matematica livro 7º ano.pdf

Índice

1. Introdução ..................................................................................................................................

3

2. Apresentação do Projecto .....................................................................................................

4

2.1 Manual.....................................................................................................................................

4

2.2 Livro de Apoio ..........................................................................................................................

6

2.3 Caderno de Tarefas .................................................................................................................

7

2.4 O meu portefólio de Matemática .............................................................................................

8

3. Estrutura do Caderno de Apoio ao Professor .................................................................... 11 4. Números e operações ........................................................................................................... 12 4.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 1A .........................................................................

12

4.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 1B ..........................................................................

14

Soluções dos testes de diagnóstico de conhecimentos .......................................................

16

4.3 Proposta de planificação .......................................................................................................

17

4.4 Propostas de resolução +RRC..................................................................................................

20

4.5 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação.........................................................

23

4.6 Tarefa de ligação (outros percursos).......................................................................................

25

Proposta de resolução da Tarefa de ligação ...........................................................................

26

5. Geometria – Triângulos e quadriláteros ........................................................................... 27 5.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 2A ...........................................................................

27

5.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 2B ...........................................................................

29

Soluções dos testes de diagnóstico de conhecimentos .......................................................

31

5.3 Proposta de planificação ........................................................................................................

32


34


36

5.6 Tarefas de ligação (outros percursos).....................................................................................

38

Proposta de resolução das Tarefas de ligação .......................................................................

40

6. Geometria – Semelhança ..................................................................................................... 41 6.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 3 .............................................................................

41

Soluções do teste de diagnóstico de conhecimentos ...........................................................

43


44


46


48


49


51

7. Álgebra – Sequências e regularidades ............................................................................ 52 7.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 4 .............................................................................

52


54


55


56

7.4 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação ........................................................

59


60


61

8. Álgebra – Funções .................................................................................................................. 62 8.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 5 .............................................................................

62


64


65


67

8.4 Sugestões de exploração da Tarefa de investigação.............................................................

69

8.5 Tarefas de ligação (outros percursos).....................................................................................

70

Proposta de resolução das Tarefas de ligação .......................................................................

72

9. Álgebra – Equações ................................................................................................................ 74 9.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 6 .............................................................................

74


76


77


79


83


84


85

10. Organização e tratamento de dados ................................................................................. 86 10.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 7A .........................................................................

86

10.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 7B .........................................................................

88

Soluções dos testes de diagnóstico de conhecimentos .....................................................

90

10.3 Proposta de planificação.......................................................................................................

91

10.4 Propostas de resolução +RRC................................................................................................

93

10.5 Sugestões de exploração das tarefas de investigação .......................................................

94

10.6 Tarefa de ligação (outros percursos).....................................................................................

95

Proposta de resolução da Tarefa de ligação .........................................................................

96

3

1. Introdução Caros colegas, O novo Programa de Matemática do Ensino Básico nasceu da necessidade de uma intervenção urgente, que corrigisse os principais problemas existentes no ensino da Matemática, determinando-se que em vez de um programa radicalmente novo se procedesse a um reajustamento, tomando como ponto de partida o anterior. Assumindo que constituiu, na época em que foi elaborado, um passo em frente na actualização das orientações para o ensino da Matemática em Portugal, procura-se agora aperfeiçoá-lo e actualizá-lo à realidade dos nossos dias. Os autores do programa, por solicitação da DGIDC, apresentaram dois possíveis percursos temáticos de aprendizagem. Cada um destes percursos é apresentado esquematicamente sob a forma de sequência de tópicos e subtópicos matemáticos, distribuídos por anos de escolaridade em cada ciclo, indicando as balizas temáticas do trabalho a realizar. Deste modo, cabe às escolas introduzirem as alterações que melhor se adaptam às características dos alunos, às suas condições e ao contexto social e escolar, ou mesmo conceber outros percursos. O projecto Xis movimentou uma vasta equipa de colaboradores, investigadores, revisores pedagógicos e científicos, que em conjunto com os autores traçaram as linhas orientadoras de um projecto em que um dos objectivos principais é proporcionar ao professor todas as possibilidades de exploração no campo pedagógico e científico, independentemente do percurso adoptado. A Sociedade Portuguesa de Matemática foi escolhida por esta equipa como entidade certificadora do manual, atestando a sua correcção científica e concordância com os conteúdos curriculares. As nossas equipas incluem profissionais diversos e competentes. No entanto, sabemos que o contributo de todos é essencial e que é necessário um esforço conjunto. Colega: contamos consigo e estamos sempre disponíveis para as suas solicitações.

Paula Pinto Pereira Pedro Pimenta

4 •

Caderno de Apoio ao Professor Xis 7

2. Apresentação do Projecto O projecto Xis 7 é composto por: Manual; Livro de Apoio; Caderno de Tarefas; O meu portefólio de Matemática e Caderno de Apoio ao Professor. É, ainda, apoiado por uma forte componente multimédia.

2.1 Manual Apresentam-se em seguida os percursos temáticos de aprendizagem sugeridos pelos autores do programa, por solicitação da DGIDC. No entanto, saliente-se que estes percursos não têm carácter vinculativo; cada escola pode optar por criar um percurso alternativo. PERCURSO A

PERCURSO B

Tratamento de dados (Organização e tratamento de dados)

Números inteiros (Números e operações)

Números inteiros (Números e operações)

Sequências e regularidades (Álgebra)

Triângulos e quadriláteros (Geometria)

Funções (Álgebra)

Sequências e regularidades (Álgebra)

Triângulos e quadriláteros (Geometria)

Funções (Álgebra)

Tratamento de dados (Organização e tratamento de dados)

Equações (Álgebra)

Equações (Álgebra)

Semelhança (Geometria)

Semelhança (Geometria)

Para evitar que o Manual possa condicionar o professor no momento de definir o seu percurso, optámos por estruturá-lo de acordo com os grandes temas do Programa. Dividimos, assim, o Manual em quatro volumes, correspondendo cada volume a um tema: Números e operações; Geometria; Álgebra; e Organização e tratamento de dados. Cada tema subdivide-se nos tópicos do Programa respectivos. O desenvolvimento da capacidade dos alunos de resolver problemas, raciocinar e comunicar foi tido em consideração transversalmente, nos quatro volumes, encontrando-se em particular nas rubricas RRC e +RRC.

5

Cada tópico/capítulo do Manual é desenvolvido da seguinte forma:

Recorda

Recorda, aplicando (conteúdos da rubrica recordar)

Tarefa inicial

Desenvolvimento dos conteúdos RRC

(introdução dos conteúdos do tópico)

Tarefas intermédias

(relativas ao conteúdo desenvolvido na página ao lado)

RRC Tarefas de ligação Percurso A Percurso B

Teste final Teste global

Síntese

Tarefas de investigação

+RRC

(raciocinar, resolver, comunicar)

Tarefas finais

• Recorda: esta rubrica permite recordar conhecimentos adquiridos no 2.º Ciclo. • Recorda, aplicando: tarefas envolvendo os conteúdos da rubrica «Recorda». • Tarefa inicial: tarefa introdutória que permite fazer a exploração de novos conteúdos. • Os conteúdos são apresentados em dupla página: a uma página de desenvolvimento de conteúdos corresponde uma página de tarefas intermédias; as tarefas intermédias terminam sempre com um exercício RRC – Raciocinar, resolver, comunicar. • Síntese: sistematização dos conceitos mais importantes do tópico/capítulo estudado. • Tarefas finais: aqui encontram-se mais tarefas, para o aluno consolidar os conhecimentos adquiridos. • +RRC: no final de cada capítulo (que corresponde a um tópico do Programa), encontra-se uma secção pensada para conduzir o aluno a desenvolver as suas capacidades de raciocínio matemático, resolução de problemas e comunicação matemática. • Tarefas de investigação: tarefas que permitem valorizar as actividades experimentais, a criatividade, a interdisciplinaridade e a utilização das tecnologias da informação e comunicação. • Teste final: surge no fim de cada tópico/capítulo. • Teste global: surge no fim de cada tema/volume do Manual. • Tarefas de ligação: visam a conexão com os conteúdos que se vão estudar em seguida; no Manual apresentam-se sempre, em alternativa, tarefas pensadas para o professor que segue o percurso A e tarefas para o que segue o percurso B.

6 •


2.2 Livro de Apoio Para colmatar o problema da introdução do novo Programa a alunos do 7.º ano que no 2.º Ciclo estudaram pelo Programa anterior e, consequentemente, não aprenderam alguns conteúdos, elaborámos um Livro de Apoio que integra todos os conteúdos de transição. Este recurso será particularmente útil até 2012. Tal como no Manual, estruturámos o Livro de Apoio por tema:

Livro de Apoio

Geometria

Números e operações

OTD

Figuras no plano

Números naturais

Representação e interpretação de dados

• Ângulos: amplitude e medição – Distinguir ângulos complementares e suplementares e identificar ângulos verticalmente opostos e ângulos alternos internos

• Números primos e compostos • Decomposição em factores primos • Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de dois números • Potências de base 10 • Multiplicação e divisão de potências

• Tabelas de frequências relativas • Gráficos circulares, de linha e diagramas de caule-e-folhas • Extremos e amplitude

7

2.3 Caderno de Tarefas O Caderno de Tarefas está estruturado da seguinte forma: Caderno de Tarefas

Números e operações

Geometria

Álgebra

Organização e tratamento de dados

Tarefa inicial

Tarefa inicial

Tarefa inicial

Tarefa inicial

Números inteiros 1. Multiplicação e divisão de números inteiros 2. Potências em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural 3. Raiz quadrada e raiz cúbica Tarefa global

Triângulos e quadriláteros 1. Ângulos de um triângulo 2. Congruência de triângulos 3. Relação entre os ângulos e os lados de um triângulo. Eixos de simetria de um triângulo 4. Quadriláteros. Diagonais e eixos de simetria 5. Área de um paralelogramo Tarefa global

Sequências e regularidades 1. Sequências. Termo geral de uma sequência numérica. Funções 2. Correspondências. Noção de função. Domínio e contradomínio de uma função 3. Tabelas e gráficos cartesianos. Formas de representação de funções. Sequências e funções 4. Funções de proporcionalidade directa. Relação entre o gráfico e a expressão analítica de uma função de proporcionalidade directa 5. Outros gráficos Tarefa global

Tratamento de dados 1. Dados agrupados em classes. Histogramas 2. Mediana e quartis. Diagramas de extremos e quartis. Amplitude e amplitude interquartis 3. Comparação entre média, moda e mediana. Simetria e enviesamento Tarefa global

Semelhança 6. Figuras semelhantes. Polígonos semelhantes. Razão de semelhança 7. Escalas. Método da quadrícula. Método da homotetia 8. Semelhança de triângulos 9. Relação entre perímetros e áreas de triângulos semelhantes. Aplicações da semelhança de triângulos Tarefa global

Equações 6. Expressões algébricas. Simplificação de expressões algébricas. Equações: termos e conceitos 7. Equações equivalentes e classificação de equações 8. Equações com parênteses. Resolução de equações. Resolução de problemas utilizando equações Tarefa global

Note-se que: • as tarefas iniciais permitem recordar os conteúdos de transição, e outros, estudados no 2.º Ciclo; • as tarefas globais permitem avaliar os conhecimentos adquiridos ao longo do tópico respectivo; • as fichas contêm uma pequena síntese e um exercício resolvido, de forma a promover a autonomia; • todas as páginas têm picotado, de forma a poderem, se assim se entender, ser retiradas, permitindo a sua organização de acordo com o percurso escolhido pelo professor e a construção de um portefólio; • pode ser usado qualquer que seja o percurso seguido pelo professor.

8 •


2.4 O meu portefólio de Matemática O principal objectivo de O meu portefólio de Matemática é conduzir os alunos à organização, à reflexão, à identificação das suas dificuldades e, consequentemente, a formas de as superar. O meu portefólio de Matemática contém, para cada tópico/capítulo: • listas para organização do estudo e reflexão sobre os conhecimentos adquiridos; • uma proposta de reflexão sobre a forma como se estudou e as atitudes na sala de aula; • uma síntese com espaços para preencher. Contém, ainda, auxiliares para a organização do estudo antes dos testes, uma tabela de raízes quadradas e uma tabela de raízes cúbicas. O aluno poderá organizá-lo, por exemplo, de acordo com o percurso escolhido pelo professor. Como forma de enriquecer o portefólio, o professor poderá, através da proposta de alguns trabalhos de pesquisa/investigação, etc., motivar o aluno e, simultaneamente, desenvolver a sua capacidade de comunicar, o que pode ser feito em estreita colaboração com a disciplina de Língua Portuguesa. Oportunamente, por exemplo após o estudo de um capítulo, o professor poderá sugerir ao aluno que: 1. em trabalho de grupo, faça uma pesquisa sobre aspectos do dia-a-dia relacionados com o que aprendeu sobre o capítulo; prepare uma apresentação digital, ou um cartaz, com as conclusões do trabalho; 2. recorde uma aula sobre o capítulo e a descreva a um amigo através de uma carta, referindo o que sentiu; 3. escreva um artigo que pudesse sair num jornal relatando como foi a aula de que mais gostou sobre o capítulo, explicitando o que aprendeu e por que motivo essa foi a aula preferida; 4. imagine uma entrevista a um matemático que se dedicou ao estudo de determinado assunto; 5. em trabalho de grupo, procure, em revistas ou jornais, gráficos que mostrem a correspondência entre duas variáveis, indicando, justificando, se alguma dessas correspondências é uma função e, em cada caso, a variável dependente e a variável independente; no final, o grupo deverá preparar uma apresentação com as conclusões do trabalho; 6. elabore um trabalho de investigação sobre os matemáticos que se dedicaram ao longo dos tempos ao estudo de determinado assunto e faça uma banda desenhada imaginando um diálogo entre esses matemáticos. O professor poderá, se assim o definir com os alunos, considerar O meu portefólio de Matemática um elemento da avaliação. Na tabela que se segue encontra-se uma proposta dos critérios de avaliação a considerar na análise do portefólio.

9

%

CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO

ALUNO

Caligrafia legível Aspecto gráfico 10

APRESENTAÇÃO

Margens suficientes Imagens adequadas

Apresenta trabalhos limpos Utiliza as TIC Tem índice Tem separadores 15

ORGANIZAÇÃO

Identifica os separadores Respeita a sequência dada É fácil de consultar por outros É imaginativo na apresentação

15

CRIATIVIDADE

Tem trabalhos originais Utiliza ilustrações diversas Organiza correctamente o discurso

15

CORRECÇÃO LINGUÍSTICA

Utiliza vocabulário adequado Escreve sem erros

15

JUSTIFICAÇÃO DOS DOCUMENTOS

Justifica adequadamente a escolha dos documentos seleccionados Todos os documentos têm data e indicam a fonte Realiza as tarefas a que se propôs

10

RESPONSABILIDADE

Cumpre os prazos Aceita e cumpre as regras de trabalho Revela empenho

10

PERSEVERANÇA

Procura superar as dificuldades Leva as tarefas até ao fim Propõe tarefas por sua iniciativa

10

AUTONOMIA

Executa bem as tarefas sem ajuda Coloca questões

100%

Total

Classificação a utilizar: MB – Muito Bom; B – Bom; S – Suficiente; I – Insuficiente.

PROF.

10 •


Poderá ainda ser pedido aos alunos que auto-avaliem o seu próprio portefólio, para o que se poderá recorrer à tabela seguinte: AUTO-AVALIAÇÃO DO PORTEFÓLIO ITENS Índices globais e parciais Separadores identificados Apresentação gráfica adequada ORGANIZAÇÃO Aspecto limpo e cuidado Documentos datados Documentos identificados Articulação da informação/tema Justificação da escolha dos documentos Organização lógica da informação Elaboração de hipóteses Apresentação de conclusões Várias versões do projecto CONTEÚDO

Relatórios Diários de bordo Correcção linguística Exposição clara e coerente Identificação de dificuldades Formas de superação Reflexão sobre dúvidas Auto-avaliação

AVALIAÇÃO

Hetero-avaliação Avaliação do trabalho de grupo

SIM

NÃO

11

3. Estrutura do Caderno de Apoio ao Professor Para cada tópico do Programa/capítulo do Manual, neste Caderno de Apoio ao Professor apresentam-se:

Testes de diagnóstico de conhecimentos/Auto-avaliação (apresentam-se, em geral, dois testes, um com os conteúdos de transição e outro sem esses conteúdos para aplicar até 2012)

Propostas de planificação Inclui abordagem metodológica das tarefas «Recorda, aplicando»

Propostas de resolução e metodologia de desenvolvimento da rubrica +RRC do Manual

Sugestões de exploração das tarefas de investigação do Manual

Tarefas de ligação para percursos alternativos e respectivas propostas de resolução

A actividade lectiva do professor será ainda apoiada em

AULA DIGITAL.

Recursos do projecto em formato digital

Recursos exclusivos do Professor

Manual multimédia do aluno

Manual Livro de Apoio Caderno de Tarefas O meu portefólio de Matemática Caderno de Apoio ao Professor

Apresentações em PowerPoint Testes interactivos do Professor Applets (geometria dinâmica) Ligações à Internet

Animações interactivas Contos Jogos educativos Testes interactivos Ligações à Internet

Preparação de aulas para quadro interactivo

Avaliação interactiva

12 •


4. Números e operações 4.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 1A Parte 1

COTAÇÃO

Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a. 1. O número 11 é primo porque:

6

A. é divisível por 1.

C. é um número ímpar.

B. é divisível por 11.

D. tem como únicos divisores 1 e 11.

2. A Matilde tem um jogo que traz fichas com um número variável de pintas, que se repetem por algumas delas. Separou algumas das fichas por quatro grupos, como mostra a figura. Em que grupo de fichas a soma das pintas é um divisor de 42? A.

B.

C.

D.

6

3. Uma decomposição em factores de 230 é: A. 23 × 2

B. 2 × 3 × 0

C. 23 × 10

D. 115 × 5

4. Factorizando 132, obtemos: A.

22

× 3 × 11

B. 4 × 3 × 11

6

6

C.

