Alejandro de Icaza Peña
Alejandro de Icaza Peña
Alejandro de Icaza Peña
Matemáticas 1 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:
Dirección General de Contenidos
Antonio Moreno Paniagua Dirección de Ediciones
Edición
Rubén García Madero y Leticia Martínez Ruiz Asistencia editorial
Wilebaldo Nava Reyes
Enrique Martínez Sánchez, Victoria Moreno Ayapantecatl, Natalia Herrera López y Vianey Calderón Ramírez
Gerencia de Secundaria
Revisión técnica
Iván Vásquez Rodríguez Gerencia de Arte y Diseño
Darío Emiliano Méndez Soto Corrección de estilo
Humberto Ayala Santiago
Pablo Mijares Muñoz, Guadalupe Escalante Ramírez y Octavio Zaragoza Ríos
Coordinación de Secundaria
Edición de Realización
Óscar Díaz Chávez Coordinación de Matemáticas
Ma. del Pilar Vergara Ríos
Haydée Jaramillo Barona Edición Digital
Miguel Ángel Flores Medina Diseño de portada
Coordinación de Diseño
Raymundo Ríos Vázquez
Carlos A. Vela Turcott
Diseño de interiores
Coordinación de Iconografía
Nadira Nizametdinova Malekovna Coordinación de Realización
Gabriela Armillas Bojorges
Raymundo Ríos Vázquez y Jéssica Gutiérrez López Diagramación
Eduardo Sevilla González, Ana Laura Sainz Hernández e Itzel Castañeda Moreno Iconografía
Elvia Valadez Pérez y Miguel Bucio Trejo Ilustración
Héctor Ovando Jarquín, Alma Julieta Núñez (Grupo Pictograma), Sheila Cabeza de Vaca y Ricardo Ríos Delgado Fotografía
Shutterstock, Photos To Go, Glow Images, Thinkstock, Photostock, Durga Archivo Digital, Procesofoto, ©Retlaw Snellac y Google Maps, Fotografía páginas 338 y 339: Singapore Flyer Digitalización de imágenes
María Eugenia Guevara y Gerardo Hernández Ortíz
La presentación presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor. © 2013 por Alejandro de Icaza Peña D. R. © 2013 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V. Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, México, D. F. 978-607-01-1 -1955-2 955-2 ISBN: 978-607-01 Primera edición: diciembre de 2013 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México/ Printed Printed in Mexico
2
B
ienvenido, bienvenida a Matemáticas 1 de la serie Todos Juntos Oro. En primer lugar, queremos explicarte por qué hemos titulado así a esta serie. Se llama Todos Juntos porque hoy, más que nunca, es importante construir de manera colectiva muchas cosas, como la paz, la riqueza, el cuidado del medio natural, el futuro, el conocimiento... pues como sociedad hemos aprendido que los esfuerzos individuales no son suficientes para lograr metas tan complejas. Por ello, en las actividades que te proponemos en esta obra encontrarás con frecuencia la propuesta de reunirte con tus compañeros, ponerte de acuerdo con tu maestra o maestro, y comentar con tu familia para resolver la situación o el problema que se plantea. Los resultados del trabajo colaborativo son mejores que los obtenidos con la dedicación de una sola persona. Si sumamos y multiplicamos los esfuerzos de cada uno, Todos Juntos lograremos metas y satisfacciones insospechadas. Para obtener estos logros, se requieren cualidades y actitudes que tú tienes, pero que tal vez no has descubierto: las propiedades del Oro. Este metal es muy resistente: muy pocas sustancias lo pueden alterar. No obstante, es dúctil y maleable, es decir, posee la flexibilidad suficiente para permitir formar hilos y láminas con él. Además, el oro nunca pierde su brillo. ¿Qué te parece esta metáfora? Pues bien, Todos Juntos Oro significa unir nuestra firmeza y nuestra flexibilidad para lograr metas comunes que resalten nuestro brillo en la construcción del conocimiento matemático. En las actividades propuestas se tomaron en cuenta los intereses de los alumnos de secundaria, las experiencias de profesores y el nivel de tratamiento del contenido, ya que las matemáticas son esenciales para la formación de los estudiantes de este nivel educativo. En el diseño de las actividades se consideraron las cuatro competencias matemáticas: • • • •
Resolver problemas de manera autónoma Comunicar información matemática Validar procedimientos y resultados Manejar técnicas eficientemente
Por último, Matemáticas 1 será también el punto de partida para el acceso a recursos digitales que tú conoces muy bien y te divierten, además de que te proporcionan información. ¡Te deseamos el mayor de los éxitos! Los editores
Conoce A continuación te mostramos el propósito de cada sección que integra Matemáticas 1, las cuales están numeradas para que las identifiques con mayor facilidad.
Evaluación diagnóstica Esta sección te permite evaluar los conocimientos de matemáticas que adquiriste durante los últimos grados en la primaria, y que son la base para el estudio de los contenidos de Matemáticas 1. Entrada de bloque Este apartado está 2 integrado por una doble página en la que se muestra una fotografía, el número de bloque y los aprendizajes esperados de este.
Evaluación diagnóstica Evaluacióndiagnóstica
Antes de iniciar el estudio de los contenidos matemáticos que se proponen en este grado escolar es conveniente que resuelvas la evaluación diagnóstica para que, con base en los resultados que obtengas, midas el nivel de conocimientos que tienes de la asignatura y junto con tu profesor puedas decidir qué hacer en caso de que requieras apoyo.
partículas ultrafinas.
Son partículas ensuspensión presentes en el aire, cuyo diámetro aerodinámicoes menor a 0.1 µm.
micrómetro o micra (µm).
Es una unidad de longitudequivalentea una millonésima parte de un metro.
Lee y responde.
El Genanoplus es un purificador de aire que se usa para descontaminar equipos de cómputo, edificios y medios de transporte. Este purificador filtra partículas de hasta 0.1 µm o 0.000001 m empleando una presión de aire 80% inferior a la de los sistemas tradicionales de descontaminación. La siguiente tabla muestra las partículas ultrafinas que elimina y sus dimensiones.
1. Analiza la tabla y responde. a. Si el Genanoplus filtra partículas de 0.000001 m, ¿cuáles de las partículas mencionadas están debajo de este dato? Explica.
Partícula ultrafina
Dimensiones (mm)
Virus n
0.0024 mm
Vir us de la fiebre aftosa
0.0 030 mm
Filovirus
0.0014 mm
Cápside
0.0080 mm
Par tí cu la de hol lín
0 .010 mm
Esporas
0.003 mm
Hongo o levadura
0.007 mm
b. ¿Cuál partícula tiene el menor tamaño? Justifica tu respuesta.
c. ¿Cuál es la partícula más grande? Escribe con letra el número que corresponde a su medida.
d. Analiza si la siguiente afirmación es verdadera. Argumenta tu respuesta. 0.003 es mayor que 0.0014 y menor que 0.007.
Palabras para el alumno
E
l ingreso a la educación secundaria es una etapa en la que vivirás cambios importantes, ya que en este ciclo aplicarás los conocimientos que adquiriste en la primaria y ampliarás lo que ya sabes de aspectos específicos de otras asignaturas; lo cual implica enfrentar mayores retos académicos, actitudinales y procedimentales. Debido a ello, Matemáticas 1 contiene actividades que integran desafíos y problemas matemáticos cuya resolución implica que expliques tus ideas, argumentes tus procedimientos, encuentres la vinculación
de los contenidos matemáticos con otros campos de conocimiento, y junto con tus compañeros elabores conclusiones para validar el trabajo realizado. Estas conclusiones son enriquecidas con la información matemática que se encuentra en las lecciones y con la mediación del profesor. La finalidad de este material es serte de utilidad para tus estudios y transmitirte el gusto y el interés por el estudio de la asignatura.
