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1.1.1 Introducción: En esta primera unidad daremos definiciones y conceptos básicos utilizados en las finanzas, cooperativa, financiera, bancos los cuales serán dispensables para el desarrollo del presente texto. Este enfoque analítico nos permite la optimización de los recursos económicos, lo cual viene a ser el objetivo final de este texto.
1.1.2 Valor del dinero a través del tiempo No es lo mismo tener hoy 1.000.000 gs. que tener 1.000.000 gs. dentro de un par de año, por que lo que hoy se puede hacer con ese dinero es más de lo que se podrá hacer dentro de un par de años debido a que normalmente todo los artículos suben de precio, por tal t al motivo motiv o cuando se habla h abla de una suma s uma de dinero debe d ebe especificarse espe cificarse la fecha de lo contrario la información es incompleta. Lo anterior se puede expresar en una forma muy simple, el dinero cambia a través del tiempo.
1.1.3 Interés -
Es la retribución económica que devuelve el capital inicial por periodo transcurrido, de tal forma tal que compense la desvalorización de la moneda, que cubra riesgo y que pague el alquiler del dinero como premio al dueño por no haberlo consumido.
-
Es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en préstamo, por un dinero tomado en préstamo es necesario pagar un precio. Este precio se expresa mediante una suma que se debe pagar por cada unidad de dinero prestado, en una unidad de tiempo convenientemente convenientem ente estipulada.
1.1.4 Tasa de interés Es el porcentaje que paga por alquiler de dinero, lo representamos por (i). Ejemplo: Si tenemos que pagar 400 gs. de interés por un préstamo de 10.000gs , entonces el porcentaje de interés int erés será del 4 por ciento cien to que q ue se puede expresar ex presar como 4% y la tasa de de interés será 0,04; esto se debe a que 4% = 4/100 = 0,04
L i c. Luis L uis G ómez
2
Si tenemos que pagar 600 gs. por el préstamo de 20.000gs la tasa será 0,03 que también se puede escribir como 3% de interés, ya que 3% = 3/100 = 0,03. La tasa de interés simple se expresa como nominal anual. “Mientras que no se
de ninguna especificación las tasas de interés se entenderán como anuales”. 1.1.5 Existen dos tipos de tasa de interés 1. Tasa pasiva o de captación: es la que paga los intermediarios financieros (bancos, financieras, cooperativas) a los oferentes (clientes que depositan) de recurso por el dinero captado.
Ejemplo: el banco paga 33% por depósito a plazo fijo de 1 a 3 años 2. Tasa activa o de colocación: es la que reciben los intermediarios financieros de los demandantes por el préstamo que otorgan a sus clientes.
Ejemplo: el banco cobra 52% por otorgar un crédito pagadero en 24 cuotas
Observación: La tasa activa es siempre mayor que la tasa pasiva, la diferencia entre esta tasa se llama margen de intermediación, y es la que permiten a los intermediarios financieros cubrir sus gastos administrativos, dejando además una utilidad.
1.1.6 Tiempo Es la duración de la inversión, y lo representamos por “n” en interés la unidad de tiempo es el año, mientras que no se de ninguna especificación
1.1.7 Capital Inicial Es la cantidad de dinero que se invierte, también se le conoce con el nombre de principal, valor actual, valor inicial, valor presente y lo representaremos por “C0”
1.1.8 Calculo del interés simple El interés (I) o rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo, depende de las condiciones contractuales y varían en razón directa con la cantidad de dinero prestado y con el tiempo de duración del préstamo. Al designar la formula I= C0.i.n
Lic. Luis G ómez
(1.1)
3
Ejemplo 1.1: si hoy invertimos 5.000.000 G. que gana 1,5 % mensual. Al terminar el primer mes. ¿Que monto en concepto de interés obtendremos? I
1, 5 100
5.000.000 *1 75.000G.
