INDICE CAPITULO I
1. Matemá Matemátic ticaa Financ Financier ieraa 1.1. Introd Introducc ucción ión 1.2. Defini Definició ciónn 1.3. Relación de la Matemática Financiera con otras disciplinas
CAPIT!" II 1. .Interés Simpe !.1. Intr"#$cci%n !.!.De&inici"n #e Interés Simpe !.1
I#T$R$% %IMP!$. TA%A D$ I#T$R$%. TA%A D$ I#T$R$% A! R$&ATIR. R$&ATIR. TIP"% D$ I#T$R$% %IMP!$. TA%A PA%I'A. TA%A ACTI'A. %PR$AD. PR"&!$MA% $CACI"#$% D$ 'A!"R $(I'A!$#T$ D$ I#T$R$% %IMP!$ PR"&!$MA% PR"P$%T"% I#T$R$% C"MP$%T" 'A!"R FTR" " M"#T" C"MP$%T" 'A!"R PR$%$#T$ " CAPITA!. PR"&!$MA% TA%A A#A! A#A! $F$CTI'A TA%A D$ I#T$R$% #"MI#A!. TA%A P$RI"DICA. PR"&!$MA%. 'A!"R 'A!"R FTR"$# F TR"$# F#CI"# A !A TA%A TA%A #"MI#A!. 'A!"R PR$%$#T$ ACTA! $CACI"#$% D$ 'A!"R$% $(I'A!$#T$% D$%C$#T"
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TA%A D$ D$%C$#T". D$%C$#T" %IMP!$ #"M$#C!ATRA #"M$#C!ATRA C!A%$% D$ D$%C$#T" D$%C$#T" FI#A#CI$R". D$%C$#T" C"M$RCIA!. D$%C$#T" C"MP$%T". C!A%$% D$ D$%C$#T" C"MP$%T". PR"&!$MA% D$%C$#T" &A#CARI" C"MP$%T" A#A!IDAD $!$M$#T"% D$ #A A#A!IDAD. A#A!IDAD. Tasa Tasa de una Anualidad. C!A%$% D$ A#A!IDAD 'A!"R FTR" D$ #A A#A!IDAD '$#CIDA. 'A!"R PR$%$#T$ D$ #A A#A!IDAD '$#CIDA. FACT"R$% FI#A#CI$R"% A#A!IDAD A#TICIPADA 'A!"R FTR" D$ #A A#A!IDAD A#TICIPADA 'A!"R PR$%$#T$ D$ #A A#A!IDAD A#TICIPADA PR"&!$MA% A#A!IDAD$% DIF$RIDA% 'A!"R FTR" D$ #A A#A!IDAD DIF$RIDA 'A!"R PR$%$#T$ D$ #A A#A!IDAD DIF$RIDA A#A!IDAD P$RP$TA 'A!"R FTR" D$ #A A#A!IDAD P$RP$TA 'A!"R PR$%$#T$ D$ #A A#A!IDAD P$RP$TA '$#CIDA. 'A!"R PR$%$#T$ D$ #A A#A!IDAD P$RP$TA A#TICIPADA 'A!"R 'A!"R PR$%$#T$ PR$%$#T $ D$ #A A#A!IDAD P$RP$TA P$RP$T A A#TICIPADA A#TICIPADA C)A R$#TA I#ICIA! %$A DI%TI#TA D$ !"% D$MA% 'A!"R PR$%$#T$ D$ #A A#A!IDAD P$RP$TA DIF$RIDA '$#CIDA AM"RTI*ACI"#
A+anca,- / D$ A+ril del 20.
CAPIT!" I
1. MATEM'TICA FINANCIE(A 1.1.Intr"#$cci%n Desde el punto de ista matemático- la +ase de las Matemáticas Financieras la encontramos en la relación resultante de reci+ir una suma de dinero- o, llamado 'alor Actual- , la otra- 'alor Futuro- transcurrida un periodo de tiempo. !a diferencia entre el 'alor Actual , 'alor Futuro responde por el alor asinado por las personas al sacrificio de consumo actual , al rieso 4ue perci+en , asumen al posponer el inreso. Micael Par5in en su o+ra Macroeconom6a nos a+la- 4ue el dinero- el fueo , la rueda an estado con nosotros durante mucos a7os. #adie sa+e con certe8a desde cuando e9iste el dinero- ni su orien. $n forma similar- la Matemática Financiera cu,o :nesis está en el proceso de la transformación de la mercanc6a en dinero o se;n la Teor6a del 'alor< $l alor solo e9iste de forma o+=etia en forma de dinero. Por ello- la ri4ue8a se tiene 4ue seuir produciendo como mercanc6a- en cual4uier sistema social. $l %istema Financiero está esencialmente liado o inculado a las Matemáticas Financieras- por ello descri+imos en forma escueta su orien de la Teor6a del 'alor. Por el a7o 13>0 ? 13@@ antes de Cristo- aparece el papel moneda conerti+le primero en Cina , lueo en $uropa Medioeal- donde fue e9tendido por los oferentes , sus clientes. %iendo el otro alioso- los orfe+res lo manten6an el oro a +uen recaudo en ca=as fuertes. $n este proceso- el orfe+re se dio cuenta 4ue su ca=a esta+a lleno de oro en custodia , le nace la +rillante idea de prestar a las personasco+rando por sus sericios un inter:s el oro seu6a en custodia , sólo entrea+a un papel en 4ue anota+a la cantidad prestada- tomando como preisión el no irar reci+os 4ue e9cedieran su capacidad de respaldo. %e dio cuenta de 4ue intermediando entre los artesanos 4ue ten6an capacidad de aorro en oro , los 4ue necesita+an- pod6a anar muco dinero. As6 es la forma en 4ue nació el actual mercado de capitales- so+re la +ase de un sistema financiero mu, simple- de carácter intermediario.
1.!. C"ncept".B!a Matemática Financiera estudia el alor del dinero en el tiempocom+inando el capital- la tasa , el tiempo para o+tener un rendimiento o inter:s- a tra:s de m:todos de ealuación 4ue permiten tomar decisiones de inersión. 1.). (eaci%n #e a Matemática Financiera c"n Otras Discipina. C"n a C"nta*ii#a#. !a Conta+ilidad suministra información financiera , conta+le- en +ase a reistros t:cnicos de la operación reali8ada- 4ue permiten tomar la decisión más acertada en el momento de reali8ar una inersión. C"n e Derec+". !as le,es reulan las entas- los instrumentos financierostransportes terrestres , mar6timos- seuros- correta=e- arant6as , em+ar4ue de mercanc6as- la propiedad de los +ienes- la forma en 4ue se pueden ad4uirir los contratos de compra , enta- ipotecas- pr:stamos a intereses. C"n a Ec"n"m,a. !a $conom6a +rinda la posi+ilidad de determinar mercados- en los cuales- un neocio o empresa- podrán o+tener ma,ores +eneficios económicos. C"n a Ingenier,a. !a Inenier6a controla los costos de producción en el proceso fa+ril- en el cual influ,e de una manera directa la determinación del costo , preparación de los e4uipos industriales de producción. C"n a In&"rmática. ! Informática permite optimi8ar procedimientos manuales relacionados con moimientos económicos- inersiones , neociaciones. C"n a S"ci""g,a. !a %ociolo6a proporciona las erramientas- para 4ue las empresas produ8can más , me=ores +eneficios económicos 4ue permitan una me=or calidad de ida de la sociedad , con las finan8as. Para ello la Matemática Financiera son la aplicación eminentemente práctica- su estudio está 6ntimamente liado a la resolución de pro+lemas , e=ercicios en el mundo de los neocios. Dinero , Finan8as son indispensa+les e indeslia+les.
CAPITULO II !.-INTE(ES SIMPLE. $s el inter:s 4ue se paa o se ana sólo so+re la cantidad oriinal o principal 4ue se pidió prestado o prestó. $l inter:s es un precio- el cual e9presa el alor de un recurso o +ien su=eto a intercam+io- es la renta paada por el uso de recursos prestados por periodo determinado. $s el factor de e4uili+rioace 4ue el dinero tena el mismo alor en el tiempo. $l inter:s es el monto paado por una institución financiera para captar recursos- as6 como el monto co+rado por prestar recursos o por colocar. $l inter:s es la diferencia entre la cantidad acumulada menos el alor inicial. !a cantidad de inter:s simple es una función de tres aria+les< 1. Cantidad oriinal 4ue se pidió prestado o principal. 2. la tasa de inter:s por periodo de tiempo. 3. n;mero de periodos de tiempo por las 4ue se pidió prestado el principal.
!.1.-TASA DE INTE(ES. $s el rendimiento de un capital colocado a tasa , tiempo determinado. $l R:dito es el rendimiento enerado por un capital representado en tanto por ciento E o tanto por uno.
!.!. TASA DE INTE(ES AL (EATI(. $s la tasa periodo aplicada al saldo deudor de una o+liación pendiente de pao. tili8ada por el %istema Financiero para la recuperación de los pr:stamos 4ue otoran.
!.). TIPOS DE INTE(ES SIMPLE. aE Inter:s %imple "rdinario- Comercial o &ancario. $ste tipo de inter:s simple presupone 4ue un a7o tiene 3> d6as , cada mes 3 d6as. A7o &ancario se;n el &anco Central de Resera. +E Inter:s %imple $9acto. $stá +asado por el calendario natural- presupone 4ue un a7o tiene 3> d6as , el mes entre 20- 2@- 3 ó 31 d6as. !./.TASA PASIA.- $s la tasa 4ue paa los &ancos por los depósitos a los aorristas. !..TASA ACTIA.- $s la tasa 4ue co+ra los &ancos por cr:ditos o pr:stamos otorados. !.2.SP(EAD. %inifica diferencial- es utili8ado en inl:s referido al diferencial de inter:s de los eurocr:ditos es decir- el porcenta=e a7adido al tipo de inter:s inter+ancario en los pr:stamos con diisas , en acepción en el mercado de opciones- referido a a4uellas estrateias. %PR$AD G Tasa Actia B Tasa Pasia $l Inter:s %imple está representado por la siuiente fórmula< I G C 9 i 9 t M G Monto I G Inter:s simple
C G Capital i G Tasa de inter:s
t G Tiempo MGCHC9i9t M G C 1 H i 9 tE M G C H I P(OLEMAS 1. n comerciante deposita 1 en una cuenta de aorros 4ue paa un inter:s simple de 0- , 4ue los mantiene a6 durante 1 a7os. na e8 transcurrido este lapso- JCuál será la cantidad de inter:s acumulado , el montoK I G JK I G 1 9 .0E 1E C G 1 I G 0. i G 0 G .0 M G 1 1 H .0 9 1E t G 1 a7os M G 10.
!. Calcule el inter:s , el monto total acumulado despu:s de un a7o. %i %L.2-. se inierten a una tasa de inter:s simple del 1 anual. I G JK M G JK I G 2 9 .1 9 1 C G 2-. I G 3. i G 1 G .1 M G 2- H 3 t G 1 a7o M G %L.2-3. ). J(u: cantidad de dinero a de+ido depositar un inersionista ace un a7o- para 4ue la inersión anara %L.1 de inter:s en un a7o- si la tasa de inter:s simple es del > anualK 1 I C G JK C G C G I G %L.1 C.>EC1E Ci ECt E i G > G .> C G %L.1->>>.>/ /. Calcular el inter:s simple 4ue produce un capital de %L.1-- en a7os al > anual. I G JK C G %L.1- I G 1- 9 .> i G > G .> t G a7os I G %L.2-. . Calcular el inter:s simple 4ue de+e paarse por un pr:stamo de %L.>-- durante 12 d6as a / N anual. I G JK 1 C G >- I G >- 9 ./ 9 3
i G /. G ./ t G
12 3>
G
1
I G %L. 1-.
3
2. $l 1 de enero del 2/ se firmó un paar: de %L.>-.- 4ue co+ra una tasa de inter:s simple del @ anual- Jen 4u: feca los intereses serán de %L.3@.K C G >- i G @ G .@ I G 3@ t G JK 3@ G >- 9 .@E t
3F@
t G >-C.@E G
3F@ FM
G .>>0 9
t G 23@ d6as.
3> 3. Calcular el monto 4ue de+e paarse por una deuda de %L. 2- al 22 de =unio- si el paar: fue firmado el 3 de enero al 0 de inter:s anual. M G JK C G 2- M G C 1 H i tE i G 0 G .0 M G 2- 1 H .0 9 13E 1M3 M G 2- 1.31/////0E t G 13 d6as G M G %L.2-3.> 3> 4. JA 4u: tasa se inter:s el monto de %L.2- será %L.21-2- a inter:s simple en @ mesesK 21-2 G 2- 1 H i 9
C G 2-
212
M G 21-2 i G JK t G @ meses G
2 212 @ 12
G
3
2
G1 H B 1 G
3 i M 3 i M
3 M
E
12 2
G
3 M
i
M
i G
2
i G .0 G 0
2F
5. n art6culo ale %L.1-0. al contado- un comprador coniene paar %L.0. al contado , el resto a > d6as- con un recaro del so+re el precio de contado. J(u: tasa de inter:s simple anual o+tendráK Recaro por enta a pla8o G 10 9 . G @ 1 C G 1-0 ? 0 G 1 @ G 1 i E E I G @ > i G JK t G > d6as 9
1 3>
G
1
i G
>
FM 1
G
10. n comerciante paó %L.- por un paar: de %L.-- firmado el 1 de =ulio de este a7o con el 31. de inter:s simple anual. J$n 4u: feca le paóK - G - 1 H .31 9 M G - tE MF C G - G 1 H 31 9 t i G 31. G .31 MM t G JK MF − MM G .31 9 t MM
t G
1 MM x.31F
G
1 13.0>
G 2.@/
t G 2> d6as
%e firmó el 1 de =ulio , se paó el @ de aosto del 2>.
11. na persona colocó la cuarta parte de su capital a una tasa de inter:s simple del 3> anual durante meses , el resto al 2 anual durante un a7o. %i por la primera inersión co+ró %L.0. de inter:s- JCuánto co+ró de inter:s por el restoK C1 G
X
M
i G 3> anual G .3>
t G meses G meses 9 I1 G 0.
1año 12
C2 G
O G %L.2-0
3 X M
C1 G
i G 2 anual I2 G JK t G 1 a7o
C2 G
20 M
3 M
G %L./
2-0E
C2 G %L.2-1 M X I2 G 21 9 .2 9 1 a7o 0 G .3>E E M 12 I2 G %L. . 1!. !uis , ulio forman un capital de %L.->. !uis inierte su capital a una tasa de inter:s simple del 1 trimestral , ulio inierte su capital a una tasa de inter:s simple del 0 semestral- iualándose sus intereses en > a7os. JCuál es la diferencia de sus capitalesK %ea O capital de !uis ) capital de ulio O H ) G -> QQQ.. 1E i9 G 1 trimestral t9 G > a7os G > a7os
Mtrim 1año
G 2 trim
I9 G O .1E 2E I9 G 2. O QQQ.2E I, G ) .0E 9 12 I, G .@> ) ..........3E I9 G I,
i, G 0 semestral t, G > a7os G >a7os
2 semest 1año
G
12sem 2. O G .@> )
O G
.@>Y 2.M
Reempla8ando en 1E .@>Y
.@> ) H 2. ) G -> 9 2.
3.3> ) G 13-
)G
O H - G -> ) ? O G - ? 1->
O G 1-> %L. 2-
2.M
H ) G ->
13-MM 3.3>
G %L.-
1). %i un capital se presta a una determinada tasa de inter:s simple- de tal manera en meses produce un monto de %L.33-/- en / meses produce un monto de %L.3-2. JCuál será el monto al t:rmino del a7oK C1 G JK M2 G 3-2 t1 G meses 33-/F M1 G 33-/ C1 G 33-/ QQQ..1E 1 + Fi C2 G JK 3F-2F C QQQ. 2E 2 G t2 G / meses 1 + /i C1 G C2 33-/F 1 + Fi
G
3F-2F 1 + /i
> i G 1@
33-/ H 23>-2 i G 3-2 H 1/>-2 i i G 2.