23

×5

D. 2 + 2 × 3 × 11

5. Sabendo que

6

D 10 = {1, 2, 5, 10} e D 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} , podemos afirmar que o m.d.c. (10, 24) é: A. 2

B. 10

C. 1

D. 24

6. 103 é: A. 1

6

B. 10

C. 100

D. 1000

7. 53 × 23 é: A. 73

6

B. 106

C. 10 3

D. 76

13

Parte 2

COTAÇÃO

8. Na tabela abaixo, está representado (não completamente) o índice do jornal O Primeiro de Janeiro do dia 8 de Outubro de 2009. Hoje/O Primeiro de Janeiro

Porto

Casos do dia

2

7

Opinião Regiões Nacional 9

11

15

Internacional

Sociedade

17

20

Cultura e EconoFarmá- Meteoroespectá- Televisão mia cias logia culos 23

27

38

39

Última 40

Responde às questões seguintes utilizando apenas números que fazem parte do índice do jornal. 8.1 Dá exemplo de um número com dois algarismos que seja: a) número primo;

2

b) número composto;

2

c) divisível por 2 e 5;

3

d) divisível por 3, mas que não seja divisível por 5.

3

8.2 Decompõe em factores primos o número da página que corresponde à informação «Última».

6

8.3 Qual é o número da página referente ao tema «Televisão», sabendo que é um múltiplo de 8 e se encontra entre 27 e 38?

3

9. O Nuno esteve a decompor alguns números em factores primos. Enquanto fez uma paragem para o lanche, o seu irmão mais novo apagou alguns desses números. Para que o Nuno não tenha de se zangar com o pequeno traquina, completa os espaços apagados.

15

450

555

135

2

45

225

37

3

3

3

3 1

25 1

5 1

555 =

135 =

450 =

10. Calcula o valor da seguinte expressão numérica e apresenta os cálculos que efectuares.

10

(–2) + (–5) – [(–1) – (–1)] 11. Escreve na forma de uma única potência: a) 23

×

22

×

35

14

b) 64

:

62

:

32

AUTO-AVALIAÇÃO Pontuação

Os teus conhecimentos são:

Então:

90%-100%

Excelentes

70%-89%

Bons

Continua a estudar para manteres ou melhorares o teu desempenho.

50%-69%

Razoáveis

Continua a trabalhar, pois podes melhorar.

20%-49%

Pouco satisfatórios

0%-19%

Insatisfatórios

Tens de estudar muito para melhorar o teu desempenho.

14 •


4.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 1B* Parte 1

COTAÇÃO

Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a. 1. Dos números 16, 21, 32 e 100, qual deles é divisível por 3? A. 16

B. 21

C. 32

6

D. 100

2. O número 153 é:

6

A. divisível por 5.

C. divisível por 3 e por 2.

B. divisível por 10.

D. divisível por 3, mas não por 2.

3. O número A. 1350

6

B. 1351

C. 133

D. 250

é divisível por 2, 3, 5 e 6.

4. Só uma das seguintes afirmações é falsa. Qual?

6

A. Todos os múltiplos de 10 são múltiplos de 5. B. Todos os múltiplos de 8 são múltiplos de 80. C. Todos os múltiplos de 7 são múltiplos de 1. D. Todos os divisores de 7 são divisores de 49. 5. As temperaturas mínimas registadas durante uma semana, numa cidade no norte da Europa, são as seguintes: Segunda-feira

Terça-feira

–10 oC

+5 oC

Quarta-feira

Quinta-feira

0 oC

+3 oC

Sexta-feira –4 oC

Sábado +2 oC

6

Domingo –1 oC

Ordena as temperaturas por ordem decrescente: A. Quarta-feira; Domingo; Sábado; Quinta-feira; Sexta-feira; Terça-feira; Segunda-feira. B. Segunda-feira; Sexta-feira; Domingo; Quarta-feira; Sábado; Quinta-feira; Terça-feira. C. Terça-feira; Quinta-feira; Sábado; Quarta-feira; Domingo; Sexta-feira; Segunda-feira. D. Domingo; Sexta-feira; Segunda-feira; Quarta-feira; Sábado; Quinta-feira; Terça-feira. 6. O resultado da expressão (–9) + (+5) é: A. 4

B. – 4

6

C. –14

D. 14

7. 23 é: A. 2 x 3 *

6

B. 4

Recomendado para os dois primeiros anos de transição.

C. 2 + 2 + 2

D. 8

15

Parte 2

COTAÇÃO

8. O David tem 40 bombons e o César tem 36 rebuçados. Qual o maior número de sacos surpresa que se podem fazer, se estes tiverem de ter o mesmo número de bombons e rebuçados? Explica como chegaste à tua resposta, usando palavras, esquemas ou cálculos.

13

9. Durante a noite, três pastores fazem vigia aos seus rebanhos, pois as ovelhas estão a ser atacadas por lobos. Um dos pastores faz a vigia de dois em dois dias, o outro de três em três dias e o terceiro de cinco em cinco dias. No primeiro dia, ficaram os três de vigia. Daqui a quantos dias tornam a estar os três de vigia no mesmo dia? Explica como chegaste à tua resposta, usando palavras, esquemas ou cálculos.

15

10. O João vive num prédio com 20 pisos, em que o piso –1 e o piso –2 correspondem às garagens. O João entra no elevador no piso 6. 10.1 Em que botão do elevador deve carregar para subir nove andares?

2

10.2 E para descer sete andares?

2

10.3 Se carregar no botão +2, quantos andares desce?

2

10.4 E se carregar no botão –2, quantos andares desce?

2

11. Calcula o valor da seguinte expressão numérica e apresenta todos os cálculos que efectuares.

10

2 + (+3) – (–3) – (+8)

12. Um autocarro partiu da central de camionagem com 21 pessoas. No seu percurso, passou por quatro paragens, onde entraram e/ou saíram algumas pessoas. Sabe-se que, na primeira paragem, saíram oito pessoas e entraram duas. Na segunda paragem, saíram cinco pessoas e entrou uma. Na terceira paragem saíram duas pessoas e entraram quatro e, finalmente, na quarta saíram seis passageiros, tendo os restantes passageiros seguido viagem. Qual o número de pessoas que seguiu viagem? Explica a tua resposta usando cálculos, esquemas ou palavras. AUTO-AVALIAÇÃO Pontuação


Então:

90%-100%

Excelentes

70%-89%

Bons


50%-69%

Razoáveis


20%-49%


0%-19%

Insatisfatórios


12

16 •


Soluções Teste de diagnóstico de conhecimentos 1A

Teste de diagnóstico de conhecimentos 1B

Parte 1

Parte 1

1. D

1. B

2. D

2. D

3. C

3. A

4. A

4. B

5. A

5. C

6. D

6. B

7. C

7. D

Parte 2

Parte 2

8.1 a) 2, 7, 11, 17, 23 b) 9, 15, 20, 27, 38, 39, 40 c) 20, 40 d) 9, 27, 39

8. Determinam-se os divisores de 36 e de 40. O m.d.c. (36; 40) = 4. 9. No trigésimo dia. Determinam-se os múltiplos de 2, 3 e 5. O m.m.c. (2,3,5) = 30.

8.2 23 × 5

10.

8.3 32

10.1 15

9. Por exemplo:

10.2 –1

450

2

135

3

10.3 4

225

3

45

3

10.4 8

75

3

15

3

25

5

5

5

11. 0

5

5

1

1

135 =

450 = 2 × 32 × 52

555

3

185

5

37

37

1

555 = 3 × 5 × 37

10. –7 11. a) 65 b) 22

33

×5

12. 21 – 8 + 2 – 5 + 1 – 2 + 4 – 6 = 7 7 pessoas seguiram viagem.

17

4.3 Proposta de planificação Capacidades transversais Resolução de problemas, raciocínio, comunicação matemática. Objectivos específicos • Descrever e explicar, oralmente e por escrito as estratégias matemáticas que utilizam e os resultados a que chegam. • Justificar os raciocínios elaborados e as conclusões obtidas. • Argumentar e discutir estratégias de resolução, tendo sempre como ponto de vista a clarificação e organização do pensamento matemático. • Desenvolver destrezas de cálculo numérico mental e escrito. • Resolver problemas, raciocinar e comunicar em conteúdos numéricos. • Apreciar ordens de grandeza e avaliar a razoabilidade de um resultado. • Compreender e ser capaz de usar propriedades dos números inteiros. • Ter presente e usar adequadamente as convenções matemáticas (diferença entre valores, respeitando a sua ordem na questão) e incluindo a terminologia e notações, tais como ºC (graus Celsius). • Valorização do cálculo mental. • Avaliar a razoabilidade de um resultado. Avaliação • Formativa de conhecimentos. • Observação directa do interesse e empenho dos alunos. • Avaliação formativa e contínua durante todo o processo de aprendizagem.

18 •


LIÇÃO

ESTRATÉGIAS/TAREFAS PROPOSTAS PARA A AULA

1

Teste de diagnóstico de conhecimentos • Raciocinar, Resolver e Comunicar: Tarefas 1 e 2. • O modelo de diagnóstico proposto pressupõe dois momentos distintos de avaliação: através de uma avaliação individual de conhecimentos e através de duas tarefas que proporcionam o diagnóstico das potencialidades da turma como grupo de trabalho. Estes dois momentos distintos permitem ao professor traçar o perfil da turma e efectuar uma previsão de maior ou menor investimento de trabalho, tendo como finalidade a procura de um equilíbrio de partes.

2

Tarefa A – «O que nos dizem os números 81, 225 e 625?»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa em trabalho de grupo; • discussão em grande grupo. Tarefa B – «Temperaturas»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo. Pretende-se com o desenvolvimento da tarefa proporcionar aos alunos um momento de reflexão e análise onde o tema transversal assume grande importância, dando, de forma diferente, continuidade ao processo de diagnóstico de conhecimentos, onde a participação oral assume um papel importante. Sempre que necessário, os alunos devem recorrer à rubrica «Recorda», ou efectuar uma análise da mesma em conjunto com o professor, de forma a prevenir dificuldades que se venham a registar na sua execução. Nesta fase, o professor deve considerar a necessidade da utilização do Livro de Apoio, para consolidação de aprendizagens, ou de recorrer ao apoio digital, aproveitando os recursos disponíveis.

3

4

Tarefa 1 – «Quem ganhou o concurso?»: • explicação da tarefa; • execução e discussão da tarefa em trabalho de grupo; • discussão em grande grupo. Pode ser feita uma leitura em grande grupo, pensando principalmente em alunos com mais dificuldades, acompanhada por alguns comentários que o professor considere mais pertinentes, ou por algumas questões cujas respostas revelem se os alunos estão, ou não, a entender o que lhes é proposto. Multiplicação de números inteiros com sinais diferentes. Multiplicação de números inteiros com sinais iguais. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tarefas de investigação: «Sistema numérico do povo Yoruba.» «Código numérico.» Qualquer uma destas tarefas pode ser efectuada nesta altura e pretende-se, com a sua diversidade, que os alunos escolham aquela com que sentem mais afinidade. Relativamente a estas tarefas pode sugerir-se a elaboração de um relatório de aula que será apresentado por um grupo de alunos logo no início da aula seguinte, de forma a promover a comunicação e partilha de conhecimentos. Divisão de números inteiros com sinais diferentes. Divisão de números inteiros com sinais iguais. Tarefas intermédias e remissões de final de página.

Antecipação de dificuldades O professor pode certificar-se de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: divisores; múltiplos; números primos; decomposição em factores primos; regras das potências e adição e subtracção de números inteiros; adição e subtracção de números inteiros relativos.

TEMPO

45’ 45’

5’ 25’ 15’

5’ 25’ 15’

Recursos possíveis de utilização Manual. Caderno de Tarefas.

Antecipação de dificuldades Adição e subtracção de números inteiros relativos. Recursos possíveis de utilização Manual. Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas.

5’ 25’ 15’

45’

Recursos possíveis de utilização Computador. Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas.

45’

45’

19

7LIÇÃO 5

6

7

8

9 e 10

11


TEMPO

Apresentação dos relatórios das tarefas de investigação realizadas na aula anterior. Tarefa de investigação: «Multiplicação e divisão de números inteiros numa folha de cálculo».

Recursos possíveis de utilização Computador. Caderno de Tarefas.

Tarefa 2: • explicação da tarefa; • execução e discussão da tarefa em trabalho de grupo; • discussão em grande grupo. Potência em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural. Tarefas intermédias e remissões de final de página. No caso de serem diagnosticadas muitas dificuldades na execução da tarefa 2, sugere-se a utilização do Livro de Apoio, para recordar as regras operatórias.

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual. Livro de Apoio. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas.

Sinal de uma potência. Tarefas intermédias. Regras para multiplicar e dividir potências. Tarefas intermédias e remissões de final de página. A matéria deve ser intercalada e faseada com a resolução das tarefas intermédias ou finais para que o ritmo da aula seja diversificado.

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas.

Potência de uma potência e potência de expoente nulo. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Raiz quadrada. Tarefas intermédias e remissões de final de página. A matéria deve ser intercalada e faseada com a resolução das tarefas intermédias ou finais para que o ritmo da aula seja diversificado.


Raciocinar, resolver e comunicar. Discussão da tarefa na turma. Tarefa de investigação: «Área de um quadrado no Geogebra».

Recursos possíveis de utilização Manual. Computador. Caderno de Tarefas.

80’

Quadrados perfeitos. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Raciocinar, resolver e comunicar. Discussão da tarefa na turma.

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual. Caderno de Tarefas.

10’

30’ 60’

5’ 25’ 15’ 10’ 30’

10’ 30’ 10’ 30’

10’ 30’ 10’ 30’

15’ 80’

30’ 30’ 10’

12 e 13

14 e 15

Raiz cúbica e cubos perfeitos. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Algumas propriedades das operações com raízes quadradas. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Raciocinar, resolver e comunicar. Discussão da tarefa na turma.

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual. Caderno de Tarefas.

Tarefas de ligação: «Áreas de quadriláteros» (Percurso A). «Potências e regularidades» (Percurso B). E ainda… Cacifos (outros percursos). Com esta tarefa suplementar, que aqui é proposta e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagens adquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior, pretende fornecer-se uma alternativa ou complemento às tarefas propostas no Manual, recorrendo à utilização de padrões. Estas tarefas podem ser enquadradas ou direccionadas de forma adequada para o tema que a seguir se irá explorar. Avaliação global de conhecimentos. O teste global de conhecimentos deve ser efectuado individualmente. A sua discussão e correcção devem ser efectuadas em grande grupo, imediatamente a seguir à sua resolução.

10’ 40’ 30’ 40’ 30’

45’ 45’ 45’

70’ 15’

20 •


4.4 Propostas de resolução +RRC A rubrica «+RRC, Raciocinar, Resolver e Comunicar», surge no desenvolvimento do tema, em momentos de reflexão e análise, e no final das tarefas intermédias, assumindo um espaço próprio no final de cada tema. Os autores, neste espaço, sugerem a execução de uma diversidade de tarefas que estão ligadas ao desenvolvimento de raciocínios e à busca de estratégias eficientes de resolução, para que os alunos desenvolvam algum desembaraço a lidar com problemas matemáticos e que efectuem generalizações a partir de casos particulares ou contra-exemplos. É importante que os alunos percebam quando é que um problema tem solução ou não, se existem dados suficientes para a sua resolução e que estratégias podem ser desenvolvidas com vista a atingir este objectivo.

1. A fuga da prisão Objectivo principal: Desenvolver uma estrutura de raciocínio, utilizando os números naturais. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: No total existem três fugas. Em cada uma, fogem quatro presos, num total de 12. 1.ª fuga 2

5

5 2

5

2.ª fuga 2

3

5

3

2

3

3

3

3.ª fuga 3

4

3

1

3

4

1

4 1

1

4

Ainda se pode planear uma outra fuga, como se propõe a seguir:

4

0

1 4

1

5

4

0

0

4

5

0

5 0

0

4

O mínimo de prisioneiros que devem permanecer na prisão será 18, para que o guarda continue a ser enganado. O «segredo» está no facto de os números dos cantos serem contados duas vezes, motivo pelo qual o guarda é sempre enganado.

21

2. Três marinheiros, um bando de macacos e um monte de cocos Objectivo principal: Desenvolver uma estrutura de raciocínio, utilizando algumas das operações com números naturais. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Atendendo a que o aluno sabe com quantos cocos cada marinheiro ficou no final das divisões, deve, a partir daí, desenvolver uma estratégia que lhe permita saber quantos cocos os três marinheiros apanharam inicialmente. O número total de cocos da divisão final é igual à soma do número de cocos de dois dos marinheiros da terceira divisão. Esta relação repete-se pelas restantes divisões. Marinheiro 1

Marinheiro 2

Marinheiro 3

Macacos

Total

Primeira divisão

26

26

26

1

79

Segunda divisão

17

17

17

1

52

Terceira divisão

11

11

11

1

34

Divisão final

5

7

7

1

22

3. Pulgas e mais pulgas… Objectivo principal: Aplicar as potências de expoente natural na resolução de um problema de contagem. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Os alunos devem efectuar uma primeira leitura para se inteirarem do assunto do problema e adaptarem uma estratégia possível de resolução. Em seguida, devem fazer uma segunda leitura para que apliquem essa estratégia. Obviamente, após a discussão das várias produções dos alunos, o professor deve apontar as potências como possível estratégia de resolução, no caso de esta não ter surgido como proposta dos alunos. Existem 16 pulgas e eu, pois existem 25 pulgas, mas só 24 é que coçam outras pulgas, pois as últimas não coçam pulga nenhuma.

4. Quadrados Objectivo principal: Recorrer às regularidades, para encontrar quadrados perfeitos. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia possível de resolução: a) Esta questão parece ter várias soluções possíveis. No entanto, não é possível, retirando o mesmo número de quadrículas de cada canto do quadrado, voltar a construir um quadrado. O número de quadrículas retiradas é múltiplo de 4. Para que fosse possível construir um quadrado, a diferença entre 144 e um multíplo de 4 menor que 144 teria de ser um quadrado perfeito. Neste caso particular, isso nunca se verifica. Extensão para a questão: Se a questão fosse: «A partir de uma folha de papel com 12 x 12 quadrículas, o Artur pretende saber se, retirando dos quatro lados da folha o mesmo número de quadrículas, ainda consegue construir um quadrado.»

