y se d en o m in a ra d iá n . V éase la Figura 8 .6 .

(b)

J

ÁNG ULOS Y SU MEDICIÓN

452

CAPÍTULO S fU N C IO N IS TRIG O N O M ÉTR ICAS D i Á N G U L O S

DEFINICIÓN

R adián

Si un ángulo tiene su vértice en el centro de la circunferencia unitaria U e intercepta sobre U un arco de longitud 1, tiene el valor de radián.

1

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 La medida en radianes de los ángulos de la Figura 8.5 son- i k mK(a) » 2 FIGURA 8.7 Si la m edición de un ángulo 0 es t radianes, se escribe m \0) = t

Esta igualdad suele leerse com o: “la medida en radianes del ángulof es f.”

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 (a) Si un ángulo se denota por (X y se tiene que m R( a ) = 2

,.-3 .2 5

21

iHp) * “3<25 FIG U R A 8.8

la ecuación significa que la medida en radianes de a ei . * Figura 8.7 muestra este ángulo a que intercepta en U w ft de longitud 2, y la rotación para (X es contraria al giro de lasn» necillas del reloj. (b) Si P denota un ángulo y m R(P) = - 3 .2 5 entonces la medida en radianes de p es -3.25, /? intercepta eaun arco de longitud -3 .2 5 , y la rotación para fl es en el sentid las manecillas del reloj. V éase la Figura . .

88

FIGURA

Como la longitud de la circunferencia unitaria es 2n, uitf ción completa del lado terminal, a partir del lado inicial, ens® contrario al giro de las manecillas del reloj, genera un ángulo dida es 2n radianes. Véase la Figura 8.9, donde el ángulo se cribiendo su medida en radianes. Más de una revolución coinp ^ sentido contrario de las manecillas del reloj, genera u n áng ^ medida es mayor que 2tc radianes. Por ejemplo, en la W ra,’ tiene un ángulo que mide Jrc radianes. Observe que el ^ mide ti radianes tiene el m ism o lado terminal. Otro ángulo q el mismo lado terminal es aquel que mide - Jw. Oc hecho

7

3

» .i

An g u l o s

y su m ip ic ió n

w

número ilimitado de ángulos que tienen este lado terminal. Estos ángu los se denominan coterm inales. En general, los ángulos coterm inales son los ángulos en posición estándar que tienen el m ism o lado terminal.

► EJEMPLO 1

Encuentre la medida en radlane» da un ángulo eotermlnal can un ángulo dado

Encuentre la medida en radianes del menor ángulo positivo que sea coterminal con el ángulo que tiene su medida indicada en radianes y dibuje ambos ángulos: (a) - ~ n\ (b) (c) 7.15; (d) -0 .5 4 . S o lu c ió n (a) En la Figura 8.11 se presenta un ángulo de - jrt radianes, el cual se indica por su medida. En la figura, el ángulo requerido se de signa por a , y mR(ot) - 2 n - jrc. Por tanto, m *(a) = ~n.

y

y

(b) La Figura 8.12 muestra un ángulo de jTC radianes. Si p es el ángulo pedido, m * ( f ) = - 2n. De aquí que, m*(P) = - n . (c) Sea y el ángulo requerido. Véase la Figura 8.13. La aproximación a centésimos de 2it es 6.28. D e modo que m * (y ) = 7.15 - 6.28, y así, m *(y) = 0.87. (d) Véase la Figura 8.14. Sea 6 el ángulo pedido, entonces m *(6) = 6.28 - 0.54. Por tanto, m *(6) = 5.74. < Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vérti ce es el centro de la circunferencia. La Figura 8.15 muestra una circun ferencia de radio r y un ángulo central 0. Este ángulo intercepta en la circunferencia un arco de longitud s. A continuación, se obtendrá una fórmula que relaciona a r, s y f, la medida de 9 en radianes. Construya un sistema cartesiano rectangular de coordenadas tal que 9 esté en la posición estándar. Suponga que r > 1, en consecuen-

454

CAPÍTULO 8 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁHOULOS

cia, la circunferencia unitaria U está dentro de la circu n feren cia^, j dio r. Véase la Figura 8.16. La longitud d e l a r c o in tercep tad o porgj U es t. De un teorema de geometría, la r a z ó n d e lo s arc o s de long^ y t es igual a la razón de los radios de las dos c irc u n fe re n c ia s. Ají

1 =1 s

r

rt * s Se ha probado el teorema siguiente.

TEOREMA 1

FIGURA 8.15

Si r es el radio de una circunferencia y t la medida en radianes de un ángulo central que intercepta en la circunferencia un arcode longitud s, entonces s = rt

(r , 0)


>

6

FIGURA 8.16

Si en la fórmula del Teorema 1, r = 3 y t = 2, entonces s - . fe resultado establece que en una circunferencia de 3 unidades de rá un ángulo central de radianes intercepta en la circunferencia unn de unidades de longitud. Véase la Figura 8.17. <

6

2

Observe que si r = 1 en la fórmula del Teorema 1, entonces¿: Por tanto, en la circunferencia unitaria U, la longitud del arcointercertado es la medida en radianes del ángulo central. También observe^ si t — 1, la fórmula se convierte en s = r. Esta ecuación expresa^ una circunferencia un arco de longitud igual al radio subtiende ua« guio central de 1 radián. Véase la Figura 8.18. Un sector de un círculo es la región limitada por un arco de^ cunferencia del círculo y los lados del ángulo central subtendidope arco. Para el círculo de la Figura 8.19, el radio es de r unidades, b*

*6

FIGURA 8.17

FIGURA 8.18

FIGURA

8 .1

Á N G U L O S Y S U M C D IC IÓ N

455

dida d e l á n g u lo c e n tr a l e s t r a d ia n e s, Ja l o n g i t u d d e l a r c o i n t e r c e p t a d o es s u n id ad es y la r e g ió n so m b r e a d a e s e l s e c t o r A O B . D e g e o m e t r ía , la razón d e l á re a d e l s e c t o r y e l á r e a d e l c í r c u l o ( d a d a p o r n r 2) e s i g u a l a la razón d e la lo n g itu d d e l a r c o in te r c e p ta d o y la l o n g i t u d d e l a c ir cunferen cia d e l c ír c u lo (d a d a p o r 2 n r ) . A s í , s i K u n id a d e s c u a d r a d a s e s el área d e l se c to r , e n to n c e s K_

s

nr2

2nr

K = [rs

Si se su stitu y e s p o r r t (d e l T e o r e m a 1), s e o b t ie n e K =

\r H

► EJEMPLO 2

Determinación de la longitud de un arto y el área de un sector de un círculo

U n círcu lo d e 6 p u lg d e r a d io tie n e un s e c to r c u y o á n g u l o c e n tr a l m i d e radianes. D e te r m in e la lo n g itu d d e l a r c o y e l á r e a d e l s e c to r . idades de radio, ferencia un arco i

Solución NGURA8.20

V é a s e la F ig u r a 8 .2 0 . S e t ie n e r = 6 y / = j7C. C o n e s t o s

valores s = rt

i, entonces s=i. el arco interceptién observe que i expresa queen

= 6(^71) = 271

ubtiende un ánA sí, la lo n g itu d d e l a r c o e s in arco de laciribtendido porel midades, lame-

2tcp u lg .

S i K p u lg a d a s c u a d r a d a s e s e l á rea d e l s e c to r , e n t o n c e s c o n l o s v a lores d ad os d e r y t K = \ r 2t = \( f> ) 2( \ n ) =

6rc

Por tanto, e l área d e l se c to r e s

6tc p u l g 2.

<

El g r a d o e s otra u n id ad d e m e d ic ió n d e á n g u lo s . S i u n a c ir c u n f e rencia tien e un á n g u lo cen tral su b te n d id o p or un a r c o c u y a l o n g i t u d e s ¿

d e la lo n g itu d d e la c ir cu n fe re n c ia , s e d ic e q u e e l á n g u l o m i d e 1

g ra d o . U n a m e d ic ió n d e 1 grado s e e sc r ib e I o. V é a s e l a F ig u r a 8 . 2 1 . O bserve q u e la d e fin ic ió n d e grado e s in d e p e n d ie n te d e l r a d io d e la

496

C A P ÍT U L O S

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

D I

ÁNGULOS

27a &

FIGURA 8.22 circunferencia. La Figura 8.22 muestra algunos ángulos en posicjfo estándar y sus medidas correspondientes en grados. Un ángulo formado por una revolución cuinpleta, de modo que; [ lado terminal coincida con el lado inicial, tiene una medida de Bífr* I de 2it radianes. D e esto se deduce que 180° - ti radianes donde el sím bolo - (léase “corresponde a”) indica que las medidas k das son para ángulos congruentes. Se tiene así la correspondencia guíente entre las medidas de un ángulo dadas en grados y radianes: 1° — 5 - radianes 180

1 radián ~

y

7C

Si 3.1416 se considera com o una aproximación paraTi.seobtieoc Io - 0.017453 radianes

y

1 radián - 57.296°

De esta correspondencia entre grados y radianes, la medida de un guio puede convertirse de un sistem a de unidades en otro.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 T a b la i

Medida Medida en en grados radianes 30 ¿7T 45 |i r 60 i ir 90 « ir 120 jir 135 } ir ISO \ir 180 ir 270 J ir 360 2ir

(a) 162° ~ 162 162°

9n

10

180

radianes

Sít !% radianes ~ “JJ I

(b) 5 71

radianes

12

radianes - 7?

La Tabla 1 muestra las medidas correspondientes en dianes de algunos ángulos. Se utiliza la notación m °(9 ) para indicar la medida en ángulo 9 . Como consecuencia de la discusión anterior se t>e m°( ) y m*( ) están relacionados mediante la ecuación

0

<=>

0 m °( 0) =

1Rft

0

— m *( ) ir 7r

8.1

EJEMPLO 3

ÁNGULOS Y SU MEDICIÓN

457

Conversión do u n a m odlda on radíanos a una m o d ld a en grados

Determine la m edida en grados, con aproximación de centésimos de grado, para el ángulo que se indica en radianes (considere ti « 3.1416): (b ) m R(p ) = 0.3826

(a) m R(á ) = -7T

Solución

;ulos en posición i, de modo que el nedida de 360" y

e las medidas darrespondencia si>s y radianes:

ara n, se obtiene .296° nedida de un án>tro.

e/ . 180 5 tr (a) m (a ) -------------- — 7T 7 J* 1 2 8 .5 7

12

180! ' ti

75°

«

58 en grados y t t ida en grados del írior se tiene qu* ón

* 21.92

Por tanto, el ángulo a m ide 128.57° y el ángulo /J mide 21.92°.

4

En el ejem plo 3 se han em pleado decimales para representar las partes fraccionarias (m enores que un grado) en las medidas de los án gulos. Otra manera d e representar tales medidas es empleando minutos y segundos. U n m inuto e s ~ de un grado; es decir, 60 minutos equiva len a 1 grado. Tam bién un segundo es ¿ de un minuto; así, 60 s equi valen a un m inuto. O bviam ente, un segundo es de un grado, y 3 6 00 s equivalen a un grado. El sím bolo para minutos e s y para los segundos D e e ste m odo, 26°14'46// indica una medida de 26 grados, 14 minutos y 4 6 segundos. Se expresarán las partes fraccionarias (menores que un grado) por medio de decim ales. Si se tiene una medida de un ángulo en minutos y segundos, se puede convertir fácilm ente a una forma que utilice deci males. Por ejem plo, para la aproximación a centésimos de grado, 26° 14'46"

5 jt

180 (b ) m°(/3) = — (0.3826) ir

(2 6 +

14 +1 3600' 60

= (2 6 + 0 .2 3 3 + 0 .0 1 3 )° = 2 6 .2 5 ° En ocasiones se escriben ecuaciones tales como 0 = 45° donde el sím bolo para el ángulo, 0 , es igualado a la medida del ángu lo, 45°. S e entiende que tal ecuación indica que la medida en grados del ángulo e s 45. Tam bién se escriben desigualdades tales como

0° S 0 < 360° la cual indica q u e el in tervaloq u e contiene a la medida en grad osd e# es |0 , 360).

458

CAPÍTULO 8 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i ÁNGULOS

► EJEMPLO 4

Solución d o u n en u n ciad o d e un p ro b ità q u e Im p lic a la lo n g itu d d e un arco

Determ ine la distancia, sobre la su perficie d e la Tierra, de un que tiene latitud 38.40° N al punto m ás cercano del Ecuador. Supon«, la Tierra e s una esfera de 3 9 6 0 m illas d e radioS o lu c ió n V éase la F igura 8 .2 3 , don de C e s el centro de LaTierr es el punto dado y £ el punto del E cuador m ás cercano a P. Se determinar la longitud del arco d e E a P d e la circunferencia con tro C y radio igual a 3 9 6 0 m illas. S e a s m illas esta longitud. Delf rema 1, s = rt, donde r = 3 9 6 0 y t es la m edida en radianes del * E C P . Primero se calcula t c o n virtien do 3 8 .40° a radianes.

17. (*) i 18. d) 5

180 0 .6 7 0 2 A sí,

s - rt = 3 9 6 0 (0 .6 7 0 2 ) = 2 654 C on clu sión :

L a distan cia requerida e s 2 6 5 4 mi.

EJERCICIOS 8.1 En los ejercicios 1 a 6, muestre mediante un diagrama el ángulo que tiene la medida indicada en radianes.

1.

(a) -%

(b) ¡m

(d) f r t

m j£ n

2. (a) + n

( |» i*

(d) j n 3. (a) - i n

(e) (b)

(d) -

(e)

(d) 5.20

(d) -1.80

(c ) f 7C

8. (a)

(c) - í *

9. (a) 7.28

(b) -jTC

4. (a) .

6- (a) 2.35

7. (a)

(e)j7C

(d) -

5- (a) 0.78

(c) n

En los ejercicios 7 a 10, determine la medida en róte nes del m e n o r ángulo positivo que sea coteminai cr el ángulo que tiene la medida indicada en radíeme!' dibuje am bos ángulos. (•-} *

(C)

(d)

(b) 9

(c) -4.25

(«-II

(b) -2 .6 3

(c) -14

(d)

(b) f 7C

(c) - f 71

10. (a) 8.28

(c) -71

En los ejercicios 11 a 14, encuentre la me< lente en radianes del ángulo que tiene la rM<*v

10

ti

(b) 3

(c)

-2

(«) -4 .3 5 (b) - l (e) -6 .1 8

(c) 4

210°

(d)

120°

(c) 240°

<*

20°

(b) 450°

(c) -75°

14. (a) 15°

(b) 540°

(c) - 4 8o

«D iflf f (d)

11 . 12.

(a) 60"

(b) 135°

(a) 45°

(b)

13. (a)

(c)

'yla i

lr*Üo,

0

ir*t¡ ,

x

,

___________ 8 . 1

En los ejercicios 15 a 18, h a lle la m e d id a e q u iv a le n te

A N G U L O S Y SU M lfM Q Ó N

459

E n lo s e je rc ic io s 31 a 33, suponga que e l radio de la T ie rra e s 3 9 6 0 mi.

radiones. 3 1 . U n punto P sob re la su p erficie de la Tierra está 15. (a)

R

,S

jít

(b) f 7T

(c ) % ir

(d ) - \

( d ) — S ir

tt

16. (a) ¿ xr

fl>)

(c ) \

17. (•) \

(b) - 2

(c ) 4 .7 8

( d ) 0 .2 3

5

(b) 0 .2

(c ) - 2 . 7 5

( d ) 5 .6 6

18. (a)

tt

15 0 0 mi al norte del punto sobre el Ecuador más cercano. Encuentre la latitud del punto P en grados. 3 2 . U na m illa náutica (nm i) puede definirse como la distancia sobre la superficie de la Tierra desde un punto que tiene latitud Y N al punto más cercano

«lanes

En los ejercicios 19 y 20, c o n vierta la m e d id a in d ic a d a

sobre el Ecuador. M uestre que 1 nmi es aproxima

¿el ángulo a una fo rm a que u tilice d e c im a le s c o n u n a

dam ente 1.15 mi ordinarias.

ifroximación de centesim os d e g r a d o y d e s p u é s d e te r mine la medula equivalente en radianes.

3 3 . D o s puntos A y B sobre la superfìcie de la Tierra se encuentran en la m isma circunferencia, que corres

19. (a) 35°22'12"

(b ) 102o3 1 '2 7 "

ponde a un meridiano, con centro en C, donde C es

20. (a) 68°53'48"

(b ) 2 5 1 °8 '1 4 "

e l centro de la Tierra. Si la latitud de A es 10° N y la de B es 4 .6° S, halle la distancia entre A y B.

En los ejercicios 21 a 24, e n c u e n tre la m e d id a e n g r a dos del menor ángulo p o sitiv o q u e s e a c o te rm in a l con

3 4 . El extremo de un péndulo de 4 0 cm de longitud re

;«f ángulo que tiene la m ed id a in d ic a d a en g r a d o s y d i

corre un arco de 5 cm conforme oscila describien do un ángulo a . Determine (a) m * (a ) y (b) m°(a).

buje ambos ángulos. H.

H

(a) -45°

(b) 510°

(c) -540°

(d) -1 2 0 °

(a) -30°

(b) 585°

(c) -240°

(d) - 6 3 0 °

\ (a) 382.56°

:

(c) -253.85° • (a) 496.58°

ja i

(*) -342.15°

(c) i1

(ti

(d) 302.36°

(d) 197.74°

\j>

#r 125. el radio es 9 puig; n tK(oi) = | n

8 4 6 el radio es 12 pulg; n f ( a ) = 120

w l f a . el radio es cm; «*(<*) * * r j f \ |27. ci radio es cm, nf ( ot) = 135

jif id

{ p| i ^ el radio « 4 .7 2 pulg; n f ( a ) = 22.14 P®* el radio es 8.53 cm; rrf(cx) = 80.35

& * 1

m óvil recorra una m illa (5 280 pie)?

6

3 6 . Si el minutero de un reloj mide pulg, ¿qué distan cia recorrerá su extremo en 18 min? 3 7 . Si el horario de un reloj mide 4 pulg, ¿qué distan cia recorrerá su extremo en h y min?

1

20

(b) -2 8 .1 6 °

[ los ejercicios 25 a 30, d eterm in e (a ) la lo n g itu d d e l * Iflrco y (b) el área d el secto r d e l c írcu lo q u e tien e e l rar. i io y la medida del ángulo c en tra l a indicados.

¿ 0 ^

tas revoluciones efectuará la rueda cuando el auto

(b) -118.24*

,¡. *

(<)

3 5 . U n neum ático tiene un diámetro de 36 pulg. ¿Cuán

3 8 . Una polea con diámetro de 36 cm gira con una banda que se desplaza a una velocidad de 5 m/s. ¿Cuántas revoluciones por segundo efectúa la polea? 39. Un m il es la medida de un ángulo central que inter cepta en la circunferencia un arco de longitud igual a _ J _ de la longitud de la circunferencia. DetermiI « / \ Qg \ n e el n ú m e ro d e m ils del ángulo a si (a) m ( a ) = 34.4 y (b) m V ) = 2.3. 40. Si la medida del ángulo a es 34 mils (véase el ejer cicio 39), halle (a) m°(of) y (b) m \ a ) . 41. Las dos unidades más comunes para la medición de ángulos son radianes y grados. Defina estas unida des de medición y explique su relación.

460

8.2

CAPÍTUSO 8

FUNCIONES TRIG O N O M ÉTR ICAS D I ÁNGULOS

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE MEDIDAS ANGUlJJ? OBJETIVOS

1. D efinir las seis ftinciones trig o n o m é trica s de ángulos 2. D e te rm in a r v a lo re s ex ac to s d e las funciones trigonom* • de cie rto s á n g u lo s. nca5 3. D e te rm in a r v a lo re s d e la s fun cio n es trigonométricas de án g u lo c u a n d o se conoce el e x tre m o de su lado terminal ^ 4. A p re n d e r el te o re m a q u e e x p re sa las funciones trig o n o m é tric a s de u n á n g u lo a g u d o de un triángulo re ctán g u lo , com o ra z o n e s d e la s longitudes de sus lados 5. A p re n d e r los v a lo re s ex ac to s d e las funciones trigonomé^ de n ú m e ro s c u a d ra n ta le s . 6. A p re n d e r los v a lo re s ex ac to s d e las funciones trigonometría de 30°, 45° y 60°. 7. A p ro x im a r v a lo re s d e las fu n cio n es trigonométricas de án g u lo s m e d ia n te u n a c a lc u la d o ra . 8. D e fin ir u n á n g u lo d e re fe re n c ia . 9. E x p re s a r el v a lo r d e u n a fu n c ió n trigonom étrica de cualquir án g u lo 0 e n té rm in o s d el v a lo r d e la función correspondía* del á n g u lo d e re fe re n c ia aso c ia d o con 0. 10. D eterm inar un valor exacto o aproxim ado de una fundón trigonom étrica em p lean d o u n ángulo de referencia. 11. D eterm inar un án gu lo cuand o se conoce un valor de ana función trigon om étrica d el ángulo.

En el C apítulo 7 se definieron las funciones trigonométricas con
DEFINICIÓN

La s funciones trigonométricas de ángulo

Si 9 es un ángulo cuya m edida en radianes es

t, entonces

sen 0 = sen t

eos 0 = eos t

tan 0 = tan t

cot 0 = cot t

sec 0 = sec /

ese 0 = esc t

He u n ^ J

C uando se considera una función trigonométrica suele utilizarse la m edida del ángulo en lugar de v. 0 ^ ^ | m°(0) = 60 o, equivalentem ente, m R{6) entonCn(j0l a ^ sen 9 podría escribirse sen 60° o sen j r t. Nóte que cu

8.2

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE MEDIDAS ANGULARES

461

del ángulo está en grados, se escribe el sím bolo de grados. Sin embar g o, cuando no se anota el sím b olo, la medida del ángulo es en radia nes. Por ejem plo, e o s 2° sign ifica el cosen o del ángulo cuya medida es grados, m ientras que e o s sign ifica el coseno del ángulo cuya medi da e s 2 radianes. E sto e s consistente con la discusión hecha en la Sec ción 7 .1 , d on d e e o s 2 se refiere al cosen o del número real 2 porque, por d efin ición , e l c o se n o de un ángulo cuya medida es radianes es igual al c o se n o del núm ero real .

2

2

2

2

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 La Figura 8 .24 m uestra un ángulo 0 para el que m °(0 ) = 60 y mR( 6 ) = ¿K. El ángulo puede designarse mediante el sím bolo 0 o por su medi da en grados o radianes. Por definición, eos 0 = eos |tc . D e modo que puede escribirse eos 0 = \ Tam bién podría expresarse com o eos 60°

y

► EJEMPLO 1

c o s]x = |

<

Dotormlnaclón da los valeros oxactos da las funcionas trigonométricas do ángulos

D ibuje el ángulo y determ ine e l valor de la función para cada una de las exp resion es siguientes: (a) sen 45°; (b) eo s 150°; (c) tan(-135°); (d) cot 270°.

Solución

L o s á n g u lo s se muestran en la Figura 8.25. D e la defi nición y los resultados del Capítulo 7, se calculan los valores de las funciones:

FIGURA 8.25

462

CAPÍTULO 8 PUNCIONiS TRIGONOMÉTRICAS D I ÁNGULOS

(a) sen 4 5 ° = s e n ^ n

(b) eos 150“ = eos-* »

_ J_

r ít

2

" V

2 I

(c) tan (-1 3 5 °) = tan ( - | te) =

(d) cot 270° = cotjx

1

=

0

Ahora se mostrará c ó m o pueden expresarse las funciones trigosI métricas co m o razones d e núm eros reales. La Figura 8.26 mucanJ ángulo 9 cu y o lado terminal está en el segundo cuadrante. Eln^l P( a , b) es cualquier punto diferente del origen del lado terminal def y el número r e s la distancia | O P |; por tanto,

r = V a2 + b2 Suponga que el punto P no está sobre la circunferencia unitaria(/.M esto, r * 1. En la Figura 8 .2 7 , don de r > 1, Q(x, y) es el punto soto; I lado terminal de 9 que está sobre U. A sí, | OQ | s 1. En lafifir 8.27 los segm en tos d e recta verticales desde P y Q cortan aleje«I los puntos M ( a , 0 ) y N (x , 0 ), respectivam ente. Los dos triángulosk tángulos O N Q y O M P son sem ejantes. C om o en triángulos semeja las razones de las longitud es d e los lados correspondientes soo ífut se tiene \OM |

NQ |

\ MP\

\OQ\ I \OP\

OQ |

\OP\

p

B

Por tanto,

A

1

y

= li! r

C o m o * < O y a < 0, a x m r

y

y

-

A l sustituir jc por e o s 9 y y por sen 9 , se obtiene eos 9 = — r

y

sen 9

b

D e una identidad fundamental sen 0 tan 9 - ------ r eos 0

n si e o s 0 * 0

8 .2

FUNCIO NES T R IG O N O MÉTRICAS PE MEDIDAS A N G ULARES

4*3

Por tanto,

tan 0

tan

0

= — a

si a *

0

2

( )

S e ob tien en lo s m ism o s resultados qu e en (1 ) y (2 ) sin importar cuál cuadrante c o n tie n e al lado term inal d e 0 . D e (1 ) y (2 ), y com o la cotan gen te, se c a n te y co se ca n te son recíp rocos d e la tangente, coseno y se n o , resp ectivam en te, s e tien e el teorem a siguiente.

TEOREMA 1 S i 0 e s un á n g u lo en p o sic ió n estándar, P ( a, b ) e s un punto diferente d e l origen sob re el lado terminal d e 0 , y r = ' J a 2 + b 2, enton ces sen 0 = — r

CSC 0 — L

eos 0 = — r

sec 0

tan 0

=— a

si b i=-

0

s ia ^

0

b

s ia *

0

cot 0

_ r ~ a

_ a

si b * 0

~ b

S u p on ga q u e e n la d isc u s ió n precedente al Teorem a 1 se ha selec cion ad o el punto P ( á , b ) sobre el lado terminal d e 0 en lugar del punto P( a, b). V éa se la Figura 8.28. C om o los triángulos O M P y O M P son sem ejan tes, se d ed u ce que

Por tanto, puede concluirse que las fórmulas del Teorema 1 están determ inadas únicam ente por la posición del lado terminal y no por el punto particular P (a , b) seleccionad o sobre el lado terminal.

>


68

Sea P ( - 3 , 4 ) y #*(- , ) dos puntos sobre el lado terminal del ángulo 0 . V éase la Figura 8.29. Si el punto P se e lig e para calcular las funcio-

4«4

CAP* ™ 1 0 •

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D i ÁNGULOS n es trig o n o m é tric a s d e 0 , e n to n c e s r + 4J*. de donde, HUjH del Teorema 1, sen 0 ___ = 4, eos 0 = - 1, tan 0 = -i,c<>t 0 - j [3*i___ '

-

j

y ese

4’

9 =J. Si P es elegido, entonces? =V(-6)2+ 82;esdecir

55

y del Teorema 1, sen 0 = ~ , eos 0 = - - , ta n 0 = - £ ,c o t 0 = - ‘ y ese 0 = -J, los cuales son los m ism os valores.

EJEMPLO 2

D eterm inación do (os va/ores de los fonti** trigonom étricas do un ángulo cuando » conoc« un punto do su iodo torminal

Si 0 es un ángulo en posición estándar y el punto P(5, -12)estás*i el lado terminal de 0 , determine los valores de las funciones trmJ métricas de 0 .

-1 1 -5

fe-

•( A l r1 r1 | 1 r1

h n -i-

V

‘\ \

1

5

.

Solución La F igura 8 .3 0 m uestra el ángulo 0 con el punto^ - 1 2 ) en su lado terminal. La distancia | OP | es r, la cari J V 5 + ( - 1 2 ) = V i6 9 ; de donde r = 13. Por tanto, del Teorau con a = 5 , b = - 1 2 y r = 13 se obtiene

2

2

se n 0 =

-5'

W =13

-10-

FIGURA 8.30

12 13

CSC 0 =

5 e o s 0 = 13 ta n 0 =

sec 0 = 12 5

cot 0 =

Cuando se discutió el Teorem a 1, no se consideró la posibiim de que el lado terminal de 0 estuviera sobre el eje x o el eje),a» caso 0 sen a un ángulo cuadrantal. Las fórmulas del Teorema 1* bién son válidas para estos ángulos, com o se muestra en el sigas* ejem plo ilustrativo.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 (a) Suponga que se tiene un ángulo de 90*. Se puede elegir punto P sobre el lado terminal de este ángulo; en P ^ c ge P (0 , 1). D e esto, a = 0 , = y r = . De las fórmulas rema

1

1

sen 9 0 ° = { =

l |

e o s 9 0 ° = y? o

1

w u i /w

i .

esc ¡¡1

=0

N o están definidos tan 90° y sec 90° debido a que cua^ fle|£ pican las fórmulas para tangente y secante, se obuene ^ nominador

.... ................ ..... ( b ) Si se tiene un ángulo de 180°, elija el punto P (-1 .0 ) * e nal. D e donde

¿7= - 1 ,6 = 0 y r = 1. D e las fórmulas

11ad®^

8.2

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE MEDIDAS ANGULARES

sen 180° = ? =

e o s 180° = ^

0

=

465

tan 180° = r f

sec 180° =

0

=

-1

*

C om o b = 0 , no está definido cot 180° ni ese 180°.

r}

-1 4

En la S ección 7 .6 se determ inó el signo de las funciones trigono métricas de un número real t considerando el cuadrante que contiene al punto terminal del arco sobre U de longitud t. Los signos de las fun cion es trigonom étricas para los cuatro cuadrantes están en la Tabla 3 de esa sección. Esta tabla también puede utilizarse para determinar el signo de una función trigonométrica de un ángulo porque el signo de* pende del cuadrante que contiene al lado terminal del ángulo.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Suponga que 0 es un ángulo en posición estándar, señé? > O y e o s # < 0. Se desea determinar el cuadrante que contiene al lado terminal de 0. C om o sen 0 > 0 , e l lado terminal de 0 está en el primer cuadrante o en el segundo. D ebido a que eo s 0 < 0 , el lado terminal de 0 está en el se gundo cuadrante o en el tercero. Para que ambas condiciones se cum plan, el lado terminal de 0 debe estar en el segundo cuadrante.

4

D ebido a que un ángulo agudo es un ángulo positivo de medida, en grados, menor que 90, puede ser un ángulo de un .triángulo rectán gulo, y las fun ciones trigonométricas de un ángulo agudo pueden ex presarse com o razones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. La Figura 8.31 muestra un triángulo rectángulo con un án gulo agudo 0 y un sistem a de coordenadas cartesianas rectangulares ubicado de m odo que el ángulo 0 está en posición estándar. El teore m a siguiente e s e l resultado de aplicar el Teorema 1 donde a e s la longitud del lado adyacente a 0 (abreviado ad) b es la longitud del lado opuesto a 0 (abreviado op) r e s la longitud d e la hipotenusa (abreviada hip)

TEOREMA 2 Si 0 es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. * uA -— ~rr~ °P sen hip

o _ h'P CSC 0 — ----op

ad 77hip -

hip se c 0 * — 7 ad

eos 0 —

op tan 0 = — : ad

ad cot 9 — — op ________

„ H O C « * r R.GONOMÉTRJC « DA Á H O U ^ 466

c a p ít u l o *-

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 La Figura 8.32 muestra un triángulo rectángulo con un ámn u longitud de la hipotenusa es 8 unidades y la del lado adv ' unidades. Se pueden determ inar los valores de las seis V nométricas de 0 m ediante las fórm ulas del Teorema tes la longitud del lado opuesto a 0. Si z representa e s t a i * 4'* teorema de Pitágoras se tiene ‘0nPtüd^

2

+ 52 = 8 + 25 = 64

z2 =

39

z = V

39

Por tanto, F I G U R A 8 .3 2 op sen 8 — Thip

„ . hip CSC 0 = ----op 8

V Í9 8

eos 0 m

ad hip

” V 39

0

hiP see a -= —rad

5

_ 8

8

f 5

op

tan 0 = —: ad

ad cot 0 = — op 5

V 39 5

~ V

39

trigo'''

I a é m u l a s del T eorem a 2 se utilizan en aplicaciones m tricas que im plican triángulos rectángulos. Este tema se 1 |a 8.3. Las fórm ulas tam bién pueden emplearse parad**®'! nar Junciones trigonom étricas de los ángulos de 30°, 45° y 60*a*0J m uestraenJos dos ejem plos ilustrativos siguientes.

EJEMPLO ILU STRATIVO 6

. j»| ew ángulo^ establece que en auicL-c \|uv — un -- Jr,^ . oDüestoai Pue-U II

Un teorem a de geom etría 0 Icón ángulos agudos de 30° y 60°, la longitud d e l,aa la ^ -j guio de 30° es la m itad de la longitud de la hiP°le^potcnu^3)'. 8.33 m uestra dicho triángu lo rectángulo con ^ a,00pue$l° ¿ unidades de longitud. o1 r lo que la longitud d-tude d®l l ■olr0pjJjP J # ‘. ¡UUU. P I U IU vjuv ,V" P ‘ guio de 30° es 1 unidad. Para calcular la long de ésta de z unidades, determ ine aplicando el teorema Las operaciones son:

8.2

FUNCION!S TIBOONOMÉTRiCAS P I XUPtPÀS ANOUlAJttS

467

z 2 + l 2 m 2? Z

2+

1 = 4

z2= 3 Z = V3

Del triángulo se obtiene sen 30° = ì

csc 30° = 2

2

V3

eos 30° = — ^ 2

sec 30° = - 7= V3

tan 30° = 4 = V3

cot 30° = V 3

V3

2

sen 60° — — 2

ese 60° = —7=

eos 60° = —

sec 60° = 2

V3

2

tan 60° =

>

V3

cot 60° =

V3


A fin de obtener las funciones trigonométricas del ángulo de 45°, se considera un triángulo rectángulo isósceles con dos lados que miden 1 unidad. Véase la Figura 8.34. Si z unidades es la longitud de la hipotenusa, z 2= l 2 + l 2 y = 2 z = V2 Así, del triángulo se tiene sen 45° = —7= V2

csc 45° = y/2

eos 45° = —7= V2 tan 45° = 1

sec 45° = V 2 cot 45° = 1

6

<

L o s eje m p lo s ilustrativos y 7 proporcionan un m étod o práctico para ob ten er lo s valores de las fu n cion es trigonom étricas de 30°, 60° y

468

CAPÍTULO 8 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

45° o, de forma equivalente, ~ n , j n y £ n , respectivamente. LaTiK, resume estos valores así com o los de 0 y ~ n. Estos valores ocun con frecuencia y son exactos. Conviene saber los valores exactos j* 1 no tener que emplear las tablas o la calculadora No es necesoio * morizarlos si se recuerdan los m étodos para obtenerlos a partir dek triángulos rectángulos y puntos en los ejes coordenados.

Tabla l t (Radianes)

0 (Grados)

sen t eos t y y sen 0 eos 0

0°

0

1 6*

30°

l 2

1 4B

45°

1

60°

0

3*

1 2 71

90°

i y/2

ta n / y tan 0

cot t y cot 0

0

1 £

1 2

V?

1

1

csc0

indefinido

1

índefinuc ¡

V3

2

2 I

CKt

t

1

£

<2

1 2

VT

2 1

0

indefinido

£

sec t y sec 6

1

2

2

T?

0

í

1

indefinido ,

Los valores de las funciones trigonométricas pueden determinan en una calculadora de m odo correcto, radianes o grados, dependióA de cómo se mide el ángulo.

EJEMPLO 3

Aproximación do valoro$de los fundón* trigonom étricas do ángulos on una ca lcu lad o ra

Utilice una calculadora para aproxim ar el valor de la función: (a) sen 16.72°; (b ) eos 154.38°; (c) tan(- {«); (d) sen 5.27; (e) se c(~ l .26); (f) cot 3 1 9 / En los incisos (a), (b) y (f) se activa el modo de ^ en (c), (d) y (e), el de radianes. Solución

(b ) eo s 154.38° =

(a) sen 16.72° = 0 .2 8 7 7 (c) t a n ( - f tt) = 3 .0 7 7 7

(d) sen 5.27 = —0.8485

(e) s e c ( - 1 .2 6 )

(f) cot 319.4° - ¡ ¡ j i f /

c o s (—1.26) - 3 .2 7 0

I

8.2

FUNCtONIS TRIGONOMÉTRICAS DE MEDIDAS ANGULARES

469

L os valores d e las funciones trigonom étricas d e cualq uier ángulo pueden d eterm inarse conociendo los valores de las funciones de ángu los agu dos (un ángulo cu y a m edida positiva en radianes m enor que ¿ n ). El proced im iento im p lica el concepto d e ángulo de referencia.

DEFINICIÓN Ángulo de referencia

E l ángulo de referencia asociado con un ángulo 0 , no cuadrantai en po sició n estándar es el ángulo 0 form ado por el lado ter m inal d e 0 y el eje x.

E n la F ig u ra 8.35 se m uestran cuatro ángulos en posición están dar, los cuales tienen su lado term inal en un cuadrante diferente. El án gulo de referencia 9 asociado con el ángulo 0 se indica en la figura.

(b)

(o)

(d)

FIGURA 835

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 8 L a Figura 8.36 m uestra cuatro ángulos en posición estándar con 0\ = | n , 0 2= 225°, 03 = 5.25 y 04= 432°, y sus ángulos de referencia aso ciados 0 i, 0 2, 03 y 04, respectivam ente. Los cálculos de las medidas de estos ángulos de referencia son los siguientes: (a ) 0i = 7r - 577 (b) 02 = 225° - 180° = i ir = 45° 5.25 (c) 03 « 2 (3 .1 4 ) (d) 04 = 432° - 360° - 1.03 M 72°

ruN C IOM »
CAPÍTULO,

ri*

.

03 = 5 .2 5 ^ %

I¿ ye-i = 1.03 \

1 SA= 432°V o T

(c)

*"*.

(d)

/

/P { x

FIGURA 8.36

El ejem plo ilustrativo que sigu e muestra cómo se obtiene d lo de referencia asociad o con un ángulo negativo.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 9 La Figura 8.37 muestra los cuatro ángulos negativos 0\ =-150° ^ - tc, = -2 0 2 .4 ° y 0 = -7 .3 6 . L os cálculos de los ángulos de refací

3 03

4

respectivos son los siguientes: (a)

0,

= 180° -

150°

= 30° (c ) 0

3=

2 0 2 .4 ° -

180°

= 2 2 .4 °

(•>

FIGURA 8.37

im

8 .2

FUNCIO NES TRIGONOMÉTRICAS PE MEDIDAS ANGULARES

471

A h ora s e m ostrará c ó m o se utilizan lo s ángu los de referencia para determ inar valo res d e las fu n cio n es trigonom étricas. Considere un án g u lo 0 en p o sic ió n estándar y elija, en e l lado terminal de 0 , el punto P(jc, y ) d on d e r = I O P I. E l án g u lo d e referencia asociado e s 0 . C ons truya el án g u lo 0 en p o sic ió n estándar; é ste e s un ángulo en e l primer cuadrante. S e le c c io n e sobre e l lado term inal d e 0 e l punto P ( x , y ) tal q u e 7 = r. L a F igu ra 8 .3 8 m uestra e l ángu lo 0 en lo s cuadrantes segun d o , tercero y cuarto. D e b id o a la sim etría de los puntos P y P con res p ecto al o rigen o a alg u n o d e lo s ejes coordenados, se tiene para cada p o sic ió n d e P ( x , y )

1*1 = x

y

| y I =y

Por tanto,

| sen 0

1=

— r

= l 7 —

|c o s 0 \ = — r

| tan 0 \ = W M

1

=1

= í 7

x

se n 0 = e o s 0

= tan 0

D e m anera sem ejan te

| ese 0

1

= ese 0

| se c 0 | = se c 0

| cot 0

1=

cot 0

D e estas relacion es, s e c o n c lu y e que el valor de una función trigono m étrica d e cualqu ier án gu lo 0 puede encontrarse determinando el_valor de la fu n ción correspondiente del ángulo de referencia 0 y prefijando e l sig n o algeb raico apropiado (+ o - ) . El procedimiento p uede resum irse c o m o sigue:

Empleo de los ángulos de referencia para d eterm inar el valor de una función trigonométrica de un ángulo no agudo 0 1. D eterm ine el ángulo de referencia 0 asociado con 0 . 2. Encuentre el valor de la función trigonom étrica correspon diente de í?. Éste puede ser un valor exacto si 0 es igual a 45°, 30° o 60°; o puede ser uno aproximado obtenido median te una calculadora. 3. A n tep onga el signo algebraico conveniente para la función particular considerando el cuadrante que contiene a 0 .

472

CAPÍTULO 8 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE ÁNGULOS

► EJEMPLO 4

d*

Determ inación d e l valor oxttcfo función trigonométrica utilizando u í? “nón,Mt de referencia

Determine el valor exacto de cada una de las expresiones tí (a) eos °; (b) c o t(- f n). '

120

S o lu c ió n (a) En la Figura 8.39 se muestra un ángulo de 120°. El ferencia mide 60°. Por tanto, eos 120° = —e o s 60°

(b) Véase la Figura 8.40, la cual muestra un ángulo de - 2 « ^ y su ángulo de referencia de j j i radianes. Por tanto, C O t( -§ 7 r ) = COt 5 7T

1 V3

FIGURA 8.40 N o es necesario emplear ángulos de referencia cuando los vita de las funciones trigonométricas se obtienen de una calculadora, k embargo, debido a la importancia de los ángulos de referencia ene» ] dios posteriores, deberá practicar su empleo. Los ejemplos siguiese los ejercicios 33 a 38 le proporcionarán esta práctica.

► EJEMPLO 5

Aproxim ación do un valor do une función trigonom étrica utilizando un ángulo dt referencia

Aproxime el valor de la función expresándolo en términos de unafic ción del ángulo de referencia asociado, después utilice una calculé ra: (a) sen 116.4°; (b) tan(-16.8°). S o lu c ió n Active el modo de grados de la calculadora. (a) La Figura 8.41 muestra un ángulo de 116.4°. El ángulo & rencia mide 180° - 116.4° = 63.6°. sen 116.4° = sen 63.6° = 0.8957 (b) En la Figura 8.42 se muestra un ángulo de -16.8 • ® referencia mide 16.8°.

tan(-16.8°) = -tan 16.8° FIGt'RA 8.42

= -0.3019

j

8.2

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D I MEDIDAS ANGULARES

473

El problem a de determinar un ángulo a partir de un valor de una función trigonom étrica del ángulo es el in verso de determinar el valor de la función de un ángulo dado. Cuando se utiliza una calculadora, el proceso inverso se realiza em pleando las teclas sen

c o sr

tan"

Estas teclas se refieren a las fu n c io n e s trig o n o m étrica s inversas, dis cutidas en la S ección 9.5.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10 A fin d e determinar el ángulo p ositivo 0 menor que 90° para el cual e o s 0 = 0 .8 3 6 7 se activa el m odo de grados en la calculadora, se introduce 0.8367 y después se presiona la tecla eos*1 , y se obtiene 0 = 3 3 .2 1 °

>

<


Suponga que se d esea hallar el ángulo positivo 0 menor que 90° para el cual cot 0 - 2.9 0 6 Para utilizar la calculadora y la tecla tan" com o tan 6 =

se escribe la ecuación

2.906

D espués, con la calculadora en m odo de grados, se introduce

y se

oprim e la tecla tan” y se obtiene 0 = 18.99°

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 12 Se desea determinar todos los ángulos 0 tales que 0o < 0 < 360® para los cuales sen 6 —

1 V5

Com o sen 0 > 0 , 0 puede estar en el primer cuadrante o en el segundo. Por tanto, existe 0 i tal que

7

sen 0i = — = V

2

0° <

fl, < 90°

474

C M h U lO * ..JUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE ÁNGULOS y $ 2 tal que

90° < 02 < 180°

sen 02 — V z

La Figura 8 .4 3 (a ) m uestra que 0i = 4 5 ° El ángulo 02 e s un án gu lo del seg u n d o cuadrante que tiene un áagJ de referencia d e 45°. V é a se la Figura 8.43(b ), la cual muestra que

02 = 180° = 135°

63.3a

45c

► EJEMPLO 6

efe

tienenun

D e te rm in a c ió n ángulos quo v a lo r d o fu n ció n trigonométrica dado

H alle todos lo s án gu los 0 tales qu e 0° < 0 < 360° para los quesea* (b) FIGURA 8.43

face la ecu ación dada: (a ) tan 0 = - V 3; (b) eos 0 = -0.4493.

Solución (a) C om o tan 0 < 0 , 0 p u ed e estar en el segundo cuadrante oa: cuarto. Por tanto, e x is te 0 \ tal que ta n

0i =

—V 3

9 0 ° < 0, < 180°

y 02 tal que ta n 02 = —V 3

2 7 0 ° < 02 < 360°

Primero se determina el ángulo de referencia 0 para el que tan6='' V éase la Figura 8 .4 4 (a ) y observe que 0 = 60°. El ángulo MM ángulo del segu n d o cuadrante qu e tiene un ángulo de refere^! de 60°. V éase la F igura 8 .4 4 (b ), la cual muestra que

VF

300 °/* \ U y

V

6° ° / V 120° -1 O

1 «0

I

1.

k Jk

2\ SeH(.

(b)

FIGURA 8.44

(c)

8.2

FUNCIOWIS TRIGONOMÉTRICAS DE MEDIDAS ANGULARES

0,

= 180° -

475

60°

120°

=

El ángu lo 0 2 está en el cuarto cuadrante y tiene un ángulo de refe rencia de 60°. La Figura 8.4 4 (c) muestra este ángulo, y de la figu ra se v e que 360c

&

60°

300c (b ) C om o e o s 0 < 0 , 0 puede estar en el segundo cuadrante o en el tercero. Por tanto existe 0 \ tal que

,mUestrac

e o s 0, = - 0 . 4 4 9 3

9 0 ° < 0, < 180°

y 62 tal que eos (*)

02 =

- 0 .4 4 9 3

180° <

< 270°

A fin de determ inar el ángulo de referencia 0 para el que eos 0 =

ñ a dodc

0 .4 4 9 3 , s e introduce 0 .4 4 9 3 y se presiona la tecla eos-

y se

ob tien e 0 = 63.3°. A sí, 0 \ es un ángulo del segundo cuadrante que tiene un ángulo de referencia de 63.3°. Véase la Figura 8.45(a) y observe que

ra lo s que sea

-0.4493.

a n d a *0'

0,

180° I

(b)

6 3 .3 °

1 1 6 .7 °

El ángulo 02 está en el tercer cuadrante y tiene un ángulo de referencia de 63.3°. E ste ángulo se muestra en la Figura 8.45(b) y

FIGURA 8.45

02

= 1 8 0 ° + 6 3 .3 °

4

* = 2 4 3 .3 °

EJERCICIOS

8 .2

ejercicios I a 6, dibuje el ángulo y halle el valor r '^ fm c ió n .

•enáOP

(b) eos 30“

(c) tan 45°

Kn3
(b) eos 45*

(c) tan 60°

(b) sen 210* (b) sen 150"

(c) tan 300° (c) tan 315° (c) ta n (- 120°)

1 6

(b) cosí-225°)

í _ *¡ , * «*(-60°)

<.

210°)

(c) u*n(-

^° encueníre l°s valores de las triH°nométricas del ángulo cuadran-

ral indicado para el que están definidas. ¿Para cuáles funciones no se definen valores? 7. 0° 8. -180° 9. -90° 10. 270° En los ejercicios 11 a 18, 0 es un ángulo en posición estándar y el punto P se encuentra sobre el lado termi nal de 0. Determine los seis valores de las funciones trigonométricas de 0. 11. PO, 4) 14. P ( - 12, - 5 ) 17. P ( - 1. - 4 )

12. P(8, 6) 15. P(6, - 3 ) 18. P(8. -1 5 )

13. P ( -1 5 , 8) 16. P ( - 6, 2)

476

CAPÍTULO 8

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS D I ÁNGULOS

En los ejercicios 19 a 22, halle los valores exactos de las seis funciones trigonométricas del ángulo agudo 0 mostrado en el triángulo rectángulo.

referencia asociado. Después determine el vofcr, to. No em plee calculadora.

19.

29. (a ) sen 135° (d) cot 330°

il (b) eos 210® (e) sec 180“

(c) (f)

3 0 . (a ) sen 315° (b) eos 12(P (d) c o t (- 2 2 5 ° ) (e) sec 240°

.

20

3 1 . (a) sen(— j'ir) (d ) c o t § ir

(b) c o s jir (c) tan|v I (e ) s e c ( - | » ) (f)

3 2 . (a) sen n (d ) c o t ( - | i r )

(b) eos ^ ir (e ) s e c ( - j » )

En los ejercicios 10

22.

En los ejercicios 23 a 28, utilice una calculadora para aproximar el valor de la junción.

23. (a) sen 32.4° (d) cot 16.3°

(b) eos 57.6° (e) sec 44.5°

(c) tan 73.7° (f) ese 45.5°

24. (a) sen 81.1° (d) cot 64.2°

(b) eos 8.9° (e) sec 52.3°

(c) tan 25.8° (f) ese 37.7°

25. (a) sen 75.4° (d) cot . °

(b) eos 22.3° (e) sec 52.6°

(c) tan 34.8° (f) ese 2.7°

26. (a) sen 1.5° (d) cot 14.6°

(b) eos 48.2° (e) sec 33.7°

(c) tan 76.9° (f) ese 80.4°

27. (a) sc n j r (d) cot 1TT

(b) eos 0.457

(c) tan 1.264

28. (a) sen 1.302 (d) cot 0.839

(b) COS

7

(c) Unjt (f) ac(-¡r

33 a 38, exprese el valordelafa

en té rm in o s del valor de función del ángulo¿tJ f e reneia asociado. Después aproxime el wrioreu calculadora.

21.

88 1

(t) taa 2)r (f) ¡

7T

(c) tan j TT

En los ejercicios 29 a 32. exprese el valor de la f u n ción en términos de un valor de función del ángulo de

33. (a) sen 124°18' (c) tan( - 1 5 ° 6 ' )

(b) eos 243°36'

34. (a) eos 151°12' (c) tan 196°42'

(b) sen( -98*24')

35. (a) cos( (c) tan

(b) sen( —263.8°)

172.4°)

200.2°

36. (a) sen( -1 9 3 .7 ° ) (c) tan 108.3°

(b) cos(-10.9a)

37. (a) cot( —169°30') (c) CSC 175.5°

(b) sec i292.6*

38. (a) cot 348.1° (c) csc( -1 2 6 .5 ° )

(b) sec( -304.9s)

j

En los ejercicios 39 y 40, halle to d o s los valoresk ' guio 0 tales que

0

< 360" p a r a lo s que se

la ecuación dada. 3 9 . (a) sen 0 = (c ) tan 6 =

5 1

(b) eos 6 = - j

V3 4 0 . (a) sen 0 — —t “

(b) eos

1

(c) tan 0 = —

V

2

V3

En los ejercicios 41 y 42, encuentre todos& d e l á n g u lo

ti tales q u e

O Z 0 < 2 n para I # f *

foce la ecuación indicada.

8.3 SC

8.3

(c) íaní-'

® CscHi («) tan 2i¡):

L

» *1

I

(c) u n t * °

V

V3

(b ) e o s

0

= —

(b ) e o s

0

= O

2

SOLUCIÓN DB TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

/() ir < «./ un í =

> 44 hall* todos los valores del án-

(f)

W ian|i r) (f) csci-:

de décimos de grado tales W p a n los que se satisface la ecuación

! . ¿ con aproximación

* (c) tan?:

r) (f) c sck .

43, (g) sen 0 = 0.5165 (c) tan 9 = 2.367

I valor delaf^j i del ángulo¿i

mu el valorati

44. (a) sen 6 = 0.9078 (c) tan 0 3 0.2035

(b ) e o s 0 = 0 .1 6 8 5 (d ) c o t 0 =

1 .0 5 3 4 8 . La figura m ostrada abajo se obtiene de la dei ejer

(b ) e o s 0 = 0 .7 6 3 8 (d ) c o t 0 = 7 .5 9 5

& los ejercicios 45 y 46, d eterm ine to d o s lo s v a lo re s é l ángulo 0, con cuatro d íg ito s sig n ific a tiv o s, ta le s

c ic io 4 7 dibujando e l segm en to d e recta P C , el cual e s la perpendicular d esd e el punto P a l e je x . D eter m in e e l segm ento de recta cuya longitud es (a) sen 0 ,

(b) e o s 0 , (c ) se c 0 y (d ) e se 0 .

ftDS9<2npara los que se sa tisfa ce la e c u a c ió n inios 243°36'

iauid. 45. (i) sen 9 = 0.4207 (b) eos 0 = -0.3586 (c) tanfl = 2.190 (d) cot 0 s -4.371

1 1

¡ .( ) sen 6 = -0 .8 2 3 6

cos( sec

(b) eos 6 = 0.5017

20’

Sé c (

(c) tan 0 = -6 .4 9 5 (d) cot 0 = 0.9721

i#

f ' En la figura mostrada abajo, el lado terminal del ángulo 0 intersecta la circunferencia unitaria en el punto P. El punto T es la intersección d e la recta Que pasa por O y P, y la recta tangente a la circun ferencia unitaria en el punto A ( 1, 0). La recta tan°**a la circunferencia unitaria en el punto B (O, I) intersecta a la recta que pasa por O y P en el Pwto S. Muestre que tan 0 es igual a la longitud *cgmento de recta AT y cot 0 es igual a la lon*lud segmento de recta BS.

8

a*

49. Antes de la invención de las calculadoras electróni cas, ¡os valores de las funciones trigonométricas se obtenían de las tablas de valores para ángulos posi tivos menores que 90°. Explique cómo los valores de las funciones trigonométricas de ocros ángulos se obtuvieron en ese tiempo. Como ilustraciones de su discusión, utilice un ángulo positivo en el se gundo cuadrante y un ángulo negativo en el tercer cuadrante.

\ \'r

1,3

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS OBJETIVOS

1. A prender que cualquier función trigonométrica de un ángulo agudo es la cofunción del complemento del ángulo.

477

478

CAPÍTULO 8_ FUNCION»* TWOONOMÉTIMCAS PE ÀNOULOS 2. R esolver un trián gulo rectángulo cuando se conocen un • agud o y u n lado. Si 3. R esolver un trián gulo rectángulo cuando se conocen do 4. R esolver enun ciad os de problem as que implican trián*^ rectángulos.

En la Sección 8.2 se dijo que las funciones trigonométricas den guio agudo pueden expresarse com o razones de las longitudes ! lados de un triángulo rectángulo. Esta interpretación de las fu*«! trigonométricas puede emplearse para resolver un triángulo reaé* lo, lo que significa encontrar las magnitudes de sus lados y de sus¡¡Z agudos. La resolución de triángulos rectángulos tiene aplicado*, varios cam pos, especialm ente en topografía y navegación, co», verá más adelante en esta sección. Los vértices de un triángulo rectángulo suelen denotarse porAj y C, donde C representa al vértice del ángulo de 90°. Las longitodeu los lados opuestos a A , B y C se designan mediante a, b y c, ttm vamente; de m odo que c representa la longitud de la hipotenusa, u b representan las longitudes de los catetos. Los ángulos agudani vértices A y B se denotan por a y ¿3, respectivamente. Vóuílafip 8.46. A l utilizar estos sím bolos para los lados y ángulos de untn» lo rectángulo, se tiene el teorema siguiente, el cual se deduce ddfe rema 2 de la Sección 8.2.

4

A

FIGURA 8.46

TEOREMA 1 Si a y (3 son los dos ángulos agudos de un triángulo rectánptic a y b son, respectivamente, las longitudes de los lados opuestos a estos ángulos, y c es la longitud de la hipotenusa; entonces

a c

b c

a tan a = b cot a = sec a = esc a —

sen f i — -

c

e o s /3 = -

c

b tan (3 = a

b a c

b c a

c°t

„

0

a = -

sec f i = a CSC P = ¡

8 .3

SOLUCIÓN D I TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

479

D e las fórm ulas del T eorem a 1, observe que

1 2

sen a = c o s /3

y

c o s a = sen /3

( )

tan a = c o t /3

y

c o t a — tan p

( )

sec a = e se p

y

ese a = see p

(3 )

C om o a + p = 90°, entonces p = 90° -

a

(4)

A l sustituir 9 0° - a por P en (1), (2 ) y (3 ) se tiene sen a = c o s ( 9 0 ° a )

y

eos a

= sen(90o - a )

(5)

ta n a = c o t(9 0 °

— a)

y

cot a

= ta n (9 0 ° — a )

(6)

s e c a = c s c (9 0 °

— a)

y

e sc a

= se c (9 0 ° — a )

(7)

C on base en las ecu aciones (5), se dice que el seno y el coseno son c o fu n c io n e s una d e la otra. A dem ás, de las ( ), la tangente y co tangente son cofu n cion es entre sí, y a e (7), la secante y cosecante son c ofu n cion es una de la otra. Cuando la sum a de dos ángulos agudos es 90°, se d ice q u e los d os ángulos son co m p lem en ta rio s y que cada án g u lo e s el c o m p le m e n to del otro. Por tanto, las ecuaciones (5), ( ) y (7 ) establecen que c u a lq u ie r fu n c ió n trigonom étrica d e un ángulo a g u d o es la c o fu n c ió n d e l c o m p lem e n to d e l ángulo.

6

6

> (a ) c o s (9 0 ° -

(c ) c sc (9 0 ° -

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 2 3 .4 ° ) = e o s

66.6°

(b ) ta n (9 0 ° -

3 9 .8 °) = tan 50.2°

= 0 .3 9 7 1

1.2002

= sen 2 3 .4 °

c o t 39.8°

8 1 .3 °) = e sc 8 .7° = 6 .6 1 1 1 = se c 8 1 .3 °

► EJEMPLO 1

Representación d e l v a lo r tío un a función trigonom étrica como v a lo r do función do un á n g u lo m onor que 4 5 °

E scriba cad a un a d e las expresiones siguientes com o el valor de fun ción de un áng ulo positivo m enor que 45°: (a) sen 72.1°; (b) eos 45.5°; (c) tan 89.7°. Solución (a) sen 7 2 .1 ° = co s(9 0 ° - 72 .1°)

= e o s 17.9°

480

CAPÌ;FULOS

f u n c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s p e á n g u l o s

(b)

eos

45.5° = sen(90° - 45.5°) = sen 44.5°

(c) cot 89.7° = tan(90° - 89.7°) = tan 0.3°

Ahora se aplicarán las fórmulas del Teorema 1 para resolvere gulos rectángulos. En las operaciones con estas fórmulas, la p ^ de los datos proporcionados determina la precisión del resuhafc i Tabla 1 presenta la relación entre la precisión de las longitudes dey lados y las magnitudes de los ángulos agudos en grados. No obsn que se manejan números aproximados, se empleará el signo de^ en el entendido de que la igualdad es válida sólo para el númerode5 gitos significativos que establece la Tabla 1. Tabla 1 N ú m ero d e d íg ito s sig n ific a tiv o s e n la s lo n g itu d e s d e lo s la d o s

Medidas d e ángulos agudos

4 3

Precisión de 0.01" Precisión de 0.1° Precisión de grado

2

Al resolver un triángulo rectángulo, se recomienda que prucj dibuje aproximadamente el triángulo a escala para comprendernr el problema, lo cual facilita la detección de errores si el valoread es ilógico, ya sea muy grande o muy pequeño.

► EJEMPLO 2

S o lu ció n

do u n

triá n g u lo rectángulo

Resuelva el triángulo rectángulo para el cual (X= 24.2° y c= S o lu c ió n La Figura 8.47 muestra el triángulo. Se desea deto®50, a y b. Como a + P = 90°,

P=

90° -

a

= 90° - 24.2° 1 6 5 .8 °

J

A fin de determinar a, se necesita una fórmula que contenga como los valores dados de c y a . Las fórmulas para sen a y plican estas cantidades. Si se utiliza el seno, se tiene sen 24,2° = i f i FKH JRA 8.47

a = 16.3 sen a — 6.68

24.2°

8 .3

SOLUCIÓN D i TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

481

Para hallar b , se desea emplear una fórmula que implique a a , c y b. D e la fórmula para e l coseno se tiene L c o s 2 4 .2 ° =

16.3

b = 1 6 .3 e o s 2 4 .2 ° b = 1 4 .9 El valor para b se puede obtener del valor calculado de a y cot a . Por m edio d e este m étodo se tiene

c o t 2 4 .2 ° = b =

6.68

6.68 c o t 2 4 .2 °

b = 14.9 Observe que al determinar b mediante dos métodos, se verifican los resultados. <

► EJEMPLO 3

Solución

do un trián gu lo rectángulo

R esuelva el triángulo rectángulo para el cual a = 32.46 y b = 25.78.

Solución

El triángulo se muestra en la Figura 8.48. Las incógnitas son a , P y c. Primero se determinará uno de los ángulos. Para encon trar a , se em plea la función tangente, así 3 2 .4 6 tan a = ——— 2 5 .7 8

B

tan a = 1.259 a = 51 .5 4 ° 3 2 .46

Para hallar 0 , también se utiliza la función tangente. o

tan/3 =

25-78 3246

tan 0 = 0 .7 9 4 2 fiGURA 8.48

f3 = 38.46° Com o oí + f$ = 90°, se puede obtener fi restando el valor de a de 90°. Sin embargo, al hallar 0 a partir de la información proporcionada, se tiene la verificación de los resultados al mostrar que a + p = 51.54° + 38.46° * 90° Para determinar c, se pueden emplear cualesquiera de las funciones de cu o p . A l utilizar sen a se tiene

4*2

CAPÍTULO 8 FUMaONIS TRIOONOMÉnMCAS P i ÁNGULOS

sen 51.54

3 2 .4 6 ------------

c

3 2 .4 6 C * sen 51 .5 4 °

c *= 4 1 .4 5 Por supuesto, c también puede obtenerse a partir de c 2 = a2*¿iL ecuación puede utilizarse para verificar el valor calculado de c. El área de un triángulo puede determinarse a partir de la fómg

K = { bh donde K unidades cuadradas es el área, b unidades la longitud dc¿ base y h unidades la altura. En un triángulo rectángulo los lados(¡t tos) opuestos a los ángulos agudos son la base y la altura.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 (a) Si K unidades cuadradas es el área del triángulo del ejemplo tonces K = \b a =

5 (1 4 .9 )(6 .6 8 )

= 49.8

(b)

Si K unidades cuadradas es el área del triángulo del ejemplo.' tonces

= |(2 5 .7 8 )( 3 2 .4 6 ) = 4 18.4

-'-1

Ahora se discutirán algunas aplicaciones concernientes a la ción de triángulos rectángulos. En el ejemplo siguiente, la ioi#- ' un segmento de recta es 50.00 m, lo cual indica que la medici^ aproximada a centésimos de metro. Esto es, se consideran cuattf . tos significativos.

► EJEMPLO 4

Solución d o l onunclado do un probkft* Im plica un triángulo rectángulo

Para determ inar la distancia de una orilla a otra de un lago. lifl $ ¡ grafo elige dos puntos P y Q, uno en cada orilla y directamente ^ tos entre sí. En la orilla que contiene a P se selecciona oUr° P ^ i 50.00 m de P, de m odo que el segm ento de recta PR es PerPe

8 .3

SOLUCIÓN D I TRIÁNGULOS RICTÁNGULOS

483

al se g m en to d e recta P Q . El á n g u lo form ad o por los lados P R y R Q m id e 7 8 .2 4 °. ¿C uál e s la d istan cia d e una a otra orilla del lago?

Solución

V é a se la F igura 8 .4 9 , la cual m uestra e l triángulo rectán g u lo c o n su á n g u lo recto en P . L a d istan cia d e una a otra orilla del lago e s x m etros. E n ton ces

ta n 7 8 .2 4 ° = 5 0 .0 0

x

= 5 0 . 0 0 ta n 7 8 .2 4 °

x = 2 4 0 .2 C o n c lu s ió n :

L a d istan cia d e una a otra orilla del lago e s d e 240 .2 m. <

U n se g m en to d e recta d e sd e un punto d e observación O a un pun to P ob servad o se d en om in a la v isu a l d e P . E l ángulo, con vértice en O, form ado por un rayo horizontal y la visual d e P , se denom ina á n g u lo d e e le v a c ió n d e P o á n g u lo d e d e p r e sió n de P , conform e P se encuentre por arriba o por debajo del punto O . V éase la Figura 8.50.

► EJEMPLO 5

Solución do un probloma quo Implica un triángulo rectángulo

En un punto P el ángulo de elevación a la cim a de una colina e s 36.3*. En un punto Q , situado en la m ism a recta horizontal que P y al pie d e la colin a, a 6 0 m d e P , el án gu lo d e e le v a ció n e s 24.5°. D eterm ine la altu ra d e la colin a.

Solución

V éa se la Figura 8 .5 1 , don de el punto R está en la cim a de la colina. La altura de la c o lin a e s x metros. S ea y m etros la distancia d e P al pie de la colin a. S e tienen dos triángulos rectángulos. D el trián g u lo rectángulo qu e tien e un vértice en P , se tiene c o t 3 6 .3 ° = X y = x c o t 3 6 .3 ° D el triángulo rectángulo que tiene un vértice en Q , se obtiene . ,o 6 0 .0 + y c o t 2 4 .5 -----------------x 6 0 .0 + y = x c o t 2 4 .5 ° A l sustituir y por x c o t 36.3° se tiene 6 0 .0 + x

cot 3 6 .3 ° = x cot 2 4 .5 ° 6 0 .0 = x(cot 2 4 .5 ° - cot 3 6 .3 °)

404

fftP **111 n •

f u w a o w i s TRIGONOMÉTRICAS D i ÁNOUIOS 6 0 .0

X =

c o t 24.5° - cot 36.3° x m 7 2 .0 C o n clu sió n :

La altura de la colina es de 72.0

(a)

FIGURA 8.52 En navegación, el cu r so de un barco o de un avión es el áse m edido en grados en el m ism o sentido en que giran las manecilla!, reloj, a partir del norte hasta la dirección en que se encamina li* El ángulo se considera positivo aunque esté generado en el sentó; giro de las m anecillas del reloj. La Figura 8.52 muestra cursasde? 200° y 320°. El a c im u t de una posición en particular P d e s d e ib os vador en O, e s e l ángulo m edido en grados en el sentido del giro ik* manecillas del reloj, desd e el norte hasta el segmento de recu Véase la Figura 8.53(a), la cual muestra dos puntos A y B.B& de A con respecto a B e s el ángulo presentado en la Figura 8J3(V acimut de B con respecto a A es el ángulo que muestra lafiF 8.53(c). O bserve la diferencia entre las dos situaciones. En estectf es el acimut de A con respecto a B, y 180° + 0 es el acimutdeírelación a A. N

En lo COMIO yortfi Ma;

(ú]

(a) «)

♦

(i) (d)

• B

s o

(a)

(b) FIGURA 8.53

8 .3

SOLUCIÓN PE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

► EJEMPLO 6

485

Solución d o l onunclado do un problema que Im plica un trián gu lo rectángulo

U n n avegan te en un buque con un curso de 338° a 12 nudos (millas náuticas por hora), ob serva un faro al norte del buque. Q uince minutos d esp u és e l faro está al e ste del buque. ¿Q ué tan lejos se encuentra el buque d e l faro en e s e m om en to?

Solución

V éa se la Figura 8.54, don de x m illas náuticas es la dis tancia a determ inarse, C e s la p osición del faro, A la del buque en el m om en to d e la ob servación inicial y B la del buque 15 min después. C o m o e l b u qu e n a v eg a a 12 nudos, entonces recorre una distancia de 3 nm i en 15 m in. D e b id o a que el curso e s 338°, el ángulo en A del trián g u lo e s 360° - 338°, o 22°. D el triángulo rectángulo, se tiene sen 2 2 ° = —

FIGURA 8.54

x = 3 sen 2 2 ° * = jL.1 C o n c lu s ió n : ind icado.

® avión eso J

E l faro se encuentra a 1.1 nmi del buque en el momento <

,iran las manee e se eocaw'ii leradoeneiffiij muestra curai

icuiaPtek" ¿1senñdodd^

«

i

punios a ,

. 0 <*

V:

EJERCICIOS

8 .3

En los ejercicios 1 a 4, exprese el valor d e la función como el valor de función de un ángulo positivo no m a yorque 45". í 1* (a) sen 60° ■: (d) cot 52.1°

(b) eos 84.3° (e) ese 67.5°

(c) tan 49.8

p (8) sen 79.6°

(b) eos 46° (e) sec 59.7°

(c) tan 64.3°

I (d) cot 88.8° i* (a) sen47°18' (d) cot 55°6'

(b) eos 71°42' (e) sec 64°30'

(c) tan 46°

(b) eos 80°54' (e) esc 49°36'

(c) tan 75°24'

I

62 12

[M a)ien ° ' (d) cot 60°

fe* ejercicios 5 a 8, resuelva el triángulo rectángulo ti ángulo recto se encuentra en el vértice C. ¡os valores de la función trigonométrica no utilice V calculado/a. Exprese los resultados con la aproxi1 . ^ a dígitos significativos que amerite la informadòn Proporcionada. [J- • * 60°, c m fi m 45°. a

6 . a = 45°, a = 34 8. 0 = 30°, c - 8.2

En los ejercicios 9 a 30, resuelva el triángulo rectángu lo donde el ángulo recto se encuentra en el vértice C. Para los valores de lafunción trigonométrica no utilice la calculadora. Exprese los resultados con la aproxi mación a dígitos significativos que requiera la informa ción proporcionada.

11.

a « 24°, a = 16 ce= 65°, b = 6.3 0 = 71°, c - 44

12.

0 = 10°. b = 22

9. 10.

13. b = 26, c = 38

15.

a = 3.4, b = 5.7 fi = 37.4°, a =

4.18

16.

a = 52.3°, c =

48.5

17.

a * 16.9°, a =

1.36

18.

&= 29.7°, a =

0.534

14.

1 9 . a = 63.6, b — 58.1

20.

a *

154,

c=

393

486

CAPÍTULO 8

FU N CIO N ES TRIG O N O M ÉTRIC AS D I Á N G U L O S

21. a = 58.43°, , c = 625.3 22. ß a 18.63°, c - 5 2 .1 0 23. ß * 40.92°, b = 3 6.72

3 7 . El ed ificio del Empire State tiene 1 250 ra. ¿Cuál e s el ángulo de elevación de p e r io r d e sd e un punto en el suelo a u j* * (5 2 8 0 pie) de distancia de la base del e d ifl^

j

24. a = 70.25°,. a « 6 584 25. a ■= 312.7, c =r 8 09.0 26. b «= 4.218, c == 6 .759 27. ß = 65° 18',. c = 39.2 28. a « 35°48' » c = 2 5 .0 29. a = 29°36' , b = 287 30. ß = 81°12' . a = 4 3 .6

3 8 . Si el ángulo de elevación del Sol es 42*. ¿cuílQ longitud de la sombra que proyecta en el aido' hom bre que m ide 6.1 pie de estatura?

ejercicio indicado. 31. Ejercicio 11

32. Ejercicio 18

33. Ejercicio 25

34. Ejercicio 28

*1*

En los ejercicios 3 5 a 44, la solu ció n d e l en u n cia d o d e l problem a im plica un triángulo rectángulo. E sc rib a una conclusión. 35. D esde la cim a de un acantilado de 126 m de altura, el ángulo de depresión de un barco e s 20.7°. ¿A qué distancia se encuentra el barco de la base del acantilado?

3 9 . D o s barcos salen de un puerto al mismo tiempoE primer barco navega con un curso de 35*a 15* dos mientras que el segundo navega con unco tí de 125° a 2 0 nudos. Determine (a) ladistancii? tre lo s barcos después de 2 h, (b) el acimutdd? mer barco con respecto al segundo y (c)elad«i del segundo barco con respecto al primero N

*

36. Una torre de 135 pie de altura se localiza en la ori lla de un lago. D esde la punta de la torre, el ángulo de depresión de un objeto en la orilla del lado opuesto del lago es 36.3°. ¿Cuál es la distancia a través del lago?

40. Un buque sale de un puerto y navega A** con un curso de 78° a 18 nudos. Después ^ vira su curso a 168° y navega durante 6 M dos. Luego de 10 h (a) ¿cuál es la distáis* ^ que al puerto? y (b) ¿cuál es el acimut con respecto al puerto?

\

8 .3

SO L U C IÓ N D i T R IÁ N G U L O S R EC TÁ N G U LO S

4 *7

4 3 . D e sd e la cim a d e una m ontaña 5 3 2 m m ás alta que un río cercan o, el ángu lo d e depresión de un punto P situ ad o en la ribera m ás próxim a e s 52.6°, y el á n g u lo d e d ep resión de un punto Q directamente o p u e sto e n e l otro lad o e s 34.5°. L os puntos P y Q , a s í c o m o la b ase d e la m ontaña, están en la m ism a lín ea horizon tal. E ncuentre la distancia a través del río d e P a Q .

k Los puntos A y B se encuentran e n la m ism a lín ea horizontal con la base de una c o lin a y lo s á n g u lo s

4e depresión desde la cim a d e la c o lin a so n 3 0 .2 ° y 22.5a, respectivamente. Si la distan cia entre A y B

a 75.0 m, ¿cuál es la altura d e la c olin a?

4 4 . El punto T s e encuentra en la cim a d e una montaña. D e sd e un punto P e n e l su e lo , e l án gu lo d e e le v a c ió n d e T e s 16.3°. D e sd e un punto Q , en la m ism a lín ea horizon tal q u e P y la b ase d e la m ontaña, el án g u lo d e e le v a c ió n d e T e s 28.7°. D eterm ine la al tura d e la m ontaña si la d istan cia entre P y Q es 125 m.

Desde la parte superior de un e d ific io d e 6 0 p ie de altura, el ángulo de e levación d e un p o ste e s 14°. En la base del edificio el ángu lo d e e le v a c ió n d e la punta del poste es 28°. Encuentre (a ) la altura del P°& y (b) la distancia del p oste al e d ific io .

4 5 . C on sid ere una tabla d e valores d e las fu n cion es tri gon om étricas qu e aparecen c a si en cualquier libro d e texto p revio a 1990. E xp liq u e c ó m o la construc c ió n d e la tabla em p lea el h ech o d e q u e c u a lq u ie r fu n c i ó n trig o n o m é tr ic a d e u n á n g u lo a g u d o e s la c o fu n c ió n d e l c o m p le m e n to d e l á n g u lo .

488

8.4


LEY DE LOS SENOS

OBJETIVOS

1. A p r e n d e r la le y d e lo s s e n o s . 2. R e s o lv e r u n tr iá n g u lo o b lic u á n g u lo d a d o s dos ángulos y unlaa3. D e te r m in a r e l n ú m e r o d e tr iá n g u lo s p o sib les dados dos lado, u n á n g u lo o p u e s t o a a lg u n o d e e llo s . 4 . R e s o lv e r e n u n c ia d o s d e p r o b le m a s q u e im plican triángulo« o b lic u á n g u lo s y la le y d e lo s s e n o s . 5 . C a lc u la r e l á r e a d e u n tr iá n g u lo a p a r tir d e la fórmula qut im p lic a la s lo n g it u d e s d e d o s la d o s y e l á n gulo entre dios.

En m u ch a s s itu a c io n e s p rá ctica s s e d esea detertrinar los lados yJ án g u lo s d e un t r iá n g u lo o b lic u á n g u lo , e l cual no contiene ánguloik to. En es ta s e c c ió n y e n la s ig u ie n te s e resolverán dichos triángulos C o m o e n e l c a s o d e lo s triá n g u lo s rectángulos, los vértices dela triángu los o b lic u á n g u lo s s e d en o ta n por A , B y C, y las longitudes¿ lo s lad os o p u e sto s a e llo s s e d esig n a n por a , b y c, respectiva!» \ L o s á n g u lo s c u y o s v é r tic e s s o n A , B y C se denotan por a, /Jyy,» p ectiv a m en te. L a F igu ra 8 .5 5 m u estra un triángulo oblicuángulo®; tien e su s á n g u lo s a g u d o s. U n triá n g u lo oblicuángulo que tiene en;.! vértice A un á n g u lo o b tu s o (u n á n g u lo cu y a m edida en grados esar-j

«

C

FIGURA 8.56

tre 9 0 y 1 8 0 ) s e p resen ta e n la F ig u r a 8 .5 6 . A fin d e r e so lv e r u n trián gu lo ob licuán gu lo, se debe conocer»! lon gitu d d e un la d o y cu a le sq u ie r a otras d o s medidas. En estas«» se consideran d o s c a so s. E n e l prim ero, se proporcionan las medida;: d os án g u lo s y un la d o . E n e l seg u n d o , las medidas de dos ladosj i| á n g u lo o p u e sto a u n o d e e llo s s o n c o n o c id o s. Para cad a u n o d e lo s triá n g u lo s d e las figuras 8.55 y 856 set? un sistem a co o r d e n a d o c a r te sia n o rectangular de modo que el ofyt e s té en e l vér tice A y la parte p o sitiv a d el eje x se encuentre alolif d el lad o A B . L o s triá n g u lo s y e je s coord en ad os se muestran enlaFi? ra 8 .5 7 . E n cad a triá n g u lo e l á n g u lo a está en posición estándar T*. y

c

c

D

B

D

(a)

FIGURA 8.57

A

8 .4

LEY DE LOS SINOS

489

bién para cada triángulo se dibujó un segm ento rectilíneo a través de C paralelo al e je y e intersecta al eje x en D. Sea h = | D C |. En cual quier caso h sen a = -

b

h = b

sen

( 1)

a

Tam bién d el triángulo rectángulo B D C , en cualquier caso sen 3 = a h = a sen (3

(2)

A l sustituir (2 ) en (1 ), se tiene

a

sen

P

b

—

sen

a

b

sen a

sen p

a

(3)

S i lo s ejes coordenados se eligen de m odo que el origen esté en A y el lado p o sitiv o del eje x esté a lo largo d e A C , entonces mediante un argum ento sem ejante, se obtiene

sen a

(4)

sen y

O bserve que (4 ) e s válida si el triángulo es un triángulo rectángulo. E sto es, si y = 90°, entonces com o sen 90° = 1, (4) se convierte en a

_

sen a

c 1

a sen a == — c que e s la primera fórmula del Teorem a 1 de la Sección 8.3. D e (3 ) y (4 ) se tiene el teorema siguiente, conocido como la ley de lo s senos.

TEOREMA 1

L e y d e lo s s e n o s

Si a , P y y son los ángulos de cualquier triángulo y a, b, y c son, respectivam ente, las longitudes de los lados opuestos a es tos ángulos, entonces a _ b sen oí sen a

=

c sen y

capítulo

a

fu n cio n es t r ig o n o m étr ic a s de á n g u l o s

► EJEMPLO 1

de

Resolución un triángulo oblkuénauL conocido* dos ángulos y un lado

Resuelva el triángulo para el cual a = 51.2°, p = 48.6° ya*23j S o lu c ió n La Figura 8.58 muestra el triángulo. Debido a que a 180°, y = 180° = 180°

FIGURA 8.58

a — (3 5 1 .2 ° —'48.6*

= 8 0 .2 C De la ley de los senos 2 3 .5

b

sen 5 1 .2 °

sen 4 8 .6 ° 2 3 .5 (s e n 4 8 .6 ° ) sen 5 1 .2 °

b Ü 2 2 .6 También de la ley de los senos

23.5 sen 5 1 .2 °

sen 8 0 .2 ° _ 2 3 .5 (se n 8 0 .2 °) sen 5 1 .2 °

c = 2 9 .7

► EJEMPLO 2

Solución do l enunciado de un probkmoP Im p lic a un triángulo oblicuángulo y h kf* los senos

Sobre una colina inclinada, con respecto a la horizontal, un án#‘| 14.2°, se encuentra una torre vertical. En un punto P que está ao-del pie de la torre colina abajo, el ángulo de elevación de la rior de la torre es 43.6°. ¿Cuál es la altura de la torre?

Solución

^ U R A 8.59

Véase la Figura 8.59, donde x metros es la torre, la parte superior de la torre se denota por T , y F punto en la base de la torre. Se tiene un triángulo o b lic ú a n ^ , vértices en P, T y F. El ángulo en P del triángulo se detenw&* . cular 43.6° - 14.2°, lo cual es 29.4°. El ángulo en Tdel triáng*' termina calculando 90° —43.6°, lo cual es 46.4°. De cen las medidas de dos ángulos y un lado del triángulo. D* los senos

• .4

U Y P I LOS SENOS

491

6 2 .5 sen 29.4*

se n 4 6 .4 ° 6 2 .5

(se n 2 9 .4 C

sen 4 6 .4 °

x C o n c lu s ió n :

= 4 2 .4 L a altura d e la torre e s d e 4 2 .4 m .

4

h = ¿sena

FIGURA 8.60

La le y de lo s se n o s tam bién p u ed e em p learse cuand o las m edidas de d o s lad os y un á n g u lo o p u esto a uno d e e llo s son con ocid os. Sin em b argo, n o siem p re s e tien e un ú n ico triángulo. Su pon ga, por ejem p lo , qu e s e c o n o c e n a, b y a , d o n d e (X e s un án gu lo agudo. Para con s truir un trián gulo q u e ten ga las m ed id as dadas, con sid ere el ángulo en p o sic ió n estándar e n un siste m a coord en ad o cartesiano rectangular de m o d o q u e e l v értice A está e n e l origen . V éase la Figura 8 .60. C om o se c o n o c e b, se traza un se g m en to rectilín eo A C d e longitud b en el lado term inal d e a . D e esta m anera se determ ina la p osición d el vértice C. El lado B C d e lon gitu d a unidades e s op u esto al vértice A y el vértice B d eb e estar sob re e l e je x . Para localizar la p osición p osib le de B , pri m ero d ib uje e l se g m en to rectilíneo perpendicular al eje x desde C. Si d ic h o se g m en to tien e h unidades d e longitud, entonces

sen

ol

= b

h — b sen a La p o sic ió n d el vértice B dependerá d e la relación entre a y b sen a . E xisten cuatro posibilidades: a b. S e considera cada caso por separado y desp ués de su estudio se presenta un ejem p lo ilustrativo donde interviene un conjunto particu lar de valores de a , b y (X.

n c W U8.61

P o sib ilid a d 1: a 


Sea a = 2 .3 , b = 4 .5 y a = 42°. D e la ley de los senos a _ b sen a sen /3 2 .3

4 .5

sen 4 2 °

sen /3

4 .5 (s e n 4 2 °) sen (3 ----------------

23

sen /3 = 1 .3 0 9

492

CAPÍTULO

B

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

Como I sen ^ I no puede ser mayor q u e 1, esta ecuación no ti ción. De modo que no existe un triángulo q ue satisfaga la infiÜÜ*'l proporcionada. Observe que este conjunto d e v a lo r es satisface la Posibili porque '«"»üd»

C

b sena = 4.5 (sen42°) = 3.01 Además, a = 2.3 y 2.3 < 3.01. A

<|

B

a es agudo y a = b sen a un triángulo rectángulo

FIGURA 8.62

Posibilidad

a = b sen (X. Véase la Figura 8.62. La distanciapeí pendicular de C al eje x es a unidades y, por tanto, en el vérticejk i 2:

un ángulo recto. De ello se tiene

un triángulo rectángulo.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Suponga que a

a

b

sen a

sen p

2.0

4.0

sen 30°

sen P

sen p

y

sen/3 =

C

= 2.0, b = 4.0 y

sen

a = 30°.

De la ley de los senos

4.0(sen 30°)

4 .0 (5) 2.0

p = 1

Por tanto, p

= 90° y el triángulo es un triángulo rectángulo. La Posibilidad 2 es válida porque para este conjunto de valor* b sen a =4.0(sen 30°); esto es, b sen
B

2

fl,

a es agudo y bsen a
Posibilidad 3: b sen
dos triángulos

FIGURA 8.63

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

Sea a = 25.2, b - 30.5 y a = 54.2°. De la ley de los senos a b sen a sen p 25.2 _ 30.5 sen 54.2° sen p

8 .4

30.5

sen (3 =

LiY P IL O S SINOS

493

(sen 54.2°) 25.2

sen/3 = 0.9817 Se tienen dos ángulos P cuya medida en grados está entre 0 y 180 para los cuales sen p = 0.9817. Sea pi el ángulo agudo. De una calculadora P\ = 79.0° Si p 2 es el ángulo obtuso, entonces como P i es el ángulo de referencia asociado a pi, se tiene 180° - 79.0C 101.0°

Por tanto, existen dos triángulos. La Figura 8.64(a) muestra el triángu lo para el cual a = 25.2, b = 30.5, a = 54.2° y P\ = 79.0°. La Figura 8.64(b) presenta el triángulo para el cual a = 25.2, b = 30.5, a = 54.2° y Pi = 101.0°. Así se tienen dos triángulos por resolver. Para el triángulo de la Figura 8.64(a), se determina / i y Ci. y\ = 180° — a — fi\ = 180° - 54.2° - 79.0° = 46.8°

FIGURA 8.64

De la ley de los senos Ci _ b sen yi senjSi c, 30.5 sen 46.8° sen 79.0 30.5 (sen 46.8°) ci sen 79.0° 30.5(0.7290) ci 0.9816

_ A h o ra se d eterm in a y 2 y c2 para el triángulo de la Figura 8.64(b). = 180° - a - fk = 180° - 54.2° -- 101.0° = 24.8° De la ley de los senos Cj

sen

__

b _

sen yz

sen

c2_

30.5 sen 101.0°

24.8°

494_

CAPjBH.0

jU g ¡g C jO N |S

.TWOQWOMÉTRICAS^^ À i iW I O S

= 30.5 (sen 24.8°) sen 101.0° 30.5(0.4195) 0.9816 C2 = 13.0

i

V

\ a bsen a \

A° A

El conjunto de valores dados satisface la Posibilidad

B

porque

b sen a = 30.5 sen54.2° = 24.7 Además, a = 25.2, b = 30.5 y 24.7 < 25.2 < 30.5.

un triángulo

FIGURA 8.65

Posibilidad 4: a > b. Véase la Figura 8.65. Hay sólo únanos I potencial de B sobre el eje x. Por tanto, existe un triángulo S ¡/1 entonces el triángulo es isósceles.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Suponga

que a = 5.21, b = 3.06 y Oí = 47.6°. De la ley de lossenos

a _ b sen a sen p 5.21 = 3.06 sen 47.6° sen p 3.06 (sen 47.6°) sen B = --------------- -— H 5.21 sen P = 0.4337 Existen dos ángulos que miden entre 0o y 180°, cuyo seno de 0.4337. Pero como a > b, se deduce que (X> por De modo que se tiene sólo un valor para D e u n a calcu 0 = 25.7° Se determina y y c para este triángulo. y - 180° - a - (5 = 180° - 47.6° - 25.7° = 106.7° De la ley de los senos c sen

a

y

sen «

M

c

U Y D » IO S S IN O S

495

5.21 sen 47.6° 5.21(sen 106.7°) C“ sen 47.6°

sen 106.7°

c = 6.76 Es evidente que el conjunto de valores dado satisface la Posibili dad 4 porque a = 5.21, b = 3.06 y 5.21 > 3.06. 4

aesob tu so ya > b un triángulo (a)

*

Si un ángulo de un triángulo es obtuso, la longitud del lado opues to a él debe ser mayor que las longitudes de los otros lados. Por tanto, si se tienen a, b y ex, siendo a obtuso, entonces un triángulo es posi ble, si y sólo si, a > b. La Figura 8 .66 (a) muestra un triángulo donde a es obtuso y a > b. La Figura 8 .66 (b) indica que no existe triángulo al guno cuando a es obtuso y a < b . Debido a los diversos casos que pueden presentarse, cuando se conocen dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, a este caso se le denomina caso ambiguo. Se obtienen los mismos resultados si los la dos conocidos y el ángulo opuesto a uno de ellos se representan por otros símbolos tales como c, b y y\ b, a y /?; y así sucesivamente.

► EJEMPLO 3

aesobtu soya < b 10 existe triángulo (b)

FIGURA 8.66

D e te rm in a c ió n d e l nú m e ro d e triángulos posibles d a d o s dos lad o s y e l án g u lo opuesto a un o d o olios

En los incisos (a) al (d) están las medidas de dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos; o sea, el caso ambiguo. Determine el número de triángulos posibles, (a) c = 2.0, b = 6.0, y = 30°; (b) b = 32.4, a = 20.6, p = 52.1°; (c) a = 10.3, c = 16.5,
En consecuencia existe la Posibilidad 1: no hay triángulo. El ángulo dado es y b > a. Aquí la longitud del lado opuesto al ángulo conocido es mayor que la longitud del otro lado dado. Por tanto, de la Posibilidad 4, existe un triángulo.

■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

496

CAPÍTUIO 8 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS P i ÁW OUIOS

(c) El ángulo conocido es a y a < c. La longitud del fofo al ángulo dado es menor que la longitud del otro lado De modo que se determina c sen a. c sena = 16.5 sen23.8° = 16.5(0.4035) = 6.66

Como a = 10.3, c = 16.5 y 6.66 < 10.3 < 16.5, c sen a < a < c Por tanto, de la Posibilidad 3, existen dos triángulos. (d) El ángulo dado es el cual es obtuso. Como b = 32y^ s2J| longitud del lado opuesto al ángulo conocido es mayor quelié otro lado dado. En consecuencia existe sólo un triángulo. <

EJEMPLO 4

S o l u c i ó n d o ! e n u n c i a d o d o u n problema q* I m p l i c a u n t r i á n g u l o o b lic u á n g u lo

y h k fé

lo s s o n o s

Una escalera de 35.4 pie de longitud está recargada sobre unlempr inclinado 62.5° con respecto a la horizontal. Si el extremo infen la escalera está a 10.2 pie de la base del terraplén, ¿cuál es ladisufc del extremo superior de la escalera a la base del terraplén enel suek

FIGURA 8.67

Solución Véase la Figura 8.67, donde x pies es la distanciaste minar, B es el punto en el extremo superior de la escalera, Aeselp* to en el extremo inferior de la escalera y P es el punto en laha«* terraplén. El ángulo en P del triángulo se determina al calcular 1& 62.5°, lo cual es 117.5°. Se tiene un triángulo oblicuángulo paraele*1 las medidas de dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos se cen. De modo que se tiene el caso ambiguo. Como el ángulocatf* es obtuso y la longitud del lado opuesto a este ángulo es mayorq# del otro lado conocido, existe un triángulo. Antes de que se pueda aplicar la ley de los senos para se debe conocer la medida del ángulo en A del triángulo. Sea ángulo, y 0 el ángulo del triángulo en B. Primero se determi partir de la ley de los senos. 35.4 10.2 sen jS sen 117.5* 10.2(sen 117.5°) 35.4 sen p — 0.2556 (3 = 14.8°

— Lgy D I LOS SINOS

é *j

Como a + P + 117.5° = 180°, a = 180° - P - 117.5° = 180° - 14.8° - 117.5* = 47.7° De la ley de los senos * sen 47.7° x

35.4 sen 117.5° 35.4(sen 47.7* sen 117.5°

* = 29.5 gulos.

Conclusión: La distancia desde el extremo superior de la escalera a la base del terraplén en el suelo es de 29.5 pie. 4

ò = 32 yc=25, es mayor quek¡ i triángulo. FIGURA 8.68 u n problema;» /á n g u k y k k fi

La Figura 8.68 muestra un triángulo oblicuángulo con los símbo los acostumbrados denotando vértices, ángulos y longitudes de los lados. Si se considera como la base el lado AB, y h unidades es la longitud de la altura, entonces, si K unidades cuadradas es el área del triángulo, K = \c h

da sobre un « n a :1 extremo infera L ¿cuál es laf e , brrapién en el su¿¡

es la distancia¡ * i escalera, .4 esel?, ‘1 punto en lal»1 nina al calcul*$ jlicuángulo i uno de eBos*n uno el ángulo^ ángulo es

|s senos pafa^j triángu^

Como h = b sen a , se tiene K = \c{b sen a) K = kbc sen a

(5)

Otra ecuación que proporciona h e s h = asen p. Al sustituir este valor de h en K = i ch, se obtiene K = \c{a senp) K = 50 c sen p

(6)

Si la base se considera como el lado AC, entonces mediante un argu mentó semejante, se obtiene K = \a b seny

Uñero se

TEOREMA 2

Área de un triángulo

La medida del área de un triángulo es un medio del producto de las longitudes de dos lados y el seno del ángulo comprendido entre los dos lados.

(7)

498


EJEMPLO ILU S TR A TIV O 5 Se calculará el área del triángulo del ejemplo 1 mediante las tres fórmulas (5), (6) y (7). Si K unidades cuadradas es el triángulo, . .s S B P I K = \ be sen a = i(22.6)(29.7)(sen51.2°)

K — 5ac sen

= 262

= K23.5)(29.7)(sen^: = 262

K = 5ab sen y = 5 (23.5)(22.6)(sen 80.2°) m 262

EJERCICIOS 8.4 En los ejercicios 1 a 4, se conocen dos ángulos de un triángulo y la longitud del lado opuesto a uno de ellos. Determine la longitud del lado opuesto al otro ángulo dado, pero sin emplear una calculadora para los valo res de las junciones trigonométricas. Exprese los resul tados con el número de dígitos signijicativos que amerite la información proporcionada.

1. a m 4.6, a = 45°, /3 = 60° b = 23, p= 45°, y = 30° 3. c = 88, a= 30°, y ^ 120° 4. a = 9.5, a = 135°, P = 30° 2.

En los ejercicios 5 a 12, resuelva el triángulo. Exprese fos resultados con el número de dígitos signijicativos que requiera la información proporcionada. 5. a =

34°, p = a = 62°, y =

71°, a =

6.

55°, a

24 = 8.3 48.6°, y * 61.4°, c =53.2

7.

p

=

8. a

=

26.5°, P = 32.7°, 6 » 187

9. a =

73.2°,y

= 23.8°, ¿ * 2.30

10.

P

=

8 4 .6 °, y

« 5 1 .9 ° ,

a

= 4 6 .4

U.

a = 5 2 ° 4 2 \ p = 7 5 ° 3 6 ',

6

= 408

12.

p

y

= 23°24\

=

101°6\

c*

0 .1 4 9

el número de triángulos que satisfagan el cayn» * condiciones dado y resuelva cada triángulo, £p& los resultados con el número de dígitos sigrúfiemque amerite la información proporcionada. 13. a = 6.4, b = 4.7, a = 42° 14. b = 27, a=46, /3 = 38° 15. b = 17, c—34, p —30° 16. c = 18.3, b = 12.5, y = 58.3° 17. c = 42.5, a = 68.0, y = 35.2° 18. a = 245, b = 302, a = 136.4° 19. b = 846, a = 431, p = 116.4° 20. a = 40.2, b = 52.4, a = 41.5° 21. a = 54.0, c = 83.7, a = 43.6° 22. c = 9.04, a = 3.52, y = 128.1° 23. = 3.562, c = 4.210, P = 50.23° 24. b = 5 64 9,a = 6 3 8 2 ,/í =59.43° £/j los ejercicios 25 a 32, determine el áreaéd guio del ejercicio indicado. 26. E jercicio 6 25. Ejercicio 5 28. Ejercicio 10 27. Ejercicio 9 30. Ejercicio 16 29. Ejercicio 13 32. E jercicio 22 31. Ejercicio 19

En los ejercicio s 13 a 24, s e p r o p o r c io n a n la s lo n g itu

E n lo s e je r c ic io s 3 3 a 38, la

des de fos lados d e un triángulo y e l á n g u lo o p u esto a u n o deellos. P o r tanto, se tie n e e l ca so a m b ig u o . D e te r m in e

p r o b le m a im p lic a u n tr iá n g u lo oblicúan# e s c r ib ir u n a c o n c lu s ió n .

s o lu c ió n

de

8 .4

k I I [ I

yn^ ^ 1 0 se localiza al final de una calle que está indinada en un ángulo de 8.4° con respecto a la holúontal. En un punto P que está a 210 m calle abajo del edificio, el ángulo subtendido por el edificio esde 15.6° ¿Cuál es la altura del edificio?

34. Un asta está situada en la parte superior de un ediI ficio de 115 pie de altura. Desde un punto en el mismo plano horizontal de la base del edificio los ángulos de elevación de los extremos superior e in ferior del asta son 63.2° y 58.6°, respectivamente. ¿Cuál es la longitud del asta?

□ □ □

0 0

/ y x 3,z° A 58.60 \

0

LEY DE LOS SENOS

499

36. Una parcela triangular con vértices R, S y 7"se deli mita por una cerca, pero se advierte la ausencia de la marca del lindero en S. Del título de propiedad, se sabe que la distancia de T a R es 324 m, la dis tancia de T a S es 506 m y el ángulo en R del trián gulo mide 125.4°. Determine la ubicación de S calculando la distancia de R a 5.

37. Una rampa está inclinada a un ángulo de 41.3° con respecto del suelo. Un extremo de una tabla de 20.6 pie de longitud se localiza en el suelo en un punto P que está a 12.2 pie de la base Q de la ram pa, y el otro extremo reposa sobre la rampa en un punto R. Determine la distancia desde el punto Q hacia arriba de la rampa hasta el punto R.

□ 0

n

D n

& Para determinar la distancia a través de un no recto, ■ ® topógrafo elige los puntos P y Q en la ribera, donI de ladistancia entre P y Q es 200 m. En cada uno de k estospuntos se observa el punto R en la ribera opuesta. ■ El ángulo que tiene lados PQ y PR mide 63. Io, y el ángulo cuyos lados son PQ y QR mide 80.4°. ¿Cuál es la distancia a través del río?

38. En un momento determinado, cuando un avión voló sobre un camino recto que une a dos ciudades pequeñas, los ángulos de depresión de ambas fue ron de 10.2° y 8.7°. (a) Determine las distancias rectas desde el avión a cada una de las ciudades en ese momento si la separación entre ambas es de 8.45 km. (b) Determine la altura del avión en ese momento.

h

.......... 8.45 km -------------- — H

500

CAPITULO 8

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE ÁNGULOS

39. Escriba la ley de los senos únicamente en pala bras. No emplee ningún símbolo para las me didas de los lados y de los ángulos de un triángulo.

40.

Suponga que resuelve un triángulo cuaafo |* didas de dos lados y el ángulo opuesto a ellos se conocen. Explique por qué se refiere * situación com o el caso ambiguo.

8.5 LEY DE LOS COSENOS OBJETIVOS

1. A prender la ley de los cosenos. 2. Resolver un triángulo oblicuángulo dados dos la d o s y déank comprendido entre ellos. 3. Resolver un triángulo oblicuángulo dados los tres lados. 4. Determ inar el área de un paralelogramo. 5. Resolver enunciados de problemas que implican un triángiik oblicuángulo y la ley de los cosenos.

Se determina un triángulo único si se conocen las longitudes deda» dos y el ángulo que forman. En consecuencia, es posible resotwil triángulo cuando se conocen a, b y y; o a, c y /J; o b, c y a.La»« ción no puede obtenerse utilizando la ley de los senos exclusiva«* Sin embargo, existe un teorema denominado la ley de bs coseno puede aplicarse y que se trata a continuación. Suponga que a, b y y se conocen. La Figura 8.69 muestra triángulo con sistema coordenado cartesiano rectangular elegid: i modo que y esté en posición estándar. En la figura y es un ángulo" tuso, pero la discusión también es válida si y es agudo. El vértiff' está en (a, 0). Para determinar las coordenadas de A, seaM^f* to. Entonces eos y =

sen y — t

Por tanto,

x = b eos y

y

y = b sen y

De la fórmula de la distancia aplicada a BA, c 2 = (* - a)2 + (y - 0)^ | Al sustituir b eos y por x y b sen y por y, se obtiene c 2 = (b eos y — a)2 + (b sen y - O)2 == b 2 eos2 y — 2ab eos y + a 2 + ¿>2sen T =

2(eos2 y + sen2 y) ~ la b eos y + a

8 .5

LEY DE LOS COSENOS

501

Como eos2 y + sen2y = 1, se tiene c 2 = a 2 + b 2 — 2ab eos y Esta ecuación proporciona una forma de la ley de los cosenos. Las otras dos formas se obtienen de manera semejante teniendo a fi o a en posición estándar en el sistema coordenado cartesiano rectangular. A continuación se enuncia formalmente esta ley.

TEOREMA 1

Ley de los cosenos

Si a , P y y son los ángulos de cualquier triángulo y a, b y c son, respectivamente, las longitudes de los lados opuestos a estos án gulos, entonces c 2 = a 2 + b 2 — la b eos y b 2 = a 2 + c 2 — 2a c eos p a 2 = b 2 + c 2 — 2be eos a — __________________________________________________________________________________

Observe que si y = 90°, se tiene un triángulo rectángulo, y de la ley de los cosenos

c 2 = a 2 + b 2 — la b eos 90° r5 a 2 + b 2 — 2ab(0) = a2 + b2 lo cual es el teorema de Pitágoras. Más que memorizar cada una de las fórmulas de la ley de los cosenos, considérela como una generaliza ción del teorema de Pitágoras que establece El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo que forman.

►

EJEMPLO 1

S o lu c ió n d o u n t r i á n g u l o d a d o * d o * la d o * y o l á n g u lo q u o fo rm a n

Resuelva el triángulo para el cual a = 24.0, c = 32.0 y P = 64.0°.

Solución

El triángulo se muestra en la Figura 8.70. De la ley de los cosenos b 2 = a 2 + c 2 — 2ac eos p b 2 = (24.0)2 + (32.0)2 - 2(24.0)(32.0)cos 64.0° b 2 == 926.6 b =* 30.4

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE ÁNGULOS

sen a

sen p

24.0 = 30.4 sen a sen 64.0° 24.0(sen 64.0°) -------30T ~ sen ac = 0.7096 Existen dos ángulos en un triángulo para los euales el senoes0\ 45.2° y 134.8°. Sin embargo, como a
y = 180° - 45.2° - 64.0° = 70.8° La ley de los cosenos puede aplicarse para determinar y. Sisj los resultados se verifican al comprobar que a + P + y = 180*. <

►

EJEMPLO 2

S o l u c i ó n d o l e n u n c i a d o d o u n prebkmot* i m p l i c a u n t r i á n g u l o o b lic u á n g u lo

vffiraw

l a l o y d o l o s c o s o n o s y d o l o s senos

Dos barcos salen del mismo puerto simultáneamente. UnonavtH un curso de 125° a 18 nudos mientras el otro lleva un cursodeÜ)j 24 nudos. Determine (a) la distancia entre los barcos, despuésaf iloras, y (b) el acimut del primer barco con respecto al segundo Solución (a) Véase la Figura 8.71. El puerto está en el punto P. Dcsf®5 tres horas el primer barco está en el punto A y el segundé punto B. Como el primer barco navega a 18 nudos, lad#*^; P a A es 54 millas náuticas (nmi). El segundo barco naveg^ nudos, por esto, la distancia de P a B es 72 millas náuticas guio en P del triángulo es 230° - 125° = 105°. Sea * mil» cas la distancia entre los dos barcos después de tres horas de la ley de los cosenos * 2 = (72)2 + (54)2 - 2(72)(54)cos 105° x 2 = 10,112 x = 100 Conclusión: Después de tres horas la distancia e barcos es 100 millas náuticas.

¡fi'

8 .5

LEY P E LOS COSENOS

503

(b) El acimut del primer barco con respecto al segundo después de tres horas es el acimut de A con respecto a B. Véase la Figura 8.72. Para encontrar el acimut, primero se determina
ío o —

sen ex = 0.6954 a - 44° De la Figura 8.72 se observa que el acimut de A con respecto a B es 125° + (180° - a ) , lo cual es 125° +. (180° - 44a), o 261°. C onclusión: Después de tres horas, el acimut del primer barco con respecto al segundo es de 261°. m Como la ley de los cosenos implica las medidas de los tres lados y un ángulo de cualquier triángulo, puede utilizarse esta ley para deter minar un ángulo de un triángulo cuando las longitudes de los tres la dos se conocen. Por ejemplo, una forma de la ley de los cosenos es

c2 = a 2 + b 2 — lab eos y Si esta ecuación se resuelve para eos y, se obtiene

lab eos y = a 2 + b 2 — c2 a 2 + b 2 —c 2 ------------eos y = — ■ 7 lab Asimismo, las otras dos formas de la ley de los cosenos se pueden em plear para resolverse con respecto a eos P y eos a , y se tiene

_ a 2 + c 2 —b 2 eos B = ------- -----------la c

b 2 + c2 - a 2

eos a = ------- —--------2b e

Si se desea determinar los tres ángulos de un triángulo cuando se conocen las longitudes de los tres lados, debe emplearse la ley de los cosenos para encontrar el ángulo mayor, el cual es opuesto al lado ma yor. Haciéndolo de esta manera, se puede determinar si el ángulo es obtuso (cuando su coseno sea negativo) o agudo (cuando su coseno sea positivo). En cualquier caso, los otros dos ángulos serán agudos y

pueden determinarse a partir de la ley de los senos. No es válido supo ner que los otros dos ángulos serán agudos si el primer ángulo deter minado no es el mayor.

504

CAPÍTULO 6

FUNCIONES TR IG O N O M ÉTR IC A S DE Á N G U L O S

EJEMPLO 3

% £ ? , at r ,Hánguioob'k'**+

Resuelva el triángulo para el cual a = 28.4, b = 40.3 y c = 25 7 Solución La Figura 8.73 muestra el triángulo. Se desea ( W f a , P y y. Se determinará primero p porque es opuesto al lato*! A partir de la ley de los cosenos a2 + c2 — b2 2ac

eos p = ---F IG U R A 8.73

eos p

(28.4)2 + (25.7)2 - (40.3)2 2(28.4)(25.7)

eos p — —0.1075 P = 96.2° Se emplea la ley de los senos para calcular oí y y. sen 96.2° 40.3 28.4(sen 96.2°) sen a 40.3 sen a = 0.7006 a = 44.5° sen a 28.4

sen y 25/7

sen 96.2° 40.3 25.7(sen96.2°) sen y 40.3 sen y = 0.6340 y = 39.3°

¡MVPp ■ tJ I í

Enlosejer doslados t dios.Deten hcalculadc ¡métricas, dígitossigni Por supuesto, se podría haber determinado sólo uno de es»* porcionada.

gulos mediante la ley de los senos y después encontrar el tercer^ a partir del hecho de que la suma de las medidas en grados es $ | 1. a= 4.5 embargo, determinándolos por separado, se verifica que lb =26, i 3.

+ P + y = 44.5' + 96.2° + 39.3£ = 180° ► EJEMPLO 4

9.2 cm

F IG U R A 8.74

D e te r m in a c ió n d e l á re a de

a=

15,

a=1.4,

un p andd°f^

^losejercic **resultados âmeritela

Las longitudes de los lados de un paralelogramo son 7.4 Sl b = 3.4, y una de las diagonales tiene una longitud de 6.2 cm. De * a* 43, c área del paralelogramo. 1 a = 11. 2 , Solución El paralelogramo se muestra en la Figura ; diagonal lo divide en dos triángulos congruentes, primero# ,^! i, „0 * 40.2, . Q a 2045. el área de ellos. Recuerde de la Sección 8.4 que la un triángulo es la mitad del producto de las longitudes de ^ ^ 182.4 el seno del ángulo form ado por ellos. Para utilizar es

».a

LfY P * LOS COSIMOS

sos

se encontrará el ángulo opuesto a la diagonal de longitud 6.2 cm. Si 6 es este ángulo, entonces de la ley de los cosenos * (9.2)2 + (7.4)2 - (6.2)2 eos 6 = ■■ 2(9.2)(7.4) eos 6 = 0.742

=25.7.

b is . Níadi

0 = 42° Ahora puede determinarse el área del triángulo formado por los dos la dos y la diagonal proporcionada. Si K centímetros cuadrados es el área de este triángulo, K = i(7.4)(9.2)sen42° = 23 Así, 2 * = 46 Conclusión: El área del paralelogramo es 46 cm2.

EJERCICIOS

T)

U<2

fes os55

11. a = 5.26, b = 3.74, y = 135°12' 12. a = 325, c = 108, j8 = 18°36'

13. Ejercicio 1

14. Ejercicio 4

«= 4.5, b = 6.3, y = 60° M = 26, c = 37, a = 45° «= 15, c = 22, p = 135°

15. Ejercicio 7

16. Ejercicio 8

17. Ejercicio 9

18. Ejercicio 10

= 2.1, y = 120°

facióos 5 a 12, resuelva el triángulo. Exprese retkltodos con el número de dígitos significativos ^*torite lainformación indicada.

m J

W

8 .5

I losejercicios 1 a 4, se conocenlas longitudes de p lados de un triángulo y elángulo formado por Determinela longitud del tercer lado, sin utilizar walculadorapara los valores de las funciones trigocítricas. Exprese los resultados con el número de significativos que requiera la información proWúonada.

•=

P # H c « 2 i , o * 82®

\

f 1 * 43, c * 32, 0 * 59° Í S H .U = 15.3, y = 116.4°

y

<>*4 m

j* *^ M

<

b = 45.3, y * 72.2°

2045,c “ 3 126- Z5 - 10.52° * 182.4, c » 245.1, a » 126.81°

En los ejercicios 13 a 18, encuentre el área del triángu lo del ejercicio indicado.

En los ejercicios 19 a 26, resuelva el triángulo. Exprese los resultados con el número de dígitos de acuerdo con la información proporcionada. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25 .

a fl fl fl fl fl a

« = = = = = =

5.2, b = 7.1, c = 3.5 8.4, b = 2.7, c = 7.3 20.7, b = 10.2, c = 24.3 1.24, b = 1.56, c = 1.38 408, b = 256, c - 283 U .3 , b = 25.0, c = 27.6 66.92, b = 53.46, c = 15.78

26. fl = 718.5, b = 634.2, c = 528.4

506

CAPÍTULOS

FUNCIONES T R IG O N O M ÉTR IC A S P E Á N G U L O S

27. Un triángulo tiene lados que miden 34 cm, 23 cm y 42 cm. (a) Determine la medida del ángulo menor, (b) Determine el área del triángulo. 28. Un triángulo tiene lados que miden 2.8 pulg, 3.2 pulg y 4.1 pulg. ¿Cuál es (a) la medida del ángulo mayor y (b) el área del triángulo? 29. Un paralelogramo tiene lados que miden 10.3 cm y 23.2cm, y uno de los ángulos mide 54.2°. ¿Cuál es (a) la longitud de la diagonal mayor y (b) el área del paralelogramo?

33. Dos puntos P y Q están en lados opuesta ^ u Uacamf edificio. Para determinar la distancia eme ' den 212 puntos se elige un tercer punto R tal que campo. cia de P a R es 50.2 m y la distancia de Qj» I j 7. Una esc¡ 61.4 m. El ángulo formado por los segmenta 1 da sobre recta PR y QR mide 62.5°. Determine la 11 pie de de P a Q. elextrem

terraplén en el que

30. Los lados de un paralelogramo miden 15.6 cm y 33.0cm. Si uno de los ángulos mide 42.6°, deter mine (a) la longitud de la diagonal menor y (b) el área del paralelogramo. En los ejercicios 31a 40, la solución del enunciado del problema implica un triángulo oblicuángulo. Escriba una conclusión. 31. A las 9 a.m. un barco abandona el muelle con un curso de 63.2° a una velocidad de 8 nudos. A las 10 a.m. otro barco deja el mismo muelle con un curso de 108.4° a una velocidad de 10 nudos. A las 12 del mediodía (a) ¿cuál es la distancia entre los barcos? y (b) ¿cuál es el acimut del primer barco con res pecto al segundo? N

50.2 m

JL Dos rutas do un án avión, sob intersecció 34. Dos caminos rectos se cortan en un pumo encuentra. forman un ángulo de 42.6°. En un puntoffsofaf camino está un edificio a 368 m de P y enuo(». I distancia e en el otro camino, está un edificio a 426 mdeM ten dos solí Determine la distancia directa de R a 5.

368 m / - ^ \ /4 2 .6 ° \ _TL_

/ f

32. Un punto P está a 1.4 km de la orilla de un lago y 2.2 km de la otra orilla. Si en P el lago subtiende un ángulo de 54°, ¿cuál es la longitud del lago?

\

n ■■■■

53.4.

* -* * 4 ■■■i <

35. Una torre de 23.5 m de altura fonna untop*' 39',Unav'ón de. 110.2° con el camino inclinado sobre el cualsí"5 ca. Determine el ángulo subtendido por U °Püerto r un punto situado camino abajo a 28.2 mdes»& ^ vuela, g,Vo,ar las 3 í* * 6* del *

0 .3

f tia N j

I ÜBCampo de forma triangular tiene lados que mir ' 212 m, 255 m y 168 m. Determine el área dei campo

*

^ acsca,era de 24 pie de ,on8itud está apoya dasobre un terraplén. El pie de la escalera está a Hpiede la base del terraplén, y la distancia desde d extremo superior de la escalera hasta la base del uraplén en el suelo es 16 pie. ¿Cuál es el ángulo enel queel terraplén se inclina sobre la horizontal?

U T UE L U Ì W 9 IN U »

40. En cierto día la distancia de la Tierra, representada por E, al Sol, indicado por S, era (9.2)107 mi, y la distancia de Marte, simbolizado por M, al Sol, era (1.4)10* mi. Si el ángulo formado por los segmen tos ES y MS era de 59°, ¿cuál fue la distancia entre la Tierra y Marte ese día?

Mi |»ieH |& Dosrutas de vuelo recto se cortan entre sí formanido un ángulo de 50.6°. En cierto momento un [avión,sobre una ruta, está a 53.4 mi del punto de f itteisección y el otro avión, sobre la otra ruta, se leocuentra a 63.9 mi de la intersección. ¿Cuál es la i distancia entre los aviones en ese momento? Exis! Iconossoluciones.

b2 + c 2 - a 2 41. Do la ley de los cosenos, eos a = 2be Utilice esta ecuación para probar que

53.4 mi

53.4mi

1 + eos a =

(b + c + a)(b + c —a) 2be

1 — eos a =

(a j - b + c)(a + b - c) 2be

63.9 mi

r 0av'ón despega de un aeropuerto con un curso ^^lO0 Después de volar 150 mi debe regresar al r*°Puerto. Debido a un error de navegación, el vuela 150 mi con un curso de 115°. Después Piolar las 300 mi (a) ¿qué tan lejos se encuentra avión del aeropuerto? y (b) ¿cuál es el acimut p ^ ó n con respecto al aeropuerto?

507

42. Si K unidades cuadradas es el área de un triángulo que tiene el ángulo a formado por los lados que miden b y c unidades, entonces K = y be sen a. Emplee esta ecuación para demostrar que K = V j bc(\ + eos a)

•

{bc{\ - eos a)

43. Utilice los resultados de los ejercicios 41 y 42 para probar lafórmula de Herón: K = V s(s - a)(s - b)(s — c) donde s = - (a + b + c). La fórmula de Herón se emplea para calcular eí área de un triángulo cuando sólo se conocen las longitudes de los tres lados.

508

CAPÍTULO 8

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PE ÁNG ULO »

En los ejercicios 44 a 46, utilice la fórmula de Herón del ejercicio 43 para determinar el área del triángulo para los valores proporcionados dea, b ye. 44. a = 18.7, b = 12.6, c * 17.9 45. a = 325, b = 236, c = 411 46. a = 1.847, b = 2.112, c ® 1.903

48. (0, -3), (2, 4) y (5, 2). ,

49. Establezca la ley de los cosenos sólo < No emplee ningún símbolo para las lados y ángulos del triángulo. Después expf por qué la ley de los cosenos puede consi% como una generalización del teoremadePit¿/

éje * c

50. Suponga que resolvió un triángulo cuandolas-, I

1. (*) 30° gitudes de los tres lados se conocen, y ca¡cüj primer ángulo mediante la ley de los cosenostJ otros dos ángulos por medio de la leydelouî Enlos ejerció Explique por qué debe calcularse primeroel . yfrenposiew mayor. i indicada. Ti

En ¡os ejercicios 47 y 48, emplee la fórmula de Herón del ejercicio 43 para determinar el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos proporcionados. 47. (-2, 1), (2, -3) y (5, 4).

5.(i) 7.d)-j

REVISION DEL CAPITULO

fii losejercicio anoy (b) ti ár ángulocentral C

► VISIÓN RETROSPECTIVA 8.1 Después de la definición de un ángulo como rota ción, siguió la medición del ángulo. Se definió un radián y se indicó cómo convertir una medida en ra dianes de un ángulo a su medida en grados, y a partir de esta medida transformarla a radianes. Se aplicaron las fórmulas para calcular la longitud de un arco de una circunferencia y el área de un sec tor de un círculo. 8.2 Se definieron las seis funciones trigonométricas de un ángulo que tiene medida de t radianes como las funciones correspondientes del número real t. Se calcularon valores de las funciones trigonomé tricas de un ángulo conociendo un punto sobre su lado terminal. Se presentó el teorema que ex presa las funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo como razones de las longitudes de los lados del triángulo. Se de terminaron valores exactos de las funciones trigo nométricas de ángulos cuadrantales y algunos otros ángulos, y se mostró cómo los ángulos de referencia permiten expresar el valor de función de cualquier ángulo 0 en términos del valor de función correspondiente del ángulo de referencia asociado con 0. Los ángulos de referencia se em plearon para aproximar ciertos valores de las fun

ciones trigonométricas, así como para encontrar ángulos que tienen un valor de una función trigo nométrica dado.

8.3

9. el radioes 1 El teorema que se refiere a las funciones í 1 0 métricas de un ángulo agudo en un triángulo::;: . el radio es 6.

tángulo se utilizó para mostrar que cuáá¡ función trigonométrica de un ángulo agudobh cofunción del complemento del ángulo. De® se aplicó el teorema en la solución de triánsá rectángulos y enunciados de problemas qae plican triángulos rectángulos.

Enlosejercicios estándary elpur calculelasseisfu 11. P{-8,15) /’í-5,12) ^ los ejercicios

8.4

La ley de los senos se empleó para resolver^ gulos oblicuángulos dados (i) dos ánguk».' * lado, o (ii) dos lados y el ángulo opuesto ellos. La situación (ii), el caso ambiguo. tres posibilidades: no existe el triángulo, triángulo o existen dos triángulos. Sered* enunciados de problemas que implicantn^ oblicuángulos y la ley de los senos.

8.5

estándar y deterti P io n e s trigonoK

*5.45°

M .

l°s ejercicios 2. Posición estánde ^ CUatr° funcione Cuáles son la W*noestán dej

Los triángulos oblicuángulos en *os^ .oSI cen dos lados y el ángulo formadopor f e * s e conocen los tres lados, se resolvieron Sin ejercici°s 27 la ley de los cosenos. Las aplicaciones ‘tora el onguli ciados de problemas de esta sección. ^ e * 315® las dos secciones anteriores, W) 9 grafía, navegación aérea y marítima, 5 -4.27 mediciones de figuras geomètrici*-

REVISIÓN D il CAPÍTULO t

I EJERCICIOS

pío,

de rep aso

i . .¡erados l a 4, muestre en un diagrama el ánposición estándar que tiene la medida en grahgjnJicíuJa. También encuentre la medida equivalente Lfânes del ángulo. h (i) 30° (W ^25 V ” **, h (,) -120° (b) 100°

S is

2. (a) 15°

(b) 330°

4. (a) -135°

(b) 250°

h leaejercicios 5 a 8, muestre en un diagrama el ánplooposición estándar que tiene la medida en radiaitstniiicada. También encuentre la medida equivalente k iradosdel ángulo. k(a)|x 1

( 8

)

(b) j n

6. (a) |j c

(b) 2.36

8. (a) f

(b) |t c ( b ) -1.48

fu losejercicios 9 y 10, determine (a) la longitud del ■»y el área del sector del circulo cuyo radio y ángulocentral (Xse proporcionan. donesEsa[i triángulos que culp ¿o agudos aguí'

9. d radioes 12cm;m°(
w ’

1

(c) 0 =

(d) 0 = 7.65

(e) 0 = -¡¿tc

(f) 0 = -216.3°

En los ejercicios 29 y 30, exprese el valor de la función en términos de una función del ángulo de referencia asociado; después calcule el valor exacto. 29. (a) sen 150° (d) cot - n

(b) eos 225° (e) sccí-|tc)

(c) tan(-240°) (f) ese ^ te

30. (a) sen 240° (d) cot(-1 ti)

(b) cos(-45°) (c) tan 120° (e) sec(--T-rt) (f) csc^Tt

En los ejercicios 31 y 32, exprese el valor de la función en términos de un valor de una función del ángulo de referencia asociado. Después, aproxime el vabr en una calculadora. 31. (a) sen 136.4° (b) co s(-10.8°) (c) tan 327.1° (d) cot(-205.7°) (e) sec 194.8° (f) csc(-98.6°)

v ¡oíejercicios 11 a 14, si 0 es un ángulo en posición pándary el punto P está sobre el lado terminal de 0, pbfe lasseisJunciones trigonométricas de 0.

En los ejercicios 33 y 34, encuentre todos los 0 tales que 0° £ 0 < 360° para los que se satisface la ecua ción dada.

i* |Hj!S)

12. P(3, -4)

|fl-5.12)

14. P(-1,0)

fe 450

k fj

(b) 0 = 291°

32. (a) sen 263.2° (b) eos 348.9° (d) cot(-19.7°) (e) sec 165.3°

P ^ ejercicios 15 a 22, dibuje el ángulo en posición r ^ flr y determine los valores exactos de las seis r ^ e s trigonométricas del ángulo.

té * *

28. (a) 0 = 150°

I d radioes 6.48 pulg; m°(Ot) = 27.25

D

llemas^

509

3*

116. * 60°

17. j 71

19. -150°

20. -135°

22. - j n ejercicios 23 a 26, dibuje el ángulo cuadrantal est<*nâr Encuentre los valores exactos de funciones trigonométricas que están defint^ “¿fe*son las otras dos funciones trigonométriF *110están definidas? j I2J0* 24. 90° 25. - n 26. 2n á V, ^rciCios 27 y 28, determine el ángulo de refeL ^ ^ ángulo proporcionado.

íSi!* 3,50 íb>9 -4.27 (c) 0

2180 (c) 0 s * - i n (f) 0 = 11.23 *

(c) tan(-123.6°) (f) ese(-244.5°)

33. (a) eos 0 = j

(b) tan 0 = -1

34. (a) sen 0 -

(b) cot 0 = - VT

V2

En los ejercicios 35 y 36, determine todos los 0 tales que 0 < 0 < 2n para los que se satisface la ecuación dada. VT (b) sec 0 = -1 35. (a) sen 0 = - l (b) ese 0 = I 36. (a) eos 0 = ~rr En los ejercicios 37 y 38, halle todos los 0 con aproxi mación a décimos de grado tales que 0° < 0 < 360° para tos que se satisface la ecuación. 37. (a) sen 0 - 0.3217 (c) tan 9 * 2.953

(b) eos 9 ~ 0.4806 (d) cot 0 ~ -4.715

38. (a) sen 0 = 0.8066 (c) tan 0 = -0.9424

(b) eos 0 - 0.7315 id) cot 0 = 6.019

En los ejercicios 39 y 40, determine lodos los 0 con cuatro dígitos significativos tales que 0 < 0 < 2n para los que se satisface la ecuación.

510

CAPÍTULO 8

F U N C IO NAS T R IG O N O M É T R IC A S D i Á N G U L O S

39. (a) (c)

wen0 * >0.7049 tan 0 - -1.356 40. (a) sen 0 * 0.4728 (c) ia n d = 5.614

(b) eos 0 * (d) coi 0 =

0.2185 0.8462

(b) eos 0 = - 0 .2093 (d) col 0 - -9.762

£}i /oí ejercicios 4 ! a 46, se proporcionan medidas de lados y ángulos de un triángulo. Determine la longitud del lado indicado, pero sin emplear la calculadora para los valores de las funciones trigonométricas. Ex prese los resultados con el número de dígitos significa tivos que requiera la ir\formación proporcionada. 41. y « 90°. fi a 30°, b * 16; encuentre c. 42. y » 90°, ct « 45°, c a 7.4; encuentre b. 43. (Xa 30°, y * 45°, c a 53; encuentre a. 44. * 45.

135°, a a 29, c a 14; encuentre b.

61. 0 a 39.7°, b a 12.8. c a 10.8 62. 0 a 42.5°, a a 1 2 . 0 = 10.1 63. Un neumático tiene un diámetro de jo p. ¿Cuántas revoluciones por minuto efectuad I da cuando el automóvil mantenga uní »doafc. 30 m i/h? En los ejercicios 64 a 72, la solución del tnmcu^gl problema implica un triángulo oblicuángulo. £wj una conclusión. 64. Una torre de 150 pie de altura y desde suptkk perior, el ángulo de depresión de un objetoío*. piso es de 36.4°. (a) Determine la dista»aik¿ base de la torre al objeto, (b) ¿Qué tan reunióg el objeto de la parte superior de la lone?

ct a 120°, b = 35. c - 46; encuentre a.

46. /? a 1 2 0 ° ./ a 30°. A a 7.8; encuentre c. En los ejercicios 47 a 54, resuelva el triángulo. Exprese los resultados con el número de dígitos significativos que amerite la ir\formación proporcionada. 47.

y a 90°, a a 4.8, b = 3.2

48. a a 60.4, b * 72.3, c = 54.7 49. a = 43.2°, fi a 61.4°, b a 26.8 50. y a 90°, a a 23.2°. a * 12.2 51. y « 105.3°,a a 2I.6.A * 32.4 52 . a a ] 14°. y = 32°, a a 85

53. a a 518.2, b * 439.7, c = 630.4 54. a a 29.42°, b * 7 134, c a 6024

65. Del techo de un edificio de 60 pie de altura, ti I Unlote de l guio de elevación de la punta de un «a#*I 242,160y 11.2°. Desde la base del edificio, el ángulode» tierra se valí vación de la punta del asta es de 23.4*. fin»® # ^ (a) la longitud del asta y (b) la distancia dd# debe sobrev ci0 al astaI

En los ejercicios 5 5 a 58, encuentre el área del triángu lo del ejercicio indicado. 55. Ejercicio 49

56. Ejercicio 52

57. Ejercicio 53

58. Ejercicio 54

En los ejercicios 59 a 62, se proporcionan las dimen siones de dos lados de un triángulo y el ángulo opuesto a uno de ellos. Por tanto, se tiene el caso ambiguo. De termine el número de triángulos que satisfacen el con junto de condiciones dado y resuelva cada triángulo. Exprese los resultados con el número de dígitos signifi cativos de acuerdo con la información proporcionada. 59. a = 54.4®, a = 112,6 a 131 60. y « 32.4°. b = 50.3. c = 25.1

I». B pilón “nadistancií a 105° y Hej (a)

¿Cu

Sel acimut <

66. En un punto P al sur de un edificio, elevación de la parte superior del En un punto Q, a 250 pie al oeste de /* ^ de elevación es de 27°. Determine la ficio.

_________________ REVISIO N P i l CAPITULO

i

»11

70. Una colina tiene un ángulo de inclinación de 16.2° con la horizontal, y un túnel que atraviesa la colina se inclina un ángulo de 11.3° con la horizontal. Desde un punto a 256 pie hacia abajo del túnel, ¿cuál es la distancia vertical hasta la superficie de la colina?