Reempla8ando 1E
C1 G
33-/F
G 1 + FC.2FE
M3 G JK C G 3- t3 G 1 a7o G 12 meses i G 2.
33-/F 1.12F
G %L.3-
M3 G 3- 1 H .2 9 12E M3 G %L.3@-
1/. %e impone un capital de %L.3>- en dos &ancos- una parte a una tasa de inter:s simple del 0 anual , la otra parte- a una tasa de inter:s simple del > anual- o+teni:ndose anualmente %L.2->2 de anancia. allar la seunda parte del capital. %ea O la primera parte ) la seunda parte O H ) G 3>- QQQQ. 1E I9 G O .0E 9 1 I9 H I, G I I, G ) .>E 9 1 .0 O H .> ) G 2>2 2>2 − .>Y OG QQ.2E .0
Reempla8ando en 1E
2>2 − .>Y .0
H ) G 3>-
2->2 H .2 G 2-00
2->2 ? .> ) H .0 ) G 3>- 9 .0 .2 ) G 2>
) G %L.13-
1. Andrea tiene %L. 4ue presta a una tasa de inter:s simple del 1 mensual , Fa+iola tiene %L.> 4ue presta a una tasa de inter:s simple del 1 +imensual. Dentro de cuanto tiempo los montos serán iualesK C1 G M2 G JK i G 1 mensual M1 G H 9 .1 9 t t G JK M1 G H t M1 G JK M2 G > H > 9 . 9 t C2 G > M2 G > H 3 t i G 1 +imensual M1 G M2 t G JK H t G > H 3 t 1 t G 2 t G 2 meses 12. Despu:s de cuanto tiempo un capital colocado a una tasa de inter:s simple del 2 anual se triplicaK t G JK MGC1Hi9tE c G O 3O G O 1 H .2 9 t E M G 3O 3 G 1 H .2 t i G 2 anual 2 G .2 t t G 1 a7os 13. Cuando un capital se presta durante a7os- el monto 4ue se o+tiene ser6a %L.12- pero si se presta a7os ser6a %L.13-. allar el alor de la tasa de inter:s simple. C1 G JK t2 G a7os t1 G a7os M2 G 13- M1 G 12- C2 G JK
C1 G
M C1 + i.t E
G
12- 1 + Mi
13-F
C2 G
QQQ..
1 + Fi
QQQ. 2E
1E G 2E
1E
12-
12 H > i G 13 H i
> i G 1
1 + Mi 1
i G
M
G
13-F 1 + Fi
G .2 9 1
i
G 2
14. JA 4u: inter:s simple anual se de+e imponer un capital de %L.1- para 4ue en un tiempo de a7os se pueda comprar una refrieradora de %L-2 4ue su+e de precio cada a7o en un 1K !a refrieradora cuesta %L.2 9 .1 G 2 9 G 12 i G JK C G 1 M G 2 H 12 G 3/ t G a7os M G %L.3-/ I G C 9 i 9 t
I G
M G C H I G 3/ ? 1 H I
I c.t
G
I G 22 i G
22F 1F xF
G .3 9 .1 I G 3
15. JCuál es el capital 4ue colocado a una tasa de inter:s simple del > 4uincenal- enera en 2 meses un monto de %L.>2. K M C G JK C G i G > 4uincenal C1 + i.t E t G 2 meses G 4uincenas >2 >2 C G G C G %L.- M G %L.>2 1 + .> x M 1.2M !0. Calcular el inter:s producido por %L.3-- impuesto a una tasa de inter:s simple del 1 anual durante 3 a7os. I G JK IGC9i9t C G 3 I G 3 9 .1 9 3 i G 1 annual t G 3 a7os I G %L.1-3. !1. JCuál es el capital 4ue se coloca a una tasa de inter:s simple del 2 anual durante 3 a7os- se o+tiene un inter:s de %L.1->2K C G JK i G 2 annual t G 3 a7os
CG CG
I i.t
G
1->2 ./F
1->2 C.2FE3
G %L.2-1>.
!!. JA 4u: tasa de inter:s simple la suma de %L.2-- producirá un monto de %L.20- en un a7o mesesK 1año i G JK t G 1 a7o H meses 9 C G 2- 12meses M G 20-
t G
M 3
a7o
20- G 2- 1 H i 9 1. G 1 H
M G C 1 H I 9 tE
M 3
i
. G
M 3 M
3
E
i
i G .3 9 1 i G 3 !). JCuál es el monto producido por un capital de %L./-2- colocado a una tasa de inter:s simple del 1 trimestral- durante 3 a7os , mesesK M 1trimest M G JK t G meses H G C G /-2 3 3meses i G 1 trimestral trim M G C 1 H i 9 tE t G 3 a7os H meses G meses M MG/-2 1H i 9 E G %L. 0-1>. 3
!/. JCuál es el capital 4ue se coloca a una tasa de inter:s simple del 12 semestral durante 3 a7os- se o+tiene un inter:s de %L.1->2K C G JK t G 3 a7os G 3> meses 9
1 sem >mes
G
CG
I i.t
1->2 >sem C G G %L.2-1>. i G 12. semestral C.12FEC>E I G 1->2 !. n capital se diide en 3 partes iuales- las cuales se imponen una tasa de inter:s simple del 1- 1/ , 1@ anual. Al ca+o de cuanto tiempo producirá un inter:s iual al capital.
C1 G C2 G C3 G
1 3 1 3 1 3
O
I1 G
O
I1 HI2HI3 G Ir
I2 G
O
C1 H C1 H C1 G Cr
I3 G
I1 H I2 H I3 G CGI
1 3
9G
9 .E t I G
1 3
1 3
9 .E t
1 3 1 3 1 3
9 .1E t 9 .1/E t 9 .1@E t
9 .E t t G
3 .F
t G > a7os
!2. JCuál es el monto producido por un capital de %L./-2- colocados a una tasa de inter:s simple del anual- durante 3 a7os , mesesK MGJK 1 C G /-2 M G /-2 1 H . 9 E i G anual 3 1año 1 M G %L. 0-1>. t G 3a7osHmeses G 12meses
3
a7os !3. Determinar el inter:s enerado al depositar %L. 3->- a una tasa de inter:s simple del trimestral durante / meses. I GJK 1trimest C G 3-> t G / meses G / meses 9 i G trimestral 3meses
t G
/ 3
trimestres
I G 3-> 9 . 9
I G C 9 i 9 t !4. JCuánto de dinero de+e un comerciante despu:s aora a una tasa de inter:s simple del / anualK M G JK t G a7os C G 1- i G / anual
/ 3
I G %L. 2. de a7os- si pidió prestado %L.1- M G C 1 H I 9 tE M G 1- 1 H ./ 9 E M G %L.12-0.
!5. n comerciante deposita %L.- en una cuenta de aorros del &anco de Cr:dito 4ue paa una tasa de inter:s simple del 1 anual , lo mantiene durante a7os , meses. calcular el monto acumulado durante ese periodo. C G - i G 1 anual M G C 1 H I 9 tE t
G a7os H meses
1año 12meses
G
M G 1 H .1 9
1> 3
E
M G %L./->>>.>/
1> 3
)0. na computadora portátil cuesta %L.3- al contado- un comprador coniene en paar %L.1- al contado , el resto a @ d6as- con un recaro del > so+re el precio de contado J(u: tasa de inter:s simple anual o+tendráK 3- ? 1- G %L.2- G C 3- 9 .> G 10 G I 10 C G 2- I I G 10 i G G 2C 1 E t G 3 meses 9
1año
12meses
G
1 M
c.t
i G .3>
M
i G 3>
)1. Calcular el inter:s simple 4ue produce un capital de %L.1>- en a7os , 2 meses al . anual. I G JK 31 C G 1>- I G 1>- 9 . 9 1año > t G a7os H 2 meses 9 I G %L. 3-/2 12meses )!. JCuál es el monto producido por un capital de %L.1-- colocado al anual a inter:s simple- durante a7os , mesesK MGJK M G C 1 H I 9 tE F3 C G 1- M G 1- 1 H . 9 E i G anual 12 1año M G %L. 10-312. t G a7os H meses 9 G 12meses
F3 12
)). Serl, tiene %L.1- 4ue presta al mensual , Fa+iola tiene %L.2- 4ue presta al +imensual. JDentro de cuánto tiempo los montos serán iualesK C1 G 1- t GK i G mensual C2 G 2-
i G+imensualG
F 2
M1 G 1 1 H . 9 tE QQQ 1E M2 G 2 1 H .2 9 tE QQQ 2E
mG2.
mensual M1 G M2 1 1 H . 9 tE G 2 1 H .2 9 tE .2 t G
t G 2 meses.
)/. %e inierte %L. 3- aora- esperando o+tener %L.- de monto en una feca posterior. JCuándo de+erá reci+ir el dinero a fin de anar al 0 de inter:s simple anualK I G ? 3 I G 1- 1 F I C G 3- t G G 3-F x.0 M G - Cxi t GK t G .3> a7os i G 0 anual ). !a diferencia de dos capitales es %L.2. $l primer capital se impone al 1> , el seundo capital se impone al 2- am+os a inter:s simple. %i al ca+o de un a7o los montos son iuales. allar el ma,or capital. C1 G C2 G 2 QQQQ 1E M1 G M2 C1 1 H .1> 9 1E G C2 1 H .2 9 1E
C1 G
1.2 1.1>
C2 QQQQ. 2E
Reempla8ando en 1E C1 G C2 G
1.2 1.1> 232
C2 B C2 G 2
1.2 C2 B 1.1> C2 G 2 1.1>E C2 G %L.-0
.M
C1 ? -0 G 2
C1 G %L.>-
)2. na persona coloca la mitad de su capital al >- la tercera parte al , el resto al anando anualmente %L.3-2 a inter:s simple. JCuál será este capitalK C1 G C2 G C3 G O O
x
I1 G
2 x
I3 G
>
2
.> 9 1E
2
I2 G
3 x
.>
x
H
C.32E >
.F 3
G 3-2
.M
H
>
x >
x 3
. 9 1E . 9 1E
E G 3-2 O G %L.>-
)3. Calcular el inter:s , el monto total acumulado despu:s de un a7o de %L-2- si inierten a una tasa de inter:s simple del 1 anual. I GJK IGC9 i 9 t MGJK I G 2 9 .1 9 1E I G %L.3. T G 1 a7o C G 2 M G 2 H 3 M G %L.2-3.
i G 1 anual
)4. Calcular la cantidad 4ue a de+ido depositarse ace un a7o para tener %L.1 aora- a una tasa de inter:s simple del anual. ) calcular el inter:s anado en el mismo periodo de tiempo. 1 M CGJK C G G M G 1 C1 + .F x1E C1 + i.t E t G 1 a7o C G %L.@2.30 i G anual I G M ? C G 1 ? @2.30 I G %L./.>2 )5. J(u: cantidad de dinero a de+ido depositarse ace un a7o para 4ue la inersión anara %L.1 de inter:s en un a7o- si la tasa de inter:s es del > anual. CG K I 1 t G 1 a7o CG G I G 1 i.t .> x1 i G > anual C G %L. 1->>>.>/ /0. n capital se triplicó estando colocado 2 meses con tasa de inter:s simple. allar la tasa semestral simple. CG O M G 3O t G 2 meses 9 3O G O 1 H
1 semestre >meses
1 3
G
2 >
9 i E
i G
3 F
i G >
/1. JCuál será el inter:s acumulado en 10 d6as enerado por una cuenta de aorros- a+ierta con un principal de %L.1 4ue deena una simple anual de 2K I G JK t G 10 d6as 9
1año 3>días
G
1 2
a7o
I G 1 9 .2 9 1
i G 2 anual I G %L.12 C G 1 /!. n aorrista deposita %L. cada fin de mes en el &anco de Cr:dito- 4ue paa un inter:s del 1.> mensual simple. JCuánto tendrá el aorrista lueo de 2 a7os , 3 mesesK I G JK C G I G 9 .1> 9 2/ t G 2 a7os , 3 meses G 2/ meses t G 1.> mensual I G %L<21>.
/). n capital se presta a un determinado r:dito simple. $n meses produce un monto de %L.3-0 , en 0 meses produce un monto de %L.1-. $n cuánto tiempo producirá un inter:s simple de %L.1-0K C1 G
3/-0 1 + Fi M1-M 1 + 0i
C2 G G
3/-0 1 + Fi
i G 3.//
M1-M 1 + 0i
3/-0
C G 1 + FC.3//3F0M@E C G %L.31-0 t G
1-0 31-0 x.3//3F0M@
t G @ meses
//. J(u: capital colocado entre el 1@ de a+ril al 3 de unio del mismo a7o- produce un inter:s de %L.@>- a una tasa simple de 2 mensualK C G JK t G /2 d6as 9
1mes 3días
i G 2 mensual I G @>
G 2. meses
CG C G
I i.t
@> C2.MEC.2E
C G
%L.2-.
/. n comerciante solicita un pr:stamo por %L.3- a una tasa de inter:s simple del mensual- comprometi:ndose a deoler el 4uintuplo del capital. JCuánto tiempo de+erá transcurrir a fin de reci+ir dico importeK C G 3- i G mensual 1/- G 3- 1 H 9 tE M G 3-E G 1/- G 1 H . t t GK G . t t G 1 meses /2. n comerciante se presta un capital a una determinada tasa , al ca+o de 3 meses se reci+e un monto de %L.-0/. pero si se presta+a por 2 meses más el mismo capital reci+ir6a %L.->2. JA 4u: tasa +imestral se prestó dico capitalK M-0/F C1 G K C1 G QQQ.. 1E M1 G -0/ 1 + 3i F->2F t G 3 meses C QQQ 2E 2 G C2 G K 1 + Fi M2 G ->2 F->2F M-0/F G / G /- i t G meses 1 + Fi 1 + 3i i G .1 1 9 2 i G 2 +imestral /3. JDurante cuánto tiempo se de+e colocar un capital al > semestral para 4ue el monto sea el 10 del capital a inter:s simpleK n G JK i G > semestral G > G 1 mensual > M G 10 C G 1.0 C QQQ. 1E M G C 1 H i 9 t E G 1.0 C G C 1 H .1 9 t E .0 G .1 t t G 0 meses /4. %i toma al de inter:s simple a una suma de %L.@ el 13 de setiem+re , al deoler el capital se paan %L./. de inter:s simple. J(u: d6a se i8o la deoluciónK i G t GK C G @ I G / / G @ .E 9 t
t G
/M 3>
9 3> d6as t G / d6as
%i inicio la operación el 13 de setiem+re- entonces se deolió el 2> de #oiem+re.
/5. Calcular el inter:s producido por un capital de %L.>-- impuesto al . mensual durante 2 a7os- 0 meses , > d6as. I GK C G >- I G >- 9 . 9 32.2 i G . mensual t G 2 a7os- 0 meses , > d6as t G 32.2 meses I G %L.@>>.
ECUACIONES DE ALO( E6UIALENTE DE INTE(ES SIMPLE na ecuación de alor e4uialente es una operación financiera , mercantil donde se presentan situaciones en las cuales los deudores , acreedores por conenir a sus intereses se ponen de acuerdo para cam+iar las condiciones pactadas oriinalmente- lo 4ue enera nueas relaciones contractuales como suceden< Refinamiento de deudas. %ustitución de arias deudas 4ue encen en fecas diferentes- por un solo pao. Paos anticipados con relación a una o arias de fecas de encimiento prefi=adas. Prorroas de encimiento de pla8as pactadas. Para el cálculo de e4uialencias de capitales a intereses simple es necesario fi=ar una feca focal , plantear una ecuación de e4uialencia. %i una feca focal se considera presente o momento cero- es importante del monto de la cuenta a esta feca se denomina alor presente. Análoamente- si una feca focal se considera futuo- el importe del monto de la cuenta a esta feca se denomina alor futuro. 1.B!a empresa !idel tiene una deuda con el &anco del $9terior de %L. - 4ue ence el 1 de "ctu+re , otra deuda de %L. - 4ue ence el 1 de #oiem+re. !idel neocia con el &anco , consolidó sus deudas en una sola cuenta a interes simple con encimiento a 3 de Diciem+re del mismo a7o- a una tasa nominal anual consta de 2 se re4uiere sa+er el monto 4ue cancelara !idel el 3 de Diciem+re. FF • • • •
-
1L1
O G - 1 + .2Mx
-
O
1L11
3L12
MF H - 1 + .2Mx 3> 3> />
O G -22.>/ H -1 GU
O G %L. @-32.>/.
