Matematica Mary

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA ECONOMICA ECONOMICA (FIE) ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ECONOMICA

TRABAJO ENCARGADO

ECONOMIA MATEMATICA MATEMATICA IV

C

PUNO - PERÚ

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3.1.ResolverlossiguientesproblemasdeCálculodeVariaciones:

 ̇    ∫  + ˙˙  +,   ∶   .    ∫ + ˙   ̇   +    ,  ∶   ,

a)

b)

en los casos: (i)

  0 3 ≥ 2,    1 , , con

a)

Función intermedia Aplicar la ecuación de Euler Euler

Por tanto

, , con x(3) libre. libre.

,˙, ˙ ,   . + 2˙˙   2˙ ˙  2˙ + 2 ˙  2¨ + 2 + 2˙ .  ˙ 2˙  2¨ + 2 + 2˙ " +   0. "+   0  +10

Se trata de una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, con coeficientes Constantes, homogénea. Homogenizar la ecuación; Raíces características; Raíz imaginaria



























 ≠ 0

→ → 0  → →  1  0 → →  (  ..  + .. )      −     ℎ        0  41  0 ℎ  1  0   2  1 → →  (   + ) → →    +   +     +   0  2     0+20  2 4     →∆ ≠ 0    → ∆  0 ˙     0 ˙  2˙ + 2. ˙    +    ⌈2´2´+2⌉2⌉==  0 ⌈22 +    + 2  + ⌉==  0

Solución particular

Solución complementaria

Donde:

Solución general

Aplicamos la condición condición inicial

Aplicamos la condición condición de transversalidad es, en este este caso

CASO 3(de lo avanzado en clases);

Calculemos, paso a paso, cada uno de los elementos que necesitamos:

Reemplazando:



























Aplicando

⌈22 + 2   + 22  + 2⌉==  0 4   2 + 16  4 + 840  444 + 2   42484 4+44  2 2 + 2484  4+44  ∶ ˙˙  2 > 0 →        →      ,,˙ ,    + 2˙˙         22 20    2   4 y

Factor izando

Por lo tanto, la solución general será:

Aplicando la condición condición de segundo orden Condición de Legendre Caso de mínimo.

. Se cumple dicha condición para el

MATRIZ HESSIANO: Tenemos que ver si la función Es convexa en

En los casos:

    ∫ + ˙   ̇   +    ,  ∶   ,

   0 33 ≥ 2,    1    + ˙   ̇

Función Intermedia;

, , con

, , con x (3) libre.



























Aplicar la ecuación de Euler

Por tanto

Integrando tenemos;

˙  12′ ˙  1  2′′ 112′  ˙    0 ′ ∫   ∫ 0 ∫+  ∫  1  1  +   1 … … … … . 1  3 ≥ 2 3+≥2……… 3+≥2……… 2 3+ 3 + 1   ≥ 2 3+1≥2  ≥ 12 3     →∆ ≠ 0        → ∆   0  ˙˙   ≤0………  0, 3 > 2    2 == ≤ 0   2 == ≤ 0 32≤0  ≥ 32  3 > 2

Imponemos la condición inicial y final

De (1) y (2) se tiene:

La condición de transversalidad es, en este caso:



























  

    ≥    32 3 11 2 2   32   12  1 ≤  ≤ 3 ∶ ˙˙  2 < 0 →        →          + ˙   ̇        202 00   2   0

,, pues si fuera x (3) = 2, entonces sería Así que

y no cumpliría que

Por lo tanto, la solución general o la senda optima seria:

Condición de segundo orden Condición de Legendre Caso de máximo.

. Se cumple dicha condición para el

MATRIZ HESSIANO: Tenemos que ver si la función

es cóncava en

Por lo tanto, se cumple que es un máximo.

Se considera el problema:

     ∫ ,,  , +  +    

Deducir la condición de transversalidad en cada uno de los siguientes casos: (i). La condición final es:

 ≥ .





