■ Unárbol está en una colina y un punto P, a 23 m lidera abajo desde el árbol, el ángulo subtendido porel árbol es de 18.5°. Si la altura del árbol es de 36,5m. ¿qué ángulo de inclinación forma la colina coalahorizontal? 71. Un terreno baldío con forma de un paralelogramo se localiza en la esquina de dos calles que se cru zan formando un ángulo 98.3° y los frentes del lote miden 76.7 y 91.4 pie. Si en lugar de rodear las ca lles laterales una persona decide atravesar el lote a lo largo de una diagonal desde una esquina a la otra ¿cuál es la distancia que no recorrerá?

p Unlotede terreno triangular tiene lados que miden M2,160y 184 pie. Si el costo por pie cuadrado de •ierrasevalora en $40, ¿cuál es el valor del lote? Uopiloto que vuela de la ciudad A a la ciudad B \ debe sobrevolar una cordillera montañosa particu0 piloto primero vuela con un curso de 52° 72. Para determinar la distancia entre dos puntos PyQ ■adistancia de 160 mi y después cambia el curso en lados opuestos de un edificio, se elige un tercer j*105*y llega a B después de volar otras 108 mi. punto R tal que la distancia de P &R es 120 m y Ja j$ ¿Cuál es la distancia directa de A a B1 (b) ¿Cuál distancia de Q a R es 140 m. Si el ángulo formado | acimut de A con respecto a B? por los segmentos de recta PR y QR es 72.3°, ¿cuál es la distancia de P a Q1 105°

512

CAPÍTULO 8

FU N C IO N ES T R IG O N O M É T R IC A S P E Á N G U L O S

73. Si un acre equivale a 4 840 yardas cuadradas, utili ce la fórmula de Herón del ejercicio 43 de la Sec ción 8.5 para determinar el número de acres del área de un campo con forma triangular cuyos lados miden 453, 592 y 700 yardas. 74. Si r unidades es el radio de un círculo inscrito en un triángulo cuyos lados miden a unidades, b uni dades y c unidades, emplee la fórmula de Herón para mostrar que

f _ J (J - a) (s - b )(s - ¿T s donde s =

a + b + c).

En los ejercicios 75 y 76, utilice la fórmula del ejerci cio 74 para determinar el radio del círculo inscrito en el triángulo para los valores proporcionados de a, byc 75. a = 325, b = 236, c = 411. 76. a = 1.847, b = 2.112, c = 1.903.

SI 4

9.1

CAPÍTULO 9

TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS OBJETIVOS

1. Aplicar las ocho identidades fundamentales para probar otras identidades. 2. Aprender sugerencias para probar identidades. 3. Aprender cómo demostrar que una ecuación no es una identidad. Recuerde de la Sección 2.1 que una identidad es una ecuación parala cual el conjunto solución es el mismo que el dominio de la variable En las identidades trigonométricas se utilizarán símbolos tales comoi, t, u y v para representar números reales, y símbolos como a, 0, y.yfl para denotar ángulos. Los símbolos *, y y z se emplearán para repre sentar números reales o ángulos. En la Sección 7.6 se analizaron las ocho identidades trigonométri cas fundamentales y se listaron. En esa sección, t representó un núme ro real. Se repiten las identidades aquí para referencia en la Tabla 1. donde * representa un número real o un ángulo.

Tabla 1

Las ocho identidades trigonométricasfundamentales 1 «-► ese* = —-— *-* se n * = —-—, x * kn, k G Z sen x ese x eos x sec x = 1 <-* sec x = —-— «-*■ e o sx ------- , x * + kn, k €1 eos x sec x 1 tan * co t* = 1 «-+ cot x = —-— «-*■ tan x ----- , x * \ kn, k € Z tan x cot x 2 tan* = ^ 2 * , * * in + I , k G Z cos x 2 cot* = X * I , k G Z sen* sen2* + cos2* = 1 *-*sen2* = 1 - cos2* «-* cos2* = 1 —sen * 1 + tan2* = sec2* *■*tan2* = sec2* - 1 «-* sec2* - tan2j: = 1 1 + cot2* = CSC2* «-* cot2* = CSC2* — 1 «■+ CSC2* - cot2x * 1

I sen * ese* = n III IV v VI VII VU I

ck

ck

A hora se verificarán, o com probarán, otras identidades tng m étricas. N o existe un m étodo general que pueda aplicarse par* P una identidad. C onform e se presenten los ejem plos, se darán suge ^ cias útiles en la determ inación del m ejor cam ino para una pmc fam iliaridad con las ocho identidades fundam entales en sus díte form as es decisiva. ^ Si uno de los lados de una identidad tiene forma más c0! J a|a que el otro, es conveniente iniciar la prueba con él y transforma1'

1

9.1

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

515

forma más simple del otro lado. Tenga en mente esta forma más sencilla conforme avanza en el proceso ya que ella representa su objetivo. Antes de iniciar la prueba de una identidad, se podría trazar la gráfica de la función de cada miembro. El hecho de que las gráficas sean las mismas en todos los puntos para los cuales las funciones están definidas, nos convencerá de que se tiene una identidad válida.

► EJEMPLO 1

D e m o s t r a c ió n d o u n a id e n tid a d

Demuestre la identidad ición para la la variable, i ales como j, 1

« .0 .y .y 0

I

1 + sen* = sec * + tan* eos * Solución Debido a que el miembro izquierdo es una fracción, se considera más complejo que el derecho. Por tanto, se iniciará con el miembro izquierdo, el cual se escribirá como la suma de dos fraccio nes. Después se aplicarán dos identidades fundamentales para obtener el miembro derecho. 1 + sen* eos*

sen* eos*

eos*

= sec* + tan*

<

Con frecuencia será conveniente convertir una expresión a una que contenga sólo seno y coseno.

► EJEMPLO 2

D e m o s t r a c ió n d o u n a id e n t id a d

Demuestre la identidad ese * + sec * = CSC * 1 + tan * Solución Como el miembro izquierdo es el más complejo, se ini ciará con él. Primero, se emplearán identidades fundamentales para ex presarlo en términos de seno y coseno, y después se aplicarán procesos algebraicos para obtener el miembro derecho. En el segundo paso, se multiplicará el numerador y el denominador por sen * eos * (el MCDn de las dos fracciones). m ás compte}* «formarlo a U

esc * -f sec * 1 + tan *

sen *

eos * sen x 1+ eos x

CAPÍTULO 9 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA 516

t(— + \sen x

sen x eos eos x + sen x eos x eos x + sen *(cos x 1 sen x ese x ►

EJEMPLO 3

! /

eos x¡

sen * \ x( 1 + \ eos x ) sen x + sen2x sen x + sen jt)

D e m o s t r a c i ó n d a u n a Id e n tid a d

Demuestre la identidad (1 + sec 0)(1 — eos 0) = tan 0 sen 6 Solución El miembro izquierdo es el más complicado. Sea J con él al efectuar la multiplicación indicada. (1 + sec 0)(1 — eos 0) = 1 + sec 0 - eos 0 - sccíai = 14- ---- - - eos 6 - 1 eos 0 1 - cos20 eos 0 sen2 0 eos 0 sen 0 (sen 0) eos 0 = tan 0 sen 0 La verificación de la identidad del ejemplo »8 procedimiento diferente de los empleados en los Se transformará cada miembro por ñor seoarado separado de 8 valente

^

É J Í M P L o T ~ Ommotfraclón d» una !<*«<*«*

Demuestre la identidad j + cot y _ 1 + tan y esc y sec y

s^ 1

9.1


»17

Solución Se inicia con el miembro izquierdo y se expresa cot y y ese y en términos de sen y y eos y. eos y 1 + -----sen y

1 + cot y ese y

sen y

1 22

sen yl( 1 + + sen* y )) \ sen y\ í\sen —y ) = sen y + eos y id

Ahora se expresa el miembro derecho en términos de sen y y eos y.

1+ « y 1 + tan y sec y

icado. Se iniciará

eos y eos y

) - see 6cosí 9 -

cosy l(11 + ■ £ £ ) \ eos y j

1

1 1^ eos y (( -----\c o s y ) = eos y + sen y Debido a que cada lado es igual a sen y + eos y, se concluye que 1 + cot y esc y

1 + tan y sec y

------------------- ---------------------------

uiente implica un im p ío s anteriores, n is m a fo rm a equi-

^

Como se muestra en el ejemplo siguiente, algunas veces puede ser ventajoso convertir una expresión en otra que contenga sólo una fun ción simple.

iad »-

EJEMPLO 5

D m o s l r a c l ó n dm u n a I d e n t i d a d

Demuestre la identidad (1 - tan P)3 = — - ¿— (sec2 (5 - 2 tan 0) H cot P

518

ti

o íri n o 9


Solución El miembro derecho es más complejo. Se inicia con como el miembro izquierdo contiene sólo la tangente, se exn*. } miembro derecho en términos de tan /5.

cot p

(sec2 /3 - 2 tan p )

tan B ...............

„ (1 + tan2 jS — 2 tan /3)

tan p tan /3l — —1 --------- — % 1^ ' — (1 — 2 tan p + tan2 p) tan p ( ----- \ta n p 1 - tan p , t _ 2 (1 - tan p ) 1 1 = (1 — tan P)3

► EJEMPLO 6

D e m o s t r a c ió n d o u n a id e n tid a d

Demuestre la identidad sen x _ 1 — eos x 1 + eos x sen x Solución Cada miembro de la identidad contiene una fracción que tiene únicamente seno y coseno. En el izquierdo, el binomio 1 + cosí aparece en el denominador y en el derecho el binomio 1 —eos *está en el numerador. Se puede iniciar con el miembro izquierdo y obtener un factor de 1 - eos x en el numerador al multiplicar el numerador y denominador por 1 - eos jc. Esta operación es equivalente a multipli car la fracción por 1. Por tanto, se tiene sen x _ sen *(1 — eos jc) 1 + eos x (1 + eos x )(l - eos jc) sen x (l — eos x) 1 - eos2 x _ sen *( 1 — eos je) sen2 jt 1 — eos JC

4

9.1


S19

E n seg u id a se resumen las sugerencias presentadas para demostrar una identidad. Consúltelas antes de realizar ejercicios. Se inicia con él, y ite, se expresa el Sugerencias p ara la demostración de una identidad

0)

una fracción que nomio 1 + cosí o 1 - eos x está (uierdo y obtener r el numerador y alenté a multipli-

1. Iniciar con el miembro más complicado y transformarlo en la forma más simple del otro. Véase los ejemplos 1,2,3 y 5. 2. En lugar de la sugerencia 1, puede ser más conveniente trans formar cada miembro en la misma forma equivalente. Véase el ejemplo 4. 3. Con frecuencia es deseable convertir una expresión en otra que contenga sólo seno y coseno. Véase los ejemplos 2 y 4. 4. En lugar de la sugerencia 3, puede ser más ventajoso con vertir una expresión en otra que contenga únicamente una fun ción simple, siempre y cuando no se introduzcan radicales. 5. Considere la posibilidad de aplicar procesos algebraicos tales como multiplicación, factorización, combinación de fraccio nes en una fracción simple, escribir una fracción simple que tenga más de un término en el numerador como una suma de fracciones, y simplificación de una fracción compleja. Véase los ejemplos 1, 2, 3 y 5. 6. Para tener un factor particular en el numerador o en el deno minador de una fracción, se puede multiplicar el numerador y el denominador por este factor deseado. Véase el ejemplo 6.

Si sospecha que una ecuación no es una identidad, primero trace la función de cada miembro de la ecuación para verificar que las gráfi cas son diferentes. Después muestre algebraicamente que la ecuación no es una identidad, sólo se necesita encontrar un número del dominio de la variable para el cual la igualdad no es válida. Al hacerlo, se tiene un contraejemplo.

► EJEMPLO 7

D e m o s t r a c ió n d o q u o u n a e c u tn ló n n o os u n a Id e n tid a d

Demuestre gráfica y algebraicamente que la ecuación V i — eos2 * = sen* no es una identidad. Solución Cuando trace la gráfica de la función definida por Vi co s'* . obtendrá la mitad superior de la curva senoidal. Para mostrar que la ecuación no es una identidad, observe que si * es cual quier número para el cual sen * < 0, el miembro derecho es negativo

520

CAPITULO 9

TRIGONOMETRIA ANALÍTICA

y el miembro izquierdo es no negativo. En particular, si x a I, tonces el miembro izquierdo es

\/3u

1 — eos - 7T =

2

= v i

_ I I

y el miembro derecho es

►

EJEMPLO 8

Demostración tío quo una ecuación no mune Identidad

¿lujeni

Demuestre gráfica y algebraicamente que la ecuación 4 sen t eos t = sec t no es una identidad. Solución La gráfica de la función definida por el miembro izquier do de la ecuación se muestra en la Figura 9.1. No es la curva secante De modo que la ecuación no es una identidad. Para mostrar algebrai camente este hecho, sea t = 0. El miembro izquierdo es 4 [ - 2 n , 27t] por [ - 5 , 5 ]

sen 0 eos 0 = 4 (0)( 1) = 0

f ( t ) = 4 s en t e o s f

y el miembro derecho es

FIGURA 9.1

sec 0 = 1 ' 4

Por tanto, la ecuación no es una identidad.

EJERCICIOS 9.1 En los ejercicios I a 6, escriba la expresión en términos de sen x o eos x, o ambos, de forma simplificada. 1. (a) eos x tan x 2. (a) sen x cot x 3. (a) sec x cot x

(b)

sec x sen x (b) ese x cot2 x (b)

4. (a) ese x tan x 5. (a) tan x + cot x 6. (a) sec2 x + ese2x

tan“ x k I . 02 sec“ x (b) sen* + eos21 escí (b) eos x + s e n * * sec-l (b)

En los ejercicios 7 a 12, pruebe que la primera txpn sión es equivalente a la segunda para todos los va o

9 .1

¿i ¡a variable, en los cuales ambas expresiones están ¡definidas.

27.

. 7 , (a) eos 6 ese 0, cot 0

28.

(b) sen 0 sec 0 cot 0, 1

8.

(a) sen 0 sec 0, tan 0 (b) eos 0 ese 0 tan 6, 1

9.

(a ) ----- , tan a

F

sec a

ese a

ese a

16. (a )-------- , cot a

F

sec a

eos ¡3

eos (3

sec /3 + 1 _

tan f3

tan f3

sec 0 - 1

eos t

29.

_ „ cot a (b) -------- , ese a eos a

30. sen t tan t = sec / - eos t 31.

1 + cot2 B

jjf- (b) (1 + sen /3)(1 — sen /3), eos2 /3 1 + tan2 B

, g ■ ■, tan2 <8 esc* p (b) (1 + eos j8)(l - eos (3),sen2 ¡3

= 1 -f sen t

sec t — tan t

tan y

_

1 tan y - c o t y

tan2 y - 1

32 cot v ese y — —----------------

sec y — eos y

12 . (a )------ ,

33 (tan * + cot *)2 — sec2 * + ese2 *

I

34. sec * + tan * =

En los ejercicios 13 a 42, demuestre la identidad.

321

_ 1 — sen /3

1 + sen jS

_ , tan a (b) -------- , sec a sen a

11 . (a )-----r£T~» cot 0 sec2 p L

ID E N T ID A D E S T R IG O N O M É T R IC A S

35. ese4 0 —

sec * — tan * cot4 0 = esc2

0 + cot2 0

36. eos4 0 —sen4 0 = eos2 0 —sen2 0 13. sec2x + ese2 x = sec2 x • ese2 x

37. tan4 a +

tan2 a = sec4

a — sec2 a

14. (tan x + cot x)2 = sec2 x ■ese2 x

38. ese4 a —

ese2 a = cot4

a + cot2 a

15. tan** - s e n 2* = tan2 * -sen2*

39. sen3 1 + eos3 1 + sen / eos2 1 + sen2 1 eos t = sen t + eos t

16. cot2 x - eos2 * = eos2 * • cot2 * sec 6 + 1

sen3 1 + eos3 1

1 + eos 0

40. ------------------- --- 1 —sen t eos t

sen t + eos t

41.

tan3 * + sen * sec * —sen * eos * sec * — eos * = tan * sec * + sen *

42.

= 2 tan2 a

23.

1+

»«na

1

sen * tan * _______ 1 eos * +________________ - tan2 * 2 eos2 * - 1 eos * - sen *

En los ejercicios 43 a 46, indique gráfica y algebraica mente que la ecuación no es una identidad.

«ec2« - i = c o r a 22.

2

1 = 2 sec2 a 1 - sen a

, 1 + cos/3 „ u « * 0 + ~ - ^ r ' = 2 c s c ¿! I 26 eos R o

43. sen t eos

t+

1 = sen / + eost

44. sen t sec

t+

1=2

sen t + sect

45. sec y ® 1 + tan2 y

46. tan2 * + tan * = 2 tan3 * En los ejercicios 47 a 54, determine si la ecuación es una identidad, trace la gráfica de la junción de cada miem bro. Si la ecuación es una identidad, pruebe este hecho algebraicamente. Si no es una identidad, encuentre un contniejemplo.

3»

c a p ítu lo 9 tr ig o n o m e tr ía a n a lític a

47. ----- !--------------- !___ m -------- -------1 + eos 0 1 — eos 0 sec 0 — eos 0

55. La identidad pitagórica fundamental es sen2* + eos2x — 1

48. -— !--------------- 1---- ------- ----1 —sai 0 1 + sen 0 tan 0 eos 0 49. ----- ----------------------- = 2 cot 0 ese 0 1 — eos 0 1 + eos 0 50. tan 0 sec 0 — sen 0 = tan 0 51. 1 - tan3 * = (2 tan * - sec2 *)(tan x - 1) 52. esc4 *(1 — eos4 *) = 1 + 2 cot2 x 53 * +cos* +

1 - eos x

1+ sen* _ 2(cos*-csc*) 1- sen x cot x - eos x - ese x + 1

1 -feos* + 1 - eos *

1- s e n * _______ 2(sen * + sec x) I+ sen x tan x - sen * + sec * - 1

9.2

Explique en términos gráficos y algebraicos por qué sen* = Vi - eos2* y eos* = Vi -sen** no son identidades. 56. Explique por qué las ecuaciones sec2* - tan2* = 1 y ese2* - cot2x a l son identidades aunque los miembros izquierdos no están definidos para ciertos valores de * Incluya en su explicación los valores de * en los cuales no están definidos los miembros izquierdos.

IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA OBJETIVOS

FIGURA 9.2

1. A prender y aplicar la identidad del coseno de la diferencia. 2. A prender y aplicar la identidad del coseno de la suma. .3. A prender y aplicar las identidades de las cofunciones. 4. Aprender y aplicar la identidad del seno de la suma. 5. A prender y aplicar la identidad del seno de la diferencia. 6. Aprender y aplicar la identidad de la tangente de la suma. 7. Aprender y aplicar la identidad de la tangente de la diferencia. 8. E ncontrar valores de función exactos a partir de las identidades de la suma y la diferencia. 9. Utilizar las identidades de la sum a y la diferencia para probar otras identidades. 10. Escribir una expresión de la form a A sen bt + B eos bt comofl sen (bt + c ).

A continuación se obtendrán las identidades que expresan valores de las funciones trigonométricas de la suma o diferencia de dos número reales (o ángulos) en términos de los valores de las funciones trigono métricas de cada número real (o ángulo). Se principia por deducir una fórmula para cos(m - v) donde u y v son números reales. En la discusión se considera que ~ < u < 0 < v < 17i. Sin embargo, puede utilizarse para « y v en cualquier cuadrante. La Figura 9.2 muestra la circunif* rencia unitaria U y el punto A (l, 0). El punto P, es el punto termi del arco cuyo punto inicial está en A y de longitud u, y Pi e s P unv terminal del arco que tiene su punto inicial en A y cuya longitud es

9 .2

ID ENTIDADES DE S U M A Y DIFERENCIA

523

Por la definición del seno y coseno de un número real, P¡ es el punto (eos ji, sen u) y P2 es el punto (eos v, sen v). La longitud del arco de P2 a P x es u - v. Sea Pz sobre la circunferencia unitaria U el punto termi nal del arco cuyo punto inicial es A y su longitud es u - v. Así, P3 es el punto (cos(w - v) ,sen(i< - v » . Debido a que la longitud del arco de P2 a P, es la misma que la longitud de A a P¡, se deduce de un teorema de geometría que | P 2P X | = | AP3 1; de donde, \ K P \ \ 2 = \A P i\2

(1)

De la fórmula de la distancia K P \ |2 = (eos u — eos ü)2 + (se n u — sent?)2 = eos2 ti — 2 eo s u eos v + eo s2 v + sen2 u — 2 se n u senv + sen2 v = (eos2 u 4 -sen2 u) + (eos2 o + sen2 v) — 2(cos u eos v + sen usen o) = 1 + 1 — 2 (eos u eo s u + sen u sen v) = 2 — 2(cos u eos v + sen u sen v)

(2 )

También de h fórmula de la distancia | A P 3 12 = [eos (u — v) — l ] 2 + [sen(w — v) — O]2

= cos2(w — v) — 2 eos(u — u) + = [cos2(m — o) + =

1 +

1 — 2

1

+ sen2(u — i?)

sen2(« — o )] + 1 — 2 cos(m —

c o s(m

-

d

v)

)

= 2 *- 2 cos(w — ü)

(3)

Al sustituir de (2) y (3) en (1), se tiene 2 — 2 (eos u eos v + sen u sen v) = 2 — 2 cos(w — o) eos(u — v) = eos u eos v + sen u sen u Esta fórmula es una identidad porque es válida para todos los números reales. También lo es para todos los ángulos. Se denomina la identidad del coseno de la diferencia y se escribirá ahora en términos de x y y.

Identidad del coseno de la diferencia cos(x - y) = eos x eos y + sen* sen y

Si en esta identidad - y se sustituye por y, se obtiene cos[* - (-y)J = eos * cos(-y) + sen * sen (-y )

524

CAPÍTULO 9

TBIOONOMtTRÍA ANALÍTICA

Debido a que sen ( - y ) = ri -sen y y cos(- y) = identidad del coseno de la suma. a.

Identidad del coseno de la suma cos(x + y) = eos jc eos y - sen * sen y

En el ejemplo siguiente se aplican las identidades del cosenodeb suma y la diferencia al cálculo de ciertos valores de función exactos. Esta aplicación de las identidades no es importante en sí misma porque se pueden obtener valores de función aproximados en la calculado«. El propósito de este ejemplo, y los ejercicios correspondientes, es po ner en práctica el uso de las fórmulas de modo que se adquiera fainiliaridad con ellas.

► EJEMPLO 1

txocfos c o s e n o d* la

D e t e r m i n a c i ó n d e v a l o r e s d e f u n c ió n a p a r t i r d e la s Id e n tid a d e s d e l s u m a y la d if e r e n c ia

n y (b) eos 105°.

Determine el valor exacto de (a) eos

Solución (a) Como -i-n = j n - j n y se conocen los valores de función exactos d e j n y j n , se emplea la identidad del coseno de la diferencia. eos

v = cos(í 1

¿ 7r) V3

V2

2

11

y/2 2

V3 + 1 2V 2 (b) Como 105° = 60° + 45° y los valores de función exactos de 60 y 45° se conocen, se aplica la identidad del coseno de la suma. eos 105° = cos(60° + 45°) = eos 60° eos 45° — sen 60° sen 45° 1 1 V3 1 2 V2 1 - V3 2V 2

2

V2 4

____ ______________9.2

IPiNTIPAPES P8 SUMA Y P IfIR IN C lA

S2S

L as identidades del coseno de la suma y de la diferencia pueden em plearse para obtener otras identidades. Si en la identidad del coseno de la diferencia se sustituye * = ~ n, se obtiene cos(j 7r - y) = eos 5 ir eos y + sen \ tt sen y = (O)cos y + (l)seny = sen y Ahora, si en esta fórmula se hace y = i n - xt entonces se obtiene c o s ^ tt ~ ( { tt — *)] = sen(j7r — jc) eos x = sen (5 ir — *) De una identidad fundamental /1 _ \ _ sen(j ir - , x ) tan(f ir - x) = —

C0 S(2 i r —

\

X)

Al sustituir sen(± n - x) por eos x y cos(j n - x) por sen *, se tiene ú

co sa:

ta n (5 77 — x) = ------

sen*

= cot * Se han obtenido las tres siguientes identidades, denominadas identida des de las cofunciones.

Identidades de las cofunciones cos(j n ~ x) = sen* sen(i n - X) = eos* tan(| n -- X) = cot*

Observe que estas fórmulas para ángulos son las ecuaciones (5) y (6) de la Sección 8.3. Sin embargo, ahí se restringió el ángulo a un án gulo agudo. A continuación se deducirán las identidades del seno de la suma y de la diferencia. De la primera identidad de cofunción, con * sustituida por x + y, se tiene sen(*

+

y)

eos [5 — (x + y)] = cos[(| 7r - x) - y] =

tt

Ahora se aplica la identidad del coseno de la diferencia y se obtiene sen(* + y) = cos(| t t — *)cos y + sen(j t t — *)seny

526

CAPÍTULO 9

TRIGO N O M ETR IA A N A LÍTICA______________ _____ __________ _____ ______________

Al utilizar identidades de las cofunciones en el miembro derecho, ie tiene la identidad del seno de. la suma siguiente. # # Identidad del seno de la suma sen(jf + y) = sen x eos )’ + eos * sen y

Si en esta identidad se reemplaza y por -y , se obtiene sen[jc + (->)] = sen x cos(-y) + eos x sen(-y) Al sustituir eos(-y ) por eos y y sen(-y) por -sen y, se tiene la identi dad del seno de la diferencia siguiente.

Identidad del seno de la diferencia sen(jt - y) = sen x eos y - eos x sen y

► EJEMPLO 2

D e t e r m i n a c i ó n d e l o s v a l o r e s d e fu n c ió n e x a c t o s a p a r t i r d e la s id e n t id a d e s d » ki tm o

Si sen íx = donde 0 porque a está en el primer cuadrante. (8 )2 + eos2 a = 1

eos2 a = 1 - gf eos2 a = eos a = ¿ Para encontrar eos P, se utiliza la identidad sen 2 P + eos2 = * sen P - | y eos P < 0 porque P está en el segundo cuadrante. (j)2 + eos2 fi = 1 eos2 > 3 = 1 — 55 eos 2 = js eos p = — f

;

___________ 9.2

(a)

IDENTIDADES PC SUMA Y P ir o jN C IA

*2 7

De la identidad del seno de la suma sen(a + p ) - sen a eos jS + eos a sen p

= (BM -J) + (¿Mí) —

72 125

.

28 T25

__ __ 4 4

155

(b) De la identidad del coseno de la suma cos(a + p ) = eos a eos /3 - sen a sen p

=

(A)(-J) - (SKI)

_

_ .

21 125

96 125

_ 112 125

(c) Como sen (a + 0 ) < 0 y cos(a + fi) < 0, se concluye que a + fi está en el tercer cuadrante. 4 Observe en el ejemplo 2 que sen(a + /?) y cos(a + /?) se obtu vieron sin determinar los valores reales de a y p. Para expresar tan(jc + y) en términos de tan x y tan y, se comienza con la identidad fundamental que establece que la tangente es el co ciente del seno y el coseno. Después se emplean las identidades del seno y coseno de la suma. Así, se tiene ; , v sen(* + tan(x + y) = cos(x +

y) y)

_ sen x eos y + eos x sen y eos x eos y — sen x sen y De modo que la identidad implique tan x y tan y, se divide el numera dor y el denominador entre eos x eos y, con la suposición de que eos x eos y * 0. De modo que

ta m x

sen x eos y eos x eos y + y) ----------------------eos x eos y eos x eos y

eos x eos * sen x eos *

sen y eos y ■ -----sen y eos y

_ tan x • 1 + 1 • tan y 1 • 1 - tan * • tan y Por tanto, se obtuvo la identidad de la tangente de la suma si guiente. Identidad de la tangente de la suma

tan x + tan y tanto + y) = ---- ----- ;— 7 1 - ta n # tan y

______

528

Si en esta identidad y se sustituye por -y , se obtiene

é *

tan x + ta n (-y ) 1 — tan x tan(—y)

tan[jf + (“ >)] = 7 ---- ---------- y\

En la Sección 7.7 se comprobó que tan(-y) = -tan y. Al efectu sustitución en la ecuación anterior, se tiene cc«**í^ . tan x + ( —tan y) tan(x - y) - ------ -----------------r 1 — tan x (—tan y) a partir de la cual se obtiene la identidad de la tangente de la difentá, siguiente.

Identidad de la tangente de la diferencia

, . tan x - tan y tan(x - y) = ------------- *— 1 + tan x tan y En la obtención de la identidad de la tangente de la suma, lares tricción de que eos x eos y & 0 indica que la identidad no es válidasi alguno de los dos x o y son iguales a ^ tc + kn, donde k es cualquier entero. Observe que si se pretende aplicar la identidad de la tangentede la suma o de la diferencia cuando x o y tienen un valor de ^ x +kx,á miembro derecho contiene a tan(+ n + kit), el cual no está definido.

► EJEMPLO 3

D e m o s t r a c ió n d o u n a Id e n tid a d

Demuestre la identidad . / , . tan x — 1 tan(* - j ir) = ------------tan x + 1 Solución A partir de la identidad de la tangente de la diferencia ta n U -i^ )=

tan x — tan j ir 1 + tan x tan | i r

Debido a que tan ^ tc = l, se obtiene tan(jc -

tan jc — 1

i ir) = 1

+ tan *(1 ) tan x —1

9.2

IPlWTIPADiS D i SUMA Y DIFERENCIA

52»

Las identidades que expresan una función trigonométrica de ik n ± x, donde k es cualquier entero, en términos de una función de # se denominan fórmulas de reducción. En particular, las identidades de las cofunciones son fórmulas de reducción. Algunas otras son

,a difefencia

sen(j ir + x) = sen(ir - x) = sen(ir + x) = sen(fir - x) = sen(f ir + #) = sen(27r - x) =

eos x sen x -s e n # -e o s# -e o s x -s e n #

c o s ( j 7r + # ) =

—s e n #

C0s(7T — # ) = —e o s # e o s (77 + # ) = c o s ( f 7r — # ) =

—e o s # -se n #

c o s ( |t t + # ) = s e n # COS(2l7 — # ) = e o s #

tan(jir + #) = tan(7r - #) = tan(ir + #) = tan(§ 7T - #) * tan(j ir + #) * tan(2?r - #) =

—eot x -tan # tan # cot # -eot # -tan #

sucesivamente. Los ejemplos ilustrativos siguientes proporcionan las pruebas de algunas de estas fórmulas. Las otras fórmulas se de muestran de manera semejante. En los ejercicios 21 a 24 se pide pre sentar algunas de estas pruebas. y a sí

lS uma, lares-

10 es válida si

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

fc es cualquier la tangente de 5 4 * + kn, el á deñnido.

A partir de las identidades del seno de la suma y de la diferencia sen(7r — #) = sen 7r eos x — eos rr sen x = (O)cos* — (-l)se n # sen# sen(§ 7T + x) = sen § 7r eos x + eos § Trsen # = ( - l) c o s # + (O)sen# = —eos #

diferencia

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 De las identidades del coseno de la suma y de la diferencia — #) = = = c o s(| 7T ■+■#) = = = e o s (7 7

eos 7 7 eos # + sen 7 7 sen# (-l) c o s # + (O)sen# —eos X eos 2 77eos x sen § 77 sen # (O)cos # - (-l)sen# sen#

530

0

rAPi r u i O *

TRIGONOMETRIA ANALÍTICA

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 A partir de la identidad de la tangente de la diferencia tan(?r — x) =

tan ir — tan x l + tan 7T tan x 0 — tan x l + (O)tan x

= —tan x De una identidad fundamental y de los resultados de los ejemplosilmtrati vos 1 y 2 tan(§ 7T + *) =

sen(|7r + Jt) COS(§ 7T + X)

—eos X sen x —cot x No puede emplearse la identidad de la tangente de la suma paraene» trar tan(| n + x). Intentar hacerlo daría por resultado una expreaá con tan | n, la cual no está definida. En física, cuando se estudia electricidad, calor y dinámica, es veces necesario escribir una expresión de la forma A sen bt + B eos bt en la forma a sen(bt + c) de modo que la amplitud, el periodo, la frecuencia, el defasamien» la gráfica de la función correspondiente puedan obtenerse más mente. A continuación se obtendrá un teorema que se emplea caso. Suponga que la función/está definida por la ecuación f(t) = A sen bt + B eos bt donde A, B y b son constantes y A * 0. Se puede escribir enUfe**1 — = eos bt — ■■■ — sen bt + — V a2+ b2 V A 2 + B2 Sea c un número real tal que tan c —

B A

9 .2

IDENTIDADES P i SUMA Y DIFERENCIA

531

y eos

c

*

A

V a2+

b

2

y

B sen c = . ■ V a2+ b2

(7)

Se le pedirá que compruebe la ecuación (6) a partir de la (7) en el ejer cicio 42. Al sustituir (7) en (5), se tiene f( t) = V /42 + 5 2 (eos c sen /?/ + sen c eos ¿tf)

(8)

Observe que la expresión entre paréntesis es sen(fcf + c). Si se hace

a = V a2 + B2 entonces (8) puede escribirse en la forma f(t) = a stn(bt + c)

(9)

Al igualar los miembros derechos de (4) y (9), se obtiene el teorema siguiente.

TEOREMA 1

Si / es cualquier número real, A, B y b son constantes, y A * 0, A sen bt + B eos bt = a sen(bt + c) donde a = V 4 2 + B 2 y c satisface (6) y (7).

► EJEMPLO 4

A p lic a c ió n d a ! T e o re m a

I

Dado f ( t ) = 2 sen t + 2 V 5 eos t (a) Definaf(t) mediante una ecuación de la forma/(/) = a sen(/ + c). (b) Determine la amplitud, el periodo y el defasamiento de/, y dibuje la gráfica de/. (c) Compruebe las respuestas trazando las gráficas de la ecuación dada y de la ecuación del inciso (b). Solución (a) Del Teorema I

532

CAPÍTULO 9 TRIOONOM ITRÍ A ANALÍTICA

donde a = V2 1 + (2VT)2; esto es, a = 4; además, tan c a ÍÍL es decir, tan c = V5". De modo que se toma c = ijt. En con*, cuencia, m

/( í) = 4 sen(í

Í7T)

(b) La amplitud d e /e s 4. Como el coeficiente de t es 1, el periodoes 2ti/ 1 = 27c. El defasamiento es ¿ ti y la gráfica de g(t) = 4senf es desplazada j tc unidades a la izquierda para obtener la gráfica requerida. La Figura 9.3 muestra esta gráfica mediante la curvt negra, y la gráfica de la función definida por g(t) = 4 sen t está indicada por la curva gris. (c) En la calculadora gráfica o grafícadora, las gráficas de ambas fun ciones son las mismas que la gráfica de la Figura 9.3. <

4senl f+—it FIGURA 9.3

A partir del Teorema 1 puede demostrarse que la suma de dos funciones seno que tienen el mismo periodo es una función seno que tiene ese periodo común. Este hecho tiene aplicaciones importantes en física en los campos de acústica y electricidad. El ejemplo siguiente proporciona un caso particular.

» EJEMPLO 5

A p lic a c ió n d e l T e o re m a

1

En un punto particular del espacio dos ondas atmosféricas produces presiones de F(t) din/cm2 y G(t) din/cm2 a los t segundos, donde tu. F(t) = 0.021 sen 400tw

G(t) = 0.043 sen(400ra

(a) Defina la suma de estas dos presiones mediante una ecuación deli forma/(í) = a sen(bt + c). (b) Muestre que las tres funciones F,G) f tienen el mismo periodo, (c) Verifique las respuestas trazando » gráficas de F + Gy f . Solución (a) S i/e s la suma de F y C, /(O = F(t) + G(í) = 0.021 sen 40077/ + 0.043 sen (40077/ + $ 7r) ~ 0.021 sen 40077/ + 0.043[sen40077/ eos 5 77 + eos 4007T/senj «1 —

0.021 sen 40077/ + (0.043 eos

5 77)

sen 40077/ + (0.043 sen 5 ir) eos 400«

= 0.021 sen 400777 + 0.035 sen 40077» + 0.025 eos = 0.056 sen 40077/ + 0.025 eos 4007rt

400«

9 .2

IDEN TID A D E S PE SU M A Y DIFERENCIA

533

Del Teorem a ! ,/ ( /) = a sen(4007tf + c), donde a = V (0 .0 5 6 )2 + (0.025)2

= 0.061

y

tan c =

0.025 0.056

tan c = 0.446 c = 0.42

Por tanto, f{ t) = 0.061 sen(400ítt + 0.42) (b) El periodo de cada una de las funciones F, G y /e s 2n/AOOn = — -0.01,0.01] por [ - 0 .1 ,0 .1 ]

f)»0.061 sen(400íi t + 0.42) FIGURA 9.4

EJERCICIOS

(c) En el rectángulo de inspección de [-0.01,0.01] por [-0.1,0.1] se obtiene la gráfica mostrada en la Figura 9.4 para F + G y f <

9 .2

m fu ejercicios 1 a 12, determine el valor exacto. No í utilicecalculadora. IL (a) sen 15°

(b) eos 165°

2. (a) eos 75°

(b) sen 105°

13. (i) sen(- 75rr)

(b) eos f§ 7T

§4 (a) sentir (5. (a) tan 105° i i (i) tan 345°

(b)

cos(“ 75 ir)

(b)

tan {§ 7r

(b)

13. sen a = -j|f a en el primer cuadrante; sen p = P en el primer cuadrante. 14. eos a = a en el primer cuadrante; eos P = P en el primer cuadrante. tan

|7. (a) sen32° eos 58° + eos 32° sen 58° (b) eos 116° eos 64° —sen 116° sen 64° [*•(•) senllO0eos20° - eos 110° sen 20 ° t 0» sen 110° sen70° - eos 110° eos 70° P* W sen85° sen 25° + eos 85° eos 25° _ (b)sen 70° eos 205° - eos 70° sen 205° r J 008 50° eos 275° + sen 50° sen 275° W co* 50° sen 100° + sen50° eos 100° |ft. (d jan 20° + tan 25° I * - tan 20° tan 25° f f a j an 200° - tan 80° F 1 + tan 200° tan 80° Ifcj-S L II 08 + tan 100° I : 1 " tan 110° tan 100° I (b) ig n jy - tan 110°

I

* + ^ 65° tan 110°

|(ej 5

(d) eos(a - P), (e) el cuadrante que contiene a a + P y(f) el cuadrante que contiene a a - P.

^ a 16, sin determinar a y P, encuen• + &), (b) c o s ( a + P), (c) sen(a - P),

ir

15. sen
a en el segundo cuadrante;

sen P = -

P en el cuarto cuadrante.

En los ejercicios 17 a 20, sin determinar x y y, encuen tre (a) tan(jc + y), (b) tan(* - y), (c) el cuadrante que contiene a x + y, y (d) el cuadrante que contiene a x - y. 17. tan* = j , 0 < x < \n \ tan y = \ 0 < y < {n 18. tanx m

0 <

X

< ¿n; tany = |,

0
n < x < ¡Jt;tany = - J .

ín < y < n 20. tan x n < y < 4*

\ n < x < 2n; tan y = f

TRIG O N O M ETRÍA ANALÍTICA

En los ejercicios 21a 24, utilice las identidades de la suma y de la diferencia para probar la fórmula de re ducción. 21. (a) sen(jir + x) = eos x (b) sen(ir + x) — —senje (c) sen(§ ir — x) » —eos x 22. (a) cos(^7r + x) = —senx (b) cos(ir + x) = —eos x (c) cos(§ir — x) = -se n * 23. (a) sen(2ir — x) = -se n * (b) tan(7r + x) = tan x (c) tan(J ir + x) ~ —cot x 24. (a) cos(27T — x) = eos x (b) tan(27r - x) = - ta n x (c) tan(§ rr — je) = cot x En los ejercicios 25 a 30, pruebe la identidad.

tan + tan 2 x 1 - tan 8 x tan 2 x tan 5* - tan 5X (b) 1 + tan 5X tan |x

35. (a)

36. (a)

(b)

Vi

CAPÍTULO 9

00

534

tan \ x + tan \x 1 - tan ¿x tan \x

tan 4x - tan 5x 1 + tan 4x tan Sx

En los ejercicios 37 a 40, pruebe la identidad __ se n (u + ü ) + senÍM — o) 37. — :--------- ----------- --------- = ta n u e o s (u + ü) + e o s (u. — v )

sen(w — v) 38. ------------- --- cot v — cot u sen u sen v 39. c o s(k + u )c o s(h — o ) = e o s2 u - sen2 c 40. e o s u se n (« + v) — sen u eo s(u + o) *= sene 41. D em uestre qu e si a , P y y son ángulos de un

cot a cot p l¡ ¡ 1 25. cot(a + /3) = cot p + cot a 26. cot(a: - (3) =

cot a cot p + 1 cot p - cot a

27. sec(a + P) =

sec a sec fi 1 — tan a tan /3

28. csc(a + f$) =

ese a esc P cot p + cot a

29. tan g ir + x) = 30. tan(x —|w ) *

1 + tan x 1 — tan x 1 + tan x 1 - tan x

En los ejercicios 31 a 36, simplifique la expresión es cribiéndola como ± sen kx, ± eos kx o ± tan kx, donde k es un entero positivo. 31. (a) (b) 32. (a) (b) 33. (a) (b) 34. (a) (b)

eos 8x eos x + sen 8xsen x sen 5x eos 2x + eos 5x sen 2x eos 3x eos 2x —sen 3x sen 2x sen Sx eos 4x — eos 5x sen 4x sen 4x sen 6 x —eos 4x eos 6x sen 3x eos 4x — eos 3x sen 4x sen x eos 3x + eos x sen 3x sen x sen 5x + eos x eos Sx

triángulo, entonces (a) sen a eo s

P + eos a sen P = sen y

y (b) e o s a eo s P - sen a sen p - -e o s y 42. C om pruebe que la ecuación (6) se deduce de la (7). En los ejercicios 43 a 48, exprese f(t) en la joma a sen (bt + c); (b) determine la amplitud, el periodo y d defasamiento def;(c) dibuje la gráfica def,y(d) verifi que la gráfica del inciso (c) en la graficadora. 43. f{t) = V 3 sen t + e o s t 44. / ( r ) = 2 sen / + 2 e o s t 45. f(t) ~ 3 sen t — 3 e o s / 46. f( t) — 3 sen t — 3 V 3 eo s t 47. f{t) = 2.65 sen 4/ + 1.28 eos 41 48. /(/) = 0.37 sen 61 - 0.42 eos 61 49. U n cuerpo suspendido de un resorte vibra verticalmente de acuerdo con la ecuación f(t) - 3 sen 61 + 4 eos 6t, donde f(t) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central a los t segundos después de iniciado el movimiento ¡. (a) Defina/(/) mediante una ecuación de la forma j. /(O * a sen{bt + c). (b) Determine la amplitud, d . i¡] período y la frecuencia de f. (c) Dibuje la grific* d e / (d) Verifique la gráfica del inciso (c) en 1* graficadora.

9 .3

L Haga el ejercicio 49 considerando ■ «,) = -6 sen 4/ - 8 eos 4/.

ID E N T ID A D E S D I VALO R M U L T IP L I

535

un punto en el suelo, a x pies de la base del edifi cio, el asta y el edificio subtienden ángulos iguales. Determine x. No olvide escribir una conclusión.

lij pos ondas atmosféricas en un punto del espacio W> producen presiones de F(t) din/cm 2 y G(t) din/cm 2 i , l o i / segundos, donde f(t) s 0.06 sen 2nnt y Q{t) - 0.04 sen(2iwf - |t c ) "douüiod Defina la suma de F y G mediante una ecuación de laforma Una

/(r) = a sen(2ícr»f : c) Verifique las respuestas trazando las gráficas de F +G if

¿ « -w rt p(u + c) = sq:

En un circuito eléctrico la fuerza electromotriz es - £(f) volts, donde

[5 2 .

£(0 = 50 + 6 sen 60tw + 3.2 eos 60nt

[ son ángii!o>¿:|

56. Dé una explicación de por qué sen(a + b) y se n a + sen b no son iguales para valores arbitrarios de a y b discutiendo cómo pueden obtenerse las gráficas de

- 0.6 sen 120tu + 0.8 eos 12071/ scafi = *•)'

0 = a„ + a{sen(60ni + cj) + Oj sen(120iu + c2) : s e fli

s

" c® ‘

6)seda*, J ‘

K Una partícula se mueve a lo largo de una línea recI tade acuerdo con la ecuación de movimiento s = sen(4/ + I3 n) + sen(4/ + -j6 7t)

1

F(x) = sen(x + 2)

Defina £(/) mediante una ecuación de la forma

I donde s centímetros es la distancia dirigida de la P partícula desde el origen a los t segundos, (a) | Uestre que d movimiento es armónico simple de| | finiendo s mediante una ecuación de la forma 1 Z aXn(bt + c^' ^ Encuentre la amplitud y la ■ ^^wncia del movimiento. ■ * ^ cícrc,cio 53 considerando 5 = 6 sen(/ + ■ j*) + 4sen(t - i« ). |S5 i * 15 pie de longitud está situada en la parr aiperior de un edificio de 10 pie de longitud. En

y

G(x) = sen x + sen 2

a partir de la curva del seno. 57.

El cociente

ñ sen(x + A) - senx ----------- 1-----------

d»)

se presenta en Cálculo y no está definido cuando h = 0. Sin embargo, en Cálculo es necesario cono cer el comportamiento del cociente conforme h se aproxima cada vez más a 0. (a) Muestre que sen(jt + h) - senx

= eos x

/’sen h

- sen

1 - eos h

(b) A partir de las conclusiones de los ejercicios 49 y 50 de la Sección 7.3 y de la identidad del inciso (a), ¿a qué valor parece que se aproxima el cociente (10) conforme h se acerca cada vez más a 0?

0

|

E N TID A D E S DE VALOR MÚLTIPLE o b je t iv o s

1. Aprender y aplicar la identidad del seno de valor doble. 2. Aprender y aplicar la identidad del coseno de valor doble.

CAPÍTULO 9

t w o o n o m it r ía

ANALÍTICA

3. Aprender y aplicar formas alternativas de la identidad del coseno de valor doble. 4. Aprender y aplicar la identidad de la tangente de valor doble. 5. Aprender y aplicar identidades p ara sen2*, eos2* y tandeo términos de eos 2*. 6. Aprender y aplicar las identidades de semivalor. 7. Encontrar valores de función exactos a partir de las identidades de valor múltiple. 8. Probar otras identidades a partir de las identidades de valor múltiple. 9. Expresar potencias pares de seno y coseno en términos de valores del coseno con exponentes no mayores que 1. 10. Expresar sen x y eos x como funciones racionales de z mediante la sustitución z = tan j i .

Las identidades de valor doble son casos especiales de las identidades del seno de la suma, coseno de la suma y tangente de la suma obteni das en la Sección 9.2. En la identidad del seno de la suma sen(* + y) = sen x eos y + eos x sen y se considera y = x, y se obtiene sen(* + x) = sen* eos je + eos* sen* a partir de la cual se obtiene la siguiente identidad del seno de valor doble.

Identidad del seno de valor doble sen 2x = 2 sen x eos x

Se procede de manera semejante con la identidad del coseno de Ia suma. cos(* + y) = eos x eos y - sen x sen y cos(* + *) = eosx eosx - senx sen* De donde se obtiene la identidad del coseno de valor doble.

Identidad del coseno de valor doble eos2* * eos1x - sen2*

______________________9 .3

IDENTIDADES PE VALOR MÚLTIPLE

537

Si x es un ángulo, las identidades-de valor doble son referidas como identidades de ángulo doble. Existen otras dos formas para la identidad del coseno de valor do ble. Si 1 - sen2 * se sustituye por eos2x en la fórmula para eos 2x, se obtiene eos 2x = (1 —sen2 x) — sen2 x = 1 — 2 sen2 x Además, si 1 - eos2 x se sustituye por sen2x en la identidad del cose no de valor doble, se tiene eos 2 x = eos2 x — (1 — eos2 x) = 2 eos2 x — 1 A continuación, se establecen formalmente estos resultados.

Formas alternativas de la identidad del coseno de valor doble eos 2x = 1 - 2 sen2x eos 2x = 2 eos2x - 1

► EJEMPLO

1

U s o d o la s ¡d e n t id a d o s d e l s e n o y c o s e n o d e v a lo r d o b le

Si sen / = |y^7C
Primero se determina eos t a partir de la identidad funda

sen2 / + eos2 = 1 Como sen / = | , se tiene (s)2 + eos2 / = 1 eos2 / = 1 — 25 eos2 / — ü

D eb id o a q u e - n < t < n, eos t < 0. P o r tanto, cuando se resuelve p ara eo s / co n sid eran d o la raíz cuadrada, se rechaza el valor positivo. D e m o d o qu e eos/ = - 1

CAPÍTULO 9

tr ig o n o m e t r ía a n a lític a

Por tanto, sen 2t = 2 sen t eos t

eos 2t = eos2 / - sen2 1

= 2(|)(-|)

=(-^)J-( i)2

_

_

_ 24

7

El ejemplo siguiente muestra cómo otras identidades de valor múltiple se deducen a partir de las identidades de valor doble y de la identidad del seno de la suma.

►

EJEMPLO 2

O b te n c ió n d e u n a id e n t id a d p a r a sen

3x o

p a r t ir d e o tr a s id e n t id a d e s

Obtenga una identidad para sen 3* en términos de sen *. Solución sen 3* = sen(2* + x) = sen 2 x eos x + eos 2 x sen * = (2 sen* eos *)cos * + (1 — 2 sen2 *)sen* = 2 sen x eos2 * + sen x — 2 sen3 * = 2 sen jc(1 —sen2 *) + sen x —2 sen3 x — 2 sen * | | 2 sen3 * + sen * — 2 sen3 * = 3 sen * ,— 4 sen3 *

<

Para derivar una fórmula que exprese tan 2* en términos de tan x, se inicia con la identidad de la tangente de la suma. . . tan * + tan y tan(* + y ) = ------------------ — 1 — tan * tan y Se considera y - x y se obtiene , , \ tan * + tan * tan(* + *) = ---------------------1— tan * tan * de donde se tiene la identidad de la tangente de valor doble siguiente.

Identidad de la tangente de valor doble I - t a n 2*

9 .3

IPENTI PAPES P i VALOR M Ú LT IP U

539

Esta identidad no es válida si x = \ n t ^ donde es un ente« i ro, porque para estos valores de x el denominador es cero. También la identidad no es válida si x = ^ n + kn, donde k es un entero, porque para estos valores tan x no existe. Por supuesto, la ecuación es una identidad porque es válida para todos los valores de x en los cuales ambos miembros están definidos.

► EJEMPLO 3

U so

d* l a

id e n tid a d d e la ta n g e n te d e v a lo r

d o b le

Obtenga una identidad para tan 40 en términos de tan 0. Solución A partir de la identidad de la tangente de valor doble con x = 20, se tiene tan 2(20) =

2 tan 20 1 - tan2 20

En el miembro derecho de esta identidad se aplica la identidad de la tangente de valor doble con x = 0, y se obtiene

tan 40 -

2 tan 0 1 - tan2 0 2 tan 0 1 - tan2 0 4 tan 0 1 — tan2 0 (1 - tan2 0)2 - 4 tan2 0 (1 — tan2 O)2 4 tan 0 1 — tan2 6. (1 — 2 tan2 0 + tan4 0) — 4 tan2 0 (1 - tan2 O)2 (1 — tan 0) 4 tan 0(1 — tan2 0) 1 — 6 tan 0 + tan 0 (1 - tan2 0)2

A partir de identidades útiles, que expresan sen2x, eos2x y tan2x en términos de eos 2x, se obtienen las formas alternativas de la identi dad del coseno de valor doble. eos 2jc = 1 — 2 sen2 x 2sen2 * = 1 - eos 2x 1 - eos 2x

eos 2x = 2 eos2 x - 1 2 eos2 x - 1 + eos 2x ,

1 + eos 2x

CAPÍTULO 9

t p i/ i o

NOMKTRÍA ANALÍTICA

1

= 1

1 1

—eos 2x 2 + eos 2x 2 —eos 2x + eos 2x

Así, se tienen las tres identidades siguientes.

Identidades para sen2x , eos2* y tan2x en términos de eos2* , 1 - eos 2x sen2* = ------ ------1 + eos 2x eos2x = ------ 2-----„ 1 - eos 2x tan2* =s ----------- ~ 1 + eos 2*

ñ

En las primeras dos de estas identidades, x puede ser cualquier nú mero real o ángulo. En la tercera identidad, como 1 + eos 2* no pue de ser cero, * * ^ n + k%, donde k es cualquier entero. En Cálculo algunas veces es necesario expresar una potencia par de una función trigonométrica en términos de valores de las funciones trigonométricas con un exponente no mayor que 1. Las identidades precedentes son útiles para este propósito, como se muestra en el ejemplo siguiente.

► EJEMPLO 4

E x p r e s ió n d e u n a p o t e n c ia p a r d e l seno

mi

t é r m in o s d o v a lo r e s d e l c o s e n o c o n e x p o n e n to s n o m a yo re s q u e

V

Exprese sen4 / en términos de valores del coseno con exponentes no mayores que 1. Solución Como sen4 t - (sen2 f)2, se tiene de la p rim e ra de as fórmulas anteriores ( \ — eos 2 /\2 Sen * ” \ 2 / sen4 1 = i ( l ~ 2 eos 21 + eos2 21)

á

______________________9 .3

IDENTIDADES PE V M O K MÚLTIPLE

M I

Para obtener una sustitución de eos2 21 en el miembro derecho, se apli ca la fórmula para eos2 x con x - 21, obteniéndose 4 11 « ~ „ 1 + eos 4 /\ sen4 1 = J l 1 — 2 eos 2t + ------ -------1

= {(2 — 4 eos 2t + 1 + eos 41) “ I “ \ cos

| eos 41

4

Si en las identidades para sen2 x, cos2 x y tan2 x se hace x ss i y t entonces 2x = y, y se obtienen las identidades de semivalor.

Identidades de semivalor sen2 - y

1 - cosy 2

1 + cos y

2

tan2 ^y

1 - cosy I + cosy

Cuando se aplican estas identidades para encontrar sen | y, cos j y y tan \ y, el signo (+ o -) se determina a partir del valor de \ y.

► EJEMPLO 5

D e t e r m in a c i ó n d e l v a l o r d o f u n c ió n o x a c to a p a r t i r d e u n a Id e n t id a d d e s e m iv a lo r

Encuentre el valor exacto de cos j n.

Solución

Se utiliza la identidad para cos2j y con y » ¿ n. 1 + cos í 7r

2 1 +

V2

2

2 + V2 C o m o 0 < -8 rt < i2 7t, co s jo tí > 0. Por tanto, V 2TV 2 COS 8 7T

VPÍTULO 9

TRIGONOMETRÍA ANALITICA

Existen otras dos identidades para tan ¿y. Una de ellas se dedu» i iniciando con la identidad , iy tan 5y — ----- f " eos j y y al multiplicar el numerador y el denominador por 2 sen { y. Se tiene \ entonces 2 sen2 \ y

tan jy = -----t—~~~t ~ 2 s e n 5 y c o s2 y

m

A partir de la identidad para sen 2 ^ y, se obtiene 2 sen2 íy -

1 - eos y

«I

y de la identidad del seno de valor doble con x = j y, se tiene 2 sen jy eos \ y = sen y

(3)

Al sustituir de (2) y (3) en (1), se obtiene tan jy =

1 — eos y

sen y

Otra identidad que implica a tan j y se obtiene a partir de la identidad anterior al multiplicar el numerador y el denominador por 1 + eos y. . (1 — c o s y )(l + eos y) 1311 2y = -----------"~ sen y (l x+ -------------eos y) 1 — eos 2 y sen y (l + eos y) sen2 y sen y(l + eos y) sen y 1 + eos y A continuación se establecen formalmente estas dos identidades.

Identidades de la tangente de semivalor ■ 1 - cosy tan j y ------------- 2 sen y i sen y tan ¿ y = -----------1 + cosy

9.3

IDENTIDADES DE VALOR MULTIPLE

543

En la primera de estas identidades y puede ser cualquier número real o ángulo excepto ¿n, donde k es cualquier entero. En la segunda, y puede ser cualquier número real o ángulo excepto (2k + 1) n , donde k es cualquier entero. Observe que (2k + I )it es un múltiplo impar de n. Cuando y representa un ángulo en las identidades de semivalor, éstas son referidas como identidades de semiángulo.

► EJEMPLO 6

D e t e r m in a c i ó n d e v a lo r e s d e f u n c ió n e x a c to s a p a r t i r d e la s id e n t id a d e s d e s e m iv a lo r

Utilice las identidades de semiángulo para determinar el valor exacto de (a) tan 22.5° y (b) eos 105°. Solución (a) A partir de la identidad 1 — eos v tan 5 y = ------------sen y con y = 45°, se tiene tan 22.5° =

1 — eos 45° sen 45‘ 1 1V2 1 V2

= Vi - i (b) De la identidad eos2 \ y =

1 + eos y

con y = 210°, se tiene eos2 105c

1 + eos 210°

Como 105° es un ángulo del segundo cuadrante, eos 105° es ñe cos 210° * - j V3~, se tiene gativo. Por tanto, con eos

eos 105° = V 2 - V3

I r

544

CAPÍTULO 9


Compare el valor de eos 105° calculado a partir de la identidad del coseno del semiángulo del ejemplo anterior con el vale»' de eos 105° obtenido a partir de la identidad del coseno de la suma del ejemplo l(b) de la Sección 9.2. En el ejercicio 21 se le pedirá que verifique en la calculadora que estos valores son iguales y después se probará alge braicamente.

► EJEMPLO 7

D e te r m in a c ió n d e ta n

| 6 c u a n d o t e c o n o to

ta n 0

Si tan 0 = - ¿2 4 *y 270° < 0 < 360°, determine tan ^2 0. Solución La Figura 9.5 muestra el ángulo 0 con el punto (24, -7) elegido en su lado terminal. Del teorema de Pitágoras, r = 25. En consecuencia, sen 0 = Por tanto, 1 — eos 0 sen 0 11 - 21 25

FIGURA 9.5

II

En Cálculo suele ser necesario reducir una función racional de sen •* y eos x a una función racional de z mediante la sustitución z = tan \ x De la identidad eos 2y = 2 eos2 y — 1 con v eos x = 2 eos2 \ x — 1 sec 1 + tan2 \ x

- 1

2 1+ n 2 — (1 + 1 +

z2

z 2)

9 .3

IDENTIDADES PE VALOR MULTIPLE

543

De modo que 1 - z* eos X = —— 1 + i*

(4)

De manera semejante, a partir de la identidad sen 2y = 2 sen y eos y, con y = ~x% sen x = 2 sen i x eos £jc = 2 •

sen 5*

= 2 tan \ x

eos 2 { x

see 2 \ x

= 2 tan \ x Por tanto, sen jc -

(5)

1 + ?

Al emplear (4) y (5), sen ¿ y eos x pueden expresarse como fun ciones racionales de z. El procedimiento se muestra en el ejemplo si guiente.

►

EJEMPLO 8

I#

Reducción de una función de ten x y eos x a una función racional de x mediante la sustitución x = tan ] x

Escríba 3

sen x — 2 eos x

como una función racional de z considerando z = tan + x. Solución

Con z = tan ]=x, se tiene de (4) y (5)

3 sen x — 2 eos x = 3 6z 1 + z‘

2

+ 2z2

1 + z‘

2z 2 + 6z - 2 1 + zLas otras cuatro funciones trigonométricas pueden expresarse como funciones racionales de z aplicando (4) y (5) y las identidades

546

CAPÍTULO 9

T tl OONOMITRÉA ANAUTICA

tan x = sec x =

EJERCICIOS

sen x eos x

cot x = esc x =

eos x

dos valores sean iguales y después pruebe algébri camente esta igualdad.

(c) tan 2 1 .

3

22. (a) Utilice la identidad del coseno del semivalor

sen*_= 4| y 0 < t <

2. cosí = ¿ y

0

para encontrar el valor exacto de eos ~ x. (b) Ven-

< / < jx

fique en la calculadora que el valor obtenido eo el inciso (a) sea igual al valor de eos x obtenido ea

y ^x < t < x

. cosí =

el ejemplo 1(a) de la Sección 9.2 con la identidad del coseno de la diferencia. Después pruebe alge braicamente que estos dos valores sean iguales.

A. s e n t - j y \ n < t < n

5. tan / = ■ —y

sen / < 0

tan / = - y y sen t <

6.

7. sen t = 8.

1

sen x

9.3

En los ejercicios I a 8, determine (a) sen 2i, (b) eos 21y 1.

eos x sen x

0

23. (a) Emplee la identidad del seno del semivalor pm

y eos / > 0

encontrar el valor exacto de sen 15°. (b) Verifique en la calculadora que el valor obtenido en d inciso (a) sea igual al valor de sen 15° obtenido en d ejer cicio l(a) de la Sección 9.2 con la identidad dd seno de la diferencia. Después pruebe algebraica mente que estos dos valores sean iguales.

cosí = --j|

y

tan /

>0

En los ejercicios 9 a 16, obtenga una identidad para el primer valor de junción en términos del segundo valor de junción.

9. eos 3*; eos x

10. eos Ax\ eos x

24. (a) Use la identidad de la tangente de) semivalor

. sen 4jc; sen x

12. sen 5jt, sen.t

para encontrar el valor exacto de tan -jj x. (b) Veri

13. tan3r, tan.r

14. cot 2 r , cot a:

15. sec 2 r , secx

16. csc2 r, cscjc

11

fique en la calculadora que el valor obtenido en d inciso (a) sea igual al valor de tan x obtenido ea el ejercicio 6(b) de la Sección 9.2 con la identidad de la tangente de la suma. Después compruebe al gebraicamente que estos dos valores sean iguales.

áy En los ejercicios 17 a 20, escriba la expresión en términos de valores del coseno con exponente no

//Jg

mayor que I. 17. eos4/

18. sen4 2t

19. sen23/cos23/

20. cos44/sen24/

21. En el ejemplo 6(b) con la identidad del coseno del

En los ejercicios 25 a 28, utilice las identidades de semivalor para determinar el valor exacto de la junción.

25.

eos £ 71

26.

sen 165°

27.tan 112.5°

28.

t a n |x

V 2 - V En f los ejercicios 29 a 34, emplee una identidad de ** semivalor, se obtuvo eo* 105° » ------- ^------• mivalor para encontrar el valor de la junción. y en d ejemplo l(b) de la Sección 9.2 con la identidad del coseno de la suma se obtuvo eos 105° =

_ . Verifique en una calculadora que estos 2v2

29.

eos / = j y 0 < / j x; encuentre sen ~ t

30.

eos / = j y 0 < / < 1 n; encuentre eos ^ /

31.

sen / = §

y±x

< / < x; encuentre eos \ t

9.3

5¡

71

45.

i Ib ejercicios 35 a 44, simplifique la expresión es'wbtni'Li como a sen kx. a eos k x o aiasxkx, donde a L unmieroy k es un entero positivo. (b) eos2 2x - sen 2 2x

tan x + cot X 46. ■———----= sec 2x cot x — — tan x y2 47. 1 + eos 2/

(b) 1 - 2 s e n 2 3x

1 + eos 21 48. ------------ — = cot* t 1 — coa 21

|c) 2senjico s j i p n i I - 2sen2i L |c) 1 - 2 eosî

W

hit) 2senx eos i

rdea*¿*^ lí i ) 6jen2rcos2i pón codbüj 1 le) 2sen j i c o s |i ia- Despuéspruéí^ 2 tani valores jcaDijá i», (a) I - tan2* I seno del ® j 6tanj i je s o l »

(b) 4 sen 4x eos 4x

(b) 2 sen 6x eos 6x

50.

(b)

I - tan2 ^ i

V m ** (£)

4tan4jr (b) 1 - tan2 4x

8 tan 3i

sen 2/

<,¿r

& L > -

A M

(c) É
(b)

sen 4t eos 4/ + 1

sen4/

1 - eos 6t (b) sen 6 1

^ ,|j cu 2/ico 4/

( b ) £ \[ Í-2. eos 8/

55. \H H 1 - s e n i + eo s* Jlax 56. sen x - eos x + 2

59. sec 21 + tan 21 60.

f # 2*HLz_£oi6f) sen 61

En los ejercicios 55 a 60, utilice la sustitución z = tan j x para escribir la expresión como una junción racio

58. sec i + tan x

^6 - 2coi8/

¡í

54. Si K unidades cuadradas es el área de un triángulo rectángulo, c unidades es la longitud de la hipote nusa, y a es un ángulo agudo, verifique que K = £ c 2 sen 2 a .

57. sen 2x + tan x

coi lt -1 sen8/

I I ♦ eos 4 1

1 + sen 2B + eos 2B ---------- — ----------— = cot B 1 + sen 2/3 —eos 2(3

nal de ¿

cb»4t - 1

1 - eos 21 senlt

= eos 20

53. Si a y fi son ángulos agudos de un triángulo rec tángulo. verifique que sen 2 a = sen 20.

tan23x - 1

h € i ¡Mi) 1 + eos 21

1 + tan2 0

4 tan 2x tan2 2x - 1

fl - tan21 1

2unî

51.

1 — tan2 0

__ 1 - eos S x , _ ' •' 52. ------------------ sen 2 x eos 2x

ilorobícnidoa:

tía)

1 + tan2 X

eos4 0 —sen4 <

| (c) 2sen jicos ±x

í*

2 tan x

k an ; = y y sen/ < 0; encuentre eos ± /

I t y o n 2! - sen2x

547

En los ejercicios 45 a 52, pruebe la identidad

K ienr-1 y « » / < 0; encuentre tan i / y m t > 0 : cncucnlre^

IP fN T lP A P iS D i VALOR M Ú iT IW I

(b) ± y j L ± eos 41

2 - eos 2x sen x

61. Una partícula se mueve a lo largo de una línea rec ta de acuerdo con la ecuación de movimiento s = 12 eos2 4t - 6. donde s centímetros es la distancia dirigida de la partícula desde el origen a los t se gundos. (a) Muestre que el movimiento es armóni co simple definiendo s mediante una ecuación de la

546

CAPÍTULO 9


forma s « a sen(ht + c). (b) Determ ine la am pli tud y la frecuencia del movimiento. 62. Haga el ejercicio 61 considerando s = 5 - 10 sen2 2/. 63. Un péndulo de 10 cm de longitud oscila de modo que 0 es la m edida en radianes del ángulo form ado por el péndulo y una recta vertical. Dem uestre que el número de centím etros en la altura vertical del extremo del péndulo por arriba de su posición más baja es 20 se n 2 ^ 0.

9.4

IDENTIDADES PARA EL PRODUCTO, SUMA Y DIFERENCIA DE SENO Y COSENO OBJETIVOS

1. A prender y aplicar las identidades del producto del seno y coseno. 2. A prender y aplicar las identidades de la suma y diferencia dd seno y coseno. 3. E ncontrar valores de función exactos a partir de las identidades p a ra el producto, suma y diferencia de seno y coseno. 4. Probar otras identidades a p artir de las identidades para d producto, suma y diferencia de seno y coseno. 5. Expresar la suma de dos funciones seno con la misma amplitud como el producto de funciones seno y coseno. En ciertas operaciones en Cálculo es necesario escribir una expresión que contenga el producto de las funciones seno y coseno como una suma o diferencia. Los medios para efectuar esto los proporcionan las identidades del producto de seno y coseno, las cuales se deducen de las identidades del seno y coseno de la suma y de la diferencia. Las identidades del seno de la suma y la diferencia son sen(x + y) =

sen x eos y

+

eos x sen y

sen(jc -

sen* eos y

-

eos x sen y

y) =

Si se suman los términos correspondientes de estas dos ecuaciones, se obtiene sen(x + y) +

sen(jr - y)

=

2 sen x eos y

y si se restanlos términos de la segunda ecuación de los términos corres pondientes de la primera, se tiene sen(;t + y) - sen(* - y) = 2 eos x sen y Estos resultados se presentan en las identidades siguientes.

IDENTIDADES PARA 11 PRODUCTO, SUM A Y DIFERENCIA PE S IN O Y COSENO

w

Identidades del producto de seno y coseno sen x eos y = | [sen(x + y) + sen(jc - y)] eos x sen y = j [sen(* + y) - scn(x - y)

otra coseno como la suma o diferencia de dos funciones seno, y son válidas para todos los números reales y ángulos x y y.

>


(a) De la identidad sen x eos y = ± [sen(* + y) + sen(jc - y)], sen 51 eos 51 = |[sen(5í + 3r) + sen(51 - 3r)J = ^(sen 8/ + sen 2i) (b) De la identidad eos x sen y = £ [sen(* + y) - sen(x - y)], eos 3/ sen 51 = ^[sen(3í + 51) - sen(3/ - 5t)] = ^[sen 8/ - sen(-2/)] = ^[sen 81 - (-sen 2/)] = ^(sen 81 + sen 21)

^

Las identidades del coseno de la suma y la diferencia son cos(x + y) = eos x eos y - sen* sen y cos(* - y) = eos ic o s y + sen* sen y Al sumar los términos correspondientes de estas dos ecuaciones, se tiene cos(* + y) + cos(x - y) = 2 eos * eos y y si se restan los términos de la primera ecuación de los términos corres pondientes de la segunda, se obtiene c o s (jc -

y)

-

c o s(jc +

y)

=

2 sen x sen y

De estos dos resultados se tienen las identidades siguientes.

C APÍTULO 9

TRIGONOMETRIA ANALITICA

Identidades del producto de seno y coseno eos x eos y = j [cos(jt + y) + cos(x - y)J sen* sen y = ~ [eos(* - y) - cos(* + y)]

La primera identidad expresa el producto de dos funciones coseno como la suma de dos funciones coseno, y la segunda identidad expresa el producto de dos funciones seno como la diferencia de dos funciones coseno. Ambas identidades son válidas para todos los números reales y todos los ángulos x y y.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 (a) De la identidad eos x eos y — \ [cos(* + y) + cos(* - y)], eos 46 eos 26 = \ [cos(40 + 2$) + cos(40 — 20)] = | (eos 66 + eos 26) (b) De la identidad sen * sen y - \ [cos(* - y) - cos(* + y)], sen 4# sen 26 = \ [cos(40 — 26) — cos(40 + 20)] = 5 (eos 26 — eos 60)

► EJEMPLO 1

4

D e t e r m i n a c i ó n d e l v a l o r e x a c t o d e l p ro d u c to d e lo s v a lo r e s d e la s f u n c io n e s s e n o y

co sen o

Determine el valor exacto de sen §24 n eos ¿24 n Solución

De la identidad sen * eos y = ¿ [sen(* + y) + sen(x - y)J*

s e n g i c c o s ^ n = |[se n (g ít + ¿ tc ) + sen (g n - -* ) ] = j(sen g n + sen g ri) = -(sen j ti + sen | ri)

1 - V2* á

4

IDENTIDADES

p a r a e l p r o d u c t o , s u m a y d if e r e n c i a p e s e n o

► EJEMPLO 2

Y COSENO

551

Demostración do una ¡dontidad

Demuestre la identidad (sen 2/)(1 + 2 eos /) = sen t + sen 2 1 + sen 31 Solución Se inicia con el miembro izquierdo. Después de eliminar paréntesis, se aplica la identidad del producto de seno y coseno para sen x eos y. (sen 2 f)(l + 2 eos t) W sen 2 / + 2 sen 2 1 eos / = sen

2t

+ 2 • j[sen( 2 / + f) + sen(2/ -

/)]

= sen 21 + (sen 3t + sen /) = sen t + sen 2 1 + sen 31

4

Las identidades del producto de seno y coseno puedenutilizarse para escribir una suma o una diferencia de funciones seno y coseno como un producto. Para esto, se efectúan las sustituciones x +y = w En consecuencia,

x - y = z

y

(1)

(* + y) + (x - y) = w + z _w + z x = ——

(2)

También (x + y) - (x - y)

w - z

Ai sustituir de (1), (2) y (3) en las cuatro identidades del producto de seno y coseno, se obtienen las identidades siguientes.

Identidades de la suma y diferencia de seno y coseno

A P lT U L O

9

miQONOMKTlriA ANALÌTICA

La primera y tercera de estas identidades se denominan identida des de la suma del seno y de la suma del coseno, respectivamente Asimismo, la segunda y cuarta son llamadas identidades de la diferen cia del seno y de la diferencia del coseno, respectivamente. Las cuatro identidades son válidas para todos los números reales y ángulos w y ¿

D ad

J (a)E buje term gráfi

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 A ñn de escribir sen 8* + sen 4x como un producto, se aplica la identi dad de la suma del seno y se obtiene

Soli (a)

(8* + 4jc"| (*x - 4jA eos 2 V y k. > = 2 sen 6x eos 2x

sen 8jc + sen 4x = 2 sen

(b)

► EJEMPLO 3

D e m o s tra c ió n d o u n a Id e n tid a d

Demuestre la identidad eos 2y + eos 4y = cot y sen 4y - sen 2y Solución Se comienza con el miembro izquierdo y se aplica la identidad de la suma del coseno al numerador y la identidad de la dife rencia del seno al denominador.

eos 2y + eos 4_y sen 4y — sen 2 y

2 eos

4y + 2 y \

M

i i

(Ay - 2y

:

_ 2 eos 3y cos(—y) 2 eos 3 y sen y

- cos("-.y) sen y _ eos y sen y = cot y En el ejemplo 5 de la Sección 9.2, se mostró que la suma de 0# funciones seno con el mismo periodo es una función seno que tien* ese período común. El ejemplo siguiente implica la adición de funciones seno que tienen períodos diferentes y la misma amplitud-

I perpe la sui las cu sum a /

las fn /ii - i la apa acuerc E físicos

IDENTIDADES PARA EL PRODUCTO, SUMA Y DIFERENCIA D f SENO Y COSENO

►

EJEMPLO 4

553

E x p r e s ió n d e l a t u r n a d e d o s f u n c io n e s s e n o c o m o e l p r o d u c t o d e fu n c io n e s s e n o y c o s e n o y d ib u jo d e la g r á f ic a

Dada /(/) = sen 4471/ + sen 3671/ (a) Exprese /(/) como el producto de funciones seno y coseno, (b) Di buje la gráfica de /considerando un período de la función coseno de terminada en el inciso (a) y compruebe la gráfica en la calculadora gráfica o graficadora. Solución (a) Al aplicar la identidad de la suma del seno al miembro derecho de la ecuación dada, se tiene r/.\ / 447T/ + 3&rrt\ ( 44tt/ — 36irt\ f ( t ) = 2 senl---------------- Icos!----------------- 1 = 2 sen 40777 eos 4irt (b) El período de eos 4tct es — , o 2 Por tanto, se desea obtener la grá4k fica d e /e n el intervalo [0, |]. Como -1 < sen 40nt ^ 1, la gráfica de/está entre las gráfi cas de g(t) = 2 eos 4ti/

y

h(t) = -2 eos 4tw

mostradas como curvas punteadas en la Figura 9.6. La gráfica de/ intersecta a la gráfica de g o h cuando sen 40rcr = ± 1; esto es, cuando 40tw = ± n + k ■ n, k e Z, o, equivalentemente, cuan do f = ¿ + ¿ • ¿ , á: G Z Con esta información, se dibuja la gráfica d e /e n [0, j] como se muestra en la Figura 9.6. Se obtie ne la misma gráfica en la graficadora. < La gráfica de la función del ejemplo 4 muestra el principio de su perposición. Este tipo de comportamiento ocurre siempre que se tiene la suma de dos funciones seno o coseno de la misma amplitud y para las cuales la diferencia de las frecuencias es pequeña comparada con la suma de las frecuencias. Por ejemplo, en el ejemplo 4, si se hace F(t) = sen 4471/ ¿ ,

= sen 2tc(22)/

G(t) = sen 36tw = sen 2tc(18)/

las frecuencias de F y G son n\ = 22 y ni = 18, respectivamente; m - m = 4 y ni + n2 = 40. De modo que la gráfica de F + G tiene la apariencia mostrada en la Figura 9.6, donde la amplitud varía de acuerdo con un patrón específico. El principio de superposición de ondas sonoras produce lo que los físicos llaman batidos. El concepto de la superposición de dos o más

554

CAPÍTULO 9

TR IG O N O M E TR ÍA ANALITICA_____________________________

•

'■

^

ondas tiene aplicaciones en los campos de televisión, radio y comuni caciones telefónicas, así como de electricidad cuando la corriente tiene una frecuencia elevada.

EJERCICIOS 9.4 En los ejercicios 1 a 4, escriba el producto como una suma o diferencia de valores de función.

En los ejercicios 17 a 20, verifique la igualdad 17.

sen 37* + sen 23° eos 37° + eos 23°

_1_

1. (a) sen 4* eos x (c) eos 4* eos x

(b) sen4xsen*

2. (a) sen 7x eos 3* (c) eos 7x eos 3*

(b) sen 7x sen 3*

18. eos 62° - eos 28° = -1 sen 62° - sen 28°

3. (a) sen 2x eos 6x (c) eos 2x eos 6x

(b) sen 2x sen 6x

19. sen 144° - sen 126° = 1 eos 144° - eos 126°

4. (a) sen 4x eos 5* (c) eos 4x eos 5*

(b) sen 4x sen 5x

20. sen 140° - sen 2(f _ eos 140° + eos 20® En los ejercicios 21 a 34, demuestre la identidad.

En los ejercicios 5 a 8, encuentre el valor exacto. (b) eos j

6. (a) sen | n eos j n

(b) sen ¿ t i s e n t i t

7. (a) eos | ti sen 17i

(b) sen ¿24 ti sen I24I 7C

8. (a) eos 24 it sen ^24 n

(b)

ti

eos j

21.

5. (a) sen ¿24 tc eos ¿tc 24

ti

22. eos 6x - eos 2x = -tan 4* sen 6x - sen 2x 23.

e o s ! 7t e o s y

En los ejercicios 9 a 12, escriba la suma o la diferencia como un producto de valores de función.

sen 3x + sen 7x = tan Sx eos 3x + eos 7x

sen 2ex sen 2 a +

sen 2 0 tan(« sen 20 tan(a

sen 2a + sen 20 . , _ , 24. --------------------- = tan(a + 0) eos 2a + eos 2 0

9. (a) sen 61 + sen 2t (c) eos 61 + eos 21

(b) sen 6/ - sen 21 (d) eos 6t - eos 21

25. eos t - eos 51 = 4 sen 31 eos t sen t

10. (a) sen 51 + sen 3/ (c) eos 5/ + eos 31

(b) sen 51 - sen 3/ (d) eos 5/ - eos 3/

26.

sen t - sen 3/ = 2 sen t sen21 - eos2 1

11. (■) sen 30 + sen 70 (c) eos 30 + eos 70

(b) sen 30 - sen 70 (d) eos 30 - eos 70

27.

sen 0 - sen 70 = 2 sen 30 2 sen2 20 - 1

12. (a) sen 40 + sen 60 (c) eos 40 + eos 60

(b) sen 40 - sen 60 (d) eos 40 - eos 60

28.

En los ejercicios 13 a 16, determine el valor exacto. 13. (a) sen 75° + sen 15°

(b) eos 75° - eos 15°

14. (a) eos 105° + eos 15°

(b) sen 105°-

sen 15°

15. (a) sen 165° + eos 195° (b) sen 165° -

eos 195°

16. (a) sen 195° + eos 345° (b) sen 195° -

eos 345°

- 0) + 0)

29.

sen 60 + sen 40 = 2 cot 0 sen 0 sen 50 sen y eos 2y - eos 3y sen 3y + sen 2y

1 + eos y 1 - eos y sen v

30.

sen 5y - sen 4y eos 5y + eos 4y

31.

sen x + sen 2x + sen 3* _ tan 2x eos x + eos 2r + eos 3x

\

9.5

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

555

47. Dos diapasones se activan al mismo tiempo y cada uno produce un sonido con la misma amplitud de F amA de 0.02 din/cm2. Si un diapasón vibra a 2 + eos 2/ - 2 eos 4í - coapresión 61 252 ciclos por segundo y el otro vibra a 248 ciclos L . sen2/« * 4' • “ " 32 por segundo, una ecuación de la onda sonora pro , 3 sen 2/ - sen 6/ ducida es i 34. senJ /c o s / a 32 tan 4x

*■

+ cos5j: + eos 7*

45 a 42, utilice el método del ejemplo hpara dibujar la gráfica de la función en el intervalo ¡ideado. Compruebe la gresca en la graficadora.

donde /( /) dinas por centímetro cuadrado es la dife rencia entre la presión atmosférica y la presión del aire en el tímpano a los / segundos. Escriba esta ecuación como el producto de una función seno y otra coseno. Compruebe la respuesta al verificar en la graficadora que las gráficas de ambas ecuaciones sean las mismas.

= sen 21 n/ + sen 19*/; [0, 2] 36. f[t) - eos 9jw + eos 1 Itw; [0, 2] = eos 9nt - eos 1Itw, [0, 2] 38./(/) = sen21íw - sen 19nt\ [0, 2] 39.

f(t) = 2 eos 80ju + 2 eos IOOtm; [0, j]

40. /[/) s 2 sen 80jw + 2 sen IOOtct, [0, |] 41. f(t) = 3 sen 95/ - 3 sen 105r, [0, j]

k

/( /) = 0.02 sen 504n t + 0.02 sen 496«/

1= 3 eos 95/ - 3 eos 105/; [0, f]

p ¡os ejercicios 43 a 46, verifique la igualdad si a , 0 |) ysonlos ángulos de un triángulo.

48. Una nota emitida por cierto instrumento musical es tal que el tono fundamental alcanza una frecuencia de 250 ciclos por segundo y el único sobretono im portante es el primero. Si las amplitudes de presión del tono fundamental y del sobretono son de 0.04 din/cm2 cada una, una ecuación de la onda sonora que emite tal instrumento para esta nota es /( /) = 0.04 sen 50071/ + 0.04 sen 1 000*/

P« sen 2a + sen 20 + sen 2y = 4 sen c< sen 0 sen y f ‘ cos2a + eos 20 + eos 2 y = - 1 - 4 eos oí eos 0 eos y tana + tan/í + tan y = tan a tan 0 tan y & a + sen/? - sen y = 4 sen j a sen y 0 cos^ y

r >*<

donde/( /) dinas por centímetro cuadrado es la dife rencia entre la presión atmosférica y la presión del aire en el tímpano a los / segundos. Escriba esta ecuación como el producto de una función seno y otra coseno. Compruebe la respuesta en la grafica dora al verificar que las gráficas de ambas ecuacio nes sean las mismas.

FUNCIONES t r i g o n o m é t r i c a s in v e r s a s o b j e t iv o s

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Definir la función seno inverso. Definir la función coseno inverso. Definir la función tangente inversa. Definir la función cotangente inversa. Definir la función secante inversa. Definir la función cosecante inversa. Dibujar las gráficas de las fúnciones trigonométricas inversas.

9 t b iq o NOM ITlbA ANALÍTICA

8. C alcular valores de las funciones trigonométricas inversas en una calculadora. 9. E ncontrar valores de función exactos que implican funciones trigonom étricas inversas. 10. P robar identidades que implican funciones trigonométricas inversas. 11. Resolver enunciados de problem as cuyos modelos matemáticos implican funciones trigonométricas inversas.

Antes de iniciar el estudio de las funciones trigonométricas inversas, si lo desea, puede revisar la Sección 6.1 donde se introdujeron las fun ciones inversas. Se mostró ahí que una funci.ón uno a uno tiene una in versa, y se aplicó la prueba de la recta horizontal para determinar si una función es uno a uno. La Figura 9.7 muestra la gráfica de la función seno. Ésta no es uno a uno porque cada número de su contradominio es el valor de fun-

y

y = sen x FIGURA 9.7 ción de más de un número de su dominio. Por tanto, la función seno no tiene inversa. Sin embargo, observe en la Figura 9.7 que en el inter valo [-^ 7 t , ^ n], cada recta horizontal intersecta esta porción de 1« gráfica en no más de un punto. De modo que de la prueba de la recta horizontal, la función F para la cual F(x) = sen x x

vURA 9.8

y

W

es uno a uno y, por tanto, tiene una función inversa. El dominio de F es el intervalo cerrado ( - ^ n , i ic ], y su contradominio es el intervalo cerrado [-1, 1]. La gráfica de F se presenta en la Figura 9.8. La inversa de la función definida por (1) se denomina función seno inverso y * denota por el símbolo sen-1. A continuación, se presenta la definía n formal.

9.5

DEFINICIÓN

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVIRSAS

557

L a f u n c ió n se n o in v e rs o

La función seno inverso, denotada por se n '1, está definida como sigue: y - senx

si y sólo si x = sen y y —i .* < y < i *

El dominio de sen-1 es el intervalo cerrado [-1 , 1], y su contrado minio es el intervalo cerrado [ - • n , £ n ). Para dibujar la gráfica de la función seno inverso, sea f(x ) = sen-1 x La Tabla 1 proporciona valores de/(x) para algunos valores espe cíficos de x. La gráfica se muestra en la Figura 9.9. Puede verificar esta gráfica en la calculadora gráfica o graficadora.

Tablai * > h l

sen-1 x

7

X

i —rir

2

► EJEMPLO 1

i — r1T

3

1

2 1 —-rTT 6

0

1 2

0

- 7T

1 6

3

■

1 3

1 TT 2

X TT

Dibujo do las gráficas do funcionas quo Implican sono Invorso

Encuentre el dominio y el contradominio de la función definida me diante la ecuación y dibuje la gráfica de la función. Verifique la gráfi ca en la graficadora. (a)/(jt) = sen"1± x

(b) g(x) = 2 s e n 3x

Solución (a) Como el dominio de la función seno inverso es [-1, 1], puede obtenerse el dominio de /escribiendo la desigualdad -1 < j x < 1 como - 2 £ x £ 2. De modo que el dominio es [-2, 2], y su con tradominio es [ - j n , ^ ff]. Con esta información y al localizar al gunos puntos, se obtiene la gráfica, la cual es acorde con la de la graficadora, ésta se muestra en la Figura 9.10. (b) Para el dominio de g, se escribe la desigualdad - 1 < 3 jc < 1 como - ~ £ x £ j. Por tanto, el dominio es [- j, >]. Debido a que el contradominio de la función seno inverso es [ - ~ n , - k], el contradominio de g es [-ft, n]. Después de localizar algunos puntos

SSI

CAPÍTULO 9 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA se obtiene la gráfica, la cual es acorde con la de la graficadora. Ésta se muestra en la Figura 9.11. ^ El uso del símbolo - 1 para representar la función seno inverso hace necesario denotar el recíproco de sen x como (sen jr)~l para evitar confusiones. Una convención similar se aplica cuando se utiliza cual quier exponente negativo con una función trigonométrica. Por ejemplo,

------=— = (sen x ) ~2 sen2 x

-------- = (s e n * ) -1 sen x

1—1 ,1] por [-«, n] g(x) = 2 sen-' 3x F IG U R A 9.11

— — = (cosí)-1 eos 3 x

y así sucesivamente. La terminología arco seno suele utilizarse en lugar de seno inverso, y la notación are sen x puede emplearse en vez de sen-1 x. Esta nota ción probablemente se deriva del hecho de que si r = are sen u, enton ces sen t - u, donde t unidades es la longitud del arco de la circunferencia unitaria para el cual el seno es u.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 (b) are sen —¡=- = — n

(a) sen_,-p= =

v2

Vz

(c) sen-1

= — n 4

(d )

4

--JC «

are sen

4

Se pueden obtener aproximaciones de los valores de la función seno inverso en la calculadora utilizando la tecla

sen

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Para determinar sen-l 0.8724 en la calculadora, primero se activa el modo de radianes. Después se introduce 0.8724 y enseguida se oprime la tecla sen-1 , obteniéndose sen-» 0.8724 *

1.060

De la definición de la función seno inverso sen(sen ♦* x) = x

para x en [ -1 , 1]

sen '(sen y ) m y

para y en [ - j w, { k]

observe que sen “‘(sen y ) & y si y no está en el intervalo Por ejemplo,

í i *r » . i Jn

9 .5

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS IMVIRSAS

3 it = sen se n -1f sen -7 l

4

J

1

12

y

sen-1fsen -7 11 = sen-1f 1 'l l 4 J <

= "7 TI 4

► EJEMPLO 2 Encuentre: (a) eos[sen FIGURA 9.12

Solución

= cos|

4*

Determinación de valeret de función que Implican teñe Inverte ¿)J; (b) sen "'(eos | n).

(b) sen“

V5

Tabla2 X

eos

7r

Ir*

5 6n 2 1* 1

2

jt ~2 0

r

11 2

Í4f 3*

3

1

2

2

1x

¡ -1

TT

El coseno no tiene función inversa porque no es uno a uno. Para definir la función coseno inverso, debe restringirse el coseno al inter valo [0 , 71]. Considere la función G definida por G(x) =

c o s jc

0 £ x £ n

El dominio de G es el intervalo cerrado [0, Jt], y su contradominio es el intervalo cerrado [-1, 1]. La gráfica de G se muestra en la Figura 9.12. En la prueba de la recta horizontal se observa que G es uno a uno. Por tanto, tiene una función inversa denominada función coseno inversa y denotada por eos ■*.

2

,^ 1

1

Com o el contradominio de la función seno inverso es = - l- n .

, (a) eos sen

V

5 59

_

0 DEFINICIÓN

L a f u n c ió n c o s e n o in v e r s a

La f u n c ió n c o s e n o i n v e r s a , denotada por eos-1, se define como sigue: y = eos "* x

* m eos-« x

9.13

si y sólo si x = eos y

y

0 < y £ tí

El dominio de eos-1 es el intervalo cerrado [-1, 1], y su contrado minio es el intervalo cerrado [0, tü). La Tabla 2 proporciona valores de eos-1 x para algunos valores particulares de x. A partir de ellos se obtiene la gráfica de la función coseno inversa mostrada en la Figura 9.13. Compruebe esta gráfica en la graficadora. La función coseno inverso también se conoce como función arco coseno, y la notación are eos x puede utilizarse en lugar de e o s x.

60

CAPÍTULO 9 TRIGONOMETRÍA ANALITICA

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 , 1 1 W c o r '^ - j *

1 l ( b ) a r c c o s ^ = = ¿ ff

De la definición de la función coseno inversa c o s ( c o s ~ 'jc ) = x

p a r a x e n [ - 1, 1]

eos *'(cos y) ~ y

para y en [0, n)

Observe que existe otra vez una restricción sobre y a fin de tener la igualdad eos-1(eos y) = y. Por ejemplo, como J 11está en [0, n)

4W Sin embargo, eos 'Ic o s “ ir) = eos ‘( —

y c °s“ ,^ - « y = C 0s,^ c j

3 4

1 4

= -ir

►

EJEMPLO 3

= - 7T

Determinación d e un valor tío función acorto qu e Implica coseno Inverso

Determine el valor exacto de sen[2 cos_l(- -)]. Como se desea obtener una función trigonométrica del número cos~*(-1), t representará este número.

S olución

t = cos_1( —| ) Debido a que el contradominio de la función coseno inversa es [0, x] y eos t es negativo, t está en el segundo cuadrante. Así, eos t =* ~ f

y

\ir < t < ir

Se desea encontrar el valor exacto de sen 21. De la identidad del seno de valor doble, sen 2t = 2 sen t eos f. En consecuencia, se necesita calcular sen r. De la identidad sen2 1 + eos11 = 1, y como sen t > ya que f está en (± n, n ), sen t = N l - c o s *7. De donde, sen t = ^1 - (-|) J _

4

•

a

9.5

FUNCIONES TWGONOMÉTWCAS INV1RSAS

SAI

Por tanto, sen 2t = 2 sen t eos t 3>

a partir de lo cual se concluye que sen[2cos_,(-j)] = - f j

►

EJEMPLO 4

D e m o stra ció n d o u n a le io n tid a d

Demuestre la identidad eos -1 x = j 7C - sen_l x Solución

para | x | 5Í 1

Sea x en [-1, 1], y sea

l = cos( ^ ir —sen " 1 x)

(2)

Al aplicar la fórmula de reducción cos(| n - v) = sen v con v = s e n x en el miembro derecho de (2), se obtiene l = sen(sen"' *) Como x está en [-1, 1], sen(sen -1 x) = x\ por tanto, t

= x

Al sustituir t por x en (2), se tiene x = co s(| 7r - sen “ 1 x)

(3)

Debido a que - £ it < sen “l x £ j w, al sumar - j n a cada miembro, se obtiene —7r < —3 tt + sen“ 1 x S 0 Si se multiplica cada miembro de esta desigualdad por -1 y se invierte el sentido de los signos de desigualdad se tiene 0 ^ 5 7r - sen“ 1 x ^ i t

W)

De (3), (4) y la definición de eos-1, se deduce que eos “ 1 x = \ tt — sen “ 1 x que es lo que se deseaba probar.

para | x | ^ 1 <

Observe en la solución del ejemplo 4 que la identidad depende de considerar el contradominio de la función coseno inversa como [0 , n]. Para obtener la función tangente inversa, primero se restringe la función tangente al intervalo abierto ( - j n , j n). Sea H la función de finida por

5 62

CAPÍTULO?

H(x)

tan x

i Tt < x < Jir

El dominio de H es el intervalo abierto (- i n , i ic), y su contradomi nio es el conjunto R de los números reales. Su gráfica se muestra en la Figura 9.14. De la prueba de la recta horizontal, H es uno a uno. Por tanto, tiene una función inversa, denominada función tangente inversa y denotada por tan “•

DEFINICIÓN

La función tangente inversa

La función tangente inversa, denotada por tan como sigue:

se define

y = tan-' x si y sólo si x = tany y - \ n < y < \ x

El dominio de tan es el conjunto R de los números reales y el contradominio es el intervalo abierto (- j n , | n). La Figura 9.15 muestra la gráfica de tan_l. Verifíquela en la graficadora. La función tangente inversa suele referirse como la función arco tangente y la notación are tan x se emplea en lugar de tan ’ x.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 (a) tan

VF = —n (b) are tan

<3

= - —71 (c) tan-10 = 0 4 o

De la definición de la función tangente inversa

FIGURA 9.15

tan(tan_l x) = x

para x enR

tan~'(tany)-= y

parayen (-^rc, jn )

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 tan_,(tan j7r) = \ tt Sin embargo, tan~'(tan * tt) = tan- l( - l ) m - j7T

y

tan_l[ta n (-íir)] = ' í f

9.5

►

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVIRSAS

EJEMPLO 5

563

DetermintKión de un valor do función exacto que im plica arco ta n g en te

*

Encuentre el valor exacto de secfarc taní-3)J. Solución Se resolverá este problema aJ considerar are tan(-3) como un ángulo. Sea 0

=t are tan(-3)

Debido a que el rango de la función arco tangente es (- j n , - n), y como tan 9 es negativo,- - n < 0 < 0. De modo que

0 = -3

tan

y

—{ir < 0 < 0

La Figura 9.16 muestra un ángulo 0 que satisface estos requerimien tos. O bserve que el punto P elegido en el lado terminal de 0 es (1, -3 ). Del teorema de Pitágoras, r es V i2 + (-3 )2 = VlO. Por tan to, sec 0 = VÍO. En consecuencia, sec[arc tan(-3)] = VTo~

► EJEMPLO 6

<

Solución del enunciado de un problema cuyo modelo matemático Implica la función tangente inversa

Un cuadro de 7 pie de altura se coloca en una pared con su base a 9 pie sobre el nivel de los ojos de un observador. Suponga que el observador está a x pies de la pared y que 0 es la medida en radianes del ángulo subtendido por el cuadro en los ojos del observador, (a) Defina 9 como una función de x. Determine 0 cuando (b) x = 10: (c) x = 12 y ( d ) x = 15. Solución En la Figura 9.17, a es la medida en radianes del ángulo subten dido por la porción de la pared que está entre el nivel de los ojos del observador y la base del cuadro. Además,

(a )

a + 0 * P donde 0

=

P

-

Oí

De la identidad de la tangente de la diferencia. tan B — tan a tan 0 = - — --------— -----1 + tan p tan a Observe de ja Figura 9.17 que

564

CAPÍTULO 9


AI sustituir estos valores en la expresión para tan 0, se tiene 16 9 tan 0 —

i +

x

x

\6 x — 9 x x 2 + 144 Ix x 2 + 144 Por tanto, Ix x 2 + 144

0 = tan" (b) Cuando x = 10,

(c) Cuando x = 12, 70 100 + 144

0 = tan"

= 0.2794

84 144 + 144 = 0.2838 — tan"

(d) Cuando x = 15,

^ = t3n

105 225T144

= 0.2772

ñ

<

En el ejemplo 6 cuando x es grande (esto es, cuando el observador está muy lejos de la pared), 0 es pequeño. Conforme el observador se acerca a la pared, 0 aumenta hasta que alcanza un valor máximo. Des pués, el observador se acerca aún más a la pared, 0 se vuelve más pe queño. En Cálculo puede determinarse el valor de x que hará que 0 sea máximo. Así puede determinarse a qué distancia de la pared deberá pararse el observador, para que el ángulo subtendido por el cuadro en los ojos de éste sea el máximo. Cuando 0 es un máximo, el observador tiene la “mejor vista” del cuadro.

► EJEMPLO 7

Solución cM enunciado do un problema cuyo m odelo m atem ático Implica la fuiiclón ta n g en te In v e n a

Utilice una graficadora para estimar, con precisión de pies, a qué dis tancia de la pared debe situarse el observador del ejemplo 6, para tener la “mejor vista” del cuadro. (0.20] por [0.0.41 0 m tan1— Z*—

Solución

La Figura 9.18 muestra la gráfica de

Ix

9.3

FUNCIONIS TWOONOMÉTTMCAS INVIR3A3

565

en el rectángulo de inspección de [0, 20] por [0, 0.4]. AI emplear el rastreo y aumento de la graficadora se estima que el valor máximo de 0 ocurre cuando x = 12. Conclusión: Con precisión de pies, el observador debe situarse a 12 pie de la pared para tener la mejor vista del cuadro. ^ ■. . -i Resulta que la estimación del ejemplo 7 es el valor exacto de x ob/ / - tenida mediante técnicas de Cálculo. Esto es, la mejor vista del cuadro J l áx ocurre cuando el observador está exactamente a 12 pie de la pared. Antes de definir la función cotangente inversa, se volverá al ejem plo 4 en donde se comprobó la identidad eos-1 x = -^71 - sen-1 x

para | x | £ 1

Esta identidad puede utilizarse para definir la función coseno inverso, y puede demostrarse que el contradominio de eos-1 es [0, ti]. Este pro cedimiento se aplica al tratar la función cotangente inversa.

DEFINICIÓN

L a f u n c ió n c o ta n g e n te in v e rs a

La fu n c ió n c o ta n g e n te in v e r s a , denotada por cot-1, se define como cot-1 x = |tc - t a n -1* donde x es cualquier número real

En la definición, el dominio de cot-1 es el conjunto de todos los números reales. Para obtener el contradominio, se escribe la ecuación de la definición como tan-1 x = \ i r - cot-1 x

(5)

Como —\ i r < tan-1 x < \ i r y al sustituir de (5) en la desigualdad se tiene 5

ir < \ ir — cot-1 x < \ ir

Si se resta ^ n de cada miembro, se obtiene —ir < —cot-1 jc < 0 Ahora, al multiplicar cada miembro por -1 y al cambiar el sentido de los signos de desigualdad, se tiene

566

CAPÍTULO 9^ TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

Por lanío, el conlradominio de la función cotangente inversa es ei intervalo abierto (0, n). Su gráfica se presenta en la Figura 9.19.


FIGURA 9.19

(b) tan"'(—1) = —Jir

(a) tan

ir

(c) cot

ir — tan

11

(d) c o t'H “ l) = \ir - tan"'!-!)

ir — ¡ir

* \w - (-J » )

ir

m \it

► EJEMPLO

8

D eterm inación d e un va lo r d e función exacto q u e im p lica c o ta n g e n te Inversa

Determine el valor exacto de cos[cot"' | + c o f'(—*g)J. Solución

Sea a = cot-11 y P = c o t - i ) . Entonces

cot a = |

y

cot p = - A

y

0< a 3ir <

< { ir p < ir

Se desea determinar cos(a + p). De la identidad del coseno de la suma, cos(a + p) = eos a eos p - sen a sen p

(6)

A fin de determinar sen a y eos a , véase la Figura 9.20, la cual mues tra un ángulo (X del primer cuadrante para el cual cot a = J. De la fi gura. sen a =

5

eos a = |

(7)

La Figura 9.21 muestra un ángulo p del segundo cuadrante para el cual cot P = De la figura, sen p - {$

(9)

Si se sustituye de (7) y (8) en (6), se tiene

(-5.12)1

12

eos p = - ^

cos(ar + P) = í ( “ &) “ jOB)

\l3 «vi -3

o

FIGURA 9.21

s _ U 65

4

No hay un acuerdo universal que prevalezca al considerar los coatradominio de las funciones secante y cosecante inversas. Sin embarf I dy go, en Cálculo, ciertas operaciones se simplifican si lafunción secad* 1 dr *nversa se define de modo que si x £ - 1, entoncesn £s e c 1* < j* -------- (véase el ejercicio 67). Así. se tiene la siguiente definición.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

_ 9 .5

DEFINICIÓN

547

L a f u n c ió n s e c a n te in v e r s a

La función secante inversa, denotada por sec*1, se define como: y = sec-1 x

*f El dominio de sec-1 es (-oo, -1] U [1, +oo), y su contradominio es el conjunto [0, j

r

2 I

W -i 0

t i)

U [tc, | n). La Figura 9.22 muestra la gráfica

de sec-1. De \a definición de la función secante inversa

y = scc'1x

secísec-1 x) = x

paraje en (-oo, -1 ) U [ ! , + » )

sec _,(sec y) = y

para y en [0, j n) U [n, | it)

FIGURA 9.22 Ahora se definirá la función cosecante inversa en términos de la función secante inversa.

DEFINICIÓN

L a f u n c ió n c o s e c a n te in v e r s a

La fu n c ió n c o s e c a n te i n v e r s a , d e n o ta d a p o r e s e -1, se define como e s e 1x = | n - sec- 1x

p a ra

|x | > 1

y

1

o^ • • • >

De la definición, el dominio de ese-1 es (-o ^ -1 ) U (1, +oo). El contradominio de ese ~l puede determinarse de manera semejante a la empleada para encontrar el contradominio de cot-1. El contradominio

K

de ese-1 es (—7t, - - t c ] U (0, jre], y se le pedirá mostrar esto en el ejercicio 68. La gráfica de ese-1 se presenta en la Figura 9.23.

J 1

a*

t> EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 (a) sec-1 2 = \

1

.......

tt

(c) ese “ 1 2 = 5 7r — sec -1 2

(b) sec"'(—2) = f tt (d) ese- '( —2 ) = {ir — sec~'(—2 )

568

CAPÍTULO 9

TRIO O N O MITRÍA ANALÍTICA

EJERCICIOS En los ejercicios 1 a 6, determine el valor de función exacto. No emplee calculadora.

1.

(a) sen-1 i (c) eos 1 5

2.

. (a) sen“>y---2

.

(c) eos

V3

-,V3 2

3. (a) tan-1

1

14. Dado x - are eos j, encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones siguientes: (a) sea (b) tan x, (c) cot x, (d) sec x, (e) ese x.

(b) sen- ‘( - J ) (d) cos"‘( - J )

15. Haga el ejercicio 13 considerando x = are sen(- ~).

(b) sen“1^ - —

16. Haga el ejercicio 14 considerando x = are cos(-1).

(d) cos"'í----- -

17. Dado y - tan ~l(—2), encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones siguientes: (a) sen y, (b) eos y, (e) cot y, (d) sec y, (e) ese y.

(b) tan~'(-V 3)

V3

(c) sec-1— V3 4. (a) cot-1— / *

V3 -i 2

(c) esc — V3

18. Dado y = cot“'( - t). encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones siguientes: (a) seo y, (b) eos y, (c) tan y, (d) sec y, (e) esc y.

2 (d) sec“1! ------V V3

19. Dado t = esc “'( - 1), encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones siguientes: (a) sea /. (b) eos t, (c) tan t, (d) cot t, (e) sec t.

(b) c o t-'(-V 3 )

2

(d) ese - i | -

V3

5. (a) sen-1 1 (d) csc- ,( 1)

(b) sen“'(—1) (e) sen-1 0

(c) ese

6.

(b) cos- , (—1) (e) eos“1 0

(c) sec-1

(a) eos-1 1 (d) sec"'(—1)

11 1

20. Dado t = sec"‘(-3), encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones siguientes: (a) sen i. (b) eos t, (c) tan /, (d) cot t, (e) esc /. En los ejercicios 21 a 46, encuentre el valor de función exacto.

21.

(a) sen '( s e n g i r ) (c) sen '( s e n f ir)

(b) sen '[sen(-¿ir)J (d) sen" '(sai 7 v)

22.

(a) sen '( s e n j- T r ) (c) sen' '( s e n f i r )

(b) sen"‘[sen(- j 7r)J (d) sen- '(senf v)

En los ejercicios 7 a 12, utilice una calculadora para aproximar el valor de la función. (c) eos“ 1 0.4882

(b) sen *(--0.4882) (d) eos"■'(’-0.4882)

8. (a) sen"110.2764 (c) eos“ ' 0.2764

(b) sen" '( - •0.2764) (d) eos" '(- -0.2764)

9. (a) tan" ' 0.4346

(b) tan“ '( - ■0.4346) (d) cot“ f - -0.4346)

7. (a) sen" 1 0.4882

(c) c o t' 1 0.4346

10. (a) tan“ ' 2.733 (c) cot-112.733

(b) tan“ '( - -2.733) (d) cot" l( - -2.733)

(b) sec'( >.083) 11. (a) sec" ' 2.083 (d) ese“ Kt 2.083) (c) esc"112.083 (b) sec" '( - 1.256) 12. (a) «ec- 1 1.256 CSC“ '( - 1.256) 1.256 csc-11 (d) (c) 13. Dado x s are sen encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones siguientes: (a) eos x, (b) tan x, (c) cot x, (d) sec x, (e) ese x.

23. (a) eos ''( e o s } 7r ) (c) eos - , ( c o s 5 7r)

(b) cos"'[eos(-j»r)] (d) eos “'(eos 5ir)

24. (a) eos - l ( c o s ¿ 7r ) (c) eos'“ '( e o s \ir)

(b) cos"'[cos(-ítr)] (d) eos- ‘(eos $v)

25. (a) tan'~'(tan ¿ w) (c) tan'''(tan \ir)

(b) tan"'[tan(-j»’)J (d) tan"'[tan

26. (a) tan'"'(tan j 7r) (c) tan" '(tan 5ir) 27. (a) cot“'(cot g ir) (c) cot" '(cot l ir) 28. (a) cot- '(cot $ir) (c) cot '(cot 1 ir) 29. (a) sec '(sec \ir) (c) sec '(sec | ir)

(b) tan"l[tan(-j*’)I (d) tan- '[tan(-j*)J (b) cot- '[cot(-j*)J (d) cot"'[coc(” f (b) eot"'[cot(-¿*')J (d) cot- '[cot(-|^)J (b) sec-l[sec(~iir)J (d) sec"‘(sec f ir)

9.5 FUNCIONES TIUGONOMÍTUCASINVERSAS

! jo. (•) sec‘(scc jrr) | (c) sec~‘(scc ¡ir) F jl. (i) CSC''(esc ¿ w )

f íc I c s c 'Y c s c iír ) [#

coa8^nô

(if c s c -' (c s c iir ) (e) ac~ '(csc } i r )

# (1) tanisen 1)V ¡] oooBdenafc

(b) sec~‘[aec(- jw )] (d) sec~‘(sec ¡ir) (b) csc~'[csc(-¿ir)] esc (ese jfir)

(d )

(b) csc~'[csc(-}ir)] e s c '1(esc | t t )

(d )

(b) sen[tan " 1|V 5 j

[j4. (i) cos[tan'‘(-3)J (b) um[sec~‘(-3 )] JJ» (a) cosíare 5cn(- j)] (b) sentare c o s(- f)] jé. (i) tan[arc c o t(-1)] (b) eotfare tan(—1)]

. encuentreel 38. tan[2 sec~'(“ Í)J jresiones ap o to j , I Ij7. cos[2sen''(- £)J IJft salare sen} + are eos }] scc y. (e)csc> 4, coslue sin(- ¡f) + are sin j j (, encuentre el n b e g i J 4 rasiones siguen 1 f | I. cosfsen 1} + 2 sen_,( - j)] 142. tanftan"'(—|) - cos“'( - y V2)J D *ecv. (e)act 143. tan(arc tan ¡ - are sen j) i encuentre ehafe as resiones sípacae 1 J :44. tanjan: sec J + are csc(- jj)] 1-11 _

)cotr.(e/sec;. encuentreel viiora resoaes a p o b 11 1

r

e n a a tn e h é r * *

(b)sen''p0'íf (djsenl*8^ (d)*niiw r

6 0 . H a g a e l ejercicio 5 7 al c o n s id e r a r /( * ) -

e o s - ‘( e o s

61.

Resuelva este problema obteniendo un mo delo matemático que implique la fundón tan gente inversa, no olvide escribir una conclusión: Un letrero de 3 pie de altura se colocó en la pared con su base a 2 pie sobre el nivel de los ojos de una mujer que intenta leerlo, (a) Si la mujer está a x pies de la pared y 0 es la medida en radianes del ángulo que subtiende el letrero en los ojos de la mujer, defina 9 como una función de x. Determine 0 cuando (b) x * 2, (c) x = 3 y (d) x * 4. (e) Utilice una graneadora para estimar, con precisión de centésimos de pie, a qué distancia debe ubicarse la mujer de manera que tenga la “mejor vista” del le trero, es decir, de modo que el ángulo subtendido por el letrero en los ojos de la mujer sea un valor máximo. 62. (a) En el ejemplo 6, muestre que otra ecuación que define a 0 en términos de x es = « * .1' - x- c o t*-1 x

[41 senfeos' ' ( - } ) + 2 s e n '^ —j ) ] 147.

>cotr.(e)csa

i)

569

3

2

vio

vj

1

Compruebe: eos"1 - = = + eos _1 - 7 = = — n

4

B l Compruebe: 2 tan -1 j - tan ~l( - j) = 7 *

b los ejercicios 49 a 56, dibuje la gráfica de la fun cióny verifiquela en la calculadora. P /W - 2sen"'x P g(x) - ire sea2x P. gix) = are tan ¿x

Utilice la ecuación del inciso (a) para encontrar 0 cuando (b)jrs 10, (c)x=* 12, y (d)x= 15. 63. Una pintura de w pies de longitud se colocó en una pared con su base a z pies arriba del nivel de los ojos de un observador. Si el observador está a x pies de la pared y 0 es la medida en radianes del ángulo que subtiende el cuadro en los ojos del ob servador, muestre que

P /W * J tan“1x V Kx) = eos"13x P Kx) = 2 eos'1 N*ftx) * J are senU + 3)

(d) eos'

d)**

»i fl(x )* 3 ie n -,U - 2 ) f- ta) Dibuje la gráfica de/(*) = sen(sen x) y com pruébela en la graficadora. ¿Cuál es (b) el dominio (c) el contradominio d e/?

(d) •**

Hagael ejercicio 57 considerando A*) * coicos*1x). I *Hagael ejercicio 57 al considerar A*) * ten '(sen x). 0

#1

n t~ ' 0 =- rcot“

-- ----------- COT

W+ l

y

w w m w t

'

570

CAPÍTULO 9


64. En el ejercicio 63 compruebe que otra función que define a 0 en términos d ew .zy x es 6 = tan"

+ wz + z'

íljh En los ejercicios 65 a 67, una expresión alge''3 3 braica en la variable x se pone en la forma de una expresión trigonométrica en la variable 0 median te una sustitución que implica una función trigonomé trica inversa. Este tipo de sustituciones se emplea en Cálculo como una técnica de integración, denominada sustitución trigonométrica, con el fin de determinar ciertas integrales indefinidas.

9 .6

65. Muestre que la sustitución 0 - sen "'(y*) en la ex presión V9 - x 2 proporciona 3 eos 0 y expijqug cómo se aplica el dominio de 0. 66. Muestre que la sustitución 0 = tan_,(¿jr) en la ex presión y x i + 4 proporciona 2 sec 0 y explique cómo se aplica el dominio de 0. 67. Muestre que la sustitución 0 • sec~‘(|x) en la ex presión y x 2 - 25 proporciona 5 tan 0 y explique cómo se aplica el dominio de 0. 68. Compruebe que el contradominio de ese-1 es

j?c] U (0, j*J

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS OBJETIVOS

1. Resolver ecuaciones trigonométricas que contienen funciones trigonométricas de números reales. 2. Resolver ecuaciones trigonométricas que contienen funciones trigonométricas de ángulos. 3. Resolver enunciados de problemas que tienen una ecuación trigonométrica como modelo matemático. En las primeras cuatro secciones de este capítulo se consideraron las identidades trigonométrica^ las cuales son ecuaciones que se satisfa cen para todos los números reales, o ángulos, en donde cada miembro de la ecuación está definido. Ahora se discutirán ecuaciones trigono métricas condicionales, las que se satisfacen únicamente poT algunos valores particulares de la variable. Los métodos empleados para encontrar soluciones de ecuaciones trigonométricas son semejantes a los utilizados en la resolución de ecuaciones algebraicas. Sin embargo, aquí primero se solucionará para un valor de función trigonométrica en particular. Como con las ecua ciones algebraicas, se obtiene una sucesión de ecuaciones equivalentes hasta que se tiene una ecuación para la cual el valor de función trigo nométrica es evidente. Las identidades trigonométricas son útiles para obtener las ecuaciones equivalentes.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Para resolver la ecuación 2 sen . * - 1 = 0

9.6

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

371

para 0 £ x £ i n, primero se resuelve para sen jc: 2 sen x = 1 i 2

► EJEMPLO 1

Solución d»

una ecuación trigonométrica

Encuentre la solución de la ecuación si 0 ^ x <* ^ n.

(a)

(b) 2 eos2 x - I = 0

tan2 * - 3 = 0

Solución (a)

tan2 x — 3J j 0

(b) 2 eos2 x - 1 = 0

tan2 jc = 3

eos2 x — \

Puesto que 0 < * < ± n, tan jc > 0; así

Puesto que 0 < x < j k , eos jc > 0; así

tan x = V 3

eos x =

x = t a n '1 V 3

* v2 A

1 V2

JC= eos * —

► EJEMPLO 2

Solución d o una ecuación trigonométrica

Resuelva la ecuación cot2 x — 1 = 0 si 0 ^ jc í ir. Solución Primero se resuelve para cot x.

cot2 jc = 1 cot x = ±1 El valor de jcen [0, n] para el cual cot jc = I es ^ti. El valor de x en [0, n] parar el cual cot x = —1 es ^ ti. Por tanto, el conjunto solución de la ecuación dada es j *}. ^ Así como en las ecuaciones algebraicas, verifique las respuestas en la calculadora gráfica o graficadora al escribir, primero, la ecuación

572

CAPITULO 9 TRIGONOMKTRÍA ANALITICA

en la forma/(x) = 0 y, después al trazar la gráfica de f Las intercepciones x de la gráfica son las soluciones de la ecuación.

► EJEMPLO 3

Solución do una ocucKlón trigonométrica

Resuelva la ecuación 2 sen2 1 — eos f — 1 = 0 si 0
eos2 1 + eos r — 1 = 0 (2 eos t — l)(cos f + 1) = 0 2

2 eos í — 1 = 0

eos í = 5

eos t + 1 = 0 eos t = - 1

Los valores de / en [0, 2n ) para los cuales eos t = ^sonjxy|x.E I valor de t en [0, 2n) para el cual eos t = -1 es n. Por tanto, el conjun to solución de la ecuación proporcionada es {j it, k, | *}. La Figura 9.24 muestra la gráfica de f{t) = 2 sen2 / — eos t — 1 1 0 ,2 n ] p o r [ - 2 ,2 ]

f{t) = 2 s e n 1/ - eos t

FIGURA 9.24

en el rectángulo de inspección de [0, 2n] por [-2, 2] de la grañeadora. Al emplear el rastreo y aumento en la graficadora se verifican las solu ciones. 4

► EJEMPLO 4

Solución do una ecuación trigonométrica

Resuelva la ecuación 8

sen2 0 + 6 sen 0 — 9 = 0

si 0o £ 0 < 360°. Verifique en la graficadora. Solución Se factoriza el miembro izquierdo y se iguala cada faciof a cero. (2 sen 0 + 3)(4 sen 0 — 3) = 0 2 sen 0 + 3 = 0 4 sen 0 — 3 = 0 sen 0 = —\ sen 0 = j sen 0 = 0.75

__ 9.6

ECUAaONIS TRIGONOMETRICAS

573

El conjunto solución de sen 0 = - 1 es 0 debido a que | sen 9 1 <, I. Para la ecuación sen 9 = 0.75, se tiene un ángulo en el primer cuadrante y otro en el segundo. El ángulo del primer cuadrante es sen 0.75 * 48.6®, obtenido mediante la calculadora. El ángulo del segundo cua drante es 180° - 48.6° = 131.4°. De modo que el conjunto solución es {48.6°, 131.4°}. En la graficadora, en el modo de grados, se traza la gráfica de f(9)

I [
8sen2 0

=

+ 6 sen 0 — 9

en el rectángulo de inspección de [0°, 150°J por [ - 10, se la gráfica mostrada en la Figura 9.25.

► EJEMPLO 5

10] obteniéndo 4

Solución d o u n a ecuación trigonom étrica

Resuelva la ecuación sec2x — tan x — 1 si 0 £ x < 2n. Solución Se utiliza la identidad sec 2jc = 1 + tan2x la ecuación que resulta para tan x mediante factorización.

y

se resuelve

(1 + tan2*) — tan* = 1 tan2 jc. — tan x = 0 tan ¿(tan x — 1) = 0 tan x = x —0

0 x = ir

tan * — 1 = 0 tan x = x = \

tt

1 x = J tt

El conjunto solución es {0, £ tc, n, | n).

>

<


Suponga que se desea determinar todas las soluciones reales de la ecua ción del ejemplo 3. Esto es, se tiene 2

sen2 1 — eos f — 1 = 0

t E R

Se procede como en el ejemplo 3, y para t € [0, 2n) las soluciones son 1 7C, ^ n y 11. Puesto que el periodo del coseno es 2n. todas las solu ciones reales se obtienen al sumar a cada uno de estos números k • 2 t i , donde k es cualquier entero. Así, el conjunto solución para f € R es {f | 1 * i ir + * • 27r} U {r I t ¿ } ir + k • 2w} U {/ | t = ir + k • 27r} donde k € Z.

*

\PÍTULO 9

TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA__________________________________________

>


Para obtener todos los ángulos 0, que son soluciones de la ecuación del ejemplo 4, primero se determinan aquellos 0 para los cuales sen2 0 + 6 sen 6 — 9 = 0

8

y 0° £ 0 < 360°. En el ejemplo 4 estos ángulos se determinaron, siendo 48.6° y 131.4°. De modo que si 0 representa cualquier ángulo, el conjunto solución es {6 | 6 « 48.6° + k • 360°} U {6 \ 6 ~ 131.4° + k • 360°}

>

kSZ


La ecuación del ejemplo 5 es sec2 x — tan x = 1 y si x E [0, 2n), el conjunto solución es {0, j n, n, ¿ n}. Si no existe restricción sobre x , entonces como el periodo de la tangente es ti, todas las soluciones de esta ecuación están en el conjunto

{* | x = kir) U {x | x = \ tt + kir)

►

EJEMPLO 6

k E Z

4

D eterm inación d e todas las soluciones th una ecuación trigonom étrica

Determine todas las soluciones de la ecuación 4

sen 2 0 - 3 eos 0 = 0

si 0 es cualquier ángulo. Exprese las soluciones en grados. Solución

Se inicia al aplicar la identidad del seno del valor doble.

4(2 sen 0 eos 0) — 3 eos 0 = 0 eos 0(8 sen 0 — 3) = 0 eos 0 = 0

8 sen 0 — 3 = 0 sen.0 = | sen 0 = 0.375

El conjunto solución de eos 0 = 0 es [0 | 0 = 90° + k • 180 }• k E Z. A fin de obtener un ángulo del primer cuadrante para e cual sen 0 = 0.375, se puede emplear una calculadora y 0 * 22.0°. Un ángulo del segundo cuadrante tal que sen 0 = 0.3

9.6 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

575

es 180° - 22.0°, o 158.0°. Por tanto, el conjunto solución de sen 0 = 0.375 es

{e I e - 22.0° + k • 360°} U {9 I e = 158.0° + * • 360°}

k G Z

Así, el conjunto solución de la ecuación dada es {» I e = 90° + k • 180°} U {« I fl - 22.0° + k • 360°} U {» \ 8 ~ 158.0° + k • 360°} donde k € Z.

► EJEMPLO 7

S o lu ció n d o l o n u n c la d o d o u n p ro b le m a que Heno u n a e cu a ció n trig o n o m é tric a como m o d e lo m a te m á tic o

Un generador produce una corriente alterna de 30 ciclos descrita por la ecuación /(/) = 40 sen 607r(r — £ ) donde /(/) amperes es la corriente a los t segundos. Encuentre el menor valor positivo de t para el cual la corriente es de 20 ampere, y verifi que la respuesta en la grafícadora. Solución

Si I(t) se sustituye por 20 en la ecuación, se obtiene

40 sen 60ir(t —

= 20 \

sen 607t(í —

6Qu(t — j¡) = g 7T + k ’ 2 i t * -

1

o

60-7t(/ “ g ) = §7T + k • 2ir

k E Z

3- = J - + b . J _ 72

360

* 30

4 - Ir •. — t1* == -L — 10 + ~ k K 30 1t = — 30 + *k • — 30

El menor valor positivo de t obtenido a partir de t = ^ + k • ¿ ocu rre cuando k = -2 , este valor de t es El menor valor positivo de t obtenido a partir de t = ¿jj + k • ¿90 ocurre cuando k = -3, este valor . i 90 »• Conclusión: El menor valor positivo de t para el cual la corriente es de 20 ampere es r¡j¡. La Figura 9.26 muestra la gráfica de la ecuación dada así como la recta f(t) = 20 en el rectángulo de inspección de [0, 0.1] por [-50, 50] de la grafícadora. Al utilizar el rastreo y el aumento de la grafícadora, la coordenada t del punto de intersección de la curva y la recta es 0.011 con dos dígitos significativos. Este resultado es acorde con la respuesta <

CAPÍTULO 9

TRIGONOMETRIA ANALITICA

►

EJEMPLO 8

Solución do u n a ocuaclón trigonométrica a l aplicar la fórm ula cuadrática

Encuentre las soluciones de la ecuación tan t - cot t - 5 = 0

3

si 0 <, t < 2n. Solución

Si se sustituye cot t = jg jjrj* se obtiene una ecuación

equivalente que contiene únicamente una función. 3 tan t — cot t — 5 = 0 3 tan / ------------5 tan t

= 0

3

tan2 f ; # 1

— 5 tan t = 0

3

tan2 1 - 5

tan t - 1= 0

Esta es una ecuación cuadrática, la cual se resuelve aplicando la fórmu la cuadrática. tan t =

—b ± V¿>2 — 4¿jc ~ ~

( - 5 ) ± V ( - 5 ) 2 - 4(3)(—1) 2(3) ^ 5 ± V 37 6 ¿

5

± 6.083

6 5 + 6.083 tan t --------- ------6 « 1.847

5 - 6.083 tan t --------- ------6 » -0 .1 8 0

Para tan / » 1.847 se obtiene, en una calculadora, tan-1 1.847 ** 1.07. De modo que una solución es t « 1.07. Puesto que t está en [0,2*); otra solución es t * 3.14 + 1.07, es decir t « 4.21. Para tan t a -0.180. primero se determina en una calculadora una t para la cual / B tan 1 0.180; ésta es, t » 0.18. Existen dos valores de t en [0,2«) para los que tan / « 0.180; éstos son t « 3.14 - 6.18, o t - 2 %, y t 0 6.28 - 0.18, o t « 6.10. En consecuencia, el conjunto solución de U ecuación dada es {1.07, 2.96,4.21, 6.10}. 4 La ecuación del ejemplo siguiente implica una función tngonométrica de valor múltiple.

— F? 9.6 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

► EJEMPLO 9

577

Solución do u n a ecuación trigonom étrica quo Im plica u n a función d o valor m últiplo

Determine todos los valores de x en [0 , 2n) para los cuales tan 3x = 1 Solución Si 0 £ x < 2n, entonces 0 £ 3* < 6n. Por tanto, para determinar todos los valores de x en [0, 2n), que son soluciones de la ecuación, primero deben determinarse todos los valores de 3x en [0, 6n) para los que

tan 3jc= 1 Ellos son 3x = \ tt

3jc = f ir

3jc = 1 7r

3 x = ^ ir

3x = *} ir

3x = ^ ir

Al dividir ambos miembros de cada una de estas ecuaciones entre 3, se obtienen todas las soluciones de la ecuación dada en [0, 2n), éstos son x = jiir

>

x = y2 ir

x = \ir

x = jf-ir

x = jjn

x = } ir <


Para determinar todas las soluciones de la ecuación del ejemplo 9, primero se obtiene el valor de 3x en [0, n) que satisfaga la ecuación. Esto es 3x = i4 n

Debido a que el periodo de la tangente es n, todas las soluciones de la ecuación están dadas por 3x = <=>

x —

jir ir

k G Z

+ k - ir + k • 3 7r

► EJEMPLO 10

k E Z

Solución d o u n a ecuación trigonométrica quo Implica una función d e valor múltiple

Encuentre las soluciones de la ecuación 2 sen 20 eos 30 + eos 30 = 0 si0° £ 0 < 360°. Solución Al factorizar eos 30 en el miembro izquierdo de la ecua ción, se obtiene eos 30(2 sen 20 + 1) = 0 eos 36 — 0 2 sen 20 + 1 — 0 sen 26 ~ —J

u h

578

CAPÍTULO 9


P rim ero se en cu en tran las soluciones de eos 3 6 - 0. Como 0° £ $ < 360°, en to n ces 0 ° < 3 9 < 1 080°. Las soluciones son

36

= 90°

36 <= 2 7 0 °

36 = 4 5 0 °

36 = 6 3 0 ° 36 = 810°

30 *

99^

P or tanto,

6

6 = 90°

= 30°

6 = 150°

6 = 210°

0 =

A h o ra se d eterm in arán las so lu cio n es de la ecuación sen 20 s - i Como 0 o < 0 <

360°, en to n ces 0° < 26 < 720°. Las soluciones son

26 = 2 1 0 °

26 = 3 3 0 ° 26 = 570°

20 = 690°

D e donde, 0 = 105°

6 = 165°

6 = 285°

0 = 345°

P o r tanto, el c o n ju n to so lución d e la ecuación dada es {30°, 90°, 105°, 150°, 165°, 2 1 0 °, 2 7 0 °, 285°, 330°, 345°)

<

I

EJERCICIOS 9.6

2. (a) eos X —

1

=

0

ib )

2 eos x — 1 = tan x — 1 = 0

1

=

(b )

3 co t2 x —

0

1 =

4. (a) cot2 x — 3 =

0

(b )

5. (a) sec2 x — 1 =

0

(b )

4 eos2 x — 3 = ese2 x — 2 = 0

1

=

0

(b )

sec2 x — 2 =

0

7. (a) sen x eos

X

=

0

(b )

eos

=

0

8. (a) tan

X

=

0

(b )

sen x tan x SS 0

6. (a)

x

sec

9. (a) 4 sen3 x - 3 sen x = ib) tan3 x - tan x = 0

x

cot

X

0

0 0

0

10. (a) 4 eos3 x - eos x = 0 (b) 3 ese3 x - 4 ese x = 0

(/}

(b )

0

2—0

o

14. (a) 2 sen 2 1 + sen / — 1 = 0 ( b ) 2 eos2 1 + 3 eos t - 2 =

1

CSC2 x ~

+

a2

13. (a) 2 eos2 1 + 1 = ( b ) 2 sen2 1 — 5 sen t - 3 =

1. (a) sen A' — 3. (a) 2 sen 2 x

m

En /ay ejercicios 1 a 10, iencuentre la solución de la ecuación si 0 < jc■<- _i 1L

15. (a) sec2 1 - - 2 tan t = ( b ) tan 2 1 -- sec / = 1

(b )

0

0 0

11. (a) 4 sen2 / - 1 = 0

19. sen2 / + 5 eos / + 2 = 0

(b) 3 tan 2 / -

1=0

II

r* U

0

£n los ejercicios 11 a 18, determine las soluciones de la ecuación si 0 á t < 271. 12. ía) sec2 1 - 4 = 0

s,

1^

En los ejercicios 19 a 22, encuentre las soluciones ¿ la ecuación si 0 £ / < 2ji Compruebe las respuesw en la graficadora

(b) tan2 1 - 1 = 0

1

0

2 senf + sec t —

18. (a) tan / — cot / = (b) tan t + sec / =

0

0

16. (a) tan t + cot t + 2 = ( b ) cot2 1 + CSC t = 1 17. (a) sen t + c o s í =

0 0

ii

20. 3 sec2 1 + tan / — 5 = 0

M U í,

R , V

9 .6

22,10 eos21 ~ 4 eos í — 5 = O

L if¡ ejercicios 23 a 28. determine todos los ángulos ■ quesonsoluciones de la ecuación si 0° £ 0 < 360°. Ln/u/i* las respuestas en la graficadora.

