Matemática e raciocínio lógico para tjrs técnico judiciário.

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO p/ TJ-RS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 00

AULA 00 (demonstrativa): RACIOCÍNIO LÓGICO SUMÁRIO

PÁGINA

1. Apresentação

01

2. Cronograma do curso

03

3. Resolução de questões

05

4. Lista das questões apresentadas na aula

35

5. Gabarito

44

1. APRESENTAÇÃO Olá! Seja bem-vindo ao nosso curso de Matemática e Raciocínio Lógico para os concursos de Técnico Judiciário e Desenhista do Tribunal de Justiça do Rio Grande do Sul (TJ-RS), a ser aplicado pela FAURGS em 15/09/2012, 15/09/2012, conforme edital recém-publicado. Trata-se de um curso de teoria e resolução de exercícios visando auxiliar a preparação para tais provas. Caso você não me conheça, segue uma breve introdução. Sou Engenheiro Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), e trabalhei por 5 anos no mercado de aviação, até ingressar no cargo de Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. Na ocasião, fui aprovado também para o cargo de Analista Tributário da Receita Federal. Sempre gostei de lecionar, e a carreira de professor tem me acompanhado desde o primeiro ano de faculdade, naquela ocasião lidando com alunos na fase pré-vestibular. Assim como muitos de meus alunos, estudei para o meu concurso enquanto trabalhava na iniciativa privada. Por este motivo, tenho uma preocupação que talvez você compartilhe: a busca pela eficiência no aproveitamento do tempo de estudo. Este curso foi moldado pensando nisso. Dessa forma, meu objetivo aqui não é torná-lo um mestre em ciências exatas, mas auxiliá-lo a obter um alto rendimento Prof. Arthur Lima

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Quantidade de lixo 300 300

Tempo de trabalho 28 X

Número de máquinas 5 4

Feito isso, devemos inverter os termos da coluna da direita, de modo a “alinhar” todas as setas: Quantidade de lixo 300 300



Agora já temos tudo pronto para montar a proporção. Devemos igualar a razão presente na coluna com a variável X (“tempo de trabalho”) à multiplicação das razões das demais colunas. Veja: 28 X

=

300 300

×

4 5

Efetuando as devidas manipulações matemáticas, podemos obter o valor de X: 28 X

4 X X =

= 1×

=

28 × 5 4

4 5

28 × 5 =

7 × 5 = 35

Portanto, são necessárias 35 horas, ao invés de 28, para que 4 máquinas dêem conta do trabalho das 5 originais.


















3. FAURGS – SEFAZ/RS – 2006) Uma escola tem 600 alunos dos quais 40% são meninas e os demais meninos. Sabendo-se que apenas 10% dos meninos ainda não aprenderam a ler, indique quantos meninos já sabem ler. a) 24 b) 216 c) 324 d) 360 e) 540 RESOLUÇÃO: Com esta questão podemos iniciar nossos estudos sobre porcentagem. Sabemos que os 600 alunos representam o todo, isto é, 100%. Se 40% são meninas, os meninos são: 100% - 40% = 60% do total 60% de 600 alunos são meninos. Em se tratando de porcentagens, podemos substituir o “de” pelo sinal de multiplicação: Meninos = 60% de 600 = 60% x 600 Lembrando do conceito de porcentagem, sabemos que: 60% =

60 100

=

0, 6

Assim, Meninos = 0,6 x 600 = 360 Temos 360 meninos ao todo. O enunciado disse que 10% desses 360 meninos (e não de 600 alunos!) não sabem ler, portanto 90% deles já sabem ler. Portanto:


















d) R$375,00 e) R$540,00 RESOLUÇÃO: Sabemos que o ganho (lucro) de uma venda é a diferença entre o preço de venda, P, e o custo daquela mercadoria, C: L=P–C O enunciado diz que o ganho deve ser igual a 20% do preço de venda, isto é: L = 20% de P = 0,20 x P Substituindo L por 0,20 x P na equação anterior, temos: 0,20 x P = P – C Foi dito que o preço de compra, isto é, o custo da mercadoria, é C = 300 reais. Desta forma, podemos obter o preço de venda (P): 0,20 x P = P – 300 300 = P – 0,20P 300 = 0,8P P = 300/0,8 = 375 reais Resposta: D 5. FCC – TRT/11a – 2012) Existem no mundo 7 bilhões de pessoas, nenhuma delas com mais de 200.000 fios de cabelo em sua cabeça. Somente com essas informações, conclui-se que existem no mundo, necessariamente, (A) pessoas com 200.000 fios de cabelo em suas cabeças.


















