Matematicas 4_ Precalculo_ Func - Joaquin Ruiz Basto

Joaquín Ruiz Basto

Matemáticas Precálculo: Precálcu lo: funciones y aplicaciones

3

Sistema de aprendi a prendizaje zaje en línea

1:33

MATEMÁTICAS 4 Precálculo: funciones y aplicaciones Serie integral por competencias Joaquín Ruiz Basto

segunda edición ebook 2016

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Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional que Callejas as Dirección editorial: Javier Enrique Sámano Castillo Coordinación Coordinac ión editorial: Alma Sámano Velázquez, páginas: 50, 51, 72, 73, 108, 109, Elaboración de rúbricas: Alex Polo Velázquez, 130, 131, 162, 163, 178, 179. Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisor de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo Martínez Jiménez, Gustavo Vargas Vargas Martínez Diagramación: Jorge Antonio Martínez Fotografías: Thinkstock Monroy, Perla Perla Alejandra López Romo Ilustraciones: José Luis Mendoza Monroy,

Matemáticas 4 Precálculo: funciones y aplicaciones Serie integral por competencia competenciass

Derechos reservados: ©2010, 2013, 2016, Joaquín Ruiz Basto ©2010, 2013, 2016, Grupo Editorial Patria, Patria, S.A. de C.V.

ISBN ebook: 978-607-744-479-4 (Segunda edición) ISBN ebook: 978-607-744-001-7 (Primera edición)

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, Cd. de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico Primera edición ebook: 2014 Segunda edición ebook: 2016

fax pedidos: 5 354 9109 (0155) 5354 9102

Dedicatoria A Estela, Rodrigo, Leonardo, Christian y Ricardo. A todos los que contribuyeron para la realización de esta obra.

IV

Contenido

Contenido 1 E U Q O L B

2 E U Q O L B

3 E U Q O L B

4 E U Q O L B

5 E U Q O L B

Competencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . .

VI

Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas . . . .

VI

Presentación. . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

Parte 1 Desarrollo de competencias . . . . . .

1

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones . . . .

2

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas . . . .

28

Empleas funciones polinomiales de grados 0, 1 y 2 . . . . . . . . . . . .

52

Utilizas funciones polinomiales de grados 3 y 4 . . . . . . . . . . . . . .

74

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas . . . . .

84

Grupo Editorial Patria®

V

6 E U Q O L B

7 E U Q O L B

Aplicas funciones racionales . . . . . .

110

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . .

132

Aplicas funciones periódicas . . . . . .

164

8 E U Q O L B

Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199

Materiales de apoyo en SALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213

VI

Competencias genéricas del Bachillerato General

Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se enlistan las competencias genéricas:

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. Elige y practica estilos de vida saludables. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas Competencias disciplinarias básicas

Bloques de aprendizaje 1

2

3

4

5

6

7

8

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

X

X

X

X

X

X

X

X

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

X

X

X

X

X

X

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

X

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

X

X

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

X

X

X

X

X

X

X

X


VII

Presentación MATEMÁTICAS 4 Precálculo: funciones y aplicaciones Es el cuarto libro de la Serie integral por competencias , que ayudará a profesores y estudiantes a organizar y desarrollar experiencias de aprendizaje a lo largo del cuarto semestre escolar del bachillerato general. Esta obra se apega al programa oficial de la asignatura y pone el centro de la actividad en el propio estudiante. Así, cada uno de los ocho bloques que lo integran inicia exponiendo una situación práctica al estudiante, de su entorno social, familiar o personal, que requiere la búsqueda de explicaciones o soluciones. La obra propone, enseguida, una secuencia didáctica de actividades que conduce al alumno a la solución de la situación propuesta y que puede realizarse individualmente o en forma colectiva de modo que, a través del análisis, la reflexión, el estudio, la investigación y el trabajo personal y colaborativo, el estudiante desarrolle habilidades cognitivas, haciendo y aplicando sus conocimientos, mismos que podrá ampliar en los segmentos informativos de cada lección; incluyen ejercicios de autoevaluación con solución para los impares. Cada bloque contiene, después de cada situación didáctica, un proyecto de trabajo cuyo objetivo es que el estudiante desarrolle sus conocimientos y habilidades, y consolide la autonomía en su quehacer. La obra contiene un Apéndice, en forma de preguntas y respuestas, para ayudar al estudiante a ampliar o profundizar algunos de los conocimientos estudiados. La distribución de los contenidos del curso en ocho bloques permitirá al profesor disponer de variados pro blemas de aplicación práctica para organizar su trabajo en el aula. Esta tercera edición se enriquece con nuevos e interesantes problemas y con modelos de instrumentos para la evaluación: rúbricas analíticas, listas de cotejo, guías de observación y lineamientos para la organización y uso de un portafolio de evidencias, elementos que, sin duda, serán de gran utilidad para el alumno y el profesor. P ro b le ma p ro p ues to Co noci mie n tos

Si t uació n didác tica

Sec ue ncia didác tica

Joaquín Ruiz Basto R ú b rica de e va l uació n Coment ar ios adicionales

Co ns u l ta

n A ná lisis de la si tuació

Segmento inf ormativo P ar te t eór ica

A plicaciones

P ro yec to de t ra ba jo E jem plos

Aut oevaluaciones

Suger encias par a los e jer cicios

Desarrollo de competencias

Contenido BLOQUE 1 Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones A. Llamadas de larga distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Congreso médico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Ventas en una nevería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 10 16

BLOQUE 2 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas A. Viaje y percance con lluvia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Consumo doméstico de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Consumos en cuaresma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 36 42

BLOQUE 3 Empleas funciones polinomiales de grados 0, 1 y 2 A. Una perrera amplia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Plaga en agricultura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Anteojos para el sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54 60 66

BLOQUE 4 Utilizas funciones polinomiales de grados 3 y 4 A. Lata para chocolates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

BLOQUE 5 Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas A. Costas de Mazatlán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 B. Presupuesto familiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 C. Incendios forestales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 BLOQUE 6 Aplicas funciones racionales A. Enamoramiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 B. Fútbol americano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 C. Aserradero y equipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 BLOQUE 7 Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas A. Ejercicio y peso corporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 B. Programación de cirugía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 BLOQUE 8 Aplicas funciones periódicas A. Presa-predador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 B. Presión arterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

1

BLOQUE

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

8 horas Objetos de aprendizaje

Funciones Relaciones Dominio Contradominio Imagen Regla de correspondencia

Competencias por desarrollar n

n

n

n

n

Aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos de aprendizaje en base a las funciones y relaciones analizadas.

n

Escucha e interpreta los distintos tipos de funciones mediante la utilización de material didáctico apropiado.

n

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos para solucionar ejercicios de diferentes áreas, aplicando los conceptos de función, dominio, contradominio, imagen y regla de correspondencia. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturidad, valores, ideas y prácticas sociales, en el aula y fuera de ella.

n

n

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y gráficos, para la comprensión y análisis de ejercicios sustentados en situaciones reales. Resuelve operaciones con funciones, aplicando los conocimientos y habilidades adquiridos. Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos, en diferentes áreas del conocimiento. Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento en una función, posteriormente gratifique. Interpreta tablas, gráficas, y textos con símbolos matemáticos y científicos, donde reconoce la importancia de una función.

¿Qué sabes hacer ahora? La tabla muestra el crecimiento anual de un árbol de durazno que tiene 61 cm de alto y crece a razón de 35 cm cada año.

Tiempo x (años)

0

1

2

3

Altura y (cm)

61

96

131

166

La expresión algebraica y = 61 + 35 x describe esta misma relación, en tanto que y = 106 + 42 x describe el crecimiento de un ciruelo de 106 cm de alto que crece a razón de

42 cm por año. Estas relaciones ilustran el importante concepto matemático de función: una variable (la altura en este caso) depende de otra (el tiempo) y toma valores únicos (la planta no tiene dos alturas en un mismo momento). Las anteriores expresiones son útiles para determinar, por ejemplo, cuándo ambos árboles tendrán la misma altura y cuál será ésta.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

n

n

n

n

n

n

Utiliza los criterios que definen a una función para establecer si una relación dada es funcional o no. Describe una función empleando diferentes tipos de registros y refiere su dominio y rango. Emplea la regla de correspondencia de una función y los valores del dominio implícito o explícito, para obtener las imágenes correspondientes. Aplica diferentes tipos de funciones en el análisis de situaciones.

Utiliza operaciones entre funciones para simplificar procesos a través de nuevas relaciones. Aplica las nociones de relación y función para describir situaciones de su entorno.

4

1

BLOQUE


1

A

BLOQUE

Situación didáctica

Llamadas de larga distancia

Requieres efectuar una llamada de larga distancia a tu casa situada a 325 km del sitio donde te hallas. El primer minuto cuesta $6.25 y cada minuto adicional, $5.00.

Conocimientos Relaciones

Una relación es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Expresa una dependencia entre dos cantidades o variables y puede indicarse mediante enunciados, tablas, gráficas, diagramas, ecuaciones o parejas ordenadas. Funciones

Toda relación donde a cada elemento le corresponde sólo otro elemento.

Ejemplos 1. A una persona se le asocia cada uno de sus dos progenitores (no es función). 2. El área de un círculo depende de su radio: A = πr 2 (es función). 3. A cada número se le asocia su cuadrado: y = x 2 (es función). 4. A cada cuerpo geométrico se le asocia cada una de sus tres dimesiones (no es función).

¿Con cuál expresión algebraica determinarías el costo de tu llamada para cualquier número entero de minutos? Valúa esta expresión para saber cuánto pagarías por llamadas que duren 6, 10 y 12 minutos. ¿Para cuántos minutos de llamada te alcanzan $72.60? ¿Cuál sería el monto de tal llamada, considerando que sólo puedes calcular con este modelo costos para un número entero de minutos? ¿Te sobraría alguno de los $72.60?

Dominio y rango

En una ecuación el dominio son los valores que toma la variable independiente y el rango los de la variable dependiente. En parejas ordenadas los primeros elementos forman el dominio y los segundos elementos forman el rango.

Consulta

Análisis de la situación 1. Explora Elabora una tabla con los pagos que tendrías que efectuar hasta 10 minutos, de acuerdo con la tarifa telefónica.

Tiempo (t )

1

2

3

4

Costo C (t )

6.25

6.25 + 5

6.25 + 2(5)

6.25 +

5

En libros de álgebra intermedia: Relaciones y funciones Dominio y rango de una función

2. Analiza ¿Notas alguna relación entre el tiempo y el costo en las columnas sucesivas de la tabla? ¿Aplica en todas ellas?


Secuencia didáctica

1. Para efectos de pago, el tiempo de una llamada se descompone como sigue: Tiempo de la llamada

=

Primer minuto +

Minutos adicionales

5

1

5

- _____1_____ = _____4____

6

1

6

- _____1_____ = __________

10

1

10

-

__________ = __________

t

1

t

-

__________ = __________

2. La tabla elaborada en el análisis de la situación muestra que el factor del costo de $5.00, corresponde a los minutos adicionales. Por tanto, el modelo es: Costo de la llamada = Costo 1er. minuto + 5 × ____________ C (t ) =

6.25

+ 5

(

t

)

-

3. Para calcular el costo por llamadas de 6, 10 y 12 minutos de duración, se reemplaza cada valor por t en la ecuación anterior: C (6) = 6.25 + 5(6

-

1) = $ ____________

C (10) = 6.25 + 5(10 -

) = $ ____________

C (12) = 6.25 + 5(12 -

) = $ ____________

Rúbrica de evaluación

Elabora un resumen en tu cuaderno en el cual incluyas lo siguiente: 1. La tabla elaborada hasta 10 minutos en el análisis de la situación junto con una descripción verbal de la regularidad observada en las columnas. 2. Las respuestas a las preguntas de la secuencia didáctica, comprobando el modelo para llamadas de 1, 2, 3, 4 y 5 minutos, con un comentario acerca de su funcionamiento para el caso de 1 minuto. 3. Una reflexión acerca de cómo utilizar el modelo cuando debes hallar el tiempo para montos determinados de dinero y por qué este modelo no funciona para números no enteros de minutos.

4. Suponiendo que $72.60 fuera el costo de la llamada, en el modelo para el costo debes reemplazar este valor por _________ (C (t ); t ) y despejar t . Como t debe ser entero, consideras el entero _________________ (anterior, siguiente) a este valor, t = ____________ . 5. Al sustituir este valor en el modelo anterior obtienes que el costo de esa llamada será de $ ____________ . Así, de la cantidad máxima que tenías dispuesta te quedarán $ ____________ .

Proyecto de trabajo 1. ¿Cuáles relaciones corresponden a una función? a) La relación que asocia a cada miembro de una familia con su peso promedio en una semana determinada. b) La lista de artículos adquiridos en un almacén. c) El déficit fiscal asociado con cada año en el diagrama. 2. ¿Representa una función esta gráfica? y

Miles de

Año

millones

0 ↔ 2000

O

0 1 2.4 P

3.1 0

Q

x

1.2

1 2

5

Cebolla

$12

kg

Jitomate

$16

kg

Café soluble

$40

frasco

Crema

$25

litro

3

Leche

$12

litro

4

Servilletas

$12

paquete

5

Jabón

$6

pieza

Pasta dental

$40

pieza

6

1

BLOQUE


Segmento informativo

1 A

Fíjate en lo siguiente...

Relaciones y funciones Una relación es un conjunto de parejas ordenadas ( x , y). Los valores x forman el dominio y los valores y el rango de la relación.

Existen muchas formas de describir una relación: como parejas ordenadas, mediante una oración verbal, o por medio de una ecuación, una tabla, una gráfica o un diagrama.

1. Una pareja ordenada cambia al invertir el orden de los elementos: (3, 4) ≠ (4, 3). 2. En toda relación el orden es importante. Ejemplo: en la lista que relaciona los precios de artículos y el impuesto a pagar: Precio

45

67

83

91

IVA

6.75

10.05

12.45

13.65

es importante que consideres que no puedes intercambiar valores Precio-IVA. En esta relación la pareja (45, 6.75) no expresa lo mismo que (6.75, 45).

Oración

Diagrama

A cada número entero del 1 al 4 se le asocia su doble.

Tabla

1

2

2

4

3

6

4

8

Parejas ordenadas

x

1

2

3

4

y

2

4

6

8

{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}

Recuerda Ecuación

La notación { } indica “conjunto”. Dentro se listan los objetos o elementos, o bien, se escribe la propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto.

Gráfica

y = 2 x

y

8 6 4 2 0

Observaciones importantes 1. La gráfica de la ecuación

2

3

4

x

En esta relación, el dominio es el conjunto { 1, 2, 3, 4} y el rango es el conjunto {2, 4, 6, 8}.

y = 2 x sólo son cuatro puntos aislados cuando el dominio es {1, 2, 3, 4} y una línea rec ta cuando el dominio son todos los números reales. 2. Por esto, si una función se describe con una ecuación, debe indicarse su dominio. (Cuando no se hace, se sobreentiende que son todos los números reales para los cuales la ecuación tiene sentido. Ejemplo: el dominio de la función y

1

3

Una función es una relación donde a cada valor x le corresponde un solo valor y.

La gráfica permite identificar fácilmente una f unción. Observa: Función

No función

A cada x le corresponde un único valor y.

y

=

x

son todos los reales excepto el 0, pues no está definido.)

3 0

0

y = 2 x

y

0

x

x

y = ±

x

Existen diversas x a las que les corresponden dos valores y.


Ejemplo 1

Ejemplo 1

Identificando funciones

¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Halla el dominio y el rango. a) {(0, 2), (1, 3), (0, 4), (3, 5)}

c) {(-1, 8), (0, 8), (1, 8)} Solución

2. Cuando el mismo valor y se asigna a todas las x (como en el inciso c), la función se denomina constante.

a) No es función, ya que al número cero se le asocian dos valores y:

0 → 2; 0 → 4. Dominio = {0, 1, 3};

3. Si en cada pareja el valor de x es igual al de y, la función se llama idéntica.

rango = {2, 3, 4, 5}.

b) Sí es función. A cada valor x se le asocia un solo valor y.

Dominio = {-1, -2, -4, -5};

Fíjate en lo siguiente… 1. Incisos b y c. En una función es posible que un mismo valor y se asigne a diferentes valores x . Lo que no es posible es que a una misma x se le asignen diferentes valores y.

b) {(-1, 2), (-2, 3), (-4, 5), (-5, 5)}

7

Ejemplo: {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

rango = {2, 3, 5}.

Fíjate en lo siguiente… c) Sí es función. Ninguna x tiene asociados dos o más valores y.

Dominio = {-1, 0, 1};

Ejemplo 2

1. Si una función está descrita con una ecuación, como y = 3 x + 1, puede dársele un nombre, digamos f , y utilizar la notación funcional f ( x ) = 3 x + 1 para referirse a ella.

rango = {8}.

Determinando el dominio de una función

Obtén el dominio y el rango de cada una de las funciones siguientes. a)

−1

0

3

6

b)

y

y

2

= x + 4

2. En la notación funcional se tiene y = f ( x ) (“ y igual a f de x ”), es decir: ( x , y) = ( x , f ( x )). Se dice que f (x) es la imagen de x. También se dice que f ( x ) es el valor de la función en x .

16

Ejemplo: el valor de la función f ( x ) = 3 x + 1 en 5 es f (5) = 3(5) + 1 = 16; el valor de la función f en -1 es f (-1) = 3 ( -1) + 1 = -2; la imagen de 4 bajo la función f es f (4) = 3(4) + 1 = 13.

12 8

0

−3 −5

2

12

9

4 −4

−2

0

2

4 x

Ejemplo 2 Observaciones importantes

Solución

a) Dominio = {-1, 3, 0, -5, 12}; rango = {0, 6, 2, 9}. b) Para todo número real x existe x 2 (su cuadrado). Por tanto, x admite cualquier valor real: Dominio = {Números reales}. Para hallar el rango debemos determinar qué valores admite y en la ecuación y = x 2 + 4. Para ello, despejamos

x : x = ± y − 4 . Esta raíz existe sólo si la cantidad dentro del radical no es negativa: y - 4 ≥ 0. Resolviendo la desigualdad obtenemos y ≥ 4. El rango es el conjunto de valores de y mayores o iguales a 4.

Cuando una función f ( x ) = 3 x + 1 se da mediante una ecuación y no se indica el domi nio, puede obtenerse éste despejando y. Si quedan denominadores o raíces se excluyen del dominio aquellos valores de x que hacen cero el denominador, o bien que producen números negativos dentro de un radical de orden par:

2

,

4

,

6

, … En forma

análoga, despejando x podemos determinar el rango.

8

1


BLOQUE

Ejemplo 3

Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente...

1. En una función puedes asociar diversos elementos del dominio —incluso todos— con la misma imagen.

Relaciones y funciones en la vida real

La cantidad de hierro contenida en un fruto depende del tipo de fruto seleccionado. Así, una fresa contiene 1 mg de este mineral, en tanto que una aceituna contiene 1.6 mg.

Función

Frutas

Hierro

Aceituna

1.6

Ciruela pasa

3.9

Higo seco

4.0

Lima

0.4

Pera

0.5

Cereza

2. Lo que no puede hacerse en una función es asociar un elemento del dominio con dos o más imágenes.

x

fruto (pieza)

Aceituna

Ciruela pasa

Higo seco

Lima

Pera

Cereza

y

hierro (mg)

1.6

3.9

4.0

0.4

0.5

0.5

La relación ( x , y) = (fruto, cantidad de hierro) es una función. En cambio, la relación inversa ( y, x ) = (cantidad de hierro, fruto) no es una función, ya que en este caso a una misma cantidad de hierro, por ejemplo, 0.5 mg, le corresponde más de un fruto.

Autoevaluación 1A

No-función Frutas

Hierro 1.6

Aceituna

En los ejercicios 1 a 4 identifica cuáles relaciones son funciones y cuáles no. Obtén en cada caso el dominio y el rango.

3.9 4.0

Ciruela pasa Higo seco

1.

0.4

Lima

0.5

Pera

x

4

7

4

9

2. {(5, 6), (0, 8), (-3, 10),

y

1

2

1

2

(0, 2), (-3, -1), (0, 0)}

Cereza

3. Prueba de la vertical

Cualquier línea vertical corta en un solo punto la gráfica de una función.

4. 8

64

1

1

5

25

2

2

6

36

3

3

Sugerencias para la autoevaluación 1A 1. a 4. ¿Cuántas imágenes tiene cada elemento del dominio? 5. a 7. Sustituye la variable por el valor proporcionado y evalúa la expresión.

Para el ejercicio 7 recuerda lo siguiente: a) 1 + b) 1

2 3

=

2 −

3

1(3) + 2 3 1(3)

=

−

3

=

2

5 3 1

=

2

4

En los ejercicios 5 a 7 encuentra el valor de la función en el punto dado. 5. f ( x ) = x 2 + 2 x -1; f (3) 6. g( x ) = ( x - 2)3 + 5; g(2.5)

1 7. h( x ) = - x + – ; h(-2) x


En los ejercicios 8 a 11 determina cuáles gráficas corresponden a una función. 8.

9.

y

c)

−1 +

2 3

y

4

4

3

3

2

2

1

1

d)

1

−

( −1)(3) + 2

=

3

2 −

( 1)(3) −

=

3

1

2

10.

3

4

−2

x

−1

11.

y

0

4

6

3

4

2

2

1

2 1

2

x

0

2

4

−2

x

−1

0

3

a) b)

2 3

−

=

−

1

2 −

3

2

1

1(3)

−

2

− =

3

2

1

5 3

3

=

−

3

1

−

−

1

− =

3

=

1

3

=

En las restas es muy importante preservar el orden de izquierda a derecha:

2

−2

5

− =

2 + 1(3)

1=

+

−

−4

3

El procedimiento es el mismo aun cuando la fracción esté primero y el entero después.

y

8

−1

2

3

3 0

−

=

9

1(3)

3 5

−

x

=

3 5

En los ejercicios 12 a 14 obtén el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones: 12. y = 3 x + 5 13. y = 4 x - 1 2

− =

3

8. a 11. Aplica la prueba de la vertical.

3 x −

15. Geometría El volumen V de una esfera depende de su radio r . Esta relación

está dada por la ecuación:

−

14. Cambia f ( x ) por y. Para analizar el dominio despeja y; para el rango despeja x en y (3 - x ) = -2.

2

14. f ( x )

=

V (r )

4 =

Ejemplo: g( x ) =

3

πr

3

a) ¿Es el volumen una función del radio? b) Calcula V (2). ¿Qué representa este valor? c) ¿Es posible que el dominio contenga números reales negativos? d) ¿Cuál es el volumen de un balón de basquetbol cuyo diámetro es de 29 cm?

5 x + 1

5 y =

Cambias g( x ) por y

x + 1

y( x + 1) = 5 x + 1 =

Expresión dada

5

Multiplicas por ( x + 1) Divides entre y

y

5 x

=

−

1

Sumas -1

y

5 x

−

y

Fracción simplificada

=

y

15a. ¿Cambia el volumen al variar el radio? 15c. El dominio está constituido por todos los valores del radio. 15d. El radio es la mitad del diámetro: 29 r

=

2

=

14.5

10

1

BLOQUE


1

B

BLOQUE


Congreso médico

U na compañía de productos farmacéuticos toma el listado de médicos locales asistentes a un congreso y después localiza sus nombres en el directorio médico telefónico con el objeto de contactarlos.

Conocimientos Clasificación de funciones

Las tres clasificaciones básicas se fijan en si sus gráficas son continuas o discontinuas, o si su regla de correspondencia es una ecuación algebraica o trascendente; o bien, en la cantidad de elementos que se asocian. Continua

Discontinua

3 y 2 1

x

−3 −2−1 1 2 3 4 5 −1 −2

Algebraicas 2

y = 3 x - 2 y

=

Describe las posibles relaciones que podrían presentarse entre la cantidad de médicos asistentes y de médicos locales, y de médicos asistentes con los números telefónicos del directorio. Trascendentes

y = sen x

1

y = e3 x

x y =

Distingue entre estas relaciones cuáles pueden ser consideradas funciones. ¿Cuáles funciones pueden considerarse uno a uno, sobre o biunívocas? ¿Cuál sería la importancia práctica de tal clasificación?

y = 2 log x + 1

x + 1

Análisis de la situación

Uno a uno

Sobre

1. Aunque todos los médicos de la localidad están registrados en el directorio médico telefónico, ¿asistirían todos al congreso? ¿Habría médicos con más de un número telefónico? 2. Identifica algunas posibilidades mediante diagramas.

Elementos distintos tienen imágenes distintas.

Ningún elemento queda sin asociar en el segundo conjunto.

Médicos locales

Médicos locales

Congresistas

Congresistas

Biunívoca

Congresistas

Uno a uno y sobre.

Consulta En libros de álgebra intermedia: Clasificación de funciones

Teléfonos

Congresistas

Teléfonos




1. Todos los médicos locales pudieron haber asistido al congreso, o bien, sólo una parte de ellos. El primer diagrama en el Análisis de la situación ilustra el caso en que ____________________________ y el segundo diagrama el caso en el que ____________________________ . 2. El tercer diagrama muestra, en cuanto a los médicos congresistas, que: a) varios de ellos podrían tener un ___________________. (En la vida real esto ocurre cuando los médicos están en un mismo consultorio, clínica u hospital.) b) o que un mismo médico puede tener más de un teléfono, c) o que otros podrían tener ____________________ (sólo un, ningún) teléfono. 3. De estas tres posibilidades, el caso b) no sería una función porque ____________ ____________________________________________________. La relación del caso a) es una función _________________ (constante, idéntica). El caso c) ¿indica una función uno a uno o, incluso, biunívoca? ______________ (sí, no). ¿Por qué? ___________________________________________ . 4. Identifica los diagramas que ilustran casos de funciones sobre. Congre sistas

Mé dicos loc ales

Congresistas → Teléfonos

5. Utilidad práctica: determinar si todos los médicos locales ____________________ (se actualizan, no se actualizan) y si disponen de números telefónicos _________ _____________ (únicos, compartidos) para su localización.

Proyecto de trabajo Identificando funciones ¿Son uno a uno las siguientes funciones? 1. La función que en un país asigna a cada persona su nacionalidad. 2. La función y = x 2. 3. La función y = sen x . y

3 y

sen x

=

2 1 x

7

−

6

−

5

−

4

−

3

−

2

−

1

1

−

1

−

2

−

3

−

2

3

11

4

5

1. Haz un resumen en tu cuaderno de matemáticas con las tres clasificaciones básicas de funciones, explicando con tus palabras cuál es la característica de cada una de ellas. 2. Escribe una descripción de las funciones uno a uno, sobre y biunívocas, empleando los siguientes términos: imagen, rango, codominio y dominio. 3. En la evaluación sumativa utiliza la prueba geométrica para averiguar si la función es uno a uno. Explica en qué difiere de la prueba geométrica para identificar funciones. Escribe un resumen sobre estos criterios.

12

1

BLOQUE



1B

Clasificación de funciones Existen diversos criterios para clasificar las funciones. Algunos de los más usuales están referidos a su gráfica, al tipo de operaciones que admiten y a su rango y dominio. Por sus gráficas

Continuas


y

1. En las funciones continuas la gráfica no presenta puntos aislados, saltos o interrupciones.

y

2. En las funciones algebraicas los valores se obtienen mediante un número finito de operaciones algebraicas (en las trascendentes estas operaciones sólo posibilitan aproximar sus valores).

0

x

0

Observaciones importantes 1. Al conjunto que contiene al rango se le llama codominio.

Discontinuas

x

Por las operaciones para obtener sus valores

Algebraicas y = 3 x 2 + x - 5

Trascendentes

Polinomiales

y = 7(5) x

Racionales

y = -log4 x Logarítmicas

Ni polinomial ni racional

y = sen x

Exponenciales

Rango 0 1 2 3

6 7 8 9 10

Dominio

y =

−2

x + 1

y =

x +

6

Codominio

2. Sólo los elementos que son imágenes del dominio están en el rango. Al rango también se le llama recorrido, imagen, ámbito o contradominio. 3. La notación f : A → B (se lee: “ f de A en B”) indica que la función f va del conjunto A (dominio) al conjunto B (codominio). El rango está contenido en B.

Por la asociación entre dominio y rango Uno a uno 6

0

1

7

1

2

8

3

9

Biunívocas 0

1

2

1

3

2

4

2

5

3

6

3

7

10

1. Función uno a uno: cada elemento del dominio tiene su propia imagen. A estas funciones también se les llama inyectivas o unívocas.

3. Función biunívoca: es simultáneamente uno a uno y sobre. A estas funciones también se les llama biyectivas.

Sobre

0


2. Función sobre: todo el codominio es imagen (es decir, todo elemento del codominio está asociado con alguno del dominio). A estas funciones también se les llama suprayectivas.

Trigonométricas

Ejemplo 1

Funciones continuas y discontinuas

A partir de una ecuación, su dominio y su gráfica, determina cuáles de las siguientes funciones son continuas o discontinuas. a) h( x ) = {(2, 1), (3, 1.5), (4, 2), (5, 2.5), (6, 3)} b) g( x ) = x - 2 2

c) f ( x )

=

x

−

4

x + 2


Solución

Ejemplo 1

a) Como el dominio de h consta sólo de cinco elementos {2, 3, 4, 5, 6}, la gráfica de h contiene cinco puntos aislados. La función es discontinua. b) Todas las funciones polinomiales son continuas. c) Las funciones racionales son discontinuas para todos los valores de x que hacen cero el denominador. En este caso, el denominador es cero cuando x = -2. 3 y 2

y

y

1

1

−4 −2 0 −1

1 x

0

2

4

6

Inciso a)

Ejemplo 2

2

4

6 x

−4 −2 0 −1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

Inciso b)

2

4

6 x

Inciso c)

3

a)

y

−

Recuerda 1. Una función polinomial es la suma de términos de la forma ax n, donde a es un número real, n es un entero no negativo y x es una variable que admite cualquier valor real. 2. Una función racional es el cociente o razón de dos funciones polinomiales (con la restricción de que el denominador no puede ser una función constante).

Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente…

Identificando funciones algebraicas y trascendentes

Clasifica cada función como algebraica o trascendente e indica el tipo al que corresponde. x

13

1

b)

=

1 y

x

=

3

1

2

x

−

2

c) y = -ang cos x 2

e) y = 1 500 (0.032)2 x

d) y = 3 log5 ( x - 1)

1a. Una condición necesaria (aunque no suficiente) para que una función sea continua es que su dominio sea el conjunto de los números reales, o bien, un conjunto equivalente a éste (es decir, con igual número de elementos). 1c. El valor x = -2 no pertenece al dominio de la función porque produce la expre-

Solución

0

sión sin sentido .

a) Algebraica. Racional.

b) Algebraica. Polinomial.

c) Trascendente. Trigonométrica.

d) Trascendente. Logarítmica.

e) Trascendente. Exponencial.

Ejemplo 3

Funciones en la vida real

a) Los botones y ojales de una prenda de vestir se relacionan de modo que, en la forma ordinaria del uso de la prenda, a cada botón le corresponde sólo un ojal. De aquí que esta relación sea una función. Esta función es uno a uno debido a que dos botones distintos no pueden ir en un mismo ojal (es decir, a botones distintos les corresponden ojales distintos). Es sobre porque no quedan ojales vacíos. Esta función es biunívoca porque es uno a uno y sobre, es decir, para cada botón hay un solo ojal y ambos conjuntos quedan asociados sin que sobren elementos en ninguno de ellos.

0

f no está definida en a

significa: a no pertenece al dominio de f. Por tanto, la función f no está definida en -2.

Ejemplo 1 Observaciones importantes Aunque algebraicamente es cierto que x −

2

=

2 x −

x +

4 2

, consideradas como ecua-

ciones de funciones, estas expresiones son diferentes porque sus dominios son distintos. Las gráficas coinciden en todo, excepto en que la de f está interrumpida en el punto correspondiente al valor -2, ya que la función f no está definida en ese punto.

14

1


BLOQUE

Ejercicios adicionales 1. Clasifica cada función como uno a uno, sobre o biunívoca. a)

a

s

b

p

c

q

b)

c) La relación T: P → R, que a cada persona p de una población le asocia un registro r como causante fiscal, es una función porque una misma persona no puede tener más de un registro federal de causante. Esta función es uno a uno porque a registros diferentes corresponden personas distintas. No es sobre porque todos los registros del país que no sean de esa población quedan sin ser asociados con personas de dicha población.

8 9

6 2 4

b) La relación N: P → F, que a cada persona p le asocia su fecha de nacimiento f , es una función porque ninguna persona pudo haber nacido en dos fechas distintas. Esta función es sobre porque cualquier fecha del calendario está asociada con alguna persona. No es uno a uno porque muchas personas poseen la misma fecha de nacimiento. No es biunívoca debido a que no es ambas: uno a uno y sobre.

5

−1

Autoevaluación 1B

2. Asocia correctamente ambas columnas. 1) y = -5 x 3 + 2 x 2 -10 x - 6

a) Función exponencial.

2) y = log2 x

b) Función logarítmica.

3)

y =

x +

( x − 1)

4) y = -4 x 5)

y

3 3

c) Función racional.

Ejercicios 1 a 5. Identifica cada función como algebraica o trascendente. 1. y = x 2 2. y = 2 x 3. y = -cos x 4.

d) Función polinomial.

3 y

=

2

x

3

5. f ( x )

8 x =

1

−

2

2

=

x

6. Asocia cada gráfica discontinua con la descripción correcta.

3. Clasifica cada afirmación como falsa o verdadera.

y

a) La función y = x 2 + x − 1 no es racional ni polinomial, pero sí es algebraica. b) La función racional y

=

3 x + 1 2

x + 5

Gráfica 1

es

0

x

continua en los reales. c) La función racional

y

y

1 =

2

x

−

4

es

2

discontinua sólo en x = 2. π 

0

π

x

Gráfica 2

2

Soluciones a los ejercicios adicionales

−2

1a. Biunívoca. 1b. No es uno a uno ni sobre, por tanto, es no biunívoca.

y

2 1

2. 1-d, 2-b, 3-c, 4-a, 5-c. 3a. Verdadera. 3b. Verdadera. 3c. Falsa. Es discontinua en x = 2, y x = -2.

−3 −2 −1

0

−1 −2

1

2

x

Gráfica 3


a) Existe un salto en la gráfica. b) Existe una interrupción o agujero. c) Existen puntos aislados. 7. Clasifica cada afirmación como falsa o verdadera: a) Una función es sobre si el codominio coincide con el rango. b) En una función uno a uno dos elementos distintos del dominio pueden tener la misma imagen. c) En una función biunívoca el rango puede no ser igual al codominio. 8. Examina el dominio, la gráfica y la ecuación de cada función para determinar si es continua. a)

y

4 x =

x

b)

y =

−

3

2

x + 1

c) y = 2 x 2 - x + 1

15

Sugerencias para la autoevaluación 1B 1. a 5. a) Revisa los modelos proporcionados al inicio de este segmento. b) Identifica cada ecuación como polinominal, racional, no polinominal o no racional para el caso de las funciones algebraicas. c) Para las funciones trascendentes ubica si la función dada es exponencial, logarítmica o trigonométrica. 6. Un “salto” significa que la gráfica consta de dos o más ramas separadas.

Un “agujero” es un punto que está excluido del trazo de la gráfica. “Puntos aislados” son puntos separados.

Ampliando el conocimiento a) En algunas funciones discontinuas sus gráficas presentan tramos continuos.

Ejercicios 9 a 11. En cada función examina si es uno a uno, sobre o biunívoca. 9. f : N → N, y = x 2. 10. h: A → P, A = {autos en circulación}, P = {placas de tránsito}. h asocia a cada auto circulante con las placas de tr ánsito que tiene asignadas. 11. g: P → C, P = {profesionales de una localidad}, C = {población de la localidad}, g asocia a cada profesional con su nombre en el listado de ciudadanos de la localidad.

b) Pueden usarse estos tramos para definir funciones continuas, limitando el dominio a alguno de dichos intervalos. 8b. ¿Para cuáles valores de x ocurre que x - 3 = 0? Excluye estos valores del dominio de la función. 8c. ¿Para cuáles valores de x el radicando x 2 + 1 es un número negativo? En caso de existir, excluye estos valores del dominio de la función. 9. Auxíliate con la gráfica de la función para examinar cada posibilidad.

Contesta cada pregunta verificando mediante casos particulares. Uno a uno: ¿un mismo natural puede tener dos cuadrados distintos? Sobre: ¿cualquier número natural es cuadrado de otro natural? Biunívoca: ¿es uno a uno y sobre esta función? 10. y 11. En ciertos casos podrían no ser suprayectivas estas funciones. Argumenta al respecto.

16

1


BLOQUE

1

C

BLOQUE

Situación didáctica Ventas en una nevería T rabajas en una nevería que vende, en t horas, un promedio de x(t) = 10 t helados.

Conocimientos Operaciones entre funciones Suma y resta

( f + g)( x ) = f ( x ) + g( x ) ( f - g)( x ) = f ( x ) - g( x ) Multiplicación y división

( f · g)( x ) = f ( x ) · g( x )

 f  ( x ) =  g  

f ( x ) g( x )

, siendo g( x ) ≠ 0

Composición

( f ° g)( x ) = f (g( x )) (Valúas f en g( x ))

Los ingresos semanales por las ventas de x helados pueden calcularse con la función I ( x ) = 20 x + 950 (en pesos).

Ejemplos Si f ( x ) = x 2 y g( x ) = 2 x , entonces:

¿Qué significado tiene la composición de funciones I ( x (t )) para el negocio?

( f + g)( x ) = x 2 + 2 x

Halla esta función y determina su valor para t = 12.

( f - g)( x ) = x 2 - 2 x ( f · g)( x ) = ( x 2)(2 x ) = 2 x 3

 f  ( x ) =  g  


2

x

2 x

=

1 2 x

( f ° g)( x ) = f (g( x )) = f (2 x ) = (2 x )2 = 4 x 2 (g ° f )( x ) = g( f ( x )) = g( x 2) = (2 x 2) = 2 x 2

Consulta

1. Observa que la función x (t ) indica cantidad de helados vendidos, en un cierto número de horas, en tanto que I ( x ) expresa un ingreso de dinero. 2. No obstante, existe una conexión entre ambas expresiones: los ingresos I ( x ) dependen del número x de helados vendidos y éstos, a su vez, dependen del número de horas t (que se expresa como x (t )). ¿En términos de qué variable podría también expresarse el ingreso?

En libros de álgebra intermedia: Operaciones con funciones

I

x

t




1. Elabora una tabla para obtener la cantidad de helados vendidos en cierto número de horas. Para ello, valúa x (t ) = 10 t para diversos valores de t . Horas t

1

Helados x

10

1.5

3

6

2. Obtén ahora el ingreso por las ventas de estos helados, calculando I ( x ) = 20 x + 950 en cada uno de estos valores. Helados x

10

Ingresos I

1 150

30

3. La composición I ( x (t )) se obtiene sustituyendo cada aparición de la variable x en la expresión 20 x + 950 por el valor de x (t ), es decir, reemplazando x por el valor 10 t . De esta forma se obtiene: I ( x (t )) = I (10 t ) = 20( ____________ ) + 950 = ____________ + 950 4. Esta nueva expresión para el ingreso I depende únicamente de la variable ______ ( x , t ), por lo que puede representarse simplemente como _________________ . Esto indica, para el negocio, que el ingreso puede calcularse conociendo sólo el _________________ (tiempo, volumen) de las ventas. 5. Por esta razón, sustituyendo en esta última expresión el valor t = 12, se obtiene el ingreso al cabo de 12 horas de ventas: I (12) =

17

+

950

= $

Proyecto de trabajo Ingresos laborales La empresa donde trabajas te paga mensualmente x pesos más un bono de 7% sobre las ventas que logres mayores a $10 000.

Si f ( x ) = 0.07 x expresa 7% para cualquier cantidad x , y si la función g( x ) = x - 10 000 indica el excedente de tus ventas x sobre $10 000, halla e interpreta f (g( x )).

Haz un reporte de esta actividad en tu cuaderno de matemáticas, en el cual: 1. Consignes todas los cálculos y operaciones realizadas durante el desarrollo de la secuencia didáctica. 2. Agregues una columna a cada tabla para calcular con ayuda de ambas el ingreso para t = 12 horas. 3. Escribas una conclusión sobre los beneficios o desventajas de trabajar con las funciones por separado (como en las tablas) o bien fusionarlas mediante la composición de funciones. 4. Expliques la relación de la composición de funciones con el cambio de variables en una función.

18

1


BLOQUE


1C

Operaciones entre funciones Igual que ocurre con los números, las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Si f ( x ) = 3 x y g( x ) = x 2 + 2 x - 1, entonces:

Observaciones importantes

f ( x ) + g( x ) = 3 x + ( x 2 + 2 x - 1) = x 2 + 5 x - 1 = ( f + g) ( x ) f (t x ) - g( x ) = 3 x - ( x 2 + 2 x - 1) = - x 2 + x + 1 = ( f - g) ( x )

Para la suma, resta, multiplicación y división de funciones, el nuevo dominio está formado por la intersección de los dominios de las dos funciones que se combinan (es decir, por los elementos comunes a ambos dominios). En la división se excluyen los ceros del denominador.

f ( x ) ⋅ g( x ) = 3 x ( x 2 + 2 x - 1) = 3 x 3 + 6 x 2 - 3 x = ( f ⋅ g) ( x ) f ( x ) g( x )

=

 f  =   ( x ) + 2 x − 1  g  3 x

x

2

Para la división la única restricción es que la función en el denominador no sea cero.

Fíjate en lo siguiente... El orden de los elementos en una resta, división o composición de funciones es importante.

El dominio de la nueva función es, en cada caso, el conjunto de valores para los cuales está definida la expresión. Otra operación que se puede efectuar con funciones es la composición de funciones. Esta operación se representa ( f ° g)( x ) (se lee: f compuesta con g) y se define como f (g( x )).

Para las funciones del ejemplo ilustrativo. 2

g( x ) - f ( x ) = ( x + 2 x - 1) - 3 x 2 = x - x - 1.

g( x )

=

x

2

f ( x )

+

2 x − 1

3 x

f (g( x )) significa que en la ecuación dada para f ( x ) reemplazas x por la expresión igual a g( x ). Así, para f ( x ) = 4 x 2 + 2 x - 1 y g( x ) = x + 3:

; x ≠ 0

(g ° f )( x ) = g( f ( x ))

( f ° g)( x ) = f (g( x )) = 4( x + 3)2+ 2( x + 3) - 1, (g ° f )( x ) = g( f ( x )) = (4 x 2 + 2 x - 1) + 3.

2 = (3 x ) + 2(3 x ) - 1 2 = 9 x + 6 x - 1.

Los resultados no son los mismos obtenidos con el otro orden.

El procedimiento es similar al de hallar el valor de una función en un número dado. La única diferencia consiste en que en vez de reemplazar un número reemplazamos una función.

Ejemplo 1 Observaciones importantes La composición de funciones expresa en realidad un cambio de variable. Veamos primero esto en la forma simple: si L es la longitud de una circunferencia, d su diámetro, r el radio, entonces podemos expresar la longitud en dos formas: L = πd , o bien: L = π2r = 2 πr (puesto que d = 2r )

Realizando operaciones con funciones

Si f ( x ) = ( x -1)2 y g( x ) = 2 x + 5, obtén la nueva función indicada y señala su dominio. a) ( f + g)( x ) b) ( f - g)( x ) c) ( f ⋅ g)( x ) d)

 f  ( x )  g  

e) ( f ° g)( x )


Solución

a) ( f + g)( x ) = f ( x ) + g( x ) = ( x - 1) 2 + (2 x + 5) = x 2 + 6. Por ser un polinomio su dominio son todos los números reales, es decir Dominio = �.

Con funciones esto se expresa así (en la notación de funciones el signo de paréntesis no indica multiplicación): L(d ) = πd

(Longitud en función del diámetro.)

d (r ) = 2r

(Diámetro en función del radio.)

L(d (r ))

(Longitud en función del radio.)

b) ( f - g)( x ) = f ( x ) - g( x ) 2 = ( x - 1) - (2 x + 5) 2 = x - 4 x -

Dominio = �.

4.

c) ( f ⋅ g)( x ) = f ( x ) ⋅ g( x ) 2 = ( x - 1) (2 x + 5) 2 = ( x - 2 x + 1)(2 x + 5) 3 2 = 2 x + x - 8 x +

d)

 f  ( x ) =  g  

f ( x ) g( x )

=

( x − 1)

2 x + 5

Como 2 x + 5 = 0 cuando x

=

Pero L(d (r )) = L(2r ) = π(2r ) = 2 πr. Dominio = �.

5.

2

2

x

− 2x + 1 2 x + 5

5

− =

2


, tenemos que

Dominio = los números reales menos el valor

−5 2

1. Cada función polinomial es una combinación de funciones idénticas y constantes:

 −5  =�− . 2

C( x ) = 50 es una función constante. T( x ) = x es la función idéntica.

e) ( f ° g) ( x ) = f ( g ( x )) = ((2 x + 5) -1)2 2

2

= (2 x + 4) = 4 x + 16 x +

Ejemplo 2

16.

L( x ) = C( x ) - 2T( x )

Dominio = �.

2. Las funciones a( x ) y V( x ) están expresadas como producto de otras funciones. Pueden expresarse también como combinaciones de funciones idénticas y constantes. Observa:

Modelando con funciones y sus operaciones

Tienes varias láminas de alumnio de 40 × 50 cm y deseas construir bandejas con distintas alturas x , realizando los cortes cuadrados mostrados en el dibujo.

x

50 − 2 x

40 − 2 x

2 x

−

0 4 x

x

2 = 2 000 - 180 x + 4 x

2 = (2 000 - 180 x + 4 x ) x

x

40

a( x ) = (50 - 2 x )(40 - 2 x )

V( x ) = (50 - 2 x )(40 - 2 x ) x

x

x

50 − 2 x

x x

19

x

50

a) Expresa el largo y ancho de cada bandeja en función de la altura x . b) ¿Cuál es el área de la base de cada bandeja? c) ¿Qué función expresa el volumen de las bandejas?

2 3 = 2 000 x - 180 x + 4 x

20

1

BLOQUE


Solución

Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... 1. I ( x ) = 0.15 x y P( x ) = x - 0.30 x = 0.70 x y su composición es: I (P( x )) = 0.15 ⋅ 0.70 x = 0.105 x . 2. Al obtener la composición P( I ( x )) encontramos que es igual a I (P( x )).

Observa: P( I ( x )) = 0.70 ⋅ 0.15 x = 0.105 x .

En este caso especial el orden de la composición no cambia el resultado.

Observaciones importantes En una composición de funciones existe una cadena de enlaces cuya interpretación final liga la función exterior con la variable entre los paréntesis interiores.

a) Largo = 50 - 2 x . Para indicar que el largo depende de x , usamos la notación L( x ). La resta 50 - 2 x puede expresarse como L( x ) = C( x ) � (T( x ) + T( x )), donde C( x ) = 50 y T( x ) = x . De manera similar, ancho = 40 - 2 x puede expresarse como A( x ) = G( x ) - 2T( x ), donde G( x ) = 40 y, nuevamente, T( x ) = x . b) El área de un rectángulo es el producto del largo por el ancho. En este caso, el área = (50 - 2 x )(40 - 2 x ). Expresando el área como una función de la altura x , se tiene que a( x ) = (50 - 2 x ) (40 - 2 x ). Con las funciones del inciso anterior: a( x ) = L( x ) ⋅ A( x ). c) El volumen de una caja es igual al largo por el ancho por la altura. En términos de la altura x y de las funciones de los incisos anteriores V( x ) = L( x ) ⋅ A( x ) ⋅ T( x ), es decir, V( x ) = (50 - 2 x ) (40 - 2 x ) x .

Ejemplo 3

Composiciones en problemas reales

El costo de un teléfono celular con un descuento de 30% sobre el precio x de lista, está dado por P( x ) = x - 0.30 x . El impuesto a pagar por un artículo que cuesta x pesos está dado por I ( x ) = 0.15 x . a) Halla e interpreta I (P( x )). b) ¿Cuánto pagarás por un teléfono celular cuyo precio de lista es $1 200?

Ejemplo: C ( N ) expresa el costo de atención a N enfermos en un país. N (a) indica la cantidad de enfermos por amibiasis. C ( N (a)) indicará el costo de atención a enfermos ( función externa C ) que padecen amibiasis (variable interna a).

Ejercicios adicionales P(V ) = Presión que ejerce un combustible en un depósito cilíndrico en función del volumen almacenado. V (d ) = Volumen del depósito en función de su diámetro d . ¿Qué expresa P(V (d ))?

Soluciones a los ejercicios adicionales La presión que ejerce el combustible en el depósito cilíndrico de acuerdo con el diámetro que éste posee.

Solución

a) I (P( x )) = (0.15 x ) - 0.30(0.15 x ) = 0.15 x (1 - 0.30) = 0.15 x (0.70). Esta expresión indica el impuesto a pagar sobre el precio del artículo una vez aplicado el descuento. b) Costo final = precio con descuento + impuesto sobre este precio = P(1 200) + I (P(1 200)) = 840 + 126 = $966.

=

P( x ) + I (P( x ))

Autoevaluación 1C Ejercicios 1 a 5. Para f ( x ) = 2 x 2 + x - 1, g( x ) = 3 x - 2, obtén h(x ) y su dominio. 1. h(x) = f ( x ) + g( x ) 4. h(x ) =

f ( x ) g( x )

2. h(x ) = f ( x ) - g( x )

3. h(x ) = f ( x ) ⋅ g( x )

5. h(x ) = f (g( x ))

6. Videocentro Si S ( x ) = (2 x - 1)2 indica las rentas de películas en DVD, en una sucursal de un centro de alquiler y T( x ) = 4 x + 3 expresa las rentas en una segunda sucursal, ¿cuántas películas en DVD se rentan en ambas sucursales?


7. Producción El costo de producir x relojes al mes está dado por f ( x ) = 20 x + 175. La función x (t ) = 30t - 1 expresa la cantidad de relojes producidos en t horas. Halla e interpreta f ( x (t )).

21

Sugerencias para la autoevaluación 1C 1. a 5. a) Efectúa y simplifica en cada caso la operación indicada con los polinomios. b) Siendo funciones polinomiales, el dominio de f y el de g son todos los números reales. c) El dominio de la suma, la resta, la multiplicación y la división de funciones, está formado por los números comunes a ambos dominios (es decir, su intersección, excluyendo en la división aquellos que hacen cero al denominador).

8. Frutas y conservación F (d ) = 100d + 35 indica la cantidad de uvas que se conservan en buen estado al cabo de d días. La cantidad de días que dura la uva sin pudrirse está dada por d (T ) = 0.6T 2, donde T es la temperatura del refrigerador.

d) La composición produce la ecuación de una parábola vertical. ¿Qué valores puede tomar x en esta parábola?

a) Halla e interpreta F (d (T )). b) ¿Cuántas uvas se conservan a 20 °C?

Observaciones importantes El dominio de f (g( x )) es una parte del dominio de g, o es igual a éste. 6. Si tienes dos ingresos distintos, ¿cómo determinas cuál es tu ingreso total?

9. Artículos deportivos Una tienda ofrece 40% de descuento en pelotas de tenis. Al pagar obtienes un descuento adicional de $30. Considera las funciones f ( x ) = 0.60 x , g( x ) = x - 30, donde x es el precio de lista de la pelota. a) ¿Qué expresión indica el costo de la pelota: f (g( x )) o g( f ( x ))? b) ¿Cuánto pagarás por una pelota con precio de lista de $185?

7. La composición f ( x (t )) liga en última instancia f con la variable t . ¿Qué dato proporciona la función f ? ¿Qué representa la variable t ? 8. Conociendo la temperatura T = 20 °C, la reemplazas en d (T ) para conocer el número de días que se conserva en buen estado la uva a esa temperatura. Para ese número de días calculas el valor de F (d ) a fin de saber cuántas uvas se conservan en buen estado. Este proceso puede resumirse mediante F (d (T )) = F (d (20)). 9a. Evalúa para un caso particular f (g( x )) y g( f ( x )) y compara los resultados. (Las tiendas no usan g( f ( x )) en estos casos. ¿Por qué?) 9b. Evalúa f (g(185)).

22

1

BLOQUE


Instrumentos de evaluación

Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte del problema de la determinación del ingreso al cabo de un cierto tiempo del Bloque 1C. Nombre del alumno:

Acerca de las rúbricas de evaluación Las rúbricas son instrumentos que describen las características que deben tener los elementos que se considerarán para la evaluación. Cuando son de carácter general se denomina “holísticas” y cuando son específicas se llaman “analíticas”. Las rúbricas que acompañan cada situación didáctica del libro son holísticas y describen de manera general las actividades que se realizarán para efectos de evaluación. Las rúbricas que aquí se presentan, al final de cada bloque, son analíticas e ilustran la forma como pueden evaluarse aspectos particulares por niveles de desempeño de los alumnos. Nivel

Presentación

Desarrollo r a u l a v e a o t c e p s A

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía o bien en computadora, bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía, bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía, redacción regular pero sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con faltas de ortografía.

Elabora con regla o por computadora las dos tablas pedidas con el número de columnas adecuadas en donde indica claramente las variables que se tabulan con sus respectivas unidades.

Elabora a mano sin regla las dos tablas pedidas con el número de columnas adecuadas en donde se indica claramente las variables que se tabulan con sus respectivas unidades.

Elabora a mano sin regla las dos tablas pedidas con el número de columnas adecuadas en donde se indica claramente las variables que se tabulan, pero sin sus respectivas unidades.

Elabora a mano sin regla las dos tablas pedidas con el número de columnas adecuadas sin indicar las variables que se tabulan y sin sus respectivas unidades.

Evalúa correctamente las funciones para todos los valores de las dos tablas.

Omite la evaluación correcta las funciones para algunos valores en las dos tablas.

Se valúan las funciones para todos los valores de las dos tablas.

Únicamente presenta resultados, pero sin ninguna justificación.

Evalúa de manera incorrecta las funciones que representan el número de helados y el ingreso por venta de helados en una o dos casillas de las dos tablas.

Evalúa incorrectamente las funciones que representan el número de helados y el ingreso por venta de helados en más de dos casillas de las dos tablas. Expone de manera convincente las dos funciones anteriores para obtener ingreso en función del tiempo.

Presenta todos los pasos del cálculo del ingreso por la venta de helado al cabo de 12 horas siguiendo una secuencia ordenada. Evalúa correctamente las funciones que representan el número de helados y el ingreso por venta de helados en las dos tablas.

Dominio del tema

Expone la composición correcta de las dos funciones anteriores para obtener ingreso en función del tiempo. Explica clara y correctamente la relación de la composición de funciones y el cambio de variables en una función.

Conclusiones

Omite algún paso en el cálculo del Presenta todos los pasos del ingreso por la venta de helado al cálculo del ingreso por la venta cabo de 12 horas pero mantuvo de helado al cabo de 12 horas, una secuencia ordenada. siguiendo una secuencia ordenada.

Expone la composición correcta de las dos funciones anteriores para obtener ingreso en función del tiempo. Explica satisfactoriamente la relación de la composición de funciones y el cambio de variables en una función.

Explica superficialmente la relación de la composición de funciones y el cambio de variables en una función.

Determina de manera correcta el ingreso por la venta de helado al cabo de 12 horas.

Determina correctamente el ingreso por la venta de helado al cabo de 12 horas.

Determina correctamente el ingreso por la venta de helado al cabo de 12 horas.

Ofrece un análisis convincente de ventajas y desventajas del uso de funciones por separado y de la fusión mediante composición de funciones.

Demuestra un análisis superficial de ventajas y desventajas del uso de funciones por separado y de la fusión mediante composición de funciones.

Explica parcialmente el uso de funciones por separado y de la fusión mediante composición de funciones, pero no se analizan ventajas y desventajas.

Evalúa incorrectamente las funciones que representan el número de helados y el ingreso por venta de helados en las dos tablas. Muestra una composición incorrecta de las dos funciones anteriores para obtener ingreso en función del tiempo. Explica incorrectamente la relación de la composición de funciones y el cambio de variables en una función. Determina incorrectamente el ingreso por la venta de helado al cabo de 12 horas y/o no se hizo el análisis de ventajas y desventajas del uso de funciones por separado y de la fusión mediante composición de funciones.


Lista de cotejo

Lista de cotejo para evaluar el reporte sobre el congreso médico del Bloque 1B.

Presentación

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

1. Cuenta con una carátula que incluya al menos el nombre de la actividad que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre de los integrantes del equipo y sus matrículas. 2. La redacción de las respuestas y conclusiones es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. El informe se elaboró con un procesador de texto como Word o bien se hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible.

Trabajo en equipo 5. Elaboró diagramas auxiliares para mostrar las relaciones posibles entre médicos locales y congresistas y entre congresistas y teléfonos. 6. Se presentan todos los pasos requeridos para determinar cuáles relaciones son funciones y de éstas cuáles son sobre, uno a uno y biunívocas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 7. Hizo referencia a los diagramas auxiliares. 8. Elaboró un resumen sobre la clasificación de funciones. 9. Utilizó las pruebas geométricas para determinar si una relación es función y si una función es uno a uno.

Originalidad y creatividad 10. Da una explicación convincente de la utilidad práctica de la clasificación hecha en este ejercicio.

Dominio del tema 11. Sabe distinguir entre una función y una relación. 12. Sabe la definición de los términos: imagen, rango, codominio y dominio. 13. Sabe identificar funciones uno a uno, sobre y biunívocas. 14. Sabe usar la prueba geométrica para identificar funciones. 15. Sabe usar la prueba geométrica para averiguar si una función es uno a uno.

Conclusiones 16. Determina correctamente cuáles relaciones son funciones y de éstas cuáles son sobre, uno a uno y biunívocas.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

23

1

24

BLOQUE


Guía de observación para los proyectos de trabajo de los Bloques 1A y 1B.

Nombre de la materia:

Grado y grupo: Plantel:

Profesor:

Clave:

Alumno:

Fecha de aplicación:

Desempeño a evaluar: Manejo de conceptos básicos de Relaciones y Funciones.

Instrucciones: Observa si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el estudiante que se está evaluando y marca con una “✗“

el cumplimiento o no en la columna correspondiente, asimismo es importante que anotes las observaciones pertinentes.

No.

Acciones a evaluar

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ

1

Determina si la relación que asocia a cada miembro de una familia con su peso promedio en una semana determinada es una función.

2

Determina si la relación que asocia a cada artículo adquirido en un almacén con su precio es una función.

3

Determina si la relación que asocia el déficit fiscal con el año es una función.

4

Indica si la gráfica mostrada (1A) es una función o no usando la definición de función.

5

Utiliza la prueba de la vertical para determinar si la gráfica mostrada (1A) es una función o no.

6

Determina si la función que en un país asigna a cada persona su nacionalidad es uno a uno.

7

Determina si la función y = x 2 es uno a uno.

8

Determina si la función y = sen x es uno a uno.

*No aplica.

NO

NA*

Observaciones


25

Portafolio de evidencias

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en: •

•

•

Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparati vos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso. No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más significativos en el proceso de aprendizaje; Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.

Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre). 2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras. 2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello. 3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

3. Comenta con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Propósito del portafolio de evidencias

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. Asignatura

Nombre del estudiante:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Comentarios del estudiante

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio? ¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso? ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas?

Monitoreo de evidencias Núm. 1 2 3 4 5

Título

Fecha de elaboración

Comentarios del profesor/a:

Números de bloques del libro

26

1

BLOQUE


Tabla o lista de cotejo

Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011) , el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia de un desempeño, por tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de el las. Instrucciones: Marcar con una ✗ , en cada espacio en donde se presente el atributo.

Estructura 1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante. 2. Cuenta con un apartado de introducción. 3. Cuenta con una sección de conclusión. 4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas.

Estructura interna 5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo. 6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica. 7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes.

Contenido 8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante. 9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento. 10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento. 11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante. 12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos.

Aportaciones propias 13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana. 14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia. 15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información.

Interculturalidad 16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad.

Total

27


Escala de clasifcación

La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta. ( Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje. DGB, 2011.) Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser adaptado a las necesidades específicas de cada tema. Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre presenta el atributo.

Contenido 1. Desarrolla los puntos más importantes del tema.

0

1

2

3

2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión.

0

1

2

3

3. La información es concisa.

0

1

2

3

4. Relaciona los conceptos o argumentos.

0

1

2

3

5. Presenta transiciones claras entre ideas.

0

1

2

3

6. Presenta una introducción y conclusión.

0

1

2

3

7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema.

0

1

2

3

8. Incluye material de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos.

0

1

2

3

0

1

2

3

10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la audiencia.

0

1

2

3

11. Se apoya en diversos materiales.

0

1

2

3

12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo.

0

1

2

3

13. Muestra constante contacto visual.

0

1

2

3

14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos.

0

1

2

3

Coherencia y organización

Aportaciones propias

Material didáctico 9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema.

Habilidades expositivas

Total Puntaje total

2

BLOQUE

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas


Función inversa Función escalonada Función valor absoluto Función identidad Función constante Propiedades y características de las transformaciones gráficas (traslaciones y reflexiones)


n

n

Aborda problemas y retos teniendo en cuenta los conocimientos previos, para representar una función inversa, escalonada, valor absoluto, identidad y constante. Interpreta diferentes funciones mediante la utlización de medios y herramientas tecnológicas apropiadas. Aprende por iniciativa propia, al formular cuestionamiento acerca de las funciones.

n

n

n

Participa y colabora dde manera efectiva en equipos diversos para resolver ejercicios de distintas funciones (inversa, escalonada, valor absoluto, identidad y constante). Mantiene una actitud respectuosa hacia la interculturalidad, valores, ideas y prácticas sociales al convivir con sus compañeros de equipo. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y gráficos, para la formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes funciones de trasnformación.

¿Qué sabes hacer ahora? Viajar en taxi puede ser motivo de reflexión acerca de cómo opera el dispositivo automático que determina el costo del recorrido. Los taxímetros inician con una cu ota fija por abordaje de la unidad, la cual se incrementa de acuerdo con el número de metros que avanza el auto (que se mide por la cantidad de vueltas que da una llanta). Debido a que el contador no cambia hasta que se acumulan ciertos metros de recorrido, la función matemática que describe esta relación metros/costo es una función especial denominada escalonada. La distancia recorrida se obtiene con la función inversa. Abordaje: $6.00; cada 200 m: $2.00 C 14 12 10

$

8 6

0

2

4

6

8

10

x

1 ↔ 100

n

n

n

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y texto con símbolos matemáticos y científicos, a partir de sus conocimientos y habilidades adquiridos.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque n

Representa el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a función inversa de una función dada.

n

Escribe la ecuación de la relación inversa de una función dada.

n

Señala si la relación inversa corresponde a una f unción.

n

n

n

Utiliza la tabla y gráfica de una función para trazar la gráfica de su función inversa posible. Resuelve problemas que involucren funciones inversas, escalonadas, valor absoluto, idéntica y constante. Argumenta el uso de traslaciones o reflexiones específicas para la resolución de problemas teóricos-prácticos.

30

2

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

BLOQUE

2

A

BLOQUE

Conocimientos

Situación didáctica Viaje y percance con lluvia Subes

a un taxi que por el abordaje cobra $8.00 y aumenta $1.50 por cada 200 metros recorridos.

Supón que tus recorridos sólo abarcan múltiplos de 200 metros. ¿Cuál sería el modelo para esta situación? ¿Qué función te permitiría saber, para el caso anterior, cuántos metros recorriste si el cobro ascendió a $23.00?

Funciones inversas

Invirtiendo el sentido de una función se obtiene la relación inversa. Directa

Inversa

No es uno a uno.

No es función.

No es sobre.

No es función.

a)

Ilustra gráficamente ambos modelos. Debido a la lluvia el auto se atasca cuando avanza por un sitio aislado. Recomiendas al conductor, de acuerdo con tus conocimientos de física, que ate un cable al auto y a un poste y tire de él por la mitad para desatascarlo. Cuando el conductor jala el cable con una fuerza de 1 000 N y éste ejerce una tensión de 6 000 N, el auto comienza a moverse. ¿Con cuál ángulo consiguió el conductor su cometido?

b)

c)

F

=

1 000 N

α

T 6 000 N =

Es uno a uno y sobre.

Es función.

α

Obtención de la función inversa

Intercambias x y y. Despejas y.

Ejemplos Directas

Inversas

y = x + 3

x = y + 3 o y = x - 3

y = 2

x = 2 y o y = log2 x

x

y = sen x

-1

x = sen y o y = sen x

Análisis de la situación La distancia la puedes contabilizar en metros o en tramos de 200 metros. Completa la tabla y busca una regularidad.

1. Parte a)

Ejemplo de aplicación

0.5 = sen x x = sen-10.5 = 30°

x (tramos de 200 m)

0

1

2

y (costo en $)

8

8 + 1(1.50)

8 + 2(

3 )

8+

Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Funciones inversas

2. Parte b)

La fórmula de la física: sen

α

=

F

2T dos. ¿Qué representan las variables F y T ?

permite obtener el ángulo en gra-



Parte a):

1.

1. Para recorridos en tramos de 200 m la tabla muestra lo siguiente: Costo del viaje = Cuota fija + 1.50 × Cantidad de tramos de 200 m

31


Haz un reporte del desarrollo de la secuencia didáctica con todas las operaciones requeridas para la solución de cada punto.

y = ________ + 1.50 ________

2. Intercambiando x y y en la ecuación del punto 1 se obtiene la función __________ (directa, inversa), es decir, x = ____________ . Despejando de aquí la variable y resulta que la nueva función, inversa de la anterior, es: y = ____________ . 3. El significado de las variables se intercambia en la función inversa.

Sustituyendo el costo de $23.00 se obtiene que el recorrido fue de ____________ metros. 4. Reflejando cada punto de la función directa sobre la recta y = x se localizan los puntos de la gráfica de la función inversa. y

16

12

8

2

4

6

8

12

16

x

Parte b):

1. Reemplazando F por _____________ N y T por _____________ N en la fórmula sen α =

F

, se obtiene sen α = _________ = ____________ = 2T 2. El ángulo α se obtiene aplicando la función inversa del seno, es decir: α

= sen-1

.

= ____________ .

Proyecto de trabajo Para números enteros x de minutos, el costo y por una llamada de larga distancia de un sitio hasta tu casa puede determinarse con la función y = 7 + 3( x - 1). Halla una expresión que te informe el tiempo de una llamada para un monto determinado de dinero. y

1. Tarifa telefónica

y

6

Dibuja la gráfica de la inversa de la función mostrada en la figura.

2. Trazo de gráficas

2 x

=

4 2 6

−

4

−

2 0 2

−

−

4

−

6

−

2

4

y

Explora el modelo alternativo

 x  , para obtener el pago = 8 + 1.50   200  

del taxi en el caso estudiado de recorridos múltiplos de 200 metros. Responde las preguntas:

Así, y representa aquí la distancia y x , ____________ (el costo, los metros).