En el interés simple si reinvirtiéramos los 5.075.000 G., al final del segundo mes obtendríamos en concepto de interés 75.000 G. y el dinero se acumula a 5.150.000 G. es decir el interés que se reinvierte no gana interés, el monto del interés se calcula sobre la misma base. Si consideramos la siguiente notación las siguientes: Ejemplo 1.2: Se invierte Gs.5.000.000.- durante 6 meses al 1,5% mensual n=6
C0=5.000.000
i=1,5/100=0,015
Periodo 1 2 3 4 5 6
Saldo Inicial 5.000.000 5.750.000 5.150.000 5.225.000 5.300.000 5.375.000
interés(I= i*C) 75.000 75.000 75.000 75.000 75.000 75.000
Saldo Final 5.075.000 5.150.000 5.225.000 5.300.000 5.375.000 5.450.000
1.1.9 Capital final Es el capital inicial más los intereses, también se lo denomina monto, valor final, valor futuro o valor nominal, la suma o acumulad lo representamos por (Cn), de acuerdo a la definición la formula será. Cn = C0 + I,
si reemplazamos I por su formula (1.1)
tendremos Cn = C0 + C0.i.n
haciendo factor común C0
Obtendremos una nueva fórmula C n
C 0 (1 in)
(1.2)
Así el valor futuro de la inversión en el ejemplo 1.2 anterior, al final del sexto mes seria:
1,5 * 6 5.450.000 Cn 5.000.0001 100 Lic. Luis G ómez
4
1.1.10 Clases de Interés Simple No hay criterio único para la aplicación de la formula de interés simple, este problema es muy antiguo y se origina cuando algunas personas para simplificar operaciones usaron un año de 360 días, otras personas utilizan un año 365 días. Como estos cálculos causa diferencia significativa cuando se trata de un préstamo o una inversión considerable. ¿Cómo calcular el tiempo que dura la inversión cuando es inferior a un año? De dos maneras: en forma aproximada suponiendo que todos los meses son de 30 días o en forma exacta teniendo en cuenta los días que tenga el mes según el calendario.
De lo anterior se concluye que existen 4 clases de interés simple: Para entender mejor estas cuatros clases utilizaremos este ejemplo calcular el monto final mensual, suponiendo un préstamo de $1.000 efectuado el 01 de octubre de 2013, cobrando una tasa 30% anual, pagado el ultimo día de ese mismo mes. A) Interés simple ordinario : se calcula sobre la base de que un año tiene 360 días 1- Interés simple ordinario tiempo real: también conocido con el nombre de interés bancario y se obtiene dividiendo el tiempo de días reales. C n
30 31 1.000 1 * 1025.83 100 360
2- Interés simple ordinario tiempo aproximado: también se conoce con el interés comercial ,por que los meses tienen 30 días y los cálculos se facilitan mucho debido a la posibilidad de hacer simplificaciones (30/360). C n
30 30 1.000 1 * 1025 100 360
B) Interés simple exacto : se calcula sobre la base que le año tiene 365 días o 366 días para años bisiestos. 3- Interés simple ordinario exacto real: comúnmente llamado interés racional, exacto o verdadero, es el único que produce un resultado exacto. C n
30 30 1.000 1 * 1025.48 100 365
4- Interés simple ordinario exacto aproximado: solamente existe en teoría , es el mas barato y tiene poca utilización. C n
Lic. Luis G ómez
30 30 * 1.000 1 1024.66 100 365
5
Observación: el banco utiliza mas el
1- interés simple ordinario tiempo real, obviamente es el de mayor ingreso en interés cobrado por el acreedor. También se acostumbra considerar la tasa de interés como simple anual, amenos que se especifique el periodo por ejemplo: -
36%, se considera que el periodo de aplicación es un año. 18% semestral, el periodo de aplicación es de 6 meses. 3% mensual, el periodo de aplicación es en un mes.