53. 2 eos 36 sen 20 - sen 20 = 0 54. 2 sen 30 eos 30 = —1 55. tan 20 + 5 = 3 sec2 20 56. cot2 40> — 1 * esc 40

33. icos2 0 + 6 eos 0 - 8 = 0

En fos ejercicios 57 a 62, haga lo siguiente: (a) trace la gráfica de la función de cada miembro de la ecuación y determine si ésta es una identidad, (b) Si la ecuación es una identidad, pruébela algebraicamente. Si la ecua ción no es una identidad, resuélvala para todos los va lores de x en [0, 2lt) y compruebe las soluciones en la graficadora.

11 sen 0 + 2 = 0

¡J5.2*n20 - 3 sen 0 — 0

p. 2coa20+3cos0 + 1 = 0 §7. tan 0 - 3 cot 0 = 2 A 2 tan20 - sec 0 = 1 Kr ios ejercicios 29 a 34, encuentre todas las soluciorealesde las ecuaciones del ejercicio indicado. 1,0. Ejercicio 11

30. Ejercicio

57. cot x +- tan x — ese x sec x 58. 1 — tan2 x = tan x sec x

14

59. sen 3x - sen x = eos 2x

¡31. Ejercicio 15

32. Ejercicio

16

60. eos 4x + eos 2x = 2 eos x eos 3jt 61. sen2 4x + eos2 2x = 1

¡33. Ejercicio 19

34. Ejercicio

20

62. tan 2x — tan x = tan x sec 2x

n losejercicios 35 a 40, halle todos los ángulos 9 que |pn soluciones de la ecuación del ejercicio indicado, w t las soluciones en grados. I Ejercicio 23 fc Ejercicio 25 ■


Ejercicio 27 40.Ejercicio 28

P ke ejercicios 41 a 48, determine todos los valores (0, 2K) que son soluciones de la ecuación. ^ (a) tan 3x = - 1

(b) sen 3* = 5

1 (1) cot 3x = V 3

(b) eos 3 x = - i

f 5- (a) cot 4x = - V 3

(b) sec 5jc = 2

U* (a) cot4x * - 1

(b) ese 5x = V 2

|
(b) eos Jjc * —í

(•) coa2 2x * J

(b) sen \x = 1

l(») tan2 Jjr = 3

(b) ese \x ~ 2

](*) aec2 \x - 2

(b) cot \x * —1

P ejercicios 49 a 52, encuentre todas las solucio nóles de las ecuaciones del ejercicio indicado. f*"™ 041

50. Ejercicio 42

P * 00045

52. Ejercicio 46

579

En los ejercicios 53 al 56, encuentre todos los ángulos 0 que son soluciones de la ecuación jiO° S 0 < 360°.

¡A.) ta n * f- t a ñ í - 3 * O

Ijl. Ssen2^

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Los ejercicios 63 a 68 son enunciados de problemas que tienen una ecuación trigonométrica como modelo matemático. No olvide escribir una conclusión. 63. En un circuito eléctrico, la fuerza electromotriz es E(t) volts, donde E(t) = 2 eos 50iu. Encuentre el menor valor positivo de t para el cual la fuerza electromotriz es (a) 2 volts y (b) -2 volts, (c) Veri fique las respuestas para los incisos (a) y (b) en la graficadora. 64. Realice el ejercicio 63 considerando £(/) = 4 sen 120nt. 65. Un cuerpo suspendido de un resorte vibra vertical mente de acuerdo con la ecuación f ( t ) — 1 0 s e n |ir(f — 3)

donde f(t) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central a los t segundos y el sentido positivo es hacia arriba. Determine el va lor positivo menor de t para el cual el desplaza miento del cuerpo por arriba de su posición es (a) 5 cm y (b) 6 cm. (c) Compruebe las respuestas para los incisos (a) y (b) en la graficadora. 66. Haga el ejercicio 65 si/(O = 10 eos | n(t - |).

580

CAPÍTULO 9 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

67. Un cuerpo suspendido de un resorte vibra vertical' mente de acuerdo con la ecuación

y * 2 sen 4tt(/ + J) donde y centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central a los i segundos y el sentido positivo es hacia arriba, (a) Resuelva la ecuación para i. (b) Emplee la ecuación del inciso (a) para determinar los tres valores positivos meno res de t para los cuales el cuerpo está 1 cm arriba de su posición central, (c) Verifique las respuestas para el inciso (b) en la graficadora.

68. Una corriente alterna de 60 ciclos está descrita por la ecuación x = 20 sen 120n (i donde x am peres es la corriente a los / segundos, (a) Resuelva la ecuación para t. (b) Emplee la ecuación del inci so (a) para determinar los tres valorts positivos menores de / para los cuales la corriente es 10 im pere. (c) Verifique las respuestas para el inciso (b) en la graficadora. 69. Explique por qué la ecuación sen2 x - - * 0 tiene cuatro soluciones en el intervalo [-x , x] mientras que la ecuación jc2 - (sen"1*)2 = 0 tiene sólo dos soluciones en ese intervalo. Incluya las solu ciones en la explicación.

REVISION DEL CAPITULO 9 ► VISIÓN RETROSPECTIVA 9.1 Se destacó un resumen paso a paso de las suge

identidades para sen2 x y eos2 x en términos de eos 2x, se utilizaron para expresar una potencia par del seno o coseno en términos de valores de la función coseno con exponentes no mayores que 1, procedimiento útil en Cálculo. Otra sustitu ción útil en Cálculo, mencionada aquí, es la sus titución z = tan j x, la cual reduce una función

rencias para probar identidades trigonométricas y se aplicó a los ejemplos. Ciertos ejercicios y ejem plos requirieron la determinación de que una ecuación particular fuese una identidad.

9.2 Primero se obtuvo la identidad del coseno de la diferencia, obtenida al utilizar la fórmula de la dis tancia aplicada a puntos de la circunferencia unitaria. La identidad del coseno de la suma se dedujo de esta identidad. Las identidades del seno de la suma y la diferencia se derivaron de las corres pondientes del coseno al aplicar identidades de las cofunciones. Las identidades de la tangente de la suma y de la diferencia se dedujeron al emplear la iden tidad fundamental que expresa la tangente como la razón del seno al coseno. Se aplicaron las iden tidades de la suma y la diferencia para calcular valores de función exactos y para probar otras identidades. También se probó el teorema que permite escribir una expresión de la forma A sen bt ♦ B eos bt como a sen(bt + c).

9*3 Como casos especiales de las identidades del seno, coseno y tangente de la suma, se obtuvieron las identidades de valor doble. Después se em plearon estas identidades para derivar otras identi dades de valor múltiple. Se mostró cómo las

racional de sen x y eos x a una función racional de i 9.4

Se discutieron las identidades del producto de seno y coseno. Aunque no se utilizaron unto, como aquellas de las secciones 9.2 y 9.3, en oca siones son necesarias en Cálculo para escribir taia expresión trigonométrica que implica el producto de funciones seno y coseno como una suma o (fe* ferencia. También se trataron las identidades suma y diferencia de seno y coseno. En un ejem plo se aplicó la identidad de la suma de seno para expresar la suma de dos funciones seno, con dife rente período pero con igual amplitud, como d producto de funciones seno y coseno. La gráfio en ese ejemplo mostró el principio de superposi ción que tiene aplicaciones en varios campos, in cluyendo televisión, radio y comunicaciones telefónicas.

9.5

Se destacaron las definiciones y gráficas de U* funciones trigonométricas inversas. Se determina-

i

REVISIÓN PEI CAPITULO 9

ion valores de función exactos que implican estas «lociones y se probaron identidades concernien tes a ellas. Se enfatizó que la elección excepcional dd contradominio de la función secante inversa se fczo de modo que ciertas operaciones en Cálculo s e amplificaran. Un ejemplo mostró cómo la fun ción tangente inversa se puede utilizar para deter minar la posición de un observador que «oporciona la "mejor vista” de un objeto.

mC

'W

l' S

funciones trigonométricas inversas. Se mostró cómo obtener soluciones de ecuaciones trigono métricas cuando la variable se restringe a un in tervalo particular así como la forma de obtener todas las soluciones de una ecuación cuando no hay restricción sobre el dominio de la incógnita. Se incluyeron algunas ecuaciones que contienen funciones de valor múltiple. Las discusiones de esta sección, así como en otras secciones del capí tulo, se aumentaron por las aplicaciones en los ejemplos y ejercicios. Estas aplicaciones incluye ron fenómenos periódicos, solución de triángulos y problemas relativos al Cálculo.

, •i Pan resolver ecuaciones trigonométricas que im plican números reales o ángulos, se aplicaron las

jo

I EJERCICIOS DE REPASO mips ejercicios I a 28, pruebe la identidad.

16.

sen x = esc x + cot x 1 - eos*

1. sen 9 sec 0 = tan 0 ■ senx 2iy cnîaM pin a p a ra n 0 en tómaos i 80 exponeaies nt s

17.

B .----- = eos x

tan i

■ eos2v(tan2y + 1) = 1

*enx(cscx - sen x) = eo s2x

■ ananá «l* j la cual fe É R * *

J peyese x - sen jc) = cot2*

jaonafefí®*®!

M - tan2x = 1 - 2 sen 2x |1 + tan2x

|feptwfa¡fes de (que no sí |seccion£S^y':-1 | en Cálcalo [ncaq-jeiir#^^

[ l - cot2 fl

1 + cot2 0 I

sen a

f

eos y

= 2 eos2 0 - 1

COS y

sen y 1 - cot y

sec2 0 + ese2 0 sec2 0 -■CSC2 0

19.

sen(a + p) sen(a - P)

cot a + tan 0 tan a - tan 0

20.

cos(a + P) cos(» - p)

cot a - tan 0 tan a + tan 0

21.

tan(0 -

0“

= 1 + eos a

tan 0 - I

4

tan# +

1

• 1

sen* - sen y eos x + eos y

23. tan£(x - y) = ---------------

= cot2y

2

tan2/

1 + eos t . ICC

^

tan2 0 + 1 tan 20 - 1

~ re) =s L

24. tan - (x + y) = F U i* I eos t

= sen y + eos y

22. sen(| n + x)sen(¿ n - x) = - eos 2x

c o la

P T -

eos y 1 - tan y

18.

1 sec2a cot2 a = 1 + co t2 a

1 úq] a Cüaío Ob i

X

c<*x ~ lan x W * ~ etc2 0 = tan2 0 - c o t2 0 ' tan4^ = i + 2 tan 2 P

S il

”

senx + seny , __ eos x + eos y

25. 2 eos 20 eos 0 - eos 30 = eos 0 26. 2 eos 20 sen 0 - sen 30 * -sen 0

sen x + sen 3x + sen 5x _ ^ 3^ eos x + eos 3x + eos 5x sen x + sen 2* + sen 3x „ ^ 2*

582

CAPÍTULO 9

TRIOONOM8TRÍA ANALITICA

29. Calcule el vaior exacto de eos 75° en dos maneras: (a) emplee la identidad del coseno de la suma, (b) utilice una identidad de semiángulo.

En los ejercicios 45 a 54, halle las soluciones de fa ecuación si 0 S t < 2tl 45. (a) 2 eos r - 1 = 0

(b) tan2 / - 1= o

30. Calcule el valor exacto de sen 105° de dos formas; (a) aplique la identidad del seno de la suma; (b) utilice una identidad de semiángulo.

46. (a) cot / + 1= 0

(b) 2 sen2 / - 1 = o

31. Calcule el valor exacto de tan 71 en dos maneras: (a) emplee la identidad de la tangente de la suma; (b) utilice una identidad de semiángulo. 32. Si tan x m ± 0 < x < \ n y tan y = - | , ^ it < y < ti, halle: (a) tan(x + y); (b) tan(x - y); (c) el cuadrante que contiene a x + y\ (d) el cuadrante que contiene a x - y. 33. Si sen a = COS0

=

con a en el segundo cuadrante y con /J en el tercer cuadrante, encuen

tre: (a) sen(
47. 2 sen2 / + 3 sen / - 2 = 0 48. tan 2 / - 3 sec / + 3 = 0 49. tan / - 2 = 3 cot / 50. 6 eo s2 / - sen / - 4 * 0 51. 4 e o s2 3/ - 3

= 0 52.

53. co t2 2/ * 4

4 sen2 2/ - 1 = 0

54. tan2 3/ * 2

En los ejercicios 55 a 58, determine todas las solacio- I nes reales de las ecuaciones del ejercicio indicado. 55. Ejercicio 45

56. Ejercicio 46

57. Ejercicio 49

58. Ejercicio 50

34. Si tan t - y y eos t > 0, determine sen ~ /.

En los ejercicios 59 a 64, encuentre todos los ángulos 0 que son soluciones de la ecuación si (f i 6 < I

35. Si eos t = - 1 y sen / < 0, encuentre tan ^ t.

360°.

36. Halle el valor exacto: (a) sen ~ n eos - ir, (b) sen 195° - eos 165°.

59. tan 0 - cot 0 = 0 60. 2 eos 0 + sec 0 - 3

=

0

En los ejercicios 37 y 38, escriba la expresión en términos de valores del coseno con exponentes no mayores que 1.

61. 2 sen2 0 = 1

37. eos2 2t sen4 2t

63. tan 2 0 + 3 sec 0 + 3 = 0

ñ

38. sen43/

En los ejercicios 39 y 40, emplee la sustitución z - tan x para escribir la expresión como una junción racional de z. ■jrv * « .39. 3 eos x - 2 sen x +

62. co t2± 0 = 3

64. 2 sen 20 + 1 = ese 20

En los ejercicios 65 a 68, halle todos los ángulos 6 qu* son soluciones de la ecuación del ejercicio indica» Exprese las soluciones en grados.

Aa 2 + cosx 4 0 . --------------------- — sen 2x 65. Ejercicio 59 En los ejercicios 41 a 44, dibuje la gráfica de la ju n 67. Ejercicio 61 ción. Verifique la gráfica en la graficadora. 41. f(x) * i coi*1 2x g(x) * 2 se n _l ~ x ^3’ g(x) = tan-1 3x ^ •/(x ) - 3 c o r' x

3


En los ejercicios 69 a 72, haga lo siguiente: (a) troce1# ; gráfica de la función de cada miembro de la ecuactcni} determine si la ecuación es una identidad, (W $ ] ecuación es una identidad, pruébela algebraica!***1* Si la ecuación no es una identidad, resuélvala par0 ^ dos los valores de x en [0, 2n) y compruebe las solacé nes en la graficadora.


82.

0.tn 2x’ co*2xwx = tanx

ifl.co»22x + 3 5cn2x = 3 ft

cotx

- tan x = 2 cot 2x

h losejercicios 73 y 74, utilice una calculadora para gnamar el valor de laJunción.

Uscd52|.|, |

L ian23/=2 |miwíodujb>* ejeninetíaá

% (i) scn ‘(0.6032)

(b) sen-'(-0.6032)

[ (c) eos'(0.6032)

(d) cos’'(-0.6032)

(e) tan''(0.6032)'

(f) tan-'(-0.6032)

(i) sen'(0.4833)

(b) sen "'(-0.4833)

(c) a» '(0.4833)

(d) cos_,(-0.4833)

(e) tan’'(0.4833)

(f) tan-'(-0.4833)

pwciao46

75. Dadoi= a r c s e n |y > ’ = arc cos(-j), calcule el Sjerocx>x valor exacto de cada una de las expresiones si guientes: ieturtiú¿ú¡cB (a) eosx (b)sen v (c)tanx (d) tan y ecuación a *■'

¡7LDadoi = eos —y y = tan "'(- j-), encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones si guientes: (a) senx (b) sen y (c) eos y (d) tan x j£nlosejercicios 77 a 82, encuentre el valor de Junción vacio. W. (i) sen-'(eos ^ n)

(c) cos-'[sen(-Í7C)]

(a) tan[2 sen-l(-~ )] (b) cos[tan~'| - sen*'(- -^)]

% ónix • 2 senxcosx

o

(b) se n "‘[ e o s ( - ^ (d)

jc)]

sen _1(c o s | n )

En los ejercicios 83 y 84, (a) exprese /(/) en la forma a sen(bi + c), (b) determine la amplitud, el periodo y el defasamiento def, (c) dibuje la grájica de f y ( d ) com pruebe la gráfica del inciso (c) en la graficadora. 83. /(/) - 1.47 sen 2/ + 2.6S eos 21 84. f{t) = 2 sen 4/ - 2 >/3" eos 41 En los ejercicios 85 y 86, emplee el método del ejemplo 4 de la Sección 9.4 para dibujar la gráfica de la fun ción en el intervalo indicado. Verifique la gráfica en la graficadora. 85. f(t) = sen 10nt + sen \2nr, [0,2] 86. /(/) = 2 eos 30nt - 2 eos 50nr, [0, j) 87. Dado /(/) = sen 417u + sen 39ít/, (a) exprese /(/) como el producto de funciones seno y coseno, ib) Dibuje la gráfica de / correspondiente a medio pe ríodo de la función coseno determinada en el inciso (a) y compruebe la gráfica en la graficadora. 88. En un punto particular del espacio, dos ondas at mosféricas producen presiones de F(t) dinas por centímetro cuadrado y Git) dinas por centíme tro cuadrado a los t segundos, donde F(t) = 0.02 sen(200ft/ + | jc) y G(t) = 0.04 sen (200ra j n). Defina la suma de F y G por una ecuación de la forma

(•) coi-‘(senJn) ^ (•) eos-'(seni ti) ^ « « '‘[cos(-1 ti)]

/(/) = a sen(2007U + c) (b) c o s - ‘[ s e n ( - |i c ) ]

Verifique la respuesta trazando las gráficas de F + G

(d)

yf

c o s _'( s e n | 7t)

89. Haga el ejercicio 88 si F(t) = 0.037 sen(200nt + 0.26) y G(/) = 0.024 sen 200tu.

k) *«*,(COSÍ ,|)

6 “ (b) ta n - '( c o t |i i ) (d) t a n " '[ c o t ( - |i t ) ] (b) t a n - '( c o t |j t )

rb) '**12«*-., ,2.. Nco«-i¿ »)] s+

583

(d)

t a n - '[ c o t ( - |n ) l

90. Un cuerpo suspendido de un resorte vibra verticalmente de acuerdo con la ecuación f(t) = - 4 sen 10/ - 3 eos 10/ donde /(/) centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central a los / segundos y el sentido positivo es hacia arriba, (a) Deñna /(/) por una ecuación de la forma/(/) = a sen(bt + rV

584

CA P ÍTU LO 9

TR IG O N O M E T R ÍA A N A L ÍTIC A

(b) Determine la amplitud, el periodo y la frecuen cia de / (c) Dibuje la gráfica de f (d) Compruebe la gráfica del inciso (c) en la graficadora. 91. Una partícula se mueve a lo largo de una línea rec ta de acuerdo con la ecuación de movimiento

sión de centésimos de pie. a qué distancia debe si tuarse el observador para que tenga la “mejor vis ta” del cuadro, esto es, de modo que el ángulo subtendido por el cuadro en los ojos del observador sea el valor máximo.

s = sen(6 / - ~n) + sen(6 / + 7 «) donde s centímetros es la distancia dirigida de la partícula desde el origen a los / segundos, (a) De muestre que el movimiento es armónico simple al definir s mediante una ecuación de la forma s = asenibi + c). (b) Determine la amplitud y fre cuencia del movimiento. 92. Haga el ejercicio 91 si s = 8 eos 2 6 / - 4. 93. Un cuerpo suspendido de un resorte vibra verticalmente de acuerdo con la ecuación 96. Si t es cualquier número real. A, B y b son constan tes, y A > 0, compruebe que donde y centímetros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central t segundos des pués de iniciado el movimiento y el sentido positi vo es hacia arriba, (a) Resuelva la ecuación para 1. (b) Utilice la ecuación del inciso (a) para determi nar los dos valores positivos menores de t para los cuales el desplazamiento del cuerpo por arriba de su posición central es de 3 cm. (c) Verifique la res puesta del inciso (b) en la graficadora.

94. En un circuito eléctrico la fuerza electromotriz es E(t) volts, donde £(/) = 20 eos 120ic/. Encuentre el menor valor positivo de t para el cual la fuerza electromotriz es (a) 5 volts y (b) -5 volts, (c) Com pruebe las respuestas de los incisos (a) y (b) en la graficadora.

95. Un cuadro de 5 pie de altura se coloca en una pared con su base a 4 pie por arriba del nivel de los ojos de un observador. Sea 0 la medida en radianes de ángulo subtendido por el cuadro en los ojos del ob servador cuando éste se encuentra a x pies de la pa red. (a) Defina 0 como una función de x Encuentre 0 cuando (b) x = 5. (c) x = 6 y (d) x = 7 (e) Emplee la graficadora para estimar, con preci

A eos bi + B sen bt = a eos(bi - c) donde a = 'J A 2 + B 2 y c = tan

B Á

97. Dada/ír) * V3" eos 2t - sen 2t. (a) Utilice la fámu la del ejercicio 96 para definir f(t) medíame una ecuación de la forma f(t) = a eos(bt - c). (b) De termine la amplitud, periodo y defasamiento de/ (c) Dibuje la gráfica de /. (d) Compruebe lie res puestas trazando las gráficas de la ecuación dada; la ecuación del inciso (a). 98. Haga el ejercicio 97 si /(/) = 4.83 eos 4x/ + S.07 sen 4iu. 99. Compruebe la identidad sen 2x + sen 2y - sen 2(x + j») » 4 sen x sen y senu + 7) 100. Pruebe que tan-l x + tan' 1

» j* . sii>0.

[,Sugerencia; emplee la fórmula de reducción cot« & tan(| n - 11)]

SUMARIO I 10t f 10.1 Vectores ■ ^ funciones vectoriales y N lo3^ Ci0nesparamétricas I '0 4G,A«°°rdenadas polares 03 de ecuaciones | ’0-5Fnrrn^ polares L Polar de números m tS c b s v ,.' l^tos vto es de números err|a de De Molvre

\Ñ

0

$

0

¿

L

586

10.1

CAPÍTULO 10 VECTORES, ICUAClONiS PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES .

VECTORES OBJETIVOS

p PQ = RS

figura

10.1

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Definir un vector. Calcular la magnitud de un vector. Calcular el ángulo director de un vector. Encontrar la suma de dos vectores dados. Encontrar la diferencia de dos vectores dados. Encontrar el producto de un escalar y un vector. Expresar un vector en términos de su magnitud y su ángulo director. 8. Resolver enunciados de problemas que implican vectores. Las aplicaciones matemáticas suelen relacionarse con cantidades que poseen tanto magnitud como dirección. Un ejemplo de tales cantidades es la velocidad. Por ejemplo, la velocidad de un avión tiene magnitud (la rapidez con que éste vuela) y dirección, la cual determina su curso. Otros ejemplos de tales cantidades son fuerza, desplazamiento y aceleración. Los físicos e ingenieros entiendes por vector al segmento rectilíneo dirigido, y a las cantidades que tienen magnitud y dirección son denominadas cantidades vectoria les. En contraste, una cantidad que tiene magnitud pero no direc ción se llama cantidad escalar. Ejemplos de cantidades escalares son longitud, área, volumen y rapidez. El estudio de los vectores se denomina análisis vectorial. El estudio del análisis vectorial se puede hacer de forma geomé trica o analítica. Si el estudio es geométrico, primero se define ei segmento rectilíneo dirigido del punto P al punto Q y se denou por PQ. El punto P se denomina punto inicial, y el punto Q se llama punto terminal. Se dice que dos segmentos rectilíneos dirigidos PQ y RS son iguales si éstos tienen la misma longitud y la misma direc ción, y se escribe PQ = R§ (véase la Figura 10.1). El segmento recdbneo dirigido PQ se denomina vector de P a Q. Un vector se representa mediante una sola letra en tipo negro tal como A. En algunos libros * emplea una letra en tipo cursivo con una flecha arriba para denotar un vector, por ejemplo A . Cuando trabaje con vectores, puede usa esa notación o A a fin de distinguir el símbolo para un vector del sím bolo asignado para un número real. Al continuar con el estudio geométrico del análisis vectorial. oj*ef* que si el segmento rectilíneo dirigido P%¿ es el vector A, yP& * W. * tonces el segmento rectilíneo dirigido/?? es también el vector APor esto se considera que un vector permanece sin cambio si # mueve paralelamente a sí mismo. Con esta interpretación de un vrcW* puede suponer, por conveniencia, que cada vector tiene su punto i»* cial en algún punto de referencia fijo. Si referimos este como el origen de un sistema coordenado cartesiano recIBíí***' puede definirse un vector analíticamente en términos de nü®e*®* reales. Tal definición permite el estudio del análisis vectorial des*

10.1

VECTORES

587

un punto de vista puramente analítico y este estudio es el que se pre senta en Cálculo. Un vector en el plano se denota por un par ordenado de números reales. La notación {x, y ) se emplea en lugar de (x, y) para evitar la confusión de un vector con un punto. La definición for mal de vector es la siguiente.

DEFINICIÓN

Vector

Un vector en el plano es un par ordenado de números reales (x, y). Los números x y y se denominan componentes del vector.

Se dice que dos vectores son iguales si y sólo si tienen los mis mos componentes. Existe una correspondencia uno a uno entre los vectores (x, y) del plano y los puntos (x, y) del plano. Sea el vector A el par ordenado de nú meros reales (ai, 02). Si A es el punto (ai, 02), entonces el vector A puede representarse geométricamente por el segmento rectilíneo diri gido OA. Tal segmento rectilíneo dirigido se denomina representación del vector A. Cualquier segmento rectilíneo dirigido que sea igual a OA también es una representación del vector A. La representación par ticular de un vector que tiene su punto inicial en el origen se denomina representación posicional o de posición del vector.

c

>

(A + 2 , * + 3 )


El vector (2, 3) tiene como representación de posición el segmento rec tilíneo dirigido del origen al punto (2, 3). La representación de (2, 3) cuyo punto inicial es (h, k) tiene como punto terminal (h + 2, k + 3); véase la Figura 10.2. 4 El vector (0 ,0 ) se denomina vector cero y se denota por 0; esto es, 0 = ( 0 ,0 ) Cualquier punto es una representación del vector cero. La m agnitud de un vector A es la longitud de cualesquiera de sus representaciones y se denota por || A ||. La dirección de un vector, di ferente del vector cero, es la dirección de cualesquiera de sus repre sentaciones.

TEOREMA 1

Si A es el vector (ai, az), entonces || A || = V a , 2 + a i2

. . . . .

--------

5M

CAPITULO 10

VICTORES, ECUACIONES PARAMÉTR1CAS, COORDINADAS POLARES. . .

D em ostración Como || A | | es la longitud de cualesquiera de las rt saltaciones de A, será la longitud de su representación de posición, h es la distancia del origen al punto (ai, a 2). De la fórmula de la distancia

||A || * V ( a , - O )2 + («2 - O )2 = V a l 2 + Qi Observe que || A || es un número no negativo y no un vector. Del Teorema 1, se deduce que ||0 || = O esto es, la magnitud del vector cero es 0.

t> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Si A = ( - 3 ,5 ) , entonces

|| A|| = V(-3)’ + 5» = V34

<

El ángulo d irecto r de cualquier vector, diferente del vector cero, es el ángulo 9 medido a partir del lado positivo del eje x , en sentido contrario al del giro de las manecillas del reloj hasta la repre sentación de posición del vector. Si 0 está medido en radianes, es tonces 0 ^ 9 < 2n. Si A = (fli, 0 2 ), entonces tan 9 = —

ai

si ai ^ O

Si ai = O y a 2 > O, entonces 9 = si ai = O y a 2 <0, entoBt» 9 = |lfc. Las figuras 10.3 a 10.5 muestran el ángulo director 0 p*1 vectores específicos cuyas representaciones de posición están dibuja das en ellas.

EJEMPLO 1 FIGURA 10.5

D eterm inación d e l ángulo director de un voctor

Determine la medida en radianes del ángulo director de cada uno 9 los siguientes vectores: (a) (-1 , l) , (b) (0, -5 ), (c) ( l, -2). Solución La representación de posición de los vectores en (*)• ^ y (c) se muestra en las figuras 10.6, 10.7 y 10.8, respectivamenie (a) tan 0 = -!j* -1 Como | n < 9 < k , entonces 9 = ^ n.

_______10.1 VECTORES

589

(b) Debido a que a¡ = 0, tan 0 no existe. Por tanto, como ai < 0, 0 -1 * .

(c) tan 0 *

y

= -2 Como\ % < 9 < 2 n , 6 - 5.176.

<

Observe que si A = (ai, a-¡) y 9 es el ángulo director de A, en tonces ►( 0 ,- 5 )

FIGURA 10.7

a i * IIA ||e o s 0

y

a; = || A ||sen 9

\*r (1) Si el vector A = (ai, a i) entonces la representación de A cuyo punto inicial es (jc, y) tiene como punto terminal (x + at, y + a2). La Fi gura 10.9 muestra cinco representaciones del vector A = (ai, aj). En cada caso A transforma el punto (x„ y¡) en el punto (x, + a¡, y, + a2).

FIGURA 10.8

La siguiente definición proporciona el método para sumar dos vectores.

DEFINICIÓN

Suma de dos vectores

La suma de dos vectores A = (ai, aj) y B = (bu bi) es el vec tor A + B definido por A + B = (ai + bu ai + b2)

590

CAPÍTULO 10

VECTORES, ECUACIONES PARAMÉTR1CAS, COORDENADAS POLARES

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Si A = (3 , - l ) y

B = ( - 4 , 5 ) , entonces

A + B = (3 + ( - 4 ) , - 1 + 5 ) = < ~ 1 ,4 >

,

L a interpretación geom étrica de la sum a de dos vectores se mues tra en la Figura 10.10. Sea A = (a\, a-i) y B = (bu bi) y P el punto (x,y). Entonces A transform a el punto P en el punto (jc + a¡, y + 02) = Q- El vec tor B transform a el punto Q en el punto ((x + at) + bu ( y + a2) + bi) o, equivalentem ente (-r + (at + b¡), y + (02 + £ 2)) = R. Además, A +

B = (a\ + bi, ai + ¿ 2)

P o r ta n to , A + B tra n s f o rm a el p u n to P en (* + (a 1 + ¿>i), y + («2 + bi)) = /?. A sí, en la Figura \0.\0,P Q es una representación del v ector A , Q k es del vector B, y PR es del vector A + B. Las repre sentaciones de los vectores A y B son lados adyacentes de un paralelogram o, y la representación del vector A + B es una diagonal del paralelogram o. E sta diagonal se denom ina resultante de los vectores A y B. L a regla para la adición de vectores recibe algunas veces el nom bre de ley del paralelogramo. L a fuerza es una cantidad vectorial donde la magnitud se expresa en unidades de fuerza y el ángulo director se determina por la direc ción de la fuerza. En física se dem uestra que dos fuerzas aplicadas en un punto particular d e un objeto pueden sustituirse por una fuera equivalente qu e es su resultante. En el ejem plo siguiente se hace referencia al ángulo entre dos vectores, el cual es el ángulo determ inado por las representaciones de posición de los dos vectores, tal que 0 ° S 0 < 180°.

► EJEMPLO 2

(250 eos 60°. 250 sen 60°)

Solución d e l enunciado de un problema qvt Im plica vectores

D os fuerzas d e m agnitudes de 200 Ib y 250 Ib forman un ángulo de 60° entre sí y se aplican a un cuerpo en el m ism o punto. Encuentre (a) la m agnitud de la fuerza resultante y (b) el ángulo que forma la resul tante con la fuerza de 200 Ib.

Solución

Véase la Figura 10.11, donde los ejes se eligieron de m odo que la representación de posición de la fuerza de 200 Ib esté 81° larg o del lado p o sitiv o del e je x. El vector A representa esta fuerff y A = ( 2 0 0 ,0 ). El vector B representa la fuerza de 250 Ib. De las fónnfr las (1), si B = (b u b j) , entonces

(200,0) f i g u r a 10.11

b\ = 250 eos 60° = 125

b2 = 250 sen 60° = 216.5

10.1 VICTORES

591

De modo que B = (125, 216.5). La fuerza resultante es A + B, y A + B = (200, 0) + (125, 216.5) = (325, 216.5) (a) ||A + B || = V (325)2 + (216.5)2 = 390.5 Conclusión: La magnitud de la fuerza resultante es 390.5 Ib. (b) Si 9 es el ángulo que el vector A + B forma con A, entonces 216.5 ,an 9 = m T tan 9 = 0.6662 6

= 33.67°

Conclusión: La fuerza resultante forma un ángulo de 33.67* con la fuerza de 200 Ib. 4 El siguiente ejemplo ilustrativo ofrece una solución alternativa para el ejemplo 2.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 De la Figura 10.11 se tiene el triángulo mostrado en la Figura 10.12. Al aplicar la ley de los cosenos a este triángulo, se obtiene || A || A ||A ||A || A

+ + + + +

B||2 = B ||2 = B||2 = B || = B || =

(200)2 + (250)2 - 2(200)(250)cos 120° 40,000 + 62,500 100,000(-|) 152,500 V i 52,500 390.5

Se puede aplicar la ley de los senos aJ triángulo de la Figura

10. 12.

sen 0 _ sen 9 120° 250 “ 390.5 n 250 sen 120° Sen0 = — 390.'5 sen 9 ss 0.5544 9 = 33.67°

4

Si V es el vector velocidad, entonces || V |jes la rapidez, una can tidad escalar. En el siguiente ejemplo, que trata sobre la navegación marina, se hace referencia a la velocidad de una lancha con relación al agua y a la velocidad de la corriente del agua. La resultante de estas des velocidades es la velocidad de la lancha en relación con la tierra fírme.

.o 592 CAPlTUl® i w

VECTORES, ECUACIONES PARAMÉTMCAS, COORDINADAS P O iA ttS .

► EJEMPLO 3

Solución del enunciado de un p roblema Im p lic a vectores

U n a lancha sale de la ribera sur de un río con un enfilamiento (o curso relativo) al norte y con una velocidad de 8 mi/h relativa al agua. Si h velocidad de la corriente es 3 mi/h hacia el este, ¿cuál es la rapidez de la lancha en relación con tierra firme y cuál es su curso? S o lu ció n Véase la Figura 10.13, que muestra las representaciones de posición de los vectores A, B y A + B. El vector A representa la ve locidad de la lancha relativa al agua. Como A tiene una magnitud de 8 y un ángulo director de 90°, A = (0, 8). El vector B representa la velo cidad de la corriente en relación con tierra fírme, la cual tiene una magnitud de 3 y un ángulo director de 0*. De modo que B = (3,0). La resultante de A y B es A + B, la cual es la velocidad de la lancha en re lación con tierra fírme. A + B * <0, 8) + <3, 0> = <3, 8) || A + B || = V 3 2 + 82 = V 73 = 8.54 Si 0 es el ángulo director de A + B, entonces tan 0 = § tan 0 » 2.667 e = 69.4° Conclusión: La lancha navega con una rapidez de 8.54 mi/h en rela ción con tierra fírme en la dirección de 69.4° con respecto a la ribera sur o, equivalentemente, un curso de 20.6°. * Si A es el vector {au <*2), entonces el negativo de A, denotado por -A , es el vector ( - au - ai). Si el segmento rectilíneo dirigido una representación del vector A, entonces el segmento rectilíneo di rigido QP es una representación de -A . Cualquier segmento rectilíneo I dirigido que sea paralelo a P&, que tenga la misma longitud que^y sentido contrario al d eP § , es también una representación de -A. Véast la Figura 10.14. Ahora se definirá la sustracción de dos vectores.

DEFINICIÓN

Diferencia de dos vectores

L a diferencia de d o s v e cto res A y B, d e n o ta d a por A - B , es ^ v e c to r q u e se o b tie n e al su m a r A a l n e g ativ o d e B; esto es,

A - B = A + (-B)

J

-----------—

__________________ lo.i vigrotift

wa

Si A = (ai, 02) y B = (bi, fa) entonces -B = {-bu -¿>2), y de la definición A — B = (ai — b\t Qj — ¿>2)

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 Si A = (4, -2 ) y B = (6, -3 ), entonces A - B = <4, - 2 ) - <6, - 3 ) = <4, - 2 ) + ( - 6 , 3) = (* 2 , 1)

„

Para interpretar geométricamente la diferencia de dos vectores, considere las representaciones de los vectores A y B que tienen el mis mo punto inicial. Entonces, el segmento rectilíneo dirigido desde el punto final de la representación de B hasta el punto final de la repre sentación de A es una representación de A - B. Esto obedece la ley del paralelogramo B + (A - B) = A. Véase la Figura 10.15. El ejemplo siguiente implica la diferencia de dos vectores y se re fiere a la navegación aérea. La velocidad al aire de un avión es su ve locidad con relación al aire en que navega, y la velocidad a tierra es su velocidad considerada con respecto al suelo. Cuando hay viento, la ve locidad del avión relativa al suelo es la resultante del vector que repre senta la velocidad del viento y el vector representante de la velocidad del avión relativa al aire.

► EJEMPLO 4

Solución del enunciado do un problema que Implica vectores

Un avión vuela con una velocidad al aire de 300 mi/h. Si el aire sopla hacia el este a 50 mi/h, ¿cuál debe ser el enfilamiento del avión para que su curso sea de 30o? ¿Cuál sería la velocidad a tierra del avión si vuela con este curso? Solución Consulte la Figura 10.16, la cual muestra las repre sentaciones de posición de los vectores A y B así como la de A - B. El vector A representa la velocidad del avión relativa al suelo con un cur so de 30°. El ángulo director de A es 60°, el cual es 90° - 30°. El vector B representa la velocidad del viento. Como B tiene una magnitud de 50 y un ángulo director de 0°, entonces B = (50, 0). El vector A - B representa la velocidad del avión relativa al aire; así, jf A - B|| = 300. Sea 0 el ángulo director de A - B. De la Figura 1(3.16 se obtiene el triángulo mostrado en la Figura 10.17. Al aplicar la ley de los senos a este triángulo, se obtiene

594

CAPÍTULO JO

VECTORES, ECUACIONES PARAMÉTR1CA5, COORDENADAS POLARES

sen _ sen 60" 50 300 50 sen 60° sen = 0.1443 = 8.3° Por tanto, 0

= 60° + 8.3° = 68.3°

Al aplicar otra vez ley de los senos al triángulo de la Figura 10.17, se tiene IIA || sen080° - 0) i i 4 i.

300 sen 60° 300 sen 111.7® sen 60® 322

Conclusión: El enfilamiento del avión debe ser 90° - 0, el cual esde 21.7° y si el avión vuela con este curso, su velocidad a tiara serí de 322 mi/h. « La multiplicación por un escalar es otra operación con vectores A continuación se dará la definición de la multiplicación de un vector por un escalar.

DEFINICIÓN

M u ltip lic a c ió n p o r u n e s c a la r

Si c es un escalar y A es el vector (ai, 02), entonces el producto de c y A, denotado por cA, es un vector y está dado por cA = c (a u a2) = (caí, ca2)

t> EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 Si A = (4, -5 ), entonces 3A = 3(4, - 5 ) » (12, -1 5 )

10.1

»> EJEM PLO 5

VECTORES

595

M u ltip lic a c ió n d a u n vector por • « c o lo r 0 y m u ltip lic a c ió n d a l v a c ia r c a ra p o r u n ase a la r

Si A es cualquier vector y c es cualquier escalar muestre que (a) 0(A) = 0 Solución

(b) c( 0) = 0

Se aplica la definición de multiplicación por un escalar. (b) c(0) = c(0, 0>

(a) 0(A ) = 0(úi, a2) = (0 , 0>

= <0, 0>

= 0

=0

La magnitud del vector cA se calcula como sigue: ||cA || = V (c a i)2 + (ca 2)2 = V c 2( fli 2 +

a 2)

= V e 2 V a /2 + ai

Por consiguiente, la magnitud de cA es el valor absoluto de c por la magnitud de A. Las figuras 10.18 y 10.19 muestran la interpretación geométrica del vector cA. Si c > 0, entonces cA es un vector cuya representación tiene una longitud de c veces la magnitud de A y la misma dirección que A; un ejemplo de esto se observa en la Figura 10.18. donde c = 3. Si c < 0, entonces cA es un vector cuya representación tiene una longi tud que es | c | veces la magnitud de A y con dirección opuesta a la de A. Esto se muestra en la Figura 10.19, donde c - - ^ . Ahora se considerará un vector arbitrario y debe escribirse en una forma especial.

02) (flit ¿*2)

(« i.

= (a i, 0) + (0, a2) — fli(l, 0) +

02( 0,

1)

(2)

Como la magnitud de cada uno de los vectores (1, 0 ) y (0, 1) es una unidad, se denominan vectores unitarios. A continuación se introduce la notación para estos dos vectores unitarios: » = ( 1 .0 )

j = <0. !>

Con esta notación, se tiene de (2) (íii, a i) 9 fld + ¿2J

(3)

Las representaciones de posición de los vectores i y j se muestran en la Figura 10.20.

596

CAPÍTULO 10

VICTORES, ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES . . .

o

EJEM PLO ILU STR ATIVO 7

De (3),

4

< 3 ,-4 > * 3i - 4 j

Sea A el vector (a i, a2) y 0 el ángulo director de A. Véase la Fi gura 10.21, donde el punto (ai, a2) está en el segundo cuadrante y U representación de posición de A se muestra. Como A = a¡i + a:j,
A = || A || (eos 01 + sen 0j)

(4)

E sta ecuación expresa el vector A en términos de su magnitud, ángulo director y de los vectores unitarios i y j.

► EJEM PLO 6

Expresión de un vector en términos de tu magnitud y el seno y coseno de su ángulo director

Exprese el vector ( - 5 , - 2 ) en la form a de (4).

S o lu ció n

C onsulte la Figura 10.22, la cual muestra la posición del vector ( - 5 , - 2 ) .

| | < - 5 , - 2 ) || = V(-5)2 + (-2)* c o s 0 = - - i L

,__

sen0

=

V29

¿ v29

= V29 Por tanto, de (4) se tiene < -5 , -2 > = V ñ l ~ - ^ = i \ V 29

EJERCICIOS

-£ = j) V 29 /

10.1

En los ejercicios I y 2. dibuje la representación de po sición Je l vector A» asi como la representación particu lar que pasa ffor el punto P; encuentre la magnitud de A. 1. (a) A = <3, 4), P = (2, 1) (b) A = (0. - 2 ) , P * ( - 3 , 4) 2. (a) A * ( - 2 . 5), P * (3, - 4 ) (b) A = <4. 0), P = (2. 6) En los ejercicios J y 4. calcule el vector A que tiene a PQ como una representación. Dibuje PQ y la repre sentación de posición de A.

3. (a) P = (3, 7), Q = (5, 4) (b) P = ( - 3 , 5), Q = ( - 5 , - 2 ) 4. (a) P - (5, 4), Q = (3 ,7 ) (b) P » ( - 5 , - 3 ) , Q * (0. 3) En los ejercicios 5 y 6, encuentre el punto S tal P*™ v RS son cada uno representaciones del misino vtct*

5. (a) P (b) P

= =

(2, 5), Q = (1, 6), R = (-3 , 2) (0, 3), Q = (5, - 2 ) , R = (7, 0)

6. (a) / > “ ( - ! . 4), Q = (2 , - 3 ) , R = í ' 5’ (b) P = ( - 2 , 0). Q = ( - 3 , -4 ). R = (4- 21

10.1

ifs.ktt ejercíaos 7 y 8, encuentre la suma de los pares motores e ilustre el proceso geométricamente. p fít) (2,4), (-3 ,5 ) U > (0.3),(-2,3)

\á

N

(b) ( - 3 , 0), <4, -5> (b) <2, 5), <2, 5)

m bs ejercicios 9 y 10, reste el segundo vector del prifueiveilustre el proceso geométricamente. 9. (i) <4,5>, (-3 , 2)

(b) < -3 , - 4 ) , (6, 0)

b. (•) (0,5), (2, 8)

(b) (3, 7), (3 ,7 )

597

ángulo que forma la resultante con la fuerza de 60 Ib. Utilice el método del ejemplo 2. 26. Dos fuerzas de magnitudes de 340 Ib y 475 Ib for man un ángulo de 34.6° entre sí y se aplican a un cuerpo en el mismo punto. Encuentre (a)la magni tud de la fuerza resultante y (b) con precisión de décimos de grado, el ángulo que forma la resultan te con la fuerza de 475 Ib. Emplee el método del ejemplo 2.

En ¡osejercicios 11 y 12, calcule el vector o escalar si I a (2,4), B = (4 ,-3) y C = '(-3 ,2 ).

27. Haga el ejercicio 25 mediante el método del ejem plo ilustrativo 4.

11. (a) A + B

(b) ||C

(c) ||7A - B ||

t(i)A -B

(b) Cli

(c) II2A + 3B|

28. Realice el ejercicio 26 mediante el método del ejemplo ilustrativo 4.

p los ejercicios 13 a 16, determine el vector o escalar meado, si A = 21 + 3j y B = 4i - j. *

VECTORES

fc(i)5A (c)A + B 1 (a) -2A (c)A-B

(b) (d) (b) (d)

I(a)||A || + ||BM (c) ||5A - 6B||

(b) 5A - 6B (d) ||5A || - ||6B||

1

(b) 3B - 2 A (d) ¡|3B || - || 2A ||

(•) IIA|| ~ IIB|| lt)||3 B -2 A |

-6 B ||A + B;|¡gp¡! 3B ||A — B||

■fof ejercicios 17 a 20, determine los componentes vectorcuya magnitud y ángulo director se indican. » M ir y 35; 25
18. 24; 41.2° 20. 110; ¿ir

jfoí ejercicios 21 a 24, escriba el vector dado en la ^ ticos 9\ +sen 0j), donde r es la magnitud y 0 el «ufodirector. í(a) 3¡ - 4j f(a) 8i + 6j

(b) 2i + 2j

lia) -4 i + 4 V 3 j [(a) 3i - 3j

(bj —16i

(b) 2>/5i + 4j (b) 2j

m eJerci(iot 25 a 35 son enunciados de problemas Wtykcan vectores. Asegúrese de escribir una con

cón

tuerzas de magnitudes de 60 Ib y 80 Ib forman ángulo de 30° entre sí y se aplican a un cuerpo I el mismo punto. Encuentre (a) la magnitud de la ^ uerza resultante y ib) con precisión de grados, el

29. Una fuerza de 112 Ib de magnitud y una de 84 Ib se aplican a un cuerpo en el mismo punto, donde la fuerza resultante tiene una magnitud de 162 Ib. Halle, con precisión de décimos de grado, el ángulo for mado por la resultante y la fuerza de 112 Ib. 30. Una fuerza de 22 Ib y otra de 34 Ib se aplican a un cuerpo en el mismo punto y forman un ángulo 9 entre sí. Si la fuerza resultante tiene una magnitud de 46 Ib, determine 9 con precisión de grados. 31. Un nadador que puede nadar a una velocidad de 1.5 mi/h con respecto al agua, parte de la ribera sur de un río y se dirige al norte directamente a través del río. Si la corriente del río fluye hacia el este a 0.8 mi/h: (a) ¿En qué dirección va el nadador? (b) ¿Cuál es la velocidad del nadador con respecto a tierra? (c) Si la distancia a través del río es de 1 milla, ¿qué tan lejos río abajo el nadador alcanza la otra orilla? 32. Suponga que el nadador del ejercicio 31 desea al canzar el punto directamente al norte a través del río. (a) ¿En qué dirección debe dirigirse el nada dor? (b) ¿Cuál será la velocidad del nadador con respecto a tierra si elige esta dirección? 33. En un avión que tiene una velocidad al aire de 250 mi/h, un piloto desea volar hacia el norte. Si el viento sopla hacia el este a 60 mi/h, (a)¿cuál debe ser el en/ilamiento del avión? (b) ¿Cuál será la ve locidad del avión con respecto al suelo si vuela con este curso? 34. Un avión tiene una velocidad al aire de 350 mi/h, para que el curso del avión sea el norte, su enfilamicnto debe ser de 340°. Si el viento sopla del oeste.

598

CAPÍTULO 1_0 VECTORES, ECUACIONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES . . .

(a) ¿cuál es la magnitud de su velocidad? (b) ¿Cuál es la velocidad del avión con respecto al suelo? 35. Una lancha puede desplazarse a 15 nudos con res pecto al agua. En un río cuya corriente es de 3 nu dos hacia el oeste, la lancha tiene un enfilam iento hacia el sur. ¿Cuál es la velocidad de la lancha con respecto a tierra y cuál es su curso?

10.2

36. Sean PQ una representación del vector \,QR ^ representación de B y RS una representación del vector C. Pruebe que si PQ.QR y RS son lados de un triángulo, entonces A + B + C = 0. 37. Explique la diferencia entre cantidad vectorial y cantidad escalar. En la explicación emplee la velo cidad y la rapidez como ejemplos.

FUNCIONES VECTORIALES Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS OBJETIVOS

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Definir una función vectorial. Determinar el dominio de una función vectorial. Aprender acerca de ecuaciones paramétricas. Dibujar la gráfica de una ecuación vectorial o de su par de ecuaciones paramétricas equivalente. Encontrar una ecuación cartesiana de una gráfica a partir de su ecuación vectorial o del par de ecuaciones paramétricas equivalente. Trazar la gráfica de una ecuación vectorial o de su par de ecuaciones paramétricas equivalente. Resolver enunciados de problemas que implican el movimiento de un proyectil. Deducir las ecuaciones paramétricas de una cicloide.

Suponga que una partícula se desplaza de modo que las coordenadas (x, y) de su posición en cualquier instante t están dadas por las ccuaciones x - f ( t ) y y = g{t). Entonces, para cada número t en el dominio común d e / y g existe un vector/(f)i + g(0j> y los puntos finales delas representaciones de posición de estos vectores describen la curva Cre- I corrida por la partícula. Esto lleva a considerar una función cuyo do minio es un conjunto de números reales y cuyo contradomimo es * conjunto de vectores. Dicha función se denominaJunción de valor vedorial (o de forma breve, Junción vectorial) DEFINICIÓN

F u n c ió n v e c to r ia l

Sean / y g dos funciones reales de variable real t. Entonces, para cada número t en el dominio común d e / y g existe un vector definido por

R(0 = /(0¡ + £(0j y R se denomina función vectorial.

10.2

FUNCIONES VECTORIALES Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

► EJEMPLO 1

599

D e te rm in a ció n d e l d o m ln le d e u n a fu n ció n v e c to ria l

Determine el dominio de la función vectorial R definida por

R (t) = V i - 21 + (t - 3)"'j Solución

Sean

/(r) = Vr - 2

y

«(i) = (í - 3)-‘

El dominio de R es el conjunto de valores de t para los cuales tanto/(r) como ¿(f) están definidas. Como f(t) está definida para t £ 2 y g(f) está definida para todos los números reales excepto 3, el dominio de R es {/ | f £ 2 , / * 3}. ^ La ecuación R(f) = /(/)i + g ( r ) j se denomina ecuación vectorial, y define una curva C. La misma curva C también está definida por las ecuaciones

* = /(* )

y

y = £(0

(1)

que reciben el nombre de ecuaciones param étrícas de C. La variable t es un p arám etro. La curva C también se denomina gráfica; esto es, el conjunto de todos los puntos (jc, y) que satisfacen (1) es la gráfica de la función vectorial R. Una ecuación vectorial de una curva, así como sus ecuaciones paramétricas, dan a la curva una dirección en cada punto. Esto es, si se piensa que la curva es descrita por una partícula, se puede considerar el sentido positivo, a lo largo de la curva, como el sentido en el cual se mueve la partícula cuando el parámetro t se incrementa. En un caso como éste, t puede tomarse como la medida del tiempo, y el vector R(í) se denomina vector de posición. Algunas veces a R(/> se le llama radio vector. Si el parámetro t se elimina del par de ecuaciones (1), se obtienen una ecuación en x y y, denominada ecuación cartesiana de C.

► EJEMPLO 2

D ibujo d e la gráfica d e u n a ecuación vectorial y determ inación d e la ecuación cartesiana d e la gráfica

Dada la ecuación vectorial R(0 = 2 eos fi + 2 sen Jj (a) dibuje la gráfica de esta ecuación y (b) determine una ecuación cartesiana de la gráfica. Solución (a) El dominio de R es el conjunto de todos los números reales. Los valores de x y y para valores especiales de t pueden tabularse. Se determinará la magnitud del vector de posición. Para cada /,

600

CAPITULO 10 VICTORES, ECUACIONES PARAMÉTRICAS. COORDENADAS POLAtKS

||R (r)|| = V4 eos2 1 + 4 sen2 1 = 2 V eos3 = 2

sen2 /

Por tanto, el punto final de la representación de cada vector R(/) está a dos unidades del origen. Si t toma todos los valores en el in tervalo cerrado [O, 2n], se obtiene una circunferencia que tiene su centro en el origen y radio 2. Ésta es toda la gráfica porque cualquier valor de t dará un punto de dicha circunferencia La circunferencia se muestra en la Figura 10.23. Las ecuaciones paramétricas de lacrcunferencia son 2 eos /

y

y

2 sen t

(b) Se puede determinar una ecuación cartesiana de la gráfica elimi nando t de las dos ecuaciones paramétricas, al elevar al cuadrado ambos miembros de cada ecuación y sumar se obtiene x2 + y2 = (2 eos í)2 + (2 sen/)2 jc2 + y2 = 4(cos2 1 + sen2/) x2 + y2 = 4

4

En el ejemplo 2 para la gráfica de la ecuación vectorial dada, o el par de ecuaciones paramétricas equivalente, se elimina el parámetro i y se obtiene una ecuación cartesiana de la gráfica. Con frecuencia no puede eliminarse el parámetro y, por tanto, debe obtenerse la gráfica directamente de las ecuaciones paramétricas. A fin de dibujar la gráfica de un par de ecuaciones paramétricas. es útil encontrar las rectas tangentes de la gráfica. En general, no pue de realizarse esto sin aplicar técnicas de Cálculo. Aquí se ha restringi do el estudio a localizar puntos cuyas coordenadas x y y se encuentran a partir de los valores del parámetro, y a determinar ciertas características de la gráfica partiéndose de la forma de las ecuaciones paramétricas. Para trazar la gráfica de un par de ecuaciones paramétricas en la calculadora gráfica o graficadora, debe consultarse el manual del usua rio para cada graficadora particular. Algunas graficadoras re q u ie re n que se active el modo paramétrico. Otras, pueden utilizar un formato de trazado paramétrico. En cualquier caso, se necesitará introducir a I* graficadora las ecuaciones que definen a x(t) y y(t). Además, se deben indicar los valores mínimo y máximo de t a considerar. Se denotarán estos valores por t mín y t máx.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 A fin de trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas del ejemplo se introduce x(/) =* 2 eos t

y

y(t) = 2 sen t

i

10.2


601

y sean t mín = O y t máx = 2n. En el rectángulo de inspección de [-4 .5 , 4.5] por [-3, 3] se obtiene la circunferencia mostrada en la Fi gura 10.24. 4

► EJEMPLO 3

Nadaveaetí; os valoresifl(j¡

Dibujo d o la gráfica do un par tío ecuaciones param étricas Y determ inación do u n a ecuación cartesiana d e la gráfica

nocáqietKK,

lea porque a ¿ , La«cuBfer&< ramétiicas (k b

(a) Dibuje la gráfica de las ecuaciones paramétricas x = 3t*

-4 [rana el parto* [ Con fiecoendj[

duaer-i ¡i. ñw esp w g

En gener¿[¡

AquísehiKi siyyseí ciertas cari

-3 2

S o lu c ió n (a) Observe que x es no negativa. Así, la gráfica se restringe a los cuadrantes primero y cuarto. La Tabla 1 presenta valores de x y y para ciertos valores de t. Se localizan los puntos que tienen las coordenadas x y y correspondientes y se obtiene la gráfica de la Figura 10.25. La localización de puntos cercanos al origen nos in duce a creer que la recta tangente en el origen es horizontal, pero no podemos asegurar que éste sea el caso sin técnicas de Cálculo. La Figura 10.26 muestra la gráfica trazada en el rectángulo de inspección de [0,3] por [-1, 1] con / mín = - 2 y t máx = 2. (b) De las dos ecuaciones paramétricas, se obtiene j 3 = 271 6 y y 2 = 16f6. Al resolver cada una de estas ecuaciones para t, se tiene x3 27

a p ia n a ^ *s p aiaflî

jaficaifc^ 1

Uróüzarf1 esiw * «
I* *

y = 4Í3

y compruebe la gráfica en la graficadora. (b) Determine una ecuación cartesiana de la gráfica.

delagrafuíi etcwalcwa bbiiene

vectorial d*i:i

y

r = — 16

Si se igualan estos dos valores para t 6, se obtiene *3

y*

27

16

16a:3 = 21 y 2 la cual es la ecuación cartesiana deseada.

<

En Cálculo, los vectores se emplean para deducir ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo la suposjción de que el proyectil se desplaza en un plano vertical, en donde la única fuerza que actúa sobre el proyectil es la originada por la gravedad. Se despreciará la fuerza atribuida a la resistencia del aire, la cual para cuerpos pesados que se desplazan a velocidades pequeñas, no ejerce un efecto notable. No puede presentarse una discusión completa aquí, sin embargo, se dará una introducción a este tema. El sentido positivo se considera vertical hacia arriba y horizontal hacia la derecha, y los ejes coordenados se colocan de manera que el

602

C A P ÍT U L O 10

VECTORES, ECUACIO N ES PARAMÉTBICAS, COORDENADAS POLARES .

arma esté ubicada en el origen. Consulte la Figura 10.27. Si el proyec til se dispara desde un arma que tiene un ángulo de elevación (X medi do en radianes y el número de pies por segundo de la velocidad inicial o velocidad de salida se denota por vo, el vector velocidad inicial Vc está dado por V« = vo eos

fO, 3] p o r[-l, I] x(f) = 3/1 y y(t) =s

FIGURA 10.26

ai + vo sen aj

(2)

Sean t segundos el tiempo transcurrido desde que el arma fue dispara da, x pies la distancia horizontal del proyectil desde el punto de partida y y pies la distancia vertical del proyectil a los t segundos. Entonces, si R(f) es el vector de posición del proyectil a los t segundos, se demues tra en Cálculo que R M = “ 5 g t2j + V0r

(3)

donde g pie/s2 es la constante de aceleración debida a la gravedad. Uo valor aproximado para g, al nivel del mar, es 32. Al sustituir el valor de Vo de (2) en (3) se obtiene RW = “ 5 g t2} + (üo eos a i + Vo sen aj)t R(í) = tvo eos a i + (tvo sen a — 5 gt2)}

(4)

La ecuación (4) da el vector de posición del proyectil a los t segundos. A partir de esta ecuación se puede explicar el movimiento del proyec til. Generalmente nos interesan las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es el alcance del proyectil? El alcance es la distancia \0A\i lo largo del eje x. Véase la Figura 10.27. 2. ¿Cuál es el tiempo total de recorrido, es decir, el tiempo que tarda el proyectil para ir de O a A l 3. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil? 4. ¿Cuál es la ecuación cartesiana de la curva recorrida por el proyec til? 5. ¿Cuál es el vector velocidad del proyectil en el momento del im pacto? Se contestarán las primeras cuatro preguntas en el siguiente ejem plo. Para resolver la última son necesarias técnicas de Cálculo.

► EJEMPLO 4

Solución doI onunclado do un probkmo que Implica m ovim iento de un proyectil

Se dispara un proyectil con un arma, la cual tiene un ángulo de eleva ción de jii radianes. Su velocidad de salida es de 480 pie/s. Determine (a) el vector de posición del proyectil en cualquier tiempo; (b) 1* ecuaciones paramétricas de la posición del proyectil en cualquier tiem po; (c) el tiempo total de recorrido; (d) el alcance del proyectil; («) I* altura máxima alcanzada por el proyectil; (f) una ecuación cartesian* de la curva recorrida por el proyectil, (g) Trace la curva recorrida I** el proyectil.

m 10 .2

FUNCIONES VICTORIAIJES Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Solución es

De (2) con vo = 480 y a =

é0 3

el vector velocidad inicial

Vo = 480 eos 7 id + 480 sen 7 ni = 240 VJi + 240j (a) Se puede obtener el vector de posición a los t segundos al aplicar (4); así, R (/) = 240V 3 / i + (240/ - ¡g t2)j Al considerar g = 32 se tiene

R(/) = 240V 3fl + (240í - 16í2)j

(5)

(b) Si (x, y) es la posición del proyectil a los t segundos, entonces las ecuaciones paramétricas de la posición del proyectil son x - 240VJif

y

y = 240/ - 16/2

(6)

(c) Para determinar el tiempo de recorrido, se debe encontrar / cuan do y = 0. Al considerar y = 0 en la segunda ecuación de (6), se tiene 240/ - 16/2 = 0 /(240 - 16/) = 0 / = 0

/ = 15

El valor / = 0 corresponde al momento de dispararse el proyectil. El valor / = 15 proporciona el tiempo de recorrido. Conclusión; El tiempo total de recorrido es 15 s. (d) Para encontrar el alcance, se determina x cuando / = 15. De la pri mera ecuación de (6 ) con / = 15, se obtiene x = 3 600 V3~. Conclusión: El alcance es 3 600 V3~pie » 6 235 pie. (e) La altura máxima se alcanza cuando y tiene su máximo valor. De la segunda ecuación de (6 ) y = 240/ - 16/2 Debido a que la gráfica de esta ecuación es unaparábola abierta hacia abajo, el valor máximode y se tiene en el vértice,el cual, del Teorema 1 de la Sección 4.3, está en / = ó en / = y , y es irn me dio del tiempo total de recorrido. Cuando/ = -|f ,y = 900. Conclusión: La altura máxima alcanzada es 900 pie. (f) Para encontrar la ecuación cartesiana de la curva recorrida por el pro yectil, se elimina / entre las ecuaciones paramétricas (6 ). De la primera de estas ecuaciones, / = x / (240 v3). Al sustituir este valor en la segunda ecuación, se tiene

604

C A P ÍT U L O 10

VECTORES. ECUACIO N ES PARAMÉTRICAS, COORDINADAS P O lA liS

V =

y =

[0.6 240] por (0.1 000]

x(t) = 240>/3/ y y(l) * 240/ -

FIGURA 10.28

lór*

24oí * r - I - 16| 1 240 V3 240 V?

V3 X

10 800

la cual es una ecuación de una parábola. Puesto que t se restringió al intervalo [0, 15J, la curva recorrida por el proyectil es la por ción de la parábola en dicho intervalo. (g) Se traza la curva recorrida por el proyectil empleando las ecuacio nes paramétricas (6) con í mín = 0 y / máx = 15. Como el valor máximo de x es 6 235 y el valor máximo de y es 900 se elige el rectángulo de inspección de [0, 6 240] por [0, 1 000]. Así, se ob tiene la Figura 10.28. < Ahora se mostrará cómo las ecuaciones paramétricas pueden em plearse para definir una curva que está descrita por un movimiento fí sico. La curva considerada es la ciclo id e, la cual se describe por uo punto de una circunferencia a medida que ésta rueda sobre una recta. Suponga que la circunferencia tiene radio a. Sea el eje x la recta fija sobre la que rueda la circunferencia, siendo el origen uno de los puntos en los cuales el punto dado P, hace contacto con el eje x. Véase la fi gura 10.29, la cual muestra la circunferencia después de haber rodado un ángulo de t radianes. De la Figura 10.29, donde V(0/), \(TÁ\ \(Á P ) y \(Ó P) son los vectores que tienen los segmentos rectilíneos dirigidos indicados como representaciones, se tiene \ ( O T ) + V(7Í4) + V (Á ?) = \{ O P )

(7)

La longitud del arco PT es || V (0^) || = at. Como la dirección de \(Ó T ) es a lo largo del eje x,

\ ( p f ) = a tí También, || V(7>í)|| - a - a eos t. Debido a que la dirección de \(T A ) es la misma que la dirección de j,

\(TA) = a( 1 — eos

í)j

|| V (4 ? )|| = - a sen f, y la dirección de V(<4?) es la misma

\
Ésta es la ecuación vectorial de la cicloide. En ecuaciones de la cicloide son x = a(t - sen /)

y

I*

consec

^

y = a( 1 - cosí)

1

1 0 .2


605

donde t es cualquier número real. En la Figura 10.30 se muestra una porción de la cicloide.

2a

PM

-2 n a

- na

"

I

01

T

na

2 na

3 na

4 in s

FIGURA 1030

EJERCICIOS

1 0 .2

¡la ejercicios 1 a 10, halle el dominio de la Junción ttoriaL

| l ko = (i/o*

19. x = 21 \ y = 4 /2 20. x = 2í 2, y = 3f3

+ V4 - /j

[5. Rlí) =sen t i + tan / j

En los ejercicios 21 y 22, haga lo siguiente: (a) trace la grájica de las ecuaciones paramétricas en un rectángu lo de inspección apropiado para t en el intervalo indi cado; (b) encuentre urui ecuación cartesiana de la grájica. (Sugerencia: aplique la identidad pitagórica Jundamental.)

k l( 0 = sec/i + ese / j

21. x - 9 eos t y y = 4 sen1 . 1 E [0 ,2n]

v. R(f) = (sen-1 Oí + (eos-1 /)j

22. x = 4 eos t y y = 25 senr. / E [0,2n]

1 KO =(/2 - l)-'i + Vf2 + Ij 3. R(0 = ln/1 + e'j 4. R(f) = (e1+

l)-'i + (¿ ' - l ) - ‘j

8. R(í) = ln(/ + l)i + (tan-1 /)j P R(/) = Vi1 - 91 + V/ 2 +

2/

-

8j

l R(/i = Ví - 41 + V4 - rj

i ht ejercicios 11 a 16, dibuje la grájica de la ecua_p vectorial y encuentre una ecuación cartesiana de mpáfica.

P líO= eos/i + sen /j 1(0 = 4 eos/i + 4 sen rj RO) = 4 eos /i + 4 sen rj

w líO = 4 eos ti + 4 sen t j

t E [0, 7C]

24. x = 40/, y - 56/ - I6/2

t E [ - \ n . \n)

25.

l(í) a (1 - t 2)I + (1 + t)j [v* ejercicios 17 a 20, (a) dibuje la grájica de las paramétricas y verifique la grájica en la gro ara: (b) halle una ecuación cartesiana de la grájica.

j* * 2/ - 5, y • t + 1

los t segundos están dadas por las ecuaciones paramé tricas. Determine: (a) el tiempo total de recorrido: (b) el alcance del proyectil: (c) la altura máxima alcanza da por el proyectil; (d) una ecuación cartesiana de la curva recorrida por el proyectil, (e) Trace la curva re corrida por el proyectil. 23. x = 60/, y = 8/ - 16/2

*(0 = 3/i + 2/2j

I * *3 - 2 / , y = 4 + /

En los ejercicios 23 y 24, un proyectil se mueve

ñ
Un proyectil es disparado desde un arma con un ángulo de elevación de j n radianes y su velocidad de salida es 2 500 pie/s. Halle: (a) el vector de posición del proyectil en cualquier ins tante; (b) las ecuaciones paramétricas de la posición del proyectil en cualquier instante; (c) el tiempo total de recorrido; (d) el alcance del proyectil; (c) la altura máxima alcanzada por el proyectil, (f) una ecua ción cartesiana de la curva recorrida |>or el proyec til. (g) Trace la curva que recorre el proyectil.

ñ

CA PÍTU LO 1 0

V IC T O R E S , E C U A C IO N E S

PARAMÉTRICAS. COORDENADAS K H A B l. . .

606

rrr¿j Haga d ejercido 25. si d ángulo de elevaf {//m Ción es de \ K radianes y la velocidad de sa l i d a es de 160 pie/s. l E n un juego de béisbol, una pelota se batea I c ó n una velocidad inicial de 98 pie/s con un ángulo de elevación de 58°. Determine (a) la dis tancia horizontal recorrida y (b) la altura máxima alcanzada por la bola, (c) Trace la curva recorri da por la bola, (d) Encuentre una ecuación carte siana de la curva recorrida por la bola.

del ángulo AOB, demuestre que las ecuoooej ramétncas de la hipocicloide son

26

La velocidad de disparo de un arma es de

T í 160 pie/s. ¿A qué ángulo de elevación debe dispararse el arma a fin de que un proyectil dé en un objeto que se encuentra al mismo nivel del arma y a una distancia de 400 pie? 29. Una cicloide es generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia de 4 unidades de radio que rueda a lo largo del eje x. (a) Escriba las ecua ciones paramétricas de la cicloide donde el pará metro / es el número de radianes del ángulo que ha rodado la circunferencia, (b) Dibuje la cicloide para -2re < t < 4ti.

x « (a - bK o si + b eos —~ b

y * tu - ¿Osent - b ten—~ —j b

Trace la hipocicloide si a s 6 y b - 2 y -2* < ( £ 2n 32. Si a - 4b en el ejercicio 31, se tiene una hipoctda de de cuatro cúspides. Muestre que las »yii»«~W Da paramétricas de esta curva son x = a eos t

v = asen i

Trace la hipocicloide de cuatro cúspides si a * J» -2 ti < i < 2n. 33. (a) Trace las ecuaciones paramétricas

30. Haga el ejercicio 29 si el radio de la circunferencia es de 3 unidades.

31. Una hipocicloide es la curva trazada por un punto P de una circunferencia de radio b que rueda den tro de una circunferencia de radio a, donde a > b. Si el origen está en el centro de la circunferencia fija, entonces A(a, 0) es uno de los puntos en que el punto P hace contacto con la circunferencia fija, B es el punto móvil de tangencia de ambas circun ferencias y el parámetro t es el número de radianes

10.3

- 1

x = \ ( e ' + e~‘)

y

* * } ( * ' - «-*)

para -3 £ / 2á 3 en un rectángulo de i«panta apropiado, (b) Siga las instrucciones del incoo tu para las ecuaciones paramétricas x = - j ( * ' + e~‘)

y

(c) Trace los dos conjuntos de ecuaciones pmnttricas dados en los incisos (a) y (b) en el nsao rectángulo de inspección, (d) Describa las gráfica obtenidas en los incisos (a), (b) y (c) y diseuu as relaciones. La gráfica obtenida en el inciso (c>k denomina hipérbola equilátera y se estudiaráa h Sección 11.2.

COORDENADAS POLARES OBJETIVOS

1. Definir las coordenadas polares de un punió. 2. Localizar un punto a partir de sus coordenadas polares y

encontrar otros conjuntos de coordenadas polares dd punto 3. Obtener las ecuaciones que relacionan a las coordenadas

cartesianas rectangulares y coordenadas polares de un púa» 4. Encontrar las coordenadas polares de un punto a partir de s® coordenadas cartesianas rectangulares. 5. Encontrar la ecuación cartesiana de una gráfica a partir de su ecuación polar. 6. Encontrar la ecuación polar de una gráfica a partir de su ecuación cartesiana.

10.3 COORDENADAS POLARES -

P°*de$oi) 0

ft 1

31,KMKia^ M u estre que I * . .. ,

jva son J = aseo5!

r c u a tro cúspides s ,;

(nnraétncu y }■=&-' rccúigriodriqc ttbwdoustin

607

Hasta ahora se ha localizado un punto en el plano mediante sus coor denadas cartesianas rectangulares. Sin embargo, otros sistemas de coordenadas dan la posición de un punto en el plano. El sistema coor denado polar es uno de ellos, y es importante debido a que ciólas cur vas tienen ecuaciones simples en este sistema. Las coordenadas cartesianas son números, la abscisa y la ordena da, los cuales representan distancias dirigidas desde dos rectas fijas. Las coordenadas polares constan de una distancia dirigida y una medi da de un ángulo, el cual se considera con respecto a un punto fijo y un rayo fijo (o semirrecta). El punto fijo llamado polo (u origen), se de signa por medio de la letra O. El rayo fijo es denominado eje polar (o recta polar) y se representa con OA. El rayo OA generalmente se dibu ja de forma horizontal y se extiende a la derecha indefinidamente. Véase la Figura 10.31. Sea P cualquier punto del plano diferente de O. Sea 9 la medida en radianes del ángulo dirigido AOP, positiva cuando se mide en senti do contrario al giro de las manecillas del reloj y negativo cuando es en el sentido del giro de las manecillas del reloj, teniendo como su lado ini cial al rayo OA y el rayo OP como su lado terminal. Entonces, si r es la distancia no dirigida desde O a P (esto es, r = | OP |), un conjunto de coordenadas polares para P está dado por r y 0, y se escriben estas coordenadas como (r, 0).

mancas

I y * =:<

► EJEMPLO 1

Cndecanonc* s o s ta i > b ¿ i ( # ) D eserte *3 ía ) ,í f e j y ¡ e H c v ; [bten id a ■ si * 3(

dátmjstdd0

Localización de puntos a p a rtir de sus coordenadas polares

Localice cada uno de los puntos siguientes que tienen el conjunto indi cado de coordenadas polares: (a) (2, jn); (b) (5, jrt); (c) (I, jrt); (d) (3, Jrc); (e) (4, - jrc); (f) (j, -n). S o lu ció n (a) El punto (2, jn ) se determina al trazar primero el ángulo cuya me dida en radianes es £n, el cual tiene su vértice en el polo y su lado inicial está sobre el eje polar. El punto en el lado terminal, que está a 2 unidades del polo, es (2, jJt). Véase la Figura 10.32(a). De manera semejante se obtienen los puntos que se muestran en la Fi gura 10.32 (b)-(f). <

<*>) F I G l / R A 10.32

60 8

C A P ÍT U L O 1 0

(d)

VECTORES, ECUACIONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES ■. .

(e)

ífl

FIGURA 1032

p(4' h )

2.1

FIGURA 1033

FIGURA 1034

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 La Figura 10.33 muestra el punto (4, |jc). Otro conjunto de coordenadas polares para este punto es (4, - Jtc); véase la Figura 10.34. Ademólas coordenadas polares (4, yTC) también producen el mismo punto, comose muestra en la Figura 10.35. « En realidad, las coordenadas (4, + 2Jcit), donde k es cualquier entero, proporcionan el mismo punto que (4, |ít). De esta manera un punto dado tiene una cantidad ilimitada de conjuntos de coordenadas polares. Esto no ocurre en el sistema coordenado cartesiano rectangu lar en el cual existe una correspondencia uno a uno entre las coordena das y las posiciones de los puntos en el plano, mientras que tai correspondencia no existe entre las coordenadas polares y la posición de los puntos en el plano. Un ejemplo adicional se obtiene al conside rar conjuntos de coordenadas polares para el polo. S ir = Oy0escualquier número real, se tiene el polo, el cual es representado por (0,9). Ahora se considerarán coordenadas polares en las que r es negab vo. En este caso, en lugar de encontrarse el punto en el lado termina! del ángulo, el punto está en la prolongación del lado terminal; éstees el rayo desde el polo que se prolonga en sentido opuesto al lado temunal. En consecuencia, si P está en la prolongación del lado terminal del ángulo cuya medida en radianes es 0, un conjunto de coordenadas po lares de P es (r, 0), donde r = - I OP I.

FIGURA 1035

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 P (- 4.

i* ) 6 '

El punto ( - 4 , - j i t ) mostrado en la Figura 10.36 es el mismo «jue^ punto (4, |tü ), (4, —j-n) y (4, -^tc) del ejemplo ilustrativo 1. Otrocofr junto de coordenadas polares para este mismo punto es (-4, -j-*): ^ se la Figura 10.37. 4

FIGURA 1036

Con frecuencia, el ángulo se mide en radianes; de este conjunto de coordenadas polares de un punto es un par ordenado^ números reales. Para cada par ordenado de números reales exis

10.3

COORDINADAS POLARES

609

único punto que tiene este conjunto de coordenadas polares. Sin em bargo, se ha visto que un punto particular puede ser determinado por un número ilimitado de pares ordenados de números reales. Si el punto P no es el polo, y r y 0 se restringen de modo que r > 0 y 0 S* 0 < 2k, entonces existe un único conjunto de coordenadas polares para P.

► EJEMPLO 2

Localización do un punto a p a rtir do su* coordenadas polares y determinación de otros eon/untos d» coordenadas polares para e l punto

(a) Localice el punto cuyas coordenadas polares son (3, Encuentre otro conjunto de coordenadas polares de este punto para el cual (b) r < 0 y 0 < 0 < 2n\ (c) r > 0 y 0 < 0 < 2n; (d) r < 0 y -2ji < 9 < 0. Solución (a) El punto se localiza al dibujar el ángulo cuya medida en radianes es en el sentido del giro de las manecillas del reloj desde el eje polar. Puesto que r > 0, P está sobre el lado terminal del án gulo, a tres unidades del polo; véase la Figura 10.38(a). Las respuestas a (b), (c) y (d) son, respectivamente (-3, jn), (3,

y (-3, - |xc). Éstos se muestran en la Figura 10.38(bHd) ^

•P(-3. } * ) (b)

FIGURA 1038 A menudo se desea obtener tanto las coordenadas cartesianas como las coordenadas polares de un punto. A fin de lograr esto, se hace coincidir el origen del primer sistema con el polo del segundo

610

CAPÍTULO 10 VECTORES, ECUACIONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES . . .

sistema, el eje polar con la parte positiva del eje x y el rayo paraej que 0 = con la parte positiva del eje y. Suponga que P es un punto cuya representación en el sistema coordenado cartesiano rectangular es (jr, y) y (r, 0) es una repre sentación en coordenadas polares de P. Se distinguirán dos casos: r>( y r < 0. En el primer caso, si r > 0, entonces el punto P t sti enei lado terminal del ángulo de 0 radianes, y r = | OP La Figura 10.39 muestra tal caso. Así, co s0 * - í -

sen 0 =

\o p \

IOP\

x

y r

r De donde, x - r eos 0

y

y = r sen 9

En el segundo caso si r < 0, entonces el punto P está en la protoopción del lado terminal y r - - 1OP I. Véase la Figura 10.40. Por taoio si Q es el punto (-x, -y). eos 0

sen 0

=

\o

q

=

\

. —. \O Q \ -y

- X

\o _

p

\

\ó

-X

p

\

_

—r

- r X

_

r

y r

En consecuencia. (*.y)

FIGURA 10.40

x = r eos 0

y

y = r sen 0

Estas ecuaciones son las mismas que las ecuaciones (1), de modoq* son válidas en todos los casos. A partir de las ecuaciones (1) se pueden obtener las coordenada cartesianas rectangulares de un punto cuando se conocen sus cootdf' nadas polares. También de las ecuaciones se puede encontrar u» ecuación polar de una curva si se proporciona su ecuación cartesian» rectangular. A fin de obtener ecuaciones que den un conjunto de coordenada polares de un punto, cuando se conocen sus coordenadas cartesiana rectangulares, se elevan al cuadrado ambos miembros de cada ecu*' ción en (1) y se obtiene x 2 =s r2cos2 0

y

y 1 = r 2 sen2 0

Al igualar la suma de los miembros izquierdos de estas ecuaciones a*1 suma de los miembros derechos, se tiene

10.3

x2+

y 2=

COORDENADAS POLARES

r 2 eo s 2 0 +

611

r 2 sen 2 0

* 2 + y 2 = . r 2(sen 2 0 + cos 2 0 ) x 2 +y 2 s r2

r = ± Vx2 + y 2

*=>

(2 )

Si se dividen las ecuaciones en (1), se tiene r sen 0 __ y r eos 0 x <=>

>

tan # = x

(3)


El punto cuyas coordenadas polares son ( - 6 , Jn ) se muestra en la Figu ra 10.41. Se determinarán sus coordenadas cartesianas rectangulares De (1), x = r eos 3

y = r sen

= - 6 eos 74 n

= - 6 sen ?4 n

'O 1 II

= -6

= -3 V 2

= 3V2

í-fl

.

Por tanto, el punto es (-3VÍF, 3V2)

-4

La gráfica de una ecuación en coordenadas polares r y 0 consta de todos aquellos puntos y sólo aquellos que tienen al menos un par de coordenadas que satisfacen la ecuación. Si una ecuación de una gráfica está dada en coordenadas polares, se denomina ecuación polar para distinguirla de una ecuación cartesiana. En la Sección 10.4 se discuti rán métodos para obtener la gráfica de una ecuación polar.

► EJEMPLO 3

D eterm inación d e u n a ecuación cartesiana de u n a g ráfica a partir d e u n e ecuación polar

Determine la ecuación cartesiana de la gráfica que tiene la ecuación polar r 2 * 4 sen 20 Solución Debido a que sen 20 = 2 sen 0 eos 0 se tiene sen 20 = 2(y/r)(x/r), además r 2 * x 2 + y 2. AI sustituir esto en la ecuación polar dada, se obtiene

á

612

C A P ÍT U L O 10

V E C T O R E S , ECUACIONES PARAM¿TRICAS, COORDENADAS POLARES .

x 2 + y 2 = 4 (2 )- • r r x + y 2 = —r =

8jt> x2 + y 2

( x 2 + y 2)2 = 8jr>»

► EJEMPLO 4

D eterm inación da las coordenadas de un p u n to a partir do sus coordenadas cartesianas rectangulares

Determine (r, 0) si r > 0 y 0 < 0 < 2n, para el punto cuya repre sentación en coordenadas cartesianas rectangulares es ( - v3, -1). Solución El punto (-V5", -1 ) se muestra en la Figura 10.42. De (2), como r > 0, r = V3 + Í = 2 De (3), tan 6 = —1/(—V3~), y ya que n < 0 < |n , entonces 0 = Ijt

FIGURA 10.42

Por tanto, el punto es (2, -ri). 6

^

EJEMPLO 5

D eterm inación tío una ecuación polar de une g ráfica a partir do su ecuación cartesiana

Determine una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesia- Jj na es x 2 + y 2 - 4* = 0 Solución

Si se sustituye x —r eos 0 y y = r sen 0 en

x 2 + y 2 - 4x - 0 se tiene r 2cos2 0 +

r 2sen2 0 - 4reos 0 = 0 r 2 - Arcos 0 = 0 r(r - 4 eos 0) = 0

Por tanto, r = 0

o

r - 4 eos 0 = 0

i| ri

K R¡ V

10.3

COORDENADAS POLARES

613

La gráfica de r = 0 es el polo. Sin embargo, el polo es un punto de la gráfica de r - 4 eos 0 = 0 porque r -= 0 cuando 0 = |ic. Por tanto, una ecuación polar de la gráfica es r = 4 eo s 0 La gráfica de x 2 + y 2 - 4x = 0 es una circunferencia. La ecuación puede escribirse como ( ¿ ~ 2 )2 + y 2 = 4 la cual es la ecuación de la circunferencia de centro (2 ,0 ) y radio 2. <

ejercicios

10.3

lu ejercicios ! a 4, localice el punto que tiene el áecoordenadas polares indicado. 1. (a) (3,| )r) [ (d) (4, ¡ir)

(b) (2, § ir) (e) (S,$Tr)

(c) ( f ; ir)

p(t) (4, j ir) í Id) (2, jff)

(b) (3, U ) (e) (5, f ir)

(c)

l(a) (1, -¿ir) I (i) (-3, | ir)

(b) (3, - | i r ) (e) ( - 2 , —jir )

(c)

i D (5, —fir) I (d) (— 2,¡ir)

(b) ( 2 , - H (e) ( - 4 , - f ir)

(c) (—5, fir)

0,1»)

6. (3,1 ir) 9. (V2,Jir)

7. (2 ,iir ) 10. (2 ,|ir )

^ lc* el punto cuyas coordenadas polares son £ “«*). Encuentre otro conjunto de coordenaP°tares para este punto de modo que (a) r < 0 *°*0< 2ji; (b)r< 0 y -2n < 0 £0; (c) r > 0 y

. ■k# X ■l

13. (3, - \ i r )

14. (V2, - i ir)

15. ( - 4 , | tt)

16. (-2 ,fir )

17. ( - 2 ,

18. ( - 3 , -ir)

ir)

19. (2, 6)

I ¡otejercicios 5 a 10, localice el punto que tiene el de coordenadas polares indicado; después, feV't otro conjunto de coordenadas polares diurnopunto para el cual (a) r < O y O £ 0 < 2lt; *>0y-2*< $ $ 0; y (c) r < 0 y -2 * < 0 £ 0. m

para el mismo punto, uno con el mismo valor de r y el otro con un r de signo contrario.

el punto cuyas coordenadas polares son Encuentre otro conjunto de coordenadas Para este punto de modo que (a) r > 0 y <2*‘.(b)r > 0 y -2 * < 0 £ 0;(c)r < 0 4k. 13 a 20, localice el punto que tiene el co°rdenadas polares indicado; después, 01 «at conjuntos de coordenadas polares

20. (5 ,¿ir)

En los ejercicios 21 y 22, encuentre las coordenadas cartesianas rectangulares de los puntos cuyas coorde nadas polares se proporcionan.

(b) (V 2, - J i r )

21. (a) (3, ir) (c) ( “ 4 ,5 ir)

22. (a) ( - 2 , - i i r ) (c) (2, - J ir)

(d) ( - 1 , - ¡ i r ) (b) ( - 1 , ¿ir) (d) (2 ,¿ir)

En los ejercicios 23 y 24, determine un conjunto de coordenadas polares de los puntos cuyas coordenadas cartesianas rectangulares se proporcionan. Considere r>0y0£9<2n.

23. (a) (1, - 1 )

(b) ( - V 3 , 1) (d) ( ~ 5 , 0)

(c) (2, 2)

(b) ( - 1 .V 3 ) (d) ( - 2 , -2 V 3 )

24. (a) (3, - 3 )

(c) (0, -2 )

En los ejercicios 25 a 34, encuentre una ecuación polar de la gráfica que tiene la ecuación cartesiana indicada.

25. x 2+ y 2 =

a2

26. x + y = 1

27. y 2- 4(x + 1 )

28. x3 = 4y 2

29. x 2■ 6y -

30. x 2 - y 2 * 16

y2

31. (xa + y 2)2« 4(xa - y 2) 33. x 3 + y 3 - 3axy = 0

32. 2xy = a 2 2x

34. y = T + 1

614

CAPÍTULO 10

VICTORES, ECUACIONES PARAMÉTRICAS, CO O RDINADAS POLARES . . .

En los ejercicios 35 a 44, halle una ecuación cortesíana Je lo gráfica que tiene la ecuación polar indicada. 35.

r 2=

2 sen 20 36. r 2 eos 20 = 10

37.

r 2=

eos

0

38. r 2 = 4 eos 20

39. r 2 = 0

40. r = 2 sen 30

41. reos 0 = -1

42. r 6 = r 2 eos 20

43. r = ------- —-----44. r -----—__ • ~ ^ ** 3 - 2 eos 0 45. Explique por qué existe una correspondencia unoa uno entre la posición de un punto en el plano y su coordenadas cartesianas rectangulares, y por qué no existe tal correspondencia con las coordenadas polares del punto. En la explicación proporcione dos puntos como ejemplos: uno en el primer cuadrante y el otro en el segundo cuadrante.

10.4 GRAFICAS DE ECUACIONES POLARES OBJETIVOS

1. 2. 3. 4.

E ncontrar ecuaciones polares de rectas. E ncontrar ecuaciones polares de circunferencias. A prender pruebas de simetría para gráficas polares. Describir propiedades de caracoles y rosas a partir de sus ecuaciones polares. 5. D ibujar y trazar gráficas polares.

En la Sección 10.3 se dijo que la gráfica de una ecuación polar, deno minada gráfica polar, consta de aquellos puntos y sólo aquellos queal menos tienen un par de coordenadas polares que sastisfacen la ecua ción. En esta sección, se discutirán propiedades de tales gráficas y se obtendrán hechas a mano y en la calculadora gráfica o graneadora. La ecuación

¡ 1 c donde C es una constante, es satisfecha por todos los puntos cuyas coordenadas polares son (r, C) sin importar el valor de r. Por tanto, la gráfica de esta ecuación es una recta que contiene al polo y forma un ángulo de C radianes con el eje polar. Véase la Figura 10.43. La mis ma recta está dada por la ecuación 0 = C ± fen FIGURA 10.43

donde k es cualquier entero.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 (a) La gráfica de la ecuación 0 =1*

10.4

GRÁFICAS PE ECUAOOWES POLAKS

613

se ¡nuestra en la Figura 10.44. Es la recta que contiene ai polo y forma un ángulo de ¿ n radianes con el eje polar. La misma recta está dada por las ecuaciones 0 = |t t

0 = ¡n

6 = - } tt

0 = -Jir

y así sucesivamente. (b) La Figura 10.45 muestra la gráfica de la ecuación 6 = \ tt Es la recta que pasa por el polo y forma un ángulo de | jc radianes con el eje polar. Otras ecuaciones de esta recta son 0 = ln

6 = 1n

0= -$ir

6 =

w

y así sucesivamente.

FIGURA 10.44

4

FIGURA 10.45

En general, la forma polar de la ecuación de una recta no es tan simple como la forma cartesiana. Sin embargo, si la recta es paralela al eje polar o al eje jrc, la ecuación es bastante simple. Si la recta es paralela al eje polar y contiene al punto B cuyas coordenadas cartesianas son (0 , b), de modo que las coordenadas pola res de B son (b, jic), entonces una ecuación cartesiana es y = b. Si se sustituye y por r sen 0 , se tiene r sen 0 = b 0a3

la cual es la ecuación polar de cualquier recta paralela al eje polar. Si b cs positivo, la recta está arriba del eje polar. Si b es negativo, la recta se encuentra debajo del eje polar.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 En la Figura 10.46 se tiene la gráfica de la ecuación

616

CAPÍTULO 10

V iC T O R IS , ECUACIONES PARAMÍTRICAS, CO O R D IN A D A S POIARES . . .

y en la Figura 10.47 se presenta la gráfica de la ecuación r sen 0 = -3

«

Ahora considere una recta paralela al eje ~k o, equivalentemente, perpendicular al eje polar. Si la recta pasa por el punto A cuyas coor denadas cartesianas son (a, 0) y sus coordenadas polares son {a, 0), en tonces una ecuación cartesiana de esta recta es jc = a. Al sustituirxpor r eos 0, se obtiene reos 0 * a la cual es la ecuación polar de cualquier recta paralela al eje jX. Si a es positivo, la recta está a la derecha del eje jic. Si a es negativo, la recta se encuentra a la izquierda del eje £it.

2

FIGURA 10.47

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 La Figura 10.48 muestra la gráfica de la ecuación r eos 0 = 3 y la Figura 10.49 presenta la gráfica de la ecuación r eos 0 = -3

r eos 8 = - 3

r eos 6 = 3

(3.0)

0

J ‘

ir(3.w)

I ,

— ir 2

2

F I G U R A 1 0 .4 8

F I G U R A 1 0 .4 9

La gráfica de la ecuación

r * C donde C es una constante, es una circunferencia cuyo centro está en polo y su radio es | C |. La misma circunferencia está dada p°f ecuación

r * -C

10.4

>

GRÁFICAS P i ECUACIONES ROLARES

617


En la Figura 10.50 se tiene la gráfica de la ecuación

r= 4 Es una circunferencia con centro en el polo y radio 4. La misma cir cunferencia está dada por la ecuación r = -4

aunque el uso de tal ecuación no es común.

^

Como con la recta, la ecuación polar general de una circunferen cia no es tan simple como la forma cartesiana. Sin embargo, ciertos ca sos especiales de la ecuación de una circunferencia ameritan considerarse en forma polar. Si una circunferencia contiene al origen (el polo) y tiene su centro en el punto cuyas coordenadas cartesianas son (a, b ), entonces una ecuación cartesiana de esta circunferencia es x 2 + y 2 — 2 a x — 1 by = 0

Una ecuación polar de esta circunferencia es (r eos O)2 + (r sen O)1 - 1a(r eos 0) - 2b(r sen 6) = 0 r2(cos2 0 + sen2 0) - la r eos 9 - 2br sen 0 = 0 r2 - la r eos 9 - Ibr sen 9 = 0 r(r - l a eos 9 - Ib sen 0) = 0 t

= 0

r — la eos 9 - Ib sen 0 = 0

Como la gráfica de la ecuación r = 0 es el polo y el polo(r = 0 cuando0 = tan-‘(-a / b)) está en la gráfica de r - la eos 0 - Ib sen 0 = 0, una ecuación polar de la circunferencia es r = l a eos 9 + I b sen 0

Cuando b = 0 en esta ecuación, se tiene r =

la

eos 0

Esta es una ecuación polar de la circunferencia de radio | a | unidades, tangente al eje y con su centro en el eje polar o en su prolongación. Si a > 0, la circunferencia está a la derecha del polo como en la Figura 10.51, y si a < 0, la circunferencia se encuentra a la izquierda del polo. Si a = 0 en la ecuación r = la eos 9 + Ib sen 0, se tiene r * Ib sen 0 la cual es la ecuación polar de la circunferencia de radio | b | unida des, tangente al eje polar y con su centro en el eje jn o en su prolonga ción. Si b > 0, la circunferencia está arriba del polo, y si b < 0, la circunferencia está debajo del polo.

618

CAPÍTULO 10

VICTORES, ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES .

►

EJEM PLO 1

Dibujo do gráficas potaros

Dibuje la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes: (a) r = 5 cogg. (b) r = - 6 sen 0. Solución (a) La ecuación r = 5 eos 0 es de la forma r = 2a eos 0 con a = |. Así, la gráfica es una cir cunferencia con centro en el punto cuyas coordenadas polares son (|, 0) y tangente al eje ^Jt. La gráfica se presenta en la Figura 10.52. (b) La ecuación

F IG U R A 10.52

r = - 6 sen 0 es de la forma r = 2b sen 0 con b = -3. La gráfica es la circunfe rencia con centro en el punto cuyas coordenadas polares son (3, |j t ) y tangente al eje polar. La gráfica se muestra en la Figura 10.53. <

Resumen de ecuaciones polares de rectas y circunferencias C, a y b son constantes 0 m C

FIG U R A 10.53

Recta que contiene al polo; forma un ángulo de C radianes con el eje polar.

r sen 9 = b

Recta paralela al eje polar; arriba del eje polar si b > 0, debajo del eje polar si¿><0.

r eos 6 = a

Recta paralela al eje jn; a la derecha del eje si a > 0, a la izquierda del eje si a < 0. Circunferencia; centro en el polo; radio

r = C

c. r = 2a eos 0

r = 2b sen 0

Circunferencia; radio | a |; tangente al eje j n; centro en el eje polar o en su prolongación. Circunferencia; radio J b |; tangen^ al eje polar; centro en el eje 0 68 1 j su prolongación.

A n tes de d isc u tir o tras g ráficas polares, se estudiarán ^ d ad es d e sim etría. L as sigu ien tes pruebas de sim etría pueden

í

10.4

GRÁFICAS DE ECUACIONES POLARES

619

trarse a p a rtir d e la d e fin ic ió n d e sim etría d e u n a g rá fic a dad a en la S e c c ió n 1.5.

Pruebas de simetría U n a g rá fic a p o la r es

(i)

sim étrica con resp ecto al eje polar si se obtiene una ecuación e q u iv a len te c u an d o (r, 0) se sustituye por (r, - 0 ) o ( - r , n - 0); (ü ) sim étrica con respecto al eje jn si se obtiene una ecuación equi valente c uando (r, 0) se sustituye por (r, n - 0 ) o ( - r , -0 )\ (üi) sim étrica con respecto al p olo si se obtiene una ecuación equi v alen te c u an d o (r, 0) se sustituye p o r ( - r , 0) o (r, n + 0).

>

E JE M P L O

IL U S T R A T IV O

5

P a ra la g rá fic a d e la e cu a ció n r = 4 e o s 20 se e fe c tu a rá n las p ru e b a s d e sim etría con resp ecto al eje polar, al eje

j n y al polo. P a ra la p ru e b a d e sim etría c o n re sp ec to al eje polar, se sustituye (r, 0 ) p o r (r, - 0 ) y se o b tie n e r = 4 c o s ( - 2 0 ) , la cu al es e q u iv a len te a r - 4 eos 20. P o r tanto, la gráfica es sim étrica con respecto al eje polar. P a ra la p ru e b a d e sim e tría c o n re sp ec to al eje j í t , se sustituye (r, 0) p o r (r, 7t — 0) en la e cu a ció n d a d a y se obtiene r = 4 cos(2(rc - 0)) o equivalentem ente, r = 4 cos(2rc - 20), la cual equivale a r = 4 eos 20. P o r tanto, la g rá fic a e s sim étrica con respecto al eje jK. P ara la p ru e b a de sim etría con respecto al polo, se sustituye (r, 0) po r ( - r , 0) y se o b tie n e la ecuación - r = 4 eos 2 0 , la cual no es equi valente a la e cu a ció n dad a. P ero se debe determ inar tam bién si el otro conjunto d e c o o rd e n a d a s funciona. A l sustituir (r, 0) p o r (r, n + 0) se obtiene r = 4 e o s 2(tc + 0) o, equivalentem ente, r = 4 cos(2tc + 20), la cual e q u iv a le a la e cu ació n r = 4 eos 20. P or tanto, la gráfica es sim é trica con resp ec to al polo. 4 C u a n d o se d ib u ja una g ráfica polar, se determ ina si contiene al polo su stitu y en d o 0 p o r r en la ecuación y resolviéndola para 0.

► EJEMPLO 2

D ib u jo d o g r á f ic a s p o ta ro s

D ibuje la gráfica d e la ecuación r * 1 - 2 eos 0

620

CAPITULO 10 VECTORES, ECUACIONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES

Solución D ebido a que se obtiene una ecuación equivalente cuan do (r, 0) se sustituye por (r, - 0 ), la gráfica es simétrica con respecto al eje polar.

T a b la 1

0

r

0

-1

¿IT Í7T

1 - V3

0 u i* tr

0 1 2 1 + V3 3

Si r = 0 , se obtiene eos 0 = j , y s i O £ 0 £ 7t , entonces 0 = -k. En consecuencia, el punto (0, j tc), el polo, está en la gráfica. La Tabla 1 presen ta coordenadas de algunos otros puntos de la gráfica. A partir de estos puntos se d ib u ja la m itad d e la gráfica; el resto se obtiene de la sime tría con respecto al eje polar. L a gráfica se muestra en la Figura 10.54. i I E n la Figura 10.54, la gráfica se dibujó en un sistema de coordenadas polares. Se le p edirá q u e dibuje algunas gráficas polares en un sistem a d e coordenadas polares en los ejercicios 39 a 48. L as ecuaciones param étricas pueden em plearse para trazar gráfj- I cas polares e n u n a graficadora. El teorem a siguiente muestra cómo de- i finir una gráfica m ediante un p a r de ecuaciones paramétricas.

TEOREMA 1

L a gráfica de la ecuación po lar r = las ecuaciones param étricas

x = / ( / ) eos t

y

f(6)

está definida

mediante

j

y = / ( / ) sen t

D e m o stra c ió n Sea (x, y) la representación cartesiana de un punto/1 I cuya representación polar es (r, 0 ). E ntonces

x - r eos 0

y = r sen 0

y

C om o r = f ( 0 ) , se tiene

x = f ( 0 ) COS0

y

y = f ( 0 ) sen 0

A l sustituir 0 por t, de m odo que ahora el parám etro sea t, se obtiene

x = / ( / ) eos t

t>

E JE M P L O

y

y = f ( t ) sen t

IL U S T R A T IV O

1¿i

É KA'

6

Para trazar la gráfica del ejem plo 2 en la graficadora, se utilizan I* I ecuaciones del T eorem a 1:

x = / ( / ) eos t

y

y = / ( r ) sen /

donde f ( 0 ) = 1 - 2 eos 0 \ es decir, x = (1 - 2 c o s í ) c o s í

y

v = (1 - 2 c o sí)se n t

C on la graficadora en los m odos param étrico y de radianes, ¡ ^ 2n, se elige [-3 , 3] por [-2 , 2] com o rectángulo de inspección y

10.4 GRÁFICAS D I ECUACIONES POLARES

tiene la g ráfica m ostrada en la Figura 10.55, la cual es acorde con la c u rv a d e la F igura 10.54. 4

|ónequivalente^ ¡métricaconrc¿

L a g ráfica p o lar del ejem plo 2 y la del ejem plo ilustrativo 6 se d e n om ina limaçon , una p alabra francesa que proviene del latín Umax y que significa caracol. U n caracol (o limaçon) es la gráfica de una ecuación de la form a

entonces0:1^

Jca-LaTaHalfE^

ica. A pamrdtx, c obtienedela5 % n laFigura10ií, n sistema ráficas polart: r ; 9a48.

621

r - a ± b eos 0

r.3, 3] por 1- 2.21 r* l - 2 cos0

a ± b sen 0

donde a > 0 y b > 0. E xisten cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razón a/b.

FIGURA 10.55

Tipos de caracoles D e la ecuación r = a + b eos 0 , donde a > 0 y b > 0.

h 0 < f < I b 2- f = ‘

3. J < - < 2

0

4. 2 < £

0

caracol con un lazo

(a)

Caracol con un lazo. Véase la Figura 10_56(a). Cardioide. Véase la Figura 10-56(b). Caracol con hendidura. Véase la Figura 10.56(c).

Caracol convexo (sin hendidura). Véase la Fi gura 10.56(d).

622

CAPÍTULO>J 0 _ VECTORES , ECUACIONES PARAMÉTRÉ CAS, C O O R D E N A D A S P O L A R E S . . .

Cuando estudie Cálculo, donde se tratan las rectas tangentes hori zontales y verticales de gráficas polares, será evidente el porqué log caracoles del tipo 3 tienen hendidura y los del tipo 4 no. A partir de la ecuación de un caracol, se puede determinar su si metría y la dirección en la que apunta.

/' /■

I Sim etría y dirección d e u n ca ra co l I

►

a > O yb > 0 r = a + b eos 0

Simetría con respecto al eje polar; apunta hacia la derecha.

r = a - b eos 9

Simetría con respecto aJ eje polar; apunta hacia la izquierda.

r = a + b sen 0

Simetría con respecto al eje -jt; apunta hacia arriba.

r = a - b sen 0

Simetría con respecto al eje -k; apunta hacia abajo.

EJEM PLO 3

Descripción y trazado d t caracola

Para cada uno de los caracoles siguientes, determ ine el tipo, su sime tría y la dirección en la que apunta. Trace el caracol: (a) r » 3 + 2 sen 6: (b) r = 2 + 2 eos 0; (c) r = 2 - sen 0. Solución (a) La ecuación r = 3 + 2 sen 0 es de la form a r = a + b sen 9 con

a = 3 y b = 2. Como ^

j y 1 < — < 2, la gráfica es un caracol

con hendidura. Es simétrica con respecto al eje j n y apunta hacia arriba. Al trazar la gráfica de ecuaciones paramétricas

[-9,9] por [-6,61 r * 3+ 2 sen 0 FIGURA 10.57

x = (3 + 2 sen /)eos t

y

y = (3 + 2 sen r)sen /

para 0 < í £ 2it en el rectángulo de inspección [-9 , 9] por [-6. se obtiene el caracol de la Figura 10.57. (b) La ecuación r = 2 + 2 eos 0 es de la form a r = a + b c o s O c o

h t. t

%

a = 2 y b = 2. Como t = 1, la gráfica es una cardioide. Es simé o trica con respecto al eje polar y apunta a la derecha. Se traza la cardioide a partir de las ecuaciones paramétnc#

x = (2 + 2 eos /)eos t

y = (2 + 2 eos Osen t

tu

10.4 GRÁFICAS DE ECUACIONES POLARES

623

para 0 £ t £ 2n en el rectángulo de inspección [-7.5,7.5] por [-5,5] como se muestra en la Figura 10.58. (c) La ecuación r = 2 - sen 0 es de la forma r = a - b sen 0 con a = 2 y b = 1. Como t = 2, la gráfica es un caracol convexo. Es simétrica

-73,7.5}por 1-5.5] r s 2 + 2cos 6 FIGURA 10.58

con respecto al eje ^7i y apunta hacia abajo. La gráfica se muestra en la Figura 10.59, trazada a partir de las ecuaciones paramétricas x = (2 - sen t)eos t para 0

y

y = (2 - sen í)sen t

t < 2n en el rectángulo de inspección [-6,6] por [->4, 4]. <

La gráñea de una ecuación de la forma r = a eos nO

o

r = a sen n0

es una r o s a , con n hojas si n es impar y 2n hojas si n es par. La longi tud de una hoja es | a |.

► EJEM PLO 4

Descripción y trazado do una gráfico polar

D escriba y trace la g rá ñ e a de la ecuación [-6,6] por [-4,4] r = 2- sen 9 FIGURA 10.59

r = 4 eo s 20

Solución L a ecuación es d e la form a r = a eos n0 donde n = 2. C om o n es par, la g ráfica es una rosa de cuatro hojas. La longitud de una h oja es 4. E n el ejem plo ilustrativo 5, se probó que la gráfica es si m étrica con respecto al eje polar, el eje y el polo. La gráfica contie ne al polo p orque cuando r = 0 se tiene e o s 29 - 0 de lo cual se obtiene, para 0 <

8 = l4 n

9 £ 2n,

0 = in 4

0 = \ k4

Se traza la gráfica de las ecuaciones paramétricas

x = 4 eos 2 / eos t

y

y = 4 eos 2 1 sen t

para 0 < / £ 2n en el rectángulo de inspección [-7.5, 7.5] por [-5, 5] com o se m uestra en la Figura 10.60. La gráfica es acorde con la des cripción. * O b serv e q u e si en la ecuación de una rosa se toma n = 1, se ob tiene

r = a eos 9

o

= a sen 9

la cual es una ecuación de una circunferencia. Por tanto, una circunfe rencia se considera como una rosa de una hoja.

624

CAPÍTULO 10

VECTORES, ECUACIONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES . , . ___

Otras gráficas polares que ocurren con frecuencia son las espira les (véase los ejercicios 25 a 28) y las lemniscatas {véase los ejercicios 29 a 32). La gráfica del ejemplo siguiente se denomina espiral deAr químedes.

►

EJEM PLO 5

Descripción y trenado do uno gráfica polar

Describa y trace la gráfica de la ecuación r = 6

9 >0

Solución Primero observe que no existe simetría para la gráfica. Además, conforme 6 crece también lo hace r. Cuando r = 0,0=0; de modo que el polo está en la gráfica. Cuando 0 = nn, donde n es cual quier entero, la gráfica intersecta al eje polar o a su prolongación, y cuando 0 = ln n %donde n es cualquier entero impar, la gráfica intersccta al eje o a su prolongación. Ahora se traza la gráfica de las ecuaciones paramétricas

(-42,42] por (-28, 28] r= 0 0 Z0 FIG U R A 10.61

* = icos t

y

y = / sen í

para t £ 0 en el rectángulo de inspección [-42, 42] por [-28, 28]. Se obtiene la gráfica de la Figura 10.61, la cual es acorde con la descrip ción. 4

E J E R C IC IO S

1 0 .4

En los ejercicios I a 8, dibuje la gráfica de la ecuación. L 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(a) 0 = \n (a) 0 « \n (a) 0 - 2 (a) 0 = -3 (a) r eos (a) r sen (a) r sen (a) r eos

0 0 0 0

(b) (b) (b) (b) = 4 (b) * 2 ( b) = - 4 (b) =-5 (b)

r r r r r r r r

= Ijt = |ji = 2 = -3 = 4 eos 0 = 2 sen 0 = - 4 sen 0 *s -5 eos 0

En los ejercicios 9 a 18, determine el tipo de caracol, su simetría y la dirección en la que apunta. Trace el ca racol. 9. 11. 13.

r * 4(1 - eos 0) r * 2(1 + sen 0) r = 2 - 3 sen 0

10. 12. 14.

r = 3(1 - sen 0) r = 3(1 + eos 0) r = 4 - 3 sen 0

15. r s 3 - 2 eos 0 16. r = 3 - 4cosí 17. r = 4 + 2 sen 0 18. r = 6 + 2 a *9 En los ejercicios 19 a 38, describa y trace la ecuación. 19. r=2 sen 30 20. r - Asen50 21. r = 2 eos A0 22. r * 3 eos 20 23. r = 4 sen 20 2A. r = 3 eos 30 25* r=e (espiral logarítmica) 26- r = 0/3 (espiral logarítmica) 27. r = — (espiral recíproca) 28. r = 20 (espiral de Arquímedes) 29. r 2 = 9 sen 20 (lemniscata) 30. r 2 = 16 eos 20 (lemniscata) 31. r 2 = -2 5 eos 20 (lemniscata) 32.

- 4 sen 20 (lemniscata)

10.5

N a so»i,

f 2 scn0 tan 0 (cisoide)

i s gff (espiral de Fermat) f

•W|

- 2sec 9 - 1(concoide de Nicómedes) g 2ese 9 + 3 (concoide de Nicómedes)

s Isen201 38. r = 2 | eos 0 | l l [35gráficas polares se pueden trazar sobre papel pin gráficas polares que emplea un sistema de f coordenadas polares tal como en la Figura 10.54. i Construyauno de estos sistemas con regla, compás ytransportador. En este sistema trace la gráfica de ! rsl+4sen 0 .

enescg i los ejercicios 40 a 48, siga las instrucciones del ncioJ9para trazar la gráfica de la ecuación poKr =5 - 3sen 0

41. r = 4 —eos 0

Irs3 + 5co50

43. r - 2(1 - sen 0)

I r s 6(1 - eos 0)

45. r = 4 + 3 eos 0

r= 3 + sen 9

47. r = 3 eos 50

r* 2sen40

FORMA POLAR DI NÚMiltOg C O M P L E J O S

En los ejercicios 49 a 52, trace las gráficas de las dos ecuaciones en el mismo rectángulo de inspección. Des pués utilice el rastreo y el aumento de la graficadora para aproximar a dos dígitos significativos las coorde nadas cartesianas rectangulares de los puntos de inter sección de las gráficas.

49.

r * 3 r = 2(1 + eos 0)

50.

r = 5 eos 0 r = 5 sen 0

51.

r = 2 eos 20 r s 2 sen 0

52.

r = 2 sen 30 r = 4 sen 0

En los ejercicios 53 a 56, determine algebraicamente las coordenadas polares de los puntos de intersección de las gráficas del ejercicio indicado y compare las respuestas con las coordenadas cartesianas rectangu lares encontradas algebraicamente. (Sugerencia: igua le los dos valores de r en términos de 6 y resuelva la ecuación trigonométrica resultante.) 53. Ejercicio 49

54. Ejercicio 50

55. Ejercicio 51

56. Ejercicio 52

D.5 F O R M A P O L A R D E N Ú M E R O S C O M P L E J O S

OBJETIVOS

625

1. Representar números complejos como puntos en el plano complejo. 2. Encontrar el valor absoluto de un número complejo. 3. Aprender la forma polar de un número complejo. 4. Expresar un número complejo en forma polar estándar. 5. Obtener fórmulas para el producto y el cociente de dos números complejos expresados en forma polar. 6. Expresar en forma cartesiana el producto de dos números complejos dados en forma polar. 7. Expresar en forma cartesiana el cociente de dos números complejos dados en forma polar. En capítulos anteriores se vio cómo los números complejos pueden considerarse para uso “real” cuando surgen de manera natural en la so lución de un problema. Si continúa su estudio de matemáticas más allá del curso de Cálculo, aprenderá que los números complejos tienen sig nificado tanto en aspectos teóricos como de aplicación. En esta sección se dará una representación de los números complejos y se mostrará cómo estos números pueden expresarse en términos de coordenadas pola-

626

CAPÍTULO 1 0

VECTORES, ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES

im aginario

b- ----------- f (a + bi) 0

a

FIGURA 10.62

res. Después, en la Sección 10.6, se aplicará la forma polar para cafo, lar potencias y raíces de números complejos. El conjunto de números complejos puede representarse por pumoen un sistema de coordenadas rectangulares. En dicha representación el eje horizontal se denomina eje real y el eje vertical se le llamad imaginario. Los puntos del plano, denominado plano complejo, su puestos en correspondencia uno a uno con los números complejos. U representación geométrica del número complejo a + bi es el puno P(a, b) en el plano complejo, y el punto se llama gráfica del número Consulte la Figura 10.62. ►

imaginario

EJEM PLO 1

Representación d e números complejos como p untos en e l plano complejo

• (3 + SÉ

(-3 + 5/) •

Muestre la representación geométrica de cada uno de los números complejos siguientes en el plano complejo: 3 4 5i; - 3 4 5í; -3-5r 3 - 5/; i; -2i; 4, y -6 . -4-4-

Solución

(-3 - 5i) •

• (3 - m FIGURA 10.63

imaginario

4

Los puntos se muestran en la Figura 10.63.

Observe que cualquier número real se representa por un puntoes el eje real y cualquier número imaginario puro se representa por un punto en el eje imaginario. La representación geométrica del númerr complejo a 4 bi y su conjugado a - bi son puntos simétricos conres pecto al eje real. Véase la Figura 10.64. Si a 4 bi es un número complejo arbitrario, entonces la distancu en el plano complejo desde el origen hasta la gráfica de a + bi o >la *"+ b 2. Consulte la Figura 10.65. Este número se denomina valor absoluto o módulo de a 4 bi.

bi - ---------f (a + bi) DEFINICIÓN

I

1a O -b i - --------- • (a - bi)

V a lo r a b s o lu to d e u n n ú m e ro complejo

El v a lo r a b s o lu to o m ó d u lo del número complejo a + bi, deno tado por | a 4 b i | , está dado por

FIGURA 10.64

(a 4

>

bi

J . = Va2 4

EJEM PLO 2

b1

Determinación d el valor absoluto do w» núm ero complejo

D e te rm in e el v a lo r a b s o lu to in d ic a d o en las siguientes expresi°n J (a) | 6 - i |; (b) | -3 4 2i |; (c) | - 4 - 3í |; (d) 15i |. Solución

-"-v í

(a) |6 - i\ = V 6 2 + ( - 1 ) 2 FIGURA 10.65

= V 37

(b) | —3 + 2/| - V H ) ’ + « v il

10.3

FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOS

627

(c) 1 -4 - 3 /1 « V ( - 4 ) 2 + (- 3 )2 (d) 15í| = V o 2 + ? = V 25

= V25

= 5

= 5

<

Al considerar números complejos cuya parte imaginaria es dife rente de cero, no hay un criterio para decidir cuando uno es mayor o menor que otro. Sin embargo, los símbolos < y > se pueden emplear con los valores absolutos de números complejos porque éstos son nú* meros reales. Si | z\ | < | Zi |, entonces el punto del plano complejo que representa a z\ está más cerca del origen que el punto que repre* senta a zi. Además, si | z\ | = IZ2 I, los puntos que representan a z\ y Z2 están a la misma distancia del origen del plano complejo; esto es, están en una circunferencia con centro en el origen. Si el punto (a, b) está expresado en coordenadas polares con r £ 0, como se indica en la Figura 10.66, entonces a e reos 0

y

b = r sen 0

Por tanto, a + bi = r eos 0 + (r sen 0)i a + bi i r(cos 0 + * sen 0) El miembro derecho de esta ecuación se denomina forma polar (o forma trigonométrica) del número complejo a + bi. Suele abreviarse como r cis 0 , donde cis proviene de coseno, i y seno. En contraste, a + bi se denomina forma cartesiana (o forma algebraica). Como se requirió que r no fuese negativo, entonces r = | a + bi | El ángulo 6 se denomina argumento (o amplitud) de a + bi. El argu mento puede medirse en grados o radianes. Como sen(0 + 2kn) = sen 0

y

cos(0 + 2kn) = eos 0

donde k & Z, entonces si 0 es un argumento de a + bi, también lo es un ángulo 0 + 2toi, k S Z. El argumento 0 para el cual 0 £ 0 < 2n, se denomina argumento principal. Cuando se emplea el argumento princi pal, se dice que el número complejo está en la forma polar estándar. >


Se desea expresar el número complejo VT + i en la forma polar están dar. La Figura 10.67 muestra la representación geométrica de este nú mero. Primero se determinan r y 0 a partir de las fórmulas

628

C A P ITU LO 1 0

VECTORES, E C U A C IO N E S P A R A M E TR IC A S , C O O R D E N A D A S P O L A RES . . .

Como a = v3 y b - 1, se tiene r -

I

+ jf

eos V

sen 0 = —

=

2

= V (V 3 )2 + l 2 = 2

De los valores de sen 0 y eos 0 , se obtiene 0 = ^7t. Por tanto, VT + i = r(cos 0 + i sen 0) = 2(cos¿Jt + isen ¿ it)

>


Para expresar el número complejo -3 + 3i en la forma polar estándar, primero se determina r y 9 con a = -3 y b = 3. Véase la Figura 10.68. im a g in a r io

r = V a 2 + b2

sen 0 = r

eos 6 = r

= V ( - 3 ) 2 + 32 -3

= 3V 2

3V 2

3V 2

real

V2

V2

De los valores de sen 0 y eos 0 , se deduce que 0 = ^K. Así.

1 sen

-3 + 3/ = r (eos 0 +

= 3VÜT(cos¿7C +

0)

1 sen^rc)

4

Si un número complejo es real, entonces en forma cartesiana es a + 0 1. Para este número r = | a |. Si a > 0, eos 0 = 1 , sen 0 = 0, y por tanto, 0 = 0; si a < 0, entonces eos 0 = - 1 y sen 0 = 0, de modo que 0 = n. Por tanto, en forma polar a = ¿/(eos 0 + i sen 0) a = | a | (eos k

si a > 0

+1 sen n)

si a < 0

Para el número real 0. la forma polar es 0(cos 0 + i sen 0) donde 0 es cualquier ángulo. Para el número imaginario puro 0 + bi, r = \ b |. Si b > 0, enton ces eos 0 = 0 y sen 0 = 1 y en consecuencia 0 = in ; si b < 0. entonces eos 0 = 0 y sen 0 = -1 , de modo que 0 = j n. Por tanto, en forma polar bi = b(cos j Tü + i s e n ^ n ) bi -

\ b \ (eos

^71 -1-

isen^rc)

si b > 0 si b < 0

10.5

►


EJEM PLO 3

629

E xpresión d e n ú m e ro s c o m p le jo s e n fo r m a p o la r e stá n d a r

Escriba los números siguientes en forma polar estándar: (a) 4 - 4VÜTi; (b) 2 + 5i. Solución

Se emplean las fórmulas mos 9- — — *e

r

4_ 4V 3i )

(a) Si a + bi = 4 - 4 \3 i, entonces a = 4 y b = -4^ 3. El punto que representa al número complejo se muestra en la Figura 10.69. De las fórmulas se obtiene r = V16 + 48

eos 9 = —

8

= 8

sen 9 = -4V3"

8

V3 ’ 2

-I

De los valores de eos 0 y sen 0 se determina que 0 = \n . Por tanto,

■nuginano

4 - 4"v31 = r (eos 9 + i sen 0) =

(b)

8 (c

o s

|

tc

+

i s e n |r c )

Si a + b i = 2 + 5i, entonces a = 2 y b = 5. V¡áas¿ la Figura 10.70. Se calcula r, eos 0 y sen 0 a partir de las fórmulas, obteniéndose r = V4 + 25

eos 9 = - ¿ =

sen 0 =

V29 "

real

'J29

= V29" Como eos 9 > 0 y sen 9 > 0, 9 está en el primer cuadrante. Ade más, debido a que tan 9 = —, tan 9 = §. Así, 9 = arctan | . Por o

tanto, 2 + 5i = r (eos 0

+1 sen 9)

= >/29[cos(arctan |) + / sen(arctan |)J Como arctan | « 1.19 (o 68.2°), se puede escribir 2 + 5/ » V29(cos 1.19 + /sen 1.19) o

bien, 2 + 5 1 * V29(cos 68.2° + / sen 68.2°)

*4

El siguiente ejemplo ilustrativo muestra la conversión de la forma polar de un número complejo a la forma cartesiana equivalente.

630

CAPITULO 1 0

VECTORES. ECUACIONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES ■ . .____

i>

E J E M P L O IL U S T R A T IV 0 3

+ i sen -nK) se muestra en la Figura

El número complejo 6(cos 10.71.

imaginario

V3

1

6

r

1

l

= 6

+

7

7 1f eos 771 + í sen —n 6

í

ni

h

)

= -3>/3" - 3/

<

A fin de encontrar fórmulas para el producto y cociente de dos nú meros complejos cuando los números se expresan en forma polar, se aplican identidades trigonométricas. El teorema siguiente resume los resultados.

FIGURA 10.71

TEOREMA 1

Si Zi = ri(c o s 0 i + i sen 0 |)

y

Z2 = r^ c o s & + * sen

entonces (i) Zi • Z2 = r ir 2[c o s ( 0 i + (U)

*L sz H [c o s ( 0 ¡ Zi

0 2)

+ is e n (0 i +

0 2)\

0 2)

+ i sen ( 0 i -

0 2)}

rj

Demostración de (i) Zi

•

Z2

= ri(cos 0i + i sen 0\) • r2(cos 0 2 + i sen 0 2) = rir2[cos 0\ • eos 0 2 + eos 9\{i sen 0 2) + (i sen 9 1) eos 0 2 + (i sen 0¡)(i sen

)]

= r ^ íc o s 0\ eos 02 + i eos 0\ sen 0 2 + 1 sen 0\ eos 0 2 + i 2 sen 6\ sen 02] = r\r2[(cos 0\ eos 0 2 - sen 0\ sen 0 2) + /(eos 0i sen 0 2 + sen 0 { eos 02)] = r e c o s í # 1 + 0 2) + i sen (0i + 0 2)]

®

La demostración de (ii) es semejante y se deja como un ejercicio. Véase el ejercicio SO.

> “ E J E M P L O IL U S T R A T IV O 4 ~ ”

Sea z\ - -3V3" - 3/ y z2 = 4 - 4VI7. Del ejemplo ilustrativo 3 zi = 6(cos^ti + / sen $«)

— I g J L FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOS

631

y del ejem plo 3(a) Zi = 8(cos | n +

i sen

jji)

Si se aplica el T eorem a l(i), se obtiene Zi

8[cos(^7t + |t i ) + i sen(^jc + |n ) ]

Za — 6

= 4 8 (c o s-^* n + i s e n —n) 6 7 = 4 8 Í-“

2

+ 1/ 2

= -24V3" + 24/

Este resultado se puede com probar al em plear el procedimiento de la Sección 1.3. Se tiene

4V 3/)

Zi ' Z2 — ( - 3 V 3 - 3 i)(4 = - 1 2 V 3 + 36/ = -

12/ + 1 2 V 3 /2

24V 3 + 24/

A partir del T eorem a l(ii) se obtiene ^

= |[ c o s ( J t c - ! * ) + / s e ñ a r e - |n ) J

= |[c o s (-^ 7 t) + /s e n (-y rt)] = J O + /(-!)] =

-

2/

C om o com probación se tiene z, = Z2

3V 3 -

3/

4 - 4 V 3/ _ ( - 3V

3 - 3 /)(4 + 4V 3/) 4V 3/)

(4 - 4 V 3 /) ( 4 +

- 1 2 V 3 ~ 36/ ~ 12/ 16 - 4 8 /2 -4 8 / 64

1 2 V 3 /2

632

C AP ÍTU LO 10

x/EfTORES, EC U A C IO N E S PARAMETRICAS, C O O R D ENA D A S POLARES

►

EJEM PLO 4

Expresión en form a cartesiana del producto do dos núm eros complejos dados en formo polar

Escríba

|(eos^71 + isen|ft) • 6(cosg7i + / sentie) en la forma a + bi. Solución |

(eos

A partir del Teorema l(i) i + i

sen |t c ) • 6(cos ~ 7 i + i sen

= I • 6 [ c o s ( | tc + g í i ) + i sen(|7C + ^tu)] = 4(cos|tc + i sen |tc)

= - 2 V2 + 2 Ü I

►

EJEM PLO 5

Expresión en form a cartesiana del cociente de dos núm eros com plejos dados en forma polar

Escriba el cociente siguiente en la forma a + bi: 4 (eos 345° + i sen 345°) 5 (eos 105° + i sen 105°) Solución

Del Teorema 1 (ii)

4 (eos 345° + i sen 345°) _ 4 = t [cos (3 4 5 0 - 105°) + i sen(345° - 105#)1 5 (eos 105° + i sen 105°) 5 4 = —[cos(240° + i sen 240o]

2 _ 2V f 5 5

En los ejercicios I a 8, muestre la representación geo métrica del número complejo como un punto en el plano complejo.

I. (a) 4 + Si

(b) 7 - 8/

4

4 . (a) 2 — 6i

(b) - 4 + 9/ (b) - 3 - i (b) - 5 - 3í

5. (a) 2

(b) —6i

2. (a) 7 + i 3. (a) - 1 + 6i

10.5


4b » 3f

27. 3 + 4/

28. 5 + i

29. 1 - 2/

30. - 3 + 2/

633

(b) - 4 - 3/ En lo s ejercicios 31 a 38, exprese e l producto en fo rm a cartesiana.

fylostjercicios

u j 16 determ ine e l v a lo r a b s o lu to in-

i i*' 8 - 3i 1

31. 2(cos 20° + / sen 20°) ■ 5(cos 70° + / sen 7(f) (b)

1 + 2*|

32.

(b)

5*|

33.

Ib) 13/1 ill

+ a«l

34.

Ib) (b;

a i«i

35.

—2 i|

14. lai

(b) 1- 7 i |

15. u) -b + 8/ i

Ib)

16. Ill

Ib)

b -

;K) • (eos —Jt + i sen^jc)

36. 37.

8 /1

38.

bi los ejercicios 17 a 22. m u estre la re p re se n ta c ió n tmtmca del número com plejo en e l p la n o c o m p le jo

En los ejercicios 39 a 46, exprese el cociente en forma cartesiana.

nbadicho número en fo r m a ca rtesia n a . rtesiana t/el cotieni» s dados en formo pow

39. 6 (cos 70° + i sen 70°) + 3(cos 40° + / sen 40°)

|J. li) 3|cos \ k + i s e n - n)

40. 4(cos 65° + i sen 65°) + 2(cos 20° + / sen 20p)

ibl 3(cos^n + / sen M- li) -'(eos - n + i sen 7 7i)

41. 8(cos^7t + /se n |7 t) + 2(cos-^ti + isen-^n)

Ib) 4 (co s^ ji + i s e n ^ r c )

42. 2 (cos-}| 7i + / ' s e n + 6 (cos 7 rt + /'sen 7 *1) I* u 4 4

P- 'il 6(cos 150° + i s e n 1 5 0 ° ) I óleos 3 3 0 ° + / s e n 3 3 0 ° )

5^cos mí71 + is c n -¡j¡n) + (cos75n + «scn-jjit) 44. 6(cos

r 'i) 5(cos2IO ° + i s e n 2 1 0 ° ) 5(cos 3 0 0° + i s e n 3 0 0 ° )

45. j (eos 350° + i sen 350°) + (eos 80° + i sen 80°)

iil 2icos t k + i s e n - u )

46. 3(cos 310° + / sen 310°) + j(cos 85° + / sen 85°)

'k' ílc o s Í8 0 ° + / s e n 1 8 0 ° )

47. Pruebe que si z es un número complejo tai que I z I = I.

r (»i 3(cos 0o + / sen 0o) b) t(eos 4 + / sen ^7t)

entonces — = z. Sugerencia: muestre que cos(-0) +

‘êjercicios 23 a 26. exprese e l n ú m e ro co m p lejo 0mw polar estándar.