22 •


b) A partir da extensão proposta anteriormente, os alunos chegam aos valores 23 e 21, para que depois possam efectuar uma generalização: tem de se subtrair um número ímpar de quadrículas inferior ao número ímpar que se subtraiu anteriormente. c) Nesta alínea pretende-se que o aluno generalize o raciocínio em sentido contrário, ou seja, de 11 para 12 adicione 23 quadrículas e, por isso, de 12 para 13 adicione 25 quadrículas.

5. Soma de ímpares Objectivo principal: Recorrer a padrões para o enquadramento de valores entre raízes quadradas. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: a) O aluno, depois de analisar os exemplos dados, deve evidenciar uma estratégia de resolução da questão. Por exemplo, pode contabilizar o número de quadrículas existentes na última figura (36) ou o número de quadrículas de um dos lados do último quadrado (6) e calcular a sua área (6 × 6). Pode também fazer 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11, se for sensível ao exemplo apresentado. b) Nesta alínea já se apela directamente à lei de formação: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 c) Mudando o exemplo, mas recorrendo a raciocínios análogos, pretende-se que o aluno responda que mantendo a lei de formação terá 13 + 15 + 17 + 19 = 64

6. Os guardanapos da Matilde Objectivo principal: Recorrer aos padrões para o enquadramento de valores entre raízes quadradas. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: Os alunos devem começar por verificar quantas molas é necessário usar em cada uma das situações. Repare-se que todos os casos representam algumas das situações possíveis para se colocar guardanapos a secar, mas podem explorar-se outras possibilidades e efectuar uma relação entre eficácia e menor gasto de molas. Nas situações 1, 2, 3 e 4 são necessárias 6, 31, 30 e 60 molas, respectivamente. Sendo assim, a resposta correcta seria a situação 4, pois 35 8 0 < 60 ≤ 3600 .

23

4.5 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação Sistema numérico do povo Yoruba e Código numérico Nas tarefas «Sistema numérico do povo Yoruba» e «Código numérico» pretende-se que o aluno, após ter conhecimento dos conceitos, os articule com outros conceitos matemáticos e não matemáticos, presentes no seu dia-a-dia. Nestas tarefas também se pretende que o aluno veja os diferentes aspectos com que se apresenta a matemática e tenha apreço pelo seu contributo para a cultura e para o desenvolvimento da sociedade contemporânea.

Sistema numérico do povo Yoruba Proposta de resolução: 1. 45 = 20 × 2 + 5 2. Por exemplo, 108 = 20 × 5 + 10 – 2 ou 108 = 20 × 6 – 10 – 2 Para a resolução da questão 3. é importante que o professor averigúe se a turma percebeu a introdução à questão. Para que valores se devem usar os múltiplos de 20? E de 400? E de 8000? Este raciocínio deve ser feito em conjunto com os alunos, sem no entanto requerer que se estipulem padrões rígidos de comportamento dos valores. 3. 1524 = (400 × 5) – (20 × 9) + 4 e 15067 = (800 × 2) – (400 × 2) – (7 × 20) + 7 4.

(10 – 1)

×

1

=

(10 – 1)

(10 – 1)

×

2

=

(1 × 20) – 2

(10 – 1)

×

3

=

(2 × 20) – 10 – 3

(10 – 1)

×

4

=

(2 × 20) – 4

(10 – 1)

×

5

=

(3 × 20) – 10 – 5

(10 – 1)

×

(10 – 4)

=

(3 × 20) – 5 – 1

(10 – 1)

×

(10 – 3)

=

(4 × 20) – 10 – 5 – 2

(10 – 1)

×

(10 – 2)

=

(4 × 20) – 5 – 3

(10 – 1)

×

(10 – 1)

=

(5 × 20) – 10 – 5 – 4

(10 – 1)

×

10

=

(5 × 20) — 5 – 5

5. Seria importante que os alunos indicassem algumas das muitas regularidades que se podem estabelecer entre números pares, números ímpares e, ainda, no seu conjunto. Esta questão é obviamente de resposta livre e será muito importante tentar estabelecer um clima de comunicação e participação, para que ela possa realmente ser desenvolvida e explorada ao máximo.

24 •


6. Entre 11 e 20, os números não mantêm a mesma regularidade; no entanto, pode estabelecer-se entre eles outro tipo de regularidade que seria importante também tentar encontrar na discussão em grande grupo. 7. É naturalmente importante pensarmos que um número resulta da composição ou decomposição de outros números de forma a estabelecer relações entre a sua formação. No entanto, estas representações tornam-se desvantajosas pela sua extensão e complexidade de escrita. Estas são algumas razões que se podem apontar como exemplo; no entanto, o professor deve avaliar a pertinência de outras que lhe sejam sugeridas.

Código numérico Proposta de resolução Esta é uma das tarefas em que se recomenda a utilização da máquina calculadora elementar, para que os alunos se familiarizem com a sua utilização. Na realidade, os códigos numéricos constituem uma realidade do dia-a-dia de um cidadão e com esta tarefa pensamos contribuir para o enriquecimento de uma cultura matemática. 1. Verifica se o ISBN do Caderno de Exercícios Xis7 está correcto. ISBN 978-9-72-47-4095-9 O aluno deve concluir que o ISBN está correcto. 2. Determina o dígito de verificação do livro com o ISBN 978-9-72-47-2239-A R: A = 9 3. Supõe que acabaste de editar um livro na Leya e te pedem que completes o seguinte ISBN, com o qual o teu manual será comercializado. Que sugestão darias à editora? ISBN 978-9-72 – AB-CDEF-G É uma resposta aberta. O aluno poderá construir um ISBN para uma pretensa publicação e seria interessante a partilha dos vários registos, para que todos vissem se foram ou não bem construídos.

Multiplicação e divisão de números inteiros numa folha de cálculo e Área de um quadrado no Geogebra Estas tarefas são de natureza diferente, que recorrem à utilização do computador e software específico da matemática. Com estas tarefas pretende-se que os alunos vejam a aplicabilidade dos conceitos, façam conjecturas e aprendam a gerir estes recursos, recorrendo a eles para situações semelhantes onde o tempo de construção da tarefa com material de escrita e de desenho convencional comprometeria o tempo necessário para a sua exploração e reflexão.

25

4.6 Tarefa de ligação (outros percursos) Os cacifos Conteúdos utilizados: Múltiplos e divisores de um número. Organização da turma: Trabalho em pequeno grupo. Sugestões de ligação com os restantes temas: A partir do preenchimento do quadro, esta tarefa pode servir de ligação a um tema de: • Álgebra (padrões, sequências de figuras); • Geometria (eixo de simetria do quadrilátero; triângulos semelhantes); • Organização e tratamento de dados (tabelas de frequência absoluta, através da contagem do número de letras A e F). Numa empresa existem mil empregados e mil cacifos, numerados de 1 a 1000. Os cacifos encontram-se todos fechados. O primeiro empregado a entrar na empresa abre todos os cacifos. O segundo empregado fecha todos os cacifos, cujos números são múltiplos de 2. O terceiro empregado «muda o estado» (se está aberto, fecha; se está fechado, abre) dos cacifos cujo número é um múltiplo de 3. Este processo repete-se sucessivamente até ao milésimo empregado, que «muda o estado» dos cacifos cujo número é um múltiplo de 1000. No fim, quais são os cacifos que ficaram abertos? Para resolver a questão, começa por percorrer as seguintes etapas: • Faz uma simulação para um número de 25 empregados, preenchendo a seguinte tabela. 1 F

2 F

3 F

4 F

5 F

6 F

7 F

8 F

9 F

10 F

11 F

12 F

13 F

14 F

15 F

16 F

17 F

18 F

19 F

20 F

21 F

22 F

23 F

24 F

25 F

• Indica quantos divisores têm os números marcados nos cacifos que ficam abertos. • Formula uma conjectura que relacione esses números com o seu número de divisores. • Indica os cacifos que ficaram abertos.

26 •


Proposta de resolução da Tarefa de ligação 1 F A

2 F A F

3 F A A F

4 F A F F

5 F A A A

6 F A F A

7 F A A A

8 F A F F

9 F A A F

10 F A F F

11 F A A A

12 F A F A

13 F A A A

14 F A F F

15 F A A F

16 F A F F

17 F A A A

18 F A F A

19 F A A A

20 F A F F

21 F A A F

22 F A F F

23 F A A A

24 F A F A

25 F A A A

A

A F

A A F

A A A

A A A

F F F

F A A

A A A

F F A

A A A

F F F

F A A

A A A

A A A

A A F

A A A

A F F

F F F

F F F

A A A

F F A

A F F

F

A

F

A

A

A

A

A

A

A

A

F

A

F

A

F

A

A

F

F

F A

A A F

A A A F

A A A A

A A A A

A A A A

A A A A

F F F F

A A A A

F A A A

A A A A

F F A A

A A A A

F F F A

A A A A

F F F F

F F F F

F

A F

A A

A A

F F

A A

A A

A A

A A

A A

A A

A A

A A

F F

F

A F

F F

A A

A A

A A

A A

A A

A A

A A

A A

F F

A

A F

A A

A A

A A

A A

A A

A A

A A

F F

F

A F

A A

A A

A A

A A

A A

F F

F

A F

A A

A A

A A

F F

F

A F

A A F

F F F A

Cada um desses números tem um número ímpar de divisores. O aluno pode formular a seguinte conjectura: «Os inteiros com um número ímpar de divisores são os quadrados perfeitos.» Os cacifos que ficaram abertos depois da vigésima quinta mudança foram os cacifos com os números 1, 4, 9, 16 e 25, que representam quadrados perfeitos. Como tal, os cacifos que ficaram abertos depois da milésima mudança foram todos aqueles que representam quadrados perfeitos até 1000, inclusive.

27

5. Geometria – Triângulos e quadriláteros 5.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 2A Parte 1

COTAÇÃO

Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a. 1. O que representa a figura seguinte?

5

A

B

A. A recta AB : AB .

· B. A semi-recta com origem em A e que passa por B : AB . C. O segmento AB : [AB] .

· D. A semi-recta com origem em B e que passa por A : AB . 2. Qual é a posição relativa das duas rectas representadas na figura?

a

5

A. Concorrentes. B. Perpendiculares.

b

C. Paralelas. D. Coincidentes. 3. Estima a amplitude do ângulo assinalado na figura. A. 15º

C. 120º

B. 90º

D. 45º

5

4. Qual dos seguintes ângulos representa um ângulo obtuso? A.

B.

C.

5. Classifica o triângulo seguinte, quanto aos ângulos.

5

D.

5

A. Recto. B. Obtusângulo. C. Agudo. D. Rectângulo. 6. Um polígono com cinco lados designa-se por: A. heptágono. B. pentágono. C. hexágono. D. triângulo.

5

28 •


Parte2

COTAÇÃO

7. Considera os ângulos a , b e c assinalados no triângulo representado na figura. 7.1 Que designação têm os ângulos a , b e c em relação ao triângulo?

5 a

7.2 Ordena, por ordem crescente, os ângulos, tendo em consideração a sua amplitude.

5

7.3 Como classificas o triângulo quanto aos ângulos?

5

7.4 Este polígono é regular? Justifica.

b

c

5

8. Na figura está representado um polígono regular com sete lados. 8.1 Classifica o polígono quanto aos lados.

5

8.2 Quantos vértices tem o polígono?

5

8.3 Quantas diagonais tem o polígono?

8

8.4 Como se designa o ângulo b em relação ao polígono?

5

8.5 Sabendo que o ângulo b tem de amplitude 52º, qual é a amplitude do ângulo a ?

a

8.6 Um dos lados do polígono mede 2 cm. Qual é o seu perímetro? 9. Calcula a área, em cm2, dos seguintes polígonos: 3 cm

8

12 5 cm

2 cm

3 cm

4 cm


7 b


Então:

90%-100%

Excelentes

70%-89%

Bons


50%-69%

Razoáveis


20%-49%


0%-19%

Insatisfatórios


29

5.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 2B* Parte 1

COTAÇÃO

Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a. 1. O que representa a figura seguinte? A

6 B

A. A recta AB: AB .

· B. A semi-recta com origem em A e que passa por B : AB . C. O segmento AB : [AB] .

· D. A semi-recta com origem em B e que passa por A : AB . 2. Qual a posição relativa das duas rectas representadas na figura?

6

A. Concorrentes.

b

B. Perpendiculares.

c

C. Paralelas. D. Coincidentes. 3. A posição relativa das rectas representadas na figura é: A. e e f são perpendiculares.

6 f

e

B. e e f são paralelas. C. e e f são não complanares. D. e e f são concorrentes.

4. Um polígono com cinco lados chama-se:

6

A. heptágono. B. pentágono. C. hexágono. D. triângulo. 5. O polígono representado na figura tem A. 7 vértices, 7 lados, 7 ângulos e 28 diagonais. B. 5 vértices, 5 lados, 6 ângulos e 12 diagonais. C. 5 vértices, 5 lados, 5 ângulos e 10 diagonais. D. 6 vértices, 6 lados, 5 ângulos e 10 diagonais. *


6

30 •


Parte 2

COTAÇÃO

6. Determina a área da região colorida, sabendo que ABCD é um quadrado de lado 2 cm e — DF = 8 cm .

15

D

C

F

A

B

E

7. Na figura ao lado está representado um polígono regular com oito lados. 7.1 Classifica o polígono quanto aos lados.

5

7.2 Quantos vértices têm o polígono?

5

7.3 Quantas diagonais tem o polígono?

7

7.4 Um dos lados do polígono mede 2cm. Qual é o seu perímetro?

8

8. A figura representa uma pirâmide quadrangular regular. Indica, para cada uma das seguintes afirmações, se são verdadeiras ou falsas, justificando as falsas. A. A pirâmide quadrangular tem oito arestas e seis faces.

F

5

B. As rectas que passam em FD e DC são rectas perpendiculares.

5

C. As rectas que passam em AD e BC são rectas paralelas.

5

D. As rectas que passam em FE e AC são rectas paralelas.

5

E. E é o ponto de intersecção das rectas que passam por BD e FE .

5 B

A

F. As faces laterais da pirâmide são triângulos escalenos.

E D

C



Então:

90%-100%

Excelentes

70%-89%

Bons


50%-69%

Razoáveis


20%-49%


0%-19%

Insatisfatórios


5

31



Parte 1

Parte 1

1. B

1. A

2. A

2. C

3. D

3. B

4. C

4. B

5. B

5. C

6. B

6. 16 cm2

Parte 2

Parte 2

7.

7.

7.1 Ângulos internos do triângulo.

7.1 Octógono.

7.2 c < a < b

7.2 Oito vértices.

7.3 Triângulo acutângulo.

7.3 40 diagonais.

7.4 Não, porque os ângulos e lados que o formam são todos diferentes.

7.4 16 cm.

8. Heptágono.

A. Falsa. A pirâmide quadrangular tem oito arestas e cinco faces.

8.1 Sete vértices. 8.2 28 diagonais.

8.

8.3 Ângulo interno.

B. Falsa. As rectas que passam em FD e DC são rectas concorrentes.

8.4 128º

C. Verdadeira.

8.5 14 cm

D. Falsa. As rectas que passam em FE e AC são rectas perpendiculares.

9. Aquadrado = 9 cm2 Arectângulo = 10 cm2 Atriângulo = 6 cm2

E. Verdadeira. F. Falsa. As faces laterais da pirâmide são triângulos isósceles.

32 •


5.3 Proposta de planificação Capacidades transversais Resolução de problemas, raciocínio, comunicação matemática. Objectivos específicos • Reconhecer as figuras geométricas básicas. • Traduzir informação apresentada numa forma de representação para outra. • Explorar uma figura geométrica, tendo como vista o relacionamento de algumas das suas características. • Relacionar figuras geométricas já conhecidas para explorar outras que serão leccionadas no tema em questão. • Desenvolver a visualização e o raciocínio geométrico e ser capaz de os usar. • Compreender e usar as relações de congruência de triângulos. • Compreender a noção de demonstração e ser capaz de fazer raciocínios dedutivos. Avaliação • Formativa de conhecimentos. • Observação directa do interesse e empenho dos alunos. • Avaliação formativa e contínua durante todo o processo de aprendizagem.

LIÇÃO


TEMPO

1

• Teste de diagnóstico de conhecimentos. • Raciocinar, Resolver e Comunicar: Tarefas 2 e 4. O modelo de diagnóstico proposto pressupõe dois momentos distintos de avaliação: através de uma avaliação individual de conhecimentos e através de duas tarefas que proporcionam o diagnóstico das potencialidades da turma como grupo de trabalho. Estes dois momentos distintos permitem ao professor traçar o perfil da turma e efectuar uma previsão de maior ou menor investimento de trabalho, tendo como finalidade a procura de um equilíbrio de partes.

45’

2

Tarefa A – «Elementos de um polígono»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo. Pretendese que esta tarefa seja realizada individualmente ou em grupo de pares, mas que no final seja discutida em grande grupo, para que o professor proporcione um momento de comunicação na aula e diagnostique os conhecimentos da turma em relação à matéria em questão. Tarefa B – «Relação entre áreas»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo.

Antecipação de dificuldades O professor pode certificarse de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: polígonos; diagonais de um polígono; ângulos; posição relativa de rectas.

45’

5’ 20’ 15’


5’ 20’ 15’

33

LIÇÃO 3

ESTRATÉGIAS/TAREFAS PROPOSTAS PARA A AULA Tarefa 1: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em pequeno ou grande grupo. A tarefa deve ser efectuada em pequeno ou grande grupo, consoante a natureza das turmas. As indicações dadas pelo professor pretendem garantir que o aluno não se desvie dos objectivos desta tarefa e, como tal, o professor deve colocar regularmente a pergunta «porquê» a seguir aos comentários dos alunos, de modo a «provocar o raciocínio», levandoos a analisar e reflectir sobre o seu trabalho e a procurar significado para as suas conclusões.

Antecipação de dificuldades O professor deve certificarse que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: polígonos; diagonais de um polígono; relação entre ângulos; perímetros e áreas de polígonos; relações geométricas; áreas de polígonos.

TEMPO

5’ 20’ 15’


4

Ângulos de um triângulo. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Ângulos externos de um triângulo. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’ 25’ 15’ 25’

5

Congruência de triângulos. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’ 65’

6

Não existência de um critério LLA. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tarefa de investigação – «Ângulos no geoplano».