2.B$l %r. Cerantes solicita un pr:stamo de %L. - 4ue se reistra en una cuenta a inter:s simple 4ue enera una tasa nominal mensual de 2. para cancelarlo dentro de 10 d6as. $l se7or Cerantes se adelanta al encimiento del pr:stamo , amorti8a %L.2- el d6a 3 , %L. 1- el d6a @0 JCuánto +e+erá paar el d6a 10 para cancelar la deudaK
- 1 + .2Fx
10
H1 1 + .2Fx
3
1MF G2- 1 + .2Fx 3
02
H O
3
-/ G 2-21.>/ H 1->0.33 H O
O G %L.2-..
O
2-
1-
3
-
FF
@0
10
3.B$l d6a 3 de %etiem+re- la empresa %ol %.A tiene 3 deudas con el &anco del "riente por %L. -.- %L.0- , %L.@-- 4ue encerán el 2 de "ctu+re- el 1 de #oiem+re , el 2@ de #oiem+re del mismo a7o- respectiamente. !a empresa %ol neocia con su +anco consolidar sus 3 deudas enana sola cuenta- +a=o un r:imen de inter:s simple a una tasa nominal anual de 2 , cancelar con un pao ;nico de %L.2- en feca posterior al 2@ de #oiem+re. J$n 4u: feca de+erá efectuarse dico paoK FF
H9 1 H9 -
3L@
0-
2L1
2- G - 1 + .2M
1L11
@-
2-
9
2@L11
n
CM + xE 3>
C1F + xE x + 0-1 + .2M 3> + @-1 + .2M 3>
2- G - H 133.33 H 3.339 H 0- H 0 H .339 H @- H >9
9 G %L.121.02
P(OLEMAS P(OPUESTOS $l d6a 2> de Ma,o la empresa !u9 %.A solicito un pr:stamo de %L.- 4ue deena una tasa nominal anual de 2 , de+e cancelarse el 2 de Aosto. $l 1> de unio amorti8ó %L. 2- , el 11 de ulio amorti8ó %L-. J(u: monto de+erá cancelar al encimiento del pla8oK 1->>E. $l d6a 2 de %etiem+re una empresa tiene deuda de %L.0-- la misma 4ue encerá el 21 de #oiem+re del mismo a7o. %e propone a sus acreedores cancelarlas con 2 paos iuales en las
fecas 0 de #oiem+re , 23 de Diciem+re respectiamente. JCuál es el importe de cada pao si el acreedor re4uiere una tasa nominal anual de 2 , la ealuación a inter:s simple de+e efectuarse el 23 de Diciem+re como feca focalK 1- 12- 2E.
CAPITULO III ).-INTE(ES COMPUESTO n capital está colocado a inter:s compuesto cuando se a incrementando a interalos de tiempocon el inter:s simple anado en cada uno de los interalos 4ue conforman su pla8o de colocación. A estos interalos se les llama periodos- entonces se dice 4ue el inter:s periódico es capitali8ado o conertido en capital para 4ue tam+i:n ane inter:s en el periodo 4ue le siue. !a cantidad 4ue se o+tiene al final del pla8o se llama Monto compuesto , su diferencia con el capital inicial constitu,e el inter:s compuesto. $n otras pala+ras- podr6amos decir 4ue el inter:s compuesto es producido por el capital inicial , por los intereses simples deenados en cada periodo- e9cepto el ;ltimo. Peri"#"s
1
Capita Inicia C
Interés peri%#ic" C9i
!
C1HiE1
C1HiEi
) . . . . n
C1HiE2 . . . . C1HiEn
C"n7ersi%n.
C H Ci G C1HiE 1i C1HiE1 H C1HiEiG C1HiE 1HiE G
M"nt" Peri%#ic"
C1HiE1 C1HiE2 C1HiE3 .
C1HiE2i . . . . C1HiEnB1i
C1HiE2 H C1HiE2iG C1HiE2 1HiE . . . . nB1 nB1 C1HiE H C1HiE iG C1HiEnB1 1HiE
.
. . C1HiEnB1
ALO( FUTU(O O MONTO COMPUESTO $l 'alor Futuro es el monto 4ue alcan8ará un flu=o de efectio o una serie de flu=os durante determinado periodo a cierta tasa. !a fórmula es la siuiente< % G C 1 H i En n G Tiempo % G 'alor Futuro o Monto i G Tasa C G 'alor presente o Capital P(OLEMAS %e coloca un capital de %L.-@> al 2 de inter:s por periodo- durante un pla8o de a7os. Calcular el inter:s compuesto. Peri"#" 1 2 3
Capita -@> 1-2 >- 0-
Interés -@> 9 .2 G 1-2 1-2 9 .2 G 12-0 >- 9 .2 G 1>- 0- 9 .2 G 2-
M"nt" 1-2 >- 0- 1-
% G -@> 1 H .2 E G % G %L.1- IGM?C I G 1- ? -@> I G %L. @- n paar: por %L.- a sido irado a meses al > mensual de inter:s compuesto. allar el 'alor de su monto nominal. C G - n G meses % G - 1 H .>E i G > G .> % G KK % G %L. >>
[email protected]
n paar: de %L.2- a sido irado a 10 +imestres al / +imestral de inter:s compuesto. allar el alor de su monto nominal. C G 2- n G 10 +imestres i G / +imestres G ./ % G 2- 1 H ./ E10 % G KK % G %L.>/-@0.> n capital fue colocado al 0 trimestral durante 1 trimestres- o+teni:ndose un monto de %L.1@-33.1. allar el alor del inter:s compuesto anado. i G 0 trimestral
G .0
%GC H I
n G 1 trimestral
CG
I C1 + iE
n
−1
IG %?C
C1 + i E n %GI n C1 + i E − 1
n
% G 1@-33.1
%GC1HiE
I G JK
I G C 1 H i En ? C I G C 1 H i E n ? 1E
C1 + .0E1F − 1 C1 + i E n − 1 I G % G 1@-33.1 C1 + .0E1F n C1 + i E IG
1@-33 .1F[ C3.1/21>@11M E − 1] 3.1/21>@11M
% G %L. 13-33.1
n capital de %L.- está colocado al 0 anual de inter:s compuesto durante a7os , 3 meses. allar el monto compuesto producido. C G - i G 0 anual G .0 n
G a7os H
3meses
% G KK G
21
G
% G - 1 H .0 E.2 % G %L./-0@3.> .2 allar la tasa +imestral a la 4ue está colocado un capital de %L. 2-- para 4ue en 10 +imestres produ8ca un inter:s compuesto de %L.201-323.0 I G C 1 H i E n ? 1E I i G KK G 1 H i E n ? 1 C G 2- C n G 10 +imestres C + I G 1 H i En I G 201-323.0 C 1 H i E10 G
12
M
2- + 201-323.0F 2-
1 H i E10 G 2.>>1@2 10 lo 1 H i E G .301/30> 1 H i E10 G 2.>>1@2 1 H i G 1.
lo 1 H i E10 G lo 2.>>1@2 lo 1 H i E G .2110@2@@ 1 H i E G 2.>>1@2E1L10 i G 1. ? 1 G . i G
allar la tasa nominal a la 4ue ser6a necesario colocar un capital de %L.3-- para 4ue se conierta en %L.@>->>1. dentro de 1 meses. i G KK C G 3- % G @>->>1. n G 1 meses 2./@313 E1L1 G 1 H i 2./@313E.>>>>>> G 1 H i
% G C 1 H i En S
1 H i En G
C
1 H i E1 G
1 H i G 1./
@>F->>1.M 3F-
i G ./ i G /
n capital de %L.- fue colocado al / trimestral de inter:s compuesto- conirti:ndose en %L.@>
[email protected]. allar el n;mero de trimestres 4ue estuo colocado. C i % n
G G G G
- / G ./ @>
[email protected] KK
lo 2.@0 G n lo 1 H ./E n G
1 H i En G 1 H i En G
S C @>
[email protected] M-
n
1 H i E G 2.@0 lo 2.M@0MF lo1./
n
G
13
trimestres Calcule la cantidad total adeuda despu:s de 2 a7os si se tomaran prestado %L.2- aora- si la tasa de inter:s compuesto es del 0 anual. % G KK % G C 1 H i En n G 2 a7os % G 2 1 H .0 E2 C G 2- % G %L.2-@1>. i G 0 anual JCuántos a7os serán necesarios para 4ue %L.1 se tripli4ue su alor a una tasa de inter:s compuesto del 1 anual. n G KK C G 1- % G 3 1E G -2 i G 1 anual
-2 G 1- 1 H .1En 3 G 1.1 En lo 3 G n lo 1.1 n G
lo 3 lo1.1
n
G
11. a7os %i d.- deposita %L.- en una cuenta de aorros- el primero de ma,o del 2/- la cual paa una tasa de inter:s compuesto del / anual. JCuál es el monto dentro de 1 a7os- capitali8a+le anualmenteK C G i G / anual % G 1 H ./ E1 % G K % G %L. @-03./> n G 1 a7os allar la tasa semestral a la 4ue se de+e colocar un capital para 4ue a inter:s compuesto se cuadrupli4ue en 2 semestres.
i G KK % G C 1 H i En O G O 1 H i E2 . G 1 H i 1./10 G 1 H i
CG O M G O t G 2 semestres
i G /.10
n capital fue colocado al 0 trimestral durante 1 trimestres- o+teniendo un monto de %L.1@-33.1. allar el alor del inter:s compuesto anado. CG K S [ C1 + i E n − 1] IG i G 0 trimestral C1 + i E n n G 1 trimestres 1@-33 .1F[C1 + .0E1F − 1] % G 1@-33.1 IG C1 + .0E1F IG K I G 1@-33.1 .>0/02@E I G %L.13-33.1 JCuánto de+erá d. Por concepto de inter:s en un cr:dito de %L.>- al 1 N mensualcapitali8a+le mensualmente durante 3 mesesK I G KK % G >- 1 H .1 E3 C G >- % G >-2/./ i G 1 N mensual MGCHI n G 3 meses >-2/./ ? >- G I I G %L.2/./ n comerciante pide un pr:stamo de %L.1- aora- , paa %L.1-0 dentro de 2 a7os. JCuál es la tasa de inter:s compuesto de su cr:dito capitali8a+le anualmenteK C G 1- 10 G 1 1 H i E2 % G 1-0 1.2 G 1 H i E2 n G 2 a7os lo 1.2 G 2 lo 1 H i E i G K .3@@>23 G lo 1 H i antilo .3@@>23 G antilo lo1 H i E 1.@ G 1 H i i G @.
ALO( P(ESENTE O CAPITAL. $s el 'alor Actual de un flu=o futuro de efectio o una serie de flu=os. Calcular el alor presente de los flu=os de efectio futuro nos permite colocar todos los flu=os de efectio en condición actual- de modo 4ue todas las comparaciones puedan acerse en t:rminos de soles o,. $l alor presente de una suma V%W en una feca futura conocida- es la cantidad 4ue colocada o, a inter:s compuesto- se conierten en V%W en dica feca. !a fórmula del alor presente está dado por< S
C G C1 + iE n C G 'alor presente o capital % G 'alor futuro o monto i G es la tasa de inter:s compuesto n G es el tiempo
I G C ( 1 + i ) − 1 n
IG
[
S (1 + i )
n
(1 + i )
− 1]
n
I G Inter:s compuesto
P(OLEMAS allar el capital 4ue colocado o, al 0 semestral de inter:s compuesto- se conierte en %L.- al final de 1 semestres. S C G KK C G n i G 0 G .0 C1 + i E % G - F- F- C G 1F G n G 1 C1 + .0E 3.1/21>@11M C G %L.1/->2.0 allar el alor actual de un capital 4ue al ser colocado al > mensual de inter:s compuesto durante 13 meses a producido %L.1>@-@
[email protected] por concepto de inter:s. CG i G
KK
CG
> G .>
n G 13
CG
I G 1>@-@
[email protected]
I
(1 + i ) − 1 n
G
1>@-@
[email protected]
(1 + .>) 13 − 1
1>@-@
[email protected] 2.132@202> − 1
G
1>@-@
[email protected] 1.132@202>
C G %L.1-.
I G C ([ 1 + i ) − 1] n
J(u: importe de+o inertir o,- en un +anco 4ue paa una tasa efectia mensual del 0 para acumular %L.2- dentro de 3 meses. S 2- C G JK C G n G i G 0 G .0 C1 + iE C1 + .0E 3 n G 3 2- % G 2- CG C G %L.1-0/>.> 1.2F@/12
%i dentro de 12 d6as se a a reci+ir %L.-. JCuál será su alor actual a una tasa efectia mensual del >K 1mes
n G 12 d6as 9
3dias
F-
G meses
C G C1 + .>E M
% G - C G JK i G > G .>
CG
F- 1.2>2M/>@>
G
C G %L.3-@>.>
JCuál será el importe e4uialente o, de una deuda +ancaria de %L.1-- la cual ence dentro de @ d6as a una tasa efectia mensual del 0K 1F- C G KK C G C1 + .0E 3 % G 1- i G 0 G .0 n G @ d6as 9
1mes 3dias
CG G 3 meses
F- 1.2F@/12
C G %L.11-@/.0
Daniel desea ia=ar al e9tran=ero dentro de 10 meses en un tour cu,o costo es de %L.1-- 4uiere sa+er cuánto de+e depositar o, para acumular esa cantidad- si el dinero depositado a pla8o fi=o en el +anco ana 12 efectio anual. n G 10 meses % G 1- CG K i G 12 G
12 12
1-
C G C1 + .1E10 C G %L.0-3>.1/
G 1
Calcular el alor presente en la feca 3 de a+ril- de un &anco- cu,o alor nominal es %L.1-4ue enera una tasa efectia anual de / , de+e redimir el 3 de diciem+re del mismo a7o. CG K 1- % G1- 2MM CG i G / anual n G
C1 + ./E 3>
2MM 3>
C G %L.@-1./0 n capital de %L.>- fue colocado al > +imestral de inter:s compuesto , al retirar a enerado una anancia de %L. 132-2>.13 por concepto de inter:s. allar el n;mero de +imestres del pla8o. C G >- I G C ( 1 + i ) n − 1 i G > +imestral 132-2>.13 G >- (1 + .> ) n − 1 I G 132-2>.13 2.2/121>/ G 1.>En ? 1 n G K 3.2/121>/ G 1.>En lo 3.2/121>/ G n lo1.>E
nG
lo 3.2/121>/ lo 1.>
n G 2 +imestres
JCuánto de dinero podr6a tomar d.- en pr:stamo aora- si al ca+o de dos a7os paas %L.0- a una tasa de inter:s compuesto del 0 anualK 0-F S CG K C G G n 2 % G 0- C1 + iE C1 + .>E n G 2 a7os i G > anual C G %L./->.@/ allar el alor actual de un capital 4ue al ser colocado al / +imestral durante 1@ +imestres produ=o %L.00-/10./ por concepto de inter:s compuesto. C G JK I G C ( 1 + i ) n − 1 i G / +imestral F00-/10./ S C G C1 + E n G n G 1@ +imestres 1@ C1 + ./E − 1 i I G 0>-/10./ CG
F00-/10./ 2.>1>F2/F3F
C G %L.22-.