(B) mais do que 7 bilhões de fios de cabelo. Falso. Pode ser que existam várias pessoas carecas no mundo, sem nenhum fio de cabelo, e apenas algumas com fios de cabelo. Assim, não temos elementos para afirmar que existam mais de 7 bilhões de fios de cabelo ao todo. (C) pessoas com nenhum fio de cabelo em suas cabeças. Falso. Da mesma forma que não podemos garantir que existe alguém com 200.000 fios, não podemos garantir que existem pessoas carecas com base nas informações fornecidas pelo enunciado. (D) duas pessoas com números diferentes de fios de cabelo em suas cabeças. Falso. Pode ser que todas as pessoas do mundo tenham exatamente a mesma quantidade de fios de cabelo (embora não tenhamos elementos para afirmar com certeza). (E) duas pessoas com o mesmo número de fios de cabelo em suas cabeças. Verdadeiro. Temos apenas 200.001 “possibilidades” de quantidade de cabelo por pessoa: ou 0 fios, ou 1 fio, ou 2, e assim por diante, até 200.000 fios. Se precisamos distribuir 7 bilhões de pessoas nesses 200.001 grupos, necessariamente um grupo (ou mais) terá mais de 1 pessoa. Ou seja, podemos dizer que 2 pessoas tem o mesmo número de fios de cabelo. Resposta: E




















Mantido o padrão, a 20a figura da sequência será formada por um total de quadrados igual a (A) 100 (B) 96 (C) 88 (D) 84 (E) 80 RESOLUÇÃO: A primeira figura tem 8 quadrados, a segunda tem 12, a terceira tem 16, e a quarta tem 20. Temos a seguinte seqüência: {8, 12, 16, 20}. Veja que de um número para o seguinte sempre somamos 4 unidades. Isto é o que chamamos de uma progressão aritmética de razão r = 4, na qual o termo inicial é a1 = 8. Foi solicitado o 20º termo, isto é, a20..A posição desse termo é n = 20. Pela fórmula do termo geral da PA (que veremos ao longo do curso com mais calma), podemos obter esse termo: an = a1 + r x (n – 1) a20 = 8 + 4 x (20 – 1) a20 = 8 + 4 x 19 = 84 a20 = 8 + 76 = 84




















(E) certamente é a Flávia. RESOLUÇÃO: Vamos começar chutando que Flávia mentiu. Como apenas uma delas mentiu, então as 3 outras afirmações seriam verdadeiras. Analisando uma a uma, temos: - Cláudia: - Cláudia: estou estou à direita da Flávia. Olhando a mesa por cima, teríamos:

- Cecília: estou entre a Marina e a Cláudia. De acordo com essa afirmação de Cecília, e já levando em conta o que foi dito por Cláudia, a única possibilidade seria:




















quando assumimos que Flávia mentiu, concluímos que Marina mentiu também. Como o exercício disse que apenas 1 moça mentiu, não podemos assumir que Flávia mentiu. A seguir, vamos assumir que apenas Marina mentiu. Assim, teríamos: - Cláudia: - Cláudia: estou estou à direita da Flávia.

- Cecília: estou Cecília: estou entre a Marina e a Cláudia.




















- Cláudia: - Cláudia: estou estou à direita da Flávia.

- Marina: estou Marina: estou entre a Cecília e a Cláudia.




















- Marina: estou Marina: estou entre a Cecília e a Cláudia. Note que não é possível dispor Marina entre Cecília e Cláudia. Portanto, quando assumimos que Cláudia mentiu, descobrimos que Marina também mentiu. Como o exercício disse que apenas 1 das moças mentiu, não podemos considerar que Cláudia mentiu. Portanto, quem mentiu foi Cecília ou Marina, mas não Flávia ou Cláudia. Resposta: B 8. FCC – TRT/11a – 2012) Quando somente três times (Arrankatoko, Kanelafina e Espantassapo) ainda tinham chances matemáticas de ganhar o campeonato do bairro de 2011, três torcedores fizeram as suas previsões. Torcedor 1: O campeão será o Arrankatoko ou o Kanelafina. Torcedor 2: O campeão será o Kanelafina ou o Espantassapo. Torcedor 3: O campeão não será o Kanelafina. Seja n o número de torcedores, dentre os três citados acima, que acertaram suas previsões após o término do campeonato. Somente com as informações fornecidas, (A) não se pode descobrir o valor de n. (B) conclui-se que n = 0.






