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL Geoplano. Caderno de Tarefas.

15’ 25’ 45

7

Relação entre os ângulos e os lados de um triângulo. Eixos de simetria de um triângulo. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’

8

Quadriláteros. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Diagonais e eixos de simetria. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’ 25’ 15’ 25’

9

Raciocinar, resolver e comunicar. Tarefa de investigação – «Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono».


45’ 45’

10

Área de um paralelogramo. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tarefa de investigação – Paralelogramos; construção de um paralelogramo dinâmico.


11 e 12

Tarefas de ligação: «As piscinas do João e da Margarida» (Percurso A) «Uma visita ao Jardim Zoológico» (Percurso B) E ainda… «Uma outra visão de padrão» (outros percursos) «Ângulos e polígonos» (outros percursos) A tarefa suplementar aqui proposta e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagens adquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior pretende ser uma alternativa ou complemento às tarefas propostas no Manual, recorrendo à utilização de padrões. No caso dos ângulos e polígonos é uma tarefa que só pode ser desenvolvida no caso de o aluno já ter leccionado as equações, por isso, também é adaptável a outro percurso, caso seja necessário. Teste final (avaliação de conhecimentos).

45’ 45’

45’ 45’ 45’ 45’

34 •


5.4 Propostas de resolução +RRC 1. Dominó Objectivo principal: Desenvolver uma estrutura de raciocínio e pensamento geométrico. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Cortando 32 pedaços de papel, o aluno pode distribuí-los por um tabuleiro desenhado numa folha com quadrículas. Chegará, assim, à conclusão que essa situação não é possível, pois sobram sempre duas quadrículas pretas. Nesta altura, as suas tentativas devem ser suspensas, pensando que no tabuleiro nunca existem duas quadrículas pretas lado a lado, o que impedirá a colocação da última peça, dado que esta, tal como as outras, necessita de uma quadrícula branca e outra preta.

2. Uma dança de ângulos Objectivo principal: Amplitude de ângulos. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: Os alunos devem efectuar uma primeira leitura para se inteirarem do assunto do problema. Pretende-se que numa segunda leitura cheguem à conclusão que se trata de dois ângulos de 45o e outros dois de 60o; um ângulo giro, 360o.

3. Ângulos e quadriláteros Objectivo principal: Amplitude de ângulos internos. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: Os padrões surgem novamente, para que se construam processos de resolução aplicáveis a situações mais complexas. Nas figuras 3 e 4 contaram-se os ângulos criados com a divisão efectuada, que não são ângulos internos do quadrilátero. Para que se determine a soma das amplitudes dos quatro ângulos internos, basta unir dois vértices não adjacentes do quadrilátero e verificar que se originam dois triângulos. A partir deste raciocínio, o aluno deve conseguir dizer que a soma dos ângulos internos de um pentágono = 540o; hexágono = 720o; dodecágono = 1800o.

35

4. Descobre o ângulo Objectivo principal: Amplitude de ângulos suplementares. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: Este exercício torna-se muito simples se o aluno observar que tem dados a mais. Na realidade, o ângulo de 59o é completamente desnecessário na resolução do exercício, assim como as rectas a vermelho e a azul-escuro: 180o – 53o = 123o.

5. Polígono concâvo Objectivo principal: Soma dos ângulos internos de um polígono côncavo. Diagonais. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Dividir o polígono em 14 triângulos e fazer 14 × 180º = = 2520o . Essa divisão tem formas distintas de ser efectuada e é importante que o aluno veja qual a melhor estratégia de resolução. Repare-se que os vértices dos triângulos devem ser vértices dos polígonos, para que a soma dos ângulos internos dos triângulos corresponda à soma dos ângulos internos do polígono. Seguidamente, e antes de desenhar todas as diagonais possíveis do polígono, era importante que o aluno propusesse uma forma de as contabilizar sem as desenhar, isto é, o polígono tem 16 vértices. Ao unirmos cada um dos vértices aos restantes 13 vértices (retiram-se os dois vértices que se encontram sobre o mesmo lado do vértice assinalado), teremos 16 × 13 = 208 diagonais. Como cada diagonal foi contada duas vezes, teremos 104 diagonais. Obviamente, dado o número de diagonais, o ponto 3 não necessita de ser integralmente respondido. Este exercício pode ser efectuado depois da tarefa de investigação «Ângulos no geoplano».

6. Muitos polígonos Objectivo principal: Classificação de polígonos. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: Observando a figura, o aluno chegará à conclusão que: AGKM = MKJB = FLND = LHCN trapézios rectângulos; CHFD = AGJB trapézios isósceles; ECD = = ABE triângulos isósceles; JGE = EFH triângulos isósceles; AED = BEC triângulos isósceles; ADC = DCB = = CBA = BAD triângulos rectângulos.

36 •


5.5 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação Ângulos no geoplano 1. Pretende-se que o aluno veja algumas formas de dividir em partes iguais um ângulo recto, para que depois veja qual a amplitude dos ângulos que obteve em cada um dos casos.

2. O aluno, desta forma, vai criar uma unidade de medida, que lhe permitirá medir a amplitude aproximada de cada um dos ângulos desenhados na grelha. 3. Neste item, o aluno vai assumir como referência a amplitude de um ângulo recto para que assim possa determinar a amplitude dos ângulos desenhados na grelha e confirmar as sugestões de medidas efectuadas em 3. 4. Neste item, o aluno já terá de propor uma resolução de estratégias, que poderá ser diferente de aluno para aluno originando, assim, procedimentos diferentes.

Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono

Polígono

Número de lados

Soma das amplitudes dos ângulos internos

Triângulo

3

S3 = 180o

Quadrilátero

4

S4 = 2 × 180o = 360o

Pentágono

5

S5 = 3 × 180o = 540o

Hexágono

6

S6 = 4 × 180o = 720o

Heptágono

7

S7 = 5 × 180o = 900o

Decágono

10

S10 = 8 × 180o = 1440o

A partir de exemplos concretos, espera-se que o aluno consiga fazer uma generalização que lhe permita determinar a soma da amplitude dos ângulos internos de um qualquer polígono. S n = (n – 2) × 180o

37

Paralelogramos Com software geométrico, pretende explorar-se as propriedades dos quadriláteros, efectuando relações entre as mesmas. Essa exploração conduz ao preenchimento das seguintes tabelas. Lados

Ângulos

Paralelogramo não rectângulo

Iguais dois a dois

Iguais dois a dois

Rectângulo

Iguais dois a dois

Rectos

Losango

Todos iguais

Iguais dois a dois

Quadrado

Todos iguais

Rectos

As diagonias bissectam-se sempre

As diagonais têm sempre As diagonais são sempre o mesmo comprimento perpendiculares

Paralelogramo não rectângulo

Sim

Não

Não

Rectângulo

Sim

Sim

Não

Losango

Sim

Não

Sim

Quadrado

Sim

Sim

Sim

Pretende-se, desta forma, proporcionar ao aluno contacto com software geométrico, ao mesmo tempo que lhe propomos que investigue algumas das propriedades dos quadriláteros.

38 •


5.6 Tarefas de ligação (outros percursos) Uma outra visão de padrão* Conteúdos utilizados: Padrões, sequências, termo geral. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Sugestões de ligação com os restantes temas: A partir das conclusões da tarefa, pode servir de ligação a um tema de: • Álgebra (padrões, sequências de figuras, funções ou equações); • Organização e tratamento de dados (usando o número de quadrículas de cada figura).

1. Considera as seguintes figuras:

Figura 1

Figura 4

1.1 Desenha a figura número 2. 1.2 Completa a tabela: Número da figura ( n)

Número total de quadrados cinzentos ( c)

1

8

2 3 4 …

…

10

1.3 Assinala as expressões algébricas que podem ser usadas para calcular o número de quadrados cinzentos em qualquer figura (a letra c representa o número total de quadrados cinzentos e n representa o número do padrão). Explica as tuas escolhas. [ ] 2n + 3(n + 1)

[ ] 5(n – 1) + 8

[ ] 8 + 5n

[ ] 3(2n + 1) – n

1.4 Utilizando uma das expressões válidas, indica qual é: a) o número de quadrados cinzentos da figura número 45; b) o número da figura que tem 88 quadrados cinzentos; c) o número da figura que tem 133 quadrados cinzentos. Existe alguma figura que tenha 138 quadrados cinzentos? E 276? Se sim, indica o número da figura; se não, explica porquê. *

Baseado numa tarefa utilizada por Branco, N. (2008). O estudo de padrões e regularidades no desenvolvimento do pensamento algébrico.

39

Ângulos e polígonos Conteúdos utilizados: Ângulos, amplitudes, ângulos internos de um polígono; perímetros e equações. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Sugestões de ligação com os restantes temas: A partir das conclusões da tarefa, pode servir de ligação a um tema de: • Números e operações (regularidade de números); • Álgebra (funções, relacionando o lado e o perímetro de uma figura); • Semelhanças (construção de figuras semelhantes).

1. Como sabes, podes usar a expressão algébrica 180(n – 2) para determinar a soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados. 1.1 Qual é a soma das amplitudes dos ângulos internos de um decágono (polígono de 10 lados)? 1.2 Quantos lados tem um polígono cuja soma das amplitudes dos seus ângulos internos é 3420º? E 8460º? Mostra como chegaste à resposta. 1.3 Será que existe algum polígono cuja soma das amplitudes dos ângulos internos seja 4830º? Justifica. 2. Na figura, sabe-se que a amplitude do ângulo ACB é tripla da do ângulo CBA. C

= 116°

B

A

2.1 Escreve uma equação que permita determinar a amplitude do ângulo CBA. 2.2 Resolve a equação que escreveste na questão anterior e indica a amplitude dos ângulos CBA e ACB. 3. Na figura estão representados um triângulo equilátero e um hexágono regular. A medida dos lados do triângulo tem mais 1 cm do que a dos lados do hexágono e o perímetro do hexágono é o duplo do perímetro do triângulo. H

C

G

I

A

B

3.1 Enuncia o problema por meio de uma equação. 3.2 Resolve a equação. O que podes concluir?

F

D

E

40 •


Proposta de resolução das Tarefas de Ligação Uma outra visão de padrão 1. 1.1

1.2

Número da figura ( n)

Número total de quadrados cinzentos ( c)

1

8

2

13

3

18

4

23

…

…

10

53

1.3 3(2n + 1) – n 1.4 a) 228

b) 17

c) 26

A figura 27 terá 138 quadrados cinzentos. Não existe nenhuma figura com 276 quadrados cinzentos, pois repare-se que no número de quadrados cinzentos que compõem cada uma das figuras o último algarismo é 8 ou 3.

Ângulos e polígonos 1. 1.1 1440º 1.2 21 e 49 lados. Adicionando ao ângulo dado 360º e dividindo este valor por 180º ou, ainda: 8820 180(n – 2) = 8460 ⇔ 180n – 360 = 8460 ⇔ 180n = 8460 + 360 ⇔ n = ᎏ = 49 180 No caso de já se terem dado as equações. 1.3 Não, porque utilizando o mesmo processo da alínea anterior não se obtém um resultado inteiro. 2. 2.1 3x + x + 116 = 180 2.2 Resolvendo a equação, obtemos que a amplitude do ângulo CBA é de 16º e que a amplitude do ângulo ACB é de 48º. 3. 3.1 6x = 2 × (3 × (x + 1)), ou seja, 6 × (x + 1) 3.2 Resolvendo esta equação, obtemos 0x = 6. Sendo esta uma equação impossível, podemos dizer que não existe uma situação que verifique as condições do problema enunciado.

41

6. Geometria – Semelhança 6.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 3

COTAÇÃO

Parte 1 Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a. 1. Para que todas as razões seguintes sejam equivalentes, deves eliminar uma. Qual? 3 A. ᎏ 5

5 C. ᎏ 7

30 B. ᎏ 50

6

21 D. ᎏ 35

2. Numa escola, 8 em cada 10 alunos gostam de Matemática. Podemos resumir esta informação com a razão: 10 A. ᎏ 8

4 B. ᎏ 5

2 C. ᎏ 3

80 D. ᎏ 10

3. Só um dos seguintes pares de razões não é uma proporção. Qual? 1 3 A. ᎏ e ᎏ 21 7

6 48 B. ᎏ e ᎏ 7 56

3 12 C. ᎏ e ᎏ 2 8

6

2 22 D. ᎏ e ᎏ 3 31

4. Uma das seguintes igualdades está errada. Qual? A. =

B. =

C. =

6

6

D. =

5. A turma A de uma escola tem 25 alunos, dos quais cinco tiveram negativa a Matemática. Na turma B, que tem 30 alunos, houve seis negativas. O que é correcto afirmar relativamente a esta situação?

6

A. A turma com piores resultados é a turma B. B. A turma com melhores resultados é a turma A. C. Ambas têm o mesmo número de negativas. D. Os resultados são proporcionais. As notas a Matemática são equivalentes. 6. A regra de três simples

a ——————— 2 10 ——————— b

6

só não está correcta se: A. a = 5 e b = 4

B. a = 2 e b = 10

C. a = 4 e b = 5

D. a = 5 e b = 5

7. Sabendo que as variáveis a e b são directamente proporcionais, escolhe a opção correcta para os valores de x e de y . A. x = 4 ; y = 4 B. x = 16 ; y = 0,75

C. x = 1 ; y = 12

a

x

2,5

3

D. x = 1,5 ; y = 4,5

b

4

10

y

6

42 •


Parte 2

COTAÇÃO

8. O Sr. Pedro comprou relva em tapete no valor de 125€ para relvar uma área de 25 m2. Como a relva se danificou, teve de comprar mais 13 m2 de relva. Determina a quantia gasta pelo Sr. Pedro na segunda compra que efectuou. 9. O João comprou uma carteira de 11 cartas do Feiticeiro Mágico por 5,50€. Se comprasse a colecção completa de 66 cartas, quanto teria de pagar?

7

7

10. O Tibério quer comprar a colecção dos «Dragonzip», composta por nove bonecos. Na totalidade, a colecção custa 38,25€. O Tibério só pode gastar 17€. Quantos bonecos pode comprar?

7

11. Numa sala de espectáculos estavam 200 pessoas e 60% eram do sexo feminino. Quantas pessoas do sexo masculino estavam na sala de espectáculos?

6

12. Uma escola tem 655 alunos. 40% dos alunos frequentam o Ensino Básico e os restantes frequentam o Ensino Secundário. Quantos alunos frequentam o Ensino Secundário nessa escola?

6

13. Na tabela seguinte está representada a quantidade de água debitada num tanque e o respectivo tempo que a torneira esteve aberta. Tempo que a torneira está aberta, em horas (t) Água debitada no tanque, em

cm3

(a)

1 225

2

4 675

1125

13.1 Completa a tabela, sabendo que o tempo que a torneira está aberta é proporcional à água debitada no tanque.

6

13.2 Determina a constante de proporcionalidade entre as variáveis a e t . Que significado tem no contexto do problema?

6

13.3 Caso a torneira estivesse aberta durante 12 horas, qual seria o volume de água debitada?

6

13.4 Admite que o tanque tem capacidade para 5400 cm3. Quanto tempo deverá a torneira estar aberta?



Então:

90%-100%

Excelentes

70%-89%

Bons


50%-69%

Razoáveis


20%-49%


0%-19%

Insatisfatórios


6

43

Soluções Teste de diagnóstico de conhecimentos 3 Parte 1 1. C 2. B 3. D 4. D 5. D 6. C 7. C Parte 2 8. Gastou 65 e. 9. 33 e. 10. 4 bonecos. 11. 80 homens. 12. 393 alunos. 13. 13.1 (t)

1

2

3

4

5

(a)

225

450

675

900

1125

13.2 225 cm3/h. A água debitada no tanque, em cm3, ao fim de uma hora. 13.3 2700 cm3. 13.4 24 horas.

44 •


6.2 Proposta de planificação Capacidades transversais Resolução de problemas, raciocínio, comunicação matemática. Objectivos específicos • Reconhecer e analisar situações onde existe proporcionalidade directa. • Traduzir informação apresentada numa forma de representação para outra. • Apropriação do conceito de proporção e proporcionalidade directa. • Reconhecer e analisar situações onde existe proporcionalidade entre polígonos. Avaliação • Formativa de conhecimentos. • Observação directa do interesse e empenho dos alunos. • Avaliação formativa e contínua durante todo o processo de aprendizagem

LIÇÃO 1

ESTRATÉGIAS/TAREFAS PROPOSTAS PARA A AULA Teste de diagnóstico de conhecimentos. Tarefa A – «Proporcionalidade directa»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo. Pretendese que esta tarefa seja realizada individualmente ou em grupo de pares, mas que, no final, seja discutida em grande grupo, para que o professor proporcione um momento de comunicação na aula e diagnostique os conhecimentos da turma em relação à matéria em questão.

2

Tarefa B – «Proporcionalidade e geometria»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo. Tarefa 1: Estando estas tarefas muito relacionadas, é importante que sejam feitas na mesma aula para que se efectuem todas as relações possíveis na sequência de aprendizagens. As tarefas devem ser efectuadas em pequeno ou em grande grupo, consoante a natureza das turmas. As indicações dadas pelo professor pretendem garantir que o aluno não se desvie dos objectivos desta tarefa e como tal o professor deve colocar regularmente a pergunta «porquê» a seguir aos comentários dos alunos, de modo a «provocar o raciocínio», levandoos a analisar e reflectir sobre o seu trabalho e a procurar significado para as suas conclusões.

Antecipação de dificuldades O professor deve certificarse de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: razão e proporção; regra de três simples; proporcionalidade directa.

TEMPO 45’ 5’ 20’ 15’

Recursos possíveis de utilização AULA DIGITAL Teste de diagnóstico de conhecimentos. Caderno de Tarefas.

Antecipação de dificuldades O professor deve certificarse de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: conceito de proporcionalidade entre polígonos; áreas; razão de semelhança.

5’ 20’ 5’ 35’

Recursos possíveis de utilização AULA DIGITAL Caderno de Tarefas.

45

LIÇÃO


TEMPO

3

Figuras semelhantes. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Polígonos semelhantes. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


10’ 35’ 10’ 35’

4

Razão de semelhança. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Escalas. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’ 25’ 15’ 25’

5

Método da quadrícula. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Método da homotetia. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’ 25’ 15’ 25’

6

Tarefas de investigação: «Homotetia dinâmica». «Pantógrafo».