0

2. Opcional

6 x

a)

¿En qué difieren ambos modelos?

b)

¿Qué ventajas tiene cada uno?

c)

¿Alguno de ellos es mejor?

32

2

BLOQUE



2 A

Funciones inversas La inversa de una relación se obtiene intercambiando el orden de las parejas ( x , y) por ( y, x ). (2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)}

Relación dada:


La inversa de una función no siempre es otra función: sólo las funciones que son uno a uno y sobre poseen función inversa.

{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}

Relación inversa:

El dominio y el rango de las relaciones inversas están intercambiados: el dominio de una es el rango de la otra y viceversa. Si en vez de parejas ordenadas se tiene una ecuación, la inversa se obtiene intercambiando x - y.

Ejemplos: a) La función f no tiene función inversa porque no es uno a uno:

Relación dada:

y = 3 x + 2

Relación inversa:

x = 3 y + 2

f 1

5

2

8

Las gráficas de relaciones inversas son reflejo una de la otra, respecto de la recta x = y. y

y

2

2 x

y

=

y

=

3 x + 2

3 1

1

x = y

La relación inversa no es función porque al

cambiar el sentido de las flechas, al elemento 5 de su dominio se le asocian dos elementos en el codominio: los números 1 y 2.

0

1

−

1

2

−1

x

0

1

−1

x

2 x

=

3 y

+

2

1

−

b) La función g no tiene función inversa porque no es sobre:

Una función tiene función inversa sólo si es biunívoca, es decir, uno a uno y sobre. Si las funciones f y g son inversas, entonces f (g( x )) = x = g( f ( x )).

5

Ejemplo 1

g

1

7

2

9

Para cada una de las siguientes funciones, halla su inversa y determinar si ésta es o no una función. a)

En este caso, al invertir las flechas, el número 5 en el dominio de la relación inversa queda sin asociar. La definición de función exige que a cada elemento del dominio (es decir, a todos) se le asocie un único valor en el rango. La relación inversa no es función.

Obteniendo funciones inversas

0.1 1

x y

0.2 2

0.3 3

0.4 4

c)

0.7 7

0.9 9

b)

d)

y

=

4 x

−

1

2

y

−1 2

Prueba para funciones uno a uno

Toda recta horizontal corta en un solo punto la gráfica de cualquier función uno a uno.

3 0

7 3

−3

x


Solución

a)

b)


La función es uno a uno y sobre, así que su inversa también es una función: 1 0.1

x

=

2 0.2

4 y

−

33

1

2

3 0.3

4 0.4

7 0.7

9 0.9

Trazamos la gráfica.

2. Cuando la descripción de las funciones se hace mediante ecuaciones, la notación f : A → B indica el dominio A y el codominio B, siendo necesario entonces determinar si coinciden o no el rango y el codominio (es decir, averiguar si la función es sobre).

y

0

1  4

1. En la descripción con parejas ordenadas, rango = codominio. Por esto, admitiendo de antemano que la función es sobre, sólo se averigua en estos casos si la función es uno a uno para determinar si existe la función inversa.

1 x

1  2

Prueba de la función inversa

Si f (g( x )) = x = g( f ( x )), las funciones f y g son inversas una de otra, y recíprocamente.

−1

Es una función. Ninguna línea vertical corta dos veces su gráfica. c)

La función no es uno a uno. Su inversa, como muestra el diagrama, no es función. −1 2 3

7 3

−3

d)

No tiene función inversa. La gráfica no es uno a uno: la línea horizontal dibujada muestra que existen al menos dos valores x a los que corresponde una misma y.


1. En las ecuaciones tanto de la función directa como de la función inversa, x es la variable independiente y y la variable dependiente. 2. Al intercambiar x y y en la nueva ecuación, queda sin despejar y. Se dice en este caso que la función está en forma implícita. Para hacerla explícita se requiere despejar y. 3. Se acostumbra emplear el símbolo f -1 para la función inversa de f .

Ejemplo 2

Verificando funciones inversas

Escribe la inversa de cada función y determina si es o no una nueva función. En caso afirmativo, comprueba que las funciones son inversas usando composición de funciones. a) h( x ) = 2 x 2 + 5 b) f ( x ) = x - 10

4. f es la inversa de g, puesto que g( f ( x )) = g( x - 10) = ( x - 10) + 10 = x = f (g(x )). Así, g -1( x ) = f ( x ) = x - 10. Observaciones importantes

1. Si una función está expresada como pare jas ordenadas ( x , y), su inversa se obtiene invirtiendo las parejas: Función inicial:

{…(0, 0), (1, 2), (2, 4), …} Función inversa:

{…(0, 0), (2, 1), (4, 2), …}

2

34

BLOQUE


2. Si la función está dada mediante una ecuación, su inversa se obtiene intercambiando x - y en la misma ecuación: Función dada:

y = 2 x

Función inversa:

/2 x = 2 y o y = x

3. En las ecuaciones x representa un valor del dominio y y uno del rango, es decir, las parejas obtenidas de las ecuaciones deben escribirse en el orden habitual (x, y).

4. Al intercambiar las variables también se intercambia su significado. En y = En x

=

9 5 9 5

x +

y+

32,

32,

x =

x =

°C,

°F,

y =

y =

ecuación equivale a y

5 =

9

( x

°C

−

5 x

=

9

(y

−

32) .

9 y =

5

2

x = 2 y

y

Intercambiando x - y

15

y

2

5

+

5

−5

0

5

−5

x = y - 10

Intercambiando x - y

y = x + 10

Despejando y

2

F (x)

=

9 5

15 +

x

5

y x

y

=

10

10

−

5

10

−

5

0

−

La gráfica muestra que se trata de una función. Para comprobar que g es la función inversa de f , hallamos f (g( x )) = f ( x + 10) = ( x + 10) - 10 = x = g( f ( x )). Así, f -1 ( x ) = g( x ) = x + 10.

Ejemplo 3

10 x = 2 y

Escribiendo y en vez de f ( x )

g( x ) = x + 10 Reescribiendo y como g( x )

c)

2 x

10

b) y = x - 10

a)

=

Despejando y

2

La fórmula Fahrenheit.

obtienes

Escribimos y en vez de h( x )

El doble signo del radical indica que para cada valor que se asigne a x se obtendrán dos para y. Por tanto, la relación inversa de h(x ), no es una función. La gráfica muestra esto.

5

10

x

5

−

10

−

y

x

=

−

10

Aplicando funciones inversas

x + 32

permite convertir x grados centígrados, a F( x ) grados

¿Qué significado tiene F -1( x )?

b) Halla x + 32

+ 5 x − 5

y = ±

32)) .


Al despejar x en

a) y = 2 x 2 + 5

°F

(°C = grados centígrados y °F = grados Fahrenheit.) (Observa que la segunda

Solución

F-1( x ).

¿A cuántos grados centígrados equivalen 68 grados Fahrenheit?

Como no intercambiaste las

variables, en ambas ecuaciones x = °C, y = °F. (Es decir, no se intercambia su significado.)

Sugerencias para la autoevaluación 2A 1.

a)

b)

Invierte el sentido de las flechas. Verifica si la relación inversa es una función observando dos cosas: ¿Todos los elementos —del conjunto donde inicia la flecha— están asociados con algún elemento en el otro conjunto?

Solución

a)

Constituye una fórmula para convertir x grados Fahrenheit en grados centígrados.

b) Escribimos 9

¿A cada uno le corresponde un solo elemento?

x =

5

9 y =

y + 32

5

x + 32

. En ésta,

. Intercambiando x - y, obtenemos la función inversa 5

y

=

= F-1( x ). c)

Calculamos

C(68)

5 =

9

(68

9

−

( x

−

32)

32) .

=

Escribimos

20 °C .

C( x )

5 =

9

( x 32) . Así, C( x ) −

35


Autoevaluación 2A

2.

Cómo despejar y en la inversa: x

5

−

y

=

y

Ejercicios 1 a 4. Determina en cada caso si existe la función inversa.

yx = 5 - y

Se multiplican ambos lados de la ecuación por y (para quitarla del denominador).

yx + y = 5

Agrupando variables

1. 3

3

7

7

y( x + 1) = 5 Factorizando y

10

5

10

y =

2. f ( x ) 3.

5 =

−

x

x

Invierte los elementos de cada pareja ordenada. ¿Existe algún número que esté como primer elemento en más de una pareja ordenada? ¿Son distintas estas parejas?

4.

Para saber si la relación inversa será una función, aplica la prueba de la recta horizontal para las funciones uno a uno.

y

6 4 2 x

−2

−1

0

1

2

−2

5. a 8. Para

obtener la gráfica de la relación inversa refleja la gráfica dibujada en la recta x = y. Verifica con la prueba de la vertical si esta nueva gráfica corresponde a una función.

−4 −6

Ejercicios 5 a 8. Traza la gráfica de la función y averigua si es uno a uno. Dibuja su inversa. 5. f ( x ) = 5

6.

La función está en forma implícita. Despeja y para asignar valores.

7.

Usa una calculadora para obtener valores cercanos a x = 0.

8.

La función es implícita.

9.

Verifica que f (g( x )) = x = g( f ( x )).

10.

Examina si F (G( x )) = x = G(F ( x )).

6. x 2 + y = 1 7.

y

1 =

x

8. y - 4 x = 2

Ejercicios 9 y 10. Comprueba que son inversas cada par de funciones. 9. f ( x ) = x + 1; g( x ) = x - 1 10. F ( x ) = 6 x + 3;

G ( x )

x =

−

3

6

Ejercicios 11 a 15. a) Obtén la inversa de cada función. b) Determina cuáles de éstas son funciones inversas y corrobóralo usando composición de funciones. 11. f ( x ) = 3 x - 7 12. g( x ) = x 2 - 1 3

13. y = x 14.

1 y

=

6

1 x

−

3

15. y = 6 x 2 + 1

Dividiendo entre x + 1

3.

{(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 1), (5, 3)}

4.

x + 1

11. a 15. a) Intercambia x y y.

Despeja y en

esta nueva expresión. 11. a 15. b) ¿A cada valor de x le corresponde un único valor de y en esta nueva ex-

presión? Para los ejercicios 12 y 15 ten presente que la raíz cuadrada de cualquier número x tiene dos valores que se representan ± x . Utiliza la composición sólo en el caso en que ambas (una relación y su inversa) sean funciones.

36

2


BLOQUE

2

B

BLOQUE

Consumo doméstico de agua


El cobro por el consumo doméstico de agua es de $10.00 por metro cúbico, cuando el consumo no sobrepasa 30 m3.

Conocimientos Funciones especiales

Se denominan así ciertas funciones básicas o muy particulares. Constante

Idéntica

y

y

4

4

2

2 y

4

−

2

−

0

=

2

c

4

x

4

−

2

0

−

2

−

4

−

2 y

2

−

4

x

x

=

4

−

Asigna un valor fijo. Transfiere el valor. Valor absoluto

Cuando el consumo rebasa el límite anterior, cada metro cúbico adicional se cobra a $15.00.

y

4 2

−4

−2

0

−2

2 y

Escribe una función que describa el pago que debes realizar por consumo de agua potable.

x

4

=  x

Utiliza el modelo anterior para determinar el pago que debes hacer por un consumo de 10 000 litros durante un bimestre.

−4

Valores no negativos.

Determina con este modelo cuántos litros consumiste si el cobro en un periodo fue de $625.00.

Escalonadas y 2

Análisis de la situación 1

1. −2

−1

0

−1

1

2

x

y = [ x]

El excedente de 40

35

28

10

100

30

x

30

−2

Máximo entero. Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Funciones especiales

sobre

es 40 - 35 = 5

2.

¿Qué significa que x no sobrepasa a 30? Explícalo con tus palabras.

3.

¿Cuál expresión matemática representa lo anterior? x > 30

x < 30

x ≤ 30



1. La función debe considerar los dos casos de consumo y cuotas.

y (costo)

1

2

3

1(30)

2(30)

3(

4 )

El modelo del cobro para este caso es: y = ________ x . b) Segundo caso Si consumes una cantidad x de agua, superior a 30 m 3, tu consumo (en m3) debe dividirse en dos partes: Consumo x = 30 + Excedente de x sobre 30

= 30 + (

-

Registra en tu cuaderno de matemáticas los cálculos y desarrollos realizados para responder la secuencia didáctica.

2.

Realiza una exploración acerca de si el modelo funciona para el caso de consumos no enteros de m 3 de agua; por ejemplo, 2.5 m3, 10.7 m3, etcétera.

-

)

Ejemplos

2. La función para hallar el costo, incluyendo ambos casos es: y =

 _______ x  10( ) + 15( 

-

)

si x ≤ 30 si x > 30

( y en pesos; x en m3).

3. Para hallar el pago por un consumo de 10 000 litros de agua, se convierte esta cantidad a __________ m 3 y se sustituye en la __________ (primera, segunda) regla, pues es __________ (mayor, menor) que 30 m 3. Así, el pago por este consumo será de $ __________ . 4. El cobro máximo por 30 m3 es de $ __________ . Como $625.00 es __________ (mayor, menor) que esta cantidad, se sustituye este valor por __________ ( x , y) en la __________ (primera, segunda) regla. Despejando la variable en esta ecuación se obtiene: __________ m3 = __________ litros.

Un estacionamiento cobra $25.00 por la 1a hora y $5.00 por cada 15 minutos adicionales. Describe esta situación mediante una función; obtén con ella el pago correspondiente a 3.75 horas y una expresión para el pago, según el tiempo de aparcamiento. Encuentra la ecuación para cada función.

y

y

4

4

3

3

2

2

1

1 1

2

3 x

f (3.7) = [3.7] = 3 4. Opcional Evaluación

−4 −3 −2 −1 0 −1

−2

−2

−3

−3

1

2

3 x

sumativa.

Define la función entero siguiente para modelar el pago de cualquier llamada telefónica. y

2 1

−2

1. Tarifas de aparcamiento

−4 −3 −2 −1 0 −1

f (0.5) = [0.5] = 0

−3 −2 −1 0 −1

Proyecto de trabajo

2. Gráficas y ecuaciones

rrido en taxi.

f ( x ) = [ x ], donde [ x ] es el mayor entero contenido en el número x .

). ) + 15(

3. Opcional Utiliza la función máximo entero para hallar el pago de cualquier reco-

Función máximo entero de x

Aplicando cada tarifa se obtiene el modelo: y = 10(


1.

a) Primer caso Si consumes hasta 30 metros cúbicos, pagarás $10.00 por metro cúbico. La tabla siguiente ilustra esto (complétala). x (m3)

37

1

2 x

y = [ x]

2

38

BLOQUE



2B

Funciones especiales Existen cuatro tipos de funciones que pueden calificarse como especiales.


Cuando en una gráfica se dibuja un punto sin rellenar esto indica que el punto está excluido en esa parte de la gráfica. Un punto relleno enfatiza su pertenencia a la gráfica.

y

y

4

3

3

2

2

1

1

−1

−2

0

1

2

3

4

−1

x

−1

Ejemplo 1

0

1

2

3

x

−1 −2

Función constante.

Función idéntica.


a) Escribir y = 3 como f ( x ) = 3 tiene ventajas al graficar pues permite no sólo visualizar la variable x sino también a cada valor asignarle su imagen: 3 f (-1) = 3, f (1/2) = 3, etcétera. Tabla de valores x

-2

-1

f ( x )

3

3

1 3

2 3

−2

b) x ≥ 0 son todos los reales positivos y el cero. x < 0 son los reales negativos. La unión de ambos conjuntos es el dominio de  x , en este caso, todos los reales.

4

3

3

2

2

1

−1

0

−3 1

2

3

x

−2

−1

0

2

-2

-1

 x 

2

1

0 0

1 1

2 2

2.5 2.5

c) La notación 0 ≤ x ≤ 4 expresa que x es cualquier número real entre 0 y 4, incluidos estos dos valores extremos. El número 4 sólo está contemplado en la primera ecuación. Queda excluido de la segunda, pues x > 4 representa al conjunto de números reales estrictamente mayores que 4. Si el 4 estuviera considerado en ambas expresiones, esta relación no sería función.

x

−1

Función valor absoluto.

Función escalonada.

Las dos primeras son particularmente especiales porque intervienen en la construcción de la mayoría de las funciones. Por ello es útil identificarlas con precisión. Las funciones valor absoluto y escalonadas son las representantes típicas de funciones compuestas que se definen mediante el uso de dos o más ecuaciones.

Tabla de valores x

3

−2

−1

2.5 3

Las gráficas de funciones constantes son siempre rectas horizontales

y

1

−3

0 3

y

Ejemplo 1

Identificando funciones especiales

En las siguientes funciones, traza su gráfica e identifica el tipo de función. a) f ( x ) = 3

 x  b)  x  =    - x  x  c) S ( x ) =   4

si x ≥ 0 si x < 0 si 0 ≤ x ≤ 4 si x > 4

39


Tabla de valores

Solución

a) Función constante. Función constante. Para cualquier valor que se dé a x , la función le asigna el valor y = 3.

x

y

S(x)

3 y

=

3

0 0

1

2

1

−

b) Función valor valor absoluto. absoluto. Para x = 0 o para valores positivos de x se se usa la regla  x  = x .

0

1

2

x

y | | x x | =

2 1

y | | x x |

6 4

6.5 4

1. La función V es una función escalonada formada con porciones de funciones constantes. Su dominio está contenido en 0 < x ≤ 24. 2. A la misma hora el televisor televisor puede estar estar en un solo canal. Poco antes de las 19 horas se encuentra en el canal 7. A las 19 horas se cambia al canal 22.

3

Ejemplo: -5 = -(-5) = 5.

5 4

Fíjate en lo siguiente…

y

Ejemplos: 0 = 0, 5 = 5, 8 = 8. Cuando es negativo se usa la regla  x  = - x , ya que x es asocia a cada número con su simétrico.

4 4

Ejemplo 2

2

−

1 1

=

2

−

1

−

0

1

2

x


Función compuesta. compuesta. c) Función usa la regla S ( x x ) = x .

Si x está está entre 0 y 4 se

y

f ( x x )

6

Ejemplo: S (4) (4) = 4, S (1) (1) = 1, S (0) (0) = 0, (0.5) = 0.5. S (0.5)

y

=

= [ x x ] es la función máximo entero. Su

gráfica es escalonada.

4

y

4

2

Si x es es mayor que 4 se usa la regla S ( x x ) = 4.

2 x

Ejemplo: S (4.1) (4.1) = 4, S (5) (5) = 4, S (7) (7) = 4, (85) = 4. S (85)

0

2

=

4

y

1

6

8

x x

−2

−1

0

−1

Ejemplo 2

Televisión T elevisión y espectadores

La gráfica muestra el resultado de un estudio sobre el número promedio de horas que una familia dedica a ver la televisión durante un día. Interpreta la gráfica y describe esta situación mediante funciones. (Canales)

1

2

y = [ x]

−2

Esta función (también llamada mayor mayor entero entero o parte entera), se define como: [ x x ] = entero n, tal que n ≤ x < n + 1 y opera de la manera siguiente:

40

a) Asocia el mismo número x, si es un entero

22

[5] = 5, [0] = 0, [-5] = -5, ...

15

b) Asocia el entero menor cuando x está está entre dos enteros consecutivos:

11 7

[1.25] = 1, [0.56] = 0, [-3.5] = -4, ...

5 2

Recuerda 8

10

12

14

16

(Horas)

18

20 22 24

Un número es menor que otro cuando el punto que lo representa queda situado a la izquierda del otro.

40

2

BLOQUE


Analiza la gráfica de la función mayor entero usando esta información.

Sugerencias para la autoevaluación 2B 1a.

Solución

Cada barra de la gráfica indica cuántas horas se vio un canal de televisión. Así, de las 7 a las 9 a.m., algunos miembros de la familia vieron el canal 2, en tanto que después de las 9 y hasta antes de las 12 h, el televisor estuvo apagado. Las ecuaciones dadas y su dominio describen esto:

     V ( x x ) =      

Función idéntica.

1b.  x 

= valor absoluto de un número =

el mismo número con signo positivo. Así, G(-2) = -2 + 1 = 3, dado que -2 = 2. 1c.

1d.

Función compuesta. Su gráfica es discontinua. (La del ejemplo 1c es continua). Resta 3 al valor que que proporcione la función valor absoluto.

Ejemplo:

Ejemplo 3

2 11 15 5 7 22 40

si 7 ≤ x ≤ 9 si 12 ≤ x ≤ 13 si 14 ≤ x ≤ 15 si 15 < x ≤ 16 si 18 ≤ x < 19 si 19 ≤ x ≤ 21 si 22 ≤ x ≤ 23

Tarifas T arifas de estacionamiento

Los estacionamientos estacionamientos para para autos cobran una cuota cuota fija fija por por hora hora aun cuando sólo se utilice el estacionamiento durante una una fracción fracción de ese tiempo. Describe gráfica-

mente y con una ecuación la función para la tarifa que debe pagarse en un estacionamiento que cobra $8.00 la hora o fracción de ésta, que se mantenga estacionado el auto en el lugar.

T(-5) = -5 -3 = 5 - 3 = 2. T(-1) = -1 -3 = 1 - 3 = -2. T(10) = 10 -3 = 10 - 3 = 7.

2.

Utiliza una regla de asociación para cada tramo de la gráfica. A cada uno corresponde un intervalo de valores en el eje x . Así, para el primer tramo tendrías: F( x x ) = 80, cuando 0 < x ≤ 5.

3.

Revisa los ejemplos ejemplos 2 y 3 así como las notas en el margen para este último.

4. x = peso en kg.

x - 1 = excedente de 1 kg (para x > 1).

( x x - 1)1 000 = excedente en gramos. Esta última cantidad cantidad se se divide entre 100 para averiguar averiguar cuántos cuántos cientos de gramos contiene.

( x x - 1)10 = excedente en cientos de gramos. 3( x x - 1)10 = pago por cada 100 g que exceden 1 kg.

Solución

La función f ( x el entero inmediato mayor o igual que x : x ) = [ x x 〉 asocia a cada número x el f (0.9) = [0.9 〉 = 1,

y

f (2.1) = [2.1〉 = 3,

40

f (2.7) = [2.7 〉 = 3, f (4) = [4 〉 = 4, f (8.5) = [8.5 〉 = 9.

) $ n e ( o t s

32 16

o C

8 0

1

2 3 (Horas)

4

x

La ecuación T( x ) = 8[ x 〉 proporciona la tarifa para x horas horas de estacionamiento. Dominio de T es 0 < x ≤ 24. T(3.6) = 8[3.6 〉 = 8(4) = $32.00 indica el pago de estacionamiento por 3.6 h = 3 horas 36 minutos.



Autoevaluación 2B 1.

Dibuja la gráfica de cada función e identifica si es idéntica, constante o compuesta. a)

F( x x ) = x

b)

G( x x ) =  x  + 1

d)

a) Por 20 refrescos cuyo costo es de $15.00 cada uno, pagarás 20 × 15 pesos.

Por x refrescos refrescos de $15.00 cada uno debes pagar 15 × x = 15 x . ¿Cuánto pagarás por x - 3 refrescos de este mismo precio?

b) El excedente de una cantidad se halla mediante una resta. Así, si el máximo peso permitido para el equipaje personal en un autobús es de 25 kg y el maletín de una muchacha pesa 28 kg, éste excede en (28 - 25) kg el peso límite.

si x ≤ 0

 2 x  c) H( x x ) =    -2

41

si x > 0

T( x x ) =  x  - 3

La gráfica muestra las ofertas en el remate de una obra de arte. Interpreta cada parte de la gráfica y encuentra una función que la describa.

2. Remate

y

Si x representa representa un peso superior a 25 kg (es decir, x > 25), ¿cuál es su exceso sobre 25 kg?

125

s o s e p e 100 d s e l i 80 M 75

x

0

3.

5

10

15 20 Minutos

25

Inventa otra situación que pueda pueda representarse con la gráfica del ejercicio 2. Encuentra una función función que describa el el costo que se debe pagar pagar por enviar un paquete, si la tarifa es de $35.00 cuando pesa hasta 1 kg y de $3.00 adicionaless por cada 100 g después de 1 kg, y hasta un máximo de 10 kg. adicionale

4. Paquetería

Georg Cantor Agobiado por los fuertes ataques de algunos grandes matemáticos de su época (fines del siglo XIX ), ), Georg Cantor tuvo que ser internado en varias ocasiones en hospitales psiquiátricos. No psiquiátricos. No obstante, Cantor Cantor desarrodesarrolló la teoría de conjuntos conjuntos para para estudiar estudiar los los números transfinitos. Precisó el concepto de función como parejas ordenadas, y realizó una proeza no lograda en siglos: mostrar la existencia de diferentes tipos de infinitos. Demostró Demostr ó también algo que el sentido común considera imposible: un segmento de recta tiene tantos tantos puntos puntos como toda la recta infinita.

2

42


BLOQUE

2

C

BLOQUE


Consumos en cuaresma

La venta de pescado en los restaurantes del Puerto de Veracruz, durante la cuaresma y Semana Santa puede modelarse (en miles de toneladas) con la función f (x) = 0.03x 2 + 10.5.

Conocimientos Transformaciones de gráficas La gráfica de una función f ( x x )

puede transformarse introduciendo algunas constantes en su ecuación. Traslaciones verticales: f ( x x ) + a y

4

y

2

= x + 2

2 y

−4

−2

0

= x

Hacia arriba a positivo.

2

2 y

−2

4

2

= x −

x

Hacia abajo a negativo.

1

20 n o t e d s e l i M

−4

Traslaciones horizontales: f ( x x + a)

10

y

4

y = x

0

2

4

−

y = ( x

2

0

3)2

y = ( x

2

−

4

3

4

5

6

7

Semanas

2

+

−

2

A la derecha a negativo.

2

−

1

4

x

A la izquierda a positivo.

2)2

−

Durante ese periodo la venta promedio de mariscos se mantuvo en 15 000 toneladas por arriba de la venta de pescado. Describe con una función la venta de mariscos y describe su gráfica a partir de la anterior.

Reflexión en un eje horizontal: - f ( x x ) ¿Cuánto pescado y marisco se consumió cuando concluyó la quinta semana?

y

4

y

=

x

2

2

4

−

2

−

0

2

4

2

−

4

−

y

x

= −

x

Si cambias el signo de f ( x x ) (= y) inviertes las ordenadas.

Análisis de la situación 1.

¿En cuál eje de la gráfica de arriba se consigna la cantidad de pescado que se vendió en esa temporada?

2.

¿A cuál variable variable corresponde en la ecuación ecuación inicial?

3.

¿En cuál eje de la gráfica de mariscos mariscos debe consignarse la cantidad cantidad vendida?

4.

¿Qué significa que este volumen de venta venta se haya mantenido 15 000 toneladas arriba de la venta de pescado?

2

Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Reflexiones y traslaciones de gráficas de funciones



1. De acuerdo con la gráfica, la variable de la ecuación que representa el número de semanas es _________ ( x, y ) y la que corresponde a la venta de pescados es _________ ( x, y). 2. Como en toda la temporada la venta de mariscos superó en forma constante a la venta de pescado, en 15 000 toneladas, a la cantidad de pescados vendidos habrá que _________________ (sumarle, restarle) dicha cantidad para conocer la de _________________ (mariscos, pescado). 3. Para poder modificar la función que modela la venta de pescado y obtener la de mariscos, esta cantidad debe expresarse en _________ _________ (toneladas, miles de toneladas); es decir, debe ________________ (dejarse tal cual, convertirse), en cuyo caso se tomará como _____________ (15 000, 15).


1.

Desarrolla cada punto de la secuencia didáctica en tu cuaderno de apuntes, incluyendo todas las operaciones requeridas.

2.

Elabora un resumen en el que especifiques los cambios en la ecuación de una función y los efectos en su gráfica.

3.

Explica en la evaluación sumativa cómo ejecutas las dos transformaciones para el inciso b) y si afecta el orden en que efectúas éstas.

4. Considerando lo anterior, la función que proporciona el volumen vendido de mariscos en ese periodo es y = _________ x 2 + _________ , donde la variable x representa __________________________ y la variable y, ____________________ . 5. La gráfica de la función que modela la venta de mariscos está desplazada verticalmente respecto de la de pescado _____________ unidades hacia ______________ (abajo, arriba) y su valor en 0 indica la cantidad vendida de mariscos al inicio de la temporada. Valuando cada función en x = __________ , se obtienen las ventas en la 5a semana, éstas fueron: pescado: ____________ y mariscos: ___________ .

¿Qué transformaciones de la gráfica en color negro conducen a la gráfica en color azul? b) y

y y

5

=

y

?

=

?

4

2

3

1

2

y sen x

6

=

−

1

5

−

4

−

3

2

−

y

−

x4

1

0

−

1

−

= −

2

−

1

0

−

1

−

2

−

1

2

3

4

5

6

n o t e d s e l i M

20

10.5

1

2

3

4

Semanas

Trasladando gráficas

a)

30

0

Proyecto de trabajo

x 3

−

4

−

1

x

43

5

6

7

44

2


BLOQUE


2C

Transformación de gráficas de funciones Las gráficas de muchas funciones son transformaciones geométricas de otras más simples. y 10


Los términos trasladar , deslizar , mover y desplazar una gráfica, se utilizan como sinónimos.

f ( x) = x2 6

−

Ampliando el conocimiento

a) En geometría las transformaciones que mantienen la forma y el tamaño de una figura se denominan transformaciones isométricas. Éstas son: Traslación: Desplaza la figura

−

4

−

y 10

g ( x) = x2 + 2

8

8

6

6

4

4

2

2

2 0 −2

2

4

6 x

La gráfica de g(x) = x 2 + 2 se obtiene trasladando la gráfica de f (x) = x 2 dos unidades hacia arriba.

2 0 2 −2 h( x) = ( x + 2) −

6

−

4

f ( x) = x2 2

−

4

6 x

La gráfica de h(x) = (x + 2)2 se obtiene trasladando la gráfica de f (x) = x 2 dos unidades hacia la izquierda.

Las traslaciones horizontales y verticales de una gráfica se obtienen así: Traslaciones de la gráfica de f ( x) cuando a > 0

Vericales Rotación: Gira la figura

Reflexión: Voltea la figura

Horizontales

f ( x ) + a

a unidades hacia arriba

f ( x ) - a

a unidades hacia abajo

f ( x + a)

a unidades a la izquierda

f ( x - a)

a unidades a la derecha

Las reflexiones son también transformaciones de la gráfica de una función.

b) La expansión de una figura (es decir, su dilatación o contracción) es un ejemplo de transformación no isométrica.

Una reflexión respecto del eje x se obtiene al cambiar f ( x ) por - f ( x ) y una reflexión respecto del eje y se logra al emplear f (- x ). Al intercambiar x y y se refleja la gráfica respecto de la recta x = y.

Ejemplo 1

Traslaciones verticales y horizontales

Usa la gráfica de f ( x ) = x 2 para trazar la gráfica de cada función. Recuerda

1. La recta x = y es la recta que pasa por el origen a 45° de inclinación. y

3

y

x

=

2 1 3

−

2

−

1 0 1

−

a) F ( x ) = x 2 - 5

2

3 x

G( x ) = ( x - 4)2

Solución

a)

La gráfica de F ( x ) = x 2 - 5 se obtiene desplazando la de f ( x ) = x 2 cinco unidades hacia abajo.

45° 1

b)

2

f ( x) x =

gráfica de G( x ) = ( x - 4)2 se obtiene moviendo la de f ( x ) = x 2 cuatro unidades hacia la derecha.

b) La

y

y

6

6

−

4

2

−

2. Las gráficas de relaciones inversas se reflejan respecto de la recta x = y. 3. La inversa de una función NO siempre es otra función.

4

f ( x) x2 =

3

2

−

6

−

4

−

2 0 2

−

2 2

4

6

x

−

4

−

6

−

6

−

4

−

2 0 2

−

2

4

6 x

−

F ( x) x2 =

−

5

4

−

6

−

G ( x)

=

( x2

−

4)2


Ejemplo 2

45

4. La prueba de la vertical determina si la gráfica es una función. La prueba de la horizontal indica si la función es uno a uno. En ambos casos, cada tipo de línea debe cortar a la gráfica en, a lo más, un solo punto.

Combinando traslaciones de gráficas

A partir de la gráfica de f ( x ) = x 4 obtén las gráficas de: a) g( x ) = ( x - 3)4 + 2 b) h( x ) = ( x + 1)4 - 3

Función

No función

Solución

a)

Para bosquejar la gráfica de g( x ) = ( x - 3)4 + 2 se desplaza la gráfica de f ( x ) = x 4 tres unidades a la derecha y después dos unidades hacia arriba.

b)

La gráfica de h( x ) = ( x + 1) 4 - 3 se obtiene moviendo la gráfica de f ( x ) = x 4 una unidad a la izquierda y tres unidades hacia abajo. y

y

5

3

4

2

3

1

2 −

g ( x) = ( x − 3)4 + 2

1

3

2

1

−

2

1

−

0 −1

1

2

3

4

1

2

3

x


−

2

−

x

h( x)

=

1. Las reflexiones de una figura se pueden hacer respecto de una recta o a un punto, denominados eje o centro de simetría. 2. En el caso de un eje de simetría, para ubicar el simétrico de un punto de la gráfica: a) Se baja el segmento perpendicular al eje. b) En el extremo de su prolongación, a igual distancia del otro lado del eje, se localiza su simétrico.

( x + 1)4 − 3

3

−

a) Se desplaza 3 unidades a la derecha y sube 2.

Ejemplo 3

b) Se desplaza 1 unidad a la izquierda y baja 3.

Reflejando una gráfica

Bosqueja a partir de la gráfica de f ( x ) = x 3, las gráficas de: a) g( x ) = - x 3 b) h( x ) = (- x )3 c) x = y3 Solución

Como g( x ) = - f ( x ), su gráfica es la reflexión de f ( x ) respecto al eje x .

b)

En este caso, h( x ) = f (- x ) es la reflexión de f ( x ) respecto al eje y.

c)

La expresión x = y3 se obtiene intercambiando x y y en y = x 3 (es decir, en f ( x ) = x 3). Su gráfica es la reflexión de ésta respecto de la recta x = y.

3. Es útil reflejar varios puntos e identificarsus simétricos mediante letras iguales y una tilde: A-A′, B-B′, C-C′, etcétera.

Para bosquejar las gráficas respectivas hallamos algunos puntos simétricos: a)

b)

c) y

y 3 =

1

h( x)

3

f ( x) x

2 ′

=

3

( x)3 −

f ( x) x =

y

′

A

1

A

0 1

1

x3

2

−

1

−

B

0 1

−

2

−

3

−

1

2

x

3

3

−

2

−

1

−

B

′

A

g ( x)

=

x3

−

−

′

B

3

x

3

−

D

2

−

1

−

D′

2

3

2

−

D

C′

B 1

2

′

A

′

B

0 −

′

−

−

y

=

1

2

x

=

A

3

3

2

A

y

y

C

3

−

A ′

A

a)

B

Función no uno a uno

f ( x) = x4

0 1

−

f ( x) = x4 −

Función uno a uno

3

−

C

′

1

B

2 x

3 y3

=

A

x

A ′ 0

B′ C

D

x

46

2


BLOQUE

Ejemplo 4


Usando transformaciones en la vida real

La función f ( x ) = 14 + 0.032 x 2 describe la cantidad f ( x ), en millones, de consumidores de agua embotellada, de 1990 a 2005 ( x = 0 corresponde a 1990).

a) En la geometría de coordenadas se estudian las simetrías de una gráfica respecto de los ejes coordenados o al origen. En estos casos se analiza si cada punto de la gráfica posee su simétrico en la misma gráfica. y

a)

Traslada la gráfica de la función de modo que el origen corresponda al año 1995.

b)

Proporciona la ecuación para la nueva gráfica.

c)

¿Cuántas personas tomaron agua embotellada en el año 2005?

A ′

A

B′

B

C′

C

Solución 0

x

a) Gráfica inicial ( x = 0 ↔ 1990)

Gráfica nueva ( x = 0 ↔ 1995)

y

b) En cambio, en la reflexión de una gráfica se crea otra gráfica igual a la primera, de forma que cada punto de la gráfica posee su simétrico en la otra gráfica. y A

E′

E

B

A ′

D′

D

21 ) s e n o l l i M14 ( s e r o d i m u s n 7 o C

) s e n o l l i M ( s e r o d i m u s n o C

C′

0

1

3

5

7

9

11

13

7

Años 0 ↔1990

x

c) Podría decirse que la simetría de una gráfica es un asunto interno de la misma, en tanto que la reflexión de la gráfica es externo (simetría con otra gráfica). Empero, algunas veces ambas simetrías pueden estar presentes y llegar a fundirse: y

1

3

5

7

9 10

Años 0 ↔1995

la izquierda g( x ) = 14 + 0.032( x + 5)2.

c) f (15) = g(10) = 14 + 0.032(15)2 = 21.2 millones de personas.

Autoevaluación 2C

En los ejercicios 1 a 4 describe la traslación efectuada en cada gráfica. 1.

A

0

15 x

b) Como f ( x ) se mueve 5 unidades a

A

14

B′

0 C

21

2.

3.

4.

′

y

y

B

B

C

y

y

′

0

C

′

0

x

0

x

x 0

0

x y

x

=

4

En los ejercicios 5 a 7 bosqueja la gráfica de cada función. 5. h( x ) = x 2 - 3

6. g( x ) = ( x + 1)3 + 2

7. y = - x 4

x


8.

Sugerencias para la autoevaluación 2C

Asocia cada función con la gráfica que le corresponde. I. y = x + 3

II. f ( x ) = -( x + 1)

III. y = - x

IV. s( x ) = ( x + 10) -7

a.

1. a 4. Consulta las formas de ecuación, da-

b.

y

das al inicio de este segmento, para traslaciones.

y

2

3

1

2 y

5. a 7. Revisa, respectivamente, los ejemplos

1, 2 y 3 de este segmento.

x

=

y 2

−

1

0

−

1

2

x

=

8.

Traslada la gráfica de y = x según cada caso. Las intersecciones con los ejes coordenados indican traslaciones horizontales o verticales equivalentes.

19.

Para las reflexiones ubica varios puntos simétricos. Revisa el ejemplo 3 y las respectivas notas en el margen.

20.

Es importante identificar el orden en que deben realizarse las transformaciones.

1

x

1

−

3

2

−

−

2

1

−

0

1

x

1

−

−

c.

y 2

y

1

2

−

1

0

−

1

2

47

En p( x ) = - x 2 + 1 primero se refleja f ( x ) = x 2 sobre el eje x y después se traslada la gráfica una unidad hacia arriba.

x

=

En cambio, en q ( x ) = -( x 2 + 1) primero se traslada la gráfica una unidad hacia arriba y después se refleja en el eje x . No producen la misma gráfica. Corrobóralo.

x

1

−

2

−

Para los ejercicios 9 a 13 recorta cada gráfica del acetato proporcionado en el libro y utiliza la cuadrícula en la página 49. a)

Selecciona la gráfica básica en acetato correspondiente a cada ejercicio.

b)

Sitúala sobre la cuadrícula para ubicar la gráfica de la función dada.

9. f ( x ) = 3 x 2 + 1 10. h( x ) = 3( x - 6)2 11. v( x ) =  x  - 4 12. t ( x ) =  x + 2 - 3 13. y = sen( x + 1) - 4

En los ejercicios 14 a 18 expresa algebraicamente la función resultante de la transformación aplicada en cada caso a la función f ( x ) = x 3. 14.

Mover 6 unidades a la izquierda.

15.

Trasladar 5 unidades hacia abajo.

16.

Reflexión respecto al eje y.

17.

Reflexión respecto al eje x .

18.

Reflexión respecto a la recta y = x .

19.

Dibuja la gráfica de cada una de las funciones del ejercicio anterior.

21.

Revisa las sugerencias para el ejercicio 19.

22.

Revisa el ejemplo 4 de este segmento.

23.

Verifica que el valor de y para x = 3, es el mismo que la intersección y después de trasladar la gráfica.

48

2

BLOQUE


Ejercicios adicionales

20.

a) p( x ) = - x 2 + 1

1. Sitúa en la cuadrícula cada gráfica del acetato que se proporciona en el libro y trasládala después:

b) q( x ) = -( x 2 + 1) c) t ( x ) = -( x + 1)2

a) Dos unidades hacia arriba. b) Tres unidades hacia abajo.

Describe las transformaciones aplicadas en cada caso a f ( x ) = x 2.

21.

Dibuja la reflexión de cada función respecto a la recta y = x .

c) Una unidad a la derecha.

a) y = 2 x

d) Cinco unidades a la izquierda.

b) y = x 2

e) Tres unidades hacia arriba y una hacia la derecha.

c) y = - x 2

2. Escribe la ecuación correspondiente a cada traslación del ejercicio anterior. 3. Ubica libremente cada gráfica realizando traslaciones verticales y horizontales, solas o combinadas, y escribe después la ecuación correspondiente.

d) y = sen x

 π π   − 2 ≤ ≤ 2   x

22. Depreciación comercial La gráfica de f ( x ) = 12 - 0.147 x muestra la baja en el precio f ( x ), en miles de pesos, de un comedor en exhibición durante los últimos 13 meses ( x = 0 corresponde al precio al inicio de este periodo). Haz otro modelo donde x = 0 indique el precio con que salió a la venta el comedor

hace 15 meses.

4. Halla la gráfica de la relación inversa para:

s o s e p e d s e l i M

a) y = cos x

 π π   − 2 ≤ ≤ 2   x

12 8 4

b) ¿Es esta relación inversa una función? Argumenta tu respuesta.

−4

0

4 Meses

8

13

La gráfica de la ecuación x 2 = -24( y - 1.5) describe la trayectoria del agua que sale de una manguera puesta al ras del piso (eje x ). El chorro alcanza la altura máxima de 1.5 m sobre el nivel del piso con un alcance horizontal de 12 metros.

23. Riego con manguera

a)

Desplaza 3 m a la derecha la boca de la manguera y halla la ecuación para esta nueva trayectoria.

b)

Si en la intersección y de ésta estuviese la boca de la manguera, ¿cuál sería el máximo alcance horizontal del agua? y

3 2 1

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1

1

2

3

4

5

6 x


y

9 8 7 6 5 4 3 2 1

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9

1

2

3

4

5

6

7 8

9

x

49

2

50

BLOQUE



Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte sobre el cobro por el consumo doméstico de agua del Bloque 2B. Nombre del alumno:

Nivel

r a u l a v e a o t c e p s A

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Presentación

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía o bien en computadora, bien redactado y sin faltas de ortografía. Desarrolla con regla o por computadora la primera tabla para consumos menores a 30 m3 con el número de columnas adecuadas en donde se indica claramente las variables que se tabulan con sus respectivas unidades.

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía, bien redactado y sin faltas de ortografía. Desarrolla a mano de la primera tabla para consumos menores a 30 m3 con el número de columnas adecuadas en donde se indica claramente las variables que se tabulan con sus respectivas unidades.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía, redacción regular pero sin faltas de ortografía. Desarrolla a mano la primera tabla para consumos menores a 30 m3 con el número de columnas adecuadas en donde se indica claramente las variables que se tabulan con sus respectivas unidades.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con faltas de ortografía. Desarrolla a mano la primera tabla para consumos menores a 30 m3 con el número de columnas adecuadas sin indicar las variables que se tabulan y sin sus respectivas unidades.

Desarrollo

Elabora una tabla de costo contra consumo con todos los elementos calculados para valores menores o iguales a 30 m 3. Presenta todos los pasos para la determinación de la función para el cobro del consumo doméstico de agua siguiendo una secuencia ordenada.

Elabora una tabla de costo contra consumo para valores menores o iguales a 30 m 3 incompleta. Presenta todos los pasos para la determinación de la función para el cobro del consumo doméstico de agua siguiendo una secuencia ordenada.

Elabora una tabla de costo contra consumo para valores menores o iguales a 30 m 3 incompleta. Omite algunos pasos en la determinación de la función para el cobro del consumo doméstico de agua pero mantiene una secuencia ordenada.

Elabora una tabla incompleta de costo contra consumo para valores menores o iguales a 30 m 3. Presenta parcialmente la función para el cobro del consumo doméstico de agua y sin ninguna justificación.

Determina correctamente la función para el cobro del consumo doméstico de agua para los intervalos 0 < x < 30 m 3 y x > 30 m 3. Usa de manera correcta la función obtenida para determinar el cobro o el consumo.

Determina correctamente la función para el cobro del consumo doméstico de agua para los intervalos 0 < x < 30 m 3 y x > 30 m 3. Usa de manera incorrecta la función obtenida para determinar el cobro.

Determina correctamente la función para el cobro del consumo doméstico de agua para los intervalos 0 < x < 30 m 3 y x > 30 m 3. Usa de manera incorrecta la función obtenida para determinar el consumo.

Determina incorrectamente la función para el cobro del consumo doméstico de agua para los intervalos 0 < x < 30 m 3 y x > 30 m 3. Usa de manera incorrecta la función obtenida para determinar el consumo y/o el consumo.

Determina correctamente el pago por un consumo de 10 000 litros durante un bimestre. Determina de manera correcta el consumo por un pago de $625. Explica de forma convincente la aplicación del modelo para consumos no enteros.

Determina correctamente el pago por un consumo de 10 000 litros durante un bimestre. Determina de manera correcta el consumo por un pago de $625. Explica incorrectamente la aplicación del modelo para consumos no enteros.

Comete un error aritmético sólo en el cálculo final de una de las dos siguientes cantidades: Pago por un consumo de 10 000 litros durante un bimestre. Consumo por un pago de $625. Explica satisfactoriamente la aplicación del modelo para consumos no enteros.

Determina incorrectamente el pago por un consumo de 10 000 litros durante un bimestre. Determina de manera incorrecta el consumo por un pago de $625. Explica incorrectamente la aplicación del modelo para consumos no enteros.

Dominio del tema

Conclusiones

Lista de cotejo

Lista de cotejo para evaluar el reporte sobre el viaje y percance con lluvia del Bloque 2A.

Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluya al menos el nombre de la actividad que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre de los integrantes del equipo y sus matrículas. 2. La redacción de las respuestas y conclusiones es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. El trabajo se elaboró con un procesador de texto como Word o bien se hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. 5. Elaboró los diagramas auxiliares con regla o bien por computadora y de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar bien los ángulos que se van a calcular así como las fuerzas aplicadas . 6. La gráfica de la función inversa se elaboró en una hoja de papel milimétrico o de cuadrícula chica o bien por computadora.

SÍ

NO

Observaciones


Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

51

7. Elaboró la tabla de costo vs. distancia recorrida (en tramos de 200 m). 8. Se presentan todos los pasos requeridos para determinar la función inversa que permite calcular los metros recorridos sabiendo a cuánto ascendió el cobro siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 9. Se presentan todos los pasos requeridos para determinar el ángulo con el que el conductor tira del cable para mover el auto siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 10. Hizo referencia a los diagramas y tablas auxiliares.

Originalidad y creatividad 11. Hizo un análisis del modelo alternativo para el pago del taxi respondiendo satisfactoriamente todas las preguntas planteadas.

Dominio del tema 12. Sabe la definición de función directa e inversa. 13. Conoce los requisitos que deben cumplirse para que una función directa tenga inversa. 14. Sabe calcular la función inversa partiendo de la función directa tanto de forma analítica como gráfica.

Conclusiones 15. Determina correctamente de forma analítica y gráfica la función inversa que permite calcular los metros recorridos sabiendo a cuánto ascendió el cobro. 16. Calcula correctamente el ángulo con el que el conductor tira del cable para mover el auto.


Fecha: ____________________

Guía de observación para los proyectos de trabajo de los Bloques 2A y 2B.

Profesor:

Grado y grupo: Plantel: Clave:

Alumno:



Desempeño a evaluar: Determinación de la Función Inversa y manejo de Funciones Especiales. Instrucciones: Observa si la ejecución de

las actividades que se enuncian las realiza el estudiante que se está evaluando y marca con una “✗“ el cumplimiento o no en la columna correspondiente, asimismo es importante que anotes las observaciones pertinentes. No.

Acciones a evaluar

1

Determina la función que proporciona el tiempo de una llamada para un monto determinado de dinero.

2

Dibuja la gráfica de la inversa d e la función mostrada en la figura (2A).

3 4

Determina la función que permite calcular el costo del estacionamiento para un cierto tiempo. Determina cuánto se debe pagar por concepto de estacionamiento para 3.75 horas.

5

Halla la función que corresponde a la primera gráfica (2B).

6

Encuentra la función que corresponde a la segunda gráfica (2B).

*No aplica.

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ NO NA*

Observaciones

3

BLOQUE

Empleas funciones polinomiales de grados 0, 1 y 2


Modelo general de las funciones polinomiales Forma polinomial de funciones de grados: cero, uno y dos Representación gráfica de funciones de grados: cero, uno y dos Características de las funciones polinomiales de grados: cero, uno y dos Parámetros de las funciones de grados: cero, uno y dos


n

n

n

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta las habilidades previas para comprender el modelo general de las funciones polinomiales.

n

n

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacion de argumentos sustentados en una base bibliográfica.

n

Propone soluciones a problemas a partir de modelos establecidos para las funciones de grados: cero, uno y dos.

n

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos para resolver ejercicios de funciones de diferentes grados (cero, uno y dos).

Mantiene una actitud respectuosa hacia la interculturalidad, valores, ideas y prácticas sociales, dentro y fuera del aula. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos artiméticos, algebraicos, y gráficos, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas en donde se intregren las distintas áreas (ciencias experimentales, sociales, económico-administrativo). Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando las carácterísticas y modelos de las funciones polimoniales. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos de los modelos de las funciones de grado: cero, uno y dos y los contrasta con situaciones reales que involucran las diferentes áreas del saber.

¿Qué sabes hacer ahora? Algunas acciones de apoyo a las personas de la tercera edad incluyen descuentos en tarifas de espectáculos recreativos y artísticos (salas de cines, teatros, eventos deportivos, museos) y en transporte y habitaciones de hoteles y alojamientos. Constituyen parte de las retribuciones que, a través de compensaciones económicas y cobertura en seguridad (asilos, pensiones, atención médica y hospitalaria), otorga la sociedad a las personas que por orden natural van perdiendo la plenitud de sus facultades después de contribuir a lo largo de su vida a la actividad económica productiva. Una función polinomial de segundo grado: y = - x 2 - x + 28, describe el fondo que una línea de autobuses destina por unidad para el descuento por pasaje a las personas mayores.

n

n

Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural que involucre las funciones de diferentes grados (cero, uno y dos) para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos, sustentando en las habilidades desarrolladas.


n

n

n

Compara el modelo general de las funciones polinomiales con los de funciones particulares y/o determina si corresponden a dicha clase de funciones. Identifica la forma polinomial de las funciones de grados cero, uno y dos, así como sus gráficas respectivas. Determina si la situación corresponde a un modelo de grados cero, uno y dos, empleando criterios de comportamiento de datos en tablas, descripción de enunciados, tipos de gráficas y regularidades particulares observadas. Emplea los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricas o prácticas que implican o no, razones de crecimiento o decrecimiento constante que se asocien con el modelo.

54

3

BLOQUE


3

A

BLOQUE

Conocimientos


Una perrera amplia

Quieres construir una perrera con la mayor área posible para tu mascota. Para ello, cortarás una hoja de madera de 4.8 m de largo en dos partes y las usarás como cubiertas verticales con la esquina del patio para aprovechar ambos muros de la barda.

Funciones polinomiales en x

Son funciones cuyos términos son sumandos de la forma ax n, donde n es un entero no negativo.

Ejemplos de funciones Polinomiales

No polinomiales

y = - x 3 + x 2 -7

y

y = 2 x 2 + 7 x

y = x -2 + 7 x

y = 3

y = sen x

=

x

Grado de una función polinomial

El mayor exponente de la variable. Función

Grado

Tipo

y = 6 x 2 - 5 x

2

Cuadrática

y = 4 x + 3

1

Lineal

y = 10

0

Constante ¿Cuál es el mayor largo y ancho que puedes dar a la perrera con ese diseño?

Término y coeficiente principales

Son el término con mayor grado y su coeficiente. 3


2

En y = -5 x + 6 x - x + 1 el término principal es -5 x 3 y el coeficiente principal es -5.

1.

Término constante o independiente

Los diagramas siguientes muestran algunas dimensiones posibles para la perrera. Agrega otras tres combinaciones.

Coeficiente de x 0 (se identifica como el número sin la variable). En y = x 5 + x 3 - 10 es -10.

2.00 m

Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Funciones polinomiales. Función constante, lineal y cuadrática

m 0 3 . 2

m 0 8 . 2

m 0 0 . 3

2.50 m

1.80 m

2.

Calcula el área del espacio para la perrera, con las dimensiones anteriores. Compáralas. ¿Se obtiene el mismo resultado? Prueba con otras combinaciones. ¿Qué observas?



1. Si cortas en dos partes una cinta de10 cm de largo, una de ellas de 4 cm, entonces la parte restante mide: _______ - _______ = ________ . Si cortas la hoja de madera de 4.8 m de largo en dos partes, una de ellas de x metros, la otra parte mide: __________ - __________ metros.

Responde las preguntas del análisis de la situación argumentando cada una y, en la secuencia didáctica, realiza todos los desarrollos necesarios, incluidos el cálculo de valores de la tabla y el trazado de la gráfica.

2.

Investiga qué es y cómo puedes utilizar la forma estándar de una ecuación cuadrática para dibujar su gráfica. Compara su empleo con el método tradicional de tabulación.

4.8

2. El área del rectángulo con estas dimensiones puede expresarse mediante la función A( x ) = x ( ) = __________ . 3. Para cada ancho x que se escoja, queda determinado el largo ( también el área del rectángulo que forman.

-

)y

Algunos valores y las áreas que producen son: Ancho x

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

Largo Área y 4. ¿Existe un valor óptimo para x que produzca la mayor área? Una forma de visualizar esto es trazando la gráfica de la función A( x ) con ayuda de la tabla y otros valores. 5. La gráfica de esta función polinomial es una __________________ (recta, parábola). Su ordenada más grande indica el __________________ (largo mayor, área mayor), que aproximadamente es de: __________________ y corresponde al ancho x = ________________ ; el largo para este caso es de: ________________ . y

6

4

2 x

0

1

2

3

4

5

Proyecto de trabajo Dispones de $1 200 para compras de ropa. Si los pantalones que te agradan cuestan $280 cada uno y los suéteres $240, determina: Compras a)

¿Cuántos artículos de cada tipo puedes adquirir con tu dinero?

b)

Representa gráficamente este modelo.


1.

x

Área = largo × ancho

55

56

3

BLOQUE



3 A

Funciones polinomiales Las siguientes expresiones son ejemplos de funciones polinomiales: y = 2 x 3 - 6 x + 1 Grado 3


a) El grado de y = 5 es 0, porque y = 5 = 5 x 0.

y = 3 x 2 + 6 x + 4 Grado 2

y = x + 2 Grado 1

y = 5 Grado 0

Todas están constituidas por sumas de términos de la forma ax m, es decir, una constante multiplicada por una potencia de x . En cualquiera de ellas, el mayor exponente con que aparece la variable, es su grado.

b) En la expresión general, los subíndices distinguen y cuentan a los términos.

Una función polinomial de grado n tiene la forma

c) La suma algebraica (números con signo) incluye la resta: x - 6 = x + (- 6).

El coeficiente principal es an. El término constante es a0. (an ≠ 0; n entero no negativo; coeficientes a′s son números reales)


F ( x ) = an x n + an-1 x n-1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0

Las funciones polinomiales más simples son las de grado 0, 1 y 2, que corresponden a las funciones constante, lineal y cuadrática:

1. Usualmente, las funciones polinomiales se escriben en forma decreciente respecto de las potencias de x .

Grado

Función

0 1 2

Constante Lineal Cuadrática

Ejemplo: y = 2 x 3 - 6 x + 1. 2. La ausencia de un término con alguna potencia de x indica que tiene coeficiente cero. Así, y = 2 x 3 - 6 x + 1 es lo mismo que y = 2 x 3 + 0 x 2 - 6 x + 1, y viceversa.

Expresión polinomial

y = a y = mx + b y = ax 2 + bx + c

Las gráficas de las funciones constantes y lineales son líneas rectas. Las de funciones cuadráticas son parábolas verticales. La gráfica de una función cuadrática se traza fácilmente si se escribe en la forma estándar y = a( x - h)2 + k , completando trinomios.

Recuerda Función

Gráfica

Constante y = a

Recta horizontal. Situada a a unidades de distancia del eje x .

Lineal y = mx + b

Recta oblicua. Pendiente m, e intersección b en el eje y.

Cuadrática Parábola vertical. y = ax 2 + bx + c

Ejemplo 1

Identificando funciones polinominales

Clasifica cada función polinomial de acuerdo con su grado. Identifica en cada caso el coeficiente principal. a) y = -2 b) y = 3 x + 2 c) y = - x 2 + 7 d) y = x 3 - x 2 + x - 4 e) y = -2 x 4 + x + 10

Forma estándar de la función cuadrática y = a( x - h)2 + k Parábola vertical con vértice en ( h, k ). Abre hacia arriba si a es positivo Abre hacia abajo si a es negativo

Ejemplo 1 El coeficiente principal siempre es el de la variable con mayor exponente.

Solución

Grado

Función

a)

0

Constante

b)

1

Lineal

c)

2

Cuadrática

d)

3

Cúbica

e)

4

Cuártica

Coeficiente principal

2

-

3 1

-

1 2

-


Ejemplo 2

Ejemplo 2

Asociando gráficas y funciones

Relaciona cada función polinomial con su gráfica. a) y = 3 x - 1 b) f ( x ) = -2 c) y = - x 2 + 4 I. II. III. 5

y

5

4 3 2 x

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

1

2

3

d) y = ( x + 2)

2

6

1

3

5

1

3

x

−3 −2 −1 −1 −2 −3

1

2

3

2

4

1 x

−5 −4 −3 −2 −1 −1

1

+

En la notación funcional, y etcétera.

1

2

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6

=

f ( x ), o h( x ),

y x

4

4

Recuerda

IV.

7 y

2

1

2

4

y

57

1

2

3


4

La función y = - x 2 + 4 está escrita en forma polinomial. La función y = ( x + 2) 2 + 1 está escrita en forma estándar .

Solución

a)

II. Función lineal. Corta al eje y en -1. m

=

3=

3 1

Ejemplo 3

indica que por 1 unidad de avance horizontal, la recta sube vertical-

mente 3 unidades.

IV. Función constante. Recta horizontal, 2 unidades abajo del eje x . c) I. Función cuadrática. Se refleja y = x 2 en el eje x , y sube 4 unidades. d) III. Función cuadrática. Se corre y = x 2, 2 unidades a la izquierda y sube 1. b)

Ejemplo 3

Proporción corporal en los bebés

Durante su gestación, y conforme avanza su desarrollo corporal, las dimensiones del cuerpo de un bebé aumentan en relación con el de su cabeza. Este ajuste tiene su etapa más pronunciada durante el primer año de vida. Las dos tablas siguientes muestran registros comparativos de mediciones efectuadas en ese periodo y en la etapa adulta, mediante la razón: L l

2 4.13

4 4.26

6 4.40

8 4.52

10 4.60

12 4.72

Edad (años) Razón

20 6.90

21 7.08

22 7.21

23 7.19

24 7.01

25 7.12

2. Cuando hay un patrón de comportamiento regular, se elige como mejor curva de ajuste la que contiene el mayor número de datos, o bien a la cual están próximos la mayoría de éstos.

m

=

4.26

−

4.13

4

−

2

=

0.065

La ordenada b se obtiene reemplazando en el modelo y = mx + b las coordenadas (2, 4.13) y m = 0.065, es decir: 4.13 = 0.065(2) + b. Despejando, b = 4.

Longitud de la cabeza

Edad (meses) Razón

1. Los puntos experimentales rara vez quedan todos sobre una misma curva.

3. La recta trazada para la proporción en bebés pasa por los dos primeros puntos. La pendiente entre ellos es:

Longitud del cuerpo

=


Dibuja la gráfica para cada tabla y descríbela con una función polinomial. b) Explica el comportamiento observado en ambos casos. a)

Solución

a)

Proporción en bebés

Proporción en adultos

y

y

6

8 7 6 5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

x

5 4 3

−

0

1

2

3

4

5

y = 0.065 x + 4

6

7

8

−

−

2

−

1

−

1

−

9 10 11 12

y

=

7

Ampliando el conocimiento x

1 2 3 4 5 6

1. Las proporciones del cuerpo humano han sido objeto de estudio por pintores y escultores desde la antigüedad.

3

58


BLOQUE

2. Son famosos los estudios de Alberto Durero y Leonardo Da Vinci sobre proyecciones y proporciones áureas.

b)

3. Desde el siglo � a. C., en su Canon, el escultor griego Polikleto fijó la proporción de 1 a 7 cabezas para el cuerpo humano.

Para el caso de los adultos, la función constante evidencia que no varía la proporción entre las longitudes del cuerpo y la cabeza, manteniendo una relación aproximada de 1 a 7, es decir, siete veces la longitud de la cabeza es, en promedio, la del cuerpo.

Ejemplo 4

Comparando ambas proporciones, la cabeza de un bebé es mayor, respecto a la longitud total del cuerpo, que en un adulto.

Recuerda

1. Cómo completar un trinomio cuadrado perfecto: Siendo 1 el coeficiente de x2, sumas la mitad del coeficiente de x, al cuadrado: 2

2

Mitad de 2, al cuadrado

x 2 - 8 x + 42


x + 2 x + 1

2

x

2

 1  + +    2 


x

x

2

Ejemplo 4

 3  − 3 +   Mitad de 3, al cuadrado  2  x

Describe la gráfica de la función F ( x ) = 3 x 2 + 6 x + 4.

b)

Expresa la función en forma estándar.

c)

Obtén las coordenadas del punto más bajo, o más alto, en la gráfica.

d)

Haz un bosquejo de la gráfica de F .

Solución

Por ser una función cuadrática, su gráfica es una parábola vertical. Abre hacia arriba porque el coeficiente principal a = 3 es positivo.

b) F ( x ) = (3 x 2 + 6 x ) + 4

Agrupando términos en x

3( x 2 + 2 x ) + 4

Extrayendo 3 como factor

3( x 2 + 2 x + 12) + 4 - 3

Completando el trinomio

3( x + 1)2 + 1

Factorizando el trinomio

( La mitad de cualquier número se obtiene dividiéndolo entre 2.)

= =

2. Cómo factorizar un trinomio cuadrado perfecto: Extrae raíz a x 2 y 42

Función cuadrática en forma estándar

a)

a)

2

La gráfica para los bebés muestra que la relación entre las variables corresponde a una función lineal creciente. Así, al ser cada vez mayor la razón entre las longitudes del cuerpo y la cabeza, se concluye que en los bebés el cuerpo crece más rápido que su cabeza.

=

c)

El vértice es el punto de coordenadas ( -1, 1). Como la parábola abre hacia arriba, éste es el punto más bajo de la curva.

d) Empleando

el vértice, la intersección- y y la simetría de la parábola, podemos bosquejar la gráfica.

x 2 - 8 x + 42 = ( x - 4)2. Emplea el signo del término restante

7 y 6

Intersección con el eje y:


1. Si sumas una cantidad a una expresión, puedes anularla sumando su simétrico:

Se hace x = 0 en la ecuación y = 3 x 2 + 6 x + 4. De aquí, y = 3(0) + 6(0) + 4; y = 4.

2

2

2

3 ( x + 2 x ) = 3 ( x + 2 x + 1 ) -3. En este otro caso: 2 ( x 2 - 8 x ) = -2 ( x 2 - 8 x + 42) + 32 (como -2 (42) = -32, se suma + 32) -

4 3 2 1 x

6 = 6 + 5 - 5 = 6 -10 + 10, etcétera. 2. Como todo valor dentro del paréntesis 3( x 2 + 2 x ) está multiplicado por 3, al sumar 12 dentro de él, en realidad estás sumando 3(12) = 3. Para anular esta cantidad, debes sumar -3. Por tal razón:

5

−4 −3 −2 −1

1

2

3

Autoevaluación 3A 1.

Identifica cuáles de las siguientes funciones son polinomiales. a) y = -5 x 3 + 2 x 2 2

d)

y

x =

−

2

6

b) y = 8 x 2 + x -3

c) y = x 4 - x 3 + x 2 - x + 1

e) y = -( x + 4)2 - 3

f)

y =

x

2

− x + 1 3

x + 2 x


2. a)

Sugerencias para la autoevaluación 3A

¿Es y = 0 una función lineal? ¿Una función constante?

b) ¿Es y

5 =

una función lineal?

x

En los ejercicios 3 a 5, a) identifica el grado de cada función, su coeficiente principal y el término constante; b) nómbralas de dos formas distintas. 3. y = 4 x 4 + 5 x 3 + x + 3

4.

1 = −

2

x

3

6x

−

2

En los ejercicios 6 a 8, a) ordena cada función polinomial en forma decreciente; b) lista los coeficientes de los términos para todas las potencias de x . 6. y = -9 + 4 x + x 3 9.

1.

de una función polinomial? ¿Cuál es la gráfica de y = 0? 2. b) Recuerda que

b) y = ( x -3)2 + 2

c)

I.

II.

III.

7

2 y

=

−

5

x

y

6

y = 5 x - 6 es una función polinomial de

3 2

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6

1 x

−1

1

2 3

4

5

6

3

6. a 8. Los términos que no aparecen para alguna potencia de x , tienen coeficiente 0.

y

70 60

9.

50 x

40

1 2 3

30 20 10 x

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −10

1

En los ejercicios 10 a 12, a) escribe cada función cuadrática en la forma estándar; b) halla las coordenadas de su vértice; c) bosqueja su gráfica. 10. y = x 2 - 2 x + 6

11. y = 3 x 2 + 24 x + 58

1

−

x

grado 1 con coeficiente principal igual a 5 y término constante igual a -6. Es también una función lineal (con pendiente m = 5, y ordenada al origen b = -6). 80

4 y 3 2 1

5 4

−

=

3. a 5. Ejemplo:

Asocia cada gráfica con la función que le corresponde. a) y = -4

1 x

8. y = -2 x 5 + 4 x + x 2 + 3

7. y = 7 - x

Los exponentes en una función polinomial no pueden ser números negativos.

2. a) ¿Puede ser cero el coeficiente principal

5. y = 8 x 2 - 24 x + 16

+ x

59

10. a 12. Revisa el ejemplo 4 de este segmen-

to con los respectivos comentarios en el margen. El flujo se mide como una razón que da la rapidez con que un volumen de agua es desalojado en la unidad de tiempo (litros por segundo).

13. a)

12. y = -5 x 2 - 10 x + 4

Durante un fuerte aguacero que dura tres horas en la Ciudad de México, ocurre lo siguiente:

13. Precipitación pluvial

¿Varió esta rapidez de desalojo del agua en el drenaje durante el periodo de 45 minutos consignados en la gráfica? ¿Qué tan rápido fluyó el agua en ese tiempo?