Entrada de bloque
1
Aprendizajes esperados
2
4
• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. • Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. • Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.
3
Sembradíode trigo. Elrepartode una cosechadeestecerealdioorig ena unode losproblemasmatemáticos conocidosmásantiguo.
24
25
Fotografía Muestra una gran imagen 3 relacionada con alguno de los contenidos que estudiarás en el bloque.
Aprendizajes esperados Orientan tus procesos de 4 aprendizaje al señalar lo que se espera que logres al final del bloque.
Palabras para el docente
M
atemáticas 1 contiene actividades cuida-
dosamente diseñadas,estructuradas,seleccionadas y validadas en el aula escolar. Muchas de estas se desarrollan en contextos cercanos a los estudiantes, como el uso de mapas. Con ello, se quiere comunicar que las matemáticas son útiles en la vida diaria para resolver situaciones cotidianas, que van más allá de hacer las compras del mercado o de la papelería y que, sin duda, son imprescindibles para el avance científico y tecnológico de la actualidad. La propuesta didáctica de esta obra fomenta el trabajo en equipos y en grupo con la intención de que
todos participen en la construcción del conocimiento matemático, donde la discusión, la confrontación, el intercambio de ideas y la explicitación de dificultades y dudas por parte de los alumnos, cobran un papel fundamental. En este contexto, la labor del profesor debe ser de mediador y guía para que los escolares alcancen el objetivo. En las páginas finales de cada bloque se hace una invitación a la lectura en la sección “Tu competencia lectora”. Su objetivo es que los estudiantes desarrollen sus competencias lectoras, las cuales son esenciales para el aprendizaje de la asignatura.
Conoce Lecciones Áreas y perímetros de 6 21 5 polígonos regulares
Polígonos regulares
9
Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida
Contenido: Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonosregulares
8
7. Reúnete con un compañero para realizar las siguientes actividades. Como recordarán, en la lección 4 calcularon el perímetro de distintas figuras geométricas.
a. Escriban la fórmula para calcular el perímetro de los polígonos y justifíquenla.
7
•
Pentágono regular: P =
•
Octágono regular: P =
•
Polígono de n lados regular: P =
1. Resuelve de manera individual la siguiente actividad.
Al concluir, compartan sus respuestas en grupo y valídenlas con la guía del maestro.
Armando juega futbol en el equipo de su colonia. Al sostener un balón en sus manos le llamó la atención ver que sus caras son polígonos regulares, por lo que decidió investigar cómo se hace un balón y encontró la siguiente información:
Justifiquemos ahora la fórmula para el área de polígonos regulares.
La superficie de un balón de futbol
b. Tracen ocho triángulos isósceles, cada uno debe medir 5 cm de base y 6 cm de altura. Superpón los triángulos, como se muestra, para construir un octágono.
En algunos balones de futbol, sus caras, están formadas por polígonos regulares. A este cuerpo geométrico se le llama icosaedrotruncado . El balón, al ser inflado, toma la forma esférica. El volumen del poliedro corresponde a 86.74% del volumen de una esfera y al ser inflado aumenta hasta alcanzar un poco más de 95%, e incluso puede rebasarlo.
c. Calcula el área de uno de los triángulos que trazaste. A = •
a. Un balón se genera a partir del desarrollo plano que se muestra.
cm 2
Si se obtiene el área de un triángulo del octágono y se multiplica por 8, ¿se obtiene su área total? Registren sus argumentos en su cuaderno. Discutan cómo pueden determinar el área del octágono regular. Analicen lo que han realizado antes y expliciten sus ideas. Si tienen dudas, pidan apoyo al maestro.
Icosaedrotruncado
d. Ahora calculen el área de un heptágono regular que está formado por triángulos cuya base mide 7 cm y su altura, 7.26 cm. Área del heptágono =
cm 2
Un alumno realizó lo siguiente para justificar el cálculo del área de un heptágono regular. Desarrolloplano
Balón
•
¿Qué polígonos identificas?
•
¿Cuántos de estos polígonos constituyen un balón de futbol?
•
¿Cómo se obtiene el perímetro y el área de un polígono regular?
•
¿Cómo puedes saber cuánto material se requiere para hacer un balón?
10 apotema.
Esla distancia del centro de unpolígono regularal punto medio de uno de suslados.
b. Considera que los pentágonos miden 5 cm de lado y 3.45 cm de apotema y los hexágonos, 5 cm de lado y 4.33 cm de apotema. •
¿Cuál es el área total de los polígonos que conforman el balón de futbol?
Socializa tus respuestas y, con la guía del maestro, registra tus conclusiones.
e. Describan lo que hizo el alumno: •
En relación con el heptágono, ¿cuál es la medida de la base del rectángulo?
•
En relación con el rectángulo, ¿qué representa el apotema del heptágono?
¿Cuál es el área del rectángulo? La fórmula para calcular el área del heptágono regular es igual a multiplicar 7 por la medida de uno de los lados por el apotema y dividir el resultado entre 2. •
f. A partir de lo visto en el trazo, justifiquen lo anterior.
13
18
Lecciones Cada lección presenta las situaciones 5 didácticas convenientes para tratar de manera adecuada los contenidos. Título Las lecciones tienen un título relacionado 6 con el contenido. Contenido Se indica el eje, tema y contenido que se 7 trabajará en la lección. Inicio Se plantean problemas que se pueden 8 resolver al aplicar lo que conoces del tema que se estudia en cada lección.
Desarrollo A lo largo de la lección se diseñaron 9 actividades en las que tendrás oportunidad de explicitar tus ideas, probar distintos procedimientos para resolver las situaciones y desafíos matemáticos; así como validar aquellos procedimientos que son más eficientes que otros. Glosario Presenta definiciones de términos 10 matemáticos desconocidos que se mencionaron durante el desarrollo de la lección.
A los números como 12 y 2 o 35 y 53 , se les conoce como recíprocos, esto significa que al multiplicarse entre sí, el resultado es 1. 1 × 2 = 2 = 1 3 × 5 = 15 = 1 5 3 15 2 1 2 Dividir entre cierto número es lo mismo que multiplicar por su recíproco, es decir: 1 ÷ 1 = 1 × 3 = 3 2 3 2 1 2 Para dividir dos o más fracciones se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el producto se escribe en el numerador. Después se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, este producto es el denominador de la fracción resultante: 4 9 36 ÷ 29 = 46 × 6 × 2 = 12 = 3 b. Andrés quiere agregar al especiero una sección para cerillos. Para ello tiene una barra de madera de 5 1 pulg y quiere que las secciones tengan 3 de pulg. 2 4 Escribe la división que resuelve el problema:
11
•
Siguiendo este razonamiento, ¿en cuántos triángulos iguales se puede dividir un polígono regular de n lados?
•
•
¿Qué fórmula permite calcular su área? Si se calcula el área de cada triángulo de cualquier polígono regular, y se multiplica por el número de triángulos en que se dividió el polígono, ¿se obtiene su área? Justifiquen su respuesta.
Para calcular el área de un polígono regular se multiplica el perímetro (P) por el apotema ( a), y el resultado se divide entre dos.
h. Completen la tabla:
•
12
•
Escribe la multiplicación que resuelve el problema:
•
¿Cuántas secciones tendrá el espacio para los cerillos?
Comenten sus respuestas en clase y valídenlas con la dirección del maestro.
Polígono Medida de la base Medida del apotema o Número Área total regular de un triángulo altura del triángulo de triángulos del polígono Pentágono 4 cm 2.8 cm Hexágono 9 cm 7.8 cm Octágono 2 cm 2.4 cm Nonágono 3.5 cm 4.8 cm Decágono 5 cm 7.6 cm Polígono de l a n lados
La altura de la torre Latinoamericana 7. Resuelvan en equipo los problemas.