TASA ANUAL EFECTIA $s la tasa de inter:s real 4ue se paa anaE- despu:s de a=ustar la tasa nominal a factores tales como el n;mero de periodos de acumulación por a7o. !lamada tam+i:n tasa anual e4uialente.
m
m
j 1 H i G 1 + m
j i G 1 + B 1 m
TASA DE INTE(ES NOMINAL . $s el inter:s 4ue capitali8a más de una e8 por a7o. $s la 4ue los &ancos dan so+re los depósitos. Tam+i:n se les conoce como Tasa Porcentual Anual o tasa e9presada o coti8ada. m
j 1 H i G 1 + m
1
j
m
m
(1 + i ) G 1 H
(1 + i ) m1 − 1 G (1 + i ) m B 1 = Gm m i G Tasa efectia por periodo de capitali8ación = G Tasa nominal anual m G Frecuencia de conersión j
1
TASA PE(IODICA. $s la 4ue co+ra un prestamista o 4ue paa un prestatario en cada periodo. Puede tener un periodo anual- semestral- trimestral- mensual- diario u otro interalo. Tasa periódica G
j m
P(OLEMAS. JCuál es la tasa nominal anual capitali8a+le trimestralmente- 4ue e4uiale a una tasa efectia anual de 2K 1 = G m (1 + i ) m − 1 = G JK 1 12 mG G = G (1 + .2M) M − 1 3 i G 2 anual = G o.221 = G 22.1 JCuál es la tasa nominal semestral capitali8a+le +imestralmente- 4ue e4uiale a una tasa efectia anual de 10K 1 = G m (1 + i ) m − 1 = G JK 1 10 mG G 3 = G 3 (1 + .10) 3 − 1 > i G 10 anual = G .1/2 = G 1/.2 JCuál es la tasa nominal trimestral- capitali8a+le diariamente- e4uialente a una tasa efectia trimestral de K (1 + i ) m1 − 1 = G m @ mG G @ 1día (1 + .F) @1 − 1 = G @ i G = G @ [(1.F ) .1111 − 1] = G K
= G .00 = G .00 allar la tasa efectia 4ue se o+tiene de una tasa nominal del 1 con capitali8ación trimestralmente. m j i G 1 + B 1 i G JK m M .1F i G 1 + B 1 = G 1 anual M 12 mG G i G 1.3/E ? 1 G .10/ i G 1.0/ 3
n prestamista desea anar el 0 efectio anual so+re un pr:stamo con inter:s capitali8a+le trimestralmente. allar la tasa nominal 4ue de+e co+rar. i G 0 anual mG
12 3
1 = G m (1 + i ) m − 1 1 = G (1 + .0) M − 1 G = G (1.0) .2F − 1 = G ./// = G /.//
G
= G K
allar las tasas nominales 4ue conerti+les trimestralmente , 4uincenalmente- e4uialen a una tasa efectia del 2 anual. = G JK mG
12 3
1 = G (1 + .2) m M − 1 = G .10> < 1 = G 1 (1 + .2) 1F − 1 = G .103
G
i G 2 anual = G K m G 1
G 10.> = G 10.3
ALO( FUTU(O EN FUNCION A LA TASA NOMINAL. $s el monto 4ue alcan8ará un flu=o de efectio durante un periodo determinado a una tasa nominal. %Gc1H
j m
En.m
% G 'alor futuro o monto i G Tasa efectia = G Tasa nominal c G 'alor presente
ALO( P(ESENTE ACTUAL $s el 'alor actual de un flu=o futuro de efectio a Tasa #ominal. cG
C1 +
S j m
E
n. m
Calcular el monto de %L.>- colocados al @ de inter:s compuesto- capitali8a+le semestralmente durante 1 a7os > meses. j n.m % G JK %Gc1H E c G >-c m .@ 2@ 92 = G @ G.@ % G >- 1 H E 2 12 2 mG G2 > % G %L. 21-.22 n G 1 N G
2@ 2
na persona o+tiene un pr:stamo de %L.3- a a7os con inter:s del 0 capitali8a+le semestralmente. Calcular el monto 4ue de+e paar en la feca de encimiento. j nBm c G 3- %Gc1H E n G a7os m .@ 29 = G 0 G .0 % G 3- 1 H E 12 2 mG G 2 > % G %L.-/.33 % G JK Calcular el alor futuro apaar dentro de 10 meses por un pr:stamo +ancario de %L.3-- si deena el 22 con capitali8ación trimestral. Metodo 1 M:todo 2 10 n G 10 meses G 1. a7os n G 10 meses G G > trimestral c G 3- 3 = G 22 anual c G 3- .22 mG = G 22 anual G G . j n.m M %Gc1H E m mG .22 91. % G c 1 H i En % G 3- 1 H E % G 3- 1 H .E> M % G 3- 1.E> % G %L.1-3>.20 % G %L.1-3>.20 Calcule el monto compuesto deenado en un trimestres por una inersión de %L.3-- colocada a una tasa nominal anual de 10 con capitali8ación. +imestral. % G JK %GK c G 3- c G 3- 10 = G 10 anual = G 10 G G 3 +imestral mG> > 1año 1 mG> n G 1 trimestre 9 G a7o @ 3 Mtrim M nG G +imestral .10 > 9 X > 2 % G 3- 1 H E % G 3- 1 H .3E3L2 > % G 3- 1.3E1. % G 3- 1.3E1. %G %L.3.13>. % G %L.3-13>.1 n capital se conertirá en un monto de %L.1- en un pla8o de d6as- si ese capital deena una tasa nominal anual de 10 capitali8a+le mensualmente. M:todo 1 c G JK
% G 1- n G d6as G
MF 3>
M:todo 2 c G JK % G 1-
anual
= G 10 anual m G 12 cG cG
C1 +
S j
n G d6as G
n−m
E m 1-
C1.1@E
1.F
G
C1 +
1- .10 12 x MF L 3> E 12
G %L.@-//@.1
MF 3
= G 10 anual G
G 1. mensual
10 12
G 1. mensual
m G 12 cG
1- C1 + .1FE1.F
c G %L.@-//@.1 n capital de %L.2- se conirtió en un monto compuesto de %L.21-22.1> en el pla8o de @ d6as. %e re4uiere conocer la tasa nominal anual capitali8a+le mensualmente. M:todo 1 M:todo 2 c G 2- c G 2- % G 21-22.1> % G 21-22.1> n G @ d6as G @ 9 = G K %Gc1H
j m
1 3>
anual
n G @ d6as G @d6as 9
1mes 3días
m G 12
= G K m G 12
En.m
21-22.1> G 2- 1 H
21-22.1> G 2- 1 H 1.>120 G 1 H
j 12
j 12
E12 9 @L3>
E3 = G 2
1.>120 G 1 H
j 12
G 3 meses
E3
j 12
= G 2
n so+reiro +ancario de %L.2- 4ue deena una tasa nominal anual de 10 capitali8a+le mensualmente se canceló con un importe de %L.2-2@@.. JDurante cuYantos d6as estuo so+reirado la cuentaK M:todo 1 n G 2 d6as c G 2- M:todo 2 i G 10 anual c G 2- 10 % G 2-2@@. i G 10 anual G G 1. mensual n G JK 12 m G 12 m G 12 .10 12n % G 2-2@@. 2-2@@. G 2- 1 H E n G JK 12 12n 1.11@02 G 1.1E 2-2@@. G 2- 1 H .1EnL3 lo 1.11@02 G 12n lo 1.1 1.11@02 G 1.1EnL3 n
loC1.11@02 E
nG
12 lo 1.1F
1 12
G
.F1/2/0/ 12C.>M>>M2E
lo 1.11@02 G nG
./@@@@2/@3E
n G .>>>>>>>> 9 3>
n
lo 1.1
3 3 lo 1.11@02 lo 1.1F
G 3
.F1/2/0/ .>M>>M2
E
n G 3 ./@@@@2/@3E n G 2 d6as
Calcular el monto acumulado de %L.- al > anual con capitali8ación mensual durante > a7os , 3 meses.
M:todo 1 % G JK c G - = G > anual m G 12
M:todo 2 % G JK c G - 1año
n G > a7os H 3 meses % G - 1 H
12
.> 12
= G > anual G G >.3 a7os
> 12
G . mensual
m G 12 n G / meses
E12 9 >.2
% G - 1 H .E/
% G - 1.E/ % G %L./-2>0.1>
% G %L./-2>0.1> n deudor de+e un paar: por %L.3- 10 meses despu:s de encido el paar: coniene con su acreedor cancelarlo con un pao de %L.-. allar la tasa nominal con capitali8ación semestral 4ue corresponde a esta operación comercial. j
%Gc1H
m
En.m
- G 3- 1 H
3 2
E1L3 G 1 H
j
j 2
2
E2 9 3L2 = G 20.@
na deuda de %L.2- se co+ra =udicialmente , es paada a7os despu:s. %i la tasa +ancaria para cuentas es del 1> nominal con capitali8ación trimestral. allar< !a suma 4ue +asta+a conseuir en una cuenta de aorros al iniciarse el =uicio para cancelar la deuda en la feca del fallo. !a p:rdida 4ue sufrió el acreedor.
cG
C1 +
S j m
E
n−m
G
% G 2- 1 H
2- .1> M x F C1 + E M .1> 9
E
M
G
G @1-2//.3@ % G 30-22.>3
30-22.>3 ? 2- p:rdida del acreedor G 230-22.>3
ECUACIONES DE ALO(ES E6UIALENTES n pro+lema +ásico en las operaciones financieras es el de las inersiones e4uialentes es deciralor , tiempo produ8can el mismo resultado económico. Para reali8ar esta operación tanto el deudor como el acreedor de+en estar de acuerdo con la tasa de inter:s 4ue a de emplearse en la alternatia más coneniente , en la feca en 4ue se reali8ará. !a feca 4ue se escoe para la e4uialencia se llama Feca Focal. %i una letra a 3 d6as con alor nominal de %L.1- , la otra a @ d6as con alor nominal de %L.1-- las puede cancelar efectuando un ;nico pao el d6a >. JCuál será el importe del pao a efectuar- si la tasa efectia mensual es del 0K FF 1-
O
1
2
1-
3
O G 1- 1 H .0E1 H
1F- C1 + .0E1
O G 1-0 H 13-000.0@
O G 2->00.0@
%ustituir una deuda de %L.2- , %L.3- con encimiento dentro de 2 , meses respectiamente- por un pao con encimiento dentro de 3 meses- asumiendo una tasa nominal anual del > con capitali8ación diaria. FF 2-
1
O
2
.>
O G 2- 1 H
3>
3-
3
3
E H
O G 2- 1.122/33 H
3- .> 3 C1 + E 3> 3- 1.F122/3M3
O G %L.@->2.>2 %ustituir dos deudas de %L.1- , %L.3- con encimiento dentro de 3 , > mesesrespectiamente- por dos paos iuales con encimiento dentro de 2 , meses- asumiendo una tasa efectia mensual del . FF
O
1-
1
2
O
3
O H O 1 H .E2 G 1- 1 H .E1 H O 2.12E G 1-/ H OG
3-
>
3F- C1 + .FE
2
3F-
1.12F M/-M@>.3
O G %L.22-@.2>
2.12F
!a $mpresa Colde9 de+e cancelar al &anco de Cr:dito %L.1- dentro de > meses. %i o, efect;a un pao de %L.3-. JCuál será el importe del pao 4ue de+e efectuar dentro de meses para li4uidar su deuda- asumiendo una tasa nominal anual del @> con capitali8ación mensualK FF 3-
O
1
2
3
1-
>
.@>
O H 3- 1 H
12
E G
1F-
O H -01./ G
1F- .@> 2 C1 + E 12
1.1>>M
O H 3- 1.0E G
O H -01./ G 12-0>.0
1F- C1.0E
2
O G %L.0-//0.>1
Por el financiamiento +ancario de una computadora cu,o importe al contado es de %L.3-- se a efectuado un pao inicial de %L.. , efect;a un seundo pao de %L.2- dentro de 2 meses. JCuánto de+o paar a los meses- para cancelar la deuda- si el +anco co+ra una tasa efectia mensual del /K 3- ? G 2- FF 2-
2-
1
O
2
2
3
O H 2- 1 H ./E G 2- 1 H ./E
O H
[email protected] G 3-2/>.@@
O G %L.@0/.1@
%i e comprado un auto en %L.1- a ser cancelado en cuotas mensuales iuales JCuál será el importe de cada cuota a una tasa efectia mensual del 1.K a.B %i las cuotas se cancelan en forma adelantada. +.B %i las cuotas se cancelan al t:rmino encido. 1-
O
a.B 1- G O H
O
x
O
1
C1 + .1FE1
1- G O 1 H
H
x 1
C1.1FE
2
1- M
x
C1 + .1FE
H
x C1.1FE
1- G O 3.@1221/E +.B
O
2
2
H
H
x
3
C1 + .1FE3
x C1.1FE3
E
O G %L.2->.11
G %L<2-
% G 2- H 2- H 1 H .1E1 H 1 H .1E2 H 1 H .1E3 % G 2- 1 H 1.1 H 1.322 H 1.>/03/E % G 2- .@@33/E %G
1-22/.2>
% G %L.2->.01
M
na persona de+e %L.1- paaderos dentro de 2 a7os , %L.2- a a7os pla8o- pacta con su acreedor- efectuar un pao ;nico al final de 3 a7os ala tasa del 1- capitali8a+le semestralmente. FF 2- Calcular el alor ;nico del pao. 1-
1
O
2
3
O G 1- 1 H
2- E H C1 + .1 E2 x 2 2 2 2- 2
.1
O G 1- 1.E H
192
C1.FE
M
O G 1- 1.12E H
O G 11-2 H 1>-.
2- 1.21FF>2
O G %L.2/-/@.
JCon 4u: paos iuales a un a7o pla8o-2 a7os pla8o , 3 a7os pla8o- puede reempla8arse una o+liación de %L.12- 4ue ence dentro de a7os- si la tasa de inter:s es del 1 con capitali8ación anualK
X C1 + .1E
1
O
1 1.1
H
O
O
O
12-
1
2
3
X
H
C1 + .1E
1 C1.1E 2
O 3.>1E G 12-
H
2
X
H
C1 + .1E
3
1 C1.1E
3
G 12-
E G 12- OG
12- 3.>M1
O G %L.32-@/.@0
12.B %i o, e comprado un +ono con alor nominal de %L.1-- el cual paa una tasa nominal anual del > con capitali8ación mensual- redimi+le dentro de 2 a7os- con=untamente con los intereses acumulados. JCuál será el alor de dico +ono dentro de a7o , medio- suponiendo una tasa efectia mensual del /K 1-
O
% G 1- 1H X
C1 + ./E
10
G
O
12
.> 12
32-2.@@@
10
2
E12 9 2 G % G 32-2.@@@
32-2F.@@@MM C1 + ./E 2M
OG
32-2F.@@@MM C1./E >
O G 21-@.2
13.B JA 4u: tasa efectia mensual de %L.0- es e4uialente a 2 paos de %L-- cada uno con encimiento a 3 , > d6asK 0-
-
3
-
>
0- G 0 F
G
iG
F- C1 + i E
1
F- C1 + i E 2
H
2+i C1 + iE
− 11 ±
0- G -
1 C1 + i E
1
H
1 C1 + i E 2
E
0i2 H 11i ? 2 G
2
C11E
2
− MC0EC−2E
2C0E
i G 1>.2>
JCuál ser6a el precio de contado de un torno 4ue se ende con una cuota inicial de %L.2- , paos mensuales de %L.3- a una tasa efectia mensual del 1 mensualK FF -
2-
O 3-
-
3-
P G 2- H
1
3- C1 + .1E1
1
H
2
3- C1 + .1E 2 1
H 1
3
3- C1 + .1E3 1
H
3- C1 + .1E M
+ + + P G 2- H 3- 2 3 M 1.1 C1.1E C1.1E C1.1E P G 2- H 3- 3.@1>2E P G 2- H 11-/.0@
P G %L.1-2.0@
1.B JA 4u: tasa efectia mensual- un capital de %L.1- durante meses a+rá producido un monto de %L.1>-1.1K % G c 1HiEn 1>-1.1 G 1- 1 H iE 1.>11E.2 G 1 H i i G 1 1.B J$n 4u: tiempo acumular: %L.2-2.3- si e impuesto un capital de %L.2- en un +anco 4ue paa una tasa efectia anual del K % G c 1HiEn 2-2.3 G 2- 1 H .En 1.2/>201 G 1.En lo 1.2/>201 G lo 1.En nG
lo1.2/>201F lo1.F
G
.1F@M>M>M .2110@2@@
n G .@@
n G
n empresario de+e a su &anco dos paar:s- uno por %L.- con encimiento al 2 de aosto , otro por %L.>- con encimiento al 2 de octu+re. $l 2 de aosto- estando encido el primer paar: coniene con su &anco recoer los dos paar:s , reempla8arlo por otro- con encimiento al 3 de noiem+re- si la tasa de descuento es @ , los intereses de mora es del 12. JCuál es el alor del nueo paar:K
CAPITULO I /.-DESCUENTO $l Descuento es el proceso de deducir la tasa del inter:s a un capital determinado para encontrar el alor presente- cuando el mismo es paa+le a futuro. $l Descuento es el inter:s calculado con anticipación del alor nominal , constitu,e la diferencia entre el alor nominal o monto de una deuda a su encimiento , su respectio importe reci+ido en el presente. $l Descuento es un tipo de financiamiento respaldado en t6tulo alor< letras de cam+io , paar:. $l Descuento es una fuente de financiamiento a corto pla8o 4ue consiste- si una empresa tiene a su faor letras de cam+io por dinero 4ue le de+en otras empresas , si necesita dinero- puede reunir todas las letras , llearlos a un &anco para neociar una operación de descuento &ancario. %i un cliente del &anco tiene letras por co+rar 4ue toda6a no a encido- puede conertirlo en dinero en efectio a tra:s del descuento. Del mismo modo- puede conseuir efectio si acepta un paar: de determinado importe 4ue ence en el futuro- lo descuenta , reci+e su respectio alor presente o alor l64uido.