        ∫ ,,  ,  +        ,, ,   ,, ,  + ′′    +     ≥     == ≤0…… ≤0……  0, ∗ >          ==∗  0     ==∗  0  ∗ == ∗  ∗0  == +    0     ==∗  0 ∗   +      ∗  ==  0       0

(ii). No hay condición final, pero Replanteando el problema

Por lo cual se tiene;

Después

es libre, incógnita a determinar.

i.

La condición de transversalidad correspondiente a la condición fina

ii.

Las condiciones de transversalidad correspondientes a

Y

Pero

Por lo tanto, nos queda:

 ==

libres libres serán:

sera:



























En cada uno de los siguientes casos, calcular los extremales, estudiar las condiciones de Legendre y suficiente:

Sujeto a:

Solución:

:

 ,   ∫ ( ̇  +  +  ̇ ) ,

12  21 ;; 12  0,0,1.1. ̇     +  + ̇  2 0̇  ̇    ̇ 2̈   2̈  0    + :  22̇   ̇   ̇ 2̈  2 2̇   ̇    0

La función intermedia es:

Ecuación de Euler para

:

Formando la ecuación de Euler para

se tiene que:

Integrando ambos miembros se tiene:



se tiene que:



























La solución complementaria y general es:

:   + −  1 +1+1 1 22+2  2 +2 2+2 +1   1 ,   0        1    +  −  0     − 2  +   1     1 1   1     −     1 + 1  

Aplicando condición condición inicial y final para

Formando un sistema de ecuaciones para obtener los valores de A y B:

Restando quedaría que:

Tenemos que la extremal para

es:


Desarrollando se tiene los valores de

Tenemos que la extremal para

es:

:

y

:



























 

Por lo tanto, viendo que y son positivos se dice que las funciones obtenidas cumplen la condición de legendre para un mínimo y convexidad: Condición suficiente: Matriz Hessiana de f que contenga la segundas segundas derivadas con respecto a

0 0 0 0 , ̇   000 200 020 002

, , ̇, ̇

Y dado que esta matriz es semidefinida positiva, f es convexa; por ende, las extremales obtenidas constituyen el mínimo global de problema.

Sujeto a:

Solución:

          :    ,   ∫  +  +  ̇ ̇      , −  2112 ;;121 1



La función intermedia es:




:




  2 + ̇ + 13 ̇   22  ̇   ̇ 2̈  2 2̈ se tiene que:



























 2 2̇ ̈      ̇ ̈    ̈ ̇   ̈   ̇ ̈   ̇̈         : ,   ∫   +  ̇  +   ̇  , 0  0; 00,  2  1 ;  2


A partir de la ecuación

Reemplazando

Sujeto a:

y

se tiene que:

se obtiene que:

en

obtenemos:

Solución: La función intermedia es:


  2   2  ̇  ̇    2  4     2̇ :





























2  2̇  ̇    ̇ 2̈  2 2̈   ̈ +   0    ̈ +   2  0    ̈ +   0     2 ̈ ̇ 2̇    ̈ 2̈   ̈ ̈ +   0      2      0


De las ecuaciones de Euler de

Despejando

Sustituyendo

y

se tiene que:

resulta el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: diferenciales:



en la primera ecuación y derivando dos veces con respecto a , , se tiene que:

en

, , queda:

Obtenemos una ecuación diferencial lineal, con coeficientes constantes, homogénea, de cuarto orden. La ecuación característica asociada es:



























Diferenciando con respecto al tiempo tenemos:

̇ 1.̈ 2.554..1.+2.545−.−. 0.0.6440. 6 4 + 0. 6 40. 6 4 0.640.40.64    2  ̈ 0.4. 0.4:−. +1.60.64+1.60.64      0 ++0   2. + −. +0.32+0.321 0 0.40.4+1.60  [  ̇]==  0 0.62. +0.62−. 1.020.32+1.020.32   0.04,   0.04,   0,0,   0.61

Entonces:


Para

y

aplicaremos condición de transversalidad:

Resolviendo el sistema se tiene:

Por lo tanto, la extremal para

  y

es:



























Sujeto a:

    10 0  0, ∝  



En donde es la constante de gravitación universal, α y β son constantes. Resolver el problema: (i) (ii)

Por el método de sustitución. Por el método de LaGrange.