•
•
a. La Torre Latinoamericana, un edificio que se encuentra en la Ciudad de México, mide 181 3 metros. Tiene 44 niveles y 3 sótanos. La sostienen 361 pilotes de 34 1 metros 2 10 1 de longitud. Los tres últimos niveles albergan un mirador, que se encuentra a 139 10 metros sobre el nivel de la calle. Si la altura de la torre sin considerar los 3 sótanos es de 171 35 m, ¿qué altura tiene cada nivel? Si 9 7 m es la altura de los tres sótanos, ¿cuál es la altura de cada uno? 10
Figura compuesta Re En la figura, el segmento C mide 12 cm. • El perímetro de ABCF es de 80 cm. • El perímetro de BCG es de 48 cm. • El área de D FG es de 192 cm 2. • El perímetro de DG es de 41 cm. ¿Cuál es el perímetro y cuál es el área de la figura ABCDE ?
BurjDubai
2009 Dubai, Emiratos Árabes
CN Tower
1976
553 3 m 10
Toronto, Canadá
Taipei101
2004
7 508 10 m
Taipei, Taiwán
TorresPetronas
1996
452 3 10
14
to
1. Reúnete con un compañero y realicen lo que se pide.
b. La siguiente imagen muestra diversas construcciones en el mundo. Analicen la información que se muestra.
818 12 m
En grupo, validen sus resultados. Si hay dudas, busquen solucionarlas con la guía del maestro.
F
•
m
KualaLump ur, Malasia
TorreSears
TorreJinMao
441 9 m
420 3 m
Chicago, EUA
Shangai, China
1973
10
1999
5
EmpireState
1931
3 81 26 m
NuevaYork, EUA
13 Visita lossiguientes recursos: Fórmulasy perímetro vela.sep.gob.mx/ index.php?option= com_wrapper&view= wrapper&Itemid=60 Justificaciónde las fórmulasdel área y perímetro de figuras geométricas vela.sep.gob.mx/ index.php?option= com_wrapper&view= wrapper&Itemid=60 Enesossitiospodrás practicar ejercicios similaresa los realizadosenesta lección.Después compartansus ideas enclase, ysi hay dudas,pideapoyo a tumaestro.
TorreEiffel
1889
2
324 10 m
París, Francia
12
Conceptos y procedimientos En las lecciones se incluyen definiciones, 11 procedimientos y explicaciones para que enriquezcas el trabajo en clase y reafirmes o elabores conclusiones. Socialización Al final de cada actividad, podrás 12 confrontar tus ideas, escuchar puntos de vista, y gradualmente aprenderás a redactar conclusiones como producto del debate escolar. Con el trabajo diario podrás comunicar de manera clara tus argumentos matemáticos y validarlos en la clase.
13
Apoyo tecnológico En esta sección se sugieren páginas 13 electrónicas donde tendrás la oportunidad de ampliar tus conocimientos respecto a los contenidos estudiados. La sección puede trabajarse fuera del aula escolar, por lo cual es necesario que tengas acceso a una computadora con Internet. Reto Cada lección cierra con un reto. En este se
14 plantean diversas situaciones, en las que
se ponen a prueba los conocimientos adquiridos.
Conoce Secciones
Parasabermás
Habilidadesdigitales
15
16
Las encuestas Las encuestas sirven para conocer los gustos, los hábitos, las preferencias y las necesidades de una determinada población o grupo de personas. Pero llevarlas a cabo no es una tarea fácil. Al planear una encuesta es importante tener claro qué información se necesita obtener y analizar, ya que los datos que se recopilan dependen de la edad, el nivel socioeconómico, el sexo, el lugar de residencia y otras características de los encuestados.
1. Lean lo siguiente y comenten en grupo. Después, contesten las preguntas.
Construcción de circunferencias
Elfutbol esun deportemuypracticadoennuestro país,porhombresypormujeres.
¿Qué les gusta hacer en su tiempo libre? ¿Hacen ejercicio o practican algún deporte? Algunos de los deportes más populares en México son f utbol, beisbol, basquetbol, volibol, natación y ciclismo.
1. De manera individual, realiza lo que se indica. Ahora, utilizarás Geogebra para resolver problemas que impliquen la construcción de círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.
a. Comenten en clase qué actividades deportivas les gusta hacer. b. Diseñen una encuesta en la que incluyan las actividades deportivas más populares. Aplíquenla a varios alumnos de su escuela. Tengan cuidado de no encuestar a la misma persona dos veces. Registren las respuestas en el cuaderno y clasifiquen los resultados considerando las preferencias de mujeres y hombres por separado. •
¿Qué deporte prefieren o practican las mujeres?
•
¿Qué deporte prefieren o practican los hombres?
•
¿Qué deporte es el menos practicado en general?
•
a. Abre en tu computadora una hoja de Geogebra. Cierra la Vistaalgebraica y activa el comando Herramientas de vista y edición; ya estando ahí, utiliza la función Desplazavistagráfica para mover los ejes de manera tal que queden en la parte inferior izquierda de tu pantalla. Usa esta función cuantas veces lo consideres necesario. Activa la herramienta Cuadrícula del comando Vista. b. Da clic en el ícono
c. Completen la tabla con los resultados obtenidos en su encuesta.
• •
Hombres
Mujeres •
Deporte más practicado Porcentaje •
•
Calculen el porcentaje de los demás deportes practicados en su escuela. ¿Hay deportes con el mismo porcentaje?
•
•
Discutan en grupo a qué se deberá la preferencia de un deporte sobre otro. Consideren factores como costo, tiempo, etcétera. Escriban sus conclusiones con ayuda del maestro.
Con la herramienta
que se , oculta los puntos B y
C que se encuentran sobre la circunferencia.
274
Para saber más Esta sección se diseñó pensando en un 15 conjunto de actividades que te permitirán ir más allá de lo estudiado en las lecciones, ya que buscan aplicar las herramientas matemáticas en la solución de problemas sociales y ambientales, además de profundizar en el estudio del álgebra, de las formas geométricas y de la representación de la información. Para resolver las actividades de esta sección, pondrás en juego lo aprendido en el bloque, con la intención de que integres saberes al resolver los problemas. Las actividades retoman contextos interesantes como el derrame de petróleo, las campañas 8
circunferencia tal y como se muestra en la imagen 1. ¿Qué coordenadas corresponden a los puntos A, B y C? ¿Cómo decidiste la posición de los puntos B y C al usar la herramienta Circunferencia dados Tres de sus Puntos ? Con la herramienta empleada, Circunferencia dados Tres de sus Puntos, ¿uno de ellos puede ser su centro? Explica. Considera dos de los tres puntos que se usan para construir la circunferencia con la herramienta anterior: al unirlos, ¿pueden ser el diámetro de la circunferencia? El segmento AC, ¿a qué elemento de la circunferencia corresponde? despliega al dar clic en el ícono
Imagen1 27
y, con la herramienta , construye una
publicitarias, etcétera. En cada bloque se aborda un tema diferente.
Habilidades digitales En esta sección se presentan actividades 16 que deberás realizar empleando algún programa de geometría dinámica o la hoja electrónica de cálculo. De esta manera observarás cómo la tecnología puede facilitar las tareas matemáticas. Su principal objetivo es proporcionarte elementos que apoyen tu aprendizaje, tus competencias para la vida y el desarrollo de habilidades fundamentales que demanda la sociedad del conocimiento.
17
Leeenvoz altaeltextodándolela entonaciónadecuada.Conapoyodetu profesorode algúnfamiliar mideladuraciónde tu lectura.