Se puede convertir la tasa de interés simple anual en su equivalente a periodo menos i p= i/p donde p es el numero de periodo de tiempo que hay en un año por ejemplo. -
48% si queremos pasar a meses, i12= 48/12=4% mensual. 6% bimestral si queremos pasar a anual i6= i/p. i6= i/p 6=i/6 i=6*6=36% annual
I mportante: en la ecuación
, la tasa de interés (i), el periodo (n) siempre ambos deben estar expresados en la misma unidad de tiempo. C n
C 0 (1 in)
Ejemplo: invertimos 500000 gs al 48%, durante 8 meses, hallar el valor al final del octavo mes. 1) Si usamos i=48% anual entonces n=8/12 años C n
500000(1 0, 48* 8 / 12) 660000
2) Si usamos i12=36/12=3% mensual entonces n=8 meses C n
500000(1 0, 48 / 12* 8)
660000
Ejercicios Resueltos 1) Calcular el monto exacto de 30.000$ desde el 23 de agosto de 1999 hasta el 27 de octubre del mismo año al 35% anual. Solución: el problema consiste en invertir 30.000$ el día 23 de agosto y recuperar el Cn el día de octubre. Cn=?
Lic. Luis G ómez
6
n=65 dias C0=30000 C0= 30000 i=35/100 Para la obtención de n utilizaremos un cuadro auxiliar Meses
Días
Agosto
31-23=8
setiembre
30
Octubre
27
N
65
C n
C 0 (1 in)
C n
30000(1 0,35* 65 / 365) 31869,86
2) Cuanto debe invertirse ahora con un tipo de interés del 13% simple semestral para disponer 2500$ dentro de tres años.
Solución: el problema consiste que al cabo de 3 años obtendremos una ganancia de 2500$ y queremos saber C0. Cn=2500$ i=13/100=0,13 semestral n= 3 años; para pasar los años a semestre tenemos que en un año se tiene 2 semestre entonces, 2(semestre) * 3(años) = 6 semestres Cn=2500$ n=6 semestre C0=? C n
C 0 (1 in)
Lic. Luis G ómez
7
2500 C 0 (1 0,13 * 6) 2500 C 0 *1, 78
C 0
C 0
2500 1,78 1404,49
3) Obtener la tasa de interés simple mensual, de una deuda de 500$ que es cancelada al cabo de un semestre con 620$. Solución: el problema consiste en determinar la tasa de interés mensual al cabo de un semestre teniendo como inversión inicia 500 y deuda cancelada con 620$. C0 = 500 Cn = 620 n = un semestre esto es igual a 6 meses
Cn=620 i=?
n= 1 semestre
C0=500
C0=500 Cn=620 n= un semestre esto es igual a 6 meses C n
C 0 (1 in)
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8
620 500(1 i * 6) 620 500
1 i *6
1, 24 1 i * 6 0,24 6 i
i
0,04
Entonces la tasa de interés para un mes es 0,04*100=4% mensual
4) ¿En cuanto tiempo se triplica una inversión con un tipo de interés del 23 % anual? Solución: el problema consiste en determinar la el tiempo (n), teniendo en cuenta que capital inicial ( C0) se deberá triplicar al capital final (Cn). Consideremos a “x” un valor cualquiera entonces:
C0 = x Cn = 3x i = 23/100 = 0,23
Cn=3x n=? C0=x
C n
C 0 (1 in)
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9
3 x x(1 0, 23 * n) 3 x
x
1 i * n
3 1 0, 23 * n 2 0,23 n
n
8,69
Entonces el tiempo de inversión para triplicar un monto x (cualquiera) es de 8,69 años. 5) Una persona deposita $100.000 en una cuenta de una financiera que paga 30% de interés anual. Transcurrido un mes retira $20.000 y el saldo se vuelve a depositar; luego, dos meses después retira $30.000, determinar el saldo disponible a los 6 meses contando a partir de la fecha del depósito. Solución: el problema consiste en determinar el capital final (Cn), que existe dos extracciones durante los 6 meses.
Cn C1 = 100.000$
Cn1 C2 = Cn – 20.000$
Cn2 C3 = Cn1 – 30.000$
C0=100.000 i=30/100=0,3 C n
C 0 (1 in)
1er mes: el capital final es C n 100000(1 0,30 *1/ 12) 102500 $ donde retira 20.000$ así queda un saldo 82500$ al término del primer mes.
2do mes: tenemos un capital inicial de 82.500$ que se invierte por dos meses (2do y 3er mes) entonces el capital final donde retira una suma de 30.000$ C n 82500(1 0,30* 2 / 12) 86625 $ teniendo un deposito 56.625.