Solución: (i)

Método de sustitución.

Como a partir de la restricción se tiene que:

   1>̇   ̇ ∝ ̇ ̇ 1 1 1+ +        22 ∫ √   

Hay que resolver, tras sustituir en el objetivo:

Sujeto a:

0 0, ∝    1+1 +̇ 

En este caso la función intermedia será:



























Es decir:

Por lo tanto:

̇   1 22    1  √ 1     ∫ √ 1  ⇒ √    1     √ 1⇔ 1 ⇔ 1⇔1  1       2      1 (√ 1 1 √ +√ +√ 1∝) 1 ∝) + 2



























De la restricción de tiene que:

Es decir:

   1>̇   ̇ ̇    22√   1+1 +̇       1 (√ 1√ 1 √ + + √ √ 1) 1 ) + 2    1 (√ 1√ 1 √ + + √ √ 1) 1 ) + 2  1

Esta última ecuación la obtuvimos en el apartado (i) y sabemos que se llega a que:

250

√12 , ,  , ,      ∫   +  ̇  +  ̇    

Calcular la mínima mínima distancia entre los puntos A (4,3,0) y B (2.3, . (Indicación: la distancia entre dos puntos A ( y y B ( se determina por la fórmula:

En donde

 +∅,,+, 

) ) en la esfera en en la superficie





























Tenemos que:



 2;  ̇   1+1 +̇ ̇ + ̇  2   1+1+̇ ̇ + ̇   0

Para la función : Teniendo en cuenta que:

Tenemos que:

 2;  ̇   1+1+̇ ̇  + ̇  22    1+1+̇ ̇  + ̇   0



























,̇,, ̇,  − ̇  + √      ̇  0 ∫ √       −  2√  ;  ̇  0 − 

1) utilizando el multiplicador, se define la función:

 

En donde es constante.

Para la función , , se tiene que cumplir la ecuación ecuación de Euler:

Además, se tiene que cumplir cumplir la restricción:

Como

La ecuación de Euler es:



























 1   ̇,   210  √  00

Suponiendo que x>0, dicha matriz es semidesnuda positiva, ya que condición suficiente de mínimo global. 2) definimos la siguiente función auxiliar:

Para la que se verifica:

   ∫ ⁄

̇ 0⁄0     ,  ∫−

Por lo tanto, el problema inicial se puede expresar como:



> 0. Por lo tanto, se vírica la



























Imponiendo la restricción;

Se tiene que:

Por tanto;

   ∫  2   2   1 ∗  1 2  ∗   1    0≤≤

a) Definimos función intermedia:



























    0

Siendo

4  04  0

Por lo tanto, el problema no tiene solución óptima. b) Definimos función intermedia:

Ecuación de Euler:

   20 ̇  ̇   ̇,  2̈ 

Para

̇  + ̇ 4̇  4

:

 ̇,  





























Condición inicial y final: Para



:

Reemplazando:

0 00+0 1 11  1



























Condición de Legendre

Por lo tanto;

 ̇, ̇ 22 >0>0  ̇, ̇

La función es estrictamente convexa y es un caso de minimización.



























1: Mediante la ecuación de Euler, halle la senda óptima en los siguientes casos:

EJERCICIO1a).

  ⌊⌋  ∫( )



























Por lo tanto, la Senda Optima será:

  11  22+911 22   1  +9



























Aplicando la condición condición inicial

Aplicando la condición condición final

000    1  2 56 1 + 1 +12





























Integrando:



























 ̇, 3̇8̈



























√ 22



























Por lo tanto, la función no posee extremal.



