1) Drenaje. A

partir de la segunda hora el flujo de agua en el drenaje se mantiene constante durante 45 minutos, como indica la gráfica. iniciar la tercera hora, cada 10 minutos el agua asciende 6 cm desde el nivel del piso.

Recuerda cómo son las gráficas de funciones constantes, lineales y cuadráticas. En este último caso, verifica el vértice.

2) Piso. Al

¿Qué representa la variable y? 13. b) El

instante en que inicia la tercera hora, es t = 0. En ese momento el nivel del agua, en centímetros, es y = 0.

FLUJO DE AGUA 500

La información disponible acerca de la altura del agua es una razón de cambio

400 ) s / l (

300

y

200

m

100

indica cómo cambia el nivel (altura) del agua en cierta unidad de tiempo.

6 cm

0

5

10

15 20

25 30

35

40 45

(min)

x

a)

Identifica la función que describe la situación del inciso 1).

b)

Traza la gráfica y halla la función que modela el caso del inciso 2).

=

10 min

(pendiente de una recta) que

Expresa t , en minutos, sobre el eje x . Usa una escala de 10 o 20 minutos (¿cuánto sube el nivel en este último caso?).

60

3


BLOQUE

3

B

BLOQUE

Conocimientos


Plaga en agricultura

U na plaga de langostas invade el municipio de Balancán, en el estado de Tabasco, y ataca una extensión de 200 hectáreas de cultivos de maíz, chile y palma de aceite.

Los insectos avanzan devorando a su paso las plantas a un ritmo constante de 3.28 hectáreas por día.

Funciones lineales

Son funciones polinomiales de grado 1. Su forma polinomial f ( x ) = a1 x 1 + a0 puede escribirse como y = ax + a0, o en la forma más usual: y = mx + b. (Es decir, a1 = m; a0 = b. m es la pendiente de una recta y b su intersección con el eje y.) Modelos lineales

Las funciones lineales modelan situaciones que involucran una razón promedio o de cambio constante. Gráficas de funciones lineales

Son rectas o porciones de recta. Esto depende del dominio. Escribe una función que indique el número de hectáreas que son invadidas en x días.

Semirrecta

Describe con otra función el número de hectáreas que aún no han sido atacadas al cabo de x días. Puntos alineados

¿Cuántas hectáreas de siembra han devorado las langostas al cabo de 7 días? Si continúa el avance sin variar el ritmo, ¿en cuánto tiempo arrasarán con toda la zona?

Segmento

Rectas que no son funciones lineales

Las rectas horizontales, porque su coeficiente principal es 0 = m. Rectas verticales, porque carecen del coeficiente principal m.


¿Describe el enunciado alguna razón de cambio constante?, si es así, ¿cuál?

2.

Completa la siguiente tabla para el número de hectáreas que son invadidas por las langostas al cabo de x días. ¿Qué regularidad observas? Días x

Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Funciones lineales. Aplicaciones

Hectáreas invadidas

1 3.28

2

3

4



1. La tabla en el análisis de la situación muestra que la función que relaciona el tiempo (días) con la cantidad de hectáreas invadidas por las langostas tiene la forma: f ( x ) = ________ x . 2. Esta función polinomial es de grado ________ (1, 2, 3) y es, por tanto, una función _______________ (lineal, cuadrática, cúbica).

Días x

1

Hectáreas invadidas

3.28

Hectáreas sin invadir

200 - _____

2

3

4

Esto muestra que la función que modela esta última situación tiene la forma: g ( x ) = 200 - ________ .


1.

Haz un reporte del análisis de la situación y del desarrollo de la secuencia didáctica con todas las operaciones necesarias.

2.

Describe por escrito la conveniencia de utilizar f ( x ) y g ( x ) en vez de y cuando se trabajan con varias funciones y para obtener valores como f (7) o g (7).

3.

Explica el significado de las expresiones g ( x ) = 0 y f ( x ) = 200.

4.

Discute con tus compañeros acerca de la forma de la gráfica de cada una de estas funciones:

El promedio diario de consumo o razón de cambio constante es el __________ _______________ (coeficiente, exponente) de x . 3. Agregando un renglón al final de la tabla anterior puede determinarse la cantidad de hectáreas aún no invadidas.

a)

¿Líneas o segmentos?

b)

¿Puntos aislados o continuos?

Argumenta tus conclusiones.

4. Reemplazando x = 7 en cada modelo, se obtiene que al cabo de ________ días las langostas han arrasado f (7) = _________________ ha y que subsisten sin ataque g (7) = ________________ ha. 5. Las langostas consumirán las 200 hectáreas cuando g ( x ) = 0, o cuando f ( x ) = 200. Resolviendo cualquiera de estas ecuaciones se concluye que, si la plaga no es controlada y continúa con el mismo ritmo, arrasará la zona al cabo de x = _________ ( x ) = _______ días.

Proyecto de trabajo El precio de unas bolsas de papas fritas está relacionado con su peso como indica la tabla.

1. Bolsita de papas fritas a)

¿Puede modelarse esta relación con una función lineal?

b)

Obtén el modelo en caso afirmativo.

Al aplicar un antibiótico, una colonia de 10 000 bacterias disminuye en una razón constante de 200 bacterias por minuto.

2. Bacterias

a) Describe

este efecto con una función e indica su dominio.

b) ¿En

cuánto tiempo se eliminarán todas las bacterias?

61

Peso (g)

100

150

200

450

Costo ($)

5.50

7.00

10.50

23.00

62

3


BLOQUE


3B

Funciones de grado 1 y modelos lineales Las siguientes funciones modelan los datos para cada tabla de valores: y = 3 x


1 3

x

a) En la función lineal, m ≠ 0, debido a que m es el coeficiente principal. b) En las tablas, ni x ni y pueden ser cero, ya que o no estaría definida m, o sería 0.

y

y = 2 x + 1

2 6

3 9

4 12

1 3

x y

2 5

3 7

4 9

En el primer caso, por ejemplo, 6 = 3(2), y en el segundo, 5 = 2(2) + 1. Para elegir cada modelo se usaron los siguientes criterios:

Recuerda

a) El incremento ∆ entre dos valores de una variable se halla con una resta: ∆ y = y1 - y (al pasar y del valor 5 al valor 7 su 2 incremento es: ∆ y = 7 - 5 = 2). b) El cociente de incrementos diente:

y m

x

2

=

es la pen-

∆ x

. Estos cocien-

∆ x

x

−

1

∆ y

y

−

1

=

∆ y

2

Modelo lineal en tablas

Se utiliza: y

1. y = mx, si todos los cocientes de la tabla, son iguales al valor m. x

2. y = mx + b, si los cocientes de incrementos m. En la primera tabla se cumple: y

tes deben verificarse entre cualquier par de valores de la tabla.

x

6 =

9 =

2

12 =

3

3 =

=

4

∆ y

de la tabla son iguales a un valor

∆ x

Y en la segunda: ∆ y

3

∆ x

1

7 =

3

−

−

5 2

9 =

4

−

−

7 3

9 =

4

−

−

3 1

=

2

(El valor b se halla sustituyendo cualquier par de la tabla en y = 2 x + b.) Observaciones importantes

1. Examina siempre el modelo y = mx , antes de pasar al caso y = mx + b. 2. Toda relación lineal expresa una variación directa entre x y y, o bien entre ∆ x y ∆ y.

Cuando se trata de un enunciado, la relación lineal se reconoce así: Modelo lineal en enunciados

1. Se describe una variación directa. 2. Existe una razón de cambio promedio o constante entre dos magnitudes.

Variación directa Condición Modelo

Entre

y

x y y

=

y = mx

m

x

∆ y

∆ x y ∆ y

∆ x

=

y = mx + b

m

Ejemplo 1 a)

Ejemplo 1

Un modelo lineal en una tabla de valores

Verifica si los datos en las tablas corresponden a un modelo lineal. a)

1 1

x y

2 6

5 21

6 26

b)

x y

1 9

3 9

5 9

Solución


a)

Dado que

1

6 ≠

1

2

no existe una relación del tipo y = mx para los valores

de la tabla. Como los cocientes de incrementos son todos iguales a 5, También, 5

21 =

5

7 9

−

−

1

1

26 =

6

−

−

1

1

=

... etcétera.

5

6 =

2

−

−

1 1

21 =

5

−

−

6 2

=

26

−

21

6

−

5

etc., la relación es del tipo y = 5 x + b.

9 9


Para obtener b, sustituimos el par (1, 1) en y = 5 x + b: 1 = 5(1) + b. De aquí, b = -4. El modelo buscado es y = 5 x - 4. b) No

m

es del tipo y 9 =

3

−

−

9 1

=

0

=

mx , pues

9

9 ≠

1

3

. Tampoco es del tipo y

=

mx + b, ya que

. El modelo NO es lineal. Es la función constante y = 9.

Ejemplo 2

Variación directa

b)

El dato (72, 24) se sustituye en el modelo general de variación directa y = mx , con el objeto de obtener m para el modelo particular : 24 = 72m; m = 1 3

x

1 3

. El modelo

.

1. La función lineal general y = mx + b, tiene por dominio de definición todos los reales. Es decir, el conjunto más amplio de valores para los que está definido el modelo general lineal es el conjunto de los números reales. 2. Una función lineal particular (que modela una situación específica), tiene por dominio sólo los valores aceptables por las magnitudes concretas que relaciona.

b) Reemplazamos x = 56 en el modelo

Ejemplo 3

∆ y


Determina con este modelo cuál es la masa muscular de una persona cuyo peso es de 56 kg.

y =

y

vestigar un modelo lineal en tablas ( se usan los recíprocos, porque su valor es m).

los valores para los que el modelo tiene sentido (incluso (0, 0), ( x , 0) y (0, y)).

Escribe un modelo que permita hallar la masa muscular y (en kg) para cualquier persona que pese x kg.

buscado es

También los cocientes x , o ∆ x sirven para in-

Una vez obtenida la función particular para una tabla, su dominio incluye todos

Solución

a)


Tablas y funciones

La masa muscular de una persona es directamente proporcional a su peso corporal. Una persona con un peso de 72 kg posee una masa muscular aproximada de 24 kg. a)

63

1 y =

3

x

. Así, y =

56 3

=

18.6 kg .

( Los dos puntos anteriores son aplicables a cualquier otra función polinomial.)

Razón de cambio constante

Tu cabello crece en una razón constante de 2.7 mm por día. a)

Escribe un modelo que indique el crecimiento de tu cabello en x días.

b)

Si usualmente el largo de tu cabello es de 20 cm, escribe otro modelo para expresar el largo total que tendrá después de x días. los dos modelos anteriores para saber cuánto aumentó, y cuál es el largo total de tu cabello, después de 62 días de haberlo cortado a 20 cm.


El dominio de esta función particular es el intervalo 0 < x < 350, ya que x tiene sentido sólo para valores entre 0 y 350 kg.

c) Aplica

Ejemplo 3 Ampliando el conocimiento

Solución

a)

El aumento diario (en mm) es y = 2.7 x , o también, f ( x ) = 2.7 x .

b) Largo total = largo inicial + aumento diario:

y = 200 + 2.7 x = g ( x ). c)

Al cabo de 62 días, tu cabello aumentó: f (62) = 2.7(62) = 167.4 mm, es decir, 16.74 cm. Su largo total es: g (62) = 200 + 2.7(62) mm = 36.74 cm.

y = 2.7 x + b expresa la longitud y, que en x

días alcanza tu cabello al crecer 2.7 mm diarios, a partir de un largo inicial b. Cada valor para b genera una función particular. Por tanto, y = 2.7 x + b representa un grupo (o familia) de funciones.

64

3


BLOQUE

Ejemplo 4


1. En este ejemplo sólo conoces dos pares de valores de una tabla. La gráfica que los relaciona podría no ser una recta, salvo que se suponga que el modelo es lineal. 45 40 35 30 25 20 15 10 5

Razón de cambio promedio

Desde la última vez que compraste una hamburguesa, hace seis semanas, éstas aumentaron su precio de $35.00 a $38.00. Suponiendo que el incremento en el precio fue lineal, a)

¿Cuál fue el aumento promedio en el costo de las hamburguesas?

b)

¿Cuál función modela esta situación?

c)

¿Qué información proporciona el valor b del modelo lineal?

d)

Si el precio continúa aumentando a este ritmo, ¿cuánto costarán las hamburguesas en dos semanas? VALORACIÓN DE PRECIO 45

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

) s o s e p ( s o t s o C

10

2. La razón de cambio suele expresarse en unidades tales como km/h, m/s; l/min, pesos/día, etc., ya que compara la variación de dos magnitudes concretas . Una razón de cambio constante

Confirma un mismo patrón de variación

fijo, uniforme y regular para todos los valores.

40 35 30 25 20 15 10 5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tiempo (semanas)

Solución

a)

Suponer que el incremento fue lineal es considerar que los puntos (0, 35) y (6, 38) son puntos de una recta. Por tanto: ∆ y ∆ x

Una razón de cambio promedio

38 =

6

−

−

35 0

3 =

6

1 =

2

0.5 =

1

=

m.

Las unidades para la razón de cambio m son pesos por semana. De esta forma, según expresemos m, podemos decir: “Las hamburguesas aumentaron de precio a razón de: $3.00 cada 6 semanas, o $1.00 cada 2 semanas, o bien, cincuenta

Extiende el patrón de variación entre dos

valores, a todos los demás.

centavos ($0.5) cada semana”.

(Así, la palabra promedio advierte que el valor considerado constante , simboliza un pro-

b)

El modelo general es y = mx + b. El modelo particular tendrá la forma y = 0.5 x + b. Sustituyendo aquí las coordenadas de cualquiera de los dos puntos conocidos obtenemos b. Utilizando (0, 35): 35 = 0.5(0) + b; b = 35. El modelo particular es y = 0.5 x + 35 ( y en pesos, x en semanas).

c)

La constante b representa el valor inicial de las hamburguesas, hace seis semanas.

medio de distintas fluctuaciones.)

Sugerencias para la autoevaluación 3B ser más general, el criterio 2 es aplicable a toda relación lineal. Sin embargo, el criterio 1 abrevia el trabajo si existe una relación simple y = mx . En cada tabla, aplica y compara ambos criterios.

d) Llamando y = f ( x ), f (6 + 2) = f (8) = 0.5(8) + 35 = 39. Costarán $39.00.

Autoevaluación 3B

1., 2. y 4. Por

3.

Como sólo dispones de dos puntos, considera lineal el comportamiento de las variables y obtén la razón de cambio promedio (pendiente de la recta).

En los ejercicios 1 a 4 escribe un modelo para los datos cuya relación sea lineal. 1.

x y

3.

x y

1 4

3 12 0.06 4

5 20 0.81 2.5

7 28 4.

2.

x y

t d

2 1

1 2 5 10 1.02 1.08 5.10 1.20 3 6

4 13

5 22

6 33

7 46


El precio del litro de gasolina es $10.40, más 15% de impuesto.

5. Combustible a) b)

5. El

enunciado describe una relación del tipo y = mx. El costo por litro de gasolina es: 10.40 + (0.15)(10.40). Ten presente que costo = costo por litro × número de

Escribe un modelo que describa el pago y que debes efectuar por x litros de gasolina. ¿Cuánto pagarás por 37.2 litros de gasolina?

65

litros. 6.

Considera una razón promedio de cambio. Revisa el ejemplo 4 de este segmento.

7.

Puedes utilizar fracciones, o bien, decimales. Compara ambos modelos, ¿cuál es más simple de utilizar una vez construido?, ¿cuál es más preciso?

Ejercicios adicionales En el estado de Veracruz la cosecha de naranjas alcanzó en el año 2000 la cifra de 85 000 toneladas. Si en el año 2005 la producción fue de 122 000 toneladas,

6. Producción de naranjas

Un departamento que rentas, sube cada año el pago del alquiler mensual según esta gráfica: 65 60 55 50 0 45 0 1 40 − 1 35 ( a 30 t n e 25 R 20 15 10 5 ) s o s e p

a)

Describe con una función la cantidad y de naranjas (en miles de toneladas), producidas durante el año x (suponiendo constante la producción).

b)

Calcula cuántas toneladas de naranjas se cosecharon durante el año 2003.

La carta de Snellen es utilizada por los oftalmólogos para medir la agudeza visual de las personas. Para ello, éstas deben situarse a 20 pies (6 m) del cartel.

7. Agudeza visual

Una agudeza de

20 30

La agudeza de un ojo normal es

20 20

.

La tabla muestra el registro médico mensual de la pérdida paulatina de la agudeza visual en una persona con glaucoma diabético.

a agudeza a)

1 20 —— 25

3 20 —— 30

5.5 20 —— 40

7 20 —— 50

Escribe un modelo que describa esta situación.

b) Según

1

2

3

4

5

6

7 8 2010

Τiempo (años) 0 ↔

9

10

11 12

a) Escribe una función para la gráfica. b) ¿Cuánto rentará el departamento en 2012? c) ¿Cuánto rentará dentro de tres años?

en un ojo indica que puede leer la línea de letras más

pequeñas a 20 pies de distancia, en tanto un ojo normal puede leerla a 30 pies.

t meses

0

el modelo, ¿en cuánto tiempo la pérdida visual será total?

Soluciones a los ejercicios adicionales a) f ( x ) = 3 x + 32 (en cientos de pesos) b) f (2) = 38; $3 800.00 c) Suma 3 al valor de x para el año actual y calcula f ( x ) para este valor.

66

3

BLOQUE


3

C

BLOQUE


Anteojos para el sol

La función y = 0.05x 2 - x + 480 modela los costos semanales y (en miles de pesos) por producir x anteojos para sol (en cientos). La siguiente gráfica representa esta función.

Conocimientos Funciones cuadráticas

Son funciones polinomiales de grado 2. Su forma polinomial: f ( x ) = a2 x 2 + a1 x 1 + a0

equivale a la forma típica: y = ax 2 + bx + c Modelos cuadráticos

Las funciones cuadráticas modelan situaciones que involucran productos de dos factores lineales. 800

Gráficas de funciones cuadráticas

720

Son parábolas verticales o porciones de éstas, según el dominio.

640 560 480 400 320

Segmento

240

Parábola

160 80 0

8

16

24

32 40

48

56 64

72 80

88

90

Puntos aislados

¿Cuál es la cantidad de anteojos que deben producirse para que el costo de producción sea mínimo?

El vértice ( h, k ) de la parábola se obtiene pasando la forma típica a estándar: y = a( x - h)2 + k, completando trinomios y factorizando.

Análisis de la situación Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes:

1.

Identifica en la gráfica cuáles valores se representan en cada uno de los ejes.

2.

¿Significa alguna ventaja conocer la gráfica para obtener la solución? ¿Implica alguna dificultad?

3.

¿Podrías por este medio dar una respuesta precisa al problema?

Funciones cuadráticas y sus aplicaciones



1. El punto más bajo de la parábola es su _______________ (vértice, ancho). Para obtener éste se transforma la función dada a su forma ______________ (típica, estándar), como sigue:

(El número

multiplicado por 0.05 =

x ) + 480 5 100

Responde en tu cuaderno de matemáticas todos los puntos de la secuencia didáctica, explicando en particular cómo obtienes el número indicado en el espacio .

2.

Ilustra con algunos casos sencillos cómo se completa y factoriza un trinomio cuadrado perfecto.

3.

Compara los métodos geométrico y algebraico utilizados para la obtención de la solución, en cuanto a su exactitud.

debe dar 1.)

c) Completas el trinomio cuadrado perfecto en x : 2

2

y = 0.05( x

-

x +

2

    ) + 480 - 0.05     2   2 

d) Simplificas términos y factorizas el trinomio obtenido: 2

 y = 0.05  x − 

2

  

+

2. En esta expresión resulta h = ____________ y k = ____________ . El punto más bajo de la parábola se halla en el vértice ( ________ , ________ ). 3. La ordenada de este punto corresponde al menor _________________________ (número de anteojos, costo de producción) y es de ____________________ ; su abscisa indica que la cantidad de anteojos que deben producirse para que el costo de producción sea mínimo, es de _______________ cientos de anteojos.

Proyecto de trabajo La tabla muestra la relación entre el número de lados y diagonales de un polígono. Describe esta relación con una función.

1. Geometría y polígonos

x

3

4

5

6

7

y

0

2

5

9

14

2. Jugada Un

jugador de béisbol recoge la pelota en los jardines y la lanza al cuadro intentando evitar una anotación del equipo contrario. La función y = - 0.002( x - 25) 2 + 3 describe la trayectoria seguida por la pelota, desde que sale de su mano. a)

¿A qué altura del piso hizo el lanzamiento el jugador?

b)

¿Cuál fue la máxima altura que alcanzó la pelota durante su viaje y a qué distancia del jugador se produjo ésta?

c)

Si la base a la que dirigió la pelota estaba a 65 m de distancia, ¿logró su tiro alcanzar dicha base? ? ?


1.

a) Agrupas términos en x : y = (0.05 x 2 - x ) + 480 b) Extraes 0.05 como factor: y = 0.05( x 2 -

67

68

3

BLOQUE



3C

Funciones de grado 2 y modelos cuadráticos Al igual que las funciones lineales, las funciones polinomiales de grado 2 ( cuadráti cas) son útiles para modelar diversas situaciones.


Cuando las tablas son del tipo siguiente, es muy fácil decidir si el modelo es cuadrático o no, restando los valores como se indica:

1. El criterio de las diferencias sólo puede aplicarse cuando los valores de x se incrementan de la misma forma.

Modelo lineal

1 1

x y

3 5

Modelo cuadrático

5 9

7 13

1 2

x y

2 5

3 10

4 17

2. Por esta razón NO debe aplicarse aquí: 1 2

x y

4 17

5 26

9 82

si se hace, se obtienen segundas diferencias distintas (-6 y 47). Erróneamente se concluiría que el modelo no es cuadrático. (¡Estos datos corresponden al mismo modelo cuadrático de la tabla a la derecha!)

1a diferencia

4

4

4

3

2a diferencia

5

7

2

2

En cada tabla los valores de x están igualmente espaciados. Modelo cuadrático en tablas

Se utiliza si: 1. Ésta consta al menos de tres datos y el modelo no es lineal. 2. Para iguales incrementos de x , las segundas diferencias de y son todas iguales (nunca cero).

La prueba de las diferencias identifica el tipo de modelo, pero no muestra cuál es éste.

El modelo particular se obtiene sustituyendo tres puntos de la tabla en el modelo cuadrático y resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas. Fíjate en lo siguiente...

Cuando se trata de enunciados, por lo general se observa lo siguiente:

Por simplicidad: Si sólo se conocen

Modelo cuadrático en enunciados 1. Se menciona una relación cuadrática.

Se usa una función

Dos puntos

Lineal

Tres puntos

Cuadrática

2. Se involucra el producto de dos

Ejemplo 1

(no colineales)

factores lineales.

Identificando un modelo cuadrático en una tabla

Verifica si los datos en las tablas corresponden a un modelo cuadrático.

Ejemplo 1a)

a)

x y

1 5

4 20

5 25

8 40

b)

x y

2 1

4 9

6 25

8 49

10 81


1. El hecho de que no pueda aplicarse la prueba de las segundas diferencias no excluye la posibilidad de que la relación sea cuadrática (o de algún otro tipo). 2. Con los métodos aprendidos en el segmento informativo 3B podría revisarse, por ejemplo, si existe alguna relación lineal.

Solución

La prueba de las diferencias no es aplicable porque son distintos los incrementos en x . b) Sí. Es del tipo y = ax 2 + bx + c. 2 4 6 8 10 x Las segundas diferencias son todas 1 9 25 49 81 y iguales al mismo valor 8. a)

8

16 8

24 8

32 8

69


Ejemplo 2

Obteniendo un modelo cuadrático

Ejemplo 2

Construye el modelo cuadrático particular para la tabla del ejemplo 1b). x y

2 1

4 9

6 25

8 49

10 81

Solución

Sabemos que la función tiene la forma F ( x ) = ax 2 + bx + c. Reemplazamos x por 2, 4 y 6 y obtenemos tres ecuaciones lineales: F (2) = a (2)2 + b (2) + c = 1 Sustituyendo x por 2 2 F (4) = a (4) + b (4) + c = 9 Sustituyendo x por 4 2 F (6) = a (6) + b (6) + c = 25 Sustituyendo x por 6 Simplificando: 4 a + 2 b + c = 1 16 a + 4 b + c = 9 36 a + 6 b + c = 25

Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3

Recuerda

Para resolver con determinantes el sistema de ecuaciones, escribe en columna los coeficientes de a y b: ∆

=

∆ =

) s e l i m ( s o s e p y

=

y =

2( x − 20)2 + 1 100

−

500 400 300

36

6

4

2

16

4

36

6

4

2

= 16 + 96 − 72 − 32 − 144 − 24 = −16

1

2

9 25

4 6

1

2

4 =

16; ∆b

−

=

1

16 36

9 25

4

=

32

=

−

1

=

∆a ∆

16

− =

16

−

=

1;

b

=

∆b ∆

32 =

16

2

−

Para c reemplaza estos valores en una de las ecuaciones: 4 a + 2 b + c = 1 4(1) + 2(-2) + c = 1 c = 1 - 4 + 4 = 1

Ejemplo 3

200 100 0 2 4 6 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 x muñecas (en miles)

4

Obtienes a y b dividiendo entre ∆: a

900 800 700 600

∆a

y

1 200 1 100 1 000

16

Para los determinantes de a y b, procede igual, sólo que antes cambia sus respectivas columnas por la de términos constantes:

Producción y ganancia máxima

La función G( x ) = -2 x 2 + 80 x + 300 modela la ganancia (en miles de pesos) que obtiene una empresa de juguetes al producir x muñecas decorativas de porcelana (en miles). Arriba de cierta cantidad, los costos de producción hacen que las ganancias disminuyan. ¿Para qué producción se obtendrá la ganancia máxima y cuál será ésta?

2

Calcula el valor de este determinante así: a) Repite el primer par al final. b) Suma los productos de las diagonales descendentes y ascendentes, cambiando el signo a estos últimos.

Resolviendo este sistema de ecuaciones se halla a = 1, b = -2, c = 1. El modelo buscado es F ( x ) = x 2 - 2 x + 1.

Ejemplo 3

4

x

Solución

Por tratarse de una función cuadrática, su gráfica es una parábola vertical. Como a = -2, abrirá hacia abajo y habrá un valor máximo en su vértice. Para hallar éste, debemos escribir la ecuación en forma estándar. G( x ) = (-2 x 2 + 80 x ) + 300 Agrupando términos en x 2 = -2 ( x - 40 x ) + 300 Extrayendo -2 como factor 2 = -2 ( x - 40 x + 400) + 300 + 800 Completando el trinomio 2 = -2 ( x - 20) + 1 100 Factorizando el trinomio El vértice es (20, 1 100). Para x = 20(1 000) = 20 000 muñecas, se obtiene la ganancia máxima y = 1 100(1 000) = $1′100 000.

Recuerda

Para pasar a la forma estándar: 1. Factoriza -2 para que dentro del paréntesis el coeficiente de x 2 sea 1. 2. Completa el trinomio sumando la mitad del coeficiente de x al cuadrado: x 2 - 40 x + 202 = x 2 - 40 x + 400 3. Suma el simétrico de la cantidad agregada: -2 ( x 2 - 40 x - 400) + 300 + 800 4. Factoriza el trinomio extrayendo raíz a x 2 y 400 y poniendo el signo de -40 x : ( x - 20)2.

3

70


BLOQUE

Ejemplo 4


1. En el modelo lineal y = mx + b la constante b indica el punto de corte con el eje y. Razón: cuando x = 0, y = b (es decir, y = m(0) + b).

En biología marina se estudian y preservan las especies de ballenas identificando a los miembros de las manadas mediante la colocación de un microchip de radiolocalización. Para una manada de 15 individuos, se estima que el número promedio de ballenas marcadas en x hectáreas de recorrido, será la cantidad de hectáreas andadas, por 0.5 x + 1 ballenas. 15 14 13 s 12 a n 11 e l l 10 a b 9 e d 8 o r e 7 m ú 6 n 5 = y 4 3 2 1

2. En el modelo cuadrático y = ax 2 + bx + c, la constante c indica también el punto de corte con el eje y. Razón: si x = 0, y = c (es decir, y = a (0)2 + b (0) + c). 3. Observa que la parábola y = 0.5 x 2 + x pasa por el origen porque en esta ecuación c = 0. Abre hacia arriba porque a es positivo. 4. En cambio, la parábola y = 15 - 0.5 x 2 - x corta al eje y en 15, porque aquí c = 15. Abre hacia abajo porque a es negativo. 5. Como g ( x ) = - f ( x ) +15, la gráfica de g ( x ) es la misma que la de f ( x ), sólo que reflejada en el eje x (signo negativo) y desplazada verticalmente 15 unidades hacia arriba.


Ballenas sin marcar = total - ballenas marcadas g ( x ) = 15 - (0.5 x 2 + x ) f ( x ) = 15 significa 0.5 x 2 + x = 15 g ( x ) = 0 significa 15 - 0.5 x 2 - x = 0

0.5 x 2 + x - 15 = 0 equivale a x 2 + 2 x - 30 = 0

Identificación de ballenas

0

1 x

2 =

3

4

18 17 16 s 15 a 14 n e 13 l l a b 12 e 11 d 10 o r 9 e m 8 ú 7 n = 6 y 5 4 3 2 1 0

5

número de hectáreas

1

2 x

=

3 4 número de hectáreas

5

6

Escribe la función f ( x ) que indica las ballenas marcadas en x hectáreas e identifica su gráfica. b) Halla otra función g ( x ) que describa cuántas ballenas faltan por marcar después de andar x hectáreas. c) ¿Cuántas hectáreas se recorrerán para marcar a todas las ballenas? a)

Solución

0.5 x 2 + x . Su gráfica pasa por el origen ya que f (0) = 0. La gráfica muestra que al aumentar el número de hectáreas, aumenta el de ballenas marcadas, abarcando el total de 15 ballenas al cubrir aproximadamente 4.5 hectáreas. b) g ( x ) = 15 - 0.5 x 2 - x . Su gráfica corta al eje y en 15, pues g (0) = 15. Muestra que al aumentar el número de hectáreas, disminuye la cantidad de ballenas sin marcar, llegando a 0 cuando x = 4.5 aproximadamente. c) Se determina el valor de x para f ( x ) = 15, o cuando g ( x ) = 0. Ambos casos conducen a la ecuación cuadrática 0.5 x 2 + x - 15 = 0, cuya solución admisible es x = 4.565 hectáreas. a) f ( x ) = x (0.5 x + 1)

=

Autoevaluación 3C

Resolviendo: x

=

−2 ±

2

2

−

4( −30)

2

x = 4.565, o x = -6.565.

=

−2 ±

124 2

En los ejercicios 1 a 4, determina si los datos de cada tabla pueden modelarse con una función cuadrática. En caso afirmativo, escribe ésta. 1.

x y

3.

x y

1 2

2 5

3 10

4 17

1 1

2 -5

3 -15

4 -29

2.

3 3

x y

5 -47

4.

x y

2 4

6 4 4 16

9 5 6 36

12 6

8 10 64 100


En los ejercicios 5 a 7 identifica la gráfica de cada función indicando: a) Por qué abre hacia abajo o hacia arriba; b) cuál es su intersección- y; c) cuál es su intersección- x ; d) por qué pasa, o no, por el origen. 5. y = - x 2 - 3 I. 6 5 4

7. y = x 2 + 2 x

1. a 4.

Revisa el ejemplo 1.

II.

III.

5. a 7.

Revisa notas en el margen del ejemplo 4.

8. a)

Sustituye el vértice y la intersección- y en la forma estándar y = a( x - h)2 + k .

d)

Halla el punto más bajo de la gráfica.

8 7 6 5 4 3 2 1

y

1 1

1 2

y

y

x

3 x

−6 −5 −4 −3 −2 −1

1 2 3

1

x

−5 −4−3−2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9

La gráfica muestra el comportamiento de las ventas semanales de panecillos que has emprendido con una amiga. x = 0 indica que no hay ingrediente extra aparte de leche, harina, huevo y azúcar. Por su costo, otros ingredientes (pasitas, piñón, acitrón, higo, etc.) encarecen el producto y sólo es costeable bajo cierta demanda. 10

8. Panecillos caseros

a) Halla

una función para esta relación. b) ¿Cuál podría ser su dominio? c) ¿Podría aumentar ilimitadamente la ganancia? d) ¿Para cuántos ingredientes extra obtienes la menor utilidad?

)

s o s e p e d s o t n e i c

(

s o s e r g n I

= y

9 8 7

y

2 3.6

s ú b o ) t s u o a s e r p o p e d o s i o d i t s n b e i u c S (

= y

30 25 20 15 10 5

x

1 2 3 4 5 Número de personas de la 3 a edad

=

6

tres puntos en el modelo cuadrático y = ax 2 + bx + c (ejemplo 2).

2) Reemplaza tres puntos en la forma estándar y = a( x - h)2 + k y halla a, h y k .

¿En qué momento inicia su consumo?

el total entre usuarios má-

ximos. d) Obtén 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Cantidad de ingredientes

10

3 3.7

La función y = 28 - x 2 - x modela el uso del fondo de subsidio destinado por autobús para personas de la tercera edad. a) ¿Cuál es el fondo del subsidio? b) ¿Para cuántas personas alcanza? c) ¿A cuánto asciende por persona? d) ¿Se halla el monto total del subsidio en el vértice de la parábola?

10. Tarifas en la tercera edad

1) Sustituye

c) Divide

camente la función. 1 3.7

Puedes usar dos métodos:

qué momento se agota el subsidio?

9. Más sobre panes La tabla de registros de ventas proviene del problema anterior. a) Verifica que corresponde a un modelo cuadrático; b) Obtén algebrai-

0 4

b)

0.1 - (-0.3) = -0.1 + 0.3 = 0.2.

-

b) ¿En

6 5 4 3 2 1 0

9. a)

10. a)

=

x


6. y = -0.5 x 2 - x + 6

3 2

−5 −4 −3 −2 −1

71

ción.

la forma estándar de la fun-

3

72

BLOQUE



Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte sobre los costos de producción de anteojos del Bloque 3C. Nombre del alumno:

Nivel

Presentación


Dominio del tema

Conclusiones

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía o bien en computadora, bien redactado y sin faltas de ortografía.




Elabora en una hoja de papel milimétrico o bien por computadora la función cuadrática con los puntos suficientes y en la que se aprecia claramente su valor mínimo.

Elabora en una hoja de papel de cuadrícula chica la función cuadrática con los puntos suficientes y en la que se aprecie claramente su valor mínimo.

Elabora en una hoja de papel de cuadrícula chica la función cuadrática con pocos puntos y en la que apenas se aprecie su valor mínimo.

Grafica incorrectamente la función cuadrática.

Identifica correctamente el mínimo de la función cuadrática en la gráfica.

No identifica el mínimo de la función cuadrática en la gráfica.


Presenta todos los pasos para la determinación analítica del costo mínimo de producción y el número de anteojos correspondiente siguiendo una secuencia ordenada.

Presenta todos los pasos para la determinación analítica del costo mínimo de producción y el número de anteojos correspondiente, siguiendo una secuencia ordenada.

Omite algunos pasos para la determinación analítica del costo mínimo de producción y el número de anteojos correspondiente, siguiendo una secuencia ordenada.


Transforma correctamente la forma típica de la función cuadrática a la forma estándar.

Transforma correctamente la forma típica de la función cuadrática a la forma estándar.

Transforma de manera correcta la forma típica de la función cuadrática a la forma estándar.

Transforma incorrectamente la forma típica de la función cuadrática a la forma estándar.

Calcula de manera correcta el vértice de la parábola.

Calcula de manera correcta el vértice de la parábola.

Calcula incorrectamente el vértice de la parábola.

Determina adecuadamente si el vértice de la parábola corresponde a un máximo o a un mínimo de la función cuadrática.

Determina incorrectamente si el vértice de la parábola corresponde a un máximo o a un mínimo de la función cuadrática.

Calcula incorrectamente el vértice de la parábola (invierte los papeles de h y de k ).

Determina correctamente el costo mínimo de producción.

Determina correctamente el costo mínimo de producción.

Define de manera adecuada el número de anteojos para obtener el costo mínimo de producción.

Define de manera adecuada el número de anteojos para obtener el costo mínimo de producción.

Compara justificadamente la exactitud de los métodos geométrico y algebraico para la obtención de la solución.

No efectúa la comparación de la exactitud de los métodos geométrico y algebraico para la obtención de la solución.

Determina correctamente si el vértice de la parábola corresponde a un máximo o a un mínimo de la función cuadrática. Determina incorrectamente ya sea el costo mínimo de producción o el número de anteojos para obtener el costo mínimo de producción. Compara justificadamente la exactitud de los métodos geométrico y algebraico para la obtención de la solución.

Presenta únicamente el costo mínimo de producción y el número de anteojos correspondiente, pero sin ninguna justificación.

Determina incorrectamente si el vértice de la parábola corresponde a un máximo o a un mínimo de la función cuadrática. Determina incorrectamente el costo mínimo de producción y del número de anteojos para obtener el costo mínimo de producción. No realiza la comparación de la exactitud de los métodos geométrico y algebraico para la obtención de la solución.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para evaluar el reporte sobre la perrera del Bloque 3A.

Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluya al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción de las respuestas y conclusiones es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. El trabajo se elaboró con un procesador de texto como Word o bien se hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. 5. La tabla de ancho, largo y área se elaboró con regla o bien por computadora (usando Word, Excel, etc.) con un mínimo de seis valores de ancho. 6. La gráfica de la función polinomial correspondiente al problema se elaboró en una hoja de papel milimétrico o de cuadrícula chica o bien por computadora con los puntos suficientes que permitan hacer un trazo suave.

SÍ

NO

Observaciones


Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

73

7. Elaboró diagramas auxiliares que permitan visualizar de forma más clara el problema e indica en ellos las longitudes conocidas y las longitudes y áreas que se van a determinar. 8. Se presentan todos los pasos requeridos para determinar cómo se debe cortar la hoja de madera para obtener el área máxima para la perr era por el método tradicional de tabulación siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 9. Se presentan todos los pasos requeridos para determinar cómo se debe cortar la hoja de madera para obtener el área máxima para la perrera por el método analítico de llegar a la forma estándar siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 10. Hizo referencia a los diagramas y tablas auxiliares.

Originalidad y creatividad 11. Investigó cómo obtener la forma estándar de una ecuación cuadrática y cómo usarla para dibujar su gráfica.

Dominio del tema 12. Sabe distinguir entre una función y una relación. 13. Sabe determinar el grado de una función polinomial. 14. Sabe calcular el máximo o mínimo de una función cuadrática de forma gráfica y analítica.

Conclusiones 15. Determina correctamente cómo cortar la hoja de madera para obtener el área máxima para la perrera. 16. Determina correctamente cuál es el área máxima que puede tener la perrera.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________

Fecha: ____________________

Guía de observación para los proyectos de trabajo de los Bloques 3B y 3C.

Profesor:


Alumno:



Desempeño a evaluar: Aplicación de Funciones Polinomiales de primero y segundo grado. Instrucciones: Observa si la ejecución de

las actividades que se enuncian las realiza el estudiante que se está evaluando y marca con una “✗” el cumplimiento o no en la columna correspondiente, asimismo es importante que anotes las observaciones pertinentes.

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Acciones a evaluar Indica si la relación entre el pr ecio de las bolsas de papas fritas y su peso puede modelarse como una función lineal. Obtiene la función lineal que relaciona el precio de las bolsas de papas fritas con su peso en caso de que sea posible. Determina la función que relaciona el número de bacterias restantes de la colonia con el tiempo. Indica el dominio de la función que relaciona el número de bacterias restantes de la colonia con el tiempo. Calcula el tiempo que se requiere para eliminar todas las bacterias de la colonia. Obtiene la función que relaciona el número de l ados y diagonales de un polígono. Calcula la altura con respecto al piso a la que hizo el lanzamiento el jugador de béisbol. Calcula la altura máxima que alcanzó la pelota durante el viaje. Calcula la distancia con respecto al jugador a la que se produjo la altura máxima. Indica si el jugador con su tiro logró alcanzar la base indicada.

*No aplica.


Observaciones

4

BLOQUE

Utilizas funciones polinomiales de grados 3 y 4

10 horas

Objetos de aprendizaje

Modelo matemático de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grados: tres y cuatro Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en función de los valores que toman sus parámetros Representación gráfica de funciones polinomiales de grados: tres y cuatro


n

n

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los conocimientos y habilidades previas para comprender el modelo matemático de las funciones polimoniales de grado tres y cuatro.

n

n

n

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos matemáticos y herramientas tecnológicas. Propone soluciones a problemas a partir de las propiedades geométricas de las funciones polimoniales.

n

Participa y colabora de manera efectvia en equipos diversos, con la finalidad de resolver ejercicios con los métodos de las ecuaciones factorizables. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad, valores, ideas y prácticas sociales dentro y f uera del aula. Construye, interpeta y explica los modelos de las funciones polimoniales en función de los valores que tomen sus parámetros, mediante la aplicación de procedimientos artiméticos, algebraicos y gráficos para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas. Formula y resuelve problemas matamáticos, hasta llegar a su representación gráfica de las funciones polinomiales.

¿Qué sabes hacer ahora? Nuestro organismo requiere grasas como fuente de energía ( triglicéridos) y para la formación ( colesterol ) de membranas celulares, producción de hormonas sexuales, formación de vitamina D y bilis para digerir las grasas. El hígado produce parte de estas grasas ( v. gr., todo exceso de calorías —azúcar, harinas refinadas, etc.— los convierte en triglicéridos), pero la mayor parte proviene de alimentos y se forma a partir de ácidos grasos de origen animal (colesterol) o mixto (triglicéridos). Se absorben en la sangre (95% agua) sólo al unirse con lipoproteínas de alta o baja densidad, según si la grasa es insaturada (aceites de oliva, omega-3 de salmón, etc.) o saturada (origen animal: quesos, carne, leche, etc.). Esta última aumenta los riesgos cardiovasculares, pues espesa el plasma sanguíneo y, además, forma ateromas en las coronarias. Una dieta baja en grasas saturadas y rica en fibras y proteínas de origen vegetal, junto con antioxidantes —como el betacaroteno de las frutas y verduras—, reduce los riesgos de infarto.

HIPERLIPIDEMIA

La gráfica de una función polinomial de cuarto grado describe la disminución del nivel de colesterol en la sangre de una persona después de someterse a un tratamiento médico.

n

n

n

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos y gráficos mediante el lenguaje verbal, matemáticos y el uso de las tecnologías de la información y comunicación. Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento en diferentes áreas (ciencias experimentales, sociales, económico-administrativo). Interpreta tablas, gráficas y textos con símbolos matemáticos y científicos, con ayuda de los conocimientos y habilidades adquiridos y desarrollados.

y =

0.05 x4 + 0.8 x3 − 4.2 x2 + 7 x + 3

−

7 6 ) l d / g m ( s o d i p í l e d l e v i N

5 ) 0 0 1

↔

1 (

4 3 2 1 0

1

2 3 Tiempo (semanas)

4

5

6


n

n

Reconoce el patrón de comportamiento gráfico de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Describe las propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Utiliza transformaciones algebraicas y propiedades geométricas para obtener la solución de ecuaciones factorizables y representar gráficamente las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en la resolución de problemas.

76

4

BLOQUE


4

A

BLOQUE


Lata para chocolates

El volumen y de una lata cilíndrica para dulces de chocolate, con radio x y altura igual a h = 24 - 4x, se modela con una función cuya gráfica es la siguiente:

Conocimientos 400

Funciones polinomiales de grados 3 y 4

360

Estas funciones pueden obtenerse mediante transformaciones de las funciones básicas 3 4 y = x y y = x .

320 ) 3 m c ( n e m u l o V

Gráficas cúbicas y cuárticas Cúbicas.

Siguen el patrón básico de las lineales: ascienden hacia un lado y descienden hacia el lado opuesto.

280 240 200 160 120 80 y

y

y

=

x

12 x 3 + 72 x 2

= −

40

3

0 y

=

1

2

x

x

3

4

5

6

7

radio (en cm)

=

x

¿Cómo se obtienen la función y su gráfica? Utiliza la gráfica para aproximar el valor de x que proporciona el mayor volumen para la lata. ¿Cuáles son las dimensiones que tendría la lata con ese volumen?

Cuárticas. Siguen el patrón de las cuadráti-

cas: ascienden o descienden hacia un mismo lado. y

=

x

4


y

1. y

=

x

Revisa el diagrama que se muestra abajo.

2

x

2 x

En general, para grados superiores, las funciones de grado impar siguen el comportamiento lineal, y las de grado par, el del modelo cuadrático.

h

24 cm

2 x

Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Funciones polinomiales de grado superior a 2

2. ¿Cómo aplicarías en este caso V = πr 2h? (Considera π ≈ 3.)

la fórmula para el volumen de un cilindro,



1. Como la lata para chocolates es un cilindro circular recto, su volumen se obtiene con la fórmula geométrica:

1.

Volumen = Área de la base × Altura


Elabora un reporte en tu cuaderno en el que incluyas: a)

Las respuestas a la secuencia didáctica con los desarrollos y operaciones requeridos e intercalando otros valores en la tabla.

b)

Un dibujo con las gráficas de y = - x y 3 2 y = - x . Lo mismo para y = - x y y = - x 4.

c)

Tus conclusiones acerca de los valores posibles que admite x (dominio de la función).

V = _________________ × h 2. De acuerdo con los datos sobre la asignación de las variables x , y; se tiene que y representa a ______ (V, r , h), x representa a ______ (V, r , h), y h = __________ . Sustituyendo en la fórmula geométrica estos datos y aproximando π = 3, se obtiene el modelo: y = ( )( )( ) = _______________________. 3. El coeficiente principal negativo ______________ indica que la gráfica abrirá hacia ______________ (arriba, abajo). Por el contexto del problema, los valores de x no pueden ser ______________ (negativos, positivos, cero). Tabulando valores para x se obtienen algunos puntos de la gráfica. x

0

y

0

1

2

3

3.5

4

5.5

192

4. Estos puntos se unen mediante una línea continua debido a que _______________ ____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ . 5. La gráfica muestra que alrededor del valor x = ______________ la ordenada toma su máximo valor, aproximadamente, y = ____________ . Así, la lata tiene un volumen máximo cercano a ____________ cm3, cuando su ancho es aproximadamente de ____________ cm y su altura es de ____________ cm.

Proyecto de trabajo Con una pieza de papel de 12 cm × 14 cm, puedes construir una caja para crayolas, como se muestra en la figura. Caja para crayolas

a)

Halla una función que te dé el volumen de la caja en términos de x .

b)

Bosqueja la gráfica para aproximar el valor que produce el mayor volumen.

7 cm x

7 cm x

x

12 cm

12 − 2 x

x

2.

77

Construye en papel distintos cilindros con las relaciones indicadas en el problema, incluyendo el que, de acuerdo con la solución obtenida en la secuencia didáctica, posee el máximo volumen. Compara éstos y sus dimensiones.

78

4

BLOQUE



4 A

Funciones de grados 3 y 4 Las funciones polinomiales de tercero y cuarto grado, siguen un comportamiento similar a las de primero y segundo grado. Grados 1 y 3. Si suben a la derecha, bajan a la izquierda. Son continuas.


1. El análisis de las funciones de grados 3 y 4 que se hará en este capítulo es aplicable a funciones polinomiales de grado superior.

32 y

4 y

24

3

16

2 y

8

=

=

x

3

x

32

−

2. En particular, la gráfica de cualquier función polinomial sigue el comportamiento descrito en el recuadro principal:

24

−

16

−

8

8

−

16

24

x

32

3

−

2

−

1

1

−

2

3

1

−

8

−

16

−

24

−

32

−

2

−

3

−

Las de grado impar siguen el patrón de las de grado 1 y 3; las de grado par siguen el patrón de las de grado 2 y 4.

y

1

x

4

−

Grados 2 y 4. Si suben a la derecha, suben a la izquierda. Son continuas. 6

56 y 48

5

40

4

32

3

24

y


Que la gráfica de una función polinomial sea suave, sin picos agudos, significa que sus ondulaciones no cambian bruscamente, ni presentan vértices:

2

y

=

x

2

16 y

8

1

=

x

x

No polinomial 6 y 5 y = | x | 4 3 2 1

−5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3

No polinomial

x

1 2 3 4 5

4

−

7 y 6 5 4 3 2 1

2

−

1

−

1

2

3

4

x

4

−

3

−

2

−

1

1

−

2

3

4

Gráficas de funciones polinomiales

1. Suben hacia la derecha si el coeficiente principal es positivo; bajan cuando es negativo.

x

−3 −2 −1 −1 −2 −3

3

−

4

1 2 3 4

5 6

Ejemplo 1a) Recuerda

2. Su trazo es suave y continuo (sin picos agudos ni interrupciones). 3. Se comportan igual a izquierda y derecha si el grado es par, y en forma opuesta si es impar. Mediante transformaciones de las funciones monomiales y = x 3 y y = x 4 se obtienen las gráficas de otras funciones cúbicas o cuárticas. Las intersecciones con el eje x son ceros de la función (pues en ese caso y = 0).

Ejemplo 1

Reflexiones Eje x: y = - f ( x ); Eje y: y = f (- x )

Transformando gráficas de funciones monomiales

Bosqueja las gráficas de las siguientes funciones: a) y = - x 4 3

b) y = x

Fíjate en lo siguiente... 4

Como el coeficiente principal de y = - x es negativo (-1) la gráfica baja hacia la derecha. Por ser de grado par, también baja a la izquierda (se comporta igual en ambos lados).

8

x

5 4

−

2

+

−

3 2

−

−

1

−

8 16 24

1 2 3 4 5

−

4

c) y = ( x - 3)

+

4

−

−

32 40

−

Solución

a)

y

Se refleja y = x 4 en el eje x :

−

48 56 64

−

−

−

y

=

x

−

4


b) y = x 3 se mueve hacia arriba 2

c) y = x 4 se mueve a la dere-

unidades.

9

y

y = x + 2

8

6 5 4 3 2 1

7

3

−3

−2

Ejemplos 1b) y c)

cha 3 unidades y sube 4. 9

Recuerda Traslaciones de la gráfica de f (x): Verticales: f ( x ) ± a, sube o baja a unidades.

6

Horizontales: f ( x ± a), se desplaza a izquierda o derecha, a unidades.

5 x

−1 −1 −2 −3

1

2

4

3

3 2

−4 −5

y

(x − 3)4 + 4

=


1 0

Ejemplo 2

1

2

3

4

5

1. La gráfica de y = x 3 se denomina parábola 4 cúbica ; la de y = x , parábola cuártica .

6

Bosquejando la gráfica de una función cúbica

Dibuja la gráfica de y = - x 3 + 4 x.

5

Solución

4

El coeficiente principal negativo indica que la gráfica bajará a la derecha. Subirá a la izquierda por ser función cúbica.

3

La tabla de valores permite situar algunos puntos y dibujar la gráfica.

2. La parábola cuártica tiene una forma estándar, similar a la parábola cuadrática: 4 y = a ( x - h) + k

y

y

3 = − x + 4 x

Su vértice está en V (h, k ). (Ejemplo 1 c))

2 1 x −5

−4 −3 −2

−1 −1

1

2

3

4

5

Ejemplo 2

−2 −3

2.4 4.2

x

2 0

-

y

0 0

1 -3

-

-

1 3

2 0

2.5 -4.2


−4 −5

Los puntos donde la gráfica corta al eje x , son ceros de la función (donde y vale cero). En este caso hay tres: x = -2, x = 0 y x = 2.

Ejemplo 3


Toda función polinomial de grado n:

Solución

Por ser cúbica y su coeficiente principal positivo, subirá a la derecha, pero descenderá a la izquierda. b) Al ser cuártica con coeficiente principal positivo, subirá a la derecha y también a la izquierda. a)

32 24 16 8 3 2 1

−

−

−

8 16 24 32

b)

y y

=

3

x

5 x2

P

y = x

10 x2 + 9

−

24 16 B 8

1 2 3 4 5 6 Q

4

y

32 x

−

−

48

−

−

−

Aunque sus ondulaciones son más pronunciadas y la curva está “invertida”, su comportamiento es similar al de la parábola cúbica.

Ejemplo 3

Comportamiento de gráficas

Indica el comportamiento a izquierda y derecha de las gráficas de: a) y = x 3 - 5 x 2 b) y = x 4 - 10 x 2 + 9

a)

79

R S 4 −3 −2 −1

−

8 16

T V 1 2 3 4

−

A

−

C

x

a) Tiene a lo más n ceros reales. (Una cúbica tiene cuando más tres ceros; una cuártica, a lo más, cuatro, etc.). La función cúbica del ejemplo 1 b) sólo tiene un cero real (intersección con el eje x); la función cuártica del ejemplo 1 c) no tiene ningún cero real, y la del ejem plo 3 b) tiene cuatro (R, S, T y V).

b) Presenta a lo más n – 1 cambios , de creciente a decreciente (o viceversa). ( P y Q son puntos de cambio en el ejemplo 3 a); A, B y C en el 3 b).

80

4

BLOQUE


Ejemplo 4

Ejemplo 4 Recuerda

1. El área de un círculo de radio r es πr 2. 2. El volumen de un cilindro es V = Ah.

Envase para refresco

Los envases cilíndricos de refresco generalmente miden el doble de alto que de ancho. La gráfica mostrada modela el volumen de un envase con tales características. Si el radio de su base mide x cm, a) obtén la función correspondiente; b) usa la gráfica para estimar el tamaño del radio de un envase con capacidad para 340 ml de refresco y confirma tus resultados usando la función; c) halla las dimensiones del envase respectivo. ENVASE PARA REFRESCO

A h h

área de la base

=

=

r A

=

altura ) l m n e ( n e m u l o V

2

πr


480 440 400 360 320 280 240 200 160 120 80 40 0

1

2

2

1. La fórmula geométrica V = πr × h está en términos de dos variables r , h. La función debe expresarse en términos de una sola variable, usando alguna relación entre ellas (como se hace en V ( x ) = π x 2 × 4 x ). 2. Es difícil determinar a simple vista si la porción de gráfica mostrada corresponde a un modelo cuadrático, cúbico o cuártico. 3. No siempre se pueden identificar con precisión las coordenadas de los puntos de una gráfica, por lo que este método sólo proporciona soluciones aproximadas . 4. Observa que el volumen mínimo se halla cuando x = 0 (no habría base, ni tampoco recipiente). Como la función siempre sube (crece) a la derecha, no existe un valor máximo para y (lo que implica: a mayor radio, mayor volumen).

Sugerencias para la autoevaluación 4A 1. a 3. Observa el comportamiento a izquier-

x

las gráficas de funciones cúbicas tienen forma de � y las cuárticas de �. ¿Qué indica el término constante? ¿Cómo afectan los demás a las parábolas cúbicas y cuárticas?

r

4

(en cm)

Solución

a) V = Volumen de un cilindro = área de la base × altura = πr 2 × h. Para r = x cm de longitud, el ancho de la lata es 2 x cm (diámetro) y su altura es h = doble del ancho = 2(2 x ) = 4 x cm. 2

V = πr

2

V ( x ) = π x

×

Volumen para radio = r , y altura = h

h

4 x 3 y = 12.56 x

Sustituyendo: r por x ; h por 4 x .

×

Simplificando ( π = 3.14); y = V ( x ).

En la gráfica, cuando y = 340, parece ser que x = 3. Para confirmar esto reemplazamos y = 340 en la función y hallamos x : 3 y = 12.56 x Función para el volumen de la lata 3 340 = 12.56 x Sustituyendo y por 340 3 27.07 = x Dividiendo ambos lados entre 12.56 3.00 = x Extrayendo raíz cúbica con calculadora

c)

Para 340 ml, la lata tiene un ancho de 2(3) = 6 cm y un alto de 12 cm.

b)

Autoevaluación 4A

En los ejercicios 1 a 3, identifica la gráfica como función cúbica o cuártica. 1.

2. 3 y 2

da y derecha de cada gráfica. Revisa los ejemplos al inicio de este segmento. 4. a 9. Usa tablas de valores. Por lo general,

=

3

1 x

−4 −3 −2 −1

−1 −2 −3 −4 −5

1

2

3

4

3. 5 y 4

40 y 32

3

24

2

16

1

8 x

−3 −2 −1 −1 −2 −3

1

2

3

x

−4 −3 −2 −1 −8 −16 −24

1

2

3 4


En los ejercicios 4 a 9 asocia cada función con su gráfica. 4. y = x 4 - 2 3

7. y = x

5. y = x 3 + 4 x 2 - 8 4

8

-

a) 40 y 32 24 16 8 x

−5 −4 −3 −2 −1 −8 −16 −24 −32 −40 −48

1 2 3 4 5

6. y = x 4 - 3 x 3 - 2 x 2 - 2

2

3

8. y = x - 9 x

9. y = x

b)

c)

96 y 88 80 72 64 56 48 40 32 24 16 8 x −11 −9 −7 −5 −3 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −16 −24 −32 −40 −48 −56 −64 −72 −80 −88 −96

d)

e)

−2

10. a)

−1

1

−1 −2 −3 −4

2

x

−6 −5 −4 −3 −2 −1 −8 −16 −24 −32 −40 −48

1

2

3 4

−4 −3 −2 −1 0 −8 −16 −24

1

2

3 4

x

1

2

3

4

−20

Indica cuáles valores de x son ceros reales en cada una de las funciones de los ejercicios 1 a 9.

b)

Identifica los puntos de cambio en cada gráfica.

c)

Haz una tabla con tres columnas para estas funciones y anota, en ese orden: grado; cantidad de ceros y cantidad de puntos de cambio.

La gráfica muestra la variación en los precios del barril de petróleo crudo durante mayo-septiembre de 2005. Usa la gráfica para aproximar:

11. Precios del petróleo

Precios del petróleo ) s e r a l ó d ( l i r r a b r o p o i c e r P

70 60 50 40 30 20 10 0

c)

Ejemplo: renglón para la gráfica a):

b)

d)

10

−3 −2 −1 0 −10

En estos puntos la gráfica después de subir baja, o viceversa.

Grado

Ceros

Cambios

3

1

1

Corresponde al mes de mayo. Como la gráfica es casi plana en su parte inferior, ubica en ese tramo el punto medio central.

c) x = 4

20

x

b)

11. a)

30

8 x

48 y 40 32 24 16 8

40

16

Obtén las intersecciones de cada gráfica con el eje x .

4 x - 5 x - 8

50 y

24

10. a)

2

f) 40 y 32

12 y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

+

81

1 2 3 4 5 0 ↔ mayo

a)

el valor del petróleo al iniciar el periodo;

b)

el precio más bajo que tuvo el petróleo y en qué mes ocurrió esto;

c)

el precio en el mes de septiembre;

d)

halla una función cuártica para la gráfica.

Utiliza la forma estándar para la parábola cuártica. Revisa el ejemplo 1 c).

4

82

BLOQUE



Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte sobre el volumen máx imo de una lata para chocolates del Bloque 4A. Nombre del alumno:

Nivel

Excelente (4) Elabora el reporte a mano con buena caligrafía o bien en computadora, bien redactado y sin faltas de ortografía.

Presentación

Elabora en una hoja de papel milimétrico o bien por computadora los puntos suficientes de: • La función que representa el volumen y en la que se aprecia claramente su valor máximo. • Las demás funciones pedidas.


Desarrollo

Conclusiones

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)




Elabora en una hoja de cuadrícula chica los puntos suficientes de:

Elabora en una hoja de cuadrícula chica los pocos puntos de:

Elabora únicamente un esbozo de:

• La función que representa el volumen y en la que se aprecia claramente su valor máximo. • Las demás funciones pedidas.

• La función que representa el volumen y en la que se aprecia claramente su valor máximo. • Las demás funciones pedidas.

• La función que representa el volumen y en la que se aprecie claramente su valor máximo. • Las demás funciones pedidas.

Construye únicamente el cilindro de volumen máximo.

Presenta todos los pasos para la determinación del volumen máximo de la lata y del radio correspondiente. Mantiene una secuencia ordenada.

Presenta todos los pasos para la determinación del volumen máximo de la lata y del radio correspondiente, aunque no mantiene una secuencia ordenada.

Presentan todos los pasos para la determinación del volumen máximo de la lata y del radio correspondiente siguiendo una secuencia ordenada.

Realiza la tabulación adecuada de las funciones con los puntos suficientes.

Tabulación de las funciones con los puntos suficientes.

Realiza la tabulación de las funciones con pocos puntos.

Construye el ejemplo físico de dos cilindros.

Construye el ejemplo físico únicamente del cilindro de volumen máximo.

Determina correctamente la función del volumen del cilindro en términos del radio.

Determina de manera correcta la función del volumen del cilindro en términos del radio.

Determina correctamente la función del volumen del cilindro en términos del radio.

Realiza la gracación y tabulación adecuadas de la función del volumen del cilindro en términos del radio y de las demás funciones pedidas.

Realiza la gracación y tabulación correctas de la función del volumen del cilindro en términos del radio. Grafica y tabula incorrectamente una de las demás funciones pedidas.

Realiza la gracación y tabulación correctas de la función del volumen del cilindro en términos del radio. Grafica y tabula incorrectamente dos de las demás funciones pedidas.

Determina incorrectamente la función del volumen del cilindro en términos del radio y/o grafica y tabula de manera incorrecta la función del volumen del cilindro en términos del radio y/o grafica y tabula incorrectamente más de dos de las demás funciones pedidas.

Determina correctamente el volumen máximo de la lata.



Determina incorrectamente el volumen máximo de la lata.

Determina de manera correcta el radio que produce el volumen máximo de la lata.

Determina de manera correcta del radio que produce el volumen máximo de la lata.

Determina de manera incorrecta el radio que produce el volumen máximo de la lata.

Determina de manera incorrecta el radio que produce el volumen máximo de la lata.

Determina adecuadamente el dominio de la función (volumen de la lata vs. radio).

No determina el dominio de la función (volumen de la lata vs. radio).

Determina incorrectamente el dominio de la función (volumen de la lata vs. radio).

No determina el dominio de la función (volumen de la lata vs. radio).

Construye el ejemplo físico de al menos tres cilindros.

Dominio del tema

Bueno (3)

Presenta únicamente el volumen máximo de la lata y el radio correspondiente sin dar ninguna justicación. Realiza la tabulación de las funciones con pocos puntos. No construye ningún cilindro.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para evaluar el reporte del proyecto de trabajo de la caja de crayolas del Bloque 4A.

Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluya al menos el nombre de la actividad que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre de los integrantes del equipo y sus matrículas. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. El trabajo se elaboró con un procesador de texto como Word o bien se hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. 5. La gráfica de la función polinomial correspondiente al problema se elaboró en una hoja de papel milimétrico o de cuadrícula chica, o bien, por computadora con los puntos suficientes y del tamaño apropiado que permita hacer un trazo suave y observar claramente dónde ocurre el máximo.

SÍ

NO

Observaciones


Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

83

6. Elaboró diagramas auxiliares que permitan visualizar de forma más clara el problema e indica en ellos las longitudes conocidas y las que se van a determinar. 7. Se presentan todos los pasos requeridos para determinar las dimensiones de la caja de crayolas con las que se obtiene el volumen máximo siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 8. Hizo referencia a los diagramas y tablas auxiliares.

Originalidad y creatividad 9. Construye físicamente la caja a partir de una pieza de cartulina de 12 cm × 14 cm.

Dominio del tema 10. Sabe obtener funciones polinomiales que representan el volumen de un cuerpo en términos de una de sus dimensiones. 11. Sabe graficar funciones de tercero y cuarto grado y determinar su valor máximo o mínimo.

Conclusiones 12. Determina correctamente el volumen máximo de la caja de crayolas. 13. Determina correctamente las dimensiones de la caja de crayolas con las que se obtiene el volumen máximo. 14. Determina correctamente el dominio de la función (volumen de la caja vs. profundidad).


Fecha: ____________________

Guía de observación para evaluar el ejercicio 11 de la autoevaluación 4A sobre precios del petróleo.



Profesor:

Clave:

Alumno:


Desempeño a evaluar: Aplicación de Funciones de Cuarto Grado. Instrucciones: Observa si la ejecución de


No.

Acciones a evaluar

1

Determina el precio del petróleo al iniciar el periodo indicado.

2

Determina el precio mínimo del petróleo en el periodo indicado.

3

Determina en qué mes ocurrió el precio mínimo del petróleo en el periodo indicado.

4

Determina el precio del petróleo en el mes de septiembre.

5

Determina una función de cuarto grado que se ajuste a la gráfica presentada de precios del petróleo en el periodo indicado.

*No aplica.


Observaciones

5

BLOQUE

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas


Ceros y raíces de la función Teoremas del factor y del residuo División sintética Teorema fundamental del álgebra Teorema de factorización lineal Gráficas de funciones polinomiales factorizables


n

n

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas que le permitan desarrollar habilidades para el entendimiento y conclusión de este bloque. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos herramientas apropiadas. Sustenta una postura personal en la resolución de problemas considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

n

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

n

Mantiene una actitud respectuosa hacia sus compañeros.

n

n

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, para la comprensión y análisis de situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos y gráficos.

¿Qué sabes hacer ahora? Los huracanes son fenómenos meteorológicos devastadores cuando azotan las costas de una región. El calentamiento de la superficie del mar y el cambio de presión atmosférica que producen las corrientes de aire frío en su superficie causan estas depresiones. La función polinomial de grado 4: H ( x ) = - x 4 - 5 x 3 + 3 x 2 + 9 x + 162, informa sobre los cambios de velocidad de uno de estos fenómenos conforme avanza en el océano y entra en tierra firme.


n

Utiliza consecutivamente los teoremas del factor y del residuo, y la división sintética, para hallar los ceros reales de funciones polinomiales. Emplea la división sintética para obtener en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x – a.

n

n

Emplea la prueba del cero racional, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la factorización lineal para hallar los ceros de una función polinomial factorizable. Aplica y combina las técnicas y procedimientos para la factorización y la obtención algebraica y gráfica de ceros de funciones polinomiales, en la resolución de problemas teóricos y/o prácticos.

5

86


BLOQUE

5

A

BLOQUE

Costas de Mazatlán


La costa turística de la Zona Dorada en Mazatlán puede modelarse mediante la 4

3

2

función cuártica y = x - 0.6x - 2.51x + 0.78x + 1.69.

Conocimientos Funciones factorizables

Funciones que pueden expresarse como producto de otras funciones. Ceros y raíces

Los ceros del polinomio P( x ) son los valores de x que hacen P( x ) = 0. Factorizado P( x ), sus ceros se hallan aplicando: ab = 0 ↔ a = 0 o b = 0.

Ejemplo 2

y = ( x - 1) , y = ( x - 1)( x - 1) = 0. x - 1 = 0 o x - 1 = 0 → x = 1 o x = 1.

(Aquí el número 1 es un cero de multiplicidad dos; es decir, aparece dos veces como raíz.)

