MATEMÁTICA FINANCIERA
Ing. Enrique M. Avendaño Delgado
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Unidad 1 Introducción a la Matemática Financiera y el valor del dinero en el tiempo
Ing. Enrique M. Avendaño Delgado
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Descuento: El descuento es un tipo de financiamiento respaldado en títulos valores: letras de cambio y pagarés y cuya operatividad está regulada por dispositivos legales. Los bancos pueden financiar a sus correntistas si les otorga una línea de descuento de letras y pagarés y en mérito a esta operación anticipan el importe del valor nominal del títulovalor que vence en el futuro, y deducen el interés de forma anticipada, por el tiempo que falta para el vencimiento de la obligación. Asía un cliente de un banco que tiene en su poder un paquete de letras por cobrar que todavía no se han vencido, puede convertirlo en dinero en efectivo a través del descuento al obtener un importe menor a la suma de sus respectivos valores nominales.
Descuento Bancario: El valor líquido de una títulovalor es menor que su valor presente calculado a una tasa vencida i igual a la tasa adelantada d; por consiguiente, en este caso: Descuento bancario > Interés vencido. Por ejemplo, si hoy se descuenta una letra de cambio cuyo valor nominal asciende a 10000 u.m., con vencimiento a 90 día, a la que se le aplica una tasa anticipada trimestral de 10%, el descuento es 10000 u.m. y, por tanto, el descontante recibirá un valor líquido de 9000 u.m. importe que es menor a su valor presente a una tasa vencida trimestral de 10%, que en este ejemplo es 9090.91 u.m.
DESCUENTO RACIONAL SIMPLE
Descuento Racional Simple: Como una operación de descuento generalmente los datos conocidos son el valor nominal del títulovalor, la tasa de descuento y los períodos de tiempo que faltan para el vencimiento del títulovalor, mientras que se desconoce su valor presente, puede derivarse una fórmula del descuento racional simple a partir de
D = S – P,
Valor Presente y valor nominal de un títulovalor con tasa j constante: Con base en la identidad D = I pueden utilizarse las siguientes fórmulas con una tasa vendida nominal constante durante el plazo de descuento.
Sjn D 1 jn S P1 jn
1 P S 1 jn
Ejercicio 1 Una letra de cambio que tiene un valor nominal de 5000 um se descontó en el Banco del Oriente cuando faltaban 90 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional simple que efectuó el Banco del Oriente que aplicó como tasa de descuento una TNM de 1.5%
S = 5000, j=0.015 y n= 90/30
90 5000 * 0.015 * 30 D 215.31 90 1 0.015 * 30
Sjn D 1 jn
Ejercicio 2 Una letra de cambio cuyo valor nominal es 3800 dólares y que tiene como fecha de vencimiento el 26 de febrero se descuenta en el Banco Nacional el 18 de enero del mismo año a una TNA de 24%. Se requiere calcular el importe del descuento racional simple que se efectuó al valor nominal de la letra de cambio. S = 3800, j=0.24 y n= 39/360
39 3800 * 0.24 * 360 D 96.30 39 1 0.24 * 360
Sjn D 1 jn
Ejercicio 3 Una letra de cambio con valor nominal de 20000 um, que fue girada el 1 de abril y descontada el 7 de abril por el Banco Comercial, con una TNA de 18%, tiene como fecha de vencimiento el 6 de julio del mismo año. Calcule: a. El importe del descuento racional simple b. El importe que abonó el banco en la cuenta corriente del descontante. c. El interés simple que generará la operación sobre el importe efectivamente recibido
Ejercicio 3 S = 20000, j=0.18 y n= 90/360
a. Cálculo del importe del descuento
Sjn D 1 jn
90 20000 * 0.18 * 360 861.24 D 90 1 0.18 * 360
b. Cálculo del valor presente
P = 20000 – 861.24 = 19138.76 c. Cálculo del interés simple que generará la operación sobre el importe efectivamente recibido
90 i 19138.76 * 0.18 * 861.24 360
Ejercicio 4 Juan Rabanal, realizó un préstamo de 5600 dólares el 15 de febrero, con una TNT de 8%, el cual vence el 23 de mayo del mismo año.
El 12 de marzo del mismo año decide cancelar su cuenta con lo que acude al banco y solicita se le haga un descuento, el banco tiene una TNA de 12% por descuentos. Calcule el descuento y el monto que pago Juan Rabanal.
Problema 5 • ¿Por cuánto valor nominal deberá aceptarse un pagaré que vence el 26 de mayo? El pagaré será sometido al descuento racional simple el 22 de marzo del mismo año, en un banco que aplica una TNA de 18% y el descontante requiere que la sea abonado un importe de 8000 um en la fecha del descuento.
P = 8000, j=0.18 y n= 65/360
S P1 jn
65 S 80001 0.18 * 8260 360
Problema 6 • El 14 de abril la empresa Alpha efectuó en el Banco Republicano un descuento racional simple de una pagaré con valor nominal de 7000 um y fecha de vencimiento el 14 de julio del mismo año. Calcule el importe que abonó el Banco Republicano en la cuenta corriente de Alpha en esta fecha, con una TNA de 16% S = 7000, j=0.16 y n= 91/360
1 6727.89 P 7000 1 0.16 * 91 360
1 P S 1 jn
Ejercicio 7 La empresa Norteño SAC, tiene 3 obligaciones contraídas con el Banco BCP, las cuales vencen el 18 de noviembre, el 1 de diciembre y el 15 de enero del próximo año. Los montos son de 25000, 37585 y 15000 dólares respectivamente. El 30 de octubre recibe un pago adelantado de 75500 por un lote de producción, con lo que decide saldar sus cuentas en el Banco BCP. La política del BCP para descuentos, es aplicar una TNT de 8.99%.
