Matemática I
Matemática I Matrices Ti os de matrices Operaciones con matrices Determinante de una matriz Aplicaciones
Matriz Definición. Una matriz A es un ordenamiento o arreglo rectangular de mn números reales denotado por:
a a 2 1 22 A= M M am1 am2
...
Elemento de la matriz A n
a2n Elemento que ocupa la fila i y la columna j O M ... amn .. .
a11 a12 a 21 a22 A= M M am1 am2 Columna 1
C1
a1n ... a2n O M ... amn ...
Columna n
Cn
Observa que hay m filas y n columnas
fila 1: f1
a m:
m
Llamamos orden de la matriz A a la expresión mxn.
Cuando m ≠ n diremos que la matriz es rectangular.
Cuando m = n diremos que A es matriz cuadrada, en este
caso también se dice que la matriz es de orden m. 1 -2 0 4 -2 y B= Dadas las matrices: A = 3 4 6 3 1 2×2 2×3
Determinar: a11 = ? , a22 = ?, a23 = ?; b12 = ?; b21 = ? ¿ Y qué pasa con a31 , a24 , b13 ?
Representación general de una matriz
La matriz
a11 a12 a a22 A = 21 M M am1 am2
... ...
a1n a2n
... amn
O
M
se representa por: A = aij m×n i = 1,2, …, m; donde j = 1, 2 ,…., n
y se lee: Matriz A de elementos aij de orden mxn Ejemplos . Forme las matrices A3x3 y B3x2 , si se sabe: i- j2 si i < j aij = 3i- j2 si i = j i2 - j2 si i > j
bi j
=
3i + 2 j 2 2i + 3 j 3
; si
2
i ≥ j
Rpta: ; si
i < j
A =
−3 −8
3
2
8
5
−7
0
Igualdad de Matrices. Dos matrices A y B, ambas del mismo orden, son iguales si tienen los mismos elementos. 1 -2 1 Ejemplo. Si =
Rpta: x = 2, y = - 4
x + y
, halle x e y.
Matemática I Matrices Tipos de matrices Operaciones con matrices Determinante de una matriz Aplicaciones
1. Matriz Fila (o Vector Fila): Cuando tiene solo una fila. Ejemplo: M1×4 = [1 -5 3 2] 2. Matriz Columna (o Vector Columna):Cuando tiene . 6 Ejemplo: E3×1 = 2 -7
3. Matriz Nula: Cuando todos sus elementos son cero. 0 0 0 Ejemplo: A = 0 0 0 0 0 0
0 0 0 B= 0 0 0
4. Matriz Cuadrada: Cuando m = n 8 - 2 1 Ejemplo: A = 3 - 5 9 - 6 0 2
Diagonal principal:
(N̊ filas = N̊ columnas)
diagonal principal
a11 a12 a a22 21 An = M M an1 an 2
...
a1n
...
a2 n
O M ... a nn n
×n
5. Matriz Diagonal: Ocurre cuando los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son todos iguales a cero. 2 0 0 Ejemplo: D = 0 4 0 0 0 8
6. Matriz Identidad. Es una matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a la unidad. Ι 2x2
= Ι2
1 0 = , 0 1
Ι3x3 = Ι3
1 0 0 = 0 1 0 , 0 0 1
Ι4
1 0 = 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
7. Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son iguales a cero. 8. Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada cuyos elementos que están por encima de la diagonal principal son iguales a cero. Ejemplos 2 -3 1 B = 0 -5 7 0 0 4
M. triangular superior
9 0 0 C = -1 4 0 2 3 -8
M. triangular inferior
9. Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada donde los elementos simétricos, respecto de la diagonal, son iguales. 1 3 8 Ejemplo: E = 3 2 7
diagonal principal
10. Transpuesta de una matriz A: Es otra matriz denotada por
At en
donde los elementos de la fila y la columna
están intercambiados. 3 -1 2 Ejemplo: A = A t = -1 ⇒ 0 7 -8
2
7 -8
Matemática I Matrices Ti os de matrices Operaciones con matrices Determinante de una matriz Aplicaciones
Operaciones con Matrices 1. Suma ( o resta) de matrices: Las matrices deben tener el mismo orden. La suma o resta se realiza termino a termino. Ejemplo:
3 7 2 -1 1 -2 6 5 2 9 -4 -6 0 -1 2 -7 + 2 0 3 4 = 2 -1 5 -3 8 5 1 4 2 8 -3 5 6 -3 4 -1
2. Multiplicación de un escalar por una matriz Cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar
Ejemplo:
− 3 6× 0 4
-18 12 1 = 0 6 − 2 24 -12 2
3. Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna. Sea la matriz fila A = ai j 1×p y la matriz columna B = bi j p×1 Definimos el producto de A con B como: A 1xp X B px1 = C 1x1 “Nº de columnas de A = Nº de filas de B”
a11 a12
b11 b 21 a1p = bp1
[a b
11 11
+ a12b21 + L
+
]
a1 p b p1
Ejemplo: [ 2 -1 3 4 ]
=
[2 (3 ) + (− 1)(4 ) + 3 (− 2 ) + 4 (2 )] = [4 ]
4. Multiplicación de Matrices. Sean las matrices A=
m×p
=
p×n
inim
l r
A
nB
como sigue: A mxp X B pxn = C mxn tal que C = [ ci j ] = “Nº de columnas de A = Nº de filas de B”
donde cij = (fila i de A)(columna j de B)
-2 5 1 2 -1 4 -3 si: A = , B = 3 1 4 2 1
Ejemplo. Determine C=AB Solución Se cumple: Nº de columnas de A = 3 = Nº de filas de B Calculo de cij = il 1 A
l mn 1
B =
1 2
c12 = (fila 1 de A)(columna 2 de B) = [1 De igual manera: c21 = 6, c22 = 16 -2
5
Nos queda: 1 2 -1 4 -3 3 1 4 2
1
=
C =
-2 -1 4
4 6
2
−
2 5 -1] −3 1 2
16
=4 =-2
Observaciones importantes 1. El producto de matrices no siempre es conmutativo. 1 2 -9 8 7 Ejemplo Sean A = -3 4 B = 6 5 4 5 -6 3 18 15 , enemos: = -81 10 11
u :
=
2 -28 11 8
Se tiene que AB ≠ BA Nota: Pero para cualquier matriz cuadrada A se tiene
AI=IA, donde I es la matriz identidad
2. Si AB=0 no podemos afirmar que A = 0 ó B = 0 Ejemplo: 1 2 ⋅ 2
3 6 −1
= 0 0 2 0 0
−4
Propiedades de las operaciones con matrices
1. Sean las matrices A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn y r∈ R: a) A + B = B + A b) A + (B + C) = (A + B) + C c) A(rB) = r(AB) 2. Teniendo las matrices ordenes adecuados para que exista la operación respectiva, tenemos:
a) A(BC) = (AB)C
b) (A + B)C = AC + BC
c) C(A + B) = CA + CB d)
A2
=
A.A , A 3
=
A 2.A
=
A.A 2 , A 4
=
A 3.A
=
A.A 3 ,etc.
Ejemplo Dadas las matrices
1 2 3 -1 5 -2 A= y B = 2 2 1 -1 0 2
Determine : A + B, A – 2B y A(2B)
Propiedades de la matriz transpuesta t
t
1. ( A + B ) = A + B t
3. ( kA ) = kA t ,
t
2.