4i

V 3 - 3,

' •*) 2 - 2,

+ i sen -^Tt) + |(cos ¿n + i sen^ít)

/' sen(-0) es a la vez el conjugado y recíproco de eos 0 + /' sen 9. 48. Pruebe que si z = r(cos 9 + / sen 9), entonces

(c)

(b) 0

(c) — 4 i

Ib)

(C) - 7 i

Ib) 5

(c) 5 /

/’

O fic io s 2 7 a .10, exprese el n ú m ero co m p lejo Polar estándar donde el a rg u m en to se escrib e ’'°tación de func ión inversa, (b ) m ed id a en ra°*i dos decimales y (c) m edida en g ra d o s con #<«*kaí l"n de décimos de grado.

z 2 = r 2(cos29 + / sen 29)

y z y - r 3(cos 39 + /'sen 39) 49. Compare la definición de valor absoluto de un nú mero real con la definición del valor absoluto de un número complejo y explique por qué la primera definición es un caso especial de la segunda. 50. Demuestre el Teorema I(ii).

634

1 0 .6

CAPÍTULO 10

VECTORES, ECUACIONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES

P O T E N C I A S Y R A ÍC E S D E N Ú M E R O S C O M P L E J O S Y T E O R E M A D E D e M O IV R E

O B J E T IV O S

1. A prender el teorema de De Moivre para enteros positivos. 2. E ncontrar potencias enteras positivas de números complejos mediante el teorema de De Moivre. 3. Definir exponentes cero y negativos de números complejos. 4. A prender el teorema de De Moivre para todos los enteros. 5. E ncontrar potencias enteras negativas de números complejos mediante el teorema de De Moivre. 6. Definir una raíz n-ésima de un número complejo. 7. A prender el teorema que proporciona las n raíces n-ésimas de un núm ero complejo. 8. Encontrar las n raíces /t-ésimas de la unidad y mostrar sus representaciones geométricas. 9. Encontrar las n raíces n-ésimas de un número mediante las a raíces n-ésimas de la unidad. 10. E xpresar las n raíces n-ésimas de un número complejo eo form a cartesiana.

La forma polar de números complejos se puede aplicar para calcular sus potencias y raíces. El procedimiento se prueba mediante un teore ma llamado teorema de De Moivre, en honor al matemático Abrahaiu De Moivre (1667-1754), quien nació en Francia pero vivió la mayor parte de su vida en Londres. Fue amigo de Sir Issac Newton, uno de los inventores del Cálculo. Para llegar a este teorema, se considera el número complejo z = r(eos 6 + i sen 0) y se determinan algunas po tencias enteras positivas de z. En efecto Z 1 = r(cos 0 + í sen 0 )

®

Del Teorema l(i) de la Sección 10.5 22 =

[r(cos 9 + i sen 0)][r(cos 9 + i sen0))

— r 2[cos(0 +

9) +
= r 2(cos 29 + i sen 29)

(1)

Zi = [r(cos 9 + i sen 9))[r(eos 9 + ísenfl)]2 Al sustituir de (2) en el miembro derecho, se obtiene z3 = =

[r(cos 9 + i sen 0)][r2(cos 29 + i sen 20)] r 3[cos(0 +

29) + i sen(0 + 20)]

= r \eos 3 0 + i sen 30)

^

10 6 POTENCIAS Y RAÍCES PE N Ú M E R O S COM PLEJOS Y TEO REM A DE De M O IVRE

>

*35


(a) De (2) [4(cos 60° + i sen 60°)]2 = 4 2[cos(2 • 60°) + isen(2 • 60°)] = 16(cos 120° + i sen 120°) " ~ u 2

«

rv n 2 jj

= - 8 + 8>Sí (b) De (3) [4(cos 60° + / sen 60°)]3 = 4 3[cos(3 • 60°) + isen(3 • 60*)] = 64(cos 180° + i sen 180^ = 64[—1 + i(0)] <

= -6 4

Las ecuaciones (1), (2) y (3) son casos particulares del teorema de De M oivre cuando n es igual a 1, 2 y 3. Enseguida se enuncia este teo rema para cualquier entero positivo n.

TEOREMA 1

Teorema de D e M oivre para enteros positivos

Si n es cualquier entero positivo, [r(cos 0 + i sen 0 )]" = r"(cos n 9 + i sen nO)

La demostración de este teorema requiere de inducción matemáti ca, tema de la Sección 12.5. Se dará la demostración en el ejemplo 6 de dicha sección. ►

EJEM PLO 1

D e te r m in a c ió n c o m p le jo s

d e p o te n c ia s d e n ú m e ro s

c o n e l te o re m a d e D e M o h rre

U tilice el teorem a de De M oivre para determ inar (a) (1 + i ) 5", (b) o /í-o * . Solución (a ) Primero se escribe 1 + i en forma polar. Si 1 + * = a + bi. entonces a s 1 y b = 1. Así, r = Va* + * ¡ =

v rn r¡T

= V2

eos 0 = “

sen 9 = £ = v?

636

CAPÍTULO 1 0

VECTORES, ECU A C IO N E S PARAMÉTMCAS. CO O RDENADAS P O U U K S ■

De donde 0 —

Por tanto,

1 + i = V2(co8 ¿w + isenîc) Del teorema de De Moivre (1 + i ) 5 = (V 2)5(c o s|tc + i sen ±n) = 4>/2

1 "1

+ í ll

V2

= - 4 - 4i (b) Si V T - i = a + biy entonces a = VTy ¿? = -1 . En cconsecuencia r

=

V (V 3 )2 +

(-1 )2

eos Q - — r

sen 0a - -b r

£

= 2

2

De donde 0

Por tanto,

y¡3 - 1 = 2(cos y jc + i sen y n) Del teorema de De Moivre (V3~ - i ) 6 = 2 6[cos(6 • yTt) + isen(6 • jJi)] = 64(cos 11 ti + 1 sen 117t) = 64(—1 + 1 ■ 0) = -6 4

«

Se desea definir el cero y los enteros negativos como exponentes de números complejos de modo que se cumpla el teorema de De Moivre para estos enteros. Si el teorema debe ser válido para n = 0, entonces si z = Kcos 0 + i sen 0), Z° = r°(cosO • 0 + i'senO • 0) = l(cos 0 + i sen 0) = 1(1 + i - 0 )

Si el teorema debe ser válido para - n cuando n > 0, entonces. z = r(eos 0 + 1 sen 0) z~" = r “"[cos(-/»0 ) + i sen(-/i0 )]

.6

POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS Y TiOBEMA D i

De

MOIVRE___ 637

Como c o s(-/i0 ) = eos nO y sen (-/i0) * -sen n 0 , esta ecuación se transforma en y —ñ — eos nO - i sen n0'

z

~

Al multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del numerador se obtiene _ (eos nO - i sen nfl)(cos n 0 + i sen n0) r"(eos nO + i sen n0) e o s 2 n 0 - i 2 sen2 nO r"(cos n 0 + i sen n0) e o s2 n 0 + sen2 n0 r"(cos nO + i sen n 0) 1 r"(cos n 0 + i sen n0)

= _L En consecuencia, para que el teorema de De Moivre sea válido para los exponentes cero y enteros negativos, se establece la siguiente definición, la cual es consistente con la definición de exponentes cero y enteros negativos de números reales.

DEFINICIÓN

E x p o n en tes cero y negativos de núm eros com p lejos

Si z es un número complejo y z * 0 + 0/. y n es un entero positi vo, (i)

= 1

(ü) Z-S = 1

zn

Del teorema de De Moivre para enteros positivos y de la defini ción anterior se tiene el teorema de De Moivre para todos los enteros.

TEOREMA 2

Teorem a de D e M oivre para todos los enteros

Si k es cualquier entero,

[/-(eos 6 + / sen

= r k(cosk0 + tsen kd)

► EJEM PLO 2

Determinación de potencias enteras nega tiva s d e números complejos con el teorem a d e De Molvre

Emplee el teorema de De Moivre para determinar (a) (-1 + VS/)*«(b) (-1 - i)-u Solución (a) Si —1 + ,v3jf = fl + bi, entonces a = -1 y b = ^3. Enconsi

consecuencia

r = V ( - l) 1 + (V í)2

eos 0 = i

sen 0 €

= 2

2

Así, 0 = |tc. Por tanto,

2

2 j

-1 + V3 i = 2 eos —n + i sen —n Del teorema de De Moivre

+ i senf-¿

(- 1 + V T i)-4 = 2 - 4

{ -4 • H

rcj + i sení--|-7cj (-1 + i

l“

J

VT 32 1 =-1 y b = - \ . Así. eos 9 = — r

r = V(-l)2 + (-1 )2

1 V2

= Vf Por tanto, 0 = jií. De modo que -1 - / = >/2(co8 |tc

+ i senît)

sen Ví

roTrMm s Y RAÍCES P I NUMEROS COMPUJOS Y TEOREMA D i D t MOfVKE

619

Del teorema de De Moivre

( —1

/) 14 — (V 2 ) ,4 [cos(—14 * 5 7r) -f- /8 c n (-1 4 • f 7r)]

Para el estudio de las raíces de números complejos, primero se de fine una raíz n-ésima.

DEFINICIÓN

R aíz n-ésim a de un núm ero complejo

Si z es un número complejo diferente de cero y n es un entero positivo, entonces se dice que el número w es una raíz n-ésima de z si wn = z

Para obtener una fórm ula para calcular raíces /¡-ésimas de núme ros com plejos, se supone que w " = z y z = r(c o s 0 + i sen 0)

y

w = ¿(eos + i sen 0 )

Se desea obtener fórmulas para s y en términos de r y 0. Como w" = z, [¿(eos A + 1 sen )]" = r(cos 0 + i sen 0 ) Al aplicar el teorem a de De M oivre al miembro izquierdo, se obtiene

s n(cosn + i sen n
(4)

Esta ecuación es una igualdad de dos números complejos. Por tanto, los valores absolutos de estos números complejos son iguales, en con secuencia,

s" = r s — r l/n Debido a que s n = r, entonces de (4) eos n + i sen n = eos 0 + i sen 0 A partir de esta ecuación y de la definición de dos números complejos,

C APÍT U L O 1 0

V IC T O RES, E C U A C IO N E S P A R A M ¿ TR IC A S . C O O R D E N A D A S POLARES . . ._______

Puesto que el periodo del seno y del coseno es 2 tc, estas ecuaciones son válidas si y sólo si

n = 0 + k ' 2u

k £ Z

Por tanto,

0 + k * 2n

,

k t

n

~ Z

Con este valor de y í = r l/", y como w = j(cos + i sen ), se ob tiene eos

(0 + k • 2 n i

„

n

+ i sen

0 + k • 2x n

Si en esta ecuación /: se sustituye sucesivamente por 0 ,1,.. 1 , se obtienen n valores distintos de w que son todas las raíces n-ésimas de z. Observe que si k se sustituye por cualquier entero mayor que « - l o menor que 0, no se obtienen valores nuevos de w. Por ejemplo, si k = n en la ecuación anterior, el miembro derecho es

n -

,

+

l/rt eo s

n •

2 tt

/ 0 + n • 2 tt + /'seni

_ \ . (0 ~ V r Mn e o s( e---- 1- 277+ i seni — 1- 2ir 1 . \n / \n f .

lo cual proporciona el mismo valor que k = 0. Así, se ha demostrado el teorema siguiente.

R aíces n -ésim as d e n ú m ero s complejos

TEOREMA 3

Si z es un número complejo distinto de cero donde Z = r(cos 0 + i sen 0) y n es un entero positivo, entonces z tiene n raíces n-ésimas dis

tintas determinadas por r

( 0 + k - 2 tt\ l C0Sl

*

( 6 + k - 2 ir \ '* “ 1

n

t e i

Al

donde k es igual a 0, 1 , . . . , n - 1.

___ ^ 3

Si 0 se mide en grados, entonces la fórmula del Teoreni cribe com o

#&■

POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS Y TEOREMA D I P > MOIVRE

( 0 + k • 360°\ / e + k • 360c j + /s e J

COS ( --------—

641

k E Z

El valor absoluto de cada una de las raíces /t-ésimas del número complejo z es 2( e + k • 2 tt\ . 7( 0 + k ■2 ir \ \ y eos ^------ ------- j + serf^— —

(r

= V V Ô ) =

r x,n ( porque r > 0)

De modo que la representación geométrica de las raíces /t-ésimas están en una circunferencia con centro en el origen y radio Vr. Además, como la diferencia de los argumentos de raíces /t-ésimas sucesivas es 2xc//t, están igualmente espaciadas alrededor de la circunferencia.

>


A fin de determinar las cuatro raíces cuartas de - 8 + 9s3i, primero se escribe este número en forma polar. Si - 8 + 8V3i = a + bi, entonces a = - 8 y b = 8VT. Por tanto, r = V ( - 8 ) 2 + (8 V 3 )2 = V 6 4 + 64(3)

b r

eos 0 = r

8V 3

= 8V 4

16

= 16

1 2

16 V3 o

De donde 0 = 120°. En consecuencia, - 8 + 8V3i' = 16(cos 120° + 1 sen 120°) Del Teorema 3, las cuatro raíces cuartas están dadas por 16,/4 w

<=>

120° + k • 360° \ . . /120o + k • 360o> + l senl — 4 / \ 4

2[cos(30° + k • 90°) + i sen(30° + k • 90°)]

donde k es igual a 0, 1, 2, 3. Al sustituir k sucesivamente por 0, 1, 2 y 3, se obtiene 2(cos 30° + / sen 30°) = V f + / 2(cos 120° + 1 sen 30“) * -1 + V57 2(cos 210“ + i sen 120*) « -V T - / 2(cos 300° + i sen 300°) « 1 - Vf/

642

CAPITULO 10

VECTORES, ECUACIONES PARAM¿TRICAS, COORDENADAS POLARES .

Observe que si k se sustituye por cualquier otro entero, se obtiene uno de estos cuatro números complejos. Por ejemplo, si A:= 4, se tiene 2(cos 390° + i sen 390°) = V3* + i I+V

y si k = -1 , se obtiene 2[cos(-60°) + i sen(-60°)] = 1 - VT/ Las representaciones geométricas de estas cuatro raíces se muestran en la Figura 10.72. Las cuatro están en la circunferencia que tiene su cen tro en el origen y radio 2 y están igualmente espaciadas alrededor de la circunferencia. Note que las cuatro aparecen en pares donde cada miembro de un par es el opuesto (inverso aditivo) del otro miembro V 3~ + i y - V 3 - i ; - l + V J i'y 1 - V fi*. « F IG U R A 10.72 f ig u r a i

► EJEM PLO 3

D eterm inación de las n raíces n~es¡mas de I y m uestra d e sus representaciones geométricas

Determine las seis raíces sextas de 1 y muestre sus representaciones geométricas. Solución

Si 1 = a + bi, entonces a = 1 y b = 0. Por tanto,

r — V i2 + 0 2

eos 0 = —

sen 0 = —

r

=1

r

=1

=0

Así, 0 = 0. Por tanto 1 = l(c o s0 + /sen 0) Las seis raíces sextas de 1 están dadas por n J

,

t=>

(0 + k • 2 n \ . . ------ —

J

( 0 + k ■2ir

+ , sm {

------- g -

eos ¿kir + i sen\k ir

donde k es igual a 0, 1, 2, 3 ,4 ,5 . Al sustituir k sucesivamente por 0.12, 3 ,4 y 5, se obtiene eos O + i sen 0 = 1

1 n +. *.sen —n 1 = —1 + —>/3~. eos — i 3

3

2

2

2 2 i V f. co s—tc + i sen —n = + ——i 3 3 2 2 eos Ti + i sen

tc

= —1

t 0 6 POTENCIAS Y RAÍCES DI NÚMEROS COMPUiO» Y TKOUMA P i P t M d V t t S

4 3

. 4

1 2

643

VT. 2

eos —ti + / sen —n = ------------ j

Rentero,se0.

3

5 . 5 1 V í. eos —7t + / s e n —Jt = — — —i

I V3 I

La Figura 10.73 muestra las representaciones geométricas de las seis raíces. Todas están en la circunferencia unitaria espaciadas igualmente a su alrededor. 4 Las raíces complejas de 1 se denominan raíces de la unidad. De bido a que

uatro raíces scinii:;, inferencia que lie«:.. ; espaciadaséeds.?; ¡cea en pares dn¿<

1 = 1(eos O + i sen 0)

aditivo) del otrot -

las n raíces n-ésimas de la unidad están dadas por k 2n k ‘ 2n eos - .....+ i sen —-----------n n

F IG U R A 1 0 .7 3 » n roicM M ura « ítsMfacioMS gemtris

donde k es igual a 0, 1, 2.........n - 1.

uestre sus repres|

> r ¿?=0. Portanto,

p


Las cuatro raíces cuartas de la unidad están dadas por k • 2n k - 2n eos — -— + i se n ---------

r

4

=0

4

donde k es igual a 0, I, 2, 3. Al sustituir k sucesivamente por 0, l, 2 y 3, se obtiene eos O + i sen 0 = 1 eos |jc + i sen

= i

eos n + i sen n = -1 eos j n + / sen

= —i

4

Las raíces de la unidad pueden emplearse para obtener las raíces de otros números reales como se muestra en el ejemplo ilustrativo y ejemplo siguientes. •»ti*' [lUí

t>


Utilice las cuatro raíces cuartas de la unidad para determinar las cuatro raíces cuartas de 81. Una raíz cuarta real de 81 es 3. Si cada una de las cuatro raíces cuartas de la unidad determinadas en el ejemplo ilustrati vo 3 se multiplican por 3, se obtiene 3(1) = 3

3(0 = 3i

3 (-l) = -3

3(— í) = -3 í

De modo que las cuatro raíces de 81 son 3, -3 ,3 i y -3 i.

<

c a p it u l o

io

Ví c t o r e s , e c u a c i o n e s p a r a m e t r i c a s , c o o r d e n a d a s p o l a r e s

► EJEM PLO 4

D e te r m in a c i ó n d e la s n r a íc e s n -é s im a s de un n ú m e r o a l e m p l e a r la s n r a íc e s n -é s im a s de lo u n id a d

Emplee las seis raíces sextas de la unidad, determinadas en el ejemplo 3, para obtener las seis raíces sextas de 64. S o lu c ió n Una raí/, sexta real de 64 es 2. Si cada una de las seis raí ces sextas de la unidad se multiplica por 2, se obtienen las seis raíces sextas de 64:

21 r + —

i) = I + V 3 /

V3 , —i = — I + V 3 i

I o

V 3 . V

V 31

2( r ------r - í ) = I -

V3i

Las n raíces «-ésim as de la unidad pueden verse en la graficadora Consulte el procedimiento a seguir en los ejercicios 39 y 40. Observe que las cuatro raíces cuartas de 81. obtenidas en el ejem pío ilustrativo 4, y las seis raíces sextas de 64. obtenidas en el ejemplo 4, también pueden determinarse algebraicamente sin el teorema de De Moivre al resolver las ecuaciones jr4 —8 1 = 0 y .r ',‘ - 6 4 = 0. respectiva mente ( véase los ejercicios 43 y 44 de la Sección 2.4). Sin embargo, para encontrar las siete raíces séptimas de 128. por ejemplo, se requiere e! teorema de De Moivre ( véase el ejercicio 23). También se necesita este teorema en el ejem plo siguiente.

►

EJEM PLO 5

Determinación d e las n raíces n-éslmat d* un numero complejo

Determine las dos raíces cuadradas de i. S o lu c ió n Se escribe el número i en forma polar. Si i = a + w-eD* tonces a = 0 y h = 1. En consecuencia, r — Y7?)2 + 1: -

I

e o s ti = — r

= 0

sen 0 =

r

10.6

POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚM ERO S COMPLEJOS Y TEOREMA DE De M OIVRE

Por tanto, 0 -

645

Así,

i = 1(eos

+ i .sen ^ n)

Del Teorema 3, las dos raíces cuadradas de i están dadas por

112 eos

^ 7T + k • 2tt\

ir + k

donde k es igual a 0, I Al sustituir k por 0 y 1, se obtiene, respectiva mente, 1 \ I = —— I H------1 i Ii (l COS -1 TT 4-r I sen -77 4 4 / \/2 \/2 5\ i i II eos - 7t + i sen - tt \ ---------— -------- i V 4 4 / V2 V2 ►

EJEM PLO 6

*

Expresión d e las n raíces n-ésim as d e un n ú m ero com p lejo e n fo rm a cartesiana

Exprese cada una de las tres raíces cúbicas de 3 + 4/ en la forma a + bi. Aproxime los valores de a y b a dos decimales. Solución

Si 3 + 4i = a + bi, entonces a = 3 y b = 4. De modo que

r = V 3 2 + 42

a r

b sen tí = r

3

4 SS — 5

5 De donde 0 = arelan

tan 6 -

b a 4 3

Por tanto,

3 + 4 1 = 5(cos(arctan | ) + *sen(arctan ^)J En consecuencia, las tres raíces cúbicas de 3 + 4/ están dadas por arctan 3 + k ■2 ir\ , c o s í ------------------------- I + 3 /

V

3

. /sen

( arctan f + k ■2 tt

donde k es igual a 0, I, 2. Al sustituir k sucesivamente por 0. I y 2 y utilizándose una calculadora para determinar los valores aproximados, se obtiene 5 'Îcos j (arctan | ) | + i sen jarcian ^)J % 1.710(0.953 + i(0.304)J * 1.63 + 0.52i 5 ,/3[c o s j (arctan * + 2n) + i sen j (arctan J + 2n)] % I .710[-0.740 + ¿(0.673)) * -1.26 + 1.15/ 5 l/3(co8 £(arctan j + 4 ti) + / sen j(arctan | + 4tc)J a? 1.710(-0.2I3 + ¿(—0.977)1 ® -0.36 - 1.67/

m

646

CAPÍTULO 10

VE C TO R fS, EC U A CIO N ES PARAMETRICAS, CO O R D ENADAS POLARES

ciocoraíccs

CIOS 10.6 En los ejercicios I a 21). em plee e l teorem a de De M oivre p a ra determ inar las poten cias indicadas.

28. x 1 - 1 = 0 \Sugerencia para el inciso (b ): Es criba x - 1 como x 3 + j* J

1. (2(cos 30° + i sen 30“) 12 2. |4 (co s 120° + i sen 1 2 0 °)|2

En los ejercicios 29 a 38. determine las raíces indica das y escríbalas en form a cartesiana. En los ejercíaos 33 a 3H, en la form a cartesiana aproxime los valores át a v b a dos decimales.

3. (4(cos 120° + i sen I2 0 °)|' 4. [2(cos 30° + i sen 3 0 °))' 5. ( e o s -771 + j s e n 4- t i )4 4

29. Las dos raíces cuadradas de -4 ;

6. |3 (c o s ^ n + isen ^ T i))' 7. [2(cos 48° +

25/

31.

Las tres

raíces cúbicas

de 1

10 . ( - 1 + iy

32.

Las tres

raíces cúbicas

de

12. ( V 3 - i)h

33.

Las tres

raíces cúbicas

de 4 - 4V3/

34.

Las tres

raíces cúbicas de — — +

8. ((eos 50° + i sen 50")) *

11. ( - 1

13.

-

V 3tf

4 + 4 /)3 «

Y3

15. 17. I —T19.

3 V 3 + 3/1

•

Ö

+

í

t

16. ( - 3 - 3i) 4

18 . (2 + 2 V 3 / ) 5 20. (4V 2 - 4 V 2 / ) 40

22. (a) Halle las cinco raíces quintas de la unidad y muestre sus representaciones geométricas, (b) Use el resultado del inciso (a) para determinar las cinco raíces quintas de 243. 23. (a) Encuentre las siete raíces séptimas de la unidad y muestre sus representaciones geométricas, (b) Use el resultado del inciso (a) para determinar las siete raíces séptimas de 128. 24. (a) Halle las ocho raíces octavas de la unidad y muestre sus representaciones geométricas, (b) Em plee el resultado del inciso (a) para determinar las ocho raíces octavas de 2S6. En los ejercicios 25 a 2H, resuelva la ecuación en dos form as: (a ) p o r el teorem a de l)e M oivre; (h) a lg eb ra i cam ente sin el teorem a de D e Moivre.

26. x 3 - 125 = 0

VISIÓN R E T I

-1

jedefinió un vet

35. Las cuatro raíces cuartas de — + — /

'..Ticros reales ä por un sej ■presentación de rr de manera g> ira de vector«

36. Las cuatro raíces cuartas d e - 8 - 8V31

i magnitud, án¿ aotes, así com

f

21. (a) Encuentre las tres raíces cúbicas de la unidad y muestre sus representaciones geométricas, (b) Use el resultado del inciso (a) para determinar las tres raíces cúbicas de 27.

25. x* - 16 = 0

lasidenticia. • igualárselas ^presiones par -lasdos form i ^ d e D e M o iv tf ¡)por sí mismo

(VISIÓN

30. Las dos raíces cuadradas de

1 sen 4 8 °))5

9. (I + i y

27. x + i = 0 [Sugerencia para el inciso (b); Es criba x 3 + t como x 3 - i ?]

rector. Seexp magnitud y án ■5i yj. Los enui »an vectores tra

37. Las cinco raíces quintas de - 4 + 3i 38. Las cinco raíces quintas de

2 -

i

39. Las representaciones geométricas de las n raíce n-ésimas de la unidad son los vértices de un polí gono regular de n lados inscrito en la circunferen cia unitaria. Es decir, las tres raíces cúbicas de unidad son los vértices de un triángulo equilátero inscrito, las cuatro raíces cuartas de la unidad son los vértices de un cuadrado inscrito, las cinco raí ces quintas de la unidad son los vértices de un pentá gono regular inscrito, y así sucesivamente Explique por qué esto es así 40. El enunciado del ejercicio 39 proporciona el méto do siguiente para ver las n raíces n-ésimas de Ia unidad en la graficadora. (i) Active en la calculado ra los modos paramétnco y de grados, (ii) Hag* x(t) = eos t y y(/) = sen t. (iii) Se elige: t mín = 0> t máx = 360, t step = 360/n. (iv) Se elige el rectán gulo de inspección (-3, 31 por (-2. 2). (v) Empk* la tecla de rastreo (trace) para ver cada una de las« raíces n-ésimas de la unidad. Aplique este procedí' miento para ver (a) las tres raíces cúbicas de unidad; (b) las cuatro raíces cuartas de la unidad-

y marítima, ' ^®opreludio al #•le trataron las que un; ^ ó n vectorial H también est< ^âétricas x —j êcuación carte _1,1ecuación ve< Pafamétricas < âm anoy«

J f^ y se d C

* Us en

^

nel movimj,

y * « » 1« , Ä

*

\ f

1,

* coorde c

“ 1“

* i u T Caftes';

•Para ck

R E V IS IÓ N DEL CAPÍTULO 10

Has cinco raíces quintas de la unidad; (d) las jos raíces sextas de la unidad ■ Obtenga las identidades del coseno y seno de valor joMe ai igualarse las partes real e imaginaria de las d o s expresiones para (eos 0 + i sen 9) o b ten i das en las dos turmas siguientes: ( I ) al emplear el teorema de De Moivre; (2) al m ultiplicar eos $ + i sen &por sí mismo

647

En lo s ejercicios 42 a 45, utilice el m étodo del ejercicio 41 p a ra obtener la identidad indicada

42. Identidad para eos 30 en términos de eos 0 43. Identidad para sen 30 en términos de sen 0 44. Identidad para sen 4 0 en términos de sen 0 45. Identidad para eos 4 0 en términos de eos 0

i

REVISIÓN DEL C A P IT U L O 10 VISIO N R E T R O S P E C T I V A

Se definió un vector como un par ordenado de números reales y se representó geom étrica mente por un segmento rectilíneo dirigido. La representación de posición se empleó para ilustrar de manera geométrica hechos importantes acerca de vectores, entre ellos las definiciones de magnitud, ángulo director, suma y resta de vectores, así como el producto de un escalar y un vector. Se expresó un vector en términos de su magnitud y ángulo director, y de los vectores i y j. Los enunciados de problemas que im plican vectores trataron sobre fuerza, navegación aérea y marítima, y geometría. Como preludio al uso de los vectores en Cálcu lo. se trataron las funciones vectoriales. Se es tableció que una curva definida por una ecuación vectorial de la forma R(r) = / ( / ) i + también está definida por las ecuaciones Ptfamétncas x = /(/) y y = g(t). Se determinó una ûación cartesiana de una gráfica a partir k su ecuación vectorial, o del par de ecuacioparamétricas equivalentes, y se dibujó la gráfica a mano y en la graficadora. Se definió una tlcloide y se dedujeron sus ecuaciones par*métncas. Los enunciados de problemas imPicaron el movimiento de un proyectil, definleron las coordenadas polares de un l0’ después se localizó un punto a partir de ^ coordenadas polares y se encontraron otros ^Juntos de coordenadas polares del punto. Se |

'tenadas cartesianas y coordenadas polares un punto, para determinar una ecuación car-

tesiana de una gráfica a partir de la ecuación polar, y una ecuación polar a partir de la ecua ción cartesiana. 10.4

Las gráficas polares tratadas en esta sección in cluyeron rectas, circunferencias, caracoles, ro sas y espirales. Se presentó el teorema que muestra cómo puede definirse una gráfica polar mediante un par de ecuaciones paramétncas y se aplicó el teorema para trazar gráficas polares

jq 5

Antes de definir la forma polar de un número complejo, se representaron los números com plejos como puntos en el plano complejo y se definió el valor absoluto de un número comple jo. Se obtuvieron fórmulas para el producto y el cociente de dos números complejos dados en forma polar, y se expresaron el producto y el cociente en forma cartesiana.

jq 5

La forma polar de un número complejo se pre sentó en el teorema de De Moivre. Pnmero se enun ció el teorema para enteros positivos y se empleó para determinar potencias enteras posi tivas de números complejos. Después se defi nieron los exponentes cero y negativos y se enunció el teorema de De Moivre para todos los enteros y se determinaron potencias enteras negativas de números complejos. Postenormente, se definió una raíz n-ésima de un núme ro complejo y se demostró el teorema que proporciona las n raíces n-ésimas de un número complejo. Las n raíces n-ésimas de la unidad se utilizaron para obtener las n raíces n-ésimas de un número complejo. Se mostró cómo expresar estas raíces en forma cartesiana.

FQTKNCIAS Y RAICES P i N Ú M E ROS COMPLEJOS Y TEOREMA DE De M OIVRE

,iî eos 0 + k ■360°

6 + k • 360°

641

k G Z

El valor absoluto de cada una de las raíces n-ésimas del número complejo z es , / 6 + k - 2 tt + sen = V í r '^ d ) =

r 1^!

( porque r > 0)

De modo que la representación geométrica de las raíces /i-ésimas están en una circunferencia con centro en el origen y radio 'ir. Además, como la diferencia de los argumentos de raíces n-ésimas sucesivas es 2nJn, están igualmente espaciadas alrededor de la circunferencia.

>


A fin de determinar las cuatro raíces cuartas de - 8 + 8V3~i, primero se escribe este número en forma polar. Si - 8 + 8V3¿ = a + bi, entonces a = - 8 y b = 8V Í. Por tanto, r = \ / ( —8)2 + (8 V 3 )2 = V 6 4 + 64(3) *

eos 6 = r

8V 4

b sen 0 = r

z?

_ 5^1

16

”

16

- I 2

- V3 “ 2

= 16

De donde 0 = 120*. En consecuencia, - 8 + 8V íi = 16(cos 120° + i sen 120°) Del Teorema 3, las cuatro raíces cuartas están dadas por ' r 1

6

/1 2 0 o + * • 360°\ ■ . /1 2 0 o + k • 360‘ — 4 ---------- J + íse n l ----------”

2[cos(300 + k • 90°) + í sen(30° + * • 90°)] donde ik es igual a 0, 1, 2, 3. AI sustituir k sucesivamente por 0, 1, 2 y 3, se obtiene 2(cot 30* ♦ ise n 30*) ■ V3 + ¿ 2(cos 12ÍT + / sen 30*) * -1 + >0”/ 2(coi 210^ ♦ i sen 120") * -VJ" - i 2(cos 300° + i sen 300°) * I - VT/

642

CAPÍTULO 10

VECTORES, ECUACIONES PARAMÉTR1CAS, COORDENADAS POLARES ■

Observe que si k se sustituye por cualquier otro entero, se obtiene uno de estos cuatro números complejos. Por ejemplo, si k = 4, se tiene 2(cos 390° + i sen 390°) = ViT + i y si k = -1 , se obtiene 2[cos(-60°) + i sen(-60°)] = 1 - V3 i Las representaciones geométricas de estas cuatro raíces se muestran eni la Figura 10.72. Las cuatro están en la circunferencia que tiene su cen-l tro en el origen y radio 2 y están igualmente espaciadas alrededor de la circunferencia. Note que las cuatro aparecen en pares donde cada miembro de un par es el opuesto (inverso aditivo) del otro miembro: I V3 + i y - V§" - *’; -1 + V Ji y 1 - VJi. «¡ figura

►

EJEM PLO 3

D eterm inación d e las n raíces n-ésimas de 1y m u estra d e sus representaciones geométricas

Determine las seis raíces sextas de 1 y muestre sus representaciones geométricas. Solución

Si 1 = a + bi, entonces a = 1 y b = 0. Por tanto,

r = V i2 + O2

eos 0 = — r

= 1

sen 6 = — r

=1

= 0

Así, 0 = 0. Por tanto 1 = l(cosO + isenO ) Las seis raíces sextas de 1 están dadas por

<=>

0 + k • 2-7t \ /O + k • 2tt 11/6 c o s í------- r------ I + i sen 6 ) ' •‘ A 6 eos \ k ir + i senÂ:^

donde k es igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5. Al sustituir k sucesivamente porO. 1. 2 ,3 ,4 y 5, se obtiene eos 0 1 3

,

+ i sen 0 .

=1

1 3

1 2

VT. i 2

eos ~tc + i sen 3 3

2

2

eos —ti + i sen —n = — + —

eos n + i sen n = -1

d i A.

«A POTINCAS V RAlCiS P I WÚMKROS COMPLKJOS Y TEOKfMA P f P#MOtVRI

4 . 4 eos —n + i sen —n = 3 3

643

l y jf — —j 2 2

5 . 5 1 V f. eos —ti + / sen —K = ---------- 1 3 3 2 2

UMfiMOO

La Figura 10.73 muestra las representaciones geométricas de las seis raíces. Todas están en la circunferencia unitaria espaciadas igualmente a su alrededor. 4 Las raíces complejas de 1 se denominan raíces de la unidad. De bido a que 1 = l(cosO + i sen 0) las n raíces n-ésimas de la unidad están dadas por k

FIGURA 10.73

2n

k ‘ 2n

eos--------* + t sen ---- —

H p n donde k es igual a 0 ,1 ,2 .........n - 1.

>


Las cuatro raíces cuartas de la unidad están dadas por „ k • 2n , k • 2it eos — -— + i sen — ■— donde k es igual a 0, 1, 2, 3. Al sustituir k sucesivamente por 0, 1, 2 y 3, se obtiene

cosO + i sen 0 = 1 eos ^71 + is e n ~ n = i

eos n + i sen n = —I eos |tü + is e n |it = —i

-4

Las raíces de la unidad pueden emplearse para obtener las raíces de otros números reales como se muestra en el ejemplo ilustrativo y ejemplo siguientes. >


Utilice las cuatro raíces cuartas de la unidad para determinar las cuatro raíces cuartas de 81. Una raíz cuarta real de 81 es 3. Si cada una de las cuatro raíces cuartas de la unidad determinadas en el ejemplo ilustrati vo 3 se multiplican por 3, se obtiene 3(1) s 3

3(/) = 31

3 (-l) = -3

3(-0 a -3 i

De modo que las cuatro raíces de 81 son 3, -3, 3/ y -3 i.

- ____

<

VICTORES, ECUACIONES PARAM¿TRICAS, COORDENADAS POLARES , . .

► EJEM PLO 4

Determinación de las n raíces n-ésimas de un número al emplear las n raíces n-ésimas de lq unidad

Emplee las seis raíces sextas de la unidad, determinadas en el ejemplo 3, para obtener las seis raíces sextas de 64. Solución Una raíz sexta real de 64 es 2. Si cada una de las seis raí-1 ces sextas de la unidad se multiplica por 2, se obtienen las seis raíces sextas de 64:

2( 1) = 2

2(-l)

-2

4

Las n raíces n-ésimas de la unidad pueden verse en la graficadora. Consulte el procedimiento a seguir en los ejercicios 39 y 40. Observe que las cuatro raíces cuartas de 81, obtenidas en el ejem plo ilustrativo 4, y las seis raíces sextas de 64, obtenidas en el ejemplo 4, también pueden determinarse algebraicamente sin el teorema de De Moivre al resolver las ecuaciones jr4 —81 = 0 y * 6 - 64 = 0, respectiva mente (véase los ejercicios 43 y 44 de la Sección 2.4). Sin embargo, para encontrar las siete raíces séptimas de 128, por ejemplo, se requiere el teorema de De Moivre (véase el ejercicio 23). También se necesita este teorema en el ejemplo siguiente.

►

EJEM PLO 5

Determinación de las n raíces n-ésimas d» w número complejo

Determine las dos raíces cuadradas de i. Solución Se escribe el número i en forma polar. Si i = <* + tonces a = 0 y b = 1. En consecuencia. r = V o2 + l2

eos 6 = — r

0

sen 0 —

b r

ett

POTENCIAS Y RAÍCES D i NÚM ERO S COMPLEJOS Y TEOREMA P l D e M O IV R E

Por tanto, 6 =

645

Así,

i = 1(eos ^ k + / sen ^tc) Del Teorema 3, las dos raíces cuadradas de i están dadas por ,

H- A, • 2 ^ \ . .

^

----------------------- j

+

( k i r + k • 2ir\

, s e n ( ---------- ------------]

donde k es igual a 0, 1. Al sustituir k por 0 y 1, se obtiene, respectiva mente, 1( eos - ir + i sen - 77 I = —■= + —-= i 4 4 / V2 V2

5

.

¡ -T T + l

4 ►

5

sen 4

EJEM PLO 6

\

77

1

1

V2

V2

------- t = --------t= j

/

Expresión d e las n raíces n -ésim a s d e un n ú m ero com plejo e n fo rm a cartesiana

Exprese cada una de las tres rafees cúbicas de 3 + 4i en la forma a + bi. Aproxime los valores de a y b a dos decimales. Solución

Si 3 + 4/ = a + bi, entonces a = 3 y eos 0 = -

r = V 32 + 42

= 5

sen 6 = -

[

” 5

3

tan 0 = -

[

3

De donde 0 = arctan

= 4. De modo que

°

_ 4

_ 4

~5

“ 3

Por tanto,

+ 4 i = 5[cos(arctan | ) + / sen(arctan |)]

En consecuencia, las tres raíces cúbicas de 3 + 4i están dadas por ;i/3

/ arctan 5 + k • 27r\ , . ( arctan 5 + k • 2 t t c o s í ----------- -------------------------I + 1 sen

\

3

/

\

3

donde k es igual a 0, 1, 2. Al sustituir k sucesivamente por 0, 1 y 2 y utilizándose una calculadora para determinar los valores aproximados, se obtiene 5 l/3[cos j (arctan |)J + / sen j(arctan ^)] » 1.710(0.953 + «(0.304)1 « 1.63 + 0.52i 5 ,/ 3[cosj(arctan -y + 2tc) + / sen j (arctan * + 2n)] *

1.7 1 0 [-0 .7 4 0 + i(0 .6 7 3 )] « -1 .2 6 + 1.151

5l/3[cos j(arctan | + 4«) + / sen j (arctan * + 4ti)J a

1.7101-0.213 + /(—0.977)] « -0.36 - 1.671

*

646

CAPÍTULO IO VECTORES, ECUAaONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES .

EJERCICIOS

10.6

En los ejercicios 1 a 20, emplee el teorema de De Moivre para determinar las potencias indicadas.

28. jr3 - * = 0 [Sugerencia para el inciso (b): Es criba x i - ¿com ox3 + i 3]

L [2(cos 30° + i sen 30°)]2 2. [4(cos 120° + i sen 120o)]2

En los ejercicios 29 a 38, determine las raíces indica* das y escríbalas en form a cartesiana. En los ejerciciok 33 a 38, en la form a cartesiana aproxime los valores de a y b a dos decimales.

3. [4(cos 120° + i sen 120o)]3 4. [2(cos 30° + i sen 30°)]3 5. (cos^n + isen^jc)4

6.

29. Las dos raíces cuadradas de -4 í

[3(cos~n + isen-K )]5

30. Las dos raíces cuadradas de 25*

7. [2(cos 48° + i sen 48°)]5 8. [(eos 50° + i sen 50°)]6 9. (1 + i f 11. { - f - V 3 i)6 1 3 . ( - 4 + 4 í) 5

31. Las tres raíces cúbicas de i

V 2 .V * %

1 9 . ( - 3 V 3 + 3 Í ) 30

32. Las tres raíces cúbicas de - i

10. (-1 + f f 12 . ( V 3 -

i)6

2

(5 * -

3/)~ 4

1 8 . (2 +

2

2

2 V 3 i) -5

37. Las cinco raíces quintas de - 4 + 3¿ 20. (4 V 2 -

4 V 2 í )40

22. (a) Halle las cinco raíces quintas de la unidad y muestre sus representaciones geométricas, (b) Use el resultado del inciso (a) para determinar las cinco raíces quintas de 243. 23. (a) Encuentre las siete raíces séptimas de la unidad y muestre sus representaciones geométricas, (b) Use el resultado del inciso (a) para determinar las siete raíces séptimas de 128. 24. (a) Halle las ocho raíces octavas de la unidad y

muestre sus representaciones geométricas, (b) Em plee el resultado del inciso (a) para determinar las ocho raíces octavas de 2 5 6 . En los ejercicios 25 a 28, resuelva la ecuación en dos formas: (a) por el teorema de De Moivre; (b) algebrai camente sin el teorema de De Moivre. - 16 = 0

2

1 VÍ 35. Las cuatro raíces cuartas de — + — i 36. Las cuatro raíces cuartas de - 8 - 8v3¡i

21. (a) Encuentre las tres raíces cúbicas de la unidad y muestre sus representaciones geométricas, (b) Use el resultado del inciso (a) para determinar las tres raíces cúbicas de 27.

25.

33. Las tres raíces cúbicas de 4 - 4>/3i , V3 l 34. Las tres raíces cúbicas de - —— + —i

-

16 . ( - 3

17 , V 2 ~~2

27. x 3 + 1 = 0 [Sugerencia para el inciso (b): Eti criba x 3 + i como x 3 — i 3]

26. x 3 - 125 * 0

38. Las cinco raíces quintas de 2 -

1

39. Las representaciones geométricas de las n raíces] n-ésimas de la unidad son los vértices de un polí-f gono regular de n lados inscrito en la circunferai cia unitaria. Es decir, las tres raíces cúbicas de bj unidad son los vértices de un triángulo equilátera inscrito, las cuatro raíces cuartas de la unidad sool los vértices de un cuadrado inscrito, las cinco raí-l ces quintas de la unidad son los vértices de un peniH gono regular inscrito, y así sucesivamente. Expliqué por qué esto es así. 40. El enunciado del ejercicio 39 proporciona el méto-1 do siguiente para ver las n raíces n-ésimas de 1> unidad en la graficadora. (i) Active en la calculado! ra los modos paramétrico y de grados, (ii) Haw x(t) = eos t y y{t) = sen r. (iii) Se elige: 1mín = 0Jfj t máx = 360, t step = 360/n. (iv) Se elige el rectáM guio de inspección (-3, 3] por [-2, 2], (v) EmpWj la tecla de rastreo (trace) para ver cada una de las”j raíces n-ésimas de la unidad. Aplique este proceoi miento para ver (a) las tres raíces cúbicas de unidad; ( b ) las cuatro raíces cuartas de la unida»!


. >jtí cinco raíces quintas de la unidad; (d) las j^js raíces sextas de la unidad. Obtenga las identidades del coseno y seno de valor * doble al igualarse las partes real e imaginaria de las ¿o$ expresiones para (eos 0 + i sen 0 ) 2 obteni das en las dos formas siguientes: (1) al emplear el jeorema de De Moivre; (2) al multiplicar eos 0 + i sen 9 por sí mismo.

647

En los ejercicios 42 a 45, utilice el método del ejercicio 41 para obtener la identidad indicada. 42. Identidadpara eos 30 en términos de eos 0 43. Identidad para sen 30 en términos de sen 0 44. Identidad para sen 40 en términos de sen 0 45. Identidadpara eos 40 en términos de eos 0


10.1 Se definió un vector como un par ordenado de números reales y se representó geométrica mente por un segmento rectilíneo dirigido. La representación de posición se empleó para ilus trar de manera geométrica hechos importantes acerca de vectores, entre ellos las definiciones de magnitud, ángulo director, suma y resta de vectores, así como el producto de un escalar y un vector. Se expresó un vector en términos de su magnitud y ángulo director, y de los vecto res i y j. Los enunciados de problemas que im plican vectores trataron sobre fuerza, navegación aérea y marítima, y geometría. *2

Como preludio al uso de los vectores en Cálcu lo, se trataron las funciones vectoriales. Se es tableció que una curva definida por una ecuación vectorial de la forma R(/) = /(/)i + g(0j, también está definida por las ecuaciones paramétricas x = f(t) y y = g(t). Se determinó una ecuación cartesiana de una gráfica a partir de su ecuación vectorial, o del par de ecuacio nes paramétricas equivalentes, y se dibujó la gráfica a mano y en la grafícadora. Se definió una cicloide y se dedujeron sus ecuaciones pa ramétricas. Los enunciados de problemas im plicaron el movimiento de un proyectil. definieron las coordenadas polares de un punto, después se localizó un punto a partir de Sus coordenadas polares y se encontraron otros ^juntos de coordenadas polares del punto. Se ^picaron las ecuaciones que relacionan las coordenadas cartesianas y coordenadas polares fe un punto, para determinar una ecuación car

tesiana de una gráfica a partir de la ecuación polar, y una ecuación polar a partir de la ecua ción cartesiana. 10.4

Las gráficas polares tratadas en esta sección in cluyeron rectas, circunferencias, caracoles, ro sas y espirales. Se presentó el teorema que muestra cómo puede definirse una gráfica polar mediante un par de ecuaciones paramétricas y se aplicó el teorema para trazar gráficas polares.

10.5

Antes de definir la forma polar de un número complejo, se representaron los números com plejos como puntos en el plano complejo y se definió el valor absoluto de un número comple jo. Se obtuvieron fórmulas para el producto y el cociente de dos números complejos dados en forma polar, y se expresaron el producto y el cociente en forma cartesiana.

10.6

La forma polar de un número complejo se pre sentó en el teorema de De Moivre. Primero se enun ció el teorema para enteros positivos y se empleó para determinar potencias enteras posi tivas de números complejos. Después se defi nieron los exponentes cero y negativos y se enunció el teorema de De Moivre para todos los enteros y se determinaron potencias enteras negativas de números complejos. Posterior mente, se definió una raíz n-ésima de un núme ro complejo y se demostró el teorema que proporciona las n raíces n-ésimas de un número complejo. Las n raíces /i-ésimas de la unidad se utilizaron para obtener las n raíces n-ésimas de un número complejo. Se mostró cómo expresar estas raíces en forma cartesiana.

648

CAPÍTULO

10 VICTORES, ECUACIONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES

► E J E R C IC IO S D E R E P A S O

1. (a) (3,7), (2, - 4 )

(b) - i + 5j,-2j

En los ejercicios 17 a 20, (a) dibuje la gráfica de lat ecuaciones paramétricas y compruebe la gráfica en la graficadora; (b) encuentre una ecuación cartesiana de la gráfica.

1 (a) (4,0), ( - 6 ,- 1 )

(b) 51 + 3j,3i - 5j

17. x = 2 - /, y * 2/

En los ejercicios I y 2, halle la suma del par de vecto res e ilustre geométricamente estas sumas.

En ¡os ejercicios 3 y 4, reste el segundo vector del pri mero e ilustre geométricamente estas restas.

18. x = t 2, y *= t* + 1 19. x = 2t \ y - 3 /2 - 4

3. (a) (6,4) (0 ,-3 )

(b) -2i + 8j,4i - 5j

20. x = 4 eos / — 2, y = 4 sen / + 3

4. (a) <9.-7), < -2,5)

(b) 6i - 4 j , - ¡ + 8j

En los ejercicios 21 y 22, localice el punto que tiene A conjunto de coordenadas polares dado; proporcione otros dos conjuntos de coordenadas polares del mismo punto, uno con el mismo valor de r y el otro con un r con signo contrario.

En los ejercicios 5 y 6, A = 4i - 6 j, B = i + 7j y C = 9i - 5j. Determine el vector o escalar indicado.

5. (a) 3B - 7A (c) || 3B || - ||7A|

(b) || 3B - 7A |:

6. (a) SB - 3C (c) ||5B|| - ||3C|

(b) || 5B - 3C|

En los ejercicios 7 y 8, encuentre los componentes del vector cuya magnitud y ángulo director se proporcio na.

7. (a) 12.

(b) 36,112°

8. (a) 25, \n

(b) 130,335.2®

En los ejercicios 9 y 10, escriba el vector dado en la forma tic os 0 i + sen 0 j), donde r e s la magnitud y 0 es el ángulo director.

9. (a) 6i + 6j

(b) -41 + 2 V5J

10. (a) 2V3i + 2j

(b) -3i - 4j

En los ejercicios 11 a 14, determine el dominio de la Junción vectorial. I I . R(/) =

1

t

-

2

i + lníj

1 1 r (/) = VTTTí + — — j 13. R(/) = e l + tan tj 14.

R(/) = sen'l(/ - J)i + cos_,(/ - l)j

En los ejercicios 15 y 16, dibuje la gráfica de la ecua ción vectorial y encuentre una ecuación cartesiana de la gráfica. 15.

R(0 * 9 eos ti + 9 sen tj

lé. R(t) - (4t - l)i + (4 /2 + 2)j

21. (a) (2, |tc)

(b) (-3 , \n)

22. (a) (4, -± n )

(b) (-1 , \n)

En los ejercicios 23 y 24, encuentre las coordenadas cartesianas rectangulares del punto cuyas coordena das polares se proporcionan. 23. (a) (1, \n )

(b) (2, - j n )

(c) (4, |tc)

(d) (-3 , ¿ic)

24. (a) (5,

(b) (-2 , |ic)

71)

(c) (-V 2 7 ±K)

(d) (1, jx )

En los ejercicios 25 y 26, determine un conjunto de coordenadas polares del punto cuyas coordenadas car tesianas rectangulares se p ro p o rcio n a Considere r > 0 y 0 £ 0 < 2it. 25. (a) (-4 , 4) (c) (0, 6)

(b) (1, -VT) (d) (-2V 3, -2)

26. (a) (-4 , 0) (c) (-2 , -2 )

(b) (V3, 1) (d) (3, -3V3)

En los ejercicios 27 a 30, halle una ecuación polar de la gráfica cuya ecuación cartesiana se proporciona. 27. 4 * 2 - 9y 2 = 36

28.

2jcy = 1

29. x 2 + y 2 - 9jc + 8y • 0 30. y 4 = x \ a 2 -

y 2)

En los ejercicios 31 a 34, encuentre una ecuación cortesuma de la gráfica cuya ecuación polar se proporciona. 31.

r 2 sen 20 = 4

32. r ( l - eos 0) = 2 j

33.

r 2 * sen2 0

34. r = a tan2 0

p c v is iQ

£/j ¡os ejercicios 35 a 38, d ib u je ¡a gráfica de la ecua

V i

DEL CAPÍTULO 10

649

35. (i) 9 * ¿x

(b) r = 4

En los ejercicios 59 a 62, muestre la representación geométrica del número complejo en el plano complejo y escríbalo en forma cartesiana.

* (i) 0 * |

(b) r - |

59. 2(cos ^ 7i + i sen £ tí)

ción

V

N

37. (a) reos 0 = 3

(b) r = 3 eos 0

60. 6(cos| ti + i sen ~n)

38. (a) rsen 0 = 6

(b) r = 6 sen 0

61. 4(cos 135° + / sen 135°)

Enlas ejercicios 39 a 44, determine el tipo de caracol, »simetría y la dirección en la que apunta. Trace el ca ncel

62. 8(cos 330° + i sen 330^ En los ejercicios 63 y 64, exprese el producto en forma cartesiana.

39. r a 3 + 2 eos 0

40. r = 2 + 3 sen

0

63.

4(cos 50° + i sen 50°) • |(c o s 70° + i sen 70°)

41. r = 2(1 - eos 9)

42. r = 3(1 + sen 0)

64.

5(cos-~ tc + í'se n ~ it) • 2 (c o s|jt + is e n |n )

43. r * 1 - 2 sen 0

44. r = 2 — eos 0

En los ejercicios 65 y 66, exprese el cociente en forma cartesiana.

> ; Enlosejercicios 45 a 50, describa y trace la gráfica de Ib ecuación.

65. 10(cos ~ n + i sen

-f 5(cos^Jt + /s e n ||jt)

i;4 |

45. r = 3 sen 20

46. r — 3 eos 20

66. 2(cos 200° + i sen 200°) -r 3(cos 50° + < sen 50®)

(tóBíji *

47. r = V| eos 0 |

48. r =

49. r1 = -sen 20

50. r 2 = 16 eos

En los ejercicios 67 a 70, exprese la potencia en forma cartesiana.

¿flflíflifffb n i

sen 20

ie/fRtoaviXK 51. Describa y trace la gráfica de cada una de las ecua ciones siguientes: (a) r0 = 3 (espiral recíproca); I (b) 3r = 0 (espiral de Arquímedes). 52. Muestre que las ecuaciones r = 1 + s e n 0 y r = sen 0 - 1 tienen la misma gráfica dibuján dolas a mano. Compruebe las gráficas en la graficadora. \é j/P

it

fi» las ejercicios 53 y 54, muestre la representación ¡emétrica del número complejo como un punto en el i* flato complejo. 53. (a) 3 + 7/ (c) -1 + 5i

(b) 6 - 3i (d) - 4 i

54. (i) -3 + 2i (c) -4

(b) - 7 - i (d) 3i

fii it» ejercicios 55 y 56, determine el valor absoluto * ' í . \ w/kado. «r y

55. (a) 14 - 3f |

(b) | - 6 + 2 / |

%. (a) | 5 + 12í |

(b) | - 6 * |

En los ejercicios 57 y 58, exprese el número complejo ^ formapolar estándar.

TI. (|) _3 +

A

% -41

(b) 2 f i + 2i (d) -1 - i

(a) J + (c) 6;

(b) VF - í (d) - 6

67. (V3" + i) 3

68 . (4 - 4i) 4

69. (-2 + 2i) " 6

70.

i +

V3.'“5

2

£W /o j ejercicios 71 a 76, halle las raíces indicadas, es críbalas en forma cartesiana y muestre sus repre sentaciones geométricas. 71. Las tres raíces cúbicas de 8 72. Las tres raíces cúbicas de -27 73. Las cuatro raíces cuartas de 2 + i 74. Las tres raíces cúbicas de 81 75. Las cinco raíces quintas de 2 - Si 76. Las cuatro raíces cuartas de 77. Dos fuerzas de magnitudes de 50 Ib y 70 Ib forman un ángulo de 60° entre sí y se aplican a un objeto en el mismo punto. Encuentre (a) la magnitud de la fuerza resultante y (b) con aproximación de gra dos, el ángulo que forman la resultante y la fuerza de 50 Ib. 78. Determine el ángulo entre dos fuerzas, una de 112 Ib y la otra de 136 ib aplicadas a un objeto en el mismo punto si la fuerza resultante tiene una mag nitud de 168 Ib. 79. El enfílamiento de un avión es de 107° y su veloci dad al aire es de 210 mi/h. Si el viento sopla del

630

CAPÍTULO 10

VECTORES, ECUACIONES PARAMÉTRICAS, COORDENADAS POLARES

oeste a 36 mi/h, ¿cuál es (a) su velocidad respecto a tierra y (b) su curso? 80. Una partícula se mueve a lo largo de una curva que tiene la ecuación vectorial R(f) = 3fi + (4/ - t 2)j. Determine (a) las ecuaciones paramétricas y (b) una ecuación cartesiana de la trayectoria (o camino recorrido) de la partícula, (c) Trace la trayectoria de la partícula. 81.

Un proyectil se desplaza de modo que las coordenadas de su posición, en cualquier tiempo t, están dadas por las ecuaciones paramétricas

U S

x — 30f

y

y = 40/ - 16f2

Halle: (a) el tiempo total de recorrido; (b) el alcan ce del proyectil; (c) la altura máxima alcanzada por el proyectil; (d) una ecuación cartesiana de la tra yectoria del proyectil, (e) Trace la trayectoria del proyectil. 82. THti Un proyectil disparado de un arma con un II dg ángulo de elevación de radianes tiene una velocidad de salida de 220 pie/s. Determine (a) el vector de posición del proyectil en cualquier tiempo; (b) las ecuaciones paramétricas de la posi ción del proyectil en cualquier tiempo; (c) el tiem po total de recorrido; (d) el alcance del proyectil; (e) la máxima altura alcanzada por el proyectil; (f)

una ecuación de la curva recorrida por el proyectH (g) Trace la trayectoria del proyectil. 83.

íl dy Desde un punto A se golpea una bola de golf J l w con una velocidad inicial de 140 pie/s cob un ángulo de elevación de 40° y toca el sueloend punto P. Encuentre (a) la distancia horizontal de4 a P. (b) ¿Qué tiempo emplea la bola para ir desde A hasta F? (c) Determine la altura máxima ale«, zada por la bola, (d) Trace la curva recorrida porla bola desde A hasta P. (e) Encuentre una ecuación cartesiana de la curva recorrida por la bola.

84. Una epicicloide es la curva descrita por un puntoP en una circunferencia dr radio b que rueda exter namente sobre un circunferencia fija de radioa. Si el origen es el centro de la circunferencia fija,A(a, 0) es uno de los puntos en que el punto dadoP hace contacto con la circunferencia fija, B es d punto móvil de tangencia de las dos circunfereocias, y el parámetro t es la medida en radianes dd ángulo AOB, pruebe que las ecuaciones paramétncas de la epicicloide son a+b x = (a + b)eos t - b eos —r—1

a+b y = (a + b)sen t - b sen —7—t

SUMARIO

L

11.1 11,2 Hipérbolas Ecuación general de segundo Qrado en dos variables y rotación de ejes 14 Sistemas que Implican ecuaclones cuaaráticas unificado de las e°cónlcas y ecuaciones P^res de las cónicas

Elipses

-

rh

652

11.1

CAPÍTULO 11

SECCIO NES C Ó N IC AS

ELIPSES O B J E T IV O S

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

D efinir u n a elipse. O b te n e r form as e stá n d a r de u na ecuación de una elipse. D ib u ja r u n a elipse a p a rtir de su ecuación. T ra z a r u n a elipse en la graficadora utilizando ecuaciones p a ram étricas de la elipse. E n c o n tra r propied ad es de u na elipse a p a rtir de su ecuación. D eterm in ar u n a ecuación de u na elipse a p artir de sus propiedades. E xplicar los casos degenerados de una elipse. Resolver enunciados de problem as que tienen una ecuación de u n a elipse como m odelo m atem ático. D efinir la ex centricidad de u n a elipse y m ostrar su relación con la fo rm a de la elipse. P resen tar la p ru e b a de G . P. D andelin de que la definición de u n a elipse com o u n co njunto de puntos en un plano se deduce de su definición com o u n a sección cónica.

A fin de referirse al aspecto geométrico de las secciones cónicas se debe considerar que un cono tiene dos mantos, cada uno extendiéndose in definidamente. Una porción de un cono circular recto de dos mamo* se presenta en la Figura 11.1. Se denomina generatriz (o elemento del cono a una recta que esté situada en el cono. Todas las generatricesde un cono contienen al punto V llamado vértice. Una elipse se obtiene como una sección cónica si el plano corta*] te no es paralelo a ninguna generatriz, en cuyo caso el plano cortan® intersecta a cada generatriz como en la Figura 11.2. Un caso especia^ de la elipse es una circunferencia, la cual se forma si el plano coitaoií; intersecta a cada generatriz y también es perpendicular al eje del coooJ Véase la Figura 11.3. Ahora se definirá una elipse como un conjuntó de puntos en un plano. Al final de esta sección se probará que esta dfrj finición es consecuencia de la definición de elipse como una sección de un cono.

DEFINICIÓN

Elipse

Una elipse es el conjunto de puntos en un plano, tales que I* suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada punto fijo se denomina foco.

circunferencia

FIGURA 11.3

Sea 2c la distancia no dirigida entre los focos, donde c > 0 ^ ^ de obtener una ecuación de una elipse, se considera al eje x co«*'n

11.1

ELIPSIS

653

recta que pasa por F y F \ de modo que el origen sea el punto medio del segmento entre F y F'. Véase la Figura 11.4. Los focos F y F ' tie nen coordenadas (c, 0) y (- c , 0), respectivamente. Sea 2a la suma constante referida en la definición. Entonces a > c y el punto P(x, y), de la Figura 11.4, es cualquier punto de la elipse si y sólo si |F P j + \ F P \ = 2a Como I

FP | m V (x -£ * )2 + y 1

y

| T 7* | * V(jr + c)2 + y 2

P está en la elipse si y sólo si

V(jc — c)2 + y 2 *f V(jc + c)2 + y 2 = 2a Para simplificar esta ecuación se requiere la eliminación de los ra dicales y la aplicación de algunas manipulaciones algebraicas, lo cual se le pedirá que haga en el ejercicio 35. Al efectuar esto, se obtiene

donde b 2 = a 2 - c 2. Se establece este resultado a continuación.

Ecuación d e u n a e lip se

Si 2a es la constante referida en la definición de una elipse y si los focos están en (c, 0) y (-c , 0), y si b 2 = a 2 - c 2, entonces una ecuación de la elipse es

A fin de dibujar esta elipse, primero observe de la ecuación que la gráfica es simétrica con respecto a los ejes x y y. Si se sustituye y por 0 en la ecuación, se obtiene x = ±a, y si se reemplaza x por 0, se obtiene y = ± b. Por tanto, la gráfica intersecta al eje x en (a, 0) y ( - ü , 0), e intersecta al eje y en (0, b) y (0, -b ). Como b2 = a2 - c2, se deduce que a > b. Véase la Figura 11.5 y consúltela conforme lea el siguiente párrafo. La recta que pasa por los focos se denomina eje principal. Para esta elipse el eje x es el eje principal. Los puntos de intersección de la elipse y su eje principal se llaman vértices. Así, para esta elipse los vértices están en V(a, 0) y V '(-a , 0). El punto del eje principal que está a la mitad entre los dos vértices se denomina centro. El origen es

654

CAPÍTULO 11

SECCIONES CÓNICAS

el centro de esta elipse. El segmento entre los dos vértices se llama eje mayor, y su longitud es 2a unidades. Para esta elipse el segmento del eje y entre los puntos (0, b) y (0, -b ) se denomina eje menor. Su Ion- ¡ gitud es 2b unidades. Una elipse se llama cónica central en contraste con lá la cual no tiene centro porque sólo tiene un vértice.

►

EJEM PLO 1

Determinación d e las propiedades de una elipse y dibujo d e su gráfica

Para la elipse que tiene la ecuación .2

25

16

determine los vértices, los extremos del eje menor y los focos. Dibujej la elipse y muestre los focos. (M ^ B

V[ (-5 , o n

F’

Solución F

0)

o

( 0 ,- 4 )

\v

(3?0) 7(5,0)

Debido a que la forma de la ecuación es

x 2

2 -----f. y¿— a2 b2

el centro de la elipse está en el origen y el eje principal es el eje Como a 2 = 25 y b 2 = 16, entonces a = 5 y b = 4. Por tanto, los vérti ces están en V(5, 0) y V'(-5, 0) y los extremos del eje menor están en £(0,4) y £'((), -4 ). A fin de determinar los focos, se resuelve para c la ecuación b2=\ a 2- c 2 con a 2 = 25 y b 2 = 16. Así, como c> 0,

B’

F IG U R A 11.6

16 = 25 - c 2 c2 = 9

c= 3

(0 4 )

v [

B

\f ‘

(- 5 . OA ( - 3 ,0 )

\V O

( 0 ,- 4 )

(3 ,0 ) f( 5 ,0)

B"

\ F P \ + | F' P\ » 10

FIGURA 11.7

Por tanto, los focos están en F(3,0) y F '(-3,0). Como una ayuda al dibujar la elipse, encuentre un punto de ella en el primer cuadrante sustituyendo x por 3 en la ecuación y resolviéfrl dola para y (por supuesto, puede emplearse cualquier otro valor de.f| entre 0 y 5). Mediante la simetría se obtienen los puntos correspon dientes en los otros tres cuadrantes. La Figura 11.6 muestra la elipsey^ los focos. * Observe que, según la definición de la elipse, si P es cualquier punto de la elipse del ejemplo 1, entonces | FP | + | F'P I = 10. la Figura 11.7 se ha tomado P en el segundo cuadrante. Para trazar la elipse en una graficadora, se puede hacer lo que i la Sección 3.4 para gráficas de circunferencias. Esto es, se ü"ata ecuación de la elipse como cuadrática en y y se resuelve para obte j dos ecuaciones que definen a y como dos funciones de x.

11.1

>

ELIPSES

655


A fin de resolver la ecuación de la elipse del ejemplo I para y, primero se multiplican ambos miembros por 400, obteniéndose 16** + 25 y 2 = 400 25y 2 = 400 - I 6 x 2 2 5 y 2 = 16(25 - x 2) y 2 - g ( 2 5 - x 2) y = ± -V 2 5 - x2 En el mismo rectángulo de inspección de una graficadora, se trazan las gráficas de N y, = —V25 - x 2

y

yi = - |V 2 5 - x 2

para obtener la elipse que se presenta en la Figura 11.6 .

<

Otro método para trazar una elipse en una graficadora implica ecuaciones paramétricas de la elipse. Para mostrar que las ecuaciones paramétricas x = a eos t

y

y = b sen t

representan una elipse, se elimina t de las ecuaciones. Primero se escri ben las ecuaciones como x —= a

eos /

y

y b

7- = sen

Al elevaral cuadrado ambosmiembros de cada ecuación y sumar, se obtiene

x2

y 2

a2

b2

— + = eos 2 r + sen2/ a2 b2

la cual es la forma estándar de una ecuación de una elipse.

>


Las ecuaciones paramétricas de la elipse del ejemplo I son x * 5 eos t

y

y = 4 sen t

/

« f C IO N IS CÓNICAS

En la graficadora en modo paramétrico, se permite que t tome todot, los valores del intervalo cerrado [0, 2n] para obtener la elipse de la Ft>: gura 11.6. < Las trayectorias de muchos cometas y las órbitas de los planetas y satélites son elipses. Algunas veces, los arcos de los puentes son de¡ forma elíptica, y también se emplean elipses en los engranajes de las má-j quinas. Una aplicación de la elipse en arquitectura se tiene en las lia*] madas galerías del susurro, se utiliza su propiedad reflexiva. En lasi galerías del susurro las bóvedas tienen secciones transversales que sooj arcos de elipses con focos comunes. Una persona colocada en un foco] F puede escuchar el susurro de otra persona ubicada en el otro foco F*j porque las ondas sonoras originadas por el murmurador en F' chocan contra la bóveda y son reflejadas por ésta al oyente ubicado en F. Unj ejemplo famoso de estas galerías del susurro se encuentra bajo la cú-1 pula del Capitolio en Washington, D.C. Otro ejemplo es el Tabemácu-J lo Mormón en Salt Lake City. ►

T

20 pie

EJEM PLO 2

Solución d e l en u n cia d o d e un problema qut tie n e u n a ecuación d e una elipse como m o d e lo m a tem á tico

Un arco es de forma semielíptica. Tiene 48 pie de ancho en la base y una altura de 20 pie. ¿Qué tan ancho es el arco a una altura de 10 pie sobre la base? Solución La Figura 11.8 muestra un dibujo del arco y los ejes coor-j denados, los cuales se eligen de modo que el eje x quede a lo largo dej la base del arco y el origen esté en el punto medio de la base. Enton-j ces, la elipse tiene su eje principal sobre el eje x, su centro en el ori gen, a = 24 y b = 20. Así, una ecuación de la elipse es

x2

v2

—- 4- — l= 1

576 400 Sea 2x el número de pies de anchura del arco a la altura de 10 pie so bre la base. Por tanto, el punto (x, 10) está sobre la elipse. En conse cuencia, x 2 576

100 400 ~ 1 x 2 = 432 x = 12V I

Conclusión: A la altura de 10 pie sobre la base, el ancho del arco es de 24V3 pie. 4 Si una elipse tiene su centro en el origen y su eje principal soh*. el eje y, entonces una ecuación de la elipse es de la forma V2

X2

11.1

ELIPSES

657

Esta ecuación se obtiene intercambiando x y y en la ecuación

>


Puesto que para una elipse a > b, se concluye que la elipse cuya ecua ción es

¿

+ ¿ - i

16 25 tiene su eje principal sobre el eje y . Esta elipse tiene la misma forma que la del ejemplo 1. Los vértices están en (0, 5) y (0, -5), los extre mos del eje menor están en (4, 0) y (-4 , 0), y los focos están en (0, 3) y (0, -3 ). La Figura 11.9 muestra esta elipse. Puede obtenerse en la graficadora al trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas x = 4 eos t

y

y

= 5 sen t

<

Suponga que el centro de una elipse está en el punto (h, k) en lu gar del origen, y el eje principal es paralelo a uno de los ejes coordena dos. Entonces, mediante una traslación de ejes de modo que el punto (h, k) sea el nuevo origen, una ecuación de la elipse es

a2

b2

si el eje principal es horizontal, y ^ = 1 a2 b2 si el eje principal es vertical. Como x ' = x - h y y ' = y - k , se obtienen las siguientes formas estándar de una ecuación de una elipse. F o rm as e s tá n d a r d e u n a ecuación d e una elipse

Si el centro de una elipse está en (h, k) y la distancia entre los vértices es 2a, entonces una ecuación de la elipse es de la forma (JC - h)2 + a2

« ,

(a > b)

,i)

b2

si el eje principal es horizontal, y O1 a2

+ (c ~ h) l = | b2

si el eje principal es vertical.

(a > b)

'

(2)

11

a m iu rm w w iu o

Para trazar en la graficadora una elipse cuyo eje principal es hori zontal, se emplean las ecuaciones paramétricas x = a eos t + h

y

y = b sen t + k

Si el eje principal es vertical se utilizan las ecuaciones paramétricas jf = b eos t + h

y

y = a sen t + k

Al desarrollar (x - h ¥ y (y - k)2 y simplificar, las ecuaciones (l)y (2) pueden escribirse en la forma

A x2 + Cy2 + Dx + Ey + F — 0

(3)

donde A y C tienen el mismo signo. En el ejemplo siguiente, se inicia rá con una ecuación de esta forma y se completarán los cuadrados para escribirla en la forma estándar de una ecuación de una elipse.

► EJEM PLO 3

D eterm inación d e las p ro p ied a d es de una elip se y o b ten ció n d e su gráfica

Muestre que la gráfica de la ecuación 2 5 *2 + 16y2 + 150jc g 128y -

1 119 = 0

es una elipse. Determine el centro, una ecuación del eje principal, los vértices, los extremos del eje menor y los focos. Dibuje la elipse y ve rifique la gráfica en la graficadora. Solución Para escribir esta ecuación en una de las formas estándar, se comienza por completar los cuadrados en x y y. Al hacerlo se tiene 25(x2 + 6x) +

16( y 2- 8y) = 1 119

25(*2 + 6* + 9) + 16( y 2

- 8y+ 16) = 1 119 + 225 + 256

25(jc + 3 )2 +

16(y - 4 )2 = 1 600

25(x + 3 )2

16(y - 4 )2 _ f

1 600

1 600

(x + 3 )2 (y - 4 ) 2 _ 64 Esta ecuación es de la forma

+

100

(y “ *)2 1 U - h)2 donde (/i, k) es (-3, 4), a 2 - 100 y b 1 - 64. Por tanto, la gráfica es una ; elipse cuyo centro está en (-3, 4) y su eje principal es la recta vertical i que tiene la ecuación x = -3. Debido a que a - 10 y b = 8, los vértices están en V(-3, 14) y V'(-3, -6 ), y los extremos del eje menor están en j

11.1

ELIPSES

659

B(5, 4) y Z?'(-l 1, 4). Para determinar los focos se emplea la ecuación b2 = á1 - c2 con c > 0 y se obtiene 64 = 100 — c 2 c 2 = 36 c = 6

O x

De modo que los focos están en F(-3, 10) y F \ - 3, -2). Al trazar algu nos puntos más (en particular donde la elipse intersecta a los ejes x y y), se obtiene la elipse mostrada en la Figura 11.10. Para trazar la elipse en la graficadora, se emplean las ecuaciones paramétricas x = 8 eos / - 3

y

y = 10 sen t + 4

En los dos ejemplos ilustrativos siguientes, otra vez se ecuaciones en la forma (3).

>

< tienen


Suponga que (3) es 6 x 2 + 9y 2 - 24x - 54y + 115 = 0 la cual puede escribirse como 6(jc2 - 4jc) + 9 ( y 2 - 6y) = -1 1 5 Al completar los cuadrados en x y y, se obtiene 6 (jc 2

- 4jc + 4) 4- 9 ( y 2 - 6y + 9 ) = - 1 1 5 + 24 + 81 6( x - 2)2 + 9(y - 3)2 = - 1 0

Como el miembro derecho de esta ecuación es negativo y el miembro izquierdo es no negativo para todos los puntos (x, y), la gráfica es el conjunto vacio. <

t>


Debido a que la ecuación

6jc2 + 9 y 2 - 24x - 54y + 105 = 0 puede escribirse como 6 (x - 2)2 + 9(y - 3)2 = 0 su gráfica es el punto (2, 3).

<

En general, se puede probar que la gráfica de cualquier ecuación de la forma (3) es una elipse, como en el ejemplo 3, un punto, o el con-

CAPITULO I I

SECCIONES CÓ N IC A S

junto vacío. Cuando ia gráfica es un punto o el conjunto vacío, como en los ejemplos ilustrativos 4 y 5, se dice que es degenerada. Observe que (3) es el caso especial de la ecuación general de se gundo grado en dos variables, A x 2 + Bxy + C y2 + Dx + Ey + F = 0

(4)

donde B = O y AC > 0 (es decir, A y C tienen el mismo signo). Las conclusiones de la discusión anterior se resumen en el teore ma siguiente.

TEOREMA 1

Si en la ecuación general de segundo grado (4), B = 0 y AC > 0, entonces la gráfica es una elipse, un punto o el conjunto vacío.

El caso degenerado de una elipse, un punto, se obtiene como una sección cónica si el plano cortante contiene al vértice del cono, pero no contiene a ninguna generatriz. Véase la Figura 11.11. Si A = C en (3), la ecuación se transforma en A x 2 + A y2 + Dx + Ey + F = 0 punto

la cual al dividirse entre A se tiene F IG U R A 11.11

D F x 2 + y 2 + - x + - y ■f 7 = 0 A A A En la Sección 3.4 se dijo que la gráfica de esta ecuación es una circun ferencia, un punto o el conjunto vacío. Este enunciado es acorde con el Teorema 1 porque una circunferencia es una forma límite de una elip se. Este hecho puede mostrarse al considerar la ecuación que relaciona a, b y c para una elipse: i 2 __

b

_2

= a

—c

2

A partir de esta ecuación se ve que si c = 0, b2 = a2, entonces las for mas estándar de una ecuación de una elipse se transforman en (x - h)2 t (y - k)2 _ a <=>

a

(x - h)2 + (y - k)2 = a 2

la cual es una ecuación de una circunferencia que tiene su centro en Ouk) y radio a. Además, cuando c = 0, los focos coinciden con el centro de la circunferencia.

J

ii-i ►

EJEM PLO 4

n ip s e s

6éi

Determinación d e una ecuación d e u n a elipse a partir de sus propiedades y obtención d e su gráfica

Determine una ecuación de la elipse que tiene sus focos en (-8,2) y (4,2) y para la cual la constante referida en la definición es 18. Dibuje la elipse y compruebe la gráfica en la graficadora. Solución El centro de la elipse está en el punto medio del segmen to definido por los focos y es el punto (-2, 2). La distancia entre los focos de una elipse es 2c y la distancia entre (-8, 2) y (4,2) es 12. Por tanto c —6. La constante referida en la definición es 2a\ así, 2a = 18 y a = 9. Como b 2 = a 2 — c 2>

b 2 = 81 - 36 b 2 = 45

b = 3V 5 El eje principal es paralelo al eje x, en consecuencia, una ecuación de la elipse es de la forma (x - h f , (y - k f a2 b2 Como (h, k) es el punto (-2, 2), a = 9 y b = 3 VT, la ecuación requeri da es

(jc + 2)2 { (y - 2)2 _ 81

45

Esta elipse aparece en la Figura 11.12. Para trazar la elipse en la gran eadora se utilizan las ecuaciones paramétricas x = 9 eos t - 2

y

y = 3 ^5 sen t + 2

<

Algunas elipses son casi circulares, lo que sucede cuando los fo cos están muy próximos entre sí. Otras elipses son “aplastadas”, esto ocurre cuando los focos y los vértices están muy próximos unos de otros. La forma de una elipse (su “redondez” o “aplastamiento”) está dada por la excentricidad, la cual se definirá ahora formalmente.

DEFINICIÓN

E x c e n tr i c id a d

La e x c e n tr i c id a d e de una elipse es la razón de la distancia no dirigida entre los focos y la distancia no dirigida entre los vérti ces; esto es,

m

__ CAPÍTULO 11

SECCIONES CÓNICAS

Debido a que c2 = a2 - tí2, entonces c < a\ por tanto, 0 < e < i Cuando los focos están muy próximos entre sí, e está muy cerca de cero, y la forma de la elipse se asemeja a la de una circunferencia Véase la Figura 11.13(a) que muestra una elipse para la cual e - 0.3, Si a permanece fijo, entonces conforme e crece, el aplastamiento de la elipse también aumenta. Las figuras 11.13(b) y 11.13(c) muestran elipses con excentricidades de 0.7 y 0.95, respectivamente, cada una con el mismo valor de a como en la Figura 11.13(a). Las formas lími te de la elipse son una circunferencia de diámetro 2a y un segmento de recta de longitud 2a.

„xtjercicios ¿un indicad $ 4 (c) los jr! 1(1losfoco, .¿Mlagráfi

r li

9~

! r I1 < 16=

• ^ + 25y2

(a) FIGURA 11.13

esfera S,

foco F,

cwc «inferencia C , e s fe r a i,'

FIGURA 11.14

(b )

íc)

Como se prometió, ahora se probará que la definición de una elip se como un conjunto de puntos en un plano se deduce a partir de la de finición de la elipse como una sección cónica. Esta prueba, algunas veces llamada “prueba del cono de helado”, fue presentada en 1822 por el matemático belga G. P. Dandelin (1794-1847). Consulte la fi gura 11.14, la cual muestra un manto de un cono con vértice en 0 y un plano cortante intersecta al cono en una elipse. Dos esferas Si y & es tán inscritas en el cono. La esfera 5| es tangente al cono a lo largo de la circunferencia C\ y tangente al plano cortante en el punto Fu Laesfera Si es tangente al cono a lo largo de la circunferencia Ci y tangente al plano cortante en el punto Fi. Los planos de las circunferencias C¡ y C2 son paralelos. Se probará que los puntos F 1y Fi son los focos de la elipse al mostrar que si P es cualquier punto de la elipse, enton ces | TF\ I + I PFj I es constante. Para demostrar esto, se dibújala recta que pasa por los puntos O y P sobre la superficie del cono. Lo* puntos Q\ y Q2 son las intersecciones de esta recta con las circunferen cias C\ y C2, respectivamente. Como PF\ y PQ\ son dos rectas tangen tes a la esfera Si desde el punto P, se infiere que

'Sr +3,2t
^ 2 yK

S

o

a^ e l¡ VV. k c% k

\PF¡\ = \PQ¡\ También PFi y PQi son dos rectas tangentes a la esfera Si des® el punto P. Así, \PF¡\ = | P ® |

PL. ^ :O ( 0 3) m

Por tanto,

| W | + \PF¡\ = \ PQX\ + |p g ¡ |

Hi

O bserve que | PQ\ | + | PQ2 | = | Q\Q2 I, lo cual es la distancia me dida a lo largo de la superficie del cono entre los planos paralelos de las circunferencias Ci y Ci. Esta distancia será la misma para cualquier otra elección del punto P de la elipse. Por tanto, | PF\ | + | TP2 | es constante, y F\ y Fi son los focos de la elipse. * e j e r c ic io s

1 1 .1

& los ejercicios 1 a 16, para la elipse que tiene la taación indicada, encuentre (a) su centro, (b) el eje principal (c) los vértices, (d) los extremos del eje menory(e)losJocos. Dibuje la elipse y muestre los focos. Verifiquela gráfica en la graficadora. x

22. Centro en el origen, sus focos sobre el eje jc, la lon gitud del eje mayor igual a 3 veces la longitud del eje menor y pasa por el punto (3,3). 23. Vértices en (2,0) y (-2,0) y pasa por el punto (-1,

y' = 1i 1 —+ — 25 9

2.

1

24. Vértices en (0, 5) y (0, -5) y pasa por el punto (2,

lM r '

4. — + = 1 25 169

25. Centro en (4, -2), un vértice en (9, -2), y un foco en (0, -2).

5.9x2+ 25y2 = 900

6. 4 x 2 + 9y 2 = 36

7.9x2+ y2 = 9

8. 25*2 + 4 y 2 = 100

26. Un foco en (2, -3), un vértice en (2, 4) y el centro sobre el eje x.

100

+

64

9.4x1+ 9y2 — 16x — 18y — 1 1 = 0

10. i2 + 4 ? - 6x + 8y - 3 = 0 11. ix2+ y2 + 8x - 4y - 92 = 0 11 2x2 + 2y2 - 2x + 18y + 33 = 0 13.4x2 + Ay2 + 20x - 32y + 89 = 0 U.25x2 + y2 - 4 y — 21 = 0 15. x2+ 3y2 - 4x - 23 = 0 Ü 2x2 + 3y2 - 4x + 12y + 2 = 0 ; U"t ejercicios 17y 18, determine si la gráfica de la foución es una elipse, un punto o el conjunto vacío. 17.4*2 + 18,

- g* + 2y + 5 = 0

27. Focos en (-1, -1) y (-1,7) y el semieje mayor de 8 unidades de longitud. 28. Focos en (2, 3) y (2, -7) y la longitud del semieje menor es dos tercios de la longitud del semi eje mayor. En los ejercicios 29 a 32, resuelva el enunciado del problema y no olvide escribir una conclusión. 29. El techo de un vestíbulo de 10 m de ancho tiene la forma de una semielipse de 9 m de altura en el centro y 6 m de altura en las paredes laterales. De termine la altura del techo a 2 m de cualquier pa red.

+ 3y2 + 8* - 6y + 20 = 0

MkÜ eêrc^ 0s 28, encuentre una ecuación de la We que cumpla las condiciones indicadas y dibuje e” pse. Compruebe la gráfica en la graficadora.

9m

i^ COs en ^“ 5, 0) y (5. 0 ) para la cual la co nstante herida en la definición es 20. en ÍO, 3) y (0, - 3 ) y para la cual la constante ÍC^Cr^ a en te definición es 6 VF.

T

6m

6 m

^ rt'ces cn (- §. 0) y (|, 0) y un foco en (|, 0). I

T

i

1 1

l

10 m -

3

644

CAPÍTULO 11

SECCIONES C Ó N IC A S --------------------

30. La órbita de la Tierra alrededor del Sol tiene forma de elipse con el Sol en un foco y un semieje ma yor de 92.96 millones de millas de longitud. Si la excentricidad de la elipse es 0.0167, determine (a) qué tanto se acerca la Tierra al Sol y (b) la máxima distancia posible entre la Tierra y el Sol. 31. Suponga que la órbita de un planeta es de forma elíptica con su eje mayor de 500 millones de kiló metros de longitud. Si la distancia entre los focos es 400 millones de kilómetros, determine la ecua ción de la órbita. 32. El arco de un puente es de forma semielíptica y tie ne una amplitud de 40 m y una altura de 16 m en su centro. ¿Qué altura tiene el arco 9 m a la dere cha o a la izquierda del centro?

puntos de intersección de la elipse con los eps coordenados. Obtenga los focos sobre el eje x 4 utilizar un compás con centro en uno de los punto» de intersección con el eje y y radio 3. Después, cla ve una chinche en cada foco. Tome una cuerda de longitud 6 y ate cada uno de los extremos a una chinche. Apoye un lápiz contra la cuerda y haga que se tense. Deslice el lápiz manteniendo tensa la cuerda y trace la elipse. 34. Utilice un procedimiento similar al del ejercicio 33 para trazar la elipse cuya ecuación es 16x2+9y2a 144. Explique por qué funciona. 35. Muestre que la ecuación V ( x - c f + y 2 + V (x + c f + y2 * 2a al simplificarse queda como

donde b 2 = a 2- c 2. 36. Para la elipse cuya ecuación es (x - h)2 33. Para trazar la elipse definida por la ecuación 4x2 + 9y2 = 36, emplee el siguiente procedimiento y ex plique por qué funciona: primero determine los

11.2

a2

(y - k)2 _

b2

donde a > b > 0, encuentre las coordenadas de k* focos en términos de h, k ,a y b.

HIPÉRBOLAS O B J E T IV O S

1. 2. 3. 4.

D efinir una hipérbola. Obtener formas estándar de una ecuación de una hipérbola. D ibujar una hipérbola a p artir de su ecuación. Encontrar propiedades de una hipérbola a partir de su ecuación. 5. Encontrar la ecuación de una hipérbola a partir de sus propiedades. 6 . Encontrar ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola. 7. Discutir casos degenerados de una hipérbola. 8. Definir la excentricidad de una hipérbola y mostrar su relación con la forma de la hipérbola. 9. D efinir las funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico* 10. Trazar una hipérbola en una graficadora utilizando ecuaciones paramétricas de la hipérbola.

11.2

HIPÉRBOLAS

665

Cuando un plano cortante intersecta los dos mantos de un cono y es paralelo a dos generatrices, la sección cónica obtenida es una hipérbola, la cual se muestra en la Figura 11.15. La siguiente definición de una hipérbola como un conjunto de puntos puede probarse a partir de la definición de la hipérbola como una sección cónica. La prueba, seme jante a la empleada para una elipse en la Sección 11.1, implica una es fera en cada manto del cono.

DEFINICIÓN

H ip é r b o la

Una h i p é r b o l a es el conjunto de puntos en un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos pun tos fijos es una constante. Los dos puntos fijos se denominan fo c o r

x

A fin de obtener una ecuación de una hipérbola se comienza como se realizó con la elipse haciendo que la distancia no dirigida entre los focos sea 2c, donde c> 0. Después se elige al eje x como la recta que pasa por los focos F y F ' y se toma al origen como el punto medio del segmento entre F y F'. Véase la Figura 11.16. Los puntos (c, 0) y (-c, 0) son los focos F y F \ respectivamente. Sea 2a la constante referida en la definición. Se puede mostrar que c> a. El punto P(x, y) de la Figura 11.16 es cualquier punto sobre la hipérbola si y sólo si Ii í p i Como f. Jflpt % V(x - c)2 + y 2

y

| WP ¡ = V(x + c)2 + y 2

P está sobre la hipérbola si y sólo si

\ V ( x - c)2 + y 2 ~ V ( x + c)2 + y 2l = 2a o, equivalentemente, sin las barras de valor absoluto, V ( x - c)2 + y 2 « V ( x + c)2 + y 2 = ±2a Esta ecuación puede simplificarse al eliminar los radicales y aplicar al gunas manipulaciones algebraicas. Se le pedirá que haga esto en el ejercicio 43. Al efectuarlo, la ecuación resultante es

do n d e b 2 = c 2 - a 2. Así, se tiene el enunciado siguiente.

666

CAPÍTULO 11

SECCIONES CÓNICAS

Ecuación d e una hip érbo la

y

Si 2a es la constante mencionada en la definición de la hipérbola y los focos están en (c, 0) y (-c, 0), y si fr2 = c2 - a2, entonces una ecuación de la hipérbola es f! l í a a2 ~ b2 ~ Ahora se mostrará cómo se dibuja esta hipérbola, la cual se pre senta en la Figura 11.17. Observe de la ecuación que la gráfica es si métrica con respecto a los ejes x y y. Como ccn la elipse, la recta que pasa por los focos se denomina eje principal. De modo que para esta hipérbola el eje x es el eje principal. Los puntos donde la hipérbola intersecta al eje principal se llaman vértices, y el punto que se encuentra a la mitad entre los vértices se denomina centro. Para esta hipérbola los vértices están en V(a, 0) y V '(-a, 0) y el centro está en el origen. El segmento V'V del eje principal se llama eje transverso y su longitud es 2a unidades. Al sustituir 0 por x en la ecuación de la hipérbola, se obtiene y2= -b\ la cual no tiene soluciones reales. En consecuencia, la hipérbola no intersecta al eje y. Sin embargo, el segmento de recta que tiene sus extre mos en los puntos (0, - b) y (0, b) recibe el nombre de eje conjugado, y su longitud es 2b unidades. Si se resuelve la ecuación de la hipérbola para y en términos de x, se tiene y ~

± -V jc 2 — a 2 a

Se concluye a partir de esta ecuación que si | * | < a, no existe valor real de y. De modo que no existen puntos (jc, y) sobre la hipérbola para los cuales - a < x < a. También observe que si | x | > a, entonces y I tiene dos valores reales. Así, la hipérbola tiene dos ramas. Una rama i contiene al vértice V[a, 0) y se extiende indefinidamente hacia la derecha de V. La otra rama contiene al vértice V'(-a, 0) y se extiende a la izquier- 1 da de V'. Como en el caso de la elipse, la hipérbola tiene centro y se deno- j mina cónica central. ► EJEM PLO 1

Determinación de las propiedades de una hipérbola a partir d e su ecuación y dibujo * su gráfica

Determine los vértices y focos de la hipérbola que tiene la ecuación

Dibuje la hipérbola y muestre los focos.

11.2

Solución

„2 a

HIPÉRBOLAS

6Ó7

Como la ecuación es de la forma «,2 = 1

el centro de la hipérbola está en el origen y el eje principal es el eje x. Debido a que a 2 = 9 y b 2 = 16, entonces a = 3 y b = 4. Por tanto, los vértices están en V(3, 0) y V \-3 , 0). El número de unidades del eje transverso es 2a = 6, y el número de unidades de la longitud del eje con jugado es 2b = 8. Puesto que b 2 = c 2 - a 2, con c > 0, se tiene

îpéibola, la ición F IG U R A 1 1 -1 8

cc IDemodoqKptis

c = 5 De donde, los focos están en F(5, 0) y F \ - 5, 0). Un dibujo de la hi pérbola con estos focos se presenta en la Figura 11.18. 4

io s donde la hipené e l punto que se eoci¡ñ » tr o . Para esta hip© :entro está en el onge?' transverso y si teg s to la , se o to a n - ■ aencia, !a hipérbel;:: : re c a que nene*» lombreaeejeconji» la ecuación debhfO

c 2 = 16 + 9 c 2 — 25

A partir de la definición de una hipérbola, si P es cualquier punto de la hipérbola del ejemplo 1, || FP | - \F'P || = 6. Véase la Figura 11.19(a) y 11.19(b); en (a) P está en el segundo cuadrante y | FP | | F'P | = 6; en (b) P está en el cuarto cuadrante y | FP | - | F*P | = 6. r

EJEM PLO 2

Determinación de uno ecuación de una hipérbola quo tiene propiedades específicas

Determine una ecuación de la hipérbola que tiene un foco en (5, 0) y los extremos de su eje conjugado en (0, 2) y (0, -2). Solución Puesto que los extremos del eje conjugado están en (0,2) y (0, -2), entonces b = 2, el eje principal está sobre el eje x, y su centro está en el origen. De aquí, la ecuación es de la forma

Como un foco está en (5, 0), c = 5, y debido a que b2 = c2 2 5 - 4 . Así, a = V2T, y la ecuación de la hipérbola es

Si en la ecuación

2

..2

intercambian x y y, se obtiene

66«

CAPÍTULO 11

SECCIONES CÓNICAS

la cual es una ecuación de una hipérbola que tiene su centro en el gen y su eje principal sobre el eje y.


La ecuación y 9

x‘ 16

puede obtenerse a partir de la ecuación del ejemplo 1 al intercambian y y. La gráfica de esta ecuación es una hipérbola que tiene su centroca el origen, el eje y como su eje principal, sus vértices en V(0,3) y V'(0 - 3 ) , y sus focos en F(0, 5 ) y ^ '(0 , - 5 ) . La Figura 11.20 muestra lahipérbola y sus focos. Como se hizo con las circunferencias en la Sección 3.4 y conla elipse del ejemplo ilustrativo 1 de la Sección 11.1, se puede trazar una hipérbola en una calculadora gráfica o graficadora al definir primero) como dos funciones de x obtenidas al resolver la ecuación de la hipér bola para y. Sin embargo, al igual que en la elipse, es fácil trazar la gráfica a partir de ecuaciones paramétricas de la hipérbola. Dichas ecuaciones paramétricas implican dos funciones que contienen combi naciones de e x y e x, denominadas funciones hiperbólicas. Estas fun ciones se definirán al final de esta sección y se mostrará cómo pueden emplearse para trazar hipérbolas. En la ecuación estándar de una elipse, se sabe que a > b. Sinem bargo, para una hipérbola no existe una desigualdad general que implique a a y b. Tal es el caso del ejemplo 1, donde a = 3 y = 4, a < ¿; pero en el ejemplo 2 donde a = V2\ y b = 2, a > b. Además, a puede ser igual a b, en este caso se dice que la hipérbola es equilátera. La hipér bola equilátera que tiene la ecuación

x2 - y2 = 1 se denomina hipérbola unitaria. Véase la Figura 11.21, la cual muestra la hipérbola que tiene U ecuación Y '-

a2

II

b2

Las rectas punteadas en la figura son asíntotas de la hipérbola. En Ia Sección 5 .5 se trataron las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones racionales. Una definición rigurosa de una asíntota e una función más general requiere del concepto de “límite”, estudi en Cálculo. Sin embargo, intuitivamente puede establecerse quesl distancia no dirigida entre una gráfica y una recta se hace más peque'v (sin llegar a ser cero) conforme | x | o | y | se hacen cada vez grandes, entonces la recta es una asíntota de la gráfica.

11.2

HIPÉRBOLAS

669

Observe en la Figura 11.21 que las diagonales del rectángulo que tiene sus vértices en (a , b), (a, -¿>), (-a , ¿>) y ( - j , - b ) están sobre las asíntotas de la hipérbola. Este rectángulo se denomina rectángulo auxiliar; sus lados tienen longitudes la y 2b. Los vértices de la hipér bola son los puntos de intersección del eje principal y el rectángulo au xiliar. Una gráfica bastante buena de una hipérbola puede obtenerse dibujando primero el rectángulo auxiliar. Al prolongar las diagonales del rectángulo, se tienen las asíntotas. Después, por cada vértice se di buja una rama de la hipérbola utilizándose las asíntotas como guías. Observe que como a2 + b1 = c2, la circunferencia que tiene su centro en el origen y que pasa por los vértices del rectángulo auxiliar también pasa por los focos de la hipérbola. !# 3 ialin

iticesH)VíO.3 nllJOaob

►

á Sección 3.4 l.l.KpKÍ(SB{

Determine los vértices de la hipérbola que tiene la ecuación

EJEM PLO 3

Determinación d e las propiedades de una hipérbola a partir d e su ecuación y dibujo de su gráfica

onaldcfiKir * 2

la€cuaciósde!>;

-

4 y

2

=

1 6

üipse,ssiácüsiL

Dibuje la hipérbola y muestre el rectángulo auxiliar y sus asíntotas.

e ia hiparé.:"

tqoecortina

Solución

La ecuación dada es equivalente a

BKK&X2CÓV3

ibeqaes>i.i::

x

idjaenli* »

Tó ~ 7 “ 1

3yhU2 = 4, entonces a = 4 y b = 2. Los vértices están en V(4, 0) y V '(-4 , 0), y los lados del rectángulo auxiliar tienen longitudes 2a = 8 y 2b = 4. La Figura 11.22 muestra el rectángulo y las asíntotas. Tales asíntotas son empleadas como guías para dibujar la hipérbola que se muestra en la figura. 4

hipái-G^ 11.22

Se puede usar un truco nemotécnico para obtener las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola. Por ejemplo, para la hipérbola que x y tiene la ecuación------ —r - 1 se reemplaza el miembro derecho por a1 b2 0 y se tiene

*2

y2

a2

b1

a

Al factorizar, esta ecuación se convierte en

! ) ( :

* í )

’

»

CAPÍTULO 1 1

SECCIONES CÓNICAS

la cual es equivalente a las dos ecuaciones

X

y = o

a

x

y

b

-

+

a

b y = —X

y

a

y

L

as

y

*

b

las cuales son las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola dada.

>


Una ecuación de la hipérbola del ejemplo 3 es x2 16

j 2 4

A fin de obtener ecuaciones de las asíntotas se reemplaza el miembro derecho por 0, y se tiene

*L - y l = o 16

i J l 4

£ + Z

2/V4

i r

4

2

I • "

f + | - °

y = \x

y

y =

Suponga que el centro de una hipérbola está en (h, k) y que su eje principal es paralelo a uno de los ejes coordenados. Entonces, median te una traslación de ejes de modo que el punto (h, k) sea el nuevo ori gen, una ecuación de la hipérbola es n _

a2

.ti y_ L b.2

-

si el eje principal es horizontal, y

a2

1 b2

si el eje principal es vertical. Si se sustituye por x - h y y ' Por.v ' .’ se obtienen las siguientes formas estándar de una ecuación de una pérbola.

J

1 1 .2

HIPERBOLAS

671

Form as están d ar de una ecuación de una hipérbola

S i el c en tr o d e u n a h ip érbola está en (h , k ) y la distancia entre los v é r tic e s e s 2 a , e n to n c e s una e cu ación d e la hipérbola e s de la fo rm a

(* - A)2 _ (y - k)2 _ . a2

b2

“

si e l e je p rin cip al e s horizon tal, y (y -

* ) 2 __ (x - h ) 2 = {

a 2

b2

si e l e je p rin cip al e s vertical.

A l d esarrollar ( x - h ) 2 y ( y - k ) 2 y sim plificar, se puede escribir c a d a u n a d e e sta s e c u a c io n e s en la form a A x 2 + C y2 + D x + Ey + F = 0

(1 )

d o n d e A y C tien en s ig n o s o p u estos. El ejem p lo siguiente im plica una e c u a c ió n d e e sta form a.

► EJEMPLO 4

Determinación de las propiedades de una hipérbola y dibujo de su gráfica

M u estre q u e la g rá fica d e la e cu ación 9 x 2 **

Ay2 -

18* -

I6y + 29 = 0

e s una h ip érb ola. D eterm in e su centro, una ecuación del eje principal y lo s v é rtice s. D ib u je la hip érbola y m uestre el rectángulo auxiliar y sus asín totas.

Solución

S e c o m ie n z a al com pletar lo s cuadrados en x y 9 (* 2 -

9 (x 2 -

2x) -

2 x + 1) -

4 (y 2 + 4y) = -2 9

4 (y 2 + 4 y + 4) = - 2 9 + 9 -

9 (x -

l)2 -

(y 1 9

y. Así,

2)2 1

16

4 (y + 2 )2 = - 3 6 (jt -

l)2 =

4

E s t a e c u a c i ó n e s l a d e u n a h i p é r b o l a cu yo centro está en (1, - 2 ) y su

x = 1. D ebido a = 3 y b - 2 . L o s vértices están sobre el eje princi unidades a r r i b a y a b a j o d e l centro; de m odo que ¿líos están en | ) y V " ( l , - 5 ) . E l r e c t á n g u l o auxiliar t i e n e lados de longitudes

e j e p r i n c i p a l e s l a recta vertical que tiene la ecuación que a 2 = 9 y

pal 3 V (\,

b2 = 4 ,

a

672

CAPITULO 11

SEC C IO N !» CÓNICAS

2 a = 6 y 2 b = 4; se muestra en la Figura 11.23 junto con las y la hipérbola. En el siguiente ejem plo ilustrativo se tiene otra ecuación en la fe, m a (1).

>


La ecuación 4 x 2 — 12y 2 + 2 4 x + 9 6 y — 1 56 : 0 puede escribirse com o

4 ( x 2 + 6x) -

I2 (y 2 -

8 y ) = 156

y ai com pletar los cuadrados se tiene

4 (x2 + 6x + 9) FIGURA 11.23

12( y 2 -

4 ( x + 3 )2 ( x + 3 )2 [(x + 3 ) x + 3 -

V 3 (y -

S y + 16) = 156 + 3 6 - 192 \2 ( y - 4 )2 * 0 3 (y -

4 )2 = 0

4 ) ] [ ( x + 3 ) + V 3 (y - 4 )] = 0

V 3 (y — 4) = 0

y

jc + 3 + V I (y - 4) = 0

las cuales son ecuaciones de dos rectas que pasan por el punto (-3,4). «

En general, se puede probar que la gráfica de cualquier ecuación de la forma (1 ) es una hipérbola o dos rectas que se intersectan. Los j resultados del ejem plo 4 y del ejem plo ilustrativo 3 son casos particu-: lares de este hecho. La ecuación (1) es el caso especial de la ecuación general de se- i gundo grado en dos variables, A x 2 + B xy + C y2 + D x + Ey + F = 0

(2)

donde B = 0 y A C < 0 (esto es, A y C tienen signos opuestos). El siguiente teorema resum e las conclusiones de la discusión ante- 1 rior.

TEOREMA 1

Si en la ecuación general de segundo grado (2), B = 0 y A C < b entonces la gráfica es una hipérbola o dos rectas que se intersectan.

El caso degenerado de una hipérbola, dos rectas que se tan, se obtiene com o una sección cónica si el plano cortante

ínter#1 contiene

T á

dos recias que se cortan

al vértice d el c o n o y d os generatrices, com o se m uestra en la Figura 11.24.

►

E JE M P L O 5

D e te rm in a ció n tío las ocuaclonos d o u n a h ip é rb o la y sus asíntotas a p a rtir do las p ro p lo d a d o s d o la h ip é rb o la y d ib u lo d o la g rá fic a

L os vértices d e una hipérbola están en ( - 5 , - 3 ) y ( -5 , - 1 ) y los extre m os d el eje conjugad o están en ( - 7 , - 2 ) y ( - 3 , - 2 ) . Determine una ecu ación de la hipérbola y d e las ecu aciones de sus asíntotas. Dibuje la hipérbola y las asíntotas.

Solución L a distan cia entré lo s vértices e s 2a \ en consecuencia, 2 a = 2 y a = 1. La longitud del eje conjugado es 2b, de modo que 2b = 4 y b = 2. C o m o e l eje principal e s vertical, una ecuación de la hipérbola e s de la form a (y -

k )2

(x -

hf

= 1

El centro (h , k ) está a la mitad entre los vértices y es, por tanto, el pun to ( - 5 , - 2 ) . En co n secu en cia, una ecu ación d e la hipérbola es (y + 2 Y

(x + 5 ):

= 1

A l reem plazar e l m iem bro derecho por cero se obtienen ecuacio nes de las asíntotas, a sí + 2

x + 5

y + 2

x + 5

= 0

y + 2 = \ ( x + 5) L a hipérbola y las asíntotas se muestran en la Figura 11.25.

4

C om o con la elip se, una indicación de la forma de una hipérbola está dada por su e x c e n tric id a d , definida exactam ente com o para una elipse; esto e s, si e e s la e x ce n tr ic id a d de una hipérbola, c e — — a Sin em bargo, para una hipérbola e > 1. Esto se deduce del hecho de que c > a porque para una hipérbola c

2 = a2 +

b2

(3)

A partir de esta ecuación, cuando a = b, se obtiene c = V2Ícz. D e modo que la excentricidad de una hipérbola equilátera es VÜT. Véase la Figura 11 26(b). Si e se aproxim a a 1 y a permanece fijo, entonces c se apro xim a a a y d e la ecuación (3 ) b se aproxima a 0, de m odo que la forma de la hipérbola se hace “flaca” en torno a su eje principal. La Figura

•7 4

CAPITULO 1 1

M O g O N iS C Ó N IC A »

o vi ¡ n-a,0)t (a, 0)1

/ " Ir

#« V2

(b)

FIGURA 11.26

1 l.2 6 (a ) muestra una hipérbola con e = 1.05 y el m ism o valor de a com o en la Figura 1 1.26(b). S i e se increm enta conforme a permanece fijo, entonces c y b se increm entan, y la hipérbola se hace “gorda” ea torno a su eje principal. V éase la Figura 11.26(c) que presenta una Ü pérbola con e = 2 y e l m ism o valor d e a c o m o en las figuras 11.26(a)y 1 1.26(b). La propiedad de la hipérbola proporcionada en su definición forma la base de varios sistem as im portantes d e navegación. Tales sistemas com prenden una red d e pares d e radiotransm isores en posiciones fijas a una distancia co n o cid a entre sí. L o s radiotransm isores envían seña les de radio que son recibidas por un navegante. La diferencia de tiem po d e llegada d e am bas señ ales determ ina la diferencia 2a de las distancias con relación al navegante. D e m odo que la posición de la nave s e sab e que e stá en algún punto a lo largo de un arco de una hi pérbola con fo c o s en lo s lugares don de se ubican los dos radiotransmi sores. S e determ ina un arco, y no am bos, debido al retraso de la señal de lo s radiotransm isores que se introducen en el sistema. El procedi m iento se repite para un par diferente d e radiotransmisores y se determina otro arco d e hipérbola q u e proporciona la posición del navegante. El punto de intersección de los dos arcos hiperbólicos representa la posición real. Por ejem p lo, en la F igura 11.27 suponga que un par de radio transm isores se lo ca liza en lo s puntos T\ y 5 i y las señales emitidas por este par determ ina e l arco h ip erb ólico A i. Otro par de radiotransmiso res se lo ca liza en lo s puntos 7 i y & y a partir de sus señales determi nan el arco h ip erb ólico A 2. E n ton ces la intersección de A i y A: es ii p o sic ió n del navegante. La hipérbola tien e una propiedad d e reflexión que se utiliza en el d iseñ o d e ciertos te le sc o p io s. L as hipérbolas también son empleadas en la guerra para localizar la p o sic ió n de la artillería enemiga mediante el ruido d e su s disparos, e ste m étod o se denom ina localización acústi ca. A lg u n o s com etas s e m ueven en órbitas hiperbólicas. Si una canti dad varía inversam ente c o n resp ecto a otra, tales com o la presión y el volum en en la ley d e B o y le para un gas ideal (P V = k), la gráfica es una hipérbola c o m o se verá en la S e c ció n 11.3. A hora se definirán las fu n cion es c o se n o hiperbólico (abreviado co sh ) y s e n o h ip e r b ó lic o (abreviad o senh ), las cuales se aplicarán pan obtener ecu acion es param étricas d e una hipérbola.

DEFINICIÓN

cosh t =

FIGURA 11.27

Funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico

2

'

senh t =

g¡

2

L os d om in ios de las d os fu n cion es son el conjunto R de números reales. El contradom inio de cosh e s el intervalo [1, + 00) >’ e contradom inio de senh e s el conjunto R d e números reales.

11.2

HIPÉRBOLAS

675

A hora se obtendrá una identidad fundam ental que im plica a cosh y senh a partir d e la cual se deducen ecu acion es paramétricas d e una hipérbola. D e las d efin icio n es de cosh t y senh t. se tiene e ‘ - e~ '

cosh 2 1 - sen h 2 / =

e 2‘ + _2e° + e~2t

e 1' - 2e° _ + e _2i

¿ 2' + 2 + e 2' - ¿ 2| + 2 -

A sí, se ha probado la identidad co sh 2 1 — sen h 2 / = 1 D e esta identidad se ded u ce que las ecu acion es paramétricas senh t

c o sh t

FIGURA 11.28

(4)

defin en puntos sobre la hipérbola unitaria x 2 - y 2 = 1. Sin embargo, c o m o c o sh nunca e s m enor qu e 1, la curva definida por las ecuaciones param étricas co n siste únicam ente de lo s puntos sobre la rama derecha de la hipérbola unitaria. V éase la Figura 11.28. La curva “punteada’' en la figura e s la ram a izquierda d e la hipérbola unitaria, la cual no es de finida por las e cu a cio n es paramétricas (4). N o obstante, se puede defi nir la rama izquierda m ediante las ecu aciones paramétricas -c o sh t

y = senh t

Por lo general, las ecu acion es paramétricas x = a c o sh t

y

y = b senh t

definen la rama derecha de la hipérbola

a2

b2

y las ecu acion es paramétricas x = - a cosh t

y

y = b senh t

definen la rama izquierda. Se le pedirá que pruebe esto en el ejercicio 44. En los d os ejem plos ilustrativos siguientes se obtendrán las ecua cion es paramétricas, las cuales se emplearán para trazar en la granea dora las hipérbolas d e los ejem plos 1 y 4. Consulte el manual para aprender có m o introducir funciones hiperbólicas en su graficadora particular.

676

CAPÍTULO 11

SECCIONES CÓNICAS

>


La hipérbola del ejem p lo 1 tiene la ecuación cartesiana y2 = _ 16

9

1

L as ecu a cio n es param étricas d e la rama derecha de esta hipérbola son x = 3 c o sh t

y = 4 senh t

y

y las ecu a cio n e s param étricas d e la rama izquierda son x = —3 c o sh f

y = 4 senh t

y

A l trazar las gráficas d e lo s d o s conjuntos de ecuaciones paramétricas en el m ism o rectángulo de inspección se obtiene la hipérbola mostrada en la Figura 11.18. «

>


La hipérbola del e jem p lo 4 tien e la ecu ación cartesiana

i

1 i l _ (* f 9

D2 j .i

4

L as ecu a cio n es param étricas d e la rama superior de esta hipérbola son x = 2 senh t + 1

y

y = 3 co sh r - 2

y las ecu acion es param étricas d e la rama inferior son x = 2 senh f + 1

y

y = - 3 co sh t - 2

A l trazar las gráficas d e e sto s d o s conjun tos de ecuaciones paramétri cas en el m ism o rectángulo d e in sp ección se obtiene la hipérbola pre sentada en la Figura 11.23. 4 U n m étod o alternativo para trazar la hipérbola del ejemplo ilustra- j tivo 5 em p lea las ecu acion es param étricas x = 2 tan f + 1

m

y

y = 3 se c f-2

don de 0 < / < 2ti, basado en la identidad se c 2 1 - tan2 1 = 1• Véase el ejercicio 5 5 . L as fu n cion es c o se n o hip erbólico y sen o hiperbólico, así como dy otras fun ciones hiperbólicas, son tratadas con más detalle en un curso djd de C álcu lo, en don de la m ayoría de su s aplicaciones son a la ingeniería y física. En particular, la catenaria, una curva formada por un cable flex ib le d e densidad uniform e que c u elga de d os puntos por su propio peso, tiene una ecu ación qu e im plica cosh.

f l i

|\ j\ jV i

N

11.2

Híb c íc io s

677

11.2

Ufejercicios l o ó , para la h ip é rb o la d e e c u a c ió n uietermine (a) el centro, (b ) e l e je p r in c ip a l, (c ) ¿roces y (d) los focos, (e) D ib u je la h ip é r b o la y 0 0

H IP É R B O L A S

losfocos-

2 8 . F o c o s e n ( 0 ,5 ) y (0 , - 5 ) y un vértice e n ( 0 ,4 ) . 2 9 . C entro e n el origen, su s fo c o s sobre e l e je y , y pasa por lo s pu ntos ( - 2 , 4 ) y ( - 6 , 7 ) . 3 0 . E xtrem os d el e je conjugado en (0 , - 3 ) y ( 0 , 3 ) y un fo c o e n ( 5 ,0 ) .

US

2 - 4- - T 4

36

3 1 . U n fo c o en (2 6 ,

144

6. 2 5 y 2 -

$. 9i 2" 4y7 - 36

0)

y c o m o asín totas la s rectas

12y = ± 5 x .

4. L _ £ 1 16 9 "

! 25

=

3 2 . C entro en (3 , - 5 ) , un vértice en (7 , - 5 ) y fo c o en

4 x 2 = 100

( 8 ,- 5 ) . 3 3 . C e n tr o e n ( - 2 , - 1 ) , u n v é r tic e e n ( - 2 , 11) y un

fotos ejercicios 7 a 20, p a ra la h ip é r b o la d e e c u a c ió n M i determine (a) el centro, (b ) e l e je p r in c ip a l y (c ) ecla vértices. (d) Dibuje la h ip érb o la y m u e s tr e e l rsega úifulo auxiliar y las asíntotas.

fo c o en ( - 2 ,1 4 ) 3 4 . F o c o s e n ( 3 , 6 ) y ( 3 , 0 ) y pasa por e l punto (5 , 3 + fV f). 3 5 . F o c o s e n ( - 1 , 4 ) y ( 7 , 4 ) y la longitud del eje trans v e r so e s | .

8. í ! _ ^ = 9 ~ 25

s i - í - 1 25 16 ^*y_ _ ix2 . _ i [4

i

y2

_ i! 10. 100 49

16" 1

1125y2 - 36x2 = 900

12. 4 * 2 -

9y2 =

3 6 . U n fo c o e n ( - 3 -

3 V l 3 , 1), las asíntotas se inter-

sccta n e n ( - 3 , 1 ), y una asíntota pasa por el punto

(1,7). 3 7 . L o s v é r tic e s d e u n a h ip é r b o la está n e n ( - 3 , - 1 ) y

(-1. -1)

y la d ista n cia entre lo s fo c o s e s 2>¡5. En

U í j - y7 + 6x - 4 y - 4 5 0

cu en tre ( a ) una e c u a ció n d e la hipérbola y (b)

K 9y2 - 4x2 + 32* - 3 6 y -

e c u a c io n e s d e las asíntotas.

64 = 0

L\9r ~ 16y2 + 54x - 3 2 y

-

79 = 0

i y - 25x2 - 50 jc - 7 2 y

-

106 = 0

3 8 . L o s fo c o s d e una hipérbola están en ( 2 , 7 ) y (2, - 7 ) y la d ista n cia entre lo s vértices e s 8VT. Encuentre (a ) u n a e c u a ció n d e la hipérbola y (b ) ecu acion es

- 4i 2 - 8* - 2 4 y -

40 = 0

] 2 i 2 " f + \ 2x + 8 y - 6 = 0 19.4>2

“ 9x2 + 16y + 18* = 2 9

Ifa’ -

y2 + 56* + 2 y + 195 = O

d e la s asíntotas. 3 9 . E n cu en tre la ecu a ció n d e la hipérbola c u y o s focos so n lo s v értices de la e lip se I x 2 + 1 l y 2 = 7 7 y c u y o s v értices están e n lo s fo c o s de esta elip se.

40. E ncuentre la ecu a ció n de la e lip s e c u y o s fo c o s son Pfaf _ (¡erciaos 21 a 26, e n cu en tre e c u a c io n e s d e la s 0fel5
22.

E jercicio 10

lo s v értices d e la hipérbola 1 l x 2 - 7 y 2 = 7 7 y c u y o s v értices están e n lo s fo c o s d e e sta hipérbola.

41. El c o s to d e produ cción de un artículo e s de $ 1 2 m e n o s por unidad en un punto A qu e en un punto

24. E jercicio 16 26. E jercicio 18

t s . n cu en tre u n a e c u a c ió n d e la Satlsfaga las c o n d ic io n es y d ib u je la h i-

B , y la d istan cia entre A y B e s 100 km. Suponga q u e la ruta d e entrega del producto es una línea recta y q u e e l c o sto d e entrega e s 2 0 cen tavos por unidad por kilóm etro, determ ine la curva en cual qu ier punto d el cual pueda surtirse el artículo d e s d e A o B al m ism o costo total. (Su g eren cia : considere

[ ¡ V » o, / 2 ' y (2, 0) y el e je c o n ju g a d o d e

los puntos A y B com o ( - 5 0 ,0 ) y ( 5 0 ,0 ) , respectiva m en te.)

678

CAPÍTULO 11

SECCIONES CÓNICAS

42. Dos estaciones LO R A N (long ra n g e n a v ig a tio n , es decir, navegación de largo alcance) A y B están si tuadas en una línea recta este-oeste y A está a 8 0 mi aJ este de B. Un avión vuela en una línea recta que está a 6 0 m i al norte de la recta que pasa por A y B. Se envían señales al m ism o tiem po desde A y B, y la sefíal de A llega al avión 3 5 0 / i s (m icrosegundos) antes que la de B. Si las señales viajan a razón de 0 ,2 m i//is, determ ine la posición del avión mediante la definición de una hipérbola. 43. Muestre que la ecuación V ( x - c)2 + y 2 -

47.

E jercicio 3

48. Ejercicio 4

49.

Ejercicio 13

5 0 . Ejercicio 14

51.

E jercicio 17

5 2 . Ejercicio 18

5 3 . Para una hipérbola la excentricidad e es mayor que 1, y para una e lip se 0 < e < 1. Explique por qué b excentricidad de una parábola es igual a 1. 5 4 . Explique có m o las funciones coseno hiperbólico y sen o hiperbólico están relacionadas con las coorde nadas de puntos de la hipérbola unitaria de manen sem ejante a com o las funciones trigonométricas correspondientes (cosen o y seno) están relacioat-

V ( x + c)2 + y 2 = ± 2 a

puede sim plificarse com o

das con las coordenadas de puntos de la circunfe rencia unitaria. 5 5 . Explique por q u é la hipérbola que tiene la (y ~ k ) 2 _ ( x -

d o n d e b 2 = c 2 - a 2.

x2 y2 tesiana —- ------ = 1 está definida por lo s dos sia2 b2 guientes conjuntos de ecuaciones paramétricas: x - a cosh /

y = b senh t

y

y.

puede trazarse utilizando las ecuaciones paramétncas x = b tan t + h

y

y = asect + k

5 6 . R efiérase al ejercicio 55. Escriba un conjunto de ecu acion es paramétricas que contenga las funcio nes tangente y secante, el cual debe emplear« para

x = - a cosh t

y

y = b senh /

En los ejercicios 4 5 a 52, e scrib a ecu a cio n es p a ra m é tricas que d efinan la h ip érb o la d e l ejercicio indicado, y úselas p a ra tra za r la hipérbola. 45. Ejercicio 1

11.3

b2

fl2

44. Pruebe que la hipérbola que tiene la ecuación car-

h )2 _

4 6 . Ejercicio 2

trazar la hipérbola que tiene la ecuación (x - h ) 2 o2

(y b2

k )2 _ ~

y expliq ue por qué funciona el procedimiento.

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO EN DOS VARIABLES Y ROTACIÓN DE EJES OBJETIVOS

1. U tilizar el producto de los coeficientes d e j^ y ^ para identificar la gráfica de la ecuación de segundo grado en dos variables que no contiene el término xy. 2. Aprender las fórmulas de rotación de ejes. 3. Obtener una ecuación de una gráfica con respecto a los nuevos ejes después de rotar los ejes. 4. Elim inar el término xy en una ecuación de segundo grado mediante la rotación de ejes.

|13 ICUAOÓM

PE SEGUNDO ORADO P i DO» VARIABUS Y KOTAOÓN PC Ü ES

679

5 . D ib u ja r la g r á fic a d e u n a e cu a ció n d e se g u n d o g r a d o q u e c o n d e n e u n té r m in o x y . 6. Id e n tific a r la g r á fic a d e u n a e cu ación d e se g u n d o g r a d o en d os v a r ia b le s e x a m in a n d o el d isc r im in a n te d e la ecu a ció n . 7 . T r a z a r la g r á fic a d e u n a e cu a c ió n d e seg u n d o g ra d o en d os v a r ia b le s e n la g r a fic a d o r a .

En las se c c io n e s 11.1 y 11.2 se d ijo que la gráfica de la ecuación gene ral d e seg u n d o grado en d o s variables, A x 2 + B xy + C y2 + D x + Ey + F = 0

(i)

es una e lip se o un c a so degenerad o si B = 0 y A C > 0 , y una hipérbola o un c a so degen erad o si B = 0 y A C < 0. A hora se considerará (1 ) don de B = 0 y A C = 0 . En tal caso >4 = 0 o C = 0 , pero n o am b os, y a qu e si lo s tres núm eros A , B y C son todos cero , (1 ) n o e s una e c u a c ió n d e se g u n d o grado. S u p on ga en (1 ) que B = 0 , A = 0 y C * 0 . E n ton ces (1 ) se transforma en C y2 + D x + E y + F = 0

parábola FIGURA 11.29

(2 )

S i D * 0 , se v io en la S e c ció n 3 .5 qu e la gráfica de esta ecuación es una parábola, la tercera sección c ó n ic a L a parábola se obtiene com o una se c ció n c ó n ic a si el plan o cortante e s paralelo a una y só lo a una gene ratriz d e un co n o . V éa se la Figura 11.29. En la S e c ció n 3 .3 se d e ñ n ió una parábola c o m o un conjunto de puntos en un plano. L a prueba d e qu e esta d efin ición se deduce a partir d e su d e fin ició n c o m o una se c ció n cón ica, e s sim ilar a la de la elipse. Sin em bargo, para una parábola se n ecesita únicam ente una esfera tan gen te al plan o cortante en el fo c o y tangente al co n o a lo largo de una circunferencia. L a intersección del plano d e la circunferencia con el plano cortante e s la directriz d e la parábola L o s c a so s d egenerad os d e una parábola ocurren si D = 0 en (2), son d o s rectas paralelas, una recta o el conjunto vacío.

▻ EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 La gráfica de la ecu ación 4y2 — 9 = 0 con siste d e d o s rectas paralelas: 2 y - 3 = 0 y 2 y + 3 = 0 . La gráfica de la ecuación 9y2 + 6y + 1 = 0 e s una recta porque la ecuación es equivalente a (3y + 1)‘ = 0. Com o la ecuación 2y2 + y + 1 = 0 no tiene solu cion es reales, su gráfica e s el conjunto vacío.

^

680

CAPÍTULO 11

S iC q O N iS CÓNICAS U n a d iscu sión sem ejante a la anteñor puede darse si, en (1), $ s 0 , C = 0 y A * 0 . En el siguiente teorema se resumen los resultados ob ten id os.

TEOREMA 1

En la e cu ación general de segun do grado (1), si B = 0, y si ade m ás A = 0 y C / 0 , o bien C = 0 y A * 0. entonces la gráfica es una d e las sigu ien tes: una parábola, d os rectas paralelas, una rec ta o el conjun to vacío.

recta

F IG U R A 1 1 3 0

El c a so degenerad o d e una parábola, una recta, se obtiene como una se c c ió n c ó n ic a si el plano cortante contiene al vértice del cono y s ó lo una generatriz, c o m o en la Figura 11.30. La parábola degenerada, q u e c o n siste d e d o s rectas paralelas, no puede obtenerse como una sec c ió n plana d e un c o n o a m en os que se considere un cilindro circular c o m o un c o n o degenerado con su vértice en el infinito. Entonces un plan o paralelo a las generatrices del cilindro que corte dos de estas ge neratrices produce las d o s rectas paralelas. D e lo s teorem as d e las se c cio n e s 11.1 y 11.2, así como el teorema anterior d e esta se c ció n , puede concluirse que la gráfica de la ecuación general d e segu n d o grado en d os variables cuando B = 0 es una cónica o una có n ica degenerada. El tipo d e cón ica puede determinarse a partir del producto d e A y C. D e m od o que se tiene el siguiente teorema.

TEOREMA 2

L a gráfica de la ecu ación A x 2 + C y2 + D x + Ey + F = 0 cuando A y C no son am bos cero, e s una cónica o una cónica de generada. S i e s una cónica, entonces la gráfica es (i) una p a rá b o la si A = 0 o C = 0 , esto es A C = 0; (ti) una elipse si A y C tienen el m ism o signo, esto es, A C > 0; (iii) una h ip é r b o la si A y C tien en sig n o s opuestos, esto es, A C < 0.

► EJEMPLO 1

Identificación do la gráfica do una ccuadón do togundo grado on dos variable*

Identifique la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones,351 c o m o el tipo de cón ica o cón ica degenerada.

3

p l SiO U N D O Q U A D O I H P Q 8 VAM á M t t Y t Q r i O á N D I M I

(a) 9 x 2 +

y 2 — 18jc + A y + 4 =

(c ) 2 x 2 +

12* — 5y + 28 = 0

0 (b)

(c ) 3 x 2 -

2 y 2 + 12jc - A y — 2 = 0 ( f)

é >1

x2

+ A y2 =

(d ) x 2 — 4 = 0 je2

—4 y 2 =

Solución En cada inciso, se tiene unaecuación de segundo grado en dos variables. Por tanto, la gráfica es una cónica o una cónica dege nerada. D el T eorem a 2 , el producto A C determina el tipo de cónica. (a ) C om o A = 9 y C = 1, A C = 9 > 0. Por tanto, la gráfica es una elip se« o bien, una elip se degenerada. A l completar los cuadrados, la ecu ación puede escribirse com o ( * - D ’ + ^

= i

D e m od o qu e la gráfica e s una elipse.