La ubicación de la Playa Las Gaviotas, en la zona hotelera, se indica en el punto B del mapa y corresponde al cero x = 1.3 de multiplicidad dos de esta función. A

B

Factores y divisiones

Si se conoce un factor de P( x ), la división proporciona otros factores.

¿Cuáles son las coordenadas de la Playa Sábalo, localizada en el punto A?

Usas división larga si el divisor es cualquier polinomio; si es de la forma x - a, usas división sintética.

¿Cuál será en este recorrido tu mayor distancia a la costa?

División larga

2

2

2

8x

4

−8 x

4

+1

y

División sintética

2 x 4 x

¿Qué distancia recorrerías en lancha al ir en línea recta de una de estas playas a la otra?

2

+

2 x

−

2 x

2

1 5 -4 -20 2 14 20 ______________ 1 7 10 0

A

2 1

B

0

1.3 1 ↔ 1 km

x

0

3


2

( x + 5 x - 4 x - 20 entre x - 2: cociente: x 2 + 7 x + 10; residuo: 0) Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Funciones factorizables División de polinomios

1.

La gráfica muestra que, en este modelo, el punto A que representa la Playa Sábalo, se encuentra sobre el eje x .

2.

¿Es A un punto de la gráfica de la función cuártica?

3.

¿En cuál eje está situado el punto de la gráfica correspondiente a la Playa Las Gaviotas? ¿Cuál es su abscisa?

4.

¿Qué particularidad comparten estos dos puntos de la gráfica de la función que modela la costa?



1. Los puntos A y B, al estar en el eje x , son ceros de la función. Para hallar los otros ceros es preciso factorizar la función cuártica. Por ser x = 1.3 un cero de la función, x - 1.3 es uno de sus factores y aparece dos veces por tener multiplicidad _______________________________________ . Es decir, y puede escribirse como 2 ). y = ( x - 1.3)( x - 1.3)( x + x +

1.

–0.6 1.3 0.7

1

–2.51

El cociente es el polinomio: 1 x 3 + 0.7 x 2 -

0.78

x -

Se baja el primer coeficiente (1) y se multiplica por 1.3.

b) Paso 1.

3

2

d) Paso 3. El producto 1.3 × 0.7 se suma a -2.51 y se obtiene…

.

x -

)(

).

5. Los ceros de la función se obtienen igualando cada factor con cero. Las coordenadas de la Playa Sábalo son A( , 0). Restando las abscisas de A y B se obtiene la distancia entre ambas playas: _________ km. La máxima distancia a la costa es, aproximadamente, la ordenada del punto de la curva arriba del punto medio entre A y B; así, para x =

(

)+(

)

2

= _______ , resulta y = ___________ kilómetros.

Proyecto a trabajo La función y = -3 x 3 + 21 x 2 + 12 x indica las utilidades obtenidas por una compañía distribuidora de filmes, al estrenar y exhibir una película exitosa a nivel mundial. Exhibición fílmica

a)

Utiliza la gráfica para determinar el monto de la máxima ganancia y el momento en que esto ocurre. 224 s ) s a e i c r a n l a ó n d a e G d . l = l i y M (

192 160 128 96 64 32 0

1 x

b)

2.

Escribe los cocientes de cada división en forma de polinomios (con variables y exponentes). En el punto 5 utiliza la factorización que obtuviste en el punto 4.

3.

Resuelve el problema utilizando la división larga de polinomios.

).

4. Un tercer factor es x - 1.3, como se precisó en el punto 1. Dividiendo el polinomio cúbico entre este factor se obtiene el cociente: x 2 + ______ x + ______ . Factorizando éste se logra escribir, finalmente, y = ( x - 1.3)( x - 1.3)(

c) Paso 2. El producto 1.3 × 1 se suma a -0.6 y se obtiene 0.7.

1.69

3. Hasta aquí, la función inicial se ha descompuesto en dos factores: y = ( x - 1.3)( x + 0.7 x -

Completa en tu cuaderno la descripción del procedimiento utilizado para realizar la división sintética en el punto 2 de la secuencia didáctica: escriben los coeficientes sucesivos y el simétrico de la constante del divisor (1.3).

Empleando división sintética: 1


a) Inicio. Se

2. El tercer factor puede obtenerse dividiendo entre cada uno de estos factores o entre su producto: ( x - 1.3)( x - 1.3). En el primer caso se usa la división ____________ (larga, sintética), y en el segundo la otra.

1.3

87

2 3 4 5 6 7 8 Tiempo en exhibición (Meses)

=

En este contexto, ¿qué significan los ceros de la función?

88

5

BLOQUE



5 A

Solución de ecuaciones factorizables Las gráficas de funciones polinomiales pueden tener tres tipos de puntos:

Inicial

Puntos de intersección con los ejes


1. Las intersecciones con el eje x y los puntos de cambio son puntos especiales en las gráficas. NO todas contienen estos puntos: No puntos de cambio

No intersección-x

6 y 5 4

7

1 2

x

3 4 5 6

320 280

32

240

24

200

16

160

8

T 1 2

4

120

V x 3 4

80 40 Mínimo

1

2

3

Puntos ordinarios 480 440 400 360 320 280 240 200 160 120 80 40

360

y

−8 −16

5

2 1

Máximo

400

40

R S −4 − 3 −2 −1

y

6

3

−5 − 4 −3 −2 − 1 −1 −2 −3 −4 −5 −6

48

Puntos de cambio

4

5 6 7

0

P (3, 340)

1

2

3

4

3

En los puntos de cambio se presentan los valores máximos o mínimos.

2 1 x

1

2

3

4

5

6

2.

Las intersecciones y los puntos ordinarios brindan información acerca de valores específicos de la función. Por lo regular, sus abscisas se obtienen resolviendo una ecuación polinomial. Por ejemplo: 3

Los valores de x donde la función y = 12.56x es igual a 340, se obtienen resolviendo la ecuación 340 = 12.56x 3.

Ecuación polinomial

Se obtiene al igualar una función polinomial con un valor particular de y. Función: Valor de y y = 0 y = 1 y = -3

y = x 3 - 5x 2 Ecuación polinomial 0 = x 3 - 5 x 2 1 = x 3 - 5 x 2 3 2 -3 = x - 5 x

Las soluciones de la ecuación cuando se hace y = 0, son los ceros de la función. Los ceros son los valores de x donde la función vale cero y muestran las intersecciones de la gráfica con el eje x .

Cuando las ecuaciones son más complejas, puede intentarse su solución mediante una factorización. En tal caso se aplica la siguiente propiedad: Propiedad del producto cero

El producto a b = 0 si, y sólo si, a = 0 o bien b = 0. Así, para resolver la ecuación ( x 2 - 4) ( x + 5) = 0, podemos usar la propiedad del producto cero y concluir que alguno de los factores x 2 - 4 o x + 5, debe ser cero. Haciendo x 2 - 4 = 0 se llega a las soluciones x = 2 o x = -2. Haciendo x + 5 = 0 se obtiene la solución x = -5.

Ejemplo 1

Obtención de ecuaciones y soluciones

3. NO todas las ecuaciones polinomiales pueden factorizarse y resolverse con la propiedad del producto cero (en estos casos la gráfica permite aproximar sus soluciones).

Determina los valores de x donde la función toma el valor que se indica. ¿Cuáles de estos valores son los ceros de la función?

Ejemplo 1a)

a)


1. La propiedad del producto cero puede extenderse a más de dos factores. 2 2 2 x ( x - 9) = x ( x )( x - 9) = 0

a) y = x 4 - 9 x 2; y = 0

b) y = x 3 - 2 x 2 - x ; y = -2

Solución 4

2

x - 9 x = 0

Reemplazando y por 0

2

Extrayendo factor común x

2

2

x ( x - 9) = 0 2

2

x = 0 o x - 9 = 0 x = 0 o x = ± 3

Propiedad del producto cero Resolviendo ambas ecuaciones

Los valores x = 0, x = 3 y x = -3 hacen que y = x 4 - 9 x 2 sea cero. Son por tanto los ceros de ésta, y también las intersecciones de su gráfica con el eje x .


3

2

x - 2 x - x = -2

b) 3

2. La expresión anterior puede factorizarse todavía como diferencia de cuadrados:

Reemplazando y por -2

2

x - 2 x - x + 2 = 0

Transponiendo términos

2

2

x ( x - 2) - ( x - 2) = 0

Agrupando y extrayendo factor común x

( x - 2)( x 2 - 1) = 0 2 x - 2 = 0 o x - 1 = 0 x = 2 o x = ± 1

Extrayendo factor común ( x - 2) Resolviendo ambas ecuaciones

Para estos valores de x , se obtienen puntos con ordenada y = -2: P(-1, -2), Q(1, -2) y R(2, -2). No son ceros de la función.

Ejemplo 1b)

b) 48

5 4

y

40

1. En ecuaciones cúbicas, si no existe factor común se intenta agrupación de términos.

1

16

−5 −4 −3 − 2 −1 −8 −16 −24


2

24

S

y

3

32

8

2

x ( x )( x - 9) = x ( x )( x - 3)( x + 3) = 0.

(Sin embargo, al llegar a una ecuación cuadrática ya puedes obtener su solución.)

Propiedad del producto cero

a)

89

x

T 1

2

V 3 4

−2

x

−1

5

−2

P

1

−1

2

Q

3

Factorización por agrupación ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by)

R

−3 −4

= x (a + b) + y(a + b) = (a + b) ( x + y)

Ejemplo 2

(Extraes dos veces factor común.)

Obteniendo ceros para trazar gráficas

4

Los ceros de la función muestran sus intersecciones con el eje x . Cuando existen, sirven de guía para ubicar puntos de la gráfica y abreviar cálculos.

1 A

C 1

7 y

2

Por facilidad usamos y = ( x - 1)( x - 4) y una calculadora. Entre -2 y 1

6

5.6

4

trazo tenue

3

y

x

3

1. Bosquejamos la gráfica con un

La gráfica corta al eje y en 4. Por ser cúbica, y positivo su coeficiente principal, subirá a la derecha y bajará a la izquierda.

-0.5

D 2

−1 −2

6

-1

Ejemplo 2

2

−4 −3 −2 −1

Para ajustarla mejor, hacia arriba y hacia abajo, calculamos valores entre las intersecciones- x :

4

1.5 -0.8

B

2 1 A

−4 −3 −2 −1


1. Al inicio se espera que la gráfica suba de A a B, baje de B a C y suba por D. Entre -2 y 1 se halla la altura máxima, y la mínima entre 1 y 2. ¿Cuál es su valor? 2. Sólo podemos aproximarnos a ellos calculando alturas entre los ceros, si es posible, a ambos lados de un valor central (para 1.5 se tomaron, por ejemplo, 1.2 y 1.7).

5

C 1

D 2

x

3

3. Se calculan, por último, algunos valores en los extremos fuera de los ceros.

4

−1 −2

2. Localizamos puntos en zonas inciertas

Entre 1 y 2

1.2 -0.6

2

B

3

Se hace y = 0 y se aplica la propiedad del producto cero para obtener: x = 1; x = ± 2. Éstos son los ceros.

x

2

x ( x - 2) - ( x - 2) = x ( x - 2) - 1( x - 2)

5

Solución

Se inicia factorizando la función: 3 2 y = x - x - 4 x + 4 = x 2( x - 1) - 4( x - 1) = ( x - 1)( x 2 - 4)

2. - x + 2 = -( x - 2)

7 y 6

Dibuja la gráfica de y = x 3 - x 2 - 4 x + 4 utilizando sus ceros.

1.7 -0.7

← -2

2→

-2.2

2.2 1

-2.7


El término constante de la función indica la intersección con el eje y (donde x = 0): 3

2

y = x - x - 4 x + 4

90

5

BLOQUE


Ejemplo 3


1. Cada hembra de tortuga marina pone en promedio 100 a 115 huevos en cada anidación (una o dos veces por año). 2. De estos huevos incubados, llegan a adultos sólo dos o tres crías, que se reproducirán hasta alcanzar entre 20 y 30 años de edad. 3. México posee siete de las ocho especies de tortuga marina existentes en el mundo.


1. El valor y = 25 es el mayor valor de la función en el tramo de gráfica del modelo. 2. Se dice que y = 25 es un máximo local debido a que la gráfica general posee valores mayores aún, fuera de consideración en este problema. 3. Observa que en este caso (0, 25) no es un punto de cambio. Puntos de cambio

Las tortugas son los reptiles sobrevivientes más antiguos, con cerca de 150 millones de años de existencia en el planeta. Varios países poseen industrias tortugueras que las explotan comercialmente, y que apoyan programas de protección a estas especies para evitar su extinción. La gráfica muestra la disminución 25 3 2 24 y = 0.5 x + 1.67 x − 17.1 x + 25 de tortugas verdes en las playas de 23 22 Michoacán, de la década de 1970 21 20 19 a la de 1990, y su creciente recu18 17 peración en campamentos de pre16 s 15 a servación. g 14 u t 13 r 12 o t a) ¿Cuál es el máximo número 11 e d 10 s 9 de tortugas que arribaron a es- l e i 8 M 7 tas costas? 6 5 4 b) ¿Hasta cuánto descendió este 3 2 número en ese periodo? 1 0 1 3 c) ¿A cuánto aumentó la pobla x años (0 ↔ 1970) 1 unidad = 10 años ción que arribó en 2005? Solución

Veinticinco mil tortugas en 1970. En este caso, el valor máximo está en el punto inicial, cuando x = 0. Es la intersección- y de la gráfica: y = 25. b) La producción mínima se halla en el punto más bajo de la gráfica. Allí, una recta horizontal es tangente a la gráfica y corta al eje y, aproximadamente en y = 0.5. Parece que tal valor corresponde a x = 2.5. a)

Se identifican porque en ese punto una recta horizontal es tangente a la gráfica 4. Por ser cúbica, la gráfica general tiene a lo más dos puntos de cambio. El segundo está a la izquierda del tramo considerado (la gráfica baja a la izquierda puesto que sube a la derecha por ser positivo el coeficiente principal). 5. Cada unidad en el eje x representa 10 años. Por esto, 0.5 = 5 años; 0.1 = 1 año, etcétera. 6. La función dada no es simple de factorizar. Por tal razón, para un valor fijo de y, tal como y = 0.5, es más fácil aproximar el de x utilizando la gráfica, que pretender resolver 0.5 x 3 + 1.67 x 2 - 17.1 x + 25 = 0.5

Sugerencias para la autoevaluación 5A 1. a 4. Los ceros reales son las

intersecciones

de la gráfica con ? 5. a 6. Reemplaza el valor en la función. ¿Resulta y = 0?

Explotación de tortugas marinas

Calculamos valores a ambos lados, usando la ecuación.

2.4 0.511

x y

2.5 0.500

2.6 0.617

El arribo de tortugas disminuyó a cerca de 500 ejemplares hacia 1995. c) El año 2005 corresponde a x = 3.5. Determinando y para este valor obtenemos, en la gráfica y en la ecuación, y = 7, es decir, 7 000 tortugas. Autoevaluación 5A

En los ejercicios 1 a 3 utiliza las gráficas para obtener los ceros reales de las funciones. 1.

2. 160 128 96

192 160 128

64

96 64 32

−4 − 3 −2 − 1 −32 −64

3.

32

1

2

3

4

−7 −5 −3 − 1 1 −32 −64 −96

3 5

7

480 440 400 360 320 280 240 200 160 120 80 40

−5 −4−3−2 −1 −40

y

x

1 2 3 4 5 6

En los ejercicios 4 a 6 verifica que el valor es un cero de la función. 4. y = x 3 + 2 x 2 - 3 x x = 1

5. y = x 3 - 25 x x = -5

6. y = x 4 - 5 x 2 + 4 x = -2


7. a 9. Aplica la propiedad del producto cero.

En los ejercicios 7 a 9, obtener los ceros reales de las funciones. 7. y = ( x 2 - 1)( x 2 - 16)

8. y = ( x 2 - 4)( x + 5)

10. a 12. a) Recuerda

9. y = x ( x + 8)(2 x - 3)

En los ejercicios 10 a 12, a) determina los puntos de cambio en cada gráfica; b) obtén en estos puntos los valores máximos y mínimos. 10.

11.

12.

x

−3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6

72

64 y 48

2 y 1 1

2

3

16

−5

−3

−1 −216 −232 −258 −264

y

64 56 48

32

4

1

3

x

40

5

32 24 16 8 x

−4 −3 − 2 −1 −8 −16 −24

1

2

3

4 5

En los ejercicios 13 a 15, a) Obtén los ceros reales de cada función utilizando la propiedad del producto cero; b) Traza su gráfica. 13. y = x 3 - 2 x 2 + x 14. y = x 3 + x 2 - 9 x - 9 15. y = x 4 - 6 x 2 + 5 En los ejercicios 16 a 20: Halla los valores de x que producen el valor que se indica para cada función; b) Verifícalos en la gráfica. a)

16. y = x 4 - 5 x 2; y = -4 4

91

que en los puntos de cambio la gráfica cambia de creciente a decreciente, o viceversa. b) En las funciones cúbicas estos máximos o mínimos no son absolutos, sino locales o relativos, pues las ramas suben y bajan ilimitadamente ¿Qué sucede en las cuárticas? 13. Extrae factor común x . Factoriza después el trinomio cuadrado perfecto (revisa el margen del ejemplo 4 en el bloque 3A). 14. Agrupa y extrae factor común x 2 y 9. Revisa el ejemplo 1b) de este segmento. 15. Este trinomio cuártico se factoriza como uno cuadrático. Ejemplo: x 4 - 5 x 2 + 4 = ( x 2 - 1)( x 2 - 4). Se extrae raíz cuadrada a 4 x y se hallan dos números con producto 4 y suma -5. (-1)(-4) = 4 y -1 + (-4) = -5 16. y 17. Véase la sugerencia para el ejercicio 15. Revisa el ejemplo 2 de este segmento. 18. y 19. Revisa el ejemplo 1b). 21. a) x = 4; b) Obtén x , para la mitad del valor inicial de y; c) y = 0. Véase el ejemplo 3 de este segmento. Ampliando el conocimiento

2

17. y = x + 12 x - 15; y = 51 18. y = x 3 + 3 x 2 - 4 x + 1; y = 13 19. y = 2 x 3 - 12 x 2 - 10 x ; y = -60 20. y = x 3 + x 2 - x - 1; y = 0 21. Ecosistemas Los perritos de las praderas son animales sociales que forman

enormes ciudades con redes de túneles de hasta 5 m de profundidad y 60 hectáreas de extensión, que albergan miles de individuos y colonias. Se estima que a principios del siglo �� ocupaban unos cien millones de hectáreas desde el sur de Canadá hasta el norte de México. En la actualidad, su hábitat se ha reducido en 99% de su extensión original. La función y = - 0.15( x - 5)( x - 9)2 modela la cantidad y de km2, ocupados por esta especie en x años en nuestro país. Con TERRITORIO base en la gráfica y en la función, 70 60 a) ¿Cuántas hectáreas ocupaban en el 50 ) año 2000? s e 40 l i m ( 30 b) ¿En qué año la superficie se redujo m a la mitad de la inicial? K 20 10 c) Según el modelo, ¿cuándo perde0 1 2 3 4 5 rán su territorio? 2

Años (0 ↔ 1900) una unidad = 25 años

El perrito de las praderas habita los pastizales de Norteamérica. Dos de las cinco especies existentes viven en el norte de México: la cola negra (Cynomys ludovicianus ) en Chihuahua y Sonora, y la endémica mexicana ( Cynomys mexicanus ) en Nuevo León, Coahuila y Zacatecas. De ella dependen más de cien especies por su actividad de renovación química al remover el suelo con túneles, formar tramas alimenticias y proveerles albergue.

92

5


BLOQUE


5 A

División sintética y factores Cuando no es fácil factorizar una función, pueden buscarse sus factores mediante una división. En el caso de los números:

Final

12 es un factor de 60 60 = 12 × 5

La división de 60 entre 12 es exacta (el residuo es 0):

5 12 60 0


Las propiedades en el primer recuadro se conocen con los nombres de: 1. Teorema del residuo. 2. Teorema del factor.

Para los polinomios, puedes saber si ( x - a) es un factor de f ( x ) sin tener que dividir : su residuo es f (a) y sólo verificas que sea cero. Así, por ejemplo, ( x - 3) es un factor de f ( x ) = x 2 - x - 6 porque el residuo es cero: 2 f (3) = 3 - 3 - 6 = 0. Factor (x – a) de un polinomio f(x)


En la división sintética: a) Se escriben sólo los coeficientes de la función (se omiten las potencias de x ). 3 2 Si f ( x ) = x + 5 x - 4 x - 20 1 5 -4 -20 Escribes b) Para el binomio tomas el simétrico del término constante: Para ( x - 3) ( x + 5)

− x

Para dividir f ( x ) = x - x - 6 entre ( x - 3) escribe el siguiente arreglo: 1 De ( x - 3) tomas → 3 -1 -6 ← Coeficientes de f ( x ) 3 6 ↓ ↓ Sumas en columna 1 2 0 Lo multiplicas por Cociente Residuo

  

x + x

División sintética 2

3 -5

  

3

Sabiendo que ( x - 3) es un factor de f ( x ), podemos hallar fácilmente el otro factor usando división sintética. Ésta es una técnica abreviada para dividir cualquier función f ( x ) entre un binomio de la forma ( x - a):

Se toma

Término constante Su simétrico c) El arreglo de los coeficientes y su operación no es el de la escritura habitual en una división ordinaria. x −

1. Se halla f (a); éste será el residuo. 2. Si f (a) = 0, concluyes que ( x - a) es un factor de f ( x ), y viceversa.

2 2

2

Cociente

− x − +

          

El cociente de esta división es x + 2. Por tanto, la función f ( x ) puede expresarse como 2 f ( x ) = x - x - 6 = ( x - 3)( x + 2). Con la propiedad del producto cero se concluye que x = 3 y x = -2 son ceros de esta función.

6

Ejemplo 1

3 x 2 x − 6

−2 x +

0

   

Utilizando división sintética

Mediante división sintética, obtén el cociente y el residuo de dividir:

6 Residuo

Ejemplo 1

a) f ( x ) = x 3 + 2 x 2 - x - 2 entre x - 1

b) f ( x ) = x 4 - 5 x 2 + 4 entre x + 3

Solución


Siempre, en una división sintética: 1. Ambos polinomios deben escribirse en orden decreciente. 2. Si falta alguna potencia de x , debe escribirse cero como su coeficiente. 3. El cociente de la división de f ( x ) entre ( x - a) es de grado menor en una unidad que el de f ( x ).

a)

2 -1 -2 1 3 2 1 3 2 0 Residuo 2 Cociente: x + 3 x + 2 1

1

      

b)

-3

1 1

0 -5 0 4 -3 9 -12 36 -3 4 -12 40 Residuo

              

3

2

Cociente: x - 3 x + 4 x - 12


Ejemplo 2

Ejemplo 2

Valuando una función y sus factores

Si f ( x ) = x 3 + 5 x 2 - 4 x - 20, emplea división sintética para determinar: a)

Su valor cuando x = - 6.

b)

Si ( x + 6) es uno de sus factores.

93

Recuerda f ( a)

es el residuo al dividir f ( x ) entre ( x - a) Solución

a)

Fíjate en lo siguiente… -6

1

5 -6 -1

1 b)

-4

-20

6 2

-12 -32

La división sintética permite hallar rápidamente el valor de una función polinomial. Compara con el cálculo directo:

El residuo -32 = f (-6)

Como el residuo f (-6) ≠ 0, ( x + 6) NO es un factor de f ( x ).

Ejemplo 3

3

3 2 f (-6) = (-6) + 5(-6) - 4(-6) - 20

Factorizando con división sintética

= -216 + 180 + 24 - 20

Sabiendo que ( x - 2) es un factor de la función f ( x ) = x 3 + 5 x 2 - 4 x - 20: a)

Descompón ésta en factores.

b)

Obtén todos sus ceros y traza la gráfica de la función.

= -236 + 204 = -32

Ejemplo 3

Solución

a)

2

f ( x ) = x + 5 x - 4 x - 20

Usamos división sintética para obtener el otro factor.


1

5 -4 -20 2 14 20 1 7 10 0 Residuo 2 Cociente: x + 7 x + 10 2

1. Sólo puedes aplicar división sintética si conoces un factor lineal ( x - a).

       

2. Si sabes que a es un cero de f ( x ) o una solución de la ecuación f ( x ) = 0, entonces sabes que ( x - a) es un factor , ya que en todos los casos ocurre que f (a) = 0.

Por tanto, f ( x ) = ( x - 2)( x 2 + 7 x + 10). b) Se

hace f ( x ) = ( x - 2)( x 2 + 7 x + 10) = 0. 48 y

Factorizando el trinomio: ( x - 2)( x + 5)( x + 2) = 0.

f ( x) = ( x + 5)( x + 2)( x − 2) 32

Por la propiedad del producto cero: x = 2, x = -5, x = -2.

16

Para graficar se sitúan los ceros y se calculan algunos valores intermedios.

x −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −8 −16

Por ejemplo, para calcular f (-4): (-4 - 2)(-4 + 5)(-4 + 2) = 12.

−32

−24

−40 −48

O bien: 1 1

5 -4 1

-4 -4 -4

1

2

3

conoce ninguno de sus factores lineales.

(Por esta razón no puede aplicarse la división sintética para factorizarlo.) 2. El trinomio x 2 + 7 x + 10 se factoriza obteniendo dos números que sumen 7 y cuyo producto sea 10: 5(2) = 10; 5 + 2 = 7. 3. Puedes también resolver

-20

32 12

1. Antes de resolver x 2 + 7 x + 10 = 0 no se

8

Usas la factorización, o la división sintética:

-4


24

2

x + 7 x + 10 = 0 Residuo

con la fórmula cuadrática.

5

94


BLOQUE

Ejemplo 4


1. Ingreso = No. de artículos × precio = xp = x (6 x 2 + 36) 2. Costo = costo unitario × número de artículos = 21 x . 3. Recuerda que si al aplicar la fórmula cuadrática queda un número negativo dentro del radical, la solución no es un número real: x

=

=

−3 ±

3

2

−

4(6 )(16.5)

2(3) −3 ±

−387

6

4. El precio de venta unitario se encuentra así: p = 6 x 2 + 36 = 6(0.5)2 + 36 = $37.50


1. Una función de oferta es siempre creciente, ya que mientras mayor es el precio de un artículo, la industria aumenta su producción u oferta.

La función p = 6 x 2 + 36 es una función de oferta de una empresa textil, e indica la relación entre la cantidad x de playeras (en millones) que puede ofrecer al precio p (en pesos). Esta función permite calcular la ganancia de la empresa cuando vende x playeras con un costo unitario de producción de $21.00: Ganancia = g( x )

- costo

ingreso 2

= x (6 x + 36) -

21 x

Para una producción de medio millón de playeras ( x = 0.5) la compañía calcula ganar g(0.5) = 8.25, es decir, $8 250 000. La empresa está interesada en saber si con una producción menor de playeras podrá obtener esta misma ganancia y, de ser así, conocer el precio al que debería vender las playeras. ¿Cómo determinarías esto? Solución

Investigando si la ecuación de ganancia x (6 x 2 + 36) - 21 x = 8.25 posee otras soluciones, además de x = 0.5. La ecuación anterior equivale a 6 x 3 + 15 x - 8.25 = 0. Como x = 0.5 es una de sus soluciones, concluimos que ( x - 0.5) es uno de sus factores. Con división sintética hallamos el otro factor: 0.5

2. Una función de demanda, es decreciente: al disminuir el precio, aumenta la demanda o solicitud del artículo. 3. Una industria está formada por el con junto de empresas que fabrican un mismo producto. La industria y los consumidores forman el mercado de un producto.

Ley de la oferta

6 6

0 15 -8.25 3 1.5 8.25 3 16.5 0 Residuo

        

2 Cociente: 6 x + 3 x + 16.5

Escribimos 6 x 3 + 15 x - 8.25 = ( x - 0.5)(6 x 2 + 3 x + 16.5) = 0. La fórmula cuadrática muestra que las otras soluciones no son números reales. La ganancia de $8 250 000 sólo se obtendrá al producir medio millón de playeras y venderlas a $37.50 cada una.

4. Mediante análisis estadísticos de datos económicos del mercado, se establecen las funciones de oferta y de demanda.

Sugerencias para la autoevaluación 5A 1. a 3. ¿Tiene

el divisor la forma ( x - a)? (observa que éste es un binomio lineal).

4. y 5. Un

polinomio de grado n tiene n + 1 términos (considerando todas las potencias decrecientes de x , es decir, incluyendo coeficientes ceros).

Autoevaluación 5A

En los ejercicios 1 a 3 determina si puedes usar división sintética. 1. x 3 - 2 x 2 + x entre ( x 2 - 4)

2. x 4 - 5 x 2 + 4 entre ( x - 5)

3. x 4 - 3 x 3 - 2 x 2 - 2 entre (2 x + 1)

En los ejercicios 4 y 5 escribe los polinomios del dividendo, el divisor y el cociente, e indica el valor del residuo. -2 3 0 0 0 -27 1 1 -32 10 6 4. 5. -6 12 -24 48 6 42 60 3 -6 12 -24 21 1 7 10 70


En los ejercicios 6 a 9 usa división sintética para valuar la función.

6. a 9. Revisa el ejemplo 2.a) de este segmento. 10. y 11. Revisa el ejemplo 1. Escribe ceros

6. f ( x ) = x 3 + 2 x 2 - x - 2; f (5) 3

95

para los coeficientes de potencias no escritas de x .

2

7. f ( x ) = x + 2 x - x - 2; f (-12)

12. a 14. ( x - 1) es

8. g ( x ) = x 4 + 6 x 3 - 12 x 2; g (9)

un factor.

Usa división sintética y factoriza.

9. g ( x ) = x 4 + 6 x 3 - 12 x 2; g (-15)

En los ejercicios 10 y 11 halla el cociente y el residuo de la división.

La ecuación cuadrática resuélvela con fórmula, o factorizando. Recuerda:

10. x 3 + 4 x 2 - x - 4 entre ( x + 4)

x + 6 x - 27 = ( x - 3) ( x + 9)

11. x 4 - 10 x 2 + 9 entre ( x - 3)

2

En los ejercicios 12 a 14, x = 1 es un cero de la función. Obtén los demás.

La ecuación cúbica factorízala por agrupación. Recuerda cómo se hace:

12. y = x 3 - x

x - 2 x - 9 x + 18

13. y = x 3 - 7 x 2 + 15 x - 9

14. y = x 4 + 4 x 3 + x 2 - 6 x

3

2

En los ejercicios 15 a 17 investiga si ( x + 2) es un factor del polinomio.

= x 2 ( x - 2) - 9( x - 2)

15. 2 x 2 + 7 x + 6

= ( x - 2) ( x - 9)

16. x 3 - 3 x 2 - 2 x

15. a 18. Calcula f (-2) ya sea sustituyendo

18. x 2 + x = 2 19. Demanda de discos compactos De acuerdo con el mercado, una compañía disquera encontró que p = -2 x 2 + x + 100 es la función de demanda para los discos de uno de sus mejores cantantes. Esta función indica el precio p (en pesos), para el cual se demandarán x millones de discos compactos.

El costo por producir cada disco compacto es de $84.00, considerando gastos de elaboración, distribución, publicidad, impuestos y regalías. Si produce dos y medio millones de discos, la compañía ganará 15 millones de pesos. a)

¿Cuál será el precio de venta de estos discos?

b)

¿Qué inversión deberá hacer la compañía?

¿Existe una producción menor que genere igual ganancia? ¿Qué precio tendrían los discos? ¿Cuál sería la inversión? c)

DEMANDA DE DISCOS 320 Costo

288

Ingreso

256 s o s e p e d s e n o l l i M

224 192 160 128 96 64 32

Ganancia

0

1

2

17. x 4 - 2 x 2

2

3 4 5 Millones de discos

6

7

8

o usando división sintética. ¿Es f (-2) = 0? 19. a)

Sustituye x = 2.5 en la función p.

b) Usa x = 2.5 en la función costo. c)


5

96

BLOQUE


5

B

BLOQUE


Presupuesto familiar

La gráfica muestra cómo disminuyó tu ingreso quincenal con los gastos corrientes que tuviste durante dicha quincena.

Conocimientos

La función f ( x ) = x 4 - 2 x 3 - 2 x 2 + 9.5 modela este comportamiento de tu ingreso (en miles de pesos) conforme avanza la quincena.

Ceros reales

Son los ceros que son números racionales o irracionales. Obtención de ceros racionales

Los ceros racionales, cuando la función tiene sólo coeficientes enteros y término constante distinto de cero, se hallan formando los cocientes: Prueba del cero racional

Factor del término constante ______________________________ Factor del coeficiente principal

GASTO QUINCENAL 10 9 l a ) 8 n s 7 e o c s n e p 6 i u e q d 5 s o s e e l r i 4 g M n ( 3 I 2 1

Cada uno de estos posibles cocientes debe probarse en la función. La forma más simple de hacer esto es utilizando la división sintética.

1 Tiempo (1 unidad ↔ 1 semana)

Ejemplo

2

Los posibles ceros racionales de 3

2

y = x + x - 2 x - 2 son:

¿Cuál fue tu ingreso al inicio de la quincena?

± 2, ±1

1

¿Qué día descendió a $6 500?

= 2, -2,

1, -1. La división sintética muestra que sólo es cero racional -1, pues la división es exacta (residuo 0). -1

1 1

1 -1 0

-2

-2

0 -2

2 0

Consulta

¿Cuándo se redujo a $1 500?


¿En cuál valor del eje x comienza la gráfica? ¿A qué correspondería este valor en términos de la quincena?

2.

La variable y representa el monto del dinero que a partir de tu ingreso tienes a lo largo de la quincena. ¿Es correcto que al utilizar el modelo reemplazaras directamente y por $6 500 o por $1 500? Reflexiona y argumenta tu respuesta.

3.

¿Qué comportamiento indica la gráfica respecto del dinero disponible en la quincena? ¿Cómo esperarías que fueran, comparativamente, los valores de x para los montos dados?

En libros de álgebra y otras fuentes: Ceros reales y ceros racionales de funciones polinomiales



1. El valor 0 en el eje x corresponde al ____________ (inicio, fin) de la primera semana de la quincena. Por tanto, tu ingreso inicial fue f (0) = ( )4 - 2( )3 )2 + 9.5 = ________ = $_____________ . - 2(

4. Lo anterior se efectúa mediante la división sintética: 1

-2

0

-2

_____

___________________________________ 1 5. Como el residuo es cero, resulta que x = , (es, no es) __________ un cero de la función. Por tanto, al concluir la ____________ (primera, segunda) semana, tu ingreso bajó a f ( ) = 6.5 = $6 500. Procediendo en forma similar, se obtiene que f ( x ) = 1.5 = $1 500, cuando x = _________ semanas.

Proyecto de trabajo Un lanzador de béisbol envía una “curva” que sigue la trayectoria mostrada en la figura. Deporte

Si el punto donde sus dedos sueltan la bola corresponde al origen en la gráfica, y el final de la trayectoria mostrada es el extremo terminal del home plate, ¿a qué distancia de donde se soltó alcanzó la pelota una altura de 60 cm sobre el piso?

LANZAMIENTO DE “CURVA” y = 4 x

3

−

11 x2 + 6 x + 3

7 6 ) 5 m c a 0 4 r u 3 t l A ↔ 3 1 ( 2 1 0

0.17

0.33

0.50

0.67

0.83

1.00

Distancia (1 ↔ 10 m)

1.17

1.33

1.50

1.67

1.83


1. Elabora

un resumen con las respuestas a los puntos de la secuencia didáctica, acompañadas de los desarrollos y operaciones requeridas; en particular, debes incluir el desarrollo detallado de los puntos 2 a 5 para el caso en que el ingreso descendió a $1 500.

2. Como el modelo expresa los montos en miles de pesos, $6 500 se _____________ (multiplica, divide) entre _________ para convertirla a dichas unidades, quedando como __________ . Este valor se sustituye por y en la función: y = f ( x ) = x 4 - 2 x 3 - 2 x 2 + 9.5. Simplificando: x 4 - 2 x 3 - 2 x 2 + _____ = 0. 3. Las soluciones de esta ecuación corresponden a los ceros de la función g( x ) = 4 3 2 x - 2 x - 2 x + _____ . Examinamos la existencia de ceros racionales con los cocientes ± 1 y ± _____ . Los valores ____________ (positivos, negativos) se descartan porque carecen de sentido para el problema. El valor 3 también se descarta porque en una quincena hay sólo ________ semanas. Por tanto, sólo debe revisarse que el valor x = sea un cero racional.

97

2.

Trabajo de investigación. Dibuja en un mismo plano cartesiano las gráficas de las funciones f ( x ) y g( x ) y explica a)

Qué relación tienen éstas y sus ecuaciones.

b)

El papel de los ceros en la resolución del problema.

5

98


BLOQUE


5B

Ceros reales de funciones polinomiales Los números que son ceros reales de una función polinomial, son racionales o irracionales.

Recuerda

1. Los números racionales se pueden expresar como la razón (cociente) de dos enteros, en tanto que los irracionales no. Ejemplo: Racionales 4

4 =

1

;

−

1 7 ; 2 3

2;

− π; −

=

0.1666...

=

0.4

2 5

=

=

π

=

Prueba del cero racional

Todos los ceros racionales de f ( x 0) = an x n + ... + a0 son de la forma:

=

Factor de a0

—————— Factor de an

(si a0 ≠ 0 y los coeficientes son enteros) Los valores de esta lista se prueban sucesivamente con división sintética: si el residuo es cero, se tendrá la certeza de que el número es un cero de la función. En caso de existir muchos factores, las pruebas pueden disminuirse con ayuda de la gráfica.

Ejemplo 1

0.40;

Aplicando la prueba del cero racional

Halla los ceros racionales de la función f ( x ) = x 4 + x 3 - 4 x 2 - 2 x + 4.

Irracionales 2

Para una función polinomial con coeficientes enteros, sus probables ceros racionales se listan así:

3

0.16;

0. 400

3 son irracionales.

3 , -

1

Racionales 6

que

Irracionales

2. La cola decimal de números racionales es infinita periódica (es decir, con una cifra o grupo que se repite cíclicamente) y la de los irracionales es infinita NO periódica: 1

Por ejemplo, 0 y -1 son ceros racionales de la función f ( x ) = x 4 + x 3 - 3 x 2 - x , en tanto

1.414213562...;

Solución

= 3.141592654…

El término constante es 4 y el coeficiente principal es 1. Recuerda

Sólo puedes aplicar la prueba del cero racional a polinomios que tienen coeficientes en teros y término constante distinto de cero. NO puede aplicarse, por ejemplo, a: 3 2 y = x - 2 x + x (el término constante es 0) 4 3 y = x + 6.3 x - 1 (hay un coeficiente no entero)

Cualquiera de los posibles ceros racionales tendrá la forma: Factor de 4 Factor de 1

=

±4, ±

2,

±1

±1

Los cocientes conducen a estos casos: ± 4, ± 2, ± 1. Con división sintética se confirma que de estos seis casos posibles, sólo x = 1 y x = -2 son ceros racionales de la función: 1

1 1

1 1 2

-4

2 -2

-2 -2 -4

4 -4 0

-2

1 1

1 -2 -1

-4

-2

2 -2

4 2 6 y

Como ( x - 1) y ( x + 2) son factores de f ( x ), con división sintética se obtiene: f ( x ) = ( x - 1)( x + 2)( x 2 - 2).


1. Al dividir entre ±1 sólo se invierten los signos, quedando el mismo numerador. 2. Los factores siempre se toman con doble signo, por las combinaciones de productos. Así, 2 y -2 son ambos factores de 4, ya que: 4 = (2)(2) = (-2)(-2).

4 -4 0

5 4

Observamos en esta factorización que además de los ceros racionales: 1 y -2, existen dos ceros irracionales: 2 , - 2 .

3 2

−2

_ 1 −√2

_ √2

1

x

−3 − 2

−1

1

2

3


Ejemplo 2

Ejemplo 2

Obteniendo ceros racionales

Halla los ceros racionales de la función: f ( x ) = x 3 - 13 x + 12.


Solución

Para combinar fácilmente signos de factores:

Como el término constante es 12 y el coeficiente principal es 1: Posibles ceros racionales =

±12, ±

6, ± 4,

±

1. Pon doble signo sólo a los factores del

3, ± 2, ± 1

numerador.

1

La gráfica evita probar los 12 valores distintos de estos cocientes: sólo -4, 1 y 3 parecen ser ceros. La división sintética confirma esto. Factor ( x - 1): 1 1 0 -13 12 1 1 -12 1 1 -12 0

99

Factor ( x - 3): 3 1 1 -12 3 12 1 4 0 Factor: ( x + 4)

40

nador.

Justificación: una combinación como

y

±12

32

±2

24 16

    

2. Toma siempre positivos los del denomi-

6

8

produce sólo dos valores simétricos: 12

=

2

12

− =

2

−

;

12 2

−

12

− =

2

=

6

−

x

−5 −4 −3 −2 −1

1

2

3

4

5

Esto se obtiene al escribir:

−8

±12

2

.

−16

No hay otros ceros: tres es el máximo para una función cúbica.

Ejemplo 3


Obteniendo ceros reales

1. Si el residuo es cero, tanto el divisor como el cociente resultan ser factores.

Determina los ceros reales de la función f ( x ) = 2 x 3 + x 2 - 14 x - 7. Solución

Aplicamos la prueba del cero racional para hallar los ceros racionales. Como el término constante es -7 y el coeficiente principal es 2, se tiene: Posibles ceros racionales =

±7, ± 1

2, 1

Esto produce 8 posibilidades. Para no verificar todos estos valores conviene hacer un bosquejo simple de la gráfica. Ésta muestra que los ceros racionales podrían ser -3.5, -

1 2

2. Por esto, cuando se halla un factor, la siguiente prueba es más sencilla, pues se efectúa en el cociente obtenido (cuyo grado va disminuyendo en cada ocasión).

1

Ejemplo 3 Recuerda

, 3.5. La división sintética prueba que sólo - es realmente un cero de 2

la función:

Forma del cero racional: p Factor del término constante ___ = __________________________ q Factor del coeficiente principal

32 y 24 16 8 x

−4

−3 −2

−1

1

2

3

4

-

1

2

2

−8

1

-14

-7

-1

0 -14

7 0

2

−16

0

          

−24

2

2 x -14

−32

1  2 Este cero produce la forma factorizada: f ( x ) =  x +  (2 x − 14).



2 

Resolviendo la ecuación cuadrática se hallan los demás ceros, que son los números irracionales: 7 , - 7 (aproximadamente 2.6, -2.6).


Aunque no se mencionen explícitamente: a) Junto con la división sintética se aplica el teorema del residuo. b) Se emplean constantemente el teorema del factor y la propiedad del producto cero.

5

100

BLOQUE

28 27 26 25 24 23 22 21 s 20 e 19 v a 18 e d 17 s e 16 n 15 o l l i 14 M 13 12 11 10


Ejemplo 4

INFLUENZA AVIAR Países Bajos

Identificada en Italia hace más de un siglo, la gripe aviar constituye un foco de infección mortal para las aves. Una variante del virus causante de esta enfermedad, la cepa H5N1, posee potencial de transmisión a los humanos, y puede ser altamente peligroso, a nivel de pandemia, debido a su alta y rápida capacidad de mutación y a la falta de inmunidad de los seres humanos al no haber estado expuestos a él. El control de las rutas de mercado de aves vivas, higiene en equipo, ropa, jaulas y vehículos de transporte, son medidas de prevención y contención del virus aviar, igual que la cuarentena y el sacrificio de aves contagiadas. La gráfica de la función F ( x ) = x 3 - 6 x 2 + 7 x + 17 muestra la eliminación de aves de corral domésticas infectadas por este virus, de 1983 a 2003, en distintos países. ¿En qué año el sacrificio alcanzó la cifra de 13 millones?

EUA Italia

1 0

1

2

Años (0 ↔ 1983)

3

4

Influenza aviar

5

1 unidad = 4 años


El valor x = 4 indica un periodo de 4 × 4 = 16 años, contados a partir del origen; así, el valor 4 corresponde al año: 1983 + 16 = 1999. (Por cada unidad sumas 4 años al año inicial). Ampliando el conocimiento

1. Las epidemias tienen alcance local o regional. Las pandemias se extienden a nivel mundial. 2. El virus de la gripe aviar se transmite de ave a ave, o de ave a humano (si hay contacto prolongado), pe ro no de humano a humano (salvo que el virus mutara) ni por consumir carne cocida de ave. 3. En una mutación el virus combina su material genético con el del huésped para anular sus defensas y replicarse. En seres humanos, esto permite el contagio de persona a persona. 4. Las aves domésticas de corral (pollos, patos, gansos, pavos) y los cerdos son más vulnerables al contagio del virus aviar que las aves silvestres. Las epidemias de aves aumentan el riesgo para los humanos. 5. En Asia confluyen rutas migratorias de aves acuáticas que visitan estanques de granjas o sus cercanías. Ante un brote de virus aviar pueden infectarse y morir, o bien, diseminar el virus a otras regiones del mundo.

Solución

Se hace F ( x ) = 13 y se resuelve la ecuación resultante. x 3 - 6 x 2 + 7 x + 17 = 13 3

2

x - 6 x + 7 x + 4 = 0

Con la prueba del cero racional se determina que, de las seis posibilidades, 4 es una solución de esta ecuación. Verificamos en el modelo inicial: 3

2

F (4) = 4 - 6(4) + 7(4) + 17 = 13.

Esto indica que en 1999 ( x = 4) un país se vio en la necesidad de sacrificar 13 (millones) de aves. En ese año, ante un brote infeccioso del virus de influenza aviar en su industria avícola, Italia tomó dicha medida para evitar mayores daños a su economía y a la salud de personas y animales. Autoevaluación 5B

En los ejercicios 1 a 3 indica en cuáles funciones puedes aplicar la prueba del cero racional. 1. y = x 4 + x 3 - x

2. y = 2 x 3 - 4 x 2 + 2

3. y = x 4 - 4.5 x 2 - 8.2

En los ejercicios 4 a 6 escribe los ceros racionales e irracionales de cada función. 4. f ( x ) = ( x - 5) ( x + 1) ( x - 3) 5. f ( x )

=

(x

2

−

8)(x +

1 2

)

6. f ( x ) = ( x 2 - 3) ( x 2 - 16)


Sugerencias para la autoevaluación 5B

En los ejercicios 7 a 9 contabiliza y lista los distintos ceros racionales posibles para cada función. 7. y = x 3 - 5 x 2 + x - 5 3

1. a 3 ¿Son enteros los coeficientes? ¿Es dis-

2

8. y = x - 31 x + 30

tinto de cero el término constante?

9. y = 2 x 4 + 6 x 3 - 2 x - 6

4. a 6. Utiliza la propiedad del producto cero. En los factores cuadráticos despeja x 2 y

En los ejercicios 10 a 12 utiliza división sintética sucesiva y el cero conocido, para escribir cada función como producto de: a) dos factores; b) tres factores; c) cuatro factores (función cuártica). 5 10. y = x 3 - 5 x 2 + x - 5; 11. y = x 3 + 9 x 2 + 8 x - 60; 12. y = x 4 - 13 x 2 + 36;

extrae raíz cuadrada (usa el doble signo). 7. a 9. Descompón en factores el coeficiente

principal y el término constante. Descarta las repeticiones de cocientes, por

2

ejemplo, como

2

±2

ra

En los ejercicios 13 a 18 obtén los ceros reales de cada función. 3

101

2

1

3

=

±2

1

, sólo conside-

.

Ejercicio

Cantidad de posibles ceros racionales

7 8 9

4 14 12

13. y = x - 10 x - x + 10 14. y = x 3 + 15 x 2 + 63 x + 49 15. y = x 3 - 3 x 2 - 9 x - 5 16. y = x 4 - 10 x 2 + 9

±6

17. y = - x 4 - 2 x 3 + 8 x 2 + 10 x - 15

10.

Factoriza diferencia de cuadrados.

18. y = x 3 - 12 x 2 - 2 x + 24

11.

Factoriza la ecuación cuadrática buscando dos números que...

Después de la última exhalación del Volcán de Colima en 2005, éste disminuyó gradualmente su actividad exterior con eventuales explosiones menores, hasta parar, como indica la gráfica de la función

19. Geología

4

3

2

f ( x ) = -2 x + 15 x - 38 x + 36 x + 1.

a)

¿Qué altura alcanzó la primera exhalación?

b)

¿Qué días alcanzaron alturas de 12, 9 y 10 km?

c)

¿En cuánto tiempo cesaron las exhalaciones del volcán?

12. Factoriza

por agrupamiento la función cúbica del cociente (si usas la prueba del cero racional debes dibujar su gráfica).

13. Verifica ± 10, ± 5, ± 2, ± 1. 14. a 18. Ejercicio

14 15 16 17 18

VOLC N DE COLIMA 13 12 11 10 9 8 m k 7 a 6 r u t l A 5 4 3 2 1

19. a)

Casos posibles

6 4 6 8 12

Intersección- y. Interpreta las unidades.

b) Iguala f ( x ) con cada valor y

resuelve

cada ecuación resultante.

)

c) Intersección- x .

(


0

1

2 Tiempo (1 − 1 semana)

3

4

102

5


BLOQUE

5

C

BLOQUE


Incendios forestales

Los incendios forestales resultan desastrosos para el medio ambiente debido a la erosión del suelo por la pérdida de capa vegetal y para los asentamientos humanos por la destrucción de viviendas.

Conocimientos Ceros complejos

No obstante, también constituyen formas de regulación ecológica de la naturaleza, ya que las altas temperaturas y los residuos orgánicos cambian la composición química y biológica del suelo (nutrientes), posibilitando el desarrollo de nuevas especies animales y vegetales.

Aunque los ceros complejos abarcan números reales ( − 5 ), imaginarios ( 2 i ) o mixtos (4 + i), la expresión se usa para ceros que no son números reales. La forma general de un número complejo es a + bi; a y b son números reales, i es la unidad imaginaria = −1. Teorema fundamental del álgebra

Toda función polinomial de grado n tiene n ceros. El conteo incluye todos los ceros reales o complejos. La función f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + x + 2 tiene un cero real y dos complejos: 2

f ( x ) = ( x + 2)( x + 1) = 0 implica 2

x + 2 = 0 o x + 1 = 0, es

decir,

x = -2 o x = i o x = - i.

La función polinomial F ( x ) = x 4 - 4 x 3 + 5 x 2 - 4 x + 4 modela la cantidad F ( x ) de árboles (decenas de miles) no consumidos aún por un incendio forestal al comienzo de la semana x . ¿Arrasó el fuego con todos los árboles existentes?

Pares conjugados

¿En cuánto tiempo se extinguió el incendio?

Los ceros complejos se presentan en pares conjugados.

Si el fuego inició en la última semana de mayo, ¿cuántas semanas después el número de nuevos retoños igualó al de árboles consumidos? Analiza gráficamente esta situación.

El ejemplo anterior ilustra esto (el conjugado de a + bi es a - bi).

Análisis de la situación Consulta

1.

El primer valor de la variable x debe ser 0, para que el número entero a la derecha indique la cantidad de semanas transcurridas desde el inicio del incendio.

En libros de álgebra y otras fuentes: Ceros complejos de funciones polinomiales

0

2.

1

2

3

¿Qué indica el valor de la función en x = 0? Valúa e interpreta F (0) con la equivalencia señalada para las unidades.



1. F ( x ) informa sobre la cantidad de árboles no consumidos por el fuego. Por tanto, F ( x ) = 0 indica que hay _____________________ (0 árboles consumidos, 0 árboles sin consumir). Esto significa entonces que el fuego ______________ (apenas inicia, ya concluyó). 4

3


Presenta un resumen con el desarrollo en detalle de los puntos de la secuencia didáctica.

1.

De manera particular, debes escribir todo el proceso mediante el cual desarrolles el punto 5, que es similar al utilizado en los puntos 2, 3 y 4 de la secuencia.

2

2. Resolver la ecuación anterior: F ( x ) = x - 4 x + 5 x - 4 x + 4 = 0, equivale a hallar los ______ (3, 4, 5) ceros de F ( x ). Si todos son números complejos, significaría que _______ (habrá, no habrá) una semana x en la cual desaparecerán todos los árboles. Si existen soluciones reales, éstas tendrán que ser ________ (iguales, distintas), porque x denota _________________________________________ . 3. Como los coeficientes de F ( x ) son números enteros y su término constante es: _____ ≠ 0, puede aplicarse la prueba del cero racional. Los posibles ceros racionales son: ± 1, ± ____ , ± ____ . Se descartan los valores ________ (positivos, negativos) porque _____________ .

2.

Escribe tus reflexiones y conclusiones acerca de las interpretaciones de los términos matemáticos en el contexto del mundo real al cual están referidos en este problema.

4. Al probar estos tres valores empleando división sintética: 1

1 –4 5 –4 4 ________________ 1

1 -4 5 – 4 4 _______________ 1

1 –4 5 –4 4 _______________ 1

se halla que x = ______ es la única solución real (de multiplicidad ______ ) e indica que al cabo de ______ semanas no quedarán árboles y que en ese término ______________ (reinició, concluyó) el incendio. 5. En el análisis de la situación se obtuvo la cantidad inicial de árboles F (0) = ________ ; resolviendo gráficamente la ecuación F ( x ) = ______ se obtiene que aproximadamente en x = _____ semanas, en el mes de ___________ , los nuevos retoños habrán igualado la cantidad de árboles que había al principio.

Proyecto de trabajo La función V ( x ) = - x 4 + 10 x 3 - 28 x 2 + 24 x modela las ventas realizadas por un almacén durante un año. Ventas departamentales a)

¿Cuándo alcanzaron las ventas un total de 32 000 artículos?

b)

Expresa la función en forma factorizada.

c)

Indica cuándo las ventas fueron cero y da una explicación plausible.

VENTAS DE UN ALMACÉN ) s o 48 l u c 40 í t r a 32 e d s 24 e l i m16 ( s 8 a t n e V 0

1 2 3 4 5 6 Periodo (1 Unidad ↔ 2 meses)

103

y

) 0 0 0 0 1

4

3 ↔ 1 2 ( s e l o b r Á

1 0

x

1

2

Inicia última semana de mayo

5

104

BLOQUE



5C

Ceros complejos, factores y soluciones Los números complejos están formados por números reales y por números imaginarios 3i, 4 + 6i -5, Real

Recuerda

1. En un número complejo a + bi, a y b son números reales, i la unidad imaginaria: i

1

=

−

2

Las funciones polinomiales pueden tener ceros no reales. Por ejemplo, f ( x ) = x 2 + 1, tiene como ceros los números imaginarios -1 y - -1 . Siendo ceros, estos números son solución de la ecuación x 2 + 1 = 0. El teorema fundamental del álgebra garantiza lo siguiente: Teorema fundamental del álgebra Toda ecuación polinomial de grado 1 o mayor tiene al menos un número complejo como solución.

Números reales: 5 = 5 + 0i, Números imaginarios: 6i = 0 + 6i. 3. Ningún número real elevado al cuadrado da como valor un número negativo. En cambio: (2i)2 = (2i)(2i) = 4i2 = 4(-1) = -4. 4. Usando números imaginarios, la raíz cuadrada de un número negativo se escribe así: 9

=

Complejo“mixto”

, es decir, i = -1

2. La suma de números reales e imaginarios produce números complejos. Éstos incluyen a los:

−

Imaginario

3i;

16

−

=

4 i;

25

−

=

Este teorema también se formula así: “Toda ecuación polinomial de grado n tiene exactamente n soluciones”. Una ecuación de grado 1 tiene justo una solución, una cuadrática dos, una cúbica 2 tres, etc. El conteo incluye soluciones repetidas: la ecuación ( x - 1) = ( x - 1)( x - 1) = 0, tiene dos soluciones iguales: x = 1. Teorema de la factorización lineal Un polinomio de grado n tiene exactamente n factores lineales.

5i , etc.

5. El conjugado de a + bi es a - bi.

Los ceros complejos siempre se presentan por pares conjugados: Si 3 + 4i es una solución, también lo es su conjugado 3 - 4i.

Ejemplo 1

Ejemplo 1 Recuerda

Si a es un cero de f (x):

1. f (a) = 0. 2. x = a es una solución de f ( x ) = 0. 3. ( x - a) es un factor de f ( x ). Sólo cuando la solución a es un número real, se obtiene la intersección-x de la gráfica: (a, 0).

Describe las expresiones asociadas a f ( x ) = x 3 + 5 x 2 - 4 x - 20, usando ceros, factores y soluciones. Solución

a)

La multiplicidad de un cero o solución es el número de veces que se repite como tal. Así, 1 es una raíz de multiplicidad 2 para ( x - 1)2 = 0.

La función polinomial f ( x ) = x 3 + 5 x 2 - 4 x - 20 tiene tres ceros: x = 2; x = -5; x = -2.

b) La ecuación x 3 + 5 x 2 - 4 x - 20 = 0 tiene tres soluciones: x = 2; x = -5; x = -2.

c)


Ceros, factores y soluciones reales

3

2

El polinomio x + 5 x - 4 x - 20 tiene tres factores lineales:

( x - 2)( x + 5)( x + 2). d) Las intersecciones- x de la gráfica de f ( x ) son: x = 2; x = -5; x = -2.

48 y 40 32 24 16 8 x

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −8 −16 −24 −32 −40 −48

1

2

3

4


Ejemplo 2

Ejemplo 2

Obtención de ceros complejos

Halla todos los ceros de la función f ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 2 x - 10. b) Escríbela en forma factorizada. c) Dibuja su gráfica. a)


1. La función f ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 2 x - 10 es factorizable por agrupación de términos. f ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 2 x - 10

Solución

a)

Con la prueba del cero racional y con división sintética verificamos ± 10, ± 5, ± 2, ± 1. Sólo x = 5 es un cero de la función: 5

1

-5

1

5 0 2 x + 2

2 0 2

Así, x 2 + 2 es otro factor. Resolvemos

-10

10 0

x + 2 = 0 2

x = ±

2i Recuerda

32

2

24

(x

16

f ( x ) = ( x - 5)( x + 2) ( x

5)

2i

+

)( x

2i

)

y

1. Igualas la función con cero porque quieres hallar los valores de x que hacen que ésta sea cero.

8

c)

Sólo x = 5 constituye una intersección- x de la gráfica, por ser un cero real. La intersección- y la da el término constante: -10.

x

−3

−2 −1 0 −8

1

2

3

4

5

6

−32

Ceros complejos

−40

Los ceros complejos incluyen a los números reales (racionales o irracionales), a los imaginarios y a los complejos “ mixtos”.

Obteniendo una función a partir de los ceros

Construye tres funciones que tengan como ceros: 7, -

2. Factorizas la ecuación para resolverla con la propiedad del producto cero. 3. Cada solución de la ecuación es un cero de la función y produce un factor lineal.

−16 −24

Ejemplo 3

= ( x - 5)( x 2 + 2)

x = -2

tanto: =

= x 2( x - 5) + 2( x - 5)

2. En estos casos, la factorización inmediata evita la prueba del cero racional.

2

          

b) Por

5i,

5i

.

Ejemplo 3

Solución

Por el teorema de la factorización lineal podemos construir tres factores lineales ( x - a), con estos ceros:

(x 2 7) ( x

( x

7)

( x

+

5i (

)( x 2 5i )

5i

)

Factores ( x - a)

Sustituyendo

2

x - 7 x + 5 x - 35

a) Producto de binomios conjugados:

(

5i

2

f ( x ) = x - 7 x + 5 x - 35.

Otra función con los mismos ceros es: 3

2

Diferencia

2

)

=

5

−

( x

Multiplicando

Una función que contiene exclusivamente los ceros dados, es: 3

Recuerda

Producto de binomios conjugados

( x - 7)( x 2 + 5) 3

105

3

2

g( x ) = 2( x - 7 x + 5 x - 35) = 2 x - 14 x + 10 x - 70.

Una más, con otros ceros además de los dados, es: 3 2 4 3 2 h( x ) = ( x - 1)( x - 7 x + 5 x - 35) = x - 8 x + 12 x - 40 x + 35.

b)

(

+

5i

5i

2

)( x

−

2

) ( 5 ) =

5i

(i )

2

)

=

=

x

2

−

(

5i

)

2

De cuadrados 5( 1) −

=

−

5

c) Al factor ( x - 1) corresponde el cero x = 1. Cada factor lineal aumenta un grado la función resultante.

106

5

BLOQUE


Ejemplo 4

Ejemplo 4


1. Los huracanes son depresiones tropicales causadas por bajas en la presión atmosférica, y calentamiento de la superficie del mar arriba de 27 ºC. 2. En promedio, abarcan un radio de 500 km, con un vórtice central (ojo del huracán) de 45 km, una velocidad de desplazamiento de 25 km/h, y vientos que giran a más de 120 km/h. 3. La escala para asignarles categorías data de los años 70 y considera los daños potenciales, presión atmosférica mínima, velocidad del viento y altitud de la marea: ESCALA SAFFIR – SIMPSON Vientos Olas Presión Categoría

1 2 3 4 5

km/h 118-152 153-178 179-209 211-250 250 o más

m mm Hg 1.32-1.65 735 1.98-2.64 724 2.97-3.96 709 4.29-5.94 708 690 ≥ 5.94

Desplazamiento de huracanes

La gráfica muestra el desarrollo de un huracán conforme se aproxima a la costa del país, en la zona del Caribe, situada en el origen. La función 4

3

2

H ( x ) = - x - 5 x + 3 x + 9 x + 162,

modela los cambios de velocidad de los vientos conforme avanza el meteoro, desde su inicio detectado en el mar a 600 km del territorio. Aproximadamente a 400 km de tierra se torna de categoría 4, pues sus vientos alcanzan una velocidad de 240 km/h. a)

Halla los ceros complejos de la función y factoriza ésta usando coeficientes reales.

b)

¿Con qué velocidad tocarán tierra los vientos del huracán?

c)

¿Cuántos kilómetros tierra adentro avanzará el fenómeno meteorológico antes de disolverse? AVANCE DE UN HURACÁN

d) ¿A

qué distancia antes de la costa su velocidad será de 160 km/h?

e)

256 224 192

¿Qué categoría tendrá al estar 100 km tierra adentro?

160

o t n e i v ) l h e / d m k d ( a d i c o l e V

128 96 64 32

Información histórica

−7 −6

−5 −4

−3

−2

−1

1

0

Distancia (1 Unidad ↔

2

3

4

100 km)

Solución

El inicio del huracán a 600 km corresponde al cero x = -6 ( x + 6) es entonces un factor del polinomio cuártico.

a) Abel

Galois

Gauss

Desde la época de los babilonios era conocida la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. En el siglo �� tres matemáticos italianos, Scipione, Tartaglia y Cardano, obtuvieron la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. Ferrari, un discípulo de Cardano, halló poco después la solución para las cuárticas. Esto abrió el camino para las de quinto grado y mayores. A fines del siglo �� (1799), el gran matemático alemán Karl F. Gauss probó que toda ecuación polinomial tiene al menos una raíz compleja. A principios del siglo ��, dos jóvenes matemáticos, uno noruego, Niels Abel, y el otro francés, Evariste Galois, demostraron que no podía existir tal fórmula. Ambos vivieron muy poco: 22 y 27 años, pero hicieron grandes aportaciones a la teoría de grupos y de ecuaciones.

-6

-1

-1

-5

3

9

162

6

-6

18

-162

1

-3

27

0

                    

3 2 - x + x - 3 x + 27

- x 3 + x 2 - 3 x + 27 es otro factor. Verficamos ±27, ±9, ±3, ±1 con la

prueba del cero racional. Sólo x = 3 resulta ser un cero. 2

= ( x - 3)(- x - 2 x - 9) = 0.

Con la fórmula cuadrática obtenemos las soluciones de - x 2 - 2 x - 9 = 0 Los ceros buscados son -6, 3,

−1 +

2 2i ,

−1−

2 2i .

La factorización con reales es H ( x ) = ( x + 6)( x - 3)(- x 2 - 2 x - 9). b)

Tocará tierra en el origen. Cuando x = 0, y = 162 km/h.

c)

Para x = 3, y = 0. Se disolverá 300 km tierra adentro.

d) Se

resuelve H ( x ) = 160. De los factores ±2, ±1, sólo -1 es un cero de esta ecuación. Corresponde a 100 km antes de la costa.

e)

Para x = 1 se obtiene H (1) = 168 km/h. Disminuirá a categoría 2.


Autoevaluación 5C

En los ejercicios 1 a 4 escribe los ceros reales para cada función. 1. y = ( x - 2) ( x + 2) ( x 2 + 1)

repite el cero.

3. y = ( x - 7) ( x + 2) 6)( x

+

2)

( x

+

2

9. a 11. Revisa el ejemplo 3. Producto de bi-

)

nomios con término común:

En los ejercicios 5 a 8 indica la multiplicidad de cada cero.

factoriza el tri-

nomio.

En los ejercicios 9 a 11, escribe: a) dos funciones que tengan exactamente los ceros indicados; b) una función que los incluya entre otros ceros. 11. -6, -2, 0, 1

En los ejercicios 12 a 14 escribe la factorización lineal usando los ceros. 13. -2, -1, 1, 2

Suma Producto

15. Extrae factor común x y

2

8. f ( x ) = ( x + 5 ) ( x - 2)

12. -5, 3, 6

4:

los productos.

7. f ( x ) = ( x - 8)3 ( x - 4)

10. -4, 1, 3

y

12. a 14. Revisa el ejemplo 3. Deja indicados

6. f ( x ) = x ( x - 2)2 ( x - 6) 2

( x - 7) ( x + 4) = x 2 - 3 x - 28 -7

5. f ( x ) = ( x - 6) ( x - 6) ( x + 3)

9. -1, 2

1. a 4. Iguala con cero y aplica la propiedad 5. a 8. Multiplicidad: número de veces que se

2

y = ( x −

Sugerencias para la autoevaluación 5C del producto cero.

2. y = x ( x - 5) ( x + 6)

4.

107

14. −3, − 5i, 0, 5i

16. Usa la prueba del cero racional. Verifica: ± 20, ± 10, ± 4, ± 5, ± 2, ± 1. Bosqueja la

gráfica si no deseas probar tantos valores. 17. Usa la prueba del

cero racional: ± 1.

18. Factoriza por agrupación o usa la prueba del cero racional para ± 4, ± 2, ± 1. 19. Un cero es x = 2. Usa división sintética.

En los ejercicios 15 a 21, a) escribe todos los ceros complejos de cada función; b) factoriza con coeficientes reales.