7

Tarefa 2: Tarefa experimental.

8

Semelhança de triângulos. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Raciocinar, resolver e comunicar.

9

Relação entre perímetros e áreas de triângulos semelhantes. Aplicações da semelhança de triângulos. Tarefas intermédias e remissões de final de página.

10 e 11

45’ 45’ 15’ + 75’

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas. Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas.

25’ 25’ 35’

15’ 15’ 55

Tarefas de ligação – «Pentágono».

45’

E ainda… «Perímetros, áreas e semelhanças no geoplano. Com esta tarefa suplementar que aqui é proposta, e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagens adquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior, pretende fornecer-se uma alternativa ou complemento às tarefas propostas no Manual, recorrendo à utilização de padrões. No caso dos ângulos e polígonos é uma tarefa que só pode ser desenvolvida no caso de o aluno já ter leccionado as equações, por isso também é adaptável a outro percurso, caso necessário. Teste final (avaliação de conhecimentos). Teste global. A avaliação global de conhecimentos deve ser efectuada individualmente utilizando as sugestões de auxílio. No final, a sua discussão e correcção deve ser efectuada em grande grupo.

45’

45’ 90’

46 •


6.3 Propostas de resolução +RRC 1. O jardineiro Objectivo principal: Polígonos semelhantes. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: O aluno pode elaborar um quadro, onde verifica a regularidade de resultados com dois ou três exemplos: Relativamente à segunda pergunta, pretende-se que a resposta seja «Teoricamente sim, mas na prática não, como se pode verificar por construção», tentando, sempre que possível, não desassociar as questões da realidade da situação.

16

14

8

7

r = 0,5

r = 0,5

8

7

4

3,5

r = 0,5

r = 0,5

…

…

2. Semelhanças Objectivo principal: Polígonos e triângulos semelhantes. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Obviamente, sim, dado que as condições do exemplo se mantêm, isto é, traçando qualquer uma das diagonais do rectângulo e cortando a figura pela diagonal, obtemos três triângulos sobrepostos com, pelo menos, dois ângulos comuns. Estas condições mantêm-se para todos os quadriláteros construídos por este processo.

47

3. O triângulo de Sierpinski Tarefa de cariz histórico, onde se exploram algumas das propriedades das figuras geométricas. Nesta tarefa é, também, possível analisar as fases de construção de uma figura e constatar que algumas das suas propriedades são inalteráveis. Objectivo principal: Triângulos semelhantes. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: Pretende-se que o aluno chegue às seguintes respostas: 3.1 a) 17 triângulos. b) Redução; ampliação; congruentes. 3.2 a) 53 b) Ampliação; ampliação; congruente; congruentes. 3.3

O processo consiste em dividir sucessivamente cada triângulo azul em quatro triângulos equiláteros, sendo três azuis e o triângulo central branco.

4. Árvore pitagórica Objectivo principal: Polígonos e triângulos semelhantes. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: 4.1 Quadrados, triângulos e um heptágono. 4.2 São, porque têm pelo menos dois ângulos congruentes (logo, têm os ângulos todos congruentes). 4.3 São. Os seus lados correspondem aos dois lados congruentes do triângulo 5, pois os ângulos opostos são congruentes. 4.4 A 6.ª geração terá 32 quadrados. O número de quadrados de cada uma das gerações é dado pela sequência numérica: 20, 21, 22, 23, 24…

48 •


5. Infinitamente Objectivo principal: Critérios de semelhança. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: Todos os triângulos têm, pelo menos, dois ângulos iguais. Pelo critério AA, podemos afirmar que os triângulos são todos semelhantes entre si. Esta tarefa volta a ser recordada nas sequências, para que se efectue a lei de formação que origina a formação dos triângulos e quadrados.

6.4 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação Homotetia dinâmica Para além de efectuar a construção de uma homotetia no Geogebra, o aluno pode efectuar as tarefas que se encontram no Manual Multimédia, onde se encontram exercícios interactivos.

Pantógrafo A construção manual de um pantógrafo pode ser uma tarefa motivadora para os alunos, proporcionando um momento diferente na disciplina. O aluno pode, no entanto, manipular o pantógrafo interactivo e executar a tarefa que se lhe encontra associada.

49

6.5 Tarefa de ligação (outros percursos) Perímetros, áreas e semelhanças no geoplano Conteúdos utilizados: Polígonos, perímetros, áreas, razão entre perímetros e razão entre áreas. Organização da turma: Trabalho em pequeno grupo. Sugestões de ligação com os restantes temas: A partir das conclusões da tarefa, pode servir de ligação a um tema de: • Álgebra (funções, relacionando o lado e o perímetro de uma figura); • Números e operações (regularidade entre valores do lado do polígono e dos seus perímetros ou áreas); • Organização e tratamento de dados (construção de uma representação gráfica que relacione o comprimento do polígono com o seu perímetro ou área).

Para cada um dos itens seguintes, começa por fazer as construções adequadas, no geoplano, que te permitirão investigar as propriedades em causa e retirar conclusões. Justifica todas as tuas respostas com palavras, desenhos ou cálculos. Podes trabalhar com um geoplano tradicional ou com um geoplano interactivo, que podes encontrar, por exemplo, no seguinte endereço: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_172_g_2_t_3.html?open=activities&from=category_g_2_t_3.html

1. Constrói rectângulos que tenham 12 unidades de perímetro.

1 unidade 1 unidade Geoplano

1.1 Quantos rectângulos diferentes é possível construir no geoplano? Indica o comprimento e a largura de cada um desses rectângulos. 1.2 Calcula a área dos rectângulos que construíste. 1.3 Qual é o valor da maior área que obtiveste? Indica o comprimento e a largura do respectivo rectângulo. 1.4 O que podes concluir com o resultado da alínea anterior? O rectângulo tem os lados todos iguais? Como se designa esse rectângulo? 1.5 Verifica, fixando outros valores inteiros para o perímetro dos rectângulos, que a forma que maximiza a área é sempre quadrada.

50 •


2. Constrói um rectângulo que tenha 1 unidade de largura e 2 unidades de comprimento. 2.1 Constrói uma ampliação desse rectângulo que tenha o dobro da largura e o dobro do comprimento. Há mais do que um caso nessas condições? 2.2 O perímetro do rectângulo manteve-se ou também ficou o dobro? Justifica que, em qualquer caso, se aumentarmos para o dobro a largura e o comprimento de um rectângulo, o perímetro também será o dobro. 2.3 Calcula a área do rectângulo original e a da sua ampliação. A área também ficou o dobro? Por quanto tens de multiplicar o valor da área do original para obteres o valor da área da ampliação? a) Constrói uma nova ampliação do rectângulo de 1 × 2, triplicando a largura e o comprimento. Por quanto tens de multiplicar o valor da área do original para obter o valor da área da ampliação?

3. Constrói um triângulo isósceles, com uma base com 4 unidades e com uma altura com 2 unidades. 3.1 Faz duas novas construções: a) um triângulo isósceles com metade da base e metade da altura do inicial; b) um triângulo isósceles com o dobro da base e o dobro da altura do inicial. 3.2 Calcula o perímetro e a área dos três triângulos. Que relação existe entre o perímetro do triângulo inicial e os perímetros da ampliação e da redução? E que relação existe entre a área do triângulo inicial e as áreas da ampliação e da redução?

51

Proposta de resolução da Tarefa de Ligação Perímetros, áreas e semelhanças no geoplano 1. 1.1 Com medidas inteiras para o comprimento e para a largura dos rectângulos, existem três possibilidades: 1 × 5, 2 × 4 e 3 × 3 . 1.2 Áreas: 1 × 5 = 5,2 × 4 = 8 e 3 × 3 = 9 1.3 Maior área: 9; o comprimento é igual à largura, ou seja, é igual a 3. 1.4 O rectângulo de maior área tem os lados todos iguais, isto é, é um quadrado. 1.5 Fixando um qualquer perímetro, o rectângulo que tem maior área é sempre o quadrado. Nota: Recomenda-se uma extensão a este item, indo além do raciocínio concreto que o geoplano permite, considerando medidas não inteiras para os rectângulos, investigando com esquemas e cálculos, que conduzam o aluno à conclusão que, em qualquer caso, fixando um valor do perímetro, o rectângulo que tem maior área é sempre o quadrado. Pode ainda fazer-se referência às aplicações desta propriedade – por exemplo, se quisermos, com um mesmo comprimento de uma vedação podemos vedar terrenos de áreas distintas, sendo o terreno quadrado o que tem a maior área. 2. 2.1 Só há um rectângulo nessas condições (o rectângulo de 2 × 4). 2.2 O perímetro também duplicou. Em qualquer caso, se aumentarmos para o dobro a largura e o comprimento de um rectângulo, o perímetro também será o dobro, uma vez que o perímetro é igual à soma de todos os lados do rectângulo. Como todos os lados duplicaram, também o perímetro tem de duplicar. 2.3 Área do rectângulo original: 1 × 2 = 2 . Área da ampliação: 2 × 4 = 8 . A área não duplicou. Tem de se multiplicar o valor da área do original por 4 para se obter o valor da área da ampliação. a) Triplicando a largura e o comprimento, obtemos um rectângulo com área 3 × 6 = 18 , pelo que se tem de multiplicar o valor da área do original por 9 para se obter o valor da área da ampliação. Nota: Com o trabalho proposto no item 2.2, o aluno pode ser conduzido a fixar as seguintes propriedades: • se ampliarmos a largura e o comprimento de um rectângulo n vezes, o perímetro também aumenta n vezes; • se ampliarmos a largura e o comprimento de um rectângulo n vezes, a área aumenta n2 vezes. Para esta segunda conclusão, pode ser pertinente repetir a experiência para outros casos além dos propostos. 3. O item 3 é uma extensão do item anterior ao caso dos triângulos, sendo as conclusões análogas. Nota: Pode ainda estender-se as tarefas propostas nos itens 3.1 b) e 3.2, efectuando-se a investigação para um qualquer polígono e fazendo-se referência ao conceito de semelhança e de razão de semelhança, enunciando-se as propriedades (e, eventualmente, demonstrando-as) o mais genericamente possível, explorando reduções e ampliações: • se r é a razão de semelhança entre quaisquer dois polígonos, a razão entre os seus perímetros é também r ; • se r é a razão de semelhança entre quaisquer dois polígonos, a razão entre as suas áreas é também r 2 .

52 •


7. Álgebra – Sequências e regularidades 7.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 4 Parte 1

COTAÇÃO

Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a. 1. Ao lado, estão representadas as três primeiras figuras de uma sequência.

8

O número de pontos que formam a figura 4 é: A. 11 B. 12

C. 10 D. 15 Figura 1

Figura 2

Figura 3

2. O Sr. Manuel, da loja de informática, está a decorar a montra. Já fez os três montes, com embalagens de CD, que observas na figura.

1.º monte

2.º monte

8

3.º monte

Se o Sr. Manuel continuar a fazer montes, seguindo o mesmo padrão, de quantas embalagens precisa para fazer o 5.º monte da sequência? A. 15

B. 12

C. 21

D. 28

3. O Pedro tem uma fita com autocolantes pretos e azuis, dispostos segundo um padrão que se repete, pela mesma ordem. A figura mostra essa fita, da qual o Pedro já retirou três autocolantes. Assinala qual das hipóteses (de A a D) tem os autocolantes que o Pedro tirou, seguindo a ordem da esquerda para a direita.

? A.

B.

?

? C.

D.

4. Joaninhas azuis e cinzentas entram e saem de um buraco. Seguem dispostas segundo um padrão que se repete. Quantas joaninhas azuis e cinzentas estão no buraco?

A. 3 cinzentas e 5 azuis.

C. 4 cinzentas e 5 azuis.

B. 4 cinzentas e 4 azuis.

D. 5 cinzentas e 5 azuis.

5. O 8.º termo da sequência formada pelos números 1 A. 16

B. 19

8

C. 21

4

7

10 D. 22

13….

é:

8

8

53

Parte 2

COTAÇÃO

1. Observa a seguinte sequência de figuras. 1.1 Quantos triângulos tem a 5.ª figura? 1.2 Quantos quadrados tem a 9.ª figura?

2. Escreve, nos

5 1.ª figura

2.ª figura

3.ª figura

, os três números que faltam na sequência. 0,2

0,2

0,2

250

10

0,2 10

5

0,2 2

3. Nesta sequência de figuras, o primeiro quadrado (em cima) tem 12 cm de lado. Escreve os primeiros cinco termos das sequências seguintes: 3.1 Número de quadrados de cada figura.

4

3.2 Medida dos lados dos quadrados sombreados.

5 8

3.3 Área dos quadrados sombreados.

8

3.4 Perímetro dos quadrados sombreados.

4. A Elisa está a fazer um colar com contas azuis e contas pretas, seguindo sempre um esquema inventado por ela. Uma parte do colar está dentro da caixa da figura. Desenha ou descreve a parte do colar que está dentro da caixa, explicando o teu raciocínio.

(Adaptado de Prova de Aferição de Matemática – 2.º Ciclo – 2004)



Então:

90%-100%

Excelentes

70%-89%

Bons


50%-69%

Razoáveis


20%-49%


0%-19%

Insatisfatórios


15

54 •


Soluções Teste de diagnóstico de conhecimentos 4 Parte 1 1. D 2. C 3. A 4. C 5. D

Parte 2 1.1 12 triângulos. 1.2 9 quadrados. 2. 1250; 50; 0,4 3. 3.1 1; 4; 9; 16; 25 3.2 12; 6; 4; 3; 2,4 3.3 144; 36; 16; 9; 5,76 3.4 48; 24; 16; 12; 9,6 4. O esquema inventado pela Elisa é: 1b; 1p; 1b; 2p; 1b; 3p; 1b; 4p; 1b; 5p; 1b; 6p… Sendo assim, as contas que estão na caixa são uma conta branca e sete contas pretas, dado que da sequência de cinco pretas, duas delas são visíveis.

55

7.2 Proposta de planificação Capacidades transversais Resolução de problemas, raciocínio, comunicação matemática. Objectivos específicos • Interpretar e reconhecer regularidades não numéricas. • Interpretar e reconhecer regularidades numéricas em quadros numéricos ou tabuadas. Avaliação • Formativa de conhecimentos. • Observação directa do interesse e empenho dos alunos. • Avaliação formativa e contínua durante todo o processo de aprendizagem.

LIÇÃO


TEMPO

1

Teste de diagnóstico de conhecimentos. Tarefas A e B – «Sequências de figuras»; «Regularidades»: • explicação da tarefa; •ࠗexecução da tarefa individual; • discussão em grande grupo. Pretende-se que estas tarefas sejam realizadas em grupo de pares, mas que no final seja discutida em grande grupo, para que o professor proporcione um momento de comunicação na aula e diagnostique os conhecimentos da turma em relação à matéria em questão.

Recursos possíveis de utilização Manual Multimédia. Caderno de Tarefas.

45’ 45’

2

Tarefa – «Descobrir regularidades»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo. Sequências. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Raciocinar, resolver e comunicar.

Recursos possíveis de utilização Manual Multimédia.

30’

Termo geral de uma sequência numérica. Representação. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Termo geral de uma sequência numérica. Representação (continuação) Tarefas intermédias e remissões de final de página.


4e5

Raciocinar, resolver e comunicar. Tarefas de investigação – «Sequências pitagóricas no geoplano»; «Fibonacci e o número de ouro»; «Jogos lógicos».

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL

6e7

Tarefas de ligação: «Voo em V (Percurso A)». «Atravessando o rio (Percurso B)». E ainda: «Padrões numéricos». A tarefa suplementar que aqui é proposta pode ser desenvolvida, caso se opte por outro percurso ou no caso de se querer consolidar aprendizagens anteriores com os conteúdos desenvolvidos ao longo deste tópico.

3

Teste final (avaliação de conhecimentos).


5’ 15’ 30’

15’ 25’ 15’ 25’ 20’ 60’

45’ 45’ 45’

45’

56 •


7.3 Propostas de resolução +RRC 1. Segmentos Objectivo principal: Padrões na geometria. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Sugere-se que a resposta seja organizada numa tabela, de forma a ser explícita a regularidade na contagem dos segmentos. Tamanho do quadrado

Número de segmentos de diferentes comprimentos: anteriores + novo

Número total de comprimentos diferentes

1×1

2

2

2×2

2+3

5

3×3

2+3+4

9

4×4

2+3+4+5

14

2. Painel Objectivo principal: Padrões na geometria. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Pretende-se que o aluno efectue sucessivas construções das diversas formas de cobrir o painel, como aqui é exemplificado, até que encontre a regularidade de números 1,2,3,5,8,13, … que fazem parte da sequência de Fibonacci. Os azulejos podem ser colocados no painel de 21 formas diferentes.

Esta tarefa pode ser explorada, experimentalmente, nas turmas que apresentem mais dificuldades de aprendizagem.

57

3. Os números de granizo Objectivo principal: Padrões numéricos. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Considerando a sugestão que é feita, a) 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, … 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … A partir de certa altura surge a sequência «1, 4, 2», que se repete indefinidamente. Antes de cair no «ciclo fatal» encontramos 109 termos. b) 17 termos: 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Uma vez mais, tenta integrar-se a história da matemática nas tarefas propostas, promovendo, assim, a sua interligação.

4. Infinitamente Objectivo principal: Padrões numéricos. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Esta tarefa já foi explorada na semelhança de figuras e aqui torna a ser nomeada na procura de uma lei de formação para os quadrados e triângulos. Continua a sugerir-se uma tabela para organização de dados, sendo a que se segue um exemplo: Fila

Número de quadrados

Número de triângulos

1

2

6

2

4

12

3

8

24

4

16

48

Sendo assim, temos que o termo geral dos quadrados 2n e o termo geral dos triângulos 3 × 2n .