(b) D e b id o a qu e e l ún ico par ordenado que satisface esta ecuación es ( 0 ,0 ) , la gráfica e s e l origen, una elip se degenerada. (c) P uesto q u e C = 0 , A C = 0 . A sf, la gráfica e s una parábola, o bien, una parábola degenerada. A l com pletar cuadrados, la ecuación puede escribirse co m o

(d) D eb id o a q u e la ecu ación x 2 - A = 0 e s equivalente a la ecuación C* - 2 ) ( * + 2 ) = 0 , su g r á fic a c o n s is t e d e d o s rectas paralelas x = 2 y x = - 2 , u n a p a rá b o la d e g e n e ra d a . (e ) Puesto que A = 3 y C = - 2 , A C = - 6 < 0. Por tanto, la gráfica es una hipérbola, o bien, una hipérbola degenerada. La ecuación es equi valen te a (jg + 2 ) 2 4

(f)

(y |

i)2 _ 6

cu y a gráfica e s una hipérbola. La ecu a ció n e s equivalen te a (jc - 2y){x + 2y ) = 0; de m odo que su gráfica consta d e d os rectas que se intersectan: x = 2y y x = -2 y , una hip érbola degenerada. < A hora se discutirá la gráfica de la ecuación general de segundo

grado en d o s variables cuando B * 0 , esto es, una ecuación que tiene un térm ino xy. T al ecu ación se transformará en una ecuación que no con ten ga térm ino xy m ediante la rotación de los ejes coordenados. M ientras q u e una traslación de ejes origina un nuevo sistem a coorde nado c u y o s e je s son paralelos a lo s ejes x y y originales, una rotación de ejes proporciona un sistem a coordenado que, en general, n o tendrá ejes paralelos a lo s ejes originales. Su p on ga que se tienen dos sistem as de coordenadas cartesianas rectangulares con el m ism o origen. Sea uno de e llo s e l sistem a a y y el otro, el sistem a I y. A d em ás, suponga que el eje x form a un ángulo de

682

CAPÍTULO 11

SECCIONES CÓNICAS

a

r a d i a n e s c o n e l e j e x . V é a s e l a F i g u r a 1 1 .3 1 . P o r su p u e sto , el eje y

ta m b ié n fo r m a u n á n g u lo d e

c o n e l e je y . E n tal caso,

se

d i c e q u e e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s x y s u f r ió u n g i r o o r o ta c ió n de un á n g u lo d e a

r a d i a n e s p a r a f o r m a r e l s i s t e m a d e c o o rd e n a d a s x y . Un

p u n t o P q u e t i e n e c o o r d e n a d a s (x , y ) c o n r e s p e c to a l s is te m a coordena d o o r i g i n a l , t e n d r á c o o r d e n a d a s (x , y ) c o n r e s p e c to al n u e v o sistema. A h o r a s e o b t e n d r á n l a s r e l a c i o n e s e n t r e e s t o s d o s c o n ju n to s d e coorde nadas. E n l a F i g u r a 1 1 .3 1 , r d e n o t a la d i s t a n c i a n o d ir ig id a | O P | y 6 el á n g u l o m e d i d o d e s d e e l e j e x h a s t a e l s e g m e n to re c tilín e o O P . D e la fi g u ra se o b serv a q u e x

=

r eos 0

y

y

= r sen 0

(3)

T a m b i é n d e l a F i g u r a 1 1 .3 1 x =

r co s(0 -

y

a )

= rse n (0

y

-

C o n l a s i d e n t i d a d e s d e c o s e n o y s e n o d e la d if e r e n c ia , e sta s dos ecua c io n e s s e tra n s fo rm a n e n r eo s 0 eos a

x

=

y

— r sen 0 eo s a

+ r sen 0 sen a

y -

r eo s 0 sen a

S i s e s u s t i t u y e n x y y d e la s e c u a c i o n e s ( 3 ) e n la s e c u a c io n e s anteriore s , s e o b tie n e x = x eos a

+ y sen a

y

y

= - x sen a

+ y eos a

(4)

A l r e s o l v e r la s e c u a c i o n e s ( 4 ) s i m u l t á n e a m e n t e p a r a x y y e n términos d e x y y ( v é a s e e l e j e r c i c i o 3 8 ) , s e o b tie n e x = x eos a

y s e n ex

-

y

y

= x sen a

+ y eos a

A c o n t i n u a c i ó n s e e s t a b l e c e e s t e r e s u l t a d o fo r m a lm e n te .

F ó rm u la s d e r o ta ció n d e ejes

S i (x , y ) r e p r e s e n t a u n p u n t o P c o n r e s p e c to a un conjunto de e je s d a d o y (x , y ) e s u n a r e p r e s e n ta c ió n d e P de s p u é s d e q u e los ejes h a n s i d o r o t a d o s u n á n g u l o a , e n to n c e s

(i) x = x e o s (ii) x = x e o s

a

-

y sen a

y

y

a

+ y sen a

y

y =

► EJEMPLO 2

D a d a la e c u a c ió n

xy = I

=x sen a

+ y eos «

- x sen a

+ y eos«

Obtención de la ecuación de una gráfica después de una rotación de los efes y dibujo de la gráfica

(5)

GENERAL DE SEGUNDO ORADO EN DOS VAWAP1 M v ■OT4Q Ó N D i I J i S ___ 4S 3 1 l¿ -

(a) O b te n g a u n a e c u a c ió n d e la gráfica resp ecto d e lo s e je s x y y d es p u és d e rotar lo s e je s un án g u lo d e radianes, (b) D ibu je la gráfica y

¿11

m u estre lo s d o s siste m a s d e ejes.

Solución ( a ) C o n ot =

e n ( i ) d e la s fórm u las de rotación de e je s, se obtiene

x = - J = j r ----- = y <2 A l su stitu ir e s ta s e x p r e s io n e s por x y y en la ecu a ció n x y = 1. se o b tie n e .X

x ------- ^ y \ \ — e x + — p-y i = ( v i * ' ^ k y) ( v 2 \T t

\ i // y Ti f f 4 i l M¿ y r r r í —

( b ) É sta e s u n a e c u a c ió n d e u n a h ip ér b o la eq u ilátera cu y a s asíntotas s o n lo s b is e c t o r e s d e l o s cu a d r a n te s en e l siste m a x y . D e m odo q u e la g r á fic a d e la e c u a c ió n x y = 1 e s una hipérbola equilátera que e s tá e n lo s c u a d r a n te s p r im er o y tercero , y la s asín totas so n lo s e je s x y y . V é a s e la F ig u ra 1 1 .3 2 q u e c o n tien e la gráfica requerida,

a

FIGURA 1132 D e l T e o r e m a 1 s e s a b e q u e c u a n d o B = 0 y A o C n o so n a la v e z c e r o , la g r á fic a d e ( 1 ) , la e c u a c ió n g e n e r a l d e se g u n d o grado en d os v a r ia b le s e s u n a c ó n ic a , o b ie n , u n a c ó n ic a d eg e n e ra d a . A h ora se m o s trará q u e s i B * 0 , e n t o n c e s c u a lq u ie r e c u a c ió n d e la form a ( 1 ) puede tr a n sfo r m a r s e , m e d ia n te u n a a d e c u a d a r o ta c ió n d e e je s , e n una ecu a c ió n d e la fo r m a

Ax

+ Cy

+ D x + Ey + F = 0

6

( )

donde A y C no son ambos cero. Si el sistema xy se rota un ángulo a , entonces para obtener una ecuación de la gráfica de (1) con respecto al sistema xy, se sustituye jr por x eos a - y sen a y y por 5 sen a + y eos a. Al efectuar las susti tuciones se obtiene A x2 + B x y + C y 2 + Dx + Ey + F = 0

(7)

donde A = A eos2 (X + B sena eos a

+ C sen2 (X

B = -2 A sen a eos a + B(eos2 a - sen2 a) + 2C sen« eos

ü(

C = A sen2 Oí - B sen a eos
684

rA P iT U L O

11

SiCCIONiS CÓNICAS o eq u ivalen tem en te, c o n identidades trigonométricas, B c o s ía

+ (C - A ) s e n 2 a * 0

D e b id o a q u e B # 0 , se obtiene

col 2a

A f~ C B

S e h a m ostrado qu e una rotación de ejes mediante un ángulo
+ y sen a

y

y = - x sen a + y eos a

e n e sa ecu a ció n daría c o m o resultado la ecuación D (x e o s a

+ y se n a ) + E { - x sen a

+ y eos a ) + F = 0

E sta ecu a ció n e s d e prim er grado y , en consecuencia, diferente de (1) i porque se su p u so qu e al m en os B * 0. Por tanto, se ha probado el teo rem a sigu ien te.

TEOREMA 3

Si B

0 , la ecu ación A x 2 + B xy + C y2 + D x + Ey + F = 0

pu ed e transform arse en la ecu ación A x2 + C y2 + D x + Ey + F = 0 d on d e J y C n o so n am bos cero, por una rotación de ejes de un á n gu lo a para e l cual cot 2 a =

A -

C

B

D e lo s teorem as 2 y 3 , se infiere que la gráfica de la ecuación neral de segu n d o grado en d o s variables e s una cónica, o bien, una có n ica degenerada. Para determ inar qué tipo de cónica es la gráfica j una ecu ación particular, se exam ina la expresión ~_ÂC. S e em p lea el h echo de que A , B y C de (1) y A, B y C de (7) s*05 j facen la ecu ación

B 2 - 4AC = B 2 - 4AC

C U A C IO N

GENERAL DE SEGUNDO ORADO IN POS VARIABLESY ROTACIÓN D i ü tS ___ 685 lo c u a l p u e d e p r o b a r s e a l s u s tit u ir la s e x p r e s io n e s p a r a A , B y C , d a d a s d e s p u é s d e l a e c u a c i ó n ( 7 ) e n e l m ie m b r o d e re c h o . E n e l e je r c ic io 3 7 s e le p e d i r á q u e h a g a e s to . L a e x p r e s i ó n B 2 - 4 A C s e d e n o m in a discrim inante y la e c u a c ió n ( 8 ) e s t a b l e c e q u e e l d i s c r im in a n te d e l a e c u a c ió n g e n e ra l c u a d r á tic a e n d o s v a r i a b l e s e s in varian te b a j o u n a r o ta c ió n d e e je s . S i e l á n g u l o d e r o t a c i ó n s e e lig e d e m o d o q u e B = 0 , e n to n c e s (8 ) se tra n s fo rm a en B 2 -

4AC

=

-4

(9)

A C

E x c e p t o p a r a c a s o s d e g e n e r a d o s , a l a p lic a r e l T e o r e m a 2 , la g rá fic a d e la e c u a c ió n A x 2 +

C y2 +

D x +

E y

+ F = 0

e s u n a p a r á b o l a s i A C = 0 , u n a e lip s e s i A C > 0 , y u n a h ip é rb o la si A C < 0 ; o , e q u i v a l e n t e m e n t e , u n a p a r á b o l a s i - 4 A C = 0 , u n a e lip se

s i - 4 A C < 0 , y u n a h i p é r b o l a s i - 4 A C > 0 . D e e s to s h e c h o s y la e c u a c i ó n ( 9 ) s e d e d u c e q u e , e x c e p t o p a r a c a s o s d e g e n e r a d o s , la g rá fic a de (1 ) , la e c u a c ió n g e n e r a l d e s e g u n d o g ra d o , e s u n a p a rá b o la , u n a e lip se o u n a h i p é r b o l a d e p e n d i e n d o d e q u e e l d is c r im in a n te B 2 - 4 A C s e a c ero , p o s i t i v o o n e g a t iv o . A s í , s e h a p r o b a d o e l te o r e m a s ig u ie n te .

TEOREMA 4

L a g r á f i c a d e l a e c u a c ió n A x 2 +

Bxy

+

C y2 +

D x +

Ey +

F

=

0

e s u n a c ó n i c a , o b ie n , u n a c ó n ic a d e g e n e ra d a . Si la g rá fic a e s u n a c ó n ic a , e n t o n c e s e s

(i) una p a rá b o la s i B 2 - 4 A C = 0; (ii) una elipse s i B 2 - 4 A C < 0; (iíi) una hipérbola s i B 1 - 4 A C > 0.

►

EJEMPLO 3

Simplificación efe una ecuación mediante una rotación de ejes y dibujo de su gráfica

(a) I d e n tif iq u e la g r á f i c a d e la e c u a c ió n \7 x 2 -

12x y + 8y 2 - 8 0 = 0

(b) S im p lif iq u e la e c u a c ió n m e d ia n te u n a rotación d e ejes, (c) D ibuje la g r á f ic a d e la ecuación y muestre ambos c o n ju n to s d e ejes.

Solución ía ) D e la e c u a c ió n ,

A =

17,

B ~ -1 2 y C =

B2 - 4AC = (- 1 2 ) 2 -

8.

4(17)(8)

686

CAPÍTULO 11

SKCClON iS CÓNICAS C o m o B 2 - 4A C < 0 , por el Teorem a 4 , la gráfica es una elipse o bien, una e lip se degenerada. (b ) Para elim inar el térm ino x y m ediante una rotación de ejes se d eb e ele g ir a , tal qu e

1 7 -8

-1 2 3 4

E x iste un 2 a en el intervalo (0, n ) para el cual cot 2 a = Por tanto, está en el intervalo (0 , fyi). Para aplicar las fórmulas de rota c ió n d e e jes, n o e s necesario encontrar
eos a

y

1 - eos 2a sen a

V

2

se deduce que eos 20k = - | . Así fl + f sen a = ' y - y ~

i

_2_ V5

A l sustituir jc = jc /V F - 2 y / y¡5 y y = 2jc/V5~ + y/V5~ en la ecuacióo dada, se tiene

17

4x y + 4y 2

12

3x y — 2y :

23c-

4 x 2 + 4x y + y 1

-8 0 = 0

5 S i se sim p lifica esta ecuación, se obtiene 3c2 + 4 y :2 í ; + 16

z!

16 1

4

Por tanto, la gráfica e s una elipse cuyo eje mayor mide 8 unidades d e longitud y cu y o eje m enor m ide 4 unidades de longitud. (c ) S e ap licó la transformación obtenida en el inciso (b) para dibujar la elip se. La Figura 11.33 muestra esta elipse y los dos conjuntos II d e ejes. 4 C om o se puede ver en el ejem plo anterior, el dibujo de la gráfica de una ecuación de segundo grado, que tiene término xy, mediante uitf

^ g ^ i f l t M E R A L DE SEGUNDO ORADO EN DOS V A B a m “

y b q TA06N

D I IM S

687

rotación d e e je s frecuentem ente requiere de cálcu los ted io so s. C o m o se m uestra en e l ejem p lo siguiente, trazar la gráfica d e una d e dichas ecu acion es en una graficadora tam bién puede acarrear c á lc u lo s com plicad os cuand o prim ero se expresa y c o m o d os fu n cion es d e *.

► EJEMPLO 4

T ra zo d o la g rá fic a d o u n a ocuoclón do so g u n d o g ra d o m do» v a ría b lo s

Trace la gráfica de la ecu a ció n del ejem p lo 3.

Solución

L a ecu a ció n d efin e a y c o m o d os fun ciones de jc. Para en contrar estas fu n cio n es se con sid era la ecu ación c o m o cuadrática en y y se escrib e c o m o 8y2 -

I2 x y + (I7 x 2 -

80) = 0

D e la fórm ula cuadrática c o n a = 8, b = - 1 2 * y c = 1 7 * 2 - 80, se tiene

-b ± V P

4ac

2a -(-1 2

jc)

± V ( — 1 2 j )2 -

4 (8 )(1 7 x 2 -

80)

2 ( 8) I2 x ± 4 V 1 6 0 -

25r

16 3* ± V 1 6 0 -

25r

En e l rectángu lo d e in sp ec c ió n d e [ - 7 .5 , 7 .5 ] por [ - 5 , 5] se trazan las gráficas de

3x + VTóO^lsjc7

yi = ----------- j -----------

y

H

3jc - V 160 - 25 jcj

para obtener la e lip se de la Figura 11.33.

yíRCICIOS

1 1 .3

M/wctcioj I a 4, identifique la gráfica de la L ' con*o el tipo de cónica o cónica degene-

V fe) >2

- 24y + 8* ~ 14y

- 6x

3 1 - 0 47 = 0

id, m % i |i

t í ; + ** ~ l y “ 9 ■ 0 ^ liu.2 . V + 16x + 12 y + 3 8 = 0 9*0 - 3y

+ 19 = 0

3 . (a) 3 x 2 + 5 y 2+ (b ) 4 * 2 5 y 2+ (c) 2 x 2 - 16* (d) 9 x 2 + 30* + 4.

6 * — 2 0 y + 23 = 0 16* + Í0 y + 1 1 1 = 0 5 y + 22 = 0 29 = 0

(a) 5y 2 + 4 * + lOy — 3 = 0

(b) 3 x 2 + l y 2— 6 * + 28y + 37 = 0 (c) 2 x 2 — 3y 2— 12* — 6 y + 15 = 0 (d) 4 * 2 — 9 y 2 — 40x — 54y + 55 = 0 En los ejercicios 5 a 8, (a) identifique la gráfica de la ecuación, (b) encuentre una ecuación de la gráfica con respecto a los ejes x y y después de una rotación de ejes

688

CAPÍTULO 1 1

SECC IO N ES CÓ N ICA S

de un á n g u lo d e jrt ra d ia n es, y (c ) d ib u je la g rá fic a y m u estre a m b o s c o n ju n to s d e ejes. 5.

xy = 8

8. y 2 — x 2 = 1 6

En los e je rc ic io s 9 a 16, (a ) id en tifiq u e la g rá fic a d e la ecuación, (b ) e lim in e e l térm in o x y m e d ia n te u n a ro ta ción d e ejes, y (c ) d ib u je la g rá fic a y m u e stre lo s d o s co n ju n to s d e ejes. 9. 2 4 xy -

2 7 . E jercicio 9

28. Ejercido 10

29. Ejercicio 11

30. Ejercicio 12

3 1 . E jercicio 17

3 2 . Ejercicio 18

33. Ejercicio 21

34. Ejercicio 22

3 5 . M uestre que la gráfica de VT + Vy = 1 es parte de una parábola al rotar los ejes un ángulo de -x n. dianes. Su g eren cia : elim ine los radicales antes de aplicar las fórmulas de rotación de ejes.

l y 2 + 36 = 0

10. 4 x y + 3 x 2 = 4 11. x 2 + 2 x y + y 2 -

26. x 2 + 2 xy + y 2 — x — 3y = 0 E n lo s e je rc ic io s 2 7 a 34, trace la gráfica de la ecua ció n d e l eje rc ic io indicado.

6. x y = - 4

7. x 2 - y 2 = S

2 5 . 4 x 2 + 4jxy + y 2 - 6 x + 12 = 0

8x + Sy = 0

12. x 2 + x y + y 2 = 3

3 6 . D ada la ecuación (a 2 + b 2)xy = 1, donde a > Oy b > 0 , encuentre la ecuación de la gráfica con res pecto a los ejes x y y después de una rotación de lo s ejes mediante un ángulo de ta n 'W a ) radianes.

1 3 . x y + 16 = 0 14. 5jc2 + 6 x y + 5 y 2 = 9 1 5 . 31 jc2 + 1 0 V 3 j xy + 21 y 2 = 144 16. 6 x 2 + l O V l x y + 2 6 y 2 = 3 2 4

3 7 . M uestre que para la ecuación genera] de segundo grado en dos variables, el discriminante B 2-4AC

E n los e jercicio s 1 7 a 26, (a ) id en tifiq u e la g rá jic a d e la ecuación, (b ) sim p lifiq u e la e cu a c ió n m e d ia n te u n a rotación y tra sla c ió n d e ejes, y (c) d ib u je la g rá fic a y

3 8 . O btenga las ecu aciones (S) al resolver las ecuacio nes (4 ) para x y y e n términos de 5 y y. Sugerencia:

m u estre lo s tre s c o n ju n to s d e ejes. 17. x 2 + x y + y 2 -

para despejar x , multiplique cada miembro de la primera ecu ación por e o s a y ambos miembros de

3 y —. 6 = 0

18.

19x2+ 6 x y + l l y 2 -

26* +

3 S y + 31 =

0

19.

17jc2 - 12x y + 8 y 2 -

68* +

2 A y - 12 =

0

20. x 2

21. x 2 + 2 x y + y 2 + x — y — 4 = 0 22.

16*2- 2 4 ry +

9y 2 — 60* -

80? + 400 = 0

23.

1 Ijc2 - 2 4 x y +

4 y 2 + 30jc +

40y - 45 =

11.4

la segunda ecuación por sen a y después reste los m iem bros correspondientes de las ecuaciones re sultantes. U tilice un procedimiento semejante pan despejar y.

lOjry + y 2 + x + y + 1 = 0

2 4 . 3 x 2 — 4 x y -4- 8jc — 1 = 0

e s invariable bajo una rotación de ejes.

0

3 9 . La rotación de ejes no hace ningún cambio en la gráfica ni en la posición de la gráfica en el plano. E xplique cuándo la rotación de ejes es una ventaja para dibujar la gráfica de una ecuación de segundo grado en d o s variables y cuándo es una desventaja.

SISTEMAS QUE IMPLICAN ECUACIONES CUADRÁTICAS OBJETIVOS

1. U tilizar gráficas para determinar el número de pares ordenados de números reales que son soluciones de un sistema de ecuaciones. 2. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas donde una es lineal y la otra cuadrática. 3. Resolver un sistema de dos ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas. 4. Resolver enunciados de problemas que tienen como modelo matemático un sistema con ecuaciones cuadráticas.

^ ii»i u jf.

11.4

SISTEMAS QUE IMPLICAN ECUACIONES CUADRÁTICAS

689

En la S e c ció n 3.2, el estudio de sistem as de ecuaciones se dedicó a sis tem as lin eales. Sin em bargo, un gran número de aplicaciones conduce a sistem as n o lin eales com o se ilustra en los ejercicios 23 a 34. Los enun ciad os de problem as en estos ejercicios emplean conceptos pre viam en te presentados, pero el sistem a resultante implica al menos una ecu a ció n cuadrática. En esta sección se estudiarán los métodos de so lución de d ich o s sistem as de dos ecuaciones con dos incógnitas. A l trazar las gráficas d e las dos ecuaciones en el mismo rectángu lo d e in sp ecció n , se determ ina el número de puntos de intersección de las gráficas. L as coordenadas de estos puntos proporcionan los pares ordenados d e núm eros reales que son soluciones del sistema. En prim er lugar, se considerará un sistem a que contiene una ecua ció n lin eal y otra cuadrática. En la graflcadora, se obtendrá una recta que intersecta a la gráfica d e la ecuación cuadrática en no más de dos puntos. S e resolverá el sistem a algebraicamente por medio del método de su stitución . D e la ecu ación lineal se expresa una variable en térmi nos d e la otra y s e sustituye la expresión resultante en la ecuación cua drática.

*0

[Miólo 9*30012

pjcrcidoig êracb.22 *+^=la* ¡ I 00 i/lC'ilSag.;

tosradióte [ áodeqa.

pi.dGBies). fe ¡k unam al

kor'lifaakl ■gaenidcxa jcrinusBeJ-.

Indeejes, i resolverlean

►

|dciyv.%u cada mientei. y ambosmate: ! aydspéisi; ¡ de lasrrnrac:

EJEMPLO i

Solución d o un sistom a q u e contieno una ecu a ció n lin e a l y u n a cuadrática

T race las gráficas de las ecu aciones del sistem a siguiente y determine el núm ero d e pares ordenados de números reales que son soluciones d el sistem a. D esp u és, determ ine el conjunto solución del sistema alge braicam ente.

moDaqmt ! SBgÚ 3 » ‘!i

\tpiéa*tP

í

de g a s ® *

1l x

gtagk**

10]

y 2 - 4x j. y = 3 a +

.1

®

Solución La Figura 11.34 muestra las gráficas de las dos ecuacio nes en el m ism o rectángulo de inspección. La recta intersecta a la pa rábola en d o s puntos. Por tanto, el conjunto solución consta de los dos pares ordenados de núm eros reales. Para determ inar e l conjunto solución algebraicamente, primero se despeja x en la segun da ecuación y se obtiene el sistema equivalente ! — 4x = 3 -

y

A l sustituir x en la primera ecuación por su igual de la segunda, se tie ne el sistem a equivalente y X

- 4 (3 - y ) = 3 | y

12 = 0 X =

3 |

(U y

690

CAPÍTUL O 11

SECCIONES CÓNICAS A h o r a s e r e s u e lv e la prim era e cu a ció n .

(y - 2)(y + 6) = 0 >' — 2 = 0

> > 4 -6 = 0

y = 2

y = ~6

C o m o la p rim era e c u a c ió n d e l siste m a (II) e s equivalente a las do* e c u a c io n e s y = 2 y y = - 6 el siste m a (II) e s equivalente a los dos siste m as - , - 2

í y = -6

x = 5 — y

Ix = 3 - y

E n c a d a u n o d e lo s d o s ú ltim o s siste m a s s e sustituye el valor de y de la p rim era e c u a c ió n e n la se g u n d a , para obtener y = -6

y = 2 x = 1

x = 9

E s to s d o s siste m a s s o n e q u iv a le n te s al sistem a (I). En consecuencia, el c o n ju n to s o lu c ió n d e (I) e s { ( 1 , 2 ), (9 , - 6 ) } . L o s d o s p a res o r d e n a d o s dan las coordenadas d e los puntos de in i

te r s e c c ió n d e la s g r á fic a s d e la F igu ra 11.34.

EJEMPLO 2

Solución de un sistema que contiene una ecuación lineal y una cuadrática

S ig a la s in str u c c io n e s d e l e je m p lo 1 para el sistem a x 2 + y 2 = 25 (ID)

[3 * + 4 y = 25

... 0 h w VL [ - 12 . 12 ] p o r [ - 8, 8]

X1 + y 2 = 25 y 3x + 4y = 25 F IG U R A 1 1 3 5

Solución L a s g r á fic a s d e las d o s e cu a cio n e s están trazadas en ia Fi g u ra 1 1 .3 5 . L a recta s e m u estra tangente a la circunferencia; si ése es e l c a s o , s e o b ten d rá u n par ord en ad o d e núm eros reales como una so lu c ió n d e l siste m a . A l r es o lv e r el siste m a algebraicamente, en la se g u n d a e c u a c ió n s e e x p r e s a y e n térm in os d e x , y se sustituye y por la e x p r e s ió n r esu lta n te en la prim era ecu a ció n . A sí, se tiene el sistema e q u iv a le n te x

+

25 -

3 x \2 = 25

(IV)

25 -

3x

v = A h o ra s e r e su e lv e la prim era ecu a ció n al multiplicar, en primer lug c a d a m iem b ro p or 16. 16 jc2 +

(6 2 5 2 5 * 2-

- 1 5 0 * + 9 jc2) = 4 0 0 1 5 0 * + 225 x2 -

= 0

6x + 9 = 0 (jr -

3 )2 = 0

j

K5,7o « V '^ P orl

52 1

11.4

SISTEMAS QUE IMPLICAN ECUACIONES CUADRÁTICAS

691

C o m o c o n se c u e n c ia , las raíces de esta e cu a ció n cuadrática so n 3 y 3; e sto e s , 3 e s una raíz d ob le. Por tanto, el sistem a (IV ) e s e q u iv a len te al siste m a x = 3 25 y

- —

3 jc

—

S i s e su stitu y e 3 por x en la se g u n d a e cu a ció n , se obtiene x = 3 B y

= 4

D e m o d o q u e e l c o n ju n to s o lu c ió n d e l siste m a (III) e s { ( 3 ,4 ) } . S e c o n c lu y e q u e la recta d e la F igu ra 11.35 e s tangente a la cir c u n fe r en cia e n e l p u n to (3 , 4 ); é ste e s e l sig n ific a d o g eo m étrico d e la raíz d o b le . E l p u n to d e ta n g e n c ia p u ed e co n sid erarse c o m o las d os in

fe*.

te r se c c io n e s d e la recta y la circu n feren cia .

► EJEMPLO 3

<

Solución tío un sistema que contiene una •cuaclón lineal y una cuadrática

S ig a las in str u c c io n e s d e l e je m p lo 1 para el siste m a »«

(x 2 + y 2 = 2 1

x -

(V )

y = 4

Solución

L a F igu ra 1 1 .3 6 m uestra las g ráficas d e las d o s ecu acio n e s, una recta y u n a circu n feren cia . D e b id o a qu e la recta y la circun feren cia n o s e in tersectan , no e x iste n pares ordenados de núm eros

->=4

yx FlGlJÂ 11.36

reales q u e sea n s o lu c io n e s d e l sistem a. S e r e s u e lv e e l siste m a alg eb ra ica m en te al expresar a * en térm inos d e y en la se g u n d a e c u a c ió n , y su stitu y en d o x en la prim era ecuación por la e x p r e s ió n resu ltan te. D e e ste m o d o se o b tien e el sistem a equiva len te (y + 4 ) 2

4 -

y2 = 2

(V I)

x = y + 4 A h ora se r e s u e lv e la prim era e cu a ció n para y. y 2 + 8y +

16 + y 2 = 2

2

y 2 + Sy +

14 = 0

y 2 + 4y + 7 = 0

- 4 ± V 4 2 - 4(1 )(7)

2( 1) -4 ± V ^ \2 - 4 ¿ 2 /V 3 = _ 2 ± ,-V3 2

692

CAPÍTULO 11

SECCIONES CÓNICAS E n c o n s e c u e n c ia , la p rim era e c u a c ió n d e l siste m a (V I) e s equivalente a I la s d o s e c u a c io n e s y = -2 + ¿V T y y = - 2 - i >Í3. Por tanto, (VI) I e q u iv a le n te a lo s d o s siste m a s y = -2 -

i*V3

jc = y + 4 E n c a d a u n o d e e s t o s s is t e m a s s e s u s t it u y e e l v a lo r d e y de la primen e c u a c ió n e n la se g u n d a para tener y = -2 + i J T

y ss - 2 ~ i *'¡3

x = 2 + íV 3

X

= 2 -

¿>/3

E sto s d o s siste m a s s o n e q u iv a le n te s al siste m a dad o (V ). De donde el co n ju n to s o lu c ió n d e ( V ) e s

{(2

+

1V 3, - 2

+

1 V 3 ), (2 . - 1 V 3 , - 2

-

1 V 3 )}

C o m o las s o lu c io n e s s o n p ares o r d e n a d o s d e números imagina, r ío s, n o e x is te n p u n to s d e in te r s e c c ió n d e las gráficas que correspon dan a la s s o lu c io n e s . R e cu er d e q u e la s coord en ad as de puntos en ei p la n o real s o n n ú m er o s rea les. < E n la S e c c ió n 3 .2 s e p r e se n tó e l m é to d o d e elim inación para resol v e r un s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s. E ste m éto d o se aplica en el e je m p lo s ig u ie n te d e un s is te m a c o n d o s e c u a c io n e s cuadráticas.

EJEMPLO 4

Solución do un sistoma de dos ecuaciones cuadráticas

S ig a las in str u c c io n e s d e l e je m p lo 1 para e l siste m a 2x2 6x2 +

1-5,5] por £—10, 10] 2xl - 3y* * 6 y 6x‘ + y 1 = 58 FIG U R A 11.37

3>’2 = 6

(VID

y 2 = 58

Solución L a g r á fic a d e la p rim era e c u a c ió n e s una hipérbola y la g r á fic a d e la s e g u n d a e s u n a e lip s e . D ic h a s g r á fic a s se muestran en la F ig u ra 1 1 .3 7 y s e in tersecta n e n cu a tro pu ntos. Por tanto, el sistema tien e cu atro pares o r d e n a d o s d e n ú m er o s rea les c o m o soluciones. Para r e so lv e r e l s is te m a a lg eb ra ic a m e n te , se d esea reemplazar el siste m a p or u n o q u e te n g a u n a e c u a c ió n c o n una so la variable. Se pue d e e lim in a r y entre las d o s e c u a c io n e s al su m ar la primera ecuación y 3 v e c e s la se g u n d a c o m o sig u e : 2 x 2 - 3y 2 = 6 Í8x2 + 3y 2 = 174 20*2

f

180

El siste m a sig u ie n te c o n tie n e la prim era e cu a ció n del sistema (VII) y la e c u a c ió n anterior, p o r lo cu al e s e q u iv a len te a (VII):

11.4

SISTEMAS Q UE IMPLICAN ECUACIONES CUADRÁTICAS 2x2 -

W8

3y 2 = 6 2 0 * 2 =* 1 8 0

2x2 -

3y 1 *

6

x2 «

9

L a se g u n d a e c u a c ió n d e e ste siste m a e s eq u ivalen te a las d o s e cu a cio n e s x = 3 y x = - 3 . Por tanto, e s te siste m a e s eq u ivalen te a lo s d o s s is tem as

y En ca d a u n o d e e s t o s d o s siste m a s se su stitu y e e l valor d e x d e la se g u n d a e c u a c ió n en la prim era, y s e tien e

L a p rim era e c u a c ió n e n c a d a u n o d e e s to s d o s siste m a s e s eq u ivalen te a la s d o s e c u a c io n e s y = 2 y y = - 2 . E n c o n s e c u e n c ia , lo s d o s sistem as s o n e q u iv a le n te s a lo s c u a tro siste m a s iy

|

= 2

jc =

3

fy

= -2

jx = 3

(y = 2

= -3

j y = -2

| x = -3

E sto s c u a tr o s is t e m a s s o n e q u iv a le n te s al siste m a (V II). P or tanto, el c o n ju n to s o lu c ió n d e (V I I ) e s { ( 3 , 2 ) , ( 3 , - 2 ) , ( - 3 , 2 ) , ( - 3 , - 2 ) } . L o s p a r e s o r d e n a d o s d e l c o n ju n to so lu c ió n dan la s coord en ad as de lo s p u n to s d e in te r s e c c ió n d e la F ig u ra 1 1 .3 7 . E n e l s ig u ie n t e e j e m p lo s e tie n e un siste m a d e d o s e cu a cio n e s c u a d r á tic a s, e n e l c u a l, la se g u n d a e c u a c ió n c o n sta d e tres térm inos de s e g u n d o g r a d o . C o m o e l m ie m b r o d e r ec h o d e la se g u n d a ecu a ció n es c e r o y e l m ie m b r o iz q u ie r d o p u e d e factorizarse, la seg u n d a ecu ación e s e q u iv a le n te a d o s e c u a c io n e s lin e a le s. P or tanto, e l sistem a dad o es e q u iv a le n te a d o s s is t e m a s , c a d a u n o d e lo s c u a le s c o n sta d e una ecu a c ió n c u a d r á tic a y u n a e c u a c ió n lin ea l.

► EJEMPLO 5

Solución do un sistoma do dos ecuaciones cuadráticas

S ig a la s in s tr u c c io n e s d e l e je m p lo I para el siste m a

694

rA P h U L O 11

S g c a O M B S C Ó N IC A S

Solución L a grá fica d e la prim era ecu a ció n e s una circunferencia c o n cen tro e n e l o rig en y rad io 4 . Para obtener la gráfica de la segunda e c u a c ió n , s e factoriza e l m iem b ro izq u ierd o y se obtiene (2 x -

y) = 0

y )(x -

E sta ecu ación e s equivalen te a las d o s ecu acion es 2 x - y = O y j r - y s O ca d a una d e la s c u a le s tien e una recta c o m o gráfica. La circunferencia y las d o s rectas s e presentan en la F igura 11.38, que muestra cuatro p u n to s d e in te rsec ció n . P or tanto, e l con ju n to solu ción del sistema tiene cuatro pares o rd en a d o s d e n ú m eros reales. Para encontrar e l c o n ju n to so lu c ió n algebraicam ente, note que el siste m a d a d o e s e q u iv a le n te al siste m a x2 + y2 = [ - 7 .5 ,7 .5 ] p o r [ - 5 ,5 ]

x l + y 1 - 16 y 2xl - ‘S xy + y 1 = 0 FIG U R A 1 1 3 8

y)( x

¿2x ~

-

y) =

16

0

el c u a l a su v e z e s e q u iv a len te a lo s d o s sistem as x 1 + y 2 = 16 2x -

jt2 + y 2 = 16

y = 0

x -

x 1 + y 2 = 16 <=>

y = 0

fx2 + y 2 = 16

y = 2x

y

y

|

-

X

En c a d a u n o d e lo s ú ltim o s d o s siste m a s se su stitu ye el valor de y de li se g u n d a e c u a c ió n en la prim era, y s e ob tien e jc2

+ 4c2 =

16

i* 2 + x 2 = 16

y = 2x *

<=>

y

y = x

|

= f

= 8

y = 2x

| y = x

L a e c u a c ió n x 2 = y e s e q u iv a len te a las d o s ecu aciones L a e cu a ció n x 2 = 8 e s e q u iv a len te a las dos ecuaciones x = 2 V2

—|

y x = - 2 V í . P or tanto, lo s d o s siste m a s anteriores son equivalentes t lo s cuatro siste m a s x = *V 5 [y = 2 x

r* =

x = 2V 2

-íV 5

[y = 2 x

[y = x

(x = -2 V 2 [y * x

En ca d a u n o d e e sto s ú ltim o s siste m a s se su stituye el valor de * de 1* prim era e cu a ció n en la segu n d a, y se tien e ¡x

= iV s

ly = f V 5

Í.V

=

ly =

-

JV s

-fV 5

¡x

= 2V 2

{v =

2V 2

(x

= ' 2V-

lv =

-2

v2

A sí, el c on ju n to so lu c ió n d el sistem a dad o es { ( JV 5, fV 5 ), ( - |V 5 , - fV 5 ),

(2V2, 2V2), (-2V2,

-2

v

2//

sinfr* O b serv e en la F igura 11.38 q u e cada recta intersecta a la cirC“ of icia en d o s pu ntos, las coord en adas d e esto s puntos son los Pa

11.4

SIST1M AS QUE IMPLICAN ECUACIONES CUADRÁTICAS

695

d en a d o s d e l co n ju n to so lu c ió n . C o n V T ~ 2 .2 y V2~ ~ 1.4, e s t o s pun to s so n ( 1 .8 , 3 .6 ), ( - 1 .8 , - 3 .6 ) , (2 .8 , 2 .8 ) y ( - 2 .8 , - 2 .8 ) .

m

El siste m a d e l sig u ie n te e je m p lo co n sta d e d o s e cu a c io n e s cuadrá ticas en la s c u a le s to d o s lo s térm inos q u e con tien en in cógn itas so n d e se g u n d o grado; e s to e s , n o hay térm inos d e prim er grado. S i una d e las e c u a c io n e s se ree m p la za por una com b in a ció n de las d o s ecu a cio n e s, en las q u e n o ap arecen térm in os con stan tes, e l sistem a qu e resulta pu e d e r e so lv e r se m ed ia n te e l m é to d o e m p lea d o en el ejem p lo 5.

EJEMPLO 6

S o lu c ió n d o u n s is te m a c u a d rá tic a s

d# dos ecuaciones

S ig a la s in str u c c io n e s d e l e je m p lo 1 para e l siste m a (4 x 2 + xy + y 2 = 6 [ lx 2 -

Solución

(V III)

xy + y 2 = 8

P ara c a d a u n a d e la s e c u a c io n e s dad as, t í 2 - 4 A C < 0 . D e

m o d o q u e la g r á fic a d e c a d a e c u a c ió n e s u n a e lip s e . A fin d e trazar e s tas e lip s e s en la g raficad ora, s e r e s u e lv e c a d a u n a d e la s ecu a cio n es para y en té rm in o s d e x al co n sid era r las e c u a c io n e s c o m o cuadráticas en y . Para la prim era e c u a c ió n s e o b tie n e y = i ( —jc ±

V24 - 15 jc2)

y para la se g u n d a , s e tien e y

= f(x ± V 32 -

l x 2)

L as d o s e lip s e s s e m u estran e n la F ig u ra 1 1 .3 9 , d o n d e s e intersectan en

M . 4] por [-4,4) ■X) ♦ ** « 6 * ^ - JJ + y» - | HGURa 11J9

cuatro p u n to s. A fin d e r es o lv e r e l siste m a a lgeb raicam en te, prim ero se obtiene u n a e c u a c ió n q u e te n g a c e r o e n e l m iem b ro d erech o al sum ar 4 v e ce s la p rim era e c u a c ió n y - 3 v e c e s la seg u n d a , c o m o a con tin u ación se m uestra;

16jt2 + 4xy + 4 y 2 —

24

- 6 jr 2 + 3xy - 3y 2 = -2 4 10 a -2 +

Ix y +

y,2

—

0

E l siste m a sig u ie n te , q u e c o n tien e la prim era ecu a ció n del sistem a (V III) y la e c u a c ió n anterior, e s eq u iv a len te al (VIII):

4 jc2 +

xy + y 2 = 6

10*2 + 7xy + y 2 * 0 S i se factor iza e l m iem b ro izq uierdo d e la segu n d a ecu a ció n , se obtiene

4jr2 + xy + y 2 ® 6 (5 * + y )(2 * + y) = 0

696

C A P ÍT U L O 11

S E C C IO N E S C Ó N IC A S

L a seg u n d a ecuación es equivalente a las dos ecuaciones 5* + y = q 2x + y = 0. En consecuencia, este sistem a es equivalente a los dos tem as 4j¡? + x y + y 2 = 6 y = -5 x

4x* + xy + y2 = 6 y = ~2ï

E n c a d a u no de esto s sistem as, si se sustituye el valor de y de la segúnd a ecuación en la prim era, a sí se tiene

U x2 + x(-2x) + ( - 2 c)2 =

6

* = -2* Í4JC2 -

2I2 + 4 ^ = 6

y y = —5jc L a e c u a c ió n x 2 - j e s e q u iv a le n te a las dos ecuaciones x = j y j; = - 1, y la ec u a c ió n jc2 = 1 es eq u iv alen te a las dos ecuaciones x = 1 y * = - 1 . A sí, los dos sistem as anteriores son equivalentes a los cuatro sistem as

x = \

X

y — ~5x

y = —5 x

=

x = 1

x = -1

y = -2 *

V = -2 x

~ 2

Si en c a d a u n a d e estas ecuaciones se sustituye el valor de x de la pri m era ecu ació n en la segunda, se obtiene los sistemas equivalentes x = \

y

Él

X

y*l

=

1

X

=

“ 1

y = 2

v — ~~2

E sto s cu atro sistem as son equivalentes al sistema dado. Por tanto, el con ju n to solución e s { ( j , - j ) ; ( - } , f ) , ( 1 , -2 ), (-1 ,2 )} . L as d o s elipses d e la F igura 11.39 se intersectan en los puntos cu yas coord en ad as son los pares ordenados de números reales del con ju n to solución. <

6537,

las

EJERCICIOS

11.4

E n lo s e je r c ic io s 1 a 22 , tr a c e la s g r á fic a s d e la s e c u a c io n e s d e l s is te m a e n la g r a fic a d o r a y d e te r m in e e l n ú

3.

:2 — y = 1 x -

2y = - 1

m e r o d e p a r e s O rd e n a d o s d e n ú m e r o s r e a le s q u e so n so lu cio n es d e l sistem a . D e sp u é s e n c u e n tre e l c o n ju n to s o lu ció n d e l s is te m a a lg e b r a ic a m e n te .

• i

x 2 + y 2 = 25 - y + 1 = 0

+ y 2 = 25 " 2y =

-2

5.

-

x2 x + y -

(x2 - y -

y2 = 9 5 = 0 4 = 0

{ x —y —3 = 0

4.

6. g

M

y1- » 2x + y = 6 4 x 2 + y a ® 25 2r + >

+ 1 ss 0

í 4 * 2 + v ' 3 = = !? 8.r + y ' 7 " %

11.4

losecUat-

SIST EM A S Q U E IM PLICAN ECUACIONES CUADRÁTICAS

cam po y el costo de transporte se reduce en $1.50.

y 2 * 17 jr2 + y ** 5

4x2 +

9

+ y2 -

697

D eterm ine el número de estudiantes que realmente asistieron al día d e campo y la cantidad pagada por cada uno para el transporte.

25

3 0 . U n a inversión reditúa un interés anual de $1 500.

jry = 12

S i se invierten $ 5 0 0 más y la tasa es 2% menos, el

je2 + jty + y 2 = 3

interés anual es $ 1 300. ¿Cuál es el monto de la in

* + y + 1 = 0

3 1 . Un pedazo d e hojalata con forma rectangular tiene un

3 jc2 + 2 y 2 * 5 9 2 jc2 +

versión y la tasa d e interés?

área de 4 8 6 c m 2. S e corta un cuadrado de 3 cm de

y 2 * 34

lado en cada esquina y se elabora una caja abierta 16

doblando los lados hacia arriba. Si el volumen de

9 x 2 — 4 y 2 = 36

la caja e s de 5 0 4 cm \ ¿cuáles son las dimensiones d el pedazo de hojalata?

je2 + ’ y 2 «

3 2 . U n a caja rectangular cerrada, con base cuadrada, tien e un área total de 16 p ie 2. Si la diagonal princi pal tiene una longitud de 3 pie, ¿cuáles son las di m ensiones de la caja? s ecuaciones i=:>

3 3 . U na caja rectangular abierta, con base cuadrada,

s dos ecuaciones;:

tiene un área de 128 p ie 2. Si el costo por pie cua

equivalentes alffies I

Í4x2 - 5xy + 3 y 1 = 24

drado de material fue de SI para los lados y $1.20

I

[2j2 - 3 i y + 2 y 2 = 1 6

U ='

para la base y el costo total del material fue de $131 .2 0 . H alle las dimensiones de la caja.

■fiiiai ejercicios 2 3 a 3 4 , r e s u e l v a e l e n u n c i a d o d e l

= -Zi

el valoré

tos >4(0, 0 ), B (0,

mido matemático d e l a s i t u a c i ó n . N o o l v i d e e s c r i b i r

km. M icrófonos situados en estos puntos muestran

1 & la juma de los re c íp ro c o s d e d o s n ú m e r o s e s - jj y |

i - ' _i

I I

^ U suma de los c u a d ra d o s d e d o s n ú m e r o s e s ~ y 1 i a suma de 6 veces e l n ú m e r o m e n o r y 4 v e c e s e l

p

k longitud de la h ip o te n u s a d e u n t r i á n g u l o r e c -

I

% ulo es 37 cm y su á r e a e s 2 1 0 c m 2. E n c u e n t r e

I : *e* 60 pulg2 que e s tá in s c r ito e n u n a c i r c u n f e r e n -

terreno rectangular tie n e u n p e r í m e t r o d e 4 0 m

t

d e 9 6 m 2. ¿ C u á le s s o n s u s d i m e n s i o n e s ?

P / ^ iCntre una e cu a c ió n d e l a c u e r d a c o m ú n d e la s I

ry 4 í<+' ,:'

c‘fCunferencias

I

**4» - i -s o Un ^

*

y

x 2 + y 2 - 2y - 9 = O

de estu d ian tes p la n e a u n d í a d e c a m p o y ^

en co n trib u ir c o n c a n t id a d e s ig u a le s p a r a

38. Realice el ejercicio 37 si las gráficas son una hipér bola y una elipse.

o®***01 de tra n sp o rte q u e s o n d e S 1 5 0 . P o s te -

i'¡

y2 ” 5

3 7 . Una parábola y una circunferencia son las gráficas que pertenecen a un sistema de dos ecuaciones cuadráticas. Dibuje una figura que muestre un ejem p lo de una parábola y una circunferencia si el número de pares ordenados de números reales, que son soluciones del sistema, es (a) cuatro, (b) tres, (c) dos, (d) uno y (e) cero. Explique por qué su fi gura indica el número especificado de tales solu ciones.

radio 6.5 puig.

F

x2

± - ± = 2 x2 y2

r kknrone las d im e n s io n e s d e u n r e c t á n g u l o d e

L

E n lo s ejercicios 3 5 y 36, encuentre e l conjunto solu c ió n d e l sistem a d e ecuaciones.

35.

1 iaslongitudes d e lo s c a te to s d e l tr i á n g u lo ,

números'^

( 0), siendo la unidad 1

ción del cañón empleando la definición de una hi pérbola de la Sección 11.2.

su producto es 60. ¿ C u á le s s o n l o s n ú m e r o s ?

n®Kro mayor es 3. ¿ C u á le s s o n l o s n ú m e r o s ?

Lnadad^ gCIP

y C

que un cañón está | km más cerca de A que de C, y - km más cerca de B que de A. Determine la posi

m conclusión.

sienas

< •{? * '

3 4 . Tres puestos de escucha están ubicados en los pun

/mbltm encontrando u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s c o m o

ÍIñCntc' 5 e stu d ian tes m á s d e c i d e n i r a l d í a d e

•» I ■

ACM

1 1 .5

C A P ÍT U L O

11

SiC C lO N — CÓNICAS,

T R A T A M IE N T O U N IF IC A D O DE LAS SECCIONES C Ó N IC A S Y E C U A C IO N E S POLARES DE LAS CÓNICAS OBJETIVOS

1. Establecer y probar el teorema que define una sección cónica en términos de su excentricidad. 2. Establecer y probar el teorema que proporciona la excentricidad, los focos y las directrices correspondientes de una cónica central cuando se conoce su ecuación cartesiana. 3. Encontrar la excentricidad y las directrices de una cónica central a partir de su ecuación cartesiana. 4. Establecer y probar el teorema que proporciona ecuaciones polares de cónicas. 5. Encontrar la ecuación polar de una cónica a partir de sus propiedades. 6. Identificar una cónica a partir de su ecuación polar. 7. Encontrar propiedades de una cónica a partir de su ecuación polar.

En el estu d io d e las cón icas se tienen definidos, hasta ahora, cada uno d e lo s tres tipos d e se ccio n es cónicas separadamente. Un enfoque al ternativo co n siste en com enzar con una definición basada en una pro piedad com ún de las cón icas y después presentar cada una de las cón icas c o m o un ca so esp ecial de la definición general. Dicha defini c ió n se estab lece en el siguiente teorema, en el cual la propiedad co mún e s la excentricidad d e la cónica, denotada por e.

TEOREMA 1

l

U n a se c ció n có n ica puede definirse co m o un conjunto de puntos P en un plano tal qu e la razón d e la distancia no dirigida a P desd e un punto fijo a la distancia n o dirigida a P desde una recta fija que no con ten ga al punto fijo, e s una constante positiva e. Ade m ás, si e = 1, la có n ica e s una parábola; si 0 < e < 1, es una elip se; y si e > 1, e s una hipérbola.

D e m o s tr a c ió n Si e = 1, se observa al comparar la definición de una parábola de la S e c ció n 3 .3 con e l enunciado del teorema que el con ju n to e s una parábola, e l cual tien e el punto fijo com o su foco y la rec* ta fija c o m o su directriz. Su pon ga qu e e * 1. S e com ien za por obtener una ecuación poltf del conjun to de puntos descrito. A d em ás suponga que F denota al pun* to fijo y qu e / representa a la recta fija. S e tom a el polo en F y d eJe

UNIFICADO DE LAS SECCIONES CÓNICAS Y ECUACIONES POLARES ■ . .

699

p o la r y s u p r o lo n g a c ió n p e r p e n d ic u la r a /. P r im e ro s e c o n s id e ra la s i tu a c ió n c u a n d o la r e c t a / e s t á a la iz q u ie r d a d e l p u n to F . S e a D el p u n to d e in te r s e c c ió n d e / c o n la p r o lo n g a c ió n d e l e je p o la r, y sea d la r e p r e s e n ta c ió n d e la d is t a n c i a n o d ir i g id a d e s d e F a /. C o n su lte la F i g u r a 1 1 .4 0 . S e a P ( r y 6 ) c u a l q u i e r p u n to d e l c o n ju n to a la d e re c h a d e / y s o b r e e l la d o te r m in a l d e l á n g u lo d e m e d id a 9 . T r a c e la s p e rp e n d ic u la re s P Q y P R a l e j e p o la r y a la r e c ta /, re s p e c tiv a m e n te . E l p u n to P e s tá e n e l c o n j u n t o d e s c r it o s i y s ó lo si

\F P \ = e \ R P \

(1)

C o m o P e s t á a la d e r e c h a d t l , R P > 0 ; d e m o d o q u e | & P | = R P . A d e m á s , I F P | = r p o r q u e r > 0 . A s í, d e la e c u a c ió n (1 ), r = e(R P )

(2 )

S in e m b a r g o , R P = D Q , y c o m o D Q = D F + F Q , s e tie n e R P

= d +

r eos 0

A l s u s tit u ir e s t a e x p r e s ió n p a r a R P e n (2 ) s e o b tie n e r = e(d +

r eos 6)

S i s e d e s p e j a r s e tie n e ed

(3)

1 — e eos 6

P a r a o b te n e r la r e p r e s e n ta c ió n c a r te s ia n a d e e s ta e c u a c ió n p rim e ro se s u s titu y e e o s 6 p o r x / r . A s í, ed

r=7 ^

r

edr r — ex r — ex — ed r = e (x + d )

A h o r a s e s u s tit u y e r p o r ±

x 2 + y 2 y s e o b tie n e

± V x 2 + y 2 = e (x + d ) A l e le v a r a l c u a d r a d o a m b o s m ie m b ro s d e e s ta e c u a c ió n se tiene

x2+ y 2

y 2 =

+ x 2( l - e 2) =

e 2x 2 + 2 e 2d x + e 2d 2 2 e 2d x

+

e 2d 2

D e b id o a q u e e * 1, s e p u e d e n d iv id ir lo s d o s m ie m b ro s d e e sta ecu a c ió n e n tr e 1 o b te n ié n d o s e

700

e A P tn U O 11

S IC C IO N 1 S C Ó N IC A S

S i s e c o m p le ta n lo s c u a d r a d o s para lo s té rm in o s q u e contienen x al su m ar e * d 2/ ( 1 - e 2) 2 en am b os m iem b ros d e la ecu ación anterior se obtiene

(1 “ e 2)2 A l d iv id ir a m b o s m ie m b r o s d e e s ta e c u a c ió n en tre e 2d 2/ ( \ - c 2) 2 ^ o b tie n e u n a e c u a c ió n d e la fo r m a

(x — h)2 W

y2

+

e 2d 2

?

= 1

(4)

1 — e2

(1 — e 2) 1 donde

i

e2(í

1

h = T ^ ? A h o ra se a

¡SS¡ (1 i

- a 2

donde a > 0

(6)

e2)2

E n to n c e s (4 ) p u e d e e sc r ib ir s e c o m o

a

a z( 1

— e £)

S i 0 < e < 1, e n to n c e s a 2( 1 - e 2) > 0 y s e p u e d e hacer b 2 = a 2(1 -

e 2)

donde 0 < e < 1

(8)

A l su stitu ir d e ( 8 ) e n ( 7 ) , s e tie n e (x ~ h f

y2

a2

h2

1

la cu al e s u n a e c u a c ió n d e u n a e lip s e q u e tie n e su e je principal sobic el e je x y su cen tro en (h , 0 ), d o n d e h > 0 . S i e > 1, e n to n c e s a \ e 2 - I ) > 0 y s e p u ed e hacer b2 = a \e 2 -

1)

dondee > 1

W

A l su stituir d e e sta e c u a c ió n e n ( 7 ) , s e o b tie n e (x a2

h )2

y2 _ b2

la cu al e s una e cu a ció n d e una h ip érb o la q u e tien e su eje principal so bre el e je x y su cen tro en (h , 0 ) , d o n d e h < 0 . D e m anera sem eja n te se p u ed e o b ten er una ecu ación de una cóni c a central (e lip s e o h ip érb ola) a partir d e ( 1 ) cu a n d o e * 1 y si la recia /

rpAT0M.PMTO UNIFICADO D I I A S SECCIO N ES C Ó N IC A S Y EC U A C IO N !» PO LA R ES. , .

701

e stá a la d e r e c h a d e l p u n to F , s ie n d o é s te e l p o lo . E n e ste ca so , en lu gar d e la e c u a c ió n ( 3 ) s e tien e

ed r = 71 T i -------------2 e eos 0

(1 0 >

L a d e d u cc ió n d e ( 1 0 ) s e d eja c o m o un e je r c ic io (v é a s e el ejercicio 31). T a m b ié n s e p u e d e d e d u c ir u n a e c u a c ió n d e una c ó n ic a central a partir d e ( 1 ) c u a n d o e * 1 y si la recta / e s p aralela al e je polar y el p u n to F e s tá e n e l p o lo . E n e s t e c a s o , e n lu g a r d e |a ecu a ció n (3 ), se o b tie n e

r = ------- - — -

(11)

1 ± e se n 0 d o n d e e y d s o n , r e s p e c tiv a m e n te , la e x ce n tr ic id a d y la d istan cia n o di rig id a en tr e F y /. E l s ig n o m á s s e to m a c u a n d o / e stá por arriba de F , y e l s ig n o m e n o s s e to m a c u a n d o / e stá p or d e b a jo d e F . L as d ed u ccio n e s d e la e c u a c ió n ( 1 1 ) s e d eja n c o m o e je r c ic io s ( v é a s e lo s ejercicios 3 2 y 3 3 ). S e p u e d e n in v e rtir lo s p a s o s d e l ( 1 ) al (7 ). D e m o d o qu e si P es cu a lq u ie r p u n to d e u n a c ó n ic a cen tral, la e c u a c ió n ( I ) s e satisface. P or tan to, s e c o n c lu y e q u e u n a c ó n ic a p u ed e d efin irse por el con ju n to d e p u n to s d e sc r ito . ■ En la s s e c c io n e s 11.1 y 1 1 .2 , s e d e fin ió la excen tricid ad e d e una c ó n ic a cen tral m e d ia n te la e c u a c ió n

_ c

e ----- <=> a

c = ae

A fin d e m ostrar qu e el núm ero e del enunciado del Teorem a 1 satisface esta ecuación para una elip se, se sustituye d e (8) en la ecuación c 2 = a 2 - b 2\ con el propósito d e mostrar qu e la m ism a ecuación se satisface por una hi pérbola, se sustituye d e (9 ) en la ecu ación c 2 = a 2 + b 2. Para una elipse, se tiene c 2 » a 2 — a 2( l — e 2) y para u n a h ip érb o la , s e o b tie n e c 2 — a 2 + a 2( e 2 — 1) E n a m b o s c a s o s resulta

P = flV c = ae En la prueba d el T eorem a 1 se m ostró que cuando la cónica es una parábola, e l punto fijo F m en cion ad o en el teorem a es el fo c o de la parábola y la recta fija e s la directriz. En el ejercicio 34, se le pedirá qu e m uestre qu e e l punto F e s uno d e lo s fo co s cuando se tiene una^ó-

702

rA R ÍTULO 11

S S C a O N S S CÓ NICAS nica central. S i (7 ) e s una ecu ación d e una elipse, el punto F está a la izquierda d el fo c o , y si (7 ) e s una ecu ación de una hipérbola, F está a la derech a d el foco. C on sid ere ahora la form a estándar de una ecuación cartesiana, de una c ó n ic a central qu e tien e su eje principal sobre el eje x y su centro en e l origen: x — + a 2( 1 -

(

e 2)

12)

La recta fija /, m en cion ad a en el T eorem a 1, es la directriz de la cónica central correspon dien te al fo c o en F. Cuando la cónica definida por la e c u a c ió n ( 1 2 ) e s una e lip s e , la d irectriz correspondiente al foco en ( - c , 0 ) o, eq u ivalen tem en te, ( - a e , 0 ) tiene la ecuación x =

ae

D e (6 ), cu an d o 0 < e < 1, d = a ( \ - e 2) / e , por lo que esta ecuación se transform a en

x =

■ae —

a( 1 -

e 2)

a e D e igual manera, cuand o la c ó n ica d efin id a por (12) es una hipérbola, la directriz correspondiente al foco en (c, 0 ) o, equivalentemente, (ae, 0) tien e la ecu ación

i

í

x = ae

11.4 O tra v e z d e (6 ), cuand o e > \ , d = a ( e 2 - l ) / e , por lo que la ecuación anterior d e la directriz se puede escribir co m o a x = — e En con secu en cia, se ha m ostrado q u e si (1 2 ) es una ecuación de una e lip se, un fo c o y su directriz correspondiente son ( - a e , 0) y x = -ah\ y si (1 2 ) e s una e c u a c ió n d e una hip érbola, un foco y su directriz c o rresp o n d ien te son {ae, 0 ) y x = a j e . C o m o (1 2 ) con tien e únicam ente potencias pares de x y y, su gráfi ca es sim étrica con respecto a los ejes x y y . Por tanto, si existe un foco en ( - a e , 0 ) qu e tien e una directriz correspondiente x = - a l e , entonces, por la sim etría, e x iste tam bién un fo c o en (a e , 0 ) con una directriz corres p on d ien te x = a¡e. A n álogam ente, para un foco en (ae, 0) con una di rectriz correspondiente x = a le, existe también un foco en (-ae, 0) con directriz correspondiente x = - a / e . E stos resultados se resumen en e siguiente teorema.

IIH IFIC A PO

pe

LAS SEC C IO N ES C Ó N IC A S Y E C U A C IO N E S POLARES

703

TEOREMA 2

L a c ó n ic a cen tra l q u e tie n e la e c u a c ió n

x2 y2 a 2 + a 2(\ — e 2) N

S

t¡ ■e

c u a n d o a > 0 , t ie n e u n f o c o e n ( - a e , 0 ) c u y a d ir e c tr iz c o rr es p o n d ie n te e s x = - a l e , y u n f o c o e n ( ú i , 0 ) , c u y a d ir ec triz c o r r e sp o n d ie n te e s x - a j e .

L a s fig u r a s 11.4 1 y 1 1 .4 2 m u estran las gr á fic a s d e la ecu ación (1 2 ) ju n to c o n lo s f o c o s y d ir e c tr ic e s e n e l c a s o r e s p e c tiv o d e una elip s e y u n a h ip ér b o la .

► EJEMPLO 1

Determinación de la excentricidad y las directrices de una elipse a partir de su ecuación cartesiana

L a e lip s e d e l e je m p lo 1 d e la S e c c ió n 11 .1 tie n e la e cu a ció n

25

16

(a ) D e te r m in e la e x c e n tr ic id a d y la s d ir ec tric es d e e sta e lip se , (b ) D i b u je la e lip s e y m u e str e la s d ir e c tr ic e s y lo s fo c o s. T am b ién e lija tres p u n tos c u a le s q u ie r a P d e la e lip s e y d ib u je lo s se g m e n to s rectilíneos c u y a s lo n g itu d e s so n la s d ista n c ia s n o d ir ig id a s d e sd e P al fo c o y a su directriz corresp on d ien te. O b serv e q u e la razón d e estas distancias es e .

Solución (a )

D e la e cu a ció n d e la e lip se, a = 5 y b = 4 . S e m ostró en el ejem plo 1 d e la S e c c i ó n 11 .1 q u e c = 3 . P u e s to q u e e = c / a , e = j . C o m o a / e = y , s e s ig u e d e l T e o re m a

2

q u e la directriz correspondiente

al fo c o e n (3 , 0 ) tie n e la e cu a c ió n * = y , y la directriz correspono e

d ie n te al f o c o e n ( - 3 , 0 ) tien e la e cu a c ió n x = - y . (b ) L a F igu ra 1 1 .4 3 m u estra la e lip s e , las directrices y lo s fo c o s, así c o m o lo s tres p u n to s P \ %P i y Py d e la e lip se . Para cada uno d e e s to s p u n to s,

704

CAPÍTULO 11

SECCIONES CÓNICAS

► EJEMPLO 2

Determinación de la excentricidad y las directrices de una hipérbola a partir de su ecuación cartesiana

La hipérbola del ejem plo 1 de la Sección 11.2 tiene la ecuación •2

„2

y

1

16 (a ) D eterm ine la excentricidad y las directrices de esta hipérbola, (b) D ibuje la hipérbola y muestre las directrices y los focos. También esco ja tres puntos cualesquiera P de la hipérbola y dibuje los segmentos rectilíneos cuyas longitudes son las distancias no dirigidas desde P al fo c o y a su directriz correspondiente. O bserve que la razón de estas distancias e s e.

Solución (a ) D e la ecuación de la hipérbola, a = 3 y b = 4. En el ejemplo

déla

Sección 11.2, se mostró que c = 5. Debido a que e = c/a, e = a /e =

se conclu ye, por el Teorem a 2, que la directriz corres

pondiente al fo c o (5, 0 ) tiene la ecuación x =

y la directriz co

rrespondiente al foco ( - 5 , 0 ) tiene la ecuación x = - | . (b) La Figura 11.44 muestra la hipérbola, las directrices y los focos, así com o los tres puntos P u P i y P de la hipérbola. Para cada uno de estos puntos,

3

FP |

j?P¡ En la dem ostración del Teorem a 1, se mostró que los tres tipos de cónicas tienen ecu aciones polares de la m ism a forma. Cuando un foco está en el polo y la directriz correspondiente es perpendicular o parale la al eje polar, una ecuación de la cónica tiene la forma (3), (10) u (11). Por tanto, se tiene el siguiente teorema.

TEOREMA 3

Suponga que se tiene una cónica para la cual e y d son, respecti vamente, la excentricidad y la distancia no dirigida entre el foco y la directriz correspondiente. (i)

Si un foco de la cónica está en el polo y la directriz corres pondiente es perpendicular al eje polar, entonces una ecua ción de la cónica es

1±

ed e eos 0

(13)

donde el signo más se toma cuando la directriz correspondien te al foco, el cual está en el polo, se encuentra a su derecha y

^ l |NT0

l!í

1A 8 SECCIONES CÓNICAS Y ECUACION|S P O lA R E S_. ^

705

0 se tom a e l s ig n o m e n o s c u a n d o la d irectriz e stá a la izquier da d el fo c o . S i un fo c o d e la c ó n ic a e stá e n e l p o lo y la directriz corres p o n d ien te e s p aralela al e je p olar, e n to n c e s una ecu a ció n de

(ü )

la c ó n ic a e s ed

r =

(14)

1 ± e sen 0 don de el sig n o m ás se tom a cu an d o la directriz correspondien te al fo c o , e l cu a l e s tá e n el p o lo , s e en cuentra arriba, y se tom a e l s ig n o m e n o s c u a n d o la d irectriz está debajo del fo c o .

► EJEMPLO 3

Determinación de una ecuación polar de una cónica a p a rtir de sus propiedades

Una parábola tien e su fo c o e n e l p o lo y su v é rtice en (4, ti). Determ ine una ecu a ció n p olar d e la p aráb ola y una e cu a ció n d e la directriz. D ibu je la parábola y m u estre la d irectriz. C o m p ru eb e la gráfica en la graficadora.

Solución C o m o e l fo c o e stá en e l p o lo y e l vértice en (4, ti) , e l eje polar y su p r o lo n g a c ió n están a lo largo d el eje d e la parábola. A d e más, el vértice e stá a la izq u ierd a d e l fo c o ; así, la directriz está también a la izq u ier d a d e l fo c o . E n c o n s e c u e n c ia , u n a e c u a c ió n d e la parábo la e s de la form a d e (1 3 ) c o n e l s ig n o m e n o s. P u esto q u e el vértice está en (4 , eje polar

te), ^ d

= 4 ; d e m o d o q u e d = 8 . L a excen tricid ad e s e = 1 y , por

tanto, se o b tie n e la e cu a ció n r = — eos 6

K** a , U 5

Una e cu a ció n d e la d irectriz e stá dada por r e o s 0 = - d , y co m o d = 8, entonces r e o s 0 = - 8 . La F igura 11 .4 5 m uestra la parábola y la directriz. En la granea dora se o b tie n e la m ism a gráfica. <

► EJEMPLO 4

Ide ntificación y determ inación de las

propiedades Je una cónica a partir de su ecuación polar Una ecu ación de una c ó n ica es

________ 2-------3

+ 2 sen 0

Identifique la có n ica , encuentre la excentricidad, escriba una ecuación de la directriz correspondiente al fo co que se localiza en el p olo y halle los vértices. D ibu je la curva y verifique la gráfica en la graficadora.

706

CAPÍTULO 11

SECCIONES CÓNICAS

Solución S i s e d iv id e e l n u m era d o r y e l d e n o m in a d o r d e la fracción d e la e c u a c ió n d a d a en tre 3 , s e o b tie n e

la cu a l e s d e la fo r m a d e ( 1 4 ) c o n e l s i g n o m á s . L a excentricidades e =

eje polar

D eb id o a qu e e < 1, la có n ica e s una elip se. C o m o e d = l , d = - + i

a sí, d =

E l e je

y s u p r o lo n g a c ió n c o in c id e n c o n el eje principal.

L a d irectriz c o rr e sp o n d ie n te al f o c o , q u e e s tá e n e l p o lo , se encuentra p or arriba d e l f o c o , y u n a e c u a c ió n d e e lla e s r se n 0 = | . Cuando 6 =

hit r = 1; y c u a n d o 0 =

r=

5 . P or tan to, lo s v é r tic e s están en (1,1*)

y (5 , |7C). L a e lip s e s e m u estra e n la F ig u ra 1 1 .4 6 . E n la grafícadora se ob tien e la m ism a cu rva.

► EJEMPLO 5 FIGURA 11.46

«

Determinación de una ecuación polar de una cónica y otras propiedades de la cónica a p a rtir de propiedades dadas

SH ••9aaaú

:M! 1^ 1 v¡ecólica ¡áu elijatr>

L

El e je p olar y su p r o lo n g a c ió n c o in c id e n c o n e l e je principal de una hi*

pérbola q u e tie n e un fo c o e n e l p o lo . L a d ir ec triz correspondiente está |Bawlong a la izq u ierd a d e l fo c o . S i la h ip é r b o la c o n tie n e al punto (1, | i t) y e= J¿ H f a y

2 , d eterm in e (a ) u n a e c u a c ió n p o la r d e la h ip érb ola, (b ) los vértices. \mknsón (c ) el cen tro, (d ) u n a e c u a c ió n d e la d ir ec triz correspondiente al foco j q u e se en cu en tra e n e l p o lo , ( e ) D ib u je la h ip érb o la y compruebe la curva en la grafícad ora. KJ

Solución U n a e c u a c ió n d e la h ip é r b o la e s d e la form a de (13) con el sig n o m e n o s, d o n d e e = 2. E n to n c e s , s e tie n e

' 25}’2 :

2(1 l - 2 c o s 0

=

3

( ) C o m o el p u n to (1 , |r t ) e stá en la h ip érb o la , su s coordenadas satis-

1^

1* tit

facen la e c u a c ió n . P or tanto,

1

= — ¥ .. 1 — 2 (— |)

d e la cu al s e o b tie n e d = 1. D e aq u í, la e c u a c ió n d e la hipérbola es r

= --------- % ---------

1 — 2 eos 0

(1«

(b ) L o s v értices so n lo s p u n tos d e la h ip érb o la para los cuales 0 = • 0 - n . D e (1 5 ), cu a n d o 0 = 0 , r - - 2 ; y cu an d o 6 = n, r = y Id c o n se c u e n c ia , e l vértice izq u ier d o V\ e stá e n e l punto (-2. $ 1 ¡\

+^

vértice d e r ec h o V2 e stá e n el p u n to ( | , n ) . q.

, //

o

s e c c io n e s c ó n ic a s y

(c )

ECUACIONES POLARES

70 7

El cen tro C e s e l p u n to d e l e je p rin cip a l situ a d o a la m itad entre lo s d o s v é r tic e s. D e m o d o q u e e l cen tro e s e l p u n to (^, n ).

(d ) U n a e c u a c ió n d e la d ir ec triz c o rr e sp o n d ie n te al fo c o ub icad o en el p o lo e s tá d a d a p o r r e o s 0 = - d . C o m o d = 1, e s t a e c u a c ió n e s reos = - .

0

1

(e ) C o m o u n a a y u d a p ara d ib u ja r la h ip é r b o la , p r im er o s e dibujan la s d o s a s ín to ta s . E sta s s o n r e c ta s q u e p a sa n p o r e l cen tro d e la h ip é r b o la q u e s o n p a r a le la s a la s r e c ta s 0 = 0 i y 0 = 0 2 , d on d e

0 2

0 \ y 0 2 s o n lo s v a lo r e s d e 0 e n e l in te r v a lo [ , n ) para lo s c u a l e s r n o e s t á d e f i n i d o . D e ( 1 5 ) , r n o e s t á d e f in id o c u a n d o - 2 e o s 0 = 0 . P o r ta n to , 0 \ = jjc y 0 2 = |jc. L a F igu ra 11.4 7

1

m u e str a la h ip é r b o la , a s í c o m o la s d o s a sín to ta s y la d irectriz c o r r e s p o n d ie n te al f o c o u b ic a d o e n e l p o lo . E n la g raficad ora s e o b tie n e la m is m a c u r v a .

4

FIGURA 11.47 1.46. Eihi

EJERCICIOS 11.5 hlcttjercicios I a 8, (a) encuentre la excentricidad, ^■éáiÉiiflÉi lufixos v las directrices de la cónica central, (b) DiUr la cónica y muestre los fo co s y las directrices, iíiii M b miiá elija tres puntos P cualesquiera (en diferentes coneiejepnüßi®^ admies) de la cónica y dibuje los segm entos rectilífadnzconq«® p ayas longitudes son las distancias no dirigidas h k Palfoco y a su directriz correspondiente. O bser»fwia razón de estas distancias es e.

IMMKVOQMpéli

ectacun^

|4xJ + 9y2 = 36

2. A x 2 + 9 y 2 = 4

f e 1+

4. \ 6 x 2 + 9 y 2 = 144

43,2 ~ 100

| 4 i l - 2Sy2 = 100 |16iJ-9y* = ]44

jU*®

centricidad, (b ) identifique la cónica, (c ) escriba una ecuación d e la directriz correspondiente a l fo c o situado en e l p o lo y (d) d ib u je la curva y verifique la gráfica en la graficadora. 11. r

12. r eos 0

13.

2

eos 0

5

4 1 - 3 eos 0

+ sen 0

15. r =

16. r = 1 eos 0

sen 0

6. x 2 - 9 y 2 = 9 8. 4 y 2 - x 2 = 16

r j* ejercicios 9 y 10, la ecuación p o la r representa que tiene un foco en el polo, identifique la ß

17. r =

19. r =

9 6 sen 0

10

1 2 sen 0

18.

20.

7

r =

7 - 2 sen 0 21. r =

10

4 eos 0 1

22. r =

4 + 5 eos 0

5 - 3

sen 0

En los ejercicios 23 a 28, determ ine una ecuación polar de la cónica que tiene un fo co en el polo y satisface ¡as condiciones dadas.

jf r

2 3 . P a rá b o la ; v é rtic e e n (4 , | jc).

y

2 4 . E lip s e ; e = j ; v é rtic e c o rre s p o n d ie n te e n (4 , n ) . 25. M

f W

j ~ que i

-

COS 71

-.

a

la g r á fic a d e l a e c u a c i ó n e s

un f o c o e n e l p o lo , ( a ) H a l l e l a e x -

H ip é rb o la ; e = j; r eos 0 = 9 es la d ire c triz c o rre s p o n d ie n te al fo c o lo c a liz a d o e n el p o lo .

2 6 . H ip é rb o la ; v é rtic e s e n ( I, jJi) y (3, yitj. 2 7 . E lip se ; v é rtic e s e n ( 3 , 0 ) y (1 , w).

708

r A P ÍT U L O

11

SECCIONES CÓNICAS

3 4 . M uestre que el punto F m encionado en la demos

28. Parábola; vértice en (6, jK ).

la cón ica es una elipse o una hipérbola. Sugeren cia: utilice (7), la cual e s la ecuación cartesiana de

que tiene un foco en el polo y la directriz corres pondiente a la izquierda del foco y si el punto (2, jTt) está en la hipérbola y e = 3. (b ) Escriba una

i 0

valor de h de la ecuación (5), el valor de a de la ecuación (6 ) y el hecho de que c = ae.

tuado en el polo. 30. (a) Encuentre una ecuación polar de la hipérbola

3 5 . Un com eta se desplaza en una órbita parabólica al

para la cual e = 3 y que tenga a la recta r sen 0 = 3

rededor del S ol y siendo éste el foco de la parábo

com o la directriz correspondiente al foco ubicado en el polo, (b ) Determine las ecuaciones polares de

la. Cuando el com eta está a 80 millones de millas del S o l, el segm en to rectilíneo desde el Sol hasta el

las dos rectas que pasan por el polo que son parale

com eta forma un águlo de jft radianes con el eje de

las a las asíntotas d e la hipérbola.

la órbita, (a ) D eterm ine una ecuación de la órbita

¿trica P*. iraficad

j! 52^

setransí

del com eta, (b ) ¿Q ué tanto se acerca el cometa al Sol?

31. Muestre que una ecuación de una cónica, cu yo eje principa] coincide con el eje polar y su prolonga

pairo' aecckta

3 6 . U n satélite se desplaza alrededor de la Tierra en una órbita elíptica que tiene al centro de la Tierra

ed

c o m o un fo c o y una excentricidad de j. La distan

1 + e eos i

cia m ás cercana del satélite a la Tierra es de 300 mi. D eterm ine la distancia más lejana que el satéli

32. Muestre que una ecuación de una cónica, cuyo eje

¿mostró acrinic

su prolongación,

te se separa de la Tierra. Suponga que el radio de la Tierra e s de 4 0 0 0 mi.

1C IC I

un foco en el polo, y la directriz correspondiente por arriba del foco, es

37. M uestre que la ecuación r = k ese2 j 0, donde k es

:,9rarios 1

una constante, e s una ecuación polar de una pará bola.

i¡lhrdfia

3 8 . M uestre que si a es el ángulo entre las asíntotasde

^'Wreir,

principal coincide con el eje |

___

tc y

ed 1 + e sen 0

33. Muestre que una ecuación de una cónica, cu yo eje principal coincide con el eje ~n y su prolongación, un foco en el polo, y la directriz correspondiente debajo del foco, es r = ------- ---------1 - ¿sen 0

una h ip ér b o la d e e x ce n tr ic id a d e entonces a =

3 9 . Describa có m o la forma de una cónica cambia con forme la excentricidad toma los valores siguientes: 0 .0 1 ,0 .1 0 ,0 .5 0 ,0 .9 9 ,1 .0 0 ,1 .0 1 ,>¡2%l .5 0 y 2.00.

K l' §r>

v

22

► V IS IÓ N RETROSPECTIVA Se obtuvieron las ecuaciones cartesianas de una elipse a partir de su definición com o un conjunto de puntos en un plano. Después se presentó la prueba de Dandelin de que esta definición es con secuencia de la definición de una elipse com o una sección cónica. Se determinaron las propiedades de una elipse a partir de su ecuación y se emplea-

11maecu

2 tan"1 Ve2 - 1.

REVISION DEL CAPITULO 11

11.1

* *

una cón ica central que tiene su centro en (h, 0), el

ecuación de la directriz correspondiente al foco si

ción, un foco en el polo, y la directriz correspon diente a la derecha del foco, es

*

tración del T eorem a 1 es uno de los focos cuando

29. (a) Encuentre una ecuación polar de la hipérbola

L

7*

fv

ron estas propiedades para dibujar la elipse. También se obtuvo la ecuación de una elipse a V partir de sus propiedades. Se introdujeron I* ll, ecuaciones paramétricas de una elipse para po der trazarla en la graneadora.

11.2

L a e s t r u c t u r a d e e s ta s e c c ió n s o b re hipérbolas fu e s im ila r a la s e c c ió n a n te r io r so b re elipse*

Û

l0<

* 144

jiS i ' s

___________R IV ISIÓ N DEL CAPÍTULO 1 1

.,x

5

nX

b C v

CHN K%

f definió una hipérbola com o un conjunto de -ya«» en un plano y después se obtuvo una

signo del discriminante B 2 - 4AC. Se dibujaron y trazaron gráficas de ecuaciones de segundo

¿yjción cartesiana de la hipérbola a partir de esa definición. Se dibujó una hipérbola a partir

grado.

de sus propiedades obtenidas de su definición. hs asíntotas de una hipérbola nos ayudaron a dibujar su gráfica. Se definieron las funciones

11.4

k

leni.il«

*

ecuaciones y se calculó el número de puntos de

paficadora.

11.5

demostración del teorema que define una sec

se transformó la ecuación en otra sin término jy al rotar los ejes coordenados m ediante la elección de un ángulo adecuado. D espués se

ción cónica en términos de su excentricidad. Se

(SttÈ3ttdt-bÌ

«finiifai.’

tipo de la cónica se determinó por m edio del

determinaron las propiedades de una cónica a partir de su ecuación polar. También se deter minaron la excentricidad, los focos y las direc trices correspondientes de una cónica central a partir de su ecuación cartesiana.

* EJERCICIOS DE R EPA SO

j|;#i $i lat ejercicios 1 a 20, dibuje la gráfica d e la ecuaijgrsi®’ p . Si la gráfica es una elipse, d e te rm in e (a ) e l ¿¿ss (b) una ecuación del eje principal, (c ) lo s vér» W los extremos del eje m enor y (e) lo s fo co s. Si Wtîca es una hipérbola, determ ine (a) e l centro, (b) Ptftócwn del eje principal y (c) los vértices. Tam m para una hipérbola muestre el rectángulo a u xilia r f^miotas.

&

»4

i.

x2 y2 2. — + L . = 16 64

•+ 1 36

lift

1

y 36 6. 4y 2 -

64 2 5 x 2 = 400

8. 4.*2 + 2 5 y 2 = 4 0 0 10. 2 5 * 2 - 4 y 2 = 100 U

y

L os tres tipos de cónicas tienen ecuaciones po lares de la misma forma. Este hecho es parte de la

de segundo grado en x y y con un término x y,

demostró que la gráfica de dicha ecuación es unacónica, o bien, una cónica degenerada, y el

k oeoeaiceareti

1

de sustitución y eliminación.

jlj Afin de determinar la gráfica de una ecuación

paifafedorihlg

saSjpap^*1

gebraicas de los sistemas implicó los métodos

métncas de una hipérbola, y éstas a su vez, em pleadas para trazar la hipérbola en la

fedii “fcji ine ““«aoiiii »»ina

intersección de las gráficas. Las soluciones al

aplicadas en la obtención de ecuaciones para-

i •i

A ntes de resolver sistemas que contienen ecua cion es cuadráticas, se averiguó el número de soluciones reales al trazar las gráficas de las

coseno hiperbólico y seno hiperbólico, para ser N

709

V .1 4 4

12. 9jc2 + 16y2 = 144

18. 4 * 2 + 9 y 2

+

32* - 18y + 37 =

19.

25jc2 - y 2+ 5Qx + 6 y - 9 = 0

20.

3 x 2 - 2 y 2 + 6 x - Sy + 11 = 0

En lo s ejercicios 21 a 24, encuentre las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola del ejercicio indicado. 21. Ejercicio 3

22. Ejercicio 6

23. Ejercicio 15

24. Ejercicio 20

E n lo s ejercicios 25 a 32, defina la gráfica del ejercicio indicado p o r m edio de un p a r de ecuaciones paramé tri cas, y utilícelas para trazar la gráfica. 25. Ejercicio 1

26. Ejercicio 2

27. Ejercicio 3

28. Ejercicio 4

29. Ejercicio 13

30. Ejercicio 14

31. Ejercicio 19

32. Ejercicio 18

En los ejercicios 33 a 36, encuentre una ecuación de la elipse que tiene las propiedades indicadas y dibuje su + 16> + 39 = 0

12y + 38 = 0 ~ %

+ 84 = 0

0

gráfica. 33. La suma de las distancias desde los puntos (-4 , 0) y ( 4 ,0 ) a cualquier punto de la elipse es 10.

710

C A P ÍT U L O n

S E C C IO N E S C Ó N IC A S

3 4 . V é rtic es en ( - 4 , 0 ) y ( 4 , 0 ) y p a sa p o r e l p u n to (2 , ^ T ).

m a . D e s p u é s , d e te r m in e e l c o n ju n to so lu c ió n del siste. m a a lg e b r a ic a m e n te .

3 5 . V értices e n (0 , 8 ) y ( 0 , - 4 ) y un fo c o e n (0 , 6 ). 3 6 . F o c o s en ( - 3 , - 2 ) y ( - 3 , 6 ) y la lo n g itu d d e l s e m i

53.

x 2 + y 1 s 3jc -

9 54.

2y = 6

I x + 3y = 9 jr2 + 2y a 1

eje m en or e s tres cu artos d e la lo n g itu d d e l s e m ie je m ayor.

55.

3x + 2y = -5 x 2 -

56.

3y = 3

x 2 + y 2 = 50 3* - Ay = 0

E n lo s e je r c ic io s 3 7 a 4 0 , e n c u e n tr e u n a e c u a c ió n d e la h ip é r b o la q u e tie n e la s p r o p i e d a d e s i n d ic a d a s y d ib u je

57.

s u g rá fic a .

3x2 + 2y2 = 7 5*2 -

3 7 . V é r tic e s e n (0 , 2 V 2 ) y ( 0 , - 2 V¡2) y p a sa p o r el 59.

pu nto ( 2 , 4 ) .

2x2 -

y 2 = 3

x2 +

58.

xy + y 2 = 8

4jc2 + x y + y 2 = 6

y 2 = 25

4 x 2 - xy - 3y2 = 0

60.

4 x 2 - 3 y 2 = -t y 2 + 2ry = 8

3 8 . E l v a lo r a b s o lu to d e la d ife r e n c ia d e la s d ista n c ia s d e sd e lo s p u n to s (0 , - 5 ) y ( 0 , 5 ) a c u a lq u ie r p u n

En

to d e la h ip ér b o la e s 8.

u n a c ó n ic a q u e tie n e u n f o c o e n e l p o lo . ( a ) Determine

39. F o c o s e n ( - 5 , 1 ) y ( 1 , 1 ) y u n v é r tic e e n ( - 4 , 1 ) . 4 0 . C en tro e n ( - 5 , 2 ), un v é r tic e e n ( - 1 , 2 ) y u n f o c o e n ( 0 , 2).

lo s e je r c ic i o s 6 1 a 6 4 , la g r á fic a d e la ecuación a

la e x c e n tr ic id a d , ( b ) id e n tifiq u e la c ó n ic a , (c) escribo u n a e c u a c ió n d e la d i r e c t r i z c o r r e s p o n d ie n te al foco si tu a d o e n e l p o l o , ( d ) d ib u je la c u r v a y verifique la grá f i c a e n l a g r a fic a d o r a .

E n lo s e je r c ic io s 4 1 a 4 4 , ( a ) id e n tifiq u e la g r á f i c a d e

61. r =

la e c u a c ió n , ( b ) e lim in e e l t é r m in o x y d e l a e c u a c ió n

61 2 -

p o r m e d io d e u n a r o ta c ió n d e e je s y ( c ) d ib u je l a g r á f i

41.

5 x 2 - 6 x y + 5y 2 = 8

42.

2 x 2 + 4 V3jcy

43. x 2 + 2 x y + y 2 + 8* -

8y = 0

24x y + 9y 2 -

4

64. r =

3 - 2 eos 0

E n l o s e je r c ic i o s 6 5 a 6 8 , h a lle u n a ecu a ció n polar de 2y 2 = 4

I6 x 2 -

3 + 3sen 0

2 + 3 eos 0

-

44.

4

63. r =

c a y lo s d o s s i s t e m a s d e e je s.

5

r =

sen 0

240* -

l a c ó n ic a q u e s a t i s f a g a l a s c o n d ic io n e s indicadas. Di b u j e la c ó n i c a y c o m p r u e b e la c u r v a e n la graficadora. 320y = 0

E n lo s e je r c ic io s 4 5 a 4 8 , (a ) id e n tifiq u e la g r á f i c a d e

65.

U n f o c o e n e l p o lo ; v é r tic e s en ( 2 , 7t) y (4, n).

66.

U n f o c o e n e l p o lo ; e l v értice correspondiente en C 6 ,Í 7 t);« = l

l a e c u a c ió n , ( b ) s im p lifiq u e la e c u a c ió n m e d i a n te u n a r o ta c ió n y tr a s la c ió n d e e je s y ( c ) d ib u je la g r á f i c a y

67.

U n f o c o e n e l p o lo ; un v e rtice en (3 , |jc); e = 1.

68.

L a r e c ta r s e n 0 - 6 e s la directriz correspondiente

m u e s tr e lo s t r e s c o n ju n t o s d e e je s. 45. 3 x 2 -

3xy - y 2 -

46.

4 x 2 + 3;xy +

47.

3 x 2 + 4 x y + 16* -

48. x 2 -

al f o c o u b ic a d o e n e l p o lo y e = | .

6y = 0 y 2 8y +

6* +

12y

19 =

0

=0

4x y + 4 y 2 + 36 x + 28y + 2 4 = 0

E n lo s e j e r c i c i o s 6 9 y 70, (a ) d e te r m in e la excentrici d a d , l o s f o c o s y l a s d i r e c t r i c e s d e la c ó n ic a central (W D i b u j e l a c ó n ic a y m u e s t r e s u s f o c o s y directrices 69.

25*2 -

c ió n d e l e je r c ic io in d ic a d o .

71.

M u e str e q u e la h ip é r b o la * 2 - y 2 = 4 tiene los mis

49.

Ejercicio 4 1

50.

Ejercicio 4 2

51.

Ejercicio 4 5

52.

Ejercicio 4 6

9 y 2 = 225

70. 4 * 2 + y 2 = &

E n lo s e je r c ic io s 4 9 a 5 2 , tr a c e la g r á f i c a d e l a e c u a

m o s f o c o s q u e la e lip s e * 2 + 9 y 2 = 9. 72.

L a órb ita d e l p la n eta M ercu rio alrededor del Sol es d e fo r m a e líp tic a c o n e l S o l en un foco, tiene un

E n lo s e je r c ic io s 5 3 a 6 0 , tr a c e la s g r á f i c a s d e l a s

s e m ie j e m a y o r c o n lo n g itu d d e 36 millones de ml'

e c u a c io n e s d e l s is te m a y d e te r m in e e l n ú m e r o d e p a r e s

lia s y u n a e x c e n tr ic id a d d e 0 .2 0 6 . Determine (a) Ia

o rd e n a d o s d e n ú m e r o s re a le s q u e s o n s o lu c io n e s d e l s i s t e

m e n o r d ista n c ia p o s ib le en tre M ercurio y el Sol >

REVISIÓN DEL CAPÍTULO 1 1

j l¡ mayor distancia posible entre M ercurio y el

0 aito

7 8 . Los puntos A y B están separados 1 000 m, y se de terminó por el sonido de una explosión escuchada

So>L

7 11

de un puente tiene la forma de sem ielipse

conuna amplitud horizontal de 6 0 m y una altura > m en su centro. ¿Cuál es la altura del arco a

20 10ini la derecha o a la izquierda del centro?

en estos puntos en diferentes tiempos, que la ex plosión se efectuó a 600 m más cerca de A que de B . Muestre que la ubicación de la explosión está restringida a una curva particular y encuentre una ecuación de la misma. 7 9 . Una cuerda focal de una cónica es dividida en Hos segmentos por el foco. Pruebe que la suma de los re cíprocos de las medidas de las longitudes de los dos segm entos es la misma, sin importar qué cuer da se tomó. (S ugerencia: emplee coordenadas po lares.) 8 0 . U"— cuerda focal de una cónica es un segmento

^4. £1área de un triángulo rectángulo es 84 r m 2 y la

rectilíneo que pasa por un foco y tiene sus extre

longitud de la hipotenusa es d e 2 5 cm . H a lle las longitudes de los catetos del triángulo.

m os en la cónica. Demuestre que si dos cuerdas focales de una parábola son perpendiculares, en tonces la suma de los recíprocos de sus longitudes

Se elabora una caja abierta a partir de un pedazo rectangular de cartón que tiene un área de 120 pulg2, al cortar un cuadrado de 2 pulg de lado en cada esquina y doblar hacia arriba los extrem os y lados. Si el volumen de la caja es de 9 6 pulg \ ¿cuáles son las dimensiones del pedazo original de cartón? Sila distancia entre las dos directrices de una elip sees tres veces la distancia entre los focos, deter tekc*** WT

mine su excentricidad. Encuentre una ecuación polar de la parábola que contiene al punto (2, jn ), si el foco está en el polo 7suvértice en la prolongación del eje polar.

es una constante. (Sugerencia: utilice coordenadas polares.) 81. Muestre que Vx" ± Vy = ± Va" representa una fa milia de cónicas de un parámetro y determine el tipo de cónica. Dibuje las cónicas para a = 1, a = 2 y a = 4. 82. La gráfica de la ecuación (1 - e 2) x 2 + y 2 - 2px + p 2 = 0 e s una cónica central que tiene excentricidad e y un foco en (p , 0). Simpliñque la ecuación median te una traslación de ejes. Halle el nuevo origen con respecto a los ejes x y y.

»»

S U M A R IO

12.1 Sistemas d e ecuaciones lineales y matrices 12.2 Propiedades de las matrices y solución de sistemas lineales por m edio de matrices Inversas 12.3 Fracciones parciales 12.4 Sucesiones, serles y notación «lama 12.5 Inducción m atem ática 12.6 Sucesiones y serles aritméticas y geom étricas 12.7 Teorema del binomio 12.8 Introducción a las serles Infinitas

i ^ teme* k p*

y

oí» capllvjci ve oakSqi<*\ a omancAca 1 CtíoJo. Se apteas-bn rrc*íc«v í» a wwc*** ,

* * * * * ^

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i v *1 <» cono k y3(\wtac'crodo»cflí'w **cot«*0o ******

°*£r 1

12.1

S IS T E M A S

OBJETIVOS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

713

l>fc E C U A C IO N E S L IN E A L E S Y M A T R IC E S 1. Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales mediante el método de eliminación. 2. Expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma triangular. 3. Describir una matriz. 4. Aprender operaciones elementales con renglones de matrices. 5. Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de reducción de Gauss. 6. U tilizar el método de reducción de Gauss para determinar si un sistema de ecuaciones lineales es consistente o inconsistente. 7. U tilizar el método de reducción de Gauss para determinar si un sistema de ecuaciones lineales es independiente o dependiente. 8. Resolver enunciados de problemas que tienen un sistema de ecuaciones lineales como modelo matemático.

En la Sección 3 .2 se estudiaron sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables. Tal vez desee revisar esa sección en este momento. En esta sección se tratarán sistemas de ecuaciones lineales en tres variables. Considere la ecuación

2 x - y + 4z =

10

para la cual el conjunto de reemplazo, o dominio, de cada una de las tres variables x, y y z es el conjunto R de números reales. Esta ecua ción es lineal en las tres variables. Una solución de una ecuación lineal en las tres variables x, y y z es una tem a ordenada de números reales (r, 5, t) tal que si x se sustituye por r, y por s, y z por f, el enunciado re sultante es verdadero. El conjunto de todas las soluciones es el conjun to solución de la ecuación.

> EJEMPLO ILU S TR A TIVO 1 Para la ecuación 2x -

y + 4 z *= 1 0

la tem a ordenada (3 ,4 , 2) es una solución debido a que 2 (3 )

-4

4-

4 (2 ) = 10

O tras ternas o rdenadas que satisfacen esta ecuación son ( - 1 , 8, 5), (2, - 6, 0), (1, 0, 2), (5, 0, 0), (0, - 6. 1), ( 8, 2, -1 ) y (7, 2, -± ). Parece ser que el conjunto solución es infinito. 4 La gráfica de una ecuación en tres variables es un conjunto de puntos representado por tem as ordenadas de números reales que perte-

C ^ p ÍT U I^ J ^

n M A ^ D t ÁLGEBRA

714 n e c e n a u n s i s t e m a c o o r d e n a d o t r i d i m e n s i o n a l . C u a n d o e stu d ie g e o ^ t r í a a n a l í t i c a s ó l i d a , a p r e n d e r á q u e l a g r á f i c a d e u n a e c u a c ió n lineal e* tr e s v a r i a b l e s e s u n p l a n o . ■ *

S u p o n g a q u e s e t i e n e e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c io n e s lineaU e n la s v a r i a b l e s x , y y z .m

a \X + b \ y + C \z = d \ • Ü2X + b i y + CiZ = d i a i x + b i y + C3Z = d i E l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e e s t e s i s t e m a e s l a i n t e r s e c c i ó n d e lo s conjuntos s o l u c i ó n d e l a s t r e s e c u a c i o n e s . P u e s t o q u e l a g r á f i c a d e c a d a ecuación e s u n p l a n o , e l c o n j u n t o s o l u c i ó n p u e d e i n t e r p r e t a r s e geométricamente c o m o l a i n t e r s e c c i ó n d e t r e s p l a n o s . C u a n d o e s t a in te rs e c c ió n

consu

d e s ó l o u n p u n t o c o m o e n l a F i g u r a 1 2 .1 , s e d i c e q u e la s ecuaciones d e l s i s t e m a s o n c o n s i s t e n t e s e i n d e p e n d i e n t e s . C o n f o r m e se avance en l a d i s c u s i ó n , s e m o s t r a r á n o t r a s p o s i b l e s p o s i c i o n e s re la tiv a s de tres p la n o s . L o s m é t o d o s a l g e b r a i c o s p a r a d e t e r m i n a r e l c o n ju n to solución de u n s i s t e m a d e t r e s e c u a c i o n e s l i n e a l e s e n t r e s v a r ia b le s so n semejantes F I G U R A 12.1

a l ° s e m p l e a d o s p a r a r e s o l v e r s i s t e m a s l i n e a l e s e n d o s variables. B e je m p lo s ig u ie n te m u e s tr a e l m é to d o d e e lim in a c ió n .

► EJEMPLO 1

Solución do un sistema de tres ecuación*! lineales m ediante e l método de eliminación

D e te rm in e e l c o n ju n to s o lu c ió n d e l s is te m a

4x -

2y - 3z = 8

5x + 3y - 4z = 4

O)

6 x — 4 y — 5 z == 12

Solución

P r i m e r o s e o b t i e n e u n s i s t e m a e q u iv a le n te e n el cual I*

e c u a c i o n e s s e g u n d a y t e r c e r a n o c o n t e n g a n a l a v a r ia b le x . Para elimi n a r x e n t r e l a s d o s p r i m e r a s e c u a c i o n e s s e m u l t i p l i c a la prim era ecua c ió n p o r 5 y la s e g u n d a p o r - 4 y s e s u m a n :

10y -

15 z =

40

—2 0 jc — 1 2 y +

16z =

— 16

20* -

- 22y +

z =

24

P a r a e l i m i n a r x e n t r e l a s e c u a c i o n e s p r i m e r a y te rc e ra del sis d a d o , s e m u l t i p l i c a l a p r i m e r a e c u a c i ó n p o r 6 y la te rc e ra por sum an:

2 4 jc -2 4 * +

12y 16y +

18¿ = 20z =

48 -4 8

4y +

2z =

0

“

1 2 .1

•í U

I

SISTEMAS P E ECU A CIO N ES U N E A I I S Y M ATRICES

71S

El sig u ie n te siste m a (II) e s e q u iv a len te al siste m a d a d o (I). S u prim era e c u a c ió n e s la m ism a q u e la prim era e cu a ció n d e (I), y su s e c u a c io n e s se g u n d a y tercera so n la s o b te n id a s anteriorm ente. 4x —

2y — 3z = 8

- 2 2 y +

z = 24

(II)

4y + 2z « 0

MJáwü

m

C o m o e l c o e ñ c ie n t e d e y e s - 2 2 en la se g u n d a e cu a c ió n y 4 e n la ter cera, s e p u e d e o b te n e r u n a e c u a c ió n q u e n o c o n te n g a a y al calcu lar la su m a d e 2 v e c e s la s e g u n d a e c u a c ió n y 11 v e c e s la tercera: -4 4 y

+

2z = 48

44y + 22z =

0

24z = 48 A l d iv id ir a m b o s m ie m b r o s d e e s ta e c u a c ió n en tre 2 4 , s e tien e z = 2 A h o r a s e s u s titu y e la tercera e c u a c ió n d e l siste m a (II) por e sta ecu a c ió n . A s í s e tie n e e l s ig u ie n te siste m a e q u iv a len te: 4x -

2y -

3z = 8

-

22y +

z

= 24

(ni)

z = 2 S i s e s u s titu y e e l v a lo r d e z d e la tercera e c u a c ió n en la seg u n d a , s e o b tie n e - 2 2 y + 2 = 24 —2 2 y = 2 2

y = -i í

A l r ee m p la z a r la s e g u n d a e c u a c ió n d e l siste m a (III) por e sta ecu ación , resu lta e l s is te m a e q u iv a le n te 4x

2y -

3z = 8 y =

-1

(IV )

z = 2 S i s e su stitu y e n lo s v a lo r e s d e y y z d e las e c u a c io n e s segu n d a y terce ra e n la p rim era, s e o b tie n e

4jc -

2 ( — 1) -

3(2)

4 jt + 2 -

6

= 8 = 8

4 jt = 12 *

= 3

716

CAPÍTULO 12 TEMAS DE ÁLGEBRA S e reem plaza la primera ecu ación del sistem a (IV ) para obtener el tem a equivalente x = 3 y * - * IZ « 2

(V)

C om o lo s sistem as (V ) y (I) so n equivalen tes, el conjunto solución re. querido e s { ( 3 , - 1 , 2 ) } . . El conjunto so lu c ió n del ejem p lo anterior se pudo determinar m* nipulando otras c o m b in a c io n es de ecu acion es. S e siguió un procedí, m iento sistem ático q u e c o n sistió en obtener el sistema (III) que st denom ina fo r m a tr ia n g u la r . C on el sistem a en forma triangular fácil m ente se encuentra prim ero e l valor de y y después el valor de x al sus tituir regresivam ente lo s valores c o n o c id o s de las variables en I* ecu acion es. E ste p ro ceso s e d en o m in a su stitu c ió n regresiva. Cuando un sistem a está en form a triangular, e s c o sa sen cilla emplear la sustitu ció n regresiva para obtener un sistem a equivalente como el (V), k> cual e s el ob jetiv o final. El proced im ien to q u e s e sig u ió en el ejem plo 1 conduce a la solu c ió n d e un sistem a d e e cu a c io n e s lin ea les m ediante matrices. El métod o d e m atrices reviste e sp e c ia l im portancia porque la mayoría de 1% so lu cio n es de e cu a cio n e s lin ea les en com putadoras y calculadoras (fependen d e m atrices. L a referen cia anterior al sistem a de ecuaciones del ejem plo 1, n os condu cirá al m éto d o d e m atrices. A l em plear un cero c o m o el c o eficie n te de una variable que no aparece en una ecu a ció n , la form a triangular (III) del sistema puede es cribirse co m o 4x -

2y-

Ox -

22y+

Ox +

Oy +

3z f

8

z Ú 24 z =

m

2

El procedim iento em p lea d o para obtener este sistema implica opera c io n es sobre las e cu a cio n e s d el sistem a dado y una serie de sisten* equivalen tes hasta q u e se encuentra un sistem a equivalente en fono* triangular. D ich as op eracion es experim entan cam bios en los coeficien tes d e las variables, a s í c o m o en lo s térm inos constantes de los segun dos m iem b ros de las ecu a cio n e s. D e m od o que esencialmente nos interesan e sto s nú m eros (c o e fic ie n te s y térm inos constantes) que apirecen en cada u n o d e lo s siste m a s equivalen tes. Por tanto, a fin de sim plificar las o p eracion es, se introduce una notación para registrar 1® co eficie n te s y lo s térm inos con stan tes de m odo que las variables tengan qu e escribirse. Para e l sistem a (I) lo s coeficientes de las van bles se listan de la m anera siguiente: 4 5 6

-2 3 -4

-3 -4 -5

(VID

12.1

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

717

S i tam bién se listan lo s térm inos con stan tes qu e aparecen en los segun d o s m iem b ros d e las e c u a c io n e s del sistem a (I), se tiene "4 5 6

-2 3 -4

-3

8“

-4

4

—5

12_

d on d e la recta vertical separa lo s c o efic ie n te s de los térm inos constan tes. L o s núm eros im p lic a d o s en e l sistem a (V I) se listan com o '4

—2

0

-2 2

1

0

0

1

-3

8" 24 2_

C ad a u n o d e lo s arreglos (V II), (V III) y (IX ) se llam a m atriz. Los núm eros d e la m atriz se denom inan e le m e n to s. L os elem entos que se encuentran horizon talm en te form an un r en g ló n , y los elem entos ubi cad os d e m o d o vertical con stitu yen una c o lu m n a . En la matriz (VIH), lo s e le m en to s d e l prim er ren glón son 4 , - 2 , - 3 y 8, y los elem entos de la seg u n d a c o lu m n a so n - 2 , 3 y - 4 . S i hay m renglones y n columnas en una m atriz, e n to n c e s su o r d e n e s m X n (léase “ m por n ”). Note qu e el nú m ero d e r en g lo n es se esta b lece primero. Si m = n se tiene una m a tr iz c u a d r a d a d e o r d e n n. L as m atrices (V III) y (IX ) son de orden 3 X 4 , y la m atriz (V I I) e s una m atriz cuadrada de orden 3. La d ia g o n a l p r in c ip a l d e una m atriz con tien e los elem en tos de la línea diago nal qu e in icia e n la esq u in a superior izquierda. En la matriz (VII) los ele m en to s d e la diagon al principal son 4 , 3 y - 5 , mientras que en la m atriz (IX ) so n 4 , - 2 2 y 1. S u p o n g a q u e s e tien e un sistem a d e ecu aciones lineales donde las con stan tes están en e l m iem b ro derecho y los términos que contienen a las variables, lo s cu a les aparecen en el m ism o orden en cada ecuación, están en el m iem b ro izquierdo. El sistem a (I) es uno de éstos. La ma triz, c u y o s ú n ico s ele m en to s son lo s coeficien tes de las variables lista d os c o m o aparecen en las ecu aciones, se denom ina m atriz de c o e fic ie n te s. A s í, la m atriz (V II) e s la matriz de coeficientes del siste m a (I). L a m atriz obtenida a partir de la matriz de coeficientes listando las con stan tes en la colu m n a adicional a la derecha, donde los coefi cie n te s están separados d e las constantes por una línea vertical, se de nom ina m a tr iz a u m e n ta d a . Para el sistem a la matriz aumentada es la m atriz (V H I). A fin d e resolver un sistem a de ecuaciones lineales mediante ma trices, se in icia con la matriz aumentada y se efectúan operaciones so bre lo s ren glon es para obtener una matriz de un sistem a equivalente. El proceso se continúa hasta conseguir una matriz de un sistema en form a triangular, e sto e s, una matriz que tiene ceros por debajo de la diagonal principal. D e tal matriz se dice que está en form a escalon a d a . Por ejem p lo, (V I) es el sistem a en forma triangular que es equiva lente al sistem a (I). A dem ás, la matriz (IX ) es la matriz aumentada del sistem a (V I) y está en forma escalonada.

TEMAS DE ÁLGEBRA____________________________________________________

_

Las reglas para realizar op eracion es en matrices se denomin* o p e r a c io n e s e le m e n ta le s c o n r e n g lo n e s , y se presentan en el teoren! siguiente.

TEOREMA 1

S i se tien e una m atriz aum entad a d e un sistem a de ecuaciones li neales, cad a una d e las o p era cio n es sigu ien tes produce una ma triz d e un sistem a eq u iv a len te d e e cu a cio n e s lineales: (i) Intercam bio d e d o s ren g lo n es cualesquiera. (ii) M u ltip lica ció n d e cad a e le m e n to de un renglón por el mis m o núm ero d iferen te d e cero. (iii) S u stitu ción d e un ren glón por un n u ev o renglón cuyos ele m en tos so n la su m a d e fe v e c e s lo s elem en tos del renglón dad o y fe v e c e s lo s e le m e n to s correspondientes de cualquier otro ren glón , d o n d e k \ y fe so n núm eros reales y k\ * 0.

La d em ostración d el T eo re m a 1, la cual se om ite, utiliza las opera c io n es corresp on d ien tes en la s e c u a c io n e s del sistem a. Observe que el teorem a c o n tien e s ó lo o p e r a c io n e s c o n re n g lo n e s. N o cometa el error d e aplicar las o p e r a cio n e s a la s c o lu m n a s, haciéndolo no se obtiene una m atriz d e un siste m a e q u iv a len te. En e l in c iso (ii) d el T e o re m a 1, s e sobrentiende que multiplicar un renglón por un nú m ero s ig n ific a m u ltip licar cada elemento del renglóo por e l núm ero. D e igual m o d o , c u a n d o s e ap lica e l inciso (iii) al sumar un ren g ló n a o tr o r e n g ló n , r e a lm e n te d e b e n sum arse los elementos corresp on d ien tes d e lo s d o s ren g lo n es. El ejem p lo ilu strativo sig u ie n te m uestra c ó m o se emplea el Teore m a 1 para reso lv er e l siste m a (I). S e d eb en comparar las operaciones co n las d el e jem p lo 1.

>


El sistem a (I) e s 4x — 2y ■ 5 x + 3y 6x -

4y -

3z = 8 4

= 4

5z =

12

m atriz aum entada e s Ì U)

1 K>

CAPÍTULO 12

8“

5

3

-4

4

6

-4

-5

12

-u

71$

12.1

SISTEMAS PE E C U A C IO N iS LINEALES Y MATRICES

719

A fin d e ob ten er 0 c o m o e l prim er e le m e n to d e l seg u n d o renglón, se reem plaza e l se g u n d o r en g ló n por la su m a d e 5 v e c e s el prim ero y - 4 v e c e s e l se g u n d o ; y para c o n se g u ir 0 c o m o e l prim er e le m e n to d el tercer r e n g ló n , s e s u s t it u y e e l te r c e r r e n g ló n p o r la su m a d e 6 v e c e s e l prim er r e n g ló n y - 4 v e c e s e l tercero. A s í, se tien e la matriz "4

-2

0

-2 2

1

8“

0

4

2

-3

24 0_

A partir d e esta m atriz s e o b tie n e 0 c o m o se g u n d o elem en to del tercer renglón al reem plazar el tercer ren g ló n por la su m a de 2 v e ce s e l se gun do ren glón y 11 v e c e s el tercero. A l h acerlo s e tien e

”4

-2

0

“ 22

1

0

0

24

-3

8" 24 48_

S i s e m u ltip lica e l tercer r en g ló n por ^

‘4

-2

0

-2 2

1

0

0

1

-3

s e o b tien e

8" 24 2_

la cual e s la m atriz (IX ) y e stá en fo rm a escalon ad a; e s la m atriz aum en tada para e l siste m a (V I ), e l cu a l e stá e n form a triangular. E l conjunto so lu c ió n s e d eterm in a m ed ia n te la su stitu ció n regresiva c o m o en el e jem p lo 1. .4 El p r o c ed im ien to m ostrad o e n e l e je m p lo ilu strativo 2 para resol ver un siste m a d e e c u a c io n e s lin e a le s por m e d io d e m atrices s e d en o m ina m é to d o d e r e d u c c ió n d e G a u s s , en h on or al m atem ático y c ie n tífic o a lem á n K arI F r ie d r ic h G a u s s (1 7 7 7 -1 8 5 5 ). El m étod o re d u ce una m atriz a la fo r m a esc a lo n a d a . Para hacer e sto , en álgebra li neal, un c u r so m ás a v a n z a d o , s e p rop orcion a un p r o c eso form al paso por p a so . Para lo s s is te m a s s im p le s d e e sta s e c c ió n , la fo rm a e s c a lo n a d a p u e d e o b te n e r s e m e d ia n te u n a se c u e n c ia d e o p e r a c io n e s e le m e n ta le s c o n r e n g lo n e s d e te rm in a d a por o b s e r v a c ió n y por e n sa y o y error. En e l e je m p lo sig u ie n te s e r e su e lv e un siste m a de cuatro e cu a cio n es lin e a le s c o n cuatro variab les por m e d io d el m éto d o d e e lim in a c ió n d e G au ss. P or so lu c ió n d e un siste m a d e cuatro e c u a c io n e s en w , jc, y y z s e e n tie n d e u n a cu atern a (r, s , t, u ) tal q u e ca d a una d e las ecu a c io n e s s e sa tisfa c e si w , x , y y z se su stitu y en por r, s, t y w, respecti vam ente.

\ 720

CAPÍTULO 1 2

T IM A S P E ÁLGEBRA

► EJEMPLO 2

Solución do un sistem a do cuatro ecuación* lineales m ed ia n te o l m étodo de reducción di Gawss

U tilic e el m é to d o d e r ed u c ció n d e G a u ss para determinar el c o q t j so lu c ió n d e l siste m a w + x + y + z = 5 3z + x = w — 2 2x + 2y = 3w + 2 y = w + z

Solución S e r ee m p la za ca d a e c u a c ió n por una equivalente en cu al lo s térm in o s q u e c o n tie n e n la s v ariab les e stén en el miembro i q u ierd o y lo s té rm in o s c o n sta n te s e sté n e n el m iem b ro derecho. Así, tien e e l sig u ie n te siste m a e q u iv a le n te e n d o n d e las ecuaciones estfcj escritas d e m o d o q u e lo s té rm in o s q u e c o n tien en la m ism a variable es^ tán e n u n a c o lu m n a vertical.

w + x + y + z —w + x +32 —3 w + 2x + 2 y w + y — z

~

5

= —2

—2 —0

L a m atriz au m en tad a d e e s t e s is te m a e s

1

1

1

1

-1

1

5'

0

3

-2

-3 -1

2

2

0

2

0

1

0_

-1

In ic ia lm e n te s e o b tie n e n c e r o s c o m o l o s p rim eros elementos de r en g lo n es se g u n d o , te rcero y cu arto. S e r ee m p la za el segundo renglój por la su m a d e l p rim ero y s e g u n d o r en g ló n ; s e reem plaza el tercer reoi g ló n p or la su m a d e 3 v e c e s e l p rim ero y e l tercer renglón; se reemplaa e l cuarto r en g ló n p o r la su m a d e lo s r e n g lo n e s prim ero y cuarto. B | to n c e s s e tie n e la m atriz

_1

1

1

1

5"

0

2

1

4

3

0

5

5

3

17

0

1

2

0

5

A h ora s e in tercam b ian lo s r e n g lo n e s se g u n d o y cuarto, ya que enton c e s s e tendrá 1 c o m o un e le m e n to e n e l se g u n d o renglón y segunda cffl lum na; e s to hará q u e s e a m á s fá c il o b te n e r c er o s en el tercer y cuaitfl ren g ló n d e la se g u n d a c o lu m n a . S e tie n e e n to n c e s la matriz

"1 0

1 1

0

5

0

2

1

1

2

0

5 1

3

5 17

4

3

5"

12.1

SISTEM A S P E EC U A C IO N ES LIN EALES Y M ATRICES

721

Al sustituir el tercer renglón por la suma del tercer renglón y -5 veces el segundo, y reemplazar el cuarto renglón por la suma del cuarto ren glón y -2 veces el segundo, se obtiene la matriz

”l 0 0 _0

1 1 0 0

1 2 -5 -3

1 0 3 4

5“ 5 -8 —7 _

Si se reemplaza el tercer renglón por la suma de 3 veces el tercer ren glón y —5 veces el cuarto, se tiene la matriz 1

1

1

1

5"

0

1

2

0

5

0

0

-5

3

—8

_0

0

0

-11

"

11_

A continuación se multiplica el cuarto renglón por - y¡- y se obtiene 1

1

1

1

0

1

2

0

5

0

0

-5

3

-8

.0

0

0

1

-1

"

5”

_

Esta matriz está en forma escalonada y es la matriz aumentada del sis tema en forma triangular

'w + x + y + z = 5 x + 2y =5 - 5 y + 3z — - 8 z =— 1 A l sustituir regresivamente en la tercera ecuación el valor de i de la cuarta ecuación se obtiene y = 1; entonces al sustituir regresivamente 1 por y en la segunda ecuación, se tiene x = 3. Si sesustituye demanera regresiva en la primera ecuación 3 por jc , 1 por y, y -1 por z, se obtiene w = 2. Entonces resulta el sistema siguiente que es equivalente al siste ma dado:

rw = 2 x = 3

Así, el conjunto solución del sistema dado es {(2, 3, 1, -1 )}.

4

En la Sección 3.2 se mostró que cuando un sistema de dos ecua ciones lineales en dos variables es inconsistente, las gráficas de las dos ecuaciones son rectas paralelas. Para un sistema inconsistente de

722

c a p ít u l o h

ZZ7 ZH7 r

u

(*)

n

tem as de á lg e b r a

z u

a (b)

tres e cu a cio n e s lin ea le s en tres variables, las gráficas de las tres eco», c io n e s so n plan os q u e n o con tien en una intersección común. Las % rentes p o sib ilid a d es se m uestran en la Figura 12.2(a)-(d). En (a) lo s tres p lan os so n paralelos. E n (b ) dos de los planos ¡o* el m ism o p lan o, y el tercer plan o e s paralelo a él. En (c) dos de los pía. nos so n p aralelos, la in tersección d e cad a uno de estos planos cond tercero e s una recta, sie n d o las rectas paralelas. En (d) no hay dos p^. n os paralelos, pero d o s d e lo s p lan os se intersectan en una recta que q paralela al tercer plano. En el e jem p lo ilu strativo sig u ien te se muestra lo que ocurre cuasd o se ap lica e l m éto d o d e red u cció n d e G auss a un sistema de ecuacio n es in con sisten te.

> (c)

(d)


Para el sistem a '2x +

FIG URA 12.2

y -

z = 2

x + 2y + 4z = 1 5* +

y — lz — 4

la m atriz aum entada es “2

1

1

2

_5

1

-1

2“

4

1

-7

4

S i s e reem p laza el se g u n d o ren g ló n por la sum a del primer renglón y - 2 v e c e s e l seg u n d o , y s e su stitu y e e l tercer renglón por la suma de 5 v e c e s e l prim er ren glón y - 2 v e c e s e l tercero, se obtiene "2

1

0

-1

-3

0

2"

-9

3

0

9

2_

A l reem plazar e l tercer ren glón p or la sum a de los renglones seguí»0 y tercero s e tien e 1

"2

-1

2

0

-3

-9

0

.0

0

0

2_

E sta m atriz está en form a esca lo n a d a y es la matriz a u m e n ta d a tem a r2 x +

y ~

z — 2

-3 y -

9z = 0

0

=

2

dc\ &

________1 2.1

SISTEM AS P E ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

723

en el q u e las e c u a c io n e s son in con sisten tes, co m o io indica la tercera e cu a ció n .

4

O b serv e en e l e jem p lo ilu strativo 3 que en el último renglón de la m atriz en form a e sc a lo n a d a hay un elem en to diferente de cero en la úl tim a p o sic ió n . S iem p re qu e esta situación ocurra, se puede concluir q u e las e c u a c io n e s d el sistem a son inconsistentes.

► EJEMPLO 3

Solución do un sistoma de tres ecuaciones lineales m ediante e l método de reducción de Gauss

U tilic e e l m éto d o d e red ucción d e G auss para determinar el conjunto so lu c ió n d el sistem a 2x +

y — 3z =

0

3jc +

2y — 4z =

2

x —

y —3z = '

—6

Solución La m atriz aum entada d el sistem a es "2

1

3

2

_1

jg l

0' -4 t 3

2 ~ 6

A l reem plazar el segu n d o renglón por la sum a de 3 veces el primer ren glón y - 2 v e c e s el segun do, y sustituir el tercer renglón por la suma d el prim ero y - 2 v e c e s el tercero, se obtiene 2 0 °

1

-3

-1

0"

-1

3

3

12_

E nsegu ida se reem plaza e l tercer renglón por la suma de 3 veces el se gundo ren glón y el tercero, para obtener 1

"2 0 0

-3

-1

0“ -4

-1

0

0

0_

Esta m atriz está en forma escalonada y es la matriz aumentada del sis tem a 2x + y ~ § | -y

-

t 0

~SM

„4

C W tt U l O «

TIMAS DE ÁIGÍBRA D e la tercera ecu ación, se observa qu e las ecuaciones dei sistema sog d ependientes. L a tercera ecu ación e s una identidad para cualquier ter na ordenada (¿, y, z ) y en particular para (0, 0 , t) A sí, al reemplazar la ecu ación 0 = 0 por la ecu ación z = t, se obtiene el sistema equivalente en form a triangular,

d *

2 x + y — 3z * 0 - y

-

z = -4 z = t

A hora se su stitu ye regresivam ente el valor de z de la tercera ecuación en la segun da, y se d esp eja y; lu e g o , si se sustituyen de forma regresi v a lo s valores d e y y z de las e cu a cio n e s segunda y tercera, respectiva m ente, en la prim era, se ob tien e * 7, 2t ~ 2 ■y = 4 - t

Por tanto, el conjun to so lu c ió n d e l sistem a dado es {(2 / - 2 ,4 - 1, /)}.«

7 FIG URA 12.3

En e l ejem p lo 3 , ob serve qu e cuand o el m étodo de reducción de G auss se e m p lea para resolver un sistem a de ecuaciones dependientes, la m atriz e n form a e scalon ad a tien e s ó lo c eros en el último renglón. Las gráficas de tres e cu a cio n e s lin eales dependientes en tres varia b les so n tres p lan os c o n una recta e n com ú n o los planos son idénticos. L a Figura 1 2 .3 (a )-(c ) m uestra las diferen tes posibilidades. En (a) las gráficas so n tres p la n o s d ife r e n te s c o n una recta en común. En ib) d o s p la n o s id én ticos intersectan al tercer plano en una recta. En (c) k» tres planos son id én ticos. El m étod o de red ucción d e G auss pu ed e extenderse a sistemas de n ecu a cio n es lin ea les con n in cógn itas, y la calculadora puede em plearse para realizar las op era cio n es e n la matriz. Consulte el manual para e l m anejo d e m atrices de su calculadora. En la so lu ció n d el en u n ciad o d el problem a del ejemplo siguiente se obtiene un sistem a d e tres e cu a cio n e s qu e son dependientes. Sin em bargo, el enun ciad o del problem a tien e un número finito de solu cion es.

► EJEMPLO 4

Solución d o l enunciado do un problema tiene un sistema de tres ecuaciones lineeks dependientes com o modelo matemático

Un grupo de 14 personas gastó $ 5 6 en boletos de entrada al C inem a Uoft los cu ales costaban $ 5 por adulto, $ 3 por estudiante y $2 por niño Si hubieran asistid o las m ism as personas al C inem a D os, que cobraba r por adulto, $ 2 por estudiante y $1 por niño, habrían gastado $42 b o leto s de entrada. ¿C uántos adultos, cuántos estudiantes y cuántos ni ños había en el grupo?

12.1

SISTEMAS DE ECUACIONES U N IA LES Y MATRICES

725

Solución

L as cantidades d e sc o n o c id a s son el núm ero de adultos, el núm ero d e estu d ian tes y e l núm ero d e n iñ os en el grupo. S e repre sentan estas cantidades por a, s y c, respectivam en te. E ntonces com o hay 14 personas en e l grupo, a + s + c =

14

C om o e l C in em a U n o cobra $5 por adulto, $ 3 por estudiante y $2 por niñ o y el total por lo s b o le to s d e entrada a e ste cin em a fue $5 6 , se tie ne la e cu ación 5a + 3s + 2c = 56 P uesto q u e el C in em a D o s cobraba $ 4 por adulto, $ 2 por estudiante y $1 por n iñ o y e l total por b o le to s d e entrada a e ste cin em a sería $42, se tien e la e cu a ció n 4a + 2s + c = 42 D e m o d o q u e s e tien e el sistem a d e ecu a cio n es a +

s +

c =

14

* 5a + 3s + 2c = 56 4a + 2s +

(X )

c — 42

L a m atriz aum entada d e e ste sistem a es ’1

1

1

14“

5

3

2

56

_4

2

1

42_

A fin d e obtener cero s c o m o lo s prim eros elem en tos de los renglones segu n d o y tercero, se reem plaza e l segu n d o renglón por la suma de - 5 v e c e s el prim er ren glón y e l segu n d o, y se sustituye el tercer renglón por la su m a d e - 4 v e c e s el prim er ren glón y el tercero. D e m odo que se tiene rl

1

1

14"

0

-2

-3

-1 4

0

-2

-3

-1 4

A l reem plazar e l tercer renglón por la sum a de -1 vez el segundo ren glón y el tercero, se obtiene "1

1

0

-2

0

0

1 -3

14' -1 4

0

0_

Esta matriz, en form a escalonada, es la matriz aumentada del sistem a a +

s +

-2s -

c = 14 3c = - 1 4

TEMAS D i ALGEBRA 736

La tercera ecu ación d e e s te siste m a in d ica q u e la s ecuaciones son (fe. pendientes. S i se reem p laza e sta e c u a c ió n por la ecu ación c = i ,u ^ , nc el sistem a eq u ivalen te en form a triangular, a +

s +

c — 14

2s + 3c =

14

c = t A l sustituir el valor d e c d e la tercera ecu a ció n en la segunda, y al despe. jar s y sustituir lo s valores d e s y c en la prim era ecu ación , resulta a = 7 + \t s = l c = t E ste sistem a e s e q u iv a le n te al s iste m a ( X ). A s í, la solu ción de (X) e s 1 una tem a o rdenada d e la fo r m a { ( 7 + ¿ f, 7 - | f, t ) ) . P u esto q u e a, s y c d e b e n rep resen ta r n ú m er o s enteros no negaü- |

[jjffSE

v o s, cad a u n o d e lo s n ú m er o s t, 7 — 1 1 y 7 + ~ t d e b e ser un entero no n eg a tiv o . S i / = 0 , 7 - | f e s una solu ción . S i / =

= 7 y 7

l , 7 - | f

+ i r = 7 . P or tanto (7,7,0) 1 :.¡j¡freídos i

= -y y 7

+ ^ í = y ; entonces t = 1

n o p r o p o r c io n a u n a s o l u c i ó n d e l p r o b le m a . S i í = 2 , 7 - 4 í = 4 j 7 + i t = 8. Por tanto (8 , 4 , 2 ) e s u n a so lu c ió n . S i t -

U tm itea L a Sibu eci Wiiíqitfío,

3 , tanto 7 - |f 1

c o m o 7 + ^ t n o s o n e n te r o s, p o r l o q u e t = 3 n o proporciona una so

í'i + 3y

lu c ió n d e l s is te m a . S i f = 4 , 7 ~ \ t — 1 y 7 + ^ t = 9. De donde II I- y-j (9 , 1 ,4 ) e s una so lu c ió n . S i t e s u n e n te ro m a y o r q u e 4 , entonces 7 - U ¡ l ^ 2 y j e s un núm ero n eg a tiv o . P or tanto, e l c o n ju n to so lu c ió n del problema es { ( 7 , 7 ,0 ) , ( 8 , 4 , 2 ) , ( 9 , 1 , 4 ) } .

Conclusión: Existen tres posibles combinaciones de personas en el j grupo: siete adultos, siete estudiantes y ningún niño; ocho adultos, y cuatro estudiantes y dos niños; o nueve adultos, un estudiante y cuatro r niños. K 5jt

Comprobación: Si en el grupo hay siete adultos, siete estudiantesy | ningún niño, el costo total por los boletos de entrada al Cinema Uno es h 5(7) + 3(7) = 56; mientras que el costo total por los boletos de entrad* | r 5y al Cinema Dos sería (4)(7) + (2)(7) = 42. Si en el grupo hubiesen $ 1 lu % adultos, 4 estudiantes y 2 niños, el costo total por los boletos al Cine-1 ma Uno sería 5(8) + 3(4) + 2(2) = 56; en cambio, si hubieran asistid0 al Cinema Dos el costo total por los boletos de entrada sería (4)(8) + (2X4) + (1)(2) = 42. Por otro lado, si el grupo estuviese fo rm a d o p*>r nueve adultos, un estudiante y cuatro niños, entonces el costo total i por los boletos de entrada al Cinema Uno sería 5(9) + 3( 1) + 2(4) = 56; y k , si estas mismas personas hubiesen asistido al Cinema Dos el costo to tal de los boletos de entrada hubiese sido (4)(9) + (2X1) +

i?

12.1

S IS T E M A S P E E C U A C IO N E S LIN E A LE S Y M ATRICES

727

El m éto d o d e m a tric e s p u ed e a p licarse a sistem as de cualquier nú m ero d e ec u a c io n es lin eales en cu a lq u ie r n ú m ero d e variables. Cuando hay tan tas ecu a c io n es c o m o v ariab les, es m uy probable que el sistem a tenga u n a so lu ció n ú n ica; sin em b a rg o , c o m o se ha visto, es posible q u e las ec u a c io n es sean d ep en d ien tes o inconsistentes. C uando el nú m ero d e v ariab les es m a y o r q u e el n úm ero de ecuaciones, es más co m ún q u e el siste m a ten g a un n ú m ero infinito de soluciones. No o bstante, e s p o sib le q u e las ecu a cio n es sean inconsistentes, com o en el caso de u n siste m a d e d o s ecu ac io n es lineales en tres variables cuando las gráficas so n p lan o s paralelos. C u an d o hay m ás ecuaciones que va riables, e s m uy c o m ú n q u e las ecu acio n es sean inconsistentes, aunque esto no es n e cesariam en te así. E n el ejercicio 23 el sistem a tiene más variab les q u e ec u a c io n es, y se le p e d irá q u e m uestre que el sistem a tie ne un n ú m ero in fin ito d e so luciones. E n el ejercicio 24 el sistem a tiene m ás ecu acio n es q u e variables, y se le ped irá que m uestre que las ecua cio n es so n inco n sisten tes.

V,

Nú

fieros»J

EJERCICIOS

12.1

¡be seriní J

11

!orlanío( ; blai ejercicios 1 a 10, d eterm ine e l c o n ju n to s o lu c ió n ti sistemade ecuaciones m e d ia n te e l m é to d o d e e lim iMciái Si las ecuaciones son in c o n s is te n te s o d e p e n émamdíquelo.

—

7.

\ x U

y + z — 2z

= 2 = 1 = 7

'5 * - 4 y + 8.

5z = 6 y - 2z = 4 9 y + 12z = 5

6x + Ax 1 X

+

1

1

y

z

ff 5

2 3 1 4* — - + — = 12

9.

X

y

1

2

z 1

y

C

3

1

'3

+ - +

= 9

— — - + — = —i X y 4

10.