9. FCC – TRT/11ª – 2012) Em um sábado, das 8:00 às 12:00 horas, cinco funcionários de um tribunal trabalharam no esquema de “mutirão” para atender pessoas cujos processos estavam há muito tempo parados por pequenos problemas de documentação. Se, no total, foram atendidas 60 pessoas, cada uma por um único funcionário, é correto concluir que (A) cada funcionário atendeu 12 pessoas. (B) foram atendidas 15 pessoas entre 8:00 e 9:00 horas. (C) cada atendimento consumiu, em média, 4 minutos. (D) um dos funcionários atendeu, em média, 3 ou mais pessoas por hora. (E) nenhum atendimento levou mais do que 20 minutos. RESOLUÇÃO:




















3 pessoas por hora. Portanto, cada atendimento consumiu, em média, 20 minutos (pois 20 x 3 = 60 minutos = 1 hora).

(D) um dos funcionários atendeu, em média, 3 ou mais pessoas por hora. Verdadeiro. Como vimos no item acima, em média cada funcionário atendeu 3 funcionários por hora. Para obter essa média, é preciso que pelo menos um funcionário tenha atendido 3 ou mais pessoas por hora.

(E) nenhum atendimento levou mais do que 20 minutos. Falso. Apesar do tempo médio de cada atendimento ter sido de 20 minutos, pode ser que alguns atendimentos tenham durado mais do que isso, e outros




















Como temos 5 sextas, sábados e domingos, podemos dizer que esses são os 3 dias que se repetiram 5 vezes. Portanto, o mês de Agosto deve ter começado em uma sexta-feira, de modo que se passaram 4 semanas (28 dias) e os últimos 3 dias foram uma sexta, um sábado e um domingo. Portanto, o primeiro dia de Setembro é uma segunda-feira. Com isso, o dia 13 de Setembro é um sábado. Resposta: D

11. FCC – TRT/11ª – 2012) Uma pessoa lançou um dado dez vezes. Somando os pontos obtidos em cada lançamento, ela totalizou 14 pontos. Ao longo das dez jogadas, o número mínimo de vezes vezes que essa pessoa obteve obteve a face “1” foi (A) 5




















(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 8 RESOLUÇÃO: Veja que é possível dividir a laranja em 8 partes iguais efetuando 3 cortes: - um corte dividindo a laranja em 2 metades (em vermelho):



















MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO p/ TJ-RS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 00 8 segmentos com o tamanho deste

Resposta: A

13. FCC – TRT/11ª – 2012) Em uma sala com 200 pessoas, 90% são homens. Após alguns homens se retirarem, tendo permanecido todas as mulheres, elas passaram






















H = 200 x 90 / 100 H = 180 pessoas Assim, tínhamos 180 homens e 20 mulheres na sala, totalizando 200 pessoas. Após a saída de alguns homens, as 20 mulheres passaram a representar 20% do total de pessoas restantes. Quanto passou a ser 100%? A regra de três abaixo responde:







































Com base nesses comentários, é provável que a melhor solução passe por não mexer na primeira coluna, e trabalhar principalmente a peça 3, levando-a à sua posição final, fazendo simultaneamente pequenas alterações de posição em outras peças. Veja abaixo os movimentos necessários: 1) Mover para cima a peça 3:



















MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO p/ TJ-RS TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima – Aula 00 1

2

3

4

5

7

8

6

1

2

3

4

5

6

7

8

8) Mover para cima a peça 6:




















Falso. Observe que, se as 5 bolas retiradas forem 3 pretas e 2 verdes, sobrarão 1 bola branca, 2 amarelas, 1 verde e 1 preta na urna. Ou seja, seria possível ter bolas das 4 cores na urna, mesmo após retirar 5 bolas. III. Se cinco bolas forem retiradas da urna, entre as bolas retiradas haverá, necessariamente, duas de uma mesma cor. Verdadeiro. Ainda que as 4 primeiras bolas retiradas sejam cada uma de cor






