58 •


5. Rectângulos, perímetros e áreas Objectivo principal: Padrões numéricos. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Com o preenchimento da tabela, espera-se que o aluno chegue à lei de formação, depois de atribuir valores à 6.ª figura, no sentido de se averiguar se o aluno se apropriou da regularidade em questão (Altura = 6; base = 7; perímetro = 26; área = 42). Rectângulo da figura

Medida da altura

Medida da base

Medida do perímetro

Medida da área

1

1

2

6

2

2

2

3

10

6

3

3

4

14

12

4

4

5

18

20

5

5

6

22

30

2(n + (n + 1))

n(n + 1)

6. Caixa de bombons Objectivo principal: Padrões geométricos. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Existe uma relação entre as dimensões da caixa, o número de bolachas e o número de caramelos, que se regista no seguinte quadro. Dimensões da caixa

Número de bolachas

Número de caramelos

2×2

4

1

2×4

8

3

3×5

15

8

c×l

(c – 1) × (l – 1)

… c×l

59

7.4 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação Sequências pitagóricas no geoplano Recorrendo uma vez mais ao geoplano, pretende-se que o aluno comece por estudar algumas regularidades geométricas, de forma a aplicar os conhecimentos matemáticos na compreensão de fenómenos científicos e conjecturar sobre a sua aplicação. O recurso ao geoplano permite a manipulação de materiais didácticos e conduz à estruturação de raciocínios, mostrando que a matemática é uma ciência dinâmica. Uma regra de formação

Expressão geradora

Números triangulares

1; 1 + 2; 3 + 3; 6 + 4; 10 + 5; …

ᎏ

Números quadrangulares

1; 1 + 3; 4 + 5; 9 + 7; 16 + 9; …

n2

Números pentagonais

1; 1 + 4; 5 + 7; 12 + 10; 22 + 13;…

ᎏ

Números hexagonais

1; 1 + 5; 6 + 9; 15 + 13; 28 + 17;…

n(2n – 1)

Números octogonais

1; 1 + 7; 8 + 13; 21 + 19; 40 + 25;…

n(3n – 2)

n(n + 1) 2

n(3n – 1) 2

Fibonacci e o número de ouro Esta tarefa de investigação proporciona um momento de pesquisa sobre o número de ouro, sequência de Fibonacci, relações entre ambos e as suas aplicações. Esta tarefa de investigação está muito direccionada para as aulas de Estudo Acompanhado, onde os alunos, organizados em pequenos grupos, podem efectuar recolha de informação. No entanto, não deixamos de salientar que, dada a importância do assunto em questão, se deve promover a apresentação oral dos trabalhos de pesquisa efectuados pelos grupos, promovendo a discussão na turma e se possível juntando-lhe informação que o professor determine como relevante para construção do saber e da cultura matemática. Aconselha-se o uso dos sites introduzidos no início do tópico que contenham informação sobre o que é solicitado na tarefa.

Jogos lógicos 1.

2.

2

7

9

16

4

3

7

10 26

1

1

8

2

5

13

6

10

16

3

21

?

10

13

23

1 + 1 = 2; 2 + 1 = 3; 3 + 2 = 5; 5 + 3 = 8; 8 + 5 = 13; 13 + 8 = 21; 21 + 13 = 34

60 •


7.5 Tarefa de Ligação (outros percursos) Padrões numéricos Conteúdos utilizados: Padrões numéricos. Organização da turma: Trabalho em pequeno grupo. Sugestões de ligação com os restantes temas: A partir das conclusões da tarefa, pode servir de ligação a um tema de: • Álgebra (funções ou equações); • Números e operações (regularidade entre valores do lado do polígono e dos seus perímetros ou áreas); • Organização e tratamento de dados (construção de uma representação gráfica que relacione o comprimento do polígono com o seu perímetro ou área). 1. Descobre o maior número possível de relações entre os números na tabela. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

2. Que padrão identificas nos números que estão na diagonal que começa em 1? 3. Como variam os números quando saltas de linha em linha? E de coluna em coluna? 4. Descobre diferentes maneiras de contar que te levem a parar no número 24 e no número 35. 5. Investiga: • números em forma de L; • números em forma de T; • números em forma de C; • números em forma de P;

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

• números em forma de O.

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

Faz uma generalização para cada caso.

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Adaptado de Isabel Vale e Teresa Pimentel, Padrões no ensino e aprendizagem da Matemática

61

Proposta de resolução da Tarefa de Ligação Padrões numéricos Para fazer esta tarefa, o aluno tem de ter algum conhecimento prévio de relações numéricas, máximo divisor comum e expressões algébricas. Para se iniciar a execução da tarefa, pode propor-se que os alunos utilizem tabelas com menos de 10 números por linha (como no exemplo seguinte). 1

2

3

4

1

2

3

4

5

5

6

7

8

6

7

8

9

10

9

10

11

12

11

12

13

14

15

13

14

15

16

16

17

18

19

20

17

18

19

20

21

22

23

24

25

21

22

23

24

26

27

28

29

30

25

26

27

28

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

O desafio consiste em ver como variam os números nas novas tabelas e em concluir que as respostas vão dependendo das dimensões da tabela. O professor deve ir anotando no quadro as sugestões dadas pelos alunos de padrões encontrados nas duas primeiras tabelas e averiguar em conjunto com eles o que se passa na tabela de dimensões maiores. Na alínea d) pode sugerir que se procurem padrões segundo outras letras do alfabeto e deve discutir na turma as conclusões a que chegam.

3

Esta formação parece ser idêntica em todas as letras, que se efectuem numa tabela deste tipo. É importante que a exploração desta tarefa chegue o mais longe possível, tendo-se, no entanto, em consideração, que a sua exploração é inesgotável.

5

14

Por exemplo, para formar a letra T precisamos de uma coluna e de uma linha. Os números na coluna diferem em dez unidades enquanto em linha a sua diferença é de uma unidade. Nos números em P temos duas colunas e duas linhas. Em coluna a diferença entre dois números consecutivos é 10, mas em linha a diferença é 1.

4

24 34 44

8

9

18 28 38 48

10 20

29

30

62 •


8. Álgebra – Funções 8.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 5 Parte 1

COTAÇÃO

Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a. 1 1. Se a escala utilizada num mapa for de ᎏ , qual a distância real correspondente a 6 cm? 100 000 A. 600 m C. 60 km B. 6000 m

D. 0,00006 cm

2. A escala de um mapa é 1:20000. Uma estrada com 1 km é representada no mapa com um comprimento de: A. 2 cm

5

B. 10 cm

C. 5 cm

5

D. 20 cm

3. Quando se diz que 53% de uma piza é massa, isto significa que:

5

A. em cada 100 g de piza, 53 g é massa. B. em cada 53 g de piza, 100 g são de massa. C. a piza pesa 53 g. D. em cada 1000 g de piza, 53 g é de massa. 4. Qual é a figura cuja parte colorida corresponde a 25% do total? A.

C.

B.

D.

5

5. O Manuel poupou 2 E na compra de um livro, pois fizeram-lhe um desconto de 16%. Qual era o preço do livro? A. 8 E

B. 30 E

C. 18 E

D. 12,50 E

5

63

Parte 2

COTAÇÃO

6. O terreno onde está instalado o circo é rectangular. À escala de 1:6000, a planta do terreno tem 5 cm de comprimento e 2 cm de largura. 6.1 Quais as dimensões, em metros, do terreno onde está instalado o circo?

7

6.2 A tenda do circo ocupa uma área de 2880 m2. Que percentagem do terreno é a área ocupada pela tenda?

10

6.3 O recinto onde se encontram os animais ocupa uma área de 2% da área do terreno. Qual é, em metros quadrados, a sua área?

8

7. Num grupo de 3000 pessoas, 32% são do grupo sanguíneo A e 15% do grupo sanguíneo B. Determina o número de pessoas deste grupo que não são do grupo sanguíneo A nem do grupo sanguíneo B.

10

8. Num mapa, 2,5 cm correspondem a 30 km. 8.1 Qual a escala do mapa?

5

8.2 Qual a distância real correspondente a 7,5 cm no mapa?

7

8.3 Para representar 36 km no mapa, qual seria o comprimento necessário?

8

9. Uma lojista, aquando da venda de uma peça de roupa a uma cliente, que custava 50 €, disse-lhe que faria um desconto de 10%. Desta forma, a cliente pagaria 45 € pela peça. A cliente reclamou, afirmando que tinha visto a mesma peça, com o mesmo preço inicial, numa outra loja, com um desconto de 15%. Perante isto, a lojista afirmou que retiraria 5% aos 45€ para que a cliente levasse a peça, ao que esta acedeu. Indica, justificando, qual das seguintes afirmações é correcta: (A) A cliente não ficou prejudicada, uma vez que o preço da peça nesta loja ficou igual ao da outra loja onde lhe fariam um desconto de 15%.

10

(B) A cliente ficou prejudicada, uma vez que a peça de roupa ficaria mais barata na loja onde lhe fariam um desconto de 15%.

10


Os teus conhecimdentos são:

Então:

90%-100%

Excelentes

70%-89%

Bons


50%-69%

Razoáveis


20%-49%


0%-19%

Insatisfatórios


64 •


Soluções Teste de diagnóstico de conhecimentos 5 Parte 1 1. B 2. C 3. A 4. D 5. D

Parte 2 6. 6.1 300 m de comprimento e 120 m de largura. 6.2 8% 6.3 720 m2 7. 1590 pessoas. 8. 1 8.1 ᎏ 1 200 000 8.2 90 km 8.3 3 cm 9. 15% de 50 € = 7,5 €; 50 € – 7,5 € = 42,50 € 10% de 50 € = 5; 50 € – 5€ = 45 €; 5% de 45 € = 2,25 €; 45 – 2,25 = 42,75 € A afirmação verdadeira é a (B).

65

8.2 Proposta de planificação Capacidades transversais Resolução de problemas, raciocínio, comunicação matemática. Objectivos específicos • Aplicar os conhecimentos de proporcionalidade directa na resolução de uma situação real. • Análise gráfica e previsão de resultados. • Aplicar os conhecimentos de proporcionalidade directa na resolução de uma situação possível. • Determinação de valores e da escala de um mapa. • Efectuar correspondência entre elementos a partir de uma situação corrente na sala de aulas. Avaliação • Formativa de conhecimentos. • Observação directa do interesse e empenho dos alunos. • Avaliação formativa e contínua durante todo o processo de aprendizagem.

LIÇÃO 1

2

3


TEMPO

Teste de diagnóstico de conhecimentos. Tarefa A – «Queijos frescos»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo.

Antecipação de dificuldades O professor deve certificarse de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: proporcionalidade directa; análise gráfica (organização e tratamento de dados).

Pretendese que estas tarefas sejam realizadas em grupo de pares, mas que, no final, seja discutida em grande grupo, para que o professor proporcione um momento de comunicação na aula e diagnostique os conhecimentos da turma em relação à matéria em questão.


Tarefa B – «O tesouro escondido»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo.

Antecipação de dificuldades O professor deve certificarse de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: proporcionalidade directa; escalas.

Tarefa: – «Uma turma irrequieta» Esta tarefa pretende predispor o aluno para o estudo das funções, mais especificamente para estabelecer uma correspondência entre elementos sem ter ainda noção do seu significado.

Recursos possíveis de utilização Manual Multimédia Caderno de Tarefas.

30’

Correspondências. Noção de função. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Domínio e contradomínio de uma função. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’ 25’ 15’ 25’

45’ 5’ 20’ 20’

30’ 5’ 15’

66 •

LIÇÃO 4



TEMPO

Referencial cartesiano. Representação de pontos no plano. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tabelas e gráficos cartesianos. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Formas de representação de funções. Tarefas intermédias e remissões de final de página.

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manual. «20 AULA DIGITAL». Caderno de Tarefas.

15’

5e6

Sequências e funções. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Funções de proporcionalidade directa. Tarefas intermédias e remissões de final de página.

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manuall. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas.

45’ 45’ 45’ 45’

7

Relação entre o gráfico e a expressão analítica de uma função de proporcionalidade directa. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Leitura e interpretação de gráficos em contextos reais. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’

Tarefa de investigação: «Funções na folha de cálculo». Outros gráficos. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


9

Raciocinar, resolver e comunicar.

Recursos possíveis de utilização Tarefas indicadas no Manuall. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas.

10

Tarefas de ligação: «Referenciais cartesianos, quadriláteros e sequências» (Percurso A). «Máquina de letras e números» (Percurso B). E ainda: «Será que a gasolina chega?» «Lados e perímetros». Estas tarefas suplementares que aqui são propostas, e que efectuam uma conexão entre algumas aprendizagens adquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior, pretendem ser uma alternativa ou complemento às tarefas propostas no Manual, recorrendo à utilização de situações problemáticas onde se utilizam alguns dos conhecimentos adquiridos no tópico de funções, para a sua resolução e integração em tópicos seguintes.

8

Teste final (avaliação de conhecimentos).

10’ 20’ 10’ 20’ 15’

25’ 15’ 25’

40’ 15’ 25’ 45’

45’ 45’

45’

45’

67

8.3 Propostas de resolução +RRC Tarefas 1 a 5 Objectivos principais: Análise de situações e adequação de gráficos. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Para cada uma das situações, é essencial que o aluno perceba a situação que lhe é colocada. Para tal, o professor deve ajudar na interpretação da mesma, esclarecendo eventuais dúvidas. Em «O farol», por análise da sequência de traços do gráfico, o aluno deve chegar à conclusão de que a sequência se repete ao fim de 5 segundos. Em «O baloiço», a escolha do gráfico correcto deve ser feita começando por rejeitar o gráfico que descreve uma situação impossível, no caso, o gráfico B. Os gráficos seguintes devem ser eliminados, sugerindo em que situações seriam adaptáveis. O gráfico que traduz a situação descrita é o gráfico (A). Em «O reservatório de água», o aluno tem de ter em consideração a forma do reservatório, o que lhe permitirá eliminar de imediato (A), (C) e (E). O facto de a forma do reservatório ser um cone encimado por um cilindro pressupõe que o seu enchimento será mais rápido inicialmente, para depois ser mais lento, devendo escolher-se, assim, a opção (B). O item «As marés» tem dificuldade variável, pois pressupõe que os alunos tenham alguma familiaridade com o assunto em questão. No caso de não a terem, pode ser difícil resolver esta questão sem que haja antes uma explicação por parte do professor. A situação correcta é a (A). No caso de «O burro e a árvore», não é visível, de imediato, a descrição da situação no gráfico. A escolha do gráfico deve ser feita atendendo ao facto de que só o gráfico A pode representar a distância do burro à árvore, pois não existem distâncias negativas e estas aparecem representadas nos gráficos B, C e D.

6. Tarifários Objectivos principais: Interpretação, análise e comparação de gráficos, adequados a uma situação específica. Adequação de valores. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Analisando os gráficos, é observável que o tarifário «Mais segundos» tem um custo de chamadas superior ao tarifário praticado por «Fale mais», no caso de o seu utilizador falar durante pouco segundos. No caso de falar muito, já seria mais vantajoso a utilização do tarifário praticado por «Fale mais», por razões económicas. A escolha de um tarifário está, pois, dependente da duração de chamada mais frequente. No caso do preenchimento da tabela, os alunos terão de a preencher utilizando valores aproximados, adequando-os, depois de os gráficos terem sido atentamente analisados. Repare-se que a escala aplicada tem em conta que cada unidade está dividida em 6 partes (ver «Mais segundos» a partir dos 5 segundos), com a

68 •


marcação de pontos sucessivos. Assumindo que estão igualmente espaçados, a escala a considerar é uma dízima infinita periódica, motivo pelo qual os alunos terão de optar por valores aproximados, por exemplo 2 0,33. 6 Custo da chamada

Duração da chamada (segundos)

«Mais segundos»

«Fale mais»

1

1,65 e

7,59 e

5

1,65 e

7,59 e

10

3,3 e

7,59 e

18

5,94 e

7,59 e

23

7,59 e

7,59 e

25

8,25 e

7,59 e

30

9,9 e

7,59 e

44

14,52 e

12,21 e

50

16,5 e

14,19 e

52

17,16 e

14,85 e

60

19,8 e

17,49 e

Neste tipo de questão, é habitual ouvirmos por parte dos alunos que elas não têm resposta possível por falta de dados. No entanto, cabe ao professor explicar que este é um exercício com falta de dados, daqueles em que os dados têm de ser obtidos pelos alunos em prol da interpretação da situação e que resultam de premissas que cada um possa eventualmente fazer, desde que devidamente adequadas e contextualizadas. Independentemente dos valores utilizados, parece ser possível ver que a diferença de uma chamada com duração de 30 segundos nestes dois tarifários é de 2 €. A questão 1.4 repete a ideia de resposta que se pretende na 1.1, onde são concretizados valores.

69

8.4 Sugestões de exploração da Tarefa de investigação Funções na folha de cálculo Pretende-se com esta tarefa de investigação que o aluno elabore gráficos utilizando a folha de cálculo, com o intuito de resolver uma situação que lhe é colocada. Posteriormente, o aluno utilizará os gráficos efectuados para efectuar algumas comparações entre os mesmos. Pode pedir-se que o aluno elabore um relatório, em que registe as comparações pedidas entre os gráficos das três situações e uma previsão de tempo de enchimento para as mesmas, no caso de o depósito ter capacidade para 20 litros. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Em alternativa ao uso da folha de cálculo, esta tarefa pode ser desenvolvida no Geogebra. Para tal, o aluno terá de começar por analisar cada uma das situações, propondo uma expressão analítica para cada uma delas. Introduzirá as mesmas na caixa de entrada do Geogebra e os gráficos serão apresentados no mesmo referencial, possibilitando a sua comparação.

70 •


8.5 Tarefas de Ligação (outros percursos) Será que a gasolina chega? Conteúdos utilizados: Gráficos, proporcionalidade directa, números. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Sugestões de ligação com os restantes temas: A partir das conclusões da tarefa, esta pode servir de ligação a um tema de: • Álgebra (equações); • Números e operações (múltiplos/divisores); • Organização e tratamento de dados (representação gráfica).

O pai da Paula esqueceu-se de abastecer o automóvel com gasolina e a próxima estação de serviço fica a 80 km. O medidor de combustível indica que só tem 6 litros. Tem uma dúvida: não sabe se consegue chegar à estação. Ajuda o pai da Paula, sabendo que: • a uma média de 40 km/h, o automóvel consome 4 litros em cada 100 km e, por cada 20 km a mais de velocidade, consome mais 1 litro; • são 23 h 10 m e a estação de serviço fecha às 0 h 00.