•

2 __

X i

.x

1 4 + — — —= 0

y 4

z

V

4

+ - +

1

6 5

E n lo s e je r c ic io s 1 1 a 2 2 , e m p le e e l m é to d o d e r e d u c c ió n d e G a u s s p a r a d e te r m in a r e l c o n ju n to s o lu c ió n d e l s is te m a . S i la s e c u a c io n e s s o n in c o n s is te n te s o d e p e n d ie n te s , in d íq u e lo .

728

4w +

11. Ei Sistemadel ejercicio 1.

22.

12. El sistema del ejercicio 2.

y - 2z = 5

z ~

+

i a

. *

2

3

4

f

w t 3w

2

x 2x 3x Ax

H r +" - 4 9 2

6

x 3

-

+

y

-

-

2

z 2

-

= o

2

-

z -

_A

4

6

“

8

25.

2x + 3y - 4z = 4 jc + 2y — 5z

=

4 * + 5y - 2z w + 3x+ -w —2w + 3jc

. —w — 6x

2w

-

- 5k-

y +

2w 3w +

z — —6

y + y -

21.

3w +

x +

3 Z = 12 6z = 1

z = 3

y + 2z = 1

w — 2x + 3y — w - 2x -

2z = 3

+ l l z * 16

2 w + 3-t — 4 y —

y -

%+2y

lü J¡

¡S r

+ 4y - 3z = 5 +

y + 5z = 2

- 2y - 4z = 4 - 5y + 4z = - 3

2=

0

9z = 5

5x - 4y + 3z = 1 3x - 5y + 7z = 11

27.

5w — x — 2y + 5z = 7 3w + 2x — 3y + 2z = 4 w — Sx + 5y + 4z = 3

4

+ z = —3 + 3z = - 3

x + 2y +

jr

2V

3y - 5z = 3

3x — 2y — 5z = 5 2x — y - 4z = 3

3

z = 0 z— 0

—3z =

w — 4x + 2y —

5w +

f

x + y +z =4 — 2y + z = 2

26.

— 2y+ 2z = —4

jc

4x +

z =

- 3y - 4y +

+ 2y —

6

= 0

2w + jc — 3y x

.3 ;

nifi.

* lji+

y~

x-2y +

En los ejercicios 25 a 28, el sistema tiene más variables ;ésejercidos3 / que ecuaciones. Utilice el método de reducción de gerencia que Gauss para determinar el conjunto solución del sistema. Iavaa;recuerde wtadelaform

£ + ^ + £= ¿ 6 4 3 8 —

+ 3.

24. Use el método de reducción de Gauss para mostrar que el sistema siguiente es inconsistente:

z

y

3

a

ZV

x

(P

2w + 3jt + 4y — 3z = —2

w + 2x £ +

4

i\}s

—4

2 jc

=

23. Utilice el método de reducción de Gauss d trar que el sistema siguiente tiene un nito de soluciones:

j - 3y — z = 4

3x + 2y

2

3w - 2jc + 5y + 3z = 2 w' + 4x + 3 y + z = 5

x - 2y - z - 3 x + y + = 4 ' * +

* - 2y +

28.

w + 2x — 3y — z — —2 3w - 4x + y - 3z f 1 4 w + x + 2y - 2z = 3

E n lo s e je r c ic io s 2 9 a 3 6 , e l siste m a tiene m ás ect q u e v a ria b le s. E m p le e e l m é to d o de reÛCCU>n G a u s s p a r a d e te r m in a r s i la s e cu a c io n e s son cons te s o in c o n s is te n te s . S i s o n c o n sisten te s encuentre

!i, (-2,8), (2,6) y KUí-2,3 )y ' Encuentre la ei sniek) al eje y, f(l ¡5). Suger Abólas es de '^ én tre la ec paraleloai e/e "'î-Sugert B la s e s d e l ¿ J a c io s 4 i %

°lcontn 'N f/o me

c o n ju n to so lu c ió n . 2 9 . El s i s te m a d e l e j e r c i c i o 3 9 d e la S ecció n 3.2. 3 0 . El s is te m a del e je r c i c io 4 0 de la S ecció n 3.2. 3 1 . El sistem a del e je r c i c i o 41 d e la S ecció n 3.2 3 2 . El s is te m a d el e je r c ic io 4 2 d e la S ección % , C? ciu a “na¿

12.1

SIS T E M A S P E E C U A C IO N ES LIN EALES Y MATRICES

7 29

mar, e n to n ces h = a + b t + c t 2. Si el agua hierve a 100° C al n iv el d el mar, a 95° C a una altura de 7 4 0 0 p ie sob re el nivel del mar y a 90° C a una al tura d e 14 5 5 0 pie sob re el nivel del mar, determi n e a , b y c. 4 3 . E n 2 0 on za s d e una aleación hay 6 oz de cobre, 4 o z d e c in c y 10 o z d e plom o. En 2 0 o z de una se g u n d a alea ció n hay 12 o z de cobre, 5 oz de cinc y 3 o z d e p lo m o , m ientras que en 2 0 oz de una terce ra a lea c ió n hay 8 o z de cobre, 6 oz de cinc y 6 oz d e p lo m o . ¿Cuántas on zas de cada aleación deben m ezcla rse para hacer una nueva aleación que con te n g a 3 4 o z d e cobre, 17 o z de cinc y 19 oz de plo m o? 4 4 . S e invierte un total de $ 5 0 0 0 0 en tres tipos de va i-

y - 4z = 0

x-

y + 2z = 6

3x+

>>- 5z = - 1

i -

2y + z

= 7

lores para lo s cuales se determinan los dividendos an u ales a 8% , 10% y 12%. Si el ingreso total anual d e lo s tres valores e s $ 5 320, y el ingreso proce d en te d el valor a 12% e s 5*1 0 8 0 más que el del va lor a 10%, determ ine la cantidad invertida en cada valor.

b losejercicios 37 y 38, e n cu e n tre u n a e c u a c ió n d e la circunferencia que contenga lo s p u n to s in d ic a d o s. S u -

4 5 . En una tienda de regalos se venden tres tipos de

prenda: recuerde que una e c u a c ió n d e u n a c ir c u n fe -

tarjetas d e navidad. Las taijetas grandes cuestan $1

m iaesdelaform ax2 + y 1 + D x + E y + F — 0.

cada una; las taijetas m edianas cuestan 80 centavos

p . (-2,8), (2,6) y (—7 ,3 ). * (5,4), ( - 2 ,3 ) y ( - 4 , 1 ) .

por unidad; y las tarjetas pequeñas cuestan 60 cen ta v o s cada una. U na mujer compró 10 tarjetas que con sistían en la cuarta parte de las tarjetas grandes,

Encuentre la ecuación de la parábola c u y o eje e s

la tercera parte de las taijetas medianas y la mitad

pvalelo al eje y, si contiene los puntos (1, - 1 ) , ( 2 ,3 )

d e las taijetas pequeñas. El costo total de las tarje

[ y(3,15). Sugerencia: una ecu a ció n d e una d e esta s

tas fu e de $ 8 .2 0 . Si quedaron 21 tarjetas en el es

parábolas es de la forma y = a x 2 + b x + c.

tante desp ués de su compra, ¿cuántas tarjetas com pró d e cada tipo?

Encuentre la ecuación de la parábola c u y o e je e s Paralelo al eje x, si contiene los puntos ( 3 ,0 ) , (1, - 4 )

4 6 . El alim ento A tiene 5 6 0 calorías por libra y 8 0 uni

y(~1,6). Sugerencia: una ecu a ció n d e una d e estas

dades de vitaminas por libra, el alimento B tiene 2 4 0 calorías por libra y 4 0 0 unidades de vitaminas

Pfc&olas es de la forma x - a y 2 + b y + c.

por libra, y el alim ento C tiene 480 calorías por li facióos 41 a 48, re su e lv a e l e n u n c ia d o d e l L ^ ^ encontrar un siste m a d e e c u a c io n e s lin e a "wdelo matemático. N o o lv id e e s c r ib ir u n a N w ión. k

Se

‘nv’erten $25 000, una parte a 10% , otra parte a

12% ^ y una tercera parte a 16%. El interés total «tei

de estas tres inversiones e s d e $ 3 2 0 0 . A d eaversión a 16% reditúa la m ism a cantidad suma de los intereses de las otras d o s inver¿Cuánto se invierte en cada tasa?

v i j j 01 Cdcius es la temperatura a la cual hiera*ua a ur*a altura de h pies sobre el nivel del

bra y 160 unidades de vitaminas por libra. Se desea preparar una m ezcla de 10 libras de los alimentos A , B y C que contenga un total de 2 000 calorías y 1 2 0 0 unidades de vitaminas. Demuestre que estos requerim ientos conducen a un sistema inconsis tente de ecuaciones y, por tanto, la mezcla no es posible. 4 7 . Suponga que en el ejercicio 4 6 en lugar de una m ezcla de 10 libras, se desea tener una mezcla de 5 libras de los alimentos A , B y C que contenga un total de 2 0 0 0 calorías y 1 200 unidades de vitami nas. (a) Muestre que estas condiciones conducen a

730

CAPÍTULO 12 TEMAS DI ÁLGEBRA un sistem a d e p e n d ie n te d e e c u a c io n e s, (b ) S i * li bras d e A , y lib ras d e B y z lib ras d e C s e e m p le a n

n a ro n e l tra b a jo a la 1 p . m . ¿ C u án to tardará cafe

para p rep arar las 5 lib ras, ¿ c u á le s s o n la s re s tric

e l e n v ío ? V é a s e la s u g e re n c ia para el ejercicio 33 d e la S e c c ió n 3 .2 .

cio n es p ara x , y y z' í

e m p le a d o si tra b a ja ra in d iv id u a lm e n te en preparar

48. U n fo lle to q u e p r o m u e v e e x h ib ic io n e s e n u n a

49. E x p liq u e p o r q u é e l in te rc a m b io d e dos renglón^

g a le ría d e a rte s e e n v ía c a d a m e s a la s p e r s o n a s

d e u n a m a tr iz a u m e n ta d a d e u n sistem a de ecuacio

c u y o s n o m b re s a p a r e c e n e n u n a lis ta d e s u s c r ip -

n e s lin e a le s p r o d u c e u n a m a triz d e un sistema

to re s , y lo s e m p le a d o s A , B y C a y u d a n e n la

e q u iv a le n te , y p o r q u é e l intercam b io de dos co lu m n a s n o .

p re p a ra c ió n d e l e n v ío p o s ta l. C u a n d o lo s tre s tra b a ja n ju n to s , le s lle v a 2 h o ra s y 5 5 m in u to s p re p a ra r la re m e s a . E l m e s p a s a d o e l e m p le a d o

5 0 . E x p liq u e p o r q u é la m u ltip lica c ió n de cada de

C s a lió d e v a c a c io n e s y lo s e m p le a d o s A y B ta r

m e n to d e u n re n g ló n , d e u n a m atriz aumentada de

d a ro n ju n to s 5 h o ra s e n p re p a ra r el e n v ío . P a ra el

u n s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s p o r el mismo nú

e n v ío d e e ste m e s c a d a e m p le a d o in ic ió a u n tie m

m e r o d i f e r e n t e d e c e r o , p ro d u c e una matriz de

p o d ife re n te : e l e m p le a d o A e m p e z ó a la s 9 a. m .;

u n s iste m a e q u iv a le n te , y p o r qué no cuando se efec

el e m p le a d o B s e u n ió a A a la s 1 0 a. m .; y e l e m

tú a la m is m a o p e ra c ió n c o n c a d a elemento de una

p lead o C s e u n ió a A y B a las 1 0 :5 4 a. m . T e r m i

c o lu m n a .

12.2 PROPIEDADES DE LAS MATRICES Y SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR MEDIO DE MATRICES INVERSAS OBJETIVOS

1. 2. 3. 4. 5.

Evaluar un determinante de segundo orden. Evaluar un determinante de tercer orden. Calcular el producto de un escalar y una matriz. Calcular el producto de dos matrices. Definir el idéntico multiplicativo para un conjunto de matrices cuadradas. 6. Aprender que una matriz tiene inversa si y sólo si su determinante es distinto de cero. 7. Calcular a mano la inversa de una matriz cuadrada de orden dos, si existe. 8. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices inversas.

En la S ección 12.1 se m ostró c ó m o se em plean las matrices para resol ver un sistem a de ecu acion es lin eales por m edio del método de reduc ción de G auss. En esta sección se presentará otro método p a ra resolví sistem as lin eales m ediante m atrices cuando el número de ecuación# del sistem a es igual al núm ero de variables. S e inicia la discusión con la d efinición de cierta term inología. . A sociad o con cada matriz cuadrada existe un número denom ina1 d e te rm in a n te de la matriz.

p ro pied ad es de la s m a tric e s y s o lu c ió n d e sistem as u n j a l í s ^ ^ t o ,

DEFINICIÓN

D e te r m in a n te d e se g u n d o o rd en

Si H e s la m atriz cuadrada d e orden d os

en to n ces e l d e te r m in a n te d e H , denotad o por det H o está d e fin id o por fli b\ — Cl\b2 —Cl2b\ a2 b2 y e s de s e g u n d o o r d e n .

► EJEMPLO 1

Evaluación de un determ inante de segundo orden

E valúe el determ inante d e la m atriz '3

—2

.4

m i

Solución -2

3

= 3 ( — 1) — 4 ( —2 ) = 5

DEFINICIÓN

D e te r m in a n te d e tercer orden

S i H e s la m atriz cuadrada de orden tres f a¡ Ia 2 l« 3

b, bi bs

C |] c2 c¿j \a i

b\ ci

entonces e l d eterm in an te de / / , denotado por det H o | a 2 bi c.i la 3 b 3 d \ está d efinido por |fli | (¡2

bi c \\ b 2 Cj | = A l

\a 3

bi

c 31

y e s de te r c e r orden.

b 2 c2 - b\ Ü2 C2 as C3 fa C3

+ cI

a2 b 2 flj bs

Observe que los términos del miembro derecho de la ecuación qi* define un determinante de tercer orden consta de los elementos del prj. mer renglón m ultiplicados por e l determinante de segundo orden que se obtiene al eliminar el renglón y la columna en los que el elemento s» encuentra. Esto es, a\ se m ultiplica por el determinante que resulta ai eliminar el primer renglón y la primera columna, b\ (precedido por un signo m enos) se m ultiplica por el determinante obtenido al eliminar d primer renglón y la segunda colum na, y c\ se multiplica por el deter minante que se obtiene al eliminar el primer renglón y la tercera co lumna.

► EJEMPLO 2

Evaluación d e un determ inante de tener orden

Evalúe el determinante de la matriz " 2

3 - 1 "

-4

1

-2

5

°

-3

Solución -1

1

-2

5

0

-3

i¡y

2

1

= 2 ( —3 = 2 ( —3 ) = -6 7

-á

-2 m 1

3

o

2 -4

¡8" 3

0) -

-2

5

-3

+ (-D

3 (1 2 + 10) + ( - l ) ( 0 - 5 )

3 (2 2 ) -

1 (—5) <

Frecuentemente se dice que el matemático alemán Gottfried Wlj helm L eib niz (1646-1716), uno de los inventores del Cálculo, fue el¡ creador de los determinantes. Sin embargo, de hecho, el matemático japonés Seki K ow a (1642-1708) los em pleó primero. Los determinantes se han introducido d e modo q u e puedan apM carse posteriormente en esta sección p a r a l a solución d e sistemas li| neales. N o se proporciona una definición formal d e u n determ inante«! orden mayor que tres porque el cálculo a mano d e tales determinan®*! es engorroso. N o obstante, se puede calcular el determinante d e unan»! triz en la calculadora en la que se puedan realizar operaciones co matrices. Consulte el manual de su calculadora para este procedimien10. En la Sección 12.1 se definió una matriz de orden m X n co®^ una matriz que tiene m renglones y n columnas. Si una matriz tiene n® camente una columna, se denomina m atriz columna, y si tiene sólo renglón se llama m atriz renglón.

t> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Las matrices siguientes tienen el orden indicado debajo de ellas:

-3

-10

—

[0

2

-5 ]

0

0

00

0

1

-1

Tf

7

5

-2

-2

11

6 - 3

0

4_ 3 X 2

4

2 X 3

1

X

1

M atriz colum na

X

3

3X 3

M atriz renglón

Matriz cuadrada

Se dice que dos matrices son iguales si y sólo si sus órdenes son iguales y los elem entos correspondientes son iguales. Esto es. r

s

J

a

u_

b

_c

cl_

si y sólo si r = a

s = b

t = c

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 '4 _1

-3 3

0' 2

B =

1

3

2

4

-3

0.

"2X2 C =

3 - 2

“3 6 2

entonces A * B y B * C %pero A = C.

0“ 2 1

<

A continuación se define la multiplicación de una matriz por un escalar donde, para nuestro propósito, un escalar denota un número real.

DEFINICIÓN

P roducto de u n escalar y una m atriz

E l p ro du cto de un escalar k y una matriz H , denotado por kH, es la matriz en la que cada elemento se obtiene multiplicando k por el elemento correspondiente de H.

A

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 " 4

-1

6“ i -

-3

0

”- 5

-3 "

8

-2

12'

.“ 6

o

1.

y 2

1

r 15

O

rf 1

=

“ 6

i

0

9' -3 12_

La definición del producto de dos matrices tal vez le parezca ran Sin embargo, existen aplicaciones que garantizan tal definición. Antes de dar la definición formal, se consideran algunos casos especiales y se inicia con el siguiente ejem plo ilustrativo que implica una matriz renglón y una matriz columna.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 Sea

R = [2 3 -5 ] El producto de R y C, denotado por RC, es la matriz que contiene un elemento simple que es la sum a de los productos formados al multipli car cada elemento de R por el elem ento correspondiente de C:

RC = [2

3

-5 ]

» E(2)(l) + (3)(4) + ( —5)(2)] = [2 + 12 = [4 ]

10]

4

Observe que el método de multiplicación de matrices del ejemp'0 ilustrativo 4 nos permite escribir la ecuación lineal

ax + by + cz = d en forma matricial como

[a b

el

P R O P IE D A D E S

d e l a s m a t r ic e s y s o l u c ió n

d e s is t e m a s l in e a l e s

.

735

E JE M P L O IL U S T R A T IV O 5 Considere el producto de las m atrices C y D , donde

Para o b ten e r el e le m en to en el ren g ló n 1, co lu m n a 1 de CD se m ulti p lican lo s elem en to s d e l re n g ló n 1 d e C p o r los elem entos correspon d ien tes d e la c o lu m n a 1 d e D y se su m an lo s productos com o sigue: (3 )(2 ) + (0 )(4 ) + ( - 4 ) ( 1 ) = 2 P a ra el e le m e n to en el re n g ló n 1, c o lu m n a 2 d e C D se m ultiplican los e le m en to s del re n g ló n 1 d e C p o r los elem en to s correspondientes de la c o lu m n a 2 d e D y se su m a n lo s p ro d u cto s: ( 3 ) ( - 3 ) + ( 0 ) ( - l ) + (—4 )(5 ) = - 2 9 P a ra el e le m e n to e n e l re n g ló n 2 , c o lu m n a 1 d e C D , se sum an los pro d u c to s o b te n id o s al m u ltip lic a r lo s e le m e n to s d e l ren g ló n 2 d e C por lo s e le m e n to s c o rre s p o n d ie n te s d e la c o lu m n a 1 d e D: ( - 2 ) ( 2 ) + (2 ) (4 ) + (- 1 X 1 ) = 3 P a ra el e le m e n to e n e l re n g ló n 2 , c o lu m n a 2 d e CD, se su m an los p ro d u c to s o b te n id o s a l m u ltip lic a r lo s e le m e n to s d e l re n g ló n 2 d e C por lo s e le m e n to s c o rre s p o n d ie n te s d e la c o lu m n a 2 d e D : (-2 X -3 ) + ( 2 ) ( - l) + (-1 )(5 ) = -1 P o r ta n to , s e h a o b te n id o el p ro d u c to sig u ie n te: 0

-4

2

-1

2 4 1

-3 ' -1 5

2

-2 9

3

-1

A h o r a s e p r e s e n ta r á la d e fin ic ió n fo rm a l d e l p ro d u c to d e d o s m atri c e s A y B. E s n e c e s a r io q u e e l n ú m e ro d e c o lu m n a s d e la p rim e ra m a tr iz A s e a e l m is m o q u e e l n ú m e r o d e re n g lo n e s d e la se g u n d a m a triz B.

DEFINICIÓN

P ro d u cto de dos m atrices

S u p o n g a q u e A e s u n a m a tr iz d e o rd e n ni X p y q u e B e s u n a m a tr iz d e o r d e n p X n. E n to n c e s el p r o d u c t o d e A y B%d e n o ta d o p o r A B t e s la m a tr iz d e o rd e n m X n p a r a la c u a l e l e le m e n to en e l i- é s im o r e n g l ó n y e n la ; - é s i m a c o lu m n a e s la s u m a d e lo s p r o d u c t o s f o r m a d o s al m u ltip lic a r c a d a e le m e n to d e l i-é s im o r e n g l ó n d e A p o r el e le m e n to c o r r e s p o n d ie n te d e la ;- é s im a c o l u m n a d e B.

736

C A P ÍT U L O

L? T V M O t Á M * * * *

► EJEMPLO 3 1

D e te r m in a c ió n d e l p ro d u c to d e dos motric*.

A plique la definición para determ inar el producto DC para las matn ces del ejem plo ilustrativo 5.

1

Solución

DC =

"2

-3

4 1

-1 5

"(2 )(3 ) + =

(4) (3 ) + . 0 )0 ) 1 ’ 12, -6

m

14 -7

-2

3

0 - 4

-2

2 - 1

2) - 1) ( - 2) (5 ) (- 2)

—3 ) ( -

(2 )( 0 ) + ( —3 )(2 )

( 2 ) ( —4 ) +

(4 )(0 ) + ( —1)(2 )

(4 )(—4 ) +

( 1 )( 0 ) +

(1 ) ( —4 )

(5 )(2 )

+

-5 ' -1 5

10

-9

O tra vez se enfatiza que p ara o btener el producto de dos matrices

A y B, el núm ero de colum nas d e A debe ser igual al número de ren glones de B\ en caso contrario el producto no está definido. Cuando AB está definido, su producto tiene tantos renglones como A y tanta colum nas com o B. Véase los ejem plos ilustrativos 4 y 5, así como d ejem plo 3 y observe lo siguiente: Ejemplo ilustrativo 4: matriz 1 X 3 por matriz 3 X 1 da matriz 1x1 Ejemplo ilustrativo 5: matriz 2 x 3 por matriz 3 x 2 da matriz 2x2 Ejem plo 3: matriz 3 X 2 por matriz 2 X 3 da matriz 3 X3 ¡ O tra observación del ejem plo ilustrativo 5 y del ejemplo 3 es que

CD no es igual a DC\ esto es, la m ultiplicación de matrices no es con mutativa. Sin em bargo, el teorem a siguiente establece que la muldpli' cación de m atrices es asociativa cuando el producto existe.

TEOREMA 1

Si A. B y C son m atrices tales que los productos siguientes exis ten, entonces

A (B Q = (AB)C

L a dem ostración de este teorem a se om ite. No obstante, se le pe dirá que verifique el teorem a en los ejercicios 21 y 22 para matrices particulares.

PROPIEDADES DE LAS MATRICES Y S O L U C IÓ N P E SISTEMAS LINEALES . . .

737

El m éto d o d e m u ltip licació n de m atrices p uede em plearse para es c rib ir un sistem a d e e cu acio n es lin eales en fo rm a m atricial. Por ejem plo, el sistem a

a\X + b\ y + C\z — d\ *ü 2X

+ b jy +

a*x +

c iz = di b i y + C3Z = dz

p uede escrib irse co m o

a¡

b\

C\

X

Ü2 ¿ 2 03 bi

C2

y

c 3_

_z_

~dx~ =

d2

A

A n tes d e u tilizar e sta form a m atricial p ara resolver un sistem a de ecuaciones lineales se necesitan dos conceptos: el idéntico multiplica tivo p ara un co n ju n to de m atrices cuadradas y el inverso multiplicativo (o inversa ) d e u n a m atriz cuadrada. E l núm ero 1 es el id én tico m ultiplicativo para los números reales, tal q u e p ara cu alq u ier n ú m ero real a

a • 1 = a ¿El co n ju n to d e m atrices de un orden dad o tendrá idéntico multiplica tivo? L a respuesta, en general, es no. Sin em bargo, existe un idéntico m ultiplicativo p ara el conjunto de m atrices cuadradas de un orden de term inado.

DEFINICIÓN

Id é n tic o m u ltip lic a tiv o

E l id é n tic o m u ltip lic a tiv o para el conjunto de matrices cuadra das de orden n, denotado p o r /„, es la matriz de orden n, cuyos elem entos de la diagonal principal son unos y todos los demás ele m entos son ceros.

>


Lo s idénticos m ultiplicativos para los conjuntos de matrices cuadradas de órdenes 2 , 3 y 4 , son /2, h e U, respectivamente, donde

1 10 ° 1I IJ ['

Lu

h =

' 1 0 0" 0 1 0 0 0 1

■1

¡4 “

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0' 0 0 1_

C A f m O J2 _ JW § A » D íA !O íM A _ 738

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 Sea H cualquier matriz cuadrada de orden tres:

H =

ai b\ a2 bz a-i b*

C\ Cz C3

E ntonces

ai

¿i

Qz bz a3 b3 a\ b\ ai

bz

Ü3

fa

~1

0

0 “

0

1

0

0

0

1

h H

m

"1

0

0"

0|

¿1

0

1

0

02

b2 C j

0

0

1

- fl3

b

C,

Cj

C3

= H

H

En el ejem plo ilustrativo 7 se ha probado el teorema siguiente para matrices cuadradas de orden tres. U na demostración similar pue de darse para matrices cuadradas de cualquier orden.

TEOREMA 2

Si H es una m atriz cuadrada de orden n y si /„ es el idéntico mul tiplicativo de orden n, entonces

Hl„ = H

e

InH = H

Se sabe que para cada número real a , excepto cero, existe un nu m ero real a~l, denom inado inverso multiplicativo de a , tal que y a -1 . a = ]

a • a-« = 1

A fin de que una matriz cuadrada H de orden n tenga un inverso multi

plicativo H ’, es necesario que Í¡¡p S

y

Enseguida se presentará un teorema que establece que tal matriz llamada inverso m ultiplicativo de //, existe si y sólo si det H * « es, un determinante determina si una matriz tiene un inverso.

m O H lP A P E S P I LA S MATWICIS Y SO LU C IÓ N P E SISTKM AS U N 1 A L 1 S . . .

739

TEOREMA 3 S i H e s u n a m a triz c u a d ra d a d e o rd e n n , e n to n ce s ex iste una m a tr iz H ~x ta l q u e

H H ' = /„

y

H'H = L

si y s ó lo si d e t H * 0.

S e o m ite la d e m o s tra c ió n d e l T e o re m a 3. S i u n a m a triz H tie n e u n in v e rso (e sto es, si d e t H 0 ), se dice q u e H e s invertible, o no singular. S i u n a m a triz H no tiene inverso (e s to e s, d e t H = 0 ), e n to n c e s se d ic e q u e H e s singular. E l T e o re m a 3 s e d e n o m in a te o re m a d e e x iste n c ia p o rque propor c io n a u n a c o n d ic ió n p a ra q u e e x is ta e l in v e rso d e u n a m atriz. O bserve q u e el te o r e m a n o in d ic a c ó m o e n c o n tra r el in v erso . N o obstante, se p u e d e d e te r m in a r e l in v e rs o d e u n a m a triz c u a d ra d a invertible de or d e n d o s a l a p lic a r e l te o r e m a sig u ie n te .

TEOREMA 4 S i H e s la m a triz

a

bl

_c

d\

y si d e t H * 0, ente >nces

d

i det H

-b

—c

a_

S e m ostrará q u e H AH = h- L a prueba de que HH

D e m o s tra c ió n

H 'H

=

1

1

<3-

(

o.

i

e s se m e ja n te .

a

b

a_ ) c d . bd i r b e + d e t H l —a c + ac 0 [d e t H det H 0 det //L \d e t H

—c

a d — be

- t ; = h

?]

=h

740

^ p iT U L O ia

TIMAS P E ÁLGEBRA^

► EJEMPLO 4

Determinación d e l inverso de una matrix cuadrada de orden dos

dem uestre que H es invertible y determ ine H ' .

Solución det H = 2 (-5 ) - 3 (- 4 ) m 2

C om o det H * 0, H es invertible. Del T eorem a 4

1

-(-4 )

'- 5

W-l = _ det H . - 3

m i

2

4

—5

2.

2 -3

En general, el cálculo a m ano de m atrices inversas es tedioso. A fortunadam ente, una calculadora que pueda manejar matrices deter m inará el inverso de una m atriz invertible de manera rápida. Consulte el manual del usuario para el p ro ced im ien to . Recuerde, primero veri fique que la m atriz es en realidad invertible mostrando que su detenu* nante es diferente de cero.

► EJEMPLO 5

Determinación de que una matriz cuadrada de orden tres es Invertible

Si

H F

"1

2

1

1

3

0

4

0

2

muestre que H es invertible.

Solución Del Teorem a 3, H es invertible si y sólo si det H * ^ ^ la definición de un determ inante de tercer orden

12.2

PPQPIEDADES PE LAS MATRICES Y SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES. . .

det H = 1

3

0

0

2

=

1(6

*

-1 0

- 2

1

0

4

2

+ 1

1

3

4

0

741

0 ) - 2(2 - 0 ) + 1(0 - 12)

-

C o m o d e t H * 0, entonces H es invertible.

► EJEMPLO 6

M ultiplicación de una m atriz p o r su inversa

En un a calcu lad o ra determ ine H ~\ la inversa de H del ejemplo 5, y m uestre q u e HH - h.

Solución

El cálcu lo de H~l en una calculadora da 3

2

5

5

10

1

1

_ 1

5

5

10

6

4

5

5

3

;

1 10

A sí, 2

10

5 1

l_

5

10

4

J_

HH

10

"5

2

-

5

+

5

5

2 3 5 5

i

o

+

°

A

0

0 1 0 0

,2

5 + 5

12

~ T

2

6

12

T

5

n

! + o *! 5

5

3

2_

10

10

3

3

10

10

12 +

10

t

o - 4

10

o o

1

A hora se tienen los medios para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices inversas.

\

min ilo 12 t s m a l d s á l o í b r a >


Para resolver el sistem a

Í2 x - 4 y = 1 13jc - 5 y = 2 prim ero se escribe el sistem a en form a matricial como 2

-4

3

-5 J L y J

jc

L2.

L a prim era m atriz de la izquierda se denomina matriz de coefiri para el sistem a; al d enotar esta m atriz p or H se tiene

Entonces, la form a m atricial del sistem a es

Y .2.

X

.y.

Debido a que H es la m atriz del ejem plo 4, se sabe que HA existe. Ei consecuencia, se pueden m ultiplicar ambos miembros de esta ecot ción, p o r la izquierda, p o r H~l y obtener X

.y.

= H~l

T

_2_

Al em plear el resultado del ejem plo 4 para H~\ se tiene

x

LyJ

3 2

12.2

PRO PIED A D ES P E LAS MATRICES Y S O L IIO Ó N D I SISTEMAS U N IA L E S . . .

► EJEMPLO 7

743

Solución do un sistema do ecuaciones lineales m ediante la inversa de una m atriz

U tilic e la in v e rsa d e u n a m atriz p ara resolver el sistem a jc +

2y +

z=

x + 3y =

2 1

4 x + 2z = “ 4 Solución

H =

Si

"i

2

I*

1

3

0

_4

0

2.

en to n c e s e l sistem a en

2" 1

X H y z

' = 3

—4

C o m o H es la m atriz del ejem plo 5 , se sabe que H~l existe. En conse cu en cia, se pued en m u ltip licar am bos m iem bros de esta ecuación, por la izquierda, p o r H~ p a ra obtener

X

2“

= H~l 1 y —4_ _z_ Si se u tiliza el resultado del ejem plo 3

2

3

*5

5

10

1

1

1

5

5

10

4

1

6 5

5

P o r tan to , x = - 2 , _y = 1 y z = 2.

10

6 para H~ \ se tiene - H h

H

12 _ 4

2

5

5

«

CAPÍTULO 12 J g M A S P » ÁLOIBRA

744

EJERCICIOS E n lo s e je r c ic io ss 1 a 4, e v a lú e e l d e t e r m i n a n te

1.

-1

(a)

5

2 . (a )

1

3.

2

4

3

7

6 4

1 2 1 2

4.

3

2

2

0

2

7 4

10.

(a )

-1

5. D ad as las m atrices

A =

'3

-2

7

0'

.4

5

-1

8.

"-6 " 5 =

2 5_

d eterm in e lo s ig u ie n te : (a ) e l o rd en d e A \ ( b ) e l orden d e B \ (c ) e l e lem en to en e l prim er ren glón y la segu nd a colu m n a d e A \ (d ) el producto d e 3 y A \ (e ) e l producto d e - 2 y B .

6.

D adas las m atrices 5

-1

1

1 2 . (a ) [2

2

0

(b) I2 I12

1]

-6

4

-1

B = [2

-1

5

-

6]

13.

d eterm in e lo sig u ien te: ( a ) e l ord en d e >4; (b ) el orden d e B \ (c) el elem en to en el tercer renglón y la segunda colum n a d e A \ (d ) el producto de 2 y A \ (e) el producto d e - 3 y B. En lo s e jercicio s 7 a 16, d e te rm in e e l p ro d u cto .

[

1 2 7 . (a ) 4

3

5

6

1

(b ) - 5

[3

: 3

i5. r 1 L2

8.

3 (a ) - 2

5

(b ) 3

6

4 - 2 1

[: - i i ]

-1

0 -8

~4 0

°

3

” 2i

—2 J

11.1

745

PROPIEDADES DE LAS MATRICES Y S O L U C IÓ N DE SISTEM AS U N IA L E S

j j a 22, verifique el enunciado donde

En los ejercicios 33 a 36, resuelva el sistema de ecua ciones mediante una matriz inversa. Determine la in versa de la matriz de coeficientes en la calculadora.

•n -3 ijlaeliáénlico multiplicativo de orden 2.

3* + 2y = - 1 U j|sAeM = A

18. fl/ = f l e / B = B

kj||*fiA

20. BC * CB

(HMBQ= (A0)C

22. C(BA) = (CB)A

35.

Ax + 2 y + 3z = 4 5x - y + 4z = 12 x - 3 y + 2z » 0

36.

2x + y + 3z = 5 x + y + z = 0 4 * + y - 2z = - 1 5

frtaíjeroaos 23y 24, la matriz dada es H. Demueslltpifei invertible, encuentre H~l y muestre que *k

2

1“

-

ploi ejercicioj 25 a 28, determine si la matriz es inláie. 3 3 1

1

» 1 4

[2 3

26.

0

1

-3

4

0

1

4 -1

-2 0 .3

28.

1

-2

1

-2

2

2

1

1

3

En los ejercicios 37 y 38, encuentre H~] para la matriz H dada sin emplear la calculadora o el Teorema 4. a b c d y del hecho de que HH ¡2, obtenga cuatro ecuaciones en a, b, c y d) 3

-

1' -1

0

*13190000129 a 32, resuelva el sistema de ecuacioJ^«edio de una matriz inversa. Para los ejercív primero verifique en la calculadora que

1 2 -1 -l á -5 3

3x + 2 y * 3 Iójc — 6y = 1

1

24.

v12 \1J

34.

4 jc + 3 y = 0

-4

37- [ - 2

38.

3

En los ejercicios 39 a 48, verifique la igualdad si M = '3

1'

7

3

N =

y

-i

r

-3

4

39. det(AOV) = (det Af)(det N) 40. det (/VA/) = (det W)(det M)

f

-5 2.

facicios 31 y 32, primero verifique en la

0 21 *1 1

41. ( MN ) “ ' =

42.

= AT'AT

43. (M -1) “ 1 = M

44.

(AT1) - ' = N

45. (A T 1)2 = (A/2) " '

46.

(N~1)2 = (N*)-'

47. det(A T ')

1

det M

48. det(AT')

1

det N

3 0

49. Explique en palabras (sin símbolos) el significado de las igualdades de los ejercicios 41 y 43.

2*. 'h i

3o. í

2x ~ y ~ + 3y =

1-5*

1 -5

50. Explique en palabras (sin símbolos) el significado de las igualdades de los ejercicios 45 y 47.

746

1 2 .3

C A P ÍT U L O 12

T IM A S P E ÁLGEBRA

FRACCIONES PARCIALES OBJETIVOS

1. D e s c o m p o n e r u n a f r a c c ió n e n f r a c c io n e s p a r c ia le s cuando to d o s lo s f a c to r e s d e l d e n o m i n a d o r s o n lin e a le s y ninguno se re p ite . 2 . D e s c o m p o n e r u n a f r a c c ió n e n f r a c c io n e s p a r c ia le s cuando to d o s lo s f a c to r e s d e l d e n o m i n a d o r s o n lin e a le s y algunos se r e p ite n . 3. D e s c o m p o n e r u n a f r a c c ió n e n f r a c c io n e s p a rc ia le s cuando los fa c to re s d e l d e n o m i n a d o r s o n lin e a le s y c u a d rá tic o s y ninguno se re p ite . 4 . D e s c o m p o n e r u n a f r a c c ió n e n f r a c c io n e s p a r d a l e s cuando lot fa c to re s d e l d e n o m i n a d o r s o n li n e a le s y c u a d r á tic o s y algunos d e lo s f a c to r e s c u a d r á t ic o s s e r e p i te n .

U sted y a sa b e c ó m o c o m b in a r d o s o m á s ex p re sio n e s racionales u n a e x p resió n ra c io n a l m e d ia n te a d ic ió n o su strac c ió n . Por ejemplo,

x + 2

n

Ix

+

x —3

(* + 2 )(* — 3)

E n o casio n es es n e c e sa rio in v e rtir e l p ro c e s o , e sto es, representar m e x p resió n ra c io n a l sim p le c o m o u n a s u m a d e d o s o m ás cocientes ms sim ples, d e n o m in a d a s f r a c c io n e s p a r c i a le s . E n C álculo se necesiti h acer esto p a ra e fe c tu a r la o p e ra c ió n d e in te g ra c ió n d e algunas fundo nes racionales. C o n fre c u e n c ia se e m p le a n siste m a s de ecuaciones d esco m p o n er u n a e x p re s ió n ra c io n a l e n fra c c io n e s parciales. C o n sid e re la fu n c ió n ra c io n a l d e fin id a p o r

H (x)

P (x) Q (x)

do n d e P(x) y Q{x) so n p o lin o m io s. S e a s u m irá q u e se tiene una frac c ió n p r o p ia , esto e s, u n a fra c c ió n e n la q u e e l g ra d o de P(x) es menor qu e el g rad o d e Q(x). S i se tie n e u n a fu n c ió n rac io n a l en la que el gra d o del n u m e rad o r n o e s m e n o r q u e e l g ra d o d e l denom inador, entonce se tien e un a f r a c c ió n im p r o p i a , y e n e ste c a so se divide el numerad* en tre el d e n o m in ad o r h a sta q u e se o b te n g a u n a fracción propia. P® ejem plo, 1 0 s2 + 3x + 1 ir

2—

A

6 +

3 x - 23 Y-2 ---

A

En g eneral, se tratará u n m é to d o p a ra d e sc o m p o n e r una fracción pro p ia de la fo rm a P(x)/Q (x) en d o s o m á s fra c cio n e s parciales. Los & nom inadores de las fra c c io n e s p a rc ia le s se o b tien e n ai factorizar en un p ro d u cto d e facto res lin e ale s y cu a d rá tic o s. E n ocasiones p0^ ser difícil en c o n tra r e sto s facto res. S in e m b a rg o , recuerde el Teore

12.3 FRACCION« PARCIALES

747

5 d e la S e c c i ó n 5 .4 , e l c u a l e s t a b le c e q u e u n p o lin o m io c o n c o e f i c ie n t e s r e a le s p u e d e e x p r e s a r s e c o m o u n p r o d u c to d e p o lin o m io s lin e a le s o c u a d r á tic o s c o n c o e f i c i e n t e s r e a le s . D e s p u é s d e q u e Q(x) h a s id o fa c to r iz a d o e n u n p r o d u c to d e fa c to r e s l i n e a le s o c u a d r á t ic o s , e l m é t o d o p ara d e te r m in a r la s fr a c c io n e s p a r c ia le s d e p e n d e d e la n a tu r a le z a d e e s t o s fa c to r e s . S e co n sid e r a r á n d if e r e n t e s c a s o s d e fo r m a s e p a r a d a . C aso 1: E sto e s ,

T o d o s l o s fa c t o r e s d e

Q(x )

s o n lin e a le s y n in g u n o s e r e p ite .

Q (x) = (a ix + b \)(a 2x + & ) - . . . • (a„x + b„) d o n d e n in g ú n p a r d e fa c t o r e s e s id é n t ic o . E n e s t e c a s o s e e s c r ib e P (x ) _

Q (x)

Ai

A2

{

d\X + b\

|

An

t

a2x + b2

a„x + bn

d o n d e A i , A 2, . . . , A „ s o n c o n s t a n t e s a d e term in a r. O b s e r v e q u e e s ta e c u a c ió n e s u n a id e n t id a d p o r q u e e s v e r d a d e r a p a ra c a d a v a lo r d e x, tal q u e n in g ú n d e n o m in a d o r e s c e r o . E l s ig u ie n t e e j e m p lo ilu stra tiv o m u e s tr a u n m é t o d o p a ra d e te r m in a r lo s v a lo r e s d e A¡.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 P a r a d e s c o m p o n e r la f r a c c ió n

7x -

1

x2 — x — 6 e n f r a c c io n e s p a r c ia le s , s e f a c to r iz a e l d e n o m in a d o r y s e o b tie n e

Ix ~ 1

Ix ~ 1

=

x2 —x — 6

(x + 2 )(x — 3)

P o r ta n to , s e tie n e _____7 x ~

1_____ =

( x + 2 )(x — 3)

A

+

B

x + 2

a )

x —3

L a e c u a c ió n ( 1 ) e s u n a id e n tid a d p ara to d o x e x c e p to - 2 y 3 . A l m u lti p lic a r a m b o s m ie m b r o s d e la e c u a c ió n p o r e l M C D n , s e o b tie n e lx

-

1 = Á (x -

3) +

B (x + 2)

E s ta e c u a c ió n e s u n a id e n tid a d . E s verd ad era para to d o v a lo r d e in c lu y e n d o a —2 y 3 . E n s e g u id a s e d eterm in a n la s c o n sta n te s A y B . S i se s u s tit u y e 3 p o r x e n la e c u a c ió n an terior, s e tie n e

2 0 = 5 B <=> B = 4 A l s u s t itu i r - 2 p o r * e n la m i s m a e c u a c ió n , s e o b tie n e

748

rAoáTULO 1 2

TIM AS P i ÁLGEBRA

Con estos valores de A y B, se tiene de (1)

Ix - 1 (x + 2)(x krr 3 )

• •

3

x + 2

4 +

x - 3

O bserve qu e esta ecuación es equivalente a la ecuación con que se inj. ció esta sección.

►

EJEMPLO 1

Descomposición de una fracción en fracciona parciales cuando los factores del denom inador son lineales y ninguno se rtpfo

D escom ponga la fracción *

*3 -

1

-

*2 -

2x

en fracciones parciales.

Solución

Al factorizar el denom inador se tiene

x — 1

_

x 3 — x 2 — 2x

7

x — 1

x (x ~ 2)(x +

1)

D e m odo que

x - \ x (x - 2 )(x +

1)

A x

B C x - 2 + x +

J

1

L a ecuación (2) es una identidad para todo x excepto 0, 2 y -1. Sise m ultiplican los dos m iem bros d e la ecuación por el MCDn se obtiene

x - 1 = A (x - 2 )(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx{x - 2) E sta ecuación es una identidad para todos los valores de x incluyendo 0, 2 y -1 . A fin de encontrar las constantes, primero se sustituye 0 per x, obteniéndose - 1 = -2 A o

A = \

Al reem plazar 2 p o r x, se consigue 1 = 6 B <=> B = ¿ Si se sustituye -1 por x, se obtiene - 2 = 3 C <=> C = — | C on estos valores d e A, B y C se tiene de (2)

**

x - \ 1 ¿ - j x (x — 2 )(x + 1 ) jc + j c - 2 + x + 1 x - 1 1 1___________ 2__________ 4 x(x - 2)(x + 1) 5 2x + 6 (x - 2) 3(JC + D

12.3 FRACCION1S PARC1AIIS

749

Caso 2: Todos los factores de Q(x) son lineales y algunos se repi ten. Suponga que (ax + b)p aparece como un factor de Q(x). Entonces se dice que ax + b es un factor ^-múltiple de Q(x), y a este factor le co rresponderá la suma de p fracciones parciales

a2

j

ax + b

(ax

+

t

,

(ax

b) 2

Ap—¡ -I- bY~x

Ap (ax

+

Vf

donde A i, A i,. . . ,A Pson constantes a determinar. El ejemplo 2 ilustra este caso y el método para determinar cada A¡.

► EJEMPLO 2

D escom posición d o u n a fracción on fracciones p a r tía lo s cu a n d o todos las factoros dol d e n o m in a d o r son linéalos y algunos se repiten

Descomponga la fracción * 4 + x 2 + 16* -

12

x 3(x - 2)2 en fracciones parciales.

Solución Se escribe la fracción dada como una suma de tracciones parciales como sigue: x A + x 2 + 16* - 1 2

x3(x

-

A

B

C

D

E

2)2~ x + 7 2+ x3+ x - 2 + ( x - 2 ) 2

®

Al multiplicar ambos miembros de (3) por el MCDn se tiene

\ x - 2 f + Bx(x - 2Y + C(x - 2 f + D x \x - 2) + Ex 3

(4)

Si se sustituye 0 por x en esta ecuación, se obtiene - 1 2 = 4 C<=* C = - 3 Al reemplazar 2 por x en (4) se consigue 40 = SE <=> E = 5 Con estos valores de C y E en (4) y al desarrollar las potencias de los binomios, se tiene

2C*2 -

4 x + 4 ) + B x ( x 2 - 4 x + 4 ) - 3 ( x 2 - 4 x + 4 ) + D x \ x - 2) + 5

+ D )x 4 + (-4 4 + B -

2 D + 5)jc

3+

*3

(4 ¿ - 4 B - 3 ) x 2 + (4 B + \ 2 ) x - 12

C o m o e s t a e c u a c ió n e s u n a id en tid a d , lo s c o e fic ie n te s d e la izquierda d e b e n s e r ig u a le s a lo s c o e f ic ie n t e s co r resp o n d ie n te s d e la derecha. P o r ta n to , s e tie n e e l s ig u ie n t e s is te m a d e e c u a c io n e s:

rtM A S D I ÁLGEBRA

A + D = —4A + f l - 2 D + 5 =

1 0

4A - 4 f l - 3 = 1 4 £ -I- 12 =

16

De la cuarta ecuación, B - 1. Al sustituir B por 1 en la tercera ecuaciói y despejar A , se tiene A = 2. C on A = 2 en la primera ecuación, seob> tiene D = -1 . Se em plea la segunda ecuación para verificar los valora encontrados: - 4 A + B - 2D + 5 « - 4 ( 2 ) + 1 - 2 ( - l ) + 5 = 0 De modo que ios valores de las constantes son los siguientes:

B = 1

A = 2

C = —3

D = -1

£ = 5

Con estos valores se tiene d e (3) jc4 +

* 2 + 16* - 12 _ 2 x

jc3(jc - 2 )2

1 x2

3 x 3x - 2

1

5 ( x - 2f

Caso 3: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos yninguno de los factores cuadráticos se repite. Al factor cuadrático a x 2 + bx + c del denominador le conoponde la fracción parcial de la form a

Ax + B a x 2 + bx + c

►

EJEMPLO 3

D e s c o m p o s ic ió n d o u n a fracción on fracción* p a r t í a l o s c u a n d o lo s fa cto ro s dol d e n o m in a d o r s o n lln o a lo s y cuadráticos y n in g u n o s o ropH o

Descomponga la fracción

x2 —* — 5 JC3 + x 1 - 2 en fracciones parciales.

Solución Se pretende factorizar el denom inador utilizándose div** sión sintética para dividir x J + x 2 - 2 entre expresiones lineales de 1* forma x - r, donde r es un factor entero de -2 . La división entre x es como sigue: Jj

1 1 2

1 1

0 2 2

-2 2 0

1 2 .3

FRACCIONES PARCIALES

751

Por tanto x 3 + x 2 - 2 = (x - 1)(jc2 + 2x + 2). La fracción dada se escribe com o una sum a de fracciones parciales de la m anera siguiente:

x2- x - 5 (x -

_

1 )U 2 + 2 x + 2)

Ax + B

C

X2 + 2x + 2 + 7 ^ 1

(5)

Al m ultiplicar los dos m iem bros por el M CDn, se obtiene

x 2 - x - 5 = (A x + B )(x - 1) + C (x2 + 2x + 2 )

(6)

Se calcula C sustituyendo 1 p o r x en (6), de m odo que - 5 = 5C<=» C = - 1 Si se reem plaza C p o r -1 en (6) y se m ultiplican los factores del m iem bro derecho se obtiene

x 2 — x — 5 = (A — l ) x 2 + (B — A — 2)x + ( - B — 2) A l igualar los coeficientes de potencias sem ejantes de x se obtiene el sistem a

A B - A -B

-1 = 1 - 2 = -1 - 2 = -5

Por tanto,

A —2

B = 3

A l sustituir los valores de A, B y C en (5) se obtiene

x2 - x - 5 (x — 1 )(* 2 + 2x + 2 )

2 x + 3__________ 1 _ x 2 + 2x + 2 jc — 1

*

C oso 4:L os factores de Q(x) son lineales y cuadráticos, y algunos de los factores cuadráticos se repiten. Si a x 2 + bx + c es un factor cuadrático p-m últiple de Q(x), en tonces en correspondencia con este factor (ax 2 + bx + c)p, se tiene la sum a siguiente de las p fracciones parciales:

A \x + B\ a x 2 + bx + c

A 2X + B 2 (a x 2+ b x

+

+ c)2

ApX + Bp ' (ax 2+ bx + c f

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Si el d en o m in ad o r co n tien e el factor (x 2 - Sx + 2 ) 3, se tiene, en correspondencia con este factor, la sum a de las fracciones parciales

Ax + B Cx + D X 1 - 5x + 2 + (x 1 - Sx + 2V

Ex + F (x 1 - 5 x + 2 )J

*«

►

EJEMPLO 4

D e sc o m p o sic ió n d e uno f r a t d Z T p a rc ia lo s c u a n d o los factor», í , #n d e n o m in a d o r so n lineales y * ¿ 2 , y a lg ú n fa c to r cu adrático se r¡£ i£ °*

i «EU

Descomponga la fracción

3x4 ~ 12jc3 + 4 * 2 + l i s + 4 j:(jc2 — 3x — 2 )2

l f 4 í

en fracciones parciales.

Solución La fracción dada se escribe como una suma de fari parciales cóm o sigue: 3x4 - \2 x 3 + 4 x 2 + 1 Ijc + 4 _ Ax + B x (x 2 - 3 x - 2 )2~ x 2 - 3 x - 2

Cx + D e (x 2 - 3x - 2)1 + 1

d J

, + tí *7 ^ G x+

Al m ultiplicar ambos m iem bros por el MCDn se tiene -

12x

3+

3i 4x2 +

lije + 4 = x ( A x + B ) ( x 2 -

3x -

2 ) + x ( C x + D ) + E ( x 2 - 3jc - 2)J

(|

I-7 7 -

r +i

Si se sustituye 0 por x en esta ecuación, se obtiene = 4E

4

E = 1

Con E = 1 en (8) y al m ultiplicar los polinomios, se consigue 12x

3+

A x4

i.

A x1 + Ib : + 4

- 3A x 3

(A + l ) x

4+

-

2A x2

i - i 4x' t í

+

(- 3 i4 + B -

B x3

-

3B x2

6)jc 3 +

-

(-2 A -

2Bx 3B

+

C x2

+

+ C +

Dx

+ jc4 +

9x2

+

4

£

í

!

6x3+ <

- 6x3 - 4i2 +12i» | ^ 2'

2

5 ) x + ( - 2 0 + D + 12)* + 4

Al igualar los coeficientes de potencias semejantes de * se obtiened sistema A + 1= 3 - 3 A + B -

6 = “ 12

2A — 3 £ + C + 5 = 4

k t+ s

- 2 f l + D + 12 = 11 Se resuelve este sistem a para obtener A = 2

B = 0

C = 3

D = ~1

£= 1

Si se sustituyen estos valores en la (7) se obtiene ÜL

x( x 2 - 3x - 2 )2 *V O b s e r v e q u e e n c a d a u n o d e l o s e j e m p l o s , e l núnie | ° cCj¿noflP t e s a d e t e r m i n a r e s ig u a l a l g r a d o d e l d e n o m in a d o r n a l q u e s e d e s c o m p o n e e n f r a c c i o n e s p a r c ia le s . ocu rre.

e

>1

ju d io s e

.U I

3jc + 15 (2jcz - J - 1)2 ! 9.V3 - 8jt2 - 4.r + 48 (.r2 - 4)2

2

x 3 + 6x - 4

I+jJ ‘

J>-í

.IT 5

ie tiene

r - 4.v + 3

fl[i: - 3i - !j!

r +i - 2

sne

i Ir - Jr -

23.

3x

25.

+12

3 i- 7

,sf seconHg®

( i - 2? 3x2 - x + 4 Jt3 + jr2 + x 3x2 + 2a — 4 * 1 OO

¿® i 3i - )! j

27.

2x2 # 7 * + I JT3 ~ Jt2 + .V - 1

28.

3*2 - .9 * + 8 x 3 + x 2 + 3x + 3

] l x 2 + 11* + 8 29‘ 2x3 + 8*2 + 3jc + 12 3x2 + 2x + 3

1+ 1» *

■ f

s 4¡,si

¡1 a 14, exprese la fracción impropia sunafe un polinomio y fracciones parciales. V +4

35, descomponga la fracción

22.

x2 + 2 (x - 3)s

24.

3jt + 8 jr3 + 4x

16.

x 2 - 6.v + 2 ,r3 + 1

754

CAPÍTULO 12

12.4

TIM A S D i ÁLGKBRA

SUCESIONES, SERIES Y N O T A C IÓ N SIG M A OBJETIVOS

1. D e fin ir u n a fu n c ió n d e su c e sió n fin ita . 2. D e fin ir u n a fu n c ió n d e su c e sió n in fin ita . 3. E s c rib ir lo s e le m e n to s d e u n a su cesió n c u a n d o se conoce el ele m e n to g e n e ra l. 4. A p r e n d e r la n o ta c ió n sig m a . 5. E s c rib ir u n a s u m a co n n o ta c ió n sig m a. 6. E s c rib ir u n a se rie co n n o ta c ió n sig m a.

E n m atem áticas se presen tan con frecuencia las sucesiones de núme ros. P or ejem plo, los núm eros 2 , 4 , 6 , 8, 10 form an una sucesión. S e d ice que e sta sucesión es finita porque existe un núm ero final. Si un co n ju n to d e núm eros que forma una sucesión j no tiene n ú m ero final, se d ic e que la sucesión es infinita. Por ejemplo { i

i

i

2» 5»

i 4

i

»

5» • • •

es u n a sucesión infin ita po rq u e los tres puntos indican que no existe un núm ero final. A ntes d e d efin ir una sucesión, se define una función de sucesión co m o u n a función cu y o d o m in io es un subconjunto de los enteros po sitivos. U n a fu n c ió n d e su c e sió n f in ita es aquella cuyo dominio es el conjunto {1, 2, 3 , . . . , n) d e lo s prim eros n enteros positivos. Un fu n c ió n d e su c e sió n in f in ita e s una función cuyo dominio es el cooju n to d e todos los enteros positivos. L os números del contradominio de una función d e sucesión se llam an e le m e n to s. U na sucesión consiste d e los elem entos de un a función d e sucesión listados en orden.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 /(*)

S e a / l a función d efin id a p o r ( 5 . 10)

m

*f(n]) = 2n • (4' 8)

/( 1 ) = 2

/(2 ) = 4

.

12

« ( . )

I

2

/ Jy

Por tanto, los elem entos d e la sucesión definida por / son 2, 4, o. 10, y la sucesión es

• (2, 4 )

4 -•

E n to n c e s /e s una función d e sucesión finita, y

.(3 .6 )

6' •

2

n € {1, 2 , 3 , 4 , 5}

2 , 4 , 6 , 8 ,1 0

3

4

F I G U R A 1 2 .4

5

L o s pares o rd en a d o s d e / son (1, 2 ), (2. 4 ), (3, 6), (4, 8) y L a gráfica d e / , m ostrada en la Figura 12.4, consta de los cinco p

cuyas coordenadas son los pares ordenados d e/.

j ^ ^

/

12 .4

SUCESIONES. SERIES Y NOTACIÓN SIOMA

7S 5

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Sea h la función d efinida por

h(n) =

f!

2 *

n e {1, 2, 3 ,. . .}

L a función h e s una función de sucesión infinita. L os elem entos de h son /»(O = {

M 2) = J

M 3) = i

* (4 ) = h

y a sí su cesivam ente. P o r tanto, la sucesión d efinida por h es i

l

i

s

4» 9* 16» * * *

A lgu n o s d e los p ares o rdenados d e h son (1, 1), (2, ^), (3, ^), (4, —) y

(5

16 4

S e d e n o ta el p rim er elem en to de un a sucesión p o r a¡, el segundo ele m e n to p o r ai, el te rc e r e le m e n to p o r ¿73 y a s í su cesiv am e n te. El /t-ésim o ele m e n to e s a Ht y se d en o m in a e le m e n to g e n e ra l de la suce sión. P ara la su cesió n del ejem p lo ilustrativo 1, a„ = / ( « ) ; esto es, a„ = 2/i. P o r tan to , a¡ = 2 , 02 = 4 , 03 = 6, a* = 8 y as = 10. P ara la sucesión del ejem p lo ilu strativ o 2, a„ = /i(n); esto es,

2

a„ =

1

/i -------- — n

5

D e d o n d e, a\ = | , 02 =

¿b = | y a s í sucesivam ente. C on frecuencia el

elem en to g en eral de u n a sucesión se indica cuando se listan los ele m ento s en orden. D e m o d o q u e los elem entos de la sucesión del ejem p lo ilu strativ o 2, se e scrib iría 1 3

5

7

2/1 - 1

n2 S e d ic e q u e u n a sucesión á u a 2, <2 3 , . . . , a „ , . . . es igual a u n a sucesión b u j p ¿ j * . . . , 6
> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 L a sucesión en la q u e a„ = de los entero s positivos:

1 I

i

I

tien e co m o sus elem entos a lo s r recipe

I

2 ’ 3 ’ 4 ............ n L a sucesión en la qu e

1

si n es im p a r 2

si n es p ar

n +2 /(« )

tien e co m o elem en to s I”

(1.

a2 — 2

ü\ — \

«

a-i — \

«4

=

3

06

y asi su cesivam ente. L a su cesió n es

( s i l

i i i i i i * * 2 » 1 » 3 » *> 4» * • •

—I--------- 1---1------ h * 1 i

2 i.

3

4

5

(2)

L os elem en to s de las su cesio n es

FIGURA 12.5

l i l i ’

I

1

2’

—

1

—

’ 2 ’ ’ 3’

1

—

4*

son los m ism os, sin em b arg o , las su cesio n es n o son iguales. Las gráfi cas de las fu n cio n es de su cesió n p a ra las sucesiones (1) y (2) se mues tran en las figuras 12.5 y 12.6, respectivam ente. <

fin)

1- ■ d •. l )

( 3 .1 )

( 5 .1 )

1

fe i ) (-•j)

(« •!)

D ebe ad v ertirse q u e el h ech o d e co n o cer varios elementos de una sucesión no d eterm in a un e le m e n to g eneral único, según se muestra en el siguiente ejem p lo ilustrativo.

— i— i— i— h 3

4

5

6

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4

FIGURA 12.6 (a ) L a sucesión en la q u e a„ = 2 n es 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 ..........2 / i , . . . (b)

L a sucesión p ara la cual

Oí

2n

si n es im par

2 a n-i

si n e s p a r

es

2 . 4 , 6, 12 , 10 , 20 .......... a .......... (c) L a sucesión en la q u e a„ = 2n + (n - 1)(« - 2 )(n 2 .4 ,

6,

3 ) es

14, 34, 7 2 , . . . , 2n + ( n - l ) ( n- 2 )(n - 3). • ••

1 2 .4

S U C E S IO N ES , SERIES Y N O TA CIÓ N SIO M A

757

O bserve q u e las tres su cesio n es del ejem plo ilustrativo 4 tienen 2, 4 y 6 co m o su s p rim ero s tres elem en to s, pero cad a sucesión, y su ele m ento general, es diferente. A fin de determ inar una sucesión única, se debe tener un m éto d o p ara o b ten er cu alq u ier elem ento. U na manera es encontrar u n a ecu ació n q u e d e fin a al elem ento general, pero esto no siem pre es posible. P o r ejem p lo , la sucesión de núm eros prim os puede escribirse co m o 2 , 3,5,7,11,13,17,19,...

...

donde an es el n -é sim o n ú m ero prim o. N o se puede escribir una ecua ción qu e d efin a a„. S in em b arg o , an p u ed e d eterm inarse (teóricamente) p ara cad a en tero p o sitiv o n.

► EJEMPLO 1

Escribir elementos de un a sucesión cuando se conoce e l elem ento ge ne ral

E scríba los p rim ero s cin co elem en to s d e la sucesión para cada uno de los siguientes elem en to s generales.

(a) a" = ¿ T I )

(b)

!)" F T

(O

= (-ir

'x ~ '

Solución

4 2 •3

5 *3 ~ 3 - 4

2 3

6 * % .5

5 12

3 10

7 a* ” 5 ■6 7 ” 30

D e don d e los prim eros cin co elem entos son

3 2 _5_ _3_ 2 . 2*3’

1 2 * 1 0 ’ 30

(b )fl, = ( - 1 ) ' I *4 =

^=(-1)2^

fl3= ( - l ) 3p

a , = ( - l)} j¡

( - l ) 4 p

Por tanto, los prim eros cinco elem entos son

- l #I f - I f ± f - ± 3

9 27

81

a , = ( — 1)°jc3; a 2 = ( - 1 ) ' x 5; a 3 = ( - 1 ) V ; « 4 = M

(c ) fl

5-

( - l ) V

.

) 3* 9;

D e m odo q u e los p rim ero s c in co elem en tos son x 3, - x 3, * 7. - * 9, * 11

► EJEMPLO 2

1

Escribir •¡•montos de una sucoslón cuando * conoc« • / •lomento general

E scríba los p rim ero s d o ce ele m e n to s d e la sucesión para la cual

n n

o ,,

5 (n Solución ««=

si n

e s im p ar

si n es p a r y n o e s divisible entre 4 +

a„- 2)

s> n

es p a r y divisible entre 4

ai = 1; 02 = 2 ; <23 = 3; «4 = 5 (4 + 2); as = 5; a6= 6; a7=7;

5 ( 8 + 6); 09 =

9; ai» =

1 0; o u

= 11; 012 =

5 (12 + 1 0 ). Por tanto, k»

prim eros d o ce e lem en to s so n 1 ,2 , 3 , 3 , 5 , 6 , 7 , 7 , 9 , 1 0 ,1 1 , 11

<

Se introduce la n o ta c ió n s ig m a p a ra facilitar la escritura de li sum a de los elem en to s de u n a su cesió n . E sta notación implica el uso del sím bolo X , la letra sig m a m ay ú sc u la d el alfabeto griego, la cual corresponde a la letra S. E l sím b o lo i, denom inado índice de súmaloría , tam bién está im p licad o . A n te s d e estab lecer la definición forma! de la notación sigm a, se p resen tan alg u n o s ejem plos de ella en el si guiente ejem plo ilustrativo.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 5 (a ) 2

i2 = l 2 + 22 + 32 + 42 + 52

/~ i

O bserve qu e i = 1 aparece b ajo el sím bolo sigma .1Esto indica que el p rim er térm ino d el m iem b ro d erech o es el valor de í 2cuan do i = 1. L os sig u ien tes c u atro térm inos son los valores de 1 cuando i es igual a 2, 3 , 4 y 5 . S e term ina en 5 porque el número 5 está sobre el sím b o lo sigm a. 3

2

(4 i + 1) = [ 4 ( —2 ) + 1] + [ 4 ( — 1) + 1] + [4 (0 ) + 1] + [4 (1 ) + 1] + [4 (2 ) + 1] + [4(3) + 11 = ( “ 7) + ( - 3 ) + 1 + 5

+ 9+13

N ote qu e i = - 2 aparece deb ajo del sím bolo sigma y el 3 enci m a del m ism o. P or tanto, el p rim er térm ino del miembro derecho es el valor de 4 i + 1 cuan d o i = - 2 , y los térm inos restantes son los valores de 4 i + 1 cuan d o i es igual a - 1 , 0 , 1 , 2 y 3.

1 2 .4

*•

f3 £k

“ 3

SUCESIONES, SERIES Y NOTACIÓN SIOMA

4

(d ) ¿ 7j 3J — - lr 3 T + ^?

6

5

3 475 6 7 88

739

9 1 0

t+ j3 3 + t .. .. . . + t ai n

J-J L a n otació n sig m a p u e d e d e fin irse p o r la ecuación

F(f) = F (m ) + F (m + 1) + F(m + 2 ) + . . . + / r(n)

do n d e m y n son en te ro s y m < n. E l m iem b ro derecho d e esta ecua ción co n sta d e la su m a d e n - m + 1 térm in o s, el p rim ero d e los cuales se o b tien e al su stitu ir i p o r m en F {i), el seg u n d o al reem p lazar i por m + 1 en F(i), y a s í su cesiv am e n te, h asta q u e se o btiene el últim o tér m ino su stitu y en d o 1 p o r n e n F(i). E l n ú m ero m se d enom ina lím ite in f e rio r d e la su m a y n se llam a lím ite s u p e r io r. El sím bolo i es un sím bolo “co n v e n c io n al” p o rq u e cu alq u ier o tro sím b o lo puede em plearse sin cam b iar el m iem b ro derecho. P o r ejem plo, j í = 4 3 + 53 +

2

63

z'=4

puede escrib irse tam b ién co m o

;3=

2 /«

43 + 53 +

63

4

E n ocasiones, lo s térm in o s d e un a sum a contienen subíndices. Por ejem plo, la sum a + CI3 + • . . + fl/i

1+

puede escribirse co n notación sigm a com o l a f

-1

►

,

EJEMPLO 3

E scribir u n a s u m a c o n n o ta c ió n s ig m a

Escriba las sum as siguientes con notación sigma: (a ) 2 + 4 +

6

+

8

(b)l+3 + 5 + 7 + 9 (c )

— 3 « 3 + 4 úu — 5 fls +

(d) jc2 - jc4 + jr 6 -

6 flé — 7 * 7 +

+ Jf 10 - a-12 + x 14

8 fl8

760

CAPÍTULO i2 _ JjM A S P i ALGEBRA

Solución ( a ) L o s n ú m e r o s 2 , 4 , 6 y 8 s o n lo s p r i m e r o s c u a tr o e n te ro s positivo* p a re s , y p u e d e n e s c r ib ir s e c o m o 2 i d o n d e i e s ig u a l a 1 , 2, 3 v 4 P o r ta n to ,

2 (b)

+

4

+

6

+

8

4 2 2

=

/

O b s e rv e q u e 1, 3 , 5 , 7 y 9 s o n lo s p r i m e r o s c in c o e n te ro s positivos im p a re s , y p u e d e n e s c r ib ir s e c o m o 2 / - 1 , d o n d e i e s igual a 1 , 2, 3 ,4 y 5. D e m o d o q ue 5

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 2

(2 i -

1)

(c ) N o te q u e e n la s u m a in d i c a d a lo s té r m i n o s im p a r e s están precedíd o s p o r u n s ig n o n e g a tiv o y lo s té r m i n o s p a r e s p o r un signo posi tiv o . D e m o d o q u e lo s té r m i n o s im p a r e s c o n tie n e n u n a po ten ^ im p a r d e

-1

y lo s té r m in o s p a re s c o n tie n e n u n a p o te n c ia par de

E s to s re q u is ito s s e s a tis f a c e n a l e s c r i b i r e l f a c to r ( - 1 ) ' en la nc c ió n s ig m a . E n c o n s e c u e n c i a s e ti e n e 8

- 3 a* + 4 a4 - 505 + 6 a t - la i + Sa% = 2

(d)

(-1 )' Ü

E n la s u m a in d ic a d a lo s té r m i n o s im p a r e s e s tá n p re c e d id o s por sig n o p o s itiv o y lo s té r m in o s p a r e s e s t á n p re c e d id o s p o r un sig n e g a tiv o . P o r ta n to , lo s té r m i n o s im p a r e s r e q u ie r e n una pote» p a r d e - 1 y lo s té r m in o s p a r e s r e q u ie r e n u n a p o te n c ia im par de d e m o d o q u e s e e s c r ib e e l f a c t o r ( - 1 ) ' " 1 e n la n o ta c ió n sigma. P ta n to , 7

jc2 — jc4 -+■ jc6 — jc 8 -f- x 10 — x 12 +

x 14 = 2

( - l ) * ' 1* 21

O b se rv e q u e e x is te u n n ú m e r o ilim ita d o d e m a n e ra s d e escrit u n a su m a c o n la n o ta c ió n s ig m a . A s í, e n e l e je m p lo 3 , la sum a del i c iso (b ) p u e d e ta m b ié n e s c r ib ir s e c o m o

6 2

4 (2 i -

3)

7 2

(21

+

1 )2

(2í -

5)

y a s í su c e siv a m e n te . L a su m a d e lo s e le m e n to s d e u n a s u c e s ió n e s u n a s e rie . Por ejen p ío , a so c ia d a c o n la s u c e s ió n 3 , 6 , 9 , 12, 15, 18 s e tie n e la serie

3 + 6 + 9 + 12 +

15 +

18 = 2

3/

1 2 .4

S U C E S IO N E S , SERIES Y N O T A C IÓ N S IG M A ___761

A so ciad a c o n la su cesió n fll*

f t i • • • »f l »

e stá la serie n

Ai + di +

03

+ . . . + a„ = 2

/*i

L o s té r m in o s d e u n a s e r ie so n lo s m ism o s q u e lo s ele m e n to s c o rre sp o n d ie n te s d e la su c e sió n a so c iad a . E l té r m in o g e n e ra l de una se rie es e l e le m e n to g e n e ra l d e la s u c e sió n aso ciad a.

► EJEMPLO 4

E scrib ir u n a %mrim con n o ta ció n

slgm a

E sc rib a la s se rie s sig u ie n te s c o n n o ta c ió n sig m a: (a ) 1 + | (c )

^

j¡x’ - ¡ x 5 +

¿

^

¿

(b ) - 1

+ 5 -

9+ 1 3 -1 7

¿ * 7 -

Solución (a ) E l p rim e r té rm in o p u e d e e s c rib irs e c o m o j . A sí, c a d a térm in o es u n a fra c c ió n c u y o n u m e ra d o r e s 1 y s u d e n o m in a d o r es el núm ero d e l té rm in o . P o r ta n to ,

(b ) E x c e p to p a r a e l p rim e r té rm in o , c a d a u n o d e lo s n ú m e ro s 1, 5 , 9, 13 y 17 e s e l a n te r io r m á s c u a tro . E sto su g ie re 4 1 en la notación sig m a . C o m o e l p rim e r té rm in o e s 1, se n e c e sita e sc rib ir 4 i - 3 p a ra o b te n e r 1 c u a n d o i = 1. E n to n c e s o b se rv e q u e 4 i - 3 = 5 c u a n d o i = 2 , 4 i - 3 = 9 c u a n d o i = 3 , y a s í su c e siv a m e n te . P u esto q u e lo s té rm in o s im p a re s en la se rie d a d a e stá n p re c e d id o s p o r un s ig n o n e g a tiv o y lo s té rm in o s p a re s so n p re c e d id o s p o r un sig n o p o s itiv o , se n e c e s ita u n fa c to r ( - 1 ) '. D e m o d o q u e se tien e 5

-1

+ 5 -

9 +

13 -

1 7 = 2 ( — l) '( 4 i l- l

3)

(c) L o s e x p o n e n te s d e x so n lo s e n te ro s im p a re s 3 , 5 , 7 y 9 , lo s c u ale s se p u e d e n e s c r ib ir c o m o 2 ¿ + 1, c u a n d o i e s ig u a l a 1, 2 , 3 y 4 . D e m o d o q u e e n la n o ta c ió n s ig m a se d e b e te n e r u n fa c to r x h * C o m o lo s c o e fic ie n te s n u m é ric o s so n lo s re c íp ro c o s d e la s p o te n c ia s s u c e s iv a s d e 3 , se n e c e s ita u n fa c to r -jj. A d e m á s, c o m o los té rm in o s im p a re s so n p re c e d id o s p o r u n sig n o p o s itiv o y lo s tér-

7Afl

fta frU L O I I

T IM A S P I Á L O iB R A

m in o s p a r e s e s tá n p r e c e d id o s p o r u n sig n o negativo, también n e c e s ita u n f a c to r ( - 1 ) ,_ E n c o n s e c u e n c ia , se tiene 1 3 1 « —r — —X + 3 9

EJERCICIOS

n2 + 1 3. a„ -------------n

9. a« =

4. a„ =

8. a„ =

1 + 2n

n2 + 2

25. 2

1 2‘

2

2 4 .Í Í I Í y-o2'+l s

( - l ) ' - ' * 2--'

26. 2 2fc"

( - l ) ' ( i + l)a,

28. 2 a*“

7

27. 2

( - ir 1

i-0

n (/i + 1)

(-1 )" 10. a„ = -— /r

11. an = n + ( - 1 )"/i

i-i

*-0 ¿ 8

1

6 . fln = ( - 1 ) " + ' -

2/i — í

n + 2

2 2 . 2 ^

/- i

1-1

n + 1 2"

= (-1 )

21. 2 5

3/i— l 2. a„ = -2

1. a„ ■ 2/1 + 3

7.

.21+1

12.4

En los ejercicios 1 a 16, escriba los primeros ocho ele mentos de la sucesión cuyo elemento general se indica.

5. a„ * ( - i r 1

1 7 — X ~~ 27 81

30. 2 f(xi+i)Ji

29. 2 /(x ,-,) ' 1

= 2¡i “ 3 Í

En los ejercicios 31 a 38, escriba la serie con noiooá\ sigma (hay varias soluciones).

31. 1-+ 3 + 5 + 7 + 9 + 1 1 13. a„ =

n + 1

32. 2 + 4 + 6 + 8 + 10

si /i e s par

2 1 4

14. a« =

si n es im par

33.

si n es im par

3 4 .l + 3

si n es par

35.

l ( n + 2 )2

n + 1 15. a , =

+ 5 +

¿

- 13 + 16 + n + 55

£+ i + I

1+ i + f +

3«. I - i + 7 k - ¿ si n es im par

37.

2

aH-\

4 - 7 + 10

si n es par

n 1 6 . a„ = . 5 n J ( f t .-2 + fln -i)

1X

2

X4

- - — +— 2 4 6

38. x M

#

r®

r®

- — + 1L 8

10

+ ±x 5 - i x 1 + \ x 9

si n e s im p a r si n es p ar y no d ivisible entre 4 s i n es p a r y divisible entre 4

£/i los ejercicios 17 a 30, escriba las series. En los

ejercicios 17 a 24, encuentre la suma de las series. 17. 2 (4¿ - 3) i* I é

18. 2

1 9 .2

20. 2

*-l

(/ + l )2

39. E scriba el elem ento general y los primeros seis to-J m inos d e tres diferentes sucesiones, las cuales te0*! gan co m o sus prim eros tres elementos a 1, 3 y * 40. E scriba el elem ento general de una sucesión cu)J prim eros tres elem entos sean 2, 4 y 6, y su cu^ j elem ento sea x, donde x puede ser cualquier niín^J ro real. 41. E xplique p o r qué dos sucesiones que tienen j m ism os elem entos no necesariamente son igua*eS' 42. E x p liq u e la d iferen cia entre una sucesión j serie.

1 2 .5

[¡A d u c c ió n

o b je t iv o s

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

763

m a t e m a t ic a 1. 2. 3. 4. 5.

E sta b le c e r el p rin c ip io d e in d u c c ió n m atem ática. D e m o s tra r u n a fó r m u la m e d ia n te in d u cció n m atem á tic a . D e m o s tra r u n a d e sig u a ld a d m e d ia n te in d u cció n m ate m á tic a. D e m o s tra r u n e n u n c ia d o m e d ia n te in d u c c ió n m atem ática. D e m o s tra r u n te o re m a m e d ia n te in d u c c ió n m atem ática.

Al m atem ático italiano F ra n c e s c o M a u ro ly c u s (1494-1575) se le acredita con frecuencia la introducción d e la in d u c c ió n m a tem á tic a com o un m étodo d e dem ostración. E l lo em pleó en su Aritmética de 1575 p ara pro b ar q u e la su m a d e los prim eros n enteros positivos es n 2, esto es, + 3 + 5 + . . . + (2/i — 1) — n 2

1 <=>

2

(2 i — 1) = n 2

A continuación se verifica esta fórm ula para algunos valores de

n = i n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

1 = 1

l

1 + 1 +3 + 1 + 3 + 5 + + 3+ 5 + 7 +

n.

<=> 1 = l 2

3 = 4 <=> 1 + 3 = 5 = 9 <=> 1 + 3 + 7=? 1 6 <=> 1 + 3 + 9 = 25<=>l+3 +

22 5 =

32 5 + 7 = 42 5 + 7 + 9 = 52

De estos cálculos puede percatarse que la fórm ula es verdadera para los valores de n de 1 a 5. S e podría continuar con más valores de n y se obser varía que la fórm ula tam bién es verdadera. Por supuesto, este procedi miento no es una demostración de que la fórmula es verdadera para todos los valores enteros positivos de n. L a técnica de inducción matemática nos proporciona una dem ostración de este hecho. Enseguida se establece el principio de inducción matemática que provee las bases para este método de demostración, el cual se presenta en el ejemplo ilustrativo 1. P rin c ip io d e in d u c c ió n m a t e m á t ic a Un enunciado Pn, q u e se refiere al entero positivo n, es válido para todos los valores enteros positivos de n si se satisfacen las dos siguientes condiciones: (i) P\ es verdadera; esto es, el enunciado es verdadero para n = 1. (ii) Si k es un entero positivo arbitrario para el cual Pk es verda dera, entonces Pk +1 tam bién es verdadera; esto es, siempre que el enunciado es verdadero para n = k, tam bién es verda dero para n - k + 1, donde k es un entero positivo arbitrario.

764

c a p ít u l o

11

TIMAS P i ÁLGEBRA

No se dem ostrará el principio de inducción matemática. Su en», pleo implica el siguiente razonamiento: De (i) el enunciado Pn es verdadero para n = 1. Como P„es verd* dero para n - 1, se deduce de (ii) que P„ es verdadero para n = 1 + \ 0y \ Puesto que Pn es verdadero para n = 2, es verdadero para n = 2 + 1*0 3 i Ya que Pn es verdadero para n = 3, es verdadero para n = 3 + 1 ,o 4 ;y ¿ sucesivamente. De modo que Pn es verdadero para todos los valores ente ros positivos de n. Una dem ostración por inducción matemática consta de dos paites que verifican las dos condiciones del principio de inducción matemáti ca. Se com pleta la dem ostración escribiendo una conclusión.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Se em pleará inducción m atem ática a fin d e demostrar que í + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n -

1) = n 2

para todos los valores enteros positivos de n.

Parte 1: P rim ero se v e rific a qu e la fó rm u la sea verdadera paran = 1. Si n = 1, la fórm ula se convierte en 1 = l2 lo cual es verdad.

Parte 2: Ahora se mostrará que si la fórmula es verdadera para n-k, entonces también es verdadera para n = k + 1, donde k es un entero po sitivo arbitrario. Esto es, se supondrá que 1 + 3 + 5 + . . . + (2k — 1) = k 2

(1)1

Lo que se desea dem ostrar es que si la Ecuación (1) es verdadera, en tonces l + 3 + 5 + . . . + ( 2 * - l ) + [2 (k + 1) -

1] = {k + l)2

(Dj

también es verdadera. El último término del miembro izquierdo de I* Ecuación (2) se puede escribir como 2k + 1. Al sumar 2{k + 1) -1 ^ miembro izquierdo de la Ecuación (1) y su equivalente 2k + 1 al nuflD* bro derecho, se obtiene 1 + 3 + 5 + . . . + (2k - 1) + [2(k + 1) 1 + 3 + 5 + . , . + (2* t

1) + [2(* + 1) -

1] = k 2 + (2* + W 1] = (* + 1)2

la cual es la Ecuación (2). C onclusión: En la parte 1 se probó que la fórmula es verdadera p#* j n = 1. En la parte 2 se demostró que cuando la fórmula es verdades j para n = k, también lo es para n - k + 1. Por tanto, mediante el princi-1 pió de inducción matemática, la fórmula es válida para todos los val j res enteros positivos de n.

1 2 .5


765

En el ejem plo siguiente, se dem uestra que la sum a de los primeros

n enteros positivos pares está dada por la fórmula 2 + 4 + 6 + . . . + 2 n = n(n + 1)

►

EJEMPLO 1

Demostración do una fórmula modlanto Inducción matemática

U tilice inducción m atem ática para demostrar «I 2 2 i = n(n + 1) /■i

Solución Parte 1: P rim ero se verifica la fórmula para n = 1. Cuando n = 1, el m iem bro izquierdo es X 2i = 2 i=\

y el m iem bro derecho es 1(1 + 1) = 2 Por tanto, la fórm ula es verdadera para n= 1.

Parte 2: Se supondrá que la fórm ula es verdadera cuando n = k, don de k es cualquier entero positivo: k

2

2 / = k(k + 1)

(3)

Con esta suposición, se desea dem ostrar que también la fórmula es verdadera cuando n = k+ 1. D e modo que se desea probar *+i 2

i=l

2i «

(Jfe +

1 )[(* +

1) +

1]

k+l <=>

2

2 i = (k +

1 )(* +

(* )

2)

1=1 C uando n = k+ 1, se tiene 2

2 i = 2 + 4 + 6 + . . . + 2* + 2(* + 1)

= É

2í + (2 k + 2)

= m ¡ +

1) +

(2 * + 2 )

= k 2 + k + 2k + 2 = k 2 + 3k + 2

| 1 1 la cual es (4).

1)(* 1 2)

[a p lic a n d o (3 )]

766

f ftPfTIILQ 12

TfMAS Dg ÁLGEBRA

C ond u sió n : Se ha probado que la fórmula es verdadera cuando n = i- v i también se probó que cuando la fórmula es verdadera para n = k, ta^ bién lo es para n = k+ 1. Por tanto, mediante el principio de inducción' matemática, la fórm ula es verdadera cuando n es cualquier entero po- i sitivo. | En el ejem plo siguiente se dem uestra la fórmula que proporciona la sum a de los cuadrados de los primeros n enteros positivos.

► EJEMPLO 2

D e m o s tra c ió n d o u n a fó rm u la m ediante In d u c c ió n m a te m á tic a

Utilice inducción m atem ática para demostrar ¿

/2 —

+ 1)(2« + 1)

Solución Parte 1: Prim ero se verifica la fórm ula para n = 1. Con este valor de n , el miembro izquierdo es

¿=i = i y el miembro derecho es 1(1 + 1)(2 + 1 )

1-2-3

6

6 = 1

De modo que la fórmula es verdadera cuando n = 1.

Parte 2: Se supone que la fórmula es verdadera cuando n = k, donde k es cualquier entero positivo, o bien y ¡2 = k(k + 1)(2* + 0 ,»i

(J

6

Bajo esta suposición se desea dem ostrar que la fórmula también e»| verdadera cuando n = k+ 1; esto es, se desea demostrar

V

¡2 = (* í

íM

í

± í l g t + 0 + I]

(6)

___________________ _____

1 2 .S


747

C uando n = k + 1, se tiene *+i 2

i 2 = l 2 + 2 2 + 32 + . . . + k 2 + (k + l ) 2 k

= 2 ¿2 + (fc + i ) 2 /-l _ k(k + 1)(2* -I- 1) g + (¿ + l ) 2

[aplicando (5)]

„ *(* + 1 )(2A: + 1) + 6(A: + l ) 2 6 _ (¿ -I- l)[*(2fc + 1) + 6 (k + 1)] 6 = (k + 1)(2 k 2 + 7k + 6 ) 6 = (fc + l)(ik + 2)(2fc + 3) 6 = (k + 1)[(A: + 1) + 1][2 (k + ! ) + !] 6 la cual es (6). C o n clu sió n : Se ha probado que la fórmula es verdadera cuando n = 1; y tam bién se probó que cuando la fórmula es verdadera para n = k, tam bién lo es p ara n = k+ 1. Por tanto, mediante el principio de induc ción m atem ática, la fórm ula es verdadera cuando n es cualquier entero positivo. <

► EJEMPLO 3

Demostración de una desigualdad mediente inducción matemática

E m plee inducción m atem ática a fin de probar que 2" ^ 2 n para todos los valores enteros positivos de n.

Solución Parte 1: Se verifica la desigualdad para n = 1. Cuando n = 1 el m iem bro izquierdo es 2 y el miembro derecho también es 2. Como 2 > 2, la desigualdad es verdadera cuando n = 1.

Parte 2: Se supone que la desigualdad es verdadera cuando n = k, donde k es cualquier entero positivo; esto es, se supone que 2* & 2 k

(7)

d e á l g e b r a

Con esta suposición se desea probar que la desigualdad es verdad cuando n = k + 1; esto es, se d esea dem ostrar 2 ^ ‘V

2 (* + 1)

....

En am bos m iem bros de (7) se m ultiplica por 2 y se obtiene • 2* > 2 • 2 k

2

2*+l 2: 2k + 2k C om o k ^ 1, entonces 2k > 2. D e m odo que

2k + 2k > 2k + 2 De (9) y (10) se obtiene 2*+1 > 2k + 2 2*+1 > É l + 1) la cual es (8). C onclu sió n : C om o la desigualdad es verdadera cuando n = 1, y se ha probado que cuando es verdadera para n = k, también es verdadera para n = k + 1, se infiere, p o r el principio de inducción matemàtici que la desigualdad es verdadera cuando n es cualquier entero positivo. « En el ejem plo 3 se ha p robado que la desigualdad no estricta

2” > 2/ i es válida para todos los valores enteros positivos de n. Mediante ui procedimiento sem ejante, com o se indica en el ejemplo ilustrativo si guiente, se puede dem ostrar la desigualdad estricta correspondiente

2 " > 2n

cuando n > 2

(11)

y n es cualquier entero positivo. C om o 3 es el menor valor de n cual la desigualdad es verdadera, la parte 1 de la prueba mediante in ducción m atem ática consiste en verificar que P3 (en vez de P\) es ver dadera. En este caso, se aplica una extensión del principio de inducción matemática.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Para probar la Ecuación (11) mediante inducción matemática, la paite 1 es como sigue: Se verifica (11) para n = 3. Cuando n = 3, el miembro izquierdo de la desigualdad es 8 y el m iem bro derecho es 6. Puesto que 8 > ó, la desigualdad de (11) es verdadera cuando n - 3. La parte 2 de la prueba de (11) es la misma que la parte 2 en la so lución del ejem plo 3, excepto que el símbolo de desigualdad £ se. reem plaza por >. Entonces, la conclusión establece que como la desigualdad es ve dadera cuando n - 3, y en la parte 2 se probó que cuando es verdadera ^

1 2 .5

IND U CC IÓ N MATEMÁTICA

769

para n = k, tam bién lo es p a ra n = k + 1 , se deduce del principio de in ducción m atem ática q u e la d esigualdad de ( 1 1 ) es verdadera cuando n es un en tero p o sitiv o y n > 2 . 4

►

EJEMPLO 4

D em ostración de un enunciado mediante Inducción m atem ática

P ruebe el sig u ien te e n u n cia d o m ed ian te inducción matemática: x - y es un facto r d e x" - y " p a ra to d o s los valores enteros positivos de n.

Solución Parte 1:

C u an d o n = 1, x n - y " se tran sfo rm a en x - y, lo cual cier tam en te tien e a x - y co m o un factor.

Parte 2:

S e su p o n e q u e x - y es un factor d e x k - y 4, donde k es cualqu ier e n tero p o sitiv o ; y b a jo e s ta su p o sic ió n se d e se a p ro b ar que x - y ta m b ié n e s u n fa c to r d e jc*+ 1 - y k* S i se re s ta y su m a xy * a x k* 1—y k + l, se tien e jc*+i <=>

y k+l = x k+l - x y k + x y k - y k+í

x k+l - / +1 = x ( x k - y k) + y \ x - y)

(12)

S e h a su p u esto q u e x - y e s facto r de jc* —y k ; adem ás, x - y es un fac to r de y k(x - y). P o r tan to x - y es un factor d e los dos térm inos en el m iem bro d erech o d e (12). En consecuencia, x - y es factor de x k +1 - y * **. C o n c lu sió n :

S e h a m ostrado qu e el enun ciad o es verdadero cuando

n = 1; y se p ro b ó q u e cu an d o el enunciad o es verdadero para n = k, tam bién lo e s p a ra n = k + 1. P or tanto, m ediante el principio d e induc ción m atem ática, el en u n cia d o es verdadero p ara todos los valores en teros p o sitiv o s d e n. 4 C ierto s teo rem as se refieren a leyes de exponentes que pueden probarse m ed ian te in ducción m atem ática. E n el ejem plo 5 se presenta una dem o stració n , la cu al em p lea la siguiente definición de exponen tes entero s positivos: S ea a cu alq u ier núm ero real. Entonces

a1= a

(13)

Si k es cu alq u ier en tero positivo tal qu e a k está definido, sea =

► EJEMPLO 5

(14)

D e m o s tr a c ió n d e u n te o r e m a m e d ia n te I n d u c c ió n m a te m á tic a

D em uestre q u e si m y n son enteros positivos y a es un núm ero real, entonces

a* . a n * a m+”

(15)

\

770

CAPÍTULO 12

TEMAS Di ÁLGEBRA

Solución

Sea m un entero positivo arbitrario. Se desea demostré] que la E cuación (15) es verdadera para todos los valores enteros posi.1 tivos d e n.

I*

Parte 1: S e verifica que (15) es verdadera cuando n = 1. De (13)

A l ap licar la E cuación (14) en el m iem bro derecho de esta ecuación, sel tiene

E n consecuencia, (1 5 ) es verdadera cuando n = 1.

Parte 2: S e supone que (15) e s verdadera cuando n = k, donde A:es] cu alquier en tero positivo:

a m • a k = ! a m+k

(16)1

C on esta suposición se d esea dem ostrar que

A fin de p ro b ar esto, se inicia co n el m iem bro izquierdo y se sustituye!

a k* 1 p o r a* • a, lo cual se in ñ e re d e (14). Así, a m • a k+l = a m • ( a k • a) = (a m • a k) • a

(de la ley asociativa para la multiplicación)!

= a m*k • a

[d e (16)]

= a («+*)+ 1

^

_ £ « + ( * + 1)

(de la ley asociativa para

(14)] la adición)

lo cual es lo que se deseaba dem ostrar. C o n clu sió n : D e la p arte 1 se sabe qu e la Ecuación (15) es verdade* j ra cuando n = 1. D e la parte 2 se sabe que cuando (15) es verdadera 1 p ara n = k, tam bién lo es para n = k + 1, donde k es cualquier entero! positivo. P or tanto, m ediante el principio de inducción matemática, Id (15) es verdadera cuando n es cualquier entero positivo.
► EJEMPLO 6

Demostración do un tooroma mediante Inducción m atem ática

D em uestre m ediante inducción m atem ática el teorema de De M o iv re para enteros positivos: si n es cualquier entero positivo, entonces [r ( c o s

0 + i sen 6 )]" = r" (c o s nO + 1 sen nO)

1 2 .5


771

Solución Parte l:

C uando n = 1 am bos miem bros se convierten en r(cos 0 sen 0 ); de modo que el teorema es válido para n * 1.

+1

Parte 2: Se supone que el teorem a es verdadero para n - k , donde k es cu alq u ier entero positivo; esto es, se supone que [ r (eo s 0 + i sen 0 )] * = r k(eos kO + i sen kO)

(1 7 )

Se desea m ostrar que el teorema es verdadero para n = k •f 1; esto es, se d esea p ro b ar que [r ( c o s 0 + is e n 0 )]* +, = r* + ,[cos(* + 1)0 + isen (* + 1)0]

(18)

S e tiene

[r (eo s 0 + i sen 0 )] *+1=

[ r (eos 0 +

i sen 0)][/{cos 0 + í sen 0)] *

Al su stitu ir d e (17) e n el m iem bro derecho de esta ecuación, se obtiene

[r (eos 0 + i sen 0)]**1= [r (eos 0

+ 1 sen 0)][r*(cos kO + i sen kO)J

En el m iem bro derecho de esta ecuación se aplica el Teorem a l(i) de la S ección 10.5, y se consigue

[r (eo s 0 + i sen 0)]*+ 1= r k* '[co s(0 + kO) + i sen(0 + kO)J [ r (eo s 0 + * sen 0 )]*+1 = r k+'[cos(A: + 1)0 + i sen(¿ + 1)0] la cu al es (18). C o n c lu sió n : D e la parte 1 se sabe que el teorem a es verdadero cuan d o n = 1. D e la parte 2, se sabe que cuando el teorema es verdadero p a ra n — k, tam bién lo es para n = k + 1, donde k es cualquier entero positivo. P o r tanto, m ediante el principio de inducción matemática, el teorem a e s verdadero cuando n es cualquier entero positivo. <

EJERCICIOS

1 2 .5

&losejercicios I a 33, demuestre la fórm ula, la desiPddad, el enunciado o el teorema mediante inducción "tonáiiea. No olvide completar la demostración esuna conclusión. ejercicios I a 14, demuestre que la fórm ula es verP®n lodos los valores enteros positivos de n.

t u ! < 2 + I) 2

7 i

2/ií/i + i )

w(3n ~~ 1) 3. 2

(3 í -

2) =

(3 i -

1) “

í-l

n(3n + 1) 4. ¿

5.

v ¿0 ± V - n(n i 1)(/l 2

»

6

n(2n -

6. 2 (2/ - O2 " f-i 7. 2 2' - 2(2" - 1) /-I

0 (2 n + 0

3

\

CAPITULO 1 2

m

T IM A S M Á L O l tR A .

27. sen(x + me) * ( - 1 ) " sen x. 8 . 1 y - 1 ( 3 " - 1) l«l n 2(n + O2 i »

28. cos(x + m i) = ( - 1 ) " c o i x.

,j,6

En los ejercicios 29 a 33, demuestre el teorema.

/■I

10. ¿ (2/ - l) 5 = « 2(2/í 2 -

29. Si m y n son enteros positivos y a es un númen I real, entonces

1)

/•I

(a ")m = a"m

11. 2 T T

; . | /(i + 1)

12.2 ~

n + 1 30. Si n e s u n e n te ro p o sitiv o y a y b son números reales, entonces

n (21 - l) (2 i + 1 )

2n + 1

n

J _______ 1 3 . 2 7, (3/ Í7 -

Cab)H = a'b*

l)(3i + 2) * 2(3w + 2)

14. 2 a r < - . = £ _ 1 2 L ,-i 1 —r

3 1 . S i n e s u n e n te ro p o sitiv o , a y b son numera re ale s, y b * 0 , entonces

1

En los ejercicios 15 a 18, demuestre que la desigualdad es verdadera para todos los valores enteros positivos den. 15. 3" 2 3n

16.2" >

n

17. a " > 1 si a es un número real y a > 1.

3 2 . Si P d ó lares se invierten a una tasa de interés anuí d e 100 1 % co m p u esto m veces por año, y si Aa dóitres e s el m onto d e la inversión al final de n penod o s d e in terés, entonces

18. 0 < a* < 1 si a es un núm ero real y 0 < a < 1. £n los ejercicios 19 y 20, demuestre que la desigualdad

es verdadera para los valores enteros positivos indica dos de n. 19. 2* > n 2 sin > 4 20. 3" > 2" + 10«

sin>3

En los ejercicios 21 a 26, demuestre que el enunciado es verdadero para todos los valores enteros positivos den. 21. 2 es un factor de n 2 + n.

A. = P\ 1 + -

m

3 3 . S i n ^ 3 , la su m a d e los ángulos interiores de ta p o líg o n o d e n lados e s (n - 2)180°. Sugerencia j e lija u n v értice y fo rm e n - 2 triángulos al dibujar

n - 3 rectas d esd e el vértice elegido a cada uno de los o tro s n - 3 vértices. 3 4 . E x p liq u e p o r qué la idea detrás del principio de in d u cc ió n m atem ática puede compararse con el si g u ien te concepto: suponga que un número infinito

22. 2 es un factor de n 2 - n + 2.

d e fic h as d e d o m in ó se arreglan en una línea sin fa y cu a n d o u n a fich a d e d om inó cae. tira la siguiente d e la lín ea; en to n c e s, to d as las fichas deben caer 9

23. 6 es un factor de n 3 + 3n 2 + 2 n.

se em p u ja la prim era y tira a la segunda.

24. 3 es factor de 4 ” - 1. 25.

x

+ y es un factor de x 2* - y 2".

26. x -f y es un factor de x 2,1-1 + y 2" -1 .

En los ejercicios 27 y 28, demuestre que la fórmula es verdadera para todos los valores enteros positivos de n.

12 .6

SUCESIONES Y SERIES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

773

SUCESIONES Y SERIES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS OBJETIVOS

1. D e fin ir u n a sucesión aritm ética. 2. A p re n d e r y a p lic a r la fó rm u la p a ra el /V-ésimo elem ento de u n a su cesió n a ritm é tic a . 3. D e fin ir y d e te rm in a r los m edios aritm éticos en tre dos n ú m ero s. 4. D e fin ir y d e te rm in a r la m edia a ritm ética de un conjunto de n ú m ero s. 5. A p re n d e r y a p lic a r la fó rm u la p a ra la sum a de u n a serie a ritm é tic a . 6. D e fin ir u n a sucesión geom étrica. 7. A p re n d e r y a p lic a r la fó rm u la p a ra el iV-ésímo elem ento de u n a su cesió n geom étrica. 8. D e fin ir y d e te rm in a r los m edios geom étricos en tre dos n ú m e ro s. 9. D e fin ir y d e te rm in a r la m ed ia g eom étrica de u n conjunto de n ú m ero s. 10. A p re n d e r y a p lic a r la fó rm u la p a ra la sum a de un a serie g eo m étrica. 11. R eso lv er e n u n cia d o s de p ro b lem as q u e tengan sucesiones y seríe s a ritm é tic a s y g eom étricas como m odelos matemáticos.

Las sucesiones aritméticas y geométricas son dos tipos particulares de sucesiones que tienen muchas aplicaciones. Un ejemplo de una suce sión aritm ética es 2 ,5 ,

8 ,1 1 ,1 4 ,1 7 ,2 0

donde cada elem ento, excepto el primero, es el anterior más tres. La sucesión 1 ,2 ,4 , 8, 1 6 ,3 2 ,6 4 ,1 2 8 es un ejem plo de sucesión geométrica. Cada elemento, excepto el pri mero, puede obtenerse al multiplicar el elemento anterior por 2. Primero se discutirán las sucesiones aritméticas.

DEFINICIÓN

Sucesión aritmética

Una sucesión aritm ética es una sucesión en la que cualquier elemento, excepto el primero, puede obtenerse al sumar una constante al elemento anterior.

Una sucesión aritmética suele también denominarse progresión

aritmética.

TEM A S d i á l g e b r a

L a constante sum ada en una sucesión aritmética se llama difertn. c ía co m ú n y se denota por d. Se puede comprobar si una sucesifa dada es una sucesión aritmética al restar cada elemento del precedente.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Para la sucesión 9,5, 1 ,-3 ,- 7 ,-1 1 observe que 5 - 9 = - 4 ; 1 - 5 = - 4 ; - 3 - 1 = - 4 ; -7 - (-3) = -4; y -1 1 - (-7 ) = - 4 . Por tanto, se tiene una sucesión aritmética en la que la diferencia com ún d es - 4 . < En una sucesión aritm ética el número de elementos se denota por

N, el prim er elem ento se denota por ai y el último por a*. En la suce sión del ejem plo ilustrativo 1, Af = 6,
dn* i = On + d de la cual cada elem ento, después del primero, puede obtenerse a partir del anterior. Esta fórmula recibe el nombre de fórm ula recursiva. Las fórm ulas recursivas se em plean en la programación de computadoras porque está im plicada frecuentem ente la aplicación repetida de una fórm ula simple.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Si a i = 4, N=S , y

On+\ = a„ + 3 la sucesión aritm ética es 4 ,7 ,1 0 ,1 3 ,1 6 ,1 9 ,2 2 ,2 5

4

A partir de la fórm ula recursiva se puede escribir la sucesión arit m ética general, p ara la cual el prim er elem ento es a¡, la diferencia com ún es d y el núm ero de elem entos es N. Se inicia con el elemento ai, y cada elem ento sucesivo se obtiene del anterior sumándole d. Bn consecuencia, se tiene a i, ai + d, a\ + 2d, a¡ + 3d, a¡ + 4 d , , on O bserve en los prim eros cinco elem entos que cada elemento es i más un m últiplo de d, donde el coeficiente de d es menor en uno j el núm ero del elem ento. Intuitivam ente, es evidente que Qn = a'

12 .6


7 75

(N - 1)d. S e establecerá esto form alm ente y se probará mediante in ducción m atem ática.

TEOREMA 1

El W-ésimo elem ento de una sucesión aritm ética está determina do por ün

- a¡ + (N - 1)d

D em o strac ió n

Parte 1: Se m uestra que la fórm ula es verdadera para N = 1 al susti tuir 1 p or N. a\ = ai + (1 — 1 )d

= ai Parte 2:

A hora se supone que la fórm ula es verdadera si N = k, esto

es,

aic = a¡ + (k — 1)d Se desea m ostrar que la fórm ula es verdadera siN = k+ 1, esto es,

ak+1 = a¡ + [(& 4- 1) — 1]d Por la definición de una sucesión aritmética,

a/c+i — ük + d AI sustituir ak por ai + ( k - l)d, se tiene

ak+1 ¡ü [a\ + (k — 1)d\ + d

= a\ + kd — d + d = a x + [(* + 1) -

1Jd

lo cual se deseaba mostrar. Conclusión: Se ha probado que la fórmula es verdadera cuando N= \, y también se comprobó que cuando la fórmula es verdadera para N - k, tam bién lo es p ara N = k + 1. Por tanto, m ediante el principio de inducción matemática, la fórmula es válida para todos los números naturales. ■

► EJEMPLO 1

D e te rm in a c ió n d e un e lem ento p a rtic u la r de u n a sucesión a ritm é tic a

Determine el trigésimo elemento de la sucesión aritmética para la cual el primer elemento es 5 y el segundo es 9.

776

CAPÍTULO 1 2

T IM A S P E Á L G EB RA

Solución

S e a ayo e l trig é sim o e le m e n to d e la sucesión aritmética

i

5 , 9 , . . . . a» E n to n c e s d = 9 - 5 , o 4 , a \ = 5 y N = 3 0 . P o r el T e o rem a 1 030 =

f li

+

5

=

+

(3 0 2 9

—

1)

d

• 4

= 121

<

M e d io s a r i tm é ti c o s

D E F IN IC IÓ N

S i a, cu Ci , . . . , Ck, b e s u n a su c e sió n aritm é tic a , entonces los nú m e ro s cu Ci , . . . ,Ck so n lo s k m e d io s a r itm é tic o s entre a y b.

>


C om o 2 ,5 ,

8,11,14,17,20

e s u n a s u c e s ió n a ritm é tic a , lo s n ú m e ro s 5 , 8, 11, 14 y 17 son los rinco m e d io s a ritm é tic o s e n tre 2 y 2 0 . 4

► EJEMPLO 2

Determinación d e les medios aritméticos tnfrt dos números

In se rte tre s m e d io s a ritm é tic o s e n tre 11 y 14. S i cu C2 y C3 so n lo s tres m e d io s aritm éticos, entonces

Solución

11, c¡, c2, c3, 14 e s u n a su c e sió n a ritm é tic a . C o n N = 5 en el T e o rem a 1

a¡ = ai + (5 - 1)d P u e sto q u e a¡ = 11 y a 5 = 14, = 11 + 4 d

14 d

=

\

A sí, C, =

11

= 111

+

5

C2 = =

1 1 | +

121

J

c3 = 1 2 i + \ =

13 í

P o r ta n to , lo s tre s m e d io s a ritm é tic o s so n 1 1 | , 1 2 | y 13j-

1 2 .6


777

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 A fin de in sertar un m edio aritm ético entre dos núm eros x y y, sea M el m edio aritm ético, d e m odo q u e se tiene la sucesión aritm ética

x , M, y L a d iferen cia com ún puede representarse por M - x o y - M . P or tanto,

M —x = y —M M = x + y

2 m

= x— + y 2

<

El n úm ero M o b ten id o en el ejem plo ilustrativo 4 se denom ina media aritmética (o promedio) d e los núm eros x y y. Se puede genera lizar este con cep to y referirse a la media aritmética (o promedio) de un c o n ju n to d e núm eros. E nseguida se presenta la definición formal.

M e d ia a ritm é tic a

DEFINICIÓN

(i)

L a m e d ia a ritm é tic a (o p ro m e d io ) de los núm eros x y y es el núm ero * + y

(ii)

L a m e d ia a ritm é tic a (o p ro m e d io ) de los núm eros x\, ¿ 2, * 3, . . . , x„ es el núm ero

X\ + X2 + X$ + . . . + Xn

► EJEMPLO 3

Determ inar la m edia aritm ética de un conjunto de números

Un estudiante obtuvo, en cinco exám enes diferentes las calificaciones siguientes: 78, 89, 62, 75 y 84. D eterm ine la m edia aritm ética de estas calificaciones.

Solución w

Si M es la m edia aritm ética, se tiene de la definición 7 8 + 8 9 + 6 2 + 75 + 84 -------------- 3 -------------------

~ = 388 5 *

77.6

*

m

r f l p lT .iL Q 1 2

T IM A S D i A L G E B R A -------------------------------------------------------------------- --------- J J

U n a s e r i e a r i t m é t i c a e s l a s u m a in d ic a d a d e lo s elem entos de u s u c e s ió n a r itm é tic a .

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 L a s e r ie a r i tm é ti c a a s o c i a d a c o n la s u c e s ió n a ritm é tic a del ejemplo il u s t r a ti v o 2 e s 4

+

7 + 1 0 + 1 3

+

1 6 + 1 9

+

2 2

+

25

E s ta s e r ie a r i tm é ti c a p u e d e e s c r ib ir s e c o n n o ta c ió n s ig m a com o 8

2 ' (3 i + 1 )

«

/-1

L a s e r ie a r i tm é ti c a a s o c i a d a c o n la s u c e s ió n a ritm é tic a general es fli +

(cii + d ) + (a\ + 2 d ) + . . . + [ai + ( N -

l)d ]

S i s e d e n o ta e s t a s u m a p o r S n, s e tie n e

S n = cl\ + (í«i + d ) + ( a i + 2 d ) + . . . + [a\ + (N - 1)¿] L a s e r ie d e l m i e m b r o d e r e c h o p u e d e e s c r i b i r s e e n o rd e n inverso con e l té r m i n o N -é s i m o e s c r ito c o m o aN, e l ( N -

l) - é s i m o térm ino escri

to c o m o ün - d, y a s í s u c e s iv a m e n te , h a s t a e l p rim e r térm ino escrito c o m o on - (N - 1 )d. P o r ta n to ,

S N = ün + {q n — d ) + (aN — 2d ) +

. . . + [ün — (N - \)d\

S i s e s u m a n té r m i n o a té r m i n o la s d o s e c u a c io n e s q u e definen a Sn, se o b tie n e

S n + S n — (a\ + a N) + ( a i + aN) + ( a t + aN) + . . . + (fli + fl») d o n d e e n e l m ie m b r o d e r e c h o e l té r m i n o a¡ + ün s e p resen ta N veces. E n c o n s e c u e n c ia , 2SN -

N ( a i + a N)

SN =

+ a N)

S i s e s u s titu y e e n e s t a e c u a c ió n e l v a lo r d e aN d e la fó rm u la del Teore m a 1, s e tie n e

Sn -

N , -A a x t

+

Sn = ^ [ 2 f l , + ( N -

(^

-

D < fl)

1 )¿ ]

A s í, s e h a p r o b a d o e l te o r e m a sig u ie n te .

12 .6

SU C ESIO N ES Y S IM E S ARITM ÉTICAS Y G EO M ÉTRIC A S

779

TEOREMA 2 Si a u oí, <3 3 , . . . , a s e s u n a su c e s ió n a ritm é tic a c o n d ife re n c ia c o m ú n d, y

S n — a i + a 2 + úf3 -f . . . + ÜN e n to n c e s

SN - ~z(ci\ + aN) y N SN = - [ 2 a , + (N -

l)rf]

L a p rim e r fó r m u la d e l T e o re m a 2 p u e d e e sc rib irse c o m o

D e m o d o q u e S n e s e l p ro d u c to d e l n ú m e ro d e té rm in o s y la m ed ia a ritm é tic a d e lo s té rm in o s p rim e ro y ú ltim o .

►

EJEMPLO 4

D e te rm in a c ió n d e la sum a d e u n a serie a ritm é tic a

D e te rm in e la s u m a d e lo s e n te ro s p o sitiv o s p ares m en o res q u e 100.

Solución

L o s e n te ro s p o sitiv o s p a re s m en o res q u e 100 fo rm a n la

su cesió n a ritm é tic a 2 , 4 , 6 , . . . , 96 , 9 8 S e d e se a d e te rm in a r la su m a d e la se rie a ritm é tic a aso ciad a, la cual es 2 + 4 + 6 + . . . + 9 6 + 98 P ara e sta se rie a\ —2, d = 2, N = 4 9 y ¿249= 98. D el T eo rem a 2 S 49 =

d.0

= 42

(fli + <149)

(2

2

= 2 450

+ 98)

t u

Q tffrU tO 12

TIM AS P i ÁLGEBRA

►

EJEMPLO 5

Solución del enunciado do un problema qi* tiene una to rio aritm ética como modelo matem ático

Un vendedor con cierta propiedad de bienes raíces recibió las siguien tes dos ofertas d e posibles com pradores:

Oferta 1:

El pago para el prim er añ o es $24 000, y para los próximo» nueve años se aplica un increm ento anual de $1 800 en los pagos.

Oferta 2:

El pago p ara los prim eros seis meses es $ 12 000, y para los segundos seis m eses es $12 450. En los próxim os nueve años se aplica un increm ento sem estral de $45 0 en los pagos. ¿Q ué oferta le p roporcionará m ás dinero al vendedor durante un periodo d e 10 años y a cuánto ascenderá?

Solución

D e acuerdo con la oferta 1, el monto del dinero recibido por el vendedor durante un periodo de 10 años, es la suma de la si guiente serie aritm ética de d iez térm inos: 24 0 0 0 + 25 800 + 27 6 0 0 + . . . + aw Sea Si» esta sum a. E ntonces, d e la segunda fórm ula del Teorema 2 5,o |

f

[2a, + (10 - 1)d\

C om o a.\ = 24 0 0 0 y d = 1 800,

Sm = 5 [2(24 000) + 9(1 800)] = 321 000 D e acuerdo con la o ferta 2, el núm ero de dólares recibidos por el i vendedor durante un periodo de diez años, es la sum a de la siguiente serie aritm ética de veinte térm inos: 12 0 0 0 + 12 4 5 0 + 12 900 + . . . + a » Si se d en o ta esta sum a p o r S 2o, y del T eo rem a 2 con a i = 12 000 yj

d = 450, se tiene 520 = f [2a, + (20 - 1)d] = 10[2(12 000) + 19(450)] = 325 500 C o n clu sió n : L a oferta 2 proporcionará $4 500 más durante un perioj do d e diez años. *1

DEFINICIÓN

S ucesión g e o m é tric a

Una sucesión geom étrica es una sucesión tal que cualquier ele mento, después del prim ero, puede obtenerse ai multiplicar el elem ento anterior por una constante.

12 .6


701

U na sucesión geom étrica tam bién se denom ina p ro g re sió n geo m é tric a . L a constante qu e se m ultiplica en una sucesión geom étrica recibe el nom bre d e ra z ó n c o m ú n y se denota por r. Se puede calcular r al dividir cualquier térm ino, excepto el prim ero, entre el térm ino ante rior.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 Para la sucesión

1,2,4, 8,16,32,64, 128 s e t i e n e | = 2 , i = 2 , ¿ = 2 , f = 2 , £ = 2, g = 2 y £ = 2. L a razón co m ún r es 2 . 4 C o m o con u n a sucesión aritm ética, el núm ero de elem entos en una sucesión geom étrica se d en o ta p o r N, el prim er elem ento se denota por di y el últim o p o r aN. En la sucesión del ejem plo ilustrativo 6, N = 8, ai = 1 y a i = 128. U n a su cesió n g eo m étrica p uede definirse proporcionando los va lores de ai y N, y u n a fó rm u la recursiva a„+i =

a nr

de la cual c ad a elem en to , después del p rim ero, se obtiene a partir del precedente.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 C o n s id e r e la s u c e s ió n g e o m é tric a p a ra la c u a l ai = 128, N = 5 y

a„ + 1 = a„(- £). E n to n c e s

02 = 1 2 8 (—j)

a, = -3 2 (-j)

= -3 2

= 8

a„ = 8 ( - ¿ ) = -2

a5 = - 2 ( - ¿ ) = i

P or tanto, la sucesió n es 1 2 8 ,- 3 2 ,

8, - 2 , ±

<

L a sucesión geo m étrica g eneral, p ara la cual el prim er elem ento es

ai, la razón com ún es r y el núm ero de elem entos es N, puede obtener se al aplicar la fórm u la recursiva. Se inicia con el elem ento ai, y se ob tiene c ad a elem en to sucesivo al m ultiplicar el elem ento anterior por r. Al hacer esto, se tiene a i , Ai r , O ír 2, f l i r \ f l i r 4,

m i

cArtryu* i» t i m a s d í A i w m ______________________ _______________ En los prim eros cinco elem entos se observa que cada elemento et 4 producto de a i y una potencia d e r, donde el exponente de res menor en I que el núm ero del elem ento. Por tanto, nuestra intuición sugioe que el W-ésimo (últim o) elem ento es ün - a\rN ~'.

TEOREMA 3

El P é s im o elem ento de una sucesión geom étrica está determi nado por aN

=

a \r N~x

La dem ostración de este teorem a es m ediante inducción matemá tica y se deja com o ejercicio. Véase el ejercicio 52.

►

EJEMPLO 6

Solución d e l e n u n cia d o do un problema qtw tien e u n a sucesión ge om é trica como modelo m a te m á tico

Una ciudad tiene una población d e 100 000 habitantes. Si se espera que la población se increm ente en 10% cada cinco años, ¿cuál será la! población al cabo de 40 años?

Solución

La población dentro d e cinco años será

100000 + 0.10(100000) = (1.10X100000) La población esperada al final d e cada periodo sucesivo de cinco años 1 es 1.10 veces la población al final del período anterior de cinco años. Ea I consecuencia, se tiene la sucesión geom étrica de nueve elementos 1 0 0 0 0 0 , <1.10X 100 0 0 0 ), (1 .10)2(100 0 0 0 )..........o*

donde a«*es la poblacjón esperada al cabo de los 40 años. Del Teorema 1 3 con N = 9,a\ = 100 000 y r = 1.10, = a i r 9-1 = 100 0 0 0 ( 1 .10)8

« (2 .1 4 4 )1 0 5 C onclusión: L a población que se espera dentro de 40 años será 1 214 400, con aproxim ación de cientos. 4

DEFINICIÓN

M edios geométricos

Sí a, C u ea, . . . , c*, b es una sucesión geométrica, entonces los números Ci, c j , . . . , a son un conjunto de k medios geométri cos entre a y b.

12 .6


78 3

7 ~ T T e m f l ó ' il u s t r a t iv o 8 L a sucesión 2 ,6 ,1 8 ,5 4 , 162 es una sucesión geom étrica con r = 3. De la definición, los números 6, 18 y 54 form an un conjunto d e tres m edios geométricos entre 2 y 162. C om o la sucesión 2 ,- 6 ,1 8 ,- 5 4 ,1 6 2 tam bién es u n a su cesió n geo m étrica ( r = - 3 ) , los núm eros - 6 , 18 y - 5 4 form an otro conjunto de tres m edios geométricos entre 2 y 162. m Si m es un m edio geométrico entre los dos números jc y y, entonces

xt m ,y es una sucesión geom étrica. Por tanto,

m _ y x m m 2 = xy E sta ecuación im plica que tanto x com o y son positivos, o ambos son n e g a tiv o s. A d e m á s, la e c u a c ió n tie n e dos so lu c io n es: m = Yxy y m = - ylxy. C om o se quiere que el m edio geom étrico esté entre los núm eros x y y, se elige para el valor de m el número que tenga el mis m o signo que x y y. Por tanto, se tiene la definición siguiente.

DEFINICIÓN

M e d ia geom étrica

L a m e d ia g e om é trica de los números x y y es

vxy

s i x y y son positivos

- vxy

s i x y y son negativos

► EJEMPLO 7

Determinación de la media geométrica do do* números

Determ ine la m edia geométrica de cada uno de los conjuntos de núme ros: ( a ) 4 y 9 ; ( b ) - ^ j y - £ .

Solución Para cada inciso sea al aplicar la definición.

m la media geométrica. Se calcula m

784

CAPÍTULO 12

TEMAS DE ÁLGEBRA

(a ) m — V 4

9

(b ) m = - V P

= V 36

“

= 6

= -VJ

- v g

M ediante una generalizació n d e la definición de la media geonJ trica d e dos núm eros, se d efin e la m e d ia g eo m étrica de un conjunj de núm eros xu * 2. ¿ 3, . . . » x* c o m o el núm ero V x ix ix j. . . x„.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 9 L a m ed ia geo m étrica d e los núm eros 4, 10 y 25 es ”^ ( 4 ) (1 0 ) (2 5 ) = ^ 1 0 0 0 =

10

C on cu alq u ier sucesión geom étrica, se tiene una serie geometría! asociada, la cual es la su m a in d icad a d e los elementos de la sucestál geom étrica.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 10 L a sucesión g eo m étrica del ejem p lo ilustrativo 7 es

128, -3 2 , 8 ,- 2 , i A sociada con esta sucesión se tiene la serie geométrica

128 - 3 2 + 8 - 2 + | la cual puede escribirse con notación sigm a como

É 1 2 8 (—j ) '- ' 1=1 Sea Sn la su m a d e los N térm inos de una serie geométrica. Entonj ces S n = fli + a i r + a \ r 2 + a ¡ r 3 + . . . + ci\rN~2 + W N 1 Si se m ultiplican am bos m iem bros de esta ecuación por r, se tiene

rSN - a ir + a xr 2 + tu r 3 + a tr 4 + . . . + airN~l + fl>r ' j D e la sum a d e la prim era ecuación y -1 vez la segunda resulta

Sn — rSN = a¡ - a xr N r)SN =
(1 -

12 .6


785

Si 1 - r * 0, se puede dividir cada m iem bro de esta ecuación entre 1 - r para o btener Sn =

a\ - d \rN - - - - - - - 1— 1 - r

0 i( l

. *

Si r *

- r* )

1

. . . si r * 1

Sn = — ---------- 1 - r

U n a fó rm u la p ara S n en térm inos de a¡t r y ün se obtiene al expre sar a \rN c o m o r{air N~l). A l h acer esto, se tiene

S n = ------— ---------------------------------1 - r

si r * 1

Del T eorem a 3, a \rN ~1 = a*. D e m odo que

s„ = Si 1 /q*

si r

1 - r

I

A sí, se ha dem ostrado el teorem a siguiente.

TEOREMA 4 Si a i, 02, m ún r, y

03,

• • • , ün es una sucesión geom étrica con razón co

Sn — d\ +

02

+

03

+ . . . + dN

entonces (i) S„ =

a,(l

~ ^

1 - r

si r * 1

y (ii)

= a

- íB í

1 - r

► EJEMPLO 8

si r *

1

D e te r m in a c ió n d e la s u m a d e u n a se rle g e o m é tr ic a

D eterm ine la sum a de la serie geométrica 2 2 ® '- ' /-I S o lu c ió n

Para la serie dada ai = 2, r = } y W = 5. Así, del Teore-

786

Ss =

ai( 1 ~ r 3) 1

-

r

2[1 -

( í ) 5]

2(1

2¿?) 2 3

• i ____ L

•5

81

En el pró x im o eje m p lo se e m p le a el T eorem a 3 de la Sección 6.2, el cual establece q u e si P d ó lares se invierten a una tasa de interés de 100/% com puesto m v eces p o r añ o , y si A„ dólares es el monto de iai inversión al cabo de n p erio d o s d e interés, entonces

-

K 1+&

► EJEMPLO 9

Solución d e l enunciado de un problema qut tien e u n a serle geom étrica como modelo m atem ático

A fin de crear un fo n d o d e am o rtizació n qu e proporcionará capitafl para com prar nuevo eq u ip o , u n a co m p añ ía deposita $25 000 en una cuenta bancaria el 1 de en ero de c a d a añ o d urante 10 años. Si la cuenta] reditúa 12% de interés co m p u esto an ualm ente, ¿a cuánto asciende d] fondo inm ediatam ente d esp u é s d e efe ctu ar el décim o depósito?

Solución In m ediatam ente d esp u és d e efectu ar el décimo depósito,] el décim o pago n o ha d ev en g ad o interés; el noveno pago ha redituado interés durante un año; el octav o p ag o h a redituado interés durante dos años, y así sucesivam ente, y el p rim e r p ag o ha redituado interés duran-j te nueve años. P ara d eterm in ar la can tid ad de dólares en el fondo dej manera inm ediata después de efectuar el décim o pago, se aplica la fórmu-j la presentada an teriorm ente p a ra A„ con P = 25 000, i = 0.12 y m = 1 para determ inar el m onto de cada pago. L os resultados son los siguientes: I 10° pago: 25 0 0 0

(sin interés)

9o pago; 25 0 0 0 ( 1 .1 2 )1

(interés durante 1 año; n = 1)

8° pago; 25 0 0 0 ( 1 .12 ) 2

(interés durante 2 años; n = 2)

le r pago; 25 000( 1 .12 ) 9

(interés durante 9 años; n = 9)

Si * dólares es el m onto total en el fondo de amortización inmediata mente después de efectuar el décim o depósito, entonces

25000 + 25000 ( 1.12)' + 25 000 ( 1. 12)2 + . . . +

25

000( 1. 12'

12.6

I

SUCESIONES Y SERIES ARITMÉTICAS Y GEOM ÉTRICAS

797

Observe que x es la suma de una serie geom étrica para Ja cual N ~ 10, r = 1.12 y ai = 25 000. Del Teorem a 4(i)

25,000(1 jc

=

(1 .1 2 ) ,0J 1.12

* (4 .3 9 )1 0 5 C onclusión: Inm ediatam ente después de efectuar el décim o depósi to, la Cantidad del fondo de amortización es S439 000, con aproxim a ción de m iles de dólares. ^

EJERCICIOS

1 2 .6

[ulosejercicios 1 a 4, escriba los primeros cinco elemiaosdeuna sucesión aritmética cuyo prim er elemenw ay sudiferencia común es d.

14. H alle el d éc im o e lem en to d e una sucesió n aritm éti c a si su p rim e r elem en to e s 8 y el tercero e s 2. 15. H alle el p rim e r e lem en to d e u n a su cesió n aritm éti c a si su o ctav o elem en to e s 2 y su d iferen cia c o m ún es - 2 .

I (i) as 5, d - 3

(b) a —

10, d = —4

1 (i) a * -3, d = 2

(b) a —

16, d = —5

i

(b) a =

*, d = 2.y

16. E l n o v e n o e lem en to d e u n a su cesió n aritm ética es

(b) a =

u + v, d = —3ü

28 y el v igésim o p rim ero e s 100. ¿C u ál e s el d eci m o q u in to elem en to ?

(a) a - -5, d - - 7

4 (i) a = 20, d = 10

&losejercicios 5 a 8, escriba los primeros cinco ele vólos de una sucesión geom étrica cuyo p rim er tímenloesa y su razón común es r.

Mi)fl*5,r = 3

(b) a — 8,

| 1 a 1 3, r = 2

9

l

• Ma)a = -

(b) a — 2 , =

2

16’ r

3

8 1, r = -

3

(b) a -

jr y

r— r= y r = ,:—

5

1

/

u

(b) a — - ,

r=

Jifa

Vrcicios 9 a 12, determine si los elementos forsucesión aritmética o una sucesión geométri¡ornan sucesión, escriba los dos siguientes

1 7 . L o s tre s p rim ero s e le m e n to s d e una sucesió n arit m é tic a so n 20, 16 y 12. ¿ Q u é lu g a r o cu p a el ele m en to -9 6 ?

— 18.5 E n la sucesió n aritm ética cu y o s tres prim eros ele V 2 m entos son "

y j . ¿C uál sería el cuarto elem ento?

19. H alle el tercer elem en to de u n a sucesió n geo m étri ca si su q u in to e lem en to e s 81 y su n o v en o e lem en to es 16. 2 0 . Si el p rim er elem en to d e una sucesión geom étrica e s £ y el o cta v o elem ento e s - 1 6 . h alle el sexto e le m ento. 2 1 . Halle la razón com ún de una sucesión geométrica cuyo tercer elem ento es - 2 y su sexto elem ento es 54.

-5 lt,V2.V6.3V2 12,7.2

(b ) 1, 3, 9 (d ) - 6, 10, - 1 4 (b ) 2, - 4 , 8 id ) J . J . J

3? , 2, 2. 1.11 i ! ; 6-2- ! »}{J 7

( b) i . i , ¿ (d ) x, 2x + y, 3 x + 2 y

(b) 3~2, 3 0, 32 |

*

(d ) i , /, 2t — s

'' si ^ ü(x^ ím o elemento de una sucesión aritmé*>nmer elemento es 2 y el segundo es 5.

2 2 . Si el p rim e r elem en to de una sucesión geom étrica es 1 y la razón co m ú n es 3. d eterm ine el m enor nú m ero d e cu atro dígitos que represente un elem ento de esta sucesión geom étrica. 23. E n la su c esió n g e o m é tric a c u y o p rim e r elem en to e s 0 . 0 0 0 3 y su ra zó n co m ú n e s 1 0. ¿ q u é lu g a r o c u p a el e le m e n to e s 3 0 0 0 0 0 0 ? 24. En la sucesión geométrica cuyos tres prim eros ele mentos son 27. -1 8 y 12, ¿qué lugar ocupa el elem en two - -720 ^?

CAPÍTULO 1 2

788

25. 26.

T IM A S D I Á L G E B R A

(a) Inserte cuatro m edios aritm éticos en tre 5 y 6; (b) inserte cinco m edios geom étricos entre I y 64. (a) Inserte siete m edios aritm éticos entre 3 y 9; (b) inserte tres m edios geom étricos entre 162 y 2.

27. (■) Encuentre la m edia geom étrica en tre i y - 6; (b) Encuentre la m edia geom étrica de los n ú m ero s

40. L a c a lific a c ió n d e u n e stu d ia n te en el pnmero ¿ d o c e e x á m e n e s , e n su c u rs o d e álgebra, fue 43. t» e m b a rg o , e n c a d a e x a m e n su cesiv o fue 5 más o* e n e l a n te rio r. ¿ C u á l e s la m e d ia aritm ética (proa*, d io ) d e la s d o c e c a lific a c io n e s?