El secreto de la máquina de jugar al ajedrez 40
¡No es broma! ¡En cierta época existieron máquinas automáticas de ajedrez! Pero, ¿cómo concebir semejantes aparatos si el número de combinaciones de piezas en el tablero de ajedrez es prácticamentein�nito?
83
Se trata de un aparato inventado por el mecánico húngaro Wolfgang von Kempelen (17341804), que gozó de gran popularidad; lo presentó en las cortes austriaca y rusa y después hizo exhibiciones públicas en París y Londres.
118
Napoleón I jugó contra esta máquina creyendo que se enfrentaba en verdad a ella. A mediados del siglo XX, el célebre aparato fue a parar a América, pero se quemó en un incendio en Filadel�a.
218
La fama de otras máquinas fue menos ruidosa. No obstante, ni siquiera en tiempos posteriores se perdió la fe en la existencia de tales aparatos. En realidad, ni una máquina de ajedrez actuaba automáticamente. En su interior se ocultaba un adiestrado ajedrecista que movía las piezas. Este seudoautomático lo formaba un voluminoso cajón en cuyo interior había un complejo mecanismo.
250
El cajón tenía un tablero de ajedrez con piezas que movía la mano de un gran muñeco. Antes de empezar el juego se permitía al público cerciorarse de que en el cajón no había más que las piezas del mecanismo. Sin embargo, en ese compartimento quedaba sitio su�ciente para ocultar a un hombre de baja estatura. Ese papel fue desempeñado en su tiempo por los célebres ajedrecistas Johann Allgaier y William Lewis.
277
Es probable que mientras se mostraban sucesivamente al público diferentes erentesdepartamentos del cajón, la persona escondida pasara con sigilo de un lugar a otro trosin sinser servista. vista.
352
En la actualidad ad hay máquinas que “juegan” ajedrez. Se trata de los juegos en encomputadora computadora quepermitenefectuarmiles efectuarmilesde deoperacionespor operacionesporsegundo.Pero,¿cómo segundo.Pero,¿cómopueden“jugar”ajedrez pueden“ j n“jugar”ajedrez gar”ajedrez estas máquinas? s? Esto es posible gracias aa la la programación programación que que se se realiza, realiza, es es decir, decir al diseño de complejos omplejos algoritmos con con operaciones operaciones siguiendo siguiendo un unesquema esquema previo y de acuerdo uerdocon conun unprograma programaelaborado. elaborado.El El“programa” “programa”de deajedrez ajedre z lo confeccionan n los matemáticos con conbas baseeen determinada táctica de juego. juego .
2. Selecciona la gráfica que no representa la información de la tabla. Idioma Chino Inglés Hindi Español Ruso Árabe
Porcentaje de hablantes 23.6 11.3 8.2 6.9 4.7 4.1
Total de hablantes (en millones) 1 021 573 418 352 242 209
Porcentaje de hablantes Bengalí 3.8 Portugués 3.5 Indonesio 3.3 Francés 2.5 Japonés 2.4 Alemán 2.1 Idioma
Total de hablantes (en millones) 196 182 175 131 125 101
Losidiomas máshablados enel mundo, Fuente: netumax.wordpress.com/2006/10/09/los-idiomas-mas-hablados-en-el-mundo/
Análisis de información
÷
Elige la opción con la respuesta correcta.
A) utilizada para comparar frecuencias absolutas o relativas. B) usada para dar valores numéricos exactos. C) empleada en estadística para describir fenómenos no comparables. D) empleada para numerar la población de especies en el mundo.
Paracalcular lar lacantidadde palabrasque palabrasquelees lees por minuto,completaestaoperación. minuto,completaestaoperación.
Total de palabras labras leídas
19
1. Las gráficas de barras son una herramienta...
Tallerdematemáticas 18
Velocidad
EvaluacióntipoPISA
Tiempo eennsegundos segundos por por minuto minuto A lo largo de la historia,Palabras la humanidad ha generado diversos códigosy símbolospara repre× 60 sentarycomunicarinformación. Lasgráficassonun ejemplode ello,pueslas utilizamospara exponer números, variables y cifras, así comopara presentar datos demaneraordenada. Las gráficasse usanen distintoscamposdel conocimiento. Porejemplo, enlascienciassociales permitencompararyanalizarlos datosobtenidosenun censo, como la cantidad de mujeresy de hombres, el nivel de alfabetismoo de mortandadinfantil, etcétera, para con base en estos datosconocerlascaracterísticasdela población.
A)
B)
C)
D)
M1-
80
El propósito de este talleres que analicesinformación contenida entablasy gráficas, yque conbase enella resuelvasdistintos problemas.
1. Analizala gráficay responde. La gráfica muestra la cotización mensual promedio del dólarestadounidense enpesos mexicanos. Corresponde al primer semestre delaño.
11.2 r a l ó
d r o p s o s e P
11.0 10.8 10.6 10.4 10.2
Enero Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
a. ¿Enqué mes o mesesla cotizacióndel dólarestuvo entre $10.4 y$10.6? b. ¿Enqué mes o mesesla cotizacióndel dólarestuvo entre $10.8 y$11.0? c. ¿Enqué mes la cotizaciónfue másalta? d. ¿Enqué mesfue másbaja? e. Conbase enlos datosanteriores, estimael valordel dólaren el mesde julio.
284
2. Analizala gráficay completalatabla. Luegorespondelaspreguntas. 11.2 r a l ó d r o p s o s e P
11.0 10.8 10.6 10.4 10.2 Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
282
Tu competencia lectora Esta sección incluye un texto relacionado con 17 alguno de los contenidos trabajados dentro del bloque, a partir de la lectura podrás ejercitar tus habilidades relacionadas con la velocidad, fluidez y comprensión lectora. Taller de matemáticas En esta sección se presentan actividades 18 que te ayudarán a desarrollar habilidades como calcular, medir, imaginar, comunicar, estimar, deducir, formular hipótesis, generalizar, entre otras. Evaluación tipo PISA Al final del bloque se presenta una serie de 19 actividades que debes resolver de manera
individual, las cuales te permitirán poner en práctica lo que aprendiste en el bloque. Se proponen preguntas abiertas y de opción múltiple, además de problemas, todos relacionados con los aprendizajes esperados. En ellas se sigue el modelo de PISA, que significa Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes. Al final de cada evaluación encontrarás el apartado "Valoro mi avance". Los indicadores te permitirán evaluar tus avances respecto a los aprendizajes esperados, tus habilidades y tus actitudes.
9
Conoce Infografía Esta sección se presenta en una doble página con fotografías e imágenes atractivas en las que se 20 aborda un tema de interés general, ya sea de música, de arquitectura, de deportes o de ciencias, en cuyo texto hallarás contenidos matemáticos que trabajaste en el bloque. Revísala bien porque te puede dar ideas de cómo organizar información para una presentación o un cartel. 20
La rueda de la fortuna es una atracción de los parques de diversiones y ferias. Se trata de una rueda colocada de manera vertical, con cabinas o canastillas para pasajeros. La rueda gira sobre su propio eje, y permite que los pasajeros suban y bajen.
21
Singapore Flyer La rueda mirador, inaugurada en febrero de 2008, tiene un diámetro de 150 m y ofrece una vista panorámica de hasta 45 kilómetros de distancia. Dejó de ser la más alta del mundo cuando se inauguró la Gran Rueda de Pekín en 2010.
r e y l F e r o p a g n i S e d a í s e t r o c o t o F
Armado Un tipo de armado de rueda es el siguiente:
1
Se construyen la base y los soportes primarios que se utilizarán para colocar las secciones de la rueda.
La geometría de la rueda 2
Corona circular
Diámetro Radio
Se agregan pilares adicionales de soporte y se construye la rueda sección por sección.