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10
Para saber el monto al final del 6to mes, nuestro capital inicial es 86.625$ por tres meses (4to; 5to y 6to mes) entonces el capital final C n 56625(1 0,30* 3 / 12) 60871,87 .
Ejercicios Propuestos 1- Cuál es el interés producido por un capital de $2.500 durante 8 meses al 8%? Respuesta: 133,3 2- Cuál es el interés exacto producido por un capital de $10.000 que es aplicado por 40 días y la tasa de interés es de 36%? Respuesta: 394,52 3- Determine el valor del interés de un préstamo de $60.000 que tiene una duración de 63 días al 9%. Respuesta: 945 4- Qué interés produce un préstamo de $12.000 durante 3 meses al 8½ %?. Respuesta: 255 5- Cuál es el interés producido por un crédito de Gs. 15.000.000 al 18% transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre del mismo año? Respuesta: 1.252.500 6- Calcular el interés simple comercial de: a. $2.000 durante 3 años al 0,75% mensual. b. $4.000 durante 2 años 3 meses al 0,5% mensual. c. $1.000 durante 4 años al 6,75% semestral. Respuesta: a.540 b.540 c.540 7- Calcular por medio del sistema I.S.E.(interés simple exacto ): a. $7.000 durante 105 días al 36,5% b. $40.000 el 16 de noviembre, si el pagaré se firmó el 16 de julio del mismo año, al 7,3%. c. $6000 durante 4 meses al 9%. Respuesta: a. 735 b. 984 c. 180
8- Determinar el interés simple y el monto que produce la inversión de un capital de $900 durante 2 meses al 8%. Respuestas: 12 y 912
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9- Roberto Sánchez consigue un préstamo por $3.000 a dos años de plazo, con una tasa de interés simple bimestral de 3% ¿Cuánto pagara al final por el préstamo percibido? Respuesta: 4.080 10- Cuanto se pagará en total por un televisor si se paga con un enganche o entrega inicial del 28% y por el saldo se firma un documento a tres meses y el interés es del 25%. EL precio al contado es de Gs.2.000.000. Respuesta: 2.090.000 11- Cuanto devolverá un comerciante por un crédito de la CIA. Cigarrera por 2300$ a dos meses de compra si se cargan interés del 15%. Respuesta: 2.357.5 12- Una deuda de Gs.750.000 se liquido con tres pagos iguales a 30, 60 y 90 días respectivamente, ¿de cuanto es cada uno de los abonos si se tiene interés del 18%? Respuesta: 1er pago: 261.250.2do pago: 257.500.3er pago: 253.750.13- hace dos meses se consiguió un préstamo suscribiendo un documento por $11.375, con vencimiento a 5 meses. Considerando recargo o interés del 33% simple, determinar a) ¿A cuánto asciende la deuda el día de hoy? b) ¿Cuánto es el interés a pagar a partir de hoy? c) ¿Qué cantidad se recibió en préstamo? Respuestas: a. 10.550 b. 825 c.10.000 14- Determinar el interés ordinario y exacto cuando se tomen prestados $26.280 por 80 días al 10% de interés. Respuestas: 584 y 576
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1.2.1 Introducción La gran mayoría de las operaciones financiera se realiza a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta la reinversión de los intereses, es por esta razón que esta es de gran importancia en el desarrollo de todas las finanzas.
1.2.2 Concepto La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el compuesto está en que en el interés simple los intereses deben ser pagados cada vez que se liquidan mientras que en el interés compuesto cada vez que se liquidan se acumulan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a liquidar interés.