- 2011: começou no sábado;




















resolvidas basicamente com uma informação: só existe 1 resposta certa! Vamos à




















E correta  D correta




















as letras T (terceira), A (quarta), N (antepenúltima) e A (última). Na palavra




















b) Não sendo retirada a candidatura de C, ele será o candidato eleito
























































2. CRONOGRAMA DO CURSO Ao longo desse curso trabalharemos os seguintes tópicos do seu edital: MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – (Para os cargos de Técnico Judiciário e Desenhista) Elaboração de processos lógicos que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduzam a conclusões acertadas de forma válida e sua aplicação à resolução de problemas, fazendo uso dos seguintes conhecimentos matemáticos: Conjuntos e Contagem: operações entre conjuntos, relação de inclusão, princípio fundamental da contagem. Arranjos, combinações e permutações. Aritmética e Álgebra: operações elementares e suas propriedades. Grandezas direta e inversamente proporcionais: razão, proporção, escalas, divisão em partes proporcionais, regra de três, porcentagem. Sequências lógicas. Sequências numéricas: progressões aritméticas e geométricas. Variáveis: equações de 1.° e 2.° graus. Sistemas de equações de 1.° e 2.° graus: resolução e interpretação geométrica. Funções: função linear, quadrática e seus gráficos. Geometria: sistema métrico decimal, medida de ângulo, relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo, semelhança de triângulos quaisquer, perímetro e área de triângulos e quadriláteros, comprimento da circunferência e área do círculo. Teremos um curso bem enxuto e objetivo, dividido em 5 aulas semanais, além desta aula demonstrativa. Segue abaixo o calendário previsto: Data

Aula

disponível

Aula 00 (demonstrativa) resolução de questões

22/07/2012

Aula 01 - Sequências lógicas. Sequências numéricas: progressões aritméticas e geométricas. Conjuntos: operações entre conjuntos, relação de inclusão.

29/07/2012

Aula 02 - Contagem: princípio fundamental da contagem. Arranjos, combinações e permutações.

04/08/2012

Aula 03 - Grandezas direta e inversamente proporcionais: razão, proporção, escalas, divisão em partes proporcionais, regra de três, porcentagem.

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11/08/2012

Aula 04 - Aritmética e Álgebra: operações elementares e suas propriedades. Variáveis: equações de 1.° e 2.° graus. Sistemas de equações de 1.° e 2.° graus: resolução e interpretação geométrica. Funções: função linear, quadrática e seus gráficos.

18/08/2012

Aula 05 - Geometria: sistema métrico decimal, medida de ângulo, relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo, semelhança de triângulos quaisquer, perímetro e área de triângulos e quadriláteros, comprimento da circunferência e área do círculo.

Este cronograma apresenta as datas limites para a publicação das aulas. Entretanto, saiba que normalmente publico as aulas com maior antecedência, visando permitir que aqueles alunos mais adiantados estudem o material o quanto antes. Ainda assim, mesmo que você siga esse cronograma “no limite” poderá estudar todos os assuntos de seu edital tempestivamente – afinal a última aula será publicada cerca de 1 mês antes da prova! Como já disse, em todas as aulas teremos diversas questões resolvidas e comentadas, totalizando cerca de 200 exercícios! Sem mais, vamos ao curso.

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3. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES Caro aluno, seguem abaixo algumas questões de um concurso da FAURGS que cobrou alguns dos tópicos de Raciocínio Lógico de seu edital. Trata-se do concurso da SEFAZ/RS 2006, e os tópicos em comum com o seu edital são: Razões e proporções. Grandezas Grandezas proporcionais. Divisão proporcional proporcional e regra de sociedade. Regra de três. Percentagem. A seguir, veremos questões de outros concursos recentes, para que você possa começar a se exercitar e, claro, se familiarizar com a minha forma de lecionar. É natural que você tenha t enha dificuldade em alguns exercícios, afinal ainda não estudamos os tópicos teóricos a eles relativos. Ao longo do curso voltaremos a abordar essas questões, quando você já terá mais informações para auxiliar a resolução das mesmas. 1 1. FAURGS – SEFAZ/RS – 2006) A razão entre  4 + 



2

e 18 é:

a) 1/9 b) 1/4 c) 4 d) 36 e) 81 RESOLUÇÃO: Trata-se de uma questão simples de aritmética, que envolve a soma e a divisão de frações. Vamos resolver bem devagar, para que você possa recordar as principais propriedades destas operações. 1 A razão, ou divisão, entre  4 +  e 18, pode ser representada por:



2

1  4+  2  18

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Para simplificar essa fração, devemos começar efetuando a soma do que se encontra entre parênteses. Para somar frações, é preciso escrevê-las com o mesmo denominador. Como 4 é igual a

8 2

, podemos dizer que:

1  4+  2  18

8 1 9  +  2 2 = 2 = 18

Agora é preciso dividir a fração

9 2

18

por 18, que pode ser escrito na forma

18 1

.