3 El ingeniero in estadounidense George Washington a Gale Ferris diseñó y construyó una rueda mirador de acero con para la Exposición Mundial de Chicago pa de 1893, basada en la estructura de d las ruedas de bicicleta. Su diámetro era de 76.2 m y su circunferencia de 239.38 m. Ha habido ruedas más grandes, pero ninguna ha igualado la capacidad de la Ferris. Contaba con 36 cabinas de madera con una capacidad de 60 personas cada una.
El proceso se repite hasta completar la rueda y una vez hecho esto, los soportes primarios y adicionales se eliminan y dejan la corona unida al centro por cables. Empire State, Nueva York
Las ruedas más grandes
320 m
Ventanas que minimizan el paso del calor.
El éxito de la rueda Ojo de Londres provocó una demanda de ruedas mirador y, así como sucedió con los rascacielos, comenzó la competencia por construir la más grande. Rueda Ferris Altura total Pasajeros Duración de giro
1893 80.47 m 2160 20 min
Ojo de Londres Altura total Pasajeros Duración de giro
1999 135.02 m 800 30 min
Singapore Flyer Altura total Pasajeros Duración degiro
2008 165 m 784 37 min
Gran Rueda dePekín Altura total Pasajero s Duración de giro
2010 207.87 m 1 920 30 min
338
Realidad aumentada 21 En las secciones Tu competencia lectora e Infografía encontrarás el logotipo (RA), que significa Realidad Aumentada, la cual te permitirá acceder a recursos multimedia en Internet que enriquecen el contenido del texto. Para ello deberás contar con un dispositivo móvil, como un teléfono inteligente o una tableta, conectado a la red y que tenga una cámara. Sigue estas instrucciones, de acuerdo con el sistema operativo del aparato que emplearás. Android®
1. Verifica que la versión del sistema operativo sea 2.2 o superior. 2. Cerciórate de que el dispositivo se encuentre conectado a Internet, ya sea por Wi-Fi, 3G o 4G. 3. Despliega en tu dispositivo la tienda de aplicaciones Play Store de Google®.
10
Rueda de la fortuna o rueda mirador Las ruedas de la fortuna son pequeñas y tienen canastillas o góndolas para los pasajeros. Las ruedas mirador son construcciones mayores que giran a menor velocidad y tienen cabinas cerradas, lo que permite que suban más pasajeros.
4m
7 m m 339
4. En la celda Buscar o Search escribe el texto Layar® y oprime el botón para realizar la búsqueda. 5. Descarga la aplicación Layar®, que es gratuita en el dispositivo; para ello pulsa el botón Instalar o Install. Asegúrate de que haya espacio suficiente en el aparato. 6. Busca donde se instaló la aplicación y ábrela. 7. Donde se encuentra el logotipo (RA), ubica la cámara sobre una página a la vez, espera a que enfoque y pulsa Scan. Verás que aparecen un par de círculos discontinuos y empiezan a girar. A continuación aparecerán sobre la página unos iconos. 8. Pulsa con el dedo sobre alguno de los iconos para que se despliegue el contenido multimedia en el dispositivo.
Presentación ......................................................................
3
Lección 3 Operaciones con fracciones
Conoce Todos Juntos Oro ............................................
38
4
Lección 4 Sucesiones con números y figuras
44
Dosificación ........................................................................ 16
Lección 5 Evaluación diagnóstica ................................................. 20
Fórmulas y literales
50
Lección 6 Triángulos y cuadriláteros
56
Lección 7 Rectas notables de un triángulo
64
Lección 8 Problemas de reparto proporcional
72
Lección 9 Situaciones donde interviene el azar
78
Habilidades digitales ........................................................ 84 Para saber más .................................................................... 88 Tu competencia lectora .................................................... 90 Taller de matemáticas ....................................................... 92 Evaluación tipo PISA .......................................................... 96
Bloque 1
24
Lección 1 Conversión de números fraccionarios y decimales
26
Lección 2 Fracciones y decimales en la recta numérica
12
32
Infografía: Tres bolas y dos strikes .............................. 98
Lección 16 Proporcionalidad directa
140
Habilidades digitales ........................................................ 146 Para saber más .................................................................... 150 Tu competencia lectora .................................................... 152 Taller de matemáticas ....................................................... 154 Evaluación tipo PISA .......................................................... 158 Infografía: Como recién salido del horno ................... 160
Bloque 2
100
Lección 10 Criterios de divisibilidad
102
Lección 11 Divisores y múltiplos
108
Lección 12 Problemas con fracciones y decimales
116
Lección 13 Multiplicación y división con fracciones
122
Lección 14 La mediatriz y la bisectriz
128
Lección 15 Trazo de polígonos regulares
134
Bloque 3
162
Lección 17 Multiplicación con números decimales
164 1
Índice Lección 18 División con números decimales
170
Lección 19 Ecuaciones de primer grado
176
Lección 20 Trazo de polígonos regulares y circunferencia
182
Lección 21 Áreas y perímetros de polígonos regulares
188
Lección 22 Factor constante de proporcionalidad
194
Lección 23 Experiencia aleatoria y tablas de frecuencias
200
Lección 24 Tablas de frecuencias
206
Bloque 4
226
Habilidades digitales ........................................................ 212 Para saber más .................................................................... 216
Lección 25 Tu competencia lectora .................................................... 218
Números con signo
Taller de matemáticas ....................................................... 220
Lección 26 Trazo de circunferencias
228
236
Evaluación tipo PISA .......................................................... 222
Lección 27 Infografía: Dados musicales .......................................... 224
La circunferencia y el círculo
244
Lección 28 La regla de tres
250
Lección 29 El factor inverso de proporcionalidad
254
Lección 30 Resolución de problemas de conteo
14
260
Lección 31 Gráficas de barras y gráficas circulares
Lección 33 266
Habilidades digitales ........................................................ 274
Notación científica
298
Lección 34 Potenciación y radicación
304
Para saber más .................................................................... 278
Lección 35 Tu competencia lectora .................................................... 280
Regla de una sucesión
Taller de matemáticas ....................................................... 282
Lección 36 Problemas de círculos y circunferencias
310
316
Evaluación tipo PISA .......................................................... 284
Lección 37 Infografía: Ventajas del uso de la bicicleta ............... 286
Proporcionalidad múltiple
320
Habilidades digitales ........................................................ 326 Para saber más .................................................................... 330 Tu competencia lectora .................................................... 332 Taller de matemáticas ....................................................... 334 Evaluación tipo PISA .......................................................... 336 Infografía: Una visión de altura ..................................... 338 Fuentes de información Para el estudiante
340
Para el docente
341
Consultadas
342
Una vida con valores ......................................................... 343
Bloque 5
288
Lección 32 Adición y sustracción de números enteros
290 1
Dosificación Semana sugerida
Calendarización
Aprendizajes esperados
Eje
Tema
Bloque 1 1
Evaluación diagnóstica
2
Números y sistemas de numeración
3 4 5
Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.
Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.
Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.
6 7 8
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Patrones y ecuaciones
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
9
Problemas aditivos
Figuras y cuerpos Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad
Evaluación tipo PISA
Bloque 2 10 11
12 13
14
Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.
15
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas aditivos Problemas multiplicativos
Forma, espacio y medida Manejo de la información
16
Números y sistemas de numeración
Figuras y cuerpos Medida Proporcionalidad y funciones
Evaluación tipo PISA
Bloque 3 17 18
19
16
Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
Patrones y ecuaciones
Contenido
Lección
Páginas
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
1. Conversión de números fraccionarios y decimales
26-31
Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
2. Fracciones y decimales en la recta numérica
32-37
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
3. Operaciones con fracciones
38-43
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.
4. Sucesiones con números y figuras
44-49
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.