1.2.3 Periodo de Capitalización: Es el intervalo convenido en la obligación, para capitalizar los intereses Ejemplo 2.1: Si 5.000.000 G. invertimos durante 6 meses al 1,5% de interés mensual, capitalizable mensual n=6
C0=5.000.000 Periodo 1 2 3 4 5 6
i=1,5/100=0,015 Saldo Inicial (C0) 5.000.000 5.075.000 5.151.125 5.228.391,9 5.306.817,8 5.386.420,1
interés(I= i* C0) 75.000 76.125 77.266,9 78.425,9 79.602,3 80.796,3
Saldo Final(Cn= C0+I) 5.075.000 5.151.125 5.228.391,9 5.306.817,8 5.386.420,1 5.467.216,4
1.2.4 Fórmula de Interés Compuesto La formula de interés compuesto se obtiene aplicando una y otra vez la del interés simple, añadiendo un sub índice a “C” para indicar el valor alcanzado al transcurrir el numero de años que indica el subíndice. Así, el finalizar el primer año: C1
1
C0 (1 i )
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13
Puesto que el exponente que indica una potencia de 1 no cambia, esto viene dado a ser una representación mas elaborada de la formula del interés simple, pero esta forma se puede adaptar al interés compuesto. Al finalizar el segundo año se pagara el interés simple correspondiente a un año por el valor que tenga el capital al finalizar el primer año, o sea C1, de manera que al finalizar el segundo año: 1 C2 C1 (1 i ) (2.1) Al finalizar el tercer año se paga interés simple por el valor que tenga el capital al terminar se segundo año (C2) de manera que: C3
1
(2.2)
C2 (1 i )
Ahora podemos sustituir el valor de C2 dado en la ecuación (2.1) en ecuación (2.2). Obteniéndose. C3
1
C1 (1 i )
(1 i)1 (2.3)
y se puede sustituir el valor de C2 en la ecuación (2.3) para obtener: C3
1
C0 (1 i)
(1 i )1 (1 i)1 (2.4)
Si se combina los términos sumando los exponentes, se tendrá: C3
C0 (1 i)
3
En términos más generales y para tomar en consideración un número de años cualquiera: Cn
C0 (1 i )
n
En donde: n= numero de tiempo (años, semestre, mensual) i= tasa de interés capitalizable C0=capital inicial Cn= capital final Aplicando la nueva formula al ejemplo 2.1 tenemos: C n
5000000(1 0, 015) 6
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5467216, 4
14
1.2.5 Tasa Nominal: Es la tasa convenida para una operación financiera.
1.2.6 Tasa Efectiva: Es la que realmente actúa sobre la capital de las operaciones financiera. Ejemplo 2.2 Si se presta un capital 100 $ al 10%, con capitalización trimestral, durante un año, ¿cuánto se pagara al final del periodo? C0=100 i= 10/100=0,1 capitalización trimestral n= 1(año)
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15
El periodo de capitalización y el tiempo de inversión deben estar en la misma unidad de tiempo. ¿Cuanto trimestre tiene un año? Un trimestre es igual a 3 meses, 1 año tiene 12 meses entonces 12/3 = 4; 1 año tiene 4 trimestre Cn = 100(1+0,1/4)4 = 110,38 $ Ahora si utilizamos la ecuación de capital final Cn Cn= C0 + I
dónde I= C0.i
Cn= C0 + C0.i Ahora despejando la tasa (i) tendremos Cn
i
C0
Cn
C 0
C0 .i
C 0
110,38 100
100
0,104
En este ejemplo lo que podemos notar es que el capital inicial no gana 10% al final de un año, sino que efectivamente una tasa real de 10,4 %, ahora podemos diferenciar que existe dos tasas, la tasa nominal anual (10%) y la tasa efectiva anual (10,4%). La costumbre comercial es expresar la tasa de interés nominal anua a no ser que se especifiqué expresamente que es tasa efectiva.