20. Verifica

15. f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x

16. f ( x ) = x 3 - x 2 - 16 x - 20

21. Un cero es x = -2. Usa división sintética.

17. f ( x ) = x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1

18. f ( x ) = x 3 + x 2 - 4 x - 4

19. f ( x ) = x 4 + 4 x 3 - 12 x 2 - 32 x + 64

20. f ( x ) = x 4 + x 3 + 2 x 2 + 4 x - 8

22. El volumen es el producto: Largo × Alto × Ancho. Simplifica e iguala la expresión

3

2

21. f ( x ) = x - 4 x - 3 x + 18

Un vehículo para transportar mercancía tiene una caja para carga con capacidad de 120 m 3.

22. Transporte terrestre

Si el ancho es x , el largo 3 x + 1 y la altura x + 1, metros, ¿cuáles son sus dimensiones?

los factores de 8 con la prueba del cero racional.

con 120. Halla las soluciones reales de esta ecuación. Comprueba tus resultados.

5

108

BLOQUE



Rúbrica

Rúbrica para evaluar el resumen sobre incendios forestales del Bloque 5C. Nombre del alumno:

Nivel

Presentación


Dominio del tema

Conclusiones

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el resumen a mano con buena caligrafía o bien en computadora, bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el resumen a mano con buena caligrafía, bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el resumen a mano con regular caligrafía, redacción regular, pero sin faltas de ortografía.

Desarrolla en una hoja de papel milimétrico o bien por computadora los puntos suficientes de la función que representa el número de árboles no consumidos por el fuego.

Desarrolla en una hoja de cuadrícula chica los puntos suficientes de la función que representa el número de árboles no consumidos por el fuego.

Desarrolla en una hoja de cuadrícula chica, pocos puntos de la función que representa el número de árboles no consumidos por el fuego.

Presenta todos los pasos para la determinación de las cantidades pedidas en el rubro de conclusiones siguiendo una secuencia ordenada.

Omite algún paso en la determinación de las cantidades pedidas en el rubro de conclusiones pero mantiene una secuencia ordenada.

Omite algunos pasos en la determinación de las cantidades pedidas en el rubro de conclusiones pero mantiene una secuencia ordenada.

Efectúa una comparación de los resultados obtenidos de manera gráfica y analítica.

Obtiene únicamente resultados analíticos.

Determina correctamente el tipo de raíces posibles de las ecuaciones polinomiales de cuarto grado.



Determina incorrectamente el tipo de raíces posibles de las ecuaciones polinomiales de cuarto grado.

Usa adecuadamente la prueba de los ceros racionales y de la división sintética.

Usa adecuadamente la prueba de los ceros racionales, pero comete algún error en una de las divisiones sintéticas.

Usa adecuadamente la prueba de los ceros racionales pero comete errores en algunas de las divisiones sintéticas.

Usa de manera incorrecta la prueba de los ceros racionales y/o de la división sintética.

Determina de manera incorrecta una de las raíces racionales de las ecuaciones polinomiales de cuarto grado.

Determina incorrectamente dos de las raíces racionales de las ecuaciones polinomiales de cuarto grado.

Determina correctamente si el fuego arrasó con todos los árboles.



Determina incorrectamente si el fuego arrasó con todos los árboles.

Expone correctamente cuánto tiempo tardó en extinguirse el incendio.

Expone efectivamente cuánto tiempo tardó en extinguirse el incendio.

Determina incorrectamente cuánto tiempo tardó en extinguirse el incendio.

Determinó de manera incorrecta cuánto tiempo tardó en extinguirse el incendio.

Define incorrectamente cuándo el número de nuevos retoños igualó al de árboles consumidos.

Define de manera incorrecta cuándo el número de nuevos retoños igualó al de árboles consumidos.

Define equivocadamente cuándo el número de nuevos retoños igualó al de árboles consumidos.

Efectúa una comparación de los resultados obtenidos de manera gráfica y analítica.

Determina de manera correcta todas las raíces racionales de las ecuaciones polinomiales de cuarto grado.

Define de manera correcta cuándo el número de nuevos retoños igualó al de árboles consumidos.

Elabora el resumen a mano con mala caligrafía, mala redacción y con faltas de ortografía. Elabora únicamente un esbozo de la función que representa el número de árboles no consumidos por el fuego. Presenta únicamente resultados sin dar ninguna justificación. No presenta resultados gráficos.

Determina equivocadamente todas las raíces racionales de las ecuaciones polinomiales de cuarto grado.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre el problema de las costas de Mazatlán del Bloque 5A.

Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluya al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. El trabajo se elaboró con un procesador de texto como Word o bien se hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. 5. La gráfica de la función polinomial de cuarto grado correspondiente al problema se elaboró en una hoja de papel milimétrico o de cuadrícula chica o bien por computadora con los puntos suficientes y del tamaño apropiado que permita hacer un trazo suave y observar claramente dónde ocurre el máximo.

SÍ

NO

Observaciones


Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

109

6. Se presentan todos los pasos requeridos para determinar las coordenadas y las distancias pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 7. En la solución del problema utilizó tanto la división sintética como la división larga de polinomios. 8. Hace referencia en todo el desarrollo a la gráfica elaborada e interpreta en ella correctamente los resultados que va obteniendo.

Originalidad y creatividad 9. Compara los resultados obtenidos analíticamente con los obtenidos gráficamente.

Dominio del tema 10. Conoce el concepto de raíz de una ecuación polinomial. 11. Conoce el concepto de multiplicidad de una raíz de una ecuación polinomial. 12. Sabe calcular más factores de un polinomio si conoce uno(s) a partir de la división de polinomios.

Conclusiones 13. Determina correctamente las coordenadas de la Playa Sábalos. 14. Determina correctamente la distancia en línea recta entre la Playa Sábalos y la Playa Gaviotas. 15. Determina correctamente la máxima distancia de la lancha a la costa.


Fecha: ____________________

Guía de observación para los proyectos de trabajo de los Bloques 5A, 5B y 5C.

Profesor:


Alumno:



Desempeño a evaluar: Resolución de problemas con Funciones Factorizables. Instrucciones: Observa si la ejecución de


No. 1 2 3 4 5 6 7

Acciones a evaluar Determina a partir de la gráfica el monto de la ganancia máxima de la exhibición fílmica. Determina a partir de la gráfica el tiempo que tarda en alcanzarse el monto de la ganancia máxima de la exhibición fílmica. Indica qué significan los ceros de la función que relaciona la utilidad con el tiempo de la exhibición fílmica. Determina a qué distancia de donde soltó la bola el lanzador de béisbol alcanzó una altura de 60 cm, con respecto al piso. Calcula el tiempo en el que las ventas departamentales alcanzaron un total de 32 000 artículos. Expresa la función que modela las ventas departamentales durante un año en forma factorizada. Calcula cuándo las ventas departamentales fueron cero.

*No aplica.


Observaciones

6

BLOQUE

Aplicas funciones racionales


Función racional Dominio de definición de una función racional Asíntotas horizontales Asíntotas verticales Asíntotas oblicuas Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y oblicuas


n

n

Se valora a sí mismo y aborda problemas de función racional aplicados a distintos contextos.

n

n

Considera otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos, para la elaboración y resolución de problemas con funciones racionales.

n

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de distintos procedimientos. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

¿Qué sabes hacer ahora? De etiología aún desconocida, la pérdida progresiva progresiva de la memoria es un padecimient padecimientoo degenerativo del cerebro, reportado en 1906 por el neurólogo alemán Aluis Alzheimer. Se caracteriza por un déficit de neurotransmisores y pérdida de neuronas en zonas de funciones cognitivas, por la formación de placas seniles de proteínas animales que lesionan el cerebro. Se investigan como causas probable probabless factores genéticos, metabólicos metabólicos y agentes infecciosos.

PÉRDIDA DE LA MEMORIA 10 9 ) % 8 0 7 1 ↔ 6 1 ( 5 e j 4 a t n e 3 c r o 2 P 1 0

1

4 x2 − 8 x + 9 f ( x) =  0.5 x2 − x + 1

5.2 x2 + 6.3 x + 18 g ( x) =  x2 + 2

2 3 4 Edad en años (0 ↔ 15, 1 unidad = 15 años) (A) Normal (B) Alzheimer

(A) (B)

5

La gráfica muestra una función racional que describe la pérdida paulatina de memoria memoria en una persona adulta adulta que padece esta enfermedad.

n

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.


n

n

n

Identifica el dominio de definición de las funciones racionales y determina la existencia de asíntotas verticales. Emplea la calculadora para tabular valores de funciones racionales. Aplica los criterios para determinar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas y utiliza éstas para dibujar la gráfica de una función racional. Aplica las propiedades de las funciones racionales y su relación con rectas que son asíntotas para solucionar problemas teóricos o prácticos.

112

BLOQUE

6


6

A

BLOQUE

C uando uando dos personas se enamoran ocurre una transformación bioquímica en su

P( x ) Q( x )

La función f ( x ) =

x 2

x

+1

modela el porcentaje promedio de estas sustancias en una

persona recién enamorada.

Funciones racionales =

Enamoramiento

organismo y éste libera, en los periodos iniciales de esta etapa, sustancias como feromonas y dopaminas, que producen producen una doble sensación de aletargamiento e hi peractividad.

Conocimientos

Forma: y


; P( x x ) y Q( x x ) son polino-

mios; Q( x x ) no es una constante.

Ejemplo Racional y =

No racional 3

x + 2

y

2

x − 1

4 x =

−

1

2

Asíntotas

Las funciones racionales pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. BIOQUÍMICA ORGÁNICA

Una asíntota es una recta a la cual se aproxima la curva indefinidamente. La distancia entre ambas es cada vez menor conforme aumentan  x  o  y.

0.50 a b i r r a r o p e j a t n e c r o P

Ejemplos de asíntotas horizontales y verticales (en color rojo).

x + 2

y =

x

2

−

4

1

0.30 0.20 0.10 0

y



0.40

1

2

3 4 5 Tiempo transcurrido (meses)

6

7

8

Eje x = 0

2

y

Determina la cantidad global de estas sustancias presentes a los cinco meses. 4

2

−

x

0

−

1

= −

−

2

−

4

2

4

x

¿En cuánto cuánto tiempo, según este modelo, se alcanza el porcentaje máximo y cuál cuál es éste? x

=

1

Describe el comportamiento observado en la gráfica. ¿Disminuirá hasta cero el porcentaje de sustancias, conforme avanza el tiempo? Dominio de la función racional

Los números reales menos los ceros del divisor. En este caso: � - {1, -1}.


Igual que en cualquier cualquier función, los valores de una función racional racional se determinan sustituyendo la variable independiente por el valor especificado. ¿Cuál debe ser el valor de x para para el caso de la primera pregunta?

2.

Para las asíntotas horizontales se revisa el comportamiento comportamiento de los valores de la función para valores de x , muy grandes (a la derecha del origen) o muy pequeños (a la izquierda del origen).

Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Funciones racionales y sus asíntotas



1. La variable x designa el tiempo transcurrido en __________ (semanas, meses). Valuando f (5) (5) = __________ se sabe que al cabo de 5 meses la persona produce __________ % de dichas sustancias. 2. La gráfica exhibe que cerca de x = ción. Para confirmarlo calcula f ( ( valores f ( x ), para x próximas próximas a x = x ),

Haz un apunte en tu cuaderno con el desarrollo de todos los puntos de la secuencia didáctica.

se halla el valor máximo de la fun) = __________ y compáralo con otros .

2.

Investiga y ejemplifica cómo cómo utilizar los procedimientos aplicados en los puntos 2 y 3 para determinar las asíntotas verticales u horizontales de una función racional.

Valores mayores

3.

Trabajo adicional extra clase.

x

Busca ejemplos, e ilústralos con gráficas, de funciones racionales que:

f ( x x )

Izquierda

Derecha

3. Esto permite permit e suponer que el valor máximo es aproximadamente aproximada mente _________ ___________ % y se produce al cabo de _______ __________ ___ mes (meses). La gráfica muestra que, después de iniciar en 0% y alcanzar el mayor valor, la generación de estas sustancias comienza a ______________ (decrecer, aumentar) acercándose a __________ %. 4. La tabla siguiente exhibe que los valores en los meses siguientes tienden a ____ _____________ (rebasar, no rebasar) el porcentaje observado en el punto 3, por lo que ___________________________ (en algún momento, nunca) llegará a ser nuevamente nuevame nte de 0%. 8

10

50

100

1 0 00

5 000

f ( x x )

Proyecto de trabajo Rayos UV

La función


1.

Valores menores

x

113

L ( x )

6 x =

x

−

−

72

13

modela el porcentaje de rayos ultravioletas

que puede detener un bloqueador solar para la piel. Supón que te aplicaste el protector a las 10:00 a.m. a)

¿Después de cuánto tiempo se extinguirá el efecto de dicho dicho producto?

b)

¿Qué porcentaje de protección te brinda al momento de la aplicación?

c)

Si su efecto durara 4 horas, ¿habría alcanzado el producto 60% de protección al aplicarlo 2 horas antes, desde las 8:00 de la mañana? Argumenta tu respuesta. ) % ( V U s o y a R n ó i c c e t o r P

PROTECCIÓN SOLAR

6 5 % 4 0 1 3 ↔2 1 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 12

Tiempo (0 ↔ 10:00 a.m.; 1 unidad = 10 minutos)

a)

Carezcan de asíntotas.

b)

Posean 1 o 2 asíntotas verticales. verticales.

c)

Tengan Ten gan asíntota horizontal.

d)

Una rama atraviese atraviese a su asíntota horizontal.

114

BLOQUE

6



Funciones racionales

6 A

Las siguientes funciones son ejemplos de funciones racionales: f ( x )

=

2

g( x )

x + 1

x 1 −

x

2

−

x

equivale a f ( x )

1 =

,

x

que es más simple al no tener factores comunes: f ( x )

x 1

1( x 1)

−

=

x

2

−

1

−

=

x

x ( x

−

1)

=

.

x

2. Los criterios sobre funciones racionales que se estudiarán en este bloque sólo son aplicables a funciones SIN factores comunes.

a) La distancia entre ambas decrece, sin llegar a ser cero, al aumentar  x  o  y. b) La recta y la curva tienden a unirse mientras más se alejan del origen.

Así, el dominio de f ( x ) =

Horizontal: y = k. x = k.

, son rectas vertica-

les; y = 2, y = 0, y = -5, son rectas horizontales.

=

q( x )

2

x + 1

son todos los reales excepto x = -1.

Asíntotas

Una asíntota es una recta a la cual se aproxima la gráfica, al crecer indefinidamente  x  o  y. Una función racional puede tener asíntotas horizontales o verticales. La distancia entre la gráfica y la recta es cada vez menor, cuando:

Ecuación de una recta

2

x − 1

El valor excluido representa una recta vertical a la que se aproxima la gráfica de la función sin tocarla jamás. Tal recta se denomina asíntota.

Recuerda

1

2 x + 1

El dominio de una función racional excluye los valores de x que hacen cero su denominador.

| x | crece

=

4

+

p( x ) y q( x ) son polinomios en x , y q( x ) no es un polinomio constante.

Ejemplo 1

Así, x = -2, x = 0, x

2

=

p( x )

f ( x )

Proximidad curva-asíntota

Vertical:

−

x

h( x )

Forma de la función racional

1. Para simplificar el estudio de las funciones racionales se requiere que los polinomios p( x ) y q( x ) no posean factores comunes. =

2

x


Así, f ( x )

x =

AS NTOTA HORIZONTAL 6 y 5 1 f ( x) =  4 x 3 2 1 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6

ASÍNTOTA VERTICAL 6 y 5 1 f ( x) =  4 x 3 2 1 | y | crece

1 2 3 4 5 x

Cuando una gráfica tiene varias porciones, cada una recibe el nombre de “ rama”. La gráfica en este ejemplo tiene tres ramas.

1 2 3 4 5 x

Para graficar es útil calcular valores alrededor de las asíntotas verticales, pues de este modo se sabe hacia dónde crece o decrece la función.

Ejemplo 1

Identificación de asíntotas

Encuentra en la gráfica las asíntotas verticales y horizontales, y escribe su ecuación. Solución


−5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6

9 7 5 3

Horizontales: la recta y = 1 Verticales: las rectas x = -3 y x = 3.

y

9

−

1 7 5 3 1 1 3 1 3

−

−

−

−

−

−

5

−

7

−

y

x

2

= 

x

2

−

9

5 7 9 x

115


Ejemplo 2 Traza la gráfica de f ( x )

Ejemplo 2

Dibujando la gráfica de una función racional 2 x =

x 2


.

−

1. El denominador x - 2 = 0, cuando x = 2.

Solución

Su dominio son todos los reales, excepto x = 2.

Asíntotas verticales

Se hallan los ceros del denominador.

El valor excluido indica que la asíntota vertical es la recta x = 2. Tabulamos algunos valores alrededor de x = 2, y más allá, para valores grandes de  x  (es decir, lejanos a izquierda y derecha del origen). Alrededor de x = 2

1.5 -6

x y

1.9 -3.8

2.5 10

-

2.1 42 y

+

=

8 y 7 6 5 4 3 2 1

2

Alejados del origen x y

-100 1.96

-200 1.98

100 2.04

2

6

4

−

200 2.02

2

−

−

2. También puedes escribir el dominio así: �

2 x

y

Recuerda

= 

x

−

2

•

Te debes acercar a ésta tanto por la izquierda como por la derecha.

x

2

1 2 3 4 5 6

−

4

Para conocer el comportamiento en torno a una asíntota vertical:

6

− −

x

=

1.5

2

−

2

1.9

2

2.1

2.5

− −

Izquierda

A la izquierda y muy cerca de x = 2, la gráfica baja; sube del lado derecho. Lejos del origen la gráfica se aproxima a y = 2, su asíntota horizontal. Con las asíntotas y algunos valores más se dibuja fácilmente la gráfica. Función racional sin asíntotas verticales

Determina las asíntotas de la función f ( x ) =

2

+

Para detectar si existe asíntota horizontal:

Te alejas a izquierda y derecha del origen.

6

x

Derecha

Así averiguas si la función sube o baja al aproximarse a la asíntota vertical. •

Ejemplo 3

- { 2}, o bien, ( - α, 2)  (2, α).

3

y traza su gráfica.

-200

-100

0

100

200

Solución

El dominio de esta función son todos los reales: el denominador x 2 + 3 nunca será cero debido a que es la suma de dos números positivos. Por tanto, no existen asíntotas verticales. Valuamos la función en valores muy grandes de x , a izquierda y derecha del origen, para averiguar si existe asíntota horizontal.

-100 0.0006

x y

-200 0.0001

100 0.0005

0

200 0.0001 0 y

6

3

y =

 2 x +3

2

Para graficar calculamos algunos valores:

y

-3 0.5

-2 0.8

-1 1.5

0 2

1 1.5

2 0.8

1

3 0.5

Derecha

Si la función tiende a un mismo valor, éste corresponde a la asíntota horizontal.


Al alejarse del origen, la función se acerca al valor y = 0, su asíntota horizontal.

x

Izquierda

−4

−3

y

=

−2 −1

0

1

2

3

4 x

1. La asíntota horizontal de esta función es el eje x . (Recuerda que y = 0 es la ecuación del eje x , lo que significa que todos sus puntos tienen ordenada cero.) 2. Cuando x = 0 obtienes la intersección con el eje y. En este caso resulta

−1 −2 −3

6 y =

2

x + 3

= 2

.

116

BLOQUE

6


Ejemplo 4


1. La gráfica y la tabla muestran que conforme aumenta la producción x de azúcar, el costo promedio por tonelada disminuye y se aproxima a $6 450.00. 2. Una producción inferior a 10 toneladas tiene un costo promedio por tonelada muy alto debido a los gastos fijos iniciales.


1. La industria azucarera es la primera agroindustria del país, ya que genera 450 mil empleos directos y proporciona trabajo a más de dos millones de personas en la cadena productiva.

El costo en miles de pesos por producir x toneladas de azúcar refinada en un ingenio azucarero, puede representarse con la función C ( x ) = 14 400 + 6 450 x . Esta función considera un gasto fijo inicial por operación de maquinaria, equipo y herramienta, más gastos de administración, por $14 400.00 y un costo de $6 450.00 por producir cada tonelada de azúcar. a) Expresa como función de x el costo promedio para producir una tonelada de azúcar y dibuja la gráfica de dicha función. b) Halla el costo promedio por tonelada cuando el ingenio alcanza una producción de 120 toneladas de azúcar. Solución

a)

Para obtener el costo promedio C ( x ) se divide el costo total entre la cantidad de toneladas producidas: C ( x )

2. Con 58 ingenios distribuidos en 15 estados (22 en el estado de Veracruz), alcanzó una producción de 800 mil toneladas en el año 2005. 3. La azúcar como producto se utiliza en la elaboración de alcohol, levadura, ácido cítrico y otros subproductos como el jarabe y la melaza.

Industria azucarera

=

14 4 00 + 6 4 50 x

INDUSTRIA AZUCARERA

x 12 000

La gráfica posee una asíntota vertical en x = 0 (eje y). Tabulamos algunos valores positivos para x :

) a d 10 000 a l e n o t 8 000 r o p 6 000 ( o i d e 4 000 m o r p 2 000 o t s o C

10 30 100 150 C ( x ) 7 890 6 930 6 594 6 546 x

b)

C (120)

4. El sector industrial del país (refrescos, galletas, pan, dulces y jugos) consume 60% de la producción, en tanto que 30% se destina al uso doméstico y 10% restante se exporta a otros países.

=

14 400 + 6450(120)

0

x

20

40

60

80

100 120 140

Producción (tonelada)

= 6 570 pesos.

Autoevaluación 6A

En los ejercicios 1 y 2 traza las asíntotas verticales y horizontales de las gráficas y escribe la ecuación de cada recta.


1.

1. y 2. Observa dónde corta cada recta al eje

coordenado para determinar su distancia k a éste; después escribe la ecuación x = k o y = k , según corresponda. las asíntotas verticales debes igualar cada denominador con cero y resolver la ecuación correspondiente. Revisa el ejemplo 2.

2.

5 y 4

y

4

3

3

2

2

1

1 x

−5 −4 −3 −2 −1 −1

3. a 5. Para

1

2

3

4

x

5

−4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−3

−3

−4 −5

−4

1

2

3

En los ejercicios 3 a 5 escribe la ecuación de las asíntotas verticales. 3. f ( x )

x =

x 4 −

4.

g( x )

3 x

−

=

x

1

5.

h( x )

2 =

3 x 1 −

4


En los ejercicios 6 a 8 obtén para cada función: a) su dominio, b) sus asíntotas horizontales y verticales, y c) su gráfica. 6.

2

5

−

y

7.

=

y

2 x

=

x

2

x

−

8.

4

y =

y

=

1

−

x

10.

y =

x

I.

4 x − 1 x + 1

II.

9 8 7 6 5 4 3 2 1

11.

3 2 1

−6−5−4−3−2 −−11 1 2 3 4

x

( x

− 1)( x +

3)

2 1

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

1 2 3 4

En los ejercicios 12 a 14 se trasladó la gráfica de

6 y

=

1 2 3 4

: a) Halla la ecuación de

x

cada función y b) obtén las ecuaciones de sus asíntotas. 12.

13.

14.

7 6 5 4 3 2 1

−10 −9 −8 −7 −6 −5−4 −3−2 −1 −1 −2 −3 −4 −5

15.

5 4 3 2 1

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 2 3

−7−6−5−4 −3 −2−−11 1 2 3 4 5 6 7 −2

−3 −2 −11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 − −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8

Asocia la función con la gráfica. 2

a)

y =

x

x + 3

b)

y

y

x =

2

x

−

3

9

2 1

−4 −3 −2 −1 0 −1 −2 −3 −4

1

cada denominador con cero y resuelve la ecuación resultante. Excluye estos valores del conjunto de los reales. cada gráfica. Examina después si existe alguna asíntota vertical con algunos valores grandes para  x . En el ejercicio 11 aplica la propiedad del producto cero en el denominador.

x + 6

III.

4

−5 −4 −3−2 −1 −1 −2 −3 −4

y =

6. a 8. Iguala

9. a 11. Determina las asíntotas verticales de

3 x − 1

En los ejercicios 9 a 11 asocia cada ecuación con su gráfica. 9.

117

2

3 x

12. a 14. Aplica los criterios de traslación de

gráficas del segmento 2C. Observa que las asíntotas se trasladan junto con la gráfica, de la misma manera que ésta.

118

BLOQUE

6


6

B

BLOQUE

Conocimientos

Fútbol americano

Situación didáctica La gráfica de la función

H ( x )

x =

2

+

0.3 x + 0.8 2

x

+1

describe la deshidratación de un

jugador de fútbol americano hacia el final de un partido (valores negativos de x), así como su recuperación (valores positivos de x) después de ingerir líquidos una vez concluido el encuentro (cuando x = 0).

Asíntotas horizontales

No todas las funciones racionales poseen asíntota horizontal. Cuando existe, ésta es única. Para que una función racional posea asíntota horizontal, debe ocurrir: Existencia de asíntotas horizontales

El grado del numerador debe ser menor o igual que el del denominador. Obtención de estas asíntotas

REHIDRATACIÓN

a) Cuando es menor el grado del numerador la asíntota es el eje x. b) Con grados iguales, es y

a =

b

l a 1.33 m r o n 1 n i o ó d i c e a t m 0.67 a r o d r p i H l 0.33 e v i n

.

a, b = Coeficientes principales.

=

1

Ejemplos Función y =

y =

x + 2 2

x − 1

2 1 0 1 2 Tiempo (1 unidad 15 minutos) −

−

3

4

¿Hasta cuánto descendió la pérdida de líquidos por efecto de la transpiración?

Asíntota horizontal y = 0 (eje x )

¿Cuánto tiempo después del término del partido alcanza el promedio normal de hidratación?

5 y

=

¿Cuál es el promedio de hidratación del jugador respecto del promedio general denominado normal?

3

(No existe asíntota horizontal si el numerador tiene el grado mayor.)


¿Entre qué valores enteros de x se halla el punto más bajo de la gráfica? ¿Qué indica este punto? ¿Podrías obtener su ordenada? ¿De qué manera?

2.

¿Cuál valor en el eje y corresponde al promedio normal de hidratación de una persona? ¿De dónde obtienes este dato?

3.

¿Tiende a estabilizarse alrededor de algún valor particular el nivel de hidratación del jugador?

Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Asíntotas horizontales de funciones racionales

3

−

=

5 x − 1 3 x + 2

4

−



1. En la gráfica se aprecia que el valor mínimo de hidratación se halla entre los valores de x correspondientes a ________ y ________ .

+ El punto medio entre ambos, ——————— = 2 para explorar valores de la función a su alrededor.

1.

es un referente


Presenta en limpio en tu cuaderno de matemáticas, la resolución de la secuencia didáctica, con todas las operaciones y desarrollos necesarios: a) Tabla

Valores menores

Valores mayores

Izquierda

Derecha

completa y los cálculos para cada entrada.

b) Los

pasos seguidos para resolver simultáneamente el sistema de ecuaciones del punto 3.

x H ( x )

2. En esta tabla, para x = _________ el valor mínimo es H ( x ) = _________ . Así, la hidratación corporal del jugador descendió, aproximadamente, hasta _________ % de su promedio normal. 3. El promedio normal de hidratación se ubica en la ordenada y _____________ (que indica ________ %). La ecuación de la recta horizontal que describe este promedio es y = . Su intersección con la gráfica de la función , H ( x ) se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones y = y =

x

2

+

0.3x + 0.8 2

x + 1

. Su solución x =

permite saber que al cabo

de x = × 15 = _____________ minutos el jugador alcanzó el promedio normal de hidratación. 4. El promedio personal de hidratación del jugador tiende a la asíntota __________ (vertical, horizontal) de la función H ( x ). Esta asíntota, y = ——— = ________ indica que es _________ % del promedio normal.

Proyecto de trabajo Cereales para bebés x cajas

En un superalmacén, el precio con descuento al mayoreo por

de cereales, se obtiene con menudeo; y = precio por caja).

y =

69 x + 135

a)

¿Cuál es el precio sin descuento?

b)

Calcula el precio para 100 cajas.

c)

¿Tiene un límite el precio al mayoreo?

3 x + 5

119

( x en cientos; x = 0 ↔ precio al

c)

2.

El criterio empleado para la obtención de la asíntota horizontal en el punto 5.

Explica la razón de la conversión de unidades realizada en el punto 3 para la obtención de minutos.

120

BLOQUE

6



6B

Asíntotas horizontales Es fácil saber si la función racional parando los grados de p( x ) y q( x ):

y

El de p(x) es mayor

Una función racional sólo puede tener UNA asíntota horizontal.

posee o no una asíntota horizontal, com-

q( x )

Son iguales

2

Fíjate en lo siguiente... Cantidad de asíntotas h orizontales

p( x )

=

f ( x )

x =

x

−

g( x ) =

4

El de q(x) es mayor

5 x + 1

h( x )

6 x − 1

Se obtiene así: y =

No hay asíntota horizontal.

5

2 =

x

−

1

La asíntota es el eje x .

6

Estos criterios pueden resumirse como sigue: Asíntotas horizontales


Si en la función f ( x ) =

1. Cuando en una fracción el numerador crece más rápidamente que el denominador, su valor crece sin límite. Ejemplo: 200 4000 10 000 ; ; 1 2 3

→∞

(→ ∞: tiende a infinito) 2. Si el denominador aumenta mucho más, entonces la fracción disminuye y su valor tiende a cero.

200

2

;

3

4 000 10000

→ 0

1. 4 tiene grado 0; 6 x - 1 tiene grado 1. 2. Si los grados son iguales, la asíntota es: coeficiente principal del numerador y = ———————————————— coeficiente principal del denominador

+

... + b0

n>m

f ( x ) NO posee asíntota horizontal.

2.

n=m

la asíntota es la recta y

3.

n
la asíntota es el eje x .

a =

b

.

Determinación de asíntotas horizontales

a)

2

5 y =

b)

2

x + 2

y

2 x =

−

2

x

−

1

16

2

c)

y =

4 x

x + 2

Solución

Mayor grado: el denominador . El eje x es la asíntota horizontal.

b) Grados iguales. La recta y

Recuerda

m

... + a0

Indica si las siguientes funciones poseen asíntota horizontal y, de ser así, escribe sus ecuaciones.

a)

Ejemplo 1

bx

+

ciones la asíntota horizontal puede atravesarla.

(→ 0: tiende a cero) 3. En una función racional, el numerador o denominador aumenta más que el otro cuando su grado es mayor .

n

1.

Ejemplo 1 ;

q( x )

=

ax

Al contrario de las asíntotas verticales, que nunca tocan la gráfica, en algunas fun-

Ejemplo: 1

p( x )

c) a)

=

2 1

= 2 es la asíntota horizontal.

Mayor grado: el numerador . No posee asíntota horizontal. 4 3 2 1

−4 −3 −2 −1 −1 −2

b)

y

1 2 3 4x

8 y 7 6 5 4 3 2 1

c)

x

−7 −6 −5−4−3 −2 −−11 1 2 3 4 5 6 7 −2 −3 −4 −5

56 y 48 40 32 24 16 8 x −9−8 −7−6−5−4−3−2−−18 1 2 3 4 5 −16 −24 −32 −40 −48 −56 −64

121


Ejemplo 2

Ejemplo 2

Dibujando gráfica y asíntotas

Obtén las asíntotas de f ( x ) =

2 x

x

2

−

x + 1

Recuerda

y dibuja su gráfica.

1. Cómo resolver x 2 - x + 1 = 0 con la fórmula:

Solución

Asíntotas verticales:

Asíntota horizontal:

hacemos x 2 - x + 1 = 0. La solución de esta ecuación son números complejos. No hay asíntotas verticales. como el denominador tiene el grado mayor, la asíntota es el eje x (es decir, la recta y = 0).

2

x =

1± 1

2(1)

Eje y.

2 x

0

3

= x

2

Haciendo x = 0, se obtiene y = 0, es decir, nuevamente (0, 0).

2

0( x 2- x + 1) = 2 x

1

−4 −3 −2 −1

1

2

3

4

x

y

2 0.57

1 0.66

1 2

2 1.33

y =

3 0.85

2

=

1±

3i 2

Despejando

0 = 2 x

Multiplicando

0 = x

Dividiendo entre 2

2(0) 0

2

−

0 y

Ejemplo 3

−3

Eje y: se hace x = 0:

Tabulamos algunos valores: 3 0.46

1±

Igualando con cero

− x + 1

−1

x

=

2. Para hallar las intersecciones con los ejes:

y

Al hacer y = f ( x ) = 0 se obtiene x = 0. La intersección es (0, 0).

4(1)(1)

Eje x : se hace y = f ( x ) = 0.

Para graficar es útil conocer si hay intersecciones con los ejes: Eje x .

−

=

1

=

Sustituyendo

0 +1

Simplificando

0

Dibujando la gráfica de una función racional

Obtén la gráfica de la función

y


x =

2

x

−

9

La gráfica en este ejemplo corta a su asíntota horizontal en (0, 0).

Solución

Se verifican tres aspectos: 1. Asíntotas

Ejemplo 3

Verticales: ceros del denominador: 2 x - 9 = 0. Asíntotas: x = 3 y x = -3. Horizontal: grado mayor: el Asíntota: el eje x .

5

y

Recuerda

4

denominador.

3

1. Despejas x en x 2 - 9 = 0, así:

2 1

2. Intersecciones con los ejes Eje x : se hace y = 0. Se obtiene (0, 0). Eje y: se hace x = 0. Se obtiene (0, 0).

3. Tabulación

−5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5

2

x 1

2

3

4

y

4 0.57

3.5 1.07

2.5 0.90

2 0.40

= 9;

x

= ±

9;

x = ± 3.

2. Calculas valores alrededor de las asíntotas verticales para determinar hacia cuál lado baja o sube la gráfica. Observaciones importantes

Valores cercanos a las asíntotas verticales: x

5 x

2 0.40

2.5 0.90

3.5 1.07

4 0.57

Los criterios para hallar la asíntota horizontal evitan calcular valores grandes para  x .

122

BLOQUE

6


Ejemplo 4


1. La función muestra el porcentaje de residuos que permanece. 2. Si la gráfica desciende hasta un tope de 17.14, significa que sólo se limpió 100 - 17.14 = 82.86%.

La función

p( x ) =

Derrame petrolero

240 x + 1 400 14( x + 1)

representa el porcentaje de residuos de hidrocar-

buro que permanece en el mar después de ocurrir un derrame en un buque cisterna transportador de petróleo, y de efectuarse durante cuatro meses las tareas de recuperación y limpieza por parte de la empresa responsable. Transcurrido ese tiempo, el proceso continúa más lentamente por la acción natural de los procesos de biodegradación.

CONTAMINACIÓN MARINA

100 90 80 o d 70 a n i 60 m i l 50 e e j a 40 t n e 30 c r o 20 P 10

a) ¿Qué 1

2

3

4 5 6 7 8 Tiempo transcurrido (meses)

9

10

11

porcentaje de residuos de petróleo queda al concluir el cuarto mes de la operación de limpia? b) Al cabo de un año, ¿podrán disminuir a 10% los contaminantes? c) ¿Cuál es el máximo porcentaje de limpieza que se puede obtener de acuerdo con este modelo?

12

Ampliando el conocimiento Solución

1. En las funciones polinomiales el término constante corresponde a la intersección- y de su gráfica: Así, la intersección- y de y = x 2 - 3 x + 5 es 5. 2. En las funciones racionales el cociente de los términos constantes corresponde a la intersección- y de su gráfica. 3

La intersección- y de y = y

4 =

2

=

x + 4 x − 2

es

a) p(4) =

240(4 ) + 1 400 14(4 + 1)

=

33.71% (menos de la mitad del total inicial).

b) No. P(12) = 23.51%. c)

Como los grados del numerador y el denominador son iguales, la función tiene 240

una asíntota horizontal en y =

14

= 17.14 . Esto significa que quedarán cerca de

17% de contaminantes por lo que la disminución alcanzará un máximo aproximado de 83%. Autoevaluación 6B

2

−

−

Intersección-y en la función racional

En los ejercicios 1 a 3 asocia cada función con su gráfica analizando sólo las asíntotas horizontales.

c

Se obtiene con : d

2

1. f ( x )

c =

término constante del numerador d = término constante del denominador (d ≠ 0) Cuando es cero el término constante en el denominador no existe intersección- y, pues no es posible dividir entre cero. (En esos casos, el eje y es una asíntota vertical, por eso la gráfica no lo corta. Se tiene x = 0.)

=

x

x + 4

I.

5 x + 1

3.

6 x − 1

II. 4

−1

2

3

−1

2 1

2

3

4

x

−

1

−2 −3

−2

x

−10 −9−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2−−18 1 2 3 4

1

−3 −2 −1 −1

−4

2 =

56 y 48 40 32 24 16 8

y

x

h( x )

III.

4 y 3

1

−3 −2

g( x ) =

2.

1

2

3 x

−16 −24 −32 −40 −48 −56 −64

123



En los ejercicios 4 a 6 obtén todas las asíntotas horizontales y verticales de cada función. 4.

y =

2

4 2

2 x

+

5.

1

y

2 x =

−

2

x

−

2

1

6.

16

2 x

−

y

=

6 x

−

1

4. a 6. Para las asíntotas verticales iguala con

En los ejercicios 7 a 12 asocia cada función con su gráfica. 2

7.

y =

10.

y =

2

x + 1

8.

2

x − 16

4 2

2 x

+

11.

1

I.

y =

y

−2 x

−

2( x

−

2 1 3

4

IV.

1)

2

x − 16

y

x

−

=

x

−

1

1

7. a 12. Examina sus asíntotas y la intersección con el eje y como se explicó en el

margen del ejemplo 4 de este segmento. 11.

7 6 5 4 3 2 1

−4−3 −2 −1

1 2 3 4 5

V.

−6 −5 −4−3−2−−11 1 2 3 4 5 6 −2 −3 −4

13. a 15. Revisa

−5−4−3 −2 −1

1 2 3 4

x

y = x

2

14.

− x + 1

y =

−4 2

−7 −6 −5−4−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 −1 −2 −3 −4

2 x

+

1

15.

y

15.

Calcula valores en el intervalo de -2 a 1 (alrededor del cero x = 0). ¿Cuánto valen H (0) y H (1)? b) Aproxima en la gráfica el valor en el punto de cambio (tangente horizontal). c) Compara realidad vs. gráfica (asíntota). d) Resuelve la ecuación H ( x ) = 10 000. Guíate con el ejemplo 3 de este segmento. Intersección- y. b) Calcula G(50). c) ¿Existe alguna asíntota hacia la cual tiendan todos los valores?

17. a)

5 x =

el ejemplo 3 de este seg-

mento.

En los ejercicios 13 a 15 dibuja la gráfica de cada función. 13.

asíntotas;

16. a)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Efectúa el producto en el denominador.

12. Hazlo de dos formas: a) con b) factorizando o dividiendo.

VI.

6 5 4 3 2 1

−6 −5−4−3 −2 −−11 1 2 3 4 5 6 7 −2 −3 −4 −5 −6 −7

12.

cero el denominador; para las horizontales compara los grados del numerador y el denominador. Revisa el ejemplo 2.

+1

3

4

7 6 5 4 3 2 1

3

2

y =

3 x

III.

4

1

9.

2

II.

−4 −3 −2 −1 −1

2

+1

x − 16

6 x =

1. a 3. Revisa el ejemplo 1.

3

x

−

1

Durante la Semana Santa la ocupación hotelera en Cancún alcanza su máximo, como indica la gráfica de la función

16. Ocupación hotelera

H ( x )

70 000

=

2 x

2

−

, que modela la disminución paulatina en los meses

8 x + 10

siguientes de temporada baja hasta octubre. a) ¿Cuál fue la ocupación durante el mes de enero? ¿Y en febrero? b) ¿En qué mes se obtuvo la máxima demanda y a cuánto ascendió? c) ¿Sirve esta función para calcular la afluencia turística en diciembre? d) ¿En qué meses la ocupación alcanzó 10 000 habitaciones? Para evitar la extinción de los gorilas en África se han creado programas de protección en reservas dentro de su hábitat natural.

17. Preservación de especies

La función

G ( x )

=

91.8 x + 84 0.60 x + 3

representa el aumento en la población de esta

especie al reubicar un grupo en un parque natural. a) Dibuja la gráfica y halla la cantidad inicial de individuos de esta especie. b) ¿En cuánto tiempo la población aumentará a 50 gorilas? c) ¿Cuál es el límite de aumento previsto para la estabilidad ecológica?

s a d a p u c o s e n o i c a t i b a H

TURISMO HOTELERO

36 864 32 768 28 672 24 576 20 480 16 384 12 288 8 192 4 096 0

1

2

3 4 5 6 Meses (0 ↔ enero)

7

8

9

124

BLOQUE

6


6

C

BLOQUE


Aserradero y equipo

U n aserradero adquiere equipo y maquinaria para el corte de madera, que va perdiendo valor conforme transcurren los años, hasta que su valor contable es cero, como indica la gráfica de la función esta depreciación.

D( x )

=

−x

3

+

2x

x

2

2

+

+

20 x + 20

4 x + 4

, que modela

Conocimientos Asíntotas oblicuas

Son rectas que son asíntotas de la curva, pero que no son horizontales ni verticales. Cuando existe, ésta es única. Para que una función racional posea asíntota oblicua debe ocurrir: Existencia de asíntotas oblicuas

El grado del numerador es mayor en 1, que el del denominador.

DEPRECIACIÓN DE MAQUINARIA 5 ) s o o s p i e u p q 0 e 0 l 0 e d 0 r 2 o l a V 1 (

Obtención de estas asíntotas

El cociente mx + b de la división de los polinomios se iguala con y.

4 3 2

↔

1 0

Ejemplo

1

2 3 4 5 Tiempo (1 ↔ 3 años)

6

2

La función

y =

x + 3 x + 1

posee una asíntota

¿Cuál es el valor inicial del equipo y herramienta? ¿Cuánto se ha depreciado al cabo de 12 años?

oblicua. Como el cociente de la división es x - 1, la asíntota es y = x - 1.

¿Existe un modelo lineal L( x ) que aproxime los mismos valores que la función D( x ) y pueda ser utilizada en vez de ésta? Identifícala en una gráfica.

y

8

Calcula el valor del equipo al cabo de 12 años y de 9 años, utilizando ambos modelos. ¿En cuánto difieren?

4

2

−

0

2

4

y

−

=

4 x

−

x

1

8


−

1.

¿Qué representa la función D( x )?, ¿qué denota la variable x ?, ¿con qué valor comienza?, ¿qué indica cada valor de la variable y = D( x )?, ¿cuáles son las unidades de conversión para los valores de x ?

2.

¿Posee algún tipo de asíntota la gráfica de la función D( x )?, ¿cuál?, ¿de qué forma se aproxima la gráfica a dicha recta?, ¿son similares sus valores en algún momento?, ¿cómo podrías verificar esto?

Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Asíntotas oblicuas de funciones racionales



1. El valor inicial del equipo es el de su adquisición. Se obtiene cuando han transcurrido 0 años, es decir: D(0) =

−(

)

3

+

2( )

( )

2

+

2

+

20( ) + 20

4( ) + 4

=

=

_________ ,

que equivale a _________ × _________ = $ ______________ . 2. Para calcular el valor al cabo de 12 años, no puede utilizarse x = 12 en el modelo, pues este valor correspondería a _____ años. Debe _________________ (multiplicarse, dividirse) por _________ . Resulta x = . Calculando la función en este valor se obtiene: D(

)

−

3

+

=

2

2 2

+

+

20

4

+ +

4

20 =

=

que equivale a _________ × _________ = $ ______________ . 3. La curva posee una asíntota oblicua debido a que el ______________________ ___________________________. Conforme aumente x , ambas gráficas tomarán valores muy ______________ (diferentes, parecidos). Al dividir los polinomios su cociente conduce a la ecuación de la asíntota: y = - x + ___________ = g( x ). (Indica en la gráfica el valor de las cuatro intersecciones con los ejes.) 4. Al reemplazar en la ecuación de la asíntota x = (que representa12 años), se obtiene g( ) = ______________ = $ _________________ . Este valor resulta ______________ (parecido, muy diferente) al obtenido en el punto 2. Para 9 años se toma x = _________________ . El valor de la función racional en ese punto es de ____________ = $ _______________ y para su asíntota es: ______________ = $ ______________ .

Proyecto de trabajo Cada año la mariposa monarca viaja 4 500 km de Canadá a nuestro país, para reproducirse. La cantidad de ellas (en millones) en los bosques Mariposa monarca

de oyamel de las reservas naturales, puede calcularse con ( x = 0 ↔ año 2000). a)

Dibuja la gráfica de esta función.

b)

Interpreta la intersección- y.

c)

¿Cuántas mariposas habrán en 2050?

y =

− x

2

+

559 x + 562 x + 1

1.

125


Elabora un apunte en tu cuaderno de matemáticas donde registres todos los cálculos y operaciones necesarias para la respuesta de cada punto de la secuencia didáctica. En particular la división del punto 3 y el cálculo de valores para el punto 4.

2. Opcional Trabajo extra clase. a)

¿Por qué una función racional no puede tener una asíntota horizontal y una oblicua?

b)

Ilustra gráficamente casos donde cada uno de estos tipos de asíntota aparecen junto con asíntotas verticales y el caso en que una asíntota oblicua atraviesa una parte (rama) de la gráfica de la función. y

x

126

BLOQUE

6



6C

Asíntotas oblicuas La gráfica de la función

y =

x

2

+

2 x + 1

muestra que tiene una asíntota oblicua, es

x

decir, una asíntota que no es horizontal ni vertical. 7 6 5 4


El algoritmo (o regla) de la división establece:

y = x +

Dividendo = divisor × cociente + residuo

2

1

−5 −4 −3 −2 −1 −1

1 2 3

4 5

6

−2

De aquí, se obtiene:

−3 −4

dividendo residuo ————— = cociente + ———— divisor divisor

Para determinar si existe una asíntota oblicua se debe observar lo siguiente:

Por ejemplo, al dividir 9 entre 4: 9 = 2 × 4 + 1

3 2

y

9 2

=

Asíntotas oblicuas 4

Si en una función racional el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador, la función tiene una asíntota oblicua.

1 +

2

Con los polinomios se hace lo mismo.

Con la división y su algoritmo se obtiene la asíntota oblicua: y

Ejemplo 1

=

x

2

+

2 x + 1

x

=

( x + 2)

+



1

x 

Cociente Residuo / divisor

Recuerda

1 Cuando x crece mucho, los valores de y se aproximan a x + 2, pues tiende a cero. x Así, y = x + 2 es su asíntota oblicua.

1. Al dividir polinomios sigues los mismos pasos que cuando divides números. 2. Ambos deben estar ordenados en forma decreciente (o creciente).

a) Se obtiene al dividir, en cada paso, los términos indicados en azul. b) Se multiplica por todo el divisor y se resta dicho producto en las filas inferiores. Paso

Inicio: x = x2 ÷ x

x x −

1

+

2 x +

2 x − 1

2 − x + x Producto x ( x - 1): ___________ 3 x - 1 3, 4 Restas; divides 3 x ÷ x :

Producto 3( x - 1): Restas:

Determina cuál función posee una asíntota oblicua y halla su ecuación.

−3 x +

a)

y =

x − 1

b)

x + 2

y =

x

2

+

2 x − 1

x − 1

Solución

a)

No. Los grados del numerador y el denominador no difieren en 1.

b)

Sí. Los grados difieren en 1.

Dividiendo:

3

2*

5* 6

Obtención de la asíntota oblicua

3

Cada término del cociente:

1

Ejemplo 1

y = ( x +

3) +

y =

2

2

1

+ x −  x −

x

1

8 7 6

2 x − 1

5

La asíntota oblicua es y = x + 3.

y = x

3

+

4 3

3

2 1

2

(* Para la resta cambias el signo al producto.)

9

5 −4

−

−

3

2

−

1

− −

1 −2

1 2

3

4

5 6

7

127


Ejemplo 2

Ejemplo 2a)

Hallando asíntotas oblicuas

Obtén las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones: a) f ( x )

=

2x

−

2

5x + 120

+

b)

x

Fíjate en lo siguiente… x

g( x )

2

−

5 x

=

x

−

1

1. Puedes dividir en dos formas:

1

−

Solución

a)

La función posee una asíntota oblicua, pues el grado del numerador es mayor en una unidad que el del denominador. Dividiendo se obtiene

b)

120

−2

x + 5 −

a) Cada término del numerador entre el término único del denominador: −2 x

2

+

. La asíntota es y = -2 x + 5.

x

2

5 x − 120

=

x

g( x ) = ( x −

a)

y = −2 x

2

+

96 80 64 48 32 16

y

y =

2

5

−

4) + 2

( x − 1)

5

120

− x + x − 

x

y =

−

x

5 x 1 1

x

5 4 3 2 1

−

−

−

−

−

96 −80 −64 −48 −32 −16

16 −32 −48 −64 −80

1 2 3 4 5 6 7

y

x

=

4

1 2 3 4 5 6 x

−2 x

+

5 x − 120

+

5 x − 120

+

5 x 120

= −2 x +

x

5

120 −

x

   



Cociente Residuo / divisor

2. La recta y = -2 x + 5 tiene pendiente negativa m = -2, por lo que desciende hacia la derecha. Su ordenada b = 5 indica dónde corta al eje y.

− −

Obteniendo todas las asíntotas y =

x

Solución

3

2x

+

2

− x

2

x − 1

y traza su gráfica.

Ejemplo 2b) Puedes dividir de dos formas:

1. Asíntotas

1. Utilizando división sintética

2

- 1 = 0 produce x = -1 y x = 1. Horizontal. No hay. El numerador tiene mayor grado que el denominador. Verticales. Existen dos: x

Oblicua. Escribimos

y = ( x +

2) +

2 2

( x

− 1)

Eje x : se hace y = 0. Al resolver la ecuación se halla x = ? y x = ? Eje y: Al hacer x = 0 se obtiene y = 0.

3

y

2

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

2

x + x − x =  2 x −

1

3. Tabulación

Para ubicar valores cercanos a las asíntotas, dibujamos éstas en una gráfica.

−5

4

−

−

3

2

−

x =

−

1

−

1

1 −2 −3 −4 −5 −

y

0.5 0.16

1.5 5.1

2 4.66

    

2. Usando división larga: y

= x +

x −

2 x −

1

x

− x

1

2 x =

3

4

2 2

x

4

− + −

5 x − 1 x

4 x − 1 4 x − 4

1

−

x

1.5 2.1

-1 -4 1 -5 -5 ( x - 4) + _____ ( x - 1)

      

2.5 0.12

-5 1 -4

1

1

. La asíntota es y = x + 2.

2. Intersecciones con los ejes

y

120 −

−

Halla las asíntotas de la función

2 0.66

2 x

2

5

−

Ejemplo 3

x

2

−

−

2

+

−

−

16 32 48 64 80 96

x −2 x

−

−

x −

4 3 2 1

−

−

5

x

x

y



x

= −2 x +

−2 x 2

120 −

b) Usando división larga:

. La recta y = x - 4 es la asíntota. b)

5 x +

x

La diferencia entre el grado del numerador y el del denominador es 1. Esto indica que g( x ) tiene una asíntota oblicua.

Dividiendo:

−2 x

2

−

5x − 1

x − 1

=

5

( x − 4) +   

5

−

( x − 1)   

Cociente Residuo/ divisor

128

BLOQUE

6


Ejemplo 4


1. La recta recta y = 0.70 + 0.01 x es es creciente porque su pendiente m = 0.01 es positiva. pos itiva. 2. Es más simple dividir dividir cada término del numerador entre el término único del denominador: 0.5 + 0.70 x

+

Construcción de viviendas

Una compañía constructora desarrolla un proyecto para la edificación de viviendas, cuyos costos variables y fijos están expresados por la función C ( x x ) = 0.5 + 0.70 x + 2 0.01 x , donde x está está expresado en millones de pesos. Mientras más casas construya, sus costos disminuirán, pues aprovechará al máximo la infraestructura existente en maquinaria, equipos y personal. Construir más allá de cierta cantidad implicaría aumentar sus costos, pues tendría que invertir en infraestructura, reduciendo sus ganancias.

2

0.01x

CONSTRUCCIÓN DE VIVIENDAS

4

x

=

0.5

+

3

(0.70 + 0.01 x )

o i d e m o r 2 p o t s o C

x

3. Como x está expresado en millones de pesos:

1

(1) = 1.21 = $1 200 000; C (1) (10) = 0.85 = $850 000; C (10)

0

2

4

6

8 10 12 14 1 4 16 18 20 22 24 2 4 2 6 28 30 32 Cantidad de casas

(30) = 1.016666 = $1 016 666. C (30) 4. El costo mínimo se halla en el punto de cambio donde la función pasa de ser decreciente a creciente. 5. Después de este punto la curva curva se aproxima a su asíntota oblicua. Los valores de ambas gráficas tienden a ser muy parecidos conforme x aumenta. aumenta.

a)

¿A cuánto ascienden los gastos fijos de la empresa constructora para este proyecto?

b)

¿Cuál es el costo directo para construir una casa, sin incluir gastos fijos?

c)

¿Cuál es la función C para para el costo promedio total de cada casa?

d)

¿Cuál es el costo promedio de una vivienda?, ¿de 10?, ¿de 30?, ¿existe un costo promedio fijo? ¿Cuál es el costo mínimo promedio?

Solución

a)

Cuando no se construye ninguna casa x = 0. C (0) (0) = 0.5 = $500 000.

b) C (1) (1) - 0.5 = 0.70 + 0.01 = 0.71 = $710 000. C ( x )

c)

x

C ( x )

=

=

0.5 + 0.70 x

+

2

0.01x

x

.

d) C (1) (1) = $1 210 000; C (10) (10) = $850 000 ; C (30) (30) = $1 016 666

La función C ( x x ) tiene como asíntota oblicua la recta y = 0.70 + 0.01 x . Al igual que esta recta, el costo promedio por casa se incrementa conforme x aumenta aumenta (cantidad de casas construidas).


La gráfica muestra que, en un principio, los altos costos iniciales iniciales por construir pocas casas, disminuyen al aumentar el número de las mismas, hasta llegar a un costo mínimo cuando se edifican 7 casas: C (7) (7) = $841 428. Después de esta cantidad, los costos se incrementan paulatinamente.

1. a 6. Compara los grados del numerador y

el denominador denominador.. el margen correspondiente al ejemplo 2b) de este segmento.

Autoevaluación 6C

4. a 6. Revisa 7.

Divide término a término. Revisa el margen correspondiente al ejemplo 2a) de este segmento.

En los ejercicios 1 a 3 indica cuáles funciones tienen asíntota oblicua. 2

1.

y

x

−

=

x

6

2.

y =

2 x

2

+ x

x + 1

3.

y

=

7 x

−

9

4 x

−

3


10.

En los ejercicios 4 a 6 obtén la asíntota oblicua usando división sintética. 4.

y

x

2 −

4 x

x

−

=

5

−

5.

1

y =

3 x

2

−

21x + 7

6.

x − 7

y =

− x

2

− x + 12

x + 1

En los ejercicios 7 a 12 determina cuáles funciones poseen asíntota oblicua y obtén su ecuación. 7.

y =

2

2 x

2

− x + 1

8.

y =

x

10.

y =

x

2

+ x −

3

11.

x + 1

y =

x + 2

3 x

2

2 x

3

− +

9.

2 x + 1

6x 2

2 x

2

12.

−1

y

3 x

−

mios. 13.

2

13.

y

=

x

15.

y =

−

2 x

14.

1

3

− x

2

+ x − 1

16.

2

x + 1

y =

2 x

mios. 16.

1

x

=

+

5x

2

−

Asíntota oblicua Asíntota oblicua Al igual que la asíntota horizontal:

2 x + 3

a) Existe una, a lo más.

2

x

Divide término a término. Para la figura I considera lo siguiente:

=

x − 1 −

y

3

Usa división sintética. Revisa Revisa el ejemplo 3 de este segmento.

14. y 15. Aplica la división larga de polino-

En los ejercicios 13 a 16 asocia cada función con su gráfica. x

Utiliza división sintética.

8., 9. y 12. Compara los grados de los polino-

2

x + 4 4

5

− x +

y =

x − 2

129

3

2

−

5x

−

b) La asíntota puede atravesar la gráfica.

4

2

x

I.

II. y

3 2 1 x

−3 −2 −1 −1

1

2

3

17.

17 y 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

4

−2 −3

−6 −5 −4 −3 −2 −1−1 −2 −3 −4

−4

III.

1

2

3

4

5

6 x

IV.. IV 8

y

1

6 5 4 3 2

−4 −3 −2 −1 −1 −2

x

1

2

3

17. Apertura de negocio

función

G ( x )

=

4

5

x

−7 −6−5−4 −3 −2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12

7

1

y

6

Abres un negocio de comida para venta de tacos. La

1 + 0.06 x x +

+

2

0.12x

0.5

modela tus ganancias.

Traza la gráfica de la función. función. ¿En cuánto tiempo los gastos iniciales harán que tu ganancia llegue al mínimo? b) ¿A partir de qué monto comenzará a aumentar tu ganancia? c) ¿Existe un modelo lineal que aproxime tu ganancia ganancia a partir de ese monto? De ser así, halla su ecuación y comprueba. a)

Para escoger la escala escala en el eje y de la gráfica, guíate con el valor inicial G(0) y usa la conversión 1 ↔ 100 000. En el eje x considera considera 20 meses. Halla la asíntota oblicua con división sintética (ordena igual ambos polinomios). Revisa el ejemplo 4 de este segmento.

130

BLOQUE

6



Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte sobre la depreciación de equipo adquirido por un aserradero del Bloque 6C. Nombre del alumno:

Nivel

Presentación


Dominio del tema

Conclusiones

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía o bien en computadora, bien redactado y sin faltas de ortografía. Desarrolla en una hoja de papel milimétrico o bien por computadora los puntos suficientes de la función que modela la depreciación así como la de su asíntota oblicua. Presenta todos los pasos para la determinación de las cantidades pedidas en el rubro de conclusiones siguiendo una secuencia ordenada. Efectúa una tabla de los valores de la función D (x ) y su asíntota oblicua para demostrar que esta última puede sustituirla para valores grandes de x .

Elabora el reporte a mano con buena caligrafía, bien redactado y sin faltas de ortografía. Desarrolla en una hoja de cuadrícula chica los puntos suficientes de la función que modela la depreciación así como la de su asíntota oblicua. Omite algún paso en la determinación de las cantidades pedidas en el rubro de conclusiones pero mantiene una secuencia ordenada. Efectúa una tabla de los valores de la función D (x ) y su asíntota oblicua para demostrar que esta última puede sustituirla para valores grandes de x . Interpreta incorrectamente la escala del eje de las ordenadas o la de las abscisas de la gráfica de la función de depreciación. Determina de manera correcta la asíntota oblicua de la función D (x ). ). Evalúa adecuadamente la función D (x ) y su asíntota oblicua de manera que se pueda comprobar que dan valores muy parecidos para x grandes. grandes.

Elabora el reporte a mano con regular caligrafía, redacción regular pero sin faltas de ortografía. Desarrolla en una hoja de cuadrícula chica pocos puntos de la función que modela la depreciación así como la de su asíntota oblicua.

Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con faltas de ortografía. Desarrolla únicamente un esbozo de la función que modela la depreciación así como la de su asíntota oblicua.

Omite algunos pasos en la determinación de las cantidades pedidas en el rubro de conclusiones pero mantiene una secuencia ordenada. No efectúa una tabla de los valores de la función D (x ) y su asíntota oblicua para demostrar que esta última puede sustituirla para valores grandes de x .

Presenta únicamente resultados sin dar ninguna justificación. No efectúa una tabla de los valores de la función D (x ) y su asíntota oblicua para demostrar que esta última puede sustituirla para valores grandes de x .

Interpreta incorrectamente la escala del eje de las ordenadas y la de las abscisas de la gráfica de la función de depreciación. Determina de manera correcta la asíntota oblicua de la función D (x ). ). Evalúa adecuadamente la función D (x ) y su asíntota oblicua de manera que se pueda comprobar que dan valores muy parecidos para x grandes. grandes.

Calcula incorrectamente el valor inicial del equipo. Calcula de manera incorrecta la depreciación del equipo al cabo de 9 y 12 años con la función D (x ) y con su asíntota oblicua.

Calcula incorrectamente el valor inicial del equipo. Calcula de manera incorrecta alguna de las siguientes depreciaciones: Del equipo para 9 años con la función D (x ) y/o con su asíntota obl icua. Del equipo para 12 años con la función D (x ) y/o con su asíntota oblicua.

Interpreta incorrectamente las escalas de los ejes de las ordenadas y de las abscisas de la gráfica de la función de depreciación. Determina de manera incorrecta la asíntota oblicua de la función D (x ). ). Evalúa equivocadamente la función D (x ) y/o su asíntota oblicua de manera que no se comprueba si dan valores muy parecidos para x grandes. grandes. Calcula incorrectamente el valor inicial del equipo. Calcula de manera incorrecta la depreciación del equipo al cabo de 9 y 12 años con la función D (x ) y con su asíntota oblicua.

Interpreta correctamente las escalas de los ejes de las ordenadas y de las abscisas de la gráfica de la función de depreciación. Determina de manera correcta la asíntota oblicua de la función D (x ). ). Evalúa adecuadamente la función D (x ) y su asíntota oblicua de manera que se puede comprobar que dan valores muy parecidos para x grandes. grandes.

Calcula correctamente el valor inicial del equipo. Calcula de manera correcta la depreciación del equipo al cabo de 9 y 12 años con la función D (x ) y con su asíntota oblicua.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para evaluar el reporte sobre el problema de la hidratación de un jugador de futbol americano del Bloque 6B.

Pr Presentación 1. Cuenta con una carátula carátula que incluya al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. procesador de texto como Word o bien se hizo a mano con buena buena 4. El trabajo se elaboró con un procesador caligrafía o por lo menos entendible. función racional correspondiente al problema se elaboró en una hoja de papel 5. La gráfica de la función milimétrico o de cuadrícula chica o bien por computadora con los puntos suficientes y del tamaño apropiado que permita hacer un trazo suave y observar claramente dónde ocurre el mínimo.

SÍ

NO

Obser vaciones


Desarrollo

SÍ

NO NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

131

hidratación 6. Se presentan todos los pasos requeridos para determinar los tiempos y porcentajes de hidratación pedidos siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 7. Elaboró una tabla para determinar el valor mínimo de la función función de hidratación.

correctamente los 8. Hace referencia en todo el desarrollo a la gráfica elaborada e interpreta en ella correctamente resultados que va obteniendo, teniendo en cuenta las escalas de los ejes de la hidratación y del tiempo. ecuaciones simultáneas para determinar determinar 9. Presenta todos los pasos de la solución del sistema de ecuaciones el tiempo en qué se alcanza el pr omedio normal de hidratación.

Originalidad y creatividad 10. Compara los resultados obtenidos analíticamente con los obtenidos gráficamente.

Dominio del tema 11. Sabe identificar identificar una función racional. racional.

función. 12. Conoce la definición y los diferentes tipos de asíntota de una función. 13. Sabe calcular las asíntotas horizontales horizontales de una función racional.

Co Conclusiones 14. Determina correctamente hasta cuánto descendió la pérdida de líquidos por efecto de la transpiración.

cuánto tiempo después del partido el jugador jugador alcanza el promedio normal 15. Determina correctamente cuánto de hidratación. jugador. 16. Determina correctamente el promedio de hidratación del jugador.

Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombree del estu Nombr estudian diante: te: ___________________________ _______________________________________________ ____________________

Fecha: ____________________

Guía de observación para los proyectos de trabajo de los Bloques 6A, 6B y 2C.

Profesor:


Alumno:



Desempeño a evaluar: Aplicación de Funciones Racionales. Instrucciones: Observa si la ejecución de

las actividades que se enuncian las realiza el estudiante que se está evaluando y marca marca con una “✗” el cumplimiento o no en la columna correspondiente, correspondiente, asimismo es importante que anotes las observaciones pertinentes. No.. No 1 2 3

Acci Ac cion ones es a ev eval alua uarr Determina después de cuánto tiempo se extinguirá el efecto del bloqueador solar para la piel. Determina el porcentaje de protección que br inda el bloqueador solar para la piel al momento de la aplicación. Determina si el bloqueador solar habría alcanzado 60% de protección si se hubiera aplicado dos horas antes.

4

Determina el precio sin descuento de las cajas de cereales para bebé en el superalmacén .

5

Calcula el precio con descuento de 100 cajas de cereales para bebé en el superalmacén .

6

Determina si existe un límite en el precio al mayoreo de las cajas de cereales para bebé en el superalmacén .

7

Dibuja la gráfica de la función que relaciona el número de mariposas monarca con el tiempo.

8

Calcula cuántas mariposas monarca habrá en 2050.

*No aplica.

REGISTRO DE CUMPLIMIENTO SÍ N O N A*

Observaciones

7

BLOQUE

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

10 horas

Objetos de aprendizaje

Función exponencial Función logarítmica Gráfica de la función exponencial y logarítmica Propiedades de los exponentes Propiedades de los logaritmos Cambio de una expresión exponencial a una logarítmica y viceversa Ecuaciones exponenciales Ecuaciones logarítmicas


n

n

n

Se conoce, aborda y resuelve problemas de funciones exponenciales que utilicen como conocimientos previos requeridos en su preparación de grado superior. Escucha, interpreta y fomula problemas en distintos contextos mediante la utlización de herramientas cognitivas y tecnológicas. Aprende por interés en la reafirmación de sus conocimientos básicos para la aplicación en las asignaturas siguientes. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos, desempeñando un papel activo y proactivo.

n

n

n

n

n

Mantiene una actitud respetuosa hacia los distintos puntos de vista de sus compañeros. Construye e interpeta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritmétricos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la compresión y análisis de situaciones reales hipotécticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos en situaciones reales, mediante procedimientos matemáticos. Argumenta la solución obtenida de un problema, utilizando las tecnologías de la información y comunicación.

¿Qué sabes hacer ahora? Algunos elementos radiactivos de la naturaleza pueden tardar millones de años en desintegrarse, como el uranio 258, cuya vida media es de 4 500 millones de años. Las bombas nucleares son artefactos bélicos que liberan enormes cantidades de energía radiactiva (rayos X y gamma, entre otros), así como energía térmica y electromagnética, debido a la fisión (separación) y fusión (unión) de los núcleos de elementos pesados (uranio, plutonio, cobalto) con los de otros elementos con menor número de neutrones y protones. Las expresiones exponenciales y logarítmicas permiten, entre otras muchas aplicaciones, modelar los procesos de desintegración de los núcleos atómicos.

n

n

n

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que los rodean.

n

Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y texto de acuerdo a las características de las funciones.

n

n

n

n

A partir de la expresión de la función exponencial decide si ésta es creciente o decreciente. Obtiene valores de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando tablas o calculadora. Traza las gráficas de funciones exponenciales tabulando valores y las utiliza para obtener gráficas de funciones logarítmicas. Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Aplica las propiedades y relaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas para modelar y resolver problemas.

134

7


BLOQUE

7

A

BLOQUE


Ejercicio y peso corporal

T u vecina pesa 65 kg y comienza un programa de ejercicios para reducir de peso.