5. Fórmulas y literales
50-55
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
6. Triángulos y cuadriláteros
56-63
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, media nas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
7. Rectas notable s de un triángulo
64-71
Resolución de problemas de reparto proporcional.
8. Problemas de reparto proporcional
72-77
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
9. Situaciones donde interviene el azar
78-83 96-97
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.
Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
10. Criterios de divisibilidad
102-107
11. Divisores y múltiplos
108-115
12. Problemas con fracciones y decimales
116-121
13. Multiplicación y división con fracciones
122-127
14. La mediatriz y la bisectriz
128-133
15. Trazo de polígonos regulares
134-139
16. Proporcionalidad directa
140-145 158-159
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
17. Multi plicación con números deci males
164-169
Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
18. División con números decimales
170-175
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
19. Ecuaciones de primer grado
176-181
1
Semana sugerida
Calendarización
20
Aprendizajes esperados
21
22 23 24
Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales. Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.
Eje Forma, espacio y medida
Tema Figuras y cuerpos Medida Proporcionalidad y funciones
Manejo de la información
Nociones de probabilidad Análisis y representación de datos
Evaluación tipo PISA
Bloque 4 Sentido numérico y pensamiento algebraico
25
26
27
28
29
Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas.
Forma, espacio y medida
Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información.
Números y sistemas de numeración Figuras y cuerpos
Medida
Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad Manejo de la información
30
Análisis y representación de datos 31 Evaluación tipo PISA
Bloque 5 32
Problemas aditivos
33 34
35
36
37 Evaluación tipo PISA
18
Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales. Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
Patrones y ecuaciones Forma, espacio y medida
Medida
Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones
Contenido
Lección
Páginas
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.
20. Trazo de polígonos regulares y circunferencia
182-187
Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.
21. Áreas y perímetros de polígonos regulares
188-193
Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
2 2. Factor constante de proporcionalidad
194-199
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
23.Experiencia aleatoria y tablas de frecuencias
200-205
Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
24. Tablas de frecuencias
206-211
222-223
Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.
25. Números con signo
228-235
Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.
26. Trazo de circunferencias
236-243
Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.
27. La circunferencia y el círculo
244-249
Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.
28. La regla de tres
250-253
Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.
29. El factor inverso de proporcionalidad
254-259
Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
3 0. Resolución de problemas de conteo
260-265
Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.
31. Gráficas de barras y gráficas circulares
266-273 284-285
Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
32. Adición y sustracción de números enteros
290-297
Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
33. Notación científica
298-303
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
34. Potenciación y radicación
304-309
Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.
35. Regla de una sucesión
310-315
Uso de la s fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.
36. Problemas de círculos y circunferencias
316-319
Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
37. Proporcionalidad múltiple
320-325 336-337
1
Evaluacióndiagnóstica
partículas ultrafinas.
Son partículas en suspensión presentes en el aire, cuyo diámetro aerodinámico es menor a 0.1 µm.
micrómetro o micra (µm).
Es una unidad de longitud equivalente a una millonésima parte de un metro.
Antes de iniciar el estudio de los contenidos matemáticos que se proponen en este grado escolar es conveniente que resuelvas la evaluación diagnóstica para que, con base en los resultados que obtengas, midas el nivel de conocimientos que tienes de la asignatura y junto con tu profesor puedas decidir qué hacer en caso de que requieras apoyo. ›
Lee y responde.
El Genanoplus es un purificador de aire que se usa para descontaminar equipos de cómputo, edificios y medios de transporte. Este purificador filtra partículas de hasta 0.1 µm o 0.000001 m empleando una presión de aire 80% inferior a la de los sistemas tradicionales de descontaminación. La siguiente tabla muestra las partículas ultrafinas que elimina y sus dimensiones. 1. Analiza la tabla y responde. a. Si el Genanoplus filtra partículas de 0.000001 m, ¿cuáles de las partículas
mencionadas están debajo de este dato? Explica.
b. ¿Cuál partícula tiene el menor tamaño? Justifica tu respuesta.
Partícula ultrafina
Dimensiones (mm)
Virus n
0.0024 mm
Virus de la fiebre aftosa
0.0030 mm
Filovirus
0.0014 mm
Cápside
0.0080 mm
Partícula de hollín
0.010 mm
Esporas
0.003 mm
respuesta.
Hongo o levadura
0.007 mm
0.003 es mayor que 0.0014 y menor que 0.007.
c. ¿Cuál es la partícula más grande?
Escribe con letra el número que corresponde a su medida.
d. Analiza si la siguiente afirmación es verdadera. Argumenta tu
2. Se hizo una prueba de calidad del filtro en diez lugares distintos y se registró el tiempo en que descontamina. Observa la tabla y responde. Tiempo (s) Espacio
356 1
65 2
554 3
200 4
59 5
124 6
800 7
215 8
95 9
440 10
Tiempo (min) a. Convierte los tiempos registrados en minutos, anótalos en la tabla y después ordénalos
de menor a mayor. Explica cómo lo hiciste. 3. En una prueba de laboratorio, Genanoplus eliminó 100% de las partículas ultrafinas. La tabla muestra la estimación de cuántas partículas de cada tipo fueron eliminadas. Complétala y responde. Partículas ultrafinas
Virus eliminados
Porcentaje
30%
Esporas Hongos
10%
Otros
Expresión en fracción
Número de partículas identificadas
3 10 1 5 1 10 400 1000
200 000 000
a. Escribe el total de partículas ultrafinas eliminadas en la prueba. b. Se sabe que una cuarta parte de las partículas del rubro “Otros” son levaduras.
¿Cuántas levaduras hay? Escribe el número con letra. c. Ordena de menor a mayor el porcentaje de esporas, de hongos y de levaduras que
fueron eliminadas. 4. La tabla muestra los datos recabados por el Inegi en 2012 respecto del rubro “Sociedad de la información”. Analízalos y haz lo que se pide. Indicador
Hogares con computadora Hogares con conexión a Internet Hogares con televisión Hogares con televisión de paga Hogares con servicio telefónico
2008
Porcentajes 2009
2010
25.7 13.5 93.2 23.9 75.5
26.8 18.4 95.1 27.2 79.3
29.8 22.2 94.7 26.7 80.6
Promedio
a. Obtén el promedio de cada indicador. Después ordena los indicadores de menor a
mayor. b. De acuerdo con los datos que obtuviste, ¿a qué medio tienen acceso menos hogares? c. Explica por qué en los datos no hay moda.
21
5. Analiza los datos y responde. a. ¿ En qué año menos hogares contaban con televisión? b. En enero de 2012, 234 de cada 250 hogares contaban Hogares con televisión en México Año
Razón
2008 2009 2010
4 de cada 7 12 de cada 14 27 de cada 31
con televisión de paga. En agosto, 5 de cada 7 contaban con ese servicio, y a finales de noviembre, 128 de cada 142 lo contrataron. ¿En qué mes hubo más hogares con televisión de paga? Explica.
2 6. De 4 980 hogares que cuentan con computadora, 1 tienen computadora portátil y 5 3 tienen equipo de escritorio. Se desconoce qué tipo de computadora tiene el resto. a. ¿En cuántos hogares hay computadora portátil?
¿Cuántos tienen equipo de
escritorio? b. De los que poseen computadora portátil, 3 partes tienen de la marca A y 2 de la
5 8 marca B. El resto tiene de la marca C. ¿En cuántos hogares hay computadoras de la marca C?
1
c. De los que tienen equipo de escritorio, 6 usa la marca A y 0.25 la marca B. El resto usa
la marca C. ¿Cuántos equipos hay de cada marca? 7. Escribe falso (F) o verdadero (V) según corresponda. Después corrige los enunciados falsos para que sean verdaderos.