1.2.7 Relación entre tasa la tasa efectiva y la tasa nominal: En el texto utilizaremos los siguientes símbolos para las diferentes tasas, expresada en tanto por ciento: ie=tasa de interés efectiva anual i p= tasa efectiva del periodo de capitalización m= periodo de capitalización en un año i p
i(tasa.de.int eres.no min al )
m( periodo.de.capitalizacion)
ie= (1+i p)m-1 i p= (1+ie)1/m-1
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16
Ejemplo 2.3: Un banco que paga 36% capitalizable mensualmente. ¿Cuanto es la tasa efectiva? Tasa nominal (i)=36/100=0,36 m=12 meses i p=0,36/12=0,03 mensual ie=(1+0,03)12-1=0,4258
1.2.8 Tasa Equivalente Son aquellas que, en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. 1) una inversión que paga 48% capitalizable mensualmente. 2) una inversión que paga 53,063% capitalizable semestralmente. Calculamos sus tasas efectivas respectivamente: 1) i=48/100=0,48
i p=0,48/12=0,04
m=12 meses
ie=(1+0,04)12-1=0,601 2) i=53,063/100=0,53063
i p=0,53063/2=0,265315
m=2 semestre
ie=(1+0,53063)2-1=0,601 nótese que ambas inversiones tienen tasas nominales diferente pero tasa efectiva iguales
Ejercicios Resueltos: 1) Se invierte $200.000 en un depósito a término fijo de 6 meses en un banco que paga el 28,8 % capitalizable mensualmente, determinar el monto que el banco debe entregar al vencimiento. Solución: La tasa nominal es anual y los periodos están dados en meses entonces debemos unificar la unidad de tiempo i = 28,8/100= 0,288 0,288 anual = 0,288 /12 = 0,024 mensual n = numero de periodo de inversión = 6 meses C0= capital inicial
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Cn=? n = 6 meses C0=200.000$ n
Cn
C0 (1 i )
C n
200000(1 0, 024)6
230584,3
2) Una persona debe pagar en 18 meses la suma de Gs.2.000.000 ¿Cuál debe ser el valor del deposito que se paga hoy en una cuenta que paga el 32% capitalizable trimestralmente para retirar esa suma? Solución: La tasa nominal es anual y los periodos de capitalización están dados en trimestres entonces debemos unificar la unidad de tiempo. Así en un año hay cuatro trimestre: i = 0,32/4 = 0,08 trimestral n = numero de periodo 18 meses, pasamos a trimestres donde un trimestre es igual a tres meses. n = 18/3 = 6 trimestres Cn= capital final Cn=200000 n=6 trimestre C0=? Cn
C0 (1 i )
n
2000000 C 0 (1 0,08) 6 despejar C0 C 0
C 0
2000000 (1 0,08)6
1260339,25
3) Si se quiere triplicar un capital y la capitalización es mensual ¿Que tasa mensual se debe aplicar?
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Solución: Para triplicar cualquier monto (x) debemos multiplicar dicho (x) monto por 3
(3x) Además los periodo son meses, entonces en los 2½ años hay 30 periodos
Cn=3x n = 30 meses C0=x
Cn
C0 (1 i )
i=?
n
30 3 x x(1 i ) despejando i
3 x x
(1 i)30 simplificando x
3 (1 i) 30 Aplicando propiedad de radicales (1 i )30 simplificando
30
3
30
3
1 i
i
30
30
3
despejando
1
i= 0,0373
3,37% mensual
4) Dada la tasa de 36% capitalizable mensualmente, hallar una tasa nominal semestral equivalente Solución: La tasa del 36% capitalizable mensualmente i=0,36/12=0,03 mensual La tasa del 3% mensual la convertiremos en semestral Cn
C0 (1 i )
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n
19
C0 (1 i )
n
C0 (1 i)
(1 0, 03)12
n
(1 i) 2 igualdad de tasa efectiva
1, 426 (1 i)2 resolviendo la primera expresión 1, 426
(1 i )2 aplicando propiedad de los radicales
1,194 1 i implicando la expresión
i=0,194
19,4 % semestral
5) ¿Qué intereses serían mayor, los de un capital de 600.000$ invertidos durante 6 meses al 15% mensual, de capitalización mensual, o los de un capital de 500.000$ invertidos durante 8 meses al tipo del 16% mensual, de capitalización mensual? Solución: estamos interesados en determinar cuál de las dos opciones es la mejor propuesta. Cn
C0 (1 i )
n
a- C0=600000$
n=6 meses
i=15/100=0,15 capitalizable mensual, entonces 0,15/12=0,0125 C n
600000(1 0, 0125) 6
b- C0=500000$
646430$
n=8 meses