Conocimientos Función exponencial

La forma básica de una función exponencial es y = Ab x. La base b es un número positivo distinto de 1. La función puede ser: Creciente b > 1 y

Decreciente b < 1

x

3

=

y

x

0.5

=

6 y

6 y

4

4

2

2 x

x

2

0

−

2

2

0

−

¿Cuál será su peso en tres meses, si con ejercicio y dieta pierde diariamente 0.3% de su peso? Traza una gráfica de esta situación.

2

El eje x es su asíntota horizontal. Modelos exponenciales

Se usa función exponencial si en intervalos iguales de x el valor sucesivo se incrementa en el factor b. Intervalos iguales y x y

0 5

1 15 3

5(3 x )


=

2 45 3

El número e

2.7 es un número irracional de amplio uso en matemáticas superiores. e

Analiza el siguiente registro de pesos diarios. Con base en la información proporcionada en el problema, ¿cómo se obtienen los pesos en el segundo renglón de la tabla? Días

0

1

2

3

Peso

65

64.805

64.611

64.417

≈

Ejemplos x

y = e , y = 4e

- x

. Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Función exponencial. Función exponencial natural. Aplicaciones

2.

¿Son iguales en este registro los intervalos de tiempo en que se efectúa cada registro? ¿Cómo compruebas que existe un factor constante entre el peso corporal de un día y el del siguiente?



135


1. El peso que tiene tu vecina al inicio de un día determinado, es en ese momento su 100% (= 1) de peso corporal. Éste disminuye 0.3% con ejercicio, por lo que su nuevo peso es ________ % - ________ % = ( _______ )% = ( _______ ) del peso inicial de ese día.

1.

Responde en tu cuaderno de matemáticas todos los puntos de la secuencia didáctica, realizando allí los desarrollos y operaciones requeridos.

2. En la tabla de registros puede confirmarse lo anterior:

2.

Describe cada parte del modelo exponencial, indicando:

64.805 64.611 64.417 _______ = ( _______ ), _______ = ( _______ ), _______ = ( _______ ). 65 64.805 64.611

a) Qué

valor representa la constante A en un problema práctico.

3. Esto equivale a escribir los productos siguientes:

64.805 = 65( _______ )

64.611 = 64.805( _______ ) = 65( _______ )( _______ ) = 65( _______ )2

64.417 = 64.611( _______ ) = 65( _______ )2( _______ ) = 65( _______ )3

4. Utilizando P( x ) para representar el peso de tu vecina en el día x , el modelo general para calcular su peso diario queda como sigue: P( x ) = 65( _______ ) .

5. Al cabo de tres meses (considerados cada uno con 30 días), habrán transcurrido x = 90 días. Sustituyendo este valor en el modelo exponencial del punto anterior se obtiene:

P(90) = 65( _______ )

P( x )

0 30 60 90

) g k ( l a r o p r o c o s e P

60 40 20 0

30

60

90

Días

Proyecto de trabajo Adquiriste un auto en una agencia automotriz en $120 000.00. Si éste pierde cada año 15% de su valor inicial, ¿cuánto valdrá tu automóvil al cabo de 5 años?

1. Depreciación de un auto

¿Cuánto pagarás en un plazo de 10 años por un departamento que adquiriste mediante un préstamo hipotecario de $1 450 000.00, si tienes que pagar intereses capitalizables de 5% anual?

2. Préstamo hipotecario

Cómo se obtiene la base b a partir de los datos de una tabla.

c)

Por qué razón en problemas de porcentajes el valor de la base b se obtiene de estas dos formas: Disminución: b = 100 - el porcentaje

Incremento: b = 100 + el porcentaje

(o, en forma equivalente, utiliza decimales y considera 100% = 1).

_________ kg

=

6. La gráfica correspondiente a este periodo es la siguiente: x

b)

7

136


BLOQUE


7 A

Función exponencial Para cualquier número positivo b, distinto de 1, pueden hallarse sus potencias b x . Así, para el número 2, algunas de sus potencias 2 x son:

Inicial

22 = 4, Recuerda

1. 22 = 2 × 2 = 4, porque cuando n es un entero positivo, n

a

20 = 1,

21/2 = 1.4142…,

3

= 3.3218

2-2 = 0.25

…,

Dando un valor a x obtenemos un valor para 2 x . Como x es un exponente, esta función se llama función exponencial. De manera general, la función exponencial se caracteriza como sigue:

a × a × a ... × a

=

2

Función exponencial

              

n factores a

La ecuación de una función exponencial con base b tiene la forma:

2. 20 = 1, porque a0 = 1 para cualquier número a ≠ 0.

y = Ab

3.

1 / 2

2

a

4.

2

=

n / r

r =

3

=

a

1.4142 … , ya

que

=

donde x acepta cualquier valor real, b es un número positivo y distinto de 1, A > 0. La gráfica de una función exponencial puede ser creciente o decreciente, según que la base b sea mayor o menor que 1.

n

se obtiene calculando valores de 3 : 1.7, 1.73, 1.732, 1.73205, … , que luego se usan como exponentes: 21.7, 21.73, 21.732, 21.73205, … Estos valores se aproximan a 2 3. 2

x

3.3218 … ,

Crecimiento exponencial: b > 1

2

1

2

−

=

2

2

1 =

4

=

0.25,

pues a

−

n =

1 a

y

y

24

24

y

21

5. 2-2 = 0.25 se obtiene escribiendo

Decaimiento exponencial: 0 < b < 1

=

3(2 x)

21

18

18

15

15

12

12

n

9

para cualquier número a ≠ 0.

9 1 − 2

x

( )

6

y = 3

6

3


3

−

1. Las calculadoras científicas son de gran utilidad para realizar el cálculo de las potencias de un número con cualquier tipo de exponente. Para ello utilizamos la tecla y x (o bien, x y ) e introducimos los datos. Por ejemplo: 21.7 = 2 y x 1.7 =

1

−

0

1

2

3

−3

x

−2

b = 2

−1

0

b

1

=

2

3

x

1 2

Las gráficas de funciones exponenciales son continuas, cortan al eje y en (0, A) y tienen por asíntota al eje x , es decir, se aproximan a dicho eje sin llegar a tocarlo nunca.

Ejemplo 1

=

2. Si pretendiéramos calcular 2 1.7 escribiendo 2 1.7 = 2 17/10 10 217 (puesto que 1.7 = 17/10), requeriríamos de todos modos emplear la calculadora para realizar estas dos últimas operaciones.

2

−

3

Identificando funciones exponenciales

¿Cuáles de las siguientes funciones corresponden a un crecimiento exponencial y cuáles a un decaimiento ex ponencial?

y

27 24 21 18

x

a)

y

 1  =    3  x y

3 27

-

15 12

2 9

-

1 3

-

0 1

1 1/3

2 3 1/9 1/27

9 6 1

y

=

3

−

( )

x

3

−

3

2

−

1 0

−

1

2

3

x


x

 3  y =  2  

b)

x y

y


6 5

0 1

3 -2 -1 0.29 0.44 0.66 -

1 2 3 1.5 2.25 3.37

Una asíntota es una recta a la que se aproxima una curva conforme ésta se aleja del origen. La distancia entre la curva y la recta disminuye permanentemente en tal dirección, pero nunca es igual a cero.

4 x

y

=

( 32 )

3

−

2 1 3

−

2

−

1 0

−

c) y = 0.5 x

1

2

3

x

Ejemplo 2

y


8

x y

3 8

-

137

2 4

-

1 2

-

0 1

1 0.5

2 0.25

3 0.125

7

“Cada hora la población se duplica” significa que la población actual es la anterior multiplicada por 2.

6 5 4 3 2

x

y

=

( 12 ) −

1 3

−

2

−

1

−

0

1

2

3

x

Hora

Población

Modelo

0 1 2 3

600 2(600) 2(2(600)) 2(2(2(600)))

600(2)0 600(2)1 600(2)2 600(2)3







Solución 1

Decaimiento exponencial. La base b =

b)

Crecimiento exponencial. La base b =

c)

Decaimiento exponencial. La base b = 0.5 es menor que 1.

3 3 2

es menor que 1. =

1.5 es mayor que 1.

Crecimiento de un cultivo de bacterias

Para probar los efectos de un antibiótico en un estreptococo patógeno que infecta las heridas, un químico bacteriólogo cultiva una cepa de tales microorganismos. Con el fin de determinar la rapidez de reproducción de las bacterias, el investigador las coloca en un medio altamente favorable para su desarrollo. La población inicial es de 600 bacterias y observa que cada hora se duplica la cantidad existente. a)

Escribe un modelo exponencial que describa el crecimiento de la colonia.

b) ¿Cuántas

bacterias habrá al cabo de 12 horas?

c)

2(2

x

a)

Ejemplo 2

x -1

Halla un modelo donde la población se triplique cada hora.

(600))

600(2) x

El número 2 es el factor de crecimiento en esta situación. Para el inciso c es 3.


En toda función exponencial y = Ab x : a) A es el valor inicial , pues y = A cuando x = 0. (En efecto: y = Ab 0 = A ⋅ 1 = A.) b) b es el factor de crecimiento. (En efecto: Ab x + 1 = Ab x b.) Es decir: La función exponencial modela situaciones donde la cantidad inicial A se incrementa por un factor constante b en iguales intervalos x de tiempo.

Ejemplo 3 87% = 100% - 13%

7

138


BLOQUE

Ejercicios adicionales 1. Asocia cada función con su gráfica. x

x

y = 3(3)

x

y = 2

I.

y = 2(3)

Solución

a) y = 600 (2) x b) y = 600 (2)12 = 2 457 600 bacterias c) y = 600 (3) x

y

20

s 20 a i r e t 16 c a b 12 e d s 8 e l i M 4

16 12

= y

8

0

y

1

2 x

4

−2

−1

0

1

2

x (horas)

x

y (bacterias)

II.

x (horas)

y

y (bacterias)

27

=

600(2) x

=

3 4 Horas

5

0 600

1 1 200

2 2 400

3 4 800

4 9 600

5 19 200

18

Ejemplo 3

9

−3 −2 −1

0

1

Depreciación del valor de un automóvil

En enero de 2010 adquiriste un automovil en $65 000.00. Si cada año su valor disminuye en 13%, ¿cuánto valdrá en el año 2017?

2 3 x

60

III.

y

s o s e p e d s e l i M

8 6

= y

4

50 y

40 30 20 0

2

1

2

3 x = Años

−3

−2

−1

0

1

2

3x

Sugerencia: Guíate por el valor de A y el tipo de crecimiento exponencial. Verifica tu elección con una tabla de valores. 2. Evalúa con calculadora 2 . Compara este valor con el de cada una de las siguientes aproximaciones: 2 ,2

3.14

,2

3.141

,2

3.1415

x

1. Gráfica I: y = 2(3) Gráfica II: y = 3(3) x Gráfica III: y = 2 x

5

6

7

(0 ↔ 2010)

Cada año el automóvil vale sólo 87% (o bien, 0.87) del valor anterior (dado que el valor se reduce 13% cada año). Usando el modelo de decaimiento exponencial y = 65 000 (0.87) x (en el que x = 0 corresponde al año 2010), obtenemos y = 24 521.56 para x = 7. Tu auto costará $24 521.56 en el año 2017. Autoevaluación 7A 1.

Identifica cuándo la función corresponde a un crecimiento o a un decaimiento exponencial. a) y = 7 x

Soluciones a los ejercicios adicionales

4

Solución

π

3.1

65 000(0.87) x

=

b) y = 5 (0.5) x c) y = 0.08 (6.3) x d) y = π x x

e)

 2  y = 436  3  


2.

¿En cuál punto del eje eje y y pasan las gráficas de las siguientes funciones exponenciales?

2.

a) y = 6 (4) x b) y = 3 x

139

2 = 8.82497 23.1 = 8.57418 23.14 = 8.81524 23.141 = 8.82135 23.1415 = 8.82441 π

x

c)

 1  y =  5  


d) y = (8.3) x

La base es el número positivo: ? ¿Es este número mayor o menor que 1? 1b. La base es el número positivo 0.5. 0.5. ¿Cómo es este número respecto del número 1? 1c. ¿Cómo es 6.3 respecto del número 1? 1d. ¿Es π mayor o menor que 1? 1a.

e) y = 5 (7) x 3.

Explica por qué todas las gráficas exponenciales y = Ab x pasan por (0, A).

4.

¿Por qué no puede ser igual a 1 la base de una función exponencial?

5. Cuenta de ahorro Inviertes

$1 500.00 en una cuenta bancaria que proporciona 23% de interés anual a plazo fijo de 5 años. ¿Cuál es el monto que recibirás al concluir el plazo del depósito?

1e. Observa

almacén de aparatos electrodomésticos liquida mercancía de exhibición con ligeros deterioros mediante el sistema de reducir cada año en 35% el precio de esta mercancía que es almacenada. Si compras un refrigerador almacenado tres años, con un precio inicial de $12 445.00, ¿cuánto pagarás por él?

2 3

=

0.6666...

Obtén el valor valor de A. Recuerda que en el modelo y = Ab x , A es el coeficiente de b x , es decir, A es el factor no afectado por el exponente x . 2a. ¿Cuál es el coeficiente de 4 x ? 2b. Observa que y = 1 × 3 x . 2c. Similar al anterior. 2d. Similar al ejercicio 2a). 3. En la ecuación y = Ab x , obtén y para x = 0. ¿A qué es igual un número (distinto de cero) elevado al exponente cero? 4. Para b = 1, y = Ab x = A ⋅ 1 x = A. ¿Es y = A una función exponencial? 5. Monto en el primer año: y = 1 500 + 1 500(0.23) = 1 500(1.23). Monto en el segundo año: y = Monto del del primer primer año año + 23% de éste. = 1 500(1.23) + 0.23[1 500(1.23)]. Extrayendo 1 500(1.23) como factor común: 2 y = 1 500(1.23)[1 + 0.23] = 1 500(1.23) . Continuar con esta construcción para los siguientes tres años del depósito. 6. Si el precio actual es el del año anterior reducido 35%, entonces el precio que tiene el refrigerador cada año es 65% del precio anterior. Compara con el ejemplo 3 en este segmento informativo. 2.

6. Liquidación de refrigeradores Un

que

140

7

BLOQUE



7 A

Intermedio Observaciones importantes

1. El primer criterio indica que el siguiente valor se obtiene multiplicando siempre el

Modelos exponenciales Cuando analizamos un conjunto de datos, con cantidades que crecen o disminuyen, podemos determinar con facilidad si la situación es factible de modelarse con una función exponencial. En una función exponencial la base b es el factor en en que crecen (o decrecen) las cantidades. Así, los dos criterios siguientes son equivalentes:

anterior por una por una misma constante b.

2. Al crecer x una una unidad, el siguiente valor de y = Ab x se obtiene cuando se toma el valor que sigue a x , es decir, x + 1. En este caso, y toma el valor y = Ab x + 1 = Ab x b . Este nuevo valor de la función es el anterior Ab x multiplicado multiplicado por por el el factor factor b. b. 3. Ab x + 1 = Ab x b porque a n+m = a na m. 4. La constante constante b debe ser positiva y distinta de 1.

Ejemplo 1

Aplicación de Aplicación de un un modelo modelo exponencial

Una situación puede modelarse mediante una función exponencial cuando en ella, a intervalos iguales:

– Se produce un incremento (o decremento) por un factor constante b. – El cociente de dos valores consecutivos es siempre igual a una constante b. El primer criterio es aplicable a enunciados como: “colocas $2 000.00 en una cuenta bancaria que que paga paga intereses anuales de 13%”, donde detectas que el incremento es fijo o constante (13%) y se produce en intervalos iguales (cada año). El segundo criterio lo utilizamos cuando conocemos un conjunto de datos, generalmente en una tabla de valores. Por ejemplo, en la tabla:

Fíjate en lo siguiente... x

1. Un razonamiento ligero o descuidado puede conducir a errores al modelar problemas: “Si cada minuto la cantidad cantidad de de vitamina C disminuye C disminuye 12.5 mg, tenemos entonces:

Minutos

0 1 2 3

Cantidad

200 200 - 1(12.5) 200 - 2(12.5) 200 - 3(12.5), etc.

El modelo es, por tanto: y = 200 - 12.5 x”

Este razonamiento equivocado no conduce a un modelo exponencial. El error no está en mantener fija la cantidad inicial (200), sino en restar cada cada vez 12.5 mg de vitamina C, ya que disminuye cada minuto por el factor constante constante

 12.5  .  200  

1 - 0.0625, es decir, 1 − 

2. En el modelo exponencial es a cada nueva cantidad reducida de vitamina a la que se restan no 12.5 mg, sino un % (fijo) de ella.

y

1 2.684

2 3.601

3 4.833

4 6.486

5 6 8.705 11.682

los intervalos, o diferencia entre los valores sucesivos de x , son iguales a una unidad. Al dividir cada valor de y entre el valor anterior, obtenemos un cociente igual o muy cercano a 1.342.

Ejemplo 1

Oxidación de la vitamina C

Las vitaminas son compuestos orgánicos que contribuyen al metabolismo del cuerpo. La vitamina C participa en la formación del colágeno que interviene en la estructura de huesos y dientes. Esta vitamina se oxida rápidamente, por lo que los jugos de cítricos se deben consumir en seguida para aprovechar al máximo esta vitamina.


141

Si un cuarto de litro de jugo de naranja contiene 200 mg de vitamina C y ésta se oxida a razón de 12.5 mg cada minuto, ¿cuántos mg de vitamina tendrá el jugo si lo consumes después de 35 minutos de su elaboración?

Para apreciar esto con claridad construye paso a paso el modelo exponencial usando una tabla donde cada nueva cantidad de vitamina la obtengas de la anterior.

Solución

Minutos Cantidad

0 1

La pérdida de 12.5 mg de vitamina C corresponde a 12.5/200 = 0.0625 del total, es decir, a 6.25%. El porcentaje que subsiste de vitamina C cada minuto es 100% 6.25% = 93.75%, lo cual equivale a 0.9375 de la cantidad total. x

y = 200(0.9375) y = 200(0.9375)

35

2

Modelo exponencial =

20.894 mg

Cantidad de vitamina C después de 35 minutos

Esta cantidad es casi la décima parte de la cantidad inicial. La pérdida de vitamina es cercana a 90% de la que tenía el jugo al principio.

Ejemplo 2

200 200 - 0.0625(200) = 200(1 - 0.0625) = 200(0.9375)1 200(0.9375) 0.0625[200(0.9375)] = 200(0.9375)(1 - 0.0625) = 200(0.9375)(0.9375) = 200(0.9375)2 200(0.9375) x

x

Ampliando el conocimiento 1. Cuando en un problema intervenga una tasa r de crecimiento o decrecimiento, puedes obtener la base b (o factor de crecimiento), así:

Contagio de gripe

En un salón de clases una alumna se enferma de gripe y contagia a cuatro de sus compañeros en una semana. A la siguiente semana hay 16 personas enfermas en cinco salones. A las tres semanas el virus lo l o tienen 64 personas de la escuela. Si el contagio continúa a ese ritmo, ¿será posible que en cuatro semanas 570 personas, incluyendo profesores, estén enfermos de gripe?

b = r + 1

Crecimiento:

Decrecimiento: b = 1 - r

2. La tasa se identifica como un porcentaje de aumento o disminución del valor inicial y puede expresarse en forma porcentual (3%) o decimal (0.03). 3. Los términos tas tasa a y y fac factor tor de crecimiento no son sinónimos. (Véase Apé Apéndi ndice ce, Punto 25.)

Ejercicios Ejercic ios adicionales

t y

0 1

1 4

2 16

3 64

Solución

En la tabla los intervalos para t y y los cocientes entre valores consecutivos de y iguales a 4 muestran un crecimiento exponencial. Si t es es el tiempo en semanas, la ecuación 4 t y = 4 modela esta situación. Para t = 4, tenemos y = 4 = 256. En la cuarta semana habrá 256 personas contagiadas por el virus.

1. Demografía. En el año 2000, México tenía 100 millones de habitantes. Calcula la población en el año 2050 si ésta aumenta a un ritmo de 2.2% anual. 2. Economía. Con una inflación de 17% anual, ¿cuánto valdrá dentro de 10 años una casa que costó este año $450 000? 3. Información. En una oficina de 200 empleados corre una noticia, duplicándose cada 15 minutos la cantidad de enterados. ¿En cuántas horas toda la oficina conocerá la noticia? Sugerencia:

Expresa t en en minutos y utiliza y = 2t /15 para aproximar el resultado mediante una tabla de valores ( y = número de personas enteradas, t = tiempo transcurrido). 1 15 3 0 ? ? t 1 2 4 - y ---

142

7

BLOQUE


Soluciones a los ejercicios ejercic ios adicionales 1. 296 855 288 habitantes. habitantes. [ y = 100(1.022) x , y = millones de habitantes, x = 0 ↔ año 2000]. 2. $2 163 072.77. 072.77. [ y = 450(1.17) x , y = miles de pesos, x = 0 ↔ año 2000]. 3. Antes de dos horas la noticia es conocida conocida por todos los empleados.

Ejemplo 3

A diferencia del interés simple, que sólo proporciona intereses sobre el capital, el interés compuesto te da intereses sobre el capital y sobre los intereses que periódicamente se suman al capital. La tabla muestra los montos en los estados de cuenta mensuales que te envía el banco, de una inversión que hiciste de $5 000.00 a plazo fijo de un año, en una cuenta bancaria que te paga 16% de interés anual y que cada mes capitalizará los intereses. ¿Podrías predecir cuál será el monto de tu inversión al término del plazo fijo de un año?

Ejemplo 3 Ampliando el conocimiento

1. En una cuenta a plazo plazo fijo fijo no puedes disponer del dinero hasta el vencimiento del plazo. 2. Intereses capitalizables significa que en los periodos fijados los intereses pasan a formar parte del capital. Los intereses para el siguiente periodo se calculan sobre el capital incrementado. 3. Las condiciones de la inversión indican una relación exponencial: se menciona un factor factor constante constante de crecimiento para el capital (16%) y period periodos os iguales para que esto ocurra (capitalización mensual de intereses). La cantidad inicial es 5 000. Para hallar la base b, o factor de crecimiento, se debe razonar de este modo: La cuenta gana cada mes 16% ÷ 12 = 1.3% = 0.013 de intereses. Así: Montos mensuales

Modelo

1er. mes:

5 000 + 0.013( 0.013(55 000) 000) = Capital Intereses 5 000(1 000(1 + 0.013) =

5 000(1.013)1

2do. mes:

5 000(1.013) + 0.013( 0.013(55 000(1.013)) 000(1.013)) = Capital Intereses 5 000(1.013) (1 000(1.013) (1 + 0.013) = 5 000(1.013) (1.013) 000(1.013) (1.013) =

5 000(1.013)2

Está claro que la base es 1.013, por lo que el modelo es y = 5 000(1.013)t .

Inversión financiera

Mes- t

Monto- y y

1 2 3 4 5 6

5 065.00 5 130.85 5 197.55 5 265.12 5 333.56 5 402.89

. . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . .

Solución

Los montos corresponden a intervalos iguales (un mes) y el cociente entre dos montos consecutivos es muy cercano a 1.013. Haciendo t = 12 en el modelo y = 5 000(1.013)t , donde t representa representa el tiempo en meses, se obtiene el monto en un año: $5 838.25.



Autoevaluación 7A

En una ciudad de 9 000 habitantes se esparce un rumor de modo que cada hora se duplica la cantidad de personas que se enteran del mismo. ¿Cuántas personas conocerán el rumor después de 12 horas?

1. Propagación de un rumor

2. Ecología En

América Latina la deforestación avanza a un ritmo de 0.75% anual. Si actualmente en México hay 3 000 hectáreas de bosque, ¿cuántas hectáreas se perderán en tres años?

1.

Analiza el modelo y = 2t .

2.

Recuerda que 0.75%

¿Cuál será el monto en cuatro años de $1 200.00 depositados en una cuenta bancaria que otorga 18% de interés anual compuesto trimestralmente? Un cultivo de 10 mil bacterias disminuye por efecto de un antibiótico, como muestra la tabla.

5. Antibiótico a)

Escribe un modelo para esta situación y calcula cuántas bacterias estarán vivas transcurridas 24 horas.

b)

¿En qué porcentaje disminuye la población de bacterias cada hora?

c)

¿Cuántas sobreviven después de una semana? Horas Bacterias

1 9 500

2 9 025

3 8 574

4 8 145

100

=

0.0075.

Utiliza y = 3 000 (0.9925) x . Revisa el Ejemplo 3 del segmento 7A inicial. 3.

Cien gramos de espinaca contienen 0.10 mg de tiamina. De este total de 0.10 mg, una pérdida de 0.01 mg constituye 10% de dicha cantidad (0.01/0.10 = 0.1 = 10%). Como cada minuto que transcurre se pierde el 10% de la tiamina existente, entonces en cada minuto subsiste el 100% - 10% = 90% = 0.90 de la cantidad anterior. La cantidad inicial de tiamina es 0.10 mg. (Revisa el Ejemplo 1 de este segmento.)

4.

Como cada año tiene cuatro trimestres, en cada uno de estos trimestres la cuenta gana 18%/4 = 4.5% = 0.045 del monto anterior. Elabora una tabla de valores. Revisa el Ejemplo 3 de este segmento.

5a.

Elabora una tabla de valores y revisa el Ejemplo 3 de este segmento.

5c.

1 semana = 7 días = 7(24 h) = 168 horas.

3. Vitamina B1 Útil

4. Interés compuesto

0.75 =

Esta cantidad es la que se pierde anualmente. Del total (100%) se conservan: 100% - 0.75% = 1 - 0.0075 = 0.9925 (lo que significa: 99.25%).

para el funcionamiento del sistema nervioso, la tiamina se destruye por el calor a razón de 0.01 mg por cada minuto de cocción. Si 100 g de espinaca contienen 0.10 mg de tiamina, ¿cuánta vitamina B1 habrá en la espinaca después de 15 minutos de cocción?

143

7

144

BLOQUE



7 A

Final Observaciones importantes

1. Un número irracional tiene siempre una cola decimal infinita y no puede expresarse jamás como un cociente de dos enteros. Ejemplos: π

=

2

El número e Aunque cualquier número puede emplearse como base de una función exponencial, generalmente es muy utilizado el número 2.71828…, conocido como número e. Fíjate cómo la siguiente sucesión de valores se aproxima al número e = 2.7182…, cuando aumenta n: n n

(1 + 1/ n)

3.141592654... =

1 =

100 2.70481...

1 000 2.71692...

1 000 000 2.71828...

10 000 000 2.71828...

Definición del número e

1.414213562...

El número e = 2.71828… es el límite de la sucesión de valores (1 + 1/ n)n cuando n crece indefinidamente.

0.577350269...

3

e = 2.718281828...

El número irracional e aparece con frecuencia en fenómenos de todo tipo.

2. Es posible probar que nt

 r   + n  

A 1

rt

→ Ae

cuando n → ∞

(n → ∞ se lee “n tiende a infinito” y significa que n crece ilimitadamente.)

Un caso muy conocido es el de la fórmula del interés compuesto: al aumentar la frecuencia n del número de capitalizaciones de intereses, el factor de crecimiento se acerca al número e. Interés compuesto n veces al año: nt

 r  y = A  1 +   n 

3. Usualmente, la fórmula del interés compuesto se representa así: Interés compuesto nt

M

 r  = P  1 +   n 

r = % de intereses

rt

y = A e

En el interés compuesto n veces, los intereses se abonan en n periodos (año, trimestre, mes, etc.). En el interés compuesto continuo los intereses se abonan de manera instantánea.

M = monto o saldo final P = principal o capital inicial

Interés compuesto continuo:

Función exponencial natural

La función exponencial con base e, y = Ae ax , se denomina función exponencial natural. y = Ae ax es creciente si a es positivo

n = número de veces que se capitaliza

es decreciente si a es negativo

el interés en un año t = tiempo del depósito

Ejemplo 1

Distinguiendo funciones exponenciales naturales

Identifica cada función como crecimiento o decaimiento exponencial natural y dibuja su gráfica. a) y = 4e0.5 x b) y = 4e-0.5 x

145


Solución

a) y = 4e

Ejemplo 1

0.5 x

. Crecimiento exponencial natural: 0.5 es

positivo. Fíjate en lo siguiente…

y

a) Los cálculos de los valores de la tabla los puedes realizar usando una calculadora científica. Algunas poseen la tecla e x . En este caso haces lo siguiente:

10 8

y

6

Para x = 3:

4

0.5

0.5 x

4e

=

2

1

−

=

0

1

2

x

0.5

3

×

+/-

y

3 0.90

2 1.47

-

0 4

1 2.42

-

4

×

=

-

1 6.50

b) y = 4e-0.5 x . Decaimiento exponencial natural: -0.5 es

=

x

e

×

4

=

Otras tienen �� x

x

e

Para x = -3:

2

−

3

×

2 10.87

negativo.

Para x = 3:

0.5

3

×

=

ln . En tal caso: ��

ln

×

4

=

Igual que antes, si el número es negativo, tecleas +/- después del número.

y

10 8

Ejemplo 2

6 y

4e

=

0.5 x

−


4 2

2

1

−

x y

2 10.87 -

Ejemplo 2

−

1 6.50 -

0

1

0 4

2

1 2.42

x

2 1.47

3 0.90

Interés compuesto continuo

Depositas $7 500.00 en una cuenta bancaria que te produce intereses compuestos de 15% anual. Calcula el saldo de tu cuenta al cabo de tres años, con intereses capitalizados: a)

De manera semestral.

b) Mensual. c)

Continua.

1. En el inciso a se toma n = 2 porque en un año hay dos semestres. Si los intereses se abonaran cada trimestre sería n = 4, porque en un año hay cuatro trimestres. Si los intereses se abonaran diario (capitalización diaria), se tomaría n = 365. 2. Está claro que mientras más frecuentemente se capitalice el interés mayor es el saldo en una cuenta. Podría pensarse por este motivo que si aumentara hasta el infinito esta frecuencia de capitalización (suma de intereses que vuelven a ganar intereses), el saldo crecería enormemente produciendo una fortuna. Sin embargo, esto no es así, porque el límite del valor n

 1  de  1 +  es el número e. Es decir, el   n

factor de crecimiento de un nuevo valor respecto al anterior nunca sobrepasa el valor 2.718… No obstante, el interés continuo es el que mayor utilidades produce.

146

7

BLOQUE


Solución

Ejemplo 3

a)


La vida media de un elemento radiactivo es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la cantidad inicial de dicho elemento. La vida media del radio es de 1 620 años.

En la fórmula del interés compuesto n veces: A = 7 500, n = 2, r = 15% = 0.15, t = 3. Reemplazando, obtenemos: 2 ( 3)

 0.15  y = 7500  1 + 2    b)

= $11 574.76

En este caso, en la misma fórmula: A = 7 500, n = 12, r = 15% = 0.15, t = 3. El saldo al cabo de 36 meses será: 12( 3)

 0.15  y = 7500  1 +  12  

Ejercicios adicionales 0.0001216t

Con la fórmula y = e verifica que la vida media del C14 es de 5 700 años. Sugerencia: usa calculadora científica. -

= $11 729.58

c) Para la capitalización r = 0.15, t = 3.

continua usamos la fórmula y

=

rt

Ae

, con A = 7 500,

Empleando una calculadora: y = 7 500e

Soluciones a los ejercicios adicionales El coeficiente de e-0.0001216t representa la cantidad inicial de C14. En este caso es la unidad 1. Al sustituir t por 5 700 debe obtenerse la mitad de esta cantidad, es decir, 1/2 = 0.5. En efecto, para t = 5 700 años se obtiene (0.0001216)(5 700) -0.69312 =e = 0.50. y = e-

0.15(3)

=

$11 762.34.

Ejemplo 3

Desintegración de una sustancia radiactiva

La desintegración radiactiva consiste en la destrucción de núcleos de átomos inestables de algunos elementos químicos. Este proceso libera energía en forma de partículas alfa y beta, y rayos X y gamma, que, entre otras cosas, son utilizados en medicina (radiología) con fines de diagnóstico y terapéuticos. Los pioneros en estudiar la radiactividad fueron Henri Becquerel y los esposos Curie a fines del siglo ��.

Esposos Curie Marja Slodowska, originaria de Polonia, fue la primera mujer en obtener un premio Nobel. En 1903, conjuntamente con su esposo Pierre Curie, recibió este premio en física por el hallazgo de dos elementos químicos: el radio y el polonio, y por sus estudios sobre la radiactividad y la composición de los átomos. Marie Curie obtuvo otro premio Nobel, en química, en 1911. Murió en 1934 víctima de anemia perniciosa por la prolongada exposición a las radiaciones, 28 años después de que un carruaje atropellara y matara, en París, a su esposo.

La ecuación y = Ae-0.000427t permite hallar la porción de radio ( Ra 226) que subsiste de una cantidad inicial A al cabo de t años. a)

Identifica el tipo de modelo exponencial en esta ecuación.

b)

Si A = 50 g, ¿cuántos g de radio quedan en 30 años?

c)

¿Y después de 1 620 años?

Solución

a)

Decaimiento exponencial natural. La cantidad de radio disminuye al aumentar el tiempo.

b) y = Ae-0.000427 t = 50e-0.000427(30) = 49.36 g. c) y = Ae-0.000427 t = 50e-0.000427(1620) = 25.03 g.



Autoevaluación 7A 1.

Dibuja la gráfica de la función exponencial natural. a) y = e x b) y = e- x

2.

1.

Construye una tabla de valores. Utiliza una calculadora científica.

2.

Recuerda que se llama crecimiento o decaimiento exponencial natural debido a que se trata de una función exponencial cuya base es el número e.

Identifica cada ecuación como crecimiento o decaimiento exponencial natural. a) y = e x b) y = e- x

Identifica el signo del coeficiente numérico en el exponente.

c) y = 5e-3 x d)

1 y

=

2

e

0.25 x

e) y = e-1.5 x

Obtén el saldo en 5 años de $4 525.00 puestos a 13% de interés compuesto anual, capitalizable:

3. Interés compuesto a)

Cada dos meses.

b) Diario. c)

3.

Utiliza la fórmula y = 2e- 0.0001216t para calcular la cantidad de carbono 14 que subsiste en un fósil con 10 000 años de antigüedad. ¿Cuál es la cantidad inicial de C14? Utilizas un plaguicida en polvo para aniquilar parásitos que destruyen las plantas de tu jardín. La función y = 100 000e-0.1732t te proporciona la cantidad de parásitos que sobreviven al cabo de t horas después de rociar el veneno.

A = 4 525, t = 5, r = 0.13

3a. n = 6 3b. n = 365 3c. n crece indefinidamente. Utiliza la fórmu-

la para el interés compuesto continuo. 4.

Sustituye en el exponente el valor modelo

t = 10 000. Recuerda que en el ax y = Ae , A es el valor inicial.

Continuo.

4. Carbono 14

147

5a.

5. Jardinería

La cantidad inicial se obtiene cuando la variable en el exponente, en este caso t , es igual a cero, o bien, es el coeficiente o factor de eax en el modelo exponencial. (Ver sugerencia para el ejercicio anterior.)

5b. Reemplaza t = 4

en el modelo dado y efectúa las operaciones auxiliándote de una calculadora científica.

5c.

Usa la ecuación dada y tabula algunos valores de y; escoge valores para t entre 0 y 12 (utiliza una calculadora científica). Expresa los valores de y en miles y utiliza en este eje una escala de veinte en veinte. Para el eje x puedes usar una escala de dos en dos. Dibuja los puntos (t , y) que obtengas y únelos mediante un trazo suave y continuo.

a)

¿Cuál es la cantidad inicial de parásitos?

b)

¿Cuál es la cantidad presente después de cuatro horas?

c)

Traza la gráfica en el intervalo t = 0 a t = 12 horas.

148

7


BLOQUE

7

B

BLOQUE


Programación de cirugía

U n médico detecta un pequeño tumor de 0.5 cm de ancho en el cuerpo de un paciente. Advierte a éste la necesidad de extirparlo antes de que alcance 2 cm de tamaño.

Conocimientos Función logarítmica

La forma básica de una función logarítmica es y = logb x . La base b es un número positivo distinto de 1. La función puede ser: Creciente b > 1 2 0 2

−

y

Decreciente b < 1

log 3 x

=

2

4

4 x

3 y

y

2 0 2

=

4

−

log 0.5 x

=

2

−

x

4

0.5

=

¿En cuánto tiempo deberá someterse a cirugía el paciente, si el tumor crece a razón de 2% cada día?

y

El eje y es su asíntota vertical. Inversa de la función exponencial

La inversa de la función exponencial es la función logarítmica. Exponencial x

y=b

Conociendo x obtienes y.

Logarítmica y

x = b ( y = logb x )

Conociendo

y obtienes x.

Reflejando la gráfica de y = b x en la recta y = x , se obtiene la gráfica de y = logb x (es decir, de x = b y). Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Se resuelven interpretando los exponentes como logaritmos, o viceversa. 2 x = 4

→

x = log24

→


x = 2

1.

¿Existe una cantidad que se mencione como cantidad incial en el problema? ¿Cuál?

2.

¿Se hace referencia a un aumento que involucre un factor constante?

3.

¿Qué tipo de modelo matemático sugieren los dos puntos observados anteriormente?

Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes: Funciones factorizables División de polinomios



1. El crecimiento del tumor indica que al momento de su detección éste tiene un tamaño inicial de _________ cm, y que aumenta diariamente _________ %.

3. El modelo buscado es entonces y = _________ ( _________ ) , donde y expresa el tamaño que alcanza el tumor en _____________________ (pulgadas, centímetros) y x especifica el número de ________________ (días, semanas) en que esto ocurre desde su detección.


1.

Efectúa el desarrollo de la secuencia didáctica en tu cuaderno de apuntes, con todas las operaciones y cálculos necesarios, para responder cada punto.

2.

Elabora un resumen en el cual expliques:

2. Los datos anteriores sugieren para este problema el uso de un modelo __________ ____________ (polinomial, racional, exponencial), en el cual el valor inicial es: A = _________ , la base b = 100% + _________ %. Esta última cantidad, expresada en forma decimal, equivale a escribir b = 1 + _________ = _________ .

a)

¿Cómo utilizas la calculadora científica para obtener el logaritmo de un número?

b)

¿Cuál es la interpretación de la fórmula para obtener el logaritmo de un número con base distinta a 10 o al número e?

4. Para averiguar en cuánto tiempo medirá 2 cm el tumor, se sustituye este valor por ( x, y) en el modelo anterior y se resuelve la ecuación: __________ = __________ ( _________ ) . Para ello: a) Aíslas el término que contiene a x :

___________

b) Simplificas el cociente:

___________

c) Interpretas el exponente como logaritmo:

___________

d) Aplicas la fórmula para cambio de base:

___________

e) Usas calculadora científica para hallar el valor de los logaritmos y su cociente:

___________

Proyecto de trabajo Los desechos radiactivos de la bomba nuclear detonada en Hiroshima en 1945 se precipitaron (lluvia negra), en su mayoría, en las primeras 24 horas de la explosión. La función y = 79(0.01) x -1 + 1 modela el porcentaje y de partículas radiactivas presentes al cabo de x días. Hiroshima, 1945

100

a)

¿Cuál fue este porcentaje el primer día?

b)

¿Después de cuánto tiempo disminuyó a la mitad?

c)

¿Qué porcentaje subsistía a las dos semanas?

80 60 40 20 0

1

logb a

2

3

4

=

log a log b

  =

ln a  ln b  

y cómo la utilizaste en el punto 4 de la secuencia didáctica. c)

5. El resultado final indica que en ___________ días el tumor alcanzará 2 cm. Por tanto, el paciente debe someterse a la cirugía antes de ese tiempo, de acuerdo con la recomendación médica.

149

¿Qué son las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y cómo se resuelven?, ilústralo con ejemplos sencillos.

150

7

BLOQUE



7B

Inicial Fíjate en lo siguiente...

Función logarítmica Un logaritmo es el exponente al que ha de elevarse un número fijo para obtener un número dado. Así, en 102 = 100, el exponente es 2, el número fijo (base) es 10 y el número dado es 100. Esto significa que 2 es el logaritmo (base 10) del número 100. Brevemente: 2 = log10 100.

Un logaritmo es un exponente. Logaritmo de un número

Recuerda

1. Para obtener la inversa de una función intercambiamos x y y en su ecuación. 2. La segunda ecuación así obtenida no es igual ni equivalente a la primera (salvo en el caso de la función x = y). Observa: a) En la función exponencial y = b x conocemos el valor del exponente x , pero desconocemos el de la potencia y.

Si a = b y , y es el logaritmo (base b) del número a: ( y = log b a). Si en vez de un número predeterminado a usamos una variable x a la que asignamos arbitrariamente valores, obtenemos la función x = b y , es decir, y = log b x. Función logarítmica

La ecuación de una función logarítmica con base b tiene la forma y = log b x donde x acepta sólo valores reales positivos y b es un número positivo distinto de 1.

y

b) En la función logarítmica x = b conocemos el valor de la potencia x, pero desconocemos el valor del exponente y.

La función logarítmica x = b y ( y = log b x ) es la inversa de la función exponencial y = b x. Por esta razón la gráfica logarítmica se obtiene reflejando la gráfica exponencial en la recta x = y. y


En la función logarítmica: 1. La base b debe ser un número positivo y distinto de 1, igual que en la función exponencial. 2. La variable x nunca puede ser cero pues esto requeriría que b fuera cero. ( x = b y = 0 sólo si b = 0: 0 y = 0. Esto no es posible porque la base b tiene que ser positiva.) 3. La variable x sólo puede tomar valores positivos debido a que la base positiva b genera sólo potencias positivas. Observa: 52 = 25; 5-2 = 1/52 = 0.04.

Es útil ejercitar ambos tipos de notación para la función logarítmica.

2 x

=

6 x

4

4

−

2 y

=

2

0

2 0 2

−

Función logarítmica 2

4

6

8

x

−

y

4

log2 x

=

−

Ejemplo 1

Obteniendo logaritmos de números

Identifica los logaritmos y las bases en las siguientes expresiones: a)


y

8


9 = 32

b) 0.25 = 2-2 c)

200 = 1

d) 0.1 = 10-1 e)

52 = 25


Para pasar de una notación a otra:

Solución

a)

9 = 32

2 = log3 9

b)

0.25 = 2-2

c)

200 = 1

d)

0.1 = 10

e)

52 = 25

2 es el logaritmo base 3 de 9

2 = log2 0.25

-

-

0 = log20 1 1

1 = log10 0.1

-

-

-

2 = log5 25

Ejemplo 2

Interpreta: logaritmo = exponente 3

2 es el logaritmo base 2 de 0.25

8 = 2 interprétalo:

0 es el logaritmo base 20 de 1

3 es el logaritmo de 8 en base 2 antes de escribir 3 = log2 8.

1 es el logaritmo base 10 de 0.1 2 es el logaritmo base 5 de 25

3 = log2 8 interprétalo: 3 exponente de 2 para obtener 8 antes de escribir 23 = 8.

Gráficas de funciones logarítmicas

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones logarítmicas:


a) y = log10 x

1. Las gráficas de funciones logarítmicas cortan siempre al eje x, ya sea que asciendan o desciendan.

b) y = log3 x Solución

a)

Tabulamos valores para x y y. Dibujamos los puntos y los unimos con una línea suave y continua. x y = log x

1 0

2 0.30

3 0.47

4 0.60

5 0.69

6 0.77

7 0.84

2. Todas las gráficas logarítmicas poseen una asíntota vertical. 3. log x significa log10 x.

Ejemplo 2

y y


log10 x

=

0.8

a) Las calculadoras científicas determinan el valor del logaritmo de un número con la tecla log . Si no tienes este tipo de calculadora puedes tabular valores para la función exponencial inversa y después optar por:

0.6 0.4 0.2 0

2

4

6

8

1. Dibujar la gráfica de la función exponencial y reflejarla en la recta x = y.

x

b) Escribimos y = log3 x como x = 3 y. Tabulamos valores, situamos los puntos ( x , y)

y dibujamos la curva. y

3 0.03 -

y

x = 3

151

2 0.11 -

0 1

1 0.33 -

1 3

2 8

3 27

2. Dibujar directamente puntos de la gráfica logarítmica intercambiando los valores de x y y en la tabla. b) Para calcular el valor de logaritmos en una base distinta de 10 debemos emplear la siguiente fórmula:

y

Fórmula para el cambio de base

3 2 y

log3 x

logb x

=

1

0

6

12

18

24

x

log x =

log b

Así:

1

log 5

−

log3 5

=

log 3

0.6989 =

0.4771

=

1.4648

152

7

BLOQUE


Ejemplo 3


Uso de la función logarítmica

Cuando en un modelo exponencial se desconoce el tiempo y éste aparece como ex ponente.

Antigüedad de un fósil

Antes de conocerse la radiactividad no existían escalas para medir el tiempo geológico, de manera que se utilizaban técnicas como la sedimentación en lechos marinos, grosor de anillos en árboles, etc. La vida media y las tasas constantes de desintegración de cada elemento radiactivo permiten establecer la antigüedad de diversas muestras. Así, la fisión del uranio 238 permite calcular entre 50 mil a 1 millón de años y el carbono 14, entre 50 mil a 60 mil años.

0.005 = 0.2(1/2)t /5700 equivale a: 0.005/0.2 = (1/2)t /5700 0.025 = (1/2)t /5700 /5 700 = log1/2 (0.025) t t = 5 700 log1/2 (0.025) Ampliando el conocimiento

1. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo que le toma reducir su masa inicial a la mitad. 2. Para que una masa de carbono 14 se reduzca a la mitad deben transcurrir 5 700 años. Para que la nueva masa se reduzca otra vez a la mitad se requieren otros 5 700 años y así sucesivamente. 3. Las masas de sustancias radiactivas disminuyen con el tiempo porque poseen núcleos inestables cuyas partículas se desintegran (separan) y se irradian hacia el exterior.

Sugerencias para la autoevaluación 7B 1.

2.

Vida media de algunos elementos radiactivos

Elemento

Uranio 238

Torio 230

Protactinio 231

Carbono 14

Años

4 500 millones

80 000

34 300

5 700

Al medir la cantidad de carbono 14 presente en el fósil de una concha marina se encuentra que ésta es de 0.005 g y se estima que inicialmente era de 0.2 g. ¿Qué antigüedad tiene esta concha? Solución

La ecuación exponencial 0.005 = 0.2(1/2)t /5700 modela esta situación. Para hallar t consideramos la función inversa t = 5 700 log1/2 (0.025). Usando calculadora: t = 30 335 años. Autoevaluación 7B 1.

Logaritmo = exponente

Obtén el logaritmo y la base para cada número. a)

base = número al que se asigna el exponente.

b)

En la forma logarítmica se debe identificar siempre cuál es la base y el exponente, antes de pasar a la forma exponencial.

d)

Para reescribir o interpretar la forma exponencial usando logaritmos recuerda que:

c) e) 2.

Escribe cada expresión en su forma exponencial o logarítmica, según el caso. a)

Exponente = logaritmo

b)

Número con el exponente = base.

c)

2a.

Base = 5, exponente = 4

d)

2b.

2 es el log de 625 en base 5

e)

100 000 = 105 74 = 343 64 = 43 64 = 26 64 = 82 4 = log5 625 252 = 625 0.001 = 10-3 2 = log1/3 0.111 61 = 6

153


3.

3 = logaritmo; 10 = base.

Dibuja la gráfica de cada función logarítmica.

2c.

-

a) y = log x

2d.

2 = exponente; base

b) y = log3 x

2e.

1 = logaritmo; 6 = base.

c) x = 5 y

3.

¿A qué plazo debes invertir $23 700.00 en una cuenta que capitaliza continuamente intereses a 18% anual para obtener $35 000.00?

4. Tiempo y ganancias

1 =

3

Si no dispones de una calculadora científica, puedes emplear la función exponencial inversa para hallar valores de x a partir de y. En caso de tener calculadora, es muy fácil obtener valores para la función logarítmica: y = log x . Para x = 20:

20

log

1.3010

=

y = log3 x . Para x = 20:

log3 20

20 log

÷

log 20 =

log 3

3 log

=

2.7268 En una resina fosilizada de árbol quedó atrapado un mosco hace miles de años. Si se estima que la cantidad de carbono 14 presente es 1/100 de la inicial, ¿hace cuántos años murió atrapado el mosco?

5. Moscos antiguos

3c.

Puedes utilizar la forma exponencial dada para construir la gráfica; en tal caso asigna primero valores a y para obtener los de x . Una vez hecha la gráfica repítela para comprobar, pero ahora utiliza la forma logarítmica de la función, es decir, graficando y = log5 x . Efectúa el mismo proceso para los incisos 3a y b, reescribiendo éstos ahora en forma exponencial. (Recuerda, para el primero de ellos, que: y = log x significa y y = log10 x , y esto equivale a 10 = x .)

¿Qué antigüedad tiene una roca lunar en la que se hallaron restos de torio 230, que son sólo 1/200 de la cantidad inicial?

6. Rocas lunares

4.

Despeja e0.18t en el modelo 35 000 = 23 700 e0.18t . Usa después la forma logarítmica y despeja t .

5.

Usa 1/100 = (1/2)t /5700 y log1/2 0.01 = log 0.01/log 1/2 (Una explicación sobre el uso de

1 2

co-

mo base en este modelo se proporciona en el punto 31 del Apéndice. El logarit1

mo de 0.01 con base se determina con 2

una calculadora científica, cambiando 1

de la base a la base 10, también po2

dría cambiarse a la base e, ya que tales calculadoras proporcionan logaritmos en cualquiera de estas dos bases: 10 y e.)

154

7

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7B

Intermedio

Logaritmos comunes y naturales Existen dos tipos de logaritmos que son muy usados en la práctica: los logaritmos comunes de base 10 y los naturales con base e. Se les identifica con una notación particular.


Logaritmos comunes y naturales log x = log10 x

1. Los logaritmos comunes, por tener base 10, se conocen también como logaritmos decimales.

Así,

2. Los logaritmos comunes son útiles debido a que su base coincide con la del sistema de numeración decimal. 3. Los logaritmos naturales tienen amplia aplicación debido a que el número e aparece al modelar gran cantidad de situaciones exponenciales.

log 5 = 0.6989 significa log 10 5 = 0.6989; ln 5 = 1.6094 significa log e 5 = 1.6094

En cualquier base,

El logaritmo del número 1 es cero

log2 1 = 0

0

logb b x = x :

b x = b x

logb b = 1:

b

1

=

=

1

(2

0

=

1);

log5 1 = 0

(50 = 1)

El logaritmo de la base elevada a un exponente es el exponente

log5 5 x = x

Las tres propiedades básicas de los logaritmos derivan inmediatamente de la definición de logaritmo: b

al operar con logaritmos es útil tener presentes las siguientes

propiedades.


logb 1 = 0:

ln x = loge x

(5 x = 5 x );

log3 3 x = x

(3 x = 3 x )

El logaritmo de la base es 1

log8 8 = 1

(8

1

=

8);

log6 6 = 1

(61 = 6)

De igual modo, los logaritmos tienen tres propiedades operativas que son de suma utilidad.

b

Operaciones con logaritmos Producto


Cociente logb u/v = logb u - logb v

logb uv = logb u + logb v

No existe una regla para el logaritmo de una suma, es decir:

Potencia v

logb u

log(u + v) NO ES IGUAL A log u + log v

Observa: log (10 + 10) ≠ log 10 + log 10, pues log 20 ≠ 1 + 1

=

v logb u

Todas las propiedades anteriores son consecuencia directa de la definición de logaritmo.

(¡Lo contrario implicaría 10 2 = 20!)

Ejemplo 1

Propiedades básicas de los logaritmos

Escribe los logaritmos de los siguientes números: a)

log 1

b) log c)

104

log 10


Solución

a)

log 1 = 0

b) log c)

104 = 4

log 10 = 1

155

Ejemplo 2 Comprobación 10

0

=

1 Fíjate en lo siguiente…

Comprobación: 104 = 104 Comprobación: 101 = 10

a) También puedes usar la transformación: ln 5 + ln 1 = ln 5 + 0 = ln 5 b) La alternativa:

Ejemplo 2

Simplificando expresiones logarítmicas

log 20 - log 2 = log (10) (2) - log 2 log 10 + log 2 - log 2

=

Simplifica:

log 10

=

a)

ln 5 + ln 1

b) log c)

1

=

20 - log 2

es buena, pero no tan breve como la elegida.

log 10 x 2

En ocasiones debe seleccionarse entre varias opciones y escoger aquella que dé un resultado más simple.

Solución

a)

ln 5 + ln 1 = ln (5)(1) = ln 5

b) log c)

20 - log 2 = log (20/2) = log 10 = 1

c) Primero se aplicó la propiedad del producto y después la de una potencia.

log 10 x 2 = log 10 + log x 2 = 1 + 2 log x Información histórica

Ejemplo 3

Emergencia y primeros auxilios

Después de cuatro a cinco minutos sin oxígeno, las células cerebrales pueden morir. En algunos casos puede reanimarse a una persona cuya respiración se haya suspendido este tiempo, pero el riesgo de que diversas células cerebrales sufran daños irreparables es muy alto, pudiendo quedar secuelas irreversibles de problemas neurológicos que afecten las funciones motoras o psicológicas de la persona.

Los logaritmos constituyeron un recurso para realizar operaciones engorrosas antes de que se introdujeran calculadoras y computadoras. Para hallar 0.000l3(0.5) -25 /1.0473 a) Se aplican primero logaritmos: log (0.00013(0.5)-25 /1.0473) = log (0.00013(0.5)-25) - log1.0473 = log 0.00013 + log (0.5)-25 - log 1.0473 = log 0.00013 - 25 log (0.5) - 3 log 1.047 = -

3.8860 + 7.5257 - 0.0598 = 3.5799.

b) Por último, se halla el “antilogaritmo” (función inversa) de este último número: Antilog 3.5799 = 3 801.01. Así: 0.000l3(0.5)-25 /1.0473 ≈ 3 801 (Los valores de logaritmos y antilogaritmos se consultan en tablas.)

7

156


BLOQUE


1. En esta fórmula k debe determinarse para cada caso particular. T m es la temperatura del medio y t es el tiempo que tarda el ob jeto en pasar de una temperatura inicial T i a una temperatura final T f . 2. El sistema de ecuaciones: kt

=

ln

36.3 37

−

−

21

21

; k (t + 1) =

ln

36 − 21 37 − 21

equivale a kt = ln(0.9562) = -0.0447 k (t + 1) = ln(0.9375) = -0.0645. Para resolverlo, sustituimos en la segunda ecuación el valor de kt = -0.0447. kt + k = - 0.0645 - 0.0447 + k = - 0.0645 k = 0.0447 - 0.0645 k = -0.0198. Reemplazamos este valor en la ecuación:

Solución

La temperatura corporal normal es de 37 °C. En este caso se usa la fórmula para el enfriamiento de los cuerpos: kt

=

kt

=

0.0447

− =

0.0198

=

e

36.3 37

−

−

21

21

,

k (t

−

1)

=

ln

36

−

21

37

−

21

Obtén, sin ayuda de tablas o calculadora, el valor de: a)

ln 1

b)

ln e6

c)

ln e

3.

En un mismo plano coordenado dibuja y compara las gráficas de: a) y = log x b) y = ln x

4.

Reinterpreta cada expresión usando propiedades de los logaritmos: a)

log (27)(4)

 7   10  

b) log 

3. Utiliza

e

ln

Enuncia en lenguaje ordinario las propiedades operativas de los logaritmos.

“El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos.”

  1   Como ln    , o bien, ln 2   2  

T m

−

2.

1.

una calculadora científica para elaborar una tabla de valores. Dos valores básicos en las gráficas logarítmicas son x = 1 y x = a la base. 4. Revisa las propiedades de las operaciones con logaritmos. 5. Utiliza las propiedades operativas de los logaritmos. 5a. Puedes interpretarlo de dos formas:

T m

Autoevaluación 7B

−

¿A qué exponente debes elevar la base e para obtener 1?, ¿para obtener e6?, ¿para obtener e? 2. Por ejemplo: log( AB) = log A + log B

Ti

−

Por tanto, 2.25 minutos antes de la primer toma la temperatura corporal era de 37 °C, así que la persona lleva cerca de 3.25 minutos sin respirar.

2.25


T f

cuyas soluciones son k = -0.0198, t = 2.25.

0.0198 t = -0.0447 t

ln

obtenemos el sistema:

1.

kt = - 0.0447 -

En el lugar de un accidente un socorrista atiende a una persona. Mientras le da respiración, otro efectúa dos tomas de temperatura con diferencia de un minuto, siendo éstas de 36.3 °C y 36 °C. Si el termómetro ambiental de la ambulancia marca 21°C de temperatura y la primera toma se hizo a las 7:00 p.m., ¿cuánto tiempo lleva sin respirar la persona?

c)

ln 2ee

d) ln 5.

(1/2)20t

Simplifica: a)

ln [e(1/2)]

b) log ( x + 1)/10 c) 6.

ln e x +3 - ( x + 3)

¿Puede emplearse la ley para el enfriamiento de los cuerpos cuando coinciden la temperatura final o la inicial con la del medio? Justifica tu respuesta.


En tu casa te sirven un par de huevos estrellados para el desayuno, recién sacados de la sartén, a 40 °C. La temperatura ambiente es de 20 °C y la temperatura T (en °C) de tu desayuno está relacionada con el tiempo t (en horas), mediante el modelo:

7. Desayuno y rapidez de enfriamiento

4.1605 t

−

=

ln

T

40

−

−

20

5c.

Aplica la regla para una potencia y factoriza después x + 3. ¿A qué es igual ln e?

6.

¿Qué ocurre con el denominador?

7.

Reemplaza T = 30 y resuelve. Multiplica el resultado por 60 para obtener minutos.

20

¿Cuánto tardará tu desayuno en enfriarse a 30 °C?

157

8a. 3k

=

ln

0 18

−

−

( 4) −

( 4) −

8b. T f = 6

en la fórmula del inciso anterior para el enfriamiento de los cuerpos.

John Napier (1550-1617)

8. Congelación Pones

a enfriar un refresco en el congelador de tu casa. Si el refresco está a 18 °C y se congela en 3 h a una temperatura de -4 °C, a)

Determina la constante k en la fórmula del enfriamiento.

b)

¿En cuánto tiempo el refresco estará a 6 °C?

Al conocer los logaritmos, Laplace afirmó que Napier había alargado la vida de los astrónomos, pues con su invención en 1614, el matemático escocés ayudó a simplificar los laboriosos cálculos que aquéllos realizaban. En 1620, en forma independiente, el suizo Justus Byrgius publicó también un trabajo sobre logaritmos. En 1624, el inglés Henry Briggs publicó las primeras tablas de logaritmos decimales, después de visitar a Na pier y entusiasmarse con su hallazgo. Aun cuando Napier no trabajó con estos logaritmos, ni con los naturales, a estos últimos se les llama neperianos en honor a su trabajo.

158

7

BLOQUE



7B

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Las ecuaciones logarítmicas y exponenciales son ecuaciones que contienen un logaritmo o una variable como exponente:

Final Observaciones importantes Interpretar en forma inversa exponentes y logaritmos significa:

a) Reescribir una expresión exponencial, como 2 x = 8, en su forma logarítmica: x = log2 8, o bien,

5 x + 2 = 10;

3 + 2 ln x = 15

Cuando se trabaja con ecuaciones exponenciales o logarítmicas, las variables se despejan reescribiendo exponentes como logaritmos, o viceversa. Así, para resolver 3 x = 9 hacemos lo siguiente:

b) Reescribir una expresión logarítmica, como log2 x = 5, en forma exponencial: x = 25.

3 x = 9

Ecuación inicial

x = log3 9

Reescribiendo como logaritmo

x = 2

Usando calculadora

El siguiente procedimiento generalmente es aplicable.

Ejemplo 1 Recuerda

Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

x

Para reescribir 5 = 105 en forma de logaritmo interpretas esta expresión leyéndola como: “x es el exponente (logaritmo) al que hay que elevar la base 5 para obtener 105.” Simultáneamente escribes: x = log5 105.

1. Aislar los términos exponenciales o logarítmicos. 2. Interpretar en forma inversa exponentes y logaritmos.

En ocasiones algunas ecuaciones logarítmicas o exponenciales deben resolverse por métodos gráficos. Esto ocurre cuando las expresiones resultantes mediante transformaciones algebraicas son más complejas que la expresión inicial.

Ejemplo 1a Fíjate en lo siguiente...

1. En el último paso debe aplicarse la regla del cambio de base para hallar el valor de log5 105. 2. Casi todas las calculadoras traen teclas para log x y para ln x, por lo que puedes calcular log5 105 de dos formas: log5 105

log5 105

log105 =

log 5 ln 105

=

ln 5

2.021 =

0.698

1.609

2.89

=

2.89

Resolviendo ecuaciones exponenciales

Obtén la solución de las siguientes ecuaciones: a)

5 x + 1 = 106

b)

4e x -1 = 32

Solución

a)

4.653 =

=

Ejemplo 1

5 x + 1 = 106

Ecuación dada

5 x = 105

Restando 1 en ambos lados

x = log5 105

Interpretando exponente como logaritmo

x ≈ 2.89

Usando calculadora

159


b)

4e x - 1 = 32 x - 1

e

=

Ecuación dada

8

Dividiendo ambos lados entre 4

x - 1 = ln 8

Interpretando exponente como logaritmo

x = ln 8 + 1

Sumando 1 en ambos lados

x ≈ 3. 08

Usando calculadora

Ejemplo 2

b)

ln x + 4 = 3 1 2

log3 ( x + 1)

=

Fórmula para el cambio de base log b x

a) ln (0.3678) + 4 ≈ -1 + 4 = 3. ln x + 4 = 3

Ecuación dada

2

Interpretando logaritmo como exponente

x = 0.3678

Usando calculadora

=

1 2

log3 (8 + 1)

=

1

Ecuación dada

log3 ( x + 1) = 2

1 2 1

=

x = e -

log3 ( x + 1)

b)


1

1

loga b

Comprobación

1

ln x = - 1

b)

loga x

Ejemplo 2

Solución

a)

=

Resolviendo ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciones: a)

Recuerda

2

log3 9 (2)

=

1.

Ejemplo 3

Multiplicando por 2 en ambos lados

x + 1 = 3

2

x = 3

2


Interpretando logaritmo como exponente

1

-

x = 8

Ejemplo 3

Restando 1 en ambos lados Simplificando

Población económicamente activa

La ecuación y = 41.3 + e0.1527t modela la cantidad de personas (en millones) económicamente activas en el país, a partir de 1998 ( t = 1). a)

¿Cuántas personas produjeron ingresos en el país en 1998?

b)

¿En cuánto tiempo la población económicamente activa ascendió a 44 millones?

En el modelo se comienza haciendo corresponder el primer año 1998 con el número 1. “Cuántos años después” implica restar este primer año en el cómputo de años que comienza desde el primero. Si deseas confirmar esto observa la tabla de correspondencias t → año: t

Año

1 98

2 99

3 00

4 01

5 02

6 03

160

7

BLOQUE


Solución

La regla de cálculo Hasta finales de la década de 1960, los científicos e ingenieros de todo el mundo hacían uso de este instrumento para efectuar con rapidez y con escaso margen de error operaciones aritméticas engorrosas, cálculo de logaritmos, obtención de valores de funciones trigonométricas, etcétera. Desplazado por las calculadoras electrónicas de bolsillo, este útil dispositivo sirvió cerca de 300 años, después de que fue creado en 1632 por el matemático inglés William Oughtred. Su principio operativo se basaba en el empleo de escalas logarítmicas en regletas deslizables que convertían multiplicaciones en sumas, divisiones en restas, etcétera, con base en las propiedades de los logaritmos.

a)

Para t = 1 se tiene y = 41.3 + e0.1527 = 41.3 + 1.16 = 42.46 millones de habitantes.

b)

Resolvemos la ecuación: 44 = 41.3 + e0.1527t 2.7 = e0.1527t

0.1527 t = ln 2.7 t =

ln 2.7 0.1527

t = 6.5

Restando 41.3 en ambos lados Reinterpretando exponente como logaritmo Dividiendo ambos lados por 0.1527 Efectuando operaciones

Así, en 6.5 - 1 = 5.5 años (a mediados del año 2003) la población económicamente activa fue de 44 millones de personas.

Autoevaluación 7B 1.

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a)

5 x = 125

b) 1/4

1.


c)

Aísla los términos con exponentes o logaritmos. Reescribe exponentes como logaritmos o viceversa. a) Otra forma: cuando ambos números pueden expresarse como potencias x 3 de una misma base: 5 = 5 implica x = 3.

e)

De

3

4

=

12 obtienes

2.

3 x = 48.

c)

log3 48

=

log3 48

=

ln 3

Obtén la solución para cada ecuación logarítmica: a)

log x = 4

b)

8 - ln (t + 1) = 3

c)

ln x 2 = 5

e)

ln x 2 = 1

log2 x + log2 8 = 1

, o bien,

log 48 log 3 x + 2

9 - 62 x -1 = 6

d) (1/2)

Calcula log348 usando cambio de base: ln 48

8e x + 2 = 4

d) e-0.017 x = 14.32

x

b)

(3 x ) = 12

Resuelve e = 0.5 d) Resuelve -0.017 x = ln(14.32)

3.

Resuelve las siguientes ecuaciones: a)

0.4e3 x -1 = ln e5

b) log2 x 2 = log2 (4 - 2 x ) - 1


e) 4. Temperatura en un congelador

El modelo

0.5682t

−

=

ln

T f Ti

−

−

T m T m

permite

obtener el enfriamiento de un congelador con temperatura T m. Si en tres horas se congela un refresco en el refrigerador, estando el refresco a 18 °C al introducirlo, ¿cuál es la temperatura del congelador?

2a.

161

Resuelve 2 x -1 = log6 3. Calcula log6 3 mediante cambio de base.

Interpreta usando exponentes. Recuerda que log x significa log10 x .

2b. Aísla

el término con logaritmo y después interpreta usando exponentes.

2c, d, e. Aplica primero las propiedades ope-

rativas de los logaritmos. 3a.

ln e5 = 5

3b.

Utiliza log2 ( x 2 /(4 - 2 x )) = -1 Agrupa en un solo miembro las expresiones con logaritmos. ¿A qué es igual el logaritmo de un cociente? Recuerda que

2

1

−

=

1 2

. Al simplificar,

debes obtener la ecuación cuadrática 2 x + x - 2 = 0. Su solución da dos valores para x . 4.

¿En cuánto tiempo se duplicarán $4 150.00 invertidos en una cuenta bancaria que paga de manera trimestral intereses a 15% anual?

5. Interés compuesto

¿En cuánto tiempo valdrá la mitad un equipo de video que compraste en $5 000.00, si se deprecia 10% cada año?

6. Depreciación

7. Venta de bicicletas y = 4 + ln 0.5-t modela la demanda de bicicletas cada año, entre 1951 (t = 1) y 1960. ¿Cuál fue la demanda en 1958? ( y está expresada en

millones.)