/.1.TASA DE DESCUENTO. !a Tasa de Descuento es la ra8ón del pao por el uso de dinero deuelto al li4uidar la operación. !a proporción deducida- o tasa de inter:s aplicada- es la Tasa de Descuento. /.!.DESCUENTO SIMPLE $l Descuento %imple es la operación financiera 4ue tiene por o+=eto la representación de un capital futuro por otro e4uialente con encimiento presente- a tra:s de la aplicación de la fórmula del Descuento %imple.
NOMENCLATU(A D G Descuento o re+a=a DR G Descuento racional 'F G 'alor final o nominal- o 'alor Futuro 'A G 'alor actual- inicial o efectio d G Tasa de Descuento n G Tiempo /.) CLASES DE DESCUENTO /.).1 DESCUENTO (ACIONAL O MATEMATICO $s la diferencia entre la cantidad a paar , su alor actual DR G 'F ? 'A 'F G 'A 1 H d 9 nE DR G 'A 1 H d 9 nE ? 'A DR G G 'A 1 H d 9 n ? 1E DR G 'A 9 d 9 n DR G 'F ? 'A DR G 'F B DR G 'F
'A G
1 + dn
DR G 'F 1 −
VF
1 + dn
C1 + dn − 1E
DR G
1 + dn
VF
dn
1 1 + dn
VF .d .n 1 + d .n
DR G 'F 1 + dn
/.).!. DESCUENTO ANCA(IO $s un procedimiento financiero 4ue consiste en la presentación de un t6tulo de cr:dito en una entidad financiera para 4ue :sta anticipe su monto , efect;e el co+ro de la o+liación. $l tenedor cede el t6tulo al +anco , :ste le a+ona su importe en dinero- descontando los astos por los sericios prestados. D F
#
n P
G Periodo de tiempo 4ue faltan para el encimiento del t6tulo alor. $l Descuento &ancario es cuando el t6tulo es una letra de cam+io. na letra de cam+io 4ue tiene un alor nominal de %L.- se descontó en el &anco del oriente cuando falta+an @ d6as para su encimiento. %e re4uiere conocer el importe del descuento racional simple 4ue efect;a el &anco del "riente 4ue aplicó como tasa de descuento una tasa nominal mensual del 1. 'F G - DR G JK n G @ d6as G 3 meses d G 1. mensual
DR G
DR G
VF .d .n 1 + d .n
F- x.1F x3 1 + .1F x3
DR G %L.21.31
JPor cuánto de alor nominal se de+erá aceptar un paar: 4ue ence el 2> de ma,o- si el paar: es sometido al descuento racional simple el 22 de mar8o del mismo a7o- en un +anco 4ue aplica una tasa nominal anual del 10 , el descontante re4uiere 4ue le sea a+onado un importe de %L.0- en la feca del descuento. 'F G JK n G 22 de mar8o al 2> de ma,o G > d6as 9
1año 3>días
G
>Faño 3>
'A G 0- d G 10 anual '# G 0- 1 H .10 9
>F 3>
E
'n G %L.0-2>.
$l 1 de a+ril- la empresa Molitalia efect;o en el &anco #ueo Mundo un descuento racional simple de un paar: con alor nominal de %L./-- con feca de encimiento el 1 de ulio del mismo a7o. Calcule el importe 4ue a+onó el &anco #ueo Mundo en la cuenta corriente de Molitalia en esta feca- con una tasa nominal anual del 1>. 'F G /- 'A G JK d G 1> anual
'F G 'A 1 H d 9 nE 'A G
n G 1 a+ril al 1 =ulio G
@1
F-
VF
1 + d .n
G 1 + .1> x
@1 3>
'A G %L.>-/2/.0 na letra de cam+io con alor nominal de %L.2- 4ue fue irada el 1Z de a+ril , descontada el / de a+ril por el &anco Comercial- con una tasa nominal anual del 10- tiene como feca de encimiento el > de =ulio del mismo a7o. Calcule el DR. 'F G 2- i G 10 anual n G @ d6as G aE.B DR G DR G
3>
@
3> VF .n.d
1 + n.d
VF .d .n 1 + d .n
2- x
G
1+
@
x.10
3> @ x.10 3>
DR G %L.0>1.2 +E.B 'A G
VF
1 + d .n
G
2- @ x.10 1+ 3>
'A G %L.1@-130./
/.).).DESCUENTO FINANCIE(O. $l Descuento Financiero es cuando las letras son la instrumentali8ación de un pr:stamo concedido por el &anco a su cliente. /.)./DESCUENTO COME(CIAL. $n este tipo de descuento los intereses son calculados so+re el alor nominal- empleando un tipo de descuento- por esta ra8ón se de+e determinar primero el descuento comercial , posteriormente el alor actual.
$l Descuento Comercial es cuando las letras proceden de una enta o de una prestación de sericios 4ue constitu,en la actiidad a+itual del cedente. DC G '# H n 9 d 'A G '# ? D 'A G '# ? '# 9 n 9 d 'A G '# 1 ? n.dE n empresario tiene un paar: de %L.- 4ue no deena intereses , ence el 2 de diciem+re. #eocia con el &anco el descuento comercial del > mensual. Calcular la feca a partir de la cual el alor actual del paar: no será inferior a %L.-3. VA VF VF − VA VF VF − VA dG VFxn
dnG1B
'F G - i G > mensual 'A G -3 n G JK VA VF
'A G 'F 1 ? d 9 nE nG
M-F − M-3F M-F x.>
d n G
G 1 ? d n n G . 9 3>
n G 2 d6as
$l empresario descuenta el paar: 2 d6as antes del encimiento , reci+irá por lo menos un alor actual de %L.-3 en la feca de 3 de ulio. n paar: de %L.2-0 no deena intereses con encimiento a los meses- descontando en el &anco. $l alor actual asciende a %L.2->0. Calcular la tasa de descuento comercial. 'A G 'F 1 ? d 9 nE 'F G 2-0 'A G 2->0 n G meses d G JK
dG
VF − VA VFxn
dG
2-0 − 2->0 2-0 xF
d G .0/120 9 12 meses d G 1.2@
Deseamos anticipar al d6a de o, un capital de %L.- con encimiento dentro de 2 a7os a una tasa anual del 1.. Determinar el descuento comercial de la operación financiera , el alor actual. 'F G - DC G '# 9 d 9 n G - 9 .1 9 2 n G 2 a7os DC G %L.1- d G 1. anual 'A G 'n ? DC 'A G - ? 1- DC G JK 'A G %L.3- $l &anco !atino descontó el de ma,o del 2> un paar: por %L.1- 4ue ten6a esta misma feca- 4ue deena una tasa de inter:s simple mensual del > , ence el de =unio del mismo a7o. %i el tipo de descuento del &anco !atino es tam+i:n del > mensual- JCuál es el descuento comercial retenido por el &anco !atinoK n G 1 mes 'F G 'A 1 H d 9 nE i G > mensual 'F G 1- 1 H .> 9 1E 'A G 1- 'F G %L.1-> 'F G 1-> d G > mensual DC G K
DC G 'F 9 d 9 n DC G 1-> 9 .> 9 1 DC G %L.>3>.
Calcular el alor actual de un paar: de %L.3-0- 4ue deena el > de inter:s mensual , ence a los @ d6as- si el tipo de descuento comercial es del /. mensual. 'F G JK 'F G 'A 1 H d 9 nE 'A G 3-0 'F G 3-0 1 H .> 9 3E i G > mensual 'F G %L.-0. n G 3 meses Descontamos este monto 'F G -0. 'A G 'F 1 ? i 9 nE d G ./ 'A G -0 1 ? ./ 9 3E 'A G K 'A G %L.3-/.1
/./. DESCUENTO COMPUESTO. $l Descuento compuesto es una operación financiera 4ue tiene por o+=eto el cam+io de un capital futuro por otro e4uialente con encimiento presente- mediante la aplicación de la fórmula de descuento compuesto. $s la inersa de capitali8ación . /.. CLASES DE DESCUENTO COMPUESTO.
/..1.Desc$ent" (aci"na $n este tipo de descuento- los intereses son calculados so+re el capital inicial es decir- so+re el 4ue resulta de la anticipación del capital futuro. $s la operación de capitali8ación compuesta- con la peculiaridad de 4ue el punto de partida es el capital DR G 'F ? 'A DR G 'F B
'A G
VF C1 + d E n
DR G 'F 1 −
[C1 + d E − 1] n
DR G 'F
C1 + d E
VF C1 + d E n
n
DR G
C1 + d E n 1
VF [ C1 + d E n C1 + d E
− 1]
n
P(OLEMAS na letra de cam+io 4ue tiene un alor nominal de %L.- se descontó en el &anco de Cr:ditocuando falta+an @ d6as para su encimiento. %e re4uiere conocer el importe del descuento racional compuesto 4ue efect;o el &anco de Cr:dito 4ue aplicó como tasa de descuento a una tasa efectia mensual del 1.. 'F G - C1 + d En − 1 DR G 'F n G @ d6as G 3 meses C1 + d E n DR G JK C1 + .1FE3 − 1 d G 1. mensual DR G - 3
DR G - .3>03>E
C1 + .1FE
DR G %L.210.2
n comerciante de+e anticipar el pao de una o+liación de %L.12- con encimiento dentro de 10 meses. %i el pao lo efect;a o,- J4u: alor tenemos 4ue entrear si la operación se acuerda a una tasa de inter:s del 10 anual compuestoK. JDe cuánto será el aorro por el pao anticipadoK 'F G 12- n G 10 meses G 1. a7os
d G 10 anual DR G JK
C1 + d E n − 1 DR G 'F n C1 + d E C1 + .10E1.F − 1 DR G 12- 1.F C1 + .10E
DR G 12- .21@0210E 'A G
VF C1 + d E n
G
12- C1 + .10E1.F
DR G %L.2->30.22
'A G %L.@-3>1./0
aE.B $l alor a entrear es %L.@-3>1./0 +E.B $! aorro por el pao anticipado es de %L.2->30.22 n comerciante tiene 4ue anticipar el pao de una deuda de %L.10- al 1 anual con encimiento dentro de 2 a7os. Asumiendo 4ue el pao lo ace o,- Jcuál es el alor 4ue tiene 4ue adelantarK 'A G
VF C1 + d E n
G
10- C1 + .1FE
'A G %L.13->1.@
2
na letra de cam+io cu,o alor nominal es %L.3- 0 , 4ue tiene una feca de encimiento el 2> de fe+rero- se descuenta en el &anco de la #ación el 10 de enero del mismo a7o- con una tasa efectia anual del 2. %e re4uiere calcular el importe del descuento racional compuesto 4ue se efect;o al alor nominal de la letra. 'F G 3-0 C1 + d En − 1 DR G 'F 3@ n n G 10 enero al 2> fe+rero G 3@ d6as G C1 + d E 3>
a7o d G 2 anual DR G JK
C1 + .2ME3@ L 3> − 1 DR G 3-0 3@ L 3> C1 + .2ME DR G 3-0 .2332@/E DR G %L.0/.3
JPor 4u: alor nominal de+erá aceptarse un paar: 4ue ence el 2> de ma,oK $l paar: será sometido al descuento racional compuesto el 22 de mar8o del mismo a7o- en un +anco 4ue aplica una tasa efectia anual del 10 , el descontante re4uiere 4ue le sea a+onado un importe de %L.0- en la feca de descuento. 'F G JK d G 10 anual 'A G 0- 'F G 'A 1 H dEn >F 'F G 0- 1 H .10E>L3> n G > d6as G 'F G %L.0-22.>0 3> ..!DESCUENTO ANCA(IO COMPUESTO $l Descuento &ancario Compuesto es una sucesión de operaciones de descuento +ancario simpleen las 4ue despu:s de la primera- su alor l64uido se constitu,e en el 'alor nominal de la siuiente , as6 sucesiamente asta llear a la feca de descuento. F%rm$a. D G 'F ? 'A 'A G 'F 1 ? dEn
D G 'F ? 'F 1 ? dEn
D G 'F
[1 − C1 − d E ] n
Pr"*ema. na letra de cam+io cu,o alor nominal es %L.3-0 , 4ue tiene una feca de encimiento el 2> de fe+rero- se descuenta en el &anco de la #ación el 10 de enero del mismo a7o con una tasa anticipada efectia de 2 anual. %e re4uiere calcular el importe del descuento +ancario compuesto 4ue se efectuó el alor nominal de la letra. 'F G 3-0 D G 'F 1 − C1 − d En 3@ D G 3-0 1 − C1 − .2ME3@ L 3> n G 2 d6as G 3> D G 3-0 1 − C./>E3@ L 3> d G 2 anual D G 3-0 .2@2@3@E D G JK D G %L.111.31 Calcule la tasa anticipada efectia mensual de descuento +ancario compuesto aplicado a un paar: cu,o alor nominal fue %L.22-3>.0 , su descuento fue %L.- en un p eriodo de d6as. d G JK '# G 22-3>.0 D G '# [1 − C1 − d En ] D& G DB G 1 ? 1BdEn n G d6as G 1. mes VN 1BdEn G 1BdEn G
VN − DB VN 22-3>.0 − F 22-3>.0
lo 1 ? dE G
lo .@//F0MF0> 1.F
1BdEn G .@//00> lo 1 ? dE G B.>>3/>@
antilo lo 1 ? dE G antilo B.>>3/>@E 1 ? d G .@0@@@@@@ d G .1
d G 1.
na letra de cam+io 4ue tiene alor nominal de %L.- fue descontada en el &anco de la #ación faltando @ d6as para su encimiento. Calcular el importe del descuento +ancario compuesto 4ue efectuó el &anco de la #ación- al aplicar una tasa de descuento anticipada del 1. mensual. '# G - D& G '# 1 − C1 − d En n G @ d6as G 3 meses D& G - 1 − C1 − .1FE3 D& G JK D& G - 9 .3203/ d G 1. mensual D& G %L.221.> Calcule el descuento +ancario compuesto efectuado a una letra de cam+io con alor nominal de %L.2-- cuando falta+a 3/ d6as para su encimiento. A este t6tulo alor se le aplicó una tasa anticipada efectia del 1. mensual. D& G JK '# G 2- D& G 2- 1 − C1 − .1FE3/ L 3 n G 3/ d6as G
3/ 3
d G 1. mensual
D& G >.1/
JCuál será el importe del descuento +ancario compuesto de un paar: con alor nominal de %L./-- el cual ence dentro de 11 d6asK !a tasa anticipada es del 12 anual capitali8a+le trimestralmente. '# G /- n G 11 d6as G
11
d G 12 anual G mG
12 3
trimestral
@ 12
M
G 3 trimestral
D& G /- [1 − C1 − .3E11 L @ ] D& G 2.0
G
JCuál de+e ser el alor nominal de un paar: 4ue será descontado el 11 de =ulio , encerá el @ de setiem+re del mismo a7o- si se re4uiere o+tener un importe l64uido de %L.2-. si la tasa de descuento +ancario es del @ anual capitali8a+le mensualmente. '# G K n G > d6as G 2 meses 'A G 2- d G @ anual G m G 12
@ 12
G ./ mensual
'A G '# 1 ? d En '# G '# G
VA C1 − d E n 2- C1 − ./FE
2
G 'n G %L2-33.1
CAPITULO . ANUALIDADES !a Anualidad es una serie de paos periódicos iuales.