A divisão entre duas frações é igual à multiplicação da primeira pelo INVERSO da segunda, isto é: 9 2 18

=

9

×

1

2 18

1

Feito isso, basta multiplicar os numeradores entre si (9 x 1) e os denominadores entre si (2 x 18), resultando em: 9

×

1

2 18

=

9 ×1 2 × 18 18

Neste momento, podemos dividir o numerador e o denominador da fração acima por 9, de maneira a simplificá-la, e chegar no resultado: 9 ×1 2 ×18

=

1 ×1 2×2

=

1 4

Resposta: B 2. FAURGS – SEFAZ/RS – 2006) O processamento de 300 toneladas de lixo é realizado em 28 horas por 5 máquinas. Se uma das máquinas quebrar, quantas horas as demais levarão para fazer o mesmo processamento? a) 5,6 b) 7,0 c) 22,4 d) 30,1 e) 35,0 RESOLUÇÃO:

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Aqui temos uma clássica questão sobre proporcionalidade. O enunciado fala a respeito de três “grandezas”: 1) quantidade de lixo; 2) tempo de trabalho; 3) número de máquinas. Veja abaixo os valores fornecidos pelo enunciado para cada grandeza: Quantidade de lixo 300

Tempo de trabalho 28

Número de máquinas 5

Na segunda parte, solicita-se o tempo necessário para 4 máquinas (pois 1 quebrou) realizarem o mesmo trabalho, isto é, processarem 300 toneladas de lixo. Vamos escrever isto na segunda linha, chamando de X o novo tempo de trabalho: Quantidade de lixo 300 300



O nosso foco é a grandeza “tempo de trabalho”, pois nela encontra-se a variável a ser descoberta (X). Devemos avaliar se as outras grandezas são direta ou inversamente proporcionais a ela. Veja como: - em condições normais, quanto maior o tempo de trabalho disponível, maior a quantidade de lixo que pode ser processada, certo? Isto é, quando uma grandeza (tempo) aumenta, a outra (quantidade) também aumenta. Essas grandezas são diretamente proporcionais. - em condições normais, quanto maior o tempo de trabalho disponível, menos máquinas são necessárias para realizar o mesmo trabalho. Quando uma grandeza (tempo) aumenta, a outra (nº de máquinas) diminui. Logo, essas grandezas são inversamente proporcionais. Voltando à nossa tabela, vamos colocar uma seta ao lado da coluna “Tempo de trabalho”. Como a “Quantidade de lixo” é diretamente proporcional, colocamos uma seta no mesmo sentido ao lado desta coluna. E como o “Número de máquinas” é inversamente proporcional, colocamos uma seta em sentido contrário ao lado desta coluna. Veja:

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Quantidade de lixo 300 300



Feito isso, devemos inverter os termos da coluna da direita, de modo a “alinhar” todas as setas: Quantidade de lixo 300 300



Agora já temos tudo pronto para montar a proporção. Devemos igualar a razão presente na coluna com a variável X (“tempo de trabalho”) à multiplicação das razões das demais colunas. Veja: 28 X

=

300 300

×

4 5

Efetuando as devidas manipulações matemáticas, podemos obter o valor de X: 28 X

4 X X =

= 1×

=

28 × 5 4

4 5

28 × 5 =

7 × 5 = 35

Portanto, são necessárias 35 horas, ao invés de 28, para que 4 máquinas dêem conta do trabalho das 5 originais. Resposta: E Obs.: observe que nesta questão nem precisaríamos ter nos preocupado com a grandeza “quantidade de lixo”, pois ela não mudou de valor de um caso para o outro. Resolvi mostrá-la mesmo assim para que você visse uma resolução mais geral, que pode ser usada inclusive quando todas as grandezas mudarem de valor de um caso para o outro.

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Matemática e raciocínio lógico para tjrs técnico judiciário.

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