Solución general;























































































































































































































































































































































































































































































































































































































0        →→∆∆≠00 [    ]==  0   22==  0 2+ 2 +2 ==  0 2  2 2 +    + =  0 ==  0  +2 2   ==0 0       2    2 √ 22 √   ∫ 2 + ˙2   0  0, √ √2   

Aplicando la condición condición de transversalidad

Reemplazando

Por lo tanto, la senda optima seria

Calculado T

Replanteando



























SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DEL LI BRO DE BONIFAZ OPTIMIZACION DINAMICA

Hallar las sendas óptimas

  ∫32   ẏ  3  1 0  1 2   

A:

Solución: Función Hamiltoniana

32  31 →     0 430   34  4<0 → 

Aplicando condición de primer orden:

Aplicando condición de segundo orden:

Ecuación de movimiento de estado

  ẏ 31ẏ    ̇ 3 ̇   ̇   3

Ecuación de movimiento de coestado



























 

Reemplazando en

 ẏ

Reemplazando en

Integrando

Aplicando condición inicial

=∆Δ  0 2     → ∆  0    →∆ ≠ 0 Δ  0     0 2  0 32 0   6 ⟹  36    336 4   918 4 3 918 4  1ẏ ẏ  2754 4 1 ẏ  27544 4 ẏ   274  252  ẏ    274  252   27    8  252   0  1



























  

 −+         1  36 1

    4 0 .ẏ41   0  1 1   4 41   →     0 44 40   41    1 <0 → 

:

Función Hamiltoniana

Condición de primer orden:

Condición de segundo orden:

Ecuación de movimiento de estado:

  ẏ 41    ẏ

Ecuación de movimiento de coestado:

   ̇



























 ̇  41    1  0

Reemplazando u:

  1  0  ̇  4 4 1  41   ̇ 4 1  1  0  ̇ 40

Resolviendo Raíces características

 

Reemplazando en

Reemplazando

Resolviendo

40 4   −     −   41 −     4   ẏ4 ẏ4 1  4   ẏ4 

 [  ∫      ∫  ] ]       −      





























     1  0  1 1 1      1  11       1

Aplicando condición Inicial

Aplicando condición Final

Las sendas óptimas son:   

   1    (−)−)   − :

Planteamiento del Hamiltoniano:

    . 

..:    0  1 10     





























Reemplazando en :



Reemplazando en :

Condición Inicial:

Condición final:

 0 10 1   − −    2     2−     2− − ∫−     − − − .   ∫     2  −.    − −

    2        2−  −       4   −    0   4    1  4 1 −



























:

 1     2    . ..:   

0  1 1

Planteamiento del Hamiltoniano:

   12         0 →    1< 1 < 0 →      á á óó    → ′

Ecuación de Movimiento de Estado:

Ecuación de Movimiento de Coestado:

   →   0  0  0 10 01 []  11 11   00     0 11 11   00

Sistema de ecuaciones:

Solución particular:



























  1  1 11  110   2   √ 2   √ 2 √ ..  −√ ..     [ ]    √ ..  −√ .. Relacionar constantes: Para

  √ 2

Para

  √ 2

Solución General:

{10 01 √ 2 2 11 11}[} [ ]  00 [√ 21 1 √ 21 1] [ ]  00 (√ 21) 2 1)    0   (√ 21) 2 1) {10 01 √ √ 2 2 11 11}[} [ ]  00 [√ 12  1 √ 21 1] [ ]  00 (1√ (1√ 2) 2)    0  (1√ (1√ 2) 2)  √ √ ....  −√ .. √ ..  [ ]    (√ 21) 2 1) (1√ (1 √ 2) 2)



























Entonces:

 1∆   0 1  0 1  (√ 21) 2 1)√  (1√ (1 √ 2) 2)−√   0 9.93 0.1  0  0.00997  0.99003

Entonces la trayectoria dinámica de la variable de estado es:

 0.00997√ .. 0.99003 −√ .. :

  

  :ẏ : ẏ  1   ; 0  5;   11 11 ; ;∈ ∈ 0,1 SOLUCION Hamiltoniana

H11 H ⟶ u es lineal neal H





























Reemplazando:

  ̇ 1̇ 1    ̇ ̇ 1   −  1    ̇  ̇  ̇  ̇ 0    0  5 − 15  4

Ecuación de movimiento de la variable de coestado

Reemplazando:




























Los óptimos son:

  4−  1

ut1

   101

∞  1  

: Sujeto a

̇  1 0 0∈0,1

Solución La función Hamiltoniana del problema es la siguiente:

1

H = (1-y)u (1-y)u + λ



























̇ 1 ̇ 1 10 1      −      11  1        −  1   0

Obteniendo las raíces características



Solución general






























Solución general

         11  1              1 l→∝im     10

Aplicando condición de transversalidad

∴

La variable coestado coestado no converge a cero.

Entonces para que converge tiene que cumplir el siguiente caso:

Aplicando límites

 ≅ 0 lim  lim→∝ 11 →∝ 



























    ,,,, , > 0 Solución Función Hamiltoniana:

        →       0 20    2  2>0 →    ̇ → ̇   ̇   

Ecuación de movimiento de estado

Integrando





























Remplazando

Remplazando u en x

    0        2      2   



























1. Aplicar el principio del máximo a los siguientes problemas:

∫ ̇

a) max J =

Sujeto a: =u x(1)=3

Planteamos el hamiltoniano:

uλu

H=x+tu-

*Aplicación del principio del máximo



























∗t = 1 para t ε [1,2] ∗t = t  2 para t ε [1,2] ∫    , en donde α > 0, ̇ 

b) max J = s.a : =1 =1

x(0) =

El hamiltoniano es: H = -x -

   λu 

A continuación se aplica el principio del máximo: * Ecuación de movimiento de coestado:



























C) max J = s.a

̇

∫  

= u-x

con x(0) =5

El hamiltoniano es : H=

   λu

-x)

* A continuación aplicamos el principio del máximo: *planteamos la ecuación de movimiento de coestado: -

 =  ̇ 

con λ1 = 0

Resolvemos la ecuación diferencial:



























Reemplazando (1) en (2) tenemos la ecuación diferencial:

̇  x = αt − αt –α– α imponiendo la condición inicial se obtiene que A = 5  α por lo que queda ∗t = 5  α − αt –α– α ∫2 43  = ̇  1≤u≤1

Cuya solucion es: x(t) = A

finalmente que:

d) max J = s.a

x(0) = 1 , -





























  = 0 …………………………………………… …………………………………………… 1 ≤ 0, ≤ 0 …………………………………………… …………………………………………………………. …………….. 2 1 ≤ u ≤ 1 ………………………………………………… ……………………………………………………………3 …………3  –  – u= 0 …………………………………………. ………………………………………….. 4 – 

-4 u +7-3t +

-

-

(u 1)= 0 ,

(-1

A partir de la condición (4) consideramos el caso U 1 = 0,

=0



























* planteamos la ecuación de movimientos de coestado

 =  ̇ = 0 , con λ1 = x1 -1 será:  ∗ = , con ∗(1) = ∗(1) -1 -

* minimizamos el hamiltoniano

= 0



























∫   ̇ = x0=2 0 ≤ u ≤ 3 max J =

s.a



























∗

(t) = t + 2

min J = h [x(T)] s.a

̇

= = u

 1 ≤ u ≤ 1, en donde h es una función estrictamente

x(0) = convexa,diferenciable, no negativa, con h(0) = 0.



























∗  –  ∗T ≥ 0, entonces por las propiedades de la función h, se verificará que: ℎ[] < 0 ∗   = 1  ∗ = 1  ≥0 =

Si

T

-

Pero entonces debería ser este razonamiento:

,que se contradice con el punto de partida de

.

Por tanto,hemos obtenido que si

,entonces





























-

 =  ̇ = -



























Resolviendo el sistema, se obtiene que:



























Formular el programa que de a la persona la tasa de consumo adecuada enel resto



























  0   =



























S(x) = 1> 0



































































































Matematica Mary

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