41. U n e m p le a d o d e s e a c o lo c a r, e n un aparador, ca* d e d e te rg e n te e n fo rm a p iram id al de modo que k

9. 21 y 49.

c a p a in fe rio r c o n te n g a 15 c a ja s, la siguiente cqi 28. (a) Encuentre la media geom étrica de 16 y 25; (b) Encuentre la media geom étrica de lo s n ú m e ro s j i 4 y 6.

N 2 ( 3 / - 1) S 2i - 1 S

s u c e s iv a m e n te , h a s ta te n e r u n a caja am ba. ¿Cuán ta s c a ja s d e d e te rg e n te son necesarias para U pirá

En los ejercicios 29 a 34, encuentre la suma de las se ries.

30. (a)

te n g a 14 c a ja s , la s ig u ie n te c a p a 13 cajas, y*¡

3

1

(b) 2 2' i* 1 (b) 2 ( - 3 ) ' i—

12 2 ( 8 - 2t)

50 i (2* - 1) I« 1 »■

e l p rim e r p ie , $ 1 0 0 p o r el se g u n d o , $120 por d ta c e r, y a s í su c e s iv a m e n te ; e l c o sto de cada pie per fo r a d o e s $ 2 0 m á s q u e e l co sto del pie amerar ¿ C u á l e s la p ro f u n d id a d d e u n pozo cuya perfora c ió n c o s tó $ 2 3 4 0 0 ?

tra e u n a p in ta * y se re lle n a c o n agua. Si este pro«

10

(b) 2 (1.02)' 20

(b) 2 (5* - 1)

d im ie n to

se

re p ite

se is

v eces,

¿qué pane

fr a c c io n a ria d e l c o n te n id o o rig in al queda en d to n e l?

44, S i u n a c iu d a d tie n e u n a p o b lació n de 5 000 habi ta n te s e n 1 9 7 1 , y se in c re m e n ta 20% cada cinco

34. (a) y / a y ¡TÍ \ 3 j

42. U n a c o m p a ñ ía c o b ra p o r p e rfo rar un pozo 180 p
43. D e u n to n e l q u e c o n tie n e u n galó n de vino, te ex

12

33. (a) 2 (1 .0 2 )lm|

m id e ?

«

I ( M

a ñ o s , ¿ c u á l e s la p o b la c ió n esperada para d añe

2001?

35. Halle la m edia aritm ética del siguiente co n ju n to de calificaciones: 7 2 .5 3 .8 5 ,7 4 .6 2 y 83.

45. A u n c o n tra tis ta q u e n o c u m p le con el plazo ñjax

36. Encuentre la sum a de todos lo s en tero s p o sitiv o s menores que 100.

$ 8 0 0 p o r d ía p a ra c a d a u n o d e los primeros diez

37. Encuentre la sum a de to d o s lo s e n tero s p o sitiv o s pares que constan de dos dígitos.

38. Encuentre la sum a de to d o s lo s e n tero s m ú ltip lo s de 8 entre 9 y 199. En los ejercicios 39 a 47, resuelva el enunciado del problema empleando como modelo matemático una su cesión o serie, aritmética o geométrica. No olvide es cribir una conclusión.

39. La cantidad de SI 000 se d istribuye e n tre cu a tro personas de m odo que cad a p erso n a, d e sp u és del primero, reciba $20 m enos que la p reced en te. ¿Cuánto recibió cada persona?

d e la c o n s tru c c ió n d e u n ed ificio se le multa a» d ía s d e re tra s o , y p o r c a d a d ía adicional subsecuen te la m u lta s e in c re m e n ta e n $16 0 cada d ía Si d c o n tra tis ta e s m u lta d o c o n $ 2 0 160, ¿cuántos día m á s s e d ila tó la c o n stru c c ió n ?

46. S e d e b e n a p ila r a lg u n o s tro n c o s en capas de modo q u e la c a p a s u p e rio r te n g a u n tronco, la siguiente c a p a c o n te n g a d o s tro n c o s , la siguiente tenga tres tro n c o s , y a sí su c e s iv a m e n te , cada capa contiene u n tro n c o m á s q u e la c a p a sup erio r precedente » h a y 190 tro n c o s , d e te rm in e si todos los troncos p u e d e n u tiliz a rs e e n ta l agrupam iento, y en *-• c a so , ¿ c u á n to s tro n c o s h a y en la capa inferior'

47, S e d e p o s ita n p a g o s d e $1 000 en un fondo « a m o rtiz a c ió n c a d a se is m eses y la cuenta reditúa

N-de T. Medida de capacidad equivalente a 0.568 de litro en Inglaterra y 0 473 en Estados Unidos

1 2 .7

m

TEOREMA P E I BINOMIO

789

10% de interés compuesto de m anera semestral. ¿Cuánto habrá en el fondo inm ediatam ente des pués de efectuar el vigésimo pago?

crementa en 3, y el tercer número se incrementa en 5; los números resultantes forman una sucesión geo métrica. Determine los números originales.

Encuentre una sucesión de cuatro núm eros, tal que d primero de los números sea 6 y el cuarto 16, de modoque los tres primeros números formen una su cesiónaritmética y los tres últimos formen una suce sióngeométrica.

50. Tres números cuya suma es 3 forman una sucesión aritmética, y sus cuadrados forman una sucesión geo métrica. ¿Cuáles son los números?

á, Tres números forman una sucesión aritmética que

51. Explique por qué la media geométrica de dos nú meros positivos diferentes es menor que su media aritmética. .*

úeneuna diferencia común de 4. Si el primer nú merose incrementa en 2, el segundo número se in

52. Demuestre el Teorema 3 mediante inducción mate mática.

12.7

TEOREMA DEL BINOMIO OBJETIVOS

1. 2. 3. 4. 5.

A p r e n d e r y a p lic a r la n o ta c ió n facto rial. A p r e n d e r y a p lic a r la n o ta c ió n d e coeficientes binom iales. A p r e n d e r y a p lic a r el te o re m a d el binom io. D e m o s tr a r el te o re m a d el b inom io p o r in ducción m atem ática. A p r e n d e r y a p lic a r la fó rm u la d el r-ésim o térm in o en un d e s a r r o llo b in o m ia l. 6. E m p le a r e l tr iá n g u lo d e P asca l p a r a e n c o n tra r los coeficientes e n u n d e s a r ro llo b in o m ia l.

U n a p o ten cia d e un binom io es un tipo especial de serie denominada d e s a r ro llo b in o m ia l. E n esta sección se presentará el teorema del bi nomio , el cual propo rcio n a el desarrollo de

(a + b )n donde n es cu alq u ier entero positivo. En la discusión del teorema del b inom io se em plearán dos notaciones con las cuales necesitará fami liarizarse. U n a es la n o ta c ió n fa c to ria l n\, léase “n factorial”, la que se define p o r

n\ ® ft(n - IX * - 2 ) * . . . * 2 • | j

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 l ' = l

2' = 2 ■ 1

= 2

3! = 3 • 2 - 1

= 6

C om o n i = n (n -

1)(n — 2 ) * . . . * 3 • 2 * 1

4! = 4 • 3 • 2 • 1

= 24

■*

C A P ÍT U L O 1 2

t e m a s d e á l g e b r a

y (n - 1)! = (n - lK n - 2)

3 • 2 • 1

se infiere que n! as n(n - 1)! En particular, 5! a: 5 • 4!

y

26! = 26 • 25!

A dem ás, si se sustituye 1 por n en la fórm ula (1), se obtiene 1! = 1(1 - 1)! o, equivalentem ente, 1! = 1 • 0! Por tanto, se define 0! = 1

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 A fin de sim plificar —i, prim ero se escribe 10! = 10 • 9 • 8 • (7!) y des pués se divide el num erador y el denom inador entre 7!.

10! _ 10 • 9 • 8 • (7!) 7! 7! = 10-9-8 = 720

4

También se necesitará la n o tac ió n d e coeficientes binomiales léase “n sobre r ”, que se define com o sigue: si n y r son enteros positi vos y r á n ,

(n \ W

n(n - l)(n - 2) • . . • • (/i - r + 1) “

H

Note que un coeficiente binom ial es un núm ero entero. Además,

1 2 .7

TEOREMA DEL BINOM IO

791

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 D e la definición

/7 \

7 ■6 • 5

\3 /

3 *21

(5 \ _ 5 - 4 -3 - 2 - 1

= 35

M

\5/5

• 4 • 3 • 2 • 1\ 0 /

= l

En el ejem plo ilustrativo 3 se mostró que m

* 1. De manera más

general, de la definición se deduce que = 1

El teorem a siguiente presenta otra fórmula para calcular

TEOREMA 1

Si n es un entero positivo y r es un entero no negativo, y r < n, entonces

ni r\(n — r)\

r)

D em ostración

(:)

De la definición, si r es un entero positivo,

n(n - l)(/i - 2) • . . . • (n - r + 1) rl n(n - l)(/i - 2)

+ 1) . (* I ril H

(n ~ r)\

'

ni r\(n - r)! Laa fórmula también es válida si r - 0 porque Íq J

1y

792

CAPÍTULO 12

TIMAS PE ÁLGEBRA

► EJEMPLO 1

Cálculo de un coeficiente binomioI

C alcule el coeficiente binom ial indicado mediante dos métodos pnm ero utilice la definición, después aplique el Teorem a 1 (b )

(a)

6 6

(c)

(!)

Solución Del Teorem a 1

(a) De la definición 5-4-3

= _5[_

3-2-1

3!2! = 5 • 4 ♦ 3 «2 • 1 3 - 2 1 2 1

10

10

=

Del Teorem a 1

(b) De la definición 2 • 1

6\

= _6 !_

4 •3 •2 • 1

6/

6!0!

6 •5 •4 •3 6 •5 i

6!

1

6 !(1) 1

(c) De la definición

Del Teorem a 1

= 4 1

C)

= 4

ñ\ l /=

ü. — 1!3! = 4 •3 -2 •1 1-3-21

ì 4 El siguiente teorema se necesitará en la demostración del teorema del binomio.

TEOREMA 2

C

K

- . ) - ( ■ : ' )

1 2 .7

D e m o stra c ió n

TiORSMA DBL BINOMIO

793

Del Teorem a 1

+ r)!

ni

(r -

l)![/t - ( r -

n - r + l

+

1)]!

ni

r!(n - r)! u - r + 1 (r - l)!(w - r + 1)( ' r (n - r + l)/ 2 ! (r) / 2 ! rl(n - r + 1)! r\(n - r + 1)! [(w — r + 1) + r]nl r\(n - r + 1)! (n + l)/i! r\(n + 1 - r)l (n + 1)! r\(n + 1 - r)! n + 1

E nseguida se considera el desarrollo binomial de

(a + b)n para valores específicos de n.

*/S II

n= 1 n= 2 n= 3 n= 4 n n = 6:

(« + bY = a + b (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2

(a (a (a (a

+ b? = a 3 + 3 a 2b + 3ab2 + b 3 + bY = a 4 + 4a 3b + 6a2b 2 + 4a b 3 + b 4 + bY = c 5 + 5 a 4b + 10 a 3b 2 + 10 a 2b 3 + 5 ab4 + b 5 + b)6 = a 6 + 6 a sb + 15a4b 2 + 20a3b 3 + 15a 2b 4 + 6 ab5 + b C ada ecuación, después de la primera, se obtiene al multiplicar ambos m iem bros de la ecuación anterior por a + b. En el miembro derecho de cada ecuación, el prim er término puede escribirse con un factor £° y el últim o térm ino con un factor 0°. Por tanto, cada término contiene po tencias enteras no negativas de a y b. También observe las siguientes propiedades de cada uno de los seis desarrollos: 1. Hay n + 1 términos en el desarrollo. 2. L a sum a de los exponentes de a y b en cualquier término es n; de un término al siguiente, el exponente de a disminuye en 1 y el ex ponente de b aum enta en 1. 3. (i) El prim er término del desarrollo es

C APÍTULO 1 ^ -

T f“ * * PE ÁIQEBKA

(¡i) El segundo término es

r " - '* - ( '

ny

,b

(iii) El tercer término es

- (n 2> ”-v (iv) El cuarto térm ino es n ( n -\) (n - 2 )

=

3-2*1

\3 /

(v) El quinto térm ino es

B(n -

1 )0 , - 2 )0 ; - J ) a . - 4¿, 4 . 4 •3 • 2 •1

.- v \4 /

(vi) El término que contiene a b r es

„ ( „ - 1)(» - 2)

■ . • (» - r + l ) a,_r¿>, _

(n y,b,

(vii) El últim o térm ino es

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 El desarrollo binomial de (a + b )Hcuando n = 6 ts

(a + b f = a 6 + 6a5b + 15a 4b 2 + 20a3b 3 + 15a2b4 + 6ab5 + Se mostrará que las propiedades anteriores se aplican a este desarrollo1. Hay siete términos en el desarrollo. . 2. La sum a de los exponentes de a y b en cualquier término es 6, cada término al siguiente, el exponente de a disminuye en 1 y e ponente de b aum enta en 1. 3. (i) El prim er térm ino del desarrollo es

(U) El segundo término es

12.7

TEOREMA PEL B IN O M IO

795

(iii) El tercer térm ino es 6 •5

«

,

2

/6

a 4b :

1

\2

(Iv) E l cuarto térm ino es 6 •5 3 •2

-

(;> ■ »

(v) E l q u in to térm ino es 6 •5 •4 •3 , ------------------a 4 - 3 * 2 1

O - '1

(vi) El sex to térm ino es 6 •5 •4 •3 •2 5 - 4 • 3 • 2 - 1'

- o

ab

(vii) El últim o térm ino es

C ) El ejem p lo ilustrativo 4 y el análisis precedente sugieren una ex presión sem ejante p ara el desarrollo de (a + b)n, donde n es cualquier entero positivo. E sto se establece en el teorem a del binomio.

Teorema del binomio

TEOREMA

Si n es cualquier entero positivo,

(a + b f « ( " j a " + ( ” ) « " ' ' * + ( j ) " “' 2* 2 +

+ f

Demostración

Parte l:

y

<

b

'

y

-

+ (;)»

Se hará m ediante inducción matemática.

Primero se verifica que el teorema sea verdadero para n = 1. Se

tiene

= 1 •a + 1 ' b = a + b

796

CAPÍTULO 12

T IM A S P I Á L G E B R A

Parte 2: esto es,

Ahora se supone que el teorema es

verdadero n

<*+»*- ( j y + (‘y - * + ( j y - v + ...

+ G - i H “ 1+(¡V

«

Se desea probar que el teorema es verdadero para n = k + i & que

, . +

u,íÍ

Í

»

Primero se escribe

(a + b)k+l = (a + ¿)(
(a + ¿>)*+l = + ( ; y - v + ...+ ( * * (a +

+

k . 1/ +

k VO

+

, y * + (¡)*‘

k \ , ík

2)

VI

Del Teorema 2

* + ib

1

(5)

Además, como [q | = 1 y í ” ] = 1 , se tiene

(6)

12.7

TEOREMA D l l BINOM IO

797

Al sustituir de (5) y (6) en (4), se obtiene

(a + b f * '

=

r

+

o

(

* ; 'y * i (* ;

^ .- v .

+. . .

♦ (*;> ■ * la cual es la Ecuación (3).

Conclusión: Se ha probado que el teorema es verdadero cuando n = 1, y tam bién se probó que cuando el teorema es verdadero para n = k, lo es para n = k + 1. Por tanto, mediante el principio de inducción mate mática, el teorema es válido para todos los valores enteros positivos de n. m

► EJEMPLO 2

A p lic a c ió n d e l te o r e m a d e l b in o m io

Desarrolle y sim plifique mediante el teorema del binomio (x1+ 3y)5.

Solución Al aplicar el teorema del binomio cuando a = x 2, b = 3y y n = 5, se tiene

+ 3y)5 = Q

u 2)5 + ( J ) ( * 2)4(3y)' + Q ^ t f y ) 2

+

+ (4) ^ ) W

= 1 • *"> + yjc«(3 y) + | ^ * W +

>

+ ( j)

^ ) 5

+ ¿ ^ * ' ( 2 7>3)

4 -3 * 2 - 1

+ I (243_y3)

= x X0 + 1 5 * 8y + 90x6y 2 + 2 7 0 jxAy 3 + 4 0 5 * 2y 4 + 2 4 3 y 5 <

► EJEMPLO 3

A p lic a c ió n d e l te o re m a d e l b in o m io

D esarrolle y sim plifique ( 2V r -

f

Solución S e e m p le a el teo rem a d el bin o m io con a = 2 ^ * = I

7 98

CAPÍTULO 1 2

n M A S ^ jÁ L G E B R A

iV t -

+ i L l-2 3 •2

= 16t 2 - 3 2 t1/2 + — -

4 ? + 4

D el teo rem a d el b in o m io , el térm in o q u e contiene b r en el desarro llo d e (a + b )n e s el ( r + l)-é s im o térm in o , el cual es

a n~rb r E l r-é sim o té rm in o d el d e sa rro llo d e (a + b )n se obtiene a partir de esta ex p resió n al su stitu ir r p o r r - 1. A sí,

el r-é sim o té rm in o e n (a + b )n es ( V

n r - i

a n-r+ \Jjr-\

j

O b serv e q u e el ex p o n e n te d e b e s 1 m en o s q u e el núm ero del término, y la su m a d e lo s e x p o n en te s d e a y b e s n.

EJEMPLO 4

D e te rm ina ció n d a un térm ino particular an un d e sarro llo b ln o m la l

D eterm ine e l sé p tim o té rm in o d e l d e sa rro llo d e (2u > - ¿v‘) “ S o l u c i ó n A l aplicar la fórm ula del r-ésim o término con r = 7, n = 1Q “ = 2 « 3 y * = - i v \ se tiene

12.7 TEOREMA PKL BINOMIO

► EJEMPLO 5

799

Determinación de un término particular en un desarrollo blnomlal

D eterm in e e l té rm in o q u e c o n tie n e x 3 en el d esarro llo de (x - 3jc-1) 9. S o lu c ió n

D e la fórm ula p ara el r-ésim o térm ino, co n a = x, b = -3x~l

y n = 9 , el r-ésim o térm ino tiene los factores ,r—1 „ 11 —2r El té rm in o q u e c o n tie n e x 3 es aq u él en el cual el exp o n en te d e x es 3; de d o n d e se re su e lv e la ecu ació n

11 - 2 r = 3 r = 4 D e m o d o q u e el c u a rto térm in o es el térm ino buscado, y es

=

— 2 2 6 8 a: 3

E x iste u n m o d e lo interesan te p ara los coeficientes en el desarrollo binom ial. L o s co eficien tes pued en escribirse co m o en el siguiente arre glo triangular:

1 1 1 1 1,

3

1 3

4 5

1 2 6

10

1 4

10

1 5

1

El p rim er renglón con tien e los coeficientes de (a + b ) e l segundo renglón co n tien e los coeficientes en el desarrollo de (a + b)2\ en el ter cer renglón están los coeficientes de (a + b ) 3; y así sucesivam ente. Ob serve qu e cad a renglón com ienza y term ina con el núm ero 1. También observe q u e c a d a uno de los otros núm eros es la sum a de los dos nú m eros del renglón anterior, uno a la derecha y otro a la izquierda del núm ero. P or ejem plo, los núm eros del quinto renglón son los coefi cientes para (a + b ) 5. L os núm eros prim ero y últim o son 1. El segundo núm ero, 5, es la sum a de 1 y 4 ; después, 10 es la sum a de 4 y 6; 10 es la sum a de 6 y 4 ; y 5 es la sum a de 4 y 1. Este arreglo triangular se de nom ina triá n g u lo de Pascal, llam ado así en honor al matem ático fran cés Blaise Pascal (1 6 2 3 -1 6 6 2 ), quien lo em pleó en su trabajo sobre probabilidad, aunque se conoció antes de su tiempo.

800

C A P IT U L O 12

TIM AS D f ÁLGEBRA

► EJEMPLO 6

Empleo del triángulo de Pascal para d e te rm in a r lo s c o e fic ie n te s d e un desarrollo b in o m ia l

Desarrolle (a + b)1 determinando primero los coeficientes con el trián gulo de Pascal. Solución Se escribe el quinto renglón y después se obtienen los renglones sexto y séptimo mediante el procedimiento descrito ante riormente.

\

1

\

7

/

X

5\

21

/ 10\

/ 10\

) I5\ 35 > \

35

/

> <

Z 1

5\

21

X

7

/

1

Los coeficientes para ( a + b ) 7 están en el séptimo renglón. Por tanto,

(a + b)1 = a1 + la 'b + 21 a 5b 2 + 35 a 4b 3 + 35 a 3b 4 + 21 a 2b 5 + la b 6 +

4

Cuando n es pequeño, el uso del triángulo de Pascal para determi nar los coeficientes de (a + b)n es ventajoso. Sin embargo, si n es grande o se desea un término específico, deberá emplear el teorema del binomio o la fórmula del r-ésimo término.

EJERCICIOS 12.7 En los ejercicios 1 a 4, simplifique la expresión racio nal

6!

1* (a) ^

9! 8 2. (a) 4!7-! . 12! 3. (a)

8! 6 !

32! 28! . 49! (*>) 51! 777 3! + 4!

(b) —

(b)

8!

2! 5! 4- , a ) i r

<■>0

10. (a + b)9

9. (a + b)8

11. (* - y)9

12 .

13. (x + 3y) 5

14. (2x - y)6

15. (4 - a b f

16. (21 + j 2)7

17. (3ex - 2e~x)5

18. (2u~l - 3M2)5

19. ( a 1/2 + b 1' 2)*

(jr - y )10

x~

6n~7!

En los ejercicios 5 a 8, determine el número.

¡-

En los ejercicios 9 a 20, desarrolle la potencia del bi nomio.

»> o

En los ejercicios 21 a 26, encuentre los primeros cua tro términos del desarrollo de la potencia del binomioy simplifique cada término. 21. (2 a-2 + y 2)*2

22. (a3 - 2b2)'A

23. (« " ' -

3 o 2) "

2 4 . {e**2 ~ e - x/2f

‘ ■“ ’ 0

"” (!)

25. ( a 1/3 -

b '/3)9

2 6 . (§ a 2/3 + * * T

’ • <■>

1» S )

27. D eterm in e el sé p tim o té rm in o del desarrollo de

*•«»(” ) « o

\a + fe )14. 28. D e te rm in e el s e x to té rm in o d el desarrollo de {\a

-

12.8 IN T R O D U C C IÓ N A LAS SERIES INFINITAS

el sexto término del desarrollo de Oetermine el décimo término del desarrollo de

V

11

Determine el término m edio del d e sa rro llo d e

32. Determine el término medio del desarrollo de $> + #"• j3. Determine el término q u e c o n tie n e a 6 e n el desarrollo de ( | + o ) 12.

34. Determine el término que contiene x 12 en satollo de (x2 - ~ )ir

el d e

J5. Determine d término que no contiene x e n el d e limito de (x2 - 2X"2) 10. 36. Determine el término que co n tie n e t~ A en el desarrollo de ( j f 2 - r 1) 13. &los ejercicios 37 a 40, escriba el desarrollo bino■úí al determinar primero los coeficientes con el

táigulodePascal 37. (a + b)9

38. (jc - y)8

39. (r - r)12

40. (u + o )11

hlot ejercicios 41 a 44, utilice la siguiente interpre*** bl coeficiente binomial: í” ) es el número de ^ ^ aCiones d* n elementos tomando r a la vez,' esto de numeras en que se pueden tomar r b un conjunto de n elementos.

IN T R O D U C C IÓ N OBJETIVOS

41. Una liga de fútbol consta de ocho equipos. Si cada equipo juega con otro, ¿cuántos juegos se llevarán a cabo en la competencia? 42. ¿Cuántos comités diferentes de 3 personas cada uno pueden elegirse de un grupo de 12 personas?

'"*>“•

r * -« * * ■ • [

801

43. Un estudiante tiene 10 carteles para colocar en las paredes de su habitación, pero sólo hay espacio para 7. (a) ¿De cuántas maneras puede elegir los carteles que serán colocados? (b) De cuántas ma neras puede seleccionar los 3 carteles que no colo cará? 44. Un estudiante debe contestar a 8 preguntas cuales quiera de un examen que contiene 12 preguntas, (a) De cuántas maneras diferentes puede el estu diante elegir las 8 preguntas a responder? (b) ¿De cuántas maneras diferentes puede el estudiante ele gir las 4 preguntas que no contestará? 45. Pruebe que

lr,

=í " 1 r K

46. Explique la igualdad del ejercicio 45 en términos de las preguntas hechas en los ejercicios 43 y 44. 47. (a) Desarrolle (2x - 3 )5 mediante el teorema del binomio, (b) Verifique el desarrollo en la graficadora y explique cómo lo hizo. 48. Demuestre mediante inducción matemática que la fórmula siguiente es verdadera para todos los valo res enteros positivos de n:

(i + n = n +

2]

3

J

;

2

,

,

a l a s s e r ie s i n f i n i t a s

i . Describir una serie infinita. 1 Aprender y aplicar la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita. 3. Expresar un decimal infinito periódico como una fracción. 4. Resolver enunciados de problemas que tienen una serie geométrica infinita como modelo matemático. 5. Aprender y aplicar la fórmula para una serie binomial. 6. Calcular con series binomiales. 7. Aplicar las series infinitas a sen x, eos x y e* para calcular valores aproximados de números irracionales.

802

CA PÍTU LO !?

TIM ASDSÁLOEBRA

ñ

A quí, en la sección final de este texto, se dará una introducción de lo que se espera al estudiar series infinitas en el curso de Cálculo. H asta ahora el estudio de las seríes se ha limitado a aquellas aso ciadas con sucesiones finitas. U na serie infinita, denotada por ü \ + d i + 03 + . . . + a„ + . . . es la serie asociada con la sucesión infinita tfi. 02. ¿*3.

ñ

On. . .

Pero, ¿qué sig n iñ ca la “sum a” de un núm ero infinito de términos?, y ¿bajo qu é circunstancias tal sum a existe? Las respuestas a estas pre guntas dependen del concepto d e límite, el cual se estudia en Cálculo. S in em bargo, p ara ciertas seríes infinitas se puede dar una idea intuiti va d e cóm o interpretar tal sum a. S uponga que u n pedazo de cuerda que m ide 2 pie de longitud se corta a la m itad. U no de los trozos de longitud 1 pie se aparta, y el otro se vuelve a cortar a la m itad. U no de los pedazos de longitud j pie se retira, y el otro se corta a la m itad de m odo que se obtienen dos trozos, cada uno de | p ie de longitud. U no d e los pedazos de longitud j pie se aparta y el otro se co rta a la m itad; obteniéndose así dos pedazos de ¿ pie de longitud. D e nuevo se repite el procedim iento. Si esto se conti nú a indefinidam ente, el núm ero de pies de la sum a de los pedazos se parados puede considerarse com o la serie infinita

1 1 II

1

1

+ 2 + 4 +

1 8

1

+ 16 + • • • + T -

+

. .

(1 )

E sta serie es un ejem plo d e una serie geométrica infinita, la cual se en co n trará en C álculo. L a serie (1 ) es una serie geométrica infinita co n r = | . C om o se inició con un pedazo de cuerda de 2 pie de longi tud, se aprecia intuitivam ente que la sum a de la serie ( 1 ) debe ser 2. Esta situación se puede dem ostrar al aplicar nuestro conocimiento de seríes geom étricas. Del T eorem a 4 de la Sección 12.6, si Sn es la suma de N térm inos d e una serie geom étrica,

0 i( l

- r N)

Por tanto, para un número finito N de términos de la serie (1) con a¡ = 1y

Sn —

<=>

Sn =

ü )[i -

2[ i

-

(iH

o n

1 2 .a

INTRODUCCIÓN A LAS SKRIiS INFINITAS

803

Si se ap lica e sta fó rm u la a los valo res sucesiv o s d e JV, se ob tien e

Sx

2 [1 2 2

-

- (i)'] 2 (0 1

- (i)4] ~ 2 (A) -¿

2 [1 2 2

Si = 2 [ 1 - (i)*] = 2 - 2 (i) = 2 -i s, = 2 [i - m = 2 - 2 (¿) - 2 -tfe

& = = = 56 = = =

- (i)3] 2 - 2 (¿) 2 -¿ 2 [ 1 - G)6] 2 - 2 (¿) 2 —32 2 [1

- (i)'0] 2 ~ 2 (ifc) z2 ----— Jl2 2 [1

y a sí sucesivam ente. S e observa, d e m an era intuitiva, qu e el valor de

Sn se pu ed e ap ro x im ar a 2 tan cerca co m o se d esee tom ando N tan grande co m o sea necesario. En otras palabras, se p uede hacer la dife ren cia en tre 2 y Sn tan p eq u eñ a co m o se d esee al tom ar N suficiente m ente grande. P o r tanto, se estab lece que S n se aproxim a a 2 cuando N crece sin lím ite, lo q u e se e scribe

Sn —

2

co n fo rm e

(2 )

N —■ +oo

C o n sid ere ah o ra la s e n e g e o m é tric a in fin ita general:

a\ + a¡r + a \r 2 4* a \r 3 + . . . + a \r n~x + . . .

1

|r | <

L a sum a d e los prim eros N térm inos de esta serie esta d ada por

= y ± - r ( \ - r">

(3)

C onsidere lo que ocurre a r N conform e N crece sin límite, cuando | r | < 1. P o r ejem plo,

( É H - G H - G B ..... © ■ /2 V 2 /2 V 4 ( 2 \9 \3 / m r W ” 9’ W

1024

1

............( r -

5 9 ,0 4 9 ’

/2 V ° 27............w

1024 59,049’

±

De m odo m ás general, para cualquier r para la cual | r | < 1, cuando N crece sin lím ite, | rN | se hace más pequeflo; esto es,

rN —

0

conform e

N — +oo

•0 4

CAPtTUiO 12

TIMAS D I ÁLGEBRA

Por tanto, de (3)

Sn — ~— !— I - r

conforme

N -* + oo

Este enunciado nos conduce a la siguiente definición.

DEFINICIÓN

Suma de una sene geométrica infinita

La suma S de una serie geom étrica infinita, para la cual | r | < 1 , está determ inada por

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Para la serie (1) considere a\ = 1 y r = esta serie, se tiene de la definición

=

Por tanto, si 5 es la suma de

1 1-1 2

Este resultado es acorde con el enunciado (2).

<

O bserve que la sum a de cualquier serie geométrica infinita está definida sólo cuando | r | < 1. Si se tiene una serie geométrica infinita para la cual | r | > 1, entonces cuando N crece sin límite, rHno se aproxim ará a un núm ero finito; de m odo que refiriéndose a la fórmula (3), es evidente que la serie infinita no tiene una suma. Si r = 1, enton ces Sn = Na\t y conform e N crece sin lím ite, | Sn I también lo hari

►

EJEMPLO

1

Determinación d e la turna efe una f r i * geométrica Infinita

D eterm ine la sum a de la serie geométrica infinita

6

+ 4 + f + . . . +

6 (§)"“ '

+ . . .

12.3

Solución

INTRODUCCIÓN A LAS SIMES INFINITAS

De la definición con a\ -

IOS

6yr =|

= 18

4

U na aplicación de las seríes geom étricas infinitas consiste en ex presar un determ inado decim al infinito periódico como úna fracción. De modo que se puede mostrar que un decimal infinito periódico repre senta un núm ero racional. Para hacerlo se escribe una barra sobre el período. Por ejem plo, 0.333 representa 0.3333 . . . y 4.0242424 repre senta 4 .0 2 4 2 4 2 4 2 4 ....

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 El decim al infinito periódico 0.333 puede escribirse como 0 .3 + 0 .0 3 + 0 .0 0 3 + 0 .0003 + . . . 3

o

—

10

3

,

3

+ —— *+■ - —

100

,

1000

3

-f- - 1■■■

10 000

-j- . .

la cual es una serie geométrica infinita con sum a de esta serie, 5=

1

3

-f-

- -f-

10 "

a\ = y r = Si S es la

I - r _3_

10

Por tanto, el decimal infinito periódico 0.33? y la fracción j son repre sentaciones para el -mismo número racional. <

► EJEM PLO 2

E xpresión d* un d ecim a l infinito periódico ^ to m o u n a fracción

E xprese el decim al infinito periódico 4.0242417 com o una fracción. Solución El decim al dado puede escribirse com o

4 + [lOOO + 100 000 + 10000000 + 4

+

JQ 2 I.+ I

+ .•

J

L a serie e n tre c o rc h e te s e s u n a serie geo m étrica infinita para
la

cual

1 — JL 1

100

24

1000

—

99

100

— 2*.

_

990 4

~ TU A sí, 4 .0 2 4 2 4 2 4 = 4 + ^

__ 664 ~ 165

► EJEMPLO 3

4

Solución d e l enunciado de un problema que tien e un a serie geom étrica in fin ita como m odelo m atem ático

S e d e ja cae r u n a p elo ta d esd e u n a altu ra d e 36 m , y cada vez que toca el su elo reb o ta una altu ra d e | d e la d istan cia desde la que se dejó caer. D eterm in e la distan cia total reco rrid a p o r la p elota antes de que quede en reposo. S e a d m etro s la d istan cia total recorrida por la pelota. P ara o b ten er d, se deben su m ar las distancias que recorre al caer, así c o m o las d e rebote. D e este m odo

Solución

d = 3 6 + [(3 6 )(§ ) + ( 3 6 ) ( | ) + (3 6 )(f )2 + (3 6 )(f)2 + . . . ] = 3 6 + 2 [ ( 3 6 ) ( f ) + ( 3 6 ) ( |) 2 + . . . + (36)(§)" + . . . ] L a serie entre corchetes es una serie geom étrica infinita con fii = (36X \ ) y r = | . Si S es la su m a d e esta serie, entonces

= 72 Por tanto,

d = 3 6 + 2 (7 2 ) = 180 C onclusión:

La pelota recorre 180 m antes de quedar en reposo.

_

________________1241 INTRODUCCIÓN A IA S SUMflS IWWWTÜl

907

E n la S e c c ió n 12.7 se d e m o s tró el te o re m a d el b in o m io p a ra el d e s a rro llo d e (a + b)n c u a n d o n es u n e n te ro p o sitiv o . E l te o re m a si g u ie n te e s ta b le c e q u e e l b in o m io (1 + b)n tie n e u n d e sa rro llo cu an í l d y d o n e s c u a lq u ie r n ú m e ro rea l y | b | < 1 . E l d e sa rro llo , I d i d e n o m in a d o s e r ie b in o m ia l, es o tra serie infin ita q u e se en co n trará en ---------el cu rso d e C álculo.

TEOREMA 1

Si n e s c u a lq u ier n ú m ero real y | b | < 1, entonces (i ; v

= i +

+

n(n -

1 )(«

-

2) , 3

-

2)

b3 + . . . +

3!

n(n -

1 )(k

•. . . •

(n

-

+ IV 1) 1r +

r\

br i

L a d em o stració n d el teo rem a se o m ite debido a que depende de conceptos estu d iad o s en C álculo.

► EJEMPLO 4 ñ

Representación de una serie b ino m ial

E scriba u n a serie binom ial p ara (1 + V F )-1 si 'íx < 1. D el T eo rem a 1, cuan d o n = -1 y b = Vx,

Solución

+ V i)-' m l + ( - ! ) * • « + -+ <=>

(1

+

a s

1

■ - (x'nY + L i l L p L J l ^ l / y

+ (-l)(-2 )(-3 ).....(-r) r!

-

^ 1 /2

+ x - XW

+

.

.

.

+

(-1 y x r/2

+

^

O bserve que la serie infinita obtenida en el ejem plo 4 es una serie geom étrica infinita en la qu e el prim er térm ino es 1 y la razón común es - x in. Se definió la sum a de una serie geom étrica infinita para la cual su p rim er térm ino es a i y su razón com ún es r, con | r | < 1 , como

808

/■a p í WJLO 12

TEMAS PE ÁLGEBRA_______________________________________ _____________ __

Si a\ = \ y r - - x my en to n ce s

ai

_

1

1- r

1-

( —jci/2)

1 1 + x x/1 (1 + J t1/2) - '

=

e n co n c o rd a n c ia c o n el re su lta d o d el ejem p lo 4. T a m b ié n las se rie s in fin ita s se em p lean p a ra aproxim ar números irracio n ales. E n lo s d o s e je m p lo s sig u ien tes se m uestra el procedi m ien to p a ra ca lc u la r lo s v alo re s ap ro x im ad o s d e V25" y sen 0.3 me d ia n te serie s in fin itas. E n los eje rc icio s 31 a 4 2 se le pedirá que e n c u en tre v alo re s a p ro x im ad o s d e o tro s nú m ero s irracionales mediante seríe s infinitas.

► EJEMPLO 5

C álculo con u n a sorlo b ln o m la l

II E n cu e n tre el v a lo r d e ^125 co n ap ro x im a c ió n d e tres cifras decimales em p le a n d o la serie b in o m ial p a ra (1 + x )m. V erifiq u e la respuesta en u n a calcu lad o ra.

Solución

D el T e o re m a 1 se tien e, si | jc I < 1 ,

C om o

"Í/25 = Í / Z Í y % 27

= 3 en to n ces ■ ^ 2 5 = 3 (1 -

& y '3

D e la serie b in o m ial p a ra (1 + x )m co n x = -

= 1 ~ 0 .0 2 4 7 -

(4) se tiene

0 .0 0 0 6 - 0 .0 0 0 0 3

El cu arto térm in o tien e un ce ro en el c u arto lugar decimal, y asi cad a térm ino sucesivo. S e p uede p ro b ar qu e ningún término después del tercero, afecta a las cu atro p rim eras cifras decim ales. Al empicó los tres p rim ero s térm in o s de la serie, se obtiene (1 -

¿ ) ,/3 -

0 .9 7 4 7

12.a

INTRODUCCIÓN A LAS SOBES IN H N IT A S

>09

Al sustituir en (4), se tiene ^ 2 5 * 3 (0 .9 7 4 7 ) = 2.9 2 4 1 Si se redondea a tres decim ales se consigue $25 % 2.924. En la calcu ladora se obtiene el m ism o resultado. 4 r f / dv! [ / l~Sxi

^

c u *° aPrencêr^ cóm o expresar muchos tipos de funciones ’nîn^tas Tres de tales seríes que representan una función para todos los valores de x son

001110 ser*es

5! ~ 7!

2!

l

ir

H

-

4!

(2/ i - 1 )!

(5)

, H ) - 1* 2"

(6)

'*

w

1

X 5

3!

V

eos x =

t H ) - 1* *

X 3

6!

.- x — 2 x. X3 -A -2! 3!

( 2n -

2 )!

+

4!

(7) (* -!)!

En el ejem plo siguiente se utiliza la serie (5) para aproximar un valor particular de la función seno. Se le pedirá que emplee las seríes (5), ( 6) y (7) en los ejercicios 37 a 42.

► EJEMPLO 6

E m p leo do u n a torio in fin ita p a r a a p ro xim a r u n v a lo r do la fu n c ió n sono

Encuentre el valor de sen 0.3 con aproximación de cuatro decimales em pleando la serie (5) para sen x. Verifique la respuesta en una calcu ladora.

Solución

D e la serie (5) con x = 0.3, se tiene

se„ 0 .3 = 0 . 3 - i ^ 3!

+ ^

5!

-

^ 7!

+ ...

= 0.3 - 0.0045 + 0.00002 - 0 .0 0 0 0 0 0 0 4 + . . . Ningún térm ino después del tercero afecta a las cinco primeras cifras decimales. De los primeros tres términos de esta serie, se tiene sen 0.3 * 0.29552 Si se redondea a cuatro cifras decimales se obtiene sen 0.3 « 0.2955. El mismo resultado se obtiene en la calculadora. *

^^rt; la sum a de la

gyrizl,in IJ timas pe Algebra

•io

3.

6

60 -

4. 4 -

+

0.6

- . •.

1.6 + 0.64 -

38.

Jjdy C alcule el valor de ~ con aproximación de c u atro decim ales utilizando la serie (7). V erifique la respuesta en la calculadora.

1 + (1 .0 4 )-' + (1 .0 4 )”2 + . . .

7. f - 1 + ! “ • . . |

fláy C alcule el valor de e con aproximación de " A s cu atro decim ales em pleando la serie (7).

. . .

5. | + i + ¿ + . . .

6.

37.

-2

|

¡

1 1 1

En los ejercicios 39 a 42, emplee la serie {5) 0 (6) para calcular el valor de la Junción con aproximación de cuatro decimales. Compruebe la res puesta en la calculadora.

II

...

9. 3 + V 3 + 1 + . . .

1 «. (2

+ V 3) +

1

+

(2

- V 5) + . . .

En los ejercicios 11 a 22, exprese el decimal infinito periódico como una fracción.

39. eos 0 .4

40. sen 1.2

41. sen 22°

42. eos 17°

11. 0.666

12. 0 .2 7 2 7 2 7

13. 0.818181

14. 0 .2 5 2 2 5 2 2 5 2

15. 2.999

16. 3 .1 4 1 6 1 4 1 6 1 4 1 6

En los ejercicios 43 a 47, resuelva el enunciado del problema empleando una serie geométrica infinita como modelo matemático. AJo olvide escribir una con clusión.

17. 1.234234234

18. 7.999

19. 0.465346534653

20. 2 .0 45045045

21. 3.225444

22. 6.5071 l l

23. Exprese el decimal infinito periódico 2.464646 como una fracción mediante dos métodos: (a ) con sidere 2.464646 como 2 + 0.46 + 0.0046 + 0.000046 + . . . y (b) considere 2.464646 com o 2.4 + 0.064 + 0.00064 + 0.0000064 + . . . . 24. Exprese el decimal infinito periódico 5.1696969 como una fracción m ediante dos m étodos: (a) considere 5.1696969 com o 5.1 + 0.069 + 0.00069 + 0.0000069 + . . . y (b) 5.1696969 com o 5.16 + 0.0096 + 0.000096 + 0.00000096 + . . . .

dy En los ejercicios 25 a 30, encuentre los primeros ñ 53 cuatro términos de la serie binomial para la ex presión proporcionada. 25. (1 + x 2) ' 1 26.

(1

- x)1'3

27. (1 - 2x)in 28. 29.

(1 (8

- x T) - in + x)U3

30. (3 + * ) - '

1 1

x2 <

1*1 1*1

< < i

x2< x\ <

1 8

*1 < 3

[TTdjJ En los ejercicios 31 a 36, calcule el valor con vJ M

aproximación de tres cifras decimales utilizando una serie binomial. Compruebe la respuesta en la cal culadora. 31. V T 0 4

32. ^(1 9 9

33. ^ 6 3

34. V38

35. V62Q

36.

1

43. S e d eja c a er un a pelota desde una altura de 12 m. C ad a vez q u e to c a el suelo rebota a una altura de tres cuartos d e la d istancia desde la cual se dejó caer. D eterm ine la distancia total recorrida por la pelota antes d e q u e quede en reposo. 44. ¿C uál es la d istancia recorrida por una pelota de te nis antes d e q u ed ar en reposo si se deja caer desde una altura d e 100 m y si, después de cada caída, re bota ^ d e la d istancia desde la que se dejó caer. 45. L a trayectoria d e cad a oscilación de un péndulo, después de la prim era, es 0.93 de la longitud de la trayectoria d e la oscilación precedente desde un lado al otro. Si la trayectoria de la primera oscila ción m ide 28 cm d e longitud, y la resistencia del aire ocasiona el estado d e reposo del péndulo, ¿qué distancia recorre el extrem o oscilante del péndulo antes de qu e qu ed e en reposo? 46. L os lados d e un triángulo equilátero miden 4 uni dades; p o r tanto, su perím etro es de 12 unidades. S e construye o tro triángulo equilátero dibujando segm entos rectilíneos que pasan por los puntos m edios del prim er triángulo. Los lados de este triángulo m iden 2 unidades, por lo que su períme tro es de 6 unidades. Si se repite este procedimien to un núm ero ilim itado de veces, ¿cuál es el perím etro total de todos los triángulos que se for man ? 47. D espués de que una m ujer que viaja en bicicleta, retira sus pies de los pedales, la rueda delantera gira 100 veces durante los primeros 10 segundos. Después de cada periodo sucesivo de 10 s la rueda

giracuatro quimas partes de lo que g iró el p e río d o J0 UT Determine el número de g iros de la ru ed a an-

sum e la sene para cos t a i veces la serie para sen l y obtenga la sene para e". (b) Utilice la fórmula d e E uler para mostrar que

; ,¿sdeque la bicicleta se d e ten g a .

L gfl-jjfntre una serie geométrica infinita c u y a tu rn a na 6 y t*l que catla té rm in o s e a c u a tro v eces la ' ¿ j a t o d o s los térm inos subsecuentes. | i J¡¡ Lofórmula de Euler , e n h o n o r a L e o n h a r d

« * ♦

1* 0

la cual es una ecuación sorprendente que contiene las cinco constantes importantes: t, i, n, I y 0. 50. [/ / g

La serie infinta

I ;/_§ Fulrr.es

11 ■ eos /

♦ i sen /

| donde i ■ V - T . Esta fó rm u la p ro p o r c io n a u n a de-

cuyos términos son los recíprocos de los enteros

Haciénde e". (a) M uestre q u e la fó rm u la d e E u le r

positivos se denomina serie armóniw ¿.Cuántos

; a amístente con las se ríe s (5 ), ( 6 ) y (7 ) e fe c tú a n -

térm inos de la serie armónica se requieren «Mes de

di lo siguiente: obtenga u n a s e rie p a ra e 11 s u s titu

que la sum a sea mayor que (a) 2. ib ; 3. (ci 4 y (d)

yendo ¡i por x en la s e rie (7 ) y s im p lifiq u e las

8?

pondas de i; sustituya t p o r x e n las seríes (5 ) y ( 6 );

sum a finita? Explique cómo llegó a tal respuesta.

(e) ¿Cree usted que la sene armónica tiene una

REVISIÓN DEL CAPÍTULO 12 VISION RETRO SPECTIVA P

cuatro casos con respecto a los factores del de

A fin de resolver u n s is te m a d e e c u a c io n e s li neales. primero se e s c rib ió e l s is te m a e n fo rm a

nominador: (i) todos son lineales y ninguno se

triangular y después se e m p le ó la s u s titu c ió n r e

repite; (ii) todos son lineales y algunos se repi

cesiva para d esp ejar las v a ria b le s . D ic h o p r e

ten; (iii) todos son lineales y cuadráticos y nin

ndimiento condujo al m é to d o d e re d u c c ió n d e

guno se repite; (iv) todos son lineales y cuadráticos y algunos cuadráticos se repnen

f a t t para resolver u n s is te m a lin e a l m e d ia n te •*nces, donde se a p lic ó e l te o r e m a q u e p ro porciona las reglas p a ra e f e c tu a r o p e ra c io n e s

1 2.4

etonentales con re n g lo n e s s o b r e lo s e le m e n to s

sigm a y se empleó para escribir una serie ea

k una matriz. S e m o s tró c ó m o e l m é to d o p u e d e

form a abreviada.

*®Pfe*ne para d e te rm in a r si u n s is te m a d e ^•■Gones lineales e s c o n s is te n te o in c o n s is te n *

corno d ependiente o in d e p e n d ie n te .

El estudio de sucesiones y seríes se basó en el concepto de función. Se introdujo la notación

| 2i

El principio de inducción matemática fne la b ase de las demostraciones por inducción mate

^ Propiedades d e las m a tric e s in c lu y e ro n el

m ática de fórmulas, desigualdades, enunciados

O m inante de u n a m a triz , e l p ro d u c to d e un

y teoremas.

í*câr y una m atriz, e l p ro d u c to d e d o s m a tn ***• d idéntico m u ltip lic a tiv o p a ra u n c o n ju n to

Para las sucesiones aritméticas y geométricas se

®*nces cuadradas d e u n o r d e n p a rtic u la r, y

obtuvieron fórmulas para el N-ésimo elemento

^ * * n o m ultiplicativo d e u n a m a triz . E sta s

y p ara las sum as de las seríes asociadas. Se em pleó la inducción matemática en las demostra

^ ■ s ta le s x ap licaro n p a ra r e s o lv e r sis te m a s L

12.6

^

mediante m atrices. se em plearon s is te m a s d e e c u a c io n e s li-

^ e* P*ra d esco m p o n er u n a e x p re s ió n ra c io fracciones p a rc ia le s , s e c o n s id e ra ro n

cio n es

de

las

fórmulas

para d

N-éumo

elemento. Después se resolvieron enunciados de problem as que tienen estas seríes como mode los m atem áticos.

in

CAPÍTULO 1 2

T IM A S P I Á L O iB R A

12.7

El teorema del binom io, dem ostrado m ediante inducción matemática, se aplicó para desarrollar (a + b)n en valores positivos de n, y se presentó la fórmula para encontrar un térm ino particular en tal desarrollo.

1 ¿8

Se aplicó la fórm ula para la sum a d e una serie geométrica infinita y se m ostró cóm o puede emplearse para expresar un decim al periódico

inconm ensurable co m o una fracción. También se resolvieron en u n ciad o s d e problemas que tienen u n a serie g eo m étrica infinita como mo d elo m atem ático. O tra serie infinita, la serie binom ial, n o s perm itió desarrollar (1 + j,y> c u a n d o n e s cu a lq u ie r n ú m ero real y | b | < \ L a serie bin o m ial y la s seríes para sen x, eos x y e* se u tilizaro n p ara calc u lar valores aproxi m ad o s d e n ú m ero s irracionales.

► EJERCICIOS DE REPASO En los ejercicios 1 a 4, encuentre el conjunto solución del sistema mediante el método de eliminación. Si las ecuaciones son inconsistentes o dependientes, indique si ese es el caso. x + 2y + 2z = 1 x - 3y - 2z = 4 6x + y - z = 21

8.

2w + 2x

-

w + 2x

-

z ~ 3

2z

2

=

+ y + z = 0 _ 2z = - 4 iv - * x

w

En los ejercicios 9 a 11, el sistema tiene más variables que ecuaciones. Emplee el método de reducción de Gauss para determinar el conjunto solución del siste ma.

6x

+ 4y + 5z = 14 Ax - 3y - z = 2 14* - lOy - 9z = 10

9.

10.

4x - 3y - 6z * 7 3. fox - y - 4z = 3 3jc - 2y - 5z = 5

2x - 3y + 2z = -1 - 3 x + 4y - 4z = 3

2x + 3y + 4z = 5 5x - y - 3z = - 1 3w +

11. 3x + 3y - 5z = 4 4. \6x + 2y - 3z = 7 3x - 5y + 9z = 5

x + 2y - 2z = 6

2w - 3x - 4y + 3z = 1 w + 2x + 3 y - 5 z =

En los ejercicios 5 a 8, utilice el método de reducción de Gauss para hallar el conjunto solución del sistema. Si las ecuaciones son inconsistentes o dependientes, in dique si ese es el caso.

En los ejercicios 12 a 14, el sistema tiene más ecuacio nes que variables. D etermine p o r medio del método de reducción de Gauss, si las ecuaciones son consistentes o inconsistentes. Si son consistentes, encuentre el con junto solución. 3x + 4y = 5

5.

3x - 5y

+ 2z = 4

4 jc + 2y

+ 7z » 1

5x - 9y

- 3z = -1 1

3* - 2y 6x + 4y

- 2z = 3 + 3z = 3

12.

2jc -

3y =

9

5jc +

8y

7

=

2x + 4 y + 3 z =

6.

3x -

7.

6y

13.

+ z = -2

w + x + y + 3z x — y 2 w - 2 jc y + 6z 4w * ~ 2y - 3z

3w +

* 3 = o = 4 = 0

6

14.

jc

-

2y + 3z =

2x

-

x

+

6y - 6 z 2y - 6 z

8 1

= 9 = 9

z =

5

y + 3z «

6 8

4x

- 4y +

2x tx 3x

+

+ 3y+ 4z =

- 2y + 3z =* 5

REVISIÓN P I l CAPÍTULO 12 £n ¡os ejercicios 15 y 16, ev a lú e e l d eterm in a n te.

16. (a)

(b)

6 -2

3

3 - 1 1 5 3 4

3 2

3 -4

1 0

(b)

-4

8 -2

19. (a)

(b)

-3

i r ■1 f 0 1 -1 1

(b)

'

1

-1

20, (*) {1 - 1] 1 -1

(b)

1 -2

0

31.

2

‘2

0 -10

1 3'

33.

6*

1

+ 9

x 2 + 2x - 2

2

x 2 - 3x +

6

2x

3 - 3*2 -

2x + 3

3 4 2*2 + 1

X A + JE + X - 4 JT +

-2 1 0‘ 0 -1 1 3

8 6

8)

6x +

x3 - x2 - x -

32.

2

3

[-1 2 0]

6 x - 5y - 2z =

x 3 - 6 x 2 + 8x x2 -

-2 1 -1

3

2x - 3y - 4z =

i5 x - 32

1)(*2 +

(x -

'2 -1 0' 3

-2 2 18. (a) -3 3 5 -1 - 3

2x:

29.

2 -3

30. (b ) - 4

4 x + 2y - 3 z = 10 28.

E n lo s ejercicios 29 a 34, descom ponga la fra cc ió n en fr a c c io n e s parciales.

1 -1 1 1

-4

0' -3

0

2y + 3z = 2

En los ejercicios 17 a 20, obten g a e l p r o d u c to . -4 17. (a) 2 1

y =

27. U x - 3z = - 2

2

5 -7 15. (a)

\2 x +

813

4 2

X - X2 + 9

34.

jc(jc + 3 x + 3

)2

0 2 En lo s ejercicios 3 5 y 36, escriba los prim eros seis ele

En lot ejercicios 21 y 22, la m atriz dada e s H. P ruebe que HesmerúbU, encuentre H ~ y m uestre q u e H H = /j.

~1

22. -2 4

21. 2 - 1' 3 4

3 5 . a„ = (-1 )'

r

1

3 6 . a„ = ( - 1)"

24.

0 - 4 3 1

2 7

Ilos ejercicios 25 a 28, resuelva e l sistem a d e ecuaI mediante matrices. C alcule la inversa d e la m a|
*+2z *2 y -5 |2 j r - 3 z - - 5

n2 +

2n

1

E n lo s ejercicios 3 7 y 38, escriba la serie y encuentre su suma.

3«.

37. ¿

i í 4 /■2 i - 1

E n los ejercicios 3 9 y 40, escriba la serie con notación sigm a (no e s única la solución).

2 2-

39. i r

0

[ i + y - z * 1 * )2* - y + 3z » -1 2jr - 3z = 1

P P

1

-

3"

“1 -2 - 1*

1 60

‘ 4 12 1-3 0 5

1

2n

“ 3.

&i lot ejercicios 23 y 24, la m atriz d a d a e s H . D ete rm i ne ¡i H et invertible. S i H es invertible, ca lcu le H ~ y "*tnreque HH 1= ly í

m en to s d e la sucesión cuyo elem ento general se p ro porciona.

i r « + i r * _ J_r«

4a

8a

16*

107*_

40. - r + i r 3 - i r 5 + ± r

4

7* T

± X9 + ± X U

I3A T 16*

En los ejercicios 41 a 44, halle la suma de la serie.

«• I

3 |Í V

42. X

(3* + 1)

814

«

I »= I

i + J

4 4. £ d - 0 1 ) ' / =!

£>i los ejercicios 45 a 48, encuentre el número. 4! + 5!

45. (a)

12! 4! 9!

(b )

46. (*)

3! 7! 9!

(b )

47.

(a )

(9

10

7

66.

4! + 5!

6!

(b )

16

49.

(a) 1 2 ,1 6 ,2 0

(b) 2 7 , - 9 , 3

50.

(a) 1 0 ,4 , - 2

(b)

1 ,5 ,2 5

51.

(a) -Jl, Í 2 , 1

(b)

| , 2, 3

(b) ¿ f L \

E n cu en tre el octav o elem ento de una sucesión g eo m étrica cu y o tercer elem ento es 192 y cuyo sép tim o elem en to es 12 .

6 7 . (a ) ¿C u án to s n ú m ero s entre 100 y 500 son divisi b les en tre 8 ? ( b ) ¿C uál es su suma?

68.

(b)

En los ejercicios 49 a 52, determine si los elementos forman una sucesión aritmética o geométrica. En caso de que así sea, escriba los siguientes dos elementos de la sucesión.

52 (a) 5 .5 5 ,4 .4 4 ,3 .3 3

6 5. E n cu en tre el trigésim o elem ento de la sucesión aritm ética cu y o decim oséptim o elemento es y c u y o cuadragesim oséptim o elem ento es 31.

3! + 5!

3 4«. (a)

64. E n cu en tre la m edia del siguiente conjunto de cali ficaciones: 8 3 , 9 1 , 6 2 ,7 5 ,9 6 ,8 4 ,7 0 y 89.

D em u estre que lo s recíprocos de los elementos de una sucesión g eo m étrica tam bién forman una su cesión geom étrica.

En los ejercicios 69 y 70, halle la suma de la serie geo métrica infinita.

69. 0.4 + 0.02 + 0.001 + . . . 70. 2 + V2 + 1 + . . . En los ejercicios 71 y 72, exprese el decimal infinitope riódico como una fracción. 71. 0.727272 72. 4.6636363 En los ejercicios 73 a 76, emplee inducción matemática a fin de demostrar que la fórmula es verdadera para todos los valores enteros positivos de n. ñ

53. Encuentre x de modo que los núm eros -¡^, i y x formen una sucesión geométrica. 54. Encuentre x de modo que los núm eros 25, x y 9 formen una sucesión geométrica. 55. Encuentre el prim er elem ento de una sucesión geométrica cuyo cuarto elem ento e s - 3 y cuyo o c tavo elem ento es -2 4 3 . 56. Encuentre la suma de los enteros positivos entre 10 y 100. 57. En la sucesión aritm ética cuyos tres prim eros ele mentos son - 8, - 5 y -2 , ¿qué lugar ocupa el elemen to es el 52? 58. Inserte tres medios aritméticos entre -1 y 15. 59. Inserte tres medios aritm éticos entre j y | . 60. Inserte siete medios geométricos entre I y 64.

73. X

(4¿ + 0 * " í2* + 3)

/-i 74. ¿ 4 - = * /-I

^

1 (3 i - 2)(3i + 1 )

1-1 76. £

í(2 í +

1) =

3n + 1

4 « 3 + 9n 2 + 5 «

/-i

En los ejercicios 77 y 78, desarrolle la potencia del bi nomio. 7 7. (2 x -

y )1

78. (a -f 3b )1

En los ejercicios 79 y 80, escriba y simplifique los pri meros cuatro términos del desarrollo del binomio.

61. Inserte cinco medios geométricos entre 192 y 3.

7 9.

62. (a) Encuentre la media aritmética de 2 y 18. (b) Encuentre la media geométrica de 2 y 18.

81. E n cu en tre el d écim o térm in o del desarrollo de

63. (a ) Encuentre la media aritmética de 32 y 8 . (b) Encuentre la media geométrica de -3 2 y - 8.

8 2. E n c u e n tre el té rm in o m ed io del desarrollo de

(x +

2 * - ' ) 20

80. ( 4 » v - j n >2) 15

( / 1/2 - / - 1« ) 15.

(jc 2 + 3y) *.

« V I S IÓ N P E I CAPÍTULO 12

¡

0, Encuentre el término que

contiene a z

12 en el de

satollo déte2- ! ) 11.

04

Encuentre el término que contiene a u 40 en el de( n » sarrollo de 12 « 4 - —

I fji losejercicios 85 y 86, calcule el valor de la función [ ce*aproximación de tres decimales mediante una serie

faornul Verifique la respuesta en una calculadora.

86.

ü ,S f

■\íiT

bbs ejercicios 87 a 90, calcule el valor de la función | caí aproximación de cuatro decimales empleando las

mies (5), (6) o (7) de la Sección 12.8. Compruebe la | nspuesiaen la calculadora. i 17. sen0.6 » .£

88.

eos 1.3

90. >íe

I 91. Encuentre una ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje y, si contiene los puntos ( 2 ,3 ) , ( 1 , 0) y(S, 36). Véase la sugerencia para el ejercicio 39 delaSección 12.1. | 91 Determine una ecuación de la circunferencia que contiene los puntos (-2 , -1 ) , (5, 0) y (2, 1). Véase la sugerencia para los ejercicios 37 y 38 de la Sec ción 111 . I f" los ejercicios 93 y 94, resuelva el enunciado del

pnNena empleando un sistema de ecuaciones lineales j modelo matemático. No olvide escribir una conI dwwfl. Ub hombre tiene un total de $15 000 en tres in versiones: bonos que pagan 6% de interés anual; na cuenta de ahorros que paga 5% de interés *ual; y un negocio. Hace dos años el negocio PeT)W 3% y su ingreso neto de las tres inversiofue $550. En el último año, el negocio ganó ** y su ingreso neto de las tres inversiones fue »10. ¿Cuánto tiene en cada una de las inversioaes? I

Determine la medida en grados de los ángulos de * triángulo. si la medida del primero es la mitad fe b medida del segundo, y la medida de los tres í vece* la medida de los dos primeros.

( || L* . j 1^, Qtrcicios 95 a 98, resuelva el enunciado del

empleando como modelo matemático una su

a iS

cesión o serie, aritmética o geométrica. No olvide es cribir una conclusión. 95. Una pila de troncos tiene 30 en la capa inferior,

29 en la siguiente capa, y así sucesivamente, y la capa superior contiene 5 troncos; cada capa excepto la última consta de un tronco menos que la inmediata inferior. ¿Cuántos troncos hay en la pila? 96. En cierto cultivo el número de bacterias crece

20% cada 30 minutos. Si hay 1 000 bacterias ini cialmente, encuentre una fórmula para determinar el número de bacterias al final de t horas. ¿Cuán tas bacterias hay en el cultivo al final de 5 horas? 97. (a) ¿Cuántos ascendientes, con aproximación de

miles, tuvo usted hace 20 generaciones, suponien do que cada ascendiente aparece sólo una vez en su árbol genealógico? (b) ¿Cuál es el número total de ascendientes, con aproximación de miles, en las 20 generaciones? 98. Una persona empresta $20 000 e hipoteca su casa.

Está de acuerdo en que al final de cada año, du rante 10 años, pagará $2 000 del principal (capi tal) junto con el interés a una tasa de 15% anual del adeudo pendiente durante el año. ¿Cuál es la cantidad total que debe pagar en 10 años?

En los ejercicios 99 y 100, utilice la interpretación del coeficiente binomial proporcionado para los ejercicios 41 a 44 de la Sección 12.7. 99. ¿De cuántas maneras puede un tenor elegir tres

arias de ópera de una selección de cantadas en una audición?

10 que serán

100. Doce personas están calificadas para operar una

máquina que requiere cuatro personas a la vez. ¿Cuántos grupos diferentes de cuatro personas pueden operar la máquina?

En los ejercicios 101 y 102, resuelva el enunciado del problema empleando una serie geométrica infinita como modelo matemático. No olvide escribir una con clusión. 101. Una hoja de papel se partió a la mitad y después

cada mitad se partió otra vez a la mitad, y así su cesivamente, hasta que la división en dos se haya efectuado 30 veces. Luego, cada uno de los peda zos de papel se coloca en una pila uno sobre otro. Si la hoja original tiene un espesor de 0.01 cm, ¿cuál es la altura de la pila con aproximación de kilómetros?

tló

CAPÍTULO 12

TEMAS DE ÁLGEBRA

102. La trayectoria de cada oscilación de un péndulo, después de la primera, es 80% de la trayectoria de la oscilación anterior desde un lado al otro. Si la longitud de la trayectoria de la primera oscilación es de 18 pulg, y si la resistencia del aire finalmen te lleva al péndulo al estado de reposo, ¿cuánto re corre el extremo móvil del péndulo antes del reposo? 103. Tres números cuya suma es 35 forman una suce sión geométrica. Si se resta 1 del primer número, 2 del segundo y 8 del tercero, las diferencias re sultantes forman una sucesión aritmética. ¿Cuáles son los números?

104. D em uestre m ediante inducción matemática que la siguiente desigualdad es verdadera para todos los valores enteros positivos de n: 2 " +3 < (n + 3)!. 105. P ruebe m ediante inducción matemática que la si guiente fórm ula es verdadera para todos los valo res enteros positivos de n: n

I i=

fi 11

+

3

3" /

-

v

h

4) y

106. D em u estre m ediante inducción matemática que x - y es un factor d e x 2" - y 2" para todos los valo res enteros positivos de n.

A p é n d ic e A.1 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES U na operación b in a r ia en el co n ju n to R d e núm eros reales es una re gla que asigna a d os n ú m ero s reales a y b cualesquiera, tom ados en un orden definido, un n ú m ero real c. L a a d ic ió n (o su m a ) es una opera ción binaria en R p o rq u e asig n a a los n ú m ero s reales a y b un número, denotado p o r a + b, d e n o m in ad o s u m a d e a y b. L os núm eros a y b se llaman s u m a n d o s (o té r m in o s ). L a m u ltip lic a c ió n tam bién es una operación bin aria e n R p o rq u e la m u ltip licació n asig n a a los núm eros reales a y b un n ú m ero d e n o tad o p o r abt d en o m in ad o p ro d u c to de a y b. Los núm eros a y b se llam an fa c to re s . L os siguientes siete axiom as establecen las leyes q u e rigen las o p eracio n es d e adición y m ultiplica ción en el co n ju n to R. E n lo s ejem p lo s ilustrativos subsecuentes a los axiom as, se em p lean elem en to s d el co n ju n to d e núm eros naturales, y se supone q u e se co n o cen la su m a y el producto de los núm eros natu rales.

AXIOMA 1

Leyes de cerradura

Si a y b son n ú m ero s reales, entonces a + b y ab son números reales únicos.

El A x io m a 1 g aran tiza q u e siem pre y cuando las operaciones de adición y m ultip licació n se efectúen sobre d os núm eros reales, la sum a y el producto son n ú m ero s reales. El A x io m a 1 se denom ina leyes de cerradura porq u e se d ic e q u e un co njunto es c e rr a d o con respecto a una operación si, siem p re q u e la o peración se realiza sobre elem entos del conjunto, se o b tien e co m o resultado un elem ento del conjunto.

t> EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 (a) El conjunto { 1 , 2 , 3, 4} no es cerrado con respecto a la adición porque siem pre qu e la operación de adición se efectúa sobre ele m entos de este conjunto, no siem pre se obtiene com o resultado un elem ento del conjunto. Por ejem plo, 2 + 3 = 5, pero 5 no es ele m ento del conjunto. (b) El conjunto de los núm eros naturales pares es cerrado con respec to a la adición y a la m ultiplicación porque siem pre que la adición o m ultiplicación se realiza sobre dos núm eros naturales pares, la

818

APÉNDICE

su m a y el p ro d u cto son núm eros naturales pares. Por eje 8 son núm eros n aturales pares, y 6 + 8 = 1 4 , y 6 • 8 J^0,6y y 4 8 son núm eros n aturales pares. a 14

El A x io m a 2 establece qu e la su m a y el producto de dos números reales n o se afectan p o r el orden d e los núm eros.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 (a ) P or la ley c o n m u tativ a p ara la adición, 4 + 9 = 9 + 4. (b ) P o r la ley c o n m u tativ a p ara la m ultiplicación, 5 • 7 = 7 • 5. <

AXIOMA 3

Leyes asociativas

Si a, b y c son núm eros reales, entonces

a + (b + c) = (a + b) + c

y

a(bc) = (ab)c

A unque la adición y la m ultiplicación son operaciones binarías, las expresiones a + b + c y abe son im portantes porque los símbolos d e agrupación (paréntesis y corchetes) pueden insertarse de cualquier form a posible sin afectar los resultados. D el A xiom a 3 se deduce que la sum a de tres núm eros reales puede obtenerse agrupando los suman dos de dos form as, y que el producto d e tres núm eros reales puede ob tenerse agrupando los factores d e dos m aneras.

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 (a ) 2 + 3 + 4 = 2 + (3 + 4) * 2 + 7 *

9

2

+ 3 + 4 = (2 + 3) + 4 = 5+ 4 = 9

A.1 PROPIEDADES DE LOS NÚM ERO S REALES

(b ) 3 • 5 •

AXIOM A 4

6

= 3 • (5 •

6)

3 • 5 •

6

= (3 • 5 ) •

= 3 -3 0

= 1 5 -6

= 90

= 90

819

6

m

Ley distributiva

Si a , b y c son n ú m ero s reales, entonces

a{b + c) = ab + ac

>


(a ) C u an d o se ev a lú a 4 (7 + 2), los paréntesis se em plean para indicar q u e p rim e ro d eb e efectu arse la operación de adición de 7 + 2 y en to n ce s se m u ltip lic a la sum a p o r 4. P or tanto, se tiene 4 (7 + 2) = 4 • 9 = 36 (b ) A l ev alu a r (4 • 7) + (4 • 2), los paréntesis indican que primero se realiza cad a un a de las m ultiplicaciones y después se suman los pro d u cto s obtenidos. E ntonces se tiene (4 • 7 ) + (4 • 2 ) =? 28 +

8

= 36 O bserve que de los incisos (a) y (b) se concluye que 4(7 + 2) = (4 • 7) + (4 • 2) y esta igualdad es un caso especial del A xiom a 4.

AXIOMA 5

Existencia de los elementos idénticos

E xisten dos núm eros reales diferentes 0 y 1, denominados idén tico a d itiv o e id é n tico m u ltip licativ o , respectivamente, tales que para cualquier núm ero real a,

a + 0 - a

y

a • 1 « a

<

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 8 + 0 = 8

y

8 - 1 = 8 5

AX IO M A 6

Existencia del inverso aditivo

P a ra c a d a n ú m e ro re a l a, e x is te u n n ú m e ro real, denom inado in* verso aditivo de a (u opuesto de a), d e n o ta d o p o r - a , tal que

a + (-a) = 0

o


E l o p u e sto d e 4 s e d e n o ta p o r - 4 y 4

+ (-4 ) = 0

AX IOM A 7

Existencia del inverso multiplicativo

P a ra c a d a n ú m e ro real a , e x c e p to c e ro , e x iste un núm ero real, d e n o m in a d o inverso multiplicativo de a (o recíproco de a), de n o ta d o p o r \

tal q u e

> EJEMPLO ILUSTRATIVO 7 El re c íp ro co d e 9 e s | y

L o s ax io m a s 1 a 7 se d e n o m in a n axiomas de campo, y si estos axiom as son satisfechos p o r un conjunto, entonces el conjunto recibe el n o m b re d e campo e n las d o s o p e ra c io n e s b in a ria s im plicadas. Así. el c o n ju n to R es un ca m p o en la ad ició n y m ultip licació n . Para el con ju n to Z d e en tero s, c a d a u n o d e lo s ax io m as 1 a 6 se satisface, pero el ax io m a 7 no; p o r ejem p lo , el en te ro 2 n o tiene inverso multiplicativo

_______________ A.1 PROPIEPAPES PE LOS NÚMEROS REALES

821

en Z P o r tan to , e l c o n ju n to d e e n te ro s n o e s c a m p o en la adición y la m ultiplicació n . L o s a x io m a s d e c a m p o n o im p lic a n n in g ú n o rd en d e los núm eros reales. E sto es, só lo m e d ia n te lo s a x io m a s d e c a m p o n o se p u ed e esta b lecer q u e 2 es m a y o r q u e 1, q u e 3 es m a y o r q u e 2 , y asi su cesiv am en te. Sin e m b a rg o , se in tro d u c e u n a x io m a q u e p ro p o rc io n a el concepto de q u e un n ú m e ro re al e s p o sitiv o . S e d e n o m in a axioma de orden p o r q u e la n o c ió n d e n ú m e r o p o s itiv o se e m p le a en la S e c c ió n 1.1 p a ra d e fin ir lo q u e s ig n if ic a q u e u n n ú m e r o re a l s e a m ayor que o menor que otro.

A xio m a de orden

AXIOM A 8

E n el c o n ju n to d e n ú m e ro s re a le s e x is te un su b c o n ju n to d e n o m i n ad o n ú m e r o s p o s itiv o s tal q u e (i) si a e s u n n ú m e ro re a l, e n to n c e s e x a c ta m e n te u n o d e los sig u ie n te s tre s e n u n c ia d o s se cu m p le:

a =

0

a es p o sitiv o

- a es n eg ativ o

(ii) L a s u m a d e d o s n ú m ero s p o sitiv o s es p o sitiv a. (iii) E l p ro d u c to d e d o s n ú m e ro s p o sitiv o s es po sitiv o .

C o m o el c o n ju n to R d e n ú m ero s reales satisfac e el A x io m a 8 y los axiom as d e c a m p o , se d ic e q u e R es un c a m p o o rd e n a d o . L o s o p u esto s d e lo s e le m e n to s d el co n ju n to d e nú m ero s positivos form an el c o n ju n to d e números negativos , seg ú n se estab lece en la si g u ien te d efin ició n .

DEFINICIÓN

N ú m e r o n e g a tiv o

El n ú m ero real a e s n e g a tiv o si y só lo si - a es p ositivo.

Se utiliza el térm ino menos para referirse a un núm ero negativo. Por ejem plo, - 5 se lee “ m en o s 5 ” , a sí c o m o “el opuesto de 5 ” . L a anotación - ( - 5 ) se lee “el opuesto d e m enos 5” . Entonces, en resum en, se em plea el sím bolo - de dos form as diferentes: ( 1 ) para denotar el opuesto de un nú m ero real, y (2 ) para d enotar un núm ero negativo. Si x es cualquier núm e ro real, - x denota el opuesto de x. O bserve que -x n o necesariam ente es un n úm ero negativo; si x = - 3 , p o r ejem plo, en to n ces - x = 3.

822

APENDICE

D el A x io m a 8 y d e la defin ició n anterior, se deduce que un núme ro real e s p o sitiv o , n eg ativ o o cero.

>


E n c a d a u n o d e los in ciso s sig u ien tes, se tiene un enunciado que es u n a c o n sec u e n cia in m ed ia ta d e u n o d e los axiom as de campo, el axio m a q u e se a p lica e stá in d icad o a la derecha. ( a ) 5 + ( - 5 ) = 0 ; a x io m a d el in v erso ad itiv o (A xiom a 6) (b ) 1 • y = y\ e le m e n to id én tico p a ra la m ultiplicación (Axioma 5) (c ) x + ( y + 2 ) = (jc + y) + 2; ley asociativa para la adición (Axio m a 3) (d ) 3 + (* + 4 ) = (x + 4 ) + 3; ley conm u tativ a para la adición (A x io m a 2) (e ) 2(5 jc) = (2 - 5 ) jc; ley asociativa para la multiplicación (Axioma 3) ( f ) 8(u + 12) = 8w + 8 • 12; ley d istrib u tiv a (A xiom a 4) <

EJERCICIOS

A.1

En los ejercicios 1 a 24, la igualdad dada es conse cuencia inmediata de uno de los axiomas de campo. In dique cuál axioma se aplica. Suponga que cada variable es un número real. 1. 4 • 5 = 5 • 4 2. (6 + 2 ) + 4 -

15. 3(a + b) — (a + b)3 16. 11 + (y + 7) = (y + 7) + 11 17. a(b + 0) = ab 18. 4(x + y) = 4x +4y

6 + (2 + 4)

3. 8 + 0 = 8 4. 1 ■ y = y 5. (5 + 2 ) + 4 * (2 + 5 ) + 4

6. 17 + 41 = 41 + 17 7. 3(xy) = (3 x)y

8. (7 á)b = b (la )

19. 0 • 1 = 0

20. 0 2 1. 22.

+

0

=

0

w + x(y + z) = *v + (xy + xz) (r + s)u + t ss (s + r)u +

t

23. (r + j) + (/ + m) = r + [j + (/ + «)] 24. (w + x) + ( y + z) - [(w + x) + y] + 1

10 . x + ( y «f x ) ■ ( y + x) + x

En los ejercicios 25 a 36, establezca cuando el conjun to dado es cerrado en la operación indicada y propon cione un ejemplo para ilustrar la respuesta.

11. 7 + (8 + 11) ■ 7 + (1! +8)

25. El conjunto N de números naturales; adición

9.

K+

(- K ) ■ 0

12. b + ( - b ) m 0 U. 4

26. El conjunto de números negativos; adición

i * 1

14. x + 0 ~ x

27. El conjunto de números naturales impares; multi plicación

28. El conjunto de núm eros naturales im pares; adición 29. {0}; adición 30. {0}; m ultiplicación 31. {1}; m ultiplicación 32. {1}; adición

A.1 PROPIEDADES DE IO S NÚMEROS REALES

33. {1,2}; adición 34. {1,2}; multiplicación 35. {0,1}; multiplicación 36. {0,1}; adición

823

Respuestas a los ejercicios impares Ejercicios 1.1 (p á g in a 14) 1.

(a) € ;

(c) £ ;

(b) (c) G ;

(d) C ;7. (a) ß ;

(c) { V 7 . - V 2 ,* } ;

3. (a) N Q Q \

(d) £ ; (b ) Ä;

Z;

(c)

(d) { 1 2 ,0 ,- 3 8 ,5 7 1 }

13L (a) (jt | - 9 < x <

8};

(c) A /Ç Z ;

11. { - 1 0 , - 7 , - V 5 ,

17. (a ) (2, +oo);

(d) Z C Ä

5. (a) Ç ;

(b) £

9 . (a ) { 1 2 ,5 7 1 } ; (b ) {12, f ,0 , - 3 8 ,5 7 1 ,- - ¿ ,0 .6 6 6 ......... 16.34};

(b) {y | - 1 2 < y < - 3 } ;

(c) {a | - 5 < a - 2 £ 7}

(b ) Q Q R ,

(d ) ^

- 1 ,0 , f ,

(b ) ( - 4 , 4 ]

V 2 ,3 , 5 ,2 1 }

15. (a) {jc | 2x + 4 ä 0};

(c) {z | 4z - 5 < 0}

19. (a) (2, 12);

(b) [r | 2 á r <

(b) ( - o o , - 4 ] U (4 , +oo)

8};

21. (a) (2,12);

6

(b) ( - « , - 4 ] U (4, + o o ) 23, (a ) ( - 4 ,0 ] ; (b) ( - o o , 7 ] 2 5 . (a) (jt | 2 < jc < 7 }; (b) {jr | - 3 £ x Z }; (c) (jk | - 5 < x £ 4 }; (d) { x \ - \ 0 ¿ x < - 2 } 27. (a ) (jr | £ 3 ); (b) [ x | * < 0 } ; (c) [ x | jc > -4 > , (d) el conjunto R de números reales 33. (a) r. (b ) - l

2 9 . (a) 7;

(b) J;

(c) 3 - VT;

(d) 3 - V J

31. (a)

6;

(b) 10;

(c) 10; (d)

6 56.;

O» 7 776;

6

Ejercicios 1.2 (p á g in a 29) L 5 fh ) (C) £ ;

15. (a) g ;

2)(3.v + 2)

11. (a)

(b ) ± ;

(b) 9

(b ) 4(x - 2

)2 |

5- - ü

3* (3j + ~3ft

(d )

17. (a) 27;

2 - y |

17 --1

31. - TT— V4 + h + 2

(b) 4;

2 3 . 4(m + l

(c)

6;

’ •<.) 13. (a) 4;

19. (a ) | * \ m y 2-

(c) 81

)2|

K V

(d) 9

« —4 |

25. ? .. Kx + 1

33. =■■■ r- \ --------e = = ' >/2(x + A) + 1 + V2* + 1

35. - - = — — ‘ VxV* +

3 9 ‘ ( x + A ) 2/5 + * l/3( * + /i

)l/3 + *2/3

4 1 ‘ (*> I *

+3 I

-

(c)

2 |5

2 1 . (a) 9 y | y - 2 | ;

~ (2* + 5

27. (a )

L ------- — == + V* + A)

(d ) - f

2

(b ) 2 s | í

)5/2

7

(b ) -0 .0 6 4 ;

),/2

29.

9*5 4x3 2 )*2

+ (3 x + l

37.

Ä ' V/i + 1(/j + 2 + 2VA + 1)

(b) X > 3

I ■* - 3 |;

Ejercidos 1.3 (pág in a 40) 1. (a) 5 + Oí;

(b) 0 + 7/;

5. (a) 12 + 3i; (b) - 4 + Oi 25. 0 + 5 ,

(c ) 3 + 5i;

(b ) 1 - 2i;

7 . (a)

15. O - 7 2 / 27.

- A ,

17.

(d) 3 - 5i

-6 +

(8 -

8- 6/

3. (a)

(b) - 5 +

18V2) + 0 /

2». i + 1 /

3 9. (a ) - i; (b) i; (c) -1 41. (d) a y b no son ambas negativas

0/;

8/

89.

5/;

(b )

8+

19. 53 + 0 /

26/

-8 +

5/;

(c)

-6 + 6i;

11. - 9 + V 5i

21. - 2 4 + 5V 3/

(d) f - § #

13. (a) -1 5 + Oí; 23. - 1 8 + 18^3/

M. i - f | 43. 1 6 - 6 /

33. ^ 35. ¿ 3 45. O

47. O

49. (a) 10, 10;

(b) -1 0 ,1 0 ;

(c) 10¿. 10i;

Ejercicios 1.4 (página 48)

I

. (a) primer cuadrante; (b) tercer cuadrante; (c) cuarto cuadrante; (d) segundo cuadrante 3. (a ) (1 ,2 ) ; (b) ( - 1 , - 2 ) ; (c) ( - 1 ,2 ) (d) ( - 2 ,1 ) 5. (a) ( 2 ,- 2 ) ; (b) ( - 2 ,2 ) ; (c) ( - 2 , - 2 ) ; (d) no se aplica 7 . (a) (—1 ,3 ); (b) ( 1 ,- 3 ) ; (c) (1 ,3 ); (d) ( - 3 , - 1 ) 9. (a) recta horizontal 4 unidades arriba del eje x\ (b) recta vertical unidades a la izquierda del eje y ; (c) puntos a la derecha del eje y; (d) puntos sobre y debajo del eje x I I . (a) el eje x; (b) puntos a la izquierda de la recta vertical 4 unidades a la derecha del eje y (c) puntos sobre y arriba de la recta horizontal a 2 unidades debajo del eje x \ (d) puntos en los cuadrantes primero y tercero 13. (a) 7; (b) -7; 15. ( a ) - 4 ; (b) 4 17. (a) -1 0 ; (b) 19. (b) 5; (c) ( - ¿ ,5 ) 21. (b) 13; (c) ( ^ , - 1 ) 23. (a)

2

6

25. (a) ( |, ¿)

27. I Â B I = 10; I B C \ = V Ï7 ;

I C Á I = 13

\~AC\ * -I4T, \ B C \ = V82,y \ 7 ( B \ 2 + I ¿C 12 * I ÂC I 2

29. V 26; ±

37. 17 V2

\ > /«

39. (-8 , 12)

3 1 .1 ^ 1 = ^ 4 7 ,

41. -2 u 8

Ejercicios 1.5 (página 57) 9. Trace utilizando, (a) {-20. 20] por (-1 , 10};

(b) [-1 , 30} por { -I , 10];

(c) (-2 0 . 20) por [-1 , 10}

11. Trace utilizando: (a) {-1 0 . 10] por [-100. 100]; (b) {-20. 20] por [ -5, I); (c) {-100, 100] por {-5 . 40}

CAPITUL01

L

Trace utilizando:

(a)

[ -2 0 ,2 0 ] p o r J - l , 10];

15. Trace utilizando: (a) [-2 , 21] p o r ( -2 , 21];

(b)

825

[-1 , 30] p or [-1 , 10]; (c) [-2 0 ,2 0 ] por [-1 .10]

(b) [ -2 , 21] p o r [ -2 1 ,2 ];

(c) [-2 , 21] por [-2 ,2 1 ]

¡falostjercicios 17-23, se muestra la gráfica de (i). La parte continua es la gráfica de (ii); la parte punteada es la grcífica de (iii).

j 7. Simétrica con respecto al eje x

19. S im é tric a con respecto al eje x

21. Simétrica con repecto aJ eje x, al eje y y al origen.

E Simétrica con respecto al eje x, al eje I j j i l origen

27. Todas son simétricas con respecto al origen. 29. Todas son simétricas con respecto al eje y.

826

« Q U IS T A S A LOS EJERCICIOS IMPARES

Ejercicios de re p a s o p a r a e l C a p ítu lo V (p á g in a 59) l . (a) Q ,

(b) 0 ;

00 41

(c) N \

(d ) Q

(b) ( - 4 , 1 5 . 0 ) ;

3 . (a) {1 5 };

(c) { - ± 2. - 5 ,0 .7 5 , {};

(d) { - V I ,f u )

5 . (a) ( - , ; (b) ( 2 ,8 ) ; (c) (- o o , 01 U (2, + oo); (d ) ( 1 ,5 ] 7 . (a) 7; (b) V5; (c) 2 - V 3 ; (d) 2 -V T 9. (a) {x | —4 < x < }; (b) {jc | 3 < x < 11}; (c ) [ x | - 1 0 < * < 10); (d ) {* I x < 0 } 11. (a) 64; (b) 125 13. (a) f ; (b) 81 15. ¿ 17. - i 19. f 21. f 2 3 . (a) 2 \ x | y | z | 3; (b) | y + 1 | (** + 4)

1

25. (a) 18 + ; 33. (b ) 5;

6

2

(b) ¿ - f /

2 7 . (a) -2 1 + 0 / ; 3 5 . (a) (1, - 2 )

(c) (5 , I )

39. E l área e s 15 unidades cuadradas

2

53.

( b ) J 0 - lOi

AB I

37. |

41. No

= V 37; I

2

47. 7 (7

I

55.

v9 + 2/i + 3 Vx + /i-2 + Vx - 2 59. Trace usando e l rectángulo d e inspección estándar (b) Trace utilizando [ - 5 ,5 ] por

[-20,20]

65. Trace utilizando [ - 1 0 ,1 0 ] por [-2 5 , 25]

29. - £ + § /

57.

h)

BC I

=

49.

2

3 1 . (a) /;

2< S ; I

-2

( * + 27z Ah - 3

2V3A + 4 (2 /i +

6+

CA I

(b)

(c) -1

= 5

l)(2x + 1)

51.

3jc(3jc + 2)

(2* +

1)3/2

3V3A + 4 )

61 . (a) Trace usando e l rectángulo de inspección estándar;

6 3 . Trace utilizando [ - 5 ,5 ] por

[-10,10]

6 7 . Trace utilizando [-1 0 , 10] por [-2 5 , 25]

69. Trace utilizando [ - 0 .5 ,1 .5 ] por [- 0 .2 5 , 1.25] En lo s ejercicio s 71-75, s e m uestra la g r á fic a de (i). L a p a r te co n tin u a e s la g rá fic a d e (ü ); la p a r te punteada es la gráfica de (ü). 71 . Simétrica con respecto al eje x

7 3 . Sim étrica con respecto al eje x

75 . Simétrica con respecto al eje x, al ge y y al origen

-V * y

-6

-8

77. (a)

J—i—i__i_ fc*Jelc lü i

ítfy

% R i.

CAPÍTULO 2 83. (b)

4 3 2

L ,

S .

4 3 2

\ \

1 1 1

. /

n rt-i

827

-? > / l

2

3

»

— l

4

y

1

\

-4 -3

-2 -3 -4

-

1

3

-2

/

4

\ . \ .

-3 -4

(c) un rombo

ftnklos 2.7 (página 72) p i-j}

3- (j)

13}

27- x

5* ^

=

7*

} * . « '*

0

9l ^

/ (f) 240millas; (g)

15. {2}

13. {——}

y = a + 3b, a *

45.

4 1 . (a) 11; (b ) 6; (c) l-s (a) {* | * e R , x * 0 }; (b) 0 ; (c) 0

2b

= 3a

31. x

- 5 b ,a

17. {2}

* -b

33.

A

19. {2}

21. {-1}

2A

=

a + b

fil

&r = £ - /Ä

!* • 0

29.

39. r =

q -f 320 millas

1;

(d) y = 16 —

(e) 4 galones;

13. { - 1 ,4 }

15. {1 ± V3}

Ejercicios 2.2 (página 8 6 ) f M -7.7)

3. { - | V Í 5 , f V Í ? }

2 ±jV¡4 1I

19.

5 . { 0 ,1 }

1± i

7 . { 3 ,5 }

21. [2 ± v 3 i}

j

(h) 51 las raíces son reales y diferentes;

9 . { - § ,1 }

2 3 . (a) 361, las raíces son reales y diferentes;

2 5 . (a ) 0 , las raíces son reales y diferentes;

6

2 * ( x + 3 ) 2; W ^ + Ix + í i )2 = (x + £)2

(b) x 1 - S x +

3L «*J+ x + 3

3J

1

+ iL lJ i! = 1*

«. r = y i ! "

'i*

49> y -

6

41. l

(x - f

27. {4, - 1 }

)2

2

55. x - ~ b ± 'i b l

(c) 156 pie;

(d ) 2.75;

2a

4a^c

(e) 4.75;

)2 +

)2 - 2 2

0; sino x =

>1

29. ( - 2 , y }

33. (a) x 2 - f x + ( j

4 3 . V(x + l

- .( Z -t .j j f A

2

5 1 . S i a = 0 , entonces x =

y kM

68;

(§)2 =

3 5 . (Je - 2

*'i *y+2±2'lyt + y + T P (a) J = - l fJ + 76/ +

11. { - f }

57. (a)

)2 = ( x ~ ¿ )2; )2 = (V 2 6 )2

(y + 3 45.

2V(^)2 V

)2

(jc- 3 .

3 ± V9 + 4 0 a 2

10a 5= - 1 6 / 2+ 128/;

(b) 1 9 2 pie;

(c)

(f) Aproximadamente 5.52

^ k io s 2.3 (página 96) L| j ••2 4

3. 12 cm,

8cm

5. 42 3 adultos. 387 estudiantes

| de aleación dei

16 g de aleación d e oro a 55%

^ “nudamente 10.85 m

7. $16 250 en el primero, 11.

6litros

$8750 en el segundo

13. — mJ

17. 6 5 0 en básico, 5 9 0 en redacción (avanzado)

19.

8y

10

2,4 (página 107) 1 .0

| jM >

23.

5. {2} (0 .3)

25.

7. (4 )

{ ± 1 .± 2 }

mi 35. {1 }

9.

{3}

11. {4 }

13. j t

{ ± V 2 ,± V 3 } 29' ^ T 1 V5\ 41. - 2 , 39.

27.

15.

{ 0 ,3 }

^ T j I±

37. (* -

V57

17. {7}

3

3 L Í“ , JÍ 43. ± 3. ± 3í

19. {-7}

6;

(d)

8

l

)2 =

4 • ¿ ( y - 2)

8 2 8 __ RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 45. (a) -1 .1 4 ; (b) 0.23 55. 1.21 pulg o 2.16 pulg

47. (a) 0.73; 57. 0.98 pulg

(b) 3.08

__________________________ 49. 4 pie

51. 3.92 pulg

^

53. 4 0 pulg y 30 pulg

Ejercicios 2.5 (página 116) 3. (-o o , 1)

1. [5. +oo) 15. ( -

00,

5)

41. ( / r l 5 0 < / r < 6 8 }

7. (-< » , ~ ]

5. ( - 5 , +oo)

17. [4 ,8 )

19. ( - 4 , 1 )

21. (1 .4 )

43. Por lo menos $6 000

9. ( -

00, - ^ )

1L ( - 8 ,+

00)

13. ( -

00, 4)

23. [ - 6 , - 4 ]

25. ( - f . f | 27. £ -3 ,^ )

45. Por lo menos 49

47. A lo más 20 g y a lo menos 14 g

Ejercidos 2.6 (página 124) 1. ( -

00, - 3) U (3, + 00) 3. ( - 3 ,4 ) 5. ( - 00, - j ) U (¿ + 00) 7. [1 ,3 J 2 15. ( - 00, + 00) 17. ( - 00, | ) U (2, + 00) 19. ( -3 , 1) U (4 , + 00)

9. [ - 4 , 1}

13. [ - , | ]

23. í — - — , — + —

]

25. ( -

12 2 2 2 I ( - 00, - 3 .1 1) U ( - 0 .7 5 , 0.86)

00, + 00) 27.

(- 3 , - 2 ) U

( 2 ,3 )

21. ( -

29. [-3 , -1 ] U [2 ,3 ] U [5, +

00

00

11. ( -

0

00, - 4 ] U [0,4] 00)

00

31. (1.15, + )

00

00

33. 35. ( - , -0 .3 8 ) U (0.44,2.94) U (4, + ) 37. ( - , -3 .5 8 ) U (-1 .7 1 ,1 ) U (229, + ) 39. entre 0.4 y 7 .6 segundos después de ser lanzado 41. (a) antes de 0 .4 segundos y después de 4.3 segundos de ser lanzado; (b) después de 5.3 segundos de ser lanzado 43. más que 10 y menos que 7 0 4 5. Si x pies es la longitud de cualquier lado, 100 < x < 120 47. Si x metros es el ancho del terraplen, < x < 13.5 4 9. Si x pulgadas es la longitud de los cuadrados que han de ser cortados, 0 .9 <, x < 1.3 o 2.1 < x < 2.5

8.8

Ejercicios 2 .7 (página 133) 1. { 1 ,9 } 17. ( 29. ( -

3. { f , 4}

00, - 6) U (8, + 00) 00, i ) U (1, + 00) 37.

5. ( - 5 , |>

7 . { - 1 ,8 }

19. [2 ,8 ]

21. ( - 1 ,8 )

(-3 , - 1 ) U (1 ,3 )

43. x = - 1 ojc = 2

9. { 1 ,3 } 23. ( -

39.

45. x = - 1 o x = {

11. { J , 4}

13. j l , 2 , -

-~ f f i j

15. [-5,51

00, - 1) U ( 8, + 00) 25. ( - o o ,- - £ ) U ( - |,+ a > ) 6 41.( - 00, - 5 ] U [ - 3 ,3 ] U [5, + 00)

[-1 , 2] U [ 3 , ]

*

Ejercidos de repaso p a ra e l C apítulo 2 (página 135) L {¿ ¿ )

5. x = \

3. x = 3

17. {3}

19. 0

45. x = b ± a +

9. { 5 ,- 2 }

21. { 5 ,- 3 } 23. { 5 ,- 3 }

33. j - 1 , - 2 ,

(c) x 1 +

7. {± ¿ }

|

35.

41. x = { o x = ^ ^

(|)2 =

(x +

|)2

25. {2}

37.

{6}

ÍÍ. j J - | } 27.

39. 49. (a) x 2 -

{ -2 }

6

{ - ,1 }

8x

+ 4

2=

f 2 ± V l4 1 Í1 ± VJ/l 13. | --------------- --J 15. | — — J

3

29. { 2 ,- 1 ± VJi}

±\)

43. X = - & ± £ , A * 0

41. {1 ,2 }

(x - 4 ) 2;

31. { ± |,

(b) y 2 + 3 y +

(|)2=

(> +

51. (a) 0; las raíces son reales, racionales e iguales;

(b) 196; las raíces son reales, racionales y diferentes; (c) -2 3 ; las raíces son imaginarías y conjugadas complejas u n a de la oía 53. 1.75 55. 1.76 57. ( - , ] 59. ( - , - ¿ ) 61. [12, + ) 63. ( - 2 ,1 ) 65. ( - 4 ,5 ]

00 4

67. ( -

00, -3J U (I , + 00) 0

77. ( - o o , )

69. ( - 1 ,6 )

79. ( - 2 ,- 1 ) U (4 ,5 )

00

00

71. (oo, 1) U (■£, + 81. (x - 3

)2 *

00)

4 (-¿)(y +

)2

73. ( - 5 ,5 )

68)

75. ( - o o , - |] U [ ^ + o o )

83.

^ . | 87. 4 VC* + í - (i)3 9 ! . (a) $195.60; (b) $200.80; 5 (VIO (d) y * 180 + 0.52*; (f) $223.16; (h) A proximadamente 48 millas 93. $18 95. ¿ litros

83.

2

99. 1.33 cid o 5.87 cm

)2

101. 1.53 pie

103. no m ayor que 7 cm

- ¡ (c) $232;

8

97. I cm

27. [1,|J

830

BtSPUiSTAS A IO S EJERCICIOS IMPAPES

23. (a) la pendiente es j , la intercepción y es 0

(b ) la pendiente es - 4, la intercepción y es 3

$1(1.OH Jlfcm’l «j, cualqui<

Ijercicic

1. (a) (0.1 (C) ( 0 .1

(e) (-2.1 29. Las pendientes de las rectas son1

*í “6■

. (a) (0.01 31.

33. (a) colineales;

(b) nocolineales

35. (a) no colineales;

(b ) colineales

37. las pendientes de dos lados son - j; las pendientes de los otros dos lados son | 41. (a) y = 25x + 3 00 0 49. desde (3, -2 ): y -

43 (a) $600;

(b ) y = 30* + 60 0

45.

39. el área es 5 unidades cuadradas

8

(* - 3) - 2; desde (2 ,4 ): y = f (x - 2) + 4; desde ( - 1 .1 ) : y = 1

Ejercicios 3.2 (página 163) 1. (i); { ( 3 ,- 5 ) )

3 . ( » ) ; { & |) }

5. (iii)

(0(3,0)1 (e) (3,-1

CAPÍTULO 3 13. { ( 0 .- 2 ) ) — " * * •” U - 4 , 7 )} 21 f f - . i l 19* {(-4,7)1 27. $6.30 por libra d e lé; $ 2 .6 0 por libra de café 29. 20; $ 120 l7>

u- K1*®¡ }

' » T f a h n d e la f o r m a —

6

*a so *uc’ón àcida al %

.d o n d e , * 2 y , * o

17

' 3 3 . muchacha

3». i n c e n s a

41. c o ™ K n tt; ((_ 3, _ 2))

3.3 (página 170)

^ l.(»)C0.0):

(W * = ° i

is îâ â

44

'

3- (*> ( ° - 0 )'

«¡> 1 = J

5 . ( . ) (0 .0 );

(b) * = 0;

s « , h “4

-2

00

1. (i) ( , ); (b) y =

0;

W (3,0); (d) x = - 3 ; « ( 3 , - ) (3 , )

6 6

.-yjdOÂ

« '

9 . (a ) ( 0 , 0);

(b ) y = 0

(c) ( - 2, 0); (d) x = 2\ (e) ( - 2, - 4 ) ; ( - 2,4)

U . (a) (0 ,0 );

0

( c ) ( J , ); (e)

(b) y = 0; (d) x = - f j

Rai

832

^ r u F S T f t C * |QS EJERCICIOS IMPARES

29. 3y 2 = -2 0 *

37. ^ pulg

39. 16.6 m

43.

(a)

Ejercicios 3.4 (p á g in a 177)

1. Se muestra la gráfica de (c). La parte continua es la gráfica de (a); la parte punteada es la gráfica de (b).

(b) x 2 =

-lO y

CAPÍTULO 3

833

« a - 25;Jta + y* - 8x + 6y * 0 17. (x + 5)2 + (y + 12)2 = 9;x2 + y 2 + lQx + 24y + 4)i + (y + J 3j ' 2 + y 2 _ i4y + 48 = 0 21. (x - l)2 + ( y - 2)2 = 13 23. (jc - 5)2 + ( y + i;

•• ?t%*+ w ~a ?7 í * 1 -5)' 2 V2 29. (0, - 1); | í!(3,^4 v + 4 +3 41. y = - k x - 5)

33. circunferencia 45. D 2 + E2 > 4F

35. el conjunto vacío

160 = 0 l ) 2 = 13

37. punto (|; - f j

i. y = ?•

y + 2

3. x ^ + y ^ i ; * ' = x + i ; y ' = y -

á § i

i i

3Í

-2

-1 i

1 1 1 ♦ H.

— x

1

12

1

y i

1

13;*'

1

i. xn+yA s

.

1

*

2

I-* l

t-2 i i 9. (a) (0 ,-4 ); (b) x = 0; (c) (0, -£); (d) y = - J ; (e)

11. (a) (2,-1); (b )x = 2; (c) (2 ,-J); (d) y = H (e) ( f , - f ) , ( f , - f ) ; (f)

8 6 4 2

- 8 - 6 - 4 -2 ^

í

gM.3* (b), = 3-

15. (a) (3,1); (b) x = 3; (c) (3,2); (d) y = 0; (e) (5,2), (1,2); (f)

17. (a) (9,-6);

(b) y = (c) (8,-6); (d) * = (e) (8,-4), (8,-8);

(O

4 6 8

834 21. (a) (2, -2 );

19. (a) (4, 3); (b) .* = 4 ; 7. (c) (4, |) ; (d ) y = 2*

(b ) x = 2;

(c) (2 ,0 ); (d ) y = -4 ; (e) (6 ,0 ), (-2 ,0 ); (f)

. y 8

\

6 \

4 \

- i - i

i

- 8

• - 6

i

2 ■

i

- 4

■ 1 1 1 1

- Í S

L

2

J X

|/ i f r

1 8

'

- 2 - 4

-

- 6 - 8

■

En los ejercicios 29- 45, la gráfica de la primera ecuación está punteada; la de la se; 29. 8 6

N

v X s 2* i i i i i i i i T* - 8 - 6 - 4 -2 _ 2 :

33. 8 N

2

x

6 >4 2 i i i i i i i i t* - 8 - 6 - 4 -2_2 \

\V \ j

S

1 II 1 1 1 l/li

X

31.

4

6

8

-4 -6 -8

X

S - yT y y C y

-

s

y

r f i ......................* : 2 4 6 8

-4 -6 -8

35.

37.

n un

;-4

00

Ov

■fk

■ ______________ to

n i

8 6 4 2 i i i i i i i i i o-i i i 1^4 i i i - 8 - 6 - 4 -2^2

•3

8 6 4 a :/ 1 1 1 1 1 1 1 K"! - 1 i i • i i i • i ^ - 8 - 6 - 4 jl¿ 2 : 2 4 6 8

\ 4 \ 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 rv

_______

47. Í - A

2a

-4 -6 -8

4a

i ir

4

6

8

-4 -6 -8

8 6 4 2 i i i i i i i i i “ f* i i i i i i i íJ - 8 - 6 - 4 -2_2 b 2 4 6 8 -4 -6 -8

¡ i

*> 6 6

2

/

39.

43.

-2_2 :

\

/

41.

-8-6-4

✓y ✓/ 8 ✓/ ✓/ * 6 y Nn 4 ✓ 2 •xi i i i i i i i h i j s í i 1 i i 1 1 iJ X ^ - 6 -4 - 2 ¿ 5 2 4 6 8 ' N

45.

1l // 4\ * ' _ / / v\ - / 7 ' / N2 I / i i i i i i i ir 1 1 1 1 1 1 1 1 IN - 8 - 6 - 4 -2 _ 2 : 2 4 6 8 -4 -6 -8

— ¡i \\ ' ' \

66 ' 4

2 ■ i i i i i \Vi f ' iv - 8 -6 -4 \-2 _ 2 \ j 2 -6 -8 --------------------

4

6 »

____ _— ■ —

CAPITULO 3

835

lelos de reposo p a r a e l C a p ítu lo 3 (página 186)

3

i. ¡apcn*

- 37"

17 * o

3* 3* + 2y - ii * o

11. 21. 0

5- la pendiente es |, la intercepción y es -2

13. no 15. (i); {(3, - 2 ) } 17. (üi) 23. { ( ¥ , - 3 ) } 25. {(4, - 2 ) }

19. {(2, - 5 ) }

-8-6-4

(b) ^

< 0 .4 );

jc =

(d ) y = 8 .4 ) ;

0

0;

29. (a) (O, );

—4 ’

(b) x fr

0;

(c) (O, - i ) ; (d) y = i?;

(e) ( i , —;4)» ( " í *

(f)

37. (a) (-1 6 ,4 ); íc) ( " t >4);

(W ? ; (d) •! '

4

» « « M IE S T A S A

•3 6

4 1 . (a ) (3. 2); (c ) (3, 0 );

(b) x - - 3 ; (d ) V = - 3 ;

(b ) * = 3; (d ) y = 4;

43.

* 2 = 8v

Jo Ai i

39. (a) ( - 3 , - 2 ) ; (c) ( - 3 . - I);

LOS E i i R g g O S IM P AR iS

45.

V 2

=

- 1 2 *

57. el conjunto vacío

55. ( - f , o ) ; $

53. ( -

51. (3. 0 ); 2

59.

(jr

-

3 )2

+ ( y + 5 )2 = 4

61. (x - 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 *

8

CAPÍTULO 4

837

ejercicios 75-81. la gráfica de la prim er ecuación está punteada; la ele la segunda es continua I

77.

1— \

\

i X\

■ * ► \ 4» '2 * 1.1.1“ -2 ^ ; 2

\ S

\z

'

^ 11111 4 -6 -4

fjr

8

79.

8 6 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 « ~.r 1 1 i 1 1 1 1 i, - 8 - 6 - 4 -2_2 : 2 4 6 8

8 6 4 2 V

~

4

6

8

-4 -6 -8

-i -i 1.1 1 1 1 1 1 -8 -6 -4 -2 2 :

-4

-----------

-6

■1.1 -4 -2_j : 2

S D

5 -

11 11 11 4 6 8

yC

4 -

ir

3 -

2 1

-4

-6 -8 -

-

1 1 1 1 1 1 1 1 1 i-i.yx 15 10

5

(x +

U.y = ! x + u

3)2

= -2A(y - 5)

& 28días para A y 21 días para B

k)2; (4) 5. (e) V S T frT 2 4. i x A’

91. $34 000 93.(a) 2800; (b)4000

97. 9 íic m

freídos 4.1 (p ágina 197) L (a) 5; (b) _5; (c) _ J; (d) 2a + 1; M) V - Sjí + 4 5 . (a) 3; (b) - I ;

(b) i -

85. cuadrado

6-

= 1 - /

I -«

8

y

1 1 1 1

p

6

-8

83. paralelogramo

:

4

-6

-8 2

'

2

-4

9. (•) 4x - 2;

/ « — s— __

t i

3. (a) 12; (b) 32; (c) 9x4 - 3QxJ + 49x 2 - 40r + 16;

(d) a, a *■ 0;

(c) 9;

1

(e) x, x * 0; (f)

x # 0

7. (a) 1; (b) VTT;

(b) 4jt - 1; (c) 2x + 2h - 2; (d) 2* + 2h - 1

15.

6x

X+k

+ 3/i13. - 52 15.617. ----------x+ 3/i -5 x(x + A)

2

23. (a ) X + * -

11. (a) j

19. ' V2* + 2h + 3 +

6, dominio: (-oo,+oo);

***~k + 1 Vx + 1 (< x + I + V x + a + i )

i

♦ x - 4, donino: (-o o , +°°)i

^

(c ) x » - 5x 2 - x + 5 . dominio: (-oo.+ oo)

x 2 + 2* - I 2S. (.) í ^ ^ . d o m n » : 1*1 * *

dominio: {x j x * - 1 .x * 1 );

(d)

>•: « j ^ . d o n * t a j * | * # _dominio: 10, + « > ;

'

'

’

2

.

. .

\).

<•>

. . 1 _ _» .i x 0 2 ) ;

dominio: ("°°* + 00) (c )

5

—

dominio. <0.+» )

(b ) x 2 - 3x + 3. dominio: ( - 00. + 00);

- - 3X - 2

dom inio: { x | x #

1 , dominio: [ a + 00); (b) Vx - x 2 + 1.dominio: [O.+00);

(d ) J T Z ~ ¡- dominio: [0. ! ) U ( ! . + » ) :

J* - 1 donino (—oo, + 00);

I

27. (a) Vx ♦ x 2 -

. r * O X * 1}

p -*• *

(c) 3x» - 2 r 2 + 3x - 2. dominio: ( - 00. +00)

* ‘ X1 +

2* -

2 dominio: (x | x * - l . x s* 2 );

M * (>) x 2 - x - 2

■- , dominio: (x | x # - l , x «• 2 );

838

(d)

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IM PARES

~ " , dominio: (jc | X # - l , x # 0,x * 2 ); (e)

X2 + X

X - 2

/I , dominio: {* | * * - 1 ,* * 2}

*

33. (a) 0; (b) 4; (c) 4 - 2 » 35. (a) I; (b) - I ; (c) 1; (d) -1 ; (e) I s i* < 0 ,-1 s i* > 0; (f) I si* > -1 , -1 si * < -1 ; (g) 1; (h ) I s i* * 0 ,1 si x = 0 E jercicios 4.2 (página 207) 1. dominio: (-oo, +oo); contradominio: (-oo, +oo)

3. dominio: (-oo, +oo); contradominio: [0, +oo)

5. dominio: (-oo, +oo); contradominio: (-oo, 5)

jí. d el

7. dominio: (l,+ o o ); contradominio: [0, + oo)

9. dominio: (-oo, - 2 ] U [2, +oo); contradominio: [0, + 00)

11. dominio: [-3 ,3 ]; contradominio: [0,3]

31. d o r con

-u l -í 13. dominio: ( - 00, + 00); contradominio: [0, + 00)

15. dominio: ( - 00, + 00); contradominio: [0, + 00)

■

17. dominio: { * | * * -5 ); contradominio: { y | y * -10)

CAPÍTULO 4

| dominio: { x | x # \)> eandominio: i y | y * - 2)

fe. dominio (-o o ,-fo o );

21. dom inio: (-oo, +oo); contradom inio: {-2 ,2 }

27. dom inio: (-oo, +oo); contradom inio: (-oo, +oo)

| QMndoiTQnio: [-4, +oo)

23. dominio: (-oo, +oo); contradominio: ( y | y * 3)

29. dominio: (-oo, +oo)j contradominio: (-° °, 6)

4

2 -8 -6 -4

-8-6-4

31. dominio: (-o», + °° ); i contradominio (-o® . - 2 ) U [ 0 , 5 ]

33. dominio:{ x | x * 2} contradom inio: [0,+ oo)

39. dominio: (-oo, +oo); contradominio: {enteros}

dominio (-<3®, ■M*0)* | contradominio: (0 .

35. dominio: (-oo, -foo); contradominio: [I, +oo)

41. dominio.(-oo,+oo); contradominio: [0.1)

6P

-2

~4 -61 « , : ' «M par.

__ ( b ) n in g u n o

4 5 . (a)

impar; (b) par

47. (•) impar; (b) par

49. (a) impar; (b) par; (c) par

839

f lp c p tig S T A S A LOS E J IR a C lO S IMPARES

840 _

(b ) U(x - 1)

51. (a)

Í0

0

si X < o si 0 si 1

1

VI V I

1

(c) U(x) - U(x - l)

si X < I si I < X

0

(b ) jc sg n x

53. (a)

1* 1

2 2 - X

si si si

- 2 sgn X 1

+

2

-2x 57. f(x) =

2

si -2 £ X < -1 ^ X< 0 si 0 £ X < 1

X

+ I -X + 1

si —I

2x - 2

si 1 < * < 2

si 0 < X < 1 si 1 S i < 2 ; si 2 < X < 3

X

59. N:f{x)

2 X

V'flx)

- j: - 2

I * I si

-1

jt «

X

sgn X

V o

(d)

0

X

2 + a:

H

=

(c) 2 si X < 0 si X = 0 ■si 0 < X

o V

-X

CAPÍTULO 4

pércidos 4.3 (página 218) B P

i ± VF

| . -1.3

2

•jy

fe

7- (a); 9- (c);

S -6 -4 -2 - 2 4 6 III

1 111

1\I

-■ Z ■ *r/ 1 '1 11 11 .x -2 2 ^ 2 A 6 8 -4

-6 -8 11. (b);

14

y

13. (c);

310 :

/

8 1 6 i

4

2

ftAl l i 1 l i 1

/

/

A

/

1 \iViyi/ 1 1 1 1 i~r

-8 -6 -4 - 2 , ; 2 4 6 8 -2 -4

15. 3 es un valor mínimo 17. 2 es un valor máximo 19. y es un valor máximo 21. - 1 es un valor mínimo V i 2 23. 144 pie; 3 1 -i- « 1 1 1 1 1 • • . . . . . . . . .* -8 - 6 - 4 -2 ; 2 4 6 8 ' 25. (a) P(x) = -x2 + 80r - 700; -2 (b) $900 para 40 unidades 27. (a) P(x) = -2x2 + 38Qx - 12 000 -4 (b) $5 600; (c) $95 -6 29. (a) A(x) = 120r - x2; (b) [0,120]; (c) 60 m por 60 m

3L (i) A(x) = 120* - j x 2; (b) [0, 240]; (c) 60 m por 120 m 33. (a) A(x) = 96x - | x 2; (b) [0.80]; W La lados paralelos a la cerca de división son 40 pie; los otros son 48 pie 35. -7 y 7 37. 130; $84 500 ^•rciclos 4.4 (página 2 2 7 )

W P(x) = 45r, (b) $675

3. (a) P(x)

■ é

. (b) 1 s

9x (5000 - x), (b) 17.6 personas por día; 490000 1.2,3,... 14000); (c) 70 00 11. (a) V(x) = 4x3 U- (a) *U) = 4x3 - 54x2 + 18Qx; (b) [0.6]; (c) 2.21 pulg, P* *7 ,$7585 17. (a) P = i (100 ~ " 55jc + I * * 1' 400 o» b . - i 5L (c) r a d i o . p u l g « 2 8 pulg. ancho:— —

I W/W =

l i

2+ *

4

+

K

Ì 2 x I09 5. (a) W(x) = ' — , — ; (b) 165 Ib (c) 2 500

9. (a) f(x) = ¿tx(I4 000 - x);

46x2 + 12Qx; (b) [0.4]; (c) 1.7pulg,91 pulg3 177 pulg3 15. (a) R = (8 - ¿ x ) 2x: (b) [0.800]; W 30’ 5540 l9' (a) W * */f200 - K2 + ¿*)J; 200 pulg « 5 6 pulg, largo: — rpulg

i - re

-r

»

* W AU) S 3* + ü + 30; (b) (0, +«>); (c) 6.00 pulg por 9.00 pulg ptleJof 4.5 (página 2 3 5 )

y\

1,5

i

*

5. (a )x + 5 . dominio: i - « . +oo); (b) x + 5. dominio: <-oo.+oo)

24 donimo ( - « . — > *• <*> (b) ^ d o m in io : <(>.♦»>

i * " - ú 2 , * ™ „ , +oo, » . . 104_ , .

7. (a) x 2 - 6. dominio: H » .+*)• ( - » .- 2 ) U ( 2 , fl>) * - 4. dominio: [2,+«>) » . » | l + 21 .doniimo: ( - » .+ » ) ;

'.5 . (.» « - 4 ,dominio: (-oo, +°o); 0» - I x 1, dominio: (-« ,+ ° ° ) 19. (•) - 2.dom,n,o:[6.+oo). f i 2, * dominio: ( x | x # 0 ) ; (b) «?. dominio: 10. « ) k ,a| i*x-1, :dominio: 2’. d0m‘"'0: (- 00, + 00);+TA í»/ |I*, ; 2 ' + 2. dominio: ( - . +. )

842

RESPUESTAS A LO S EJERCICIOS IMPARES

25. / ( a ) = Vx - 4 , g(x) = x 2;/ ( .v ) = Vx./K-O = x 2 - 4

27. / ( x ) = ac?, g(*) = — 1 —. ^

_ p_t i ’& ) = x -2

= x \4,gg(x) »29.A f(x) x) = ( x = x 2 + 4x - 5 ;/( x ) = (x - 5 ) \ * ( x ) = x 2 + 4x ^

2í 000 000 . u u u UUU (/2 + 7 r + 100)2’

(» ) ( / • gX O

43. sgn( £/(*)) =

0 1

si x < si

0

(b ) 7 g 125

0

35

No

41

8 6

< x

31. (a) ( A o / ) ( , ) = 3 6 jtf2 .

( a ) p ar-

^

CID*

im p a r

4 5 . (g o f X x ) =

0

si x < o

*

si O £ x S, i

1

« j < x í l

4

2 ................... - « -6 -4 - 2

i i i i i: - 2

4

6 8

47. 2x - 3, -2x + 3

Ejercicios de re p a so p a ra e l C a p ítulo 4 (p á g in a 2 3 7 ) 1. (a) 3(b) 0; (c) -5; (d) -x 2 + 2x + 3; (e) -x 4 + 4 3. (a) 1; (b) 2; (c) 4; (d) 5; (e) 7; (f) J h T l 5. (a) 0; (b) 0; (c) 0; (d) 07 .-2 x - h 9. ; ~ 4 |% 11. 7 7 =— ; ^ , . _■ x(x + h) (Vx - 2XVx + h - 2XVx + Vx + A) 13. (a) x 2 + 4x - 7, dominio: (- 0 0 ,+ 0 0 ); (b) x 2 - 4x - 1 , dominio: (- 0 0 ,+ 0 0 ); (c) 4xJ - 3x2 - 16x + 12, dominio: (- 0 0 , +0 0 ); (d) 15. (a) Vx +

2

+ x 2 - 4, dominio: [-2 , +0 0 );

(b) Vx +

dominio: {x | x * 2

- x 2 + 4, dominio: [-2 , +0 0 );

(c) Vx + 2(x2 - 4), dominio: [-2, +0 0 ); (d) - + 7 , dominio: (- 2 , 2 ) U (2, +0 0 ); x2- 4 17. (a)

-^ 2

+ V*. dominio: (O, +<»); (b)

(e)— —dominio: {x | x * ±2)

- VF, dominio: (O, +0 0 );

-—\ dominio: (-2, +«) Vx + 2

(e) 7

(c) j==, dominio: (O, +0 0 );

(d) “p=, dominio: (O,+0 0 ); (e) Vx^, dominio: (O, +0 0 ) 19. (a) 16x2 - 24x + 5, dominio: (- 0 0 ,+ 0 0 ); Yx5 (b) 4x2 - 19, dominio: (-oo, +0 0 )21. (a) Vx2 - 2, dominio: (- 0 0 , - V2 ] U [V^, +0 0 ); (b) x - 2, dominio: (-2, +°°) 23. (a) —, dominio: (O, +0 0 ); (b),. . dominio: ( x I x * 0} 25. dominio: (-<», +0 0 ); contradominio: (-0 0 ,+») x Ix I 27. dominio: (- 0 0 ,+ 0 0 ); contradominio: [-4, + 00) 29. dominio: (- 0 0 ,-4 ] U [4, +0 0 ), contradominio: [0. +°°) 31. dominio: [-4, 4]; contradominio: [0,4] 33. dominio: (-oo, +0 0 ); contradominio: [0, +0 0 ) 35. dom inio: { x | x * - 4 ) ; contradom inio: { y | y * -

8)

37. dom inio: ( - 00, + 00); contradom inio: { y | y * -

8}

39. dominio: (-<». +00)* contradominio: [3, +00)

CAPÍTULO 4

41. dominio: (-oo, +oo); p

4 3 . d o m in io : ( - o o , + o o ); co n tra d o m in io : ( - o o , .

1

contradominio: [ - , + o o )

«43

4 5 . d om in io: ( - o o , +oo); contradom inio: {enteros}

47. dominio: (-oo, +oo); contradominio: [0, 1)

4 9 . s g n (x ) -

U (x )

5 1 . (a) 5 3 . (b) 5 5 . 6 e s un valor m áxim o, ocurre en x = -i 5 7 . - 3 e s un valor m ínim o, ocurre en x = 59.

«•/W

,*(x) = 3 x

6

2-

i W H i ) * I r2;

(b ) 1 0 0 p ie

* « /» > * &

- „ .o * .

M ía 11000]; (c) 5 500 fe 9,$1467

2) ,/3, g ( x )

2 ;/(x ) = (x

6 7 . (a) / ( x ) =

■

:* T n í (b ) [0, 10];

■ A *» ); (e) 20pulgpor20pulgpor lO pulg

«i

x<

0

2x ' / • íXx) *

0

« 3 < x á 1 *i

= 3x 2 (10 000

100 000

w

6 3 . (a ) impar:

■*).

(b ) par;

(c) ninguna;

(b ) 160 p eces por sem ana

íft 25011 (c) 225

-1

69.

(d ) impar

6y 6

7 1 (,) A ‘) - M 1 ,0 0 0 ):; *

75. (a ) ( / . e Y t) = 1 6 / 2 + 360/ + 2 105; (b ) 6 641 77. (a) P(x) = 244r - x y,

79. (a) V * (20 - 2x)2jr,

1

x

8

1

< x

(c) 3.33 cm , 592.59 c m 5

2

»6000

81. (a) S(x) - x +

*

•

m íw m m

Ejercidos 5 .1 (p á g in a 2 5 3 )

_y

i

. i - 4 -3 - 2 -1

«■' 1 ■ ■ x ^W 2 3 4

-2 :

-A

\\ \

-6 \F -*1

CAPÍTULO 5

21. (b)

845

j

y 30 20 10

-8 -6 -4 -2 . -10 [ -20 -30 -

1 1 11]/l 1 L-lí y x 6 8 7 I

1 ■J

^ *a) hacía •> l , hacia arriba r ? a^ ° Sde ,a iz uierda’ Daa,arf— u~ “

9

J , . . . 2 5 - <*) désete la izquie hacia arriba a la derecha; ,

hacia «riba

(c)

(d) m áx. reí. en (0, 3) 2

m ín. reí. en ( , - I )

(b) 2

27 •

(a) hacia arriba desde la izquierda, ^baa |a derecha; (b) 2;

ggSPÜESTAS A LOS E J iR C ia O S IMPARES

846

29. (a) hacia abajo desde la izquierda, hacia arriba a la derecha; (b) 3;



(d) mín. reí. en (-2.25, -12.95) máx. reí. en (-0.70,6.035) mín. reí. en (1.5742, -2.879)

(d) mín. reí. en (-1.607, -3.620) máx. reí. en (-0.361,2.969) mín. reí. en (0.718, -1.520)

(c)

U5 r° 15 11 11 11 i i 11 \ 1 i ■ i i i i> -8 -6 -4 -2 v 6 8 -5 - i r W -10 -15 (d) mín. reí. en ( - 0.574, -2.879) máx. reí. en (1.070,6.03S) mín. reí. en (3.253, -12.94) 35. (a) hacia arriba desde la izquierda, hacia abajo a la derecha, (b) 3;

(d) máx. reí. en (±0.707,0.25) mín. reí. en (0 ,0 ) E je rcicio s 5 .2 ( p á g in a 2 6 3 )

1. (a) 20; (b) 5 3. (a) I; (b) - 8 5. Sí 7. No 9. Sí 11. El cociente es 2x2 + 7x + 31, y el residuo es 136 13. El cociente es 2x3 - 3x2 + I2x - 50, y el residuo es 199 15. El cociente es 3z4 + 7z3 + 14z2 + 24z + 48, y el resi duo es 103 17. El cociente es 6x2 - 3x + 3, y el residuo es 1 19. El cociente es x 6 + x 5 + x* + jc3 + jr2 + x + 1, y el residuo es 0 21. 8 ,-1 5 7 23. -7, 126 25. 4,-2 27. ñ.x) = (x + 3)(x - 1)(4* + 1) 29. P(x) = (2x - l)(x - 1X3» + 1) 31. No 33. Sí 35. ((2x - 6)x - 3)* - 12; 359;-397 37. (((4 * - i)x)x + 2)x - 1; 302; I 079 39. -7 41. -3 y I 43. (a) Sí; (b ) No; (c) No; (d) Sí 45. (a) todos los enteros positivos; (b) todos los enteros positivos pares Ejercicios 5.3 (página 272)

1. 4, multiplicidad 2 ;-2 ; 2 3. 0, multiplicidad 2; - I , multiplicidad 2; V3"; -V3" 5. -7, multiplicidad 3; -i?m ultiplicidad 2; - V7, multiplicidad 2 7. multiplicidad 3; multiplicidad 2; - f, multiplicidad 4 9. -1 ,4 11

25.

ir-

I ± V5

2 ±

35. - 1 1 ±V3 47. 6 cm

, - 3 ± VíT

21. -5, 3, | ( - l ± ív3) 23. j , ---r — 1 5 .- 2 ± V i 17. - 1 , 1 . 3 19. 2, -1 ,3 .3 ; 31. 2 .2 ,3 33. - 4 . -2 .0 . 1.3 27. 2 es el único cero racional 29. -4 ; 1, multiplicidad 2 9 3Víf 45. 3 p u l g o ------ — ^ p u l g = 1.15 puig 39. -2 es la única raíz racional 37. - 6 . ¿ ( I ± hílT)

49. 3 pie o, i * Vil pie « 2.3 pie

CAPÍTULO 5

Ejercicios

»4 7

5.4 (p á g in a 2 8 4 ) 25

3. x 1 - 7x + 36 11. | —

15,-I,j,2 ± 3i; 2(x + IX* -

5X* 2 -

5. x 4 + l 8x 2 + 81 - 2 - 4 í, - 2 + 4 /j

7.

x s - 9x4 + 3 U » - S U * + 58x -

13. 2. I ± i; (jc - 2X*

2-

66

2x + 2)

17. 2, ± 2 / (m ultiplicidad 2); (x - 2X* 2 + 4 )2

4x + 13)

jf. í (multiplicidad 2), 2 ± >Í2i ,9(x - ^ ) 2( x 2 - 4x +

6)

21. Un cero irracional positivo entre 4 y 5; dos ceros imagínanos

¡j. Un cero irracional negativo entre - 8 y - 7 ; un cero irracional positivo entre 0 y I ; dos ceros imaginarios 25. U n cero irracional negativo entre - 3 y - 2 ; un cero irracional positivo entre 0 y I ; un cero irracional positivo entre 2 y 3 Unocro irracional negativo entre - 1 y 0 ; un cero irracional positivo entre 0 y 1 ; dos ceros imaginarios 29. -| es un cero; un cero irracional positivo en tre 1 y 2 ; dos ceros imaginarios 31.4es un cero; un cero irracional negativo entre - l y 0; un cero irracional positivo entre 0 y I ; un cero irracional positivo entre 2 y 3 H (a) I positivo, I negativo. - 2n - 2 im aginarios; (b ) 0 positivo. 1 negativo, 2/ 1 - 2 imaginarios

Ejercidos 5.5 (p á g in a 2 9 6 ) L (i) 1x | x * 0}; (b) no hay intercepciones; :• (c) simétrica con respecto al origen; ¡ (« x = 0, y = 0

Ib) (2,0), (0,-1);
3 . (a ) (b ) (c) (d )

{ x | x * 2}; ( 0 , - 2 ); ninguna sim etría; x = 2, y = 0;

9. (a ) (b ) (c) (d )

{ x | x * 0}; no hay intercepciones; sim étrica con respecto al eje y\ x = 0, y = 0 ;

5. (a) { x | x * 3); (b) ( - 1 . 0). (0,¿); (c) ninguna simetría (d) x * 3. y = - I :

11 .

(a) (b) (c) (d)

{ x | x * 0 }; no hay intercepciones; simétrica con respecto al origen: x - 0, y = 0;

848

RESPUESTAS A LOS EJERC IC lQ S jM P A R E S

13. (a) { x | x * -2 ); (b) (0, (c) ninguna simetría; (d) * * -2 , y * 0;

15. { * ±2 ) ; (b) (0,0); (c) sim étrica con respecto al origen; (d) x = - 2 ,x * 2, y = 0;

19. (a) (b) (c) (d)

{ x | x * ±3); íft.O); simétrica con respecto al eje y; x = -3 , x = 3, y = 2;

21. (a) { x | x * ±1}; (b) (0 ,-1 ); (c) simétrica con respecto al eje y;

25. (a) íb) (c) (e)

{ x | x * 2); (-3 ,0 ), (3 ,0 ), (0, |); ninguna simetría; (d) x * 2; y = x + 2;

27. (a) (b) (c) (d)

{ x | x * 0 ); no hay intercepciones; simétrica con respecto al origen; x = 0; (e) y = x;

17. (a) { x | x £ ±4) ; (b) (0,0); (c) simétrica con respecto al origen;

( x | x * -3 , x * 2}; w ; ( - 1 , 0), (0, ±);

(c) ninguna simetría; (d) x = -3 . x = 2, y = 0;

29. (a) ( - o o , + o o ); (b) (0,1); (c) simétrica con respecto al eje y\

CAPÍTULOS

33.