Para averiguares se o pai da Paula tem ou não possibilidade de alcançar a estação de serviço no tempo que lhe resta, percorre as seguintes etapas: a) Determina o tempo que resta ao pai da Paula até que a estação de serviço encerre; Faz corresponder a cada uma das velocidades uma recta do gráfico abaixo, onde se representam algumas funções que relacionam a distância percorrida em função do tempo, fazendo variar a velocidade do automóvel para 40km/h, 60km/h, 80km/h e 100km/h. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

b) Averigua qual das velocidades permitiria percorrer 80 km no tempo que resta até a estação encerrar. c) Verifica se em alguma dessas situações o consumo de gasolina é compatível com a que resta no depósito do automóvel.

71

Lados e perímetros Conteúdos utilizados: Representação gráfica, expressões algébricas, sequências. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Sugestões de ligação com os restantes temas: A partir das conclusões da tarefa, esta pode servir de ligação a um tema de: • Álgebra (equações); • Números e operações (múltiplos/divisores); • Geometria (relação entre perímetros, áreas, semelhanças de triângulos); • Organização e tratamento de dados (tabelas de frequência).

As figuras representam um triângulo equilátero (Figura 1) que foi dividido em 16 triângulos equiláteros iguais (Figura 2).

Figura 1

Figura 2

1. Sabemos que a medida do lado do triângulo da figura 1 é n. a) Qual a medida do lado de cada um dos 16 triângulos que o compõem? b) Escreve uma expressão que relacione o perímetro do triângulo da figura 1 com a medida do seu lado. c) Escreve uma expressão que relacione o perímetro de cada um dos triângulos da figura 2 com a medida do seu lado. 2. Supondo que o lado do triângulo equilátero da Figura 1 mede 4 cm, representa no gráfico seguinte o perímetro da sequência de triângulos coloridos.

14 12 10 8 6 4 2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

72 •


Proposta de resolução das Tarefas de Ligação Será que a gasolina chega? Pretende-se, com esta tarefa, propor aos alunos a resolução de uma situação possível, na qual eles podem aplicar os conhecimentos adquiridos ao longo deste tópico. É importante que o aluno tenha a noção de proporção para que possa concluir o raciocínio aqui proposto. Restam 50 minutos até que a estação de serviço encerre. Para fazer a correspondência entre as rectas representadas no gráfico e as velocidades é necessário, unicamente, que o aluno observe a distância percorrida pelo automóvel ao fim de 60 minutos, isto é, se a distância ao fim de 60 minutos for de 100 km, então a sua velocidade será de 100km/h.

100 90 100 km/h

80

80 km/h

70 60 60 km/h 50 40

40 km/h

30 20 10

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Analisando as representações, observa-se que só à velocidade de 100 km é possível percorrer 80 km em 50 minutos. Sabendo que a uma média de 40 km/h o automóvel consome 4 litros em cada 100 km e que por cada 20 km a mais de velocidade consome mais 1 litro, então, a uma velocidade de 100km/h, o consumo do automóvel seria de 7 litros em cada 100 km. Mas, como o automóvel não precisa de percorrer 100 km, mas sim 80 km, recorrendo a uma proporção, teríamos que: 100 80 × 7 80 ᎏ = ᎏ ⇔ ᎏ = 5,6 ᐉ 7 100 ? A uma velocidade de 100 km/h, o pai da Paula estaria de serviço antes das 0 h 00 hoas e precisaria de 5,6 litros para percorrer a distância desejada.

73

Lados e perímetros Nesta tarefa consolidam-se as aprendizagens das sucessões através do estudo das funções em torno do conceito de variável. O lado do triângulo menor é quatro vezes menor do que o lado do triângulo maior. Sendo assim, podemos dizer que o lado do triângulo menor é n : 4 . O perímetro do triângulo equilátero é o triplo da medida do seu lado, isto é, P = 3 × n , sendo o do triângulo menor P = 3 × n : 4 . No caso concreto de termos um triângulo como o da figura, com 4 cm de lado, representaríamos o perímetro da sequência de triângulos coloridos da seguinte maneira:

12

10

8

6

4

2

0

1

2

3

4

5

74 •


9. Álgebra – Equações 9.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 6 Parte 1

COTAÇÃO

Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a. 1. Qual é a expressão que traduz a área do triângulo? A. a × b

a×b C. ᎏ 2

B. 2a × 2b

D. a + 2b

6

a b

2. Qual é o valor da expressão 2x + 1 para x = 2 . A. 2

B. 5

6

C. 23

D. 10

3. A expressão 3a + 2b é igual a 18, se: A. a = 1 e b = 5

B. a = 2 e b = 4

6

C. a = 3 e b = 4

D. a = 4 e b = 3

4. Qual é a expressão que traduz o perímetro do rectângulo? A. a × b

C. 2a × 2b

B. 2a + 2b

D. a + a + b

6 a b

5. Qual é a expressão que traduz «A soma da metade de 10 com o triplo de 2»? 10 12 10 + 3 × 2 A. ᎏ + 3 × 2 B. 10 + 5 C. ᎏ D. ᎏ × 3 2 2 2

6

6. O leão equilibra dois veados exactamente iguais. Qual é o peso de cada um dos veados?

6

100 kg

A. 20 kg e 30 kg.

B. 40 kg cada um.

C. 50 kg cada um.

D. 60 kg cada um.

7. Quantas maçãs estão no saco?

A. 3

B. 2

6

C. 4

D. Nenhuma.

75

COTAÇÃO

Parte 2 8. Observa o quadrado ao lado, cujo lado mede a cm.

a cm

1 cm

8.1 Escreve uma expressão que traduza o perímetro do quadrado.

4

8.2 Sabendo que a = 3cm , determina o perímetro do quadrado.

a cm

5

8.3 Escreve uma expressão que traduza o comprimento do rectângulo.

7

8.4 O que significa a expressão (a + 1) × a ?

7

9. A seguinte sequência apresenta prismas constituídos por cubos brancos e azuis. Prisma 1

Prisma 2

Prisma 3

9.1 Completa a seguinte tabela: Prisma

10

Número de cubos azuis

Número de cubos brancos

Total de cubos de cada prisma

1 2 3 4 5

9.2 Verifica se existe um prisma com 40 cubos no total. Caso exista, diz qual o número desse prisma.

6

9.3 Indica a expressão que traduz o número de cubos azuis do prisma n.

6

9.4 Indica a expressão que traduz o total de cubos do prisma n.

6

10. A Joana pesou um saco com 20 gomas. Quanto pesa cada goma?

7

Gomas

100 g



Então:

90%-100%

Excelentes

70%-89%

Bons


50%-69%

Razoáveis


20%-49%


0%-19%

Insatisfatórios


76 •


Soluções Teste de diagnóstico de conhecimentos 6 Parte 1 1. C 2. B 3. D 4. B 5. A 6. C 7. C

Parte 2 8. 8.1 P = 4A 8.2 12 cm 8.3 (a + 1) cm 8.4 A área do rectângulo. 9. 9.1 Prisma

Número de cubos azuis

Número de cubos brancos

Total de cubos de cada prisma

1

4

8

12

2

8

8

16

3

12

8

20

4

16

8

24

5

20

8

28

9.2 Sim, o prisma 8. 9.3 4n 9.4 4n + 8 10. 5 gramas.

77

9.2 Proposta de planificação Capacidades transversais Resolução de problemas, raciocínio, comunicação matemática. Objectivos específicos • Desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento algébrico, bem como resolver situações simples utilizando procedimentos algébricos. Avaliação • Formativa de conhecimentos. • Observação directa do interesse e empenho dos alunos. • Avaliação formativa e contínua durante todo o processo de aprendizagem.

LIÇÃO 1


TEMPO

Teste de diagnóstico de conhecimentos. Tarefa A – «A máquina dos números»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo. Pretendese que estas tarefas sejam realizadas em grupo de pares, mas que, no final, seja discutida em grande grupo, para que o professor proporcione um momento de comunicação na aula e diagnostique os conhecimentos da turma em relação à matéria em questão.

Antecipação de dificuldades O professor deve certificarse de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: sequências.

Tarefa B – «O porco e os amigos»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo. Tarefa – «O balancé». Esta tarefa deve ser desenvolvida em grande grupo e pretende preparar os alunos para a resolução da tarefa inicial e consequentemente das equações onde é importante que seja estabelecida a noção de equilíbrio entre partes.

Antecipação de dificuldades O professor deve certificarse que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: sequências.

30’ 5’ 15’

Recursos possíveis de utilização Manual Multimédia. Caderno de Tarefas.

30’

3

Expressões algébricas. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Raciocinar, resolver e comunicar.


15’ 25’ 25’

4

Simplificação de expressões algébricas. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Equações: conceitos básicos. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’ 25’ 15’ 25’

5

Equações equivalentes e classificação de equações. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Equações com parênteses. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’ 25’ 15’ 25’

2

45’ 20’

Recursos possíveis de utilização Manual Multimédia. Teste de diagnóstico de conhecimentos. Caderno de Tarefas.

78 •


LIÇÃO


TEMPO

6

Resolução de equações. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’ 40’ + 20’

7

Resolução de problemas utilizando equações. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


15’ 40’ + 30’

Raciocinar, resolver e comunicar.


90’ + 90’

8e9

10

11 e 12

Tarefas de investigação: «As laranjas douradas»; «História da Álgebra».

45’ 45’

Tarefas de ligação: «Vértices, centros e polígonos» (Percurso A ou B). «O intruso diagonal» (Percurso A ou B).

45’ 45’

E ainda: «Vinho do Porto».

45’

Esta tarefa suplementar que aqui é proposta, e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagens adquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior, pretende ser uma alternativa ou complemento às tarefas propostas no Manual, recorrendo à utilização de situações problemáticas onde se utilizam alguns dos conhecimentos adquiridos no tópico de funções para a sua resolução e integração em tópicos seguintes. Teste final (avaliação de conhecimentos). Teste global. A avaliação global de conhecimentos deve ser efectuada individualmente. No final, a sua discussão e correcção deve ser efectuada em grande grupo.

45’ 90’

79

9.3 Propostas de resolução +RRC 1. O caracol Objectivo principal: Equacionar e resolver um problema. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Sugere-se que os dados sejam organizados numa tabela, do tipo da seguinte: 1.o dia

2.o dia

3.o dia

4.o dia

5.o dia

6.o dia

7.o dia

15 m

30 m

45 m

60 m

75 m

90 m

Quando chega ao topo, já não desliza.

2. Um problema de Aryabhata – matemático indiano do século VI Objectivo principal: Equacionar e resolver um problema. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Equacionar o problema e resolver: ((x + 4) : 2) × 5 – 6 = 29 ⇔ ((x : 2) + 2) × 5 – 6 = 29 ⇔ 5x : 2 + 10 – 6 = 29 ⇔ ⇔ 5x : 2 = 29 – 10 + 6 ⇔ 5x : 2 = 25 ⇔ 5x = 25 × 2 ⇔ x = 50 ⇔ x = 10

3. Diofanto de Alexandria Objectivo principal: Equacionar e resolver um problema. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Idade de Diofanto: x Sexta parte foi a sua bela infância: x : 6 Mais uma duodécima parte de sua vida: x : 12 A sétima parte da sua existência decorreu com um casamento estéril: x : 7 Passaram mais cinco anos: 5 Existência durou apenas metade da de seu pai: x : 2 À sepultura quatro anos depois do enterro de seu filho: 4 (x : 6) + (x : 12) + (x : 7)+ 5 + (x : 2) + 4 = x ⇔ … ⇔ x = 84

80 •


4. Uma história de Anania Objectivo principal: Equacionar e resolver um problema. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: O que realmente interessa saber é o número de peixes que estão na rede, pois, como o texto diz, todos deslizaram para o cesto. Consideremos que x é o número de peixes do cardume. «Apanhámos metade e um quarto do cardume»: (x : 2) + (x : 4) (x : 2) + (x : 4) = 45 ⇔ … ⇔ x = 60

5. A bela Objectivo principal: Equacionar e resolver um problema. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Consideremos x o número total de lótus. (x : 3) + (x : 5) + (x : 6) + (x + 4) + 6 = x ⇔ … ⇔ x = 120

6. Persas Objectivo principal: Equacionar e resolver um problema. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Consideremos x o número total de Persas. (x : 2) + (x : 4) + (x : 12) + 280 = x ⇔ … ⇔ x = 1760

81

7. O chá dos Açores Objectivo principal: Equacionar e resolver um problema. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: 7.1 Orange Pekoe, Pekoe e Broken Leaf são três tipos de chá produzidos na Região Autónoma dos Açores. O chá é um dos produtos mais exportados por esta região. Temos que 270 g = 0,270 kg . A qualidade da mistura pressupõe a existência de uma proporção entre as diferentes qualidades de chá. Sendo assim: 18 0,270 ᎏ=ᎏ 15 ? 15 × 0,270 ? = ᎏᎏ = 0,225 kg = 225 g 18 7.2 Por exemplo: 225 ᎏ × 100 = 83,33% 270 7.3 O preço de cada quilorama da mistura pode ser calculado da seguinte maneira: 1 18 ᎏ= ᎏ 90 ? 90 × 1 ?= ᎏ =5e 18 7.4 Se cada quilograma custa 5 e, com 15 e podemos comprar 3 kg. 7.5 a) a + 4a = 10 é uma equação que traduz a quantidade existente em 10 kg das duas misturas de chá. 7.5 b) Resolvendo a equação a + 4 × a = 20 , concluímos que Orange Pekoe será igual a 4 kg. 7.6 A equação que traduz a situação descrita é: x + 4x + 5x = 50 Resolvendo a equação, a conclusão é a seguinte: Orange Pekoe – 5 kg; Pekoe – 20 kg; Broken Leak – 25 kg.

8. Equatrex Objectivo principal: Equações. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Propõe-se ao aluno a resolução de equações usando uma forma diferente da habitual.

82 •


9. Zeca e os cromos Objectivo principal: Equacionar e resolver um problema. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: «Comecei-a com uns quantos (x) ; o Nico deu-me outros tantos (x) e mais três; o Toni deu-me sete e o Juca metade dos que eu tinha no início (x : 2) . Agora tenho 100.» x + x + 3 + 7 + (x : 2) = 100 Não é mentiroso! Ele começou a colecção com 36 cromos.

10. O cofre do tio Patinhas Objectivos principais: Proporcionalidade; expressões algébricas; equações e sequências. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Propõem-se, de uma forma lúdica algumas questões que envolvem conhecimentos adquiridos ao longo do tema «Álgebra».

83

9.4 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação As laranjas douradas Esta tarefa pretende ser o exemplo de um problema que, supostamente, não pode ser feito pelo aluno, pois este não tem conhecimento das operações com números racionais. Múltiplas situações surgem no dia-a-dia cuja solução é adiada até termos conhecimentos para a fazer. No entanto, quando esse conhecimento surge, já o problema em questão perdeu o sentido e a oportunidade. Seria importante fomentar no aluno que nem todos os desafios que nos são colocados são intransponíveis, mesmo quando aparentemente não temos conhecimentos para o resolver. O facto de sabermos o valor final permite-nos efectuar o raciocínio contrário, de forma a saber o número de laranjas que a princesa tinha no início. Repare-se que os duendes exigem sempre da princesa metade das laranjas que ela traz, mais uma, ou seja, ela vai sempre ficando com metade das que trazia menos uma. Fazendo o raciocino ao contrário, teremos primeiro de adicionar uma laranja para depois calcular o seu dobro, em cada uma das paragens que a princesa é obrigada a fazer. Sendo assim: (((((2 + 1) × 2) + 1) × 2) + 1) × 2 = x (2 + 1) × 2 = 6 – Número de laranjas que trazia quando chegou junto ao guarda. ((2 + 1) × 2) + 1) × 2 = 14 – Número de laranjas que trazia quando chegou junto do segundo duende. (((((2 + 1) × 2) + 1) × 2) + 1) × 2 = 30 = 14 – Número de laranjas que trazia quando chegou junto do primeiro duende.

História da Álgebra Esta tarefa de investigação proporciona um momento de pesquisa sobre a Álgebra e alguns dos aspectos que nesta altura seriam importantes focar, dado que se relacionam com a matéria leccionada em História. Esta tarefa de investigação está muito direccionada para as aulas de Estudo Acompanhado, onde os alunos, organizados em pequenos grupos, podem efectuar recolha de informação. No entanto, não deixamos de salientar que, dada a importância do assunto em questão, se deve estimular a apresentação oral dos trabalhos de pesquisa efectuados pelos grupos, promovendo a discussão na turma e se possível juntando-lhe informação que o professor determine como relevante para construção do saber e da cultura matemática. Aconselha-se o uso dos sites apresentados no início do tópico que contenham informação sobre o que é solicitado na tarefa.

84 •


9.5 Tarefa de ligação (outros percursos) Vinho do Porto Conteúdos utilizados: Expressões algébricas, equações, proporcionalidade. Organização da turma: Trabalho em pequeno grupo. Sugestões de ligação com os restantes temas: A partir das conclusões da tarefa, esta pode servir de ligação a um tema de: • Álgebra (funções); • Números e operações; • Organização e tratamento de dados (representação gráfica). O vinho do Porto, símbolo de Portugal no Mundo, contém a história de um país e de um povo e tornou-se ao longo dos anos num património cultural colectivo de trabalho e experiências, saberes e arte, acumulados de geração em geração. A qualidade do vinho que é produzido anualmente depende da qualidade da uva, que por sua vez depende da Natureza. Por vezes, e para que o vinho do Porto nunca perca a qualidade a que já nos habituou, é necessário misturar vinho de anos menos bons com outros de anos melhores. Quando se efectuam estas misturas é necessário recalcular a idade do vinho. Por exemplo, queremos juntar 100 litros de vinho com 12 anos e 300 litros de vinho com 6 anos. Como recalcular a idade desta mistura de vinhos? Para tal faz-se: 100 × 12 + 300 × 6 ᎏᎏᎏ = 7,5 , donde resultam 400 ᐉ de vinho com 8 anos. 100 + 300 No caso de o resultado ser um número decimal arredondamos este valor à unidade. 1. Determina a idade do vinho que resulta da mistura de 200 ᐉ de um vinho com 18 anos e 300 ᐉ de vinho com 10 anos, aplicando um método equivalente ao exemplificado em cima. 2. Queremos obter 800 ᐉ de mistura de um vinho com 7 anos com outro com 14 anos em que a proporção das quantidades de vinho de cada um é de 1 para 3. 2.1 Que quantidade de vinho com 7 anos e 14 anos devemos colocar para tal mistura? 2.2 Calcula a idade do vinho resultante da mistura. 3. Juntamos 100 ᐉ de vinho com uma certa idade com outros 500 ᐉ de um vinho com o dobro da idade do primeiro. Desta mistura resultou um vinho com 11 anos de idade. 3.1 Traduz através de uma equação o problema proposto. 3.2 Resolve a equação de forma a encontrar as idades dos vinhos que entraram nesta mistura.