Utiliza 3( 0.5682) −

5.

=

ln

0 18

−

−

T m T m

Emplea 4 t

 0.15  8 300 = 4 150  1 +  4   6.

Resuelve 2 500 = 5 000(0.90)t

7.

El valor de t correspondiente a 1958 es t = ? Resuelve la ecuación dada para este valor. Utiliza la regla para el logaritmo de una potencia.

7

162

BLOQUE



Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte sobre la programación de una cirugía del Bloque 7B. Nombre del alumno:

Nivel

Presentación


Dominio del tema

Conclusiones

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el reporte y el resumen a mano con buena caligrafía o bien en computadora, bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte y el resumen a mano con buena caligrafía, bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte y el resumen a mano con regular caligrafía, redacción regular pero sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte y el resumen a mano con mala cal igrafía, mal redactado y con faltas de ortografía.

Presenta todos los pasos para calcular, el tiempo que tarda el tumor en alcanzar 2 cm, siguiendo una secuencia ordenada.

Presenta todos los pasos para calcular el tiempo que tarda el tumor en alcanzar 2 cm, siguiendo una secuencia ordenada.

Presenta resultados parciales sin dar ninguna justificación.

Explica claramente como se utiliza la calculadora científica para obtener logaritmos de bases diferentes a 10 o e .

Presenta todos los pasos para calcular, el tiempo que tarda el tumor en alcanzar 2 cm, siguiendo una secuencia ordenada. Explica claramente cómo se utiliza la calculadora científica para obtener logaritmos de bases diferentes a 10 o e .

Ilustra con varios ejemplos sencillos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

No expone ejemplos de solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Selecciona correctamente un modelo para el problema (polinomial, racional o exponencial).



Selecciona incorrectamente un modelo para el problema (polinomial, racional o exponencial).

Determina de manera correcta la función exponencial que modela el crecimiento del tumor.



Determina de manera incorrecta la función exponencial que modela el crecimiento del tumor.

Despeja correctamente el tiempo en la función exponencial.

Despeja correctamente el tiempo en la función exponencial.

Despeja incorrectamente el tiempo en la función exponencial.

Despeja incorrectamente el tiempo en la función exponencial.

Usa adecuadamente la calculadora para evaluar logaritmos.

Usa incorrectamente la calculadora para evaluar logaritmos.

Usa incorrectamente la calculadora para evaluar logaritmos.

Usa la calculadora incorrectamente para evaluar logaritmos.

Efectúa el cálculo numérico correcto del tiempo (en días) que tarda el tumor en alcanzar 2 cm.

Efectúa el cálculo numérico correcto del tiempo que tarda el tumor en alcanzar 2 cm, pero usa unidades de tiempo que no son días.

Efectúa el cálculo numérico correcto del tiempo que tarda el tumor en alcanzar 2 cm, pero sin indicar unidades.

Efectúa el cálculo incorrecto del tiempo (en días) que tarda el tumor en alcanzar 2 cm.

Explica únicamente cómo se utiliza la calculadora científica para obtener logaritmos de base 10 y e .

No realiza el resumen sobre el uso de la calculadora científica para obtener logaritmos ni de la solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

No expone ejemplos de solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para evaluar el reporte sobre el problema de ejercicio y peso corporal del Bloque 7A.

Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluya al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. El trabajo se elaboró con un procesador de texto como Word o bien se hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. 5. La gráfica de la función exponencial decreciente correspondiente al problema se elaboró en una hoja de papel milimétrico o de cuadrícula chica o bien por computadora con los puntos suficientes y del tamaño apropiado que permita hacer un trazo suave y en donde se indiquen claramente las unidades de las variables que se grafican.

SÍ

NO

Observaciones


Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

163

6. Se presentan todos los pasos requeridos para determinar el peso de la vecina a los tres meses de llevar a cabo el progr ama de ejercicios siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 7. Elabora una tabla con los pesos de la vecina para los primeros días de llevar a cabo el programa de ejercicios sólo con la información del problema (antes de determinar la función). 8. Identifica correctamente la constante A , la base b y la variable x para este ejercicio. 9. Elabora una tabla con los pesos de la vecina para diversos días de llevar a cabo el programa de ejercicios con la función exponencial obtenida.

Dominio del tema 10. Conoce la forma básica de una función exponencial creciente y decreciente. 11. Sabe determinar en qué casos se aplica el modelo exponencial. 12. Sabe calcular la constante y la base de una función exponencial en un problema que se modela con esta última.

Conclusiones 13. Determina correctamente la función que describe el peso de la vecina por cada día del programa de ejercicios. 14. Determina correctamente el peso de la vecina a los tres meses de llevar a cabo el programa de ejercicios.


Fecha: ____________________

Guía de observación para los proyectos de trabajo de los Bloques 7A y 7B. Nombre de la materia:


Profesor:

Clave:

Alumno:


Desempeño a evaluar: Aplicación de Funciones Exponenciales y Logarítmicas. Instrucciones: Observa si la ejecución de


No. 1 2 3 4 5

Acciones a evaluar Determina el valor del automóvil al cabo de 5 años. Determina cuánto se pagará en un plazo de 10 años por el departamento adquirido mediante un préstamo hipotecario. Calcula el porcentaje de partículas radiactivas presentes un día después de la explosión de la bomba atómica detonada en Hiroshima. Calcula el tiempo requerido para que las partículas radiactivas producidas por la explosión de la bomba atómica detonada en Hir oshima se reduzcan a la mitad. Determina el porcentaje de partículas radiactivas presentes dos semanas después de la explosión de la bomba atómica detonada en Hiroshima.

*No aplica.


Observaciones

8

BLOQUE

Aplicas funciones periódicas


Funciones trigonométricas: Seno Coseno

Funciones circulares: Seno Coseno

Formas senoidales Representación gráfica de funciones trigonométricas Características de las funciones periódicas: Amplitud Frecuencia Periodo

Competencias por desarrollar

n

n n

n

n

n

Se conoce a sí mismo y aborda problemas teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha e interpreta las funciones trigonométricas mediante gráficas y tablas para la aplicación de las funciones senoidal. Desarrolla interés al desarrollar situaciones problemáticas que requieren de funciones trigonométricas. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

n

n

n

Mantiene una actitud respetuosa hacía las ideas de sus compañeros. Construye e interpeta modelos matemáticos de las funciones seno y coseno mediante las gráficas representativas. Resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes estrategias de solución. Explica e interpreta los resultados obtenidos y los aplica en su entorno. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y el uso de las tecnologías de la información y comunicación.

¿Qué sabes hacer ahora? Muchos fenómenos naturales, biológicos y sociales, cuya principal característica es su ocurrencia en ciclos repetitivos, como las temperaturas de un lugar, las mareas en el océano, los precios y la demanda de artículos en la economía, el ritmo cardiaco de las personas, entre otros, pueden representarse mediante funciones periódicas senoidales. Estas funciones resultan igualmente útiles para el estudio de diversos fenómenos físicos originados por vibraciones, como la luz y demás radiaciones electromagnéticas, el movimiento oscilatorio, las ondas sísmicas y el sonido. En telecomunicaciones, por ejemplo, la transmisión de señales de información se realiza combinando las ondas de audio o video con una onda de radio (por tadora) y regulando (modulando), la amplitud (A. M.) o la frecuencia (F. M.) de ambas.

A. M.

F. M.

n

n

n

Analiza las relaciones entre dos o más variables, y estima su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean en los problemas aplicables en la vida cotidiana (sismos). Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.


n

Describe la relación que existe entre las funciones trigonométricas y las funciones circulares seno y coseno. Argumenta la elección de una de las dos formas senoidales para modelar una situación o fenómeno específico.

n

Obtiene la amplitud y el periodo para graficar una función senoidal.

n

Describe la relación entre periodo y frecuencia.

n

Resuelve o formula problemas de su entorno u otros ámbitos que pueden representarse mediante funciones senoidales.

8

166

BLOQUE


8

A

BLOQUE

Presa-predador


La compleja trama alimenticia del leopardo, uno de los más hábiles y poderosos cazadores felinos, incluye presas mayores como cebras, antílopes, ñus, y menores como monos, roedores y pájaros.

En sus cadenas alimenticias, de presas medianas, se hallan las gacelas. Conocimientos

El siguiente diagrama ilustra este ciclo alimenticio.

Las funciones senoidales

Son las funciones seno, coseno y sus transformaciones: traslaciones, reflexiones, contracciones y dilataciones, horizontales o verticales, expresadas mediante las ecuaciones:

Aumento de leopardos

Disminución de gacelas

y = a sen (bx + c) + d y = a cos (bx + c) + d

Disminución de leopardos

Aumento de gacelas

Efecto de los parámetros a:

dilatación o contracción vertical.

b:

dilatación o contracción horizontal.

c:

traslación horizontal.

d:

traslación vertical.

La fluctuación de gacelas ( G) y la de leopardos ( L) —en miles— pueden modelarse me-

(Cuando a < 0, la gráfica se refleja —invierte— en su eje horizontal.)

diante las funciones periódicas:

L = 4 + cos

π 3

,

t G = 250 + 25 sen

π 3

t

(t en meses).

¿Cuántos meses abarca el ciclo de estudio de estas especies? Amplitud y periodo

¿Cuáles son las poblaciones máxima y mínima de cada una?

a = amplitud, indica la altura máxima de la gráfica (desde su eje horizontal). 2 π

b

= periodo o longitud en el eje x de un ciclo de la gráfica.

Explica la relación entre ambas poblaciones a partir de sus gráficas.


El periodo de las funciones y = sen x, y = cos x es igual a 2 π. Esto significa que en el tramo de 0 a 2 π del eje x , se encuentra una porción (o patrón básico, o ciclo) de la gráfica que se repite indefinidamente.

Cálculo con valores negativos

1

Si - x es negativo: sen (- x ) = -sen x ; cos (- x ) = cos x .

− π

0

π

2 π

3 π

−1

2.

¿Qué ocurrirá en la gráfica si divides el periodo entre un número mayor que 1? ¿Y si es una fracción entre 0 y 1? ¿Cuál de estos casos ilustra la gráfica?

Consulta 1

En libros de álgebra y otras fuentes: Gráficas de funciones senoidales

− π

0

−1

π

2 π

3 π



1. El periodo de una función senoidal hace que su gráfica esté más extendida o comprimida ____________________ (verticalmente, horizontalmente). Esto depende del coeficiente de la ecuación que interviene como divisor de 2 π, es decir:______ (a, b, c, d ). 2. Conociendo el valor de b es posible obtener el periodo, ya que al ser p = resulta b = b

2 π b

3. En forma análoga, el coeficiente b del modelo poblacional de las gacelas es b

Escribe en tu cuaderno las conclusiones obtenidas en el análisis de la situación.

2.

Elabora un reporte que incluya las respuestas de todos los puntos de la secuencia didáctica y agrega para el punto 5 una descripción por tramos de la comparación de ambas gráficas, así como las respuestas de la evaluación sumativa.

3.

Realiza un resumen acerca de las funciones senoidales y sus gráficas, indicando el efecto y la forma de obtener las constantes de cada modelo, y ejemplificando cada caso.

. En el modelo para la población de leopardos el coeficiente

blación abarca _______ meses.


1.

,

; su periodo p = _______ , indica que el ciclo de estudio de esta po-

=

167

; su periodo p = _______ , confirma que ambas especies se estudia-

=

ron en igual periodo. 4. La cantidad promedio de leopardos es d = _______ y la de gacelas es _______ . Sumando y restando a cada una la amplitud respectiva _______ ( a, b, c, d ) se obtiene (en miles): población de leopardos: máxima _______ , mínima _______ ; población de gacelas: máxima _______ , mínima _______ .

Población de gacelas

275 250 225

5. Las gráficas reflejan las cuatro fases del ciclo alimenticio: a) aumento, disminución

c) disminución,

b) disminución,

d) aumento,

Proyecto de trabajo

Población de leopardos 5 4 3 0

Entre 2009 y 2010 las ventas de champú alcanzaron, en cada temporada estacional, montos (en millones de pesos), que pueden modelarse con Ventas de temporada S

=

6 0 00

+

200 sen

π 6

t

, donde:

t = tiempo en meses ( t = 0 ↔ diciembre 2009).

a)

Bosqueja la gráfica de la función hasta diciembre de 2010.

b)

¿En qué meses las ventas alcanzaron su máximo? ¿Y su mínimo? ¿A cuánto ascendieron dichos montos?

2

4

6

8

168


BLOQUE


8 A

Funciones senoidales y sus gráficas Las funciones seno y coseno, y sus transformaciones, se denominan funciones senoidales. Funciones senoidales

Sus ecuaciones adoptan la forma: y = a sen (bx + c) + d y = a cos (bx + c) + d


1. La sucesión de ciclos iguales en la gráfica muestra que la función repite sus valores en diferentes tramos de x .

y=

1 2

y = sen x

sen x

y = 2 sen x

y y

1 π 3 π − π −  0 −  2 2 −1

π

 2

3 π  2

π

2 π 5 π  2

1

x

−2 π − π −1

3 y

y

0 π

2

1

x

1 x

2 π

−2 π 3 − π π 0 −  π −  2 −1 2

π

π

3

 π



2 π

−2 π − π

x

2

2

0 −1 −2

π

2 π

El valor 1 del seno, por ejemplo, corresponde a los ángulos −

3 π 2

,

π

2

,

5π 2

,... ,

separados 2 π unidades de distancia. Cada vez que a x se sume un periodo (2 π) se repite el valor y del seno:

Como una misma porción (ciclo) de la gráfica se repite en intervalos iguales del eje x (periodo), estas funciones se llaman periódicas. La mayor altura que alcanza la gráfica, desde su eje horizontal de simetría, es su amplitud. Amplitud y periodo

sen ( x +2 πn) = sen x , n = 0, 1, 2, 3,… (ocurre lo mismo para el coseno).

Amplitud = a

2. En general: En una función periódica

Periodo =

2 π

b

Los ejemplos siguientes ilustran el efecto de las constantes a, b, c, d .

f ( x + p) = f ( x )

donde p es el periodo.

Ejemplo 1 Recuerda

Para bosquejar la gráfica divide el periodo p en cuatro partes y ubica los 5 puntos clave de un ciclo. Repite éste.

Determina y compara la amplitud de las gráficas de las funciones: a)

y

1

−1

1

p

3p







4

2

2

a =

Máximo Intersecciones x

1

b) y = 2 cos x .

cos x ,

Solución

a)

p

=

La amplitud la proporciona el coeficiente a.

Familias de y = sen x

0

Funciones con diferente amplitud

p

2

1 2

=

1 2

. Se eleva y

unidad sobre el eje x .

b)

=

2 cos x

1

2

Mínimo

y

2

a= 2 = 2. Tiene una altura de 2 unidades.

2 π

−

y

=

1 cos x 2



1 π

−

0 1

−

2

−

1 π

2 π

x

169


Ejemplo 2

Familias de y = cos x

Funciones con distintos periodos Máximo 1

Obtén el periodo y compara las gráficas de las funciones: 1

a) y = cos

b) y = cos x

x

2

c) y = cos 4 x

0

Intersecciones x p

p





4

−1

Máximo

Solución

3 p

p



2 Mínimo

4

El periodo depende del valor del coeficiente b. a)

2 π

b

2π

=

1

= 4 π

b)

2 π

b

=

2π

= 2 π

1

c)

2 π

b

=

2π 4

=

Ejemplo 2

π 2


2

Cuanto mayor es b, más pequeño es el periodo (la gráfica, en tramos iguales, contiene más ciclos; se comprime horizontalmente). y = cos b=

π

Para trazar y = cos 4 x su periodo se dividió 2 en cuatro partes:

y

1

x

2

1 x

0

1

2 π

π

3 π

4 π

1er. cuarto:

1 4

π ⋅

2

π =

8

−1

2

y = cos x

2do. cuarto:

y

2 4

1

π ⋅

2

=

2

π ⋅

2

π =

4

1

b = 1

x

0

π

 2

−1

y = cos 4 x b = 4

3 π  2

π

3er. cuarto:

2 π

4o. cuarto:

y

1 0

−1

4 4 4

3π

π ⋅

2

=

π ⋅

2

8 π

=

2

x

2 π

π

3

Ciclos de la gráfica

3

π π π π     8 4 8 2

Entre 0 y 2 π existen b ciclos.

El coeficiente b informa cuántos ciclos tiene la gráfica de 0 a 2 π.

Ejemplo 3

Traslaciones horizontales y verticales


La frecuencia es la cantidad de ciclos de la gráfica contenidos en cada unidad horizontal.

Traza la gráfica de y = sen ( x - 2) + 4. Solución

La gráfica se obtiene aplicando dos traslaciones a y = sen x : una horizontal: 2 unidades a la derecha (observa desfase del 0); la otra vertical: 4 unidades hacia arriba (traslada el eje horizontal). 2

y

Frecuencia

Es el recíproco del periodo f

=

b 2 π

.

= sen ( x − 2) + 4

5 1

4 0

3 4

2

y

1

−1

= sen x

1

−4 − π

−2

0

−1

2

π

4

6 2 π

En esta gráfica la frecuencia es f = 2 ciclos por unidad horizontal.

8

170

BLOQUE


Ejemplo 4

Ejemplo 4


Identificando transformaciones

Describe las gráficas de: a)

y

 π  = sen  x +  , b) y = 3 sen (2 x + 6) - 1.  2 

Solución

Desplazamiento horizontal

a) Amplitud : a = 1

y = sen ( x + c) es un desplazamiento horizontal de y = sen x , cunidades a la derecha si c < 0, a la izquierda, si c > 0.

Traslaciones de y = sen x :

Ciclos de 0 a 2 π: b = 1 Periodo: p

=

2 π 1

A la izquierda:

= 2 π

Periodo: p

a= Amplitud. b= Ciclos de 0 a 2 π. c b

=

π 

Traslaciones de y = sen x :

Ciclos de 0 a 2 π: b = 2

y = a sen (bx + c) + d

 

unidades  c =

2 2   Verticales: no existen, pues d = 0.

b) Amplitud : a = 3 Significado de las constantes

π

A la izquierda:

2 π = π 2

= 3 unidades.

2

Hacia abajo: 1 unidad , pues d = - 1.

y

= Desplazamiento horizontal

6

π

= sen ( x + ) 2

y

y

= 3 sen (2 x + 6) − 1

2

c b c b

< 0

derecha;

1

−6 > 0

y

izquierda

−4 − π

= sen x

0 π −  2 −1

π

 2

2

π

4

6 2 π

8

x

−2 −3

d = Desplazamiento vertical d > 0 arriba; d < 0 abajo. (Igual para el caso del coseno.)

−4


1. Las gráficas del seno y el coseno son idénticas, salvo un desfase de ésta de unidades a la izquierda. 2. Por esta razón, cuando se graficó

 π  en el inciso a), se y = sen x +  2  

π

2

Modelo para notas musicales

Las funciones y = 3 sen 220 π t , y = 1.5 sen 440 π t , modelan las ondas sonoras de la nota musical “La” para una ejecución de sus dos primeros registros. a)

¿Qué frecuencia tiene cada registro?

b)

¿Cuál de ellos es más intenso?

c)

¿A cuál corresponde la gráfica?

Solución

a)

obtuvo la gráfica del coseno.

Para el primer registro: f =

220 π 2 π

= 110 hertz (ciclos por segundo); para el

siguiente, f = 220 hertz (su tono es más agudo que el anterior).

Desplazamiento de la onda sonora

b) Como amplitud = intensidad y 3 > 1.5, para esta

y

3

ejecución es más intenso el primer registro. c)

La gráfica corresponde al primer registro, ya que su periodo es p

2 π =

220 π

≈

0.01 segundos.

a r u t l A

0

−3

0.01

Tiempo (s)

t



Autoevaluación 8A

En los ejercicios 1 a 3, determina la amplitud y el periodo de cada una de las funciones. 1. y = sen x 2. y = cos 5 x 3. y = 4 cos x - 3

1. a 3. Identifica los coeficientes a y b y revi-

sa los ejemplos 1 y 2.

En los ejercicios 4 a 6, obtén el valor de los coeficientes a, b, c y d para cada función. 4. y = sen x + 3 5. y = -2 cos 6 x 6. y = 5 cos 8 x - 4 En los ejercicios 7 a 9, a) Describe el efecto de cada coeficiente (no cero) en la gráfica de la función, con relación a las gráficas de y = sen x y y = cos x, según corresponda; b) traza la gráfica de cada función. 7. y = sen x + 3 8. y = -2 cos 6 x 9. y = 5 cos 8 x - 4 10. a)

Dibuja la gráfica de

y

 π  = cos  x −  ; b) compara la gráfica obtenida con  2 

4. a 6. Utiliza el modelo de las funciones se-

noidales al inicio de este segmento informativo. 7. a 9. Revisa los ejemplos 3 y 4. En el ejercicio 8 traza primero la gráfica de y = 2 cos 6 x. Refleja ésta en el eje x . 10.

Revisa el ejemplo 4 a) y su comentario al final del margen.

11.

Identifica si se trata de seno o coseno, observando el valor en 0. Analiza si hay contracciones, dilataciones o reflexiones. ¿Qué información te proporcionab?

la gráfica de y = sen x ; c) interpreta el resultado. 11.

Asocia cada ecuación con su gráfica. a) y = cos 2 x

b) y = 0.5 sen x + 2

y

c) y = - sen x

y

1

3

1

−1 π

0

1 π

2 π

días hay en cada medio ciclo? Duplícalo para el periodo.

y

13. a) La

x 1 π

−1

0

1 π

2 π

1

−1

x

−1 π

(I)

12. ¿Cuántos

2

x

(II)

0

1 π

(III)

12. Biorritmos Las gráficas mostradas representan los ritmos físico, emocional e intelectual, de cualquier persona a partir de su nacimiento (primeros 31 días

de vida). a)

Si a = 1, ¿cuáles son sus ecuaciones?

b)

¿Cuántos días dura cada biorritmo?

171

2 π

frecuencia se da en kilohertz: 1 kHz = 1 000 hertz (ciclos × s); la amplitud de onda en volts (V).

b) La

distancia entre dos crestas o valles es la longitud de onda: λ

c =

f

. (c = Velocidad

de la luz = 3 × 108 m/s.) En electromagnetismo b = 2 π f = frecuencia angular = ω

13. Frecuencias radiofónicas Las funciones y = 12 sen 4207.6 t ; y = 10 cos 6908 t , describen la onda de radiofrecuencia con que transmiten dos estacio-

nes de radio de amplitud modulada (A. M.). a)

¿Cuál es la amplitud y cuál es la frecuencia con que transmite cada radiodifusora?

b)

¿Qué longitud tiene su onda de transmisión?

8

172

BLOQUE


8

B

BLOQUE

Presión arterial


En un electrocardiograma, los impulsos eléctricos que generan los latidos del cora zón de una persona se registran en forma de ondas senoidales.

Conocimientos Modelos senoidales y = a sen (bx + c) + d y = a cos (bx + c) + d

Utilización

Se usan para modelar situaciones y fenómenos repetitivos o cíclicos. Obtención

1. La amplitud a es la mitad de la distancia vertical entre los valores extremos (máximo y mínimo). 2. El valor b se obtiene a partir del periodo 2 π . p, utilizando b = p

3. El valor d es el valor medio entre los valores extremos (promedio del máximo y el mínimo).

La presión arterial considerada normal en un adulto es de 120/80 mm de Hg y puede modelarse con la ecuación y = 100 + 20 sen 2 πt , donde el tiempo t se mide en segundos. La gráfica siguiente ilustra esta variación de la presión sanguínea. y

4. El valor de c se obtiene a partir de c b

120

= desplazamiento horizontal. g H / m m

Elección de seno o coseno

Si no hay traslaciones horizontales, las funciones seno inician en el valor medio y el coseno en el máximo.

100 80

t

0

1

2

3

4

5

Segundos

Explica cómo se construyen estos dos modelos. Consulta

En libros de álgebra y otras fuentes:


Las constantes 100 y 20 de la ecuación, ¿guardan alguna relación con la información proporcionada acerca de la presión arterial? ¿Cuáles?

2.

¿Qué tipo de traslación produce la suma del parámetro 100 en la ecuación básica del seno y = sen x ? ¿Qué indica el coeficiente 20?

3.

Cuando t = 0, ¿alcanza su valor máximo la función? ¿Influye esto en la elección de un modelo basado en la función seno?

Modelos senoidales (o sinusoidales).



1. La presión arterial de una persona oscila periódicamente debido a los movimientos de sistole y diástole de su corazón para impulsar la sangre. La presión máxima es de ________ mm de Hg y la mínima de _______________ .


En tu cuaderno de matemáticas: 1.

Haz un resumen en el cual: a)

Escribas las respuestas a las preguntas formuladas en el análisis de la situación.

b)

Resuelvas y desarrolles todos los puntos de la secuencia didáctica.

2. La diferencia entre estos valores es: ________ - ________ = . Su mitad proporciona la amplitud: a =

2

y su valor medio es d =

. La suma de ellos es _______ + _______ =_________

2

.

3. El periodo p = 1 segundo. Sustituyendo este valor en p = obtiene b =

2 π b

Realiza un cuadro sinóptico donde consignes la forma de obtener las constantes de un modelo senoidal.

3.

Describe el criterio para elegir alguna de las funciones seno o coseno como modelo cuando no existen traslaciones horizontales.

4.

Resuelve las preguntas formuladas justificando cada procedimiento empleado en su solución.

5.

Presenta otros casos similares con su solución.

= ________ .

I. y = a sen bx + d

2.

y despejando b, se

4. Como el valor inicial en t = 0 es el valor ______________ (máximo, medio), se elige para el modelo la función: ________ (I, II)

II. y = a cos bx + d. Sustituyendo los valores de a, b y d anteriores se obtiene el modelo final: y = a (sen, cos) bt + d = ________ ________ (

) t + ________

5. Para trazar la gráfica de esta nueva función, la gráfica de y = (sen, cos) t se desplaza verticalmente hacia ________ (arriba, abajo) ________ unidades, y verticalmente se ________ (contrae, dilata) ________ unidades. El periodo de la nueva función resulta ________ (mayor, menor) que el de la básica.

Proyecto de trabajo En las bahías de Huatulco, en un lapso de 6 horas, la marea alcanza un máximo de 1.80 m (pleamar) y un mínimo de 0.40 m (bajamar). Pleamar y bajamar a)

Describe mediante una función periódica la fluctuación del nivel del agua del mar, durante el lapso de 6 horas.

b)

Consigna las unidades de medición y marca las escalas en cada uno de los ejes de la gráfica de la derecha.

c)

¿Qué altura alcanza el agua 3 horas después de la pleamar?, ¿y después de la bajamar? y

0

t

173

8

174

BLOQUE



8B

Modelos senoidales Usualmente se distinguen por dos elementos: Modelo senoidal en enunciados

1. Se menciona un ciclo o periodo (casi siempre tiempo), en el cual 2. una cantidad fluctúa entre un valor máximo y uno mínimo.


1. La franja donde se ubica la gráfica tiene un ancho de M - m. La mitad de ésta, M

−m 2

Cuando el valor máximo se alcanza desde un inicio, se utilizan los modelos del coseno; si no es así, se utilizan los del seno.

, es la amplitud .

y

y

2. La recta que está a la mitad de esta franja es el eje de simetría horizontal y pasa por el punto medio entre los puntos M y m, es decir,

M + m

2

x

.

0

3. La diferencia entre seno o coseno tiene sentido sólo si no intervienen traslaciones horizontales. Cuando éstas existen (c ≠ 0), los modelos resultan equivalentes. (Las gráficas del seno y el coseno en realidad son las mismas, salvo por una traslación horizontal.)

x

Coseno

¿Por qué se aplican las funciones senoidales a valores que no denotan ángulos? 1. En geometría, ángulos y arcos se relacionan así: s = r θ.

Seno

Para escribir el modelo correspondiente es necesario obtener el valor de los parámetros (o constantes a, b, c, d ) de la ecuación. Obtención de los parámetros

Si M es el valor máximo de la función y m el mínimo, entonces: a = Amplitud =


0

b =

M

−m 2 y

2 π M

periodo

c = b × Desplazamiento horizontal d = Valor medio =

M + m

M − m  2

M + m



2

m x

2

Para ello, el ángulo θ debe estar en radianes. +

Ejemplo 1

Terremoto y ondas sísmicas

r

θ

s

En un movimiento telúrico se generan ondas sísmicas longitudinales y transversales, siendo más rápidas las primeras porque se propagan en cualquier medio.

−

2. La longitud dirigida del arco s se mide con números reales. Cuando r = 1 ocurre que s = θ. En tal caso, ángulos y arcos resultan equivalentes.

Un sismógrafo ubicado en la ciudad de Puebla registra un sismo originado en las costas de Guerrero. En los primeros momentos la gráfica muestra una amplitud de 2.5 cm, en tanto que el aparato dibuja una onda completa cada

1 2

segundo.


a)

Describe con una ecuación la trayectoria de las ondas telúricas.

b)

¿Con qué frecuencia están llegando las ondas sísmicas en ese momento?

Ejemplo 1 Periodo

Solución

a)

El tiempo que toma al sismógrafo dibujar una onda completa (ciclo) es el periodo. Así, p =

2 π

b

1

= y, por tanto,

b

2

= 4 π. La amplitud referida es

a

Es el intervalo del eje x , en el cual hay un ciclo completo de la gráfica

= 2.5, por

lo que la función que modela el sismo es y = 2.5 sen 4 π t , donde el tiempo t está dado en segundos. b)

175

La frecuencia es el recíproco del periodo: f =

Ejemplo 2

1

p

=

1

 1   2  

= 2 ondas × s.


Se utiliza un modelo con la función seno debido a que en el momento t = 0, la altura de la onda es y = 0.

Olas marinas

Ejemplo 2

En una playa observas que, cada segundo, dos olas sucesivas de 80 cm de altura pasan con una separación de 1.5 metros frente a un poste que se halla fijo en el agua. a)

¿Con qué velocidad se mueve el agua?

b)

Describe el movimiento de las olas mediante una ecuación.


1. En física se denomina funciones armónicas a las funciones senoidales y se usa la siguiente terminología: y

Cresta

Longitud λ =

Cresta

A x

tiempo

=

Valle

Solución

a)

A = Amplitud (altura vertical).

La distancia entre las crestas de dos olas es de 1.5 metros. Ésta es la medida de la longitud de onda, que es la distancia horizontal que recorre durante un periodo (de tiempo).

f = Frecuencia

El periodo es el recíproco de la frecuencia que, en este caso, es f = 2 olas por se-

v = Velocidad de la onda = λ / T = λ f .

gundo. Por tanto, el periodo es t = desplazarse).

Como

v

=

d t

1 2

=

2 π

p

=

2π

 1   2  

= 1 / T (ciclos en un se-

gundo).

segundo (a cada ola le toma medio segundo

, la velocidad de la onda es v =

b) a = 80 cm = 0.8 m; b

T = Periodo (tiempo para un ciclo).

2. Utilizando la frecuencia, la velocidad del agua puede obtenerse así: 1.5

 1   2  

= 3 m/s.

= 4 π ; y = 0.8 cos 4 π t .

v = λ f = 1.5 × 2 = 3 m/s

3. Se emplea coseno porque la ola alcanza su mayor altura frente al poste (en t = 0, y = 80 cm).

8

176


BLOQUE

Ejemplo 3

Ejemplo 3


Pulso y frecuencia cardiaca

La tabla siguiente registra la presión arterial promedio, considerada normal (en mm de Hg), para distintos periodos en la vida de las personas.

1. p = 1 segundo, es el tiempo promedio que toma al corazón realizar un ciclo completo de sístole/diástole para impulsar la sangre hacia los vasos capilares.

Niño

90/50

Joven

110/60

Adulto

120/80

Anciano

150/90

2. El promedio anterior es aplicable a adultos y varía ligeramente para otros periodos de edad. Por simplicidad, se consideró igual en todos los modelos.

a)

Describe algebraicamente la presión arterial para cada periodo.

3. f = 1 se obtiene también como el recípro-

b)

Obtén la frecuencia cardiaca para un adulto.



1



co del periodo  f =  .  p 

Solución

a)

En un niño:

a

=

90

−

50

2

=

90 + 50

20, d =

2

70 , p = 1

=

y b=

2 π 1

= 2 π .

El modelo es y = 70 + 20 sen 2 π t . Para los otros periodos:

Ejemplo 4

y = 85 + 25 sen 2 π t , y = 100 + 20 sen 2 π t, y = 120 + 30 sen 2 π t .


1.

y

=

19 + 17 sen

π

6

t se

b)

traslada horizon-

El pulso indica la frecuencia cardiaca de una persona, es decir, la cantidad de ciclos de bombeo de sangre o latidos del corazón en un segundo o en un minuto. Una frecuencia f = 1 Hz = 1 ciclo × segundo ↔ 60 ciclos × minuto ↔ 60 latidos × minuto.

talmente para posicionar el punto inicial y hallar el valor de c.

Ejemplo 4

Temperatura promedio

La temperatura media anual en la ciudad de Guanajuato es de 19 °C, oscilando la máxima y la mínima entre 36 °C y 2 °C (estas últimas en enero y diciembre).

36 19

2 0

3

6

9

c = b × Desplazamiento horizontal π

=

6

×

Con ayuda de bosquejos obtén un modelo senoidal y traza la gráfica de temperaturas.

12

9.

2. El modelo inicia en enero y concluye en diciembre con la temperatura más baja (2 °C). La más alta es en verano, en torno al mes de julio.

Solución

Como el periodo abarca 12 meses, p = a

36 =

−

2

2 =

17 ,

Modelo buscado:

d = T

36 + 2 2

=

19 ;

c

=

2 π

b

π 6

= 12 . Por tanto, ×

9

=

3π 2

b

=

2 π 12

.

 π 3 π  = 19 + 17 sen  t +  . 2   6

(t = 0 ↔ 1 de enero, y así sucesivamente para los meses restantes.)

36

19

2 0

6

12

=

π 6

.


Autoevaluación 8B

En los ejercicios 1 y 2, utiliza la siguiente información. Los impulsos eléctricos generados por la actividad de las neuronas en la corteza cerebral, crean 4 tipos de ondas oscilantes irregulares, que varían en amplitud y frecuencia, como revelan los electroencefalogramas y se ilustra en la tabla.

Beta

Registro

Sugerencias para la autoevaluación 8B 1. µV representa microvolts.

Ondas cerebrales

Onda

177

1 µV = 10-6 volts (constituye la millonésima parte). Para el modelo ideal emplea el promedio de los dos valores extremos para la frecuencia y para la amplitud de cada onda cerebral utiliza el máximo y el mínimo.

Frecuencia Hz

Amplitud µV

Estado

14-28

150-200

Actividad intensa

Consulta el recuadro sobre obtención de parámetros al inicio de este segmento informativo y los ejemplos. 2. Revisa la información sobre construcción

de gráficas senoidales proporcionada en el segmento informativo 8A. el modelo y = a sen bx + d y determina el valor de los parámetros a, b y c como se explica en el recuadro al inicio de este segmento informativo.

3. a) Utiliza

Alfa

8-13

100-150

Relajación

Theta

5-7

50-100

Sueño ligero

Delta

0.5-4

10-50

Sueño profundo

Para obtener b, el tiempo en el cual transcurre un ciclo completo es el periodo; así, 2 π

b

=

.

24

el modelo y = a cos bx + c y aplica las sugerencias dadas para el inciso anterior.

3. b) Emplea

Construye con funciones senoidales un modelo teórico idealizado para cada tipo de onda cerebral. 2. Dibuja la gráfica de cada uno de estos modelos algebraicos. a) Compara estas gráficas con los registros gráficos de la tabla. ¿Qué tanto difieren? ¿Por qué se llaman ideales? b) ¿Qué conclusiones puedes obtener de las gráficas acerca de los impulsos eléctricos y la actividad cerebral? 3. Tanque séptico La altura promedio que alcanza el agua dentro de un tanque séptico es de 35 cm. En el lapso de un día (24 horas), el nivel del agua sube hasta 55 cm y desciende a 15 cm. 1.

Describe con modelos algebraicos la fluctuación del nivel de aguas residuales en el tanque, cuando el nivel: a) aumenta a partir de los 35 cm. b) disminuye desde 55 cm. c) obtén, para cada modelo, la altura que alcanza el agua al cabo de 10 horas.

3. c) Sustituye en cada modelo el valor t por

10. ¿Coinciden los valores de ambos modelos? ¿Por qué?

8

178

BLOQUE



Rúbrica

Rúbrica para evaluar el reporte sobre la presión arterial del Bloque 8B. Nombre del alumno:

Nivel

Presentación


Desarrollo

Dominio del tema

Conclusiones

Excelente (4)

Bueno (3)

Elabora el reporte y el resumen a mano con buena caligrafía o bien en computadora, bien redactado y sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte y el resumen a mano con buena caligrafía, bien redactado y sin faltas de ortografía. Desarrolla en una hoja de cuadrícula chica los puntos suficientes de la función que modela la presión sanguínea.

Desarrolla en una hoja de papel milimétrico o bien por computadora la función que modela la presión sanguínea.

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Elabora el reporte y el resumen a mano con regular caligrafía, redacción regular pero sin faltas de ortografía.

Elabora el reporte y el resumen a mano con mala caligrafía, mal redactado y con faltas de ortografía.

Desarrolla en una hoja de cuadrícula chica pocos puntos de la función que modela la presión sanguínea.

Desarrolla únicamente un esbozo de la función que modela la presión sanguínea. Presenta parcialmente la función periódica sin dar ninguna justificación.

Presenta todos los pasos para determinar la función periódica que modela la presión arterial de un adulto siguiendo una secuencia ordenada.



Elabora un cuadro sinóptico donde resume la forma de calcular los parámetros a , b , c y d para un modelo sinusoidal.

Elabora un cuadro sinóptico donde resume la forma de calcular los parámetros a , b , c y d para un modelo sinusoidal.

No presenta un cuadro sinóptico donde se resuma la forma de calcular los parámetros a , b , c y d para un modelo sinusoidal.

Describe claramente el criterio a seguir para elegir entre seno y coseno en un modelo.

No indica el criterio a seguir para elegir entre seno y coseno en un modelo.

No indica el criterio a seguir para elegir entre seno y coseno en un modelo.

Calcula correctamente el desplazamiento vertical de la función ( d ).



Calcula incorrectamente el desplazamiento vertical de la función ( d ).

Calcula de manera correcta la frecuencia angular de la función ( b ).

Calcula de manera correcta la frecuencia angular de la función (b ).

Calcula de manera incorrecta la frecuencia angular de la función ( b ).

Calcula de manera incorrecta la frecuencia angular de la función (b ).

Calcula adecuadamente la amplitud de la señal ( a ).




Selecciona correctamente entre seno y coseno para la función.

Selecciona incorrectamente entre seno y coseno para la función.



Determina correctamente la función periódica que modela la presión arterial de un adulto, indicando claramente las unidades de presión y de tiempo.

Determina correctamente la función periódica que modela la presión arterial de un adulto, pero sin indicar las unidades de presión o de tiempo.

Determina correctamente la función periódica que modela la presión arterial de un adulto, pero sin indicar las unidades de presión y de tiempo.

Determina incorrectamente la función periódica que modela la presión arterial de un adulto

No elabora un cuadro sinóptico donde se resuma la forma de calcular los parámetros a , b , c y d para un modelo sinusoidal. No indica el criterio a seguir para elegir entre seno y coseno en un modelo.

Lista de cotejo

Lista de cotejo para evaluar el reporte sobre el problema de la presa y el predador del Bloque 8A.

Presentación 1. Cuenta con una carátula que incluya al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. El trabajo se elaboró con un procesador de texto como Word o bien se hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. 5. Las gráficas de las funciones sinusoidales periódicas correspondientes a las gacelas y a los leopardos, se elaboraron en una hoja de papel milimétrico o de cuadrícula chica o bien por computadora con los puntos suficientes y del tamaño apropi ado que permita hacer un trazo suave y en donde se indiquen claramente las unidades de las variables que se grafican. Las gráficas deben abarcar por lo menos un periodo completo.

SÍ

NO

Observaciones


Desarrollo

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

SÍ

NO

Observaciones

179

6. Se presentan todos los pasos requeridos para determinar el periodo de estudio y las poblaciones máxima y mínima siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 7. Identifica correctamente los parámetros a , b y d en las funciones sinusoidales dadas. 8. Obtiene el periodo de estudio y las poblaciones máxima y mínima tanto en forma analítica como gráfica y compara los resultados. 9. Realiza un resumen sobre las funciones sinusoidales y sus gráficas e incluye ejemplos.

Dominio del tema 10. Conoce la forma básica de una función sinusoidal. 11. Sabe determinar en qué casos se aplica el modelo sinusoidal. 12. Sabe calcular la amplitud, el periodo y la traslación vertical para una función sinusoidal dada.

Conclusiones 13. Determina correctamente cuántos meses abarca el ciclo de estudios de las dos especies. 14. Determina correctamente las poblaciones mínima y máxima de gacelas y leopardos. 15. Explica correctamente la relación entre ambas poblaciones a partir de sus gráficas.


Fecha: ____________________

Guía de observación para evaluar los proyectos de trabajo de los Bloques 8A y 8B.



Profesor:

Clave:

Alumno:


Desempeño a evaluar: Aplicación de Funciones Periódicas. Instrucciones: Observa si la ejecución de

las actividades que se enuncian las realiza el estudiante que se está evaluando y marca con una “✗“ el cumplimiento o no en la columna correspondiente, asimismo es importante que anotes las observaciones pertinentes.

No.

Acciones a evaluar

1

Bosqueja la gráfica de la función que modela las ventas de champú de diciembre de 2009 a noviembre de 2010.

2

Determina en qué meses las ventas de champú alcanzaron un máximo.

3

Determina en qué meses las ventas de champú alcanzaron un mínimo.

4

Determina el monto máximo de ventas de champú.

5

Determina el monto mínimo de ventas de champú.

6

Determina la función periódica que describe la fluctuación del nivel del agua de mar en las bahías de Huatulco durante un lapso de 6 horas.

7

Calcula la altura que alcanza el agua tres horas después de la pleamar.

8

Calcula la altura que alcanza el agua tres horas después de la bajamar.

*No aplica.


Observaciones

180

Apéndice

182 Apéndice

¿Cómo se resuelve una desigualdad?

1.

Apéndice 1.

Igual que una ecuación, excepto en que se invierte el signo de la desigualdad, cuando: a)

se multiplican ambos lados por un número negativo.

b)

se toman los recíprocos en ambos lados de la desigualdad.


a) A veces a las desigualdades que contienen variables (como x < 2) se les llama inecuaciones. b) Las inecuaciones representan intervalos. Las siguientes notaciones y terminología son de uso común: Intervalo abierto con extremos 2, 7.

Ejemplos

Resolver:

3 x + 4 < 10

1)


x < 2

Dividiendo ambos lados entre 3

-5 x - 30 > 0

2)

5 x + 30 < 0

2 < x < 7 2

3 x < 10 - 4

5 x < - 30

Restando 30

x < -6

Dividiendo entre 5

7

(2, 7)

Representa todos los reales entre 2 y 7, exceptuando estos dos valores.

1

3)

2

Multiplicando por -1

>

1 3

Al tomar los recíprocos invirtiendo numerador y denominador en cada fracción se tiene 2 < 3. Observa que se invierte el signo de la desigualdad inicial.

Intervalo cerrado con extremos 2, 7. 2 ≤ x ≤ 7 2

¿Existe alguna manera de decidir si una función es uno a uno sin trazar la gráfica?

2. 7

[2, 7]

Representa todos los reales entre 2 y 7, incluyendo estos dos valores.

Intervalos semicerrados o semiabiertos: 2 ≤ x < 7 [2, 7� 2 < x ≤ 7 �2, 7] Incluyen un extremo y al otro no.

Sí. En una función uno a uno, a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas, es decir, si a ≠ b, entonces f (a) ≠ f (b). Empleando igualdades esta condición lógica equivale a decir que si f (a) = f (b) entonces a = b. Esta condición puede aplicarse a ecuaciones concretas como muestran los dos ejemplos siguientes: a)

¿Es uno a uno la función F ( x ) = 6 x + 5? F (a) = F(b)

6a + 5 = 6b + 5 6a = 6b a=b

c) La notación para intervalos se emplea para denotar algunos conjuntos especiales. Aunque ∞ no es un número, se usa �-∞, ∞� para representar al conjunto � de todos los números reales. También se usan:

Sustituyendo a, b en F ( x ) Restando 5 Dividiendo entre 6

Como F (a) = F (b) implica en esta función que a = b, concluimos que F es uno a uno. b) Probar

que G( x ) = x 2 no es uno a uno.

G(a) = G(b) a2 = b2

�-∞, 0� = números reales negativos

Suposición

a=±b

Suposición Sustituyendo a, b en G( x )

[0, ∞� = números reales no negativos

-

�0, ∞� = números reales positivos

Dado que G(a) = G(±b), la función no es uno a uno.

Extrayendo raíz

(Observa: (2)2 = (-2)2 no implica 2 = -2.)

Grupo Editorial Patria® 183

3.

¿Pueden construirse funciones inversas para funciones que no son uno a uno?

A veces, limitando su dominio y su rango, puede obtenerse una función inversa restringida. Geométricamente se considera sólo una porción de la gráfica donde la función sea uno a uno. f 5

2

6

x < 2 equivale a �-∞, 2� −3 −2 −1

8

−3 −2 −1 9

1 7

1

2

3

4

0

1

2

3

4

2 < x equivale a �2, ∞�

5

3

4

0

x ≤ 2 equivale a �-∞, 2]

g

1

d) Para las inecuaciones que sólo constan de un signo de desigualdad se emplea la siguiente notación de intervalos:

2

3

4

5

6

7

8

6

7

8

10

2 ≤ x equivale a [2, ∞� No existe función inversa para f . Puede tenerse una función inversa restringida limitando el dominio de la inversa a {5, 6} y el rango a {1, 2}.

No existe función inversa para g porque no es uno a uno. Puede obtenerse una función inversa restringida, como {(5, 8)}, limitando el rango. y = ±

x −

1

3

4

5

3. Ampliando el conocimiento

Casi siempre se resuelven factorizando.

y y

Ejemplo. Resolver x 2 + x - 6 > 0.

3

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

2 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3

x

Inecuación cuadrática

( x - 2)( x + 3) > 0

Factorizando x 2 + x - 6

¿Cuándo el producto de (x - 2) y (x + 3) es mayor que cero (es decir, positivo)?

−2 2

x 2 + x - 6 > 0

Hecho esto, se formula la pregunta:

x

−1

1

2

1. Inecuaciones cuadráticas

y = x 2 + 1

−3 −2 −1 0

1

−3

Respuesta: cuando ambos factores tienen

igual signo. O sea, cuando: La inversa no es función. El rango puede restringirse a x - 1 (o bien, a y obtener una función inversa restringida. -1

y = sen x

y = sen x

y π

x 1 )

y

−  2

π 2 1— 2

π

x

π

— 2

−1

0

2. ( x - 2) < 0 y ( x + 3) < 0. Cada par de desigualdades deben cumplirse simultáneamente .

Primer caso: ( x - 2) > 0 y ( x + 3) > 0. Resolviendo:

1

− π − 2 − 1 0 −1

1. ( x - 2) > 0 y ( x + 3) > 0, o

x > 2 y x > -3 1

x

π

−  2

Estas dos desigualdades se cumplen simultáneamente en la intersección de ambas, es decir, cuando x > 2: −3

La inversa no es función. El rango y el dominio pueden limitarse al área sombreada y obtener una función inversa restringida.

2

(todos los valores mayores que 2 son, además, mayores que -3)

184 Apéndice

Segundo caso: ( x - 2) < 0 y ( x + 3) < 0. Resolviendo:

4.

x < 2 y x < -3.

Este par de desigualdades se cumplen simultáneamente en su intersección, es decir, cuando x < -3: 3

2

−

−∞

∞

Solución final:

La solución para la inecuación cuadrática x 2 + x - 6 > 0 está constituida por la unión de los conjuntos solución de ambas desigualdades, x > 2 y x < -3, es decir, por el conjunto:

�-∞, - 3�  �2, ∞� 3

2

−

−∞

∞

2. Inecuaciones con cocientes Las inecuaciones donde intervienen cocientes se resuelven analizando los signos del numerador y el denominador.

¿Existen más clasificaciones para funciones?

Sí. En realidad hay gran cantidad de adjetivos que se agregan a la palabra función para indicar alguna característica particular de ésta. Algunas otras clasificaciones son: Función entera: cuando posee coeficientes enteros. Ejemplo: F ( x ) = x 2 + 5 x - 6. Función de una variable: el valor de la

Función de varias variables: el valor de

función depende de una sola variable (como todas las que se estudiaron en este libro). Ejemplo: la longitud de una circunferencia depende del tamaño de su radio: L(r ) = 2 πr .

la función depende de más de una variable; por ejemplo, el área de un triángulo depende de dos cosas: la longitud de su

Función de variable real: cuando el

Función de variable compleja: si el do-

dominio está formado por números reales.

minio está formado por números complejos.

Función implícita: cuando en la ecua-

Función explícita: cuando la variable y está despejada en la ecuación. Ejemplo: y = 6 x - 8.

ción no está despejado el valor de la variable y. Ejemplo: 3 x + 2 y = 4.

base y la de su altura:

A(b , h )

=

bh

2

.

Ejemplo

Resolver

( −3 x − 6) ( x + 1)

Función creciente en un intervalo: <

0.

Un cociente es negativo cuando difieren los signos del numerador y el denominador. Esto da dos casos:

cuando en dicho intervalo al aumentar el valor de x aumenta el valor de su imagen. Ejemplo: y = x 2 es creciente en el intervalo [0, ∞�.

Función decreciente en un intervalo: cuando en el intervalo al aumentar x disminuye su imagen. Ejemplo: y = x 2

es decreciente en el intervalo �-∞, 0].

Primer caso:

(-3 x - 6) < 0 y ( x + 1) > 0 Resolviendo: -3 x - 6 < 0 y x > -1 x > - 2 y x > -1

y

y y

2

y

x

=

x

=

2

Tomando x > -1 se obtiene la solución para estas dos desigualdades. Segundo caso: (-3 x - 6) > 0 y ( x + 1) < 0

0

Resolviendo: - 3 x - 6 > 0 y x < -1 x < - 2 y x < -1

La solución para ambas desigualdades se obtiene tomando x < -2.

( x + 1)

<

0 tiene por solu-

ción la unión de los conjuntos obtenidos en el análisis de casos: �-∞, -2�  �-1, ∞� 2

−

1

−

∞

y

2 y

=

−1 −∞

y

y

( −3 x − 6)

x

Función monótona: aquella que es creciente o decreciente en todo su dominio. Ejemplos: y = 3 x + 2; y = -2 x + 1.

Solución final:

La desigualdad

0

x

−

= −

2 x + 1

1

3 x + 2

0

x

0

1

x


Función par: cuando el valor de f (- x ) = f ( x ) (el adjetivo par proviene del hecho de que se comportan en forma análoga a los exponentes pares: ( -5)2 = 52 = 25). La función F ( x ) = x 2 + 1 es par porque al sustituir x por - x se vuelve a obtener la misma función: F (- x ) = (- x )2 +1 = x 2 +1 = F ( x ). Las gráficas de funciones pares son simétricas respecto al eje y. Función impar : cuando f (- x ) = - f ( x ) (el adjetivo impar deriva de que se comportan como los exponentes impares: (-2)3 = -8, mientras que 2 3 = 8). La función G( x ) = x 3 - x es impar, pues al cambiar x por - x se tiene G(- x )3 = (- x )3 - (- x ) = - x 3 + x = -( x 3 - x ) = -G( x ). Las gráficas de funciones impares son simétricas respecto al origen.

En casos sencillos la suma de funciones puede visualizarse geométricamente con el trazado de las gráficas. x

-2

-1

0

1

2

h( x )

3

4

5

6

7

t ( x )

-2

-1

0

1

2

(h + t )( x )

1

3

5

7

9

Algunas desigualdades no tienen solución en los números reales. Por ejemplo: x 2 + 1 < 0 x 2 < -1 x <

−1

−1 no es un número real.

(Observa que la suma x 2 + 1 es siempre un número positivo y, por tanto, no puede ser menor que cero para ningún valor real de x.)

¿Pueden sumarse dos funciones a partir de sus gráficas?

5.

4. Observaciones importantes

5. Fíjate en lo siguiente…

Para trazar la gráfica tabulamos primero los valores para h y t . Sumamos éstos en la misma tabla y por puntos localizamos la gráfica de la suma. Para corroborar geométricamente el resultado podemos sumar los segmentos de la siguiente manera: ubicamos un punto del dominio, por ejemplo, el punto D correspondiente al valor 2. BD = h(2), CD = t (2)

h( x)

+

t( x) = 2 x + 5

Colocando verticalmente el segmento CD a continuación del segmento BD obtenemos el segmento AD que es la suma de ambos: BD + CD = AD.

y

10 9

A

8 7

Así,

t ( x) = x

B

h(2) + t (2) = (h + t )(2).

6 5 h ( x)

= x +

5

4 3

C

2 1 D −

6

−

5

−

4

−

3

−

2

−

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

186 Apéndice


¿Qué relación existe entre polinomio, ecuación polinomial y función polinomial?

6.

No siempre se usa esta terminología. En estudios teóricos más avanzados, cuando se establecen las propiedades formales de campo para los polinomios: a) Se llama polinomio en una variable a lo que aquí denominamos función polinomial. En tal caso, f ( x ), g( x ), etc., denotan polinomios. b) A lo que aquí llamamos función polinomial, se le considera una ecuación indeterminada. Así, la igualdad del polinomio f ( x ) con la variable y produce la ecuación y = f ( x ). c) Se admite la existencia de un polinomio cero, al que se denota por 0. Es el único polinomio que no posee grado y tiene todos sus coeficientes iguales a cero. 7. Recuerda

El término la función lineal se refiere al modelo lineal general f ( x ) = mx + b, donde x y y toman todos los valores reales y cuya gráfica, en consecuencia, es una línea recta.

Por lo general, se caracterizan estos términos como sigue:

4 y 3

4 y 3

2

2

1

1

−4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

−4 −3 −2 −1 −1

−2

−2

−3 −4

−3 −4

x ≥ -2

1

3

SEMIRRECTA 4 y 3

4 y 3

2

2

La ecuación iguala un polinomio con un término constante.

b)

La función iguala el polinomio con una variable ( y = F ( x )).

¿Qué tipos de rectas representa la función lineal general?

7.

Rectas oblicuas (inclinadas) respecto a los ejes coordenados. La función polinomial de grado 1 tiene la forma f ( x ) = a1 x 1 + a0, que corresponde a la función lineal y = f ( x ) = mx + b. Ésta representa la ecuación de una recta con pendiente m y ordenada al origen b. En la función lineal, m debe ser distinto de cero por ser el coeficiente principal. Esto implica que la recta nunca será horizontal, ya que éstas tienen pendiente m igual a cero. La función lineal tampoco puede ser una recta vertical, porque para éstas m no existe, y en la función polinomial el coeficiente principal debe ser siempre un número real. No función lineal 4

8.

4

2

3

4

x

−4 −3 −2 −1 −1

No función lineal y

y

4

3

3

2

2

1

1 1

2

3

4 x

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

1

2

3

4 x

¿Cómo se relacionan funciones lineales y sucesiones aritméticas?

Diferencia:

1 1

F ( x ) = 5 x 3 + 3 x 2 + 1

x y

x

−4 −3 −2 −1 −1

Función polinomial

Los valores de funciones lineales, para números enteros consecutivos, siempre forman una sucesión o progresión aritmética. Ejemplo:

ℜ RECTA

1

2

5 x 3 + 3 x 2 + 1 = 0

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

x

x

Ecuación polinomial

a)

Ejemplo: f ( x ) = 0.5 x + 1, con dominio: 1 ≤ x ≤ 4 SEGMENTO

5 x 3 + 3 x 2 + 1

Se observa que los polinomios no contienen igualdades, mientras que las ecuaciones y funciones sí. Éstas se forman a partir de aquéllos:

El término una función lineal se refiere a un modelo lineal particular, donde x y y pueden tomar todos o algunos valores reales. En tal caso su gráfica será, respectivamente, una recta o una porción de ésta.

{-4, 5, -2, 0, 2, 4} PUNTOS AISLADOS

Polinomio

1

2

3

0 3

1 5 2

2 7 2

3 9 2

4 11 2

5 13 2

4

−2

−2

Cada término se obtiene del anterior sumando la diferencia constante:

−3 −4

−3 −4

5 = 3 + 2;

7 = 5 + 2;

9 = 7 + 2, etcétera.


¿Qué significado tiene la “linealización” de modelos en las ciencias experimentales (física, química, biología)?

9.


a) Algebraicamente, significa un cambio de variable. El propósito

es lograr una variación lineal directa con la nueva variable. Si se consigue, se obtiene la relación entre las variables originales con una simple sustitución. b) Geométricamente, se obtiene la gráfica de una recta que pasa por el origen, o que se traslada a él. El proceso opera de la manera siguiente: Tabla

Gráfica

Nueva tabla y relación

y x

x ′

y kx′ =

y

Relación final

y = kx ′

( x ′ = x - a) x

α


y

x

x ′

y

Para transformar la ecuación ordinaria a estándar despeja y:

( x ′ = x 2)

′

y kx 0

10.

y = kx 2

y = kx ′

y =

Con esta tabla construyes otra nueva haciendo el cambio de variable, x ′ = x - a o x ′ = x 2 según que la gráfica sea una recta fuera del origen, o una parábola que pase por él. La pendiente k del modelo lineal así obtenido es la constante de proporcionalidad en el modelo final.

y = k ( x - a)

y

0

La técnica de “linealización” para hallar el modelo, parte de una tabla de valores obtenidos experimentalmente, y su gráfica.

x

( x - h)2 = 4 p( y - k )

Forma ordinaria

( x - h)2 = 4 py - 4 pk

Multiplica

4 py = ( x - h)2 + 4 pk

La ecuación ordinaria de una parábola vertical y la forma estándar de la función cuadrática, ¿cómo están relacionadas?

y

Son ecuaciones equivalentes. En ambas, el vértice es V (h, k ). Forma ordinaria

Forma estándar

( x - h)2 = 4 p( y - k )

y = a( x - h)2 + k

Al transformar una en otra, se obtiene a = (4 p)-1 = ros recíprocos   tal como -5 y - ;

1 2



11.

5 3

y

1 4 p

=

1 4 p

( x

−

h)

2

+

Aísla 4 py

k

Divide entre 4 p

Compara términos y = a ( x - h)2 + k

Forma estándar

Se concluye: a = (4 p)-1

. Esto significa que son núme11. Fíjate en lo siguiente…

3 1  ; y 9 .  2 9

a constituye un factor de dilatación o contracción de la gráfica de la parábola.

¿Tiene algún efecto en la gráfica de la función cuadrática el coeficiente principal a?

Sí. El ancho focal de una parábola es LR = 4 p. En el punto anterior se mostró que el coeficiente a es el recíproco de 4 p (lo mismo se mantiene para sus valores absolutos). Por tanto, mientras mayor sea uno de estos números, más pequeño será el otro. Lo anterior significa que cuando la parábola tiene y 3 x 15 un ancho focal grande (es muy abierta) su coefi13 ciente a (prescindiendo del signo) será muy pe11 queño; y a la inversa: una parábola muy cerrada 9 tendrá un coeficiente principal muy grande. 2

=

y

7

Si se toma como referente la gráfica de y = x 2, entonces la de y = ax 2: se estrecha

si a>1

se abre

si a<1

Recuerda

El signo de a sólo influye en la concavidad de la parábola:

5 3

y

=

0.2 x2

1 9

−

7

−

5

−

3

−

1 1

−

−

x

1

3

5

7

9

Si a es positivo la parábola abre hacia arriba. Si es negativo, abre hacia abajo.

188 Apéndice

¿Existe una forma estándar para la función lineal, análoga a la de la función cuadrática?

12. Recuerda

12.

También las ecuaciones cuárticas poseen una forma estándar:

Sí. Es la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta. Forma estándar cuadrática

Forma estándar cuártica 4

y = a( x - h) + k

y = a( x - h)2 + k

Vértice (h, k )

a = (4 p)-1

Vértice (h, k ) Forma estándar lineal

y = a( x - h) + k


Las ecuaciones cuárticas llamadas bicuadráticas tienen la forma:

a=m

Punto (h, k )

La forma estándar lineal da las coordenadas de un punto de la recta y la pendiente de ésta. Por ejemplo, y = -4( x - 3) + 2 representa una recta con pendiente m = -4, que pasa por el punto (3, 2).

y = ax 4 + bx 2 + c

Observa que esta forma se denomina así porque sigue el modelo de una ecuación cuadrática aplicada a una variable cuadrática. 2 2

2

y = a( x ) + b( x ) + c

Ejemplo: son bicuadráticas: y = x 4 + 4 x 2 + 3 y = - 2 x 4 + 4 x 2 - 2 4

2

y = 3 x - 27 x

Estas ecuaciones pueden factorizarse usando trinomios, o la fórmula cuadrática.

13.

Sí. Revisas si los signos de la función f ( x ) alternan de + a -, o - a +, y cuentas el número de estas variaciones; ése será el máximo número de ceros reales positivos que puede tener la función. Para los ceros reales negativos se procede igual, pero en f (- x ) (es decir, cambias x por - x en la función y revisas si hay alternancia en signos). Ambas cantidades pueden disminuir en un número par debido a la existencia de ceros complejos no reales, que vienen en pares conjugados). Ejemplo: f ( x ) = x 3 - x 2 + x - 1 tiene tres variaciones en signo. Puede tener, a lo más, 3 ceros reales positivos, o uno (3 - 2 = 1). f (- x ) = (- x )3 - (- x )2 + (- x ) - 1 = - x 3 - x 2 - x - 1 no presenta alternancia de signos: f ( x ) no posee ceros reales negativos.

13. Información histórica

Esta regla fue descubierta y dada a conocer en el siglo XVII por René Descartes en su famoso libro Geométrie , en un apartado dedicado a la teoría de ecuaciones. Por esto se conoce como Regla de los signos de Des cartes. Se usa sólo si el término constante es distinto de cero. 14. Observaciones importantes

1. El coeficiente principal debe ser positivo (si no, cambia el signo a toda la función). 2. El 0 se considera positivo o negativo al examinar la cota inferior.

Antes de obtenerlos, ¿puedo saber cuántos ceros reales tendrá una función polinomial?

14.

¿Existe alguna manera de reducir la cantidad de pruebas para el cero racional?

Si en la división sintética con el factor positivo a_| todos los resultados dan positivo o cero, a es una cota superior para los ceros reales. Si el factor a_| es negativo y los resultados alternan en signo, a es una cota inferior para los ceros reales. Ejemplo: f ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 4 x - 20. Posibles ceros racionales: ± 20, ± 10, ± 5, ± 4, ± 2, ± 1.

-1

1 1

-5 -1 -6

4 6 10

-20 -10 -30

Signos alternan: -1 es cota inferior

10

1 1

-5 10 5

4 50 54

-20 540 520

Signos positivos: 10 es cota superior

Los ceros reales pueden estar sólo entre -1 y 10. Se investigan 2, 4 y 5. Los demás valores se desechan. Se obtiene 5 como único cero real.


15.

¿Existen otros métodos para obtener los ceros de una función polinomial?

Sí. En realidad existen numerosos métodos desarrollados a lo largo de la historia para aproximar los ceros de una función polinomial. En este curso se han revisado sólo algunos de los métodos básicos. En la actualidad, la tecnología incorpora estos métodos en programas de cómputo que realizan de manera casi instantánea cálculos extensos y laboriosos. Las computadoras repiten rutinas o procesos iterativos de aproximación interpolando resultados (cálculo entre valores conocidos). Uno muy simple es el método de bisección, que consiste en ir reduciendo sucesivamente a la mitad, intervalos donde se hallan posibles ceros, hasta dar con éstos u obtener una aproximación satisfactoria para el problema.


El método de la bisección se basa en el Teorema del valor intermedio

En un intervalo [a, b] la función polinomial f toma todo valor entre f (a) y f (b), cuando a < b y f (a) ≠ f (b). En particular: si se escogen dos valores de la función con signos opuestos, en ese intervalo la gráfica debe cortar al eje x , es decir, entre estos valores se halla un cero de la función. y = x3 + x 2 − 2 x + 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

f (b)

16.

¿Por qué son tan importantes los ceros de una función?

a

En principio podría parecer poco útil obtener las intersecciones de una gráfica con el eje x , pues allí los valores de y siempre son cero y, en muchos problemas, interesan más bien valores de y distintos de cero. Existen dos razones fundamentales para apreciar su importancia: 1.

Muchas soluciones pueden aproximarse con la gráfica de la función (por ejemplo, valores máximos o mínimos). Para dibujar la gráfica se requiere conocer sus puntos de intersección- x (ceros de la función).

2.

Para hallar cualquier valor de la función, distinto de cero, debe resolverse una ecuación del tipo f ( x ) = a. Esto equivale a resolver la ecuación f ( x ) - a = 0. Pero f ( x ) - a = g( x ) es a su vez una nueva función. Así, hallar las soluciones de la ecuación f ( x ) = a, ¡consiste en hallar los ceros de otra función, g( x ) = f ( x ) - a = 0!

17.

2

b

−

1

1

1 2 3 4 5

−

− − − − −

f ( a)

2


Algebraicamente, f ( x ) = a, y f ( x ) - a = 0 son ecuaciones equivalentes, es decir, poseen las mismas soluciones. Geométricamente, al cambiar f ( x ) por f ( x ) - a, se desplaza su gráfica verticalmente a unidades. Así, los ceros de ésta tienen igual abscisa que los puntos donde f ( x ) = a. Revisa el siguiente ejemplo: 80 72 64 56 48 40 32 24 16 8

¿Cómo se prueba la validez del teorema del residuo y del teorema del factor?

Teorema del residuo: f (a) es el residuo de dividir f ( x ) entre x - a.

Demostración.

3

−

Dividendo = divisor × cociente + residuo

f ( x)

1

0 8

f ( x ) = ( x - a) q( x ) + r . Valuamos f (a):

2 3 4 g ( x) f ( x) 32 =

−

6

5

−

f (a) = (a - a) q(a) + r = r = residuo.


    

0

Fórmula para resolver la ecuación cúbica: Teorema del factor: x - a es factor de f ( x ), si y sólo si f (a) = 0.

Demostración. El teorema del residuo indica que f (a) es el residuo. Si x - a es factor de f ( x ), entonces el residuo de su división es cero, es decir, f (a) = 0.

Por otra parte, si f (a) = 0, entonces el residuo es cero y, por tanto, x - a es factor de f ( x ).

x 3 + bx + c = 0 x =

3

c −

2

c +

2

4

b +

3

27

+

3

c −

2

c −

2

4

b +

3

27

   

     

α

β

Donde αβ

b =

−

3

190 Apéndice


¿Qué información muestran los coeficientes de una función racional?