.1. ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD. 18 (enta 9(8.- $s el alor de cada pao periódico. !8 Tiemp" " Pa:" #e $na An$ai#a#.B $s el interalo de tiempo 4ue transcurre entre el comien8o del primer periodo de pao , el final.
)8 Tasa #e $na An$ai#a#.B $s el tipo de inter:s 4ue se fi=a , puede ser nominal o efectia. .2. CLASES DE ANUALIDAD
# a # i a $ n A e # s e s a C
Temporales.
An$ai#a#es Ciertas R
'encidas Anticipadas Diferidas. 'encidas Anticipadas Diferidas.
Temporales
'encidas Anticipadas Diferidas.
'italicias
'encidas Anticipadas Diferidas.
An$ai#a#es C"ntingentes
%imples [enerales Impropias.
ANUALIDAD CIE(TA. !as anualidades Ciertas son a4uellas cu,as fecas inicial , terminal se conocen por estar estipuladas en forma concreta. !as Anualidades Ciertas son a4uellas cu,as condiciones se conocen de antemano es decir- se conoce el ori8onte temporal , Periodos de Renta- , se esta+lecen preiamente- enerales por contrato entre el deudor , el acreedor. !as Anualidades Ciertas pueden ser<
An$ai#a# Cierta Temp"ra. Cuando el ori8onte temporal de la anualidad es un pla8o determinado An$ai#a# Cierta Perpet$a. %on a4uellas cu,os paos contin;an para siempre. An$ai#a# enci#a.- $s cuando el pao de la renta se ace al final del periodo de pao. An$ai#a# Anticipa#a.B $s cuando el pao se efect;a al principio del periodo de pao. An$ai#a# Di&eri#a.B $s cuando el primer pao se efect;a despu:s de transcurrido cierto n;mero de periodos. ANUALIDADES CONTIN;ENTES. %on a4uellas cu,as fecas inicial , terminal depende de al;n suceso preisi+le- pero cu,a feca de reali8ación no puede fi=arse.
An$ai#a# itaicia.- %on a4uellas 4ue tienen iencia mientras dure la ida del rentista. enci#as.B Cuando las rentas se inician al final de cada periodo de renta. Anticipa#as.B Cuando las rentas se inician al comien8o del periodo. Di&eri#as.B Cuando las rentas se inician despu:s de un determinado n;mero de periodos de renta pla8o en el cual el capital inicial se a capitali8ando. !as Anualidades tam+i:n se pueden clasificar en< An$ai#a#es Simpes.- $s cuando los periodos de tasa- los periodos de renta , los importes de las rentas son uniformes. An$ai#a#es ;eneraes.B $s cuando el periodo de renta no coincide con el periodo de capitali8ación. An$ai#a#es Impr"pias.B $s cuando las rentas no son iuales- son aria+les- pueden ser crecientes , decrecientes.
ALO( FUTU(O DE UNA ANUALIDAD ENCIDA. n con=unto de rentas uniformes 4ue constitu,en una anualidad simple encida pueden llearse acia el final del ori8onte temporal de la anualidad al formar su respectio monto final o alor futuro. R1HiEnB1 R1HiEnB2 R1HiEnB3 R1HiE2 ( 0
1
(
(
!
)
(
n-!
R1HiE1
( n-1
n
% G R H R1HiE1 H R1HiE2 H QQQQQQQ.. R1HiEnB3 H R1HiEnB2 H R1HiEnB1 % G R 1 + C1 + iE1 + C1 + i E 2 + ..........C1 + i E n −3 + C1 + i E n −2 + C1 + iE n−1 %a+emos 4ue< Por Proresión [eom:trica
C1 + i E n − 1 − 1E %1 G a G % G R r − 1 C1 + i E − 1 C1 + i E n − 1 % G R i n
Cr
ALO( P(ESENTE DE UNA ANUALIDAD ENCIDA. n con=unto de rentas uniformes 4ue constitu,en una anualidad simple encida puede llearse acia el inicio del ori8onte temporal de la anualidad al formar su respectio alor presente.
0 B1
R1HiE
R1HiEB2 R1HiEB3 R1HiEBnB2E R1HiEBnB1E R1HiEBn
(
(
(
1
!
)
(
n-!
(
n-1
(
n
C1 + i E n − 1 % G R i
% G C1HiEn
C1 + iE n − 1 C1HiE G R i
C1 + iE n − 1 C G R n iC1 + iE
n
na persona deposita %L.2 al final de cada a7o- en una cuenta de aorros 4ue paa el 0 de inter:s anual. allar el monto al efectuar el ;ltimo pao. C1 + iE n − 1 % G R R G 2 i n G 1 a7os C1 + .0E1F − 1 i G 0 G .0 % G 2 .0 % G JK % G 2 2/.12113@3 % G -3.23 $merson desea comprar un contrato de anualidad 4ue le paará %L./- al a7o durante el resto de su ida. $l %euro R6mac estima 4ue su e9pectatia de ida es de 2 a7os. !a compa76a de seuros le +rinda una tasa de inter:s del > anual en sus contratos de anualidad. JCuánto tendrá 4ue paar $merson por la anualidadK R G /
C1 + iE n − 1 C G R n iC1 + iE C1 + .>E 2 − 1 C G / 2 .>C1 + .>E
# G 2 a7os I G > anual
C G / 11.>@@2122E P G %L. 0-20@. n deudor puede cancelar su pr:stamo paando o, %L<0- ó en su defecto paar %L.1Y- en un a7o. %i se considera un inter:s de 21 anual conerti+le mensualmente. allar 4ue opción le sr6a más faora+le. C G 0- % G 1Y- aEB Considerando el alor futuro si el deudor = G .21 no paara o, , coloca los %L.0- a anar m G 12 inter:s a final del a7o su monto ser6a n G 1 a7o 12 x1 .21 % G 0- 1 + G 0- 1.1/E12 12 % G 0- 1.2313@1E % G @0-11. %u compromiso de paar es 1Y- entonces 1Y- ? @0-11. G %L.1-00. es decirle faltar6an %L.1-00.. +EB Considerando el alor actual S
1- nm
12 x1
C G j G .21 1 + 1 +
m
12
G
1- C1.1/FE
12
G
1- 1.231M3@31F
C G %L.012-/.00 Como aora solo paar6a %L.0.- entonces se aorra< 012-/.00 ? 0- G %L.12-/.00 los 12-/.00 4ue se aorra- se conierte aorea al final del a7o 12 x1 .21 % G 12-/.00 1 + G 12-/.00 1.313@31E 12 % G %L.1-00. na persona para ia=ar a $spa7a- de=a una propiedad en al4uiler por a7os- con la condición 4ue se paue %L.@- por trimestre encido 4ue serán consinados en una cuenta de aorros 4ue paa 0 nominal anual. allar el monto o alor futuro , el alor actual del contrato de al4uiler. n G a7os R G @- = G 0 G .0 mG
12 3
G
% G JK C G JK
j nm R 1 + − 1 m % G j
m
.0 F x M @1 + − 1 M %G .0 M
%G
@ (1.2)
2
−1
.2
% G @ 2.2@/3>@0E
% G %L.210->/>.33 j nm .0 F x M @1 + R 1 + − 1 − 1 M m G @[1.M0F@M/3@> − 1] CG G F x M nm .2(1.M0F@M/3@>) .0 .0 j i 1 + 1 + M M m C G @ 1>.31333E C G %L.1/-1>2.@ Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de aorros 4ue paa el 0 con capitali8ación semestral para o+tener en a7os un capital de %L.2-. .0 j R G JK 2- x Sx = G 0 2 m 2 x F RG G nm 12 1 + j − 1 1 + .0 − 1 mG G 2 >
n G a7os % G 2-
RG
m
2- x.M
(1.M) 1 − 1
2
G 2 .032@@E
R G %L.1->>.02 Manfin está estudiandodos planes de aorro- el primer plan consiste en depositar %L. cada > meses , reci+ir6a intereses a una tasa anual del / compuesto en forma semestral. $l seundo plan consiste en depositar %L.1 cada a7o- con una tasa de inter:s del /. compuesta en forma anual. $l depósito inicial con el plan 1 se reali8ar6a dentro de > meses , el seundo plan dentro de un a7o. aE.JCuál es el alor final del primer plan al t:rmino de 1 a7osK +E.JCuál es el alor final del seundo plan al t:rmino de 1 a7osK
cE.J(u: plan de+e usar- suponiendo 4ue mi ;nica preocupación es el alor alor de sus aorros al t:rmino de 1 a7osK aE. R G j nm R 1 + − 1 = G / G ./ m % G 12 mG G 2 j >
m
n G 1 a7os
./ 2 x1 F1 + − 1 2 %G ./
%G
[
F ( 1.3F)
2
2
− 1]
% G %L.1
[email protected]
.3F
+E R G 1 i G /. G ./ n G 1 a7os
%G
[
1 (1 + ./F)
1
− 1]
./F
% G %L.1-1/.@
cE 1-1/.@ ? 1
[email protected] G /.2 Plan 2 por pe4ue7o maren de %L./.2 na compa76a ende neeras con una cuota inicial de %L.1 , 1> cuotas mensuales de %L.. si se cara el 1 con capitali8ación mensual. allar el alor de contado. 'alor de contado G Cuota inicial H 'alor actual de las mensualidades Cálculo del 'alor Actual. .1F 1> R 1 + − 1 1> 12 −1 ( ) F 1 . 12F G PG 1> 1> .12F(1 + .12F) .1F .1F 1 + 12 12 F[1.21@@00@FM0 − 1] PG G 1.22@22/E .12F(1.21@00@FM0) 'alor de contado G 1 H /-12.1 G %L.0-21.1
P G %L./-21.1
na persona de+e paar durante 1 a7os una anualidad de %L.- semestrales pactados al 0 anual. Al efectuar el noeno pao- desea li4uidar el saldo con un pao ;nico. Cuanto de+e paar en la feca del noeno pao para li4uidar la deuda. @
2 ? @ G 11 paos pendientes pao ;nico G - H 'alor actual de 11 paos pendientes. Cálculo de alor actual de 11 paos pendientes.
2
.0 11 R 1 + − 1 11 R[1.F3@MFMF> − 1] 2 R[(1 + .M) − 1] CG G G G - 0./>/>13E 11 11 ( ) . M 1 . F3@MFMF> + ( ) . M 1 . M .0 .0 1 + 2 2 C G %L.3-02.30 Pao ;nico G - H 3-02.30 G %L.0-02.30 JCuántos paos semestrales de %L.> de+erán acerse para paar una deuda de %L.-- con el / de inter:s capitali8a+le semestralmenteK
j nm R 1 + − 1 m C G nm j 1 + j m m
n G JK R G > C G - = G / G ./ mG
12 >
G 2
(1.3F) 2 n − 1 /. G ( .3F)(1.3F) 2 n 1.3E2n.2>2E G 1.3E2n ? 1 1 G 1.3E2n1B.2>2E 1.3@3223 G 1.3E2n nG
lo1.3FF@3223 2Clo1.3FE
G
./ 2n − 1 1 + 2 M-F G 2n > ./ 1 + ./ 2 2 (1.3F) 2 n − 1 .2>2 G (1.3F) 2 n 1 G 1.3E2n/3/E lo 1.3@3223 G 2n lo 1.3
.13223/@/F
n G .3
2C.1M@M3M@E
na o+liación de+e cancelarse en a7o con paos semestrales de %L.1-. el deudor coniene con su acreedor en cancelar la deuda en > a7os- con a+onos semestrales. allar el alor de los nueos paos- si la tasa pactada es del 1 conerti+le semestralmente. n1 G a7os RG R 1 G 1- j nm R 1 + − 1 =1 G 1 G .1 m 12 C G nm m1 G G 2 j j
1 + m m
>
n2 G > a7os R 2 G JK m2 G
12 >
G 2
= G 1 G .1
1
!
)
/
2
0 10000
10000
10000
10000
3
4
5
10
11
1!
.1 > x2 .1 M x 2 1-1 + − 1 − 1 R2 1 + 2 2 G > x 2 M x 2 .1 1 + .1 .1 1 + .1 2 2 2 2 1-C.M//MFFMMME 1.M//MFFMMM
G
R2 C./@F0F>32> E 1./@F0F>32>
1- .3231>>30E G R 2 .31>201E R 2 G 1- ./2@21>31E R2 G %L./
[email protected]
FACTO(ES FINANCIE(OS Por las llaes maestras de las Matemáticas Financieras- reci+en el nom+re de los Factores Financieros- 4ue derian de la fórmula eneral de inter:s compuesto. Tanto los paos como los inresos eefectuados en la empresa son fundamentales para el fortalecimiento de la institución- ra8ón por la cual de+e ealuarse constantemente con el o+=eto de determinar el impacto 4ue producen en el entorno empresarial- reali8ar Pro,ecciones Financieras , $studios de #ueos Pro,ectos. !os Factores Financieros siren para solucionar m;ltiples pro+lemas financieros referidos al monto compuesto- anualidades encidas , adelantadas. !as > fórmulas de Factores Financieros son<
FACTO(ES F%C G 1HiEn F%A G FC% G
1
(1 + i ) n (1 + i ) n − 1
FDFA G
SI;NIFICADO Factor %imple de Capitali8ación Factor %imple de Actuali8ación Factor de Capitali8ación de la %erie
i 1
Factor de Depósito al Fondo de Amorti8ación. Factor de Recuperación de Capital
(1 + i ) − 1 (1 + i ) n FRC G (1 + i ) n − 1 Factor de Actuali8ación de la %erie. (1 + i ) n − 1 FA% G (1 + i ) n xi Calcule el importe por despositar o, en un +anco 4ue paa una tasa efectia mensual de 3- el cual permitirá retirar durante meses a fin de cada mesE una renta de %L.@. n
C G JK i G 3 mensual n G meses R G @ (1 + .3) F − 1 FA% G (1 + .3) F x.3 'A G @ 9 ./@//10
(1 + i ) n − 1 'A G R n (1 + i ) xi (1 + i ) n − 1 FA% G (1 + i ) n xi FA% G ./@//10 'A G %L.-121./
o, se propone cancelar una deuda de %L.- 4ue ence dentro de d6as por un pao de %L.3-0. J$s coneniente para el acreedor esta propuesta- si su costo de oportunidad es efectio mensualK S % G - C G C G % 9 F%A n G d6as G 1. meses (1 + i ) n i G mensual 1
F%A G
(1 + .F) 1.F C G - .@2@20>1E Rpta.< %i es coneniente
F%A G @2@20>1 C G %L.3-/1/./1
na letra de cam+io con alor nominal de %L.2- se descontó cuando falta+an 0 d6as para su encimiento- con una tasa efectia mensual de . J(u: importe neto reci+irá el descontanteK '# G 2 'A G '# 9 F%A 1 1 n G 0 d6as G 1.> d6as F%A G n G i G mensual (1 + i ) (1 + .F) 1.> 'A G JK F%A G .@2@@0/ 'A G 2 .@2@@0/E
'A G %L.1-0@.01
na M)P$ dedicada a la crian8a de cu,es o+tiene un cr:dito de %L.3- a a7os con una tasa de inter:s compuesto del 0 anual- capitali8a+le semestralmente. Calcular el alor futuro 4ue de+e paar en la feca de encimiento. C G 3--
n G a7os G 1 semestres
i G 0 anual G
0 2
G semest m G
12 >
G 2
% G C 9 F%C F%C G 1HiEn G 1H.E1 G 1.0220 % G 3- 1.0220E % G %L.-/.33 JCuánto de+e inertirse o, a una tasa de inter:s compuesto del @ anual con capitali8ación semestral- para o+tener %L.>- dentro de 1 a7osK C G JK S
mG
12 2
n G 1 a7os G 2 semestres I G @ anualG . semestral 1
1
CG ( FG G G 1>20@ n (1 + i ) n (1 + .MF) 2 1 + i) C G >- .1>20@E C G 2-0/0./ $n un =uicio ciil por co+ro de una deuda de %L.12-- el =ue8 falla ordenando el pao de la cantidad adeudada con acumulación anual de ineter:s compuesto al 0.3 por a7os- contados desde la feca de su encimiento. Calcular el monto acumulado de la deuda. C G 12- n G a7os i G 0.3 anual %GK % G C 9 F%C F%C G 1H.03E G 1.3/>>0>> % G 12- 9 1.3/>>0>> % G %L.1>-0.2
ANUALIDAD ANTICIPADA
!a Anualidad Anticipada es una sucesión de rentas anticipadas RaE 4ue empie8an en el momento VW- a inicios del periodo de renta- como sucede con el pao de al4uileres- con las compras a pla8o cuando de+en darse una cuota inicial- con las poli8as de seuros- etc.