85

Proposta de resolução da Tarefa de Ligação Vinho do Porto A matemática deve também servir para os alunos conhecerem melhor o património do seu país. Desta forma, propomos uma tarefa onde é possível modelar a realidade com álgebra. 1. 200 × 18 + 300 × 10 ᎏᎏᎏᎏ = 13,2 200 + 300 Resposta: 500 ᐉ de vinho com 13 anos. 2.1 Para a mistura de 800 ᐉ teremos 200 ᐉ de um vinho com 7 anos e 600 ᐉ de um outro com 14 anos. 800 ? 800 ? ᎏ = ᎏ e ᎏ = ᎏ 1 4 4 3 200 × 7 + 600 × 14 ᎏᎏᎏᎏ = 12,25 800 2.2 12 anos de idade. 3.1 A equação que traduz o problema proposto é: 100 × x + 500 × 2x ᎏᎏᎏᎏ = 11 600 3.2 100 ᐉ de um vinho com 6 anos e 500 ᐉ de vinho com 12 anos.

86 •


10. Organização e tratamento de dados 10.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 7A Parte 1

COTAÇÃO

Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a. 1. Num grupo de crianças, efectuou-se um inquérito sobre o «Animal doméstico preferido». Os resultados estão representados no gráfico ao lado: Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

8

Animal doméstico preferido

A. O animal preferido é o gato e o menos preferido é a iguana.

Fi 12

B. O animal preferido é o peixe e o menos preferido é o rato.

8

C. O animal preferido é o cão e o menos preferido é a iguana.

4

D. O animal preferido é o cão e o menos preferido é a tartaruga.

0 Tartaruga Peixe

10 6 2 Gato

Cão

Rato

Iguana Animais

2. Num inquérito feito a um grupo de adolescentes sobre os doces mais consumidos, registaram-se os dados representados no gráfico ao lado:

8

Doces mais consumidos

A percentagem de gelados consumidos é de:

Gomas 10%

A. 20% B. 25% C. 35%

Gelados

Bolos 15% Rebuçados 10%

D. 30% Chocolates 35%

3. O pictograma seguinte representa as cartas distribuídas por um carteiro durante uma semana. Número de cartas distribuídas durante a semana

Segunda-feira

Terça-feira

Quarta-feira

Quinta-feira

Qual das seguintes afirmações é verdadeira? A. Na segunda-feira distribuiu tantas cartas como na quinta-feira. B. Na terça-feira distribuiu 100 cartas. C. Até quarta-feira tinha distribuído 225 cartas. D. Na quinta-feira e na sexta-feira distribuiu 200 cartas.

Sexta-feira

50 cartas

8

87

Parte 2

COTAÇÃO

4. Considera a seguinte tabela de frequências, construída com base num estudo acerca das idades dos 20 alunos de uma turma do 7.º ano: 4.1 A característica estudada é quantitativa ou qualitativa? 4.2 Preenche a tabela. 4.3 Qual é a moda de idades?

Idades

Fi

fi

12

4

0,2

13

8

14

4

15

3

fi (%)

4

16 4

0,15

16

5%

5. A Gracinda registou no caderno as classificações obtidas na disciplina de Matemática ao longo do ano. 48%, 54%, 82%, 64%, 72%, 56% 5.1 Qual é a classificação mais alta? E a mais baixa?

6

5.2 Qual é a amplitude das classificações obtidas pela Gracinda?

5

5.3 Determina a média das classificações nos testes de Matemática da Gracinda. Apresenta o resultado aproximado às unidades.

8

6. O Tomás semeou um feijoeiro. Durante a sua germinação fez registos diários da altura da planta, em centímetros, num diagrama de caule-e-folhas. 0

4

8

9

1

2

4

4

7

2

1

2

2

5

9

6.1 Durante quantos dias o Tomás efectuou registos do crescimento do feijoeiro?

4

6.2 Indica os extremos das alturas do feijoeiro.

6

6.3 Indica a amplitude das alturas da planta.

5

6.4 Determina a média da altura do feijoeiro. Apresenta o resultado aproximado às unidades.

10

6.5 O crescimento do feijoeiro era constante? Explica a tua resposta, recorrendo a exemplos.

8



Então:

90%-100%

Excelentes

70%-89%

Bons


50%-69%

Razoáveis


20%-49%


0%-19%

Insatisfatórios


88 •


10.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 7B* Parte 1 Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a.

COTAÇÃO

1. Fez-se um inquérito sobre a cor de olhos de um grupo de pessoas. Os resultados obtidos encontram-se registados na tabela seguinte: Cor dos olhos

Azul

Verde

Castanho

Preto

Número de pessoas

2

4

6

3

8

A moda da cor dos olhos deste grupo de pessoas é: A. azul.

B. verde.

C. castanho.

D. preto.

2. Num grupo de crianças, efectuou-se um inquérito sobre o «Animal doméstico preferido». Os resultados estão representados no gráfico seguinte:

8

Animal doméstico preferido Fi 12 10 8 6 4 2 0 Tartaruga Peixe

Gato

Cão

Rato

Iguana Animais

Qual das afirmações seguintes é verdadeira? A. O animal preferido é o gato e o menos preferido é a iguana. B. O animal preferido é o peixe e o menos preferido é o rato. C. O animal preferido é o cão e o menos preferido é a iguana. D. O animal preferido é o cão e o menos preferido é a tartaruga. 3. Num inquérito feito a um grupo de adolescentes sobre os doces mais consumidos, registaram-se os seguintes dados: Doces mais consumidos Gomas 10%

Gelados

Bolos 15% Rebuçados 10%

Chocolates 35%

A percentagem de gelados consumidos é de: A. 20% *

B. 25%


C. 35%

D. 30%

8

89

Parte 2

COTAÇÃO

4. Os membros de um clube de modelismo têm as seguintes idades: 30

39

37

35

39

31

31

32

37

38

31

36

31

32

37

38

37

37

39

30

4.1 Quantos membros tem o clube?

8

4.2 Completa a tabela seguinte:

10

Idades

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

Número de pessoas

4.3 Qual a moda de idades?

8

4.4 Quantas destas pessoas têm idade superior a 35 anos?

10

5. Na tabela seguinte encontram-se as temperaturas registadas, nos primeiros dez dias de Agosto, numa dada localidade: Dias

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Temperaturas

31 oC

27 oC

33 oC

32 oC

29 oC

27 oC

29 oC

30 oC

35 oC

32 oC

15

Determina a temperatura média destes primeiros dez dias de Agosto, naquela localidade. 6. A Gracinda registou no caderno as classificações obtidas na disciplina de Matemática ao longo do ano. 48%, 54%, 82%, 64%, 72%, 56% 6.1 Qual é a classificação mais alta? E a mais baixa?

8

6.2 Qual é a amplitude das classificações obtidas pela Gracinda?

7

6.3 Determina a média das classificações nos testes de Matemática da Gracinda. Apresenta o resultado aproximado às unidades.

10



Então:

90%-100%

Excelentes

70%-89%

Bons


50%-69%

Razoáveis


20%-49%


0%-19%

Insatisfatórios


90 •




Parte 1

Parte 1

1. C

1. C

2. D

2. C

3. C

3. D

Parte 2

Parte 2

4.

4.

4.1 Quantitativa discreta.

4.1 20

4.2

4.2

Idades

Fi

fi

fi (%)

12

4

0,2

20%

13

8

0,4

40%

14

4

0,2

20%

15

3

0,15

15%

4.3 37 anos

16

3

0,05

5%

4.4 11 pessoas

4.3 13 anos. 5. 5.1 82% ; 48% 5.2 34% 5.3 63% 6. 6.1 12 dias. 6.2 Mínimo = 4 cm; Máximo = 25 cm. 6.3 21 cm. 6.4 x– 16 cm. 6.5 Não, pois, por exemplo, entre o segundo e o primeiro registo o crescimento foi de 4 cm, e entre o terceiro e o segundo registo foi de 1 cm.

Idades

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

Número de pessoas

2

4

2

0

0

1

1

5

2

3

5. 30,5º 6. 6.1 82% ; 48% 6.2 34% 6.3 63%

91

10.3 Proposta de planificação Capacidades transversais Resolução de problemas, raciocínio, comunicação matemática. Objectivos específicos • Explorar e interpretar dados organizados de diversas formas. • Desenvolver nos alunos sentido crítico de observação e análise de gráficos. • Ser capaz de resolver situações e de comunicar em termos estatísticos. • Interpretação e análise de gráficos. • Organizar e recolher dados para efectuar um estudo estatístico. Avaliação • Formativa de conhecimentos. • Observação directa do interesse e empenho dos alunos. • Avaliação formativa e contínua durante todo o processo de aprendizagem. LIÇÃO


TEMPO

1

Teste de diagnóstico de conhecimentos. Raciocinar, Resolver e Comunicar: Tarefas 1 a 4. O modelo de diagnóstico proposto pressupõe dois momentos distintos de avaliação: através de uma avaliação individual de conhecimentos e através de duas tarefas que proporcionam o diagnóstico das potencialidades da turma como grupo de trabalho. Estes dois momentos distintos permitem ao professor traçar o perfil da turma e efectuar uma previsão de maior ou menor investimento de trabalho, tendo como finalidade a procura de um equilíbrio de partes.

45’ 45’

2

Tarefa A – «Marca de consolas»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo. Tarefa B – «O nosso planeta»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo. Pretendese com o desenvolvimento da tarefa proporcionar aos alunos um momento de reflexão e análise, onde o tema transversal assume grande importância. Dá-se, de forma diferente, continuidade ao processo de diagnóstico de conhecimentos, onde a participação oral assume um papel importante.

Antecipação de dificuldades O professor deve certificarse de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: característica estatística; tabela de frequências; representações gráficas. Recursos possíveis de utilização Manual Multimédia. Teste de diagnóstico. Caderno de Tarefas.

5’ 20’ 15’

5’ 20’ 15’

92 •

LIÇÃO 3



TEMPO

Tarefas iniciais – «Ondas» e «Estudo estatístico»: • explicação da tarefa; • execução e discussão da tarefa em trabalho de grupo; • discussão em grande grupo. Pode ser feita uma leitura em grande grupo, pensando principalmente em alunos mais novos, acompanhada por alguns comentários que o professor considere mais pertinentes, ou por algumas questões cujas respostas revelem se os alunos estão, ou não, a entender o que lhes é proposto.

Antecipação de dificuldades O professor deve certificarse de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: adição e subtracção de números inteiros relativos.

4

Dados agrupados em classes. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Histogramas. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


10’ 30’ 10’ 30’

5

Mediana e quartis. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Diagramas de extremos e quartis. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


10’ 30’ 10’ 30’

6

Raciocinar, resolver e comunicar. Histogramas e diagramas de cauleefolhas. Tarefas intermédias e remissões de final de página.


10’ 30’ 30’

7

Média, moda ou mediana? Tarefas intermédias e remissões de final de página. Amplitude ou amplitude interquartis? Tarefas intermédias e remissões de final de página.


10’ 30’ 10’ 30’

8

Simetria e enviesamento. Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tarefa de investigação – «Tempo de espera em dois hospitais».


10’ 30’ 40’

9

Raciocinar, resolver e comunicar. Tarefa de investigação – «Tabelas e gráficos com a folha de cálculo».


10’ 70’

10 e 11

5’ 20’ 15’


Tarefas de ligação: «Temperaturas» (Percurso A). «Temporal em Lisboa» (Percurso B). E ainda: «Área ardida». A tarefa suplementar aqui proposta, e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagens adquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior, pretende ser uma alternativa ou um complemento às tarefas propostas no Manual para preparar a abordagem a funções. Avaliação global de conhecimentos. A avaliação global de conhecimentos deve ser efectuada individualmente, utilizando as sugestões de auxílio. No final, a sua discussão e correcção deve ser efectuada em grande grupo.

45’ 45’ 45’

70’

93

10.4 Propostas de resolução +RRC 1. O lanche do João Objectivo principal: Análise de gráficos de barras. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível: Através da análise de um gráfico de barras, o aluno concluirá que o João necessita de pedalar durante 19 minutos e 12 segundos para gastar as calorias correspondentes aos alimentos ingeridos ao lanche.

2. Alnia e Belnia Objectivo principal: Análise de gráficos de barras e gráficos circulares. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: De acordo com o gráfico de barras (jornal Alnia), o valor aproximado do consumo médio diário de água é de 250 ᐉ. Por exemplo, a partir do gráfico de barras, calcula-se a frequência relativa e obtém-se: banhos (40%); W.C. (20%); roupa (12%); loiça (10%); comida (6%); outros (12%), que não são iguais nos dois gráficos.

3. Mochilas Objectivo principal: Fazer a correspondência entre gráficos de barras e gráficos circulares. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: O gráfico A não está correcto porque a barra correspondente aos «pés e tornozelos» tem altura superior à barra correspondente ao item «outros», contrariamente ao que é indicado no gráfico circular. O gráfico C não está correcto porque, por exemplo, as barras correspondentes às «mãos, punhos e cotovelos» e «ombros e costas» têm altura inferior à barra correspondente ao item «cabeça e face», contrariamente ao que é indicado no gráfico circular.

4. Em busca do erro Objectivo principal: Análise de gráfico de barras, circulares e pictogramas. Organização da turma: Trabalho em grupos de pares. Estratégia de resolução possível: Com esta tarefa pretende-se, essencialmente, desenvolver as capacidades de observação e de crítica dos alunos. 4. a) Tipo de sangue de 32 alunos da turma: o total de alunos no gráfico é de 30 em vez de 32. b) Tempo de leitura semanal da Joana: o pictograma dá-nos a quantidade de livros lidos durante uma semana e não o tempo de leitura, como o seu título diz.

94 •


c) e f) Estes gráficos não são pictogramas, pois correspondem a gráficos de barras onde se substituíram as barras verticais por desenhos alusivos ao tema. d) Iogurtes consumidos: devia ser um histograma em vez de um gráfico de barras. e) Número de sandes vendidas: na quinta-feira tem o símbolo da chávena em vez do da sandes.

5. Produção de fruta tropical Objectivo principal: Análise de gráficos de barras e gráficos de linhas. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível: Quantidade média de cada cultura, em milhões de frutos, que foi produzida no período de 1995 a 2000: tangerina = 5250; abacaxi = 1080; mamão = 1470; laranja = 107 550. O gráfico que apresenta a produção e que representa a moda entre os anos de 1995 e 2000 é o gráfico da produção de laranja, com 645 300 milhões de frutos.

6. Glória da Estatística Objectivo principal: Actividade lúdica de consolidação de aprendizagens adquiridas ao longo do tema. Organização da turma: Trabalho em grupos de pares. Estratégia de resolução possível: 1 – A; 2 – C; 3 – B; 4 – A; 5 – C; 6 – C; 7 – A; 8 – B; 9 – C; 10 – C; 11 – B; 12 – C; 13 – C; 14 – C.

10.5 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação Tempo de espera em dois hospitais Recorrendo à calculadora gráfica é possível obter diagramas de extremos e quartis e interpretar dados, contextualizados numa situação específica. A máquina calculadora gráfica pode, desta forma, ser usada, dado que torna mais praticável a comparação de dados, não dispensando, no entanto, que os alunos saibam construir diagramas de extremos e quartis. O recurso às tecnologias é desta forma, explorado nestas duas tarefas, conferindo-lhes um sentido prático. A sua utilização é referida no Programa.

Tabelas e gráficos com a folha de cálculo Esta tarefa de investigação pretende ensinar os alunos a inserir dados, efectuar cálculos e obter histogramas e polígonos de frequência utilizando a folha de cálculo. A utilização de programas de cálculo permite obter gráficos diferentes, com grande rigor. A utilização desta ferramenta, caso seja desconhecida pelo aluno, não constitui uma dificuldade, uma vez que a tarefa é acompanhada por um guião.

95

10.6 Tarefa de Ligação (outros percursos) Área ardida Conteúdos utilizados: Representação gráfica, análise de gráficos. Organização da turma: Trabalho individual. Sugestões de ligação com os restantes temas: A partir das conclusões da tarefa, pode servir de ligação a um tema de: • Álgebra (funções); • Números e operações.

Número de hectares (ha)

Os gráficos seguintes mostram a área ardida nos meses de Julho e Agosto, entre 1980 e 2005, em Portugal, e a previsão da área que arderia, segundo um modelo.

Área ardida Área que a situação climatológica de Maio e Junho indicava que ardesse

1 000 000 Nota: Como a amplitude entre o valor máximo e o valor mínimo da área ardida é muito grande, no eixo vertical utiliza-se uma escala diferente para cada um dos intervalos: 1000 a 10 000 10 000 a 100 000 100 000 a 1 000 000

100 000

10 000

1000

1980

1985

1990

1995

2000

2005 Ano

1. Qual é o valor da área ardida no ano de 2000? E no ano de 2005? 2. Qual foi o ano em que se registou maior área ardida? E menor? 3. Determina a diferença entre o número de hectares ardidos em 1980 e o número de hectares ardidos em 2005. 4. Em que anos a previsão de área ardida feita pelo modelo é aproximadamente igual à área efectivamente ardida? 5. Qual foi o ano em que a previsão se afastou mais da área efectivamente ardida? Adaptado de Projecto «1001 itens» (GAVE)

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Proposta de resolução da Tarefa de Ligação Área ardida Para responder às questões elaboradas, o aluno terá de interpretar o gráfico e efectuar a recolha dos dados necessários para as respostas. 1. 100 000 ha e 500 000 ha. 2. 2003. 1988. 3. Cerca de 465 000. 4. Nos anos de 1991, 1992, 1996 e 2000. 5. Em 1997.

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