18.

1. Como cada polinomio tiene un solo término constante, y la intersección- y es su cociente, la gráfica puede cortar, a lo más, una vez a dicho eje.

Algunos de los cocientes dan información valiosa sobre la función: a)

Los de términos constantes indican la intersección- y de la gráfica: 2

2. Cuando los grados del numerador y el denominador de una función racional son iguales, la ecuación proporciona la máxima información posible:

f ( x ) g ( x )

=

6 x

+

12

x − 3 2 x

−

=

8

. Intersección-y:

f ( x )

=

Asíntotas verticales

8x

−

2

2

2 x

+

x − 18

+

6

Asíntota horizontal

3

=

4.

−

−

.

Intersección-y:

x

Intersección-y

12

-8 0

; no existe intersección.

(como en el denominador x = x + 0, el término constante es cero). b)

Los de coeficientes principales proporcionan la asíntota horizontal, si es que el numerador y el denominador tienen grados iguales. g( x )

5 x =

−

3 x

−

10

−

2

Asíntota horizontal: y

5 =

3

−

5 =

−

3

19. Fíjate en lo siguiente… 2

f ( x )

x =

2

2 x

1

1

−

tiene y

=

2

como asíntota ho-

rizontal, pero no tiene asíntota oblicua porque el grado del numerador no es una unidad mayor que el del denominador. g( x ) =

2 x

2

− x + 1

tiene como asíntota obli-

x

cua y = 2 x - 1, pero no tiene asíntota horizontal debido a que los grados del numerador y el denominador son distintos.


1. Por la propiedad del producto cero, si ( x - 2)( x + 3) = 0, entonces x = 2, o x = -3, es decir, se obtienen las asíntotas verticales requeridas.

19.

¿Puede una función racional tener al mismo tiempo una asíntota horizontal y una oblicua?

No, pues son excluyentes: la existencia de una impide la de la otra. Esto es fácil de ver por los grados del numerador y el denominador : Asíntota horizontal: grados iguales. Asíntota oblicua: grados distintos en 1 unidad (mayor el numerador).

Es imposible que ambas condiciones ocurran en una misma función.

20.

¿Pueden construirse funciones con asíntotas predeterminadas?

Sí. Esto abarca los tres tipos de asíntotas: a) Verticales

Sabemos que las asíntotas verticales son ceros del denominador. Por tanto, si queremos que x = 2 y x = -3 sean asíntotas verticales, escribimos los factores lineales ( x - 2)( x + 3). Así, el denominador podría ser ( x - 2)( x + 3) u otro con factores adicionales, como 5( x - 2)( x + 3) o x ( x - 2)( x + 3), o bien ( x - 2)( x + 3)( x + 1). El factor constante 5 no introduce nuevas asíntotas. El factor x agrega la asíntota x = 0, y x + 1 agrega x = -1. b) Horizontales

Para lograr una asíntota horizontal, como y = 3, el cociente de los coeficientes principales debe ser 3; para éstos elegimos, por ejemplo, 6 y 2. También debemos asignar grados iguales al numerador y al denominador.


2

Escribiendo, por ejemplo: f ( x ) =

6 x 2( x

−

−

4

2)( x + 3)

2. En las asíntotas, sólo es posible combinar: , obtenemos una función racio-

nal que tiene x = -3 y x = 2 como asíntotas verticales, y y = horizontal.

6 2

= 3 como asíntota

Asíntotas verticales con una asíntota horizontal.

c) Oblicuas

O bien:

Para una asíntota oblicua se elige la ecuación de una recta y se suma o resta a una a

ecuación racional del tipo y =

a)

g( x ) =

5

−

(2 x − 1) +

=

2 x

f ( x )

2

x

Asíntotas verticales con una asíntota oblicua.

, con a ≠ 0. Ejemplos:

− x −

5

Puede también elegirse un solo tipo de asíntotas, o no incluir ninguna.

.

x

Su asíntota oblicua es la recta y = 2 x - 1 y su asíntota vertical es x = 0. b)

h( x )

=

−3x +

2 ( x 2

+

1)

=

3 x 3

−

x

−

2

3x + 2 +

1

(En este último caso deben sumarse sólo potencias pares y números positivos en el denominador.)

.

Tiene asíntota oblicua y = -3 x . No posee asíntotas verticales porque x 2 + 1 = 0 no tiene soluciones reales.

3. La gráfica de f ( x ) =

2

6 x 2( x

− 2

3 x = x

21.

Es posible, por ejemplo, hallar una función racional que:

b)

corte al eje y en 5;

c)

tenga al eje x como asíntota horizontal ( y = 0).

Por ejemplo: f ( x ) =

b)

−

2

+ x −

6

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2

1 2 3 4 5 6

x + 10 ( x

−

2)( x − 1)

No es posible, en cambio, construir una función racional que: a)

2)( x + 3)

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Sí, siempre y cuando las condiciones sean compatibles.

tenga x = 2 y x = 1 por asíntotas verticales;

4

muestra la asíntota horizontal y verticales.

¿Se pueden construir funciones racionales que cumplan ciertas condiciones?

a)

2

−


tenga una asíntota oblicua y una horizontal; o bien corte al eje y en 5, y tenga asíntotas verticales x = 0 y x = 2, dado que el eje y se está estipulando como una asíntota vertical ( x = 0).

1.

10 2

=

f ( x )

5 es

=

la intersección- y de x + 10

( x

−

2)( x − 1)

=

x + 10 x

2

−

3x + 2

2. El eje x es la asíntota horizontal de esta función porque el denominador tiene mayor grado que el numerador.

192 Apéndice

¿Existen formas típicas para las gráficas de funciones racionales?

22. Ampliando el conocimiento

22.

Un catálogo de formas de dibujo en trazo continuo a mano, puede ayudar a recordar algunos prototipos.

Es posible identificar algunos patrones básicos de comportamiento para las gráficas de funciones racionales que contienen polinomios de grados cero, uno y dos.

(Considerar reflexiones anteponiendo el signo menos; a, b, c positivos.)

Es útil explorar con un programa de graficación por computadora las formas de las curvas, y los efectos que tienen en la gráfica los cambios en las constantes y en los grados de los polinomios que forman la función racional. 3

y

y

4

2

3

1

2

x

y

a =

y

−

a =

x

y

1 1 x

−5 −4 −3 −2 −1 −1 −2

x

ax + b

=

1

−6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

y

cx + d

= −

y = −

ax + b cx + d

x + 1

y =

x + 2

x + 1 x + 2

y

y

6

3

5

2

4

1

3

1

−5 −4 −3 −2 −1

2

2

3

4

5 x

1

3

x

y

a =

y

2

=

x

a cx

2

−4 −3 −2 −1

+

b

1

2

3

y =

4

−1

y

x + 1

y

4

=

2

4

2

x

3 2

y

a =

x

2

1

−

b

−3 −2 −1

2

y

ax =

x

2

−

1

2

3 x

−1

b

2

y

2 x =

2

x

−

1 4

y

3

6 5 4 3

2 1

2 1

y

ax

=

2

+

bx

x

+

c

y

−4 −3 −2 −1 −1 −2

x =

ax

2

−

bx

−

c y =

x

2

y

1

+

2 3 4 x

2 x + 1 x

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

y

1

2

3

x =

x

2 −

2 x

−

3

4 x


¿Qué consecuencias tiene en una función racional la existencia de factores comunes en el numerador y el denominador?

23.

2x

3

+

x

2

2

x

2 x − 1

−

Aparentemente habría dos asíntotas verticales. Sin embargo, f ( x ) no posee ningún tipo de asíntota. Su gráfica es la recta y = 2x + 1 con dos agujeros que excluyen los puntos (-1, -1) y (1, 3): y f ( x )

2x

=

3

+

x

=

−

2 x − 1

x

+1

+ 1)(

2

2

( x

y=

2

(2 x

4

2

x

1

x

−4 −3 −2 −1 −1

− 1)

1 2

3 4

−3

b) La simplificación puede producir una función distinta de la inicial, cuando se

suprimen factores comunes con la variable x. a)

No cambia: y

=

x

Cambia:

1

=

2

b)

f ( x )

x

x

y

x

y

= 

2

x

4

y

=

1

= 

5 4 3 2 1

x

3

1 x

5

4

−

3

−

2

−

1 1

−

1

2

3

4

5

−

5 4 3 2 1

−

−

−

−

3

−

2

4 x

=

x ( x

x

2

−

x

−

1 2 3 4 5

−

4)

x

2

−

3

−

−

−

4 5

−

−

2

−

y

4

5 4 3 2 1

x 1 2 3 4 5

5

−

−

−

≠ x

4 3 2 1

−

−

−

−

1 2 3 4 5

−

=

g( x )

y

x

1 2 3 4 5

f ( x)

=

−

x

≠

g( x ) = 3x .

La diferencia está en que f ( x ) no incluye al origen, pero g( x ) sí.

Ejemplo: =

6 x + 2 4 x − 10

=

2(3 x + 1) 2(2 x − 5)

=

3 x + 1 2 x − 5

3. Generalmente es difícil anticipar si la función se conservará, o modificará, al simplificar factores con la variable x .

4. Carece de interés analizar funciones racionales con denominador constante, pues son las funciones polinomiales.

−

4 x

−



x

g ( x)

=

2

x

−

4

−


Existe variación inversa entre x y y, cuando xy = k (k ≠ 0). En tales casos el modelo es la función racional simple y = Variación inversa

1 30

=

−

x3

¿Qué tiene que ver la variación inversa con la función racional?

x y

f ( x )

3 x

Como la simplificación puede cambiar la función inicial, el estudio de las funciones racionales supone que no hay factores comunes. Conociendo estos casos, es posible examinar los otros.

−

24.

las

2

f ( x )

−4

= 2 x + 1, con x ≠ ± 1

3 x ,

funciones que determinan son diferentes:

−2

− 1)

=

2. Para no alterar una función racional, sólo es seguro simplificar factores constantes.

3 2

2 x3 + x2 − 2 x − 1  2 x −1

3 x x

es cero, cuando x = ± 1.

−1

2

1. Aunque algebraicamente

a) No son aplicables los criterios estipulados para hallar las asíntotas.

Ejemplo: el denominador de f ( x ) =


2 15

3 10

k x

Prueba

5 6

El producto xy en cada columna es igual a 30.

Modelo y

=

  Como distancia = velocidad × tiempo, la distancia de Irapuato a Salamanca es km km 70 × 18 min = 70 × 0.3 h = 21 km.   h h

b) Si ocurre esto al analizar la relación entre dos variables, es probable que exista variación inversa. Hay que confirmar si los productos en cada columna son iguales.

30 x

Por ejemplo, si haces 18 minutos de Irapuato a Salamanca, viajando a 70 km/h, ¿cuánto tiempo harás si viajas a 95 km/h? 70(18) = 95 t ; x (km/s) 70 95 1 260 y = y (min) 18 t 1 260 x t = = 13.26 min 95

a) Si ambas variables toman valores positivos, cuando aumenta una, disminuye la otra.


El estudio de las variaciones se generaliza así: Variación con la potencia n de x:

Inversa: y

k =

n

x

Directa: y = kx n

(en ambos casos, n es positivo, k ≠ 0).

194 Apéndice

25.

Es posible averiguar con la relación r = b - 1 el porcentaje en que una cantidad se incrementa (o decrementa) conociendo el modelo exponencial.

Ejemplo

Si y = 10 000(1.10) expresa el valor en x años de un objeto cuyo valor inicial fue de $10 000.00, ¿cuál es el porcentaje en que aumenta cada año su valor? x

25.

¿Cuál es la diferencia entre tasa y factor de crecimiento?

En la función exponencial y = Ab x . b

es el factor de crecimiento

b-1

es la tasa de crecimiento

El factor de crecimiento es el número por el cual se multiplica un valor de la función para obtener el siguiente: Valor dado:

Ab x

Siguiente valor: Ab x + 1 = Ab x b = ( Ab x )b.

Respuesta:

La tasa de crecimiento es el incremento de la función respecto a su valor inicial:

r = b - 1 = 1.10 - 1

Incremento de la función

26. Del

interés compuesto n veces al año se pasa al interés continuo (compuesto infinitas veces al año), cambiando 1 + r/n

por e

nt

por r t

El exponente:

Ab x b - Ab x

Ab x (b - 1)

Ab

Ab

Ab

———————————— = —————— = —————— = ————— = b - 1 x x x

= 0.10 = 10%.

La base:

Ab x + 1 - Ab x

Valor inicial

Como la tasa de crecimiento es una razón (cociente), también se le llama razón de crecimiento. Expresa en forma decimal el porcentaje en que se incrementa la cantidad inicial A. Por lo regular, la tasa de crecimiento se representa por la letra r . Conociendo la tasa de crecimiento es posible determinar la base b para una función exponencial: como r = b - 1, entonces b = 1 + r . Así, conociendo la cantidad inicial A y la tasa r de crecimiento de la misma, podemos obtener el modelo y = Ab x , es decir, y = A(1 + r ) x .

Interés compuesto continuo

y = Aer t

Observa en el siguiente ejemplo cómo aparece de manera natural el número e al aumentar el número de periodos n: Capital inicial: $1

En un año: Capitalización

Semestral

Monto

(1 + 1/2)2 = 2.25 3

Trimestral

(1 + 1/3) = 2.3703

Mensual

(1 + 1/12)12 = 2.6130

Diaria

(1 + 1/365)365 = 2.71456

n veces

y = 10 000(1+ 0.10) x

26.

Interés anual: 100% (tasa r : 100% = 1)

(1 + 1/ n)n

Cuando n crece ilimitadamente, el límite de la expresión (1 + 1/ n)n es 2.71828…, es decir, el número e.

Ejemplo

Modela el precio en x años de un objeto adquirido en $10 000.00 el cual aumenta su valor 10% cada año.

¿De dónde proviene la fórmula para el interés compuesto n veces al año?

La tasa o razón de crecimiento es el interés que gana el capital en un año. Cuando éste se subdivide en periodos ocurre lo mismo con la tasa. Observa: si la tasa anual es r : Tipo de división Semestral Trimestral Mensual Diaria n subdivisiones

Periodos en un año 2 4 12 365 n

Interés parcial en cada periodo r /2 r /4 r /12 r /365 r / n


Si el capital se invierte varios años, digamos t , entonces habrá nt periodos de capitalización de intereses parciales. De aquí deriva la fórmula para el interés compuesto n veces al año: y = Ab x

Modelo para el crecimiento exponencial

y = A(1 + r )t

Empleando la tasa de interés anual r (en t años)

y = A(1 + r/n)nt

Subdividiendo cada año en n periodos

En esta fórmula se indica a cuánto asciende el interés parcial ( r / n) por periodo y cuántas veces ( nt ) capitalizará dicho interés


Como n = rm, cuando n aumenta de valor también m crece.

Ampliando el conocimiento Crecimiento logístico

Las ecuaciones de la forma: y

27.

=

r t

¿De dónde proviene la fórmula y = Ae para el interés compuesto continuo?

De la fórmula para el interés compuesto, cuando el número n de periodos de capitalización en un año crece ilimitadamente. Observa: y = A(1 + r/n)nt

Fórmula para el interés compuesto n veces al año

y = [ A(1 + 1/ m)m]rt

Llamando 1/ m a r / n (o sea, haciendo n = rm)

En esta expresión, equivalente a la primera, cuando m crece ilimitadamente (1 + 1/ m)m → e, por lo que [ A(1 + 1/ m)m]rt → Ae rt , es decir, y = Ae rt .

A 1+

be −

cx

son llamadas modelos de crecimiento logístico debido a que permiten modelar el crecimiento de poblaciones que en un momento determinado, por condiciones adversas, frenan su desarrollo, haciéndolo más lento que al principio. Las gráficas de estas ecuaciones tienen forma de S, como se muestra en la figura. Por esta razón, a dichas funciones se les conoce también como funciones sigmoidales ( sigma es el nombre de la letra griega S, de forma alargada). y

28.

¿Cómo se obtienen las reglas para las propiedades operativas de los logaritmos?

Regla para el logaritmo de un producto: log b AB = logb A + logb B logb A = m, logb B = n

Logaritmos de A y B

A = bm, B = bn

Interpretación como exponente

AB = bm bn = bm + n

Producto de A y B

logb AB = m + n

Interpretación como logaritmo

logb AB = logb A + logb B

Sustituyendo m por logb A y n por logb B

200 150 100 50 −20 −10

logb A = m, logb B = n

Logaritmos de A y B

A = bm, B = bn

Interpretación como exponente

A / B = bm / bn = bm - n

Cociente de A y B

logb A / B = m - n


logb A / B = logb A - logb B

Sustituyendo m por logb A y n por logb B

0

10

20

200

 1 + 3e−0.12 t

30

40

50 x

La gráfica anterior corresponde la ecuación: 200

y

Regla para el logaritmo de un cociente: log b A/B = logb A - logb B

y =

=

1 + 3e

−

0.12 t

que permite calcular el número y de gacelas que habrá al cabo de t años en un área de reserva ecológica que tiene capacidad para soportar un máximo de 200 gacelas cuando se inicia con 50 de éstas.

196 Apéndice

¿Cuántas gacelas habrá dentro de cuatro años en esta área de preservación natural?

Regla para el logaritmo de una potencia: log b A B = B logb A logb A = m

Reemplazando t = 4 en este modelo obtenemos y = 70 gacelas.

A = bm

Observa en la gráfica cómo en los primeros años la población crece de manera rápida y después se mantiene prácticamente estable. 29.

Las funciones de crecimiento logístico son útiles para modelar gran cantidad de problemas de crecimiento poblacional donde se da este tipo de comportamiento, es decir, en los que después de un rápido aumento no se sobrepasa nunca un valor máximo. El prototipo del crecimiento logístico tiene la forma: y =

Logaritmo de A Interpretación como exponente

A B = (bm) B = bmB

Elevando A a la potencia B

mB = logb A B


¿Qué relación existe entre logb x y log x ? a

La establecida en la fórmula para el cambio de base, es decir, logb x =

Si logb x = m y loga x = n, entonces, bm = x = an. De la igualdad bm = an se sigue que n = loga bm, es decir, n = m loga b. Despejando m, obtenemos: m

− x

30.

y

= y

1 200

1 000

800 0

loga b

loga x loga b

¿Qué ocurre cuando en la función exponencial y = Ab x cambiamos x por –x ?

La base b cambia por su recíproco, de modo que se invierten los criterios para determinar si la función es creciente o decreciente. Observa los siguientes ejemplos:

1 100

900

n

logb x =

1. Costo de las reproductoras de DVD desde su introducción al mercado.

=

Reemplazando m y n por las expresiones iniciales:

Analiza los siguientes ejemplos:

s o s e p n e s o t s o C

loga b

Demostración

1 1+ e

loga x

1 200

y =  1 + 0.5e −0.29 x

5 10 15 x = Años

x = 0 ↔ 1990

20

Crecimiento exponencial: x

y = 2

Decaimiento exponencial:

→

x

Decaimiento exponencial:

Costo inicial: y = $800.00

y = 3

Precio tope: $1 200.00

y

= (2)

− x

 1 =  2

x

x

  1  =    2  

Crecimiento exponencial: − x

- x

→

y

= (3)

x

 1  =    3 

Geométricamente, las gráficas de cada par de ecuaciones son simétricas respecto del eje y. 27

y

y

8 y = 2

18

− x

6 4

− x

y = 3

2

x

y = 3

−3 −2 −1

y = 2 x

9

0

1

2

3 x

−4 −2

0

2

4

x


a) ¿Por qué en la función exponencial que expresa el decaimiento de una sustancia radiactiva se utiliza 1 como base b = –? 2 a) Cada vez que transcurre un ciclo de vida media, la sustancia existente disminuye 31.

a la mitad. La mitad de una cantidad se obtiene multiplicándola por mero constituye el factor de decrecimiento constante:

2

2

7

; este nú-

6 d a d E

= y

Sustancia inicial

A 1

1

2. Aumento de edad de los niños que inician la instrucción primaria en el país en la década de los 90.

4

y

0

 1   A 2  2  

1

=

0.8 6 +  1 + 7e 0.38 x −

3

1er ciclo de vida media

A

5

2 x =

2do ciclo de vida media

4 6 Tiempo (años)

8

Media de edad: 6 años, x = 0 → 1990



Aumento máximo: 0.8 años.

n

A

 1   2  

n ciclos de vida media

3. Cantidad de clientes de una discoteca a partir de su apertura.

b) ¿Por qué en estas funciones el exponente es t /vida media? 7

b) Para

saber cuántos ciclos de vida media se han repetido, el tiempo transcurrido debe dividirse entre la vida media, es decir, conocer cuántas veces la cantidad inicial se ha reducido sucesivamente a la mitad.

6 d a d E

= y

32.

¿Cómo se construye un modelo de crecimiento logístico?

Con un par de datos del problema y resolviendo una ecuación exponencial. Ejemplo: Construir un modelo para el crecimiento de una población de

mapaches en un zoológico, con capacidad máxima para 80 de ellos, iniciando con una pareja. El primer dato es para x = 0 (años), y = 2 (mapaches). Un segundo dato podría ser que al final del primer año hubiera cuatro mapaches: x = 1, y = 4. a)

Reemplazamos el primer dato en el modelo y =

A

1 + be

−

cx

En este caso y = 2, A = 80, be-cx = be0 = b. Reemplazando:

para obtener b: 2

80 =

1 + b

.

Despejando b: 1 + b = 80/2, 1 + b = 40, b = 39.

b)

Reemplazamos el segundo dato y este valor de b en el modelo. Así obtenemos: 4

80 =

1 + 39e

−c

; despejamos ahora -c: 1 + 39e-c = 80/4, 1 + 39e-c = 20;

39e-c = 19, e-c = 19/39 = 0.4871. De aquí: -c = ln 0.4871, -c = -0.7191. El modelo buscado es entonces:

80 y =

1 + 39e

−0.7191 x

. Compruébalo.

5 4

y = 6 +

0.8 1 + 7e 0.38 x

 −

3 0

2

4 6 x = Tiempo (años)

8

Afluencia inicial: y = 120 personas Máxima capacidad: 500 personas

El modelo y =

A 1+

be −

tiene:

cx

a) Un tope máximo en A. b) Dominio igual a todos los reales. c) Rango: 0 < y < A d) Dos asíntotas horizontales: la recta que corta al eje y en A, y el eje x .

198

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluaciones

200


AUTOEVALUACIÓN 1A

AUTOEVALUACIÓN 2A

1.

Sí es función. Dominio = {4, 7, 9}; rango = {1, 2}.

1.

{(10, 3), (3, 7), (7, 10)}. Función.

3.

Sí es función.

3.

No es función: {(1, 0), (1, 3), (3, 1), (3, 5), (5, 2)}.

5. f (3) = 32 + 2(3) - 1 = 14.

5. y = 5 no es uno a uno.

7.

1.5

y

9.

Sí es función.

6

11.

Sí es función.

4

13.

Dominio = � = {números reales}; rango = { y |y ≥ -1} (se lee: conjunto de todas las y, tales que y es mayor o igual que -1).

2

15. a) 15. b)

Sí.

−2

32 π 3

; el volumen de una esfera de radio r = 2.

7.

0

2

4

x

Es uno a uno.

15. c)

No.

y

15. d)

12 770 cm3

8 4

AUTOEVALUACIÓN 1B

−4

0

4

8

x

−4

1.

Algebraica

3.

Trascendente

5.

Algebraica

7. a)

−8

9. f (g( x )) = f ( x - 1) = ( x - 1) + 1 = x .

Verdadero

g( f ( x )) = g( x + 1) = ( x + 1) - 1 = x .

7. b) Falso 7. c) 9.

11.

f ( x ) y g( x ) son funciones inversas.

Falso

Inversa

Para el dominio dado (números naturales) esta función es uno a uno puesto que dos valores distintos del dominio nunca tienen la misma imagen. Sin embargo, no es sobre porque sólo algunos elementos (los cuadrados de los naturales) del codominio N constituyen el rango. La función no es biunívoca porque aunque es uno a uno, no es sobre. Similar al caso anterior.

y =

13.

y

15.

y = ±

AUTOEVALUACIÓN 1C 1. h( x ) = 2 x 2 + 4 x - 3. Dominio 3

2

3. h( x ) = 6 x - x

= �.

=

3

3

x x − 1

6

Composición

Sí

x

Sí

x

No

No aplica

AUTOEVALUACIÓN 2B 1. a)

- 5 x + 2. Dominio = �.

5. f (g( x )) = 2(3 x - 2)2 + (3 x - 2) - 1 = 18 x 2 - 21 x + 5. Dominio 7. f ( x (t ))

x + 7

11.

Función

y

3

=�

y

x

=

2

= 20(30t - 1) + 175; esta expresión indica el costo de

1

producir x relojes en t horas. 9. a) f (g( x )) = f ( x - 30) = 0.60( x - 30) 9. b) $93.00.

1

0

−

1

−

1

2

3

x


1. b)

9.

y

4 y = |x|

7

+1

y

6 5 4 3

3 2 1

2 1

−1 0

−4 −3 −2 −1 −1

x

−2

1. c)

1

2 x

1

2 3 4

2 1

y

y

11.

2 1 1

y

=

0

−

2 x

1

2

1

−

y

=

3

−6 −5 −4 −3−2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7

x

2 x

−

2

−

1. d)

1 2 3 4 5 6 x

y

1 x

−2 −1

0

1

13.

2

y

−1

−4 −3 −2 −1 −1

−2

−2 y

−3

= |x| − 3

1

2

3

−3 −4

3.

−5

Por ejemplo: f = costo de transportación en autobús a un sitio, x = meses transcurridos, y = tarifas de autobús (en pesos). 15. g( x ) = x 3 - 4

AUTOEVALUACIÓN 2C 1. 3.

5.

Desde el origen la gráfica se desplaza 3 unidades hacia la derecha.

17. h( x ) = - x 3 19.

Ejercicio 14. y

3

A partir del origen la gráfica se traslada verticalmente dos unidades hacia abajo y horizontalmente una unidad hacia la derecha. 4

2 1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

y

−2

3 2

−3

1

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

1 2 3 4 x

Ejercicio 15. 1

7.

x

y x

2

y

1

−4 −3 −2 −1−1 −2 −3 −4 −5 −6

x

1

2 3 4

−5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9

1 2

3 4 5

4 x

202

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluaciones Ejercicio 16.

21. d)

y

4 y 3

1

x

2

−2

1

2

x

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

1

2

−1

3 4

23. a)

y

6

−

4 y 3

x

−4 −3 −2 −1 −1

5

−

1

2

−

4

−

3

−

2

1

−

0

−

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

24 y = 36 - 9

−3 −4

y

Ejercicio 18.

=

27 24

= 1.125

La boca de la manguera estaría situada a 1.125 m del piso.

y

3

Cuando el agua toca el piso, y = 0. Para este valor, x = 9.

2

El máximo alcance horizontal del agua es 9 m.

1

−3 −2 −1 −1

1

2

3 x

−2 −3

AUTOEVALUACIÓN 3A 1. 4 3 2 1

−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

21. c)

24 ( y 1.5)

−

9 = - 24y + 36

3 4

−2

−2 −1 −1 −2

=

(0 - 3)2 = - 24( y -1.5)

1

5 4 3 2 1

3)2

23. b) Para x = 0, y = 1.125:

2

21. b)

−

1

Ejercicio 17.

21. a)

( x

2

y

Son polinomiales las funciones de los incisos a), c), d) y e). Ni b) ni f ) son funciones polinomiales: el primero posee un exponente negativo y el segundo es un cociente de dos polinomios. Observa que en el inciso d) se tiene:

x

1 2 3 4 y

x =

2 −

2

2

6

6

x =

2

−

2

1 =

2

x

2 −

3

2

=

0.5x

−

3

Éste es un polinomio con coeficientes fraccionarios (0.5) y enteros (- 3).

y

3. a) b) x

1 2 3 4 5

5. a) b)

Coeficiente principal: 4; término constante: 3. Función polinomial de grado 4, o función cuártica. Coeficiente principal: 8; término constante: 16. Función polinomial de grado 2, o función cuadrática.

7. y = - x + 7; coeficiente de x 1 es -1; el de x 0 es 7. 2 1

−5−4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5

y x

1 2

9. a) Función constante: eje x . Gráfica III.

recta horizontal 4 unidades abajo del

b) Función cuadrática:

parábola con vértice en (3, 2) que abre hacia arriba. Gráfica I.

c) Función lineal: recta descendente eje y en 3. Gráfica II.

 m = − 2  que corta al   5 


11. a) y = 3 x 2 + 24 x + 58

Función dada

2

= (3 x + 24 x ) + 58

Agrupando términos en x

2

= 3( x + 8 x ) + 58 2

2

AUTOEVALUACIÓN 3B

Extrayendo 3 como factor común 2

1. y = 4 x . 3.

Sumando y restando 3(4 ) para completar el trinomio

= 3( x 2 + 8 x + 16) + 58 - 48

Calculando 4 y 3(4 )

2

2

= 3( x + 4) + 10

2

directa entre ∆ x y el ∆ y), obtenemos y

Factorizando el trinomio y simplificando

0.81

−

= -2.

5. b) y = 11.96 x = 11.96(37.2) = 444.91. Pagarías $444.91.

50 40

7. a)

La relación no es del tipo y = mx porque los cocientes de cada columna son distintos. Investigando los cocientes de incrementos se halla que son iguales a -

1 15

. Esto im-

x

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −10

1

plica que el modelo es de la forma y = −

de b. Para el primero se tiene: b

20 =

25

1 +

15

1 y = −

30 25

15

=

60 + 5

13 x +

15

75

15

x

+

b.

20 15

7. b) La

65 =

75

20 25 13

=

15

= −

1 5

(1) + b .

De aquí,

. El modelo buscado es

, o bien, siendo a la agudeza visual, y t el

tiempo transcurrido,

10 5

1

Reemplazamos cualquier par de la tabla para hallar el valor

El valor de la variable y indica la rapidez con que durante esos 45 minutos de lluvia fluye en cada segundo el agua en el drenaje. Dado que el flujo es siempre el mismo, se trata de la función constante y = 420, que expresa que en todo momento el drenaje desaloja 420 l/s. PRECIPITACIÓN PLUVIAL

1 a = −

15

1

13 t +

15

agudeza visual a = 0, cuando

=

1 15

15

(13

(13

−

t )

−

=

t )

0.

Resol-

viendo esta ecuación se halla t = 13. Como t está expresado en meses, el deterioro visual será total en un año y un mes, de continuar al ritmo actual.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 Tiempo (minutos)

Forma del modelo lineal: y = mx + b. La pendiente m es la razón:

0.06

2.5

70 60

10

b)

−

y = (10.40 + (0.15)(10.40))( x ) = 10.40(1 + 0.15) x = 11.96 x .

30 20

0

4 =

5. a) Costo total = costo por litro × número de litros 80

) m c ( l e v i N

0.81

y

90

13. a)

2.5

Sustituyendo las coordenadas de cualquiera de los puntos en y = -2 x + b, obtenemos b, por ejemplo, usando el primer punto: 4 = -2(0.06) + b y de aquí b = 4.12. El modelo sería entonces: y = -2 x + 4.12.

La forma estándar es y = 3( x 2 + 4) + 10 b) Vértice: V (-4, 10).

0.06

≠

(la recta que une los puntos (0.06, 4) y (0.81, 2.5) no pasa por el origen). El modelo no es de la forma y = mx . Suponiendo que el modelo es lineal, de la forma y = mx + b (variación

2

= 3( x + 8 x + 4 ) + 58 - 3(4 )

4

No existe variación directa entre x y y, dado que

6 cm 10 min

=

3 5

1.

Para x = 0, (momento en que inicia la lluvia) el nivel del agua es y = 0, es decir, b = 0. En este caso la recta pasa por el origen. El modelo particular es

y

=

3 5

AUTOEVALUACIÓN 3C

= m .

.

x

Las segundas diferencias son todas iguales a 2. El modelo tiene la forma cuadrática: f ( x ) = ax 2 + bx + c. Reemplazamos tres parejas de la tabla para determinar los coeficientes a, b y c:

204

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluaciones Punto

Ecuación

(1, 2)

f (1) = a(1)

Se sustituye c = 4 en las otras dos ecuaciones y se resuelve el sistema por suma y resta:

2

+ b(1) + c = 2 2 f (2) = a(2) + b(2) + c = 5 2 f (3) = a(3) + b(3) + c = 10

(2, 5) (3, 10)

Sistema de ecuaciones

Solución

a + b + c = 2

a = 1, b = 0, c = 1

 a + b + 4 = 3.7    4a + 2b + 4 = 3.6 

Reemplazando los valores de a = 0.1 y c = 4 en a + b + c = 3.7 se obtiene b = -0.4

Modelo 2

f ( x ) = x

 a + b = - 0.3    4a + 2b = - 0.4 

+ 1

4a + 2b + c = 5

AUTOEVALUACIÓN 4A

9 a + 3 b + c = 10 3.

El modelo es cuadrático: 1 1

x y

2 -5

-6

3 -15

-10

-14

-4

4 -29

-4

5 -47

-18 -4

Punto

Ecuación

Solución

(1, 1)

a + b + c = 1

a = -2,

(2, -5)

4a + 2b + c = -5

b = 0,

(3, -15)

9a + 3b + c = -15

c = 3

2

f ( x ) = -2 x

7.

Gráfica I. La parábola abre hacia arriba por ser positivo su coeficiente principal; el término constante indica la intersección y = 0.

9. a)

y

1 3.7

-0.3

2 3.6

-0.1 0.2

3.

Función cúbica.

5.

Gráfica b.

7.

Gráfica a.

9.

Gráfica c.

11. a)

Aproximadamente 35 dólares por barril (intersección- y).

11. b)

En el tramo comprendido entre 1 y 2.4 (aproximadamente) está una zona casi plana de la gráfica. En el centro de este tramo debiera hallarse el punto más bajo de ésta, por lo que hallamos el punto medio en ese tramo del eje x :

+ 3

Gráfica III. El coeficiente principal negativo indica que la parábola abre hacia abajo; el término constante indica la intersección y = -3.

0 4

Función cuártica.

Modelo

5.

x

1.

1 + 2.4 2

3.4 =

2

=

1.70 .

Este valor de x daría en todo caso

un valor muy cercano al precio más bajo del barril de petróleo, que estaría alrededor de 27 dólares por barril. Como x = 1.70 está entre 1 y 2, dicho precio se produjo entre los meses de junio y julio (casi al finalizar junio, en la tercera semana). 11. c)

Septiembre corresponde a x = 4. En la gráfica se observa que en ese mes se obtuvo el precio más alto para dicho periodo, y estuvo próximo a los 60 dólares por barril.

11. d)

Como el vértice de esta parábola cuártica se halla aproximadamente en (1.7, 27) un modelo podría ser: f ( x ) = ( x - 1.7)4 + 27. Para comprobar si funciona probemos tres datos observables en la gráfica: Intersección- y. Se obtiene cuando x = 0. Calculamos f (0) = (0 - 1.7)4 + 27 = 35.35. Es aceptable. Valor mínimo. Valuamos f (1.7) = (1.7 - 1.7)4 + 27 = 27. También es aceptable. Valor al final del periodo. Para septiembre, x = 4, el valor que proporciona es: 4 4 f (4) = (4 - 1.7) + 27 = (2.3) + 27 = 27.98 + 27 = 54.98 ≈ 55 dólares por barril, lo cual parece correcto. El modelo algebraico describe bastante bien el comportamiento gráfico.

3 3.7 0.1

0.2

Observa: -0.1 - (- 0.3) = - 0.1 + 0.3 = 0.2 0.1 - (- 0.1) = 0.1 + 0.1 = 0.2 función es y = f ( x ) = 0.1 x 2 - 0.4 x + 4. Utilizamos el modelo f ( x ) = ax 2 + bx + c.

9. b) La

AUTOEVALUACIÓN 5A Inicial

Punto

Ecuación

1.

1.5 y 3.

(0, 4)

c = 4

3.

No tiene raíces reales (la gráfica no toca al eje x ).

(1, 3.7)

a + b + c = 3.7

(2, 3.6)

4a + 2b + c = 3.6

5. y = f ( x ) = x 3 - 25 x ; f (-5) = (-5)3 - 25( -5) =

Por tanto, sí es un cero de la función.

-125 + 125 = 0.


7. 9.

Por la propiedad del producto cero: x 2 - 1 = 0 , o x 2 - 16 = 0. Despejando x en cada ecuación: x = ±1, o x = ±4.

3 2

= 1.5 .

3

2

y = x - 2 x + x

Factor común x

= x ( x - 1)( x - 1)

Factorizando el trinomio

Igualamos con cero para hallar los ceros de la función: x ( x - 1)( x - 1) = 0. Por la propiedad del producto cero concluimos x = 0, o x = 1. Los dos ceros reales son las intersecciones x de la gráfica. 13. b)

( x 2)2 - 5( x 2) + 4 = 0

Forma bicuadrática

(-4)(-1) = 4; (-4) + (-1) = -5

Algebraicamente: Para x = ±2, y = (±2)4 - 5(±2)2 = 16 - 20 = -4.

Función dada

= x ( x 2 - 2 x + 1)

Igualando con cero

Con la propiedad del producto cero: x = ±2; o x = ±1. La gráfica de la función y = x 4 - 5 x 2 muestra que para estos cuatro valores, y = -4.

Factorizamos la función:

2

x - 5 x + 4 = 0

( x 2 - 4)( x 2 - 1) = 0

Esta función no presenta puntos de cambio porque es siempre creciente.

13. a)

Se resuelve x 4 - 5 x 2 = -4. 4

Aplicando la propiedad del producto cero a los tres factores se tiene: x = 0, o x + 8 = 0, o 2 x - 3 = 0. De aquí resulta: x = 0, o x = -8, o x =

11.

17.

Para x = ±1, y = (±1)4 - 5(±1)2 = 1 - 5 = -4. y

5 4 3

2

Gráfica de

1

g( x) = x

4

- 5 x2 + 4

y

−3 −2 −1

3

1

2

x

3

−1

2

−2 1

−3 −2 −1

1

2

3

x

−1

19.

Resolvemos 2 x 3 - 12 x 2 - 10 x = -60. 2 x 3 - 12 x 2 - 10 x + 60 = 0 Igualando con cero

−2

(2 x 3 - 12 x 2) - (10 x - 60) = 0 Agrupando términos

−3

2 x 2( x - 6) - 10( x - 6) = 0 15. a)

( x - 6)(2 x 2 - 10) = 0

La función puede factorizarse como una función cuadrática: 4

2

y = x - 6 x

+ 5

2

x

Función dada

= ( x 2)2 - 6( x 2) + 5

Forma bicuadrática

2

= ( x - 5)( x - 1).

=

6, o x =

y −5 −4 −3 −2 −1 −10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −100

(-5)(-1) = 5; (-5) + (-1) = -6.

Igualamos con cero: ( x 2 - 5)( x 2 - 1) = 0. De aquí, con la propiedad del producto cero: x 2 - 5 = 0, o x 2 - 1 = 0. Despejando x : x = ± 5 ≈ ±2.2 ; o x = ±1. La gráfica tiene cuatro intersecciones con el eje x , una por cada cero real. 15. b)

2

Factor común 2x y 10

y

5 4

±

5

1

2

Factor común ( x - 6) Propiedad del producto cero.

5

x

3

4

5

6

3

= f (4) = -0.15(4 - 5) (4 - 9)2 = 3.75 = 3 750 km2 = 3 750′000 000 m2 = 375 000 has.

21. a) y

2 1

−3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

1

2

3 x

21. b)

-0.15( x - 5) ( x - 9)2 = 30. De aquí, ( x - 5) ( x - 9)2 = -200. Es más simple aproximar en la gráfica que resolver esta ecuación. La recta horizontal por 30 corta a la gráfica en el punto con abscisa aproximada x = 1.5. Este valor corresponde al año 1900 + 25(1.5) = 1937.5, es decir, entre 1937 y 1938.

206


21. c)

Perderán su territorio cuando y = -0.15( x - 5) ( x - 9)2 = 0. Por la propiedad del producto cero, x = 5 o x = 9 hacen y = 0. Sólo tiene sentido x = 5, que corresponde al año 1900 + 25(5) = 2025.

15.

-2

2 2

7 -4 3

6 -6 0

Sí es factor: el residuo es cero.

AUTOEVALUACIÓN 5A Final 1. 3.

17.

-2

No puede utilizarse división sintética. El divisor x 2 - 4 no es lineal, sino cuadrático.

1

No es posible usar divisón sintética. El factor aunque es lineal, no tiene la forma ( x - a).

5. 4

3 x - 27

                

-2

Divisor ( x + 2)

3

0 0 -27 12 -24 48 12 -24 21

0 -6 -6

3

Dividendo

1

19. a)

-2

Residuo

1

2

-1

-2

1

-12 -10

120 119

-1 428 -1 430

b)

1

-12

2

0 -1 845 -1 845

135 123

0 3 3

1

-10

2.5

2

9 -3 -1 -3

-9

1 -5 -4

16 -10 6

-15 15 0

Así, G( x ) -15 = ( x - 2.5)(-2 x 2 - 4 x + 6) = -2( x - 2.5)( x + 3)( x - 1).

9

Cociente 2 x + 3 x - x - 3

-2 -2

0

            

3

otros factores.

0 27 675 27 675

11.

1

La función costo es C ( x ) = precio unitario × cantidad de discos = 84 x . El costo por producir 2.5 millones de discos compactos será C (2.5) = 84(2.5) = 210 millones de pesos.

G( x ) = x (-2 x + x - 100) - 84 x = -2 x + x + 16 x . La pregunta es si además de x = 2.5, existe otro valor menor para el cual también G( x ) = 15. Para averiguarlo debemos hallar las raíces de esta ecuación. Como x = 2.5 es una solución, entonces ( x - 2.5) es un factor. Usamos división sintética para hallar

Por consiguiente, g(-15) = 27 675 3

100 -10 90

c) Ganancia = ingreso - costo.

9.

6 -15 -9

1 -5 -4

-2

Por tanto, f (-12) = -1 430

1

4 2

0 8 8

2

7.

-15

0 -4 -4

Para 2.5 millones de discos compactos la función p indica que el precio de venta debe ser p(2.5) = 90 pesos. 2.5

Cociente 3 x - 6 x + 12 x - 24

-12

-2

No es factor: el residuo es 8.

            

3

0 -2 -2

Las soluciones son x = 2.5 (conocida), x = - 3 (inaceptable) y x = 1 (aceptable). Como G(1) = 15, esto indica que un millón de discos generará la misma ganancia, vendiendo cada uno a un precio de p(1) = $99.00. Producir un millón de discos tendrá un costo para la compañía de C (1) = 84 millones de pesos. Ésta es una inversión mucho menor que la que se requiere para producir 2.5 millones de discos compactos.

0 Residuo

3

13.

1

1

-7

15

-9

-6

1

1 -6

9 0

2

y = ( x - 1)( x

9

- 6 x + 9) = ( x - 1)( x - 3)( x - 3)

Los ceros son x = 1 y x = 3

AUTOEVALUACIÓN 5B 1.

Puede aplicarse la prueba del cero racional porque sus coeficientes son todos números enteros.

3.

No es posible aplicar la prueba del cero racional: contiene algunos coeficientes no enteros.


5. 7. 9.

Irracionales: x = ± 8 ; racional: x

±1, ± 5

±6, ± 3, ± 2 , ± 1 2, 1 3 2

2

11.

−

1 2

f ( x ) = 9

.

-2 x 4 + 15 x 3 - 38 x 2 + 36 x + 1 = 9,

. Cuatro posibles ceros racionales distintos: ±1, ±5.

1

±6, ±

=

± 2, ±

1

9 2 11

1 2

,

8 22 30

2

±1.

60 0

-2 x 4 + 15 x 3 - 38 x 2 + 36 x + 1 = 10, -2 x 4 + 15 x 3 - 38 x 2 + 36 x - 9 = 0

+ 11 x + 30

Nuevamente, desechamos ceros racionales negativos. Deben probarse:

Posibles ceros racionales: ±30, ±6, ±5, ±3, ±2, ±1. 1

11 -5 6

1

x + 6

13. 15. 17.

x =

30 -30 0

      

c)

Por tanto: y = ( x - 2) ( x + 5)( x + 6)

Debemos hallar los valores de x donde f ( x ) = 12, f ( x ) = 9 y f ( x ) = 10. Resolvemos cada ecuación.

11 2

,

. La gráfica muestra que 0 ≤ x < 4. Resulta una solu-

-2 -2

. La división sintética muestra que ninguno

1. x = 2; x = -2 3. x = -2; x

=

7 ; x

=

−

7

.

5. x = 6 aparece dos veces. Por tanto, 6 es un cero de multiplicidad 2. Como x = 3 aparece una vez, 3 es un cero de multipli-

cidad 1.

ción x = 1: 1

2

AUTOEVALUACIÓN 5C

f ( x ) = 12

2

1

La resolución algebraica podría proporcionar posibles ceros no racionales. Sin embargo, dada la dificultad para resolver algebraicamente esta ecuación, es preferible aproximar gráficamente el valor de x correspondiente a y = 0. En tal caso, la gráfica muestra x ≈ 3.6. Así, el volcán concluyó sus explosiones después de estar aproximadamente tres semanas y media en actividad.

alcanzó 1 kilómetro de altura.

-2 x 4 + 15 x 3 - 38 x 2 + 36 x + 1 = 12, -2 x 4 + 15 x 3 - 38 x 2 + 36 x - 11 = 0

Al detenerse las exhalaciones, en el modelo se hace y = 0 (intersección con el eje x ). Para determinar en qué momento ocurrió esto debemos resolver la ecuación -2 x 4 + 15 x 3 - 38 x 2 + 36 x +1 = 0.

de estos números es solución de la ecuación.

19. a) f ( x ) = -2 x 4 + 15 x 3 - 38 x 2 + 36 x + 1. Se halla su intersección y, es decir, f (0) = 1. Esto indica que la primera erupción

1,

y x = 3 resultan ser ceros. Conclusión: en la tercera

posibilidades: 1,

Posibles ceros racionales: ±15, ±5, ±3, ±1. Probando con división sintética se hallan x = 1, x = - 3 (al factorizar y resolver la ecuación cuadrática se hallan dos ceros irracionales: x = ± 5 ).

1

2

Para investigar las soluciones racionales positivas se tienen las

Posibles ceros racionales: ±5, ±1. Probando con división sintética se obtienen x = 5, x = -1.

Deben verificarse sólo ceros racionales positivos: 11,

3

3 1 9 , . Se excluyen 9, 3, . De estas opciones 2 2 2

semana de actividad los residuos volcánicos alcanzaron una altura de 10 km.

Posibles ceros racionales: ±10, ±5, ±2, ±1. Probando con división sintética se obtienen x = 10, x = ±1.

19. b)

. Se ex-

f ( x ) = 10

-60

Por tanto: y = ( x - 2)( x 2 + 11 x + 30).

-5

2

cluyen 8 y 4. Con división sintética se concluye que x = 2 es una solución. Así, al completar la segunda semana las emanaciones del volcán llegaron a 9 km de altitud.

        

x

1

Posibles ceros racionales positivos: 8, 4, 2, 1,

. Doce posibles ceros racionales distintos:

, ± 3,

1

-2 x 4 + 15 x 3- 38 x 2 + 36 x - 8 = 0

15 -38 36 -11 -2 13 -25 11 13 -25 11 0

Al final de la primera semana de actividad, el volcán tuvo explosiones que alcanzaron 12 km de altura

7. x =

8 y x = 4 son ceros de multiplicidad 1. (Extrayendo raíz cúbica en ( x - 8)3 = 0 se tiene x - 8 = 0; x = 8).

9.

Por ejemplo: a) f ( x ) = ( x + 1)( x - 2) = x 2 - x - 2; 2

2

g( x ) = -3( x + 1)( x - 2) = -3( x - x - 2) = -3 x

+ 3 x + 6.

208

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluaciones b) h( x ) = ( x - 1)( x + 1)( x - 2) = ( x - 1)( x 2 - x - 2) = x 3 - 2 x 2 - x + 2.

11.

c)

5 4 3 2

Por ejemplo: a) F ( x ) = x ( x + 6)( x + 2)( x - 1) = x 4 + 7 x 3 + 4 x 2 - 12 x ;

y

=

5

2 4

−

−

1 3

−

2

−

=

2

9.

III

11.

II

13. a)

−

y

15.

2

21. f ( x ) = x 3 - 4 x 2 - 3 x + 18 = ( x + 2)( x 2 - 6 x + 9) = ( x + 2)( x - 3)( x - 3)

AUTOEVALUACIÓN 6A

1 2

1

−

1

1

=

−

2

−

3

x

=

−

6

x

Asíntota vertical: x = 0 (eje y). Asíntota horizontal

=

5 1

= 5.

Gráfica I. Por ser mayor el grado del numerador que el del denominador, la función tiene por asíntota horizontal al eje x .

5. Asíntotas verticales: son los ceros del denominador: x 2 - 16 = 0 implica x = 4 y x = -4. Asíntota horizontal: al ser iguales los grados del numerador y 2 1

= 2.

7.

III. Asíntotas verticales x = 4 y x = -4. Asíntota horizontal: y = 1. Intersección con los ejes: (0, 0).

9.

VI. Asíntotas verticales x = 4 y x = -4. Asíntota horizontal: y

11.

1 3

7. a) Dominio = Todos los números reales excepto 2

y -2. Puede

=

3 1

= 3 . Intersección con los ejes: (0, 0).

II. Asíntota vertical x = 2. Asíntota horizontal: y = tersecciones: eje y: y = 2; eje x : x = 0.66.

13.

y

1

representarse de las siguientes maneras:

- {-2, 2}; (-∞, -2)  (-2, 2)  (2, ∞).

b) Asíntotas

5 x =

La gráfica corresponde a la ecuación del inciso b) que tiene dos asíntotas verticales x 2 - 9 = 0 implica x = 3 o x = -3.

1

3. x = 4

�

y

3.

−

5. x =

Simplificando:

3 x

1 2

−

x

5.

el denominador la asíntota es y =

2

−

+

Gráfica III. No existe asíntota horizontal porque el numerador tiene grado mayor que el denominador. De las tres gráficas presentadas, sólo la número III no tiene este tipo de asíntota.

y 3

3

−6

1.

Raíces reales: x = -2 y x = 3 (esta última de multiplicidad 2).

−

2

AUTOEVALUACIÓN 6B

Raíces reales: x = 2 (es de multiplicidad 2), x = -4 (también de multiplicidad 2).

1

y =

b)

19. f ( x ) = x + 4 x - 12 x - 32 x + 64 = ( x - 2)( x 3 + 6 x 2 - 32) = ( x - 2)( x - 2)( x 2 + 8 x + 16) = ( x - 2)( x - 2) ( x + 4)( x + 4).

=

=

x

2

Raíces reales: x = 1 (es de multiplicidad 3), x = -1.

y

x

3 4

−

5

17. f ( x ) = x - 2 x + 2 x - 1= ( x - 1)( x - x - x + 1) = ( x - 1)( x - 1)( x 2 - 1) = ( x - 1)( x - 1)( x - 1)( x + 1).

1.

5

−

Raíces reales: x = 0, x = -3 (es un cero de multiplicidad 2).

3

3 4

−

15. f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x = x ( x 2 + 6 x + 9) = x ( x + 3)( x + 3) = x ( x + 3)2

4

2

2

13. y = ( x + 2)( x + 1)( x - 1)( x - 2).

3

1

x

1

−

x

b) H ( x ) = x ( x + 6)( x + 2)( x - 1)( x 2 - 2) = x 8 + 7 x 6 + 2 x 4 - 26 x 3 - 8 x 2 + 24 x .

3

1

−

−

G( x ) = x (2)( x + 6)( x + 2)( x - 1) = 2 x 4 + 14 x 3 + 8 x 2 - 24 x .

4

y

verticales: x = 2, x = -2.

Asíntota horizontal: y = 2.

−4

−3 −2

−1 −1 −2

1

2

3

4

x

6 2

= 3 . In-


15.

y

5.

5

Dividimos:

4 3

3 x

2

21x + 7

−

x − 7

Divisor ( x - 7)

2

:

7

3

-21 -5

3

0

1

−5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

Cociente 3 x Por tanto,

−4

b)

Población inicial. Se hace x = 0 en la ecuación: y = gorilas (intersección- y).

84 3

91.8 x + 84

=

0.60 x + 3

=

7. 9.

91.8 x + 84 = 50(0.60 x + 3)

91.8 x + 84 = 30 x + 150

61.8 x = 66 x =

66 61.8

= 1.06

En aproximadamente un año la población aumentará a 50 gorilas.

=

2

21x + 7

−

x − 7

1

=

3 x +

7

.

x − 7

. La asíntota oblicua es la recta y = 2 x + 1.

No posee asíntota oblicua: el grado del numerador no es mayor en 1 que el del denominador.

11.

y = ( x +

13.

III

15.

I

3) +

8 2

2 x

−1

. La asíntota oblicua es la recta y = x + 3.

La función G( x ) =

2

0.12 x

+

x +

0.06 x + 1 0.5

posee una asíntota

oblicua que será útil para trazar la gráfica. Hallamos ésta: 0.12

0.06 -0.06 0

0.12 G( x )

=

0.12 x +

1 x +

0.5

1 0 1

.

La asíntota es la recta y = 0.12 x , que pasa por el origen y asciende por tener pendiente positiva m = 0.12. 5 7

11 15 19 23 27 Tiempo (1 unidad ↔ 1 año)

31

35

La función G( x ) posee como asíntota horizontal y

(2 x + 1) +

-0.5

POBLACIÓN DE GORILAS

1

c)

y =

17. a)

144 128 112 96 d a d i 80 t n a 64 C 48 32 16

3 x

x

50

y =

La asíntota oblicua es la recta y = 3 x .

= 28

Se hallan las soluciones para G( x ) = 50. G ( x )

Residuo

      

−2 −3

17. a)

7 0 7

91.8 0.60

= 153 . De acuerdo con el modelo de crecimien-

to, una vez que se estabilice la población de gorilas en el parque, no debe sobrepasar 153 individuos.

AUTOEVALUACIÓN 6C 1.

Posee una asíntota oblicua debido a que el grado del numerador sobrepasa en una unidad al del denominador.

3.

No posee asíntota oblicua, ya que son iguales los grados del numerador y el denominador.

Corta al eje y en

1 0.5

= 2.

Con estos datos y unos cuantos valores se traza la gráfica. Ésta muestra que el menor valor de y se halla cuando x ≈ 2.5 y expresa que la menor ganancia se obtuvo a los dos meses y medio.

s o s ) e 0 p 0 n 0 e 0 a 1 i c n a n 1 a ( G

2.50 2.25 2

1.75 1.50 ↔1.25 1 0.75 0.50 0.25 0

y

=

0.12 x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tiempo (meses)

210

Soluciones a ejercicios impares de autoevaluaciones b) La

ganancia aumenta a partir del menor valor (en el punto de cambio) que da un monto aproximado de 2

G (2.5) =

0.12( 2.5)

+

0.06(2.5) + 1

(2.5) + 0.5

=

0.63333 .

De acuer-

AUTOEVALUACIÓN 7A Final 1. a)

y

50

do con la equivalencia consignada en la gráfica la ganancia mínima fue 0.63333 × 100 000 = $63 333.00 c)

y

x

e

=

37.5

Sí, la asíntota oblicua. Para año y medio (18 meses), G(18) = 2.21405, indica una ganancia de $221 405.00, en tanto que la recta proporciona el valor y = 0.12 x = 0.12(18) = 2.16, es decir, $216 000.00, cercano al que se obtiene con la función. La aproximación lineal será mejor cuanto mayor sea el tiempo transcurrido.

25 12.5

2

1 0

−

1

−

2

b)

3

4 x

y y

AUTOEVALUACIÓN 7A Inicial

50

x

−

e

=

37.5

1. a)

Crecimiento exponencial, b = 7 > 1

b) Decaimiento c)

3.

exponencial, b = 0.5 < 1 12.5

Crecimiento exponencial, b = 6.3 > 1

d) Crecimiento e)

25

exponencial, b = 3.14 > 1

Decaimiento exponencial, b =

2 3

=

0.66

4

<

0

En tal caso: y = Ab = Ab = A(1) = A. Así, en esta ecuación, cuando x = 0, y = A. Esto indica que la gráfica pasa por el punto (0, A). 5.

−

2

1

−

0

−

1

2

x

1

Los puntos de la forma (0, y) están sobre el eje y. En estos puntos se observa que x = 0. x

3

−

$4 222.95

3. a)

$8 607.86

b) $8 c) 5. a) b)

666.81

$8 667.82 100 000 parásitos. 50 017 parásitos.

c)

100 80 s o t i s á r a p e d s e l i M

AUTOEVALUACIÓN 7A Intermedia 1.

Al cabo de 12 horas, 4 096 personas conocen el rumor. Esto es casi la mitad de la población.

3.

El modelo buscado es y = 0.10 (0.90)t . Al cabo de 15 minutos de cocción, en 100 g de espinaca habrán 0.020 mg de tiamina. Esta cantidad es 0.020/0.10 = 0.2 = 20% de la cantidad inicial. Se ha perdido 80% de la cantidad inicial. Para su correcto funcionamiento, el organismo humano requiere diariamente de 1.5 mg de vitamina B1.

= y

y

=

100 000e

0.1732 t

−

60 40 20

0

2

4

6 t Horas

8

10

12

=

AUTOEVALUACIÓN 7B Inicial

5. a)

Modelo: y = 10 000(0.95)t ; para x = 24 horas, y = 2 919 bacterias.

1. a)

b)

5% (cada hora sobrevive 0.95 = 95% del total, y muere 5% restante).

c)

c)

Para x = 168 horas, y = 1.8 bacterias, es decir, únicamente sobreviven de una a dos bacterias.

Logaritmo = 5, base = 10

b) Logaritmo = 4, base = 7


d) Logaritmo = 6, base = 2 e)



3. a)

AUTOEVALUACIÓN 7B Final

y

2 y

1.5

=

log x

1. a)

b) 3.52

1

d)

-2.7 -156.5

e)

0.8

c)

0.5 0 1

b)

3

10

20

30

40

50

x

3. a) x = 1.17

y

4

b) x = 1, x = -2

y = log x 3

3

5.

4.7 años ≈ 4 años 8 meses 12 días

2

7.

9 545 177 bicicletas

1 0 1 3 10

c)

20

30

40

50

AUTOEVALUACIÓN 8A

x

y

3 2

y = log x

1.

Amplitud = 1, periodo =

3.

Amplitud = 4, periodo =

7. a) a

5.

20

30

40

50

•

AUTOEVALUACIÓN 7B Intermedia

1 ciclo entre 0 y 2 π.

3.

Frecuencia: f

(Como

y e

3 y = log x 10

2

1 6.28

b) 20

30

40

50

 1  + ln   = 1 − ln 2  2 

ln e

b) log ( x + 1) - 1

7.

1

= 2 π .

1

b =

2 π

≈

6.28

=

0.16 .

1

≈ esto informa que entre 0 y 1 se locali6

des hacia arriba.

0 1 10

c)

2π

d = 3 indica que la gráfica de y = sen x se desplaza 3 unida-

1

5. a)

=

za aproximadamente la sexta parte de un ciclo de la gráfica; o bien, que en cada unidad horizontal hay alrededor de un sexto de ciclo).

y = log x

4

b

•

6

ln e = 1

2 π

(Observa que como b > 0, es innecesario el valor absoluto.)

ln 1 = 0

c)

= 2 π .

b = 1. Indica que la gráfica tiene:

Periodo: p =

ln e = 6

1

= 1. La gráfica tiene una altura de 1 unidad arriba de su

•

b)

2 π

= 2 π .

eje horizontal. x

37 870 años.

1. a)

1

5. a = -2, b = 6, c = 0, d = 0.

5

1

0 1 5 10

2 π

0.

10 min.

x

y d u t i l p m A

Frecuencia

y

= sen x +

4 3 2 1 0

1 π Periodo

2 π

x

3

212


9. a) a = 5. La gráfica tiene una altura de 5 unidades arriba de su

AUTOEVALUACIÓN 8B

eje horizontal. b = 8. La gráfica tiene 8 8

4

ciclos entre 0 y 2 π, p =

2 π 8

=

π 4

,

1.

.

a

d = 4. La gráfica de y = cos x se desplaza 4 unidades hacia

f

f

=

=

2 π

π

≈

1.27

abajo. b) y

= 5 cos 8 x − 4

0

0.25 π

0.5 π

0.75 π

1 π

1.25 π

1.5 π

1.75 π

2 π x

2.

−8 −9

11. a)

Periodo

3. a)

II. Amplitud a = 1; ciclos entre 0 y 2 π: 2 = b; periodo

=

Amplitud = a = -1 = 1, ciclos entre 0 y 2 π: 1 = b; periodo p = 2 π. (a = -1 indica que los valores de y son simétricos de los que se obtienen con a = 1 en la gráfica de y = sen x . Por esta razón, la gráfica de y = - sen x es simplemente una reflexión de la gráfica de y = sen x respecto al eje x .)

I.

Para y = 12 sen 4207.6 t , la amplitud o intensidad máxima de la onda de radiofrecuencia portadora de la señal de audio es a = 12 V; la frecuencia de transmisión de esta radio4 207.6

b

difusora es f

=

2 π

≈

=

6.28

670 kHz .

Esta estación

se sintoniza en el número 670 del cuadrante del aparato receptor. La onda de transmisión de la otra estación tiene una amplitud de 10 V y una frecuencia de 1 100 kHz. b)

La longitud de onda de la primera radiodifusora es 8

λ

14 + 28 2

=

25 ,

21 =

=

2 π 24

=

π

b = 42 π (ya que b

2 π

=

3 × 10

6.7 × 10

5

=

3

0.44776 × 10

=

447. 76 metros.

(Obser-

va que 670 kHz = 670 × 103 Hz = 6.7 × 105 Hz.) Para la otra estación su longitud de onda es de 272.72 metros. (El 1 periodo indica el tiempo que toma a cada onda recorrer f

esta distancia.)

150

) , d =

12

. La amplitud a

200

+

=

2

175 .

b)

55 + 15 2

−

2 =

2π

=

15 =

35 cm

b

y, por tanto,

20 cm

y la altura

.

π 12

t con y en centímetros, t en horas.

Como la disminución se produce desde el nivel máximo, se elige la función coseno para el modelo: y = 35 + 20 cos

c)

55 =

24

Como el aumento de la altura se mide desde el nivel medio (35 cm), se elige la función seno para el modelo: y = 35 + 20 sen

π

. 2 b) III. Amplitud = a = 0.5; ciclos entre 0 y 2 π: 1 = b; periodo p = 2 π; d = 2: traslación vertical de dos unidades hacia arriba.

13. a)

=

2

promedio del agua es d =

p

c)

150

El periodo es p = 24 horas. De aquí b

−5 −6 −7

=

−

En forma análoga, para la onda alfa: y = 125 + 25 sen 21 πt ; para la onda theta: y = 75 + 25 sen 12 πt y para la onda delta: y = 30 + 20 sen 4.5 πt .

1

−1 −2 −3 −4

200 =

Modelo: y = 175 + 25 sen 42 πt .

y

d u t i l p m A

Obtención de las constantes para la onda cerebral beta:

π 12

t (igual: y en horas, t en centímetros).

Reemplaza el valor t = 10 en cada modelo: y = 35

+ 20 sen

= 45 cm

y = 35 + 20 cos

10 π 12

10 π 12

= 35 + 20 sen (2.62) ≈ 35 + 20(0.5) = 35 + 20 cos (2.62) ≈ 35 +20(-0.87)

= 35 - 17.4 = 17.6 cm (Revisa que tu calculadora científica esté en modo RAD para calcular senos y cosenos.)


Materiales de apoyo en SALI Si deseas profundizar en estos temas, visita nuestra página web www.sali.org.mx donde encontrarás el video y/o PDF: Bloque 1 Video y/o PDF

Bloque 5 Título

Página

Video y/o PDF

Título

Página

Dominio de una función

6

Obtener los ceros o raíces de un polinomio (ejercicio 1)

88

Notación del dominio de una función

6

Obtener los ceros o raíces de un polinomio (ejercicio 2)

88

Obtener el dominio de una función

6

Ceros y raíces de la función 1

88

Rango de una función

6

Ceros y raíces de la función 2

88

Dominio y rango de una función cuadrática

6

Gráfica de un polinomio cúbico utilizando división sintética (ejercicio)

92

Intervalos

7

División sintética

92

Representar gráficamente intervalos

7

Representar matemáticamente intervalos

7

Bloque 6

Concepto de función

6

Video y/o PDF

Sustituir la variable independiente en una función

8

Bloque 2 Video y/o PDF

Título

114

Encontrar la gráfica de una función racional (ejercicios)

114

Función racional

114

Página

32

Bloque 7

Traslación de un parábola (ejercicio)

44

Video y/o PDF

Bloque 3 Título

Página

Concepto de fución polinomial

56

Identificar a una función polinomial (ejercicio)

56

Ejercicio para hallar el grado de un polinomio

56

Coeficiente principal de un polinomio

56

Funciones polinomiales

56

Representación gráfica de funciones de grados uno y dos

56

Perímetro de las funciones de grados cero, uno y dos

56

Gráfica de una función cuadrática

68

Valor máximo o mínimo de funciones cuadráticas (ejercicio)

Página

Encontrar asíntotas de una función racional (ejercicio)

Función inversa

Video y/o PDF

Título

Título

Página


136

Concepto intuitivo de logaritmo

150

Representar una igualdad con exponente a otra con logaritmo

150

Concepto intuitivo de Logarimo natural (ln)

154

Propiedades de los logaritmos (básicas)

154

Propiedad de un logaritmo con raíz

154

Propiedad para cambiar de base a un logaritmo

154

Propiedad para despejar la variable de un logaritmo

154

Ecuaciones exponenciales (parte 1)

158


158


158

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

158

68

214

Materiales de apoyo en SALI

Bloque 8 Video y/o PDF

Título

Gráfica de funciones trigonométricas #1 (concepto)

Página

168

Ejercicio para identificar a una función seno

168

Amplitud de una función seno y coseno

168

Gráficar la función seno y coseno

168

Frecuencia de una función seno y coseno

168

Amplitud y frecuencia de una función seno y coseno

168

y

y y

= 3 x2

y

= x2 x x g o l

= y

x

0 1

y

0

5 . 0

x

y y = | x

| x

x

x

π

2

π

x y

y

y

y

π

y

−

= x2 x n e s

= y

x

x s o c

n e s

= y

π

2

−

= y x

π

2

y y

= x4

x

y

= 2 x

π

y

y

π −

x

0

1

x

x

s o c

= y

π

2

−

Matematicas 4_ Precalculo_ Func - Joaquin Ruiz Basto

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