¿Calcular los descuentos para las tres cuentas, y diga si el dinero recibido por el adelanto de los trabajos le alcanza?
DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO
DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO Descuento con Tasa d Efectiva Constante El valor nominal de un títulovalor está sometido a descuento bancario compuesto cuando: • Se genera el descuento por una tasa anticipada efectiva de o una tasa anticipada nominal dn que capitaliza cada cierto periodo de tiempo. • Se produce más de un descuento durante el plazo del descuento, aun cuando este plazo sea diferente al plazo de la tasa anticipada. Por ejemplo, la tasa anticipada efectiva puede ser mensual y el plazo del descuento semestral. Si se supone que durante el plazo del descuento bancario compuesto: • La tasa de no sufre variaciones. • El plazo de la variable n hace referencia al mismo plazo de variable de.
𝐃 = 𝐒 𝟏 − 𝟏 − 𝐝𝐞 𝑫 𝐒= 𝟏 − 𝟏 − 𝐝𝐞
𝐧
𝑫 𝒅𝒆 = 𝟏 − 𝟏 − 𝑺
𝟏 𝒏
𝐧
n=
𝑫 𝑺
𝑳𝒐𝒈 𝟏−
𝑳𝒐𝒈 𝟏−𝒅𝒆
EJERCICIO 1
•
Una letra de cambio que tiene un valor nominal de 5000 um fue descontado en el Banco Oriente, cuando faltaron 90 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento bancario compuesto que efectuó el Banco del Oriente, al aplica como tasa de descuento una tasa anticipada efectiva de 1.5% mensual.
S = 5000, de=0.015 y n= 90/30
𝐃 = 𝐒 𝟏 − 𝟏 − 𝐝𝐞
𝐃 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟏 − 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟓
𝟗𝟎 𝟑𝟎
𝐧
= 𝟐𝟐𝟏. 𝟔𝟒
EJERCICIO 2 •
Una letra de cambio cuyo valor nominal es de 3800 dólares y que tiene como fecha de vencimiento el 26 de febrero se descuenta en el Banco Nacional el 18 de enero del mimo año, con una tasa anticipada efectiva de 24% anual. Se requiere calcular el importe del descuento bancario compuesto que se efectuó al valor nominal de la letra.
S = 3800, de=0.24 y n= 39/360
𝐃 = 𝐒 𝟏 − 𝟏 − 𝐝𝐞
𝐃 = 𝟑𝟖𝟎𝟎 𝟏 − 𝟏 − 𝟎. 𝟐𝟒
𝟑𝟗 𝟑𝟔𝟎
𝐧
= 𝟏𝟏𝟏. 𝟑𝟏
EJERCICIO 3 •
Una letra de cambio con valor nominal de 20000 um, que fue girada el 1 de abril y descontada el 7 de abril por el Banco Comercial, con una tasa anticipada efectiva de 18% anual, tiene como fecha de vencimiento el 6 de julio del mismo año. Calcule el importe del descuento bancario compuesto.
S = 20000, de=0.18 y n= 90/360
𝐃 = 𝐒 𝟏 − 𝟏 − 𝐝𝐞
𝐃 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏 − 𝟏 − 𝟎. 𝟏𝟖
𝟗𝟎 𝟑𝟔𝟎
𝐧
= 𝟗𝟔𝟖. 𝟎𝟒
EJERCICIO 4 •
Determine el valor de un préstamo cuyo descuento bancario compuesto fue de 500 um. Al aplicar una tasa anticipada efectiva de 1.5% mensual. La fecha de descuento del pagaré fue el 24 de setiembre y su fecha de vencimiento el 8 de noviembre del mismo año.
D = 500, de=0.015 y n= 45/30
𝑫 𝐒= 𝟏 − 𝟏 − 𝐝𝐞
𝐒=
𝟓𝟎𝟎
𝟏 − 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟓
𝟒𝟓 𝟑𝟎
= 𝟐𝟐𝟑𝟎𝟖. 𝟎𝟖
𝐧
EJERCICIO 5 •
Calcule la tas anticipada efectiva mensual de descuento bancario compuesto aplicada a un préstamo cuyo valor fue de 22306.08 um y su descuento fue 500 um, en un período de 45 días.
S = 22306.08, D=500 y n= 45/30
𝑫 𝒅𝒆 = 𝟏 − 𝟏 − 𝑺
𝟓𝟎𝟎 𝒅𝒆 = 𝟏 − 𝟏 − 𝟐𝟐𝟑𝟎𝟔. 𝟎𝟖
𝟏 𝟒𝟓 𝟑𝟎
= 𝟎. 𝟎𝟏𝟓
𝟏 𝒏
EJERCICIO 6 •
¿A cuantos meses se descontó un pagaré con valor nominal de 22306.08, con una tasa anticipada efectiva mensual de 1.5%, si su descuento fue 500 um.?
S = 22306.08, D=500 y de=0.015 𝑫 𝑺
𝑳𝒐𝒈 𝟏−
n = 𝑳𝒐𝒈
n=
𝟓𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟑𝟎𝟔.𝟎𝟖
𝑳𝒐𝒈 𝟏−
𝑳𝒐𝒈 𝟏−𝟎.𝟎𝟏𝟓
=1.5
𝟏−𝒅𝒆