i=16/100=0,16 capitalizable mensual, entonces 0,16/12=0,0133 Cn = 500.000(1+0,0133)8 = 555.745,4 La mejor opción a con una capital final 646430$
6) Calcular la tasa de interés simple equivalente al interés compuesto del 6% durante 12 años. Solución: formula de interés simple Cn= C0(1+n.i) Formula de interés compuesto Cn= C0(1+i)n Igualando ambas a ecuación Cn C0 (1 n.i )
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n
C0 (1 i )
20
C 0 C 0
(1 n.i) (1 0, 06)12 despejando
(1 n.i)
i
(1 0, 06)12 simplificando C0
(1 0,06)12 12
12 despejando i
Llegamos que i= 0,08435, tasa de interés simple= 8,435
7) Una persona deposita $7.500 en una cuenta de ahorros que paga el 9%, con capitalización bimensual. ¿en qué tiempo tendrá un valor futuro de 10500$ ? Solución: Valor inicial
(C0 ) = 7500 ,
Valor final
(Cn) = 10500,
Tasa de interés 8% Capitalización bimensual, un bimestre es igual a dos meses es decir 12/2=6 bimestre Cn=10.500 n=? C0=7.500
Cn
C0 (1 i )
n
10500 7500(1 0,015) n Reemplazando los datos en la formula 10500 7500
1, 4
(1, 015) pasando como denominador 7500 n
n
(1, 015)
resolviendo la primera expresión
ln1, 4 ln(1, 015)n aplicando logaritmo a ambos miembro
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ln1, 4
n
.ln(1, 015) propiedad del logaritmo
n
ln x
a
a ln x
ln1,4
ln(1, 015)
n=22,6 bimestre. El ejercicio pide en años y como se sabe que en un año entra 6 bimestre entonces 22,6/6=3,77 años
8) Recibiré $80.000 dentro de 5 meses y otro capital de $45.000 dentro de 8 meses. Ambos los invertiré al 15% anual. ¿Qué monto tendré dentro de 1 año, aplicando capitalización compuesta?
Solución: Calculamos el capital final de ambos montos dentro de 1 año y los sumamos. Como la tasa es anual la base debe ser anual C1 = 80.000$ dentro de 5 meses, como el retiro lo haremos dentro de un año (12-5 = 7) nos queda 7 meses de inversión y pasamos a años los meses (7/12=0,583). C2 = 40.000$ dentro de 8 meses, como el retiro lo haremos dentro de un año (12-8 = 4) nos queda 4 meses de inversión y pasamos a años los meses (4/12=0,333) i=15/100=0,15 Cn
C0 (1 i )
n
Cn= 80000(1+0,15)0,583 =86795,47 Cn= 40000(1+0,15)0,333 =41907,58 Entonces dentro de un año el monto final ascenderá (86795,47 + 41907,58) = 128703,05$
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Ejercicios Propuestos
1) ¿En cuánto tiempo se duplica un capital al 24% capitalizable mensualmente? Respuesta: 35 meses 2) ¿Qué banco es aconsejable para depositar dineros en cuenta de ahorro: A) el que ofrece el 7% con capitalización trimestral. B) el que ofrece el 7% con capitalización semestral? Respuesta: A 3) Calcular el valor futuro de $6.000 depositado al 9% de interés, capitalizable semestralmente durante 14 años 6 meses. Respuesta: 21.504,22 4) Una persona obtiene un préstamo de 30.000 a 5 años, con un interés del 8% capitalizable semestralmente. calcular el valor futuro que debe pagar en la fecha de vencimiento. Respuesta: 64.767,75 5) ¿En cuantos meses se triplicará un capital depositado al 24%, con capitalización cuatrimestral? Respuesta: 57 meses 6) Hallar el valor final de $10.000 depositado al 8%, capitalizable trimestralmente durante 32 años y 9 meses. Respuesta: 133.851,27 7) ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente? Respuesta: 0,1664 8) Hallar la tasa de interés semestral aplicable a un capital de $10.000 para que se convierta en $12.500, en 5 años. La capitalización se realiza cada 2 meses. Respuesta: 0,0075 9) Se estima que un bosque maderable evaluado en $750.000 aumentara su valor cada año en el 8,5% durante los próximos 6 años. ¿cuál será su valor al final del plazo calculado? Respuesta: 1.223.600 10) ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 6% semestral, para que se convierta en $10.000? Tener en cuenta que los periodos de capitalización son cada un año. Respuesta: 4,5 años 11) Calcular el monto de $4.000 depositado durante 12 años 5 meses al 6,4% con acumulación semestral.