(5. 6)

35. (-o o , 2) U [6 , +oo) [J, + 00) 41.

39. (-00, 2) U [3, 4) U

(c) 2.0 pulg, 75.40 p ulg 2 (c) 10.0 pulg, $18.00

43.

(a)

37. (l) J w „ CU)

45. (a) P U ) =

de re p a so p a r a

el Capítulo 5 ( p á g in a

1

¡ m (w (o,+00); (b) (0 +oo).

+ ^ 2 ; (b) (O.+oo);

(c) 10.0 pulg por 10.0 pulg 47. (a) C{x) = 8 + (c) 90 km /h 49. por lo menos 6 ohms Ejercicios

-2) U (1 .3 } 32*

= 6 *2 + Ü M .

2x

+ 2Z. (b) (0 +00);

29 9 )

l-l 1 SI 5. | 13, -3,muliiplicidaddos;

7. 2 * 3 + x 2 - 3x + 5. -1 0 9. x s + 2x‘ + 4 * 3 + 8 i 2 + 16-r *■ 32, 0 11. (a) 17; I ; ^ 15. -2 , m ultip licid ad dos; 2, m ultiplicidad dos; - 3 ; ; 3 17. I í \ 5

H. -3,2,2 i 'fl

f,

2». la) .

y

21.

3 ± V5

.

3. 3 ,-2 ± V7"

25. - j . 5.2 ± V5

29. (b)

\ 8

\ \

6 4

•11 ' 111\2 A| ,1 . . . . . . .X •«-6 -4 -2 \ / ! 4 í 8 1 -4 -6 -8

2 [ -8 -6 -4 - 2 „ - 2 -2 ; -4 . -6 \ -8

849

i , 4 6 8

(b)

57

850

» « P U E S T AS A LOS EJERCICIOS IM P A R iS

4 3 . (a ) {.v | .v * 0 } ;

4 1 . ( • ) í * I * * 5 ?; ( b ) ( . - });

0

0;

49. (a) (b) (0,0); (c ) sim étrica c o n r e sp ecto a l origen ;

(d) x = - l , x =

1,

(b ) ( 2 x -

I2 x + 8

■ S i

2x + 4)

[x | x * ± 3 };

5 1 . (a ) {x \ x *

I

1};

(b) (0,0);

(b) (-2 ,0 ), (2,0), (0,4);

( c ) sim étrica c o n r e sp ecto a l eje y;

( c ) n in g u n a sim etría;

0;

y =

5 3 . x 4 - 4 x * + IQx2 -

1 IX *2 +

(b) (0, 2); (c) n in g u n a sim etría; (d) x = - 2, y = 0;

( c ) sim étrica c o n r e sp e c to al e j e y;

( c ) nin gu na sim etría; (d ) x » 5 , y -

4 5 . (a ) { x | x * - 2 } ;

(b) n o h a y in ter cep cio n es;

(d) x = 1;

55. x 6 - 4 x 5 + 24x4 -

’

5 9 . (a ) ± 2 / , - l ± r,

(b ) ( x

72** + 189x2 -

2+

4 )(x

2+

324x + 486

2x + 2)

(e) y = x + 1;

5 7 . (a ) J , - l ± V ffe

f

_i ± VT)

6 1 . j - 1 ± i , ------r ------- f

6 3 . d o s p o sitiv o s , u n o n e g a tiv o y n in gu n o im aginario; o n in g u n o p o sitiv o , u n o n e g a tiv o y d o s im a g in a rio s 6 5 . u n o p o sitiv o , u n o n e g a tiv o y d o s im aginarios 6 9 . 2 e s un c e r o ; un c e r o ir r a c io n a l n e g a t iv o en tre - 4 y -3; un c e r o irracion al p o s it iv o en tre y ; un cero irracional p o sitiv o en tre 3 y 4

6 7 . un ce ro irracion al p o sitiv o en tre 3 y 4; d o s ce ro s im agin arios

5

i i ¡Ji i i i i i . 2 /4 6 8

i í i i r t »j i -8 -6 -4 -2

-

- J

Sii Ki> °

-5 -10 -15

\\.

1

± 2J)

r

73. - 1 ¿ , 2 ± V 5 | 76 8

83.

• 1 . 3 cm , 4 cm , 5 cm

85. (a) Síx‘I = '■ 8i ’?

0 1

54 , X

A ib ) ( 0 . + oo);

(c ) el radio e s 1.5 pulg. lo altura e s 3 .8 2 pulg; 5 4 p u lg

2

WÌTULO 6 Here

ïm

,c)o*í-MPáíl,na314> n o e s u n o a uno

1. 1100« “"°

5. uno a uno

my

a

8 6 4

1 l \

1 ■ 1 \»\i i2 -8 -6 - 4 te

—1 » 1

v -2

H

/ / * , j_g/ i' i" ■ i i i ii i**

; ï

4

6 8

-8 7. no es uno a uno

MIO),¿O,4); «nmetria.

i

4

6?;

2 //

T fw

......... . i i

-8 -6 -4 -2

_2 -4

-6 -8

1A [ , 4 i 1 T -if

E Æ r1

- 8p

8

6

8H

-ò r,

11.

8

: (e) V í 4 1; *» *-■

u n o a uno

6 4 i i i i i i f t

-8 -6

«

- 4 -2

-2

i i l ■ i i i ■ i"

2

4

-4

-6

& no es uno a uno

ta l ;•

lio s

n° x ^'3 5 , la gráfica de f se muestra más clara que la d e f

U)

17. (b) jT 'W * ^

■

" 2

6 8

uno a uno

»11

Ä

31. (b) / -i(jr) * i / x r

29. ( b ) / ' ' ( * ) « Í U - 5);

27. (•) l ~ M ¿ . 4; / i *(x) = ~ V x - 4, x > 4

35.

(b) f ~ t(x) = V x + 2;

SI X < 1

45. / " '( x ) =

si1 < X < 8) si 81 < x

Ejercicios 6 .2 (p á g in a 3 25 ) L (ß) 7620; * .«3 * * ; (b ) 17. 2327. 31.

(b ) 0.00130; (c) 0.0000215; 0>)
7. ( . ) 5 » ^ ;

(d ) 15.3

(b )5 ^ * ^

3. (a) <5.44)10»; 9. (a) 2 * *

(b ) (2.96)10 «;

(b ) ( f ) *

U.

(c) (1 4 9 )1 0 »-

(d)

(784)10'**

13. (a) (5 260)10«;

(6 1)10 ’; (0 (1 .7 2 )1 0 * ; (d ) (1.720)10* 15. (a) (3.960)10'»; (b ) (8.0022)10 *; (c) ( I 723)10® (d) (4 260) 10-’ (•) (4 81)10*; (b) (6.28)I0 7 19. (1.50)10" in 21. (6.58) 10 Ion '' ’((' 0 . 0 0 1 ) » « * 2.71815;(0.9999) '®«» « 2.71842;# » 2.7183 25. (a) $2060; (b ) $2 120 ic> $2 240 S 10938.07 29. (a) S I 320; (b ) $1 360.49; (c) $1 368 57; (d) $1 372.79; (c) $| 377 13 <•) $849 29. (b ) $867.55 33. (a) $1 094.17; (b ) $1 094.16 35. $3 364.86 37. $3 351.60

21

854

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES

U

X

l I Ul.,

-8 - 6 -4

_y

j 80

80

60

60

40

20 -8 -6

21. (a ) (b )

- 4 -2

10 0 0 0 ;

-20 ^0

* 7 T i i ............ x - 2 4 6 8

40 ----- ——20 ■ > ■■1 1 ■1. I. .1 1 1 1 T T , i i i , i , ^ -8 -6 -4 -2 - 2 4 6 8

-20 -40

-6 0

-6 0

-8 0

-80

2 3 . (a ) (b )

10 0 0 0 ;

25.

I 5 6 8 lb /p ie 3

27.

(a ) f { i ) = 200 (b ) $12 800

i i/m-

CAPÍTUtOé

855

3 1 . ( a ) 144; (a) 40:

100;

(d) a s ín to ta h o riz o n tal:

35. (b) (c) (d) (e) (f)

y

33. 50%

(b ) 4 075; (c) 5 000;

94:

100

=

( d ) a s ín to ta h o riz o n ta l:

y

=

5 qoo

3 7 . (a ) 0;

(a) 97.60*; 53.41°; 38.99°; 35.34°; 35“; asíntota h o riz o n tal: y = 35

(b ) (c) (d ) (e)

1 .543; - 1 .1 7 5 ; 1 6 .5 4 3 ; 3 .7 6 2

L ic io s 6.4 (p á g in a 3 4 7 ) to togj81 = (a)

82 =

I * *

64;

4;

(b ) jog5

,25

(b ) 3 4 = 8 1 ; (0 -3

1 1 2 ^ 2 ; (b ) - L ’ 128 2l- (a) 0 (b) 1

11 . 17. ( a )

23. (a ) 3;

fcfa i SL

= 3;

(C) lo g 10(0.001 ) = - 3

(c ) 2 ° = 1 (a ) - j ; 12;

(b )

(b ) 216

7. (a) Í;

(c )

81/3 =

\

19. ( a ) 10;

3. (a) 2;

(b )

13. ( a ) 34 3 ; (b )

(b ) i o g f i s S = - f ;

,4 = = 9;

(c)

9~m

=

\

( b ) 81

8

(b ) 0

^ rctcu ts 31-37, la gráfica d e la fu n c ió n d a d a s e m u estra m á s oscu ra qu e la fu nción logarítm ica natural.

(c) log 2 l =

0

856

RESPUESTAS A LO S EJERCICIOS IMPARES

37.

8 6

8 6

4

y

4

2 -2 -4

-6 -8

99. 2 años a partir de ahora 45. 3.47

47. 161 años

E je r c id o s 6 .5

41. 25 años a partir de ahora 43.(a) A(l) = 500« mi, (b) 6.53 años * 49. 8.66 años « 8 años. 242 días 51. S~l (x) = ln(jr + Vjt 1 + I )

(p á g in a

3 5 7 )

1. (a) lo g » 5 + log/, * + lo g * >•; (b) lo g * y - log»z; (c) Iog*x - lo g * y - lo g * z (b) ÿ l o g t x + log * y) 5. (a) j l o g * x + 3 log* z; (b) lograr + j log* y - 4 log* z

11. (a) lo g ,o \ g l 2\ (b) In ^nhr2 17. (a) 0.3404; 23. (a) 0.7851;

(b) -2 .7 7 4 4 (b) 2.5108

E je r c ic io s 6 . 6

6 años. 193 días

13. (a) 1.1461; (b) 1.1761

3. (a) log*x + 5 log

15. (a) 1.7993; (b) 2.1461

19. (a) -0 .1 7 6 1 ; (b) 0.6309 21. (a) 5.7036; (b) 2.0149 25. {7} 27. {125} 29. {3} 31. {7} 33. (c) IO1’ a

19.95

(p á g in a 3 6 4 )

3. {0.4307 } 5. {4.301} 7. {8.638} 9. {32.20} 11. {1.015} 13. 2.262 17. 3.638 19. 0.9375 21. 3.42 años a partir del I de enero de 1993 (a principios de junio de 1996) 23. 18.58 años 25. 48 089.16 pie sobre el nivel del mar 2 7 .1 9 9 7 2 9 .6 9 .9 5 3 1 .5 4 .8 7 % 1.

{1.404}

15. 4.170

33. {0.3828 }

35. {0.8618}

37. {-2.063. 2.063 }

39. x = { l o g - j - í - J

41. (a-b) x « 1.18

43. (c) dom inio: (0 . I) U (1. +oo), contradominio: [y | y * 0}

E j e r c i d o s d e r e p a s o p a r a e l C a p í tu l o 6 1.

uno a uno

(p á g in a 3 6 7 )

3. no es uno a uno

/

858


29. 6 4 2 i i i i i i i i i -8 -6 -4 -2

A-i I i*i X. t.. 2 4 6 8

_2 -4

-6

-8 35.

11iIIIIL -8 -6 -4 -2 -2

i i iiiiii ■ -8 -6 -4 -2 - 2 4 6

-2

-4

-4

-6 -8

47. (a ) 625;

-6 -8

(b ) |

49. (a ) 57. ln ( ÍJ tr 2/i)

55. log ,o| 6 9 .5 .2 4 8

(b )

71. ( j )

83. (a ) 5.86 años; 85. (a ) 60; (b )

(c ) 57.65 m g;

7 3 .(4 0 0 }

51. 31og¿,* + 21ogt, y + ± lo g fcz 5 9 .(2 .0 2 4 }

6 1 .(1 .5 1 2 }

77. (a ) $960;

(b ) $988.80;

6 3 .(8 .0 8 4 } (c) $1 004.07

53. log** + jl o g ^ y - 4log*z 65. (-2.543.2.543) 79. $1 019.97

(b ) 5.78 años

89. (a ) 73.87°;

id ) 455.80 años

(b ) 73.13°;

(c) 71.34°;

87. (a ) 5.49 (d) 65°; W 33 • (f ) asíntota horizontal: y = 35

67.0.9358

81. $14 000

57

95. 50.12 rt

93. 2.512%

91. I«4"

8 6

103. (»)

105.

3 2-

4

2

i . . • 1 i t 1 1. »■■ 1 i „ l .i..T T t i i i r ^ -6 -4 - 2_2 [ 2 4 6 8

1 -4 - 3 - 2 - U *

------1------L-----1

l

-4 \

/

-6 _____________ ±

1 y

4

i \ |

~2

I -3

/ (a) x - 2.48;

r H) dominio: (0,1) U (1 ,+oo),

0)

camdommio ( y | ? *

,

4

(b) ( - 00, 2 .4«) ü (3 . + » ) ;

(c) (2.48. 3)

E jercicios 7 . 1 ( p á g i n a 3 8 1 )

L (*) primer cuadrante; (b) segundo cuadrante 3. (a) primer cuadrante; (b) cuarto cuadrante I i (a) segundo cuadrante; (b) segundo cuadrante 7. (a) tercer cuadrante; (b) cuarto cuadrante [ t. sen 2 » 0.91; eos 2 » - 0 .4 2 11. sen 5.2 ~ -0 .8 8 ; eos 5.2 ~ 0.47 13. sen(-3) = -0 .1 4 ; cos(-3) a -0 .9 9 VI 1 f 15. sea(-6.1) a 0.18; co s(-6 .1 ) « 0.98 17. (a) 0; (b) -1 19. (a) 0; (b) 1 21. (a) & (b) 4 2 ’ '" '2 i

25. (a) I;

o .) i

(b ) \

27. (a) - f ;

4 5 .4^ 1

29. (a, - i ;

37. (a) primer cuadrante;

B -W y ; < b ) - y

u

(b) - {

47. - i

49. (a) segundo cuadrante;

51- (a) cuarto cuadrante; (b) tercer cuadrante

53. 0.6238

31. (a) 0;

(b) cuarto cuadrante

3 9 .1

(b) -1

41.

(b) segundo cuadrante VF 57. (a) — ; (b) 1

55. -0.9085

Ejercicios 7 . 2 ( p á g i n a 3 9 0 )

L (i) 0.3335; (b) 0.9428;

(c) 0.2875;

( d ) -0 .9 5 7 8

3. ( a ) -0.9121;

1

(c) 0.3420;

(d) 0.8090

7. (a) A ;

(a) 0.9898; (b) 0.9238;

11. * & ) ( * ; (b) i j t ; &-0.8994

(c)

8k;

2 5 .-0 .7 2 4 3

(d) IOji

VF ;

17. (a) f j t ;

27. (a)

^ 335 amperes; (c) 8.55 amperes;

(a)

(b) |i s ;

(b) - 2 volts;

(d) 9.91 amperes;

(b)

(c) 0;

1

( b ) -0.4099;

(b) ^ (c)

( c ) -0.9779; (d) 0.2092

(c) —y ; (d)

0.

(d)

(c) j ; (d)

1

6

13.(a) 1; (b) 0; (c) 1; (d) 0 19. (a) 10; (b) 2

(d) 2 volts; ( e ) -2 volts

(e) 2.71 amperes

21. 0.7317

29. (a) - ^ x ;

31. (a) fre; (b) en la posición central;

*5* 028 cm arriba de la posición central; (d) 0.56 cm abajo de la posición central; (b) 0.0173din/cm2; (c) -0 .0 2 din/cm2; (d) 0.0156din/cm2; (e) 0

(e)

1.30 cmam ba de la posición central

á c i d o s 7 .3 ( p á g i n a 4 0 6 )

u Ia) 0.519; (b) -0.916

3. (a) -0 .9 5 8 ;

(b) -0 .0 4 2 3

5. (a) 1.35,1.79; 0») 1.06.5.22

7. (a) 3.84,5.59;

r e s p u e s t a s

a

l o s

e je r c ic io s

im p a r es

ß t)

(b)

g(0

-0.5 -

1.0

(b)

1.0

g(0

\ A A a -A A A XJ \ j \ J \ J n J \ J \ J n \ J 1

V A

-0 .5

-

1.0

1.0

'

C A P ÍT U L O y

47. (a) (c) 49. (a) (c) (e)

TIO = - 5 eos ± TU; (b) -2 .5 ° Celsius; 4.33° C elsius; (d) 4.33° Celsius; (e) -2 .5 ° Celsius 0.998 ,0 .99 8; (b ) 0.999,0.999; 0.999 9,0.9 999; (d) 0.99998,0.99998; 0.9999998,0.9999998; (f) 1

á c i d o s 7 .4 ( p á g i n a 4 1 4 ) 1 (a) 3

(b) 12; (c) d e una vibración p o r segundo; (d ) /(O ) = + 3 ,/(2 ) = + | , / ( 4) = - |, / ( 6 ) = -3 ib) Jt; (c) ^ de un a vibración p o r segundo; (d ) / ( 0 ) = 0 ,/( jJ i) = + 5 ,/(jjt) = 0 ,/( jjr ) = -5

3- (») 5 (a) 8

7U

^ ^ una vibración p o r segundo; (d ) / ( 0 ) = + 4 , / ( |) = + 8 ,/( j) = + 4 ,/l|) = - 4 dirección de------movimiento y* si su tabla de abajo del cuerpo a partir de la Iposición central, su----direc V describe ---— —..w w las distancias IV IW J dirigidas M il ——-— ---- ----------------- * ---—---- ----------lia^ 'ncrcmcn,a a partir de 0 o si decrece hacia 0, para los prim eros 12 segundos de m ovimiento. A los 12 segundos, el cuerpo a su posición inicial y el ciclo se repite indefinidam ente. partjr de la posición central dirección 0 Ü5.a +3 " -------------

0-3 3 6

6-9 9

0 ~3 0

en reposo hacia abajo hacia abajo hacia abajo en reposo hacia arriba hacia arriba hacia arriba

la rapidez es 0 creciente constante decreciente 0 creciente constante decreciente

861

862

RESPUESTAS A LO S E J E R C IO O S IM P A R E S

9. L a ta b la de abajo describe las distancias dirigidas del cuerpo a partir de la posición central, su dirección de movimiento y « su rapidez s e incrementa a partir de 0 o si decrece hacia 0, para el primer segundo de movimiento. A l primer segundo, el cuerpo ha re g r e s a d o a su posición inicial y el ciclo se repite indefinidamente. cm a partir de la posición central

dirección

la rapidez es

hacia arriba en reposo

decreciente

+8

hacia abajo

creciente

hacia abajo

constante

hacia abajo

decreciente

H % i —L » ’ 12 2 a J ..1 12* J 2 3 ¿ -Ü î " 12 II 12

0

-8

en reposo

0

0

0

hacia arriba

creciente

hacia arriba

constante

hacia arriba

decreciente

11. (b ) 5 ampere; (c ) 15 ciclos por segundo; (d ) a los 0.05 s, - S ampere; a los 0.1 s, 0; a los 0.15 s, 5 ampere; a los 0 2 s ,0 13. (b ) 0.6 ampere; (c ) — ciclos por segundo; (d ) a I s, -0 .5 1 0 6 ampere; a los 3.5 s, -0 .5477 ampere; a los 8 s, 0.5753 ampere; a los 10 s, -0.4101 ampere 15. (b ) 220 volts; (c ) 60 ciclos por segundo; (d ) a los 0.01 s, -129.3 volts; a los 0.05 s, 0; a los 0.06 s, -129.3 volts; a los 0.1 s, 0 17. (b ) 8 volts; (c) — ciclos por segundo; (d ) a los 0.05 s, -6 .2 2 7 volts; a los 0.15 s, -3.591 volts; a los 0.25 s, 7.747 volts; a los 0.35 s, 0.3113 volts 19. (b ) 0.005 din/cm2; (c ) 440 ciclos por segundo; (d ) a los 0.0025 s, 0.002939 din/cm2; a los 0.005 s, 0.004755 din/cm2; a los 0.0075 s, 0.004755 din/cm1; a los 0.01 s, 0.002939 din/cm2 21. (b ) 0.02 din/cm2; (c ) ciclos por segundo; (d ) a los 0.002 s, 0.01864 din/cm2; a los 0.006 s, - 0.008850 din/cm2; a los 0.018 s, - 0.01962 din/cm2; a los 0.054 s, 0.01666 din/cm2 23. (a) f ( t ) = 2 sen 4it(/ +

o,

equi valentemente.

f \ t ) = 2 c o s 4 nt\ (b )

\

h

\ 1 / 1 \ 1 / 1 \ 1 * \ 1 0.5 \ / 1.0 \ I - \ / \ / \ /

V -2 _

V

V

V/

(d ) 2 cm abajo de la posición central 29. La corriente se retrasa, con respecto a la fuerza eleetramo tn z .p o r ^ s .

27. KO = 20 sen 12On{t - ¿ ) 20 1 |\

/ 15 10 - / 5

/ 1 / J_

J MO \ 1 \

i\ 1

1 / 1---- 1—J

Jj Í

_5 -1 0

i L

i

Î2()\

■

/ __________ !

rAPÍTULO 7

de

3 3 . (a ) - V J c m a p a rtir d el o rig e n c o n u n a v e lo c id a d

n

V3 c m /s y u n a a c e le ra c ió n d e —

n 2c m /s

A*?

,

b) e n e l o rig e n c o n u n a v e lo c id a d de ff c m /s y u n a a c e le ra c ió n d e

0;

c ) V í cm a p a r tir d e l o rig e n c o n u n a v elo cid ad de V3 , n c m /s y u n a a c e le ra c ió n d e - — k 2 c m /s 2; ( d ) V3~ c m a p a rtir d el o rig e n c o n u n a v elo cid ad de V3 c m /s y u n a a c e le ra c ió n d e - — rc 2c m /s 2;

(c) SOciclos p o r se g u n d o (d) - J = d in /c m 1 a
y2 ( I ) — 7= d in/cm V2

- 3 .5 3 6 d i n / c m 2; 3 .5 3 6 d i n / c m 2;

«

(e ) e n e l o rig e n c o n u n a v e lo c id a d d e

-

c m /s y u n a a c e le ra c ió n d e

0

- 3 .5 3 6 d i n / c m 2

Ejercicios 7.5 (p ág in a 421) b las ejercicios 1-15, h a y u n p u n to d e in te rse c c ió n p a r a c a d a v a lo r en te ro d e k. 3 (b )

i (24 + l)ir; . *ir ; S». ir, jw, 2tt

« » •i» . V«-.

(c) (d )

(c) (d) (b)

(e)

t t

= jk ir \ 0. ¿ ir , ¿w , i * , ir, f i r . \ w, J w , 2 lr; = ¿ ( 2* + 1 ) » ; í ^ , i ir. t ir, %ir, i ir, ^

^

864


15. (b )

4 3 2 1

-

f/« rC‘

l (•> I

-1 3 J \ I -2 -3

( d ) '^

\ 1 K\ 1 \ 1 2n \l \ i 1/

11. (W

0 (c)

t -

¿ ¿ 7 j r ; 0 , ¿7 7 -, j T T , j 7 T , . . . , § 7 T ,

7 7T,

I I (»)

23. (•)

2 7 r;

( d ) t = 13 (2/c + 1)77-; ^7T , J7T, ^7 T , n f f , § 77",

75 IT, 15

25. (a)

\ 7T, I l 7T, I l 77\ JtT, f | 7T

23. (a-b)

(c) 0.4996, 0.4996;

(d) 0.499996 ,0 .4 9 9 9 9 6 ;

2

(e) 0.49999996, 0.49999996;

(f) sí 21. (b) 2; (c) 2.006 7 ,2 .0 0 6 7 ; (d) 2.000067,2.000067;

Í \ A ,/ \ A / 1

(e) 2.00000067.2.00000067; (f) sí

-n

1

-2n

Ni >4 1

19. (b)

(*>

1

ib)

-2

(c) E llas son idénticas

E je r c ic io s 7 .6 1. ( . ) V 3 ;

(c ) 2;

^

1 1 . s e n tii

(p á g in a 4 3 1 )

(b )

"h = -

31. (a)

~

5:

®

eo s\ K =

_

(d )

3; 2

3. (a )

(b )

W) “ ~1 P

^

9' ^

(d ) |

5. ( . ) f ;

inítefin' do- (b) 0 ;

(c)

tan-[rc = - L ; c o t - [ n = VT; sec 7 n = — |= ; c s c - n =

6

V3

V3^

6

indefinido;

(b )

(O - f ;

(d) - I

-2

13. s e n (-± n ) = - - L ; e o s ( - ± n) = - j U ; ta n ( - I n ) = - l ; c o t ( - | r t ) = - l ; s e c ( - i j t ) = V 2 ;c s c ( - in ) = -V2 ^

2

I

15. sen¿7t = — ;cos|7t = -j;ta n |n = -V3 ;cot|7t = -^= ;sec|n = -2;csc|7i = ^= 19. (a) -^L; (b)

21. (a)

1.743; (b) 0.5736; (c) 1.022; 31. (a) 6 955; (b) 1.082; (c) -2.613

27. (a)

(b) 2

23. (a) -I; (b) 0

47.

1

= - i¿; eos / =

(a) sen

/ - s e n ’ /;

25. (a) 3.113; (b) 0.3212; (c) 1.060;

(d) 2.998

4.797 29. (a) -3.624; (b) 1.037; (c) 1.928; (d) -1.126 33. (a) -1.376; (b) -4.494; (c) -1.236 37. (a) segundo cuadrante; (b) tercer cuadrante ese t = | 41. sen / = —H; eos 1 = - i ; c o tí = ■£; sec

tan / = - y ; sec I = y ; ese / = - -Jj

(b) - e o s 2 /

I j *fa) 3

(d)

35. (a) cuarto cuadrante; (b) tercer cuadrante 39. sen 1 = tan / = - £ ; c o t / = -j.s c c i = 43. sen

17. (a ) -1; (b)

(b) , .

49. (a) —

sen

;

1

45. (a)

I - sen 2/.

I

se n 1 1

eos /

(b) —----- —— - 5=( | - eos /)

53. k representa cualquier entero; sen / ese / = 1,1 * kn\ eos / sec I = I . / * (k + j)it; tan / = s e n •’ / + e o s 2 / = J. iodo /: 1 + ta n 2 f = sec 2 / . / * ( * +

I + c o t 2 / = e s c 2 /, / * k n

l

1 = - i? ese 1- = -77n •¡ .

51. s e n 2/ + I --------í-rse n 2 t t * ( k + j)n ; col / = —¡jj. • * kn■.*■*{"» *■

(b) f

gtrtldos 7.7 (página 443) (d )- '

( c ) - ,:

*- i

7■« a

w¿

* «

W indefinido; (d) o

W -2; (O -V fc (d) V?

H I * («) 5*: W 4n

w

«V T;

& W

s ttA :

17. (.) * *

& / I

w

( « i.

(d)VF

, f , _.

13. w

'.

W *' (,) “ * * (b) ' v f «

; W

w

(c) ij • £

# *

t ò a 4 < » w |: (b, 4: w * » i / J , a 2 4 ft4 (I) 0.366,2.77 ' * «!» W « »29-(a )

« . '( . >

^

Ê

d°‘ »

ÜKfcf,"id«

«

-I

15. « £

1

866


59. M ediante expansión vertical por un factor a; no tiene amplitud

E je r c ic io s d e r e p a s o p a r a e l C a p í t u l o 7 ( p l . (a) I;

(b)

0;

(c) - 1 ;

(e) - j ;

(d ) i ;

(f)

-1

3.

eos / = tan / = -i, cot / = -Ü, sec t = -f|, ese / = £ 9. sen f * - j , eos I * -|,la n / a j,cot/ * * 5.

| , c

13. sen l = - JLf eos / = - -j|, tan / =

17. (a)

s e n 2 í(l -

2 s e n 2 /)

k

cot / =

á g in a

(

7. I I .

sec / = -¿ 2

4 4 5 )

(a ) (b) - i ;

(c) V f;

(e)

2 ; (f) -2

sen / = -||, eos / = - ^ cot / = - ■£, sec / = - y, ese / = $ sen / = -i, tan / = -i, cot / = y. sec /* -J|, ese t =eos / 15. (a) ± (b) -

-

-

VI - sen 2 1 '

(1

(d ) V f;

I - e o s2 /

- e o s 2/)2

—, (b) 219. I + sen /; (b) — =21. (a) 0.6606; (b) -0.7508. (I - sen 2/)2 eo s2/ eo s2 / (c) 0.4567; id) -1.099; (e) -0.7884; (f) -1.273 23. (a) 0.8579; (b) -0.7499; (c) -0.6113 25. (a) -0.9399; (b) 1.064, (c) 3.078; (d) 0.5774 27. (a) |it; (b) lOit; (c) |n ; (d) *n; 29. (a) (b) (c) j; (d) 3 31. (a)

1

(•») w

(c) ^ = ;

(d)

(f) indefinido 35. (a) 0.955; (b) 41. (a) 146.4 60; (b) 4 47,4 95

0;

0.762

0; (e) u;

(f) i i ; iI

37. (a)

33. (a); i, I; (b) - 4 ^= =;' (c) indefinido; j j . i* v»/ ~

-12.6; (b) 0.688

39. (a)

(d)

-

VT; (e> V5”;

0.573.2 57; (b) 1.86.4.42

C*rtTUM>7

ñé7

respuestas a

l o s e j e r c ic io s im p a r e s

En ios eje rc ic io s 6 9-71, h a y un p u n ió d e in tersecció n p a r a ca d a v a lo r en te ro d e k. 7 1. (b )

íc) íi

i P * 3+ 1 }?' A i * * A

® 3

í ^ ’

j w. iw ,

A

(c) t =» ¿A:ir; 0, ¿7r, jít, |ir, tt;

í «■*

( d ) f =*= ¿(2A: -H 1) tr; ¿w , J tt, f i r , j i r

í 7r' J 7r’ J 1?’ jir* i^r. w, gtr, |i r ,

7 1 r, 2ir

( b ) 4 v o lts; (c) 5.64 c m a m b a d e la p o s ic ió n ce n tral; (d ) 1.04 c m a b a jo d e la p o s ic ió n ce n tral

(e ) - 4 v o lts; (g ) - 4 v o lts;

(c)

( d ) 5 0 c ic lo s p o r segundo;

( f ) 4 v o lts; (h ) 4 v o lts

77. (b ) 0 .0 4 d in /c m 2; (c) — c ic lo s p o r seg u n d o ;

7 9 . /( /) = 4 0 se n

(d ) 0 .0 3 3 6 6 d in /c m 2; (e) - 0 .0 2 1 7 6 d in /c m 2; (f) 0 .0 3 6 5 2 d in /c m 2; (g) - 0 .0 1 0 4 9 d in /c m 2

8 1 . (a) 0 .4 7 0 6 ;

(b ) - 0 .8 7 2 0

8 3 - (a)¡

(b ) (c) (d ) (e)

3; 3 .1 0 5 ,2 .9 0 5 3 .0 1 0 .2 .9 9 0 3 .0 0 1 ,2 .9 9 9

(O Sí

(b ) (c) (d ) (c) (f)

0; 0 .0 0 5 ,- 0 .0 0 4 6 ; 0 .0 0 0 8 9 8 .- 0 .0 0 1 ; 0 .0 0 0 0 4 8 ,- 0 .0 0 0 0 5 ; Sí

60 n (t

+ ¿ )

CAPÍTULO 8

869

Ejercicios 8.1 ( p á g i n a 4 5 8 ) I (i) en el primer cuadrante; (b) en el segundo cuadrante; (c) ángulo cuadrantal; (d) en el tercer cuadrante; te) en el cuarto cuadrante 3. (a) en el cuarto cuadrante; (b) ángulo cuadrantal; (c) en el tercer cuadrante; (d) en el segundo cuadrante; (e) e n el prim er cuadrante 5. (a) en el prim er cuadrante; (b) en el segundo cuadrante; (c) en el tercer cuadrante; (d ) en el cuarto cuadrante; (e) en el segundo cuadrante 7. (a) (b) jff; (c) ¿ 7t; (d) -¡n %(a) 1-00; (b) 1 7 2 ; (c) 2.03; (d ) 1.56 11. (a) i* ; (b) (c) \ n \ (d) - \ n 13. (a) \ n ; (b) f it; (C) .¿ ir, (d) 15. (a) 45°; (b ) 120°; (c) 330°; (d ) -9 0 ° 17. (a) 28.65°; (b) -114.59“; (c) 273.87°; (d) 13.18° 19. (a) 35.37°, 0.62; (b ) 102.52°, 1.79 21. (a) 315°; (b) 150“; (c) 180"; (d) 240° 23. (a) 22.56°; (b) 241.76*; (c) 106.15°; (d ) 302.36° 25. (a) 6icpulg; (b) 27n pu lg 2 27. (a) |jt c m ; (b) y T tcm 2 ¡9. (a) 1.82pulg, (b) 4 .3 0 p u lg 2 31. 21.70P N 33. 1 009 m illas 3 5 .5 6 0 37. 2.79 pulg 39. (a) 611.56; (b) 2 342.76

Ejercicios 8 .2

(p á g in a 4 7 5 )

(b) j'fr; (C) 1

3. (a)

(b ) - | ;

(c) - V T

5. ( .) - j : (b) -

VT

(c) VT

7. sen 0° = 0; eos 0° = 1; tan 0° = 0; sec 0° = 1; cot 0“ y ese 0° no están definidos 1 sen(-90°) = -1 ; cos(-90°) = 0, cot(-90°) = 0; csc(-90°) = -1 ; tan(-90°) y secH-90°) no están definidos 11. sen 9 = eos 9 = |; tan 9 = cot 9 - sec 0 = | ; ese 9 = | 13. sen 9 = -i; ■* eos 0 = - 17 tan 9 = - ■£; IJ cot 9 - - O sec 9 - - 13 15’ ese 9 = -?n 11 sen 9 = — p ; eos 9 = -^L; tan 9 = - —; cot 9 = -2 ; sec 9 = — ; esc 9 - - V5" <5

V5

17. soi 0 = — cos 9 = — i —; tan 9 = 4; cot 0 = —; sec 9 = - VIT; csc 9 = VÏ7 yfiT 4 4 W. sen 9 = - iL ; cos 9 = —L=; tan 9 = —; cot 9 = —; sec 9 =

V óT

V ôT

7

4

2Lsend = ^ ; cot 0 = — ; tan 9 = -r~; cot 9 - — ; sec 9 ™

37”

vr

J- (a) 0.5358; «• (a) 0.9677; «• (a) 0.9239;

(b) 0.5358; (c) 3.4197 (d ) (b) 0.9252; (c) 0.6950 (d) (b) 0.8974; (c) 3.1566 (d ) (•) sen 45° = - L (b) - c o s 30“ = - -VF y;

7

v r

csc 9 =

4

csc 9 = —

3.4197; (e) 1.4020; (f) 1.4020 0.0332; (e) 1.6464; (f) 21.2285 0.3249 (c) - tan 60° = - VÎT; (d) -c o t3 0 ° = -V 3 ;

VT

fe)-iecO° = - 1; (f ) - e s c 60* = - - ^ V3

►W -a e n i*

= -Ü -

(c) tanît = l; (d) c o tjït =

0; (e)

- s e c j i r = --jL ; (f) -c s c ¿rt *

-2

33.

J *) sen 55°42' « 0.8261 ; (b) - cos 63*36' » -0 .4 4 4 6 ; (c) - tan l$° 6' a -0.2698 • W - coa 7.6» * - 0.9912; (b) sen 83.8° « 0.9942; (c) tan 20.2° « 0.3679 ' t*) cot 10*30' a 5.3955;(b) sec 67.4° a 2.6022; (c) csc 4.5° a 12.746 39. (a) 30“.150°;(b) 120°. 240°; (c)45°. 225° (b) (c) 0 ,tc 43. (a) 31.1°, 148.9°; (b) 80.3°, 279.7°; (c) 67.1°, 247.1°; (d) 43.5°, 223.5° : 0.4342 2707; (b) 1.938,4.346; (c) 1.142,4.284; (d) 2.917,6.058

8.3 ( p á g in a 4 8 5 ) J ^ CO» 30°; a») «en 5.7°; (c) cot 40.2°; (d) tan 37.9°; (c) sec 22.5° 7 cos 42*42'; (b) sen 18* 18' ; (c) cot 44“; (d) tan 34*54'; (e) csc 25*30' 5. fi = 30°; a = 2.3; b = 1.4 79 9. fi - 66°, b = 36;c = 39 11. « = 19“;a = 14;¿> = 42 13. a = 47°, fi = 43°;a = 28 2i * s 52.6i°; 6 = 3.20; c = 5.26 17. fi = 73.1°; 6 = 448; c = 468 19. a = 47.6°,fi = 42.4"; c = 86.1 Î7_ 8 31.57»; a * 532.8; b - 327.4 23. a = 49.08"; a = 42.36; c = 56.06 25. a = 22.74°\ fi = 67.26°; b = 746.1 29. 0 = 60°24'; a = 163; c = 330 31. (3.0)10 2 33. (1.167)10 *35.333m __ l u l ? A* 'a 9 16.4;/; = 35.6 39. (a) 50 millas náuticas; (b) 162°; (c) 342* 41. 108 m 43. 367 m

gyo

RESPUESTAS A L O S EJERCICIO S IMPARES

E je rc ic io s 8.4 (p á g in a 4 9 8 )

1 . ¿> = 5.6 3. a = 5 l 5 . y = 75*; ¿> = 4 1 ; c = 41 7 . a = 7 0 . ( r ; a = 5 6 .9 ; b = 4 5 .5 9. 0 = 83.0^; a = 2.2 2 ; c = 0 .9 3 5 11. y = 5 1#4 2 '; a = 3 3 5 ; c = 331 13. u n trián g u lo ; 0 = 29°; y = 109°; c = 9.0 15. un triángulo; a = 60°; y = 9 0 “; a = 2 9 17. do s trián g u lo s; a i = 67.3°; 0, m 77.5°; ¿ i = 72 .0 ; a 2 « 112.7°; f a * 32.1°;

¿3 = 39.2 19. un trián g u lo ; a = 27.2°; y = 36.4°; c = 5 6 0 y , = 6 5 .2 9 ° ;
2 1 . n o h ay trián g u lo 2 3 . d o s triángulos; a i = 64.48°; 2 5 .( 4 .7 ) 1 0 * 2 7 .1 .0 3 2 9 .1 4 31. (1 .0 8 )1 0 ’

Ejercicios 8.5 (p á g in a 505) L c = 5 .6

3 . 6 = 34

5 . 0 = 55°; y = 43°;

a

= 4.1

7 . a = 26.4°;

0-

37.2°;

c

= 2 2 .6

9 . a = 18.51°; y = 150.97°; b = 1 176 11. a = 2 6 ° 2 3 '; 0 = 18°25'; c = 8 .3 4 13. 12.3 15. 76.7 17. (5.836>10* 19. a = 44°; 0 = 108°; y = 28° 2 1 . a = 57.5°; /J = 24.6°; y = 9 7 .9 ° 2 3 . a = 98.3°; 0 = 38.4°; y = 43.3* 25. a = 144.36°; 0 = 27.74°; y = 7.90* 2 7 . (a ) 33°; 31. (a ) 17.3 m illa s n áu ticas; (b ) 188.1° 33. 58 .7 m 45. (3 .8 3 )104 47. 20

(b ) (3 .9 ) 1 0 2 3 5 . 3 1.3°

2 9 . (a ) 3 0 .4 e ra ; ( b ) 1 9 4 c m J 3 7 . 56° 3 9 . ( a ) 3 9 .2 m illas;

Ejercicios d e re p a s o p a r a e l C a p ítu lo 8 (p á g in a 509) 1. (a ) ± k ; (b ) f tc 3 . (a ) - f n; (b ) 1.75 5 . (a ) 60°; (b ) 315° 9 . (a) lOit cm ; (b ) 6 0 n c m 2 11. sen 0 - ■ | | ; e o s 0 = - • £ ; ta n 0 = 17 17 o 13. sen 0 = eo s 0 = - - i ; ta n 0 = - y ; c o t 0 = - - ^ ; s e c 0 = -■ £ ; e se 0 = -j| 15.

sen 45° = -p= ; e o s 45° =

<2

17. sen 1 7i =

3

2

7 . (a ) -1 9 .1 ° ; -

ta n 45° = 1; c o t 45° = 1; se c 45° = V 2; e se 45 ° =

(b ) 212.5°

( b ) 135.2°

co t 0 = - A ; sec

15

•

0 w=

-

0

ese

= £

^Í2

VT eo s ^ n = - l ; t a n | n

3

2

= - VÍT; c o t ^ ti = - -4=; se c | ti = - 2 ; ese |T i =

3

3

19. sení-lSC T ) = ™

e o s(-1 5 0 °) = - ~ ; t a n ( - l 50") ■

21 .

e o t ( - |n ) =

s e n (- £ ic ) =

V2

3

vr

c o t(-1 5 0 °) * VT; s e c ( - I 5 0 ° ) =

t a n ( - 7 ÍC) = - 1 ; c o t(-^ T i) = - 1 ; s e c í-^ T l) = 4 4 4

V2

vr c se(-1 5 0 °) = - 2

^ 2 ;c sc (-jK ) 4

= - V2~

23. sen 27 ( f = - 1 ; eo s 270* = 0 ; c o t 270° = 0 ; e sc 2 7 ( f = - 1 ; ta n 270* y se c 270° no está n d efinidas 2 5 . s e n ( - 7t) = 0; c o s ( - 7t) = - 1 ; tan(-Tt) = 0; sec(-Tt) = - 1 ; cot(-T t) y csc(-T t) n o está n defin id as 27 . (a ) 45°;

(b ) 38°;

(c) - t a n 6 0 “ = - V 3 ;

(c) i » ;

6

(d ) 1.13;

(d ) - e o t ^ J i = - 1 ;

(e ) f í i ;

( f ) 1.33

9

(e) - s e c j T i = - 2 ;

3 1 . (a ) sen 43.6° = 0 .6869; (b ) eo s 10.8° ~ 0 .9 8 2 3 ; (e) - sec 1 4 .8 ° « -1 .0 3 4 3 ; (f ) - e s c 81.4° « - 1 .0 1 1 4 3 7. (a ) 18.8°, 161.2°;

(b ) 61.3°, 298.7°;

29. (a ) sen 30° = i ;

2

(f) - e s c | i t =

(b ) - c o s 4 5 ° = -

-U

V2

-2

(c) - ta n 32.9° == - 0.6469; (d ) - c o t 25.7° = -2 .0 7 7 8 ; 3 3 . (a ) 60°, 300°; (b ) 135°, 3 15° 35. (a)

(c) 71.3°, 251.3°;

(d ) 168.0°, 348.0°

39 . (a ) 3 .9 2 4 ,5 .5 0 1 ;

(b ) JC

(b ) 1.351,4.933;

(c) 2.206; 5.348; (d ) 0 .8 6 8 5 ,4 .0 1 0 4 1 . 32 4 3 . 3.7 4 5 .7 0 4 7 . a = 56°; 0 = 34°; c = 5.8 4 9. y = 75.4°; a = 20.9; c = 29.5 51. a = 28.7°; 0 = 46.0°; c = 4 3 .4 5 3 . a = 54.46°; 0 = 4 3 .6 7 °; y = 81.87° 55. 271 5 7 . (1 .1 2 8 )1 0 s 59. dos triángulos; 0\ = 72.0°; y , = 53.6°; c ■ 111; 0i = 108.0°; y 2 = 17.6°; c i = 41.6 61. un triángulo; a = 107.7°; y = 3 2 .6 ° ;« = 19.1 6 9. (a ) 241 m illas; (b ) 73.0° 7 1 . 4 0 .6 pie

63. 336 7 3 . 2 7.5

65. (a ) 111 pie; 75. 7 8.8

(b ) 2 5 6 pie

67. 60° **

Cjorclclos 9.7 (p ág in a 520) 1. (a ) s e n x \ 45. sea y = | i c

(b )

1J

co%7 x

- — ; (b ) e o s 2 2-c 3. (a ) --------; j: 5 . (a ) -------------------------------;; (b ) -------—4 3 . sea / = 4 * s e n «x sen x sen x eo s x sen 4 7 . no e s identidad; sea 0 - |t c 49. identidad 51 . n o es id entidad; se a x = 53. identi

,

*1.

hit*, ^

«en

(») *

Ejercicios 9.2 (pág in a 533) i. M

2 V2

». (a) i ;

(b )

2 V2

(b) — L I; (b) - V í

3. ( .)

2 V2

13. (a) f :

(b ) 4 ^ 1

2 V2

(b) i ;

5 . („ ,

-2

- V i;

= «

f

K ',a I. (

'

I,

5
í

i/w ^■en

CAPÍTULO 9

15 . <•> § ; (b) “ | : (c) S ; (d) " S í * W - f ’ (b) Í ; cuart0; 35, (a) tan IQx; (b) - ta n 2x 43. (a)/(/) = 2sen(/ + ¿ x );

(«) segundo;

W ) prim ero

17. (a)(b) -g;

(f) segundo

31. (a) c o s7 r,

(b) sen

(c) segundo;

(d) primero

33. (a) -e o s lQr, (b) -se n j:

45. (a) /(/) = 3>/2" sen(/ - Jx); ib) la amplitud es 3 V2, el periodo es 2x. el defas amiento es - ¿X;

(b) la amplitud es 2, el período e s 2x, el d e ja m ie n to es i x;

49. (a) /(f) = 5sen(6f + 0.93); (b) la amplitud es 5, el periodo es jx .

47. (a) /(x) = 194 sen<4/ + 0.45); (b) la amplitud es 2.94; el periodo e s i x , el defasamiento es 0 .11;

la frecuencia es -;

|t /W = 0.043 sen(2xm - 0.72) B- lOVif pie

Ix

53. (a)

s

=

v2

(b) la amplitud es * \j 2 ~~' la frecuencia es ~

sen(4r + ix ) ;

57. (b) e o s*

íw e ic io j 9 .3 ( p á g i n a 5 4 6 ) L <■> f . 7- (a)

®

(b)

(e)

(b) 52 ; 629

3. (a )

(c) -225 527

B . i a n k . l j f f J - .tanI* ____l_ - 3 t a n 2*

». (.) ~

^

(b ) -• £ ;

15. sec 2x =

25. |V2 + Vf

»“ »jf 2 - sec2*

27. -1 - V2

,#l eos 2r. (b) eos 4x; (c) sen 3jc 37. tan Ax. (c) 3 tan 3*

■,a» ton2r. (b) -2

| * (í> - J f . * « 6 sen(8f + i x ) ;

(c )

(O i £

9. eos3jc = 4cossx - 3 eos*

2

sen 4 /

5.

(a)'

U.

=

JSLíc) 2¡2 2 *9’ W 161_________ sen* Vi - senl jr(l

±4

-

17. ¿ + icos 2t + i eos 4/ 2 8

19. • - í eos 12/

29. ~

31. )

(a) sen 2r. (b ) 2 sen &c; 41. (a) tan /; (b) tan 2/;

55.

(b)

» •

s e n 4*

2 s e n 2x)

33. 5

(c) sen x (e) -tan 2/

57.

»

z* + 6z2 +

I

(1 - z1) 2

(b ) la amplitud es 6. la frecuencia es J

9.4 (p á g in a 5 5 4 ) {(«en 5jc + sen 3jr);

(b ) i(eos 3jc - eos 5x);

(c) i(cos Sx + coi lx ) -2 -^ 2

j 3‘ ,a) |(ae»»x - «en 4*); (b ) | (c m 4 i - coi&c).

(e) ^(cos &r + eos4*)5. (a) £(>/3 + V2): (b )

171

872

POSPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARIS

-2

7. (a) ----

- V2

V2 - V3

U . (a) 2 sen 5 0 cos 2 0 ; VfT

13. (a) - y ;

sen At cos 2/

— ; (b) ------------------------------------------------------------------------------------------------ -9.(a)2

i

(b) -2 cos 30 sen 20; (c) 2 cos 50 cos 20; (d) 2 sen 50 sen 20 15. (a)

i

Vó"

35. sen 21 Jt/ + sen 19m s 2 sen 20iu cos nt37. cos 9nt - cos 1lit/ = 2 sen 10x/ sen nt

47. /(f) = 0.04 sen 500xf cos 4xr

E je rc id o s 9 .5

(p á g in a 5 6 8 )

1. (a) ¿x; (b) - ± x ; (c) j x ;

(d) | x

3. (a) ¿it; (b) - j it ;

(c) £x;

(d) | x

5. (a) {%\ (b) (c) ¿ x ; (d) - i * (e) 0 7. (a) 0.51; (b) -0.51; (c) 1.06; (d) 2.08 9. (a) 0.41; (b) -0.41; (c) 1.16; (d) 1.98 11. (a) 1.07; (b) 4.21; (c) 0.50; (d) -2.64 2V 2

13. (a) ~

(b) ^

1

3

..

2^2

.

(c) 2 V2 ; (d) -^¡=i (e) 3

17. (a)

(b)

(c) - i ;

(d) V?; (.)

21. (a) ±x; 25. (a) Ik;

(b) -¿ x ; (c) ¿x; (d) - { n (b) -¿ x ; (c) {n, (d) - \ n

29. (a) ±x; (b) jx; (c) fx; (d) f x

15. (a) - r - ; 19. (»)

23. (a) |x ; 27. (a) ¿ic;

(b) -

I

1

2<2 <5 .2 (b) --J -; (c) ^

(c) - 2 V2 ; (d) (d)

a/5

2^2'

(e)

(e)-3

3

(b) \n \ (c) fx ; (d) f x (b) |x ; (c) ±x; (d) f x

31. (a) ¿x; (b) - |ic ;

(c) ¿x; (d) - f x

33. (a) V3; (b)

3 VF - 4 4VT + 3

39

V3

S 3

CAPITULO 9

.4049;

0

(c)

» 0.4424;

(d)

(e)

0 a 0.4324;

V ÏÔ » 3.16 pie

Ejercicios 9.6 (página 578) LW

(h) { }* )

9. (a) {0. jw );

(b)

t t (■) { $ * 7*}

3* (•)

{ 0 ,\ n )

5. (a) {0}; (b) { I*}

(*>) { }*} ;

1 1 . (a ) { | n , f 17. (a ) {¿ 7C ,¿ 7C>;

(b)

7. (a) ( O .jn } ;

(b ) ( i * , j * T | ¿ Í * } (b)

13. (a)

1 9 .( 2 .1 4 ,4 .1 4 }

(a) (48.2°, 311.8°} 25. (0°, 41.4°, 180°, 318.6°} 27. (71.6°, 135°, 251.6°, 315°} (a) { / 1 1 = + kn ) U { / 1 t = n + k it), k E Z; (b ) jfjf 1 1 * i j t + k ■ I jt} , * 6 31. (a) { í | í * |lÉ + An}, k E Z\ (b ) { 1 1 / * \ n + k • |tc } , k E Z

(b) { jn }

[ \ n ,n ,\n Y ,

(b)

2 1 .(0 .8 7 ,2 .4 4 ,4 .0 1 .5 .5 8 }

23. 29.

4 .1 4 + 2k

33 J /| / = 2.14 + 2 * 7 t} U { / | / = 35. (0 | 37. ( 0 | ». {0|

0 0 0

= 48.2° + * • 360°} U { = * • 180°} U = 71.6° +

k ■

[0

|

0

0 \0

311.8° +

= 41.4° +

1 8 O °} U { 0 |

0

n},kEZ k • 360°}, k E Z k • 360°} U { 0 | 0 = 318.6° + k • 135° + k • 180°},* G Z 41. (a)

=

43. (a) » J i , j | i r , ^ 7c , ^ í i , g n , | í c , j | 7c>

«Ma) U |* = »• (a) ( x I jt *

il + ti +

Z

k ■ j í t } , A: G Z; * •\ n ) , k E Z ;

45. (a) ( ¿ í t , | n , | 7t,J ít} ;

(b ) { x | (b )

x

k

= -¿ ti +

{ * | jc =

\n+

A:

(i* ,

* ,§ * } ;

(b ) { |tt}

• |n } U { •

360°}, k E Z

x |x 27t}, k E Z

n

=

47. (a) { |í c .|n } ;

(b) ( |j t )

+ * • |« } , * G Z

& {(T. 20“, 90°, 100°, 140°, 180°, 220°, 260°, 270°, 340°} 55. (22.5°, 73.2°, 112.5°, 163.2°, 202.5°, 253.2°, 292.5°, 343.2°} (a) identidad 59. (a) no es identidad; (b ) {^ 7t, j n , ^ 7t, ^ 7t, |f l , ^ 7t}

61-(a)

no es identidad;

(a) | í 1 1 *

(b ) ( 0, ¿ 7t, jn ,

_ L s e n "1 4a 2

- L +k 8

tt, j 7i , | n , | r t , | 7C ,^ 7t}

• i} U i 2J l

^*ra (—jc, n] el conjunto solución de s e n 2x -

.

63. (a)

(b) ¿

65. (a) f ;

(b) 0.61

B

8

= O es {

4ti - | í c

, I ^ J î y p a r a x 2 - (sen_ lj )2 = Oes { -¿ K ,-n}-

fyrcicios de repaso p a ra e l C apítulo 9 (página 581) (a)

(b)

e) pri"*">. (f ) tercero

31. (a )

1 -V T

(b)

-2

- VT

33. (a) § ;

- -I-e o s 4í - i c o s 8/ + ¿ e o s

12/

39.

(b) § ;

(c)

id)

4z

45. (a) { |ïc ,|n } ; (b) (¿ir, | n , 47. {¿7C,|7t}' 49. {1.25, |

tt,

4.39, ¿n}

jrt,]k )

873


874

S i. 55.

5 3 * í 0 2 3 * l 3 4 - 1 .8 0 ,2 .9 1 .3 .3 7 ,4 .4 8 ,4 .9 4 .6 .0 5 }

(a ) { 1 1 t *

jji + k

•

57. { / 1 t = 1.25 + * * } U { 65.

[9

|

0

1 1t

= 45° + k • 90*} U

T I.

(a) - J t;

( b ) - 0 .6 5 ;

\it;

(b )

* ¿ jt + kn),k

[0

6 7 . { 0 | 0 = 90° + * • 180°} U 7 3 . (a ) 0 .6 5

( b ) ( / 1 1 * y * + k • ^ ít} , k € Z

2re) U { f | / e | j c + A: • 2 n ) , k S Z \

|

{0

0 |

\n

=

9

=

(d ) - j n ;

Z

59. {45°, 135°,2250.315°}

6 1 . {90>,2 7 0 , J

63. {12(f, I8tf,240*}

+ • ±n}, k € Z

±n +

(c ) 0 .9 2 ; (d ) 2 .2 2 ;

(c ) J n ;

6

k n ),k G Z

(e ) 0 .5 4 ;

(e ) ¿ í t

(f)

6 9 . (a)

79. (a) - ¿ i r ;

7 1 . (a ) n o e s iden tid ad ;

id e n tid a d

- 0 .5 4

(b ) | ;

7 5 . (a )

-\n \

(b )

(c)

In ;

i

(c)

( d ) i7 t

(b ) ( j M x )

(d )-J 8 1 . (a) ~ £ j ;

(b )J

8 3 . ( a ) f ( t ) = 3 .0 3 s e n (2 / + 1.06); ( b ) la a m p litu d e s 3 .0 3 0 , e l p erio d o e s e l d e fa s a m ie n to e s 0.5 3 ;

8 7 . ( a ) /( O = 2 s e n 4 0 rtf e o s

n,

nr,

8 9 . / ( / ) = 0.061 sen (2 0 0 rcr + 0 .1 5 8 )

s - ViTsen(61

91. (a)

( b ) la a m p litu d e s

9 3 . ( a ) J / 1 / = — s e n *1 — - I + 1 2n 4 6 9 5 . (a )

0

5*

= ta n '

36 97. (a )

f ( t) =

;

k

tu I

(b ) 0 .3 8 9 0 ;

1 1 t = I — i-sen -1- + k \ , k G Z ; 3 (c ) 0 .3 9 4 8 ;

2ti

4

0.20,0.97

j

(d ) 0 .3 9 0 6 ;

2 c o s(2 1 + ¿ n ) ;

(b )

- 0 .2 6 );

>¡2, la fre c u e n c ia es

(e ) 6 .0 p ie

(c)

( b ) la a m p litu d e s 2, e l p erio d o e s n, e l d efasam ien to e s ~ ic;

E je rcid os 10.1 (p á g in a 5 96 ) 1.

I A | = 5;

9. (a ) ( 7 ,3 ) ; (e) 61 +

2j ;

(b) | A | *

2

(b ) ( - 9 , - 4 )

(d )

19. ( - 1 2 .0 ,- 3 2 .9 )

2V ÏÏÏ

3. (a) ( 2 , - 3 ) ;

11.

(a ) ( 6, l ) ;

15. (a ) V IT + V IT ;

2 1 . ( a ) 5 ( |í - | j ) ;

(b ) 16(cos rei + sen 7ij) (b ) 1.7 m i/h; (c ) 0 .5 3 m i

(b ) ( - 2 , - 7 ) (b ) V 74; (b ) -141 +

5. (a ) ( - 4 , 3 ) ; (c) Vi 061

21J ;

(c ) 7 V Ï J ;

(b ) 2 V 2 ( c o s |ir t + sen^T iJ)

(b ) ( 1 2 ,- 5 )

1 3 . (a )

101

7 . (a) ( - 1 ,9 ) ;

+ 15j;

0») -241 +

( d ) 5 V U - 6 V Ï7

23. (a )

8( c o s | i d

0») 0 - ' 5^

6j;

17. (14.6.10.6)

+ se n | n j ) ;

25. ( a ) 1351b; (b ) 17° 27. (a ) 1351b; ( b ) 17° 2 9 . 29.0° 3 3 . ( a ) 346.1°; (b ) 243 m i/h 35. 15.3 n u d o s, 191.3°

3 1 . (a) 28.1°;

CAPÍTULO IO

Ijfreielos 10.2

*7*

(p à g in a 6 0 5 )

7 ,1 -1 ,1 1

9 * (“ « 9 . - 4 1 U [ 3 , + a o )

I& l

e

5= *•

-8 -6 - 4

i 2+ y* =

-2

I I I I I I I I,

2 46 8

1 21 .

( b ) y = (4 jc) :

x2 y2 ( b ) — + —- = 81 16

2 5 . S i / e s e l n ú m e ro d e s e g u n d o s d e s -

2 7 . ( a ) 2 7 0 p ie ;

p u é s d e l d is p a ro , e n to n c e s ( a ) 1 2 5 0 V 2 /Ì + (1 2 5 0 V 2 / - I 6/ 2)j; (b )

jc

16/ 2;

( c ) 1 1 0 .5 s; ( d ) 195 3 1 2 .5 p ie « 3 7 m i; ( e ) 4 8 8 2 8 .1 2 5 p ie ~ 9 .2 5 m i;

40

CO y - * - 390 625’

20

3 0 ,0 0 0

20,000 - / 4

v

^Jr

1

I

200

(d) _y = 1.60.V - 0.00593*3

4 0 ,0 0 0

10,000

ì

100

5 0 ,0 0 0 3001

(b ) 108 p ie ;

:

60 -

(*) 250

1

80

2r 2

sy

k

(c )

100

= 1 250V2/,

y = ! 250V 2/ -

200

(a )

1 1 1 1 1 1 1iJ _ 1QQQQ0

_m c

\ 300J 1

876


Ejercicios 10.3 (p á g in a 6 1 3 )

5. (a) (-4 ,¿ íi); (b) ( 4 ,- 2 * ) ; (c) ( - 4 , - j j t ) 7. (a ) (-2 , § ti) ; (b ) (2 ,- f ie ) ; (c) ( - 2 ,- 1 * ) 9. (a) ( - V 2 ,|tt) ; (b) (V 2 ,- Í7 t) ; (c) ( - V 2 ,ftt) 11. (a) (-2 ,J n ); (b ) ( - 2 , - |t i) ; (c) (2 ,-J *) 13. (3. |í t ) ; (-3 , jtc ) 15. (-4 , - fie ) ; (4, - \ n ) 17. (-2 , f ti); (2, J tt) 19. (2, 2tr + 6); (-2 ,6 *) 21. (a) (-3 .0 ); (b ) (- 1 ,-1 ) ; (c) (2 ,-2 ^ 3 ); (d) (¿ V 3 ,-¿ ) 23. (a) (V I, ¿ ir); (b ) (2 ,ftr); (c) (2^2, }it); (d) (5.*)¡ y r = 6 sen 0 31. Ü r ,2 = 4 eos 20 33. r = 3a sen 26 27. r = -1 - 2eos 0 ¡29. 25. r = M 2(sen3 0 + eos3 0) 35. (x2 + y 2) 2 = 4xy 37. (jc2 + y 2) 3 = x 2 39. y = x ta n (x 2 + y 2) 41. jc = -1 43. 4 * 2 - 5y2 - 36y - 36 = 0 Ejercicios 10.4 (p á g in a 6 2 4 )

1.

3. 5. 7.

(a) (a) (a)

(b )

recta que pasa por el polo con pendiente <3; (b ) circunferencia con centro en e l polo y radio jtc recta que pasa por el polo con pendiente tan-1 2; (b ) circunferencia con centro en el polo y radio 2 recta paralela al eje ^ ir y 4 unidades a su derecha; circunferencia tangente al eje |

ti con

centro en el eje polar y radio 2.

recta paralela al eje polar y 4 unidades abajo de él; (b) circunferencia tangente al eje polar con centro en la prolongación del eje jK y radio 2. 9. cardioide; sim étrico con respecto al 11. cardioide; sim étrico con respecto al eje polar; apunta hacia la izquierda; eje jí t ; apunta hacia arriba; (a)

13. caracol con un lazo; sim étrico con res-

15. caracol con una hendidura; simétrico con respecto al eje polar; apunta a la izquierda;

CAPÍTUL010 | 7. caracol convexo; s im é tric o c o n res pecto al eje j rr; apunta h ac ia a b a jo ;

i i i i i

6 8

21, ron de 8hojas

23. ro sa de 4 hojas

4 3 ^

[

21 espiral logarítmica, algunos d e r

i 3

9 0

,

sus p untos

e n ~ 23

1

i 4

e 2w ~ 535

§ 1T

2 ir

* espiral recíproca, algunos de sus puntos (r,

' |1 -w 9

1

1.9

{ir

- -

ir

0 .9 5

} ir

se proporcionan en la tab la siguiente

tf*r/2 « n i

TT

£ir

(r, 6 )

- *» ir

0 .6 3

\tr

0)

e iw/2

* 2576

e 3* -

12,392

3 ir

fir

se proporcionan en la tabla siguiente

- *» ir

032

TT

T - - 0.16 lir

2-7T

J- ~

0 .1 2

3ir

44 ir-

-

0 .0 8

4ir

r— - 0

6 ir

6ir

.0 5

<77

878

POSPUESTAS A LO S EJERCICIOS IMPARES

31.

29.

33.

.

8I 6-

€ 2 i i. i-i i i t,

ZD

2 4

6 8

sí \2

i i i i i i i i Nj

i i ii i i i N2 4 6 8 " ■ :

|

37. rosa de 4 hojas 4 ► 3 2O í O l

i 2

i 3

i ^ 4 '

41.

(1.5 ,2 .6 ), (1.5. -2 .6 ) 55. polo, (Í.¿ X ), (2. jn ) , ( I , | n )

53. (3 ,¿ *). (3 ,~ } n ) E je r c ic io s 1 0 . 5

(0.0). (0.87.0J ).

(página 632)

9. (a) V 2 9 ; (b ) V T 11. (a) 3; (b ) 3 13. (a ) 2; (b ) 2 15. (a) 10; (b ) 10 17. (a) \ + ¿VT/; /2(eos^7t + /s e n ^ n ); (b ) 6 (c o s0 + / sen 0 ); (c) eos j n + is c n jn

(0.2); (-0 ®7,0

CAPITULO 10

25. (a) 6(cosj* + ¿penjn); (b) 7 (c o s n + / s e n ti); (c) 7 ( c o s |x + i sen | n ) 27. (a) 5[cos(arcian|) + i s e n (a rc ta n *)); (b ) 5 (c o s 0 .9 3 + i sen 0 .9 3 ); (c) 5 (c o s 5 3 .1 ° + 29. (a) V5[cos(arctan(-2) + 2 « ) + i s e n (a rc ta n (-2 ) + 2n)]; (b ) V 5(cos 5.18 + i sen 5.18); 31.0+10/;

i sen 53.1°)

i sen 296.6°)

(c) V5~(cos 296.6° +

3 5 . - 2V2 +

33. 1 + V íi

879

2V 2 Í

37.

2V3

-2 /

Ejercicios 10.6 (página 646) 12 + 2^1 & -6* *» (-2.2107)10°

3.64 5 .- 1 7. -16 - lóV Ji 9 .-2 21. (a) l . - I ± ¿VJí; (b) 3, ± |V3í

+ 2/

11.64 13. 4096 - 4096/15.-1 17.1

23. (a) l,cos|x + i sen

cosate + 1 sen^n, c o s|n + /'sen|n,cos*Ji + /se n |x ,c o sy ic + /se n “ *, eos y * + isc n -x , (b) 2,2(cos|x + isen^n), 2(cos^n + 1 sen^n). 2(cos|it + / sen|ft), 2(cos"n + i sen*n), 2(cos^n + i scn-yx); 2(cosyJt «f 1 s e n ili) SL-¡,fé +

25. ±2, ± 2 + j¿

& l £ + ¿i S 0.87 + 0.5/';

27. i, j d j r - i / , - jV 3 - \ t

29. -V2

+ V2/, V? - <21

33. -0.35 + 1.97/,-1.53 - 1.29¿, 1.88 - 0.68/ + jV 3 i a -0.5 + 0.87/; - jV T - I¿ a -0.87 - 0.5/; ± - {V3Ì * 0.5 - 0.87/

». 121 + 0.66Í.-0.25 + 1.36/. -1.37 + 0.18/, -0.59 - ¿25* 1.00 - 0.95/ 4L coi20 - eos20 - sen20; sen 20 = 2 sen 0 eos 0 43. sen 30 = 3 sen 0 - 4 sen30 é. coi40 = 8 eos4 0 - 8 eos2 0 + 1

Ejercicios de repaso p a r a e l C a p ítu lo 10 (p ág in a 648) L W <5.3); (b) < - l,3 >

3 . ( a ) < 6 .7 ) ;

7. W (6>/3,6); (b) < -1 3 5 ,3 3 .4 ) 11 (rI r * (* +

( b ) < - 6 . 13>;

5 . (a ) -251 + 6 3 j;

9 . (a) 6V 2(cos ¿ i d + s e n ^ ic j);

(b)

6(cos

(b ) V 4 5 9 4 ;

(c) 15V2 - 14V I I

131.8°i + sen 131.8“j)

1L (0 ,2 )U (2 , +oo)

\)n},k E Z 19.

-8 -6 -4

x1 + y i

=

81

(b ) 2 * + y = 4

*• « (2 ,-^x).(-2 , J jc); *■ (*) (4V2.Jx);

(b ) ( - 3 . - £ n ) , (3 . ¿ n )

(b) ( 2 , |n ) ;

(c ) (6. j í i ) ;

(d)

*-

23. (a ) ( 0 .1 ) ; ( 4 ,|n )

(b ) (1. - VF);

(b ) y ss 3 (¿jt)M - 4 (c) (-2 V 2 , -2 V 2 ), ( - f V Í , - f )

27. r * ( 4 c o s 2 0 - 9 s e n J

0) -

36

/ « 9 a » 0 - 8sen0 3 1 . xy * 2 3 3 . x 4 + 2x*y2 + y 4 - y 2 = 0 ^ (a) recta que pasa por el p o lo co n p en d ien te 1; (b ) circunferencia con centro en el polo y radio 4. * (a) recta perpendicular al eje polar que pasa por el punto (3 .0 ); (b) circunferencia con centro en ( | , 0 ) y tangente al q e j j t en el polo. * caracol con una hendidura; s im é tric o ^ respecto al eje polar, apunta a la

4 1 . card io id e, sim étrico con respecto al e je polar; apunta a la izquierda;

43. caracol con un lazo; simétrico con res pecto al e je - it; apunta hacia abajo;

39. V T +

880

BESPUESTAS A LOS EJERCICiOS IMPARES

47.

4 9 . lem n iscata

1.0

1.0

J/.O

1

51. (a )

( d ) V 2 (c o s ^ X + ( s e n i l e ) 69. - ¿ i

7 1 . 2 , - 1 ± V3ir

59. V F +

i

61. - 2 ^ 2 +

2 'f li

7 3 . 1.21 + 0 .1 4 /,- 0 .1 4 + 1.21/, -1.21 -

7 5 . 0 .7 3 + 1 .1 9 i,-0 .9 1 + 1 .0 7 4 —1.29 - 0 .5 3 /, 0.11 7 9 . ( a ) 2 4 5 m i/h ; (b ) 105° S I . ( a ) 2 .5 s; ( b ) 75 p ie ; • (c ) 2 5 p ie ;

(«d y = U -

fS i

t ó . -V 2

0 .1 4 /, 0 .1 4 -

1.21/

63. - f +

1 .4 0 4 1 3 6 - 0 .3 3 /

7 7 . ( a ) 10 4 .4 Ib;

83. (a ) 6 0 3 p ie ; (d )

(e )

y

(b ) 5 .6 2 s ;

V2i

2 67 . 0

(b ) 35.5° (e ) 126 pie;

= 0 .8 3 9 * - 0 .0 0 1 3 9 * 2

Ejereicios 11.1 (p ó g in a 663; (a ) (c) (d ) (e)

( 0, 0); (b ) e j e r , ( - 5 . 0 ) , ( 5 ,0 ) ; (0 , - 3 ) , (0 , 3); ( _ 4 , 0 ), (4 , 0):

3 . (a ) (c) (d ) (e)

( 0 ,0 ) ; (b ) e je y; ( 0 , - 4 ) , ( 0 ,4 ) ; ( - 2, 0), ( 2, 0); ( 0, -2 V 3 ), ( 0, 2V3 );

fa ) ( 0, 0); (b ) g e x ; (c) (- 10, 0), ( 10, 0); (d ) ( 0, - 6), ( 0, 6); (e) ( - 8, 0), ( 8, 0);

CAPÍTUL0 1 1 9 - ( » ) ( 2,

1 );

(b ) y = l;

11 .

(c) (-I.IM 5 .1);

(b )

x

= —I;

(c) (-1 .-8 ), (-1,12);

( d ) ( 2 , - 1 ), ( 2 , 3 ) ;

(e) (2 -

(a) ( - 1 , 2);

yÍ5,i),(2

(d) ( - 6,2 ) , ( 4 ,2 );

+ V5,1);

(e) ( - 1 , 2 - 5 ^ 3 ), ( - 1 , 2 + 5V3);

y

(f)

(f)

8 6 i i i i i i i i iL • » i i í -8 -6 - 4 - 2 ^ -2 ■

;y í /

4

1111„ 6 8

9 6 3 11111111111111 *i 11 111111 «11 ( -12-9 4 -3 : 31 6 9 12 \ ~3

-4

-9 -12

-6 h -8

15. 13. punto ( - | , 4 )

[

B . 16a1 + 2 5 y 2 =

100

(a )

(2,0); (b)

881

e je r,

17. punto ( 1, - 1)

882

RESPUESTAS A LO S EJER C IC IO S IMPARES

+ k - ^ . 3)2 . ,

27. 48

64

2 9. 8.4 m

'

31. 9*> + 25y* = 562 500, donfc u unidad es u n m illón de millas

Ejercicios 11.2 (p á g in a 6 77 ) 1.

(a ) ( 0, 0); (b ) e je * ; (c) ( - 8, 0), ( 8, 0);

7 . (a ) ( 0 ,0 ) ; (b ) e je * ; (c ) ( - 5 , 0 ) , ( 5 ,0 ) ;

9. (a ) ( 0 ,0 ) ; (b ) e je (c) (0, - 2), ( 0, 2);

(c) ( - 6, - 2). ( 0, - 2);

f

3

✓ v3

i !✓

i

•s

JL- *

iU \ s

y

/X yt. . . . . . . .

3 -

11 .

* X

6

9

¿

8 6 4

i i i i i i i~ i

9 6

y;

(c) ( - 7 , - 1 ) , ( 1 ,- 1 ) ; (d)

.y Vk V

5 . (a ) ( 0, 0); (b ) e je * ; (c ) ( - 2, 0), ( 2, 0);

3 . (a ) ( 0 ,0 ) ; (b ) eje y; (c ) ( 0 , - 5 ) , ( 0 ,5 ) ;

\ h ------------ 2 • i i i i\i i 1. 1 .1.1 f. -1 2 -1 0 -8 ]-6 -4>-2 - í 2 - i\ ---------- 4 i» \ >>

-6

-8

4

6

\V

(a ) ( 0, 0); (b ) e je y, (c) ( 0, - 6), (0, 6);

C A W T ü ip I I 2 I- y = - i x , y = i , « '

a. (a) 32yJ - 33jc2 = 380

3 1 . —------576

J l? 2 (* -3 )í - 9 ( y _

4) 2 as

27. í ! _ 4 9

~ 5-y = x + i

100

128

37. W

- Í L 1

39

.

^

_

4

(b) y = 2x + 3, y = -2x - 5 x2 y2 ------------- —

4

=

I

7

x2 y* 41. la rama derecha de la hipérbola —— - —

900

47 ’5 •

«í

I o

00

= I

0011 y * 6 ton /; o. X = 8 cosh /. y = 6 senh f y x = - 8 cosh r. y = 6 senh /

¡2 k.

°> * = i 2 senh / .y = 5 c o * h / y * = 1 2 se n h /.y = -5 c o s h r x = 3 - 3 cosh /.y = -2 + 3 senh / <**,•> - -2 + 3 tan /; o. * - 3 + 3 cosh /.y = - 2 + 3 senhf y , y .v = - l + V 2 f senh/. y « 4 - 2 V 7 cosh i V2 T “ » '• > - 4 + i Í L ; o. x . - l + V Í T í e n h / , v = 4 + 2V fc o s h / y eos /

884

RESPUESTAS A LO S EJER C IC IO S IM P A R iS

E je rc ic io s 11.3 (p á g in a 6 87 )

1 . (a) h ip é rb o la; ( b ) elip se ; (c ) p aráb o la; ( d ) d o s recias q u e se in tersecta n 3. (a) un punto; (b ) h ip é rb o la; (c) paráb o la; (d ) c o n ju n to v ac ío

En el inciso (a ) d e lo s eje rc ic io s 5-25, la cón ica pu ed e s e r degenerada. 5. ( a ) hipérbola; (b) x 2 - y 2 = 16;

(0

7 . ( a ) h ip érb o la; (b ) x y = - 4 ; (c)

En los ejercicios 9-25, lo s eje s x y y han sid o rotados un án gulo ex. 9. (a ) hipérbola; (b ) a ~ 36.9°, 16y2 - 9 5 2 = 36; (c)

11.

(a ) p aráb o la; (b ) a = i * .

x2

+

4 y fíy = 0;

(c)

13. (a ) hipérbola (b ) a » i j t .

y2

-

x2

a 32;

15* (a ) elipse; (b ) a = ¿ n .

H -4

(página 696) \

5

\ \

\ \ -5 -4 ^ K T

/

^ 4 /i 3 21 >"Y 1 1 1—1—*^123 4 5 r, -2 -3 -4 1

-5 :— —------- -—

dos; ((-i.O). ( f f ) )

o; < ( £ !) }

gp

a

t o s EjEa a c io s

impares

11 .

1 d o ,; I

+ VF -5 + VF

2

d o s;

{(-2

2

’

1

+

2VÎT, 2

- VF),

dos; { ( - 4 , - 1 ) , (4 ,1 ),

(-2 - 2VF, 2 + V3M

0'. -40,H 4)1

- V F '- 5 - V F

17.

15.

tres; { (- 2, 0), ( 2, 0), ( 0, 2)}

cuatro; { (- 2VF, -V I F ) , (2VF, - V I F ) ,

tres; { ( - 3 , 0). (5, - 4 ) , (5,4)}

(-2 VF, V IF ), ( 2VF, V IF)} 23. 6, 10 25. 12 cm , 35 cm 2 7 . 8 m, 12 m 2 9. 25, $6.00 3 1. 9.9 c m ,4 9 .le m 3 3 .4 pie por 4 pie por 7 pic -4

dos; { (2 .4 ), ( - 2 ,- 4 ) }

-3

cuatro; {( 1, - 2), ( - 1, 2), (¿V6, |V ö ).

(-fVó.-jVó)} 35. { ( - 1 ,-2 ) , ( - 1 ,2 ) , ( 1 ,- 2 ) , (1 ,2 )} 37. (a) (b)

y

C A P ÍT U L 011

¡¡¿fílelos 11-5 (p à g in a 7 0 7 )

2

3. (a) « = jV T,

focos; (0, ±V2Í), directrices: y = ± ^ -^ T ;

focos: (± v57 0 ), directrices: * = ± { v 5 ;

5. (a) e = -W29~

focos: (±V29,0),

(b)

7. (a) i = | ,

focos: (±5,0), directrices; x = ± -; (b)

^ 3’ (b) elipse; S ini r = cos 0 = -3;

9. (a) parábola; (b) hipérbola; (c) elipse; (d) circunferencia 13. (a) j; (b) elipse; 11. (a) 1; (b) paràbola; (c) rsen 0 = 5; (c) reos 0 = -2 ; (d)

17. (a) |;

(b) hipérbola;

(c) rsenO = - 5 .

(d)

19. (a) f; (b) elipse; (c) r sen 9 = -5; (di

M7

d k p ü ISTAS

888 21.

(a) (c) (d)

1;

r

A LOS E JIR qaO S IMPARES

(b) hipérbola; eos

0

*

2; 23. r = 25. r = 27.

r

=

29. (a) 35. (a)

1

- sen 36

V

3 + 4 cos 3 2 - cos 0

0

I - 3 cos 0 40 000000. 1 - cos 0 '

;

(b) r cos (b )

0 = -1

20 000 000 millas

Ejercidos de repaso p a ra e l Capítulo 11 (página 709)

(a) (c> (d) (e)

(0, 0); (b) y = ( - 10, 0), ( 10, 0); ( 0, - 6), ( 0, 6); ( - 8, 0), ( 8, 0)

0;

(a) (0, 0); (b) * = (c) ( 0 ,-3 ) , (0 ,3 )

0;

(a) ( 0, 0); (b) y = (c) (-5 ,0 ), (5 ,0 )

11 . y

16

12 8 i - ¡ ¿ 4 2 ^ - 8 . -=4'

-8 -12 -16

(a) (e) (d) (e)

(0. 0); (b) x = (0, -5 ), (0, 5); (-3 ,0 ), (3,0); ( 0 ,- 4 ), (0 ,4 )

0;

(a) (c) (d) (e)

(0, 0); (b) y = 0; (-5, 0), (5,0); (0, - 2), (0, 2); (-V 2T. 0), (V2T, 0)

(a) (0, 0); (b) y = (c) ( - 12, 0), ( 12, 0)

0;

0;

C A P ÍT U L 0 11

IS.

17.

13-

(m) (2,-4); (b) x = 2; (c) (2. -9), (2,1); (d) (1,-4), (3 ,- 4 ) ; (c) (2, - 4 - 2>/6), (2, - 4 +

».

(a ) (4, 2);

(b ) y = 2;

(a) (c) (d) (e)

(c) (f. 2), (y, 2)

2V6 )

x¿

21.

y = Jx , y = - \ x

23.

y = - x + 6, y =

25.

x = 10 cos /, y = 6 sen t

27.

x = 4 tan /, y = -----

(-3 , 8); (b) x = -3; (-3 ,4 ), (-3 ,1 2 ); (-5 , 8), (-1 ,8 ); (3, 8 - 2V3 ), (-3, 8 +

y‘

33. — + — =

x-

2

cos t 29. x = 2 + cos r, y = - 4 + 4 sen t 31. x = -1 + —— , y = 3 + 5 tan / cos t

,aJ K 3 ) ; (b) y = 3; !c) H 3 ) , ( 0,3 )

889

2V3 )

890

R E S P U E S TA S A LO S EJERCICIOS IMPARKS

En lo s ejercicios 41-47, io s eje s x y y han sid o rotados un án gulo a . 41.

43. (a ) p aráb o la o parábola degenerada; (b ) a = lie , x 2 = 4 ^2 y ;

(■) elip se o elip se degenerada;

(b)

« * i" -T

+ 5?í “ 1;

y

(c)

5

V

1 O ÍA * x ) v , , JC f 1 /1 1 1 __ 1— 1—*•

[y X

-5

5

/y> -5 ■

En los ejercicios 45-47, lo s ejes x ' y y ' han sid o trasladados d e m odo que x ' = x - h , y ' = y - k. 45. (a) hipérbola o dos rectas q u e se intersectan; (b ) a « 71.6°, h = ^ = k k =

V ia

(b )

7>Í10

a A

J-x'1 w* - —y'2 n y = 1;*

d o r. |( 0 , -3), ( $ . i | ) |

4 7 . (a ) h ip érb o la o d os rectas que se intersectan;

dos; ((-3 .

»

26.6 ° , h = —

Ax'1

\5

k

= -4 = , V5

= 1;

cuatro; « 1. V2 ),

H

-'^ 1

1;

61. (a)

( b ) e lip s e ;

(c) r sen

63. (a )

9 - -2

(c)

65. r *

| - 3 eos

0

I - sen

69. (a)

0

( b ) h ip é rb o la,

r co» 0

e

* |;

» jV S F ;

fo co s: (±V 34^0); directrices; x = ± £ V 3 4 ;

18.9 m

75. 12.0 p u lg p o r 1 0 .0 p u lg

77.

r

= ------------- --

1 - COS0

•L parábola en el primer cuadrante

tytrcJdos 72.1 (p á g in a 7 2 7 ) 1

(B, 1,0)}

i3' U 3 .-1 , 2)}

3.

{(1,2, 1)}

15. { ( 2 ,- 3 ,

*• conjunto solución e s {(“ 39,

41

consistente; {(-3 ,-2 ))

5.. 0 ; in c o n siste n te

8)} +

~ t.

17. { ( - 1 0 - 7 / .

7. {(3, 1 ,- 2 ) }

9 . {(J, j . 1 ))

11. { ( 3 ,1 .0 ) )

8 + 6(, t )}, d ep en d ien te

2 + B /. 9 + 4 /, /)}

33. c o n s is te n te ; {(3, 2. - 4 ) }

19. { (-2 , 2, - 3 , 1)}21. 0 ; inconsistente

25. {/ - 3. 2 / - 4 . /))

35. inconsisten te

de la prim er aleació n . 4 0 o z d e la se g u n d a aleació n , 10

o z de

27. 0

2 9 . inconsistente

37. x 2 + y 1 + 4 * -

6y

-

la tercer aleación

«*•2frandes, 7 m edianos y I p e q u e ñ o ; 3 g ran d es. 5 m edianos y 2 pequeños; 4 g randes, 05Ptodes, I m ediano y 4 p eq u e ñ o s 47. ib ) 0 < * < J; | £

3 m edianos y 3 pequeños;

12 = 0

RESPUESTAS A LO S E JER C IC IO S IM PA R ES

892

Ejercicios 12.2 (p á g in a 7 4 4 ) 1. ( a ) 17;

(b ) 16

3. -1

5 . (a ) 2 X 4 ;

(b ) 3 X

1;

(c) - 2 ;

(b )

2 2

‘ 9 12

(d )

-6

21

15

-3

‘

0' 24 ;

(e)

2 1

4

.-

8 12 20

-4 7 . (a )

5

15. 31.

8 -1

'2 4

4

-2 6 13

2

x - -3,y =

35 20

(b )

0 -3 0

= 4

9 . (a )

7 16

-2

1s

—i —T 7 J 3

23. / / - ' = u

4

7

2 5 . in v e rtib le

2

3 3 . { ( - 3 .4 ) }

' ( a ) [7 ];

3

2 7 . n o in v e rtib le

3 5 . K f . - a . - 8) )

37.

x —3

3x + 1

(b )

2 9 . x = 1,

12" -4

10.

- 6' -3 3

2 -2

y =

-8 15' 0 -6 -10 12

13.

4

J

I i

Ejercicios 12.3 (p á g in a 7 5 3 ) X

- 2

3. -

X + 2

11 . 2* + —— x - 2

■*

+—

X + 1

13. 2x - 5 +

x + 2

x — I

3

2

2* - 3

x + 2

( 2* + l )2

25. -

i

—

+

-

-

2?

1

+

+

1

'

4

x2+

*

2x

l )2

(x -

+ 3

. 4x -

3

x2+

1

1

* 35.

21. 1

x - 1 2

27.

jt2 + 2* + 4

* - 2 3 3. 4

2x

X x2

1

X -

+1

+

29. 1

( x 2 + l )2

x 17.

x + 18

16 (x -

2)>

4

.

37.

15

(x2 +

x

2)2

* -

2

x x -

2+ 2

X+ 1

x2 - x - l

. 3x + 4

2)2

(* -

x + 5

X

2

31. x2+ I

2 x 2 + 3'

2

4

23.

2

x -

x +

3x + 1

x -

6

.

(x - 2)2

x + 4

---------------L _ 3x - 2 2* + 3

9 - 2

2

14

19.

x

2

*¡<

2+ 2

1.1 1L

E jercidos 12.4 (p á g in a 7 62) 1. 5,7.9.11.13.15. 17.19

17.

3. 2 , f , f ,

» £

9. j x . - I x 2. I x 3. - ¿ x 4. i x s, - ¿ x 6, i x 7.- - ¿ x 8 1 5 .1 .1 ,2 ,2 ,3 ,3 .4 .4

X

M0n0ñ tfrm V 5W 5<(1 té rm in in no cs); 0 0)

- X* + X 5

29 . /(*> ) +

fix i)

1 1 .0 .4 .0 .8 .0 .1 2 .0 .1 6

17.1+5 + 9+13+17=45

21 . 5 + 5 + 5 + 25 .

5. 2.-1 . 1 ,-5 f , - ¿ , A , - ±

c" + /te ) +

+ x ,J - x

/ ( * , _ ,)

15

2131. 1I +x ¿1

2 3 1 1 1 1 -L + ±

2 7 . do -

2 a i + 3fl2 - 4<|J

5

3 1 . £ ( 2 / + 1)

8

4,

* 2n -

1 : 1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,1 1 ;a . « 2n -

1 - (n -

1 + (it -

16

'

32 5«4 —

5

6

+ 706 -

i

3 3 . X ( - D ‘- l(3 / + 1)

/=o 3 9 . a , * 2n -

13. 1 . 2 . i, 2. f 2.^.2

1 9 .2 4

7. - f f -

35. £

807

ÜH1 — 72“

¿ jb d l I

/>■ lK /i - 2 K n - 3): 1 , 3 , 5 , 1 3 , 3 3 , 7 1 ;

38. i

IXfi - 2K « - 3 ): 1 , 3 , 5 , 1 , - 1 5 , - 4 9

Ejercicios 12.6 (pág in a 787) I . (a) 5 , 8 , 1 1 . 1 4 . 1 7 ;

(b ) 1 0 , 6, 2 , - 2 .- 6

5 . (a) 5 . 1 5 ,4 5 ,1 3 5 ,4 0 5 ;

(b )

3. (a) - 5 , - 1 2 , - 1 9 , - 2 6 , - 3 3 ;

4 ,2 , - 1 , \

8. -

7 . (a)

f , A , -i;

vi»

(b ) x , x + 2 jr,x + 4 y ,x

69. s >r *

(b ) | , - 1 , £ - $ f . p

9 . (a) sucesión aritm é tica ; - 9 , - 1 3 ; (b ) su cesió n g eo m étrica; 27, 81; (c) su cesió n g eo m étrica; 3VíT, 9^12 (d) su cesió n n o aritm é tica ni geom étrica I I . (a) sucesión aritm ética; 0, - 1.11 ; (b ) sucesión aritm ética, -¡-r, 0; (c) su cesió n g eo m étrica; *, —¡j* (d ) su cesió n aritm ética, 4x + 3y, 1 3 .3 5 15.16 17. trigésim o 27. (a) - 2 ;

37. 2 430

(b ) 21

5x +

29. (a) 100;

4y

„

19.22 (b ) 510

39. $280. $260, $240, $220

(a)

2 1 .- 3

23. u ndécim o

31. (a) -

41. 120

66;

(b ) ^

43, 21612761449 4

45 . 18

25. (a) 3 3 . (a) 13.412;

Cb) * (b ) 1 030

4 7 . $ 3 3 0 65.95

49. 23,27.

32

1 I

J.

C A P ÍTU L0 12

^rdcios 1 2 .7

(p á g in a 8 0 0 )

863 040

f I. W

893

3- (“ > ? í

0>) ■ —

5. (a) 35; (b) 1

7. (a) 220; (b) 1 225

[ 9. 4* + 8d 7¿ + 28o ft¿>2 + 56o5¿>J + 70 a * b 4 + 5 6 o \b s + 28o2¿>* + 8o ¿>7 + b ■ I IL í * " + 36xTy* “ 84xAy* + 126x5y 4 - 126x4y* + 84x*y* - 36x2y 7 + 9xy* - y* I* i 1 + 15x4y + 9Q*'y 2 + 27Qx2y* + 405xy4 + 243y5 í is. 4096 - 6 l44o¿> + 3 840 a 2b* - 1 280o V + 240o4f>4 + 240*^’ + o*¿A | fl, 243Í5* - SlOe3* + I 080*1 720e-x + 240*-Jji - 32* 51 í

19. a* + 8a7/2fcl/2 + 2 8 o + 56o 5/2¿>1/2 + 7 0 o 2¿>2 + 56o v2¿>5/2 + 28o6’ + 8 o l/2¿>7/2 + b* 21.4096*24 + 24 576xay 2 + 67 584x2í)y 4 + 1I264Q x'V 23. u , l-*33«lV - f 495« V - 4 4 5 5 « V + 36a ^ b ™ - 84o2¿>

fc -

Q24r>*

29. -489 888x4

27. 3 003o*¿>*

211

33. - ^ o 6 35 -8 064 »0

31. — rjy

J7. a* + 9tfb + 36o 7¿»2 + 84o6¿»' + 126o5¿>4 + l2 6 o 4¿>5 + 8 4 0 ^ * + 36o 2¿>7 + 9o¿* + ¿>v ». r ° - 12T1'/ + 66r ,0f 2 - 2 2 0 rV + 4 9 5 r K/4 - 7 9 2 r V + 924r*/* - 792r 5/ 7 + 495r4/* - 220rV* + ! 41.28

43. (a) 120;

¡¡inicios 12.8

112

3. { ( 3/ + 1 , 2 / - 1 ,0 };dependiente

U- l(5f + 7,391 + 43, -26f - 29,/)} -8 0' 4 0 17. (a) 2 -6 (b) -8 -12 4 8 16 -4

23- wvenible; H~' =

35. i i1 45, - 2. ± _ j l

/,2

'•'55; (b) i

5. {(—4, —2.3)}

19. (a )

' 0 2' -1

1

25. {(-1,2, 1)}

7(x - 2)

47. (a) 84;

(i) sucesión geométrica,

(b )

^p¡;

91 390

17. ÜZ 19. — 21. 9 »' wl 9 000 27. 1 - x - i x 2 - ¿ x ’ - . . . 29. 2 + ±x - ¿ x 2 - ^ x 37. 2.7183 39. 0.9211 41.

(p á g in a 8 1 2 )

7. {(1, —1.2,|)}

9. {(—4/ —5, — 2/—3./)}

15. (a) 1; (b) -35

‘ 2 -1 (b) -2 - 4

3* -3

’ _4_ _1_‘ 1 11 21. H ' = __1l_ “Ti u_

27. {(¿/ - j, 1 - |/,/)}, dependiente

x + 10 7(x2 + x + 1)

I 3 4. 2 + 1 + 1 + 1 + is H S . •X57* 3 + ¿ + 3 + j + I + 3 10

*'»’ h’ b1 5

48 1

31.

15 3

13. consistente; {(4,

s 30 _12.' ISI ISI 151 26 __5_ 2 ISI 191 151 3 18 23 ISI 151 151 _ „ 1

1

«3 JL *

3

torcidos d e r e p a s o p a r a e l C a p ítu lo 12

x-

12/f" +

(p á g in a 8 0 9 )

l! 3, SSQ j í 7 ]5 9 9 + * 11 3* 5 7* IT y* 2 23.* 25. 1 - x 2 + x 4 - x* + . . . 31. 1.020 33. 3.979 35. 4.990

I 11(3.1,-2)}

66r 2/ ,° -

47. 32x5 - 2 4 0 r4 + 7 2 0 rJ - I 080x2 + 8 IQx - 243

(b) 120

33. I +

x - 2 x2 + I

2»

39. V í - i y - ' i -

3y' ¿*y ■'

2*

49. (a) sucesión aritmética, 24,28;

(b ) sucesión no aritmética ni geométrica

53.

(X* + I )2 41. —

'"J*

43.

130 ,

. ■

(b) sucesión geométrica, - I . T

85. | o r - j

^ 67. (a) SO; (b) 15 000 9 6 .4 8 .2 4 , 12.6 63. (a) 20; (b) -16 J •* 7J- ~ 77. 128x7 - 448x*y + 672* 5y 2 - SóOx^y3 + 280a:V4 ~ 84x2y* + 14xyb - v7 ’ /A + 40r “ + 760xw + 9 120*14 81. -5 005r v2 83. - ^ - z 12 85. 2.924 87. 0.5646 89. 16487 y, \ - 3x + 1 93. $4 000 en bonos al 6%. $8 000 en la cuenta de ahorro al 5%. $3 000 en el negocios 95. 455 ** I 049 000; (b) 2 097 000 99. 120 101. 107 km 103. 20. 10. 5 o 5. 10. 20

"*«">0 primero

^ rclcJ os

59.

-I 2

24’ 12' K

61.

A - V ( p á g in a 8 2 2 )

3 .5 w,nwutaiiva para la multiplicación (Axioma 2) ciencia del elemento idéntico aditivo (Axioma 5)

65.

894


5. ley conmutativa para la adición (A xiom a 2) 7. ley asociativa para la m ultiplicación (A xiom a 3) 9. existencia del inverso aditivo (A xiom a 6) 11. ley conmutativa para la adición (A xiom a 2) 13. existencia del inverso m ultiplicativo (A xiom a 7) 15. ley conmutativa para la m ultiplicación (A xiom a 2) 17. existencia del elem ento idéntico aditivo (A xiom a 5) 19. existencia del elem ento idéntico m ultiplicativo (A xiom a 5) 21. ley distributiva (A xiom a 4) 23. ley asociativa p ara la adición (A xiom a 3) 25. cerrado; 2 + 3 = 5 27. cerrado; 3 • 5 = 15 29. cerrado; 0 + 0 = 0 31. cerrado; 1 1 = 1 33. no cerrado; 1 + 2 = 3 35. cerrado; 0 ■ 1 = 0 , 0 • 0 = 0, 1 • 1 = 1

in d ic e

d e

m a te r ia s

A

B

Abel. Nids Henrik, 275 Abscisa, 42 Acimut, 484 Adición, 7,817 de números complejos, 35 de números reales, 7 ,8 1 7 de vectores, 589 Algoritmo de Homer, 262 de la división para polinom ios, 254 Al-Khowarizmi, 88 Amplitud de la presión, 413 de un número complejo, 627 Ángulo(s), central, de una circunferencia, 453 complementario, 479 coterminal, 453 cuadrantal, 451 de depresión, 483 de elevación, 483 de referencia, 469 del caso ambiguo, 495 definición de, 450 director de un vector, 588 entre dos vectores, 590 funciones trigonométricas de, 460 lado terminal de un, 450 medida en grados de, 455 negativo, 450 posición estándar de, 450 positivo, 450 Area de un triángulo, 497 Argumento (o amplitud) de un número complejo, 627 Argumento principal,.627 Animética, 763 Art Magna, 275 Asíntota horizontal. 288

Base, de una potencia, 17 Batidos, 553 Binomial(es) desarrollo, 789 serie, 807 Binomio, 18 Boyle, ley de, 239 Briggs, Henry, 358

otttcua. 293 vertical. 287 Axjoma(s) decampo, 817-821 de orden, 821 -822

c Calculadora gráfica. Véase Graneadora Campo axiomas de, 39,817-821 ordenado, 821 Cantidad escalar, 586 Caracol (o limaçon), 621 con un lazo, 621 * con hendidura, 621 convexo, 621 Cardioide, 621 Cardano, Giro lamo, 275 Caso ambiguo, 495 Centro de una circunferencia, 172 de una elipse, 653 Cero(s) complejo de un función polinomial, 275 de multiplicidad k, 265 de una función, 210 ex ponente, 21 racional de una función polinomial, 264 Ciclo, 393 Cicloide, 604 Circunferencia ángulo central en una, 453 centro de una, 172 definición de. 172 ecuación de una, 172 forma general de la, 175 ecuación polar de una, 618 radio de una, 172 trazado de una, 173

896

ÍN D IC E DM MATERIAS

unitaria, 173 longitud de arco en, 372-373 Cisoide. 625 Cociente de funciones, 196 de números com plejos, 37 de números reales, 7 diferencia, 195 Coeficiente, 18 constante, 18 Cofunciones, 479 Columna de una m atriz, 717 Completación de cuadrados, 78 Comportamiento al infinito de una gráfica, 251 Concoide de N icómedes, 625 Cónica, 6 8 0,685 central, 6 5 4 ,6 6 6 ecuación (te una, 703 definición de una, 704 ecuación polar de una, 704 Conjugado de un binomio, 29 de un número complejo, 37 Conjuntamente proporcional, 223 Conjunto(s), 2 ajenos(s), 3 de números cabales, 4 de números complejos, 3 2 ,3 9 de números enteros, 4 negativos, 4 no negativos, 4 no positivos, 4 positivos, 4 de números im aginarios, 32 de números irracionales, 5 de números naturales, 3 de números racionales, 4 de números reales, 5 elementos de un, 2 igualdad de. 3 intersección de, 3 notación por construcción de. 3 solución de una desigualdad, 110 de una ecuación, 5 0 ,6 5 subconjunto de un, 3 unión de, 3 vacío, 3 Cono elemento de un. 652

generatriz de un. 652 vértice d e un, 652 C onstante, 17 de proporcionalidad, 221 C ontradom inio de una función, 193 C ontraejem plo, 519 Coordenada(s) cartesianas rectangulares, 42 polares, 607 C recim iento exponencial, 330 lim itado, 332 logistico, 333 Cuadrantal ángulo, 451 núm ero, 376 C uadrante, 43 C urso de un barco, 484 C urva cosenoidal, 394 de aprendizaje, 332 ecuación vectorial de una, 599 ecuaciones param étricas de una, 599 senoidal, 393

D D andelin, G. P., 662 Decimal(es) finitos, 5 infinitos, 5 periódicos, 5 D ecrecim iento exponencial, 331 Defasam iento de una gráfica, 401 Desigualdad(es), 9 absoluta, 111 condicional, 111 conjunto solución de una, 111 continua, 9 cuadrática, 110 cúbica, solución de una, 12 1,122 equivalentes, 1 1 1 estricta, 9 lineal, 110 no estricta, 9 que implican valor absoluto, 128-133 solución de una, 110 triangular, 132

Indie» da materie» De Moivre, Abraham, 634 teorema de para enteros positivos, 635 para todos los enteros, 637 Denominador, 19 Desarrollo binomial, 789 Descartes, René, 1 7 ,3 3 ,4 2 ,2 8 1 regla de los signos de, 281 Determinante de segundo orden, 731 de tercer orden, 731 Diagonal principal, de una matriz, 717 Diferencia común, 774 defunciones, 196 de números complejos, 36 de números reales, 7 de vectores, S92 Dirección de un vector, S87 Directamente proporcional, 221 Directriz de una elipse, 702 de una hipérbola, 702 de una parábola, 165 Discriminante, 685 de una ecuación cuadrática, 81 Distancia dirigida, 43 fórmula de la, 44 no dirigida, 44 División, 19 defunciones, 196 de números complejos, 37 de números reales, 7 entre cero, 8 sintética, 257 Dominio de una función. 193 de una función vectorial, 599 de una incógnita, 64 de una variable, 2 ,110

E

<.322 Ecuacióníes) algebraica, 50 cartesiana, 599 como modelos matemáticos.

R«

sugerencias para obtener, 89 condicional, 65 conjunto solución de una, 64 consistentes, 155 con radicales, 98 cuadrática(s), 74 carácter de las rafees de una, 81 discriminante de una, 81 forma estándar de una, 74 sistemas que contienen, 689 solución de una mediante completación de cuadrados, 78 mediante factorización, 74,75 mediante la fórmula cuadrática, 80 mediante raíz cuadrada, 76 cúbica, 104 raíz irracional de una, 105 dependientes, de movimiento, 83 de primer grado en una variable, 64 en dos variables (x y y), 147 de una cónica central, 703 de una circunferencia, 172,175 de una elipse, 653,657 de una gráfica, 144 de una hipérbola, 665,670 de una parábola, 166,169,181 de una recta forma punto-pendiente de una, 144 forma pendiente-intercepción de una, 145 de segundo grado en dos variables, 679 en una variable, 74 dependientes, 156,724 en forma cuadrática, 102 equivalentes. 65 exponencial, 358 gráfica de una, 51 inconsistentes, 155,721 independientes, 155,714 lineal(es), 66,143 sistemas de, 154 literal, 70 logarítmica, 355 paramétricas, 599 de una curva, 599 de una gráfica polar, 620 de rotación de ejes. 682 de traslación de ejes, 179

997

898

ÌN D IC I DE MATERIAS

polar, 611 de una cónica, 704 polinomial, 65 que contiene valor absoluto, 126 resolver una, 65 raíz de una, 64 solución de una, 64 soluciones extrañas de una, 100 trigonométricas, 570 vectorial, 599 de una curva, 599 Eje(s),9 conjugados, 666 coordenado(s), 43 de una parábola, 166 imaginario, 626 mayor, de una elipse, 654 menor, de una elipse, 654 polar, 607 principal de una elipse, 653 de una hipérbola, 666 real, 626 rotación de, 681 transverso, de una hipérbola, 666 traslación de, 179 ecuaciones para, 179 x.42 regla de reflexión, 249

y, 42 Elemento(s) de un conjunto, 2 de un cono, 652 de una matriz, 717 de una sucesión, 754 general de una sucesión, 754 Elipse caso degenerado de una, 660 definición de, 652 ecuación de una, 653 forma estándar de la, 657 excentricidad de la, 661 Enteros, Véase Conjunto de números enteros Enunciados de problemas, 88 Epicicloide, 650 Equivalente(s) desigualdades, 1 11 ecuaciones. 65 sistemas, de ecuaciones, 156 Escalar, 733

cantidad, 586 multiplicación, de vectores, 594 Espiral, 624 de Arquímedes, 624 de Fermat, 625 logarítmica, 624 recíproca, 624 Euler, Leonhard, 33,193,316,811 fórmula de, 811 Excentricidad de una cónica, 698 de una elipse, 661 de una hipérbola, 673 Exponencial crecimiento, 330 decrecimiento, 331 ecuación, 358 función de base b, 327 gráfica de una, 328 de base e, 329,330 natural, 329 gráfica de una, 329 Exponente(s) cero, 22 entero negativo, 22 positivo, 17 irracional, 315 racional, 25 negativo, 27 Expresión algebraica, 17 racional, 19 Extremos relativos, 251 de una función polinomial, 251

c<

I Factor(es), 16,817 de amortiguamiento, 416 teorema del, 256 Foco de una elipse, 652 de una hipérbola, 665 de una parábola, 165 Forma __ cartesiana o algebraica de un número complejo.

1 i

F co

8 il

P cit cui

índica d» m q fr io » escalonada de una matriz, 717 pendiente intercepción de una ecuación de una recta, 145 polar (o trigonométrica) de u n núm ero com plejo, 627 polar estándar, 627 punto-pendiente de una ecuación de una recta, 144 triangular, 716 trigonométrica de un núm ero com plejo, 627 Fórmula(s) cuadrática, 80 deHerón, 507 de la distancia, 44 de reducción, 529 de rotación de ejes, 682 del punto medio, 46 recursiva, 774 Fracdón(es), 19 compleja, 19 impropia, 746 pardales, 746 propia, 746 simple, 19 Frecuencia del m ovim iento arm ónico sim ple, 408 Función algebraica, 205 arco coseno, 559 arco seno, 558 arco tangente, 562 ceros de una, 210 circulares, 375 cociente de, 196 compuesta, 230 constante, 204 continua, 251 contradominio de una, 193 cosecante, 425

gráfica de la, 441 inversa, 567 periodo de la, 435 coseno, 374 gráfica del, 394-395 hiperbólico, 674 inversa, 559 periodo del, 385 cotangente, 424 gráfica de la, 437 inversa, 565 período de la, 434 creciente, 306 cuadrática. 2 0 5 ,2 1 0 i

cúbica, 205 decreciente, 306 definición de, 193 definida a trozos, 200 diferencia de, 196 discontinua, 200 dom inio de una. 193 exponencial de base b, 327 de base e, 329 natural, 329 gráfica de una, 198 identidad, 204 im par, 205 inversa(s), 303 inversa de, 308 lineal, 204 logarítm ica com o m odelos matem áticos, 221 de base b , 338 de base e , 342 natural, 342 m áxim o entero, 202 m onótona, 306 par, 205 periódica, 385 polinom ial(es), 205 ceros com plejos de una, 275 ceros racionales de una, 264 extrem os relativos de una, 251 gráficas de, 243 potencia, 243 producto de, 196 racional, 205 gráfica d e una, 294 recíprocas, 425 salto unitario. 208 secante, 425 gráfica de la, 440 inversa, 566-567 periodo d e la, 434 seno, 374 gráfica del. 392 hiperbólico, 674 inverso, 556 periodo del, 385 signo, 208 sucesión, 754 finita, 754 infinita, 754

899

900

Í N D IC E P E M A T ERIAS

sum a de, 196 tangente, 422 gráfica d e la, 4 3 7 inversa, 562 período de la, 4 3 3 -4 3 4 trascendentales, 205 trigonom étrica de ángulos, 4 6 0 de núm eros reales, 375 de un ángulo ag u d o en un trián g u lo rectángulo, 4 6 5 -4 6 6 uno a u no, 305 valor de, 193 vectorial, 598

secante, 440 seno, 392 tangente, 437 d e un núm ero com plejo, 626 d e una ecuación, 51 d e una función, 198 d efasam ien to de una, 401 ecu ació n d e una, 144 po lares, 614 ecu acio n es param étricas para, 620 prueb as d e sim etría para, 619 reflex ió n d e una, 3 1 1 sim etría d e una, 55 G raficad o ra, 51

G

H

G auss, K arl F ried rich , 2 7 5 ,7 1 9

H eró n

m étodo d e reducció n d e , 7 1 9 G eneratriz d e un c o n o , 6 5 2 G rado(s) de un m onom io, 18 de un polinom io , 18 m edida d e un án g u lo e n , 4 5 5 G ráfica(s), 599 asíntota

fó rm u la d e, 507 H ip érb o la

h orizontal d e u n a, 288 ob licu a d e un a, 293 vertical d e un a, 2 8 7

c a so d eg e n e ra d o d e una, 672 d efin ició n d e, 665 ecu a c ió n d e un a, 666 fo rm a e stán d ar d e la, 671 eq u ilá te ra, 668 ex c en tric id a d d e u n a, 673 u n ita ria , 668 H ip o ciclo id e, 6 0 6 H o m e r, W illiam , 2 6 2

co m p o rtam ien to al in fin ito d e u n a, 251

a lg o ritm o d e , 262

d e ecu acio n es p aram étricas, 6 0 0 polares, 6 1 4

I

d e fu n c io n e s . 198 p o lin o m iales, 243 racio n ales, 2 9 4 d e la función c o secan te, 441 c o sen o , 395 co tan g e n te, 4 3 7 ex p o n en cial de b ase b, 328 natu ral, 329 lo g arítm ica d e b a se b, 3 4 1 , 3 4 2 d e b a se e, 342 n atu ral, 342 p o ten cia, 243

i, d e fin ic ió n d e , 32 p o ten c ia s d e , 39 Id én tico a d itiv o d e n ú m e ro s co m p le jo s, 36 p a ra n ú m e ro s reale s, 8 1 9 m u ltip licativ o d e n ú m e ro s c o m p le jo s, 37 p ara n ú m ero s reales, 819 Id e n tid ad (e s), 65 d e án g u lo d o b le , 5 3 7 d e c o fu n c io n e s, 525 d e d ife re n c ia

ín d ic e d « m a te r ia s

de cosenos, 5 5 1-552 de senos, 551*552 de semiángulo, 543 de semivalor, 541 de suma de cosenos, 551*552 de senos, 551 *552 de la tangente de la diferencia, 528 de la suma, 527 de semivalor, 542 de valor doble, 538 del coseno de la diferencia, 523 de la sum a, 524 de valor doble, 536 del producto de cosenos, 549 de senos, 549 del seno de la diferencia, 526 de la suma, 526 de valor doble, 536 pitagórica fundam ental, 380 pitagóricas, 429 trigonométricas fundam entales, 429 Igualdad de conjuntos, 3 de números com plejos, 35 de sucesiones, 755-756 de vectores, 587 ilm al-jabr w’al muqabalah, 2 , 88 Imaginario(s) eje, 626 números conjunto de, 32 puros, 33 Incógnita dominio de una, 64 variable como. 64 índice de sumatoria, 758 de un radical. 24 Inducción matemática. 763 principio de, 763 Infinito negativo. 11 positivo, 1 1 Interés compuesto, 320

continuam ente, 322 sim ple. 319 Intersección d e conjuntos. 3 Intervalo abierto, 11 cerrado, 11 sem iabierto. 1 1 p o r la derecha, 1 1 p o r la izquierda, 1 1 Invariante, 685 Inversam ente proporcional, 222 Inversa de una función. 308 Inverso aditivo, 820 de un núm ero com plejo, 36 d e un núm ero real, 820 m ultiplicativo de un núm ero com plejo, 38 de un núm ero real, 820 d e una m atriz, 738

K Kowa, Seki. 732

L Lado inicial de un ángulo. 450 recto de una parábola, 167 terminal de un ángulo, 450 Ley(es) asociativas de los números reales, 818 conmutativas de los números reales, 818 de Boyle, 239 de cerradura para los números reales, 817 de enfriamiento de Newton, 337 de los cosenos, 501 de los senos, 489 del paraJelogramo, 590 distributiva de los números reales, 819 Leibniz, Gottfríed Wilhelm, 732 Lemniscata, 624 Limaçon. Véase Caracol Límite. 176,251 Lineal desigualdad. 1 10

901

r

902

ÍN D IC E D §

M ATERIAS

ecuación en dos variables, 147 en tres variables, 713 en una variable, 66 función, 204 Localización acústica, 674 Logaritmo común, 358 natural, 342

M M agnitud d e un vector, 587 M anto(s) de un cono, 652 M atriz(ces), 717 aum entada, 717 colum na, 732 cuadrada(s), 717 de coeficientes, 717 idéntico m ultiplicativo para, 737 diagonal principal d e una, 717 elem entos de una, 717 form a escalonada de una, 717 inverso m ultiplicativo, 738 invertible, 739 no singular, 739 operaciones elem entales con renglones d e una, 718 orden de una, 717 producto de, 735 renglón, 732 singular, 739 M aurolycus, Francesco, 763 M áximo, relativo, de una función, 251 M ayor que, 8 Medida de un ángulo en grados. 455 Media aritm ética (o prom edio), 777 geométrica, 7 8 3 ,7 8 4 M edios aritméticos. 776 geométricos, 782 M enor que, 8 Método de elim inación para la solución de un sistem a de ecuaciones, 157 de Newton, 284 Mínimo relativo de una función. 251

M odelo(s) m atemático(s) ecuaciones com o. 6 9 .8 9 sugerencias para obtener, 89 funciones com o, 221 M ódulo (o valor absoluto) de un núm ero complejo, 626 M onom io, 18 grado d e un, 18 M ovim iento arm ónico am ortiguado. 4 0 9 .4 1 6 sim ple. 407 ecuación d e. 83 rectilíneo, 83 M ultiplicación de funciones, 196 d e m atrices, 735 de núm eros com plejos, 35 d e núm eros reales, 7 ,8 1 7 escalar, de vectores. 594

N n-ésim a potencia, 17 raíz. Véase R aíz n-ésim a N apier, John, 358 N atural(es) función exponencial, 329 logarítm ica. 342 logaritm o, 343 núm eros, conjunto d e. 3 Negativo(s) ángulo, 450 conjunto de enteros, 4 conjunto de números, 821 raíz cuadrada principal de. 34 de un vector. 592 exponentes enteros, 22 infinito. 1 1 Newton. Sir Issac, 2 8 ,6 3 4 ley de enfriam iento de, 337 método de, 284 Notación científica, 317 de coeficientes binomiales. 790 de conjuntos. 2

de valor de función, 193 factorial. 789 por construcción. 3 sigma. 758 NúmercKs) cabales. 4 complcjo(s). 32 adición de, 35 argumento de, 627 cociente de, 37 conjugado de un, 37 conjunto de, 3 2 ,3 9 diferencia de, 36 división de, 37 exponentes negativos de, 637 forma estándar de, 34 polar estándar de, 627 gráfica de un, 626 idéntico aditivo para un, 36 multiplicativo para un, 37 igualdad de, 35 inverso aditivo de. 36 multiplicativo de, 38 multiplicación de, 35 parte imaginaria de un, 32 real de un, 32 producto de, 35 raíces n-ésimas de, 639 suma de, 35 sustracción de (resta de), 36 valor absoluto (o módulos) de, 626 crítico, de una desigualdad, 118 cuadrantal, 376 imaginario(s) conjunto de, 32 puro, 33 'nacionales como exponentes, 315 conjunto de, 5 negativos

conjunto de, 821 raíz cuadrada principal de, 34 Pares ordenados de reales, 42 positivos, conjunto de, 821 prueba del, 118 racionales, conjunto de, 4

reales adición de, 7, 817 campo ordenado de, 821 cociente de, 7 conjunto de, 5 diferencia de, 7 división de, 7 idéntico aditivo para un, 819 multiplicativo para un, 819 inverso aditivo de un, 820 multiplicativo de un. 820 ley(es) asociativas para, 818 de cerradura para, 817 distributiva, 819 multiplicación de, 7,817 negativo de un, 821 opuesto de un, 820 pares ordenados de, 42 positivo, 821 producto de, 7,817 propiedades de, 817 raíz cuadrada de, 33-34 raíz /i-ésima de un, 23 recíproco de un, 820 suma de, 7,817 sustracción de, 7 Numerador, 19

O Onda senoidal, 393

Operación(es) binaría, 817 con renglones una matriz. 718

e le m e n ta le s de

inversa, 303

Orden axiomas de, 821 de una matriz. 717 de un radical. 24

propiedad de tricotom ía d e l 109 propiedad transitiva de. 109 Ordenada, 42 Origen, 9 ,4 2

904

I n d ic e p e m a t e r i a s

P

Par o rdenado de núm eros reales, 4 2 Parábola caso degenerado d e una, 6 8 0 definición d e una, 165 directriz de una, 165 ecuación de una, 1 6 6 ,1 6 9 form a estándar de una, 698 eje d e una, 166 excentricidad d e un a, 698 foco de una, 165 lado recto d e una, 167 vértice de una, 166 Paralelogram o, ley del, 590 Parám etro, 599 Parte im aginaría d e un núm ero com plejo, 32 real d e un núm ero com plejo, 32 Pascal, B laise, 799 triángulo de, 799 Pendiente d e una recta, 141 Período de una función, 385 Plano com plejo, 626 num érico, 4 Polar(es) ecuación, 595 de una cónica, 704 gráfica de una, 614 eje, 607 sistem a de coordenadas, 607 Polinom io(s) algoritm o de división para, 254 de T aylor, 381 definición de, 18 división sintética de, 257 grado d e un. 18 variación de signo de un, 281 Polinomial ecuación, 65 de prim er grado, 66 de segundo grado, 74 de tercer grado, 104 función, 205 ceros com plejos de una, 275 ceros racionales de una, 264

extrem os relativos de una, 251 gráfica de una, 243 Polo, 607 P osición están d ar de un ángulo, 4 5 0 Positivo(s) ángulo. 4 5 0 c o njunto d e enteros, 4 c o n ju n to d e núm eros, 821 exponentes enteros, 16-17 infinito, 1 1 P otencia(s) d e binom ios, 789 d e i, 39 d efinición de, 17 función, 243 Principio d e inducción m atem ática, 763 d e superposición, 541 Problem a d e inversión, 91 de m ezclas, 93 Producto, 817 de dos m atrices, 735 d e fu n c io n e s, 196 de núm eros com plejos, 35 d e núm eros reales, 7 d e un escalar y u n a m atriz, 733 Progresión aritm ética, 773 geom étrica, 781 Propiedad aditiva, 1 1 1 d e sustracción, 111 de tricotom ía del orden, 109 transitiva del orden, 109 Prueba de la recta horizontal, 305 del cono de helado. 662 del núm ero.l 18 Punto(s) colineales. 148 coordenadas cartesianas rectangulares de un, 42 polares de un, 607 en un plano numérico, 42 inicial de un vector, 586 simetría de, 55 terminal, de un vector, 586 unidad, 9

\

índice d« m a teria s

R

R egla d e contracción vertical, 247

Racional expresión, 19 función, 205 gráfica de una, 294 Radián(es), 452

d e D escartes d e los signos, 281 d e expansión vertical, 247 d e la cadena, 233 d e reflexión, con respecto al eje x, 249 d e traslación horizontal, 245 de traslación vertical, 244 R englón d e una m atriz, 717 R epresentación del vector, 587 posicional (o d e posición), 587 R esonancia, 418 R esultante de vectores, 590 R ichter, Charles, 357 escala de, 357 R otación de ejes, 681 R uffm i, Paolo, 275

medida en, 451 Radical(es), 24 orden de un, 24 signo, 24 Radicando, 24 Radio de una circunferencia, 172 vector, 599 Raíz(es) de la unidad, 643 de una ecuación, 64 doble (o de m ultiplicidad 2 ), 82 cuadrada de un número negativo, 33 principal de un número negativo, 34 de un número real, 33 n-ésima de un número com plejo, 639 de un número real, 23 principal de un núm ero real, 24 Razón común, 781 Recíproco de un número com plejo, 38 de un número real, 820 Recta(s) ecuación de una forma pendiente-intercepción d e una, 145 forma punto-pendiente d e una, 144 ecuación polar de una, 618 intercepción y de una, 145 numérica real, 10 pendiente de una, 141

Rectángulo auxiliar, 669 de inspección, 51 estándar, 51 Redondeo a k dígito* significativo*. 318 Reflexión de un punto. 311 de una gráfica. 311

S Satisfacción de una ecuación, 65 Secante. Véase Función secante Sector de un círculo, 454-455 Seno. Véase Función seno Serie, aritm ética, 778 arm ónica, 811 binom ial, 807 definición de, 760 geom étrica, 784 infinita, 802-803 sum a de, 804 infinita, 802 término general de una, 761 Simetría de dos puntos, 55 de una gráfica, 55 prueba de, 56 para una gráfica polar, 618-619 Sistema(s) con ecuaciones cuadráticas. 689 coordenado cartesiano rectangular, 42 de ecuaciones lineales con dos incógnitas, 154 con tres incógnitas. 713 de números reales, 7 Solución

905

906

ÍN D IC E DE M A TE R IA S

de una desigualdad, 110 de una ecuación, 50 Sonido sim ple, 413 Sucesión(es) aritm ética, 773 definición de, 754 elem ento general d e u n a, 755 elem entos d e un a, 754 finita, 754 función de, 754 geom étrica, 780 iguales, 755 infinita, 754 S ubconjunto, 3 Sum andos, 817 S ustitución regresiva, 716 sintética, 261-263 solución d e un sistem a d e ecuaciones m ediante, 156 Sustracción d e fu n c io n e s, 196 de núm eros com plejos, 36-37 de núm eros reales, 7 de vectores, 592 Sum a, 817 d e do s núm eros com plejos, 35 d e funciones, 196 d e núm eros reales, 7 d e una serie geom étrica infinita, 804 d e vectores, 589 lím ite inferior d e un a, 759 lím ite superior de u n a, 759

T Tangente. Véase Función tangente T aylor, B rook, 389 polinom io de, 389 T eorem a d e Pitágoras, 44 recíproco del. 45 d e ceros racionales. 266 prueba del, 271-272 del binom io,795 del factor cero, 74 del residuo, 256 fundam ental del álgebra, 275 Término(*)

d e un polinom io, 18 d e una serie, 760 d e una sum a, 817 general d e una serie, 761 sem ejantes, 18 T raslación d e ejes, 179 horizontal, regla de, 245 vertical, regla de, 244 T riángulo o b licuángulo, 488 T rig o n o m etría, 371 T rig o n o m , 371 T rinom io, 18

ü U nión d e conjuntos, 3 U nitaria circunferencia, 173 longitud d e arco en la, 372-373 hipérbola, 668

V V alor(es) absoluto, 13 d e un núm ero com plejo, 626 d e un núm ero real, 12 desigualdades que contienen, 128-133 ecuaciones que contienen, 126-128 teorem as sobre, 131-133 d e función, 193 extrem os d e una función cuadrática, 2 11 m áxim o d e una función cuadrática, 212 m ínim o de una función cuadrática, 212 V ariable(s) definición de, 2 ,2 2 1 dependiente, 192 indepediente, 192 V ariación d e signo de un polinom io, 281 V ector(es), 586 ángulo director de un. 588 ángulo entre, 590 cero, 587 de posición, 599 definición de, 587 diferencia de, 592

dirección de un, 587 igualdad de, 587 magnitud de un, 587 multiplicación por un e scalar de, negativo de un, 592 representación de un, 587 resultante de, 590 suma de, 589 unitario, 595 Vectorial(es) análisis, 586 cantidades, 586 ecuación, 599 función, 598 Vértice(s) de un ángulo, 450 de un cono, 652 de una elipse, 653 de una hipérbola, 666 de una parábola, 166 Vertical asíntota, 287

___________________Indlct de mqttrífli regla de contracción, 247 regla de expansión, 247 regla de traslación, 244 Vida media, 346 Visual, 483 w W allis, John, 27

X je, eje, 42 jc, coordenada, 42

Y y, eje, 42 y, coordenada, 42 y , intercepción, 42

907

Y

FORMULAS DE T R IG O N O M E T R IA

Las ocho identidades trigonométricas fundamentales sen

tanveot

x

tan x

sen eo s

—

=

x x

eos

u eos v

* j[sen(w +

1 1

sen

sen

ii

u sen v

s e n 2jc + e o s 2 jc =

v)

+ sen(ii -

v) + v) +

j[sen ( ii +

sen(u -

|[c o s(u

eos (u -

= |[cos(w - v) - cos(ii +

t

sen

eo s JC sen x

c o tjc =

1 1

sen

v= eos n e o s v =

x ese x — 1

c o s jc s e c x —

Identidades para el producto, suma y diferencia de senos y cosenos

v)] v)J v)] v)]

= 2 sen f— r — Icos]

1

+ ta n 2 jc = s e c 2 jc

2 cosN

+ c o t 2 jc = e s c 2 x

n seT

2

Identidades de sumas y diferencias

u eo s v + eos u sen v u eo s v - eo s u sen v v) = eos u eo s v - sen u sen v v) = eos u eo s v + sen u sen v tan u + ta n v v) = ---------------------1 - tan u tan v v ta n u - ta n v v) -------------------------1 + tan u tan v

2 eosf

sen(u + v) = sen

j cosí *

2

sen(w - v) = sen cos(u + co s(u tan(ii + . , tan(u -

Identidades de valor múltiple sen 2u = 2 sen u eos u eos 2u = eos2u - sen2 eo s 2u = 1 - 2 sen2u eo s 2u — 2 eos 2 u - 1 tan

2u =

2 tan u 1 - tan2 ii 1 - eos 2ii

2

eos* u

=

1 + eos 2u

2

1 - eos 2u ta n 2 « = 1 + eos 2ii 1 - eos t sen 2 ^ í = 2

1

eos 2^ í * tan

jt

s=

tan i / =

1

+ eo s

2

- eos / sen / sen /

t

eos

s -

eos

t

-2

=

s e n [ ^ - y — senl - ^

Algunas fórmulas de reducción sen(-jc) = - s e n je cos( - jc)

= COSJC

ta n (-x ) = - t a n

x

sen(^ n - x) = cosjc c o s (- n

- x) =

senje

ta n (^ 7C - jc) = cotjc s e n (| 7t +jc) = eos cos( 4 tü +

x)

x

= -se n x

t a n ( j 7i + x) = - c o t x sen(n cos( 7i

jc)

= sen x

- x) = - c o s x

tan( 7C - x) = - t a n x

Ley de los senos y ley de los cosenos

a, b

y

c

representan las longitudes de los lados de un

triángulo: ex, 0 y y representan las medidas de los án gulos opuestos a los lados d e longitudes a , b y c respec tivam ente b = c sen (t sen 0 sen y

n^ s n + b 2 - l a b eos y

T A B L A O * V A L O R E S E S P E C IA L E S D E F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S

0 radianes o número real x

0 grados

sen 0 o sen x

eos 0 0 eos X

tan $ o tan x

esc 9 o CSC X

sec 0 o sec x

cot 0 0 cotx

0

0*

0

1

0

Indefinido

1

Indefinido

1 6

30*

V3 2

1

2

2 V3

V3

2

1 V

45°

1 V2

1 V2

1

V2

V2

1

1 3*

60°

V3 2

V3

2 vT

2

2

I 3T

1 2*

90*

1

0

Indefinido

i

Indefinido

0

K

180°

0

-1

0

Indefinido

-1

Indefinido

3 2*

270°

-1

0

Indefinido

-1

Indefinido

0

¥

FÓRMULAS DE GEOMETRÍA PLANA Y GEOMETRÍA SÓLIDA La siguiente simbologia se emplea para las medidas: r. radio h : altura b: base a: base C: longitud de la circunferencia A : área S : área de la superficie B : área de la base V: volumen Circunferencia: A = nr , C = 2nr Triángulo: A = ~bh Rectángulo y paralelogramo; A = bh Trapecio: A = ^{a + b)h Cilindro circular recto; V = rrr2ht S = 27rrh Cono circular recto: V » Esfera: V =

= n rv rT~+~hT

S = 4rcr2

Prisma (con bases paralelas): V = Bh Pirámide: V * ^B/i

ALFABETO GRIEGO a alfa 0 beta 7 gam a 6 delta « épsilon f zeta i» eta 0 teta

i io ta x kapa X lam b d a n mu v nu i xí o óm icron %pi

q ro o sigm a t tau v ípsilon fi X ki (ji) ^ psi u) om ega

Matemáticas Previas Al Calculo, 3ed - Leithold - FREELIBROS.COM

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