ALO( FUTU(O DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA Ra1HiEn Ra1HiEnB1 Ra1HiEnB2 Ra1HiEnB3 Ra1HiE2 (a
(a
0
1
(a
(a
!
)
(a
n-!
Ra1HiE1
(a n-1
n
% G Ra1HiE1 H Ra1HiE2 H QQQQ Ra1HiEnB3 H Ra1HiEnB2 H Ra1HiEnB1 H Ra1HiEn % G Ra1HiE1\1HiE H 1HiE1 H 1HiE2 H QQQ.. 1HiEnB2 H 1HiEnB1\ r n − 1 Proresión eom:trica %a+emos 4ue< % G a r 1 − Donde r G 1Hi $ntonces tenemos< (1 + i ) n − 1 (1 + i ) n − 1 % G Ra 1HiE % G Ra1HiE i (1 + i ) − 1
ALO( P(ESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA Dado una tasa efectia- las rentas 4ue constitu,en una anualidad anticipada pueden transformarse por e4uialencia financiera en su respectio alor presente- con una feca focal al inicio del ori8onte temporal de la anualidad. Puede deducirse la fórmula del alor presente de una anualidad.
Ra
0 B1
Ra1HiE
Ra1HiEB2 Ra1HiEB3 Ra1HiEBnB2E Ra1HiEBnB1E
P
(a a
(a
(a
1
!
)
(a
n-!
(a
(a
n-1
n
P G Ra H Ra1HiEB1 H Ra1HiEB2 H QQQ.. Ra1HiEBnB2E H Ra1HiEBnB1E ( 1 + i ) n − 1 S PG G % G Ra1HiE i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1 n P1HiE G Ra1HiE i (1 + i ) n − 1 P G Ra1HiE n i (1 + i )
P(OLEMAS allar el 'alor Futuro de una anualidad trimestral anticipada al > por trimestre- durante . a7os- cu,a renta es %L.1- 'F G JK i G > trimestral trimestral n G . a7os G . a7os 9 mG
12 3
Mtrimestres 1año
G 10 trimestres
G
(1 + i ) n − 1 % G Ra1HiE G 11.>E i % G %L.32-/@.@@
(1.>) 10 − 1 .> G 1 32./@@@1/
(ue monto se acumulará al t:rmino del cuarto mes- si o, , durante 3 meses consecutios se depositan %L.1 en una cuenta de aorros 4ue deena una tasa nominal anual de 2- con capitali8ación mensual. (1 + i ) n − 1 % G Ra1HiE % G JK i n G meses (1 + .2) M − 1 R G 1 % G 11H.2E .2 2M i G 2 anual G G 2 mensual % G 1.21>E 12 m G 12 % G %L.2. %e al4uila un local comercial por meses con paos anticipados de %L. cada uno. JCuál es el alor actual del contrato de arriendo con una tasa efectia mensual de 3K n G meses R G CGK
i G 3 mensual (1 + i ) n − 1 C G Ra1HiE n ( ) + 1 i xi
(1.3) M − 1 C G 1.3E G 3.020>113E M 1 . 3 . 3 ( ) x C G %L.1-@1.31 Calcule la imposición mensual anticipada- 4ue al ca+o de meses permitirá acumular %L.- con una tasa efectia mensual de 3. i Ra G % Ra G JK [(1 + i ) n − 1] C1 − iE n G meses .3 % G - Ra G - i G 3 mensual [(1.3) M − 1] C1.3E Ra G - - . .232 232> >@ @3E 3E Ra G %L. %L.1-1 1-1> >.33 .33 na empresa decidió ad4uirir dentro de meses un rupo electróeno cu,o precio se estima en %L.-. J(u: importe constante de inicio de mes de+e aorrar en ese periodo de tiempo- en un +anco 4ue paa una tasa nominal anual de 2 con capitali8ación mensual- a fin de disponer ese monto al encimiento de dico pla8oK n G meses .2 Ra G % M % G - C1.2E[(1.2) − 1] R G JK Ra G - .23/0>>2E i G 2 anual G 2 mensual Ra G %
[email protected] m G 12 JCuántos depósitos de inicios de mes de %L. será necesario aorrar para acumular un monto de %L.0- en un +anco 4ue paa una tasa nominal anual de 2 con capitali8ación mensualK n G JK m G 12 R G (1.2) n − 1 0- G 1.2E .2 % G 0- i G 2 anual G nG
2M
12
G 2 mensual
lo1.31/2FM@ lo lo 1.2
1.> F.1
G 1.2En ? 1
n G 13./0 meses
$l al4uiler de un local comercial es %L.- pao 4ue de+e efectuarse a inicios de cada mes. $l due7o del local le propone al arrendatario afectuar un descuento en las cuotas mensuales- con una tasa tasa efec efecti tia a mens mensua uall de en el caso caso 4ue 4ue le a+on a+onee anti antici cipa pada dame ment ntee los los al4u al4uil iler eres es correspondientes a un a7o. Calcule el alor presente de los doce paos anticipados. R G C G JK i G mensual (1 + .M) 12 − 1 C G 1H.E n G 12 meses 12 (1 + .M) xC.ME C G @./>/>/0E C G %L.-00.
ANUALIDADES DIFE(IDAS
$s cuando un contrato de cr:dito- 4ue de+e amorti8arse con cuotas uniformes por acuerdo e9preso de las partes el pao de estas rentas empie8a despu:s del encimiento de uno o arios periodos de renta- contado a partir del inicio del pla8o pactado. R R R R
1
2
S
SH1
Pla8o diferido
SH2
SHnB1
SHn
Periódos
Periodo de renta ori8onte Temporal de la Anualidad
5 G #Z Periodo diferido n G #Z Periodos de renta- cosntitu,en total total de periodos n H 5 del ori8onte temporal de la anualidad.
ALO( FUTU(O DE UNA ANUALIDAD DIFE(IDA (1 + i ) − 1 (1 + i ) − 1 % G R % G Ra1HiE i i 'encida Anticipada n
n
ALO( P(ESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFE(IDA
FA% FA%
1
2
S
R
R
R
R
1
2
nB1
n
F%C
(1 + i ) n − 1 P 1HIE G R n i (1 + i ) 5
SHn periodos
( 1 + i ) n − 1 P G R n i(1 + i )
1 k (1 + i )
Calcular el alor actual de una renta de %L.-- si el primer pao de+e reci+irse dentro de a7os, el ;ltimo dentro de > a7os- si la tasa de inter:s es de 0 anual conerti+le anualmente. C G JK R G - n1 G 2 a7os G semestres n2 G > a7os G 12 semestres i G 0 anual G
1
2
0 2
G semestral
mG
SG 3
-
-
-
3
>
12 >
=2
/
0
@
1
12
11
(1.M) @ − 1 (1 + i ) n − 1 1 1 P G R G - k 3 n @ (1 + i ) xi (1 + i ) i(1.M) x.M (1 + .M ) P G - >.>@@02/2@E
P G %L.33-@.@1
na persona deposita o, %L.>- en un &anco 4ue a+ona el / anual para 4ue dentro de a7os- se le comience a paar una renta 4ue se le cancelará semestralmente durante 1 a7os. allar la renta semestral 4ue reci+irá. P G >- n1 G a7os G 1 semestres n2 G 1 a7os G 2 semestres /
i G / anual G
G 3. semestral
2
SG @
1
2
QQ.QQ
>- n @ (1 + i ) xi n 5 (1 + i ) − 1
R
R
@
1
11
QQ.QQ....... ............
R
R
2@
3
n G 21 (1.3F) 2 x.3F 21
21 ( 1.3F) − 1 G >- 1H.3E @
R G C 1HiE R G >-.@22/2>002 R G %L.->3>.13.
na empresa de ma4uinas industriales ende compresora a un precio de contado de %L.3-@>.00 a credito efectua la enta con una cuota inicial de %L.3- , el saldo lo neocia de acuerdo con las propuestas del comprador con una tasa efectia mensual de . %i un cliente solicita paar la diferencia en cuotas fi=as cada fin de mes , acerlo 3 meses despues de la cuota inicial. JCuál es el importe de la cuota fi=aK P G 3-@>.00 ? 3 i G mensual n G - RGK
1 @>.00
SG2
R
R
R
R
2
3
>
C1 + iE n i C1 + .FE M .F 2 R G C1 H iE G @>.00 1 H .E C1 + .FE M − 1 n + − C 1 i E 1 5
R G @>.00 1.12E.20211032E
R G %L.3.
n actio fi=o se esta ofreciendo a la enta con una cuota inicial de %L.3- , cuotas mensuales de %L. 3 4ue de+en paarse durante meses consecutios despues de 3 meses de a+erse paado la cuota inicial. JCuál es el precio de contado e4uialente si el costo de oportunidad es una tasa efectia mensual de K.
SG2
R
R
R
R
2
3
>
1
3
C1 + .FE M − 1 1 + 3 P G 3 M 2 C1 + .FE .F C1 + .FE P G 3 3.21>201>3E H 3 P G %L.@>.00 H 3 P G %L.3-@>.00
ANUALIDAD PE(PETUA !a anualidad perfecta es a4uella 4ue esta compuesta por un con=unto de rentas 4ue se eneran , distri+u,en en un ori8onte temporal 4ue tienden al infinito. Por e=emplo< como sucede con los indiiduos 4ue otoran las sociedades anonimas cu,o p]la8o de operación se supone indefinido asimismo sucede con los fondos 4ue se acumulan para mantener infraestructuras de lara idaasimismo sucede con la construccion de puentes- carreteras- acuenductos- reserorio etc. !as anualidades perpetuas al iual 4ue las temporales pueden ser encidad- anticipadas , diferidas.
ALO( FUTU(O DE UNA ANUALIDAD PE(PETUA $s el factor de capitali8acon en serie 4ue llea al futuro uan serie de rentas uniformes- cu,o numero tiende a H ∞ mas infinitoE. R
1
R 2
R 3
R
R nB1
nG
lim FC% G nG
∞
C1 + i E n i
−1
ALO( P(ESENTE DE UNA ANUALIDAD PE(PETUA ENCIDA. Calcular el alor presente de una anualidad perpetua sinifica descontar acia el momento oinfinitas rentas uniformes 4ue se u+ican en el futuro.
0
R
R
1
!
R
R
)
. . . . .. . . . .
R1HiEB1
R
nB1
R
nG
. . . . . . . . Bn R1HiE . . P
(1 + i ) n − 1 FA% G n (1 + i ) xi 1 1 FA% G !im − i C1 + iE i nG ∞
C1 + I E n
n
Por propiedad de l6mite
−1
C1 + I E n i
−
1 i
B
1 i
E
C1 + i E n i
G
1 i
−
1 C1 + i E n i
1 1 − Lim n i i C1 + iE i
1
!im nG
FA% G
1
FA% G
1 C1 + iE
n
G
1 i
1 i
P G R Con el o+=eto de apo,ar los tra+a=adores de inestiacion 4ue reali8a la direccion de empresas- la fundacion [&M decidió donarle a perpetuidad un importe de %L.1-- al final de cada a7o lectio. Calcule el interes e4uialente a una tasa efectia anual de >.2
1 i
P G R
R G 1- i G >-2 anual
1 GU P G %L.1>-. .>2F
P G 1-
P GK
n tra+a=ador de la empresa M"RA'$C" %.A en la feca reci+ió su li4uidacion por tiempo de sericio , un incentio por retiro oluntario - decide a+rir una cuenta de aorros en el &anco de la #ación- 4ue paa una tasa efectia anual de /.. $l o+=etio de este aorro es retirar a fin de cada mes un importe de %L. - durante en ori8onte de tiempo infinito. Calcule el importe minimo de apertura de la cuenta 4ue le permita cumplir tal on=etio. R G
T$M G 1HiE 1 L n B1 G tem G 1H./E 1 L 12 B G .>@1>
1 1 P G R GU P G i .>F@1>
GU P G %L.03-21.1@. $n el testamento de una persona se esta+lece 4ue parte de sus +ienes se inertiran en ospital de ancianos- una renta perpetua de %L. 1Y-- CADA FI# D$ A^". %ie en la localidad la tasa de inter:s es del 0. allar el alor actual de la donacion. P G 3
R G 1Y- - i G 0
1 i
P G R G U
1 GU P G %L. 12--. .0
P G 1Y-
Al fallecer una persona de=a un lleado a un sanatorio- estipulado as6< %L.>- para la ad4uisicion de ciertos e4uipos , una renta perpetua de %L.0- anulaes para su mantenimiento. alla el alor actual del leado- si la tasa es de 0 anual.
1 i
1 .0
P G _ H A G >- H 0-
P G >- H 1Y- GU P G %L. 1->- $n una localidad- las inersiones rinden el 1 anual- con capitali8acion sem-estral. n comerciante 4ue muestra en sus li+ros utilidad semestral de %L.22-- en promedio de los ultimos +alances- ofrece en enta su neocio por %L. 3-0-. Determinar si es o no- una oferta atractia- e indicar el precio má9imo 4ue puede paarse por el neocio. P GK
1 i
1 .0
R G 22- iG 1 anual G
1 G P G %L. 3Y>- ./
P G R G p G 22-
!a oferta no es +uena- por 4ue el má9imo 4ue se podria paar es %L. 3Y>- inferior al %L. 3Y0-.