Al desplazar un hexágono sobre un eje vertical que pasa por su centro y unir los vértices correspondientes se forma un cuerpo llamado pirámide hexagonal. Al desplazar sobre un eje vertical un octágono que se va reduciendo proporcionalmente en tamaño hasta convertirse en un punto, se forma un cuerpo conocido como prisma octagonal. Un prisma tiene dos bases iguales y sus caras laterales son rectángulos, mientras que las pirámides tienen solo una base y sus caras laterales son triángulos. 8. Selecciona la opción correcta. Recuerda que una pulgada equivale a 2. 24 cm y un pie es igual a 30. 48 cm.
Joshua es carpintero y en su último trabajo le sobraron 15 tablones de madera con un grosor de 1 12 pulgadas cada uno. Al momento de apilarlos en un estante, se dio cuenta de que este mide 45.72 cm o 1 1 pies. ¿Los tablones caben en el estante? 2 A) Sí, porque al apilarlos miden menos de dos pies. B) Sí, porque al apilarlos miden 38.1 cm. C) No, ya que al apilarlos miden 57.15 cm. D) No, porque para que cupieran el estante debería de medir 15 cm más.
9. Analiza la figura, etiqueta sus vértices y contesta lo que se pide.
y
a. Los pares ordenados (1, 5), (8, 5), (1, 9) y (8, 9)
10
corresponden a los vértices del rectángulo. ¿Cuáles pares
9
corresponden al largo del rectángulo?
8 7
¿Cuáles al ancho?
6 5
b. Si el rectángulo se moviera hacia abajo dos unidades,
4
¿cuáles serían los pares ordenados que corresponderían a
3 2
sus vértices?
1
c. Si se tienen los pares ordenados (1, 2) y (2, 1), ¿ambos
0 1
corresponden al mismo punto del plano? Explica.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
d. Escribe varios puntos ordenados cuyo valor de la abscisa
sea cero. Localiza esos puntos en el plano. Únelos y describe cómo es la recta que se forma. e. Escribe varios puntos ordenados cuyo valor de la ordenada sea cero.
Localízalos en el plano. Después únelos y describe cómo es la recta que se forma. f. Escribe los pares ordenados que permitan trazar una recta paralela al eje horizontal.
10. A la derecha se muestra el mapa del Distrito Federal. Obsérvalo y haz lo que se indica. a. Localiza los puntos señalados en
el mapa y calcula la distancia real aproximada entre las siguientes delegaciones. Escribe tus resultados en kilómetros. De Magdalena Contreras a Tláhuac: De Álvaro Obregón a Azcapotzalco:
Distrito Federal 99º 00’
99º 15’
MÉXICO 19º 30’
Gustavo Azcapotzalco A. Madero Miguel Hidalgo Venustiano Carranza Cuauhtémoc Benito Iztacalco Juárez MÉXICO Cuajimalpa Álvaro Iztapalapa de Morelos Obregón Coyoacán Tláhuac Magdalena 19º 15’ Xochimilco Contreras Tlalpan Milpa Alta
MORELOS Escala 1 : 1 000 000 0
10
20 km
Fuente: Inegi, 2013.
23
1
Sembradío de trigo. El reparto de una
cosecha de este cereal dio origen a uno de los problemas matemáticos conocidos más antiguo.
24
Aprendizajes esperados • Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. • Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. • Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.
25
1
Conversión de números fraccionarios y decimales Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración Contenido: Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal
y viceversa
El problema del redondeo 1. Lee con un compañero la información y realicen lo que se indica.
Elisa trabaja de cajera en un supermercado. Cada vez que un cliente realiza un pago, ella pregunta: “¿Desea redondear su cuenta?”. La mayoría de los clientes acepta sin cuestionarla. a. Discutan el significado del término “redondeo”. b. Comenten acerca de los números que han estudiado en la escuela, escriban un ejemplo
de una situación en la que se pueda redondear un número decimal y la utilidad que tiene en el contexto. c. Analicen la información contenida en el ticket que se muestra y respondan. • ¿Qué tipo de números se redondean? ¿A qué cantidad se redondea el total? • ¿Por qué es importante redondear en este contexto? • ¿Qué cantidad representa el número 0.01? • ¿Y el número 0.53? • ¿Podrían representar las cantidades anteriores como fracción? Justifiquen su respuesta. d. Supongan que un cliente compra un artículo de $9.95. Si acepta el redondeo, ¿cuántos
centavos se redondearían? Escriban su respuesta con número. • Representen como fracción el número anterior. • ¿En qué situaciones emplean números decimales? • Escriban un ejemplo en el cual es mejor usar números fraccionarios. • ¿Qué consideran para usar un número fraccionario o un número decimal? • ¿Todas las fracciones pueden escribirse como número decimal? ¿Todos los números decimales tiene una escritura en número fraccionario? Justifiquen sus respuestas.
›
26
Compartan sus respuestas con el resto del grupo. Identifiquen las dificultades y comuniquen cómo las resolvieron.
Fracciones decimales 2. Retomen el problema del ticket de la actividad anterior y realicen lo que se indica.
• ¿El número que representa el costo del refresco también puede escribirse como 404 ? 100 Justifiquen su respuesta. a. Expliquen qué hicieron en la actividad 1 para convertir las cantidades de número decimal
a fracción.
›
Formen equipos y comparen su estrategia. b. Juntos, elijan la estrategia que les parezca mejor y conviertan las otras cantidades del ticket
que tienen una parte decimal en fracciones decimales.
• 13.04 =
• 6.95 =
27 en número decimal? • ¿Cómo convertirían 100 c. Observen la información del cheque y contesten.
• ¿Qué relación tienen los números encerrados con rojo? • ¿Por qué en el cheque se usan dos tipos de números para expresar la misma cantidad? • Si en el banco se aplica el redondeo, ¿cuánto cobrará Justino? • Conviertan el número decimal 347.34 a su expresión fraccionaria. ›
Compartan sus respuestas con el resto del grupo. Identifiquen las dificultades y comuniquen la manera en que las resolvieron.
Las fracciones con las que hemos trabajado se conocen como fracciones decimales, porque su denominador es una potencia de 10 (10, 100, 1 000, etc.). Los números decimales y las fracciones decimales pueden representar los mismos valores. Por ejemplo, 0.01 y 1 son 100 expresiones equivalentes, es decir, tienen el mismo valor. 3. Investiga lo que se pide a continuación.
• En algunas naciones europeas se usa una coma en lugar del punto decimal, indaga el nombre de algunos países que la usen. • El origen y significado de la palabra decimal. • Explica el significado de la expresión fracción decimal. ›
Comparte tu trabajo con el grupo y valídalo con el maestro. 2
De fracción a decimal y viceversa 4. Reúnete con un compañero para realizar las siguientes actividades. a. Escriban el número representado en la tabla como decimal y como fracción. Unidades Fracción
3
Número decimal
3
Punto Décimo Centésimo Milésimo Diezmilésimo decimal
• Como decimal:
•
1 10 0.1
3 100 0.03
2 1000 0.002
7 10000 0.0007
• Como fracción:
b. Discutan la afirmación: “Toda fracción decimal puede escribirse como número decimal”.