(A ) t
t
=A
4. ( AB )t = B t A t
k ∈R
5. Si un m triz A es simétrica entonces es i u l su traspuesta es decir:
At = A
Ejercicios 1. Encontrar a, b, c, y d para que se satisfaga la igualdad: a b -a 2 3 b-a 2 = + c d 1 3d c+d 4
2. Halla una matriz B, sabiendo que su primera fila es (1, 0), y que verifica
1 0 = 1 0
3. Si A. B = I , donde
1 0 0
A
encuentre Rp:
a = 1; 1. c = − 3;
b =1 d = − 4
=
-1 2 2 = 2 1 0
−1
1 / 2
2. B
0
. =
−1 1 / 4 1
1 − 1 2
y
B
=
u 0 0
v x 0
0
0 0
3. 21
w
, z y
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Definición. El determinante de una matriz cuadrada A, denotado por │A│ o por det (A), es un escalar ( número real) Definición. Si │A│= 0, entonces se dice que la matriz A es singular o no regular; en caso contrario (│A│ ≠ 0), afirmamos que A es una matriz no singular o regular. Cálculo de los determinantes: Orden 1: A = [a11] entonces Ejemplos: A = [5] ⇒ A = 5
A
=
a11
E = [ -2] ⇒ E = -2
Orden 2:
-
a11 a12 a11 a12 ⇒ A = A= a21 a22 a21 a22
Ejemplos
=
a11.a22 − a21.a12
+
-
6 -3 1. B = ⇒B 2 4
+ -
=
( 6 )( 4 ) - ( -3 )( 2 ) = 30
B es no singular ( o regular)
-1 3 A es singular -1 -6 3 2 = 0 2. A = A = ⇒ ( )( ) ( )( ) ( o no regular) 2 -6
+
Orden 2: Regla de Sarrus a11 a12 a13 a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 ⇒ A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a a a
a21 a22
⇒ A
=
−
a11 a 22 a 33 a13 a 22 a 31
+ −
a 21 a 32 a13 a 23 a 32 a11
+ −
a23
a 31 a12 a 23 a 33 a12 a 21
+ + +
Propiedades de los determinantes
1. |AB| = |A||B|, siendo Anxn y Bnxn 2. |At| = | A | 3.El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 4.El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 5.Si una matriz tiene una fila (o una columna) nula, su determinante es cero.
6. Si a una fila (o a una columna) de una matriz se le multiplica por un escalar, su determinante queda multiplicado por dicho escalar. 7. Si A es una matriz de orden n y k es un escalar, entonces: |kA| = kn |A|.
Ejercicios
1. Dadas las matrices
1, si i < j : A = aij 3×4 = 2, si i = j 3, si i > j
2, si i < j B = bij = -1, si i = j 4×6 4, si i > j
Halle:
a) AB 10
Rpta.
-3, si i < j C = cij = 1, si i = j 4×3 4 si i >
A⋅ B =
b) Det(AC) 11
9
7
10 10
13 12 13 11 14 14
21
15 14 15 18 18
A ⋅ C = 198
2. Si A es una matriz cuadrada tal que: A 2 = B , A 3 = A , halle A22 en términos de B. 5 6 3. Dada la matriz M = , 6 9
positivos tal que: N Nt = M . Rpta: B
1 2
Rpta: N = 0 3
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1. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías, A, B y C, en dos tamaños diferentes, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8 000 grandes y 6000 pequeñas ,
.
estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.
b) Halle una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada una de las seis clases de estantería. Rpta: 1000
a) M
b)
P
=
=
8000 4000
112 000 200 000 136 000
8000
6000 6000 72 000 48 000 38 000
N
=
16 12
6
4
2. Una fabrica decide distribuir sus excedentes en tres A
productos alimenticios A, B y C , M1=
a cuatro países de África, P1, P2, P3 y P4, según se
B
C
200 100 120 P1 110 130 200 P2 220 200 100 P3 150 160 150 P4
describe en la matriz M1 (cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los países de destino, como indica la matriz M2 (en $ por tonelada). P1
P2
P3
P4
500 450 375 350 M2= 510 400 400 350
E1 E2
Efectúe el producto de las matrices y responda: a) ¿Qué representa a 21 de la matriz producto? b) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con la empresa E2 ? c) Indica que elementos de la matriz producto te transporta el producto B a todos los países. Rpta. a) El costo de transportar por E2 el producto A a los tres países. b) El elemento a 23 . c) Son a 12 y a 22 .
3. Un empresa elabora tres productos A, B, C en tres etapas. La máquina 1 se encarga de la primera etapa de producción de A, B y C y necesita 3 horas, 1 hora y 2 horas, respectivamente; la máquina 2 se encarga de la segunda etapa de fabricación y necesita 1 hora, 2 horas y 4 horas, respectivamente, para A, B y C. Finalmente, la máquina 3 se , , respectivamente. Si se elaboran 200 unidades de A, 150 unidades de B y 220 unidades de C, haga uso de operaciones matriciales para determinar el número de horas que cada máquina trabajará en todo el proceso. Rpta: la máquina 1 utiliza 1190 horas, la máquina 2 utiliza 1380 horas y la máquina 3 utiliza 770 horas.