ALO( P(ESENTE DE UNA ANUALIDAD PE(PETUA ANTICIPADA Ra
Ra
Ra
Ra
1
2
3
Ra
Ra
Ra
..............
n?1
nG
1 i
P < (a 91 = i8 $l o+ierno se comprometió 4ue a apartir de la feca desem+olsar anualmente , de forma indefinida un importe de %L2-- para mantener la carretera A+anca, ? Cusco. Calcule el alor presente de esa perpetuidad con uantasa efectia anual de Ra G 2- i G anual
1 i
1 G P G%L. 2- .F
P G Ra1HiE GU P G 2-1H.E
Calcule el alor presente de una perpetuidad cu,a renta trimestral anticipada es de %L. 3.. !a tasa efectia anual aplica+le es de 2. P G Ra RG 3 i G 2
1
P G Ra 1HiE B i T$T G 1H.2E 3 L 12 B 1 G T$T G .>>313@. 1 P G 3 1H.>>313@E .M>>3F13@ P G 3223021E GU P G %L. >-/32.@2
ALO( P(ESENTE DE UNA ANUALIDAD PE(PETUA ANTICIPADA CU>A (ENTA INICIAL SEA DISTINTA DE LOS DEMAS Cuando el importe de la renta anticipada- u+icada en el momento V"W- sea diferente al importe de las demás rentas encidas de la perpetuidad- el alor presente será iual a la renta anticipada mas alor presente de la perpetuidad encida. Ra
R
R
1
R
2
3
R
R
R
..............
n?1
nG
1 i
P < (a = ( na fundación ofrece una donación a perpetuidad a una uniersidad- donde estipula el primer importe de %L. 1. 4ue se efectuará a inicio del primer a7o se destine a la ad4uisición e li+ros , los siuientes importes de %L.-- 4ue an a ser entreados anualmente de forma indefinida-
sean para el amntenimiento de la institucion. Calcule el alor presente de esa donacion con un costo de oportunidades de capital e4uialente a una tasa efectia anual de 1. Ra G1- R G -
1 i
i G 1
1 GU P G%L.>- .1
P G Ra H R GU P G 1-H-
$l testamento de una persona recien fallecida- esta+lece una donación para un asilo de ancianos de %L. 3. Inmediatamente despu:s de su deceso , e all6 anualmente %L.2- de forma inefinida. J Cuál es el alor actual de la donacion- si se considera una tasa efectia anual de 1K Ra G3 R G 2 i G 1 anual.
1 i
1 .1
P G Ra H R GU P G 3- H2
GU P G 3- H 2- GU P G %L.23-
ALO( P(ESENTE DE UNA ANUALIDAD PE(PETUA DIFE(IDA ENCIDA SG2
1
2
R
R
1
2
...... .
R
R
n?1
nG
P
1
1
P G R i C1 + iE k $l due7o de una mina las &am+as con reseras de esplotación pro+adas para un pla8o ma,or a 1 a7os tiene una utilidadneta promedio anual de %L. 10-. Calcule el alor presente de la mina con el o+=eto de enderla aora- se sa+e 4ue los pró9imos dos a7os la mina no operará por renoacion de sus e4uipos. $l due7o perci+e por sus inersiones una tasa efectia anualmente de 1. R G 10- i G 1 anual 5 G 2 1 1 1 1 P G R G 10- .1F (1 + .1F ) 2 i (1 + i ) k PG
10-
( .1@03/F)
GU P G %L.@-/3/.2 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una persona deposita en una cuenta de ahorros al fnal de cada trimestre un importe constante de $!!!.!!."ue #alor uturo acumulara en el pla%o de a&os' si perci(e una tasa anual de )* capitali%a(le trimestralmente.
. "u+ #alor uturo puede acumularse durante , a&os consecuti#os si se depositan $1!!! al fnal de cada mes - se perci(e una tasa de )* anual con capitali%acin mensual. ,. /u0l ser0 el importe capitali%ado al fnal del seto mes al eectuar depsitos de $1!!! al fnal de cada ,! d2as en una institucin Bancaria 3ue pa4a una tasa del ,5* anual con capitali%acin trimestral. ). "u+ #alor uturo ha(r0 acumulado en una cuenta de ahorros 'si a fn de cada mes - durante 6 meses consecuti#os' se depositan $6!!.!! en un Banco 3ue pa4a una tasa eecti#a anual de 1*. 7. Una M03uina se #ende con una cuota inicial de $!!! - 1 cuotas de $,!! cada una a pa4arse cada ,! d2as ./alcular su respecti#o #alor presente' con una tasa eecti#a trimestral de 8*. 5. /alcule el #alor presente de una anualidad compuesta de ! rentas uniormes #encidas de $!!! cada una' con una tasa eecti#a mensual de )*.La primera renta se pa4ara dentro de , meses - la si4uiente en periodos de , meses cada una. 9. La empresa Ala al3uila un local comercial durante 7 a&os por una merced conducti#a de $,!!! por trimestre #encido. Ala reci(e como alternati#a la propuesta de eectuar un :nico pa4o de $19!!! al inicio del contrato por 7 a&os. ;ado 3ue ala puede in#ertir el importe de los al3uileres 3ue perci(ir0 a una tasa eecti#a mensual de 7*.Le con#iene la alternati#a propuesta< 6. /alcular el importe de la renta constante 3ue colocado al fnal de cada trimestre durante ) a&os permitir0 constituir un #alor uturo de $!!! .La tasa aplica(le es de ,5* anual con capitali%acin mensual. 8. Se planea reempla%ar una ma3uina dentro de ) meses' cu-o precio se estima 3ue en dicha echa ser0 $7!!!.= "ue importe constante a fn de mes de(er0 depositarse durante ese pla%o en un Banco 3ue pa4a una tasa eecti#a mensual de 7*'a fn de comprar dicha ma3uina con los ahorros capitali%ados. 1!.Un pr+stamo de $7!!! de(a amorti%arse en el pla%o de un a&o con cuotas uniormes mensuales' con una tasa eecti#a anual de ,5* capitali%a(le mensualmente. /alcular el importe de esa cuota constante. 11.Una empresa de transporte de ser#icios de tai ha comprado un autom#il marca To-ota' cu-o precio de contado ue de $1!!!' se pa4 una cuota inicial de $!!! - el saldo amorti%a(le en el pla%o de ) meses con cuotas mensuales i4uales. =/u0l es el importe de la cuota constante' si el costo de fnanciamiento es de * mensual. 1.En cuanto tiempo podr0 acumularse un #alor uturo de $!!!' si se eect:an depsitos de $17! cada fn de 3uincena en un Banco 3ue pa4a una tasa anual de )* con capitali%acin mensual. 1,.Por cuantos meses una persona de(e depositar $7! cada fn de mes en un Banco para acumular un #alor uturo de $!!! en la echa del ultimo depsito .Si perci(e una tasa eecti#a mensual de ,*. 1).=En cu0ntas cuotas de $1795.1) pa4aderos cada fn de mes podr0 amorti%arse un pr+stamo de $6!!!.La entidad fnanciera co(ra una tasa eecti#a mensual de 7*.
17./uantas cuotas mensuales #encidas de $157! son necesarios para cancelar un pr+stamo de $67!!.La deuda se contra>o en el Banco 3ue co(ra una tasa anual de )* con capitali%acin trimestral. 15.Un cuatrimestre se eectuaron depsitos de $1!!! al inicio de cada mes en un Banco 3ue remunera esos depsitos con una tasa anual de ,5* capitali%a(le mensualmente. ="u+ #alor uturo se acumulara al fnal de ) meses. 19.El primer d2a de cada mes la empresa Prodinsa coloca en un Banco !* de sus ecedentes de ca>a 3ue asciende a $ 7!!.Si por dichos depsitos perci(e una tasa eecti#a mensual de ,*. = /u0nto ha(r0 acumulado al t+rmino del seto mes<. 16.Una persona deposita en una cuenta de ahorros a inicios de cada trimestre un importe de $!!!.="u+ #alor uturo acumulara en el pla%o de a&os 'si perci(e una tasa anual de )* capitali%a(le trimestralmente. 18.="u+ #alor uturo puede acumularse durante , a&os consecuti#os' si se depositan $1!!! al inicio de cada mes en un (anco 3ue remunera esos depsitos' con una tasa anual de )* capitali%a(le mensualmente. !.="u+ #alor uturo ha(r0 acumulado en una cuenta de ahorros. Si a inicio de mes - durante 6 meses consecuti#os se depositan $6!! en un Banco 3ue remunera esos ahorros con una tasa eecti#a anual de 1*. 1.El al3uiler de un local comercial es de $7!!!' pa4o 3ue de(e eectuarse a inicios de cada mes. El due&o del local le propone al arrendatario eectuar un descuento en las cuotas mensuales' con una tasa eecti#a de )* en el caso 3ue le a(one anticipadamente el al3uiler correspondiente a un a&o. /alcule el #alor presente de 1 pa4os anticipados .Un cr+dito Mutual 3ue de#en4a una tasa de ,5* anual capitali%a(le trimestralmente ue contratado para amorti%ar a inicios de cada trimestre con ! imposiciones trimestrales uniormes de $7! .Al #encimiento de la imposicin 1'el cliente decide cancelar con>untamente con las cuotas insolutas. =/u0l es el importe total por cancelar en esa echa. ,.=/u0l es el precio de contado de una m03uina 3ue se #ende a cr+dito con 1 cuotas mensuales al inicio del mes de $!! cada una. La tasa eecti#a mensual es de *. )./alcule el importe total de inter+s por pa4ar en la amorti%acin de un pr+stamo pactado' a una tasa eecti#a mensual de )*' durante medio a&o con imposiciones mensuales de $7!!. 7.Para las ad3uisiciones de una ma3uina se dispone de !* de su precio de contado. El saldo ser0 fnanciado por el mismo pro#eedor con 1 imposiciones i4uales mensuales de $7!! cada una' con una tasa eecti#a mensual de ,*./alcule el precio de contado de la m03uina. 5./alcule el #alor presente de una anualidad compuesta de ! rentas uniormes trimestrales anticipadas de $!!! cada una' aplicando una tasa eecti#a mensual de 1.7*. 9.La empresa Tarandina tomo la decisin de ad3uirir dentro de 5 meses' una nue#a camioneta para distri(uir sus productos' se estima 3ue el precio de la camioneta es de $1,'!!!.Para este eecto decide ahorrar mensualmente en este pla%o una determinada cantidad uniorme al inicio de cada mes. /alcule
el importe de la cuota constante anticipada 3ue le permita ormar dicho ondo a fnes del seto mes' si sus ahorros perci(en una tasa eecti#a mensual de *. 6.Se estima 3ue dentro de ) meses de(er0 ad3uirirse una ma3uina cu-o precio ser0 de $7!!!.si se empie%a ho-. ="u+ cantidad uniorme de(er0 depositarse cada ,! d2as durante ese periodo de tiempo 'en un Banco 3ue pa4a una tasa eecti#a mensual de 1* 'a fn de comprar dicha ma3uina con los ahorros capitali%ados. 8./alcule el importe de la imposicin uniorme 3ue colocada cada mes en un Banco 3ue pa4a una tasa eecti#a mensual de 1.7* durante el pla%o de ) a&os permita acumular un ondo para reempla%ar una ma3uina cu-o precio se estima al fnali%ar ese periodo de $,'!!!. ,!.Un pr+stamo de $7'!!! de(e cancelarse en el pla%o de un a&o con cuotas uniormes mensuales anticipadas. El pr+stamo de#en4a una tasa eecti#a anual de )*./alcular el importe de la cuota anticipada. ,1.La empresa Adiesa #ende sus m03uinas al contado en $1!'!!!.pero de(ido a 3ue consi4ui un fnanciamiento del eterior est0 planeando eectuar #entas a cr+dito con una cuota inicial - 9 cuotas mensuales uniormes' todas i4uales. Si la tasa eecti#a anual 3ue se piensa car4ar al fnanciamiento es de 7*./alcule el importe de las cuotas del pro4rama de #entas a pla%o. ,.La empresa Electro dedicado a la #enta de 4rupo electr4eno' el precio de su producto al contado es de $,'!!!.Est0 planeando eectuar #entas al cr+dito sin cuota inicial - 5 cuotas mensuales uniormes a inicios de cada mes' con una tasa eecti#a mensual de )*.=/u0l ser0 el importe de cada cuota <
AMO(TI?ACION $s el reem+olso del principal de los pr:stamos reci+idos de acuerdo al calendario de encimiento del contrato- mediante cuotas periódicas eneralmente iuales. !a deuda crece en el interior de cada uno de lso periódicos en los 4u está diidida la operación para disminuir al final como consecuencia de la entrea del t:rmino amorti8atio.
$s decir- en cada uno de los periodos se producen dos moimientos se sino contrario- uno de crecimiento de los intereses enerados , otro de disminucion por la amorti8ación del principal. n pe4ue7o empresario en e9panción- re4uiere capital de tra+a=o para ampliar la capacidad de producción , acude a un &anco para solicitar un prestamo de %L. /- pára su pao en cuotas anuales , uniformes- a la tasa de inter:s del 22 anual. Determinar el alor de cada cuota , ela+ore el cronorama de plan de paos. C G /- I G 22 anual
n G a7os R G cuotaE GK
.22 + (1.22) F R G /- F (1.22) − 1
R G /-.3@2@3E GU R G 2-.2
Pao G Interes H amorti8ación de capital.
A@" 1 2 3
Sa#" Inicia Interés
Am"rti:aci%n C$"ta
Sa#" Fina /-. >-@.0 @-@21. 3>-@.> 2-3>.
/-. 1-. @-.2 2-.2 >-@.0 13-1.23 11-3.1@ 2-.2 @
[email protected]@ 1-@02./1 13->1./1 2-.2 3>-@.>@ 0-21.1 1>-23.20 2-.2 2-3>. -0.2 2-3>. 2-.2 TOTAL 2-222.1 /- 122-222.1 n empresario tiene una o+liación por - para su li4uidación en 3 a7os- con paos trimestrales con 2 d interes anual. Considera trimestres de carencia- durante el cual solo amorti8a los intereses. Transcurrido este periodo- la deuda es paada normalmente con cuotas constantes. i G 2 anual
G
F2
D
M
G 13 trimestral
n G 3 a7os G 39G12 trimestres Periodo de carencia G trimestres mG
12 3
G
C G - (1 + i ) n xi (1.13) 0 x.13 RGC G - n 0 + − ( 1 i ) 1 (1.13) − 1 R G -.2030>/10E G R G %L.0-33./ Inter:s H Amorti8acion G cuota
PE(IODO T(IM. 1 2 3
SALDO INICIAL
INTE(ES
- - -
-2 -2 -2
AO(TI?AC. CUOTA
-2. -2. -2.
SALDO FINAL - - - -
> / 0 @ 1 11 12
- - 3>-0>.3 33-321. 2@-31/.// 2-/@3.>1 1@->01.31 13-@.1 /-3/>.1
-2 -2 -/@2.3@ -331./@ 3-011.31 3-223.1/ 2-0./ 1-0/./ @0.@> /-0>.
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Calcular la cuota periódica constante , el cuadro de amorti8ación de un pr:stamo de %L. - a > a7os- con el 0 anual inter:s durante los 3 primeros a7os , del 12 durante los 3 restantes. C G - -
n G > a7os G i G0 anual. .0(1.0) > R G - G R G 0->2.>2 > (1.0) − 1
C.12EC1.12E 3 R G 22.2@0.>1 G R G @-20. 3 C 1 . 12 E 1 −
AO 1 2 3 >
SALDO INICIAL
INTE(ES
AMO(TI?.
CUOTA
-. 3-/.30 20->0. 22-2@0.>1 1->@.
[email protected]@ T"TA!
3-2. 2-/>3./@ 2-2@2.>0 2->/ 1-002.0 @@./1 13-0@.0>
-2.>2 -000.03 >-3@.@ >.>0.1/ /-1.1
[email protected]@ -.
0->2.>2 0->2.>2 0->2.>2 @-20. @-20. @-20. 3-0@.0>
SALDO FINAL -. 3-/.30 20->0. 22-2@0.>3 1->@.
[email protected]@
!a empresa constructora C"%API %.A- solicita al &anco de Cr:dito un leasin para comprar una ma4uina perforadora- cu,o alor es de 2@- incluido I['. !a empresa desea paar el pr:stamo mensualmente durante 1 a7o. !a tasa efectio anual pactado es del 1. $l costo del seuro del +ien es simple anual- tomando durante la iencia del pr:stamo. !os portes son paos periódicos , ascienden a %L. .. Calcular el alor de la cuota mensual , ela+ora el cronorama de paos de la deuda. 'alor del +ien G 2@- n G 1 a7o G 12 meses i G 1 anual %euro so+re el alor del +ien G simple anual. Porte G .