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Respuesta: 8.745,25 12) Me propusieron invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido en 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable semestralmente. ¿En cuantos meses duplicaría mi inversión en cada opción? ¿Cuál de las dos opciones es más conveniente? Respuesta: 120 meses y 141 meses. La opción más conveniente es la que duplica en menos tiempo 13) Calcular el monto a pagar dentro de 18 meses por un préstamo bancario de $30.000, si devenga el 22% con capitalización trimestral. Respuesta: 41.365,28
Ejercicios Suplementarios: la solución de estos ejercicios compartirán entre los compañeros en el foro, con el fin de comparar e interrelacionarse 1- Hallar el interés simple ordinario y exacto de: d) $1.000, del 6 de agosto de 2009 al 14 de diciembre de 2009, al 4% e) $2.000. Del 18 de octubre del 2008 al 6 de febrero del 2009, al 5¼% 2- ¿A qué tasa de interés el monto de $20.000 será $21.200, a interés simple, en 9 meses? 3- ¿Qué suma debe invertirse al 9% anual para tener $2.000 dentro de 8 meses? 4- Encontrar el capital inicial o valor inicial, al 5% de interés simple mensual de $1.800 con vencimiento en 9 meses 5- Si tenemos $10.000 y lo invertimos por un año con el 28% de interés anual ¿cuánto dinero dispondremos después de 5 años? 6- El día de hoy obtenemos un préstamo por $5.000 y después de un año pagamos $5.900. Determinar el interés y la tasa de interés 7- Calcular el monto acumulado de una inversión de $12.000 durante 10 meses al 22% anual. 8- Necesitamos saber el monto que retiraríamos dentro de 4 años , si hoy invertimos $2.000 al 8% para el primer año, la tasa de interés tendrá un incremento del 1% cada año. 9- Calcule el interés simple ordinario de una capital de $3.500 colocado en el banco desde el 13 de marzo al 25 de mayo del 2004, a una tasa del 2% mensual.
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10- Dentro de 6 y 9 meses recibiremos $2.500 y $3.500 respectivamente, y ambas suma de dinero lo invertimos al 18% de inertes anual, determinar el monto dentro de 2 años. La capitalización es trimestral 11- Daniel desea viajar al extranjero dentro de 24 meses en un tour cuyo costo es $10.000, quiere saber cuánto debe depositar hoy para acumular esa cantidad, si el dinero depositado a plazo fijo en el banco gana el 12% efectivo anual y los intereses se capitalizan cada 4 meses 12- Determinar el interés de $15.000 invertido durante un año y medio al 18% anual, aplicando capitalización semestral y capitalización trimestral. 13- En un juicio civil por cobro de una deuda de $12.000 el juez falla ordenando el pago de la cantidad adeudada con acumulación anual de intereses al 8,3% por 4 años, contados desde la fecha de su vencimiento. Calcular el monto acumulado de la deuda. 14- Unos padres al nacer su hijo le abren una cuenta a su nombre. ¿Qué cantidad tienen que ingresar para que al llegar a la mayoría de edad ( 18 años) el hijo disponga de $2.000.000? las condiciones de la cuenta bancaria son de 3% capitalizable por semestre. 15- Calcula la tasa de interés nominal anual al que se han de colocar $60.000 capitalizable mensualmente, para que en 8 años se duplique 16- El banco ofrece el 8% capitalizable trimestralmente, pagadero por trimestre. ¿Cuánto tiempo tienen que estar depositado $1.000.000 para que se conviertan en $1.268.240? 17- Si una señora deposita $1.000 hoy, $3.000 dentro cuatro años y $1.500 dentro de seis años a una tasa de interés de 12% anual compuesto semestralmente. Cuánto dinero tendrá en su cuenta 10 años después 18- El señor Roa plantea colocar dinero en el certificado JUMBO de depósito que paga el 18% anual con capitalización diaria. ¿Qué tasa efectiva tiene anualmente y semestralmente?
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