• Reflexionen. ¿Todas las fracciones tienen una escritura decimal? ¿Todo número decimal tiene una escritura en número fraccionario? ¿A través de qué procedimientos se puede hacer esta conversión? c. Para darles ideas que les permitan contestar lo anterior, lean la información. Después,
respondan en el cuaderno. David, un alumno de primero de secundaria, dice que toda fracción decimal puede escribirse como número decimal. El proceso es el siguiente: 67 : 10000 Para colocar el punto decimal, se cuentan hacia la izquierda, tantos lugares como ceros tenga el denominador, en este caso son cuatro: 10000 Por ejemplo, para la fracción
Se escribe el numerador: 67 En este caso el denominador tiene cuatro ceros por lo que se agregan dos ceros: .0067
La última cifra de la derecha tiene que ocupar el lugar del número que representa el denominador (décimos, centésimos, milésimos, etcétera). Por tanto, 67 = 0.0067, se lee “sesenta y siete diez milésimos”. 10000 Maru, compañera de David, mencionó que otra manera de convertir una fracción a número decimal, es dividir el numerador entre el denominador, como se muestra: 0.0067 El resultado es 0.0067 que representa a un número 67.0000 10000 decimal exacto porque tiene un número finito de cifras 7 0000 decimales. Pero esto no ocurre siempre así. 0 • Con el procedimiento de David, ¿se puede convertir cualquier tipo de número fraccionario a su expresión decimal? Justifiquen su respuesta. • Discutan, con el procedimiento de Maru, ¿se puede convertir cualquier tipo de número fraccionario a su expresión decimal? Justifiquen su respuesta. • ¿Qué significa que un número decimal sea exacto? • ¿Por qué Maru concluye su descripción con “esto no ocurre siempre así”? ›
28
Comenten sus respuestas en grupo. Si tienen dudas, extérnenlas y con la guía del maestro registren sus conclusiones.
5. Realiza las siguientes conversiones. Fracción
Número decimal
Fracción
7 10 67 100 12 1000 ›
Número decimal
4 8 12 60 48 1200
Comparte tus resultados y valídalos con la dirección del maestro. Explica el procedimiento empleado e indentifica ventajas y desventajas de cada uno.
Casos especiales 6. Resuelve de manera individual.
23 a. Convierte los números 40 33 y 12 a su expresión decimal. Utiliza el procedimiento de Maru y divide hasta obtener cuatro cifras en la parte decimal. • ¿El cociente de las divisiones fue exacto? ¿Qué crees que suceda si sigues dividiendo?
b. Realiza la conversión con la calculadora y escribe la expresión decimal obtenida.
Al convertir una fracción en número decimal, este puede ser exacto, es decir, el residuo debe ser igual a cero. Pero hay casos en los que al convertir una fracción a su expresión decimal el residuo se repite y, en consecuencia, el cociente tiene un número infinito. A estos números se les conoce como números decimales periódicos y se escriben con una línea sobre las cifras que se repiten. Por ejemplo: 40 = 1.212121..., se representa como 1.21 . En este caso, se trata de un decimal 33 periódico puro porque el periodo comienza inmediatamente después del punto decimal. Pero también existen los periódicos mixtos, caso en el cual el periodo no comienza inmediatamente después del punto decimal. Por ejemplo: 23 12 = 1.916666..., y se escribe una línea sobre los números en los que inicia el periodo: 1.916. En ambos casos el periodo puede repetirse en más de una cifra. c. Convierte las siguientes fracciones a número decimal y determina de qué tipo se trata:
exacto, periódico puro o periódico mixto. • 1 3
• 57
• 14 8
• 14 15
• Reflexiona. ¿Cómo podrías convertir un número decimal periódico a su representación fraccionaria? ›
Compara con tus compañeros tus respuestas. En caso de que haya diferencias, valídenlas con el maestro. 2
7. Escribe como número decimal, como fracción decimal o en ambas formas, los datos de las siguientes situaciones. Utiliza las unidades correspondientes en cada caso. a. El Vaticano está dentro de Roma, Italia, y es gobernado como un país independiente. Su
superficie mide 0.44 km2, por lo que es el país más pequeño del mundo. b. Matías tiene gripa. El doctor le recetó lo siguiente.
• Tomar 0.008 L de jarabe cada 8 horas. • Una tableta de medio gramo de antibiótico, cada 6 horas. • 1 L de suero cada hora. 10 Para practicar más ejercicios de este tipo, visita la página: www.disfrutalas matematicas.com/ ejercicios/print.php? w=1880&ID=12036
8. Busca en casa en el periódico o en una revista cinco números fraccionarios y exprésalos en el cuaderno como número decimal. Describe los usos dados a los números seleccionados y reflexiona acerca del porqué de su representación. No olvides comentar cuál es la fuente consultada.
De número decimal a fracción 9. Lee y resuelve.
Todos los números decimales tienen su equivalente en forma de fracción, la cual, en algunos casos, se puede simplificar como en los siguientes ejemplos: Recuerda que para simplificar una fracción el numerador y el denominador se dividen entre el mismo número. 175 = 175 ÷ 25 = 7 1.75 = 100 100 ÷ 25 4
0.85
=
85 85 ÷ 5 17 100 = 100 ÷ 5 = 20
a. Convierte los números decimales a fracción y simplifícalas.
• 0.24 = ›
• 3.1 =
• 3.478 =
• 0.501 =
Comenta tu procedimiento y valida las conversiones con la guía del maestro.
Para convertir un decimal periódico puro en fracción, se coloca como numerador el propio número, escrito sin el punto decimal menos la parte entera y el denominador se forma con tantos nueves como cifras decimales hay en el periodo, por ejemplo: – 1 1080 40 1.081 = 1081 999 = 999 = 37 Para convertir un número decimal periódico mixto, se coloca como numerador el propio número, escrito sin el punto decimal menos el número formado por la parte entera y las cifras decimales anteriores al periodo. El denominador tendrá tantos nueves como cifras hay en el periodo seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica. – 237 23508 653 0.23745 = 23745 99000 = 99000 = 2750 30
b. Reúnete con un compañero y conviertan los siguientes números decimales a su expre-
sión fraccionaria. Simplifiquen en los casos que sea posible. • 0.12 =
• 0.3784 =
• 1.872 =
• 0.245 =
• 0.81 =
• 0.00008 =
• 2.66 =
• 1.73 =
• 0.875 =
• 0.9090 =
c. Discutan y reflexionen el siguiente ejercicio.
• Conviertan a número fraccionario el siguiente número decimal: 0.9 = ›
Al concluir, compartan sus resultados al resto de la clase. Con la dirección del maestro validen sus resultados. Después, redacten sus conclusiones. Si hay dificultades, extérnenlas en la clase y busquen la manera de solucionarlas.
Como pudieron darse cuenta, expresar cualquier número decimal en forma de fracción, ayuda a simplificar su manejo y las operaciones entre los mismos.
Tablero de números decimales 1.
Reto
eúnanse en parejas o en equipo para realizar el siguiente juego.
La finalidad de este juego es construir el número de mayor valor posible. • Se puede jugar en parejas o en grupo de 4 o 5 jugadores. • Para jugarlo, cada participante elaborará 10 cartas con los dígitos del 0 al 9 y un tablero como el que se muestra: 0
•
Dinámica del juego:
• Por turnos, cada jugador toma sin ver una de sus tarjetas y escribe el número correspondiente en la casilla que prefiera de su tablero. El juego termina cuando todos los lugares en cada tablero estén llenos. • El jugador que logre formar el número de mayor valor gana el juego. • Un vez escrito un número no se puede borrar ni cambiar de lugar. Después de tomar una carta, ya no se puede usar en el mismo juego. a. Al final, registren en el cuaderno los números decimales que se formaron y es-
críbanlos como número fraccionario. b. Después, elaboren un tablero en el que consideren una casilla para las unidades y repitan el juego. No olviden registrar los números y escribirlos como fracción.
En las siguientes páginas encontrarás información interesante sobre lo estudiado. www.disfrutalas matematicas.com/ numeros/convirtiendo -fraccionesdecimales.html www.disfrutalas matematicas.com/ numeros/convirtiendodecimalesfracciones.html www.profesorenlinea. cl/matematica/ fraccionadecimal.htm
Si tienen dudas, coméntenlas con el maestro. 1
